1. TALLER: estadística
GRADO: 11
TEMA: TÉCNICAS DE CONTEO
1. Un fabricante quiere marcar sus artículos usando variaciones de 4 cifras con los siguientes 10
dígitos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, ¿cuántos artículos puede marcar con este procedimiento?.
a. 5.040 b. 40 c. 10.000 d. 3.024
2. Un psicólogo le pide a uno de los niños que va a evaluar, que construya un número de tres
cifras, sin repetir ningún dígito. ¿De cuántas formas se puede construir el número?.
a. 250 b. 720 c. 500 d. 700
3. si al niño se le dan fichas con los números del 1 al 6, una de cada una, y se le pide que
conforme un número de tres cifras, ¿de cuántas formas lo puede hacer?.
a. 100 b. 110 c. 120 d. 130
4. Si a un niño se le dan fichas con los números del 0 al 7, una de cada una, y se le pide que
conforme un número de 5 cifras, ¿de cuántas formas lo puede hacer?.
a. 100 b. 110 c. 120 d. 130
5. Un grupo de cinco amigos desea sentarse en una fila de cinco asientos, a observar la lluvia de
estrellas en el planetario de la ciudad. ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar estas
personas?.
a. 120 b. 130 c. 140 d. 150
6. Ocho jugadores del equipo de baloncesto se presentan a jugar un partido del campeonato y el
capitán debe conformar el equipo que iniciará jugando. Si cada uno de los jugadores tiene la
capacidad de desenvolverse de la misma forma en cualquier posición que se ubique, ¿cuántos
equipos distintos de cinco jugadores puede conformar el capitán con los 8 jugadores?.
a. 70 b. 50 c. 48 d. 56
7. Juan, Camila, Hernando y Luisa se postularon para conformar el comité de convivencia del
curso. El jefe de grupo debe escoger solamente a 2 de ellos. ¿cuántas parejas distintas se
pueden conformar con los 4 candidatos?.
a. 6 b. 10 c. 14 d. 20
8. ¿De cuántas maneras se puede conformar el comité si el director decide que debe haber un
hombre y una mujer?.
a. 6 b. 8 c. 4 d. 2
9. Las placas de una motocicleta están conformadas por tres letras y dos números. ¿cuántas
placas distintas se pueden conformar?.
a. 1757600 b. 1650000 c. 1000000 d. 950000
10.Un programador de computadores está escribiendo un nuevo programa que le permite
construir aleatoriamente un número para los billetes de lotería. Este número consta de cuatro

2. cifras y una serie de dos dígitos. ¿cuántos posibles números tiene que considerar el
programa para construir un número de la lotería?.
a. 10
3
b. 10
4
c. 10
5
d. 10
6
11. Las placas de una motocicleta están conformadas por 3 letras y 2 números.
a. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se quiere que las letras sean distintas?.
b. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se busca que los números sean distintos?
c. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se quiere que los números y las letras sean
distintas?
d. Si establece que las placas de una motocicleta debe tener como primera letra la B,
¿cuántas placas se pueden conformar?

3. Conteo Regla de la suma
Si una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puede realizarse de n formas,
y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas
pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.
Ejemplo
Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de
alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)
La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellas pueda ocurrir
simultáneamente.
Principio Aditivo
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la
primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede
realizarse de N maneras o formas, ....., y la última de las alternativas puede ser realizada de W
maneras o formas, entonces esta actividad puede llevarse a cabo de M + N + .... + W maneras o
formas.
Ejemplo 1.
Una personas desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de
entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que
la lavadora W se presenta en dos tipos (8 u 11 kg), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semi automática, mientras que la lavadora E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o
15 kg), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora GE, se
presenta en un solo tipo de carga, de 11 kg, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.
¿cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora Easy = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora GE = 1 x 2 x 1 = 2 maneras.
por lo tanto la lavadora se puede escoger de 16 + 12 + 2 maneras diferentes.
Nota: es interesante notar que la compra de una lavadora responde a una frase "o compro W o compro
E o compro GE", pero no se compran más de una.
Ejemplo 2.
Carlos Pérez desea ir a Can Cun o a Playa del Carmen en las próximas vacaciones de verano, para ir a
Can Cun, tiene tres medios de transporte para ir hasta Mérida y 2 para ir de Mérida a Can Cun, y para
ir a Playa del Carmen desde Mérida, tiene cuatro diferentes medios de transporte:
a) ¿Cuántas maneras diferentes, tiene Carlos para ir a Can Cun o a Playa del Carmen?
b) ¿Cuántas maneras diferentes, tiene Carlos para ir a Can Cun o a Playa del Carmen en viaje
redondo, si no regresa por el mismo medio de transporte por el que se fue?
a)
M = Maneras de ir a Can Cun = 3 x 2 = 6
N = Maneras de ir a Playa del Carmen = 3 x 4 = 12
por lo tanto
M + N = 6 + 12 = 18 maneras
b)
M = Maneras de ir y regresar de Can Cun = 3 x 2 x 1 x 2 = 12
N = Mnaeras de ir y regresar de Playa del Carmen = 3 x 4 x 3 x 2 = 72

4. Por lo tanto
M + N = 12 + 72 = 84
Nota: ¿cómo determinar, cuando utilizar el principio aditivo y cuando el multiplicativo?, Cuando se
trata de una sola actividad, que requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces
haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene
alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
Regla del producto: Si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen m
resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de estos resultados, existen n resultados
posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de
m.n formas.
Ejemplos
1. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El
director puede elegir a la pareja principal de 6.8 = 48 formas.
Esta regla también puede ampliarse a más de dos etapas.
2. Si las placas de los automóviles constan de 2 letras seguidas de 4 dígitos, y ninguna letra o
dígito se puede repetir, ¿cuántas placas diferentes son posibles? 27.26.10.9.8.7 = 3.538.080.
Si se pueden repetir las letras y los dígitos, serán posibles 27.27.10.10.10.10 = 7.290.000
placas diferentes.
3. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de
modo que cada palabra comience y termine en consonante?
C V C
--- --- --- 5.3.4 = 60 (regla del producto)
5 3 4
4. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que
ningún dígito se pueda repetir.
9 9 8 7 6 5
--- --- --- --- --- ---
9.9.8.7.6.5 = 136.080 (regla del producto)
se pueden repetir los dígitos.
9.10.10.10.10.10 = 900.000 (regla del producto)
5. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de
que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes
dieron la siguiente información acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de
cuatro dígitos). María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y
que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G
y que el primer dígito era definitivamente un 7.
¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
C/G Q/O 7 0 a 9 0 a 9 8 ó 3
----- ----- ----- ----- ----- -----
| | | | | |
2 x 2 x 1 x 10 x 10 x 2 = 800 (regla del producto)
6. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras
de doble sentido.

5. 1. ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?
2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)
2. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?
14.14 = 196 (regla del producto)
3. ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso
(del pueblo C al pueblo A) es diferente, al menos parcialmente, de la ruta que toma Juan
del pueblo A al pueblo C? (Por ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6
podría regresar por las rutas R6 y R2, pero no por R1 y R6).
14.13 = 182 (regla del producto)
Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, entonces hay m x n formas de
hacer ambas cosas, en otras palabras, el numero total de formas de hacer ambas cosas sería m x n, lo
que se puede extender a más de dos eventos. Para tres eventos (m,n,o) se tendría que el número total
de eventos sería, de m x n x o.
En el ejemplo de los dados, un dado puede caer de 6 maneras diferentes, un segundo dado puede caer
también de 6 maneras diferentes, por lo tanto ambos dados pueden caer de 6 x 6 (36) maneras
diferentes, si fueran 3 datos entonces, las maneras en que podrían caer serían de 6 x 6 x 6 maneras
diferentes (216).
Ejemplo 2:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta:
auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o
estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de
modelos y n es el número de tipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo.
Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines.
Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación
fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
Ejempo 3:
En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos :Chivas ( C ), Benfica ( B)
,Estudiantes ( E ), UNAM (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De
cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?
m = 4
n = 3
porque el primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 4 equipos, y el segundo lugar quedaría
para los 3 lugares restantes, por ello el resultado sería: 4 x 3 = 12

6. Factorial: Para un entero n >= 0, se define n! (n factorial) como:
0! = 1
n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1 para n >= 1, Notar que n! = n(n-1)!
Permutación: Dado un conjunto de n elementos, se denomina permutación a cada uno de los
conjuntos que se pueden formar con estos elementos tales que cada uno de ellos difiere de otro en el
orden en que son considerados los elementos.
Dicho de otro modo, dada una colección de n objetos distintos, cualquier disposición lineal de estos
objetos se denomina permutación de la colección.
Pongamos un ejemplo: un grupo de 5 personas va a sentarse en fila para una foto. ¿Cuántas
disposiciones lineales son posibles?
5 4 3 2 1
------ ------ ------ ------ ------
1a
pos 2a
pos 3a
pos 4a
pos 5a
pos
Cualquiera de las 5 personas puede ocupar la primera posición de la fila. Para la segunda posición
podemos elegir entre 4 personas. Continuando de esta manera, sólo tenemos una persona para ocupar
la quinta posición. Esto produce un total de 5.4.3.2.1 = 120 disposiciones posibles de las 5 personas.
Se obtiene exactamente la misma respuesta si las posiciones se ocupan en otro orden (por ejemplo, 3ª
posición, 1ª posición, 4ª, 5ª y 2ª).
En general, si existen n objetos distintos, el número de permutaciones para los n objetos es
n(n-1)(n-2)...1 = n!
| | | |
| | | n-ésima pos
| | 3ª pos
| 2ª pos
1ª pos
Pn = n!
Se lee "permutaciones de n".
Ejemplo: Dadas las letras a, b, c existen seis formas de disponerlas: P3 = 3! = 3.2.1 = 6.
Las seis permutaciones son:
a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a
a. ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
b. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
P7 = 7! = 5.040.
c. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
P6 = 6! = 720.
2. ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e
quede junto a otra?
3. e _ e _ e _ e _ e
4.
5. P4 = 4! = 24
6.

7. a. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la
permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que queremos,
en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden
ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces. Por lo tanto
hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.
b. ¿Cuántas de ellas tienen las tres letras I juntas?
Las restantes 5 letras pueden ordenarse de P5 formas. Las 3 letras I pueden ubicarse en
6 posiciones diferentes: al principio, al final o en cualquiera de los 4 espacios entre las
otras 5 letras. Así, hay 6.5! = 6! = 720 palabras con las tres I juntas.
III_ _ _ _ _
_III_ _ _ _
_ _III_ _ _
_ _ _III_ _
_ _ _ _III_
_ _ _ _ _III
Arreglos: Dado un conjunto de n elementos, se denomina arreglos de tamaño r a todos los conjuntos
de r elementos escogidos de entre los n, tales que un conjunto difiere de otro en al menos un elemento
o en el orden en que se consideran los elementos. Consideremos el ejemplo siguiente: en un grupo de
10 personas, se elegirá a 5 y se les ubicará en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones son posibles?
10 9 8 7 6
------ ------ ------ ------ ------
1a
pos 2a
pos 3a
pos 4a
pos 5a
pos
Cualquiera de las 10 personas puede ocupar la primera posición de la fila. Para ocupar la segunda
posición tenemos 9 personas. Siguiendo de esta manera, hay 6 personas de donde elegir para que
ocupen la quinta posición. Esto produce 10.9.8.7.6 = 10.240 disposiciones posibles.
En general, si existen n objetos distintos, y r es un entero, con 0 <= r <= n, entonces el número de
arreglos de tamaño r para los n objetos es
n!
n(n-1)(n-2)...(n-r+1) = ------
| | | | (n-r)!
| | | r-ésima pos
| | 3ª pos
| 2ª pos
1ª pos
n n!
Ar = ------
(n-r)!
Se lee "arreglos de n en r".
Ejemplo
Dadas las letras a, b, c podemos formar 6 arreglos de tamaño 2.
3 3! 3.2.1
A2 = --- = ----- = 6
1! 1
Los 6 arreglos son:
a b

8. b a
a c
c a
b c
c b
Combinaciones
Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que
se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto
difiera de los demás en por lo menos un elemento.
Siguiendo con el mismo ejemplo, si en un grupo de 10 personas se elegirá a 5 para tomarles una foto,
¿cuántos grupos de 5 pueden formarse, si el orden no importa?
Si el orden importara, habría A10
5 disposiciones diferentes. Pero en este caso no interesa el orden, así
que si una de las posibilidades es Juan, María, Luis, Ana y Pedro, entonces la permutación Luis, Pedro,
María, Ana y Juan corresponde a la misma combinación. Cada grupo de 5 personas puede ordenarse de
5! formas diferentes. Así, cada combinación corresponde a 5! permutaciones. Por lo tanto, el número
de combinaciones satisface P5.(nº de combinaciones) = A10
5
o sea que el número de combinaciones es igual a
10
A5
---- = 252
P5
En general, dados n objetos distintos, el número de combinaciones de tamaño r de estos objetos, con
0 <= r <= n, se denota Cn
r y corresponde a
n
n Ar n!
Cr = ---- = --------
Pr r!(n-r)!
se lee "combinaciones de n en r".
Ejemplo
1. Dadas las letras a, b, c existen 3 combinaciones de tamaño 2.
3 3!
C2 = ---- = 3
2!1!
Las 3 combinaciones son:
a b
a c
b c
2. Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no
importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?
Existen
10 10! 10.9.8
C7 = --- = ------ = 120
7!3! 3.2.1

9. combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.
3. Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo
puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20 20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.
4. En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada
2 personas, se dan la mano una sola vez?
6 6! 6.5
C2 = ---- = --- = 15
2!4! 2
5. Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone de 4 novelas
policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere
llevar al menos una novela?
6
N C C C --> 4C3 = 80
4 6
N N C C --> C2C2 = 90
4
N N N C --> C36 = 24
N N N N --> 1
80 + 90 + 24 + 1 = 195
6. ¿Cuántos bytes contienen
a. exactamente dos unos?
8 8!
C2 = --- = 28
2!6!
Ejemplo: 1 0 0 1 0 0 0 0
exactamente cuatro unos?
8 8!
C4 = --- = 70
4!4!
Ejemplo: 0 1 0 1 0 1 1 0
exactamente seis unos?
8 8!
C2 = --- = 28
6!2!
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 0 1
al menos seis unos?
8
28 + C7 + 1 = 28 + 8 + 1 = 37
(Sumamos los bytes con 6 unos, los bytes con 7 unos y el byte con 8 unos)
Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 1

10. 7. ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños de modo que
cada niño reciba tres libros.
12 9 6 3
C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600
a. los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores reciban dos
libros cada uno.
12 8 4 12!8!4!
C4.C4.C2 = ------------ = 207.900
8!4!4!4!2!2!
8. Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De cuántas formas se
puede hacer la selección si
no hay restricciones?
20 20 !
C12 = ----- = 125.970
12!8!
a. debe haber seis hombres y seis mujeres?
10 10 10!10!
C6.C6 = -------- = 44.100
6!4!6!4!
b. debe haber un número par de mujeres?
10 10
Si hay 2 mujeres, debe haber 10 hombres => C2.C10
10 10 10
c. Si hay 4 mujeres, debe haber C8 hombres => C4.C8
10 10 10
d. Si hay 6 mujeres, debe haber C6 hombres => C6.C6
10 10 10
e. Si hay 8 mujeres, debe haber C4 hombres => C8.C4
10 10 10
f. Si hay 10 mujeres, debe haber C2 hombres => C10.C2
5 10 10
g. Σ C2i.C12-2i = 63.090
i=1
h. debe haber más mujeres que hombres?
10 10
7 mujeres y 5 hombres => C7.C5
10 10
8 mujeres y 4 hombres => C8.C4
10 10
9 mujeres y 3 hombres => C9.C3
10 10
10 ujeres y 2 hombres => C10.C2
10 10 10=> Σ Ci.C12-i, i=7
i. debe haber al menos 8 hombres?
10 10
j. 8 hombres y 4 mujeres => C8.C4
10 10
k. 9 hombres y 3 mujeres => C9.C3

11. 10 10
l. 10 hombres y 2 mujeres => C10.C2
10 10 10=> Σ Ci.C12-i i=8
9.
Arreglos
1. Cuatro nadadores van a disputar la final del campeonato mundial. Los premios son: 1º-medalla
de oro, 2º-medalla de plata y 3º-medalla de bronce. ¿De cuántas maneras pueden ser
distribuidas esas medallas?
2. 4
3. A3 = 4! = 24
4. Con los dígitos 0,1,2,3,4,5
a. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar?
Se pueden formar A6
3 números. Pero están incluidos ahí los que comienzan con cero, que
son A5
2.
6 5
A3 - A2 = 100
Por ejemplo 045 no es un número de tres cifras, sino de dos.
b. ¿Cuántos son pares?
Los que terminan en 0:
5
A2 = 20
Los que terminan en 2 pero no comienzan con 0:
5 4
A2 - A1 = 16
Los que terminan en 4 pero no comienzan con 0:
5 4
A2 - A1 = 16
Total: 52
5.
a. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra TRIANGULO?
P9 = 9! = 362.880
b. ¿Cuántas comienzan con T y terminan en O?
c. T O
d. --- --- --- --- --- --- --- --- ---
P7 = 7! = 5.040
e. ¿Cuántas tienen las 4 vocales juntas?
f. 6.P5.P4 = 17.280
g. | |
h. | vocales
i. consonantes
j.
k. V C1 C2 C3 C4 C5
l. C1 V C2 C3 C4 C5
m. C1 C2 V C3 C4 C5
n. C1 C2 C3 V C4 C5
o. C1 C2 C3 C4 V C5
p. C1 C2 C3 C4 C5 V
q. ¿En cuántas la A ocupa lugar impar?

12. r. A A A A A
s. --- --- --- --- --- --- --- --- ---
t.
u. 5.P8 = 5.8! = 201.600
Si la A está en el primer lugar, las restantes letras pueden disponerse de P8 maneras. Lo
mismo si la A está en 3º, 5º, 7º o 9º lugar. Por lo tanto hay 5.P8 ordenaciones posibles.
v. ¿En cuántas la A y la O ocupan lugares impares simultáneamente?
w. A O
x. --- --- --- --- --- --- --- --- ---
La A y la O se ubican en dos de 5 posiciones posibles: 1ª, 3ª, 5ª, 7ª y 9ª. Es decir,
pueden ubicarse de
5
A2 formas.
Las restantes 7 letras pueden disponerse de P7 formas. Por lo tanto, existen
5 7!5!
P7.A2 = ---- = 100.800
3!
ordenaciones posibles.
6. Determinar el valor de n en cada uno de los siguientes casos:
a. n
b. A2 = 90
c. n!
d. ------ = 90 => n(n-1) = 90 => n2
- n - 90 = 0
e. (n-2)!
f. _______ 10
g. 1 +
|1 + 490 1 +
19 /
h. n = ------------- = ------ =
i. 2a 2
j. -9
k. n=10
l.
m. n n
n. A3 = 3A2
o. n 3n!
p. ----- = ------
q. (n-3)! (n-2)!
r.
s. n(n-1)(n-2) = 3n(n-1)
t. n-2 = 3
u. n = 5
v.
w. n 24
x. 2A2 + 50 = A2
y. 2n! 2n!
z. ----- + 50 = -------
aa. (n-2)! (2n-2)!
bb.
cc. 2n(n-1) + 50 = 2n(2n-1)
dd. 2n2
- 2n + 50 = 4n2
- 2n
ee. -2n2
+ 50 = 0
ff. n2
= 25
gg. n = 5
hh.
c.1) Reglas de Conteo.
Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales, si el numero de
es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Por ejemplo, al tirar un dado se

13. {1,2,3,4,5,6}, como se ha visto anteriormente, aún tirando dos datos se pueden obtener estos resultados: S =
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4
(5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }
Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias co
todas las posibilidades. Que serían, 5 niños, 4 niños y una niña, 3 niños y 2 niñas, etc. Para facilitar el conteo v
multiplicación, la técnica de permutación y la de la combinación.
Principio Multiplicativo.
Ejercicios:
1. El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas Maneras se puede elegir u
postre?
2. José (J), Pedro (P) y Anabel (A) fueron a comprar paletas de hielo de diferentes sabores: Limón (L), Fre
compraron en total?
3. Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta
puede llevar?
4. una empresa de turismo estudiantil entrevista tres candidatos (Raúl, Diego y Martín) para cubrir un pue
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Es el producto de n por todos los naturales menores que el y se representa con el n!
n!=n·(n-1)!(n-2)·...·3·2·1
Ejemplo 1: hallar 6!
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Ejemplo 2: 4!
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
NOTA: Considerando que todos los productos tienen por lo menos dosfactores, no tienen sentido los símbolos 0
lasfórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.
Encontrar el factorial de los siguientes números
5! 6! 0! 8! 10! 3!
Permutaciones y Combinaciones.
El entendimiento de estos conceptos se puede lograr al definir a ambos, para establecer sus diferencias y de en
utilizar una combinación o utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún ev
Combinación.- Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno d
arreglo.
Permutación.- Es todo arreglo de elementos en donde interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los el
Ejemplo:
Suponga que en un salón de clases, existen 35 alumnos.
a) El maestro desea que tre de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entr
así necesario.