Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Eduardo Olivera / Marcial López

1. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
11
Capítulo 2
MAGNETOSTÁTICA EN LA MA-
TERIA.
2.1 Introducción:
En el capitulo anterior consideramos el campo mag-
nético producido por la llamada corriente eléctrica
libre; para mantener la consistencia, los fenómenos
magnéticos en la materia se consideran debidos a las
llamadas "corrientes ligadas" a escala molecu-
lar/atómica, explicables por el modelo atómico de
Bohr. La manifestación material más importante del
magnetismo (el ferromagnetismo) sólo puede expli-
carse correctamente dentro del marco de la Física del
Estado Sólido y la Mecánica Cuántica.
m: momento dipolar magnético equivalente, llamado
momento magnético orbital de un electrón.
e
Carga eléctrica
I
Periodo de Revolución
=
S = área cerrada por la órbita.
Fig 2.1b Cuerpo material
modelado como una región
vacía conteniendo dipolos
magnéticos.
2.2 Vector Magnetización:
Para cuantificar este modelo se define una magnitud
vectorial llamada Magnetización (M); su definición
matemática es la siguiente:
0
1
lim
N
i
V
i V∆ →
=
=
∆
∑
m
M (2.1)a
Donde: 0V∆ → , se debe entender en sentido ma-
croscópico. Es decir que ∆V es pequeño en compara-
ción con el volumen del cuerpo pero grande compa-
rado con las moléculas/átomos (modelo macroscópi-
co)
Luego: d dv=m M (2.1)b
Unidades Amperio/metro
2.3 Potencial Vectorial en la Materia:
El potencial diferencial dA en el punto P es:
0 0
( ) 3 3
( ')
44 '
d d
d
R
µ µ
ππ
−
= =
−
r
m× r r m×R
A
r r
,
0 ( )
( )
'
4
dV
d
R
µ
π
=
r
r
M ×R
A
Si el cuerpo tiene un volumen total V:
( )
( )
'
4 4
o
V
dV
R
µ
π π
= ∫
r
r
M ×R
A (2.2)
Para que esta expresión sea consistente con los resulta-
dos del capítulo anterior se transforma la ec. (2.2) así:
( ')0
( )
( ')0
' '
4 '
'
4 '
V
S
dV
dS
µ
π
µ
π
= +∫
∫
r
r
r
×M
A
r - r
M ×n
r - rÑ
∇∇
(2.3)
Siendo S la frontera de V, comparando la ec. (2.3) con
las ec. (1.11)a y b observamos que:
i) ( ')r×M∇∇ , hace el papel de una densidad vo-
lumétrica de corriente
ii) ( ')rM ×n , hace el papel de una densidad su-
perficial de corriente.
Luego, definimos:
=MJ ×M∇∇ (2.4)
Como densidad volumétrica de corriente de magnetiza-
ción
SMJ = M × n (2.5)
Como densidad superficial de corriente de magnetiza-
ción.
En consecuencia B se calcula igual que en el capitulo 1,
ec. (1. 7) y (1.8) (Ver aplicaciones)
2.4 Potencial Escalar en la materia:
Igual que en sección 2.3 usamos los conceptos del capí-
tulo 1 y la ec. (2.2).
+
átomos
Cuerpo
Material
Modelo del
átomo
Fig. 2.1a
+
e-
r-r'
r'
r
M(r')
dA(r)
dV'
o
Fig. 2.2
Ie
m = IeS
e-
m1
m3
m2
mi
µ0
o
r-r'
r'
r
dV'
Fig. 2.3
dVm(r)
M(r')

2. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
12
( ')
( ) 3 3
'( ')
44 '
m
dVd
dV
Rππ
= =
r
r
M Rm r - r
r - r
gg
Para un cuerpo de volumen total V
( ')
( ) 3
'
4
m
V
dV
V
Rπ
= ∫
r
r
M Rg
(2.2)
Modificando (2.6) por identidades vectoriales se
puede llegar a la expresión
( ')( ')
( )
' ''
4 4
m
S V
dVdS
V
R Rπ π
 −∇ = +∫ ∫
rr
r
MM R gg
Ñ
(2.3)
De donde puede establecerse una analogía formal
entre los potenciales electrostático y escalar magnéti-
co, definiendo:
'M
ρ = −∇ Mg (2.4)
Como densidad volumétrica de carga magnética
(polo magnético)
Mσ = M ng (2.9)
Como densidad superficial de carga magnética (polo
magnético)
Lo que resulta muy útil para la solución de proble-
mas.
2.5 Campo Magnético en la Materia:
B puede hallarse como se dijo en 2.3 dentro y fuera
del volumen del cuerpo. Puede demostrarse que B se
halla en base a Vm, así:
0 mVµ= − ∇B (2.10)
0 0mVµ µ= − ∇ +B M (2.10)
2.5.1 Intensidad de Campo H:
La ec. (2.4) sugiere la introducción de una tercera
magnitud vectorial llamada "intensidad de campo
magnético" H, definido por:
mV= −∇H (2.11)
Con iguales unidades que M (Amperio/metro)
Luego la ec. (2.9) toma la forma:
0 ( ) ( )[ ]µ= +r rB H M (2.12)
Relación constitutiva
Nótese que ( ) 0=rM fuera del cuerpo material.
2.5.2 Ecuaciones fundamentales:
Estas ecuaciones expresan el hecho fundamental que
el campo B es producido tanto por las carga eléctricas
libres como por las corrientes de magnetización (co-
rrientes ligadas)
0 ( )µ= M×B J + J∇∇ (2.13)a
× H = J∇∇ (2.5)b
Que se interpreta en el sentido que la intensidad de
campo H se puede calcular sólo considerando la
corriente eléctrica.
Las formas integrales correspondientes son:
0 0( ) ( )M
S
d d I Iµ µ
Γ
= = +∫ ∫ MB l J + J Sg gÑ
(2.13)c
S
d d I
Γ
= =∫ ∫H l J Sg gÑ (2.13)d
En función del concepto de "polos magnéticos" están las
siguientes ecuaciones diferenciales:
Mρg∇ Η =∇ Η = (2.6)a
2
m MV ρ∇ = − (2.14)b
De donde se tiene la forma integral:
M M
S V
d dV Qρ= =∫ ∫H SgÑ (2.14)c
Notar analogía con la ley de Gauss.
Ejemplo 2.1:
Un imán permanente recto puede modelarse como un
cilindro de radio a y longitud 2L, con magnetización
uniforme M0 en la dirección axial. Hallar Vm en puntos
del eje así como H y B
Solución:
' 0Mρ = −∇ =Mg
0
0
'
0 '
'
M
M z L
a
M z L
σ ρ
− = −

= = =
+ = +
M ng
Superposición:
( )
0
2 2' 0
0
2 2' 0
(2 ' ')1
4 ( ) '
2 ' '1
4 ( ) '
a
m
a
M d
V
z L
M d
z L
ρ
ρ
πρ ρ
π ρ
πρ ρ
π ρ
=
=
= −
− +
−
+ +
∫
∫
2 20
' 0
2 2
' 0
( ) '
2
( ) '
a
m
a
M
V z L
z L
ρ
ρ
ρ
ρ
=
=
 = − + − 
 + +   
2L
a
yx
z
M0azFig. 2.4 a
z' = L
z
z
y
x
-M0
+M0
Elemento
(anillo) de
radio ρ' y
espesor dρ'
Fig. 2.4 b

3. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
13
{
}
2 20
2 2
( )
2
( )
m
M
V z L a z L
z L a z L
 = − + − − −
 
 + + + +
 
2 2 2 20
2
2
2 2 2 20
2
2
2 2 2 20
2
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M
z L a z L a L z L
M
V z L a z L a z z Lm
M
z L a z L a L z L
− + − + + + >
= − + − + + + <
− + − + + − < −
  
  

    

  
  
Notar la continuidad de Vm.
Calcularemos primero H: m
m
dV
V
dz
= −∇ = − zH a
0
2 2 2 22
0
2
2 2 2 22
( ) ( )
( ) ( )
M L z z L
z L
z L a z L a
M L z z L
z L
z L a z L a
− +
+ >
− + + +
=
− +
+ − <
− + + +
  
  
  

 
 
 
az
H
az
Ahora puede hallarse B usando:
0
0 0( )
z L
M z L
µ
µ
 >
= 
+ < z
H
B
H a
Ejemplo 2.2:
Un magneto cilíndrico de gran longitud y radio “a”
está magnetizado perpendicularmente a su eje longi-
tudinal; la magnetización es proporcional a la distan-
cia al eje “y” y perpendicular a la dirección radial.
Sabiendo que M = 10-4
a en la superficie hallar la
expresión de M en coordenadas cilíndricas y carte-
sianas; calcular las densidades de corriente de magne-
tización y los campos H y B.
Solución:
Según enunciado:
4
' 10 'kρ ρ−
= =ö öM a a
Transformando coordenadas:
4
10 '(cos ' sin ' )ρ ϕ ϕ−
= −y xM a a
4
10 ( ' ' )x y−
= −y xM a a
De las ec. 2.4 y 2.5:
4 4
' 10 2 10
' ' '
' ' 0
d d d
dx dy dz
y x
− −
= ∇ × = = ×
−
x y z
M z
a a a
J M a
4 4
' 10 10a a aρ
− −
== × = × = −SM ö ñ zJ M n a a a
Usando la ec. 2.13 c:
Para: r < a 0
S
µ
Γ
=∫ ∫ MB dl J dSg gÑ
4 2
02 (2 10 )( )Bπρ µ πρ−
= ×
4
0 (1 10 )µ ρ−
= × öB a
Para: r > a:
4 2 4
02 (2 10 )( ) (10 )(2 ) 0B a a aπρ µ π π− −
 = × − = 
0∴ =B
Ahora se puede calcular H:
0
0
µ
= − =
B
H M , en todo
el espacio
Ejemplo 2.3:
Cierto magneto (en forma de esfera hueca), posee
M = k r’. Hallar:
a) Densidades de polo magnético
b) H y B en todo el espacio.
Solución:
De la fig. 2.6 se tiene:
'
'
r a
r b
=
=
−
= 
+
r
r
a
n
a
2
2
1
' ( ' ') 3
' '
M
d
r kr k
r dr
ρ
 
= −∇ = − =  
Mg
'
'
M
ka r a
kb r b
σ
− =
= = 
+ =
M ng
Usando la ley de Gauss: ( )M en S
S
Q=∫ H dSgÑ
Para r < a : 0 0MQ = → =H
Fig. 2.5 a
a j
x
y
ajj arr
JM
JSM
y
xFig. 2.5
b
Fig. 2.6
a
b
M

4. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
14
a < r < b :
2
4
S
r Hπ=∫ H dSgÑ simetría esférica
3 3 24
33 ( )( ) 4MQ k r a ka aπ π   = − − −   
Igualando: 2
4
MQ
H kr k
rπ
= = − → = −H r
B < r :
3 3 2 24
3 4 4 03( )( )Q k b a ka a kb bM π π π= − − − + =          
0MQ = (Siempre la MQ total de un cuerpo es cero)
0∴ =H
Para hallar B: 0 ( )µ= +B H M que es cero en el
exterior del magneto y también en el interior porque
( ) ( )'
=r r
M M allí.
Ejemplo 2.4:
Se fabrica un imán en forma de segmento esférico,
con una magnetización uniforme y perpendicular a la
base del segmento. Encontrar B en el centro de la
esfera a la cual pertenece el segmento y cuyo radio es
“a”.
Solución:
' 0= ∇ × =MJ M
0
0
sin 'M θ
= −
= × = 
=
z
SM
ö r
n a
J M n
a n a
De la ec. 1.7 : 0
2
'
4
SMJ
dS
R
µ
π
×
= t Ra a
dB
00
sin ' ( ) 2
sin ' ' '
24
M
a d d
a
θµ
θ ϕ θ
π
× −
=
 
 
 
a aö r
dB
20 0
sin '( ) ' '
4
M
d d
µ
θ ϕ θ
π
= − èdB a , por simetría
sólo existe la necesidad de considerar dBz :
3
0 0 sin ' ' '
4
M d dµ θ ϕ θ
π
=z zdB a
0 2
30 0
' 0 ' 0
sin ' ' '
4
M
d d
θ π
θ ϕ
µ
θ ϕ θ
π = =
= ∫ ∫zB a
30 0
0 02 3cos cos
6
Mµ
θ θ = − + zB a
0µ
=
B
H
Ejercicio: Repetir este problema usando “cargas
magnéticas” y ley de Coulomb.
2.6 Clasificación de la materia por sus
propiedades magnéticas:
2.6.1 Materiales diamagnéticos:
En un material diamagnético los átomos no poseen mag-
netización permanente en ausencia de campo exterior.
0µ=B H
e= − ×F v B
0=∑m
Macroscópicamente, esto resulta en una magnetización
inducida opuesta a B: mχ=M H (2.15)
mχ es una constante negativa y mucho menor que la
unidad, característica de cada material o sustancia.
Ejemplos:
Materiales cm
Bismuto -1.66×10-5
Plata -2.6×10-5
Oro -3.6×10-5
MKSA gausiano( )(4 )χ χ π=
2.6.2 Materiales paramagnéticos:
Sus átomos tienen magnetización permanente, pero no
están alineados, de tal forma que en ausencia de campo
externo su magnetización es cero.
0
0
=
=
∑m
M
0
0
≠
≠
∑m
M
Teóricamente, los dipolos deberían girar hasta ser parale-
los a H; debido a otras interacciones no magnéticas ello
sólo ocurre parcialmente. Vale la ec. 2.15, pero mχ es
positivo y varía con la temperatura.
Ejemplos:
Fig. 2.9
H
r0
r0
Dos electrones en
órbitas iguales
girando en sentidos
opuestos con idén-
tica velocidad
r0r0
F
F
B
Fig. 2.8
Cada electrón experimenta
la fuerza F, una de ellas
aumentará y la otra dismi-
nuirá, entonces
0≠∑m
q 0
M = M0az
z
a
o
Fig. 2.7 a
r’
q’
ar
aqq
y
z
dB
ajj
Fig. 2.7 b

5. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
15
Materiales cm
Magnesio 1.2×10-5
Aluminio 2.3×10-5
Tungsteno 6.8×10-5
De las ec. (2.12) y (2.15)
0 (1 )mµ χ µ= + =B H H
0 (1 )mµ µ χ= + H (2..16)a
0
1r m
µ
µ χ
µ
= = + (2.16)b
Para los materiales aquí tratados (no magnéticos) µ es
aproximadamente constante.
2.7 Ferromagnetismo y los materiales
magnéticos:
Tres sustancias Fe, Co, Ni o aleaciones con estos
elementos tienen átomos que poseen magnetización
permanente, pero tal magnetización no es orbital sino
que se debe al SPIN electrónico. Así pueden tener
magnetismo sin H exterior (M espontánea)
mSPIN puede ser hacia arriba (UP) o hacia abajo
(DOWN); se puede imaginar al electrón como una
esfera cargada en rotación.
Fig. 2.11 Configuración electrónica del átomo de Fe
(26 electrones) por capas
Notar los electrones ferromagnéticos y los electrones
de conducción.
2.7.1 Teoría de los Dominios:
Según el modelo de la fig 2.1b en un material ferro-
magnético las mi con igual dirección determinan
regiones llamadas "dominios magnéticos" (su volu-
men es del orden de 10-8
a 10-12
m3
y contiene de 1017
a 1021
átomos). La formación de tales dominios es
consecuencia del balance entre cuatro energías con el
fin de tener un sistema en el estado de energía míni-
ma total:
Utotal=Uintercambio+Umagnética+Uanisotrópica+Umagnetoestricción
Energía de Intercambio: depende de la interacción SPIN-
SPIN. De acuerdo con el principio de exclusión dos
electrones con igual SPIN no pueden ocupar la misma
región del espacio.
Los electrones de las capas externas de átomos adyacen-
tes tienden a formar pares antiparalelo; notar que en el
caso del Fe los electrones ferromagnéticos están en las
capas interiores, lo que les impide formar dichos pares.
Esta energía es mínima cuando las m son paralelas.
Energía magnetostática: Esta energía está en el campo H
que produce el material fuera de él (Cap. 5); es mínima
cuando las líneas de fuerza de M son continuas.
Un bloque uniformemente magnetizado (SPINs parale-
los) minimiza la energía de intercambio pero maximiza
el campo H y la Umagnetostática. Fig. 2.13
La división en 2 dominios minimiza la Umagnetostática.
Energía anisotrópica: La anisotropía magnética es la
preferencia de los momentos magnéticos para alinearse
con los ejes del cristal.
Un cristal de Fe colocado entre los polos de un imán se
alinea paralelo a alguno de sus ejes [001] para minimizar
la energía Fig. 2.14 a
Para minimizar la energía anisotrópica la configuración
de 2.13c, adquiere dominios discretos.
Fig. 2.14b
mSPIN
Fig. 2.10
ω
-e
NK L M
1s2
2s2
3s2 4s2
2p6
3p6
3d2
4e-
no
apa-
rea-
dos
Par antiparalelo (mneto = 0)
Par paralelo (mneto ≠ 0)
Fig. 2.12
+
-
M
Pared de
Bloch
Fig. 2.13b
M
Fig. 2.13a
Fig. 2.13c
Arreglo de materiales
magnéticos en lazo
cerrado
(dominio continuo)

6. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
16
Energía de magnetoestricción: Este fenómeno consis-
te en la deformación de un cristal para aliviar el es-
fuerzo mecánico que experimenta en un campo mag-
nético; si un cristal es comprimido su magnetización
también se afecta.
2.7.2 Curva de Magnetización:
Para una relación práctica entre B y H en los materia-
les ferromagnéticos altamente no lineales se usa la
gráfica conocida con este nombre.
Asumiendo sección recta S pequeña comparada con
ρ0 (radio medio):
02
mNI
H B
Sπρ
Φ
= → =
Un fluxímetro permite medir mΦ y calcular B; así se
obtiene pares de valores (B,H) para cada valor de Idc.
El anillo debe ser previamente calentado (recocido)
para asegurar que Minicial = 0
Curva de magnetización típica del Fe
( )0µ= +B H M permite hallar la M correspondiente.
El tramo de 1 a 2 es casi lineal.
(a) (b) (c) (d)
(a) 0, 0i= =∑H M
(b) Hasta el punto 2 se tiene la magnetización por cre-
cimiento del dominio. (proceso reversible), región
de fácil magnetización.
(c) A partir del punto 2 se produce la magnetización por
rotación de dominio (irreversible), difícil magneti-
zación
(d) Al llegar al punto 3 M alcanza Msat.
2.7.3 Lazo de Histéresis:
La excitación del anillo de Rowland con Iac se obtiene el
llamado "lazo de histéresis".
 Curva principal (de saturación)
Curvas secundarias
… Curva de magnetización normal
Br = inducción retentiva o remanente
Hc = intensidad coercitiva
Este proceso de magnetización periódica consume ener-
gía, que se manifiesta como calor (pérdidas por histére-
sis); se tratará en el capítulo 5.
Fig. 2.14 a Dura
[001]
[011]
[111]
Fácil
Media
Cristal B.B.C. de Fe
Fig. 2.14b
No magnetizado Compresión
Tracción
Resultado final del
balance magnético
para alcanzar el
mínimo.
Fig. 2.15
Muestra de Fe en
forma toroidal
(anillo de Rowland)
Fig. 2.17
ρ0
Fig. 2.18 a
3
2
1
B
Bsat
Hsat
H
H H
Fig. 2.18 b
100 200 600Fig. 2.18 c
H(A/m)
B(Wb/m
2
)
0.2
1.1
1.5 Para el Fe al Si
(96% Fe y 4% Si)
µr ≈ 7000
Fig. 2.19
Br
Hc
B
H

7. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
17
0
ar
B
H
µ
µ
= de amplitud
0
pr
B
H
µ
µ
∆
=
∆
incremental
0 0
0
limr
H
B
H
µ
µ→
= inicial
Ejemplo 2.5:
Determinar la µr de una cáscara cilíndrica de Fe cola-
do (CAST IRON) muy larga, en el sistema de la fig.
2.21 a
El campo H es: 0.03 478A/m
2
m
I
H ρ
πρ
== =
Tanto en el aire como en el fierro.
De la curva en la Fig 2.21 b para H = 478 A/m tene-
mos: B = 0.31 Wb/m2
; entonces:
7
0
0.31
516
4 10 478ar
B
H
µ
µ π −
= = =
×
Ejemplo 2.6:
Circuitos magnéticos con imanes permanentes
Solución:
0
abcda
d =∫ H lgÑ
abc cda
d d= −∫ ∫H l H lg gÑ Ñ
Nótese que en el tramo abc vale una relación lineal:
ctem BAµ= → Φ = =B H
m
abc cda
dl
d
Aµ
Φ = −∫ ∫ H lg
m abc mH lmΦ = −Â
( )m abc mB Am H lm i= − →KÂ
De la fig. 2.22 a:
{ {
( )
0 0
piezas gap
polares
g gi
abc
i i g g
l ll
ii
A A Aµ µ µ
= + ; KÂ
Reemplazando (ii) en (i): 0
g
g
m m
lmA
B H
l Am
µ
 
= −  
 
Recta desmagnetizante
Notar la determinación del "punto de trabajo" usando la
recta desmangnetizante sobre la "curva de desmagnetiza-
ción" del P.M.
La cifra o figura de mérito importante para un P.M. es el
producto m mH B ; debe ser lo mayor posible. Para el
Alnico 5
3
para30,000Jm , 1TmáxBH B−
≈ ;
Para conservar bien un P.M.
Ejemplo 2.7:
Un transformador de poder diseñado correctamente para
operar a 110V, 440 Hz. ¿operará bien a 110V, 60 Hz?
Asumimos:
0 senm tωΦ = Φ
1
H (A/m)
2500
µr = 100
µr = 10
µr maxB (T)
Fig. 2.20
Fig. 2.21 a
I = 90A
0.2 cm
3 cm
1 m
Fig. 2.21b
H(A/m)
B(Wb/m
2
)
SN
b
lm
P.M.
a cd
Am: Sección
recta de PM
Fig. 2.22 a
Bm
Hm
H
B
Fig. 2.22b
N S
HB
N S
Fe dulce (keeper)
Así el H des-
magnetizante
decrece
Fig 2.22 c
Fig. 2.23
a
I1
+V1
-
N S
Φm

8. Radiación y Propagación Electromagnética I U.N.I. Eduardo Olivera / Marcial López
18
0fem cosmd
N N t
dt
ω ω
Φ
= = Φ
0(2 )
4.44
2
RMS máx
N f
V Nf SB
π Φ
= =
Como el VRMS no cambia, luego si la frec. decrece
Bmáx debe aumentar en el factor de 440/60 = 7.33
Apéndice:
( )
( )
µ
µ
= 

∆
= 
∆ 
H
H
B H
B
H
(2.7)a y b
Se observa que el proceso no es lineal y µ es función
de H µ = µ(H) normalmente es tomada como la pen-
diente de la curva ( )µ µ= =H
dB
dH
Aplicación de H alterna a un material magnético:
02
m
NIS
r
µ
π
Φ = , donde 02 r lπ = (l = longitud
media del anillo)
Así m
S
NI
l
µ 
Φ =  
 
, equivalente a la ley de Ohm
La constante de proporcionalidad entre Φm y NI se llama
“permeancia magnética”
S
P
l
µ
=
Su recíproco es la reluctancia magnética
1 l
R
P Sµ
= =
El producto NI es análogo a un voltaje eléctrico y se
denomina “fuerza magnetomotriz” F NI=
Con unidades A×Vuelta.
Sea el siguiente un circuito magnético
i
i
i i
l
R
Sµ
=
Las leyes de Kirchof son:
1 1
n n
i i mi
i i
F R
= =
= Φ∑ ∑
(Malla magnética)
1
0
n
mi
i=
Φ =∑
(Nodo magnético)
Con este método se calculan los valores promedios de las
magnitudes.
B (Wb/m2
)
1.6
1.2
0.8
0.4
µµ/µµo
6000
4500
3000
1500
200 400 600 800
µµ/µµo
B
Fig. 2.24 Curva de Magnetización del material
H (A/m)
Cte
µ
H
Fig. 2.25
I2
I1
N1
N2
µ3
µ2
µ4
µ1
Fig. 2.26 a
N1I1
+ N2I2 -
R1
R2
R3 R4
+
_
Φm2
Φm1
Fig2.26b
En el caso opuesto
(bien diseñado para
60 Hz), Bmáx debe
decrecer el mismo
factor, el transfo
"tiene mucho Fe"
para 440 Hz, debe
reducirse S
60Hz 400Hz
Al transfo le falta
Fe para funcionar
a 60 Hz; debe
aumentarse S
60Hz400Hz
Fig. 2.23