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COMPLEMENTO DE CÁLCULO
D E P A R T A M E N T O   D E   C I E N C I A S   B Á S I C A S
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
  Departamento de Ciencias Básicas


                                             INTRODUCCION




                                                                              VIRGINIO GOMEZ
         Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de
recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la
fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado
nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una
formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.


         Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades
productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en
los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),
transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y
mantención en sectores productivos.


         Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar
fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en
mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones
escalares o vectoriales de una o varias variables.
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Departamento de Ciencias Básicas


                                                               INDICE




                                                                                                                VIRGINIO GOMEZ
                                                                                                                                        Pág.

     I    SUCESIONES Y SERIES
           Sucesiones ...........................................................................................................        3
           Límite de una sucesión .........................................................................................              4
           Serie ....................................................................................................................    7
           Serie geométrica ..................................................................................................           8
           Serie p o hipergeométrica ...................................................................................                 9
           Teoremas sobre series ........................................................................................               11
           Criterio para establecer la convergencia de serie:
                          criterio de comparación ..................................................................                    13
                          criterio de la integral .....................................................................                 16
                          criterio de la serie alterna ...............................................................                  19
                          criterio de la razón .......................................................................                  23
           Serie de potencias ................................................................................................          26
           Serie de Taylor ...................................................................................................          30


    II    FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
           Funciones de más de una variable ......................................................................                      35
           Dominio de funciones de dos variables ...............................................................                        36


    III   DERIVADAS PARCIALES
           Derivadas parciales ..................................................................................                       40
           Derivación implícita ...........................................................................................             45
           Regla de la cadena        ...........................................................................................        48
           Aplicaciones de las regla de cadena:
                         problemas con enunciado ................................................................                       55
                         demostraciones ..............................................................................                  59
           Derivada direccional       .........................................................................................         62
           Gradientes .........................................................................................................         66
           Derivadas parciales de orden superior .................................................................                      70
           Máximos y mínimos para funciones de varias variables ....................................                                    73
           Hessiano de una función de dos variables ..........................................................                          73
           Criterio de la segunda derivada ..........................................................................                   73
           Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................                   77




                                                                         1
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     IV    INTEGRACION MULTIPLE
            Gráfico en ‘ 3 : ....................................................................................................           82




                                                                                                                    VIRGINIO GOMEZ
                          planos ...................................................................................... ....                82
                          esfera ...........................................................................................                86
                          cilindro ...........................................................................................              87
                          cono ..............................................................................................               89
                          paraboloide ....................................................................................                  91
            Integrales dobles ....................................................................................................          92
            Propiedades de la integral dobles .......................................................................                       95
            Aplicaciones de la integral doble:
                         cálculo de áreas en el plano ...........................................................                            98
                         determinar el valor de la región ‘ .................................................                               103
                         cálculo de volúmenes .....................................................................                         108
            Cálculo de volúmenes .........................................................................................                  116
                                                                                                                                            123
            Coordenadas cilíndricas .....................................................................................
            Coordenadas esféricas ........................................................................................                  128


      V    CAMPOS VECTORIALES
            Campos vectoriales ............................................................................................                 136
                       campo vectorial conservativo ............................................................                            137
                       campo vectorial conservativo en el plano .........................................                                   137
            Rotacional ..........................................................................................................           141
            Campo vectorial conservativo en el espacio ......................................................                               141
            Plano tangente y recta normal a una superficie ..................................................                               146


     VI    ECUACIONES DIFERENCIALES
            Ecuaciones diferenciales ..................................................................................                     150
            Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ...............................                                      151
            Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas .......................................................                             154
            Ecuaciones diferenciales ordinarias ....................................................................                        158


    VII    AUTOEVALUACIONES                             .................................................................................   162


    VIII   BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................                  178




                                                                         2
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                                                          Sucesiones




                                                                                                     VIRGINIO GOMEZ
naturales a œ ™  b
         Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números


        Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el
conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 − 

 Ejemplo:

                                 n
          1) Si , f (n) =           entonces:
                                n+2

                 n                1           2             3             4              5            ...    n
                 f (n)           1           1              3             2              5            ...    n
                                 3           2              5             3              7                  n+2

          Los pares ordenados serán:

                   1  1  1  2  5                                            n 
                  1 ,  ;  2 ,  ;  3 ,  ;  4 ,  ;  5 ,  ...              n ,    ; ...
                   3  2  3  3  7                                         n+ 2

          Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la
          notación { f (n)} = {a n } para representarla.

          En el ejemplo

                               { f (n)} = {a n }   =   {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,...,   a n ,...}




                             { f (n)} = 
                                        
                                           n 
                                              =
                                                       1 1 3 2 5
                                                        , , , , , ...,
                                                                         n      
                                                                           , ...
                                        n + 2         3 2 5 3 7      n+2 




         2) 0 a8b œ œ
                         "            si 8 es impar
                         $             si 8 es par

         œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ




                                                                 3
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                                                                                 VIRGINIO GOMEZ
Concepto de Límite de una Sucesión

Si para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces
                                     { }
se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por :
 lim a n = L
n→∞

Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV
y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV.


Límite de una Sucesión

                                                +
Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con           lim  f ( x) = L ,
                                                                x→∞

entonces si   { a n } es una sucesión tal que   f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que
lim    an = L
n→∞



       Ejemplos À

       Determinar si la sucesión es CV o DV

       1) œ       
               8
              8#

       0 aB b œ                      H970 aBb œ ‘  Ö  # ×
                   B
                  B#

       ™ © ‘  Ö  #×
                                           B
            B                              B                     "
        lim   œ lim                                œ    lim           œ"
       BÄ_ B# BÄ_                      B #            BÄ_        #
                                                              "
                                        B B                       B
                             8
       Por lo tanto,     lim    œ ", luego la sucesión es CV.
                        8Ä_ 8#




       2) œ            
               "  &8$
              #8$  %8


       0 aB b œ                                 H970 aBb œ ‘  Ö! ×
                   "  &B$
                  #B$  %B

       ™  © ‘  Ö!×


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                                            "     &B$             "
              "  &B       $                     $                  &   &
         lim         œ lim                  B$     B        œ lim B$




                                                                      VIRGINIO GOMEZ
                                                                        œ
       B Ä _ #B$  %B B Ä _                  #B$    %B       BÄ_      %   #
                                                   $             # #
                                              B $    B               B

                               "  &8$  &
       Por lo tanto,      lim          œ , luego la sucesión es CV.
                        8 Ä _ #8$  %8  #




       3) œ8 † =/8Š ‹
                   1
                   8

       0 aBb œ B † =/8Š ‹                   H970 aBb œ ‘  Ö! ×
                       1
                       B

       ™  © ‘  Ö!×

            B † =/8Š ‹
                    1
        lim                        œ_†!
       BÄ_          B

                                                  =/8Š ‹
                                                       1
                                   œ    lim            B
                                       BÄ_           "
                                                     B
                                       !
                                   œ
                                       !

                                                             -9=Š ‹
                                                         1       1
                                                          #
                                   œ Pw L    lim         B       B
                                            BÄ_                "
                                                            #
                                                              B

                                         1 -9=Š ‹
                                               1
                                   œ lim       B
                                    BÄ_      "

                                   œ1

                        lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV.
                                    1
       Por lo tanto,
                       8Ä_          8




                                                    5
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                                                                                             VIRGINIO GOMEZ
Teorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces:

        a) La sucesión {c} tiene como límite c

        b)      lim c ⋅ a n         = c ⋅ lim      an
                n→∞                          n→∞

        c)      lim      (a n ± bn ) =          lim a n ±              lim bn
               n→∞                              n→∞                    n→∞

        d)      lim      a n ⋅ bn        =      lim        an ⋅        lim      bn
                n→∞                              n→∞                    n→∞


                     an                       lim a n
                lim                           n →∞
        e)                           =                            si     lim bn ≠ 0
               n → ∞ bn                       lim bn                     n →∞
                                              n →∞




                                                        Ejercicios


       Determine si la sucesión CV o DV



       a) œ                                       b) œ                             c) œ          
              8"                                         #8#  "                           8#  "
              #8  "                                      $8#  "                             8



       d) œ                                       e) œ                             f) œ
                                                                                            È8#  "  8 
                $8$                                       /8                                     "
              #8#  8                                      8



                                                   Solución



       a) CV                                                 b) CV


       c) DV                                                 d) DV


       e) DV                                                 f) DV



                                                            6
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                                                          Series




                                                                                          VIRGINIO GOMEZ
 Concepto de Series Infinitas


 Si {a n } es una sucesión infinita, entonces :
              ∞
             ∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + a n + ...
             n =1


 se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,...
 se llaman términos de la serie infinita.

             Sea la siguiente sucesión de sumas parciales

             S1 = a1
             S 2 = a1 + a 2
             S 3 = a1 + a 2 + a3
             M
             S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n

                                                                                    ∞
             Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie   ∑ an converge.
                                                                                   n =1



            Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas


            Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8  la sucesión de sumas parciales.
                _

               8œ"

Si    lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie
     8Ä_ 8
y si   lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma.
     8Ä_ 8
                                            ∞
             Teorema :        Si la serie   ∑ an   es CV, entonces       lim a n = 0
                                                                        n →∞
                                            n =1

                                                                                   ∞
             Teorema : Si           lim a n ≠ 0
                                    n →∞
                                                      , entonces la serie dada     ∑ an    es DV.
                                                                                   n =1


         Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así
mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen
bajo que condiciones una serie dada CV o DV.




                                                            7
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                                                Serie Geométrica




                                                                                      VIRGINIO GOMEZ
  La serie
                         Primer término

    ∞
   ∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con       a≠0
   n =0
                             razón


  Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón



Teorema À La serie geométrica " + † <8 de razón < converge a W œ
                                 _                                +
                                                                     si, y sólo si,
                                                                 "<
           ¸ < ¸  " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸   "
                              8œ!


          Ejemplos

          Determine si las series son CV o DV


          +Ñ " 8 œ " Œ 
             _ "   _  " 8                                        "
                                                          <œ       "
               #      #                                          #
           8œ!    8œ!

                                                             "
          Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ                 œ#
                                                                 "
                                                         "
                                                                 #

          ,Ñ " Œ 
             _  & 8                         &
                                       <œ     "
                %                           %
           8œ!

          Por lo tanto, la serie DV.



          -Ñ " Œ  
             _    " 8                                   "
                                                <œ       "
                  #                                     #
           8œ!

                                                             "           #
          Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ                 œ
                                                       "                 $
                                                    "
                                                       #
          .Ñ " # † Œ  
             _        # 8                           #
                                                <œ  "
                      $                             $
           8œ!

                                                             #           '
          Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ                 œ
                                                            #            &
                                                         "
                                                            $

          /Ñ " $ † Œ 
             _      ' 8                              '
                                                <œ     "                      Por lo tanto, la serie DV.
                    &                                &
           8œ!



                                                         8
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                                               Serie p o serie Hiperarmónica




                                                                                               VIRGINIO GOMEZ
                      ∞
                            1              1           1             1
         La serie    ∑      n   p
                                    = 1+
                                           2   p
                                                   +
                                                       3   p
                                                               +L+
                                                                     np
                                                                          +L
                     n =1


         se llama serie p con              p>0


                                                               ∞
                                                                   1     1 1   1
         Si p = 1 , entonces la serie                      ∑       n
                                                                     = 1+ + +L+ +L
                                                                         2 3   n
                                                           n =1


         se denomina serie armónica.



       Teorema À La serie : "
                            _   "
                                  es convergente si, y sólo si, :  " y es divergente si, y
                               8:
                           8œ"
       sólo si, !  : Ÿ "


       Ejemplos


       Determine si las series son CV o DV



       +Ñ "
          _ "
                                           :œ"                                 Por lo tanto, la serie DV
            8
        8œ"



       ,Ñ "
          _ "
                                           :œ$                                 Por lo tanto, la serie CV
            8$
        8œ"



       -Ñ "
          _  "                                     "
             "Î$
                                           :œ                                  Por lo tanto, la serie DV
            8                                      $
        8œ"



       .Ñ "
          _  "
                                           :œ1                                 Por lo tanto, la serie CV
            81
        8œ"



       /Ñ " $
          _
            È8%
              "                                    %
                                           :œ                                  Por lo tanto, la serie CV
                                                   $
        8œ"




                                                                     9
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                                               Ejercicios




                                                                                VIRGINIO GOMEZ
       I         Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.



       "Ñ " 8                              #Ñ " Œ                               $Ñ " #Œ 
          _ %                                 _    ( 8                               _   ) 8
            #                                      $                                     &
        8œ!                                 8œ!                                    8œ!


                                                                                     _ a&'b8
       %Ñ "                                &Ñ " Ð  #&Ñ8                          'Ñ "
          _     $                             _
            Ð  ""Ñ8                                                                     $
        8œ!                                  8œ!                                    8œ!



       II        Decida si las siguientes series : CV. o DV.



       "Ñ "                                #Ñ "                                   $Ñ "
          _ "                                 _ $                                    _    #
            "&8                                   "&                                     %Î*
        8œ"                                 8 œ "8                                 8 œ "8



       %Ñ "                                &Ñ "                                   'Ñ "
          _ #                                 _    %                                 _    (
              &                                   &Î)                                    "#Î&
        8 œ "8                              8 œ "8                                 8 œ "8



                                                    Solución
       I

                "                                              (
       1) < œ     ß la serie CV                     2) < œ      , la serie DV
                #                                              $


                )                                               "
       3) < œ     ß la serie DV                     4) < œ       ß la serie CV
                &                                              ""


       5) < œ  #&ß la serie DV                     6) < œ &' ß la serie DV


       II

       1) : œ " ß la serie DV                       2) : œ "& ß la serie CV


                %
       3) : œ     ß la serie DV                     4) : œ &ß la serie CV
                *


                &                                            "#
       5) : œ     ß la serie DV                     6) : œ      ß la serie CV
                )                                             &



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                                        Teoremas sobre Series




                                                                       VIRGINIO GOMEZ
          Teorema 1: Si " +8 y " ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número
                         _          _

                        8œ"       8œ"
finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.


         Ejemplo: Determine si la serie "
                                        _   "
                                               es CV o DV
                                           8"
                                       8œ"

         "
         _   "   " " " "         "
                œ     ÞÞÞ       ÞÞÞ                        y
            8"  # $ % &        8"
        8œ"

        "
        _ "       " " " "       "
             œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ
           8      # $ % &       8
       8œ"


        La serie "
                 _  "
                        equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como
                   8"
               8œ"
        ! " es DV, entonces "
        _                   _       "
                                         es también DV.
       8œ"  8                    8"
                           8œ"


         Teorema 2: Sea - una constante no nula:


         a) Si " +8 es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 es CV y su
               _                                    _              _

             8œ"                                   8œ"           8œ"

         suma es -WÞ



         b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV.
               _                    _

              8œ"                  8œ"

         Ejemplo:



         1) " 8 œ " # † 8 œ # † " 8
            _ #   _     "       _ "
               $       $           $
           8œ"   8œ"           8œ"

          " 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV.
          _ "                            "
             $                           $
         8œ"

                 " 8 es CV.
                 _ #
         Así,
                    $
                8œ"




                                                   11
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        2) "       œ "
           _         _ #
              $È 8      $ È8
               #           "
                         †




                                                                    VIRGINIO GOMEZ
          8œ"       8œ"

        "
        _
           È8
            "                   "
              es serie : con : œ y por lo tanto DV.
                                #
       8œ"


        Así, "
             _
                  È8
                  #
                     es DV.
                $
            8œ"



        Teorema3: Si " +8 y " ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,
                     _      _

                    8œ"    8œ"
entonces:


        a) " a+8  ,8 b es CV y su suma es A  B
           _

         8œ"


        b) " a+8  ,8 b es CV y su resta es A  B
           _

         8œ"


        Ejemplo:



        " Œ 8  8 œ                 " 8 " 8
        _   "   $                    _ "   _ $
           #   &                        #     &
       8œ"                          8œ"   8œ"

        " 8 es CV y su suma es "
        _ "
           #
       8œ"

       " 8 es CV y su suma es
       _ $                    $
          &                   %
      8œ"


        Luego, " Œ 8  8  es CV y su suma es
               _   "   $                      (
                  #   &                       %
              8œ"




        Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces
                      _                      _

                     8œ"                    8œ"

       " a+8 „ ,8 b es DV.
       _

      8œ"




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Ejemplo:




                                                                                     VIRGINIO GOMEZ
            " Œ 8     œ " 8  "
            _   &   #     _ &   _ #
               )   *8        )     *8
           8œ"           8œ"   8œ"

          " 8 es una serie geométrica con < œ y por lo tanto CV
          _ &                                "
             )                               )
         8œ"

          " † es una serie : con : œ " y por lo tanto DV
          _ # "
             * 8
         8œ"


           Luego, " Œ 8      es DV.
                  _   &    #
                     )    *8
                 8œ"


                             Criterios para establecer la convergencia de series infinitas

 A.-          Criterio de comparación



       ∞
 Sea   ∑ an una serie de términos positivos:
       n =1

                     ∞
 a)           Si   ∑ bn   es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤ bn ∀ n ∈ , entonces
                   n =1

               ∞
              ∑ an es CV.
              n =1

                     ∞
 b)           Si   ∑ bn   es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥ bn ∀ n ∈ , entonces
                   n =1

               ∞
              ∑ an es DV
              n =1




           Ejemplos: Determine si la serie CV o DV.


           "Ñ "
              _   "
                &8  "
            8œ"

           &8  " Ÿ '8                     a8 − 

                "       "
                      
              &8  "   '8



                                                           13
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      "     œ " † serie armónica y por lo tanto DV
      _ "     _ " "
         '8      ' 8




                                                     VIRGINIO GOMEZ
     8œ"     8œ"


       Luego, "
              _   "
                       es DV
                &8  "
            8œ"



       #Ñ "
          _     "
             8#  %
         8œ"

       8#  %   8#                 a8 − 

          "     "
              Ÿ #
       8#  %  8



      " # serie : con : œ # y por lo tanto CV
      _ "
         8
     8œ"


       Luego, "
              _   "
                 #%
                     es CV.
                8
            8œ"




       $Ñ " #
          _   8
            8 "
        8œ"

                  8     "
        8
             8#   "   #8
             "         "
        "
             #         #
             #         "
        #
             &         %
              $        "
        $
             "!        '
              %        "
        %
             "(        )
              &         "
        &
             #'        "!


         8       "
               
       8#  "   #8

      "     œ " † serie armónica y por lo tanto DV
      _ "     _ " "
         #8      # 8
     8œ"     8œ"


       Luego, " #
              _   8
                     es DV.
                8 "
            8œ"



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                                           Ejercicios




                                                          VIRGINIO GOMEZ
       Decida si la serie CV. o DV.



       "Ñ "                            #Ñ " 8
          _   "                           _   "
             $(                            % $
        8œ" 8                           8œ"



       $Ñ "                            %Ñ "
          _  "                            _    "
        8œ"
            8#
                                        8œ" $8#  "



       &Ñ "
          _
            È8  %
              "
        8œ"


                                               Solución


       1) CV                                   2) CV


       3) DV                                   4) CV


       5) DV




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 B)       Criterio de la Integral de Cauchy




                                                                                                VIRGINIO GOMEZ
          Sea y = f (x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥ 1 , entonces la

         ∞                                                          +∞
 serie   ∑ an         es CV si la integral impropia                 ∫ f ( x)dx    es CV y la
         n=1                                                        1

         ∞                                                          +∞
 serie   ∑ an         es DV si la integral impropia                  ∫ f ( x)dx   es DV .
         n=1                                                         1


         Ejemplos:

         Determinar si la serie CV o DV.


         "Ñ " 8 † /8
            _

          8œ"

         0 aB b œ B † /  B                       0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   "


         (                                         (
                 _                                        ,
                      B † /B .B œ lim                         B † /B .B
             "                             ,Ä_        "


         ( B † / .B
                B
                                                                            ?œB      Ê .? œ .B
                                                                             .@ œ /B .B   Ê @ œ  / B
         ( B † / .B œ  B/  (  / .B
                B        B      B



                              œ  B/B  /B  G

                                   B"
                              œ         G
                                    /B


                      (                                             º
                              ,                                 B" ,
         lim                      B † /B .B œ lim
         ,Ä_             "                      ,Ä_            /B   "

                                                       ," ""
                                       œ    lim            
                                           ,Ä_         /,   /

                                                    ," #
                                       œ   lim          
                                           ,Ä_      /,   /
                                                  œ Pw L Œ lim                 , 
                                                                             "      #
                                                                                   
                                                                    ,Ä_     /       /

                                                           #
                                                  œ
                                                           /

Por lo tanto, (                                      Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV.
                      _
                                                   #                  _
                              B † /B .B CV a
                  "                                /
                                                                     8œ"


                                                                            16
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#Ñ "
   _ E<->1 8
     8#  "




                                                                                         VIRGINIO GOMEZ
 8œ"

        0 aB b œ                                       0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   "
                         E<->1 B
                         B#  "


        (                    .B œ lim (
                _
                     E<->1 B              , E<->1 B
                       #"
                                                    .B
            "        B            ,Ä_  "   B#  "



        (
                E<->1 B                                                                       "
                        .B                                      ? œ E<->1 B        Ê .? œ          .B
                B#  "                                                                      "  B#



        (               .B œ ( ? .?
                E<->1 B
                B#  "

                              ?#
                          œ      G
                              #

                                  aE<->1 Bb#
                              œ              G
                                      #

                                              aE<->1 Bb# ,
                     (                                   º
                           , E<->1 B
        lim                          .B œ lim
        ,Ä_             "   B#  "      ,Ä_     #        "


                                                 aE<->1 , b#   aE<->1 "b#
                                   œ     lim                 
                                        ,Ä_         #             #

                                        1#   1#
                                   œ       
                                        )    $#

                                               $1 #
                                          œ
                                               $#

        Por lo tanto, (                                                          Þ Luego la serie " #
                                  _
                                       E<->1 B                              $1 #                  _ E<->1 8
                                               .B CV            a                                           es CV.
                              "        B#  "                               $#                       8 "
                                                                                                 8œ"



        $Ñ "
           _
                      È
                       "
         8 œ " a8  "b 68a8  "b

        0 aB b œ                                                0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   "
                         aB  "bÈ68aB  "b
                                 "



        (                              .B œ lim (
                _                                 ,
                     aB  "bÈ68aB  "b            " aB  "bÈ68aB  "b
                             "                              "
                                                                      .B
            "                               ,Ä_



        (                                                                ? œ 68aB  "b
                         È68aB  "b
                          "                                                                            "
                aB  " b
                                    .B                                                      Ê .? œ        .B
                                                                                                      B"




                                                              17
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Departamento de Ciencias Básicas



       (                     .B œ (
           aB  "bÈ68aB  "b        È?
                   "                 "
                                       .?




                                                                                VIRGINIO GOMEZ
                                     œ ( ? # .?
                                            "




                                     œ # È?  G

                                      œ # È68aB  "b  G


               (                             .B œ lim # È68aB  "b º
                       ,                                             ,
                           aB  "bÈ68aB  "b
                                   "
       lim
       ,Ä_        "                             ,Ä_                "


                                                œ   lim #È68a,  "b  #È68#
                                                    ,Ä_


                                                œ _  #È68#

                                               œ_
       Por lo tanto, (
                                _

                                     aB  "bÈ68aB  "b
                                             "
                                                       .B DV Þ Luego la serie
                            "



       "
       _
                            È68a8  "b
                             "
                   a8  " b
                                       es DV.
      8œ"


                                                       Ejercicios

       Determine si la serie CV o DV.


       "Ñ "                                                    #Ñ "
          _    "                                                  _    8#
             #8  "                                                   $
         8œ"                                                     8œ" 8 #


       $Ñ "                                          %Ñ "
          _        "                                    _ /"Î8

         8 œ # 8 a688b
                       #                                   8#
                                                       8œ"


       &Ñ "
          _
             È8#  "
               "
         8œ"


                                                           Solución


       1) DV                                                   2) DV


       3) CV                                                   4) CV


       5) DV



                                                             18
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                               Series infinitas de términos positivos y negativos




                                                                                VIRGINIO GOMEZ
                       Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces:

               ∞
               ∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an
               n =1
               y
               ∞
               ∑ (−1) n+1 ⋅ an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ an
               n =1



                       Se denominan series alternas o series alternantes.



       Ejemplos:



       "Ñ " a  "b8 †     œ      ÞÞÞ  a  "b8 †
          _            "     " " " "                   "
                      8"    # $ % &                  8"
        8œ"



       #Ñ " a  "b8  " † œ "      ÞÞÞ  a  "b8  " †
          _              "     " " " "                      "
                         8     # $ % &                      8
        8œ"




C.-    Criterio de la serie alterna

                                                                ∞
       Si a n > 0 ∀ n ∈  , entonces las series alternas        ∑ (−1) n ⋅ an   y
                                                                n =1
        ∞
        ∑ (−1) n+1 ⋅ an        convergen si, y sólo si:
        n =1


         a)           0 < a n +1 < a n ∀ n ∈ 

         b)            lim a n = 0
                       n→∞




                                                          19
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       Ejemplos:




                                                                              VIRGINIO GOMEZ
       Determine si la serie CV o DV.


       "Ñ " a  "b8 †
          _            "
                      $8
        8œ"

                    "                                "
                $ a8  " b
       +8  " œ                              +8 œ
                                                    $8

              "       "
       +Ñ                          a8 − 
            $8  $   $8

                   "
       ,Ñ lim        œ!
            8Ä_   $8

       Por lo tanto, la serie CV.



       #Ñ " a  "b8  " † #
          _                 "
                         8 "
         8œ"

                        "                                "
                   a8  " b  "
       +8  " œ             #
                                             +8 œ
                                                    8#   "

                 "          "
       +Ñ                #                  a8 − 
            8#  #8  #  8 "

                  "
       ,Ñ lim         œ!                                      Por lo tanto, la serie CV.
            8Ä_8#  "
       Teorema:


       a) Una serie " a  "b8 † +8    " a  "b8  " † +8 se dice que es
                    _                  _
                                        o
                  8œ"                8œ"
       Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV.
                                                   _

                                                 8œ"



       b) Una serie " a  "b8 † +8     " a  "b8  " † +8 se dice que es
                    _                  _
                                        o
                  8œ"                 8œ"
       Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV.
                                                      _

                                                    8œ"




                                                    20
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       Ejemplos:




                                                              VIRGINIO GOMEZ
       "Ñ " a  "b8 † 8
          _           &
                     %
        8œ"

                   &                             &
       +8  " œ                             +8 œ 8
                % 8"                           %

               &    &
       +Ñ          8              a8 − 
            % 8"  %

                   &
       ,Ñ lim        œ!
            8Ä_   %8

       La serie " a  "b8 † 8 es CV.
                _           &
                           %
               8œ"

      " 8 œ " & † Œ  es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV
      _ &   _      " 8                               "
         %         %                                 %
     8œ"   8œ"


       Luego la serie " a  "b8 † 8 CVA
                      _           &
                                 %
                    8œ"



       #Ñ " a  "b8  " †
          _
                          È8
                           "
        8œ"


                È8  "                             È8
                  "                                 "
       +8  " œ                             +8 œ



            È8  "   È8
              "       "
       +Ñ                                  a8 − 



                  È8
                   "
       ,Ñ lim        œ!
            8Ä_



       La serie " a  "b8  " †
                _
                                È8
                                 "
                                   es CV.
               8œ"

      "     œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV
      _ "     _ "
         È8
                                        "
                                        #
             8œ"8
                  #
     8œ"


       Luego la serie " a  "b8  " †
                      _
                                      È8
                                       "
                                         CVC
                    8œ"




                                                   21
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                                                 Ejercicios




                                                                           VIRGINIO GOMEZ
        Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,
además, si es CVA. o CVC.



         "Ñ " Ð  "Ñ8  " †                                   #Ñ " Ð  "Ñ8 †
            _                1                                   _              1
                            8"                                              8 #"
           8œ"                                                  8œ"



         $Ñ " Ð  "Ñ8 †                                       %Ñ " Ð  "Ñ8  " †
            _              1                                     _                 1
          8œ"           Ð8  "Ñ#                                8œ#              8$  "



         &Ñ " Ð  "Ñ8  " †                                   'Ñ " Ð  "Ñ8  " †
            _                 1                                  _                 1
                            8 È8                                                 $8  "
           8œ"                                                  8œ"


                                              Solución



         1) CVC                      2) CVA                   3) CVA



         4) CVA                      5) CVA                   6) CVC




                                                    22
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            D.-        Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert




                                                                                    VIRGINIO GOMEZ
                                 ∞
                       Sea       ∑ an    una serie infinita donde :     an ≠ 0
                                 n =1

                                                                           a n +1
                                                                  y     lim       =ρ
                                                                       n→∞ a n
                       entonces:

                       a) cuando ρ < 1 , la serie CVA.

                       b) cuando ρ > 1 , la serie DV.

                       c) cuando ρ = 1 el criterio no da información.


Ejemplos:

         Determine si la serie CV o DV.


         "Ñ "
            _ $8  "

                      â 8#             â
                   8!
                      â $               â
           8œ"
                      â                 â
                      â a8  " b !      â
         º        ºœâ                   â œ º $ † $ † $ † 8! º œ $
                                                8
                      â 8"             â
           +8  "
                      â $               â    a8  " b † 8 ! $ † $
                      â                 â
             +8                                              8    8"
                      â    8!           â

                   $
            lim       œ!"
         8Ä_      8"


         Por lo tanto, "
                       _ $8  "
                                CV
                           8!
                     8œ"



                        a#8b!
         #Ñ " a  "b8 †
            _

                    â                   â
                          8
                    â a#8  #b!         â
           8œ"
                    â                   â
                    â                   â   a#8  #b † a#8  "b † a#8b!
         º         œâ 8"
                  º â                   ✺                                     º
           +8  "                                                           8
                        a#8b!           â                                 a#8b!
                    â                   â
                                                                        †
                    â                   â
             +8                                        8"
                          8
                                              %8$  '8#  #8
                                          œ
                                                   8"

                                                       8$   8#   8
                   $         #
                  %8  '8  #8                     %      ' #
            lim                œ          lim          8     8   8
         8Ä_          8"                8Ä_              8    "
                                                            
                                                          8    8



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                          œ       lim   %8#  '8  #
                              8Ä_              "
                                           "




                                                                            VIRGINIO GOMEZ
                                               8
                              _
                          œ
                              "

                          œ_"

                                 a#8b!
       Por lo tanto, " a  "b8 †
                     _
                                       DV.
                                   8
                   8œ"



       $Ñ " a  "b8 † $
          _          #8
                     8
         8œ"
                         â              â
                         â #8  "       â
                         â              â
                         â              â
                           a8  " b $
              º        ºœâ              ✺ # †# † 8 º
                                             8
                         â              â
                +8  "                                $

                         â              â
                         â              â
                                                    #8
                              #8           Š8  "‹
                  +8
                         â              â
                                                  $


                              8$
                                                     #8$
                                            œ $
                                               8  $8#  $8  "

                                                                   8$
                            #8$                                #
               lim                     œ     lim                   8$
              8Ä_    8$  $8#  $8  "       8Ä_         8$   8#   8    "
                                                          $
                                                            $ $ $ $  $
                                                         8    8    8   8

                                              œ    lim       #
                                                   8Ä_     $   $  "
                                                         "  #  $
                                                           8   8 8

                                              œ#"


       Por lo tanto, " a  "b8 † $ DV.
                     _          #8
                                8
                   8œ"



       %Ñ " a  "b8 † 8
          _          8#
                      &
        8œ"
                  â               â
                  â               â
                  â               â
                  â               â
                         8$

       º        ºœâ               ✺ 8       ºœ
         +8  "                      8$   &8     8$
                  â               â
                        &8  "
                  â               â
                                         †
                  â               â
           +8            8#         & †& 8#    &8  "!
                          &8

            8$               "  "
        lim        œ Pw L lim   œ "
       8Ä_ &8  "!        8Ä_ &  &


       Por lo tanto, " a  "b8 † 8 CVA.
                     _          8#
                                 &
                   8œ"



                                                       24
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                                           Ejercicios




                                                                       VIRGINIO GOMEZ
       Determine si la serie CV o DV.


          _ a8  " bx
       "Ñ "                                      #Ñ " Ð  "Ñ8
                                                    _          &8
               #8                                             a#8b x
         8œ!                                       8œ"


                    a8bx
       $Ñ " Ð  "Ñ8                                     %Ñ " 8
          _                                                _     8#
                    8 $8                                      $ a8  " b
         8œ"                                              8œ"



       &Ñ " Ð  "Ñ8
          _             "
                    Ð#8  "Ñx
         8œ"




                                        Solución



       1) DV                            2) CVA                          3) DV


       4) CV                            5) CVA




                                              25
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  Departamento de Ciencias Básicas


                                                       Serie de Potencias




                                                                                                VIRGINIO GOMEZ
 Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma :

                                                                             ∞
  b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n
                                                                            n =0
  bi y a son números , x es variable.

 Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número
     ∞
 y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes.
    n =0

 Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie
  ∞     n                     2       3            n
  ∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x
 n =0




         Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.

Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB  +b8
                                                                                              _

                                                                                           8œ!
donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de
la Razón y se resuelve la inecuación 3  ", además se debe hacer el análisis de los extremos.

          Ejemplos:

          Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias

                             # 8 † aB  " b 8
          "Ñ " a  "b8  " †
             _
                                  8 † $8
           8œ"
                                            â                                    â
                                            â     # 8  " † aB  " b 8  "       â
                                            â                                    â
                                            â                                    â
                                            â        a8  " b † $ 8  "          â
          º          º                      â                                    â
              +8  "
                                            â         # 8 † aB  " b 8           â
                                            â                                    â
                                  œ
                                            â                                    â
                +8
                                            â              8 † $8                â

                                                #8 † # † aB  "b8 † aB  "b
                                            º                                               º
                                                                                8 † $8
                                                      a8  " b † $           # † aB  " b 8
                                  œ                                8†$      † 8


                                         † ¸ B  "¸
                                 #   8
                                  Ϡ
                                 $ 8"
                      † ¸ B  "¸ œ        † ¸ B  "¸ lim
               #   8                   #                   8
           lim   †
          8Ä_ $ 8  "                  $             8Ä_ 8  "


                                                                             † ¸ B  "¸ lim
                                                                           #                "
                                                        œ          Pw L
                                                                           $           8Ä_ "


                                                                     † ¸ B  "¸
                                                                   #
                                                        œ
                                                                   $


                                                                 26
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         † ¸ B  "¸  " Í  "  ÐB  "Ñ  "
       #                       #
       $                       $




                                                                             VIRGINIO GOMEZ
                            $       $
                      Í      B"
                            #       #
                                   &     "
                            Í       B
                                   #     #


       Análisis de los extremos

                      &
       Para B œ 
                      #

                       #8 † Œ  
                                $ 8                                  a  " b8 a$ 8 b
                                                                #8 †
      " a  " b8  " †                       œ " a  " b8  " †
      _                                        _
                                #                                          #8
                           8†$ 8                                      8 † $8
     8œ"                                      8œ"


                                                      œ " a  " b# 8  " †
                                                        _                  "
                                                                           8
                                                       8œ"


                                                      œ "
                                                          _ "
                                                             8
                                                         8œ"


       Pero, "
             _ "
                  es la serie armónica y por lo tanto DV.
                8
            8œ"


                  "
       Para B œ
                  #

                       #8 † Œ 
                              $ 8                                     $8
                                                                #8 † 8
      " a  " b8  " †                       œ " a  " b8  " †
      _                       #                _
                                                                      #
                         8 † $8                                  8 † $8
     8œ"                                      8œ"


                                                      œ " a  " b8  " †
                                                        _                "
                                                                         8
                                                       8œ"



       Pero, " a  "b8  " † es una serie alterna que es CVC.
             _              "
                            8
            8œ"

       Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie

                        # 8 † aB  " b 8
       " a  " b8  " †
       _                                     &      "
                                 8       es   B Ÿ
                             8†$             #      #
      8œ"




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                      aB  $ b 8
       #Ñ " a  "b8 †
          _
                         8!




                                                                                  VIRGINIO GOMEZ
        8œ"
                                   â                          â
                                   â     aB  $ b 8  "       â
                                   â                          â
                                   â        a8  " b !        â
       º          º                â                          â
                                   â                          â
           +8  "
                                   â       aB  $ b 8         â
                          œ
                                   â                          â
             +8
                                   â           8!             â

                                       a B  $ b 8 † aB  $ b
                                   º                                       º
                                                                   8!
                                           a 8  " b † 8!       aB  $ b 8
                          œ                                   †


                                       † ¸ B  $¸
                                    "
                          œ
                                   8"


                   † ¸ B  $¸                   ¸ B  $¸ lim
                "                                                  "
       lim                         œ
      8Ä_      8"                                        8Ä_     8"

                                   œ            ¸ B  $¸ † !

                                   œ            !"

                                          aB  $ b 8
       Por lo tanto, la serie " a  "b8 †
                              _
                                                                      es CVA a B − ‘
                                             8!
                            8œ"



       $Ñ " a  "b8 † 8 8
          _            8!
                     "! † B
        8œ"
                                   â          a8  " b !          â
                                   â                              â
                                   â                              â
                                   â                              â
       º          º                â                              â
           +8  "                           8  " † B8  "
                                   â                              â
                                         "!
                                   â                              â
                          œ
                                                 8!
                                   â                              â
             +8
                                             "!8 † B8

                                         a 8  " b † 8!
                                   º                                º
                                                           "!8 † B8
                          œ                              †
                                       "!8 † "! † B8 † B      8!

                                   a8  " b †
                                                 "!¸B¸
                                                   "
                          œ


       lim a8  "b †
                       "!¸B¸                    "!¸B¸ 8Ä_
                         "                        "
                                   œ                   lim Ð8  "Ñ
      8Ä_




                                                "!¸B¸
                                                  "
                                   œ                  †_


                                   œ            _"

                                          aB  $ b 8
       Por lo tanto, la serie " a  "b8 †
                              _
                                                                      es DV a B − ‘
                                             8!
                            8œ"



                                                         28
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                                                Ejercicios




                                                                            VIRGINIO GOMEZ
       Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias



       "Ñ " Ð#8Ñx † Œ                              #Ñ " Ð  "Ñ8  " †
          _          B 8                               _               ÐB  &Ñ8
                     #                                                  8 † &8
        8œ!                                          8œ"



       $Ñ "                                         %Ñ " Ð  "Ñ8  " †
          _    ÐB  #Ñ8  "                            _               ÐB  (Ñ8
                          8"                                           8 † (8
        8 œ " Ð8  "Ñ † $                            8œ"



       &Ñ " Ð  "Ñ8  " †                           'Ñ " Ð  "Ñ8 †
          _                B#8  "                     _           8x ÐB  %Ñ8
                          Ð#8  "Ñ!                                     $8
        8œ"                                          8œ"



       (Ñ "                                         )Ñ " Œ      † Ð  #BÑ
          _ 8x † B8                                    _    8              8"
             Ð#8Ñx                                         8"
        8œ"                                          8œ"



       *Ñ "                                         "!Ñ " Ð  "Ñ8 †
          _ #8 † B8                                     _           ##8  " † B#8
              8#                                                        Ð#8Ñx
        8œ"                                           8œ"



                                                Solución


       "Ñ No existe intervalo de convergencia

       #Ñ !  B Ÿ "!

       $Ñ  " Ÿ B  &

       %Ñ !  B Ÿ "%

       &Ñ ‘

       'Ñ No existe intervalo de convergencia

       (Ñ ‘

              "     "
       )Ñ      B
              #     #
              "     "
       *Ñ      ŸBŸ
              #     #

       "!Ñ ‘



                                                   29
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                                                  Serie de Taylor




                                                                                   VIRGINIO GOMEZ
                                   ∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n
 Concepto : La expresión f ( x ) = ∑                      corresponde a la serie de Taylor de
                                  n=0        n!
  f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a .

  f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .

                                               ∞ f n ( 0) ⋅ x n
 Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑                que se conoce con el nombre de
                                              n=0      n!
 serie de Maclaurin de f .




           Ejemplos

           1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ
                                                                                   "
                                                                                   B

           0 ! aB b œ                                     Ê 0 ! a"b œ "
                          "
                          B

           0 w aB b œ                            Ê 0 w a"b œ  "
                              "
                                 œ  B#
                              B#

           0 w w aB b œ                                   Ê 0 w a"b œ #
                          #                                      w
                             œ #B$
                          B$

           0 w w aB b œ                                  Ê 0 w a"b œ  '
              w               '                                  ww
                                 œ  'B%
                              B%

           0 3@ aBb œ                                     Ê 0 3@ a"b œ #%
                          #%
                             œ #%B&
                          B&


           " † aB  "b!   a  "b † aB  "b # † aB  "b#   a  'b † aB  "b$   #% † aB  "b%
0 aB b œ                                                                 
                 !!              "!              #x               $!                %!

                      aB  " b !   aB  "b # † aB  "b#   ' † aB  "b$   #% † aB  "b%
           0 aB b œ                                                 
                         "            "          #              '              #%

           0 aBb œ aB  "b!  aB  "b  aB  "b#  aB  "b$  aB  "b%


           Por lo tanto, 0 aBb œ        œ " a  "b8 † aB  "b8
                                      "   _
                                      B
                                         8œ!




                                                        30
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  Departamento de Ciencias Básicas


         2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B

         0 ! aBb œ -9=B                                Ê 0 ! a!b œ "




                                                                                         VIRGINIO GOMEZ
         0 w aBb œ  =/8B                              Ê 0 w a!b œ !

         0 w w aBb œ  -9=B                            Ê 0 w a!b œ  "
                                                            w



         0 w w aBb œ =/8B                              Ê 0 w w a!b œ !
            w                                                   w



         0 3@ aBb œ -9=B                               Ê 0 3@ a!b œ "


                               ! † B a  "b † B#
         0 aB b œ
                      " † B!                       ! † B$   " † B%
                                                       
                        !!      "!       #x          $!       %!

         0 aB b œ
                      B!     B#     B%
                         !    !
                      !!     #!     %!

         0 aB b œ
                      B!   B#   B%
                             
                      !!   #!   %!

         Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a  "b8 †
                                      _            B#8
                                                  a#8b!
                                     8œ!


3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À

         +Ñ 0 aBb œ 68a"  Bb

         0 ! aBb œ 68a"  Bb                                             Ê 0 ! a!b œ !

         0 w aB b œ       œ a "  Bb"                                   Ê 0 w a!b œ "
                       "
                      "B

         0 w w aB b œ                     œ  a"  Bb#                 Ê 0 w a!b œ  "
                               "
                          a "  Bb
                                                                              w
                                       #



         0 w w aB b œ                  œ # a"  Bb$                     Ê 0 w a!b œ #
                           #
                        a"  B b
            w                                                                 ww
                                   $



         0 3@ aBb œ                       œ  'a"  Bb%                Ê 0 3@ a!b œ  '
                               '
                          a"  B b %


         0 aB b œ
                      ! † B!   " † B " † B#   # † B$   ' † B%
                                                  
                        "        "     #        '       #%

         0 aB b œ !  B 
                               B#   B$   B%
                                      
                               #    $    %

         Por lo tanto, 0 aBb œ 68a"  Bb œ " a  "b8 †
                                           _           B8  "
                                                        8"
                                          8œ!



                                                                    31
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Departamento de Ciencias Básicas


       Intervalo de convergencia
                           â                â
                           â                â




                                                                         VIRGINIO GOMEZ
                           â                â
                                   B8  #
                           â                â
       º          º       œâ                ✺                º œ ¸B¸ † Œ     
           +8  "                               B8 † B # 8  "             8"
                           â                â
                                    8#
                           â                â
                                                        †
                                   B8  "        8  # B8 † B
                           â                â
             +8                                                            8#
                                    8"

       lim ¸B¸ † Œ                         ¸B¸ † lim Œ       
                      8"                                 8"
                                    œ
      8Ä_             8#                        8Ä_      8#

                                    œ       Pw L ¸B¸ † lim
                                                         "
                                                     8Ä_ "


                                    œ       ¸B ¸

       ¸B¸  " Í  "  B  "

       Análisis de los extremos

       Para B œ  "

                   a  " b8  "               _ a  "b#8  "
      " a  " b8 †                          œ"
      _
                      8"                           8"
     8œ!                                     8œ!


                                            œ" 
                                              _   "
                                                 8"
                                             8œ!


                                            œ" 
                                              _  "
                                                 8
                                             8œ"


       Pero, "  es la serie armónica y por lo tanto DV
             _  "
                8
           8œ"

       Para B œ "

                   a" b 8  "
      " a  " b8 †                  œ " a  " b8 †
      _                               _             "
                     8"                           8"
     8œ!                             8œ!


       Pero, " a  "b8 †
             _            "
                             es una serie alterna que CVC
                         8"
           8œ!


       Luego el intervalo de convergencia de la serie " a  "b8 †
                                                      _           B8  "
                                                                         es  "  B Ÿ "
                                                                   8"
                                                    8œ!




                                                   32
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       ,Ñ 0 aBb œ /B

       0 ! aB b œ / B                                       Ê 0 ! a!b œ "




                                                                                        VIRGINIO GOMEZ
       0 w aB b œ / B                                       Ê 0 w a!b œ "

       0 w w aB b œ / B                                     Ê 0 w w a!b œ "

       0 w w aB b œ / B                                     Ê 0 w a!b œ "
            w                                                     ww



       0 3@ aBb œ /B                                        Ê 0 3@ a!b œ "


       0 aB b œ
                    " † B!   " † B " † B#   " † B$   " † B%
                                                
                      !!      "!     #!       $!       %!

       Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ "
                                  _ B8
                                     8!
                                 8œ!

       Intervalo de convergencia
                      â                 â
                      â                 â
                      â                 â
                            B8  "
                      â    a8  " b !   â
       º        º    œâ                 ✺                    º œ ¸B¸ † Œ     
           +8"                                B8 † B       8!              "
                      â                 â   a 8  " b † 8! B 8
                      â                 â
                                                          †
                              B8
                      â                 â
            +8                                                             8"
                              8!

       lim ¸B¸ † Œ                            ¸B¸ † lim Œ          
                         "                                       "
                                        œ
      8Ä_               8"                         8Ä_         8"

                                        œ       ¸B ¸ † !

                                        œ      !"


       Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie "
                                                              _ B8
                                                                    es ‘
                                                                 8!
                                                             8œ!


                                                     Ejercicios

       I            Desarrollar en serie de Taylor

       "Ñ 0 ÐBÑ œ ÈB
                  $                                                                 "
                                        con + œ "                      #Ñ 0 ÐBÑ œ                con + œ  "
                                                                                    B

       $Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB  "b
                                                                                                           1
                                        con + œ "                      %Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B          con + œ
                                                                                                           $


       II           Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia



                                                                                          $Ñ 0 ÐBÑ œ -9=ŒB  
                                                                                                            "
       "Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ#                         #Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B
                                                                                                            #




                                                           33
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  • 1. COMPLEMENTO DE CÁLCULO D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
  • 2. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas INTRODUCCION VIRGINIO GOMEZ Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más. Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros), transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y mantención en sectores productivos. Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones escalares o vectoriales de una o varias variables.
  • 3. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas INDICE VIRGINIO GOMEZ Pág. I SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... 3 Límite de una sucesión ......................................................................................... 4 Serie .................................................................................................................... 7 Serie geométrica .................................................................................................. 8 Serie p o hipergeométrica ................................................................................... 9 Teoremas sobre series ........................................................................................ 11 Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. 13 criterio de la integral ..................................................................... 16 criterio de la serie alterna ............................................................... 19 criterio de la razón ....................................................................... 23 Serie de potencias ................................................................................................ 26 Serie de Taylor ................................................................................................... 30 II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... 35 Dominio de funciones de dos variables ............................................................... 36 III DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales .................................................................................. 40 Derivación implícita ........................................................................................... 45 Regla de la cadena ........................................................................................... 48 Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ 55 demostraciones .............................................................................. 59 Derivada direccional ......................................................................................... 62 Gradientes ......................................................................................................... 66 Derivadas parciales de orden superior ................................................................. 70 Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... 73 Hessiano de una función de dos variables .......................................................... 73 Criterio de la segunda derivada .......................................................................... 73 Multiplicadores de Lagrange .............................................................................. 77 1
  • 4. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas IV INTEGRACION MULTIPLE Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... 82 VIRGINIO GOMEZ planos ...................................................................................... .... 82 esfera ........................................................................................... 86 cilindro ........................................................................................... 87 cono .............................................................................................. 89 paraboloide .................................................................................... 91 Integrales dobles .................................................................................................... 92 Propiedades de la integral dobles ....................................................................... 95 Aplicaciones de la integral doble: cálculo de áreas en el plano ........................................................... 98 determinar el valor de la región ‘ ................................................. 103 cálculo de volúmenes ..................................................................... 108 Cálculo de volúmenes ......................................................................................... 116 123 Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................ 128 V CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ 136 campo vectorial conservativo ............................................................ 137 campo vectorial conservativo en el plano ......................................... 137 Rotacional .......................................................................................................... 141 Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... 141 Plano tangente y recta normal a una superficie .................................................. 146 VI ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 150 Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... 151 Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... 154 Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 158 VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162 VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178 2
  • 5. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Sucesiones VIRGINIO GOMEZ naturales a œ ™  b Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 −  Ejemplo: n 1) Si , f (n) = entonces: n+2 n 1 2 3 4 5 ... n f (n) 1 1 3 2 5 ... n 3 2 5 3 7 n+2 Los pares ordenados serán:  1  1  1  2  5  n  1 ,  ;  2 ,  ;  3 ,  ;  4 ,  ;  5 ,  ... n ,  ; ...  3  2  3  3  7   n+ 2 Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la notación { f (n)} = {a n } para representarla. En el ejemplo { f (n)} = {a n } = {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,..., a n ,...} { f (n)} =   n  = 1 1 3 2 5  , , , , , ..., n  , ... n + 2  3 2 5 3 7 n+2  2) 0 a8b œ œ " si 8 es impar $ si 8 es par œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ 3
  • 6. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas VIRGINIO GOMEZ Concepto de Límite de una Sucesión Si para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces { } se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por : lim a n = L n→∞ Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. Límite de una Sucesión + Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con lim f ( x) = L , x→∞ entonces si { a n } es una sucesión tal que f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que lim an = L n→∞ Ejemplos À Determinar si la sucesión es CV o DV 1) œ  8 8# 0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö  # × B B# ™ © ‘  Ö  #× B B B " lim œ lim œ lim œ" BÄ_ B# BÄ_ B # BÄ_ #  " B B B 8 Por lo tanto, lim œ ", luego la sucesión es CV. 8Ä_ 8# 2) œ  "  &8$ #8$  %8 0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö! × "  &B$ #B$  %B ™  © ‘  Ö!× 4
  • 7. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas " &B$ " "  &B $  $ & & lim œ lim B$ B œ lim B$ VIRGINIO GOMEZ œ B Ä _ #B$  %B B Ä _ #B$ %B BÄ_ % #  $ # # B $ B B "  &8$ & Por lo tanto, lim œ , luego la sucesión es CV. 8 Ä _ #8$  %8 # 3) œ8 † =/8Š ‹ 1 8 0 aBb œ B † =/8Š ‹ H970 aBb œ ‘  Ö! × 1 B ™  © ‘  Ö!× B † =/8Š ‹ 1 lim œ_†! BÄ_ B =/8Š ‹ 1 œ lim B BÄ_ " B ! œ ! -9=Š ‹ 1 1  # œ Pw L lim B B BÄ_ "  # B 1 -9=Š ‹ 1 œ lim B BÄ_ " œ1 lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV. 1 Por lo tanto, 8Ä_ 8 5
  • 8. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas VIRGINIO GOMEZ Teorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces: a) La sucesión {c} tiene como límite c b) lim c ⋅ a n = c ⋅ lim an n→∞ n→∞ c) lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn n→∞ n→∞ n→∞ d) lim a n ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn n→∞ n→∞ n→∞ an lim a n lim n →∞ e) = si lim bn ≠ 0 n → ∞ bn lim bn n →∞ n →∞ Ejercicios Determine si la sucesión CV o DV a) œ  b) œ  c) œ  8" #8#  " 8#  " #8  " $8#  " 8 d) œ  e) œ  f) œ È8#  "  8  $8$ /8 " #8#  8 8 Solución a) CV b) CV c) DV d) DV e) DV f) DV 6
  • 9. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Series VIRGINIO GOMEZ Concepto de Series Infinitas Si {a n } es una sucesión infinita, entonces : ∞ ∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + a n + ... n =1 se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,... se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales S1 = a1 S 2 = a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a3 M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n ∞ Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie ∑ an converge. n =1 Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8  la sucesión de sumas parciales. _ 8œ" Si lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8Ä_ 8 y si lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma. 8Ä_ 8 ∞ Teorema : Si la serie ∑ an es CV, entonces lim a n = 0 n →∞ n =1 ∞ Teorema : Si lim a n ≠ 0 n →∞ , entonces la serie dada ∑ an es DV. n =1 Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen bajo que condiciones una serie dada CV o DV. 7
  • 10. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie Geométrica VIRGINIO GOMEZ La serie Primer término ∞ ∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con a≠0 n =0 razón Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón Teorema À La serie geométrica " + † <8 de razón < converge a W œ _ + si, y sólo si, "< ¸ < ¸  " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸   " 8œ! Ejemplos Determine si las series son CV o DV +Ñ " 8 œ " Œ  _ " _ " 8 " <œ " # # # 8œ! 8œ! " Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ# " " # ,Ñ " Œ  _ & 8 & <œ " % % 8œ! Por lo tanto, la serie DV. -Ñ " Œ   _ " 8 " <œ  " # # 8œ! " # Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ " $ " # .Ñ " # † Œ   _ # 8 # <œ  " $ $ 8œ! # ' Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ # & " $ /Ñ " $ † Œ  _ ' 8 ' <œ " Por lo tanto, la serie DV. & & 8œ! 8
  • 11. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie p o serie Hiperarmónica VIRGINIO GOMEZ ∞ 1 1 1 1 La serie ∑ n p = 1+ 2 p + 3 p +L+ np +L n =1 se llama serie p con p>0 ∞ 1 1 1 1 Si p = 1 , entonces la serie ∑ n = 1+ + +L+ +L 2 3 n n =1 se denomina serie armónica. Teorema À La serie : " _ " es convergente si, y sólo si, :  " y es divergente si, y 8: 8œ" sólo si, !  : Ÿ " Ejemplos Determine si las series son CV o DV +Ñ " _ " :œ" Por lo tanto, la serie DV 8 8œ" ,Ñ " _ " :œ$ Por lo tanto, la serie CV 8$ 8œ" -Ñ " _ " " "Î$ :œ Por lo tanto, la serie DV 8 $ 8œ" .Ñ " _ " :œ1 Por lo tanto, la serie CV 81 8œ" /Ñ " $ _ È8% " % :œ Por lo tanto, la serie CV $ 8œ" 9
  • 12. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV. "Ñ " 8 #Ñ " Œ   $Ñ " #Œ  _ % _ ( 8 _ ) 8 # $ & 8œ! 8œ! 8œ! _ a&'b8 %Ñ " &Ñ " Ð  #&Ñ8 'Ñ " _ $ _ Ð  ""Ñ8 $ 8œ! 8œ! 8œ! II Decida si las siguientes series : CV. o DV. "Ñ " #Ñ " $Ñ " _ " _ $ _ # "&8 "& %Î* 8œ" 8 œ "8 8 œ "8 %Ñ " &Ñ " 'Ñ " _ # _ % _ ( & &Î) "#Î& 8 œ "8 8 œ "8 8 œ "8 Solución I " ( 1) < œ ß la serie CV 2) < œ  , la serie DV # $ ) " 3) < œ ß la serie DV 4) < œ  ß la serie CV & "" 5) < œ  #&ß la serie DV 6) < œ &' ß la serie DV II 1) : œ " ß la serie DV 2) : œ "& ß la serie CV % 3) : œ ß la serie DV 4) : œ &ß la serie CV * & "# 5) : œ ß la serie DV 6) : œ ß la serie CV ) & 10
  • 13. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Teoremas sobre Series VIRGINIO GOMEZ Teorema 1: Si " +8 y " ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número _ _ 8œ" 8œ" finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV. Ejemplo: Determine si la serie " _ " es CV o DV 8" 8œ" " _ " " " " " " œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ y 8" # $ % & 8" 8œ" " _ " " " " " " œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ 8 # $ % & 8 8œ" La serie " _ " equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como 8" 8œ" ! " es DV, entonces " _ _ " es también DV. 8œ" 8 8" 8œ" Teorema 2: Sea - una constante no nula: a) Si " +8 es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 es CV y su _ _ _ 8œ" 8œ" 8œ" suma es -WÞ b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV. _ _ 8œ" 8œ" Ejemplo: 1) " 8 œ " # † 8 œ # † " 8 _ # _ " _ " $ $ $ 8œ" 8œ" 8œ" " 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV. _ " " $ $ 8œ" " 8 es CV. _ # Así, $ 8œ" 11
  • 14. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas 2) " œ " _ _ # $È 8 $ È8 # " † VIRGINIO GOMEZ 8œ" 8œ" " _ È8 " " es serie : con : œ y por lo tanto DV. # 8œ" Así, " _ È8 # es DV. $ 8œ" Teorema3: Si " +8 y " ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B, _ _ 8œ" 8œ" entonces: a) " a+8  ,8 b es CV y su suma es A  B _ 8œ" b) " a+8  ,8 b es CV y su resta es A  B _ 8œ" Ejemplo: " Œ 8  8 œ " 8 " 8 _ " $ _ " _ $ # & # & 8œ" 8œ" 8œ" " 8 es CV y su suma es " _ " # 8œ" " 8 es CV y su suma es _ $ $ & % 8œ" Luego, " Œ 8  8  es CV y su suma es _ " $ ( # & % 8œ" Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces _ _ 8œ" 8œ" " a+8 „ ,8 b es DV. _ 8œ" 12
  • 15. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejemplo: VIRGINIO GOMEZ " Œ 8  œ " 8  " _ & # _ & _ # ) *8 ) *8 8œ" 8œ" 8œ" " 8 es una serie geométrica con < œ y por lo tanto CV _ & " ) ) 8œ" " † es una serie : con : œ " y por lo tanto DV _ # " * 8 8œ" Luego, " Œ 8   es DV. _ & # ) *8 8œ" Criterios para establecer la convergencia de series infinitas A.- Criterio de comparación ∞ Sea ∑ an una serie de términos positivos: n =1 ∞ a) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤ bn ∀ n ∈ , entonces n =1 ∞ ∑ an es CV. n =1 ∞ b) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥ bn ∀ n ∈ , entonces n =1 ∞ ∑ an es DV n =1 Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. "Ñ " _ " &8  " 8œ" &8  " Ÿ '8 a8 −  " "   &8  " '8 13
  • 16. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas " œ " † serie armónica y por lo tanto DV _ " _ " " '8 ' 8 VIRGINIO GOMEZ 8œ" 8œ" Luego, " _ " es DV &8  " 8œ" #Ñ " _ " 8#  % 8œ" 8#  %   8# a8 −  " " Ÿ # 8#  % 8 " # serie : con : œ # y por lo tanto CV _ " 8 8œ" Luego, " _ " #% es CV. 8 8œ" $Ñ " # _ 8 8 " 8œ" 8 " 8 8# " #8 " " " # # # " # & % $ " $ "! ' % " % "( ) & " & #' "! 8 "   8#  " #8 " œ " † serie armónica y por lo tanto DV _ " _ " " #8 # 8 8œ" 8œ" Luego, " # _ 8 es DV. 8 " 8œ" 14
  • 17. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Decida si la serie CV. o DV. "Ñ " #Ñ " 8 _ " _ " $( % $ 8œ" 8 8œ" $Ñ " %Ñ " _ " _ " 8œ" 8# 8œ" $8#  " &Ñ " _ È8  % " 8œ" Solución 1) CV 2) CV 3) DV 4) CV 5) DV 15
  • 18. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas B) Criterio de la Integral de Cauchy VIRGINIO GOMEZ Sea y = f (x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥ 1 , entonces la ∞ +∞ serie ∑ an es CV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es CV y la n=1 1 ∞ +∞ serie ∑ an es DV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es DV . n=1 1 Ejemplos: Determinar si la serie CV o DV. "Ñ " 8 † /8 _ 8œ" 0 aB b œ B † /  B 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   " ( ( _ , B † /B .B œ lim B † /B .B " ,Ä_ " ( B † / .B B ?œB Ê .? œ .B .@ œ /B .B Ê @ œ  / B ( B † / .B œ  B/  (  / .B B B B œ  B/B  /B  G B" œ G /B ( º , B" , lim B † /B .B œ lim ,Ä_ " ,Ä_ /B " ," "" œ lim  ,Ä_ /, / ," # œ lim  ,Ä_ /, / œ Pw L Œ lim ,  " #  ,Ä_ / / # œ / Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV. _ # _ B † /B .B CV a " / 8œ" 16
  • 19. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas #Ñ " _ E<->1 8 8#  " VIRGINIO GOMEZ 8œ" 0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   " E<->1 B B#  " ( .B œ lim ( _ E<->1 B , E<->1 B #" .B " B ,Ä_ " B#  " ( E<->1 B " .B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B B#  " "  B# ( .B œ ( ? .? E<->1 B B#  " ?# œ G # aE<->1 Bb# œ G # aE<->1 Bb# , ( º , E<->1 B lim .B œ lim ,Ä_ " B#  " ,Ä_ # " aE<->1 , b# aE<->1 "b# œ lim  ,Ä_ # # 1# 1# œ  ) $# $1 # œ $# Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " # _ E<->1 B $1 # _ E<->1 8 .B CV a es CV. " B#  " $# 8 " 8œ" $Ñ " _ È " 8 œ " a8  "b 68a8  "b 0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   " aB  "bÈ68aB  "b " ( .B œ lim ( _ , aB  "bÈ68aB  "b " aB  "bÈ68aB  "b " " .B " ,Ä_ ( ? œ 68aB  "b È68aB  "b " " aB  " b .B Ê .? œ .B B" 17
  • 20. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas ( .B œ ( aB  "bÈ68aB  "b È? " " .? VIRGINIO GOMEZ œ ( ? # .? " œ # È?  G œ # È68aB  "b  G ( .B œ lim # È68aB  "b º , , aB  "bÈ68aB  "b " lim ,Ä_ " ,Ä_ " œ lim #È68a,  "b  #È68# ,Ä_ œ _  #È68# œ_ Por lo tanto, ( _ aB  "bÈ68aB  "b " .B DV Þ Luego la serie " " _ È68a8  "b " a8  " b es DV. 8œ" Ejercicios Determine si la serie CV o DV. "Ñ " #Ñ " _ " _ 8# #8  " $ 8œ" 8œ" 8 # $Ñ " %Ñ " _ " _ /"Î8 8 œ # 8 a688b # 8# 8œ" &Ñ " _ È8#  " " 8œ" Solución 1) DV 2) DV 3) CV 4) CV 5) DV 18
  • 21. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Series infinitas de términos positivos y negativos VIRGINIO GOMEZ Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces: ∞ ∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an n =1 y ∞ ∑ (−1) n+1 ⋅ an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ an n =1 Se denominan series alternas o series alternantes. Ejemplos: "Ñ " a  "b8 † œ      ÞÞÞ  a  "b8 † _ " " " " " " 8" # $ % & 8" 8œ" #Ñ " a  "b8  " † œ "      ÞÞÞ  a  "b8  " † _ " " " " " " 8 # $ % & 8 8œ" C.- Criterio de la serie alterna ∞ Si a n > 0 ∀ n ∈  , entonces las series alternas ∑ (−1) n ⋅ an y n =1 ∞ ∑ (−1) n+1 ⋅ an convergen si, y sólo si: n =1 a) 0 < a n +1 < a n ∀ n ∈  b) lim a n = 0 n→∞ 19
  • 22. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejemplos: VIRGINIO GOMEZ Determine si la serie CV o DV. "Ñ " a  "b8 † _ " $8 8œ" " " $ a8  " b +8  " œ +8 œ $8 " " +Ñ  a8 −  $8  $ $8 " ,Ñ lim œ! 8Ä_ $8 Por lo tanto, la serie CV. #Ñ " a  "b8  " † # _ " 8 " 8œ" " " a8  " b  " +8  " œ # +8 œ 8# " " " +Ñ  # a8 −  8#  #8  # 8 " " ,Ñ lim œ! Por lo tanto, la serie CV. 8Ä_8#  " Teorema: a) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es _ _ o 8œ" 8œ" Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. _ 8œ" b) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es _ _ o 8œ" 8œ" Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. _ 8œ" 20
  • 23. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejemplos: VIRGINIO GOMEZ "Ñ " a  "b8 † 8 _ & % 8œ" & & +8  " œ +8 œ 8 % 8" % & & +Ñ  8 a8 −  % 8" % & ,Ñ lim œ! 8Ä_ %8 La serie " a  "b8 † 8 es CV. _ & % 8œ" " 8 œ " & † Œ  es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV _ & _ " 8 " % % % 8œ" 8œ" Luego la serie " a  "b8 † 8 CVA _ & % 8œ" #Ñ " a  "b8  " † _ È8 " 8œ" È8  " È8 " " +8  " œ +8 œ È8  " È8 " " +Ñ  a8 −  È8 " ,Ñ lim œ! 8Ä_ La serie " a  "b8  " † _ È8 " es CV. 8œ" " œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV _ " _ " È8 " # 8œ"8 # 8œ" Luego la serie " a  "b8  " † _ È8 " CVC 8œ" 21
  • 24. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida, además, si es CVA. o CVC. "Ñ " Ð  "Ñ8  " † #Ñ " Ð  "Ñ8 † _ 1 _ 1 8" 8 #" 8œ" 8œ" $Ñ " Ð  "Ñ8 † %Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ 1 _ 1 8œ" Ð8  "Ñ# 8œ# 8$  " &Ñ " Ð  "Ñ8  " † 'Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ 1 _ 1 8 È8 $8  " 8œ" 8œ" Solución 1) CVC 2) CVA 3) CVA 4) CVA 5) CVA 6) CVC 22
  • 25. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert VIRGINIO GOMEZ ∞ Sea ∑ an una serie infinita donde : an ≠ 0 n =1 a n +1 y lim =ρ n→∞ a n entonces: a) cuando ρ < 1 , la serie CVA. b) cuando ρ > 1 , la serie DV. c) cuando ρ = 1 el criterio no da información. Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. "Ñ " _ $8  " â 8# â 8! â $ â 8œ" â â â a8  " b ! â º ºœâ â œ º $ † $ † $ † 8! º œ $ 8 â 8" â +8  " â $ â a8  " b † 8 ! $ † $ â â +8 8 8" â 8! â $ lim œ!" 8Ä_ 8" Por lo tanto, " _ $8  " CV 8! 8œ" a#8b! #Ñ " a  "b8 † _ â â 8 â a#8  #b! â 8œ" â â â â a#8  #b † a#8  "b † a#8b! º œâ 8" º â ✺ º +8  " 8 a#8b! â a#8b! â â † â â +8 8" 8 %8$  '8#  #8 œ 8" 8$ 8# 8 $ # %8  '8  #8 % ' # lim œ lim 8 8 8 8Ä_ 8" 8Ä_ 8 "  8 8 23
  • 26. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas œ lim %8#  '8  # 8Ä_ " " VIRGINIO GOMEZ 8 _ œ " œ_" a#8b! Por lo tanto, " a  "b8 † _ DV. 8 8œ" $Ñ " a  "b8 † $ _ #8 8 8œ" â â â #8  " â â â â â a8  " b $ º ºœâ ✺ # †# † 8 º 8 â â +8  " $ â â â â #8 #8 Š8  "‹ +8 â â $ 8$ #8$ œ $ 8  $8#  $8  " 8$ #8$ # lim œ lim 8$ 8Ä_ 8$  $8#  $8  " 8Ä_ 8$ 8# 8 " $ $ $ $ $  $ 8 8 8 8 œ lim # 8Ä_ $ $ " "  #  $ 8 8 8 œ#" Por lo tanto, " a  "b8 † $ DV. _ #8 8 8œ" %Ñ " a  "b8 † 8 _ 8# & 8œ" â â â â â â â â 8$ º ºœâ ✺ 8 ºœ +8  " 8$ &8 8$ â â &8  " â â † â â +8 8# & †& 8# &8  "! &8 8$ " " lim œ Pw L lim œ " 8Ä_ &8  "! 8Ä_ & & Por lo tanto, " a  "b8 † 8 CVA. _ 8# & 8œ" 24
  • 27. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Determine si la serie CV o DV. _ a8  " bx "Ñ " #Ñ " Ð  "Ñ8 _ &8 #8 a#8b x 8œ! 8œ" a8bx $Ñ " Ð  "Ñ8 %Ñ " 8 _ _ 8# 8 $8 $ a8  " b 8œ" 8œ" &Ñ " Ð  "Ñ8 _ " Ð#8  "Ñx 8œ" Solución 1) DV 2) CVA 3) DV 4) CV 5) CVA 25
  • 28. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie de Potencias VIRGINIO GOMEZ Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma : ∞ b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n n =0 bi y a son números , x es variable. Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número ∞ y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes. n =0 Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie ∞ n 2 3 n ∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x n =0 Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias. Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB  +b8 _ 8œ! donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de la Razón y se resuelve la inecuación 3  ", además se debe hacer el análisis de los extremos. Ejemplos: Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias # 8 † aB  " b 8 "Ñ " a  "b8  " † _ 8 † $8 8œ" â â â # 8  " † aB  " b 8  " â â â â â â a8  " b † $ 8  " â º º â â +8  " â # 8 † aB  " b 8 â â â œ â â +8 â 8 † $8 â #8 † # † aB  "b8 † aB  "b º º 8 † $8 a8  " b † $ # † aB  " b 8 œ 8†$ † 8 † ¸ B  "¸ # 8 œ† $ 8" † ¸ B  "¸ œ † ¸ B  "¸ lim # 8 # 8 lim † 8Ä_ $ 8  " $ 8Ä_ 8  " † ¸ B  "¸ lim # " œ Pw L $ 8Ä_ " † ¸ B  "¸ # œ $ 26
  • 29. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas † ¸ B  "¸  " Í  "  ÐB  "Ñ  " # # $ $ VIRGINIO GOMEZ $ $ Í  B" # # & " Í  B # # Análisis de los extremos & Para B œ  # #8 † Œ   $ 8 a  " b8 a$ 8 b #8 † " a  " b8  " † œ " a  " b8  " † _ _ # #8 8†$ 8 8 † $8 8œ" 8œ" œ " a  " b# 8  " † _ " 8 8œ" œ " _ " 8 8œ" Pero, " _ " es la serie armónica y por lo tanto DV. 8 8œ" " Para B œ # #8 † Œ  $ 8 $8 #8 † 8 " a  " b8  " † œ " a  " b8  " † _ # _ # 8 † $8 8 † $8 8œ" 8œ" œ " a  " b8  " † _ " 8 8œ" Pero, " a  "b8  " † es una serie alterna que es CVC. _ " 8 8œ" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie # 8 † aB  " b 8 " a  " b8  " † _ & " 8 es   B Ÿ 8†$ # # 8œ" 27
  • 30. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas aB  $ b 8 #Ñ " a  "b8 † _ 8! VIRGINIO GOMEZ 8œ" â â â aB  $ b 8  " â â â â a8  " b ! â º º â â â â +8  " â aB  $ b 8 â œ â â +8 â 8! â a B  $ b 8 † aB  $ b º º 8! a 8  " b † 8! aB  $ b 8 œ † † ¸ B  $¸ " œ 8" † ¸ B  $¸ ¸ B  $¸ lim " " lim œ 8Ä_ 8" 8Ä_ 8" œ ¸ B  $¸ † ! œ !" aB  $ b 8 Por lo tanto, la serie " a  "b8 † _ es CVA a B − ‘ 8! 8œ" $Ñ " a  "b8 † 8 8 _ 8! "! † B 8œ" â a8  " b ! â â â â â â â º º â â +8  " 8  " † B8  " â â "! â â œ 8! â â +8 "!8 † B8 a 8  " b † 8! º º "!8 † B8 œ † "!8 † "! † B8 † B 8! a8  " b † "!¸B¸ " œ lim a8  "b † "!¸B¸ "!¸B¸ 8Ä_ " " œ lim Ð8  "Ñ 8Ä_ "!¸B¸ " œ †_ œ _" aB  $ b 8 Por lo tanto, la serie " a  "b8 † _ es DV a B − ‘ 8! 8œ" 28
  • 31. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias "Ñ " Ð#8Ñx † Œ  #Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ B 8 _ ÐB  &Ñ8 # 8 † &8 8œ! 8œ" $Ñ " %Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ ÐB  #Ñ8  " _ ÐB  (Ñ8 8" 8 † (8 8 œ " Ð8  "Ñ † $ 8œ" &Ñ " Ð  "Ñ8  " † 'Ñ " Ð  "Ñ8 † _ B#8  " _ 8x ÐB  %Ñ8 Ð#8  "Ñ! $8 8œ" 8œ" (Ñ " )Ñ " Œ  † Ð  #BÑ _ 8x † B8 _ 8 8" Ð#8Ñx 8" 8œ" 8œ" *Ñ " "!Ñ " Ð  "Ñ8 † _ #8 † B8 _ ##8  " † B#8 8# Ð#8Ñx 8œ" 8œ" Solución "Ñ No existe intervalo de convergencia #Ñ !  B Ÿ "! $Ñ  " Ÿ B  & %Ñ !  B Ÿ "% &Ñ ‘ 'Ñ No existe intervalo de convergencia (Ñ ‘ " " )Ñ  B # # " " *Ñ  ŸBŸ # # "!Ñ ‘ 29
  • 32. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie de Taylor VIRGINIO GOMEZ ∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n Concepto : La expresión f ( x ) = ∑ corresponde a la serie de Taylor de n=0 n! f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a . f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a . ∞ f n ( 0) ⋅ x n Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑ que se conoce con el nombre de n=0 n! serie de Maclaurin de f . Ejemplos 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ " B 0 ! aB b œ Ê 0 ! a"b œ " " B 0 w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  " " œ  B# B# 0 w w aB b œ Ê 0 w a"b œ # # w œ #B$ B$ 0 w w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  ' w ' ww œ  'B% B% 0 3@ aBb œ Ê 0 3@ a"b œ #% #% œ #%B& B& " † aB  "b! a  "b † aB  "b # † aB  "b# a  'b † aB  "b$ #% † aB  "b% 0 aB b œ     !! "! #x $! %! aB  " b ! aB  "b # † aB  "b# ' † aB  "b$ #% † aB  "b% 0 aB b œ     " " # ' #% 0 aBb œ aB  "b!  aB  "b  aB  "b#  aB  "b$  aB  "b% Por lo tanto, 0 aBb œ œ " a  "b8 † aB  "b8 " _ B 8œ! 30
  • 33. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas 2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B 0 ! aBb œ -9=B Ê 0 ! a!b œ " VIRGINIO GOMEZ 0 w aBb œ  =/8B Ê 0 w a!b œ ! 0 w w aBb œ  -9=B Ê 0 w a!b œ  " w 0 w w aBb œ =/8B Ê 0 w w a!b œ ! w w 0 3@ aBb œ -9=B Ê 0 3@ a!b œ " ! † B a  "b † B# 0 aB b œ " † B! ! † B$ " † B%     !! "! #x $! %! 0 aB b œ B! B# B% ! ! !! #! %! 0 aB b œ B! B# B%   !! #! %! Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a  "b8 † _ B#8 a#8b! 8œ! 3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À +Ñ 0 aBb œ 68a"  Bb 0 ! aBb œ 68a"  Bb Ê 0 ! a!b œ ! 0 w aB b œ œ a "  Bb" Ê 0 w a!b œ " " "B 0 w w aB b œ  œ  a"  Bb# Ê 0 w a!b œ  " " a "  Bb w # 0 w w aB b œ œ # a"  Bb$ Ê 0 w a!b œ # # a"  B b w ww $ 0 3@ aBb œ  œ  'a"  Bb% Ê 0 3@ a!b œ  ' ' a"  B b % 0 aB b œ ! † B! " † B " † B# # † B$ ' † B%     " " # ' #% 0 aB b œ !  B  B# B$ B%   # $ % Por lo tanto, 0 aBb œ 68a"  Bb œ " a  "b8 † _ B8  " 8" 8œ! 31
  • 34. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Intervalo de convergencia â â â â VIRGINIO GOMEZ â â B8  # â â º º œâ ✺ º œ ¸B¸ † Œ  +8  " B8 † B # 8  " 8" â â 8# â â † B8  " 8  # B8 † B â â +8 8# 8" lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ  8" 8" œ 8Ä_ 8# 8Ä_ 8# œ Pw L ¸B¸ † lim " 8Ä_ " œ ¸B ¸ ¸B¸  " Í  "  B  " Análisis de los extremos Para B œ  " a  " b8  " _ a  "b#8  " " a  " b8 † œ" _ 8" 8" 8œ! 8œ! œ"  _ " 8" 8œ! œ"  _ " 8 8œ" Pero, "  es la serie armónica y por lo tanto DV _ " 8 8œ" Para B œ " a" b 8  " " a  " b8 † œ " a  " b8 † _ _ " 8" 8" 8œ! 8œ! Pero, " a  "b8 † _ " es una serie alterna que CVC 8" 8œ! Luego el intervalo de convergencia de la serie " a  "b8 † _ B8  " es  "  B Ÿ " 8" 8œ! 32
  • 35. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas ,Ñ 0 aBb œ /B 0 ! aB b œ / B Ê 0 ! a!b œ " VIRGINIO GOMEZ 0 w aB b œ / B Ê 0 w a!b œ " 0 w w aB b œ / B Ê 0 w w a!b œ " 0 w w aB b œ / B Ê 0 w a!b œ " w ww 0 3@ aBb œ /B Ê 0 3@ a!b œ " 0 aB b œ " † B! " † B " † B# " † B$ " † B%     !! "! #! $! %! Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ " _ B8 8! 8œ! Intervalo de convergencia â â â â â â B8  " â a8  " b ! â º º œâ ✺ º œ ¸B¸ † Œ  +8" B8 † B 8! " â â a 8  " b † 8! B 8 â â † B8 â â +8 8" 8! lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ  " " œ 8Ä_ 8" 8Ä_ 8" œ ¸B ¸ † ! œ !" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie " _ B8 es ‘ 8! 8œ! Ejercicios I Desarrollar en serie de Taylor "Ñ 0 ÐBÑ œ ÈB $ " con + œ " #Ñ 0 ÐBÑ œ con + œ  " B $Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB  "b 1 con + œ " %Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B con + œ $ II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia $Ñ 0 ÐBÑ œ -9=ŒB   " "Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ# #Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B # 33