Este documento presenta los fundamentos de la programación lineal. Explica que la programación lineal permite resolver problemas de optimización donde la función objetivo y restricciones son combinaciones lineales de las variables de decisión. Luego, utiliza un ejemplo de una mueblería para ilustrar los conceptos clave de un modelo de programación lineal, incluyendo las variables de decisión, la función objetivo, las restricciones y las restricciones de signo. Finalmente, generaliza estos conceptos y discute algunas implicancias de considerar funciones lineales.
Este documento presenta 14 problemas de programación lineal relacionados con la toma de decisiones sobre producción, mezclas, inversiones y asignación de recursos. Cada problema describe las variables, restricciones y función objetivo de un modelo de programación lineal, y pide determinar la solución óptima que maximice las utilidades o minimice los costos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la programación lineal. Explica que la programación lineal consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeto a restricciones lineales. Se describen algunos casos especiales como los problemas de transporte y flujo de redes. También se especifican los requisitos para formular un problema de programación lineal, incluyendo variables, función objetivo, restricciones y no negatividad. Finalmente, se provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar estos conceptos.
Investigaciòn de operaciones modelos matematicosJc Martín
Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de modelo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
El documento presenta un problema de programación lineal para maximizar los beneficios de una empresa que fabrica sillas y mesas. La solución óptima es producir solo sillas, llegando a la utilidad máxima de 10,000 UM al mes. Se utilizan todas las horas de maquinado disponibles, sobrando 1,400 kg de caños. Para que convenga producir mesas, su beneficio unitario debería aumentar. Un nuevo producto requeriría al menos 8 UM para que sea rentable fabricarlo.
El documento presenta un problema de programación lineal entera (PLE) para maximizar la utilidad de una compañía que fabrica mesas y sillas. Se formulan las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones del modelo PLE para representar el problema. El modelo busca maximizar la utilidad total en función del número de mesas y sillas producidas, sujeto a restricciones en el uso de horas de trabajo y madera disponibles.
Este documento presenta el Método Simplex Gráfico para resolver problemas de programación lineal. Explica que este método representa funciones lineales en un plano cartesiano para maximizar o minimizar recursos. Además, provee un ejemplo de una compañía mueblera que debe determinar la cantidad óptima de mesas y sillas a producir para maximizar las utilidades, sujeto a restricciones de horas de trabajo disponibles. El documento guía al lector a través de los pasos para modelar matemáticamente este problema y resolverlo gráficamente usando el
Este documento presenta la introducción a un curso sobre modelos de optimización lineal. Explica que la asignatura cubrirá modelos de optimización lineal, investigación de operaciones con enfoque estratégico, gestión de proyectos y modelos basados en probabilidades. También describe brevemente los objetivos de la sesión inicial sobre modelos de optimización lineal y la unidad correspondiente.
Este documento presenta 14 problemas de programación lineal relacionados con la toma de decisiones sobre producción, mezclas, inversiones y asignación de recursos. Cada problema describe las variables, restricciones y función objetivo de un modelo de programación lineal, y pide determinar la solución óptima que maximice las utilidades o minimice los costos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la programación lineal. Explica que la programación lineal consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeto a restricciones lineales. Se describen algunos casos especiales como los problemas de transporte y flujo de redes. También se especifican los requisitos para formular un problema de programación lineal, incluyendo variables, función objetivo, restricciones y no negatividad. Finalmente, se provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar estos conceptos.
Investigaciòn de operaciones modelos matematicosJc Martín
Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de modelo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
El documento presenta un problema de programación lineal para maximizar los beneficios de una empresa que fabrica sillas y mesas. La solución óptima es producir solo sillas, llegando a la utilidad máxima de 10,000 UM al mes. Se utilizan todas las horas de maquinado disponibles, sobrando 1,400 kg de caños. Para que convenga producir mesas, su beneficio unitario debería aumentar. Un nuevo producto requeriría al menos 8 UM para que sea rentable fabricarlo.
El documento presenta un problema de programación lineal entera (PLE) para maximizar la utilidad de una compañía que fabrica mesas y sillas. Se formulan las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones del modelo PLE para representar el problema. El modelo busca maximizar la utilidad total en función del número de mesas y sillas producidas, sujeto a restricciones en el uso de horas de trabajo y madera disponibles.
Este documento presenta el Método Simplex Gráfico para resolver problemas de programación lineal. Explica que este método representa funciones lineales en un plano cartesiano para maximizar o minimizar recursos. Además, provee un ejemplo de una compañía mueblera que debe determinar la cantidad óptima de mesas y sillas a producir para maximizar las utilidades, sujeto a restricciones de horas de trabajo disponibles. El documento guía al lector a través de los pasos para modelar matemáticamente este problema y resolverlo gráficamente usando el
Este documento presenta la introducción a un curso sobre modelos de optimización lineal. Explica que la asignatura cubrirá modelos de optimización lineal, investigación de operaciones con enfoque estratégico, gestión de proyectos y modelos basados en probabilidades. También describe brevemente los objetivos de la sesión inicial sobre modelos de optimización lineal y la unidad correspondiente.
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
The document provides career advice for getting into the tech field, including:
- Doing projects and internships in college to build a portfolio.
- Learning about different roles and technologies through industry research.
- Contributing to open source projects to build experience and network.
- Developing a personal brand through a website and social media presence.
- Networking through events, communities, and finding a mentor.
- Practicing interviews through mock interviews and whiteboarding coding questions.
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
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· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
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ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
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PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
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5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
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1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
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The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
66 11 0804200912857
1. Fundamentos de Investigaci´n de Operaciones
o
Investigaci´n de Operaciones 1
o
Formulaci´n de Modelos de Programac´n Lineal
o o
25 de julio de 2003
La Programaci´n Lineal (LP) es una herramienta para resolver problemas de optimizaci´n que se
o o
caracterizan por tener como funci´n objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de
o
decisi´n. La principal ventaja radica en que existe un algoritmo eficiente (SIMPLEX) para resolver
o
este tipo de modelos.
1. Conceptos B´sicos
a
Consideremos el siguiente ejemplo para describir los t´rminos presentes en todo problema de LP.
e
Ejemplo 1.
Una muebler´ produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000
ıa
en materiales, adem´s, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de
a
las sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y mano
de obra respectivamente. La fabricaci´n de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpinter´
o ıa
y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpinter´ y 2 horas de terminaciones. Una silla
ıa
requiere de 1 hora de carpinter´ y 1 hora de terminaciones.
ıa
Cada semana, la muebler´ puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden
ıa
dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpinter´ La demanda por mesas
ıa.
no est´ limitada, mientras que la demanda semanal m´xima por sillas es de 40.
a a
La muebler´ desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matem´tico que
ıa a
permita maximizar las utilidades.
1.1. Variables de Decisi´n
o
Se debe comenzar definiendo las variables de decisi´n relevantes. En un modelo de programaci´n
o o
lineal las variables de decisi´n deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan
o
ser tomadas y todas las variantes que existan.
Antes de definir las variables de decisi´n es importante definir las unidades involucradas en el problema.
o
En este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda
semanal. De acuerdo a ello, una buena opci´n para definir las variables de decisi´n consiste en asociar
o o
las variables al n´mero de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos
u
definir:
x1 = n´mero de mesas producidas por semana.
u
(1.1)
x2 = n´mero de sillas producidas por semana.
u
1
2. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
1.2. Funci´n Objetivo
o
En un problema de LP, se debe tomar la decisi´n de maximizar (usualmente las utilidades)
o
o de minimizar (usualmente los costos) cierta funci´n de las variables de decisi´n. La funci´n a
o o o
maximizar o minimizar se denomina funci´n objetivo. Antes de formular el modelo matem´tico
o a
conviene resumir los datos del problema (Cuadro 1.1).
Venta Materiales Mano de Obra Carpinter´
ıa Terminaciones Dda. M´xima
a
$ $ $ hr. hr. un.
un. un. un. un. un. sem.
Mesa 27000 10000 14000 1 2 –
Silla 21000 9000 10000 1 1 40
Disponibilidad – – – 80 100 –
Cuadro 1.1: Resumen Ejemplo 1
En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de x1 o de x2 , por lo tanto basta
concentrarse en maximizar la diferencia entre:
ingresos costos de costos por
− − (1.2)
semanales materiales mano de obra
Luego, se debe expresar los t´rminos anteriores en funci´n de las variables de decisi´n x 1 y x2 .
e o o
Supondremos que todas las sillas y mesas fabricadas son vendidas (respentando las condiciones
de mercado del enunciado). As´
ı:
ingresos ingresos ingresos
= +
semanales por mesas por sillas
$ mesas $ sillas (1.3)
= mesa semana + semana
silla
= 27000x1 + 21000x2
Similarmente:
costos por
= 10000x1 + 9000x2
materiales
(1.4)
costos por
= 14000x1 + 10000x2
mano de obra
Por lo tanto la funci´n a maximizar queda (en miles):
o
(27x1 + 21x2 ) − (10x1 + 9x2 ) − (14x1 + 10x2 ) = 3x1 + 2x2 (1.5)
Otra opci´n para construir la funci´n objetivo consiste en calcular previamente los ingresos netos
o o
o utilidades de cada uno de los productos de la muebler´ As´
ıa. ı:
utilidad por mesa = 27 − 10 − 14 = 3
(1.6)
utilidad por silla = 21 − 9 − 10 = 2
As´ el objetivo de la muebler´ es escoger los valores de x1 y x2 tal que se maximize 3x1 + 2x2 .
ı, ıa
Denotando por z el valor de la funci´n objetivo para cualquier LP, la funci´n objetivo de la muebler´
o o ıa
es:
2
3. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Maximizar z = 3x1 + 2x2 (1.7)
El coeficiente que acompa˜a a cada variable en la funci´n objetivo se denomina coeficiente en la
n o
funci´n objetivo de la variable y refleja el aporte unitario de dicha variable a la funci´n objetivo.
o o
1.3. Restricciones
En la medida que las variables x1 y x2 crecen, la funci´n objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si
o
se pudiera escoger arbitrariamente el valor de x1 y x2 , la muebler´ podr´ hacer crecer arbitrariamente
ıa ıa
el valor de sus utilidades. Evidentemente, en la pr´ctica esto no es posible. En este ejemplo, el valor
a
de las variables est´ limitado por las siguientes tres restricciones:
a
Restricci´n 1 : m´ximo 100 horas semanales para terminaciones
o a
Restricci´n 2 : m´ximo 80 horas semanales para carpinter´
o a ıa
Restricci´n 3 : producci´n m´xima de 40 sillas semanales
o o a
Se asume que la cantidad disponible de material es ilimitada. Luego, el pr´ximo paso consiste en
o
formular matem´ticamente las restricciones anteriores en funci´n de las variables de decisi´n. Para
a o o
formular la primera restricci´n en funci´n de las variables x1 y x2 observamos que:
o o
terminaciones = terminaciones mesas
semana mesa semana
+ terminaciones sillas (1.8)
silla semana
= 2x1 + 1x2
Por lo tanto la primera restricci´n queda:
o 2x1 + x2 ≤ 100
Es importante notar que todos los valores en la expresi´n anterior son por semana, ya que las variables
o
de decisi´n se han escogido con esa referencia.
o
An´logamente la segunda restricci´n queda:
a o x1 + x2 ≤ 80
Finalmente, la tercera restricci´n s´lo limita el valor de x2 :
o o x2 ≤ 40
El valor que aparece a la derecha del signo de la desigualdad en cada restricci´n se denomina the
o
constraint’s right-hand side (rhs) o coeficiente del lado derecho de la restricci´n. Usualmente,
o
representa la cantidad disponible de cierto recurso.
1.4. Restricci´n de Signo
o
Para completar la formulaci´n del modelo es importante definir si existe alguna restricci´n de signo
o o
para cada variable de decisi´n.
o
Si una variable de decisi´n xi debe cumplir condiciones de no-negatividad, debemos agregar la re-
o
stricci´n xi ≥ 0. Si la variable de decisi´n xi puede asumir valores positivos y negativos se dice que la
o o
variable xi no tiene restricci´n de signo (srs).
o
En este ejemplo, ambas variables de decisi´n se refieren a cantidades a producir, por lo tanto son
o
no-negativas, luego: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0. Sin embargo, en otros ejemplos las varibles pueden ser srs, por
ejemplo en el caso de que xi se refiere al saldo de alguna cuenta.
3
4. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matem´tico para este
a
problema de optimizaci´n:
o
Max z = 3x1 + 2x2 (Funci´n Objetivo)
o
sujeto a (st)
2x1 + x2 ≤ 100 (Restricci´n
o de terminaciones)
x1 + x 2 ≤ 80 (Restricci´n
o de carpinter´
ıa) (1.9)
x2 ≤ 40 (Restricci´n
o de demanda m´xima)
a
x1 ≥ 0 (Restricci´n
o de signo)
x2 ≥ 0 (Restricci´n
o de signo)
Se deja como ejercicio al lector determinar las modificaciones sobre el modelo anterior si:
El excedente de horas de terminaciones puede ser empleado para carpinter´ y viceversa.
ıa
La misma hip´tesis del punto anterior pero suponiendo que cada hora de terminaciones equivale
o
a dos horas de carpinter´
ıa.
La producci´n de mesas no puede exceder al 40 % del total de unidades producidas de mesas y
o
sillas.
2. Generalizaci´n
o
Repasemos en primer lugar algunos conceptos de linealidad de funciones y desigualdades.
Definici´n 1 Una funci´n f (x1 , x2 , · · · , xn ) de x1 , x2 , · · · , xn es una funci´n lineal s´ y s´lo s´ para
o o o ı o ı
un conjunto de constantes c1 , c2 , · · · , cn , se tiene: f (x1 , x2 , · · · , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
Definici´n 2 Para cualquier funci´n f (x1 , x2 , · · · , xn ) y cualquier n´mero b las desigualdades:
o o u
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≤ b
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≥ b
son desigualdades lineales.
Definici´n 3 Un problema de programaci´n lineal (LP) es un problema de optimizaci´n para el cual
o o o
debemos tener presente lo siguiente:
1. Se maximiza (o minimiza) una funci´n lineal de las variables de decisi´n. La funci´n que es
o o o
maximizada o minimizada se denomina funci´n objetivo.
o
2. Los valores de las variables de decisi´n deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada
o
restricci´n debe ser una ecuaci´n o desigualdad lineal.
o o
3. Existe una restricci´n de signo asociada a cada variable. Para toda variable x i , la res- tricci´n
o o
de signo especifica si xi debe ser no-negativa (xi ≥ 0)o bien sin restricci´n de signo (srs).
o
De acuerdo a las definiciones anteriores, el ejemplo estudiado corresponde efectivamente a un LP,
pues tanto la funci´n objetivo como las restricciones son funciones lineales de x 1 y x2 . El proble-
o
ma estudiado corresponde a un problema t´ ıpico de decisi´n donde se debe obtener el programa de
o
producci´n que maximiza las utilidades sujeto a recursos limitados.
o
4
5. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
3. Consecuencias y Supuestos
El hecho que la funci´n objetivo de un PL sea una funci´n lineal de las variables de decisi´n tiene
o o o
dos implicancias:
1. La contribuci´n a la funci´n objetivo de cada variable es proporcional al valor de la variable de
o o
decisi´n.
o
2. La contribuci´n a la funci´n objetivo para toda variable es independiente de los valores de las
o o
otras variables de decisi´n.
o
An´logamente, el hecho de que cada restricci´n sea una ecuaci´n o desigualdad lineal tambi´n
a o o e
tiene dos implicancias:
1. La contribuci´n de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricci´n es propor-
o o
cional al valor de la variable.
2. La contribuci´n de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricci´n es indepen-
o o
diente de los valores de las otras variables.
Las primeras implicancias de la listas anteriores constituyen el Supuesto de Proporci´n en LP.
o
Las segundas implicancias de las listas anteriores constituyen el Supuesto de Adici´n en LP.
o
Para que un modelo de LP corresponda a una representaci´n adecuada de la realidad, las variables
o
de decisi´n deben satisfacer los dos supuestos anteriores. Adicionalmente, se agregan dos supuestos:
o
el supuesto de Divisibilidad y el de Certeza.
El Supuesto de Divisibilidad requiere que cada variable de decisi´n pueda tomar valores frac-
o
cionarios. En el ejemplo anterior, el supuesto se traduce en que es aceptable producir 2.4 sillas ´ 1.6
o
mesas. Evidentemente, el supuesto de divisibilidad no se satisface en el ejemplo. En este caso se puede
proceder a formular el modelo como un problema de programaci´n lineal entera (ILP), problema en el
o
cual una o m´s variables deben ser enteras. Este tipo de problema se estudiar´ m´s adelante. Cuando
a a a
no se satisface el supuesto de divisibilidad, una posibilidad es redondear la soluci´n obtenida a un
o
valor entero, sin embargo no existen garant´ que dicha soluci´n sea la mejor.
ıas o
El Supuesto de Certeza exige que cada par´metro: coeficientes de la funci´n objetivo, coeficientes
a o
del lado derecho, etc. sean conocido con certeza, es decir, no se acepta incertidumbre en sus valores.
Es claro que es muy dif´ que un problema cumpla exactamente con todos los supuestos. Sin embargo,
ıcil
un modelo puede ser util aunque difiera de la realidad si se es consistente con los requerimientos m´s
´ a
estrictos del problema y se tienen presente las limitaciones al interpretar los resultados.
4. ´
Regiones Factibles y Soluciones Optimas
Dos de los conceptos m´s fundamentales en LP son el de regi´n factible y de soluci´n ´ptima de
a o o o
un problema. Llamaremos punto a la especificaci´n de un valor para cada variable de decisi´n.
o o
Definici´n 4 La regi´n factible para un LP es el conjunto de puntos que satisfacen todas las re-
o o
stricciones (incluidas las de signo) de un problema de LP.
5
6. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Definici´n 5 En el caso de un problema de maximizaci´n, una soluci´n ´ptima del LP es un punto
o o o o
de la regi´n factible que est´ asociado al mayor valor posible de la funci´n objetivo. Similarmente,
o a o
para un problema de minimizaci´n, una soluci´n optima es un punto que est´ asociado al menor valor
o o ´ a
posible de la funci´n objetivo.
o
La mayor´ de los problemas de LP tienen s´lo una soluci´n ´ptima. Sin embargo, existen muchos
ıa o o o
problemas de LP que no poseen soluci´n ´ptima o bien poseen varios o infinitos valores ´ptimos.
o o o
5. Algunos Ejemplos
5.1. Problema de la Dieta
Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos 2000 [kCal], 55 [g] de prote´
ınas y 800 [mg] de
Calcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de m´ ınimo costo
a partir de los alimentos indicados en el Cuadro 5.1.
$ u
Alimento Porci´n
o Energ´ [kCal]
ıa Prote´
ınas [g] Calcio [mg] Precio u L´
ımite d´a
ı
Avena 28 110 4 2 3 4
Pollo 100 205 32 12 24 3
Huevos 2 160 13 54 13 2
Leche 237 160 8 285 9 8
Pastel 170 420 4 22 20 2
Cerdo 260 260 14 80 29 2
Cuadro 5.1: Alimentos disponibles
Modelo:
En este caso resulta natural definir como variable de decisi´n xi la cantidad de alimento tipo ”i”(i =
o
1 . . . 6) a consumir. Como cada alimento tiene un costo, basta ponderar cada variable de decisi´n por
o
su respectivo coeficiente y construir la funci´n objetivo a minimizar. Las restricciones obedecen a los
o
l´
ımites diarios de consumo por alimento y a las condiciones de energ´ prote´
ıa, ınas y calcio que debe
cumplir la dieta. Por lo tanto, el modelo queda:
Min z = 3x1 + 24x2 + 13x3 + 9x4 + 20x5 + 29x6 (Funci´n Objetivo)
o
st
110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000 (Energ´ m´
ıa ınima)
4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 (Proteinas m´ınimas)
2x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800 (Calcio m´ınimo)
x1 ≤ 4 (Porci´n l´
o ımite)
x2 ≤ 3 (Porci´n l´
o ımite)
x3 ≤ 2 (Porci´n l´
o ımite)
x4 ≤ 8 (Porci´n l´
o ımite)
x5 ≤ 2 (Porci´n l´
o ımite)
x6 ≤ 2 (Porci´n l´
o ımite)
xi ≥ 0 ∀i (Restricci´n de signo)
o
6
7. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
5.2. Problema de Planificaci´n de Personal
o
Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La
administraci´n ha decidido definir 6 cambios de turno al d´ para minimizar las distracciones y los
o ıa
problemas de comunicaci´n que ocurren en los cambios de turno.
o
El hospital ha realizado un an´lisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios
a
del d´ Las caracter´
ıa. ısticas de cada bloque se muestran en el Cuadro 5.2.
Hora del D´
ıa Per´
ıodo N´mero m´
u ınimo de enfermeras
2 AM - 6 AM 1 25
6 AM - 10 AM 2 60
10 AM - 2 PM 3 50
2 PM - 6 PM 4 35
6 PM - 10 PM 5 55
10 PM - 2 AM 6 40
Cuadro 5.2: Caracter´
ısticas de cada Bloque Horario.
Las enfermeras que empiezan a trabajar en los per´ıodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al d´ y aquellas
ıa,
que comienzan en los per´ıodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al d´ ¿Cu´l es la planificaci´n de los turnos de
ıa. a o
las enfermeras que minimizan los costos por salarios?
Modelo:
En este caso podemos identificar como variable de decisi´n el n´mero de enfermeras N i que comienza
o u
a trabajar en el turno ”i”(i = 1 . . . 6). De esta forma, la funci´n objetivo queda:
o
z = 50N1 + 40N2 + 40N3 + 40N4 + 50N5 + 50N6
Evidentemente, la funci´n anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente
o
recurrir a una representaci´n gr´fica de los turnos (Figura 5.1).
o a
Turno
1 2 3 4 5 6
N1
N2
N3
N4
N5
N6
Figura 5.1: Esquema de los turnos
De la gr´fica anterior se observa que en cada bloque trabajan las enfermeras que comenzaron su
a
turno en dicho bloque, pero tambi´n las que empezaron su turno en el bloque anterior. Por lo tanto,
e
las restricciones de personal m´
ınimo por turno quedan:
N1 + N 2 ≥ 60
N2 + N 3 ≥ 50
N3 + N 4 ≥ 35
N4 + N 5 ≥ 55
N5 + N 6 ≥ 40
N6 + N 1 ≥ 25
7
8. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo:
Ni ≥ ∀ i
5.3. Problema de Planificaci´n de Producci´n
o o
La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes
(grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los pr´ximos 4 trimestres.
o
Actualmente, Sil Computer tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los
pr´ximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. Sil Computer tiene el material y la capacidad de
o
producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Emple-
ando personal de sobretiempo se puede producir hasta 2500 computadores m´s a un costo individual
a
de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la de-
manda de ese per´ ıodo, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador
en inventario tiene un costo adicional de US$100 por per´ ıodo para reflejar los costos de almacenaje.
¿Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo m´ ınimo?
Modelo:
En este caso la decisi´n a tomar corresponde a la producci´n de computadores por trimestre. Co-
o o
mo se puede fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos
tipos de producci´n en variables distintas. Adem´s, se debe decidir en cada per´
o a ıodo cuantas unidades
guardar en inventario. Definamos las siguientes variables (∀ t = 1 . . . 4):
xt = producci´n en el per´
o ıodo t en horario normal
yt = producci´n en el per´
o ıodo t en sobretiempo
it = inventario al final del per´
ıodo t
De acuerdo a las variables definidas podemos formular el modelo completo considerando el balance
trimestral entre lo producido, lo proveniente del per´
ıodo anterior en inventario y la demanda del
trimestre respectivo.
Min z = 2000(x1 + x2 + x3 + x4 ) + 2200(y1 + y2 + y3 + y4 ) + 100(i1 + i2 + i3 )
st
5000 + x1 + y1 = 7000 + i1
i1 + x 2 + y2 = 15000 + i2
i2 + x 3 + y3 = 10000 + i3
i3 + x 4 + y4 = 8000
xt ≤ 10000 ∀t
yt ≤ 2500 ∀t
x t , yt , i t ≥ 0 ∀t
Para la formulaci´n anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado
o
en horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente este
supuesto puede no ser correcto en la situaci´n real, pero constituye una buena aproximaci´n del prob-
o o
lema.
Revisando la formulaci´n propuesta, se observa que no existe la variable i 4 ¿ Porqu´ no se incluye en
o e
el modelo ? ¿ Qu´ pasar´ si se incorporara ?
e ıa
8
9. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
5.4. Problema de Transporte
Supongamos un problema de transporte de alg´n producto desde n or´
u ıgenes hacia m destinos. En
cada origen hay una existencia de productos ei (i = 1 . . . n). En cada destino hay una demanda por dj
unidades (j = 1 . . . m). El costo unitario de env´ desde cada origen i hacia cada destino j es de c ij .
ıo
Formule un modelo de programaci´n lineal que permita definir la distribuci´n del producto de modo
o o
de minimizar los costos de transporte.
Modelo:
La decisi´n consiste simplemente en determinar el n´mero de productos que son transportados desde
o u
cada origen hacia cada destino. Luego, se emplear´n las siguientes variables:
a
xij = cantidad enviada desde origen i a destino j
De acuerdo a las variables definidas, la funci´n objetivo queda:
o
n m
M in cij xij
i=1 j=1
Las restricciones corresponden a la capacidad m´xima en cada origen y a la demanda en cada destino.
a
Adem´s, como las variables representan cantidades, deben ser positivas.
a
m
j=1 xij ≤ ei ∀ i = 1 . . . n (disponibilidad)
n
i=1 xij ≥ dj ∀ j = 1 . . . m (demanda)
xij ≥ 0 ∀i×j (restricci´n de signo)
o
El problema anterior se dice balanceado si se satisface que:
n m
ei = dj
i=1 j=1
El problema anterior admite m´ltiples variaciones como la incorporaci´n de l´
u o ımites a la capacidad
de cada ruta, incorporaci´n de costos fijos, puntos de transbordo, rutas alternativas entre otras posi-
o
bilidades. Este tipo de problema es muy vers´til y puede ser aplicado a muchas situaciones que no
a
necesariamente se refieren a transporte, adem´s posee su propio algoritmo de resoluci´n. ¿ C´mo
a o o
cambiar´ la formulaci´n si se incorporaran k puntos de transbordo, es decir, puntos intermedios sin
ıa o
demanda ni oferta, pero que pueden servir como rutas alternativas para disminuir costos de env´ ıo
desde un origen i a alg´n destino j ?
u
5.5. Problema de Mezcla
Una refiner´ de petr´leos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende
ıa o
a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se
preparan del inventario de petr´leo nacional refinado y de petr´leo importado refinado que tiene la
o o
refiner´ y deben cumplir las especificaciones que se presentan en el Cuadro 5.3.
ıa
Las caracter´
ısticas del inventario de petr´leos refinados se muestran en el Cuadro 5.4.
o
Formule un modelo de programaci´n lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la re-
o
finer´ıa.
9
10. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Presi´n m´xima
o a Octanaje Demanda m´xima
a Entregas m´ ınimas
de vapor m´ınimo [barril/semana] [barril/semana]
Regular 23 88 100.000 50.000
Extra 23 93 20.000 5.000
Cuadro 5.3: Especificaciones de las gasolinas
Presi´n
o Inventario Costo
Octanaje
de vapor [barril] [US$/barril]
Nacional 25 87 40.000 8
Importado 15 98 60.000 15
Cuadro 5.4: Caracter´
ısticas de los petr´leos
o
Modelo:
Para poder formular un modelo para el problema supondremos que no existen p´rdidas en el pro-
e
ceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presi´n de vapor se pueden mezclar linealmente.
o
De acuerdo al supuesto anterior debemos definir variables que nos permitan controlar que propor-
ci´n de cada tipo de petr´leo se emplear´ para fabricar cada tipo de gasolina, as´
o o a ı:
xij = cantidad de petr´leo refinado tipo i (i = 1, 2) para fabricar gasolina j (j = 1, 2)
o
Donde petr´leo refinado tipo 1 corresponde a Nacional y tipo 2 a Importado, gasolina 1 equivale a
o
Regular y gasolina 2 a Extra. Consideremos las variables anteriores en barriles, de modo de emplear
las proporciones entregadas en el enunciado.
Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petr´leo, la funci´n objeti-
o o
vo se reduce a maximizar la diferencia entre ingresos y costos, es decir, las utilidades.
M ax 12(x11 + x21 ) + 14(x12 + x22 ) − 8(x11 + x12 ) − 15(x21 + x22 )
A continuaci´n construimos las restricciones. Las restricciones respecto de inventario disponible y de-
o
manda de cada tipo de gasolina se explican por s´ solas:
ı
x11 + x12 ≤ 40000 (Inventario petr´leo tipo 1)
o
x21 + x22 ≤ 60000 (Inventario petr´leo tipo 2)
o
x11 + x21 ≥ 50000 (Demanda m´ ınima de gasolina tipo 1)
x11 + x21 ≤ 100000 (Demanda m´xima de gasolina tipo 1)
a
x12 + x22 ≥ 5000 (Demanda m´ ınima de gasolina tipo 2)
x12 + x22 ≤ 20000 (Demanda m´xima de gasolina tipo 2)
a
Las restricciones de presi´n de vapor y de octanaje m´
o ınimo deben ser normalizadas respecto de la
10
11. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
cantidad total fabricada, que no es necesariamente la cantidad m´xima o m´
a ınima posible de fabricar.
25x11 +15x21
x11 +x21 ≤ 23 (Presi´n de vapor m´xima gasolina tipo 1)
o a
25x12 +15x22
x12 +x22 ≤ 23 (Presi´n de vapor m´xima gasolina tipo 2)
o a
87x11 +98x21
x11 +x21 ≥ 88 (Octanaje m´ınimo gasolina tipo 1)
87x12 +98x22
x12 +x22 ≥ 88 (Octanaje m´ınimo gasolina tipo 2)
Finalmente, el modelo queda completo con las condiciones de signo:
xij ≥ 0 ∀i×j
5.6. Problema de Producci´n y Asignaci´n de Personal
o o
Un peque˜o taller arma dispositivos mec´nicos, ya sea como un producto terminado que entrega
n a
al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran f´brica. Trabajan 3 personas
a
en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0,4 por hora, y el
tercero, un obrero calificado recibe $0,6 por hora. Los tres est´n dispuestos a trabajar hasta 10 horas
a
adicionales a la semana con un salario 50 % superior durante este per´ıodo.
Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operaci´n variable son de $1,0 por hora de
o
trabajo de obrero no calificado y $2,4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mec´nicos sin
a
acabar son vendidos a la planta a $6,5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar
100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El due˜o del taller tiene como pol´
n ıtica el producir
no m´s de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.
a
Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado.
Se requieren 0,5 horas de obrero no calificado y 0,25 horas de obrero calificado para producir un
dispositivo sin acabar listo para entregar a la otra empresa. Uno de estos dispositivos puede ensam-
blarse y dejarlo terminado agreg´ndole 0,5 horas de trabajador calificado.
a
Un dispositivo listo para entregar al mercado se puede producir con 0,6 horas de obrero no califi-
cado y 0,5 horas de obrero calificado.
Plantear el modelo de Programaci´n Lineal que permita responder la consulta: ¿ C´mo y cu´nto
o o a
producir para cumpir el contrato de modo de maximizar las utilidades ?
Modelo:
En este caso, es posible establecer tres tipo de productos: intermedio (i = 1), intermedio que se
acaba (i = 2) y acabado (i = 3). Por lo tanto, se puede definir las siguientes variables:
xi = cantidad de productos tipo i fabricados i = 1, . . . 3
De acuerdo al enunciado, los dos obreros no calificados y el obrero calificado trabajan 40 horas se-
manales fijas, por lo tanto, s´lo es necesario cuantificar como variables las horas extraordinarias de
o
trabajo.
zj = horas extraordinarias de los trabajadores tipo j j = 1, 2
Donde tipo 1 corresponde a obreros no calificados y tipo 2 a obreros calificados.
11
12. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Como existe informaci´n de costos de producci´n y de precio de venta para razonable plantear el
o o
problema como uno de maximizaci´n de utilidades. Luego, debemos expresar la diferencia entre in-
o
gresos (I) y costos (C) como funci´n de las variables de decisi´n:
o o
I = 6,5 × x1 + 15 (x2 + x3 )
C = 2 × 40 × 0,4 + 0,6 × z1 + 1 × 40 × 0,6 + 0,9 × z2 +
sueldos o.n.c. sueldos o.c.
1 × (2 × 40 + z1 ) + 2,4 (1 × 40 + z2 ) + 800
gastos de operaci´n variables
o costos fijos
Luego, la funci´n objetivo queda:
o
M ax Z =I −C
De acuerdo al enunciado, existen l´
ımite inferior y superior para la demanda de productos intermedios:
x1 ≥ 100
x1 ≤ 150
Las otras restricciones tienen que ver con la disponibilidad de mano de obra para producci´n:
o
0,5 (x1 + x2 ) + 0,6 × x3 ≤ 80 + z1
z1 ≤ 20
0,25 × x1 + 0,75 × x2 + 0,5 × x3 ≤ 40 + z2
z2 ≤ 10
Finalmente, se deben incorporar la restricciones de signo:
x i , zj ≥ 0 ∀ i, j
5.7. Problema de la Aerol´
ınea
Una determinada aerol´ ınea, con centro en Santiago, est´ dise˜ando un nuevo sistema de atenci´n
a n o
a pasajeros que realicen viajes a cuatro destinos espec´
ıficos: Antofagasta, Temuco, Puerto Montt y
Punta Arenas. Para eso consta de tres tipos de aviones, los que difieren en capacidad, rendimiento
y costos, seg´n se muestra en el Cuadro 5.5. Hist´ricamente para esta ´poca se tiene una demanda
u o e
Tipo de Costo de Operaci´n por viaje en la ruta:
o
Avi´n
o Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas
1 1000 1100 1200 1500
2 800 900 1000 1000
3 600 800 800 900
Cuadro 5.5: Costos de operaci´n por viaje
o
m´ınima diaria de 90 pasajeros a Antofagasta, 100 a Temuco, 200 a Puerto Montt y de 120 pasajeros
a Punta Arenas. Adem´s, lo que la aerol´
a ınea recibe por pasajero a cada lugar es de 40 si el destino
es Antofagasta, 40 si el destino es Temuco, 45 si el destino es Puerto Montt y 70 si se viaja a Punta
Arenas.
Los datos tanto de operaci´n y de disponibilidad que actualmente tiene la aerol´
o ınea se muestran en
el Cuadro 5.6. Finalmente, se ha dispuesto (de preferencia, pero no obligatoriamente) atender m´s a
12
13. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Tipo de Avi´n
o Capacidad (pasajeros) N´mero de Aviones
u
1 50 5
2 30 8
3 20 10
Cuadro 5.6: Capacidad y disponibilidad de aviones
Tipo de N´mero m´ximo de viajes diarios a:
u a
Avi´n
o Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas
1 3 2 2 1
2 4 3 3 2
3 5 5 4 2
Cuadro 5.7: Costos de operaci´n por viaje
o
de una ruta por cada tipo de avi´n, ante lo cual se han planteado condiciones al dise˜o del sistema
o n
de pasajeros (Cuadro 5.7). Determinar el modelo de programaci´n lineal que permita optimizar la
o
asignaci´n de los aviones a las distintas rutas.
o
Modelo:
Para plantear el problema, se debe definir variables de decisi´n que sean capaces de reflejar el tipo de
o
avi´n (i = 1, . . . 3) y el destino (j = 1, . . . 4) al que es asignada. Luego, se define:
o
xij = n´mero de aviones de tipo i asignados al destino j
u
En este problema, no se conoce el valor exacto de la demanda por pasajes ya que s´lo se conoce el
o
valor m´ınimo de la demanda por pasajes. Por lo tanto, se puede formular la funci´n objetivo de dos
o
formas: como un un problema de maximizaci´n de las utilidades obtenidas de la diferencia entre el
o
ingreso m´ınimo asociado a la demanda m´ ınima conocida y el costo de asignaci´n de los aviones (in-
o
gresos constantes), o bien simplemente como un problema de minimizaci´n de costos de asiganci´n.
o o
Intuitivamente es claro que maximizar una constante menos unas funci´n frente a minimizar la misma
o
funci´n es equivalente, por lo que cualquiera de las dos formulaciones conduce a la misma soluci´n.
o o
Luego, la funci´n objetivo queda:
o
3 4
Min cij × xij
i=1 j=1
Donde los coeficientes cij corresponden a los datos del Cuadro 5.5. Luego, se procede a plantear las
restricciones. En primer lugar se debe garantizar poder satisfacer la demanda m´ınima, por lo tanto
basta ponderar la capacidad de cada tipo de avi´n por el n´mero asignado a cada destino j:
o u
50x1j + 30x2j + 20x3j ≥ dj ∀ j = 1, . . . 4
Donde dj representa la demanda de cada destino j, es decir: 90, 100, 200 y 120 para Antofagasta,
Temuco, Puerto Montt y Punta Arenas, respectivamente.
13
14. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Por otro lado, no es posible asignar m´s aviones de los disponibles:
a
4
xij ≤ ni ∀ i = 1, . . . 3
j=1
Donde ni representa la disponibilidad del tipo de avi´n i, es decir, 5, 7 y 10.
o
Tambi´n existe una restricci´n asociada al n´mero de viajes diarios m´ximo por tipo de avi´n i a
e o u a o
cada destino j:
xij ≤ mij ∀i×j
Los coeficientes mij corresponden a los datos del Cuadro 5.7.
Finalmente, s´lo se debe agregar la restricci´n de signo:
o o
xij ≥ 0 ∀i×j
14