Este documento presenta 3 problemas de matemáticas relacionados con series de Fourier. El primer problema pide desarrollar una función en una serie de Fourier y usarla para integrar la función. El segundo problema pide desarrollar otra función en una serie de Fourier y derivarla. El tercer problema pide encontrar la suma de una serie numérica dada. El documento fue creado usando software matemático y tiene como propósito evitar plagio u otras discusiones.

1. Universidad De La Amazonia
Parcial 3
Matem´ticas De Control Y
a
Comunicaci´n
o
Author:
Miguel Leonardo
´
Sanchez Fajardo
Supervisor:
˜
Prof. Jorge E. Trivino
Macias
17 de octubre de 2013

2. 1. Para f (x) =
PREGUNTAS

 0, si −π ≤ x ≤ 0

x, si 0 ≤ x ≤ π
a) Escriba la serie de Fourier de f en [−π, π] y pruebe que esta serie
converge a f en (−π, π).
b) Pruebe que esta serie se puede integrar t´rmino a t´rmino.
e
e
c) Use los resultados obtenidos en (a) y (b) para obtener un desarrollo
x
f (t) dt en [−π, π]
en series trigonom´trica para
e
−π
2. Sea f (x) = x sen x , para −π ≤ x ≤ π.
a) Escriba la serie de Fourier para f en [−π, π].
b) Pruebe que la serie se puede diferenciar t´rmino a t´rmino y utilice
e
e
´ste hecho para obtener el desarrollo de Fourier de: sen x + x cos x
e
en [−π, π].
∞
3. Encuentre la suma de la serie
n=1
(−1)n
.
4n2 − 1
SUGERENCIA: Desarrolle sen x en una serie en cosenos en [0, π] y
escoja un valor adecuado de x.
OBSERVACION: El documento fu´ elaborado mediante el software
e
a
EX y las gr´ficas fueron realizadas y editadas mediante Geogeobra 4.2.
Los ejercicios fueron hechos con las f´rmulas del libro Matem´ticas Avano
a
zadas para Ingenieria - Peter O’Neil - 5ta Edici´n con el fin de evitar
o
problemas, mal entendidos (copia del trabajo), discusiones.
A
LT
1

3. 1. Para f (x) =
DESARROLLO

 0, si −π ≤ x ≤ 0

x, si 0 ≤ x ≤ π
a) Escriba la serie de Fourier de f en [−π, π] y pruebe que esta serie
converge a f en [−π, π]. RESPUESTA:
∞
1
bn sen
f (x) = a0 +
2
n=1
1
L
1
=
π
x2
=
2π
π
=
2
u = x;
an =
=
=
=
=
L
f (x) cos
−L
+ an cos
nπx
L
π
f (x) dx
a0 =
1
an =
L
nπx
L
−π
0
1
0 dx +
π
−π
π
x dx
0
π
0
nπx
L
dx
du = dx | dv = cos(nx) dx;
v=
0
π
1
nπx
1
0 cos
dx +
x cos
π −π
π
π 0
π
π
1
1
x sen(nx) −
sen(nx)dx
nπ
0
0 nπ
π
1
cos(nx)
n2 π
0
1
cos(nπ) − 1
n2 π
1
(−1)n − 1 .
2 π
n
2
1
sen(nx)
n
nπx
π
dx

4. bn =
u = x;
1
L
L
f (x) sen
−L
nπx
L
du = dx | dv = sen(nx) dx;
dx.
1
v = − cos(nx)
n
π
1
0 sen(nx)dx +
x sen(nx)dx
π 0
−π
π
π
1
1
x cos(nx) +
=−
cos(nx) dx
nπ
0 nπ 0
π
1
1
π cos(nπ) − 0 + 2
sen(nx)
=−
nπ
n π
0
1
1
= − cos(nπ) + 2
sen(nπ) − 0
n
nπ
1
= (−1)n+1 .
n
1
bn =
π
0
La serie general de fourier para f (x) es:
∞
f (x) =
π
(−1)n+1
(−1)n − 1
+
sen(nx) +
cos(nx)
4 n=1
n
n2 π
Para probar la convergencia de la serie de fourier de f (x) es necesario
comprobar que f sea continua a tramos. Para ello, es necesario graficar
la funci´n dada y comprobar las hip´tesis del teorema de convergencia
o
o
de serie de fourier.
Comprobamos si f (x) es continua a tramos.
3

5. • Comprobamos que tenga un l´
ımite finito de discontinuidades.
En este caso, f (x) tiene un punto de discontinuidad que es x0 = 0.
• Comprobamos que existan los l´
ımites en los extremos. Entonces
+
f (−π ) = 0.
f (π − ) = π.
• Comprobamos que existan los l´
ımites laterales en el punto de discontinuidad.
f (0− ) = 0.
f (0+ ) = 0.
Dado que f (x) cumple las 3 hip´tesis del teorema, podemos decir con
o
seguridad que f (x) es continua a tramos. Luego f (x) converge a la
funci´n Φ que est´ dada por:
o
a
Φ=

 0, −π ≤ x ≤ 0.






 0, x = 0.


 x, 0 < x ≤ π.





 π


 , x ± π.
2
b) Pruebe que esta serie se puede integrar t´rmino a t´rmino.
e
e
RESPUESTA: La serie se puede integrar t´rtmino a t´rmino porque
e
e
f (x) es una funci´n continua a tramos en [−L, L], con serie de Fourier:
o
∞
1
f (x) = a0 +
an cos
2
n=1
nπx
L
+ bn sen
nπx
L
.
c) Use los resultados obtenidos en (a) y (b) para obtener un desarrollo en
x
series trigonom´trica para
e
f (t) dt en [−π, π]
−π
RESPUESTA: Entonces para cada x con −L ≤ x ≤ L:
4

6. x
∞
x
π
dt +
4
n=1
f (t) dt =
−L
−π
x
π
f (t) dt =
4
−L
x
f (t) dt =
−L
∞
x
dt +
−π
π
t
4
n=1
∞
x
+
−π
n=1
x
−π
(−1)n − 1
cos(nt)dt +
n2 π
(−1)n − 1
n2 π
x
cos(nt)dt +
−π
(−1)n − 1
sen(nt)
n3 π
x
+
−π
x
−π
(−1)n+1
sen(nt)dt
n
(−1)n+1
n
x
sen(nt)dt
−π
(−1)n+2
cos(nt)
n2
x
−π
∞
x
π
(−1)n+1 + 1
f (t) dt =
x+π +
sen(nx) + sen(nπ)
4
n3 π
−L
n=1
+
x
(−1)n+2
cos(nx) − cos(nπ)
n2
∞
(−1)n+1 + 1
(−1)n+2
π(x + π)
+
cos(nx) − (−1)n .
f (t) dt =
sen(nx) +
3π
2
4
n
n
−L
n=1
5

7. 2. Sea f (x) = x sen x , para −π ≤ x ≤ π.
a) Escriba la serie de Fourier para f en [−π, π]. RESPUESTA:
∞
f (x) =
1
nπx
nπx
a0 +
bn sen
+ an cos
2
L
L
n=1
π
1
a0 =
L
1
=
π
2
=
π
u = x;
x sen x dx
−π
π
x sen x dx
0
du = dx | dv = sen x dx;
2
π
2
=−
π
2
=−
π
2
=−
π
= 2.
a0 = −
π
+
x cos x
0
2
π
v = − cos x
π
cos xdx
0
2
(π) cos(π) − (0) cos(0) + sen x
π
2
(π) cos(π) + sen(π) − sen(0)
π
π
0
[−π]
1
L
1
=
π
2
=
π
L
an =
u = x;
f (x) dx
−π
π
f (x) cos
−L
π
nπx
L
dx
x sen(x) cos(nx)dx
−π
π
x sen(x) cos(nx)dx
0
du = dx | dv = sen(x(1 ± n)) dx;
6
v=−
1
cos(x(1 ± n))
n±1

8. 1
π
1
=
π
π
x sen(x(1 + n)) + sen(x(1 − n)) dx
an =
0
π
x sen(x(1 + n)) dx +
0
1
π
π
x sen(x(1 − n)) dx
0
π
π
1
1
=−
x cos(x(1 + n)) +
cos(x(1 + n)) dx
π(1 + n)
0 π(1 + n) 0
π
π
1
1
x cos(x(1 − n)) +
cos(x(1 − n)) dx
−
π(1 − n)
0 π(1 − n) 0
π
1
1
=−
(π) cos(π(1 + n)) − (0) cos(0(1 + n)) +
sen(x(1 + n))
π(1 + n)
π(1 + n)2
0
π
1
1
−
(π) cos(π(1 − n)) − (0) cos(0(1 + n)) +
sen(x(1 − n))
π(1 + n)
π(1 − n)2
0
1
1
=−
π cos(π(1 + n)) +
sen(π(1 + n)) − sen(0(1 + n))
π(1 + n)
π(1 + n)2
1
1
−
(π) cos(π(1 − n)) +
sen(π(1 − n)) − sen(0(1 − n))
π(1 + n)
π(1 − n)2
1
1
(π) cos(π(1 + n)) +
=−
sen(π(1 + n))
π(1 + n)
π(1 + n)2
1
1
(π) cos(π(1 − n)) +
sen(π(1 − n))
−
π(1 + n)
π(1 − n)2
1
1
=−
(π)(−1)n cos(π) +
(−1)n sen(π)
π(1 + n)
π(1 + n)2
1
1
−
π(−1)n cos(π) +
(−1)n sen(π)
π(1 + n)
π(1 − n)2
(−1)n+1
.
= 2
n −1
1
L
1
=
π
L
bn =
f (x) sen
−L
π
nπx
L
dx
x sen(x) sen(nx)dx
−π
Como los l´
ımites son sim´tricos y la funci´n es impar dado que x y sen
e
o
son funciones impares y seg´n las f´rmulas
u
o
impar ∗ impar = par
7

9. Pero como son 3 funciones impares entonces
impar ∗ impar ∗ impar = par ∗ impar = impar
Las funciones impares son = 0. Por lo tanto: bn = 0
La serie general de fourier para f (x) es:
∞
f (x) = 1 +
n=1
(−1)n+1
cos(nx)
n2 − 1
b) Pruebe que la serie se puede diferenciar t´rmino a t´rmino y utilice ´ste
e
e
e
hecho para obtener el desarrollo de Fourier de:
sen x + x cos x en [−π, π]
RESPUESTA:
Comprobamos si f (x) es continua a tramos. Para ello, es necesario comprobar si cumple las 3 hip´tesis del teorema.
o
• Comprobamos que tenga un l´
ımite finito de discontinuidades. En
este caso, f (x) tiene cero puntos de discontinuidad.
8

10. • Comprobamos que existan los l´
ımites en los extremos.
f (−π + ) = 0
f (π − ) = 0
• Como f (x) es continua entonces no hay problema en el punto de
discontinuidad.
Por lo tanto, comprobamos que f (x) es continua a tramos. Adem´s
a
f (−π) = f (π). Luego el siguiente paso es encontrar la derivada de
f (x).
f (x) = x cos x + sen x en[−π, π].
Comprobamos si f (x) es continua a tramos.
• Comprobamos que tenga un l´
ımite finito de discontinuidades. En
este caso, f (x) tiene cero puntos de discontinuidad.
• Comprobamos que existan los l´
ımites en los extremos.
+
f (−π ) = 0
f (π − ) = 0
Comprobamos que f (x) es continua a tramos. Despues, comprobamos
la existencia de f (x). Entonces:
f (x) = 2 cos x − x sen x en [−π, π].
Entonces f (x) es igual a la serie de fourier para [−π, π].
∞
f (x) =
n=1
nπx
nπx
nπ
−an sen
+ bn cos
L
L
L
∞
x cos x + sen x = −
n
n=1
9
(−1)n+1
sen(nx)
n2 − 1

11. ∞
3. Encuentre la suma de la serie
n=1
(−1)n
4n2 − 1
SUGERENCIA: Desarrolle sen x en una serie en cosenos en [0, π] y
escoja un valor adecuado de x.
RESPUESTA:
∞
Serie de Cosenos: =⇒
nπx
1
a0 +
an cos
.
2
L
n=1
a0 =
2
π
π
sen(x)dx
0
π
2
cos(x)
π
0
2
= − cos(π) − cos(0)
π
2
= − (1 − 1)
π
=0
=−
10
π
0

12. an =
=
=
=
=
=
=
=
=
2
L
2
π
1
π
1
π
1
π
1
π
1
π
1
π
1
π
L
f (x) cos
0
nπx
L
dx
π
sen(x) cos(nx)dx
0
π
sen(x + nx) + sen(x − nx) dx
0
π
sen(x(1 + n)) + sen(x(1 − n)) dx
0
π
−1
1
cos(x(1 + n)) −
cos(x(1 − n))
1+n
1−n
0
−1
1
1
cos(π(1 + n)) − cos(0) +
cos(π(1 − n)) − cos(0)
1+n
π 1−n
−1
1
1
(−1)1+n − 1 +
(−1)1−n − 1
1+n
π 1−n
(−1)2+n
1
1 (−1)−n
1
+
+
+
1+n
1+n π 1−n
1−n
2+n
−n
(−1)
2 (−1)
+
1+n
1 + n2 1 − n
Serie de Cosenos:
∞
1 (−1)2+n
1
2
(−1)−n
(0) +
+
+
cos(nx)
2
π 1+n
1 − n2
1−n
n=1
∞
n=1
1 (−1)2+n
2
(−1)−n
+
+
cos(nx)
π 1+n
1 − n2
1−n
Si x = π, entonces
∞
n=1
∞
n=1
1 (−1)2+n
2
(−1)−n
+
+
cos(nπ)
π 1+n
1 − n2
1−n
1 (−1)2+n
2
(−1)−n
+
+
(−1)n
2
π 1+n
1−n
1−n
11