SENCILLO

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA DEL ESTADO BOLÍVAR Series de Fourier Profesor: Wilmer Colmenares Alumnos: Reinaldo J. Arenas Gregory Hernández Ciudad Bolívar, Abril 2010

2. Jean Baptista Joseph Fourier. (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992. Reseña Histórica

3. Vida Estudió con los benedictinos en la Escuela Superior de Auxerre, pero abandonó su destino monástico para dedicarse al estudio de las ciencias. Participó en la revolución frances y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simón Laplace. Posteriormente, ocupó una cátedra en la Escuela Politécnica. Fourier participó en la expedición de Napoleón a Egipto en 1798. Nombrado secretario perpetuo del instituto de Egipto el 22 de agosto de 1798, presenta numerosas memorias y dirige una de las comisiones de exploración del Alto Egipto. Entre las distintas funciones políticas o administrativas que llevó a cabo, destaca la de comisario francés en el Divan.

4. A la muerte del General en Jefe del Ejército de Oriente Jean Baptiste Kléber a manos de un fanático sirio en su residencia en El Cairo, Jean-Baptiste Joseph Fourier, amigo y colaborador del General Kléber, es quien pronuncia el elogio fúnebre, el 17 de junio delante del Instituto de Egipto. A su regreso a Francia en 1801, Napoleón lo nombra prefecto de Isère entre 1802 y 1815, Fourier presenta a Jean- François Champollion a los veteranos de la expedición de Egipto. Egipto. A su regreso a Francia en 1801, Napoleón lo nombra prefecto de Isère entre 1802 y 1815, Fourier presenta a Jean- François Champollion a los veteranos de la expedición de Egipto. Entró a la Academia de Ciencias Francesa en 1817 y al cabo de cinco años se convirtió en el secretario perpetuo de las secciones de matemáticas y física. Muere en París el 16 de mayo de 1830

5. Trabajos Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemático de fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica. Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange. Redacta el prefacio histórico de la obra Description de l'Egypte y publica en 1822 su célebre Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica del Calor). Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.

6. El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales. En la obra Théorie analytique de la chaleur (Teoría Analítica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto. Aquí se deduce además la ecuación en derivadas parciales que rige el fenómeno: Donde: V=V (x, y, z, t) designa la temperatura del cuerpo en el punto (x, y, z) en el momento t; k el coeficiente de difusión del calor, C la constante de capacidad calórica del cuerpo y D la densidad. En el capítulo III Difusión del calor en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce su método original de trabajo con series trigonométricas. Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el método de eliminación para la solución de un sistema de desigualdades, teoría muy usada actualmente para programación lineal.

7. Concepto Serie de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

8. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma: Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función. .

9. Definición Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es: Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores: Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

10. Los coeficientes ahora serían: Ejemplo 1, ejercicio de la serie de Fourier. Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansión muy simplificada. En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

11. Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable : Animación de las 5 primeras series de fourier .

12. Ejemplo 2,serie de Fourer aplicada a la Ingeniería Eléctrica Calcular V del condensador:

15. Biografía Ingeniero y matemático francés. Era hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos. Los puestos en el cuerpo científico del ejército estaban reservados para familias de estatus reconocido, así que aceptó una cátedra militar de matemáticas. Tuvo un papel destacado durante la revolución en su propio distrito, y fue recompensado con una candidatura para una cátedra en la École Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía contar para sus suministros de munición. También aportó numerosos escritos sobre matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El Cairo. Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del general Menou en 1801, Fourier volvió a Francia, donde fue nombrado prefecto del departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación del calor.

16. Se trasladó a París en 1816, y en 1822 publicó Teoría analítica del calor , basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton. A partir de esta teoría desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes aplicaciones a la resolución de numerosos problemas de física (más tarde, Dirichlet consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier dejó planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que se publicó en 1831 y que contenía una demostración de su teorema sobre el cálculo de las raíces de una ecuación algebraica.