Este documento presenta un resumen de los principios y conceptos básicos del análisis combinatorio, incluyendo el principio de adición, el principio de multiplicación, permutaciones, variaciones y combinaciones. Explica cada concepto con ejemplos numéricos y provee la solución a dos problemas de razonamiento matemático relacionados al análisis combinatorio.
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Análisis Combinatorio: Permutaciones, Variaciones y Combinaciones
1. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Practica Resuelta
de Razonamiento Matemático
Tema: Análisis Combinatorio
Docente: Ing Romel Luís
Jiménez Montes De Oca
nandojigu@hotmail.com
romeljimont@yahoo.es
431345 - 9155656
2. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
ANALISIS COMBINATORIO
El análisis combinatorio estudia las
formaciones y estructuraciones que se
pueden realizar con elementos, así como
sus consecuencias
PRINCIPIOS DEL ANALISIS COMBINATORIO
Principio de Adición.
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras,
entonces, el evento “A” ó “B” no
simultáneamente, ocurre de “m + n” maneras
total es que se da:
A ó B m + n formas
3. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
En este principio la ocurrencia no es
simultanea, es decir ocurre el evento “A” o
el evento “B”, pero no ambos a la vez.
Ejemplo 1:
Si de una ciudad a otra puede irse por vía
férrea, de 8 maneras y por vía aérea de 6
maneras, en total de una ciudad a otra
podemos hacerla de:
Solución:
Férrea + aérea = 8 + 6 = 14 maneras
4. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Ejemplo 2:
Timoteo compra arroz en 3 mercados, en
el primero se tienen 8 tiendas, en el
segundo 7 tiendas y en el tercero 9
tiendas. ¿De cuántas maneras diferentes
pueden adquirir Timoteo su arroz?
Solución:
1ro 2do 3ro
8 + 7 + 9 = 24 maneras
5. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Principio de Multiplicación:
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y
para cada una de éstas, otro “B” ocurre de
“n” maneras, entonces el evento “A”
seguido de “B” , ocurre de “m.n” maneras
“A seguido de B”:
En este principio la ocurrencia es uno a
continuación del otro, es decir, ocurre el
evento “A” y luego ocurre el evento “B”
A y B m.n formas
6. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Ejemplo 1 :
Karina puede viajar de “A a B” de 3 formas
y de “B a C” de 4 formas ¿De cuántas
maneras distintas puede ir de “A a C”
pasando por “B”?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
7. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Solución:
Sea A B C
Como cada camino que parte de A va con
c/u de los que pasan por B se tienen 12
caminos.
A B y B C
3 . 4 = 12
8. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Ejemplo 2 :
¿De cuántas maneras diferentes podrá
vestirse un alumno si tiene 2 pantalones,
3 camisas y 5 pares de zapatos?
Solución:
2 pantalones 3 camisas 5 pares de zapatos
2 x 3 x 5 = 30
9. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Ejemplo 3:
Supongamos que una placa de automóvil
contiene dos letras seguidas de tres dígitos, con
el primer digito diferente de cero ¿cuántas
placas diferentes pueden fabricarse?
Solución:
Cada letra puede imprimirse de 27 maneras
diferentes, el primer digito de 9 maneras y c/u
de los otros dos dígitos de 10 maneras
# de placas: 27x27x9x10x10 = 656100
10. ING/PF: Romel Luis
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PERMUTACIÓN:
Es un arreglo u ordenación que se puede formar
con todos los elementos disponibles de un
conjunto: *Permutación Lineal (simple)
Tipos *Permutación Circular
*Permutación con repetición
Permutación Lineal (simple): Cuando se toman
todos los elementos del conjunto para
ordenarlos o permutarlos. Se lee “permutación
de n elementos”
P (n) = n!
11. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse
4 alumnos en una fila de 4 asientos?
Solución:
Número de maneras: P (n) = n !
P (n) = 4 ! =
Si importa el orden
A B C D
24
12. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Ejemplo 2 :
5 tomos de una colección de matemáticas,
¿de cuántas maneras distintas se pueden
ubicar en una biblioteca?
Solución:
Numero de maneras: P (n) = n!
P (5) = 5 ! = 120
13. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Permutación Circular: es un arreglo u
ordenación de elementos diferentes
alrededor de un objeto; en estas
ordenaciones no hay primer ni último
elemento, por hallarse todos en línea
cerrada.
Para determinar el número de
permutaciones circulares de “n” elementos
distintos, denotado por Pc (n), basta fijar
la posición de uno de ellos y los (n - 1)
restantes se podrá ordenar de (n - 1)!
Maneras: Pc (n) = (n – 1)!
14. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 1 :
¿De cuántas maneras diferentes pueden
sentarse alrededor de una mesa circular 6
personas?.
Solución:
Pc(n) = (n – 1)!
Pc(6) = (6 – 1)! = 5 !
Pc(6) = 120
15. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 2:
Cuatro parejas de enamorados ¿de cuántas
maneras diferentes pueden ubicarse alrededor
de una fogata, de modo que los hombres y
mujeres queden alternados?
Solución:
# maneras: Hombres y Mujeres
# maneras: 4! . 3!
# maneras: 24 x 6 =
H M
H
M
H
M
H
M
144
16. ING/PF: Romel Luis
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Permutación con Repetición: Es un arreglo u ordenación
de elementos donde algunos de ellos se repiten.
Si se tiene “N” elementos de los cuales:
K1: elementos repetidos de una 1ra clase
K2: elementos repetidos de una 2da clase
K1: elementos repetidos de una 3ra clase
..
..
Kn: elementos repetidos de una n-ésima clase
P = N!________
K1! . K2! . K3!......Kn!
N
K1,k2,k3….kn
17. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 1 :
¿De cuántas maneras se pueden ordenar
las letras de la palabra “RAZONARA”?
Solución:
RAZONARA:
Número total : N = 7
K1 : 2(R se repite 2 veces)
K2 : 3(A se repite 2 veces)
P = 7 ! = 5070 = 420
2! . 3! 2 x 6
7
2x3
18. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 2:
Un estante tiene capacidad para 5 libros
de algebra que tienen pasta azul, 4 libros
de Aritmética de pasta roja y 3 de
Geometría de pasta amarilla de cuantas
maneras pueden colocarse los libros según
los colores.
P = 12 !____ = 27780
5! x 4! x 3!
12
5x4x3
19. ING/PF: Romel Luis
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Variación:
Es un arreglo u ordenamiento que se puede
formar con una parte de los elementos
disponibles de un conjunto
En una variación si interesa el orden de sus
elementos.
V = n ! 0 < K < n
(n – K) !
n
k
20. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Regla Práctica:
V = 8 x 7 = 56
V = 10 x 9 x 8 = 720
V = 20 x 19 x 18 x 17 = 116280
V = n (n-1)(n-2)(n-3)…………
K (factores)
2 factores
3 factores
4 factores
8
2
10
3
20
4
n
K
21. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 1:
Un grupo formado por 7 personas que
desean formar una comisión integrada por
un presidente, un secretario y un vocal
¿de cuántas maneras puede formarse
dicha comisión?
Solución:
V = 7 x 6 x 5 = 210
3 factores
Se pueden formar de 210 maneras
7
3
22. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 2:
Encontrar el número total de enteros
positivos que pueden formarse utilizando
los dígitos 1; 2; 3; 4; si ningún digito ha
de repetirse cuando se forma un número
Solución:
a ab abc abcd
V + V + V + V
4 + 4x3 + 4x3x2 + 4x3x2x1
4 + 12 + 24 + 24 =
4
1
4
2
4
3
4
0
64
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COMBINACIÓN
Es una selección o grupo que se puede
formar con una parte o con todos los
elementos disponibles de un conjunto.
En una combinación no interesa el orden
de sus elementos
El número de combinaciones de “N”
elementos diferentes tomados de “K” en
“K”, se calcula como:
C = N !________
K!(N – K) !
N
K
0< K < N
24. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
C = 10 ! = 10x9x8! = 45
2!(10 - 2)! 2 x 8!
REGLA PRACTICA:
C = 10 x 9 = 45
1 x 2
C = 20x19x18 = 1140
1x2x3
C = 9x8x7x6 = 126
1x2x3x4
10
2
10
2
20
3
9
4
25. ING/PF: Romel Luis
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El número superior se descompone en
tantos factores como indica el número
inferior y en el denominador va el
producto desde 1 hasta el número inferior.
C = n (n-1)(n-2)(n-3)……..
1x2x3x……K
n
K
K factores
26. ING/PF: Romel Luis
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Ejemplo 1:
¿Cuántos grupos de cinco personas se
pueden formar con 8 personas?
Solución:
N = 8 (total de elementos)
K = 5 (Elementos de cada grupo)
No importa el orden
C = 8x7x6x5x4 = 56
1x2x3x4x5
8
5
27. ING/PF: Romel Luis
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2) un granjero compra 3 vacas, 2 cerdos y
4 gallinas a un hombre que tiene 6 vacas,
5 cerdos y 8 gallinas. ¿Cuántas maneras
de seleccionar tiene el granjero?
Solución:
Las vacas puede escoger de: C maneras
Las cerdos puede escoger de: C maneras
Las gallinas puede escoger de: C maneras
En total se puede escoger: C C C
6x5x4 6x4 8x7x6x5 = 14000 manera
1x2x3 1x2 1x2x3x4
6
3
5
2
8
4
6 5 8
3 2 4
28. ING/PF: Romel Luis
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PROBLEMAS RESUELTOS:
1) ¿De cuantas manera diferentes podrá
viajar una persona de A a E sin pasar ni
regresar por el mismo camino?
A) 33 B
B) 32
C) 31 A C
D) 36
E) 40 E D
29. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Solución:
Observa el grafico.
calcularemos las
rutas:
ABCDE: 2.3.2.2 = 24
ADE: 3.2 = 6
AE: = 3
Total de maneras =
B
A
E D
C
33
30. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
2) El mayor número de banderas
diferentes que se pueden construir
disponiendo de tres colores y con máximo
de dos costuras es:
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
31. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Sean A, B y C los colores:
1. sin costura: A, B y C = 3 banderas
2. con 1 costura: AB, AC y BC = 3
3. con 2 costuras: ABC, ACB, BAC, BCA,
CAB, CBA, ABA, BAB, ACA, CAC, BCB = 12
banderas
Luego el total de banderas:
3 + 3 + 12 = 18 banderas
32. ING/PF: Romel Luis
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3) El capital de un barco solicito 2 oficiales
y 3 marineros, si se prestaron 8 oficiales y
6 marineros, ¿de cuantas maneras
diferentes se podrá elegir la tripulación?
A) 560
B) 550
C) 570
D) 540
E) 530
33. ING/PF: Romel Luis
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Solución:
De 8 oficiales y 6 marineros
Se escoge: 2 3 no interesa el orden
Nº total = C . C
Nº total = 8x7 . 6x5x4 = 560
1x2 1x2x3
8 6
2 3
La tripulación se puede elegir de 560 maneras
34. ING/PF: Romel Luis
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4) Se tiene 8 vasos diferentes; 5 de los
cuales deben ser llenados con vino y los 3
restantes con chicha. ¿de cuántas
maneras diferentes se pueden realizar el
llenado?
A) 52
B) 53
C) 54
D) 55
E) 56
35. ING/PF: Romel Luis
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Solución:
N = 8 Permutación con repetición:
K1 = 5 P = 8! = 8x7x6x5!
K2 = 3 5!.3! 5!.6
8
5.3
P = 56 maneras se
Pueden llenar
8
5.3
36. ING/PF: Romel Luis
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5) ¿Cuántos números de tres cifras
diferentes se pueden formar con los
siguientes dígitos 1; 3; 5; 7; 8 y 9?
A) 120
B) 122
C) 124
D) 140
E) 150
37. ING/PF: Romel Luis
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Solución:
Importa el orden al formar los conjuntos
N = 6
V = 6x5x4 = 120
K = 3
6
3
Se pueden formar 120 números
38. ING/PF: Romel Luis
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6) ¿De cuántas maneras se pueden
ordenar las letras de la palabra
DIVISIBILIDAD?
A) 8648640
B) 8648641
C) 8648642
D) 8648643
E) 8648644
39. ING/PF: Romel Luis
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Solución:
N = 13
K1 = 3 (D se repite 3 veces)
K2 = 5 (I se repite 5 veces)
Permutación con repetición:
P = 13 ! = 13x12x11x10x9x8x7x6x5!
3!.5! 6 x 5!
P = 8648640 maneras
13
3.5
13
3.5
40. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
7) Se extraen do cartas de una baraja ¿de
cuantas maneras se pueden hacer eso?
A) 1213
B) 1236
C) 1326
D) 1336
E) 1456
41. ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Solución:
El total de cartas en una baraja es de 52
de ellas se extraen 2 ¡No importa el orden!
C = 52. 5! = 1326 maneras
1x2
52
2