2. SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES
Cada punto esta
marcado con las
coordenadas (x, y).
(x, y)Q(-3, 9)
P(6, 3)
x
y
•Un punto de referencia fijo O,
denominado el origen.
•Un conjunto de ejes especificados
con escalas y leyendas apropiadas
sobre los ejes.
•Instrucciones de cómo marcar un
punto en relación con el origen y los
ejes.
Un sistema que se utiliza con
frecuencia es el sistema
rectangular o cartesiano
Se compone de:
3. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
22
tan
sen
cos
yxr
x
y
ry
rx
Se cumplen las siguientes
relaciones entre el sistema
rectangular y polar..
(x, y)
r
O
y
x
6. Magnitudes Vectoriales
Posición Desplazamiento Fuerza
Campo Magnético
… etc
SIMBOLOGÍA
Vector que entra (-) Vector que sale (+)
7. ALGEBRA VECTORIAL
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres
elementos idénticos
2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma
magnitud y dirección pero sentido opuesto
8. ALGEBRA VECTORIAL: SUMA VECTORIAL
Considere dos vectores A y B como se muestra.
El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley
de cosenos-
La dirección mediante la ley de cosenos
2 2
2 cosR A B A B
( )
AR B
sen sen sen
9. ALGEBRA VECTORIAL: RESTA VECTORIAL
Considere dos vectores A y B como se muestra.
El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
La magnitud del vector diferencia D es
La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B
( )
AD B
sen sen sen
11. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es un nuevo vector . La
magnitud del vector producto es c veces la magnitud del
vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma
dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector
producto es de sentido opuesto a
cA
12. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR
1. Les asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe
2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma
de dos vectores se tiene
13. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la suma de dos escalares por el vector
A se tiene
14. SUMA DE VARIOS VECTORES
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del
paralelogramo o del triángulo. Es decir
15. VI. VECTOR UNITARIO
Es un vector colineal con el vector original
Tiene un módulo igual a la unidad
Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆA
A
e
A
ˆAA A e
16. II) Caracterización de Vectores
Los vectores deben referirse SIEMPRE a un Sistema de Coordenadas
* Sistema Estándar o “Dextrógiro”
* Vectores unitarios rectangulares
Son vectores “Base” 3D u
“ortonormales” (perpendiculares y de
longitud unitaria)
ˆˆ ˆi j k
17. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
ˆ ˆ
ˆ ˆcos
ˆ ˆ(cos )
ˆ
ˆ ˆˆ (cos )
x y
x y
A
A
A A A
A A i A j
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
e i sen j
2 2
x yA A A
y
x
A
Atg
19. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
2
2 2 2
x y zA A A A
cos 𝛽 =
𝐴 𝑋
𝐴
cos 𝛾 =
𝐴 𝑋
𝐴
cos 𝛼 =
𝐴 𝑋
𝐴
20. Con la “combinación lineal” de estos tres vectores base se puede
especificar cualquier vector
Ejemplo:
Luego:
Por lo tanto, existen dos formas de escribir el vector u:
Y también:
21. * Módulo y versor de un vector arbitrario
Sea
- La longitud o “módulo” de A es:
- Y el versor de A es:
Ejemplo: NOTA: el versor indica los
“Cosenos Directores”:
22. III) Suma y Resta de Vectores
A = (Ax , Ay) = (1,3)
B = (Bx , By) = (2, 1)
* VECTOR SUMA C = A + B
- Método del Paralelógramo
- Método Cartesiano
Luego:
23. * VECTOR RESTA: C = A - B
- Método del paralelógramo
- Método cartesiano
En este caso:
24. Operaciones con vectores II:
Producto Escalar:
Dados dos vectores A y B se
define como producto
escalar:
A.B = | A | . | B | . cos
donde es el ángulo que
forman los dos vectores.
De la definición:
332211. bababaBA
25. Proyección de un vector sobre otro
A • B = |A| |B| cos(θ). |A| cos(θ) es la
proyección escalar de A en B
Ángulos entre dos vectores
Vectores ortogonales
Vectores paralelos o en una misma dirección
27. Producto vectorial:
Se define como producto
vectorial de los vectores A y
B al vector V tal que
V = A B = [A B]
es perpendicular a A y B a
la vez y cuya magnitud se
define como:
| V | = | A |.| B | sen
Puede verse que la
magnitud del vector V es
igual al área definida por A
y B.
Observe el sentido de la
rotación.
A
B
V
28. * Producto Cruz El resultado es SIEMPRE un VECTOR
- Longitud de C:
30. NOTAS
1) Producto cruz y rotaciones
Sean:
A = vector que indica el punto de aplicación de una fuerza
respecto del eje de giro
B = Fuerza aplicada Se tendrá que AxB indica el vector “responsable”
de la rotación y se conoce como “Torque”
Observemos que el vector B se puede escribir
como la suma de dos vectores: uno paralelo a A y
otro perpendicular a A:
Observemos que sólo “B perpendicular”
contribuye a la rotación, de modo que:
31. 2) Producto Cruz entre versores
El sentido antihorario es positivo.
Luego:
… etc
EJEMPLO:
33. TAREA
1. Un vector tiene una componente x de -25.0 unidades y una
componente y de 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y
dirección de este vector.
2. Considere dos vectores A = 3i - 2j y B = -i - 4j. Calcule a)
A + B, b) A - B, c) |A + B|, d) |A - B| y e) las direcciones de A
+ B y A - B.
3. Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos
consecutivos: 3.50 m al sur, 8.20 m al noreste y 15.0 m al
oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?
