Ecuaciones en Derivadas Parciales

Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Curso de Introducción
José C. Sabina de Lis
La Laguna, 26 de septiembre de 2014

Índice general
INTRODUCCIÓN vi
1. Algunas Edp’s de referencia 1
1.1. Definiciones básicas. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . 1
1.1.1. Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . 1
1.2. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Ecuación del transporte simple . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes . . . . . . . . 5
1.2.3. Ecuación de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4. Funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6. Introducción a los coeficientes variables . . . . . . . . . . 8
1.3. Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5. Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de ecua-
ción cuasilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.6. El problema de Cauchy: generalidades . . . . . . . . . . . 15
1.4. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. La Ecuación de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1. La ecuación de las ondas unidimensional . . . . . . . . . . 18
1.5.2. Ecuación de las ondas bidimensional . . . . . . . . . . . . 24
1.6. La Ecuación del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.1. La ecuación del calor n-dimensional . . . . . . . . . . . . 32
1.7.2. Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2. Primer orden 47
2.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iii

iv ÍNDICE GENERAL
2.3. La ecuación general de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5. Integrales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6. Lagrange-Charpit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3. El problema de Cauchy 75
3.1. Funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. El problema general de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3. Teorema de Cauchy-Kowalevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4. Ecuación de ondas 93
4.1. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Transformación de operadores de segundo orden . . . . . . . . . 95
4.3. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1. Operadores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2. Operadores con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 103
4.4. Ecuación de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1. El problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.2. Velocidad de propagación finita de las perturbaciones . . 106
4.4.3. Soluciones generalizadas. Propagación de discontinuidades 107
4.4.4. Soluciones simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.5. El problema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos . . . . . . 116
4.5.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos . . . . 118
4.5.4. Problemas de contorno perturbados . . . . . . . . . . . . 120
4.6. Problemas semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.1. Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.2. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7. Ecuación de ondas n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7.2. Medias esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3 . . . . . . . . 127
4.7.4. Propagación de ondas en el plano n = 2 . . . . . . . . . . 130
4.8. El caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8.1. Dimensiones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8.2. Método del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . . 134
4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

ÍNDICE GENERAL v
5. Ecuación del calor 147
5.1. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2. El problema perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3. No unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4. Soluciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5. Problemas de valor inicial y contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6. Principios del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.7. Principios del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.8. Soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6. Series de Fourier 173
6.1. Series de Fourier: introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3. Series de Fourier: primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4. Resultados de convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5. Cuestiones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.6. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.7. Fenómeno de Gibb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.8. Teorema de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7. Separación de Variables 199
7.1. Ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2. Función de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4. Ecuación de ondas amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.5. Problemas no homogéneos: función de Green . . . . . . . . . . . 207
7.5.1. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.5.2. Propiedades del operador solución . . . . . . . . . . . . . 212
7.6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8. Ecuación de Laplace (n = 2) 225
8.1. Fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.1.1. Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.1.2. Deducción geométrica de la fórmula de Poisson . . . . . . 230
8.1.3. Problema de Dirichlet en un rectángulo . . . . . . . . . . 232
8.2. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3. Singularidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

vi ÍNDICE GENERAL
9. Ecuación de Laplace (Rn
) 247
9.1. Identidades de Green. Solución fundamental . . . . . . . . . . . . 247
9.2. Propiedades de las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.3. Ecuación de Laplace en la bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.4. Funciones armónicas: propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.5. Método de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.6. El semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.7. La ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A. Funciones diferenciables 269
B. Series Múltiples 273
C. Superﬁcies. Integrales de superﬁcie 277
D. Diferenciación bajo el signo integral 285
BIBLIOGRAFÍA 287

Introducción
Estas son unas notas “dinámicas” sobre ecuaciones en derivadas parcia-
les(“edp’s” en lo que sigue), es decir, en continua remodelación. Al estar colgadas
en la red nos podemos permitir ese lujo. Disculpe el posible lector el número
inmoderado de erratas tipográficas y algunas de las otras (que he tratado de
disipar hasta el exterminio con el paso del tiempo).
Las edp’s dan al estudiante de matemáticas la impresión –ese fue al menos
mi caso– de materia caprichosa. Se aplica un enorme esfuerzo al estudio de tres
“meros” casos particulares de segundo orden. Esto, en mis tiempos, donde la
carrera ponía gran énfasis en materias tan abstractas como la topolgía gene-
ral o el cáculo diferencial en espacios de Banach, resultaba desolador para el
principiante.
Otro agravante, cada pequeño avance en el análisis de estas ecuaciones (v. g.
de “coeficientes constantes” a “coeficientes variables”) supone un esfuerzo consi-
derables incluso en las situaciones más humildes (v. g. la ecuación de ondas con
velocidad variable). Como subrayaba mi querido profesor de entonces, Carlos
Fernández Pérez, nada que ver con las “ode’s” donde teoremas de existencia,
unicidad y dependencia continua se formulan limpia y concisamente desde el
principio.
Pues bien, en lo que aquí se expone, más de lo mismo. . . . Las lecciones
que siguen tratan de imitar las que hace ya muchos años recibí sobre edp’s.
Las actuales materias de licenciatura/grado contemplan metas mucho menos
ambiciosas (en la generalidad de los centros se estudia muy poco de edp’s). Tras
la lectura del índice resulta evidente que hay temas suficientes para surtir varias
de estas nuevas asignaturas.
Es un placer reconocer las deudas contraídas en la redacción de estas notas.
La científica espero haberla saldado unas líneas atrás. Sobre textos, un buen
número de los ejercicios provienen de [21]. Ya de estudiante, el de Folland [9]
me resultó siempre muy sugestivo. Por su cuidada exposción y detalle en los
cálculos, [16] ha sido siempre un importante pilar para mi docencia. Nada se
trata aquí sobre soluciones débiles. Si ese fuese el caso, aparte de [16] los textos
de [1] y [5] serían de referencia obligada.
Espero que el lector saque el mejor provecho de este manuscrito virtual.
José C. Sabina de Lis (http://josabina.wbs.ull.es)
La Laguna 26 de septiembre de 2014.
vii

Capítulo 1
Algunas ecuaciones de
referencia en la teoría
1.1. Deﬁniciones básicas. Ecuaciones de primer
orden
1.1.1. Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordina-
rias
Una función
F : R × Rk+1
−→ R
(t, y0, . . . , yk) −→ F(t, y0, . . . , yk),
deﬁne la ecuación diferencial ordinaria de orden k,
F(t, x, x′
, . . . , x(k)
) = 0. (1.1)
Se dice que x = x(t), x : J ⊂ R → R, J un intervalo, x diferenciable, es una
solución de (1.1) si,
F(t, x(t), x′
(t), . . . , x(k)
(t)) = 0,
para cada t ∈ J.
El marco de referencia para el que se hace la teoría de las ecuaciones (1.1)
corresponde al caso en que F tiene la estructura:
F(t, y0, . . . , yk) = yk − f(t, y0, . . . , yk−1),
y (1.1) se puede escribir en la forma que se suele llamar “normalizada”:
x(k)
= f(t, x, . . . , x(k−1)
). (1.2)
1

2 CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA
En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudian la “teoría” y “apli-
caciones” de la ecuación (1.2).
Los hechos teóricos más significativos se pueden describir en los siguientes
términos:
• Bajo condiciones muy generales sobre f = f(y0, . . . , yk−1) la ecuación
(1.2) admite infinitas soluciones.
• Se pueden hallar soluciones de (1.2) que satisfacen condiciones adicionales
“prefijadas” en un instante arbitrario t0.
Esto sugiere que bajo condiciones adecuadas el conjunto de soluciones de
(1.2) es finito dimensional.
El siguiente resultado –que lleva asociado los nombres de Cauchy, Peano,
Lipschitz y Lindelöff– resume los aspectos fundamentales de las ecuaciones dife-
renciales ordinarias. Como se tratará de explicar en el presente curso no existe
una contrapartida para ecuaciones en derivadas parciales –salvo que se impon-
gan condiciones muy restrictivas– del mismo.
Teorema 1.1. Si la función f es continua, el problema (llamado de valor inicial
o de Cauchy), 


x(k)
= f(t, x, . . . , x(k−1)
)
x(t0) = ξ0
...
x(k−1)
(t0) = ξk−1,
(P)
admite al menos una solución no prolongable (x, J), J = (α, ω), para cada
(t0, ξ0, . . . , ξk−1) ∈ R × Rk
.
Si f es además localmente Lipschitziana en (y0, . . . , yk−1) (por ejemplo si
∂f
∂y0
,
. . . ,
∂f
∂yk−1
existen y son continuas) tal solución es única.
Observaciones 1.1.
a) El problema de Cauchy está inspirado en el principio determinista de Galileo
según el cual el comportamiento futuro de una partícula queda determinado por
su velocidad y posición iniciales. En el caso unidimensional se estaría hablando,
por ejemplo, del problema de valor inicial:



x′′
= f(x)
x(t0) = x0
x′
(t0) = v0.
Revísese el caso del oscilador armónico f(x) = −x. La solución del problema
precedente es x(t) = x0 cos(t − t0) + v0 sen(t − t0).

1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 3
b) La teoría se desarrolla de una forma más simétrica en formato n dimensional.
Se consideran campos F = F(t, u), F : R×Rn
→ Rn
con lo que u : J ⊂ R → Rn
y el problema (P) adopta la forma:
{
du
dt = F(t, u)
u(t0) = u0.
La ecuación (1.2) se escribe en forma equivalente como,



u′
1 = u2
...
u′
k = f(t, u1, . . . , uk),
en donde x(t) = u1(t).
c) Una cuestión nada trivial es la determinación del intervalo máximo (α, ω)
de existencia. Si por ejemplo ω < +∞ la solución sufrirá con toda seguridad
una singularidad en t = ω. Como en el caso u′
= u2
este tipo de singularidades
(comúnmente llamadas de tipo “blow-up”) no se detectan en el segundo miembro
de la ecuación.
Como balance final podemos afirmar que una ecuación diferencial ordinaria
admite, bajo condiciones muy poco restrictivas, infinitas soluciones. Las solu-
ciones se determinan con unicidad cuando se imponen condiciones iniciales.
Ejercicio 1.1. Se define x(θ)
= |x|θ−1
x, θ > 0. Para x ̸= 0 prúebese que (x(θ)
)′
=
θ|x|θ−1
, (|x|θ
)′
= θx(θ−1)
, mientras
(
x(θ)
)−1
= x(1/θ)
. Discútase con todo detalle
la existencia y unicidad de soluciones para el problema,
{
x′
= |x|θ
x(t0) = x0.
Nos ocuparemos en lo que sigue de la discusión de diversos aspectos elemen-
tales de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales.
1.2. Ecuaciones de primer orden
Se considera la función,
F : Ω × R × Rn
−→ R
(x, z, p1, . . . , pn) −→ F(x, z, p1, . . . , pn),
donde Ω ⊂ Rn
es un dominio (conjunto abierto y conexo).
Definición 1.2. Una función u ∈ C1
(Ω) define una solución de la ecuación en
derivadas parciales de primer orden:
F(x, u, ∇u) = 0,
si F(x, u(x), ∇u(x)) = 0 para cada x ∈ Ω.

Ejemplos 1.2.
a) Cuando F(x, z, p1, . . . , pn) =
∑n
i=1 ai(x)pi + a0(x)z − f(x) es lineal en (p, z)
la ecuación (1):
n∑
i=1
ai(x)
∂u
∂xi
+ a0(x)u = f(x),
se llama lineal.
b) Si F(x, z, p1, . . . , pn) =
∑n
i=1 ai(x, z)pi −b(x, z) sólo es lineal en p, la ecuación:
n∑
i=1
ai(x, u)
∂u
∂xi
= b(x, u),
se llama cuasilineal.
c) Una ecuación no englobada en los casos anteriores se llamará fuertemente no
lineal. Por ejemplo la así denominada ecuación eikonal (ecuación de la óptica
geométrica):
|∇u|2
= c2
,
donde c es la velocidad de la luz.
En los siguientes ejemplos se efectúa una prospección de cómo responden las
ecuaciones de primer orden a las cuestiones de existencia y número de solucio-
nes así como a la posibilidad de imponer condiciones adicionales de tipo “valor
inicial”.
1.2.1. Ecuación del transporte simple
Toma la forma,
ut + cux = 0. (1.3)
Admite como soluciones en R2
a los llamados frentes de onda (“travelling wa-
ves"),
u(x, t) = h(x − ct),
donde se conoce a c como velocidad de propagación.
Como en el caso de las edo’s, un problema de Cauchy permite determinar
todas las soluciones de (1.3). A tal efecto es más sugestivo escribir (1.3) en la
forma,
ut = −cux,
e imaginarse que el valor inicial es toda una función de x mientras que el “lugar”
de los datos iniciales es, en vez de un punto, todo el eje x.
Teorema 1.3. Para cada φ ∈ C1
(R) el problema,
{
ut + cux = 0
u(x, 0) = φ(x)
sólo admite u = φ(x − ct) como solución.
Demostración. Basta probar que las soluciones se conservan sobre las rectas
x = x0 + ct.

1.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes
La ecuación:
a1ux + a2uy + a0(x, y)u = f(x, y),
ai ∈ R constantes, de la que la del transporte es un caso particular, puede
tratarse por métodos absolutamente elementales.
El caso más sencillo a2 = 0,
{
a1ux + a0(x, y)u = f(x, y)
u(w1s, w2s) = φ(s),
admite inmediatamente como solución:
u(x, y) = h(y)e−
∫ x
0
a0(t,y)
a1
dt
−
1
a1
∫ x
0
e−
∫ x
t
a0(τ,y)
a1
dτ
f(t, y) dt,
en la que h se determina resolviendo la ecuación:
φ(s) = h(w2s)e−
∫ w1s
0
a0(t,w2s)
a1
dt
−
1
a1
∫ w1s
0
e−
∫ w1s
t
a0(τ,w2s)
a1
dτ
f(t, y) dt. (1.4)
Se observa inmediatamente que (1.4) se puede resolver para φ’s arbitrarias siem-
pre que w2 ̸= 0.
El caso general:
{
a1ux + a2uy + a0(x, y)u = f(x, y)
u(w1s, w2s) = φ(s),
se puede tratar por reducción al caso anterior. Como v = (a1, a2) ̸= (0, 0)
basta con transformar las coordenadas para anular uno de los coeficientes de las
derivadas de primer orden. En otras palabras, la ecuación se puede escribir,
∂u
∂v
+ a0u = f,
y basta elegir nuevas coordenadas x′
, y′
para que ∂u/∂v = ∂u/∂x′
. Por ejemplo,
(x, y) = x′
v + y′
w w = (−a2, a1) .
Es decir, (
x
y
)
=
(
a1 −a2
a2 a1
) (
x′
y′
)
,
(
x′
y′
)
=
1
a2
1 + a2
2
(
a1 a2
−a2 a1
) (
x
y
)
.
La ecuación transformada adopta la forma,
˜ux′ + ã0(x′
, y′
)˜u = ˜f(x′
, y′
),

donde,
ã0 = a0(a1x′
− a2y′
, a2x′
+ a1y′
) ˜f = f(a1x′
− a2y′
, a2x′
+ a1y′
),
mientras,
u(x, y) = ˜u(|v|−2
(a1x + a2y), |v|−2
(−a2x + a1y)).
La condición inicial se transforma en,
˜u(|v|−2
(a1w1 + a2w2)s, |v|−2
(−a2w1 + a1w2)s) = φ(s).
1.2.3. Ecuación de Burgers
Una magnitud fundamental para describir el comportamiento de un fluido
es el campo de velocidades. Si se busca el campo de velocidades u = u(x, t) de
un fluido unidimensional, x ∈ R, de forma que cada partícula fluida se mueve
con velocidad constante, se llega a la ecuación:
ut + uux = 0.
Es similar a la del transporte simple con la particularidad de que la velocidad
de propagación c queda reemplazada por la propia función incógnita u. Para la
resolución del problema de valor inicial:
{
ut + uux = 0
u(x, 0) = φ(x),
(P)
φ ∈ C1
(R), puede intentarse –por analogía con el caso anterior– la ecuación
implícita,
u = φ(x − ut). (E)
Se comprueba inmediatamente que si tal u existe, u resuelve (P). Por otro lado,
el teorema de la función implícita permite asegurar la existencia de una única
solución u de (E) definida en un entorno U de t = 0 que cumple la condición
u(x, 0) = φ(x). Podemos enunciar así el siguiente resultado.
Teorema 1.4. El problema (P) admite una única solución u ∈ C1
(U) en el
sentido de que si u1 ∈ C1
(U1) es otra solución con U1 ⊃ U, u = u1 en U.
Demostración. La unicidad consiste en probar que toda posible solución v =
v(x, t) satisface la ecuación funcional (E). Para ello recordamos que las partículas
fluidas tienen velocidad constante. Es decir, si resolvemos:
{
x′
= v(x, t)
x(0) = x0,
se tiene que v(x, t) = v(x0, 0) sobre la solución x = x(t). Pero v(x0, 0) = h(x0)
mientras x(t) = x0 + h(x0)t. Por tanto v(x, t) = h(x0), luego:
v(x, t) = h(x − vt),
que era el objetivo.

1.2.4. Funciones radiales
Una función u ∈ C1
(R2
{0} se dice radial si u = h(r), r =
√
x2 + y2.
Satisfacen la ecuación:
yux − xuy = 0 (x, y) ∈ R2
{0}.
Otra vez, un problema de valor inicial permite caracterizar sus soluciones.
En el siguiente resultado la sugerencia es observar la ecuación como un pro-
blema de primer orden en y donde el dato inicial se toma en una curva “trans-
versal” a la dirección con respecto a la que se deriva.
(R+
) el problema:
{
xuy = yux
u(x, 0) = φ(x),
admite una única solución, que es radial.
Demostración. La unicidad es consecuencia de la conservación de las soluciones
sobre las circunferencias r = r0.
1.2.5. Funciones homogéneas
Una función u ∈ C1
(Rn
{0}) se dice homogénea de grado α si:
u(tx) = tα
u(x) ∀t > 0.
Derivando con respecto a t:
n∑
i=1
xi
∂u
∂xi
(tx) = αtα−1
u(x),
y haciendo t = 1 se llega a la ecuación (denominada) de Euler,
n∑
i=1
xi
∂u
∂xi
= αu.
Es fácil decidir qué tipo de comportamiento exhiben las soluciones sobre los
semirayos x = tx0, t > 0.
Teorema 1.6. El problema de Cauchy,



∑n
i=1 xi
∂u
∂xi
= αu
u(x) = φ(x) |x| = 1,
admite para cada φ una única solución que es una función homogénea.

Demostración. Para x fijo el grupo t−α
u(tx) se conserva en t para las soluciones
de la ecuación de Euler.
Observación 1.3. Nótese que la condición inicial determina ella sola una única
función homogénea de grado α:
u(x) = |x|α
φ
(
x
|x|
)
.
1.2.6. Introducción a los coeficientes variables
Si a1 = a1(x, y), a2 = a2(x, y) son funciones de clase C1
en R2
, la ecuación
de primer orden:
a1(x, y)ux + a2(x, y)uy = 0,
describe aquellas funciones que se conservan cuando se las observa en la dirección
variable del campo X = (a1, a2). Nada más natural que considerar las curvas
del plano γ que son tangentes a X. Por definición tales curvas son las órbitas
de la edo: {
x′
= a1(x, y)
y′
= a2(x, y).
(S)
Es inmediato comprobar que u se conserva sobre cualquier órbita γ de (S) si y
sólo si u cumple la edp propuesta. Resolver el problema:
{
a1(x, y)ux + a2(x, y)uy = 0
u(x, 0) = φ(x),
(P)
es construir u = u(x, y) que cumple:
u(x, y) = φ(x0),
sobre órbita γx0 que pasa por (x0, 0) y esto para cada x0. La posible arbitrarie-
dad en la elección del dato φ requiere suponer que:
a2(x, 0) ̸= 0 x ∈ R.
El cálculo de órbitas de (S) que pasan por el eje 0x se hace como sigue. El
problema, 


dx
dy
=
a1(x, y)
a2(x, y)
x(0) = x0,
admite una única solución x = X(y, x0). En la ecuación,
x − X(y, x0) = 0,
x0 se puede despejar en términos de (x, y) bajo la forma de una función C1
,
ξ = ξ(x, y). Si se quiere, las órbitas por el eje x son la familia uniparamétrica
de curvas,
ξ(x, y) = x0,

1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 9
con x0 el parámetro. Cubriendo todos los detalles con el debido rigor –y la ayuda
de la teoría de edo’s– puede probarse el siguiente resultado.
(R) y bajo la condición de transversalidad
de órbitas a2(x, 0) ̸= 0, x ∈ R el problema (P) admite una única solución
u ∈ C1
(U) deﬁnida en un cierto entorno U del eje x.
Demostración. La solución no puede ser otra que u(x, y) = φ(ξ(x, y)).
Ejemplo 1.4. El problema:
{
xux + uy = 0
u(x, 0) = φ(x),
conduce a la ecucación:
dx
dy
= x.
La condición x(0) = x0 lleva a x0 = xe−y
. La solución es pues u = φ(xe−y
).
1.3. Ecuaciones de segundo orden
Si Ω ⊂ Rn
es un dominio de Rn
, una función:
F : Ω × R × Rn
× Rn2
−→ R
(x, z, p, q) −→ F(x, z, p, q),
donde p = (pi), q = (qij), deﬁne la ecuación en derivadas parciales de segundo
orden:
F(x, u, (∂iu), (∂iju)) = 0, (1)
en el sentido de que u ∈ C2
(Ω) resuelve (1) si F(x, u(x), (∂iu(x)), (∂iju(x))) = 0
en cada x ∈ Ω.
Una ecuación lineal en el grupo de variables (p, q) se llama lineal:
n∑
i,j=1
aij(x)∂iju +
n∑
i=1
ai(x)∂iu + a0(x)u = f(x),
mientras que una ecuación cuasilineal es aquella en la que F sólo es lineal en el
grupo q y la ecuación toma la forma:
n∑
i,j=1
aij(x, u, ∇u)∂iju = b(x, u, ∇u).
La generalidad de los cursos avanzados de ecuaciones en derivadas parciales, in-
cluso los más ambiciosos, sólo alcanza a tratar las ecuaciones lineales de segundo
orden. En especial las tres ecuaciones de la física matemática: las ecuaciones de
Laplace (y Poisson), del calor y de las ondas que pasamos a presentar a conti-
nuación.

1.3.1. Ecuación de Laplace
Una masa puntual M localizada en el origen 0 ∈ R3
crea una perturbación
en el medio circundante de forma que una partícula puntual en la posición
x = (x1, x2, x3) sufre una fuerza por unidad de masa
F(x) = −
GM
|x|2
x
|x|
= −
GM
r3
x r = |x|,
donde G es la constante de gravitación. La fuerza F deriva de un potencial
V = V (x), es decir:
F(x) = ∇V (x).
En efecto, ensayando una función radial V (x) = U(r), el que
Vxi = −(GM/r3
)xi = −(GM/r2
)xi/r
nos lleva a que
V (x) =
GM
r
.
Se conoce a V como el potencial Newtoniano.
Por otro lado,
Vxixi =
(
U′
r
)
xi
xi +
U′
r
=
(
U′
r
)′
x2
i
r
+
U′
r
.
En nuestro caso U′
/r = −GM/r3
, (U′
/r)′
= 3GM/r4
. Por tanto,
3∑
i=1
Vxixi = r
(
U′
r
)′
+ 3
U′
r
= 0.
Para una función u ∈ C2
(Ω), Ω ⊂ Rn
, el grupo:
∆u :=
n∑
i=1
∂iiu =
n∑
i=1
∂2
u
∂x2
i
,
se conoce como el Laplaciano de u (se llamará a ∆ el operador Laplaciano).
Se ha comprobado que el potencial Newtoniano V = GM/r satisface la
ecuación:
∆V = 0
en R3
{0}.
Se llama a:
∆u = 0 x ∈ Ω, (L)
la ecuación de Laplace en Ω. Decimos que u es armónica en Ω si satisface (L).
El potencial Newtoniano es armónico en R3
{0}.
Un ejemplo fundamental de función armónica en el plano lo dan las de-
terminaciones de la función argumento θ = θ(x, y). Para construir una de

ellas sea “arctag x” la inversa de la tangente en (−π/2, π/2). Sobre el domi-
nio Ω = R2
{(0, y) : y ≥ 0} deﬁnimos:
θ(x, y) =



arctag (y/x) x > 0
π/2 y > 0 , x = 0
arctag (y/x) + π x < 0.
Es inmediato ver que θ ∈ C∞
(Ω) y que es armónica en Ω. Se verá más adelante
que todas las funciones armónicas se generan a partir de la función argumento.
Otra gran clase de ejemplos de funciones armónicas en el plano lo suministran
las funciones holomorfas. Si Ω ⊂ C es un domino del plano complejo, z = x+iy,
y f : Ω → C es una función derivable en sentido complejo en Ω, es decir, el
límite:
f′
(z0) = l´ım
z→0
f(z0 + z) − f(z0)
z
, (2)
existe para cada z0 ∈ Ω, entonces escribiendo: f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es fácil
ver que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
ux = vy uy = −vx. (3)
Basta para ello tomar z real en (2) e igualar el límite al correspondiente valor
cuando z es imaginario puro (Ejercicio). Admitiendo la existencia de las deriva-
das de orden dos para u y v es inmediato concluir de (3) que u y v son armónicas
en Ω.
La experiencia del curso nos enseñará que el operador Laplaciano se relaciona
bien con las rotaciones de Rn
. De hecho, si u es radial, u = U(r) entonces,
∆u = U′′
(r) +
n − 1
r
U′
(r)
De ahí la ecuación de Laplace en Rn
0 para funciones radiales da como solu-
ciones (módulo constantes):
U(r) =



Cn
rn−2
n ≥ 3
C2 log r n = 2 .
A efectos de cálculo suele hacerse una elección precisa de las constantes Cn (ver
más adelante la solución fundamental del operador Laplaciano).
Finalmente, la teoría de gravitación proporciona otro modelo de ecuación
asociada al operador Laplaciano. Supongamos ahora que la masa M que per-
turba el espacio no está localizada en un punto sino que ocupa un dominio
Ω ⊂ R3
(un planeta) en la que está distribuida según una densidad de masa
ρ = ρ(x).
La fuerza neta de atracción por unidad de masa sobre una partícula en la
posición espacial x viene dada por la integral:
F(x) = −
∫
Ω
Gρ(y)
|x − y|3
(y − x) dy.

Dicha fuerza deriva del potencial,
V (x) =
∫
Ω
Gρ(y)
|x − y|
dy,
que se llama potencial Newtoniano con densidad ρ. Si –como es natural– ρ ∈
L1
(Ω) entonces, una aplicación escrupulosa de los resultados de derivación bajo
el signo integral (cf. Anexo) permite concluir que:
∆V = 0 x ∈ R3
Ω.
Si además ρ es un poco más regular, por ejemplo, ρ ∈ C1
(Ω) ∩ L∞
(Ω) (Ω
acotado) entonces V satisface la ecuación:
∆V = −4πGρ(x) x ∈ Ω.
Los cálculos implicados ahora en la demostración son más delicados que una
mera derivación bajo el signo integral y se desarrollarán en los Capítulos VIII
y IX correspondientes a la teoría del potencial.
Para f definida en un dominio Ω ⊂ Rn
se conoce a:
∆u = f(x) x ∈ Ω,
se conoce como la ecuación de Poisson.
1.3.2. Problema de Dirichlet
A la luz de lo explicado, existe una infinidad de funciones armónicas u en un
dominio Ω. Basta construir los potenciales u ∈ C2
(Ω) asociados a las infinitas
distribuciones de masa ρ ∈ C1
(Ω1) con Ω1 ∩ Ω = ∅.
La siguiente definición se atribuye a Riemann.
Definición 1.8. Sea Ω ⊂ Rn
un dominio con frontera no vacía ∂Ω y φ una
función dada que es continua en ∂Ω. Se dice que u ∈ C2
(Ω) ∩ C(Ω) es solución
del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace si:
{
∆u = 0 x ∈ Ω
u = φ x ∈ ∂Ω.
(1.5)
El contexto en el que surgió dicho problema es el de la teoría de las funciones
complejas. Para hallar una solución del problema se introdujo el funcional:
D(u) =
∫
Ω
|∇u|2
dx,
donde se supone que Ω es un dominio acotado de Rn
y u varía en la clase
D = {u ∈ C1
(Ω) : u = φ si x ∈ ∂Ω}.

Se propuso el siguiente problema de tipo variacional: hallar u ∈ D tal que
D(u) = ´ınf
v∈D
D(v). (1.6)
En su tiempo –mediados del XIX– se daba por sentado la existencia de una
solución de éste último.
La conexión con el problema de Dirichlet (1.5) se resume en las siguientes
propiedades.
Propiedad 1.9. Si u ∈ D resuelve (1.6):
∫
Ω
∇u∇v dx = 0 ∀v ∈ C1
(Ω) y v|∂Ω = 0.
Propiedad 1.10. Si u, v ∈ C1
(Ω) entonces:
D(u) = D(v) + D(u − v) + 2
∫
Ω
∇u∇(u − v).
En particular (1.6) admite a lo más una solución.
Propiedad 1.11. Sea u ∈ D ∩ C2
(Ω). Entonces u resuelve (1.5) ⇔ u resuelve
(1.6).
Observaciones 1.5.
Las condiciones bajo las que (1.6) admite solución no son en absoluto obvias.
Dependen de la geometría del dominio. Un ámbito natural lo proporcionan los
dominios de clase C1
(Anexo).
Cuando φ sólo es continua la existencia de (1.6) queda en entredicho incluso en
el círculo.
Si (1.6) admite solución no es inmediato probar que dicha solución es dos veces
derivable y cumple la ecuación de Laplace.
Que (1.6) admite solución es lo que se dio en llamar (palabras de Riemann) el
“principio de Dirchlet”.
1.3.3. La ecuación de ondas
Una magnitud u = u(x, t), (x, t) ∈ Ω × R, mide la “desviación” de un medio
continuo –dotado de propiedades elásticas– con respecto a la conﬁguración de
equilibrio, representada por u = 0 (u puede representar una cualquiera de las
componentes del vector desplazamiento que señala la desviación con respecto
al equilibrio). El medio puede ser unidimensional (una cuerda), bidimensional
(una membrana) o tridimensional (un sólido elástico). Como comprobaremos en
la Sección 1.5, cuando el medio detenta propiedades de elasticidad adecuadas,
u cumple –bajo la hipótesis de variaciones de pequeña amplitud– la ecuación:
∂2
u
∂t2
= c2
∆u,

conocida como ecuación de ondas. El número c > 0 representa, como veremos, la
velocidad de propagación de las perturbaciones. La propagación de señales acús-
ticas, la radiación de energía y la propagación de señales electromagnéticas son
otros de los fenónmenos que pueden describirse mediante la ecuación de ondas.
La conservación de la energía es una característica de los procesos gobernados
por dicha ecuación. La variable t tiene el sentido de tiempo. Si el medio puede
considerarse “ilimitado”, un problema de valor inicial “natural” para la ecuación
de ondas es:



∂2
u
∂t2
= c2
∆u
u(x, 0) = φ0(x)
ut(x, 0) = φ1(x) ,
para posición y velocidad φ0, φ1 prefijadas. Otros términos representando fric-
ción aerodinámica o fuentes de perturbación externas pueden aparecer en la
ecuación (Sección 1.5):
∂2
u
∂t2
+ but = c2
∆u + F(x, t).
1.3.4. La ecuación del calor
La energía calorífica, bajo condiciones de variabilidad pequeña, es transpor-
tada por un proceso denominado difusión, de regiones de alta temperatura hasta
zonas de temperatura inferior. En términos de la ley de Fourier (de la que ha-
blaremos en la S. 1.6) este fenómeno de transporte se describe en función de la
temperatura u = u(x, t) mediante la ecuación del calor:
∂u
∂t
= k∆u, (4)
en la que la constante k resume las propiedades de conductividad del medio
(aquí supuesto isótropo). De nuevo t representa el tiempo y si estamos supo-
niendo que el medio es ilimitado (las condiciones externas pueden considerarse
despreciables), un problema de valor inicial natural para (4) es,



∂u
∂t
= k∆u
u(x, 0) = φ(x),
donde φ es la temperatura inicial.
Una característica de los procesos simulados por (4) es su carácter disipativo
en el sentido de degradar la energía (son además de naturaleza fuertemente
irreversible). Como veremos más adelante, (4) tiene la propiedad de velocidad
infinita de propagación de las perturbaciones.

1.3.5. Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de
ecuación cuasilineal
El siguiente ejemplo pertenece al círculo de los problemas variacionales –fun-
damentales en física teórica– cuyo estudio general se desarrolla en el Cálculo de
Variaciones.
Consideremos un dominio acotado Ω ⊂ Rn
de clase C1
(cf. Anexo) y h =
h(x) ∈ C1
(Ω) una función prefijada. En X = {u ∈ C1
(Ω) : u|∂Ω = h} introdu-
cimos el funcional:
J : X −→ R
u −→ J(u),
definido por:
J(u) =
∫
Ω
√
1 + |∇u|2 dx.
J mide el área de la superficie S = {z = u(x) : x ∈ Ω} en Rn+1
. Un problema
natural es hallar u tal que:
J(u) = ´ınf
v∈X
J(v). (P).
Una condición necesaria para que u sea solución de (P) es que:
d
dt
(J(u + tφ))|t=0 = 0,
para toda φ ∈ C1
0 (Ω). Esto significa que:
∫
Ω
∇u∇φ
√
1 + |∇u|2
dx = 0 ∀φ ∈ C1
0 (Ω). (5)
Si se hace la hipótesis adicional de que u ∈ C2
(Ω) entonces el teorema de la
divergencia (cf. Anexo) nos lleva a:
∫
Ω
div
(
∇u
√
1 + |∇u|2
)
φ dx = 0 ∀φ ∈ C1
0 (Ω),
por lo que llegamos a que u resuelve el problema:



div
(
∇u
√
1 + |∇u|2
)
= 0 x ∈ Ω
u = h x ∈ ∂Ω.
1.3.6. El problema de Cauchy: generalidades
Como en el caso de edo’s y algunos ejemplos de edp’s de primer orden vistos
en el §I.1.2 nos planteamos la existencia de condiciones similares a las de valor
inicial que determinen “con unicidad” las soluciones de una edp. Esto ya presu-
pone algo nada trivial en el caso de edp’s como es la propia existencia de un

número suficiente de soluciones que permita ajustar éste u otro tipo concebible
de condiciones. En efecto, se dará en el Capítulo III un ejemplo de edp lineal
con coeficientes complejos que no admite soluciones en absoluto.
Módulo un estudio más profundo en el Capítulo III trataremos ahora de
sugerir que el problema de Cauchy para una edp de segundo orden en el plano
consiste en prefijar, de manera arbitraria, sobre una curva C1
dada Γ = {(x, y) =
(f(s), g(s)) : s ∈ I} los valores de la solución u = u(x, y) y de su derivada normal
a Γ, es decir ∂u/∂ν donde, por ejemplo, ν = (−g′
, f′
)/
√
f′2
+ g′2
(′
= d/ds,
mientras se supone (f′
, g′
) ̸= (0, 0) en Γ).
A tal efecto consideramos:



uyy = f(x, y, u, uy)
u(x, 0) = φ0(x)
uy(x, 0) = φ1(x),
(6)
que es ciertamente un caso muy particular de un problema más ambicioso que
consideraremos más tarde como es:



uyy = f(x, y, u, ux, uy, uxy, uyy)
u(x, 0) = φ0(x)
uy(x, 0) = φ1(x).
(7)
En el caso en que (6) toma la forma uyy + u = 0, u(x, 0) = φ0(x), uy(x, 0) =
φ1(x) la solución es u = φ0(x) cos y + φ1(x) sen y. En general un teorema de
existencia y unicidad de soluciones para (6) está ya recogido en la teoría de
edo’s. En efecto para, pongamos, G = G(x, z, p, λ), G : R × R × R × R → R, de
clase C1
, el problema: 


u′′
= G(x, u, u′
, λ)
u(x0) = ξ0
u′
(x0) = ξ1,
(8)
admite una única solución u = U(x, x0, ξ0, ξ1, λ). Se puede así construir una
única solución local de (6) si, usando la jerga de (8) observamos en (6) a x como
el parámetro λ y ponemos como solución:
u = U(y, 0, φ0(x), φ1(x), x).
No obstante, adelantamos que sólo podremos garantizar la existencia de solu-
ciones de (7) bajo condiciones muy restrictivas.
Si por otra parte nos limitamos al caso lineal:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + a1ux + a2uy + a0u = F(x, y),
una de las posibilidades es, por ejemplo, la ecuación:
uxy = F(x, y). (9)

1.4. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR 17
Si nos limitamos a cualquiera de los ejes como curva destinataria de las con-
diciones iniciales se observa que (9) no es propiamente de segundo orden con
respecto a la variable x o y. Eso da lugar a la introducción de otro tipo posible
de problema de valor inicial donde las condiciones se toman en ejes distintos.
Por ejemplo, 


uxy = F(x, y)
u(0, y) = φ(y)
ux(x, 0) = ψ(x).
Una integración directa nos da que la solución de (10) –problema que se llama
de tipo Goursat– es:
u = φ(y) +
∫ x
0
ψ(ξ) dξ +
∫ x
0
∫ y
0
F(ξ, η) dη dξ.
En los ejercicios abundaremos un poco más sobre este tipo de cuestiones.
1.4. Ecuaciones de orden superior
Si consideramos funciones u de clase Ck
en un dominio Ω ⊂ Rn
(u ∈
Ck
(Ω)) es decir funciones que admiten todas las posibles derivadas parciales
∂l
u/∂xi1 . . . ∂xil
de órdenes l ≤ k de forma que tales derivadas parciales definen
funciones continuas en Ω, se sabe –ver Capítulo III para detalles precisos– que
todas esas posibles derivadas parciales coinciden con alguna de las derivadas
canónicas:
∂α
u =
∂|α|
u
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
,
donde α = (α1, . . . , αn) ∈ (N ∪ {0})n
, |α| = α1 + · · · + αn. Si N(k) designa
el número de α′
s con |α| ≤ k (la “derivada de orden cero” una de ellas), una
función
F : Ω × RN(k)
−→ R
(x, (yα)) −→ F(x, (yα)),
define la edp de orden k:
F(x, (∂α
u)) = 0,
en el sentido de que u ∈ Ck
(Ω) resuelve (1) si F(x, (∂α
u(x))) = 0 en cada x ∈ Ω.
Las ecuaciones lineales corresponden a elecciones de F’s que son lineales en
la variable y = (yα), es decir F(x, (yα)) =
∑
|α|≤k aα(x)yα − f(x):
∑
|α|≤k
aα(x)∂α
u = f(x).
En relación con las ecuaciones diferenciales es muchas veces convenientes ha-
blar de operadores diferenciales lineales, en este caso con coeficientes aα en un
dominio Ω, es decir aplicaciones:
L : Ck
(Ω) −→ C(Ω)
u −→ Lu =
∑
|α|≤k aα(x)∂α
u,

Figura 1.1: Cuerda elástica
donde se supone que las aα ∈ C(Ω). La ecuación anterior se abrevia como
Lu = f.
La ecuación lineal de orden superior al segundo más estudiada quizás sea:
∆2
u = f(x),
∆ el operador Laplaciano, que aparece en teoría de elasticidad. Se conoce a ∆2
como el operador biarmónico.
Las ecuaciones cuasilineales corresponden a F′
s lineales en el grupo de va-
riables yα con |α| = k,
∑
|α|=k
aα(x, (∂β
u)|β|≤k−1)∂α
u = b(x, (∂β
u)|β|≤k−1).
Se puede decir que salvo para clases especiales de ecuaciones (por ejemplo
las lineales) no se conoce una teoría general para edp’s de orden superior a dos.
Deberíamos citar como ejemplo interesante la ecuación de Korteweg-de Vries
(KdV) que aparece en el estudio de ondas de agua (“water waves”) y teoría de
solitones:
ut + uux + uxxx = 0.
1.5. La Ecuación de Ondas
1.5.1. La ecuación de las ondas unidimensional
Consideramos una cuerda elástica que se halla en en estado de reposo -en
ausencia de fuerzas exteriores- por el efecto de una fuerza de tensión T0 a lo largo
de la misma, al estar anclada entre los puntos O y P del eje Ox. Supondremos
que tiene longitud l (Figura 1.1).
La situación física a describir consiste en separar la cuerda de su posición
de equilibrio, creando la deformación una fuerza recuperadora que genera el
movimiento de la misma. El estado futuro de la cuerda -en términos del tiempo
t- se representará por las ecuaciones:
x = x(s, t) y = y(s, t) 0 ≤ s ≤ l t ≥ 0,

1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS 19
donde s es un parámetro que se deﬁne mediante el convenio de que X(s, t) =
(x, y) represente el punto de la cuerda que inicialmente (t = 0) se hallaba en la
posición (x, y) = (s, 0). Admitiremos que en cada instante, la masa de un tramo
s1 ≤ s ≤ s2 viene expresada por:
∫ s2
s1
ρ(s) ds,
donde la función continua ρ(s) designa la densidad lineal de masa, ρ(s) > 0 en
0 ≤ s ≤ l.
En todo momento suponemos que el movimiento tiene lugar en el plano x-y.
Las condiciones iniciales son:
{
x(s, 0) = s
xt(s, 0) = 0
{
y(s, 0) = f(s)
yt(s, 0) = g(s),
(CI)
en donde 0 ≤ s ≤ l. Por otra parte, el proceso impone las condiciones de
contorno:
x(0, t) = 0, x(l, t) = l, y(0, t) = y(l, t) = 0, t ≥ 0. (CC)
Suponemos que sobre cada porción s1 ≤ s ≤ s2 de la cuerda actúa una fuerza
vertical neta (dirigida hacia abajo) de módulo:
F(s1, s2) =
∫ s2
s1
ρ(s)F(x(s, t), t) ds.
En otros términos F = F(x, t) es una densidad de fuerzas verticales por unidad
de masa en el punto x y en el instante t. Por ejemplo, en el caso del peso, F = g
y F(s1, s2) = g
∫ s2
s1
ρ(s) ds, donde la integral representa la masa del trozo de
cuerda.
Para determinar las ecuaciones del movimiento analizaremos las fuerzas so-
bre un trozo de cuerda si−1 ≤ s ≤ si, 0 = s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn = l. Su momento
lineal viene dado por:
¯pi =
(∫ si
si−1
ρ(s)xt ds,
∫ si
si−1
ρ(s)yt ds.
)
,
Las ecuaciones del movimiento se obtendrán escribiendo la segunda ley de New-
ton (para la variación del momento lineal):
d¯p
dt
= FE
i + ¯FI
i ,
con ¯FE
i (respectivamente ¯FI
i ) la fuerza exterior (respectivamente interior) neta
actuando sobre el trozo si−1 ≤ s ≤ si. Por hipótesis, si−1 ≤ s ≤ si está sometido
a la fuerza exterior:
¯FE
i = (0, −F(si−1, si)) =
(
0, −
∫ si
si−1
ρ(s)F(x(s, t), t) ds
)
.

Falta por precisar quiénes son las fuerzas internas (de corto alcance) que actúan
sobre la porción si−1 ≤ s ≤ si de la cuerda. Para ello es necesario dar una ley
que describa cómo es la naturaleza de las fuerzas de tensión en los extremos.
Esto equivale a describir las propiedades elásticas de la cuerda.
En primer lugar medimos el alargamiento neto sufrido por si−1 ≤ s ≤ si en
el instante t: ∫ si
si−1
√
x2
s + y2
s ds − ∆s (∆s = si − si−1),
donde xs = xs(s, t), ys = ys(s, t). El alargamiento medio por unidad de longitud,
1
∆s
∫ si
si−1
√
x2
s + y2
s ds − 1.
Así, el alargamiento puntual por unidad de longitud o densidad de alargamiento
es finalmente:
e =
√
x2
s + y2
s − 1.
Una primera hipótesis de elasticidad es que en cada punto s la fuerza de tensión
¯T(s, t) vaya dirigida en la dirección de la tangente, es decir (si T(s, t) designa el
módulo):
¯T(s, t) = T(s, t)¯t(s, t),
con ¯t(s, t) = (xs, ys)/
√
x2
s + y2
s el unitario tangente en s. Esto significa que el
material que constituye la cuerda es tal que su ”reacción a la deformación”,
cuando uno quiere ”separar” una sección transversal imaginaria de su contigua,
es puramente normal a dicha sección. En otras palabras, no hay fricciones tan-
genciales (fatigas), o si se quiere, no hay ”oposición” a la flexión.
La segunda hipótesis de elasticidad es que el módulo de la tensión sea una
función exclusiva de e y de s,
T(s, t) = T (e, s),
con T (0, t) = T0, donde T0 es la tensión de la cuerda en reposo. Desarrollando
T se obtiene:
T = T0 + T ′
e (0, s)e + O(e2
).
Por ejemplo, el caso particular T = T0 + ke (k constante, el módulo de
elasticidad) da lugar a la conocida ley de Hooke. De aquí se deduce que la
resultante de las fuerzas internas sobre si−1 ≤ s ≤ si resulta ser:
¯FI
i = T(si, t)¯t(si, t) − T(si−1, t)¯t(si−1, t) = T(s, t)¯t(s, t)
si
si−1
.
Como,
T(s, t)¯t(s, t)
si
si−1
=
∫ si
si−1
∂
∂s
(T(s, t)¯t(s, t)) ds,

Figura 1.2: Elemento de cuerda
la identidad para la derivada del momento lineal da lugar a las ecuaciones:



∂
∂s
(
T xs
e + 1
)
= ρxtt
∂
∂s
(
T ys
e + 1
)
= ρytt + ρF.
(1.7)
El problema consiste entonces en determinar las funciones x = x(s, t), y = y(s, t)
a partir de (1), y las condiciones (CI) y (CC), donde f, g y T son datos del
problema. El carácter fuertemente no lineal de las ecuaciones (1.7) sugiere, en
primera aproximación, su linealización, para llegar a un modelo más sencillo.
La forma de llevar a cabo este proceso es como sigue. Vamos a imagi-
narnos que el tiempo t y las funciones f, g junto con sus derivadas hasta
el orden dos son pequeñas. Más precisamente consideramos el vector Φ =
(t, f, g, f′
, g′
, f′′
, g′′
) con módulo |Φ| = (|t|, |f|∞, . . . , |g′′
|∞), siendo, por ejem-
plo |f|∞ = sup0≤x≤l |f(x)|. A continuación, separaremos en (1.7) los térmi-
nos ”lineales”, e. d. O(|Φ|), de los de orden superior o(|Φ|), despreciando és-
tos últimos frente a los primeros. La ecuación resultante (1.9) es la aproxi-
mación lineal a (1.7). Conviene recordar la notación u(x) = o(v(x)) (respec-
tivamente u(x) = O(v(x)) cuando x → 0 si u(x)/v(x) → 0 (respectivamente
|u(x)| ≤ M|v(x)|, M > 0) cuando x → 0.
En primer lugar obsérvese que:
xs = 1 + O(t2
), xss = O(t2
),
o si se quiere,
xs = 1 + O(|Φ|2
), xss = O(|Φ|2
).
Por tanto, para t ∼ 0 la ecuación x = x(s, t) deﬁne s = s(x, t). Podemos
considerar entonces v(x, t) = y(s(x, t), t) y resulta que:



ys = vxxs
yt = vxxt + vt
ytt = vtt + vxxx2
t + 2vxtxt + vxxtt,

que llevado a (1.7), y teniendo en cuenta que:
∂
∂s
(
T ys
e + 1
)
=
∂
∂s
(
T xs
e + 1
vx
)
= ρxttvx +
∂
∂s
(
T ys
e + 1
x2
s
)
vxx,
da lugar a
ρvtt =
(
T
e + 1
x2
s − ρx2
t
)
− 2ρxtvxt − ρF,
que se puede escribir como:
vtt = −F +
T0
ρ
vxx +
1
ρ
(
T
e + 1
x2
s − T0 − ρx2
t
)
vxx − 2xtvxt,
es decir,
vtt = −F +
T0
ρ(x)
vxx−
T0
ρ(s)
ρ(s) − ρ(x)
ρ(x)
vxx +
1
ρ
(
T
e + 1
x2
s − T0 − ρx2
t
)
vxx − 2xtvxt,
En el segundo miembro de dicha ecuación, −F = O(1). Enseguida se ve que:
T0
ρ(x)
vxx = O(|Φ|),
mientras que
(
T
e + 1
x2
s − T0 − ρx2
t
)
vxx − 2ρxtvxt = o(|Φ|), (1.8)
ya que, de hecho, tal cantidad es del orden de |Φ|2
, mientras que
T0
ρ(s)
ρ(s) − ρ(x)
ρ(x)
vxx = O(|Φ|3
)
cuando t, f y g son pequeños. En conclusión,
vtt =
T0
ρ(x)
vxx − F, (1.9)
es la aproximación lineal de (1.7).
Comencemos estudiando los órdenes de magnitud de vxx y vxt. Se tiene,
v(x, t) = y(s(x, t), t)
vx = yssx, vxx = ysss2
x + yssxx
vxt = yssstsx + ystsx + yssxt.
De x = x(s(x, t), t) se tiene que
1 = xssx,

0 = xsss2
x + xssxx,
de donde sx = O(1), mientras que sxx = O(t2
). Por tanto, vxx es del orden de
ϕ, es decir vxx = O(|Φ|). Sin embargo, st = O(t), sxt = O(t) pues derivando
con respecto a t la identidad 1 = xssx se llega a 0 = xssstsx + xstxs + xssxt y
basta tener en cuenta que xst = O(t). Así
vxt = O(t)(yss + ys) + O(|yst).
Como yss +ys = f′′
+f′
+(g′′
+g′
)t+O(t2
) = O(|Φ|), yst = g′
+O(t) = O(|Φ|),
entonces vxt = O(|Φ|). Así, el término xtvxt en la ecuación,
vtt = −F +
T0
ρ(x)
vxx−
T0
ρ(s)
ρ(s) − ρ(x)
ρ(x)
vxx +
1
ρ
(
T
e + 1
x2
s − T0 − ρx2
t
)
vxx − 2xtvxt, (1.10)
es despreciable frente a vxx. En cuanto al coeficiente de vxx en (1.8) (ver (1.10))
sabemos que ys = O(|Φ|). Luego,
e =
√
x2
s + y2
s − 1 =
√
1 + O(t2 + |Φ|2) − 1 =
√
1 + O(|Φ|2) − 1 = O(|Φ|2
),
pues
√
1 + u = 1 + O(u), xs = 1 + O(t2
). Por otro lado,
T
(1 + e)
= (T0 + O(e))(1 + O(e)) = T0 + O(e) = T0 + O(|Φ|2
),
mientras que ρx2
t = O(t2
), por ello dicho coeficiente es de orden 2 en Φ, luego de
orden 3 en Φ al multiplicar por vxx. También será entonces despreciable frente
a vxx.
En cuanto a ρ(s(x, t))−ρ(x), nótese que ρ(s(x, t))−ρ(x) = ρ′
(x+θ(s(x, t)−
x))(s(x, t)−x), con 0 < θ < 1. Como s(x, t) = x+O(t2
), ρ(s(x, t))−ρ(x) = O(t2
).
Al ser ρ > 0 en 0 ≤ s ≤ 0, tenemos que el tercer sumando en el segundo miembro
de (4) es del orden de |Φ|3
y podemos despreciarlo frente a vxx.
Resumiendo, (1.9) es la linealización de (1.10).
Si volvemos a las condiciones iniciales, como s(x, 0) = x, mientras st(x, 0) =
0 resulta que v = v(x, t) satisface el problema de contorno y valor inicial:



utt = c2
uxx − F(x, t) 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = u(l, t) = 0 t ≥ 0.
(1.11)
Hemos puesto c2
= T0/ρ(x), donde c se define como la velocidad de propa-
gación de las perturbaciones. Las condiciones de contorno en (1.11) se llaman
de tipo Dirichlet homogéneas. Otras posibles condiciones de contorno (de tipo
Neumann):
ux(0, t) = ux(l, t) = 0,

o (de tipo Robin),
−ux(0, t) + β1u(0, t) = ux(l, t) + β2u(l, t) = 0.
Por otra parte, pueden considerarse problemas mixtos de contorno donde se
alternan condiciones de diferente tipo en los extremos. También pueden consi-
derarse condiciones de contorno no homogéneas, por ejemplo:
u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t),
que en este caso (α y β datos) se llamarían de tipo Dirichlet no homogéneo.
La ecuación (1.9) puede contener más términos, por ejemplo:
vtt =
T0
ρ
vxx − bvt − F, (1.12)
donde el término −bvt representa una fricción aerodinámica. Se conoce a (1.12)
como la ecuación de las ondas “amortiguada” mientras que (1.9) es la ecuación
de las ondas “forzada” o “perturbada” por F.
1.5.2. Ecuación de las ondas bidimensional
Vamos a repetir la experiencia del caso unidimensional con una membrana
elástica sujeta a un bastidor ∂Ω que es la frontera –regular, es decir una curva
de clase Ck
, k ≥ 1– de un dominio Ω del plano. La extensión directa del caso
anterior sugeriría considerar los movimientos en la forma:
x = x(s1, s2, t) y = y(s1, s2, t) z = z(s1, s2, t) (s1, s2) ∈ Ω,
sin embargo, supondremos para simpliﬁcar que el movimiento es puramente
vertical y así, supondremos que si inicialmente, la membrana M está en reposo
bajo el efecto de una tensión constante T0, e. d.,
x ≡ s1, y ≡ s2, z ≡ 0,
consideramos que x ≡ s1 y y ≡ s2 en los movimientos futuros, con lo que el
perﬁl de la membrana se puede escribir como:
u = u(x, y, t), (x, y) ∈ Ω.
Cada trozo D de la membrana,
D = D(t) = {z = u(x, y, t)/(x, y) ∈ D},
está sometido a la acción de fuerzas exteriores al sistema (gravedad, fricción
aerodinámica) y a fuerzas interiores debidas a la variación de la tensión por
elasticidad del material.
La segunda ley de Newton establece las ecuaciones del movimiento en la
forma:
¯p′
= FI
i + FE
i ,

Figura 1.3: Balance de fuerzas en la membrana
donde ¯p es el momento lineal de D que vale:
¯p =
(∫
D
ρ(x, y)xt dxdy,
∫
D
ρ(x, y)yt dxdy,
∫
D
ρ(x, y)ut dxdy
)
,
y donde admitiremos que las dos primeras componentes son cero. Contabiliza-
mos la fuerza externa neta sobre D en la forma:
¯FE
i =
(
0, 0, −
∫
ρ(x, y)F(x, y, t) dxdy
)
,
(de nuevo ρ > 0 en Ω representa la densidad de M). Para las fuerzas interiores
introducimos la tasa (densidad) de deformación puntual:
e =
√
1 + |∇u|2 − 1,
a la que se llega por el mismo razonamiento que en el caso de la cuerda. Ahora,
las fuerzas de tensión sobre D en un punto P actúan siguiendo la dirección
de la normal unitaria exterior ¯ν a D que es además tangente a M en dicho
punto. Para calcular ¯ν en P = (x0, y0, u(x0, y0)) suponemos que f y g son
regulares en ∂D = {x = f(s), y = g(s)}1
; tomamos el vector unitario tangente
¯τ = (f′
, g′
)/
√
f′2
+ g′2
y la normal unitaria exterior a ∂D en el plano: ¯n =
(g′
, −f′
)/
√
f′2
+ g′2
, y entonces:
ν(P) =
1
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
(n1 + uτ uy, n2 − uτ ux, un)
=
1
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
(¯n + uτ (uy, −ux), un),
donde uτ = ∇u · ¯τ, y un = ∇u · ¯n.
Una vez establecida la dirección de la fuerza de tensión ¯T(P, t) en el punto
P e instante t, es necesario observar que en elasticidad, el módulo T(P, t) de ¯T
va a medir la magnitud de la tensión por unidad de longitud de arco dl en ∂D.
1Se supone que f, g recorren ∂D siguiendo las agujas del reloj.

En otras palabras, para conocer la magnitud de la fuerza neta sobre un arco Γ
de ∂D, basta con efectuar la integral de línea:
∫
Γ
T(P, t) dl =
∫ b
a
T(P)
√
f′2
+ g′2
+ |∇u · (f′, g′)|2 ds,
en donde hemos parametrizado Γ en la forma {(f(s), g(s), u(f(s), g(s))|a < s <
b}. De ahí, la resultante de las fuerzas internas sobre D será:
FI
i =
∫
∂D
¯T(P) dl
=
(∫
∂D
T(P)
¯n + uτ (uy, −ux)
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
dl,
∫
∂D
T(P)
un
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
dl
)
,
en donde, si M no sufre desplazamientos horizontales habrá de ser:
(∫
∂D
T(P)
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
dl
)
= 0.
Falta pues deﬁnir la relación que liga la tensión T(P) con la deformación e.
Como antes (Ley de Hooke), admitiremos que:
T(P) = T (e, P) = T0 + O(e).
Podemos ya escribir las ecuaciones del movimiento que establecen:
¯p′
= FE
i + FI
i ,
es decir,
(∫
Ω
ρxtt dxdy,
∫
Ω
ρytt dxdy,
∫
Ω
ρztt dxdy
)
=
(
0, 0, −
∫
Ω
F(x, y, t) dxdy
)
+
(∫
∂Ω
T(P)
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
dl,
∫
∂Ω
T(P)
un
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
dl
)
.
(1)
Ahora pasamos al capítulo de linealizaciones. Vamos a suponer que a lo largo
del movimiento los desplazamientos son lo suﬁcientemente pequeños como para
que lo sean u y ∇u (en estado de reposo u ≡ 0) 2
. En este caso:
√
f′2
+ g′2
+ |∇u · (f′, g′)|2 =
√
f′2
+ g′2
+ O(|∇u|2
)
e = O(|∇u|2
), T(P) = T (e, P) = T0 + O(|∇u|2
)
1
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
= 1 + O(|∇u|2
),
un
√
1 + |∇u|2
√
1 + u2
τ
= un + O(|∇u|3
),
2Este es el tipo de argumento que se usa en la ecuación del péndulo θ′′ = −k sen θ donde
se hace la aproximación sen θ ∼ θ cuando la amplitud de la oscilación es pequeña.

mientras que uτ (uy, −ux) = O(|∇u|2
). Despreciando en (1) los términos de
orden superior a u y |∇u| llegamos a las identidades:
(∫
∂Ω
T0¯n dl
)
= 0,
que es compatible con el hecho de que xtt = ytt = 0 en Ω, y:
∫
Ω
ρutt dxdy = −
∫
Ω
ρF(x, y, t) dxdy +
∫
∂Ω
T0un dl. (2)
Por el teorema de la divergencia:
∫
∂Ω
T0un dl =
∫
Ω
T0div (∇u) dxdy.
Llegamos así a la relación:
∫
Ω
ρutt − T0∆u + ρF dxdy = 0,
que es la versión integral de la ecuación que deseamos obtener.
El mismo argumento nos conduce a la ecuación:
∫
D
ρutt − T0∆u + ρF dxdy = 0, (3)
siendo D cualquier subdominio regular pequeño (por ejemplo un rectángulo)
contenido en Ω. Por tanto, la función u(x, y, t) es la solución del problema de
contorno y valor inicial:



utt =
T0
ρ
∆u − F (x, y) ∈ Ω
u(x, y, 0) = φ(x, y) (x, y) ∈ Ω
ut(x, y, 0) = ψ(x, y) ∈ Ω
u(x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω.
(P)
Se conoce a (P) como un problema de contorno de tipo Dirichlet homogéneo.
Como en el caso unidimensional pueden considerarse otro tipo de condiciones
de contorno como la de tipo Neumann:
∂u
∂¯n
(x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,
o Robin:
∂u
∂¯n
(x, y, t) + βu(x, y, t)u = 0 (x, y) ∈ ∂Ω,
en donde ¯n es la normal unitaria exterior a ∂Ω y β es una función continua y
positiva. Todas las condiciones pueden considerarse en versión no homogénea,
por ejemplo:
∂u
∂¯n
(x, y, t) + βu(x, y, t)u = α(x, y, t) (x, y) ∈ ∂Ω,

en la que α es un dato. La ecuación de las ondas puede contener otros téminos
en el segundo miembro, por ejemplo:
utt =
T0
ρ
∆u − but − F,
que se llama ecuación de las ondas amortiguada. De nuevo el término T0/ρ se
designa por c2
y a c se la denomina velocidad de propagación.
1.6. La Ecuación del Calor
1.7. La ecuación del calor unidimensional
Las siguientes consideraciones tienen por objeto describir cómo se alcanza el
equilibrio térmico en los sólidos y cómo se transporta el calor de unas zonas a
otras del mismo, bajo ciertas condiciones razonables 3
.
De una manera completamente informal podemos decir que la temperatura u
de un sólido es una medida del estado de movimiento de sus moléculas, evaluado
a través de la energía cinética promedio de las mismas. Es por tanto una energía
a la que se puede asignar una escala de medidas (usando bien unidades típicas
de trabajo, o bien el grado centígrado).
Dos sólidos distintos en contacto o bien dos zonas de un mismo sólido a
distinta temperatura intercambian “calor” Q. Más precisamente. Al ponerse en
contacto, el que posee un estado de movimiento más agitado en sus moléculas
(más caliente), transmite parcialmente dicho estado de movimiento (energía
cinética) al de menor grado (más frío), hasta alcanzar finalmente un estado de
equilibrio. Sin embargo, la cantidad de energía liberada por el de temperatura
más alta no coincide con la diferencia de temperaturas. La tal energía liberada
(por definición el incremento de calor ∆Q) es proporcional al incremento de
temperatura:
∆Q = m c ∆u = ρ c v∆u,
donde m es la masa, ρ la densidad, v el volumen y c es el calor específico, que es
la cantidad de calor –característica de cada substancia– necesaria para elevar la
temperatura de una unidad de masa en un grado. Es decir, la misma cantidad
de masa de substancias distintas “liberan” distinta cantidad de energía cuando
su temperatura “baja” un grado. En otras palabras, si se comunica una cantidad
de calor Q (= energía) a un sólido, sólo una fracción de dicha energía pasa a
incrementar el valor neto de la energía cinética de las moléculas (= incremento
de temperatura).
Una propiedad fundamental de la energía calorífica es que ésta se transporta
por difusión. Genéricamente, si se calienta un sólido en una zona, el calor se
desplaza con una cierta velocidad de zonas de alta temperatura a zonas de baja
3cf. Landau, Ajiezer, Lifshitz, “Curso de Física General, Mecánica y Física Molecular”,
Editorial Mir, Moscú (1984).

1.7. LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL 29
Figura 1.4: Experimento fundamental
temperatura. Eso se pone de manifiesto, por ejemplo, con el siguiente experi-
mento. Consideramos el sistema abierto formado por una placa de un cierto
material homogéneo, delimitada por dos planos paralelos separados una distan-
cia l considerablemente menor que la superficie de las placas, que así, pueden
considerarse infinitas. La tapa superior se mantiene a una temperatura u0 mien-
tras que la inferior se mantiene a una temperatura u1 < u0 (por eso el sistema
se dice abierto). Si u0 −u1 no es muy grande se observa al cabo de cierto tiempo
–el suficiente para que el sistema alcance el equilibrio– que la energía calorífica
“fluye” hacia abajo a razón de:
Φ = k
u0 − u1
l
unidades de energía por unidad de tiempo y unidad de área. La magnitud Φ se
llama flujo calorífico y k el coeficiente de conductividad que depende de cada
material. Si A designa el área de una sección paralela a las caras exteriores, la
cantidad de calor que atraviesa A por unidad de tiempo es:
Φ A = k
u0 − u1
l
A.
Así mismo, la temperatura a lo largo de la sección toma el perfil: u(x) = u0 +
((u1 − u0)/l) x, por lo que la ley para el flujo se puede escribir en la forma:
Φ = −kux.
En el experimento anterior hemos esperado una cantidad de tiempo suficiente
como para que se “estabilice” la temperatura de todas las secciones de la placa.
Si en las mismas condiciones, suponemos que el sistema no ha alcanzado el
equilibrio, e. d. no ha transcurrido un tiempo característico, podemos formular
todavía una ley para el flujo. Para ello razonamos como sigue (las alturas se
miden en sentido decreciente). Tomamos dos secciones de alturas x0, x0 + h,
con h pequeño como para que u(x0 +h) ∼ u(x0). En este caso, el flujo calorífico
en la sección x0 y el instante t vendrá dado por:
Φ(x0, t) = −k
u(x0 + h, t) − u(x0, t)
h
∼ −k
∂u
∂x
(x0, t).

Figura 1.5: Flujo estacionario
Obsérvese que al no haber alcanzado el sistema el estado de equilibrio la tem-
peratura depende del tiempo. Hemos deducido así lo que se conoce como ley
de Fourier. A saber: en un cuerpo en el que el calor fluye únicamente en una
dirección y en el que las variaciones de temperatura u(x, t) (temperatura en
un instante t y en una sección x0) no son muy altas la cantidad de calor que
atraviesa la unidad de área transversal por unidad de tiempo viene dada por:
Φ(x0, t) = −k
∂u
∂x
(x0, t). (1)
En términos físicos, la magnitud que designa cómo varía otra magnitud por
unidad de área transversal a una superficie S y por unidad de tiempo, se llama
flujo de esa magnitud (aquí Φ es el flujo de calor y la identidad (1) es la ley de
Fourier).
La ley de Fourier nos lleva a la ecuación que satisface la temperatura u(x, t)
antes de alcanzar el estado de equilibrio. La ecuación es consecuencia de la ley de
conservación de la energía. En efecto, consideremos dos secciones suficientemente
próximas x0 y x1. La variación de calor por unidad de tiempo en dicho intervalo
viene dada por:
A
∫ x1
x0
ρc
∂u
∂t
dx,
en donde A mide el área transversal de una tal sección del sólido. Como el único
mecanismo por el que hay variaciones de calor en la sección es –de momento–
el transporte por difusión, tal variación de la energía se debe únicamente al
calor que ha salido o entrado a través de las paredes x = x0, x1. Sea A(t0, h)
la cantidad de calor que ha entrado en la sección durante el intervalo t0 ≤
t ≤ t0 + h mientras que B(t0, h) se define como la cantidad de calor que ha
abandonado la sección entre dichos instantes. Así mismo, sea Q(t) la cantidad
de calor acumulada en la sección en el instante t. Evidentemente se tiene:
Q(t0 + h) − Q(t0) = A(t0, h) − B(t0, h).

Figura 1.6: Diversos perﬁles unidimensionales
Por tanto, la variación de energía por unidad de tiempo en el intervalo también
se puede calcular en la forma:
dQ
dt
= l´ım
h→0
Q(t0 + h) − Q(t0)
h
= l´ım
h→0
A(t0, h)
h
− l´ım
h→0
B(t0, h)
h
= ˙A(t0) − ˙B(t0).
(2)
Para hacerse una idea del balance (2), es conveniente observar la siguiente ﬁgura
y notar que:
˙A = −kux(x1, t0)A, ˙B = −kux(x2, t0)A en (a)
˙A = −kux(x2, t0)A, ˙B = kux(x1, t0)A en (b)
˙A = −kux(x1, t0)A + kux(x2, t0)A, ˙B = 0 en (c)
˙A = 0, ˙B = −kux(x2, t0)A + kux(x1, t0)A en (d).
Nótese que en todos los casos:
˙A(t0) − ˙B(t0) =
{
−ku(x0, t0) + kux(x1, t0)
}
A.
De la ley de conservación de la energía se tiene entonces que:
∫ x2
x1
ρcut(x, t) dt = kux
x2
x1
,
de donde:
ρcut = kuxx, (3)

que es la ecuación del calor (o de difusión) unidimensional. Hemos llegado así
a la conclusión de que la evolución de la temperatura u(x, t) en un sólido en
el que el calor se propaga en una dirección x, cuyos extremos se encuentran
a temperaturas u0, u1 se describe mediante el problema de valor inicial y de
contorno: 


ρcut = uxx, t > 0, 0 < x < l
u(x, 0) = φ(x), 0 < x < l
u(0, t) = u0, u(l, t) = u1, t > 0.
Se pueden considerar otro tipo de condiciones. Por ejemplo, la de aislamiento
térmico (condiciones de Neumann):
ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t > 0.
También las de enfriamiento con el medio a través de las paredes (ley de Newton,
condiciones de Robin):
ux(0, t) = ν(u(0, t) − T0), ux(l, t) = −ν(u(l, t) − T0),
donde ν > 0 y T0 es la temperatura del medio.
Por otra parte, (3) puede incluir otros términos. Si por ejemplo f(x, t) desig-
na una densidad de producción de calor dentro del sólido –hay un “calentador”
en su interior– por unidad de masa y unidad de tiempo, entonces (3) se convierte
en:
cut =
k
ρ
uxx + f(x, t).
En este modelo los términos producción (f > 0) y consumo (f < 0) se pueden
intercambiar, dando lugar a la misma ecuación.
1.7.1. La ecuación del calor n-dimensional
Consideremos ahora un sólido Ω encerrado por una superficie regular ∂Ω
constituido por un material que en todas las direcciones goza de las mismas
propiedades de conductividad (isótropo). Queremos hacer el siguiente experi-
mento. Inicialmente el cuerpo ha acumulado calor no homogéneamente, e. d.
hay zonas más calientes que otras. Dentro de Ω consideramos una superficie
regular S y queremos estudiar cómo es el flujo de calor de una parte a otra
de la superficie (si la zona de un lado está más caliente que la del otro, habrá
trasvase de calor ΦS de un lado a otro de la superficie). Para ello orientamos S
con uno de sus campos unitarios normales ν = ν(P), P ∈ S. Nos fijamos en un
punto P0 ∈ S y consideramos un trozo pequeño S0 de superficie que rodee a P0,
tan pequeño que se pueda aproximar bien por un trozo homólogo π0 del plano
tangente π, (x − P0)ν(P0) = 0, a S en P0.
De momento nos conformamos con estudiar el flujo calorífico a través de π0.
Para ello, estudiamos la evolución de la temperatura sobre un pequeño segmento
de la recta normal x = P0 + ξν, |ξ| < ε. Si U(ξ, t) = u(P0 + ξν, t) representa
la temperatura en el segmento. Este problema es esencialmente unidimensional,

Figura 1.7: Flujo en un elemento de superficie
Figura 1.8: Sección unidimensional de la temperatura
si estamos en las proximidades de P0. La ley de Fourier unidimensional predice
que la cantidad de calor que pasa a través de π0 en la dirección de ν por unidad
de tiempo, e. d. el flujo calorífico a través de π0, Φ(P0, π0), viene dado por:
Φ(P0, π0, ν) = −k
∂U
∂ξ |t=0
área(π0) = −k∇u(P0) · ν área(π0)
= −k
∂u
∂ν
(P0) área(π0).
Como S0 ∼ π0 y área(S0) := dS ∼ área(π0) (dS es el elemento de área de la
superficie S), podemos aproximar el flujo a través de S0 en la dirección de ν
como:
Φ(S0, ν) = −k
∂u
∂ν
(P0) dS.
El flujo en S0 se globaliza a toda la superficie S de la manera obvia:
Φ(S, ν) = −k
∫
S
∂u
∂ν
dS. (4)
La identidad (4) sugiere una versión vectorial Φ del flujo de temperatura en
el siguiente sentido. Definimos el campo de flujo calorífico Φ (abreviado el flujo)

como aquél que permite calcular el ﬂujo a través de S en la dirección ν, Φ(S, ν),
en la forma:
Φ(S, ν) =
∫
S
Φ · ν dS.
Hemos llegado así a le versión n dimensional de la ley de Fourier que establece
que el vector ﬂujo Φ se expresa:
Φ = −k∇u. (5)
Para hallar la versión n dimensional de la ecuación del calor (3) razonamos
usando el argumento del caso unidimensional. Sea B una pequeña bola en Ω, de
frontera ∂B. Por un lado, la variación de calor por unidad de tiempo en B se
expresa como: ∫
B
ρcut dx.
Por otro lado, la variación de calor por unidad de tiempo ˙Q(t0) se vuelve a
expresar (ver notación anterior) como:
˙Q = ˙A − ˙B.
Para hacernos una idea de cómo son ˙A y ˙B consideramos ∂B− = {x ∈ ∂B|∇u ·
ν < 0} y ∂B+ = {x ∈ ∂B|∇u · ν > 0}, siendo ν el campo unitario exterior a ∂B.
Entonces, ˙A es como antes, la cantidad de calor que entra en B por unidad de
tiempo (en t0) mientras que ˙B es la correspondiente cantidad de calor que sale
de B por unidad de tiempo en t = t0. Se tienen entonces las relaciones:
˙A =
∫
∂B+
k∇u · ν dS, ˙B =
∫
∂B−
−k∇u · ν dS.
De donde,
˙A − ˙B =
∫
B
k
∂u
∂ν
dS.
De la ley de conservación de la energía tenemos entonces que:
∫
B
ρcut dx =
∫
B
k
∂u
∂ν
dS,
que por el teorema de la divergencia –o directamente suponiendo que B es un
pequeño cubo en Ω– se transforma en:
∫
B
ρcut dx =
∫
B
k∆u dx,
y siendo B una bola arbitrariamente pequeña llegamos a:
cρut = k∆u x ∈ Ω, t > 0.

Si el sólido estaba inicialmente a una temperatura φ(x) y las paredes se mantie-
nen, por ejemplo a cero grados (condiciones de Dirichlet homogéneas) conclui-
mos que el comportamiento de la temperatura en Ω a lo largo del tiempo sigue
la solución del problema de contorno y valor inicial:



ρcut = ∆u, t > 0, x ∈ Ω
u(x, 0) = φ(x), x ∈ Ω
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0.
La condición de contorno se puede sustituir por otra de aislamiento térmico
(condición de contorno de tipo Neumann):
∂u
∂n
= 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,
o bien por una condición de intercambio con el medio (condición de Robin):
∂u
∂n
= −τu, x ∈ ∂Ω, t > 0,
en la que hemos supuesto que la temperatura exterior a Ω es de cero grados y
τ es el coeficiente de transferencia.
1.7.2. Difusión
Cuando una substancia soluble en un fluido se deposita en una cierta zona
de éste (el fluido se considera en reposo y localizado en un dominio Ω ⊂ Rn
)
se observa que la substancia difunde y es transportada de zonas de alta a baja
concentración. Si u(x, t) representa la concentración (masa por unidad de vo-
lumen) se observa experimentalmente que el (vector) flujo de masa viene dado
por:
Φ = −D∇u, (1)
en donde D se llama el coeficiente de difusión. En otras palabras, si S es un
trozo de superficie regular en Ω con campo unitario normal ν se tiene que la
integral de superficie: ∫
S
−D
∂u
∂ν
dS,
proporciona la cantidad de masa que es transportada a través de S por unidad
de tiempo, en la dirección del campo ν. La relación (1), equivalente a la ley de
Fourier, se conoce en como la ley de Fick. Argumentando de la misma manera
(invocando ahora el principio de conservación de la masa) se obtiene que la
concentración u = u(x, t) satisface:
ut = D∆u, x ∈ Ω, t > 0, (2)
que se conoce como ecuación de difusión. Como en el caso de la ecuación del
calor, las soluciones de (2) se determinan con la ayuda de condiciones iniciales
y de contorno sobre ∂Ω, idénticas a las de dicha ecuación.

1.8. Ejercicios
1. Decídase cuál de los siguientes operadores son lineales:
a) Lu = ux + xuy
b) Lu = ux + uuy
c) Lu = ux + u2
y
d) Lu = ux + uy + 1
f) Lu =
√
1 + x2(cos y)ux + uyxy − arctag(y/x)u.
2. Se considera el operador lineal L, con coeficientes aα(x) definidos en un
dominio Ω ⊂ Rn
:
Lu =
∑
|α|≤m
aα(x)∂α
u, u ∈ Cm
(Ω).
Asociadas a L se consideran las ecuaciones homogéneas:
Lu = 0, (H)
y no homogénea:
Lu = f(x). (C)
Pruébese que el conjunto Sh de soluciones de (H) forma un espacio vecto-
rial, mientras que el de (C), Sc, es un espacio afín.
3. Para n = 1, es decir, u = u(x) con x ∈ R, hállese la dimensión del espacio
de soluciones de:
u′′′
− 3u′′
+ 4u = 0.
4. Si ahora n = 2, e. d., u = u(x, y), ¿Es finito-dimensional el espacio de
soluciones Sh = {u ∈ C2
(R2
)/Lu = 0} si la ecuación 4
es:
uxx + u = 0?
5. Prúebese que u(x, y) = f(x)g(y) es solución de la e.d.p.
uuxy = uxuy,
cualesquiera que sean f, g ∈ C1
(R).
6. Prúebese que para cada n > 0:
un(x, y) = sen nx senh ny
es una solución de uxx + uyy = 0. ¿Es finita la dimensión del espacio de
soluciones de la ecuación de Laplace?
4La misma cuestión para la ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es menos inmediata, pero
la respuesta está implícita en el problema 6.

1.8. EJERCICIOS 37
7. Hállense las soluciones de las siguientes ecuaciones, en cada caso, sometidas
a las condiciones dadas.
a) 3uy + uxy = 0.
b) (1 + x2
)ux + uy = 0.
c) yux + xuy = 0 junto con u(0, y) = e−y2
.
d) aux + buy + cu = 0.
e) ux + uy + u = ex+2y
junto con u(x, 0) = 0.
8. Hállese la solución general de la ecuación
aux + buy = f(x, y),
donde f(x, y) es una función continua arbitraria, escribiendo la solución
en la forma:
u(x, y) = (a2
+ b2
)− 1
2
∫
L
f ds + g(bx − ay),
donde g es una función C1
arbitraria, L es el arco de característica del eje
y al punto (x, y), y la integral es una integral de línea.
9. Resuélvase, mediante el método del cambio de coordenadas la ecuación:
ux + 2uy + (2x − y)u = 2x2
+ 3xy − 2y2
.
10. Un fluido unidimensional con velocidad u = u(x, t) (u de clase C1
en
R2
) transporta una cierta substancia en la dirección x cuya concentración
viene dada por la función ρ = ρ(x, t), (ρ también C1
) sin que intervenga
otro fenómeno en dicho transporte. Demuéstrese que satisface la ecuación:
(ρu)x + ρt = 0, ecuación de continuidad.
Nota. Un resultado análogo se tiene en n dimensiones (problema 15). Sin
embargo, debe ser preparado convenientemente.
11. Se considera el campo de velocidades de un fluido- u = u(x, t), u : Rn
×
R → Rn
, de clase C1
. Para t0, y cada y ∈ Rn
, el problema de Cauchy:
{
x′
= u(x, t)
x(t0) = y,
admite una única solución que escribimos: x = x(t, y) (Teorema de Picard-
Lindelöff). Además x = x(t, y) es también de clase C1
en (t, y). Escríbase:
Φ(t) = ∂x
∂y (t, y) (donde y ∈ Rn
se mantiene fijo).

12. Pruébese que Φ(t) es una matriz fundamental de la ecuación:
z′
= A(t)z,
donde A(t) = ∂u
∂x (x(t, y), t). Es decir, que Φ′
(t) = A(t)Φ(t), mientras que
Φ(t0) = I.
13. Utilícese el teorema de Jacobi 5
para concluir que:
detΦ(t) = detΦ(t0) exp
{∫ t
t0
div u(x(s, y), s) ds
}
.
14. Sea Ω un dominio acotado de Rn
. Si t es suficientemente pequeño, se puede
definir:
Ωt = {x(t, y)/y ∈ Ω}.
Consideremos ahora una función C1
, ρ = ρ(x, t). Hállese la derivada, con
respecto a t de la función M = M(t), dada por:
M(t) =
∫
Ωt
ρ(x, t) dx.
Nota. Cuando ρ es una densidad de masa y u es la velocidad de un fluido,
M(t) describe la variación, por unidad de tiempo, de la masa que en t = t0
estaba localizada en el dominio Ω.
15. Consideramos el movimiento de un fluido n-dimensional cuyas párticulas
fluidas describen las trayectorias de x′
= u(x, t) (u : Rn
×R → Rn
de clase
C1
el campo de velocidades). Como en 10 suponemos que la concentración
ρ = ρ(x, t), ρ : Rn
× R → R es C1
. Demuéstrese que la ecuación de
continuidad tiene la forma:
div(ρu) + ρt = 0.
La misma situación que en el 10 pero ahora
16. El movimiento ondulatorio (p.e. sonido) en un medio unidimensional (p.
e. un gas o un fluido) con viscosidad despreciable se describe mediante el
campo de velocidades u(x, t), la densidad ρ = ρ(x, t) o la presión p(x, t)
(generalmente hay una ley de estado que liga presión y densidad), bajo
las ecuaciones:
{
ρux + uρx + ρt = 0, 0 < x < l
ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l,
donde F(x, t) mide una fuerza dada por unidad de masa que actua sobre
el fluido. Hállense la velocidad u(x), presión p(x) y densidad ρ(x) de equi-
librio (e. d., no dependientes de t) siempre que F = −g, p = αργ
(α > 0,
γ > 1) y u(0, t) = 0, p(l, t) = p0.
5Sea x′ = A(t)x una ecuación lineal donde la matriz A(t) es continua y sea Φ(t) una
matriz fundamental de la ecuación. Si se pone ξ(t) = det Φ(t) entonces ξ(t) satisface a su vez
la ecuación lineal ξ′ = traza A(t) ξ.

1.8. EJERCICIOS 39
17. Se considera la ecuación de orden k = β1 + β2 (n = 2):
∂β1
1 ∂β2
2 u(x, y) = 0, (x, y) ∈ R2
.
Defínase adecuadamente un problema de tipo Goursat para dicha ecua-
ción con β1 datos funcionales en el eje Ox y β2 datos funcionales en el
eje Oy. Prúebese el correspondiente teorema de existencia y unicidad de
soluciones.
18. Estúdiese la existencia y unicidad de soluciones de los problemas:



uxy = 0
ux(x, 0) = f(x)
uy(0, y) = g(y),



uxy = 0
u(x, 0) = f(x)
u(0, y) = g(y),
siendo f y g adecuadamente regulares, y satisfaciéndose la condición de
compatibilidad: f(0) = g(0).
19. Hállense las soluciones generales de los problemas:



uxy = F(x, y)
ux(x, 0) = f(x)
u(0, y) = g(y),
(P1)



uxy = F(x, y)
ux(x, 0) = f(x)
uy(0, y) = g(y),
(P2)



uxy = F(x, y)
u(x, 0) = f(x)
u(0, y) = g(y),
(P3)
siendo F ∈ C(R2
), f, g adecuadamente regulares y f(0) = g(0) en los
casos (P2 y (P3).
20. Para F(x, y) continua en R2
, hállese la solución del problema



uxy = −F(x, y)
u(x, x) = 0
ux(x, x) = uy(x, x).
21. Sea J0(z) la solución regular (cerca del origen) de la ecuación de Bessel
de orden cero:
z2 d2
u
dz2
+ z
du
dz
+ z2
u = 0,
que satisface: u(0) = 1. Defínase:
v0(x, y) = J0(i2
√
xy) i2
= −1.

a) Demuéstrese que u = v0(x, y) es una solución de la ecuación de Helmholtz
compleja:
uxy − u = 0.
b) Para φ(t) y ψ(t) contínuas en R, determinar qué ecuaciones satisfacen las
funciones:
v1(x, y) =
∫ x
0
φ(t)v0(x − t, y) dt,
v2(x, y) =
∫ y
0
ψ(t)v0(x, y − t) dt.
c) Dése por conocido el hecho de que para toda f ∈ C1
y toda g ∈ C2
el
problema: 


uxy = u
ux(x, 0) = f(x)
u(0, y) = g(y),
admite una única solución C2
. Pruébese entonces que la solución general
de la ecuación de Helmholzt compleja tiene la forma:
u(x, y) =
∫ x
0
φ(t)v0(x − t, y) dt +
∫ y
0
ψ(t)v0(x, y − t) dt + Cv0(x, y),
donde C es una cierta constante que debe ser identiﬁcada.
22. Desígnense por x = x(s, t), y = y(s, t) (x e y funciones de clase C2
),
0 ≤ s ≤ l, t ≥ 0 las ecuaciones paramétricas de una cuerda elástica que
se mantiene sujeta en los extremos (x, y) = (0, 0) y (x, y) = (l, 0) y que en
condiciones de equilibrio – e. d. no sometida a fuerzas exteriores– satisface
x(s, t) = s, y(s, t) ≡ 0 estando sometida a una tensión en cada punto igual
a T0. Se supondrá que en todo instante la densidad de masa de la cuerda
viene dada por la función continua ρ = ρ(s), que su movimiento sólo tiene
lugar en el plano x, y, estando sometida a una densidad de fuerzas vertical
(en el sentido de (0, −1)) F(x, t). La hipótesis de elasticidad se entenderá
en el sentido de que la tensión ¯T(s, t) actúa tangencialmente y el módulo
T(s, t) satisface la relación:
T(s, t) = T (e, s) = T0 +
∂T
∂e
(0, s)e + O(e2
),
donde T = T (e, s) es C2
y e =
√
x2
s + y2
s −1 es la tasa de deformación local
por unidad de longitud. Demuéstrese que las ecuaciones del movimiento
vienen dadas por:



∂
∂s
(
T
e+1
∂x
∂s
)
= ρxtt
∂
∂s
(
T
e+1
∂y
∂s
)
= ρytt − ρF(x, t),

1.8. EJERCICIOS 41
junto con las condiciones de contorno:
x(0, t) = x(l, t) = y(0, t) = y(l, t) = 0,
para cada t ≥ 0.
Se supondrá siempre que las condiciones iniciales para x(t, s) son
x(s, 0) = s, xt(s, 0) = 0, 0 ≤ l ≤ l,
mientras que las de y(s, t) son
y(s, 0) = f(s), xt(s, 0) = g(s), 0 ≤ l ≤ l,
donde f es C1
y g es C2
. Véase el Cap. I del libro de Weinberger.
23. Vamos a considerar ahora un camino alternativo para linealizar las ecua-
ciones del ejercicio anterior, bajo las mismas hipótesis sobre la tensión de
la cuerda. La idea es imaginar el proceso como una pequeña perturba-
ción (de orden ε) de la situación de equilibrio. Vamos a considerar que
la fuerza F y las condiciones iniciales dependen de ε en la forma siguien-
te: F(x, t, ε) = εG(x, t), x(s, 0, ε) = s, xt(s, 0, ε) = 0, y(s, 0, ε) = f(s)ε,
yt(s, 0, ε) = g(s)ε, manteniendo, para todo valor de ε las condiciones de
contorno del problema anterior. Tenemos así una familia parametrizada
de movimientos, x = x(s, t, ε), y = y(s, t, ε) que para ε = 0 debe ser:
x = s, y = 0. Uno debe tener -suponiendo regularidad por doquier- que:
x(s, t, ε) = s + x1(s, t)ε + O(ε2
), y(s, t, ε) = y1(s, t)ε + O(ε2
). Pruébese
entonces que y1(s, t) satisface la ecuación de las ondas:
y1tt =
T0
ρ
y1xx − ρG(s, t).
24. Consideremos las ecuaciones de la propagación de perturbaciones en un
gas compresible (Ejercicio 16):
{
(ρu)x + ρt = 0, 0 < x < l,
ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l.
(1)
Vamos a linealizar las ecuaciones (1) imitando el camino del ejercicio an-
terior. Para ello supondremos que p = p(ρ) es una función regular (C1
) de
ρ, que F = F(x, t, ε) es una función regular en ε de la forma F = ε G(x, t)
con G continua y que las funciones incógnita u y ρ son funciones regulares
de un pequeño parámetro ε (de clase C1
), e. d. u = u(x, t, ε), ρ = ρ(x, t, ε)
que satisfacen u(x, t, 0) = 0, ρ(x, t, 0) = ρ0 > 0. En otras palabras, esta-
mos suponiendo que el régimen del gas es una pequeña perturbación de la
situación de equilibrio ρ = ρ0, u = 0 en la que no hay fuerzas exteriores
(F = 0 para ε = 0). Demuéstrese que las funciones u1 =
∂u
∂ε
(x, t, 0) y
ρ1 =
∂ρ
∂ε
(x, t, 0) veriﬁcan sendas ecuaciones de ondas, a determinar.

25. Consideremos una cadena ﬂexible u = u(s, t), x = x(s, t), 0 ≤ s ≤ l que
pende verticalmente del punto (0, 0) sometida a la fuerza de gravedad y
que se mueve horizontalmente -en el sentido del eje u- debido a los efectos
de la tensión. Supondremos que en cada punto, la fuerza de tensión -que
actúa tangencialmente- nivela –e. .d, es igual– al peso de la cuerda de ese
punto hacia abajo. Hállense las ecuaciones del movimiento.
26. Una cable –ahora inextensible– pende de dos puntos situados a la misma
altura y se halla en reposo (formando una ﬁgura característica parecida
a una parábola). Se supone que la tensión del cable en cada punto siem-
pre actúa tangencialmente. Si ρ(s) (s la longitud de arco) es la densidad
lineal del cable y τ0 la tensión en el punto más bajo, hállese la ecuación
diferencial (ahora ordinaria) que satisface la curva que lo describe. Hállese
explícitamente si ρ es constante (la curva resultante se llama Catenaria).
27. Hállense las posibles soluciones estacionarias (i. e. no dependientes de t)
de la ecuación de las ondas:
vtt =
T0
ρ(x)
vxx − F(x), 0 < x < l,
bajo condiciones de Dirichlet homogéneas:
u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0,
y bajo condiciones de Neumann homogéneas:
ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t ≥ 0.
28. Sea Ω = (a, b) × (c, d) y u ∈ C2
(¯Ω). Demostrar que,
∫
∂Ω
T0 un ds =
∫
Ω
T0∆u dx,
donde T0 es constante y un representa la derivada normal exterior en ∂Ω
(ds denota el elemento de longitud de arco).
Pruébese también que si γ es una curva cerrada y C1
, siendo ¯n un campo
unitario normal a γ, entonces
∫
γ
T0 ¯n ds = 0.
29. Una versión tridimensional de las ecuaciones del Ejercicio 16 resulta ser:
{
∂ρ
∂t + div (ρu) = 0,
ρ
(∂u
∂t + ∂u
∂¯x u
)
+ ∇p = ρF(¯x, t),
en donde ahora ¯x = (x, y, z), u = u(x, t) es un campo C2
en R3
, p = p(¯x)
es la presión que como allí es una función regular de la densidad p = p(ρ)

1.8. EJERCICIOS 43
en donde F = F(¯x, t) es un campo C1
de fuerzas con valores en R3
. El
sistema de ecuaciones describe las perturbaciones en un gas tridimensional
(p.e. la propagación del sonido en el aire) y, suponiendo que u, ∂u
∂¯x y ρ−ρ0
son pequeños en módulo una versión linealizada de las ecuaciones tiene la
forma: {∂ρ
∂t + ρ0div u = 0,
∂u
∂t +
c2
0
ρ0
∇ρ = 0,
donde escribimos c2
0 = p′
(ρ0) y suponemos por simplicidad que F = 0.
Demuéstrese que si rot u = 0 en t = 0 entonces rot u(¯x, t) = 0 para todo
t ≥ 0. Demuéstrese además que el campo u y la densidad ρ satisfacen la
ecuación de las ondas: {
∂2
u
∂t2 = c2
0∆u,
∂2
ρ
∂t2 = c2
0∆ρ.
30. (Concepto de Flujo). Sea u = u(x, t) un campo C1
en Rn
, S una superficie
simple y S1, ¯S1 compacta, una porción de S transversal a u, e. d.,
u(x, t) · ν(x) ̸= 0, ∀t ≥ 0, x ∈ S1.
Para normalizar supongamos que u · ν > 0 (se recuerda que ν designa el
campo normal a S1). Fijado t0 y t > t0, “convenientemente” próximo a t0
definimos V (t) el “volumen” ocupado por las partículas que han cruzado a
través de S1 -en el sentido de u- entre los instantes t0 y t, e. d. el volumen
de fluido que ha penetrado por S1 entre esos instantes, siguiendo el campo
de velocidades x′
= u(x, t). Prúebese que:
d
dt
V (t)|t=t0
=
∫
S1
u · ν dσ. (1)
Se conoce a (1) como el flujo de volumen a través de S1 en t = t0.
31. En las condiciones del Ejercicio 30 sea A una cierta substancia que es
transportada por u(x, t) y que tiene por concentración c = c(x, t), c(x, t)
continua. Hállese la cantidad de masa de A que atraviesa S1 por unidad
de tiempo en t = t0. Prúebese que dicha cantidad vale (flujo de masa a
través de S1) ∫
S1
c(x, t)u · ν dσ.
32. Un fenónmeno análogo al del transporte de calor por difusión es el del
transporte de masa, también por difusión, de una cierta substancia A.
Cuando una concentración inicial c0(x) (i.e. masa por unidad de volu-
men) de la misma se deposita en un fluido (disolvente) en reposo, ésta es
transportada -por efectos de la dinámica molecular del fluido- por difusión
siguiendo la ley de Fick (que es completamente análoga a la de Fourier).
Esto significa físicamente que la substancia es transportada desde zonas de

alta concentración hacia zonas de baja concentración. Es decir, si tenemos
una porción compacta S1 de una superficie simple S, la cantidad de masa
transportada (¡aunque el fluido esté en reposo!) a través de S1 siguiendo
su campo normal ν(x) y por unidad de tiempo vendrá dada por:
ΦS1 = −
∫
S1
d
∂c
∂ν
. (1)
ΦS1 es el flujo de masa a través de S1 debido a la difusión. d es el coeficiente
de difusión. Otra forma de expresar la ley de Fick es decir que el vector
“flujo de masa” Φ en cada punto x es:
Φ(x) = −d∇c(x, t),
donde c = c(x, t) representa la concentración de A como función de la
posición espacial y el tiempo.
33. Si el fluido ocupa una región del espacio Ω y el único mecanismo que inter-
viene en el transporte de masa es la difusión (fluido en reposo), pruébese
que c satisface la ecuación del calor:
∂c
∂t
= d∆c.
34. Supongamos ahora que el fluido está en movimiento en Ω, bajo un campo
de velocidades u(x, t). Así la substancia A es transportada, además de
por difusión, por el arrastre u(x, t) a que la somete el fluido. Pruébese que
ahora la concentración c satisface:
∂c
∂t
= div (d∇c) − div (cu).
(Véase el Ejercicio 10).
35. (Teorema de Liouville). Supongamos que un fluido con campo C1
de ve-
locidades u(x, t) ocupa una región abierta Ω de Rn
, y que Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω,
con Ω1 compacto. Para t > t0 convenientemente próximo a t sea (Ω1)t el
lugar ocupado en el instante t por las partículas que estuvieron en Ω1 en
t = t0. Prúebese que:
vol (Ω1)t =
∫
Ω1
e
∫ t
t0
div u(x(s,y),s) ds
dy,
donde x(t, y) denota la única solución del problema x′
= u(x, t), con
x(t0) = y, y ∈ Ω1. ¿ Se te ocurre alguna explicación a por qué se lla-
man “incompresibles” los fluidos que cumplen la ecuación:
div u(x, t) = 0, t ≥ 0, x ∈ Ω?

1.8. EJERCICIOS 45
36. Se considera una barra de longitud l en la dirección del eje x que tie-
ne sección A lo suficientemente pequeña como para que el calor difunda
solamente en la dirección de x, luego la temperatura será de la forma
u = u(x, t). Admitamos además que el flujo de calor Φ a través de la
pared lateral de la barra sigue la Ley de Newton, es decir, que Φ es pro-
porcional a la diferencia (u − T0), donde T0 es la temperatura ambiente.
Dedúzcase la ecuación para la temperatura.
37. Se considera una barra cilíndrica y tridimensional en la que el calor di-
funde transversalmente al eje de simetría mientras que las variaciones de
temperatura son despreciables en el sentido de dicho eje. Suponiendo que
la temperatura u sólo depende de la distancia al eje de la barra, hállese
una ecuación para dicha temperatura u(x, y, z, t) en el interior de la barra
(tómese por ejemplo el eje Oz en la dirección como eje de la barra).
38. Hállese la ecuación de difusión del calor en coordenadas esféricas de R3
.
39. Se considera una barra homogénea de longitud l, coeficiente de conductivi-
dad térmica k; lo suficientemente fina como para que la difusión del calor
sólo se considere en sentido longitudinal. Se ha realizado un experimento
en el que, tras comenzar con una temperatura homogénea de T0 grados en
la barra, y mantenerla a una temperatura constante T1 en los extremos, se
observa que la temperatura en el punto medio viene dada por una función
f(t). Si repetimos el experimento con una barra de las mismas caracterís-
ticas (mismo ancho y conductividad térmica), inicialmente sometida a T∗
0
grados y mantenida permanentemente a T∗
1 grados en sus extremos, y de
longitud l∗
¿Qué ley f∗
(t) seguirá la temperatura en el punto medio de la
barra?
Indicación. Dése por conocida la unicidad de solucines para el problema
de valor inicial y de Dirichlet para la ecuación del calor.
40. 6
El tiempo de cocción de un asado de 5 libras que inicialmente se hallaba
a una temperatura de 40 grados, al introducirlo en un horno de 350 grados,
es de dos horas ¿Cuál será el tiempo de cocción de una asado de 10 libras
con la misma forma y en las mismas condiciones?
6cf. M. S. Klamkin, SIAM Review, Vol. 3, n. 2, pp. 167-169.

Capítulo 2
Ecuaciones en derivadas
parciales de primer orden
2.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales
2.1.1. Ecuaciones lineales
La ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden más general es
(Capítulo 1)
Lu = f(x), x ∈ Ω, (2.1)
donde,
L =
n∑
i=1
ai(x)
∂
∂xi
+ b(x),
siendo Ω ⊂ Rn
un dominio (abierto y conexo), ai(x) ∈ C1
(Ω), para cada i,
b(x), f(x) ∈ C(Ω). Mantendremos estas hipótesis a lo largo de todo el capítulo.
Se denotará A(x) = (a1, · · · , an), así Lu = ∂
∂A + b.
Una superficie simple S ⊂ Ω de clase Ck
viene definida una parametrización
(g, U), U ⊂ Rn−1
un dominio y g = g(s), g : U → Rn
de clase Ck
(k ≥ 2) de
forma que S = g(U) y tal que:
N =
∂g
∂s1
∧ · · · ∧
∂g
∂sn−1
̸= 0, ∀s ∈ U.
Si S es una superficie simple ν = N
|N| representa el campo unitario normal a
S asociado a (g, U), mientras que el espacio tangente a S en x0 = g(s0) es:
TSx0 = span
{
∂g
∂s1
(s0), · · · ,
∂g
∂sn−1
(s0)
}
.
Finalmente, se dice que una funcón ϕ : S → R es de clase C1
en S si ϕ ◦ g ∈
C1
(U). Véase el Anexo para más detalles.
47

48 CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN
Es fácil ver que si y(t) = g(σ(t)), a < t < b, σ = σ(t) de clase C1
, σ(0) = s0
es una curva en S entonces su vector tangente en x0, ˙y(0) ∈ TSx0 .
Definición 2.1. Sea ϕ ∈ C1
(S). El problema de Cauchy para (2.1) en S consiste
en hallar (u, U), S ⊂ U ⊂ Ω, U abierto, u : U → R de clase C1
tal que:
Lu = f, x ∈ Ω
u|S
= ϕ.
(2.2)
Por analogía con el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias diremos que
(u, U) es una solución local de (2.2). Como allí, la siguiente noción parece natural
a primera vista: (2.2) goza de la propiedad de unicidad de soluciones si para cada
par de soluciones locales (ui, Ui), i = 1, 2, resulta que u1 = u2 sobre U1 ∩U2. Esta
definición parece sugerir que en caso de darse la unicidad de soluciones, todas
las soluciones locales (u, U) acaban siendo restricciones de una cierta solución
maximal (u∗
, U∗
) de (2.2). Sin embargo, comprobaremos que ni siquiera en el
caso del problema (2.2) se verifica la propiedad de unicidad de soluciones en el
sentido que se ha enunciado. Sí se demostrará que todas las soluciones locales
(u, U) coinciden en un cierto entorno de la superficie S. Por tanto, nociones
básicas en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias como solución local y
prolongabilidad no pueden extenderse al contexto de (2.2).
La función ϕ se llama dato de Cauchy. En general (Capítulo 1) no toda
superficie sirve para imponer datos de Cauchy. Por ejemplo, supongamos que
Γ = {x(t)/a < t < b} es una solución de x′
= A(x) cuya gráfica Γ ⊂ S.
Entonces S no admite datos ϕ arbitrarios. En efecto, sobre Γ, u = ϕ. Si ponemos
ˆϕ(t) = ϕ(x(t)), ˆϕ debe satisfacer:
ˆϕ′
+ ˆb = ˆf a < t < b,
con ˆf = f(x(t)), ˆb = b(x(t)). Luego ϕ no se puede elegir arbitrariamente. Las
superficies adecuadas son las siguientes.
Definición 2.2. Una superficie S se dice no característica con respecto a (2.1)
si:
A(x) · ν(x) ̸= 0, ∀x ∈ S. (2.3)
S es característica si
A(x) · ν(x) = 0, ∀x ∈ S. (2.4)
Observación 2.1. De lo dicho más se deduce que aquellas superficies que con-
tengan órbitas de x′
= A(x) no son admisibles para el problema de Cauchy. Las
superficies características son siempre la unión de órbitas de dicha ecuación.
Lema 2.3. Sea S ⊂ Rn
una superficie simple y F = F(x) ∈ C1
(Rn
, Rn
) un
campo C1
. Entonces S es invariante frente a x′
= F(x) si y sólo si F(x) es
tangente a S en cada x ∈ S. En particular, si S es característica, S es la unión
de órbitas de x′
= A(x).

2.1. ECUACIONES LINEALES Y CUASILINEALES 49
Demostración. Si x0 ∈ S, ponemos x0 = g(s0) mientras para cada s ∈ U,
A(g(s)) =
∑
αi(s)∂g/∂si. Resolvemos s′
= α(s) junto con s(0) = s0. Resulta
que x(t) = g(s(t)) es la solución de x′
= A(x), x(0) = x0 que por construcción
está es S. El recíproco es inmediato.
Definición 2.4. Las órbitas de x′
= A(x) se denominan curvas características
de la ecuación (2.1).
Las superficies no caracterí sticas son las adecuadas para el problema de
Cauchy. Esto se apoya en el hecho –que precisamos ahora– de que la ecuación
es “de orden 1” en la dirección de la normal a S. La filosofía del argumento,
aunque formal, es la misma para ecuaciones de orden superior.
Si f(t, x) es C∞
y no se sabe cómo resolver el problema
x′
= f(t, x)
x(t0) = x0,
lo que está claro es que dicho problema permite al menos obtener una expresión
formal de la solución x(t) si ésta fuese C∞
:
x(t) =
∞∑
n=0
an(t − t0)n
.
Consideramos el siguiente caso particular de (2.2):
∂U
∂t
= −â−1
n
{n−1∑
i=1
âi
∂U
∂si
+ bU − f
}
U(s, 0) = ˆϕ(s).
(2.5)
Hemos tomado S = {xn = 0} y llamado s = (s1, · · · , sn−1) = (x1, · · · , xn−1),
t = xn. Naturalmente hemos supuesto que ân ̸= 0 para |t|, |s| pequeños. Si todos
los datos son C∞
entonces U(t, s) puede obtenerse formalmente como:
U(s, t) =
∑
α,m
aα,m(s − s0)α
tm
.
(¡Hágase con dos variables (n = 2)!).
Si ahora tratamos con una superficie no característica S, el problema (2.2)
se transforma en (2.5) si hacemos el cambio de variable local:
U(s, t) = u(g(s) + tν(s)), ˆϕ(s) = ϕ(g(s)),
donde |s − s0|, |t| son pequeños. Nótese que bajo dicho cambio:
x = g(s) + tν(s), t = T(x), s = S(x) (2.6)

50 CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN
se tiene que:
∂l
U
∂tl
(s0, 0) =
dl
dtl
(u(g(s0) + tν(s0))|t=0
=
∂l
u
∂νl
(x0)
∂U
∂si
(s0, 0) = ∇u(x0)
∂g
∂si
,
en donde x0 = g(s0) ∈ S. Por tanto, las derivadas con respecto a t de U
representan derivadas normales de u en S mientras que las derivadas de U con
respecto a si representan derivadas tangenciales. Haciendo el cambio (2.6) se
llega a que U satisface (2.5) con los valores:
ân(s, t) = A(x) · ∇T(x), âi = A(x) · ∇Si,
para 1 ≤ i ≤ n − 1. Nótese que ∇T = ν en S, por eso ân(s, t) ̸= 0 si |s − s0|, |t|
son pequeños. En efecto: ân(s, t) = A(x) · ν(x) ̸= 0, en virtud a la condición de
no caractericidad.
Teorema 2.5. Sea S una superficie no característica para la ecuación (2.1).
Entonces, cualquiera que sea el dato de Cauchy ϕ ∈ C1
(S) el problema (P)
admite una solución local (u, U) que es única en el sentido siguiente: si (u1, U1)
es otra solución local, existe una abierto V1 ⊂ Ω, S ⊂ V1 ⊂ U ∩ U1 tal que
u = u1 en V1.
Observaciones 2.2.
a) La técnica de la prueba del teorema se llama “método de las características”.
b) La existencia de soluciones locales no se puede mejorar en general para obtener
soluciones definidas globalmente donde lo estén los coeficientes. Tómese por
ejemplo S = {(x, y) = (s, 0) : s > 0}, ϕ(s) = 0 y la ecuación:
yux − xuy = 1 (x, y) ∈ R2
− {(0, 0)}.
Este problema admite infinitas soluciones no prolongables (ver e)). Tales so-
luciones presentan discontinuidades donde los coeficientes son regulares. Véase
también la sección de problemas.
c) No es difícil ver que la solución obtenida por el métdodo de las características
depende continuamente del dato ϕ. Es decir, si ϕn es una sucesión de funciones
C1
que converge uniformemente sobre compactos de S a una ϕ de clase C1
entonces un(x) → u(x) uniformemente sobre compactos.
d) El entorno U es A-convexo en el sentido de que cada x ∈ U se escribe:
x = X(t, g(s)) para algún t y g(s) ∈ S (notamos por x(t) = X(t, y) a la
única solución de x′
= A(x), junto con x(0) = y) y además: [g(s), x]A = {x =
X(τ, g(s))/0 ≤ τ ≤ t} está contenido en U. Pues bien, dada otra solución local
(u1, U1), el entorno V1 que se menciona en el teorema 1 se puede expresar como:
V1 = {x ∈ U ∩ U1 : [g(s), x]A ⊂ U1, si x = X(t, g(s))}.

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