Sistemas de coordenadas matemáticas

Matem´ ticas
a
Tercer Semestre
Efra´n Soto A.
ı

Índice

1 Sistemas de ejes coordenados 1
1.1 Coordenadas de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Ejes Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Rectas, segmentos y polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1. Segmentos Rectilíneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Formulario de la Unidad Uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 La línea recta 45
2.1 Ecuaciones y propiedades de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1. Forma punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2. Forma pendiente-ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.3. Forma simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.4. Forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.5. Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.6. Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Ec. rectas notables en un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.1. Medianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.2. Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.3. Mediatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2.4. Bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Formulario de la Unidad Dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Matemáticas III

iv

3 La circunferencia 117
3.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.1.0∗ . Elementos de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2 Ecuación ordinaria de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2.1. Circunferencia con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2.2. Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3 Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3.2. Conversión de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.4 Circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.4.1. Condiciones analíticas y geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.4.2. Obtención de la ecuación dados tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.5 Circunferencia y secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Formulario de la Unidad Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4 La parábola 173
4.1.1. La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.1.2. Elementos de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1.3. Formas de trazo a partir de la deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2 Ecuaciones ordinarias de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2.1. Parábolas con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2.2. Parábolas con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.3 Ecuación General de la Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.3.1. Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.2. Conversión de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Formulario de la Unidad Cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5 La elipse 217
5.1.1. La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.1.2. Elementos asociados a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.2 Ecuaciones ordinarias de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.1. Vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.2. Vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.3 Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.3.2. Conversión de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Formulario de la Unidad Cinco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Matemáticas III

v

6 La hipérbola 255
6.1.1. La hipérbola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1.2. Elementos asociados a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.2 Ecuación ordinaria de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.2.1. Hipérbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.2.2 Hipérbola con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.3 Ecuación general de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.3.2. Conversión de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Formulario de la Unidad Seis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Matemáticas III Efraín Soto A.

vi

Efraín Soto A. Matemáticas III

Uno
Sistemas de ejes coordenados

Por aprender...

1.1. Coordenadas cartesianas de un punto
1.1.1. Ejes coordenados
1.1.2. Lugares geométricos
1.2. Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos
1.2.1. Segmentos rectilíneos
1.2.2. Rectas
1.2.3. Polígonos

Por qué es importante...
En el aprendizaje de cualquier ciencia, es importante concer la ter-
minología con la que estamos hablando. En esta unidad vamos a
descubrir las fórmulas que nos servirán para el resto del curso.

44 Sistemas de ejes coordenados

Formulario Unidad Uno
.....................................................................................

Distancia entre dos puntos: La longitud D del segmento PQ siendo P(x p , y p ) y
Q(x q , yq ), es:
D= (x q − x p )2 + (yq − y p )2

Punto de división: Las coordenadas del punto M (x m , y m ) que divide al segmento
PQ con P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), en la razón r son:

r xq + x p r yq + y p
xm = ym =
1+r 1+r

Punto medio: Las coordenadas del punto medio M (x , y ) del segmento PQ con
¯ ¯
P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), son:

xq + x p yq + y p
x=
¯ y=
¯
2 2

Pendiente: La pendiente m de la recta pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ), es:

y2 − y1
m=
x2 − x1

Condición de paralelismo: Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas 1 y 2, en-
tonces, m 1 = m 2 implica que 1 2 .

Condición de perpendicularidad: Si m 1 y m 2 son las pendientes de dos rectas 1 y
2 perpendiculares ( 1 ⊥ 2 ), entonces,

1
m1 = −
m2

Ángulo entre dos rectas: Si φ es el ángulo entre las rectas 1, 2, con pendientes m 1
y m 2 respectivamente, entonces:

m2 − m1
tan φ =
1 + m1 · m2

Fórmula de Herón: El área del triángulo con lados de longitud a ,b, c , respectiva-
mente y semiperímetro p es:

A= p · (p − a )(p − b )(p − c )

Nota: El semiperímetro es igual a la mitad del perímetro:

a +b +c
p=
2

...................................................................................


Dos
La línea recta

Por aprender...

2.1. Ecuaciones y propiedades de la recta
2.1.1. Forma punto-pendiente
2.1.2. Forma pendiente-ordenada al origen
2.1.3. Forma simétrica
2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta
2.1.5. Forma normal de la ecuación de la recta
2.1.6. Distancia entre un punto y una recta
2.2. Ecuaciones de rectas notables en un triángulo
2.2.1. Medianas
2.2.2. Alturas
2.2.3. Mediatrices
2.2.4. Bisectrices

En la construcción de planos arquitectónicos, en el diseño de nuevas
máquinas, etc., siempre encontramos ecuaciones que deben pasar por
dos puntos o que deben tener una cierta inclinación, además, las
ecuaciones de rectas sirven para modelar algunas aplicaciones que ya
hemos estudiado previamente y muchas más que estudiaremos más
adelante.

116 La línea recta

Formulario Unidad Dos
.....................................................................................

Ec. Recta F. Punto-pendiente: La recta pasa por el punto P(x 1 , y 1 ) con pendiente
m:
y − y 1 = m (x − x 1 )

Ec. Recta F. Dos puntos: La recta pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ):

y2 − y1
y − y1 = (x − x 1 )
x2 − x1

Ec. Recta F. Pendiente-ordenada al origen: La recta tiene pendiente m y corta al
eje y en el punto B (0,b ):
y = m x +b

Ec. Recta F. Simétrica: Las intersecciones con los ejes son A(a , 0) y B (0,b ):
x y
+ =1
a b

Ec. Recta F. General: La ecuación de cualquier recta se puede escribir con:

A x + B y +C = 0

donde A y B no son simultáneamente cero.

Ec. Recta F. Normal: Útil para calcular la distancia de un punto a una recta:

A B C
x+ y+ =0
A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2

Distancia de un punto a una recta: La distancia del punto P(x 1 , y 1 ) a la recta :
A x + B y + C = 0, es:
A x 1 + B y1 + C
DP =
A2 + B 2

....................................................................................


Tres
La circunferencia

Por aprender...

3.1. Caracterización geométrica
3.2. Ecuaciones ordinarias de la circunferencia
3.2.1. Circunferencia con centro en el origen
3.2.2. Circunferencia con centro fuera del origen
3.3. Ecuación general de la circunferencia
3.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general
3.3.2. Conversión de forma general a forma ordinaria
3.4. Circunferencia que pasa por tres puntos
3.4.1. Condiciones analíticas y geométricas
3.4.2. Obtención de la ecuación dados tres puntos
3.5. Circunferencia y otras secciones cónicas

En la naturaleza, cuando lanzas una piedra en el agua, las ondas
viajan en formas de circunferencias, además, las circunferencias
tienen amplias aplicaciones: discos, bocinas, llantas, rodamientos
(baleros), etc., por eso la circunferencia representa el modelo de
muchas situaciones que estudiremos en semestres posteriores.

172 La circunferencia

Formulario Unidad Tres
.....................................................................................

Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el origen y radio r :

x2 +y 2 = r2

Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el punto C (h, k ) y radio r :

(x − h)2 + (y − k )2 = r 2

Ec. Circunferencia: Forma general:

x2 +y 2 +D x + E y + F = 0

Si el centro de la circunferencia es el punto C (h, k ) y su radio es r se cumple:

D = −2 h
E = −2 k
F = h2 + k 2 − r 2

....................................................................................


Cuatro La parábola

Por aprender...

4.1.1. La parábola como lugar geométrico
4.1.2. Elementos asociados con una parábola
4.1.3. Formas de trazo a partir de la deﬁnición
4.2. Ecuaciones ordinarias de la parábola
4.2.1. Parábolas horizontales y verticales con centro en el origen
4.2.2. Parábolas horizontales y verticales con centro fuera del
origen
4.3. Ecuación general de la parábola

En la naturaleza encuentras parábolas cuando lanzas una piedra por
el aire (su trayectoria es una parábola), también se aplican para la
construcción de puentes, antenas de recepción de señales satelitales,
generadores de energía solar por medio de la concentración de los
rayos del sol, etc., por eso, muchos problemas prácticos se modelan
con ecuaciones de parábolas.

4.3 Ecuación General de la Parábola 215

Formulario Unidad Cuatro
.....................................................................................

Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el origen:

x 2 = 4 py

Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo.

Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h, k ):

(x − h)2 = 4 p (y − k )

Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo.

Ec. Parábola horizontal F. ordinaria: Vértice en el origen :

y 2 = 4px

Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda.

Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h, k ):

(y − k )2 = 4 p (x − h)

Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda.

Otras fórmulas: Parábola con vértice en el punto V (h, k ):

Parábola Vertical Horizontal
Lado Recto 4 |p | 4 |p |
Foco F (h, k + p ) F (h + p, k )
Directriz y =k −p x =h −p
Ec. General x2 +D x + E y + F = 0 y2 +Dx +E y +F =0
D −2 h −4p
E −4 p −2 k
F h2 + 4 p k k2 + 4ph

....................................................................................


Cinco La elipse

Por aprender...

5.1.1. La elipse como lugar geométrico
5.1.2. Elementos asociados con una elipse
5.2. Ecuaciones ordinarias de la Elipse
5.2.1. Elipses horizontales y verticales con centro en el origen
5.2.2. Elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen
5.3. Ecuación general de la elipse

En la naturaleza encuentras Elipses en las trayectorias que siguen los
planetas alrededor del Sol.

5.3 Ecuación general de la elipse 253

Formulario Unidad Cinco
.....................................................................................

Ec. Elipse F. ordinaria: Horizontal con centro en el origen:

x2 y 2
+ =1
a2 b2

Ec. Elipse F. ordinaria: Vertical con centro en el origen:

x2 y 2
+ =1
b2 a2

Ec. Elipse F. ordinaria: Horizontal con centro en el punto C (h, k ):

(x − h)2 (y − k )2
+ =1
a2 b2

Ec. Elipse F. ordinaria: Vertical con centro en el punto C (h, k ):

(x − h)2 (y − k )2
+ =1
b2 a2

Otras fórmulas: Elipse con centro en el punto C (h, k ):

Longitud del eje mayor: 2 a .
Longitud del eje menor: 2b .
Distancia entre los focos: 2 c .
Relación entre a ,b y c : a 2 = b 2 + c 2 .
Excentricidad: e = c /a 1

Elipse Vertical Horizontal
Lado Recto 2b 2 /a 2b 2 /a
Focos F (h, k ± c ) F (h ± c , k )
Vértices V (h, k ± a ) F (h ± a , k )
Ec. General A x2 +y 2 +D x + E y + F = 0
A a2 b2
B b 2 a2
D −2 a 2h −2b 2 h
E −2b 2k −2 a 2 k
F a 2 h 2 + b 2 k 2 − a 2b 2 b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2b 2

....................................................................................


Seis
La hipérbola

Por aprender...

6.1.1. La hipérbola como lugar geométrico
6.1.2. Elementos asociados con una hipérbola
6.2. Ecuaciones ordinarias de la hipérbola
6.2.1. Hipérbolas horizontales y verticales con centro en el origen
6.2.2. Hipérbolas horizontales y verticales con centro fuera del
origen
6.3. Ecuación general de la hipérbola

En la naturaleza encuentras Hipérbolas en

298 La hipérbola

Formulario Unidad Seis
.....................................................................................

Ec. Hipérbola F. ordinaria: Horizontal con centro en el origen:

x2 y 2
− =1
a2 b2

Ec. Hipérbola F. ordinaria: Vertical con centro en el origen:

x2 y 2
− + =1
a2 b2

Ec. Hipérbola F. ordinaria: Horizontal con centro en el punto C (h, k ):

(x − h)2 (y − k )2
− =1
a2 b2

Ec. Hipérbola F. ordinaria: Vertical con centro en el punto C (h, k ):

(x − h)2 (y − k )2
− + =1
a2 b2

Otras fórmulas: Hipérbola con centro en el punto C (h, k ):

Longitud del eje transverso: 2 a .
Longitud del eje conjugado: 2b .
Distancia entre los focos: 2 c .
Relación entre a ,b y c : a 2 = c 2 − b 2 .
Excentricidad: e = c /a 1.

Hipérbola Vertical Horizontal
Lado Recto 2b 2 /a 2b 2 /a
Focos F (h, k ± c ) F (h ± c , k )
Vértices V (h, k ± a ) F (h ± a , k )
Ec. General Ax 2 + By 2 + D x + E y + F = 0
A b2 −b 2
B −a 2 a2
D −2b 2 h 2b 2 h
E 2 a 2k −2 a 2 k
F b 2 h 2 − a 2 k 2 − a 2b 2 −b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2b 2

....................................................................................


Bibliografía

[1] Briggs, George R. The Elements of Plane Analytic Geometry. New York, U.S.A.
Robert Drumond Company. 1909.

[2] Freund, John E. College Mathematics with Business Applications. Ed. Prentice
Hall, Inc. 1969. EE.UU.

[3] Fuller, Gordon. Analytic Geometry Ed. Addison Wesley Publishing Co. 1954.
EE.UU.

[4] Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P Intermediate Algebra. Ed. D.I. Heath and
.
Company. 1992. EE.UU.

[5] Longley W. R., Smith P F., Wallace A. W. Geometría Analítica y cálculo
.
inﬁnitesimal. Ed. Reverté. México, 1959.

[6] Smith, P F.; Sullivan Gale, M. The Elements of Analytic Geometry Ed. Ginn and
.
Company. 1904. EEE.UU.

[7] Soto Apolinar, Efraín. Enseñanza Efectiva de las Matemáticas.
http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar (visitado el 26 de
julio de 2009) 1ra Edición [Versión electrónica] 2008. México.

[8] Yeﬁmov, N. A brief course in analytic geometry. Peace publishers. Moscow, Rus-
sia.


Indice alfabético

Ecuación
Hipérbola
Forma ordinaria, 14

Hipérbola
Deﬁnición, 13


CRÉDITOS Créditos
Autor: Efraín Soto Apolinar.

Modelo educativo: Efraín Soto Apolinar.

Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar.

Edición: Efraín Soto Apolinar.

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.

Productor general: Efraín Soto Apolinar.

Revisión técnica: Pendiente

Año de edición: 2008

Año de publicación: Pendiente

Última revisión: 26 de julio de 2009

Total de ejemplos: 153

Software Utilizado: En la edición y composición tipográfica de este material se han
utilizado los siguientes programas:

x LTEX 2
A Tipografía del texto y ecuaciones.
y TikZ Diseño de encabezados y diagramas.
z TEXnicCenter Edición del código LTEX 2 .
A

Apreciado lector, agradezco tus sugerencias y comentarios a la cuenta de correo
electrónico:

efra.soto.a@gmail.com

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