Este documento presenta el tema 2 sobre vectores y matrices en Octave. Introduce los conceptos básicos de vectores y matrices, incluyendo su definición, creación y operaciones. Explica cómo crear y modificar vectores y acceder a sus elementos, así como definir y manipular matrices mediante operaciones escalares y entre matrices. Finalmente, propone un ejemplo de aplicación sobre cinética de reacciones químicas.
Este documento presenta una introducción al uso de matrices en MATLAB. Explica cómo introducir matrices, realizar operaciones básicas como suma y multiplicación, y usar comandos como size, transpose, eye, y rand. También cubre operaciones elemento a elemento, matrices especiales como identidad y ceros, y comandos como inverse, determinant, rref y sparse para matrices dispersas.
1) El documento introduce MATLAB, un software de ingeniería para cálculo numérico y gráficos. 2) Explica funciones básicas como escalares, vectores, matrices, operaciones matemáticas y funciones predefinidas. 3) MATLAB es útil para álgebra lineal, análisis numérico y otras aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Este documento proporciona una introducción a MATLAB, incluyendo una descripción de números y operaciones, vectores y matrices, operaciones con vectores y matrices, funciones para vectores y matrices, polinomios, gráficos 2D y 3D, y programación con funciones. Se explican conceptos fundamentales como la definición y manipulación de datos numéricos, vectores, matrices, polinomios, y funciones básicas para realizar cálculos y representaciones gráficas.
Este documento proporciona una introducción a MATLAB, incluyendo definiciones de algoritmos, vectores, matrices y operaciones matemáticas comunes en MATLAB como suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. También describe cómo crear y manipular vectores y matrices, y realizar operaciones como multiplicación y transposición de matrices.
Este documento presenta una introducción a MATLAB. Explica que MATLAB es un lenguaje de programación para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Describe los elementos básicos de la interfaz de MATLAB como la ventana de comandos, directorio actual y espacio de trabajo. También introduce conceptos fundamentales como números, vectores, matrices, operaciones con ellos y funciones matemáticas. Por último, menciona brevemente temas como polinomios, gráficos 2D y 3D y programación.
MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. El documento describe los elementos básicos del escritorio de MATLAB como la ventana de comandos y el historial de comandos. Explica cómo definir y manipular variables, vectores y matrices en MATLAB así como realizar operaciones con ellos. También cubre temas como la generación de gráficos 2D y 3D, el uso del depurador y las funciones de ayuda.
Este documento proporciona instrucciones para usar MATLAB. Explica cómo abrir MATLAB y las pantallas principales. Luego describe cómo definir escalares, vectores y matrices, y realizar operaciones básicas con ellos como suma, resta, multiplicación y división. También muestra cómo generar gráficas básicas de datos.
Este documento presenta una introducción al uso de matrices en MATLAB. Explica cómo introducir matrices, realizar operaciones básicas como suma y multiplicación, y usar comandos como size, transpose, eye, y rand. También cubre operaciones elemento a elemento, matrices especiales como identidad y ceros, y comandos como inverse, determinant, rref y sparse para matrices dispersas.
1) El documento introduce MATLAB, un software de ingeniería para cálculo numérico y gráficos. 2) Explica funciones básicas como escalares, vectores, matrices, operaciones matemáticas y funciones predefinidas. 3) MATLAB es útil para álgebra lineal, análisis numérico y otras aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Este documento proporciona una introducción a MATLAB, incluyendo una descripción de números y operaciones, vectores y matrices, operaciones con vectores y matrices, funciones para vectores y matrices, polinomios, gráficos 2D y 3D, y programación con funciones. Se explican conceptos fundamentales como la definición y manipulación de datos numéricos, vectores, matrices, polinomios, y funciones básicas para realizar cálculos y representaciones gráficas.
Este documento proporciona una introducción a MATLAB, incluyendo definiciones de algoritmos, vectores, matrices y operaciones matemáticas comunes en MATLAB como suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. También describe cómo crear y manipular vectores y matrices, y realizar operaciones como multiplicación y transposición de matrices.
Este documento presenta una introducción a MATLAB. Explica que MATLAB es un lenguaje de programación para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Describe los elementos básicos de la interfaz de MATLAB como la ventana de comandos, directorio actual y espacio de trabajo. También introduce conceptos fundamentales como números, vectores, matrices, operaciones con ellos y funciones matemáticas. Por último, menciona brevemente temas como polinomios, gráficos 2D y 3D y programación.
MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. El documento describe los elementos básicos del escritorio de MATLAB como la ventana de comandos y el historial de comandos. Explica cómo definir y manipular variables, vectores y matrices en MATLAB así como realizar operaciones con ellos. También cubre temas como la generación de gráficos 2D y 3D, el uso del depurador y las funciones de ayuda.
Este documento proporciona instrucciones para usar MATLAB. Explica cómo abrir MATLAB y las pantallas principales. Luego describe cómo definir escalares, vectores y matrices, y realizar operaciones básicas con ellos como suma, resta, multiplicación y división. También muestra cómo generar gráficas básicas de datos.
Este documento presenta MATLAB como una herramienta auxiliar para el análisis y solución de problemas. Explica cómo crear gráficos 2D y 3D básicos, incluidas funciones, escalas, títulos y etiquetas. También cubre gráficos de líneas, contornos y mallas 3D, así como transformaciones de coordenadas y creación de películas.
Este documento define diferentes tipos de matrices y describe operaciones básicas con ellas, incluyendo:
1) Define matrices como conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas, y describe tipos como matrices cuadradas, filas, columnas, nulas y más.
2) Explica operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, trasposición, inversión y producto de matrices.
3) Detalla métodos para calcular la inversa de una matriz, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta conceptos básicos sobre operaciones con matrices. Explica que una matriz es un conjunto rectangular de números y define sus características como filas, columnas y elementos. Luego introduce conceptos como suma, resta y multiplicación de matrices, así como propiedades de estas operaciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan el significado y aplicación de las matrices en matemáticas.
Este documento presenta una introducción a MATLAB. Explica los elementos básicos del entorno de MATLAB como la ventana de comandos y la ventana de trabajo. Luego, cubre temas como números y operaciones, vectores y matrices, operaciones con vectores y matrices, funciones para vectores y matrices, polinomios, y gráficos 2D y 3D. El objetivo general es proporcionar una visión general de MATLAB y sus capacidades principales para el cálculo numérico.
Este documento presenta información sobre la unidad de álgebra lineal sobre matrices. Se detalla que la semana del 9 al 14 de septiembre se cubrirá el tema de matrices. Se espera que los estudiantes aprendan conceptos como la definición de matriz, adición y multiplicación de matrices, y la relación entre matrices y números reales. El plan de trabajo incluye nociones sobre matrices que serán cubiertas, así como actividades sugeridas y los aprendizajes esperados al final de la unidad.
1) MATLAB es un software matemático que permite realizar cálculos numéricos, procesamiento de señales y gráficas mediante el uso de matrices. 2) MATLAB permite realizar operaciones matemáticas, lógicas y relacionales sobre matrices y vectores de forma interactiva. 3) El documento explica cómo funciona MATLAB, incluyendo la creación y modificación de matrices, y diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar con ellas.
Desarrollo de ejercicios básicos en matlabAdalberto C
Este documento describe el uso de MATLAB para resolver dos problemas matemáticos. En el primer ejercicio, se genera una matriz aleatoria que representa datos de temperatura mensual durante 20 años y se grafica frente al tiempo. En el segundo ejercicio, se define una función de dos variables y se grafican curvas de nivel para valores constantes de las variables. El documento explica comandos de MATLAB para crear matrices, vectores, funciones y graficar en 2D y 3D.
El documento describe los arreglos bidimensionales o matrices. Explica que una matriz es un conjunto de datos almacenados en filas y columnas, donde cada elemento se identifica por su posición en la fila e índice. Muestra ejemplos de cómo declarar e inicializar matrices de diferentes tipos de datos, así como cómo insertar y recuperar datos de una matriz mediante los índices de fila y columna.
Este documento presenta un curso introductorio de MATLAB para ingenieros. Incluye contenidos como vectores, matrices, gráficas, funciones y scripts. El curso consta de 10 sesiones prácticas de 2.5 horas cada una con evaluaciones teóricas y un proyecto final para obtener el certificado. MATLAB es un lenguaje de programación para cálculos numéricos, modelado y desarrollo de aplicaciones científicas y de ingeniería.
Este documento trata sobre arrays y matrices en R. Explica que un array es un conjunto de datos de k dimensiones, y que una matriz es un array de 2 dimensiones. Detalla cómo crear y asignar dimensiones a arrays, e indexar y seleccionar elementos de arrays mediante vectores de índices. También cubre funciones como array, matrix, nrow, ncol y cómo realizar operaciones matemáticas con matrices.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué son matrices de diferentes tamaños como 2x2 y 3x3, y también habla sobre la transpuesta de matrices y ejemplos de aplicaciones de matrices en la vida cotidiana. Luego, cubre los métodos de Cramer y Sarrus para calcular determinantes.
El documento trata sobre métodos numéricos para resolver problemas de mecánica de fluidos. Estos métodos utilizan algoritmos y cálculos numéricos para simular la interacción de líquidos y gases, aunque solo pueden lograr resultados aproximados. También introduce conceptos básicos de matrices y su uso en Excel para resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de la inversión matricial.
Este documento introduce conceptos básicos sobre cálculo con matrices. Explica definiciones como matriz, tipo de matriz, reglas de cálculo para sumar, restar, multiplicar matrices por escalares y entre sí. También describe matrices especiales como transpuesta, simétrica, diagonal e identidad. Finalmente, introduce conceptos sobre hipermatrices, submatrices y diferenciación de matrices.
Este documento presenta una introducción a las funciones y operaciones matemáticas básicas en Matlab, incluyendo funciones escalares, matrices, cadenas y números complejos. Explica funciones matemáticas como seno, coseno, logaritmos, raíz cuadrada y funciones matriciales como traspuesta, traza y determinante. También cubre temas como cadenas de caracteres, números complejos y el operador dos puntos para definir vectores.
1) El documento describe la historia y definición de las matrices, incluyendo sus usos en áreas como el cálculo numérico, sistemas de ecuaciones lineales y programación. 2) Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y comparación de matrices iguales. 3) Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar estas operaciones.
Este documento presenta un curso introductorio de MATLAB. Cubre temas como vectores, matrices, gráficas, estructuras de control, GUI y adquisición de datos. El curso consta de 10 clases con objetivos como aprender comandos básicos, funciones matemáticas, análisis de datos y desarrollo de aplicaciones. Se evaluará a los participantes con prácticas, exámenes teóricos y final para otorgar certificados de aprobación o asistencia.
El documento presenta información sobre matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Explica que el orden de una matriz se representa como m x n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. Además, describe diferentes tipos de matrices como matrices nulas, cuadradas, diagonales y triangulares, y presenta algunas operaciones básicas como suma y multiplicación por un escalar.
Este documento trata sobre funciones en C. Explica que las funciones permiten dividir un programa en segmentos más pequeños que realizan tareas específicas. Describe la estructura general de una función en C, incluyendo el tipo de retorno, nombre, lista de parámetros, cuerpo y sentencia return. También discute cómo declarar y definir funciones, y cómo pasar y devolver valores a través de funciones.
El documento describe los conceptos básicos de los arreglos y matrices. Define un arreglo como una colección finita, homogénea y ordenada de elementos. Explica las características de los arreglos unidimensionales (vectores) y bidimensionales (matrices), así como operaciones comunes como lectura, escritura, recorrido y actualización. También resume las ventajas del uso de arreglos.
Este documento presenta los apuntes para la asignatura Algoritmos y Estructura de Datos en la Facultad Regional San Francisco de la Universidad Tecnológica Nacional. Incluye el programa analítico, criterios de evaluación e introducción, además de varios capítulos sobre conceptos básicos de algoritmos, paradigmas de programación, entidades primitivas, técnicas de diseño, estructuras de datos y manejo de módulos. El objetivo es servir de apoyo al docente y facilitar que los estudiantes desarrollen su capac
El documento explica los vectores (o arreglos unidimensionales), que son estructuras de datos que almacenan un conjunto de datos del mismo tipo en posiciones contiguas de memoria. Se pueden usar vectores para resolver problemas que requieren almacenar y procesar múltiples datos, como obtener el promedio y valores mayores del promedio de 50 números. También introduce las matrices, que son arreglos bidimensionales necesarios para resolver problemas que involucran múltiples conjuntos de datos, como el rendimiento de alumnos en diferentes asignaturas.
Este documento presenta MATLAB como una herramienta auxiliar para el análisis y solución de problemas. Explica cómo crear gráficos 2D y 3D básicos, incluidas funciones, escalas, títulos y etiquetas. También cubre gráficos de líneas, contornos y mallas 3D, así como transformaciones de coordenadas y creación de películas.
Este documento define diferentes tipos de matrices y describe operaciones básicas con ellas, incluyendo:
1) Define matrices como conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas, y describe tipos como matrices cuadradas, filas, columnas, nulas y más.
2) Explica operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, trasposición, inversión y producto de matrices.
3) Detalla métodos para calcular la inversa de una matriz, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta conceptos básicos sobre operaciones con matrices. Explica que una matriz es un conjunto rectangular de números y define sus características como filas, columnas y elementos. Luego introduce conceptos como suma, resta y multiplicación de matrices, así como propiedades de estas operaciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan el significado y aplicación de las matrices en matemáticas.
Este documento presenta una introducción a MATLAB. Explica los elementos básicos del entorno de MATLAB como la ventana de comandos y la ventana de trabajo. Luego, cubre temas como números y operaciones, vectores y matrices, operaciones con vectores y matrices, funciones para vectores y matrices, polinomios, y gráficos 2D y 3D. El objetivo general es proporcionar una visión general de MATLAB y sus capacidades principales para el cálculo numérico.
Este documento presenta información sobre la unidad de álgebra lineal sobre matrices. Se detalla que la semana del 9 al 14 de septiembre se cubrirá el tema de matrices. Se espera que los estudiantes aprendan conceptos como la definición de matriz, adición y multiplicación de matrices, y la relación entre matrices y números reales. El plan de trabajo incluye nociones sobre matrices que serán cubiertas, así como actividades sugeridas y los aprendizajes esperados al final de la unidad.
1) MATLAB es un software matemático que permite realizar cálculos numéricos, procesamiento de señales y gráficas mediante el uso de matrices. 2) MATLAB permite realizar operaciones matemáticas, lógicas y relacionales sobre matrices y vectores de forma interactiva. 3) El documento explica cómo funciona MATLAB, incluyendo la creación y modificación de matrices, y diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar con ellas.
Desarrollo de ejercicios básicos en matlabAdalberto C
Este documento describe el uso de MATLAB para resolver dos problemas matemáticos. En el primer ejercicio, se genera una matriz aleatoria que representa datos de temperatura mensual durante 20 años y se grafica frente al tiempo. En el segundo ejercicio, se define una función de dos variables y se grafican curvas de nivel para valores constantes de las variables. El documento explica comandos de MATLAB para crear matrices, vectores, funciones y graficar en 2D y 3D.
El documento describe los arreglos bidimensionales o matrices. Explica que una matriz es un conjunto de datos almacenados en filas y columnas, donde cada elemento se identifica por su posición en la fila e índice. Muestra ejemplos de cómo declarar e inicializar matrices de diferentes tipos de datos, así como cómo insertar y recuperar datos de una matriz mediante los índices de fila y columna.
Este documento presenta un curso introductorio de MATLAB para ingenieros. Incluye contenidos como vectores, matrices, gráficas, funciones y scripts. El curso consta de 10 sesiones prácticas de 2.5 horas cada una con evaluaciones teóricas y un proyecto final para obtener el certificado. MATLAB es un lenguaje de programación para cálculos numéricos, modelado y desarrollo de aplicaciones científicas y de ingeniería.
Este documento trata sobre arrays y matrices en R. Explica que un array es un conjunto de datos de k dimensiones, y que una matriz es un array de 2 dimensiones. Detalla cómo crear y asignar dimensiones a arrays, e indexar y seleccionar elementos de arrays mediante vectores de índices. También cubre funciones como array, matrix, nrow, ncol y cómo realizar operaciones matemáticas con matrices.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué son matrices de diferentes tamaños como 2x2 y 3x3, y también habla sobre la transpuesta de matrices y ejemplos de aplicaciones de matrices en la vida cotidiana. Luego, cubre los métodos de Cramer y Sarrus para calcular determinantes.
El documento trata sobre métodos numéricos para resolver problemas de mecánica de fluidos. Estos métodos utilizan algoritmos y cálculos numéricos para simular la interacción de líquidos y gases, aunque solo pueden lograr resultados aproximados. También introduce conceptos básicos de matrices y su uso en Excel para resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de la inversión matricial.
Este documento introduce conceptos básicos sobre cálculo con matrices. Explica definiciones como matriz, tipo de matriz, reglas de cálculo para sumar, restar, multiplicar matrices por escalares y entre sí. También describe matrices especiales como transpuesta, simétrica, diagonal e identidad. Finalmente, introduce conceptos sobre hipermatrices, submatrices y diferenciación de matrices.
Este documento presenta una introducción a las funciones y operaciones matemáticas básicas en Matlab, incluyendo funciones escalares, matrices, cadenas y números complejos. Explica funciones matemáticas como seno, coseno, logaritmos, raíz cuadrada y funciones matriciales como traspuesta, traza y determinante. También cubre temas como cadenas de caracteres, números complejos y el operador dos puntos para definir vectores.
1) El documento describe la historia y definición de las matrices, incluyendo sus usos en áreas como el cálculo numérico, sistemas de ecuaciones lineales y programación. 2) Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y comparación de matrices iguales. 3) Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar estas operaciones.
Este documento presenta un curso introductorio de MATLAB. Cubre temas como vectores, matrices, gráficas, estructuras de control, GUI y adquisición de datos. El curso consta de 10 clases con objetivos como aprender comandos básicos, funciones matemáticas, análisis de datos y desarrollo de aplicaciones. Se evaluará a los participantes con prácticas, exámenes teóricos y final para otorgar certificados de aprobación o asistencia.
El documento presenta información sobre matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Explica que el orden de una matriz se representa como m x n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. Además, describe diferentes tipos de matrices como matrices nulas, cuadradas, diagonales y triangulares, y presenta algunas operaciones básicas como suma y multiplicación por un escalar.
Este documento trata sobre funciones en C. Explica que las funciones permiten dividir un programa en segmentos más pequeños que realizan tareas específicas. Describe la estructura general de una función en C, incluyendo el tipo de retorno, nombre, lista de parámetros, cuerpo y sentencia return. También discute cómo declarar y definir funciones, y cómo pasar y devolver valores a través de funciones.
El documento describe los conceptos básicos de los arreglos y matrices. Define un arreglo como una colección finita, homogénea y ordenada de elementos. Explica las características de los arreglos unidimensionales (vectores) y bidimensionales (matrices), así como operaciones comunes como lectura, escritura, recorrido y actualización. También resume las ventajas del uso de arreglos.
Este documento presenta los apuntes para la asignatura Algoritmos y Estructura de Datos en la Facultad Regional San Francisco de la Universidad Tecnológica Nacional. Incluye el programa analítico, criterios de evaluación e introducción, además de varios capítulos sobre conceptos básicos de algoritmos, paradigmas de programación, entidades primitivas, técnicas de diseño, estructuras de datos y manejo de módulos. El objetivo es servir de apoyo al docente y facilitar que los estudiantes desarrollen su capac
El documento explica los vectores (o arreglos unidimensionales), que son estructuras de datos que almacenan un conjunto de datos del mismo tipo en posiciones contiguas de memoria. Se pueden usar vectores para resolver problemas que requieren almacenar y procesar múltiples datos, como obtener el promedio y valores mayores del promedio de 50 números. También introduce las matrices, que son arreglos bidimensionales necesarios para resolver problemas que involucran múltiples conjuntos de datos, como el rendimiento de alumnos en diferentes asignaturas.
Los vectores y matrices son formas de almacenar datos de forma ordenada. Un vector (también llamado array unidimensional) almacena una serie de elementos del mismo tipo en posiciones contiguas de memoria. Una matriz (array multidimensional) almacena datos en filas y columnas, donde cada elemento es un vector. Los vectores y matrices se pueden indexar para acceder a sus elementos individuales usando corchetes después del nombre y el índice correspondiente.
El documento introduce los conceptos de vectores y matrices. Explica que los vectores (arreglos unidimensionales) y matrices (arreglos bidimensionales) permiten almacenar grandes cantidades de datos de manera ordenada. Presenta ejemplos de declaración, lectura, escritura y operaciones con vectores y matrices. Resuelve problemas como obtener el promedio de calificaciones de alumnos por asignatura y por alumno usando una matriz.
Clase 10 Estructuras De Datos Y Arreglossalomonaquino
La clase trata sobre estructuras de datos y arreglos. El profesor Lic. Salomón Aquino busca que los estudiantes comprendan los conceptos básicos de estructuras de datos y arreglos, y puedan resolver problemas usando arreglos unidimensionales. El documento explica las características de las estructuras de datos estáticas y dinámicas, y se enfoca en los arreglos unidimensionales, mostrando cómo declararlos, inicializarlos, acceder a sus elementos, y realizar operaciones como lectura, escritura, asignación y actual
El documento introduce los conceptos de vectores y matrices. Explica que los vectores son estructuras de datos unidimensionales que permiten almacenar conjuntos de datos del mismo tipo de manera ordenada. Luego, presenta ejemplos de cómo declarar, manipular e implementar vectores para resolver problemas. Finalmente, introduce las matrices como estructuras bidimensionales análogas a los vectores que son necesarias para resolver ciertos problemas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el uso de vectores en el lenguaje de programación Pseudocódigo. Se proponen 11 ejercicios que abordan temas como cálculo de promedios, suma de vectores, búsqueda secuencial, ordenamiento de vectores e implementación de la sucesión de Fibonacci utilizando vectores. Cada ejercicio contiene el enunciado y la lógica del algoritmo para resolverlo mediante el uso de estructuras de datos vectoriales.
Este documento explica los vectores o arreglos en programación. Define un vector como una zona de almacenamiento continuo que contiene una serie de elementos del mismo tipo ordenados en fila. Muestra cómo declarar un vector en Visual Basic y realiza ejemplos prácticos de programas que utilizan vectores para almacenar y procesar datos.
Este documento describe los arreglos y sus características. Explica que un arreglo es una estructura de datos que almacena una colección de elementos del mismo tipo en posiciones de memoria contiguas. Los arreglos pueden ser unidimensionales (vectores), bidimensionales (matrices) o multidimensionales. Los arreglos se caracterizan por almacenar elementos en posiciones indexadas, tener un nombre de variable único que representa a todos los elementos y permitir el acceso directo a cualquier elemento. También explica cómo declarar, inicializar, manipular y realizar oper
Este documento introduce el álgebra matricial y su uso en Octave. Explica conceptos básicos como sumas, productos y potencias de vectores y matrices. Muestra ejemplos de cómo generar y manipular vectores y matrices en Octave, incluyendo operaciones aritméticas clásicas y a nivel de elementos. Recomienda aprender a usar ambos tipos de operaciones y descargar Octave para realizar cálculos matriciales.
Este documento proporciona una guía sobre vectores y gráficos en MATLAB. Explica cómo crear, manipular y operar con vectores unidimensionales, incluyendo cómo acceder a sus elementos, redimensionarlos, concatenarlos y eliminar elementos. También cubre operaciones entre vectores y escalares, y entre vectores. Finalmente, presenta funciones para crear gráficos de líneas 2D en MATLAB. El documento incluye ejemplos y actividades para que el usuario practique los conceptos.
El documento presenta una introducción a las matrices en Matlab. Explica que una matriz es un conjunto de números organizados en filas y columnas y cómo se declaran vectores y matrices. Luego, describe diferentes formas de crear matrices como uniendo vectores, usando funciones como zeros, ones, rand y randi. Finalmente, cubre temas como el tamaño, modificación, matriz identidad, suma, resta, multiplicación y propiedades de matrices.
Este documento presenta un curso de introducción a MATLAB. Cubre temas como aritmética y operaciones con matrices, acceso a elementos de matrices, funciones, gráficos, programación y estructuras de datos. El curso está dirigido a estudiantes y profesores para aprender y enseñar las capacidades básicas de MATLAB.
Este documento presenta información sobre matrices tridimensionales. Explica conceptos básicos como vectores, matrices, dimensiones de matrices bidimensionales y tridimensionales. Luego describe un programa desarrollado en C para trabajar con matrices tridimensionales, solicitando la entrada de datos al usuario y generando valores aleatorios para llenar las matrices. Finalmente incluye una bibliografía.
Este documento describe cómo realizar operaciones matriciales como suma, resta, multiplicación, transposición, determinante e inversa de matrices usando funciones en Excel. También presenta aplicaciones como calcular el área de un triángulo, volumen de un tetraedro y resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices. Finalmente, muestra cómo crear un macro para calcular automáticamente el área de un triángulo al ingresar las coordenadas de sus vértices.
Matlab es un entorno de cómputo que permite realizar cálculos matemáticos, estadísticos y gráficos. Ofrece herramientas para álgebra lineal, cálculo, estadística, procesamiento de señales y simulación. Permite realizar operaciones matemáticas, lógicas y comparaciones, así como manipular vectores y matrices.
El documento trata sobre ecuaciones lineales y matrices. Explica que una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables a la primera potencia. Luego, define una matriz como una tabla rectangular de números dispuestos en filas y columnas, con cada elemento identificado por dos subíndices. Finalmente, describe algunos tipos de matrices como las nulas, fila, columna y cuadradas.
Clase 1 del curso de fundamentos de Matlab para el análisis económico. Presenta aspectos fundamentales del ambiente del software, además de introducir a las operaciones con vectores, las funciones, vectores lógicos y principales operadores de Matlab, todo con ejemplos aplicados a la economía.
Este documento proporciona instrucciones para usar MATLAB. Explica conceptos básicos como matrices, vectores y gráficos. También muestra ejemplos de comandos para definir y manipular datos, y realizar cálculos y operaciones matemáticas elementales. El documento concluye explicando cómo crear y guardar archivos .m de MATLAB que automatizan tareas a través de comandos programados.
Este documento proporciona instrucciones para usar MATLAB. Explica conceptos básicos como matrices, vectores y gráficos. También muestra ejemplos de comandos para definir y manipular datos, y realizar cálculos y operaciones matemáticas elementales. El documento concluye explicando cómo crear y guardar archivos .m de MATLAB.
Este documento proporciona instrucciones para usar MATLAB. Explica conceptos básicos como matrices, vectores y gráficos. También muestra ejemplos de comandos para definir y manipular datos, y realizar cálculos y operaciones matemáticas elementales. El documento concluye explicando cómo crear y guardar archivos .m de MATLAB que contienen programas y funciones definidas por el usuario.
Este documento proporciona una introducción al software MATLAB, describiendo sus pantallas principales y funciones básicas como matrices, vectores, gráficos y comandos. Explica cómo definir y manipular datos numéricos, y cómo generar gráficos simples de datos experimentales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores y matrices en MATLAB. Explica cómo definir y manipular vectores y matrices, incluyendo operaciones como suma, resta, multiplicación y división. También describe funciones como eye, zeros y rand para generar matrices, así como operadores para extraer y modificar elementos de matrices.
Este documento introduce el software Octave. Octave es una herramienta de línea de comandos para resolver problemas numéricos que es muy compatible con MATLAB pero de código abierto. Explica las características básicas de Octave como la ventana de comandos, variables, operaciones aritméticas, funciones matemáticas predeterminadas, arreglos unidimensionales y bidimensionales, y operaciones con matrices y vectores.
El documento describe las características básicas de MATLAB. MATLAB es un lenguaje de programación y entorno de trabajo para realizar cálculos numéricos, especialmente con vectores y matrices. Permite realizar operaciones matemáticas, crear funciones y programas (M-archivos), y visualizar gráficos. El espacio de trabajo principal de MATLAB contiene ventanas para escribir comandos, ver variables y su historia.
Este documento trata sobre conjuntos de vectores y matrices ortogonales. Explica conceptos como producto interno, norma de un vector, distancia entre vectores, vectores ortogonales, conjuntos ortogonales de vectores y matrices ortogonales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos matemáticos en diferentes espacios vectoriales como Rn, Cn, funciones continuas y matrices.
1) El documento presenta apuntes sobre el uso del software MATLAB para ingeniería. Se dividen en secciones sobre comandos básicos, vectores, matrices, gráficas 2D y 3D, cálculo simbólico y programación.
2) Explica comandos básicos como variables, operadores matemáticos, formatos numéricos y ayuda. También introduce variables lógicas.
3) Detalla operaciones con vectores como suma, multiplicación y funciones matemáticas aplicadas a vectores. Explica también polinomios y matrices
Este documento presenta la teoría de matrices, incluyendo notación matricial, operaciones elementales, eliminación gaussiana, y operaciones con matrices como suma, multiplicación y propiedades. Explica cómo usar matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, reduciendo las matrices a forma triangular superior mediante eliminación gaussiana.
Del caos surge mi perfección.
Soy valen! Siempre en una búsqueda constante en el equilibrio de ambas, donde encuentro mi verdadera yo, apreciando la belleza de la imperfección mientras acepto los desafíos y errores, y desafiando mi caos para alcanzar mi perfección.
Soy una mente inquieta, siempre buscando nuevas
inspiraciones en cada rincón.Encuentro en las calles y en los detalles cotidianos los colores vibrantes y las formas audaces que alimentan mi creatividad y a través de ellos tejo collages en mi imaginación, donde mi energía juega un papel fundamental en cada textura, cada forma, cada color mostrando mi esencia capturada.
Soy una persona que ama desafiar las convenciones establecidas, por eso tomo la moda y el arte como
referentes hacia mi inspiración, permitiéndome expresarme con libertad mi identidad de una manera única.
Soy la búsqueda de la estética, que es mi guía en cada viaje creativo, así creando una imagen única que genere armonía y impacto visual.Sin embargo, no podría lograr esta
singularidad sin el uso de la ironía como aliada en mi búsqueda de la originalidad.
Soy una diseñadora con un proceso creativo
llamado: rompecabezas donde al principio se encuentran miles de piezas desordenadas sobre la mesa para que luego cada pieza encaje perfectamente para crear una imagen
Catalogo General Durstone Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Descubre el catálogo general de Durstone, presentado por Amado Salvador, el distribuidor oficial de cerámica Durstone. Este catálogo incluye una amplia variedad de productos de alta calidad de Durstone, conocidos por su resistencia, durabilidad y diseño innovador. Como distribuidor oficial de cerámica Durstone, Amado Salvador ofrece una selección completa de cerámica Durstone que abarca desde baldosas para interiores y exteriores hasta soluciones personalizadas para proyectos arquitectónicos.
Durstone se destaca por su compromiso con la excelencia y la innovación en el diseño de cerámica. Cada pieza es creada para satisfacer los estándares más altos de calidad, asegurando que cada proyecto se beneficie de productos que no solo son estéticos, sino también extremadamente duraderos.
Explora este catálogo y descubre la cerámica Durstone y encuentra la opción perfecta para cualquier espacio, asegurando la mejor calidad y estilo. Amado Salvador, distribuidor oficial Durstone en Valencia.
Catalogo Coleccion Atelier Bathco Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Explora el catálogo general de la colección Atelier de Bathco, disponible en Amado Salvador, ofrece una exquisita selección de lavabos y sanitarios de alta gama con un enfoque artesanal y exclusivo. Como distribuidor oficial Bathco, Amado Salvador presenta productos Bathco que encarnan la excelencia en calidad y diseño. Este catálogo destaca la colección Atelier, la más exclusiva de Bathco, que combina la artesanía tradicional con la innovación contemporánea.
La colección Atelier de Bathco se distingue por su atención meticulosa a los detalles y la utilización de materiales de primera calidad. Los lavabos y sanitarios de esta colección son verdaderas obras de arte, diseñados para elevar el lujo y la sofisticación en cualquier baño. Cada pieza de la colección Atelier refleja el compromiso de Bathco con la excelencia y la elegancia.
Amado Salvador, distribuidor oficial Bathco en Valencia. Explora este catálogo y sumérgete en el mundo de la colección Atelier de Bathco, donde la artesanía y la elegancia se unen para crear espacios de baño verdaderamente excepcionales.
DIA DE LA BANDERA PERUANA EL 7 DE JUNIO DE 182062946377
Diseño del dia de la bandera. El 7 de junio se celebra en todo el Perú el Día de la Bandera, una fecha que conmemora el aniversario de la Batalla de Arica de 1880, un enfrentamiento histórico en el que las tropas peruanas se enfrentaron valientemente a las fuerzas chilenas durante la Guerra del Pacífico.
Trazos poligonales para hallar las medidas de los angulos con las distancias establecidas realizadas con la cinta metrica. Empleando fórmulas como la ley de cosenos y senos, para determinar dichos ángulos.Lo que ayudará para la enseñanza estudiantil en el ámbito de la ingeniería.
1. Tema 2
Vectores y matrices
Guillermo Peris Ripoll´es
Objetivos
Cuando finalice este tema, el alumno deber´a ser capaz de:
Definir vectores y matrices con Octave.
Comprender y utilizar la notaci´on de dos puntos para la creaci´on de listas.
Controlar el acceso y modificaci´on de elementos y conjuntos de elementos de
vectores y matrices.
Realizar operaciones escalares con matrices.
Conocer los distintos tipos de matrices predefinidas por Octave.
Aplicaci´on
Cuando finalice este tema, el alumno deber´a ser capaz de resolver problemas como el
siguiente, cuya resoluci´on se indica a lo largo del propio tema.
Cin´etica de reacciones consecutivas
Algunas reacciones transcurren mediante la formaci´on de un intermediario, como
en las reacciones consecutivas de primer orden A → B → C. Las ecuaciones que
rigen estas reacciones, y que proporcionan la concentraci´on de cada especie en
funci´on del tiempo t, son las siguientes:
[A] = [A]0e−k1t
[B] = k1[A]0
e−k1t
− e−k2t
k2 − k1
[C] = [A]0 1 +
k1e−k2t
− k2e−k1t
k2 − k1
donde [A], [B] y [C] son las concentraciones de las respectivas especies, [A]0
la concentraci´on inicial de A y k1 y k2 las constantes de velocidad. Escribe un
programa que pida al usuario los valores de [A]0, k1 y k2, y calcule las concentra-
ciones de las tres especies en funci´on del tiempo. Comprueba el funcionamiento
del programa cuando [A]0 =1 mol/l, k1 =0.1 s−1
y k2 =0.2 s−1
.
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
3. 2.1 Introducci´on 2-3
2.1. Introducci´on
Hasta ahora ´unicamente hemos trabajado con n´umeros simples (m´as formalmente,
escalares), pero ya hemos comentado que la enorme potencia de c´alculo de Octave se
encuentra fundamentalmente en el c´alculo vectorial y matricial. En esta unidad se van
a introducir estos nuevos conceptos de forma simple, aplic´andolos en su parte final a
la resoluci´on de problemas relacionados con la ingenier´ıa.
2.2. Vectores
En Octave los vectores se pueden crear introduciendo una lista de valores separados
por espacios o comas y encerrados entre corchetes. Veamos un ejemplo a continuaci´on:
t = [4 8 -2 3 5]
t =
4 8 -2 3 5
En numerosas ocasiones, nos interesar´an listas de valores en las que sus elemen-
tos guarden una cierta estructura, relaci´on u orden. Por ejemplo, podr´ıamos estar
interesados en un vector con los enteros comprendidos entre 0 y 10:
t = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
t =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Los valores de los elementos de t los hemos introducido uno a uno porque no
son muchos pero, ¿y si hubi´eramos querido introducir una lista de valores de 0 a
100?. Para facilitar esta tarea, Octave introduce la notaci´on de dos puntos(:). Si
escribimos dos n´umeros enteros separados por dos puntos, Octave genera todos los
enteros comprendidos entre ellos. As´ı, podr´ıamos crear el vector t como sigue:
t = [0:10] ;
Es decir, la orden [i:j] crea el vector [i i+1 i+2 ... j-2 j-1 j]. Si quisi´era-
mos que el intervalo entre los elementos fuera distinto de 1, utilizar´ıamos tres n´umeros
separados por ’:’, siendo el n´umero central el incremento:
s = [0:2:10]
s =
0 2 4 6 8 10
En este ejemplo, el vector creado contiene los valores entre 0 y 10 separados por 2
unidades. Este valor de incremento puede poseer cualquier valor entero, real e incluso
negativo:
s = [10:-2:0]
s =
10 8 6 4 2 0
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
4. 2-4 Vectores y matrices
Octave tambi´en tiene definida la funci´on linspace(inicial,final,elementos)
que permite crear un n´umero determinado de valores (elementos) distribuidos homo-
g´eneamente entre dos l´ımites (inicial y final) . Dicho de otra forma, en lugar de
especificar el intervalo entre elementos (como se hac´ıa con la notaci´on de dos puntos)
se indica el n´umero de elementos que queremos. Por ejemplo,
s = linspace(0,10,6)
s =
0 2 4 6 8 10
crea un vector de 6 elementos equiespaciados entre 0 y 10. Tambi´en en este caso se
podr´ıa crear un vector de valores decrecientes cambiando el orden de los valores inicial
y final:
s = linspace(10,0,6)
s =
10 8 6 4 2 0
Ejercicios
1b ¿Qu´e vectores crean las siguientes instrucciones? Pi´ensalo antes de obtener el resultado
con Octave.
a) [1:9]
b) [-1:9]
c) [1:2:9]
d) [1:0.5:9]
e) [1:3:9]
f) [9:-2:1]
g) [9:-3:1]
h) [9:-3:-1]
2b Utiliza la funci´on linspace para crear los vectores del ejercicio anterior.
2.2.1. Acceso y modificaci´on de elementos de vectores
En ocasiones, nos interesa acceder a elementos determinados de un vector previamente
definido, o bien modificar dichos elementos. Para ello, Octave permite el uso de´ındices
(expresados entre par´entesis), de forma que t(1) ser´ıa el primer elemento de t, t(2)
el segundo, etc. Veamos un ejemplo:
t = [6 1 -1 12 4.4 -2.36 2 0.87 48 9 0] ;
t(1)
ans =
6
t(6)
ans =
-2.36
Tambi´en puede utilizarse la notaci´on de dos puntos para acceder a un conjunto de
elementos, en cuyo caso el resultado es un nuevo vector.
Universitat Jaume I Guillermo Peris Ripoll´es
5. 2.2 Vectores 2-5
r = t(1:3)
r =
6 1 -1
s = t(10:-1:7)
s =
9 48 0.87 2
En el ejemplo anterior, el vector r incluye los elementos de las posiciones 1-2-3 de
t, y el vector s los elementos de las posiciones 10-9-8-7, en ese orden. De hecho, es
posible acceder a elementos cualesquiera y en cualquier orden del vector mediante el
uso de una lista de elementos. Por ejemplo, en las siguientes l´ıneas se crea un nuevo
vector u eligiendo los elementos de las posiciones 3, 8, 1 y 6 de t, en este orden:
u = t([3 8 1 6])
u =
-1 0.87 6 -2.36
Mediante esta selecci´on de elementos de un vector, tambi´en podemos modificar
vectores ya creados, mediante ´ordenes de asignaci´on. A continuaci´on se muestra un
ejemplo a partir del vector t:
t(1) = 2
t =
2 1 -1 12 4.4 -2.36 2 0.87 48 9 0
t(4:6) = [5 4 3]
t =
2 1 -1 5 4 3 2 0.87 48 9 0
t([11 7 10 8 9]) = [0 1 2 3 4]
t =
2 1 -1 5 4 3 1 3 4 2 0
Fij´emonos en que en algunas de las instrucciones anteriores se realizan asignacio-
nes m´ultiples. As´ı, en la segunda instrucci´on se asignan simult´aneamente 3 valores a
3 posiciones del vector t, mientras que en la tercera se realizan 5 asignaciones. Obvia-
mente, si el n´umero de elementos a ambos lados del operador de asignaci´on es distinto,
Octave no realizar´a ninguna asignaci´on, indic´andolo con un error.
t(4:6) = [5 4 3 2]
error: A(I) = X: X must be a scalar or a vector with the same
length as I
...........
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
6. 2-6 Vectores y matrices
Ejercicios
3b A partir del vector v = [1 3 5 7 9 11 13 15 17 19], ejecuta las siguientes ´ordenes
en Octave, pensando previamente cu´al va a ser el resultado.
a) v(3)
b) v(3:5)
c) v(5:-1:3)
d) v(10:-2:1)
e) v([1 3 5 7 9])
f) v(v(1:5))
4b Piensa cu´al de las siguientes asignaciones es correcta, indicando en ese caso cu´al ser´ıa
el resultado. Utiliza el vector v definido en el ejercicio anterior. Compru´ebalo con Octave.
a) a = v(3)
b) b = v(3:5)
c) b(1:2) = v(7:9)
d) b(1:3) = v(7:9)
2.3. Matrices
Denominamos matriz de dimensiones m × n a un conjunto de n´umeros ordenados en
m filas y n columnas.
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
Un vector no es m´as que un caso particular de matriz en el que una de sus dimen-
siones es 1. Denominaremos vector fila a una matriz 1 × n y vector columna a una
matriz m × 1.
Vector fila a1 a2 · · · an Vector columna
a1
a2
...
am
Para introducir matrices en Octave utilizaremos corchetes (al igual que con vecto-
res), separando las filas por puntos y coma (;) y las columnas de cada fila con espacios
(o comas). Las filas tambi´en pueden separarse con cambios de l´ınea. A continuaci´on se
muestra la definici´on de una matriz A de dimensiones 3 × 4 de dos formas distintas 1:
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
1
¿Se te ocurre una forma m´as r´apida de introducir esta matriz?
Universitat Jaume I Guillermo Peris Ripoll´es
7. 2.3 Matrices 2-7
A = [1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
La funci´on size aplicada sobre una matriz (o vector) devuelve un vector de dos
componentes con sus dimensiones en filas y columnas:
size(A)
ans=
3 4
Podemos acceder a los elementos individuales de esta matriz indicando entre pa-
r´entesis la fila y columna del elemento separadas por comas. As´ı,
A(2,3)
ans =
7
De nuevo, la potente notaci´on de dos puntos de Octave puede utilizarse para crear
submatrices a partir de una matriz original. Considera los siguientes ejemplos, en los
que se utiliza la matriz A definida anteriormente:
b = A(2:3,3)
b =
7
11
c = A(3,:)
c =
9 10 11 12
d = A([2 3],[2 4])
d =
6 8
10 12
En la primera expresi´on, se crea un nuevo vector columna b tomando de las filas 2
y 3 los elementos de la tercera columna. En la segunda orden, utilizamos el operador
’:’ sin n´umeros que lo delimiten para indicar que nos interesan todos los elementos de
la fila 3 de A. Por ´ultimo, en la expresi´on final creamos una nueva matriz tomando los
elementos de las posiciones 2 y 4 de las filas 2 y 3.
Al igual que se vi´o en el caso de vectores, tambi´en podemos modificar los elementos
de una matriz con la instrucci´on de asignaci´on =, siempre que las dimensiones a ambos
lados del signo igual sean las mismas:
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
8. 2-8 Vectores y matrices
A([2 3],[2 4]) = [0 1; 2 3]
A =
1 2 3 4
5 0 7 1
9 2 11 3
Por ´ultimo, tambi´en podemos construir nuevas matrices yuxtaponiendo matrices
ya existentes, siempre que ´estas tengan las dimensiones adecuadas. F´ıjate en los si-
guientes ejemplos:
X = [1 2 ; 3 4]
X =
1 2
3 4
Y = [5 6 ; 7 8]
Y =
5 6
7 8
Z = [3 4 5 6 ; 7 8 9 10]
Z =
3 4 5 6
7 8 9 10
B = [X Y]
B =
1 2 5 6
3 4 7 8
C = [X ; Y]
C =
1 2
3 4
5 6
7 8
D = [X Z]
D =
1 2 3 4 5 6
3 4 7 8 9 10
E = [X ; Z]
error: number of columns must match (4 != 2)
Ejercicios
5 Define con Octave las siguientes matrices y comprueba sus dimensiones con la funci´on
size.
A =
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
B =
1 7
2 8
3 9
4 10
5 11
6 12
C =
0.6 1.5 2.3 −0.5
8.2 0.5 −0.1 −2.0
5.7 8.2 9.0 1.5
0.5 0.5 2.4 0.5
1.2 −2.3 −4.5 0.5
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9. 2.4 Matrices predefinidas 2-9
6b ¿Cu´al ser´a el resultado de las siguientes expresiones en Octave? Comprueba tus afir-
maciones con el propio programa. Utiliza las matrices definidas en el ejercicio anterior.
a) a1 = A(2,3)
b) a2 =A(3,2)
c) b1 = B(2,3)
d) b2 =B(3,2)
e) c1 = C(2,3)
f) c2 =C(3,2)
g) a3 = A(:,2)
h) c3 = C(4:5,1:3)
i) c4 = C(1:2:5,:)
j) c5 =C([5 2 1], 3:-1:2)
k) D = [4:9; 1:6]
l) E = [D A]
m) A(:,2:3) = B(1:2,:)
n) A(1,4:6) = C(4,1:3)
˜n) B(4:6,2) = B(4:6,1)
o) C(1,:) = A(1,1:4)
2.4. Matrices predefinidas
La definici´on de matrices mediante la introducci´on elemento a elemento es costosa
cuando se trata de matrices de gran tama˜no. Para facilitar la labor de crear matrices,
Octave dispone de una serie de funciones predefinidas:
Matriz de ceros : La funci´on zeros genera una matriz que contiene 0’s en
todos sus elementos. Si la funci´on s´olo recibe un argumento (zeros(m)) se genera
una matriz cuadrada de m filas, mientras que si se le pasan dos (zeros(m,n))
se genera una matriz rectangular de dimensiones m × n. En este ´ultimo caso,
tambi´en puede utilizarse la salida de la funci´on size para crear una matriz de
ceros cuyas dimensiones vendr´an dadas por otra matriz. Todos estos conceptos
se entender´an mejor con los siguientes ejemplos:
A = zeros(3)
A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
B = zeros(3,2)
B =
0 0
0 0
0 0
C = [ 1 2 3 ; 4 2 5]
C =
1 2 3
4 2 5
D = zeros(size(C))
D =
0 0 0
0 0 0
Matriz de unos : Exactamente igual que la funci´on zeros, pero ahora se genera
una matriz con elementos unidad. El nombre de la funci´on es ones.
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10. 2-10 Vectores y matrices
A = ones(3,2)
A =
1 1
1 1
1 1
Matriz identidad : La funci´on eye crea una matriz en la que todos los ele-
mentos son ceros a excepci´on de los elementos diagonales (aquellos en que los
´ındices de filas y columnas son iguales) que son unos. A esta matriz se le conoce
como matriz identidad y se denota matem´aticamente como I. Los argumentos
de esta funci´on son similares a los de las funciones anteriormente definidas. Aun-
que, formalmente, las matrices identidad son cuadradas, esta funci´on de Octave
permite la creaci´on de matrices identidad rectangulares.
A = eye(3)
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B = eye(3,2)
B =
1 0
0 1
0 0
C = [ 1 2 3 ; 4 2 5]
C =
1 2 3
4 2 5
D = eye(size(C))
D =
1 0 0
0 1 0
Matriz diagonal: Se denomina as´ı a aquella matriz en la que todos los elemen-
tos extradiagonales son ceros, es decir, ´unicamente presentan valores distintos
de cero los elementos de la diagonal. Octave nos permite crear una matriz dia-
gonal a partir de un vector, que situa en la diagonal de la matriz. Para ello
utilizaremos la funci´on diag como sigue:
X = [4 3 2 1];
Y = diag(X)
Y =
4 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
Por el contrario, si el argumento de la funci´on es una matriz, diag extrae el
vector que contiene los elementos diagonales:
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11. 2.5 Operaciones con matrices 2-11
A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
diag(A)
ans =
1
5
9
Matriz aleatoria: La funci´on rand(n) crea una matriz de dimensi´on n×n con
elementos aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1, mientras que con
dos argumentos (rand(m,n)) crea una matriz de dimensiones m × n.
A = rand(4,5)
A =
0.722684 0.678103 0.228702 0.648577 0.124333
0.336018 0.976399 0.458428 0.525437 0.069060
0.651192 0.483592 0.744526 0.952700 0.229671
0.464437 0.166825 0.163426 0.568459 0.038776
Ejercicios
7 Haciendo uso de las funciones vistas hasta ahora, define las siguientes matrices:
a)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
c)
7 0 0 0
0 9 0 0
0 0 11 0
0 0 0 13
d)
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
8b Dada una matriz A cualquiera, ¿a qu´e es igual la operaci´on diag(diag(A))? Para
comprobar tu respuesta, apl´ıcalo a una matriz A aleatoria de dimensiones 3 × 3 creada con la
funci´on rand.
2.5. Operaciones con matrices
2.5.1. Transposici´on
La matriz transpuesta de una matriz A de dimensi´on m × n es una matriz de n × m
en la que el elemento (i, j) ha pasado a la posici´on (j, i), o dicho coloquialmente, se
han intercambiado las filas y columnas de A. Por ejemplo, la matriz transpuesta de
1 2 3 4
5 6 7 8
es
1 5
2 6
3 7
4 8
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
12. 2-12 Vectores y matrices
En Octave, la transposici´on de una matriz se efectua a˜nadiendo el ap´ostrofe (’) al
nombre de la matriz 2.
A= [1 2 3 4; 5 6 7 8];
B = A’
B =
1 5
2 6
3 7
4 8
Observamos que con la transposici´on se convierten vectores fila en vectores colum-
na y viceversa. Esta caracter´ıstica puede ser muy ´util para mostrar vectores en forma
de tabla. Imaginemos, por ejemplo, que de un experimento de cin´etica de reacci´on con
medidas de conductividad obtenemos un vector t de tiempos, conc de concentracio-
nes y rho de conductividades. Podemos visualizar una tabla de valores del siguiente
modo:
t = [1:5];
conc = [0.5 0.3 0.05 0.01 0.00005];
rho = [27.6 15.4 2.89 0.56 0.026];
[t’ conc’ rho’]
ans =
1.0000 0.50000 27.6000
2.0000 0.30000 15.4000
3.0000 0.05000 2.8900
4.0000 0.01000 0.5600
5.0000 0.00005 0.0260
2.5.2. Aritm´etica escalar
En Octave se denominan operaciones escalares a aquellas que actuan individualmente
sobre cada uno de los elementos de una matriz o vector. Forman parte de esta categor´ıa
las operaciones mixtas binarias en las que intervienen una matriz y un escalar. Por
ejemplo, si queremos multiplicar por un mismo valor todos los elementos de una
matriz, o bien sumarles dicho valor, realizar´ıamos las siguientes operaciones:
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8];
B = 2*A
B =
2 4 6 8
10 12 14 16
C = B - 2
C =
0 2 4 6
8 10 12 14
2
En el teclado el ap´ostrofe suele estar en la tecla a la derecha del 0.
Universitat Jaume I Guillermo Peris Ripoll´es
13. 2.5 Operaciones con matrices 2-13
La matriz B se construye multiplicando por 2 cada uno de los elementos de A,
mientras que C se define restando 2 a los elementos de B.
Pero, ¿qu´e ocurre si queremos multiplicar dos matrices de dimensiones semejantes
elemento a elemento?. En ese caso no podemos utilizar el operador ’*’, ya que ´este
realizar´ıa un producto matricial (explicado en una secci´on posterior), cuyo resultado
ser´ıa distinto al esperado. En general, para realizar operaciones escalares con matrices
utilizaremos los operadores antecedidos de un punto. Para entenderlo mejor, vamos a
seguir una serie de ejemplos utilizando vectores:
A = [2 5 6] ;
B = [2 3 5] ;
C= A.*B
C =
4 15 30
D = A./B
D =
1.0000 1.6667 1.2000
Las sumas y restas de matrices (siempre que sus dimensiones sean las mismas)
se consideran en el algebra matricial como operaciones elemento a elemento (al con-
trario que las multiplicaciones y divisiones) por lo que, aunque podemos utilizar los
operadores .+ y .-, el punto no es necesario.
A + B
ans =
4 8 11
A - B
ans =
0 2 1
Tambi´en pueden realizarse exponenciaciones elemento a elemento, como se muestra
en el siguiente ejemplo:
C= A.∧2
C =
4 25 36
D= 3.∧A
D =
9 243 729
E = A.∧B
E =
4 125 7776
As´ı pues, en general, s´olo ser´a necesario anteceder el operador con un punto en
el caso de multiplicaciones, divisiones y exponenciaciones cuando se pretenda realizar
una operaci´on elemento a elemento.
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
14. 2-14 Vectores y matrices
Estas operaciones, adem´as de ser v´alidas para vectores, tambi´en lo son para ma-
trices, como se observa en los siguientes ejemplos:
d = [1:5; -1:-1:-5]
d =
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
p = d.*5
p =
5 10 15 20 25
-5 -10 -15 -20 -25
q = d.∧3
q =
1 8 27 64 125
-1 -8 -27 -64 -125
Ejercicios
9 Calcula los valores del vector C tras ejecutar las ´ordenes que se indican, utilizando los
vectores A = [2 -1 5 0] y B = [3 2 -1 4]. Comprueba tus respuestas con Octave.
a) C = B + A -3;
b) C = A./B;
c) C = A.∧
B;
d) C = 2*A + A.∧
B;
e) C = 2.∧
B + A;
f) C = 2*B/3.*A;
10b Crea un vector x con los siguientes elementos:
a) 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
b) 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5
2.5.3. Aplicaci´on de funciones sobre matrices
Las funciones matem´aticas de Octave actuan sobre las matrices del mismo modo que
las operaciones escalares, es decir, se aplican elemento a elemento. Veamos un ejemplo:
x = pi*[0:0.1:0.9];
y = cos(x)
y =
Columns 1 through 5:
1.0000e+00 9.5106e-01 8.0902e-01 5.8779e-01 3.0902e-01
Columns 6 through 10:
6.1230e-17 -3.0902e-01 -5.8779e-01 -8.0902e-01 -9.5106e-01
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15. 2.5 Operaciones con matrices 2-15
z = abs(y)
z =
Columns 1 through 5:
1.0000e+00 9.5106e-01 8.0902e-01 5.8779e-01 3.0902e-01
Columns 6 through 10:
6.1230e-17 3.0902e-01 5.8779e-01 8.0902e-01 9.5106e-01
As´ı, el elemento i del vector y contiene el coseno del elemento i del vector x, y el
de z su valor absoluto.
Ejercicios
11 Dado el vector t = [1:0.2:2], calcula las siguientes expresiones matem´aticas con
Octave:
a) ln(2 + t + t2
)
b) et
(1 + cos(3t))
c) cos2
(t) + sin2
(t)
d) arctg(t)
e) cotg(t)
f) sec2
(t) + cotg(t) − 1
Adem´as, Octave dispone de una serie de funciones que actuan de forma espec´ıfica
sobre vectores y matrices. Vamos a considerar aqu´ı algunas de ellas, de inter´es en
c´alculos estad´ısticos. En particular, vamos a destacar el uso de funciones para el c´alculo
de m´aximos y m´ınimos, sumas y productos de elementos, medias y ordenaciones. La
actuaci´on de estas funciones depende de que sus argumentos sean vectores y funciones,
tal y como se explica en la Tabla 2.1.
Funci´on Aplicaci´on sobre
Vectores Matrices
max(x) Valor mayor en x Vector fila con elemento m´aximo
de cada columna
min(x) Valor menor en x Vector fila con elemento m´ınimo
de cada columna
length(x) N´umero de elementos en x Dimensi´on m´axima de la matriz
sum(x) Suma de los elementos de x Vector fila con la suma de los ele-
mentos de cada columna
prod(x) Producto de los elementos de x Vector fila con el producto de los
elementos de cada columna
mean(x) Media de los elementos de x Vector fila con la media de los ele-
mentos de cada columna
std(x) Desviaci´on est´andar de los ele-
mentos de x
Vector fila con la desviaci´on es-
t´andar de los elementos de cada
columna
median(x) Mediana de los elementos de x Vector fila con la mediana de los
elementos de cada columna
sort(x) Ordena el vector x de forma as-
cendente
Devuelve la matriz con los ele-
mentos de cada columna ordena-
dos de forma ascendente
Tabla 2.1: Algunas funciones aplicables sobre vectores y matrices.
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
16. 2-16 Vectores y matrices
Utilicemos vectores y matrices concretos para entender mejor la acci´on de estas
funciones.
v = [3 4 1 9 5 6]
v =
3 4 1 9 5 6
M = [0.6 1.5 2.3 -0.5 ; 8.2 0.5 -0.1 -2.0; 5.7 8.2 9.0 1.5 ; ...
0.5 0.5 2.4 0.5 ; 1.2 -2.3 -4.5 0.5]
M =
0.6 1.5 2.3 -0.5
8.2 0.5 -0.1 -2
5.7 8.2 9 1.5
0.5 0.5 2.4 0.5
1.2 -2.3 -4.5 0.5
max(v)
ans = 9
max(M)
ans =
8.2 8.2 9 1.5
La funci´on max devuelve, al ser aplicada a un vector, el valor m´aximo del mismo,
en este caso 9. Sin embargo, al tener como argumento una matriz devuelve un vector
fila en el que cada elemento es el m´aximo de la columna correspondiente de la matriz
original. La funci´on sum presenta un comportamiento similar con vectores y matrices,
sumando las componentes de un vector y las componentes de cada columna en una
matriz, como se muestra en el siguiente ejemplo:
sum(v)
ans = 28
sum(M)
ans =
16.2 8.4 9.1 0
La funci´on length calcula la longitud del vector, o sea, el n´umero de elementos que
contiene. En el caso de una matriz, devuelve el n´umero m´aximo de filas o columnas,
es decir, la dimensi´on de la matriz de mayor valor.
length(v)
ans =
6
length(M)
ans =
5
La funci´on mean calcula la media de los elementos del vector, es decir, la suma de
sus elementos dividida por el n´umero de ellos. Esto se aplica sobre las columnas al
tener como argumento una matriz.
Universitat Jaume I Guillermo Peris Ripoll´es
17. 2.5 Operaciones con matrices 2-17
mean(v)
ans =
4.6667
mean(M)
ans =
3.24 1.68 1.82 0
Por ´ultimo, la funci´on sort ordena los elementos de un vector, mientras que en el
caso de matrices ordena de forma independiente cada una de sus columnas.
sort(v)
ans =
1 3 4 5 6 9
sort(M)
ans =
0.5 -2.3 -4.5 -2
0.6 0.5 -0.1 -0.5
1.2 0.5 2.3 0.5
5.7 1.5 2.4 0.5
8.2 8.2 9 1.5
Ejercicios
12 Determina las matrices devueltas por las siguientes llamadas a funci´on, verificando
posteriormente tus respuestas con Octave. Deber´as definir previamente las siguientes variables:
w = 0 3 −2 7 x = 3 −1 5 7 y =
1 3 7
2 8 4
6 −1 −2
a) max(w)
b) min(y)
c) mean(y)
d) median(w)
e) sort(2*w+x)
f) sort(y)
g) length(w)
h) length(y)
13 En Octave, ¿es equivalente mean(x) y sum(x)/length(x)? Compru´ebalo con los si-
guientes vector y matriz y trata de dar una explicaci´on a tus observaciones.
w = 0 3 −2 7 y =
1 3 7
2 8 4
14b ¿C´omo calcular´ıas el valor m´aximo de entre todos los elementos de una matriz?
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
18. 2-18 Vectores y matrices
2.6. Aritm´etica matriz-matriz
Vamos a tratar ahora las operaciones internas entre matrices, que son operaciones ma-
tem´aticas en que ambos operadores son matrices. Aunque la suma y resta de matrices
son operaciones elemento a elemento, las repasamos aqu´ı por encontrarse dentro de
las operaciones entre matrices.
2.6.1. Suma y resta
La suma de dos matrices ´unicamente es posible si ´estas tienen las mismas dimensiones.
Es decir, la funci´on size aplicada a ambas ha de proporcionar el mismo resultado.
La matriz suma es una matriz de las mismas dimensiones en la que cada uno de sus
elementos es igual a la suma de los elementos que ocupan la misma posici´on en las
matrices sumando. Por ejemplo,
2 1
4 6
+
4 2
0 1
=
6 3
4 7
En Octave, esta suma se llevar´ıa a cabo como sigue:
A = [2 1 ; 4 6] ;
B = [4 2 ; 0 1] ;
C = A + B
C =
6 3
4 7
La resta se define y trata en Octave de forma equivalente.
2.6.2. Producto escalar
Podemos definir el producto escalar entre un vector fila X y un vector columna Y de
la misma longitud como sigue:
X · Y = [x1x2x3 . . . xn]
y1
y2
y3
...
yn
= x1 · y1 + x2 · y2 + . . . + xn · yn =
n
i=1
xi · yi .
Por ejemplo, para calcular el producto escalar entre los vectores A =[2 5 -2] y
B = [4 -3 2] ejecutar´ıamos el siguiente conjunto de ´ordenes:
A = [2 5 -2];
B = [4 -3 2];
A*B’
ans =
-11
El resultado puede obtenerse f´acilmente a mano (2∗4+5∗(−3)+(−2)∗2 = −11).
Fij´emonos en que A es un vector fila, y que hemos tenido que transponer el vector
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19. 2.6 Aritm´etica matriz-matriz 2-19
antes del producto para convertirlo en un vector columna. Si no lo hubi´eramos hecho,
habr´ıamos obtenido un mensaje de error3:
A*B
??? Error using ==>*
Inner matrix dimensions must agree.
El producto escalar de dos vectores es muy importante en algebra vectorial y en
f´ısica.
Ejercicios
15b A partir de los siguientes vectores, indica cu´ales de las siguientes operaciones son
correctas, calculando su valor.
A = 5 3 −1 B = ones(1, 3) C = 9 4 0
D = eye(1, 4) E = −1 3 −5 7
a) A*B
b) A*B’
c) B*A’
d) A*C’
e) B*C’
f) B*D’
g) E*D’
2.6.3. Multiplicaci´on
La multiplicaci´on de matrices no es una operaci´on elemento a elemento, es decir, no
se efect´ua multiplicando los elementos correspondientes de las matrices operando. Si
realizamos la multiplicaci´on C = A × B, el elemento cij no se calcula como aij × bij,
sino como el producto escalar de los vectores correspondientes a la fila i de la matriz A
y la columna j de la matriz B. En la figura 2.1 se muestra gr´aficamente esta operaci´on
4. Aqu´ı se observa que si queremos multiplicar dos matrices A (m × n) y B (p × q),
el n´umero de columnas de A debe coincidir con el n´umero de filas de B, es decir, n = p.
ij
c
fila i
m
n
p
q
columna j
m
q
= x
C A x B=
Figura 2.1: Multiplicaci´on de matrices.
Una forma sencilla de decidir si podemos multiplicar dos matrices es escribir las
tallas de las dos matrices juntas. De esta forma, si las dos dimensiones interiores coinci-
den, las matrices se pueden multiplicar y la dimensi´on de la matriz resultante coincide
3
Podr´ıamos haber obtenido el resultado correcto utilizando la siguiente expresi´on: sum(A.*B).
4
¡Cuidado!. De esta definici´on se infiere que el producto de matrices no es conmutativo, es decir,
A × B = B × A.
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
20. 2-20 Vectores y matrices
con las dimensiones externas. Por ejemplo, supongamos que queremos multiplicar una
matriz de 2 × 3 por otra de 3 × 3 (en ese orden).
2 × 3 , 3 ×3
Al ser los dos n´umeros internos iguales, la multiplicaci´on es v´alida, y las dimen-
siones de la matriz resultante son los n´umeros externos, es decir, 2 × 3. Consideremos
las matrices siguientes:
A =
2 5 1
0 3 −1
B =
1 0 2
−1 4 −2
5 2 1
El producto de estas matrices se realizar´ıa como sigue:
C = A × B =
2 5 1
0 3 −1
·
1 0 2
−1 4 −2
5 2 1
=
2 · 1 + 5 · (−1) + 1 · 5 2 · 0 + 5 · 4 + 1 · 2 2 · 2 + 5 · (−2) + 1 · 1
0 · 1 + 3 · (−1) + (−1) · 5 0 · 0 + 3 · 4 + (−1) · 2 0 · 2 + 3 · (−2) + (−1) · 1
=
2 22 −5
−8 10 −7
En Octave, esta operaci´on se realizar´ıa de forma sencilla con el operador de multipli-
caci´on:
A = [2 5 1; 0 3 -1];
B = [1 0 2; -1 4 -2; 5 2 1] ;
C = A*B
C =
2 22 −5
−8 10 −7
D = B*A
??? Error using ==>*
Inner matrix dimensions must agree.
Fij´emonos en que Octave no permite el producto B × A por no ser adecuadas las
dimensiones de las matrices.
Recordemos que si A es una matriz, A.∧2 es la operaci´on que eleva al cuadrado cada
elemento de la matriz. Si queremos calcular propiamente el cuadrado de la matriz,
es decir, A*A, podemos ejecutar la orden A∧2. De este modo, A∧4 es equivalente a
A*A*A*A. Si tenemos en cuenta que en el producto de matrices el n´umero de columnas
del primer operando ha de ser igual al n´umero de filas del segundo, deducimos que
´unicamente podemos obtener potencias de matrices cuadradas.
B∧3
ans =
27 24 18
−87 24 −66
33 54 3
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21. 2.6 Aritm´etica matriz-matriz 2-21
Fij´emonos en que el resultado es distinto al que se obtiene con el operador punto
correspondiente:
B.∧3
ans =
1 0 8
−1 64 −8
125 8 1
Ejercicios
16b Calcula los siguientes productos de matrices, pensando previamente cu´al va a ser el
resultado.
A =
2 1
0 −1
3 0
B =
1 3
−1 5
C =
3 2
−1 −2
0 2
D = 1 2
a) A*B
b) A*C
c) A*C’
d) D*B
e) D*B∧
2
f) (C*B)*D’
g) B*C’
h) A*D
2.6.4. Determinantes
El c´alculo del determinante de una matriz cuadrada se realiza con la funci´on det.
Los determinantes son n´umeros calculados a partir de los elementos de una matriz,
con amplias aplicaciones en c´alculos matem´aticos, f´ısicos y de ingenier´ıa. Matem´ati-
camente, el determinante de una matriz A se denota como |A|.
A = [1 0 2; -1 4 -2; 5 2 1] ;
det(A)
ans =
-36
2.6.5. Matriz inversa
La inversa de una matriz cuadrada A es aquella matriz que, multiplicada por la
matriz original, proporciona la matriz identidad, es decir, A × A−1 = A−1 × A = I .
Se puede demostrar que ´unicamente tienen inversa aquellas matrices cuadradas cuyo
determinante es distinto de cero.
Por ejemplo, consideremos la siguiente definici´on de dos matrices A y B:
A = [2 1; 4 3]
A =
2 1
4 3
B = [1.5 -0.5; -2 1]
B =
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
22. 2-22 Vectores y matrices
1.5000 -0.5000
-2.0000 1.0000
A*B
ans =
1 0
0 1
B*A
ans =
1 0
0 1
Observamos que A · B = B · A y que este producto es igual a la matriz identidad
de dimensi´on dos, por lo que A es la matriz inversa de B, y viceversa. A continuaci´on
comprobamos esta afirmaci´on con Octave , calculando la inversa de A, comprobando
previamente que el valor de su determinante no es cero.
det(A)
ans =
2
inv(A)
ans =
1.5 -0.5
-2 1
Si definimos una matriz cuyo determinante es cero, Octave genera un aviso al
tratar de calcular su inversa, aunque devuelve una matriz que resulta incorrecta:
C = [2 1; 4 2]
C =
2 1
4 2
det(C)
ans =
0
inv(C)
warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0
ans =
4.00000 2.00000
0.50000 0.00000
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23. 2.6 Aritm´etica matriz-matriz 2-23
Ejercicios
17 Calcula los determinantes y, en su caso, las matrices inversas, de las siguientes matrices:
a)
2 1
4 2 b)
4 −3 2
8 −12 −5
5 9 −2
c)
0.1 −5.0 3.0 8.7
2.0 −1.6 4.5 8.9
2.7 9.2 5.6 6.7
0.2 −4.5 −8.0 1.0
18b En la siguiente tabla se muestra el coste por hora de cuatro procesos de manufactura
distintos. Tambi´en aparecen el n´umero de horas de cada proceso necesario para fabricar tres
productos diferentes.
Horas necesarias por unidad
Proceso Coste/hora (¤) Producto 1 Producto 2 Producto 3
Torneado 10 6 5 4
Afilado 12 2 3 1
Molienda 14 3 2 5
Soldadura 9 4 0 3
Escribe un programa Octave que,
a) determine el coste unitario de cada uno de los productos,
b) calcule el coste total de producci´on de 10, 5 y 7 unidades de los productos 1, 2 y 3,
respectivamente.
Deber´as utilizar ´unicamente productos de vectores y matrices.
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
24. 2-24 Vectores y matrices
2.7. Aplicaci´on
A priori, la idea para resolver la aplicaci´on planteada al principio del tema consiste
en calcular con las f´ormulas que se indican los valores de [A], [B] y [C] para distintos
valores del tiempo. Ahora bien, ¿hasta que valor del tiempo debemos calcular las
concentraciones?.
Teniendo en cuenta que, seg´un la reacci´on, el reactivo A va a desaparecer, podemos
pensar que basta con esperar a que, por ejemplo, s´olo quede el 1 % de A. Es muy f´acil
calcular a qu´e tiempo corresponde esta concentraci´on. A partir de la ecuaci´on para la
concentraci´on de [A], tenemos:
[A] = 0.01 ∗ [A]0 −→ 0.01 ∗ [A]0 = [A]0 ∗ e−k1∗tmax
−→ tmax = −
ln(0.01)
k1
Con este valor de tmax, resulta sencillo desarrollar el siguiente programa Octave
para resolver el problema planteado.
%******************************************************************
% Programa : cineticaABC.m
% Descripcion: Este programa calcula y representa la variacion de
% las concentraciones con el tiempo en una cinetica
% del tipo A->B->C, con constantes k1 y k2.
%******************************************************************
% Pedimos al usuario los valores de A0, k1 y k2.
A0 = input(’Introduzca el valor inicial de la especie A: ’);
k1 = input(’Introduzca el valor de la constante k1: ’) ;
k2 = input(’Introduzca el valor de la constante k2: ’) ;
% Calculamos el tiempo maximo y el vector de tiempos
tmax = round(-log(0.01)/k1) ;
t = linspace(0,tmax,100) ;
% Calculamos los valores de las concentraciones de A,B y C.
A = A0*exp(-k1*t) ;
B = k1*A0*( exp(-k1*t) - exp(-k2*t))/(k2-k1) ;
C = A0*(1 + ( k1*exp(-k2*t) - k2*exp(-k1*t))/(k2-k1) );
% Impresion de resultados
disp(’t A B C’)
disp([t’ A’ B’ C’])
Ejercicios
19 Escribe este programa en un fichero de nombre cineticaABC.m y ejec´utalo con los
valores que se indican en la aplicaci´on.
Universitat Jaume I Guillermo Peris Ripoll´es
25. 2.8 Ejercicios pr´acticos 2-25
2.8. Ejercicios pr´acticos
Es conveniente que pienses y realices los ejercicios que han aparecido a lo largo de la
unidad marcados con el s´ımbolo b antes de acudir a la sesi´on de pr´acticas correspon-
diente. Deber´as iniciar la sesi´on realizando los ejercicios marcados con el s´ımbolo .
A continuaci´on, deber´as hacer el mayor n´umero de los ejercicios siguientes.
Ejercicios
20 Crea un vector x con los elementos xn = (−1)n
2n−1 para n = 1, 2, 3, . . . , 20 y comprueba
que xn → 0 a medida que n aumenta.
21 Dada la matriz A = [2 4 1; 6 7 2; 3 5 9], escribe las ´ordenes necesarias para
a) asignar la primera fila de A a un vector de nombre x1.
b) asignar las 2 ´ultimas filas de A a una matriz de nombre y.
c) calcular la suma de cada una de las columnas de A.
d) calcular la suma de cada una de las filas de A.
22 Dados los vectores x = [1 4 8] e y = [2 1 5], y la matriz A = [3 1 6; 5 2 7],
determina cu´ales de las siguientes ´ordenes se ejecutar´an correctamente en Octave y da su
resultado. En caso de que la expresi´on d´e un error, indica por qu´e.
a) x + y
b) x + A
c) x’ + y’
d) [x ; y’]
e) [x ; y]
f) A - [x ; y]
23 A partir de la matriz A = [2 7 9 7; 3 1 5 6; 8 1 2 5], explica los resultados de
las siguientes expresiones:
a) A’
b) A(:,[1 4])
c) A([2 3],[3 1])
d) A(1:3,:)
e) [A; A(1:2,:)]
f) sum(A)
g) sum(A’)
h) prod(A)
i) prod(A’)
j) sum(sum(A))
k) mean(A)
l) mean(A’)
m) mean(mean(A))
Ingenier´ıa Qu´ımica Programaci´on en Octave
26. 2-26 Vectores y matrices
24 Define las variables m = 10, n = 6, r = 3 y s = 6, y construye las siguientes matrices:
1. Matriz identidad de orden n.
2. Matriz con elementos todos igual a −1 de orden s × r.
3. Matriz cuadrada con elementos de la diagonal igual a 0 y el resto 1 de orden s.
25 Define los siguientes vectores:
v1 = 1 2 3 · · · 10 v2 = 20 18 16 · · · 2
Analiza el comportamiento de la siguientes operaciones diciendo de qu´e tipo de operaci´on se
trata: vectorial, escalar, matricial, elemento a elemento, ... Tambi´en indica las que producen
error indicando por qu´e:
a) v1 + v2
b) v1 ∗ v2
c) v1 ∗ v2
d) v1. ∗ v2
e) v1. ∧ v2
f) v1/v2
g) v1./v2
h) v1 ∧ 2
i) v1. ∧ 2
j) 2 ∗ (v1 + v2)
k) sin(π ∗ v1). ∗ v2
l) (v1 ). ∗ (v2 )
m) (v1 ∗ v2) ∧ (−1)
n) ((v1 ). ∗ v2). ∧ (−1)
26 El factor de compresibilidad z mide la desviaci´on del comportamiento de un gas res-
pecto a la ecuaci´on de estado de los gases ideales. Si el gas fuese ideal, z ser´ıa igual a la unidad
bajo todas las condiciones, pero lo m´as habitual es que este factor se desv´ıe considerablemente
de este valor. Adem´as las desviaciones de la conducta ideal pueden hacer que z sea mayor o
menor que la unidad.
Una posible forma de calcular el factor de compresibilidad es utilizar la ecuaci´on de estado
del virial, seg´un la cual:
z = 1 +
a1
V
+
a2
V 2
+
a3
V 3
+ . . .
Las cantidades a1, a2, etc, se denominan el segundo, tercero,etc., coeficientes del virial, y
dependen s´olo de la temperatura y de las propiedades de las mol´eculas del gas.
Escribe un Programa que pida al usuario los coeficientes del virial y el volumen de un
gas y calcule el factor de compresibilidad z.
Nota: Puedes escribir el programa sin utilizar vectores o con ellos. Puedes pedir al usuario
los datos que consideres oportunos. Ten en cuenta que no asumimos a priori el n´umero de
coeficientes del virial.
27 La media arm´onica es otra forma de calcular la media de un conjunto de N n´umeros.
Esta media se calcula con la siguiente expresi´on:
media arm´onica =
N
1
x1
+ 1
x2
+ · · · + 1
xN
Escribe un programa Octave que lea un n´umero arbitrario de valores positivos y calcule
su media arm´onica. En caso de que aparezca alg´un n´umero negativo o nulo, el programa
terminar´a con un mensaje de error. Puedes elegir el m´etodo que quieras para pedir los datos
al usuario.
Universitat Jaume I Guillermo Peris Ripoll´es