Este documento describe los árboles AVL, un tipo de árbol binario de búsqueda equilibrado. Define los árboles AVL como aquellos en los que la diferencia de alturas entre los subárboles de cada nodo es como máximo 1. Explica cómo las operaciones de inserción y eliminación pueden romper este equilibrio y cómo las rotaciones simples pueden restaurarlo manteniendo el orden de los nodos. Finalmente, muestra ejemplos de rotaciones simples para corregir el desequilibrio causado por inserciones.
Este documento describe los árboles AVL, un tipo de árbol binario de búsqueda equilibrado. Define los árboles AVL, explica cómo almacenar la altura de cada nodo, y describe las rotaciones simples, una operación que mantiene el orden de los nodos y restaura el equilibrio luego de inserciones o eliminaciones. También incluye el código para implementar las rotaciones simples izquierda y derecha.
Este documento describe las estructuras de datos de árboles y grafos. Explica que un árbol es una estructura de datos no lineal y dinámica donde cada nodo puede tener varios nodos posteriores pero solo un nodo anterior. También describe las operaciones básicas en árboles binarios como creación, inserción, eliminación y recorrido de nodos, así como el balanceo de árboles. Finalmente, introduce los grafos como conjuntos de vértices y aristas y sus operaciones básicas.
Este documento resume varios temas sobre estructuras de datos como árboles binarios, listas abiertas y cerradas, pilas, colas, manejo de memoria estática y dinámica, tipos de recorrido de árboles, y árboles AVL equilibrados. Incluye definiciones, ejemplos y funciones para operaciones básicas como inserción, eliminación y recorrido sobre estas estructuras.
1) Los árboles son estructuras de datos jerárquicas ampliamente usadas en informática. 2) Un árbol consiste en un nodo raíz y nodos subordinados de forma recursiva. 3) Los árboles AVL son árboles binarios de búsqueda auto-balanceados que mantienen la altura máxima de sus subárboles dentro de una unidad para log(n) complejidad en búsquedas.
Este documento describe los árboles AVL, un tipo de árbol binario de búsqueda equilibrado. Los árboles AVL garantizan búsquedas, inserciones y eliminaciones logarítmicas mediante rotaciones locales que mantienen la diferencia entre las alturas de los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo en 0, 1 o -1. Se definen formalmente y se explican las cuatro rotaciones simples y dobles usadas para reequilibrar el árbol después de inserciones o eliminaciones. Finalmente, se m
Este documento describe los árboles como estructuras de datos no lineales que permiten organizar y recuperar información de manera eficiente. Explica conceptos básicos como nodos, raíz, hojas, altura y recorridos. También cubre árboles binarios, sus operaciones y aplicaciones como árboles de expresiones para evaluar expresiones matemáticas.
El documento describe las estructuras de datos de árboles. Los árboles permiten organizar elementos de forma jerárquica y son útiles para la búsqueda y recuperación de información. Se definen conceptos como raíz, padre, hijo, hoja y terminología como camino, altura y grado de un nodo. También se explican árboles binarios, recorridos de árboles y árboles de búsqueda binaria.
El documento describe las estructuras de datos de árboles y árboles binarios. Explica que los árboles permiten organizar elementos de forma jerárquica y no lineal, lo que los hace útiles para búsqueda y recuperación de información. Define conceptos como raíz, nodos, hojas, camino, nivel y grado de un árbol. También presenta definiciones formales y operaciones comunes de árboles y nodos como creación, eliminación y recorridos.
Este documento describe los árboles AVL, un tipo de árbol binario de búsqueda equilibrado. Define los árboles AVL, explica cómo almacenar la altura de cada nodo, y describe las rotaciones simples, una operación que mantiene el orden de los nodos y restaura el equilibrio luego de inserciones o eliminaciones. También incluye el código para implementar las rotaciones simples izquierda y derecha.
Este documento describe las estructuras de datos de árboles y grafos. Explica que un árbol es una estructura de datos no lineal y dinámica donde cada nodo puede tener varios nodos posteriores pero solo un nodo anterior. También describe las operaciones básicas en árboles binarios como creación, inserción, eliminación y recorrido de nodos, así como el balanceo de árboles. Finalmente, introduce los grafos como conjuntos de vértices y aristas y sus operaciones básicas.
Este documento resume varios temas sobre estructuras de datos como árboles binarios, listas abiertas y cerradas, pilas, colas, manejo de memoria estática y dinámica, tipos de recorrido de árboles, y árboles AVL equilibrados. Incluye definiciones, ejemplos y funciones para operaciones básicas como inserción, eliminación y recorrido sobre estas estructuras.
1) Los árboles son estructuras de datos jerárquicas ampliamente usadas en informática. 2) Un árbol consiste en un nodo raíz y nodos subordinados de forma recursiva. 3) Los árboles AVL son árboles binarios de búsqueda auto-balanceados que mantienen la altura máxima de sus subárboles dentro de una unidad para log(n) complejidad en búsquedas.
Este documento describe los árboles AVL, un tipo de árbol binario de búsqueda equilibrado. Los árboles AVL garantizan búsquedas, inserciones y eliminaciones logarítmicas mediante rotaciones locales que mantienen la diferencia entre las alturas de los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo en 0, 1 o -1. Se definen formalmente y se explican las cuatro rotaciones simples y dobles usadas para reequilibrar el árbol después de inserciones o eliminaciones. Finalmente, se m
Este documento describe los árboles como estructuras de datos no lineales que permiten organizar y recuperar información de manera eficiente. Explica conceptos básicos como nodos, raíz, hojas, altura y recorridos. También cubre árboles binarios, sus operaciones y aplicaciones como árboles de expresiones para evaluar expresiones matemáticas.
El documento describe las estructuras de datos de árboles. Los árboles permiten organizar elementos de forma jerárquica y son útiles para la búsqueda y recuperación de información. Se definen conceptos como raíz, padre, hijo, hoja y terminología como camino, altura y grado de un nodo. También se explican árboles binarios, recorridos de árboles y árboles de búsqueda binaria.
El documento describe las estructuras de datos de árboles y árboles binarios. Explica que los árboles permiten organizar elementos de forma jerárquica y no lineal, lo que los hace útiles para búsqueda y recuperación de información. Define conceptos como raíz, nodos, hojas, camino, nivel y grado de un árbol. También presenta definiciones formales y operaciones comunes de árboles y nodos como creación, eliminación y recorridos.
Este documento describe los árboles binarios de búsqueda balanceados AVL. Explica que los árboles AVL requieren que la diferencia entre las alturas de los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo sea como máximo de 1. Analiza la complejidad de tiempo de las operaciones de inserción y búsqueda en árboles AVL, mostrando que es O(log n). Finalmente, identifica los casos que pueden producir un desequilibrio al insertar un nodo y romper la propiedad AVL.
Este documento describe las estructuras de datos de árboles. Explica que un árbol es una estructura de datos dinámica y no lineal donde cada nodo puede tener varios nodos posteriores pero solo uno anterior. Describe las clasificaciones de árboles binarios y multicaminos y las operaciones básicas como creación, inserción, eliminación y recorrido de nodos en un árbol binario. Finalmente, discute aplicaciones de los árboles como modelar procesos de toma de decisiones y encontrar duplicados en una lista.
El documento describe las estructuras de datos de árboles binarios y sus propiedades. Explica que un árbol binario está formado por nodos, donde cada nodo puede tener hasta dos subárboles binarios. También describe las diferentes formas de recorrer un árbol binario, como pre-orden, en-orden y post-orden. Además, introduce los árboles binarios de búsqueda ordenados y cómo representar árboles binarios en C usando punteros.
Este documento presenta información sobre árboles binarios. Define árboles binarios como estructuras recursivas compuestas por un nodo raíz y subárboles izquierdo y derecho, ambos árboles binarios. Explica conceptos como altura, grado, nivel e implementa operaciones básicas como inserción, eliminación y recorridos. También cubre árboles balanceados AVL, incluyendo definición, rotaciones simples y dobles para mantener el equilibrio después de inserciones o eliminaciones.
Este documento presenta información sobre listas, pilas y colas. Describe objetos del mundo real que pueden modelarse con estas estructuras de datos, como listas de pacientes o pilas de cajas. Explica definiciones formales de cada estructura y propone TADs para implementarlas con operaciones como crearLista(), insertar(), y borrar(). Finalmente, discute mecanismos de implementación en diferentes lenguajes de programación.
Este documento describe diferentes tipos de árboles ordenados, incluyendo árboles binarios, árboles B+, y árboles AVL. Los árboles binarios son estructuras de datos donde cada nodo tiene como máximo dos hijos, mientras que los árboles B+ y AVL permiten más de dos hijos por nodo y mantienen los datos ordenados de forma balanceada para permitir búsquedas, inserciones y eliminaciones eficientes en tiempo logarítmico. Los árboles AVL en particular equilibran las alturas de los
Este documento describe la implementación de árboles binarios en C++. Explica la teoría de los árboles binarios, incluyendo su definición, representación y tipos de recorridos. Luego detalla las operaciones básicas para manipular árboles binarios, como crear, eliminar y buscar nodos. Finalmente, propone un ejercicio práctico para implementar un árbol binario de búsqueda para llevar la contabilidad de productos en un supermercado.
Este documento describe la inserción y eliminación de nodos en árboles AVL, una estructura de datos auto-balanceada. Explica cómo calcular el factor de equilibrio de un nodo y las rotaciones simples y dobles que se pueden aplicar para mantener el equilibrio del árbol cuando se inserta o elimina un nodo. También propone ejercicios prácticos de inserción y eliminación de nodos en un árbol AVL y la implementación de operaciones como unión, intersección y diferencia en árboles AVL.
Estructura de datos. listas, pilas y colasIARINAIA
Este documento describe diferentes estructuras de datos como listas, pilas y colas. Define cada una y propone TAD (tipos abstractos de datos) para modelarlas. Explica cómo se pueden implementar usando vectores y listas enlazadas. También describe objetos del mundo real que pueden modelarse con estas estructuras y cómo diferentes lenguajes de programación las soportan.
Este documento describe los conceptos básicos de la programación en Pascal, incluyendo la estructura de un programa en Pascal, los tipos de datos, operadores, ciclos, estructuras de control y datos como arreglos y conjuntos. También cubre conceptos de la unidad gráfica como inicializar colores, mostrar texto en coordenadas y limpiar la pantalla.
El documento describe los conceptos básicos de la programación en Pascal, incluyendo la estructura de un programa en Pascal, los tipos de datos, operadores, ciclos, estructuras de control y estructuras de datos como arreglos y conjuntos.
El documento describe los conceptos básicos de la programación en Pascal, incluyendo la estructura de un programa en Pascal, los tipos de datos, operadores, ciclos, estructuras de control y estructuras de datos como arreglos y conjuntos.
El documento describe los conceptos básicos de la programación en Pascal, incluyendo la estructura de un programa en Pascal, los tipos de datos, operadores, ciclos, estructuras de control y estructuras de datos como arreglos y conjuntos.
El documento describe los conceptos básicos de la programación en Pascal, incluyendo la estructura de un programa en Pascal, los tipos de datos, operadores, ciclos, estructuras de control y estructuras de datos como arreglos y conjuntos.
Unidad 3 estructuras lineales estaticas y dinamicasrehoscript
El documento describe diferentes tipos de estructuras de datos lineales estáticas y dinámicas, incluyendo pilas, colas y listas enlazadas. Las estructuras estáticas tienen un tamaño fijo definido antes de la ejecución del programa, mientras que las estructuras dinámicas pueden cambiar de tamaño durante la ejecución. Las pilas siguen el principio LIFO, las colas siguen FIFO, y las listas enlazadas almacenan los elementos de forma no contigua usando nodos con punteros.
Las estructuras de datos lineales como arreglos, pilas y colas permiten organizar y acceder a conjuntos de datos de forma ordenada. Los arreglos almacenan datos en posiciones de memoria contiguas accesibles mediante índices. Las pilas siguen el principio LIFO donde los últimos elementos insertados son los primeros en extraerse. Las colas siguen el principio FIFO donde los primeros elementos en insertarse son los primeros en extraerse.
Este documento presenta diferentes estructuras de datos, incluyendo listas, pilas, colas, árboles y grafos. Describe las características fundamentales de cada una, como su modo de acceso, operaciones básicas y algunas aplicaciones comunes. Las listas pueden ser densas o enlazadas, las pilas siguen el método LIFO, las colas FIFO, los árboles tienen nodos, hojas y raíces, y los grafos se representan mediante matrices o listas de adyacencia para modelar redes y circuitos.
La unidad describe varias estructuras de datos fundamentales como la recursividad, pilas, colas, listas enlazadas y árboles. Explica conceptos como LIFO y FIFO. Detalla las operaciones básicas de cada estructura como push, pop, insertar y extraer elementos. También cubre temas como el balanceo de árboles binarios y diferentes tipos de recorridos de árboles como preorden, inorden y postorden.
El documento describe los conceptos básicos de los árboles, incluyendo su definición recursiva, tipos de nodos, y formas de implementarlos y recorrerlos. Luego se enfoca en árboles binarios, específicamente árboles binarios de búsqueda, explicando sus operaciones básicas como inserción, eliminación y búsqueda. Finalmente, introduce árboles AVL para mantener el balance en las operaciones y así lograr un tiempo de búsqueda logarítmico.
El documento describe diferentes técnicas para trabajar con arreglos en C++, incluyendo definición de arreglos unidimensionales y multidimensionales, índices, elementos, inicialización, declaración, operaciones y paso de arreglos a funciones. También explica algoritmos básicos de ordenamiento como inserción, burbuja y selección, así como métodos de búsqueda lineal y binaria.
Este documento describe los árboles binarios de búsqueda balanceados AVL. Explica que los árboles AVL requieren que la diferencia entre las alturas de los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo sea como máximo de 1. Analiza la complejidad de tiempo de las operaciones de inserción y búsqueda en árboles AVL, mostrando que es O(log n). Finalmente, identifica los casos que pueden producir un desequilibrio al insertar un nodo y romper la propiedad AVL.
Este documento describe las estructuras de datos de árboles. Explica que un árbol es una estructura de datos dinámica y no lineal donde cada nodo puede tener varios nodos posteriores pero solo uno anterior. Describe las clasificaciones de árboles binarios y multicaminos y las operaciones básicas como creación, inserción, eliminación y recorrido de nodos en un árbol binario. Finalmente, discute aplicaciones de los árboles como modelar procesos de toma de decisiones y encontrar duplicados en una lista.
El documento describe las estructuras de datos de árboles binarios y sus propiedades. Explica que un árbol binario está formado por nodos, donde cada nodo puede tener hasta dos subárboles binarios. También describe las diferentes formas de recorrer un árbol binario, como pre-orden, en-orden y post-orden. Además, introduce los árboles binarios de búsqueda ordenados y cómo representar árboles binarios en C usando punteros.
Este documento presenta información sobre árboles binarios. Define árboles binarios como estructuras recursivas compuestas por un nodo raíz y subárboles izquierdo y derecho, ambos árboles binarios. Explica conceptos como altura, grado, nivel e implementa operaciones básicas como inserción, eliminación y recorridos. También cubre árboles balanceados AVL, incluyendo definición, rotaciones simples y dobles para mantener el equilibrio después de inserciones o eliminaciones.
Este documento presenta información sobre listas, pilas y colas. Describe objetos del mundo real que pueden modelarse con estas estructuras de datos, como listas de pacientes o pilas de cajas. Explica definiciones formales de cada estructura y propone TADs para implementarlas con operaciones como crearLista(), insertar(), y borrar(). Finalmente, discute mecanismos de implementación en diferentes lenguajes de programación.
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Este documento describe la implementación de árboles binarios en C++. Explica la teoría de los árboles binarios, incluyendo su definición, representación y tipos de recorridos. Luego detalla las operaciones básicas para manipular árboles binarios, como crear, eliminar y buscar nodos. Finalmente, propone un ejercicio práctico para implementar un árbol binario de búsqueda para llevar la contabilidad de productos en un supermercado.
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Estructura de datos. listas, pilas y colasIARINAIA
Este documento describe diferentes estructuras de datos como listas, pilas y colas. Define cada una y propone TAD (tipos abstractos de datos) para modelarlas. Explica cómo se pueden implementar usando vectores y listas enlazadas. También describe objetos del mundo real que pueden modelarse con estas estructuras y cómo diferentes lenguajes de programación las soportan.
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Unidad 3 estructuras lineales estaticas y dinamicasrehoscript
El documento describe diferentes tipos de estructuras de datos lineales estáticas y dinámicas, incluyendo pilas, colas y listas enlazadas. Las estructuras estáticas tienen un tamaño fijo definido antes de la ejecución del programa, mientras que las estructuras dinámicas pueden cambiar de tamaño durante la ejecución. Las pilas siguen el principio LIFO, las colas siguen FIFO, y las listas enlazadas almacenan los elementos de forma no contigua usando nodos con punteros.
Las estructuras de datos lineales como arreglos, pilas y colas permiten organizar y acceder a conjuntos de datos de forma ordenada. Los arreglos almacenan datos en posiciones de memoria contiguas accesibles mediante índices. Las pilas siguen el principio LIFO donde los últimos elementos insertados son los primeros en extraerse. Las colas siguen el principio FIFO donde los primeros elementos en insertarse son los primeros en extraerse.
Este documento presenta diferentes estructuras de datos, incluyendo listas, pilas, colas, árboles y grafos. Describe las características fundamentales de cada una, como su modo de acceso, operaciones básicas y algunas aplicaciones comunes. Las listas pueden ser densas o enlazadas, las pilas siguen el método LIFO, las colas FIFO, los árboles tienen nodos, hojas y raíces, y los grafos se representan mediante matrices o listas de adyacencia para modelar redes y circuitos.
La unidad describe varias estructuras de datos fundamentales como la recursividad, pilas, colas, listas enlazadas y árboles. Explica conceptos como LIFO y FIFO. Detalla las operaciones básicas de cada estructura como push, pop, insertar y extraer elementos. También cubre temas como el balanceo de árboles binarios y diferentes tipos de recorridos de árboles como preorden, inorden y postorden.
El documento describe los conceptos básicos de los árboles, incluyendo su definición recursiva, tipos de nodos, y formas de implementarlos y recorrerlos. Luego se enfoca en árboles binarios, específicamente árboles binarios de búsqueda, explicando sus operaciones básicas como inserción, eliminación y búsqueda. Finalmente, introduce árboles AVL para mantener el balance en las operaciones y así lograr un tiempo de búsqueda logarítmico.
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2. Árboles AVL
Figure 1. Árbol AVL de enteros
A modo de ejemplificar esta dificultad, supongamos que al árbol AVL de enteros de
Figure 1 le queremos agregar el entero 3. Si lo hacemos con el procedimiento normal
de inserción de árbols binarios de búsqueda el resultado sería el árbol de Figure 2 el
cual ya no cumple con la condición de equilibrio de los árboles AVL dado que la altura
del subárbol izquierdo es 3 y la del subárbol derecho es 1.
Figure 2. Árbol que no cumple con la condición de equilibrio de los árboles AVL.
2
3. Árboles AVL
En Section 5 se pasará a explicar una serie de operaciones sobre los nodos de un árbol
AVL con las cuales poder restaurar la propiedad de equilibrio de un árbol AVL luego
de agregar o eliminar elementos.
2. Menor cantidad posible de nodos para una
altura dada
pag 115.
3. Declaración del tipo de dato
Iremos ya declarando el tipo de dato que representará un árbol AVL. Esto nos ayudará
a formalizar las cosas y nos permitirá en el correr de este documento ir definiendo las
operaciones sobre el tipo de dato abstracto.
El lenguaje a utilizar será C. Fue elegido tan sólo por gustos personales del autor de
este documento. Sin embargo se tratará de usar sólo aquellas características de C que
puedan ser fácilmente implementadas en la mayoría de los lenguajes estructurados
como Pascal, Modula-2, etc.
Algunas consideraciones sobre la implementación del tipo de dato
abstracto
• Las declaraciones que se listarán a continuación no tienen porqué tomarse al pie de
la letra. Cada programador tendrá su estilo y su forma de resolver sus problemas.
• Las declaraciones que se listarán a continuación no tienen porqué tomarse al pie de
la letra. Cada programador tendrá su estilo y su forma de resolver sus problemas.
• Como se podrá ver en el siguiente listado, la única diferencia de los nodos de un
árbol AVL con los de un árbol binario común es la variable altura en la estructura
nodo.
• Los nodos de un árbol pueden almacenar cualquier tipo de dato, arbitrariamente
complejo. En este documento, por razones de simplicidad se usará el tipo de dato
más simple que soporte comparaciones, o sea los enteros (tipo int de Ansi C). En el
caso de que los datos almacenados en cada nodo sean más complicados (por ejemplo
estructuras) o sean dinámicamente almacenados en memoria, algunas funciones
3
4. Árboles AVL
deberán adaptarse para manejarlos. Por ejemplo, se deberá pasar como parámetros
funciones de comparación, equivalencia, y de liberación de memoria.
A continuación se lista la declaración del tipo abstracto de dato Árbol AVL:
typedef struct AVLNode AVLTree;
struct AVLNode
{
int dato; ➊
AVLTree izq;
AVLTree der;
int altura; ➋
};
➊ Como ya dijimos, por cuestiones de simplicidad, la información almacenada en
cada nodo del árbol será un entero.
➋ Cada nodo tendrá almacenada su propia altura con respecto a la raíz absoluta del
árbol con el que estamos trabajando. Esta característica se verá en Section 4.
A continuación declaramos las operaciónes básicas sobre árboles binarios y con las
cuales trabajaremos para acceder al tipo abstracto de dato Árbol AVL de aquí en más.
Note: Si se usa algún lenguaje orientado a objetos como C++ o java y ya se
tienen clases como árboles binarios o árboles binarios de búsqueda, conviene
declarar los árboles AVL como una subclase de alguna de estas. Luego, las
operaciones declaradas a continuación se heredarán de estos tipos.
/* Constructores */
AVLTree *vacio (void);
/* devuelve un árbol AVL vacío */
AVLTree *hacer (int x, AVLTree * izq, AVLTree * der);
/* devuelve un nuevo árbol formado por una raíz con valor x,
subárbol izquierdo el árbol izq y subárbol derecho el árbol
der. */
4
5. Árboles AVL
/* Predicados */
bool es_vacio (AVLTree * t);
/* devuelve true sii. t es un árbol vacío. */
/* Selectores */
AVLTree *izquierdo (AVLTree * t);
/* devuelve el subárbol izquierdo de t. */
AVLTree *derecho (AVLTree * t);
/* devuelve el subárbol derecho de t. */
int raiz (AVLTree * t);
/* devuelve el valor de la raíz del árbol t. Precondición:
!es_vacio(t) */
int altura (AVLTree * t);
/* devuelve la altura del nodo t en el árbol */
/* Destructures */
void destruir (AVLTree * t, void (*free_dato) (int));
/* libera la memoria ocupada por los nodos del árbol. Si los
datos almacenados en cada nodo están almacenados dinámicamente
y se los quiere liberar también, debe pasarse como segundo
parámetro una función de tipo void func(int t) que libere
la memoria de objetos int. Si los datos no están
almacenados dinámicamente o simplemente no se los quiere
destruir (liberar de memoria), pásese como segundo parámetro
NULL. Nota: Función Recursiva! */
Note: Como se ha podido apreciar en el segmento de código anterior, se ha
tratado de usar, en lo posible, el lenguaje español tanto para los comentarios
5
6. Árboles AVL
como para los identificadores de variables y funciones. Sin embargo, esto se
hace sólo con motivo de ser coherentes con el documento y el autor recomienda
a los lectores programadores que en sus programas utilicen el lenguaje inglés
para nombrar los identificadores.
4. Consideraciones sobre la altura de los
nodos
Como vimos en la definición del tipo abstracto para nodos de árboles AVL, se
necesitará tener acceso a la altura cada nodo del árbol en tiempo constante. Dado que
una función para hallar la altura de un nodo dado en un árbol tendrá un tiempo de
ejecución de O(log(n)) peor caso, no nos queda otra alternativa que almacenar una
variable altura en cada nodo e irla actualizando en las inserciones y eliminaciones que
se efectúen sobre el árbol.
Como el lector ya debería saber, una función para calcular la altura de un nodo puede
escribirse recursivamente como:
int altura(AVLTree *t)
{
if(es_vacio(t))
return -1;
else
return max(altura(izquierdo(t)), altura(derecho(t)));
}
Queremos que la altura de un árbol que consta de sólo un nodo sea 0. Entonces
debemos definir la altura de un árbol vacío como -1.
Sin embargo, no podemos darnos el lujo de tener una función cuyo tiempo de
ejecución siempre es O(n) ya que, como dijimos, necesitamos la altura de un nodo en
tiempo constante. Para ello, redefiniremos la función de la siguiente manera,
aprovechando el campo altura que ahora tiene cada nodo del árbol.
int altura (AVLTree * t)
{
if(es_vacio(t))
return -1;
else
6
7. Árboles AVL
return t->altura;
}
Important: Debemos tener mucho cuidado en actualizar el campo altura de
cada nodo siempre que modifiquemos de alguna manera el árbol AVL.
Así, es importante tener una función que nos permita actualizar la altura de un nodo
cualquiera del árbol y cuyo tiempo de ejecución sea O(1) en el peor de los casos. A
continuación se lista una tal función:
void
actualizar_altura (AVLTree * t)
{
if(!es_vacio(t))
t->altura = max (altura ((t)->izq), altura ((t)->der)) + 1;
}
5. Rotaciones simples
Veremos a continuación una operación sencilla sobre un árbol binario de búsqueda que
conserva el órden en sus nodos y que nos ayudará a restaurar la propiedad de equilibrio
de un árbol AVL al efectuar operaciones sobre el mismo que puedan perturbarla.
Figure 3. Árbol antes de la rotación simple
7
8. Árboles AVL
Miremos por un momento el árbol de Figure 3. Dado que este es un árbol de búsqueda
se debe cumplir x < y y además todos los nodos del subárbol A deben ser menores que
x y y; todos los nodos del subárbol B deben ser mayores que x pero menores que y; y
todos los nodos del subárbol C deben ser mayores que y y por lo tanto que x.
En Figure 4 se ha modificado sencillamante el árbol. Como puede verificarse
fácilmente por las desigualdades descriptas en el párrafo anterior, el nuevo árbol sigue
manteniendo el órden entre sus nodos, es decir, sigue siendo un árbol binario de
búsqueda. A esta transformación se le denomina rotación simple (o sencilla).
Figure 4. Árbol luego de la rotación simple
Veamos un ejemplo concreto. Deseamos insertar el número 3 en el árbol de enteros de
Figure 5. La inserción se muestra punteada en Figure 6. Sin embargo, como puede
verse, la inserción a provocado la pérdida de la propiedad de equilibrio del árbol ya que
dicha propiedad no se cumple en el nodo marcado con rojo. ¿Qué hacemos para
recomponer dicha pripiedad? Simplemente realizamos una rotación simple. En este
caso se dice que la rotación es izquierda ya que la "pérdida de equilibrio se produce
hacia la izquierda. En Figure 7 puede verse el árbol luego de la rotación: la propiedad
de equilibrio ha sido reestablecida. Como mostramos atrás, la rotación conserva el
orden entre los nodos, por lo que podemos afirmar que este último árbol si es AVL.
8
9. Árboles AVL
Figure 5. Árbol AVL
Figure 6. Árbol luego de la inserción: pérdida de la propiedad de equilibrio
9
10. Árboles AVL
marcada con rojo.
Figure 7. Reestablecimiento de la propiedad de equilibrio mediante una rotación
10
11. Árboles AVL
simple sobre el nodo de valor 5.
Como podemos observar, el resultado luego de la rotación es un árbol AVL: posee
tanto el órden correcto de un árbol de búsqueda entre sus nodos y la propiedad de
equilibrio. En este caso el "desequilibrio" en el árbol con raíz 5 era enteramente hacia
la izquierda y por lo tanto, como ya dijimos, la rotación efectuada se denomina
rotación simple izquierda. En el caso de un "desequilibrio" hacia la derecha, la rotación
es análoga y se denomina rotación simple derecha. En Figure 8 se ven dos árboles: el
primero tiene un "desequilibrio hacia la derecha" marcado en rojo y el segundo es el
resultado de aplicar una rotación simple derecha.
Figure 8. Ejemplo de reestablecimiento de propiedad de equilibrio gracias a una
11
12. Árboles AVL
rotación simple derecha.
Ilustración de la operación rotación simple. en Figure 9 se ilustra la operación
rotación simple. Los arcos de colores son los que se eliminan o agregan, según sea la
rotación izquierda o derecha.
12
13. Árboles AVL
Figure 9. Rotación simple
5.1. Implementación de la rotación simple:
void rotar_s (AVLTree ** t, bool izq); ➊
/* realiza una rotación simple del árbol t el cual se ➋
pasa por referencia. La rotación será izquierda
sii. (izq==true) o será derecha
sii. (izq==false).
Nota: las alturas de t y sus subárboles serán actualizadas
dentro de esta función!
Precondición:
si (izq==true) ==> !es_vacio(izquierdo(t))
si (izq==false) ==> !es_vacio(derecho(t))
*/
13
14. Árboles AVL
void
rotar_s (AVLTree ** t, bool izq) ➌
{
AVLTree *t1;
if (izq) /* rotación izquierda */
{
t1 = izquierdo (*t);
(*t)->izq = derecho (t1);
t1->der = *t;
}
else /* rotación derecha */
{
t1 = derecho (*t);
(*t)->der = izquierdo (t1);
t1->izq = *t;
}
/* actualizamos las alturas de ambos nodos modificados */
actualizar_altura (*t);
actualizar_altura (t1);
/* asignamos nueva raíz */
*t = t1;
}
➊ Declaración de la función rotar_s(). Esta declaración y el siguiente comentario
deberían ir en el archivo de cabecera, interfaz del tipo abstracto árbol AVL con el
usuario.
➋ Un breve comentario que explica lo que hace la función, los parámetros que acepta
y las precondiciones que éstos deben cumplir para que la función se ejecute
correctamente.
➌ Como el programador de C más experimentado puede ver, el paso a la función es el
paso por referencia clásico en C. Lo que se pasa no es un puntero a la raiz del árbol
sino la dirección de dicho puntero. De esta manera, dentro de la función podremos
cambiar la misma raiz si es necesario (lo que justamente hacemos en las
rotaciones).
➍ También se acepta como segundo parámetro un valor boleano que determina si la
rotación simple a efectuar sobre el árbol es izquierda o derecha.
14
15. Árboles AVL
6. Rotaciones dobles
Hemos visto cómo restaurar la propiedad de equilibrio cuando se presentan
desequilibrios "hacia la izquierda" o "hacia la derecha" luego de realizar inserciones en
un árbol AVL. Sin embargo y como veremos, pueden ocurrir "desequilibrios en
zig-zag", es decir desequilibios que no son ni a la derecha ni a la izquierda como es el
caso de los árboles de Figure 10.
Figure 10. Ejemplos de "desequilibrios" en los cuales no funciona la rotación
simple.
En estos casos se aplica otro tipo de rotación denominado rotación doble la cual,
análogamente a la rotación simple, puede ser izquierda o derecha según el caso.
En realidad, la rotación doble constará de dos rotaciones simples. El caso general de la
rotación doble izquierda en un árbol AVL se puede observar en Figure 11.
15
17. Árboles AVL
La rotación doble derecha es el proceso inverso a la rotación doble izquierda.
Dado que, como vimos, una rotación doble es en realidad dos rotaciones simples,
podemos implementar la función para la rotación doble tan sólo utilizando rotar_s
vista en Section 5.1 lo cual se hace a continuación:
void rotar_d (AVLTree ** t, bool izq); ➊
/* realiza una rotación doble. Funciona análogamente a
rotar_s(). */
void
rotar_d (AVLTree ** t, bool izq) ➋
{
if (izq) /* rotación izquierda */
{
rotar_s (&(*t)->izq, false);
rotar_s (t, true);
}
else /* rotación derecha */
{
rotar_s (&(*t)->der, true);
rotar_s (t, false);
}
/* la actualización de las alturas se realiza en las rotaciones
simples */
}
➊ Declaración de la función rotar_d(); debería ir en un archivo de cabecera.
➋ Los parámetros de rotar_d() son análogos a los de rotar_s() vistos en Section
5.1.
17
18. Árboles AVL
7. Balance del árbol
Como se mostró anteriormente, cda vez que se modifique el árbol (i.e. agreguen o
eliminen elementos) corremos el riesgo de que pierda su propiedad de equilibrio en
alguno de sus nodos, la cual debe conservarse si queremos obtener tiempos de
ejecución de orden O(log(n)) en el peor de los casos.
La idea general que se utiliza en esta implementación de árboles AVL para
implementar los algoritmos de inserción y de eliminación de nodos sobre un AVL es la
siguiente:
• Efectuar los algoritmos de igual forma que en los árboles binarios de búsqueda pero
• en cada recursión ir actualizando las alturas y rebalanceando el árbol en caso de que
sea necesario.
En Section 4 se implementó una función de tiempo de ejecución O(log(n)), peor caso,
para actualizar la altura de un nodo. Así, lo que nos falta es una función que detecte un
"desequilibrio" en un nodo dado del árbol y por medio de un número finito de
rotaciones lo equilibre.
Important: No se demostrará aquí, pero cabe señalar la existencia de un
teorema que asegura que el número máximo de rotaciones para equilibrar un
árbol AVL luego de una inserción es 2 y luego de una eliminación es log(n)
dónde n es el número de nodos.
En las secciones anteriores hemos ya descripto a grandes razgos cuál rotación usar en
cada caso de desequilibrio. Esperamos que en el código siguiente el lector pueda
formalizar tales ideas.
void balancear (AVLTree ** t); ➊
/* Detecta y corrige por medio de un número finito de rotaciones
un desequilibrio en el árbol *t. Dicho desequilibrio no debe
tener una diferencia de alturas de más de 2. */
void
balancear (AVLTree ** t)
{
if(!es_vacio(*t))
18
19. Árboles AVL
{
if (altura (izquierdo (*t)) - altura (derecho (*t)) == 2)➋
{ /* desequilibrio hacia la izquierda! */
if (altura ((*t)->izq->izq) >= altura ((*t)->izq->der))➌
/* desequilibrio simple hacia la izquierda */
rotar_s (t, true);
else
/* desequilibrio doble hacia la izquierda */
rotar_d (t, true);
}
else if (altura (derecho (*t)) - altura (izquierdo (*t)) == 2)➍
{ /* desequilibrio hacia la derecha! */
if (altura ((*t)->der->der) >= altura ((*t)->der->izq))
/* desequilibrio simple hacia la izquierda */
rotar_s (t, false);
else
/* desequilibrio doble hacia la izquierda */
rotar_d (t, false);
}
}
}
➊ Declaración de la función balancear(). Esta declaración junto con el comentario
que le sigue deberían estar en un archivo de cabecera usado para la interfaz del tipo
abstracto de dato árbol avl con el usuario-programador.
➋ Como dice en el comentario de la función, sólo se contemplarán aquellos
desequilibrios cuya diferencia entre alturas es hasta 2.
➌ Sabiendo que en el nodo al que apunta *t hay un desequilibrio hacia la izquierda
(de diferencia de alturas 2), debemos averiguar qué clase de rotación aplicar. En
Figure 12 se explica gráficamente a dónde apuntan las variables de la función en un
árbol genérico.
Figure 12. Decidiendo qué clase de rotación aplicar para solucionar
19
20. Árboles AVL
desequilibrio en el nodo.
Como puede verse en el código, nos decidimos por una rotación simple izquierda si
el subárbol más pesado de (*t)->izq es el izquierdo o por una rotación doble
izquierda si el subárbol más pesado de (*t)->izq es el derecho.
➍ Si detectamos un desequilibrio hacia la derecha, la toma de deciciones son
análogas a las de un desequilibrio hacia la izquierda, las cuales ya explicamos.
8. Inserción
Como dijimos en Section 7, implementaremos la inserción de elementos en un árbol
AVL de forma análoga a cómo lo haríamos para árboles binarios de búsqueda salvo
que en cada recursión del algoritmo verificaremos y corregiremos el equilibrio del
árbol. También es importante ir actualizando las alturas de cada nodo en cada recursión
dado que las rotaciones, inserciónes y eliminaciones pueden modificarlas.
20
21. Árboles AVL
Dado que ya vimos funciones tanto para balancear un árbol y para actualizar la altura
de un nodo (ambas de tiempo de ejecución constante), estamos listos para implementar
el algoritmo de inserción. Esperamos que sea intuitivo.
void insertar (AVLTree ** t, int x);
/* inserta x en el árbol en un tiempo O(log(n)) peor caso. */
void
insertar (AVLTree ** t, int x)
{
if (es_vacio (*t))
*t = hacer (x, vacio (), vacio ()); /* altura actualizada
automáticamente */
else
{
if (x < raiz (*t))
insertar (&(*t)->izq, x);
else
insertar (&(*t)->der, x);
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
}
}
9. Eliminación
La estrategia para diseñar el algoritmo de eliminación sobre árboles AVL es la misma
que para la inserción: Se utiliza el mismo algoritmo que sobre árboles binarios de
búsqueda, pero en cada recursión se detectan y corrijen errores por medio de
balancear() y se actualiza la altura del nodo actual.
Recordamos un poco la idea del algoritmo de eliminación sobre árboles binarios de
búsqueda. Primero se recorre el árbol para detectar el nodo a eliminar. Una vez hecho
esto hay tres casos a diferenciar por su complejidad:
• Si dicho nodo es una hoja procedemos a eliminarlos de inmediato, sin más.
21
22. Árboles AVL
• Si dicho nodo tiene un sólo hijo, el nodo puede eliminarse después de ajustar un
apuntador del padre para saltar el nodo. Esto se muestra en Figure 13.
Figure 13. Eliminación de un nodo (7) con un sólo hijo.
• Si dicho nodo tiene dos hijos el caso es un poco más complicado. Lo que se estila
hacer (y que de hecho se hace en el algoritmo gracias a la función auxiliar
eliminar_min()) reemplazar el nodo actual por el menor nodo de su subárbol
derecho (y luego eliminar éste).
void eliminar (AVLTree ** t, int x);
/* elimina x del árbol en un tiempo O(log(n)) peor caso.
Precondición: existe un nodo con valor x en el árbol
t. */
int eliminar_min (AVLTree ** t);
/* Función auxiliar a eliminar(). Elimina el menor nodo del árbol
*t devolviendo su contenido (el cual no se libera de
memoria). Se actualizan las alturas de los nodos.
Precondición: !es_vacio(*t) */
22
23. Árboles AVL
void
eliminar (AVLTree ** t, int x)
{
AVLTree *aux;
if (x < raiz (*t))
eliminar (&(*t)->izq, x);
else if (x > raiz (*t))
eliminar (&(*t)->der, x);
else /* coincidencia! */
{
if (es_vacio (izquierdo (*t)) && es_vacio (derecho (*t)))
{/* es una hoja */
free (*t);
(*t) = vacio();
}
else if (es_vacio (izquierdo (*t)))
{/* subárbol izquierdo vacio */
aux = (*t);
(*t) = (*t)->der;
free (aux);
}
else if (es_vacio (derecho (*t)))
{/* subárbol derecho vacio */
aux = (*t);
(*t) = (*t)->izq;
free (aux);
}
else /* caso más complicado */
{
(*t)->dato = eliminar_min (&(*t)->der);
}
}
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
}
23
24. Árboles AVL
int
eliminar_min (AVLTree ** t)
{
if (es_vacio (*t))
{
fprintf (stderr,
"No se respeta precondición de eliminar_min()n");
exit(0);
}
else
{
if (!es_vacio (izquierdo (*t)))
{
int x = eliminar_min (&(*t)->izq);
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
return x;
}
else
{
AVLTree *aux = (*t);
int x = raiz (aux);
*t = derecho (*t);
free (aux);
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
return x;
}
}
}
10. Conclusión
No realizada aún.
24
25. Árboles AVL
11. Performance
No realizada aún. Hacer: comparaciones de tiempos con otros TADs similares (ABB,
Heaps, linkedlists, etc).
Bibliography
Estructuras de datos y algoritmos, sección 4.4, pág. 114, Mark Allen Weiss.
Data Structure Techniques, Standish, 1980, section 3.7.3.
Handbook of Algorithms and Data Structures, Gonnet, 1984, section 3.4.1.
A. GNU Free Documentation License
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26. Árboles AVL
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27. Árboles AVL
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27
28. Árboles AVL
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28
29. Árboles AVL
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29
30. Árboles AVL
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30
31. Árboles AVL
to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined
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31
32. Árboles AVL
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to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns.
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license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License".
If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the
"with...Texts." line with this:
32
33. Árboles AVL
with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts
being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the
three, merge those two alternatives to suit the situation.
If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend
releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as
the GNU General Public License, to permit their use in free software.
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