Este documento presenta un libro de texto sobre matemáticas del primer semestre. El libro enfatiza la comprensión de los procedimientos y conceptos matemáticos en lugar de su mecanización. Incluye problemas desafiantes y soluciones al final para ayudar a los estudiantes a mejorar sus habilidades de resolución de problemas. El autor espera que este libro ayude a los estudiantes a disfrutar de las matemáticas y superar los objetivos del curso.

1. Matem´aticas
Primer Semestre
Efra´ın Soto A.

3. Prefacio
El estudio de las matemáticas en el bachillerato impone nuevos retos, tanto para los
profesores como para los alumnos.
El programa de estudio es extenso, esto ocasiona que la mayoría de las veces, los
profesores no puedan detenerse a explicar con detalle por qué un procedimiento
se debe realizar de la manera como se realiza, o presentar problemas retadores que
motiven a los estudiantes a esforzarse más allá de lo que las condiciones del curso
permiten.
En este libro se hace énfasis en que el estudiante comprenda por qué debe realizar
un procedimiento, en lugar de dar prioridad a la mecanización de las operaciones.
Se muestra en cada oportunidad que lo que ha entendido antes se está aplicando
en una situación particular o que los conceptos anteriores le ayudan a justificar los
procedimientos que está desarrollando para resolver un problema.
El autor ha notado que los estudiantes que utilizan menos frecuentemente la cal-
culadora no solamente tienen mayor facilidad para realizar cálculos mentalmente,
sino también para representar situaciones de distintas maneras y una mayor facili-
dad para justificar sus procedimientos de una manera aceptable. Por esto, se hace
un esfuerzo por mostrar la forma de realizar cálculos sin necesidad de calculadora.
Se incluyen en cada capítulo algunos problemas en forma de reto para que el estu-
diante que sobresale en clase tenga la oportunidad de mejorar sus habilidades de
resolución de problemas. La solución de cada uno de los retos se presenta en un
capítulo adicional al final del libro para que aquellos estudiantes que no pudieron
resolverlos puedan reconocer nuevas formas de resolver problemas y entiendan su
solución.
Las matemáticas cuentan con una gran interrelación entre sus conceptos y sus ra-
mas. A lo largo del libro se muestran algunas interpretaciones geométricas para que
el estudiante adquiera una visión más clara de lo que se está explicando a través de
un diagrama. Esto puede ser de gran ayuda para aquellos estudiantes que tienen un
aprendizaje más visual.
Este libro está inspirado en aquellos esudiantes que se quejan de no entender las
Matemáticas I

4. iv
matemáticas. Esto significa que aquella persona que lea cada tema presentado en
este libro, y entienda cada argumento, al final del semestre debe rebasar los obje-
tivos que impone el programa de matemáticas de primer semestre de la Dirección
General de Bachillerato.
Espero que esta contribución te ayude a adquirir el gusto por hacer matemáticas.
Profesor, esta versión contiene las respuestas de todos los ejercicios que se incluyen
en las listas de ejercicios.
Igualmente, se incluyen algunas notas al margen del texto que le servirán de sugeren-
cia para enfatizar puntos importantes o sugerir a los estudiantes cómo interpretar
distintos conceptos.
La versión del estudiante no incluye ninguna de las anteriores.
Espero que esto sea de ayuda para mejorar el desempeño de todos en clase.
Efraín Soto Apolinar
Monterrey, N.L. México
2008.
Matemáticas I

5. Índice
1 Introducción al Álgebra 1
1.1 Problemas Aritméticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1 Algoritmos aritméticos y geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.2. Series y sucesión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Polinomios de una variable 51
2.1 Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Problemas geométricos y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1. Reglas de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.4. Triángulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.4.1 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2.5. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.2.6. Simplificación de Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3 Ecuaciones de primer grado 127
3.1 Ecuaciones de Primer Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.1. Ec. de Primer Grado con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.2. Ec. de primer grado y la función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.3. Interpretación gráfica (función lineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Sistemas de Ecuaciones lineales (2 incógnitas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Matemáticas I Efraín Soto A.

6. vi
3.2.1 Métodos algebraicos para resolver S.E.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.1.1. Método de Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.1.2. Método de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2.1.3. Método de Igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2.1.4. Método de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.2.2. Interpretación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.3 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.3.1. S.E.L. 3 × 3 con y sin solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4 Ecuaciones de segundo grado 213
4.1 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.1. Método de despeje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.1.2. Método de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.1.3. Método de fórmula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.1.4. Método Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5 Solución a los retos 263
Solución a los retos del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Solución a los retos del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Solución a los retos del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Solución a los retos del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Efraín Soto A. Matemáticas I

7. UnoIntroducción al Álgebra
Por aprender...
1.1. Problemas aritméticos
1.1.1. Números reales
1.1.2. Razones y proporciones
1.2. Lenguaje algebraico
1.2.1. Algoritmos aritméticos y geométricos
1.2.2. Series y sucesión lineal
Por qué es importante...
En el aprendizaje de cualquier ciencia, es importante concer la termi-
nología con la que estamos hablando. El material que estudiaremos
en esta unidad servirá de base para entender el álgebra.
Matemáticas I Efraín Soto A.

8. 2 Introducción al Álgebra
Efraín Soto A. Matemáticas I

9. DosPolinomios de una variable
Por aprender...
2.1. Propiedades de la igualdad
2.2. Problemas geométricos y algebraicos
2.2.1. Reglas de los exponentes
2.2.2. Operaciones con polinomios
2.2.3. Productos notables
2.2.4. Triángulo de Pascal
2.2.5. Factorización
2.2.6. Simplificación de fracciones algebraicas (simples)
Por qué es importante...
En esta unidad estudiaremos los objetos matemáticos que más fre-
cuentemente encontraremos en la resolución de problemas a lo largo
del curso, así como sus propiedades más básicas.
Matemáticas I Efraín Soto A.

10. 52 Polinomios de una variable
Efraín Soto A. Matemáticas I

11. TresEcuaciones de primer grado
Por aprender...
3.1. Ecuaciones de primer grado
3.1.1. Ec. de primer grado con una incógnita
3.1.2. Relación de la Ec. de 1er grado con la función lineal
3.1.3. Interpretación Gráfica
3.2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
3.2.1. Métodos algebraicos para resolver S.E.L.
Eliminación (Suma y resta)
Sustitución
Igualación
Determinantes
3.2.2. Interpretación gráfica de un S.E.L.
3.3. S.E.L.’s de tres ecuaciones con tres incógnitas
3.3.1. S.E.L.’s de tres por tres con y sin solución
Por qué es importante...
Las ecuaciones lineales nos ayudan a resolver problemas aplicados
a diferentes contextos. Negocios, Química, Física, Administración,
Computación, etc., frecuentemente requieren de la solución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Matemáticas I Efraín Soto A.

12. 128 Ecuaciones de primer grado
Efraín Soto A. Matemáticas I

13. CuatroEcuaciones de segundo grado
Por aprender...
4.1. Ecuaciones de segundo grado
4.1.1. Métodos de resolución:
Despeje para ecuaciones incompletas
Factorización
Fórmula general
Método gráfico
Por qué es importante...
Las ecuaciones cuadráticas aparecerán muy frecuentemente en la
resolución de problemas prácticos. También son de ayuda en la
resolución de otros problemas geométricos, algebraicos y aritméticos.
Matemáticas I Efraín Soto A.

14. 214 Ecuaciones de segundo grado
Efraín Soto A. Matemáticas I

15. CincoSolución a los retos
Matemáticas I Efraín Soto A.

16. 272 Solución a los retos
Solución al reto
TEMA. SOL. EC. CUADRÁTICAS POR MÉTODO GRÁFICO (PAG. 257)
Resuelve:
ab x2
− a2
x = b2
x − ab
Enseguida se muestra la solución, paso a paso de la ecuación.
Primero reescribimos la ecuación en la forma: αx2 + βx + γ = 0
ab x2
− a2
x = b2
x − ab
ab x2
− a2
+b2
x + ab = 0
Ahora aplicamos la fórmula general:
x =
a2 +b2 ± a2 +b2 2
− 4a2b2
2ab
=
a2 +b2 ± a4 + 2a2b2 +b4 − 4a2b2
2ab
=
a2 +b2 ± a4 − 2a2b2 +b4
2ab
=
a2 +b2 ± (a2 −b2)2
2ab
=
a2 +b2 ± (a2 −b2)
2ab
Ahora calculamos por separado cada una de las raíces de la ecuación:
x1 =
a2 +b2 + (a2 −b2)
2ab
=
2a2
2ab
=
a
b
x2 =
a2 +b2 − a2 +b2
2ab
=
2b2
2ab
=
b
a
Entonces, podemos dividir ambos lados de la ecuación entre ab y obtener:
ab x2
− a2
+b2
x + ab = 0
x2
−
a2 +b2
ab
x + 1 = 0
x2
−
a
b
+
b
a
x + 1 = 0
x −
a
b
x −
b
a
= 0
De donde se hace evidente que la solución es correcta.
Efraín Soto A. Matemáticas I

17. Bibliografía
[1] Brown, Richard G., Et. Al. Algebra: Structure and Method (Book 1). Ed.
Houghton Mifflin Company. 1994. EE.UU.
[2] Brown, Richard G., Et. Al. Algebra: Structure and Method (Book 2). Ed.
Houghton Mifflin Company. 1994. EE.UU.
[3] Collins, Williams, Et. Al. Algebra 1: Integration, Applications, Connections. Ed.
McGraw-Hill. 1998. EE.UU.
[4] Dossey, John A., Et. Al. Addison-Wesley Secondary Math: Focus on Advanced
Algebra. Ed. Addison-Wesley publishing Company. 1996. EE.UU.
[5] Grossman, Stanley I. Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica, 2da Edi-
ción, 1983. México.
[6] Larson, Roland E., Hostetler, Robert P. Intermediate Algebra. Ed. D.C. Heath
and Company 1ra Edición, 1992. EE.UU.
[7] Soto Apolinar, Efraín. Enseñanza Efectiva de las Matemáticas.
http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar. (visitado el 15 de
diciembre de 2008) 1ra Edición [Versión electrónica] 2008. México.
Matemáticas I Efraín Soto A.

18. Indice alfabético
Binomio de Newton, 103
Cerradura, 7
Combinaciones, 103
Determinante, 178
De tercer orden, 200
Discriminante, 252
División
Sintética, 81
Ecuación
Cuadrática, 215
Discriminante, 252
Incompleta, 218
De primer grado, 129
De segundo grado, 215
Lineal, 129
Equivalencia
Relación de, 53
Fórmula General, 233
Factorial, 102
Factorización, 105
Función
Interpretación, 151
Definición informal, 245
Igualdad
Propiedades de la, 54
Interpretación Geométrica
Raíces de la ecuación cuadrática, 250
Leyes
De los exponentes, 59
De los signos, 76
Multiplicidad, 254
Números
Complejos, 224
Enteros, 3
Imaginarios, 223
Irracionales, 5
Naturales, 3
Racionales, 4
Reales, 6
Operaciones
Prioridad de las, 9
Polinomios, 74
Clasificación de, 75
Productos notables, 88
Proporción, 19
Directa, 19
Inversa, 23
Porcentaje, 22
Razón, 18
Serie
Aritmética, 44
Solución
de un S.E.L., 157
Sucesión, 39
Aritmética, 40
Términos semejantes, 76
Efraín Soto A. Matemáticas I

19. CréditosCRÉDITOS
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Modelo educativo: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Imágenes: Todos los derechos de las imágenes pertenecen al autor.
Profe Efraín (Pag. 243) Autorretrato del autor.
Portada Fotografía por el autor
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Revisión técnica: Pendiente
Año de edición: 2008
Año de publicación: Pendiente
Última revisión: 15 de diciembre de 2008
Total de ejemplos: 176
Software Utilizado: En la edición y composición tipográfica de este material se han
utilizado los siguientes programas:
x LATEX2 Tipografía del texto y ecuaciones.
y TikZ Diseño de encabezados y diagramas.
z Gnuplot Elaboración de Gráficas.
{ TEXnicCenter Edición del código LATEX2 .
Apreciado lector, agradezco tus sugerencias y comentarios a la cuenta de correo
electrónico:
efra.soto.a@gmail.com