1. Problemas de Selectividad de Matem´ticas
a
aplicadas a la Ciencias Sociales
Comunidad de Madrid
(Resueltos)
Isaac Musat Herv´s
a
18 de diciembre de 2012

2. 2

3. ´
Indice general
1. A˜ o 2000
n 7
1.1. Modelo 2000 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Modelo 2000 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Junio 2000 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Junio 2000 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Septiembre 2000 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6. Septiembre 2000 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. A˜ o 2001
n 27
2.1. Modelo 2001 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Modelo 2001 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Junio 2001 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Junio 2001 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Septiembre 2001 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Septiembre 2001 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. A˜ o 2002
n 47
3.1. Modelo 2002 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Modelo 2002 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Junio 2002 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Junio 2002 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5. Septiembre 2002 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Septiembre 2002 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. A˜ o 2003
n 67
4.1. Junio 2003 - Opci´n A . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Junio 2003 - Opci´n B . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Septiembre 2003 - Opci´n A . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4. Septiembre 2003 - Opci´n B . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 74
5. A˜ o 2004
n 77
5.1. Modelo 2004 - Opci´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
o
5.2. Modelo 2004 - Opci´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
o
5.3. Junio 2004 - Opci´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
o
3

4. 5.4. Junio 2004 - Opci´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 87
5.5. Septiembre 2004 - Opci´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 90
5.6. Septiembre 2004 - Opci´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 92
6. A˜ o 2005
n 97
6.1. Modelo 2005 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2. Modelo 2005 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3. Junio 2005 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4. Junio 2005 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5. Septiembre 2005 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.6. Septiembre 2005 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7. A˜ o 2006
n 117
7.1. Modelo 2006 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2. Modelo 2006 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3. Junio 2006 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4. Junio 2006 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5. Septiembre 2006 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.6. Septiembre 2006 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8. A˜ o 2007
n 133
8.1. Modelo 2007 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2. Modelo 2007 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3. Junio 2007 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.4. Junio 2007 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5. Septiembre 2007 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.6. Septiembre 2007 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9. A˜ o 2008
n 147
9.1. Modelo 2008 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2. Modelo 2008 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3. Junio 2008 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.4. Junio 2008 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.5. Septiembre 2008 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.6. Septiembre 2008 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.A˜ o 2009
n 169
10.1. Modelo 2009 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.2. Modelo 2009 - Opci´n B .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3. Junio 2009 - Opci´n A . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.4. Junio 2009 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.5. Septiembre 2009 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.6. Septiembre 2009 - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4

5. 11.A˜ o 2010
n 191
11.1. Modelo 2010 - Opci´n A .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.2. Modelo 2010 - Opci´n B . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.3. Junio 2010 - Opci´n A . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.4. Junio 2010 - Opci´n B . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.5. Septiembre 2010 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.6. Septiembre 2010 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.A˜ o 2011
n 213
12.1. Modelo 2011 - Opci´n A . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.2. Modelo 2011 - Opci´n B . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.3. Junio 2011 - Opci´n A . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.4. Junio 2011 - Opci´n B . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.5. Septiembre 2011 - Opci´n A . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.6. Septiembre 2011 - Opci´n B . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.7. Septiembre 2011 (Reserva)- Opci´n
o A . . . . . . . . . . . . . 231
12.8. Septiembre 2011 (Reserva)- Opci´n
o B . . . . . . . . . . . . . 234
13.A˜ o 2012
n 239
13.1. Modelo 2012 - Opci´n A . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 239
13.2. Modelo 2012 - Opci´n B . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 242
13.3. Junio 2012 - Opci´n A . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 246
13.4. Junio 2012 - Opci´n B . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 249
13.5. Junio 2012(coincidente) - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . 252
13.6. Junio 2012(coincidente) - Opci´n B
o . . . . . . . . . . . . . . 256
13.7. Septiembre 2012 - Opci´n A . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 259
13.8. Septiembre 2012 - Opci´n B . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 262
14.A˜ o 2013
n 267
14.1. Modelo 2013 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
14.2. Modelo 2013 - Opci´n A
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5

6. 6

7. Cap´
ıtulo 1
A˜ o 2000
n
1.1. Modelo 2000 - Opci´n A
o
Problema 1.1.1 (3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal

 x− y
 = a
x+ a2 z
= 2a + 1
 x− y+ a(a − 1)z =

2a
a) Disc´tase el sistema seg´n los distintos valores del par´metro real a.
u u a
b) Resu´lvase dicho sistema para a = 3.
e
Soluci´n:
o
a)
 
1 −1 0 a
A= 1 0 a2 2a + 1  ; |A| = a(a−1) = 0 =⇒ a = 0, a = 1
 
1 −1 a(a − 1) 2a
Si a = 0 y a = 1 =⇒ |A| = 0 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) =no de
o ´
inc´gnitas =⇒ Sistema Compatible Determinado (Soluci´n Unica).
o
Si a = 0:  
1 −1 0 0
A= 1 0 0 1 
 
1 −1 0 0
Primera y tercera fila son iguales, por lo que el Rango(A) = 2, ya
1 −1
que = 1 = 0, y por esta ultima raz´n Rango(A) = 2. En
´ o
1 0
conclusi´n, Rango(A) =Rango(A) = 2 <no de inc´gnitas =⇒ Sistema
o o
Compatible Indeterminado.
7

8. Si a = 1:
 
1 −1 0 1 −1 0 1
1 −1
A= 1 0 1 3 , =1=0 y 0 1 3 = −1 = 0
 
1 0
1 −1 0 2 −1 0 2
Por el primer menor tenemos Rango(A) = 2 y por el segundo Rango(A) =
3. Luego Rango(A) =Rango(A) =⇒ Sistema Incompatible. (No tiene
soluci´n)
o
b) Para a = 3 nos queda:
 
 x− y
 = 3  x = 5/2

x+ 9z = 7 =⇒ y = −1/2

 x− y+ 6z = 6 
 z = 1/2
Problema 1.1.2 (3 puntos)
a) Calc´lense p y q de modo que la curva y = x2 + px + q contenga al
u
ınimo en x = −3.
punto (−2, 1) y presente un m´
b) H´llese el ´rea del recinto acotado delimitado por la curva y = x2 +
a a
4x + 5 y la recta y = 5.
Soluci´n:
o
a) f (x) = x2 + px + q y f (x) = 2x + p
f (−2) = 1 =⇒ 4 − 2p + q = 1 q=9
f (−3) = 0 =⇒ −6 + p = 0 p=6
La funci´n es f (x) = x2 + 6x + 9
o
b) Calculamos las abcisas de los puntos de corte de la curvas:
x2 + 4x + 5 = 5 =⇒ x = 0, x = −4
Luego el ´rea ser´:
a a
0
S= (f (x) − g(x))dx = |F (0) − F (−4)|
−4
x3
F (x) = (x2 + 4x)dx =+ 2x2
3
32 32 2
S = |F (0) − F (−4)| = − = u
3 3
8

9. Problema 1.1.3 (2 puntos) Se sabe que el peso en kilogramos de los alum-
nos de bachillerato de Madrid, es una variable aleatoria X que sigue una
distribuci´n normal de desviaci´n t´
o o ıpica igual a 5 kg.
a) En caso de considerar muestras de 25 alumnos, ¿qu´ distribuci´n tiene
e o
la variable aleatoria media muestral X?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en m´s de 1 kg de
a
la media de la poblaci´n, con probabilidad 0,95; ¿cu´ntos alumnos se
o a
deber´ tomar en la muestra?
ıan
Soluci´n:
o
a) Tenemos N (µ, 5) distribuci´n de la poblaci´n, luego la variable aleato-
o o
ria media muestral X sigue una distribuci´n
o
σ
N X, √ = N X, 1
n
b) Tenemos E = 1, σ = 5 y zα/2 = 1,96
σ 5
E = zα/2 √ =⇒ 1 = 1,96 √ =⇒ n = 96,04
n n
Luego el tama˜o m´
n ınimo de la muestra debe ser de n = 97 alumnos.
Problema 1.1.4 (2 puntos) Si se escoge un n´mero al azar en la gu´
u ıa
telef´nica de cierta ciudad espa˜ola, la probabilidad de que sea nombre
o n
de un hombre es 0,7 y de que figure una mujer es 0,3. En dicha ciudad, la
probabilidad de que un hombre trabaje es 0,8 y de que lo haga una mujer
es 0,7. Se elige un n´mero de tel´fono al azar.
u e
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que corresponda a una persona que traba-
a
ja?
b) ¿Cu´l es la probabilidad de que corresponda a un hombre, sabiendo
a
que pertenece a una persona que trabaja?
Soluci´n:
o
9

10. a) P (T ) = 0, 7 · 0, 8 + 0, 3 · 0, 7 = 0, 77
b)
P (T |H) · P (H) 0, 8 · 0, 7
P (H|T ) = = = 0, 7272
P (T ) 0, 77
1.2. Modelo 2000 - Opci´n B
o
Problema 1.2.1 (3 puntos) Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer
un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de
que dispone no le permite hacer m´s de 50 piezas. Como mucho, el arte-
a
sano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 5 euros y por
cada pulsera 4 euros. El artesano desea determinar el n´mero de collares y
u
pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios.
a) Expr´sese la funci´n objetivo y las restricciones del problema.
e o
b) Repres´ntese gr´ficamente el recinto definido.
e a
c) Obt´ngase el n´mero de collares y pulseras correspondientes al m´ximo
e u a
beneficio.
Soluci´n:
o
a) LLamamos x al no de collares e y al no de pulseras. Las restricciones
son: 
 x + y ≤ 50

2x + y ≤ 80
 x ≥ 0, y ≥ 0

La funci´n objetivo es: z(x, y) = 5x + 4y.
o
10

11. b) El recinto ser´ el siguiente:
a
c) Los v´rtices son: (0, 50), (30, 20) y (40, 0)
e
z(0, 50) = 200
z(30, 20) = 230
z(40, 0) = 200
El artesano tiene que fabricar 30 collares y 20 pulseras para obtener
el m´ximo beneficio, que asciende a 230 euros.
a
Problema 1.2.2 (3 puntos) El n´mero de individuos, en millones, de una
u
poblaci´n, viene dado por la funci´n:
o o
15 + t2
P (t) =
(t + 1)2
donde t se mide en a˜os transcurridos desde t = 0.
n
Calc´lese:
u
a) La poblaci´n inicial.
o
b) El a˜o en que se alcanzar´ la m´
n a ınima poblaci´n. ¿Cu´l ser´ el tama˜o
o a a n
de ´sta?
e
c) ¿Cu´l ser´ el tama˜o de la poblaci´n a largo plazo?
a a n o
Soluci´n:
o
a) Si t = 0 =⇒ P (0) = 15 millones de individuos.
b)
2(t − 15)
P (t) = = 0 =⇒ t = 15
(t + 1)3
(−∞, −1) (−1, 15) (15, ∞)
P (t) + − +
P (t) Creciente Decreciente Creciente
11

12. En el punto t = −1 no hay ni m´ximo ni m´
a ınimo por dos razones, en
ese punto se anula el denominador (posible as´
ıntota vertical), y adem´sa
en ese punto no se anula la primera derivada. El unico extremo est´ en
´ a
el punto de abcisa t = 15, donde la funci´n pasa de decrecer a crecer
o
y, por tanto, se trata de un m´ınimo. Podemos asegurar que el m´ ınimo
de poblaci´n se alcaza transcurridos 15 a˜os. Esa cantidad m´
o n ınima de
individuos ser´a
f (15) = 0, 9375 =⇒ 937500 individuos
c) Esta claro que, lo que nos piden analizar es si existe alguna as´
ıntota
horizontal:
15 + t2
l´
ım = 1 =⇒ y = 1
t−→∞ (t + 1)2
A largo plazo la cantidad de poblaci´n se estabilizar´ en torno a mill´n
o a o
de individuos. Veamos una gr´fica de la funci´n:
a o
Problema 1.2.3 (2 puntos) Un examen consiste en elegir al azar dos temas
de entre los diez del programa y desarrollar uno.
a) ¿Qu´ probabilidad tiene un alumno, que sabe seis temas, de aprobar
e
el examen?
b) ¿Qu´ probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los dos
e
temas elegidos y el otro no?
Soluci´n:
o
S: Sabe el tema y N S: No se sabe el tema
4 3 13
a) P ( sabe alguno) = 1 − P (no sabe ninguno) = 1 − · =
10 9 15
12

13. 6 4 4 6 8
b) P ( sabe uno y el otro no) = P (S, N S)+P (N S, S) = · + · =
10 9 10 9 15
Problema 1.2.4 (2 puntos) Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido
por los participantes ol´
ımpicos de la prueba de 100 metros, en la modalidad
de Decathlon, es una variable aleatoria que sigue una distribuci´n normal
o
con media 12 segundos y desviaci´n t´
o ıpica 1,5 segundos. Para contrastar,
con un nivel de significaci´n de 5 %, si no ha variado el tiempo medio en
o
la ultima Olimpiada, se extrajo una muestra aleatoria de 10 participantes y
´
se anot´ el tiempo obtenido por cada uno, con los resultados siguientes, en
o
segundos:
13 12 11 10 11 11 9 10 12 11
a) ¿Cu´les son la hip´tesis nula y la alternativa del contraste?
a o
b) Determ´
ınese la regi´n cr´
o ıtica.
c) Real´
ıcese el contraste.
Soluci´n:
o
Tenemos N (µ, σ) = N (12, 1,5), X = 11, n = 10 y zα/2 = 1,96
a)
H0 : µ = 11
H1 : µ = 11
El intervalo de aceptaci´n de la hip´tesis nula es
o o
σ
µ ± zα/2 √ = 12 ± 0,0207 = (11,0703, 12,9297)
n
o ıtica ser´ el intervalo (−∞, 11,0703) ∪ (12,9297, ∞)
b) La regi´n cr´ ıa
c) No se acepta la hip´tesis ya que la media muestral pertenece a la regi´n
o o
cr´
ıtica.
1.3. Junio 2000 - Opci´n A
o
Problema 1.3.1 (3 puntos) Siendo a un n´mero real cualquiera, se define
u
el sistema 
 x+ 2y− az = 1

− y+ z = 0

 ax+ z=a
a) Disc´tase dicho sistema en funci´n del valor de a
u o
b) Encu´ntrese todas las soluciones para a = 1
e
13

14. Soluci´n:
o
a)
 
1 2 −a 1
A =  0 −1 1 0  ; |A| = −a2 + 2a − 1 = 0 =⇒ a = 1
 
a 0 1 a
Si a = 1 =⇒ |A| = 0 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) =no de inc´gnitas
o
o ´
=⇒ Sistema Compatible Determinado (Soluci´n Unica).
Si a = 1:  
1 2 −1 1
A =  0 −1 1 0 
 
1 0 1 1
Primera y cuarta columna son iguales, por lo que el Rango(A) = 2, ya
1 2
que = −1 = 0, y por esta ultima raz´n Rango(A) = 2. En
´ o
0 −1
conclusi´n, Rango(A) =Rango(A) = 2 <no de inc´gnitas =⇒ Sistema
o o
Compatible Indeterminado.
b) Para a = 1, despreciamos la ultima ecuaci´n y nos queda
´ o

 x=1−t
x+ 2y− z = 1 
=⇒ y=t
− y+ z = 0 
 z=t
Problema 1.3.2 (3 puntos) Se considera la funci´n
o
x+2


 si x ≤ 2
x−1



f (x) =
 3x2 − 2x



 si x > 2
x+2
a) Est´diese si f (x) es continua en x = 2.
u
b) Calc´lese la ecuaci´n de la recta tangente a f (x) en el punto x = 3.
u o
c) Calc´lense sus as´
u ıntotas oblicuas.
Soluci´n:
o
a)
x+2
l´
ım f (x) = l´
ım =4
x−→ 2− x−1
x−→ 2−
3x2 − 2x
l´
ım f (x) = l´ ım =2
x−→ 2+ x−→ 2− x + 2
Luego la funci´n es discontinua no evitable en x = 2 (hay un salto).
o
14

15. b)
3x2 − 2x 21
Si x = 3 =⇒ f (x) = =⇒ f (3) =
x+2 5
3x2 + 12x − 4 59
f (x) = 2
=⇒ f (3) =
(x + 2) 25
La recta tangente ser´:
a
21 59
y− = (x − 3)
5 25
c) Cuando x > 2 : La ecuaci´n es y = mx + n
o
f (x) 3x2 − 2x
m = l´
ım = l´
ım =3
x−→ ∞ x x−→ ∞ x2 + 2x
−8x
n = l´ (f (x) − x) = l´
ım ım = −8
x−→ ∞ x−→ ∞ x + 2
Luego en esta rama la recta y = 3x − 8 es una as´
ıntota oblicua.
Cuando x ≤ 2 :
x+2
l´
ım =1
x−→ −∞ x − 1
luego tiene una as´
ıntota horizontal en y = 1 y, por tanto, no hay
oblicuas.
Problema 1.3.3 (2 puntos) De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se
extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas.
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que las bolas extra´
a ıdas sean blancas?
b) Si la segunda bola ha sido negra, ¿cu´l es la probabilidad de que la
a
primera tambi´n lo haya sido?
e
Soluci´n:
o
2 3 2
a) P (BB) = · =
3 5 5
15

16. b)
1 1
P (2a N |1a N )P (1a N ) 3 · 5 1
P (1a N |2a N ) = = 2 2 1 1 =
P (2a N ) 3 · 5 + 3 · 5
5
Problema 1.3.4 (2 puntos) En una comunidad aut´noma se estudia el
o
n´mero medio de hijos a partir de los datos disponibles en cada municipio.
u
Se supone que este n´mero sigue un distribuci´n normal con desviaci´n t´
u o o ıpi-
ca igual a 0,08. El valor medio de estos datos para 36 municipios resulta ser
igual a 1,17 hijos por mujer. Se desea contratar, con un nivel de significaci´n
o
de 0,01, si el n´mero medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1,25.
u
Soluci´n:
o
Tenemos X = 1,25, σ = 0,08, n = 36 y zα/2 = 2,575 =⇒
σ σ
IC = X − zα/2 √ , X + zα/2 √ = (1,216, 1,284)
n n
Como la media a contrastar 1,17 est´ fuera del intervalo, rechazamos que la
a
media pueda valer 1,25.
1.4. Junio 2000 - Opci´n B
o
Problema 1.4.1 (3 puntos) Una empresa especializada en la fabricaci´n de
o
mobiliario para casa de mu˜ecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que
n
vende a 20 euros y 30 euros, respectivamente. Desea saber cu´ntas unidades
a
de cada art´ıculo debe de fabricar diariamente un operario para maximizar
los ingresos, teni´ndose las siguientes restricciones:
e
El n´mero total de unidades de los dos tipos no podr´ exceder de 4 por
u a
d´ y operario.
ıa
Cada mesa requiere dos horas para su fabricaci´n; cada silla, 3 horas. La
o
jornada laboral m´xima es de 10 horas.
a
El material utilizado en cada mesa cuesta 4 euros. El utilizado en cada
silla cuesta 2 euros. Cada operario dispone de 12 euros diarios de material.
a) Expresa la funci´n objetivo y las restricciones del problema.
o
b) Representa gr´ficamente la regi´n factible y calcula los v´rtices de la
a o e
misma.
c) Razona si con estas restricciones un operario puede fabricar diaria-
mente una mesa y una silla, y si esto le conviene a la empresa.
16

17. d) Resuelve el problema
Soluci´n:
o
a) LLamamos x al no de mesas e y al no de sillas. Las restricciones son:

 x+y ≤4


 2x + 3y ≤ 10
 2x + y ≤ 6



x ≥ 0, y ≥ 0
La funci´n objetivo es: z(x, y) = 20x + 30y.
o
Los v´rtices son: (0, 10/3), (2, 2) y (3, 0):
e
b) El dibujo es el siguiente:
c) El punto (1, 1) est´ dentro de la regi´n factible, por lo que si es posible
a o
que un operario fabrique una silla y una mesa en un d´ pero no es en
ıa,
este punto en el que se obtendr´ un m´ximo beneficio y, por tanto,
ıa a
no ser´ del inter´s de la empresa.
a e
d)
z(0, 10/3) = 100
z(2, 2) = 100
z(3, 0) = 60
Como el n´mero de sillas y mesas producidas tiene que ser un n´mero
u u
entero la soluci´n ser´ dos sillas y dos mesas.
o ıa
17

18. Problema 1.4.2 (3 puntos) Sea la funci´n dependiente de los par´metros
o a
a y b. 
 −2x − a si
 x≤0
f (x) = x − 1 si 0 < x ≤ 2
 bx − 5 si

x>0
a) Halla los valores de a y b para que la funci´n sea continua en el conjunto
o
R de los n´meros reales.
u
b) Representa gr´ficamente para los valores a = 0 y b = 3.
a
c) Para los valores a = 0 y b = 3, halla el ´rea de la regi´n plana acotada
a o
limitada por la gr´fica de la funci´n, el eje de abcisas y las rectas x = 1
a o
y x = 3.
Soluci´n:
o
a) En x = 0:

 ım f (x) = l´ (−2x − a) = −a
l´ ım
x−→ 0− x−→ 0
=⇒ a = 1
 ım f (x) = l´ (x − 1) = −1
l´ ım
x−→ 0+ x−→ 0
En x = 2:

 ım f (x) = l´ (x − 1) = 1
l´ ım
x−→ 2− x−→ 2
=⇒ b = 3
 ım f (x) = l´ (bx − 5) = 2b − 5
l´ ım
x−→ 2+ x−→ 2
b) La representaci´n ser´
o ıa:
Para a = 0 y b = 3:

 −2x
 si x≤0
f (x) = x − 1 si 0 < x ≤ 2
−5 si

 x>0
18

19. c)
2 3
2 3 x2 3x2
S= (x − 1) dx + (3x − 5) dx = −x + − 5x = 3 u2
1 2 2 1
2 2
Problema 1.4.3 (2 puntos) Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:
P (A) = 0, 6; P (B) = 0, 2 y P (A ∪ B) = 0, 7.
a) Calcula P (A ∩ B) y razona si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcula P (A ∪ B).
Soluci´n:
o
a) P (A ∪ B) = P (A ∩ B) = 1 − P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0, 7 = 0, 3
Este resultado no es bueno, ya que siempre se tiene que cumplir que
la probabilidad P (B) ≥ P (A ∩ B). (Problema de dise˜o)
n
Para que sean independientes P (A ∩ B) = P (A) · P (B) y con los
datos que tenemos es imposible hacerlo.
b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) no se puede hacer con los datos
que tenemos.
Problema 1.4.4 (2 puntos) Una variable aleatoria X tiene distribuci´n
o
normal, siendo su desviaci´n t´
o ıpica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tama˜o 16, ¿qu´ distribuci´n sigue la
n e o
variable aleatoria media muestral?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en m´s de 1 unidad de
a
la media de la poblaci´n, con probabilidad de 0,99, ¿cu´ntos elementos,
o a
como m´ ınimo, se deber´ tomar en la muestra?
ıan
Soluci´n:
o
a) Tenemos
σ 3
N µ, √ = N µ, √ = N (µ, 0,75)
n 16
b)
zα/2 = 2, 575
σ 3
E = zα/2 √ =⇒ 1 = 2, 575 · √ =⇒ n = 59, 68
n n
Luego n = 60
19

20. 1.5. Septiembre 2000 - Opci´n A
o
Problema 1.5.1 (3 puntos) Una empresa desea disponer de dinero en efec-
tivo en euros, d´lares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas
o
ha de ser igual a 264000euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en
euros sea el doble del valor del dinero en d´lares, y que el valor del dinero
o
en libras esterlinas sea la d´cima parte del dinero en euros...
e
Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un d´lar es igual a
o
1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, d´lares y libras esterlinas
o
que la empresa ha de tener disponible.
Soluci´n:
o
LLamamos x a la cantidad de euros, y a la cantidad de d´lares y z a la
o
cantidad de libras esterlinas. Tenemos:
 
 x + 1, 1y + 1, 5z = 264000
  10x+
 11y+ 15z = 2640000
x = 2, 2y =⇒ 10x− 22y = 0 =⇒
 
 1, 5z = x/10  x− 15z = 0

 x = 165000 euros

y = 75000 dolares

 z = 11000 libras
Problema 1.5.2 (3 puntos) Dada la funci´n definida en los n´meros reales
o u
salvo en x = 0
2
f (x) = 3 − x −
x
Calcular
a) Las coordenadas de sus m´ximos y m´
a ınimos relativos.
b) El ´rea de la regi´n plana acotada limitada por la gr´fica de f (x) y el
a o a
semieje OX.
Soluci´n:
o
a)
2 √
f (x) = −1 + 2 = 0 =⇒ x = ± 2
x
√ √ √ √
(−∞, − 2) (− 2, 2) ( 2, ∞)
f (x) − + −
f (x) decreciente creciente decreciente
20

21. √ √ √ √
ınimo y en (− 2, 3 − 2 2) hay un
Luego en (− 2, 3 + 2 2) hay un m´
m´ximo.
a
b) La funci´n corta con el eje de abcisas en los puntos:
o
2
3−x− = 0 =⇒ x = 1, x = 2
x
Los l´
ımites de integraci´n ser´n los extremos del intervalo (1, 2).
o a
2
2 2 x2 3
S= 3−x− dx = 3x − − 2 ln |x| = − 2 ln 2
1 x 2 1
2
Problema 1.5.3 (2 puntos) La probabilidad de que un mes dado un cliente
de una gran superficie compre un producto A es 0,6; la probabilidad de que
compre un producto B es 0,5. Se sabe tambi´n que la probabilidad de que
e
un cliente compre un producto B no habiendo comprado el producto A es
0,4.
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que un cliente haya comprado s´lo el pro-
a o
ducto B?
b) ¿Cu´l es la probabilidad de que un cliente no haya comprado ninguno
a
de los dos productos?
Soluci´n:
o
P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 5, P (B|A) = 0, 4
P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 5
21

22. a) Hay que calcular P (B ∩ A)
P (B ∩ A)
P (B|A) = =⇒ P (B∩A) = P (B|A)·P (A) = 0, 4·0, 4 = 0, 16
P (A)
b) Hay que calcular P (A ∩ B) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B)
P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B) = P (A)+P (B∩A) = 0, 6+0, 16 = 0, 76
P (A ∩ B) = 1 − 0, 76 = 0, 24
Problema 1.5.4 (2 puntos) El n´mero de reclamaciones presentadas du-
u
rante la campa˜a de Navidad en 9 tiendas de una empresa ha sido:
n
25 31 28 30 32 20 22 34 30
Se acepta que estos n´meros de reclamaciones sigue una distribuci´n nor-
u o
mal con desviaci´n t´
o ıpica igual a 5. Se desea contrastar si el n´mero de
u
reclamaciones es 26, con un nivel de significaci´n de 0,05.
o
a) Plant´ese cu´les son la hip´tesis nula y la alternativa de contraste.
e a o
b) Determ´
ınese la regi´n cr´
o ıtica de contraste.
c) ¿Es posible aceptar la hip´tesis con el nivel de significaci´n indicado?
o o
Soluci´n:
o
a) Las hip´tesis ser´
o ıan:
H0 : µ = 26
H1 : µ = 26
b) Tenemos µ = 28, σ = 5, n = 9 y zα/2 = 1,96 El intervalo de confianza
para la media poblacional ser´
ıa
σ σ
µ − zα/2 √ , µ + zα/2 √ = (22,733, 29,267)
n n
o ıtica ser´ el intervalo (−∞, 22,733) ∪ (29,267, ∞)
La regi´n cr´ ıa
c) Como la media a contrastar 28 est´ dentro del intervalo, aceptamos
a
que la media pueda valer 26.
22

23. 1.6. Septiembre 2000 - Opci´n B
o
Problema 1.6.1 (3 puntos).Una empresa que sirve comidas preparadas
tiene que dise˜ar un men´ utilizando dos ingredientes. El ingrediente A
n u
contiene 35 g de grasas y 150 Kilocalor´ por cada 100 g de ingrediente,
ıas
mientras que el B contiene 15 g de grasas y 100 Kilocalor´ por cada 100
ıas
g. El coste es de 1,5 euros por cada 100 g. del ingrediente A y de 1 euros
por cada 100 g del ingrediente B.
El men´ a dise˜ar deber´ contener no m´s de 30 g de grasas y al menos 110
u n ıa a
Kilocalor´ por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones
ıas
de cada ingrediente a emplear en el men´ de manera que su coste sea lo m´s
u a
reducido posible.
a) Ind´
ıquese la expresi´n de las restricciones y la funci´n objetivo.
o o
b) Repres´ntese gr´ficamente la regi´n delimitada por las restricciones.
e a o
c) Calc´lese el porcentaje ´ptimo de cada ingrediente a incluir en el men´.
u o u
Soluci´n:
o
a) LLamamos x a la cantidad de A e y a la cantidad de B. Hacemos la
siguiente tabla
Grasas Kcal Coste
A 35 150 1, 5
B 15 100 2
≤ 30 ≥ 110
Las restricciones son:
 
 35x + 15y ≤ 30
  7x + 3y ≤ 6

150x + 100y ≥ 110 =⇒ 15x + 10y ≥ 11
 x ≥ 0, y ≥ 0
  x ≥ 0, y ≥ 0

La funci´n objetivo es: z(x, y) = 1, 5x + y.
o
Los v´rtices son: (0, 2), (6/7, 0),(0, 11/10) y (11/15, 0):
e
b) El dibujo es el siguiente:
c)
z(0, 2) = 4
z(6/7, 0) = 1, 28
z(0, 11/10) = 1, 1
z(11/15, 0) = 1, 1
23

24. El valor m´ınimo es cualquier punto de la recta 15x + 10y = 11. Para
obtener el porcentaje hacemos el sistema
15x + 10y = 11 x = 0, 2 x = 20 %
=⇒ =⇒
x+y =1 y = 0, 8 y = 80 %
La proporci´n buscada ser´ el 20 % de A y el 80 % de B.
o ıa
Problema 1.6.2 (3 puntos) Dada la funci´n
o
340 + 330t − 10t2
s(t) =
t+2
definida en los reales, salvo en t = −2
a) El valor positivo de t en el que se hace cero la funci´n
o
b) El valor positivo de t en el que s(t) se hace m´ximo.
a
c) Las as´
ıntotas de s(t).
Soluci´n:
o
a)
340 + 330t − 10t2
= 0 =⇒ t = −1, t = 34
t+2
El valor pedido es t = 34.
b)
10(t2 + 4t − 32)
s (t) = − = 0 =⇒ t = −8, t = 4
(t + 2)2
24

25. El valor positivo ser´ t=4, pero hay que comprobar si es m´ximo:
ıa a
(−∞, −8) (−8, 4) (4, ∞)
s (x) − + −
s(x) decrece crece decrece
En el punto t = 4 la funci´n pasa de crecer a decrecer y, por tanto,
o
estamos ante un m´ximo.
a
c) Verticales en t = −2:
340 + 330t − 10t2 −360


 l´
ım = = +∞
t+2 0−

t−→ −2−
340 + 330t − 10t2 −360
= −∞


 l´
ım =
t−→ −2+ t+2 0+
Horizontales no hay
340 + 330t − 10t2
l´
ım =∞
x−→ ∞ t+2
Oblicuas y = mt + n
340 + 330t − 10t2
m = l´
ım = −10
t−→ ∞ t2 + 2t
340 + 330t − 10t2
n = l´
ım + 10t = 350
t−→ ∞ t+2
y = −10t + 350
Problema 1.6.3 (2 puntos) Una empresa emplea tres bufetes de abogados
para tratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso se deba remitir
al bufete A es 0,3; de que se remita al bufete B es 0,5 y de que se remita
al bufete C es 0,2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea
ganado en los tribunales es 0,6; para el bufete B esta probabilidad es 0,8 y
para el bufete C es 0,7.
a) Calc´lese la probabilidad de que la empresa gane un caso.
u
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determ´
ınese la probabilidad de
que lo haya llevado el bufete A.
Soluci´n:
o
a) P (G) = 0, 3 · 0, 6 + 0, 5 · 0, 8 + 0, 2 · 0, 7 = 0, 72
b)
P (G|A) · P (A) 0, 3 · 0, 6
P (A|G) = = 0, 25
P (G) 0, 72
25

26. Problema 1.6.4 (2 puntos) Se supone que los gastos corrientes de los em-
pleados de los distintos departamentos de una empresa siguen una distribu-
ci´n normal con desviaci´n t´
o o ıpica de 300 euros.
De los datos disponibles para 16 departamentos se ha obtenido un gasto
medio por empleado de 2750 euros. Determ´ ınese un intervalo de confianza
al 99 % para el gasto corriente medio por empleado en la empresa.
Soluci´n:
o
X = 2750, σ = 300, n = 16, zα/2 = 2, 575
σ σ
IC = X − zα/2 √ , X − zα/2 √ = (2556,875, 2943,125)
n n
26

27. Cap´
ıtulo 2
A˜ o 2001
n
2.1. Modelo 2001 - Opci´n A
o
2 1 2 −1
Problema 2.1.1 (3 puntos) Sean las matrices A = yB =
3 2 −3 2
a) Compru´bese que B es la inversa de A.
e
b) Calc´lese la matriz (A − 2I)2 .
u
c) Calc´lese la matriz X tal que AX = B.
u
Soluci´n:
o
a)
(Adjt(A))T 2 −1
A−1 = =
|A| −3 2
b)
2 2
2 1 2 0 0 1 3 0
(A−2I)2 = − = = = 3I
3 2 0 2 3 0 0 3
c)
7 −4
AX = B =⇒ X = A−1 B = B 2 =
−12 7
Problema 2.1.2 (3 puntos) El n´mero total de bacterias (en miles) pre-
u
sentes en un cultivo despu´s de t horas viene dado por N (t) = 2t(t−10)2 +50.
e
a) Calc´lense la funci´n derivada N (t).
u o
b) Durante las 10 primeras horas, ¿en qu´ instantes se alcanzan la poblaci´n
e o
m´xima y m´
a ınima?
27

28. c) Esb´cese la gr´fica de N (t) en el intervalo [0, 10].
o a
Soluci´n:
o
a) N (t) = 2(3t2 − 40t + 100)
b) N (t) = 2(3t2 − 40t + 100) = 0 =⇒ t = 10 y t = 10/3:
(0, 10/2) (10/2, 10) (10, ∞)
N (t) + − +
N (t) Crece Decrece Crece
Luego la funci´n tiene un m´ximo en el punto (3,33, 346,296) y un
o a
m´
ınimo en el punto (10, 50).
c) La representaci´n gr´fica es
o a
Problema 2.1.3 (2 puntos) En una ciudad, la probabilidad de que uno de
sus habitantes censados vote al partido A es 0,4; la probabilidad de vote al
partido B es 0,35 y la probabilidad de que vote al partido C es 0,25. Por otro
lado, las probabilidades de que un votante de cada partido lea diariamente
alg´n peri´dico son, respectivamente, 0,4; 0,4 y 0,6. Se elige una persona de
u o
la ciudad al azar:
a) Calc´lese la probabilidad de que lea alg´n peri´dico.
u u o
b) La persona elegida lee alg´n peri´dico, ¿cu´l es la probabilidad de que
u o a
sea votante del partido B?
Soluci´n:
o
28

29. a) P (L) = 0, 4 · 0, 4 + 0, 35 · 0, 4 + 0, 0, 25 · 0, 6 = 0, 45
b)
P (L|B) · P (B) 0, 4 · 0, 35
P (B|L) = = = 0, 3111
P (L) 0, 45
Problema 2.1.4 (2 puntos) Un investigador afirma que las horas de vuelo
de cierto tipo de aviones comerciales se distribuye normalmente, con una me-
dia de 200000 horas y una desviaci´n t´
o ıpica de 20000 horas. Para comprobar
la veracidad de sus hip´tesis, obtuvo una muestra aleatoria de 4 aviones de
o
distintas compa˜´ a´reas, fuera ya de servicio, y anot´ el n´mero de horas
nıas e o u
de vuelo de cada uno, resultando los siguientes datos (en miles de horas):
150 320 270 140
a) Plant´ese cu´les son la hip´tesis nula y la altenativa de contraste.
e a o
b) Real´
ıcese el contraste con un nivel de significaci´n del 5 %.
o
Soluci´n:
o
Tenemos N (µ, σ) = N (200000, 20000), X = 220000, n = 4 y zα/2 = 1,96
a)
H0 : µ = 220000
H1 : µ = 220000
El intervalo de aceptaci´n de la hip´tesis nula es
o o
σ
µ ± zα/2 √ = 200000 ± 19600 = (180400, 219600)
n
b) La regi´n cr´
o ıtica ser´ el intervalo (−∞, 180400) ∪ (219600, ∞). No
ıa
se acepta la hip´tesis ya que la media muestral pertenece a la regi´n
o o
cr´
ıtica.
29

30. 2.2. Modelo 2001 - Opci´n B
o
Problema 2.2.1 (3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal:
mx + my = 6
x + (m − 1)y = 3
a) Disc´tase el sistema seg´n los distintos valores del par´metro real m.
u u a
b) Res´elvase dicho sistema para m = 2:
u
Soluci´n:
o
a)
m m 6
A= , |A| = m(m − 2) = 0 =⇒ m = 0, m = 2
1 m−1 3
Si m = 0 y m = 2 =⇒ |A| = 0 =⇒ rango(A) = 2 =Rango(A) =
no de inc´gnitas =⇒ Sistema Compatible Determinado. (Soluci´n
o o
unica)
´
Si m = 0:
0 0 6 0 6
A= , |A| = 0, = 6 = 0 =⇒
1 −1 3 −1 3
Rango(A) = 1 y Rango(A) = 2 =⇒ Rango(A) =Rango(A) =
2 =⇒ Sistema Incompatible. (No tiene soluci´n)
o
Si m = 2:
2 2 6
A=
1 1 3
La segunda fila es igual a la primera multiplicada por dos, luego
Rango(A) = 1 =Rango(A) < no de inc´gnitas =⇒ Sistema Com-
o
patible Indeterminado. (Infinitas soluciones)
x=3−λ
b) Para m = 2 tenemos la ecuaci´n x + y = 3 =⇒
o
y=λ
Problema 2.2.2 (3 puntos) La gr´fica de la funci´n f (x) = ax3 + bx + c
a o
satisface las siguientes propiedades:
Pasa por (0, 0)
ınimo local en (1, −1)
Tiene m´
a) Obt´ngase el valor de los coeficientes a, b y c.
e
30

31. b) H´llese el ´rea de la regi´n plana acotada limitada por la gr´fica de
a a o a
g(x) = x3 − 4x, el eje de abcisas y las rectas x = 3 y x = 4.
Soluci´n:
o
a) Tenemos f (x) = ax3 + bx + c y f (x) = 3ax2 + b
Pasa por (0, 0) =⇒ f (0) = 0 =⇒ c = 0
ınimo local en (1, −1):
Tiene m´
• Pasa por (1, −1) =⇒ f (1) = −1 =⇒ a + b + c = −1
• Tiene m´
ınimo local en x = 1 =⇒ f (1) = 0 =⇒ 3a + b = 0
Luego
 
 c=0  c=0
  1 3
a + b + c = −1 =⇒ a = 1/2 =⇒ f (x) = x3 − x
  b = −3/2
 2 2
 3a + b = 0
b) Primero encontramos los puntos de corte de g en el intervalo [3, 4]:
g(x) = x3 − 4x = 0 =⇒ x = 0, x = ±2 =⇒ No hay ninguno. Luego
4
4
3 x4 119 119 2
S= (x − 4x)dx = − 2x2 = = u
3 4 3
4 4
Problema 2.2.3 (2 puntos) Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 bolas
rojas y 2 bolas negras. Se considera el experimento aleatorio consistente en
extraer tres bolas de la urna, de forma sucesiva y sin reemplazamiento. Sean
los sucesos B1 = { La primera bola es blanca }, B2 = { La segunda bola es
blanca } y B3 = { La tercera bola es blanca }.
31

32. a) Expresese con ellos el suceso { Las bolas extra´
ıdas en primer y tercer
lugar son blancas, y la extraida en segundo lugar no }.
b) Calc´lese la probabilidad del suceso { Las tres bolas son del mismo
u
color }.
Soluci´n:
o
a) B1 ∩ B2 ∩ B3 .
b) P (tres bolas son del mismo color) = P (B1 ∩B2 ∩B3 )+P (R1 ∩R2 ∩R3 ) =
7 6 5 3 2 1 9
· · + · · =
12 11 10 12 11 10 55
Problema 2.2.4 (2 puntos) El tiempo de vida de una clase de depuradoras
de agua utilizadas en una planta industrial se distribuye normalmente, con
una desviaci´n t´
o ıpica de 2000 horas. En un ensayo realizado con una muestra
aleator´ de 9 depuradoras, se obtubieron los siguientes tiempos de vida en
ıa
miles de horas
9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18
a) H´llese un intervalo de confianza al 99 % para la vida media de las
a
depuradoras.
b) C´culese el tama˜o m´
a n ınimo que deber´ tener la muestra, en el caso
ıa
de admitir un error m´ximo de 500 horas, con un grado de confianza
a
del 95 %:
Soluci´n:
o
a) Tenemos N (µ, 2000), X = 14000, n = 9 y zα/2 = 2,575. El intervalo
de confianza es
σ
X ± zα/2 √ = (12283,33, 15716,667)
n
b) Tenemos N (µ, 2000), E = 500 y zα/2 = 1,96:
σ
E = zα/2 √ =⇒ n = 61,4656
n
Luego, el tama˜o m´
n ınimo que debe de tener la muestra es de n = 62.
32

33. 2.3. Junio 2001 - Opci´n A
o
Problema 2.3.1 (3 puntos) Consid´rese el sistema de ecuaciones depen-
e
dientes del par´metro real a:
a

 ax+
 y+ z = 1
x+ ay+ z = a
y+ az = a2

 x+
a) Disc´tase el sistema seg´n los valores de a
u u
b) Resu´lvase el sistema para a = −1
e
Soluci´n:
o
a)
 
a 1 1 1
A =  1 a 1 a  ; |A| = a3 − 3a + 2 = 0 =⇒ a = 1, a = −2
 
1 1 a a2
Si a = 1 y a = −2 =⇒ |A| = 0 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) =no de
o ´
inc´gnitas =⇒ Sistema Compatible Determinado (Soluci´n Unica).
o
Si a = 1:  
1 1 1 1
A= 1 1 1 1 
 
1 1 1 1
Las tres filas son iguales, por lo que el Rango(A) = 1 =Rango(A) <no
de inc´gnitas =⇒ Sistema Compatible Indeterminado.(La soluci´n de-
o o
pende de dos par´metros)
a
Si a = −2:  
−2 1 1 1
A =  1 −2 1 −2 
 
1 1 −2 4
−2 1
Tenemos que |A| = 0 pero = 3 = 0 =⇒ Rango(A) = 2.
1 −2
Por otro lado el menor
1 1 1
−2 1 −2 =9=0
1 −2 4
Luego Rango(A) = 3 =Rango(A) =⇒ Sistema Incompatible. (No tiene
soluci´n)
o
33

34. b) Para a = −1, como hemos visto, es compatible determinado
 
 −x+
 y+ z = 1  x=0

x− y+ z = −1 =⇒ y=1
 
 x+ y− z = 1  z=0
Problema 2.3.2 (3 puntos) Una empresa fabrica cajas de lat´n sin tapa
o
de volumen 500 cm3 , para almacenar un l´ ıquido colorante. Las cajas tienen
base cuadrada. Hall´nse la altura y el lado de la base de cada caja para que
e
la cantidad de lat´n empleada en fabricarlas sea la m´
o ınima posible.
Soluci´n:
o
500
V = x2 y = 500 =⇒ y =
x2
2000
S(x, y) = x2 + 4xy =⇒ S(x) = x2 +
x
2000
S (x) = 2x − = 0 =⇒ x = 10
x2
Comprobamos que es un m´
ınimo por la segunda derivada
4000
S (x) = 2 − =⇒ S (10) = 6 > 0
x3
Luego se trata de un m´
ınimo en x = 10. Las cajas tendr´n de dimensiones:
a
x = 10 cm e y = 5 cm.
Problema 2.3.3 (2 puntos) Una fabrica produce tres modelos de coche: A,
B y C. Cada uno de los modelos puede tener motor de gasolina o diesel.
Sabemos que el 60 % de los modelos son del tipo A y el 30 % del tipo B.
El 30 % de los coches fabricados tienen motor diesel, el 30 % de los coches
34

35. de modelo A son de tipo diesel y el 20 % de los coches del modelo B tienen
motor diesel. Se elige un coche al azar. Se piden las probabilidades de los
siguientes sucesos:
a) El coche es del modelo C.
b) El coche es del modelo A, sabiendo que tiene motor diesel.
c) El coche tiene motor diesel, sabiendo que es del modelo C.
Soluci´n:
o
Hacemos la siguiente tabla
A B C Total
Gasolina 0, 42 0, 24 0, 04 0, 70
Diesel 0, 18 0, 06 0, 06 0, 30
Total 0, 60 0, 30 0, 10 1
a) P (C) = 0, 1
0, 18
b) P (A|Diesel) = = 0, 6
0, 3
0, 06
c) P (Diesel|C) = = 0, 6
0, 1
Problema 2.3.4 (2 puntos) Un establecimiento vende paquetes de carb´n o
para barbacoa de peso te´rico 10 kg. Se supone que el peso de los paquetes
o
sigue una distribuci´n normal con desviaci´n t´
o o ıpica 1 kg. Para contrastar la
citada hip´tesis, frente a que el peso te´rico sea distinto de 10 kg, se escogen
o o
al azar 4 paquetes que pesan en kilogramos, respectivamente:
8 10 9 8
Se desea que la probabilidad de aceptar la hip´tesis nula, cuando esta es
o
cierta, sea 0,95. Se pide:
a) La regi´n cr´
o ıtica de contraste.
b) ¿Se debe rechazar la hip´tesis nula?
o
Soluci´n:
o
a) La media de la muestra vale x = 8,75, la media de la poblaci´n µ = 10,
o
σ = 1, n = 4 y zα/2 = 1,96. Calculamos un intervalo de aceptaci´n o
para la media µ y comprobamos si la media muestral est´ dentro de
a
´l.
e
σ σ
µ − zα/2 √ , µ + zα/2 √ = (9,02, 10,98)
n n
35

36. Las hip´tesis ser´
o ıan:
H0 : µ = 10
H1 : µ = 10
b) Como la media x = 8,75 ∈ (9,02, 10,98) =⇒ no podemos aceptar la
/
hip´tesis de que el peso medio de los paquetes sea de 10 kg.
o
2.4. Junio 2001 - Opci´n B
o
Problema 2.4.1 (3 puntos) En un dep´sito se almacenan bidones de pe-
o
tr´leo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener al-
o
macenados un m´ ınimo de 10 bidones de petr´leo y 20 de gasolina. Siempre
o
debe haber m´s bidones de gasolina que de petr´leo, siendo la capacidad
a o
del dep´sito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en
o
inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bid´n deo
petr´leo es de 20 c´ntimos y el de uno de gasolina es de 30 c´ntimos. Se
o e e
desea saber cu´ntos bidones de cada clase han de almacenarse para que el
a
gasto de almacenaje sea m´ınimo.
a) Expr´sense la funci´n objetivo y las restricciones del problema.
e o
b) Repres´ntese gr´ficamente la regi´n factible y calc´lense los v´rtices
e a o u e
de la misma.
c) Resu´lvase el problema
e
Soluci´n:
o
a) LLamamos x al no de bidones de petr´leo e y al no de bidones de
o
gasolina. Las restricciones son:

 x ≥ 10


 y ≥ 20
 y≥x



50 ≤ x + y ≤ 200
La funci´n objetivo es: z(x, y) = 20x + 30y.
o
Los v´rtices son: (10, 190), (100, 100), (25, 25) y (10, 40):
e
b) Repres´ntaci´n de la regi´n factible
e o o
36

37. c)
z(10, 190) = 5900
z(100, 100) = 5000
z(25, 25) = 1250
z(10, 40) = 1400
El m´ınimo est´ en el punto (25, 25), pero no es v´lida, ya que tiene que
a a
haber m´s bidones de gasolina que de petr´leo. Buscamos una soluci´n
a o o
pr´xima a este punto en el punto (25, 26) en el que z(25, 26) = 1280
o
c´ntimos que sigue siendo una soluci´n m´
e o ınima y que corresponde a
25 bidones de petr´leo y 26 bidones de gasolina.
o
Problema 2.4.2 (3 puntos) Dada la funci´n
o
1 1
f (x) = x3 + x2 − 2x + 1
3 2
a) Determ´
ınense sus m´ximos y m´
a ınimos relativos.
b) Calc´lense sus puntos de inflexi´n.
u o
c) Esb´cese su gr´fica.
o a
Soluci´n:
o
a)
f (x) = x2 + x − 2 = 0 =⇒ x = 1, x = −2
1

 f (1) = 3 > 0 =⇒ =⇒ M´
 inimo 1, −
6



f (x) = 2x + 1 =⇒


 f (−2) = −3 < 0 =⇒ =⇒ M´ximo 13
a −2,


3
37

38. b)
1
f (x) = 2x + 1 = 0 =⇒ x = −
2
1
f (x) = 2 =⇒ f − =2=0
2
1 25
Luego la funci´n tiene un punto de inflexi´n en el punto
o o − ,
2 12
c) la gr´fica es
a
Problema 2.4.3 (2 puntos) Tres m´quinas A, B y C fabrican tornillos.
a
En una hora, la m´quina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100. Las
a
probabilidades de que las m´quinas produzcan tornillos defectuosos son,
a
respectivamente, de 0,01 para A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al
finalizar una hora se juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al
azar.
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que no sea defectuoso?
a
b) ¿Cu´l es la probabilidad de que lo haya fabricado la m´quina A, sa-
a a
biendo que no es defectuoso?
Soluci´n:
o
600 3 300 3 100 1
P (A) = = , P (B) = = , P (C) = =
1000 5 1000 10 1000 10
38

39. 3 3 1
a) P (N D) = · 0, 99 + · 0, 98 + · 0, 97 = 0, 985
5 10 10
b)
3
P (N D|A)P (A) · 0, 99
P (A|N D) = = 5 = 0, 603
P (N D) 0, 985
Problema 2.4.4 (2 puntos) Se supone que el peso de las sand´ de cierta
ıas
variedad sigue una distribuci´n normal con desviaci´n t´
o o ıpica de 1 kg. Se
toma una muestra aleatoria de 100 sand´ y se observa que el peso medio
ıas
es de 6 kg.
a) Calc´lese un intervalo de confianza al 95 % para el peso medio de esa
u
variedad de sand´ıa.
b) ¿Puede aceptarse la hip´tesis de que el verdadero peso medio de las
o
sand´ es de 5 kg, frente a que sea diferente, con un nivel de signifi-
ıas
caci´n de 0,05?
o
Soluci´n:
o
a) Tenemos X = 6, σ = 1, n = 100 y zα/2 = 1,96
σ σ
IC = X − zα/2 √ , X + zα/2 √ = (5,804, 6,196)
n n
b)
zα/2 = 1,96
Las hip´tesis ser´
o ıan:
H0 : µ = 5
H1 : µ = 5
39

40. El intervalo de aceptaci´n ser´
o ıa:
1
5 ± 1,96 · =⇒ (4,804, 5,196)
100
Se rechaza la hip´tesis, ya que 6 ∈ (4,804, 5,196). No podemos asegurar
o /
que el peso medio de las sand´ sea 5 kg.
ıas
2.5. Septiembre 2001 - Opci´n A
o
Problema 2.5.1 (3 puntos) Sean las matrices
   
4 −3 −3 3 2 −1
A =  5 −4 −4  B =  1 1 1 
   
−1 1 0 1 0 −3
a) Determ´ ınese si A y B son inversibles y, en su caso, cac´lese la matriz
u
inversa.
b) Resu´lvase la ecuaci´n matricial XA − B = 2I, siendo I la matriz
e o
identidad de orden tres.
c) Calc´lese A86
u
Soluci´n:
o
a) |A| = 1 =⇒ la matriz es inversible.
 
4 −3 0
A−1 =  4 −3 1 
 
1 −1 −1
|B| = 0 =⇒ la matriz no es inversible.
b) XA − B = 2I =⇒ X = (2I − B)A−1
     
5 2 −1 4 −3 0 27 −20 3
X= 1 3 1  ·  4 −3 1  =  17 −13 2 
     
1 0 −1 1 −1 −1 3 −2 1
c)    
4 −3 3 4 −3 0
A1 =  5 −4 −4  , A2 =  4 −3 1  = A−1
   
−1 1 0 1 −1 −1
A3 = A2 A = I, A4 = A3 · A = I · A = A
A86 = A2 = A−1
86 = 21 × 4 + 2 donde 2 es el resto de dividir 86 entre 4.
40

41. Problema 2.5.2 (3 puntos) Sean las funciones f (x) = x2 + ax + b, g(x) =
−x2 + c.
a) Determ´ınese a, b y c, sabiendo que las gr´ficas de ambas funciones se
a
cortan en los puntos (−2, −3) y (1, 0).
b) H´llese la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de g(x) en el punto
a o a
(−2, −3).
c) Calc´lese el ´rea de la regi´n limitada por las gr´ficas de f (x) y g(x).
u a o a
Soluci´n:
o
a) f (−2) = −3 =⇒ 4 − 2a + b = −3, f (1) = 0 =⇒ 1 + a + b = 0, de estas
dos ecuaciones obtenemos que a = 2 y b = −3.
g(1) = 0 =⇒ −1 + c = 0 =⇒ c = 1
Las funciones son
f (x) = x2 + 2x − 3, g(x) = −x2 + 1
b) g (x) = −2x =⇒ m = g (−2) = 4, g(−2) = −3. Luego:
y + 3 = 4(x + 2) Recta Tangente
c) Los puntos de corte est´n en las abcisas x = −2 y x = 1, que ser´n
a a
los l´
ımites de integraci´n:
o
1
S=| (f (x) − g(x)) dx|
−2
41

42. 1 1 1
(f (x)−g(x)) dx = (x2 +2x−3+x2 −1) dx = (2x2 +2x−4) dx =
−2 −2 −2
1
2x3
= + x2 − 4x = −9
3 −2
S = | − 9| = 9 u2
El motivo por el que sale negativa la integral es porque la gr´fica de
a
la funci´n g est´ por encima de la de f .
o a
Problema 2.5.3 (2 puntos) El peso de los perros adultos de cierta raza es
una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviaci´n t´
o ıpica
0,6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4
kg.
a) Calc´lese un intervalo de confianza al 99 % para el peso medio de los
u
perros adultos de esta raza.
b) ¿Qu´ tama˜o m´
e n ınimo debe tener la muestra para tener una confianza
del 95 % de que la media muestral no se diferencie en m´s de 0,3 kg
a
de la media de la poblaci´n?
o
Soluci´n:
o
a) La media de la muestra vale X = 7,4, σ = 0, 6, n = 30 y zα/2 = 2,575.
σ σ
X − zα/2 √ , X + zα/2 √ = (7,118, 7,682)
n n
b)
σ
E = zα/2 √
n
donde E = 0, 3, σ = 0, 6 y zα/2 = 1,96.
=⇒ n = 15,37
Luego el tama˜o de la muestra tiene que ser como m´
n ınimo de n = 16.
Problema 2.5.4 (2 puntos) En un videoclub quedan 8 copias de la pel´ıcula
A, 9 de la B y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivos. Calc´lese la
u
probabilidad de que:
a) Los tres escojan la misma pel´
ıcula.
b) Dos escojan la pel´
ıcula A y el otro la C.
Soluci´n:
o
a)
8 7 6 9 8 7 5 4 3 15
P (AAA)+P (BBB)+P (CCC) = · · + · · + · · =
22 21 20 22 21 20 22 21 20 154
8 7 5 1
b) P (dosA y uno B) = 3 · · · =
22 21 20 11
42

43. 2.6. Septiembre 2001 - Opci´n B
o
Problema 2.6.1 (3 puntos). Un hipermercado inicia una campa˜a de ofer-
n
tas. En la primera de ellas descuenta un 4 % en un cierto producto A, un
6 % en el producto B y un 5 % en el producto C. A las dos semanas pone
en marcha la segunda oferta descontando un 8 % sobre el precio inicial de
A, un 10 % sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C.
Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto
A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si compra
tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de
29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ning´n tipo de
u
descuento, debe abonar 135 euros.
Calc´lese el precio de cada producto antes de las ofertas.
u
Soluci´n:
o
A B C
Sin Oferta x y z
1 Oferta 0, 96x 0, 94y 0, 95z
2 Oferta 0, 92x 0, 90y 0, 94z
Nos queda el sistema

 0, 96x + 1, 88y + 2, 85z = x + 2y + 3z − 16

2, 76x + 0, 90y + 4, 70z = 3x + y + 5z − 29 =⇒

 x + y + z = 135
 
 4x + 12y + 15z = 1600
  x = 25

12x + 5y + 15z = 1450 =⇒ y = 50
 
 x + y + z = 135  z = 60
Problema 2.6.2 (3 puntos) Sea la funci´n
o
1
f (x) = 2x2 − x3
3
Calc´lese
u
a) Los intervalos donde es creciente y decreciente.
b) Las coordenadas de sus m´ximos y m´
a ınimos relativos.
c) El valor de x para el que es m´xima la pendiente de la recta tangente
a
a la gr´fica de f (x).
a
Soluci´n:
o
43

44. a)
f (x) = 4x − x2 = 0 =⇒ x = 0, x = 4
(−∞, 0) (0, 4) (4, ∞)
f (x) + − +
f (x) Creciente Decreciente Creciente
b) Tiene un M´
ınimo en el punto (0, 0) y un M´ximo en el punto (4, 32/3).
a
c) La representaci´n gr´fica ser´
o a ıa
LLamamos funci´n pendiente a m(x) = 4x − x2 =⇒ m (x) = 4 − 2x =
o
0 =⇒ x = 2
m (x) = −2 =⇒ m (2) = −2 < 0
Luego en x = 2 la funci´n pendiente es m´xima, que corresponde al
o a
punto (2, 16/3).
Problema 2.6.3 (2 puntos) En un laboratorio se obtubieron seis determi-
naciones del PH de una soluci´n, con los resultados siguientes:
o
7, 91 7, 94 7, 90 7, 93 7, 89 7, 91
Se supone que la poblaci´n de todas las determinaciones de PH de la solu-
o
ci´n tiene una distribuci´n normal de media desconocida con una desviaci´n
o o o
t´
ıpica igual a 0,02.
a) Determ´ınese un intervalo de confianza al 98 % para la media de todas
las determinaciones del PH de la misma soluci´n obtenidas con el
o
mismo m´todo.
e
44

45. b) Con el mismo nivel de confianza anterior, ¿cu´l debe ser el tama˜o
a n
m´ınimo de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza
sea a lo sumo 0,02?
Soluci´n:
o
a) Tenemos X = 7,913, σ = 0,02, n = 6 y zα/2 = 2,325
σ σ
IC = X − zα/2 √ , X + zα/2 √ = (7,894349787, 7,932316878)
n n
b) zα/2 = 2,325
σ 0,02
E = zα/2 √ =⇒ 0,1 = 2,325 · √ =⇒ n = 21,6225
n n
Luego el menor tama˜o de la mustra debe ser n = 22.
n
Problema 2.6.4 (2 puntos) Con el objetivo de recaudar fondos para un
viaje, los alumnos de un instituto realizan una rifa con 500 n´meros. Un
u
alumno compra dos n´meros.
u
a) Si s´lo hay un premio, ¿qu´ probabilidad tiene el alumno de que le
o e
toque a ´l?
e
b) Si hay dos premios, ¿qu´ probabilidad tiene el alumno de que le toque
e
al menos uno de ellos?
Soluci´n:
o
2
a) P (ganar) = P (GP ) + P (P G) = 500 = 0,004
498 497
b) P (ganar) = P (GG)+P (GP )+P (P G) = 1−P (P P ) = 1− · =
500 499
0,00799
45

46. 46

47. Cap´
ıtulo 3
A˜ o 2002
n
3.1. Modelo 2002 - Opci´n A
o
Problema 3.1.1 (3 puntos) Dado el siguiente sistema de ecuaciones linea-
les: 
 2x− 4y− az = −2

y− z = 0

 ax+ 2z = 2
a) Discutir el sistema en funci´n de los valores de a.
o
b) Resolver el sistema para el valor a = 2.
Soluci´n:
o
a)
 
2 −4 −a −2
A= 0 1 −1 0  , |A| = (a + 2)2 = 0 =⇒ a = −2
 
a 0 2 2
Si a = −2 =⇒ |A| = 0 =⇒ Rango(A) =Rango(A) = 3 = no de inc´gni-o
tas y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene soluci´n
o
unica.
´
Si a = −2:  
2 −4 2 −2
A= 0 1 −1 0 
 
−2 0 2 2
2 −4
= 2 = 0 =⇒ Rango(A) = 2
0 1
Podemos observar que la cuarta columna es igual a la primera multi-
plicada por −1, por lo que Rango(A) = 2 =Rango(A) < no de inc´gni-
o
tas, es decir, el sistema es compatible indeterminado, admite infinitas
soluciones.
47