Calculo II

COMPLEMENTO DE CÁLCULO
D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas

INTRODUCCION

VIRGINIO GOMEZ
Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de
recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la
fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado
nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una
formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.

Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades
productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en
los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),
transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y
mantención en sectores productivos.

Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar
fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en
mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones
escalares o vectoriales de una o varias variables.


INDICE

VIRGINIO GOMEZ
Pág.

I SUCESIONES Y SERIES
Sucesiones ........................................................................................................... 3
Límite de una sucesión ......................................................................................... 4
Serie .................................................................................................................... 7
Serie geométrica .................................................................................................. 8
Serie p o hipergeométrica ................................................................................... 9
Teoremas sobre series ........................................................................................ 11
Criterio para establecer la convergencia de serie:
criterio de comparación .................................................................. 13
criterio de la integral ..................................................................... 16
criterio de la serie alterna ............................................................... 19
criterio de la razón ....................................................................... 23
Serie de potencias ................................................................................................ 26
Serie de Taylor ................................................................................................... 30

II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Funciones de más de una variable ...................................................................... 35
Dominio de funciones de dos variables ............................................................... 36

III DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales .................................................................................. 40
Derivación implícita ........................................................................................... 45
Regla de la cadena ........................................................................................... 48
Aplicaciones de las regla de cadena:
problemas con enunciado ................................................................ 55
demostraciones .............................................................................. 59
Derivada direccional ......................................................................................... 62
Gradientes ......................................................................................................... 66
Derivadas parciales de orden superior ................................................................. 70
Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... 73
Hessiano de una función de dos variables .......................................................... 73
Criterio de la segunda derivada .......................................................................... 73
Multiplicadores de Lagrange .............................................................................. 77

1


IV INTEGRACION MULTIPLE
Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... 82

VIRGINIO GOMEZ
planos ...................................................................................... .... 82
esfera ........................................................................................... 86
cilindro ........................................................................................... 87
cono .............................................................................................. 89
paraboloide .................................................................................... 91
Integrales dobles .................................................................................................... 92
Propiedades de la integral dobles ....................................................................... 95
Aplicaciones de la integral doble:
cálculo de áreas en el plano ........................................................... 98
determinar el valor de la región ‘ ................................................. 103
cálculo de volúmenes ..................................................................... 108
Cálculo de volúmenes ......................................................................................... 116
123
Coordenadas cilíndricas .....................................................................................
Coordenadas esféricas ........................................................................................ 128

V CAMPOS VECTORIALES
Campos vectoriales ............................................................................................ 136
campo vectorial conservativo ............................................................ 137
campo vectorial conservativo en el plano ......................................... 137
Rotacional .......................................................................................................... 141
Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... 141
Plano tangente y recta normal a una superficie .................................................. 146

VI ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 150
Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... 151
Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... 154
Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 158

VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162

VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178

2


Sucesiones

VIRGINIO GOMEZ
naturales a œ ™  b
Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números

Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es el
conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 − 

Ejemplo:

n
1) Si , f (n) = entonces:
n+2

n 1 2 3 4 5 ... n
f (n) 1 1 3 2 5 ... n
3 2 5 3 7 n+2

Los pares ordenados serán:

 1  1  1  2  5  n 
1 ,  ;  2 ,  ;  3 ,  ;  4 ,  ;  5 ,  ... n ,  ; ...
 3  2  3  3  7   n+ 2

Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la
notación { f (n)} = {a n } para representarla.

En el ejemplo

{ f (n)} = {a n } = {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,..., a n ,...}

{ f (n)} = 

n 
=
1 1 3 2 5
 , , , , , ...,
n 
, ...
n + 2  3 2 5 3 7 n+2 

2) 0 a8b œ œ
" si 8 es impar
$ si 8 es par

œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ

3


VIRGINIO GOMEZ
Concepto de Límite de una Sucesión

Si para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces
{ }
se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por :
lim a n = L
n→∞

Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV
y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV.

Límite de una Sucesión

+
Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con lim f ( x) = L ,
x→∞

entonces si { a n } es una sucesión tal que f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene que
lim an = L
n→∞

Ejemplos À

Determinar si la sucesión es CV o DV

1) œ 
8
8#

0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö  # ×
B
B#

™ © ‘  Ö  #×
B
B B "
lim œ lim œ lim œ"
BÄ_ B# BÄ_ B # BÄ_ #
 "
B B B
8
Por lo tanto, lim œ ", luego la sucesión es CV.
8Ä_ 8#

2) œ 
"  &8$
#8$  %8

0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö! ×
"  &B$
#B$  %B

™  © ‘  Ö!×

4


" &B$ "
"  &B $  $ & &
lim œ lim B$ B œ lim B$

VIRGINIO GOMEZ
œ
B Ä _ #B$  %B B Ä _ #B$ %B BÄ_ % #
 $ # #
B $ B B

"  &8$ &
Por lo tanto, lim œ , luego la sucesión es CV.
8 Ä _ #8$  %8 #

3) œ8 † =/8Š ‹
1
8

0 aBb œ B † =/8Š ‹ H970 aBb œ ‘  Ö! ×
1
B

™  © ‘  Ö!×

B † =/8Š ‹
1
lim œ_†!
BÄ_ B

=/8Š ‹
1
œ lim B
BÄ_ "
B
!
œ
!

-9=Š ‹
1 1
 #
œ Pw L lim B B
BÄ_ "
 #
B

1 -9=Š ‹
1
œ lim B
BÄ_ "

œ1

lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV.
1
Por lo tanto,
8Ä_ 8

5


VIRGINIO GOMEZ
Teorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces:

a) La sucesión {c} tiene como límite c

b) lim c ⋅ a n = c ⋅ lim an
n→∞ n→∞

c) lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn
n→∞ n→∞ n→∞

d) lim a n ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn
n→∞ n→∞ n→∞

an lim a n
lim n →∞
e) = si lim bn ≠ 0
n → ∞ bn lim bn n →∞
n →∞

Ejercicios

Determine si la sucesión CV o DV

a) œ  b) œ  c) œ 
8" #8#  " 8#  "
#8  " $8#  " 8

d) œ  e) œ  f) œ
È8#  "  8 
$8$ /8 "
#8#  8 8

Solución

a) CV b) CV

c) DV d) DV

e) DV f) DV

6


Series

VIRGINIO GOMEZ
Concepto de Series Infinitas

Si {a n } es una sucesión infinita, entonces :
∞
∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + a n + ...
n =1

se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,...
se llaman términos de la serie infinita.

Sea la siguiente sucesión de sumas parciales

S1 = a1
S 2 = a1 + a 2
S 3 = a1 + a 2 + a3
M
S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n

∞
Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie ∑ an converge.
n =1

Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas

Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8  la sucesión de sumas parciales.
_

8œ"

Si lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie
8Ä_ 8
y si lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma.
8Ä_ 8
∞
Teorema : Si la serie ∑ an es CV, entonces lim a n = 0
n →∞
n =1

∞
Teorema : Si lim a n ≠ 0
n →∞
, entonces la serie dada ∑ an es DV.
n =1

Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así
mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen
bajo que condiciones una serie dada CV o DV.

7


Serie Geométrica

VIRGINIO GOMEZ
La serie
Primer término

∞
∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con a≠0
n =0
razón

Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razón

Teorema À La serie geométrica " + † <8 de razón < converge a W œ
_ +
si, y sólo si,
"<
¸ < ¸  " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸ "
8œ!

Ejemplos

Determine si las series son CV o DV

+Ñ " 8 œ " Œ 
_ " _ " 8 "
<œ "
# # #
8œ! 8œ!

"
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ#
"
"
#

,Ñ " Œ 
_ & 8 &
<œ "
% %
8œ!

Por lo tanto, la serie DV.

-Ñ " Œ  
_ " 8 "
<œ  "
# #
8œ!

" #
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
" $
"
#
.Ñ " # † Œ  
_ # 8 #
<œ  "
$ $
8œ!

# '
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
# &
"
$

/Ñ " $ † Œ 
_ ' 8 '
<œ " Por lo tanto, la serie DV.
& &
8œ!

8


Serie p o serie Hiperarmónica

VIRGINIO GOMEZ
∞
1 1 1 1
La serie ∑ n p
= 1+
2 p
+
3 p
+L+
np
+L
n =1

se llama serie p con p>0

∞
1 1 1 1
Si p = 1 , entonces la serie ∑ n
= 1+ + +L+ +L
2 3 n
n =1

se denomina serie armónica.

Teorema À La serie : "
_ "
es convergente si, y sólo si, :  " y es divergente si, y
8:
8œ"
sólo si, !  : Ÿ "

Ejemplos

Determine si las series son CV o DV

+Ñ "
_ "
:œ" Por lo tanto, la serie DV
8
8œ"

,Ñ "
_ "
:œ$ Por lo tanto, la serie CV
8$
8œ"

-Ñ "
_ " "
"Î$
:œ Por lo tanto, la serie DV
8 $
8œ"

.Ñ "
_ "
:œ1 Por lo tanto, la serie CV
81
8œ"

/Ñ " $
_
È8%
" %
:œ Por lo tanto, la serie CV
$
8œ"

9


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.

"Ñ " 8 #Ñ " Œ   $Ñ " #Œ 
_ % _ ( 8 _ ) 8
# $ &
8œ! 8œ! 8œ!

_ a&'b8
%Ñ " &Ñ " Ð  #&Ñ8 'Ñ "
_ $ _
Ð  ""Ñ8 $
8œ! 8œ! 8œ!

II Decida si las siguientes series : CV. o DV.

"Ñ " #Ñ " $Ñ "
_ " _ $ _ #
"&8 "& %Î*
8œ" 8 œ "8 8 œ "8

%Ñ " &Ñ " 'Ñ "
_ # _ % _ (
& &Î) "#Î&
8 œ "8 8 œ "8 8 œ "8

Solución
I

" (
1) < œ ß la serie CV 2) < œ  , la serie DV
# $

) "
3) < œ ß la serie DV 4) < œ  ß la serie CV
& ""

5) < œ  #&ß la serie DV 6) < œ &' ß la serie DV

II

1) : œ " ß la serie DV 2) : œ "& ß la serie CV

%
3) : œ ß la serie DV 4) : œ &ß la serie CV
*

& "#
5) : œ ß la serie DV 6) : œ ß la serie CV
) &

10


Teoremas sobre Series

VIRGINIO GOMEZ
Teorema 1: Si " +8 y " ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número
_ _

8œ" 8œ"
finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.

Ejemplo: Determine si la serie "
_ "
es CV o DV
8"
8œ"

"
_ " " " " " "
œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ y
8" # $ % & 8"
8œ"

"
_ " " " " " "
œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ
8 # $ % & 8
8œ"

La serie "
_ "
equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como
8"
8œ"
! " es DV, entonces "
_ _ "
es también DV.
8œ" 8 8"
8œ"

Teorema 2: Sea - una constante no nula:

a) Si " +8 es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 es CV y su
_ _ _

8œ" 8œ" 8œ"

suma es -WÞ

b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV.
_ _

8œ" 8œ"

Ejemplo:

1) " 8 œ " # † 8 œ # † " 8
_ # _ " _ "
$ $ $
8œ" 8œ" 8œ"

" 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV.
_ " "
$ $
8œ"

" 8 es CV.
_ #
Así,
$
8œ"

11


2) " œ "
_ _ #
$È 8 $ È8
# "
†

VIRGINIO GOMEZ
8œ" 8œ"

"
_
È8
" "
es serie : con : œ y por lo tanto DV.
#
8œ"

Así, "
_
È8
#
es DV.
$
8œ"

Teorema3: Si " +8 y " ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,
_ _

8œ" 8œ"
entonces:

a) " a+8  ,8 b es CV y su suma es A  B
_

8œ"

b) " a+8  ,8 b es CV y su resta es A  B
_

8œ"

Ejemplo:

" Œ 8  8 œ " 8 " 8
_ " $ _ " _ $
# & # &
8œ" 8œ" 8œ"

" 8 es CV y su suma es "
_ "
#
8œ"

" 8 es CV y su suma es
_ $ $
& %
8œ"

Luego, " Œ 8  8  es CV y su suma es
_ " $ (
# & %
8œ"

Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces
_ _

8œ" 8œ"

" a+8 „ ,8 b es DV.
_

8œ"

12


Ejemplo:

VIRGINIO GOMEZ
" Œ 8  œ " 8  "
_ & # _ & _ #
) *8 ) *8
8œ" 8œ" 8œ"

" 8 es una serie geométrica con < œ y por lo tanto CV
_ & "
) )
8œ"

" † es una serie : con : œ " y por lo tanto DV
_ # "
* 8
8œ"

Luego, " Œ 8   es DV.
_ & #
) *8
8œ"

Criterios para establecer la convergencia de series infinitas

A.- Criterio de comparación

∞
Sea ∑ an una serie de términos positivos:
n =1

∞
a) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤ bn ∀ n ∈ , entonces
n =1

∞
∑ an es CV.
n =1

∞
b) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥ bn ∀ n ∈ , entonces
n =1

∞
∑ an es DV
n =1

Ejemplos: Determine si la serie CV o DV.

"Ñ "
_ "
&8  "
8œ"

&8  " Ÿ '8 a8 − 

" "

&8  " '8

13


" œ " † serie armónica y por lo tanto DV
_ " _ " "
'8 ' 8

VIRGINIO GOMEZ
8œ" 8œ"

Luego, "
_ "
es DV
&8  "
8œ"

#Ñ "
_ "
8#  %
8œ"

8#  % 8# a8 − 

" "
Ÿ #
8#  % 8

" # serie : con : œ # y por lo tanto CV
_ "
8
8œ"

Luego, "
_ "
#%
es CV.
8
8œ"

$Ñ " #
_ 8
8 "
8œ"

8 "
8
8# " #8
" "
"
# #
# "
#
& %
$ "
$
"! '
% "
%
"( )
& "
&
#' "!

8 "

8#  " #8

" œ " † serie armónica y por lo tanto DV
_ " _ " "
#8 # 8
8œ" 8œ"

Luego, " #
_ 8
es DV.
8 "
8œ"

14


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Decida si la serie CV. o DV.

"Ñ " #Ñ " 8
_ " _ "
$( % $
8œ" 8 8œ"

$Ñ " %Ñ "
_ " _ "
8œ"
8#
8œ" $8#  "

&Ñ "
_
È8  %
"
8œ"

Solución

1) CV 2) CV

3) DV 4) CV

5) DV

15


B) Criterio de la Integral de Cauchy

VIRGINIO GOMEZ
Sea y = f (x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥ 1 , entonces la

∞ +∞
serie ∑ an es CV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es CV y la
n=1 1

∞ +∞
serie ∑ an es DV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es DV .
n=1 1

Ejemplos:

Determinar si la serie CV o DV.

"Ñ " 8 † /8
_

8œ"

0 aB b œ B † /  B 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "

( (
_ ,
B † /B .B œ lim B † /B .B
" ,Ä_ "

( B † / .B
B
?œB Ê .? œ .B
.@ œ /B .B Ê @ œ  / B
( B † / .B œ  B/  (  / .B
B B B

œ  B/B  /B  G

B"
œ G
/B

( º
, B" ,
lim B † /B .B œ lim
,Ä_ " ,Ä_ /B "

," ""
œ lim 
,Ä_ /, /

," #
œ lim 
,Ä_ /, /
œ Pw L Œ lim , 
" #

,Ä_ / /

#
œ
/

Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV.
_
# _
B † /B .B CV a
" /
8œ"

16


#Ñ "
_ E<->1 8
8#  "

VIRGINIO GOMEZ
8œ"

0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
E<->1 B
B#  "

( .B œ lim (
_
E<->1 B , E<->1 B
#"
.B
" B ,Ä_ " B#  "

(
E<->1 B "
.B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B
B#  " "  B#

( .B œ ( ? .?
E<->1 B
B#  "

?#
œ G
#

aE<->1 Bb#
œ G
#

aE<->1 Bb# ,
( º
, E<->1 B
lim .B œ lim
,Ä_ " B#  " ,Ä_ # "

aE<->1 , b# aE<->1 "b#
œ lim 
,Ä_ # #

1# 1#
œ 
) $#

$1 #
œ
$#

Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " #
_
E<->1 B $1 # _ E<->1 8
.B CV a es CV.
" B#  " $# 8 "
8œ"

$Ñ "
_
È
"
8 œ " a8  "b 68a8  "b

0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B "
aB  "bÈ68aB  "b
"

( .B œ lim (
_ ,
aB  "bÈ68aB  "b " aB  "bÈ68aB  "b
" "
.B
" ,Ä_

( ? œ 68aB  "b
È68aB  "b
" "
aB  " b
.B Ê .? œ .B
B"

17


( .B œ (
aB  "bÈ68aB  "b È?
" "
.?

VIRGINIO GOMEZ
œ ( ? # .?
"

œ # È?  G

œ # È68aB  "b  G

( .B œ lim # È68aB  "b º
, ,
"
lim
,Ä_ " ,Ä_ "

œ lim #È68a,  "b  #È68#
,Ä_

œ _  #È68#

œ_
Por lo tanto, (
_

"
.B DV Þ Luego la serie
"

"
_
È68a8  "b
"
a8  " b
es DV.
8œ"

Ejercicios

Determine si la serie CV o DV.

"Ñ " #Ñ "
_ " _ 8#
#8  " $
8œ" 8œ" 8 #

$Ñ " %Ñ "
_ " _ /"Î8

8 œ # 8 a688b
# 8#
8œ"

&Ñ "
_
È8#  "
"
8œ"

Solución

1) DV 2) DV

3) CV 4) CV

5) DV

18


Series infinitas de términos positivos y negativos

VIRGINIO GOMEZ
Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces:

∞
∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an
n =1
y
∞
∑ (−1) n+1 ⋅ an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ an
n =1

Se denominan series alternas o series alternantes.

Ejemplos:

"Ñ " a  "b8 † œ      ÞÞÞ  a  "b8 †
_ " " " " " "
8" # $ % & 8"
8œ"

#Ñ " a  "b8  " † œ "      ÞÞÞ  a  "b8  " †
_ " " " " " "
8 # $ % & 8
8œ"

C.- Criterio de la serie alterna

∞
Si a n > 0 ∀ n ∈  , entonces las series alternas ∑ (−1) n ⋅ an y
n =1
∞
∑ (−1) n+1 ⋅ an convergen si, y sólo si:
n =1

a) 0 < a n +1 < a n ∀ n ∈ 

b) lim a n = 0
n→∞

19


Ejemplos:

VIRGINIO GOMEZ

"Ñ " a  "b8 †
_ "
$8
8œ"

" "
$ a8  " b
+8  " œ +8 œ
$8

" "
+Ñ  a8 − 
$8  $ $8

"
,Ñ lim œ!
8Ä_ $8

Por lo tanto, la serie CV.

#Ñ " a  "b8  " † #
_ "
8 "
8œ"

" "
a8  " b  "
+8  " œ #
+8 œ
8# "

" "
+Ñ  # a8 − 
8#  #8  # 8 "

"
,Ñ lim œ! Por lo tanto, la serie CV.
8Ä_8#  "
Teorema:

a) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es
_ _
o
8œ" 8œ"
Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV.
_

8œ"

b) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es
_ _
o
8œ" 8œ"
Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV.
_

8œ"

20


Ejemplos:

VIRGINIO GOMEZ
"Ñ " a  "b8 † 8
_ &
%
8œ"

& &
+8  " œ +8 œ 8
% 8" %

& &
+Ñ  8 a8 − 
% 8" %

&
,Ñ lim œ!
8Ä_ %8

La serie " a  "b8 † 8 es CV.
_ &
%
8œ"

" 8 œ " & † Œ  es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV
_ & _ " 8 "
% % %
8œ" 8œ"

Luego la serie " a  "b8 † 8 CVA
_ &
%
8œ"

#Ñ " a  "b8  " †
_
È8
"
8œ"

È8  " È8
" "
+8  " œ +8 œ

È8  " È8
" "
+Ñ  a8 − 

È8
"
,Ñ lim œ!
8Ä_

La serie " a  "b8  " †
_
È8
"
es CV.
8œ"

" œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV
_ " _ "
È8
"
#
8œ"8
#
8œ"

Luego la serie " a  "b8  " †
_
È8
"
CVC
8œ"

21


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,
además, si es CVA. o CVC.

"Ñ " Ð  "Ñ8  " † #Ñ " Ð  "Ñ8 †
_ 1 _ 1
8" 8 #"
8œ" 8œ"

$Ñ " Ð  "Ñ8 † %Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ 1 _ 1
8œ" Ð8  "Ñ# 8œ# 8$  "

&Ñ " Ð  "Ñ8  " † 'Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ 1 _ 1
8 È8 $8  "
8œ" 8œ"

Solución

1) CVC 2) CVA 3) CVA

4) CVA 5) CVA 6) CVC

22


D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert

VIRGINIO GOMEZ
∞
Sea ∑ an una serie infinita donde : an ≠ 0
n =1

a n +1
y lim =ρ
n→∞ a n
entonces:

a) cuando ρ < 1 , la serie CVA.

b) cuando ρ > 1 , la serie DV.

c) cuando ρ = 1 el criterio no da información.

Ejemplos:


"Ñ "
_ $8  "

â 8# â
8!
â $ â
8œ"
â â
â a8  " b ! â
º ºœâ â œ º $ † $ † $ † 8! º œ $
8
â 8" â
+8  "
â $ â a8  " b † 8 ! $ † $
â â
+8 8 8"
â 8! â

$
lim œ!"
8Ä_ 8"

Por lo tanto, "
_ $8  "
CV
8!
8œ"

a#8b!
#Ñ " a  "b8 †
_

â â
8
â a#8  #b! â
8œ"
â â
â â a#8  #b † a#8  "b † a#8b!
º œâ 8"
º â âœº º
+8  " 8
a#8b! â a#8b!
â â
†
â â
+8 8"
8
%8$  '8#  #8
œ
8"

8$ 8# 8
$ #
%8  '8  #8 % ' #
lim œ lim 8 8 8
8Ä_ 8" 8Ä_ 8 "

8 8

23


œ lim %8#  '8  #
8Ä_ "
"

VIRGINIO GOMEZ
8
_
œ
"

œ_"

a#8b!
Por lo tanto, " a  "b8 †
_
DV.
8
8œ"

$Ñ " a  "b8 † $
_ #8
8
8œ"
â â
â #8  " â
â â
â â
a8  " b $
º ºœâ âœº # †# † 8 º
8
â â
+8  " $

â â
â â
#8
#8 Š8  "‹
+8
â â
$

8$
#8$
œ $
8  $8#  $8  "

8$
#8$ #
lim œ lim 8$
8Ä_ 8$  $8#  $8  " 8Ä_ 8$ 8# 8 "
$
$ $ $ $  $
8 8 8 8

œ lim #
8Ä_ $ $ "
"  #  $
8 8 8

œ#"

Por lo tanto, " a  "b8 † $ DV.
_ #8
8
8œ"

%Ñ " a  "b8 † 8
_ 8#
&
8œ"
â â
â â
â â
â â
8$

º ºœâ âœº 8 ºœ
+8  " 8$ &8 8$
â â
&8  "
â â
†
â â
+8 8# & †& 8# &8  "!
&8

8$ " "
lim œ Pw L lim œ "
8Ä_ &8  "! 8Ä_ & &

Por lo tanto, " a  "b8 † 8 CVA.
_ 8#
&
8œ"

24


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ

_ a8  " bx
"Ñ " #Ñ " Ð  "Ñ8
_ &8
#8 a#8b x
8œ! 8œ"

a8bx
$Ñ " Ð  "Ñ8 %Ñ " 8
_ _ 8#
8 $8 $ a8  " b
8œ" 8œ"

&Ñ " Ð  "Ñ8
_ "
Ð#8  "Ñx
8œ"

Solución

1) DV 2) CVA 3) DV

4) CV 5) CVA

25


Serie de Potencias

VIRGINIO GOMEZ
Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma :

∞
b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n
n =0
bi y a son números , x es variable.

Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número
∞
y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes.
n =0

Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie
∞ n 2 3 n
∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x
n =0

Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.

Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB  +b8
_

8œ!
donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de
la Razón y se resuelve la inecuación 3  ", además se debe hacer el análisis de los extremos.

Ejemplos:

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias

# 8 † aB  " b 8
"Ñ " a  "b8  " †
_
8 † $8
8œ"
â â
â # 8  " † aB  " b 8  " â
â â
â â
â a8  " b † $ 8  " â
º º â â
+8  "
â # 8 † aB  " b 8 â
â â
œ
â â
+8
â 8 † $8 â

#8 † # † aB  "b8 † aB  "b
º º
8 † $8
a8  " b † $ # † aB  " b 8
œ 8†$ † 8

† ¸ B  "¸
# 8
œ†
$ 8"
† ¸ B  "¸ œ † ¸ B  "¸ lim
# 8 # 8
lim †
8Ä_ $ 8  " $ 8Ä_ 8  "

† ¸ B  "¸ lim
# "
œ Pw L
$ 8Ä_ "

† ¸ B  "¸
#
œ
$

26


† ¸ B  "¸  " Í  "  ÐB  "Ñ  "
# #
$ $

VIRGINIO GOMEZ
$ $
Í  B"
# #
& "
Í  B
# #

Análisis de los extremos

&
Para B œ 
#

#8 † Œ  
$ 8 a  " b8 a$ 8 b
#8 †
" a  " b8  " † œ " a  " b8  " †
_ _
# #8
8†$ 8 8 † $8
8œ" 8œ"

œ " a  " b# 8  " †
_ "
8
8œ"

œ "
_ "
8
8œ"

Pero, "
_ "
es la serie armónica y por lo tanto DV.
8
8œ"

"
Para B œ
#

#8 † Œ 
$ 8 $8
#8 † 8
" a  " b8  " † œ " a  " b8  " †
_ # _
#
8 † $8 8 † $8
8œ" 8œ"

œ " a  " b8  " †
_ "
8
8œ"

Pero, " a  "b8  " † es una serie alterna que es CVC.
_ "
8
8œ"

Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie

# 8 † aB  " b 8
" a  " b8  " †
_ & "
8 es   B Ÿ
8†$ # #
8œ"

27


aB  $ b 8
#Ñ " a  "b8 †
_
8!

VIRGINIO GOMEZ
8œ"
â â
â aB  $ b 8  " â
â â
â a8  " b ! â
º º â â
â â
+8  "
â aB  $ b 8 â
œ
â â
+8
â 8! â

a B  $ b 8 † aB  $ b
º º
8!
a 8  " b † 8! aB  $ b 8
œ †

† ¸ B  $¸
"
œ
8"

† ¸ B  $¸ ¸ B  $¸ lim
" "
lim œ
8Ä_ 8" 8Ä_ 8"

œ ¸ B  $¸ † !

œ !"

aB  $ b 8
Por lo tanto, la serie " a  "b8 †
_
es CVA a B − ‘
8!
8œ"

$Ñ " a  "b8 † 8 8
_ 8!
"! † B
8œ"
â a8  " b ! â
â â
â â
â â
º º â â
+8  " 8  " † B8  "
â â
"!
â â
œ
8!
â â
+8
"!8 † B8

a 8  " b † 8!
º º
"!8 † B8
œ †
"!8 † "! † B8 † B 8!

a8  " b †
"!¸B¸
"
œ

lim a8  "b †
"!¸B¸ "!¸B¸ 8Ä_
" "
œ lim Ð8  "Ñ
8Ä_

"!¸B¸
"
œ †_

œ _"

aB  $ b 8
Por lo tanto, la serie " a  "b8 †
_
es DV a B − ‘
8!
8œ"

28


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias

"Ñ " Ð#8Ñx † Œ  #Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ B 8 _ ÐB  &Ñ8
# 8 † &8
8œ! 8œ"

$Ñ " %Ñ " Ð  "Ñ8  " †
_ ÐB  #Ñ8  " _ ÐB  (Ñ8
8" 8 † (8
8 œ " Ð8  "Ñ † $ 8œ"

&Ñ " Ð  "Ñ8  " † 'Ñ " Ð  "Ñ8 †
_ B#8  " _ 8x ÐB  %Ñ8
Ð#8  "Ñ! $8
8œ" 8œ"

(Ñ " )Ñ " Œ  † Ð  #BÑ
_ 8x † B8 _ 8 8"
Ð#8Ñx 8"
8œ" 8œ"

*Ñ " "!Ñ " Ð  "Ñ8 †
_ #8 † B8 _ ##8  " † B#8
8# Ð#8Ñx
8œ" 8œ"

Solución

"Ñ No existe intervalo de convergencia

#Ñ !  B Ÿ "!

$Ñ  " Ÿ B  &

%Ñ !  B Ÿ "%

&Ñ ‘

'Ñ No existe intervalo de convergencia

(Ñ ‘

" "
)Ñ  B
# #
" "
*Ñ  ŸBŸ
# #

"!Ñ ‘

29


Serie de Taylor

VIRGINIO GOMEZ
∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n
Concepto : La expresión f ( x ) = ∑ corresponde a la serie de Taylor de
n=0 n!
f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a .

f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a .

∞ f n ( 0) ⋅ x n
Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑ que se conoce con el nombre de
n=0 n!
serie de Maclaurin de f .

Ejemplos

1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ
"
B

0 ! aB b œ Ê 0 ! a"b œ "
"
B

0 w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  "
"
œ  B#
B#

0 w w aB b œ Ê 0 w a"b œ #
# w
œ #B$
B$

0 w w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  '
w ' ww
œ  'B%
B%

0 3@ aBb œ Ê 0 3@ a"b œ #%
#%
œ #%B&
B&

" † aB  "b! a  "b † aB  "b # † aB  "b# a  'b † aB  "b$ #% † aB  "b%
0 aB b œ    
!! "! #x $! %!

aB  " b ! aB  "b # † aB  "b# ' † aB  "b$ #% † aB  "b%
0 aB b œ    
" " # ' #%

0 aBb œ aB  "b!  aB  "b  aB  "b#  aB  "b$  aB  "b%

Por lo tanto, 0 aBb œ œ " a  "b8 † aB  "b8
" _
B
8œ!

30


2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B

0 ! aBb œ -9=B Ê 0 ! a!b œ "

VIRGINIO GOMEZ
0 w aBb œ  =/8B Ê 0 w a!b œ !

0 w w aBb œ  -9=B Ê 0 w a!b œ  "
w

0 w w aBb œ =/8B Ê 0 w w a!b œ !
w w

0 3@ aBb œ -9=B Ê 0 3@ a!b œ "

! † B a  "b † B#
0 aB b œ
" † B! ! † B$ " † B%
   
!! "! #x $! %!

0 aB b œ
B! B# B%
! !
!! #! %!

0 aB b œ
B! B# B%
 
!! #! %!

Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a  "b8 †
_ B#8
a#8b!
8œ!

3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À

+Ñ 0 aBb œ 68a"  Bb

0 ! aBb œ 68a"  Bb Ê 0 ! a!b œ !

0 w aB b œ œ a "  Bb" Ê 0 w a!b œ "
"
"B

0 w w aB b œ  œ  a"  Bb# Ê 0 w a!b œ  "
"
a "  Bb
w
#

0 w w aB b œ œ # a"  Bb$ Ê 0 w a!b œ #
#
a"  B b
w ww
$

0 3@ aBb œ  œ  'a"  Bb% Ê 0 3@ a!b œ  '
'
a"  B b %

0 aB b œ
! † B! " † B " † B# # † B$ ' † B%
   
" " # ' #%

0 aB b œ !  B 
B# B$ B%
 
# $ %

Por lo tanto, 0 aBb œ 68a"  Bb œ " a  "b8 †
_ B8  "
8"
8œ!

31


Intervalo de convergencia
â â
â â

VIRGINIO GOMEZ
â â
B8  #
â â
º º œâ âœº º œ ¸B¸ † Œ 
+8  " B8 † B # 8  " 8"
â â
8#
â â
†
B8  " 8  # B8 † B
â â
+8 8#
8"

lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ 
8" 8"
œ
8Ä_ 8# 8Ä_ 8#

œ Pw L ¸B¸ † lim
"
8Ä_ "

œ ¸B ¸

¸B¸  " Í  "  B  "

Análisis de los extremos

Para B œ  "

a  " b8  " _ a  "b#8  "
" a  " b8 † œ"
_
8" 8"
8œ! 8œ!

œ" 
_ "
8"
8œ!

œ" 
_ "
8
8œ"

Pero, "  es la serie armónica y por lo tanto DV
_ "
8
8œ"

Para B œ "

a" b 8  "
" a  " b8 † œ " a  " b8 †
_ _ "
8" 8"
8œ! 8œ!

Pero, " a  "b8 †
_ "
es una serie alterna que CVC
8"
8œ!

Luego el intervalo de convergencia de la serie " a  "b8 †
_ B8  "
es  "  B Ÿ "
8"
8œ!

32


,Ñ 0 aBb œ /B

0 ! aB b œ / B Ê 0 ! a!b œ "

VIRGINIO GOMEZ
0 w aB b œ / B Ê 0 w a!b œ "

0 w w aB b œ / B Ê 0 w w a!b œ "

0 w w aB b œ / B Ê 0 w a!b œ "
w ww

0 3@ aBb œ /B Ê 0 3@ a!b œ "

0 aB b œ
" † B! " † B " † B# " † B$ " † B%
   
!! "! #! $! %!

Por lo tanto, 0 aBb œ /B œ "
_ B8
8!
8œ!

Intervalo de convergencia
â â
â â
â â
B8  "
â a8  " b ! â
º º œâ âœº º œ ¸B¸ † Œ 
+8" B8 † B 8! "
â â a 8  " b † 8! B 8
â â
†
B8
â â
+8 8"
8!

lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ 
" "
œ
8Ä_ 8" 8Ä_ 8"

œ ¸B ¸ † !

œ !"

Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie "
_ B8
es ‘
8!
8œ!

Ejercicios

I Desarrollar en serie de Taylor

"Ñ 0 ÐBÑ œ ÈB
$ "
con + œ " #Ñ 0 ÐBÑ œ con + œ  "
B

$Ñ 0 ÐBÑ œ 68 aB  "b
1
con + œ " %Ñ 0 ÐBÑ œ -9= B con + œ
$

II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia

$Ñ 0 ÐBÑ œ -9=ŒB  
"
"Ñ 0 ÐBÑ œ /BÎ# #Ñ 0 ÐBÑ œ =/8 $B
#

33


Solución

VIRGINIO GOMEZ
I

B  " aB  " b # & † aB  "b$ & † aB  "b%
"Ñ 0 aBb œ "    
# ' &% )"

#Ñ 0 aBb œ  " aB  "b8
_

8œ!

B  " aB  "b# aB  " b $ aB  "b%
$Ñ 0 aBb œ 68#    
# ) #% '%

ŠB  ‹ È$ _ ŠB  ‹
1 #8 1 #8  "
%Ñ 0 aBb œ † " a  "b8 † † " a  " b8  " †
" _
a#8b! a#8  "b!
$  $
# #
8œ! 8œ!

II

"Ñ 0 aBb œ "
_ B8
8 † 8! CV a B − ‘
#
8œ!

#Ñ 0 aBb œ " a  "b8 †
_ $#8  " † B#8  "
a#8  "b!
CV a B − ‘
8œ!

$Ñ 0 aBb œ -9=Œ  † " a  "b8 †  =/8Œ  † " a  "b8  " †
" _ B#8 " _ B#8  "
# a#8b! # a#8  "b!
8œ! 8œ!

CV a B − ‘

34


Funciones de más de una variable

VIRGINIO GOMEZ
C œ 0 aBb , donde la variable C depende de la variable B, B − ‘. Se extenderá ahora este concepto a
Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma

funciones de más de una variable.
Por ejemplo À

z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 z depende de las variables x e y

w = f ( x, y, z ) = x + yz w depende de las variables x , y y z

En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos
de otros espacios numéricos.

Si D œ 0 aBß C b, entonces los elementos del dominio de 0 son pares ordenados y , por lo tanto, se
está trabajando en el espacio numérico real bidimensional a‘# b.

Si A œ 0 aBß Cß D b, entonces los elementos del dominio de 0 son triadas o ternas y , por lo tanto, se
está trabajando en el espacio numérico real tridimensional a‘$ b.

Concepto de función de dos variables

número real 0 aBß C b, entonces se dice que 0 es función de B e CÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el
Sea H un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de H le corresponde un

conjunto de valores 0 aBß C b es el recorrido de 0

Ejemplos À

"Ñ 0 À ‘#
aBß C b È 0 aBß C b œ B#  C #
È ‘

#Ñ 0 À ‘# È ‘
aBß C b È 0 aBß C b œ
B  C#
BC

$Ñ 0 À ‘# È ‘
aBß C b È 0 aBß C b œ
/BC
BC

35


Concepto de función de tres variables

VIRGINIO GOMEZ
número real 0 aBß Cß D b, entonces se dice que 0 es función de Bß Cß DÞ El conjunto H es el dominio de 0 y el
Sea H un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de H le corresponde un

conjunto de valores 0 aBß Cß D b es el recorrido de 0

Ejemplos À

"Ñ 0 À ‘$
aBß Cß D b È 0 aBß Cß D b œ B#  C #  D #
È ‘

#Ñ 0 À ‘$ È ‘
aBß Cß D b È 0 aBß Cß D b œ
BC
BC  D #

-9=aBC b  D
$Ñ 0 À ‘$ È ‘
aBß Cß D b È 0 aBß Cß D b œ
68aC  D b  B#

Dominio de funciones de dos variables

Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas
restricciones que para funciones de una sola variable, es decir,

a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad
subradical debe ser mayor o igual a cero.
b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero.
c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la
cantidad subradical debe ser mayor que cero.

d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del
logaritmo debe ser mayor que cero.

Ejemplos:

Determinar el dominio de las siguientes funciones

"Ñ 0 aBß C b œ È#&  B#  C #

#&  B#  C # !
 B#  C #  #& Î † a  "b
B#  C # Ÿ #&

B#  C # œ #& corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada de
radio cinco.

B#  C #  #& corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de la
circunferencia de radio cinco.

36


H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b se encuentra en y dentro de la circunferencia
B#  C # œ #&}

VIRGINIO GOMEZ
#Ñ 0 aBß C b œ
$B  &C
BC

BC Á!
BÁC

B œ C corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C

H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b no está en la recta B œ C ×

$Ñ 0 aBß C b œ 68a#B  C b

#B  C  !
#B  C

#B œ C corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta C œ #B
#B  C corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta C œ #B

H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está bajo la recta C œ #B ×

37


È*B#  #&C #  ##&
%Ñ 0 aBß C b œ
CB#

VIRGINIO GOMEZ
*B#  #&C #  ##& !
*B#  #&C # ##& Î À ##&
B# C#
 "
#& *

B# C#
 œ " corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse
#& *
B# C#
 œ"
#& *

B# C#
  " corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la
#& *
B# C#
elipse  œ"
#& *

CB#Á!
C ÁB#

C œ B  # corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta
C œB#

C Á B  # corresponde a todos los puntos del plano que no están en la recta
C œB#

H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está en y fuera de la elipse
B# C#
 œ"
#& *
y no están en la recta C œ B  # ×

38


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Determine el dominio de las siguientes funciones À

B#  C #  "
È%C  &B
+Ñ 0 ÐBß CÑ œ

,Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68Ð*  B#  $C # Ñ

ÈB#  C #  $'
-Ñ 0 ÐBß CÑ œ
#B#  $C

È
/ C  #B
.Ñ 0 ÐBß CÑ œ
68ÐC  BÑ

Solución

+Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está sobre la recta C œ B
&
%

,Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está en el interior de la elipse œ "
B# C#

* $

-Ñ H970 œ œaBß C b − ‘# ÎaBß C b está en y dentro de la circunferencia

B#  C # œ $' y no pertenece a la parábola C œ  B# 
#
$

.Ñ H970 œ {aBß C b − ‘# ÎaBß C b está sobre las rectas C œ #B e C œ B y está en la
recta C œ #B ×

39


Derivadas Parciales

VIRGINIO GOMEZ
Conceptos

Sea z = f ( x , y ) , una función de dos variables , entonces las derivadas parciales
Primeras de f con respecto a x y con respecto a y son las funciones f x , f y
definidas por :

∂f ( x , y ) ∂z f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )
= = f x ( x , y ) = lim
∂x ∂x ∆x→ 0 ∆x

∂f ( x, y ) ∂z f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
= = f y ( x, y ) = lim
∂y ∂y ∆y → 0 ∆y

siempre que exista el límite.

Es decir, si D œ 0 aBß C bß entonces para determinar 0B se considera constante la variable C y se
deriva con respecto a B. De la misma forma , para obtener 0C se considera constante la variable B y se
deriva con respecto a C

Ejemplos À

Obtener 0B ß 0C en À

"Ñ 0 aBß C b œ $B#  #C $  (B  %C

0B œ 'B  ( 0C œ  'C #  %

#Ñ 0 aBß C b œ #BC  *B$  &C %

0B œ #C  #(B# 0C œ #B  #!C $

$Ñ 0 aBß C b œ a$BC #  %Bb
$

0B œ $a$BC #  %Bb a$C #  %b 0C œ ")BC a$BC #  %Bb
# #

40


%Ñ 0 aBß C b œ
#B  &C $
$B  #C

VIRGINIO GOMEZ
#a$B  #C b  $a#B  &C $ b  "&C # a$B  #C b  #a#B  &C $ b
a$B  #C b# a$B  #C b#
0B œ 0C œ

%C  "&C $  #!C $  %&BC #  %B
a$B  #C b a$B  #C b#
0B œ #
0C œ

&Ñ 0 aBß C b œ BC  B# C $  B% C (

0B œ C  #BC $  %B$ C ( 0C œ B  $B# C #  (B% C '

'Ñ 0 aBß C b œ B/BC  >1a#B  $C b

0B œ /BC  BC/BC  #=/- # a#B  $C b 0C œ B# /BC  $=/- # a#B  $C b

(Ñ 0 aBß C b œ 68aB#  C # b  =/8aBC b  BC -9=aBC b

 C -9=aBC b  C-9=aBC b  BC # =/8aBC b
#B
0B œ
B#  C#

 B -9=aBC b  B-9=aBC b  B# C=/8aBC b
 #C
0C œ
B# C#

El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables.

Sea A œ 0 aBß Cß D b, una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de 0
con respecto a B, a C y a D están definidas por À

`0 aBß Cß D b 0 aB  ?Bß Cß D b  0 aBß Cß D b
œ 0B aBß Cß D b œ
À
œ lim
`B `B ?B Ä ! ?B

`0 aBß Cß D b 0 aBß C  ?Cß D b  0 aBß Cß D b
œ 0C aBß Cß D b œ
À
œ lim
`C `C ?C Ä ! ?C

`0 aBß Cß D b 0 aBß Cß D  ?D b  0 aBß Cß D b
œ 0D aBß C , zb œ
À
œ lim
`D `D ?D Ä ! ?D

siempre que el límite exista

Es decir, si A œ 0 aBß Cß D b para determinar 0B se consideran constantes las variables C y D y se
deriva con respecto a la variable B. De esta misma forma para obtener 0C se consideran constantes las
variables B y D y se deriva con respecto a la variable C . Por último, por igual camino para calcular 0D se
consideran constantes las variables B e C y se deriva con respecto a la variable D .

41


Ejemplos À

VIRGINIO GOMEZ
Obtener 0B ß 0C ß 0D en À

"Ñ 0 aBß Cß D b œ #B#  %C $  &D %  $B  %C  D

0B œ %B  $ 0C œ  "#C #  % 0D œ #!D $  "

#Ñ 0 aBß Cß D b œ BC  $CD  %BD  BCD

0B œ C  %D  CD 0C œ B  $D  BD 0D œ  $C  %B  BC

$Ñ 0 aBß Cß D b œ BC/BD  68aB  C  D b

"
0B œ C/BD  BCD/BD 
BCD

"
0C œ B/BD 
BCD

"
0D œ B# C/BD 
BCD
%Ñ 0 aBß Cß D b œ
$B  &C
#C  D

$
0B œ
#C  D

 &a#C  D b  #a$B  &C b &D  'B
a#C  D b a#C  D b#
0C œ #
œ

$B  &C
a#C  D b#
0D œ

&Ñ 0 aBß Cß D b œ 68aB#  C #  D # b  =/8a$B  C b  >1a&C  %D b

 $ -9=a$B  C b
#B
0B œ
B#  C #  D #

 -9=a$B  C b  &=/- # a&C  %D b
#C
0C œ
B#  C #  D #

 %=/- # a$B  C b
#D
0D œ
B#  C #  D #

42


'Ñ 0 aBß Cß D b œ B/BCD  C -9=aBCD b  D ÈBCD

VIRGINIO GOMEZ
0B œ /BCD  BCD/BCD  C # D =/8aBCD b 
CD #
# ÈBCD

0C œ B# D/BCD  -9=aBCD b  BCD =/8aBCD b 
BD #
# ÈBCD

0D œ B# C/BCD  BC # =/8aBCD b  ÈBCD 
BCD
# ÈBCD

(Ñ 0 aBß Cß D b œ =/8$ a#B  $C b  >1a$C  %D b$  68# a&D  Bb%

0B œ '=/8# a#B  $C b -9=a#B  $C b  )Ò68a&D  Bb% Ó †
"
a&D  Bb

0C œ  *=/8# a#B  $C b -9=a#B  $C b  *Ò=/- # a$C  %D b$ Óa$C  %D b#

0D œ  "#Ò=/- # a$C  %D b$ Óa$C  %D b#  %!Ò68a&D  Bb% Ó †
"
a&D  Bb

Ejercicios
I Determine 0B y 0C en:

+Ñ 0 aBß C b œ $B  %C  B# C  BC $

,Ñ 0 aBß C b œ 68a$B  'C b  -9=a$BC  'b  B >1a#C  "!b

-Ñ 0 aBß C b œ È$B  %C  a$B  C b)  %B(  )C '

.Ñ 0 aBß C b œ
(B  )C
%C  *B

II Determine 0B ß 0C y 0D en:

+Ñ 0 aBß Cß D b œ BCD  68a$B  %C  &D b  %B  'C  *D

,Ñ 0 aBß Cß D b œ È%B%  *C %  (D (
$

-Ñ 0 aBß Cß D b œ -9=a$B  'C  (D b  /-9=aBCD b  B$ C % D '

.Ñ 0 aBß Cß D b œ
B68C  D=/8C
C>1B  BC/D

43


Solución

VIRGINIO GOMEZ
I +Ñ 0B œ $  #BC  C $ 0C œ  %  B#  $BC #

 $C † =/8a$BC  'b  >1a#C  "!b
$
,Ñ 0B œ
$B  'C

 $B † =/8a$BC  'b  #B † =/- # a#C  "!b
'
0C œ 
$B  'C

 #%a$B  C b(  #)B'
# È$B  %C
$
-Ñ 0B œ

 )a$B  C b(  %)C &
È$B  %C
#
0C œ 

"!!C "!!B
a%C  *Bb a%C  *Bb#
.Ñ 0B œ #
0C œ 

$ %
II +Ñ 0B œ CD  % 0C œ BD  '
$B  %C  &D $B  %C  &D

&
0D œ BC  *
$B  %C  &D

"'B$  $'C $
$ Éa%B%  *C %  (D ( b# $ Éa%B%  *C %  (D ( b#
,Ñ 0B œ 0C œ
$ $

%*D '
$ Éa%B%  *C %  (D ( b#
0D œ
$

-Ñ 0B œ  $=/8a$B  'C  (D b  CD † =/8aBCD b † /-9=aBCD b  $B# C % D '

0C œ  '=/8a$B  'C  (D b  BD † =/8aBCD b † /-9=aBCD b  %B$ C $ D '

0D œ (=/8a$B  'C  (D b  BC † =/8aBCD b † /-9=aBCD b  'B$ C % D &

68C aC>1B  BC/D b  aB68C  D=/8C baC=/- # B  C/ D b
aC>1B  BC/D b#
.Ñ 0B œ

Œ  D-9=C aC>1B  BC/D b  aB68C  D=/8C ba>1B  B/D b
B
C
aC>1B  BC/D b#
0C œ

a  =/8C baC>1B  BC/D b  aB68C  D=/8C baBC/D b
aC>1B  BC/D b#
0D œ

44


Derivación implícita

VIRGINIO GOMEZ
Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de
derivada implícita.
Si D œ 0 aBß C b, es decir, D es una función de dos variables que depende de B e C . Para obtener
`D
`B
se considera constante la variable C y se deriva implícitamente D con respecto a B.
`D
Para obtener se considera constante la variable B y se deriva implícitamente D con respecto a
`C
C.

`D `D
Ejemplo À Obtener , en À
`B `C

"Ñ B#  C #  D # œ #&

`D
Para
`B

`D `D B
#B  #D † œ! Ê œ 
`B `B D

`D
Para
`C

`D `D C
#C  #D † œ!Ê œ 
`C `C D

#Ñ >1aB  C b  >1aC  D b œ "

`D
Para
`B
=/- # aB  C b  =/- # aC  D b †
`D
œ!
`B

`D =/- # aB  C b
=/- # aC  D b
œ 
`B

`D
Para
`C
=/- # aB  C b  =/- # aC  D b † Œ"  œ!
`D
`C

`D =/- # aB  C b  =/- # aC  D b
=/- # aC  D b
œ 
`C

$Ñ D † /BD  C † /CD  /BC œ #

`D
Para
`B

† /  D † /BD † ŒD  B † C †/ †
`D BD `D # CD `D  C/BC œ !
`B `B `B

45


`D D # /BD  C/BC
œ  BD
`B /  BD/BD  C # /CD

VIRGINIO GOMEZ
`D
Para
`C

 /CD  C † /CD † ŒD  C †   B/ œ !
`D BD `D `D
† /  BD † /BD † BC
`C `C `C

`D /CD  CD/CD  B/BC
œ BD
`B /  BD/BD  C # /CD

%Ñ /BCD  >1aCD b œ 68aBCD b  -9=aBD b

`D
Para
`B

/BCD ŒCD  BC   C=/- aCD b ŒCD  BC   =/8 aBD b † ŒD  B 
`D # `D " `D `D
œ
`B `B BCD `B `B

 D=/8aBD b  CD/BCD
"
`D B
BC/BCD  C=/- # aCD b   B=/8aBD b
œ
`B "
D
`D
Para
`C

/BCD ŒBD  BC   =/- aCD bŒD  C  œ ŒBD  BC   B=/8 aBD b
`D # `D " `D `D
`C `C BCD `C `C

 D=/- # aCD b  BD/BCD
"
`D C
BC/BCD  C=/- # aCD b   B=/8aBD b
œ
`B "
D

Ejercicios

`D `D
Obtener y en À
`B `C

+Ñ B#  %C #  *D # œ $' ,Ñ CD  BD  BC  BCD œ !

-Ñ $B%  %C $  'D & œ '! .Ñ #B  C  D œ 68D

/Ñ =/8ÐB  CÑ  -9=ÐC  DÑ  =/-ÐD  BÑ œ " 0 Ñ B/ BC  C=/8aCD b œ D>1aBD b

46


Solución

VIRGINIO GOMEZ
`D B `D %C
+Ñ œ  œ
`B *D `C *D

`D CD  D  C `D BD  D  B
,Ñ œ œ
`B C  B  BC `C C  B  BC

`D #B$ `D #C #
-Ñ œ  % œ  %
`B &D `C &D

`D # `D "
.Ñ œ œ
`B " `C "
" "
D D

`D  -9=aB  C b  =/- aB  D b>1aB  D b
=/8aC  D b  =/- aB  D b>1aB  D b
/Ñ œ
`B

`D  -9=aB  C b  =/8aC  D b
=/8aC  D b  =/- aB  D b>1aB  D b
œ
`C

`D D # =/- # aBD b  /BC  BC/BC
C -9=aCD b  >1aBD b  BD =/- # aBD b
0Ñ œ #
`B

`D B# /BC  =/8aCD b  CD -9=aCD b
>1aBD b  BD =/- # aBD b  C # -9=aCD b
œ
`C

47


Regla de la cadena

VIRGINIO GOMEZ
Teorema : Supóngase que z = f ( x , y ) , es una función de dos variables y que existen

∂z ∂z
y con x = f ( r , s ) e y = f ( r , s ) funciones de r y s para las cuales
∂x ∂y

∂x ∂ x ∂y ∂y ∂z ∂z
existen las derivadas , , , . Luego, y existen y vienen dadas por:
∂r ∂ s ∂r ∂s ∂r ∂s

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅ + ⋅
∂r ∂x ∂r ∂y ∂ r

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅ + ⋅
∂s ∂ x ∂s ∂y ∂ s

Ejemplos
`D
1) Determine en:
`<
D œ B#  C #
B œ =$  <%
C œ =<

`D `D `B `D `C
œ †  †
`< `B `< `C `<

`D `D `B `C
œ #B œ #C œ %<$ œ=
`B `C `< `<

œ a#Bbˆ%<$ ‰  a#C ba=b
`D
`<

`D
2) Determine en:
`=

D œ C $  $B# C
B œ <-9=a=b
C œ <=/8a=b

`D `D `B `D `C
œ †  †
`= `B `= `C `=

œ  <=/8a=b œ <-9=a=b
`D `D `B `C
œ  'BC œ $C #  $B#
`B `C `= `=

œ a  'BC ba  <=/8a=bb  ˆ$C #  $B# ‰a<-9=a=bb
`D
`=

48


`D `D
3) Determine y en:
`+ `,

VIRGINIO GOMEZ
D œ =/8a#B  $C b
B œ >1a+b  /,
C œ 68a"  +b  -9=a$, b

`D `D `B `D `C
œ †  †
`+ `B `+ `C `+

œ #-9=a#B  $C b œ $-9=a#B  $C b
`D `D
`B `C

œ =/- # a+b
`B `C "
œ 
`+ `+ "+

œ a#-9=a#B  $C bbˆ=/- # a+b‰  a$-9=a#B  $C bbŒ  
`D "
`+ "+

`D `D `B `D `C
œ †  †
`, `B `, `C `,

œ #-9=a#B  $C b œ $-9=a#B  $C b
`D `D
`B `C

œ  $=/8a$, b
`B `C
œ  /,
`, `,

œ a#-9=a#B  $C bbˆ  /, ‰  a$-9=a#B  $C bba  $=/8a$, bb
`D
`+

El teorema también es aplicable para funciones de tres variables
Si w = f ( x, y, z ) es una función de tres variables para la cual existen

∂w ∂w ∂w
, , con x = f (r , s ) ; y = f (r , s ) ; z = f (r , s ) .
∂x ∂y ∂z

Entonces w es función de r y s , luego

∂w ∂w
y existen y están definidas por:
∂r ∂s

∂w ∂w ∂x ∂z ∂y ∂w ∂z
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r

∂w ∂w ∂x ∂z ∂y ∂w ∂z
= ⋅ + ⋅ + ⋅
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s

49


Ejemplos:

VIRGINIO GOMEZ
À
1) Obtener en:
`<

A œ B#  #CD  D $
B œ -9=a<b  /=

D œ 68a<b  >1a#=b
C œ #<  $=

À À `B À `C À `D
œ †  †  †
`< `B `< `C `< `D `<

À À À
œ #B œ #D œ #C  $D #
`B `C `D

œ  =/8a<b
`B `C `D "
œ# œ
`< `< `< <

œ a#Bba  =/8a<bb  a#D ba#b  ˆ#C  $D # ‰Œ 
À "
`< <

À
2) Obtener en:
`=

A œ -9=aB#  C  D $ b

C œ =/8# a$<b
B œ <$ =%

D œ >1a%=  (b'

À À `B À `C À `D
œ †  †  †
`= `B `= `C `= `D `=

œ  #B=/8ˆB#  C  D $ ‰ œ =/8ˆB#  C  D $ ‰
À À
`B `C

œ  $D # =/8ˆB#  C  D $ ‰
À
`D

œ #%=/- # a%=  (b' † a%=  (b&
`B `C `D
œ %<$ =$ œ!
`= `= `=

œ ˆ  #B=/8ˆB#  C  D $ ‰‰ˆ%<$ =$ ‰  ˆ  $D # =/8ˆB#  C  D $ ‰‰ˆ#%=/- # a%=  (b' † a%=  (b& ‰
À
`=

50


À
3) Determine en :
`+

VIRGINIO GOMEZ
BC
Aœ
B œ +-9=a, b  =/8a, b
D

C œ 68a+b  +=/8a, b
D œ #+  $,

À À `B À `C À `D
œ †  †  †
`+ `B `+ `C `+ `D `+

À C À B À BC
œ œ œ  #
`B D `C D `D D

œ -9=a, b œ  =/8a, b
`B `C " `D
œ#
`+ `+ + `+

œ Š ‹a-9=a, bb  Š ‹Œ  =/8a, b  Š  # ‹a#b
À C B " BC
`+ D D + D

Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente:

∂z ∂z
1) Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables donde y existen,
∂x ∂y
∂z
con x = f (t ) e y = f (t ) , entonces z depende de t y queda definida por:
∂t

dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅
dt ∂x dt ∂y dt

∂w ∂w ∂w
2) Sea w = f ( x, y, z ) una función de tres variables donde , y existen,
∂x ∂y ∂z
∂w
con x = f (t ) , y = f (t ) y z = f (t ) , entonces w depende de t y queda definida por:
∂t

dw ∂w dx ∂w dy ∂w dz
= ⋅ + ⋅ + ⋅
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt

51


Ejemplos

VIRGINIO GOMEZ
.D
1) Determine en:
.>

D œ BC/BC
B œ >%  È >
C œ > † 68$ a>  "b

.D `D .B `D .C
œ †  †
.> `B .> `C .>

`D `D
œ C/BC  BC # /BC œ B/BC  B# C/BC
`B `C

œ 68$ a>  "b  $> † 68# a>  "b †
# È>
.B " .C "
œ %>$ 
.> .> >"

œ ˆC/BC  BC # /BC ‰%>$   ˆB/BC  B# C/BC ‰Œ68$ a>  "b  $> † 68# a>  "b † 
È> 
.D " "
.> # >"
.A
#Ñ Determine en:
.>

A œ BCD

B œ >(  $>  &

>
Cœ
>#  $

D œ E<-=/8a>b

.A À .B À .C À .D
œ †  †  †
.> `B .> `C .> `D .>

À À À
œ CD œ BD œ BC
`B `C `D

"a>#  $b  >a#>b
È "  >#
.B .C .D "
a>#  $b#
œ (>'  $ œ œ
.> .> .>

œ aCD bˆ(>'  $‰  aBD b   aBC b
#  $ b#  È"  ># 
.A $  ># "
.> a>

52


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Determine À

`A
+Ñ si
`<

A œ 68ÐB #  C # Ñ

B œ < -9= >

C œ < =/8 >

.E
,Ñ si
.>

E œ B $  C $  È#B  $C

B œ E<->1a>b  -9=> =/8>

C œ > † >1 a>b

`? `? `?
-Ñ ß ß si
`3 `) `9

? œ B #  #C #  #D #

B œ 3 -9= ) =/8 9

C œ 3 =/8 ) =/8 9

D œ 3 -9= 9

`A
.Ñ Hallar en el punto Ð"ß "ß "Ñ si
`B

A œ -9=a +, b

+ œ BCD
1
,œ
%ÐB#  C# Ñ

53


Solución

VIRGINIO GOMEZ
œŒ # #
-9= >  Œ  # =/8 >
À #B #C
+Ñ
`< B C B  C#

œ $B# 
È#B  $C Œ "  >#  =/8 >  -9= >
È B " # #
,Ñ
`>

   $C #  a>1 >  > =/- # >b
È#B  $C 
$
#

œ a#Bba-9=) =/89b  a%C ba=/8) =/89 b  a%D ba-9=9b
`?
-Ñ
`3

œ a#Bba  3 =/8) =/89b  a%C ba3 -9=) =/89 b
`?
`)

œ a#Bba3 -9=) -9=9b  a%C ba3 =/8) -9=9 b  a%D ba=/89b
`?
`9

a"ß "ß "b œ !
À
.Ñ
`B

54


Aplicaciones de la regla de la cadena

VIRGINIO GOMEZ
A) Problemas con enunciado

1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm..
En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué
rapidez cambia el volumen en ese momento?

Z œ 1<# 2 Z œ 0 a<ß 2b

< œ 0 a>b
.< cm
œ & < œ "# cm
.> seg

2 œ 0 a>b
.2 cm
œ% 2 œ $' cm
.> seg

.Z `Z .< `Z .2
œ †  †
.> `< .> `2 .>

œ a#1<2b †  ˆ1 < # ‰ †
.Z .< .2
.> .> .>

œ a)'%1b † a  &b  a"%%1b † a%b
.Z
.>
.Z
œ  %$#!1  &('1
.>
.Z
œ  $(%%1
.>

El volumen decrece a razón de $(%%1 cm3 /seg

55


2) En cierto instante, el ángulo ! de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el
lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de " cm/seg.

VIRGINIO GOMEZ
#
Hallar la velocidad de variación del lado a.

Por teorema del coseno

+# œ , #  - #  #,- † -9=!
+ œ 0 a,ß -ß !b ;, œ 0 a>b ; - œ 0 a>b ; ! œ 0 a>b

+ œ È, #  - #  #,- † -9=!

.! grados ., " cm
! œ '!º œ& , œ "' cm œ 
.> seg .> # seg

.- cm
- œ "! cm œ"
.> seg

.+ `+ . ! `+ ., `+ .-
œ †  †  †
.> ` ! .> `, .> `- .>

œ
È, #  - #  #,- † -9=!  .>  È, #  - #  #,- † -9=!  .>  È, #  - #  #,- † -9=!  .>
.+ ,- † =/8! .! ,  - † -9=! ., -  , † -9=! .-
 
.>

a,- † =/8!ba&b  a,  - † -9=!bŒ    a-  , † -9=!ba"b•
È, #  - #  #,- † -9=! ”
.+ " "
œ
.> #

Œ  #  %!!È$
.+ " ""
œ
.> "% #

Œ   %!!È$
.+ " (
œ
.> "% #

Œ   %!!È$
" ( cm
El lado a crece a razón de
"% # seg

56


3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg,
su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg

VIRGINIO GOMEZ
a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es
10 y la altura es 8 cm.?
b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?

+Ñ Z œ 6+2 Z œ 0 a+ß 6ß 2 b

.+ cm .6 cm
+ œ "! œ # ; 6 œ "& œ$
.> seg .> seg

.2 cm
2œ) œ"
.> seg

.Z `Z .+ `Z .6 `Z .2
œ †  †  †
.> `+ .> `6 .> `2 .>

œ a62b  a+2b  a6+b
.Z .+ .6 .2
.> .> .> .>

œ a"#!ba  #b  a)!ba$b  a"&!ba"b
.Z
.>
.Z
œ "&! El volumen crece a razón de 150 cm3 /seg.
.>

,Ñ E œ #+6  #+2  #62

.E È .+ È .6 È .2
œ †  †  †
.> `+ .> `6 .> `2 .>

œ a#6  #2b  a#+  #2b  a#+  #6b
.E .+ .6 .2
.> .> .> .>

œ a%'ba  #b  a$'ba$b  a&!ba"b
.E
.>
.E
œ '' El área total crece a razón de 66 cm2 /seg.
.>

57


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
"Ñ La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El
radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono
en ese instante ?

#Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son À largo 15 cm., ancho 8
cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece
a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del:

+Ñ volumen.

,Ñ área total si el sólido es sin tapa.

-Ñ área total si el sólido es con tapa.

$Ñ Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el
radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de
cambio del À

+Ñ volumen.

,Ñ área total , si el cilindro no tiene tapa.

-Ñ área lateral, si el cilindro tiene tapa.

Solución

"Ñ El volumen del cono decrece a razón de (#Þ!!! 1 cm3 /min.

#Ñ

+Ñ El volumen del sólido rectangular crece a razón de $%) cm3 /seg.

,Ñ El área total del sólido rectangular decrece a razón de ( cm# /seg si el sólido es sin
tapa.

-Ñ El área total del sólido rectangular crece a razón de &# cm# /seg si el sólido es con tapa.

$Ñ

+Ñ El volumen del cilindro crece a razón de $)%! 1 cm3 /seg.

,Ñ El área total del cilindro crece a razón de #!) cm# /seg .

-Ñ El área lateral del cilindro crece a razón de )! cm# /seg .

58


B) Demostraciones

VIRGINIO GOMEZ
"Ñ Sea A œ 0 aC  B  >ß D  C  >b . Haciendo ? œ C  B  > à @ œ D  C  >
À À À À
Demostrar que #   œ!
`B `C `D `>

A œ 0 a?ß @b con ?œCB> y @œDC>

À À `? À `@
œ †  †
`B `? `B `@ `B

a  "b  a! b
À À À À À
œ Ê œ 
`B `? `@ `B `?

À À `? À `@
œ †  †
`C `? `C `@ `C

a" b  a  "b
À À À À À À
œ Ê œ 
`C `? `@ `C `? `@

À À `? À `@
œ †  †
`D `? `D `@ `D

a! b  a" b
À À À À À
œ Ê œ
`D `? `@ `D `@

À À `? À `@
œ †  †
`> `? `> `@ `>

a  "b  a" b
À À À À À À
œ Ê œ  
`> `? `@ `> `? `@

À À À À À À À À À À
#   œ  # #   
`B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@

À À À À
#   œ!
`B `C `D `>

À À À À
Por lo tanto, #   œ!
`B `C `D `>

59


2) Suponga que ? œ 0 aB  +>ß C  ,>b ß donde + y , son constantes. Demostrar que:

VIRGINIO GOMEZ
`? `? `?
œ+† ,†
`> `B `C

Sea : œ B  +> y ; œ C  ,>

`? `? `: `? `;
œ †  †
`> `: `> `; `>

a+ b  a, b
`? `? `? `? `? `?
œ Ê œ+ ,
`> `: `; `> `: `;

`? `? `: `? `;
œ †  †
`B `: `B `; `B

a" b  a! b
`? `? `? `? `?
œ Ê œ
`B `: `; `B `:

`? `? `: `? `;
œ †  †
`C `: `C `; `C

a! b  a" b
`? `? `? `? `?
œ Ê œ
`C `: `; `C `;

`? `? `?
œ+† ,†
`> `B `C

`? `? `? `?
+ , œ+ ,
`: `; `: `;

`? `? `?
Por lo tanto, œ+† ,†
`> `B `C

3) Para A œ 0 aBß C b con B œ <-9=) e C œ <=/8) , demostrar que:

Œ  Œ  œŒ   Œ # Œ 
# # # #
À À À " À
`B `C `< < `)

À À `B À `C
œ †  †
`< `B `< `C `<

† a-9=) b  † a=/8)b
À À À
œ
`< `B `C

Œ  œŒ  -9= )  # -9=)=/8)  Œ  =/8 )
# # #
À À # À À À #
†
`< `B `B `C `C

60


À À `B À `C
œ †  †
`) `B ` ) `C ` )

VIRGINIO GOMEZ
† a  <=/8) b  † a<-9=)b
À À À
œ
`) `B `C

Œ  œŒ  < =/8 )  #< -9=)=/8)  Œ  < -9= )
# # #
À À # # # À À À # #
†
`) `B `B `C `C

Œ # Œ  œŒ  =/8 )  # -9=)=/8)  Œ  -9= )
# # #
" À À # À À À #
†
< `) `B `B `C `C

Œ   Œ # Œ  œŒ  a-9= )  =/8 )b  Œ  a=/8 )  -9= )b
# # # #
À " À À # # À # #
`< < `) `B `C

Œ   Œ # Œ  œŒ  Œ 
# # # #
À " À À À
`< < `) `B `C

Por lo tanto, Œ  Œ  œŒ   Œ # Œ 
# # # #
À À À " À
`B `C `< < `)

Ejercicios

"Ñ Si A œ 0 ÐB  Cß B  CÑ tiene derivadas parciales continuas respecto a

? œ B  C ß @ œ B  CÞ

œŒ  Œ 
À À À # À #
Pruebe que †
`B `C `? `@

#Ñ Si + œ 0 ÐBß CÑ y , œ 1ÐBß CÑ con B œ < -9= > à C œ < =/8 >

à " `, `, " `+
Demuestre que œ y œ 
`< < `> `< < `>

Solución

"Ñ Se cumple

#Ñ Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones:

`+ `, `+ `,
œ y œ 
`B `C `C `B

61


Derivada direccional

VIRGINIO GOMEZ
La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón
de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con
respecto a B puede considerarse como la derivada en la dirección B y la derivada parcial con respecto a C
puede considerarse como la derivada en la dirección C .

Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables y sea ? œ -9=) 3  =/8) 4 un vector unitario.
p

Entonces la derivada direccional de 0 en la dirección de ?, denotada por H? 0 aBß C b es À
p

0 aB  2-9=)ß C  2=/8)b  0 aBß C b
H? 0 aBß C b œ lim si existe el límite
2Ä! 2
p
Si ? œ 3 Ê ) œ ! Ê -9=! œ " à =/8! œ ! y se obtiene À

0 aB  2ß C b  0 aBß C b
H3 0 aBß C b œ
`0
lim œ
2Ä! 2 `B

p 1 1 1
Si ?œ4Ê)œ Ê -9= œ !à =/8 œ " y se obtiene À
# # #

0 aBß C  2b  0 aBß C b
H4 0 aBß C b œ
`0
lim œ
2Ä! 2 `C

`0 `0
Así, y son casos especiales de la derivada direccional.
`B `C

Teorema: Si f ( x, y ) y sus derivadas parciales son continuas y
r
µ = cosθ i + senθ j , entonces:

D µ = f x ( x, y ) cos θ + f y ( x, y ) sen θ
r

62


Ejemplos

1) Dada la función 0 aBß C b œ B#  C #  #B  #C , hallar la derivada direccional de 0 en la

VIRGINIO GOMEZ
dirección ) œ #1Î$ en el punto a  #ß  &b

0B aBß C b œ #B  # Ê 0B a  #ß  &b œ  #
0C aBß C b œ #C  # Ê 0C a  #ß  &b œ  "#

È$
? œ -9=Œ 3  =/8Œ 4
p #1 #1 p "
Ê?œ  3 4
$ $ # #

È$
H? 0 a  #ß  &b œ a  #bŒ    a  "#b
# 
"
#
H? 0 a  #ß  &b œ "  'È$

2) Calcular la derivada direccional de 0 aBß C b œ C # -9=#B en a1Î'ß "b en la dirección de
p
@ œ $3  %4

0B aBß C b œ  #C # =/8 #B Ê 0B a1Î'ß "b œ  #a"b# =/8Š ‹ œ  È$
1

0C aBß C b œ #C -9= #B Ê 0C a1Î'ß "b œ #a"b -9=Š ‹ œ "
$
1
$

m@m œ È*  "' œ &
p p p @ p $ %
ß @ no es unitario, ? œ p Ê?œ 3 4
m@m & &

H? 0 a1Î'ß "b œ Š  È$‹Œ   a"bŒ  
$ %

È$  %
& &
H? 0 a1Î'ß "b œ 
$
&

Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En ‘3 , la dirección de un
vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À
, ? œ -9=! 3  -9=" 4  -9=# 5

Concepto À Sea 0 aBß Cß D b una función de tres variables y ? œ -9=! 3  -9=" 4  -9=# 5 un
p

p
vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de ? está dada por À

0 aB  2-9=!ß C  2-9=" ß D  2-9=# b  0 aBß Cß D b
H? 0 aBß Cß D b œ lim si existe el
2Ä! 2
límite

63


Teorema: Si f ( x, y, z ) es una función de tres variables y

VIRGINIO GOMEZ
r
µ = cos α i + cos β j + cos γ k , entonces:

D µ f ( x, y , z ) = f x ( x, y , z ) cos α + f y ( x, y , z ) cos β + f z ( x, y , z ) cos γ
r

Ejemplos À

1) Dada la función 0 aBß Cß D b œ B#  BC  BD  C #  D # . Encontrar la derivada direccional de
0 aBß Cß D b en T a  "ß #ß "b en la dirección del vector @ œ #3  4  #5
p

0B aBß Cß D b œ #B  C  D Ê 0B a  "ß #ß "b œ  "

0C aBß Cß D b œ B  #C Ê 0C a  "ß #ß "b œ $

0D aBß Cß D b œ  B  #D Ê 0D a  "ß #ß "b œ  "

m@m œ È%  "  % œ $
p p @ p # " #
ß @ no es unitario, ? œ p Ê?œ 3 4 5
m@m $ $ $

H? 0 aBß Cß D b œ a  "bŒ   a$bŒ    a  "bŒ  
# " #
$ $ $

H? 0 aBß Cß D b œ  "

2) Hallar la derivada direccional si 0 aBß Cß D b œ /C -9= B  /D =/8 C en T a!ß !ß #b en la dirección
del vector T U si Ua  #ß "ß #b
p

0B aBß Cß D b œ  /C =/8B Ê 0B a!ß !ß #b œ !

0C aBß Cß D b œ /C -9= B  /D -9= C Ê 0C a!ß !ß #b œ "  /#

0D aBß Cß D b œ /D =/8 C Ê 0D a!ß !ß #b œ !

T U œ U  T œ a  #ß "ß #b  a!ß !ß #b œ a  #ß "ß !b
Ä

m@m œ È%  "  ! œ È& ß @ no es unitario, ? œ p Ê ? œ 
p

È& È&
p p p @ p # "
3 4
m@m

H? 0 aBß Cß D b œ a!b    a"  / b È   a!ba!b
È&
# # "
&

H? 0 aBß Cß D b œ
"  /#
È&

64


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la
dirección o vector.

+Ñ 0 aBß C b œ ß el punto es a"ß #b y la dirección ! œ 1
C $
BC %

,Ñ 0 aBß C b œ B #  BC  C # ß el punto es a$ß "b y la dirección ! œ
&
1
'

-Ñ 0 aBß C b œ C  B-9= ÐBCÑ ß el punto es a!ß !b y la dirección ! œ
#
1
$

.Ñ 0 aBß C b œ #B #  $BC  C # ß el punto es a"ß  "b y el vector @ œ 3  4
p

/Ñ 0 aBß Cß D b œ BE<->1ÐCDÑ ß el punto es a%ß "ß "b y el vector @ œ Ò#ß  "ß "Ó
p

0 Ñ 0 aBß Cß D b œ
BC p
ß el punto es Ð#ß $ß &Ñ y el vector @ œ 5
D

1Ñ 0 aBß Cß D b œ 68ÐB #  C  D # Ñ ß el punto es a!ß "ß !b y el vector está en la dirección T U
Ä

si T a!ß "ß !b y Ua$ß %ß "b

È B#  C #  D #
2Ñ 0 aBß Cß D b œ ß el punto es a"ß "ß "b y el vector está en la dirección EF
Ä

68ÐB  C  DÑ

si Ea#ß  "ß "b y F a"ß !ß #b

Solución

È# &  (È $ È$  "
+Ñ H? 0 a"ß #b œ ,Ñ H? 0 a$ß "b œ -Ñ H? 0 a!ß !b œ
' # #

È '1
.Ñ H? 0 a"ß  "b œ  # È# /Ñ H? 0 a%ß "ß "b œ 0 Ñ H? 0 a#ß $ß &b œ 
'
"# #&

1Ñ H? 0 a!ß "ß !b œ 2Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
È"*
$ 68$  "
$a68 $b#

65


1) De H? 0 aBß C b œ 0B aBß C b -9=)  0C aBß C b =/8)
Gradientes

œ Ò0B aBß C bß 0C aBß C bÓ † Ò -9=)ß =/8) Ó

VIRGINIO GOMEZ
œ Ò0B aBß C bß 0C aBß C bÓ † ?
p

El vector f x ( x, y )i + f y ( x, y ) j

se conoce como vector gradiente

grad ( ( x, y = ∇f ( ( x, y = f x ( x, y + f y ( x, y j
grad f f x, y) ) = ∇f x, y) ) =f x ( x, y)i)i +f y ( x, y) ) j

#Ñ De H? 0 aBß Cß D b œ 0B aBß Cß D b -9=!  0C aBß Cß D b -9="  0D aBß Cß D b -9=#
œ Ò0B aBß Cß D bß 0C aBß Cß D bß 0D aBß Cß D b Ó † Ò -9=!ß -9="ß -9=# Ó
œ Ò0B aBß Cß D bß 0C aBß Cß D bß 0D aBß Cß D bÓ † ?
p

El vector f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k

se conoce como vector gradiente

grad f ( x, y, z ) = ∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k

H? 0 aBß C b œ ? † f0 aBß C b
p
Asíß
H? 0 aBß Cß D b œ ? † f0 aBß Cß D b
p

p
Sea ! la medida en radianes del ángulo formado por los vectores ? y f0 ß entonces
p p p
? † f0 œ m?m † mf0 m † -9=! , pero m?m œ "
p
? † f0 œ mf0 m † -9=!
Si ! œ !ß entonces -9=! œ " alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su
p
máximo valor cuando ? está en la misma dirección y sentido que f0

Máx Dµ f ( x, y ) =
r ∇f ( x, y )

Máx Dµ f ( x, y, z ) =
r ∇f ( x, y , z )

Si ! œ ")!°ß entonces -9=")!° œ  " alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada direccional
p
alcanza su mínimo valor cuando ? está en la misma dirección, pero sentido contrario con f0

Mín D µ f ( x, y ) = − ∇f ( x, y )
r

Mín D µ f ( x, y , z ) = − ∇f ( x, y, z )
r

66


Ejemplos À

1) La temperatura en cualquier punto T aBß C b de una placa rectangular situada en el plano BC es

VIRGINIO GOMEZ
X aBß C b œ #
C
B  C#

a) Determine el vector gradiente en el punto T a$ß %b
b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto
c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto

+Ñ XB aBß C b œ Ê XB a$ß %b œ
#BC #%
aB #  C # b# '#&

 aB#  C # b  #C #
XC aBß C b œ Ê XC a$ß %b œ
(
aB #  C # b# '#&

fX a$ß %b œ ” •
#% (
ß
'#& '#&

,Ñ MáxH? X a$ß %b œ mfX a$ß %bm œ ËŒ  Œ  œ
# #
#% ( "
'#& '#& #&

” •
#% (
fX a$ß %b
ß
œ” ß •
'#& '#& #% (
mfX a$ß %bm
p
-Ñ ? œ œ
" #& #&
#&

2) Si Z volts es el potencial eléctrico en cualquier punto T aBß Cß D b en ‘3 y Z œ
È B#  C #  D #
'!

Þ Encontrar À
a) Rapidez de cambio del potencial en el punto a  "ß "ß  "b en la dirección del vector
p
@ œ $3  '4  #5
b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto.

#! È
+Ñ ZB aBß Cß D b œ  Ê ZB a  "ß "ß  "b œ
È$
'!B '!
É aB #  C #  D # b$
œ $
$ $

ZC aBß Cß D b œ  Ê ZC a  "ß "ß  "b œ  œ  È$
$È $
'!C '! #!
É aB #  C #  D # b $ $

#! È
ZD aBß Cß D b œ  Ê ZD a  "ß "ß  "b œ
$È $
'!D '!
É aB #  C #  D # b $
œ $
$

#! È
fZ a  "ß "ß  "b œ ” $ß  È$ß È$•
#! #!
$ $ $

m@m œ È*  $'  % œ ( @ no es unitario, ? œ
p p p $ ' #
3 4 5
( ( (

67


#! È
H? Z a  "ß "ß  "b œ ” $ß  È$ß È$• † ” ß  4 ß 5 •
#! #! $ ' #
$ $ $ ( ( (

VIRGINIO GOMEZ
##! È
H? Z a  "ß "ß  "b œ $
#"

,Ñ MínH? Z a  "ß "ß  "b œ  mfZ a  "ß "ß  "bm œ  #!

#! È
” $ß  È$ß È$•
#! #!
fZ a  "ß "ß  "b $ $ $
 mfZ a  "ß "ß  "bm
p
Dirección ?œ œ
 #!

È$ È$ È$
œ” ß  •
$ $ $

Ejercicios

"Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto

+Ñ 0 aBß C b œ B #  -9=ÐBCÑ
indicado À

,Ñ 0 aBß C b œ BÈC  B  C
T Ð"ß 1Î% Ñ
T Ð$ß %Ñ
-Ñ 0 aBß Cß D b œ /BC  D # T Ð!ß  $ß "Ñ

#Ñ Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto
indicado À
+Ñ 0 aBß C b œ B #  BC  C # T a  "ß "b
,Ñ 0 aBß Cß D b œ ÐB  CÑ  ÐC  DÑ  ÐD  BÑ
# # #
T a#ß  "ß #b

$Ñ
+Ñ La densidad ÐBß CÑ, en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano BC , es
HaBß C b œ
ÈB #  C #  $
BC
Þ

+Þ"ÑHalle la razón de cambio de la densidad en el punto a2,3b en la dirección de ! œ &1Î$Þ
+Þ#Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese
punto.

aBß Cß D b
por À X aBß Cß D b œ B # C  CD  /BC
,Ñ Suponga que la temperatura en cualquier punto está dada

,Þ"Ñ Determinar la razón de cambio de X en el punto Pa1,1,1b en la dirección del vector OP donde
p

O es el origen del sistema.
,Þ#Ñ ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?.

-Ñ El potencial eléctrico es Z aBß C b aen voltsb en el plano BC y Z aBß C b œ $B$ C  %C #  BC
p
-Þ"Ñ Determine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD
con G a#ß "bà Ha'ß #b en el punto a  "ß  %bÞ
-Þ#Ñ Obtener el vector gradiente en este mismo punto.
-Þ$Ñ Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en
a  "ß  %bÞ
-Þ%Ñ Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en a  "ß  %b . Con ese vector calcule
la derivada direccional en el mismo punto.

68


Solución
"Ñ
È #1 È# È# † É1#  "'È#1  "%%

VIRGINIO GOMEZ
+Ñ f0 a"ß 1Î%b œ #  MáxH? 0 a"ß 1Î%b œ
# 
ß
) )

È'&
,Ñ f0 a$ß %b œ Œ"ß  MáxH? 0 a$ß %b œ
(
% %

-Ñ f0 a!ß  $ß "b œ a  $ß !ß #b MáxH? 0 a!ß  $ß "b œ È"$

#Ñ

+Ñ f0 a  "ß "b œ a  "ß "b MínH? 0 a  "ß "b œ  È#

,Ñ f0 a#ß  "ß #b œ a"!ß %ß "!b MínH? 0 a#ß  "ß #b œ  'È'

")  (È$
$Ñ

+Þ"Ñ H? 0 a#ß $b œ
'%

È$($
+Þ#Ñ MáxH? 0 a#ß $b œ ?œ
È$($ È$($ 
p ") (
ß
$#

&È$  #È$/
,Þ"Ñ H? 0 a"ß "ß "b œ
$

+Þ#Ñ MínH? 0 a#ß $b œ  È#/#  )/  *

?œ
È#/#  )/  * È#/#  )/  * È#/#  )/  * 
p /# /# "
ß ß

"'#È"(
-Þ"Ñ H? 0 a  "ß  %b œ 
"(

-Þ#Ñ fZ a  "ß  %b œ a  $#ß  $%b

-Þ$Ñ MáxH? 0 a#ß $b œ #È&%& ?œ
È&%& È&%& 
p "' "(
ß

-Þ%Ñ los vectores unitarios ortogonales al gradiente son

È È&%&   È È&%& 
"( "' "( "'
ß ß
&%& &%&

El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.

69


Derivadas Parciales de orden superior

Si 0 es una función de dos variables, es decir, D œ 0 aBß C b, entonces

VIRGINIO GOMEZ
`0 `0
y son funciones
`B `C
también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de
segundo orden que se definen como:

` a0 B b 0B aB  2ß C b  0B aBß C b ` #0
+Ñ œ lim œ 0BB œ
`B 2Ä! 2 `B#

` a0 C b 0C aBß C  2b  0C aBß C b ` #0
,Ñ œ lim œ 0CC œ
`C 2Ä! 2 `C #

` a0 B b 0B aBß C  2b  0B aBß C b ` #0
-Ñ œ lim œ 0BC œ
`C 2Ä! 2 `C`B

` a0 C b 0C aB  2ß C b  0C aBß C b ` #0
.Ñ œ lim œ 0CB œ
`B 2Ä! 2 `B`C

Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas.

Ejemplos:

Dada la función, obtener 0BB ß 0CC ß 0BC

"Ñ 0 aBß C b œ #B$  $B# C  BC #  $C #

0B œ 'B#  'BC  C # 0C œ  $B#  #BC  'C

0BB œ "#B  'C 0CC œ #B  '

0BC œ  'B  #C

#Ñ 0 aBß C b œ /BC a-9=B  =/8C b

0B œ C/BC a-9=B  =/8C b  /BC † =/8B

0C œ B/BC a-9=B  =/8C b  /BC † -9=C

0BB œ C # /BC a-9=B  =/8C b  C/BC † =/8B  C/BC † =/8B  /BC † -9=B

0CC œ B# /BC a-9=B  =/8C b  B/BC † -9=C  B/BC † -9=C  / BC † =/8C

0BC œ /BC a-9=B  =/8C b  BC/BC a-9=B  =/8C b  C/BC † -9=C  B/ BC † =/8B
Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables
Sea A œ 0 aBß Cß D b una función de tres variables con
`0 `0 `0
, y funciones también de tres
`B `C `D
variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:

70


` a0 B b 0B aB  2ß Cß D b  0B aBß Cß D b ` #0
+Ñ œ lim œ 0BB œ
`B 2Ä! 2 `B#

VIRGINIO GOMEZ
` a0 C b 0C aBß C  2ß D b  0C aBß Cß D b ` #0
,Ñ œ lim œ 0CC œ
`C 2Ä! 2 `C #

` a0 D b 0D aBß Cß D  2b  0D aBß Cß D b ` #0
-Ñ œ lim œ 0DD œ
`D 2Ä! 2 `D #

` a0 B b 0B aBß C  2ß D b  0B aBß Cß D b ` #0
.Ñ œ lim œ 0BC œ
`C 2Ä! 2 `C`B

` a0 B b 0B aBß Cß D  2b  0B aBß Cß D b ` #0
/Ñ œ lim œ 0BD œ
`D 2Ä! 2 `D`B

` a0 C b 0C aB  2ß Cß D b  0C aBß Cß D b ` #0
0Ñ œ lim œ 0CB œ
`B 2Ä! 2 `B`C

` a0 C b 0C aBß Cß D  2b  0C aBß Cß D b ` #0
1Ñ œ lim œ 0CD œ
`D 2Ä! 2 `D`C

` a0 D b 0D aB  2ß Cß D b  0D aBß Cß D b ` #0
2Ñ œ lim œ 0DB œ
`B 2Ä! 2 `B`D

` a0 D b 0D aBß C  2ß D b  0D aBß Cß D b ` #0
3Ñ œ lim œ 0DC œ
`C 2Ä! 2 `C`D

Nota: Para funciones continuas 0BC œ 0CB ß 0BD œ 0DB ß 0CD œ 0DC . En este curso sólo se trabajará
con funciones continuas.

Ejemplos

Para las siguientes funciones, determinar 0BB ß 0CC ß 0DD ß 0BC ß 0BD ß 0CD

"Ñ 0 aBß Cß D b œ B$  $B# C  C $  $C # D  D #  BD #  CD

0B œ $B#  'BC  D # 0C œ $B#  $C #  'CD  D

0D œ  $C #  #D  #BD  C

0BB œ 'B  'C 0CC œ 'C  'D

0DD œ #  #B 0BC œ 'B

0BD œ #D 0CD œ  'C  "

71


#Ñ 0 aBß Cß D b œ /B † -9=D  /C † =/8B  /D † >1 C

VIRGINIO GOMEZ
0B œ /B † -9=D  /C † -9=B 0C œ /C † =/8B  /D † =/- # C

0D œ  /B † =/8D  /D † >1 C

0BB œ /B † -9=D  /C =/8B 0CC œ /C † =/8B  #/D † =/- # C † >1 C

0DD œ  /B † -9=D  /D † >1 C 0BC œ /C † -9=B

0BD œ  /B † =/8D 0CD œ /D † =/- # C

Ejercicios

1) En ‘# la ecuación de Laplace es À

` #0 ` #0
 œ!
`B# `C #

Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación

+Ñ 0 ÐBß CÑ œ 68ÐB#  C # Ñ

,Ñ 0 ÐBß CÑ œ E<->1 Š ‹  #
C B
B B  C#

-Ñ 0 ÐBß CÑ œ /B † =/8 C  /C † =/8 B

.Ñ 0 ÐBß CÑ œ E<->1 Œ 
#BC
B#  C #

2) En ‘$ la ecuación de Laplace es À

` #0 ` #0 ` #0
#
 #
 # œ!
`B `C `D

È B#
"
Demuestre que la función 0 ÐBß Cß DÑ œ cumple con esta ecuación.
 C#  D #

Solución

Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en ‘# como en ‘3 .

72


Máximos y mínimos para funciones de varias variables

VIRGINIO GOMEZ
Conceptos:

1) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b]
es un punto de máximo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si

a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b Ÿ 0 aB! ß C! b

#) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [B! ß C! ß 0 aB! ß C! b]
es un punto de mínimo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si

a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b 0 aB! ß C! b

$) Si D œ 0 aBß C b es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [+ß ,ß 0 a+ß , b] es
un punto crítico de 0 aBß C b si, y sólo si f0 a+ß , b œ Ò !ß ! Ó

%Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un
máximo relativo de 0 aBß C b si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b Ÿ 0 a+ß , b

&Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un
mínimo relativo de 0 aBß C b si a aBß C b − H970 aBß C b ß 0 aBß C b 0 a+ß , b

%Ñ Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico de 0 aBß C b, entonces se dice que [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto
de silla de 0 aBß C b si [+ß ,ß 0 a+ß , b] no es máximo ni mínimo.

Hessiano de una función de dos variables

Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables, se define el Hessiano como:

L aBß C b œ Œ
0CC 
0BB 0BC
0CB

Teorema: aCriterio de la Segunda derivadab

Si [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto crítico, entonces:

1) [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un mínimo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si

¸L a+ß , b¸  ! • 0BB a+ß , b  !

73


2) [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un máximo relativo de 0 aBß C b si, y sólo si

¸L a+ß , b¸  ! • 0BB a+ß , b  !

VIRGINIO GOMEZ
$Ñ [+ß ,ß 0 a+ß , b] es un punto de silla de 0 aBß C b si, y sólo si

¸L a+ß , b¸  !

%Ñ No hay información si ¸L a+ß , b¸ œ !

Ejemplos:

Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones:

"Ñ 0 aBß C b œ &  B#  C #

0B œ  #B 0C œ  #C

0B œ ! Ê  #B œ ! ÊBœ!
0C œ ! Ê  #C œ ! ÊCœ!

Así, a!ß !ß &b es el punto crítico de 0 aBß C b

0BB œ  # 0CC œ  # 0BC œ !

L aBß C b œ Œ Ê L a!ß !b œ Œ
 #  #
# ! # !
! !

¸L a!ß !b¸ œ %  ! • 0BB a!ß !b œ  #  !

Por lo tanto, a!ß !ß &b es un máximo relativo de 0 aBß C b

#Ñ 0 aBß C b œ #B$  C $  $B#  $C  "#B  %

0B œ 'B#  'B  "# 0C œ $C #  $

0B œ ! Ê 'B#  'B  "# œ ! Ê B" œ " • B# œ  #
0C œ ! Ê $C #  $ œ ! Ê C" œ " • C # œ  "

Así, a"ß "ß  "$b à a"ß  "ß  *b à a  #ß "ß "%b à a  #ß  "ß ")b son puntos críticos de
0 aBß C b

0BB œ "#B  ' 0CC œ 'C 0BC œ !

L aBß C b œ Œ
'C 
"#B  ' !
!

L a"ß "b œ Œ Ê ¸L a"ß "b¸ œ "!)  ! • 0BB a"ß "b œ ")  !
'
") !
!

74


Por lo tanto, a"ß "ß  "$b es un mínimo relativo de 0 aBß C b
L a"ß  "b œ Œ Ê ¸L a"ß  "b¸ œ  "!)  !
!  '
") !

VIRGINIO GOMEZ
Por lo tanto, a"ß  "ß  *b es un punto de silla de 0 aBß C b

L a  #ß "b œ Œ Ê ¸L a"ß "b¸ œ  "!)  !
'
 ") !
!

Por lo tanto, a  #ß "ß "%b es un punto de silla de 0 aBß C b

L a  #ß  "b œ Œ
 '
 ") !
!

¸L a"ß "b¸ œ "!)  ! • 0BB a"ß "b œ  ")  !

Por lo tanto, a  #ß  "ß ")b es un máximo relativo de 0 aBß C b

$Ñ 0 aBß C b œ -9= B  =/8 C en el intervalo Ò !ß #1Ó

0B œ  =/8B 0C œ -9=C

0B œ ! Ê  =/8B œ ! Ê B" œ ! à B# œ 1 • B$ œ #1
1 $1
0C œ ! Ê -9=C œ ! Ê C" œ • C # œ
# #

Así, Š!ß ß #‹ à Œ!ß ß ! à Š1ß ß !‹ à Œ1ß ß  # à Š#1 ß ß #‹ à Œ#1 ß ß ! son puntos
1 $1 1 $1 1 $1

críticos de 0 aBß C b
# # # # # #

0BB œ  -9=B 0CC œ  =/8C 0BC œ !

L aBß C b œ Œ
 =/8C 
 -9=B !
!

L Š!ß ‹ œ Œ Ê ¸L a"ß "b¸ œ #  ! • 0BB Š!ß ‹ œ  "  !
 "
1 " ! 1
# ! #

Por lo tanto, Š!ß ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß C b
1
#

L Œ!ß œŒ ! Ê ¸L Œ!ß ¸ œ  "  !
"
$1 " ! $1
# #

Por lo tanto, Œ!ß ß ! es un punto de silla de 0 aBß C b
$1
#

L Š1ß ‹ œ Œ Ê ¸L Š1ß ‹¸ œ  "  !
 "
1 " ! 1
# ! #
Por lo tanto, Š1ß ß !‹ es un punto de silla de 0 aBß C b
1
#
L Œ1ß  œ Œ Ê ¸L Œ1ß ¸ œ "  ! • 0BB Œ1ß  œ "  !
! "
$1 " ! $1 $1
# # #

75


Por lo tanto, Œ1ß ß  # es un mínimo relativo de 0 aBß C b
$1
#

VIRGINIO GOMEZ
L Š#1ß ‹ œ Œ
 "
1 " !
# !

¸L Š#1ß ‹¸ œ "  ! • 0BB Š#1ß ‹ œ  "  !
1 1
# #

Por lo tanto, Š#1ß ß #‹ es un máximo relativo de 0 aBß C b
1
#

L Œ#1ß œŒ ! Ê ¸L Œ#1ß ¸ œ  "  !
"
$1 " ! $1
# #

Por lo tanto, Œ#1ß ß ! es un punto de silla de 0 aBß C b
$1
#

Ejercicios

1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À

+Ñ 0 ÐBß CÑ œ #B  %C  B#  C #  $

,Ñ 0 ÐBß CÑ œ ÐB  CÑÐB  CÑ

-Ñ 0 ÐBß CÑ œ %BC  B%  C %

.Ñ 0 aBß C b œ B#  BC  C #  #B  #C  %

B. Si T aBß C b es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T aBß C b œ $$B  ''C  BC  B #  $C # Þ
2) Un fabricante produce diariamente B unidades de la mercancía A, C unidades de la mercancía

¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máxima
utilidad diaria?

Solución

+Ñ a"ß #ß #b es un máximo relativo de 0 aBß C b
"Ñ

,Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß C b

-Ñ a!ß !ß !b es un punto de silla de 0 aBß C b y a"ß "ß #bà a  "ß  "ß #b son máximos relativos de
0 aBß C b

.Ñ a  #ß  #ß  )b es un mínimo relativo de 0 aBß C b

#Ñ Deben fabricarse #% unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para
maximizar la utilidad diaria.

76


Multiplicadores de Lagrange

VIRGINIO GOMEZ
Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero con
alguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segunda
derivada el cual nos permite trabajar con funciones de 8 variables, este nuevo método se denomina
Multiplicadores de Lagrange

Sea 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b una función de 8 variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos
con la condición adicional 1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b œ ! . Para determinar los puntos críticos se forma una
nueva función auxiliar

J aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 ß -b œ 0 aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b  -1aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b

decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el mínimo buscado y si
Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, es

el problema consiste en maximizar, entonces el punto aB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 b es el máximo buscado.

Ejemplos:

1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiere
usar la mínima cantidad de material en su manufactura.

0 a+ß 6ß 2b œ +6  #+2  #62

Z œ +62 Ê 1a+ß 6ß 2 b œ +62  Z

J a+ß 6ß 2ß -b œ +6  #+2  #62  -a+62  Z b

a"b
6  #2
J+ œ 6  #2  -62 Ê J+ œ ! Ê-œ 
62

a#b
+  #2
J6 œ +  #2  -+2 Ê J6 œ ! Ê-œ 
+2

a$b
#+  #6
J2 œ #+  #6  -+6 Ê J2 œ ! Ê-œ 
+6

J- œ +62  Z Ê J- œ ! Ê +62 œ Z a%b

a " b y a $b

6  #2 #+  #6
 œ  Ê +6#  #+62 œ #+62  #6# 2
62 +6
Ê +6# œ #6# 2
Ê + œ #2 a&b

77


a # b y a $b

VIRGINIO GOMEZ
+  #2 #+  #6
 œ  Ê +# 6  #+62 œ #+# 2  #+62
+2 +6
Ê +# 6 œ #+# 2
Ê 6 œ #2 a'b

a& b y a 'b

+œ6 a(b

a%b ß a&b ß a'b y a(b

+62 œ Z Ê a+ba+bŠ ‹ œ Z
+
#
+$
Ê œZ
#

Ê +$ œ #Z

È#Z
Ê + œ È#Z , 6 œ È#Z ß 2 œ
$
$ $

#

È#Z
Luego, las dimensiones de la caja son base È#Z ÒudlÓ y altura
$
$
[udl].
#

2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . Sean
B ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La
utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El
número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción #B#  C #  $D # œ #()% .
Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad.

0 aBß Cß D b œ #!!B  $!!C  &!!D
1aBß Cß D b œ #B#  C #  $D #  #()%
J aBß Cß Dß -b œ #!!B  $!!C  &!!D  -a#B#  C #  $D #  #()%b

a"b
&!
JB œ #!!  %B- Ê JB œ ! Ê-œ 
B

a#b
"&!
JC œ $!!  #C - Ê JC œ ! Ê-œ 
C

a$b
#&!
JD œ &!!  'D - Ê JD œ ! Ê-œ 
$D

J- œ #B#  C #  $D #  #()% Ê J- œ ! Ê - œ #B#  C #  $D # œ #()% a%b

a " b y a #b

a&b
&! "&!
 œ  Ê &!C œ "&!B Ê C œ $B
B C

a " b y a $b

78


a'b
&! #&! &
 œ  Ê "&!D œ #&!B Ê D œ B
B $D $

VIRGINIO GOMEZ
a % b à a & b y a 'b

Ê #B#  *B#  $Œ B œ #()%
#& #
#B#  C #  $D # œ #()%
*

Ê &)B# œ )$&#
Ê B# œ "%%
Ê B œ "# , C œ $' ß D œ #!

Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12
unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C.

3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia B#  C # œ " . Si X
grados es la temperatura en cualquier punto del disco y X œ #B#  C #  C , encuentre los puntos más
calientes y los puntos más fríos en el disco

0 aBß C b œ #B#  C #  C
1aBß C b œ B#  C #  "

J aBß Cß -b œ #B#  C #  C  -aB#  C #  "b

JB œ %B  #B- Ê JB œ ! Ê- œ # ßBÁ! a"b

a#b
"  #C
JC œ #C  "  #C - Ê JC œ ! Ê-œ ßC Á !
#C

J- œ B #  C #  " Ê J- œ ! Ê B#  C # œ " a$b

a " b y a #b

a%b
"  #C "
#œ Ê  %C œ "  #C ÊCœ 
#C #

a $ b y a %b

" È$ È$
B#  C # œ " Ê B#  œ" Ê B" œ ß B# œ 
% # #

Si B œ !ß entonces en B#  C # œ " , C # œ " Ê C" œ " ß C# œ  "
Si C œ !ß entonces en B#  C # œ " , B# œ " Ê B" œ " ß B# œ  "

Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son:

È$ È$
 # ß  # Ê X ß  œ
" " *
# # %

È$ È$
  # ß  # Ê X  # ß  # œ %
" " *

79


a!ß "b Ê X a!ß "b œ !

a!ß  "b Ê X a!ß "b œ #

VIRGINIO GOMEZ
a"ß !b Ê X a!ß "b œ #

a  "ß !b Ê X a!ß "b œ #
È$ È$
Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son  ß  ,  ß  y el punto más
" "
# # # #
frío del disco es a!ß "bÞ

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À

1Ñ Hallar los valores extremos de 0 aBß C b œ BC sujetos a la restricción 1aBß C b œ B#  C #  "!

2Ñ El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies2 . Hallar su máximo
volumen posible.

3Ñ Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicas
en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas
cónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible.

4Ñ Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la
Fábrica A produce B unidades, la fábrica B produce C unidades y la fábrica C produce D unidades, sus
respectivos costos de producción son $B#  #!! dólares, C #  %!! dólares, #D #  #!! dólares. Si se va a
surtir un pedido de "Þ"!! unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas
a fin de minimizar el costo de producción total.

5Ñ Si se gastan B miles de dólares en trabajo e C miles de dólares en equipamiento, la producción
de una cierta fábrica será T ÐBß CÑ œ '! B"Î$ C #Î$ unidades. Si hay "#!Þ!!! dólares disponibles, ¿cómo
debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?.

6Ñ Hállese los puntos sobre la esfera B#  C #  D # œ #& donde 0 aBß Cß D b œ B  #C  $D tiene
sus valores máximos y mínimos

7Ñ Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. Determine
el diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m3 de agua y se pretende
utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.

80


Solución

VIRGINIO GOMEZ
"Ñ Los puntos máximos son ŠÈ&ß È&‹à Š  È&ß  È&‹ y los puntos mínimos son
Š  È&ß È&‹à ŠÈ&ß  È&‹

#Ñ Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja
rectangular es 108 pies3 .

$Ñ La altura 2 de cada uno de los conos es #È& unidades y la altura L del cilindro es
 È& unidades .
Z %
#&1 $

%Ñ Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en
la fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total.

&Ñ Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la
mayor producción posible.

&È"% "!È"% "&È"%
'Ñ El punto máximo es  "% ß "% ß "%  y el punto mínimo es

&È"% "!È"% "&È"%
 "%
ß
"%
ß
"% 
.

(Ñ El problema no tiene solución.

81


Gráficos en ‘3

Si D œ 0 aBß C b es un función de dos variables, entonces su gráfico corresponde a un conjunto de

VIRGINIO GOMEZ
ternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada.

La gráfica de una ecuación en ‘3 se denomina superficie .

1) Plano

Su ecuación general es +B  ,C  -D  . œ ! donde [ +ß ,ß - ] es el vector normal al plano.

Es posible encontrar varios tipos de planos

a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a+B  ,C  -D  . œ !b

En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.

Ejemplo: Graficar #B  $C  %D  "# œ !

 eje X C œ D œ ! Ê B œ '

 eje Y BœDœ!ÊCœ%

 eje Z BœCœ!ÊDœ$

82


b) El plano pasa por el origen a+B  ,C  -D œ !b

VIRGINIO GOMEZ
En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando B œ ! à C œ ! y luego se trazan
paralelas a las dos rectas encontradas.

Ejemplo: Graficar &B  $C  "&D œ !

Bœ! Ê $C  "&D œ ! Ê C œ &D

Cœ! Ê &B  "&D œ ! Ê B œ $D

c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados

Si es paralelo al eje Xß entonces su ecuación es ,C  -D  . œ !

Ejemplo: Graficar &C  #D  "! œ !

Si es paralelo al eje Yß entonces su ecuación es +B  -D  . œ !

83


Ejemplo: Graficar $B  #D  "# œ !

VIRGINIO GOMEZ
Si es paralelo al eje Zß entonces su ecuación es +B  ,C  . œ !

Ejemplo: Graficar *B  #C  ") œ !

d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados

Si es paralelo al plano YZß entonces su ecuación es +B  . œ !

84


Ejemplo: Graficar B œ #

VIRGINIO GOMEZ
Si es paralelo al plano XZß entonces su ecuación es ,C  . œ !

Ejemplo: Graficar C œ #

Si es paralelo al plano XYß entonces su ecuación es -D  . œ !

85


Ejemplo: Graficar D œ #

VIRGINIO GOMEZ
2) Esfera

a) Si el centro es G a!ß !ß !b y su radio < , entonces su ecuación es B#  C #  D # œ <#

b) Si el centro es G a2 ß 5ß 6b y su radio , entonces su ecuación es
aB  2b#  aC  5 b#  aD  6b# œ <#
<

86


VIRGINIO GOMEZ
3) Cilindro

B# C#
a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es #
 # œ"
+ ,

Si + œ , , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del
cilindro es una elipse.

B# D#
b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es  # œ"
+# -

87


VIRGINIO GOMEZ
Si + œ - , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del

C# D#
c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es  # œ"
,# -

Si , œ - , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del

88


4) Cono

VIRGINIO GOMEZ
B# C# D#
a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es #
 # œ #
+ , -

Si + œ , , entonces la base del cono es una circunferencia y si + Á , , entonces la base del cono
es una elipse.

B# D# C#
b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es  # œ #
+# - ,

Si + œ - , entonces la base del cono es una circunferencia y si + Á - , entonces la base del cono
es una elipse.

89


C# D# B#
c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es  # œ #
,# - +

VIRGINIO GOMEZ
Si , œ - , entonces la base del cono es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del cono
es una elipse.

5) Paraboloide Elíptico

B# C#
a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es  # œ#
+# ,

Si + œ , , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si + Á , , entonces la base
del paraboloide es una elipse.

90


B# D#
b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es  # œ #,C
+# -

VIRGINIO GOMEZ
Si + œ - , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si + Á - , entonces la base
del paraboloide es una elipse.

C# D#
c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es #
 # œ #+B
, -

Si , œ - , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , Á - , entonces la base del
paraboloide es una elipse.

91


Integrales Dobles

VIRGINIO GOMEZ
Concepto de integral doble

Sea D œ 0 aBß C b una función de dos variables continua tal que 0 aBß C b ! a aBß C b − V , V
una región del plano BC. V es el dominio de 0 aBß C b.

D œ 0 aBß C b. Para ello se realiza el siguiente proceso:
Se determinará cómo calcular el volumen de la región sólida situada entre la superficie

Se subdivide la región V en 8 rectángulos no necesariamente iguales, se enumeran los 8
rectángulos desde <" a <8 . Cada rectángulo tiene área E3 con 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8

92


VIRGINIO GOMEZ
E3 œ ˜ B3 † ˜ C3

El área aproximada de la región V será E µ " ˜ B3 † ˜ C3
8

3œ"

Se elige un punto cualquiera en cada rectángulo a!3 ß "3 b
a!3 ß "3 b. Con esto se forma un paralelepípedo
y se determina su imagen 0

Su volumen es Z3 œ ˜ B3 † ˜ C3 † 0 a!3 ß "3 b

Luego, el volumen aproximado total será Z µ " 0 a!3 ß "3 b † ˜ B3 † ˜ C3
8

3œ"

Pero a medida que los rectángulos son cada vez más pequeños se está aproximando al valor real de
Z
Así,

lim " 0 a!3 ß "3 b † ˜ B3 † ˜ C3 œ ( ( 0 aBß C b .E
8
Z œ
8Ä_ V
3œ"

donde .E œ .C .B o .E œ .B .C

93


Integrales Iteradas

VIRGINIO GOMEZ
"Ñ

Si C œ 0 aBb e C œ 1aBb son continuas en el intervalo Ò +ß , Ó, entonces

C œ 1aBb
( ( 0 aBß C b .E œ ( ( 0 aBß C b .C .B
Bœ,
V Bœ+ C œ 0 aBb

#Ñ

Si B œ 0 aC b y B œ 1aC b son continuas en el intervalo Ò -ß . Ó, entonces

B œ 1aC b
( ( 0 aBß C b .E œ ( ( 0 aBß C b .B .C
Cœ.
V Cœ- B œ 0 aC b

94


Propiedades de las integrales dobles

1) ( ( 5 0 aBß C b .E œ 5 ( ( 0 aBß C b .E

VIRGINIO GOMEZ
5 es constante.
V V

2) Si 0 aBß C b y 1aBß C b son integrables en V , entonces

( ( Ò0 aBß C b „ 1aBß C bÓ .E œ ( ( 0 aBß C b .E „ ( ( 1aBß C b .E
$Ñ Si V œ V"  V# y 0 aBß C b es continua en V , entonces
V V V

( ( 0 aBß C b .E œ ( ( 0 aBß C b .E  ( ( 0 aBß C b .E
V V" V#

%Ñ Si los límites de integración son todos constantes, entonces À

( ( 0 aBß C b .C .B œ ( ( 0 aBß C b .B .C
, . . ,
+ - - +

B varía en el intervalo Ò +ß , Ó e C varía en el intervalo Ò -ß . Ó

Ejemplos À

"Ñ ( ( ˆB#  #B# C  C $  BC ‰.C .B œ ( B# C  B# C #  C %  BC # º .B
# # # #
" "
! " ! % # "

œ ( Œ#B#  %B#  %  #B  B#  B#   B.B
#
" "
! % #

œ ( Œ'B#   B.B
#
"& $
! % #

B  B  B# º
#
' $ "& $
œ
$ % % !

#$
œ
#

#Ñ ( ( =/8# B -9=# C .C .B œ ( ( =/8# BŒ .C .B
1 1Î# 1 1Î#
"  -9=#C
! ! ! ! #

( =/8 BC  º .B
1Î#
" 1 # =/8 #C
œ
# ! # !

(
" 1 1
œ =/8# B .B
# 0 #

( Œ .B
1 1 "  -9= #B
œ
% ! #

95


ŒB  º 
1
1 =/8 #B
œ
) #

VIRGINIO GOMEZ
!

1#
œ
)

È$
$Ñ ( ( B#  C # œ B# Œ"  Š ‹ 
B
B C #
.C .B
" ! B#  C# B
C
œ >1 ! Ê C œ B >1 ! Ê .C œ B =/- # ! . !
B
Cœ! Ê >1 ! œ ! Ê!œ!
1
C œ B Ê >1 ! œ " Ê!œ
%
È$ È$
( ( .C .B œ ( (
B 1Î%
B B# =/- # ! . !
B# a"  >1# !b
.B
" ! B#  C # " !

È$
œ( !º
1Î%
.B
" !

È$
(
1
œ .B
% "
È$
œ Bº
1
% "

1 È
œ Š $  "‹
%

Ejercicios
Resuelva À

È# B# " È C
+Ñ( (
ÈC
/ .C .B
" #

,Ñ ( ( Ê
% B C
.C .B
" B # B

-Ñ ( (
1 -9=)
3 =/8) . 3 . )
! !

.Ñ ( (
# B#  B
B .C .B
" #B#  #

96


/Ñ ( (
1Î% >1) =/- )

VIRGINIO GOMEZ
3$ -9=# ) . 3 . )
! !

0Ñ ( (
$ B
B# /BC .C .B
! !
Solución

È# B# " È C
.C .B œ / # Š%  #È#‹  #/
È
+Ñ( (
ÈC
/
" #

,Ñ ( ( Ê
% B C %!$
.C .B œ 
" B # B #"

-Ñ ( (
1 -9=) "
3 =/8) . 3 . ) œ
! ! $

.Ñ ( (
# B#  B *
B .C .B œ
" #B  # # %

/Ñ ( (
1Î% >1) =/- ) "
3$ -9=# ) . 3 . ) œ
! ! #!

0Ñ ( (
$ B /*
B# /BC .C .B œ &
! ! #

97


Aplicaciones de la integral doble

VIRGINIO GOMEZ
1) Cálculo de áreas en el plano ‘2

En ( ( 0 aBß C b .E si 0 aBß C b œ " , entonces ( ( .E representa el área de regiones del
V V
plano.

Así,

C œ 1aBb C œ . B œ 1aC b
Eœ( ( .C .B œ ( (
+œ,
B œ + C œ 0 aBb C œ - B œ 0 aC b
.B .C

Ejemplos:

1) Hallar el área de la región V situada bajo la parábola C œ %B  B# ß sobre el eje X y sobre la
recta C œ  $B  '

Intersección de las curvas

%B  %B# œ  $B  '
! œ B#  (B  '
! œ aB  "baB  'b

B# œ 'ß C# œ  "# ano es solución, por condiciones del problemab
B" œ "ß C" œ $

C œ %B  B#
Cœ! Ê %B  B# œ ! Ê B" œ !ß B# œ %

C œ  $B  '
Cœ! Ê  $B  ' œ ! ÊBœ#

Eœ( ( .C .B  ( (
# %BB# % %BB#
.C .B
" $B' # !

E œ ( Cº .B  ( C º
# %BB# % %BB#
.B
" $B' # !

98


E œ ( ˆ  B#  (B  '‰.B  ( ˆ%B  B# ‰ .B
# %

VIRGINIO GOMEZ
" #

 'Bº   º
# %
B$ (B# %B# B$
Eœ  
$ # " # $ #

"$ "'
Eœ 
' $
"&
Eœ [u. de a.]
#

Por otro lado,

C œ %B  B# C œ  $B  '
B#  %B  C œ ! $B œ '  C

% „ È"'  %C C
Bœ Bœ#
# $

% „ È%a%  C b
Bœ
#

B œ # „ È%  C

#È%C #È%C
Eœ( ( .B .C  ( (
$ %
.B .C
! # C
$ $ #È%C

Pero, como ya se sabe de Cálculo II, al obtener el àrea de una región del plano el a obtener al
integrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto,

#È%C #È%C
( ( .B .C  ( (
$ %
"&
.B .C œ [u. de a.]
! # C
$ $ #È%C #

99


2) Determinar el área limitada por C œ B$ e C œ B#

VIRGINIO GOMEZ

B$ œ B# Ê B$  B# œ ! Ê B# aB  "b œ ! Ê B" œ !ß C" œ ! à B# œ "ß C# œ "

Eœ( (
" B#
.C .B
! B$

E œ ( C º .B
" B#

! B$

E œ ( ˆB#  B$ ‰.B
"

!

 º
"
B$ B%
Eœ
$ % !

"
Eœ [u. de a]
"#

Por otro lado,

C œ B$ Ê È C œ B
$ C œ B# Ê È C œ B

ÈC
Eœ( (
" $
"
.B .C œ [u. de a]
! ÈC "#

100


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje y respecto al eje ] . Plantee ambas
integrales, pero resuelva sólo una de ellas.

+Ñ B œ C # à B œ #C  C #

,Ñ C œ =/8 B à C œ -9= B à Bœ!

-Ñ B œ C  C # à BC œ!

.Ñ B# œ %C à )C œ B#  "'

/Ñ B#  C # œ "' à C œ È'B ; Cœ!

Solución

ÈB
+Ñ E œ ( (
"
.C .B
! "È"B

Eœ( (
" #CC#
.B .C
! C#

"
Eœ [ u.de a.]
$

,Ñ E œ ( (
1Î% -9= B
.C .B
! =/8 B

È#Î#
Eœ( ( .B .C  ( (
E<- =/8 C " E<- -9= C
.B .C
! ! È#Î# !

E œ È#  "[ u.de a.]

101


"È"%B "È"%B

-Ñ E œ ( ( .C .B  ( ( "È"%B
! # "Î% #
.C .B

VIRGINIO GOMEZ
# B ! #

Eœ( (
# CC#
.B .C
! C

%
Eœ [ u.de a.]
$

.Ñ E œ #( (
B# "'
% )
.C .B
B#
! %

#È C #È#ÈC#
E œ #( ( .B .C  #( (
# %
.B .C
! ! # #È C

$#
Eœ [ u.de a.]
$

È'B È"'B#
/Ñ E œ ( ( .C .B  ( (
# %
.C .B
! ! # !

#È $ È"'C#
Eœ( ( C# .B .C
! '

)1  #È $
Eœ [ u.de a.]
$

102


2) Conocida una región V del plano BC , determinar el valor de una cierta integral doble

VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos
1) Obtener el valor de ( ( B .E donde V es la región del plano limitada por C œ È#&  B# ß en
V
el primer cuadrante; $B  %C œ ! e C œ !


È#&  B# œ $ B È#&  B# œ ! $B  %C œ !ß C œ !
%
* #
#
#&  B œ B #&  B# œ ! $B œ !
"'

%!!  "'B# œ *B# #& œ B# B œ !ß C œ !
%!! œ #&B# & œ Bß C œ !
"' œ B#
% œ Bß C œ $

Si .E œ .C .B

È#&B#

( ( B .E œ( ( B .C .B  ( (
$
% %B &
B .C .B
V ! ! % !

È#&B#
œ ( BC º .B  ( BC º
$
% %B &
.B
! ! % !

œ( B .B  ( BÈ#&  B# .B
% &
$ #
! % %

.?
? œ #&  B# Ê .? œ  #B .B Ê  œ B .B
#
B œ % Ê ? œ *ß B œ & Ê ? œ !

( ( B .E † º  ( ? # .?
%
$ B$ " ! "
œ
V % $ ! # *

† ?# º
!
" # $
œ "'  œ "'  * œ #&
# $ *

103


Si .E œ .B .C

VIRGINIO GOMEZ
È#&C#
( ( B .E œ( (
$
B .B .C
V ! %
$C

È#&C#
œ( º
$
B#
.C
! # %C $

( Œ#&  C  C .C
" $ # "' #
œ
# ! *

( Œ#&  C .C
" $ #& #
œ
# ! *

Œ#&C  † º
$
" #& C$
œ
# * $ !

a(&  #&b
"
œ
#

œ #&

Por lo tanto, si se usa el operador .E œ .C .B o .E œ .B .C para un mismo ejercicio el resultado
de la integral es el mismo

104


2) Determine el valor de ( ( B C .E donde V es la región del plano limitada por B œ " à B œ #
#
V

VIRGINIO GOMEZ
à C œ " à C œ $B  " ÞPlantee ambas integrales, pero calcule sólo una de ellas.

Para .E œ .C .B

( ( B C .E œ ( (
# $B"
#
BC # .C .B
V " "

Para .E œ .B .C

105


( ( B C .E œ ( ( BC .B .C  ( ( C" BC .B .C
# # & #
# # #
V

VIRGINIO GOMEZ
" " # $

Resolviendo

( ( B C .E œ( (
# $B"
#
BC # .C .B
V " "

œ( B º
# $B"
C$
.B
" $ "

œ ( Œ*B%  *B$  $B  .B
#
#
" $

 Bº
#
*B& *B% $B# #
œ  
& % # $ "

&'"
œ
#!

Ejercicios

Determine el valor de ( ( 0 ÐBß CÑ .EÞ Considere .E œ .C .B ß .E œ .B .C y resuelva la
V
integral que usted estime más conveniente.

+Ñ ( ( à C œ ÈB
C
.E VÀCœ! àB œ %
V "  B#

,Ñ ( ( BC /
# #
ÐB  C Ñ
.E V À B#  C # œ + #
V

-Ñ ( (
È B#  C #
B
.E VÀ"ŸBŸ# à "ŸCŸB
V

106


Solución

VIRGINIO GOMEZ
+Ñ
ÈB
( ( .E œ ( (
%
C C
.C .B
V "  B# ! ! "  B#

( ( .E œ ( (
# %
C C
.B .C
V "  B# ! C# "  B
#

( (
C 68Ð"(Ñ
.E œ
V "  B# %

È+# B#
,Ñ ( ( BC / œ %( (
# +
ÐB  C # Ñ .E # #
BC /ÐB  C Ñ .C .B
V ! !

È+# C#
( ( BC / .E œ %( (
# # + # #
ÐB  C Ñ
BC /ÐB  C Ñ .B .C
V ! !

( ( BC / .E œ "  /+ ˆ+#  "‰
# #
ÐB  C Ñ #

V

-Ñ ( ( .E œ ( (
# B

È B#  C # È B#  C #
B B
.C .B
V " "

( ( .E œ ( (
# #

È B#  C # È B#  C #
B B
.B .C
V " C

È#  È& È&  È"!  "  È#
( (  #68 
È B#  C #
B
.E œ
V # #

107


3) Cálculo de volúmenes

Por definición ( ( 0 aBß C b .E representa el volumen del sólido comprendido en D œ 0 aBß C b

VIRGINIO GOMEZ
con .E el área de la base y 0 aBß C b la altura.
V

Z œ( ( .Z œ ( ( 0 aBß C b .E
V V

C œ 1aBb
Z œ( ( 0 aBß C b .C .B
Bœ,
B œ + C œ 0 aBb

B œ 1aC b
Z œ( ( 0 aBß C b .B .C
Cœ.
Cœ- B œ 0 aC b

Ejemplos

1) Determinar el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el plano D œ #  B  #C

B  #C  D œ #

Intersección con los ejes

eje X eje Y eje Z
Bœ# Cœ" Dœ#

108


V es la región en el plano BC
D œ ! Ê B  #C œ #

VIRGINIO GOMEZ
Z œ( ( a#  B  #C b .C .B
#  B "
#

! !

Z œ ( #C  BC  C º
#  B "
#
#
.B
! !

Z œ( ŒB#  B  ".B
#
B# B#
B
! # %

Z œ( ŒB" .B
#
B#
! %

B º
#
B# B$
Z œ 
# "# !

)
Z œ ##
"#
#
Z œ [u. de v.]
$

Si se considera .E œ .B .C se tiene

B  #C œ # Ê B œ #  #C

Z œ( ( a#  B  #C b .B .C œ
" ##C
#
[u. de v.]
! ! $

109


2) Calcular el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el cilindro B#  C # œ * y los
planos B  C œ $ y D œ %

VIRGINIO GOMEZ
La región V del plano es

È*B#
Z œ( (
$
% .C .B
! $B

È*B#
Z œ ( %C º
$
.B
! $B

Z œ ( Š%È*  B#  "#  %B‹.B
$

!

Z œ %( È*  B# .B  %( aB  $b .B
$ $

! !

Z œ %( È*  B# .B  %Œ  $Bº
$ # $
B
! # !

Z œ %( È*  B# .B  ")
$

!

110


*  B# œ *Œ"   Ê *  B œ *”"  Š ‹ •
B# # B #
* $

VIRGINIO GOMEZ
B
œ =/8) Ê B œ $=/8) Ê .B œ $-9=) . )
$
1
Bœ!Ê)œ! Bœ$Ê)œ
#

Z œ %( Ë*”"  Š ‹ • .B  ")
$
B #
! $

Z œ "#( È"  =/8# ) † $-9=) . )  ")
1
#

!

Z œ $'( -9=# ) . )  ")
1
#

!

Z œ $'(
1
# "  -9=#)
. )  ")
! #

Z œ ")Œ)  º  ")
1
=/8#) #
# !

Z œ *1  ") [u. de v.]

Ejercicios

Usando integrales dobles, calcule el volumen del sólido limitado por las siguientes superficies.

+Ñ El cilindro B#  C # œ % y los planos D œ ! à D œ )

,Ñ el cono B#  C # œ D # y el paraboloide D œ B#  C #

-Ñ El cilindro B#  C # œ #& à los planos B  C œ & à D œ ) à en el primer octante.

Solución

È%B# È"B#
+Ñ Z œ %( ( ,Ñ Z œ %( ( ŠÈB#  C #  B#  C # ‹ .C .B
# "
) .C .B
! ! ! !

1
Z œ $#1 [u. de v.] Z œ [u. de v.]
'

È#&B#
-Ñ Z œ ( (
&
) .C .B
! &B

Z œ &!1  "!! [u. de v.]

111


Integrales Triples

VIRGINIO GOMEZ
Sea A œ 0 aBß Cß D b una función de tres variables, continua en una cierta región W de ‘$ , entonces
0 aBß Cß D b es integrable en W .

Si B varía desde B œ + hasta B œ , ß C varía desde C œ 0 aBb hasta C œ 1aBb ß D varía desde
D œ 0 aBß C b hasta D œ 1aBß C b , entonces

1aBb 1aBßCb
( ( ( 0 aBß Cß D b .Z œ ( ( ( 0 aBß Cß D b .Z
,
es la integral triple de la región W de
W + 0 aBb 0 aBßCb
‘$ .

Si B varía desde B œ + hasta B œ , ß C varía desde C œ - hasta C œ . ß D varía desde D œ / hasta
D œ 0 , entonces son equivalentes:

( ( ( 0 aBß Cß D b .Z œ( ( ( 0 aBß Cß D b .D .C .B
, . 0

W + - /

œ( ( ( 0 aBß Cß D b .D .B .C
. , 0

- + /

œ( ( ( 0 aBß Cß D b .C .B .D
0 , .

/ + -

y otras más

Ejemplos

Evaluar

"Ñ ( ( ( œ ( ( BCD º
# B BBC # B BBC
BC .D .C .B .C .B
" ! " " ! "

œ ( ( ˆB# C  B# C #  BC ‰.C .B
# B

" !

œ( Œ º .B
# B
B# C # B# C $ BC #
 
" # $ # !

œ( Œ  .B
#
B% B& B$

" # $ #

 º
#
B& B' B%
œ 
"! ") ) "

")*
œ
%!

112


#Ñ ( ( ( C 68 D >1 B .B .D .C œ ( ( C 68 D 68¸=/- B¸º
! #/ 1Î$ ! #/ 1Î$
.D .C

VIRGINIO GOMEZ
" / ! " / !

œ( ( C 68D ˆ68¸=/- a1Î$b¸  68¸=/- !¸‰ .D .C
! #/

" /

œ 68 a#b( (
! #/
C 68D .D .C
" /
"
? œ 68 D Ê .? œ .D .@ œ .D Ê@œD
D

( ( ( C 68 D >1 B .B .D .C œ 68 a#b( C D 68D º  ( D † .D .C
! #/ 1Î$ ! #/ #/
"
" / ! " / / D

œ 68 a#b( C D 68 D  D º .C
! #/

" /

œ 68a#b( Ca#/ 68a#/b  #/  / 68a/b  /b .C
!

"

œ 68 a#b( Ca#/ 68a#b  #/ 68a/b  #/  / 68a/b  /b .C
!

"

œ #/Ò68a#bÓ# (
!
C .C
"

œ #/Ò68a#bÓ# º
!
C#
# "

œ  /Ò68a/bÓ#

$Ñ ( ( ( œ( ( C /D º
# C# 68 B # C# 68 B
C /D .D .B .C .B .C
" C ! " C !

œ( ( C ˆ/68B  /! ‰.B .C
# C#

" C

œ( ( aBC  C b .B .C
# C#

" C

œ( Œ  BC º .C
# C#
B# C
" # C

œ( Œ  C # .C
#
C& C$
 C$ 
" # #

œ( Œ  C # .C
#
C& $C $

" # #

113


 º
#
C' $C % C$ %(
œ  œ
"# ) $ " #%
È$ D

VIRGINIO GOMEZ
%Ñ ( ( (
# C
D
.B .D .C
! ! ! B#  D#

B#  D # œ D # Œ  " Ê B#  D # œ D # ”Š ‹  "•
B# B #
D # D
B
œ >1) Ê B œ D >1) Ê .B œ D =/- # ) . )
D

B œ È$ D Ê ) œ
1
Bœ!Ê)œ!
$
È$ D È$ D
( ( ( œ( ( (
# C # C
D D
.B .D .C .B .D .C
D # ”Š ‹  "•
! ! ! B#  D # ! ! ! B #
D

œ( ( (
# C 1Î$
D
D # a>1# )  "b
D =/- # ) . ) .D .C
! ! !

œ( ( (
# C 1Î$
. ) .D .C
! ! !

œ ( ( )º
# C 1Î$
.D .C
! ! !

( ( .D .C
1 # C
œ
$ ! !

( D º .C
C
1 #
œ
$ ! !

( C .C
1 #
œ
$ !

† º
#
1 C#
œ
$ # !

#
œ 1
$

114


VIRGINIO GOMEZ
Ejercicios

Resuelva las siguientes integrales triples À

+Ñ ( ( (
" " #

È B#  C #
BCD .D .C .B
! !

,Ñ ( ( ( -9= Š ‹ .C .B .D
1 Î# 1 Î# BD C
! ! ! D

È$ C
-Ñ ( ( (
# B C
.D .C .B
" $ ! C#  D #

ÈB
.Ñ ( ( ( #C # ÈB .D .C .B
" "  B#
" ! È B

Solución

+Ñ ( ( (
" " #
$
È B#  C #
BCD .D .C .B œ
! ! )

,Ñ ( ( ( -9= Š ‹ .C .B .D œ
1 Î# 1 Î# BD C 1#
! ! ! D )

È$ C
-Ñ ( ( (
# B C 1
.D .C .B œ 
" $ ! C#  D # #

ÈB
.Ñ ( ( ( #C # ÈB .D .C .B œ !
" "  B#
" ! È B

115


VIRGINIO GOMEZ
La integral triple permite calcular el volumen de sólidos de la forma ( ( ( .Z donde .Z se
W
usará como: .Z œ .D .C .B ß .Z œ .D .B .C

Ejemplos:

1) Determinar el volumen de la región, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindro
D #  C # œ " y situada entre los planos B  C œ " à B  C œ $

En el plano BC se observa

BC œ"ÊBœ"C BC œ$ÊBœ$C

È"C#
Z œ( ( (
" $C
.D .B .C
! "C !

È"C#
Z œ( ( Dº
" $C
.B .C
! "C !

116


Z œ( ( È"  C # .B .C
" $C

VIRGINIO GOMEZ
! "C

Z œ ( È "  C # † Bº
" $C
.C
! "C

Z œ ( È"  C # a$  C  "  C b .C
"

!

Z œ #( È"  C # .C
"

!

C œ =/8) Ê .C œ -9=) . )
1
Cœ!Ê)œ! Cœ"Ê)œ
#

Z œ #( È"  =/8# ) † -9=) . )
1
#

!

Z œ #( -9=# ) . )
1
#

!

Z œ #( Œ . )
1
# "  -9=#)
! #

Z œ Œ)  º
1
=/8#) #
# !

1
Z œ Ò u. de v.Ó
#

Si se considera .Z œ .D .C .B la integral sería

È"C# È"C# È"C#
Z œ( ( ( .D .C .B  ( ( ( .D .C .B  ( ( (
" " # " $ $B
.D .C .B
! "B ! " ! ! # ! !

117


VIRGINIO GOMEZ
2) Determinar el volumen de la esfera B#  C #  D # œ +#

En el plano BC

118


VIRGINIO GOMEZ
Por simetría

È+# B# È+# B# C#
Z œ )( ( (
+
.D .C .B
! ! !

È+# B# È+# B# C#
Z œ )( ( Dº
+
.C .B
! ! !

È+# B#
Z œ )( ( È+#  B#  C # .C .B
+

! !

a+#  B# b  C # œ a+#  B# bŒ"  
C#
+#  B#

a+  B b  C œ a+  B b”"  
#

È + #  B#  •
# # # # # C

œ =/8) Ê C œ È+#  B# =/8) Ê .C œ È+#  B# -9=) . )
È + #  B#
C

C œ È + #  B# Ê ) œ
1
Cœ!Ê)œ!
#
Í
È+# B# Í
Í #
Z œ )( ( a+  B# b”"   • .C .B
È + #  B# 
+ #
C
! ! Ì

Z œ )( ( È+#  B# † È"  =/8# ) † È+#  B# -9=) . ) .B
1
+ #

! !

Z œ )( ( ˆ+#  B# ‰-9=# ) . ) .B
1
+ #

! !

Z œ )( ˆ+#  B# ‰(
1
+ # "  -9=#)
. ) .B
! ! #

Z œ %( ˆ+#  B# ‰ Œ)  º .B
1
+
=/8#) #
! # !

Z œ %( ˆ+#  B# ‰ .B
+
1
! #

Z œ #1Œ+# B  º
+
B$
$ !

% $
Z œ + 1 [u. de v.]
$

119


3) Determinar el volumen, sobre el plano BC del sólido formado por el cilindro B#  C # œ #& y el
plano B  C  D œ )

En el plano BC

VIRGINIO GOMEZ

È#&B#
Z œ( ( (
& )BC

& È#&B#
.D .C .B
!

È#&B#
Z œ ( ( Dº
& )BC

& È#&B#
.C .B
!

120


È#&B#
Z œ( ( a)  B  C b .C .B
&

& È#&B#

VIRGINIO GOMEZ
È#&B#
Z œ ( Œ)C  BC  º
&
C#
.B
& # È#&B#

Z œ ( Š"'È#&  B#  #BÈ#&  B# ‹.B
&

&

( "'È#&  B# .B
&

&

#&  B# œ #&Š"  #& ‹ Ê #&  B# œ #&”"  Š ‹ •
B# B #
&
B
œ =/8) Ê B œ &=/8) Ê .B œ & -9=) . )
&
1 1
Bœ &Ê) œ  Bœ"Ê)œ
# #

( "'È#&  B# .B œ "'( Ë#&”"  Š ‹ • .B
& &
B #
& & &

œ %!!(
1
#
-9=# ) . )
1
#

œ %!!(
1
# "  -9=#)
.)
1
#
#

œ #!!Œ)  º
1
=/8#) #
# 1 #

œ #!!1

 #( BÈ#&  B# .B
&

&

.?
? œ #&  B# Ê .? œ #B .B Ê œ B .B
#

?œ &Ê?œ! ?œ&Ê?œ!

 #( BÈ#&  B# .B œ  #( È ? †
& !
.?
& ! #

œ!
Luego,

Z œ #!!1  !
Z œ #!!1 [u. de v.]

121


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del sólido limitado por À

+Ñ El cilindro B#  C # œ "' ß los planos C  D œ % ß C œ  # ß D œ ! ß B œ !

,Ñ El cilindro B#  %C # œ % ß los planos D œ ! à D œ B  #

-Ñ El cono %B#  *C #  $'D # œ ! y el plano D œ "

.Ñ El plano D œ '  #C con ! Ÿ B Ÿ % à ! Ÿ C Ÿ #

/Ñ Los planos D œ '  B  C à C œ B à C œ #

Solución

È"'C#
+Ñ Z œ ( ( (
% %C
'%
.D .B .C œ 1 [u. de v.]
# ! ! $

È%B#

,Ñ Z œ ( ( (
# # B#

È #
.D .C .B œ %1 [u. de v.]
#  %B
# !

#È*B#

-Ñ Z œ %( ( ( É%B#*C# .D .C .B œ #1 [u. de v.]
$ $ "

! ! '

.Ñ Z œ ( ( (
% # '#C
.D .C .B œ $# [u. de v.]
! ! !

/Ñ Z œ ( ( (
# # 'BC
.D .C .B œ ) [u. de v.]
! B !

122


Transformación de Integrales Triples

VIRGINIO GOMEZ
Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algún sistema de
coordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas

Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada D como
en el sistema cartesiano. Las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas son:

B œ < -9=)
C œ < =/8)
DœD

En el plano BC

DœD# a)ß<b
Z œ( ( ( .Z œ ( ( (
) œ) # <œ<#
< .D .< . )
W ) œ) " <œ<" DœD" a)ß<b

123


Ejemplos

1) Determinar el volumen del sólido limitado por el semicono D œ ÈB #  C # y el plano D œ %

VIRGINIO GOMEZ
En el plano BC sólo existe un punto, pero en un plano paralelo al plano BC , D œ %, se forma la
circunferencia B#  C # œ "'

B#  C # œ "' Ê a< -9=)b#  a< =/8)b# œ "'

Ê <# -9=# )  <# =/8# ) œ "'

Ê <# a-9=# )  =/8# )b œ "'

Ê <# œ "'

Ê<œ%
El cono en coordenadas cilíndricas queda:

D œ ÈB#  C # Ê D œ Éa< -9=)b#  a< =/8)b# Ê D œ <

Nota: No es posible reemplazar en D œ < el valor de < œ %ß porque < œ % corresponde a la figura
que queda en el plano BC , por lo tanto se está trabajando en ‘# , en cambio D œ < corresponde a la
transformación de una superficie, es decir, se está trabajando en ‘3 Þ Luego, los sistemas son incompatibles.

124


Por simetría

VIRGINIO GOMEZ
Z œ %( ( ( < .D .< . )
1
# % %

! ! <

Z œ %( ( <D º .< . )
1 %
# %

! ! <

Z œ %( ( ˆ%<  <# ‰.< . )
1
# %

! !

Z œ %( Œ#<#  º . )
1 %
# <$
! $ !

Z œ %(
1
# $#
.)
! $

º
1
"#) #
Z œ
$ !

'%
Z œ 1 [u. de v.]
$

2) Determinar el volumen del sólido, sobre el plano BC , limitado por el cilindro B#  aC  $b# œ *
y el cono B#  C # œ D #

125


En el plano BC

VIRGINIO GOMEZ
B #  aC  $ b # œ * Ê B#  C #  'C  * œ *

Ê <#  '< -9=) œ !

Ê <a<  '=/8)b œ !

Ê <" œ ! ß <# œ '=/8)

El cono en coordenadas cilíndricas queda:

B#  C # œ D # Ê < # œ D # Ê < œ D

Z œ( ( ( < .D .< . )
1 '=/8) <

! ! !

Z œ( ( <D º .< . )
1 '=/8) <

! ! !

Z œ( (
1 '=/8)
<# .< . )
! !

Z œ( º
1 $ '=/8)
<
.)
! $ !

( #"'=/8 ) . )
" 1 $
Z œ
$ !

Z œ (#( =/8) =/8# ) . )
1

!

Z œ (#( =/8) ˆ"  -9=# )‰. )
1

!

Z œ (#( ˆ=/8)  =/8) -9=# )‰. )
1

!

Z œ (#Œ  -9=)  º
1
-9=$ )
$ !

Z œ *' [u.de v.]

126


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Calcular, en coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido limitado por À

+Ñ La esfera B#  C #  D # œ "' y el cilindro B#  C # œ %

,Ñ El plano D œ ! , el cilindro B#  C # œ " y el paraboloide D œ B#  C #

-Ñ El cilindro B#  C # œ % y los planos D œ ! ß C  D œ %

Solución

È"'<#
+Ñ Z œ #( ( ( < .D .< . ) œ #1Œ  "'È$[ u. de v.]
#1 #
"#)
! ! ! $

,Ñ Z œ ( ( (
#1 " <#
1
< .D .< . ) œ [ u. de v.]
! ! ! #

-Ñ Z œ ( ( (
#1 # %< =/8)
< .D .< . ) œ "'1 [ u. de v.]
! ! !

127


Coordenadas Esféricas

VIRGINIO GOMEZ
Si en la región W una de las superficies es una esfera, conviene trabajar con coordenadas esféricas
mediante la transformación

B œ 3 -9=) =/89
C œ 3 =/8) =/89

Dœ3

En el plano BC

En el plano DC

128


) varía desde ) œ ! hasta ) œ #1
9 varía desde 9 œ ! hasta 9 œ 1

VIRGINIO GOMEZ
3 varía desde 3 œ 3" hasta 3 œ 3#

Z œ( ( ( .Z œ ( ( (
) œ )# 9 œ9 # 3œ 3 #
3# =/89 . 3 . 9 . )
W ) œ) " 9 œ9 " 3œ3"

Ejemplos:

1) Determinar el volumen de la esfera B#  C #  D # œ +#

B#  C #  D # œ + #

Ê a3 -9=) =/89b#  a3 =/8) =/89b#  a3 -9=9b# œ +#

Ê 3# -9=# ) =/8# 9  3# =/8# ) =/8# 9  3 # -9=# 9 œ +#

Ê 3# =/8# 9a-9=# )  =/8# )b  3 # -9=# 9 œ +#

Ê 3# a=/8# 9  -9=# 9b œ +#

Ê 3# œ +#

Ê3œ+

Z œ( ( (
#1 1 +
3# =/89 . 3 . 9 . )
! ! !

Z œ( ( =/89 º . 9 . )
#1 1 +
3$
! ! $ !

( ( =/89 . 9 . )
+ $ #1 1
Z œ
$ ! !

129


(  -9=9º . )
1
+ $ #1
Z œ
$ !

VIRGINIO GOMEZ
!

+ ( .)
# $ #1
Z œ
$ !

+ )º
#1
# $
Z œ
$ !

% $
Z œ 1+ [u. de v.]
$

2) Calcular el volumen que se forma en el interior de la esfera B#  C #  D # œ #+D y el cono
B  C œ D#
# #

B#  C #  D # œ #+D Ê B#  C #  D #  #+D œ ! Ê B#  C #  aD  +b# œ + #

Intersección de las superficies

B#  C #  D # œ #+D
B#  C # œ D # Ê #D # œ #+D Ê #D #  #+D œ ! Ê D" œ ! ß D# œ +

Considerando las simetrías en el plano DC se observa:

130


VIRGINIO GOMEZ
Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene:

B#  C #  D # œ #+D Ê 3# œ #+3-9=9 Ê 3#  #+3-9=9 œ !
Ê 3" œ ! ß 3# œ #+ -9=9

B#  C # œ D # Ê 3# -9=# )=/8# 9  3# =/8# )=/8# 9 œ 3# -9=# 9

Ê 3# =/8# 9a-9=# )  =/8# )b œ 3# -9=# 9

Ê 3# =/8# 9 œ 3# -9=# 9

Ê =/8# 9 œ -9=# 9
1
Ê >1# 9 œ " Ê 9 œ
%
Por simetría

Z œ %( ( (
1 1
# % #+-9=9
3# =/89 . 3 . 9 . )
! ! !

Z œ %( ( =/89 º
1 1 #+ -9=9
# % 3$
.9 .)
! ! $ !

( ( -9= 9=/89 . 9 . )
1 1
$#+$ # % $
Z œ
$ ! !

(  º .)
1 1
$#+$ # -9=% 9 %
Z œ
$ ! % !

+ (
1
) $ #$
Z œ .)
$ ! %

Z œ #+ )º
1
#
$
!

Z œ +$ 1 [u.de v.]

131


3) Calcular el volumen que queda en el interior de la esfera B#  C #  D # œ %D y el paraboloide
D œ B  C#
#

B#  C #  D # œ %D Ê B#  C #  D #  %D œ ! Ê B#  C #  aD  #b# œ %

VIRGINIO GOMEZ
Intersección de las superficies

B#  C #  D # œ %D
B#  C # œ D Ê D  D # œ %D Ê D #  $D œ ! Ê D" œ ! ß D# œ $

Considerando las simetrías en el plano DC se observa:

Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene:

B#  C #  D # œ %D Ê 3# œ %3-9=9 Ê 3#  %3-9=9 œ !
Ê 3" œ ! ß 3# œ % -9=9

Ê 3# =/8# 9a-9=# )  =/8# )b œ 3 -9= 9
B#  C # œ D Ê 3# -9=# )=/8# 9  3# =/8# )=/8# 9 œ 3 -9= 9

Ê 3# =/8# 9 œ 3 -9= 9
Ê 3# =/8# 9  3-9= 9 œ!
-9=9
Ê 3" œ ! ß 3# œ œ -9>19 -9=/- 9
=/8# 9

132


Igualando los 3

VIRGINIO GOMEZ
-9=9
% -9=9 œ
=/8# 9

" " 1
=/8# 9 œ Ê =/89 œ Ê 9 œ (se están considerando las simetrías)
% # '

Por simetría

Z œ %( ( ( 3 =/89 . 3 . 9 . )  %( ( (
1 1 1 1
# 6 %-9=9 # # -9>19-9=/- 9
#
3# =/89 . 3 . 9 . )
1
! ! ! ! 6 !

Z œ %( ( =/89 º . 9 . )  %( ( =/89 º
1 1 % -9=9 1 1 -9>19-9=/- 9
# ' 3$ # # 3$
.9 .)
! ! $ ! ! 1
6
$ !

( ( -9= 9=/89 . 9 . )  ( ( -9>1 9-9=/- 9. 9 . )
1 1 1 1
#&' # ' $ % # # $ #
Z œ
$ ! ! $ ! 1
6

(  º .)  (  º .)
1 1 1 1
#&' # -9=% 9 ' % # -9>1% 9 #
Z œ
$ ! % ! $ ! % 1
'

( .)  ( * .)
1 1
'% # ( " #
Z œ
$ ! "' $ !

) º  $) º
1 1
#) # #
Z œ
$ ! !

$(
Z œ 1 [u.de v.]
'

133


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
I Calcular, en coordenadas esféricas, el volumen del sólido À

+Ñ Dentro de la esfera B#  C #  D # œ %D y arriba del cono B#  C # œ D #

D œ È %  B#  C #
,Ñ Comprendido por los conos B#  C # œ D # à B#  C # œ $D # y bajo la semiesfera

-Ñ Dentro de la esfera B#  C #  D # œ % y sobre D œ "

II Evalue la integral usando coordenadas cilíndricas o esféricas

È "  B# È "  B#  C #
+Ñ ( ( (
"

È B#
D
.D .C .B
! ! !  C#

È"  C # È#  B #  C #
,Ñ ( ( (
"

È B#  C #
D # .D .B .C
! !

È%  C # È%  B #  C #
-Ñ ( ( (
#
"
.D .B .C
! ! ! B#  C #  D #

III Convierta la siguiente integral a coordenadas esféricas y rectangulares

È %  <#
( ( (
#1 "
< .D .< . )
! ! !

134


Solución
I

VIRGINIO GOMEZ
+Ñ Z œ ( ( (
#1 1Î% %-9=9
3# =/89 . 3 . 9 . ) œ )1 [u. de v.]
! ! !

,Ñ Z œ ( ( ( 3# =/89 . 3 . 9 . )  ( ( (
#1 1Î$ # #1 1Î% #
3# =/89 . 3 . 9 . )
! ! ! ! ! !

o

Z œ( ( (
#1 1Î$ #
3# =/89 . 3 . 9 . )
! 1Î% !

)È #  )
Z œ 1  [u. de v.]
$

-Ñ Z œ ( ( (
#1 1Î$ #
&
3# =/89 . 3 . 9 . ) œ 1 [u. de v.]
! ! "Î-9= 9 $

È "  B# È "  B#  C #
II

+Ñ ( ( (
"

È B#  C #
D 1
.D .C .B œ
! ! ! '

È"  C # È#  B #  C #
#È #  "
,Ñ ( ( ( D # .D .B .C œ 1
"& 
"

! ! È B#  C #

È%  C # È%  B #  C #
-Ñ ( ( (
#
"
.D .B .C œ 1
! ! ! B#  C#  D #

III

È %  <# È"B# È%B# C#
( ( ( < .D .< . ) œ %( ( (
#1 " "
.D .C .B
! ! ! ! ! !

È %  <#
( ( ( œ %( ( (
#1 " 1Î# 1Î' #
< .D .< . ) 3# =/89 . 3 . 9 . )
! ! ! ! ! !

 %( ( (
1Î# 1Î# "Î=/89
3# =/89 . 3 . 9 . )
! 1Î' !

È %  <#
( ( ( < .D .< . ) œ 1Œ  #È$[u. de v.]
#1 "
"'
! ! ! $

135


Campos Vectoriales

VIRGINIO GOMEZ
Son funciones que asignan a un punto del plano o del espacio un vector.

Conceptos:

1) Sean Q œ 0 aBß C b y R œ 0 aBß C b dos funciones de dos variables definidas en una cierta
región del plano V . La función J definida por:

F ( x, y ) = M ( x, y )i + N ( x, y ) j

se llama campo vectorial sobre VÞ

2) Sean Q œ 0 aBß Cß D b à R œ 0 aBß Cß D b à T aBß Cß D b tres funciones de tres variables definidas en
una región W del espacio. La función J definida por:

F ( x, y, z ) = M ( x, y, z )i + N ( x, y, z ) j + P( x, y, z )k

se llama campo vectorial sobre W .

El gradiente es un ejemplo representativo de campo vectorial pues:

+Ñ f0 aBß C b œ 0B aBß C b † 3  0C aBß C b † 4

Haciendo Q œ 0B aBß C b y R œ 0C aBß C b se tiene que f0 aBß C b œ Q 3  R 4

,Ñ f0 aBß Cß D b œ 0B aBß Cß D b † 3  0C aBß Cß D b † 4  0D aBß Cß D b † 5

Haciendo Q œ 0B aBß Cß D b à R œ 0C aBß Cß D b à T œ 0D aBß Cß D b se tiene que
f0 aBß Cß D b œ Q 3  R 4  T 5

Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son:

a) Campos de velocidades los cuales se usan para describir el movimiento de un sistema de
partículas en el plano o en el espacio como también para describir el flujo de corrientes de aire alrededor de
un objeto en movimiento.

que la fuerza de atracción ejercida sobre una partícula de masa 7" localizada en aBß Cß D b por una partícula
b) Campos gravitacionales se definen mediante la ley de la gravitación de Newton, que establece

de masa 7# localizada en a!ß !ß !b es:

J aBß Cß D b œ 
K 7" 7# p
†?
B#  C #  D #

con K la constante gravitatoria y ? un vector unitario en la dirección que va del origen a aBß Cß D b.
p

136


ejercida sobre una partícula con carga eléctrica ;" localizada en aBß Cß D b por una partícula con carga
c) Campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerza

eléctrica ;# localizada en a!ß !ß !b viene dada por:

VIRGINIO GOMEZ
J aBß Cß D b œ
- ;" ;# p
†?
m<m#
p <
donde < œ B3  C4  D5 , ? œ y - una constante que depende de la elección de unidades para m<m ; ;"
m<m
y ;# .

Campo vectorial conservativo

Un campo de vectores J se llama conservativo si existe una función diferenciable tal que
J œ f0 .

La función 0 se llama función potencial de J .

Los campos gravitacionales, los magnéticos y los de fuerzas eléctricas son conservativos.

Que un campo vectorial sea conservativo significa que cumple con las condiciones de la ley de
conservación de la energía (la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula es
constante).

Campo vectorial conservativo en el plano

Sean Q œ 0 aBß C b y R œ 0 aBß C b dos funciones de dos variables que tienen primeras derivadas
parciales continuas, entonces :

∂M ∂N
F ( x, y ) = M ( x, y )i + N ( x, y ) j es conservativo ⇔ =
∂y ∂x

Ejemplos

Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial.

"Ñ J aBß C b œ B# C 3  BC 4

`Q
Q œ B# C Ê œ B#
`C

`R
R œ BC Ê œC
`B

`Q `R
Á , por lo tanto, el campo vectorial no es conservativo.
`C `B

137


#Ñ J aBß C b œ a%B$  #C  $B# C # b3  a$C #  #B  #B$ C b4

VIRGINIO GOMEZ
`Q
Q œ %B$  #C  $B# C # Ê œ #  'B# C
`C

`R
R œ $C #  #B  #B$ C Ê œ #  'B# C
`B

`Q `R
œ , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.
`C `B

J œ f0 aBß C b

Q aBß C b 3  R aBß C b 4 œ 0B aBß C b 3  0C aBß C b 4

Luego, por igualdad de vectores, Q aBß C b œ 0B aBß C b ß R aBß C b œ 0C aBß C b

Así,

0B aBß C b œ %B$  #C  $B# C # Î( .B

( 0B aBß C b .B œ ( ˆ %B  #C  $B C ‰.B
$ # #

0 aBß C b œ B%  #BC  B$ C #  G aC b a"b

0C aBß C b œ $C #  #B  #B$ C Î( .C

( 0C aBß C b .C œ ( ˆ $C  #B  #B C ‰.C
# $

0 aBß C b œ C $  #BC  B$ C #  G aBb a#b

De a1b y a2b se tiene

0 aBß C b œ #BC  B$ C #  B%  C $  G , donde G aBb œ B% ß G aC b œ C $

$Ñ J aBß C b œ a/BC  BC/BC  C # -9=aBC bb3  aB# /BC  =/8aBC b  BC -9=aBC bb4

Q œ /BC  BC/BC  C # -9=aBC b

œ B/BC  B/BC  B# C/BC  #C -9=aBC b  BC # =/8aBC b
`Q
`C

R œ B# /BC  =/8aBC b  BC -9=aBC b

œ #B/BC  B# C/BC  C -9=aBC b  C -9=aBC b  BC # =/8aBC b
`R
`B

`Q `R
`C `B

138


J œ f0 aBß C b

0B aBß C b œ /BC  BC/BC  C # -9=aBC b Î( .B

VIRGINIO GOMEZ
( 0B aBß C b .B œ ( ˆ/  BC/  C -9=aBC b ‰.B
BC BC #

? œ BC Ê .? œ C .B

/BC
.@ œ /BC .B Ê@œ
C

C # =/8aBC b
0 aBß C b œ (
/BC /BC /BC
 BC † † C .B 
C C C C

0 aBß C b œ  C =/8aBC b  G aC b
/BC /BC
 B/BC 
C C

0 aBß C b œ B/BC  C=/8aBC b  G aC b a"b

0C aBß C b œ B# /BC  =/8aBC b  BC -9=aBC b Î( .C

( 0C aBß C b .C œ ( ˆB /  =/8aBC b  BC -9=aBC b ‰.C
# BC

? œ BC Ê .? œ B .C

=/8aBC b
.@ œ -9=aBC b .C Ê @ œ
B

-9=aBC b =/8aBC b =/8aBC b
0 aBß C b œ (
B# /BC
  BC † † B .C
B B B B

-9=aBC b -9=aBC b
0 aBß C b œ B/BC   C =/8aBC b   G aBb
B B

0 aBß C b œ B/BC  C =/8aBC b  G aBb a#b


0 aBß C b œ B/BC  C=/8aBC b  G , donde G aBb œ G aC b œ G

139


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial.

"Ñ J ÐBß CÑ œ Ð#B  $CÑ 3  $ÐB  C # Ñ 4

#B B#
#Ñ J ÐBß CÑ œ 3 # 4
C C

#B #C
$Ñ J ÐBß CÑ œ 3 # 4
B#  C # B  C#

%Ñ J ÐBß CÑ œ #BC $ 3  $C # B# 4

&Ñ J ÐBß CÑ œ /B Ò=/8 C 3  Ð-9= C  #Ñ 4 Ó

'Ñ J ÐBß CÑ œ B/C 3  C/B 4

Solución

"Ñ 0 aBß C b œ  $BC  B#  C $  G G aBb œ B# à G aC b œ C $

#Ñ 0 aBß C b œ G aBb œ G aC b œ G
B#
G
C

$Ñ 0 aBß C b œ 68¸B#  C # ¸  G G aBb œ G aC b œ G

%Ñ 0 aBß C b œ B# C $  G G aBb œ G aC b œ G

&Ñ No es conservativo

'Ñ No es conservativo

140


Concepto de rotacional de un campo vectorial en el espacio

El rotacional de J aBß Cß D b œ Q 3  R 4  T 5 es

VIRGINIO GOMEZ
rotF ( x, y, z ) = ∇ × F ( x, y, z )

i j k
∂ ∂ ∂
=
∂x ∂y ∂z
M N P

 ∂P ∂N   ∂P ∂M   ∂N ∂M 
 ∂y − ∂z  i −  ∂x − ∂z  j +  ∂x − ∂y k
=   
     

Campo vectorial conservativo en el espacio

Sean Q œ 0 aBß Cß D b ß R œ 0 aBß Cß D b y T œ 0 aBß Cß D b tres funciones de tres variables donde
sus primeras derivadas son continuas. El campo vectorial J aBß Cß D b œ Q 3  R 4  T 5 es conservativo si,
y sólo si <9>J aBß Cß D b œ Ò !ß !ß ! Ó, es

decir,
∂P ∂N ∂P ∂M ∂N ∂M
= , = , =
∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

Ejemplos:

Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial.

"Ñ J aBß Cß D b œ B$ C # D 3  B# D 4  B# C 5

Q œ B$ C # D R œ B# D T œ B# C
â â
â 3 5 â
â ` ` â
â â
4
<9>aJ b œ â â
`
â `B `D â
â $ # â
âB C D B# C â
`C
B# D

œ 3aB#  B# b  4 a#BC  B$ C # b  5 a#BD  #B$ CD b

<9>aJ b Á Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J no es conservativo.
#Ñ J aBß Cß D b œ #BC 3  aB#  D # b4  #CD 5

Q œ #BC R œ B#  D # T œ #CD

141


â â
â 3 5 â
â ` ` â
â â
4
<9>aJ b œ â â
`
â `B `D â

VIRGINIO GOMEZ
â â
â #BC #CD â
`C
B#  D #

œ 3a#D  #D b  4 a!  !b  5 a#B  #Bb

<9>aJ b œ Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J es conservativo.

J aBß Cß D b œ f0 aBß Cß D b

Q aBß Cß D b 3  R aBß Cß D b 4  T aBß Cß D b 5 œ 0B aBß Cß D b 3  0C aBß Cß D b 4  0D aBß Cß D b 5

Luego, por igualdad de vectores, Q aBß C ,D b œ 0B aBß Cß D b ß R aBß Cß D b œ 0C aBß Cß D b ß
T aBß Cß D b œ 0D aBß Cß D b

Así,

0B aBß Cß D b œ #BC Î( .B

( 0B aBß Cß D b .B œ ( #BC.B

0 aBß Cß D b œ B# C  G aCß D b a"b

0C aBß Cß D b œ B#  D # Î( .C

( 0C aBß Cß D b .C œ ( ˆ B  D ‰.C
# #

0 aBß Cß D b œ B# C  D # C  G aBß D b a#b

0D aBß Cß D b œ #CD Î( .D

( 0D aBß Cß D b .D œ ( #CD .D

0 aBß Cß D b œ CD #  G aBß C b a$b

De a"b , a#b y a$b

0 aBß Cß D b œ B# C  CD #  G dondeG aBß C b œ B# C ß G aCß D b œ CD # ß G aBß D b œ G

142


$Ñ J aBß Cß D b œ aC/BC -9=D  =/- # B 68aCD bb3  ŒB/BC -9=D  4
>1 B
C

VIRGINIO GOMEZ
 Œ  /BC =/8D  5
>1B
D

Q œ C/BC -9=D  =/- # B 68aCD b

>1 B
R œ B/BC -9=D 
C

>1B
T œ  /BC =/8D 
D

â â
â â
â â
â â
3 4 5
â â
<9>aJ b œ â â
` ` `
â >1B â
â BC â
`B `C `D
â C/ -9=D  =/- # B 68aCD b B/BC -9=D  â
>1 B
â D â
 /BC =/8D 
C

œ 3a  B/BC =/8D  B/BC =/8D b  4 Œ  C/BC =/8D  
=/- # B =/- # B
 C/BC =/8D 
D D
 5 Œ/BC -9=D  BC/BC -9=D  
=/- # B =/- # B
 /BC -9=D  BC/BC -9=D 
C C

<9>aJ b œ Ò !ß !ß ! Ó ß por lo tanto, J es conservativo.

J œ f0 aBß Cß D b

0B aBß Cß D b œ C/BC -9=D  =/- # B 68aCD b Î( .B

( 0B aBß Cß D b .B œ ( ˆC/ -9=D  =/- B 68aCD b‰.B
BC #

0 aBß Cß D b œ  >1B 68aCD b  G aCß D b
C/BC -9=D
C

0 aBß Cß D b œ /BC -9=D  >1B 68aCD b  G aCß D b

0 aBß Cß D b œ /BC -9=D  >1B 68C  >1B 68D  G aCß D b a"b

0C aBß Cß D b œ B/BC -9=D  Î( .C
>1 B
C

( 0C aBß Cß D b .C œ ( ŒB/ -9=D  .C
BC >1 B
C

143


0 aBß Cß D b œ  >1B 68 C  G aBß D b
B/BC -9=D
B

VIRGINIO GOMEZ
0 aBß Cß D b œ /BC -9=D  >1B 68 C  G aBß D b a#b

0D aBß Cß D b œ  /BC =/8D  Î( .D
>1B
D

( 0D aBß Cß D b .D œ ( Œ  / =/8D   .D
BC >1B
D

0 aBß Cß D b œ /BC -9=D  >1B 68D  G aBß C b a$b

De a"b , a#b y a$b

0 aBß Cß D b œ /BC -9=D  >1B 68D  >1B 68C  G donde G aBß C b œ >1B 68C ß G aBß D b œ >1B 68Dß
G aCß D b œ G

Ejercicios

I Encontrar el rotacional en el punto indicado

"Ñ J ÐBß Cß DÑ œ BCD 3  C 4  D 5 Ð " ß #ß " Ñ

#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B# D 3  #BD 4  CD 5 Ð #ß  "ß $ Ñ

$Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /B =/8 C 3  /B -9=C 4  5 Ð !ß !ß $ Ñ

%Ñ J ÐBß Cß DÑ œ /BCD Ð 3  4  5 Ñ Ð $ß #ß ! Ñ

II Encuentre <9>Ð J ‚ K Ñ donde À

"Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3  #B 4  $C 5 KÐBß Cß DÑ œ B 3  C 4  # 5

#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ B 3  D 5 KÐBß Cß DÑ œ B# 3  C 4  D # 5

III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función
potencial.

"Ñ J ÐBß Cß DÑ œ C/D 3  B/D 4  /D 5

#Ñ J ÐBß Cß DÑ œ $B# C # D 3  #B$ CD 4  B$ C # 5

" B
$Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3  # 4  Ð#D  "Ñ 5
C C
B C
%Ñ J ÐBß Cß DÑ œ 3 # 45
B#  C # B  C#

144


Solución

VIRGINIO GOMEZ
I

"Ñ <9> J a"ß #ß "b œ #4  5

#Ñ <9> J a#ß  "ß $b œ (3  %4  '5

$Ñ <9> J a!ß !ß $b œ  #5

%Ñ <9> J a$ß #ß !b œ '3  '4

II

"Ñ <9> aJ ‚ K b œ  3  %B 4  $C 5

#Ñ <9> aJ ‚ K b œ aB  B#  #BD b3  a  #BD  D #  D b5

III

"Ñ No es conservativo

#Ñ 0 aBß Cß D b œ B$ C # D  G

G aBß C b œ G aBß D b œ G aCß D b œ G

$Ñ 0 aBß Cß D b œ
B
 D#  D  G
C

G aBß C b œ G aBß D b œ G aCß D b œ D #  D
B
à
C

%Ñ 0 aBß Cß D b œ 68¸B#  C # ¸  D  G
"
#

G aBß C b œ 68¸B#  C # ¸ à G aBß D b œ G aCß D b œ D
"
#

145


Plano tangente y recta normal a una superficie

VIRGINIO GOMEZ
Conceptos

1) Si D œ 0 aBß C b es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está
dada por:

∇f ( a , b ) ⋅ ( x − a , y − b ) − (c − z ) = 0 donde c = f (a, b)

2) Si 0 aBß Cß D b œ ! es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está
dada por:

∇f (a, b, c) ⋅ ( x − a, y − b, c − z ) = 0

El vector f0 a+ß ,ß - b es el vector normal a la superficie 0 aBß Cß D b œ !

3) La recta normal a una superficie de la forma D œ 0 aBß C b en el punto a+ß ,ß - b de ella es À

x−a y −b z−c
= = donde c = f (a, b)
f x (a, b) f y (a, b) −1

4) La recta normal a una superficie de la forma 0 aBß Cß D b œ ! en el punto a+ß ,ß - b de ella es À

x−a y −b z−c
= =
f x (a, b, c ) f y ( a, b, c ) f z (a, b, c)

Ejemplos:

I Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada en
el punto dado.

"Ñ D œ 68ÈB#  C # en el punto a  $ß %ß 68&b

D œ 68È*  "' Ê D œ 68&

Por lo tanto, el punto a  $ß %ß 68&b pertenece la la superficie D œ 68ÈB#  C #

0B aBß C b œ Ê 0 a  $ß %b œ 
È B# # # È B#  C #
" #B B $
† œ
C B#  C# #&

0C aBß C b œ Ê 0 a  $ß %b œ
È B#  C # # È B #  C #
" #C C %
† œ
B#  C # #&

f0 a  $ß %b œ Œ  ß 
$ %
#& #&

146


Ecuación plano tangente

ß  † aB  $ß C  %b  aD  68&b œ !

VIRGINIO GOMEZ
Œ
$ %
#& #&

$ * % "'
 B  C  D  68& œ ! Î † #&
#& #& #& #&

 $B  %C  #&D  #&  #& 68& œ !

$B  %C  #&D  #&  #& 68& œ !

Ecuación recta normal

B$ C% D  68&
œ œ
$ % "

#& #&

#&aB  $b #&aC  %b D  68&
œ œ
$ % "

#Ñ BC  CD  BD œ " en el punto a#ß $ß  "b

a#ba$b  a$ba  "b  a#ba  "b œ '  $  # œ "

Por lo tanto, el punto a#ß $ß  "b pertenece la la superficie BC  CD  BD œ "

0B aBß Cß D b œ C  D Ê 0 a#ß $ß  "b œ #

0C aBß Cß D b œ B  D Ê 0 a#ß $ß  "b œ "

0D aBß Cß D b œ B  C Ê 0 a#ß $ß  "b œ &

f0 a#ß $ß  "b œ a#ß "ß &b


a#ß "ß &b † aB  #ß C  $ß D  "b œ !

#B  %  C  $  &D  & œ !

#B  C  &D  # œ !

Ecuación recta normal

B# C$ D"
œ œ
# " &

147


II Demuestre que todo plano tangente al cono B#  C # œ D # pasa por el origen

0 aBß Cß D b œ B#  C #  D #

VIRGINIO GOMEZ
0B aBß Cß D b œ #B

0C aBß Cß D b œ #C

0D aBß Cß D b œ  #D

f0 aBß Cß D b œ a#Bß #Cß  #D b

Sea a+ß ,ß - b un punto del cono, luego +#  , # œ - #

f0 a+ß ,ß - b œ a#+ß #,ß  #- b


a#+ß #,ß  #- b † aB  + ß C  , ß D  - b œ !

#+B  #+#  #,C  #, #  #-D  #- # œ !

Si aBß Cß D b œ a!ß !ß !b ß entonces  #+#  #, #  #- # œ  #a+#  , # b  #- # ß pero +#  , # œ - # ,
así  #a+#  , # b  #- # œ !

Por lo tanto, todo plano tangente al cono B#  C # œ D # pasa por el origen.

148


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
I) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado.

"Ñ $C #  #BC  BD # œ ! T Ð  "ß "ß "Ñ

#Ñ C œ /D -9= B T Ð!ß "ß !Ñ

$Ñ C/BC  D # œ ! T Ð!ß  "ß "Ñ

II) Obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado.

"Ñ B#Î$  C #Î$  D #Î$ œ ' T Ð  )ß  "ß "Ñ

#Ñ  DB#  BC #  CD # œ "# T Ð$ß  #ß !Ñ

$Ñ D œ Ð+B  ,CÑ# T Ð+ß ,ß -Ñ

Solución

I

"Ñ $B  %C  #D  " œ !

#Ñ  C  D  " œ !

$Ñ B  C  #D  " œ !

II

$ aB  ) b $ aC  " b $ aD  " b
"Ñ œ œ
" # #

B$ C# D
#Ñ œ œ
%  "# *

B+ C, D-
#+a+#  , # b #+a+#  , # b
$Ñ œ œ
"

149


Ecuaciones Diferenciales

VIRGINIO GOMEZ
Son ecuaciones donde aparecen derivadas. El objetivo de una ecuación diferencial es encontrar la
función que dio origen a la ecuación.

hay derivadas parciales la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria aEDOb y si sólo
Si en una ecuación diferencial aparecen diferenciales totales, derivadas totales, o ambas, pero no

contiene derivadas parciales se llama ecuación diferencial parcial aEDPb.

Ejemplos de EDO

B œ Ba>b
.# B
+Ñ 7 œJ
.>#

B œ Ba>b
.B
,Ñ œ 5
.>

-Ñ Œ   #Œ #  † Œ   B œ ! C œ C aBb
.# C .#B .B #
.B # .C .C

C œ C aBb
.C
.Ñ œ B#  $
.B

Ejemplos de EDP

? œ ?aBß Cß >b
` # ? `? `?
+Ñ  œ5†
`B# `C `>

? œ ?aBß C b
` #? ` #?
,Ñ  # œ!
`B# `C

Orden de una EDO

Es el orden de la mayor derivada que existe en la ecuación.

Grado de una EDO

Es el mayor exponente al cual está elevada la mayor derivada.

Ejemplos

Ecuación Orden Grado
.C
œB& " "
.B
 #Œ #  
#
.$ C .#C .C
œ -9= B $ "
.B$ .B .B

Œ #
 Œ   $C œ B#
# $
.# C .C
# #
.B .B

150


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden y de primer grado

VIRGINIO GOMEZ
Su característica es :

M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

En este tipo de ecuaciones se estudiarán las EDO:

1) de variables separables
2) exactas

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables aEDVSb

Q aBß C b .B  R aBß C b .C œ ! se puede separar, si es posible, y escribirla como:

0" aBb † 1" aC b † .B  0# aBb † 1# aC b † .C œ !

0 " aB b 1 " aC b
0 # aB b 1 # aC b
† .B œ  † .C la cual se resuelve por integración

Ejemplos

"Ñ B$ .B  aC  "b# .C œ !

B$ .B œ  aC  "b# .C Î(

( B .B œ  ( aC  "b .C
$ #

B% aC  " b $
œ  G
% $

#Ñ &Ba"  C b .B œ C a"  B# b.C

Î(
&B C
#
.B œ .C
"B "C

( .B œ (
&B C
#
.C
"B "C

(
&B .?
.B ? œ "  B# Ê .? œ #B .B Ê œ B .B
"  B# #
.?
( œ &(
&B #
.B
"  B# ?

68¸?¸  G
&
œ
#

68¸"  B# ¸  G
&
œ
#

151


(
C
.C
"C

VIRGINIO GOMEZ
C À"C Ê C À C"œ "
…C„"
"

( œ  ( .C  (
C "
.C .C
"C "C

œ  C  68¸"  C ¸  G

Por lo tanto,

( .B œ (
&B C
#
.C
"B "C

68¸"  B# ¸ œ  C  68¸"  C ¸  G
&
#

$Ñ aC #  "b .B  #C È"  B# .C œ !

Î(
È "  B#
.B #C
œ .C
C#"

( œ( #
È "  B#
.B #C
.C
C "

E<-=/8 B œ 68¸C #  "¸  G

# # C .C
%Ñ /B C  † œ! Î .B
B .B
#
/B C
C#
.B  .C œ !
/ B

Î(
# #
B /B .B œ  C /C .C

( B / .B œ  ( C / .C
# #
B C

# #
/B /C
œ G
# #

152


Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Resuelva las siguientes ecuaciones À

.C B#  "
"Ñ œ
.B C#

.C
#Ñ œ C Ð#  =/8BÑ
.B

$Ñ C =/8B /-9=B .B  C " .C œ !

%Ñ C È#B#  $ .B  B È%  C # .C œ !

&Ñ Ð$B#  %B  #Ñ .B  Ð#C  "Ñ .C œ !

'Ñ ÈC .B  Ð"  BÑ .C œ !

Solución

"Ñ B$  C $  $B  $G œ !

#Ñ #B  -9=B  68¸C ¸  G œ !

$Ñ C /-9=B  "  C G œ !

È#B#  $  È$ È%  C #  #
%Ñ È$ 68º º  # 68º º  È#B#  $  È%  C #  G œ !
B C

&Ñ B$  #B#  C #  #B  C  G œ !

'Ñ 68 ¸"  B¸  # ÈC  G œ !

153


Ecuaciones Diferenciales ordinarias exactas aEDEb

VIRGINIO GOMEZ
∂M ∂N
Para que M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 sea exacta debe ocurrir que =
∂y ∂x

Para determinar la función se realiza un proceso similar a encontrar la función potencial de un
campo vectorial conservativo.

Ejemplos

"Ñ aB#  C b .B  aC #  Bb.C œ !

`Q
Q œ B#  C Ê œ "
`C

`R
R œ C#  B Ê œ "
`B

`Q `R
œ Por lo tanto, es una EDE
`C `B

0B aBß C b œ B#  C 0C aBß C b œ C #  B

0B aBß C b œ B#  C Î( .B

( 0B aBß C b.B œ ( ˆB  C ‰ .B
#

0 aBß C b œ  BC  G aC b a"b
B$
$

0C aBß C b œ C #  B Î( .C

( 0C aBß C b.C œ ( ˆC  B‰.C
#

0 aBß C b œ  BC  G aBb a#b
C$
$

De a"b y a#b

0 aBß C b œ  BC  con G aBb œ y G aC b œ
B$ C$ B$ C$
 G
$ $ $ $

154


#Ñ a%B$ C $  #BC b.B  ˆ$B% C #  B# ‰.C œ !

VIRGINIO GOMEZ
`Q
Q œ %B$ C $  #BC Ê œ "#B$ C #  #B
`C

`R
R œ $B% C #  B# Ê œ "#B$ C #  #B
`B

`Q `R
`C `B

0B aBß C b œ %B$ C $  #BC 0C aBß C b œ $B% C #  B#

0B aBß C b œ %B$ C $  #BC Î( .B

( 0B aBß C b.B œ ( ˆ%B C  #BC ‰ .B
$ $

0 aBß C b œ B% C $  B# C  G aC b a"b

0C aBß C b œ $B% C #  B# Î( .C

( 0C aBß C b.C œ ( ˆ$B C  B ‰.C
% # #

0 aBß C b œ B% C $  B# C  G aBb a#b

De a"b y a#b

0 aBß C b œ B% C $  B# C  G con G aBb œ G aC b œ G

$Ñ a#B >1 C  =/8 #C b .B  aB# =/- # C  #B -9= #C  /C b.C œ !

`Q
Q œ #B >1 C  =/8 #C Ê œ #B =/- # C  # -9= #C
`C

`R
R œ B# =/- # C  #B -9= #C  /C Ê œ #B =/- # C  # -9= #C
`B
`Q `R
`C `B

0B aBß C b œ #B >1 C  =/8 #C 0C aBß C b œ B# =/- # C  #B -9= #C  / C

0B aBß C b œ #B >1 C  =/8 #C Î( .B

( 0B aBß C b.B œ ( a#B >1 C  =/8 #C b .B

155


0 aBß C b œ B# >1 C  B =/8 #C  G aC b a"b
0C aBß C b œ B =/- C  #B -9= #C  /
# # C
Î( .C

VIRGINIO GOMEZ
( 0C aBß C b.C œ ( ˆB =/- C  #B -9= #C  / ‰.C
# # C

0 aBß C b œ B# >1 C  B =/8 #C  /C  G aBb a#b

De a"b y a#b

0 aBß C b œ B# >1 C  B =/8 #C  /C  G con G aBb œ G y G aC b œ /C

%Ñ ŠC # /BC  %B$ ‹.B  Š#BC/BC  $C # ‹.C
# #

# `Q # #
Q œ C # /BC  %B$ Ê œ #C/BC  #BC $ /BC
`C

# `R # #
R œ #BC/BC  $C # Ê œ #C/BC  #BC $ /BC
`B

`Q `R
`C `B

0B aBß C b œ C # /BC  %B$ 0C aBß C b œ #BC/BC  $C #
# #

0B aBß C b œ C # /BC  %B$ Î( .B
#

( 0B aBß C b.B œ ( ŠC /  %B ‹ .B
#
# BC $
? œ BC # Ê .? œ C # .B

( 0B aBß C b.B œ ( / .?  ( %B .B
? $

0 aBß C b œ /?  B%  G aC b

0 aBß C b œ /BC  B%  G aC b a"b
#

0C aBß C b œ #BC/BC  $C # Î( .C
#

( 0C aBß C b.C œ ( Š#BC/  $C ‹.C
#
BC #
? œ BC # Ê .? œ #BC .B

( 0C aBß C b.B œ ( / .?  ( $C .B
? #

0 aBß C b œ /?  C $  G aBb

0 aBß C b œ /BC  C $  G aBb a#b
#

De a"b y a#b

156


0 aBß C b œ /BC  B%  C $  G con G aBb œ B% y G aC b œ  C $
#

Ejercicios

VIRGINIO GOMEZ
Encuentre la solución general en À

"Ñ ŒC/BC   .B  ŒB/BC  #  .C œ !
" B
C C

#Ñ Ð C # =/8B Ñ .B  Œ   .C œ !
" C
B B

B
$Ñ Ð "  68 CÑ .B  .C œ !
C

%Ñ Ð  -9= B -9= C  B# Ñ .B  Ð=/8 B =/8 C  CÑ .C œ !

&Ñ =/- # B .B  È"  C .C œ !

'Ñ -9= C .B  ÐC =/8 B  /C Ñ .C œ !

Solución

"Ñ 0 aBß C b œ /BC 
B
G
C

#Ñ No es una EDE

$Ñ 0 aBß C b œ B 68 C  B  G

%Ñ 0 aBß C b œ
B$ C#
 =/8B-9=C  G
$ #

&Ñ 0 aBß C b œ >1 B  a"  C b$Î#  G
#
$

'Ñ No es un EDE

157


Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales

Una ecuación diferencial ordinaria es lineal aEDLb si es de primer grado entre la variable

VIRGINIO GOMEZ
dependiente y sus derivadas.

Su forma general es:

dny d n−1 y dy
a0 ( x) n
+ a1 ( x) n −1
+ L + a n−1 ( x) + a n ( x) y = g ( x)
dx dx dx

Ejemplos

.C
"Ñ  $BC œ =/8B
.B

 C œ I aBb
.# C .C "
#Ñ P V
.B# .B -

Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación lineal respecto a la función
desconocida y a su derivada.

Su forma característica es:

Su forma característica es :

dy
+ P( x) ⋅ y = Q( x)
dx

donde T aBb y UaBb son funciones continuas.

Si UaBb œ ! , entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal homogénea
aEDLHb la cual se resuelve como una EDVS

dy
La solución de la ecuación + P ( x ) ⋅ y = Q ( x) es:
dx

y=
1
[
µ ( x) ∫
Q( x) ⋅ µ ( x) + C ] con µ ( x) = e ∫
P ( x ) dx

158


Ejemplos

VIRGINIO GOMEZ
.C
"Ñ  #BC œ %B
.B

T aBb œ #B UaBb œ %B

( #B .B
. aB b œ / Ê . aB b œ / B
#

B# Œ(
%B/B .B  G 
" #
Cœ
/

Š#/B  G ‹
" #
Cœ B#
/
#
C œ #  G/B

.C
#Ñ  C -9>1 B œ &/-9=B
.B

T aBb œ -9>1 B UaBb œ &/-9=B

( -9>1B .B
. aB b œ / Ê . aBb œ /68¸=/8B¸ Ê . aBb œ =/8 B

Œ( &/ † =/8 B .B  G 
" -9= B
Cœ
=/8 B

a  &/-9= B  G b
"
Cœ
=/8 B

C œ -9=/- Ba  &/-9= B  G b

$Ñ #B .C œ a#B$  C b .B Î .B

.C
#B œ #B$  C
.B
.C
#B  C œ #B$ Î À #B
.B
.C "
 C œ B#
.B #B

T aB b œ UaBb œ B#
"
#B

(
"
. aB b œ / Ê . aBb œ / # 68¸B¸ Ê . aBb œ /68ÈB Ê . aBb œ ÈB
.B
#B "

159


( B † ÈB .B  G 
ÈB Œ
" #
Cœ

VIRGINIO GOMEZ
Œ B  G
ÈB (
" # (Î#
Cœ

# $ "
Cœ B  GB #
(

%Ñ C .B œ =/8 #B .B  .C Î .B

.C
C œ =/8 #B 
.B
.C
 C œ =/8 #B
.B

T aB b œ " UaBb œ =/8 #B
( .B
. aB b œ / Ê . aB b œ / B

Œ( =/8 #B † / .B  G 
" B
Cœ
/B

( =/8 #B † / .B
B

-9= #B
? œ /B Ê .? œ /B .B .@ œ =/8 #B Ê@œ 
#
( =/8 #B † / .B œ   ( /B -9= #B .B
B
B / -9= #B "
# #
=/8 #B
? œ /B Ê .? œ /B .B .@ œ -9= #B Ê@œ
#

( =/8 #B † / .B œ   Œ  ( /B =/8 #B .B
B /B -9= #B " /B =/8 #B "
# # # #

( =/8 #B † / .B œ 
B /B -9= #B /B =/8 #B /B =/8 #B
 
# % %

( =/8 #B † / .B œ 
& B /B -9= #B /B =/8 #B
 G
% # %

( =/8 #B † / .B œ 
B #/B -9= #B /B =/8 #B
 G
& &

Por lo tanto,

Œ( =/8 #B † / .B  G 
" B
Cœ
/B

BŒ
 G
" #/B -9= #B /B =/8 #B
Cœ  
/ & &

160


# "
C œ  -9= #B  =/8 #B  G/B

VIRGINIO GOMEZ
& &
Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones

.C
"Ñ  C œ /$B
.B

.C C
#Ñ œ  #B  "
.B B

.C
$Ñ œ B# /  %B  %C
.B
.C
%Ñ =/8B  C -9= B œ B =/8 B
.B

.C
&Ñ  C >1 B œ =/- B
.B

Solución

/$B
"Ñ C œ  G/B
#

#Ñ C œ B ˆ#B  68¸B¸  G ‰

$Ñ C œ /%B Œ B$  G 
"
$

%Ñ C œ "  B -9>1 B  G -9=/- B

&Ñ C œ =/8 B  G -9= B

161


Autoevaluación N°1
Complemento de Cálculo

VIRGINIO GOMEZ
Nombre: ...............................................................
Carrera: ................................... Sección: .............

1) Determine si las siguientes series convergen o divergen, justifique.

! " "Œ 
_ _ 8
$
a) #
b)
8œ" 8 8œ"
%

! # "8
_ _
c) d)
#
$
8
8œ" & 8œ"

2) Decida si la serie alterna es CVC o CVA o es divergente À

! a  "b8" † 8#
_

8œ" 8$  #

3) Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia:

! a  " b8 B
_ #8

8œ" a#8bx

4) Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ

0 aB b œ / #
B

162


Pauta de corrección

VIRGINIO GOMEZ
! "
_
") a) #
es serie p, p œ #, por lo tanto CV
8œ" 8

!Œ$
_ 8
$
b) es serie geométrica , r œ , por lo tanto CV
8œ" % %

! #
_ "
c) 8
es serie geométrica , r œ , por lo tanto CV
8œ" & &

! 8 #
_ #
d) $ es serie p , p œ , por lo tanto DV
8œ" $

2) Decida si la serie alterna es convergente o divergente À

! a  "b8" † 8#
_

8œ" 8$  #

8# a8  " b #
a8  " b $  #
+8 œ +8" œ
8$  #

a) !  +8"  +8

a8  " b # 8#
a8  " b  #
! $
 Se cumple primera condición. (1)
8$ #

b) lim +8 œ !
8Ä_
8#
lim +8 œ lim
8Ä_ 8Ä_ 8$ #

#8
œ lim regla de L´Hopital
8Ä_ $8#

#
œ lim regla de L´Hopital
8Ä_ $8

œ! Se cumple segunda condición. (2)

De (1) y (2) la serie ! a  "b8" †
_ 8#
es convergente.
8œ" 8$ #

Consideremos la serie asociada:

! 8#
_
$
8œ" 8  #

163


Por criterio de la integral

VIRGINIO GOMEZ
0 aB b œ
B#
función continua, positiva, decreciente. Así es posible
B$ #
utilizar el criterio de la integral

( lim (
_ ,
B# B#
.B œ .B ? œ B$  #
" B$  # ,Ä_ " B$  #
.? œ $B# .B
lim (
.?
œ
,Ä_ $?

"
œ lim 68?
$ ,Ä_

lim 68ˆB$  #‰‚
" ,
œ
$ ,Ä_ "

lim 68ˆ, $  #‰  68ˆ"$  #‰
"
œ
$ ,Ä_

lim 68a_b  68a$b
"
œ
$ ,Ä_
œ_

De esta forma la serie asociada !
_ 8#
$
es divergente
8œ" 8  #

! a  "b8" † 8#
_
Por tanto, la serie es CVC
8œ" 8$  #

3) Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia:

! a  " b8 B
_ #8

8œ" a#8bx

B#8 B#8#
a#8  #bx
+8 œ ; +8" œ
#8x

B#8#
+8" a#8  #bx B# B#
a#8  #ba#8  "b
œ #8
œ œ #  $8  #
+8 B %8
#8x

lim º º lim º º
+8" B#
œ
8Ä_ +8 8Ä_ %8#  $8  #

œ ¸B # ¸ lim º º
"
8Ä_ %8#  $8  #

164


œ ¸B # ¸ † !

VIRGINIO GOMEZ
œ!
a B − ‘ la serie ! a  "b8
_ B#8
a#8bx
3œ!" es CV
8œ"

4) Realice el desarrollo en serie de MaclaurinÞ

0 aB b œ / # 0 a!b œ "
"B

0 ´ aB b œ / # 0 á!b œ
" "B "
# #
0 ´áBb œ / # 0 ´á!b œ
" "B "
% %
0 ´´áBb œ / # 0 ´´á!b œ
" "B "
) )
0 ´ v aB b œ 0 ´v a!b œ
" "B "
/#
"' "'
0 v aB b œ 0 a!b œ
" "B v "
/#
$# $#
0 v ´ aB b œ 0 a!b œ
" "B v´ "
/#
'% '%

! 0 8 a!b B œ "  " † B  " † B  " † B  " † B  ÞÞÞ
_ 8 # $ %

8œ! 8x # "x % #x ) $x "' %x

! 0 8 a! b B œ " Œ "  B
_ 8 _ 8 8

8œ! 8x 8œ!
# 8x

165



VIRGINIO GOMEZ
Nombre:.............................................................
Carrera:...................................... ..Sección.............

"Ñ #Ñ Sea =/8aB  C b  -9=aC  D b œ "

Obtener :

`D `D
+Ñ ,Ñ
`B `C

#Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular, sin tapa, en un instante dado
son À largo 9 cm., ancho 6 cm. y alto 3 cm. Si el ancho y el alto crecen a razón
de 1 cm/seg. y el largo decrece a razón de 3 cm/seg. Determinar À

a) Rapidez de cambio del volumen.
b) Rapidez de cambio del área total.

$) La densidad 4aBß C baen 51Î7# b en cualquier punto de una placa rectangular
situada en el plano BC es 4aBß C b œ
ÈB
"
Þ
#  C#  $

La distancia se mide en metros.
a1) Obtener la r+zón de cambio de la densidad en el punto a$ß #b en la
dirección del vector unitario ? œ -9= #$ 3  =/8 #$ 4.
1 1

a2) Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de
4aBß C b en a$ß #b

%Ñ Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un
volumen de 480 pies cúbicos. Utilizando multiplicadores de Lagrange
determine las dimensiones de modo que su costo sea el menor posible,
considerando que la base tiene un costo de $5000 por pie cuadrado y las
caras laterales $3000 por pie cuadrado.

166


Pauta de Corrección

Sea =/8aB  C b  -9=aC  D b œ "

VIRGINIO GOMEZ
1Ñ

Obtener :

=/8aB  C b  -9=aC  D b œ "
`D
+Ñ À
`B
-9=aB  C b  =/8aC  D bŒ  œ!
`D

-9=aB  C b
`B
`D
=/8aC  D b
œ
`B

=/8aB  C b  -9=aC  D b œ "
`D
,Ñ À
`C
-9=aB  C b ˆ  "‰  =/8aC  D bŒ "  œ!
`D
`C
=/8aC  D b  =/8aC  D b œ  -9=aB  C b
`D

=/8aC  D b  -9=aB  C b
`C
`D
=/8aC  D b
œ 
`B

2Ñ

6 œ * -7 + œ ' -7 2 œ $ -7

.6 -7 .+ -7 .2 -7
œ $ œ" œ"
.> =/1 .> =/1 .> =/1

+Ñ Z œ 6+2

.Z `Z .6 `Z .+ `Z .2
œ †  †  †
.> `6 .> `+ .> `2 .>

.Z .6 .+ .2
œ +2 †  62 †  6+ †
.> .> .> .>

œ ")a  $b  #(a"b  &%a"b
.Z
.>

.Z
œ #(
.>

-7$
El volumen crece a razón de #(
=/1
,Ñ E œ 6+  #+2  #62

.E È .6 È .+ È .2
œ †  †  †
.> `6 .> `+ .> `2 .>

167


œ a+  #2b  a6  #2b  a#+  #6b
.E .6 .+ .2
.> .> .> .>

VIRGINIO GOMEZ
œ "#a  $b  "&a"b  $!a"b
.E
.>

.E
œ $
.>

-7#
El área total decrece a razón de $
=/1

3)
p p È$
a1) ? œ -9= # 1 3  =/8 # 1 4 Ê ? œ  " 3 
$ $ # # 4

4 aBß C b œ Ê 4 aBß C b œ ˆB#  C #  $‰
È B#  C #  $
" "Î#

4B œ  ˆB#  C #  $‰ a#Bb Ê 4B œ 
" B
aB #  C #  $b$Î#
$Î#
#

4B a$ß #b œ 
$
'%

4C œ  ˆB#  C #  $‰ a#C b Ê 4C œ 
" C
aB #  C #  $b$Î#
$Î#
#

4C a$ß #b œ 
#
'%

f4a$ß #b œ Œ  ß 
$ #
'% '%

H? 4 a$ß #b œ f4 a$ß #b † ?
p

" È$
œŒ ß    ß
# # 
$ #
'% '%
$  #È $
œ
Q +BH? 4 a$ß #b œ mf4 a$ß #bm
"#)
a2)

Q +BH? 4a$ß #b œ Ê
* %
 #
'%# '%

È"$
Q +BH? 4a$ß #b œ
'%

f4 a$ß #b
Ê?œ
È"$ È"$ 
$ #
mf4 a$ß #bm
p p
?œ ß

168


4)

VIRGINIO GOMEZ
Z œ %)! :3/=$
Z œ BCD Ê BCD œ %)!

E œ #BC  #CD  #BD
G œ &!!!a#BC b  $!!!a#CD  #BD b
J aBß Cß Dß -b œ "!!!!BC  '!!!CD  '!!!BD  -aBCD  %)!b

a"b
"!!!!C  '!!!D
JB œ "!!!!C  '!!!D  -CD œ ! Ê -œ 
CD

a#b
"!!!!B  '!!!D
JC œ "!!!!B  '!!!D  -BD œ ! Ê -œ 
BD

a$b
'!!!C  '!!!B
JD œ '!!!D  '!!!B  -BC œ ! Ê -œ 
BC

J- œ BCD  %)! œ ! Ê BCD œ %)! a%b

De a"b y a#b

"!!!!C  '!!!D "!!!!B  '!!!D
 œ 
CD BD
BœC

De a"b y a$b

"!!!!C  '!!!D '!!!C  '!!!B
 œ 
CD BC

"!BC  'BD œ 'CD  'BD
"!B œ 'D

&
BœD
a % b ß a & b y a 'b
$

Ê B œ È#))
& $
BCD œ %)! Ê B † B † B œ %)! Ê B$ œ %)! † $

$ &

Luego, las dimensiones del contenedor serán base B œ È#)) pie à C œ È#)) pie y altura
&È
$ $

Dœ $
$ #)) pie.

169



VIRGINIO GOMEZ
Nombre ..............................................Sección..............

1.- Determine los límites de integración según la región R asombreadab
para:
( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C
V

( ( (
1Î# 1 =/8)
2.- Integre À #-9=# 9 3# . 3 . ) . 9
! ! !

3.- Calcular en Coordenadas Cartesianas, el volumen del sólido limitado por
D œ %  C# y los planos B œ C à C œ #

4.- Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el
cilindro B#  C # œ * ß el paraboloide D œ B#  C # y el plano D œ !

5.- Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los
conos B#  C # œ D # à B#  C # œ $D # y la semiesfera D œ È%  B#  C #

170



Determine los límites de integración según la región R asombreadab

VIRGINIO GOMEZ
".-
para:
( ( .E con .E œ .C.B à .E œ .B.C
V
Para .E œ .C.B

( ( .E œ ( (
" /B
.C.B
V ! ÈB

Para .E œ .B.C

Intersección entre la curva B œ C # y la recta B œ "
B œ C#
Bœ" Ê C# œ " Ê Cœ"
Ê C œ "

Puntos de intersección : a"ß "b à a"ß  "b

Intersección entre la curva C œ /B y la recta B œ !
C œ /B
Bœ! Ê C œ /! Ê Cœ"

Puntos de intersección : a!ß "b

( ( .C.B  ( (
" C# " "
Luego .C.B
! ! ! 68C

( ( ( #-9=# 93# . 3 . ) . 9 œ ( ( -9=# 93$ º
1Î# 1 =/8) 1Î# 1 =/8)
#
#Þ  .) .9
! ! ! ! ! $ !

( ( -9= 9=/8 ) . ) . 9
# 1Î# 1 # $
œ
$ ! !

( ( -9= 9=/8)ˆ"  -9= )‰. ) . 9
# 1Î# 1 # #
œ
$ ! !

( -9= 9Œ  -9=)  -9=$ )º . 9
1
# 1Î# # "
œ
$ ! $ !

(
) 1Î# #
œ -9= 9 . 9
* !

171


( Œ . 9
) 1Î# "  -9=#9
œ
* ! #

VIRGINIO GOMEZ
Œ9  º
1Î#
% =/8#9
œ
* # !

#
œ 1
*

Z œ( ( (
# C %C#
$Þ- .D.B.C
! ! !

Z œ ( ( Dº
# C %C#
.B .C
! ! !

Z œ ( ( Ð%  C # Ñ .B .C
# C

! !

Z œ ( ˆ%B  BC # ‰º .C
# C

! !

Z œ ( ˆ%C  C $ ‰ .C
#

!

Z œ #C #  C % º
#
"
% !

Z œ % a?Þ ./ @Þb
4.- Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el
cilindro B#  C # œ * ß el paraboloide D œ B#  C # y el plano D œ !

Z œ %( ( (
1
# $ <#
<.D.<. )
! ! !

172


Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los
conos B#  C # œ D # à B#  C # œ $D # y la semiesfera D œ È%  B#  C #
&Þ 

VIRGINIO GOMEZ
Z œ %( ( ( 3 =/89 . 3 . 9 . )
1Î# 1Î$ #
#
! 1Î% !

173



VIRGINIO GOMEZ
Nombre:.......................................................................
Carrera: .......................................... Sección: ...........

1) Decida si el siguiente campo vectorial es conservativo en ‘# Þ En caso de serlo
determine su función potencial

J aBß C b œ
B C
3 # 4
B#  C # B  C#

2) Encuentre el rotacional de FaBß Cß D b œ aB/BC  D-9=Cß C/BC  D=/8Cß "  D # b

3) Dada la superficie D # œ  B/BC Þ Obtener la ecuación del plano tangente y
de la recta normal en el punto Ð  " ß ! ß " Ñ

4) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

aB  " b
.C
a)  C œ B#  "
.B

b) a/C  C-9=Bb.B  aB/C  =/8Bb.C œ !

174



VIRGINIO GOMEZ
J aBß C b œ
B C
1) 3 # 4
B# C # B  C#

B `Q #BC
aB #  C # b#
Qœ Ê œ
B#  C # `C

C `R #BC
aB #  C # b #
Rœ  Ê œ
B#  C # `B

`Q `R
`C `B

J œ f0 aBß C b

Q aBß C b 3  R aBß C b 4 œ 0B aBß C b 3  0C aBß C b 4

Luego, por igualdad de vectores, Q aBß C b œ 0B aBß C b ß R aBß C b œ 0C aBß C b

Así,

0B aBß C b œ Î( .B
B
B#  C #

( 0B aBß C b .B œ (
B
.B ? œ B#  C #
B#  C#
.? œ #B.B
( 0B aBß C b .B œ (
.?
#?

0 aBß C b .B œ 68¸B#  C # ¸  G aC b a"b
"
#

0C aBß C b œ  Î( .C
C
B#  C #

( 0C aBß C b .C œ ( 
C
.C ? œ B#  C #
B#  C#
.? œ  #C.B
( 0C aBß C b .B œ (
.?
#?

0 aBß C b .B œ 68¸B#  C # ¸  G aBb a#b
"
#


175


0 aBß C b œ68¸B#  C # ¸  G , donde G aBb œ G aC b œ G
"
#â â
â 5 â
â ` â

VIRGINIO GOMEZ
â â
3 4
<9>aJ b œ â â
` `
â `D â
2)
â BC â
â B/  D-9=C C/BC  D=/8C "  D # â
`B `C

<9>aJ b œ =/8Cß =/8Cß C # /BC  B# /BC  D=/8C ‘

3) D # œ  B/BC
D #  B/BC œ !

0 aBß Cß D b œ D #  B/BC
0 a  "ß !ß "b œ "  "/! œ !

Así el punto a  "ß !ß "b pertenece a la superficie D # œ  B/BC

0B aBß Cß D b œ /BC  BC/BC 0 a  "ß !ß "b œ "
0C aBß Cß D b œ B# /BC 0 a  "ß !ß "b œ "
0D aBß Cß D b œ #D 0 a  "ß !ß "b œ #

Luego
f0 a  "ß !ß "b œ a"ß "ß #b

Plano tangente Recta Normal

a"ß "ß #baB  "ß C  !ß D  "b œ !
B" C! D"
œ œ
" " #

D"
B  "  C  #D  # œ ! B"œC œ
#
B  C  #D  " œ !

4) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

aB  " b
.C
a)  C œ B#  "
.B

.C " B#  "
 Cœ
.B B  " B"

aB  "baB  "b (
"
.C " .B
 Cœ .œ/ B"
.B B  " B"

. œ /68lB"l

176


.C "
 C œB" .œB"
.B B  "

VIRGINIO GOMEZ
( aB  "baB  "b.B  G ‘
"
Cœ
B"

( ˆB #  "‰.B  G ‘
"
Cœ
B"

  B  G‘
" B$
Cœ
B" $

b) a/C  C-9=Bb.B  aB/C  =/8Bb.C œ !

Q œ /C  C-9=B Ê QC œ /C  -9=B
R œ B/C  =/8B Ê RB œ /C  -9=B

0B aBß C b œ ( a/C  C-9=Bb.B

0 aBß C b œ B/C  C=/8B  G aC b ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞa" b

0C aBß C b œ ( aB/C  =/8Bb.C
0 aBß C b œ B/C  C=/8B  G aBb ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞa# b

De a"b y a#b 0 aBß Cb œ B/C  C=/8B  G con G aBb œ G aC b œ G

177


VIRGINIO GOMEZ
Bibliografía

Autor Título Editorial

Thomas/Finney Cálculo con Geometría Analítica Adisson-Wesley

Ayres Frank Cálculo Diferencial e Integral Mc Graw -Hill

Protter-Morrey Cálculo con Geometría Analítica Adisson-Wesley

Louis Leithold El Cálculo con Geometría Analítica Harla

Marsden Jerrold Cálculo Vectorial Adisson Wesley

Spiegel murray Cálculo Superior Mc Graw -Hill

178

Calculo II

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