El documento presenta dos problemas de programación lineal. El primero busca minimizar el costo de satisfacer requerimientos nutricionales diarios mediante una dieta de leche, carne y huevos. El segundo busca maximizar el precio de venta de vitaminas individuales para que sea más conveniente que comprar alimentos. Ambos problemas se resuelven usando su problema dual, donde se intercambian restricciones y objetivos.

1. 1
El Problema Dual
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
2
El Problema Dual
PROBLEMA 1.-
Se desea averiguar las cantidades de ciertos alimentos
que deben comerse para satisfacer ciertos
requerimientos nutritivos a un costo mínimo.
Supongamos que las consideraciones se limitan a
leche, carne, huevos y a las vitaminas A, C y D.
Supongamos que el número de miligramos de
vitaminas contenidas en cada unidad de alimentos se
da en la tabla siguiente:

2. 2
3
El Problema Dual
A 1 1 10 1
C 100 10 10 50
D 10 100 10 10
Costo en soles 40 44 20
VITAMINA
Mínimo
requerido a
diario (mg)
Galón de
leche
Libra de
carne
Docena de
huevos
4
El Problema Dual
SOLUCION.-
xL : cantidad de leche en galones
xC : cantidad de carne en libras
xH : cantidad de huevos por docena
Variables de decisión

3. 3
5
El Problema Dual
Restricción por requerimiento mínimo de vitamina A:
110xxx HCL
≥++
Restricciones
Restricción por requerimiento mínimo de vitamina C:
5010x10x100x HCL
≥++
Restricciones de no negatividad:
Restricción por requerimiento mínimo de vitamina D:
1010x100x10x HCL
≥++
0x,x,x HCL
≥
6
El Problema Dual
HCL
20x44x40xZMin ++=
Función objetivo

4. 4
7
El Problema Dual
El programa queda:
sujeto a
HCL
20x44x40xZMin ++=
110xxx HCL
≥++
5010x10x100x HCL
≥++
1010x100x10x HCL
≥++
0x,x,x HCL
≥
8
El Problema Dual
Primera Fase:
Z xL xC xH x1 x2 x3 w1 w2 w3 Sol.
Z 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1
w1 1 1 1 10 -1 0 0 1 0 0 1
w2 1 100 10 10 0 -1 0 0 1 0 50
w3 1 10 100 10 0 0 -1 0 0 1 10
Z 1 111 111 30 -1 -1 -1 0 0 0 61
w1 1 1 1 10 -1 0 0 1 0 0 1 1,00
w2 1 100 10 10 0 -1 0 0 1 0 50 0,50
w3 1 10 100 10 0 0 -1 0 0 1 10 1,00
Z 1 0 999/10 189/10 -1 11/100 -1 0 -111/100 0 11/2
w1 1 0 9/10 99/10 -1 1/100 0 1 -1/100 0 1/2 0,56
xL 0 1 1/10 1/10 0 -1/100 0 0 1/100 0 1/2 5,00
w3 1 0 99 9 0 1/10 -1 0 -1/10 1 5 0,05
Z 1 0 0 108/11 -1 1/110 1/110 0 -111/110 -111/110 5/11
w1 1 0 0 108/11 -1 1/110 1/110 1 -1/110 -1/110 5/11 0,05
xL 0 1 0 1/11 0 -1/99 1/990 0 1/99 -1/990 49/99 5,44
xC 0 0 1 1/11 0 1/990 -1/99 0 1/990 1/99 5/99 0,56
Θ

5. 5
9
El Problema Dual
Z xL xC xH x1 x2 x3 w1 w2 w3 Sol.
Z 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0
xH 0 0 0 1 -11/108 0 0 11/108 0 0 5/108
xL 0 1 0 0 1/108 -6/589 0 -1/108 6/589 0 53/108
xC 0 0 1 0 1/108 0 -6/589 -1/108 0 6/589 5/108
Θ
10
El Problema Dual
Z xL xC xH x1 x2 x3 Sol.
Z 1 -40 -44 -20 0 0 0
xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108
xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108
xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108
Z 1 0 0 0 -34/27 -47/135 -53/135 610/27
xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108
xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108
xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108
Θ
Segunda Fase:

6. 6
11
El Problema Dual
La solución es:
108/53xL
=
108/5xC
=
108/5xH
=
27/610Z =
0x1
=
0x2
=
0x3
=
12
El Problema Dual
PROBLEMA 2.-
Se desea averiguar a que precio, como máximo, se
deben vender las vitaminas A, C y D, de manera que
resulten más convenientes que consumir las
alternativas: leche, carne y huevos, y satisfacer ciertos
requerimientos nutritivos .
Supongamos que el número de miligramos de
vitaminas contenidas en cada unidad de alimentos se
da en la tabla siguiente:

7. 7
13
El Problema Dual
A 1 1 10 1
C 100 10 10 50
D 10 100 10 10
Costo en soles 40 44 20
VITAMINA
Mínimo
requerido a
diario (mg)
Galón de
leche
Libra de
carne
Docena de
huevos
14
El Problema Dual
SOLUCION.-
yA : precio por miligramo de vitamina A
yC : precio por miligramo de vitamina C
yD : precio por miligramo de vitamina D
Variables de decisión

8. 8
15
El Problema Dual
Restricción por reemplazo del galón de leche:
4010yy100y DCA
≤++
Restricciones
Restricción por reemplazo de la libra de carne:
44100y10yy DCA
≤++
Restricciones de no negatividad:
Restricción por reemplazo de la docena de huevos:
2010y10y10y DCA
≤++
0y,y,y DCA
≥
16
El Problema Dual
DCA
10y50yyWMax ++=
Función objetivo

9. 9
17
El Problema Dual
El programa queda:
sujeto a
DCA
10y50yyWMax ++=
4010yy100y DCA
≤++
44100y10yy DCA
≤++
2010y10y10y DCA
≤++
0y,y,y DCA
≥
18
El Problema Dual
Resolviendo el PPL:
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 -1 -50 -10 0 0 0 0
y1 0 1 100 10 1 0 0 40 0,400
y2 0 1 10 100 0 1 0 44 4,400
y3 0 10 10 10 0 0 1 20 2,000
Θ
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 -1/2 0 -5 1/2 0 0 20
yC 50 1/100 1 1/10 1/100 0 0 2/5
y2 0 9/10 0 99 -1/10 1 0 40
y3 0 99/10 0 9 1/10 0 1 16
Θ

10. 10
19
El Problema Dual
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 -1/2 0 -5 1/2 0 0 20
yC 50 1/100 1 1/10 1/100 0 0 2/5 4,000
y2 0 9/10 0 99 -1/10 1 0 40 0,404
y3 0 99/10 0 9 1/10 0 1 16 1,778
Θ
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 -5/11 0 0 49/99 5/99 0 2180/99
yC 50 1/110 1 0 1/99 -1/990 0 178/495
yD 10 1/110 0 1 -1/990 1/99 0 40/99
y3 0 108/11 0 0 -1/11 -1/11 1 136/11
Θ
20
El Problema Dual
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 -5/11 0 0 49/99 5/99 0 2180/99
yC 50 1/110 1 0 1/99 -1/990 0 178/495 39,556
yD 10 1/110 0 1 -1/990 1/99 0 40/99 44,444
y3 0 108/11 0 0 -1/11 -1/11 1 136/11 1,259
Θ
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 0 0 0 53/108 5/108 5/108 610/27
yC 50 0 1 0 6/589 0 0 47/135
yD 10 0 0 1 0 6/589 0 53/135
yA 1 1 0 0 -1/108 -1/108 11/108 34/27
Θ

11. 11
21
El Problema Dual
La solución es:
27/34yA
=
135/47yC
=
135/53yD
=
27/610W =
0y1
=
0y2
=
0y3
=
22
El Problema Dual
El programa del Primal:
s. a.
HCL
20x44x40xZMin ++=
110xxx HCL
≥++
5010x10x100x HCL
≥++
1010x100x10x HCL
≥++
0x,x,x HCL
≥
El programa del Dual: DCA
10y50yyWMax ++=
4010yy100y DCA
≤++
44100y10yy DCA
≤++
2010y10y10y DCA
≤++
0y,y,y DCA
≥
s. a.

12. 12
23
El Problema Dual
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.
W 1 0 0 0 53/108 5/108 5/108 610/27
yC 50 0 1 0 6/589 0 0 47/135
yD 10 0 0 1 0 6/589 0 53/135
yA 1 1 0 0 -1/108 -1/108 11/108 34/27
Θ
Z xL xC xH x1 x2 x3 Sol.
Z 1 0 0 0 -34/27 -47/135 -53/135 610/27
xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108
xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108
xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108
Θ
Tablero óptimo del Primal (modelo de minimización):
Tablero óptimo del Dual (modelo de maximización):
24
El Problema Dual
Reglas de transformación
de un problema Primal
a un problema Dual

13. 13
25
Dado el siguiente PPL primal:
sujeto a
321 x2x4x3ZMax −+=
12x3x12x4 321 ≤+−
40x6xx5- 321 −≥−+
0x1 ≥
10x2x4x3 321 =−+
El Problema Dual
6xx3x2- 321 ≤++
0x2 ≤ 3x irrestricta
1y
2y
3y
4y
Variables
duales
26
En el problema primal se observa que:
El Problema Dual
1) Es un modelo de Maximización
2) Tiene 3 variables, siendo el vector: [ x1 x2 x3 ]T
3) Tiene 4 restricciones
4) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 3 4 -2 ]
5) El vector de recursos es: [ 2 6 -40 10 ]T
6) La matriz de coeficientes tecnológicos es:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2-43
6-15-
132-
312-4
A =

14. 14
27
Reglas de Transformación.-
Estas reglas se utilizan para determinar el problema
dual a partir de un problema primal dado.
El Problema Dual
28
Regla 1
El número de variables del problema dual es igual al
número de restricciones del problema primal.
El número de restricciones del problema dual es igual al
número de variables del problema primal.
El Problema Dual

15. 15
29
Regla 1
El Problema Dual
Problema primal
1) Tiene 3 variables, siendo el vector: [ x1 x2 x3 ]T
2) Tiene 4 restricciones
Problema dual
1) Tiene 4 variables, siendo el vector: [ y1 y2 y3 y4 ]T
2) Tiene 3 restricciones
30
Regla 2
Si el problema primal es un modelo de maximización, el
problema dual es un modelo de minimización.
Si el problema primal es un modelo de minimización, el
problema dual es un modelo de maximización.
El Problema Dual

16. 16
31
El Problema Dual
Regla 2
Problema primal
1) Es un modelo de Maximización
Problema dual
1) Es un modelo de Minimización
32
Regla 3
El vector de coeficientes de la función objetivo en el
problema dual es igual al vector de recursos del
problema primal.
El Problema Dual

17. 17
33
El Problema Dual
Regla 3
Problema primal
1) El vector de recursos es: [ 2 6 -40 10 ]T
Problema dual
1) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 2 6 -40 10 ]
34
Regla 4
El vector de recursos en el problema dual es igual al
vector de coeficientes de la función objetivo del
problema primal.
El Problema Dual

18. 18
35
El Problema Dual
Regla 4
Problema primal
1) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 3 4 -2 ]
Problema dual
1) El vector de recursos es: [ 3 4 -2 ]T
36
Regla 5
Los coeficientes de la i-ésima restricción del problema
dual son iguales a los coeficientes de la variable i en las
restricciones del problema primal.
El Problema Dual

19. 19
37
El Problema Dual
4321 y3y5-y2-y4 +
4321 y4yy3y12- +++
4321 y2y6yy3 −−+
Regla 5
Problema primal
1) Coeficientes tecnológicos de x1: 4, -2, -5, 3.
2) Coeficientes tecnológicos de x2: -12, 3, 1, 4.
3) Coeficientes tecnológicos de x3: 3, 1, -6, -2.
Problema dual
1) Restricción 1:
2) Restricción 2:
3) Restricción 3:
38
Regla 6
El sentido de la i-ésima restricción del problema dual es
= si y sólo si la i-ésima variable del problema primal es
irrestricta.
El Problema Dual

20. 20
39
El Problema Dual
Regla 6
Problema primal
1)
Problema dual
1) Restricción 3:
3x irrestricta
2y2y6yy3 4321 −=−−+
40
Regla 7
Si el problema primal es un modelo de maximización,
después de aplicar la regla 6, asigne a las restantes
restricciones del problema dual el mismo sentido de las
variables correspondientes del problema primal.
Si el problema primal es un modelo de minimización,
después de aplicar la regla 6, asigne a las restantes
restricciones del problema dual el sentido contrario de
las variables correspondientes del problema primal.
El Problema Dual

21. 21
41
El Problema Dual
Regla 7
Problema primal
1)
2)
Problema dual
1) Restricción 1:
2) Restricción 2:
0x1 ≥
0x2 ≤
3y3y5-y2-y4 4321 ≥+
4y4yy3y12- 4321 ≤+++
42
Regla 8
La i-ésima variable del problema dual es irrestricta si y
sólo si la i-ésima restricción del problema primal tiene
sentido de =.
El Problema Dual

22. 22
43
El Problema Dual
Regla 8
Problema primal
1) Restricción 4:
Problema dual
1)
10x2x4x3 321 =−+
4y irrestricta
44
Regla 9
Si el problema primal es un modelo de maximización,
después de aplicar la regla 8, asigne a las restantes
variables del problema dual el sentido contrario de las
restricciones correspondientes del problema primal.
Si el problema primal es un modelo de minimización,
después de aplicar la regla 8, asigne a las restantes
variables del problema dual el mismo sentido de las
restricciones correspondientes del problema primal.
El Problema Dual

23. 23
45
El Problema Dual
Regla 9
Problema primal
1) Restricción 1:
2) Restricción 2:
3) Restricción 3:
Problema dual
1)
2)
3)
12x3x12x4 321 ≤+−
40x6xx5- 321 −≥−+
6xx3x2- 321 ≤++
0y1 ≥
0y2 ≥
0y3 ≤
46
El PPL dual, resulta:
sujeto a
4321 y10y40y6y2WMin +−+=
El Problema Dual
2y2y6yy3 4321 −=−−+
3y3y5-y2-y4 4321 ≥+
4y4yy3y12- 4321 ≤+++
4y irrestricta0y1 ≥ 0y2 ≥ 0y3 ≤

24. 24
47
En el problema dual se observa que:
El Problema Dual
1) Es un modelo de Minimización
2) Tiene 4 variables, siendo el vector: [ y1 y2 y3 y4 ]T
3) Tiene 3 restricciones
4) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 2 6 -40 10 ]
5) El vector de recursos es: [ 3 4 -2 ]T
6) La matriz de coeficientes tecnológicos es:
AT =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
2613
41312
3524