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PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA
                                                                 Rafael Correa Delgado

                                                             MINISTRA DE EDUCACIÓN
                                                                  Gloria Vidal Illingworth

                                                        VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN
                                                               Pablo Cevallos Estarellas

                                             SUBSECRETARIA DE CALIDAD EDUCATIVA
                                                                Alba Toledo Delgado

                                                                      GRUPO EDEBÉ
                                                        Proyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4
                                                       Educación Secundaria Obligatoria

                                                                 DIRECCIÓN GENERAL
                                                              Antonio Garrido González

                                                                DIRECCIÓN EDITORIAL
                                                               José Luis Gómez Cutillas

                                                               DIRECCIÓN DE EDICIÓN
                                                          DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
                                                          José Francisco Vílchez Román

                                                             DIRECCIÓN PEDAGÓGICA
                                                             Santiago Centelles Cervera

                                                          DIRECCIÓN DE PRODUCCIÓN
                                                                    Juan López Navarro

                                                  EQUIPO DE EDICIÓN GRUPO EDEBÉ
                                                                © Grupo edebé, 2008
                                                           Paseo San Juan Bosco, 62
                                                                    08017 Barcelona
                                                                    www.edebe.com

                                                                          En alianza con
                                                              EDITORIAL DON BOSCO
                                                OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN

                                                                   GERENTE GENERAL
                                                                 Marcelo Mejía Morales

                                                                DIRECCIÓN EDITORIAL
                                                         María Alexandra Prócel Alarcón

                                               ADAPTACIÓN Y EDICIÓN DE CONTENIDOS
                                                             Equipo Editorial Don Bosco
                                                                   Humberto Buitrón A.

                                                   CREACIÓN DE CONTENIDOS NUEVOS
                                                                  Marcia Peña Andrade
                                                                   Saúl Serrano Aguirre
                                                            Lorena Valladares Perugachi

                                                                  REVISIÓN DE ESTILO
                                                               Hernán Hermosa Mantilla
                                                                     Isabel Luna Riofrío
                                                                Pablo Larreátegui Plaza

                                                            COORDINACIÓN GRÁFICA
                                                       Y REDIAGRAMACIÓN EDITORIAL
                                                             Pamela Cueva Villavicencio

                                                  DIAGRAMACIÓN DE PÁGINAS NUEVAS
                                                                 Susana Zurita Becerra
                                                                Franklin Ramírez Torres
                                                                Patricio Llivicura Piedra
Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                                 Freddy López Canelos
                                                                 Erika Delgado Chávez
                                                                     Sofía Vergara Anda      MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR
                                                                                             Primera edición, Mayo 2011
                                                            ILUSTRACIÓN DE PORTADA           Quito – Ecuador
                                                               Eduardo Delgado Padilla
                                                                   Darwin Parra Ojeda        Impreso por: EDITOGRAN S.A.


                                                                                             La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier
                                                                                             forma que sea, por cualquier medio mecánico o electrónico, no
                                                                                             autorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cual-
                                                                                             quier utilización debe ser previamente solicitada.
                                                             © Editorial Don Bosco, 2011     DISTRIBUCIÓN GRATUITA
2
Vamos a compartir el conocimiento, los colores, las palabras.



El Ecuador ha sido, según el poeta Jorge Enrique Adoum, “un país irreal
limitado por sí mismo, partido por una línea imaginaria”, y es tarea de
todos convertirlo en un país real que no tenga límites.


Con este horizonte, el Ministerio de Educación realizó la Actualización
y Fortalecimiento del Currículo de la Educación General Básica que busca
que las generaciones venideras aprendan de mejor manera a relacionarse
con los demás seres humanos y con su entorno y, sobre todo, a soñar con
la patria que vive dentro de nuestros sueños y de nuestros corazones.


Los jóvenes de octavo a décimo años van a recibir un libro de texto que les
permitirá desarrollar sus habilidades.


Estos libros tienen un acompañante para los docentes. Es una guía didác-
tica que presenta alternativas y herramientas didácticas que enriquecen
el proceso de enseñanza-aprendizaje.


El Ecuador debe convertirse en un país que mire de pie hacia el futuro y
eso solo será posible si la educación nos permite ser mejores ciudada-
nos. Es una inmensa tarea en la que todos debemos estar comprometi-
dos, para que el “Buen Vivir” sea una práctica cotidiana.
                                                                              Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                 Ministerio de Educación
                                                                     2010




                                                                                      3
Conoce tu libro

       Los contenidos que vas a aprender se organizan en seis módulos que están trabajados de manera in-
       tegrada a partir de los siguientes bloques:

       Numérico                                Medida                                   Estadística y probabilidad


                          Geométrico                          Relaciones y funciones




      Estructura de los módulos
          Páginas iniciales                      Conocimientos que se tra-         Destrezas con criterios
                                                 bajarán dentro del módulo.
                      Buen Vivir                                                   de desempeño
                      Eje transversal valorativo que                               Se muestra un listado de las
                      acompaña a los contenidos y                                  destrezas con criterios de de-
                      permite una formación integral.                              sempeño que se desarrollarán
                                                                                   en el módulo.
     Una imagen y una
     actividad inicial nos
     muestran la presen-
                                                                                 Prerrequisitos
     cia de las matemáti-
     cas en nuestro en-                                                          Definiciones, ejemplos y activida-
     torno y la relación                                                         des para recordar los conocimien-
     entre los bloques                                                           tos previos necesarios para el
     matemáticos.                                                                aprendizaje.

                                                        Buen Vivir
                                                        Enunciación del artículo de la Constitu-
                                                        ción de la República del Ecuador, rela-
          Desarrollo                                    cionado con el proyecto del Buen Vivir.

                                                                                         En los márgenes se in-
                                                                                         cluyen explicaciones
     Los conocimientos se                                                                complementarias.
     organizan en aparta-
     dos y subapartados.                                                                 Contraejemplo
                                                                                         Ejemplos que no cum-
                                                                                         plen con los conocimien-
                                                                                         tos estudiados.
     Actividades
                                                                                         Ejemplos
     Al finalizar el desarrollo de
     un conocimiento, se pro-                                                            En muchos casos, el de-
     ponen ejercicios a pie de                                                           sarrollo de los conoci-
     página para afianzarlo.                                                             mientos finaliza con uno
                                                                                         o varios ejemplos para fa-
                                                                                         cilitar el aprendizaje.
4
Algunas actividades llevan un icono cuyo significado es el siguiente:

Macrodestrezas matemáticas                          Herramientas y ejes transversales

         Comprensión de conceptos                             Cálculo mental
         y conocimiento de procesos
                                                              Uso de la calculadora
         Aplicación en la práctica
                                                     @        Uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación

         Refuerzo de macrodestrezas                           Trabajo en grupo

                                                      Buen
                                                      Vivir   Buen Vivir


    Páginas finales

Cómo resolver                                                                             En resumen
problemas                                                                                 Síntesis de las ideas clave
                                                                                          del módulo y esquema que
En cada módulo se trabaja
                                                                                          muestra la relación de los
una estrategia de resolución
                                                                                          conocimientos en los blo-
de problemas distinta.
                                                                                          ques matemáticos.




Ejercicios y problemas                                                                        Demuestra
                                                                                              tu ingenio
Cuestiones, ejercicios y problemas
para consolidar la comprensión de                                                             Resolución de proble-
conceptos, conocimiento de pro-                                                               mas a través de diversas
cesos y aplicación en la práctica                                                             estrategias del pensa-
de lo que has aprendido.                                                                      miento y creativas.

En la sección Más a fondo pro-
ponemos actividades de mayor di-                                                              Buen Vivir
ficultad para profundizar las ma-                                                             Profundización de los
crodestrezas.                                                                                 ejes transversales para
                                                                                              una formación integral.




Autoevaluación
y coevaluación
Permite comprobar los conoci-
mientos, a través de actividades                                                             Crónica matemática
con indicadores esenciales de
evaluación.                                                                                  Con noticias, curiosida-
                                                                                             des... del tema trabajado.
Sección de historia
Para conocer la evolución
histórica de algunos con-
ceptos matemáticos.
                                                                                                                           5
Índice
       Módulo 1: Números racionales. Medidas de tendencia central
    1. Fracciones positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    10
       1.1. Fracciones con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             11
       1.2. Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                12
       1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       14
       1.4. Ordenación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 15
    2. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    16
       2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                        16
       2.2. Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 17
       2.3. Potencias y raíces cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                   18
    3. Relación entre las fracciones y los decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                             20
       3.1. Expresión decimal de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    20
       3.2. Fracción generatriz de un número decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         21
       3.3. Operaciones con decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  22
    4. Aproximación, redondeo y error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      23
    5. Estadística: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      24
       5.1. Variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           25
       5.2. Recolección de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             26
    6. Presentación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 28
       6.1. Tablas de distribución de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      28
       6.2. Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            30
    7. Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 34
       7.1. Media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           34
       7.2. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35
       7.3. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      35

       Módulo 2: Números irracionales. Perímetros y áreas de polígonos
    1. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                50
    2. El conjunto de los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           51
       2.1. Concepto de número irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      51
       2.2. Representación gráfica de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                               53
       2.3. Números irracionales. Orden y comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                              55
       2.4. Operaciones con números irracionales. Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                   56
       2.5. División y multiplicación de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                            58
       2.6. Operaciones combinadas entre números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                    59
    3. Perímetro y área de cuadriláteros y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                61
       3.1. Perímetro y área de paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       61
       3.2. Perímetro y área de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                   63
       3.3. Perímetro y área de trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    63
    4. Perímetro y área de otros polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           64
       4.1. Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              64
       4.2. Polígonos irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              65
    5. Estimación de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 66
       5.1. Aplicaciones al teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         67
        Módulo 3: Números reales. Polinomios
    1. El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         82
       1.1. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         82
       1.2. Intervalos de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     83
       1.3. Aproximaciones y errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 84
       1.4. Truncamiento y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    84
       1.5. Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      85
    2. Operaciones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          86
    3. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     88
6
3.1. Operaciones con monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
   3.2. Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
   3.3. Valor numérico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
   3.4. Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
   3.5. Polinomios ordenados y reducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
   3.6. Polinomios completos e incompletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
   3.7. Representación concreta de polinomios hasta grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
   4.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
   4.2. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
   4.3. Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
   4.4. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
   4.5. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

     Módulo 4: Números reales. Patrones de crecimiento lineal
1. Potencias de base real y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2. Simplificación de expresiones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
   3.1. Término general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
   3.2. Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4. Patrones de crecimiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5. Función de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
   5.1. Función lineal o proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
     Módulo 5: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Diagramas de tallo y hojas
1.   Igualdad y ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.   Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
     2.1. Propiedades de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.   Resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.   Método general de resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
     4.1. Ecuaciones con paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
     4.2. Ecuaciones con denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
     4.3. Aplicación a la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.   Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
     5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.   Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
     6.1. Conjunto solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
     6.2. Inecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
     6.3. Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita . . . . . . . . . . 160
     6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.   Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.   Aplicación a la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.   Diagrama de tallo y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
   Módulo 6: Líneas de simetría. Áreas. Medidas en grados de ángulos notables
1. Transformaciones isométricas o movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
   1.1. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2. Áeas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
   2.1. Áreas de prismas, pirámides y troncos de pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
   2.2. Áreas de cilindros, conos y troncos de cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3. Medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes . . . . . . . . 190
   3.1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

 • Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
 • Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
                                                                                                                                       7
Módulo                                               Buen Vivir: Biodiversidad y ambiente sano




                                                         1
                                                   Bloques: Numérico.
                                                 Estadística y probabilidad
Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                                              Un iceberg es una masa enorme de hielo que flota en el mar. La par-
                                                                              te visible, llamada punta del iceberg, corresponde a 1/9 del total.
                                                                              Por lo tanto, la parte sumergida corresponde a sus 8/9 partes.
                                                                                                                                                     http://desktop.qkype.com




                                                                              El iceberg más grande del mundo es el B-15A, con una longitud de 127
                                                                              km, una anchura de 27 km y una superficie aproximada de 3 100
                                                                              km2, 124 km2 menos que la superficie de la provincia de Bolívar.
                                                                              — ¿La superficie de tu provincia a qué fracción de la del iceberg
                                                                                B-15A corresponde aproximadamente?
                                             8
Números racionales
Medidas de tendencia central
 Tus conocimientos sobre las fracciones y los números decimales servirán para relacionarlos con el cálculo de la
 media aritmética y la mediana. Serás capaz de utilizarlos para resolver situaciones diversas de la vida cotidiana.


DCD
DCD Destrezas con criterios de desempeño
 • Leer y escribir números racionales de acuerdo con               • Efectuar aproximaciones de números decimales y
   su definición.                                                    calcular el error cometido.
 • Representar números racionales en notación deci-                • Calcular la media, mediana y moda de un conjunto
   mal y fraccionaria.                                               de datos estadísticos contextualizados en proble-
 • Ordenar y comparar números racionales.                            mas pertinentes.
 • Resolver operaciones combinadas de adición, sus-                • Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones y
   tracción, multiplicación y división exacta con nú-                decimales para resolver situaciones de la vida co-
   meros racionales.                                                 tidiana.
 • Simplificar expresiones de números racionales con
   la aplicación de las reglas de potenciación y de
   radicación.
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     Prerrequisitos
  Recuerda                                                         Evaluación diagnóstica
  • Una fracción es la expresión de una división                   • Representa sobre la recta los siguientes números
    entre dos números, su numerador y su deno-                       enteros. Describe el procedimiento utilizado.
    minador. Así:
                                                                               −5, −3, −1, 0, 2, 4, 7
                            3
                      3÷4 =
                       :                                           • Escribe estas fracciones: un tercio, dos quintos,
                            4
                                                                     tres medios y once treceavos.
  • Un número decimal puede expresarse con la coma
                                                                   • Expresa en forma de fracción: tres trimestres de
    decimal o mediante una fracción decimal.
                                                                     un año, cuatro días de una semana, dos semanas
                           123 456
               123 , 456 =                                           de un mes.
                            1000
                                                                   • Calcula mentalmente el número decimal corres-
  • La región de círculo limitada por dos radios y su ar-            pondiente a estas fracciones.
    co correspondiente recibe el nombre de sector
                                                                                  5   3   30 56 15
    circular.                                                                       ;   ;   ;  ;
                                                                                 10 100 40 10 75
                             Radio              Arco
                                     Sector
                                     circular
                                                                   • Determina cuál es el valor que más se repite en
                                     Radio
                                                                     la siguiente serie de cifras: 1, 5, 6, 7, 3, 4, 7, 2,
                                                                     8, 2, 6, 3, 7, 3, 6, 1, 8, 3, 5, 1, 4, 7, 9, 3, 1, 5, 3,
                                                                                                                                Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                                     4, 7, 2 y 5.



                 Biodiversidad y ambiente sano

 Buen
                 Art. 14.- Se reconoce el derecho de la población a vivir en un ambiente
 Vivir           sano y ecológicamente equilibrado, que garantice la sostenibilidad y el
                 Buen Vivir, sumak kawsay.
                 Constitución de la República del Ecuador, 2008.
                                                                                                                                        9
1 Fracciones positivas y negativas
                                                                             Los números enteros no bastan para expresar cantidades que nos encontra-
                                                                             mos habitualmente. Utilizamos las fracciones para referirnos a una parte de
                                                                             un todo o para expresar cantidades en que dividimos una unidad elegida.
                                                                             Cuando decimos que hemos estado un cuarto de hora esperando el bus, sig-
                                                                             nifica que hemos dividido este período de tiempo en cuatro partes iguales
                                                                             y el tiempo de espera corresponde a una de ellas. Las fracciones, pues,
                                                                             nos permiten expresar una parte de un todo o unidad.

                                                 MUCHO OJO                   Toda fracción consta de dos términos:

                                             En la fracción a ,              • El denominador es el número de partes iguales en que dividimos la unidad.
                                                             b
                                             b debe ser diferente de cero:   • El numerador es el número de partes que tomamos.
                                             b   0.                                                        1   ⎯ ⎯ numerador
                                                                                                                 →
                                                                                                           4   ⎯ ⎯ denominador
                                                                                                                 →

                                                                             Una fracción también puede considerarse como parte de una cantidad. En
                                                                             este caso podemos calcular:

                                                                             • La fracción de una cantidad: multiplicamos la fracción por la cantidad.

                                                                                                                                                  ejemplo 1
                                                                                                        2
                                                                               ¿Qué cantidad son las      partes de 125 m?
                                                                                                        5
                                                                               — Multiplicamos la fracción por 125.
                                                                                                                       2
                                                                                                                         · 125 = 50
                                                                                                                       5
                                                                                                   2
                                                                               Por lo tanto, las     partes de 125 m son 50 m.
                                                                                                   5



                                                                             • Una cantidad de la cual conocemos la fracción: multiplicamos la inversa de
                                                                               la fracción por el valor correspondiente.


                                                                                                                                                   ejemplo 2
                                                                                                               3
                                                                               Si sabemos que 600 m son          partes del total de un recorrido, determina la
                                                                                                               4
                                                                               longitud total del recorrido.
                                                                                                       3
                                                                               — Sabemos que las         partes de cierta cantidad x son 600.
                                                                                                       4
Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                                                                                   3
                                                                                                                      x = 600
                                                                                                                   4
                                                                                                                                         3
                                                                               — Al despejar, obtenemos que x es igual a la inversa de     multiplicado por 600.
                                                                                                                                         4
                                                                                                                      4
                                                                                                                 x =    · 600 = 800
                                                                                                                      3
                                                                               La longitud total del recorrido es de 800 m.


10
1.1. Fracciones con signo
Una fracción puede interpretarse como la expresión de una división entre dos
números enteros.
                4                      −1                        8
         4÷ 7 =
           :                  − 1÷ 3 =
                                 :                  8 ÷ ( −9 ) =
                                                      :
                7                      3                         −9
Es evidente que podemos encontrar fracciones positivas y fracciones
negativas.

                                              a                                     CONTRAEJEMPLO
    Una fracción es una expresión de la forma   , en que a y b son nú-
    meros enteros, siendo b ≠ 0.              b
                                                                                   El número Pi (π) no es un nú-
                                                                                   mero racional, porque no se
                                                                                   lo puede expresar como frac-
Como en el caso de los números enteros, escribimos las fracciones positi-
                                                                                   ción.
vas sin indicar su signo.
                                                                                          π = 3,1415...
                                      3    3
                                         =  +
                                      4    4
Y, teniendo en cuenta la regla de los signos para la división, podemos escribir:
                                             3   −3
                                               =
                                             4   −4
Vemos, pues, que toda fracción positiva puede expresarse como el co-
ciente de dos números enteros, ambos positivos o ambos negativos.
Y, del mismo modo, toda fracción negativa puede expresarse como el co-
ciente de dos números enteros, uno de ellos positivo y el otro negativo.
                                          5   −5    5
                                      −     =    =
                                          8   8    −8

 Actividades
  1 Expresa 11 cm como fracción de: metro, decímetro, kilómetro y milímetro.

  2 Inti y su padre han tardado 55 min en realizar la compra semanal. Si han
     estado 10 min haciendo cola en el puesto de venta de pescado, ¿qué                                       www.hoy.com.ec
     fracción del tiempo total representan estos minutos?

  3 Calcula:
            2                             3
      a)      de 12 300              b)     de 2 100
            5                             7
                                                                                   ■ Mercado de Santa Clara
  4 Resuelve en tu cuaderno:                                                       en Quito.
             2                             4
       a)      de ..... = 1680       b)      de ..... = 1800
             3                             9
  5 Describe oralmente una situación en la que sea necesaria emplear una
     fracción positiva y otra en la que se utilice una fracción negativa.
                                                                                                                               Distribución gratuita - Prohibida la venta




  6 Clasifica las fracciones siguientes en positivas y negativas.

                            −2       5   1 −3 2   −1 7
                                 ,     ,− ,  ,  ,   ,
                             3       4   2 4 −5 −8 3
      — Transforma las fracciones con denominador negativo en fracciones
        con denominador positivo.


                                                                                                                               11
1.2. Fracciones equivalentes
                                             Podemos comparar gráficamente dos fracciones distintas para ver si re-
                                             presentan la misma parte de la unidad.

                                                         1
                                                         4
                                                                                                                                        1 = 2
                                                                                                                                        4   8
                                                         2
                                                         8


                                             Si dos fracciones positivas representan la misma parte de la unidad, se de-
                                             nominan fracciones equivalentes.
                                             Si dos fracciones positivas son equivalentes se cumple que el producto del
                                             numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al pro-
                                             ducto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
                                                                        1      2
                                                                           =      ⎯ ⎯ 1· 8 = 4 · 2
                                                                                      →
                                                                        4      8
                                             Esta propiedad se conoce como propiedad fundamental de las fracciones equi-
                                             valentes y nos permite definir la equivalencia de fracciones con signo.
                                                                  a     c
                                                 Las fracciones       y   (b ≠ 0 y d ≠ 0) son equivalentes si se cum-
                                                                  b     d
                                                 ple que a · d = b · c.


                                             Obtención de fracciones equivalentes
                                             Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada, se multiplica o
                                             se divide el numerador y el denominador por un mismo número entero di-
                                             ferente de 0.
                                                             ·2                ÷3
                                                                               :                  ·( −4 )
                                                                 −3    −6               −3   −1                            −3     12
                                                                     =                     =                                  =
                                                                 9     18               9     3                            9      −36
                                                                    ·2                     ÷3
                                                                                           :                                  ·( −4 )


                                              Actividades
                                                                                                                                                 4
                                               7 Indica oralmente qué fracciones a continuación son equivalentes a −                               .
                                                                                                                                                 7
                                                                      52         −60                  −64              16
                                                                 a)         b)                   c)               d)
                                                                      −91        −105                  84              28
                                                                                                       4
                                               8 Escribe una fracción equivalente a                       con denominador 156.
                                                                                                      −13

                                               9 Escribe una fracción equivalente a −15 con numerador − 480.
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                                                                                    16
                                                  — ¿Puedes escribir una fracción equivalente a la anterior cuyo numerador
                                                    sea 215?
                                               10 Busca el valor de x para que cada uno de estos pares de fracciones sean
                                                  equivalentes.
                                                         − 13           x        − 30       15               −1        2           −4        x
                                                    a)            =         b)          =               c)        =           d)        =
                                                             7         42        − 12        x               x        10           x        −9


12
Simplificación de fracciones                                                                  Máximo común divisor
Hemos visto que si dividimos el numerador y el denominador de una fracción                          (m.c.d.)
por un mismo número entero distinto de 0, obtenemos una fracción equi-                       Para calcular el máximo co-
valente. En este caso decimos que hemos simplificado la fracción.                            mún divisor de dos números,
                                                                                             por ejemplo, 126 y 270:
Toda fracción puede simplificarse hasta llegar a la fracción irreducible.
                                                                                             • Descomponemos en fac-
    Una fracción con signo es irreducible cuando su numerador y su de-                         tores primos cada uno de
    nominador, sin tener en cuenta el signo, son números primos entre sí.                      los números.
                                                                                                   126 = 2 · 3 2 · 7
Cálculo de la fracción irreducible                                                                 270 = 2 · 3 3 · 5
Aprendamos ahora tres métodos distintos para hallar la fracción irreducible                  • Consideramos los factores
                           2100                                                                primos comunes elevados
equivalente a la fracción:                                                                     al mínimo exponente: 2 y
                           5400
                                                                                               32.
1. Realización de divisiones sucesivas.                                                      • Efectuamos el producto
                                                                                               de los números obtenidos:
             Procedimiento                                     Ejemplo                         2 · 3 2 = 18.
 • Resolvemos divisiones sucesivas del                    ÷10      ÷10      ÷3                 m.c.d. (126, 270) = 18
                                                           ‫ۍ‬        ‫ۍ‬       ‫ۍ‬
   numerador y del denominador de                 2100      210     21     7
   la fracción entre divisores comunes                   =       =      =
                                                  5 400   ‫ۍ‬ 540     54
                                                                    ‫ۍ‬     18‫ۍ‬
   de ambos hasta obtener la fracción
   irreducible.                                         ÷10     ÷10    ÷3


2. Descomposición en factores primos.
             Procedimiento                                     Ejemplo
 • Descomponemos el numerador y
   el denominador en factores primos.
 • Dividimos el numerador y el deno-      2100            2 · 2 · 3 · 5 · 5 ·7           7
   minador por los factores comunes                =                                =
                                          5 400        2 · 2 · 2· 3 · 3· 3· 5 · 5       18
   para eliminarlos.

3. División del numerador y el denominador por su m.c.d.
             Procedimiento                                     Ejemplo
 • Calculamos el m.c.d de los términos    2 100 = 22· 3 · 52· 7 y 5 400 = 23· 33· 52
   de la fracción.
                                          m.c.d. (2 100, 5 400) = 2 2 · 3 · 5 2 = 300
 • Dividimos el numerador y el deno-
   minador por su m.c.d.                          2100          2100 ÷ 300
                                                                     :        7
                                                           =               =
                                                  5 400         5400 ÷ 300
                                                                     :       18


 Actividades
                                                                                                                           Distribución gratuita - Prohibida la venta




  11 Simplifica, en tu cuaderno, estas fracciones.               12 Simplifica las siguientes fracciones por el proce-
                                                                    so de dividir ambos términos por su m.c.d
         117         528        111                                  −24 105 42 173 360 −188
      a)          c)         e)                                          ,       ,   ,      ,     ,
         −78         −253       228                                   36   540 18 252 480 −705

           −342        −36        3 102                          13 Explica oralmente tres maneras distintas de de-
      b)          d)         f)
            285        −28        8 415                             mostrar que dos fracciones son equivalentes.


                                                                                                                           13
1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta
                                                                               Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma pa-
                                                                               recida a como representamos los números enteros.
                                                                               Si la fracción es positiva, su representación se situará a la derecha del 0
                                                                               y, si es negativa, a la izquierda del 0.
                                                                               A continuación, vamos a ver el proceso que se sigue para representar frac-
                                                                               ciones positivas y negativas sobre la recta.


                                                                                                Ejemplo 1 14                            Ejemplo 2 −17
                                                       Procedimiento                          Ubicación de                           Ubicación de
                                                                                                           8                                       6

                                             Consideramos la fracción irredu-                       14   7                                   −17
                                             cible equivalente.                                        =
                                                                                                     8   4                                    6

                                             Efectuamos la división entera del nu-                   7 4                                    17 6
                                             merador entre el denominador.
                                                                                                     3 1                                     5 2
                                             El cociente de esta división deter-
                                             mina los dos números enteros que         La fracción se sitúa entre 1 y 2.     La fracción se sitúa entre −2 y −3.
                                             son los extremos del segmento don-
                                             de se situará la fracción.

                                             Dividimos el segmento determi-           Tenemos que dividir el segmento       Tenemos que dividir el segmento
                                             nado por estos dos números en-           determinado por 1 y 2 en 4 par-       determinado por −2 y −3 en 6 par-
                                             teros en tantas partes como indi-        tes iguales y tomar 3.                tes iguales y tomar 5.
                                             que el denominador de la fracción
                                             y tomamos las que señale el res-
                                             to de la división.
                                                                                                                                –4    –3         –2   –1   0
                                                                                                                                           –17
                                                                                        0       1        2       3                           6
                                                                                                    14
                                                                                                     8




                                                                                Actividades
                                                                                 14 Representa sobre la recta las siguientes fracciones.
                                                                                                    3 −3   −2     15
                                                                                                     ,   ,    , −
                                                                                                    5 − 4 −14      6
                                                                                 15 Expresa oralmente en forma de fracción los puntos señalados en la recta.
Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                                                 16 Escribe las fracciones que corresponden a los puntos indicados en la recta.




14
1.4. Ordenación de fracciones                                                             Mínimo común múltiplo
                                                                                                 (m.c.m.)
La representación de las fracciones        –                                     +
                                                                                         Para calcular el mínimo co-
sobre la recta nos permite ordenar-
                                                                                         mún múltiplo de dos núme-
las. Tal y como sucede en la orde-
                                                                   1         3           ros, por ejemplo, 12 y 45:
nación de los números naturales y         –1 – 3       – 1     0                     1
                                               4         4         4         4
los números enteros, siempre es ma-                                                      • Descomponemos en fac-
yor la fracción situada más a la de-                  – 3 <– 1 < 1 < 3                     tores primos cada uno de
                                                        4    4   4   4
recha.                                                                                     los números.
                                                                                                 12 = 2 2 · 3
También es posible comparar dos fracciones sin tener que representarlas.
                                                                                                 45 = 3 2 · 5
Ordenación de fracciones con el mismo denominador                                        • Consideramos los factores
Dadas dos fracciones con el mismo denominador positivo, es mayor la                        no comunes y comunes
que tiene el numerador más grande.                                                         elevados al máximo expo-
                                                                                           nente: 2 2, 3 2 y 5.
                                                                         ejemplo 3       • Multiplicamos los núme-
                         11 –5 15                                                          ros obtenidos:
  Compara las fracciones   ,    y    .
                         7   7    7                                                         2 2 · 3 2 · 5 = 180
  — Como el denominador es el mismo y positivo, podemos comparar los nume-                 m.c.m. (12, 45) = 180
    radores.
                                −5 < 11 < 15
  — Por lo tanto,
                               –5    11    15
                                  <     <
                               7     7      7
Ordenación de fracciones con distinto denominador
Para comparar dos o más fracciones con distinto denominador, tomamos las
fracciones equivalentes de forma que todos los denominadores sean posi-
tivos. A continuación, las reducimos a mínimo común denominador y com-
paramos las fracciones obtenidas.
                                                                         ejemplo 4       Reducción a mínimo común
                           12    –3                                                            denominador
  Compara las fracciones       y    .
                           –15    4
                                                                                         Para reducir a mínimo común
                12         −12                                                           denominador dos o más
  — Escribimos       como       para que su denominador sea positivo.
               −15          15                                                           fracciones:
  — Reducimos las fracciones a mínimo común denominador.
                                                                                         • Calculamos el m.c.m. de
    m.c.m. (15, 4) = 60     60 ÷ 15 = 4                    60 ÷ 4 = 15                     los denominadores.
                       −12 · 4    − 48        − 3 · 15    − 45                           • Dividimos el m.c.m. entre
                                =                       =
                        15 · 4     60          4 · 15      60                              cada denominador y mul-
  — Las fracciones obtenidas tienen el mismo denominador positivo. Por lo tanto,           tiplicamos el cociente ob-
    será mayor la que tenga el numerador más grande.                                       tenido por los dos térmi-
                             − 48    − 45                                                  nos de la fracción corres-
                                            −12       −3       12   −3
            − 48 < − 45 ⇒         <       ⇒        <      ⇒       <                        pondiente.
                              60      60    15         4      −15    4

 Actividades
                                                                                                                        Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                           −5       7
  17 Compara las siguientes fracciones:         y      .
                                            4       −3
  18 Representa estas fracciones sobre la recta y ordénalas de menor a mayor.
                                4 −12   8   3   3
                            −     ,   ,   ,   ,
                                5   5   −5 15 1


                                                                                                                        15
2 Operaciones con fracciones
                                                                            2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división
                                                                            Operar con fracciones negativas es como operar con las positivas pero te-
                                                MUCHO OJO
                                                                            niendo en cuenta las reglas de las operaciones con números enteros.
                                             Siempre que sea posible
                                             simplificaremos las fraccio-   Conozcamos el proceso seguido para efectuar diferentes operaciones con
                                             nes, hasta la fracción irre-   fracciones.
                                             ducible, para facilitar los
                                             cálculos durante los proce-               Adición y sustracción                                   Ejemplos
                                             sos seguidos en las distin-     Para sumar o restar fracciones, éstas
                                             tas operaciones.                                                                3       −2         15      −8   15 + ( −8 )   7
                                                                             deben tener el mismo denominador.                   +          =        +     =             =
                                                                             Si no es así, se reducen previamente a          4        5         20      20      20         20
                                                                             mínimo común denominador.                       m . c . m . ( 4 , 5 ) = 20
                                                                             • Se deja el mismo denominador.                 −3      1        −9     2   −9 − 2   −11
                                                                                                                                  −       =        −   =        =
                                                                             • Se suman o se restan los numera-               2      3         6     6     6       6
                                                                               dores.                                        m. c . m. ( 2 , 3 ) = 6

                                                                                          Multiplicación                                       Ejemplos
                                                                             El producto de dos o más fracciones
                                                                             da lugar a otra fracción en la que:
                                                                             • El numerador es el producto de los
                                                                               numeradores de cada una de las frac-                3 −2   3 ·( −2 )   −6   −3
                                                                                                                                    ·   =           =    =
                                                                               ciones.                                             4 7      4 ·7      28   14
                                                                             • El denominador es el producto de los
                                                                               denominadores de las fracciones.

                                                                                               División                                        Ejemplos
                                                  FÍJATE                     La división de dos fracciones es una
                                                                             fracción en que:
                                             Notación de la división de
                                             fracciones                      • El numerador es el producto del nu-
                                               a                               merador de la primera fracción por el
                                                                               denominador de la segunda.                             −3   1   −3 · 6   −18
                                               b = a ÷ c = a·d                                                                           :
                                                                                                                                         ÷   =        =
                                                        :                                                                              5   6    5 ·1     5
                                               c     b d       b·c           • El denominador se obtiene multipli-
                                               d                               cando el denominador de la prime-
                                                                               ra fracción por el numerador de la se-
                                                                               gunda.


                                                                             Actividades
                                                                              19 Efectúa, en tu cuaderno, las siguientes operaciones con fracciones.
Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                                                       −1   3                       −5       3                            5    −4
                                                                                  a)      +                    d)        ·                          g)       −
                                                                                       2    4                       12       4                            −3   9
                                                                                       5   4                        1    4                                6    −2
                                                                                  b)     −                     e)     ÷−
                                                                                                                      :                             h)       +
                                                                                       6   3                        6    3                                −7   5
                                                                                       5 −6                         3 ⎛ −4 ⎞                              −4    ⎛    6⎞
                                                                                  c)    ·                      f)    ÷⎜−
                                                                                                                     :     ⎟                         i)        ÷⎜−
                                                                                                                                                               :      ⎟
                                                                                       3 4                          2 ⎝ 9 ⎠                               15    ⎝    7⎠


16
2.2. Operaciones combinadas
Para efectuar operaciones combinadas con fracciones positivas y negati-
vas aplicamos los mismos criterios de prioridad establecidos para los nú-
meros enteros:
• Primero, se resuelven los paréntesis y los corchetes.
• A continuación, las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que apa-
  recen.
• Y, finalmente, las sumas y las restas.
Fíjate en este ejemplo.


                                                                        ejemplo 5
             2 5 ⎛ −2   2             ⎞  4
  Calcula     · +⎜
                 ⎜    −               ⎟÷
                                      ⎟:
             3 4 ⎝ 5    35            ⎠ 21

  — En primer lugar, efectuamos la resta del interior del paréntesis.

                          2 5   −14 − 2   4    2 5   −16   4
                           ·  +         :
                                        ÷    =  ·  +     :
                                                         ÷
                          3 4     35      21   3 4    35   21

  — A continuación, resolvemos las multiplicaciones y las divisiones en el orden
    en que aparecen.
                 2 5   −16   4    2·5    −16 · 21   10   −336
                  ·  +     :
                           ÷    =      +          =    +
                 3 4    35   21   3· 4    35 · 4    12   140

  — Por último, calculamos las sumas y las restas, y simplificamos el resultado.
                          10   −336   350 + ( −1008 )   −658   − 47
                             +      =                 =      =
                          12   140         420           420    30


 Actividades
 20 Efectúa las siguientes operaciones combinadas.             23 Calcula en tu cuaderno:
            −3       4 5                  1   3    7                     1                           1
      a)         −    ·              b)     :
                                            ÷    +                     1−                              −1
            7        9 6                  7   −2   8                     3
                                                                   a)                    b ) 1 − 2· 4
                                                                         3                              1
 21 Resuelve estas operaciones combinadas.                            2+                            2+
                                                                         5                              5
                        5 −6       3 2      −4
                     a)   ·      +    :
                                      ÷   −
                        3 4        2 3       9                 24 Valentina leyó en una semana la tercera parte de un li-
                        5   ⎛ −6    3  ⎞ 2    −4                   bro de 180 páginas y la semana siguiente, la cuarta
                     b ) ·⎜ ⎜ 4 + 2 ⎟÷ 3 − 9
                                       ⎟:                          parte. Si tarda 3 minutos en leer una página, ¿cuán-
                        3 ⎝            ⎠                           to tardará en acabar de leerlo? Expresa el resultado
                               ⎛ −6  3 2 ⎞ −4
                                                                                                                            Distribución gratuita - Prohibida la venta




                          5                                        como una operación combinada y calcúlala.
                     c)       ·⎜
                               ⎜ 4 + 2 ÷ 3 ⎟− 9
                                       :   ⎟
                          3    ⎝           ⎠                   25 Adrián sale de su casa con $ 32. En diversas com-
 22 Copia la operación y ubica los paréntesis para                 pras se gasta tres octavas partes de esta cantidad.
     que el resultado sea el que se indica.                        ¿Cuántos dólares se ha gastado? ¿Cuántos le que-
                                                                   dan?
                      2   2 1   1   2   11
                        +  ·  −   +   =
                      3   5 3   3   9   45


                                                                                                                            17
2.3. Potencias y raíces cuadradas
                                                                                            Cuando operamos con fracciones podemos encontrarnos, como sucede con
                                                                                            los otros tipos de números, con multiplicaciones de factores repetidos. Tam-
                                                                                            bién pueden aparecer fracciones cuyos términos sean cuadrados perfec-
                                                                                            tos.

                                                                                            Potencia de una fracción
                                                                                            En ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de fracciones
                                                                                            iguales. Son potencias cuya base es una fracción y su exponente, un número
                                                                                            natural. En general:

                                                                                                                          n
                                                                                                                                 n veces
                                                                                                                   ⎛ a⎞         a a      a   a · a ·...· a   an
                                                  FÍJATE                                                           ⎜ ⎟        =  · ·...·   =               =
                                                                                                                   ⎝ b⎠         b b      b   b · b ·...· b   bn
                                             Podemos transformar una
                                             potencia de fracción de ex-                                                                                                                       n
                                                                                                   Para elevar una fracción a una potencia, se elevan                                   ⎛ a⎞           an
                                             ponente negativo en otra de
                                                                                                   el numerador y el denominador a esta potencia.                                       ⎜ ⎟        =
                                             exponente positivo.                                                                                                                        ⎝ b⎠           bn
                                                         -n               n
                                                  ⎛ a⎞         ⎛ b⎞
                                                  ⎜ ⎟         =⎜ ⎟                          En la tabla siguiente puedes observar que las operaciones con potencias
                                                  ⎝ b⎠         ⎝ a⎠                         de base una fracción y exponente entero cumplen las mismas reglas que
                                                                                            las potencias de base y exponente enteros.


                                                Multiplicación de potencias de la misma base                                                      Potencia de una potencia

                                                                          m             n           m+n
                                                                   ⎛ a⎞        ⎛ a⎞          ⎛ a⎞                                                     ⎛⎛   ⎞ ⎞
                                                                                                                                                            m
                                                                                                                                                                   n
                                                                                                                                                                         ⎛ a ⎞
                                                                                                                                                                                 m⋅ n

                                                                   ⎜ ⎟        ⋅⎜ ⎟          =⎜ ⎟                                                      ⎜⎜ a ⎟ ⎟         = ⎜
                                                                   ⎝ b⎠        ⎝ b⎠          ⎝ b⎠                                                     ⎜⎝ b ⎠ ⎟               ⎟
                                                                                                                                                      ⎝       ⎠          ⎝ b⎠


                                                   División de potencias de la misma base                                                         Potencia de exponente 1

                                                                          m             n           m-n                                                            1
                                                                   ⎛ a⎞   ⎛ a⎞               ⎛ a⎞                                                         ⎛ a⎞  a
                                                                        :
                                                                   ⎜ ⎟ ÷⎜ ⎟                 =⎜ ⎟                                                          ⎜ ⎟ =
                                                                   ⎝ b⎠   ⎝ b⎠               ⎝ b⎠                                                         ⎝ b⎠  b


                                                                  Potencia de un producto                                                         Potencia de exponente 0

                                                                              n              n            n                                                   0
                                                              ⎛ a c⎞                ⎛ a⎞ ⎛ c⎞                                                         ⎛ a⎞
                                                              ⎜  ⋅ ⎟              = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟                                                          ⎜ ⎟         = 1 ( a ≠ 0 ); b ≠ 0
                                                              ⎝ b d⎠                ⎝ b⎠ ⎝ d⎠                                                         ⎝ b⎠



                                             Actividades
                                             26 Efectúa:                                                                            28 Expresa estas operaciones como una única po-
Distribución gratuita - Prohibida la venta




                                                              2                   −2                 2               3                  tencia.
                                                    ⎛ 5⎞               ⎛ 3⎞                    ⎛ 3⎞  ⎛ 2⎞
                                                 a) ⎜ ⎟             b) ⎜ ⎟                  c) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟                                          2       3                      2         3
                                                    ⎝ 7⎠               ⎝ 4⎠                    ⎝ 2⎠  ⎝ 4⎠                                   ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞                      ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞
                                                                                                                                        a ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟                   c ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟
                                             27 Transforma en potencias de exponente positivo:                                              ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠                      ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
                                                                                                                                                  2           3                   5        2
                                                              −2                       −5                     −3                           ⎛ 1⎞   ⎛ 1⎞                     ⎛ 4⎞ ⎛ 7⎞
                                                    ⎛ 3⎞                 ⎛ 2⎞                       ⎛ 1⎞                                b) ⎜ ⎟ ÷⎜ ⎟
                                                                                                                                                :                      d ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟
                                                 a) ⎜ ⎟               b) ⎜ ⎟                     c) ⎜ ⎟                                    ⎝ 4⎠   ⎝ 4⎠                     ⎝ 7⎠ ⎝ 4⎠
                                                    ⎝ 5⎠                 ⎝ 6⎠                       ⎝ 4⎠

18
Raíz cuadrada de una fracción
Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es hallar otro número
que elevado al cuadrado sea igual al primero.
De forma análoga, la raíz cuadrada de una fracción será otra fracción que
elevada al cuadrado sea igual a la primera.
Decimos que una fracción es cuadrado perfecto si lo son el numerador y el
denominador de su fracción equivalente irreducible.
Tal y como sucede con los números enteros, la raíz cuadrada de una fracción
que es cuadrado perfecto corresponde a dos fracciones: una positiva y la
otra negativa.
Así, por ejemplo:

                                                    ⎛2⎞
                                                        2
                                 4       2                4
                                     =     , ya que ⎜ ⎟ =
                                 9       3          ⎝3⎠   9
                                                   4    2
                             La raíz cuadrada de     es
                                                   9    3

    La fracción a que es cuadrada perfecta tiene por raíz a la fracción
                  c   b      c 2 a
    positiva        tal que:    = donde c2 = a y d2 = b
                  d          d   b


Teniendo en cuenta la regla de los signos para la multiplicación, resulta
evidente que tanto el cuadrado de una fracción positiva como el de una
negativa son positivos.
Por ello y, del mismo modo que ocurre con los números enteros, la raíz
cuadrada de una fracción negativa no existe.


    Las fracciones negativas no tienen raíz cuadrada.




 Actividades
  29 Calcula:

        100          529          49     144      729
            ,            ,           ,       ,
        169           81         225     324     1296

  30 Luego de simplificar, indica oralmente cuáles de estos números son
     cuadrados perfectos.
               8 1 147 108 25 20 72
     1, 8 ,     , ,   ,   ,  ,  ,
                                                                              Distribución gratuita - Prohibida la venta




              50 4 27   75 64 45 50

  31 Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno.

      a)      9 + 42

      b) 5·   (   25 + 2 3   )
      c ) 2 3 · 4 + 25 · 10


                                                                              19
3 Relación entre las fracciones
                                                                                      y los decimales
                                                                                    Dado que toda fracción puede interpretarse como una división, podemos
                                                                                    asociar un número decimal (el resultado de esta división) a cada fracción.

                                                      Fracciones
                                                           ᭡
                                                                                    3.1. Expresión decimal de una fracción
                                                           ᭡

                                                 ᭡                   ᭡
                                                                                    Al dividir el numerador de cualquier fracción entre su denominador, podemos
                                             Decimales           Decimales          encontrar tres casos distintos:
                                             limitados           ilimitados
                                                                 periódicos          • Después de extraer una o más cifras decimales, obtenemos resto 0.
                                                                                                                             15       4
                                                           ᭡                 ᭡
                                                        Puros              Mixtos                                              30     3 , 75
                                                                                                                                 20
                                                                                                                         0
                                                                                      A la fracción 15 le corresponde el número decimal limitado 3,75.
                                                                                                     4

                                                                                     • El resto nunca es 0 y en el cociente aparece una cifra o grupo de cifras que
                                                                                       se van repitiendo y que llamamos período.
                                                      FÍJATE                          Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico.
                                             Para simbolizar el período, uti-                 14      3                                    23                                   6
                                             lizamos un pequeño arco que
                                             comprende las cifras que lo                         20        4 , 666...                                              50           3 , 833...
                                             componen.                                            20                                                                20
                                                     4 , 666... = 4 , 6                               20                                                                20
                                                     3 , 833... = 3 , 83                               2                                                                 2

                                                                                      El período (6) comienza inmediata-                  Hay cifras decimales (8) entre la coma
                                                                                      mente después de la coma.                           y el período (3).
                                                                                                                                                          23
                                                                                      A la fracción 14 le corresponde el                  A la fracción      le corresponde el
                                                                                                     3                                                     6
                                                                                      número decimal ilimitado periódi-                   número decimal ilimitado periódico
                                                                                      co puro 4,666...                                    mixto 3,833...
                                                      FÍJATE
                                             Si dos fracciones son equiva-          Así, cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimitado periódico.
                                             lentes, les corresponde el mis-
                                             mo número decimal.
                                                   12     24
                                                        =     = 1, 714...
                                                    7     14                         Actividades
                                                                                      32 Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones.
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                                                                                                                        11 8 −5 3 13 −5
                                                                                                                          , ,  ,  , ,
                                                                                                                        13 7 14 −4 9 −14

                                                                                      33 Clasifica estos números decimales en limitados, ilimitados periódicos pu-
                                                                                         ros e ilimitados periódicos mixtos.

                                                                                                   2 , 242424...; 0 , 75 ; 3 , 435 ; 8 , 2 51; − 2 , 89 ; 0 , 5 ; 2 ,13444...


20
3.2. Fracción generatriz de un número decimal
Acabamos de aprender que a toda fracción le corresponde un número deci-
mal limitado o ilimitado periódico. La afirmación recíproca también es cierta,
es decir, todo número decimal limitado o ilimitado periódico es una fracción.

    La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado pe-
    riódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.

Veamos, ahora, la forma de calcular la fracción generatriz correspondiente
a un determinado número decimal limitado o ilimitado periódico.

                         El número decimal es limitado                                      Ejemplo: 4,65
• Llamamos x al número decimal.                                                                       x = 4,65
• Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria                                100 x = 465
  para eliminar la coma.
• Despejamos x y simplificamos la fracción.                                                       465   93
                                                                                           x =        =
                                                                                                  100   20

             El número decimal es ilimitado periódico puro                                  Ejemplo: 12 , 6
                                                                                                     00,0

• Llamamos x al número decimal.                                                                  x = 12 , 6
• Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria                            10 x = 126 , 666...
  para que la coma quede justo después del primer período.
• A la expresión obtenida le restamos la expresión inicial.                                  10 x = 126 , 666...
                                                                                             − x = 12 , 666...
                                                                                               9 x = 114

• Despejamos x y simplificamos la fracción.                                                       114   38
                                                                                           x =        =
                                                                                                   9     3

            El número decimal es ilimitado periódico mixto                                          1 , 2 54
                                                                                           Ejemplo: 1,254

• Llamamos x al número decimal.                                                                 x = 1, 2 54
• En primer lugar, multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10                1000 x = 1254 , 5454...
  necesaria para que la coma quede justo después del primer período.
• A continuación, multiplicamos la expresión de x por la potencia de                      10 x = 12 , 5454...
  10 necesaria para que la coma quede justo antes del primer período.
• Restamos las dos expresiones obtenidas.                                               1000 x = 1254 , 5454...
                                                                                  −       10 x =        12 , 5454...
                                                                                         990 x = 1242
• Despejamos x y simplificamos la fracción.                                                      1242   69
                                                                                          x =         =
                                                                                                  990   55
                                                                                                                       Distribución gratuita - Prohibida la venta




 Actividades
  34 Calcula la fracción generatriz de los números de-           35 Efectúa estas operaciones. Calcula previamente
     cimales siguientes.                                            las fracciones generatrices.
      7 , 4 ; 0 , 07 ; 4 , 562 ; − 0 , 00 5 ; 2 ,14 ; 3 , 2 61       a ) 3,5 · 4 ,5 6   b ) ( 2 , 8 + 0 , 3 ) ÷ 1, 5
                                                                                                              :


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  • 1.
  • 2. PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Rafael Correa Delgado MINISTRA DE EDUCACIÓN Gloria Vidal Illingworth VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN Pablo Cevallos Estarellas SUBSECRETARIA DE CALIDAD EDUCATIVA Alba Toledo Delgado GRUPO EDEBÉ Proyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4 Educación Secundaria Obligatoria DIRECCIÓN GENERAL Antonio Garrido González DIRECCIÓN EDITORIAL José Luis Gómez Cutillas DIRECCIÓN DE EDICIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA José Francisco Vílchez Román DIRECCIÓN PEDAGÓGICA Santiago Centelles Cervera DIRECCIÓN DE PRODUCCIÓN Juan López Navarro EQUIPO DE EDICIÓN GRUPO EDEBÉ © Grupo edebé, 2008 Paseo San Juan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com En alianza con EDITORIAL DON BOSCO OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN GERENTE GENERAL Marcelo Mejía Morales DIRECCIÓN EDITORIAL María Alexandra Prócel Alarcón ADAPTACIÓN Y EDICIÓN DE CONTENIDOS Equipo Editorial Don Bosco Humberto Buitrón A. CREACIÓN DE CONTENIDOS NUEVOS Marcia Peña Andrade Saúl Serrano Aguirre Lorena Valladares Perugachi REVISIÓN DE ESTILO Hernán Hermosa Mantilla Isabel Luna Riofrío Pablo Larreátegui Plaza COORDINACIÓN GRÁFICA Y REDIAGRAMACIÓN EDITORIAL Pamela Cueva Villavicencio DIAGRAMACIÓN DE PÁGINAS NUEVAS Susana Zurita Becerra Franklin Ramírez Torres Patricio Llivicura Piedra Distribución gratuita - Prohibida la venta Freddy López Canelos Erika Delgado Chávez Sofía Vergara Anda MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR Primera edición, Mayo 2011 ILUSTRACIÓN DE PORTADA Quito – Ecuador Eduardo Delgado Padilla Darwin Parra Ojeda Impreso por: EDITOGRAN S.A. La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma que sea, por cualquier medio mecánico o electrónico, no autorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cual- quier utilización debe ser previamente solicitada. © Editorial Don Bosco, 2011 DISTRIBUCIÓN GRATUITA 2
  • 3. Vamos a compartir el conocimiento, los colores, las palabras. El Ecuador ha sido, según el poeta Jorge Enrique Adoum, “un país irreal limitado por sí mismo, partido por una línea imaginaria”, y es tarea de todos convertirlo en un país real que no tenga límites. Con este horizonte, el Ministerio de Educación realizó la Actualización y Fortalecimiento del Currículo de la Educación General Básica que busca que las generaciones venideras aprendan de mejor manera a relacionarse con los demás seres humanos y con su entorno y, sobre todo, a soñar con la patria que vive dentro de nuestros sueños y de nuestros corazones. Los jóvenes de octavo a décimo años van a recibir un libro de texto que les permitirá desarrollar sus habilidades. Estos libros tienen un acompañante para los docentes. Es una guía didác- tica que presenta alternativas y herramientas didácticas que enriquecen el proceso de enseñanza-aprendizaje. El Ecuador debe convertirse en un país que mire de pie hacia el futuro y eso solo será posible si la educación nos permite ser mejores ciudada- nos. Es una inmensa tarea en la que todos debemos estar comprometi- dos, para que el “Buen Vivir” sea una práctica cotidiana. Distribución gratuita - Prohibida la venta Ministerio de Educación 2010 3
  • 4. Conoce tu libro Los contenidos que vas a aprender se organizan en seis módulos que están trabajados de manera in- tegrada a partir de los siguientes bloques: Numérico Medida Estadística y probabilidad Geométrico Relaciones y funciones Estructura de los módulos Páginas iniciales Conocimientos que se tra- Destrezas con criterios bajarán dentro del módulo. Buen Vivir de desempeño Eje transversal valorativo que Se muestra un listado de las acompaña a los contenidos y destrezas con criterios de de- permite una formación integral. sempeño que se desarrollarán en el módulo. Una imagen y una actividad inicial nos muestran la presen- Prerrequisitos cia de las matemáti- cas en nuestro en- Definiciones, ejemplos y activida- torno y la relación des para recordar los conocimien- entre los bloques tos previos necesarios para el matemáticos. aprendizaje. Buen Vivir Enunciación del artículo de la Constitu- ción de la República del Ecuador, rela- Desarrollo cionado con el proyecto del Buen Vivir. En los márgenes se in- cluyen explicaciones Los conocimientos se complementarias. organizan en aparta- dos y subapartados. Contraejemplo Ejemplos que no cum- plen con los conocimien- tos estudiados. Actividades Ejemplos Al finalizar el desarrollo de un conocimiento, se pro- En muchos casos, el de- ponen ejercicios a pie de sarrollo de los conoci- página para afianzarlo. mientos finaliza con uno o varios ejemplos para fa- cilitar el aprendizaje. 4
  • 5. Algunas actividades llevan un icono cuyo significado es el siguiente: Macrodestrezas matemáticas Herramientas y ejes transversales Comprensión de conceptos Cálculo mental y conocimiento de procesos Uso de la calculadora Aplicación en la práctica @ Uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Refuerzo de macrodestrezas Trabajo en grupo Buen Vivir Buen Vivir Páginas finales Cómo resolver En resumen problemas Síntesis de las ideas clave del módulo y esquema que En cada módulo se trabaja muestra la relación de los una estrategia de resolución conocimientos en los blo- de problemas distinta. ques matemáticos. Ejercicios y problemas Demuestra tu ingenio Cuestiones, ejercicios y problemas para consolidar la comprensión de Resolución de proble- conceptos, conocimiento de pro- mas a través de diversas cesos y aplicación en la práctica estrategias del pensa- de lo que has aprendido. miento y creativas. En la sección Más a fondo pro- ponemos actividades de mayor di- Buen Vivir ficultad para profundizar las ma- Profundización de los crodestrezas. ejes transversales para una formación integral. Autoevaluación y coevaluación Permite comprobar los conoci- mientos, a través de actividades Crónica matemática con indicadores esenciales de evaluación. Con noticias, curiosida- des... del tema trabajado. Sección de historia Para conocer la evolución histórica de algunos con- ceptos matemáticos. 5
  • 6. Índice Módulo 1: Números racionales. Medidas de tendencia central 1. Fracciones positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1. Fracciones con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Ordenación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Potencias y raíces cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Relación entre las fracciones y los decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1. Expresión decimal de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2. Fracción generatriz de un número decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Operaciones con decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. Aproximación, redondeo y error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5. Estadística: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1. Variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. Recolección de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6. Presentación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.1. Tablas de distribución de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.2. Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7. Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1. Media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.3. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Módulo 2: Números irracionales. Perímetros y áreas de polígonos 1. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2. El conjunto de los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1. Concepto de número irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2. Representación gráfica de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3. Números irracionales. Orden y comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4. Operaciones con números irracionales. Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5. División y multiplicación de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6. Operaciones combinadas entre números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3. Perímetro y área de cuadriláteros y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1. Perímetro y área de paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Perímetro y área de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3. Perímetro y área de trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Perímetro y área de otros polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1. Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. Polígonos irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5. Estimación de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.1. Aplicaciones al teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Módulo 3: Números reales. Polinomios 1. El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.1. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.2. Intervalos de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.3. Aproximaciones y errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.4. Truncamiento y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.5. Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2. Operaciones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6
  • 7. 3.1. Operaciones con monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2. Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3. Valor numérico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4. Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5. Polinomios ordenados y reducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6. Polinomios completos e incompletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.7. Representación concreta de polinomios hasta grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3. Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Módulo 4: Números reales. Patrones de crecimiento lineal 1. Potencias de base real y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2. Simplificación de expresiones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.1. Término general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2. Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4. Patrones de crecimiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5. Función de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.1. Función lineal o proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Módulo 5: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Diagramas de tallo y hojas 1. Igualdad y ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2.1. Propiedades de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3. Resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4. Método general de resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.1. Ecuaciones con paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2. Ecuaciones con denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.3. Aplicación a la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.1. Conjunto solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2. Inecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3. Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita . . . . . . . . . . 160 6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8. Aplicación a la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9. Diagrama de tallo y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Módulo 6: Líneas de simetría. Áreas. Medidas en grados de ángulos notables 1. Transformaciones isométricas o movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.1. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2. Áeas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.1. Áreas de prismas, pirámides y troncos de pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.2. Áreas de cilindros, conos y troncos de cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3. Medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes . . . . . . . . 190 3.1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 • Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 • Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7
  • 8. Módulo Buen Vivir: Biodiversidad y ambiente sano 1 Bloques: Numérico. Estadística y probabilidad Distribución gratuita - Prohibida la venta Un iceberg es una masa enorme de hielo que flota en el mar. La par- te visible, llamada punta del iceberg, corresponde a 1/9 del total. Por lo tanto, la parte sumergida corresponde a sus 8/9 partes. http://desktop.qkype.com El iceberg más grande del mundo es el B-15A, con una longitud de 127 km, una anchura de 27 km y una superficie aproximada de 3 100 km2, 124 km2 menos que la superficie de la provincia de Bolívar. — ¿La superficie de tu provincia a qué fracción de la del iceberg B-15A corresponde aproximadamente? 8
  • 9. Números racionales Medidas de tendencia central Tus conocimientos sobre las fracciones y los números decimales servirán para relacionarlos con el cálculo de la media aritmética y la mediana. Serás capaz de utilizarlos para resolver situaciones diversas de la vida cotidiana. DCD DCD Destrezas con criterios de desempeño • Leer y escribir números racionales de acuerdo con • Efectuar aproximaciones de números decimales y su definición. calcular el error cometido. • Representar números racionales en notación deci- • Calcular la media, mediana y moda de un conjunto mal y fraccionaria. de datos estadísticos contextualizados en proble- • Ordenar y comparar números racionales. mas pertinentes. • Resolver operaciones combinadas de adición, sus- • Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones y tracción, multiplicación y división exacta con nú- decimales para resolver situaciones de la vida co- meros racionales. tidiana. • Simplificar expresiones de números racionales con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación. ✑ Prerrequisitos Recuerda Evaluación diagnóstica • Una fracción es la expresión de una división • Representa sobre la recta los siguientes números entre dos números, su numerador y su deno- enteros. Describe el procedimiento utilizado. minador. Así: −5, −3, −1, 0, 2, 4, 7 3 3÷4 = : • Escribe estas fracciones: un tercio, dos quintos, 4 tres medios y once treceavos. • Un número decimal puede expresarse con la coma • Expresa en forma de fracción: tres trimestres de decimal o mediante una fracción decimal. un año, cuatro días de una semana, dos semanas 123 456 123 , 456 = de un mes. 1000 • Calcula mentalmente el número decimal corres- • La región de círculo limitada por dos radios y su ar- pondiente a estas fracciones. co correspondiente recibe el nombre de sector 5 3 30 56 15 circular. ; ; ; ; 10 100 40 10 75 Radio Arco Sector circular • Determina cuál es el valor que más se repite en Radio la siguiente serie de cifras: 1, 5, 6, 7, 3, 4, 7, 2, 8, 2, 6, 3, 7, 3, 6, 1, 8, 3, 5, 1, 4, 7, 9, 3, 1, 5, 3, Distribución gratuita - Prohibida la venta 4, 7, 2 y 5. Biodiversidad y ambiente sano Buen Art. 14.- Se reconoce el derecho de la población a vivir en un ambiente Vivir sano y ecológicamente equilibrado, que garantice la sostenibilidad y el Buen Vivir, sumak kawsay. Constitución de la República del Ecuador, 2008. 9
  • 10. 1 Fracciones positivas y negativas Los números enteros no bastan para expresar cantidades que nos encontra- mos habitualmente. Utilizamos las fracciones para referirnos a una parte de un todo o para expresar cantidades en que dividimos una unidad elegida. Cuando decimos que hemos estado un cuarto de hora esperando el bus, sig- nifica que hemos dividido este período de tiempo en cuatro partes iguales y el tiempo de espera corresponde a una de ellas. Las fracciones, pues, nos permiten expresar una parte de un todo o unidad. MUCHO OJO Toda fracción consta de dos términos: En la fracción a , • El denominador es el número de partes iguales en que dividimos la unidad. b b debe ser diferente de cero: • El numerador es el número de partes que tomamos. b 0. 1 ⎯ ⎯ numerador → 4 ⎯ ⎯ denominador → Una fracción también puede considerarse como parte de una cantidad. En este caso podemos calcular: • La fracción de una cantidad: multiplicamos la fracción por la cantidad. ejemplo 1 2 ¿Qué cantidad son las partes de 125 m? 5 — Multiplicamos la fracción por 125. 2 · 125 = 50 5 2 Por lo tanto, las partes de 125 m son 50 m. 5 • Una cantidad de la cual conocemos la fracción: multiplicamos la inversa de la fracción por el valor correspondiente. ejemplo 2 3 Si sabemos que 600 m son partes del total de un recorrido, determina la 4 longitud total del recorrido. 3 — Sabemos que las partes de cierta cantidad x son 600. 4 Distribución gratuita - Prohibida la venta 3 x = 600 4 3 — Al despejar, obtenemos que x es igual a la inversa de multiplicado por 600. 4 4 x = · 600 = 800 3 La longitud total del recorrido es de 800 m. 10
  • 11. 1.1. Fracciones con signo Una fracción puede interpretarse como la expresión de una división entre dos números enteros. 4 −1 8 4÷ 7 = : − 1÷ 3 = : 8 ÷ ( −9 ) = : 7 3 −9 Es evidente que podemos encontrar fracciones positivas y fracciones negativas. a CONTRAEJEMPLO Una fracción es una expresión de la forma , en que a y b son nú- meros enteros, siendo b ≠ 0. b El número Pi (π) no es un nú- mero racional, porque no se lo puede expresar como frac- Como en el caso de los números enteros, escribimos las fracciones positi- ción. vas sin indicar su signo. π = 3,1415... 3 3 = + 4 4 Y, teniendo en cuenta la regla de los signos para la división, podemos escribir: 3 −3 = 4 −4 Vemos, pues, que toda fracción positiva puede expresarse como el co- ciente de dos números enteros, ambos positivos o ambos negativos. Y, del mismo modo, toda fracción negativa puede expresarse como el co- ciente de dos números enteros, uno de ellos positivo y el otro negativo. 5 −5 5 − = = 8 8 −8 Actividades 1 Expresa 11 cm como fracción de: metro, decímetro, kilómetro y milímetro. 2 Inti y su padre han tardado 55 min en realizar la compra semanal. Si han estado 10 min haciendo cola en el puesto de venta de pescado, ¿qué www.hoy.com.ec fracción del tiempo total representan estos minutos? 3 Calcula: 2 3 a) de 12 300 b) de 2 100 5 7 ■ Mercado de Santa Clara 4 Resuelve en tu cuaderno: en Quito. 2 4 a) de ..... = 1680 b) de ..... = 1800 3 9 5 Describe oralmente una situación en la que sea necesaria emplear una fracción positiva y otra en la que se utilice una fracción negativa. Distribución gratuita - Prohibida la venta 6 Clasifica las fracciones siguientes en positivas y negativas. −2 5 1 −3 2 −1 7 , ,− , , , , 3 4 2 4 −5 −8 3 — Transforma las fracciones con denominador negativo en fracciones con denominador positivo. 11
  • 12. 1.2. Fracciones equivalentes Podemos comparar gráficamente dos fracciones distintas para ver si re- presentan la misma parte de la unidad. 1 4 1 = 2 4 8 2 8 Si dos fracciones positivas representan la misma parte de la unidad, se de- nominan fracciones equivalentes. Si dos fracciones positivas son equivalentes se cumple que el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al pro- ducto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. 1 2 = ⎯ ⎯ 1· 8 = 4 · 2 → 4 8 Esta propiedad se conoce como propiedad fundamental de las fracciones equi- valentes y nos permite definir la equivalencia de fracciones con signo. a c Las fracciones y (b ≠ 0 y d ≠ 0) son equivalentes si se cum- b d ple que a · d = b · c. Obtención de fracciones equivalentes Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada, se multiplica o se divide el numerador y el denominador por un mismo número entero di- ferente de 0. ·2 ÷3 : ·( −4 ) −3 −6 −3 −1 −3 12 = = = 9 18 9 3 9 −36 ·2 ÷3 : ·( −4 ) Actividades 4 7 Indica oralmente qué fracciones a continuación son equivalentes a − . 7 52 −60 −64 16 a) b) c) d) −91 −105 84 28 4 8 Escribe una fracción equivalente a con denominador 156. −13 9 Escribe una fracción equivalente a −15 con numerador − 480. Distribución gratuita - Prohibida la venta 16 — ¿Puedes escribir una fracción equivalente a la anterior cuyo numerador sea 215? 10 Busca el valor de x para que cada uno de estos pares de fracciones sean equivalentes. − 13 x − 30 15 −1 2 −4 x a) = b) = c) = d) = 7 42 − 12 x x 10 x −9 12
  • 13. Simplificación de fracciones Máximo común divisor Hemos visto que si dividimos el numerador y el denominador de una fracción (m.c.d.) por un mismo número entero distinto de 0, obtenemos una fracción equi- Para calcular el máximo co- valente. En este caso decimos que hemos simplificado la fracción. mún divisor de dos números, por ejemplo, 126 y 270: Toda fracción puede simplificarse hasta llegar a la fracción irreducible. • Descomponemos en fac- Una fracción con signo es irreducible cuando su numerador y su de- tores primos cada uno de nominador, sin tener en cuenta el signo, son números primos entre sí. los números. 126 = 2 · 3 2 · 7 Cálculo de la fracción irreducible 270 = 2 · 3 3 · 5 Aprendamos ahora tres métodos distintos para hallar la fracción irreducible • Consideramos los factores 2100 primos comunes elevados equivalente a la fracción: al mínimo exponente: 2 y 5400 32. 1. Realización de divisiones sucesivas. • Efectuamos el producto de los números obtenidos: Procedimiento Ejemplo 2 · 3 2 = 18. • Resolvemos divisiones sucesivas del ÷10 ÷10 ÷3 m.c.d. (126, 270) = 18 ‫ۍ‬ ‫ۍ‬ ‫ۍ‬ numerador y del denominador de 2100 210 21 7 la fracción entre divisores comunes = = = 5 400 ‫ۍ‬ 540 54 ‫ۍ‬ 18‫ۍ‬ de ambos hasta obtener la fracción irreducible. ÷10 ÷10 ÷3 2. Descomposición en factores primos. Procedimiento Ejemplo • Descomponemos el numerador y el denominador en factores primos. • Dividimos el numerador y el deno- 2100 2 · 2 · 3 · 5 · 5 ·7 7 minador por los factores comunes = = 5 400 2 · 2 · 2· 3 · 3· 3· 5 · 5 18 para eliminarlos. 3. División del numerador y el denominador por su m.c.d. Procedimiento Ejemplo • Calculamos el m.c.d de los términos 2 100 = 22· 3 · 52· 7 y 5 400 = 23· 33· 52 de la fracción. m.c.d. (2 100, 5 400) = 2 2 · 3 · 5 2 = 300 • Dividimos el numerador y el deno- minador por su m.c.d. 2100 2100 ÷ 300 : 7 = = 5 400 5400 ÷ 300 : 18 Actividades Distribución gratuita - Prohibida la venta 11 Simplifica, en tu cuaderno, estas fracciones. 12 Simplifica las siguientes fracciones por el proce- so de dividir ambos términos por su m.c.d 117 528 111 −24 105 42 173 360 −188 a) c) e) , , , , , −78 −253 228 36 540 18 252 480 −705 −342 −36 3 102 13 Explica oralmente tres maneras distintas de de- b) d) f) 285 −28 8 415 mostrar que dos fracciones son equivalentes. 13
  • 14. 1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma pa- recida a como representamos los números enteros. Si la fracción es positiva, su representación se situará a la derecha del 0 y, si es negativa, a la izquierda del 0. A continuación, vamos a ver el proceso que se sigue para representar frac- ciones positivas y negativas sobre la recta. Ejemplo 1 14 Ejemplo 2 −17 Procedimiento Ubicación de Ubicación de 8 6 Consideramos la fracción irredu- 14 7 −17 cible equivalente. = 8 4 6 Efectuamos la división entera del nu- 7 4 17 6 merador entre el denominador. 3 1 5 2 El cociente de esta división deter- mina los dos números enteros que La fracción se sitúa entre 1 y 2. La fracción se sitúa entre −2 y −3. son los extremos del segmento don- de se situará la fracción. Dividimos el segmento determi- Tenemos que dividir el segmento Tenemos que dividir el segmento nado por estos dos números en- determinado por 1 y 2 en 4 par- determinado por −2 y −3 en 6 par- teros en tantas partes como indi- tes iguales y tomar 3. tes iguales y tomar 5. que el denominador de la fracción y tomamos las que señale el res- to de la división. –4 –3 –2 –1 0 –17 0 1 2 3 6 14 8 Actividades 14 Representa sobre la recta las siguientes fracciones. 3 −3 −2 15 , , , − 5 − 4 −14 6 15 Expresa oralmente en forma de fracción los puntos señalados en la recta. Distribución gratuita - Prohibida la venta 16 Escribe las fracciones que corresponden a los puntos indicados en la recta. 14
  • 15. 1.4. Ordenación de fracciones Mínimo común múltiplo (m.c.m.) La representación de las fracciones – + Para calcular el mínimo co- sobre la recta nos permite ordenar- mún múltiplo de dos núme- las. Tal y como sucede en la orde- 1 3 ros, por ejemplo, 12 y 45: nación de los números naturales y –1 – 3 – 1 0 1 4 4 4 4 los números enteros, siempre es ma- • Descomponemos en fac- yor la fracción situada más a la de- – 3 <– 1 < 1 < 3 tores primos cada uno de 4 4 4 4 recha. los números. 12 = 2 2 · 3 También es posible comparar dos fracciones sin tener que representarlas. 45 = 3 2 · 5 Ordenación de fracciones con el mismo denominador • Consideramos los factores Dadas dos fracciones con el mismo denominador positivo, es mayor la no comunes y comunes que tiene el numerador más grande. elevados al máximo expo- nente: 2 2, 3 2 y 5. ejemplo 3 • Multiplicamos los núme- 11 –5 15 ros obtenidos: Compara las fracciones , y . 7 7 7 2 2 · 3 2 · 5 = 180 — Como el denominador es el mismo y positivo, podemos comparar los nume- m.c.m. (12, 45) = 180 radores. −5 < 11 < 15 — Por lo tanto, –5 11 15 < < 7 7 7 Ordenación de fracciones con distinto denominador Para comparar dos o más fracciones con distinto denominador, tomamos las fracciones equivalentes de forma que todos los denominadores sean posi- tivos. A continuación, las reducimos a mínimo común denominador y com- paramos las fracciones obtenidas. ejemplo 4 Reducción a mínimo común 12 –3 denominador Compara las fracciones y . –15 4 Para reducir a mínimo común 12 −12 denominador dos o más — Escribimos como para que su denominador sea positivo. −15 15 fracciones: — Reducimos las fracciones a mínimo común denominador. • Calculamos el m.c.m. de m.c.m. (15, 4) = 60 60 ÷ 15 = 4 60 ÷ 4 = 15 los denominadores. −12 · 4 − 48 − 3 · 15 − 45 • Dividimos el m.c.m. entre = = 15 · 4 60 4 · 15 60 cada denominador y mul- — Las fracciones obtenidas tienen el mismo denominador positivo. Por lo tanto, tiplicamos el cociente ob- será mayor la que tenga el numerador más grande. tenido por los dos térmi- − 48 − 45 nos de la fracción corres- −12 −3 12 −3 − 48 < − 45 ⇒ < ⇒ < ⇒ < pondiente. 60 60 15 4 −15 4 Actividades Distribución gratuita - Prohibida la venta −5 7 17 Compara las siguientes fracciones: y . 4 −3 18 Representa estas fracciones sobre la recta y ordénalas de menor a mayor. 4 −12 8 3 3 − , , , , 5 5 −5 15 1 15
  • 16. 2 Operaciones con fracciones 2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división Operar con fracciones negativas es como operar con las positivas pero te- MUCHO OJO niendo en cuenta las reglas de las operaciones con números enteros. Siempre que sea posible simplificaremos las fraccio- Conozcamos el proceso seguido para efectuar diferentes operaciones con nes, hasta la fracción irre- fracciones. ducible, para facilitar los cálculos durante los proce- Adición y sustracción Ejemplos sos seguidos en las distin- Para sumar o restar fracciones, éstas tas operaciones. 3 −2 15 −8 15 + ( −8 ) 7 deben tener el mismo denominador. + = + = = Si no es así, se reducen previamente a 4 5 20 20 20 20 mínimo común denominador. m . c . m . ( 4 , 5 ) = 20 • Se deja el mismo denominador. −3 1 −9 2 −9 − 2 −11 − = − = = • Se suman o se restan los numera- 2 3 6 6 6 6 dores. m. c . m. ( 2 , 3 ) = 6 Multiplicación Ejemplos El producto de dos o más fracciones da lugar a otra fracción en la que: • El numerador es el producto de los numeradores de cada una de las frac- 3 −2 3 ·( −2 ) −6 −3 · = = = ciones. 4 7 4 ·7 28 14 • El denominador es el producto de los denominadores de las fracciones. División Ejemplos FÍJATE La división de dos fracciones es una fracción en que: Notación de la división de fracciones • El numerador es el producto del nu- a merador de la primera fracción por el denominador de la segunda. −3 1 −3 · 6 −18 b = a ÷ c = a·d : ÷ = = : 5 6 5 ·1 5 c b d b·c • El denominador se obtiene multipli- d cando el denominador de la prime- ra fracción por el numerador de la se- gunda. Actividades 19 Efectúa, en tu cuaderno, las siguientes operaciones con fracciones. Distribución gratuita - Prohibida la venta −1 3 −5 3 5 −4 a) + d) · g) − 2 4 12 4 −3 9 5 4 1 4 6 −2 b) − e) ÷− : h) + 6 3 6 3 −7 5 5 −6 3 ⎛ −4 ⎞ −4 ⎛ 6⎞ c) · f) ÷⎜− : ⎟ i) ÷⎜− : ⎟ 3 4 2 ⎝ 9 ⎠ 15 ⎝ 7⎠ 16
  • 17. 2.2. Operaciones combinadas Para efectuar operaciones combinadas con fracciones positivas y negati- vas aplicamos los mismos criterios de prioridad establecidos para los nú- meros enteros: • Primero, se resuelven los paréntesis y los corchetes. • A continuación, las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que apa- recen. • Y, finalmente, las sumas y las restas. Fíjate en este ejemplo. ejemplo 5 2 5 ⎛ −2 2 ⎞ 4 Calcula · +⎜ ⎜ − ⎟÷ ⎟: 3 4 ⎝ 5 35 ⎠ 21 — En primer lugar, efectuamos la resta del interior del paréntesis. 2 5 −14 − 2 4 2 5 −16 4 · + : ÷ = · + : ÷ 3 4 35 21 3 4 35 21 — A continuación, resolvemos las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. 2 5 −16 4 2·5 −16 · 21 10 −336 · + : ÷ = + = + 3 4 35 21 3· 4 35 · 4 12 140 — Por último, calculamos las sumas y las restas, y simplificamos el resultado. 10 −336 350 + ( −1008 ) −658 − 47 + = = = 12 140 420 420 30 Actividades 20 Efectúa las siguientes operaciones combinadas. 23 Calcula en tu cuaderno: −3 4 5 1 3 7 1 1 a) − · b) : ÷ + 1− −1 7 9 6 7 −2 8 3 a) b ) 1 − 2· 4 3 1 21 Resuelve estas operaciones combinadas. 2+ 2+ 5 5 5 −6 3 2 −4 a) · + : ÷ − 3 4 2 3 9 24 Valentina leyó en una semana la tercera parte de un li- 5 ⎛ −6 3 ⎞ 2 −4 bro de 180 páginas y la semana siguiente, la cuarta b ) ·⎜ ⎜ 4 + 2 ⎟÷ 3 − 9 ⎟: parte. Si tarda 3 minutos en leer una página, ¿cuán- 3 ⎝ ⎠ to tardará en acabar de leerlo? Expresa el resultado ⎛ −6 3 2 ⎞ −4 Distribución gratuita - Prohibida la venta 5 como una operación combinada y calcúlala. c) ·⎜ ⎜ 4 + 2 ÷ 3 ⎟− 9 : ⎟ 3 ⎝ ⎠ 25 Adrián sale de su casa con $ 32. En diversas com- 22 Copia la operación y ubica los paréntesis para pras se gasta tres octavas partes de esta cantidad. que el resultado sea el que se indica. ¿Cuántos dólares se ha gastado? ¿Cuántos le que- dan? 2 2 1 1 2 11 + · − + = 3 5 3 3 9 45 17
  • 18. 2.3. Potencias y raíces cuadradas Cuando operamos con fracciones podemos encontrarnos, como sucede con los otros tipos de números, con multiplicaciones de factores repetidos. Tam- bién pueden aparecer fracciones cuyos términos sean cuadrados perfec- tos. Potencia de una fracción En ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de fracciones iguales. Son potencias cuya base es una fracción y su exponente, un número natural. En general: n n veces ⎛ a⎞ a a a a · a ·...· a an FÍJATE ⎜ ⎟ = · ·...· = = ⎝ b⎠ b b b b · b ·...· b bn Podemos transformar una potencia de fracción de ex- n Para elevar una fracción a una potencia, se elevan ⎛ a⎞ an ponente negativo en otra de el numerador y el denominador a esta potencia. ⎜ ⎟ = exponente positivo. ⎝ b⎠ bn -n n ⎛ a⎞ ⎛ b⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ En la tabla siguiente puedes observar que las operaciones con potencias ⎝ b⎠ ⎝ a⎠ de base una fracción y exponente entero cumplen las mismas reglas que las potencias de base y exponente enteros. Multiplicación de potencias de la misma base Potencia de una potencia m n m+n ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎞ m n ⎛ a ⎞ m⋅ n ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜⎜ a ⎟ ⎟ = ⎜ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎜⎝ b ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ b⎠ División de potencias de la misma base Potencia de exponente 1 m n m-n 1 ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ a : ⎜ ⎟ ÷⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ b Potencia de un producto Potencia de exponente 0 n n n 0 ⎛ a c⎞ ⎛ a⎞ ⎛ c⎞ ⎛ a⎞ ⎜ ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 1 ( a ≠ 0 ); b ≠ 0 ⎝ b d⎠ ⎝ b⎠ ⎝ d⎠ ⎝ b⎠ Actividades 26 Efectúa: 28 Expresa estas operaciones como una única po- Distribución gratuita - Prohibida la venta 2 −2 2 3 tencia. ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ a) ⎜ ⎟ b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 3 2 3 ⎝ 7⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ a ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ c ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ 27 Transforma en potencias de exponente positivo: ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ 2 3 5 2 −2 −5 −3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜ ⎟ ÷⎜ ⎟ : d ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ a) ⎜ ⎟ b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 4⎠ 18
  • 19. Raíz cuadrada de una fracción Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es hallar otro número que elevado al cuadrado sea igual al primero. De forma análoga, la raíz cuadrada de una fracción será otra fracción que elevada al cuadrado sea igual a la primera. Decimos que una fracción es cuadrado perfecto si lo son el numerador y el denominador de su fracción equivalente irreducible. Tal y como sucede con los números enteros, la raíz cuadrada de una fracción que es cuadrado perfecto corresponde a dos fracciones: una positiva y la otra negativa. Así, por ejemplo: ⎛2⎞ 2 4 2 4 = , ya que ⎜ ⎟ = 9 3 ⎝3⎠ 9 4 2 La raíz cuadrada de es 9 3 La fracción a que es cuadrada perfecta tiene por raíz a la fracción c b c 2 a positiva tal que: = donde c2 = a y d2 = b d d b Teniendo en cuenta la regla de los signos para la multiplicación, resulta evidente que tanto el cuadrado de una fracción positiva como el de una negativa son positivos. Por ello y, del mismo modo que ocurre con los números enteros, la raíz cuadrada de una fracción negativa no existe. Las fracciones negativas no tienen raíz cuadrada. Actividades 29 Calcula: 100 529 49 144 729 , , , , 169 81 225 324 1296 30 Luego de simplificar, indica oralmente cuáles de estos números son cuadrados perfectos. 8 1 147 108 25 20 72 1, 8 , , , , , , , Distribución gratuita - Prohibida la venta 50 4 27 75 64 45 50 31 Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno. a) 9 + 42 b) 5· ( 25 + 2 3 ) c ) 2 3 · 4 + 25 · 10 19
  • 20. 3 Relación entre las fracciones y los decimales Dado que toda fracción puede interpretarse como una división, podemos asociar un número decimal (el resultado de esta división) a cada fracción. Fracciones ᭡ 3.1. Expresión decimal de una fracción ᭡ ᭡ ᭡ Al dividir el numerador de cualquier fracción entre su denominador, podemos Decimales Decimales encontrar tres casos distintos: limitados ilimitados periódicos • Después de extraer una o más cifras decimales, obtenemos resto 0. 15 4 ᭡ ᭡ Puros Mixtos 30 3 , 75 20 0 A la fracción 15 le corresponde el número decimal limitado 3,75. 4 • El resto nunca es 0 y en el cociente aparece una cifra o grupo de cifras que se van repitiendo y que llamamos período. FÍJATE Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico. Para simbolizar el período, uti- 14 3 23 6 lizamos un pequeño arco que comprende las cifras que lo 20 4 , 666... 50 3 , 833... componen. 20 20 4 , 666... = 4 , 6 20 20 3 , 833... = 3 , 83 2 2 El período (6) comienza inmediata- Hay cifras decimales (8) entre la coma mente después de la coma. y el período (3). 23 A la fracción 14 le corresponde el A la fracción le corresponde el 3 6 número decimal ilimitado periódi- número decimal ilimitado periódico co puro 4,666... mixto 3,833... FÍJATE Si dos fracciones son equiva- Así, cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimitado periódico. lentes, les corresponde el mis- mo número decimal. 12 24 = = 1, 714... 7 14 Actividades 32 Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones. Distribución gratuita - Prohibida la venta 11 8 −5 3 13 −5 , , , , , 13 7 14 −4 9 −14 33 Clasifica estos números decimales en limitados, ilimitados periódicos pu- ros e ilimitados periódicos mixtos. 2 , 242424...; 0 , 75 ; 3 , 435 ; 8 , 2 51; − 2 , 89 ; 0 , 5 ; 2 ,13444... 20
  • 21. 3.2. Fracción generatriz de un número decimal Acabamos de aprender que a toda fracción le corresponde un número deci- mal limitado o ilimitado periódico. La afirmación recíproca también es cierta, es decir, todo número decimal limitado o ilimitado periódico es una fracción. La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado pe- riódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal. Veamos, ahora, la forma de calcular la fracción generatriz correspondiente a un determinado número decimal limitado o ilimitado periódico. El número decimal es limitado Ejemplo: 4,65 • Llamamos x al número decimal. x = 4,65 • Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria 100 x = 465 para eliminar la coma. • Despejamos x y simplificamos la fracción. 465 93 x = = 100 20 El número decimal es ilimitado periódico puro Ejemplo: 12 , 6 00,0 • Llamamos x al número decimal. x = 12 , 6 • Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria 10 x = 126 , 666... para que la coma quede justo después del primer período. • A la expresión obtenida le restamos la expresión inicial. 10 x = 126 , 666... − x = 12 , 666... 9 x = 114 • Despejamos x y simplificamos la fracción. 114 38 x = = 9 3 El número decimal es ilimitado periódico mixto 1 , 2 54 Ejemplo: 1,254 • Llamamos x al número decimal. x = 1, 2 54 • En primer lugar, multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 1000 x = 1254 , 5454... necesaria para que la coma quede justo después del primer período. • A continuación, multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 x = 12 , 5454... 10 necesaria para que la coma quede justo antes del primer período. • Restamos las dos expresiones obtenidas. 1000 x = 1254 , 5454... − 10 x = 12 , 5454... 990 x = 1242 • Despejamos x y simplificamos la fracción. 1242 69 x = = 990 55 Distribución gratuita - Prohibida la venta Actividades 34 Calcula la fracción generatriz de los números de- 35 Efectúa estas operaciones. Calcula previamente cimales siguientes. las fracciones generatrices. 7 , 4 ; 0 , 07 ; 4 , 562 ; − 0 , 00 5 ; 2 ,14 ; 3 , 2 61 a ) 3,5 · 4 ,5 6 b ) ( 2 , 8 + 0 , 3 ) ÷ 1, 5 : 21