sax asxhasbhxbashbxhsbxhbs hbxsbhxbhsbxhsbxh hxbshbxhsahxhsbahx hxsbxhasbhxbashbxahs hxshabxhsbxhbsahbxahsbxhasbxhabshxbas hbxsahbxhasbhxbash

1. Encriptación de la Información

2. ÍNDICE
-DEFINICION Y CARÁCTERÍSTICAS DE ENCRIPTACIÓN
- HISTORIA
- SUSTITUCIÓN
- TRANSPOSICIÓN
- ALGORITMOS SIMÉTRICOS Y ASIMÉTRICOS
- RSA EN HASKELL
-TÉCNICAS MATEMÁTICAS APLICADAS A LA CRIPTOGRAFÍA
- EL FUTURO DE LA CRIPTOGRAFÍA
- REFERENCIAS

3. Criptografía. Definición
Es el arte o ciencia de cifrar y descifrar
información mediante técnicas especiales.
¿Para qué se usa?
- Permitir un intercambio de
mensajes de forma confidencial por
un medio inseguro.
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4. ¿Cómo funciona el cifrado?
Ek : Función para Encriptar (Cifrar)
Dk :Función para Desencriptar (Descifrar)
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5. Historia(I)
Se distinguen varias épocas:
Criptografía clásica:
- Época de los romanos y griegos en campañas militares.
- Algoritmo de sustitución simple y transposición.
- Destaca el Cifrado de César
Criptografía Medieval:
-Ruptura de los cifrados de sustitución.
-Aparición de los cifrados de sustitución múltiple.
(Leon Battista Alberti)
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6. Historia(II)
Claude Shannon: En 1949 publicó “La teoría de la información”
-Establece toda la base teórica de la criptografía y
criptoanálisis.
Segunda Guerra mundial: Máquinas electromecánicas. “Enigma”.
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7. Tipos de Cifrado
Una vez que el emisor y receptor acuerdan
que algoritmo de cifrado usar, se distinguen dos
tipos de cifrado:
Cifrado simétrico:
Si la clave de cifrado y descifrado es la misma.
Cifrado asimétrico:
Se hace uso de dos claves distintas:
Pública: Generalmente para cifrar.
Privada: Generalmente para descifrar.
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8. Métodos de encriptación
de la Información
• Cifrado César
• Código por sustitución de letras
• Código por transposición
• Criptografía de clave secreta.DES
• Criptografía de clave pública. RSA
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9. Cifrado César(I)
Funcionamiento:
- Reemplaza cada letra del alfabeto por otra más adelante en el
alfabeto. Siempre a la misma distancia.
- La clave especifica la distancia.
Ejemplo:
Clave de sustitución: 3
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Para cifrar y descifrar:
Donde n es la clave, x la letra a cifrar y 27 el número de
letras del alfabeto.

10. Cifrado César. Código (II)
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11. Código por Sustitución de Letras(I)
Funcionamiento:
- Reemplaza cada letra del alfabeto por otra.
- La clave especifica el tipo de sustitución.
Ejemplo:
Clave de sustitución:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
I C Ñ H O M T L B S A R Q P E W J F V U K X D Y N Z G
Cifrar:
. EJEMPLO
. HOLA
OSOQJRW
LWRI
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12. Código por Sustitución de Letras(II)
Problema.
Puede romperse fácilmente para textos planos usando la
frecuencia relativa de las letras.
(Ejemplo: la ‘a’ es la letra más usada en español).
Mejora.
Cambiar la sustitución de cada letra de acuerdo con un
patrón periódico (sustitución múltiple).
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13. Código por Sustitución de Letras(III)
Ejemplo. Sustitución múltiple.
Seleccionamos un periodo L. Por ejemplo L=2;
La clave de sustitución sería:
0: A H L O
L O H A
A H L O
O L A H
1:
0 1 0 1
O H H o
O H H O
H O
H O L A
Posición:
T. Cifrado:
T. Plano:
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14. Código por Transposición
Para aplicarlo, se considera el texto en filas de L
(10 por ejemplo) letras cada una, y se envía el texto
columna a columna:
- El código se puede romper probando varias
longitudes de fila distintas.
- Combinando sustitución con transposición se
puede alcanzar una seguridad fiable con algoritmos de
bajo coste computacional.
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15. DES (Data Encription Standard) (I)
Historia
En 1977, el gobierno de EEUU lo adoptó como método de
encriptación para información no clasificada.
Características
Es un cifrado simétrico, caracterizado por:
. Forma de cifrar y descifrar conocidas
. La clave es secreta (desconocida)
Fue desarrollado por IBM, y usa una combinación de
sustituciones y transposiciones.
Existen chips VLSI encargados que realizan este
tipo de cifrado.
Chip VLSI
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16. DES (Data Encription Standard) (II)
¿Cómo funciona?
- Dividimos el texto plano en bloques de 64 bits.
- La clave secreta es de 64 bits:
- 56 bits útiles para el algoritmo
- 8 bits de paridad
- Se divide en 16 fases idénticas denominadas rondas.
- PI y PF son funciones de transposición inversas
entre sí: Facilita carga y descarga de los bloques
sobre el HW.
-La función F mezcla la mitad del bloque con
parte de la clave (subclave). A la salida se
combina con la otra mitad del bloque y se
intercambian.
-Para descifrar las subclaves se introducen en orden
inverso. Pág 16/59

17. DES (Data Encription Standard) (III)
Problema
La seguridad de cualquier cifrado simétrico reside en mantener
secreto de la clave.
Consecuencia
La clave k debe distribuirse de forma segura.
¿Cómo?
- Usando una clave maestra, acordada al reunirse físicamente.
Sirve para transmitirse la clave k. La clave maestra se usa muy rara vez.
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18. Criptografía de Clave Pública
(Algoritmos asimétricos)
A diferencia de los algoritmos simétricos,
ahora vamos a disponer de 2 tipos de claves (por cada usuario) :
- Clave pública
- Clave privada
La clave pública la conoce todo el mundo y la privada es secreta y
va ligado a un usuario.
Es imposible (ó muy difícil) deducir la clave secreta a partir de clave
pública.
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19. Criptografía de Clave Pública
Usuario A Usuario B
E (M)
KPB
D (E (M) ) = M
KPB
KSB
Usuario A Usuario cualquiera
E (M)
KSA
D (E (M) ) = M
KSA
KPA
Confidencialidad :
Firma digital (autenticación):
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20. Comparativa entre
Simétrica y Asimétrica
Simétrico Asimétrico
Más seguro X
Más rápido X
Número de
claves
N*(N-1) 2*N
Problema más
significativo
Distribución de
claves
Velocidad
¿ Qué es lo deseado ?
Combinar la velocidad con la seguridad
 Criptosistemas híbridos Pág 20/59

21. Criptografía de Clave Pública
El algoritmo más conocido es el RSA
Fue desarrollado en 1977. (Rivest, Shamir, Adleman)
Actualmente es el primer sistema criptográfico y el mas utilizado.
Podemos cifrar y firmar digitalmente.
RSA
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22. Algoritmo RSA
Generación de claves
1. Seleccionar dos números primos grandes, p y q,
(típicamente mayores que 10100).
2. Calcular:
n = p x q
z = (p-1) x (q-1) (φ de Euler)
• Este algoritmo se basa en principios de la
teoría de números.
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23. Generación de la Clave Publica
3. Seleccionar un número e:
- Coprimo con z
- Menor que z
Exponente de la clave publica
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24. Pág 24/59

25. Generación de la Clave Privada
3. Seleccionar un número d:
- e*d = 1 mod z
- de-1 divide a φ(n)
Exponente de la clave privada
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26. Pág 26/59

27. Pág 27/59

28. Criptografía de Clave Pública
RSA
Funcionamiento :
a. Considerar el texto plano como una cadena de bits.
Dividirlo en bloques de valor P tales que 0 ≤ P < n. Para ello
agrupar en trozos de k bits, donde 2k < n
b. Cifrar el mensaje haciendo C = Pe mod n
c. Enviar C por el canal
d. Descifrar el mensaje haciendo P = Cd mod n
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29. RSA en Haskell
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30. • Codificar
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31. • Descodificar
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32. Pág 32/59

33. Criptografía de Clave Pública
RSA
Ejemplo del RSA :
P = 61
Q = 53
N = P * Q = 3233
E = 17
D = 2753
Para cifrar M :
C = E (M) = Me mod n = m17 mod 3233
Para descifrar C :
M = D (C) = Cd mod n = c2753 mod 3233
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34.  Primalidad
Determinar números primos grandes de forma aleatoria.
 Factorización
Encontrar la factorización de un número n como producto de
factores primos.
 Cálculo con números grandes
Eficiencia en las operaciones matemáticas cuando se trabaja
con números grandes.
Teoría de Números
Problemas de RSA
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35. Primalidad
 Test de primalidad
Criterio para decidir si un número dado es o no primo.
 Test de la divisiones sucesivas.
 Test de pseudoprimalidad
Criterio para decidir, con un alto grado de probabilidad, si un
número dado es o no primo.
 Test basado en el Teorema pequeño de Fermat.
 Test de Solovay-Strassen
 Test de Miller-Rabin
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Teoría de Números

36. Dado un número impar, consiste en tomar todos los números
impares en el intervalo [3 .. raíz(n)] y comprobar si alguno es
divisor de n.
Test de las divisiones sucesivas
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Teoría de Números

37. Obteniendo números primos grandes
 Usar tablas publicadas
Rápido.
Números pequeños para objetivos criptográficos.
 Generación y test
Generar números aleatorios impares de tamaño grande y
aplicarles un test de pseudoprimalidad.
Teorema de Tchebycheff
La cantidad de números primos menores o iguales que N es
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Teoría de Números

38. Obteniendo números primos grandes
 Generación de números aleatorios de N dígitos
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Teoría de Números

39. Obteniendo números primos grandes
 Generación de primos aleatorios de N dígitos
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Teoría de Números

40. Test de pseudoprimalidad
 Test de Fermat
Si n es primo, entonces para cualquier b con mcd(b,n) = 1, se tiene que:
Números de Carmichael -> son compuestos y verifican la igualdad.
Probabilidad de que un
número no sea primo y
pase el test:
2-k
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Teoría de Números

41. Test de pseudoprimalidad
 Test de Solovay-Strassen
El método consiste en elegir K naturales 0 < b < n aleatoriamente.
Para cada uno de estos números b se calcula:
y
Si estos valores no son congruentes módulo n; entonces el número es compuesto.
Probabilidad de que un número no sea primo y pase el test:
2-k
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Teoría de Números

42. Test de pseudoprimalidad
 Test de Miller-Rabin
 n > 2 impar.
 m: impar n-1 = 2k * m ó
 a: aleatorio [2, n-2]
para algún r: [1, k-1]
http://www.haskell.org/haskellwiki/Prime_numbers
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Teoría de Números

43. Últimos avances
 Algoritmo AKS (2002)
Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena
Departamento de Computación del Instituto de Investigaciones de
Kanpur (India)
Basado en una versión simplificada del Pequeño Teorema de Fermat:
Primer algoritmo determinístico matemáticamente demostrado, de tiempo
polinómico.
Las constantes de la complejidad son muchas más costosas que en los actuales
algoritmos probabilísticos.
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Teoría de Números

44. Factorización
Uno de los ataques contra el algoritmo RSA consiste en descomponer en factores
primos el número n de la clave pública.
 Test de las divisiones sucesivas
 Método del algoritmo de Euclides
 Método de Fermat
 Método de Legendre
 Método rho de Pollard (Monte Carlo) Pág 44/59
Teoría de Números

45. Factorización: Test de las divisiones sucesivas
 Test de las divisiones sucesivas
Mismo procedimiento que para comprobar la primalidad.
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Teoría de Números

46. Factorización: Método del algoritmo de Euclides
 Método del algoritmo de Euclides
Dado un número compuesto n entre dos valores f y g, el método consiste en multiplicar
todos los números primos comprendidos entre f y g, y a continuación aplicar el
algoritmo de Euclides al número n y al producto resultante.
Si n es grande también se requiere mucho tiempo de computación.
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Teoría de Números

47. Factorización: Método de Fermat
 Método de Fermat
¿El número
100895598169
es primo?
Es el producto
de 898423 por
11230, ambos
primos.
Mersenne Fermat
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Teoría de Números

48. Factorización: Método de Fermat
 Método de Fermat
El método consiste en encontrar un cuadrado.
1. Dado n, escoger un x > raiz(n).
2. Calcular x2 – n. Si es un cuadrado hemos terminado, sino:
3. Calcular (x+1)2 – n. Si es un cuadrado hemos terminado, sino:
…
Idea de Fermat
si n = x2 * y2, entonces n puede factorizarse: n = (x+y)*(x-y)
Como x2 > n se tiene que x > raiz(n)
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Teoría de Números

49. Factorización: Método de Legendre
 Método de Legendre
Número de soluciones de la congruencia:
 Números primos -> Soluciones triviales ->
 Números compuestos -> Admite más soluciones.
El método intenta determinar soluciones no triviales a la congruencia.
Como si (x+y) es una solución no trivial, un factor de n se calcula
hallando el mcd(x+y,n).
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Teoría de Números

50. Factorización: Método rho de Pollard
 Método rho de Pollard (Método de Monte Carlo)
Se basa en el algoritmo de la liebre y la tortuga y en:
o x e y son congruentes módulo p con probabilidad 0.5 tras elegir
1.177*raiz(p) números.
o Si p es factor de n, entonces 1 < mcd(|x-y|, n) <= n, ya que p divide
tanto a |x-y| como a n.
Secuencia x
Secuencia y
mcd(|x-y|, n)
Si mcd(|x-y|, n) = n -> Fracaso Pág 50/59
Teoría de Números

51. Trabajando con números grandes.
 El tipo Integer de Haskell
 Números enteros de precisión ilimitada.
 Mismas operaciones que Int.
 Tipo abstracto de datos
Por ejemplo: array de dígitos.
¡ Hay que implementar todas las operaciones!
5 72 0 1 8 9 7 1 3 6 4 0 0 4 5 6 2 7 8 9 6 4 1 2 2 5 1 3
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Teoría de Números

52. Trabajando con números grandes
 Cálculo de potencias modulares
Algoritmo de exponenciación modular
La idea consiste en obtener la representación del exponente n en dígitos binarios
(dt, dt-1, …d2,d1) con dt=1, y hallar los distintos cuadrados sucesivos (mod m) de la
base a: (a1, a2, a4, … a2*t), para después multiplicar módulo m las potencias a2*I
correspondientes a los dígitos binarios di que sean “1”.
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Teoría de Números

53. Trabajando con números grandes
 Máximo común divisor
Más eficiente teniendo en cuenta las propiedades:
x, si y=0
MCD(x,y) =
MCD(y, x `mod` y), otro caso
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Teoría de Números

54. Trabajando con números grandes
 Algoritmo extendido de Euclides
extendedEuclid :: Integer -> Integer -> (Integer, Integer, Integer)
a, b -> (u,v,d)
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Teoría de Números

55. El futuro de RSA
 Romper el código cifrado con RSA buscando la factorización
de n es prácticamente imposible incluso con los
ordenadores de la próxima década.
 Factorizar un número de 500 dígitos necesita 1025 años a
1us por instrucción.
 Cuando se consiga, podríamos elegir números primos
mayores y el sistema volvería a ser seguro.
El futuro de la criptografía
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56. El futuro de la criptografía
 Criptografía Cuántica
Hace uso de los principios
de la física cuántica.
El futuro de la criptografía
Más información en:
http://giq.ifae.es/EducationalMaterial/Cripto.pdf
Criptografía Cuántica.
M. Baig. de la Universidad Autónoma de Barcelona.
Grupo de Física Teórica.
¿Sin mucho futuro?
El nuevo ataque está
basado en las
suposiciones hechas
sobre el tipo de errores
que pueden aparecer en
los mensajes cuánticos.
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57. RSA-HASKELL
Colección de herramientas criptográficas escritas en Haskell para
trabajar mediante línea de comandos.
Referencias
http://netsuperbrain.com/rsa-haskell.html
Generar claves:
 sskeygen
Cifrar un documento:
 ssencrypt friend.public.key message.txt
Descifrar un documento:
 ssdecrypt private.key message.txt.ss
public.key private.key
message.txt.ss
message.txt
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58. Bibliografía sobre Teoría de Números
Referencias
Pág 58/59
G. H. HARDY and
E. M. WRIGHT
Una introducción a la teoría
de números
Primera Edición: 1938

59. Bibliografía sobre Teoría de Números
Referencias
Pág 58/59
RICHARD CRANDALL and
CARL POMERANCE
Prime Numbers: A
Computational Perspective
2ª ed.: 2005

60. Artículos sobre Teoría de Números
Referencias
Pág 58/59
 CARL POMERANCE
• “Computational Number Theory”
• “Prime Numbers and the Search for
Extraterrestrial Intelligence”
• “Primality testing with Gaussian periods”
 COLING RUNCIMAN
• “Lazy wheels sieves and spirals of primes”

61. Bibliografía sobre criptografía y seguridad
Referencias
Pág 58/59

62. Bibliografía
Referencias
http://www.revistasic.com/ Pág 59/59