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![Introducción
Estas son unas notas “dinámicas” sobre ecuaciones en derivadas parcia-
les(“edp’s” en lo que sigue), es decir, en continua remodelación. Al estar colgadas
en la red nos podemos permitir ese lujo. Disculpe el posible lector el número
inmoderado de erratas tipográficas y algunas de las otras (que he tratado de
disipar hasta el exterminio con el paso del tiempo).
Las edp’s dan al estudiante de matemáticas la impresión –ese fue al menos
mi caso– de materia caprichosa. Se aplica un enorme esfuerzo al estudio de tres
“meros” casos particulares de segundo orden. Esto, en mis tiempos, donde la
carrera ponía gran énfasis en materias tan abstractas como la topolgía gene-
ral o el cáculo diferencial en espacios de Banach, resultaba desolador para el
principiante.
Otro agravante, cada pequeño avance en el análisis de estas ecuaciones (v. g.
de “coeficientes constantes” a “coeficientes variables”) supone un esfuerzo consi-
derables incluso en las situaciones más humildes (v. g. la ecuación de ondas con
velocidad variable). Como subrayaba mi querido profesor de entonces, Carlos
Fernández Pérez, nada que ver con las “ode’s” donde teoremas de existencia,
unicidad y dependencia continua se formulan limpia y concisamente desde el
principio.
Pues bien, en lo que aquí se expone, más de lo mismo. . . . Las lecciones
que siguen tratan de imitar las que hace ya muchos años recibí sobre edp’s.
Las actuales materias de licenciatura/grado contemplan metas mucho menos
ambiciosas (en la generalidad de los centros se estudia muy poco de edp’s). Tras
la lectura del índice resulta evidente que hay temas suficientes para surtir varias
de estas nuevas asignaturas.
Es un placer reconocer las deudas contraídas en la redacción de estas notas.
La científica espero haberla saldado unas líneas atrás. Sobre textos, un buen
número de los ejercicios provienen de [21]. Ya de estudiante, el de Folland [9]
me resultó siempre muy sugestivo. Por su cuidada exposción y detalle en los
cálculos, [16] ha sido siempre un importante pilar para mi docencia. Nada se
trata aquí sobre soluciones débiles. Si ese fuese el caso, aparte de [16] los textos
de [1] y [5] serían de referencia obligada.
Espero que el lector saque el mejor provecho de este manuscrito virtual.
José C. Sabina de Lis (http://josabina.wbs.ull.es)
La Laguna 26 de septiembre de 2014.
vii](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-7-320.jpg)
![50 CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN
se tiene que:
∂l
U
∂tl
(s0, 0) =
dl
dtl
(u(g(s0) + tν(s0))|t=0
=
∂l
u
∂νl
(x0)
∂U
∂si
(s0, 0) = ∇u(x0)
∂g
∂si
,
en donde x0 = g(s0) ∈ S. Por tanto, las derivadas con respecto a t de U
representan derivadas normales de u en S mientras que las derivadas de U con
respecto a si representan derivadas tangenciales. Haciendo el cambio (2.6) se
llega a que U satisface (2.5) con los valores:
ˆan(s, t) = A(x) · ∇T(x), ˆai = A(x) · ∇Si,
para 1 ≤ i ≤ n − 1. Nótese que ∇T = ν en S, por eso ˆan(s, t) ̸= 0 si |s − s0|, |t|
son pequeños. En efecto: ˆan(s, t) = A(x) · ν(x) ̸= 0, en virtud a la condición de
no caractericidad.
Teorema 2.5. Sea S una superficie no característica para la ecuación (2.1).
Entonces, cualquiera que sea el dato de Cauchy ϕ ∈ C1
(S) el problema (P)
admite una solución local (u, U) que es única en el sentido siguiente: si (u1, U1)
es otra solución local, existe una abierto V1 ⊂ Ω, S ⊂ V1 ⊂ U ∩ U1 tal que
u = u1 en V1.
Observaciones 2.2.
a) La técnica de la prueba del teorema se llama “método de las características”.
b) La existencia de soluciones locales no se puede mejorar en general para obtener
soluciones definidas globalmente donde lo estén los coeficientes. Tómese por
ejemplo S = {(x, y) = (s, 0) : s > 0}, ϕ(s) = 0 y la ecuación:
yux − xuy = 1 (x, y) ∈ R2
− {(0, 0)}.
Este problema admite infinitas soluciones no prolongables (ver e)). Tales so-
luciones presentan discontinuidades donde los coeficientes son regulares. Véase
también la sección de problemas.
c) No es difícil ver que la solución obtenida por el métdodo de las características
depende continuamente del dato ϕ. Es decir, si ϕn es una sucesión de funciones
C1
que converge uniformemente sobre compactos de S a una ϕ de clase C1
entonces un(x) → u(x) uniformemente sobre compactos.
d) El entorno U es A-convexo en el sentido de que cada x ∈ U se escribe:
x = X(t, g(s)) para algún t y g(s) ∈ S (notamos por x(t) = X(t, y) a la
única solución de x′
= A(x), junto con x(0) = y) y además: [g(s), x]A = {x =
X(τ, g(s))/0 ≤ τ ≤ t} está contenido en U. Pues bien, dada otra solución local
(u1, U1), el entorno V1 que se menciona en el teorema 1 se puede expresar como:
V1 = {x ∈ U ∩ U1 : [g(s), x]A ⊂ U1, si x = X(t, g(s))}.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-58-320.jpg)
![2.2. ECUACIONES CUASILINEALES 51
e) [No unicidad local]. Consideremos el problema:
yux − xuy = 1
u(x, 0) = h(x), x > 0.
(P)
Sean 0 < α1 < α2 < 2π dos ángulos y sean θ1(x, y) y θ2(x, y) dos determina-
ciones del argumento con líneas de corte en las semirrectas ri, x = t cos αi, y =
t sen αi, t ≥ 0. Pues bien, los pares (ui, Ui) con:
ui = h(
√
x2 + y2) − θi(x, y),
con (x, y) ∈ Ui = R2
− ri son dos soluciones locales tales que u1 ̸= u2 en
{α1 < arg (x, y) < α2}. Por tanto no se cumple que u1 = u2 en U1 ∩ U2. Véase
también la sección de ejercicios.
2.2. Ecuaciones cuasilineales
La ecuación cuasilineal de primer orden más general toma la forma:
n∑
i=1
ai(x, u)
∂u
∂xi
= b(x, u) x ∈ Ω, (2.7)
donde se supone en lo que sigue que las funciones ai(x, y), b(x, y) ∈ C1
(Ω × R),
mientras que S representa una superficie simple parametrizada por x = g(s),
g ∈ Ck
(U, Rn
), U abierto de Rn−1
, k ≥ 2. Denotaremos análogamente por A al
campo: A(x, y) = (a1(x, y), · · · , an(x, y)).
El estudio de las soluciones de (2.7) es de nuevo abordable mediante ecua-
ciones diferenciales ordinarias. En efecto, las soluciones u de (2.7) definen su-
perficies en Rn
× R (las superficies integrales),
y − u(x) = 0,
cuya normal (∇u, −1) debe ser ortogonal al campo (A(x, y), b(x, y)) en cada
punto (x, y) = (x, u(x)). En otras palabras, el campo (A(x, y), b(x, y)) caracteri-
za las soluciones de (2.7) como sus superficies invariantes. Esto es consecuencia
del Lema 2.3 o del siguiente razonamiento directo. Si y = u(x) es invariante
frente a la ecuación:
x′
= A(x, y)
y′
= b(x, y),
(2.8)
y(t) = u(x(t)) para toda solución, con lo que derivando,
∑
ai(x(t), u(x(t)))∂xi
u(x(t)) = b(x(t), u(x(t))),
y u resuelve (2.1). Recíprocamente, si u resuelve (2.7) tomamos x0, y0 = u(x0).
Formamos la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0, y0) y por otro lado
y1(t) = u(x(t)). Sabemos que y′
= b(x(t), y), y(0) = y0. Derivando se tiene](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-59-320.jpg)
![2.7. EJERCICIOS 69
3. Ecuación de Burgers. Se considera la ecuación:
uy + uux = 0, (B)
en la que y representa el tiempo y u = u(x, y) representa el campo de
velocidades de un gas en la dirección del eje x.
a) Demostrar que si u es solución de (B), la velocidad de cada partícula es
constante.
b) Si h = h(x) es C1
y no decreciente, entonces la ecuación (B) sometida a
la condición:
u(x, 0) = h(x), x ∈ R (C)
admite una única solución definida en todo y ≥ 0.
c) Si además h es Lipschitz en R pruébese que la solución de (B) - (C) existe
para |y| ≤ ε para un cierto ε > 0. ¿Qué sucede si h no es Lipschitz?
d) Hállese la solución correspondiente al dato h = s2
− 1.
4. Se considera el problema de Cauchy:
ut = ux + u(1 − u); u(x, 0) = ϕ(x). (P)
a) Demostrar que la solución de (P) está definida en todo (x, t) ∈ R2
si
ϕ ∈ C1
, 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, para cada x ∈ R.
b) ¿Qué sucede si ∃x0 ∈ R tal que ϕ(x0) /∈ [0, 1]?
5. Una función u(x), x ∈ Rn
se dice homogénea de grado α ̸= 0 si:
u(tx) = tα
u(x), ∀t > 0, x ∈ Rn
. (H)
El teorema de Euler establece que u ∈ C1
(Rn
{0}) cumple (H) si y sólo
si u satisface la e.d.p.:
n∑
i=1
xi
∂u
∂xi
= αu, x ∈ Rn
{0}. (E)
Estúdiense las soluciones de (E) con las técnicas de las ecuación en deri-
vadas parciales’s de primer orden.
6. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen
todas las funciones radiales u en R2
. Estudiar el problema de Cauchy para
la ecuación resultante.
7. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen
todas las esferas de radio 1 en R3
con centro en el plano x–y. Descríbanse
los conos de normales y de Monge para la ecuación resultante así como
la solución del problema de Cauchy con dato h(x, 0) =
1
2
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-77-320.jpg)
![78 CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE CAUCHY
donde
cn =
pM
r
(
r + Pm
r2
)n−1
n ≥ 1.
Luego:
r − s
1 − pM+r
r2 s
=
∑
α
c|α|
|α|!
α!
xα
.
Esto prueba la afirmación de analiticidad formulada más arriba
La siguiente propiedad se conoce como el principio de prolongación analítica
(compárese con el caso de una variable compleja).
Propiedad 3.8. Supongamos que f, g : Ω → R son analíticas en un dominio
Ω ⊂ Rn
y que ∃x0 ∈ Ω tal que ∂α
f(x0) = ∂α
g(x0) para cada α ∈ Nn
. Entonces
f(x) = g(x) para todo x ∈ Ω.
Demostración. El conjunto {x ∈ Ω : ∀α ∂α
f(x) = ∂α
g(x)} es no vacío, cerrado
y abierto.
Teorema 3.9 (Teorema de la Función Implícita [11]). Sean
f : Uabierto
⊂ Rn
× Rm
−→ Rm
(x, y) −→ f(x, y),
una función real analítica, (x0, y0) ∈ U tales que:
i) f(x0, y0) = 0,
ii)
∂f
∂y
(x0, y0) ∈ Mm×m(R) es no singular.
Entonces existe un entorno de (x0, y0) en el que las soluciones de la ecuación
f(x, y) = 0,
son exactamente de la forma (x, y) = (x, h(x)) donde h : V ⊂ Rn
→ Rm
es una
función real analítica, x0 ∈ V y h(x0) = y0.
Demostración. La existencia y unicidad de h, con h de clase C∞
en un cierto
entorno de x0 es consecuencia de la versión estándar del teorema de la función
implícita. Se trata de probar que la serie formal de Taylor de h
h(x) =
∑
α
cα(x − x0)α
,
converge en un entorno de x0.
Para probar este extremo suponemos sin pérdida de generalidad que x0 = 0
e y0 = 0. Llamando L0 =
∂f
∂y
(x0, y0) escribimos la ecuación en la forma:
y = g(x, y),](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-86-320.jpg)
![86 CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE CAUCHY
c) El teorema de Cauchy–Kowalevski requiere para su validez que la superficie
S, datos y ecuación en (3.3) sean no cacrteísticos, o si se quiere, que en (3.13)
hayamos despejado la derivada del orden de la ecuación en la variable t y en
el segundo miembro no aparezcan derivadas en t de orden superior (es decir,
precisamente en el formato en el que se ha escrito (3.13)). En efecto, el problema
de Cauchy,
ut = uxx x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = f(x) ,
con f analítica en x = 0 carece en general de soluciones analí ticas en un entorno
completo |x| < ε, |t| < ε de (x, t) = (0, 0) (véase la sección de problemas). Ello
se debe a que el problema no es legítimamente de orden dos en t.
d) El teorema de Cauchy–Kowalevskii sólo afirma la unicidad de soluciones analí-
ticas para (3.13). Sin embargo no queda excluida la existencia de otras posibles
soluciones no analíticas. Un teorema debido a Holmgren (v. el libro de Fritz
John [11]) asegura que si F es lineal en (3.13), es decir,
∂k
t u =
∑
|β|+γ≤k,γ<k
aβγ(s, t)∂β
s ∂γ
t u + f(s, t) s ∈ U, |t| < ε
∂i
u
∂ti
(s, 0) = φi(s), 0 ≤ i ≤ k − 1, s ∈ U,
(3.14)
entonces tal problema sólo admite la solución analítica. De hecho, lo que se
demuestra es que si los coeficientes aβγ son analíticos entonces (PL) admite a
lo más una solución clásica para f ∈ C(U) y φi ∈ Ck−i
(U ∩ {t = 0}).
e) Finalmente, otra imperfección del resultado es la no dependencia continua en
los datos. Asílo prueba el siguiente ejemplo de Hadamard,
uxx + uyy = 0
u(x, 0) = 0
uy(x, 0) =
1
k
sen kx ,
k ∈ N. La solución del problema (vía separación de variables) es
uk(x, y) =
1
k2
(sen kx)(senh ky) .
Mientras los datos decrecen exponencialmente a 0, cualquiera que sea (x0, y0)
tan próximo al eje 0x como se desee, x0 ̸= 0 (mod. Z), la sucesión uk(x0, y0)
siempre contiene subsucesiones uk′ (x0, y0) tales que |uk′ (x0, y0)| → +∞.
3.4. Ejercicios
En los problemas que siguen α, β, γ ∈ N∗n
son multiíndices mientras que
x, y ∈ Rn
son vectores.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-94-320.jpg)
![102 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
Caso elíptico 1
. Cuando:
d = b2
− ac < 0
en Ω –caso denominado elíptico 2
– la ecuación (2) carece de soluciones reales.
La función:
λ =
−b(x, y) +
√
b2(x, y) − a(x, y)c(x, y)
a(x, y)
,
toma valores complejos. Supondremos que λ = λ(x, y) puede extenderse a una
función C1
en C2
(una condición necesaria y suficiente es que a, b, c sean ana-
líticas reales en (x, y)).
El problema:
dy
dx
= −λ(x, y)
y(x0) = ξ,
admite una solución compleja y = Y (x, ξ) que es C1
en la variable (x, ξ) ∈ C2
de
donde se puede despejar ξ = ϕ(x, y), ϕ una función compleja y C1
que cumple:
aϕ2
x + 2bϕxϕy + cϕ2
y = 0.
Poniendo ϕ = ξ + iη la ecuación lleva a las igualdades:
a(ξ2
x − η2
x) + 2b(ξxξy − η − xηy) + c(ξ2
y − η2
y) = 0
aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy = 0.
Por tanto ˜b = 0 mientras ˜a = ˜b. La nueva expresión de la forma principal será:
˜L0 = ˜a{uξξ + uηη}.
Es decir, y módulo un factor multiplicativo, el caso elíptico es localmente el
operador Laplaciano (en los términos de orden superior).
Ejemplo 4.5. La ecuación de Tricomi:
yuxx + uyy = 0,
tiene d = −y. Es hiperbólica en y < 0. En este caso tenemos: λ± = ∓1/
√
−y
que dan posibles ξ, η bajo la forma:
ξ = x +
2
3
(−y)3/2
η = x −
2
3
(−y)3/2
,
mientras L(ξ) = −L(η) = 1/(2
√
−y), ˜b = 2y. En la región y < 0 la ecuación de
Tricomi adopta la forma:
uξη −
1
8(−y)3/2
(uξ − uη) = 0.
1Ver [25]
2Terminología coherente con la de la Sección 4.1.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-110-320.jpg)
![4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL 107
los valores futuros de la solución. Tales son respectivamente el cono pasado de
luz:
Γ−
(¯x, ¯t) = {(x, t) : ξ ≤ ¯ξ, η ≥ ¯η},
y el cono futuro de luz:
Γ+
(¯x, ¯t) = {(x, t) : ξ ≥ ¯ξ, η ≤ ¯η},
por el punto (¯x, ¯t). En efecto para ¯t > 0 y según (1):
u(¯x, ¯t) =
1
2
{f(¯ξ) + f(¯η)} +
1
2c
∫ ¯ξ
¯η
g(s) ds
Luego la solución usa la información en Γ−
(¯x, ¯t) ∩ {t = 0}. Alternativamente,
para cualquier t0 < ¯t la solución puede observarse como la que tomó datos
iniciales u y ut en t = t0. Usando la notación precedente:
u(x, t) = u(x, t, t0, u(·, t0, 0, f, g), ut(·, t0, 0, f, g)),
que dice que u(¯x, ¯t) también se construye usando la información de la propia u
confinada en Γ−
(¯x, ¯t) ∩ {t = t0}.
Un argumento simétrico muestra que Γ+
(¯x, ¯t) es la región donde la informa-
ción en el punto (¯x, ¯t) afectará a la solución u. Por eso a Γ+
(¯x, ¯t) también se le
llama la “región de influencia"del punto (¯x, ¯t).
El mismo género de argumentos geométricos llevan al siguiente resultado.
Teorema 4.4. Sean f ∈ C2
(R), g ∈ C1
(R) funciones con somporte compacto.
Entonces la solución de (P) es tal que u(·, t) tiene soporte compacto para cada
t. Además, cualquiera que sea el intervalo [a, b] cumpliendo:
sop f ∪ sop g ⊂ [a, b],
se tendrá que sop u(·, t) ⊂ [a(t), b(t)] con a(t) = a − ct, b(t) = b + ct.
Observaciones 4.10. a) Nótese que el soporte se expande con velocidad c, eso
justifica la terminología de velocidad de propagación finita de las pertur-
baciones.
b) Es muy formativo el estudio de los casos particulares: f con soporte com-
pacto, g = 0, f = 0, g con soporte compacto, respectivamente.
4.4.3. Soluciones generalizadas. Propagación de disconti-
nuidades
La fórmula de D’Alambert requiere muy poca regularidad en los datos f y
g para dar sentido al segundo miembro de (4.10). Si f y g no son tan regulares
como en el Teorema 4.3 podemos decir que la fórmula de D’Alambert define una
solución generalizada de (??). Puede justificarse la definición por el artificio de
aproximar f y g por fn y gn regulares. Bajo condiciones muy generales en](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-115-320.jpg)
![4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL 109
tenemos para x∓
i (t) = ai ∓ ct,
σu(x∓
i (t)) =
1
2
σf (ai)
σux (x∓
i (t)) =
1
2
σf′ (ai) ±
1
2c
σg(ai)
σuxx (x∓
i (t)) =
1
2
σf′′ (ai) ±
1
2c
σg′ (ai)
σut (x∓
i (t)) = ±
c
2
σf′ (ai) +
1
2
σg(ai)
σutt (x∓
i (t)) =
c
2
σf′′ (ai) ±
c
2
σg′ (ai)
σuxt (x∓
i (t)) = ±
c
2
σf′′ (ai) +
1
2
σg(ai) .
siempre que x∓
i (t) ̸= x∓
j (t) cuando i ̸= j. Si para ai < aj tenemos x+
i = x−
j (en
ese caso t = (aj − ai)/2c) entonces:
σu(x+
i (t)) =
1
2
(σf (ai) + σf (aj))
σux (x+
i (t)) =
1
2
(σf′ (ai) + σf′ (aj)) +
1
2c
(σg(aj) − σg(ai))
σuxx (x+
i (t)) =
1
2
(σf′′ (ai) + σf′′ (ai)) +
1
2c
(σg′ (aj) − σg′ (ai))
σut (x+
i (t)) =
c
2
(σf′ (aj) − σf′ (ai)) +
1
2
(σg(aj) + σg(ai))
σutt (x+
i (t)) =
c
2
(σf′′ (aj) + σf′′ (ai)) +
c
2
(σg′ (aj) − σg′ (ai))
σuxt (x+
i (t)) =
c
2
(σf′′ (aj) − σf′′ (ai)) +
1
2
(σg(aj) + σg(ai)) .
Resumiendo, las discontinuidades “circulan” a través de las características, con
velocidad constante y manteniendo la magnitud del salto. Este hecho es típico
de las ecuaciones hiperbólicas (ver [11] para más información).
4.4.4. Soluciones simétricas
La propiedad de unicidad de soluciones permite transvasar las simetrías de
los datos a la solución. Diremos que f = f(x) es
• periódica de período T si f(x + T) = f(x) para todo x ∈ R,
• par (impar) con respecto a x0 si f(x′
) = f(x) (f(x′
) = −f(x)) para todo
x ∈ R, donde x′
= 2x0 − x.
Teorema 4.6. Supongamos que f ∈ C2
(R), g ∈ C1
(R).
1. Si f, g son impares con respecto a x0, u(·, t) es impar con respecto a x0
para todo t ∈ R.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-117-320.jpg)
![4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO 113
donde Bx0 representa el operador de contorno en la frontera {a, b} de un intervalo
Ω = (a, b), es decir x0 = a o x0 = b. La condición de contorno se dirá de tipo:
• Dirichlet si Bx0 u = u(x0, t),
• Neumann si Bx0 u = ν ∂u
∂x (x0, t) donde ν = −1 si x0 = a, ν = 1 si x0 = b
(el operador ν ∂
∂x se llama derivada normal exterior).
• Robin si Bx0 u = ν ∂u
∂x (x0, t) + bu(x0, t) con b ≥ 0.
El problema (4.19) se dirá de tipo Dirichlet, Neumann o Robin si, respectiva-
mente, ambas condiciones en (4.19) son Dirichlet, Neumann o Robin. Si en cada
extremo hay condiciones distintas hablaremos de problema mixto.
Diremos que u = u(x, t) es una solución clásica de (4.19) si u ∈ C2
([0, l] ×
[0, +∞)). Nuestro primer resultado es de unicidad. La elección del coeficiente
procede de la deducción física (Capítulo 1).
Teorema 4.8. El problema de contorno y valor inicial:
utt = c2
(x)uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
B0u = α(t) Blu = β(t) t > 0 ,
con c2
(x) = T0/ρ(x), ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0 para x ∈ [0, l], admite a lo más una
solución clásica.
Demostración. Si u es solución de:
utt = c2
(x)uxx + F(x, t),
entonces:
ρutt − T0uxx = ρF
ρuttut − T0uxxut = ρFut
ρuttut + T0uxuxt − (T0uxxut + T0uxuxt) = ρFut
1
2
(ρu2
t + T0u2
x)t − T0(uxut)x = ρFut .
Integrando de 0 a l con respecto a x:
1
2
∫ l
0
(ρu2
t + T0u2
x)t dx − T0uxut|l
0 =
∫ l
0
ρ(s)F(s, t)ut(s, t) ds. (4.20)
Escribamos,
E(t) =
1
2
∫ l
0
(ρu2
t + T0u2
x) dx.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-121-320.jpg)
![114 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
Integrando (4.20) con respecto a t entre t = 0 a t = ¯t llegamos a:
E(¯t) − E(0)−
T0
2
(∫ ¯t
0
(ux(l, τ)ut(l, τ) − ux(0, τ)ut(0, τ)) dτ
)
=
∫ ¯t
0
∫ l
0
ρ(s)F(s, τ)ut(s, τ) dsdτ.
Si u1, u2 son dos soluciones clásicas del problema, la diferencia v = u1 − u2
satisface un problema donde F, f, g, α y β son nulos, con lo que se llega a que:
1
2
∫ l
0
(ρu2
t + T0u2
x) dx = 0,
para cada t, de donde se deduce fácilmente que v(x, t) = 0 en (x, t) ∈ [0, l] ×
[0, +∞).
Observación 4.11. Si en el problema de contorno las fuerzas exteriores son cero
(F = 0) junto con las condiciones de contorno (α = β = 0), de los cálculos
anteriores se deduce:
1
2
∫ l
0
(ρu2
t (s, t) + T0u2
x(s, t)) dx =
1
2
∫ l
0
(ρg(s)2
+ T0(f′
(s))2
) dx.
En otras palabras, se conserva la energía total del proceso.
Región de influencia 3
sobre un punto (¯x, ¯t). En la demostración del teorema
precedente hemos probado que cuando f = g = 0, si además F, α, β son nulas
en t < ¯t entonces u = 0 en R = [0, l] × [0, ¯t]. Comprobaremos cómo hay una
región más pequeña que R y con vértice en cada (¯x, ¯t), 0 ≤ ¯x ≤ l, donde se
observa el mismo fenómeno.
Supondremos que la tal región de influencia P está limitada por dos curvas
t = Q1(x), t = Q2(x) incidentes en (¯x, ¯t) con Qi(x) ≤ ¯t, Q1 definida en [0, ¯x],
Q2 en [¯x, l] (ver Figura 9). En P se tiene, según hemos visto,
1
2
(ρu2
t + T0u2
x)t − T0(uxut)x = 0. (4.21)
Si definimos por t = Q(x) la unión de las dos curvas e integramos (4.21) sobre
P tenemos:
1
2
∫∫
P
(ρu2
t + T0u2
x)t dsdτ =
1
2
∫ l
0
∫ Q(s)
0
(ρu2
t + T0u2
x)t dsdτ
=
1
2
∫ l
0
(ρu2
t (s, Q(s)) + T0u2
x(s, Q(s))) ds.
3Ver [26]](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-122-320.jpg)
![4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO 115
Figura 4.1: Dominio de influencia sobre el punto (¯x, ¯t)
Por otro lado:
∫∫
P
(uxut)x dsdτ =
∫ ¯t
0
∫ l2(τ)
l1(τ)
(uxut)xdsdτ
=
∫ ¯t
0
(ux(l2(τ), τ)ut(l2(τ), τ) − ux(l1(τ), τ)ut(l1(τ), τ)) dτ,
donde si t1 = Q1(0), t2 = Q2(l) se tiene l1 = 0 en τ ≤ t1, l2 = l para t ≤ t2.
Si por simplicidad suponemos condiciones Dirichlet o Neumann resulta que:
∫∫
P
(uxut)x dsdτ =
∫ ¯t
t2
ux(Q−1
2 (τ), τ)ut(Q−1
2 (τ), τ) dτ −
∫ ¯t
t1
ux(Q−1
1 (τ), τ)ut(Q−1
1 (τ), τ) dτ.
Haciendo el cambio s = Q−1
i (τ),
∫∫
P
(uxut)x dsdτ = −
∫ l
¯x
uxutQ′
2(s) ds −
∫ ¯x
0
uxutQ′
1(s) ds
= −
∫ l
0
uxut
dQ
ds
ds = −
∫ l
0
uxut
dt
dx
dx.
Por tanto: ∫∫
P
{
1
2
(ρu2
t + T0u2
x)t − T0(uxut)x} dsdτ
=
∫ l
0
[
1
2
ρu2
t +
1
2
T0u2
x + T0uxut
dt
dx
]
dx = 0,
entendiéndose en la última integral que t = Q(x). Recordando que c2
= T0/ρ(x)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-123-320.jpg)
![116 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
resulta que:
∫ l
0
1
2
ρ
[
u2
t + c2
u2
x + 2c2
uxut
dt
dx
]
dx =
∫ l
0
1
2
ρ
{[
ut + c2
ux
dt
dx
]2
+ c4
u2
x
[
1
c2
−
(
dt
dx
)2
]}
dx = 0.
(4.22)
Si: (
dt
dx
)2
=
1
c2
,
tendremos, si tenemos en cuenta que P ⊂ {t ≤ ¯t}, las expresiones de t = Qi(x),
i = 1, 2:
t(x) =
¯t −
∫ ¯x
x
1
c(s)
ds 0 < x < ¯x
¯t −
∫ x
¯x
1
c(s)
ds ¯x < x < l.
(4.23)
De (4.22) y (4.23) se deduce que ut = ux = 0 en (¯x, ¯t) y con el mismo argumento
se tiene que ux = ut = 0 en P. De ahí, u = 0 en P si F, α, β son nulas en P, a
parte de f = g = 0 en [0, l].
4.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos
Supongamos que el problema de Dirichlet homogéneo:
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0 ,
(4.24)
admite una solución clásica u. Entonces f y g, supuestas C2
y C1
respectiva-
mente en [0, l], han de satisfacer las condiciones de compatibilidad siguientes:
{
f(0) = f(l) = f′′
(0) = f′′
(l) = 0
g(0) = g(l) = 0.
(4.25)
Análogamente, para el problema de Neumann,
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
ux(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0 ,
(4.26)
habrá de tenerse: {
f′
(0) = f′
(l) = 0
g′
(0) = g′
(l) = 0.
(4.27)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-124-320.jpg)
![4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO 117
Así pues (4.25) y (4.27) son condiciones necesarias para la existencia de solu-
ciones clásicas.
Ahora unas consideraciones elementales de simetría. Si f = f(x) ∈ C(R)
es impar con respecto a x = 0 y 2l-periódica entonces f es también impar con
respecto a x = l. En efecto,
f(2l − x) = f(−x) = −f(x).
Por tanto, f(0) = f(l) = 0. Supongamos por otra parte que f ∈ C2
[0, l] satisface
(4.25). Si efectuamos la extensión impar a [−l, l] y después la extensión 2l-
periódica a R obtenemos además una función ¯f, de clase C2
, que es impar con
respecto a x0 = 0. En efecto, si x ∈ R, x = x0 + 2kl para k ∈ Z, x0 ∈ [−l, l]. Si
x0 ∈ [0, l]:
¯f(x) = ¯f(x0 + 2kl) = f(x0) = − ¯f(−x0) = − ¯f(−x0 − 2kl) = − ¯f(−x).
Si x0 ∈ [−l, 0] resulta:
¯f(x) = ¯f(x0 + 2kl) = ¯f(x0)
= −f(−x0) = − ¯f(−x0) = − ¯f(−x0 − 2kl) = − ¯f(−x).
Análogamente, f = f(x) ∈ C(R), par con respecto a x = 0 y 2l-periódica
implican que f es también par con respecto a x = l. Si, por otro lado, f ∈ C2
[0, l]
satisface (4.27), la extensión par a [−l, l] primero y 2l-periódica después a R dan
lugar una función C2
, ¯f, que es par con respecto a x0 = 0.
Teorema 4.9. Sean f ∈ C2
[0, l], g ∈ C1
[0, l] funciones que satisfacen las con-
diciones (4.25). Entonces el problema de Dirichlet (4.24) admite una única so-
lución clásica u ∈ C2
([0, l] × [0, +∞)). La misma conclusión se obtiene para el
problema de Neumann (4.26) bajo datos f ∈ C2
[0, l], g ∈ C1
[0, l] satisfaciendo
(4.27).
Demostración. Para (4.24) efectuamos las extensiones impares y 2l-periódicas
¯f, ¯g de f y g y resolvemos el problema de valor inicial:
utt = c2
uxx x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = ¯f(x) x ∈ R
ut(x, 0) = ¯g(x) x ∈ R .
Su solución u = ¯u(x, t) da la única solución del problema de Dirichlet. Análogas
consideraciones llevan a la solución del problema de Neumann (4.26).
Ejercicio 4.5 (Condiciones mixtas). Sea f ∈ C2
[0, l] tal que f(0) = f′
(0) = l.
Efectuamos sucesivamente: la extensión impar a [−l, 0], la extensión par con
respecto a x0 = l a [l, 3l] y la extensión 4l-periódica a R. Pruébese que tal
extensión ¯f es C2
, impar en x0 = 0 y par en x0 = l. Probar, bajo condiciones](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-125-320.jpg)
![118 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
de compatibilidad adecuadas, la existencia de una única solución clásica del
problema mixto:
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0 .
(4.28)
4.5.2. Oscilaciones libres
Es conveniente recordar el siguiente,
Ejercicio 4.6. Sea g ∈ C(R) T-periódica. Entonces G(t) =
∫ t
0
g es T-periódica
si y sólo si
∫ T
0
g = 0.
El próximo resultado evidencia la existencia de oscilaciones libres en el pro-
blema de la cuerda vibrante bajo diversas condiciones de contorno.
Teorema 4.10. Sean f ∈ C2
[0, l], g ∈ C1
[0, l]. Entonces,
1. La solución u de (4.24) (respectivamente, (4.28)), f, g cumpliendo las
condiciones de compatibilidad (4.25) (r. las correspondientes condiciones
de compatibilidad) es
2l
c
-periódica (r.
4l
c
-periódica) en t.
2. La solución u de (4.26), f, g cumpliendo las condiciones de compatibilidad
(4.27) es
2l
c
-periódica en t si y sólo si
∫ l
0
g = 0.
Ejercicio 4.7 (Propagación de discontinuidades). Usar el teorema precedente
para probar que si f y g son, respectivamente, C2
y C1
a trozos (esto inclui-
ría posiblemente la violación de alguna de las condiciones de compatibilidad)
entonces las discontinuidades se propagan con velocidad c en los dos sentidos,
mantienen la magnitud del salto y se reflejan en los bordes x = 0, x = l.
4.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos
Consideramos ahora los problemas,
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 ,
(4.29)
y
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
ux(0, t) = α(t), ux(l, t) = β(t) t > 0 .
(4.30)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-126-320.jpg)
![4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO 119
La búqueda de soluciones clásicas requiere en cada caso las condiciones de com-
patibilidad:
α(0) = f(0)
α′
(0) = g(0)
α′′
(0) = c2
f′′
(0)
β(0) = f(l)
β′
(0) = g(l)
β′′
(0) = c2
f′′
(l)
(4.31)
y, {
α(0) = f′
(0)
α′
(0) = g′
(0)
β(0) = f′
(l)
β′
(0) = g′
(l),
(4.32)
respectivamente.
Por simplicidad vamos a construir la solución a (4.29). La hallaremos bajo
la forma:
u = F(ξ) + G(η).
Las condiciones iniciales nos dan F, G en [0, l] como:
F(ξ) =
1
2
f(ξ) +
1
2c
∫ ξ
0
g
G(η) =
1
2
f(η) −
1
2c
∫ η
0
g.
La validez de la condición de contorno en x = 0 nos lleva a:
α(t) = F(ct) + G(−ct).
Esto permite definir G en [−l, 0] como:
G(η) = α(−
η
c
) − F(−η). (4.33)
La condición en x = l:
β(t) = F(l + ct) + G(l − ct),
permite definir F en el intervalo [l, 3l] en la forma:
F(ξ) = β(
ξ − l
c
) − G(2l − ξ). (4.34)
En definitiva, las relaciones (4.33), (4.34) permiten extender F y G de forma que
u define la solución de (4.29). Las condiciones (4.30) aseguran la regularidad de
las extensiones. Para (4.31) (y condiciones de contorno adecuadas) se procede
de la misma forma. En todos los casos, G debe extenderse a η ≤ 0, F a ξ ≥ l.
Ejercicio 4.8. Calcúlense algunas etapas de la construcción de F y G para las
condiciones u(0, t) = α(t), ux(l, t) + bu(l, t) = β(t), b ≥ 0.
Ejercicio 4.9. En el problema de Dirichlet, comprobar la regularidad de G en
η = 0 y la de F en ξ = l.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-127-320.jpg)
![120 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
4.5.4. Problemas de contorno perturbados
Considérese a título de ejemplo el problema de Dirichlet:
utt = c2
uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 ,
(4.35)
en el que se supone que F, Fx ∈ C([0, l] × [0, +∞)). Una manera de proceder es
extender primero F a una ¯F de suerte que ¯F, ¯Fx ∈ C(R × [0, +∞)). Después
resolver el problema:
utt = c2
uxx + ¯F(x, t) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = 0 x ∈ R
ut(x, 0) = 0 x ∈ R,
con solución ¯u que al restarla de la de (4.35) nos lleva a:
vtt = c2
vxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) − ¯u(x, 0) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) − ¯ut(x, 0) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = α(t) − ¯u(0, t), u(l, t) = β(t) − ¯u(l, t) t > 0 ,
problema del que se ha tratado.
Ejercicio 4.10. Considérese una distribución de densidad de fuerzas de clase C1
en [0, l] que cumple F(0) = F(l) = 0. Demuéstrese que la solución de:
utt = c2
uxx + F(x) 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 ,
es también 2l/c-periódica en t.
4.6. Problemas semilineales
4.6.1. Problemas de valor inicial
Las ideas precedentes se aplican –apoyándonos en las ecuaciones diferenciales
ordinarias– al estudio de la existencia y unicidad de soluciones locales para el
problema semilineal:
utt = c2
uxx + F(x, t, u, ux, ut) x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = f(x) x ∈ R
ut(x, 0) = g(x) x ∈ R ,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-128-320.jpg)
![4.6. PROBLEMAS SEMILINEALES 121
donde por brevedad supondremos que F = F(x, t, y1, y2, y3) es de clase C1
en
R5
. La idea es fabricar una solución local (u, U), u ∈ C1
(U), U un abierto que
contiene al eje x.
La versión del problema en coordenadas características es:
uξη = −
1
4c2
¯F(ξ, η, u, uξ, uη)
u(ξ, ξ) = f(ξ)
uξ(ξ, ξ) − uη(ξ, ξ) = g(ξ),
(4.36)
donde ¯F se deduce de manera obvia a partir de F.
Si fijamos x0 toda posible solución de (4.36) cerca de ξ = η = x0 ha de
satisfacer la identidad de punto fijo:
u = u0 +
1
4c2
∫ ξ
η
∫ s1
η
¯F(s1, s2, u, uξ, uη) ds2ds1, (4.37)
con u0 = 1
2 {f(ξ) + f(η)} + 1
2c
∫ ξ
η
g(s) ds.
Para δ > 0 llamamos Qδ = [x0 − δ, x0 + δ] × [x0 − δ, x0 + δ]. Si fijamos δ0,
R0, números positivos y
K = {(ξ, η, z, p, q) ∈ R5
: (ξ, η) ∈ Qδ,
|z − u0(ξ, η)|, |p − u0ξ(ξ, η)|, |q − u0η(ξ, η)| ≤ R0},
definimos:
L = sup
(ξ,η,z,p,q)∈K
| ¯F| + | ¯Fξ| + | ¯Fη|.
Para resolver la ecuación de punto fijo (4.37) cerca de (x0, x0) tomamos δ, δ1
menores que δ0 y R0, respectivamente, construimos:
Xδ,δ1 = {u ∈ C1
(Qδ) : |u − u0|1 ≤ δ1}.
Definimos el operador:
T : Xδ,δ1 −→ C1
(Qδ)
v −→ T (v)
,
donde:
T (v) = u0 +
1
4c2
∫ ξ
η
∫ s1
η
¯F(s1, s2, v) ds2ds1, (4.38)
siendo F(s1, s2, v) = ¯F(s1, s2, v, vξ, vη).
Se pueden elegir δ y δ1 de forma que T sea contractivo de Xδ,δ1 sobre si
mismo. En efecto:
T (v)ξ = u0ξ +
1
4c2
∫ ξ
η
¯F(ξ, s2, v) ds2
T (v)η = u0η −
1
4c2
∫ ξ
η
¯F(s1, η, v) ds1,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-129-320.jpg)
![4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N-DIMENSIONAL 123
4.6.2. Problemas de contorno
Las resultados de la sección se aplican al problema de contorno semilineal:
utt = c2
uxx + F(u) x ∈ (0, l), t > 0
u(x, 0) = f(x) x ∈ [0, l]
ut(x, 0) = g(x) x[0, l],
u(0, t) = u(l, t) = 0,
con tal que F sea C1
e impar en u (F(−u) = −F(u)) (f ∈ C2
[0, l], g ∈ C1
[0, l]
cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.25)). En efecto basta extender
f, g a R como en el problema de Dirichlet y probar que u detenta las simetrías
adecuadas.
4.7. Ecuación de ondas n-dimensional
4.7.1. Unicidad de soluciones para el problema de valor
Las superficies carcterísticas del operador de ondas cu = utt − ∆xu son
ϕ(x, t) = 0, (x, t) ∈ R × Rn
, donde
ϕ2
t + |∇ϕ|2
= 0.
El caso más importante de tales superficies son los “conos de luz”. Para (x0, t0) ∈
Rn
× R la unión de las rectas:
x = x0 + c¯u(τ − t0) t = τ τ ∈ R,
con ¯u ∈ Rn
, |¯u| = 1, constituyen los conos de luz Γ−
(τ ≤ t0) y Γ+
(τ ≥ t0). La
sección de Γ+
con t = τ ≥ t0 es el lugar geométrico de los puntos que se han
alejado rectilíneamente de x = x0 a una velocidad c (típicamente, la velocidad
de la luz). La ecuación de los conos de luz es:
Γ(x0, t0) = {(x, t) : |x − x0|2
= c|t − t0|}.
(Γ+
corresponde por ejemplo a t ≥ t0).
El primer resultado fundamental es el siguiente (prueba inspirada en la de
[24] para n = 3).
Teorema 4.12 (Unicidad). Sea u ∈ C2
(Rn
× R) una solución clásica del pro-
blema de valor inicial:
utt = c2
∆u (x, t) ∈ Rn
× R
u(x, 0) = 0 x ∈ Rn
ut(x, 0) = 0 x ∈ Rn
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-131-320.jpg)
![4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N-DIMENSIONAL 127
Por tanto:
∂Mh
∂r
(x, r) =
1
ωn
∫
|ξ|=1
∑
∂ih(x + rξ)ξi dSξ
=
1
ωn
∫
|ξ|≤1
∑
∂ξi (∂ih(x + rξ)) dξ
=
1
ωn
∫
|ξ|<1
r∆xh(x + rξ) dξ
=
r1−n
ωn
∆x
(∫
|y−x|<r
h(y) dy
)
= r1−n
∆x
(∫ r
0
[
1
ωn
∫
|w|=1
h(x + ρw)ρn−1
dSw
]
dρ
)
= r1−n
∆x
(∫ r
0
ρn−1
Mh(x, ρ) dρ
)
.
4.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3
Supongamos que u = u(x, t) es una solución clásica del problema (n = 3):
{
utt = c2
∆u x ∈ R3
, t > 0
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) x ∈ R3
.
(4.42)
La media alrededor de x, ¯u(r, t) = Mu(x, r, t) satisface:
¯utt = c2
(
¯urr +
2
r
¯ur
)
,
mientras ¯u(r, 0) = Mf (x, r), ¯ut(r, 0) = Mg(x, r). En particular:
(r¯u)tt = c2
(r¯u)rr .
Por tanto v(r, t) := r¯u(r, t) resuelve el problema de valor inicial,
vtt = c2
vrr r ∈ R, t > 0
v(r, 0) = rMf (x, r)
vt(r, 0) = rMg(x, r).
Entonces,
r¯u(r, t) =
1
2
(r + ct)Mf (x, r + ct)+
1
2
(r − ct)Mf (x, r − ct) +
1
2c
∫ r+ct
r−ct
sMg(x, s) ds.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-135-320.jpg)
![4.8. EL CASO N-DIMENSIONAL 131
Transformaciones de Lorentz
Son las transformaciones lineales T ∈ L(Rn
× R) que dejan invariante el
operador de ondas c
4
. Como es natural, tales transformaciones forman nece-
sariamente un grupo.
Si ponemos c = 1 para simplificar, y escribimos
u = ux1x1 − ux2x2 − · · · − uxnxn ,
la forma característica es
σ(ξ, η) = ξ1η1 − ξ2η2 − · · · − ξnηn.
Las ecuaciones de T serán:
ξi =
∑
j
fijxj,
donde:
1 = f2
11 −
n∑
j=2
f2
1j
0 = f11fl1 −
n∑
j=2
f1jflj
−δkl = fk1fl1 −
n∑
j=2
fkjflj 2 ≤ k, l ≤ n.
Un caso particular de tales transformaciones es:
(fij) =
±1 0 . . . 0
0 f22 . . . f2n
...
...
...
...
0 fn2 . . . fnn
,
donde (fkl)2≤k,l≤n es ortogonal. Una discusión completa de todas las transfor-
maciones de Lorentz se relega a la sección de ejercicios (Ejercicio 29).
4.8. El caso n-dimensional
4.8.1. Dimensiones impares
Ya sabemos que la media M(r, t) = Mu(x, r, t) de una solución clásica de la
ecuación de ondas satisface la ecuación de Euler-Darboux-Poisson:
Mtt = c2
{Mrr −
n − 1
r
Mr}.
4cf. [12].](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-139-320.jpg)
![132 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
Para φ = φ(r) consideramos el operador:
Lk(∂r)φ =
(
1
r
∂
∂r
)k−1
(r2k−1
φ(r)) k ∈ N.
Se tienen entonces las relaciones (Ejercicio 33, [9]):
∂2
∂r2
Lk(∂r)φ =
(
1
r
∂
∂r
)k
(r2k ∂φ
∂r
(r)),
Lk(∂r)φ =
k−1∑
j=0
cjrj+1
φ(j)
,
donde
c0 = (2k − 1)!!
y además, Lk(∂r)φ es impar si φ es par.
La observación importante es que cuando la dimensión n es impar, n = 2k+1,
entonces v(r, t) = Lk(∂r)M(r, t) cumple la ecuación de ondas unidimensional
(pondremos c = 1 para simplificar):
(LkM)rr =
(
1
r
∂
∂r
)k
(r2k
Mr)
=
(
1
r
∂
∂r
)k−1 (
r2k−1
{Mrr +
2k
r
Mr}
)
= (LkM)tt.
Por tanto, si u es la solución del problema
{
utt = ∆u (x, t) ∈ Rn
× R
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn
,
(4.46)
entonces,
LkM(r, t) =
1
2
ψ(r + t) +
1
2
ψ(r − t) +
1
2
∫ r+t
r−t
ϕ(s) ds, (4.47)
con ψ = LkMf , ϕ = LkMg. Diviendo en (4.47) por r y haciendo tender r → 0:
c0u(x, t) = ψ′
(t) + ϕ(t),
es decir,
u(x, t) =
1
c0
∂
∂t
(
1
t
∂
∂t
)k−1
t2k−1
Mf (x, t) +
1
c0
(
1
t
∂
∂t
)k−1
t2k−1
Mg(x, t).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-140-320.jpg)
![4.9. EJERCICIOS 137
9. Sea L como en el Ejercicio 8. Demuéstrese que si,
a11b2
2 + 2a12b1b2 + a22b2
1 + 4dc = 0,
entonces la ecuación lineal de segundo orden:
L(u) + cu = 0,
admite la solución general:
u(x, y) = e(kx+my)/2d
[ϕ1(α1x − y) + ϕ2(α2x − y)] ;
donde ϕ1, ϕ2 son funciones arbitrarias, k = a22b1 − a12b2, m = a11b2 −
a12b1, y α1, α2 son las raíces de la ecuación:
a11α2
− 2a12α + a22 = 0.
10. Hállese la solución de los problemas de Cauchy:
utt = c2
uxx, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),
para las parejas de datos iniciales: a) (f, g) = (ex
, sen x), b) (f, g) =
(log(1 + x2
), 4 + x).
11. En el problema
utt = c2
uxx, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),
se toma f = 0, g = φ, donde φ(x) = 1 si −a ≤ x ≤ a, φ(x) = 0 en
otro caso. Dése una descripción de u(·, t) para los valores de t siguientes:
t = a
2c , a
c , 3a
2c , 2a
c , 5a
c .
12. Hállese la solución de los problemas de Cauchy:
utt = c2
uxx + F(x, t), u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),
para los siguientes juegos de funciones: a) (f, g, F) = (0, 0, xt), b) (f, g, F) =
(0, 0, eax
), c) (f, g, F) = (sen x, 1 + x, cos x).
13. Dedúzcase la solución general del problema
utt = c2
uxx + F(x, t), u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),
en las condiciones de regularidad estándar: f ∈ C2
, g ∈ C1
, F ∈ C1
, en
x ∈ R, t ≥ 0, usando las coordenadas características ξ = x+ct, η = x−ct.
14. Dedúzcase la existencia de soluciones para los problemas de Dirichlet y
Neumann en la semirrecta:
utt = c2
uxx, x > 0, t ≥ 0
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ≥ 0
u(0, t) = α(t),](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-145-320.jpg)
![4.9. EJERCICIOS 139
nuevamente, bajo las condiciones de regularidad y compatibilidad reque-
ridas a los datos f, g, α, β.
21. Ondas Esféricas. Una onda esférica u(r, t) es una solución de la ecuación
de ondas tridimensional utt = c2
∆u que sólo depende de la distancia al
origen r y del tiempo t. Pruébese que:
utt = c2
(
urr +
2
r
ur
)
.
Efectúese el cambio de variables v = ru para obtener la ecuación de ondas
unidimensional vtt = c2
vrr. Para funciones φ(r) ∈ C2
, ϕ(r) ∈ C1
, ámbas
pares, hállese la solución del problema:
utt = c2
∆u, x ∈ R3
, t ≥ 0,
u(x, 0) = φ(r), ut(x, 0) = ϕ(r).
22. Considérese el modelo de la cuerda vibrante en las condiciones del Ejer-
cicio 22. Los desplazamientos u = u(x, t) de la cuerda, sometida a las
condiciones de contorno u(0, t) = u(l, t) = 0 satisfacen:
utt = c2
uxx + F(x, t), t > 0, 0 < x < l,
donde c2
= T0/ρ(x), T0 es la tensión en equilibrio, ρ ∈ C([0, l]), ρ > 0
la densidad. Por simplicidad vamos a suponer que u es C2
en t ≥ 0,
0 ≤ x ≤ l. Las energías cinética K(t) y potencial P(t) en el instante t se
definen respectivamente como:
K =
1
2
∫ l
0
ρu2
t dx P =
T0
2
∫ l
0
u2
x dx,
mientras que la energía total se define como E(t) = K(t)+P(t). Prúebese
que:
E(t) =
1
2
∫ l
0
ρg2
dx +
T0
2
∫ l
0
f′2
dx +
∫ t
0
∫ l
0
ρF dx dt.
En el caso de la membrana vibrante, si suponemos que Ω = [a, b] × [c, d]
(un rectángulo), que la densidad ρ ∈ C(¯Ω), ρ > 0 y que, por tanto, el
movimiento u = u(x, y, t) satisface el problema:
utt =
T0
ρ(x, y)
∆u + F(x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0
u(x, y, 0) = f(x, y), ut(x, y, 0) = g(x, y)
u(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0,
que por simplicidad supondremos C2
en ¯Ω×[0, +∞), dénse entonces defini-
ciones naturales para K y P (la energía total será obviamente E = K +P)
que lleven al valor explícito de E(t) en términos de F.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-147-320.jpg)
![140 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
23. Prúebese la unicidad de soluciones clásicas u ∈ C2
([0, l] × [0, +∞)) del
problema de contorno y valor inicial,
utt = c2
(x)uxx + F(x, t), 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 < x < l
− ux(0, t) + bu(0, t) = α(t), ux(l, t) + bu(l, t) = β(t), t > 0,
en donde f ∈ C2
[0, l], g ∈ C1
[0, l], α, β ∈ C2
[0, +∞), F ∈ C([0, l] ×
[0, +∞)) y c2
(x) = T0
ρ(x) , con T0 > 0, ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0. Utilícese para
ello el principio de conservación de la energía.
Si, para ¯t > 0, ¯x ∈ [0, l], P = (¯x, ¯t) estúdiese el dominio T(P) del plano
en el que F = 0 en T(P) implica, si f = g = 0 y α = β = 0 para t ≤ ¯t,
que u(P) = 0, junto con u = 0 en T(P).
24. (Método de Duhamel). Tratamos aquí de resolver, por un tercer camino
alternativo, el problema,
utt = c2
uxx + F(x, t)
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = g(x).
(4.50)
Como sabemos basta con calcular la solución que corresponde a f = g = 0.
En este caso procedamos como sigue. Suponemos que F y ∂F/∂u son
continuas en t ≥ 0 y, para cada τ ≥ 0 llamamos w(x, t, τ) a la solución
(única) del problema:
utt = c2
uxx
u(x, τ) = 0
ut(x, τ) = F(x, τ).
Prúebese entonces que
u(x, t) =
∫ t
0
w(x, t, τ) dτ,
es la solución de (4.50) para f = g = 0 (obsérvese que w se puede hallar
explícitamente).
25. Extender el método de Duhamel a varias dimensiones. Para ello supóngase
que el PVI:
utt = c2
∆u + F(x, t) x ∈ Rn
, t > 0
u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn
ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn
.
(4.51)
tiene la propiedad de unicidad de soluciones, mientras que admite una
solución siempre que F = 0 y f y g sean suficientemente regulares 5
(ver
5Cuando n ≥ 2, f ∈ C2, g ∈ C1 no es la regularidad suficiente para tener soluciones
clásicas. Ver [11], Part. Diff. Equs. 4a Edición.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-148-320.jpg)
![4.9. EJERCICIOS 141
Ejercicios 36 y 37 del presente capítulo). Siguiendo la idea del Ejercicio 24
hállese una expresión para la solución de (4.51) supuesto que F es continua
y de clase C2
en x ∈ Rn
.
26. Consideremos el PVI semilineal,
utt = c2
uxx + F(x, t, u, ux, ut)
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = g(x)
que escrito en coordenadas características ξ = x − ct, η = x + ct es
uξη = −
1
4c2
F(ξ, η, u, uξ, uη)
u(ξ, ξ) = f(ξ)
uξ(ξ, ξ) − uη(ξ, ξ) = c−1
g(ξ).
(4.52)
Introduciendo (u, v, w) = (u, uξ, uη) pruébese que (4.52) es equivalente al
sistema de primer orden,
uη = w
vη = −
1
4c2
F(ξ, η, u, v, w)
wξ = −
1
4c2
F(ξ, η, u, v, w),
(4.53)
junto con las condiciones iniciales u|B = f, v|B = 1
2 (f′
+ 1
c g), w|B =
1
2 (f′
− 1
c g), siendo B la primera bisectriz ξ = η.
Pruébese también que toda solución clásica de (4.53) satisface la identidad
de punto fijo,
u = f(ξ) −
∫ ξ
η
w(ξ, s) ds
v =
1
2
(f′
(ξ) +
1
c
g(ξ)) +
1
4c2
∫ ξ
η
F(ξ, s, u, v, w) ds
w =
1
2
(f′
(η) −
1
c
g(η)) −
1
4c2
∫ ξ
η
F(s, η, u, v, w) ds.
(4.54)
Si, en coordenadas ξ, η, Qδ = [x0 −δ, x0 +δ]×[x0 −δ, x0 +δ] para x0 fijado
y δ > 0, utilícese (4.54) para construir un operador T en X = C(Qδ, R3
)
cuyos puntos fijos den las soluciones de (4.53). Pruébese que si F es de
clase C1
en R5
puede encontrarse una bola en X (δ pequeño) en la que
el problema tiene una única solución (reprodúzcase el desarrollo análogo
presentado en el capítulo).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-149-320.jpg)
![142 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS
27. Consideremos la solución del u = u(x, t) del problema de Dirichlet
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0,
donde f, g son suficientemente regulares y satisfacen las correspondientes
condiciones de compatibilidad. Prúebese que u es periódica en t de periodo
2l/c. ¿Qué sucede en el caso del problema de Neumann?
28. En base a las ideas de extensión y simetría constrúyase la solución del
problema “mixto”
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0,
estableciendo las condiciones de regularidad y compatibilidad que deben
satisfacer los datos f y g del problema.
29. Se considera la ecuación de ondas n-dimensional (c = 1),
ux1x1 − ux2x2 − · · · uxn+1xn+1 = 0 .
Estúdiese la forma de todas las transformaciones lineales que la dejan
invariante, probando que forman un grupo (transformaciones de Lorentz,
ver [12]).
En el caso particular n = 1,
ux1x1 − ux2x2 = 0,
hállense explícitamente todas esas transformaciones.
Indicación. En el último caso, efectúese el giro preliminar ξ = 1√
2
(x−y),
η = 1√
2
(x + y), para trabajar con la ecuación 2uξη = 0.
30. Prúebese que la solución del problema de Cauchy (n = 3),
utt = c2
∆u x ∈ R2
, t ∈ R
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = g(x)
con f ∈ C3
, g ∈ C2
es
u = tMg(x, ct) +
∂
∂t
(tMf (x, ct)),](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-150-320.jpg)
![148 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
Eligiendo λ = 1/t en (5.5) llegamos a
u(x, t) = u(
x
√
t
, 1),
que nos sugiere buscar soluciones de (5.4) de la forma,
u(x, t) = ϕ
(
x
√
t
)
.
Poniendo ζ = x/
√
t llegamos fácilmente a:
ϕ′′
+
ζ
2
ϕ′
= 0,
bajo las condiciones,
l´ım
ζ→−∞
ϕ(ζ) = 0 l´ım
ζ→+∞
ϕ(ζ) = 1.
Teniendo en cuenta el valor de la integral gaussiana
∫
R
e−s2
ds =
√
π obtenemos,
ϕ(ζ) =
1
√
4π
∫ ζ
−∞
e− s2
4 ds =
1
√
π
∫ ζ/2
−∞
e−z2
dz,
alternativamente,
ϕ(ζ) =
1
2
+
1
2
Erf (
ζ
2
),
donde Erf es la función error,
Erf (ζ) =
2
√
π
∫ ζ
0
e−z2
dz.
Por tanto, un candidato a solución de (5.4) es,
uθ(x, t) =
1
2
+
1
√
π
∫ x/
√
4t
0
e−z2
dz.
Propiedad 5.1. uθ ∈ C∞
{t > 0}, resuelve (5.2) y
l´ım
t→0+,x→x0
u(x, t) =
{
0 x < 0
1 x > 0.
Ejercicio 5.1. Pruébese que para cada τ ∈ [0, 1] existe una curva Γ en t > 0 tal
que:
l´ım
P →(0,0),P ∈Γ
u = τ.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-156-320.jpg)
![5.1. PROBLEMA DE VALOR INICIAL 149
Sea ahora I = [a, b], χI su función característica. Es inmediato que una
solución de (1) para el dato f = cχI es,
u = c{uθ(b − x, t) + uθ(x − a, t) − 1},
es decir,
u =
c
√
π
∫ (x−a)/
√
4t
(x−b)/
√
4t
e−z2
dz.
Por otra parte, si f ∈ C[a, b] y la consideramos extendida por 0 a R podemos
dar una aproximación poligonal de la forma,
fn(x) =
n∑
i=1
f(¯yi)χIi (x),
con yi = a + ih, h = (b − a)/n, ¯yi ∈ Ii. Una solución correspondiente a fn es
un(x, t) =
n∑
i=1
f(¯yi)uχIi
(x, t)
=
n∑
i=1
f(¯yi)
√
π
∫ (x−yi−1)/
√
4t
(x−yi)/
√
4t
e−z2
dz
=
n∑
i=1
1
√
4πt
f(¯yi)e−(x−˜yi)2
/4t
h,
con ˜yi ∈ Ii. Para t > 0 fijado, el teorema de Bliss nos dice que,
un ∼
n∑
i=1
1
√
4πt
f(¯yi)e−(x−¯yi)2
/4t
h, (5.6)
cuando n → ∞. Tomando límites en (5.6) cuando n → +∞ obtenemos:
u(x, t) =
1
√
4πt
∫
R
e−(x−y)2
/4t
f(y) dy. (5.7)
Nada más natural que proponer (5.7) –fórmula de Poisson– como candidato a
solución de (5.1). Por otro lado, y usando las ideas de separación de variables
(ejercicio unas líneas más abajo), si f ∈ C(Rn
) un posible candidato a solución
del problema n-dimensional:
{
ut = ∆u x ∈ Rn
t > 0
u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn
,
(5.8)
es,
u(x, t) =
1
(
√
4πt)n
∫
R
e−|x−y|2
/4t
f(y) dy. (5.9)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-157-320.jpg)
![5.1. PROBLEMA DE VALOR INICIAL 151
De ahí,
|∂α
x ∂j
t K(x, y, t)| ≤
∑
r,β
|ar,β|
1
tr
|x − y||β|
e−|x−y|2
/(4t)
.
Cuando |t − t0|, |x − x0| ≤ ε, tenemos,
∑
r,β
|ar,β|
1
tr
|x − y||β|
≤
∑
r,β
|ar,β|
1
(t0 − ε)r
∑
s≤|β|
(
|β|
s
)
(|x0| + ε)|β|−s
|y|s
.
Por otro lado, para todo ν < 1, ν ∼ 1, existe δ > 0 tal que,
|y − x|2
≥ |y|2
− 2(|x0| + ε)|y| ≥ ν|y|2
− δ y ∈ Rn
.
Por lo tanto,
e−|x−y|2
/(4t)
≤ eδ/(4(t0+ε))
e−ν|y|2
/(4(t0+ε))
.
De ahí, para un cierto polinomio de coeficientes positivos Q,
∫
Rn
|∂α
x ∂j
t K(x, y, t)||f(y)| dy ≤
∫
Rn
Q(|y|)e−ν|y|2
/(4(t0+ε))
dy < ∞. (5.10)
Esto prueba la regularidad de u. Los demás resultados se dejan como ejercicio
(cf. [11]).
Observación 5.1. Si f es medible y
|f(x)| ≤ Mea|x|2
, (5.11)
a > 0, se sigue de (5.10) que u = Kf define una solución clásica de (5.8) en
0 < t < 1/(4a) cumpliendo:
l´ım
(x,t)→(x0,0)
u(x, t) = f(x0), (5.12)
en los puntos de continuidad x0 de f. Probémoslo. En efecto, |f(y)−f(x0)| ≤ ε/2
para |y − x0| ≤ δ. Así,
|u(x, t) − f(x0)| ≤
ε
2
+
1
(
√
4πt)n
∫
|y−x|≥δ/2
e−|y−x|2
/(4t)
|f(y) − f(x0)| dy,
siempre que |x − x0| ≤ δ/2 (el primer sumando corresponde a una integración
sobre Bδ/2(x)). Podemos ahora acotar |f(y) − f(x0)| ≤ M1ea|y|2
, con lo que la
segunda integral se estima en la forma,
M1
(
√
π)n
∫
|ζ|≥δ/(2
√
4t)
e(4ta−1)|z|2
+2a
√
4t|z|+|x|2
dz
≤
M1e(|x0|+δ/2)2
(
√
π)n
∫
|ζ|≥δ/(2
√
4t)
e− 1
2 |z|2
+|z|
dz → 0,
cuando t → 0+.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-159-320.jpg)
![152 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
Observación 5.2. Es inmediato comprobar que si en (5.8), f tiene soporte com-
pacto, f ≥ 0, por ejemplo (f ̸= 0) entonces u = Kf(x, t) > 0, para todo x en
t > 0. Comprobaremos que lo mismo ocurre cuando tratamos con problemas de
contorno (donde hay unicidad). Esto significa que las perturbaciones iniciales se
propagan con velocidad infinita.
Ejercicio 5.3. Pruébese la estimación:
|K(x, y, t)| ≤
( n
2πe
)n/2 1
|x − y|n
.
5.2. El problema perturbado
Si consideramos el problema,
{
ut = ∆u + F(x, t) x ∈ Rn
t > 0
u(x, 0) = 0 x ∈ Rn
,
(5.13)
el método de variación de las constantes (ver Capítulo 4) nos lleva a que un
candidato a solución de (P) es:
u(x, t) =
∫ t
0
1
(4π(t − τ))n
∫
Rn
e−|x−y|2
/(4(t−τ))
F(y, τ) dydτ. (5.14)
Justificar que (5.14) es una solución clásica de (5.13) es más delicado y requiere
cierta regularidad de F en x. La demostración del siguiente teorema se omite
(cf. [16]).
Teorema 5.3. Sean F, ∂xF ∈ C(Rn
× [0, ∞)) ∩ L∞
(Rn
× [0, ∞)). Entonces
(5.14) define una solución del problema (5.13).
Observación 5.3. Sobre la existencia de las derivadas parciales hasta el orden
2 véase el Ejemplo 9.13 del Capítulo 9. La derivabilidad de F en x se puede
relajar a continuidad Hölderiana. Sin embargo, la solución puede no existir si F
es meramente continua (véase [16]).
5.3. No unicidad de soluciones
Resulta sorprendente que el problema de valor inicial:
{
ut = uxx x ∈ R t ∈ R
u(x, 0) = 0 x ∈ R.
(5.15)
admite una una solución no trivial. La construcción que describimos a continua-
ción se debe a Tychonoff ([11]). Ver [27] para otra clase de ejemplos. Buscamos
una solución de
uxx = ut (x, t) ∈ R2
u(0, t) = g(t) t ∈ R
ux(0, t) = 0 t ∈ R,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-160-320.jpg)
![154 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
5.4. Soluciones analíticas de la ecuación del calor
La solución de Poisson,
u = Kf(x, t) =
1
(
√
4πt)n
∫
Rn
e−|x−y|2
/(4t)
f(y) dy,
pongamos, para f ∈ L∞
(Rn
), es automáticamente C∞
en t > 0. Más aún, puede
prolongarse analíticamente a x ∈ Cn
, t ∈ C con ℜ(t) > 0 ([11]). En efecto, basta
dar valores x ∈ Cn
en la expresión:
n∑
i=1
(xi − yi)2
,
poniendo t ∈ C. Más precisamente, para t = σ + iτ, x = ξ + iη, ξ, η ∈ Rn
se
tiene:
1
(
√
4πt)n
e−|x−y|2
/(4t)
=
(
1 +
τ2
σ2
)n/4
e|η|2
/4σ
(
1
(
√
4π(σ + τ2σ−1)
n e−|(ξ+τσ−1
η−y|2
/(4(σ+τ2
σ−1
))
)
=
(
1 +
τ2
σ2
)n/4
e|η|2
/4σ
K(ξ + τσ−1
η, y, σ + τ2
σ−1
).
Estimando la integral de Poisson y la de sus derivadas se obtiene que u es C1
en Cn
× {ℜ(z) > 0}. En particular, u = u(x, t) es real analítica.
Observación 5.4. La analiticidad real de la solución del problema de valor inicial
(P) se gana inmediatamente para t > 0. Podría pensarse que si f es real analítica
u también lo es para |t| < ε, aunque ε varíe de punto a punto. Un contraejemplo
debido a la propia S. Kowalevski –precisamente el Ejercicio 17 del Capítulo 3 –
demuestra que esto en general no sucede.
5.5. Problemas de valor inicial y contorno
El modelo físico que da lugar a la ecuación del calor sugiere plantearse el
problema de contorno y valor inicial:
ut = uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < l
B0u = α(t), Blu(t) = β(t) t > 0,
donde B0, Bl son los operadores de contorno de Dirichlet, Neumann o Robin
(cf. Capítulo IV). La regularidad hasta la frontera precisará también de condi-
ciones de compatibilidad adecuadas. En versión n-dimensional, si Ω ⊂ Rn
es un](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-162-320.jpg)
![5.5. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y CONTORNO 155
dominio acotado de Rn
el problema es,
ut = ∆u + F(x, t) x ∈ Ω, t > 0
u(x, 0) = f(x) x ∈ Ω
Bu = α(x, t) x ∈ ∂Ω, t > 0,
(5.18)
donde en este caso Bu = u (Dirichlet), Bu =
∂u
∂ν
(Neumann), Bu =
∂u
∂ν
+b(x, t)u
(Robin, b ≥ 0).
El siguiente resultado admite la correspondiente contrapartida unidimensio-
nal (donde es posible introducir condiciones mixtas). Debe resaltarse la regula-
ridad que se impone a las soluciones.
Teorema 5.4. Sea Ω ⊂ Rn
un dominio acotado y C1
de Rn
. Entonces el
problema de valor inicial y de contorno (5.18) admite a lo más una solución
clásica u ∈ C2
(Ω × [0, T)).
Demostración. Basta con estudiar el comportamiento de la integral,
∫
Ω
u2
(x, t) dx .
Usando las ideas de simetría el problema de Dirichlet homogéneo
ut = uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < l
u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0,
(5.19)
admite una solución clásica u siempre que f sea mínimamente regular. Basta
extender f de forma impar y 2π periódica ¯f a R y después aplicar la fórmula
de Poisson:
¯u =
1
√
4πt
∫ +∞
−∞
e−
(x−y)2
4t ¯f(y) dy.
Si f ∈ C[0, π], la restricción de ¯u a 0 < x < l define una solución C∞
en t > 0 de
forma que u → f cuando t → 0+ en uniformemente sobre compactos de (0, l).
En realidad, ¯u está definida en R × (0, +∞). Las condiciones de compatibilidad
f(0) = f(l) = 0 implican que u es una solución clásica que ajusta uniformemente
con el dato f cuando t → 0+. En el caso Neumann,
ut = uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < l
ux(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0,
(5.20)
basta tener f ∈ C1
[0, l] y las condiciones de compatibilidad f′
(0) = f′
(l) = 0
para tener una solución clásica única que es C1
en t ≥ 0 (siempre es C∞
en
t > 0.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-163-320.jpg)
![156 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
5.6. Principios del máximo para la ecuación del
calor
Para Ω ⊂ Rn
, T > 0 usaremos la siguiente notación. QT = Ω × (0, T) ⊂
Rn
× R. Por otro lado ΓT = (Ω × {0}) ∪ (∂Ω × [0, T]) (la frontera parabólica de
QT ). En los enunciados que siguen y para abreviar escribiremos Lu = ut − ∆u
para representar el operador del calor.
Teorema 5.5 (Principio del máximo débil). Sea u ∈ C2,1
(QT )∩C(QT ) tal que:
Lu ≤ 0
en QT . Entonces,
sup
QT
u ≤ sup
ΓT
.
Una consecuencia importante del teorema es el llamado principio de compa-
ración.
Corolario 5.6. Sean u, v ∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ) tales que:
Lu ≤ Lv para (x, t) ∈ QT u ≤ v en cada (x, t) ∈ ΓT .
Entonces:
u ≤ v (x, t) ∈ QT .
En particular, para cada F, f y α el problema de Dirichlet:
ut = ∆u + F(x, t) x ∈ Ω, t > 0
u(x, 0) = f(x) x ∈ Ω
u(x, t) = α(x, t) x ∈ ∂Ω, t > 0,
admite a lo más una solución clásica u ∈ C2,1
(QT ) ∩ C(QT ).
Observación 5.5. Nótese que se ha mejorado, para el problema de Dirichlet, la
regularidad exigida a las soluciones a los efectos de la unicidad.
El principio débil del máximo puede refinarse al extremo de que una solu-
ción clásica u de Lu = 0 en QT sólo puede tomar los extremos en la frontera
parabólica, salvo que sea constante (cf. [18]). En las propiedades que siguen
E ⊂ Rn
× R designa un dominio mientras Lu = ut − ∆u.
Teorema 5.7 (Principio Fuerte del Máximo). Sea u ∈ C2
(E) tal que:
Lu ≤ 0 (x, t) ∈ E,
en tanto que u ≤ M en E para cierta constante M. Si existe P1 = (x1, t1) ∈ E
tal que u(x1, t1) = M entonces u = M para todos los hiperplanos t = t0 que
puedan conectarse en E por segmentos verticales x = x0 con la componente
conexa en E de {t = t1} ∩ E que contiene a P1.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-164-320.jpg)
![5.6. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO 157
La demostración se fracciona en tres lemas (cf. [18]).
Lema 5.8. Supongamos que u ∈ C2
(E) satisface u ≤ M en E mientras que B
es una bola B ⊂ ¯B ⊂ E de forma que:
1. u < M en B,
2. ∃P ∈ ∂B tal que u(P) = M.
Entonces, necesariamente, el hiperplano tangente a B en P adopta la forma
t = constante.
El Lema 5.8 afirma que el máximo sólo puede tomarse en lo más alto o lo
más bajo de la bola.
La propiedad siguiente es válida para toda función continua u ∈ C(E) que
satisfaga la tesis del Lema 5.8.
Lema 5.9. Supongamos, como en el Lema 1, que Lu ≤ 0 en E, mientras u ≤ M
en E. Si u(P0) < M para algún P0 = (x0, t0) ∈ E entonces u < M en toda la
componente conexa de {t = t0} que pasa por P0.
Lema 5.10. Sea u ∈ C2
(E) tal que Lu ≤ 0 y u ≤ M en E. Supongamos
que u < M en {t0 < t < t1} ∩ E (o en una cualquiera de las componentes
conexas C de dicho conjunto). Entonces u(P) < M en todo P ∈ E, P = (x1, t1)
(respectivamente, que además cumpla P ∈ ¯C).
Observación 5.6.
a) Cuando E = Ω × (0, T), Ω ⊂ Rn
un dominio y se permite además que u sea
regular hasta t = T, es decir u ∈ C2,1
(QT ∪ {t = T}) entonces que u(x, T) = M
en algún (x, T), x ∈ Ω, implica que u ≡ M.
b) La conclusión del principio fuerte del máximo sigue siendo válida si el operador
del calor se substituye por otros operadores parabólicos más generales (cf. [18],
Ejercicios 13-20). En particular para:
Lu = ut − ∆u +
n∑
i=1
bi(x, t)∂iu + h(x, t)u,
donde los coeficientes bi y h son, por ejemplo, continuos y acotados en E ⊂
Rn
× R, el coeficiente del término de orden cero cumple:
h ≥ 0 en E,
mientras al supremo se le impone la restricción de signo:
M ≥ 0.
Véanse más detalles en la sección de problemas.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-165-320.jpg)
![5.6. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO 159
Teorema 5.13. Sea f ∈ C[0, l] tal que f(0) = f(l) = 0. Entonces el problema de
Dirichlet para la ecuación del calor ut = uxx admite una única solución clásica
u ∈ C2,1
((0, l)×(0, +∞))∩C([0, l]×[0, +∞)). Si además f ≥ 0 entonces o bien
u ≡ 0 o bien u > 0 en (0, l) × (0, +∞).
El siguiente resultado es un principio de comparación para todas las condi-
ciones de contorno B consideradas al principio de la sección.
Teorema 5.14 (Principio general de comparación). Sea Ω ⊂ Rn
un dominio
acotado y C2
de Rn
mientras u, v ∈ C2,1
(QT ∪ {t = T}) ∩ C1,0
(QT ) satisfacen:
Lu ≤ Lv en QT
u ≤ v en t = 0
Bu ≤ Bv en (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T].
Entonces u ≤ v en QT .
Demostración. El caso Dirichlet ya se ha tratado. Consideremos los otros dos
problemas de contorno. Si
w = u − v,
todo consiste en probar que M = sup w ≤ 0. Caso contrario M > 0 y tendríamos
u(Pm) = M,
sólo en algún Pm ∈ ΓT . En efecto u(P1) = M con P1 ∈ QT ∪ {t = T} lleva a
u = M en QT que no es posible.
Caben dos opciones. Primero que en el operador de contorno,
Bu =
∂u
∂ν
+ bu,
tengamos b(x, t) > 0 en cada (x, t) ∈ ΓT con t > 0. En ese supuesto se tiene:
∂w
∂ν
(Pm) ≤ −b(Pm)u(Pm) = −b(Pm)M < 0,
lo que no puede ser. En un máximo en la frontera como Pm siempre se ha de
tener
∂w
∂ν
(Pm) ≥ 0.
Si b llega a anularse total o parcialmente en ∂Ω × (0, T] (el primer caso
corresponde a condiciones de Neumann) habremos de proceder con más cuidado.
En primer lugar, afirmamos (véase ejercicio al final de la prueba) la existencia
de ϕ ∈ C2
(Ω), ϕ > 0 en Ω tal que:
ϕν = γϕ,
sobre ∂Ω y γ es una constante prefijada arbitraria. Hacemos,
w = e−λt
ϕv,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-167-320.jpg)
![160 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
obteniendo,
vt ≥ ∆v + 2ϕ−1
∇ϕ∇v +
(
λ + ϕ−1
∆ϕ
)
v (x, t) ∈ QT ∪ {t = T}
v ≤ 0 x ∈ Ω, t = 0
vν + (γ + b)v ≤ 0 x ∈ ∂Ω.
Ahora, γ y λ pueden elegirse, sucesivamente, para que se tengan las condiciones,
γ + b > 0 en ∂Ω , λ + ϕ−1
∆ϕ > 0 en QT .
Aplicando la primera parte concluimos que v ≤ 0, luego w ≤ 0 que es lo que se
deseaba probar.
Ejercicio 5.4. Constrúyase ϕ en los casos Ω = (0, l) un intervalo, Ω = BR(0)
una bola en Rn
.
Observaciones 5.7.
a) La construcción de ϕ en un dominio general Ω se apoya en la función distancia
a la frontera ∂Ω, d = d(x),
d : {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < ε} −→ R
x −→ d(x) = dist (x∂Ω),
que es tan regular como ∂Ω, en este caso C2
. Ver [13], Capítulo XIV, para una
discusión detallada de la función distancia d en términos de la geometría de la
frontera.
b) El teorema de comparación proporciona la unicidad para condiciones de con-
torno generales y menos regularidad, a saber: u ∈ C2,1
(QT ∪Ω×{T})∩C1,0
(QT ).
Ejercicio 5.5. En las condiciones de regularidad del teorema de comparación
sea u una solución clásica del problema:
ut = ∆u x ∈ Ω, t > 0
u = f t = 0
Bu = 0 x ∈ ∂Ω.
Demuéstrese que:
|u(x, t)| ≤ sup
Ω
|f|.
5.7. Principios del máximo en dominios no aco-
tados
El siguiente teorema señala una clase de funciones en la que es posible ga-
rantizar la unicidad de soluciones para el problema de Cauchy.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-168-320.jpg)
![5.7. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO 161
Teorema 5.15. Supongamos que u ∈ C2,1
(0 < t < T) ∩ C([0, T]) satisface:
ut ≤ ∆u x ∈ Rn
, 0 < t < T
u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn
,
que satisface la condición de crecimiento exponencial:
u(x, t) ≤ Mea|x|2
.
Entonces,
u(x, t) ≤ sup f .
Una consecuencia del teorema es la siguiente propiedad de unicidad. Si u1,
u2 son soluciones del problema de valor inicial
ut = ∆u x ∈ Rn
, 0 < t < T
u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn
,
(5.21)
satisfaciendo la condición de crecimiento
|u(x, t)| ≤ Mea|x|2
, (5.22)
quizás para diferentes a’s y M’s, entonces u1 = u2. En particular (5.21) sólo
admite, si f ∈ Cb(Rn
), una solución acotada: la solución de Poisson. Como regla
general, para problemas en dominios no acotados, condiciones de crecimiento
como (5.22) juegan el papel de condiciones de contorno en “el infinito”.
Demostración. Primeramente introducimos la solución especial,
v(x, t) =
1
(4π(T∗ − t))n/2
e|x−y|2
/4(T ∗
−t)
,
que se obtiene –esencialmente– haciendo el cambio t → −t, x → ix el la ecuación
del calor, en la que observamos a y ∈ Rn
como un parámetro. Fijamos Q =
BR(y) × (0, T) e intentamos aplicar el principio del máximo a:
w = u − µv (µ > 0).
El claro que w ≤ f en t = 0 mientras en |x − y| = R,
w(x, t) ≤ Mea(|y|+R)2
−
µ
(4πT∗)n/2
eR2
/4T ∗
.
El segundo miembro tiende a −∞ cuanto R → +∞, previa suposición de que:
a <
1
4T∗
es decir T∗
< 1/4a mientras se ha admitido implícitamente que T < T∗. Luego
no hay problema si T < 1/4a. El principio débil del máximo nos permite concluir
que:
u(y, t) ≤ sup
BR(y)
f ≤ sup f,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-169-320.jpg)
![162 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
y como y es arbitrario conseguimos la tesis. Si, por contra, 1/4a ≤ T, frac-
cionamos el intervalo de tiempo en un número finito de intervalos de extremos
0 < T1 < · · · TN−1 < T y longitud menor que 1/4a donde aplicamos el teorema
anterior. Esto concluye la prueba.
Observación 5.8. Un resultado más débil que el teorema previo pero igualmente
eficaz para probar la unicidad de soluciones clásicas u bajo la condición de
crecimiento (5.22) es el siguiente. Supóngase que Lu ≤ 0 mientras u ≤ 0 en
t = 0. Vamos a probar que u ≤ 0 en 0 ≤ t ≤ T.
Consideramos la solución especial,
v(x, t) =
1
(1 − 4At)n/2
eA|x|2
/(1−4At)
,
e intentamos aplicar el principio del máximo a:
w = u − M(R)v
en Q = BR(0) × (0, T). Para tener,
MeaR2
≤
M(R)
(1 − 4At)n/2
eAR2
/(1−4At)
,
basta con elegir M(R) = Me(a−A)R2
y suponer que T < 1/4A o bien A < 1/4T.
Con esta elección tendremos w ≤ 0 en Q. Para (x0, t0) fijo y R grande
tenemos:
u(x0, t0) ≤
M(R)
(1 − 4At0)n/2
eA|x0|2
/(1−4At0)
.
Si elegimos A de forma que a < A < 1/4T resultará que el segundo miembro de
la desigualdad se anula cuando R → +∞. Luego u(x0, t0) ≤ 0. Es decir u ≤ 0.
Sin embargo se ha supuesto que a < 1/4T. Si éste no fuera el caso se procede
como en la última demostración y volvemos a concluir que u ≤ 0.
Ejercicio 5.6. Sin apelar a los resultados expuestos pruébese directamente que
el problema:
ut = ∆u + F(x, t)
u(x, 0) = f(x),
admite a lo más una solución clásica u ∈ C2,1
({0 < t < T}) ∩ C({0 ≤ t ≤ T})
y acotada.
Indicación. Usar la función auxiliar ([17]),
v(x, t) = M
(
2t +
|x|2
n
)
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-170-320.jpg)
![5.8. SOLUCIONES POSITIVAS 163
5.8. Soluciones positivas del problema de valor
inicial
Hemos presentado contraejemplos a la unicidad de soluciones clásicas u ∈
C2,1
({0 < t < T}) ∩ C({0 ≤ t ≤ T}) del problema de valor inicial:
{
ut = uxx x ∈ R 0 < t < T
u(x, 0) = f(x) x ∈ R.
(5.23)
Un notable teorema de Widder ([27], [11]) afirma que en la clase de las soluciones
no negativas (5.23) sólo admite una solución. Una variación trivial dice que
la solución es única en la clase de las soluciones acotadas inferiormente. La
novedad del teorema consiste entonces en que la unicidad es consecuencia de
una condición de tipo “unilateral”.
Con mayor precisión.
Teorema 5.16. El problema (5.23) admite a lo más una única solución clásica
u ∈ C2,1
({0 < t < T}) ∩ C({0 ≤ t ≤ T}) y no negativa u ≥ 0 (obviamente,
f ∈ C(R), f ≥ 0).
Más aún, si tal solución u existe ésta es real analítica en 0 < t < T y puede
representarse mediante la fórmula de Poisson:
u(x, t) =
∫
R
K(x, y, t)f(y) dy. (5.24)
Observación 5.9. Lo notable de (5.24) es que se desconocen a priori condiciones
de crecimiento sobre f en el infinito.
Demostración. Es delicada y consta de las siguientes etapas.
a) Usando el principio del máximo se demuestra que u queda por encima de
la solución formal de Poisson (5.24):
0 ≤ v(x, t) :=
∫
R
K(x, y, t)f(y) dy ≤ u(x, t).
Consideraciones estándar en la teoría de funciones analíticas permiten entonces
probar –con cuidado– que v(x, t) es efectivamente una solución clásica de (5.23)
que es analítica en 0 < t < T.
b) Se toma la diferencia w = u − v. Es una solución no negativa de (5.23)
con f = 0 (lo que supone la reducción al caso de dato inicial nulo). El objetivo
es probar que w = 0. Por razones técnicas se introduce:
W(x, t) =
∫ t
0
w(x, s) ds.
Aunque las derivadas wx, wxx pudieran diverger o no existir en t = 0 se de-
muestra (cf. [11]) que W es una solución clásica de (5.23) con dato f = 0. La
tesis del teorema se deduce de que W = 0.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-171-320.jpg)
![164 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
c) Usando la convexidad de W y algunas cuentas delicadas se establece la
estimación:
W(x, t) ≤ Mea|x|2
,
en 0 ≤ t ≤ T − ε. Los teoremas previos nos llevan en este caso a que W = 0 en
0 ≤ t ≤ T − ε. Iterando el argumento completamos a W = 0 en toda la franja
0 ≤ t ≤ T. Esto concluye la demostración.
5.9. Ejercicios
1. Se define la función error como sigue:
Erf(x) =
2
√
π
∫ x
0
e−y2
dy.
Utilizando dicha función dése una solución de los problemas de Cauchy
para la ecuación del calor ut = uxx en R con datos iniciales: a) f(x) = 1
si |x| < l y f(x) = 0 si |x| > l, b) f(x) = 1 si x > 0, f(x) = 3 si x < 0,
c) f(x) = χI, e. d., la función característica de un intervalo arbitrario
I = [a, b].
2. Sea f = f(x) una función continua en Rn
para la que existen M ≥ 0 y
a > 0 de forma que: |f(x)| ≤ Mea|x|2
en Rn
. Demuéstrese que la fórmula
de Poisson:
u(x, t) = K(f)(x, t) =
1
(4πt)n/2
∫
Rn
e−
|x−y|2
4t f(y) dy,
define una solución en C2
(Rn
× (0, 1
4a )) ∩ C(Rn
× [0, 1
4a )) del problema de
Cauchy:
ut = ∆u x ∈ Rn
, 0 < t <
1
4a
u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn
.
3. Sea Ω un dominio acotado de R3
y supongamos que Ω está aislado térmica-
mente y posee una fuente calorífica con densidad −f(x), x = (x1, x2, x3).
La evolución de la temperatura u(x, t) vendrá dada por la solución del
problema:
∂u
∂t
= ∆u − f(x), x ∈ Ω, t > 0,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,
∂u
∂ν
= 0, x ∈ ∂Ω,
siendo u0(x) la temperatura inicial. Las configuraciones estacionarias de
la temperatura cumplirán entonces el problema de contorno:
∆u = f(x), x ∈ Ω,
∂u
∂ν
= 0, x ∈ ∂Ω.
(5.25)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-172-320.jpg)
![5.9. EJERCICIOS 165
¿Serán únicas las soluciones del problema (5.25)?. Admitamos que f ∈
C(Ω) y supongamos que todas las soluciones u(x) de (5.25) están en
C1
(Ω) ∩ C2
(Ω). Demuéstrese que una condición necesaria para que (5.25)
admita una solución es que:
∫
Ω
f dx = 0.
4. Hállense las soluciones estacionarias del problema:
{
cρut = kuxx + αu, t > 0, 0 < x < l,
u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0.
¿ Para qué valores de α serán únicas las soluciones? En todo momento se
supondrá que las soluciones del problema son C2
en [0, l].
5. Supongamos que las soluciones del problema:
cρAut = kAuxx − µP(u − T0), t > 0, 0 < x < l,
u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ l,
ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t ≥ 0,
son C2
en [0, l] y t ≥ 0. Demuéstrese que la temperatura u(x, t) se esta-
biliza en media cuadrática en torno al valor T0, es decir:
l´ım
t→+∞
∫ l
0
(u(x, t) − T0)2
dx = 0.
¿Cuántas soluciones estacionarias admite el problema? ¿Cuántas solucio-
nes homogéneas (e. d., no dependientes de x) admite el problema?
6. Estúdiese la forma genérica de las soluciones de la ecuación del calor:
ut = uxx, x ∈ R,
que tienen la forma u(x, t) = X(x)T(t). En particular, calcúlense todas
las soluciones de la forma exp(αx + βt), α, β ∈ C. A partir de esta familia
de soluciones, calcúlense otras familias, por derivación e integración de
familias uniparamétricas.
7. Se dice que vn es un polinomio calórico de grado n si tal función es el
coeficiente de
zn
n!
en el desarrollo de exp(xz + tz2
). En otras palabras,
exp(xz + tz2
) =
∑
n≥0
vn(x, t)
zn
n!
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-173-320.jpg)
![166 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
a) Demuéstrese que
vn(x, t) = n!
[n/2]
∑
k=0
tk
k!
xn−2k
(n − 2k)!
,
donde [·] es la función parte entera.
b) Demuéstrese que
vn(x, 0) = xn
, v2n(0, t) =
2n!
n!
tn
, v2n+1(0, t) = 0.
c) Demuéstrese que los vn(x, t) satisfacen la ecuación del calor ut = uxx.
8. Hállese una solución del problema de Cauchy para la ecuación del calor
unidimensional con dato inicial u(x, 0) = x2
. Una guía para hacerlo es
la que sigue. Prúebese que si u(x, t) es una hipotética solución entonces
uxxx(x, t) también satisface la ecuación del calor con dato g(x) ≡ 0. Con-
clúyase de aquí (¡ilegalmente !) que uxxx(x, t) ≡ 0 lo que lleva a una posible
forma general de la solución.
9. La misma cuestión que en el problema anterior con el dato f(x) = e−x
.
10. Resuélvase el problema de Cauchy para la ecuación del calor: ut = kuxx −
bt2
u, u(x, 0) = ϕ(x) ∈ Cb(R). Para ello hágase un cambio adecuado de la
forma u(x, t) = h(t)v(x, t).
11. Sea f(x) acotada y continua a trozos en R, e. d., exiten x1 < . . . , < xN
tales que f|(−∞,x1)
, f|(x1,x2)
, . . . f|(xN−1,xN )
, f|(xN ,+∞)
son continuas, siendo
los límites (que supondremos existen) f(xi−), f(xi+) finitos. Si:
u(x, t) = K(f)(x, t) =
1
√
4πt
∫ +∞
−∞
e−
|x−y|2
4t f(y) dy,
hállense los límites:l´ımt→0+ u(xi, t).
Indicación. Estúdiese con detalle el caso en que f(x) = θ(x) = 1 si x ≥ 0,
θ(x) = 0 si x < 0.
12. Calcúlese la solución del problema:
ut = ∆u t > 0, x ∈ Rn
u(x, 0) = eα|x|2
, x ∈ Rn
,
que se obtiene por medio de la fórmula de Poisson.
13. Sea f(x) ∈ Cb(Rn
) una función radialmente simétrica, es decir f(x) =
h(|x|), x ∈ Rn
. Prúebese entonces que la función:
u(x, t) = K(f)(x, t) =
1
(4πt)n/2
∫
Rn
e−
|x−y|2
4t f(y) dy,
es también radialmente simétrica con respecto a x.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-174-320.jpg)
![5.9. EJERCICIOS 167
14. Sea f(x) ∈ Ck
b (Rn
), Ck
b (Rn
) = {f : Rn
→ R/∂α
f(x) ∈ Cb(Rn
)para |α| ≤
k}. Pruébese que si u(x, t) = K(f)(x, t) entonces ∂α
x ∂j
t u ∈ Cb(Rn
×[0, +∞)
siempre que 2j + |α| ≤ k.
15. (Transformación de Apell). Sea K(x, t) = 1√
4πt
e
−x2
4t el núcleo del calor en
una dimensión. Demúestrese que si u(x, t), x ∈ R, t ∈ R es una solución
de la ecuación del calor ut = uxx entonces:
v(x, t) = K(x, t)u(
x
t
, −
1
t
), t > 0,
es también una solución de dicha ecuación para t > 0.
16. Sea α > 0 un número real positivo y designemos por g : R → R la función
definida por:
g(t) = exp (−t−α
), para t > 0, g(t) = 0, si t ≤ 0.
Pruébese la existencia de una constante θ = θ(α), 0 < θ < 1 de forma que:
|g(k)
(t)| ≤
k!
(θt)k
exp (
1
2
t−α
), para cada t > 0.
Indicación. Utilícese el hecho de que g(z) es holomorfa en ℜ(z) = t > 0
para aplicar la fórmula de Cauchy:
g(k)
(t) =
k!
2πi
∫
Γ
g(ζ)
(ζ − t)k+1
dζ,
Donde, para t > 0, Γ es la circunferencia de centro t y radio r = θt
eligiéndose 0 < θ < 1 de forma que ℜ(z−α
) > 1
2 t−α
para todo z ∈ Γ.
17. (Decaimiento de la Energía en la Ecuación del Calor). Sean ui(x, t) ∈
C2,1
([0, l] × [0, +∞)), i = 1, 2 soluciones del problema de Dirichlet:
ut = uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t).
Pruébese la identidad u1 = u2. Para ello consideérese la diferencia w(x, t) =
u1(x, t) − u2(x, t) y pruébese que la función:
E(t) =
∫ l
0
w(ξ, t)2
dξ,
es no creciente para t ≥ 0.
18. Sean a(x, t), b(x, t) ∈ L∞
(QT ), a(x, t) ≥ k > 0 en QT , L u = ut −
a(x, t)uxx + b(x, t)ux. Si u ∈ C2,1
(QT ∪ {t = T}) satisface Lu ≤ 0 en
QT ∪ {t = T} pruébese que
sup
QT
u ≤ sup
ΓT
u .](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-175-320.jpg)
![5.9. EJERCICIOS 169
Pruébese entonces el principio del máximo de Hopf. Es decir, sea u ∈
C2
(Ω) ∩ C1
(¯Ω), B ⊂ Ω es una bola interior a Ω que es además tangente a
∂Ω en un P ∈ ∂Ω, de forma que u < M en B mientras u(P) = M. Si ν es
la normal unitaria exterior a Ω en P entonces
∂u
∂ν
(P) > 0 .
Nótese que no supone novedad alguna el que ∂u/∂ν(P) ≥ 0.
24. Principios del máximo y términos de orden cero I) . Demuéstrese que el
operador Lu = −u′′
− u no cumple el principio del máximo.
25. Principios del máximo y términos de orden cero II). Sea h = h(x, t) ∈
L∞
(E), una función continua y no negativa en E, con E un dominio de
Rn
× R. Considérese el operador Lu = ut − ∆u + h(x, t)u, que como
bien se ve se diferencia de todos los aquí tratados en el término en u
(véase el problema anterior). Sea asimismo u ∈ C2,1
(E) tal que u ≤ M
en E. Pruébese2
que si P ∈ E y además u(P) = M con la condición
adicional M ≥ 0 entonces se obtienen las conclusiones del principio fuerte
del máximo y del principio de Hopf (supuesto en el último caso que u llega
C1
hasta la frontera ∂E). Búsquese un contraejemplo si h < 0.
26. Probar el principio de comparación: si u y v son soluciones de la ecuación
del calor, u ≤ v en t = 0 y x = 0, l entonces u ≤ v. Pruébese que si
vt − vxx ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π, t > 0, v(0, t) ≥ 0, v(π, t) ≥ 0, v(x, 0) ≥ sen x,
entonces v(x, t) ≥ e−t
sen x.
27. (Sub y supersoluciones para la ecuación del calor). Sea Ω ⊂ Rn
un dominio
acotado y, para T > 0, definamos QT = {(x, t)/x ∈ Ω, 0 < t < T}. Sea
C2,1
(QT ) = {u ∈ C(QT )/ut, ∂α
x u ∈ C(QT ), para |α| ≤ 2}. Se dice que
v(x, t) ∈ C( ¯QT )∩C2,1
(QT ) (respectivamente w(x, t)) es una supersolución
(r. subsolución) del problema:
ut = ∆u (x, t) ∈ QT
u(x, 0) = f(x) x ∈ Ω
u(x, t) = g(x, t) x ∈ ∂Ω, 0 ≤ t < T,
(5.27)
si vt ≥ ∆v (r. ≤ ) en QT , v(x, 0) ≥ f(x), x ∈ Ω (r. ≤) y v(x, t) ≥ g(x, t)
(r. ≤) para x ∈ Ω, 0 ≤ t < T.
Demuéstrese que si u(x, t) ∈ C(QT ) ∩ C2,1
(QT ) es la única solución de
(5.27) entonces:
w(x, t) ≤ u(x, t) ≤ v(x, t).
En el caso Ω = (0, l) y f(x) ∈ C1
([0, l]), f(x) ≥ 0, g(x, t) ≡ 0, demués-
trese que u(x, t) ≥ 0 para todo t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l y que u(., t) tiende
exponencialmente a 0 cuando t → +∞.
2En realidad basta con cerciorarse de que los pasos claves, a saber, los Lemas 5.8 y 5.10
(el Lema 5.9 es consecuencia inmediata del Lema 5.8), siguen siendo válidos en las nuevas
condiciones.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-177-320.jpg)
![170 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR
28. Se considera la solución 1 − x2
− 2t de la ecuación del calor ut = uxx.
Localícense sus máximos en QT .
29. Sea u una solución de ut = uxx en 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, y sean M(T) =
supQT
u, m(T) = ´ınfQT
u. Estúdiense las propiedades de crecimiento y
decrecimiento en T de tales funciones.
30. Sea u la solución de ut = uxx con u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = x(1 − x).
a) Probar que u > 0 en 0 < x < 1, t > 0.
b) Para t > 0, sea µ(t) = sup u(·, t). Probar que µ es no creciente. Para
ello supóngase que si µ(t) = u(X(t), t), entonces X(t) es diferenciable.
c) Pruébese que u(x, t) = u(1 − x, t).
d) Pruébese que 0 < u < 1
e) Prúebese que
∫ 1
0
u2
dx es decreciente en t.
31. El siguiente ejercicio establece que el principio del máximo no es cierto
para la ecuación ut = xuxx, −2 < x < 2. Verificar que u = −2xt − x2
es
una solución. Hállese su máximo en el dominio [−2, 2] × [0, 1].
32. Comprúebese que u = 1 − x2
− 2kt satisface la ecuación del calor: ut =
kuxx. Estúdiese la localización de sus máximos y mínimos en QT para
Ω = (0, 1).
33. Considérse el problema de Dirichlet homogéneo:
ut = uxx 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = 4x(1 − x) 0 < x < 1
u(0, t) = u(1, t) = 0 t > 0,
y admitamos que admite una solución u ∈ C2,1
((0, 1)×(0, +∞)∩C([0, 1]×
[0, +∞)). Pruébese que 0 < u(x, t) < 1 para todo t > 0. Pruébese que
u(x, t) = u(1 − x, t) para todo (x, t).
34. (cf. [10]) Se considera el operador del calor unidimensional Lu = ut − uxx
definido en el dominio:
E = {x2
+ t2
< R2
, t < γ1x , t < γ2x},
donde γ2 < 0 < γ1. Se considera:
u(x, t) = (t − γ1x)(γ2x − t) + 1,
Demuéstrese que:
a) Lu ≤ 0 en D
b) u(P) < u((0, 0)) en D.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-178-320.jpg)
![Capítulo 6
Series de Fourier
6.1. Series de Fourier: introducción
En el Capítulo 7 sobre separación de variables se plantea de forma muy
natural el siguiente problema. Dada una función f : [−π, π] → R determinar
coeficientes {an}, {bn} tales que,
f(x) = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx. (6.1)
Como se espera o desea que (6.1) se satisfaga puntualmente es natural que su-
pongamos siempre que f es 2π-periódica. Usaremos Ck
(T), L2
(T) para repre-
sentar a las funciones 2π-periódicas que son Ck
o que pertenecen a L2
(−π, π).
Que (6.1) sea verosímil requiere resolver primero una cuestión fundamental:
la determinación de los coeficientes en términos de f. Las identidades:
∫ π
−π
sen nx sen mx dx = πδnm
∫ π
−π
cos nx cos mx dx = πδnm
∫ π
−π
sen nx cos mx dx = 0,
(n, m ∈ N cualesquiera) son cruciales a este respecto. Multiplicando ambos
miembros de (6.1) por 1 = cos 0x, cos nx y sen nx, respectivamente, integrando
en [−π, π] y permutando formalmente la integral y la serie, obtenemos:
a0 =
1
2π
∫ π
−π
f(x) dx
an =
1
π
∫ π
−π
f(x) cos nx dx
bn =
1
π
∫ π
−π
f(x) sen nx dx.
173](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-181-320.jpg)
![6.2. ESPACIOS DE HILBERT 177
cuando n, m → ∞. Esto prueba existencia de y.
La aditividad de π se prueba así,
|(x1 + x2) − y|2
= |(x1 − y1) + (x2 − y2) − y + y1 + y2|2
=
|(x1 + x2) − (y1 + y2)|2
+ |y − (y1 + y2)|2
,
donde hemos puesto yi = π(xi). Más abajo veremos que hubiese bastado con
ver que (x1 + x2) − (y1 + y2) ∈ M⊥
.
El resto de la demostración se deja como ejercicio.
Observaciones 6.1.
a) El teorema asegura la existencia de la “mejor aproximación"y = π(x) de x por
elementos de y. π(x) se llama la proyección ortogonal de x sobre M.
b) Si M es finitodimensional, M = span{e1, . . . , eN } con {e1, . . . , eN } ortonormal
no es difícil comprobar que y = π(x) =
∑N
i=1 xiei, xi = ⟨x, ei⟩. En efecto, para
escalares arbitrarios {yi} se tiene:
|x −
N∑
i=1
xiei|2
≤ |x −
N∑
i=1
xiei|2
+ |
N∑
i=1
(xi − yi)ei|2
= |x −
N∑
i=1
xiei|2
+
N∑
i=1
|xi − yi|2
= |x −
N∑
i=1
yiei|2
.
La diferencia entre el último y el primer término de la cadena de desigualdades
es precisamente:
∑N
i=1 |xi − yi|2
. Se hace mínimo (método de los mínimos cua-
drados) para la elección xi = yi. Obsérvese que x−π(x) es obviamente ortogonal
a M y por eso se tiene:
|π(x)|2
=
N∑
i=1
|xi|2
≤ |π(x)|2
+ |x − π(x)|2
= |x|2
.
c) Hemos probado que para cualquier subespacio cerrado M ⊂ H, H admite la
descomposición:
H = M ⊕ M⊥
,
siendo la suma directa topológica ([1]).
Una consecuencia de la observación b) es la siguiente propiedad general.
Proposición 6.3 (Método de los mínimos cuadrados). Sea M un subespacio
cerrado propio de H, x ∈ H. Entonces, y ∈ M satisface:
|x − y| = dist (x, M).
si y sólo si x − y ∈ M⊥
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-185-320.jpg)
![180 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
Proposición 6.8. Para f ∈ L2
(−π, π) su serie de Fourier converge en f ∈
L2
(−π, π) a una función ¯f,
¯f = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx.
Además,
| ¯f|2
2 = π{2a2
0 +
∑
a2
n + b2
n}.
Si g ∈ L2
(−π, π) es otra función con serie Fourier,
¯g = α0 +
∞∑
n=1
αn cos nx + βn sen nx,
entonces,
⟨ ¯f, ¯g⟩2 = π{2a0α0 +
∑
anαn + bnβn}.
Observación 6.3. Si ¯f es la serie de Fourier de f ∈ L2
(−π, π), con suma parcial
N-ésima SN , entonces (desigualdad de Cauchy–Schwarz)
| ¯f − SN |L1 = ⟨| ¯f − SN |, χ[−π,π]⟩2 ≤
√
2π| ¯f − SN |2,
luego l´ım SN = ¯f en L1
lo que significa que la serie de Fourier ¯f de f puede ser
integrada término a término y, para cada a, x ∈ [−π, π], se tiene:
∫ x
a
¯f(x) dx = a0(x − a) +
∞∑
n=1
−
bn
n
(cos nx − cos na) +
an
n
(sen nx − sen na).
En la Sección 6.6 se demuestra el siguiente resultado que enunciamos ahora
a los efectos de establecer el teorema de completitud.
Teorema 6.9. Sea f ∈ C(T) continua tal que existe la derivada f′
excepto
quizás en un número finito de puntos, con f′
∈ L2
(T) (por ejemplo, f es C1
a
trozos). Entonces,
f = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx (uniformemente),
f′
=
∞∑
n=1
nbn cos nx − nan sen nx (en L2
).
Teorema 6.10 (Teorema de Completitud). Si f ∈ L2
(T), entonces f es la
suma de su serie de Fourier. En particular, para todo par de funciones f, g ∈
L2
(−π, π) con desarrollos de Fourier,
f = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-188-320.jpg)
![6.4. RESULTADOS DE CONVERGENCIA PUNTUAL 183
Se llama núcleo de Dirichlet de orden N a la expresión:
DN (y) =
sen
(
N +
1
2
)
y
2π sen
1
2
y
.
Proposición 6.12. El núcleo de Dirichlet presenta las siguientes propiedades,
1. DN = DN (y) es C∞
y 2π-periódico.
2. Dn(y) = DN (−y), DN (y) > 0 en |y| < π/(N +
1
2
), se anula en los puntos
yk = kπ/(N+
1
2
), k ≤ N, del intervalo (0, π), mientras DN (y) ∼
1
π
(N+
1
2
)
cuando y → 0.
3. Se tiene que: ∫ π
−π
DN (y) dy = 1.
Obsérve que la suma parcial SN de la serie de f se puede escribir:
SN (x) =
∫ π
−π
DN (x − t)f(t) dt = DN ∗ f(x).
Por otra parte, no es difícil probar que si f es T-periódica, f ∈ L1
(0, T), entonces
∫ a+T
a
f es constante para todo a ∈ R. Por ello,
SN (x) =
∫ π
−π
DN (x − t)f(t) dt
=
∫ π
−π
DN (t − x)f(t) dt
=
∫ π−x
−π−x
DN (z)f(x + z) dz
=
∫ π
−π
DN (z)f(z + x) dz.
Podemos ya demostrar el siguiente resultado.
Teorema 6.13 (Convergencia puntual). Sea f ∈ L1
(−π, π) una función 2π-
periódica, mientras x0 ∈ [−π, π] es tal que:
f(t + x0) − f(x0)
|t|
(6.7)
con t ̸= 0 está en L1
(−π, π) (condición de Dini). Entonces la serie de Fourier
de f converge a f(x0) en x = x0, es decir,
f(x0) = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx0 + bn sen nx0.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-191-320.jpg)
![184 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
Observaciones 6.4. Observaciones Cualquiera de las siguientes condiciones im-
plican la validez de (6.7) en x = x0:
1. f Hölder continua en x = x0 de exponente 0 < α < 1:
|f(x) − f(x0)| ≤ C|x − x0|α
,
para x ∼ x0, C > 0.
2. f Lipschitz continua en x = x0
|f(x) − f(x0)| ≤ L|x − x0|,
para x ∼ x0, L > 0.
3. f es derivable en x = x0.
Las tres condiciones implican también la continuidad de f en x = x0. Sin
embargo no es cierto que la sola continuidad de f en x = x0 garantiza la
convergencia de la serie de Fourier de f a f(x0) en x = x0 (ver el contraejemplo
unas líneas más abajo). Por otra parte, nótese que la Lipschtzianidad de f en
x = x0 es equivalente a la finitud de los cuatro números de Dini: D±
f(x0±),
donde, por ejemplo,
D+
f(x0) = lim
x→x0+
f(x) − f(x0)
x − x0
.
Demostración del Teorema 6.13. Tenemos,
SN (x0) − f(x0) =
∫ π
−π
DN (z)(f(z + x0) − f(x0) dz
=
∫ π
−π
z
sen(z/2)
f(z + x0) − f(x0)
z
sen(N +
1
2
)z dz → 0,
cuando N → ∞ en virtud del lema de Riemann-Lebesge.
Una consecuencia de la demostración es lo que se conoce como el principio
de localización de Riemann que viene a asegurar que la convergencia de la serie
de Fourier en x = x0 es una propiedad local.
Proposición 6.14. Si f ∈ L1
(T) y existe ε > 0 tal que f = 0 ∀ c. t. x ∈
(x0 − ε, x0 + ε) entonces:
a0 +
∞∑
n=1
an cos nx0 + bn sen nx0 = 0.
Para aplicar los resultados sobre series de Fourier, por ejemplo a funciones
continuas f en [−π, π], se extiende primero f como una función 2π-periódica a
R (v.g. f(x) = ex
). Es entonces natural que aparezcan discontinuidades en la
extensión (si f(−π) ̸= f(π)). El siguiente resultado, debido a Dirichlet, tiene
que ver con ese tipo de situaciones.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-192-320.jpg)
![6.5. CUESTIONES COMPLEMENTARIAS 185
Teorema 6.15. Sea f ∈ L1
(T) satisfaciendo que las funciones
f(x0 + t) − f(x0−)
t
χ{t < 0}
f(x0 + t) − f(x0+)
t
χ{t > 0}, (6.8)
(t ̸= 0) son localmente integrables. Entonces,
f(x0−) + f(x0+)
2
= a0 +
∞∑
n=1
an cos nx0 + bn sen nx0.
La demostración es una variante de la del teorema anterior. Nótese que si f
es por ejemplo C1
a trozos se cumple (6.8) en los puntos de discontinuidad.
6.5. Algunas cuestiones adicionales sobre la con-
vergencia de las series de Fourier
El siguiente ejemplo de Fejér (1910) (cf. [23]) muestra que la continuidad no
basta para la convergencia puntual. Un primer ejemplo en esta dirección había
sido dado ya por Du Bois-Reymond en 1876.
Se consideran los grupos ordenados de números:
Gn = {
1
2n − 1
, . . . , 1, −1, . . . , −
1
2n − 1
},
a los que se asocian (r un parámetro) las funciones:
ϕ(n, r, x) =
cos(r + 1)x
2n − 1
+ · · · + cos(r + n)x − cos(r + n + 1)x − · · · −
cos(r + 2n)x
2n − 1
=
n∑
ν=1
cos(r + n − ν + 1)x
2ν − 1
−
n∑
ν=1
cos(r + n + ν)x
2ν − 1
.
La familia ϕ(n, r, ·) está uniformemente acotada. En efecto,
ϕ(n, r, x) = 2 sen(r + n +
1
2
)x
n∑
ν=1
sen(ν − 1
2 )x
2ν − 1
= 2 sen(r + n +
1
2
)x
{ 2n∑
λ=1
sen(λ
2 )x
λ
−
1
2
n∑
λ=1
sen λx
λ
}
,
mientras las expresiones,
SN (x) =
N∑
1
sen kx
k
,
se mantienen acotadas.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-193-320.jpg)
![186 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
Basta escribir:
SN (x) =
∫ x
0
(cos t + · · · + cos nt) dt
=
∫ (N+1/2)x
0
sen u
u
du +
∫ x
0
(
1
2 sen t
2
−
1
t
)
sen(n +
1
2
)t dt −
x
2
,
de donde se deduce la acotación uniforme de SN , primero en [0, π], después en
[−π, 0] (refelexión), y después por periodicidad a todo R.
Ejercicio 6.2. Efectuar un estudio detallado de
∫ x
0
sen u
u
du,
en R+
.
Ahora consideramos una sucesión creciente de enteros λ1 < λ2 < · · · y la
sucesión ordenada de coeficientes {αn} que se deduce de la unión:
Gλ1 ∪ Gλ2 ∪ · · ·
donde los elementos de Gλn
son los de Gλn
multiplicados por 1/n2
. Debe notarse
que para cada n: ∑
αn∈Gλn
αn = 0.
Finalmente construimos la serie formal:
∞∑
n=1
αn cos nx. (6.9)
Se observa que:
∑
αn∈Gλn
αn cos nx =
1
n2
ϕ(λn, 2λ1 + · · · 2λn−1, x)
pues el primer elemento del grupo Gλn ocupa el número de orden 2λ1+· · · 2λn−1,
el último 2λn unidades más.
La serie (6.9) puede sumarse por “paquetes” en el sentido de que:
f(x) =
∑
n
∑
αn∈Gλn
αn cos nx =
∑
n
1
n2
ϕ(λn, 2λ1 + · · · 2λn−1, x),
y es inmediato que dicha serie converge uniformemente a una función continua
f(x). Su m-ésimo coeficiente de Fourier se halla haciendo:
∫ 2π
0
f(x) cos mx dx =
∑
n
∫ 2π
0
1
n2
ϕ(λn, 2λ1 + · · · 2λn−1, x) cos mx dx
= παm.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-194-320.jpg)
![6.6. CONVERGENCIA UNIFORME 187
Por lo tanto, (6.9) es exactamente la serie de Fourier de f. Veamos que dicha
serie no converge en x = 0 (la razón es que para sumar dicha serie hay que
“desempaquetarla"lo que causa la no convergencia). En efecto, si sn es la suma
parcial n-ésima de
∞∑
n=1
αn,
entonces la subsucesión:
s2λ1+···+2λn−1+λn =
1
n2
{
1 +
1
3
+ · · · +
1
2λn − 1
}
∼
log λn
2n2
,
cuando n → ∞. Si elegimos λn adecuadamente, v. g. λn = nn2
es claro que tal
subsucesión diverge como log n y la serie
∑∞
n=1 αn diverge.
Observaciones 6.5.
a) Usando el principio de acotación uniforme se puede probar (cf. [19], Capítulo
5) la existencia un subconjunto denso E ⊂ C(T) de forma que la serie de Fourier
de cada f ∈ E diverge sobre un conjunto denso en [−π, π].
b) Carleson probó en 1966 que la serie de Fourier de cada f ∈ L2
(T) converge a
f, ∀ c. t. x ∈ (−π, π). Eso dice que el conjunto de divergencia de las funciones
f ∈ E de a) debe ser necesariamente de medida cero.
6.6. Convergencia uniforme
Un primer resultado elemental es el siguiente.
Proposición 6.16. Si f ∈ C2
es 2π periódica, f es la suma uniforme de su
serie de Fourier.
El resultado se sigue de la identidades (en L2
),
f = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx
f′
=
∞∑
n=1
nbn cos nx − nan sen nx
f′′
= −
∞∑
n=1
n2
an cos nx + n2
bn sen nx.
En particular:
|an|, |bn| ≤
1
πn2
|f′′
|1,
que prueba la convergencia absoluta y uniforme de la serie de Fourier.
Supongamos más sencillamente que f ∈ C1
(T). Una integración por partes
establece que:
a′
n = nbn b′
n = −nan,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-195-320.jpg)
![188 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
por lo que
∑∞
n=1 n2
a2
n + n2
b2
n < ∞. Para estimar la convergencia escribimos:
|SM (x) − SN (x)|2
≤ 2{
M∑
n=N
1
n2
}{
M∑
n=N
n2
a2
n + n2
b2
n},
y se deduce la convergencia uniforme.
Con un poco más de generalidad, si f ∈ C(T), f′
existe excepto quizás en
un número finito de puntos {ai} con f′
∈ L2
(−π, π) entonces:
∫ π
−π
f′
(x) cos nx dx =
∑
i
∫ ai
−ai−1
f′
(x) cos nx dx =
∑
i
l´ım
ε→0+
{
∫ ai−ε
−ai−1+ε
f′
(x) cos nx dx}
= n
∑
i
{f sen nx|ai
ai−1
−
∫ ai
−ai−1
f(x) sen nx dx}
= −n
∫ π
−π
f(x) sen nx dx.
Luego, como antes tenemos a′
n = −nbn y, por el mismo razonamiento, b′
n = nan.
Más aún si f ∈ C(T) es absolutamente continua, luego:
f(x) = f(a) +
∫ x
a
g,
para alguna g ∈ L1
(T) y cualquier a ∈ [−π, π], una cuidadosa aplicación del
teorema de Fubini demuestra (cf. [19]), una vez más, que se tienen las relaciones:
∫ π
−π
g(x) cos nx dx = −n
∫ π
−π
f(x) sen nx dx
∫ π
−π
g(x) sen nx dx = n
∫ π
−π
f(x) cos nx dx,
por tanto, a′
n = −nbn, b′
n = nan. Si además g ∈ L2
(g es la derivada en casi
todo punto de f) se tendrá la convergencia de la serie
∑
n2
a2
n + n2
b2
n.
Podemos finalmente enunciar nuestro resultado de convergencia uniforme.
Teorema 6.17. Sea f ∈ C(T) satisfaciendo alguna de las condiciones prece-
dentes. Entonces,
f = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx,
uniformemente. Más aún,
sup
[−π,π]
|SM (x) − SN (x)| ≤
√
2
M∑
n=N
1
n2
M∑
n=N
n2a2
n + n2b2
n.
Observaciones 6.6.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-196-320.jpg)
![6.6. CONVERGENCIA UNIFORME 189
a) Haciendo M → +∞ en la última ecuación tenemos la estimación uniforme
del error,
sup
[−π,π]
|f(x) − SN (x)| ≤
√
2
π
π2
6
−
N∑
1
1
n2
∫ π
−π
f′2
− π{
N∑
1
n2a2
n + n2b2
n}.
Hemos usado que:
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
.
Para probarlo consideramos f(x) = x en [−π, π]. Su serie de Fourier es:
f(x) = 2
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
,
de lo que, al ser,
∫ π
−π
x2
dx =
2π3
6
,
se tiene:
2π3
6
= 4π
∞∑
n=1
1
n2
,
de donde el resultado.
b) Puede ser de utilidad observar que si f ∈ Ck−1
(T), con f(k−1)
C1
a trozos,
la serie de Fourier de f:
f = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx,
se puede derivar k − 1 veces término a término siendo las series resultantes
uniformemente convergentes, mientras:
f(k)
=
∞∑
n=1
an(cos nx)(k)
+ bn(sen nx)(k)
,
en L2
(T). Por otro lado,
∞∑
n=1
n2l
{a2
n + b2
n} < +∞,
para 0 ≤ l ≤ k.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-197-320.jpg)
![190 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
6.7. Convergencia uniforme sobre compactos: fe-
nómeno de Gibb
Cuando una función f presenta una discontinuidad de salto en un punto
x = x0 y es relativamente regular cerca de x = x0, las sumas parciales SN
de la serie de Fourier desarrollan cuando N → +∞ un tipo característico de
efecto de capa límitite en x = x0 conocido como fenónmeno de Gibb. Mientras
lo describimos probaremos que la serie de Forier de una función C1
a trozos
converge uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad.
Vamos a comenzar analizando un caso especial: f(x) = 1
2 signo(x) (cf. [22]).
En este caso:
SN (x) =
(
−
∫ 0
−π
+
∫ π
0
)
sen M(x − y)
sen(x−y
2 )
dy
4π
,
con M = N +
1
2
. Hacemos θ = M(x − y), mientras llamamos:
φ(θ) =
sen θ
M sen( θ
2M )
,
y tenemos:
SN (x) =
(
−
∫ Mx
Mx+Mπ
+
∫ Mx−Mπ
Mx
)
(−1)φ(θ)
dθ
4π
=
(
−
∫ Mx+Mπ
Mx
+
∫ Mx
Mx−Mπ
)
φ(θ)
dθ
4π
=
(∫ Mx
−Mx
+
∫ −Mx
Mx−Mπ
−
∫ Mx+Mπ
Mx
)
φ(θ)
dθ
4π
=
(∫ Mx
−Mx
−
∫ Mx
−Mx+Mπ
−
∫ Mx+Mπ
Mx
)
φ(θ)
dθ
4π
=
(∫ Mx
−Mx
−
∫ Mx+Mπ
−Mx+Mπ
)
φ(θ)
dθ
4π
= I1 − I2.
Vamos ahora a estudiar el comportamiento de la suma parcial cerca de x = 0.
Para ello supongamos que:
|Mx| ≤ K.
Tenemos:
I1 = 2
∫ Mx
0
sen θ
M sen( θ
2M )
dθ
4π
∼
∫ Mx
0
sen θ
θ
dθ
4π
∼
∫ K
0
sen θ
θ
dθ
4π
,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-198-320.jpg)
![6.8. TEOREMA DE LUSIN 193
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f(t)
s17(t)
Figura 6.2: Suma parcial de orden 17 de la función signo(x)
6.8. Teorema de Lusin
La aproximación de funciones integrables por funciones continuas es conse-
cuencia del siguiente resultado general (cf. [19]).
Teorema 6.20 (Teorema de Lusin). Sea Ω ⊂ Rn
medible, |Ω| < ∞. Si f es
medible en Ω (f ∈ M(Ω)), para cada ε > 0 existe gε ∈ C0(Rn
) cumpliendo
sup |g| ≤ sup |f| tal que:
|{x ∈ Ω : f ̸= gε}| < ε.
Se tiene como consecuencia.
Corolario 6.21. Si f ∈ M(Ω), |Ω| < +∞, |f| ≤ 1, existe una sucesión gn ∈
C0(Rn
), |gn|∞ ≤ 1 tal que:
l´ım gn(x) = f(x) ∀ c. t. x ∈ Ω.
Demostración. Escogemos gn tal que |An := {f ̸= gn}| ≤ 2−n
. Entonces, y
∀ c. t. x ∈ Ω cada x ∈ Ω está a lo más en un número finito de An’s (Ejercicio).
Ejercicio 6.3. Sea An ⊂ RN
una sucesión de conjuntos medibles tal que:
∑
n
|An| < ∞.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-201-320.jpg)
![196 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
9. Pruébese que:
l´ım
∫ π
0
log x sen x dx = 0.
10. Sea f ∈ L2
(T). Denotemos por SN (x) la suma parcial N-ésima de su serie
de Fourier:
SN (x) = a0 +
∞∑
n=1
an cos nx + bn sen nx.
a) Pruébese que:
SN (x) =
1
2π
∫ π
−π
f(x + τ)DN (τ) dτ,
donde DN (τ) =
sen(N+ 1
2 )τ
sen τ
2
(Núcleo de Dirichlet). Pruébese además
que:
1
2π
∫ π
−π
DN (τ) dτ = 1.
b) Sea f ∈ L2
(−π, π). Pruébese que si la función fx0 = f(x+x0)−f(x0)
x ∈
L1
(−π, π) entonces la serie de Fourier de f converge a f(x0) en x = x0
(criterio de Dini).
c) Si f ∈ L2
(−π, π) es derivable en x = x0 se tiene convergencia de la
serie de Fourier de f en x0 al valor f(x0).
11. Hállense las series de Fourier de ex
, x, sen3
x en (−π, π). Calcular la suma
de la serie de Fourier de ex
en x = π.
12. Sea f una función C2
y 2π-periódica en R. Demúestrese que la serie de
Fourier converge uniformemente a f.
13. (Teorema de Localización). Como consecuencia del teorema de Riemann-
Lebesgue pruébese que si f ∈ L1
(−π, π) se anula en un entorno de x0
entonces su serie de Fourier converge a 0 en dicho punto. Si dos funciones
f, g ∈ L1
coinciden en algún entorno de un punto x0, ¿ Qué se puede decir
de sus series de Fourier en tal punto?
14. Sea f ∈ L2
(−π, π) una función 2π-periódica en R que es derivable en
(−π, π) excepto quizás en un número finito de puntos. Supóngase que f
es continua en [−π, π] y que la derivada f′
∈ L2
(−π, π).
a) Pruébese que para −π ≤ a ≤ x ≤ π se tiene:
f(x) = f(a) +
∫ x
a
f′
(t) dt.
b) Prúebese que la serie de Fourier de f converge uniformemente a f](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-204-320.jpg)
![6.9. EJERCICIOS 197
Indicación. Úsese el siguiente resultado que puede consultarse en el libro
de Rudin [19] (Capítulo VII): Si f(x) es diferenciable en todo el intervalo
[a, b] con derivada f′
∈ L1
(a, b) entonces
f(x) = f(a) +
∫ x
a
f′
dt,
para todo x.
15. (Teorema de Completitud). Admitiendo que el conjunto de las funcio-
nes de clase C∞
en (−π, π) con soporte compacto contenido en dicho
intervalo (clase de funciones que se representa por C∞
0 (−π, π)) es den-
so en L2
(−π, π) 2
, demuéstrese que la serie de Fourier de cualquier
f ∈ L2
(−π, π) converge a f en la norma de L2
(−π, π).
16. Una consecuencia del teorema de Lusin (cf. [19] o el Anexo) es que las
funciones continuas con soporte compacto en (−π, π) son densas en Lp
.
Utilizar este hecho para probar que toda f ∈ L2
puede aproximarse en L2
por funciones fn que satisfacen las condiciones del problema 9 y deducir
de ahíel teorema de completitud.
17. Se considera el problema de Dirichlet homogéneo para la ecuación del
calor:
ut = duxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0,
y su solución “formal":
u(x, t) =
∞∑
n=1
bne−dn2
t
sen nx, (6.10)
obtenida por el método de separación de variables; donde:
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen nx (6.11)
con bn = 2
π
∫ π
0
f(x) sen nx dx, es el desarrollo en serie de Fourier en se-
nos de f(x). Admitamos que f ∈ C2
([−π, π]) satisface las condiciones de
compatibilidad:
f(0) = f(π) = f′′
(0) = f′′
(π) = 0.
a) Pruése que ∃c > 0 tal que |bn| ≤ c para todo n. Dedúzcase de ahí que
u(x, t) definida por (1) es de clase C∞
en t > 0, 0 < x < π. Pruébese
que u(x, t) es efectivamente solución de la ecuación del calor.
2Véase el libro de W. Rudin [19].](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-205-320.jpg)
![198 CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER
b) Pruébese que la serie de Fourier en senos de f, (2), converge unifor-
memente en [0, π].
c) Designemos por uN (x, t) la suma parcial N-ésima de la serie (6.10),
siendo fN (x) la correspondiente suma parcial de la serie (6.11). Prué-
bese que uN (x, 0) = fN (x). Utilícese el principio del máximo para
demostrar que:
m´ax
0≤t<T,0≤x≤π
|uN (x, t) − uM (x, t)| ≤ m´ax
0≤x≤π
|fN (x) − fM (x)|,
cualquiera que sean M ≤ N ∈ N y T > 0. Conclúyase que (6.10) es
una solución clásica del problema de Cauchy, e. d., C2
en 0 < t, 0 <
x < π y continua en 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ π 3
.
3cf. [26], Sección 22.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-206-320.jpg)
![200 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
permite resolver (7.1) con f’s de la forma,
f =
N∑
n=1
bn sen nx.
Esta clase –finitodimensional– de datos iniciales es claramente insuficiente por
lo que parece sobradamente razonable preguntarse cuánto es de grande la clase
de datos representables bajo la forma:
f =
∞∑
n=1
bn sen nx, (7.3)
para después proponer,
u =
∞∑
n=1
bne−n2
t
sen nx,
al menos como solución formal. Sobre la representabilidad de f en la forma
(7.1) tratamos largamente en el Capítulo ??. Sabemos, por ejemplo que si
f ∈ L2
(0, π), (1) converge en L2
(0, π) bajo la elección de coeficientes bn =
(2/π)
∫ π
0
f(x) sen nx dx. Se tiene el siguiente resultado.
Teorema 7.1. Sea f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0, ∃f′
(x) para x ∈ (0, π) con
f′
∈ L2
(0, π) entonces:
u =
∞∑
n=1
bne−n2
t
sen nx ∈ C∞
{t > 0} ∩ C{t ≥ 0}, (7.4)
define una solución clásica del problema (7.1).
Observaciones 7.1.
a) En el Capítulo ?? resolvimos (7.1) bajo menos regularidad para f. A saber
f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0.
b) Para que (7.33) sea C∞
en t > 0 basta con que los coeficientes bn estén
acotados.
c) En la prueba de la continuidad de (7.33) hasta t = 0 el principio débil del
máximo juega un papel importante.
d) Con las técnicas de reflexión del Capítulo ?? se prueba que la versión “Neu-
mann” del problema (7.1):
ut = uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < π
ux(0, t) = ux(π, t) = 0 t > 0,
(7.5)
admite una única solución clásica, u ∈ C2
{t > 0} ∩ C1
{t ≥ 0} cuando f ∈
C1
[0, π], f′
(0) = f′
(π) = 0. Mediante separación de variables y un argumento](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-208-320.jpg)
![7.2. FUNCIÓN DE GREEN 201
simétrico si f ∈ C[0, π], f′
∈ L2
(0, π), (7.5) admite la solución clásica, u ∈
C2
{t > 0} ∩ C{t ≥ 0} de la forma:
u = a0 +
∞∑
n=1
ane−n2
t
cos nx ∈ C∞
{t > 0} ∩ C{t ≥ 0}, (7.6)
an = (2/π)
∫ π
0
f(x) cos nx dx, a0 = (1/π)
∫ π
0
f(x) dx. Las condiciones f ∈
C1
[0, π], f′
(0) = f′
(π) = 0 junto con f′′
∈ L2
(0, π) bastan para justificar
que (7.6) define una solución clásica, C1
hasta t = 0.
7.2. Función de Green: problema de valor inicial
Supongamos que f ∈ L1
(0, π) entonces:
u(x, t) =
∞∑
n=1
2
π
∫ π
0
f(ξ)e−n2
t
sen nx sen nξ dξ =
2
π
∫ π
0
∞∑
n=1
f(ξ)e−n2
t
sen nx sen nξ dξ.
En efecto, la serie permuta con la integral por ejemplo en virtud de que si
fn ∈ L1
(Ω),
∑∞
n=1 |fn|L1(Ω) < +∞ entonces f =
∑∞
n=1 fn ∈ L1
(Ω), |f| ≤∑∞
n=1 |fn|L1(Ω),
∫
Ω
f =
∑∞
n=1
∫
Ω
fn. En nuestro caso:
∞∑
n=1
∫ π
0
|f(ξ)e−n2
t
sen nx sen nξ| dξ ≤
∞∑
n=1
∫ π
0
e−n2
t
|f(ξ)| dξ < ∞.
Conviene introducir el núcleo (función de Green),
G(ξ, x, t) =
2
π
∞∑
n=1
e−n2
t
sen nx sen nξ ∈ C∞
{t > 0}.
Nuestra solución se escribe entonces,
u(x, t) =
∫ π
0
G(ξ, x, t)f(ξ) dξ. (7.7)
El siguiente resultado pone de manifiesto lo útil que es la representación (7.7) de
la solución. Debe notarse que en el Cap. V no se consideraron datos f ∈ L1
(0, π).
Teorema 7.2. Sea f ∈ L1
(0, π). Entonces u ∈ C∞
{t > 0}. Si, por otra parte,
f ∈ L∞
(0, π), entonces u está acotada en t > 0 mientras l´ım(x,t)→(x0,0) u(x, t) =
f(x0) en los puntos de continuidad de x0 ∈ (0, π) de f.
Demostración. Lo primero que probaremos es:
G(ξ, x, t) ≥ 0,
para t > 0. La igualdad es obvia si ξ o x son cero módulo π. Por otro lado, si
G(ξ0, x0, t0) < 0,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-209-320.jpg)
![202 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
en (ξ0, x0) ∈ (0, π) × (0, π) entonces G < 0 en |ξ − ξ0| < δ donde localizamos
una función f ∈ C1
0 [0, π], con sop f ⊂ {|ξ − ξ0| < δ}, f positiva en su soporte.
Tenemos entonces para la solución uf de (7.1) con este dato:
u(x0, t0) < 0,
que va contra el principio débil del máximo.
Por otro lado, ∫ π
0
G(ξ, x, t) dξ ≤ 1. (7.8)
Esto es muy interesante porque si, por ejemplo, f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0 se
tiene la afirmación enunciada en el Ejercicio 7.1.
Por tanto, si un ∈ C{t ≥ 0} es la solución clásica de (7.1) con dato fn, u la
obtenida como:
u =
∫ π
0
G(ξ, x, t)f(ξ) dξ,
resulta:
|u − un| ≤
∫ π
0
G(ξ, x, t)|f − fn| dξ ≤ |f − fn|∞.
Luego un → u uniformemente en t ≥ 0. Esto significa que u ∈ C{t ≥ 0} es la
solución clásica de (7.1).
Otra consecuencia inmediata de (7.8) es que si f ∈ L∞
(0, π) entonces u dada
por (G) es también una función acotada en t ≥ 0.
Probemos (7.8). Consideramos fn = 1 en [1/n, π − 1/n], fn el segmento
inclinado desde el valor 1 a los extremos del intervalo, mientras un es la solución
asociada. Resulta, del principio del máximo:
∫ π
0
G(ξ, x, t)fn(ξ) dξ ≤ 1.
Tomando límites se llega al resultado deseado.
Por otro lado se tiene que:
∫ π
0
G(ξ, x, t) sen ξ dξ = e−t
sen x.
Esto permite escribir, 0 < x0 < π, la diferencia:
u(x, t) − f(x0) = {
∫ x0+δ
x0−δ
+
∫
I[x0−δ,x0+δ]
}G(ξ, x, t)[f(ξ) − f(x0)et sen ξ
sen x
] dξ.
Mientras la primera integral se hace arbitrariamente pequeña con δ, para la
segunda hay que proceder con más cuidado. En efecto, el integrando de ésta
permanece acotado. Poniendo Iδ = [x0 −δ, x0 +δ] escogemos una función fδ ≥ 0
con soporte Iδ tal que fδ = 1 en Iδ/2. Si uδ es la solución de (7.1) correspondiente
a fδ resulta que: ∫
IIδ
G(ξ, x, t) dξ ≤ 1 − uδ.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-210-320.jpg)
![7.3. ECUACIÓN DE ONDAS 203
La integral tenderá uniformemente a 0 con x ∈ Iδ/2 cuando t → 0+. Esto prueba
la convergencia a cero de la segunda integral.
Ejercicio 7.1. Si f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0 entonces f = l´ım fn uniforme-
mente, donde fn es continua, C1
a trozos y fn(0) = fn(π) = 0.
Corolario 7.3. Si f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0, entonces
u =
∫ π
0
G(ξ, x, t)f(ξ) dξ,
es la solución cláscica de (7.1).
7.3. Ecuación de ondas
El problema de Dirichlet para la ecuación de ondas,
utt = c2
uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < π
ut(x, 0) = g(x) 0 < x < π
u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0,
(7.9)
puede tratarse con el método de separación de variables. El buscar soluciones
de la forma:
u = X(x)T(t),
nos lleva igualmente a la ecuación:
X′′
X
=
1
c2
T′′
T
.
Ésta a su vez al problema de contorno,
X′′
+ λX = 0
X(0) = X(π) = 0,
que proporciona los valores λn = n2
a los que corresponden soluciones Xn(x) =
An sen nx. Los mismos valores de λ = n2
permiten determinar las funciones de
t, Tn(t) = Bn cos nct + Cn sen nct. Alternativamente,
XnTn = (an cos nct + bn sen nct) sen nx (n ∈ N).
Por este simple procedimiento podemos determinar la solución de la familia
finito dimensional de datos iniciales,
f =
N∑
n=1
αn sen nx
g =
N∑
n=1
βn sen nx.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-211-320.jpg)
![204 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Tal solución es,
uN (x, t) =
N∑
n=1
(αn cos nct +
βn
nc
sen nct) sen nx.
De los resultados del Capítulo ?? sabemos que si f ∈ C2
[0, π], g ∈ C1
[0, π]
cumplen las condiciones de compatibilidad f(0) = f′′
(0) = f(π) = f′′
(π) = 0,
g(0) = g(π) = 0 entonces podemos representarlas,
f =
∞∑
n=1
αn sen nx
g =
∞∑
n=1
βn sen nx
G =
∫ x
0
g(s) ds =
∞∑
n=1
βn
n
−
∞∑
n=1
βn
n
cos nx.
siendo en todos los casos uniforme la convergencia. La serie, en principio formal,
u =
∞∑
n=1
(αn cos nct +
βn
nc
sen nct) sen nx
=
∞∑
n=1
αn cos nct sen nx +
∞∑
n=1
βn
nc
sen nct sen nx := u1 + u2,
(7.10)
se puede reinterpretar en los términos siguientes,
u1 =
∞∑
n=1
αn cos nct sen nx =
1
2
∞∑
n=1
αn sen n(x + ct) +
1
2
∞∑
n=1
αn sen n(x − ct)
=
1
2
{f(x + ct) − f(x − ct)},
luego u1 es C2
–aunque no sea posible derivar dos veces la serie término a
término– y es la solución de (7.9) correspondiente a g = 0. Análogamente,
u2 =
∞∑
n=1
βn
nc
sen nct sen nx =
1
2c
{−
∞∑
n=1
βn
nc
cos n(x + ct) +
∞∑
n=1
βn
nc
cos n(x − ct)}
=
1
2c
{G(x + ct) − G(x − ct)}.
De nuevo, u2 es C2
y define la solución de (7.9) con f = 0, aunque –como antes–
no estemos autorizados a derivar dos veces la serie. Por tanto, (7.10) representa
la solución a pesar de que las manipulaciones de diferenciabilidad término a
término de la serie no son en principio posibles 1
.
1Este fenómeno también se observa en las ecuaciones de Poisson y del Calor (con término
de perturbación). Se obtiene una representación de la solución en la que no siempre es posible
derivar bajo el signo integral.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-212-320.jpg)
![7.4. ECUACIÓN DE ONDAS AMORTIGUADA 205
En caso de condiciones Neumann,
ux(0, t) = ux(π, t) = 0, (7.11)
junto con datos f ∈ C2
[0, π], g cumpliendo las correspondientes condiciones de
compatibilidad se tienen las representaciones (uniformemente convergentes):
f = α0 +
∞∑
n=1
αn cos nx
g = β0 +
∞∑
n=1
βn cos nx
G =
∫ x
0
g(s) ds = β0x +
∞∑
n=1
βn
n
sen nx.
Aplicando el método de separación de variables como en la primera parte, lle-
gamos a la siguiente expresión formal de la solución,
u = a0 + b0t +
∞∑
n=1
(an cos nct + bn sen nct) cos nx.
Teniendo en cuenta los datos los coeficientes que se obtienen son:
u = α0 + β0t +
∞∑
n=1
(αn cos nct +
βn
nc
sen nct) cos nx. (7.12)
En efecto, es otra vez fácil probar que:
u =
1
2
{f(x + ct) + f(x − ct)} +
1
2c
{G(x + ct) + G(x − ct)},
que es la fórmula de D’Alambert del Capítulo ??.
7.4. Ecuación de ondas amortiguada
Los mismos métodos nos permiten considerar problemas más complicados
como el correspondiente a la ecuación de ondas con fricción aerodinámica:
utt + 2aut = c2
uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < π
ut(x, 0) = g(x) 0 < x < π
u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0,
(7.13)
con a > 0. Al usar separación de variables y considerar soluciones de la forma
u = X(x)T(t) llegamos a la ecuación:
1
c2
T′′
+ 2aT′
T
=
X′′
X
= −λ.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-213-320.jpg)
![206 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Las condiciones Dirichlet determinan λn = n2
junto con Xn = cn sen nx. Si, por
simplicidad, ponemos g = 0, las T’s vienen determinadas por:
T′′
+ 2aT′
+ n2
cT = 0
T′
(0) = 0,
y por ello,
Tn(t) =
e−at
[cosh
√
a2 − n2c2t +
a
√
a2 − n2c2
senh
√
a2 − n2c2t] n <
a
c
e−at
[1 + at] n =
a
c
e−at
[cos
√
n2c2 − a2t +
a
√
n2c2 − a2
sen
√
n2c2 − a2t] n >
a
c
,
donde Tn se ha normalizado para cumplir Tn(0) = 1. Si tomamos f ∈ L2
(0, π)
una expresión formal de la solución es:
u =
∞∑
n=1
bnTn(t) sen nx, (7.14)
con f =
∑∞
n=1 bn sen nx. A los efectos de estudiar la convergencia de la serie
podemos considerarla escrita en la forma:
u = u1 + u2 =
∑
n≤a/c
bnTn(t) sen nx +
∑
n>a/c
bnTn(t) sen nx.
Las estimaciones de la serie recaerán sobre la parte u2. Si, por ejemplo, f ∈
C2
[0, π], f(0) = f(π) = f′′
(0) = f′′
(π) = 0, f′′
es derivable en todo (0, π) con
derivada f′′′
∈ L2
(0, π), entonces:
∞∑
n=1
n6
b2
n < ∞,
lo que nos da la convergencia uniforme de las derivadas de orden dos de la serie
7.14. Por ejemplo, la serie formal que corresponde a la derivada de orden dos
con respecto a x da lugar a:
|
M∑
N
−n2
bnTn(t) sen nx|2
≤ {
M∑
N
n6
b2
n}{
M∑
N
1
n2
}.
Esto prueba la convergencia uniforme en t ≥ 0 de la serie
∞∑
n=1
−n2
bnTn(t) sen nx.
Para las otras derivadas de orden 2 basta con observar que Tn(t) = O(1), T′
n(t) =
O(n), T′′
n (t) = O(n2
) uniformemente en t ≥ 0 cuando n → ∞.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-214-320.jpg)
![7.5. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 207
Sin embargo, para que (7.14) represente una función C2
y defina una solución
de (P), basta con menos regularidad en f, como en la ecuación de ondas. La
idea clave es que:
Tn(t) ∼ e−at
cos nct,
cuando n → +∞. Usando esa referencia podemos observar la solución como,
u = e−at
∞∑
n=1
bn cos nct sen nx +
∞∑
n=1
bn[Tn(t) − e−at
cos nct] sen nx
=
e−at
2
{f(x + ct) + f(x − ct)} +
∞∑
n=1
bn[Tn(t) − e−at
cos nct] sen nx.
(7.15)
Se tiene, por otra parte se tiene que:
Tn − e−at
cos nct = O(1/n)
(Tn − e−at
cos nct)′
= O(1)
(Tn − e−at
cos nct)′′
= O(n),
uniformemente en 0 ≤ t ≤ T, para cada T > 0, cuando n → +∞. En conse-
cuencia, la convergencia de la serie
∑∞
n=1 n4
b2
n basta para asegurar que (7.15)
se puede derivar término a término hasta el orden dos. Tal convergencia está
asegurada si f ∈ C1
[0, π], f(0) = f(π) y existe f′′
en (0, π) con f′′
∈ L2
(0, π).
Estas condiciones se cumplen sobradamente si f ∈ C2
[0, π] y f(0) = f(π) = 0
(que de rebote es la condición necesaria y suficiente para que la primera par-
te de la solución sea C2
). Resulta llamativo observar que si f′
es sólo C1
a
trozos la serie es C2
, pero la parte D’Alambert no. Las discontinuidades de la
derivadas segundas se propagan a través de la parte D’Alambert siguiendo las
características según se ha observado en el Capítulo ??.
7.5. Problemas no homogéneos: función de Green
Consideraremos el operador lineal,
Lu = (pu′
)′
+ qu,
donde u ∈ C2
[a, b], p ∈ C1
[a, b], p(x) ≥ p0 > 0 en [a, b], q ∈ C[a, b]. Definimos el
operador de contorno,
B : C[a, b] −→ R2
u −→ Bu,
por,
Bu =
(
m1 n1 p1 q1
m2 n2 p2 q2
)
u(a)
u′
(a)
u(b)
u′
(b)
.
El primer resultado recuerda el comportamiento de los sistemas lineales finito
dimensionales.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-215-320.jpg)
![208 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Teorema 7.4 (Teorema de la Alternativa). El problema,
{
Lu = f a < x < b
Bu = h
(7.16)
para f ∈ C[a, b], h ∈ R2
,
1) o bien admite una solución única u ∈ C2
[a, b] para cada (f, h) ∈ C2
[a, b]×R2
,
2) o bien el problema homogéneo,
{
Lu = f a < x < b
Bu = h
admite soluciones no triviales.
Demostración. La existencia de solución para cada (f, h) equivale a la unicidad
de soluciones. En efecto la existencia de soluciones dice que con f = 0, el
problema (7.16) admite solución para todo h ∈ R2
. Si {v1, v2} es un sistema
fundamental de soluciones, el sistema:
c1B(v1) + c2B(v2) = h,
admite soluciones para cada h ∈ R2
. Esto es equivalente a rango {B(v1), B(v2)} =
2 (la condición no depende del sistema {v1, v2} elegido).
Recíprocamente, si rango {B(v1), B(v2)} = 2 para resolver (7.16) tomamos
una solución cualquiera u = uf de Lu = f, ponemos:
u = c1v1 + c2v2 + uf ,
y determinamos c1, c2 en el sistema,
c1B(v1) + c2B(v2) = h − B(uf ).
Tras esta discusión es claro que la opción 2) es la única alternativa a la opción
1) del teorema. Esto cierra la prueba.
Definición 7.5. Las condiciones de contorno definidas por B se dicen críticas
para L en [a, b] si se da la opción 2) del teorema. Se dirán no críticas en caso
contrario.
Observación 7.2. Si las condiciones de contorno son no críticas, la solución de
(7.16) se puede fragmentar en u = u1 + u2 donde
Lu1 = 0
B(u1) = h
Lu2 = f
B(u2) = 0.
El cálculo de u1 es un problema elemental cuando se conoce un sistema funda-
mental {v1, v2}. La del segundo se puede expresar mediante un operador lineal](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-216-320.jpg)
![7.5. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 209
K : C[a, b] → C[a, b], el operador solución, cuyas propiedades estudiaremos con
detalle. En particular probaremos la existencia de una función:
G : [a, b] × [a, b] −→ R
(x, t) −→ G(x, t),
la función de Green del problema de contorno, tal que:
u(x) = Kf =
∫ b
a
G(x, t)f(t) dt. (7.17)
Teorema 7.6. Supongamos que las condiciones de contorno del problema (7.16)
son no críticas. Existe entonces una función única G ∈ C([a, b] × [a, b]) con las
siguientes propiedades (∆ = {(x, t) ∈ [a, b] × [a, b] : x = t}):
Gx ∈ C([a, b] × [a, b] ∆) con
Gx(t+, t) − Gx(t−, t) =
1
p(t)
.
Para cada t ∈ [a, b] tiene,
LxG(·, t) = 0 x ∈ [a, b] t
B(G(·, t) = 0.
La solución de (7.16) con h = 0 se escribe en la forma (7.17).
A efectos de probar el teorema resulta conveniente disponer de una expresión
para la solución del problema,
Lu = f a < x < b
u(a) = u′
(a) = 0.
Si {v1, v2} es un sistema fundamental de soluciones, el clásico método de varia-
ción de las constantes consiste en hallar c1, c2 tales que,
u = c1v1 + c2v2,
es la solución del problema (ci funciones de t). Ello nos lleva a considerar el
sistema,
c′
1v1 + c′
2v2 =
c′
1v′
1 + c′
2v′
2 =
f
p
.
El determinante de la matriz de coeficientes es el Wronskiano de {v1, v2},
W =
v1 v2
v′
1 v′
2
̸= 0,
mientras,
c1 =
∫ x
a
−
v2(t)f(t)
p(t)W(t)
dt c2 =
∫ x
a
v1(t)f(t)
p(t)W(t)
dt.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-217-320.jpg)
![210 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Podemos escribir entonces,
u =
∫ x
a
−
v1(x)v2(t) − v1(t)v2(x)
p(t)W(t)
f(t) dt =
∫ b
a
R(x, t)f(t) dt,
donde,
R(x, t) =
−
v1(x)v2(t) − v1(t)v2(x)
p(t)W(t)
t ≤ x
0 t > x.
Debe observarse que p(x)W(x) se mantiene constante en [a, b]. Se llama a R
la función de influencia o función de Green unilateral. Debe notarse que R =
R(x, t) cumple:
LxR(·, t) = 0 x ≥ t
R(·, t)|x=t = 0
R′
x(·, t)|x=t =
1
p(t)
.
Si el problema de contorno,
Lu = f a < x < b
B(u) = 0,
es no crítico, la función de Green se puede calcular poniendo,
u = c1v1 + c2v2 +
∫ b
a
R(x, t)f(t) dt.
Las condiciones de contorno homogéneas se cumplen si,
c1B(v1) + c2B(v2) = −
∫ b
a
B(R(·, t))f(t) dt. (7.18)
Si ponemos B(v) = (B1
(v), B2
(v)) la solución de (E) es:
c1 =
∫ b
a
[−B1
(R(·, t))B2
(v2) + B2
(R(·, t))B1
(v2)]f(t) dt
B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2)
,
c2 =
∫ b
a
[−B1
(v1)B2
(R(·, t)) + B2
(v1))B1
(R(·, t))]f(t) dt
B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2)
.
Por tanto,
G(x, t) =
[−B1
(R(·, t))B2
(v2) + B2
(R(·, t))B1
(v2)]v1(x)
B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2)
+
[−B1
(v1)B2
(R(·, t)) + B2
(v1))B1
(R(·, t))]v2(x)
B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2)
+ R(x, t).
(7.19)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-218-320.jpg)
![7.5. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 211
Es claro que G se ha construido para que,
u =
∫ b
a
G(x, t)f(t) dt, (7.20)
sea la solución del problema Lu = f, B(u) = 0.
Demostración del Teorema 7.6. Que (7.20) define la solución del problema ya
lo hemos probado.
En la identidad (1) está el que G ∈ C([a, b]×[a, b]) pues la misma propiedad
es cierta para R. Por otro lado,
Rx(t + 0, t) − Rx(t − 0, t) =
1
p(t)
,
luego la misma identidad se cumple para G.
Por construcción se cumple que:
LG(·, t) = 0 x ∈ [a, b] t.
Finalmente, la propia construcción de G ya lleva también implícita la validez
de:
B(G·, t)) = 0 t ∈ [a, b].
La unicidad de la función de Green se deduce fácilmente de que, por ejemplo,
∫ b
a
G(x, t)f(t) dt =
∫ b
a
G1(x, t)f(t) dt,
para toda f ∈ C[a, b].
7.5.1. El problema de Dirichlet
En este caso B1
(v) = v(a), B2
(v) = v(b). De (1) y en el caso x ≤ t tenemos,
para D = v1(a)v2(b) − v1(b)v2(a), lo siguiente:
DG(x, t) = R(b, t)v2(a)v1(x) − R(b, t)v1(a)v2(x).
Por tanto, si K = pW(v1, v2) entonces,
KDG(x, t) = −[v1(x)v2(a) − v1(a)v2(x)][v1(b)v2(t) − v1(t)v2(b)].
Teniendo en cuenta, como puede comprobarse que G(x, t) = G(t, x) podemos
concluir que,
G(x, t) =
1
KD
[v1(t)v2(a) − v1(a)v2(t)][v1(x)v2(b) − v1(b)v2(x)] x > t
1
KD
[v1(x)v2(a) − v1(a)v2(x)][v1(t)v2(b) − v1(b)v2(t)] x ≤ t .](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-219-320.jpg)
![212 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Naturalmente, la condición de existencia de la función de Green se resume en
que D ̸= 0.
Por otro lado, una solución completa del problema:
L(u) = f
u(a) = α u(b) = β ,
(7.21)
se puede obtener de una forma especial. Nótese –comprobando que las derivadas
invertidas son legítimas– que:
L(∂tG(·, t)) = 0 x ̸= t.
Por tanto v1 = ∂tG(·, a), v2 = ∂tG(·, b) son soluciones de la ecuación. Como
G(a, t) = G(b, t) = 0 se tendrá que ∂tG(a, t) = 0 en t > a, ∂tG(b, t) = 0 en
t < b. Entonces v1(b) = v2(a) = 0. Por otra parte, v1(a) = ∂tG(a+, a) =
1
p(a)
,
v2(b) = ∂tG(b−, b) = −
1
p(b)
. La solución de (7.21) puede escribirse, usando el
sistema fundamental de soluciones v1/p(a), v2/p(b), como,
u =
∫ b
a
G(x, t)f(t) dx +
α
p(a)
∂tG(x, a) −
β
p(b)
∂tG(x, b).
Esta identidad se conoce como identidad de Green (ver Capítulos 8 y 9). Si
tenemos en cuenta que f = Lu, tal expresión permite representar una función
C2
arbitraria en [a, b] en términos de Lu y de sus valores frontera.
7.5.2. Propiedades del operador solución
Si designamos por E = {u ∈ C2
[a, b] : B(u) = 0} y las condiciones de
contorno son no críticas para el operador L, entonces L : E → C[a, b] se in-
vierte mediante el operador solución (operador integral de núcleo G), Kf =
∫ b
a
G(x, t)f(t) dt. En efecto:
L(Kf) = f f ∈ C[a, b].
Por otro lado, K(Lu) = u para todo u ∈ E en virtud de la unicidad de soluciones
del problema. Por tanto L : E → C[a, b] es invertible y su inverso es el operador
K : C[a, b] → C[a, b] cuyo rango es E. Nótese que la criticidad de las condiciones
de contorno se reduce a que el N(L) sea trivial o no.
Cuando se está interesado es la resolución del problema,
Lu = f,
f ∈ C[a, b], u ∈ E el estudio es más completo si a la vez se considera la familia
uniparamétrica de problemas:
Lu − λu = f, (7.22)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-220-320.jpg)
![7.5. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 213
λ ∈ R, u ∈ E, f ∈ C[a, b]. El teorema de la alternativa nos enseña que (7.22) es
resoluble para todo f si y sólo si N(L − λI) ̸= {0}, I : E → C[a, b] la inclusión.
Como estamos en la hipótesis de que N(L) = {0}, λ ̸= 0 y por tanto que
N(L − λI) ̸= {0} significa que existe u ̸= 0 con:
L(u) = λu u ∈ E (7.23)
es decir,
K(u) = µu, (7.24)
con
1
λ
. Se llama a (7.23) y su homólogo (7.24) el problema de autovalores aso-
ciado a L. Como K : C[a, b] → C[a, b], el problema (7.24) es mucho más natural
que el (7.23). El operador K puede extenderse de hecho a espacios más generales.
Por razones técnicas consideramos L2
(a, b).
Teorema 7.7. El operador solución K define un operador continuo, K : L2
(a, b) →
L2
(a, b). Además,
∥K∥L(L2) ≤
(∫ b
a
∫ b
a
G2
dxdt
)1/2
.
Por otra parte, K(L2
) ⊂ C1
[a, b] siendo,
(Kf)′
=
∫ b
a
G′
x(x, t)f(t) dt.
En cuanto a la simetría de la función de Green tenemos la siguiente propiedad
útil.
Teorema 7.8. Las siguientes propiedades son equivalentes,
1) El operador K : L2
(a, b) → L2
(a, b) es autoadjunto, es decir ⟨Kf, g⟩L2 =
⟨f, Kg⟩L2 , para cualesquiera f, g ∈ L2
.
2) El operador L : E → L2
es simétrico en el sentido de que ⟨Lu, v⟩L2 =
⟨u, Lv⟩L2 , para u, v ∈ E cualesquiera.
3) Se tiene que p(u′
v − uv′
)|b
a = 0 para u, v ∈ E cualesquiera.
4) G(x, t) = G(t, x), para todo (x, t) ∈ [a, b] × [a, b].
Observación 7.3. En el caso de las denominadas condiciones de contorno sepa-
radas (Dirichlet, Neumann, Robin, Mixtas),
(
m1 n1 p1 q1
m2 n2 p2 q2
)
=
(
m1 n1 0 0
0 0 p2 q2
)
,
o de las condiciones de contorno periódicas,
(
m1 n1 p1 q1
m2 n2 p2 q2
)
=
(
1 0 −1 0
0 1 0 −1
)
, (7.25)
con p(a) = p(b) se tiene que las funciones de Green correspondiente son simé-
tricas.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-221-320.jpg)
![214 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Definición 7.9. Se dice que el problema de contorno (7.16) es autoadjunto si
se satisface la condición 1) del teorema precedente.
La siguiente es una propiedad característica de todos los problemas autoad-
juntos.
Teorema 7.10. Todos los posibles autovalores λ de un problema autoadjunto,
{
L(u) = λu
B(u) = 0,
son reales. Por otra parte a dos autovalores distintos λ ̸= λ′
siempre correspon-
den autofunciones ϕ, ϕ′
ortogonales. Finalmente, en el caso de condiciones de
contorno separadas (7.25) todos los posibles autovalores λ son simples.
Un problema no elemental es el de la propia existencia de autovalores. Para
sugerir las ideas principales conviene revisar el caso finito dimensional. Si A es
una matriz real simétrica n × n se comprueba que,
µ1 = sup
|x|=1
⟨Ax, x⟩, (7.26)
es el máximo autovalor de A y que si el máximo se alcanza en v, v es también un
autovector asociado a µ1. Los operadores autoadjuntos K son la versión infinito
dimensional de las matrices simétricas.
Definición 7.11. Se dice que K : L2
[a, b] → L2
[a, b] es autoadjunto si cumple
la identidad 1) del teorema anterior.
En el problema variacional (7.26) la existencia de v está garantizada por la
compacidad de la esfera unidad. Nos ocupamos ahora de probar que lo mismo
ocurre cuando reemplazamos A por el operador solución K y trabajamos en el
espacio L2
(a, b). La falta de compacidad de la bola unidad en L2
la suple la
siguiente propiedad de compacidad del operador K. En lo que sigue abreviamos
C = C[a, b], L2
= L2
[a, b].
Lema 7.12. El operador solución K : L2
→ C es compacto en el sentido de que
toda sucesión {Kun} admite una subsucesión convergente en C a condición de
que {un} esté acotada en L2
.
Demostración. No es difícil comprobar que si L es la cota L2
de {un} entonces
|un(x) − un(y)| ≤ L
√
b − a sup[a,b] |G(x, ·) − G(y, ·)|. La continuidad uniforme
de G implica la equicontinuidad de {Kun}. La tesis se sigue del teorema de
Ascoli-Arzela.
Un resultado clave es el siguiente.
Teorema 7.13. Si K : L2
→ L2
es autoadjunto entonces
∥K∥ = sup
|u|=1
|⟨Ku, u⟩| .](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-222-320.jpg)
![216 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Por tanto µ1 es también un autovector de K. Además,
|µ1| = ∥K1∥ ≤ ∥K∥ = |µ0|.
Procediendo de manera análoga se genera una sucesión de autovalores {µn} con
módulos decrecientes (las repeticiones son posibles) y que en el caso del operador
solución, del que suponemos que N(K) = {0}, es infinita. En efecto, la única
manera de parar el proceso es que Km = 0 lo que implica que
Kf =
m−1∑
1
µi⟨f, ui⟩ui.
Al aplicar L,
f =
m−1∑
1
⟨f, ui⟩ui,
para f continua y arbitraria lo que no puede ser. Esto garantiza la existencia
de un sistema ortonormal {un}.
Pasamos a establecer un resultado de suma importancia.
Teorema 7.15. Sea K el operador solución del problema autoadjunto
{
Lu = f a < x < b
Bu = 0,
(7.27)
siendo {un} el correspondiente sistema ortonormal de autofunciones. Entonces,
para toda f ∈ E = {u ∈ C2
[a, b] : Bu = 0} se tiene que la serie de Fourier
asociada a f converge uniformemente a f:
f =
∞∑
n=1
⟨f, un⟩un. (7.28)
Demostración. De las conclusiones del Capítulo ?? sabemos (desigualdad de
Bessel) que la serie converge en L2
y
∞∑
n=1
|⟨f, un⟩|2
≤ ∥f∥2
.
Ahora,
∫ b
a
G(x, t)uk(t) dt = µkuk(x) a ≤ x ≤ b.
Por tanto, para x fijo,
G(x, ·) ∼
∞∑
n=1
µnun(x)un,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-224-320.jpg)
![7.5. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 217
por lo que
∞∑
n=1
|µn|2
|un(x)|2
≤
∫ b
a
|G(x, t)|2
dt,
que al integrar en [a, b] nos permite concluir,
∞∑
n=1
µ2
n ≤ (b − a)2
|G|2
∞,Q,
donde Q = [a, b] × [a, b]. Una conclusión muy importante es que la serie de los
cuadrados de los autovalores es convergente. Esto tiene dos consecuencias. La
primera, que ahora se sabe de manera efectiva que existen infinitos autovalores
de K (la sucesión {µn} no puede estabilizarse en un valor constante). La segunda,
que µn → 0.
Sabemos asimismo que ∥Km∥ = |µm|. Es decir, para u ∈ C arbitraria,
|Ku −
m∑
1
µk⟨u, uk⟩uk|2 ≤ ∥Km∥|u| = |µm||u| → 0,
cuando m → ∞. En particular,
Ku =
∞∑
1
µk⟨u, uk⟩uk, (7.29)
en L2
.
Por otro lado, para M ≥ N arbitrarios, x ∈ [a, b],
|
M∑
N
µk⟨u, uk⟩uk(x)| = |K(
M∑
N
⟨u, uk⟩uk)| ≤ (b − a)1/2
∥G∥∞|
M∑
N
⟨u, uk⟩uk(x)|2.
Por tanto la convergencia en (7.29) es además uniforme. Sin embargo, para
u ∈ C la serie (7.29) se puede escribir en el formato:
Ku =
∞∑
1
⟨Ku, uk⟩uk,
basta observar ahora que cualquier f ∈ E se puede escribir en como f = Ku
para concluir la prueba.
Un corolario inmediato es la siguiente generalización del teorema de comple-
titud del capítulo anterior.
Teorema 7.16. Sea {un} una sucesión ortonormal de autofunciones del pro-
blema (7.23). Entonces,
f =
∞∑
n=1
⟨f, un⟩un,
en L2
para toda f ∈ L2
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-225-320.jpg)
![218 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Observación 7.5. Debe tenerse en cuenta que los autovalores de (7.23) son λn =
µ−1
n y que por tanto |λn| → +∞.
Ejemplo 7.6. Consideremos la ecuación del calor con término lineal de absorción:
ut = uxx − au (a > 0),
0 < x < π, bajo condiciones mixtas,
u(0, t) = ux(π, t) = 0.
El método de separación de variables nos conduce al problema de autovalores,
X′′
+ aX = −λX X(0) = X(π) = 0.
Los autovalores son λn = a + (
2n − 1
2
)2
y las correspondientes autofunciones
Xn = sen(
2n − 1
2
)x ,
n ∈ N. La solución formal por separación de variables es,
u(x, t) = e−at
∞∑
n=1
bne−(2n−1)2
t/4
sen(
2n − 1
2
)x.
Cualquiera que sea f ∈ C2
[0, π] cumpliendo las condiciones de contorno da
lugar a una solución clásica si substituimos los bn de la expresión superior por
los coeficientes de la serie de Fourier bn = (2/π)
∫ π
0
f(x) sen(2n − 1)/2x dx de
f.
7.6. Función de Green para la ecuación del calor
Del problema,
ut = uxx + F(x, t) 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 < x < π
u(0, t) = u(π, t) t > 0,
la fracción de la solución correspondiente a F = 0 fue estudiada en la Sección
7.1. Se representó bajo la forma (7.7):
u =
∫ t
0
G(ξ, x, t) dξ.
con G =
2
π
∑∞
n=1 e−n2
t
sen nx sen nξ. Nos ocupamos ahora de la parte f = 0, es
decir de
ut = uxx + F(x, t) 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = 0 0 < x < π
u(0, t) = u(π, t) t > 0.
(7.30)](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-226-320.jpg)
![7.6. FUNCIONES DE GREEN 219
Si se admite la existencia de una solución clásica u ∈ C2
{0 ≤ x ≤ π, t > 0} con
F continua en 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0 podemos escribir (las convergencias se entienden
en L2
(0, π)),
u =
∞∑
n=1
bn(t) sen nx
ut =
∞∑
n=1
b′
n(t) sen nx
uxx =
∞∑
n=1
−n2
bn(t) sen nx
F =
∞∑
n=1
Bn(t) sen nx,
con bn(t) = (2/π)
∫ π
0
u(x, t) sen nx dx y donde, por ejemplo, el coeficiente de
Fourier ˜bn o ˆbn de uxx o ut se calculan integrando por partes para involucrar
a bn (¡no se ha derivado término a término!). Por otro lado se tiene Bn(t) =
(2/π)
∫ π
0
F(x, t) sen nx dx.
De la ecuación resulta que b′
n + n2
bn = Bn junto con bn(0) = 0, lo que
conduce a la expresión explícita de bn:
bn(t) =
∫ t
0
e−n2
(t−τ)
Bn(τ) dτ.
Las bn’s se estiman fácilmente en la forma siguiente,
|bn(t)|2
≤
1
2n2
∫ t
0
Bn(τ) dτ.
Se comprueba que
|
q∑
p
bn(t) sen nx|2
≤
1
π
{
q∑
p
1
n2
}
∫ t
0
∫ π
0
F2
.
Hemos probado así que toda solución clásica en las condiciones de regularidad
señaldas se puede representar por la serie uniformemente convergente en cada
banda 0 ≤ t ≤ T dada por,
u(x, t) =
∞∑
n=1
∫ t
0
e−n2
(t−τ)
Bn(τ) sen nx dτ. (7.31)
Si F es suficientemente regular, por ejemplo F y Fx continuas en t ≥ 0, x ∈ [0, π],
F(0, t) = F(π, 0) = 0 mientras existe Fxx con Fxx ∈ L2
((0, π)×(0, t)) para todo
t > 0 entonces la serie (7.31) define una función de clase C2,1
que puede ser
derivada término a término.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-227-320.jpg)
![220 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Como observación final, un intercambio formal de las integrales involucradas
en (7.31) con la serie nos lleva a la representación de la solución:
u(x, t) =
∫ t
0
∫ π
0
G(ξ, x, t − τ)F(ξ, τ) dξdτ. (7.32)
Ya sabemos que el núcleo es C∞
en t > 0 y que cumple la ecuación del calor
con respecto a t. Puede demostrarse en realidad el siguiente resultado, que se
apoya directamente en la fórmula de representación (7.32).
Teorema 7.17. Supongamos que F y Fx son continuas en t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π.
Entonces (7.32) representa la solución clásica del problema perturbado (7.30).
Observación 7.7. La fórmula (7.32) puede deducirse formalmente a partir de
(7.7) por el método de variación de las constantes de Lagrange.
7.7. Ejercicios
1. Hállense, por separación de variables, las soluciones de la ecuación del
calor ut = uxx bajo las condiciones que se indican:
a) u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sen3
x, x ∈ (0, π).
b) ux(0, t) = ux(π, t) = 0, u(x, 0) = sen x, x ∈ (0, π).
c) u(a, t) = u(b, t) = 0, u(x, 0) = (x − a)(b − x), x ∈ (a, b).
2. Se considera el problema de Dirichlet para la ecuación de ondas,
utt = c2
uxx 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l
u(0, t) = u(l, 0) = 0 t ≥ 0,
para f de clase C2
y g de clase C1
en [0, l], satisfaciendo las correspon-
dientes condiciones de compatibilidad. Pruébese que la solución puede
representarse en la forma,
u =
∞∑
n=1
(
an cos
nπc
l
t + bn sen
nπc
l
t
)
sen
nπ
l
x.
La misma cuestión relativa al problema de Neumann y la expresión
u = a0 + b0t +
∞∑
n=1
(
an cos
nπc
l
t + bn sen
nπc
l
t
)
cos
nπ
l
x.
¿Cuándo es b0 = 0 y qué implica ello sobre la solución del problema?](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-228-320.jpg)
![7.7. EJERCICIOS 221
3. Estúdiese el problema de autovalores (ecuaciones diferenciales ordinarias):
{
− X” = X, 0 < x < l
− X′
(0) + a0X(0) = 0, X′
(l) + alX(l) = 0.
Apróvechese la información para construir expresiones formales –bajo desa-
rrollos en serie– de autofunciones de los problemas de contorno y valor
inicial
utt = c2
uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π
ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π
−ux(0, t) + a0u(0, t) = 0, t ≥ 0,
ux(l, 0) + alu(l, t) = 0 t ≥ 0,
así como:
ut = uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π
−ux(0, t) + a0u(0, t) = 0, t ≥ 0,
ux(l, 0) + alu(l, t) = 0 t ≥ 0.
4. Se considera el problema de Dirichlet y valor inicial para la ecuación de
ondas con amortiguamiento:
utt + 2aut = c2
uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π
ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, 0) = 0 t ≥ 0,
donde a, c son constantes positivas. Supóngase que f ∈ C3
en [0, π] y que
satisface las correspondientes condiciones de compatibilidad. Constrúyase
una solución en forma de serie por el método de separación de variables.
5. Analícese, bajo condiciones adecuadas, la solución del problema de con-
torno y valor inicial (ecuación de los telegrafístas):
utt + 2aut + bu = c2
uxx 0 < x < π, t > 0
u(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π
ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = u(π, 0) = 0 t ≥ 0.
6. Estúdiese por separación de variables la solución del problema
ut = uxx 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = x 0 ≤ x ≤ 1
ux(0, t) = u(1, 0) = 0 t ≥ 0.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-229-320.jpg)
![222 CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES
7. Demúestrese que la ecuación:
uxx + uxy + uyy = 0,
admite soluciones en la forma X(x)Y (y). Como indicación, hállese una
expresión para Y ”/Y que debe derivarse con respecto a x.
8. Se considera el operador L = (pu′
)′
+ qu, p de clase C1
y positiva en
[a, b], mientras q es continua en dicho intervalo. Si G(x, ξ) es la función de
Green bajo condiciones Dirichlet, prúebese que Gξ(·, a) y Gξ(·, b) forman
un sistema fundamental de Lu = 0. Prúebese también que la solución del
problema de Dirichlet:
{
Lu = f(x) 0 < x < 1
u(0) = α, u(1) = β,
se puede expresar en los siguientes términos:
u =
∫ b
a
G(x, ξ)f(ξ) dx + βp(b)Gξ(·, b) − αp(a)Gξ(·, a).
9. Si f es continua en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, hállese la solución del problema:
{
((1 + x)2
u′
)′
− u = −f 0 < x < 1
u(0) = u(1) = 0.
10. (Funciones de Green, ecuaciones diferenciales ordinarias). Sea f continua
en 0 ≤ x ≤ 1, y sea Lu = u” − u. Hállese la solución de los problemas de
contorno:
{
Lu = −f 0 < x < 1
u(0) = u(1) = 0,
{
Lu = −f 0 < x < 1
u′
(0) = u′
(1) = 0,
{
Lu = −ex
0 < x < 1
u(0) = u′
(1) = 0,
{
Lu = − sen x 0 < x < 1
u(0) = α, u(1) = β.
11. En el espacio se considera el recinto esférico 0 < a < r < b, r2
= x2
+y2
+
z2
. Hállense las soluciones de los problemas:
{
∆u = 0 a < r < b
u(a) = A u(b) = B,
{
∆u = f a < r < b
u(a) = A u(b) = B,
siendo f una función radial y continua.
12. En el recinto esférico 0 < a < r < b, r2
= x2
+ y2
+ z2
, se considera el
problema uxx+uyy +uzz = 1, bajo condiciones de contorno u = 0 en r = a,
∂u
∂n = 0 en r = b. Hállese su solución. ¿Se podría resolver explícitamente el
problema reemplazando la unidad en el segundo miembro por una función
continua y radial arbitraria f(r)?](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-230-320.jpg)
![8.1. FÓRMULA DE POISSON 227
Una solución formal de (8.1) es por tanto,
u = a0 +
∞∑
n=1
rn
(an cos nθ + bn sen nθ), (8.5)
donde naturalmente an, bn son los coeficientes de la serie de Fourier de f. De las
hipótesis sobre f la serie converge uniformemente en R. Usando el principio del
máximo se ve que (8.5) converge uniformemente en B. Por tanto u es continua.
Es inmediato comprobar que todas las posibles derivadas término a término
de (8.5), con respecto a r, θ, generan series uniformemente convergentes sobre
compactos de r < 1. Eso significa que u cumple la ecuación (8.4). Finalmente,
unas cuentas detalladas establecen que las derivadas cartesianas ux, uy, uxx,
uxy, uyy están definidas, con ayuda de las derivadas de (8.5) término a término,
por series uniformemente convergentes sobre compactos de B. Por tanto ∆u es
continua. De ahí ∆u = 0 en B (pues esto ya era cierto en casi todo punto).
Observación 8.2. Se comprueba sin problemas que PN = a0+
∑N
1 rn
(an cos nθ+
bn sen nθ) es un polinomio en (x, y) de grado N. Es decir (8.5) es una serie de
potencias uniformemente convergente en B. Ello implica que u es en realidad
real analítica 1
en B. En cualquier caso (8.5) es la serie de Taylor de u centrada
en (0,0).
La identidad (8.5) se puede manipular para llegar a una expresión integral
de f. Esto permite relajar la regularidad de f de C1
a continua. En efecto,
podemos escribir,
u(r, θ) = l´ım
N→∞
1
π
∫ π
−π
f(t){
1
2
+
N∑
1
rn
cos n(θ − t)} dt
=
1
π
∫ π
−π
f(t){
1
2
+
∞∑
n=1
rn
cos n(θ − t)} dt,
en virtud de la convergencia uniforme del integrando. Usando, por ejemplo, la
parte real de la serie geométrica compleja 1 +
∑∞
n=1(reiϕ
)n
=
1
1 − reiϕ
se llega
a que:
1
2
+
∞∑
n=1
rn
cos n(θ − t) =
1
2
1 − r2
r2 + 1 − 2r cos(θ − t)
.
Por tanto,
u(r, θ) =
1 − r2
2π
∫ π
−π
f(t)
r2 + 1 − 2r cos(θ − t)
dt.
En coordenadas cartesianas,
u(¯x) =
1 − r2
2π
∫
|¯y|=1
f(¯y)
|¯x − ¯y|2
d¯y. (8.6)
1Una serie uniformemente convergente de polinomios es siempre una función real analítica
([11]).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-235-320.jpg)
![8.1. FÓRMULA DE POISSON 229
Como se ha dicho, la fórmula de Poisson permite datos más generales que
f ∈ C(T). Por ejemplo f ∈ L1
(T) ó f ∈ L∞
(T). En este último caso (8.6) define
de nuevo una función u armónica y acotada (ver (8.7)) que cumple:
l´ım
Q→P
u(Q) = f(P),
si P ∈ ∂B es un punto de continuidad de f. Si f es continua a trozos en el
sentido de que sólo presenta un número finito de discontinuidades de salto (por
ejemplo la función característica de un arco
⌢
RS), la fórmula de Poisson da una
solución acotada de (8.1) que ajusta con f en los puntos de continuidad. La
solución es además única en la clase de las funciones acotadas en B. Esto es
consecuencia del siguiente resultado.
Teorema 8.9 (Teorema de Phragmén-Lindelöf). Sea u armónica en un do-
minio acotado Ω ⊂ R2
, u ∈ L∞
(Ω) mientras u ∈ C(Ω {P1, . . . , PN }) donde
{P1, . . . , Pn} ⊂ ∂Ω. Entonces:
´ınf
∂Ω{P1,...,PN }
u ≤ u(x) ≤ sup
∂Ω{P1,...,PN }
u x ∈ Ω.
8.1.1. Dominios simplemente conexos
En la sección de ejercicios se estudian las aplicaciones conformes del plano. Se
identifican éstas con las funciones holomorfas con derivada no nula. Se prueba
también que las aplicaciones conformes transforman funciones armónicas en
funciones armónicas. Por otra parte, un conocido teorema de Riemann (ver [19],
Cap. 14) establece que todo dominio simplemente conexo Ω del plano, Ω ̸= R2
,
se puede transformar mediante un homeomorfismo conforme T ∈ H(Ω) en el
disco unidad B. Si Ω es acotado y de frontera ∂Ω simple en el sentido de que
todo punto P ∈ ∂Ω es el extremo de un arco Γ que cumple Γ P ⊂ Ω, entonces
la transformación conforme T ∈ H(Ω) se puede extender a un homeomorfismo
T : Ω → B (ver [19], Cap. 14).
Tenemos así un teorema general de existencia de soluciones.
Teorema 8.10. Sea Ω ⊂ R2
un dominio acotado y simplemente conexo del
plano con frontera simple. Entonces el problema de Dirichlet,
{
∆u = 0 en Ω
u = f en ∂Ω,
admite, para cada f ∈ C(Ω), una única solución clásica.
Observación 8.3. Puede demostrarse más generalmente (ver por ejemplo [4],
Cap. X) que el problema de Dirichlet (8.1) es siempre resoluble en cualquier
dominio Ω del plano en el que R2
Ω carezca de componentes conexas que se
reduzcan a un punto (ver la Sección 8.3).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-237-320.jpg)
![230 CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
8.1.2. Deducción geométrica de la fórmula de Poisson
La fórmula de Poisson se puede deducir a partir de argumentos geométricos
elementales apoyados en la función argumento θ = θ(x, y) (ver el Capítulo 1).
Primeramente obtenemos una solución del problema,
{
∆u = 0 (x, y) ∈ B
u = χAB (x, y) ∈ ∂B
(8.11)
donde χAB es la función característica de un arco orientado
⌢
AB correspondiente
a un ángulo central θ0.
Definimos φ(P) como el ángulo orientado con vértice en P y medido desde
el segmento PA al PB. Lo primero que debe observarse es que φ es constante
sobre cada uno de los arcos abiertos y orientados
⌢
BA,
⌢
AB en ∂B. De hecho:
φ = θ0/2 sobre
⌢
BA, φ = π + θ0/2 en
⌢
AB, mientras las curvas de nivel de φ
son arcos capaces sobre
⌢
AB. Un arco capaz sobre
⌢
AB es el lugar de los puntos
que observan
⌢
AB bajo un ángulo constante. De hecho, se comprueba que dicho
lugar es un arco de circunferencia.
Por otro lado, una expresión analítica para φ es la siguiente,
φ(P) = θ(P − B) − θ(P − A). (8.12)
Si, por ejemplo, A y B están en x ≥ 0 φ es inmediatamente armónica en B.
Otras posiciones de A, B requieren emplear la función argumento con línea de
corte en el eje x ≤ 0.
La función ψ(P) =
1
π
{φ(P) −
θ0
2
} es pues la única solución acotada del
problema (8.11). De nuestra experiencia con la ecuación del calor sabemos que
esta solución básica permite llegar a soluciones muy generales.
En efecto, si f ∈ C(T) y fraccionamos ∂B en n arcos, es decir el intervalo
(0, 2π) en 0 ≤ θ1 ≤ · · · θn = 2π una aproximación poligonal de f es fn =∑n
1 f(˜θi)χ(θi−1,θi) con ˜θi ∈ (θi−1, θi). Si ui es la solución correspondiente al
dato χ(θi−1,θi) entonces,
ui(x, y) =
1
π
{h(θi−1 + ∆θ) − h(θi−1)},
donde ∆θ = θi − θi−1,
h(θ) = arctag
(
y − sen θ
x − cos θ
−
θ
2
)
.
Nótese que,
h′
(θ) =
1 − r2
2[r2 + 1 + 2(x cos θ + y sen θ]
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-238-320.jpg)
![8.1. FÓRMULA DE POISSON 231
Si ufn es la solución acotada correspondiente a fn entonces,
ufn (x, y) =
1
π
n∑
i=1
f(˜θi){h(θi−1 + ∆θ) − h(θi−1)}
=
1
2π
n∑
i=1
1 − r2
r2 + 1 + 2(x cos ˆθi + y sen ˆθi)
f(˜θi)∆θ,
donde ˜θi, ˆθi ∈ (θi−1, θi) y ∆θ = θi − θi−1. Cuando n → ∞ el valor límite de ufn
es,
uf (x, y) =
1 − r2
2π
∫ 2π
0
f(θ)
r2 + 1 + 2(x cos θ + y sen θ)
dθ,
que es precisamente la fórmula de Poisson.
Observación 8.4. La construcción de la función φ en (8.12) muestra que
l´ım
r→1
φ(r, α) = l´ım
r→1
φ(r, β) =
1
2
(θ0 + π),
donde α, β son los ángulos correspondientes a A, B, θ0 = β − α. Este ejemplo
permite probar que para cada τ ∈ [θ0/2, θ0/2 + π] existe un arco Γ de círculo
que pasa por A y B donde φ|Γ = τ.
Más generalmente, se tiene lo siguiente.
Teorema 8.11. Sea u la solución acotada de (8.1) que corresponde a un dato
continuo a trozos f que exhibe una discontinuidad de salto en P0 = P0(θ0).
Entonces, para todo τ intermedio a f(θ0−) y f(θ0+) existe un arco de círculo
que pasa por P donde l´ımP →P0,P ∈Γ u(P) = τ. Además,
l´ım
r→1−
u(r, θ0) =
1
2
{f(θ0+) + f(θ0−)}.
Observaciones 8.5.
a) La función
u(r, θ) =
1 − r2
1 + r2 − 2r cos θ
,
es armónica en B y se anula en ∂B (1, 0). Sin embargo no es idénticamente
nula. Nótese que u(r, 0) crece sin límite cuando r → 1−.
b) La demostración pone de manifiesto que la propiedad de acotación puede subs-
tituirse por la menos restrictiva de que u ∈ C(Ω P1, . . . , PN ), {P1, . . . , PN } ⊂
∂Ω, junto con
l´ım
P →Pi
u(P)
log |P − Pi|
= 0 1 ≤ i ≤ N.
c) Cuando el dato f es continuo a trozos y P ∈ ∂B es un punto de discontinuidad
de salto de f en P entonces u sufre un tipo de discontinuidad que ya observamos
en la ecuación del calor (ver la Sección 8.1.2).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-239-320.jpg)
![232 CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
8.1.3. Problema de Dirichlet en un rectángulo
Consideremos el rectángulo Q = [0, π] × [0, A], A > 0 y el dato ˜f que es
cero en todos los lados de Q excepto en y = 0 donde ˜f(x, 0) = f(x) ∈ C1
[0, π],
función que cumple f(0) = f(π) = 0.
El método de separación de variables y el principio débil del máximo nos
llevan a que la solución clásica del problema,
{
∆u = 0 (x, y) ∈ Q
u = ˜f (x, y) ∈ ∂Q,
viene expresada por:
u(x, y) =
∞∑
n=1
bn
senh nA
sen nx senh n(A − y), (8.13)
donde
bn =
2
π
∫ π
0
f(x) sen nx dx.
Si consideramos el núcleo,
G(ξ, x, y) =
2
π
∞∑
n=1
senh nA
senh n(A − y)
sen nx sen nξ,
obtenemos una función C∞
que es armónica en 0 < y < A. En efecto, la
serie junto con todas sus derivadas converge uniformemente sobre compactos de
0 < y < A. Bajo la hipótesis de acotación de f la serie (8.11) se puede escribir
como,
u(x, y) =
∫ π
0
G(ξ, x, y)f(ξ) dξ. (8.14)
Usando los mismos argumentos que en la Sección ?? del Capítulo 7 se prueba
que:
G(ξ, x, y) ≥ 0 0 ≤ ξ ≤ π 0 ≤ x ≤ π 0 < y < A,
mientras, ∫ π
0
G(ξ, x, y) dξ ≤ 1 0 ≤ x ≤ π 0 < y < A.
Por otro lado,
∫ π
0
G(ξ, x, y) sen ξ dξ =
senh(A − y)
senh A
sen x,
es decir, ∫ π
0
G(ξ, x, y)
senh A sen ξ
senh(A − y) sen x
dξ = 1.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-240-320.jpg)
![8.2. ECUACIÓN DE POISSON 233
Si x0 ∈ I = (0, π) es un punto de continuidad de f ∈ L∞
(I), Iδ = [x0 −δ, x0 +δ],
entonces
|u(x, y) − f(x0)| ≤ {
∫
Iδ
+
∫
IIδ
}G(ξ, x, y)|f(ξ) − f(x0)
senh A sen ξ
senh(A − y) sen x
| dξ.
La primera integral puede hacerse tan pequeña como se quiera con tal que lo sea
δ. La segunda (Sección ?? del Capítulo 7) se hace pequeña si x ∼ x0 y t → 0.
Hemos probado así el siguiente resultado.
Teorema 8.12. Para f = f(x, y) continua y arbitraria, el problema de Diri-
chlet,
{
∆u = 0 (x, y) ∈ Q
u(x, y) = f(x, y) (x, y) ∈ ∂Q,
admite una solución acotada u ∈ C2
(Q) ∩ C(Q A, B, C, D), donde A, B, C y
D son los vértices de Q.
Observaciones 8.6.
a) La solución construída en el teorema por el método de separación de variables
se extiende por continuidad a todo Q pues coincide con la solución clásica que
se obtiene en virtud del teorema de la aplicación de Riemann.
b) Si en las consideraciones precedentes f ∈ L∞
tiene una discontinuidad de
salto en x0 ∈ (0, π) el comportamiento de la solución acotada u puede estudiarse
teniendo en cuenta la determinación del argumento θ1(x − x0, y), donde la línea
de corte de θ1 es el semieje y ≤ 0.
8.2. Ecuación de Poisson
Nos ocupamos ahora de estudiar un tema más delicado como es problema
de Dirichlet para la ecuación de Poisson,
{
−∆u = F en B
u = 0 en ∂B.
(8.15)
Lo primero que hacemos es usar el método de separación de variables para pro-
ducir una representación integral de la solución clásica. A tal efecto suponemos
que u ∈ C2
(B)∩C(B) resuelve (8.15), en particular F ∈ C(B). Transformamos
(8.15) a coordenadas polares (r, θ) y para cada 0 < r < 1 representamos u(r, ·),](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-241-320.jpg)
![234 CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
ur(r, ·), urr(r, ·), uθθ(r, ·) y F(r, ·) en serie de Fourier para tener,
u(r, ·) = a0(r) +
∞∑
n=1
an(r) cos nθ + bn(r) sen nθ
ur(r, ·) = a′
0(r) +
∞∑
n=1
a′
n(r) cos nθ + b′
n(r) sen nθ
urr(r, ·) = a′′
0 (r) +
∞∑
n=1
a′′
n(r) cos nθ + b′′
n(r) sen nθ
uθθ(r, ·) = −
∞∑
n=1
n2
an(r) cos nθ + n2
bn(r) sen nθ
F(r, ·) = A0(r) +
∞∑
n=1
An(r) cos nθ + Bn(r) sen nθ,
siendo las convergencias en L2
(0, 2π). La ecuación en derivadas parciales,
urr +
ur
r
+
uθθ
r2
= 0,
lleva a las ecuaciones para los coeficientes:
u′′
(r) +
1
r
u′
(r) −
n2
r2
u = −F(r) 0 < r < 1, (8.16)
donde n = 0, 1, . . . . Los coeficientes a0, an, bn quedan determinados como fun-
ciones C2
en (0, 1) que se anulan en r = 1 mientras en el origen satisfacen la
propiedad de estar acotadas. El segundo miembro de (8.16) es en cada caso A0,
An y Bn, respectivamente.
El problema de contorno fundamental es pues,
{
(ru′
)′
− n2
r u = rF(r)
u(1) = 0 , u = O(1) para r → 0,
(8.17)
donde F ∈ C[0, 1]. Usando las ideas del Capítulo 7 (ver Ejercicios) la solución
de (8.17) se puede representar en forma integral como,
u(r) =
∫ 1
0
Gn(r, ρ)ρ dρ, (8.18)
donde,
G0(r, ρ) =
log(
1
r
) r > ρ
log(
1
ρ
) r ≤ ρ,
mientras,
Gn(r, ρ) =
1
2n
(r−n
− rn
) ρn
r > ρ
1
2n
(ρ−n
− ρn
) rn
r ≤ ρ,](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-242-320.jpg)
![236 CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
entre an, bn y F podemos escribir,
u(r, θ) =
∫ 1
0
G0(r, ρ)A0(ρ)ρdρ+
∞∑
n=1
∫ 1
0
Gn(r, ρ)(An(ρ) cos nθ + Bn(ρ) sen nθ)ρ dρ.
Permutando formalmente la serie con la integral con respecto a ρ, expresando An
y Bn en términos de F e intercambiando –ahora legítimamente– las integrales
con la serie llegamos a la expresión:
u(r, θ) =
∫ 1
0
∫ 2π
0
G(r, θ, ρ, t)F(ρ, t)ρ dρdt, (8.22)
en donde para r > ρ,
G(r, θ, ρ, t) =
1
2π
{log(
1
r
) +
∞∑
n=1
1
n
(r−n
− rn
)ρn
cos n(θ − t)}, (8.23)
mientras que si r < ρ el valor de G se obtiene intercambiando los valores de r
y de ρ. Por otro lado, para ρ ̸= r la serie en (8.23) converge uniformemente con
respecto a t ∈ [0, 2π]. Asimismo, si 0 < z < 1 tenemos,
∞∑
n=1
zn
n
cos nα =
∫ z
0
∞∑
n=1
ζn−1
cos nα dζ =
∫ z
0
cos α − ζ
1 + ζ2 − 2ζ cos α
dζ
= −
1
2
log[1 + z2
− 2z cos α].
Al introducir estos resultados en (8.23) obtenemos tras algunas cuentas,
G(r, θ, ρ, t) =
1
4π
{− log[r2
+ ρ2
− 2rρ cos(θ − t)] + log[1 + r2
ρ2
− 2rρ cos(θ − t)]}.
(8.24)
Nótese que G es simétrica en el sentido de que no varía cuando se intercambian
entre sí (r, θ) y (ρ, t). En coordenadas cartesianas, si ¯y∗
designa el simétrico de
¯y con respecto a la circunferencia unidad, ¯y∗
= ¯y/|¯y|2
, la función G adopta la
forma,
G(¯x, ¯y) =
1
2π
[− log |¯x − ¯y| + log |¯y||¯x − ¯y∗
|], (8.25)
mientras la representación en coordenadas cartesianas (8.22) toma la forma,
u(¯x) =
∫∫
B
G(¯x, ¯y)F(¯x, ¯y) d¯y. (8.26)
Se conoce a G = G(¯x, ¯y) como la función de Green del problema de Dirichlet en
el círculo. Debe observarse que G satisface G(¯x, ¯y) = G(¯y, ¯x), que para ¯y ∈ B,
∆¯xG(·, ¯y) = 0 mientras que para cada ¯y ∈ B, G(¯x, ¯y) = 0 en |¯x| = 1. Otra](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-244-320.jpg)
![8.4. EJERCICIOS 241
Una consecuencia indirecta del lema es lo siguiente.
Corolario 8.20. El problema de Dirichlet,
{
−∆u = 0 en Ω
u = f en ∂Ω,
en general no es resoluble en Ω = B 0.
Demostración. En efecto, se trataría de resolver ∆u = 0 en B 0, con u ∈
C2
(B 0) ∩ C(B) y valores u(0) = A, u = f en r = 1 prefijados de antemano.
Sin embargo, del lema, el único valor posible para A es precisamente,
A =
1
2πR
∫
|¯y|=R
f(¯y) dS¯y.
En consecuencia A no puede prefijarse libremente con independencia de f.
Otra consecuencia importante del lema es el siguiente contraejemplo de exis-
tencia de soluciones clásicas para el problema de Dirichlet.
Teorema 8.21. El problema de Dirichlet,
∆u =
x2
2 − x2
1
2ρ2
[
4(− log r)−1/2
+
1
2
(− log r)−3/2
]
en BR
u = (− log R)1/2
(x2
1 − x2
2) en r = R,
no admite soluciones clásicas.
Demostración. Consideramos u1 = (− log r)1/2
(x2
1 − x2
2). Se comprueba que u
es C1
en BR pero no es C2
. Por otro lado,
∆u1 =
x2
2 − x2
1
2ρ2
[
4(− log r)−1/2
+
1
2
(− log r)−3/2
]
,
en BR 0. Si existiese una solución clásica u ∈ C2
(BR) ∩ C(B) tendríamos,
por el lema, que u = u1 en 0 < r < R lo que es imposible. Por tanto el
problema no admite soluciones clásicas. Debe observarse que el segundo miembro
F ∈ C(BR).
8.4. Ejercicios
1. Estúdiese por separación de variables la solución del problema de Dirichlet
para la ecuación de Laplace:
∆u = 0 x ∈ Ba
u = f x ∈ ∂Ba,
donde Ba es la bola centrada en el origen y de radio a en el plano, y f(x, y)
es de clase C1
en la circunferencia de radio a, ∂Ba.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-249-320.jpg)
![244 CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
que converge absoluta y unifermemente en |x| ≤ R. Utilícese que las su-
mas parciales de (8.30) son polinomios, junto con la caracterización del
polinomio de Taylor para concluir que (8.30) es en realidad la versión en
polares de (8.29).
17. (Principio del Máximo y términos gradiente). Sea u ∈ C2
(Ω) ∩ C(¯Ω) una
solución de:
∆u +
∑
ai∂iu = 0,
en Ω, donde se supone que los coeficientes ai(x) son acotados en Ω. Prué-
bese que:
m´ın
∂Ω
u ≤ u(x) ≤ m´ax
∂Ω
u.
18. (Teorema de Phragmén-Lindelöf). Sea Ω un dominio plano y acotado,
(x0, y0) ∈ ∂Ω un punto de su frontera y sea u una función armónica en
Ω, continua en ¯Ω execpto quizás en (x0, y0). Supóngase que u(x, y) ≤ M
para (x, y) ∈ ∂Ω, (x, y) ̸= (x0, y0). Si se tiene:
l´ım
(x,y)→(x0,y0)
u(x, y)
/
log
{
2R2
((x − x0)2 + (y − y0)2)
}
= 0,
donde R > 0 es tal que el dominio Ω ⊂
{
(x − x0)2
+ (y − y0)2
< R2
}
.
Pruébese que también u(x, y) ≤ M en Ω.
Analícese con detalle el ejemplo:
u(x, y) =
1 − r2
1 + r2 − 2r cos θ
,
siendo r y θ las coordenadas polares de (x, y), 0 ≤ r < 1.
Indicación. Estúdiese la validez del principio del máximo para la función
auxiliar v(x, y) dada por la identidad:
u(x, y) = v(x, y) log
2R2
((x − x0)2 + (y − y0)2)
.
19. ¿Es la función
ψ(r, θ) = cotag−1
(
2r sen θ
1 + r2 − 2r cos θ
)
,
armónica en el disco unidad? Véase Weimberger [26], Sección 25.
20. Sea Arg P la determinación del argumento con discontinuidad en el se-
mieje real positivo. Sean A, B puntos de la circunferencia unidad ∂B1.
Pruébese que ψ(P) = Arg (P − B) − Arg (P − A) es armónica y acotada
en B1. ¿Cuál es su comportamiento en la frontera? Estúdiese con detalle
los comportamientos en los puntos A y B.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-252-320.jpg)
![246 CAPÍTULO 8. ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2)
27. Prúebese que la función de Green Ga para el problema de Dirichlet en la
bola Ba(0) toma la forma:
Ga(¯x, ¯y) = G
( ¯x
a
,
¯y
a
)
) =
1
2π
[− log |¯x − ¯y| + log |
¯y
a
||¯x − ¯y∗
|],
donde ¯y∗
= a2 ¯y
|¯y|2
es el simétrico de ¯y con respecto a la circunferencia
|¯x| = a.
28. Estúdiese el comportamiento de la transformación bilineal
ζ = z +
a2
z
,
sobre el círculo |z| < b, b > a > 0. Usar el resultado para determinar la
función de Green del problema de Dirichlet en una elipse.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-254-320.jpg)
![248 CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN
)
Ejercicio 9.1. Pruébese que para x ∈ Rn
0 se tiene la estimación:
|∂α
Γn(x)| ≤ C(n, |α|)|x|2−n−|α|
.
El siguiente resultado permite representar una función C2
en términos de su
Laplaciano y diversas expresiones integrales que involucran la solución funda-
mental.
Teorema 9.2. Sea Ω un abierto acotado y C1
mientras u ∈ C2
(Ω). Entonces,
u(x) =
∫
∂Ω
{u(y)
∂Γn(y − x)
∂ν
− Γn(y − x)
∂u
∂ν
(y)} dSy +
∫
Ω
Γn(y − x)∆u(y) dy.
(9.1)
Observación 9.1. Si Ω es un dominio C1
puede probarse, usando que la función
distancia a la frontera d(x) es C1
(ver [13], Cap. 14), que Ωε = {x ∈ Ω : d(x) >
ε} es un dominio C1
para ε pequeño. Esto permite relajar en (9.1) la condición
u ∈ C2
(Ω) por u ∈ C1
(Ω) ∩ C2
(Ω) junto con ∆u ∈ L1
(Ω). Basta para ello con
establecer (9.1) en Ωε y hacer ε → 0+.
Observación 9.2. Si Ω ⊂ Rn
es un dominio acotado de clase C1
y ρ0 = ρ0(x) ∈
L1
(Ω) la función,
V0(x) =
∫
Ω
Γn(x − y)ρ0(y) dy,
se conoce como potencial de volumen o potencial Newtoniano con densidad ρ0.
Si ρ1 ∈ L1
(∂Ω) la función:
V1(x) =
∫
∂Ω
Γn(y − x)ρ1(y) dSy,
se denomina potencial de capa simple con densidad ρ1 mientras que,
V2(x) =
∫
∂Ω
∂Γn
∂ν
(y − x)ρ2(y) dSy,
con ρ2 ∈ L2
(∂Ω) define el potencial de capa doble y densidad ρ2.
Resulta inmediato comprobar que los potenciales de capa simple y capa doble
son funciones armónicas en Ω.
Proposición 9.3. Si u ∈ C2
(Ω) es armónica en Ω entonces u es de clase C∞
en Ω
Demostración. Tomamos cualquier bola B ⊂ B ⊂ Ω y escribimos,
u(x) =
∫
B
{u(y)
∂Γn
∂ν
− Γn(y − x)
∂u
∂ν
(y)} dy, (9.2)
con x ∈ B. Tal representación prueba que u ∈ C∞
(B).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-256-320.jpg)
![9.5. MÉTODO DE PERRON 257
Observaciones 9.7.
a) La condición de punto regular para un dominio Ω del plano no es demasiado
restrictiva. En efecto, la geometría de los puntos regulares es muy “permisiva”
pues basta con que un punto x0 ∈ ∂Ω sea accesible desde Ω R2
, es decir el
extremo de una arco γ contenido en R2
Ω para que exista una barrera. En
efecto, para B centrada en x0 pequeña podemos construir una determinación θ
del argumento en B ∩ Ω. Una función barrera local es:
w = −
log r
log2
r + θ2
,
con r = |x − x0|. Este tipo de función barrera permite concluir que el problema
de Dirichlet es resoluble en todo dominio plano en el que ninguna componente
coneza de R2
Ω se reduzca a un punto (esta condición geométrica es necesaria
y suficiente para la resolubiliad del problema de Dirichlet, ver [4]).
b) En n ≥ 3 la geometría de los puntos regualres es más sutil. Cuando x0 ∈ ∂Ω
yace en una esfera {x : |x − y| = R} donde BR(y) x0 ⊂ Rn
Ω, una barrera
local es:
w(x) = R2−n
− |x − y|2−n
.
Hay otras condiciones geométricas sencillas que bastan para la existencia de una
barrera local en x = x0. Si Ω es un dominio acotado y C1
todos los puntos de
la frontera ∂Ω satisfacen la condición del “cono exterior” por lo que se puede
asegurar que son regulares (véanse los Ejercicios).
c) N. Wiener caracterizó en 1924 la “cantidad” necesaria de “espacio” fuera de
Ω, y en las proximidades de x0 para que exista una barrera local. El siguiente
ejemplo se debe a H. Lebesgue (1913). Describe la geometría típica de un punto
“no regular”.
Teorema 9.22 (Lebesgue). En R3
I, I = {(0, 0, z) : 0 ≤ z ≤ 1} se considera
la función:
v(x, y, z) =
∫ 1
0
ds
√
x2 + y2 + (z − s)2
.
Se define el dominio,
Ω = {
√
x2 + y2 + z2 < 1} ∩ {v(x, y, z) < 1 + c},
donde c > 0. Entonces (0, 0, 0) es un punto no regular para el problema de
Dirichlet en Ω.
Observación 9.8. Se tiene en realidad que v es armónica en R3
I mientras
v toma el valor v = 1 + (c − ε) en superficies Sε dentro de Ω que pasan por
(0, 0, 0) formando allí una cúspide simétrica con respecto al eje 0z. Eso quiere
decir que el problema de Dirichlet (9.12) con dato g(x) = v(x) en ∂Ω carece
de soluciones clásicas. En efecto, v no lo es porque ni siquiera es continua en](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-265-320.jpg)
![258 CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN
)
(0, 0, 0). El esfuerzo de la prueba reside en demostrar que si u es una solución
clásica de, {
∆u = 0 en Ω
u = v en ∂Ω.
entonces u = v en Ω lo que contradice la hipótesis de que u sea una solución
clásica.
Observación 9.9. Como corolario de la sección hemos establecido que todo do-
minio Ω ⊂ Rn
acotado y C1
admite una función de Green G = G(x, y). Debe
advertirse sin embargo que los métodos desarrollados no aseguran la regularidad
C1
de G hasta la frontera. Esta clase de información requiere un tratamiento
más elaborado (cf. [13]).
9.6. El semiespacio
El problema de Dirichlet cuando Ω = Rn+1
+ es resoluble con unicidad si
imponemos condiciones de crecimiento en el infinito a las soluciones. En la Sec-
ción 9.2 ya se obtuvo una función de Green formal en Ω = Rn+1
+ . El siguiente
resultado establece condiciones de existencia y unicidad para el problema de
Dirichlet.
Teorema 9.23. Para cada φ ∈ Cb(Rn
) el problema de Dirichlet,
{
∆u = 0 (x, xn+1) ∈ Rn+1
+
u = φ (x, 0) ∈ ∂Rn+1
+ ,
admite una única solución acotada u ∈ C2
(Rn+1
+ ) ∩ Cb({xn+1 ≥ 0}) que viene
dada explícitamente por la expresión,
u(x, t) =
2t
(n + 1)ωn+1
∫
Rn
φ(y)
|(x − y, t)|n+1
dy.
Demostración. La unicidad es consecuencia de combinar el teorema de Liouville
y el principio de reflexión de Schwartz en xn+1 = 0 (véanse los Ejercicios).
Por otro lado, usando:
G(ξ, η) = −Γ2(ξ − η) + Γ2(ξ − η∗
),
donde ξ = (x, xx+1), η = (y, yn+1), η∗
= (y, −yn+1) podemos proponer “formal-
mente” a:
u(ξ) = −
∫
Rn
∂G
∂ν
(ζ, ξ)φ(ζ) dSζ =
∫
Rn
∂G
∂yn+1
(ζ, ξ)|yn+1=0φ(y, 0) dy, (9.13)
como solución del problema. Se tiene:
∂G
∂yn+1
((y, 0), (x, t)) =
1
(n + 1)ωn+1
2t
|(x − y, t)|n+1
.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-266-320.jpg)
![260 CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN
)
A tal efecto conviene introducir la siguiente definición. Se dice que f : Ω ⊂
Rn
→ R es Hölder continua de exponente α ∈ (0, 1] en el punto x0 ∈ Ω si:
[f]α,x0 := sup
|x−x0|≤δ,x̸=x0
|f(x) − f(x0)|
|x − x0|α
< +∞,
para cierto δ > 0. Diremos que f es localmente Hölderiana de exponente α ∈
(0, 1] en Ω, lo que denotaremos f ∈ Cα
(Ω), si para todo subdominio acotado
Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω se tiene que:
[f]α,Ω1 := sup
x,y∈Ω1,x̸=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|α
< +∞.
En todo lo que resta de sección Ω denotará un dominio acotado de Rn
.
La primera propiedad del potencial de volumen es el siguiente,
Lema 9.24. Sea f ∈ L∞
(Ω). Entonces Vf ∈ C1
b (Rn
). Además,
∂iVf (x) =
∫
Ω
∂iΓn(x − y)f(y) dy 1 ≤ i ≤ n.
Para llegar a clase C2
necesitamos un poco más de regularidad, a saber,
Lema 9.25. Si f ∈ Cα
(Ω) ∩ L∞
(Ω), 0 < α ≤ 1, entonces el potencial Vf ∈
C2
(Ω). Además:
∂ijVf (x) =
∫
Ω0
∂ijΓn(x − y)(f(y) − f(x)) dy − f(x)
∫
∂Ω0
∂iΓn(x − y)νj(y) dSy ,
i, j ∈ 1, . . . , n, x ∈ Ω, donde Ω ⊂ Ω ⊂ Ω0 es un dominio regular que contiene a
Ω. Finalmente,
∆Vf = f.
Observación 9.10. Si bien es necesario algo más que continuidad en f para tener
Vf ∈ C2
(Ω) se demuestra en cambio que Vf es más regular que C2
. En efecto,
si 0 < α < 1 entonces Vf ∈ C2,α
(Ω), es decir todas las derivadas segundas ∂ijVf
de Vf son Hölderianas en Ω: ∂ijVf ∈ Cα
(Ω) para i, j ∈ {1, . . . , n}.
Una consecuencia inmediata del Lema 9.25 es el siguiente resultado de exis-
tencia para el problema de Dirichlet.
Teorema 9.26. Sea Ω un dominio acotado de Rn
para el que todos los puntos
de ∂Ω son regulares mientras f ∈ Cα
(Ω)∩L∞
(Ω) con 0 < α ≤ 1. Entonces para
toda g ∈ C(∂Ω) el problema (9.14) admite una solución clásica u ∈ C2
(Ω) ∩
C(Ω).
La demostración del Lema 9.24 es consecuencia del siguiente resultado de
diferenciación de integrales singulares uniformemente convergentes.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-268-320.jpg)
![9.7. LA ECUACIÓN DE POISSON 261
Lema 9.27. Sea Ω ⊂ Rn
un dominio acotado de Rn
, G ∈ C((Ω × Ω) {(x, y) :
x = y}). Supongamos además que para cada x ∈ Ω la función G(x, ·) ∈ L1
(Ω) y
tiene una singularidad uniformemente integrable en y = x. Es decir:
∫
Bε(x)∩Ω
|G(x, y)| dy → 0+, (9.15)
uniformemente en x ∈ Ω cuando ε → 0+. Entonces, para toda f ∈ L∞
(Ω) la
función,
F(x) =
∫
Ω
G(x, y)f(y) dy,
es continua en Ω.
Ejemplo 9.11. El núcleo de Riesz:
G(x, y) =
C
|x − y|α
,
x, y ∈ Rn
, α > 0, satisface las condiciones del Lema 3 para α < n.
Demostración del Lema 9.27. Usaremos el teorema de la convergencia domina-
da (la demostración que se da en [10] es, a nuestro juicio, substancialmente maś
complicada). Para ε > 0 introducimos (χ denota la función característica):
Fε(x) =
∫
Ω
χ{|y−x|>ε}G(x, y)f(y) dy.
De la hipótesis de continuidad sobre G se tiene la existencia de una constante
M = M(ε) tal que,
|χ{|y−x|≥ ε
2 }G(x, y)f(y)| ≤ M|f|∞
para todo x ∈ Ω y casi todo y ∈ Ω. Por otro lado, si xn → x0 en Ω es inmediato
que
χ{|y−xn|>ε}G(xn, y)f(y) → χ{|y−x0|>ε}G(x0, y)f(y),
∀ c. t. y ∈ Ω. En efecto, |y − x0| > ε (respectivamente, |y − x0| < ε) conlleva
|y − xn| > ε (r. |y − x0| < ε) para n ≥ n0. En el primer caso:
χ{|y−xn|>ε}G(xn, y)f(y) = G(xn, y) → G(x0, y) = χ{|y−x0|>ε}G(x0, y)f(y),
en el segundo, χ{|y−xn|>ε}G(xn, y)f(y) = χ{|y−x0|>ε}G(x0, y)f(y) = 0 para
n ≥ n0. Por tanto, Fε es continua en Ω. Finalmente es obvio que Fε → F
uniformemente en Ω cuando ε → 0+, lo que prueba la continuidad de F.
En cuanto a la diferenciabilidad de integrales singulares uniformemente in-
tegrables tenemos lo siguiente.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-269-320.jpg)
![262 CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN
)
Lema 9.28. Supongamos n ≥ 2 y sea G = G(x, y) ∈ C(Ω × Ω ∆) con
∂G
∂xi
∈
C(Ω × Ω ∆), ∆ = {(x, y) : x = y}, funciones uniformemente integrables en el
sentido del Lema 9.27. Entonces para f ∈ L∞
(Ω) la función:
F(x) =
∫
Ω
G(x, y)f(y) dy,
es continuamente derivable con respecto a xi en Ω y
∂iF(x) =
∫
Ω
∂xi G(x, y)f(y) dy.
En general, si existen las derivadas parciales ∂α
x G en x ̸= y siendo las ∂α
x G ∈
C(Ω × Ω ∆) uniformemente integrables para |α| ≤ k entonces F ∈ Ck
(Ω) y
∂α
F(x) =
∫
Ω
∂α
x G(x, y)f(y) dy.
Demostración. Fijemos x0 ∈ Ω y definamos
Fi(x) =
∫
Ω
∂xi G(x, y)f(y) dy.
Del lema 3 sabemos que Fi ∈ C(Ω). Por otro lado para h ∈ R suficientemente
pequeño y designando por [x0, x0 + hei] = {x0 + shei : 0 ≤ s ≤ 1} tenemos la
cadena de identidades:
∫ h
0
Fi(x0 + sei) ds =
∫ h
0
∫
Ω
∂xi G(x0 + shei, y)f(y) dyds
=
∫ h
0
∫
Ω[x0,x0+hei]
∂xi G(x0 + shei, y)f(y) dyds
=
∫
Ω[x0,x0+hei]
{
∫ h
0
∂xi G(x0 + shei, y) ds}f(y) dy
=
∫
Ω[x0,x0+hei]
G(x0 + hei, y)f(y) dy−
∫
Ω[x0,x0+hei]
G(x0, y)f(y) dy
=
∫
Ω
G(x0 + hei, y)f(y) dy −
∫
Ω
G(x0, y)f(y) dy
= F(x0 + hei) − F(x0),
en las que el intercambio de integrales iteradas viene avalado por el teorema de
Fubini. Lo que se ha probado entonces es que ∂iF(x0) = Fi(x0). La demostración
del resto de las afirmaciones es rutinaria.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-270-320.jpg)
![9.7. LA ECUACIÓN DE POISSON 263
Observación 9.12. La restricción n ≥ 2 del lema está implícita en el hecho de
que el segmento [x0, x0 + hei] tiene medida de Lebesgue cero en Rn
para n ≥ 2.
Más aún, el resultado es significativamente falso en dimensión n = 1. En efecto,
si Ω = (a, b) y tomamos como núcleo G(x, y) = θ(x − y) la función de Heaviside
resulta
∂G
∂x
= 0 para x ̸= y. Pero además para f ∈ L∞
(a, b):
F(x) =
∫ b
a
θ(x − y)f(y) dy =
∫ x
a
f(y) dy,
la cual en general no es diferenciable en la totalidad de los puntos de (a, b).
Ejemplo 9.13 (Solución fundamental de la ecuación del calor). Tomemos
U(x, t) =
1
(
√
4πt)
e−
|x|2
4t ,
si t > 0, U(x, t) = 0 si t ≤ 0 pero (x, t) ̸= (0, 0).
Para QT = {0 < t < T} (T > 0), f ∈ L∞
(Q) formamos
u(x, t) =
∫∫
QT
U(x − ξ, t − τ)f(ξ, τ) dξdτ =
∫ t
0
∫
Rn
U(x − ξ, t − τ)f(ξ, τ) dξdτ.
La función u es continua pues
∫ t
t−δ
∫
|ξ−x|<δ
U(x − ξ, t − τ)|f(ξ, τ)| dξdτ → 0
uniformemente en (x, t) cuando δ → 0+. Además u ∈ C1,0
(QT ) con derivadas:
∂xi u =
∫∫
QT
∂xi U(x − ξ, t − τ)f(ξ, τ) dξdτ,
pues ∫ t
t−δ
∫
|ξ−x|<δ
∂xi U(x − ξ, t − τ)|f(ξ, τ)| dξdτ → 0
uniformemente en (x, t) cuando δ → 0+. En efecto esta última integral se con-
trola por
C
∫ t
t−δ
∫
|ξ−x|<δ
|xi − ξ|
(t − τ)
e−
|x−ξ|2
4t
dξdτ
(t − τ)n/2
≤
C
∫ δ
0
∫
|y|≤ δ√
s
1
√
s
yie− 1
4 |y|2
dydτ ≤ C
∫ δ
0
ds
√
s
.
Si f ∈ C1,0
(QT ) con derivadas espaciales ∂xi f ∈ L∞
(QT ) entonces u es C2,1
con derivadas de segundo orden:
∂2
xixj
u =
1
πn/2
∫ t
0
∫
Rn
yi
√
t − τ
e−|y|2
∂xj f(x + 2y
√
t − τ, τ) dydτ.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-271-320.jpg)
![272 APÉNDICE A. FUNCIONES DIFERENCIABLES
En particular, si u : Ω ⊂ Rn
→ R es de clase Ck
entonces, ∀x ∈ Ω, v ∈ Rn
y
0 ≤ m ≤ k se tiene que:
dm
dtm
u(x + tv) = u(m)
(x + tv)(v)m
=
∑
|α|=m
m!
α!
vα
∂α
u(x + tv).
Una consecuencia inmediata de la última identidad es el teorema de Taylor
para funciones u : Ωabto.
⊂ Rn
→ R de clase Ck
. A saber, si x0 ∈ Ω y x ∈ Ω es
tal que el segmento [x0, x] = {x0 + ζ(x − x0)/1 ≤ ζ ≤ 1} ⊂ Ω entonces:
u(x) =
∑
|α|≤k−1
1
α!
∂α
u(x0)(x − x0)α
+
∑
|α|=k
1
α!
∂α
u(x0 + θ(x − x0))(x − x0)α
,
donde 0 < θ < 1.
Cuando una función es de clase C∞
en Ω en cada x0 ∈ Ω tiene sentido la
serie formal de Taylor
∑
α
1
α! ∂α
u(x0)(x − x0)α
y es natural preguntarse cuándo
la serie de Taylor representa, localmente en Ω, a la función dada. Por ejemplo,
si P(x) en un polinomio en Rn
de grado k, entonces es inmediato comprobar
que, ∀x0 ∈ Rn
:
P(x) =
∑
|α|≤k
1
α!
∂α
u(x0)(x − x0)α
.
Tales funciones son las se denominan analíticas (reales) (Capítulo 3).](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-280-320.jpg)
![281
donde Γ(z) =
∫ ∞
0
e−u
uz−1
dz. En efecto, la integral
∫ π
0
senk
θ dθ =
Γ((k + 1)/2)Γ(1/2)
Γ((k + 2)/2)
,
mientras Γ(1/2) =
√
π. Por otro lado, de la relación de recurrencia Γ(x + 1) =
xΓ(x) resulta,
Γ
(n
2
)
=
(n/2 − 1)! n = ˙2
(n − 1)!
4[n/2][n/2]!
√
π n = ˙2 + 1.
Así, el área de la esfera de radio r vale rn−1
σn. Una simple integración muestra
que el volumen de la bola de radio r es rn
n σn. Para uso posterior reservaremos
el símbolo,
ωn =
σn
n
=
2πn/2
nΓ(n/2)
.
para representar el volumen de la bola unidad en Rn
.
Finalmente, es costumbre representar la fórmula (5) como,
dx = ρn−1
dρ dS1,
donde dS1 representa el elemento de área de la esfera unidad de Rn
.
Ejemplo C.4. Si f(x) = F(r), r = |x| es una función radial e integrable en el
dominio esférico: Ω = {a < |x| < b} su integral se puede escribir como,
∫
Ω
f dx = ωn
∫ b
a
F(r)rn−1
dr.
En particular, para f = e−|x|2
tenemos,
∫
Rn
e−|x|2
dx = ωn
∫ ∞
0
e−r2
rn−1
dr = ωn
Γ(n/2)
2
= πn/2
.
Sea F : S → Rn
un campo sobre una superficie simple S, orientada con un
campo unitario normal ν(x). Se llama flujo de F a través de S en el sentido de
la normal ν a la integral, ∫
S
F · ν dS,
supuesto que dicha integral exista. Remitimos a los Ejercicios del Capítulo 1
para una interpretación física de la noción de flujo.
El concepto de superficie simple se extiende, por razones técnicas, al de
superficie de clase Ck
(k ≥ 1). La propia esfera en R3
no es una superficie
simple (¿por qué?). Decimos que S es una superficie de clase Ck
si S = S1 ∪· · ·∪
Sm donde cada Si es una superficie simple y donde además si (gi, Ui), (gj, Uj)
parametrizan respectivamente a Si y Sj con Si ∩ Sj ̸= ϕ entonces g−1
j ◦ gi :](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-289-320.jpg)
![282 APÉNDICE C. SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE
g−1
i (Si ∩ Sj) → gj(Si ∩ Sj) es un homeomorfismo de clase Ck
, con inverso Ck
.
Se dice que {Si}m
i=1 es una estructura diferenciable de S.
Si f : S → R, se define la integral de superficie de f sobre S en los términos
siguientes:
∫
S
f dS =
∫
S1
f dS1 +
∫
S2S1
f dS2 + · · ·
∫
Sm(S1∪···Sm−1)
f dSm, (6)
siempre que todas las integrales del segundo miembro existan. Se demuestra que
el valor de la integral no depende de la elección de las superficies simples Si que
constituyen S, e. d., de la estructura diferenciable. En efecto si { ˜Si}q
i=1 es otra
estructura diferenciable de S, entonces
∫
S
f dS =
∫
˜S1
f d ˜S1 +
∫
˜S2 ˜S1
f d ˜S2 + · · ·
∫
˜Sq( ˜S1∪··· ˜Sq−1)
f d ˜Sq,
Se dice que S es orientable si es posible elegir una familia de parametrizacio-
nes de forma que el signo de los determinantes det ((g−1
j ◦ gi)′
(s)) sea el mismo,
siempre que Si ∩ Sj ̸= ϕ. En este caso se puede definir sobre S un campo uni-
tario normal ν que es continuo sobre S. En general se sabe que toda superficie
compacta y Ck
de Rn
(por ejemplo la esfera) es orientable. También se sabe
que hay superficies, en el sentido aquí considerado, que no son orientables. Es
un buen ejercicio construir una estructura diferenciable de la banda de Möbius,
probando después que es una superficie no orientable de R3
.
Ejercicio C.1. Comprúebese que la parametrización:
x = a cos ϕ + t b cos ϕ cos ϕ
2
y = a sen ϕ + t b sen ϕ cos ϕ
2
z = t b sen ϕ
2
donde 0 < b < a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −1 < t < 1, define una superficie equivalente a la
banda de Möbius.
Otra noción importante es la de dominio acotado de clase Ck
. Son los abiertos
y conexos Ω ⊂ Rn
acotados tales que su frontera ∂Ω es una superficie Ck
, que
al ser compacta, resulta ser orientable. Satisfacen la condición adicional de que
es posible elegir un campo unitario normal a ∂Ω, ν = ν(x), de forma que para
cada x ∈ ∂Ω los puntos x + tν(x) ̸∈ Ω para 0 ≤ t < ε, mientras x + tν(x) ∈ Ω
para −ε < t < 0, donde ε > 0 es suficientemente pequeño. Para Ω un dominio
de clase Ck
, ν siempre designará tal campo normal que se llama la “normal
unitaria exterior”.
Se debe resaltar (ver [8], p. 354) que que toda superficie compacta S de Rn
es la frontera de un abierto de clase Ck
(no necesariamente acotado), de forma
que uno de sus campos normales es “exterior” a dicho abierto.
Podemos finalmente enunciar el siguiente resultado fundamental.](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-290-320.jpg)
![Apéndice D
Diferenciación bajo el signo
integral
Sean Ω ⊂ Rn
, Q ⊂ Rm
abiertos (típicamente Q es o bien Rm
o un pequeñ o
entorno de un punto). Sea asimismo una función adecuada
f : Ω × Q −→ R
(x, y) −→ f(x, y)
y nos preguntamos cuándo
F(y) =
∫
Ω
f(x, y) dx ,
es una función suficientemente regular de y ∈ Q. Por ejemplo, si f es k veces
derivable con respecto a y, cuándo podremos derivar k veces F y cuándo el
resultado de derivar equivale a derivar bajo el signo integral. El siguiente teorema
hace posible la operación bajo las condiciones más razonables.
Como terminología preliminar diremos que f : Ω×Q → R es una función de
Carathéodory si f(·, y) es medible en Ω para cada y ∈ Q, mientras que f(x, ·)
es continua en Q para c.t. x ∈ Ω. Entre las propiedades más interesantes de
esta clase de funciones –que no demostraremos y que de momento tampoco
vamos a usar– señalemos las siguientes. Si u = u(x) es medible en Ω, entonces
U(x) := f(x, u(x)) coincide en c.t. x de Ω con una función medible en Ω. Si las
un = un(x) son medibes en Ω y un → u en c. t. p. x ∈ Ω (con lo que u coincide
con una función medible en c. t. p., (cf. [19]), entonces f(x, un(x)) → f(x, u(x))
para c. t. x ∈ Ω.
La definición precedente se extiende de la manera obvia a funciones f :
S × Q → R, S una superficie regular de clase Ck
, obteniéndose las mismas
propiedades.
Podemos ya enunciar el resultado relevante de la sección.
285](https://image.slidesharecdn.com/cursoedps-170813193710/85/Curso-edps-293-320.jpg)
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Curso edps
- 1. Departamento de AnálisisMatemático Universidad de La Laguna Ecuaciones en Derivadas Parciales Curso de Introducción José C. Sabina de Lis La Laguna, 26 de septiembre de 2014
- 3. Índice general INTRODUCCIÓN vi 1.Algunas Edp’s de referencia 1 1.1. Definiciones básicas. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . 1 1.1.1. Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . 1 1.2. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Ecuación del transporte simple . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes . . . . . . . . 5 1.2.3. Ecuación de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4. Funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6. Introducción a los coeficientes variables . . . . . . . . . . 8 1.3. Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.5. Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de ecua- ción cuasilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.6. El problema de Cauchy: generalidades . . . . . . . . . . . 15 1.4. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. La Ecuación de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1. La ecuación de las ondas unidimensional . . . . . . . . . . 18 1.5.2. Ecuación de las ondas bidimensional . . . . . . . . . . . . 24 1.6. La Ecuación del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7.1. La ecuación del calor n-dimensional . . . . . . . . . . . . 32 1.7.2. Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. Primer orden 47 2.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.1. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iii
- 4. iv ÍNDICE GENERAL 2.3.La ecuación general de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5. Integrales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6. Lagrange-Charpit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3. El problema de Cauchy 75 3.1. Funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2. El problema general de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3. Teorema de Cauchy-Kowalevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4. Ecuación de ondas 93 4.1. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2. Transformación de operadores de segundo orden . . . . . . . . . 95 4.3. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.1. Operadores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.2. Operadores con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 103 4.4. Ecuación de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1. El problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.2. Velocidad de propagación finita de las perturbaciones . . 106 4.4.3. Soluciones generalizadas. Propagación de discontinuidades 107 4.4.4. Soluciones simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4.5. El problema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos . . . . . . 116 4.5.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos . . . . 118 4.5.4. Problemas de contorno perturbados . . . . . . . . . . . . 120 4.6. Problemas semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6.1. Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6.2. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.7. Ecuación de ondas n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.7.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.7.2. Medias esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3 . . . . . . . . 127 4.7.4. Propagación de ondas en el plano n = 2 . . . . . . . . . . 130 4.8. El caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.8.1. Dimensiones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.8.2. Método del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . . 134 4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
- 5. ÍNDICE GENERAL v 5.Ecuación del calor 147 5.1. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.2. El problema perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3. No unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.4. Soluciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.5. Problemas de valor inicial y contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.6. Principios del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.7. Principios del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.8. Soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6. Series de Fourier 173 6.1. Series de Fourier: introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.3. Series de Fourier: primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . 179 6.4. Resultados de convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.5. Cuestiones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.6. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.7. Fenómeno de Gibb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.8. Teorema de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7. Separación de Variables 199 7.1. Ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.2. Función de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.3. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4. Ecuación de ondas amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.5. Problemas no homogéneos: función de Green . . . . . . . . . . . 207 7.5.1. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.5.2. Propiedades del operador solución . . . . . . . . . . . . . 212 7.6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8. Ecuación de Laplace (n = 2) 225 8.1. Fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.1.1. Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.1.2. Deducción geométrica de la fórmula de Poisson . . . . . . 230 8.1.3. Problema de Dirichlet en un rectángulo . . . . . . . . . . 232 8.2. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 8.3. Singularidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
- 6. vi ÍNDICE GENERAL 9.Ecuación de Laplace (Rn ) 247 9.1. Identidades de Green. Solución fundamental . . . . . . . . . . . . 247 9.2. Propiedades de las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.3. Ecuación de Laplace en la bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.4. Funciones armónicas: propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.5. Método de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.6. El semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 9.7. La ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 A. Funciones diferenciables 269 B. Series Múltiples 273 C. Superficies. Integrales de superficie 277 D. Diferenciación bajo el signo integral 285 BIBLIOGRAFÍA 287
- 7. Introducción Estas son unasnotas “dinámicas” sobre ecuaciones en derivadas parcia- les(“edp’s” en lo que sigue), es decir, en continua remodelación. Al estar colgadas en la red nos podemos permitir ese lujo. Disculpe el posible lector el número inmoderado de erratas tipográficas y algunas de las otras (que he tratado de disipar hasta el exterminio con el paso del tiempo). Las edp’s dan al estudiante de matemáticas la impresión –ese fue al menos mi caso– de materia caprichosa. Se aplica un enorme esfuerzo al estudio de tres “meros” casos particulares de segundo orden. Esto, en mis tiempos, donde la carrera ponía gran énfasis en materias tan abstractas como la topolgía gene- ral o el cáculo diferencial en espacios de Banach, resultaba desolador para el principiante. Otro agravante, cada pequeño avance en el análisis de estas ecuaciones (v. g. de “coeficientes constantes” a “coeficientes variables”) supone un esfuerzo consi- derables incluso en las situaciones más humildes (v. g. la ecuación de ondas con velocidad variable). Como subrayaba mi querido profesor de entonces, Carlos Fernández Pérez, nada que ver con las “ode’s” donde teoremas de existencia, unicidad y dependencia continua se formulan limpia y concisamente desde el principio. Pues bien, en lo que aquí se expone, más de lo mismo. . . . Las lecciones que siguen tratan de imitar las que hace ya muchos años recibí sobre edp’s. Las actuales materias de licenciatura/grado contemplan metas mucho menos ambiciosas (en la generalidad de los centros se estudia muy poco de edp’s). Tras la lectura del índice resulta evidente que hay temas suficientes para surtir varias de estas nuevas asignaturas. Es un placer reconocer las deudas contraídas en la redacción de estas notas. La científica espero haberla saldado unas líneas atrás. Sobre textos, un buen número de los ejercicios provienen de [21]. Ya de estudiante, el de Folland [9] me resultó siempre muy sugestivo. Por su cuidada exposción y detalle en los cálculos, [16] ha sido siempre un importante pilar para mi docencia. Nada se trata aquí sobre soluciones débiles. Si ese fuese el caso, aparte de [16] los textos de [1] y [5] serían de referencia obligada. Espero que el lector saque el mejor provecho de este manuscrito virtual. José C. Sabina de Lis (http://josabina.wbs.ull.es) La Laguna 26 de septiembre de 2014. vii
- 8.
- 9. Capítulo 1 Algunas ecuacionesde referencia en la teoría 1.1. Definiciones básicas. Ecuaciones de primer orden 1.1.1. Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordina- rias Una función F : R × Rk+1 −→ R (t, y0, . . . , yk) −→ F(t, y0, . . . , yk), define la ecuación diferencial ordinaria de orden k, F(t, x, x′ , . . . , x(k) ) = 0. (1.1) Se dice que x = x(t), x : J ⊂ R → R, J un intervalo, x diferenciable, es una solución de (1.1) si, F(t, x(t), x′ (t), . . . , x(k) (t)) = 0, para cada t ∈ J. El marco de referencia para el que se hace la teoría de las ecuaciones (1.1) corresponde al caso en que F tiene la estructura: F(t, y0, . . . , yk) = yk − f(t, y0, . . . , yk−1), y (1.1) se puede escribir en la forma que se suele llamar “normalizada”: x(k) = f(t, x, . . . , x(k−1) ). (1.2) 1
- 10. 2 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudian la “teoría” y “apli- caciones” de la ecuación (1.2). Los hechos teóricos más significativos se pueden describir en los siguientes términos: • Bajo condiciones muy generales sobre f = f(y0, . . . , yk−1) la ecuación (1.2) admite infinitas soluciones. • Se pueden hallar soluciones de (1.2) que satisfacen condiciones adicionales “prefijadas” en un instante arbitrario t0. Esto sugiere que bajo condiciones adecuadas el conjunto de soluciones de (1.2) es finito dimensional. El siguiente resultado –que lleva asociado los nombres de Cauchy, Peano, Lipschitz y Lindelöff– resume los aspectos fundamentales de las ecuaciones dife- renciales ordinarias. Como se tratará de explicar en el presente curso no existe una contrapartida para ecuaciones en derivadas parciales –salvo que se impon- gan condiciones muy restrictivas– del mismo. Teorema 1.1. Si la función f es continua, el problema (llamado de valor inicial o de Cauchy), x(k) = f(t, x, . . . , x(k−1) ) x(t0) = ξ0 ... x(k−1) (t0) = ξk−1, (P) admite al menos una solución no prolongable (x, J), J = (α, ω), para cada (t0, ξ0, . . . , ξk−1) ∈ R × Rk . Si f es además localmente Lipschitziana en (y0, . . . , yk−1) (por ejemplo si ∂f ∂y0 , . . . , ∂f ∂yk−1 existen y son continuas) tal solución es única. Observaciones 1.1. a) El problema de Cauchy está inspirado en el principio determinista de Galileo según el cual el comportamiento futuro de una partícula queda determinado por su velocidad y posición iniciales. En el caso unidimensional se estaría hablando, por ejemplo, del problema de valor inicial: x′′ = f(x) x(t0) = x0 x′ (t0) = v0. Revísese el caso del oscilador armónico f(x) = −x. La solución del problema precedente es x(t) = x0 cos(t − t0) + v0 sen(t − t0).
- 11. 1.2. ECUACIONES DEPRIMER ORDEN 3 b) La teoría se desarrolla de una forma más simétrica en formato n dimensional. Se consideran campos F = F(t, u), F : R×Rn → Rn con lo que u : J ⊂ R → Rn y el problema (P) adopta la forma: { du dt = F(t, u) u(t0) = u0. La ecuación (1.2) se escribe en forma equivalente como, u′ 1 = u2 ... u′ k = f(t, u1, . . . , uk), en donde x(t) = u1(t). c) Una cuestión nada trivial es la determinación del intervalo máximo (α, ω) de existencia. Si por ejemplo ω < +∞ la solución sufrirá con toda seguridad una singularidad en t = ω. Como en el caso u′ = u2 este tipo de singularidades (comúnmente llamadas de tipo “blow-up”) no se detectan en el segundo miembro de la ecuación. Como balance final podemos afirmar que una ecuación diferencial ordinaria admite, bajo condiciones muy poco restrictivas, infinitas soluciones. Las solu- ciones se determinan con unicidad cuando se imponen condiciones iniciales. Ejercicio 1.1. Se define x(θ) = |x|θ−1 x, θ > 0. Para x ̸= 0 prúebese que (x(θ) )′ = θ|x|θ−1 , (|x|θ )′ = θx(θ−1) , mientras ( x(θ) )−1 = x(1/θ) . Discútase con todo detalle la existencia y unicidad de soluciones para el problema, { x′ = |x|θ x(t0) = x0. Nos ocuparemos en lo que sigue de la discusión de diversos aspectos elemen- tales de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales. 1.2. Ecuaciones de primer orden Se considera la función, F : Ω × R × Rn −→ R (x, z, p1, . . . , pn) −→ F(x, z, p1, . . . , pn), donde Ω ⊂ Rn es un dominio (conjunto abierto y conexo). Definición 1.2. Una función u ∈ C1 (Ω) define una solución de la ecuación en derivadas parciales de primer orden: F(x, u, ∇u) = 0, si F(x, u(x), ∇u(x)) = 0 para cada x ∈ Ω.
- 12. 4 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA Ejemplos 1.2. a) Cuando F(x, z, p1, . . . , pn) = ∑n i=1 ai(x)pi + a0(x)z − f(x) es lineal en (p, z) la ecuación (1): n∑ i=1 ai(x) ∂u ∂xi + a0(x)u = f(x), se llama lineal. b) Si F(x, z, p1, . . . , pn) = ∑n i=1 ai(x, z)pi −b(x, z) sólo es lineal en p, la ecuación: n∑ i=1 ai(x, u) ∂u ∂xi = b(x, u), se llama cuasilineal. c) Una ecuación no englobada en los casos anteriores se llamará fuertemente no lineal. Por ejemplo la así denominada ecuación eikonal (ecuación de la óptica geométrica): |∇u|2 = c2 , donde c es la velocidad de la luz. En los siguientes ejemplos se efectúa una prospección de cómo responden las ecuaciones de primer orden a las cuestiones de existencia y número de solucio- nes así como a la posibilidad de imponer condiciones adicionales de tipo “valor inicial”. 1.2.1. Ecuación del transporte simple Toma la forma, ut + cux = 0. (1.3) Admite como soluciones en R2 a los llamados frentes de onda (“travelling wa- ves"), u(x, t) = h(x − ct), donde se conoce a c como velocidad de propagación. Como en el caso de las edo’s, un problema de Cauchy permite determinar todas las soluciones de (1.3). A tal efecto es más sugestivo escribir (1.3) en la forma, ut = −cux, e imaginarse que el valor inicial es toda una función de x mientras que el “lugar” de los datos iniciales es, en vez de un punto, todo el eje x. Teorema 1.3. Para cada φ ∈ C1 (R) el problema, { ut + cux = 0 u(x, 0) = φ(x) sólo admite u = φ(x − ct) como solución. Demostración. Basta probar que las soluciones se conservan sobre las rectas x = x0 + ct.
- 13. 1.2. ECUACIONES DEPRIMER ORDEN 5 1.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes La ecuación: a1ux + a2uy + a0(x, y)u = f(x, y), ai ∈ R constantes, de la que la del transporte es un caso particular, puede tratarse por métodos absolutamente elementales. El caso más sencillo a2 = 0, { a1ux + a0(x, y)u = f(x, y) u(w1s, w2s) = φ(s), admite inmediatamente como solución: u(x, y) = h(y)e− ∫ x 0 a0(t,y) a1 dt − 1 a1 ∫ x 0 e− ∫ x t a0(τ,y) a1 dτ f(t, y) dt, en la que h se determina resolviendo la ecuación: φ(s) = h(w2s)e− ∫ w1s 0 a0(t,w2s) a1 dt − 1 a1 ∫ w1s 0 e− ∫ w1s t a0(τ,w2s) a1 dτ f(t, y) dt. (1.4) Se observa inmediatamente que (1.4) se puede resolver para φ’s arbitrarias siem- pre que w2 ̸= 0. El caso general: { a1ux + a2uy + a0(x, y)u = f(x, y) u(w1s, w2s) = φ(s), se puede tratar por reducción al caso anterior. Como v = (a1, a2) ̸= (0, 0) basta con transformar las coordenadas para anular uno de los coeficientes de las derivadas de primer orden. En otras palabras, la ecuación se puede escribir, ∂u ∂v + a0u = f, y basta elegir nuevas coordenadas x′ , y′ para que ∂u/∂v = ∂u/∂x′ . Por ejemplo, (x, y) = x′ v + y′ w w = (−a2, a1) . Es decir, ( x y ) = ( a1 −a2 a2 a1 ) ( x′ y′ ) , ( x′ y′ ) = 1 a2 1 + a2 2 ( a1 a2 −a2 a1 ) ( x y ) . La ecuación transformada adopta la forma, ˜ux′ + ˜a0(x′ , y′ )˜u = ˜f(x′ , y′ ),
- 14. 6 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA donde, ˜a0 = a0(a1x′ − a2y′ , a2x′ + a1y′ ) ˜f = f(a1x′ − a2y′ , a2x′ + a1y′ ), mientras, u(x, y) = ˜u(|v|−2 (a1x + a2y), |v|−2 (−a2x + a1y)). La condición inicial se transforma en, ˜u(|v|−2 (a1w1 + a2w2)s, |v|−2 (−a2w1 + a1w2)s) = φ(s). 1.2.3. Ecuación de Burgers Una magnitud fundamental para describir el comportamiento de un fluido es el campo de velocidades. Si se busca el campo de velocidades u = u(x, t) de un fluido unidimensional, x ∈ R, de forma que cada partícula fluida se mueve con velocidad constante, se llega a la ecuación: ut + uux = 0. Es similar a la del transporte simple con la particularidad de que la velocidad de propagación c queda reemplazada por la propia función incógnita u. Para la resolución del problema de valor inicial: { ut + uux = 0 u(x, 0) = φ(x), (P) φ ∈ C1 (R), puede intentarse –por analogía con el caso anterior– la ecuación implícita, u = φ(x − ut). (E) Se comprueba inmediatamente que si tal u existe, u resuelve (P). Por otro lado, el teorema de la función implícita permite asegurar la existencia de una única solución u de (E) definida en un entorno U de t = 0 que cumple la condición u(x, 0) = φ(x). Podemos enunciar así el siguiente resultado. Teorema 1.4. El problema (P) admite una única solución u ∈ C1 (U) en el sentido de que si u1 ∈ C1 (U1) es otra solución con U1 ⊃ U, u = u1 en U. Demostración. La unicidad consiste en probar que toda posible solución v = v(x, t) satisface la ecuación funcional (E). Para ello recordamos que las partículas fluidas tienen velocidad constante. Es decir, si resolvemos: { x′ = v(x, t) x(0) = x0, se tiene que v(x, t) = v(x0, 0) sobre la solución x = x(t). Pero v(x0, 0) = h(x0) mientras x(t) = x0 + h(x0)t. Por tanto v(x, t) = h(x0), luego: v(x, t) = h(x − vt), que era el objetivo.
- 15. 1.2. ECUACIONES DEPRIMER ORDEN 7 1.2.4. Funciones radiales Una función u ∈ C1 (R2 {0} se dice radial si u = h(r), r = √ x2 + y2. Satisfacen la ecuación: yux − xuy = 0 (x, y) ∈ R2 {0}. Otra vez, un problema de valor inicial permite caracterizar sus soluciones. En el siguiente resultado la sugerencia es observar la ecuación como un pro- blema de primer orden en y donde el dato inicial se toma en una curva “trans- versal” a la dirección con respecto a la que se deriva. Teorema 1.5. Para cada φ ∈ C1 (R+ ) el problema: { xuy = yux u(x, 0) = φ(x), admite una única solución, que es radial. Demostración. La unicidad es consecuencia de la conservación de las soluciones sobre las circunferencias r = r0. 1.2.5. Funciones homogéneas Una función u ∈ C1 (Rn {0}) se dice homogénea de grado α si: u(tx) = tα u(x) ∀t > 0. Derivando con respecto a t: n∑ i=1 xi ∂u ∂xi (tx) = αtα−1 u(x), y haciendo t = 1 se llega a la ecuación (denominada) de Euler, n∑ i=1 xi ∂u ∂xi = αu. Es fácil decidir qué tipo de comportamiento exhiben las soluciones sobre los semirayos x = tx0, t > 0. Teorema 1.6. El problema de Cauchy, ∑n i=1 xi ∂u ∂xi = αu u(x) = φ(x) |x| = 1, admite para cada φ una única solución que es una función homogénea.
- 16. 8 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA Demostración. Para x fijo el grupo t−α u(tx) se conserva en t para las soluciones de la ecuación de Euler. Observación 1.3. Nótese que la condición inicial determina ella sola una única función homogénea de grado α: u(x) = |x|α φ ( x |x| ) . 1.2.6. Introducción a los coeficientes variables Si a1 = a1(x, y), a2 = a2(x, y) son funciones de clase C1 en R2 , la ecuación de primer orden: a1(x, y)ux + a2(x, y)uy = 0, describe aquellas funciones que se conservan cuando se las observa en la dirección variable del campo X = (a1, a2). Nada más natural que considerar las curvas del plano γ que son tangentes a X. Por definición tales curvas son las órbitas de la edo: { x′ = a1(x, y) y′ = a2(x, y). (S) Es inmediato comprobar que u se conserva sobre cualquier órbita γ de (S) si y sólo si u cumple la edp propuesta. Resolver el problema: { a1(x, y)ux + a2(x, y)uy = 0 u(x, 0) = φ(x), (P) es construir u = u(x, y) que cumple: u(x, y) = φ(x0), sobre órbita γx0 que pasa por (x0, 0) y esto para cada x0. La posible arbitrarie- dad en la elección del dato φ requiere suponer que: a2(x, 0) ̸= 0 x ∈ R. El cálculo de órbitas de (S) que pasan por el eje 0x se hace como sigue. El problema, dx dy = a1(x, y) a2(x, y) x(0) = x0, admite una única solución x = X(y, x0). En la ecuación, x − X(y, x0) = 0, x0 se puede despejar en términos de (x, y) bajo la forma de una función C1 , ξ = ξ(x, y). Si se quiere, las órbitas por el eje x son la familia uniparamétrica de curvas, ξ(x, y) = x0,
- 17. 1.3. ECUACIONES DESEGUNDO ORDEN 9 con x0 el parámetro. Cubriendo todos los detalles con el debido rigor –y la ayuda de la teoría de edo’s– puede probarse el siguiente resultado. Teorema 1.7. Para cada φ ∈ C1 (R) y bajo la condición de transversalidad de órbitas a2(x, 0) ̸= 0, x ∈ R el problema (P) admite una única solución u ∈ C1 (U) definida en un cierto entorno U del eje x. Demostración. La solución no puede ser otra que u(x, y) = φ(ξ(x, y)). Ejemplo 1.4. El problema: { xux + uy = 0 u(x, 0) = φ(x), conduce a la ecucación: dx dy = x. La condición x(0) = x0 lleva a x0 = xe−y . La solución es pues u = φ(xe−y ). 1.3. Ecuaciones de segundo orden Si Ω ⊂ Rn es un dominio de Rn , una función: F : Ω × R × Rn × Rn2 −→ R (x, z, p, q) −→ F(x, z, p, q), donde p = (pi), q = (qij), define la ecuación en derivadas parciales de segundo orden: F(x, u, (∂iu), (∂iju)) = 0, (1) en el sentido de que u ∈ C2 (Ω) resuelve (1) si F(x, u(x), (∂iu(x)), (∂iju(x))) = 0 en cada x ∈ Ω. Una ecuación lineal en el grupo de variables (p, q) se llama lineal: n∑ i,j=1 aij(x)∂iju + n∑ i=1 ai(x)∂iu + a0(x)u = f(x), mientras que una ecuación cuasilineal es aquella en la que F sólo es lineal en el grupo q y la ecuación toma la forma: n∑ i,j=1 aij(x, u, ∇u)∂iju = b(x, u, ∇u). La generalidad de los cursos avanzados de ecuaciones en derivadas parciales, in- cluso los más ambiciosos, sólo alcanza a tratar las ecuaciones lineales de segundo orden. En especial las tres ecuaciones de la física matemática: las ecuaciones de Laplace (y Poisson), del calor y de las ondas que pasamos a presentar a conti- nuación.
- 18. 10 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA 1.3.1. Ecuación de Laplace Una masa puntual M localizada en el origen 0 ∈ R3 crea una perturbación en el medio circundante de forma que una partícula puntual en la posición x = (x1, x2, x3) sufre una fuerza por unidad de masa F(x) = − GM |x|2 x |x| = − GM r3 x r = |x|, donde G es la constante de gravitación. La fuerza F deriva de un potencial V = V (x), es decir: F(x) = ∇V (x). En efecto, ensayando una función radial V (x) = U(r), el que Vxi = −(GM/r3 )xi = −(GM/r2 )xi/r nos lleva a que V (x) = GM r . Se conoce a V como el potencial Newtoniano. Por otro lado, Vxixi = ( U′ r ) xi xi + U′ r = ( U′ r )′ x2 i r + U′ r . En nuestro caso U′ /r = −GM/r3 , (U′ /r)′ = 3GM/r4 . Por tanto, 3∑ i=1 Vxixi = r ( U′ r )′ + 3 U′ r = 0. Para una función u ∈ C2 (Ω), Ω ⊂ Rn , el grupo: ∆u := n∑ i=1 ∂iiu = n∑ i=1 ∂2 u ∂x2 i , se conoce como el Laplaciano de u (se llamará a ∆ el operador Laplaciano). Se ha comprobado que el potencial Newtoniano V = GM/r satisface la ecuación: ∆V = 0 en R3 {0}. Se llama a: ∆u = 0 x ∈ Ω, (L) la ecuación de Laplace en Ω. Decimos que u es armónica en Ω si satisface (L). El potencial Newtoniano es armónico en R3 {0}. Un ejemplo fundamental de función armónica en el plano lo dan las de- terminaciones de la función argumento θ = θ(x, y). Para construir una de
- 19. 1.3. ECUACIONES DESEGUNDO ORDEN 11 ellas sea “arctag x” la inversa de la tangente en (−π/2, π/2). Sobre el domi- nio Ω = R2 {(0, y) : y ≥ 0} definimos: θ(x, y) = arctag (y/x) x > 0 π/2 y > 0 , x = 0 arctag (y/x) + π x < 0. Es inmediato ver que θ ∈ C∞ (Ω) y que es armónica en Ω. Se verá más adelante que todas las funciones armónicas se generan a partir de la función argumento. Otra gran clase de ejemplos de funciones armónicas en el plano lo suministran las funciones holomorfas. Si Ω ⊂ C es un domino del plano complejo, z = x+iy, y f : Ω → C es una función derivable en sentido complejo en Ω, es decir, el límite: f′ (z0) = l´ım z→0 f(z0 + z) − f(z0) z , (2) existe para cada z0 ∈ Ω, entonces escribiendo: f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es fácil ver que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ux = vy uy = −vx. (3) Basta para ello tomar z real en (2) e igualar el límite al correspondiente valor cuando z es imaginario puro (Ejercicio). Admitiendo la existencia de las deriva- das de orden dos para u y v es inmediato concluir de (3) que u y v son armónicas en Ω. La experiencia del curso nos enseñará que el operador Laplaciano se relaciona bien con las rotaciones de Rn . De hecho, si u es radial, u = U(r) entonces, ∆u = U′′ (r) + n − 1 r U′ (r) De ahí la ecuación de Laplace en Rn 0 para funciones radiales da como solu- ciones (módulo constantes): U(r) = Cn rn−2 n ≥ 3 C2 log r n = 2 . A efectos de cálculo suele hacerse una elección precisa de las constantes Cn (ver más adelante la solución fundamental del operador Laplaciano). Finalmente, la teoría de gravitación proporciona otro modelo de ecuación asociada al operador Laplaciano. Supongamos ahora que la masa M que per- turba el espacio no está localizada en un punto sino que ocupa un dominio Ω ⊂ R3 (un planeta) en la que está distribuida según una densidad de masa ρ = ρ(x). La fuerza neta de atracción por unidad de masa sobre una partícula en la posición espacial x viene dada por la integral: F(x) = − ∫ Ω Gρ(y) |x − y|3 (y − x) dy.
- 20. 12 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA Dicha fuerza deriva del potencial, V (x) = ∫ Ω Gρ(y) |x − y| dy, que se llama potencial Newtoniano con densidad ρ. Si –como es natural– ρ ∈ L1 (Ω) entonces, una aplicación escrupulosa de los resultados de derivación bajo el signo integral (cf. Anexo) permite concluir que: ∆V = 0 x ∈ R3 Ω. Si además ρ es un poco más regular, por ejemplo, ρ ∈ C1 (Ω) ∩ L∞ (Ω) (Ω acotado) entonces V satisface la ecuación: ∆V = −4πGρ(x) x ∈ Ω. Los cálculos implicados ahora en la demostración son más delicados que una mera derivación bajo el signo integral y se desarrollarán en los Capítulos VIII y IX correspondientes a la teoría del potencial. Para f definida en un dominio Ω ⊂ Rn se conoce a: ∆u = f(x) x ∈ Ω, se conoce como la ecuación de Poisson. 1.3.2. Problema de Dirichlet A la luz de lo explicado, existe una infinidad de funciones armónicas u en un dominio Ω. Basta construir los potenciales u ∈ C2 (Ω) asociados a las infinitas distribuciones de masa ρ ∈ C1 (Ω1) con Ω1 ∩ Ω = ∅. La siguiente definición se atribuye a Riemann. Definición 1.8. Sea Ω ⊂ Rn un dominio con frontera no vacía ∂Ω y φ una función dada que es continua en ∂Ω. Se dice que u ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω) es solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace si: { ∆u = 0 x ∈ Ω u = φ x ∈ ∂Ω. (1.5) El contexto en el que surgió dicho problema es el de la teoría de las funciones complejas. Para hallar una solución del problema se introdujo el funcional: D(u) = ∫ Ω |∇u|2 dx, donde se supone que Ω es un dominio acotado de Rn y u varía en la clase D = {u ∈ C1 (Ω) : u = φ si x ∈ ∂Ω}.
- 21. 1.3. ECUACIONES DESEGUNDO ORDEN 13 Se propuso el siguiente problema de tipo variacional: hallar u ∈ D tal que D(u) = ´ınf v∈D D(v). (1.6) En su tiempo –mediados del XIX– se daba por sentado la existencia de una solución de éste último. La conexión con el problema de Dirichlet (1.5) se resume en las siguientes propiedades. Propiedad 1.9. Si u ∈ D resuelve (1.6): ∫ Ω ∇u∇v dx = 0 ∀v ∈ C1 (Ω) y v|∂Ω = 0. Propiedad 1.10. Si u, v ∈ C1 (Ω) entonces: D(u) = D(v) + D(u − v) + 2 ∫ Ω ∇u∇(u − v). En particular (1.6) admite a lo más una solución. Propiedad 1.11. Sea u ∈ D ∩ C2 (Ω). Entonces u resuelve (1.5) ⇔ u resuelve (1.6). Observaciones 1.5. Las condiciones bajo las que (1.6) admite solución no son en absoluto obvias. Dependen de la geometría del dominio. Un ámbito natural lo proporcionan los dominios de clase C1 (Anexo). Cuando φ sólo es continua la existencia de (1.6) queda en entredicho incluso en el círculo. Si (1.6) admite solución no es inmediato probar que dicha solución es dos veces derivable y cumple la ecuación de Laplace. Que (1.6) admite solución es lo que se dio en llamar (palabras de Riemann) el “principio de Dirchlet”. 1.3.3. La ecuación de ondas Una magnitud u = u(x, t), (x, t) ∈ Ω × R, mide la “desviación” de un medio continuo –dotado de propiedades elásticas– con respecto a la configuración de equilibrio, representada por u = 0 (u puede representar una cualquiera de las componentes del vector desplazamiento que señala la desviación con respecto al equilibrio). El medio puede ser unidimensional (una cuerda), bidimensional (una membrana) o tridimensional (un sólido elástico). Como comprobaremos en la Sección 1.5, cuando el medio detenta propiedades de elasticidad adecuadas, u cumple –bajo la hipótesis de variaciones de pequeña amplitud– la ecuación: ∂2 u ∂t2 = c2 ∆u,
- 22. 14 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA conocida como ecuación de ondas. El número c > 0 representa, como veremos, la velocidad de propagación de las perturbaciones. La propagación de señales acús- ticas, la radiación de energía y la propagación de señales electromagnéticas son otros de los fenónmenos que pueden describirse mediante la ecuación de ondas. La conservación de la energía es una característica de los procesos gobernados por dicha ecuación. La variable t tiene el sentido de tiempo. Si el medio puede considerarse “ilimitado”, un problema de valor inicial “natural” para la ecuación de ondas es: ∂2 u ∂t2 = c2 ∆u u(x, 0) = φ0(x) ut(x, 0) = φ1(x) , para posición y velocidad φ0, φ1 prefijadas. Otros términos representando fric- ción aerodinámica o fuentes de perturbación externas pueden aparecer en la ecuación (Sección 1.5): ∂2 u ∂t2 + but = c2 ∆u + F(x, t). 1.3.4. La ecuación del calor La energía calorífica, bajo condiciones de variabilidad pequeña, es transpor- tada por un proceso denominado difusión, de regiones de alta temperatura hasta zonas de temperatura inferior. En términos de la ley de Fourier (de la que ha- blaremos en la S. 1.6) este fenómeno de transporte se describe en función de la temperatura u = u(x, t) mediante la ecuación del calor: ∂u ∂t = k∆u, (4) en la que la constante k resume las propiedades de conductividad del medio (aquí supuesto isótropo). De nuevo t representa el tiempo y si estamos supo- niendo que el medio es ilimitado (las condiciones externas pueden considerarse despreciables), un problema de valor inicial natural para (4) es, ∂u ∂t = k∆u u(x, 0) = φ(x), donde φ es la temperatura inicial. Una característica de los procesos simulados por (4) es su carácter disipativo en el sentido de degradar la energía (son además de naturaleza fuertemente irreversible). Como veremos más adelante, (4) tiene la propiedad de velocidad infinita de propagación de las perturbaciones.
- 23. 1.3. ECUACIONES DESEGUNDO ORDEN 15 1.3.5. Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de ecuación cuasilineal El siguiente ejemplo pertenece al círculo de los problemas variacionales –fun- damentales en física teórica– cuyo estudio general se desarrolla en el Cálculo de Variaciones. Consideremos un dominio acotado Ω ⊂ Rn de clase C1 (cf. Anexo) y h = h(x) ∈ C1 (Ω) una función prefijada. En X = {u ∈ C1 (Ω) : u|∂Ω = h} introdu- cimos el funcional: J : X −→ R u −→ J(u), definido por: J(u) = ∫ Ω √ 1 + |∇u|2 dx. J mide el área de la superficie S = {z = u(x) : x ∈ Ω} en Rn+1 . Un problema natural es hallar u tal que: J(u) = ´ınf v∈X J(v). (P). Una condición necesaria para que u sea solución de (P) es que: d dt (J(u + tφ))|t=0 = 0, para toda φ ∈ C1 0 (Ω). Esto significa que: ∫ Ω ∇u∇φ √ 1 + |∇u|2 dx = 0 ∀φ ∈ C1 0 (Ω). (5) Si se hace la hipótesis adicional de que u ∈ C2 (Ω) entonces el teorema de la divergencia (cf. Anexo) nos lleva a: ∫ Ω div ( ∇u √ 1 + |∇u|2 ) φ dx = 0 ∀φ ∈ C1 0 (Ω), por lo que llegamos a que u resuelve el problema: div ( ∇u √ 1 + |∇u|2 ) = 0 x ∈ Ω u = h x ∈ ∂Ω. 1.3.6. El problema de Cauchy: generalidades Como en el caso de edo’s y algunos ejemplos de edp’s de primer orden vistos en el §I.1.2 nos planteamos la existencia de condiciones similares a las de valor inicial que determinen “con unicidad” las soluciones de una edp. Esto ya presu- pone algo nada trivial en el caso de edp’s como es la propia existencia de un
- 24. 16 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA número suficiente de soluciones que permita ajustar éste u otro tipo concebible de condiciones. En efecto, se dará en el Capítulo III un ejemplo de edp lineal con coeficientes complejos que no admite soluciones en absoluto. Módulo un estudio más profundo en el Capítulo III trataremos ahora de sugerir que el problema de Cauchy para una edp de segundo orden en el plano consiste en prefijar, de manera arbitraria, sobre una curva C1 dada Γ = {(x, y) = (f(s), g(s)) : s ∈ I} los valores de la solución u = u(x, y) y de su derivada normal a Γ, es decir ∂u/∂ν donde, por ejemplo, ν = (−g′ , f′ )/ √ f′2 + g′2 (′ = d/ds, mientras se supone (f′ , g′ ) ̸= (0, 0) en Γ). A tal efecto consideramos: uyy = f(x, y, u, uy) u(x, 0) = φ0(x) uy(x, 0) = φ1(x), (6) que es ciertamente un caso muy particular de un problema más ambicioso que consideraremos más tarde como es: uyy = f(x, y, u, ux, uy, uxy, uyy) u(x, 0) = φ0(x) uy(x, 0) = φ1(x). (7) En el caso en que (6) toma la forma uyy + u = 0, u(x, 0) = φ0(x), uy(x, 0) = φ1(x) la solución es u = φ0(x) cos y + φ1(x) sen y. En general un teorema de existencia y unicidad de soluciones para (6) está ya recogido en la teoría de edo’s. En efecto para, pongamos, G = G(x, z, p, λ), G : R × R × R × R → R, de clase C1 , el problema: u′′ = G(x, u, u′ , λ) u(x0) = ξ0 u′ (x0) = ξ1, (8) admite una única solución u = U(x, x0, ξ0, ξ1, λ). Se puede así construir una única solución local de (6) si, usando la jerga de (8) observamos en (6) a x como el parámetro λ y ponemos como solución: u = U(y, 0, φ0(x), φ1(x), x). No obstante, adelantamos que sólo podremos garantizar la existencia de solu- ciones de (7) bajo condiciones muy restrictivas. Si por otra parte nos limitamos al caso lineal: a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + a1ux + a2uy + a0u = F(x, y), una de las posibilidades es, por ejemplo, la ecuación: uxy = F(x, y). (9)
- 25. 1.4. ECUACIONES DEORDEN SUPERIOR 17 Si nos limitamos a cualquiera de los ejes como curva destinataria de las con- diciones iniciales se observa que (9) no es propiamente de segundo orden con respecto a la variable x o y. Eso da lugar a la introducción de otro tipo posible de problema de valor inicial donde las condiciones se toman en ejes distintos. Por ejemplo, uxy = F(x, y) u(0, y) = φ(y) ux(x, 0) = ψ(x). Una integración directa nos da que la solución de (10) –problema que se llama de tipo Goursat– es: u = φ(y) + ∫ x 0 ψ(ξ) dξ + ∫ x 0 ∫ y 0 F(ξ, η) dη dξ. En los ejercicios abundaremos un poco más sobre este tipo de cuestiones. 1.4. Ecuaciones de orden superior Si consideramos funciones u de clase Ck en un dominio Ω ⊂ Rn (u ∈ Ck (Ω)) es decir funciones que admiten todas las posibles derivadas parciales ∂l u/∂xi1 . . . ∂xil de órdenes l ≤ k de forma que tales derivadas parciales definen funciones continuas en Ω, se sabe –ver Capítulo III para detalles precisos– que todas esas posibles derivadas parciales coinciden con alguna de las derivadas canónicas: ∂α u = ∂|α| u ∂xα1 1 . . . ∂xαn n , donde α = (α1, . . . , αn) ∈ (N ∪ {0})n , |α| = α1 + · · · + αn. Si N(k) designa el número de α′ s con |α| ≤ k (la “derivada de orden cero” una de ellas), una función F : Ω × RN(k) −→ R (x, (yα)) −→ F(x, (yα)), define la edp de orden k: F(x, (∂α u)) = 0, en el sentido de que u ∈ Ck (Ω) resuelve (1) si F(x, (∂α u(x))) = 0 en cada x ∈ Ω. Las ecuaciones lineales corresponden a elecciones de F’s que son lineales en la variable y = (yα), es decir F(x, (yα)) = ∑ |α|≤k aα(x)yα − f(x): ∑ |α|≤k aα(x)∂α u = f(x). En relación con las ecuaciones diferenciales es muchas veces convenientes ha- blar de operadores diferenciales lineales, en este caso con coeficientes aα en un dominio Ω, es decir aplicaciones: L : Ck (Ω) −→ C(Ω) u −→ Lu = ∑ |α|≤k aα(x)∂α u,
- 26. 18 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA Figura 1.1: Cuerda elástica donde se supone que las aα ∈ C(Ω). La ecuación anterior se abrevia como Lu = f. La ecuación lineal de orden superior al segundo más estudiada quizás sea: ∆2 u = f(x), ∆ el operador Laplaciano, que aparece en teoría de elasticidad. Se conoce a ∆2 como el operador biarmónico. Las ecuaciones cuasilineales corresponden a F′ s lineales en el grupo de va- riables yα con |α| = k, ∑ |α|=k aα(x, (∂β u)|β|≤k−1)∂α u = b(x, (∂β u)|β|≤k−1). Se puede decir que salvo para clases especiales de ecuaciones (por ejemplo las lineales) no se conoce una teoría general para edp’s de orden superior a dos. Deberíamos citar como ejemplo interesante la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) que aparece en el estudio de ondas de agua (“water waves”) y teoría de solitones: ut + uux + uxxx = 0. 1.5. La Ecuación de Ondas 1.5.1. La ecuación de las ondas unidimensional Consideramos una cuerda elástica que se halla en en estado de reposo -en ausencia de fuerzas exteriores- por el efecto de una fuerza de tensión T0 a lo largo de la misma, al estar anclada entre los puntos O y P del eje Ox. Supondremos que tiene longitud l (Figura 1.1). La situación física a describir consiste en separar la cuerda de su posición de equilibrio, creando la deformación una fuerza recuperadora que genera el movimiento de la misma. El estado futuro de la cuerda -en términos del tiempo t- se representará por las ecuaciones: x = x(s, t) y = y(s, t) 0 ≤ s ≤ l t ≥ 0,
- 27. 1.5. LA ECUACIÓNDE ONDAS 19 donde s es un parámetro que se define mediante el convenio de que X(s, t) = (x, y) represente el punto de la cuerda que inicialmente (t = 0) se hallaba en la posición (x, y) = (s, 0). Admitiremos que en cada instante, la masa de un tramo s1 ≤ s ≤ s2 viene expresada por: ∫ s2 s1 ρ(s) ds, donde la función continua ρ(s) designa la densidad lineal de masa, ρ(s) > 0 en 0 ≤ s ≤ l. En todo momento suponemos que el movimiento tiene lugar en el plano x-y. Las condiciones iniciales son: { x(s, 0) = s xt(s, 0) = 0 { y(s, 0) = f(s) yt(s, 0) = g(s), (CI) en donde 0 ≤ s ≤ l. Por otra parte, el proceso impone las condiciones de contorno: x(0, t) = 0, x(l, t) = l, y(0, t) = y(l, t) = 0, t ≥ 0. (CC) Suponemos que sobre cada porción s1 ≤ s ≤ s2 de la cuerda actúa una fuerza vertical neta (dirigida hacia abajo) de módulo: F(s1, s2) = ∫ s2 s1 ρ(s)F(x(s, t), t) ds. En otros términos F = F(x, t) es una densidad de fuerzas verticales por unidad de masa en el punto x y en el instante t. Por ejemplo, en el caso del peso, F = g y F(s1, s2) = g ∫ s2 s1 ρ(s) ds, donde la integral representa la masa del trozo de cuerda. Para determinar las ecuaciones del movimiento analizaremos las fuerzas so- bre un trozo de cuerda si−1 ≤ s ≤ si, 0 = s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn = l. Su momento lineal viene dado por: ¯pi = (∫ si si−1 ρ(s)xt ds, ∫ si si−1 ρ(s)yt ds. ) , Las ecuaciones del movimiento se obtendrán escribiendo la segunda ley de New- ton (para la variación del momento lineal): d¯p dt = FE i + ¯FI i , con ¯FE i (respectivamente ¯FI i ) la fuerza exterior (respectivamente interior) neta actuando sobre el trozo si−1 ≤ s ≤ si. Por hipótesis, si−1 ≤ s ≤ si está sometido a la fuerza exterior: ¯FE i = (0, −F(si−1, si)) = ( 0, − ∫ si si−1 ρ(s)F(x(s, t), t) ds ) .
- 28. 20 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA Falta por precisar quiénes son las fuerzas internas (de corto alcance) que actúan sobre la porción si−1 ≤ s ≤ si de la cuerda. Para ello es necesario dar una ley que describa cómo es la naturaleza de las fuerzas de tensión en los extremos. Esto equivale a describir las propiedades elásticas de la cuerda. En primer lugar medimos el alargamiento neto sufrido por si−1 ≤ s ≤ si en el instante t: ∫ si si−1 √ x2 s + y2 s ds − ∆s (∆s = si − si−1), donde xs = xs(s, t), ys = ys(s, t). El alargamiento medio por unidad de longitud, 1 ∆s ∫ si si−1 √ x2 s + y2 s ds − 1. Así, el alargamiento puntual por unidad de longitud o densidad de alargamiento es finalmente: e = √ x2 s + y2 s − 1. Una primera hipótesis de elasticidad es que en cada punto s la fuerza de tensión ¯T(s, t) vaya dirigida en la dirección de la tangente, es decir (si T(s, t) designa el módulo): ¯T(s, t) = T(s, t)¯t(s, t), con ¯t(s, t) = (xs, ys)/ √ x2 s + y2 s el unitario tangente en s. Esto significa que el material que constituye la cuerda es tal que su ”reacción a la deformación”, cuando uno quiere ”separar” una sección transversal imaginaria de su contigua, es puramente normal a dicha sección. En otras palabras, no hay fricciones tan- genciales (fatigas), o si se quiere, no hay ”oposición” a la flexión. La segunda hipótesis de elasticidad es que el módulo de la tensión sea una función exclusiva de e y de s, T(s, t) = T (e, s), con T (0, t) = T0, donde T0 es la tensión de la cuerda en reposo. Desarrollando T se obtiene: T = T0 + T ′ e (0, s)e + O(e2 ). Por ejemplo, el caso particular T = T0 + ke (k constante, el módulo de elasticidad) da lugar a la conocida ley de Hooke. De aquí se deduce que la resultante de las fuerzas internas sobre si−1 ≤ s ≤ si resulta ser: ¯FI i = T(si, t)¯t(si, t) − T(si−1, t)¯t(si−1, t) = T(s, t)¯t(s, t) si si−1 . Como, T(s, t)¯t(s, t) si si−1 = ∫ si si−1 ∂ ∂s (T(s, t)¯t(s, t)) ds,
- 29. 1.5. LA ECUACIÓNDE ONDAS 21 Figura 1.2: Elemento de cuerda la identidad para la derivada del momento lineal da lugar a las ecuaciones: ∂ ∂s ( T xs e + 1 ) = ρxtt ∂ ∂s ( T ys e + 1 ) = ρytt + ρF. (1.7) El problema consiste entonces en determinar las funciones x = x(s, t), y = y(s, t) a partir de (1), y las condiciones (CI) y (CC), donde f, g y T son datos del problema. El carácter fuertemente no lineal de las ecuaciones (1.7) sugiere, en primera aproximación, su linealización, para llegar a un modelo más sencillo. La forma de llevar a cabo este proceso es como sigue. Vamos a imagi- narnos que el tiempo t y las funciones f, g junto con sus derivadas hasta el orden dos son pequeñas. Más precisamente consideramos el vector Φ = (t, f, g, f′ , g′ , f′′ , g′′ ) con módulo |Φ| = (|t|, |f|∞, . . . , |g′′ |∞), siendo, por ejem- plo |f|∞ = sup0≤x≤l |f(x)|. A continuación, separaremos en (1.7) los térmi- nos ”lineales”, e. d. O(|Φ|), de los de orden superior o(|Φ|), despreciando és- tos últimos frente a los primeros. La ecuación resultante (1.9) es la aproxi- mación lineal a (1.7). Conviene recordar la notación u(x) = o(v(x)) (respec- tivamente u(x) = O(v(x)) cuando x → 0 si u(x)/v(x) → 0 (respectivamente |u(x)| ≤ M|v(x)|, M > 0) cuando x → 0. En primer lugar obsérvese que: xs = 1 + O(t2 ), xss = O(t2 ), o si se quiere, xs = 1 + O(|Φ|2 ), xss = O(|Φ|2 ). Por tanto, para t ∼ 0 la ecuación x = x(s, t) define s = s(x, t). Podemos considerar entonces v(x, t) = y(s(x, t), t) y resulta que: ys = vxxs yt = vxxt + vt ytt = vtt + vxxx2 t + 2vxtxt + vxxtt,
- 30. 22 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA que llevado a (1.7), y teniendo en cuenta que: ∂ ∂s ( T ys e + 1 ) = ∂ ∂s ( T xs e + 1 vx ) = ρxttvx + ∂ ∂s ( T ys e + 1 x2 s ) vxx, da lugar a ρvtt = ( T e + 1 x2 s − ρx2 t ) − 2ρxtvxt − ρF, que se puede escribir como: vtt = −F + T0 ρ vxx + 1 ρ ( T e + 1 x2 s − T0 − ρx2 t ) vxx − 2xtvxt, es decir, vtt = −F + T0 ρ(x) vxx− T0 ρ(s) ρ(s) − ρ(x) ρ(x) vxx + 1 ρ ( T e + 1 x2 s − T0 − ρx2 t ) vxx − 2xtvxt, En el segundo miembro de dicha ecuación, −F = O(1). Enseguida se ve que: T0 ρ(x) vxx = O(|Φ|), mientras que ( T e + 1 x2 s − T0 − ρx2 t ) vxx − 2ρxtvxt = o(|Φ|), (1.8) ya que, de hecho, tal cantidad es del orden de |Φ|2 , mientras que T0 ρ(s) ρ(s) − ρ(x) ρ(x) vxx = O(|Φ|3 ) cuando t, f y g son pequeños. En conclusión, vtt = T0 ρ(x) vxx − F, (1.9) es la aproximación lineal de (1.7). Comencemos estudiando los órdenes de magnitud de vxx y vxt. Se tiene, v(x, t) = y(s(x, t), t) vx = yssx, vxx = ysss2 x + yssxx vxt = yssstsx + ystsx + yssxt. De x = x(s(x, t), t) se tiene que 1 = xssx,
- 31. 1.5. LA ECUACIÓNDE ONDAS 23 0 = xsss2 x + xssxx, de donde sx = O(1), mientras que sxx = O(t2 ). Por tanto, vxx es del orden de ϕ, es decir vxx = O(|Φ|). Sin embargo, st = O(t), sxt = O(t) pues derivando con respecto a t la identidad 1 = xssx se llega a 0 = xssstsx + xstxs + xssxt y basta tener en cuenta que xst = O(t). Así vxt = O(t)(yss + ys) + O(|yst). Como yss +ys = f′′ +f′ +(g′′ +g′ )t+O(t2 ) = O(|Φ|), yst = g′ +O(t) = O(|Φ|), entonces vxt = O(|Φ|). Así, el término xtvxt en la ecuación, vtt = −F + T0 ρ(x) vxx− T0 ρ(s) ρ(s) − ρ(x) ρ(x) vxx + 1 ρ ( T e + 1 x2 s − T0 − ρx2 t ) vxx − 2xtvxt, (1.10) es despreciable frente a vxx. En cuanto al coeficiente de vxx en (1.8) (ver (1.10)) sabemos que ys = O(|Φ|). Luego, e = √ x2 s + y2 s − 1 = √ 1 + O(t2 + |Φ|2) − 1 = √ 1 + O(|Φ|2) − 1 = O(|Φ|2 ), pues √ 1 + u = 1 + O(u), xs = 1 + O(t2 ). Por otro lado, T (1 + e) = (T0 + O(e))(1 + O(e)) = T0 + O(e) = T0 + O(|Φ|2 ), mientras que ρx2 t = O(t2 ), por ello dicho coeficiente es de orden 2 en Φ, luego de orden 3 en Φ al multiplicar por vxx. También será entonces despreciable frente a vxx. En cuanto a ρ(s(x, t))−ρ(x), nótese que ρ(s(x, t))−ρ(x) = ρ′ (x+θ(s(x, t)− x))(s(x, t)−x), con 0 < θ < 1. Como s(x, t) = x+O(t2 ), ρ(s(x, t))−ρ(x) = O(t2 ). Al ser ρ > 0 en 0 ≤ s ≤ 0, tenemos que el tercer sumando en el segundo miembro de (4) es del orden de |Φ|3 y podemos despreciarlo frente a vxx. Resumiendo, (1.9) es la linealización de (1.10). Si volvemos a las condiciones iniciales, como s(x, 0) = x, mientras st(x, 0) = 0 resulta que v = v(x, t) satisface el problema de contorno y valor inicial: utt = c2 uxx − F(x, t) 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = u(l, t) = 0 t ≥ 0. (1.11) Hemos puesto c2 = T0/ρ(x), donde c se define como la velocidad de propa- gación de las perturbaciones. Las condiciones de contorno en (1.11) se llaman de tipo Dirichlet homogéneas. Otras posibles condiciones de contorno (de tipo Neumann): ux(0, t) = ux(l, t) = 0,
- 32. 24 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA o (de tipo Robin), −ux(0, t) + β1u(0, t) = ux(l, t) + β2u(l, t) = 0. Por otra parte, pueden considerarse problemas mixtos de contorno donde se alternan condiciones de diferente tipo en los extremos. También pueden consi- derarse condiciones de contorno no homogéneas, por ejemplo: u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), que en este caso (α y β datos) se llamarían de tipo Dirichlet no homogéneo. La ecuación (1.9) puede contener más términos, por ejemplo: vtt = T0 ρ vxx − bvt − F, (1.12) donde el término −bvt representa una fricción aerodinámica. Se conoce a (1.12) como la ecuación de las ondas “amortiguada” mientras que (1.9) es la ecuación de las ondas “forzada” o “perturbada” por F. 1.5.2. Ecuación de las ondas bidimensional Vamos a repetir la experiencia del caso unidimensional con una membrana elástica sujeta a un bastidor ∂Ω que es la frontera –regular, es decir una curva de clase Ck , k ≥ 1– de un dominio Ω del plano. La extensión directa del caso anterior sugeriría considerar los movimientos en la forma: x = x(s1, s2, t) y = y(s1, s2, t) z = z(s1, s2, t) (s1, s2) ∈ Ω, sin embargo, supondremos para simplificar que el movimiento es puramente vertical y así, supondremos que si inicialmente, la membrana M está en reposo bajo el efecto de una tensión constante T0, e. d., x ≡ s1, y ≡ s2, z ≡ 0, consideramos que x ≡ s1 y y ≡ s2 en los movimientos futuros, con lo que el perfil de la membrana se puede escribir como: u = u(x, y, t), (x, y) ∈ Ω. Cada trozo D de la membrana, D = D(t) = {z = u(x, y, t)/(x, y) ∈ D}, está sometido a la acción de fuerzas exteriores al sistema (gravedad, fricción aerodinámica) y a fuerzas interiores debidas a la variación de la tensión por elasticidad del material. La segunda ley de Newton establece las ecuaciones del movimiento en la forma: ¯p′ = FI i + FE i ,
- 33. 1.5. LA ECUACIÓNDE ONDAS 25 Figura 1.3: Balance de fuerzas en la membrana donde ¯p es el momento lineal de D que vale: ¯p = (∫ D ρ(x, y)xt dxdy, ∫ D ρ(x, y)yt dxdy, ∫ D ρ(x, y)ut dxdy ) , y donde admitiremos que las dos primeras componentes son cero. Contabiliza- mos la fuerza externa neta sobre D en la forma: ¯FE i = ( 0, 0, − ∫ ρ(x, y)F(x, y, t) dxdy ) , (de nuevo ρ > 0 en Ω representa la densidad de M). Para las fuerzas interiores introducimos la tasa (densidad) de deformación puntual: e = √ 1 + |∇u|2 − 1, a la que se llega por el mismo razonamiento que en el caso de la cuerda. Ahora, las fuerzas de tensión sobre D en un punto P actúan siguiendo la dirección de la normal unitaria exterior ¯ν a D que es además tangente a M en dicho punto. Para calcular ¯ν en P = (x0, y0, u(x0, y0)) suponemos que f y g son regulares en ∂D = {x = f(s), y = g(s)}1 ; tomamos el vector unitario tangente ¯τ = (f′ , g′ )/ √ f′2 + g′2 y la normal unitaria exterior a ∂D en el plano: ¯n = (g′ , −f′ )/ √ f′2 + g′2 , y entonces: ν(P) = 1 √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ (n1 + uτ uy, n2 − uτ ux, un) = 1 √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ (¯n + uτ (uy, −ux), un), donde uτ = ∇u · ¯τ, y un = ∇u · ¯n. Una vez establecida la dirección de la fuerza de tensión ¯T(P, t) en el punto P e instante t, es necesario observar que en elasticidad, el módulo T(P, t) de ¯T va a medir la magnitud de la tensión por unidad de longitud de arco dl en ∂D. 1Se supone que f, g recorren ∂D siguiendo las agujas del reloj.
- 34. 26 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA En otras palabras, para conocer la magnitud de la fuerza neta sobre un arco Γ de ∂D, basta con efectuar la integral de línea: ∫ Γ T(P, t) dl = ∫ b a T(P) √ f′2 + g′2 + |∇u · (f′, g′)|2 ds, en donde hemos parametrizado Γ en la forma {(f(s), g(s), u(f(s), g(s))|a < s < b}. De ahí, la resultante de las fuerzas internas sobre D será: FI i = ∫ ∂D ¯T(P) dl = (∫ ∂D T(P) ¯n + uτ (uy, −ux) √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ dl, ∫ ∂D T(P) un √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ dl ) , en donde, si M no sufre desplazamientos horizontales habrá de ser: (∫ ∂D T(P) ¯n + uτ (uy, −ux) √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ dl ) = 0. Falta pues definir la relación que liga la tensión T(P) con la deformación e. Como antes (Ley de Hooke), admitiremos que: T(P) = T (e, P) = T0 + O(e). Podemos ya escribir las ecuaciones del movimiento que establecen: ¯p′ = FE i + FI i , es decir, (∫ Ω ρxtt dxdy, ∫ Ω ρytt dxdy, ∫ Ω ρztt dxdy ) = ( 0, 0, − ∫ Ω F(x, y, t) dxdy ) + (∫ ∂Ω T(P) ¯n + uτ (uy, −ux) √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ dl, ∫ ∂Ω T(P) un √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ dl ) . (1) Ahora pasamos al capítulo de linealizaciones. Vamos a suponer que a lo largo del movimiento los desplazamientos son lo suficientemente pequeños como para que lo sean u y ∇u (en estado de reposo u ≡ 0) 2 . En este caso: √ f′2 + g′2 + |∇u · (f′, g′)|2 = √ f′2 + g′2 + O(|∇u|2 ) e = O(|∇u|2 ), T(P) = T (e, P) = T0 + O(|∇u|2 ) 1 √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ = 1 + O(|∇u|2 ), un √ 1 + |∇u|2 √ 1 + u2 τ = un + O(|∇u|3 ), 2Este es el tipo de argumento que se usa en la ecuación del péndulo θ′′ = −k sen θ donde se hace la aproximación sen θ ∼ θ cuando la amplitud de la oscilación es pequeña.
- 35. 1.5. LA ECUACIÓNDE ONDAS 27 mientras que uτ (uy, −ux) = O(|∇u|2 ). Despreciando en (1) los términos de orden superior a u y |∇u| llegamos a las identidades: (∫ ∂Ω T0¯n dl ) = 0, que es compatible con el hecho de que xtt = ytt = 0 en Ω, y: ∫ Ω ρutt dxdy = − ∫ Ω ρF(x, y, t) dxdy + ∫ ∂Ω T0un dl. (2) Por el teorema de la divergencia: ∫ ∂Ω T0un dl = ∫ Ω T0div (∇u) dxdy. Llegamos así a la relación: ∫ Ω ρutt − T0∆u + ρF dxdy = 0, que es la versión integral de la ecuación que deseamos obtener. El mismo argumento nos conduce a la ecuación: ∫ D ρutt − T0∆u + ρF dxdy = 0, (3) siendo D cualquier subdominio regular pequeño (por ejemplo un rectángulo) contenido en Ω. Por tanto, la función u(x, y, t) es la solución del problema de contorno y valor inicial: utt = T0 ρ ∆u − F (x, y) ∈ Ω u(x, y, 0) = φ(x, y) (x, y) ∈ Ω ut(x, y, 0) = ψ(x, y) ∈ Ω u(x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω. (P) Se conoce a (P) como un problema de contorno de tipo Dirichlet homogéneo. Como en el caso unidimensional pueden considerarse otro tipo de condiciones de contorno como la de tipo Neumann: ∂u ∂¯n (x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω, o Robin: ∂u ∂¯n (x, y, t) + βu(x, y, t)u = 0 (x, y) ∈ ∂Ω, en donde ¯n es la normal unitaria exterior a ∂Ω y β es una función continua y positiva. Todas las condiciones pueden considerarse en versión no homogénea, por ejemplo: ∂u ∂¯n (x, y, t) + βu(x, y, t)u = α(x, y, t) (x, y) ∈ ∂Ω,
- 36. 28 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA en la que α es un dato. La ecuación de las ondas puede contener otros téminos en el segundo miembro, por ejemplo: utt = T0 ρ ∆u − but − F, que se llama ecuación de las ondas amortiguada. De nuevo el término T0/ρ se designa por c2 y a c se la denomina velocidad de propagación. 1.6. La Ecuación del Calor 1.7. La ecuación del calor unidimensional Las siguientes consideraciones tienen por objeto describir cómo se alcanza el equilibrio térmico en los sólidos y cómo se transporta el calor de unas zonas a otras del mismo, bajo ciertas condiciones razonables 3 . De una manera completamente informal podemos decir que la temperatura u de un sólido es una medida del estado de movimiento de sus moléculas, evaluado a través de la energía cinética promedio de las mismas. Es por tanto una energía a la que se puede asignar una escala de medidas (usando bien unidades típicas de trabajo, o bien el grado centígrado). Dos sólidos distintos en contacto o bien dos zonas de un mismo sólido a distinta temperatura intercambian “calor” Q. Más precisamente. Al ponerse en contacto, el que posee un estado de movimiento más agitado en sus moléculas (más caliente), transmite parcialmente dicho estado de movimiento (energía cinética) al de menor grado (más frío), hasta alcanzar finalmente un estado de equilibrio. Sin embargo, la cantidad de energía liberada por el de temperatura más alta no coincide con la diferencia de temperaturas. La tal energía liberada (por definición el incremento de calor ∆Q) es proporcional al incremento de temperatura: ∆Q = m c ∆u = ρ c v∆u, donde m es la masa, ρ la densidad, v el volumen y c es el calor específico, que es la cantidad de calor –característica de cada substancia– necesaria para elevar la temperatura de una unidad de masa en un grado. Es decir, la misma cantidad de masa de substancias distintas “liberan” distinta cantidad de energía cuando su temperatura “baja” un grado. En otras palabras, si se comunica una cantidad de calor Q (= energía) a un sólido, sólo una fracción de dicha energía pasa a incrementar el valor neto de la energía cinética de las moléculas (= incremento de temperatura). Una propiedad fundamental de la energía calorífica es que ésta se transporta por difusión. Genéricamente, si se calienta un sólido en una zona, el calor se desplaza con una cierta velocidad de zonas de alta temperatura a zonas de baja 3cf. Landau, Ajiezer, Lifshitz, “Curso de Física General, Mecánica y Física Molecular”, Editorial Mir, Moscú (1984).
- 37. 1.7. LA ECUACIÓNDEL CALOR UNIDIMENSIONAL 29 Figura 1.4: Experimento fundamental temperatura. Eso se pone de manifiesto, por ejemplo, con el siguiente experi- mento. Consideramos el sistema abierto formado por una placa de un cierto material homogéneo, delimitada por dos planos paralelos separados una distan- cia l considerablemente menor que la superficie de las placas, que así, pueden considerarse infinitas. La tapa superior se mantiene a una temperatura u0 mien- tras que la inferior se mantiene a una temperatura u1 < u0 (por eso el sistema se dice abierto). Si u0 −u1 no es muy grande se observa al cabo de cierto tiempo –el suficiente para que el sistema alcance el equilibrio– que la energía calorífica “fluye” hacia abajo a razón de: Φ = k u0 − u1 l unidades de energía por unidad de tiempo y unidad de área. La magnitud Φ se llama flujo calorífico y k el coeficiente de conductividad que depende de cada material. Si A designa el área de una sección paralela a las caras exteriores, la cantidad de calor que atraviesa A por unidad de tiempo es: Φ A = k u0 − u1 l A. Así mismo, la temperatura a lo largo de la sección toma el perfil: u(x) = u0 + ((u1 − u0)/l) x, por lo que la ley para el flujo se puede escribir en la forma: Φ = −kux. En el experimento anterior hemos esperado una cantidad de tiempo suficiente como para que se “estabilice” la temperatura de todas las secciones de la placa. Si en las mismas condiciones, suponemos que el sistema no ha alcanzado el equilibrio, e. d. no ha transcurrido un tiempo característico, podemos formular todavía una ley para el flujo. Para ello razonamos como sigue (las alturas se miden en sentido decreciente). Tomamos dos secciones de alturas x0, x0 + h, con h pequeño como para que u(x0 +h) ∼ u(x0). En este caso, el flujo calorífico en la sección x0 y el instante t vendrá dado por: Φ(x0, t) = −k u(x0 + h, t) − u(x0, t) h ∼ −k ∂u ∂x (x0, t).
- 38. 30 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA Figura 1.5: Flujo estacionario Obsérvese que al no haber alcanzado el sistema el estado de equilibrio la tem- peratura depende del tiempo. Hemos deducido así lo que se conoce como ley de Fourier. A saber: en un cuerpo en el que el calor fluye únicamente en una dirección y en el que las variaciones de temperatura u(x, t) (temperatura en un instante t y en una sección x0) no son muy altas la cantidad de calor que atraviesa la unidad de área transversal por unidad de tiempo viene dada por: Φ(x0, t) = −k ∂u ∂x (x0, t). (1) En términos físicos, la magnitud que designa cómo varía otra magnitud por unidad de área transversal a una superficie S y por unidad de tiempo, se llama flujo de esa magnitud (aquí Φ es el flujo de calor y la identidad (1) es la ley de Fourier). La ley de Fourier nos lleva a la ecuación que satisface la temperatura u(x, t) antes de alcanzar el estado de equilibrio. La ecuación es consecuencia de la ley de conservación de la energía. En efecto, consideremos dos secciones suficientemente próximas x0 y x1. La variación de calor por unidad de tiempo en dicho intervalo viene dada por: A ∫ x1 x0 ρc ∂u ∂t dx, en donde A mide el área transversal de una tal sección del sólido. Como el único mecanismo por el que hay variaciones de calor en la sección es –de momento– el transporte por difusión, tal variación de la energía se debe únicamente al calor que ha salido o entrado a través de las paredes x = x0, x1. Sea A(t0, h) la cantidad de calor que ha entrado en la sección durante el intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + h mientras que B(t0, h) se define como la cantidad de calor que ha abandonado la sección entre dichos instantes. Así mismo, sea Q(t) la cantidad de calor acumulada en la sección en el instante t. Evidentemente se tiene: Q(t0 + h) − Q(t0) = A(t0, h) − B(t0, h).
- 39. 1.7. LA ECUACIÓNDEL CALOR UNIDIMENSIONAL 31 Figura 1.6: Diversos perfiles unidimensionales Por tanto, la variación de energía por unidad de tiempo en el intervalo también se puede calcular en la forma: dQ dt = l´ım h→0 Q(t0 + h) − Q(t0) h = l´ım h→0 A(t0, h) h − l´ım h→0 B(t0, h) h = ˙A(t0) − ˙B(t0). (2) Para hacerse una idea del balance (2), es conveniente observar la siguiente figura y notar que: ˙A = −kux(x1, t0)A, ˙B = −kux(x2, t0)A en (a) ˙A = −kux(x2, t0)A, ˙B = kux(x1, t0)A en (b) ˙A = −kux(x1, t0)A + kux(x2, t0)A, ˙B = 0 en (c) ˙A = 0, ˙B = −kux(x2, t0)A + kux(x1, t0)A en (d). Nótese que en todos los casos: ˙A(t0) − ˙B(t0) = { −ku(x0, t0) + kux(x1, t0) } A. De la ley de conservación de la energía se tiene entonces que: ∫ x2 x1 ρcut(x, t) dt = kux x2 x1 , de donde: ρcut = kuxx, (3)
- 40. 32 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA que es la ecuación del calor (o de difusión) unidimensional. Hemos llegado así a la conclusión de que la evolución de la temperatura u(x, t) en un sólido en el que el calor se propaga en una dirección x, cuyos extremos se encuentran a temperaturas u0, u1 se describe mediante el problema de valor inicial y de contorno: ρcut = uxx, t > 0, 0 < x < l u(x, 0) = φ(x), 0 < x < l u(0, t) = u0, u(l, t) = u1, t > 0. Se pueden considerar otro tipo de condiciones. Por ejemplo, la de aislamiento térmico (condiciones de Neumann): ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t > 0. También las de enfriamiento con el medio a través de las paredes (ley de Newton, condiciones de Robin): ux(0, t) = ν(u(0, t) − T0), ux(l, t) = −ν(u(l, t) − T0), donde ν > 0 y T0 es la temperatura del medio. Por otra parte, (3) puede incluir otros términos. Si por ejemplo f(x, t) desig- na una densidad de producción de calor dentro del sólido –hay un “calentador” en su interior– por unidad de masa y unidad de tiempo, entonces (3) se convierte en: cut = k ρ uxx + f(x, t). En este modelo los términos producción (f > 0) y consumo (f < 0) se pueden intercambiar, dando lugar a la misma ecuación. 1.7.1. La ecuación del calor n-dimensional Consideremos ahora un sólido Ω encerrado por una superficie regular ∂Ω constituido por un material que en todas las direcciones goza de las mismas propiedades de conductividad (isótropo). Queremos hacer el siguiente experi- mento. Inicialmente el cuerpo ha acumulado calor no homogéneamente, e. d. hay zonas más calientes que otras. Dentro de Ω consideramos una superficie regular S y queremos estudiar cómo es el flujo de calor de una parte a otra de la superficie (si la zona de un lado está más caliente que la del otro, habrá trasvase de calor ΦS de un lado a otro de la superficie). Para ello orientamos S con uno de sus campos unitarios normales ν = ν(P), P ∈ S. Nos fijamos en un punto P0 ∈ S y consideramos un trozo pequeño S0 de superficie que rodee a P0, tan pequeño que se pueda aproximar bien por un trozo homólogo π0 del plano tangente π, (x − P0)ν(P0) = 0, a S en P0. De momento nos conformamos con estudiar el flujo calorífico a través de π0. Para ello, estudiamos la evolución de la temperatura sobre un pequeño segmento de la recta normal x = P0 + ξν, |ξ| < ε. Si U(ξ, t) = u(P0 + ξν, t) representa la temperatura en el segmento. Este problema es esencialmente unidimensional,
- 41. 1.7. LA ECUACIÓNDEL CALOR UNIDIMENSIONAL 33 Figura 1.7: Flujo en un elemento de superficie Figura 1.8: Sección unidimensional de la temperatura si estamos en las proximidades de P0. La ley de Fourier unidimensional predice que la cantidad de calor que pasa a través de π0 en la dirección de ν por unidad de tiempo, e. d. el flujo calorífico a través de π0, Φ(P0, π0), viene dado por: Φ(P0, π0, ν) = −k ∂U ∂ξ |t=0 área(π0) = −k∇u(P0) · ν área(π0) = −k ∂u ∂ν (P0) área(π0). Como S0 ∼ π0 y área(S0) := dS ∼ área(π0) (dS es el elemento de área de la superficie S), podemos aproximar el flujo a través de S0 en la dirección de ν como: Φ(S0, ν) = −k ∂u ∂ν (P0) dS. El flujo en S0 se globaliza a toda la superficie S de la manera obvia: Φ(S, ν) = −k ∫ S ∂u ∂ν dS. (4) La identidad (4) sugiere una versión vectorial Φ del flujo de temperatura en el siguiente sentido. Definimos el campo de flujo calorífico Φ (abreviado el flujo)
- 42. 34 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA como aquél que permite calcular el flujo a través de S en la dirección ν, Φ(S, ν), en la forma: Φ(S, ν) = ∫ S Φ · ν dS. Hemos llegado así a le versión n dimensional de la ley de Fourier que establece que el vector flujo Φ se expresa: Φ = −k∇u. (5) Para hallar la versión n dimensional de la ecuación del calor (3) razonamos usando el argumento del caso unidimensional. Sea B una pequeña bola en Ω, de frontera ∂B. Por un lado, la variación de calor por unidad de tiempo en B se expresa como: ∫ B ρcut dx. Por otro lado, la variación de calor por unidad de tiempo ˙Q(t0) se vuelve a expresar (ver notación anterior) como: ˙Q = ˙A − ˙B. Para hacernos una idea de cómo son ˙A y ˙B consideramos ∂B− = {x ∈ ∂B|∇u · ν < 0} y ∂B+ = {x ∈ ∂B|∇u · ν > 0}, siendo ν el campo unitario exterior a ∂B. Entonces, ˙A es como antes, la cantidad de calor que entra en B por unidad de tiempo (en t0) mientras que ˙B es la correspondiente cantidad de calor que sale de B por unidad de tiempo en t = t0. Se tienen entonces las relaciones: ˙A = ∫ ∂B+ k∇u · ν dS, ˙B = ∫ ∂B− −k∇u · ν dS. De donde, ˙A − ˙B = ∫ B k ∂u ∂ν dS. De la ley de conservación de la energía tenemos entonces que: ∫ B ρcut dx = ∫ B k ∂u ∂ν dS, que por el teorema de la divergencia –o directamente suponiendo que B es un pequeño cubo en Ω– se transforma en: ∫ B ρcut dx = ∫ B k∆u dx, y siendo B una bola arbitrariamente pequeña llegamos a: cρut = k∆u x ∈ Ω, t > 0.
- 43. 1.7. LA ECUACIÓNDEL CALOR UNIDIMENSIONAL 35 Si el sólido estaba inicialmente a una temperatura φ(x) y las paredes se mantie- nen, por ejemplo a cero grados (condiciones de Dirichlet homogéneas) conclui- mos que el comportamiento de la temperatura en Ω a lo largo del tiempo sigue la solución del problema de contorno y valor inicial: ρcut = ∆u, t > 0, x ∈ Ω u(x, 0) = φ(x), x ∈ Ω u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0. La condición de contorno se puede sustituir por otra de aislamiento térmico (condición de contorno de tipo Neumann): ∂u ∂n = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, o bien por una condición de intercambio con el medio (condición de Robin): ∂u ∂n = −τu, x ∈ ∂Ω, t > 0, en la que hemos supuesto que la temperatura exterior a Ω es de cero grados y τ es el coeficiente de transferencia. 1.7.2. Difusión Cuando una substancia soluble en un fluido se deposita en una cierta zona de éste (el fluido se considera en reposo y localizado en un dominio Ω ⊂ Rn ) se observa que la substancia difunde y es transportada de zonas de alta a baja concentración. Si u(x, t) representa la concentración (masa por unidad de vo- lumen) se observa experimentalmente que el (vector) flujo de masa viene dado por: Φ = −D∇u, (1) en donde D se llama el coeficiente de difusión. En otras palabras, si S es un trozo de superficie regular en Ω con campo unitario normal ν se tiene que la integral de superficie: ∫ S −D ∂u ∂ν dS, proporciona la cantidad de masa que es transportada a través de S por unidad de tiempo, en la dirección del campo ν. La relación (1), equivalente a la ley de Fourier, se conoce en como la ley de Fick. Argumentando de la misma manera (invocando ahora el principio de conservación de la masa) se obtiene que la concentración u = u(x, t) satisface: ut = D∆u, x ∈ Ω, t > 0, (2) que se conoce como ecuación de difusión. Como en el caso de la ecuación del calor, las soluciones de (2) se determinan con la ayuda de condiciones iniciales y de contorno sobre ∂Ω, idénticas a las de dicha ecuación.
- 44. 36 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA 1.8. Ejercicios 1. Decídase cuál de los siguientes operadores son lineales: a) Lu = ux + xuy b) Lu = ux + uuy c) Lu = ux + u2 y d) Lu = ux + uy + 1 f) Lu = √ 1 + x2(cos y)ux + uyxy − arctag(y/x)u. 2. Se considera el operador lineal L, con coeficientes aα(x) definidos en un dominio Ω ⊂ Rn : Lu = ∑ |α|≤m aα(x)∂α u, u ∈ Cm (Ω). Asociadas a L se consideran las ecuaciones homogéneas: Lu = 0, (H) y no homogénea: Lu = f(x). (C) Pruébese que el conjunto Sh de soluciones de (H) forma un espacio vecto- rial, mientras que el de (C), Sc, es un espacio afín. 3. Para n = 1, es decir, u = u(x) con x ∈ R, hállese la dimensión del espacio de soluciones de: u′′′ − 3u′′ + 4u = 0. 4. Si ahora n = 2, e. d., u = u(x, y), ¿Es finito-dimensional el espacio de soluciones Sh = {u ∈ C2 (R2 )/Lu = 0} si la ecuación 4 es: uxx + u = 0? 5. Prúebese que u(x, y) = f(x)g(y) es solución de la e.d.p. uuxy = uxuy, cualesquiera que sean f, g ∈ C1 (R). 6. Prúebese que para cada n > 0: un(x, y) = sen nx senh ny es una solución de uxx + uyy = 0. ¿Es finita la dimensión del espacio de soluciones de la ecuación de Laplace? 4La misma cuestión para la ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es menos inmediata, pero la respuesta está implícita en el problema 6.
- 45. 1.8. EJERCICIOS 37 7.Hállense las soluciones de las siguientes ecuaciones, en cada caso, sometidas a las condiciones dadas. a) 3uy + uxy = 0. b) (1 + x2 )ux + uy = 0. c) yux + xuy = 0 junto con u(0, y) = e−y2 . d) aux + buy + cu = 0. e) ux + uy + u = ex+2y junto con u(x, 0) = 0. 8. Hállese la solución general de la ecuación aux + buy = f(x, y), donde f(x, y) es una función continua arbitraria, escribiendo la solución en la forma: u(x, y) = (a2 + b2 )− 1 2 ∫ L f ds + g(bx − ay), donde g es una función C1 arbitraria, L es el arco de característica del eje y al punto (x, y), y la integral es una integral de línea. 9. Resuélvase, mediante el método del cambio de coordenadas la ecuación: ux + 2uy + (2x − y)u = 2x2 + 3xy − 2y2 . 10. Un fluido unidimensional con velocidad u = u(x, t) (u de clase C1 en R2 ) transporta una cierta substancia en la dirección x cuya concentración viene dada por la función ρ = ρ(x, t), (ρ también C1 ) sin que intervenga otro fenómeno en dicho transporte. Demuéstrese que satisface la ecuación: (ρu)x + ρt = 0, ecuación de continuidad. Nota. Un resultado análogo se tiene en n dimensiones (problema 15). Sin embargo, debe ser preparado convenientemente. 11. Se considera el campo de velocidades de un fluido- u = u(x, t), u : Rn × R → Rn , de clase C1 . Para t0, y cada y ∈ Rn , el problema de Cauchy: { x′ = u(x, t) x(t0) = y, admite una única solución que escribimos: x = x(t, y) (Teorema de Picard- Lindelöff). Además x = x(t, y) es también de clase C1 en (t, y). Escríbase: Φ(t) = ∂x ∂y (t, y) (donde y ∈ Rn se mantiene fijo).
- 46. 38 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA 12. Pruébese que Φ(t) es una matriz fundamental de la ecuación: z′ = A(t)z, donde A(t) = ∂u ∂x (x(t, y), t). Es decir, que Φ′ (t) = A(t)Φ(t), mientras que Φ(t0) = I. 13. Utilícese el teorema de Jacobi 5 para concluir que: detΦ(t) = detΦ(t0) exp {∫ t t0 div u(x(s, y), s) ds } . 14. Sea Ω un dominio acotado de Rn . Si t es suficientemente pequeño, se puede definir: Ωt = {x(t, y)/y ∈ Ω}. Consideremos ahora una función C1 , ρ = ρ(x, t). Hállese la derivada, con respecto a t de la función M = M(t), dada por: M(t) = ∫ Ωt ρ(x, t) dx. Nota. Cuando ρ es una densidad de masa y u es la velocidad de un fluido, M(t) describe la variación, por unidad de tiempo, de la masa que en t = t0 estaba localizada en el dominio Ω. 15. Consideramos el movimiento de un fluido n-dimensional cuyas párticulas fluidas describen las trayectorias de x′ = u(x, t) (u : Rn ×R → Rn de clase C1 el campo de velocidades). Como en 10 suponemos que la concentración ρ = ρ(x, t), ρ : Rn × R → R es C1 . Demuéstrese que la ecuación de continuidad tiene la forma: div(ρu) + ρt = 0. La misma situación que en el 10 pero ahora 16. El movimiento ondulatorio (p.e. sonido) en un medio unidimensional (p. e. un gas o un fluido) con viscosidad despreciable se describe mediante el campo de velocidades u(x, t), la densidad ρ = ρ(x, t) o la presión p(x, t) (generalmente hay una ley de estado que liga presión y densidad), bajo las ecuaciones: { ρux + uρx + ρt = 0, 0 < x < l ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l, donde F(x, t) mide una fuerza dada por unidad de masa que actua sobre el fluido. Hállense la velocidad u(x), presión p(x) y densidad ρ(x) de equi- librio (e. d., no dependientes de t) siempre que F = −g, p = αργ (α > 0, γ > 1) y u(0, t) = 0, p(l, t) = p0. 5Sea x′ = A(t)x una ecuación lineal donde la matriz A(t) es continua y sea Φ(t) una matriz fundamental de la ecuación. Si se pone ξ(t) = det Φ(t) entonces ξ(t) satisface a su vez la ecuación lineal ξ′ = traza A(t) ξ.
- 47. 1.8. EJERCICIOS 39 17.Se considera la ecuación de orden k = β1 + β2 (n = 2): ∂β1 1 ∂β2 2 u(x, y) = 0, (x, y) ∈ R2 . Defínase adecuadamente un problema de tipo Goursat para dicha ecua- ción con β1 datos funcionales en el eje Ox y β2 datos funcionales en el eje Oy. Prúebese el correspondiente teorema de existencia y unicidad de soluciones. 18. Estúdiese la existencia y unicidad de soluciones de los problemas: uxy = 0 ux(x, 0) = f(x) uy(0, y) = g(y), uxy = 0 u(x, 0) = f(x) u(0, y) = g(y), siendo f y g adecuadamente regulares, y satisfaciéndose la condición de compatibilidad: f(0) = g(0). 19. Hállense las soluciones generales de los problemas: uxy = F(x, y) ux(x, 0) = f(x) u(0, y) = g(y), (P1) uxy = F(x, y) ux(x, 0) = f(x) uy(0, y) = g(y), (P2) uxy = F(x, y) u(x, 0) = f(x) u(0, y) = g(y), (P3) siendo F ∈ C(R2 ), f, g adecuadamente regulares y f(0) = g(0) en los casos (P2 y (P3). 20. Para F(x, y) continua en R2 , hállese la solución del problema uxy = −F(x, y) u(x, x) = 0 ux(x, x) = uy(x, x). 21. Sea J0(z) la solución regular (cerca del origen) de la ecuación de Bessel de orden cero: z2 d2 u dz2 + z du dz + z2 u = 0, que satisface: u(0) = 1. Defínase: v0(x, y) = J0(i2 √ xy) i2 = −1.
- 48. 40 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA a) Demuéstrese que u = v0(x, y) es una solución de la ecuación de Helmholtz compleja: uxy − u = 0. b) Para φ(t) y ψ(t) contínuas en R, determinar qué ecuaciones satisfacen las funciones: v1(x, y) = ∫ x 0 φ(t)v0(x − t, y) dt, v2(x, y) = ∫ y 0 ψ(t)v0(x, y − t) dt. c) Dése por conocido el hecho de que para toda f ∈ C1 y toda g ∈ C2 el problema: uxy = u ux(x, 0) = f(x) u(0, y) = g(y), admite una única solución C2 . Pruébese entonces que la solución general de la ecuación de Helmholzt compleja tiene la forma: u(x, y) = ∫ x 0 φ(t)v0(x − t, y) dt + ∫ y 0 ψ(t)v0(x, y − t) dt + Cv0(x, y), donde C es una cierta constante que debe ser identificada. 22. Desígnense por x = x(s, t), y = y(s, t) (x e y funciones de clase C2 ), 0 ≤ s ≤ l, t ≥ 0 las ecuaciones paramétricas de una cuerda elástica que se mantiene sujeta en los extremos (x, y) = (0, 0) y (x, y) = (l, 0) y que en condiciones de equilibrio – e. d. no sometida a fuerzas exteriores– satisface x(s, t) = s, y(s, t) ≡ 0 estando sometida a una tensión en cada punto igual a T0. Se supondrá que en todo instante la densidad de masa de la cuerda viene dada por la función continua ρ = ρ(s), que su movimiento sólo tiene lugar en el plano x, y, estando sometida a una densidad de fuerzas vertical (en el sentido de (0, −1)) F(x, t). La hipótesis de elasticidad se entenderá en el sentido de que la tensión ¯T(s, t) actúa tangencialmente y el módulo T(s, t) satisface la relación: T(s, t) = T (e, s) = T0 + ∂T ∂e (0, s)e + O(e2 ), donde T = T (e, s) es C2 y e = √ x2 s + y2 s −1 es la tasa de deformación local por unidad de longitud. Demuéstrese que las ecuaciones del movimiento vienen dadas por: ∂ ∂s ( T e+1 ∂x ∂s ) = ρxtt ∂ ∂s ( T e+1 ∂y ∂s ) = ρytt − ρF(x, t),
- 49. 1.8. EJERCICIOS 41 juntocon las condiciones de contorno: x(0, t) = x(l, t) = y(0, t) = y(l, t) = 0, para cada t ≥ 0. Se supondrá siempre que las condiciones iniciales para x(t, s) son x(s, 0) = s, xt(s, 0) = 0, 0 ≤ l ≤ l, mientras que las de y(s, t) son y(s, 0) = f(s), xt(s, 0) = g(s), 0 ≤ l ≤ l, donde f es C1 y g es C2 . Véase el Cap. I del libro de Weinberger. 23. Vamos a considerar ahora un camino alternativo para linealizar las ecua- ciones del ejercicio anterior, bajo las mismas hipótesis sobre la tensión de la cuerda. La idea es imaginar el proceso como una pequeña perturba- ción (de orden ε) de la situación de equilibrio. Vamos a considerar que la fuerza F y las condiciones iniciales dependen de ε en la forma siguien- te: F(x, t, ε) = εG(x, t), x(s, 0, ε) = s, xt(s, 0, ε) = 0, y(s, 0, ε) = f(s)ε, yt(s, 0, ε) = g(s)ε, manteniendo, para todo valor de ε las condiciones de contorno del problema anterior. Tenemos así una familia parametrizada de movimientos, x = x(s, t, ε), y = y(s, t, ε) que para ε = 0 debe ser: x = s, y = 0. Uno debe tener -suponiendo regularidad por doquier- que: x(s, t, ε) = s + x1(s, t)ε + O(ε2 ), y(s, t, ε) = y1(s, t)ε + O(ε2 ). Pruébese entonces que y1(s, t) satisface la ecuación de las ondas: y1tt = T0 ρ y1xx − ρG(s, t). 24. Consideremos las ecuaciones de la propagación de perturbaciones en un gas compresible (Ejercicio 16): { (ρu)x + ρt = 0, 0 < x < l, ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l. (1) Vamos a linealizar las ecuaciones (1) imitando el camino del ejercicio an- terior. Para ello supondremos que p = p(ρ) es una función regular (C1 ) de ρ, que F = F(x, t, ε) es una función regular en ε de la forma F = ε G(x, t) con G continua y que las funciones incógnita u y ρ son funciones regulares de un pequeño parámetro ε (de clase C1 ), e. d. u = u(x, t, ε), ρ = ρ(x, t, ε) que satisfacen u(x, t, 0) = 0, ρ(x, t, 0) = ρ0 > 0. En otras palabras, esta- mos suponiendo que el régimen del gas es una pequeña perturbación de la situación de equilibrio ρ = ρ0, u = 0 en la que no hay fuerzas exteriores (F = 0 para ε = 0). Demuéstrese que las funciones u1 = ∂u ∂ε (x, t, 0) y ρ1 = ∂ρ ∂ε (x, t, 0) verifican sendas ecuaciones de ondas, a determinar.
- 50. 42 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA 25. Consideremos una cadena flexible u = u(s, t), x = x(s, t), 0 ≤ s ≤ l que pende verticalmente del punto (0, 0) sometida a la fuerza de gravedad y que se mueve horizontalmente -en el sentido del eje u- debido a los efectos de la tensión. Supondremos que en cada punto, la fuerza de tensión -que actúa tangencialmente- nivela –e. .d, es igual– al peso de la cuerda de ese punto hacia abajo. Hállense las ecuaciones del movimiento. 26. Una cable –ahora inextensible– pende de dos puntos situados a la misma altura y se halla en reposo (formando una figura característica parecida a una parábola). Se supone que la tensión del cable en cada punto siem- pre actúa tangencialmente. Si ρ(s) (s la longitud de arco) es la densidad lineal del cable y τ0 la tensión en el punto más bajo, hállese la ecuación diferencial (ahora ordinaria) que satisface la curva que lo describe. Hállese explícitamente si ρ es constante (la curva resultante se llama Catenaria). 27. Hállense las posibles soluciones estacionarias (i. e. no dependientes de t) de la ecuación de las ondas: vtt = T0 ρ(x) vxx − F(x), 0 < x < l, bajo condiciones de Dirichlet homogéneas: u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0, y bajo condiciones de Neumann homogéneas: ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t ≥ 0. 28. Sea Ω = (a, b) × (c, d) y u ∈ C2 (¯Ω). Demostrar que, ∫ ∂Ω T0 un ds = ∫ Ω T0∆u dx, donde T0 es constante y un representa la derivada normal exterior en ∂Ω (ds denota el elemento de longitud de arco). Pruébese también que si γ es una curva cerrada y C1 , siendo ¯n un campo unitario normal a γ, entonces ∫ γ T0 ¯n ds = 0. 29. Una versión tridimensional de las ecuaciones del Ejercicio 16 resulta ser: { ∂ρ ∂t + div (ρu) = 0, ρ (∂u ∂t + ∂u ∂¯x u ) + ∇p = ρF(¯x, t), en donde ahora ¯x = (x, y, z), u = u(x, t) es un campo C2 en R3 , p = p(¯x) es la presión que como allí es una función regular de la densidad p = p(ρ)
- 51. 1.8. EJERCICIOS 43 endonde F = F(¯x, t) es un campo C1 de fuerzas con valores en R3 . El sistema de ecuaciones describe las perturbaciones en un gas tridimensional (p.e. la propagación del sonido en el aire) y, suponiendo que u, ∂u ∂¯x y ρ−ρ0 son pequeños en módulo una versión linealizada de las ecuaciones tiene la forma: {∂ρ ∂t + ρ0div u = 0, ∂u ∂t + c2 0 ρ0 ∇ρ = 0, donde escribimos c2 0 = p′ (ρ0) y suponemos por simplicidad que F = 0. Demuéstrese que si rot u = 0 en t = 0 entonces rot u(¯x, t) = 0 para todo t ≥ 0. Demuéstrese además que el campo u y la densidad ρ satisfacen la ecuación de las ondas: { ∂2 u ∂t2 = c2 0∆u, ∂2 ρ ∂t2 = c2 0∆ρ. 30. (Concepto de Flujo). Sea u = u(x, t) un campo C1 en Rn , S una superficie simple y S1, ¯S1 compacta, una porción de S transversal a u, e. d., u(x, t) · ν(x) ̸= 0, ∀t ≥ 0, x ∈ S1. Para normalizar supongamos que u · ν > 0 (se recuerda que ν designa el campo normal a S1). Fijado t0 y t > t0, “convenientemente” próximo a t0 definimos V (t) el “volumen” ocupado por las partículas que han cruzado a través de S1 -en el sentido de u- entre los instantes t0 y t, e. d. el volumen de fluido que ha penetrado por S1 entre esos instantes, siguiendo el campo de velocidades x′ = u(x, t). Prúebese que: d dt V (t)|t=t0 = ∫ S1 u · ν dσ. (1) Se conoce a (1) como el flujo de volumen a través de S1 en t = t0. 31. En las condiciones del Ejercicio 30 sea A una cierta substancia que es transportada por u(x, t) y que tiene por concentración c = c(x, t), c(x, t) continua. Hállese la cantidad de masa de A que atraviesa S1 por unidad de tiempo en t = t0. Prúebese que dicha cantidad vale (flujo de masa a través de S1) ∫ S1 c(x, t)u · ν dσ. 32. Un fenónmeno análogo al del transporte de calor por difusión es el del transporte de masa, también por difusión, de una cierta substancia A. Cuando una concentración inicial c0(x) (i.e. masa por unidad de volu- men) de la misma se deposita en un fluido (disolvente) en reposo, ésta es transportada -por efectos de la dinámica molecular del fluido- por difusión siguiendo la ley de Fick (que es completamente análoga a la de Fourier). Esto significa físicamente que la substancia es transportada desde zonas de
- 52. 44 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA alta concentración hacia zonas de baja concentración. Es decir, si tenemos una porción compacta S1 de una superficie simple S, la cantidad de masa transportada (¡aunque el fluido esté en reposo!) a través de S1 siguiendo su campo normal ν(x) y por unidad de tiempo vendrá dada por: ΦS1 = − ∫ S1 d ∂c ∂ν . (1) ΦS1 es el flujo de masa a través de S1 debido a la difusión. d es el coeficiente de difusión. Otra forma de expresar la ley de Fick es decir que el vector “flujo de masa” Φ en cada punto x es: Φ(x) = −d∇c(x, t), donde c = c(x, t) representa la concentración de A como función de la posición espacial y el tiempo. 33. Si el fluido ocupa una región del espacio Ω y el único mecanismo que inter- viene en el transporte de masa es la difusión (fluido en reposo), pruébese que c satisface la ecuación del calor: ∂c ∂t = d∆c. 34. Supongamos ahora que el fluido está en movimiento en Ω, bajo un campo de velocidades u(x, t). Así la substancia A es transportada, además de por difusión, por el arrastre u(x, t) a que la somete el fluido. Pruébese que ahora la concentración c satisface: ∂c ∂t = div (d∇c) − div (cu). (Véase el Ejercicio 10). 35. (Teorema de Liouville). Supongamos que un fluido con campo C1 de ve- locidades u(x, t) ocupa una región abierta Ω de Rn , y que Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω, con Ω1 compacto. Para t > t0 convenientemente próximo a t sea (Ω1)t el lugar ocupado en el instante t por las partículas que estuvieron en Ω1 en t = t0. Prúebese que: vol (Ω1)t = ∫ Ω1 e ∫ t t0 div u(x(s,y),s) ds dy, donde x(t, y) denota la única solución del problema x′ = u(x, t), con x(t0) = y, y ∈ Ω1. ¿ Se te ocurre alguna explicación a por qué se lla- man “incompresibles” los fluidos que cumplen la ecuación: div u(x, t) = 0, t ≥ 0, x ∈ Ω?
- 53. 1.8. EJERCICIOS 45 36.Se considera una barra de longitud l en la dirección del eje x que tie- ne sección A lo suficientemente pequeña como para que el calor difunda solamente en la dirección de x, luego la temperatura será de la forma u = u(x, t). Admitamos además que el flujo de calor Φ a través de la pared lateral de la barra sigue la Ley de Newton, es decir, que Φ es pro- porcional a la diferencia (u − T0), donde T0 es la temperatura ambiente. Dedúzcase la ecuación para la temperatura. 37. Se considera una barra cilíndrica y tridimensional en la que el calor di- funde transversalmente al eje de simetría mientras que las variaciones de temperatura son despreciables en el sentido de dicho eje. Suponiendo que la temperatura u sólo depende de la distancia al eje de la barra, hállese una ecuación para dicha temperatura u(x, y, z, t) en el interior de la barra (tómese por ejemplo el eje Oz en la dirección como eje de la barra). 38. Hállese la ecuación de difusión del calor en coordenadas esféricas de R3 . 39. Se considera una barra homogénea de longitud l, coeficiente de conductivi- dad térmica k; lo suficientemente fina como para que la difusión del calor sólo se considere en sentido longitudinal. Se ha realizado un experimento en el que, tras comenzar con una temperatura homogénea de T0 grados en la barra, y mantenerla a una temperatura constante T1 en los extremos, se observa que la temperatura en el punto medio viene dada por una función f(t). Si repetimos el experimento con una barra de las mismas caracterís- ticas (mismo ancho y conductividad térmica), inicialmente sometida a T∗ 0 grados y mantenida permanentemente a T∗ 1 grados en sus extremos, y de longitud l∗ ¿Qué ley f∗ (t) seguirá la temperatura en el punto medio de la barra? Indicación. Dése por conocida la unicidad de solucines para el problema de valor inicial y de Dirichlet para la ecuación del calor. 40. 6 El tiempo de cocción de un asado de 5 libras que inicialmente se hallaba a una temperatura de 40 grados, al introducirlo en un horno de 350 grados, es de dos horas ¿Cuál será el tiempo de cocción de una asado de 10 libras con la misma forma y en las mismas condiciones? 6cf. M. S. Klamkin, SIAM Review, Vol. 3, n. 2, pp. 167-169.
- 54. 46 CAPÍTULO 1.ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA
- 55. Capítulo 2 Ecuaciones enderivadas parciales de primer orden 2.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales 2.1.1. Ecuaciones lineales La ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden más general es (Capítulo 1) Lu = f(x), x ∈ Ω, (2.1) donde, L = n∑ i=1 ai(x) ∂ ∂xi + b(x), siendo Ω ⊂ Rn un dominio (abierto y conexo), ai(x) ∈ C1 (Ω), para cada i, b(x), f(x) ∈ C(Ω). Mantendremos estas hipótesis a lo largo de todo el capítulo. Se denotará A(x) = (a1, · · · , an), así Lu = ∂ ∂A + b. Una superficie simple S ⊂ Ω de clase Ck viene definida una parametrización (g, U), U ⊂ Rn−1 un dominio y g = g(s), g : U → Rn de clase Ck (k ≥ 2) de forma que S = g(U) y tal que: N = ∂g ∂s1 ∧ · · · ∧ ∂g ∂sn−1 ̸= 0, ∀s ∈ U. Si S es una superficie simple ν = N |N| representa el campo unitario normal a S asociado a (g, U), mientras que el espacio tangente a S en x0 = g(s0) es: TSx0 = span { ∂g ∂s1 (s0), · · · , ∂g ∂sn−1 (s0) } . Finalmente, se dice que una funcón ϕ : S → R es de clase C1 en S si ϕ ◦ g ∈ C1 (U). Véase el Anexo para más detalles. 47
- 56. 48 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN Es fácil ver que si y(t) = g(σ(t)), a < t < b, σ = σ(t) de clase C1 , σ(0) = s0 es una curva en S entonces su vector tangente en x0, ˙y(0) ∈ TSx0 . Definición 2.1. Sea ϕ ∈ C1 (S). El problema de Cauchy para (2.1) en S consiste en hallar (u, U), S ⊂ U ⊂ Ω, U abierto, u : U → R de clase C1 tal que: Lu = f, x ∈ Ω u|S = ϕ. (2.2) Por analogía con el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias diremos que (u, U) es una solución local de (2.2). Como allí, la siguiente noción parece natural a primera vista: (2.2) goza de la propiedad de unicidad de soluciones si para cada par de soluciones locales (ui, Ui), i = 1, 2, resulta que u1 = u2 sobre U1 ∩U2. Esta definición parece sugerir que en caso de darse la unicidad de soluciones, todas las soluciones locales (u, U) acaban siendo restricciones de una cierta solución maximal (u∗ , U∗ ) de (2.2). Sin embargo, comprobaremos que ni siquiera en el caso del problema (2.2) se verifica la propiedad de unicidad de soluciones en el sentido que se ha enunciado. Sí se demostrará que todas las soluciones locales (u, U) coinciden en un cierto entorno de la superficie S. Por tanto, nociones básicas en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias como solución local y prolongabilidad no pueden extenderse al contexto de (2.2). La función ϕ se llama dato de Cauchy. En general (Capítulo 1) no toda superficie sirve para imponer datos de Cauchy. Por ejemplo, supongamos que Γ = {x(t)/a < t < b} es una solución de x′ = A(x) cuya gráfica Γ ⊂ S. Entonces S no admite datos ϕ arbitrarios. En efecto, sobre Γ, u = ϕ. Si ponemos ˆϕ(t) = ϕ(x(t)), ˆϕ debe satisfacer: ˆϕ′ + ˆb = ˆf a < t < b, con ˆf = f(x(t)), ˆb = b(x(t)). Luego ϕ no se puede elegir arbitrariamente. Las superficies adecuadas son las siguientes. Definición 2.2. Una superficie S se dice no característica con respecto a (2.1) si: A(x) · ν(x) ̸= 0, ∀x ∈ S. (2.3) S es característica si A(x) · ν(x) = 0, ∀x ∈ S. (2.4) Observación 2.1. De lo dicho más se deduce que aquellas superficies que con- tengan órbitas de x′ = A(x) no son admisibles para el problema de Cauchy. Las superficies características son siempre la unión de órbitas de dicha ecuación. Lema 2.3. Sea S ⊂ Rn una superficie simple y F = F(x) ∈ C1 (Rn , Rn ) un campo C1 . Entonces S es invariante frente a x′ = F(x) si y sólo si F(x) es tangente a S en cada x ∈ S. En particular, si S es característica, S es la unión de órbitas de x′ = A(x).
- 57. 2.1. ECUACIONES LINEALESY CUASILINEALES 49 Demostración. Si x0 ∈ S, ponemos x0 = g(s0) mientras para cada s ∈ U, A(g(s)) = ∑ αi(s)∂g/∂si. Resolvemos s′ = α(s) junto con s(0) = s0. Resulta que x(t) = g(s(t)) es la solución de x′ = A(x), x(0) = x0 que por construcción está es S. El recíproco es inmediato. Definición 2.4. Las órbitas de x′ = A(x) se denominan curvas características de la ecuación (2.1). Las superficies no caracterí sticas son las adecuadas para el problema de Cauchy. Esto se apoya en el hecho –que precisamos ahora– de que la ecuación es “de orden 1” en la dirección de la normal a S. La filosofía del argumento, aunque formal, es la misma para ecuaciones de orden superior. Si f(t, x) es C∞ y no se sabe cómo resolver el problema x′ = f(t, x) x(t0) = x0, lo que está claro es que dicho problema permite al menos obtener una expresión formal de la solución x(t) si ésta fuese C∞ : x(t) = ∞∑ n=0 an(t − t0)n . Consideramos el siguiente caso particular de (2.2): ∂U ∂t = −ˆa−1 n {n−1∑ i=1 ˆai ∂U ∂si + bU − f } U(s, 0) = ˆϕ(s). (2.5) Hemos tomado S = {xn = 0} y llamado s = (s1, · · · , sn−1) = (x1, · · · , xn−1), t = xn. Naturalmente hemos supuesto que ˆan ̸= 0 para |t|, |s| pequeños. Si todos los datos son C∞ entonces U(t, s) puede obtenerse formalmente como: U(s, t) = ∑ α,m aα,m(s − s0)α tm . (¡Hágase con dos variables (n = 2)!). Si ahora tratamos con una superficie no característica S, el problema (2.2) se transforma en (2.5) si hacemos el cambio de variable local: U(s, t) = u(g(s) + tν(s)), ˆϕ(s) = ϕ(g(s)), donde |s − s0|, |t| son pequeños. Nótese que bajo dicho cambio: x = g(s) + tν(s), t = T(x), s = S(x) (2.6)
- 58. 50 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN se tiene que: ∂l U ∂tl (s0, 0) = dl dtl (u(g(s0) + tν(s0))|t=0 = ∂l u ∂νl (x0) ∂U ∂si (s0, 0) = ∇u(x0) ∂g ∂si , en donde x0 = g(s0) ∈ S. Por tanto, las derivadas con respecto a t de U representan derivadas normales de u en S mientras que las derivadas de U con respecto a si representan derivadas tangenciales. Haciendo el cambio (2.6) se llega a que U satisface (2.5) con los valores: ˆan(s, t) = A(x) · ∇T(x), ˆai = A(x) · ∇Si, para 1 ≤ i ≤ n − 1. Nótese que ∇T = ν en S, por eso ˆan(s, t) ̸= 0 si |s − s0|, |t| son pequeños. En efecto: ˆan(s, t) = A(x) · ν(x) ̸= 0, en virtud a la condición de no caractericidad. Teorema 2.5. Sea S una superficie no característica para la ecuación (2.1). Entonces, cualquiera que sea el dato de Cauchy ϕ ∈ C1 (S) el problema (P) admite una solución local (u, U) que es única en el sentido siguiente: si (u1, U1) es otra solución local, existe una abierto V1 ⊂ Ω, S ⊂ V1 ⊂ U ∩ U1 tal que u = u1 en V1. Observaciones 2.2. a) La técnica de la prueba del teorema se llama “método de las características”. b) La existencia de soluciones locales no se puede mejorar en general para obtener soluciones definidas globalmente donde lo estén los coeficientes. Tómese por ejemplo S = {(x, y) = (s, 0) : s > 0}, ϕ(s) = 0 y la ecuación: yux − xuy = 1 (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}. Este problema admite infinitas soluciones no prolongables (ver e)). Tales so- luciones presentan discontinuidades donde los coeficientes son regulares. Véase también la sección de problemas. c) No es difícil ver que la solución obtenida por el métdodo de las características depende continuamente del dato ϕ. Es decir, si ϕn es una sucesión de funciones C1 que converge uniformemente sobre compactos de S a una ϕ de clase C1 entonces un(x) → u(x) uniformemente sobre compactos. d) El entorno U es A-convexo en el sentido de que cada x ∈ U se escribe: x = X(t, g(s)) para algún t y g(s) ∈ S (notamos por x(t) = X(t, y) a la única solución de x′ = A(x), junto con x(0) = y) y además: [g(s), x]A = {x = X(τ, g(s))/0 ≤ τ ≤ t} está contenido en U. Pues bien, dada otra solución local (u1, U1), el entorno V1 que se menciona en el teorema 1 se puede expresar como: V1 = {x ∈ U ∩ U1 : [g(s), x]A ⊂ U1, si x = X(t, g(s))}.
- 59. 2.2. ECUACIONES CUASILINEALES51 e) [No unicidad local]. Consideremos el problema: yux − xuy = 1 u(x, 0) = h(x), x > 0. (P) Sean 0 < α1 < α2 < 2π dos ángulos y sean θ1(x, y) y θ2(x, y) dos determina- ciones del argumento con líneas de corte en las semirrectas ri, x = t cos αi, y = t sen αi, t ≥ 0. Pues bien, los pares (ui, Ui) con: ui = h( √ x2 + y2) − θi(x, y), con (x, y) ∈ Ui = R2 − ri son dos soluciones locales tales que u1 ̸= u2 en {α1 < arg (x, y) < α2}. Por tanto no se cumple que u1 = u2 en U1 ∩ U2. Véase también la sección de ejercicios. 2.2. Ecuaciones cuasilineales La ecuación cuasilineal de primer orden más general toma la forma: n∑ i=1 ai(x, u) ∂u ∂xi = b(x, u) x ∈ Ω, (2.7) donde se supone en lo que sigue que las funciones ai(x, y), b(x, y) ∈ C1 (Ω × R), mientras que S representa una superficie simple parametrizada por x = g(s), g ∈ Ck (U, Rn ), U abierto de Rn−1 , k ≥ 2. Denotaremos análogamente por A al campo: A(x, y) = (a1(x, y), · · · , an(x, y)). El estudio de las soluciones de (2.7) es de nuevo abordable mediante ecua- ciones diferenciales ordinarias. En efecto, las soluciones u de (2.7) definen su- perficies en Rn × R (las superficies integrales), y − u(x) = 0, cuya normal (∇u, −1) debe ser ortogonal al campo (A(x, y), b(x, y)) en cada punto (x, y) = (x, u(x)). En otras palabras, el campo (A(x, y), b(x, y)) caracteri- za las soluciones de (2.7) como sus superficies invariantes. Esto es consecuencia del Lema 2.3 o del siguiente razonamiento directo. Si y = u(x) es invariante frente a la ecuación: x′ = A(x, y) y′ = b(x, y), (2.8) y(t) = u(x(t)) para toda solución, con lo que derivando, ∑ ai(x(t), u(x(t)))∂xi u(x(t)) = b(x(t), u(x(t))), y u resuelve (2.1). Recíprocamente, si u resuelve (2.7) tomamos x0, y0 = u(x0). Formamos la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0, y0) y por otro lado y1(t) = u(x(t)). Sabemos que y′ = b(x(t), y), y(0) = y0. Derivando se tiene
- 60. 52 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN y′ 1 = b(x(t), y1), y1(0) = y0. Por tanto y = y1 con lo que y(t) = u(x(t)) luego {y = u(x)} es invariante frente a (2.8). La (2.8) se llama la ecuación de las características asociada a (2.7). Se recuerda la siguiente definición. Definición 2.6. Sea V = V (x) una función real C1 en Ω y sea F : Ω → Rn un campo C1 en Ω. Decimos que V (x) es una integral primera para la ecuación x′ = F(x) si V (x(t)) = constante para cada solución de la ecuación. Es inmediato comprobar que V es una integral primera de x′ = F(x) en Ω sí y sólo sí ∇u(x)F(x) = 0 en Ω. La siguiente propiedad expresa el hecho de que las superficies de nivel de integrales primeras de la ecuación (2.8) dan lugar a superficies integrales de (2.7). Propiedad 2.7. Sea V = V (x, y) de clase C1 en Ω × R una integral primera de (2.8). Supongamos que, para c ∈ R la ecuación V (x, y) = c define a y = u(x) donde u ∈ C1 (Ω1), Ω1 ⊂ Rn un dominio, de forma que ∂V ∂y ̸= 0 en y = u(x), x ∈ Ω1. Entonces u define una solución de u en Ω1. La estructura local de las integrales primeras de una ecuación se recoge en la siguiente propiedad. Propiedad 2.8. Sea F = F(x), F ∈ C1 (Rn , Rn ) un campo tal que F(x0) ̸= 0, e. d. x = x0 no es una singularidad de F. Existe entonces un entorno U de x0 y n − 1 integrales primeras V1(x), . . . , Vn−1(x), con rango (V1, . . . , Vn−1)′ (x) = n − 1 para cada x ∈ U, de forma que si V (x) es otra integral primera en U entonces V (x) = H(V1(x), . . . , Vn−1(x)), x ∈ U, para una cierta aplicación C1 , H = H(y1, . . . , yn−1). Como en el caso lineal, nos ocupamos del problema de Cauchy para (2.7), considerando las mismas definiciones de solución local y de unicidad de solucio- nes. Específicamente, de la existencia de soluciones (u, U) de: n∑ i=1 ai(x, u) ∂u ∂xi = b(x, u), x ∈ Ω u|∂Ω = ϕ, (2.9) donde S es una superficie regular y U es un abierto de Ω, S ⊂ U ⊂ Ω, u ∈ C1 (Ω) satisface (2.7) y u(x) = ϕ(x) en S. Se supone, por tanto, que ϕ es C1 y que la superficie S es C2 . Para poder considerar la clase más amplia posible de datos iniciales ϕ es necesario -como en ecuaciones lineales- imponer condiciones a S. Sin embargo, en el caso cuasilineal, también deben imponerse restricciones a los propios datos ϕ. La condición de no caractericidad que vamos a introducir, está justificada si pensamos que para resolver (2.9) vamos a construir soluciones u = u(x) trazando órbitas de (2.8) desde {(x, ϕ(x))/x ∈ S} . En la siguiente definición se establece la condición de no caractericidad con la que trabajaremos.
- 61. 2.2. ECUACIONES CUASILINEALES53 Definición 2.9. Diremos que la superficie S y el dato ϕ ∈ C1 (S) satisfacen la condición de transversalidad si: A(x, ϕ(x)) · ν(x) ̸= 0, ∀x ∈ S. (2.10) Otra manera de escribir (2.10) es ∂g1 ∂s1 · · · a1(g(s), ϕ(g(s))) ... ... ... ∂gn ∂s1 · · · an(g(s), ϕ(g(s))) ̸= 0. Observaciones 2.3. a) Es muy fácil interpretar la condición de transversalidad en n = 2 tomando S = {(x, y) = (g1(s), g2(s))/a < s < b}, h(s) = ϕ(g1(s), g2(s)). b) Supongamos que (S, ϕ) son característicos, es decir: A(x, ϕ(x)) · ν(x) = 0, x ∈ S. Si (2.9) admite una solución u = u(x) con dato ϕ entonces A(x, ϕ(x)) es tangente a S. Por tanto, x0 ∈ S implica x(t) ∈ S si x(t) es la solución de: x′ = A(x, ϕ(x)) x(0) = x0. Como x(t) ∈ S y u = ϕ en S tendremos que y(t) = u(x(t)) = ϕ(x(t)) junto con x(t) es una solución de (2.8), con datos iniciales (x0, y0) = (x0, ϕ(x0)). Eso quiere decir que la variedad de datos {(x, ϕ(x))} es invariante frente a (2.8). Puede probarse que entonces (2.9) admite infinitas soluciones, lo que va contra nuestros propósitos. En el caso n = 2, a1ux + a2uy = b(x, y, u) u(f(s), g(s)) = h(s), a < s < b. Que (f, g, h) sean caracterí sticos equivale a que (f, g, h) parametrice una órbita de (2.8). No es difí cil comprobar que en ese caso el problema precedente admite infinitas soluciones. Teorema 2.10. En las hipótesis precedentes para A, b, ϕ, S supongamos que ϕ y S satisfacen la condición de transversalidad (2.10). Entonces el problema (2.9) admite una solución local (u, U) que es única en los mismos términos que en el Teorema 2.5. Demostración. Se construye la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0, y0) = (g(s), h(s)). El teorema de la función implícita permite hallar u tal que y(t) = u(x(t)). Toda otra solución u1 que pase por (x0, y0) cumplirá y(t) = u1(x(t)). Por tanto, la unicidad. De aquí es fácil hallar un dominio mínimo de unicidad.
- 62. 54 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN La ecuación de Burgers Un caso particular de las ecuaciones de la dinámica de gases define el campo de velocidades de un gas cuyas partículas se mueven con velocidad constante: uy + uux = 0. Tal es la ecuación de Burgers (v. Capítulo 1). Supongamos que tenemos un dato inicial: u(x, 0) = h(x), x ∈ R con h ∈ C1 . Veamos que el problema de valores inciales carece de soluciones definidas en todo y ≥ 0 salvo que h(x) sea creciente: x1 ≤ x2 ⇒ h(x1) ≤ h(x2), para cualesquiera x1, x2. En efecto, si g1(s) = s, g2(s) = 0, entonces ecuación de las características es: x′ = z, y′ = 1, z′ = 0, con las condiciones iniciales: x(0) = s, y(0) = 0, z(0) = h(s). De ahí se deduce que una expresión implícita para u es (cf. Capítulo 1): u = h(x − uy). Las proyecciones x, y de las curvas características tienen la forma: x = s+th(s), y = t, es decir y = 1 h(s) (x − s). (rs) Sobre rs la solución siempre toma el valor h(s). Por eso, si h(s1) ̸= h(s2), rs1 y rs2 se cortan en x = s1h(s2) − s2h(s1) h(s2) − h(s1) , y = − s2 − s1 h(s2) − h(s1) , de lo que se deduce que las soluciones no pueden estar definidas en dicho punto. Cerca de un tal punto u experimenta una salto de magnitud |h(s2) − h(s1)| cuando nos aproximamos por la caraterí sticas. Es natural que ux “explote” en dichos puntos. En efecto, sobre rs se tiene que: ux = h′ (s) 1 + yh′(s) . Si h′ (s) ̸= 0, |ux| se hará infinita si y → − 1 h′(s) .
- 63. 2.3. LA ECUACIÓNGENERAL DE PRIMER ORDEN 55 2.3. La ecuación general de primer orden La ecuación en derivadas parciales de primer orden más general es: F(x, u, ∇u) = 0, x ∈ Ω. (2.11) Suponemos que las soluciones u ∈ C1 (Ω) mientras que F : Ω × R × Rn → R es una función de clase C2 . Como en los casos precedentes, todavía es posible estudiar la existencia de soluciones de (2.11) mediante una ecuación diferencial ordinaria. Como en las secciones precedentes, S designará una superficie simple regular de clase C2 parametrizada por x = g(s), s ∈ U ⊂ Rn−1 , U un cierto dominio. El primer paso en el estudio de (2.11) consiste en obtener -aunque sólo sea formalmente- cuál es el equivalente para (2.11) de la ecuación de las caracte- rísticas. Para ello escribimos F = F(x, y, p), x = (xi), p = (pj). La hipótesis básica consiste en admitir que es posible determinar la solución u = u(x) sobre ciertas curvas x = x(t). Así pues escribimos y(t) = u(x(t)) y yj(t) = ∂u ∂xj (x(t)) y tratamos de hallar una ecuación diferencial para las funciones x(t), y(t), yj(t), es decir, funciones ai(x, y, Y ), b(x, y, Y ), cj(x, y, Y ), Y = (yj), de forma que: x′ i = ai(x, y, Y ) y′ = b(x, y, Y ) y′ j = cj(x, y, Y ), 1 ≤ i, j ≤ n. (2.12) Pues bien, si x′ = A(x, y, Y ) entonces se tiene que y′ (t) = n∑ j=1 ∂u ∂xj x′ j(t) = n∑ j=1 yjak = A(x, y, Y ) · Y. Con ello sólo falta hallar un posible candidato para A y las ecuaciones para y′ j(t). Vamos a hacer las dos cosas a la vez. Por un lado si yj(t) = ∂u ∂xj (x(t)) al derivar: y′ j(t) = n∑ k=1 x′ k(t) ∂2 u ∂xj∂xk (x(t)) = n∑ k=1 ak(x, y, Y ) ∂2 u ∂xj∂xk (x(t)). (2.13) Por otra parte si F(x, u(x), ∇u(x)) = 0, al derivar con respecto a xj y hacer x = x(t): Fxj + Fyuxj (x(t)) + n∑ k=1 Fpk ∂2 u ∂xk∂xj (x(t)) = 0. (2.14) Es decir, n∑ k=1 Fpk ∂2 u ∂xk∂xj (x(t)) = −Fxj − Fyyj(t). (2.15) Ahora obsérvese que si se compara el segundo miembro de (2.13) con el primero de (2.15), ámbas expresiones coinciden si tomamos ai(x, y, Y ) = Fpi (x, y, Y ) (lo
- 64. 56 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN que es coherente con el caso cuasilineal donde F(x, y, p) = ∑n i=1 ai(x, y)pi y ai(x, y, Y ) = ai(x, y) = ∂F ∂pi ). Bajo esta elección de los ai(x, y, Y ) se pueden al menos cerrar las ecuaciones para x(t), y(t) y yj(t), sin necesidad de introducir como incógnitas las derivadas de orden superior: yα(t) = ∂α u(x(t)), observadas sobre x(t). En efecto, se tiene: y′ j(t) = −Fxj − Fyyj. Así las ecuaciones en conjunto son: x′ i = ∂F ∂pi , 1 ≤ i ≤ n y′ = n∑ i=1 ∂F ∂pi yi y′ j = − ∂F ∂xj − Fyyj. 1 ≤ j ≤ n (2.16) Se llama a (2.16) la ecuación de las caracterí sticas de (2.11). Si (x(t), y(t), Y (t)) satisface (2.16), se “espera” que los valores de las soluciones de (2.11), u = u(x) y de ∇u(x) sobre x(t) se deduzcan de (2.16) mediante y(t) = u(x(t)) y que se cumpla Y (t) = ∇u(x(t)). Como en las secciones precedentes, si ϕ ∈ C1 (S) es lícito plantearse el pro- blema de Cauchy: { F(x, u, ∇u) = 0 u = ϕ x ∈ S. (2.17) Asimismo, la naturaleza de las técnicas que se van a emplear sólo permiten es- tablecer la existencia de soluciones locales (u, U) cuya definición no repetiremos. Para resolver entonces (2.17) se tienen que determinar las condiciones iniciales para (2.16). Es obvio cuáles son las condiciones para x(t), y(t): x(0) = g(s), y(0) = ϕ(g(s)). (2.18) Las condiciones iniciales y1(0) = ¯y1(s), · · · , yn(0) = ¯yn(s) vienen dadas por el sistema (se obtiene derivando u(g(s)) = ϕ(g(s)) respecto a si, 1 ≤ i ≤ n − 1): ∂ϕ ◦ g ∂si = n∑ j=1 ¯yj(s) ∂gj ∂si 1 ≤ i ≤ n − 1 F(g(s), ϕ(g(s)), ¯y1(s), · · · , ¯yn(s)) = 0. (2.19) Teniendo en cuenta la última ecuación en (2.19) una hipótesis que nos vemos obligados a admitir es la existencia, para cada s ∈ U, de al menos una solu- ción ¯Y (s) = (¯yj(s)) de dicho sistema siendo las ¯yj(s) de clase C1 en U. Otra hipótesis ya familiar que introducimos es la condición de transversalidad (2.21).
- 65. 2.3. LA ECUACIÓNGENERAL DE PRIMER ORDEN 57 Suponemos que sobre las soluciones ¯Y (s) de (2.19) se satisface: ∂g1 ∂s1 · · · Fp1 (g(s), ϕ(g(s)), ¯Y (s)) ... ... ... ∂gn ∂s1 · · · Fpn (g(s), ϕ(g(s)), ¯Y (s)) ̸= 0. (2.20) Debe advertirse que puede haber más de una familia ¯yj(s) de funciones que satisfagan (2.19) y (2.21). Esto ocurrirá si, por ejemplo, (2.11) es de “grado” superior a 1 en el gradiente |∇u|. Ejemplo 2.4. Para la ecuación u2 x +u2 y = 1 si S viene definida por (g1(s), g2(s)), a < s < b, h(s) = ϕ(g1(s), g2(s)) = 1, las posibles elecciones de (¯y1, ¯y2) son: (¯y1, ¯y2) = ± 1 √ g′ 1 2 + g′ 2 2 (g′ 2, −g′ 1). Nótese que al ser (g′ 1, g′ 2) ̸= 0, se da (2.21). Estúdiese el caso general correspon- diente a un dato h(s). Envolvente de una familia de superficies. Se considera una familia de superficies {Sλ}, dada por H(x, y, z, λ) = 0, H de clase C2 , ∇H(·, λ) ̸= 0 en Sλ. Una envolvente de la familia es otra superficie E, dada por g(x, y, z) = 0 de forma que E = ∪λ γλ γλ ⊂ Sλ ∩ E, y tal que ∇g = ∇H(·, λ) en cada γλ 1 . Es decir E hace un contacto de primer orden con cada Sλ. Una manera de hallar E es proceder como sigue. Para λ fijo, las secciones de Sλ por superficies próximas Sµ son γλ,µ, es decir: { H(x, y, z, λ) = 0 H(x, y, z, µ) = 0 es decir H(x, y, z, λ) = 0 H(x, y, z, µ) − H(x, y, z, λ) µ − λ = 0. Si µ → λ la curva límite γλ tiene por ecuación a: { H(x, y, z, λ) = 0 Hλ(x, y, z, λ) = 0. (γλ) La unión de tales curvas genera la superficie envolvente E. Una manera analítica de proceder es como sigue. Genéricamente Hλ = 0 se puede resolver despejando 1A efectos de su uso posterior no necesitamos pedir la condición más fuerte γλ = Sλ ∩E. El cálculo de la envolvente que sigue no permite probar esa identidad. En resumen la envolvente que calcularemos es una superficie constituida por curvas γλ donde E hace un contacto de orden 1 con cada Sλ para cada λ.
- 66. 58 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN λ en términos de (x, y, z), en la forma λ = Gk(x, y, z), para quizás varias Gk, k ∈ K. Así, γλ puede representarse como la unión de varias γk,λ con: { H(x, y, z, λ) = 0 λ = Gk(x, y, z). (γk,λ) La unión de las curvas γk,λ constituye una superficie Ek que tiene la propiedad buscada y se puede describir mediante la ecuación gk(x, y, z) = 0 donde gk = H(x, y, z, Gk(x, y, z)). En efecto si gk(x, y, z) = 0 entonces P = (x, y, z) cumple H(P, λ) = 0, λ = Gk(P) y P ∈ γk,λ. Está claro que Ek tiene la propiedad deseada. Más tarde haremos uso de las superficies envolventes que acabamos de cons- truir. Ejemplo 2.5. Considérese la familia de esferas (x−λ)2 +y2 +z2 −1 = 0, λ ∈ R. Deducción geométrica de la ecuación de las características 2 . Para n = 2 toma- mos x, y como variables independientes, z = u, p = ux, q = uy y escribimos F = F(x, y, z, p, q). La ecuación (2.11) es: F(x, y, u, ux, uy) = 0. De nuevo la idea es construir las soluciones u = u(x, y) de una forma geométrica. Es decir, considerar su gráfica z = u(x, y) 3 como la unión de las gráficas de soluciones 4 x = x(t), y = y(t), z = z(t) (z(t) = u(x(t), y(t))) de una cierta ecuación diferencial ordinaria. Para ello necesitamos deducir (geométricamente) cómo es el campo (dx, dy, dz). Procedemos como sigue. Si u(x, y) es solución de (2.11), en cada P0 = (x0, y0, z0), z0 = u(x0, y0), la normal (p0, q0, −1), p0 = ux(x0, y0), q0 = uyx(x0, y0) a la superficie z = u(x, y): F(x0, y0, z0, p, q) = 0, (2.21) para p = p0, q = q0. La ecuación (2.21) define entonces en P0 = (x0, y0, z0) una familia uniparamétrica de planos tangentes 5 : z − z0 = p(x − x0) + q(y − y0), (2.22) cuya envolvente E se llama el cono de Monge en P0. Se razona ahora como sigue: el plano tangente a una superficie integral z = u(x, y) en P0, al pertenecer a la familia (2.22) corta a E en una curva γp 6 . El vector tangente (dx, dy, dz) a γp 2cf. el libro de Fritz John. 3Una superficie integral. 4Órbitas. 5(2.21) expresa, v. g., q como una función de p. 6Es una recta generatriz del cono.
- 67. 2.3. LA ECUACIÓNGENERAL DE PRIMER ORDEN 59 en P0 es tangente a E y a z = u(x, y). ¡ Ese es el vector que estamos buscando! Según lo dicho, γp viene dada por: z − z0 = p(x − x0) + q(y − y0) 0 = x − x0 + dq dp (y − y0) , luego, dz = pdx + qdy 0 = dx + dq dp dy. Como dq dp = − Fp Fq la última ecuación se puede escribir dx Fp = dy Fq 7 . En conse- cuencia, en cada punto (x, y, u(x, y)) de una superficie integral, el campo: x′ = Fp(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) y′ = Fq(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) z′ = pFp(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) + qFq(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)), con p = ux(x, y), q = uy(x, y) debe ser tangente a dicha superficie. Si llamamos p(t) = ux(x(t), y(t)), q(t) = uy(x(t), y(t)) entonces, para hallar las ecuaciones de p y q se procede como antes: p′ = uxxx′ + uxyy′ = uxxFp + uxyFq q′ = uyxx′ + uyyy′ = uyxFp + uyyFq, mientras que derivando (2.11) primero con respecto a x y después con respecto a y obtenemos: Fx + Fzux + Fpuxx + Fquyx = 0 Fy + Fzuy + Fpuxy + Fquyy = 0, de donde se tiene que: p′ = −Fx − Fzp q′ = −Fy − Fzq, que completan las ecuaciones diferenciales buscadas. Es costumbre llamar a una solución de la ecuación característica: x′ = Fp y′ = Fq z′ = pFp + qFq p′ = −Fx − Fzp q′ = −Fy − Fzq, (2.23) 7Esto se debe leer como x′ = αFp, y′ = αFq, para algún α.
- 68. 60 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN una banda característica. En efecto (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) puede interpretar- se como una curva (x(t), y(t), z(t)) con un plano asociado: ζ − z = p(t)(ξ − x) + q(t)(η − y). Como dz = pdx + qdy se tiene que la curva es tangente al plano en cada punto. Nos podemos así imaginar una superficie integral como la envolvente de una familia de bandas características. Obsérvese que cada banda queda determinada si se fija un punto y un plano inicial. Eso permite plantearse la posibilidad de resolver el problema de Cauchy para (2.11) sobre una curva dato Γ: x = f(s), y = g(s), z = h(s), a < s < b, donde f, g, h son de clase C2 . Integramos así (2.23) bajo las condiciones: x(0) = f(s) y(0) = g(s) z(0) = h(s). (2.24) Sin embargo, para resolver (2.23) necesitamos los valores iniciales de p y q. Como se vio más arriba los valores iniciales p(0) = φ(s), q(0) = ψ(s) tienen que cumplir: h′ (s) = φf′ + ψg′ F(f, g, h, φ, ψ) = 0. (2.25) Al considerar entonces el problema de Cauchy: { F(x, y, u, ux, uy) = 0 u(f, g) = h, a < s < b (2.26) siempre se supone que los datos f, g, h habilitan la existencia de funciones C1 , φ, ψ que satisfacen el sistema (2.25) y además la condición de transversalidad: f′ g′ Fp(f, g, h, φ, ψ) Fp(f, g, h, φ, ψ) ̸= 0. (2.27) Podemos enunciar por fin el siguiente resultado. Teorema 2.11. Supongamos que Γ = {(f, g, h)/a < s < b} es una curva C2 y que existen funciones C1 , φ(s), ψ(s), a < s < b que satisfacen (2.25) y (2.27) , entonces el problema (2.26) admite una solución local (u, U). Además, toda otra solución local (u1, U1) que coincida hasta el orden 1 con u(x, y) en S = {(f, g)/a < s < b} también coincide con u(x, y) en un cierto entorno abierto V1 ⊂ U ∩ U1 de S. Observación 2.6. Se dice que dos funcionesu(x, y), v(x, y), de clase C1 coinciden hasta el orden 1 en (x0, y0) si: u(x0, y0) = v(x0, y0), ux(x0, y0) = vx(x0, y0), uy(x0, y0) = vy(x0, y0). Por otra parte el Teorema 2.11 habla de unicidad de soluciones locales –en el sentido que se ha usado en el capítulo– cuando, de acuerdo con la ecuación y la curva Γ, se elige un campo gradiente ∇u = (φ, ψ) sobre S.
- 69. 2.4. INTEGRALES PRIMERAS61 Demostración del Teorema 2.11. La existencia sigue las ideas del caso cuasili- neal. Sin embargo hay algún detalle que no es trivial. Lo primero es resolver (2.23) bajo las condiciones (x(0), y(0), z(0), p(0), q(0)) = (f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)), para obtener (x, y, z, p, q) = (X(t, s), Y (t, s), Z(t, s), P(t, s), Q(t, s)). Es fácil invertir x = X(t, s), y = Y (t, s) en la forma s = S(x, y), t = T(x, y), lo que permite proponer u = Z(T, S) como posible solución. Derivando con respecto a t se concluye que: F(X(t, s), Y (t, s), Z(t, s), P(t, s), Q(t, s)) = 0. Pero comprobar que u es solución pasa por justificar que: ux(X(t, s), Y (t, s)) = P(t, s) uy(X(t, s), Y (t, s)) = Q(t, s). (2.28) Unas cuentas prueban que: ( Zt Zs ) = ( Xt Yt Xs Ys ) ( ux uy ) ( Zt Zs ) = ( Xt Yt Xs Ys ) ( P Q ) . (2.29) De todas las relaciones la más delicada es la última que se prueba observando que A(t, s) = PXs +QYs −Zs cumple A(0, s) = 0 mientras At = FzA. De (2.29) se sigue (2.28). Para la unicidad se toma una solución u de la ecuación y se plantea la ecuación diferencial ordinaria: x′ = Fp(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) y′ = Fq(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)), con lo que, z(t) = u(x(t), y(t)), cumple z′ = uxFp + uyFq. Si, por ejemplo, p(t) = ux(x(t), y(t)) se tiene p′ = uxxFp + uxyFq, que vía la ecuación en derivadas parciales se puede escribir p′ = −Fx − pFz. 2.4. Ecuaciones cuasilineales e integrales prime- ras Recordemos que si V = V (x1, · · · , xn, y) es una integral primera de la ecua- ción: x′ i = ai(x1, · · · , xn, y) 1 ≤ i ≤ n y′ = b(x1, · · · , xn, y) (2.30)
- 70. 62 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN en un cierto dominio Ω ⊂ Rn × R, entonces, para cada λ ∈ R donde V (x1, · · · , xn, y) = λ , define y = u(x1, · · · , xn) se tiene que u es una solución de: n∑ i=1 aiuxi = b(x1, · · · , xn, u). (2.31) Consideremos por simplicidad el problema de Cauchy en el caso n = 2. Nos proponemos hallar una solución y = u(x1, x2) (la denotaremos z = u(x, y)) que satisfaga: u(f(s), g(s)) = h(s), a < s < b, para ciertas funciones dato f, g, h, de clase C1 , que cumplen la condición de transversalidad. Basta con hallar una integral primera V (x, y, z) de: x′ = a1(x, y, z) y′ = a2(x, y, z) z′ = b(x, y, z) (2.32) de forma que V (f(s), g(s), h(s)) = 0 para a < s < b. El siguiente método para encontrar V , por su naturaleza sólo tiene validez local. En la práctica los resultados suelen ser por regla general globales. Siempre existen dos integrales primeras independientes de (2.32), Vi = Vi(x, y, z), i = 1, 2. Las órbitas de (2.32) que pasan por los puntos P(s) = (f(s), g(s), h(s)) -cuya unión genera la superficie solución-vienen dadas por los sistemas: V1(x, y, z) = c1(s) V2(x, y, z) = c2(s) para ciertas funciones C1 , c1, c2 (véase la sección de Ejercicios). En general, y1 = c1(s), y2 = c2(s) definen una curva en el plano y1–y2 (razónese, por ejemplo, qué sucedería si c′ 1(s) ≡ 0). Por tanto existe una función F = F(y1, y2) de clase C1 tal que F(c1(s), c2(s)) = 0 para cada s. Como F(V1(x, y, z), V2(x, y, z)) también es una integral primera, V (x, y, z) = F(V1(x, y, z), V2(x, y, z)) es la integral primera buscada. Ejemplo 2.7. Tomemos y + uuy = 0 junto con u(x, 0) = h(x) de forma que h(x) ̸= 0 para cada x. Bien, se tiene que V1 = x y V2 = y2 + z2 son integrales primeras de (2.32). El sistema V1(P(s)) = c1(s) y V2(P(s)) = c2(s) da c1 = s, c2 = h2 (s). Así, F = y2 − h(y1)2 , V = V2 − h(V1)2 y la solución estará implícita en y2 + z2 − h(x)2 = 0. Integrales Primeras. Una integral primera de (2.32) es una función C1 , V (x, y, z), que satisface (en un cierto dominio de R3 ): Vxa1 + Vya2 + Vzb = 0.
- 71. 2.5. INTEGRALES COMPLETAS63 En la práctica el cálculo de una integral primera consiste en hallar funciones P, Q, R tales que Pa1 + Qa2 + Rb = 0 de forma que, para alguna función V se tenga P = Vx, Q = Vy, R = Vz. Una manera de facilitar la búsqueda de P, Q, R consiste en partir de la ecuación orbital de (2.32): dx a1 = dy a2 = dz b Por la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes: dx a1 = dy a2 = dz b = Pdx + Qdy + Rdz Pa1 + Qa2 + Rb . Si se consigue Pa1 + Qa2 + Rb = 0 entonces Pdx + Qdy + Rdz = 0. Integrar ésta última ecuación es –por definición– hallar las funciones V . Ejemplo 2.8. x′ = x(y − z) y′ = y(z − x) z′ = z(x − y). Al escribir: dx x(y − z) = dy y(z − x) = dz z(x − y) se ve que: 1 x dx (y − z) = 1 y dy (z − x) = 1 z dz (x − y) de donde, 1 x dx + 1 y dy + 1 z dz = 0, con lo que V = log (xyz). Nótese que también se puede tomar V = xyz. 2.5. Superficies integrales y envolventes. Integra- les completas Consideremos la ecuación general en dos variables: F(x, y, u, ux, uy, ) = 0. (2.33) Llamaremos superficie integral de (2.33) a la gráfica en R3 , {(x, y, z) : z = u(x, y)} de cualquier solución u(x, y) de (2.33). Una superficie integral, puede también expresarse en la forma H(x, y, z) = 0. En la Sección 2.3 del presente capítulo se introdujo la noción de superficie envolvente E, g(x, y, z) = 0, de una familia {Sλ} de superficies H(x, y, z, λ) = 0, así como un método para hallar g. En estos términos, vamos a probar que si las Sλ son superficies integrales, entonces también la envolvente es una superficie integral.
- 72. 64 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN Recordemos que E consta de la unión de curvas γλ de forma que cada γλ ⊂ Sλ. Comprobamos que para cada λ, E y Sλ no sólo hacen un contacto de orden uno en γλ sino que además: ∇g(x, y, z) = ∇H(x, y, z, λ), (2.34) para (x, y, z) ∈ γλ. Así, para cada punto (x, y, z) ∈ γλ de la envolvente se tiene que − gx gz = − Hx Hz y − gy gz = − Hy Hz . La solución u definida por H(x, y, z, λ) = 0 verifica ux = −Hx Hz y uy = − Hy Hz , mientras la función U definida por g(x, y, z) = 0 satisface Ux = ux, Uy = uy en γλ. Por eso: F(x, y, U, Ux, Uy, ) = 0, pues U = u, Ux = ux, Uy = uy en γλ. En consecuencia g(x, y, z) = 0 define una superficie integral. Verificamos (2.34). La envolvente es E = ∪λγλ donde γλ se define mediante el sistema: H(x, y, z, λ) = 0 λ = G(x, y, z) donde Hλ = 0 define a λ como función de (x, y, z) mediante λ = G. La ecuación implícita de E es g(x, y, z) = 0 con g = H(x, y, z, G). Así si el punto P = (x, y, z) ∈ E entonces P ∈ γλ donde λ viene dado por λ = G(P). Como: gx = Hx + HλGx, gy = Hy + HλGy, gz = Hz + HλGz, al ser Hλ(P) = 0 se tendrá ∇g(P) = ∇H(P). Se llama integral completa de (2.33) a una familia biparamétrica H(x, y, z, λ, µ) = 0, de superficies integrales de (2.33). Una integral general de (2.33) es una envol- vente de una subfamilia uniparamétrica de una integral completa. La envolvente -si existe- de todas las integrales generales de una ecuación constituye una in- tegral singular de dicha ecuación. Vamos a mostrar cómo la existencia de una integral completa puede llevar a la resolución del problema de Cauchy. Para ello suponemos que los datos de Cauchy (f(s), g(s), h(s)), a < s < b satisfacen las hipótesis del Teorema 2.11. La idea consiste en determinar una subfamilia uniparamétrica λ = λ(s), µ = µ(s) de forma que su envolvente contenga a la curva Γ = {(f, g, h) : a < s < b}. Ello requiere que se satisfaga el sistema: H(f(s), g(s), h(s), λ(s), µ(s)) = 0 Hλ(f(s), g(s), h(s), λ(s), µ(s))′ (s) + Hµ(f(s), g(s), h(s), λ(s), µ(s))µ′ (s) = 0. Por tanto, las funciones λ, µ buscadas se determinan despejando λ, µ en términos de s en el sistema: H(P(s), λ(s), µ(s)) = 0 Hx(P(s), λ(s), µ(s))f′ + Hy(P(s), λ(s), µ(s))g′ + Hz(P(s), λ(s), µ(s))h′ = 0,
- 73. 2.6. LAGRANGE-CHARPIT 65 conP(s) = (f(s), g(s), h(s)). Una vez determinadas las funciones λ(s), µ(s) la envolvente de la familia H(x, y, z, λ(s), µ(s)) = 0 proporciona la solución buscada. Ejemplo 2.9. Consideremos la ecuación de tipo Clairaut: u = xux + yuy + 1 2 (u2 x + u2 y) y la condición u(x, 0) = 1 2 (1 − x2 ). Una familia de superficies integrales es: z = λx + µy + 1 2 (λ2 + µ2 ). El sistema es: λs + 1 2 (λ2 + µ2 ) = 1 2 (1 − s2 ) λ = −s. Luego λ = −s, µ = ±1. Las subfamilias uniparámetricas son z = −sx ± y + 1 2 (s2 + 1). Para hallar las envolventes: − sx ± y + 1 2 (s2 + 1) = 0 s = x, siendo la ecuación de las envolventes (por tanto las soluciones): z = −x2 ± y + 1 2 (x2 + 1). Observación 2.10. La idea de integral completa se inspira en la de integral general en el caso de ordinarias. Allí, una familia uniparamétrica de curvas genera una ecuación. Análogamente, una familia biparamétrica de superficies H(x, y, z, λ, µ) = 0 define en general una ecuación de primer orden. En efecto, basta con despejar λ, µ en el sistema: Hx + Hzp = 0 Hy + Hzq = 0 en términos de x, y, z, p, q. La ecuación buscada es F(x, y, u, ux, uy) = 0 con F = H(x, y, z, λ(x, y, z, p, q), µ(x, y, z, p, q)). 2.6. Cálculo de integrales completas. Método de Lagrange–Charpit El método de Lagrange–Charpit proporciona una técnica para hallar inte- grales completas de ecuaciones de primer orden del tipo (2.33). Consiste en lo siguiente. Se supone que H = H(x, y, z, p, q)
- 74. 66 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN es una integral primera de la ecuación característica: x′ = Fp y′ = Fq z′ = pFp + qFq p′ = −Fx − pFz q′ = −Fy − qFz de forma que se satisface: ∂(F, H) ∂(p, q) = Fp Fq Hp Hq ̸= 0. Se admite también que para cada λ el sistema: F(x, y, z, p, q) = 0 H(x, y, z, p, q) = λ (2.35) define p, q como funciones C1 de (x, y, z, λ), es decir, (2.35) define: p = ϕ(x, y, z, λ) q = ψ(x, y, z, λ). (2.36) La hipótesis sobre ∂(F, H) ∂(p, q) junto con el teorema de la función implícita im- plican que ϕ y ψ son funciones C1 . Genéricamente, una solución u(x, y) de (2.33) se describe por el método de las características, en el sentido de que localmente se tiene la existencia de una solución x(t), . . . , q(t) de la ecuación de las curvas características tal que z(t) = u(x(t), y(t)), p(t) = ux(x(t), y(t)), q(t) = uy(x(t), y(t)) (ver la sección de Ejercicios). Por eso, H(x(t), . . . , q(t)) = λ (constante). Se admite que todas las soluciones x(t), . . . , q(t) que generan u(x, y) hacen H(x(t), . . . , q(t)) = λ. Entonces u satisface el sistema: ux = ϕ(x, y, u, λ) uy = ψ(x, y, u, λ). (2.37) En conclusión, la existencia de H en las condiciones prescritas permite obtener algunas soluciones de (2.33) - ¡no todas satisfacerán que H = λ! - siempre que se sepa cómo trabajar con las ecuaciones (2.37), más sencillas que la (2.33). En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudia un caso parti- cular: el de las ecuaciones exactas. Para M(x, y) y N(x, y) funciones dato, se trata de hallar las soluciones de ux = M, uy = N. El siguiente resultado (véase el Ejercicio 23) establece las condiciones precisas de existencia y unicidad. Propiedad 2.12. Supongamos que ϕ, ψ son funciones C1 en un dominio Ω ⊂ R4 . Entonces (2.37) admite soluciones locales en Ω sí y sólo sí se tiene que: ϕ + ϕzψ = ψx + ψzϕ, (2.38) en Ω. Además, para λ fijado, dado un punto (x0, y0, z0) existe una única solución local u(x, y) de (2.37) tal que u(x0, y0) = z0.
- 75. 2.6. LAGRANGE-CHARPIT 67 SiH es una integral primera en las condiciones dadas se demuestra –ver Ejercicio 24– que las funciones ϕ y ψ definidas en (2.36) como soluciones de (2.35) satisfacen la condición de integrabilidad (2.38). Por tanto, la integración de (2.37) da lugar –con λ fijo– a una familia uniparamétrica –tómese µ = z0 como parámetro– de soluciones. Finalmente al hacer variar λ se obtiene una familia biparamétrica de soluciones z = u(x, y, λ, µ). Este es el método de Lagrange- Charpit para el cálculo de una integral completa de la ecuación (2.33). Como se ha dicho, el primer paso consiste en hallar una integral primera H de la ecuación característica. Para ello conviene escribir la ecuación orbital asociada: dx Fp = dy Fq = dz pFp + qFq = − dp Fx + pFz = − dq Fy + qFz , y proceder como se ha indicado más arriba. Una vez halladas H, ϕ, ψ se debe integrar la ecuación: ϕdx + ψdy − dz = 0, (2.39) es decir, hallar una función V (x, y, z) de clase C1 tal que Vx = ϕ, Vy = ψ, Vz = −1 8 . Las ecuaciones V (x, y, z) = µ proporcionarán las soluciones de (2.37). Por razones de cálculo algunas veces conviene multiplicar (2.39) por un factor integrante ζ(x, y, z). Si V es una solución de la nueva ecuación, es decir Vx = ζϕ, Vy = ζψ, Vz = −ζ, entonces las ecuaciones V = µ también dan las soluciones de (2.37). Ejemplo 2.11. Consideremos la ecuación: zpq = p + q. Tomando F = p + q − zpq, escribimos para el cálculo de una integral primera: dx 1 − zq = dy 1 − zp = dz p + q − 2zpq = − dp p2q = − dq q2p . De la última igualdad 1 p dp− 1 q dq = 0 y una integral primera es H = p q . Llegamos así al sistema: zpq = p + q p = λq. Se tienen dos opciones: ϕ = ψ = 0, que pone de manifiesto que todas las constantes son soluciones y ϕ = 1+λ z , ψ = 1+λ λz . Finalmente, integramos: 1 + λ z dx + 1 + λ λz dy − dz = 0, la que, multiplicada por ζ = z –para separar las variables– da: (1 + λ)dx + 1 + λ λ dy − zdz = 0. 8La condición (2.38) asegura la existencia de tales V (x, y, z).
- 76. 68 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN La integral completa es: (1 + λ)x + 1 + λ λ y − z2 2 = µ. Observación 2.12 (Superficies Ortogonales). Se considera una familia unipara- métrica {Hλ} de superficies, H(x, y, z, λ) = 0, que podría obtenerse alternativamente en la forma Λ(x, y, z) = λ, λ ∈ R. Si se tiene una superficie fija z = u(x, y) (S) ésta corta genéricamente a cada una de las Hλ según una curva Γλ en R3 : (Γλ) { H(x, y, z, λ) = 0 z = u(x, y) { Λ(x, y, z) = λ z = u(x, y), es decir, si γλ ⊂ R2 designa la curva plana γλ = {(x, y) : Λ(x, y, u(x, y)) = λ} entonces, Γλ = {(x, y, z) : (x, y) ∈ γλ z = u(x, y)}. Diremos que la superficie S es ortogonal a la familia {Hλ} (ver Ejercicio 15) si las normales a S y Hλ son ortogonales en Γλ para cada λ. En ese caso habrá de tenerse: Hx(x, y, z, λ)ux + Hy(x, y, z, λ)uy = Hz(x, y, z, λ) (x, y, z) ∈ Γλ λ ∈ R. De manera equivalente, Hx(x, y, u, Λ(x, y, u))ux + Hy(x, y, u, Λ(x, y, u))uy = Hz(x, y, u, Λ(x, y, u)), (2.40) donde (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (Ω es típicamente un cierto abierto de R2 ). La ecuación (2.40) es la de las superficies ortogonales a la familia {Hλ}. 2.7. Ejercicios 1. Hállense las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy: a) ux + uy = u2 ; u(x, 0) = h(x). b) uy = xuux; u(x, 0) = x. c) xux + yuy + uz = u; u(x, y, 0) = h(x, y). d) xuy − yux = u; u(x, 0) = h(x), x ∈ R+ . 2. Considérese la ecuación aux +buy = 0 y la curva de datos S = {(x, 0)/x ≥ 0}. Para el dato ϕ = 0 hállense dos soluciones locales (u, U) y (u1, U1) que no coincidan sobre U ∩ U1.
- 77. 2.7. EJERCICIOS 69 3.Ecuación de Burgers. Se considera la ecuación: uy + uux = 0, (B) en la que y representa el tiempo y u = u(x, y) representa el campo de velocidades de un gas en la dirección del eje x. a) Demostrar que si u es solución de (B), la velocidad de cada partícula es constante. b) Si h = h(x) es C1 y no decreciente, entonces la ecuación (B) sometida a la condición: u(x, 0) = h(x), x ∈ R (C) admite una única solución definida en todo y ≥ 0. c) Si además h es Lipschitz en R pruébese que la solución de (B) - (C) existe para |y| ≤ ε para un cierto ε > 0. ¿Qué sucede si h no es Lipschitz? d) Hállese la solución correspondiente al dato h = s2 − 1. 4. Se considera el problema de Cauchy: ut = ux + u(1 − u); u(x, 0) = ϕ(x). (P) a) Demostrar que la solución de (P) está definida en todo (x, t) ∈ R2 si ϕ ∈ C1 , 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, para cada x ∈ R. b) ¿Qué sucede si ∃x0 ∈ R tal que ϕ(x0) /∈ [0, 1]? 5. Una función u(x), x ∈ Rn se dice homogénea de grado α ̸= 0 si: u(tx) = tα u(x), ∀t > 0, x ∈ Rn . (H) El teorema de Euler establece que u ∈ C1 (Rn {0}) cumple (H) si y sólo si u satisface la e.d.p.: n∑ i=1 xi ∂u ∂xi = αu, x ∈ Rn {0}. (E) Estúdiense las soluciones de (E) con las técnicas de las ecuación en deri- vadas parciales’s de primer orden. 6. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen todas las funciones radiales u en R2 . Estudiar el problema de Cauchy para la ecuación resultante. 7. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen todas las esferas de radio 1 en R3 con centro en el plano x–y. Descríbanse los conos de normales y de Monge para la ecuación resultante así como la solución del problema de Cauchy con dato h(x, 0) = 1 2 .
- 78. 70 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN 8. Hállese la edp de primer orden que satisfacen las funciones u = f(x2 −y2 ), para f ∈ C1 (R). Estúdiese el problema de Cauchy correspondiente. 9. Estúdiense desde el punto de vista geométrico las soluciones del problema de Cauchy para la ecuación: mux + nuy − p = 0 (x, y) ∈ R2 , siendo m, n, p constantes. Hállese la solución con dato u(x, 0) = f(x), f ∈ C1 . 10. Sobre una curva C1 , Γ = {(g1, g2))/a < s < b} estúdiese la solución del problema de Cauchy para la ecuación Eikonal: c2 (u2 x + u2 y) = 1, con dato u(g1(s), g2(s)) = h(s). En el caso h constante se llama frente de ondas Γt en el instante t a la curva de nivel u = t. Determinar Γt en el caso en que Γ es la circunferencia unidad y en el de la elipse x2 /a2 +y2 /b2 = 1. 11. Supongamos que u = u(x, y) es una solución de: a(x, y)ux + b(x, y)uy = −u (x, y) ∈ ¯Ω, donde u ∈ C1 (Ω) y Ω es la bola unidad de R2 . Supongamos que ax+by > 0 para todo (x, y) ∈ ∂Ω. Demuéstrese que entonces u se anula idénticamente en todo Ω. 12. Se considera la ecuación en derivadas parciales: u2 x + u2 y = u2 . Estúdiense las soluciones de la ecuación característica. Hállense las so- luciones de los problemas correspondientes a datos: u(cos s, sen s) = 1, u(s, 0) = 1. 13. Estúdiense los problemas de Cauchy: { uy = u3 x u(x, 0) = 2x3/2 , u = xux + yuy + 1 2 (u2 x + u2 y) u(x, 0) = 1 2 (1 − x2 ). 14. Para F de clase C2 demuéstrese que toda solución u de: uy = F(ux), u(x, 0) = h(x), se puede escribir como: u = (F(p) − pF′ (p))y + h(x − yF(p)), donde p se expresa en términos de x e y mediante la relación: p = h′ (x + yF′ (p)).
- 79. 2.7. EJERCICIOS 71 15.Superficies ortogonales. Consideremos una familia uniparamétrica de su- perficies {Sλ}, λ ∈ R, definidas como H(x, y, z, λ) = 0, λ ∈ R. Pruébese que una cierta superficie definida en R3 por z = u(x, y), (H y u regulares) es ortogonal a la familia Sλ sí: Hxux + Hyuy = Hz, siempre que z = u(x, y). Hállese una familia ortogonal a la familia: x2 + y2 = 2λz. Hállese asimismo una superficie ortogonal a todas las de la familia: z(x + y) = λ(3z + 1), que pase además por el círculo x2 + y2 = 1, z = 1. 16. Teorema de rectificación de campos. Sea G ⊂ Rn un abierto, f ∈ C1 (G, Rn ) un campo C1 , x0 ∈ G un punto no singular de f, es decir f(x0) ̸= 0. De- muéstrese que existe un entorno U de x0 y un difeomorfismo C1 , T ∈ C1 (U, Rn ), sobre T(U) tal que T′ (x)f(x) = en = (0, · · · , 1), x ∈ Rn . Si en U se efectúa el cambio de variable y = T(x) hállese la expresión para la ecuación transformada de x′ = f(x). Indicación. La idea es empezar desde la parte final: ¿cómo transformar las soluciones de x′ = f(x) mediante y = T(x) de forma que y′ = en. 17. Estructura de las integrales primeras. Sean f y x0 como en el problema 16. Demuéstrese que existen n − 1 integrales primeras Hi = Hi(x1, · · · , xn) ∈ C1 (U, R), 1 ≤ i ≤ n − 1 de forma que si H = H(x1, · · · , xn) es otra integral primera definida en U entonces H = F(H1, · · · , Hn−1), para una cierta función F = F(y1, · · · , yn−1) de clase C1 . Además H1, . . . , Hn−1 son funcionalmente independientes en el sentido de que rango (∇H1(x), . . . , ∇Hn−1(x)) = n − 1 x ∈ U. 18. Considérense un campo f y un punto no singular x0 de f. Sea V1(x),. . . , Vn−1(x), x ∈ U una familia de integrales primeras independientes de x′ = f(x) en un entorno U de x0. Para los valores V1(x0) = c1, . . . , Vn−1(x0) = cn−1 se considera el sistema: V1(x) = c1 ... Vn−1(x) = cn−1. (2.41) Pruébese que las únicas soluciones de (2.41) en un entorno U′ ⊂ U de x0 forman una curva Γ = {ϕ(t)/|t| < ε} que es una órbita de x′ = f(x).
- 80. 72 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN 19. Calcúlense dos integrales primeras independientes para las ecuaciones: x′ = x(y − z) y′ = y(z − x) z′ = z(x − y) x′ = x2 (y3 − z3 ) y′ = y2 (z3 − x3 ) z′ = z2 (x3 − y3 ). 20. Para a1(x, y, z), a2(x, y, z), b(x, y, z) de clase C1 en R3 se considera el pro- blema de Cauchy con datos u(f(s), g(s)) = h(s), a < s < b, f, g, h de clase C1 . Admitiendo que se satisface la condición de transversalidad y la existencia de dos integrales primeras independientes V1(x, y, z), V2(x, y, z) de la ecuación característica, utilícense éstas para hallar una solución local de dicho problema. 21. Estúdiese el problema de Cauchy para las siguientes ecuaciones: a) y + uuy = 0 (n = 2). b) uux = √ 1 − u2, u(x, x) = h(x). c) yux − xuy = 0 con gráfica z = u(x, y) pasando por la curva z = my, x2 + (y − α)2 = R2 . d) x2 ux + y2 uy = (x + y)u. e) (2xy − 1)ux + (u − 2x2 )uy = 2(x − yu), pasando por la curva y = 0, z = 1. f) (x−y)ux +(y−x−u)uy = u, pasando por la curva z = 0, x2 +y2 = 1. Indicación Un par de integrales para (5) son por ejemplo: V1 = y + xz, V2 = x2 + y2 + z. 22. Sea F = F(x, y, z, p, q) ∈ C2 (R5 ), y u = u(x, y) una solución C2 de la ecuación: F(x, y, u, ux, uy) = 0. Estúdiese bajo qué condiciones es posible asegurar la existencia de una solución x(t), y(t), z(t), p(t), q(t) de la ecuación característica de forma que se tengan -localmente- las identidades: z(t) = u(x(t), y(t)), p(t) = ux(x(t), y(t)), q(t) = uy(x(t), y(t)). Nota. El problema pregunta cuándo una solución dada de la ecuación se puede obtener por el método de las carcterísticas. 23. Sean ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) funciones C1 en un abierto Ω de R3 . Pruébese que una condición necesaria y suficiente para la existencia de soluciones locales de la ecuación: ux = ϕ(x, y, u), uy = ψ(x, y, u), (E) viene dada por la identidad: ϕy + ϕzψ = ψx + ψzϕ, en Ω. (2.42) Demuéstrese que fijado un punto x0 ∈ Ω, en un cierto entorno U de x0 existe una familia uniparamétrica de soluciones de (E).
- 81. 2.7. EJERCICIOS 73 24.(Método de Lagrange–Charpit). Sea F = F(x, y, z, p, q) ∈ C2 (R5 ) y su- pongamos que H = H(x, y, z, p, q) ∈ C1 (R5 ) es una integral primera de la ecuación característica asociada a la ecuación en derivadas parciales: F(x, y, u, ux, uy) = 0. Admitamos que para cada λ ∈ R el sistema de ecuaciones: { F(x, y, z, p, q) = 0 H(x, y, z, p, q) = λ, define p = ϕ(x, y, z, λ), q = ψ(x, y, z, λ), con det ∂(F, H) ∂(p, q) ̸= 0 (de donde se deduce que ϕ, ψ son C1 ). Demuéstrese entonces que ϕ y ψ satisfacen la condición de integrabilidad (2.42). 25. Se recuerda que una integral completa de la ecuación en derivadas parciales F(x, y, u, ux, uy) = 0, es una familia biparamétrica de superficies integrales (soluciones) z = u(x, y, λ, µ). Pruébense los siguientes resultados. a) (Ecuación de Clairaut). Si la ecuación tiene la forma u = xux + yuy + f(ux, uy) entonces u = αx + βy + f(α, β) es una integral completa. b) La ecuación de la forma uy = f(ux) admite una integral completa de la forma u = λx + f(λ)y + µ. c) Si la ecuación es de la forma ux = f(x, uy) admite una integral completa de la forma: u = ∫ x a f(s, λ) ds + λy + µ. d) Considérese la ecuación ux = f(u, uy) y supóngase que la identidad p = f(z, λp) define a p = P(λ, z). Pruébese que dicha ecuación admite una integral completa de la forma: ∫ u a ds P(λ, s) = x + λy + µ. e) Para f1(x, ux) = f2(y, uy): u = ∫ x a ϕ1(s, λ) ds + ∫ y b ϕ2(s, λ) ds + µ, es una integral completa. 26. Hállese una integral completa de las ecuaciones: p + q = pq p2 z2 + q2 = 1 zpq = p + q qz = (p2 + q2 )y zpq = p2 (p2 + xq) + q2 (q2 + yp) c2 (p2 + q2 ) = 1 px5 − 4q3 x2 + 6x2 z = 2 2(z + xp + pq) = yp2 .
- 82. 74 CAPÍTULO 2.PRIMER ORDEN 27. Hállese la (o las soluciones) de los problemas de Cauchy: a) uxuy = u, pasando por la curva Γ definida por x = 0, y2 = z. b) xu2 x + yuy = u, pasando por Γ dada por y = 1, x − z = 0. c) u2 x − u2 y = u, pasando por 4z + x2 = 0, y = 0. d) u2 x + u2 y = 1, pasando por la curva definida por y = 1, z2 − x2 = 1. 28. Resuélvanse los problemas de Cauchy: a) pq + 1 − u = 0 u = 2x + 1 y = 2, b) pq − 3xy − 2u = 0 u = 15y x = 5, c) p2 + q2 − 4u = 0 u = y2 x = 0.
- 83. Capítulo 3 Problema deCauchy. Teorema de Cauchy–Kowlevski 3.1. Funciones analíticas reales Se revisan en el Anexo los conceptos básicos de diferenciabilidad en varias variables. Se presenta asimismo una introducción a las series múltiples. Se mues- tran allí ejemplos no triviales de la siguiente clase de funciones. Definición 3.1. Se dice que una función u : Ωabto. ⊂ Rn → R es analítica en x0 ∈ Ω si existe un entorno N(x0) ⊂ Ω de x0 y una familia de coeficientes {cα} tales que1 : u(x) = ∑ α cα(x − x0)α , ∀x ∈ N(x0). Se dice que u es analítica en Ω si lo es en cada uno de los puntos x ∈ Ω. Propiedad 3.2. Si u : Ω → R es analítica en Ω entonces u es de clase C∞ en Ω y para cada x0 ∈ Ω se tiene que u(x) = ∑ α 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α x ∈ N(x0) , siendo N(x0) un entorno de x0 en Ω. Además, para cada x0 existen M, r > 0 tales que: |∂α u(x)| ≤ M |α|! r|α| , ∀x ∈ N(x0), α ∈ Nn . (3.1) Observación 3.1. Las estimaciones locales (3.1) de las derivadas caracterizan la analiticidad de una función u, supuesta de clase C∞ en Ω. 1Obsérvese que la convergencia ya conlleva convergencia absoluta (véase el Anexo). 75
- 84. 76 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY Propiedad 3.3. Sea u : Ωabto. ⊂ Rn → R de clase C∞ . Entonces, u es analítica sí y sólo sí para cada K ⊂ Ω compacto existen constantes M, r > 0 que sólo dependen de K tales que: |∂α u(x)| ≤ M |α|! r|α| , ∀x ∈ K, α ∈ Nn . Definición 3.4. Se dice que la serie de potencias ∑ α cαxα es mayorada por∑ α aαxa si |cα| ≤ aα para cada α. Se denotará: ∑ α cαxα ≪ ∑ α aαxα . Para r = (r1, . . . , rn) ∈ Rn +, x0 = (x0i) ∈ Rn , designaremos por D(x0, r) = {x/|xi − x0i| < ri, 1 ≤ i ≤ n}. Se tienen las siguientes propiedades. Propiedad 3.5. Si ∑ α aαxα es analítica en un entorno D(0, ¯r) de x = 0, ¯r = (r, . . . , r), y ∑ α cαxα ≪ ∑ α aαxα entonces c(x) = ∑ α cαxα también es analítica en D(0, ¯r). Propiedad 3.6. Sea c(x) = ∑ α cαxα analítica en un entorno de x = 0. En- tonces existen M, r > 0 tales que la serie ϕM,r(x) = M ∑ α r−|α| xα mayora a la serie c(x). Nótese que: ϕM,r(x) = Mrn (r − x1) . . . (r − xn) , en ∥x∥∞ < r mientras que la serie ∑ α r−|α| xα es mayorada por ∑ α |α|! α! r−|α| xα . Luego ésta última serie también puede utilizarse para mayorar a la serie de la propiedad anterior. Obsérvese que ∑ α |α|! α! r−|α| xα converge en ∥x∥1 < r a la función: ψM,r(x) = Mr r − (x1 + · · · + xn) . Nótese asimismo que si cα = 0 para α = 0, es decir la serie no tiene término de orden cero, entonces se puede tomar como mayorante a: ψM,r(x) = M(x1 + · · · + xn) r − (x1 + · · · + xn) . Teorema 3.7 (Regla de la Cadena). Sean f : Ωabto. ⊂ Rn → Rp , f = (f1(x), . . . , fp(x)), g : Ωabto. 1 ⊂ Rp → R, g = g(u) funciones analíticas. En- tonces, para cada x ∈ Ω donde f(x) ∈ Ω1 se tiene que g ◦ f = g(f(x)) es analítica en x. Demostración. La función g ◦ f es C∞ en Ω luego basta con demostrar que la serie de Taylor converge a la función en un entorno adecuado de cada punto x0 ∈ Ω. Sin pérdida de generalidad puede asumirse que x0 = 0 y que f(0) = 0.
- 85. 3.1. FUNCIONES ANALÍTICAS77 Se necesita información precisa sobre la relación entre los coeficientes de los desarrollos en serie de las funciones fi, g y g ◦ f. A tal fin ponemos: fi = ∑ α̸=0 ai αxα , 1 ≤ i ≤ p, y g = ∑ β bβuβ , u = (u1, . . . , up). Representemos la serie formal de Taylor de g ◦ f como: g(f(x)) = ∑ γ cγxγ . Obsérvese que los coeficientes cγ son calculables y responden a una expresión de la forma: cγ = Pγ,|γ|+1 ( (a1 α)|α|≤|γ|, . . . , (ap α)|α|≤|γ|, (bβ)|β|≤|γ| ) donde Pγ,k ( (y1 α)|α|≤|γ|, . . . , (yp α)|α|≤|γ|(zβ)|β|≤|γ| ) es un polinomio con coeficien- tes positivos y grado k en las variables: ((y1 α)|α|≤|γ|, . . . , (yp α)|α|≤|γ|, (zβ)|β|≤|γ|) ∈ RNn(|γ|) × . . . RNn(|γ|) × RNp(|γ|) , y donde Nn(k) = card {α ∈ Nn : |α| ≤ k}. Es importante subrayar que tales polinomios Pγ,k son universales en el sentido de que no dependen de las funciones f y g. De esta relación se sigue que si mayoramos las fi y g, la serie formal correspondiente a la composición de las mayorantes, mayora a la serie formal de g ◦ f. Nótese ahora que: fi ≪ Mrs r − s i = 1, . . . , p s = ∑ xi , pues f(0) = 0. Por otro lado, g ≪ Mr r − σ σ = ∑ uj , luego g ◦ f ≪ M r r − s 1 − pM+r r2 s siendo ésta última analítica en |s| < r2 /(pM + r) luego analítica en |x1| + · · · + |xn| < r2 /(pM + r). Como corolario, g ◦ f es analítica. Observación 3.2. La función: r − s 1 − pM+r r2 s = (r − s) ∞∑ n=0 ( pM + r r2 )n sn = r + ∞∑ n=1 cnsn ,
- 86. 78 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY donde cn = pM r ( r + Pm r2 )n−1 n ≥ 1. Luego: r − s 1 − pM+r r2 s = ∑ α c|α| |α|! α! xα . Esto prueba la afirmación de analiticidad formulada más arriba La siguiente propiedad se conoce como el principio de prolongación analítica (compárese con el caso de una variable compleja). Propiedad 3.8. Supongamos que f, g : Ω → R son analíticas en un dominio Ω ⊂ Rn y que ∃x0 ∈ Ω tal que ∂α f(x0) = ∂α g(x0) para cada α ∈ Nn . Entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ Ω. Demostración. El conjunto {x ∈ Ω : ∀α ∂α f(x) = ∂α g(x)} es no vacío, cerrado y abierto. Teorema 3.9 (Teorema de la Función Implícita [11]). Sean f : Uabierto ⊂ Rn × Rm −→ Rm (x, y) −→ f(x, y), una función real analítica, (x0, y0) ∈ U tales que: i) f(x0, y0) = 0, ii) ∂f ∂y (x0, y0) ∈ Mm×m(R) es no singular. Entonces existe un entorno de (x0, y0) en el que las soluciones de la ecuación f(x, y) = 0, son exactamente de la forma (x, y) = (x, h(x)) donde h : V ⊂ Rn → Rm es una función real analítica, x0 ∈ V y h(x0) = y0. Demostración. La existencia y unicidad de h, con h de clase C∞ en un cierto entorno de x0 es consecuencia de la versión estándar del teorema de la función implícita. Se trata de probar que la serie formal de Taylor de h h(x) = ∑ α cα(x − x0)α , converge en un entorno de x0. Para probar este extremo suponemos sin pérdida de generalidad que x0 = 0 e y0 = 0. Llamando L0 = ∂f ∂y (x0, y0) escribimos la ecuación en la forma: y = g(x, y),
- 87. 3.2. EL PROBLEMAGENERAL DE CAUCHY 79 donde g(0, 0) = 0 ∂g ∂y (0, 0) = 0. Basta tomar g(x, y) = y − L−1 0 f(x, y). Se tiene ahora que: cα = Pα((∂β x ∂γ y g(0, 0))|α|+|β|≤|α|, (cθ)|θ|<|α|), en donde Pα es una función vectorial polinómica de todos sus argumentos cuyos coeficientes son positivos. Esto implica que si g(x, y) ≪ G(x, y), e y = G(x, y) (3.2) define y = H(x) donde H es analítica, entonces h ≪ H y h es analítica en un cierto entorno de x = 0 que es lo que se busca. Bien, se toma como mayorante: Gi(x, y) = rM r − s − σ − M − M σ r := ψ(s, σ) i = 1, . . . , m, donde s = x1 + · · · + xn, σ = y1 + · · · + ym. Para esta elección las ecuaciones: yi = ψ(s, σ) ⇒ σ = mψ(s, σ) ⇒ σ = h1(s), con h1(s) analítica y h1(0) = 0, por tanto la solución de (3.2) cerca de (x, y) = (0, 0) es yi = ψ(s, h1(s)) que es una función analítica y hemos terminado. Observación 3.3. Una expresión explícita de h1 es: h1(s) = 1 2 r2 mM + r − s − √( r2 mM + r − s )2 − 4Mr M + r s . Para comprobar que es analítica cerca de cero es útil recordar el desarrollo binomial: (1 + x)α = ∞∑ k=0 α(α − 1) . . . (α − k + 1) k! xk (α ∈ R). 3.2. El problema general de Cauchy Recordemos que N(k) = card {α ∈ Nn /|α| ≤ k} y RN(k) = {(yα)/|α| ≤ k}, donde los índices α se toman con el orden que ya se introdujo. Asimismo, sea F0 : Ω × RN(k) −→ R (x, (yα)) −→ F0(x, (yα) una función continua. Consideremos una superficie simple S ⊂ Ω de clase Ck+1 en un dominio Ω ⊂ Rn , S = {x = g(s) : s ∈ U}, siendo U ⊂ Rn−1 un dominio abierto y
- 88. 80 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY g ∈ Ck+1 (U, Rn ) y una familia de k funciones φ0(x), . . . , φk−1(x) definidas2 en S tales que φi ∈ Ck−i (S). Fijemos en S uno cualquiera de los dos campos unitarios normales ν(x) de clase Ck . Se dice que una función u(x) ∈ Ck (U), donde U es un entorno abierto de S en Ω, es una solución local del problema de Cauchy con datos φ0(x), . . . , φk−1(x): F0(x, (∂α u)|α|≤k) = 0, x ∈ U ⊂ Ω ∂i u ∂νi (x) = φi(x), x ∈ S, 0 ≤ i ≤ k − 1, (3.3) si F(x, u(x), (∂α u(x))|α|≤k) = 0 en U y si ∂i u ∂νi (x) = di dti u(x + tν(x))|t=0 = φi(x), (3.4) en S, 0 ≤ i ≤ k − 1. La elección de las k primeras derivadas normales ∂i u/∂νi , 0 ≤ i ≤ k − 1 en S no es caprichosa. En efecto, se puede considerar el problema de Cauchy más general { F0(x, (∂α u)|α|≤k) = 0, x ∈ U ⊂ Ω ∂α u(x) = φα(x), x ∈ S, 0 ≤ |α| ≤ k − 1, (3.5) que consiste fijar como datos en S todas las derivadas de u de orden α con |α| ≤ k − 1; es decir: ∂uα (x) = φα(x), x ∈ S, |α| ≤ k − 1, (3.6) siendo cada una de las φα(x) de clase Ck−|α| en S. En las líneas que siguen se prueba que tales problemas son esencialmente equivalentes. En efecto, conocer las φα en (3.6) permite calcular las φi en (3.4). Sin embargo, las φα no se pueden dar de manera independiente: deben cumplir condiciones de compatibilidad que las hacen depender de las k derivadas normales en (3.4) (ver (3.10)). También se definirán las condiciones de caractericidad que deben ser satisfe- chas por ecuaciones y datos en los problemas problemas a considerar. Por otra parte, como los métodos de existencia de soluciones que siguen se apoyan en argumentos locales, es decir se basan en construir soluciones u(x) de (3.3) en un cierto entorno V de cada punto x0 ∈ S, vamos a estudiar transformaciones locales de (3.3) que lo van a normalizar y, de paso, permitirán introducir el concepto de caractericidad más conveniente. Como se sabe del Capítulo 2, cerca de cada x0 = g(s0) ∈ S se tiene la existencia de entornos V0 = {|x − x0| < ε} en Rn y U0 = {|s − s0| < ε}× (−ε, ε) en Rn−1 × R tales que la aplicación: H : U0 −→ V0 (s, t) −→ x 2φ(x) ∈ Cl(S) si ∃Φ(x) de Cl en Rn tal que φ = Φ|S .
- 89. 3.2. EL PROBLEMAGENERAL DE CAUCHY 81 definida por: x = g(s) + tν(g(s)) (3.7) es Ck con inversa Ck : s = S(x), t = T(x), x ∈ V0. Pues bien, en V0 el problema (3.3) es equivalente al problema: F1(s, t, U, (∂β s ∂γ t U)|β|+γ≤k) = 0, (s, t) ∈ U0 ∂i U ∂ti (s, 0) = ˆφi(s), x ∈ S, 0 ≤ i ≤ k − 1, (3.8) ˆφi(s) := φi(g(s)), donde U(s, t) = u(g(s)+tν(g(s))) y, como puede comprobarse: ∂i U ∂ti (s, 0) = ∂i u ∂νi (g(s)), para cada 0 ≤ i ≤ k − 1. En efecto, nótese que aplicando la regla de la cadena se tiene: ∂α u = ∑ |β|+γ≤|α| aβγ(x)∂β s ∂γ t U. Obsérvese que los coeficientes aβγ(x) dependen de α. Veamos ahora que si se conocen las k derivadas normales de (3.4) también se conocen todas las derivadas de (3.6) sobre S. En efecto, ∂β s ∂γ t U(s, 0) = ∂β s ˆφγ(s), |β| + γ ≤ k − 1, de donde, ∂α u = ∑ |β|+γ≤|α| aβγ(x)∂β s φγ. Por el contrario, si se conocen todas las derivadas ∂α u = φα de (3.6) entonces se obtienen inmediatamente todas las derivadas normales (3.4) pues: φi(x) = ∂i u ∂νi (x) = ∑ |α|=i 1 α! ∂α u(x)να = ∑ |α|=i 1 α! φανα , 0 ≤ i ≤ k − 1. (3.9) Sin embargo las φα deben estar sujetas a condiciones de compatibilidad que impiden que se puedan tomar arbitrariamente. Teniendo en cuenta (3.9) y las relaciones de más arriba, las condiciones de compatibilidad son: φα(x) = ∂α u = ∑ |β|+γ≤|α| aβγ(x)∂β s φγ, para cada |α| ≤ k − 1, x ∈ S. Es decir, las condiciones (3.6) se relacionan con las (3.4) mediante: φα(x) = Pα(x, (φi(x))i≤|α|). (3.10)
- 90. 82 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY En conclusión, bajo las condiciones de compatibilidad (3.10), los problemas (3.3) y (3.5) son equivalentes. Por otra parte (3.8) es el equivalente local de ambos problemas. Esta es la razón por la que en el problema general de Cauchy (3.3) sólo se impusieron datos sobre las derivadas normales. En virtud del cambio (3.7) sólo consideraremos de aquíen adelante el pro- blema (3.3) en su versión (3.8): F1(s, t, (∂β s ∂γ t u)|β|+γ≤k) = 0, (s, t) ∈ U0 ∂i u ∂ti (s, 0) = φi(s), x ∈ S, 0 ≤ i ≤ k − 1, (3.11) en donde hemos escrito u(s, t) en lugar de U(s, t) y φi en vez de ˆφi. Vamos ahora a introducir el concepto de no caractericidad. En líneas gene- rales, diremos que (3.11) es no característico si en la ecuación se puede despejar la derivada ∂k t u(s, t) en términos de las restantes derivadas de orden inferior: ∂k t u = F2(s, t, (∂β s ∂γ t u)|β|+γ≤k,γ<k). La definición precisa es como sigue: Definición 3.10. Se dice que el problema de Cauchy (3.11) es no caracterís- tico con respecto a los datos φ0(s), . . . , φk−1(s) si existen funciones reales y continuas: G = G ( s, t, (yβ,γ)|β|+γ≤k,γ<k ) , ψ = ψ(s), definidas en s ∈ U0, |t| < ε, y ∈ Q := {(yβ,γ)|β|+γ≤k,γ<k : |yβ,γ − ∂β s φγ(s)| < ε1, |β| + γ ≤ k, γ < k} para ciertos ε, ε1 positivos, cumpliendo: ψ(s) = G(s, 0, (∂β s φγ(s))|β|+γ≤k,γ<k), junto con: ∂F1 ∂y0,k (s, 0, (∂β s φγ(s))|β|+γ≤k,γ<k, ψ(s)) ̸= 0, (3.12) de forma que la única solución ( s, t, (yβ,γ)|β|+γ≤k ) de la ecuación: F1 ( s, t, (yβ,γ)|β|+γ≤k ) = 0, con s ∈ U0, |t| < ε, y ∈ Q, |y0,k − ψ(s)| < ε2 se escribe en la forma: y0,k = G ( s, t, (yβ,γ)|β|+γ≤k ) . Observación 3.4. Que el problema (3.11) es no carcaterístico significa que la ecuación es de orden k con respecto a la variable t cuando se la observa “cerca” de los datos.
- 91. 3.2. EL PROBLEMAGENERAL DE CAUCHY 83 Observación 3.5. En la práctica se busca una solución z = ψ(s) de la ecuación: F1(s, 0, (∂β s φγ(s))|β|+γ≤k,γ<k, z) = 0, que cumpla la condición de transversalidad (3.12). El teorema de la función implícita permite entonces obtener la función G. Si en el contexto del problema original (3.3), F0, S y los datos son analíticos el problema local (3.12) da lugar a F1 y datos correspondientes que son analí- ticos. Si en ese caso, F1 cumple la condición (3.12) para cierta ψ, la función G resultante también es analítica (Teorema 3.9). Ejemplo 3.6. Consideremos la ecuación de orden 2 en dos variables: F(s, t, u, us, ut, uss, ust, utt) = 0, donde: F(s, t, y00, y10, y01, y20, y11, y02) = F(s, t, Y, y02), siendo Y = (y00, . . . , y11), y donde: F = a(s, t, Y )y2 02 + 2b(s, t, Y )y02 + c(s, t, Y ), en donde se considera que a(s, t, Y ) ̸= 0 y b2 −ac > 0. Si u(s, 0) = φ0, ut(s, 0) = φ1 entonces: G = −b ± √ b2 − ac a , mientras que los candidatos a ψ(s) son: ψ = −b ± √ b2 − ac a , donde en la última ecuación las funciones están evaluadas en t = 0 y en las condiciones iniciales. Definición 3.11. Se dice que el problema (3.3) es no característico cuando el problema transformado (3.11) es no característico. Observación 3.7. Que (3.3) es no característico significa que la ecuación es de orden k en la dirección de la normal y que dicha derivada se puede despejar en términos de las restantes derivadas, cerca de la superficie S y de los datos de Cauchy. A partir de ahora nos centraremos en el estudio de problemas de Cauchy de la forma: ∂k t u = F(s, t, (∂β s ∂γ t u)|β|+γ≤k,γ<k), s ∈ U, |t| < ε ∂i u ∂ti (s, 0) = φi(s), 0 ≤ i ≤ k − 1, s ∈ U, (3.13) donde U ⊂ Rn−1 es un dominio y ε > 0. Sin embargo conviene recordar que (3.13) es siempre la versión local -tras una transformación de coordenadas del tipo (3.7)- del problema de Cauchy general (3.3), cuando éste es no caracterís- tico.
- 92. 84 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY 3.3. Teorema de Cauchy-Kowalevski En lo que sigue se supone que: F : U × (−ε, ε) × RN(k)−1 → R (s, t, (yα)) → F(s, t, (yα)) con U ⊂ Rn−1 un dominio, es una función analítica. Asimismo se supondrá que las funciones φ0(s), . . . , φk−1(s) son anlíticas en U. Tenemos entonces el siguiente resultado: Teorema 3.12 (Teorema de Cauchy-Kowalevski). Bajo las hipótesis preceden- tes el problema de Cauchy (3.13) admite una única solución local analítica (u, Ω), donde Ω es un entorno abierto y conexo de {(s, 0) : s ∈ U} en Rn . La unicidad debe entenderse en el sentido siguiente: si (u1, Ω1) es otra solución local analítica entonces u = u1 en la componente conexa de Ω ∩ Ω1 que contiene a U × {0}. Más aún se tiene que u(x) extiende u1(x) de Ω ∩ Ω1 a Ω. Observaciones 3.8. a) La propiedad de unicidad anunciada sólo concierne a soluciones analíticas. Es consecuencia de la propiedad de continuación para funciones analíticas y del hecho de que, para cada (s0, 0), s0 ∈ U, el desarrollo de Taylor de cualquier solución analítica es el mismo. En consecuencia cualquier solución analítica u(x) en (s0, 0) está definida en un entorno de “seguridad” V0 = {|s| < ε, |t| < ε}, o es prolongable a dicho entorno. Además, todas las soluciones analíticas, definidas en V0 deben coincidir en tal entorno. Por contraste a las ecuaciones diferenciales ordinarias es muy complicado aquí clarificar que podría significar la noción de solución analítica no continuable. b) La demostración consiste en construir, para cada (s0, 0), s0 ∈ U una solución local analítica (v0(x), V0) siendo V0 de la forma V0 = {|s| < ε0, |t| < ε0}. Como, por el principio de prolongación analítica, v1(x) = v2(x) en V1 ∩ V2 si se da el caso de que V1 ∩ V2 ̸= ϕ, entonces la solución (u, Ω) se obtiene haciendo Ω = ∪ σi∈U Vi y definiendo u(x) en Ω de forma que u|Vi = vi para cada Vi. Por eso basta con demostrar el siguiente resultado. Proposición 3.13. Supongamos que F(s, t, (yβ,γ)|β|+γ≤k,γ<k) es analí tica, mientras que las funciones φ0(s), . . . , φk−1(s) son analí ticas en un entorno de (s, t) = (0, 0). Entonces (3.13) admite una única solución analítica u(x) definida en un entorno V = {|s| < ε, |t| < ε} de (s, t) = (0, 0). La demostración de la proposición previa se deduce de la siguiente propiedad. Proposición 3.14. En las condiciones de la Proposición 1 existen n − 1 fun- ciones matriciales m × m, analíticas A1 = A1(s, Y ), . . . , An−1 = An−1(s, Y ), Y ∈ Rm , y una función vectorial analítica B = B(s, Y ) ∈ Rm , de forma que la existencia de una solución analítica (u, V) en las condiciones de la Proposición
- 93. 3.3. TEOREMA DECAUCHY-KOWALEVSKI 85 1 equivale a la existencia de una solución (Y, V), Y = Y (s, t) = (yj(s, t))1≤j≤m del sistema m × m, Yt = ∑ i=1,n−1 Ai(s, Y )Ysi + B(s, Y ) Y (s, 0) = 0. A su vez, la prueba de tal proposición se reduce a la del siguiente caso sencillo, cuya demostración es la generalización inmediata del método de la mayorante para ecuaciones diferenciales ordinarias de Briot-Bouquet y Cauchy. Proposición 3.15. Supongamos que a = a(s, u), b = b(s, u) son analíticas en un entorno de (s, u) = (0, 0), (s, u) ∈ R2 . Entonces el problema: { ut = a(s, u)us + b(s, u) u(s, 0) = 0, admite una única solución analítica definida en un entorno (s, t) ∈ (−ε, ε) × (−ε, ε). Observaciones 3.9. a) El teorema de Cauchy-Kowalevski se puede extender, sin alterar la demos- tración, al caso en que u(s, t) toma valores complejos. Habremos de suponer entonces que: F : U × (−ε, ε) × CN(k)−1 −→ C (s, t, (yα)) −→ F(s, t, (yα)) es analítica 3 . Análogamente, sin apenas cambios en la demostración, el resul- tado es cierto para sistemas de ecuaciones, e. d., la función u(s, t) toma valores vectoriales. b) El teorema de Cauchy-Kowalevski es falso si se intenta relajar “analítica” por clase C∞ . En efecto si tomamos el problema: uxx + uyy = 0, x2 + y2 < ε u(x, 0) = f(x) uy(x, 0) = g(x), la existencia de una solución C2 en un entorno de (0, 0) conlleva -lo que no es inmediato- la analiticidad de f y g en x = 0. El problema carecerá pues de soluciones si f o g son C∞ y no anlí ticas en x = 0. Más notable es el siguiente resultado -que tampoco es en absoluto inmediato- de Lewy (1957) (véase el Folland). Si F(t) es C∞ pero no analítica en un entorno de t = 0 la ecuación de primer orden: ux + iuy − 2(x + iy)ut = F(t), carece de soluciones C1 en un entorno de (x, y, t) = (0, 0, 0) ∈ R3 . 3Es más estético suponer que F es analítica en (s, t, (yβ,γ)) ∈ Cn−1 × C × CN(k)−1, |s| < ε, |t| < ε, restringiendo después s ∈ Rn−1, t ∈ R
- 94. 86 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY c) El teorema de Cauchy–Kowalevski requiere para su validez que la superficie S, datos y ecuación en (3.3) sean no cacrteísticos, o si se quiere, que en (3.13) hayamos despejado la derivada del orden de la ecuación en la variable t y en el segundo miembro no aparezcan derivadas en t de orden superior (es decir, precisamente en el formato en el que se ha escrito (3.13)). En efecto, el problema de Cauchy, ut = uxx x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) , con f analítica en x = 0 carece en general de soluciones analí ticas en un entorno completo |x| < ε, |t| < ε de (x, t) = (0, 0) (véase la sección de problemas). Ello se debe a que el problema no es legítimamente de orden dos en t. d) El teorema de Cauchy–Kowalevskii sólo afirma la unicidad de soluciones analí- ticas para (3.13). Sin embargo no queda excluida la existencia de otras posibles soluciones no analíticas. Un teorema debido a Holmgren (v. el libro de Fritz John [11]) asegura que si F es lineal en (3.13), es decir, ∂k t u = ∑ |β|+γ≤k,γ<k aβγ(s, t)∂β s ∂γ t u + f(s, t) s ∈ U, |t| < ε ∂i u ∂ti (s, 0) = φi(s), 0 ≤ i ≤ k − 1, s ∈ U, (3.14) entonces tal problema sólo admite la solución analítica. De hecho, lo que se demuestra es que si los coeficientes aβγ son analíticos entonces (PL) admite a lo más una solución clásica para f ∈ C(U) y φi ∈ Ck−i (U ∩ {t = 0}). e) Finalmente, otra imperfección del resultado es la no dependencia continua en los datos. Asílo prueba el siguiente ejemplo de Hadamard, uxx + uyy = 0 u(x, 0) = 0 uy(x, 0) = 1 k sen kx , k ∈ N. La solución del problema (vía separación de variables) es uk(x, y) = 1 k2 (sen kx)(senh ky) . Mientras los datos decrecen exponencialmente a 0, cualquiera que sea (x0, y0) tan próximo al eje 0x como se desee, x0 ̸= 0 (mod. Z), la sucesión uk(x0, y0) siempre contiene subsucesiones uk′ (x0, y0) tales que |uk′ (x0, y0)| → +∞. 3.4. Ejercicios En los problemas que siguen α, β, γ ∈ N∗n son multiíndices mientras que x, y ∈ Rn son vectores.
- 95. 3.4. EJERCICIOS 87 1.(Teorema Binomial). Demuéstrese que: (x + y)α = ∑ β,γ,β+γ=α α! β!γ! xβ yγ . 2. (Desarrollo de Taylor para un polinomio en Rn ). Sea f(x) un polinomio de grado m, x ∈ Rn , pruébese que: f(x) = ∑ |α|≤m 1 α! ∂α f(0)xα . 3. (Teorema Multinomial). Para cualquier m ∈ N, y x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn , pruébese que: (x1 + · · · + xn)m = ∑ |α|=m m! α! xα . 4. (Teorema de Leibnitz). Sean f y g funciones de clase Cm . Pruébese que: ∂α (fg) = ∑ β,γ,β+γ=α α! β!γ! ∂β f∂g g, ∀α, |α| ≤ m. 5. Demuéstrese que para cada multiíndice α ∈ Nn se tiene: α! ≤ |α|! ≤ n|α| α!. 6. Prúebese que ∂β xα = α! (α − β)!xα−β si α ≥ β y ∂β xα = 0 en otro caso. 7. Prúebese que si f : Rn → R es Cm , x, y ∈ Rn , t ∈ R, entonces: dm dtm f(x + ty) = ∑ |α|=m |α|! α! ∂α f(x + ty)yα . 8. Sean ∑ c+ α y ∑ c− α las partes positiva y negativa de ∑ cα (es decir c+ α = 1 2 (cα + |cα|), c− α = − 1 2 (cα − |cα|)). Demuéstrese que ∑ cα converge sí y sólo sí convergen ∑ c+ α y ∑ c− α , siendo: ∑ cα = ∑ c+ α − ∑ c− α . Demuéstrese asimismo que ∑ cα converge sí y sólo sí converge ∑ |cα|. 9. Demuéstrese que para α, β ∈ Nn , m´ax1≤i≤n |xi| < 1: ∑ α≥β α! (α − β)! xα−β = β! (1 − x1)β1+1 . . . (1 + xn)βn+1 .
- 96. 88 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY Análgomente: ∑ α≥β |α|! (α − β)! xα−β = |β|! (1 − x1 − · · · − xn)1+|β| , siempre que |x1| + . . . |xn| < 1. 10. (Método de la Mayorante, ecuaciones diferenciales ordinarias). Sea f = f(t, x) real y analítica en un entorno de (t, x) = (0, 0). Pruébese que el problema de Cauchy: { x′ = f(t, x) x(0) = 0 admite una solución analítica en un entorno {|t| < ε} de t = 0. En 1889, H. Poincaré introdujo una mejora del resultado precedente que establece la dependencia analítica con respecto a parámetros y datos iniciales. Más precisamente, se supone que: f = f(t, x, λ), es analítica cuando t ∼ t0, x ∼ x0, λ ∼ λ0. Se representa por: x = x(t, τ, ξ, λ), la solución (única y, según se sabe ya, analítica en t ∼ t0) del problema: { x′ = f(t, x, λ) x(τ) = ξ. Pruébese que x = x(t, τ, ξ, λ) es analítica en (t, τ, ξ, λ) ∼ (t0, t0, x0, λ0) es decir, x = x(t, τ, ξ, λ) se puede describir mediante la serie de potencias: x(t, τ, ξ, λ) = ∑ α cα(t − t0)α1 (τ − t0)α2 (ξ − x0)α3 (λ − λ0)α4 , donde α = (α1, α2, α3, α4) y la serie converge absolutamente en un cierto entorno de (t0, t0, x0, λ0) en R4 . 11. (Método de la mayorante, ecuaciones en derivadas parciales de primer orden I ). Sean a = a(s, u), b(s, u) reales y analíticas en un entorno de (s, u) = (0, 0) en R2 . Demuéstrese que: ut = a(s, u)us + b(s, u) u(s, 0) = 0 admite una solución analítica u(s, t) definida en un entorno {|s|, |t| < ε} de (0, 0).
- 97. 3.4. EJERCICIOS 89 12.Supongamos que u = u(s1, . . . , sn−1, z) es analítica en un entorno del punto: (s1, . . . , sn−1, z) = (0, . . . , 0, 0) ∈ Rn−1 × R. Demuéstrese que existen constantes positivas M, ε tales que si u(s, z) =∑ α,k cαksα zk (s = (s1, . . . , sn−1)) entonces: ∑ α,k cαksα zk ≪ ∑ α,k ˆcαksα zk , en donde: ∑ α,k ˆcαksα zk = ϕ(s, z), donde: ϕ = ε2 M (ε − s1 − . . . sn−1)(ε − z) , siempre que |s1| + · · · + |sn−1| < ε, |z| < ε. 13. (Método de la mayorante, ecuaciones en derivadas parciales de primer orden II ). Sean a = a(s, u), b = b(s, u), s = (s1, . . . , sn−1), reales y analíticas en un entorno de (s, u) = (0, 0) en Rn−1 ×R (s = (s1, . . . , sn−1)). Demuéstrese que: ut = a1(s, u)us1 + . . . an−1(s, u)usn−1 + b(s, u), u(s, 0) = 0 admite una solución analítica u(s, t) definida en un entorno {|s1|, . . . , |sn|, |t| < ε} de (0, 0) ∈ Rn−1 × R. Indicación. Al mayorar, ténganse en cuenta los Ejercicios 10 y 12. 14. Sean A = A(s, u) ∈ Mm×m y B = B(s, u) ∈ Rm analíticas en un entorno de (0, 0) ∈ R2 . Consideremos el sistema: Ut = A(s, U)Us + B(s, U) U(s, 0) = 0. Demuéstrese que admite un sistema mayorante de la forma: ˆUt = ˆA(s, U) ˆUs + ˆB(s, ˆU) ˆU(s, 0) = 0, (3.15) donde ˆA = (ˆaij), ˆB = (ˆbi) y ˆaij = ˆbi = φ(s, u), siendo φ = ε2 M (ε − s)(ε − u) para ciertos M ≥ 0, ε > 0. Pruébese que el sistema mayorante admite una única solución analítica, definida cerca de (0, 0).
- 98. 90 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY 15. Supóngase que en el Ejercicio 12 tomamos la variable z ∈ Rm y que u(s, z) es analítica cerca de (0, 0) ∈ Rn−1 × Rm . Pruébese ahora que si u(s, z) = ∑ α,β cαksα zβ , entonces se puede construir una serie mayorante: u(s, z) = ∑ α,β ˆcαksα zβ , cuya suma, para |s1| + . . . |sn−1| < ε, |z1| + . . . |zm| < ε, ε > 0 suficiente- mente pequeño, viene dada por: ϕ = ε2 M (ε − s1 − . . . sn−1)(ε − z1 − . . . zm) , M ≥ 0. 16. Sean A = A(s, U) ∈ Mm×m y B = B(s, U) ∈ Rm analíticas en un entorno de (0, 0) ∈ Rn−1 × Rm . Consideremos el sistema: Ut = n−1∑ i=1 A(si, U)Usi + B(s, U) U(s, 0) = 0. Como en casos anteriores, demuéstrese que admite un sistema mayorante de la forma: ˆUt = n−1∑ i=1 ˆA(si, ˆU) ˆUsi + B(s, ˆU) ˆU(s, 0) = 0. donde ˆA = (ˆaij(s, U), ˆB = (ˆbi(s, U)) y donde ˆaij = ˆbi = ϕ(s, U), siendo φ = ε2 M (ε − s1 − · · · − sn−1)(ε − U1 − . . . Um) para ciertos M ≥ 0, ε > 0. Pruébese que el sistema mayorante admite una única solución analítica, definida cerca de (0, 0). 17. Soluciones analíticas de la ecuación del calor. Se considera el problema de Cauchy: ut = uxx u(x, 0) = f(x), (3.16) donde suponemos que f = f(x) es par y analítica en un entorno de x = 0 y, por tanto, f(x) = ∑ a2kx2k , para |x| < ρ donde 0 < ρ−1 = lim {|a2n|} 1 2n (ρ es el radio de convergencia de la serie). Demuéstrese que basta con que (3.16) admita una solución analítica local en todo un entorno {|x| <
- 99. 3.4. EJERCICIOS 91 ε,|t| < ε} de (x, t) = (0, 0) para que necesariamente f(x) sea analítica en todo R (es decir entera) 4 . Demuéstrese que además f(x) ha que satisfacer la estimación: |f(x)| ≤ ea|x|2 , (3.17) para cierta constante positiva a > 0. ¿Contradice este hecho al teorema de Cauchy-Kowalevski ? ¿Qué se puede decir si f(x) impar? ¿Y en el caso general? Indicación. La analiticidad de u(x, t) cerca de (0, 0) implica la de u(0, t) = ∑ (2k)! k! a2ktk . Si ρ1 es el radio de convergencia de ésta última serie, prué- bese que ρ1 > 0 implica ρ = +∞. 18. Hállese la solución analítica del problema: utt + uss = 0 u(s, t) = 0, s ∈ R, k ∈ N ut(s, 0) = ke−k/2 sen kx s ∈ R, k ∈ N. Indicación. Una forma alternativa es hallar soluciones en forma de pro- ducto u(s, t) = S(s)T(t). 19. Sea Ω ⊂ R2 un dominio simétrico con respecto al eje Ox1 que corta a dicho eje en un intervalo abierto I. Sea u(x1, x2) una función armónica en Ω (es decir ∆u = 0 en Ω) que satisface u(x1, 0) = 0. Demuéstrese que u es impar en y es decir: u(x, −y) = −u(x, y) en Ω. Indicación. Dése por conocido el resultado que más se demostrará y que afirma que si u ∈ C2 (Ω) es armónica en Ω es también analítica en Ω (Capítulo 9). 20. Sea u(x, y, t) una solución de la ecuación de las ondas: utt = ∆u, (n = 2). Considérense los datos de Cauchy: u(x, y, t) = f(x, y, t), ut(x, y, t) = g(x, y, t), sobre la superficie t = ϕ(x, y). (3.18) Suponiendo que f, g, ϕ son analíticas y que (3.18) satisface una condición adecuada de “no caractericidad”, redúzcase dicho problema a otro norma- lizado en el que S se transforme en el plano t = 0 4Se mostrará en el Capítulo 5 que la fórmula de Poisson proporciona, bajo condiciones adecuadas, soluciones analíticas de (3.17) en t > 0 . Aquí se consideran soluciones analíticas, no en t > 0 sino también en −ε < t, con ε > 0.
- 100. 92 CAPÍTULO 3.EL PROBLEMA DE CAUCHY 21. (*) Sea u(x, y) una solución de ∆u = 0 expresada en coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ. En el círculo unidad r = 1 tómense los datos de Cauchy: u = f(θ), ur = g(θ), donde f y g son reales analíticas y periódicas de periodo 2π. Demuéstrese que existe una solución analítica definida para todo θ real y |r − 1| sufi- cientemente pequeño. Prúbese que si f y g son polinomios trigonométricos (es decir, de la forma p(cos θ, sen θ) donde p es un polinomio) entonces las soluciones existen en todo R2 {0}. Indicación. Utilícense soluciones especiales de la forma einθ r±n .
- 101. Capítulo 4 Clasificación deecuaciones lineales. Ecuación de ondas 4.1. Clasificación de ecuaciones lineales Como se dijo en el Capítulo 1, un operador diferencial (lineal) de orden m y coeficientes en Ω es una aplicación: L : Cm (Ω) −→ C(Ω) u −→ Lu, donde, Lu = ∑ |α|≤m aα(x)∂α u, con los coeficientes aα ∈ C(Ω). Se define la parte principal de L como el opera- dor: L0u = ∑ |α|=m aα(x)∂α u. La forma característica en el punto x del operador L se define como el polinomio homogéneo de grado m dado por: σx(L, ξ) = σx(ξ) = ∑ |α|=m aα(x)ξα . Un vector ξ ∈ Rn 0 se dice característico para L si se tiene que: σx(ξ) = 0. (4.1) La variedad característica carx(L) de L en x se define como el conjunto de los ξ ∈ Rn que cumplen (4.1). Finalmente, una noción que nos encontramos en el Capítulo 3 es la de su- perficie característica. Se dice que una superficie C1 , S es “no característica” (r. 93
- 102. 94 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS “característica”) si para cada x ∈ S se tiene que σx(ν(x)) = 0 (r. σx(ν(x)) ̸= 0), con ν(x) un campo normal a S. Ejercicio 4.1. Demuéstrese que si ξ es no característico para L en x entonces L es de orden m en la dirección de ξ en el sentido de que una transformación, digamos lineal, x → x′ que lleve la dirección de ξ al eje x′ 1 transformará el operador en otro donde aparece la derivada pura de orden m en la variable x′ 1, afectada de un coeficiente que no se anula en las proximidades del punto x′ = x′ (x). Ejercicio 4.2. Sea L0 la parte principal del operador L. Pruébese que: L0(e⟨x,ξ⟩ ) = σ(ξ)e⟨x,ξ⟩ , donde hemos suprimido la referencia a x tanto en L0 como en σ y ⟨x, ξ⟩ = n∑ i=1 xiξi. Ejemplo 4.1. Los operadores que siguen tienen las variedades características señaladas: 1. Lu = ∂1u, carx(L) = {ξ1 = 0} en Rn . 2. Lu = ∆u (operador Laplaciano), carx(L) = {0} en Rn . 3. Lu = ∂n+1u − ∆u (operador del calor), carx(L) = {ξ1 = · · · = ξn = 0} en Rn+1 . 4. Lu = ∂2 n+1u − ∆u (operador de ondas), carx(L) = {ξ2 n+1 = ∑n i=1 ξ2 i } en Rn+1 . 5. Lu = ∂1u + i∂2u (operador de Cauchy-Riemann), carx(L) = {0} en R2 . 6. Lu = ∆2 u (operador biarmónico), carx(L) = {0}. La siguiente definición es crucial en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales lineales. Definición 4.1. Se dice que un operador diferencial lineal L es elíptico en Ω si carece de vectores característicos en todo x ∈ Ω. En otros términos, si para todo x ∈ Ω ∑ |α|=m aα(x)ξα = 0 ⇒ ξ = 0.
- 103. 4.2. TRANSFORMACIÓN DEOPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 95 4.2. Transformación de operadores de segundo orden Un operador general de segundo orden tiene la forma: Lu = ∑ i,j=1,...,n aij∂iju + ∑ i=1,...,n ai∂iu + a0u, donde podemos suponer, al ser u ∈ C2 (Ω), que aij = aji pues el grupo: aij∂ij + aji∂jiu = 1 2 (aij + aji) ∂iju + 1 2 (aij + aji) ∂jiu = a′ ij∂ij + a′ ji∂jiu, donde ahora a′ ij = a′ ji. Si para sendos dominios Ω, Q de Rn se tiene un difeomorfismo C2 g : Ω −→ Q x −→ y = g(x), es decir un cambio de las coordenadas x por las y entonces el operador sufre una transformación: L(∂x)u = ˜L(∂y)˜u, donde ˜u(y) = u(g−1 (y)) y ˜L(∂y)˜u = ∑ i,j=1,...,n ˜aij∂iju + ∑ i=1,...,n ˜ai∂iu + ˜a0u. Se trata de establecer la relación entre los nuevos coeficientes (los de ˜L) y los antiguos (los de L). Ahora: ∂xi u = ∑ k ∂u ∂yk ∂yk ∂xi = ∑ k ∂yk ∂xi ∂yk u ∂xixj u = ∑ k,l ∂yk ∂xi ∂yl ∂xj ∂ykyl u + ∑ k ∂2 yk ∂xi∂xj ∂yk u ∂α x u = (( ∂y ∂x )t ∂yu )α + ∑ |β|<|α| bβ∂β y u, de forma que en la última igualdad entendemos que: ∂xu = ∂x1 u ... ∂xn u = ( ∂y ∂x )t ∂yu = ∂x1 y1 . . . ∂x1 yn ... ... ... ∂xn y1 . . . ∂xn yn ∂y1 u ... ∂yn u , y en el primer sumando, las derivadas de y con respecto a x se multiplican, las derivadas con respecto a y se iteran.
- 104. 96 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Definiendo la forma bilineal característica (por abuso de notación repetimos la notación de la forma característica): σx : Rn × Rn −→ R (v, w) −→ σx(v, w), dada por: σx(v, w) = ∑ i,j aij(x)viwj, tenemos que: L(∂x)u = ∑ i,j=1,...,n aij∂iju + ∑ i=1,...,n ai∂iu + a0u = ∑ i,j=1,...,n aij ∑ k,l=1,...,n ∂yk ∂xi ∂yl ∂xj ∂ykyl u + ∑ k=1,...,n ∂2 yk ∂xi∂xj ∂yk u + ∑ i=1,...,n ai ∑ k=1,...,n ∂yk ∂xi ∂yk u + a0u = ∑ k,l=1,...,n ∑ i,j=1,...,n aij ∂yk ∂xi ∂yl ∂xj ∂ykyl u + ∑ k=1,...,n ∑ i,j=1,...,n aij ∂2 yk ∂xi∂xj + ∑ i=1,...,n ai ∂yk ∂xi ∂yk u + a0u = ∑ k,l=1,...,n σx(∇yk, ∇yl)∂ykyl u + ∑ k=1,...,n (L1yk) ∂yk u + a0u, donde el operador L1 es el resultado de suprimir de L el término de orden cero en u, es decir: L1u = ∑ i,j=1,...,n aij∂iju + ∑ i=1,...,n ai∂iu. Por tanto, ˜akl(y) = σg−1(y)(∇yk, ∇yl) ˜ak(y) = L1yk. Ejemplo 4.2. 1) Laplaciano en coordenadas polares. En coordenadas polares, { x = r cos θ y = r sen θ, r > 0, 0 < θ < 2π, se tiene: ∆u = ˜aurr + 2˜burθ + ˜cuθθ + ˜dur + ˜euθ,
- 105. 4.2. TRANSFORMACIÓN DEOPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 97 donde: ˜a = ⟨∇r, ∇r⟩ = 1 ˜b = ⟨∇r, ∇θ⟩ = 0 ˜c = ⟨∇θ, ∇θ⟩ = 1 r2 ˜d = ∆r = 1 r ˜e = ∆θ = 0. Por tanto, ∆u = urr + 1 r2 uθθ + 1 r ur. 2) Laplaciano en coordenadas cilíndricas. Cuando: x = r cos θ y = r sen θ z = z, r > 0, 0 < θ < 2π, z ∈ R, el Laplaciano toma la forma: ∆u = urr + 1 r2 uθθ + uzz + 1 r ur. 3) Laplaciano en coordenadas esféricas. Ahora, x = r sen ϕ cos θ y = r sen ϕ sen θ z = r cos ϕ, r > 0, 0 < ϕ < π, 0 < θ < 2π. Un poco de geometría, por ejemplo, nos lleva a que: ⟨∇r, ∇θ⟩ = ⟨∇r, ∇ϕ⟩ = ⟨∇θ, ∇ϕ⟩ = 0. Como ϕ = arccos (z/r): ∇r = 1 r (x, y, z) ∇θ = 1 r sen ϕ (− sen θ, cos θ, 0) ∇ϕ = 1 r2 √ x2 + y2 (zx, zy, −x2 − y2 ) ∆r = 2 r ∆θ = 0 ∆ϕ = cos ϕ (r2 sen ϕ) , con lo que |∇ϕ|2 = 1/r2 , con lo que: ∆u = urr + 1 r2 sen2 ϕ uθθ + 1 r2 uϕϕ + 2 r ur + cos ϕ r2 sen ϕ uϕ. Equivalentemente, ∆u = urr + 1 r2 sen2 ϕ uθθ + 1 r2 sen ϕ (sen ϕ uϕ) ϕ + 2 r ur.
- 106. 98 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 4.3. Clasificación de ecuaciones lineales 4.3.1. Operadores en el plano En el caso del plano tenemos un operador de segundo orden L con coeficientes continuos y definidos en un dominio plano Ω ⊂ R2 , Lu = a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f(x, y)u = L0u + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f(x, y)u. Nos proponemos encontrar nuevas coordenadas (ξ, η) en las que la parte prin- cipal L0 de L adopte la forma más sencilla posible. En otras palabras, hallar funciones: { ξ = ξ(x, y) η = η(x, y), que simplifiquen la expresión de ˜L0. Los coeficientes de ˜L0 son: ˜a = σ(∇ξ, ∇ξ) = a(x, y)ξ2 x + 2b(x, y)ξxξy + c(x, y)ξ2 y ˜b = σ(∇ξ, ∇η) = a(x, y)ξxηx + b(x, y)(ξxηy + ξyηx) + c(x, y)ξyηy ˜c = σ(∇η, ∇η) = a(x, y)η2 x + 2b(x, y)ηxηy + c(x, y)η2 y. Nada más natural que estudiar la edp de primer orden: a(x, y)ϕ2 x + 2b(x, y)ϕxϕy + c(x, y)ϕ2 y = 0. (4.2) Como las construcciones que siguen son locales, trabajaremos en entornos ade- cuados de puntos P0 = (x0, y0) ∈ Ω. Por otra parte supondremos que: a, b, c ∈ C1 (Ω). Admitiremos que a(P0) ̸= 0. Caso contrario tendríamos b(P0) ̸= 0, salvo que a y b se anulen en un entorno U de P0. En ese caso: L0 = 2b(x, y)ux,y en U. (4.3) Entonces, como la forma característica es: σ(v, w) = b(v1w2 + v2w1), para el cambio: { x1 = x + y y1 = x − y tendremos: ˜a = 2b = −˜c, ˜b = 0 y (3) toma la forma: ˜L0u = 2b{ux1x1 − uy1y1 }. Luego (3) no es otra cosa que el operador de ondas (módulo b).
- 107. 4.3. CLASIFICACIÓN DEECUACIONES LINEALES 99 Por tanto, supondremos que a ̸= 0 cerca de P0 ∈ Ω. La ecuación (2) se escribe entonces: a ( ϕx ϕy )2 + 2b ϕx ϕy + c = 0. (4.4) Cabe considerar tres opciones. Caso hiperbólico. El discriminante: d = b2 − ac > 0, en Ω. La ecuación (4) equivale al par de ecuaciones: ϕx ϕy = −b ± √ d a (:= λ±), también: ϕx − λ±ϕy = 0. (4.5) Hallar soluciones de (5) es hallar integrales primeras de: dx dt = 1 dy dt = −λ±. A tal fin, resolvemos: dy dx = −λ± y(x0) = ξ, y en la solución y = Y (x, ξ) despejamos –cerca de P0– ξ = ξ(x, y) (habrá un par ξ, η correspondientes a los dos valores λ± de λ). En efecto, consideramos: H(x, y, ξ) = 0, (4.6) con H(x, y, ξ) = y − Y (x, ξ) y (6) se cumple en (x0, y0, y0) mientras Hξ(x0, y0, y0) = −1. Basta entonces aplicar el teorema de la función implícita. Es importante observar que: 1 − Yξ(x, ξ)ξy = 0, luego ξy(P0) = 1 (luego ξx = λ±). Por otro lado, ∂(ξ, η) ∂(x, y) = ξx ξy ηx ηy = ξyηy(λ+ − λ−) = 2ξyηy √ d a . El valor del jacobiano es 2 √ d/a en P0, luego cerca de tal punto (ξ, η) define un genuino cambio de variable. Las coordenadas ξ, η se llaman coordenadas
- 108. 100 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS características del operador L (terminología que es coherente con los Capítulos 2 y 3, en particular ξ(x, y) = c1 y η(x, y) = c2 serán curvas características). Bajo esta elección de coordenadas la parte principal del operador transfor- mado es: ˜L0u = 2˜buξη, donde, ˜b = a(x, y)ξxηx + b(x, y)(ξxηy + ξyηx) + c(x, y)ξyηy = {aλ+λ− + b(λ+ + λ−) + c}ξyηy = − 2d a ξyηy. Resumiendo, en el caso hiperbólico la nueva parte principal es, ˜L0u = − 4d a ξyηyuξη. Como mayor conclusión todo L hiperbólico en Ω puede escribirse localmente como el operador de ondas. Ejemplos 4.3. 1) Para el operador de ondas: cu = utt − c2 uxx, la ecuación de las curvas características es: ϕ2 t − c2 ϕ2 x = 0, es decir ϕt ∓ cϕx = 0, luego una elección de las coordenadas características es: ξ = x + ct η = x − ct. Así(d = c2 ): cu = −4c2 uξη. 2) La ecuación: uxx − 2 sen xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0, se escribe: −2uξη = 0 en las coordenadas: ξ = y − cos x + x, ξ = y − cos x − x. Nótese que d = 1, λ± = sen x ± 1, la ecuación que da las características es: dy/dx = − sen x ∓ 1, mientras L(ξ) = L(η) = 0.
- 109. 4.3. CLASIFICACIÓN DEECUACIONES LINEALES 101 Caso parabólico. Es el correspondiente a: d = b2 − ac = 0, en Ω. Tenemos una sola raíz: λ = − b a de aλ2 + 2bλ + c = 0, y eligiendo una solución como en el caso anterior de: ϕx − λϕy = 0, es decir, de: ϕx + b a ϕy = 0, (con ξy ̸= 0 cerca de P0) y tomando por ejemplo: η = x, llegamos a que: ˜a = 0 ˜b = aξx + bξy = 0 ˜c = a, con lo que la nueva forma principal es: ˜L0u = auηη. Finalmente, ∂(ξ, η) ∂(x, y) = ξx ξy ηx ηy = ξy ̸= 0, por lo que tenemos un verdadero cambio de variable local. Ejemplo 4.4. 1) La ecuación del calor L(u) = ut − uxx es el ejemplo por antonomasia de operador parabólico. 2) La ecuación: x2 uxx − 2xyuxy + y2 uyy + xux + yuy = 0, es parabólica con: d = x2 y2 − x2 y2 = 0, con lo que una elección de ξ sale de la solución general de dy/dx = −y/x es decir ξ = yx. Con η = x la ecuación transformada es ηuηη + uη = 0, pues L(ξ) = 0, L(η) = η. Las soluciones son de la forma: u = F(ξ)+G(ξ) log η = F(xy) + G(xy) log x.
- 110. 102 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Caso elíptico 1 . Cuando: d = b2 − ac < 0 en Ω –caso denominado elíptico 2 – la ecuación (2) carece de soluciones reales. La función: λ = −b(x, y) + √ b2(x, y) − a(x, y)c(x, y) a(x, y) , toma valores complejos. Supondremos que λ = λ(x, y) puede extenderse a una función C1 en C2 (una condición necesaria y suficiente es que a, b, c sean ana- líticas reales en (x, y)). El problema: dy dx = −λ(x, y) y(x0) = ξ, admite una solución compleja y = Y (x, ξ) que es C1 en la variable (x, ξ) ∈ C2 de donde se puede despejar ξ = ϕ(x, y), ϕ una función compleja y C1 que cumple: aϕ2 x + 2bϕxϕy + cϕ2 y = 0. Poniendo ϕ = ξ + iη la ecuación lleva a las igualdades: a(ξ2 x − η2 x) + 2b(ξxξy − η − xηy) + c(ξ2 y − η2 y) = 0 aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy = 0. Por tanto ˜b = 0 mientras ˜a = ˜b. La nueva expresión de la forma principal será: ˜L0 = ˜a{uξξ + uηη}. Es decir, y módulo un factor multiplicativo, el caso elíptico es localmente el operador Laplaciano (en los términos de orden superior). Ejemplo 4.5. La ecuación de Tricomi: yuxx + uyy = 0, tiene d = −y. Es hiperbólica en y < 0. En este caso tenemos: λ± = ∓1/ √ −y que dan posibles ξ, η bajo la forma: ξ = x + 2 3 (−y)3/2 η = x − 2 3 (−y)3/2 , mientras L(ξ) = −L(η) = 1/(2 √ −y), ˜b = 2y. En la región y < 0 la ecuación de Tricomi adopta la forma: uξη − 1 8(−y)3/2 (uξ − uη) = 0. 1Ver [25] 2Terminología coherente con la de la Sección 4.1.
- 111. 4.3. CLASIFICACIÓN DEECUACIONES LINEALES 103 La ecuación es elíptica en y > 0 con λ = i√ y . Integrando dy/dx = −i/ √ y obtenemos como candidatas a ξ, η las funciones: ξ = 2/3y3/2 , η = x con lo que ˜a = y. Asímismo L(ξ) = 1/(2 √ y), L(η) = 0. La ecuación en coordenadas características adopta la forma: uξξ + uηη + 3 ξ uξ = 0. 4.3.2. Operadores con coeficientes constantes Cuando los coeficientes de la parte principal L son constantes, aún en el caso n-dimensional L0 puede simplificarse considerablemente usado álgebra lineal. Se recuerda el siguiente resultado. Teorema 4.2 (Teorema Espectral). Sea A una matriz real simétrica n × n. Existe entonces una matriz ortogonal P (P−1 = Pt ) tal que: Pt AP = P−1 AP = diag (λ1 n+) → . . . λn+ n−) → . . . λn++n− 0 . . . 0) = λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . λn donde λ1, . . . , λn+ son los autovalores positivos de A, λn++1, . . . , λn++n− son los correspondientes autovalores negativos mientras r = n+ + n− es exactamente el rango de A. Si representamos: P = col (P1 . . . Pn) e introducimos el cambio de variable: yi = gi(x) = Pt i X = ∑ l=1,...,n plixl, es decir Y = Pt X tenemos: σ(∇gi, ∇gj) = Pt i APj = λiδij, por lo que: ˜Lu = ∑ i=1,...,n λi ∂2 u ∂y2 i + ∑ i=1,...,n ˜ai(x) ∂u ∂yi + ˜a0(y)u, en donde ˜ai = ⟨(ai(x)), Pi⟩, 1 ≤ i ≤ n. Concluimos asíque: ˜L0u = ∑ i=1,...,n+ λi ∂2 u ∂y2 i + ∑ i=n++1,...,n++n− λi ∂2 u ∂y2 i .
- 112. 104 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS haciendo el cambio ηi = yi/ √ λi si 1 ≤ i ≤ n+, ηi = yi/ √ −λi si n+ + 1 ≤ i ≤ n+ + n−, yi = ηi si se da el caso en que el rango r = n+ + n− < n, ˜L0 toma finalmente la forma: ˜L0u = ∑ i=1,...,n+ ∂2 u ∂y2 i − ∑ i=n++1,...,n++n− ∂2 u ∂y2 i . (4.7) De acuerdo con las cuentas efectuadas tenemos la siguiente clasificación de ope- radores con coeficientes constantes. El operador L se dice • elíptico si r = n+ + n− = n mientras n+ = n o n− = n. Es este caso ˜L0 = ±∆n, • estrictamente hiperbólico si r = n+ + n− = n mientras n+ = n − 1 o n− = n − 1. En este caso ˜L0 = ∆n−1 − ∂2 /∂x2 n o ˜L0 = ∂2 /∂x2 1 − ∆n−1, • ultrahiperbólico si r = n+ + n− = n pero 2 ≤ n+, n− (n ≥ 4), • parabólico si r = n+ + n− = n − 1 mientras n+ = n − 1 o n− = n − 1. En este caso ˜L0 = ±∆n−1. Observación 4.6. Cuando r = n se dice que L es no degenerado (degenerado en caso contrario). Los números n+, n− y r sólo dependen de la matriz A. En caso de coeficientes variables A = A(x) = (aij(x)) se dice que el operador L es elíptico, parabólico o hiperbólico en x ∈ Ω si A(x) lo es. Por la continuidad del espectro con respecto a los coeficientes, si éstos son continuos y A es no degenerada, las propiedades de elipticidad e hiperbolicidad se mantendrán en las proximidades de un punto de referencia. Ejercicio 4.3. Comprobar que para n = 2 y coeficientes constantes las defini- ciones de elíptico, parabólico e hiperbólico coinciden con las ya dadas. Ejercicio 4.4. Pruébese que L es elíptico en x ∈ Ω (se suponen coeficientes variables) si y sólo si: ∑ i,j=1,...,n aij(x)ξiξj ≥ λ(x)|ξ|2 , para alguna constante positiva λ(x) > 0 y todo ξ ∈ Rn . Observación 4.7. Se probó en el plano la reducción de la parte principal ˜L0 a los tres tipos: ˜L0 = µ(x, y) {uξξ + uηη} {uξξ} {uξξ − uηη},
- 113. 4.4. ECUACIÓN DEONDAS UNIDIMENSIONAL 105 en los casos elíptico, parabólico e hiperbólico. En coeficientes variables no es posible en general reducir L para llegar a una parte principal: ˜L0u = µ(x) ∑ i=1,...,n εi ∂2 u ∂y2 i , donde los εi’s toman valores ±1 y 0. Ello nos llevaría a buscar n funciones g = gi(x) satisfaciendo por un lado: ⟨∇gi, ∇gj⟩ = 0 1 ≤ i < j ≤ n, (4.8) ((n − 1)n/2 ecuaciones) junto con, ⟨∇gi, ∇gi⟩ = ⟨∇gi0 , ∇gi0 ⟩ i ̸= i0, (n − 1 ecuaciones adicionales). Como: (n − 1)(n + 2) 2 ≤ n, sólo si n ≤ 2 tendremos para n ≥ 3 más ecuaciones que incógnitas lo que no hará factible en general la resolubilidad del correspondiente sistema. 4.4. Ecuación de ondas unidimensional 4.4.1. El problema de valor inicial Basados por ejemplo en el modelo de la cuerda vibrante, nos planteamos en primer lugar el estudio del problema de valor inicial: utt = c2 uxx x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R ut(x, 0) = g(x) x ∈ R . (4.9) Usaremos la notación del operador D’Alambertiano: cu = utt − c2 uxx para representar en algunos casos el operador de ondas. Teorema 4.3 (Fórmula de D’Alambert). Para cada f ∈ C2 (R), g ∈ C1 (R) el problema de valor inicial (4.9): utt = c2 uxx x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R ut(x, 0) = g(x) x ∈ R . admite como única solución clásica a: u(x, t) = 1 2 {f(x + ct) + f(x − ct)} + 1 2c ∫ x+ct x−ct g(s) ds. (4.10)
- 114. 106 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Observaciones 4.8. a) Las posibles soluciones de (P) pueden extenderse a t ∈ R. De hecho la ecuación es reversible en t en el sentido de que es invariante frente al cambio t → −t. b) Es conveniente representar por u = u(x, t, t0, f, g) a la solución del problema: utt = c2 uxx x ∈ R, t > t0 u(x, t0) = f(x) x ∈ R ut(x, t0) = g(x) x ∈ R . Tal solución viene dada en términos de la del problema en t = 0 como sigue: u(x, t, t0, f, g) = u(x, t − t0, 0, f, g) . Demostración del Teorema 4.3. La introducción de las coordenadas caracterís- ticas: ξ = x + ct η = x − ct, permite escribir: cu = −4c2 uξη. Toda solución de cu = 0 en t ≥ 0 adopta entonces la forma: u = F(ξ) + G(η). (4.11) Cálculos elementales llevan a que: F(ξ) = 1 2 {f(ξ) + 1 c ∫ ξ 0 g(s) ds} + C G(η) = 1 2 {f(η) − 1 c ∫ η 0 g(s) ds} − C , (4.12) con C una constante arbitraria. Esta construcción lleva implícita tanto la exis- tencia como unicidad de soluciones clásicas. Observación 4.9. La expresión (4.11), (4.12) asegura que la solución de (4.9) es la superposición de dos ondas viajeras con velocidades de propagación respectivas dadas por ±c. 4.4.2. Velocidad de propagación finita de las perturbacio- nes Dado el punto (¯x, ¯t) con ¯t > 0 las rectas características: ξ = ¯ξ η = ¯η, con ¯ξ = ¯x+c¯t, ¯η = ¯x−c¯t delimitan las regiones donde “el pasado"de la solución, t ≤ ¯t, influye sobre el valor de u en (¯x, ¯t) y donde el valor u(¯x, ¯t) influirá sobre
- 115. 4.4. ECUACIÓN DEONDAS UNIDIMENSIONAL 107 los valores futuros de la solución. Tales son respectivamente el cono pasado de luz: Γ− (¯x, ¯t) = {(x, t) : ξ ≤ ¯ξ, η ≥ ¯η}, y el cono futuro de luz: Γ+ (¯x, ¯t) = {(x, t) : ξ ≥ ¯ξ, η ≤ ¯η}, por el punto (¯x, ¯t). En efecto para ¯t > 0 y según (1): u(¯x, ¯t) = 1 2 {f(¯ξ) + f(¯η)} + 1 2c ∫ ¯ξ ¯η g(s) ds Luego la solución usa la información en Γ− (¯x, ¯t) ∩ {t = 0}. Alternativamente, para cualquier t0 < ¯t la solución puede observarse como la que tomó datos iniciales u y ut en t = t0. Usando la notación precedente: u(x, t) = u(x, t, t0, u(·, t0, 0, f, g), ut(·, t0, 0, f, g)), que dice que u(¯x, ¯t) también se construye usando la información de la propia u confinada en Γ− (¯x, ¯t) ∩ {t = t0}. Un argumento simétrico muestra que Γ+ (¯x, ¯t) es la región donde la informa- ción en el punto (¯x, ¯t) afectará a la solución u. Por eso a Γ+ (¯x, ¯t) también se le llama la “región de influencia"del punto (¯x, ¯t). El mismo género de argumentos geométricos llevan al siguiente resultado. Teorema 4.4. Sean f ∈ C2 (R), g ∈ C1 (R) funciones con somporte compacto. Entonces la solución de (P) es tal que u(·, t) tiene soporte compacto para cada t. Además, cualquiera que sea el intervalo [a, b] cumpliendo: sop f ∪ sop g ⊂ [a, b], se tendrá que sop u(·, t) ⊂ [a(t), b(t)] con a(t) = a − ct, b(t) = b + ct. Observaciones 4.10. a) Nótese que el soporte se expande con velocidad c, eso justifica la terminología de velocidad de propagación finita de las pertur- baciones. b) Es muy formativo el estudio de los casos particulares: f con soporte com- pacto, g = 0, f = 0, g con soporte compacto, respectivamente. 4.4.3. Soluciones generalizadas. Propagación de disconti- nuidades La fórmula de D’Alambert requiere muy poca regularidad en los datos f y g para dar sentido al segundo miembro de (4.10). Si f y g no son tan regulares como en el Teorema 4.3 podemos decir que la fórmula de D’Alambert define una solución generalizada de (??). Puede justificarse la definición por el artificio de aproximar f y g por fn y gn regulares. Bajo condiciones muy generales en
- 116. 108 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS los límites fn → f, gn → g se tiene un → u y se concluye que la solución generalizada u es límite de soluciones clásicas. Por ejemplo si los límites de fn, gn son uniformes o uniformes sobre compactos, un → u uniformemente sobre compactos de R2 . Una segunda intuición que se hace evidente es que la ecuación de ondas preserva las discontinuidades, que se propagan con velocidad constante c a través de las características ξ = ξ0, η = η0. Para uso posterior es conveniente fijar la siguiente definición. Definición 4.5. Diremos que f es de clase Ck a trozos si existen a1 < . . . < aN y existen N +1 funciones fi ∈ Ck (R) tales que f(x) = f1(x) para x < a1, f(x) = fN+1(x) en x > aN , f(x) = fi(x) en ai < x < ai+1 para cada i ∈ {1, . . . , N −1}. Resumiendo, tales funciones f junto con sus derivadas hasta el orden k ad- miten a lo más discontinuidades de salto en los puntos x = ai. Representaremos por, σf(l) (ai) = f(l) (ai+) − f(l) (ai−), el salto de la derivada l-ésima de f en x = ai. Admitamos ahora que f y g son respectivamente C2 y C1 a trozos e inves- tiguemos dónde dejan de ser regulares la solución generalizada u de (P) y sus derivadas hasta el orden dos. No se pierde generalidad si se supone que los ai’s son los mismos para f y g. Recordando que: u = 1 2 {f(ξ) + f(η)} + 1 2c ∫ ξ η g(s) ds, tenemos, ux = 1 2 {f′ (ξ) + f′ (η)} + 1 2c {g(ξ) − g(η)} uxx = 1 2 {f′′ (ξ) + f′′ (η)} + 1 2c {g′ (ξ) − g′ (η)} ut = c 2 {f′ (ξ) − f′ (η)} + 1 2 {g(ξ) + g(η)} utt = c2 2 {f′′ (ξ) + f′′ (η)} + c 2 {g′ (ξ) + g′ (η)} uxt = c 2 {f′ (ξ) − f′ (η)} + 1 2 {g′ (ξ) + g′ (η)} . Considerando cada una de las derivadas como una función de x para cada t fijo
- 117. 4.4. ECUACIÓN DEONDAS UNIDIMENSIONAL 109 tenemos para x∓ i (t) = ai ∓ ct, σu(x∓ i (t)) = 1 2 σf (ai) σux (x∓ i (t)) = 1 2 σf′ (ai) ± 1 2c σg(ai) σuxx (x∓ i (t)) = 1 2 σf′′ (ai) ± 1 2c σg′ (ai) σut (x∓ i (t)) = ± c 2 σf′ (ai) + 1 2 σg(ai) σutt (x∓ i (t)) = c 2 σf′′ (ai) ± c 2 σg′ (ai) σuxt (x∓ i (t)) = ± c 2 σf′′ (ai) + 1 2 σg(ai) . siempre que x∓ i (t) ̸= x∓ j (t) cuando i ̸= j. Si para ai < aj tenemos x+ i = x− j (en ese caso t = (aj − ai)/2c) entonces: σu(x+ i (t)) = 1 2 (σf (ai) + σf (aj)) σux (x+ i (t)) = 1 2 (σf′ (ai) + σf′ (aj)) + 1 2c (σg(aj) − σg(ai)) σuxx (x+ i (t)) = 1 2 (σf′′ (ai) + σf′′ (ai)) + 1 2c (σg′ (aj) − σg′ (ai)) σut (x+ i (t)) = c 2 (σf′ (aj) − σf′ (ai)) + 1 2 (σg(aj) + σg(ai)) σutt (x+ i (t)) = c 2 (σf′′ (aj) + σf′′ (ai)) + c 2 (σg′ (aj) − σg′ (ai)) σuxt (x+ i (t)) = c 2 (σf′′ (aj) − σf′′ (ai)) + 1 2 (σg(aj) + σg(ai)) . Resumiendo, las discontinuidades “circulan” a través de las características, con velocidad constante y manteniendo la magnitud del salto. Este hecho es típico de las ecuaciones hiperbólicas (ver [11] para más información). 4.4.4. Soluciones simétricas La propiedad de unicidad de soluciones permite transvasar las simetrías de los datos a la solución. Diremos que f = f(x) es • periódica de período T si f(x + T) = f(x) para todo x ∈ R, • par (impar) con respecto a x0 si f(x′ ) = f(x) (f(x′ ) = −f(x)) para todo x ∈ R, donde x′ = 2x0 − x. Teorema 4.6. Supongamos que f ∈ C2 (R), g ∈ C1 (R). 1. Si f, g son impares con respecto a x0, u(·, t) es impar con respecto a x0 para todo t ∈ R.
- 118. 110 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 2. Si f, g son pares con respecto a x0, u(·, t) es par con respecto a x0 para todo t ∈ R. 3. Si f, g son T-periódicas, u(·, t) es T-periódica para todo t ∈ R. 4.4.5. El problema no homogéneo Suponemos ahora que F(x, t) y Fx(x, t) son continuas en R × [0, +∞). Nos proponemos resolver el problema perturbado: utt = c2 uxx + F(x, t) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R ut(x, 0) = g(x) x ∈ R . (4.13) Como se sabe basta con hallar la solución u0(x, t) de: utt = c2 uxx + F(x, t) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = 0 x ∈ R ut(x, 0) = 0 x ∈ R . (4.14) Lo más difícil es dar con el candidato a u0. En la ecuación de ondas se dispone de diversas opciones para determinar u0. A) Fórmula de variación de las constantes de Lagrange. Es común a todos los problemas lineales. Si A es un operador lineal en RN la solución de du dt = Au u(0) = ξ0, es u = eAt ξ0 que puede visualizarse como una acción lineal sobre ξ0 que depende del tiempo t. La fórmula de variación de las constantes de Lagrange proporciona la solución u0 de: du dt = Au + F(t) u(0) = 0, en la forma: u0 = ∫ t 0 eA(t−τ) F(τ) dτ. Estas ideas se aplican inmediatamente a nuestro caso y al de todos los problemas lineales concebibles. En efecto, (P) se puede interpretar como: dw dt = Aw w(0) = w0, (4.15) donde w = (w1, w2) = (u, ut), w0 = (f, g), el operador A: A : C2 (R) × C1 (R) −→ C1 (R) × C(R) w −→ Aw = (w2, c2 w1xx) .
- 119. 4.4. ECUACIÓN DEONDAS UNIDIMENSIONAL 111 La solución de (P) se puede escribir como: w = Φ(t)w0 = (Φ1(t)w0, Φ2(t)w0), con: Φ1(t)w0 = Φ1(t)(f, g) = 1 2 {f(ξ) + f(η)} + 1 2c ∫ ξ η g(s) ds. Una manera abstracta de interpretar (5) es considerar: dw dt = Aw + (0, F(t)) w(0) = 0, (4.16) donde: F : R −→ C1 (R) t −→ F(t) = F(·, t). Una solución formal de (6) es, según la fórmula de variación de las constantes de Lagrange, wp(t) = ∫ t 0 Φ(t − τ)(0, F(τ)) dτ. Si seleccionamos la primera componente w1 p de wp tenemos que: w1 p(t) = 1 2c ∫ t 0 ∫ ·−c(t−τ) ·+c(t−τ) F(s, τ) dsdτ. Precisamente w1 p es la candidata a solución u0 de (5). Una espresión más razo- nable es: u0(x, t) = 1 2c ∫∫ Γ−(x,t)∩{t≥0} F(s, τ) dsdτ. La región Γ− (x, t) ∩ {t ≥ 0} se llama triángulo característico con vértice en (x, t). B) Coordenadas características. El problema (4.14) en coordenadas caracterís- ticas adopta la forma: uξη = − 1 4c2 ¯F(ξ, η) u(ξ, ξ) = 0 uξ(ξ, ξ) = uη(ξ, ξ), (4.17) con ¯F(ξ, η) = F((ξ + η)/2, (ξ − η)/2c). La solución de (4.17) resulta ser, u = φ(ξ) + ψ(η) − 1 4c2 ∫ ξ 0 (∫ η 0 ¯F(s1, s2) ds2 ) ds1. (4.18) Un cálculo elemental revela que: φ(ξ) = 1 4c2 ∫ ξ 0 (∫ s1 0 ¯F(s1, s2) ds2 ) ds1 + α ψ(η) = 1 4c2 ∫ η 0 (∫ s2 0 ¯F(s1, s2) ds1 ) ds2 − α.
- 120. 112 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Al substituir en (4.18) tenemos (obsérvense con cuidado los distintos recintos de integración implicados): u(ξ, η) = 1 4c2 ∫∫ ¯T ¯F(s1, s2)ds1ds2, donde ¯T es el triángulo característico: ¯T = {(s1, s2) : s1 > s2, s1 < ξ, s2 > η}, con ξ = x + ct, η = x − ct. Si efectuamos el cambio de variable: s = s1 + s2 2 τ = s1 − s2 2c , en la integral doble obtenemos de nuevo la expresión para u0, u0(x, t) = 1 2c ∫∫ Γ−(x,t)∩{t≥0} F(s, τ) dsdτ. C) Método de Duhamel. Una tercera técnica para construir la solución de (4.14) es el llamado método de Duhamel que se desarrolla en los Ejercicios 24 y 25 de este capítulo. Resumiendo, hemos probado el siguiente resultado. Teorema 4.7. Sean f ∈ C2 (R), g ∈ C1 (R), F, Fx ∈ C(R×[0, +∞)). Entonces, la solución del problema perturbado: utt = c2 uxx + F(x, t) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R ut(x, 0) = g(x) x ∈ R , tiene como única solución a: u = 1 2 {f(x+ct)+f(x−ct)}+ 1 2c ∫ x+ct x−ct g(s) ds+ 1 2c ∫ t 0 ∫ x−c(t−τ) x+c(t−τ) F(s, τ) dsdτ. 4.5. Problemas de contorno El problema físico que genera el modelo de la ecuación de ondas sugiere que la unicidad de soluciones sólo se podrá conseguir cuando además de condiciones iniciales se impongan condiciones de contorno si se trabaja en un dominio con frontera no vacía (un intervalo con alguno de sus extremos finito). En esta sección trataremos con intervalos finitos Ω = (0, l) (relegamos Ω = (a, +∞) a la sección de ejercicios). Nos ocuparemos de estudiar los problemas: utt = c2 uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l B0u = α(t) Blu = β(t) t > 0 , (4.19)
- 121. 4.5. PROBLEMAS DECONTORNO 113 donde Bx0 representa el operador de contorno en la frontera {a, b} de un intervalo Ω = (a, b), es decir x0 = a o x0 = b. La condición de contorno se dirá de tipo: • Dirichlet si Bx0 u = u(x0, t), • Neumann si Bx0 u = ν ∂u ∂x (x0, t) donde ν = −1 si x0 = a, ν = 1 si x0 = b (el operador ν ∂ ∂x se llama derivada normal exterior). • Robin si Bx0 u = ν ∂u ∂x (x0, t) + bu(x0, t) con b ≥ 0. El problema (4.19) se dirá de tipo Dirichlet, Neumann o Robin si, respectiva- mente, ambas condiciones en (4.19) son Dirichlet, Neumann o Robin. Si en cada extremo hay condiciones distintas hablaremos de problema mixto. Diremos que u = u(x, t) es una solución clásica de (4.19) si u ∈ C2 ([0, l] × [0, +∞)). Nuestro primer resultado es de unicidad. La elección del coeficiente procede de la deducción física (Capítulo 1). Teorema 4.8. El problema de contorno y valor inicial: utt = c2 (x)uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l B0u = α(t) Blu = β(t) t > 0 , con c2 (x) = T0/ρ(x), ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0 para x ∈ [0, l], admite a lo más una solución clásica. Demostración. Si u es solución de: utt = c2 (x)uxx + F(x, t), entonces: ρutt − T0uxx = ρF ρuttut − T0uxxut = ρFut ρuttut + T0uxuxt − (T0uxxut + T0uxuxt) = ρFut 1 2 (ρu2 t + T0u2 x)t − T0(uxut)x = ρFut . Integrando de 0 a l con respecto a x: 1 2 ∫ l 0 (ρu2 t + T0u2 x)t dx − T0uxut|l 0 = ∫ l 0 ρ(s)F(s, t)ut(s, t) ds. (4.20) Escribamos, E(t) = 1 2 ∫ l 0 (ρu2 t + T0u2 x) dx.
- 122. 114 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Integrando (4.20) con respecto a t entre t = 0 a t = ¯t llegamos a: E(¯t) − E(0)− T0 2 (∫ ¯t 0 (ux(l, τ)ut(l, τ) − ux(0, τ)ut(0, τ)) dτ ) = ∫ ¯t 0 ∫ l 0 ρ(s)F(s, τ)ut(s, τ) dsdτ. Si u1, u2 son dos soluciones clásicas del problema, la diferencia v = u1 − u2 satisface un problema donde F, f, g, α y β son nulos, con lo que se llega a que: 1 2 ∫ l 0 (ρu2 t + T0u2 x) dx = 0, para cada t, de donde se deduce fácilmente que v(x, t) = 0 en (x, t) ∈ [0, l] × [0, +∞). Observación 4.11. Si en el problema de contorno las fuerzas exteriores son cero (F = 0) junto con las condiciones de contorno (α = β = 0), de los cálculos anteriores se deduce: 1 2 ∫ l 0 (ρu2 t (s, t) + T0u2 x(s, t)) dx = 1 2 ∫ l 0 (ρg(s)2 + T0(f′ (s))2 ) dx. En otras palabras, se conserva la energía total del proceso. Región de influencia 3 sobre un punto (¯x, ¯t). En la demostración del teorema precedente hemos probado que cuando f = g = 0, si además F, α, β son nulas en t < ¯t entonces u = 0 en R = [0, l] × [0, ¯t]. Comprobaremos cómo hay una región más pequeña que R y con vértice en cada (¯x, ¯t), 0 ≤ ¯x ≤ l, donde se observa el mismo fenómeno. Supondremos que la tal región de influencia P está limitada por dos curvas t = Q1(x), t = Q2(x) incidentes en (¯x, ¯t) con Qi(x) ≤ ¯t, Q1 definida en [0, ¯x], Q2 en [¯x, l] (ver Figura 9). En P se tiene, según hemos visto, 1 2 (ρu2 t + T0u2 x)t − T0(uxut)x = 0. (4.21) Si definimos por t = Q(x) la unión de las dos curvas e integramos (4.21) sobre P tenemos: 1 2 ∫∫ P (ρu2 t + T0u2 x)t dsdτ = 1 2 ∫ l 0 ∫ Q(s) 0 (ρu2 t + T0u2 x)t dsdτ = 1 2 ∫ l 0 (ρu2 t (s, Q(s)) + T0u2 x(s, Q(s))) ds. 3Ver [26]
- 123. 4.5. PROBLEMAS DECONTORNO 115 Figura 4.1: Dominio de influencia sobre el punto (¯x, ¯t) Por otro lado: ∫∫ P (uxut)x dsdτ = ∫ ¯t 0 ∫ l2(τ) l1(τ) (uxut)xdsdτ = ∫ ¯t 0 (ux(l2(τ), τ)ut(l2(τ), τ) − ux(l1(τ), τ)ut(l1(τ), τ)) dτ, donde si t1 = Q1(0), t2 = Q2(l) se tiene l1 = 0 en τ ≤ t1, l2 = l para t ≤ t2. Si por simplicidad suponemos condiciones Dirichlet o Neumann resulta que: ∫∫ P (uxut)x dsdτ = ∫ ¯t t2 ux(Q−1 2 (τ), τ)ut(Q−1 2 (τ), τ) dτ − ∫ ¯t t1 ux(Q−1 1 (τ), τ)ut(Q−1 1 (τ), τ) dτ. Haciendo el cambio s = Q−1 i (τ), ∫∫ P (uxut)x dsdτ = − ∫ l ¯x uxutQ′ 2(s) ds − ∫ ¯x 0 uxutQ′ 1(s) ds = − ∫ l 0 uxut dQ ds ds = − ∫ l 0 uxut dt dx dx. Por tanto: ∫∫ P { 1 2 (ρu2 t + T0u2 x)t − T0(uxut)x} dsdτ = ∫ l 0 [ 1 2 ρu2 t + 1 2 T0u2 x + T0uxut dt dx ] dx = 0, entendiéndose en la última integral que t = Q(x). Recordando que c2 = T0/ρ(x)
- 124. 116 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS resulta que: ∫ l 0 1 2 ρ [ u2 t + c2 u2 x + 2c2 uxut dt dx ] dx = ∫ l 0 1 2 ρ {[ ut + c2 ux dt dx ]2 + c4 u2 x [ 1 c2 − ( dt dx )2 ]} dx = 0. (4.22) Si: ( dt dx )2 = 1 c2 , tendremos, si tenemos en cuenta que P ⊂ {t ≤ ¯t}, las expresiones de t = Qi(x), i = 1, 2: t(x) = ¯t − ∫ ¯x x 1 c(s) ds 0 < x < ¯x ¯t − ∫ x ¯x 1 c(s) ds ¯x < x < l. (4.23) De (4.22) y (4.23) se deduce que ut = ux = 0 en (¯x, ¯t) y con el mismo argumento se tiene que ux = ut = 0 en P. De ahí, u = 0 en P si F, α, β son nulas en P, a parte de f = g = 0 en [0, l]. 4.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos Supongamos que el problema de Dirichlet homogéneo: utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0 , (4.24) admite una solución clásica u. Entonces f y g, supuestas C2 y C1 respectiva- mente en [0, l], han de satisfacer las condiciones de compatibilidad siguientes: { f(0) = f(l) = f′′ (0) = f′′ (l) = 0 g(0) = g(l) = 0. (4.25) Análogamente, para el problema de Neumann, utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l ux(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0 , (4.26) habrá de tenerse: { f′ (0) = f′ (l) = 0 g′ (0) = g′ (l) = 0. (4.27)
- 125. 4.5. PROBLEMAS DECONTORNO 117 Así pues (4.25) y (4.27) son condiciones necesarias para la existencia de solu- ciones clásicas. Ahora unas consideraciones elementales de simetría. Si f = f(x) ∈ C(R) es impar con respecto a x = 0 y 2l-periódica entonces f es también impar con respecto a x = l. En efecto, f(2l − x) = f(−x) = −f(x). Por tanto, f(0) = f(l) = 0. Supongamos por otra parte que f ∈ C2 [0, l] satisface (4.25). Si efectuamos la extensión impar a [−l, l] y después la extensión 2l- periódica a R obtenemos además una función ¯f, de clase C2 , que es impar con respecto a x0 = 0. En efecto, si x ∈ R, x = x0 + 2kl para k ∈ Z, x0 ∈ [−l, l]. Si x0 ∈ [0, l]: ¯f(x) = ¯f(x0 + 2kl) = f(x0) = − ¯f(−x0) = − ¯f(−x0 − 2kl) = − ¯f(−x). Si x0 ∈ [−l, 0] resulta: ¯f(x) = ¯f(x0 + 2kl) = ¯f(x0) = −f(−x0) = − ¯f(−x0) = − ¯f(−x0 − 2kl) = − ¯f(−x). Análogamente, f = f(x) ∈ C(R), par con respecto a x = 0 y 2l-periódica implican que f es también par con respecto a x = l. Si, por otro lado, f ∈ C2 [0, l] satisface (4.27), la extensión par a [−l, l] primero y 2l-periódica después a R dan lugar una función C2 , ¯f, que es par con respecto a x0 = 0. Teorema 4.9. Sean f ∈ C2 [0, l], g ∈ C1 [0, l] funciones que satisfacen las con- diciones (4.25). Entonces el problema de Dirichlet (4.24) admite una única so- lución clásica u ∈ C2 ([0, l] × [0, +∞)). La misma conclusión se obtiene para el problema de Neumann (4.26) bajo datos f ∈ C2 [0, l], g ∈ C1 [0, l] satisfaciendo (4.27). Demostración. Para (4.24) efectuamos las extensiones impares y 2l-periódicas ¯f, ¯g de f y g y resolvemos el problema de valor inicial: utt = c2 uxx x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = ¯f(x) x ∈ R ut(x, 0) = ¯g(x) x ∈ R . Su solución u = ¯u(x, t) da la única solución del problema de Dirichlet. Análogas consideraciones llevan a la solución del problema de Neumann (4.26). Ejercicio 4.5 (Condiciones mixtas). Sea f ∈ C2 [0, l] tal que f(0) = f′ (0) = l. Efectuamos sucesivamente: la extensión impar a [−l, 0], la extensión par con respecto a x0 = l a [l, 3l] y la extensión 4l-periódica a R. Pruébese que tal extensión ¯f es C2 , impar en x0 = 0 y par en x0 = l. Probar, bajo condiciones
- 126. 118 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS de compatibilidad adecuadas, la existencia de una única solución clásica del problema mixto: utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0 . (4.28) 4.5.2. Oscilaciones libres Es conveniente recordar el siguiente, Ejercicio 4.6. Sea g ∈ C(R) T-periódica. Entonces G(t) = ∫ t 0 g es T-periódica si y sólo si ∫ T 0 g = 0. El próximo resultado evidencia la existencia de oscilaciones libres en el pro- blema de la cuerda vibrante bajo diversas condiciones de contorno. Teorema 4.10. Sean f ∈ C2 [0, l], g ∈ C1 [0, l]. Entonces, 1. La solución u de (4.24) (respectivamente, (4.28)), f, g cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.25) (r. las correspondientes condiciones de compatibilidad) es 2l c -periódica (r. 4l c -periódica) en t. 2. La solución u de (4.26), f, g cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.27) es 2l c -periódica en t si y sólo si ∫ l 0 g = 0. Ejercicio 4.7 (Propagación de discontinuidades). Usar el teorema precedente para probar que si f y g son, respectivamente, C2 y C1 a trozos (esto inclui- ría posiblemente la violación de alguna de las condiciones de compatibilidad) entonces las discontinuidades se propagan con velocidad c en los dos sentidos, mantienen la magnitud del salto y se reflejan en los bordes x = 0, x = l. 4.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos Consideramos ahora los problemas, utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 , (4.29) y utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l ux(0, t) = α(t), ux(l, t) = β(t) t > 0 . (4.30)
- 127. 4.5. PROBLEMAS DECONTORNO 119 La búqueda de soluciones clásicas requiere en cada caso las condiciones de com- patibilidad: α(0) = f(0) α′ (0) = g(0) α′′ (0) = c2 f′′ (0) β(0) = f(l) β′ (0) = g(l) β′′ (0) = c2 f′′ (l) (4.31) y, { α(0) = f′ (0) α′ (0) = g′ (0) β(0) = f′ (l) β′ (0) = g′ (l), (4.32) respectivamente. Por simplicidad vamos a construir la solución a (4.29). La hallaremos bajo la forma: u = F(ξ) + G(η). Las condiciones iniciales nos dan F, G en [0, l] como: F(ξ) = 1 2 f(ξ) + 1 2c ∫ ξ 0 g G(η) = 1 2 f(η) − 1 2c ∫ η 0 g. La validez de la condición de contorno en x = 0 nos lleva a: α(t) = F(ct) + G(−ct). Esto permite definir G en [−l, 0] como: G(η) = α(− η c ) − F(−η). (4.33) La condición en x = l: β(t) = F(l + ct) + G(l − ct), permite definir F en el intervalo [l, 3l] en la forma: F(ξ) = β( ξ − l c ) − G(2l − ξ). (4.34) En definitiva, las relaciones (4.33), (4.34) permiten extender F y G de forma que u define la solución de (4.29). Las condiciones (4.30) aseguran la regularidad de las extensiones. Para (4.31) (y condiciones de contorno adecuadas) se procede de la misma forma. En todos los casos, G debe extenderse a η ≤ 0, F a ξ ≥ l. Ejercicio 4.8. Calcúlense algunas etapas de la construcción de F y G para las condiciones u(0, t) = α(t), ux(l, t) + bu(l, t) = β(t), b ≥ 0. Ejercicio 4.9. En el problema de Dirichlet, comprobar la regularidad de G en η = 0 y la de F en ξ = l.
- 128. 120 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 4.5.4. Problemas de contorno perturbados Considérese a título de ejemplo el problema de Dirichlet: utt = c2 uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 , (4.35) en el que se supone que F, Fx ∈ C([0, l] × [0, +∞)). Una manera de proceder es extender primero F a una ¯F de suerte que ¯F, ¯Fx ∈ C(R × [0, +∞)). Después resolver el problema: utt = c2 uxx + ¯F(x, t) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = 0 x ∈ R ut(x, 0) = 0 x ∈ R, con solución ¯u que al restarla de la de (4.35) nos lleva a: vtt = c2 vxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) − ¯u(x, 0) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) − ¯ut(x, 0) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = α(t) − ¯u(0, t), u(l, t) = β(t) − ¯u(l, t) t > 0 , problema del que se ha tratado. Ejercicio 4.10. Considérese una distribución de densidad de fuerzas de clase C1 en [0, l] que cumple F(0) = F(l) = 0. Demuéstrese que la solución de: utt = c2 uxx + F(x) 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 , es también 2l/c-periódica en t. 4.6. Problemas semilineales 4.6.1. Problemas de valor inicial Las ideas precedentes se aplican –apoyándonos en las ecuaciones diferenciales ordinarias– al estudio de la existencia y unicidad de soluciones locales para el problema semilineal: utt = c2 uxx + F(x, t, u, ux, ut) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R ut(x, 0) = g(x) x ∈ R ,
- 129. 4.6. PROBLEMAS SEMILINEALES121 donde por brevedad supondremos que F = F(x, t, y1, y2, y3) es de clase C1 en R5 . La idea es fabricar una solución local (u, U), u ∈ C1 (U), U un abierto que contiene al eje x. La versión del problema en coordenadas características es: uξη = − 1 4c2 ¯F(ξ, η, u, uξ, uη) u(ξ, ξ) = f(ξ) uξ(ξ, ξ) − uη(ξ, ξ) = g(ξ), (4.36) donde ¯F se deduce de manera obvia a partir de F. Si fijamos x0 toda posible solución de (4.36) cerca de ξ = η = x0 ha de satisfacer la identidad de punto fijo: u = u0 + 1 4c2 ∫ ξ η ∫ s1 η ¯F(s1, s2, u, uξ, uη) ds2ds1, (4.37) con u0 = 1 2 {f(ξ) + f(η)} + 1 2c ∫ ξ η g(s) ds. Para δ > 0 llamamos Qδ = [x0 − δ, x0 + δ] × [x0 − δ, x0 + δ]. Si fijamos δ0, R0, números positivos y K = {(ξ, η, z, p, q) ∈ R5 : (ξ, η) ∈ Qδ, |z − u0(ξ, η)|, |p − u0ξ(ξ, η)|, |q − u0η(ξ, η)| ≤ R0}, definimos: L = sup (ξ,η,z,p,q)∈K | ¯F| + | ¯Fξ| + | ¯Fη|. Para resolver la ecuación de punto fijo (4.37) cerca de (x0, x0) tomamos δ, δ1 menores que δ0 y R0, respectivamente, construimos: Xδ,δ1 = {u ∈ C1 (Qδ) : |u − u0|1 ≤ δ1}. Definimos el operador: T : Xδ,δ1 −→ C1 (Qδ) v −→ T (v) , donde: T (v) = u0 + 1 4c2 ∫ ξ η ∫ s1 η ¯F(s1, s2, v) ds2ds1, (4.38) siendo F(s1, s2, v) = ¯F(s1, s2, v, vξ, vη). Se pueden elegir δ y δ1 de forma que T sea contractivo de Xδ,δ1 sobre si mismo. En efecto: T (v)ξ = u0ξ + 1 4c2 ∫ ξ η ¯F(ξ, s2, v) ds2 T (v)η = u0η − 1 4c2 ∫ ξ η ¯F(s1, η, v) ds1,
- 130. 122 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS con lo que, para cada v ∈ Xδ,δ1 : |T (v) − u0| ≤ Lδ2 c2 |T (v)ξ − u0ξ| ≤ Lδ 2c2 |T (v)η − u0η| ≤ Lδ 2c2 mientras: |T (v1) − T (v2)| ≤ Lδ2 c2 |v1 − v2|1 |T (v1)ξ − T (v2)ξ| ≤ Lδ 2c2 |v1 − v2|1 |T (v1)η − T (v2)η| ≤ Lδ 2c2 |v1 − v2|1. Una elección adecuada de δ > 0 permite probar la invariancia de Xδ,δ1 junto con la contractiviad de T en Xδ,δ1 . Hemos probado asíel siguiente resultado. Teorema 4.11. Sea F = F(x, t, y1, y2, y3) una función de clase C1 . Entonces para cada f ∈ C2 (R), g ∈ C1 (R) el problema de valor inicial: utt = c2 uxx + F(x, t, u, ux, ut) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R ut(x, 0) = g(x) x ∈ R , admite una única solución local (u, U). Demostración. Basta con asociar a cada x0 ∈ R la solución local (ux0 , ◦ Qδ (x0)) que hemos construido con unicidad. Como ux0 = ux′ 0 si ◦ Qδ (x0) ∩ ◦ Qδ (x′ 0) ̸= ∅ resultará que: U = ∪x0∈R ◦ Qδ (x0). Observación 4.12. Las dimensiones del dominio de existencia U de las posibles soluciones locales están sometidas esencialmente a las mismas condiciones de variabilidad y finitud que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el ejemplo: utt = c2 uxx + (α + 1)uα x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = u0 x ∈ R ut(x, 0) = 0 x ∈ R , donde α > 1 y se toma u0 > 0 constante. La solución explota uniformemente cuando t → T+ donde: T = 1 √ 2 ∫ +∞ u0 ds √ uα+1 − uα+1 0 .
- 131. 4.7. ECUACIÓN DEONDAS N-DIMENSIONAL 123 4.6.2. Problemas de contorno Las resultados de la sección se aplican al problema de contorno semilineal: utt = c2 uxx + F(u) x ∈ (0, l), t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ [0, l] ut(x, 0) = g(x) x[0, l], u(0, t) = u(l, t) = 0, con tal que F sea C1 e impar en u (F(−u) = −F(u)) (f ∈ C2 [0, l], g ∈ C1 [0, l] cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.25)). En efecto basta extender f, g a R como en el problema de Dirichlet y probar que u detenta las simetrías adecuadas. 4.7. Ecuación de ondas n-dimensional 4.7.1. Unicidad de soluciones para el problema de valor Las superficies carcterísticas del operador de ondas cu = utt − ∆xu son ϕ(x, t) = 0, (x, t) ∈ R × Rn , donde ϕ2 t + |∇ϕ|2 = 0. El caso más importante de tales superficies son los “conos de luz”. Para (x0, t0) ∈ Rn × R la unión de las rectas: x = x0 + c¯u(τ − t0) t = τ τ ∈ R, con ¯u ∈ Rn , |¯u| = 1, constituyen los conos de luz Γ− (τ ≤ t0) y Γ+ (τ ≥ t0). La sección de Γ+ con t = τ ≥ t0 es el lugar geométrico de los puntos que se han alejado rectilíneamente de x = x0 a una velocidad c (típicamente, la velocidad de la luz). La ecuación de los conos de luz es: Γ(x0, t0) = {(x, t) : |x − x0|2 = c|t − t0|}. (Γ+ corresponde por ejemplo a t ≥ t0). El primer resultado fundamental es el siguiente (prueba inspirada en la de [24] para n = 3). Teorema 4.12 (Unicidad). Sea u ∈ C2 (Rn × R) una solución clásica del pro- blema de valor inicial: utt = c2 ∆u (x, t) ∈ Rn × R u(x, 0) = 0 x ∈ Rn ut(x, 0) = 0 x ∈ Rn .
- 132. 124 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Entonces u(x, t) = 0 para todo (x, t) ∈ Rn × R. En particular, para cada f = f(x), g = g(x), F = F(x, t) el problema: utt = c2 ∆u + F(x, t) (x, t) ∈ Rn × R u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn . admite a lo más una solución clásica. Demostración. Tenemos, para u ∈ C2 (Rn × R): 2ut cu = 2ututt − c2 ∑ 2utuxixi = 2ututt − c2 ∑ (2utuxixi + 2utxi uxi ) + c2 ∑ 2utxi uxi = (u2 t + |∇u|2 )t − 2c2 ∑ (utuxi )xi = (u2 t + |∇u|2 )t − 2c2 div (ut∇u). Para P0 = (x0, t0), t0 > 0, tomamos (comparar con el triángulo característico): T(P0) = {(x, t) : t ≥ 0 , c2 (t0 − t) ≥ |x − x0|}, cuya superficie lateral llamaremos por abuso de notación Γ− (P0). Como ut cu = 0 integrando en T(P0) y aplicando el teorema de la diver- gencia: 0 = ∫ |x−x0|≤ct0 (−2c2 ut∇u, u2 t + c2 |∇u|2 ).(0, −1) dx + 1 √ 1 + c2 ∫ Γ− (−2c2 ut∇u, u2 t + c2 |∇u|2 ).( x − x0 |x − x0| , c) dS = 1 √ 1 + c2 ∫ Γ− −2c2 ut∇u x − x0 |x − x0| + c(u2 t + c2 |∇u|2 ) dS = c √ 1 + c2 ∫ Γ− u2 t + c2 |∇u|2 − 2c2 ∇uut x − x0 |x − x0| dS = c √ 1 + c2 ∫ Γ− ut x − x0 |x − x0| − c∇u 2 dS. Concluimos que sobre Γ− (P0) (de ecuación c(t − t0) = |x − x0|) se tiene: ut x − x0 |x − x0| = c∇u(x). Para cualquier curva en Γ− (P0): x = x(s) t = − 1 c |x − x0| + t0,
- 133. 4.7. ECUACIÓN DEONDAS N-DIMENSIONAL 125 se cumple que: d ds u(x(s), t0 − 1 c |x − x0|) = ( ∇u − 1 c ut x − x0 |x − x0| ) x′ (s) = 1 c ( c∇u − ut x − x0 |x − x0| ) x′ (s) = 0. Por tanto u se conserva sobre la superficie lateral Γ− (P0) y como en la base es cero se tiene en particular u(P0) = 0. Como P0 es arbitrario, u = 0. Un corolario inmediato de la demostración es la propiedad de velocidad de propagación finita de las perturbaciones. Teorema 4.13. Sea u ∈ C2 (Rn × R) una solución del problema: utt = c2 ∆u (x, t) ∈ Rn × R u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn . en la que f y g tienen soporte compacto. Entonces u(·, t) tiene soporte compacto para todo t ∈ R. 4.7.2. Medias esféricas Una aplicación lineal TL(Rn ) se dice ortogonal si T−1 = Tt . O(Rn ) denotará el conjunto de tales transformaciones. Es un ejercicio probar que si u es solución de la ecuación de ondas cu = 0 entonces todas sus rotaciones uT (x, t) = u(Tx, t) también satisfacen la ecuación de ondas. Sea h ∈ C(Rn ), r > 0 y Sr(x) = {y : |y − x| = r} la esfera de centro x y radio r (ωn = área (S1)). Representamos por: Mh(x, r) = 1 ωnrn−1 ∫ Sr(x) h(y) dSy = 1 ωn ∫ S1 h(x + rw) dSw, la media de h sobre Sr(x) (es un promedio de las “rotaciones” de h alrededor de x y a una distancia r > 0). Propiedad 4.14. Sea h ∈ C(Rn ) entonces: 1. Mh(x, r) se puede extender de forma par a todo r ∈ R: Mh(x, −r) = Mh(x, r) con l´ımr→0 Mh(x, r) = h(x). 2. Si h ∈ Cs (Rn ) entonces Mh(x, r) es Cs en (x, r): Mh ∈ Cs (Rn × R). Observación 4.13. Si h es C1 , Mh es también C1 en r y por tanto ∂Mh/∂r(x, 0) = 0.
- 134. 126 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Lema 4.15. Sea h ∈ C2 (Rn ). Entonces: ∂ ∂r Mh(x, r) = 1 rn−1 ∆x (∫ r 0 ρn−1 Mh(x, ρ) dρ ) . En particular: ∂ ∂r ( rn−1 ∂ ∂r Mh(x, r) ) = rn−1 ∆xMh(x, r). Es decir ∂2 ∂r2 Mh + n − 1 r ∂Mh ∂r = ∆xMh(x, r). (4.39) Observación 4.14. Se conoce a (4.39) como la ecuación de Darboux. Lema 4.16. Si u = u(x, t) ∈ C2 (Rn ×R) satisface la ecuación de ondas cu = 0 entonces, para x ∈ Rn fijo: ∂2 ∂t2 Mu(x, r, t) = c2 ( ∂2 ∂r2 + n − 1 r ∂ ∂r ) Mu(x, r, t). (4.40) Consecuencia de los Lemas 4.15 y 4.16 es el siguiente resultado. Corolario 4.17. Sea u = u(x, t) ∈ C2 (Rn × R) una solución del problema de valor inicial: utt = c2 ∆u (x, t) ∈ Rn × R u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn . Entonces, para cada x ∈ Rn fijo se tiene que: ∂2 ∂t2 Mu(x, r, t) = c2 ( ∂2 ∂r2 + n − 1 r ∂ ∂r ) Mu(x, r, t) r ∈ R, t > 0 Mu(x, r, 0) = Mf (x, r) r ∈ R (Mu)t(x, r, 0) = Mg(x, r) r ∈ R. (4.41) Observación 4.15. La ecuación (4.40) es la ecuación de ondas para una función radial. La media Mu resuelve, como función radial, el problema de valor inicial correspondiente a las medias de los datos iniciales. Demostración del Lema 4.15. Tenemos: Mh(x, r) = 1 ωn ∫ |ξ|=1 h(x + rξ) dSξ.
- 135. 4.7. ECUACIÓN DEONDAS N-DIMENSIONAL 127 Por tanto: ∂Mh ∂r (x, r) = 1 ωn ∫ |ξ|=1 ∑ ∂ih(x + rξ)ξi dSξ = 1 ωn ∫ |ξ|≤1 ∑ ∂ξi (∂ih(x + rξ)) dξ = 1 ωn ∫ |ξ|<1 r∆xh(x + rξ) dξ = r1−n ωn ∆x (∫ |y−x|<r h(y) dy ) = r1−n ∆x (∫ r 0 [ 1 ωn ∫ |w|=1 h(x + ρw)ρn−1 dSw ] dρ ) = r1−n ∆x (∫ r 0 ρn−1 Mh(x, ρ) dρ ) . 4.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3 Supongamos que u = u(x, t) es una solución clásica del problema (n = 3): { utt = c2 ∆u x ∈ R3 , t > 0 u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) x ∈ R3 . (4.42) La media alrededor de x, ¯u(r, t) = Mu(x, r, t) satisface: ¯utt = c2 ( ¯urr + 2 r ¯ur ) , mientras ¯u(r, 0) = Mf (x, r), ¯ut(r, 0) = Mg(x, r). En particular: (r¯u)tt = c2 (r¯u)rr . Por tanto v(r, t) := r¯u(r, t) resuelve el problema de valor inicial, vtt = c2 vrr r ∈ R, t > 0 v(r, 0) = rMf (x, r) vt(r, 0) = rMg(x, r). Entonces, r¯u(r, t) = 1 2 (r + ct)Mf (x, r + ct)+ 1 2 (r − ct)Mf (x, r − ct) + 1 2c ∫ r+ct r−ct sMg(x, s) ds.
- 136. 128 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS De la paridad de Mf en r: Mu(x, r, t) = (r + ct)Mf (x, ct + r) − (ct − r)Mf (x, ct − r) 2r + 1 2cr ∫ r+ct r−ct sMg(x, s) ds = 1 2r ( 2rMf (x, ct) + 2ct ∂Mf ∂r (x, ct)r + o(r) ) + 1 2rc η(r)Mg(x, η(r))2r, con ct − r < η(r) < ct + r. Al hacer tender r a cero: u(x, t) = Mf (x, ct) + ct ∂Mf ∂r (x, ct) + ct c Mg(x, ct) = tMg(x, ct) + ∂ ∂t (tMf (x, ct)) . Se ha obtenido entonces el siguiente resultado. Teorema 4.18 (Fórmula de Kirchhoff). Si u ∈ C2 (R3 × R) es la solución del problema (4.42) entonces u = u(x, t) se puede representar en la forma: u(x, t) = 1 4πc2t ∫ Sct(x) g(y) dSy + ∂ ∂t ( 1 4πc2t ∫ Sct(x) f(y) dSy ) (4.43) Asímismo podemos concluir el recíproco. Teorema 4.19. Para f ∈ C3 (R3 ), g ∈ C2 (R3 ) (regularidad que es precisa para que el segundo miembro de (4.43) sea C2 ), la identidad (4.43) proporciona la solución clásica de (4.42). Demostración. Escribiendo (4.43) como u = u1 + u2 basta con probar que u1 cumple (4.42) con f = 0. En efecto, si g es suficientemente regular u2 = u1t cumple u2 = 0 y u2 = g, u2t = 0 en t = 0. Ahora, u1 = t 4π ∫ |w|=1 g(x + ctw) dSw, luego, ∆u1 = t 4π ∫ |w|=1 ∆g(x + ctw) dSw, mientras, u1t = u1 t + t 4π ∫ |w|=1 c∇g(x + ctw)w dSw = u1 t + 1 4πct ∫ Sct(x) ∇g(x + ctw)w dSct = u1 t + 1 4πct ∫ Bct(x) ∆g(y) dy = u1 t + 1 4πct I(t),
- 137. 4.7. ECUACIÓN DEONDAS N-DIMENSIONAL 129 con I(t) = ∫ Bct(x) ∆g(y) dy. Asímismo, u1tt = 1 t ( u1 t + 1 4πct I ) − u1 t2 − 1 4πct2 I + 1 4πct I′ = 1 4πct I′ . Sin embargo, I′ = (∫ ct 0 (∫ Sρ(x) ∆g dSρ ) dρ )′ = c ∫ Sct(x) ∆g dSct = c(ct)2 ∫ |w|=1 ∆g(x + ctw) dSw. Luego u1tt = ∆u1. Por otra parte está claro que u1 satisface las condiciones iniciales. Ejercicio 4.11. Sea f continua en Rn . Prúebese que: d dr (∫ |x−x0|≤r f(x) dx ) = ∫ |x−x0|=r f(x) dSx. Principio de Huygens La identidad de Kichhoff (4.43) encierra una interesante propiedad de la propagación de perturbaciones en el espacio. A tal efecto, supongamos que f y g tienen soporte compacto en (4.42) y sea K = sop f ∪ sop g. Tomemos un punto del espacio x0 inicialmente en reposo, x0 /∈ K. Podemos definir: d := dist (x0, K) D := sup{|x0 − y| : y ∈ K}. De la fórmula (4.43) se sigue que la solución u(x0, t) = 0 para t < t0 := d/c, es decir la perturbación emplea d/c unidades de tiempo en alcanzar x0, mientras de nuevo u(x0, t) = 0 para t > D/c, es decir el medio “recupera” el reposo al cabo de un tiempo finito. Este efecto se conoce como principio fuerte de Huygens. Una lectura posible: en el espacio podemos distinguir los sonidos porque las diversas señales acústicas tras perturbar un punto se dejan unas a otras el medio “limpio” de excitaciones. Alternativamente: la estela de las ondas desaparece en tiempo finito. Por otro lado, el conjunto: Γt = {x ∈ R3 : dist (x, K) = ct}, es claramente la “interfaz” que va señalando en el tiempo la frontera entre la zona perturbada y la zona sin perturbar. Se llama a Γt el frente de ondas. Una reinterpretación de la fórmula de Kirchhoff revela que cada punto del espacio alcanzado por el frente de ondas se convierte a su vez en un emisor con las mismas características que los datos iniciales.
- 138. 130 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 4.7.4. Propagación de ondas en el plano n = 2 Si en la fórmula de Kirchhoff (4.43) los datos inciales f y g no dependen de x3, por ejemplo, entonces la solución u tampoco. Se resuelve así el problema de valor inicial en el plano: utt = c2 ∆u (x1, x2) ∈ R2 , t > 0 u(x1, x2, 0) = f(x1, x2) (x1, x2) ∈ R2 ut(x1, x2, 0) = g(x1, x2) (x1, x2) ∈ R2 , (4.44) en los siguientes términos. Ponemos x = (x1, x2), y = (y1, y2) y ˜f(x1, x2, x3) = f(x) y se tiene: 1 4πc2t ∫ Sct((x,x3)) ˜f(y, y3) dS(y,y3) = 1 4πc2t ∫ Bct(x)⊂R2 2ct √ c2t2 − |y − x|2 f(y) dy = 1 2πc ∫ Bct(x)⊂R2 f(y) √ c2t2 − |y − x|2 dy. Por tanto, si f ∈ C3 (R2 ), g ∈ C2 (R3 ) podemos concluir que la solución del problema (6) es: u(x1, x2, t) = 1 2πc ∂ ∂t (∫ Bct(x) f(y) √ c2t2 − |y − x|2 dy ) + 1 2πc ∫ Bct(x) g(y) √ c2t2 − |y − x|2 dy. (4.45) Observación 4.16. El principio de Huygens falla en el plano. En efecto, supon- gamos que g tiene soporte compacto K en el segundo sumando ug de (4.45). Para t ≥ t0 con t0 el máximo teniendo K ⊂ Bct(x) resulta que: ug(x, t) = 1 2πc ∫ K g(y) √ c2t2 − |y − x|2 dy → 0, cuando t → +∞. Más aún: ug(x, t) ∼ 1 2πc2t ∫ K g(y) dy t → +∞. Análogamente, uf (x, t) ∼ − 1 2πc2t2 ∫ K f(y) dy t → +∞. En conclusión cuando una perturbación inicial localizada afecta a un punto P0 (después de que lo alcance el frente de ondas Γt), dicha perturbación se mantiene típicamente para todos los valores futuros del tiempo. Sin embargo, la amplitud de la perturbación tiende a cero cuando t → +∞.
- 139. 4.8. EL CASON-DIMENSIONAL 131 Transformaciones de Lorentz Son las transformaciones lineales T ∈ L(Rn × R) que dejan invariante el operador de ondas c 4 . Como es natural, tales transformaciones forman nece- sariamente un grupo. Si ponemos c = 1 para simplificar, y escribimos u = ux1x1 − ux2x2 − · · · − uxnxn , la forma característica es σ(ξ, η) = ξ1η1 − ξ2η2 − · · · − ξnηn. Las ecuaciones de T serán: ξi = ∑ j fijxj, donde: 1 = f2 11 − n∑ j=2 f2 1j 0 = f11fl1 − n∑ j=2 f1jflj −δkl = fk1fl1 − n∑ j=2 fkjflj 2 ≤ k, l ≤ n. Un caso particular de tales transformaciones es: (fij) = ±1 0 . . . 0 0 f22 . . . f2n ... ... ... ... 0 fn2 . . . fnn , donde (fkl)2≤k,l≤n es ortogonal. Una discusión completa de todas las transfor- maciones de Lorentz se relega a la sección de ejercicios (Ejercicio 29). 4.8. El caso n-dimensional 4.8.1. Dimensiones impares Ya sabemos que la media M(r, t) = Mu(x, r, t) de una solución clásica de la ecuación de ondas satisface la ecuación de Euler-Darboux-Poisson: Mtt = c2 {Mrr − n − 1 r Mr}. 4cf. [12].
- 140. 132 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Para φ = φ(r) consideramos el operador: Lk(∂r)φ = ( 1 r ∂ ∂r )k−1 (r2k−1 φ(r)) k ∈ N. Se tienen entonces las relaciones (Ejercicio 33, [9]): ∂2 ∂r2 Lk(∂r)φ = ( 1 r ∂ ∂r )k (r2k ∂φ ∂r (r)), Lk(∂r)φ = k−1∑ j=0 cjrj+1 φ(j) , donde c0 = (2k − 1)!! y además, Lk(∂r)φ es impar si φ es par. La observación importante es que cuando la dimensión n es impar, n = 2k+1, entonces v(r, t) = Lk(∂r)M(r, t) cumple la ecuación de ondas unidimensional (pondremos c = 1 para simplificar): (LkM)rr = ( 1 r ∂ ∂r )k (r2k Mr) = ( 1 r ∂ ∂r )k−1 ( r2k−1 {Mrr + 2k r Mr} ) = (LkM)tt. Por tanto, si u es la solución del problema { utt = ∆u (x, t) ∈ Rn × R u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn , (4.46) entonces, LkM(r, t) = 1 2 ψ(r + t) + 1 2 ψ(r − t) + 1 2 ∫ r+t r−t ϕ(s) ds, (4.47) con ψ = LkMf , ϕ = LkMg. Diviendo en (4.47) por r y haciendo tender r → 0: c0u(x, t) = ψ′ (t) + ϕ(t), es decir, u(x, t) = 1 c0 ∂ ∂t ( 1 t ∂ ∂t )k−1 t2k−1 Mf (x, t) + 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k−1 t2k−1 Mg(x, t).
- 141. 4.8. EL CASON-DIMENSIONAL 133 En otras palabras, si n = ˙2 + 1, n ≥ 3, u(x, t) = 1 (n − 2)!! ∂ ∂t ( 1 t ∂ ∂t )n−3 2 tn−2 Mf (x, t) + 1 (n − 2)!! ( 1 t ∂ ∂t )n − 3 2 tn−2 Mg(x, t). (4.48) La validez de (4.48) requiere que f sea de clase C(n−1)/2 y g de clase C(n−3)/2 . Tenemos, por otro lado, el siguiente resultado. Teorema 4.20. Sean n = ˙2 + 1, n0 = m´ax{2, n − 3 2 }, f ∈ Cn0+1 (Rn ), g ∈ Cn0 (Rn ). Entonces u = u(x, t) definida por (4.48) es la solución de (4.46). Demostración. Poniendo n = 2k + 1, u1 = Lk(∂t)Mg(x, t) = 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k−1 t2k−1 Mg(x, t), basta con demostrar que u1 define la solución de la ecuación de ondas con u = 0 y ut = g en t = 0. Como Mg(x, t) es par en t se tiene entonces que u1(x, 0) = 0. La validez de la segunda condición inicial es inmediata. Por otro lado: ∆u1 = 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k−1 ( t2k−1 ωn ∫ |w|=1 ∆g(x + tw) dSw ) , mientras, u1tt = 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k ( t2k ( 1 ωn ∫ |w|=1 g(x + tw) dSw ) t ) = 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k−1 ( 1 t ∂ ∂t ) ( 1 ωn ∫ |w|=1 ∇g(x + tw)wt2k dSw ) = 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k−1 ( 1 t ∂ ∂t ) ( 1 ωn ∫ Bt(x) ∆g(y) dy ) = 1 c0 ( 1 t ∂ ∂t )k−1 ( t2k−1 ωn ∫ |w|=1 ∆g(x + tw) dSw ) = ∆u1 . Se he empleado que: (∫ Bt(x) ∆g(y) dy ) t = (∫ t 0 ρ2k ∫ |w|=1 ∆g(x + ρw) dSwdρ ) t = t2k ∫ |w|=1 ∆g(x + tw) dSw.
- 142. 134 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS Esto concluye la demostración. 4.8.2. Método del descenso de Hadamard Escribiendo x′ = (x1, . . . , xn−1) supongamos que u = u(x′ , xn, t) resuelve: { utt = c2 ∆x′ u + c2 uxnxn u(x′ , xn, 0) = f(x′ ), ut(x′ , xn, 0) = g(x′ ). (4.49) Entonces u no depende de xn pues para todo a ∈ R, ua(x, t) = u(x′ , xn + a, t) es también solución de (4.49). Por tanto u = ua que implica uxn = 0. Supongamos ahora que n = ˙2. Entonces n + 1 = ˙2 + 1. Si g = g(x), x ∈ Rn , es suficientemente regular, definimos ¯g(x, xn+1) = g(x). Ponemos, ¯u1(x, xn+1, t) = 1 (n − 1)!! ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 (tn−1 M¯g(x, xn+1, t)). Tendremos que ¯u1 no depende de xn+1 y u1(x, t) = ¯u1(x, 0, t) es solución de: utt = ∆u x ∈ Rn t ∈ R u(x, 0) = 0 x ∈ Rn ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn , donde ahora n es par. El paso de ¯u1 a u1 se llama método del descenso. Para la forma explícita de u1 observamos: ¯u1(x, xn+1, t) = 1 (n − 1)!! ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 ( tn−1 ωn+1 ∫ |(w,wn+1)|=1 ¯g(x + tw, twn+1) dS(w,wn+1) ) = 1 (n − 1)!! ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 ( tn−1 ωn+1 ∫ |(w,wn+1)|=1 g(x + tw) dS(w,wn+1) ) = 1 (n − 1)!! ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 ( 2tn−1 ωn+1 ∫ |y|≤1 g(x + ty) √ 1 − |y|2 dy ) = 2 ωn+1(n − 1)!! ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 ( tn−1 ∫ Bt(x) g(z) √ t2 − |z − x|2 dy ) , pues, dS(w,wn+1) = dy √ 1 − |y|2 y ∈ Rn |y| ≤ 1. Por tanto la solución de: utt = ∆u x ∈ Rn t ∈ R u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn ,
- 143. 4.9. EJERCICIOS 135 es,cuando n es par, u(x, t) = 2 ωn+1(n − 1)!! ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 ( tn−1 ∫ Bt(x) g(z) √ t2 − |z − x|2 dy ) 2 ωn+1(n − 1)!! ∂ ∂t ( 1 t ∂ ∂t )n−2 2 ( tn−1 ∫ Bt(x) f(z) √ t2 − |z − x|2 dy ) , supuesto que g ∈ C(n+2)/2 (Rn ) y f ∈ C(n+4)/2 (Rn ). 4.9. Ejercicios 1. (Ecuaciones hiperbólicas). Se considera la ecuación de segundo orden li- neal: auxx + 2buxy + cuyy = 0, donde a, b, c son constates que satisfacen b2 − ac > 0, a ̸= 0. Hágase un cambio de variables: ξ = ξ(x, y) η = η(x, y), para obtener una nueva ecuación en las variables ξ, η de la forma: ˆauξξ + 2ˆbuξη + ˆcuηη, determinando los nuevos coeficientes: ˆa, ˆb, ˆc. Pruébese que existen dos valores αi, i = 1, 2 tales que haciendo ξ = x + α1y, η = x + α2y se llega a una ecuación en donde ˆa = ˆc = 0, es decir, a la ecuación: uξη = 0. 2. Pruébese que toda solución u de clase C2 en R2 de uxy = 0 se puede escribir en la forma u = F(x) + G(y). 3. Expresar las siguientes ecuaciones en coordenadas carcterísticas: uxx + 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = 0 uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0 uxx − 2uxy + uyy + αux + βuy + cu = 0 uxx − 2 cos xuxy − (3 + sen2 x)uyy − yuy = 0 tag2 x uxx − 2ytag xuxy + y2 uyy + tag3 xux = 0 yuxx + uyy = 0 (ecuación de Tricomi) x2 uxx + 2xyuxy − 3y2 uyy − 2xux + 4yuy + 16x4 u = 0 (1 + x2 )uxx + (1 + y2 )uyy + xux + yuy = 0 sen2 xuxx − 2y sen xuxy + y2 uyy = 0 uxx + yuyy + αuy = 0.
- 144. 136 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 4. Se considera la ecuación de ondas de coeficientes variables utt − c2 (x)uxx = 0, donde c = c(x) es positiva y de clase C1 . Escríbase en coordenadas cara- caterísticas. Indicación. Es conveniente introducir la función Γ(x) = ∫ x 0 1/c(s) ds. En ese casos una posible elección de las coordenadas características es ξ = Γ(x) + t, η = Γ(x) − t. 5. Hallar la forma general de las soluciones de las ecuaciones siguientes: uxx − 2 sen xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0 x2 uxx − 2xyuxy + y2 uyy + xux + yuy = 0 ∂ ∂x ( x2 ux ) = x2 uyy (x − y)uxy − ux + uy = 0 x2 uxx + 2xyuxy + y2 uyy + 2yzuyz + z2 uzz + 2zxuzx = 0 utt = a11uxx + 2a12uxy + a22uyy, con aij > 0, a11a22 = a2 12. uxxxx − 2uxxyy + uyyyy = 0. 6. Entre todas las ecuaciones lineales y homogéneas de segundo orden y coe- ficientes constantes, auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu = 0, prúebese que las únicas invariantes frente a rotaciones son las de la forma: ˆa∆u + ˆfu = 0. 7. Redúzcase la ecuación elíptica: uxx + 3uyy − 2ux + 24uy + 5u = 0, a la forma vxx +vyy +cv = 0 mediante un cambio de la forma: u = veαx+βy y después un cambio de escala: y′ = γy. 8. Se considera la ecuación de segundo orden: (Lu =)a11uxx − 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy = 0, donde d = a2 12 −a11a22 > 0. Se dice que u = u(x, y) es una solución funcio- nalmente invariante de la ecuación si F(u) también es solución, cualquiera que sea F, F ∈ C2 (R). Estúdiense las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de soluciones funcionalmente invariantes, aprovechando los resultados para formular una solución general de dicha ecuación.
- 145. 4.9. EJERCICIOS 137 9.Sea L como en el Ejercicio 8. Demuéstrese que si, a11b2 2 + 2a12b1b2 + a22b2 1 + 4dc = 0, entonces la ecuación lineal de segundo orden: L(u) + cu = 0, admite la solución general: u(x, y) = e(kx+my)/2d [ϕ1(α1x − y) + ϕ2(α2x − y)] ; donde ϕ1, ϕ2 son funciones arbitrarias, k = a22b1 − a12b2, m = a11b2 − a12b1, y α1, α2 son las raíces de la ecuación: a11α2 − 2a12α + a22 = 0. 10. Hállese la solución de los problemas de Cauchy: utt = c2 uxx, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), para las parejas de datos iniciales: a) (f, g) = (ex , sen x), b) (f, g) = (log(1 + x2 ), 4 + x). 11. En el problema utt = c2 uxx, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), se toma f = 0, g = φ, donde φ(x) = 1 si −a ≤ x ≤ a, φ(x) = 0 en otro caso. Dése una descripción de u(·, t) para los valores de t siguientes: t = a 2c , a c , 3a 2c , 2a c , 5a c . 12. Hállese la solución de los problemas de Cauchy: utt = c2 uxx + F(x, t), u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), para los siguientes juegos de funciones: a) (f, g, F) = (0, 0, xt), b) (f, g, F) = (0, 0, eax ), c) (f, g, F) = (sen x, 1 + x, cos x). 13. Dedúzcase la solución general del problema utt = c2 uxx + F(x, t), u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), en las condiciones de regularidad estándar: f ∈ C2 , g ∈ C1 , F ∈ C1 , en x ∈ R, t ≥ 0, usando las coordenadas características ξ = x+ct, η = x−ct. 14. Dedúzcase la existencia de soluciones para los problemas de Dirichlet y Neumann en la semirrecta: utt = c2 uxx, x > 0, t ≥ 0 u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ≥ 0 u(0, t) = α(t),
- 146. 138 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS y utt = c2 uxx, x > 0, t ≥ 0 u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ≥ 0 ux(0, t) = β(t). Para ello supóngase que f, g, α, β tienen la regularidad necesaria y cum- plen adecuadas condiciones de compatibilidad. Demuéstrese también la unicidad de soluciones del problema. 15. Hállese la solución de utt = 4uxx en 0 < x < ∞, u(0, t) = 0, u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = 0. Localícense las singularidades de la solución. 16. Hállese la solución de utt = c2 uxx, 0 < x < ∞, donde u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = V , y donde: ut(0, t) + aux(0, t) = 0, siendo a, V constantes positivas, a > c. 17. Para la solución u(x, t) de utt = uxx en 0 < x < 1, u(x, 0) = x2 (1 − x), ut(x, 0) = (1 − x)2 , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0, hállense u(2 3 , 2), u(1 4 , 7 2 ). 18. Hállese la solución de utt = 9uxx en 0 < x < π 2 , u(x, 0) = cos x, ut(x, 0) = 0, ux(0, t) = 0, u(π 2 , t) = 0. 19. Resuélvase utt = c2 uxx en 0 < x < l, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = x, u(0, t) = u(l, t) = 0. 20. Cualquier paralelogramo ordenado A, B, C, D con sus lados paralelos a las líneas carcaterísticas ξ = c1, η = c2 se llamará característico. Sea Ω ⊂ R2 un abierto convexo y sea u ∈ C2 (Ω). Pruébese la siguiente propiedad: “u(x, t) es una solución de la ecuación de las ondas utt = c2 uxx en Ω sí y solamente sí u(A) + u(C) = u(B) + u(D) cualquiera que sea el paralelogramo característico A, B, C, D contenido en Ω”. Utilícese la propiedad precedente para describir un procedimiento geomé- trico que permita hallar la solución del problema: utt = c2 uxx, 0 < x < ∞, t ≥ 0, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), u(0, t) = α(t), t ≥ 0, bajo condiciones adecuadas de regularidad, así como de compatibilidad para los datos f, g, α. Procédase de la misma manera con el problema de Dirichlet no homogéneo: utt = c2 uxx, 0 < x < l, t ≥ 0, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 < x < l u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ≥ 0,
- 147. 4.9. EJERCICIOS 139 nuevamente,bajo las condiciones de regularidad y compatibilidad reque- ridas a los datos f, g, α, β. 21. Ondas Esféricas. Una onda esférica u(r, t) es una solución de la ecuación de ondas tridimensional utt = c2 ∆u que sólo depende de la distancia al origen r y del tiempo t. Pruébese que: utt = c2 ( urr + 2 r ur ) . Efectúese el cambio de variables v = ru para obtener la ecuación de ondas unidimensional vtt = c2 vrr. Para funciones φ(r) ∈ C2 , ϕ(r) ∈ C1 , ámbas pares, hállese la solución del problema: utt = c2 ∆u, x ∈ R3 , t ≥ 0, u(x, 0) = φ(r), ut(x, 0) = ϕ(r). 22. Considérese el modelo de la cuerda vibrante en las condiciones del Ejer- cicio 22. Los desplazamientos u = u(x, t) de la cuerda, sometida a las condiciones de contorno u(0, t) = u(l, t) = 0 satisfacen: utt = c2 uxx + F(x, t), t > 0, 0 < x < l, donde c2 = T0/ρ(x), T0 es la tensión en equilibrio, ρ ∈ C([0, l]), ρ > 0 la densidad. Por simplicidad vamos a suponer que u es C2 en t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. Las energías cinética K(t) y potencial P(t) en el instante t se definen respectivamente como: K = 1 2 ∫ l 0 ρu2 t dx P = T0 2 ∫ l 0 u2 x dx, mientras que la energía total se define como E(t) = K(t)+P(t). Prúebese que: E(t) = 1 2 ∫ l 0 ρg2 dx + T0 2 ∫ l 0 f′2 dx + ∫ t 0 ∫ l 0 ρF dx dt. En el caso de la membrana vibrante, si suponemos que Ω = [a, b] × [c, d] (un rectángulo), que la densidad ρ ∈ C(¯Ω), ρ > 0 y que, por tanto, el movimiento u = u(x, y, t) satisface el problema: utt = T0 ρ(x, y) ∆u + F(x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0 u(x, y, 0) = f(x, y), ut(x, y, 0) = g(x, y) u(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, que por simplicidad supondremos C2 en ¯Ω×[0, +∞), dénse entonces defini- ciones naturales para K y P (la energía total será obviamente E = K +P) que lleven al valor explícito de E(t) en términos de F.
- 148. 140 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 23. Prúebese la unicidad de soluciones clásicas u ∈ C2 ([0, l] × [0, +∞)) del problema de contorno y valor inicial, utt = c2 (x)uxx + F(x, t), 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), 0 < x < l − ux(0, t) + bu(0, t) = α(t), ux(l, t) + bu(l, t) = β(t), t > 0, en donde f ∈ C2 [0, l], g ∈ C1 [0, l], α, β ∈ C2 [0, +∞), F ∈ C([0, l] × [0, +∞)) y c2 (x) = T0 ρ(x) , con T0 > 0, ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0. Utilícese para ello el principio de conservación de la energía. Si, para ¯t > 0, ¯x ∈ [0, l], P = (¯x, ¯t) estúdiese el dominio T(P) del plano en el que F = 0 en T(P) implica, si f = g = 0 y α = β = 0 para t ≤ ¯t, que u(P) = 0, junto con u = 0 en T(P). 24. (Método de Duhamel). Tratamos aquí de resolver, por un tercer camino alternativo, el problema, utt = c2 uxx + F(x, t) u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x). (4.50) Como sabemos basta con calcular la solución que corresponde a f = g = 0. En este caso procedamos como sigue. Suponemos que F y ∂F/∂u son continuas en t ≥ 0 y, para cada τ ≥ 0 llamamos w(x, t, τ) a la solución (única) del problema: utt = c2 uxx u(x, τ) = 0 ut(x, τ) = F(x, τ). Prúebese entonces que u(x, t) = ∫ t 0 w(x, t, τ) dτ, es la solución de (4.50) para f = g = 0 (obsérvese que w se puede hallar explícitamente). 25. Extender el método de Duhamel a varias dimensiones. Para ello supóngase que el PVI: utt = c2 ∆u + F(x, t) x ∈ Rn , t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn ut(x, 0) = g(x) x ∈ Rn . (4.51) tiene la propiedad de unicidad de soluciones, mientras que admite una solución siempre que F = 0 y f y g sean suficientemente regulares 5 (ver 5Cuando n ≥ 2, f ∈ C2, g ∈ C1 no es la regularidad suficiente para tener soluciones clásicas. Ver [11], Part. Diff. Equs. 4a Edición.
- 149. 4.9. EJERCICIOS 141 Ejercicios36 y 37 del presente capítulo). Siguiendo la idea del Ejercicio 24 hállese una expresión para la solución de (4.51) supuesto que F es continua y de clase C2 en x ∈ Rn . 26. Consideremos el PVI semilineal, utt = c2 uxx + F(x, t, u, ux, ut) u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) que escrito en coordenadas características ξ = x − ct, η = x + ct es uξη = − 1 4c2 F(ξ, η, u, uξ, uη) u(ξ, ξ) = f(ξ) uξ(ξ, ξ) − uη(ξ, ξ) = c−1 g(ξ). (4.52) Introduciendo (u, v, w) = (u, uξ, uη) pruébese que (4.52) es equivalente al sistema de primer orden, uη = w vη = − 1 4c2 F(ξ, η, u, v, w) wξ = − 1 4c2 F(ξ, η, u, v, w), (4.53) junto con las condiciones iniciales u|B = f, v|B = 1 2 (f′ + 1 c g), w|B = 1 2 (f′ − 1 c g), siendo B la primera bisectriz ξ = η. Pruébese también que toda solución clásica de (4.53) satisface la identidad de punto fijo, u = f(ξ) − ∫ ξ η w(ξ, s) ds v = 1 2 (f′ (ξ) + 1 c g(ξ)) + 1 4c2 ∫ ξ η F(ξ, s, u, v, w) ds w = 1 2 (f′ (η) − 1 c g(η)) − 1 4c2 ∫ ξ η F(s, η, u, v, w) ds. (4.54) Si, en coordenadas ξ, η, Qδ = [x0 −δ, x0 +δ]×[x0 −δ, x0 +δ] para x0 fijado y δ > 0, utilícese (4.54) para construir un operador T en X = C(Qδ, R3 ) cuyos puntos fijos den las soluciones de (4.53). Pruébese que si F es de clase C1 en R5 puede encontrarse una bola en X (δ pequeño) en la que el problema tiene una única solución (reprodúzcase el desarrollo análogo presentado en el capítulo).
- 150. 142 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 27. Consideremos la solución del u = u(x, t) del problema de Dirichlet utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0, donde f, g son suficientemente regulares y satisfacen las correspondientes condiciones de compatibilidad. Prúebese que u es periódica en t de periodo 2l/c. ¿Qué sucede en el caso del problema de Neumann? 28. En base a las ideas de extensión y simetría constrúyase la solución del problema “mixto” utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0, estableciendo las condiciones de regularidad y compatibilidad que deben satisfacer los datos f y g del problema. 29. Se considera la ecuación de ondas n-dimensional (c = 1), ux1x1 − ux2x2 − · · · uxn+1xn+1 = 0 . Estúdiese la forma de todas las transformaciones lineales que la dejan invariante, probando que forman un grupo (transformaciones de Lorentz, ver [12]). En el caso particular n = 1, ux1x1 − ux2x2 = 0, hállense explícitamente todas esas transformaciones. Indicación. En el último caso, efectúese el giro preliminar ξ = 1√ 2 (x−y), η = 1√ 2 (x + y), para trabajar con la ecuación 2uξη = 0. 30. Prúebese que la solución del problema de Cauchy (n = 3), utt = c2 ∆u x ∈ R2 , t ∈ R u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) con f ∈ C3 , g ∈ C2 es u = tMg(x, ct) + ∂ ∂t (tMf (x, ct)),
- 151. 4.9. EJERCICIOS 143 dondeMh(x, r) es el promedio de h sobre la esfera {y : |y − x| = r}: Mh(x, r) = 1 ωnrn−1 ∫ |y−x|=r h(y) dSy, ωn el área de la esfera unidad en Rn . 31. Aplíquese el método del descenso de Hadamard para probar que la solución del problema de Cauchy bidimensional, utt = c2 ∆u x ∈ R2 , t ∈ R u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) es u = 1 2πc ∫ Bct(x) g(y) √ c2t2 − |x − y|2 + ∂ ∂t ( 1 2πc ∫ Bct(x) f(y) √ c2t2 − |x − y|2 ) . (4.55) Tomar como punto de partida la solución general del problema de Cauchy en el caso tridimensional. Procediendo de nuevo con el método del descenso, hállese la solución del problema de Cauchy unidimesional a partir de la del bidimensional (4.55). 32. Supongamos que u(x, t) satisface la ecuación de ondas n-dimensional, utt = c2 ∆u . Prúebese que su media esférica Mu(x, r, t) (abreviada M(r, t)) cumple, con respecto a la variables (r, t), la ecuación de Euler-Darboux-Poisson, Mtt = c2 { Mrr + n − 1 r Mr } . 33. Sea φ = φ(r) una función regular de r, y consideremos el operador dife- rencial Lk(∂r)φ = ( 1 r ∂ ∂r )k−1 ( r2k−1 φ(r) ) , k ∈ N . Pruébese la relación ∂2 ∂r2 Lk(∂r)φ = ( 1 r ∂ ∂r )k ( r2k ∂φ ∂r (r) ) . Análogamente, establézcase que, Lk(∂r)φ = k−1∑ j=0 cjrj+1 φ(j) , con los cj constantes y c0 = (2k − 1)!!. Finalmente, pruébese que si φ(r) es par, entonces Lk(∂r)φ(r) es una fun- ción impar de r.
- 152. 144 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS 34. Sea M = M(r, t) una solución clásica de la ecuación de Euler-Darboux- Poisson. Defínase (supuesta M suficientemente regular) v(r, t) = Lk(∂r)M(r, t), donde Lk(∂r) es el operador diferencial del Ejercicio 33. Demuéstrese que v = v(r, t) es una solución de la ecuación de ondas unidimesional, vtt = c2 vrr , siempre que n = 2k + 1 (compárese con el caso tridimensional). 35. Sea u = u(x, t) ∈ C2 (Rn × R) la solución del problema de Cauchy, utt = c2 ∆u x ∈ Rn , t ∈ R u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) , (4.56) donde n es un número impar, n = 2k + 1. Sean asimismo M(r, t) = Mu(x, r, t) mientras v(r, t) = Lk(∂r)M(r, t), φ(r) = Lk(∂r)Mf (x, r), ϕ(r) = Lk(∂r)Mg(x, r), donde Lk(∂r) es el operador diferencial del Ejercicio 33. Prúebese que, v = 1 2 { φ(ct + r) − φ(ct − r) } + 1 2c ∫ ct+r ct−r ϕ(s) ds . (4.57) (Recuérdese que φ y ϕ son, en este caso, impares). Dedúzcase de (4.57) que la solución clásica de (4.56) satisface u(x, t) = 1 (n − 2)!! (Lk(∂t)(Mg(x, ct))) + 1 (n − 2)!! ∂ ∂t (Lk(∂t)(Mf (x, ct))) = 1 (n − 2)!! (1 t ∂ ∂t )(n−3)/2 ( tn−2 ωn ∫ |y|=1 g(x + cty) dSy ) + 1 (n − 2)!! ∂ ∂t { (1 t ∂ ∂t )(n−3)/2 ( tn−2 ωn ∫ |y|=1 f(x + cty) dSy )} (4.58) Nota. En (4.58) las actuaciones del operador Lk(∂t) se entienden sobre las funciones compuestas de t, Mg(x, ct) y Mf (x, ct). Asimismo en (4.58) se hace necesario suponer que f y g son suficientemente regulares: f ∈ C(n+3)/2 , g ∈ C(n+1)/2 . 36. Supongamos que f ∈ C(n+3)/2 , g ∈ C(n+1)/2 , con n impar (como en el Ejercicio 35). Pruébese entonces que la u(x, t) es efectivamente solución del problema de Cauchy n-dimensional (4.56).
- 153. 4.9. EJERCICIOS 145 37.Aplíquese el método del descenso para establecer, partiendo de (4.58), que si n = ˙2 la solución del problema de Cauchy (4.56) adopta la forma, u = 2 cn−1ωn+1(n − 1)!! (1 t ∂ ∂t )(n−2)/2 (∫ Bct(x) g(y) √ c2t2 − |x − y|2 ) dy+ 2 cn−1ωn+1(n − 1)!! ∂ ∂t { (1 t ∂ ∂t )(n−2)/2 (∫ Bct(x) f(y) √ c2t2 − |x − y|2 ) dy } . Supóngase para ello que f ∈ C(n+4)/2 , g ∈ C(n+2)/2 . 38. (Ondas Planas). Consideremos que en el problema de Cauchy (4.56) los datos iniciales f(x) y g(x) tienen la propiedad de que: f(x) = F(w · x) g(x) = G(w · x) , donde w ∈ Rn , |w| = 1, w · x = ∑n i=1 wixi. Pruébese entonces que la solución del problema (4.56) tiene la forma siguiente: u(x, t) = 1 2 (F(w · x + ct) + F(w · x − ct)) + 1 2c ∫ w·x+ct w·x−ct g(s) ds . Nota. Toda función de la forma u(x, t) = U(w · x + δt) se denomina onda plana con velocidad de propagación δ, vector número de onda w y fase θ = w · x + δt.
- 154. 146 CAPÍTULO 4.ECUACIÓN DE ONDAS
- 155. Capítulo 5 La ecuacióndel calor 5.1. Problema de valor inicial Nos ocuparemos en primer lugar del estudio del problema de valor inicial: { ut = uxx x ∈ R t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ R. (5.1) Las consideraciones de similaridad que siguen llevan al candidato a solución 1 de (5.1). Primeramente obsérvese que si u(x, t) resuelve, ut = uxx, (5.2) entonces, v = u(±x + y, t + τ), es también solución cualesquiera que sean y, τ ∈ R. Análogamente, vλ = u( √ λx, λt) λ > 0, (5.3) también es solución de (5.2) para todo λ > 0. Si θ = θ(x) es la función de Heaviside, θ(x) = 1 para t ≥ 0, θ(x) = 0 para t < 0 un problema básico que se puede plantear (descartando los casos triviales) es, { ut = uxx x ∈ R t > 0 u(x, 0) = θ(x) x ∈ R. (5.4) Como θ es invariante frente a cambios de escala, θ(x) = θ(λx), (5.3) y la hipo- tética unicidad de soluciones nos llevan a conjeturar, u( √ λx, λt) = u(x, t) ∀λ > 0. (5.5) 1Más tarde se comprobará que salvo restricciones en la clase de las soluciones a tratar, (5.1) carece de la propiedad de unicidad de soluciones clásicas. 147
- 156. 148 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR Eligiendo λ = 1/t en (5.5) llegamos a u(x, t) = u( x √ t , 1), que nos sugiere buscar soluciones de (5.4) de la forma, u(x, t) = ϕ ( x √ t ) . Poniendo ζ = x/ √ t llegamos fácilmente a: ϕ′′ + ζ 2 ϕ′ = 0, bajo las condiciones, l´ım ζ→−∞ ϕ(ζ) = 0 l´ım ζ→+∞ ϕ(ζ) = 1. Teniendo en cuenta el valor de la integral gaussiana ∫ R e−s2 ds = √ π obtenemos, ϕ(ζ) = 1 √ 4π ∫ ζ −∞ e− s2 4 ds = 1 √ π ∫ ζ/2 −∞ e−z2 dz, alternativamente, ϕ(ζ) = 1 2 + 1 2 Erf ( ζ 2 ), donde Erf es la función error, Erf (ζ) = 2 √ π ∫ ζ 0 e−z2 dz. Por tanto, un candidato a solución de (5.4) es, uθ(x, t) = 1 2 + 1 √ π ∫ x/ √ 4t 0 e−z2 dz. Propiedad 5.1. uθ ∈ C∞ {t > 0}, resuelve (5.2) y l´ım t→0+,x→x0 u(x, t) = { 0 x < 0 1 x > 0. Ejercicio 5.1. Pruébese que para cada τ ∈ [0, 1] existe una curva Γ en t > 0 tal que: l´ım P →(0,0),P ∈Γ u = τ.
- 157. 5.1. PROBLEMA DEVALOR INICIAL 149 Sea ahora I = [a, b], χI su función característica. Es inmediato que una solución de (1) para el dato f = cχI es, u = c{uθ(b − x, t) + uθ(x − a, t) − 1}, es decir, u = c √ π ∫ (x−a)/ √ 4t (x−b)/ √ 4t e−z2 dz. Por otra parte, si f ∈ C[a, b] y la consideramos extendida por 0 a R podemos dar una aproximación poligonal de la forma, fn(x) = n∑ i=1 f(¯yi)χIi (x), con yi = a + ih, h = (b − a)/n, ¯yi ∈ Ii. Una solución correspondiente a fn es un(x, t) = n∑ i=1 f(¯yi)uχIi (x, t) = n∑ i=1 f(¯yi) √ π ∫ (x−yi−1)/ √ 4t (x−yi)/ √ 4t e−z2 dz = n∑ i=1 1 √ 4πt f(¯yi)e−(x−˜yi)2 /4t h, con ˜yi ∈ Ii. Para t > 0 fijado, el teorema de Bliss nos dice que, un ∼ n∑ i=1 1 √ 4πt f(¯yi)e−(x−¯yi)2 /4t h, (5.6) cuando n → ∞. Tomando límites en (5.6) cuando n → +∞ obtenemos: u(x, t) = 1 √ 4πt ∫ R e−(x−y)2 /4t f(y) dy. (5.7) Nada más natural que proponer (5.7) –fórmula de Poisson– como candidato a solución de (5.1). Por otro lado, y usando las ideas de separación de variables (ejercicio unas líneas más abajo), si f ∈ C(Rn ) un posible candidato a solución del problema n-dimensional: { ut = ∆u x ∈ Rn t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn , (5.8) es, u(x, t) = 1 ( √ 4πt)n ∫ R e−|x−y|2 /4t f(y) dy. (5.9)
- 158. 150 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR Ejercicio 5.2. Si u1(x1, t), . . . , un(xn, t) son soluciones de (5.2) verfíquese que u(x, t) = u1(x1, t) . . . un(xn, t) es solución de ut = ∆u. Conviene fijar las notaciones: Ck b (Rn ) = {f ∈ Ck (Rn ) : sup |∂α f(x)| < ∞ |α| ≤ k}, Ck,k/2 (Rn × R+ ) = {u ∈ C(Rn × R+ ) : ∂α x ∂j t u ∈ C(Rn × R+ ) |α| + 2j ≤ k}. Teorema 5.2. Para f ∈ Cb(Rn ) representemos por u = Kf(x, t) = 1 ( √ 4πt) n ∫ R e−|x−y|2 /4t f(y) dy. Entonces 1. u ∈ C∞ (Rn ×R+ )∩C(Rn ×[0, +∞)) define una solución clásica de (5.8), es decir, l´ım (x,t)→(x0,0) u(x, t) = f(x0). 2. (Conservación de la energía) Si además f ∈ L1 (Rn ) entonces: ∫ Rn u(x, t) dx = ∫ Rn f(x) dx t > 0. 3. (Comparación con el dato inicial) ´ınf f ≤ u(x, t) ≤ sup f x ∈ Rn , t > 0. 4. Si f ∈ Ck b (Rn ) entonces u ∈ C k,k/2 b (Rn × [0, +∞)). Más aún, para |α| + 2j ≤ k, v = ∂α x ∂j t u resuelve, { vt = ∆v x ∈ Rn t > 0 v(x, 0) = ∂α x (∆j f(x)) x ∈ Rn . Demostración. Nos limitaremos a las ideas principales. Denotemos por, K(x, y, t) = ( √ 4πt)−n e−|x−y|2 /(4t) al núcleo del calor. Fijemos (x0, t0), t0 > 0 y ε > 0 pequeño. Para todo α, j se tiene, ∂α x ∂j t K(x, y, t) = P( 1 t , x − y)e−|x−y|2 /(4t) donde P = P(τ, z) es un cierto polinomio, P(τ, z) = ∑ r,β ar,βτr zβ .
- 159. 5.1. PROBLEMA DEVALOR INICIAL 151 De ahí, |∂α x ∂j t K(x, y, t)| ≤ ∑ r,β |ar,β| 1 tr |x − y||β| e−|x−y|2 /(4t) . Cuando |t − t0|, |x − x0| ≤ ε, tenemos, ∑ r,β |ar,β| 1 tr |x − y||β| ≤ ∑ r,β |ar,β| 1 (t0 − ε)r ∑ s≤|β| ( |β| s ) (|x0| + ε)|β|−s |y|s . Por otro lado, para todo ν < 1, ν ∼ 1, existe δ > 0 tal que, |y − x|2 ≥ |y|2 − 2(|x0| + ε)|y| ≥ ν|y|2 − δ y ∈ Rn . Por lo tanto, e−|x−y|2 /(4t) ≤ eδ/(4(t0+ε)) e−ν|y|2 /(4(t0+ε)) . De ahí, para un cierto polinomio de coeficientes positivos Q, ∫ Rn |∂α x ∂j t K(x, y, t)||f(y)| dy ≤ ∫ Rn Q(|y|)e−ν|y|2 /(4(t0+ε)) dy < ∞. (5.10) Esto prueba la regularidad de u. Los demás resultados se dejan como ejercicio (cf. [11]). Observación 5.1. Si f es medible y |f(x)| ≤ Mea|x|2 , (5.11) a > 0, se sigue de (5.10) que u = Kf define una solución clásica de (5.8) en 0 < t < 1/(4a) cumpliendo: l´ım (x,t)→(x0,0) u(x, t) = f(x0), (5.12) en los puntos de continuidad x0 de f. Probémoslo. En efecto, |f(y)−f(x0)| ≤ ε/2 para |y − x0| ≤ δ. Así, |u(x, t) − f(x0)| ≤ ε 2 + 1 ( √ 4πt)n ∫ |y−x|≥δ/2 e−|y−x|2 /(4t) |f(y) − f(x0)| dy, siempre que |x − x0| ≤ δ/2 (el primer sumando corresponde a una integración sobre Bδ/2(x)). Podemos ahora acotar |f(y) − f(x0)| ≤ M1ea|y|2 , con lo que la segunda integral se estima en la forma, M1 ( √ π)n ∫ |ζ|≥δ/(2 √ 4t) e(4ta−1)|z|2 +2a √ 4t|z|+|x|2 dz ≤ M1e(|x0|+δ/2)2 ( √ π)n ∫ |ζ|≥δ/(2 √ 4t) e− 1 2 |z|2 +|z| dz → 0, cuando t → 0+.
- 160. 152 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR Observación 5.2. Es inmediato comprobar que si en (5.8), f tiene soporte com- pacto, f ≥ 0, por ejemplo (f ̸= 0) entonces u = Kf(x, t) > 0, para todo x en t > 0. Comprobaremos que lo mismo ocurre cuando tratamos con problemas de contorno (donde hay unicidad). Esto significa que las perturbaciones iniciales se propagan con velocidad infinita. Ejercicio 5.3. Pruébese la estimación: |K(x, y, t)| ≤ ( n 2πe )n/2 1 |x − y|n . 5.2. El problema perturbado Si consideramos el problema, { ut = ∆u + F(x, t) x ∈ Rn t > 0 u(x, 0) = 0 x ∈ Rn , (5.13) el método de variación de las constantes (ver Capítulo 4) nos lleva a que un candidato a solución de (P) es: u(x, t) = ∫ t 0 1 (4π(t − τ))n ∫ Rn e−|x−y|2 /(4(t−τ)) F(y, τ) dydτ. (5.14) Justificar que (5.14) es una solución clásica de (5.13) es más delicado y requiere cierta regularidad de F en x. La demostración del siguiente teorema se omite (cf. [16]). Teorema 5.3. Sean F, ∂xF ∈ C(Rn × [0, ∞)) ∩ L∞ (Rn × [0, ∞)). Entonces (5.14) define una solución del problema (5.13). Observación 5.3. Sobre la existencia de las derivadas parciales hasta el orden 2 véase el Ejemplo 9.13 del Capítulo 9. La derivabilidad de F en x se puede relajar a continuidad Hölderiana. Sin embargo, la solución puede no existir si F es meramente continua (véase [16]). 5.3. No unicidad de soluciones Resulta sorprendente que el problema de valor inicial: { ut = uxx x ∈ R t ∈ R u(x, 0) = 0 x ∈ R. (5.15) admite una una solución no trivial. La construcción que describimos a continua- ción se debe a Tychonoff ([11]). Ver [27] para otra clase de ejemplos. Buscamos una solución de uxx = ut (x, t) ∈ R2 u(0, t) = g(t) t ∈ R ux(0, t) = 0 t ∈ R,
- 161. 5.3. NO UNICIDADDE SOLUCIONES 153 en la forma: u = ∞∑ j=0 gj(t)xj . Una substitución formal en la ecuación lleva a: u = ∞∑ m=0 1 (2m)! g(m) (t)x2m . (5.16) Para darle validez a (5.16) como solución elegimos: g(t) = { exp{−t−α } t > 0 0 t ≤ 0, con α > 1. La analiticidad de g en t > 0 y la fórmula de Cauchy prueban (Ejercicio 11) la existencia de θ > 0 tal que: |g(k) (t)| < k! (θt)k e− 1 2 t−α t > 0, para todo k ≥ 0. En particular, ∞∑ m=0 1 (2m)! |g(m) (t)||x|2m ≤ ( ∞∑ m=0 1 m! ( |x|2 θt )m ) e− 1 2 t−α ≤ e |x|2 θt − 1 2 t−α , (5.17) para t > 0. La estimación (5.17) dice que la serie en (5.16) converge uniforme- mente sobre compactos de t > 0 y que dicha serie converge uniformemente a cero para x en compactos cuando t → 0+ (u es trivialmente 0 en t ≤ 0). Apelando a los cálculos hechos en el Capítulo 3, la serie (5.16) puede ser derivada término a término infinitas veces con respecto a x de forma que el resultado converge uniformemente en (x, t) , para |x| ≤ M y todo t ∈ R. Eso se debe a que: ∞∑ m=0 1 (2m)! |g(m) (t)||x|2m ≤ e |M|2 θt − 1 2 t−α ≤ K < ∞, para |x| ≤ M, t > 0. En efecto obtenemos la estimación uniforme de los coefi- cientes de la serie, 1 (2m)! |g(m) (t)| ≤ K M2m . De aquí, las derivadas de la serie en x convergen uniformemente en (x, t) siempre que x esté acotado. Al derivar (5.16) término a término j veces con respecto a t uno descubre que el resultado es la serie de ∂2j x u. Como ésta converge unifor- memente en (x, t) resulta que: ∂j t u = ∂2j x u. Por la misma razón ∂j t ∂α x u = ∂2j+α x u con lo que u ∈ C∞ (R2 ), define una solución no trivial de (5.15) que se anula en t ≤ 0.
- 162. 154 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR 5.4. Soluciones analíticas de la ecuación del calor La solución de Poisson, u = Kf(x, t) = 1 ( √ 4πt)n ∫ Rn e−|x−y|2 /(4t) f(y) dy, pongamos, para f ∈ L∞ (Rn ), es automáticamente C∞ en t > 0. Más aún, puede prolongarse analíticamente a x ∈ Cn , t ∈ C con ℜ(t) > 0 ([11]). En efecto, basta dar valores x ∈ Cn en la expresión: n∑ i=1 (xi − yi)2 , poniendo t ∈ C. Más precisamente, para t = σ + iτ, x = ξ + iη, ξ, η ∈ Rn se tiene: 1 ( √ 4πt)n e−|x−y|2 /(4t) = ( 1 + τ2 σ2 )n/4 e|η|2 /4σ ( 1 ( √ 4π(σ + τ2σ−1) n e−|(ξ+τσ−1 η−y|2 /(4(σ+τ2 σ−1 )) ) = ( 1 + τ2 σ2 )n/4 e|η|2 /4σ K(ξ + τσ−1 η, y, σ + τ2 σ−1 ). Estimando la integral de Poisson y la de sus derivadas se obtiene que u es C1 en Cn × {ℜ(z) > 0}. En particular, u = u(x, t) es real analítica. Observación 5.4. La analiticidad real de la solución del problema de valor inicial (P) se gana inmediatamente para t > 0. Podría pensarse que si f es real analítica u también lo es para |t| < ε, aunque ε varíe de punto a punto. Un contraejemplo debido a la propia S. Kowalevski –precisamente el Ejercicio 17 del Capítulo 3 – demuestra que esto en general no sucede. 5.5. Problemas de valor inicial y contorno El modelo físico que da lugar a la ecuación del calor sugiere plantearse el problema de contorno y valor inicial: ut = uxx + F(x, t) 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < l B0u = α(t), Blu(t) = β(t) t > 0, donde B0, Bl son los operadores de contorno de Dirichlet, Neumann o Robin (cf. Capítulo IV). La regularidad hasta la frontera precisará también de condi- ciones de compatibilidad adecuadas. En versión n-dimensional, si Ω ⊂ Rn es un
- 163. 5.5. PROBLEMAS DEVALOR INICIAL Y CONTORNO 155 dominio acotado de Rn el problema es, ut = ∆u + F(x, t) x ∈ Ω, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ Ω Bu = α(x, t) x ∈ ∂Ω, t > 0, (5.18) donde en este caso Bu = u (Dirichlet), Bu = ∂u ∂ν (Neumann), Bu = ∂u ∂ν +b(x, t)u (Robin, b ≥ 0). El siguiente resultado admite la correspondiente contrapartida unidimensio- nal (donde es posible introducir condiciones mixtas). Debe resaltarse la regula- ridad que se impone a las soluciones. Teorema 5.4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C1 de Rn . Entonces el problema de valor inicial y de contorno (5.18) admite a lo más una solución clásica u ∈ C2 (Ω × [0, T)). Demostración. Basta con estudiar el comportamiento de la integral, ∫ Ω u2 (x, t) dx . Usando las ideas de simetría el problema de Dirichlet homogéneo ut = uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < l u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0, (5.19) admite una solución clásica u siempre que f sea mínimamente regular. Basta extender f de forma impar y 2π periódica ¯f a R y después aplicar la fórmula de Poisson: ¯u = 1 √ 4πt ∫ +∞ −∞ e− (x−y)2 4t ¯f(y) dy. Si f ∈ C[0, π], la restricción de ¯u a 0 < x < l define una solución C∞ en t > 0 de forma que u → f cuando t → 0+ en uniformemente sobre compactos de (0, l). En realidad, ¯u está definida en R × (0, +∞). Las condiciones de compatibilidad f(0) = f(l) = 0 implican que u es una solución clásica que ajusta uniformemente con el dato f cuando t → 0+. En el caso Neumann, ut = uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < l ux(0, t) = ux(l, t) = 0 t > 0, (5.20) basta tener f ∈ C1 [0, l] y las condiciones de compatibilidad f′ (0) = f′ (l) = 0 para tener una solución clásica única que es C1 en t ≥ 0 (siempre es C∞ en t > 0.
- 164. 156 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR 5.6. Principios del máximo para la ecuación del calor Para Ω ⊂ Rn , T > 0 usaremos la siguiente notación. QT = Ω × (0, T) ⊂ Rn × R. Por otro lado ΓT = (Ω × {0}) ∪ (∂Ω × [0, T]) (la frontera parabólica de QT ). En los enunciados que siguen y para abreviar escribiremos Lu = ut − ∆u para representar el operador del calor. Teorema 5.5 (Principio del máximo débil). Sea u ∈ C2,1 (QT )∩C(QT ) tal que: Lu ≤ 0 en QT . Entonces, sup QT u ≤ sup ΓT . Una consecuencia importante del teorema es el llamado principio de compa- ración. Corolario 5.6. Sean u, v ∈ C2,1 (QT ) ∩ C(QT ) tales que: Lu ≤ Lv para (x, t) ∈ QT u ≤ v en cada (x, t) ∈ ΓT . Entonces: u ≤ v (x, t) ∈ QT . En particular, para cada F, f y α el problema de Dirichlet: ut = ∆u + F(x, t) x ∈ Ω, t > 0 u(x, 0) = f(x) x ∈ Ω u(x, t) = α(x, t) x ∈ ∂Ω, t > 0, admite a lo más una solución clásica u ∈ C2,1 (QT ) ∩ C(QT ). Observación 5.5. Nótese que se ha mejorado, para el problema de Dirichlet, la regularidad exigida a las soluciones a los efectos de la unicidad. El principio débil del máximo puede refinarse al extremo de que una solu- ción clásica u de Lu = 0 en QT sólo puede tomar los extremos en la frontera parabólica, salvo que sea constante (cf. [18]). En las propiedades que siguen E ⊂ Rn × R designa un dominio mientras Lu = ut − ∆u. Teorema 5.7 (Principio Fuerte del Máximo). Sea u ∈ C2 (E) tal que: Lu ≤ 0 (x, t) ∈ E, en tanto que u ≤ M en E para cierta constante M. Si existe P1 = (x1, t1) ∈ E tal que u(x1, t1) = M entonces u = M para todos los hiperplanos t = t0 que puedan conectarse en E por segmentos verticales x = x0 con la componente conexa en E de {t = t1} ∩ E que contiene a P1.
- 165. 5.6. PRINCIPIOS DELMÁXIMO 157 La demostración se fracciona en tres lemas (cf. [18]). Lema 5.8. Supongamos que u ∈ C2 (E) satisface u ≤ M en E mientras que B es una bola B ⊂ ¯B ⊂ E de forma que: 1. u < M en B, 2. ∃P ∈ ∂B tal que u(P) = M. Entonces, necesariamente, el hiperplano tangente a B en P adopta la forma t = constante. El Lema 5.8 afirma que el máximo sólo puede tomarse en lo más alto o lo más bajo de la bola. La propiedad siguiente es válida para toda función continua u ∈ C(E) que satisfaga la tesis del Lema 5.8. Lema 5.9. Supongamos, como en el Lema 1, que Lu ≤ 0 en E, mientras u ≤ M en E. Si u(P0) < M para algún P0 = (x0, t0) ∈ E entonces u < M en toda la componente conexa de {t = t0} que pasa por P0. Lema 5.10. Sea u ∈ C2 (E) tal que Lu ≤ 0 y u ≤ M en E. Supongamos que u < M en {t0 < t < t1} ∩ E (o en una cualquiera de las componentes conexas C de dicho conjunto). Entonces u(P) < M en todo P ∈ E, P = (x1, t1) (respectivamente, que además cumpla P ∈ ¯C). Observación 5.6. a) Cuando E = Ω × (0, T), Ω ⊂ Rn un dominio y se permite además que u sea regular hasta t = T, es decir u ∈ C2,1 (QT ∪ {t = T}) entonces que u(x, T) = M en algún (x, T), x ∈ Ω, implica que u ≡ M. b) La conclusión del principio fuerte del máximo sigue siendo válida si el operador del calor se substituye por otros operadores parabólicos más generales (cf. [18], Ejercicios 13-20). En particular para: Lu = ut − ∆u + n∑ i=1 bi(x, t)∂iu + h(x, t)u, donde los coeficientes bi y h son, por ejemplo, continuos y acotados en E ⊂ Rn × R, el coeficiente del término de orden cero cumple: h ≥ 0 en E, mientras al supremo se le impone la restricción de signo: M ≥ 0. Véanse más detalles en la sección de problemas.
- 166. 158 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR c) Supongamos que M = supE u mientras que u(P) = M para cierto P ∈ ∂E. Si ν es cualquier dirección exterior a E en P se cumple (supuesta la existencia de la derivada) que: ∂u ∂ν (P) ≥ 0. Un teorema de A. Friedman, que generaliza un resultado análogo de Hopf para ecuaciones elípticas afirma que bajo las condiciones del principio fuerte: ∂u ∂ν (P) > 0, siempre que u < M cerca de P, que dicha derivada exista y que ν sea una dirección exterior no paralela al eje t. La segunda condición puede relajarse reemplazando la derivada por una derivada inferior de Dini. Es conveniente precisar con detalle tal resultado. Teorema 5.11. Sea L un operador en las condiciones de la Observación 5.6–b) mientras P ∈ ∂E es un punto donde: 1. Existe una bola B ⊂ E tal que P ∈ ∂B (una bola interior a E tangente a ∂E en P). 2. u < M en B, donde M = u(P), M ≥ 0. Entonces, para toda dirección exterior ν al dominio E en P se tiene: ∂u ∂ν (P) > 0, si es que tal derivada existe (la derivada puede reemplazarse por una derivada de Dini adecuada). Un corolario inmediato del principio fuerte del máximo es el llamado prin- cipio de comparación fuerte (problema de Dirichlet). Teorema 5.12 (Principio de comparación fuerte). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado, T > 0, u, v ∈ C2,1 (QT ) ∩ C(QT ) tales que: Lu ≤ Lv en QT , junto con, u ≤ v sobre ΓT . Entonces se da una y sólo una de las siguientes opciones: o bien u = v en QT o bien u(x, t) < v(x, t) para todo (x, t) ∈ QT . Tenemos también el siguiente resultado para el problema de Dirichlet unidi- mensional.
- 167. 5.6. PRINCIPIOS DELMÁXIMO 159 Teorema 5.13. Sea f ∈ C[0, l] tal que f(0) = f(l) = 0. Entonces el problema de Dirichlet para la ecuación del calor ut = uxx admite una única solución clásica u ∈ C2,1 ((0, l)×(0, +∞))∩C([0, l]×[0, +∞)). Si además f ≥ 0 entonces o bien u ≡ 0 o bien u > 0 en (0, l) × (0, +∞). El siguiente resultado es un principio de comparación para todas las condi- ciones de contorno B consideradas al principio de la sección. Teorema 5.14 (Principio general de comparación). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C2 de Rn mientras u, v ∈ C2,1 (QT ∪ {t = T}) ∩ C1,0 (QT ) satisfacen: Lu ≤ Lv en QT u ≤ v en t = 0 Bu ≤ Bv en (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T]. Entonces u ≤ v en QT . Demostración. El caso Dirichlet ya se ha tratado. Consideremos los otros dos problemas de contorno. Si w = u − v, todo consiste en probar que M = sup w ≤ 0. Caso contrario M > 0 y tendríamos u(Pm) = M, sólo en algún Pm ∈ ΓT . En efecto u(P1) = M con P1 ∈ QT ∪ {t = T} lleva a u = M en QT que no es posible. Caben dos opciones. Primero que en el operador de contorno, Bu = ∂u ∂ν + bu, tengamos b(x, t) > 0 en cada (x, t) ∈ ΓT con t > 0. En ese supuesto se tiene: ∂w ∂ν (Pm) ≤ −b(Pm)u(Pm) = −b(Pm)M < 0, lo que no puede ser. En un máximo en la frontera como Pm siempre se ha de tener ∂w ∂ν (Pm) ≥ 0. Si b llega a anularse total o parcialmente en ∂Ω × (0, T] (el primer caso corresponde a condiciones de Neumann) habremos de proceder con más cuidado. En primer lugar, afirmamos (véase ejercicio al final de la prueba) la existencia de ϕ ∈ C2 (Ω), ϕ > 0 en Ω tal que: ϕν = γϕ, sobre ∂Ω y γ es una constante prefijada arbitraria. Hacemos, w = e−λt ϕv,
- 168. 160 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR obteniendo, vt ≥ ∆v + 2ϕ−1 ∇ϕ∇v + ( λ + ϕ−1 ∆ϕ ) v (x, t) ∈ QT ∪ {t = T} v ≤ 0 x ∈ Ω, t = 0 vν + (γ + b)v ≤ 0 x ∈ ∂Ω. Ahora, γ y λ pueden elegirse, sucesivamente, para que se tengan las condiciones, γ + b > 0 en ∂Ω , λ + ϕ−1 ∆ϕ > 0 en QT . Aplicando la primera parte concluimos que v ≤ 0, luego w ≤ 0 que es lo que se deseaba probar. Ejercicio 5.4. Constrúyase ϕ en los casos Ω = (0, l) un intervalo, Ω = BR(0) una bola en Rn . Observaciones 5.7. a) La construcción de ϕ en un dominio general Ω se apoya en la función distancia a la frontera ∂Ω, d = d(x), d : {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < ε} −→ R x −→ d(x) = dist (x∂Ω), que es tan regular como ∂Ω, en este caso C2 . Ver [13], Capítulo XIV, para una discusión detallada de la función distancia d en términos de la geometría de la frontera. b) El teorema de comparación proporciona la unicidad para condiciones de con- torno generales y menos regularidad, a saber: u ∈ C2,1 (QT ∪Ω×{T})∩C1,0 (QT ). Ejercicio 5.5. En las condiciones de regularidad del teorema de comparación sea u una solución clásica del problema: ut = ∆u x ∈ Ω, t > 0 u = f t = 0 Bu = 0 x ∈ ∂Ω. Demuéstrese que: |u(x, t)| ≤ sup Ω |f|. 5.7. Principios del máximo en dominios no aco- tados El siguiente teorema señala una clase de funciones en la que es posible ga- rantizar la unicidad de soluciones para el problema de Cauchy.
- 169. 5.7. PRINCIPIOS DELMÁXIMO 161 Teorema 5.15. Supongamos que u ∈ C2,1 (0 < t < T) ∩ C([0, T]) satisface: ut ≤ ∆u x ∈ Rn , 0 < t < T u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn , que satisface la condición de crecimiento exponencial: u(x, t) ≤ Mea|x|2 . Entonces, u(x, t) ≤ sup f . Una consecuencia del teorema es la siguiente propiedad de unicidad. Si u1, u2 son soluciones del problema de valor inicial ut = ∆u x ∈ Rn , 0 < t < T u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn , (5.21) satisfaciendo la condición de crecimiento |u(x, t)| ≤ Mea|x|2 , (5.22) quizás para diferentes a’s y M’s, entonces u1 = u2. En particular (5.21) sólo admite, si f ∈ Cb(Rn ), una solución acotada: la solución de Poisson. Como regla general, para problemas en dominios no acotados, condiciones de crecimiento como (5.22) juegan el papel de condiciones de contorno en “el infinito”. Demostración. Primeramente introducimos la solución especial, v(x, t) = 1 (4π(T∗ − t))n/2 e|x−y|2 /4(T ∗ −t) , que se obtiene –esencialmente– haciendo el cambio t → −t, x → ix el la ecuación del calor, en la que observamos a y ∈ Rn como un parámetro. Fijamos Q = BR(y) × (0, T) e intentamos aplicar el principio del máximo a: w = u − µv (µ > 0). El claro que w ≤ f en t = 0 mientras en |x − y| = R, w(x, t) ≤ Mea(|y|+R)2 − µ (4πT∗)n/2 eR2 /4T ∗ . El segundo miembro tiende a −∞ cuanto R → +∞, previa suposición de que: a < 1 4T∗ es decir T∗ < 1/4a mientras se ha admitido implícitamente que T < T∗. Luego no hay problema si T < 1/4a. El principio débil del máximo nos permite concluir que: u(y, t) ≤ sup BR(y) f ≤ sup f,
- 170. 162 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR y como y es arbitrario conseguimos la tesis. Si, por contra, 1/4a ≤ T, frac- cionamos el intervalo de tiempo en un número finito de intervalos de extremos 0 < T1 < · · · TN−1 < T y longitud menor que 1/4a donde aplicamos el teorema anterior. Esto concluye la prueba. Observación 5.8. Un resultado más débil que el teorema previo pero igualmente eficaz para probar la unicidad de soluciones clásicas u bajo la condición de crecimiento (5.22) es el siguiente. Supóngase que Lu ≤ 0 mientras u ≤ 0 en t = 0. Vamos a probar que u ≤ 0 en 0 ≤ t ≤ T. Consideramos la solución especial, v(x, t) = 1 (1 − 4At)n/2 eA|x|2 /(1−4At) , e intentamos aplicar el principio del máximo a: w = u − M(R)v en Q = BR(0) × (0, T). Para tener, MeaR2 ≤ M(R) (1 − 4At)n/2 eAR2 /(1−4At) , basta con elegir M(R) = Me(a−A)R2 y suponer que T < 1/4A o bien A < 1/4T. Con esta elección tendremos w ≤ 0 en Q. Para (x0, t0) fijo y R grande tenemos: u(x0, t0) ≤ M(R) (1 − 4At0)n/2 eA|x0|2 /(1−4At0) . Si elegimos A de forma que a < A < 1/4T resultará que el segundo miembro de la desigualdad se anula cuando R → +∞. Luego u(x0, t0) ≤ 0. Es decir u ≤ 0. Sin embargo se ha supuesto que a < 1/4T. Si éste no fuera el caso se procede como en la última demostración y volvemos a concluir que u ≤ 0. Ejercicio 5.6. Sin apelar a los resultados expuestos pruébese directamente que el problema: ut = ∆u + F(x, t) u(x, 0) = f(x), admite a lo más una solución clásica u ∈ C2,1 ({0 < t < T}) ∩ C({0 ≤ t ≤ T}) y acotada. Indicación. Usar la función auxiliar ([17]), v(x, t) = M ( 2t + |x|2 n ) .
- 171. 5.8. SOLUCIONES POSITIVAS163 5.8. Soluciones positivas del problema de valor inicial Hemos presentado contraejemplos a la unicidad de soluciones clásicas u ∈ C2,1 ({0 < t < T}) ∩ C({0 ≤ t ≤ T}) del problema de valor inicial: { ut = uxx x ∈ R 0 < t < T u(x, 0) = f(x) x ∈ R. (5.23) Un notable teorema de Widder ([27], [11]) afirma que en la clase de las soluciones no negativas (5.23) sólo admite una solución. Una variación trivial dice que la solución es única en la clase de las soluciones acotadas inferiormente. La novedad del teorema consiste entonces en que la unicidad es consecuencia de una condición de tipo “unilateral”. Con mayor precisión. Teorema 5.16. El problema (5.23) admite a lo más una única solución clásica u ∈ C2,1 ({0 < t < T}) ∩ C({0 ≤ t ≤ T}) y no negativa u ≥ 0 (obviamente, f ∈ C(R), f ≥ 0). Más aún, si tal solución u existe ésta es real analítica en 0 < t < T y puede representarse mediante la fórmula de Poisson: u(x, t) = ∫ R K(x, y, t)f(y) dy. (5.24) Observación 5.9. Lo notable de (5.24) es que se desconocen a priori condiciones de crecimiento sobre f en el infinito. Demostración. Es delicada y consta de las siguientes etapas. a) Usando el principio del máximo se demuestra que u queda por encima de la solución formal de Poisson (5.24): 0 ≤ v(x, t) := ∫ R K(x, y, t)f(y) dy ≤ u(x, t). Consideraciones estándar en la teoría de funciones analíticas permiten entonces probar –con cuidado– que v(x, t) es efectivamente una solución clásica de (5.23) que es analítica en 0 < t < T. b) Se toma la diferencia w = u − v. Es una solución no negativa de (5.23) con f = 0 (lo que supone la reducción al caso de dato inicial nulo). El objetivo es probar que w = 0. Por razones técnicas se introduce: W(x, t) = ∫ t 0 w(x, s) ds. Aunque las derivadas wx, wxx pudieran diverger o no existir en t = 0 se de- muestra (cf. [11]) que W es una solución clásica de (5.23) con dato f = 0. La tesis del teorema se deduce de que W = 0.
- 172. 164 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR c) Usando la convexidad de W y algunas cuentas delicadas se establece la estimación: W(x, t) ≤ Mea|x|2 , en 0 ≤ t ≤ T − ε. Los teoremas previos nos llevan en este caso a que W = 0 en 0 ≤ t ≤ T − ε. Iterando el argumento completamos a W = 0 en toda la franja 0 ≤ t ≤ T. Esto concluye la demostración. 5.9. Ejercicios 1. Se define la función error como sigue: Erf(x) = 2 √ π ∫ x 0 e−y2 dy. Utilizando dicha función dése una solución de los problemas de Cauchy para la ecuación del calor ut = uxx en R con datos iniciales: a) f(x) = 1 si |x| < l y f(x) = 0 si |x| > l, b) f(x) = 1 si x > 0, f(x) = 3 si x < 0, c) f(x) = χI, e. d., la función característica de un intervalo arbitrario I = [a, b]. 2. Sea f = f(x) una función continua en Rn para la que existen M ≥ 0 y a > 0 de forma que: |f(x)| ≤ Mea|x|2 en Rn . Demuéstrese que la fórmula de Poisson: u(x, t) = K(f)(x, t) = 1 (4πt)n/2 ∫ Rn e− |x−y|2 4t f(y) dy, define una solución en C2 (Rn × (0, 1 4a )) ∩ C(Rn × [0, 1 4a )) del problema de Cauchy: ut = ∆u x ∈ Rn , 0 < t < 1 4a u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn . 3. Sea Ω un dominio acotado de R3 y supongamos que Ω está aislado térmica- mente y posee una fuente calorífica con densidad −f(x), x = (x1, x2, x3). La evolución de la temperatura u(x, t) vendrá dada por la solución del problema: ∂u ∂t = ∆u − f(x), x ∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, ∂u ∂ν = 0, x ∈ ∂Ω, siendo u0(x) la temperatura inicial. Las configuraciones estacionarias de la temperatura cumplirán entonces el problema de contorno: ∆u = f(x), x ∈ Ω, ∂u ∂ν = 0, x ∈ ∂Ω. (5.25)
- 173. 5.9. EJERCICIOS 165 ¿Seránúnicas las soluciones del problema (5.25)?. Admitamos que f ∈ C(Ω) y supongamos que todas las soluciones u(x) de (5.25) están en C1 (Ω) ∩ C2 (Ω). Demuéstrese que una condición necesaria para que (5.25) admita una solución es que: ∫ Ω f dx = 0. 4. Hállense las soluciones estacionarias del problema: { cρut = kuxx + αu, t > 0, 0 < x < l, u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0. ¿ Para qué valores de α serán únicas las soluciones? En todo momento se supondrá que las soluciones del problema son C2 en [0, l]. 5. Supongamos que las soluciones del problema: cρAut = kAuxx − µP(u − T0), t > 0, 0 < x < l, u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ l, ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t ≥ 0, son C2 en [0, l] y t ≥ 0. Demuéstrese que la temperatura u(x, t) se esta- biliza en media cuadrática en torno al valor T0, es decir: l´ım t→+∞ ∫ l 0 (u(x, t) − T0)2 dx = 0. ¿Cuántas soluciones estacionarias admite el problema? ¿Cuántas solucio- nes homogéneas (e. d., no dependientes de x) admite el problema? 6. Estúdiese la forma genérica de las soluciones de la ecuación del calor: ut = uxx, x ∈ R, que tienen la forma u(x, t) = X(x)T(t). En particular, calcúlense todas las soluciones de la forma exp(αx + βt), α, β ∈ C. A partir de esta familia de soluciones, calcúlense otras familias, por derivación e integración de familias uniparamétricas. 7. Se dice que vn es un polinomio calórico de grado n si tal función es el coeficiente de zn n! en el desarrollo de exp(xz + tz2 ). En otras palabras, exp(xz + tz2 ) = ∑ n≥0 vn(x, t) zn n! .
- 174. 166 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR a) Demuéstrese que vn(x, t) = n! [n/2] ∑ k=0 tk k! xn−2k (n − 2k)! , donde [·] es la función parte entera. b) Demuéstrese que vn(x, 0) = xn , v2n(0, t) = 2n! n! tn , v2n+1(0, t) = 0. c) Demuéstrese que los vn(x, t) satisfacen la ecuación del calor ut = uxx. 8. Hállese una solución del problema de Cauchy para la ecuación del calor unidimensional con dato inicial u(x, 0) = x2 . Una guía para hacerlo es la que sigue. Prúebese que si u(x, t) es una hipotética solución entonces uxxx(x, t) también satisface la ecuación del calor con dato g(x) ≡ 0. Con- clúyase de aquí (¡ilegalmente !) que uxxx(x, t) ≡ 0 lo que lleva a una posible forma general de la solución. 9. La misma cuestión que en el problema anterior con el dato f(x) = e−x . 10. Resuélvase el problema de Cauchy para la ecuación del calor: ut = kuxx − bt2 u, u(x, 0) = ϕ(x) ∈ Cb(R). Para ello hágase un cambio adecuado de la forma u(x, t) = h(t)v(x, t). 11. Sea f(x) acotada y continua a trozos en R, e. d., exiten x1 < . . . , < xN tales que f|(−∞,x1) , f|(x1,x2) , . . . f|(xN−1,xN ) , f|(xN ,+∞) son continuas, siendo los límites (que supondremos existen) f(xi−), f(xi+) finitos. Si: u(x, t) = K(f)(x, t) = 1 √ 4πt ∫ +∞ −∞ e− |x−y|2 4t f(y) dy, hállense los límites:l´ımt→0+ u(xi, t). Indicación. Estúdiese con detalle el caso en que f(x) = θ(x) = 1 si x ≥ 0, θ(x) = 0 si x < 0. 12. Calcúlese la solución del problema: ut = ∆u t > 0, x ∈ Rn u(x, 0) = eα|x|2 , x ∈ Rn , que se obtiene por medio de la fórmula de Poisson. 13. Sea f(x) ∈ Cb(Rn ) una función radialmente simétrica, es decir f(x) = h(|x|), x ∈ Rn . Prúebese entonces que la función: u(x, t) = K(f)(x, t) = 1 (4πt)n/2 ∫ Rn e− |x−y|2 4t f(y) dy, es también radialmente simétrica con respecto a x.
- 175. 5.9. EJERCICIOS 167 14.Sea f(x) ∈ Ck b (Rn ), Ck b (Rn ) = {f : Rn → R/∂α f(x) ∈ Cb(Rn )para |α| ≤ k}. Pruébese que si u(x, t) = K(f)(x, t) entonces ∂α x ∂j t u ∈ Cb(Rn ×[0, +∞) siempre que 2j + |α| ≤ k. 15. (Transformación de Apell). Sea K(x, t) = 1√ 4πt e −x2 4t el núcleo del calor en una dimensión. Demúestrese que si u(x, t), x ∈ R, t ∈ R es una solución de la ecuación del calor ut = uxx entonces: v(x, t) = K(x, t)u( x t , − 1 t ), t > 0, es también una solución de dicha ecuación para t > 0. 16. Sea α > 0 un número real positivo y designemos por g : R → R la función definida por: g(t) = exp (−t−α ), para t > 0, g(t) = 0, si t ≤ 0. Pruébese la existencia de una constante θ = θ(α), 0 < θ < 1 de forma que: |g(k) (t)| ≤ k! (θt)k exp ( 1 2 t−α ), para cada t > 0. Indicación. Utilícese el hecho de que g(z) es holomorfa en ℜ(z) = t > 0 para aplicar la fórmula de Cauchy: g(k) (t) = k! 2πi ∫ Γ g(ζ) (ζ − t)k+1 dζ, Donde, para t > 0, Γ es la circunferencia de centro t y radio r = θt eligiéndose 0 < θ < 1 de forma que ℜ(z−α ) > 1 2 t−α para todo z ∈ Γ. 17. (Decaimiento de la Energía en la Ecuación del Calor). Sean ui(x, t) ∈ C2,1 ([0, l] × [0, +∞)), i = 1, 2 soluciones del problema de Dirichlet: ut = uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t). Pruébese la identidad u1 = u2. Para ello consideérese la diferencia w(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) y pruébese que la función: E(t) = ∫ l 0 w(ξ, t)2 dξ, es no creciente para t ≥ 0. 18. Sean a(x, t), b(x, t) ∈ L∞ (QT ), a(x, t) ≥ k > 0 en QT , L u = ut − a(x, t)uxx + b(x, t)ux. Si u ∈ C2,1 (QT ∪ {t = T}) satisface Lu ≤ 0 en QT ∪ {t = T} pruébese que sup QT u ≤ sup ΓT u .
- 176. 168 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR 19. Sea L el operador del problema 13 y sea E ⊂ R2 un dominio del plano x-t en donde u ∈ C2,1 (E) cumple Lu ≤ 0, mientras u ≤ M para una cierta constante M. a) Si B ⊂ ¯B ⊂ E es una bola donde u < M en B mientras u(P) = M para algún P ∈ ∂B. Demostrar que P = (x0, t0) es tal que t0 toma el valor máximo o el valor mínimo posible en ∂B. b) Si P = (x1, t1) ∈ E es tal que u < M en una componente conexa C de E ∩ {t0 < t < t1} tal que P ∈ ∂C pruébese que u(P) < M 20. Demostrar el principio fuerte del máximo para el operador L en las con- diciones del problema 13. Demuéstrese asimismo el principio del máximo de Hopf para dicho operador. 21. Sean bi(x) ∈ L∞ (Ω), 1 ≤ i ≤ n y considérese el operador parabólico: Lu = ut − ∆u + ∑n i=1 bi(x)∂iu en un dominio E ⊂ Rn × R del espacio x-t. Demuéstrense los principios débil y fuerte del máximo para dicho operador. Pruébese también el principio del máximo de Hopf. 22. Sean aij(x), bi(x) ∈ L∞ (Ω), Ω ⊂ Rn un dominio acotado, aij = aji de forma que el operador Lu = − n∑ i,j=1 aij∂iju + n∑ i=1 bi(x)∂iu , es elíptico en Ω, es decir, existe una función λ = λ(x) > 0 en Ω tal que n∑ i,j=1 aij(x)ξiξj ≥ λ(x)|ξ|2 para cada ξ ∈ Rn . (5.26) Supóngase además que o bien los aij son continuos (con lo que λ(x) será continua) o bien que λ(x) ≥ λ(K) > 0 sobre cada compacto K ⊂ Ω. Demuéstrese que si u ∈ C2 (Ω) ∩ C(¯Ω) cumple Lu ≤ 0 en Ω entonces supΩ u ≤ sup∂Ω u. Indicación. Para ε > 0 razonar en Ωε = {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > ε} intro- duciendo u = v − ηϕ, η > 0 pequeño, η ∼ 0, ϕ = exp{α|x − x0|2 } con α > 0, x0 ̸∈ Ω. Para α > 0 suficientemente grande es posible conseguir que L(ϕ) < 0 en Ωε. Uno concluye así que supΩε u ≤ sup∂Ωε u. Para obtener supΩ u ≤ sup∂Ω u basta con hacer ε → 0+ (haciendo las comprobaciones pertinentes). 23. Supongamos que el operador L del problema anterior es fuertemente elíp- tico en el sentido de que la función λ(x) en (5.26) satisface la siguiente condición de positividad fuerte: λ(x) ≥ λ0 > 0 x ∈ Ω .
- 177. 5.9. EJERCICIOS 169 Pruébeseentonces el principio del máximo de Hopf. Es decir, sea u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (¯Ω), B ⊂ Ω es una bola interior a Ω que es además tangente a ∂Ω en un P ∈ ∂Ω, de forma que u < M en B mientras u(P) = M. Si ν es la normal unitaria exterior a Ω en P entonces ∂u ∂ν (P) > 0 . Nótese que no supone novedad alguna el que ∂u/∂ν(P) ≥ 0. 24. Principios del máximo y términos de orden cero I) . Demuéstrese que el operador Lu = −u′′ − u no cumple el principio del máximo. 25. Principios del máximo y términos de orden cero II). Sea h = h(x, t) ∈ L∞ (E), una función continua y no negativa en E, con E un dominio de Rn × R. Considérese el operador Lu = ut − ∆u + h(x, t)u, que como bien se ve se diferencia de todos los aquí tratados en el término en u (véase el problema anterior). Sea asimismo u ∈ C2,1 (E) tal que u ≤ M en E. Pruébese2 que si P ∈ E y además u(P) = M con la condición adicional M ≥ 0 entonces se obtienen las conclusiones del principio fuerte del máximo y del principio de Hopf (supuesto en el último caso que u llega C1 hasta la frontera ∂E). Búsquese un contraejemplo si h < 0. 26. Probar el principio de comparación: si u y v son soluciones de la ecuación del calor, u ≤ v en t = 0 y x = 0, l entonces u ≤ v. Pruébese que si vt − vxx ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π, t > 0, v(0, t) ≥ 0, v(π, t) ≥ 0, v(x, 0) ≥ sen x, entonces v(x, t) ≥ e−t sen x. 27. (Sub y supersoluciones para la ecuación del calor). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y, para T > 0, definamos QT = {(x, t)/x ∈ Ω, 0 < t < T}. Sea C2,1 (QT ) = {u ∈ C(QT )/ut, ∂α x u ∈ C(QT ), para |α| ≤ 2}. Se dice que v(x, t) ∈ C( ¯QT )∩C2,1 (QT ) (respectivamente w(x, t)) es una supersolución (r. subsolución) del problema: ut = ∆u (x, t) ∈ QT u(x, 0) = f(x) x ∈ Ω u(x, t) = g(x, t) x ∈ ∂Ω, 0 ≤ t < T, (5.27) si vt ≥ ∆v (r. ≤ ) en QT , v(x, 0) ≥ f(x), x ∈ Ω (r. ≤) y v(x, t) ≥ g(x, t) (r. ≤) para x ∈ Ω, 0 ≤ t < T. Demuéstrese que si u(x, t) ∈ C(QT ) ∩ C2,1 (QT ) es la única solución de (5.27) entonces: w(x, t) ≤ u(x, t) ≤ v(x, t). En el caso Ω = (0, l) y f(x) ∈ C1 ([0, l]), f(x) ≥ 0, g(x, t) ≡ 0, demués- trese que u(x, t) ≥ 0 para todo t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l y que u(., t) tiende exponencialmente a 0 cuando t → +∞. 2En realidad basta con cerciorarse de que los pasos claves, a saber, los Lemas 5.8 y 5.10 (el Lema 5.9 es consecuencia inmediata del Lema 5.8), siguen siendo válidos en las nuevas condiciones.
- 178. 170 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR 28. Se considera la solución 1 − x2 − 2t de la ecuación del calor ut = uxx. Localícense sus máximos en QT . 29. Sea u una solución de ut = uxx en 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, y sean M(T) = supQT u, m(T) = ´ınfQT u. Estúdiense las propiedades de crecimiento y decrecimiento en T de tales funciones. 30. Sea u la solución de ut = uxx con u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = x(1 − x). a) Probar que u > 0 en 0 < x < 1, t > 0. b) Para t > 0, sea µ(t) = sup u(·, t). Probar que µ es no creciente. Para ello supóngase que si µ(t) = u(X(t), t), entonces X(t) es diferenciable. c) Pruébese que u(x, t) = u(1 − x, t). d) Pruébese que 0 < u < 1 e) Prúebese que ∫ 1 0 u2 dx es decreciente en t. 31. El siguiente ejercicio establece que el principio del máximo no es cierto para la ecuación ut = xuxx, −2 < x < 2. Verificar que u = −2xt − x2 es una solución. Hállese su máximo en el dominio [−2, 2] × [0, 1]. 32. Comprúebese que u = 1 − x2 − 2kt satisface la ecuación del calor: ut = kuxx. Estúdiese la localización de sus máximos y mínimos en QT para Ω = (0, 1). 33. Considérse el problema de Dirichlet homogéneo: ut = uxx 0 < x < 1, t > 0 u(x, 0) = 4x(1 − x) 0 < x < 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 t > 0, y admitamos que admite una solución u ∈ C2,1 ((0, 1)×(0, +∞)∩C([0, 1]× [0, +∞)). Pruébese que 0 < u(x, t) < 1 para todo t > 0. Pruébese que u(x, t) = u(1 − x, t) para todo (x, t). 34. (cf. [10]) Se considera el operador del calor unidimensional Lu = ut − uxx definido en el dominio: E = {x2 + t2 < R2 , t < γ1x , t < γ2x}, donde γ2 < 0 < γ1. Se considera: u(x, t) = (t − γ1x)(γ2x − t) + 1, Demuéstrese que: a) Lu ≤ 0 en D b) u(P) < u((0, 0)) en D.
- 179. 5.9. EJERCICIOS 171 Sinembargo, falla la tesis del teorema de Hopf enunciado en el §6 ¿Cuál es la explicación? 35. La ecuación de Korteweg-de Vries (KdV): ut − δuux + uxxx = 0, se usa para describir la propagación de “ondas de agua”. Emular la de- ducción autosimiliar de la fórmula de Poisson para dar una solución del problema de valor inicial para KdV con dato: u(x, 0) = θ(x) x ∈ R, para llegar a un problema de comportamiento asintótico de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- 180. 172 CAPÍTULO 5.ECUACIÓN DEL CALOR
- 181. Capítulo 6 Series deFourier 6.1. Series de Fourier: introducción En el Capítulo 7 sobre separación de variables se plantea de forma muy natural el siguiente problema. Dada una función f : [−π, π] → R determinar coeficientes {an}, {bn} tales que, f(x) = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx. (6.1) Como se espera o desea que (6.1) se satisfaga puntualmente es natural que su- pongamos siempre que f es 2π-periódica. Usaremos Ck (T), L2 (T) para repre- sentar a las funciones 2π-periódicas que son Ck o que pertenecen a L2 (−π, π). Que (6.1) sea verosímil requiere resolver primero una cuestión fundamental: la determinación de los coeficientes en términos de f. Las identidades: ∫ π −π sen nx sen mx dx = πδnm ∫ π −π cos nx cos mx dx = πδnm ∫ π −π sen nx cos mx dx = 0, (n, m ∈ N cualesquiera) son cruciales a este respecto. Multiplicando ambos miembros de (6.1) por 1 = cos 0x, cos nx y sen nx, respectivamente, integrando en [−π, π] y permutando formalmente la integral y la serie, obtenemos: a0 = 1 2π ∫ π −π f(x) dx an = 1 π ∫ π −π f(x) cos nx dx bn = 1 π ∫ π −π f(x) sen nx dx. 173
- 182. 174 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER La forma de calcular los coeficientes tiene mucho que ver con el cómputo de las coordenadas de un vector x en un espacio euclídeo (E, ⟨·, ·⟩) de dimensión N con respecto a una base ortonormal {e1, . . . , eN }. En efecto: x = N∑ n=1 xnen, donde xn = ⟨x, en⟩. En el caso de las series de Fourier debemos considerar un espacio (de dimensión infinita) con producto escalar, ⟨f, g⟩ = ∫ π −π f(x)g(x) dx, mientras el sistema ortonormal es {1/ √ 2π, {1/ √ π cos nx}n∈N, {1/ √ π cos nx}n∈N}. Para poner en orden estas ideas desarrollamos a continuación algunos hechos básicos sobre espacios de Hilbert, la versión infinitodimensional de los espacios euclídeos. Ejercicio 6.1. Hallar la serie de Fourier de la función f(x) = x. 6.2. Espacios de Hilbert Sea H un espacio vectorial (real o complejo). Un producto escalar (real) en H es una aplicación bilineal b : H × H → R tal que: 1) ∀x ∈ H : b(x, x) ≥ 0 y b(x, x) = 0 si y sólo si x = 0. 2) ∀x, y ∈ H : b(x, y) = b(y, x) (b es simétrica). En el caso complejo b toma valores complejos, ∀x ∈ H, b(·, x) y b(x, ·) son lineales y se dice que b es sesquilineal (= 1 + 1 2 lineal) 1 . En este caso 6.2) se mantiene mientras 6.2) se reemplaza por, 2’) ∀x, y ∈ H : b(x, y) = b(y, x) (b es hermítica). Se suele representar b(x, y) = ⟨x, y⟩. Dos vectores x, y se dicen ortogonales si ⟨x, y⟩ = 0. Se introduce la longitud (módulo) |x| de x como: |x| = √ ⟨x, x⟩. 1En un espacio vectorial complejo, aplicaciones “semilineales” f son las que cumplen f(x + y) = f(x) + f(y) mientras f(λx) = ¯λf(x) para escalares λ ∈ C.
- 183. 6.2. ESPACIOS DEHILBERT 175 Se tienen inmediatamente los teoremas del coseno, de pitágoras y las identidades del paralelogramo y de polarización (x, y son arbitrarios en H) |x ± y|2 = |x|2 + |y|2 ± 2ℜ⟨x, y⟩ |x + y|2 = |x|2 + |y|2 si y sólo si ⟨x, y⟩ = 0 |x + y|2 + |x − y|2 = 2|x|2 + 2|y|2 ℜ⟨x, y⟩ = 1 4 {|x + y|2 − |x − y|2 } ℑ⟨x, y⟩ = 1 4 {|ix − y|2 − |ix + y|2 }, (ℜz, ℑz las partes real e imaginaria de z ∈ C). Otra consecuencia de las propie- dades del producto escalar es la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |⟨x, y⟩| ≤ |x||y|, (6.2) para x, y arbitrarios. En efecto, descartamos los casos triviales x = 0, ⟨x, y⟩ = 0 y suponemos que |x| = 1. Hallamos una base ortonormal de span{x, y}. Llamamos u1 = x, u2 = (y − ⟨x, y⟩x)/|y − ⟨x, y⟩x| y fácilmente obtenemos: y = ⟨x, y⟩u1 + |y − ⟨x, y⟩x|u2, de donde, |y|2 = |⟨x, y⟩|2 + |y − ⟨x, y⟩x|2 , que implica (6.2). De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce la de Minkowsky, |x + y| ≤ |x| + |y|. Por tanto, todo espacio H con un producto interior b = ⟨·, ·⟩ es un espacio normado con respecto al módulo | · |. H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a | · |. El ejemplo fundamental de espacio de Hilbert es: l2 = {{xn} : ∑ |xn|2 < +∞}, donde las {xn} pueden ser reales o complejas. En este caso ⟨{xn}, {yn}⟩ =∑ xnyn (⟨{xn}, {yn}⟩ = ∑ xn ¯yn en el caso complejo). Un segundo ejemplo importante es L2 (Ω) para Ω ⊂ Rn medible: L2 (Ω) = {u : Ω → R (resp. C) : u es medible, |u|2 es integrable-Lebesgue}. Se hace la identificación f = g si las funciones sólo difieren en un conjunto de medida cero. El producto escalar es: ⟨f, g⟩ = ∫ Ω f(x)g(x) dx ( resp. ∫ Ω f(x)g(x) dx ) . Conviene ahora recordar algunas propiedades elementales.
- 184. 176 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Proposición 6.1. Si H es un espacio de Hilbert, entonces una serie ∑ xn para la que ∑ |xn| converge es también convergente y: | ∑ xn| ≤ ∑ |xn|. Tal serie se dirá absolutamente convergente. Si tenemos una serie convergente en H, ∑ xn = x ∈ H, entonces: ⟨x, y⟩ = ⟨ ∑ xn, y⟩ = ∑ ⟨xn, y⟩, para cada y ∈ H. Nuestro objetivo más inmediato es dar sentido a la serie de Fourier de una función 2π-periódica f. Un primer resultado en esta dirección es el siguiente. Teorema 6.2 (Teorema de la proyección). Sea H un espacio de Hilbert, M ⊂ H un subespacio cerrado, M ̸= H. Entonces, para cada x ∈ H existe un único y ∈ M tal que: |x − y| = dist (x, M). (6.3) Además 1. x − y ∈ M⊥ donde M⊥ = {z : ∀y1 ∈ M , ⟨z, y1⟩ = 0} 2. La aplicación π : H → H que a x → y := π(x) es lineal y continua con ∥π∥ = 1. Demostración. Cualquier y que resuelva el problema (A) de la mejor aproxima- ción cumple x − y ∈ M⊥ . En efecto, para y1 ∈ M se tiene: |x − y|2 ≤ |x − y + ty1|2 = |x − y|2 + t2 |y1|2 + 2⟨x − y, y1⟩t, es decir (hemos supuesto el espacio real para simplificar): 0 ≤ t2 |y1|2 + 2⟨x − y, y1⟩t, para todo t ∈ R. Por tanto ⟨x − y, y1⟩ = 0. En particular, la solución del problema de aproximación es única. Para otra solución y′ ∈ M se tendría: y − y′ = y − x + x − y′ ∈ M⊥ , que lleva a y − y′ = 0. Para la existencia de y sea d = dist (x, M) > 0. Existe {yn} ⊂ M con |x − yn| → d. De la identidad del paralelogramo se tiene: 4|x − yn + ym 2 |2 + |yn − ym|2 = 2|x − yn|2 + 2|x − ym|2 . Por ello, |yn − ym|2 ≤ 2(|x − yn|2 − d2 ) + 2(|x − ym|2 − d2 ) → 0
- 185. 6.2. ESPACIOS DEHILBERT 177 cuando n, m → ∞. Esto prueba existencia de y. La aditividad de π se prueba así, |(x1 + x2) − y|2 = |(x1 − y1) + (x2 − y2) − y + y1 + y2|2 = |(x1 + x2) − (y1 + y2)|2 + |y − (y1 + y2)|2 , donde hemos puesto yi = π(xi). Más abajo veremos que hubiese bastado con ver que (x1 + x2) − (y1 + y2) ∈ M⊥ . El resto de la demostración se deja como ejercicio. Observaciones 6.1. a) El teorema asegura la existencia de la “mejor aproximación"y = π(x) de x por elementos de y. π(x) se llama la proyección ortogonal de x sobre M. b) Si M es finitodimensional, M = span{e1, . . . , eN } con {e1, . . . , eN } ortonormal no es difícil comprobar que y = π(x) = ∑N i=1 xiei, xi = ⟨x, ei⟩. En efecto, para escalares arbitrarios {yi} se tiene: |x − N∑ i=1 xiei|2 ≤ |x − N∑ i=1 xiei|2 + | N∑ i=1 (xi − yi)ei|2 = |x − N∑ i=1 xiei|2 + N∑ i=1 |xi − yi|2 = |x − N∑ i=1 yiei|2 . La diferencia entre el último y el primer término de la cadena de desigualdades es precisamente: ∑N i=1 |xi − yi|2 . Se hace mínimo (método de los mínimos cua- drados) para la elección xi = yi. Obsérvese que x−π(x) es obviamente ortogonal a M y por eso se tiene: |π(x)|2 = N∑ i=1 |xi|2 ≤ |π(x)|2 + |x − π(x)|2 = |x|2 . c) Hemos probado que para cualquier subespacio cerrado M ⊂ H, H admite la descomposición: H = M ⊕ M⊥ , siendo la suma directa topológica ([1]). Una consecuencia de la observación b) es la siguiente propiedad general. Proposición 6.3 (Método de los mínimos cuadrados). Sea M un subespacio cerrado propio de H, x ∈ H. Entonces, y ∈ M satisface: |x − y| = dist (x, M). si y sólo si x − y ∈ M⊥ .
- 186. 178 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Demostración. Para y1 ∈ M se tiene: |x − y1|2 = |(x − y) + (y − y1)|2 = |x − y|2 + |y − y1|2 ≥ |x − y|2 . Proposición 6.4 (Desigualdad de Bessel). Sea {ei}i∈I ⊂ H una familia orto- normal, es decir, ⟨ei, ej⟩ = 0 si i ̸= j, |ei| = 1 para cada i. Entonces, para cada x ∈ H la familia: ¯x = ∑ i∈I xiei = ∑ i∈I ⟨x, ei⟩ei, es sumable en H. ¯x se llama la serie de Fourier de x y xi es el i-ésimo coeficiente de Fourier de x con respecto a dicha familia. Además: |¯x|2 = ∑ i∈I |xi|2 ≤ |x|2 . (6.4) Demostración. Sea J ⊂ I cualquier parte finita. Resulta que: |x|2 = |x − SJ |2 + |SJ |2 ≥ |SJ |2 = ∑ i∈J |xi|2 , con SJ = ∑ i∈J xiei. Se deduce de ahíque: ∑ i∈I |xi|2 ≤ |x|2 . Como: |SJ |2 = ∑ i∈J |xi|2 , y la familia ∑ i∈I |xi|2 < +∞ se tiene la convergencia de la familia propuesta a un valor ¯x que cumple (3). De hecho, |¯x|2 = ∑ i∈I |xi|2 . Probaremos a continuación que el subespacio generado por una familia or- tonormal {ei}i∈I coincide con el de todas las series de Fourier de los elementos x ∈ H con respecto a dicha familia. Proposición 6.5. Sea {ei}i∈I una familia ortonormal en H y M el subespacio generado por la familia, es decir, M = span{{ei}i∈I}. (6.5) Entonces, M = { ∑ i∈I xiei : ∑ i∈I |xi|2 < +∞}.
- 187. 6.3. SERIES DEFOURIER: PRIMERAS PROPIEDADES 179 Más aún, para cada x ∈ H se tiene que: π(x) = ¯x = ∑ i∈I ⟨x, ei⟩ei. Demostración. Resulta obvio que x − ¯x ∈ M⊥ y que ¯x ∈ M, por eso se tiene que ¯x = π(x) donde ¯x es la serie de Fourier de x. Asímismo, el segundo miembro M1 de (4) cumple claramente M1 ⊂ M. Para probar el contenido contrario sea x ∈ M arbitrario, ¯x su serie de Fourier y sea: x = l´ım SJn , con Jn ⊂ I finito y SJn = ∑ i∈Jn x (n) i ei. Pongamos ¯xn = ∑ i∈Jn ⟨x, ei⟩ei. Se tiene entonces: |x − ¯xn|2 = |(x − ¯x) + (¯x − ¯xn)|2 = |x − ¯x|2 + |¯x − ¯xn|2 ≥ |x − ¯x|2 , puesto que x − ¯x ∈ M⊥ . Ahora, ya sabemos que: |x − ¯xn|2 ≤ |x − SJn |2 . Eso quiere decir que |x − ¯x| = 0. Observación 6.2. Sea {ei}i∈I ortonormal y M como en la proposición. Para x ∈ H, ¯x ∈ M su serie de Fourier en {ei}i∈I. Nos preguntamos a cuántos otros x′ les corresponde la misma serie de Fourier ¯x que a x. Obviamente el conjunto de tales x’s es: x + M⊥ . Los elementos de H vendrán caracterizados por su serie de Fourier sólo cuando M⊥ = {0}, es decir M = H. En este caso especial se tiene la siguiente definición. Definición 6.6. Un sistema ortonormal {ei}i∈I se dice completo en H, también una base de Hilbert para H, si M = H. Proposición 6.7. Un sistema ortonormal {ei}i∈I es completo si, para x arbi- trario en H, de la propiedad: ∀i ∈ I ⟨x, ei⟩ = 0, se sigue: x = 0. 6.3. Series de Fourier: primeras propiedades La forma de calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función f ha llevado al espacio L2 (T), que es un espacio de Hilbert. La familia: {1/ √ 2π, {1/ √ π cos nx}n∈N, {1/ √ π cos nx}n∈N} es ortonormal. Comprobaremos más tarde que es además completa. La siguiente propiedad es un caso particular de los resultados de la sección previa.
- 188. 180 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Proposición 6.8. Para f ∈ L2 (−π, π) su serie de Fourier converge en f ∈ L2 (−π, π) a una función ¯f, ¯f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx. Además, | ¯f|2 2 = π{2a2 0 + ∑ a2 n + b2 n}. Si g ∈ L2 (−π, π) es otra función con serie Fourier, ¯g = α0 + ∞∑ n=1 αn cos nx + βn sen nx, entonces, ⟨ ¯f, ¯g⟩2 = π{2a0α0 + ∑ anαn + bnβn}. Observación 6.3. Si ¯f es la serie de Fourier de f ∈ L2 (−π, π), con suma parcial N-ésima SN , entonces (desigualdad de Cauchy–Schwarz) | ¯f − SN |L1 = ⟨| ¯f − SN |, χ[−π,π]⟩2 ≤ √ 2π| ¯f − SN |2, luego l´ım SN = ¯f en L1 lo que significa que la serie de Fourier ¯f de f puede ser integrada término a término y, para cada a, x ∈ [−π, π], se tiene: ∫ x a ¯f(x) dx = a0(x − a) + ∞∑ n=1 − bn n (cos nx − cos na) + an n (sen nx − sen na). En la Sección 6.6 se demuestra el siguiente resultado que enunciamos ahora a los efectos de establecer el teorema de completitud. Teorema 6.9. Sea f ∈ C(T) continua tal que existe la derivada f′ excepto quizás en un número finito de puntos, con f′ ∈ L2 (T) (por ejemplo, f es C1 a trozos). Entonces, f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx (uniformemente), f′ = ∞∑ n=1 nbn cos nx − nan sen nx (en L2 ). Teorema 6.10 (Teorema de Completitud). Si f ∈ L2 (T), entonces f es la suma de su serie de Fourier. En particular, para todo par de funciones f, g ∈ L2 (−π, π) con desarrollos de Fourier, f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx,
- 189. 6.4. RESULTADOS DECONVERGENCIA PUNTUAL 181 g = α0 + ∞∑ n=1 αn cos nx + βn sen nx, se tienen (identidades de Parseval): |f|2 2 = π{2a2 0 + ∑ a2 n + b2 n}, ⟨f, g⟩2 = π{2a0α0 + ∑ anαn + bnβn}. Demostración. Por la acción combinada de los teoremas de Lusin (véase la Sec- ción 6.8) y Weierstrass tenemos que f = l´ım fn (L2 ), con fn un polinomio. Si p = p(x) es, por ejemplo un polinomio, y definimos: pε(x) = p(ε − π) ε (x + π) −π ≤ x ≤ −π + ε p(x) −π + ε < x < π − ε p(π − ε) ε (π − x) π − ε ≤ x ≤ π, entonces pε → p en L2 cuando ε → 0+. Esto significa que podemos suponer que los fn son C1 a trozos, 2π-periódicos y su serie de Fourier converge uniforme- mente. Sea S (n) N la suma parcial N-ésima de la serie de Fourier de fn. Tenemos que para ε > 0 arbitrario: |f − fnε |2 ≤ ε 2 , para cierto nε. Asímismo, |fnε − S (nε) N |2 ≤ ε 2 , para N ≥ Nε. Si SN designa la suma parcial N-ésima de la serie de Fourier de f se tiene, |f − SN |2 ≤ |f − S (nε) N |2 ≤ |f − fnε |2 + |fnε − S (nε) N |2 ≤ ε, para N ≥ Nε, lo que prueba la parte principal del teorema. 6.4. Resultados de convergencia puntual El primer resultado se debe esencialmente a Riemann y es básico para presen- tar una de sus contribuciones más importantes a la teoría: que la convergencia de la serie de Fourier en un punto sólo depende de la estructura local de la función en dicho punto.
- 190. 182 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Lema 6.11 (Lema de Riemann-Lebesge). Sea f ∈ L1 (−π, π). Entonces: l´ım ∫ π −π f(x) cos nx dx = l´ım ∫ π −π f(x) sen nx dx = 0. (6.6) Demostración. Si f ∈ L2 (−π, π) el resultado es obvio. Por otra parte, si f ∈ L1 (los coeficientes en (6.6) tienen sentido) se tiene que: f(x) = l´ım A→+∞ fA(x) ∀ c. t. x ∈ (−π, π), donde fA = χ{|f(x)|>A}f. En efecto, el límite falla en los puntos donde |f| toma el valor +∞, que es de medida cero: |{|f(x)| > A}| ≤ |f|1 A A > 0. Por otra parte, |aA n − an| = 1 π ∫ π −π (fA(x) − f(x)) cos nx dx ≤ 1 π ∫ π −π |fA(x) − f(x)| dx = 1 π ∫ {|f(x)|>A} |f| → 0, uniformemente en n cuando A → +∞. Como, |an| ≤ |aA(ε) n | + |aA(ε) n − an| ≤ ε, para A(ε) suficientemente grande y para n ≥ n(ε) como para que el primer sumando sea inferior a ε/2, resulta que an → 0. Se procede con bn de manera análoga. Sea ahora f ∈ L1 (−π, π) una función 2π-periódica cuya serie de Fourier tiene suma parcial N-ésima SN (x). Entonces: SN (x) = 1 π ∫ π −π f(t){ 1 2 + N∑ 1 cos n(x − t)} dt. Se tiene: 1 2 + N∑ 1 cos ny = sen ( N + 1 2 ) y 2 sen 1 2 y . En efecto si S es el primer miembro, ( sen y 2 ) S = 1 2 sen y 2 + N∑ 1 sen(n + 1 2 ) − sen(n − 1 2 ) = 1 2 sen(N + 1 2 ).
- 191. 6.4. RESULTADOS DECONVERGENCIA PUNTUAL 183 Se llama núcleo de Dirichlet de orden N a la expresión: DN (y) = sen ( N + 1 2 ) y 2π sen 1 2 y . Proposición 6.12. El núcleo de Dirichlet presenta las siguientes propiedades, 1. DN = DN (y) es C∞ y 2π-periódico. 2. Dn(y) = DN (−y), DN (y) > 0 en |y| < π/(N + 1 2 ), se anula en los puntos yk = kπ/(N+ 1 2 ), k ≤ N, del intervalo (0, π), mientras DN (y) ∼ 1 π (N+ 1 2 ) cuando y → 0. 3. Se tiene que: ∫ π −π DN (y) dy = 1. Obsérve que la suma parcial SN de la serie de f se puede escribir: SN (x) = ∫ π −π DN (x − t)f(t) dt = DN ∗ f(x). Por otra parte, no es difícil probar que si f es T-periódica, f ∈ L1 (0, T), entonces ∫ a+T a f es constante para todo a ∈ R. Por ello, SN (x) = ∫ π −π DN (x − t)f(t) dt = ∫ π −π DN (t − x)f(t) dt = ∫ π−x −π−x DN (z)f(x + z) dz = ∫ π −π DN (z)f(z + x) dz. Podemos ya demostrar el siguiente resultado. Teorema 6.13 (Convergencia puntual). Sea f ∈ L1 (−π, π) una función 2π- periódica, mientras x0 ∈ [−π, π] es tal que: f(t + x0) − f(x0) |t| (6.7) con t ̸= 0 está en L1 (−π, π) (condición de Dini). Entonces la serie de Fourier de f converge a f(x0) en x = x0, es decir, f(x0) = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx0 + bn sen nx0.
- 192. 184 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Observaciones 6.4. Observaciones Cualquiera de las siguientes condiciones im- plican la validez de (6.7) en x = x0: 1. f Hölder continua en x = x0 de exponente 0 < α < 1: |f(x) − f(x0)| ≤ C|x − x0|α , para x ∼ x0, C > 0. 2. f Lipschitz continua en x = x0 |f(x) − f(x0)| ≤ L|x − x0|, para x ∼ x0, L > 0. 3. f es derivable en x = x0. Las tres condiciones implican también la continuidad de f en x = x0. Sin embargo no es cierto que la sola continuidad de f en x = x0 garantiza la convergencia de la serie de Fourier de f a f(x0) en x = x0 (ver el contraejemplo unas líneas más abajo). Por otra parte, nótese que la Lipschtzianidad de f en x = x0 es equivalente a la finitud de los cuatro números de Dini: D± f(x0±), donde, por ejemplo, D+ f(x0) = lim x→x0+ f(x) − f(x0) x − x0 . Demostración del Teorema 6.13. Tenemos, SN (x0) − f(x0) = ∫ π −π DN (z)(f(z + x0) − f(x0) dz = ∫ π −π z sen(z/2) f(z + x0) − f(x0) z sen(N + 1 2 )z dz → 0, cuando N → ∞ en virtud del lema de Riemann-Lebesge. Una consecuencia de la demostración es lo que se conoce como el principio de localización de Riemann que viene a asegurar que la convergencia de la serie de Fourier en x = x0 es una propiedad local. Proposición 6.14. Si f ∈ L1 (T) y existe ε > 0 tal que f = 0 ∀ c. t. x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) entonces: a0 + ∞∑ n=1 an cos nx0 + bn sen nx0 = 0. Para aplicar los resultados sobre series de Fourier, por ejemplo a funciones continuas f en [−π, π], se extiende primero f como una función 2π-periódica a R (v.g. f(x) = ex ). Es entonces natural que aparezcan discontinuidades en la extensión (si f(−π) ̸= f(π)). El siguiente resultado, debido a Dirichlet, tiene que ver con ese tipo de situaciones.
- 193. 6.5. CUESTIONES COMPLEMENTARIAS185 Teorema 6.15. Sea f ∈ L1 (T) satisfaciendo que las funciones f(x0 + t) − f(x0−) t χ{t < 0} f(x0 + t) − f(x0+) t χ{t > 0}, (6.8) (t ̸= 0) son localmente integrables. Entonces, f(x0−) + f(x0+) 2 = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx0 + bn sen nx0. La demostración es una variante de la del teorema anterior. Nótese que si f es por ejemplo C1 a trozos se cumple (6.8) en los puntos de discontinuidad. 6.5. Algunas cuestiones adicionales sobre la con- vergencia de las series de Fourier El siguiente ejemplo de Fejér (1910) (cf. [23]) muestra que la continuidad no basta para la convergencia puntual. Un primer ejemplo en esta dirección había sido dado ya por Du Bois-Reymond en 1876. Se consideran los grupos ordenados de números: Gn = { 1 2n − 1 , . . . , 1, −1, . . . , − 1 2n − 1 }, a los que se asocian (r un parámetro) las funciones: ϕ(n, r, x) = cos(r + 1)x 2n − 1 + · · · + cos(r + n)x − cos(r + n + 1)x − · · · − cos(r + 2n)x 2n − 1 = n∑ ν=1 cos(r + n − ν + 1)x 2ν − 1 − n∑ ν=1 cos(r + n + ν)x 2ν − 1 . La familia ϕ(n, r, ·) está uniformemente acotada. En efecto, ϕ(n, r, x) = 2 sen(r + n + 1 2 )x n∑ ν=1 sen(ν − 1 2 )x 2ν − 1 = 2 sen(r + n + 1 2 )x { 2n∑ λ=1 sen(λ 2 )x λ − 1 2 n∑ λ=1 sen λx λ } , mientras las expresiones, SN (x) = N∑ 1 sen kx k , se mantienen acotadas.
- 194. 186 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Basta escribir: SN (x) = ∫ x 0 (cos t + · · · + cos nt) dt = ∫ (N+1/2)x 0 sen u u du + ∫ x 0 ( 1 2 sen t 2 − 1 t ) sen(n + 1 2 )t dt − x 2 , de donde se deduce la acotación uniforme de SN , primero en [0, π], después en [−π, 0] (refelexión), y después por periodicidad a todo R. Ejercicio 6.2. Efectuar un estudio detallado de ∫ x 0 sen u u du, en R+ . Ahora consideramos una sucesión creciente de enteros λ1 < λ2 < · · · y la sucesión ordenada de coeficientes {αn} que se deduce de la unión: Gλ1 ∪ Gλ2 ∪ · · · donde los elementos de Gλn son los de Gλn multiplicados por 1/n2 . Debe notarse que para cada n: ∑ αn∈Gλn αn = 0. Finalmente construimos la serie formal: ∞∑ n=1 αn cos nx. (6.9) Se observa que: ∑ αn∈Gλn αn cos nx = 1 n2 ϕ(λn, 2λ1 + · · · 2λn−1, x) pues el primer elemento del grupo Gλn ocupa el número de orden 2λ1+· · · 2λn−1, el último 2λn unidades más. La serie (6.9) puede sumarse por “paquetes” en el sentido de que: f(x) = ∑ n ∑ αn∈Gλn αn cos nx = ∑ n 1 n2 ϕ(λn, 2λ1 + · · · 2λn−1, x), y es inmediato que dicha serie converge uniformemente a una función continua f(x). Su m-ésimo coeficiente de Fourier se halla haciendo: ∫ 2π 0 f(x) cos mx dx = ∑ n ∫ 2π 0 1 n2 ϕ(λn, 2λ1 + · · · 2λn−1, x) cos mx dx = παm.
- 195. 6.6. CONVERGENCIA UNIFORME187 Por lo tanto, (6.9) es exactamente la serie de Fourier de f. Veamos que dicha serie no converge en x = 0 (la razón es que para sumar dicha serie hay que “desempaquetarla"lo que causa la no convergencia). En efecto, si sn es la suma parcial n-ésima de ∞∑ n=1 αn, entonces la subsucesión: s2λ1+···+2λn−1+λn = 1 n2 { 1 + 1 3 + · · · + 1 2λn − 1 } ∼ log λn 2n2 , cuando n → ∞. Si elegimos λn adecuadamente, v. g. λn = nn2 es claro que tal subsucesión diverge como log n y la serie ∑∞ n=1 αn diverge. Observaciones 6.5. a) Usando el principio de acotación uniforme se puede probar (cf. [19], Capítulo 5) la existencia un subconjunto denso E ⊂ C(T) de forma que la serie de Fourier de cada f ∈ E diverge sobre un conjunto denso en [−π, π]. b) Carleson probó en 1966 que la serie de Fourier de cada f ∈ L2 (T) converge a f, ∀ c. t. x ∈ (−π, π). Eso dice que el conjunto de divergencia de las funciones f ∈ E de a) debe ser necesariamente de medida cero. 6.6. Convergencia uniforme Un primer resultado elemental es el siguiente. Proposición 6.16. Si f ∈ C2 es 2π periódica, f es la suma uniforme de su serie de Fourier. El resultado se sigue de la identidades (en L2 ), f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx f′ = ∞∑ n=1 nbn cos nx − nan sen nx f′′ = − ∞∑ n=1 n2 an cos nx + n2 bn sen nx. En particular: |an|, |bn| ≤ 1 πn2 |f′′ |1, que prueba la convergencia absoluta y uniforme de la serie de Fourier. Supongamos más sencillamente que f ∈ C1 (T). Una integración por partes establece que: a′ n = nbn b′ n = −nan,
- 196. 188 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER por lo que ∑∞ n=1 n2 a2 n + n2 b2 n < ∞. Para estimar la convergencia escribimos: |SM (x) − SN (x)|2 ≤ 2{ M∑ n=N 1 n2 }{ M∑ n=N n2 a2 n + n2 b2 n}, y se deduce la convergencia uniforme. Con un poco más de generalidad, si f ∈ C(T), f′ existe excepto quizás en un número finito de puntos {ai} con f′ ∈ L2 (−π, π) entonces: ∫ π −π f′ (x) cos nx dx = ∑ i ∫ ai −ai−1 f′ (x) cos nx dx = ∑ i l´ım ε→0+ { ∫ ai−ε −ai−1+ε f′ (x) cos nx dx} = n ∑ i {f sen nx|ai ai−1 − ∫ ai −ai−1 f(x) sen nx dx} = −n ∫ π −π f(x) sen nx dx. Luego, como antes tenemos a′ n = −nbn y, por el mismo razonamiento, b′ n = nan. Más aún si f ∈ C(T) es absolutamente continua, luego: f(x) = f(a) + ∫ x a g, para alguna g ∈ L1 (T) y cualquier a ∈ [−π, π], una cuidadosa aplicación del teorema de Fubini demuestra (cf. [19]), una vez más, que se tienen las relaciones: ∫ π −π g(x) cos nx dx = −n ∫ π −π f(x) sen nx dx ∫ π −π g(x) sen nx dx = n ∫ π −π f(x) cos nx dx, por tanto, a′ n = −nbn, b′ n = nan. Si además g ∈ L2 (g es la derivada en casi todo punto de f) se tendrá la convergencia de la serie ∑ n2 a2 n + n2 b2 n. Podemos finalmente enunciar nuestro resultado de convergencia uniforme. Teorema 6.17. Sea f ∈ C(T) satisfaciendo alguna de las condiciones prece- dentes. Entonces, f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx, uniformemente. Más aún, sup [−π,π] |SM (x) − SN (x)| ≤ √ 2 M∑ n=N 1 n2 M∑ n=N n2a2 n + n2b2 n. Observaciones 6.6.
- 197. 6.6. CONVERGENCIA UNIFORME189 a) Haciendo M → +∞ en la última ecuación tenemos la estimación uniforme del error, sup [−π,π] |f(x) − SN (x)| ≤ √ 2 π π2 6 − N∑ 1 1 n2 ∫ π −π f′2 − π{ N∑ 1 n2a2 n + n2b2 n}. Hemos usado que: ∞∑ n=1 1 n2 = π2 6 . Para probarlo consideramos f(x) = x en [−π, π]. Su serie de Fourier es: f(x) = 2 ∞∑ n=1 (−1)n+1 1 n , de lo que, al ser, ∫ π −π x2 dx = 2π3 6 , se tiene: 2π3 6 = 4π ∞∑ n=1 1 n2 , de donde el resultado. b) Puede ser de utilidad observar que si f ∈ Ck−1 (T), con f(k−1) C1 a trozos, la serie de Fourier de f: f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx, se puede derivar k − 1 veces término a término siendo las series resultantes uniformemente convergentes, mientras: f(k) = ∞∑ n=1 an(cos nx)(k) + bn(sen nx)(k) , en L2 (T). Por otro lado, ∞∑ n=1 n2l {a2 n + b2 n} < +∞, para 0 ≤ l ≤ k.
- 198. 190 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER 6.7. Convergencia uniforme sobre compactos: fe- nómeno de Gibb Cuando una función f presenta una discontinuidad de salto en un punto x = x0 y es relativamente regular cerca de x = x0, las sumas parciales SN de la serie de Fourier desarrollan cuando N → +∞ un tipo característico de efecto de capa límitite en x = x0 conocido como fenónmeno de Gibb. Mientras lo describimos probaremos que la serie de Forier de una función C1 a trozos converge uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad. Vamos a comenzar analizando un caso especial: f(x) = 1 2 signo(x) (cf. [22]). En este caso: SN (x) = ( − ∫ 0 −π + ∫ π 0 ) sen M(x − y) sen(x−y 2 ) dy 4π , con M = N + 1 2 . Hacemos θ = M(x − y), mientras llamamos: φ(θ) = sen θ M sen( θ 2M ) , y tenemos: SN (x) = ( − ∫ Mx Mx+Mπ + ∫ Mx−Mπ Mx ) (−1)φ(θ) dθ 4π = ( − ∫ Mx+Mπ Mx + ∫ Mx Mx−Mπ ) φ(θ) dθ 4π = (∫ Mx −Mx + ∫ −Mx Mx−Mπ − ∫ Mx+Mπ Mx ) φ(θ) dθ 4π = (∫ Mx −Mx − ∫ Mx −Mx+Mπ − ∫ Mx+Mπ Mx ) φ(θ) dθ 4π = (∫ Mx −Mx − ∫ Mx+Mπ −Mx+Mπ ) φ(θ) dθ 4π = I1 − I2. Vamos ahora a estudiar el comportamiento de la suma parcial cerca de x = 0. Para ello supongamos que: |Mx| ≤ K. Tenemos: I1 = 2 ∫ Mx 0 sen θ M sen( θ 2M ) dθ 4π ∼ ∫ Mx 0 sen θ θ dθ 4π ∼ ∫ K 0 sen θ θ dθ 4π ,
- 199. 6.7. FENÓMENO DEGIBB 191 Figura 6.1: Fenómeno de Gibb cuando N → +∞. Por otra parte, I2 = ∫ Mπ+Mx Mπ−Mx sen θ M sen( θ 2M ) dθ 4π = ∫ Mx −Mx sen(Mπ + s) M sen( π 2 + s 2M ) ds 4π . Como |Mx| ≤ K la integral I2 tiende a cero cuando N → +∞. Por tanto para Mx = K > 0 tenemos que: SN (x) ∼ ∫ K 0 sen θ θ dθ 2π , cuando N → ∞ (M = N + 1 2 ). El valor máximo de SN (x) corresponderá a valores de K que hagán máxima la integral. A este respecto, dicha integral es positiva para K > 0 y el máximo se alcanza en K = π. Por tanto en los puntos: x = π M , SN (x) alcanza su valor asintótico máximo que viene dado por: SN ( π M ) ∼ 1 2π ∫ π 0 sen θ θ dθ ∼ 0′ 59 = 0′ 50 + 0′ 09. La suma parcial N-ésima desarrolla entonces un “pliegue"que tiene de alto 0′ 59, un total de un 9 % más que el valor de convergencia puntual en x > 0 que es exactamente 0′ 5. La situación simétrica ocurre en x = − π M . La Figura 6.1 ilustra gráficamente dicho comportamiento. La Figura 6.2, cortesía de MATLAB, corresponde a la suma parcial S17(x) de la serie de la función signo(x). En realidad hemos probado un resultado más general.
- 200. 192 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Teorema 6.18. Sea f 2π-periódica y C1 a trozos. Sea a un punto de disconti- nuidad donde el valor del salto es σ = f(a+) − f(a−). Entonces, para x± N = a ± π ( N + 1 2 ), se tiene que la suma parcial N-ésima de la serie de Fourier satisface que: SN (x± N ) ∼ σI + f(a−) + f(a+) 2 siendo I = 1 2π ∫ π 0 sen θ θ dθ. Vamos a estudiar por último la convergencia uniforme sobre compactos de la serie de una función C1 a trozos. Para ello, basta con estudiar el ejemplo de f(x) = 1 2 signo (x). Sean, 0 < x1 < x2 < π, se tiene, SN (x2) − SN (x1) = 2 (∫ Mx2 Mx1 + ∫ Mx2+Mπ Mx1+Mπ ) φ(θ) dθ 4π . Tras un cambio de variable, la primera integral toma la forma: 1 2π ∫ x2 x1 sen Ms sen s 2 ds = 1 2πM {− cos Ms cosec s 2 |x2 x1 + ∫ x2 x1 cos Ms cosec′ ( s 2 ) ds} → 0, uniformemente en 0 < ε ≤ x1 < x2 ≤ π − ε cuando N → +∞. La segunda integral se puede escribir como: ∫ Mx2 Mx1 sen(Mπ + s) M sen( π 2 + s 2M ds 4π = ∫ x2 x1 sen(M(π + s) sen( π 2 + s 2 ds 4π , y una cuenta como la de arriba prueba la convergencia uniforme a cero de la integral en 0 < ε ≤ x1 < x2 ≤ π − ε cuando N → +∞. Hemos probado por tanto el siguiente resultado. Teorema 6.19. Si f es C1 a trozos y 2π-periódica entonces su serie de Fourier converge a f uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad de f.
- 201. 6.8. TEOREMA DELUSIN 193 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 f(t) s17(t) Figura 6.2: Suma parcial de orden 17 de la función signo(x) 6.8. Teorema de Lusin La aproximación de funciones integrables por funciones continuas es conse- cuencia del siguiente resultado general (cf. [19]). Teorema 6.20 (Teorema de Lusin). Sea Ω ⊂ Rn medible, |Ω| < ∞. Si f es medible en Ω (f ∈ M(Ω)), para cada ε > 0 existe gε ∈ C0(Rn ) cumpliendo sup |g| ≤ sup |f| tal que: |{x ∈ Ω : f ̸= gε}| < ε. Se tiene como consecuencia. Corolario 6.21. Si f ∈ M(Ω), |Ω| < +∞, |f| ≤ 1, existe una sucesión gn ∈ C0(Rn ), |gn|∞ ≤ 1 tal que: l´ım gn(x) = f(x) ∀ c. t. x ∈ Ω. Demostración. Escogemos gn tal que |An := {f ̸= gn}| ≤ 2−n . Entonces, y ∀ c. t. x ∈ Ω cada x ∈ Ω está a lo más en un número finito de An’s (Ejercicio). Ejercicio 6.3. Sea An ⊂ RN una sucesión de conjuntos medibles tal que: ∑ n |An| < ∞.
- 202. 194 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER Usando la integrabilidad de ∑ n χAn (x) pruébese que ∀ c. t. x ∈ RN , x ∈ RN está a lo más en un número finito de An’s. Corolario 6.22. Sea f ∈ Lp (Ω), |Ω| < +∞, 1 ≤ p ≤ +∞. Entonces existe una sucesión gn ∈ C0(Rn ) verificando: l´ım gn(x) = f(x) en Lp (Ω). 6.9. Ejercicios 1. Sea f ∈ L2 (0, π). Prúebese que f puede desarrollarse en la forma: f = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx, o bien en la forma, f = ∞∑ n=1 bn sen nx, siendo ambos desarrollos convergentes en L2 (0, π) ¿ Qué se podrá decir de la convergencia puntual? Análogamente, si f ∈ L2 (a, b) demuéstrese que f puede expresarse como la suma en L2 (a, b) de una serie de senos adecuada, o de una serie de cosenos, o mediante una serie que involu- cra simultáneamente a senos y cosenos. Analizar también la convergencia puntual. 2. Sea f ∈ L2 (T, C) compleja. Determínense cuáles han de ser los coeficientes complejos {cn}n∈Z para que: f(x) = ∑ n∈Z cneinx . en L2 (T, C). Pruése que si f ∈ L2 (T, C) y usamos tales cn la serie converge en L2 (T, C) a una función ˜f ∈ L2 (T, C) que cumple: | ˜f|2 ≤ |f|2. 3. En el presente ejercicio vamos a probar que toda f ∈ L2 (T, C) es la suma en L2 de su serie de Fourier: f = +∞∑ −∞ cneinx . Para ello seguiremos los siguientes pasos.
- 203. 6.9. EJERCICIOS 195 a)El teorema de Stone-Weierstrass permite probar que los polinomios trigonométricos, p(x) = a0 + N∑ n=1 an cos nx + bn sen nx, son densos en C(T). Prúebese que los polinomios trigonométricos complejos, p(x) = N∑ n=−N cneinx , también son densos en C(T, C). b) Demuéstrese que si f ∈ C(T, C), f es la suma en L2 de su serie de Fourier. c) Usando los resultados del Capítulo demuétrese que C(T, C) es denso en L2 (T, C). Si SN es la suma parcial N-ésima de la serie de Fourier de f ∈ L2 (T, C), verifíquese la desigualdad: |f − SM |2 2 ≤ |f − SM |2 2 + |SM − SN |2 2 = |f − SN |2 2, válida para todo M ≥ N. Combinar esta desigualdad con (2) para concluir que SN → f en L2 (T, C). 4. Usar el método de ortonormalización de Schmidt para obtener una base ortonormal en el subespacio P2(x) ⊂ L2 (0, 1) de los polinomios de grado menor o igual que dos. Hállese la mejor aproximación con respecto a la norma de L2 (0, 1) de la función f(x) = ex por polinomios de grado menor o igual que dos. 5. Sea f(x) = |x| en el intervalo (−π, π). Elegir los coeficientes en: f2(x) = 1 2 a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x, para minimizar el error en L2 (−π, π). 6. Hállese la serie de Fourier en senos de f = 1 en (0, π). 7. Calcúlese la suma de la serie: ∞∑ n=1 1 (2n − 1)2 . 8. Usar series de Fourier y la función f(x) = x2 para determinar la suma de la serie: ∑ 1 n4 .
- 204. 196 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER 9. Pruébese que: l´ım ∫ π 0 log x sen x dx = 0. 10. Sea f ∈ L2 (T). Denotemos por SN (x) la suma parcial N-ésima de su serie de Fourier: SN (x) = a0 + ∞∑ n=1 an cos nx + bn sen nx. a) Pruébese que: SN (x) = 1 2π ∫ π −π f(x + τ)DN (τ) dτ, donde DN (τ) = sen(N+ 1 2 )τ sen τ 2 (Núcleo de Dirichlet). Pruébese además que: 1 2π ∫ π −π DN (τ) dτ = 1. b) Sea f ∈ L2 (−π, π). Pruébese que si la función fx0 = f(x+x0)−f(x0) x ∈ L1 (−π, π) entonces la serie de Fourier de f converge a f(x0) en x = x0 (criterio de Dini). c) Si f ∈ L2 (−π, π) es derivable en x = x0 se tiene convergencia de la serie de Fourier de f en x0 al valor f(x0). 11. Hállense las series de Fourier de ex , x, sen3 x en (−π, π). Calcular la suma de la serie de Fourier de ex en x = π. 12. Sea f una función C2 y 2π-periódica en R. Demúestrese que la serie de Fourier converge uniformemente a f. 13. (Teorema de Localización). Como consecuencia del teorema de Riemann- Lebesgue pruébese que si f ∈ L1 (−π, π) se anula en un entorno de x0 entonces su serie de Fourier converge a 0 en dicho punto. Si dos funciones f, g ∈ L1 coinciden en algún entorno de un punto x0, ¿ Qué se puede decir de sus series de Fourier en tal punto? 14. Sea f ∈ L2 (−π, π) una función 2π-periódica en R que es derivable en (−π, π) excepto quizás en un número finito de puntos. Supóngase que f es continua en [−π, π] y que la derivada f′ ∈ L2 (−π, π). a) Pruébese que para −π ≤ a ≤ x ≤ π se tiene: f(x) = f(a) + ∫ x a f′ (t) dt. b) Prúebese que la serie de Fourier de f converge uniformemente a f
- 205. 6.9. EJERCICIOS 197 Indicación.Úsese el siguiente resultado que puede consultarse en el libro de Rudin [19] (Capítulo VII): Si f(x) es diferenciable en todo el intervalo [a, b] con derivada f′ ∈ L1 (a, b) entonces f(x) = f(a) + ∫ x a f′ dt, para todo x. 15. (Teorema de Completitud). Admitiendo que el conjunto de las funcio- nes de clase C∞ en (−π, π) con soporte compacto contenido en dicho intervalo (clase de funciones que se representa por C∞ 0 (−π, π)) es den- so en L2 (−π, π) 2 , demuéstrese que la serie de Fourier de cualquier f ∈ L2 (−π, π) converge a f en la norma de L2 (−π, π). 16. Una consecuencia del teorema de Lusin (cf. [19] o el Anexo) es que las funciones continuas con soporte compacto en (−π, π) son densas en Lp . Utilizar este hecho para probar que toda f ∈ L2 puede aproximarse en L2 por funciones fn que satisfacen las condiciones del problema 9 y deducir de ahíel teorema de completitud. 17. Se considera el problema de Dirichlet homogéneo para la ecuación del calor: ut = duxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0, y su solución “formal": u(x, t) = ∞∑ n=1 bne−dn2 t sen nx, (6.10) obtenida por el método de separación de variables; donde: f(x) = ∞∑ n=1 bn sen nx (6.11) con bn = 2 π ∫ π 0 f(x) sen nx dx, es el desarrollo en serie de Fourier en se- nos de f(x). Admitamos que f ∈ C2 ([−π, π]) satisface las condiciones de compatibilidad: f(0) = f(π) = f′′ (0) = f′′ (π) = 0. a) Pruése que ∃c > 0 tal que |bn| ≤ c para todo n. Dedúzcase de ahí que u(x, t) definida por (1) es de clase C∞ en t > 0, 0 < x < π. Pruébese que u(x, t) es efectivamente solución de la ecuación del calor. 2Véase el libro de W. Rudin [19].
- 206. 198 CAPÍTULO 6.SERIES DE FOURIER b) Pruébese que la serie de Fourier en senos de f, (2), converge unifor- memente en [0, π]. c) Designemos por uN (x, t) la suma parcial N-ésima de la serie (6.10), siendo fN (x) la correspondiente suma parcial de la serie (6.11). Prué- bese que uN (x, 0) = fN (x). Utilícese el principio del máximo para demostrar que: m´ax 0≤t<T,0≤x≤π |uN (x, t) − uM (x, t)| ≤ m´ax 0≤x≤π |fN (x) − fM (x)|, cualquiera que sean M ≤ N ∈ N y T > 0. Conclúyase que (6.10) es una solución clásica del problema de Cauchy, e. d., C2 en 0 < t, 0 < x < π y continua en 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ π 3 . 3cf. [26], Sección 22.
- 207. Capítulo 7 Separación deVariables El objetivo del capítulo es revisar las soluciones de algunos problemas co- nocidos mediante el método de separación de variables, de larga tradición en la física matemática desde finales del siglo XVIII. Supondremos que el intervalo de variación de la variable espacial es (0, π). Esto no reviste pérdida de generalidad en los problemas que se estudiarán. 7.1. Ecuación del calor El problema de contorno y valor inicial, ut = uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < π u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0, (7.1) puede tratarse ensayando soluciones de la forma: u = X(x)T(t), que llevan a la ecuación T′ T = X′′ X . De la igualdad resulta el problema de contorno: { X′′ + λX = 0 0 < x < π X(0) = X(π) = 0. (7.2) La existencia de soluciones no triviales requiere que λ = −n2 , n ∈ N junto con Xn = Bn sen nx mientras que Tn = B′ ne−n2 t . La combinación, u = N∑ n=0 bne−n2 t sen nx, 199
- 208. 200 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES permite resolver (7.1) con f’s de la forma, f = N∑ n=1 bn sen nx. Esta clase –finitodimensional– de datos iniciales es claramente insuficiente por lo que parece sobradamente razonable preguntarse cuánto es de grande la clase de datos representables bajo la forma: f = ∞∑ n=1 bn sen nx, (7.3) para después proponer, u = ∞∑ n=1 bne−n2 t sen nx, al menos como solución formal. Sobre la representabilidad de f en la forma (7.1) tratamos largamente en el Capítulo ??. Sabemos, por ejemplo que si f ∈ L2 (0, π), (1) converge en L2 (0, π) bajo la elección de coeficientes bn = (2/π) ∫ π 0 f(x) sen nx dx. Se tiene el siguiente resultado. Teorema 7.1. Sea f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0, ∃f′ (x) para x ∈ (0, π) con f′ ∈ L2 (0, π) entonces: u = ∞∑ n=1 bne−n2 t sen nx ∈ C∞ {t > 0} ∩ C{t ≥ 0}, (7.4) define una solución clásica del problema (7.1). Observaciones 7.1. a) En el Capítulo ?? resolvimos (7.1) bajo menos regularidad para f. A saber f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0. b) Para que (7.33) sea C∞ en t > 0 basta con que los coeficientes bn estén acotados. c) En la prueba de la continuidad de (7.33) hasta t = 0 el principio débil del máximo juega un papel importante. d) Con las técnicas de reflexión del Capítulo ?? se prueba que la versión “Neu- mann” del problema (7.1): ut = uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < π ux(0, t) = ux(π, t) = 0 t > 0, (7.5) admite una única solución clásica, u ∈ C2 {t > 0} ∩ C1 {t ≥ 0} cuando f ∈ C1 [0, π], f′ (0) = f′ (π) = 0. Mediante separación de variables y un argumento
- 209. 7.2. FUNCIÓN DEGREEN 201 simétrico si f ∈ C[0, π], f′ ∈ L2 (0, π), (7.5) admite la solución clásica, u ∈ C2 {t > 0} ∩ C{t ≥ 0} de la forma: u = a0 + ∞∑ n=1 ane−n2 t cos nx ∈ C∞ {t > 0} ∩ C{t ≥ 0}, (7.6) an = (2/π) ∫ π 0 f(x) cos nx dx, a0 = (1/π) ∫ π 0 f(x) dx. Las condiciones f ∈ C1 [0, π], f′ (0) = f′ (π) = 0 junto con f′′ ∈ L2 (0, π) bastan para justificar que (7.6) define una solución clásica, C1 hasta t = 0. 7.2. Función de Green: problema de valor inicial Supongamos que f ∈ L1 (0, π) entonces: u(x, t) = ∞∑ n=1 2 π ∫ π 0 f(ξ)e−n2 t sen nx sen nξ dξ = 2 π ∫ π 0 ∞∑ n=1 f(ξ)e−n2 t sen nx sen nξ dξ. En efecto, la serie permuta con la integral por ejemplo en virtud de que si fn ∈ L1 (Ω), ∑∞ n=1 |fn|L1(Ω) < +∞ entonces f = ∑∞ n=1 fn ∈ L1 (Ω), |f| ≤∑∞ n=1 |fn|L1(Ω), ∫ Ω f = ∑∞ n=1 ∫ Ω fn. En nuestro caso: ∞∑ n=1 ∫ π 0 |f(ξ)e−n2 t sen nx sen nξ| dξ ≤ ∞∑ n=1 ∫ π 0 e−n2 t |f(ξ)| dξ < ∞. Conviene introducir el núcleo (función de Green), G(ξ, x, t) = 2 π ∞∑ n=1 e−n2 t sen nx sen nξ ∈ C∞ {t > 0}. Nuestra solución se escribe entonces, u(x, t) = ∫ π 0 G(ξ, x, t)f(ξ) dξ. (7.7) El siguiente resultado pone de manifiesto lo útil que es la representación (7.7) de la solución. Debe notarse que en el Cap. V no se consideraron datos f ∈ L1 (0, π). Teorema 7.2. Sea f ∈ L1 (0, π). Entonces u ∈ C∞ {t > 0}. Si, por otra parte, f ∈ L∞ (0, π), entonces u está acotada en t > 0 mientras l´ım(x,t)→(x0,0) u(x, t) = f(x0) en los puntos de continuidad de x0 ∈ (0, π) de f. Demostración. Lo primero que probaremos es: G(ξ, x, t) ≥ 0, para t > 0. La igualdad es obvia si ξ o x son cero módulo π. Por otro lado, si G(ξ0, x0, t0) < 0,
- 210. 202 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES en (ξ0, x0) ∈ (0, π) × (0, π) entonces G < 0 en |ξ − ξ0| < δ donde localizamos una función f ∈ C1 0 [0, π], con sop f ⊂ {|ξ − ξ0| < δ}, f positiva en su soporte. Tenemos entonces para la solución uf de (7.1) con este dato: u(x0, t0) < 0, que va contra el principio débil del máximo. Por otro lado, ∫ π 0 G(ξ, x, t) dξ ≤ 1. (7.8) Esto es muy interesante porque si, por ejemplo, f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0 se tiene la afirmación enunciada en el Ejercicio 7.1. Por tanto, si un ∈ C{t ≥ 0} es la solución clásica de (7.1) con dato fn, u la obtenida como: u = ∫ π 0 G(ξ, x, t)f(ξ) dξ, resulta: |u − un| ≤ ∫ π 0 G(ξ, x, t)|f − fn| dξ ≤ |f − fn|∞. Luego un → u uniformemente en t ≥ 0. Esto significa que u ∈ C{t ≥ 0} es la solución clásica de (7.1). Otra consecuencia inmediata de (7.8) es que si f ∈ L∞ (0, π) entonces u dada por (G) es también una función acotada en t ≥ 0. Probemos (7.8). Consideramos fn = 1 en [1/n, π − 1/n], fn el segmento inclinado desde el valor 1 a los extremos del intervalo, mientras un es la solución asociada. Resulta, del principio del máximo: ∫ π 0 G(ξ, x, t)fn(ξ) dξ ≤ 1. Tomando límites se llega al resultado deseado. Por otro lado se tiene que: ∫ π 0 G(ξ, x, t) sen ξ dξ = e−t sen x. Esto permite escribir, 0 < x0 < π, la diferencia: u(x, t) − f(x0) = { ∫ x0+δ x0−δ + ∫ I[x0−δ,x0+δ] }G(ξ, x, t)[f(ξ) − f(x0)et sen ξ sen x ] dξ. Mientras la primera integral se hace arbitrariamente pequeña con δ, para la segunda hay que proceder con más cuidado. En efecto, el integrando de ésta permanece acotado. Poniendo Iδ = [x0 −δ, x0 +δ] escogemos una función fδ ≥ 0 con soporte Iδ tal que fδ = 1 en Iδ/2. Si uδ es la solución de (7.1) correspondiente a fδ resulta que: ∫ IIδ G(ξ, x, t) dξ ≤ 1 − uδ.
- 211. 7.3. ECUACIÓN DEONDAS 203 La integral tenderá uniformemente a 0 con x ∈ Iδ/2 cuando t → 0+. Esto prueba la convergencia a cero de la segunda integral. Ejercicio 7.1. Si f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0 entonces f = l´ım fn uniforme- mente, donde fn es continua, C1 a trozos y fn(0) = fn(π) = 0. Corolario 7.3. Si f ∈ C[0, π], f(0) = f(π) = 0, entonces u = ∫ π 0 G(ξ, x, t)f(ξ) dξ, es la solución cláscica de (7.1). 7.3. Ecuación de ondas El problema de Dirichlet para la ecuación de ondas, utt = c2 uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < π ut(x, 0) = g(x) 0 < x < π u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0, (7.9) puede tratarse con el método de separación de variables. El buscar soluciones de la forma: u = X(x)T(t), nos lleva igualmente a la ecuación: X′′ X = 1 c2 T′′ T . Ésta a su vez al problema de contorno, X′′ + λX = 0 X(0) = X(π) = 0, que proporciona los valores λn = n2 a los que corresponden soluciones Xn(x) = An sen nx. Los mismos valores de λ = n2 permiten determinar las funciones de t, Tn(t) = Bn cos nct + Cn sen nct. Alternativamente, XnTn = (an cos nct + bn sen nct) sen nx (n ∈ N). Por este simple procedimiento podemos determinar la solución de la familia finito dimensional de datos iniciales, f = N∑ n=1 αn sen nx g = N∑ n=1 βn sen nx.
- 212. 204 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Tal solución es, uN (x, t) = N∑ n=1 (αn cos nct + βn nc sen nct) sen nx. De los resultados del Capítulo ?? sabemos que si f ∈ C2 [0, π], g ∈ C1 [0, π] cumplen las condiciones de compatibilidad f(0) = f′′ (0) = f(π) = f′′ (π) = 0, g(0) = g(π) = 0 entonces podemos representarlas, f = ∞∑ n=1 αn sen nx g = ∞∑ n=1 βn sen nx G = ∫ x 0 g(s) ds = ∞∑ n=1 βn n − ∞∑ n=1 βn n cos nx. siendo en todos los casos uniforme la convergencia. La serie, en principio formal, u = ∞∑ n=1 (αn cos nct + βn nc sen nct) sen nx = ∞∑ n=1 αn cos nct sen nx + ∞∑ n=1 βn nc sen nct sen nx := u1 + u2, (7.10) se puede reinterpretar en los términos siguientes, u1 = ∞∑ n=1 αn cos nct sen nx = 1 2 ∞∑ n=1 αn sen n(x + ct) + 1 2 ∞∑ n=1 αn sen n(x − ct) = 1 2 {f(x + ct) − f(x − ct)}, luego u1 es C2 –aunque no sea posible derivar dos veces la serie término a término– y es la solución de (7.9) correspondiente a g = 0. Análogamente, u2 = ∞∑ n=1 βn nc sen nct sen nx = 1 2c {− ∞∑ n=1 βn nc cos n(x + ct) + ∞∑ n=1 βn nc cos n(x − ct)} = 1 2c {G(x + ct) − G(x − ct)}. De nuevo, u2 es C2 y define la solución de (7.9) con f = 0, aunque –como antes– no estemos autorizados a derivar dos veces la serie. Por tanto, (7.10) representa la solución a pesar de que las manipulaciones de diferenciabilidad término a término de la serie no son en principio posibles 1 . 1Este fenómeno también se observa en las ecuaciones de Poisson y del Calor (con término de perturbación). Se obtiene una representación de la solución en la que no siempre es posible derivar bajo el signo integral.
- 213. 7.4. ECUACIÓN DEONDAS AMORTIGUADA 205 En caso de condiciones Neumann, ux(0, t) = ux(π, t) = 0, (7.11) junto con datos f ∈ C2 [0, π], g cumpliendo las correspondientes condiciones de compatibilidad se tienen las representaciones (uniformemente convergentes): f = α0 + ∞∑ n=1 αn cos nx g = β0 + ∞∑ n=1 βn cos nx G = ∫ x 0 g(s) ds = β0x + ∞∑ n=1 βn n sen nx. Aplicando el método de separación de variables como en la primera parte, lle- gamos a la siguiente expresión formal de la solución, u = a0 + b0t + ∞∑ n=1 (an cos nct + bn sen nct) cos nx. Teniendo en cuenta los datos los coeficientes que se obtienen son: u = α0 + β0t + ∞∑ n=1 (αn cos nct + βn nc sen nct) cos nx. (7.12) En efecto, es otra vez fácil probar que: u = 1 2 {f(x + ct) + f(x − ct)} + 1 2c {G(x + ct) + G(x − ct)}, que es la fórmula de D’Alambert del Capítulo ??. 7.4. Ecuación de ondas amortiguada Los mismos métodos nos permiten considerar problemas más complicados como el correspondiente a la ecuación de ondas con fricción aerodinámica: utt + 2aut = c2 uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < π ut(x, 0) = g(x) 0 < x < π u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0, (7.13) con a > 0. Al usar separación de variables y considerar soluciones de la forma u = X(x)T(t) llegamos a la ecuación: 1 c2 T′′ + 2aT′ T = X′′ X = −λ.
- 214. 206 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Las condiciones Dirichlet determinan λn = n2 junto con Xn = cn sen nx. Si, por simplicidad, ponemos g = 0, las T’s vienen determinadas por: T′′ + 2aT′ + n2 cT = 0 T′ (0) = 0, y por ello, Tn(t) = e−at [cosh √ a2 − n2c2t + a √ a2 − n2c2 senh √ a2 − n2c2t] n < a c e−at [1 + at] n = a c e−at [cos √ n2c2 − a2t + a √ n2c2 − a2 sen √ n2c2 − a2t] n > a c , donde Tn se ha normalizado para cumplir Tn(0) = 1. Si tomamos f ∈ L2 (0, π) una expresión formal de la solución es: u = ∞∑ n=1 bnTn(t) sen nx, (7.14) con f = ∑∞ n=1 bn sen nx. A los efectos de estudiar la convergencia de la serie podemos considerarla escrita en la forma: u = u1 + u2 = ∑ n≤a/c bnTn(t) sen nx + ∑ n>a/c bnTn(t) sen nx. Las estimaciones de la serie recaerán sobre la parte u2. Si, por ejemplo, f ∈ C2 [0, π], f(0) = f(π) = f′′ (0) = f′′ (π) = 0, f′′ es derivable en todo (0, π) con derivada f′′′ ∈ L2 (0, π), entonces: ∞∑ n=1 n6 b2 n < ∞, lo que nos da la convergencia uniforme de las derivadas de orden dos de la serie 7.14. Por ejemplo, la serie formal que corresponde a la derivada de orden dos con respecto a x da lugar a: | M∑ N −n2 bnTn(t) sen nx|2 ≤ { M∑ N n6 b2 n}{ M∑ N 1 n2 }. Esto prueba la convergencia uniforme en t ≥ 0 de la serie ∞∑ n=1 −n2 bnTn(t) sen nx. Para las otras derivadas de orden 2 basta con observar que Tn(t) = O(1), T′ n(t) = O(n), T′′ n (t) = O(n2 ) uniformemente en t ≥ 0 cuando n → ∞.
- 215. 7.5. PROBLEMAS NOHOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 207 Sin embargo, para que (7.14) represente una función C2 y defina una solución de (P), basta con menos regularidad en f, como en la ecuación de ondas. La idea clave es que: Tn(t) ∼ e−at cos nct, cuando n → +∞. Usando esa referencia podemos observar la solución como, u = e−at ∞∑ n=1 bn cos nct sen nx + ∞∑ n=1 bn[Tn(t) − e−at cos nct] sen nx = e−at 2 {f(x + ct) + f(x − ct)} + ∞∑ n=1 bn[Tn(t) − e−at cos nct] sen nx. (7.15) Se tiene, por otra parte se tiene que: Tn − e−at cos nct = O(1/n) (Tn − e−at cos nct)′ = O(1) (Tn − e−at cos nct)′′ = O(n), uniformemente en 0 ≤ t ≤ T, para cada T > 0, cuando n → +∞. En conse- cuencia, la convergencia de la serie ∑∞ n=1 n4 b2 n basta para asegurar que (7.15) se puede derivar término a término hasta el orden dos. Tal convergencia está asegurada si f ∈ C1 [0, π], f(0) = f(π) y existe f′′ en (0, π) con f′′ ∈ L2 (0, π). Estas condiciones se cumplen sobradamente si f ∈ C2 [0, π] y f(0) = f(π) = 0 (que de rebote es la condición necesaria y suficiente para que la primera par- te de la solución sea C2 ). Resulta llamativo observar que si f′ es sólo C1 a trozos la serie es C2 , pero la parte D’Alambert no. Las discontinuidades de la derivadas segundas se propagan a través de la parte D’Alambert siguiendo las características según se ha observado en el Capítulo ??. 7.5. Problemas no homogéneos: función de Green Consideraremos el operador lineal, Lu = (pu′ )′ + qu, donde u ∈ C2 [a, b], p ∈ C1 [a, b], p(x) ≥ p0 > 0 en [a, b], q ∈ C[a, b]. Definimos el operador de contorno, B : C[a, b] −→ R2 u −→ Bu, por, Bu = ( m1 n1 p1 q1 m2 n2 p2 q2 ) u(a) u′ (a) u(b) u′ (b) . El primer resultado recuerda el comportamiento de los sistemas lineales finito dimensionales.
- 216. 208 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Teorema 7.4 (Teorema de la Alternativa). El problema, { Lu = f a < x < b Bu = h (7.16) para f ∈ C[a, b], h ∈ R2 , 1) o bien admite una solución única u ∈ C2 [a, b] para cada (f, h) ∈ C2 [a, b]×R2 , 2) o bien el problema homogéneo, { Lu = f a < x < b Bu = h admite soluciones no triviales. Demostración. La existencia de solución para cada (f, h) equivale a la unicidad de soluciones. En efecto la existencia de soluciones dice que con f = 0, el problema (7.16) admite solución para todo h ∈ R2 . Si {v1, v2} es un sistema fundamental de soluciones, el sistema: c1B(v1) + c2B(v2) = h, admite soluciones para cada h ∈ R2 . Esto es equivalente a rango {B(v1), B(v2)} = 2 (la condición no depende del sistema {v1, v2} elegido). Recíprocamente, si rango {B(v1), B(v2)} = 2 para resolver (7.16) tomamos una solución cualquiera u = uf de Lu = f, ponemos: u = c1v1 + c2v2 + uf , y determinamos c1, c2 en el sistema, c1B(v1) + c2B(v2) = h − B(uf ). Tras esta discusión es claro que la opción 2) es la única alternativa a la opción 1) del teorema. Esto cierra la prueba. Definición 7.5. Las condiciones de contorno definidas por B se dicen críticas para L en [a, b] si se da la opción 2) del teorema. Se dirán no críticas en caso contrario. Observación 7.2. Si las condiciones de contorno son no críticas, la solución de (7.16) se puede fragmentar en u = u1 + u2 donde Lu1 = 0 B(u1) = h Lu2 = f B(u2) = 0. El cálculo de u1 es un problema elemental cuando se conoce un sistema funda- mental {v1, v2}. La del segundo se puede expresar mediante un operador lineal
- 217. 7.5. PROBLEMAS NOHOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 209 K : C[a, b] → C[a, b], el operador solución, cuyas propiedades estudiaremos con detalle. En particular probaremos la existencia de una función: G : [a, b] × [a, b] −→ R (x, t) −→ G(x, t), la función de Green del problema de contorno, tal que: u(x) = Kf = ∫ b a G(x, t)f(t) dt. (7.17) Teorema 7.6. Supongamos que las condiciones de contorno del problema (7.16) son no críticas. Existe entonces una función única G ∈ C([a, b] × [a, b]) con las siguientes propiedades (∆ = {(x, t) ∈ [a, b] × [a, b] : x = t}): Gx ∈ C([a, b] × [a, b] ∆) con Gx(t+, t) − Gx(t−, t) = 1 p(t) . Para cada t ∈ [a, b] tiene, LxG(·, t) = 0 x ∈ [a, b] t B(G(·, t) = 0. La solución de (7.16) con h = 0 se escribe en la forma (7.17). A efectos de probar el teorema resulta conveniente disponer de una expresión para la solución del problema, Lu = f a < x < b u(a) = u′ (a) = 0. Si {v1, v2} es un sistema fundamental de soluciones, el clásico método de varia- ción de las constantes consiste en hallar c1, c2 tales que, u = c1v1 + c2v2, es la solución del problema (ci funciones de t). Ello nos lleva a considerar el sistema, c′ 1v1 + c′ 2v2 = c′ 1v′ 1 + c′ 2v′ 2 = f p . El determinante de la matriz de coeficientes es el Wronskiano de {v1, v2}, W = v1 v2 v′ 1 v′ 2 ̸= 0, mientras, c1 = ∫ x a − v2(t)f(t) p(t)W(t) dt c2 = ∫ x a v1(t)f(t) p(t)W(t) dt.
- 218. 210 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Podemos escribir entonces, u = ∫ x a − v1(x)v2(t) − v1(t)v2(x) p(t)W(t) f(t) dt = ∫ b a R(x, t)f(t) dt, donde, R(x, t) = − v1(x)v2(t) − v1(t)v2(x) p(t)W(t) t ≤ x 0 t > x. Debe observarse que p(x)W(x) se mantiene constante en [a, b]. Se llama a R la función de influencia o función de Green unilateral. Debe notarse que R = R(x, t) cumple: LxR(·, t) = 0 x ≥ t R(·, t)|x=t = 0 R′ x(·, t)|x=t = 1 p(t) . Si el problema de contorno, Lu = f a < x < b B(u) = 0, es no crítico, la función de Green se puede calcular poniendo, u = c1v1 + c2v2 + ∫ b a R(x, t)f(t) dt. Las condiciones de contorno homogéneas se cumplen si, c1B(v1) + c2B(v2) = − ∫ b a B(R(·, t))f(t) dt. (7.18) Si ponemos B(v) = (B1 (v), B2 (v)) la solución de (E) es: c1 = ∫ b a [−B1 (R(·, t))B2 (v2) + B2 (R(·, t))B1 (v2)]f(t) dt B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2) , c2 = ∫ b a [−B1 (v1)B2 (R(·, t)) + B2 (v1))B1 (R(·, t))]f(t) dt B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2) . Por tanto, G(x, t) = [−B1 (R(·, t))B2 (v2) + B2 (R(·, t))B1 (v2)]v1(x) B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2) + [−B1 (v1)B2 (R(·, t)) + B2 (v1))B1 (R(·, t))]v2(x) B1(v1)B2(v2) − B2(v1)B1(v2) + R(x, t). (7.19)
- 219. 7.5. PROBLEMAS NOHOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 211 Es claro que G se ha construido para que, u = ∫ b a G(x, t)f(t) dt, (7.20) sea la solución del problema Lu = f, B(u) = 0. Demostración del Teorema 7.6. Que (7.20) define la solución del problema ya lo hemos probado. En la identidad (1) está el que G ∈ C([a, b]×[a, b]) pues la misma propiedad es cierta para R. Por otro lado, Rx(t + 0, t) − Rx(t − 0, t) = 1 p(t) , luego la misma identidad se cumple para G. Por construcción se cumple que: LG(·, t) = 0 x ∈ [a, b] t. Finalmente, la propia construcción de G ya lleva también implícita la validez de: B(G·, t)) = 0 t ∈ [a, b]. La unicidad de la función de Green se deduce fácilmente de que, por ejemplo, ∫ b a G(x, t)f(t) dt = ∫ b a G1(x, t)f(t) dt, para toda f ∈ C[a, b]. 7.5.1. El problema de Dirichlet En este caso B1 (v) = v(a), B2 (v) = v(b). De (1) y en el caso x ≤ t tenemos, para D = v1(a)v2(b) − v1(b)v2(a), lo siguiente: DG(x, t) = R(b, t)v2(a)v1(x) − R(b, t)v1(a)v2(x). Por tanto, si K = pW(v1, v2) entonces, KDG(x, t) = −[v1(x)v2(a) − v1(a)v2(x)][v1(b)v2(t) − v1(t)v2(b)]. Teniendo en cuenta, como puede comprobarse que G(x, t) = G(t, x) podemos concluir que, G(x, t) = 1 KD [v1(t)v2(a) − v1(a)v2(t)][v1(x)v2(b) − v1(b)v2(x)] x > t 1 KD [v1(x)v2(a) − v1(a)v2(x)][v1(t)v2(b) − v1(b)v2(t)] x ≤ t .
- 220. 212 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Naturalmente, la condición de existencia de la función de Green se resume en que D ̸= 0. Por otro lado, una solución completa del problema: L(u) = f u(a) = α u(b) = β , (7.21) se puede obtener de una forma especial. Nótese –comprobando que las derivadas invertidas son legítimas– que: L(∂tG(·, t)) = 0 x ̸= t. Por tanto v1 = ∂tG(·, a), v2 = ∂tG(·, b) son soluciones de la ecuación. Como G(a, t) = G(b, t) = 0 se tendrá que ∂tG(a, t) = 0 en t > a, ∂tG(b, t) = 0 en t < b. Entonces v1(b) = v2(a) = 0. Por otra parte, v1(a) = ∂tG(a+, a) = 1 p(a) , v2(b) = ∂tG(b−, b) = − 1 p(b) . La solución de (7.21) puede escribirse, usando el sistema fundamental de soluciones v1/p(a), v2/p(b), como, u = ∫ b a G(x, t)f(t) dx + α p(a) ∂tG(x, a) − β p(b) ∂tG(x, b). Esta identidad se conoce como identidad de Green (ver Capítulos 8 y 9). Si tenemos en cuenta que f = Lu, tal expresión permite representar una función C2 arbitraria en [a, b] en términos de Lu y de sus valores frontera. 7.5.2. Propiedades del operador solución Si designamos por E = {u ∈ C2 [a, b] : B(u) = 0} y las condiciones de contorno son no críticas para el operador L, entonces L : E → C[a, b] se in- vierte mediante el operador solución (operador integral de núcleo G), Kf = ∫ b a G(x, t)f(t) dt. En efecto: L(Kf) = f f ∈ C[a, b]. Por otro lado, K(Lu) = u para todo u ∈ E en virtud de la unicidad de soluciones del problema. Por tanto L : E → C[a, b] es invertible y su inverso es el operador K : C[a, b] → C[a, b] cuyo rango es E. Nótese que la criticidad de las condiciones de contorno se reduce a que el N(L) sea trivial o no. Cuando se está interesado es la resolución del problema, Lu = f, f ∈ C[a, b], u ∈ E el estudio es más completo si a la vez se considera la familia uniparamétrica de problemas: Lu − λu = f, (7.22)
- 221. 7.5. PROBLEMAS NOHOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 213 λ ∈ R, u ∈ E, f ∈ C[a, b]. El teorema de la alternativa nos enseña que (7.22) es resoluble para todo f si y sólo si N(L − λI) ̸= {0}, I : E → C[a, b] la inclusión. Como estamos en la hipótesis de que N(L) = {0}, λ ̸= 0 y por tanto que N(L − λI) ̸= {0} significa que existe u ̸= 0 con: L(u) = λu u ∈ E (7.23) es decir, K(u) = µu, (7.24) con 1 λ . Se llama a (7.23) y su homólogo (7.24) el problema de autovalores aso- ciado a L. Como K : C[a, b] → C[a, b], el problema (7.24) es mucho más natural que el (7.23). El operador K puede extenderse de hecho a espacios más generales. Por razones técnicas consideramos L2 (a, b). Teorema 7.7. El operador solución K define un operador continuo, K : L2 (a, b) → L2 (a, b). Además, ∥K∥L(L2) ≤ (∫ b a ∫ b a G2 dxdt )1/2 . Por otra parte, K(L2 ) ⊂ C1 [a, b] siendo, (Kf)′ = ∫ b a G′ x(x, t)f(t) dt. En cuanto a la simetría de la función de Green tenemos la siguiente propiedad útil. Teorema 7.8. Las siguientes propiedades son equivalentes, 1) El operador K : L2 (a, b) → L2 (a, b) es autoadjunto, es decir ⟨Kf, g⟩L2 = ⟨f, Kg⟩L2 , para cualesquiera f, g ∈ L2 . 2) El operador L : E → L2 es simétrico en el sentido de que ⟨Lu, v⟩L2 = ⟨u, Lv⟩L2 , para u, v ∈ E cualesquiera. 3) Se tiene que p(u′ v − uv′ )|b a = 0 para u, v ∈ E cualesquiera. 4) G(x, t) = G(t, x), para todo (x, t) ∈ [a, b] × [a, b]. Observación 7.3. En el caso de las denominadas condiciones de contorno sepa- radas (Dirichlet, Neumann, Robin, Mixtas), ( m1 n1 p1 q1 m2 n2 p2 q2 ) = ( m1 n1 0 0 0 0 p2 q2 ) , o de las condiciones de contorno periódicas, ( m1 n1 p1 q1 m2 n2 p2 q2 ) = ( 1 0 −1 0 0 1 0 −1 ) , (7.25) con p(a) = p(b) se tiene que las funciones de Green correspondiente son simé- tricas.
- 222. 214 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Definición 7.9. Se dice que el problema de contorno (7.16) es autoadjunto si se satisface la condición 1) del teorema precedente. La siguiente es una propiedad característica de todos los problemas autoad- juntos. Teorema 7.10. Todos los posibles autovalores λ de un problema autoadjunto, { L(u) = λu B(u) = 0, son reales. Por otra parte a dos autovalores distintos λ ̸= λ′ siempre correspon- den autofunciones ϕ, ϕ′ ortogonales. Finalmente, en el caso de condiciones de contorno separadas (7.25) todos los posibles autovalores λ son simples. Un problema no elemental es el de la propia existencia de autovalores. Para sugerir las ideas principales conviene revisar el caso finito dimensional. Si A es una matriz real simétrica n × n se comprueba que, µ1 = sup |x|=1 ⟨Ax, x⟩, (7.26) es el máximo autovalor de A y que si el máximo se alcanza en v, v es también un autovector asociado a µ1. Los operadores autoadjuntos K son la versión infinito dimensional de las matrices simétricas. Definición 7.11. Se dice que K : L2 [a, b] → L2 [a, b] es autoadjunto si cumple la identidad 1) del teorema anterior. En el problema variacional (7.26) la existencia de v está garantizada por la compacidad de la esfera unidad. Nos ocupamos ahora de probar que lo mismo ocurre cuando reemplazamos A por el operador solución K y trabajamos en el espacio L2 (a, b). La falta de compacidad de la bola unidad en L2 la suple la siguiente propiedad de compacidad del operador K. En lo que sigue abreviamos C = C[a, b], L2 = L2 [a, b]. Lema 7.12. El operador solución K : L2 → C es compacto en el sentido de que toda sucesión {Kun} admite una subsucesión convergente en C a condición de que {un} esté acotada en L2 . Demostración. No es difícil comprobar que si L es la cota L2 de {un} entonces |un(x) − un(y)| ≤ L √ b − a sup[a,b] |G(x, ·) − G(y, ·)|. La continuidad uniforme de G implica la equicontinuidad de {Kun}. La tesis se sigue del teorema de Ascoli-Arzela. Un resultado clave es el siguiente. Teorema 7.13. Si K : L2 → L2 es autoadjunto entonces ∥K∥ = sup |u|=1 |⟨Ku, u⟩| .
- 223. 7.5. PROBLEMAS NOHOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 215 Demostración. Llamando η = sup|u|=1 |⟨Ku, u⟩| es obvio que η ≤ ∥K∥. Por otro lado, ⟨K(u ± v), u ± v⟩ = ⟨Ku, u⟩ + ⟨Kv, v⟩ ± 2ℜ⟨Ku, v⟩, mientras, ±⟨K(u ± v), u ± v⟩ ≤ η|u ± v|2 . La combinación de las dos desigualdades resulta en, 4ℜ⟨Ku, v⟩ ≤ 2η(|u|2 + |v|2 ), donde tomando |u| = 1, v = Ku/|u| resulta |Ku| ≤ η. La existencia de autovalores se expresa en los siguientes términos. Teorema 7.14. Si K : L2 → L2 es compacto y autoadjunto entonces admite un autovalor µ0 que cumple |µ0| = ∥K∥. Demostración. La compacidad de K nos permite garantizar la existencia de una solución u0 ̸= 0 del problema variacional, sup u̸=0 |⟨Ku, u⟩| |u|2 . Al formar q(t) = |⟨K(u0 + tv), (u0 + tv)⟩| |u0 + tv|2 , la condición q′ (0) = 0 se lee ℜ⟨Ku0, v⟩ = µ0ℜ⟨u0, v⟩ donde µ0 = ⟨Ku0, u0⟩/|u0|2 . La misma cuenta cambiando v por iv da ℑ⟨Ku0, v⟩ = µ0ℑ⟨u0, v⟩. Por tanto, Ku0 = µ0u0, y u0 es un autovalor asociado a µ0 donde |µ0| = ∥K∥. Observación 7.4. Vamos a obtener la sucesión completa de autovalores de K. Consideramos u0 como arriba con |u0| = 1. Definimos K1u = Ku − µ0⟨u, u0⟩u0. Resulta: ⟨K1u, u0⟩ = 0, para todo u. Como Ku = K1u + ⟨u, u0⟩u0 resulta |Ku|2 = |K1u|2 + |⟨u, u0⟩|2 . Por otro lado, el operador K1 es también compacto y autoadjunto. Resulta pues que |µ1| = ∥K1∥ es un autovalor con autovector normalizado u1 (|u1| = 1). Es decir, Ku1 = µ1u1. De arriba, ⟨u1, u0⟩ = 0. Por otro lado, Ku1 = K1u1 + ⟨u1, u0⟩u0 = µ1u1.
- 224. 216 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Por tanto µ1 es también un autovector de K. Además, |µ1| = ∥K1∥ ≤ ∥K∥ = |µ0|. Procediendo de manera análoga se genera una sucesión de autovalores {µn} con módulos decrecientes (las repeticiones son posibles) y que en el caso del operador solución, del que suponemos que N(K) = {0}, es infinita. En efecto, la única manera de parar el proceso es que Km = 0 lo que implica que Kf = m−1∑ 1 µi⟨f, ui⟩ui. Al aplicar L, f = m−1∑ 1 ⟨f, ui⟩ui, para f continua y arbitraria lo que no puede ser. Esto garantiza la existencia de un sistema ortonormal {un}. Pasamos a establecer un resultado de suma importancia. Teorema 7.15. Sea K el operador solución del problema autoadjunto { Lu = f a < x < b Bu = 0, (7.27) siendo {un} el correspondiente sistema ortonormal de autofunciones. Entonces, para toda f ∈ E = {u ∈ C2 [a, b] : Bu = 0} se tiene que la serie de Fourier asociada a f converge uniformemente a f: f = ∞∑ n=1 ⟨f, un⟩un. (7.28) Demostración. De las conclusiones del Capítulo ?? sabemos (desigualdad de Bessel) que la serie converge en L2 y ∞∑ n=1 |⟨f, un⟩|2 ≤ ∥f∥2 . Ahora, ∫ b a G(x, t)uk(t) dt = µkuk(x) a ≤ x ≤ b. Por tanto, para x fijo, G(x, ·) ∼ ∞∑ n=1 µnun(x)un,
- 225. 7.5. PROBLEMAS NOHOMOGÉNEOS: FUNCIÓN DE GREEN 217 por lo que ∞∑ n=1 |µn|2 |un(x)|2 ≤ ∫ b a |G(x, t)|2 dt, que al integrar en [a, b] nos permite concluir, ∞∑ n=1 µ2 n ≤ (b − a)2 |G|2 ∞,Q, donde Q = [a, b] × [a, b]. Una conclusión muy importante es que la serie de los cuadrados de los autovalores es convergente. Esto tiene dos consecuencias. La primera, que ahora se sabe de manera efectiva que existen infinitos autovalores de K (la sucesión {µn} no puede estabilizarse en un valor constante). La segunda, que µn → 0. Sabemos asimismo que ∥Km∥ = |µm|. Es decir, para u ∈ C arbitraria, |Ku − m∑ 1 µk⟨u, uk⟩uk|2 ≤ ∥Km∥|u| = |µm||u| → 0, cuando m → ∞. En particular, Ku = ∞∑ 1 µk⟨u, uk⟩uk, (7.29) en L2 . Por otro lado, para M ≥ N arbitrarios, x ∈ [a, b], | M∑ N µk⟨u, uk⟩uk(x)| = |K( M∑ N ⟨u, uk⟩uk)| ≤ (b − a)1/2 ∥G∥∞| M∑ N ⟨u, uk⟩uk(x)|2. Por tanto la convergencia en (7.29) es además uniforme. Sin embargo, para u ∈ C la serie (7.29) se puede escribir en el formato: Ku = ∞∑ 1 ⟨Ku, uk⟩uk, basta observar ahora que cualquier f ∈ E se puede escribir en como f = Ku para concluir la prueba. Un corolario inmediato es la siguiente generalización del teorema de comple- titud del capítulo anterior. Teorema 7.16. Sea {un} una sucesión ortonormal de autofunciones del pro- blema (7.23). Entonces, f = ∞∑ n=1 ⟨f, un⟩un, en L2 para toda f ∈ L2 .
- 226. 218 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Observación 7.5. Debe tenerse en cuenta que los autovalores de (7.23) son λn = µ−1 n y que por tanto |λn| → +∞. Ejemplo 7.6. Consideremos la ecuación del calor con término lineal de absorción: ut = uxx − au (a > 0), 0 < x < π, bajo condiciones mixtas, u(0, t) = ux(π, t) = 0. El método de separación de variables nos conduce al problema de autovalores, X′′ + aX = −λX X(0) = X(π) = 0. Los autovalores son λn = a + ( 2n − 1 2 )2 y las correspondientes autofunciones Xn = sen( 2n − 1 2 )x , n ∈ N. La solución formal por separación de variables es, u(x, t) = e−at ∞∑ n=1 bne−(2n−1)2 t/4 sen( 2n − 1 2 )x. Cualquiera que sea f ∈ C2 [0, π] cumpliendo las condiciones de contorno da lugar a una solución clásica si substituimos los bn de la expresión superior por los coeficientes de la serie de Fourier bn = (2/π) ∫ π 0 f(x) sen(2n − 1)/2x dx de f. 7.6. Función de Green para la ecuación del calor Del problema, ut = uxx + F(x, t) 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 < x < π u(0, t) = u(π, t) t > 0, la fracción de la solución correspondiente a F = 0 fue estudiada en la Sección 7.1. Se representó bajo la forma (7.7): u = ∫ t 0 G(ξ, x, t) dξ. con G = 2 π ∑∞ n=1 e−n2 t sen nx sen nξ. Nos ocupamos ahora de la parte f = 0, es decir de ut = uxx + F(x, t) 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = 0 0 < x < π u(0, t) = u(π, t) t > 0. (7.30)
- 227. 7.6. FUNCIONES DEGREEN 219 Si se admite la existencia de una solución clásica u ∈ C2 {0 ≤ x ≤ π, t > 0} con F continua en 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0 podemos escribir (las convergencias se entienden en L2 (0, π)), u = ∞∑ n=1 bn(t) sen nx ut = ∞∑ n=1 b′ n(t) sen nx uxx = ∞∑ n=1 −n2 bn(t) sen nx F = ∞∑ n=1 Bn(t) sen nx, con bn(t) = (2/π) ∫ π 0 u(x, t) sen nx dx y donde, por ejemplo, el coeficiente de Fourier ˜bn o ˆbn de uxx o ut se calculan integrando por partes para involucrar a bn (¡no se ha derivado término a término!). Por otro lado se tiene Bn(t) = (2/π) ∫ π 0 F(x, t) sen nx dx. De la ecuación resulta que b′ n + n2 bn = Bn junto con bn(0) = 0, lo que conduce a la expresión explícita de bn: bn(t) = ∫ t 0 e−n2 (t−τ) Bn(τ) dτ. Las bn’s se estiman fácilmente en la forma siguiente, |bn(t)|2 ≤ 1 2n2 ∫ t 0 Bn(τ) dτ. Se comprueba que | q∑ p bn(t) sen nx|2 ≤ 1 π { q∑ p 1 n2 } ∫ t 0 ∫ π 0 F2 . Hemos probado así que toda solución clásica en las condiciones de regularidad señaldas se puede representar por la serie uniformemente convergente en cada banda 0 ≤ t ≤ T dada por, u(x, t) = ∞∑ n=1 ∫ t 0 e−n2 (t−τ) Bn(τ) sen nx dτ. (7.31) Si F es suficientemente regular, por ejemplo F y Fx continuas en t ≥ 0, x ∈ [0, π], F(0, t) = F(π, 0) = 0 mientras existe Fxx con Fxx ∈ L2 ((0, π)×(0, t)) para todo t > 0 entonces la serie (7.31) define una función de clase C2,1 que puede ser derivada término a término.
- 228. 220 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES Como observación final, un intercambio formal de las integrales involucradas en (7.31) con la serie nos lleva a la representación de la solución: u(x, t) = ∫ t 0 ∫ π 0 G(ξ, x, t − τ)F(ξ, τ) dξdτ. (7.32) Ya sabemos que el núcleo es C∞ en t > 0 y que cumple la ecuación del calor con respecto a t. Puede demostrarse en realidad el siguiente resultado, que se apoya directamente en la fórmula de representación (7.32). Teorema 7.17. Supongamos que F y Fx son continuas en t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π. Entonces (7.32) representa la solución clásica del problema perturbado (7.30). Observación 7.7. La fórmula (7.32) puede deducirse formalmente a partir de (7.7) por el método de variación de las constantes de Lagrange. 7.7. Ejercicios 1. Hállense, por separación de variables, las soluciones de la ecuación del calor ut = uxx bajo las condiciones que se indican: a) u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sen3 x, x ∈ (0, π). b) ux(0, t) = ux(π, t) = 0, u(x, 0) = sen x, x ∈ (0, π). c) u(a, t) = u(b, t) = 0, u(x, 0) = (x − a)(b − x), x ∈ (a, b). 2. Se considera el problema de Dirichlet para la ecuación de ondas, utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ l ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = u(l, 0) = 0 t ≥ 0, para f de clase C2 y g de clase C1 en [0, l], satisfaciendo las correspon- dientes condiciones de compatibilidad. Pruébese que la solución puede representarse en la forma, u = ∞∑ n=1 ( an cos nπc l t + bn sen nπc l t ) sen nπ l x. La misma cuestión relativa al problema de Neumann y la expresión u = a0 + b0t + ∞∑ n=1 ( an cos nπc l t + bn sen nπc l t ) cos nπ l x. ¿Cuándo es b0 = 0 y qué implica ello sobre la solución del problema?
- 229. 7.7. EJERCICIOS 221 3.Estúdiese el problema de autovalores (ecuaciones diferenciales ordinarias): { − X” = X, 0 < x < l − X′ (0) + a0X(0) = 0, X′ (l) + alX(l) = 0. Apróvechese la información para construir expresiones formales –bajo desa- rrollos en serie– de autofunciones de los problemas de contorno y valor inicial utt = c2 uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π −ux(0, t) + a0u(0, t) = 0, t ≥ 0, ux(l, 0) + alu(l, t) = 0 t ≥ 0, así como: ut = uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π −ux(0, t) + a0u(0, t) = 0, t ≥ 0, ux(l, 0) + alu(l, t) = 0 t ≥ 0. 4. Se considera el problema de Dirichlet y valor inicial para la ecuación de ondas con amortiguamiento: utt + 2aut = c2 uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π u(0, t) = u(π, 0) = 0 t ≥ 0, donde a, c son constantes positivas. Supóngase que f ∈ C3 en [0, π] y que satisface las correspondientes condiciones de compatibilidad. Constrúyase una solución en forma de serie por el método de separación de variables. 5. Analícese, bajo condiciones adecuadas, la solución del problema de con- torno y valor inicial (ecuación de los telegrafístas): utt + 2aut + bu = c2 uxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ π u(0, t) = u(π, 0) = 0 t ≥ 0. 6. Estúdiese por separación de variables la solución del problema ut = uxx 0 < x < 1, t > 0 u(x, 0) = x 0 ≤ x ≤ 1 ux(0, t) = u(1, 0) = 0 t ≥ 0.
- 230. 222 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES 7. Demúestrese que la ecuación: uxx + uxy + uyy = 0, admite soluciones en la forma X(x)Y (y). Como indicación, hállese una expresión para Y ”/Y que debe derivarse con respecto a x. 8. Se considera el operador L = (pu′ )′ + qu, p de clase C1 y positiva en [a, b], mientras q es continua en dicho intervalo. Si G(x, ξ) es la función de Green bajo condiciones Dirichlet, prúebese que Gξ(·, a) y Gξ(·, b) forman un sistema fundamental de Lu = 0. Prúebese también que la solución del problema de Dirichlet: { Lu = f(x) 0 < x < 1 u(0) = α, u(1) = β, se puede expresar en los siguientes términos: u = ∫ b a G(x, ξ)f(ξ) dx + βp(b)Gξ(·, b) − αp(a)Gξ(·, a). 9. Si f es continua en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, hállese la solución del problema: { ((1 + x)2 u′ )′ − u = −f 0 < x < 1 u(0) = u(1) = 0. 10. (Funciones de Green, ecuaciones diferenciales ordinarias). Sea f continua en 0 ≤ x ≤ 1, y sea Lu = u” − u. Hállese la solución de los problemas de contorno: { Lu = −f 0 < x < 1 u(0) = u(1) = 0, { Lu = −f 0 < x < 1 u′ (0) = u′ (1) = 0, { Lu = −ex 0 < x < 1 u(0) = u′ (1) = 0, { Lu = − sen x 0 < x < 1 u(0) = α, u(1) = β. 11. En el espacio se considera el recinto esférico 0 < a < r < b, r2 = x2 +y2 + z2 . Hállense las soluciones de los problemas: { ∆u = 0 a < r < b u(a) = A u(b) = B, { ∆u = f a < r < b u(a) = A u(b) = B, siendo f una función radial y continua. 12. En el recinto esférico 0 < a < r < b, r2 = x2 + y2 + z2 , se considera el problema uxx+uyy +uzz = 1, bajo condiciones de contorno u = 0 en r = a, ∂u ∂n = 0 en r = b. Hállese su solución. ¿Se podría resolver explícitamente el problema reemplazando la unidad en el segundo miembro por una función continua y radial arbitraria f(r)?
- 231. 7.7. EJERCICIOS 223 13.Considérese el recinto del problema anterior y supóngase que ha alcanzado una temperatura estacionaria u(x, y, z) tras mantener la cara interior a 100o C mientras la exterior se refrigera a razón de un flujo ∂u ∂n = −γ < 0, γ constante. Determínese entonces la temperatura, hallando su valor máximo y mínimo. ¿Puede elegirse γ de forma que la temperatura de la cara exterior sea de 20o C? 14. Se consideran los problemas de contorno: (ru′ )′ − n2 r u = −r f(r) , 0 < r < a u acotada cuando r → 0+, u(a) = 0, en donde n = 0, 1, . . . , siendo f continua. Prúebese entonces que las con- diciones de contorno son no críticas, y que la solución se escribe en la forma: u(r) = ∫ a 0 Gn(r, ρ) f(ρ)ρ dρ, (7.33) donde, Gn(r, ρ) = 1 2n (r/a)n ((a/ρ)n − (ρ/a)n ) 0 < r ≤ ρ 1 2n (ρ/a)n ((a/r)n − (r/a)n ) ρ < r ≤ a, para n ≥ 1 mientras G0(r, ρ) = log ( a ρ ) 0 < r ≤ ρ log (a r ) ρ < r ≤ a. 15. Hallar la solución formal del problema ut = uxx + F(x, t), 0 < x < π, t > 0, u(x, 0) = 0 y condiciones de contorno mixtas u(0, t) = ux(π, t) = 0, t > 0.
- 232. 224 CAPÍTULO 7.SEPARACIÓN DE VARIABLES
- 233. Capítulo 8 Ecuación deLaplace en el plano 8.1. Fórmula de Poisson. Funciones armónicas Comenzamos con el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en el círculo unidad B1(0) del plano : { ∆u = 0 (x, y) ∈ B1(0) u = f(x, y) (x, y) ∈ ∂B1(0). (8.1) Definimos como solución clásica u de (8.1) la que satisface u ∈ C2 (B) ∩ C( ¯B) (escribiremos B en vez de B1(0) para abreviar). Más generalmente, el problema de Dirichlet n-dimensional en un dominio acotado Ω ⊂ Rn para soluciones clásicas consiste en hallar u ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω) tal que: { ∆u = 0 x ∈ Ω u = f x ∈ ∂Ω, (8.2) donde f ∈ C(∂Ω) es un dato. La unicidad de soluciones para (8.2) es consecuencia del principio del máximo débil. A saber. Teorema 8.1 (Principio débil del máximo). Supongamos que u ∈ C2 (Ω)∩C(Ω) satisface: −∆u ≤ 0 en Ω entonces, sup Ω u = sup ∂Ω u. Observación 8.1. El correspondiente “principio del mínimo” se obtiene sin más que cambiar el −∆u ≤ 0 por −∆u ≥ 0 en el enunciado. 225
- 234. 226 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) Es conveniente introducir las siguientes definiciones. Definición 8.2. Definición Se dice que u de clase C2 es armónica (r. subar- mónica, superarmónica) en un dominio Ω ⊂ Rn si −∆u = 0 (r. ≤ 0, ≥ 0) en Ω. Una consecuencia inmediata del principio del máximo es el principio de com- paración. Corolario 8.3. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y u, v ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω), tales que −∆u ≤ −∆v en Ω mientras u ≤ v en ∂Ω. Entonces u ≤ v en Ω. En particular, el problema: { ∆u = F x ∈ Ω u = f x ∈ ∂Ω, (8.3) admite a lo más una solución clásica para cada f ∈ C(∂Ω), F ∈ C(Ω). Volvamos ahora a un problema más concreto como es garantizar la exis- tencia de soluciones clásicas para (8.1). Escribiendo la ecuación de Laplace en coordenadas polares (usamos otra vez el símbolo u(r, θ) para representar a u) el problema se interpreta como resolver, urr + 1 r ur + 1 r2 uθθ = 0, (8.4) cumpliendo la condición de contorno u(1, θ) = f(θ). En principio suponemos que f es C1 y 2π periódica (f ∈ C1 (T)). Siguiendo la estrategia del método de separación de variables, buscamos soluciones de la forma: u = R(r)Θ(θ), donde tenemos en cuenta que R, Θ han de ser C2 junto con las condiciones de periodicidad: Θ(θ + 2π) = Θ(θ) θ ∈ R. El correspondiente problema de contorno es, Θ′′ + λΘ = 0 Θ(0) = Θ(2π) Θ′ (0) = Θ′ (2π), con lo que los autovalores son λn = n2 , n ∈ N∪{0} y Θn = ˜an cos nθ+˜bn sen nθ. La ecuación para R es, r2 R′′ + rR − n2 R = 0. Imponiendo la condición de que R es regular en r = 0 deducimos Rn = ˜cnrn , n ∈ N ∪ {0}.
- 235. 8.1. FÓRMULA DEPOISSON 227 Una solución formal de (8.1) es por tanto, u = a0 + ∞∑ n=1 rn (an cos nθ + bn sen nθ), (8.5) donde naturalmente an, bn son los coeficientes de la serie de Fourier de f. De las hipótesis sobre f la serie converge uniformemente en R. Usando el principio del máximo se ve que (8.5) converge uniformemente en B. Por tanto u es continua. Es inmediato comprobar que todas las posibles derivadas término a término de (8.5), con respecto a r, θ, generan series uniformemente convergentes sobre compactos de r < 1. Eso significa que u cumple la ecuación (8.4). Finalmente, unas cuentas detalladas establecen que las derivadas cartesianas ux, uy, uxx, uxy, uyy están definidas, con ayuda de las derivadas de (8.5) término a término, por series uniformemente convergentes sobre compactos de B. Por tanto ∆u es continua. De ahí ∆u = 0 en B (pues esto ya era cierto en casi todo punto). Observación 8.2. Se comprueba sin problemas que PN = a0+ ∑N 1 rn (an cos nθ+ bn sen nθ) es un polinomio en (x, y) de grado N. Es decir (8.5) es una serie de potencias uniformemente convergente en B. Ello implica que u es en realidad real analítica 1 en B. En cualquier caso (8.5) es la serie de Taylor de u centrada en (0,0). La identidad (8.5) se puede manipular para llegar a una expresión integral de f. Esto permite relajar la regularidad de f de C1 a continua. En efecto, podemos escribir, u(r, θ) = l´ım N→∞ 1 π ∫ π −π f(t){ 1 2 + N∑ 1 rn cos n(θ − t)} dt = 1 π ∫ π −π f(t){ 1 2 + ∞∑ n=1 rn cos n(θ − t)} dt, en virtud de la convergencia uniforme del integrando. Usando, por ejemplo, la parte real de la serie geométrica compleja 1 + ∑∞ n=1(reiϕ )n = 1 1 − reiϕ se llega a que: 1 2 + ∞∑ n=1 rn cos n(θ − t) = 1 2 1 − r2 r2 + 1 − 2r cos(θ − t) . Por tanto, u(r, θ) = 1 − r2 2π ∫ π −π f(t) r2 + 1 − 2r cos(θ − t) dt. En coordenadas cartesianas, u(¯x) = 1 − r2 2π ∫ |¯y|=1 f(¯y) |¯x − ¯y|2 d¯y. (8.6) 1Una serie uniformemente convergente de polinomios es siempre una función real analítica ([11]).
- 236. 228 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) Se conoce a (8.6) como fórmula de Poisson. Tiene perfecto sentido si f ∈ C(T) (¡menos regularidad es posible!). En principio (8.6) da una representación de toda solución clásica. En particular se tiene: 1 = 1 − r2 2π ∫ |¯y|=1 1 |¯x − ¯y|2 d¯y ¯x ∈ B. (8.7) El siguiente resultado asegura que (8.6) proporciona todas las soluciones clásicas de (8.1). Teorema 8.4. Si f es continua en r = 1, (8.6) extendida con el valor f en r = 1 define la única solución clásica de (8.1). Es inmediato que la solución de (8.1) en la bola BR(P) es exactamente, u(¯x) = R2 − |¯x − P|2 2πR ∫ |¯y−P |=R f(¯y) |¯x − ¯y|2 dS¯y. (8.8) En particular, si u ∈ C2 (Ω) es armónica en Ω entonces se tiene: u(P) = 1 2πR ∫ |¯y−P |=R f(¯y) dS¯y, (8.9) cualquiera que sea la bola BR(P) ⊂ Ω. Esta es la propiedad de la media. Se tiene además lo siguiente. Teorema 8.5. Si u ∈ C2 (Ω) es armónica y BR(P) es como arriba entonces, u(P) = 1 πR2 ∫∫ |¯y−P |≤R f(¯y) d¯y. (8.10) Demostración. Se propone como ejercicio. Del hecho de que toda función armónica en Ω se puede representar cerca de cualquier punto P ∈ Ω en la forma (8.8) se tiene lo siguiente. Teorema 8.6. Si u ∈ C2 (Ω) es armónica en Ω entonces u ∈ C∞ (Ω). Demostración. Se propone como ejercicio. Otra conclusión importante. Teorema 8.7 (Principio fuerte del máximo). Sea Ω un dominio del plano donde u es armónica con M = supΩ u < ∞. Si para algún x0 ∈ Ω, u(x0) = M entonces u = M. Por otro lado, la propiedad de la media caracteriza asimismo las funciones armónicas. Teorema 8.8. Supongamos que u ∈ C(Ω) satisface la propiedad de la media en Ω, es decir, para toda bola BR(P) ⊂ Ω se cumple la identidad (8.9). Entonces u es armónica en Ω.
- 237. 8.1. FÓRMULA DEPOISSON 229 Como se ha dicho, la fórmula de Poisson permite datos más generales que f ∈ C(T). Por ejemplo f ∈ L1 (T) ó f ∈ L∞ (T). En este último caso (8.6) define de nuevo una función u armónica y acotada (ver (8.7)) que cumple: l´ım Q→P u(Q) = f(P), si P ∈ ∂B es un punto de continuidad de f. Si f es continua a trozos en el sentido de que sólo presenta un número finito de discontinuidades de salto (por ejemplo la función característica de un arco ⌢ RS), la fórmula de Poisson da una solución acotada de (8.1) que ajusta con f en los puntos de continuidad. La solución es además única en la clase de las funciones acotadas en B. Esto es consecuencia del siguiente resultado. Teorema 8.9 (Teorema de Phragmén-Lindelöf). Sea u armónica en un do- minio acotado Ω ⊂ R2 , u ∈ L∞ (Ω) mientras u ∈ C(Ω {P1, . . . , PN }) donde {P1, . . . , Pn} ⊂ ∂Ω. Entonces: ´ınf ∂Ω{P1,...,PN } u ≤ u(x) ≤ sup ∂Ω{P1,...,PN } u x ∈ Ω. 8.1.1. Dominios simplemente conexos En la sección de ejercicios se estudian las aplicaciones conformes del plano. Se identifican éstas con las funciones holomorfas con derivada no nula. Se prueba también que las aplicaciones conformes transforman funciones armónicas en funciones armónicas. Por otra parte, un conocido teorema de Riemann (ver [19], Cap. 14) establece que todo dominio simplemente conexo Ω del plano, Ω ̸= R2 , se puede transformar mediante un homeomorfismo conforme T ∈ H(Ω) en el disco unidad B. Si Ω es acotado y de frontera ∂Ω simple en el sentido de que todo punto P ∈ ∂Ω es el extremo de un arco Γ que cumple Γ P ⊂ Ω, entonces la transformación conforme T ∈ H(Ω) se puede extender a un homeomorfismo T : Ω → B (ver [19], Cap. 14). Tenemos así un teorema general de existencia de soluciones. Teorema 8.10. Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado y simplemente conexo del plano con frontera simple. Entonces el problema de Dirichlet, { ∆u = 0 en Ω u = f en ∂Ω, admite, para cada f ∈ C(Ω), una única solución clásica. Observación 8.3. Puede demostrarse más generalmente (ver por ejemplo [4], Cap. X) que el problema de Dirichlet (8.1) es siempre resoluble en cualquier dominio Ω del plano en el que R2 Ω carezca de componentes conexas que se reduzcan a un punto (ver la Sección 8.3).
- 238. 230 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) 8.1.2. Deducción geométrica de la fórmula de Poisson La fórmula de Poisson se puede deducir a partir de argumentos geométricos elementales apoyados en la función argumento θ = θ(x, y) (ver el Capítulo 1). Primeramente obtenemos una solución del problema, { ∆u = 0 (x, y) ∈ B u = χAB (x, y) ∈ ∂B (8.11) donde χAB es la función característica de un arco orientado ⌢ AB correspondiente a un ángulo central θ0. Definimos φ(P) como el ángulo orientado con vértice en P y medido desde el segmento PA al PB. Lo primero que debe observarse es que φ es constante sobre cada uno de los arcos abiertos y orientados ⌢ BA, ⌢ AB en ∂B. De hecho: φ = θ0/2 sobre ⌢ BA, φ = π + θ0/2 en ⌢ AB, mientras las curvas de nivel de φ son arcos capaces sobre ⌢ AB. Un arco capaz sobre ⌢ AB es el lugar de los puntos que observan ⌢ AB bajo un ángulo constante. De hecho, se comprueba que dicho lugar es un arco de circunferencia. Por otro lado, una expresión analítica para φ es la siguiente, φ(P) = θ(P − B) − θ(P − A). (8.12) Si, por ejemplo, A y B están en x ≥ 0 φ es inmediatamente armónica en B. Otras posiciones de A, B requieren emplear la función argumento con línea de corte en el eje x ≤ 0. La función ψ(P) = 1 π {φ(P) − θ0 2 } es pues la única solución acotada del problema (8.11). De nuestra experiencia con la ecuación del calor sabemos que esta solución básica permite llegar a soluciones muy generales. En efecto, si f ∈ C(T) y fraccionamos ∂B en n arcos, es decir el intervalo (0, 2π) en 0 ≤ θ1 ≤ · · · θn = 2π una aproximación poligonal de f es fn =∑n 1 f(˜θi)χ(θi−1,θi) con ˜θi ∈ (θi−1, θi). Si ui es la solución correspondiente al dato χ(θi−1,θi) entonces, ui(x, y) = 1 π {h(θi−1 + ∆θ) − h(θi−1)}, donde ∆θ = θi − θi−1, h(θ) = arctag ( y − sen θ x − cos θ − θ 2 ) . Nótese que, h′ (θ) = 1 − r2 2[r2 + 1 + 2(x cos θ + y sen θ] .
- 239. 8.1. FÓRMULA DEPOISSON 231 Si ufn es la solución acotada correspondiente a fn entonces, ufn (x, y) = 1 π n∑ i=1 f(˜θi){h(θi−1 + ∆θ) − h(θi−1)} = 1 2π n∑ i=1 1 − r2 r2 + 1 + 2(x cos ˆθi + y sen ˆθi) f(˜θi)∆θ, donde ˜θi, ˆθi ∈ (θi−1, θi) y ∆θ = θi − θi−1. Cuando n → ∞ el valor límite de ufn es, uf (x, y) = 1 − r2 2π ∫ 2π 0 f(θ) r2 + 1 + 2(x cos θ + y sen θ) dθ, que es precisamente la fórmula de Poisson. Observación 8.4. La construcción de la función φ en (8.12) muestra que l´ım r→1 φ(r, α) = l´ım r→1 φ(r, β) = 1 2 (θ0 + π), donde α, β son los ángulos correspondientes a A, B, θ0 = β − α. Este ejemplo permite probar que para cada τ ∈ [θ0/2, θ0/2 + π] existe un arco Γ de círculo que pasa por A y B donde φ|Γ = τ. Más generalmente, se tiene lo siguiente. Teorema 8.11. Sea u la solución acotada de (8.1) que corresponde a un dato continuo a trozos f que exhibe una discontinuidad de salto en P0 = P0(θ0). Entonces, para todo τ intermedio a f(θ0−) y f(θ0+) existe un arco de círculo que pasa por P donde l´ımP →P0,P ∈Γ u(P) = τ. Además, l´ım r→1− u(r, θ0) = 1 2 {f(θ0+) + f(θ0−)}. Observaciones 8.5. a) La función u(r, θ) = 1 − r2 1 + r2 − 2r cos θ , es armónica en B y se anula en ∂B (1, 0). Sin embargo no es idénticamente nula. Nótese que u(r, 0) crece sin límite cuando r → 1−. b) La demostración pone de manifiesto que la propiedad de acotación puede subs- tituirse por la menos restrictiva de que u ∈ C(Ω P1, . . . , PN ), {P1, . . . , PN } ⊂ ∂Ω, junto con l´ım P →Pi u(P) log |P − Pi| = 0 1 ≤ i ≤ N. c) Cuando el dato f es continuo a trozos y P ∈ ∂B es un punto de discontinuidad de salto de f en P entonces u sufre un tipo de discontinuidad que ya observamos en la ecuación del calor (ver la Sección 8.1.2).
- 240. 232 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) 8.1.3. Problema de Dirichlet en un rectángulo Consideremos el rectángulo Q = [0, π] × [0, A], A > 0 y el dato ˜f que es cero en todos los lados de Q excepto en y = 0 donde ˜f(x, 0) = f(x) ∈ C1 [0, π], función que cumple f(0) = f(π) = 0. El método de separación de variables y el principio débil del máximo nos llevan a que la solución clásica del problema, { ∆u = 0 (x, y) ∈ Q u = ˜f (x, y) ∈ ∂Q, viene expresada por: u(x, y) = ∞∑ n=1 bn senh nA sen nx senh n(A − y), (8.13) donde bn = 2 π ∫ π 0 f(x) sen nx dx. Si consideramos el núcleo, G(ξ, x, y) = 2 π ∞∑ n=1 senh nA senh n(A − y) sen nx sen nξ, obtenemos una función C∞ que es armónica en 0 < y < A. En efecto, la serie junto con todas sus derivadas converge uniformemente sobre compactos de 0 < y < A. Bajo la hipótesis de acotación de f la serie (8.11) se puede escribir como, u(x, y) = ∫ π 0 G(ξ, x, y)f(ξ) dξ. (8.14) Usando los mismos argumentos que en la Sección ?? del Capítulo 7 se prueba que: G(ξ, x, y) ≥ 0 0 ≤ ξ ≤ π 0 ≤ x ≤ π 0 < y < A, mientras, ∫ π 0 G(ξ, x, y) dξ ≤ 1 0 ≤ x ≤ π 0 < y < A. Por otro lado, ∫ π 0 G(ξ, x, y) sen ξ dξ = senh(A − y) senh A sen x, es decir, ∫ π 0 G(ξ, x, y) senh A sen ξ senh(A − y) sen x dξ = 1.
- 241. 8.2. ECUACIÓN DEPOISSON 233 Si x0 ∈ I = (0, π) es un punto de continuidad de f ∈ L∞ (I), Iδ = [x0 −δ, x0 +δ], entonces |u(x, y) − f(x0)| ≤ { ∫ Iδ + ∫ IIδ }G(ξ, x, y)|f(ξ) − f(x0) senh A sen ξ senh(A − y) sen x | dξ. La primera integral puede hacerse tan pequeña como se quiera con tal que lo sea δ. La segunda (Sección ?? del Capítulo 7) se hace pequeña si x ∼ x0 y t → 0. Hemos probado así el siguiente resultado. Teorema 8.12. Para f = f(x, y) continua y arbitraria, el problema de Diri- chlet, { ∆u = 0 (x, y) ∈ Q u(x, y) = f(x, y) (x, y) ∈ ∂Q, admite una solución acotada u ∈ C2 (Q) ∩ C(Q A, B, C, D), donde A, B, C y D son los vértices de Q. Observaciones 8.6. a) La solución construída en el teorema por el método de separación de variables se extiende por continuidad a todo Q pues coincide con la solución clásica que se obtiene en virtud del teorema de la aplicación de Riemann. b) Si en las consideraciones precedentes f ∈ L∞ tiene una discontinuidad de salto en x0 ∈ (0, π) el comportamiento de la solución acotada u puede estudiarse teniendo en cuenta la determinación del argumento θ1(x − x0, y), donde la línea de corte de θ1 es el semieje y ≤ 0. 8.2. Ecuación de Poisson Nos ocupamos ahora de estudiar un tema más delicado como es problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson, { −∆u = F en B u = 0 en ∂B. (8.15) Lo primero que hacemos es usar el método de separación de variables para pro- ducir una representación integral de la solución clásica. A tal efecto suponemos que u ∈ C2 (B)∩C(B) resuelve (8.15), en particular F ∈ C(B). Transformamos (8.15) a coordenadas polares (r, θ) y para cada 0 < r < 1 representamos u(r, ·),
- 242. 234 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) ur(r, ·), urr(r, ·), uθθ(r, ·) y F(r, ·) en serie de Fourier para tener, u(r, ·) = a0(r) + ∞∑ n=1 an(r) cos nθ + bn(r) sen nθ ur(r, ·) = a′ 0(r) + ∞∑ n=1 a′ n(r) cos nθ + b′ n(r) sen nθ urr(r, ·) = a′′ 0 (r) + ∞∑ n=1 a′′ n(r) cos nθ + b′′ n(r) sen nθ uθθ(r, ·) = − ∞∑ n=1 n2 an(r) cos nθ + n2 bn(r) sen nθ F(r, ·) = A0(r) + ∞∑ n=1 An(r) cos nθ + Bn(r) sen nθ, siendo las convergencias en L2 (0, 2π). La ecuación en derivadas parciales, urr + ur r + uθθ r2 = 0, lleva a las ecuaciones para los coeficientes: u′′ (r) + 1 r u′ (r) − n2 r2 u = −F(r) 0 < r < 1, (8.16) donde n = 0, 1, . . . . Los coeficientes a0, an, bn quedan determinados como fun- ciones C2 en (0, 1) que se anulan en r = 1 mientras en el origen satisfacen la propiedad de estar acotadas. El segundo miembro de (8.16) es en cada caso A0, An y Bn, respectivamente. El problema de contorno fundamental es pues, { (ru′ )′ − n2 r u = rF(r) u(1) = 0 , u = O(1) para r → 0, (8.17) donde F ∈ C[0, 1]. Usando las ideas del Capítulo 7 (ver Ejercicios) la solución de (8.17) se puede representar en forma integral como, u(r) = ∫ 1 0 Gn(r, ρ)ρ dρ, (8.18) donde, G0(r, ρ) = log( 1 r ) r > ρ log( 1 ρ ) r ≤ ρ, mientras, Gn(r, ρ) = 1 2n (r−n − rn ) ρn r > ρ 1 2n (ρ−n − ρn ) rn r ≤ ρ,
- 243. 8.2. ECUACIÓN DEPOISSON 235 para n ≥ 1. De (8.18) podemos estimar u como sigue, |u(r)|2 ≤ 1 4n2 { ∫ 1 0 4n2 G2 (r, ρ)ρ dρ}{ ∫ 1 0 F2 (ρ)ρ dρ}. (8.19) Por otro lado, ∫ 1 0 4n2 G2 (r, ρ)ρ dρ = ∫ r 0 (1 − r2n )2 ( ρ r )2n ρ dρ + ∫ 1 r (1 − ρ2n )2 ( r ρ )2n ρ dρ = r2 ∫ 1 0 u2n+1 du + ∫ 1 r (1 − ρ2n )2 ( r ρ )2n ρ dρ ≤ 1 2n + 1 + r2 ∫ 1 r ( r ρ )2n−1 1 r dρ ≤ 1 2n + 1 + ∫ ∞ 1 dz z2n−1 ≤ 2 2n + 1 . Concluimos entonces que la solución de (8.17) satisface la estimación, |u(r)|2 ≤ 1 4n2(n + 1 2 ) { ∫ 1 0 F2 (ρ)ρ dρ}. (8.20) Recordamos ahora que cualquier solución clásica se se representa en la forma, u(r, ·) = a0(r) + ∞∑ n=1 an(r) cos nθ + bn(r) sen nθ, (8.21) donde an = ∫ 1 0 GnAnρ dρ, bn = ∫ 1 0 GnBnρ dρ. Hemos supuesto que F ∈ C(B) (bastaría para lo que sigue F ∈ C(B) ∩ L2 (B)). Comprobamos que la serie converge además uniformemente en B. En efecto: | N∑ M an(r) cos nθ + bn(r) sen nθ|2 ≤ { N∑ M 2 n2 }{ 1 4 ∫ 1 0 N∑ M {A2 n(ρ) + B2 n(ρ)}ρ dρ} ≤ { N∑ M 2 n2 }{ 1 4π ∫ 1 0 ∫ 2π 0 F2 (ρ, θ) dθρ dρ} ≤ { N∑ M 2 n2 }{ 1 4π ∫∫ B F2 dxdy}. Vamos a mejorar ahora la expresión (8.21) para llegar a una representación integral de la solución de (8.15). Si tenemos en cuenta la relación funcional
- 244. 236 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) entre an, bn y F podemos escribir, u(r, θ) = ∫ 1 0 G0(r, ρ)A0(ρ)ρdρ+ ∞∑ n=1 ∫ 1 0 Gn(r, ρ)(An(ρ) cos nθ + Bn(ρ) sen nθ)ρ dρ. Permutando formalmente la serie con la integral con respecto a ρ, expresando An y Bn en términos de F e intercambiando –ahora legítimamente– las integrales con la serie llegamos a la expresión: u(r, θ) = ∫ 1 0 ∫ 2π 0 G(r, θ, ρ, t)F(ρ, t)ρ dρdt, (8.22) en donde para r > ρ, G(r, θ, ρ, t) = 1 2π {log( 1 r ) + ∞∑ n=1 1 n (r−n − rn )ρn cos n(θ − t)}, (8.23) mientras que si r < ρ el valor de G se obtiene intercambiando los valores de r y de ρ. Por otro lado, para ρ ̸= r la serie en (8.23) converge uniformemente con respecto a t ∈ [0, 2π]. Asimismo, si 0 < z < 1 tenemos, ∞∑ n=1 zn n cos nα = ∫ z 0 ∞∑ n=1 ζn−1 cos nα dζ = ∫ z 0 cos α − ζ 1 + ζ2 − 2ζ cos α dζ = − 1 2 log[1 + z2 − 2z cos α]. Al introducir estos resultados en (8.23) obtenemos tras algunas cuentas, G(r, θ, ρ, t) = 1 4π {− log[r2 + ρ2 − 2rρ cos(θ − t)] + log[1 + r2 ρ2 − 2rρ cos(θ − t)]}. (8.24) Nótese que G es simétrica en el sentido de que no varía cuando se intercambian entre sí (r, θ) y (ρ, t). En coordenadas cartesianas, si ¯y∗ designa el simétrico de ¯y con respecto a la circunferencia unidad, ¯y∗ = ¯y/|¯y|2 , la función G adopta la forma, G(¯x, ¯y) = 1 2π [− log |¯x − ¯y| + log |¯y||¯x − ¯y∗ |], (8.25) mientras la representación en coordenadas cartesianas (8.22) toma la forma, u(¯x) = ∫∫ B G(¯x, ¯y)F(¯x, ¯y) d¯y. (8.26) Se conoce a G = G(¯x, ¯y) como la función de Green del problema de Dirichlet en el círculo. Debe observarse que G satisface G(¯x, ¯y) = G(¯y, ¯x), que para ¯y ∈ B, ∆¯xG(·, ¯y) = 0 mientras que para cada ¯y ∈ B, G(¯x, ¯y) = 0 en |¯x| = 1. Otra
- 245. 8.2. ECUACIÓN DEPOISSON 237 propiedad importante es que G ≥ 0. Es más, sólo se anula si |x| = 1 o |y| = 1. En efecto, G = log ( 1 + r2 ρ2 − 2rρ cos(θ − t) 1 + r2ρ2 − 2rρ cos(θ − t) ) . Que el argumento sea mayor o igual que 1 equivale a que: (1 − r2 )(1 − ρ2 ) ≥ 0. La expresión, Γ2(¯x) = 1 2π log |¯x|, se denomina solución fundamental del Laplaciano ∆ en el plano. Toda la discusión previa ha tenido como objetivo probar el siguiente resul- tado. Teorema 8.13. Si F ∈ C1 (B) ∩ L∞ (B) entonces u(¯x) = ∫∫ B G(¯x, ¯y)F(¯y) d¯y. (8.27) define una solución clásica del problema (8.15). La demostración del teorema es elaborada y consta de varias etapas. En primer lugar observamos G = −Γ2(¯x − ¯y) + G2(¯x, ¯y). El término: U(¯x) = ∫∫ B G2(¯x, ¯y)F(¯y) d¯y, es de clase C∞ en B. En efecto, para ¯x en una bola B0 ⊂ B tanto G2 como todas sus posibles derivadas se mantienen uniformemente acotadas con ¯y ∈ B. El caso más delicado es el de la continuidad. A tal efecto nótese que log(|¯y|2 |¯x− ¯y∗ |2 ) = log(1+|¯x|2 |¯y|2 −2¯x¯y) y que permanece acotada en valor absoluto si ¯x ∈ B0 ⊂ B, ¯y ∈ B. En particular, U es una función armónica en B. El término, V (¯x) = ∫∫ B Γ2(¯x − ¯y)F(¯y) d¯y, es más delicado de manejar y a su estudio consagramos las siguientes líneas. Se conoce a V como potencial logarítmico con densidad F. Lema 8.14. Si F ∈ L∞ (B) el potencial logarítmico V con densidad F es C1 en B y además ∂xi V (¯x) = ∫∫ B ∂xi Γ2(¯x − ¯y)F(¯y) d¯y i = 1, 2. En particular, la función u definida por (8.27) es C1 y, ∂xi u(¯x) = ∫∫ B ∂xi G(¯x, ¯y)F(¯y) d¯y i = 1, 2.
- 246. 238 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) Demostración. Se considera η ∈ C∞ (R) tal que η = 0 en t ≤ 1, η = 1 si t ≥ 2 mientras η ≥ 0. Para ε > 0 la función: Vε(¯x) = ∫∫ B Γ2(¯x − ¯y)η(|¯x − ¯y|/ε)F(¯y) d¯y, es C∞ en R2 mientras Vε → V , ∂xi Vε → Vi uniformemente en R2 cuando ε → 0+, donde: Vi(¯x) = ∫∫ B ∂xi Γ2(¯x − ¯y)F(¯y) d¯y, i = 1, 2. Esto prueba el Lema. Consideramos ahora la solución clásica del problema: { −∆u = 1 en B u = 0 en ∂B. Tal solución ha de ser radial por lo que es fácil de calcular y viene dada por u = 1 4 (1 − r2 ). Si se tiene en cuenta la forma del desarrollo en serie de G se concluye que: 1 4 (1 − r2 ) = ∫∫ B G(¯x, ¯y) d¯y. En efecto la parte de la serie en los términos cos n(θ − t) desaparece y, ∫∫ B G d¯y = 1 2π {2π ∫ r 0 log( 1 r )ρ dρ + 2π ∫ r 0 log( 1 ρ )ρ dρ} = 1 4 (1 − r2 ). Del lema anterior, − xi 2 = ∫∫ B ∂xi G(¯x, ¯y) d¯y i = 1, 2. Consideramos finalmente las funciones: ui(¯x) = ∂xi u + xi 2 F(¯x) = ∫∫ B ∂xi G(¯x, ¯y)(F(¯y) − F(¯x)) d¯y, i = 1, 2. Usando el argumento del lema y la diferenciabilidad de F en B se tiene que las funciones wi(¯x) = ∫∫ B ∂xi G(¯x, ¯y)(F(¯y) − F(¯x)) d¯y, son C1 con derivadas primeras, ∂xj wi(¯x) = ∫∫ B ∂xixj G(¯x, ¯y)(F(¯y) − F(¯x)) d¯y − ∫∫ B ∂xi G(¯x, ¯y)∂xj F(¯x) d¯y.
- 247. 8.2. ECUACIÓN DEPOISSON 239 Se concluye entonces que, por un lado, ∂x1 v1 + ∂x2 v2 = ∆u + F(¯x) + x1 2 ∂x1 F + x2 2 ∂x2 F, mientras que de ∆¯xG(·, ¯y) = 0 para ¯x ∈ B ¯y se deduce ∂x1 v1 +∂x2 v2 = x1 2 ∂x1 F + x2 2 ∂x2 F. Por tanto −∆u = F en B. Finalmente la función u definida en (8.27) satisface también la condición de contorno pues, |u| ≤ |F|∞,B ∫∫ B G d¯y ≤ |F|∞,B 4 (1 − r2 ) → 0, cuando r → 1−. Esto cierra la demostración del teorema Una consecuencia de la demostración es el siguiente, Corolario 8.15. Si F ∈ C1 (B) ∩ L∞ (B) el correspondiente potencial logarít- mico V : V (¯x) = ∫∫ B Γ2(¯x − ¯y)F(¯y) d¯y i = 1, 2. es C2 en y satisface ∆V = F en B. Con más generalidad se tiene lo siguiente. Teorema 8.16. Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado mientras F ∈ C1 (Ω)∩L∞ (Ω). Entonces, el potencial logarítmico V con densidad F en Ω: V (¯x) = ∫∫ Ω Γ2(¯x − ¯y)F(¯y) d¯y, es C2 en Ω y satisface ∆V = F en Ω. Demostración. Para ε > 0 pequeño y x0 ∈ Ω arbitrario, tomamos Fε ∈ C1 (R2 ) donde Fε = F en |¯x − x0| ≤ ε/2 y Fε = 0 para |¯x − x0| ≥ ε. Si: Vε(¯x) = ∫∫ Ω Γ2(¯x − ¯y)Fε(¯y) d¯y, entonces V − Vε es armónica en |¯x − x0| < ε/2, mientras, por el corolario, Vε es C2 en |¯x − x0| < ε y ∆Vε = Fε. Por tanto V es C2 en |¯x − x0| < ε/2 y ∆V = F en dicha región. Hemos fabricado la función de Green del problema de Dirichet para la ecua- ción de Poisson en la bola (se normalizó el radio a la unidad para simplificar). En dominios generales Ω y en dimensiones superiores esta noción se extiende a los efectos de obtener una representación integral del tipo (8.27) para la solución del problema de Dirichlet. La definición adecuada a tales propósitos es la que sigue. Definición 8.17. Sea Ω ⊂ R2 un dominio. Se dice que: G : Ω × Ω −→ R (¯x, ¯y) −→ G(¯x, ¯y) es una función de Green para el problema de Dirichlet en Ω si:
- 248. 240 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) 1. G = −Γ2(¯x − ¯y) + h(¯x, ¯y), donde h(·, ¯y) ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω) para cada ¯y ∈ Ω. 2. Para cada ¯y ∈ Ω, u = h(·, y) es la solución clásica del problema, ∆¯xu = 0 ¯x ∈ Ω u(¯x) = Γ2(¯x − ¯y) ¯x ∈ ∂Ω. De la propia definición se desprende la unicidad de la función de Green sobre Ω. Por otro lado, la función de Green que hemos obtenido en el caso del círculo cumple los requisitos de la definición. En el contexto n-dimensional exploraremos más aspectos de las funciones de Green. 8.3. Singularidades evitables Uno de los objetivos de la sección es probar con un ejemplo que la continuidad de F no es suficiente para asegurar la existencia de soluciones clásicas para el problema: { −∆u = F en Ω u = 0 en ∂Ω, (8.28) ni siquiera en el caso de la bola. Para ello son necesarios algunos resultados de interés en sí mismos. El primero describe singularidades evitables de las funciones armónicas. Teorema 8.18. Sea u ∈ C2 (Ω) armónica en Ω x1, . . . , xN . Supóngase que además, u(x) = o(Γ2(x − xi)) x → xi, para i ∈ {1, . . . , N}. Entonces u admite una única extensión armónica a todo Ω. El resultado es consecuencia de la siguiente propiedad. Lema 8.19. Supongamos que u es armónica en B 0, u = 0 en ∂B mientras u = o(Γ2(x)) cuando x → 0. Entonces u = 0 en B 0. Demostración. Fijamos P0 ∈ B 0. Para ε > 0 arbitrario elegimos 0 < ρ < |P0| tal que: |u(x)| < −ε log ρ |x| = ρ. Formamos el anillo Aρ = {ρ < |x| < 1} y tenemos que u < −ε log |x| y que u > ε log |x| en ∂Aρ. Del principio de comparación concluimos que |u(x)| ≤ −ε log |x| en Aρ. En particular, |u(P0)| ≤ −ε log |P0|, para cada ε > 0. Por tanto u(P0) = 0.
- 249. 8.4. EJERCICIOS 241 Unaconsecuencia indirecta del lema es lo siguiente. Corolario 8.20. El problema de Dirichlet, { −∆u = 0 en Ω u = f en ∂Ω, en general no es resoluble en Ω = B 0. Demostración. En efecto, se trataría de resolver ∆u = 0 en B 0, con u ∈ C2 (B 0) ∩ C(B) y valores u(0) = A, u = f en r = 1 prefijados de antemano. Sin embargo, del lema, el único valor posible para A es precisamente, A = 1 2πR ∫ |¯y|=R f(¯y) dS¯y. En consecuencia A no puede prefijarse libremente con independencia de f. Otra consecuencia importante del lema es el siguiente contraejemplo de exis- tencia de soluciones clásicas para el problema de Dirichlet. Teorema 8.21. El problema de Dirichlet, ∆u = x2 2 − x2 1 2ρ2 [ 4(− log r)−1/2 + 1 2 (− log r)−3/2 ] en BR u = (− log R)1/2 (x2 1 − x2 2) en r = R, no admite soluciones clásicas. Demostración. Consideramos u1 = (− log r)1/2 (x2 1 − x2 2). Se comprueba que u es C1 en BR pero no es C2 . Por otro lado, ∆u1 = x2 2 − x2 1 2ρ2 [ 4(− log r)−1/2 + 1 2 (− log r)−3/2 ] , en BR 0. Si existiese una solución clásica u ∈ C2 (BR) ∩ C(B) tendríamos, por el lema, que u = u1 en 0 < r < R lo que es imposible. Por tanto el problema no admite soluciones clásicas. Debe observarse que el segundo miembro F ∈ C(BR). 8.4. Ejercicios 1. Estúdiese por separación de variables la solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace: ∆u = 0 x ∈ Ba u = f x ∈ ∂Ba, donde Ba es la bola centrada en el origen y de radio a en el plano, y f(x, y) es de clase C1 en la circunferencia de radio a, ∂Ba.
- 250. 242 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) 2. Pruébese que si f en el problema anterior es sólo continua, la solución del problema de Dirichlet en la bola ∆u = 0 x ∈ Ba u = f x ∈ ∂Ba, existe y viene dada por la fórmula de Poisson, u(x) = 1 2πa ∫ |y|=a a2 − |x|2 |y − x|2 dSy. 3. Se considera el sector W = {0 < r < a, 0 < θ < β}. Estúdiese, por el método de separación de variables la solución del problema de contorno ∆u = 0 en W, u = 0 en θ = 0, β, mientras que se impone u(a, θ) = f(θ) donde f es, por ejemplo, continua en 0 ≤ θ ≤ β. Analícese el correspon- diente problema reemplazando la condición Dirichlet, por la de Neumann ∂u ∂n (a, θ) = g(θ). 4. Analícese el problema de Dirichlet ∆u = 0 en el anillo plano a < r < b, bajo condiciones de Dirichlet u = f en r = a, u = g en r = b, f y g continuas. Utilícese el método de separación de variables. 5. Analícese por el método de separación de variables la solución del problema exterior de Dirichlet plano: ∆u = 0 en r > a, u = f en r = a, f continua, mientras que se impone la condición de que u esté acotada. 6. Si k es una constante positiva, hállense las soluciones radiales de la ecua- ción de Helmholtz uxx + uyy = k2 u. 7. Hállese (separación de variables) la solución del problema plano ∆u = 0 en a < r < b, α < θ < β, u = 0 en θ = α, β, u = f en r = a, mientras u = g en r = b, siendo f y g continuas. 8. Pruébese que si u es armónica en una región Ω del plano, entonces u es C∞ . 9. Pruébese que si u es armónica en una región Ω del plano, entonces u cumple el teorema de la media. Es decir, para toda bola cerrada ¯B = ¯BR(x0) ⊂ Ω se tiene, u(x0) = 1 2πR ∫ |y−x0|=R u(y) dSy. Pruébese que también, u(x0) = 1 πR2 ∫∫ |y−x0|≤R u(y) dy. 10. Pruébese usando la fórmula de Poisson que toda función continua y pe- riódica en R, f = f(θ) puede aproximarse uniformemente por polinomios trigonométricos pn(θ) = a0 + ∑N 1 an cos nθ + bn sen nθ.
- 251. 8.4. EJERCICIOS 243 11.Descríbase la estructura de los polinomios armónicos en el plano. Indicación. Si u es un polinomio armónico cumple ∆u = 0 en la bola unidad con un dato de frontera f(θ) de una clase especial. 12. Una aplicación biyectiva (P, Q) : Ω → Ω1 y C1 entre dos dominos del plano Ω, Ω1 se dice conforme si preserva los ángulos de curvas incidentes. ¿Qué forma tienen tales transformaciones?. Pruébese que las transformaciones conformes preservan las funciones armónicas. 13. (Desigualdad de Harnack). Sea u armónica en en |x| < a, continua hasta |x| = a y no negativa. Pruébese que si |ξ| < a entonces, (a − |ξ|) (a + |ξ|) u(0) ≤ u(ξ) ≤ (a + |ξ|) (a − |ξ|) u(0). 14. (Estimaciones del Gradiente). Sea Ω un dominio acotado de R2 , u armó- nica en Ω y sea B = BR(x0) ⊂ ¯B ⊂ Ω. Prúebese que, |∂iu(x0)| ≤ 2 R sup ∂B |u|, para i = 1, 2. Utilícese para ello que ∂iu es también armónica, junto con la propiead de la media y el teorema de la divergencia. Conclúyase que |∂iu(x0)| ≤ 2 d(x0, ∂Ω) sup Ω |u|. 15. (Teorema de Liouville). Prúebese que si u es armónica y acotada en R2 es entonces constante (aplíquese el problema anterior a bolas con radio creciendo a infinito). 16. Sea u ∈ C∞ (Ω) con x0 ∈ Ω. La serie formal de Taylor de u en x0 se define como ∑ α∈N2 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α , donde α = (α1, α2), α! = α1!α2! y ∂α u = ∂α1 x1 ∂α2 ξ2 u. Prúebese que si u es armónica en un dominio Ω, x0 ∈ Ω, entonces, si BR(x0) ⊂ Ω, u(x) = ∑ α∈N2 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α , (8.29) donde la serie converge absoluta y uniformemente en la tal bola |x−x0| ≤ R. Puede suponerse para ello que x0 = 0 (¿Por qué?), recordar que u es de clase C∞ y que en virtud a la fórmula de Poisson, tenemos: u(x) = a0 + ∑ n≥0 ( r R )n (an cos nθ + bn sen nθ) , (8.30)
- 252. 244 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) que converge absoluta y unifermemente en |x| ≤ R. Utilícese que las su- mas parciales de (8.30) son polinomios, junto con la caracterización del polinomio de Taylor para concluir que (8.30) es en realidad la versión en polares de (8.29). 17. (Principio del Máximo y términos gradiente). Sea u ∈ C2 (Ω) ∩ C(¯Ω) una solución de: ∆u + ∑ ai∂iu = 0, en Ω, donde se supone que los coeficientes ai(x) son acotados en Ω. Prué- bese que: m´ın ∂Ω u ≤ u(x) ≤ m´ax ∂Ω u. 18. (Teorema de Phragmén-Lindelöf). Sea Ω un dominio plano y acotado, (x0, y0) ∈ ∂Ω un punto de su frontera y sea u una función armónica en Ω, continua en ¯Ω execpto quizás en (x0, y0). Supóngase que u(x, y) ≤ M para (x, y) ∈ ∂Ω, (x, y) ̸= (x0, y0). Si se tiene: l´ım (x,y)→(x0,y0) u(x, y) / log { 2R2 ((x − x0)2 + (y − y0)2) } = 0, donde R > 0 es tal que el dominio Ω ⊂ { (x − x0)2 + (y − y0)2 < R2 } . Pruébese que también u(x, y) ≤ M en Ω. Analícese con detalle el ejemplo: u(x, y) = 1 − r2 1 + r2 − 2r cos θ , siendo r y θ las coordenadas polares de (x, y), 0 ≤ r < 1. Indicación. Estúdiese la validez del principio del máximo para la función auxiliar v(x, y) dada por la identidad: u(x, y) = v(x, y) log 2R2 ((x − x0)2 + (y − y0)2) . 19. ¿Es la función ψ(r, θ) = cotag−1 ( 2r sen θ 1 + r2 − 2r cos θ ) , armónica en el disco unidad? Véase Weimberger [26], Sección 25. 20. Sea Arg P la determinación del argumento con discontinuidad en el se- mieje real positivo. Sean A, B puntos de la circunferencia unidad ∂B1. Pruébese que ψ(P) = Arg (P − B) − Arg (P − A) es armónica y acotada en B1. ¿Cuál es su comportamiento en la frontera? Estúdiese con detalle los comportamientos en los puntos A y B.
- 253. 8.4. EJERCICIOS 245 21.Resuélvase los problemas de contorno: a) urr + 1 r ur + 1 r2 uθθ = 0 0 < r < 1 u(1, θ) = sen3 θ + sen θ cos θ 0 ≤ θ ≤ 2π. b) urr + 1 r ur + 1 r2 uθθ = 0 0 < r < 1 u(1, θ) = 1, 0 < θ < π, u(1, θ) = 0, π < θ < 2π. c) ∆u = 0 (x, y) ∈ B4(O) u(x, y) = x4 x2 + y2 = 16. 22. Sea Q el rectángulo 0 ≤ x ≤ l1, 0 ≤ y ≤ l2 y considére una función f = f(x, y) de clase C1 definida en la frontera ∂Q que se anula en los vértices del mismo. Construir la solución del problema de Dirichlet: { ∆u = 0 x ∈ Q u = f x ∈ ∂Q, por el método de separación de variables. 23. Resolver el problema ∆u = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1 u(x, 1) = 0, 0 < x < 1 u(0, y) = u(1, y) = 0, 0 < y < 1 u(x, 0) = 1. 24. Hallar la solución del problema ∆u = y(1 − y) sen3 x en 0 < x < π, 0 < y < 1, bajo condiciones Dirichlet homogéneas. 25. (Función de Green en el rectángulo). Hallar la solución formal del problema ∆u = −F(x, y) en el rectángulo 0 < x < π, 0 < y < A y condiciones Dirichlet homogéneas. 26. Sea G = G((x1, x2), (y1, y2)) la función de Green para el problema de Dirichlet en el círculo unidad. Bajo las equivalencias obvias, comprobar que se puede escribir en la forma, G(z, z1) = −1 2π log |z − z1| + 1 2π log |1 − z¯z1| z, z1 ∈ C, |z|, |z1| < 1. Si, por otra parte, z = g(ζ) es holomorfa en Ω, continua en Ω y aplica biyectivamente Ω en el círculo unidad prúebese que GΩ(ζ, ζ1) = G(g(ζ), g(ζ1)), es una función de Green para el problema de Dirichlet en Ω.
- 254. 246 CAPÍTULO 8.ECUACIÓN DE LAPLACE (N = 2) 27. Prúebese que la función de Green Ga para el problema de Dirichlet en la bola Ba(0) toma la forma: Ga(¯x, ¯y) = G ( ¯x a , ¯y a ) ) = 1 2π [− log |¯x − ¯y| + log | ¯y a ||¯x − ¯y∗ |], donde ¯y∗ = a2 ¯y |¯y|2 es el simétrico de ¯y con respecto a la circunferencia |¯x| = a. 28. Estúdiese el comportamiento de la transformación bilineal ζ = z + a2 z , sobre el círculo |z| < b, b > a > 0. Usar el resultado para determinar la función de Green del problema de Dirichlet en una elipse.
- 255. Capítulo 9 Ecuación deLaplace n–dimensional 9.1. Identidades de Green. Solución fundamental Recordamos que un dominio acotado Ω ⊂ Rn de clase Ck es un abierto y conexo cuya frontera ∂Ω es una superficie de clase Ck mientras Ω está localmente de un sólo lado de la frontera (ver Anexo). Designamos por ν = ν(x) al campo normal unitario exterior (“la normal exterior” para abreviar) a ∂Ω. Lema 9.1. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C1 mientras u, v ∈ C2 (Ω). Entonces (primera identidad de Green), ∫ Ω u∆v = − ∫ Ω ∇u∇v + ∫ ∂Ω u ∂v ∂ν . En consecuencia (segunda identidad de Green), ∫ Ω u∆v − v∆u = ∫ ∂Ω u ∂v ∂ν − v ∂u ∂ν . Una propiedad característica del operador Laplaciano es su invariancia frente a rotaciones en Rn . Es por ello natural estudiar sus soluciones radiales en Rn . Se conoce como solución fundamental de −∆ a una elección normalizada u = Γn(x) de dichas soluciones. Específicamente: Γn(x) = 1 n(2 − n)ωn |x|2−n n ≥ 3 1 2π log |x| n = 2, donde ωn = 2πn/2 nΓ(n/2) es el volumen de la bola unidad en Rn . 247
- 256. 248 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Ejercicio 9.1. Pruébese que para x ∈ Rn 0 se tiene la estimación: |∂α Γn(x)| ≤ C(n, |α|)|x|2−n−|α| . El siguiente resultado permite representar una función C2 en términos de su Laplaciano y diversas expresiones integrales que involucran la solución funda- mental. Teorema 9.2. Sea Ω un abierto acotado y C1 mientras u ∈ C2 (Ω). Entonces, u(x) = ∫ ∂Ω {u(y) ∂Γn(y − x) ∂ν − Γn(y − x) ∂u ∂ν (y)} dSy + ∫ Ω Γn(y − x)∆u(y) dy. (9.1) Observación 9.1. Si Ω es un dominio C1 puede probarse, usando que la función distancia a la frontera d(x) es C1 (ver [13], Cap. 14), que Ωε = {x ∈ Ω : d(x) > ε} es un dominio C1 para ε pequeño. Esto permite relajar en (9.1) la condición u ∈ C2 (Ω) por u ∈ C1 (Ω) ∩ C2 (Ω) junto con ∆u ∈ L1 (Ω). Basta para ello con establecer (9.1) en Ωε y hacer ε → 0+. Observación 9.2. Si Ω ⊂ Rn es un dominio acotado de clase C1 y ρ0 = ρ0(x) ∈ L1 (Ω) la función, V0(x) = ∫ Ω Γn(x − y)ρ0(y) dy, se conoce como potencial de volumen o potencial Newtoniano con densidad ρ0. Si ρ1 ∈ L1 (∂Ω) la función: V1(x) = ∫ ∂Ω Γn(y − x)ρ1(y) dSy, se denomina potencial de capa simple con densidad ρ1 mientras que, V2(x) = ∫ ∂Ω ∂Γn ∂ν (y − x)ρ2(y) dSy, con ρ2 ∈ L2 (∂Ω) define el potencial de capa doble y densidad ρ2. Resulta inmediato comprobar que los potenciales de capa simple y capa doble son funciones armónicas en Ω. Proposición 9.3. Si u ∈ C2 (Ω) es armónica en Ω entonces u es de clase C∞ en Ω Demostración. Tomamos cualquier bola B ⊂ B ⊂ Ω y escribimos, u(x) = ∫ B {u(y) ∂Γn ∂ν − Γn(y − x) ∂u ∂ν (y)} dy, (9.2) con x ∈ B. Tal representación prueba que u ∈ C∞ (B).
- 257. 9.2. PROPIEDADES DELAS FUNCIONES DE GREEN 249 Supongamos que u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) mientras ∆u ∈ L1 (Ω), o más senci- llamente que u ∈ C2 (Ω), donde naturalmente se supone que Ω es un dominio acotado de clase C1 . Admitamos que existe una función h = h(x, y), h : Ω × Ω → R, h(·, y) ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) tal que u = h(·, y) resuelve: { ∆xh(·, y) = 0 en Ω h(· − y) = Γn(· − y) en ∂Ω, (9.3) para cada y ∈ Ω, tenemos entonces de las identidades de Green que para cada x ∈ Ω: 0 = ∫ ∂Ω {u(z) ∂h ∂ν (z, x) − h(z, x) ∂u ∂ν } dSz + ∫ Ω h(z, x)∆u(z) dz. (9.4) Combinando (9.1) y (9.4), u(x) = ∫ ∂Ω {−u(y)} ∂G ∂ν (y, x) dSy + ∫ Ω G(y, x){−∆u(y)} dy, (9.5) donde hemos puesto, G(x, y) = −Γn(x − y) + h(x, y). Se conoce a G como la función de Green para el problema de Dirichlet en el dominio Ω. Supuesto que u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) es una solución clásica del problema, { −∆u = f(x) en Ω u = g(x) en ∂Ω, (9.6) donde, por ejemplo, f ∈ L1 (Ω), entonces la identidad (9.5) permite representar la solución como, u(x) = − ∫ ∂Ω g(y) ∂G ∂ν (y, x) dSy + ∫ Ω G(y, x)f(y) dy x ∈ Ω . (9.7) La expresión sugiere cuál ha de ser el candidato a solución y en efecto (9.7) proporciona la solución de (9.6) cuando concurren condiciones de regularidad adecuadas sobre los datos. Debe observarse el rol que desempeña Γn en la cons- trucción de la función de Green (de ahí el apelativo de solución fundamental). A este respecto conviene revisar las conclusiones del caso del plano n = 2 en el círculo. 9.2. Propiedades de las funciones de Green Algunas consecuencias importantes de la función de Green que se deducen de la definición se reseñan a continuación.
- 258. 250 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Teorema 9.4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio C1 y G = G(x, y) la correspondiente función de Green (del problema de Dirichlet). Entonces, i) G(x, y)+Γn(x−y) ∈ C(Ω×Ω) o también G ∈ C((Ω×Ω)(x, y) : x = y). ii) G(x, y) = G(y, x) para (x, y) ∈ Ω × Ω. En particular G ∈ C(Ω × Ω (x, y) : x = y). iii) G > 0 para x, y ∈ Ω, x ̸= y. iv) Para f ∈ L∞ (Ω) (Ω acotado) se tiene que: ∫ Ω G(x, y)f(y) dy → 0 x → ∂Ω. Demostración. Del principio del máximo se sigue que G(·, yn) → G(·, ¯y) unifor- memente en Ω si yn → ¯y en Ω lo que largamente prueba i). A los efectos de ii) se considera el dominio “perforado” Ωε = Ω (Bε(x1) ∪ Bε(x2)). Aplicando la segunda identidad de Green a la pareja de funciones u(x) = G(x, x1), v(x) = G(x, x2) en Ωε obtenemos, − ∫ |w|=1 { G(x1 + εw, x1)(− ∂G ∂ρ )(x1 + ρw, x2)|ρ=ε − G(x1 + εw, x2)(− ∂G ∂ρ )(x1 + ρw, x1)|ρ=ε } dSw = ∫ |w|=1 { G(x2 + εw, x1)(− ∂G ∂ρ )(x2 + ρw, x2)|ρ=ε − G(x2 + εw, x2)(− ∂G ∂ρ )(x2 + ρw, x1)|ρ=ε } dSw en donde al hacer tender ε → 0+ se deduce G(x1, x2) = G(x2, x1). Para iii) basta aplicar el principio del máximo a u(x) = G(x, y) en ΩBε(y) con ε > 0 convenientemente pequeño. Finalmente, se demostrará en la Sección 9.5 que el problema: { −∆u = 1 x ∈ Ω u = 0 x ∈ ∂Ω, admite una solución clásica v en todo dominio acotado y C1 . En particular (v > 0 en Ω): sup dist(x,∂Ω)≤δ ∫ Ω G(x, y) dy → 0, cuando δ → 0+. De ahí se sigue inmediatamente iv).
- 259. 9.3. ECUACIÓN DELAPLACE EN LA BOLA 251 Observación 9.3. A los efectos de construir funciones de Green en algunos casos prácticos es conveniente usar argumentos de simetría. Supongamos que se conoce la función de Green GΩ(x, y) de un dominio Ω mientras Ω1 ⊂ Ω es un subdomi- nio de Ω para el que existe una aplicación continua e inyectiva g : Ω1 → Ω tal que g(Ω1) ∩ Ω1 = ∅, Ω = g(Ω1) ∪ Σ ∪ Ω1 con Σ = {x : g(x) = x}. Si, GΩ(x, y) = GΩ(g(x), g(y)), para x, y ∈ Ω, se comprueba fácilmente que, G(x, y) = GΩ(x, y) − GΩ(x, g(y)), es la función de Green para el dominio Ω1. Ejemplo 9.4. Aunque el dominio Ω = Rn no se ajusta estrictamente al formato teórico que hemos desarrollado vamos a calcular la función de Green del semi- espacio Ω1 = Rn + = {xn > 0}. Para ello escribimos x = (x′ , xn), x′ ∈ Rn−1 , Σ = {xn = 0} y g la simetría: g(x) = (x′ , −xn). La función de Green –luego precisaremos en qué contexto– para el semiespacio será: G(x, y) = −Γn(x − y) + Γn(x − g(y)). Véanse más ejemplos en la sección de Ejercicios. 9.3. Ecuación de Laplace en la bola La identidad (9.7) junto con las ideas del capítulo anterior nos llevarán a la solución u de: { ∆u = 0 en B u = g(x) en ∂B, (9.8) con B = {x : |x| < R}. El candidato natural a función de Green es: G(x, y) = −Γn(x − y) + Γn( |y| R (x − y∗ )), donde y∗ = R2 y |y|2 es el simétrico de y con respecto a la esfera {|y| = R}. Si Γn(s) = (1/2π) log s para n = 2, Γn(s) = (1/n(2 − n)ωn)s2−n cuando n ≥ 2 entonces una escritura conveniente para G es la que sigue: G(x, y) = −Γn( √ |x|2 + |y|2 − 2xy) + Γn( √ (|x||y|/R) 2 + R2 − 2xy). Nótese que G es simétrica. La expresión para ∂G/∂ν es: ∂G ∂ν (x, y) |x|=R = − n∑ i=1 ∂G ∂xi (x, y) |x|=R νi = − n∑ i=1 ∂G ∂xi (x, y) |x|=R xi R .
- 260. 252 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Por tanto (n ≥ 3): ∂G ∂ν (x, y) = − 1 nωnR R2 − |y|2 |x − y|n . Si u ∈ C2 (B) ∩ C1 (B) es una solución clásica del problema de Dirichlet (9.8) entonces u se puede representar como: u(x) = R2 − |x|2 nωnR ∫ |y|=R g(y) |y − x|n dSy x ∈ B. (9.9) Sin embargo, si u ∈ C2 (B) ∩ C(B) (no llega C1 hasta el borde) entonces para |x| < R − ε con ε > 0 pequeño tenemos, u(x) = (R − ε)2 − |x|2 nωnR ∫ |y|=R−ε u(y) |y − x|n dSy x ∈ B. (9.10) Volvemos a obtener (9.9) si hacemos ε → 0+ en (9.10). Más aún, (9.9) define la solución clásica del problema de Dirichlet (9.8). Teorema 9.5 (Fórmula de Poisson). Para g continua y arbitraria, la función u(x) = R2 − |x|2 nωnR ∫ |y|=R g(y) |y − x|n dSy x ∈ B, extendida a ∂B con el valor g define la solución clásica del problema (9.8). Observación 9.5. En la prueba hay dos hechos básicos para probar la continui- dad de u hasta la frontera (es obvio que u en (9.9) es armónica en B). Primero, −∂G/∂ν ≥ 0. Segundo, la unicidad de soluciones clásicas implica que: 1 = R2 − |x|2 nωnR ∫ |y|=R dSy |y − x|n x ∈ B. 9.4. Funciones armónicas: propiedades Se recuerda que u ∈ C2 (Ω) es armónica (r. subarmónica, superarmónica) en Ω si −∆u = 0 (r. ≤ 0, ≥ 0) en Ω. Como en el caso del plano se demuestra a partir de la integral de Poisson que toda función armónica cumple las propiedades de la media, es decir: u(x) = 1 nωnRn−1 ∫ |y|=R u(y) dSy, junto con: u(x) = 1 ωnRn ∫ |y|≤R u(y) dy. Más generalmente, se tiene el,
- 261. 9.4. FUNCIONES ARMÓNICAS:PROPIEDADES 253 Teorema 9.6. Sea u ∈ C2 (Ω) armónica (r. subarmónica, superarmónica) en Ω. Entonces para toda bola B ⊂ Ω se tienen (respectivamente): u(x) = (≤, ≥) 1 nωnRn−1 ∫ |y|=R u(y) dSy, junto con, u(x) = (≤, ≥) 1 ωnRn ∫ |y|≤R u(y) dy. Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado. Teorema 9.7 (Principio fuerte del máximo). Si u ∈ C2 (Ω) es subarmónica en Ω, M = supΩ u y existe x0 ∈ Ω tal que u(x0) = M entonces u = M sobre la componente conexa C de x0 en Ω. Observación 9.6. De la prueba se deduce fácilemente que toda función continua que satisfaga la propiedad de la media cumple también el principio fuerte del máximo. Se tiene además la siguiente caracterización. Proposición 9.8. Una función continua u ∈ C(Ω) en un abierto Ω es armónica si y sólo si satisface la propiedad de la media. El siguiente resultado es sumamente útil en muchas direcciones. Particular- mente para demostrar que toda sucesión acotada de funciones armónicas define una familia normal. Teorema 9.9 (Estimaciones del gradiente). Si u ∈ C2 (Ω) es armónica enton- ces, |∂α u(y)| ≤ ( n|α| dy )|α| sup Ω u, con dy = dist (y, ∂Ω). En particular, para todo subdominio Ω′ ⊂ Ω′ ⊂ Ω se tiene, |∂α u(y)| ≤ ( n|α| d )|α| sup Ω u, (9.11) con d = dist (Ω′ , ∂Ω). La observación siguiente podía haberse obtenido ya directamente de la re- presentación (A) (9.2) de las funciones armónicas. Teorema 9.10. Si u ∈ C2 (Ω) es armónica en Ω entonces u es real analítica en Ω. Demostración. Tomamos B2R(x0) ⊂ Ω, M una cota de |u| en dicha bola. La serie de Taylor (u es C∞ ) converge absolutamente en |x−x0| ≤ θR si 0 < θ < 1 es pequeño. En efecto: ∑ α 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α ≪ M ∑ α |α|! α! (nθ|α|)|α| |α|! = M ∞∑ m=0 mm m! (n2 θ)m .
- 262. 254 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Nótese que para cierto η > 0, M ∞∑ m=m0 mm m! (n2 θ)m ≤ (1 + η)M ∞∑ m=m0 (n2 eθ)m √ 2πm < +∞, supuesto que n2 eθ < 1. Por otro lado el resto de orden N en |x − x0| ≤ θR se comporta de la forma siguiente, ∑ |α|=N 1 α! ∂α u(x0 + ζ(x − x0))(x − x0)α ≪ M ∑ |α|=N (n2 θ)N NN N! ∼ (n2 eθ)N √ 2πN → 0, cuando N → ∞, supuesto como arriba que n2 eθ < 1. Esto concluye la demos- tración. Una consecuencia combinada del teorema de Ascoli-Arzela, de las estimacio- nes (9.11) y de un proceso diagonal de Cantor es el siguiente teorema de tipo Montel. Teorema 9.11. Si un ∈ C2 (Ω) es una sucesión de funciones armónicas en un abierto Ω con la propiedad de que supΩ |un| ≤ M para cierta constante M > 0 entonces un admite una subsucesión que converge en la topología compacta abierta de Ω a una función u ∈ C2 (Ω) que es también armónica en Ω. El siguiente resultado se conoce como desigualdad de Harnack para funciones armónicas. Teorema 9.12. Sea u ∈ C2 (Ω), u ≥ 0 una función armónica en Ω. Entonces, para todo subdominio acotado Ω′ ⊂ Ω′ ⊂ Ω existe una constante C = C(Ω′ , Ω) tal que: sup Ω′ u ≤ C´ınf Ω′ u. Una consecuencia del mismo es el siguiente resultado que también lleva aso- ciado el nombre de Harnack. Teorema 9.13. Sea un ∈ C2 (Ω) una sucesión creciente de funciones armónicas en Ω para la que existe y ∈ Ω tal que un(y) está acotada. Entonces un converge en la topología compacta abierta de Ω a una función armónica u ∈ C2 (Ω). 9.5. Problema de Dirichlet: dominios generales Queremos estudiar la existencia de soluciones clásicas de { ∆u = 0 en Ω u = g(x) en ∂Ω, (9.12) donde Ω ⊂ Rn es un dominio acotado completamente general, salvo algunas restricciones en la frontera. El método que vamos a describir requiere la intro- ducción de una noción más general de función subarmónica (r. superamónica) que el que se ha considerado.
- 263. 9.5. MÉTODO DEPERRON 255 Definición 9.14. Una función continua u ∈ C(Ω) se dice subarmónica si para toda bola B ⊂ Ω y toda función armónica h en B, h ∈ C2 (B) ∩ C(B) con u ≤ h en ∂B se tiene u ≤ h en B. La noción de función superarmónica se establece invirtiendo las desigualda- des. Proposición 9.15. Sea u ∈ C(Ω) subarmónica en Ω. Entonces, i) Para toda bola B ⊂ Ω se tiene u ≤ uB donde v = uB es la solución clásica del problema de Dirichlet: { ∆v = 0 en B v = u en ∂B. ii) Para toda bola B = BR(x0) ⊂ Ω se tiene: u(x0) ≤ 1 |Br(x0)| ∫ BR(x0) u(y) dy. En particular, toda función subarmónica cumple el principio fuerte del máximo. iii) Sean u, v ∈ C(Ω) funciones sub y superarmónicas en Ω tales que u ≤ v en ∂Ω. Entonces, o bien u = v en Ω o bien u < v en Ω. iv) Dada una función subarmónica u en Ω una bola arbitraria B ⊂ Ω y la función uB considerada en i) se tiene que la función: U(x) = { uB(x) x ∈ B u(x) x ∈ Ω B es también subarmónica en Ω. Supongamos que el dato g ∈ L∞ (∂Ω). Se dice que u ∈ C(Ω) es una subfun- ción (“unterfunktion”) para el problema de Dirichlet (9.12) si u es subarmónica y además u ≤ g en ∂Ω. De manera simétrica se define la noción de superfunción (“oberfunktion”). Proposición 9.16. Si u, ¯u ∈ C(Ω) son una subfunción y una superfunción arbitrarias del problema de Dirichlet (9.12) entonces toda solución clásica u ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω) de dicho problema satisface: u ≤ u ≤ ¯u, en Ω. El resultado crucial es el siguiente.
- 264. 256 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Teorema 9.17 (O. Perron). Supongamos que g = g(x) es acotada en ∂Ω y definamos: S = {v ∈ C(Ω) : v es subarmónica en Ω , v ≤ g en ∂Ω}. Entonces: ˆu = sup v∈S v, es armónica en Ω. De manera análoga la expresión ˜u = ´ınf v∈U v, con U = {v ∈ C(Ω) : v es superarmónica en Ω , v ≥ g en ∂Ω} también define una función armónica. Cuando g ∈ C(∂Ω) toda solución clásica u ∈ C(Ω) ∩ C2 (Ω) del problema (9.12) ha de satisfacer ˆu ≤ u ≤ ˜u. La cuestión es saber cuándo es cierto que l´ımx→x0 ˆu(x) = g(x0) para x0 ∈ ∂Ω. Responder a esta pregunta pasa por introducir la noción de función barrera de H. Poincaré y de punto regular x0 ∈ ∂Ω. Definición 9.18. Un punto x0 ∈ ∂Ω se dice regular para el operador Laplaciano si existe una función barrera en x0. Es decir, existe una función superarmónica w = w(x) ∈ C(Ω) con la propiedad de que w > 0 en Ω x0 mientras w(x0) = 0. Lema 9.19. Sea Ω ⊂ Rn un dominio, x0 ∈ ∂Ω un punto que admite una barrera local, es decir existe una bola centrada en x0, w ∈ C(B ∩ Ω), w superamónica en B ∩Ω con w(x0) = 0 y w > 0 en B ∩Ωx0. Entonces, para toda bola B′ ⊂ B centrada en x0, w|B′ admite una extensión w a Ω que es una función barrera en x0. Demostración. Basta definir (m = ´ınfBB′ w): w(x) = { m´ın(m, w(x)) x ∈ B′ m x ∈ Ω B′ . Se comprueba que w es una barrera en x0. Lema 9.20. Sea Ω ⊂ Rn y g ∈ L∞ (∂Ω) continua en x = x0. Si x0 admite una función barrera y ˆu es la función armónica construida en el Teorema de Perron entonces l´ım x→x0 ˆu(x) = g(x0). Se tiene además lo siguiente. Teorema 9.21. Sea Ω un dominio acotado de Rn mientras la función g es continua en ∂Ω. El problema de Dirichlet (9.12) admite una solución clásica si y sólo si todos los puntos de la frontera ∂Ω son regulares.
- 265. 9.5. MÉTODO DEPERRON 257 Observaciones 9.7. a) La condición de punto regular para un dominio Ω del plano no es demasiado restrictiva. En efecto, la geometría de los puntos regulares es muy “permisiva” pues basta con que un punto x0 ∈ ∂Ω sea accesible desde Ω R2 , es decir el extremo de una arco γ contenido en R2 Ω para que exista una barrera. En efecto, para B centrada en x0 pequeña podemos construir una determinación θ del argumento en B ∩ Ω. Una función barrera local es: w = − log r log2 r + θ2 , con r = |x − x0|. Este tipo de función barrera permite concluir que el problema de Dirichlet es resoluble en todo dominio plano en el que ninguna componente coneza de R2 Ω se reduzca a un punto (esta condición geométrica es necesaria y suficiente para la resolubiliad del problema de Dirichlet, ver [4]). b) En n ≥ 3 la geometría de los puntos regualres es más sutil. Cuando x0 ∈ ∂Ω yace en una esfera {x : |x − y| = R} donde BR(y) x0 ⊂ Rn Ω, una barrera local es: w(x) = R2−n − |x − y|2−n . Hay otras condiciones geométricas sencillas que bastan para la existencia de una barrera local en x = x0. Si Ω es un dominio acotado y C1 todos los puntos de la frontera ∂Ω satisfacen la condición del “cono exterior” por lo que se puede asegurar que son regulares (véanse los Ejercicios). c) N. Wiener caracterizó en 1924 la “cantidad” necesaria de “espacio” fuera de Ω, y en las proximidades de x0 para que exista una barrera local. El siguiente ejemplo se debe a H. Lebesgue (1913). Describe la geometría típica de un punto “no regular”. Teorema 9.22 (Lebesgue). En R3 I, I = {(0, 0, z) : 0 ≤ z ≤ 1} se considera la función: v(x, y, z) = ∫ 1 0 ds √ x2 + y2 + (z − s)2 . Se define el dominio, Ω = { √ x2 + y2 + z2 < 1} ∩ {v(x, y, z) < 1 + c}, donde c > 0. Entonces (0, 0, 0) es un punto no regular para el problema de Dirichlet en Ω. Observación 9.8. Se tiene en realidad que v es armónica en R3 I mientras v toma el valor v = 1 + (c − ε) en superficies Sε dentro de Ω que pasan por (0, 0, 0) formando allí una cúspide simétrica con respecto al eje 0z. Eso quiere decir que el problema de Dirichlet (9.12) con dato g(x) = v(x) en ∂Ω carece de soluciones clásicas. En efecto, v no lo es porque ni siquiera es continua en
- 266. 258 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) (0, 0, 0). El esfuerzo de la prueba reside en demostrar que si u es una solución clásica de, { ∆u = 0 en Ω u = v en ∂Ω. entonces u = v en Ω lo que contradice la hipótesis de que u sea una solución clásica. Observación 9.9. Como corolario de la sección hemos establecido que todo do- minio Ω ⊂ Rn acotado y C1 admite una función de Green G = G(x, y). Debe advertirse sin embargo que los métodos desarrollados no aseguran la regularidad C1 de G hasta la frontera. Esta clase de información requiere un tratamiento más elaborado (cf. [13]). 9.6. El semiespacio El problema de Dirichlet cuando Ω = Rn+1 + es resoluble con unicidad si imponemos condiciones de crecimiento en el infinito a las soluciones. En la Sec- ción 9.2 ya se obtuvo una función de Green formal en Ω = Rn+1 + . El siguiente resultado establece condiciones de existencia y unicidad para el problema de Dirichlet. Teorema 9.23. Para cada φ ∈ Cb(Rn ) el problema de Dirichlet, { ∆u = 0 (x, xn+1) ∈ Rn+1 + u = φ (x, 0) ∈ ∂Rn+1 + , admite una única solución acotada u ∈ C2 (Rn+1 + ) ∩ Cb({xn+1 ≥ 0}) que viene dada explícitamente por la expresión, u(x, t) = 2t (n + 1)ωn+1 ∫ Rn φ(y) |(x − y, t)|n+1 dy. Demostración. La unicidad es consecuencia de combinar el teorema de Liouville y el principio de reflexión de Schwartz en xn+1 = 0 (véanse los Ejercicios). Por otro lado, usando: G(ξ, η) = −Γ2(ξ − η) + Γ2(ξ − η∗ ), donde ξ = (x, xx+1), η = (y, yn+1), η∗ = (y, −yn+1) podemos proponer “formal- mente” a: u(ξ) = − ∫ Rn ∂G ∂ν (ζ, ξ)φ(ζ) dSζ = ∫ Rn ∂G ∂yn+1 (ζ, ξ)|yn+1=0φ(y, 0) dy, (9.13) como solución del problema. Se tiene: ∂G ∂yn+1 ((y, 0), (x, t)) = 1 (n + 1)ωn+1 2t |(x − y, t)|n+1 .
- 267. 9.7. LA ECUACIÓNDE POISSON 259 y dicha derivada es armónica en (x, t) (es a su vez la derivada de una función armónica). La función subintegral en (9.13) es integrable para φ ∈ L∞ arbitraria pues, 1 (n + 1)ωn+1 ∫ Rn 2t |(x − y, t)|n+1 dy = 2nωn (n + 1)ωn+1 ∫ ∞ 0 ρn−1 (ρ2 + 1) n+1 2 dρ = Γ((n + 1)/2 √ πΓ(n/2) ∫ ∞ 0 z n 2 −1 (z + 1)− n+1 2 dz = Γ((n + 1)/2 √ πΓ(n/2) ∫ 1 0 t 1 2 −1 (1 − t) n 2 −1 dt = Γ((n + 1)/2 √ πΓ(n/2) B( 1 2 , n 2 ) = 1. Finalmente, para la continuidad hasta la frontera sea x0 ∈ Rn un punto de continuidad de φ y, con ε > 0 pequeño, supóngase |φ(x)−φ(x0)| ≤ ε 2 si |x−x0| ≤ δ (δ > 0). La positividad del núcleo permite establecer: |u(x, t) − φ(x0)| ≤ ε 2 + 2t (n + 1)ωn+1 ∫ |y−x|≥ δ 2 |φ(y) − φ(x0)| |(x − y, t)|n+1 dy ≤ ε 2 + 2t (n + 1)ωn+1 ∫ |y−x|≥ δ 2 2K |(x − y, t)|n+1 dy ≤ ε 2 + 2t (n + 1)ωn+1 ∫ |z|≥ δ 2t 2Ktn tn+1{|z|2 + 1} n+1 2 dz ≤ ε, si |x−x0| ≤ δ y t es lo suficientemente pequeño como para que la última integral sea inferior a ε/2 (K ha designado una cota de φ). 9.7. La ecuación de Poisson Nos ocupamos ahora de investigar condiciones suficientes para la existencia de soluciones clásicas del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson: { −∆u = f x ∈ Ω u = g x ∈ ∂Ω. (9.14) La idea principal es eliminar el término f de la ecuación utilizando el potencial de volumen Vf : Vf (x) = ∫ Ω Γn(x − y)f(y) dy. En el caso plano, el problema quedó esencialmente zanjado en los siguientes términos: a) no basta la continuidad de f para la existencia de soluciones clási- cas, b) el problema admite soluciónque si f es de clase C1 en Ω. En el presente capítulo vamos a llegar un poco más lejos en el sentido que relajaremos las condiciones de regularidad sobre f.
- 268. 260 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) A tal efecto conviene introducir la siguiente definición. Se dice que f : Ω ⊂ Rn → R es Hölder continua de exponente α ∈ (0, 1] en el punto x0 ∈ Ω si: [f]α,x0 := sup |x−x0|≤δ,x̸=x0 |f(x) − f(x0)| |x − x0|α < +∞, para cierto δ > 0. Diremos que f es localmente Hölderiana de exponente α ∈ (0, 1] en Ω, lo que denotaremos f ∈ Cα (Ω), si para todo subdominio acotado Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω se tiene que: [f]α,Ω1 := sup x,y∈Ω1,x̸=y |f(x) − f(y)| |x − y|α < +∞. En todo lo que resta de sección Ω denotará un dominio acotado de Rn . La primera propiedad del potencial de volumen es el siguiente, Lema 9.24. Sea f ∈ L∞ (Ω). Entonces Vf ∈ C1 b (Rn ). Además, ∂iVf (x) = ∫ Ω ∂iΓn(x − y)f(y) dy 1 ≤ i ≤ n. Para llegar a clase C2 necesitamos un poco más de regularidad, a saber, Lema 9.25. Si f ∈ Cα (Ω) ∩ L∞ (Ω), 0 < α ≤ 1, entonces el potencial Vf ∈ C2 (Ω). Además: ∂ijVf (x) = ∫ Ω0 ∂ijΓn(x − y)(f(y) − f(x)) dy − f(x) ∫ ∂Ω0 ∂iΓn(x − y)νj(y) dSy , i, j ∈ 1, . . . , n, x ∈ Ω, donde Ω ⊂ Ω ⊂ Ω0 es un dominio regular que contiene a Ω. Finalmente, ∆Vf = f. Observación 9.10. Si bien es necesario algo más que continuidad en f para tener Vf ∈ C2 (Ω) se demuestra en cambio que Vf es más regular que C2 . En efecto, si 0 < α < 1 entonces Vf ∈ C2,α (Ω), es decir todas las derivadas segundas ∂ijVf de Vf son Hölderianas en Ω: ∂ijVf ∈ Cα (Ω) para i, j ∈ {1, . . . , n}. Una consecuencia inmediata del Lema 9.25 es el siguiente resultado de exis- tencia para el problema de Dirichlet. Teorema 9.26. Sea Ω un dominio acotado de Rn para el que todos los puntos de ∂Ω son regulares mientras f ∈ Cα (Ω)∩L∞ (Ω) con 0 < α ≤ 1. Entonces para toda g ∈ C(∂Ω) el problema (9.14) admite una solución clásica u ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω). La demostración del Lema 9.24 es consecuencia del siguiente resultado de diferenciación de integrales singulares uniformemente convergentes.
- 269. 9.7. LA ECUACIÓNDE POISSON 261 Lema 9.27. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado de Rn , G ∈ C((Ω × Ω) {(x, y) : x = y}). Supongamos además que para cada x ∈ Ω la función G(x, ·) ∈ L1 (Ω) y tiene una singularidad uniformemente integrable en y = x. Es decir: ∫ Bε(x)∩Ω |G(x, y)| dy → 0+, (9.15) uniformemente en x ∈ Ω cuando ε → 0+. Entonces, para toda f ∈ L∞ (Ω) la función, F(x) = ∫ Ω G(x, y)f(y) dy, es continua en Ω. Ejemplo 9.11. El núcleo de Riesz: G(x, y) = C |x − y|α , x, y ∈ Rn , α > 0, satisface las condiciones del Lema 3 para α < n. Demostración del Lema 9.27. Usaremos el teorema de la convergencia domina- da (la demostración que se da en [10] es, a nuestro juicio, substancialmente maś complicada). Para ε > 0 introducimos (χ denota la función característica): Fε(x) = ∫ Ω χ{|y−x|>ε}G(x, y)f(y) dy. De la hipótesis de continuidad sobre G se tiene la existencia de una constante M = M(ε) tal que, |χ{|y−x|≥ ε 2 }G(x, y)f(y)| ≤ M|f|∞ para todo x ∈ Ω y casi todo y ∈ Ω. Por otro lado, si xn → x0 en Ω es inmediato que χ{|y−xn|>ε}G(xn, y)f(y) → χ{|y−x0|>ε}G(x0, y)f(y), ∀ c. t. y ∈ Ω. En efecto, |y − x0| > ε (respectivamente, |y − x0| < ε) conlleva |y − xn| > ε (r. |y − x0| < ε) para n ≥ n0. En el primer caso: χ{|y−xn|>ε}G(xn, y)f(y) = G(xn, y) → G(x0, y) = χ{|y−x0|>ε}G(x0, y)f(y), en el segundo, χ{|y−xn|>ε}G(xn, y)f(y) = χ{|y−x0|>ε}G(x0, y)f(y) = 0 para n ≥ n0. Por tanto, Fε es continua en Ω. Finalmente es obvio que Fε → F uniformemente en Ω cuando ε → 0+, lo que prueba la continuidad de F. En cuanto a la diferenciabilidad de integrales singulares uniformemente in- tegrables tenemos lo siguiente.
- 270. 262 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Lema 9.28. Supongamos n ≥ 2 y sea G = G(x, y) ∈ C(Ω × Ω ∆) con ∂G ∂xi ∈ C(Ω × Ω ∆), ∆ = {(x, y) : x = y}, funciones uniformemente integrables en el sentido del Lema 9.27. Entonces para f ∈ L∞ (Ω) la función: F(x) = ∫ Ω G(x, y)f(y) dy, es continuamente derivable con respecto a xi en Ω y ∂iF(x) = ∫ Ω ∂xi G(x, y)f(y) dy. En general, si existen las derivadas parciales ∂α x G en x ̸= y siendo las ∂α x G ∈ C(Ω × Ω ∆) uniformemente integrables para |α| ≤ k entonces F ∈ Ck (Ω) y ∂α F(x) = ∫ Ω ∂α x G(x, y)f(y) dy. Demostración. Fijemos x0 ∈ Ω y definamos Fi(x) = ∫ Ω ∂xi G(x, y)f(y) dy. Del lema 3 sabemos que Fi ∈ C(Ω). Por otro lado para h ∈ R suficientemente pequeño y designando por [x0, x0 + hei] = {x0 + shei : 0 ≤ s ≤ 1} tenemos la cadena de identidades: ∫ h 0 Fi(x0 + sei) ds = ∫ h 0 ∫ Ω ∂xi G(x0 + shei, y)f(y) dyds = ∫ h 0 ∫ Ω[x0,x0+hei] ∂xi G(x0 + shei, y)f(y) dyds = ∫ Ω[x0,x0+hei] { ∫ h 0 ∂xi G(x0 + shei, y) ds}f(y) dy = ∫ Ω[x0,x0+hei] G(x0 + hei, y)f(y) dy− ∫ Ω[x0,x0+hei] G(x0, y)f(y) dy = ∫ Ω G(x0 + hei, y)f(y) dy − ∫ Ω G(x0, y)f(y) dy = F(x0 + hei) − F(x0), en las que el intercambio de integrales iteradas viene avalado por el teorema de Fubini. Lo que se ha probado entonces es que ∂iF(x0) = Fi(x0). La demostración del resto de las afirmaciones es rutinaria.
- 271. 9.7. LA ECUACIÓNDE POISSON 263 Observación 9.12. La restricción n ≥ 2 del lema está implícita en el hecho de que el segmento [x0, x0 + hei] tiene medida de Lebesgue cero en Rn para n ≥ 2. Más aún, el resultado es significativamente falso en dimensión n = 1. En efecto, si Ω = (a, b) y tomamos como núcleo G(x, y) = θ(x − y) la función de Heaviside resulta ∂G ∂x = 0 para x ̸= y. Pero además para f ∈ L∞ (a, b): F(x) = ∫ b a θ(x − y)f(y) dy = ∫ x a f(y) dy, la cual en general no es diferenciable en la totalidad de los puntos de (a, b). Ejemplo 9.13 (Solución fundamental de la ecuación del calor). Tomemos U(x, t) = 1 ( √ 4πt) e− |x|2 4t , si t > 0, U(x, t) = 0 si t ≤ 0 pero (x, t) ̸= (0, 0). Para QT = {0 < t < T} (T > 0), f ∈ L∞ (Q) formamos u(x, t) = ∫∫ QT U(x − ξ, t − τ)f(ξ, τ) dξdτ = ∫ t 0 ∫ Rn U(x − ξ, t − τ)f(ξ, τ) dξdτ. La función u es continua pues ∫ t t−δ ∫ |ξ−x|<δ U(x − ξ, t − τ)|f(ξ, τ)| dξdτ → 0 uniformemente en (x, t) cuando δ → 0+. Además u ∈ C1,0 (QT ) con derivadas: ∂xi u = ∫∫ QT ∂xi U(x − ξ, t − τ)f(ξ, τ) dξdτ, pues ∫ t t−δ ∫ |ξ−x|<δ ∂xi U(x − ξ, t − τ)|f(ξ, τ)| dξdτ → 0 uniformemente en (x, t) cuando δ → 0+. En efecto esta última integral se con- trola por C ∫ t t−δ ∫ |ξ−x|<δ |xi − ξ| (t − τ) e− |x−ξ|2 4t dξdτ (t − τ)n/2 ≤ C ∫ δ 0 ∫ |y|≤ δ√ s 1 √ s yie− 1 4 |y|2 dydτ ≤ C ∫ δ 0 ds √ s . Si f ∈ C1,0 (QT ) con derivadas espaciales ∂xi f ∈ L∞ (QT ) entonces u es C2,1 con derivadas de segundo orden: ∂2 xixj u = 1 πn/2 ∫ t 0 ∫ Rn yi √ t − τ e−|y|2 ∂xj f(x + 2y √ t − τ, τ) dydτ.
- 272. 264 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) Para ello es mejor transvasar la x a f en la integral, después derivar f con respecto a xi, reescribir la derivada como una derivada con respecto a ξi integrar por partes y cargar la derivada a la exponencial. Todo esto da: ∂xi u = 1 πn/2 ∫ t 0 ∫ Rn yi √ t − τ e−|y|2 f(x + 2y √ t − τ, τ) dydτ. Esta expresión ya está preparada para ser derivada una vez más. Además las derivadas resultantes cumplen ∂2 xixj ∈ L∞ (QT ). 9.8. Ejercicios 1. Obtener la función de Green para el problema de Dirichlet en los siguientes dominios de Rn : a) La semiesfera de Rn , Ω = Ba(0) ∩ {xn > 0}. b) En R3 , el octante x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0. c) En R3 , el octante de esfera Ω = Ba(0) ∩ {x1, x2, x3 > 0}. 2. Dése una definición adecuada para la función de Green y el problema de Neumann en un dominio acotado y C1 de Rn , justificando la definición con la correspondiente fórmula de representación de soluciones del problema. A tal efecto seguir la siguiente guía de instrucciones. a) Probar que si u ∈ C2 (Ω) es una solución clásica del problema: ∆u = f x ∈ Ω ∂u ∂ν = g x ∈ ∂Ω, (N) entonces: ∫ Ω f = ∫ ∂Ω g. (C) Utilizar libremente en lo que sigue que (C) es también condición suficien- te para la existencia de al menos una solución clásica del problema de Neumann (N). b) Pruébese que: ∫ ∂Ω ∂Γn ∂ν (y − x) dSy = 1, x ∈ Ω. c) Determínese la constante α ∈ R para que el problema: ∆h = f x ∈ Ω ∂h ∂ν = Γn(· − y) − α x ∈ ∂Ω, (A) admita al menos una solución h1 = h1(x, y).
- 273. 9.8. EJERCICIOS 265 d)Sea h1 una cualquiera de las soluciones clásicas del problema (A). Fórmese la función: G1(x, y) = −Γn(x − y) + h1(x, y). Demuéstrese que toda solución clásica (prescindimos deliberadamente de los detalles de regularidad) del problema (N), supuesto que exista (ver 1)) se puede representar en la forma: u(x) = 1 |∂Ω|n−1 ∫ ∂Ω u(y) dSy + ∫ ∂Ω G1(y, x) ∂u ∂ν (y) dSy − ∫ Ω G1(y, x)∆u(y) dy , x ∈ Ω, es decir: u(x) = 1 |∂Ω|n−1 ∫ ∂Ω u(y) dSy + ∫ ∂Ω G1(y, x)g(y) dSy − ∫ Ω G1(y, x)f(y) dy . De la fórmula de representación (G) se deduce las únicas soluciones para f = 0 y g = 0 son las constantes. Otra conclusión es que si f y g cumplen la condición de compatibilidad de existencia de soluciones, existe una única solución de (P) con promedio fijado. 3. Pruébese el teorema de representación de Green en el plano, a saber, si u ∈ C2 (Ω) donde Ω es acotado y C1 , entonces se tiene que: u(y) = ∫ ∂ ( u(x) ∂Γ2 ∂ν (x − y) − Γ2(x − y) ∂u ∂ν (x) ) dsx + ∫ Ω Γ(x − y)∆u(x) dx, siendo Γ2(z) = 1 2π log |z| la solución fundamental del Laplaciano en el plano. 4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio que es simétrico con respecto al plano xn = 0 con sección no vacía T en el hiperplano xn = 0. Denotemos x = (x′ , xn), x′ ∈ Rn−1 , Ω+ = Ω ∩ {xn > 0}, Ω− = {(x′ , −xn) : x ∈ Ω+ }. Demuéstrese (principio de reflexión de Schwarz) que toda función u ∈ C2 (Ω+ )∩C(Ω+), armónica en Ω+ se extiende a una única función armónica en Ω. Indicación. Usar el teorema de la media. 5. Sea u armónica y no negativa en la bola BR(0) (continua hasta la frontera). De la integral de Poisson demuéstrese la desigualdad de Harnack, Rn−2 (R − |x|) (R + |x|)n−1 u(0) ≤ u(x) ≤ Rn−2 (R + |x|) (R − |x|)n−1 u(0).
- 274. 266 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) 6. Demuéstrese que u ∈ C(Ω) es subarmónica en Ω si y sólo si satisface localmente la desigualdad del valor medio, es decir ∀y ∈ Ω, ∃δ = δ(y) > 0 tal que: u(y) ≤ 1 nωnRn−1 ∫ ∂BR(y) u(y) dSy, para cada 0 < R ≤ δ. 7. Usar las ideas del capítulo para probar que si u es armónica en Ω ⊂ Rn se tiene la estimación interior del gradiente en x0 ∈ ∂Ω: |∂iu(x0)| ≤ n d0 (u(x0) −´ınf Ω u) d0 = dist (x0, ∂Ω). Análogamente, |∂iu(x0)| ≤ n d0 (sup Ω u − u(x0)) d0 = dist (x0, ∂Ω). Pruébese que: |∂iu(x0)| ≤ n d0 u(x0) d0 = dist (x0, ∂Ω) si u ≥ 0. 8. Pruébese (teorema de Liouville) que toda función armónica en Rn y aco- tada superiormente es constante. 9. Singularidades evitables. Sea u ∈ C2 (BR(0)0)∩C(BR(0)0) una función armónica tal que u = 0 en {|x| = R} mientras, u(x) = o(Γn(x)), cuando x → 0. Demuéstrese que u = 0 en BR(0) 0. Como corolario pruébese que si u ∈ C2 (Ω x1, . . . , xN ) es armónica junto con u(x) = o(Γn(x − xi)) cuando x → xi, para cada i ∈ {1, . . . , N} entonces u ad- mite una única extensión armónica a Ω. Finalmente, demuéstrese que el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace está mal propuesto en toda región G de la forma G = Ω x1, . . . , xN donde Ω es un abierto de Rn y {x1, . . . , xN } es una familia finita de puntos de Ω. Indicación. Seguir las ideas del Capítulo ?? (anterior). 10. Se considera la solución clásica u ∈ C2 (B) ∩ C( ¯B), donde B = BR(0), del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace: { ∆u = F(x) x ∈ B u(x) = G(x) x ∈ ∂B, siendo F y G funciones continuas y radiales: F(x) = f(|x|), G(x) = g(|x|) para sendas funciones f y g. Demuéstrese que también u(x) es radial.
- 275. 9.8. EJERCICIOS 267 Obténgasela misma conclusión en un anillo Aa,b = {a < |x| < b}. En el mismo género de ideas, demuéstrese que si f = f(x) es radial, en Ω ⊂ Rn (luego Ω es una bola o un anillo) entonces el correspondiente potencial de volumen V (x) = ∫ Ω Γ(x − y)f(y) dy es también radial. Pruébese que si n = 3 y si f es constante en el anillo Aa,b entonces ∇V = 0 dentro de la cavidad |x| < a. 11. En una región Ω del espacio R3 se considera una distribución de masas con densidad f(y), que supondremos acotada, e. d. f ∈ L∞ (Ω). Por tanto, la masa neta de Ω resultará ser: M = ∫ Ω f(y) dy. Si se considera el potencial newtoniano con densidad f V (x) = −4πG ∫ Ω Γ3(x − y)f(y) dy = G ∫ Ω f(y) |x − y| dy, donde Γ3 representa la solución fundamental del laplaciano, pruébese que V (x) ∼ GM |x| uniformemente cuando |x| → ∞. ¿Qué conclusión se puede sacar de este resultado? 12. Consideremos la sucesión de problemas de Dirichlet: { ∆u = 0 x ∈ Ω u(x) = gn(x) x ∈ ∂Ω, donde Ω es un dominio acotado de Rn y {gn} es una sucesión de funciones continuas en ∂Ω tal que gn → g uniformemente en ∂Ω. Supongamos que cada (Pn) admite la solución clásica un ∈ C2 (Ω) ∩ C(¯Ω). Utilizar la suce- sión {un} para establecer la existencia de la solución clásica del problema límite: { ∆u = 0 x ∈ Ω u(x) = g(x) x ∈ ∂Ω. 13. Un dominio acotado Ω ⊂ Rn tiene la propiedad exterior del cono si pa- ra cada x0 existe un cono recto K = K(¯u, θ) := {tx ∈ Rn : 0 ≤ t ≤ 1, dist ( x |x| , ¯u) ≤ θ} tal que (x0 + εK) x0 ⊂ Rn Ω para algún ε > 0. Denotando por ω ∈ Sn−1 la variable angular en Rn determínese en x0 una función barrera de la forma rλ w(ω). 14. Problema de Dirchlet “exterior”. Considérese para n ≥ 3 el problema de hallar u ∈ C2 {|x| > R} ∩ C{|x| ≥ R}, R > 0, tal que: { ∆u = 0 |x| > R u = g |x| = R, (E)
- 276. 268 CAPÍTULO 9.ECUACIÓN DE LAPLACE (RN ) junto con la condición de contorno en el infinito: l´ım |x|→+∞ u(x) = γ, (I) donde γ es asimismo una constante prefijada. a) Sea Ω = {|x| > R}.Pruébese que la transformación de Kelvin: y = R2 |x|2 x, aplica Ω en B 0 (B = BR(0)). Introdúzcase el cambio de variable: v(y) = |y|2−n u ( R2 |y|2 y ) y ̸= 0, y demuéstrese que si u es solución de (E)-(I) entonces v es armó- nica en B 0 con una singularidad evitable en el origen, por tanto satisfaciendo el problema de Dirichlet: { ∆v = 0 |y| < R u = R2−n g |y| = R. (A) b) Usar la fórmula de Poisson para resolver (A), observando que: |x∗ − ζ| = R |x| |x − ζ| |ζ| = R, con x∗ = R2 |x|2 x. Ajustar después la condición (I) con ayuda de alguna función armónica conveniente. Contrastar los resultados con el caso n = 2 estudiado por separación de variables en el Capítulo ??.
- 277. Apéndice A Funciones diferenciables Dadauna función real u : Ω → R, u = u(x), Ω ⊂ Rn un dominio (es decir un conjunto abierto y conexo) resulta bien conocida la noción de derivada parcial de orden k ∈ N de u en un punto x ∈ Ω (aquí N designa los naturales con el 0). Para uso posterior se fijan las siguientes notaciones: α ∈ Nn , α = (α1, . . . , αn), |α| = α1 + · · · + αn, α! = α1! . . . αn!, si ξ ∈ Rn es un vector, ξα = ξα1 1 . . . ξαn n , si k ∈ N, N(k) = card {α ∈ Nn : |α| ≤ k}, para α, β ∈ {α ∈ Nn : |α| ≤ k}, se dice que α < β si o bien |α| < |β| o por contra, |α| = |β| pero αi < βi donde i = min {j : 1 ≤ j ≤ n, αj ̸= βj}, a cada vector c = (cα)|α|≤k ∈ RN(k) se asocia el polinomio de grado k en x1, . . . , xn: p(x) = ∑ |α|≤k cαxα . Nótese entonces que el espacio de polinomios de grado k es isomorfo a RN(k) . Se dice que u : Ω → R es de clase Ck en Ω si admite todas las derivadas parciales u(x), ∂u ∂x1 (x), . . . , ∂k u ∂kxn (x) y tales funciones son continuas en Ω. Se denota Ck (Ω) al conjunto de tales funciones. Una de las versiones del teorema de Schwartz 1 , viene a decir lo siguiente: si todas las derivadas parciales de orden l − 1 de una función real u(x) son continuas en el entorno de un punto x0 ∈ Rn y si una derivada parcial específica de orden l de u(x) - llamémosla vl(x) - existe en dicho entorno y es continua, entonces existen y coinciden con vl(x) todas aquellas derivadas parciales ˆvl(x) de u(x) de orden l que involucran el mismo número de derivadas parciales respecto de las mismas variables que aparecen en 1Ver, por ejemplo, T. M. Apostol 2a edición, nota en página 436. 269
- 278. 270 APÉNDICE A.FUNCIONES DIFERENCIABLES vl(x), aunque tomadas en distinto orden. Luego si en vl(x) se deriva -en el orden que sea- α1 veces con respecto a x1, . . . , αn veces con respecto a xn (algunos de los αi muy bien pudieran ser cero) todas esas derivadas ˆvl(x) coinciden con la derivada canónica: ∂l u ∂α1 x1 . . . ∂αn xn (x). Siguiendo a L. Schwartz dicha derivada se denota como ∂α u(x), en referencia al multiíndice α ∈ Nn . Por tanto, si 0 ≤ l ≤ k por cada α ∈ Nn , |α| = l tendremos un total de |α|! α! = l! α! derivadas parciales de orden l de u(x) que coinciden con ∂α u(x). Por otra parte el número total de derivadas parciales de u ∈ Ck (Ω) de orden l coincide con el de las combinaciones con repetición de n elementos tomados l a l, CRn,l, es decir Cn+l−1,l = (n+l−1 l ) . Se repasan a continuación algunas nociones de cálculo diferencial en varias variables. Para u : Ω ⊂ Rn → Rp , Ω abierto de Rp , se dice que u(x) es diferen- ciable en x0 ∈ Ω si ∃L ∈ L(Rn , Rp ) tal que: u(x) = u(x0) + L(x − x0) + o(|x − x0|), x → x0. Decimos que L es la derivada o la diferencial de u en x0 y escribimos L = du|x=x0 = u′ (x0) (también Du(x0)). Si e1, . . . , en son los vectores de la base canónica de Rn la diferenciabilidad de u en x0 implica la existencia de todas las derivadas parciales ∂u ∂xi (x0) = L(ei). Por otra parte, la existencia y continuidad de las n funciones ∂u ∂xi (x) en un entorno U de x0, implica la diferenciabilidad de u en x0, donde L viene representada en la base canónica mediante las fórmulas precedentes. Admitimos ahora que u : Ω → R es diferenciable en cada x ∈ Ω. Si u′ = u′ (x), u′ : Ω → L(Rn , R) es diferenciable en x0, su derivada u′′ (x0) ∈ L(Rn , L(Rn , R)) (usaremos también los símbolos D2 u(x0) y d2 u|x=x0 ). Para v1 ∈ Rn se tendrá u′′ (x0)(v1) ∈ L(Rn , R). Por eso u′′ (x0)(v1)(v2) ∈ R y ésta última función es bilineal en (v1, v2). Por eso escribimos: u′′ (x0)(v1)(v2) = u′′ (x0)(v1, v2). Se tiene además la siguiente propiedad: u′′ (x0)(ei, ej) = ∂2 u ∂xj∂xi (x0), para cada i, j. Si vj = (vj i ), j = 1, 2 entonces: u′′ (x0)(v1, v2) = ∑ i1,i2 v1 i1 v2 i2 ∂2 u ∂xi2 ∂xi1 (x0). Si todas las funciones ∂2 u ∂xi2 ∂xi1 (x) existen en un entorno U de x0 y son continuas en x0, entonces ∃u′′ (x0).
- 279. 271 En general, siu : Ω → R admite las k −1 primeras diferenciales, con u(k−1) : Ω → Lk−1 (Rn , R), siendo Lm (Rn , R) el espacio de las aplicaciones m lineales, e. d., aplicaciones L : Rn × m · · · ×Rn −→ R (v1, . . . , vm) −→ L(v1, . . . , vm) que son lineales en cada vi cuando se fijan las demás variables, entonces la derivada (diferencial) k -ésima u(k) (x0) si existe, se define como la derivada de u(k−1) en x0. Además: u(k) (x0)(ei1 , . . . , eik ) = ∂k u ∂xik · · · ∂xi1 , para cada i1, . . . , ik ∈ {1, . . . , n}. Puede probarse además 2 que la propia exis- tencia de u(k) (x0) ya lleva consigo que dicha apliciación multilineal es simétrica: u(k) (x0)(vσ(1), . . . , vσ(n)) = u(k) (x0)(v1, . . . , vn) para cualesquiera vi ∈ Rn y permutación σ del grupo simétrico de orden n. En particular, nótese que la identidad de las derivadas cruzadas ∂iju(x0) = ∂jiu(x0) se deduce de la mera existencia de u′′ (x0) (¡Comparar con el teorema de Schwartz!). Con la misma notación de arriba vi = (vi j) se tendrá entonces que: u(k) (v1, . . . , vk) = n∑ i1,...,ik=1 v1 i1 . . . vk ik ∂k u ∂xik · · · ∂xi1 . Ahora, si u es de clase Ck en Ω y hallamos el valor de la diferencial k-ésima en (v1, . . . , vk) = (v, . . . , v) con v = (vi), la simetría de u(k) (x0) nos lleva a la identidad: u(k) (x0)(v, . . . , v) = n∑ i1,...,ik=1 vi1 . . . vik ∂k u ∂xik · · · ∂xi1 = ∑ |α|=k k! α! vα1 1 . . . vαn n ∂α u(x0) = ∑ |α|=k k! α! vα ∂α u(x0). Normalmente escribiremos u(k) (x0)(v, . . . , v) = u(k) (x0)(v)k . Otro resultado importante es la regla de la cadena. Si f : Ωabto. ⊂ Rn → Rm , g : Ωabto. 1 ⊂ Rm → Rp son diferenciables, entonces g◦f lo es y (g◦f)′ = g′ ◦f′ . En otros términos, si g = g(y) = (g1(y), . . . , gp(y)), f = f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), entonces para cada 1 ≤ j ≤ m: ∂gj(f(x)) ∂xi = m∑ l=1 ∂gj ∂yl ∂fl ∂xi . 2Ver J. Dieudonné, Introducción al análisis, Vol. I.
- 280. 272 APÉNDICE A.FUNCIONES DIFERENCIABLES En particular, si u : Ω ⊂ Rn → R es de clase Ck entonces, ∀x ∈ Ω, v ∈ Rn y 0 ≤ m ≤ k se tiene que: dm dtm u(x + tv) = u(m) (x + tv)(v)m = ∑ |α|=m m! α! vα ∂α u(x + tv). Una consecuencia inmediata de la última identidad es el teorema de Taylor para funciones u : Ωabto. ⊂ Rn → R de clase Ck . A saber, si x0 ∈ Ω y x ∈ Ω es tal que el segmento [x0, x] = {x0 + ζ(x − x0)/1 ≤ ζ ≤ 1} ⊂ Ω entonces: u(x) = ∑ |α|≤k−1 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α + ∑ |α|=k 1 α! ∂α u(x0 + θ(x − x0))(x − x0)α , donde 0 < θ < 1. Cuando una función es de clase C∞ en Ω en cada x0 ∈ Ω tiene sentido la serie formal de Taylor ∑ α 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α y es natural preguntarse cuándo la serie de Taylor representa, localmente en Ω, a la función dada. Por ejemplo, si P(x) en un polinomio en Rn de grado k, entonces es inmediato comprobar que, ∀x0 ∈ Rn : P(x) = ∑ |α|≤k 1 α! ∂α u(x0)(x − x0)α . Tales funciones son las se denominan analíticas (reales) (Capítulo 3).
- 281. Apéndice B Series Múltiples DefiniciónB.1. Decimos que una serie ∑ α cα es convergente 1 si ∃s ∈ R tal que, para toda familia creciente de índices Ak ⊂ Nn (e d. Ak finita, Ak ⊂ Ak+1 para cada2 k ∈ N y ∪kAk = Nn ) se tiene que3 : l´ım SAk = s. Cada elección de una familia de Ak’s da lugar a un “método” para sumar la serie. Por ejemplo: ∑ α xα = l´ım ( k∑ α1=1 xα1 1 ) . . . ( k∑ αn=1 xαn n ) = 1 (1 − x1) . . . (1 − xn) , siempre que ∥x∥∞ < 1. Aquí Ak = {∥α∥∞ ≤ k}. Nuestra definición de convergencia requiere que todo método de sumar la serie dé lugar a la misma suma. Se tiene la siguiente propiedad: Teorema B.2. La serie ∑ α cα es convergente 4 a s sí y sólo sí ∀ε > 0 existe Aε ⊂ Nn finito, tal que ∀A ⊂ Nn , A finito, A ⊃ Aε, se tiene que |SA − s| < ε. Definición B.3. La serie ∑ α cα satisface la condición de Cauchy si ∀ε > 0 existe Aε ⊂ Nn finito, tal que ∀A ⊂ Nn finito con A ∩ Aε = ϕ, se tiene que |SA| < ε. Teorema B.4. La serie ∑ α cα es convergente sí y sólo sí satisface la condición de Cauchy. 1La definición y resultados que siguen son una variación mínima de los que sobre el tema se dan en “Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques"por L. Schwartz, Hermann, París (1965). 2Suponemos que 0 ∈ N. 3Para cada A ⊂ Nn finita escribiremos la suma parcial con índices en A como SA = Σα∈Acα. 4Es esta afirmación lo que se suele tomar como definición de convergencia de una serie múltiple. 273
- 282. 274 APÉNDICE B.SERIES MÚLTIPLES Es conveniente observar que si una serie ∑ α cα tiene todos sus términos cα ≥ 0 entonces es evidente que s < +∞ o bien s = +∞ y su suma no puede ser otra que: s = sup A⊂Nn sA. Se tiene además el siguiente teorema. Teorema B.5. La serie ∑ α cα es convergente sí y sólo sí es absolutamente convergente, e. d., ∑ α |cα| < +∞. En otras palabras, la clase de convergencia que aquí se considera se reduce en última instancia a la de series no negativas (se descartan las series “condicio- nalmente convergentes"). Teorema B.6. Supongamos que ∑ α cα es convergente. Si Bm es una partición de Nn entonces todas las series parciales ∑ β∈Bm cβ son convergentes, pongamos a sm, y además ∑ α cα = ∑ m sm. Definición B.7. Sean cα = cα(x) una familia de funciones reales en un abierto Ω ⊂ Rn . Se dice que la serie ∑ α cα(x) converge uniformemente en Ω si ∀ε > 0 existe m(ε) ∈ N tal que ∀A ⊂ {|α| > m(ε)} se tiene que |SA(x)| < ε para cada x ∈ Ω. Obsérvese que la definición equivale a que en la condición de Cauchy para∑ α cα(x), Aε sólo dependa de ε y no de x ∈ Ω. Por otro lado, si ∑ α cα(x) con- verge uniformemente en Ω la sucesión de sumas parciales Sm(x) = ∑ |α|≤m cα(x) converge uniformemente en Ω a la suma ∑ α cα(x) de la serie. Diremos que la serie Σαaα mayora a Σαcα, y escribimos Σαcα ≪ Σαaα, si para cada α se tiene que |cα| ≤ aα. Se tiene el siguiente resultado. Teorema B.8 (Teorema “M” de Weierstrass). En las condiciones precedentes supongamos que las funciones cα(x) son de clase Ck en Ω y que para cada β ∈ Nn , 0 ≤ |β| ≤ k, la serie ∑ α ∂β cα(x) << ∑ α cβ α con ∑ α cβ α < +∞, entonces la suma de la serie c(x) = ∑ α cα(x) es de clase Ck de forma que, para cada β, ∂β c(x) = ∑ α ∂β cα(x). Demostración. Se ve inmediatamente que Sm(x) es de Cauchy en sentido uni- forme en Ω. Fijados x0 ∈ Ω, ε > 0, ∃δ = δ(ε, x0) con |Sn(x) − Sn(y)| < ε para x, y ∈ Bδ(x0) y n arbitrario. De ahí se deduce fácilmente que s(x) = l´ım Sm(x) es continua en x = x0. Para la diferenciabilidad definimos por ejemplo vi = ∑ ∂icα(x). Como, Sm(x) = Sm(x0) + ∫ t 0 ∂iSm(x0 + s ei) ds ,
- 283. 275 si x =x0 + t ei, resulta entonces que s(x) = s(x0) + ∫ t 0 vi(x0 + s ei) ds . Luego ∂is(x0) = vi(x0). Ejemplo B.1. La función 1 (1 − x1) . . . (1 − xn) = ∑ α xα se obtiene como una serie en Ω = {x/||x||∞ < 1}. Es de clase C∞ , pero además todas sus derivadas se pueden obtener derivando término a término dicha serie. Para ello, basta con demostrar que las series derivadas convergen uniformemente sobre compactos de Ω. Bastará con mayorarlas en ||x||∞ ≤ r < 1. La serie derivada β veces es: ∑ α α! (α − β)! xα−β := A. Se recuerda ahora que una serie de potencias f(z) = ∑ n an(z − z0)n se puede derivar término a término, y la serie y todas las series derivadas convergen uniformemente en cada disco |z − z0| ≤ r para cada 0 < r < ρ, donde ρ es el radio de convergencia ρ−1 = l´ım(|an|) 1 n . En particular: k! (1 − z)k+1 = ∑ n≥k k! (n − k)! zn−k converge absoluta y uniformemente en |z| ≤ r < 1. Por ello, A ≪ ∑ γ (β + γ)! γ! |xγ | = l´ım m→+∞ ( m∑ γ1=1 (β1 + γ1)! γ1! |xγ1 1 | ) . . . ( m∑ γn=n (βn + γn)! γn! |xγn n | ) = β! (1 − |x1|)β1+1 . . . (1 − |xn|)βn+1 ≤ β! (1 − r)|β|+n < +∞, de lo que se deduce la afirmación formulada más arriba. Teorema B.9. Sea ∑ α cαxα una serie de potencias que converge (por tanto absolutamente) en z = (zi) con |zi| > 0 para cada i, e.d., ∑ α |cα||zα | < +∞.
- 284. 276 APÉNDICE B.SERIES MÚLTIPLES Entonces ∑ α cαxα converge absolutamente a una función c(x) de clase C∞ en el polidisco 5 D(0, |z|) = {x/|xi| < |zi|, 1 ≤ i ≤ n}. Además, para cada β ∈ Nn , x ∈ D(0, |z|) se tiene que: ∂β c(x) = ∑ α≥β α! (α − β)! cαxα−β . En particular c(x) = ∑ α 1 α! ∂α c(0)xα . Por otra parte, para cada x1 ∈ D(0, |z|) se tiene que: c(x) = ∑ α ˆcα(x − x1)α , donde la serie converge en un cierto entorno N(x1) ⊂ D(0, |z|) de x1 y donde, para cada α se tiene que: ˆcα = ∑ β≥α β! α!(β − α)! cβ xβ−α 1 . Finalmente, para cada x1 ∈ D(0, |z|) existe un entorno N(x1) ⊂ D(0, |z|) de x1 y constantes positivas M, r > 0 tales que: |∂α c(x)| ≤ M |α|! r|α| , ∀x ∈ N(x1). Propiedad B.10. Supongamos que ∑ α cαxα es una serie formal de potencias tal que: lim(|cα|)1/|α| = 1 λ < +∞, entonces c(x) = ∑ α cαxα converge absolutamente en ∥x∥∞ < λ. Además λ = sup r tal que la serie converge absolutamente en D(0, ¯r), ¯r = (r, . . . , r), r > 0. No obstante, la geometría del dominio de convergencia absoluta de una serie no tiene por qué ser un “cubo”. Para tener un polidisco, basta multiplicar n series de potencias ∑ ai nxn i de cada una de las coordenadas xi. Un ejemplo más exótico es ∑ aα1α2 xα1 yα2 con aα1α2 = δα1α2 /α1α2 (δij la delta de Kronecker). Es fácil ver que el dominio de convergencia absoluta es |xy| ≤ 1. 5Para r = (r1, . . . , rn) ∈ Rn +, x0 = (x0i) ∈ Rn, designaremos por D(x0, r) = {x/|xi−x0i| < ri, 1 ≤ i ≤ n}.
- 285. Apéndice C Superficies. Integralesde superficie Las siguientes líneas recogen la materia básica que usaremos sobre integra- ción de superficies. Se dice que S ⊂ Rn es una superficie simple de clase Ck , k ≥ 1, si existe U ⊂ Rn−1 abierto y conexo y una apilciación de clase Ck g : U −→ Rn s −→ g(s), x = (x1, . . . , xn), s = (s1, . . . , sn−1), tales que: S = {x = g(s)|s ∈ U} , (C.1) g = g(s) es inyectiva (C.2) y rango { ∂g ∂s1 , . . . , ∂g ∂sn−1 } = n − 1 ∀s ∈ U. (C.3) El par (g, U) se denomina una parametrización de S. Fijadas S y (g, U), dire- mos que (ˆg, ˆU), ˆg : ˆU → Rn , x = g(σ), σ = (σ1, . . . , σn−1), ˆg de clase Ck , ˆg satisfaciendo (C.1), (C.2), (C.3), es una parametrización equivalente de S si la aplicación ˆg−1 ◦ g : U → ˆU es un homeomorfismo Ck con inverso también Ck . Así pues, una superficie Ck se define a través de todas sus parametrizaciones equivalentes. No es muy difícil probar que g define un homeomorfismo local, e. d., su restricción a un pequeño entorno de cualquier punto p ∈ U es un homeomorfismo (Ejercicio). Así, g define un homeomorfismo de U sobre S. Análogamente, la misma cuenta puede aprovecharse para comprobar que dos parametrizaciones arbitrarias g y ˆg son siempre equivalentes. Para ambas afirmaciones, la idea 277
- 286. 278 APÉNDICE C.SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE para probar las condiciones de homeomorfismo y difeomorfismo local consiste en escribir los parámetros s (s ∼ s0) en términos de n−1 de las x′ s, xi1 , . . . , xin−1 , sj = Sj(xi1 , . . . , xin−1 ), 1 ≤ j ≤ n − 1 , donde x ∼ x0, x0 = g(s0). Para x0 = g(s0) ∈ S, el plano tangente a S en x0 se define: TSx0 = span { ∂g ∂s1 , . . . , ∂g ∂sn−1 } s=s0 . (C.4) Una curva γ regular en Rn es todo conjunto de la forma γ = {x = g(s)/g : I → Rn , g de clase C1 , I ⊂ R un intervalo abierto, g′ ̸= 0 en I}. Puede probarse (Ejercicio) que toda curva γ en una superficie simple S, γ ⊂ S, se puede escribir como γ = {x = g(s(t))|t ∈ I} donde s : I → Rn−1 define una curva Cl en Rn−1 , siendo I ⊂ R un intervalo. Se tiene la siguiente proposición inmediata (Ejercicio). Proposición C.1. El plano tangente TSx0 a S en x0 coincide con el conjunto de los vectores tangentes en x0, de cada una de las curvas en S que pasan por x0. Es también inmediato probar que si (g, U) y (ˆg, ˆU) son parametrizaciones equivalentes entonces los planos tangentes definidos por medio de g y ˆg a través de (C.4) coinciden. Es decir, TSx0 no depende de la parametrización (Ejercicio). Ejemplos C.1. a) Para x ∈ Rn escribimos x = (x′ , xn) con x′ = (x1, . . . , xn−1). Si f = f(x′ ), f : U → R, U ⊂ Rn−1 un dominio, f ∈ Ck (U), entonces {xn = f(x′ )} es una superficie Ck . Su plano tangente en x0 está generado por los vectores {e1 + f′ x1 en, . . . , en−1 + f′ xn−1 en} x0 . b) Si F ∈ Ck (Ω), ˆS := {F = 0}, donde ∇F ̸= 0 ∀x ∈ ˆS, se comprueba que un entorno S suficientemente pequeño de z en ˆS con z ∈ ˆS arbitrario, es siempre una superficie Ck . Si x0 ∈ S el plano tangente en x0 tiene por ecuación: (x − x0) · ∇F(x0) = 0. Consideremos ahora el siguiente determinante: a1 . . . an ∂g1 ∂s1 · · · ∂gn ∂s1 ... ... ... ∂g1 ∂sn−1 · · · ∂gn ∂sn−1 . Se define el producto exterior de los vectores { ∂g ∂s1 , . . . , ∂g ∂sn−1 } como: ∂g ∂s1 ∧ · · · ∧ ∂g ∂sn−1 = A1e1 + · · · + Anen,
- 287. 279 donde Ai representael adjunto del elemento ai del determinante. Si escribimos: N(s) = ∂g ∂s1 ∧ · · · ∧ ∂g ∂sn−1 , resulta que N(s) es ortogonal al plano tangente a S en x = g(s), para cada s ∈ U. En particular, dicho plano se podrá representar en x0 = g(s0) como (x − x0)N(s0) = 0. Por eso se dice que N(s) es el campo normal a S asociado a la parametrización (g, U). Como cada x ∈ S se escribe de manera única como x = g(s) con s = g−1 (x), la parametrización permite definir N como una función (en realidad un campo) de x ∈ §, N = N(x), que es de clase Ck−1 . Ejemplos C.2. Para S definida como xn = f(x′ ), x′ = (x1, . . . , xn−1) se tiene que: N = (−1)n (fx1 , . . . , fxn−1 , −1). Si S se representa por F(x) = 0, de la expresión anterior y el teorema de la Función Implí cita se deduce, N = (−1)n+1 ∇F Fxn . Consideremos ahora otra parametrización x = ˆg(σ) de S y calculamos el campo normal en dicha parametrización: ˆN(σ). Se tiene, ˆN(σ) = ∂ˆg ∂σ1 ∧ · · · ∧ ∂ˆg ∂σn−1 . Si denotamos por G : U → ˆU, σ = G(s) la aplicación G = ˆg−1 ◦ g, G = (G1, . . . , Gn−1), entonces, N(s) = det G′ (s) ˆN(σ) σ=G(s) , (C.5) donde det G′ (s) = det ( ∂Gk ∂sl ) es el determinante jacobiano (denotado usual- mente ∂(G1, . . . , Gn−1) ∂(s1, . . . , sn−1) ) que es por tanto no nulo en U. Se dice entonces que la parametrización ˆg tiene la misma orientación que g si det G′ (s) > 0 en U, siendo las orientaciones distintas si el determinante jacobiano es negativo. En conclusión, una superficie simple sólo admite dos orientaciones. Los “lados de la superficie” se definen mediante la orientación con respecto a una parametriza- ción que sirve de referencia. Análogamente, se define el campo unitario normal S, con respecto a g, como ν(x) = N(s(x)) |N(s(x))| s = g−1 (x) . Es obvio de (C.5) que si ˆg define otra parametrización, entonces ν(x) = signo (G′ (s(x))) ˆν(x),
- 288. 280 APÉNDICE C.SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE donde σ = G(s) y ˆν(x) = ˆN(σ(x))/| ˆN(σ(x))|, σ(x) = g−1 (x). Es decir, cual- quiera que sea la parametrización solamente hay dos campos unitarios normales: ±ν(s). Sea ahora f : S → R una función que cumple que f ◦ g es medible en U. Se define la integral de superficie de f sobre S, que representaremos ∫ S f dS como, ∫ S f dS = ∫ U f(g(s)) |N(s)| ds, (C.6) siempre que la integral de Lebesgue en (C.6) exista. Si tal es el caso se dice que f es integrable-Lebesgue en S y se escribe f ∈ L1 (S). Se comprueba que si f es integrable sobre S con respecto a una parametrización g, lo es con respecto a cualquier otra parametrización equivalente ˆg, siendo el resultado de la integral independiente de ˆg. Es habitual llamar a dS = |N(s)| ds el elemento de área de S. De hecho, se define como área de S a la correspondiente integral en donde f = 1. Ejemplo C.3. Las coordenadas esféricas en Rn se definen por inducción como, x1 = ρ cos θ1 x2 = ρ sen θ1 cos θ2 ... xn−1 = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−2 cos θn−1 xn = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−2 sen θn−1, en donde 0 ≤ θ1, · · · ≤ θn−2 ≤ π, 0 < θn−1 < 2π. Nótese que la aplicación (ρ, θ1, . . . , θn−1) → x define un difeomorfismo de (0, +∞)×(0, π)×· · · (0, π)×(0, 2π) en Rn N, N = {xn−1 ≥ 0, xn = 0}. Cuando en una integral n-dimensional se hace el cambio de variable a esféricas de Rn , x = x(ρ, θ1, . . . , θn−1), tenemos que eliminar N del recinto Ω de integración. Esto no supone ningún problema porque N tiene medida de Lebesgue zero. Por otro lado, el elemento de volumen dx se transforma de acuerdo con la ley: dx = ρn−1 senn−2 θ1 senn−3 θ2 · · · sen θn−2 dρdθ1 · · · dθn−1. (5) Pues bien, resulta que el elemento de área de la esfera de centro cero y de radio r vale: dSr = rn−1 senn−2 θ1 senn−3 θ2 · · · sen θn−2 dθ1 · · · dθn−1 = rn−1 dS1, donde dS1 representa el área de la esfera unidad Sn−1 en Rn . Se deduce de aquí que el área σn de la esfera unidad en Rn viene dado por: σn = 2πn/2 Γ(n/2) ,
- 289. 281 donde Γ(z) = ∫∞ 0 e−u uz−1 dz. En efecto, la integral ∫ π 0 senk θ dθ = Γ((k + 1)/2)Γ(1/2) Γ((k + 2)/2) , mientras Γ(1/2) = √ π. Por otro lado, de la relación de recurrencia Γ(x + 1) = xΓ(x) resulta, Γ (n 2 ) = (n/2 − 1)! n = ˙2 (n − 1)! 4[n/2][n/2]! √ π n = ˙2 + 1. Así, el área de la esfera de radio r vale rn−1 σn. Una simple integración muestra que el volumen de la bola de radio r es rn n σn. Para uso posterior reservaremos el símbolo, ωn = σn n = 2πn/2 nΓ(n/2) . para representar el volumen de la bola unidad en Rn . Finalmente, es costumbre representar la fórmula (5) como, dx = ρn−1 dρ dS1, donde dS1 representa el elemento de área de la esfera unidad de Rn . Ejemplo C.4. Si f(x) = F(r), r = |x| es una función radial e integrable en el dominio esférico: Ω = {a < |x| < b} su integral se puede escribir como, ∫ Ω f dx = ωn ∫ b a F(r)rn−1 dr. En particular, para f = e−|x|2 tenemos, ∫ Rn e−|x|2 dx = ωn ∫ ∞ 0 e−r2 rn−1 dr = ωn Γ(n/2) 2 = πn/2 . Sea F : S → Rn un campo sobre una superficie simple S, orientada con un campo unitario normal ν(x). Se llama flujo de F a través de S en el sentido de la normal ν a la integral, ∫ S F · ν dS, supuesto que dicha integral exista. Remitimos a los Ejercicios del Capítulo 1 para una interpretación física de la noción de flujo. El concepto de superficie simple se extiende, por razones técnicas, al de superficie de clase Ck (k ≥ 1). La propia esfera en R3 no es una superficie simple (¿por qué?). Decimos que S es una superficie de clase Ck si S = S1 ∪· · ·∪ Sm donde cada Si es una superficie simple y donde además si (gi, Ui), (gj, Uj) parametrizan respectivamente a Si y Sj con Si ∩ Sj ̸= ϕ entonces g−1 j ◦ gi :
- 290. 282 APÉNDICE C.SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE g−1 i (Si ∩ Sj) → gj(Si ∩ Sj) es un homeomorfismo de clase Ck , con inverso Ck . Se dice que {Si}m i=1 es una estructura diferenciable de S. Si f : S → R, se define la integral de superficie de f sobre S en los términos siguientes: ∫ S f dS = ∫ S1 f dS1 + ∫ S2S1 f dS2 + · · · ∫ Sm(S1∪···Sm−1) f dSm, (6) siempre que todas las integrales del segundo miembro existan. Se demuestra que el valor de la integral no depende de la elección de las superficies simples Si que constituyen S, e. d., de la estructura diferenciable. En efecto si { ˜Si}q i=1 es otra estructura diferenciable de S, entonces ∫ S f dS = ∫ ˜S1 f d ˜S1 + ∫ ˜S2 ˜S1 f d ˜S2 + · · · ∫ ˜Sq( ˜S1∪··· ˜Sq−1) f d ˜Sq, Se dice que S es orientable si es posible elegir una familia de parametrizacio- nes de forma que el signo de los determinantes det ((g−1 j ◦ gi)′ (s)) sea el mismo, siempre que Si ∩ Sj ̸= ϕ. En este caso se puede definir sobre S un campo uni- tario normal ν que es continuo sobre S. En general se sabe que toda superficie compacta y Ck de Rn (por ejemplo la esfera) es orientable. También se sabe que hay superficies, en el sentido aquí considerado, que no son orientables. Es un buen ejercicio construir una estructura diferenciable de la banda de Möbius, probando después que es una superficie no orientable de R3 . Ejercicio C.1. Comprúebese que la parametrización: x = a cos ϕ + t b cos ϕ cos ϕ 2 y = a sen ϕ + t b sen ϕ cos ϕ 2 z = t b sen ϕ 2 donde 0 < b < a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −1 < t < 1, define una superficie equivalente a la banda de Möbius. Otra noción importante es la de dominio acotado de clase Ck . Son los abiertos y conexos Ω ⊂ Rn acotados tales que su frontera ∂Ω es una superficie Ck , que al ser compacta, resulta ser orientable. Satisfacen la condición adicional de que es posible elegir un campo unitario normal a ∂Ω, ν = ν(x), de forma que para cada x ∈ ∂Ω los puntos x + tν(x) ̸∈ Ω para 0 ≤ t < ε, mientras x + tν(x) ∈ Ω para −ε < t < 0, donde ε > 0 es suficientemente pequeño. Para Ω un dominio de clase Ck , ν siempre designará tal campo normal que se llama la “normal unitaria exterior”. Se debe resaltar (ver [8], p. 354) que que toda superficie compacta S de Rn es la frontera de un abierto de clase Ck (no necesariamente acotado), de forma que uno de sus campos normales es “exterior” a dicho abierto. Podemos finalmente enunciar el siguiente resultado fundamental.
- 291. 283 Teorema C.2 (Teoremade la divergencia). Sean Ω ⊂ Rn un dominio acotado de clase Ck , k ≥ 1 y F : Ω → Rn un campo C1 definido en Ω. Entonces se tiene: ∫ ∂Ω F · ν dS = ∫ Ω div F dx. Una consecuencia importante del teorema de la divergencia es el Corolario C.3 (Fórmula de integración por partes). Sea Ω ⊂ Rn como en el teorema anterior y sean P, Q ∈ C1 (Ω). Entonces, ∫ Ω ∂P ∂xi Q dx = ∫ ∂Ω PQνi dS − ∫ Ω ∂Q ∂xi P dx , donde νi representa la componente i-ésima del campo unitario y normal exterior a ∂Ω. Ejemplos C.5. a) Comprúebese la identidad en el teorema de la divergencia para Ω la esfera de radio a en R3 y F = r2 x, con x = (x1, x2, x3). b) Para f = f(x) = (f1, f2, f3) de clase C1 en R3 y cumpliendo |f(x)| ≤ 1/(|x|3 + 1), pruébese que ∫ R3 div f dx = 0 .
- 292. 284 APÉNDICE C.SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE
- 293. Apéndice D Diferenciación bajoel signo integral Sean Ω ⊂ Rn , Q ⊂ Rm abiertos (típicamente Q es o bien Rm o un pequeñ o entorno de un punto). Sea asimismo una función adecuada f : Ω × Q −→ R (x, y) −→ f(x, y) y nos preguntamos cuándo F(y) = ∫ Ω f(x, y) dx , es una función suficientemente regular de y ∈ Q. Por ejemplo, si f es k veces derivable con respecto a y, cuándo podremos derivar k veces F y cuándo el resultado de derivar equivale a derivar bajo el signo integral. El siguiente teorema hace posible la operación bajo las condiciones más razonables. Como terminología preliminar diremos que f : Ω×Q → R es una función de Carathéodory si f(·, y) es medible en Ω para cada y ∈ Q, mientras que f(x, ·) es continua en Q para c.t. x ∈ Ω. Entre las propiedades más interesantes de esta clase de funciones –que no demostraremos y que de momento tampoco vamos a usar– señalemos las siguientes. Si u = u(x) es medible en Ω, entonces U(x) := f(x, u(x)) coincide en c.t. x de Ω con una función medible en Ω. Si las un = un(x) son medibes en Ω y un → u en c. t. p. x ∈ Ω (con lo que u coincide con una función medible en c. t. p., (cf. [19]), entonces f(x, un(x)) → f(x, u(x)) para c. t. x ∈ Ω. La definición precedente se extiende de la manera obvia a funciones f : S × Q → R, S una superficie regular de clase Ck , obteniéndose las mismas propiedades. Podemos ya enunciar el resultado relevante de la sección. 285
- 294. 286 APÉNDICE D.DIFERENCIACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL Teorema D.1. Supongamos que las funciones ∂α y f(x, y) son de Carathéodory para |α| ≤ k. Supongamos además que existe g = g(x) ∈ L1 (Ω) tal que |∂α y f(x, y)| ≤ g(x), y ∈ Q, |α| ≤ k para c. t. x ∈ Ω. Entonces la función F(y) = ∫ Ω f(x, y) dx es de clase Ck en Q y además: ∂α F(y) = ∫ Ω ∂α y f(x, y) dx , para todo |α| ≤ k. Una consecuencia inmediata es el Corolario D.2. Sea S una superficie Ck , mientras que las funciones ∂α y f(x, y) son de Carathéodory en S × Q, para |α| ≤ k. Supongamos además que existe g = g(x) ∈ L1 (S) tal que |∂α y f(x, y)| ≤ g(x), y ∈ Q, |α| ≤ k para c. t. x ∈ S. Entonces la función F(y) = ∫ S f(x, y) dSx es de clase Ck en Q y además: ∂α F(y) = ∫ S ∂α y f(x, y) dSx , para todo |α| ≤ k.
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