trata sobre vectores y sus caracteristicas

2. Resultado de aprendizaje: Resuelve problemas cotidianos que
involucren cantidades vectoriales empleando el método gráfico y
analítico.
Contenidos
A. Identificación de vectores en su entorno inmediato
Características de un vector
Diferencia entre cantidades vectoriales y escalares
Aplicaciones en la vida cotidiana
B. Determinación de vectores
Representación gráfica de sistemas de vectores
Solución de sistemas con vectores por componentes
rectangulares
- Método gráfico
- Método analítico
Coordenadas cartesianas y polares

3. Un vector V, se representa como un segmento dirigido con origen o punto de
aplicación en A y extremo o punto terminal en B. Se representa por AB,
siendo los extremos A y B
Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y
extremo, respectivamente.
Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la
que termina
A
(origen)
B
(extremo)
B
(origen)
A
(extremo)
AB
BA

4. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Las características de un vector son cuatro:
 MÓDULO
 DIRECCIÓN
 SENTIDO
 PUNTO DE APLICACIÓN

5. MÓDULO
El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo está
determinado por un vector unidad u.
3 cm

6. DIRECCIÓN
La DIRECCIÓN es la recta que lo contiene. Viene expresada por el
ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º,
47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.
45º
- 100º = 260º
120º
- 30º = 330º

7. SENTIDO
El SENTIDO indica hacia dónde va dirigido el vector. En una misma
dirección existen dos sentidos posibles.
45º
Sentido hacia arriba, hacia la
derecha o ascendente
Sentido hacia abajo, hacia la
izquierda o descendente

8. PUNTO DE APLICACIÓN
El PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica
la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las
fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.
Luna
Tierra,
F

Tierra
Luna,
F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna
Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero
difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

9. Vectores coplanares.
Están en el mismo plano,
dimensional y bidimensional, es
decir con 1 o 2 ejes.
Vectores no coplanares. Están
en diferente plano,
tridimensional es decir 3 ejes.

10. Vectores deslizantes:
Son aquellos vectores que pueden m
overse sobre su línea de acción sin
cambiar su magnitud y dirección.
Vectores paralelos:
Son aquellos que tienen sus líneas
de acción paralelas.

11. Vectores concurrentes: Son
aquellos vectores cuyas líneas de
acción se intersecan en un punto.
Vectores libres:
Son aquellos vectores que pueden
moverse libremente en el espacio
con sus líneas de acción paralelas.

16. Suma de vectores
(método del triángulo)
A B
A
R R = A+ B
B

17. Suma de vectores
(método del paralelogramo)
A B
A
B
A
B
R R = A+ B

18. Suma de Vectores:
Paralelogramo. Si deseamos sumar dos vectores, una vez dibujados coincidiendo con
el origen, por el extremo de cada vector trazamos una paralela al otro. Ambas paralelas
se cortan en un punto. El vector cuyo punto de aplicación coincide con el de los
vectores sumandos y cuyo extremo es el que termina en el punto de corte de las
paralelas es el vector suma
B
A

19. A B C
Hallar: A + B + C + D
A B C
R
Suma de vectores
(método del polígono)
Dados :
D
A
B
C
D

20. Suma de Vectores:
Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se desean sumar varios vectores a la vez.
En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el
extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta
terminar de dibujar todos los vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el
punto de aplicación del primero con el extremo del último

21. Suma de Vectores:
Analíticamente, se suman las componentes.
A = (0, 5)
B = (5, 4)
A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

22. Resta de Vectores:
La resta se realiza en forma análoga a la suma

23. Resta de Vectores:
Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.
A = (7, 2)
B = (5, 4)
A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

24. Conmutativa
a + b = b + a
Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0
a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto
a'
a + a' = a' + a = 0
a' = -a
Propiedades de la suma de Vectores:

25. Producto de Vectores:
El producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un número. Se
determina multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a
componente y sumando los resultados. Por ejemplo:
(-3,2) x (5,1) = ((-3) x5) +(2x1) = -15+2 = -13
Propiedades de la suma de Vectores:
Conmutativa
A * b = b * a
Asociativa
(a + b) * c = a * (b + c)

26. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN
VECTOR
ө
A
Ax
Ay
Sen ө =
Ay
A
Cos ө =
Ax
A
Ay

27. B = 5 u
A = 3 u
30º
50º
Ax
Ay
Bx
By
Ax = A Cos 30º
Ay = A Sen 30º
Bx = -B Cos 50º
By = B Sen 50º
= (3 u)(0.86) = 2.58 u
= (3 u)(0.5) = 1.5 u
= (5 u)(0.64) = - 3.21 u
= (5 u)(0.76)
= 3.83 u
∑ Vx = Ax + Bx
∑ Vy = Ay + By
∑ Vx = (2.58 u)+ (-3.21 u)
∑ Vy = (1.5 u) + (3.83 u)
R2 = (∑ Vx)2 + (∑ Vy)2
R2 = (-0.63)2 + (5.33)2
∑ Vx = - 0.63
∑ Vy = 5.33 u
R2 = 0.39 + 28.4
R = 5.36
R2 = 28.79
SUMA DE VECTORES POR COMPONENTES
RECTANGULARES

28. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
F

N
3.6
13
3
2
F
F
F 2
2
2
y
2
x 





1.5
2
3
F
F
tg
x
y




En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos
usando coordenadas cartesianas:
y
x
1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
(2,3)
F 


1
F

y
x
1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
2
F

(2,3)
F
1 

(4,1)
F
2 


)
F
,
F
(
F y
x




x
F

y
F

(2,0)
Fx 

(0,3)
Fy 

56.3º
1.5
arctg 


Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:
R

(4,1)
(2,3)
R 


2
1 F
F
R




 (6,4)
R 

0.67
6
4
tg 

 33.7º
0.67
arctg 


N
7.2
52
4
6
F
F
F 2
2
2
y
2
x 




