Demo matemáticas básicas y esenciales i

MATEMÁTICAS BÁSICAS
Y ESENCIALES
I

Comprender las Matemáticas no es una
tarea imposible, ni siquiera difícil.

Karl FriedrichGauss
Verdadero matemático, desde temprana edad
sus trabajos cambiaron el pensamiento humano
de manera definitiva.

César Augusto Pinzón Correa

VERSION DE DEMOSTRACIÓN

CONTENIDO

OBJETIVOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS ................................................................................................ 4
¿Cómo Utilizar este libro? ......................................................................................................................... 5
Capítulo I: FUNCIONES ...................................................................Error! Bookmark not defined.
1. Definición .................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2. Características importantes de una función ................... Error! Bookmark not defined.
2.1 Dominio de una función .................................................... Error! Bookmark not defined.
a) Presencia de denominador .................................................... Error! Bookmark not defined.
b) Presencia de Raíz Par .............................................................. Error! Bookmark not defined.
c) Presencia de Logaritmo .......................................................... Error! Bookmark not defined.
d) Casos Mixtos .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
Ejercicios del Capítulo ........................................................................ Error! Bookmark not defined.
Capítulo II: MANIPULACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES .........Error! Bookmark not defined.
1. Constantes sumando o restando en una RECTA .............. Error! Bookmark not defined.
1.1 Desplazamiento Vertical ........................................................ Error! Bookmark not defined.
1.2 Desplazamiento Horizontal ................................................... Error! Bookmark not defined.
1.3 ¿Gráficamente qué es la pendiente (m) de una recta? . Error! Bookmark not defined.
2. Sistemas lineales .......................................................................... Error! Bookmark not defined.
 Resolver un sistema lineal en Microsoft Excel............................................................. 15
3. Las Sencillas Funciones Trigonométricas ............................ Error! Bookmark not defined.
3.1 Generalidades ........................................................................ Error! Bookmark not defined.
3.2 Funciones trigonométricas inversas .............................. Error! Bookmark not defined.
3.3 Funciones cosenoidales...................................................... Error! Bookmark not defined.
3.4 Funciones senoidales .......................................................... Error! Bookmark not defined.
Ejercicios ................................................................................................. Error! Bookmark not defined.
Problemas ............................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.5 Teorema del seno y del coseno ......................................... Error! Bookmark not defined.
4. Amplitud de las funciones primitivas .................................... Error! Bookmark not defined.
5. Compresión y descompresión de una señal trigonométricaError! Bookmark not defined.


6. Desplazamiento horizontal de una señal primitiva trigonométricaError! Bookmark not defined
7. Polinomios superiores ................................................................. Error! Bookmark not defined.
7.1 Cuadráticas ............................................................................ Error! Bookmark not defined.
Ejercicios ............................................................................................. Error! Bookmark not defined.
7.2 Otros polinomios .................................................................. Error! Bookmark not defined.
Errores de la economía ................................................................... Error! Bookmark not defined.
Formas polinómicas ........................................................................ Error! Bookmark not defined.
CAPÍTULO III: Cónicas, Logaritmos y Exponenciales ............Error! Bookmark not defined.
1. Secciones cónicas ......................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1 Parábola....................................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.2 Círculo y Elipse ......................................................................... Error! Bookmark not defined.
1.3 Hipérbola ................................................................................. Error! Bookmark not defined.
1.4 Logaritmos .............................................................................. Error! Bookmark not defined.
1.5 Exponenciales........................................................................ Error! Bookmark not defined.
Reflexiones Finales ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.


OBJETIVOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS

i. Servir como material de apoyo educativo a estudiantes y profesores de los últimos
4 años de estudio antes de ingresar a la universidad durante el periodo 2012-
2025. Para luego, de manera progresiva constituir un apoyo bibliográfico a
estudiantes de 5 grado de educación básica primaria hasta el segundo año de
educación secundaria.
ii. Llevar de manera didáctica conocimientos de álgebra y trigonometría a los
estudiantes, a través de un desarrollo concatenado de ejemplos resueltos paso a
paso, con ilustraciones gráficas e indicaciones de los puntos más importantes de
cada ecuación, según el fenómeno de estudio que se presenta: económico, de
ingeniería o conceptual.
iii. Acercar la vida cotidiana y práctica a los estudiantes a través de planteamientos
matemáticos.
iv. Convocar a los estudiantes a resolver problemas, ejercicios y cuestiones
conceptuales a través de explicaciones generales que de manera algorítmica
inducen a la consecución de la resolución de manera constructiva.
v. Desarrollar un sentido lógico en los estudiantes para plantear y resolver
cuestiones teórico-prácticas, mediante la presentación de numerosos ejemplos
que de manera didáctica y algorítmica muestran soluciones sencillas.
vi. Presentar los conceptos más destacados y determinantes de las matemáticas a
través del planteamiento de ejercicios y problemas que posteriormente llevan a la
conformación de ideas generales (teoremas), de manera inductiva.
vii. Facilitar a los profesores la transmisión de conceptos matemáticos, dado que con
este material es posible plantear de manera sencilla talleres basados en el uso de
herramientas como Microsoft Excel, Graficadores Virtuales y Herramientas
Online, tan cercanas a esta nueva generación de ciudadanos y estudiantes.
viii. Gracias al uso permanente y pedagógico de gráficas, se va induciendo al
estudiante a ser receptivo a este tipo de análisis, que es tan útil en las áreas de
química, física, ingeniería, economía y estadística.
ix. Mejorar las capacidades de los estudiantes para resolver cuestiones algebraicas o
trigonométricas, gracias al uso de elementos analíticos que son presentados en
sus formas más sencillas, dentro de un formato algorítmico que facilita su
comprensión.
x. Mejorar de manera general los estándares de calidad de las instituciones que
utilicen este material para complementar sus programas de enseñanza
matemática.
xi. Recuperar el interés de los estudiantes jóvenes por las ciencias básicas, mediante
la demostración de la sencillez de los procesos matemáticos.
xii. Incrementar en el largo plazo la productividad de los profesionales del futuro,
basados en el fortalecimiento del conocimiento.
xiii. Generar en el largo plazo más asociaciones de ingeniería e investigación científica,
que son tan determinantes para el desarrollo general de las naciones y de las
regiones.


¿Cómo Utilizar este libro?

Lea el contenido de cada capítulo.

Observe la forma metodológica como se resuelven los problemas y ejercicios.

Resuelva los ejercicios y problemas planteados.

A partir de las generalidades metodológicas que encuentre, resuelva las
preguntas conceptuales.

Desarrolle los ejercicios teórico-prácticos y haga las consultas e investigaciones
que se solicitan.

Siga los pasos indicados para resolver problemas y ejercicios con herramientas
de cálculo virtual.

Tenga en cuenta que a usted se le proporcionan ideas particulares, que
fácilmente lo pueden llevar a conceptos generales, es decir, en cada sección de
cada capítulo tenga una postura conceptual interpretativa que le permita
detectar puntos comunes en el planteamiento de resoluciones.

Al entender este el contenido de este libro, puede contrastarlo revisando otras
propuestas temáticas, resolviendo los ejercicios planteados.

Sea constante y retome esta guía básica como modelo de estudio, para
convertirse eventualmente en un experto en cuestiones matemáticas básicas, que
son fundamentales para entender otros conceptos más complejos.

Tenga en cuenta que la matemática conlleva profundas lecturas analíticas, cuyo
entendimiento se comprueba con la resolución de ejercicios y problemas.

Este documento tiene un diseño pedagógico que implica el entendimiento de los
temas de manera consecutiva. Es decir, se aconseja al aprendiz entender el
primer tema para comenzar el estudio del segundo, y así sucesivamente.

No se sorprenda con la sencillez, pues la matemática es una ciencia básica que
en muchos casos no es tan compleja si se expone de manera adecuada, por
medio de construcciones pedagógicas apropiadas.


ANÁLISIS DE DOMINIO

Ejemplo 2

Notamos que hay un polinomio como numerador. Entonces, de manera
muy general, podremos asumir que en esa posición,todo polinomio con
exponentes enteros positivos, no afecta con discontinuidad el
comportamiento de la función, es decir, no afecta el dominio de la
función.

Entonces nos enfocamos en el denominador de la función, igualándolo a
Cero, así:

=0 Polinomio de la forma

Es posible separar así el polinomio, porque es de segundo orden (máximo
exponente), y ello nos indica que podría tener dos números (j y k) que
hagan cero toda la expresión. Entonces hay que hallar esos números, sí
existen:

¿Hay dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5?

Buscamos los números que multiplicados dan 6: (6x1), (3x2), sin incluir
(1x6) ó (2x3), porque la multiplicación es conmutativa, y para estos casos,
estas parejas se asumen como iguales.

Para saber qué pareja de números nos sirve, sumamos los números y
probamos:

6+1 = 7; 3+2 = 5

Entonces escogemos la pareja 3 y 2, porque ellos no solamente multiplican
6 entre sí, sino que además suman 5, entonces:

Una multiplicación da cero, sí alguno o los dos multiplicandos son cero,
entonces:

r +3 = 0


r = -3

r+2=0

r = -2

Esto quiere decir que si r toma el valor de -2 o -3, la función va a ser
incierta.

Notamos que en la gráfica, hay continuidad (línea azul) En todas partes,
pero en -2 y -3, hay rompimientos, dado que al acercarse a -3 por la
izquierda, la función (línea azul) va hacia infinito positivo, pero a la
derecha de 3, la función viene desde abajo (infinito negativo). Cuando nos
acercamos a -2 por la izquierda, la función tiende a bajar al infinito
negativo, y al la derecha de -2, la función viene bajando desde infinito
positivo.

El dominio de f(r) es: {r ϵ R; r ≠ -3 y r ≠ -5}, que es lo mismo que:

r ϵ (-∞,-3)U(-3,-2)U(-2,∞)[R: números reales]

Nota: Obsérvese que el numerador no se analizó.

Ejemplo 3

Polinomio de la forma


Una vez más, no hay necesidad de analizar el numerador, porque es un
polinomio con exponentes enteros positivos. Y por tanto no se provoca
discontinuidad. Entonces pasamos al análisis del denominador.

Para poder resolver este tipo de ecuación con un polinomio cuadrático
(exponente máximo, 2) donde a es diferente de 1, en este caso 3, se debe
proceder así:

De esta manera, se puede aplicar la técnica anterior, así:

(3x-j)(3x-k) = 0

Para hallar j y k, se buscan dos números que sumados den -25 y
multiplicados 84. El signo en el primer paréntesis es el que acompaña a x
(segundo término de la ecuación), es decir menos (-), y en el segundo
paréntesis debe multiplicarse este signo por el que acompaña el término
independiente (no tiene x), como es +, entonces (–)▪(+) = –.

Para hallar los números descomponemos 84, así:

Ordenamos grupos de números, hasta encontrar un par que sumados den
25. Esto se logra haciendo varios ensayos, agrupando de a dos o tres
números, hasta que logremos el par de números que cumplan la condición
de la suma.

(3x-21)(3x-4) = 0


Los números se ubican en los paréntesis en orden descendente (mayor a la
izquierda, menor a la derecha). Pero como multiplicamos por 3 en un paso
anterior, ahora hay que dividir por 3.

Como en el paréntesis de la izquierda se puede hallar factor común,
entonces:

Los dos números 3 se pueden cancelar entre sí, y finalmente se tiene:

(x-7)(3x-4) = 0

x – 7 = 0 → x = 7; 3x – 4 = 0 → 3x = 4 → x = 4/3

Esto quiere decir que tanto 4/3 como 7 no pertenecen al dominio de la
función.

Nuevamente, los números que hacen cero el denominador, ‘rompen’ la
función y la hacen discontinua. Siendo el dominio:


{x ϵ R; r ≠ 4/3 y r ≠ 7}, que es lo mismo que:

r ϵ (-∞,4/3)U(4/3,7)U(7,∞)[R: números reales]

Nota: Obsérvese que el denominador no se analizó.

Interpretación y Manipulación de Gráficas

Si se tiene f(x) + k y k es positiva (k>0), entonces habrá un corrimiento a
izquierda, pero si k es negativa (k<0), entonces el desplazamiento será a la
derecha.

En la figura se muestra cómo la función y0 = 3x, es desplazada hacia arriba como
ya habíamos visto al sumarle una constante.

El punto que está en el origen (0,0), es movido, porque ahora, cuando x = 0 y = 1,
y cuando y = 0, ahora x = -1/3. y1 = 3x + 1


En el caso de esta figura, ahora se pasó de y0 = 2x a y1 = 2x -1. Con el punto
cero, cero (0,0) se ejemplifican las dos traslaciones: el corte en y ya no es en 0
sino en -1 (b) y el corte en x, tampoco es en cero sino que se movió a ½ (-b/m: -(-
1)/2 = 1/2).

Regla General:

Para toda recta1 (y = mx + b), se tiene

Corte eje y b
Corte eje x -b/m

Solamente las rectas en donde b = 0, pasan por el origen, las demás no.

Sistemas Lineales

Ejemplo 1.

La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos,
mientras que hace la diferencia de las edades actuales de los hijos, la edad
del padre era triple que la suma de las edades de los hijos. Dentro de la suma

1Nótese que el exponente de x es uno. Esa es la característica de la recta en coordenadas
cartesianas o también conocidas como coordenadas rectangulares.


de las edades actuales de los hijos en años, la suma de edades de los tres
será 150 años. ¿Qué edades tienen cada uno?

x Hijo menor
y Hijo mayor
z Edad
padre

Planteamos esto, para saber cómo vamos a ‘armar’ las ecuaciones, para
resolver este sistema lineal. Generalmente, los problemas plantean una
ecuación entre sigo y signo de puntuación. En este caso, he marcado con
colores cómo debe asumirse el problema para crear el sistema.

1z = 2(x + y) Edad padre = 2 suma edades hijos
1z = 2x – 2y
Triple edad padre menos años indicados = suma
z - (y - x) = 3(x-(y-x) + y-(
edades hijos. A todas las edades actuales se les
y-x))
resta la diferencia de edades hijo mayor – hijo
z –y + x = 3(3x –y)
menor.
x + (x + y) + y + (x + y) + Suma edades de los tres más años indicados =
z + (x + y) = 150 150. Todas las edades están aumentadas la
4x + 4y + z = 150 suma de los años de los hijos.

Una vez planteadas las ecuaciones, procedemos a organizarlas, dejando las
variables a un lado del signo de igualdad y las constantes al otro lado.

-2x – 2y +1z = 0
-8x +2y +1z = 0
4x + 4y +1z = 150

Observamos bien los coeficientes de cada variable con sus signos, porque
vamos a resolver los sistemas por el método de Sarrus, que es el más sencillo
de los métodos, aunque se invita al lector a investigar otros: sustitución,
eliminación ó igualación.


Construir la matriz es fácil, con los
coeficientes de las ecuaciones, y
repetimos las dos primeras filas
(rojo). En la matriz superior
sustituimos los coeficientes de la
variable que queremos resolver por
los resultados, en este caso
primera columna (x)

Resolvemos así, multiplicamos en diagonal, de acuerdo como se muestra en la
figura. Luego Azules menos verdes y listo:

Para resolver y, hacemos lo mismo, pero sabemos que la matriz de abajo es
igual, porque está construida con los coeficientes originales de las ecuaciones,
y sabemos que vale -60. Entonces:


Finalmente resolvemos para z. Con un procedimiento similar, planteamos:

Podemos concluir que

10 años = x Hijo menor
15 años = y Hijo mayor
50 años = z Edad padre

¿Qué aprendimos en este ejemplo como modelo conceptual?

Las variables deben ser definidas, sabiendo lo que representan.
Las variables deben ser colocadas correctamente en ecuaciones.


En este caso, se hablaba de edades actuales, pasadas y futuras
(Ecuaciones 1, 2 y 3; respectivamente). Sí esto sucede, hay que
trasladar temporalmente todas las variables al momento al que
pertenecen.
Ser organizados, no nos garantiza la solución del problema, pero
mejora nuestra metodología de entendimiento.
Los resultados deben ser evaluados permanentemente, porque sí
hubiésemos obtenido un número negativo, ello implicaría un ser que
retrocedió en el tiempo. Un número muy elevado significaría que
alguna de las personas es exageradamente anciana. Que x hubiera
sido mayor que y, sería inconsistente, porque el hijo menor sería
mayor que el hijo mayor; así como sería inconsistente tener un hijo con
más edad que el padre.
El modelo matemático nos aproxima a las condiciones de la realidad
del fenómeno que estudiamos.
Cada ecuación representa una condición específica del problema.
El modelo matemático es fácil de construir si usamos el sentido
común, siempre basados en la simplicidad, construyendo procesos
secuenciales y lógicos; sin apartarnos de la situación que ambienta el
problema a resolver.

 Resolver un sistema lineal en Microsoft Excel

Si utilizamos Excel, y tenemos un ejercicio que nos plantea un libro o un sitio
web, podemos utilizar una función llamada Determinante de Matriz, que dentro
del menú de funciones, aparece así:


Este sistema es muy útil, para resolver problemas y comprobar nuestras
respuestas. Si planteamos bien nuestras ecuaciones obtendremos resultados
coherentes con el entorno del problema.

Funciones Trigonométricas

Ejemplo 2

Un árbol de altura 4m genera una sombra a las tres de la tarde y a las 5 de la
tarde. Juan nota que ambas son diferentes. A las tres de la tarde, sabe que hay
un ángulo entre el piso y la diagonal generada por los rayos solares, de 74
grados, y a las 5 de la tarde el ángulo es de 37º. ¿cuál es la dimensión horizontal
de cada sombra a cada una de las horas señaladas?

La situación que se plantea es la siguiente, desde una perspectiva gráfica:

Calculemos la proyección horizontal de la sombra (x), para la primera hora (3:00
P.M.)

Con la función tangente, podemos decir con certeza:

De la misma manera procedemos para el cálculo de las 5:00 P.M.


Ejercicio práctico 2

Tome un cordón de zapato o algún tipo de cuerda. En un extremo ate un lápiz,
por la parte más baja que pueda. Trace un círculo sobre una hoja de papel (ojalá
cuadriculado), y sobre la circunferencia escoja un punto así:

Marque el punto que escogió, proyecte una vertical hacia abajo y ubique x, de la
misma manera proyecte y, pero trazando una horizontal, tal como se muestra en
la figura anterior.

Mida con una regla la distancia que hay entre el centro del círculo y x. Anote ese
valor y repita la medición para determinar y. Proceda a dividir:

Anote el valor de esta división.

Ahora, trace el radio sobre el círculo, y con la ayuda de un transportador mida el
ángulo.


Con la ayuda de una calculadora, colocada en el modo DEG (Degree), calcule el
valor del Tan (θ), siendo θ el ángulo que midió con el transportador. ¿Este valor
es relativamente similar al valor de la fracción calculada anteriormente
?

Mida con una regla el valor de r. Anótelo.

Como ya tiene el ángulo, haga los siguientes cálculos en la calculadora y anote
los valores:

Sin (θ) y Cos (θ)

Divida los resultados que acaba de obtener, en ese orden:

Compruebe que

Como ya tiene los valores de Sin (θ) y Cos (θ), multiplique cada valor por la
medida del radio. Verifique que r Sin (θ) = y y r Cos (θ) = x.

Por último, realice las siguientes fracciones

Respectivamente, ¿estos valores corresponden a los valores que anotó para Sin
(θ) y Cos (θ)? Si es así asuma que:


El radio, en términos pitagóricos es equivalente a la hipotenusa, la vertical al
lado opuesto y la horizontal al lado adyacente.

Ve
rtic
Radio
al:
Hipotenusa
Ca
tet
o
Op θ
ue
sto Horizontal: Cateto adyacente

Nota: Las funciones trigonométricas están ampliamente relacionadas con
los triángulos rectángulos o pitagóricos.

Ejercicio práctico

El alerón de un auto de carreras debe cumplir los siguientes requerimientos:

¿Cuál es el ancho del alerón que le debemos diseñar al equipo de aerodinamia si
para las carreras con mayor downforce se tiene una inclinación de 9º y para las
de menor downforce de 7.5º?


Desarrolle el problema primero dibujando el triángulo correspondiente.
Determine qué representa L en el triángulo rectángulo que usted dibujó, para
que seleccione cuidadosamente una función trigonométrica primitiva y pueda
hallar el valor pedido, conociendo dos variables y despejando lo que le interesa.

***

Las funciones coseno tienen un punto máximo denominado cresta y un punto
mínimo denominado valle. La función primitiva sin que esté afectada por
ninguna constante, tiene su cresta cortando el eje vertical.

Ejemplo 1

Esta es la gráfica de la función f0(x) = cos(x). Ahora le vamos a sumar constantes,
para desplazarla hacia arriba y hacia abajo. Sean k = 1 y k = -3, entonces: f1(x) =
cos(x) + 1; f2(x) = cos(x) -3.

Vamos a representar las gráficas en un mismo plano para ver los efectos de
desplazamiento:


Al añadir una constante, sumando o restando a funciones como coseno y rectas,
vemos que en general, todos los puntos de la gráfica se desplazan en uno u otro
sentido el mismo número de unidades, no solamente el centro de la gráfica.

Ejercicio técnico

Visite http://www.fooplot.com En el cuadro donde aparece ‘Función’, escriba
cos(x), presione ‘enter’. Debajo aparece un botón que dice Añadir, oprímalo para
agregar dos funciones más y escriba cos(x)+3 y cos(x) – 1. Compare y escriba sus
conclusiones.

***

Ya hemos trasladado horizontalmente una función trigonométrica primitiva
sumándole una constante, también la magnificamos multiplicándola por una
constante, ahora veamos algo muy interesante:


Vemos que la gráfica negra corresponde a la primitiva consenoidal, que tiene un
periodo o longitud de onda que va de cresta a cresta. La función roja, al ser
multiplicada por dos, tiene un periodo que corresponde a la mitad, porque
mientras que la señal negra tiene un paso por una cresta, la roja tiene dos, en el
mismo intervalo.

Nota: En general, al multiplicar el ángulo (x) por una constante mayor que 1,
entonces la señal se comprime, si la constante es menor que 1 se expande.

Veamos otra vez la misma situación, pero ahora con una constante 5. Esto
quiere decir, que la gráfica roja que veremos, cabrá 5 veces en la señal negra que
es la primitiva, pero en este caso trabajemos con la función seno.


En un solo periodo (T) de la señal negra, caben 5 periodos (5T) de la señal roja.

Es decir, al multiplicar el ángulo (x) por 5, ahora la señal original se comprime y
cabe en la quinta parte del intervalo que antes ocupaba, es decir, su periodo
ahora es 1/5 del periodo original, o su longitud de onda también es 1/5 de la
longitud de onda original.

¿Por qué pasa esto?

Recuerde que las funciones primitivas seno y coseno se definieron a partir del
giro de un círculo, y para dar una vuelta completa se requiere avanzar
angularmente 360º.

Fíjese que si:

Reemplacemos el ángulo 180º en la función, dado que anteriormente dijimos que
con un 2, el periodo se reducía a la mitad, es como sí solo se giraran 180º y no
360º.

Al realizar la multiplicación, resulta que:

Es decir, mientras que la señal inicial avanzó 180º (media vuelta), la señal
comprimida si avanzó la vuelta completa.


Otra forma de ver esto es con el concepto de VELOCIDAD ANGULAR.

Cónicas

Ejemplo 5

Veamos un caso curioso de una ecuación de un círculo, que inicialmente no
parece que lo fuera:

Utilizando el álgebra podemos hacer lo siguiente:

Viendo la ecuación dada, noto que tengo parcialmente la última parte de la
ecuación demarcada en verde, tanto para los términos de x como los de y. Es
decir, tengo el primer término elevado al cuadrado y, voy a suponer, el segundo
término que representa dos veces el primer término por el segundo. En otras
palabras, yo puedo transformar:

Y también la expresión

Que son características de un círculo. Realmente no tengo una porción de la
ecuación ( , pero puedo construirla, si digo que:

Voy resolviendo de manera simultánea ambas necesidades, entonces en la
primera y segunda ecuación, respectivamente digo:

Esto quiere decir que yo puedo convertir:


En:

Como introduje un (-2)2 y un(-5)2 entonces debo sumarlos al otro lado del igual
para no afectar la ecuación.

Esto quiere decir que tengo un círculo de radio , con centro ubicado en
el entrecruce que da al moverse 2 unidades positivas a partir del origen sobre eje
horizontal y -5 unidades a partir del origen sobre el eje vertical.


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