Este documento describe los cuadrivectores, que son representaciones matemáticas de vectores en cuatro dimensiones en la teoría de la relatividad. Explica que surgen de la idea de que no existe un tiempo absoluto, sino que cada observador tiene su propio tiempo, requiriendo vectores de cuatro dimensiones para describir eventos en el espacio-tiempo. Define varios cuadrivectores clave como la cuadrivelocidad, cuadrimomento, cuadriaceleración y cuadrifuerza. También cubre cuadritensores como el momento angular y campo elect

1. Cuadrivector
Diagrama 1. Apariencia del espacio-tiempo a lo largo de una
línea de universo de un observador acelerado.
La dirección vertical indica el tiempo, la horizontal indica la dis-
tancia espacial, la línea punteada es la trayectoria del observa-
dor en el espacio tiempo. El cuarto inferior representa el conjunto
de sucesos pasados visibles al observador. Los puntos pueden re-
presentar cualquier tipo de sucesos en el espacio tiempo
La pendiente de la línea de universo o trayectoria de la vertical
da la velocidad relativa del observador.
Un cuadrivector es la representación matemática en for-
ma de vector de cuatro dimensiones de una magnitud vec-
torial en teoría de la relatividad.
1 Motivación
Los trabajos de H. A. Lorentz, H. Poincaré, A. Einstein
y H. Minkowski sobre el electromagnestismo clásico lle-
varon a la idea de que no es posible definir un tiempo
absoluto que transcurre de manera idéntica para todos
los observadores con independencia de su estado de mo-
vimiento.
La no existencia de un tiempo absoluto, requería que exis-
tiera una medida de tiempo para cada observador. Así el
conjunto de eventos (puntos del espacio-tiempo) llevaban
de manera natural a definir vectores de cuatro dimensio-
nes:
E = (ct, x, y, z)
Donde las cuatro componentes anteriores representaban
el instante en que sucedía algo y las tres coordenadas es-
paciales donde ocurrían y c es simplemente la velocidad
de la luz (introducida aquí por conveniencia, para que to-
das las coordenadas tengan dimensiones de longitud). Los
experimentos mostraban que cuando diversos observado-
res se ponían a medir sus respectivas coordenadas para el
evento obtenían números diferentes pero éstos guardaban
entre sí cierta relación dadas por unas ecuaciones que más
tarde se llamaron transformaciones de Lorentz.
Esas transformaciones de Lorentz de hecho al ser aplica-
das a las ecuaciones de Maxwell y a la fuerza electromag-
nética que nota una partícula cargada, las dejaban inva-
riantes en forma. Es decir, diversos observadores medían
coordenadas espaciales y temporales diferentes, encon-
traban diferentes medidas para la intensidad de campo
eléctrico y magnético, pero las ecuaciones que relacio-
naban para un mismo observador tenían la misma forma
para todos los observadores inerciales. Matemáticamen-
te esas transformaciones o relaciones de Lorentz invo-
lucran las componentes de las magnitudes vectoriales y
ciertas magnitudes escalares. Un paso importante fue da-
do por Poincaré y Minkowski cuando probaron que las
transformaciones de Lorentz podían ser concebidas co-
mo rotaciones espacio-temporales en un espacio-tiempo
de cuatro dimensiones.
Así cuando Albert Einstein formuló su teoría especial de
la relatividad postuló el principio de covariancia según
el cual las ecuaciones de la física tenían que tener la mis-
ma forma para todos los sistemas de referencia inerciales,
eso añadido a que las componentes de ciertas magnitudes
se relacionaban de acuerdo con las transformaciones de
Lorentz llevaba a considerar vectores y tensores sobre un
espacio vectorial de cuatro dimensiones, tres dimensiones
espaciales y una dimensión temporal.
2 Cuadrivectores en la teoría espe-
cial de la relatividad
El espacio-tiempo de la teoría de la relatividad o espa-
cio de Minkowski (M, η) es plano, eso significa que
existe un difeomorfismo entre R4
. Los cuadrivectores
en este caso se obtienen simplemente añadiendo a las
tres componentes de cualquier magnitud vectorial de la
mecánica newtoniana un “escalar newtoniano” de tal ma-
nera que formemos vectores con tres componentes espa-
ciales (las del vector newtoniano) y una componente tem-
poral (el “escalar newtoniano”), a continuación presen-
1

2. 2 2 CUADRIVECTORES EN LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
tamos la compleción covariante de algunas magnitudes
vectoriales de la mecánica newtoniana:
• Cuadrivector velocidad o cuadrivelocidad. De la
misma manera que la velocidad en mecánica newto-
niana es la derivada temporal de la posición respec-
to al tiempo, en la teoría especial de la relatividad
la cuadrivelocidad es la derivada temporal del cua-
drivector posición respecto al tiempo propio de la
partícula. Dada la relación entre el tiempo coorde-
nado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad
viene dado por:
V = (γc; γvx, γvy, γvz) =(
c√
1− v2
c2
; v√
1− v2
c2
)
∈ R × R3
Donde v = (vx, vy, vz) es la velocidad newtoniana con-
vencional y γ es el factor de Lorentz.
• Cuadrivector momento o cuadrimomento: es el
producto de la cuadrivelocidad por la masa en repo-
so y por tanto viene dado por:
P = mV =
(E
c ; px, py, pz
)
=(
mc√
1− v2
c2
; mv√
1− v2
c2
)
• Cuadrivector aceleración o cuadriaceleración.
Se obtiene como la derivada de la cuadrivelocidad
respecto al tiempo propio, reescribiendo el resultado
en términos de la velocidad v y aceleración a new-
tonianas eso resulta:
A = dV
dτ =
(
γ ˙γc, γ ˙γu + γ2 ˙u
)
=(
v·a
c(1− v2
c2 )2
; (v·a)v
c2(1− v2
c2 )2
+ a
1− v2
c2
)
A = dV
dτ =
(
γ4 v·a
c ; γ4 (v·a)v
c2 + γ2
a
)
• Cuadrivector fuerza o cuadrifuerza. Se define co-
mo la derivada del momento lineal respecto al tiem-
po propio por lo que resulta ser:
F = dP
dτ = (γ ˙γmc, γf) =(
f·v
c
√
1− v2
c2
; f√
1− v2
c2
)
• Cuadrivector de densidad de corriente. En un
sistema de cargas en movimiento se define la den-
sidad de corriente al flujo de carga tridimensional
je como la cantidad de carga que pasa a través de
un punto del espacio por unidad de tiempo y por
unidad de superficie. En relatividad la magnitud
correspondiente se obtiene agregándole la densidad
de carga eléctrica:
J = (ρec, ρevx, ρevy, ρevz) = (ρec, je)
• Cuadrivector de potencial. El potencial es-
calar del electromagnetismo clásico, junto con
el potencial vector, cuyo rotacional da el campo
magnético, forman juntos un cuadrivector dado por:
A = (ϕ, Ax, Ay, Az)
2.1 Cuadritensores en relatividad especial
Además algunas otras magnitudes tratadas en mecánica
newtoniana como pseudovectores o vectores axiales, co-
mo el momento angular y el campo magnético corres-
ponden en mecánica relativista al dual de Hodge de las
componentes espaciales de un tensor antisimétrico:
• Cuadritensor momento angular. Es el producto
tensorial antisimetrizado del cuadrimomento por
un cuadrivector de posición:
L =




0 ctpx − Ex/c ctpy − Ey/c ctpz − Ez/c
Ex/c − ctpx 0 xpy − ypx xpz − zpx
Ey/c − ctpy ypx − xpy 0 ypz − zpy
Ez/c − ctpz zpx − xpz zpy − ypz 0



 =




Puede verse que las 3 componentes espaciales forman
el momento angular de la mecánica newtoniana l =
(Lx, Ly, Lz) y el resto de componentes (rx, ry, rz) des-
criben el momiviento del centro de masas relativista.
• Cuadritensor campo electromagnético:
F =




F00 F01 F02 F03
F10 F11 F12 F13
F20 F21 F22 F23
F30 F31 F32 F33



 =




0 Ex/c Ey/c Ez/c
−Ex/c 0 Bz −By
−Ey/c −Bz 0 Bx
−Ez/c By −Bx 0




2.2 Cuadriescalares en relatividad especial
Además de cuadrivectores y cuadritensores algunas mag-
nitudes relativistas son tensores de orden cero, es decir,
escalares. Entre los escalares relativistas más importantes
están:
• Intervalo de espaciotiempo:
∆s2
= xa
xb
ηab = c2
∆t2
− ∆x2
− ∆y2
− ∆z2
• Tiempo propio (para intevalos timelike):
∆τ =
√
∆s2
c2
, ∆s2
> 0

3. 3
• Masa en reposo:
m2
0c2
= pa
pb
ηab =
E2
c2
− p2
x − p2
y − p2
z
• Invariante electromagnético:
FabFab
= 2
(
B2
−
E2
c2
)
GcdFcd
= ϵabcdFab
Fcd
=
2
c
(
⃗B · ⃗E
)
3 Cuadrivectores en teoría general
de la relatividad
En la teoría general de la relatividad el espacio-tiempo
(M, g) se representa por una variedad pseudoriemannia-
na definida por un tensor métrico que varía de un pun-
to a otro del espacio. Además debido a la curvatura del
espacio-tiempo los espacios tangentes de dos puntos di-
ferentes del espacio-tiempo tienen en general orientacio-
nes diferentes. Eso impide, como pasaba con el espacio
de Minkowski de la relatividad especial, identificar di-
rectamente los puntos de la variedad M con el espacio
vectorial tangente de dicha variedad. Un campo vectorial
sobre un espacio-tiempo curvo es una aplicación que a ca-
da punto de la variedad le asigna un elemento del fibrado
tangente de la variedad:
U : M → TM, U =
Uα
(x)eα(x), x ∈ M
Por eso todos los cuadrivectores y cuadritensores en teo-
ría de la relatividad general en cada punto son elementos
del espacio tangente de ese punto. Eso complica el apa-
rato matemático porque cuando se comparan magnitudes
tensoriales o vectoriales en diferentes puntos del espacio,
los espacios vectoriales tangentes sobre los que están de-
finidos no tienen la misma orientación. Para poder hacer
comparciones entre diferentes puntos, calcular derivadas
de magnitudes físicas, etc, se requiere una conexión ma-
temática que permita definir una derivada covariante, de
tal manera que las magnitudes físicas satisfacen ecuacio-
nes que cumplen con el principio de covariancia.
La cuadrivelocidad y el cuadrimomento en relatividad
general se definen como:
V α
= dxα
dτ , Pα
= mV α
Siendo τ el tiempo propio de la partícula, que en gene-
ral dependerá de la trayectoria seguida por la partícula
(x0
(λ),x1
(λ),x2
(λ),x3
(λ)) mediante la relación:
τf = 1
c
∫ λf
0
−
[
g00
dx0
dλ + g0α
√
g00
dxα
dλ
]
dλ
Por otra parte la cuadriaceleración y la cuadrifuerza
requieren el uso de la derivada covariante y por tanto de
la conexión matemática asociada a la métrica y expresada
mediante los símbolos de Christoffel:



Aα
=
DV α
Dτ
= V β
∇βV α
=
(
dV α
dxβ
+ Γα
µβV µ
)
V β
=
dV α
dτ
+
fα
= mAα
4 Véase también
• Anexo:Glosario de relatividad

4. 4 5 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
5 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
5.1 Texto
• Cuadrivector Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivector?oldid=84861881 Colaboradores: GermanX, CEM-bot, Davius,
Thijs!bot, JAnDbot, Rei-bot, Muro Bot, YonaBot, Kikobot, Alexbot, Axel H, ArthurBot, Manuelt15, Rojasyesid, EmausBot, ZéroBot,
KLBot2, Elvisor, Addbot, Zhisi y Anónimos: 9
5.2 Imágenes
• Archivo:Lorentz_transform_of_world_line.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Lorentz_transform_
of_world_line.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?
5.3 Licencia del contenido
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