Este documento trata sobre técnicas de conteo en estadística y probabilidad. Explica principios como el multiplicativo, aditivo y factoriales, así como permutaciones, combinaciones y el binomio de Newton para resolver problemas de conteo.

1. Estadística y
Probabilidad II
Técnicas de Conteo
Ciclo escolar 2013-2014

2. Técnicas de Conteo
• El principio fundamental en el proceso de contar,
ofrece un método general para contar el número de
posibles arreglos de objetos dentro de un solo
conjunto o entre varios conjuntos.
• Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Dentro
de ellas destacan:
–
–
–
–
–
El Principio Multiplicativo
El Principio Aditivo
Factoriales
Permutaciones
Combinaciones

3. Principio Multiplicativo
• También se le conoce como Principio de las Casillas, o Principio
Fundamental de conteo. Es el ocupado en los diagramas de árbol.
• Si se desea realizar una actividad que consta de 𝑟 pasos, en donde
el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de
𝑁1 maneras o formas, el segundo paso de 𝑁2 maneras o formas y el
𝑟-ésimo paso de 𝑁 𝑟 maneras o formas, entonces esta actividad
puede ser llevada a efecto de 𝑁1 × 𝑁2 × ⋯ × 𝑁 𝑟 maneras o
formas
• El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la
actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
• Ejemplo:
– Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede
construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras
(concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede
hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o
lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una
sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su
casa?

4. Principio Multiplicativo
•
¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de
tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?
a)
b)
c)
d)
•
Si es posible repetir letras y números.
No es posible repetir letras y números.
Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b) empiezan por la letra D y
empiezan por el cero.
Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b) empiezan por la letra D seguida
de la G.
¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de
seis dígitos tomados del 0 al 9?
a)
b)
c)
d)
Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir
dígitos.
El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos.
¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número
siete?
¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

5. Principio Aditivo
• Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene
formas alternativas para ser realizada, donde la
primera de esas alternativas puede ser realizada de 𝑀
maneras o formas, la segunda alternativa puede
realizarse de 𝑁 maneras o formas ..... y la última de las
alternativas puede ser realizada de 𝑊 maneras o
formas, entonces esa actividad puede ser llevada a
cabo de 𝑀 + 𝑁 + ⋯ + 𝑊 maneras o formas
• ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del
principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy
simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual
requiere para ser llevada a efecto de una serie de
pasos, entonces haremos uso del principio
multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser
efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo,
haremos uso del principio aditivo.

6. Principio Aditivo
• Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado
que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric
¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? si
– Cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se
presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática
– Mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11
o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática.
– Y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11
kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.
• Rafael Luna desea salir de Chihuahua para hacer un viaje a las Vegas o a
Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, haciendo escala en el
Paso Texas a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a
Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a
Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de
transporte en que se fue? Si
– Tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas
– Dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas
– Para ir del Paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte,

7. El Factorial de un Número
Para introducir el factorial de un numero, respondamos el
siguiente problema
• En la sala de una casa, se junta la familia para ver una
película que acaban de rentar. Si no hay lugares
preferentes y hay exactamente el mismo número de
asientos que de integrantes de la familia, ¿de cuantas
formas se pueden acomodar? Considere
a)
b)
c)
d)
Hay 2 personas en la familia.
Hay 3 personas en la familia.
Hay 4 personas en la familia.
Hay 5 personas en la familia.

8. El Factorial de un Número
• El símbolo “!” en matemáticas se lee como factorial y
se define como
n  (n  1)  (n  2)    3  2 1
n! 
1

• Ejemplos
0!=1
1!=1
2!=2x1=2
3!=3x2x1=6
4!=4x3x2x1=24
n0
n0

9. Permutaciones
Para introducir la operación permutación,
respondamos el siguiente problema
• En la sala de una casa, se junta la familia para ver
una película que acaban de rentar. Si no hay
lugares preferentes y la sala cuenta con 5
asientos ¿de cuantas formas se pueden
acomodar? Considere
a) Hay 2 personas en la familia.
b) Hay 3 personas en la familia.
c) Hay 4 personas en la familia.

10. Permutaciones
• Una permutación de n objetos tomados de 𝑟 en 𝑟, es una elección
ordenada de 𝑟 objetos de entre 𝑛. El numero de permutaciones de
𝑛 objetos tomados de 𝑟 en 𝑟 se denota por
nP
r
Prn
y viene dado por
n!
n P  nn  1n  2  n  r  1 
r
n  r !
• En particular, el número de permutaciones de 𝑛 objetos tomadas
de 𝑟 en 𝑟 es
n
Pn  n!

11. Combinaciones
Nuevamente, para introducir las combinaciones
resolvamos el siguiente problema
• En la sala de una casa, se junta la familia para ver
una película que acaban de rentar. Si no hay
lugares preferentes y la sala cuenta con 5
asientos ¿de cuantas formas puedo escoger los
asientos? Considere
a) Hay 2 personas en la familia.
b) Hay 3 personas en la familia.
c) Hay 4 personas en la familia

12. Combinaciones
• Una combinación de 𝑛 objetos tomados de 𝑟 en
𝑟, es una elección, sin importar el orden de los 𝑟
escogidos. El numero de combinaciones de 𝑛
objetos tomados de 𝑟 en 𝑟 se denota por
n
Cr
C
n
r
n
 
r
 
y viene dado por
 n  nn  1n  2  n  r  1
n!
 

r
r!
r!n  r !
 

13. Problemas de Permutaciones y
Combinaciones
• Un entrenador de futbol tiene que decidir como tirar los primeros 5
penales de una tanda de desempate ¿Cuantas elecciones posibles
debe considerar?
• Una cadena de tiendas desea abrir 4 tiendas nuevas. Se tienen 12
sitios favorables ¿De cuantas maneras se pueden elegir donde abrir
las tiendas?
• Determina el numero de maneras posibles en que 4 nuevos
pacientes pueden ser asignados a 8 enfermeras, si cada enfermera
por sus múltiples ocupaciones, solo puede aceptar a lo mas 1
paciente nuevo.
• Una baraja inglesa consta de 52 cartas dividas en 4 palos donde
cada palo tiene 13 valores distintos. Una “mano” es un conjunto de
5 cartas tomadas del mazo de la baraja ¿Cuántas manos distintas se
pueden formar con una baraja inglesa?

14. Problemas Varios
de Técnicas de Conteo
• En un examen un estudiante debe responder 7 de 10
preguntas
a) número de formas en que pueden escoger las preguntas
del examen
b) número de formas en que se puede responder si la
séptima pregunta es obligatoria.
c) número de formas que se puede responder el examen si
4 de las preguntas a responder deben ser escogido der
las primeras 6, y las 3 preguntas restantes deben ser
tomadas de las siguientes 4.
• En una escuela se tienen 10 pc’s y 3 mac’s ¿de cuantas
maneras se pueden asignar a 6 alumnos cumpliendo lo
siguiente?
a) Ninguno trabaja en mac
b) 1 en mac y 5 en pc
c) 2 en mac y 4 en pc

15. Triangulo de Pascal
• Teorema de Pascal. Si 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 entonces
 n   n   n  1
 
 r   r  1   r  1 
 

  
 

• El teorema de Pascal permite construir el triangulo de
Pascal
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
• Donde además 𝑟𝑛 se encuentra en la n_esima fila en la
r_esima posición

16. Triangulo de Pascal
Fila 0
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Fila 5
Fila 6
Fila 7
Posición 0
Posición 0
Posición 0
1
1
1
Posición 1
Posición 1
2
1
Posición 2
Posición 0
1 Posición 1 3 Posición 2 3
1
Posición 1
4 Posición 2 6
5
10
Posición 0
Posición 0
1
Posición 0
1
Posición 1
6
Posición 1
Posición 2
15
Posición 2
1
7
21
Posición 0
Posición 1
Posición 2
1
Posición 3
Posición 3
1
4 Posición 4 1
10 Posición 4 5
Posición 3
Posición 5
20 Posición 4 Posición 56
15
35
35
21
Posición 3
Posición 3
Posición 4
Posición 5
1
Posición 6
1
7
1
Posición 6
Posición 7

17. Binomio de Newton
• Formula del Binomio de Newton.
x  y 
n
x  y 
n
 n  n i i
   x y
i
i 0  
n
 n  n  n  n 1  n  n  2 2
 n  n 1  n  n
  x   x y   x y    
0
1
 2
 n  1 xy   n  y

 
 
 
 


 
• Ejemplo