Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de modelo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
Este documento presenta las instrucciones para el Laboratorio 1 de Fundamentos de Programación. Se indica que los estudiantes deben registrar cada ejercicio desarrollado y que los trabajos en equipo se dividirán la nota entre los integrantes. Los estudiantes deben presentar la guía resuelta de forma impresa y los equipos pueden tener entre 5 y 6 integrantes. Cada numeral vale 0.4 puntos y la fecha de entrega es el 18 de febrero de 2016.
Este documento presenta el plan de trabajo simultáneo número 1 para la materia de matemáticas. El plan incluye información sobre la institución, la alumna maestra, el profesor supervisor y las fechas. También detalla los temas a cubrir como perímetro de cuadrado, fracciones y valor posicional, junto con las estructuras, destrezas, temas y tareas asociadas a cada año de educación básica.
Este documento presenta una serie de actividades relacionadas con potencias. Incluye ejercicios para completar tablas y expresiones con potencias, identificar cuáles expresiones se pueden escribir como potencias, y calcular valores de potencias. También contiene preguntas sobre situaciones reales para que el estudiante exprese los resultados en forma de potencia. El objetivo es que el estudiante practique conceptos básicos sobre potencias como la base, el exponente y cómo escribir productos repetidos de forma abreviada usando potencias.
Este documento presenta una guía de orientación para usuarios del transporte terrestre de carga en Perú. Explica la importancia del transporte de carga por carretera dentro del proceso logístico y cómo se ha desarrollado este sector en la economía peruana. La guía contiene preguntas y respuestas sobre temas como la selección de vehículos, operaciones de transporte, costos, marco regulatorio y tendencias futuras, con el objetivo de brindar información a empresas exportadoras, importadoras y productoras sobre este servicio.
Investigaciòn de operaciones modelos matematicosJc Martín
Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
Este documento presenta un taller de refuerzo de matemáticas y estadística para estudiantes de grado 11 que contiene 7 problemas. El taller tiene como objetivo fortalecer los conocimientos de los estudiantes antes de una evaluación de recuperación. Los estudiantes deben desarrollar el taller a mano en hojas examen con excelente presentación.
Este documento presenta información sobre el tema de la ética y los valores. Define la ética como la parte de la filosofía que trata de las normas morales y las buenas costumbres que rigen el comportamiento humano. Explica que la ética se refiere a conductas apropiadas y justas, mientras que las no éticas son inapropiadas e injustas. Además, destaca la importancia de los valores como la honestidad, la responsabilidad y la solidaridad para lograr una sana convivencia.
Cr concepts the best resource for gmat cr from ivy-gmat (sandeep gupta)mamunapece
The document provides strategies and resources for the GMAT critical reasoning section. It discusses the structure of CR questions, identifying argument parts such as facts and conclusions. It also outlines different types of CR questions including conclusion, assumption, weaken, strengthen, and evaluate. The document emphasizes identifying the conclusion as being key to solving CR questions and provides examples of how to determine the conclusion and choose the correct answer. It aims to equip test-takers with the logical thinking skills needed to excel at the critical reasoning portion of the GMAT.
Este documento presenta las instrucciones para el Laboratorio 1 de Fundamentos de Programación. Se indica que los estudiantes deben registrar cada ejercicio desarrollado y que los trabajos en equipo se dividirán la nota entre los integrantes. Los estudiantes deben presentar la guía resuelta de forma impresa y los equipos pueden tener entre 5 y 6 integrantes. Cada numeral vale 0.4 puntos y la fecha de entrega es el 18 de febrero de 2016.
Este documento presenta el plan de trabajo simultáneo número 1 para la materia de matemáticas. El plan incluye información sobre la institución, la alumna maestra, el profesor supervisor y las fechas. También detalla los temas a cubrir como perímetro de cuadrado, fracciones y valor posicional, junto con las estructuras, destrezas, temas y tareas asociadas a cada año de educación básica.
Este documento presenta una serie de actividades relacionadas con potencias. Incluye ejercicios para completar tablas y expresiones con potencias, identificar cuáles expresiones se pueden escribir como potencias, y calcular valores de potencias. También contiene preguntas sobre situaciones reales para que el estudiante exprese los resultados en forma de potencia. El objetivo es que el estudiante practique conceptos básicos sobre potencias como la base, el exponente y cómo escribir productos repetidos de forma abreviada usando potencias.
Este documento presenta una guía de orientación para usuarios del transporte terrestre de carga en Perú. Explica la importancia del transporte de carga por carretera dentro del proceso logístico y cómo se ha desarrollado este sector en la economía peruana. La guía contiene preguntas y respuestas sobre temas como la selección de vehículos, operaciones de transporte, costos, marco regulatorio y tendencias futuras, con el objetivo de brindar información a empresas exportadoras, importadoras y productoras sobre este servicio.
Investigaciòn de operaciones modelos matematicosJc Martín
Este documento resume los conceptos clave de la investigación de operaciones y la optimización, incluyendo la definición de modelos matemáticos, problemas combinatorios y de optimización. Explica el problema de las sillas y mesas como un ejemplo de programación lineal, y el problema del vendedor viajero como un problema de optimización combinatoria.
Este documento presenta un taller de refuerzo de matemáticas y estadística para estudiantes de grado 11 que contiene 7 problemas. El taller tiene como objetivo fortalecer los conocimientos de los estudiantes antes de una evaluación de recuperación. Los estudiantes deben desarrollar el taller a mano en hojas examen con excelente presentación.
Este documento presenta información sobre el tema de la ética y los valores. Define la ética como la parte de la filosofía que trata de las normas morales y las buenas costumbres que rigen el comportamiento humano. Explica que la ética se refiere a conductas apropiadas y justas, mientras que las no éticas son inapropiadas e injustas. Además, destaca la importancia de los valores como la honestidad, la responsabilidad y la solidaridad para lograr una sana convivencia.
Cr concepts the best resource for gmat cr from ivy-gmat (sandeep gupta)mamunapece
The document provides strategies and resources for the GMAT critical reasoning section. It discusses the structure of CR questions, identifying argument parts such as facts and conclusions. It also outlines different types of CR questions including conclusion, assumption, weaken, strengthen, and evaluate. The document emphasizes identifying the conclusion as being key to solving CR questions and provides examples of how to determine the conclusion and choose the correct answer. It aims to equip test-takers with the logical thinking skills needed to excel at the critical reasoning portion of the GMAT.
The document describes the traditional foods and meals of Paraguay. It notes that meat, dairy, fish and fruits are plentiful locally. A popular lunch in cities is parrilladas, a large barbecue featuring various meats. Yerba mate tea is an important part of the culture, with a legend explaining its origins and medicinal properties among Guarani tribes. The staple drink when men socialize is cold yerba mate tea, known as terere.
O documento discute sistemas de sprinklers para combate a incêndios. O texto introduz sprinklers como dispositivos que usam água sob pressão para reduzir a temperatura em ambientes afetados por incêndios. Em seguida, descreve a evolução histórica dos sprinklers desde o século XVII e os principais requisitos para instalações de sprinklers serem eficientes no combate a incêndios.
O documento discute o conceito de sustentabilidade e apresenta várias ações relacionadas ao desenvolvimento sustentável, como a exploração controlada de recursos e o uso de fontes de energia limpas. Também aborda os benefícios da sustentabilidade e três estratégias para promovê-la: reduzir, reutilizar e reciclar. Por fim, explica o que são alimentos orgânicos e seus benefícios em relação à saúde e ao meio ambiente.
The document summarizes Maureen Walsh's work on how reading visual and multimodal texts differs from reading print-based texts. Walsh defines multimodal texts as those containing more than one mode of communication, like images and words. She explains that reading print-based texts involves decoding, comprehension, and critical analysis. However, reading multimodal texts requires understanding how different modes work together and utilizing the unique properties ("affordances") of different modes to construct meaning based on the text's purpose. The document provides examples analyzing how a print story, picture book, and website construct meaning differently based on their modes and purposes.
Metodología de investigación para elaborar una tesisjuanchojuancho
Este documento ofrece orientación metodológica para estudiantes que realizan tesis. Explica que una tesis implica investigar un tema mediante el método científico para alcanzar conclusiones válidas. Además, discute cómo elegir un tema de investigación, ya sea basado en la carrera del estudiante, temas actuales o poco explorados. Finalmente, distingue entre enfoques cuantitativos y cualitativos, detallando sus características y métodos.
The document discusses obesity as a growing epidemic affecting many countries. It outlines the causes of obesity including genetic and environmental factors. Key health risks of obesity are discussed such as increased risk of cancer, diabetes and heart disease. The document also examines childhood obesity and strategies to promote healthy lifestyles and weight management.
Este documento presenta un texto universitario sobre la asignatura "Actividad Artística: Dibujo y Pintura". El documento define el arte, traza su evolución histórica y explica que las primeras manifestaciones artísticas estaban ligadas a la magia y el animismo. Además, presenta los objetivos y contenidos de la asignatura, la cual se divide en dos unidades que cubren temas como la historia del arte, el dibujo, la pintura, y los movimientos artísticos del siglo XX.
This document provides a study session on macroeconomics (Part B) from the CFA Level 1 exam. It includes an introduction by the author and then presents over 1081 questions from past CFA exams, along with the answers and explanations. The questions cover a wide range of macroeconomic topics and concepts tested on the exam, including GDP, inflation, unemployment, fiscal and monetary policy, exchange rates, and macroeconomic models.
El documento presenta la estructura y contenido de un libro de texto para estudiantes de noveno año de educación básica en Ecuador. El libro contiene seis bloques que abordan diferentes tipos de textos, incluyendo textos funcionales como artículos científicos y periódicos, y textos literarios como novelas de ciencia ficción y obras de teatro. Cada bloque sigue un proceso de lectura, escritura y evaluación para desarrollar las habilidades lingüísticas de los estudiantes.
O documento apresenta um curso sobre o Programa Dinheiro Direto na Escola (PDDE) com o objetivo de capacitar gestores escolares e membros da comunidade sobre o funcionamento do programa. O curso é dividido em cinco unidades que abordam a apresentação do PDDE, a criação e administração de unidades executoras, o funcionamento do programa, ações complementares e prestação de contas.
1. El documento presenta un conjunto de 56 problemas matemáticos resueltos para estudiantes de alto rendimiento. Los problemas abarcan temas como geometría, teoría de números, álgebra y otras ramas de las matemáticas. Cada problema viene acompañado de su enunciado y una breve explicación de la solución. El documento busca servir de apoyo para la preparación de olimpiadas y concursos matemáticos.
Este documento presenta un manual de autoestudio para la asignatura de Dinámica Social. Explica que la Dinámica Social estudia la evolución de la sociedad a través del tiempo y de los diferentes modos de producción, como la comunidad primitiva, el esclavismo, el feudalismo y el capitalismo. Describe las bases de la Dinámica Social como el trabajo, la organización social y el lenguaje. El manual contiene 7 unidades que cubren temas como la importancia de la Dinámica Social, el desarrollo de las formas sociales, las
1) El documento presenta el plan de estudios de un curso de Derecho Laboral impartido en la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM.
2) El objetivo general del curso es que los estudiantes apliquen el derecho laboral identificando los conceptos correspondientes a esta disciplina jurídica.
3) El temario contiene 14 temas sobre diversos aspectos del derecho laboral como principios generales, relaciones individuales y colectivas de trabajo, seguridad social, entre otros.
Este documento describe las diferentes estrategias de marketing que pueden utilizar las empresas en función de su posición en el mercado, incluyendo líderes del mercado, retadores, seguidores y especialistas. También discute las consideraciones estratégicas para el marketing internacional y la planificación de programas de marketing como líneas de productos, marcas, precios y canales de distribución.
Este documento introduce el concepto de muestreo y describe los diferentes tipos de muestreo probabilístico como el muestreo aleatorio simple, el muestreo sistemático, el muestreo aleatorio estratificado y el muestreo por conglomerados. También explica cómo calcular el tamaño de la muestra para auditorías de historias clínicas y ofrece recomendaciones como utilizar un nivel de confianza del 95% y una precisión entre el 5% y 10%.
Este documento presenta los lineamientos curriculares para el área de matemáticas en los niveles de educación básica y media en Colombia. Tiene como objetivo orientar y promover los procesos curriculares en las instituciones educativas sin pretender agotar todos los enfoques posibles, sino servir como una propuesta en constante revisión y mejora. También busca estimular el debate y la formación de educadores matemáticos en facultades de educación y escuelas normales. El documento es el resultado de un proceso participativo liderado
Este documento explica los conceptos básicos de las cuentas contables, incluyendo las diferentes clasificaciones de cuentas, sus partes y movimientos. También describe elementos como el plan único de cuentas y los principios de contabilidad generalmente aceptados.
i. El documento describe las transformaciones lineales entre espacios vectoriales y cómo pueden representarse mediante matrices. Específicamente, una transformación lineal T: V → W se puede definir por la matriz que tiene las coordenadas de los vectores transformados T(v) respecto a bases fijas de V y W.
ii. También introduce conceptos como transformaciones inyectivas, sobreyectivas e isomorfismos, y explica cómo realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares con transformaciones lineales.
iii. Finalmente, verifica que la suma y multiplicación por
Este documento presenta información sobre varios temas matemáticos incluyendo el sistema decimal, operaciones combinadas, descomposición de números, ángulos y figuras geométricas. Contiene ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta diferentes problemas y ejercicios relacionados con la multiplicación en el campo numérico. Se proponen problemas para clasificar según distintos sentidos de la multiplicación y se analizan estrategias de cálculo como el uso de tablas de multiplicar y propiedades como que al multiplicar por 10 o 100 el resultado termina en cero. El documento concluye reflexionando sobre la importancia de elegir problemas diversos para que los estudiantes construyan el significado de los conceptos matemáticos.
El documento presenta información sobre el valor posicional de los números, incluyendo tablas y ejercicios para completar y describir números enteros y decimales. También cubre fracciones, sucesiones numéricas, problemas de multiplicación y representaciones de figuras y cuerpos geométricos. El documento proporciona instrucciones detalladas y actividades para que los estudiantes practiquen y apliquen diferentes conceptos matemáticos.
The document describes the traditional foods and meals of Paraguay. It notes that meat, dairy, fish and fruits are plentiful locally. A popular lunch in cities is parrilladas, a large barbecue featuring various meats. Yerba mate tea is an important part of the culture, with a legend explaining its origins and medicinal properties among Guarani tribes. The staple drink when men socialize is cold yerba mate tea, known as terere.
O documento discute sistemas de sprinklers para combate a incêndios. O texto introduz sprinklers como dispositivos que usam água sob pressão para reduzir a temperatura em ambientes afetados por incêndios. Em seguida, descreve a evolução histórica dos sprinklers desde o século XVII e os principais requisitos para instalações de sprinklers serem eficientes no combate a incêndios.
O documento discute o conceito de sustentabilidade e apresenta várias ações relacionadas ao desenvolvimento sustentável, como a exploração controlada de recursos e o uso de fontes de energia limpas. Também aborda os benefícios da sustentabilidade e três estratégias para promovê-la: reduzir, reutilizar e reciclar. Por fim, explica o que são alimentos orgânicos e seus benefícios em relação à saúde e ao meio ambiente.
The document summarizes Maureen Walsh's work on how reading visual and multimodal texts differs from reading print-based texts. Walsh defines multimodal texts as those containing more than one mode of communication, like images and words. She explains that reading print-based texts involves decoding, comprehension, and critical analysis. However, reading multimodal texts requires understanding how different modes work together and utilizing the unique properties ("affordances") of different modes to construct meaning based on the text's purpose. The document provides examples analyzing how a print story, picture book, and website construct meaning differently based on their modes and purposes.
Metodología de investigación para elaborar una tesisjuanchojuancho
Este documento ofrece orientación metodológica para estudiantes que realizan tesis. Explica que una tesis implica investigar un tema mediante el método científico para alcanzar conclusiones válidas. Además, discute cómo elegir un tema de investigación, ya sea basado en la carrera del estudiante, temas actuales o poco explorados. Finalmente, distingue entre enfoques cuantitativos y cualitativos, detallando sus características y métodos.
The document discusses obesity as a growing epidemic affecting many countries. It outlines the causes of obesity including genetic and environmental factors. Key health risks of obesity are discussed such as increased risk of cancer, diabetes and heart disease. The document also examines childhood obesity and strategies to promote healthy lifestyles and weight management.
Este documento presenta un texto universitario sobre la asignatura "Actividad Artística: Dibujo y Pintura". El documento define el arte, traza su evolución histórica y explica que las primeras manifestaciones artísticas estaban ligadas a la magia y el animismo. Además, presenta los objetivos y contenidos de la asignatura, la cual se divide en dos unidades que cubren temas como la historia del arte, el dibujo, la pintura, y los movimientos artísticos del siglo XX.
This document provides a study session on macroeconomics (Part B) from the CFA Level 1 exam. It includes an introduction by the author and then presents over 1081 questions from past CFA exams, along with the answers and explanations. The questions cover a wide range of macroeconomic topics and concepts tested on the exam, including GDP, inflation, unemployment, fiscal and monetary policy, exchange rates, and macroeconomic models.
El documento presenta la estructura y contenido de un libro de texto para estudiantes de noveno año de educación básica en Ecuador. El libro contiene seis bloques que abordan diferentes tipos de textos, incluyendo textos funcionales como artículos científicos y periódicos, y textos literarios como novelas de ciencia ficción y obras de teatro. Cada bloque sigue un proceso de lectura, escritura y evaluación para desarrollar las habilidades lingüísticas de los estudiantes.
O documento apresenta um curso sobre o Programa Dinheiro Direto na Escola (PDDE) com o objetivo de capacitar gestores escolares e membros da comunidade sobre o funcionamento do programa. O curso é dividido em cinco unidades que abordam a apresentação do PDDE, a criação e administração de unidades executoras, o funcionamento do programa, ações complementares e prestação de contas.
1. El documento presenta un conjunto de 56 problemas matemáticos resueltos para estudiantes de alto rendimiento. Los problemas abarcan temas como geometría, teoría de números, álgebra y otras ramas de las matemáticas. Cada problema viene acompañado de su enunciado y una breve explicación de la solución. El documento busca servir de apoyo para la preparación de olimpiadas y concursos matemáticos.
Este documento presenta un manual de autoestudio para la asignatura de Dinámica Social. Explica que la Dinámica Social estudia la evolución de la sociedad a través del tiempo y de los diferentes modos de producción, como la comunidad primitiva, el esclavismo, el feudalismo y el capitalismo. Describe las bases de la Dinámica Social como el trabajo, la organización social y el lenguaje. El manual contiene 7 unidades que cubren temas como la importancia de la Dinámica Social, el desarrollo de las formas sociales, las
1) El documento presenta el plan de estudios de un curso de Derecho Laboral impartido en la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM.
2) El objetivo general del curso es que los estudiantes apliquen el derecho laboral identificando los conceptos correspondientes a esta disciplina jurídica.
3) El temario contiene 14 temas sobre diversos aspectos del derecho laboral como principios generales, relaciones individuales y colectivas de trabajo, seguridad social, entre otros.
Este documento describe las diferentes estrategias de marketing que pueden utilizar las empresas en función de su posición en el mercado, incluyendo líderes del mercado, retadores, seguidores y especialistas. También discute las consideraciones estratégicas para el marketing internacional y la planificación de programas de marketing como líneas de productos, marcas, precios y canales de distribución.
Este documento introduce el concepto de muestreo y describe los diferentes tipos de muestreo probabilístico como el muestreo aleatorio simple, el muestreo sistemático, el muestreo aleatorio estratificado y el muestreo por conglomerados. También explica cómo calcular el tamaño de la muestra para auditorías de historias clínicas y ofrece recomendaciones como utilizar un nivel de confianza del 95% y una precisión entre el 5% y 10%.
Este documento presenta los lineamientos curriculares para el área de matemáticas en los niveles de educación básica y media en Colombia. Tiene como objetivo orientar y promover los procesos curriculares en las instituciones educativas sin pretender agotar todos los enfoques posibles, sino servir como una propuesta en constante revisión y mejora. También busca estimular el debate y la formación de educadores matemáticos en facultades de educación y escuelas normales. El documento es el resultado de un proceso participativo liderado
Este documento explica los conceptos básicos de las cuentas contables, incluyendo las diferentes clasificaciones de cuentas, sus partes y movimientos. También describe elementos como el plan único de cuentas y los principios de contabilidad generalmente aceptados.
i. El documento describe las transformaciones lineales entre espacios vectoriales y cómo pueden representarse mediante matrices. Específicamente, una transformación lineal T: V → W se puede definir por la matriz que tiene las coordenadas de los vectores transformados T(v) respecto a bases fijas de V y W.
ii. También introduce conceptos como transformaciones inyectivas, sobreyectivas e isomorfismos, y explica cómo realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares con transformaciones lineales.
iii. Finalmente, verifica que la suma y multiplicación por
Este documento presenta información sobre varios temas matemáticos incluyendo el sistema decimal, operaciones combinadas, descomposición de números, ángulos y figuras geométricas. Contiene ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta diferentes problemas y ejercicios relacionados con la multiplicación en el campo numérico. Se proponen problemas para clasificar según distintos sentidos de la multiplicación y se analizan estrategias de cálculo como el uso de tablas de multiplicar y propiedades como que al multiplicar por 10 o 100 el resultado termina en cero. El documento concluye reflexionando sobre la importancia de elegir problemas diversos para que los estudiantes construyan el significado de los conceptos matemáticos.
El documento presenta información sobre el valor posicional de los números, incluyendo tablas y ejercicios para completar y describir números enteros y decimales. También cubre fracciones, sucesiones numéricas, problemas de multiplicación y representaciones de figuras y cuerpos geométricos. El documento proporciona instrucciones detalladas y actividades para que los estudiantes practiquen y apliquen diferentes conceptos matemáticos.
Este documento presenta el Método Simplex Gráfico para resolver problemas de programación lineal. Explica que este método representa funciones lineales en un plano cartesiano para maximizar o minimizar recursos. Además, provee un ejemplo de una compañía mueblera que debe determinar la cantidad óptima de mesas y sillas a producir para maximizar las utilidades, sujeto a restricciones de horas de trabajo disponibles. El documento guía al lector a través de los pasos para modelar matemáticamente este problema y resolverlo gráficamente usando el
1) El documento presenta varios ejercicios y conceptos matemáticos sobre fracciones, decimales, figuras geométricas, sólidos y estadística.
2) Se resuelven ejercicios de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones y números decimales.
3) Se explican conceptos como área, perímetro, volumen, y se dan ejemplos de figuras planas y sólidos tridimensionales.
4) Finalmente, se introducen tablas y diagramas estadísticos, y se pide real
La secuencia didáctica tiene como propósito diferenciar problemas que se resuelven con multiplicación de otros que no, reconocer el funcionamiento de las operaciones y construir un repertorio multiplicativo. Los contenidos incluyen usar procedimientos de conteo, producir métodos para resolver problemas multiplicativos y explorar estrategias de cálculo mental y el algoritmo convencional. Los objetivos son usar resultados memorizados de la tabla multiplicativa y producir argumentos sobre relaciones numéricas y métodos de cálculo. Las actividades incluyen expresar sumas repetitivas como multiplicación, cont
La secuencia didáctica tiene como propósito diferenciar problemas que se resuelven con multiplicación de otros que no, reconocer el funcionamiento de las operaciones y construir un repertorio multiplicativo. Los contenidos incluyen usar procedimientos de conteo, agrupar colecciones en cantidades iguales, producir procedimientos multiplicativos y usar resultados memorizados. Los objetivos son usar resultados memorizados para resolver otros problemas y producir argumentos sobre relaciones numéricas y procedimientos de cálculo. Las actividades incluyen expresar sumas repetitivas como multiplicación, contar baldos
Rompecabezas Matemático para OPTIMIZAR el espacio en un marcoJAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento presenta un rompecabezas didáctico para analizar la optimización de espacios. El objetivo es acomodar 5 piezas (un cuadrado y trapecios) dentro de un marco cuadrado de manera que se optimice el área. Se proveen instrucciones y definiciones de optimización. También se explica por qué este rompecabezas es útil para enseñar optimización y cómo puede usarse en matemáticas.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas matemáticos relacionados con diferentes tipos de pensamiento como el numérico, variacional, espacial e inductivo. Se incluyen ejercicios sobre resolución de problemas, medición, pensamiento lógico y razonamiento. El objetivo es promover el desarrollo del pensamiento a través de la enseñanza de contenidos y habilidades matemáticas de manera integrada.
El documento presenta la planificación de una sesión educativa sobre sumas y restas con fracciones decimales. Se detalla el material necesario, los objetivos de aprendizaje, y las actividades a realizar, incluyendo explicaciones del tema, resolución de problemas en grupos, y discusiones para consolidar conceptos. El propósito es que los estudiantes aprendan procedimientos para operar con fracciones decimales representándolas de diferentes formas como fracciones, decimales y gráficamente.
Solucionar problemas por medio de algoritmospilgrim15
Este documento describe dos estrategias para resolver problemas: heurística y algorítmica. También describe las cuatro operaciones mentales involucradas en la resolución de problemas según Polya: entender el problema, trazar un plan, ejecutar el plan y revisar. Además, presenta ejemplos de cómo expresar algoritmos para resolver problemas mediante pseudocódigo y diagramas de flujo.
El documento contiene información sobre clases de matemáticas en las que se enseñan y resuelven diferentes temas y ejercicios. Se explican conceptos como fracciones, decimales, figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales, tablas y diagramas estadísticos. Los estudiantes realizan ejercicios prácticos en clase y de tarea para reforzar los conocimientos.
Este documento describe los significados y métodos de la adición y sustracción. La adición se puede usar para sumar elementos de la misma clase o de clases diferentes. La sustracción se puede usar para encontrar el residuo, la diferencia o el complemento. El documento también proporciona etapas, material didáctico y juegos para enseñar estos conceptos de manera concreta, semiconcreta y abstracta.
Este documento presenta una actividad virtual sobre potenciación y radicación para estudiantes de quinto grado. Explica los conceptos básicos de potenciación y radicación con ejemplos. Incluye ejercicios para que los estudiantes practiquen y apliquen estos conceptos en la resolución de problemas. Finalmente, pide a los estudiantes evaluar su comprensión y proponer temas para la próxima actividad.
Este documento repasa conceptos matemáticos básicos como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, porcentajes, así como también figuras geométricas, perímetros y áreas. Explica cómo calcular el perímetro de triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos, y el área de cuadrados, rectángulos y triángulos. Incluye ejercicios de práctica para reforzar estos conceptos.
El documento presenta un resumen de los contenidos de aritmética que se abordarán en cada grado de primaria y el primer año de secundaria. En primero se trabajará números hasta 100 y operaciones básicas. De segundo a sexto, se profundizará en las cuatro operaciones con números mayores, fracciones y problemas. En secundaria, se enfatizará divisibilidad, proporcionalidad, porcentajes y álgebra. El objetivo es que los estudiantes dominen conceptos numéricos de manera flexible y resuelvan problemas de la vida real
Este documento presenta problemas y ejercicios sobre la multiplicación y división de números decimales. Incluye ejemplos de cómo multiplicar y dividir números decimales, así como tablas y problemas para que los estudiantes practiquen estas operaciones. También introduce conceptos como ecuaciones de primer grado y cómo usar el modelo de la balanza para resolver ecuaciones.
Este documento presenta problemas de multiplicación y división de números decimales. Incluye ejemplos de cómo resolver problemas que implican multiplicar, dividir y encontrar el área de figuras usando números decimales. También presenta ecuaciones de primer grado y cómo usar el modelo de la balanza para resolverlas.
Las tres oraciones resumen lo siguiente:
1) El documento explica cómo plantear ecuaciones para resolver problemas sobre las dimensiones de un campo de fútbol, costos, ingresos y ganancias.
2) Se definen conceptos clave como ecuación lineal y los pasos para resolverlas, así como distinguir entre costos fijos y variables.
3) Finalmente, se provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar los conceptos y resolver una ecuación para determinar la cantidad de unidades a producir y vender para obtener una ganancia específica.
Aquí están 10 ejemplos de variables independientes y dependientes:
1. Horas estudiadas: Variable independiente
Calificación en el examen: Variable dependiente
2. Número de pasajeros: Variable independiente
Ganancias del autobús: Variable dependiente
3. Temperatura exterior: Variable independiente
Consumo de energía en el hogar: Variable dependiente
4. Cantidad de productos vendidos: Variable independiente
Ingresos de la tienda: Variable dependiente
5. Edad del paciente: Variable independiente
Presión arterial: Variable dependiente
6. Dosis
1. Investigaci´n de operaciones, modelos
o
matem´ticos y optimizaci´n
a o
Guillermo Dur´n
a
Centro de Gesti´n de Operaciones
o
Departamento de Ingenier´ Industrial
ıa
Universidad de Chile
Seminario JUNAEB-DII
Enero de 2006
2. ¿Qu´ es la Investigaci´n de Operaciones?
e o
Una definici´n que se acerca mucho a la realidad ser´ “la
o ıa
ciencia de la toma de decisiones”. Conviven en esta disciplina
profesionales de las m´s diversas ramas: ingenieros,
a
matem´ticos, computadores, economistas. Todos ellos deben
a
aprender una t´cnica fundamental: el modelamiento
e
matem´tico.
a
3. Un problema de producci´n
o
Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas
que debe producir el pr´ximo d´ para maximizar su ganancia.
o ıa
Cuenta con 38m2 de madera y dispone de 7, 5 hs/hombre.
Se requiere de 4m2 y 1 hora/hombre para confeccionar cada
silla; y de 9, 5m2 de madera y 1 hora/hombre para
confeccionar cada mesa.
Se asume que se vende todo lo que se produce y que el
beneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesa
es de $8, 5.
¿Cu´ntas sillas y mesas debe producir?
a
4. ¿Qu´ significa hacer un modelo matem´tico?
e a
Hacer un modelo matem´tico es interpretar lo mejor posible la
a
realidad a trav´s de ciertas f´rmulas.
e o
Por ejemplo, en el problema de producci´n planteado,
o
podemos definir una variable x1 , que medir´ el n´mero de
a u
sillas, y una variable x2 , que medir´ el n´mero de mesas.
a u
Veamos como relacionar estas variables para cumplir con las
condiciones del problema.
5. El modelo de las sillas y las mesas
¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo
o o a a
n´mero de metros cuadrados que podemos usar es 38?
u
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo
o o a a
n´mero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5?
u
x1 + x2 ≤ 7, 5
6. El modelo de las sillas y las mesas
¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo
o o a a
n´mero de metros cuadrados que podemos usar es 38?
u
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
¿C´mo decimos en f´rmulas matem´ticas que el m´ximo
o o a a
n´mero de horas/hombre que podemos usar es 7, 5?
u
x1 + x2 ≤ 7, 5
7. El modelo de las sillas y las mesas
¿Cu´l es la funci´n de utilidad que tenemos que maximizar?
a o
m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
a
Por ultimo, el n´mero de sillas y de mesas debe ser positivo:
´ u
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
8. El modelo de las sillas y las mesas
¿Cu´l es la funci´n de utilidad que tenemos que maximizar?
a o
m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
a
Por ultimo, el n´mero de sillas y de mesas debe ser positivo:
´ u
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
11. Algo anda mal...
No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!
¿Qu´ le falta al modelo?
e
Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
12. Algo anda mal...
No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!
¿Qu´ le falta al modelo?
e
Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
13. Algo anda mal...
No podemos producir 6, 05 sillas y 1, 45 mesas!!
¿Qu´ le falta al modelo?
e
Las variables tienen que tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, . . .
14. Tenemos entonces un modelo de programaci´n lineal
o
entera
m´x 4 ∗ x1 + 8, 5 ∗ x2
a
Sujeto a:
4 ∗ x1 + 9, 5 ∗ x2 ≤ 38
x1 + x2 ≤ 7, 5
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
x1 y x2 son enteras.
16. El problema de los 4 colores
Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo
que 2 regiones lim´
ıtrofes (con al menos un borde en com´n)
u
tengan diferente color.
Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3
colores.
Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4
colores.
17. El problema de los 4 colores
Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo
que 2 regiones lim´
ıtrofes (con al menos un borde en com´n)
u
tengan diferente color.
Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3
colores.
Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4
colores.
18. El problema de los 4 colores
Pintar un mapa es asignarles colores a sus regiones de modo
que 2 regiones lim´
ıtrofes (con al menos un borde en com´n)
u
tengan diferente color.
Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 3
colores.
Dibujen un mapa de modo de que no se pueda pintar con 4
colores.
19. ¿Qu´ es un problema combinatorial?
e
Es un problema en el que deben contarse una cierta cantidad de
casos, configuraciones, conjuntos, etc.
20. Ejemplos de problemas combinatoriales
El problema de programaci´n entera y el problema de los 4
o
colores son ejemplos de problemas combinatorios.
Otro ejemplo:
¿De cu´ntas formas diferentes pueden sentarse ustedes en
a
esta sala? ¿Ser´ dif´ hacer esa cuenta?
a ıcil
Hag´mosla juntos...
a
21. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n?
e o
Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cada
uno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor.
Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos.
10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cu´l
a
compro?
22. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n?
e o
Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cada
uno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor.
Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos.
10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cu´l
a
compro?
23. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n?
e o
Es un problema en el cual, de un conjunto de objetos cada
uno con un “valor”, se busca el objeto con “mejor” valor.
Los criterios de “mejor” pueden ser muy diversos.
10 pares de zapatos con precios y calidades diferentes. ¿Cu´l
a
compro?
24. ¿Qu´ es un problema de optimizaci´n combinatorial?
e o
Es un problema donde se busca la mejor opci´n entre un
o
conjunto de un n´mero finito de elementos.
u
Los elementos pueden ser generados mediante reglas que
definen el problema.
25. Ejemplos de problemas de optimizaci´n combinatorial
o
Ruteo de veh´
ıculos.
Planificaci´n de la producci´n.
o o
Asignaci´n de tareas.
o
Localizaci´n.
o
Procesamiento de tareas.
Cortes de materia prima.
Asignaci´n de tripulaciones.
o
Planificaci´n de vuelos.
o
Licitaciones.
26. Problema del vendedor viajero (PVV)
Un viajero debe recorrer cierta cantidad de ciudades y volver
finalmente a la ciudad donde vive.
¿Cu´l es el mejor recorrido?
a
El m´s corto (tambi´n podr´
a e ıamos preferir el m´s r´pido).
a a
29. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
30. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
31. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
32. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
33. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
34. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
35. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
36. Recorridos con m´s de cinco ciudades
a
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 10 ciudades?
a
181440
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 50 ciudades?
a
3041409320171337804361260816606476884437764156896
05120000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con 100 ciudades?
a
4666310772197207634084961942813335024535798413219
0810734296481947608799996614957804470731988078259
1431268489604136118791255926054584320000000000000
000000000
¿Cu´ntos recorridos tengo en un caso con n ciudades?
a
(n − 1)!
2
37. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n
o o
combinatorial?
Diferentes opciones:
Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin
o
tener garant´ de que es la mejor.
ıa
Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que
a
encuentro la soluci´n ´ptima.
o o
Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la
e
soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes.
o o u
38. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n
o o
combinatorial?
Diferentes opciones:
Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin
o
tener garant´ de que es la mejor.
ıa
Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que
a
encuentro la soluci´n ´ptima.
o o
Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la
e
soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes.
o o u
39. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n
o o
combinatorial?
Diferentes opciones:
Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin
o
tener garant´ de que es la mejor.
ıa
Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que
a
encuentro la soluci´n ´ptima.
o o
Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la
e
soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes.
o o u
40. ¿C´mo se resuelve un problema de optimizaci´n
o o
combinatorial?
Diferentes opciones:
Contando todos los casos y eligiendo el mejor: fuerza bruta.
Encontrando una soluci´n “relativamente buena” pero sin
o
tener garant´ de que es la mejor.
ıa
Encarando problemas m´s chicos pero con la certeza de que
a
encuentro la soluci´n ´ptima.
o o
Buscando mediante m´todos “inteligentes” encontrar la
e
soluci´n ´ptima, a´n en problemas grandes.
o o u
41. Fuerza bruta
Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada
uno calcular su costo, identificando de este modo el caso de
costo m´s conveniente.
a
Podr´ıamos pensar que como tenemos computadores muy
eficientes y r´pidos no tendremos inconveniente en resolver
a
problema tan grandes como se nos presenten.
¡Error! Estamos ante gigantes enormemente m´s fuertes que
a
nuestros poderosos computadores.
42. Fuerza bruta
Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada
uno calcular su costo, identificando de este modo el caso de
costo m´s conveniente.
a
Podr´ıamos pensar que como tenemos computadores muy
eficientes y r´pidos no tendremos inconveniente en resolver
a
problema tan grandes como se nos presenten.
¡Error! Estamos ante gigantes enormemente m´s fuertes que
a
nuestros poderosos computadores.
43. Fuerza bruta
Este enfoque consiste en listar todos los casos y para cada
uno calcular su costo, identificando de este modo el caso de
costo m´s conveniente.
a
Podr´ıamos pensar que como tenemos computadores muy
eficientes y r´pidos no tendremos inconveniente en resolver
a
problema tan grandes como se nos presenten.
¡Error! Estamos ante gigantes enormemente m´s fuertes que
a
nuestros poderosos computadores.
44. Un caso con cincuenta ciudades
Supongamos que quiero resolver el problema del viajante de
comercio para 50 ciudades.
¿Cu´nto creen que tardar´ un buen computador en evaluar
a a
todos los posibles recorridos?
¡Arriesguen!
1 minuto, 1 hora, 1 d´ 1 a˜o, 1 siglo, m´s de 1 siglo.
ıa, n a
45. Resultados
31557600000 cantidad de segundos en un siglo.
6000000000 personas en el mundo (una computadora por
persona).
1000000000000 (un bill´n) de evaluaciones por segundo.
o
1.606274.093599.924056.519539.306224 cantidad de siglos en
evaluar todos los casos para 50 ciudades.
200000000 edad del universo en siglos seg´n algunas teor´
u ıas
cosmol´gicas.
o
46. M´todos aproximados: Heur´
e ısticos.
Tratan de orientarse en el universo de todas las posibles
soluciones en busca de la mejor.
Un inconveniente que tienen es que en la mayor´ de los
ıa
problemas combinatoriales en general no puedo estar seguro
de que encontr´ la mejor soluci´n.
e o
47. M´todos aproximados: Heur´
e ısticos.
Tratan de orientarse en el universo de todas las posibles
soluciones en busca de la mejor.
Un inconveniente que tienen es que en la mayor´ de los
ıa
problemas combinatoriales en general no puedo estar seguro
de que encontr´ la mejor soluci´n.
e o
48. M´todos exactos.
e
Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para
acelerar la b´squeda y llegar a la conclusi´n de que la mejor
u o
soluci´n que encontraron en realidad es la ´ptima.
o o
Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendo
resolver s´lo problemas peque˜os o problemas grandes con
o n
ciertas caracter´
ısticas particulares.
¿C´mo trabajan los m´todos exactos “inteligentes”?
o e
49. M´todos exactos.
e
Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para
acelerar la b´squeda y llegar a la conclusi´n de que la mejor
u o
soluci´n que encontraron en realidad es la ´ptima.
o o
Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendo
resolver s´lo problemas peque˜os o problemas grandes con
o n
ciertas caracter´
ısticas particulares.
¿C´mo trabajan los m´todos exactos “inteligentes”?
o e
50. M´todos exactos.
e
Intentan descartar familias enteras de posibles soluciones para
acelerar la b´squeda y llegar a la conclusi´n de que la mejor
u o
soluci´n que encontraron en realidad es la ´ptima.
o o
Un inconveniente que tienen es que son muy lentos, pudiendo
resolver s´lo problemas peque˜os o problemas grandes con
o n
ciertas caracter´
ısticas particulares.
¿C´mo trabajan los m´todos exactos “inteligentes”?
o e
51. Asignemos un operario distinto a cada uno de los
siguientes 3 trabajos
Trabajo 1 3 Operario 1
5
9
9
Trabajo 2 8 Operario 2
2
1
Trabajo 3 7 Operario 3
2
52. Asignemos un operario distinto a cada uno de los
siguientes 3 trabajos
Trabajo 1
3 5 9 3 5 9
Trabajo 2
8 2 9 2 9 8 8 2 9 2
Trabajo 3
2 7 2 1 7 1 2 7 1
13 12 16 8 25 18 13 12 8
53. Soluciones ´ptimas para el PVV
o
En 1954 Dantzig, Fulkerson y Johnson resolvieron un caso de
49 ciudades del PVV.
“Resolvieron” significa que D,F&J estaban seguros de que la
soluci´n que presentaban era la mejor de un conjunto de 60
o
decillones de soluciones posibles.
54. Soluci´n record (en 2001) de 15112 ciudades de Alemania
o
Resuelta en una red de 110
m´quinas en las
a
universidades de Rice y
Princeton, por Applegate,
Bixby, Chv´tal y Cook.
a
Tiempo total de c´mputo de
o
22.6 a˜os de una PC de 500
n
MHz.
Longitud total de
aproximadamente 66.000
Km (Un poco m´s de una
a
vuelta y media a la tierra
por el ecuador).
55. Soluci´n record (en 2004) de 24978 ciudades de Suecia
o
Resuelta por Applegate,
Bixby, Chv´tal, Cook y
a
Helsgaun.
Longitud total de
aproximadamente 72.500
Km.
57. Agradecimientos
A los doctores Flavia Bonomo y Pablo Coll, de la Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos
Aires, por facilitarme parte del material para la preparaci´n de
o
esta charla.