Libromecanica

MECANICA CLASICA
Luis Rodr¶³guez Valencia1
Departamento de F¶³sica
Universidad de Santiago de Chile
28 de julio de 2000
1email: lhrodrig@lauca.usach.cl
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Contenidos
Introducci¶on. xiii
1 Sistema de Part¶³culas. 1
1.1 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Sistema Inercial de referencia. . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Torque en punto arbitrario. . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Teorema Energ¶³a Trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Sistema de dos part¶³culas. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Campo Central de Fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Ecuaci¶on diferencial para la ¶orbita. . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad. . . . . . . . . . 13
1.2.3 Expresi¶on integral para la trayectoria. . . . . . . . . . 14
1.3 Sistemas de masa variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Sistema de referencia no inercial. 19
2.1 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Movimiento relativo a la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Vertical y aceleraci¶on de gravedad del lugar. . . . . . . 21
2.2.2 Ecuaci¶on de movimiento aproximada. . . . . . . . . . . 24
2.2.3 P¶endulo de Foucault. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 P¶endulo esf¶erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Teorema de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Scattering. 33
3.1 ¶Angulo de scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Expresi¶on en t¶erminos del par¶ametro de impacto. . . . 34
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iv CONTENIDOS
3.1.2 Scattering de Rutherford. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Secci¶on diferencial de Scattering. . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Coordenadas de Laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Coordenadas y ¶angulo de scattering en el Laboratorio. 37
3.2.2 P¶erdida de energ¶³a del proyectil. . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Rotaciones. 41
4.1 Rotaciones de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Rotaciones de un sistema de coordenadas. . . . . . . . 41
4.1.2 ¶Angulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.3 Par¶ametros de Cayley Klein. . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.4 Transformaciones de similaridad. . . . . . . . . . . . . 50
4.1.5 Relaciones entre matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . 52
4.1.6 Par¶ametros de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Descomposici¶on del movimiento. . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Teorema de adici¶on de velocidades angulares. . . . . . 55
4.3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Sistema r¶³gido de part¶³culas. 59
5.1 Cantidades cinem¶aticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Energ¶³a cin¶etica y momentum angular. . . . . . . . . . 61
5.1.2 Algunas propiedades de la matriz de inercia. . . . . . . 61
5.1.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.4 El elipsoide de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Ecuaciones din¶amicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Movimiento Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 Un ejemplo en m¶as dimensiones, la bola de billar. . . . 73
5.3 Movimiento en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Torque nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.3 Cuerpo sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.4 Trompo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
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CONTENIDOS v
6 Ecuaciones de Lagrange. 93
6.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Restricciones o v¶³nculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 V¶³nculos holon¶omicos y coordenadas generalizadas. . . 94
6.2.2 Fuerzas de v¶³nculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.3 Desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.1 V¶³nculos no holon¶omicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.2 Condici¶on de integrabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Sistemas Conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.1 Momentos can¶onicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.2 El hamiltoniano del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.3 Teoremas de conservaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.4 Hamiltoniano y energ¶³a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4.5 Fuerzas dependientes de la velocidad. . . . . . . . . . . 104
6.4.6 Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5 Ejemplos y aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5.1 Trompo sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5.2 Bola que rueda sobre un plano, sometida en su centro
a una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Oscilaciones peque~nas. 123
7.1 La energ¶³a cin¶etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2 La energ¶³a potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.1 Posici¶on de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.2 Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Linealizaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 El lagrangiano aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . 126
7.5.1 Diagonalizaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5.2 Soluci¶on del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 Ecuaciones de Hamilton. 137
8.1 Variables can¶onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2.1 Sistemas aut¶onomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
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vi CONTENIDOS
8.2.2 Puntos cr¶³ticos o de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3 Sistemas de un grado de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.1 Oscilador arm¶onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.2 P¶endulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9 Principio variacional de Hamilton. 149
9.1 La Acci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1.1 Principio variacional de Hamilton. . . . . . . . . . . . . 150
9.1.2 Naturaleza del extremo en el principio variacional. . . . 152
9.1.3 Curva C discriminante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2 Forma hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2.1 Variaci¶on de los extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2.2 Naturaleza del extremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3.1 Variaci¶on unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3.2 Variaci¶on en n dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.3.3 Formas del teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10 Transformaciones Can¶onicas. 167
10.1 De¯nici¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.1.1 Formas de la transformaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . 169
10.1.2 Condici¶on de existencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.3 Par¶entesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3.1 Propiedades de los Par¶entesis de Poisson. . . . . . . . . 172
10.4 Par¶entesis de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.5 Ecuaciones de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.6 Condici¶on necesaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.7 Invariancia de los par¶entesis de Poisson y de Lagrange. . . . . 176
10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo. . . . . . . . . . . . . 176
10.9 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.10Existencia de la funci¶on generadora. . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.11Forma bilineal invariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.12Problemas y Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
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CONTENIDOS vii
11 M¶etodo de Hamilton Jacobi. 187
11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.1.1 Funci¶on principal de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . 188
11.1.2 Relaci¶on con la acci¶on S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.1.3 Funci¶on caracter¶³stica de Hamilton. . . . . . . . . . . . 191
11.1.4 El oscilador arm¶onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.2 Variables de Acci¶on Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.2.1 Sistemas peri¶odicos con un grado de libertad. . . . . . 195
11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3.2 El m¶etodo de transformaciones can¶onicas. . . . . . . . 197
11.4 El p¶endulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.4.1 Teor¶³a de perturbaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.5 Invariantes Adiab¶aticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
12 Sistemas continuos. 205
12.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.2 Oscilaciones longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.2.1 Extremos ¯jos (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.2.2 Condiciones peri¶odicas (b). . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.2.3 Soluci¶on alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.3 Oscilaciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.4 L¶³mite continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.5.1 Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.5.2 Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.6 M¶etodo de las series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. . . . . . 219
12.7.1 Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.8 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.9 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.10Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.11Consideraciones energ¶eticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.11.1Potencia en ondas arm¶onicas. . . . . . . . . . . . . . . 227
12.12Elementos de mec¶anica de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.12.1Cambio del volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.13Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. . . . . . . . . . . . 231
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viii CONTENIDOS
12.13.1Onda sonoras en un °uido. . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.13.2Algunas soluciones de la ecuaci¶on de onda. . . . . . . . 235
12.13.3A) Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.13.4B) Ondas esf¶ericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.13.5Velocidad de grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.13.6Efecto Doppler cl¶asico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.13.7Efecto Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.13.8Efecto Doppler para ondas luminosas. . . . . . . . . . . 242
12.14Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13 Problemas complementarios. 245
14 Problemas resueltos. 253
15 Ap¶endice 281
15.1 Una ecuaci¶on diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
15.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . 283
15.3 El p¶endulo esf¶erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.4 Operador r: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
15.4.1 Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
15.4.2 Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
15.4.3 Rotor de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 291
15.4.4 Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
15.4.5 El Laplaciano r2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
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¶Indice de Figuras
1.1 Transformaci¶on de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sistema de part¶³culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Secci¶on c¶onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Tipos de c¶onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Sistema de referencia no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Sistema de referencia ¯jo a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Gravedad local, tierra esf¶erica (a) y real (b) . . . . . . . . . . 24
3.1 ¶Angulo de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Secci¶on diferencial de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Scattering en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Adici¶on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Rotaci¶on de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Rotaci¶on en torno de un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Rotaci¶on activa de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Adici¶on de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Velocidades de un r¶³gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 P¶endulo cuyo punto de suspensi¶on oscila . . . . . . . . . . . . 67
5.4 P¶endulo forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Problema de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Disco que rueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7 Rueda tirada con una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.8 Rueda sobre cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.9 Rueda sobre plataforma m¶ovil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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x ¶INDICE DE FIGURAS
5.10 Esfera sobre un plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.11 Cuerpo r¶³gido sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.12 Trompo sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.13 Raices de f(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.14 Precesi¶on uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.15 Trompo dormido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.16 Precesi¶on positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.17 Movimiento cuspidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.18 Movimiento con loops. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.19 Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.20 Cono ¯jo y del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.21 Choque de cuerpos r¶³gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1 Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 Trompo sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Esfera atra¶³da hacia el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.6 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.8 Disco que rueda sobre otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.9 Part¶³cula sobre hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.1 Autovalores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2 Autovalores complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3 Curvas de H constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4 Oscilador arm ¶onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.5 Punto inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.1 Campo de extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.3 Soluci¶on de D'Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.4 Onda en una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.5 Potencia en una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Indice
página

¶INDICE DE FIGURAS xi
12.6 Cambio de volumen debido a la velocidad. . . . . . . . . . . . 230
12.7 Onda plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.1 Cable °exible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.2 Un p¶endulo con extremo oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.3 Trompo dormido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.4 Precesi¶on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.5 M¶inimo de una acci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14.1 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.2 Scattering en pozo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
14.3 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.4 Colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
14.5 Precesi¶on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
14.6 Barra sobre un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14.7 Coordenadas el¶³pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.1 Tipo de soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial . . . . . . . . . . 282
15.2 P¶endulo esf¶erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.3 Signi¯cado de rotor no nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Indice
página

xii ¶INDICE DE FIGURAS
Indice
página

Introducci¶on.
Estos apuntes, en versi¶on preliminar, son un esfuerzo para ordenar los conte-
nidos que han formado parte de cursos ofrecidos a los alumnos del Magister de
F¶³sica y la Ingenier¶³a F¶³sica, en la Universidad de Santiago de Chile, duran-
te algunos a~nos. Existen innumerables buenos textos de Mec¶anica Cl¶asica,
que se citan al ¯nal de los apuntes, pero ocurre muchas veces que ellos no
se ajustan exactamente a lo que uno desea, o se tratan los t¶opicos en otro
orden, o en las clases se introducen problemas o ejemplos que se resuelven y
que casi nunca quedan escritos. Adem¶as creo que estos apuntes pueden ser
de alguna utilidad para los alumnos.
En algunos t¶opicos, he tratado de poner mi personal punto de vista o
enfoque, al tratarlo como en las clases, o al resolver alg¶un problema. Ob-
viamente, en muchas partes me he inspirado en alguno de los cl¶asicos, los
habr¶e reordenado, resumido o ampliado, en ¯n, as¶i lo he hecho. Esta primera
versi¶on, espero que no tenga demasiados errores. Mi intenci¶on es tratar de
mejorarla con la experiencia que se acumule, con los errores que se detecten,
y con las sugerencias que reciba de parte de los alumnos o de los profesores.
La parte m¶as dif¶icil es probablemente lo que viene, mantener estos apun-
tes vigentes, escribiendo sobre t¶opicos de actualidad, din¶amica de sistemas
ca¶oticos por ejemplo, incorporando problemas o t¶opicos de an¶alisis num¶erico
y otras cosas, seg¶un resulte posible y seg¶un sea tambi¶en su aceptaci¶on.
Buena parte de los resultados se establecen sin demostraci¶on dejando
como trabajo para el alumno la demostraci¶on de diversos teoremas a la vez
que se plantean problemas en el estudio de cada t¶opico y un conjunto de
problemas al ¯nal, como recapitulaci¶on.
Para hacer m¶as f¶acil el uso y difusi¶on de estos apuntes se acompa~na
un CD con la versi¶on de estos en formato PDF de Adobe que l¶ogicamente
permitir¶³a hacer m¶as copias impresas de ellos. No hay problema siempre
Indice
página

xiv Introducci¶on.
y cuando se mantenga el debido respeto a la autor¶³a de estos apuntes y
no se hagan actividades lucrativas con ello. El uso m¶as inmediato del CD
ser¶³a simplemente para poder leer estos en un PC para lo cual se incluye el
lector de archivos formato PDF, Acrobat Reader de Adobe 1
que debe ser
instalado en su PC de acuerdo a las instrucciones de ese programa. La versi¶on
en CD de estos apuntes, contiene explicaciones m¶as detalladas de algunos
aspectos, demostraciones no contempladas en el texto impreso y adem¶as de
otras soluciones de algunos ejercicios. Para ello existen hiperv¶³nculos que
permiten navegar en el CD.
Se solicita enviar comentarios, sugerencias o correcciones al autor, Luis
Rodr¶³guez Valencia, Departamento de F¶³sica Universidad de Santiago, e-mail
lhrodrig@lauca.usach.cl., o por correo a la direcci¶on postal, Avda. Ecuador
3493, Correo 2, Santiago
1
Acrobat R°Reader Copyright c° 1987-1996 Adobe Systems Incorporated. All rights
reserved. Adobe and Acrobat are trademarks of Adobe Systems Incorporated which may
be registered in certain jurisdictions."
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página

Cap¶³tulo 1
Sistema de Part¶³culas.
1.1 Ecuaciones de movimiento.
Esta parte de la Mec¶anica, se presenta en forma bastante resumida. Se
presentan las principales de¯niciones y relaciones cinem¶aticas as¶³ como las
ecuaciones cl¶asicas de movimiento para un sistema de part¶³culas puntuales
suponiendo interacciones que cumplan el principio de acci¶on y reacci¶on. Las
de¯niciones de cantidades F¶³sicas cinem¶aticas, que involucran las masas, las
posiciones, las velocidades, tales como la energ¶³a cin¶etica, momentum lineal,
momentum angular, son naturalmente relativas al sistema de referencia que
se escoja. Entre esos diversos sistemas de referencia, las relaciones que exis-
tan entre esas cantidades f¶³sicas, se desprender¶an de las transformaciones de
Galileo para sistemas, ¯gura (1.1), que se trasladan unos respecto de otros
con velocidad constante ~v
~r 0
= ~r ¡ ~vt:
M¶as en general para sistemas de referencia arbitrarios, admitiendo acele-
raciones y rotaciones de ellos respecto a uno supuesto ¯jo, las relaciones entre
velocidades y aceleraciones de part¶³culas son m¶as complicadas. Podemos
adelantar que las relaciones entre velocidades y aceleraciones son
~v = ~vA + ~! £ ~r 0
+ ~v rel
;
~a = ~aA + ~® £ ~r 0
+ 2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r 0
) + ~a rel
;
siendo ~® = d~!=dt. Debe notarse que la velocidad y aceleraci¶on relativas son
las derivadas de los vectores posici¶on y velocidad relativos manteniendo ¯jas
Indice
página

2 Sistema de Part¶³culas.
X
Y
Z
O
X'
Y'
Z'
O'
r
r '
Figura 1.1: Transformaci¶on de Galileo
las direcciones de los ejes m¶oviles, lo cual en algunos textos se indica por
~v rel
=
@~r 0
@t
; ~a rel
=
@~v rel
@t
:
1.1.1 Sistema Inercial de referencia.
En la formulaci¶on de la din¶amica cl¶asica, se supone la existencia de al menos
un sistema privilegiado de referencia, un Sistema inercial de referencia. Por
de¯nici¶on, un sistema inercial de referencia es aquel (hipot¶etico) sistema
relativo al cual una part¶³cula libre tiene velocidad constante o en particular
nula (vea p¶agina 5 de referencia [16]) . Como consecuencia de la transforma-
ci¶on de Galileo, todo sistema que se traslade con velocidad constante respecto
a uno inercial de referencia, es tambi¶en sistema inercial de referencia. La e-
xistencia de uno por lo menos, ser¶³a materia de validaci¶on experimental, con
las obvias di¯cultades que ello presenta. Se acepta que al menos aproxima-
damente, el marco de las estrellas ¯jas, lo es. Esta es una materia hoy en
d¶³a de acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997, la Uni¶on As-
tron¶omica Internacional (IAU) decidi¶o que a partir del primero de Enero de
1998, el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), en reem-
plazo del sistema FK5. Hay abundantes referencias en la WEB, por ejemplo
en http://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html.
De¯niciones y notaci¶on
Indice
página

1.1 Ecuaciones de movimiento. 3
m ifi j
X
Y
Z
O
sistema
ri
i
F
r
j
m j
Figura 1.2: Sistema de part¶³culas
Respecto a un determinado sistema de referencia, ver ¯g.(1.2) (no necesaria-
mente inercial), sean
~ri . . .. . . . . . . . . . . . . los vectores posici¶on de las N part¶³culas
mi . . . . . . . .. . . . . . . las masas de la part¶³culas
~vi = d~ri=dt .. . . . . la velocidad de la part¶³cula i.
~ai = d~vi=dt . . . . . . la aceleraci¶on de la part¶³cula i.
~Fi . . . . . . .. . . . . . . . la fuerza que act¶ua sobre la part¶³cula i producida por
agentes exteriores al sistema.
~fij . . .. . . . . . . . . . . . la fuerza que la part¶³cula j ejerce sobre la part¶³cula i.
~P =
P
mi~vi . . . . . el momentum lineal o cantidad de movimiento lineal
del sistema.
~LO =
P
mi~ri £ ~vi el momentum angular o cantidad de movimiento an-
gular del sistema respecto al origen O.
~rG =
P
mi~ri=M . la posici¶on del centro de masas del sistema.
M =
P
mi . . . . . . masa total del sistema
~Fext
. . .. . . . . . . . . . la fuerza externa resultante.
~¡ext
O . . . .. . . . . . . . . el torque o momento de las fuerzas externas resultan-
te, respecto al origen O.
En este resumen no se pretende discutir los fundamentos de la formulaci¶on
Newtoniana, cuya mayor di¯cultad radica en las de¯niciones (independien-
tes) de Fuerza, masa y aceleraci¶on, as¶³ como en los conceptos de espacio y
tiempo, que supondremos materias conocidas.
Indice
página

1.1.2 Ecuaciones de movimiento.
Con respecto a un sistema inercial de referencia, cada una de las N part¶³culas
cumple con la llamada segunda ley de Newton
mi ~ai = ~Fi +
X
j6=i
~fij: (1.1)
Si las fuerzas de interacci¶on ~fij satisfacen la llamada ley de acci¶on y reacci¶on,
es decir
~fij + ~fji = 0; y ~fij £ (~ri ¡ ~rj) = 0;
puede demostrarse a partir de las N ecuaciones de movimiento, las siguientes
dos importantes ecuaciones
d~P
dt
= ~Fext
; (1.2)
d ~LO
dt
= ~¡ext
O : (1.3)
La primera de ellas es bastante evidente. Para demostrar la segunda, basta
considerar que
X
j6=i
X
~ri £ ~fij =
X
j6=i
X
~rj £ ~fji =
1
2
X
j6=i
X
(~ri ¡ ~rj) £ ~fij = 0:
Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son, en general, insu¯cientes para determinar las
posiciones de las part¶³culas siendo la excepci¶on m¶as notable un sistema r¶³gido
de part¶³culas, que tiene justamente 6 grados de libertad, o en otras palabras,
que su posici¶on puede especi¯carse con solo 6 coordenadas o par¶ametros. La
segunda de las ecuaciones anteriores, toma la misma forma en un sistema
especial, no necesariamente inercial, con origen en el centro de masas G y
tal que sus ejes no roten. Es decir, puede probarse que
d~LG
dt
= ~¡ext
G : (1.4)
Entre el sistema inercial y ese otro mencionado con origen en G, pueden
demostrarse las siguientes relaciones (relaciones de Koenig), consecuencias
simples de la transformaci¶on de Galileo
~LO = M~rG £ ~vG + ~LG
K =
1
2
Mv2
G + KG
Indice
página

siendo KG y ~LG la energ¶³a cin¶etica y momentum angular relativos al sistema
con origen en G.
1.1.3 Torque en punto arbitrario.
En general, si se considera otro sistema con origen en un punto A, cuyos ejes
no roten, de¯nimos
~LA =
X
mi(~ri ¡ ~rA) £
d
dt
(~ri ¡ ~rA)
entonces considere el siguiente desarrollo
d~LA
dt
=
X
mi(~ri ¡ ~rA) £
d2
dt2
(~ri ¡ ~rA)
=
X
mi(~ri ¡ ~rA) £ (~ai ¡ ~aA)
=
X
mi~ri £ (~ai ¡ ~aA) ¡
X
mi~rA £ (~ai ¡ ~aA)
=
d~L0
dt
¡ M~rG £ ~aA ¡ ~rA £
X
~Fext
i + M~rA £ ~aA
=
X
(~ri ¡ ~rA) £ ~Fext
i + M(~rA ¡ ~rG) £ ~aA:
es decir
d~LA
dt
= ~¡ext
A ¡ M
¡!
AG £ ~aA; (1.5)
y de modo que, la relaci¶on entre derivada del momentum angular y torque,
es v¶alida para puntos (A) que cumplan una de las siguientes condiciones:
A = G; ~aA = 0; ~aA paralela a
¡!
AG:
La tercera condici¶on es de utilidad en algunos problemas de la din¶amica del
cuerpo r¶³gido, como se ilustra en ese cap¶³tulo, cuando se tiene informaci¶on
sobre el movimiento de un punto determinado.
Demostraremos adem¶as que adem¶as se tiene en general
~LO = M~rA £ ~vG + M
¡!
AG £ ~vA + ~LA:
En efecto
Indice
página

~LO =
X
mi(~ri
0
+ ~rA) £ (~vi
0
+ ~vA)
=
X
mi( ~ri
0
£ ~vi
0
+ ~rA £ ~vi
0
+ ~ri
0
£ ~vA + ~rA £ ~vA);
=
X
mi( ~ri
0
£ ~vi
0
+ ~rA £ ~vi
0
+ ~ri
0
£ ~vA + ~rA £ ~vA);
siendo ahora
X
mi ~ri
0
= M
¡!
AG;
X
mi ~vi
0
= M(~vG ¡ ~vA);
de modo que
~LO = ~LA + M~rA £ ~vG +
X
mi(~rA £ ~vi
0
+ ~ri
0
£ ~vA)
= ~LA + M~rA £ ~vA + M~rA £ (~vG ¡ ~vA) + M
¡!
AG £ ~vA
= ~LA + M~rA £ ~vG + M
¡!
AG £ ~vA:
Ejercicio 1.1.1 Discuta la posible aplicaci¶on del tercer caso (~a paralela a
¡!
AG), cuando se trata de un cuerpo r¶³gido que rueda sin deslizar, conside-
rando el punto A como el punto de contacto. Es un error com¶un considerar
como argumento para el uso de lo anterior que dicho punto tiene velocidad
instant¶anea cero, pues en general tiene aceleraci¶on no nula.
1.1.4 Teorema Energ¶³a Trabajo.
De las ecuaciones de movimiento es posible escribir una primera integral de
ellas en la forma que sigue, donde, sin perder generalidad, se separan las fuer-
zas externas en sus posibles partes conservativa y no conservativa. Adem¶as
se supone que las fuerzas de interacci¶on son derivables de un potencial de in-
teracci¶on dependiente de la distancia entre las dos part¶³culas y posiblemente
de par¶ametros propios de ellas dos (masas, cargas, etc.). En el caso de un
sistema r¶³gido de part¶³culas, la ¶ultima suposici¶on no es necesaria, por cuan-
to el trabajo que realizan las fuerzas de interacci¶on es nulo, al mantenerse
constantes las distancias entre part¶³culas. Este teorema es
¢(K + V + V int
) = Wnc
1!2; (1.6)
Indice
página

donde el trabajo no conservativo (nc) externo (ext) es la integral de l¶³nea
Wnc
1!2 =
2Z
1
~Fext;nc
¢ d~r;
V es la energ¶³a potencial asociada a la posible parte conservativa de la
fuerza externa y V int
la energ¶³a potencial de interacci¶on. Si el lado derecho,
el trabajo realizado por la posible parte no conservativa de la fuerza exterior
es cero, entonces se conserva la energ¶³a mec¶anica total del sistema. En el caso
importante de un sistema r¶³gido de part¶³culas, al no variar las distancias entre
las part¶³culas, puede tomarse V int
= 0:
Ejercicio 1.1.2 Demuestre que la suma de los trabajos internos es cero si
las distancias entre las part¶³culas son invariables.
Ejercicio 1.1.3 Demuestre el teorema 1.6.
1.1.5 Sistema de dos part¶³culas.
El problema de¯nido por el conjunto de ecuaciones (1.1), es en general no
solucionable anal¶³ticamente, si N ¸ 3: La principal di¯cultad consiste en
la imposibilidad de separar variables. El sistema de dos part¶³culas interac-
tuando a trav¶es de una fuerza conservativa es un caso soluble de sistemas de
part¶³culas. Tomando en cuenta la validez del principio de acci¶on y reacci¶on,
las dos ecuaciones para ese caso son
m1~a1 = ~f(~r1 ¡ ~r2)
m2~a2 = ¡~f(~r1 ¡ ~r2):
Esas ecuaciones son f¶acilmente desacoplables utilizando como nuevas varia-
bles las posici¶on del centro de masa ~rG y la posici¶on relativa ~r = ~r1 ¡ ~r2
resultando
M~aG = 0;
¹~a = ~f(~r);
siendo ¹ la masa reducida del sistema de dos part¶³culas, es decir
¹ =
m1m2
m1 + m2
:
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página

Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una part¶³cula
de masa reducida ¹ en presencia de una fuerza central, con centro de fuerza
en una de las part¶³culas. Este resultado es sorprendentemente simple consi-
derando que el origen (la posici¶on de una de las part¶³culas) est¶a acelerado.
Energ¶³a cin¶etica.
La energ¶³a cin¶etica de un sistema de dos part¶³culas tiene una expresi¶on que
separa el movimiento del centro de masas del movimiento relativo, esta es
K =
1
2
Mv2
G +
1
2
¹v2
:
En efecto, partiendo de
~r1 = ~rG +
m2
M
~r;
~r2 = ~rG ¡
m1
M
~r;
si derivamos respecto al tiempo, obtenemos las velocidades de las part¶³culas
~v1 = ~vG +
m2
M
~v;
~v2 = ~vG ¡
m1
M
~v;
por lo cual la energ¶³a cin¶etica ser¶a
K =
1
2
m1v2
1 +
1
2
m2v2
2
=
1
2
m1
µ
v2
G + 2
m2
M
~vG ¢ ~v +
³m2
M
v
´2
¶
+
1
2
m2
µ
v2
G ¡ 2
m1
M
~vG ¢ ~v +
³m1
M
v
´2
¶
=
1
2
Mv2
G +
1
2
µ
m1
³m2
M
v
´2
+ m2
³m1
M
v
´2
¶
=
1
2
Mv2
G +
1
2
m1m2
M
³m2
M
v2
+
m1
M
v2
´
;
que prueba el resultado.
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página

1.2 Campo Central de Fuerza. 9
Ejercicio 1.1.4 Demuestre que las relaciones de transformaci¶on de varia-
bles pueden escribirse:
~r1 = ~rG +
m2
M
~r;
~r2 = ~rG ¡
m1
M
~r:
Ejercicio 1.1.5 Analice las di¯cultades que se presentan al tratar de sepa-
rar variables en el sistema de dos part¶³culas en el caso relativista, es decir
cuando las masas dependen de la velocidad en la forma m = m0=
p
1 ¡ (v=c)2:
Ejercicio 1.1.6 En el choque de dos part¶³culas, compruebe la equivalencia
entre conservaci¶on de energ¶³a y coe¯ciente de restituci¶on unidad.
Ejercicio 1.1.7 Suponga un asteroide esf¶erico de 1 Km de di¶ametro que
tiene una rapidez de 60 [Km/s], con una densidad (como el agua) de 1
[gm/cc]. Determine la energ¶³a que deber¶³a liberar una explosi¶on interna para
dividir al asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ¶angulo de
un grado respecto a la direcci¶on de la velocidad original.
1.2 Campo Central de Fuerza.
Consideraremos una part¶³cula de masa ¹ sobre la cual act¶ua una fuerza cen-
tral conservativa cuya direcci¶on es paralela al vector posici¶on ~r: M¶as adelante,
al estudiar scattering entre dos part¶³culas consideraremos m¶as en detalle la
presencia de los dos cuerpos y la transformaci¶on entre coordenadas relativas
y coordenadas del laboratorio Por ahora, el vector posici¶on ~r representar¶a
el vector posici¶on relativo entre las dos part¶³culas. Si escribimos la fuerza
central como
~f(~r) = ¡
dV (r)
dr
^r;
de la ecuaci¶on de movimiento anterior, se tiene
¹~a = ~f(~r) = ¡
dV (r)
dr
^r;
y se deducen de aqu¶³, (demu¶estrelo)
Indice
página

I Teorema 1.1
Se conserva el momentum angular ~lO = ¹~r £ ~v:
I Teorema 1.2
La trayectoria est¶a sobre un plano ¯jo, perpendicular al vector constante ~lO.
Por lo tanto, es su¯ciente utilizar coordenadas polares (r; µ) en el plano del
movimiento. En esas coordenadas, las ecuaciones de movimiento ser¶an
¹
µ
d2
r
dt2
¡ r_µ
2
¶
= ¡
dV (r)
dr
(1.7)
y
lO = ¹r2 _µ = constante: (1.8)
Eliminando _µ es posible escribir una ecuaci¶on radial para r(t) y su primera
integral que corresponde a la conservaci¶on de la energ¶³a E: Es decir
¹
µ
d2
r
dt2
¡
l2
O
¹r3
¶
= ¡
dV (r)
dr
y
1
2
¹ _r2
+
l2
O
2¹r2
+ V (r) = E = constante.
Si llamamos potencial efectivo para la coordenada radial a
Uef
=
l2
O
2¹r2
+ V (r);
este es diferente de cero para una part¶³cula libre. El efecto del primer t¶ermino
es siempre repulsivo lo cual se puede entender, para el caso de una part¶³cula
libre que se mueve en l¶³nea recta, simplemente porque la distancia r al origen
pasa siempre por un m¶³nimo. Para potenciales V (r) atractivos (negativos),
en general pueden haber m¶aximos y m¶³nimos de la distancia r, los llamados
puntos de retorno.
1.2.1 Campo Central de Fuerza.
La dependencia de las variables polares en el tiempo es compleja. Es m¶as
simple encontrar la dependencia de la distancia con el ¶angulo, es decir en-
contrar la ¶orbita. En efecto, haciendo uso de la conservaci¶on del momentum
Indice
página

angular, es posible eliminar el tiempo de la ecuaci¶on radial (1.7) mediante
d
dt
=
dµ
dt
d
dµ
=
l2
O
¹r2
d
dµ
;
resultando para s = 1=r la siguiente ecuaci¶on diferencial (ecuaci¶on de Binet):
d2
s
dµ2 + s = ¡
¹
l2
O
dV (1=s)
ds
:
Para un campo de fuerza inverso al cuadrado de la distancia, la integraci¶on
de la ¶ultima ecuaci¶on es simple. Es decir si
V (r) = ¡
K
r
;
siendo K > 0 para el caso atractivo y repulsivo en caso contrario, entonces
la ecuaci¶on se reduce a
d2
s
dµ2 + s =
¹
l2
O
K;
cuya soluci¶on general, en t¶erminos de dos constantes e y ® es
s =
¹K
l2
O
(1 ¡ e cos(µ ¡ ®));
o bien
r =
l2
O
¹K
1
1 ¡ e cos(µ ¡ ®)
;
con e la excentricidad de la ¶orbita y ® la orientaci¶on del semieje mayor
de la c¶onica resultante, que son constantes por determinar en t¶erminos de
condiciones f¶³sicas conocidas, inicialmente o en un punto de la trayectoria. Si
se considera la de¯nici¶on de una c¶onica en t¶erminos de un foco y su distancia
a la directriz p, como el lugar geom¶etrico de los puntos del plano tales que
la raz¶on de las distancias al foco y a la directriz es una constante e, la
excentricidad de la c¶onica, se obtiene una ecuaci¶on de la misma forma. En
efecto, con respecto a la ¯gura (1.3), puede obtenerse
r
p + r cos µ
= e =) r =
pe
1 ¡ e cos µ
:
En el caso atractivo, K > 0, la trayectoria es entonces una elipse si 0 · e < 1;
Indice
página

eje polar
directriz
O
foco
r
p
!
p + r cos !
Figura 1.3: Secci¶on c¶onica
O
"
O O
" "
parábolaelipse hipérbola
Figura 1.4: Tipos de c¶onicas
una par¶abola si e = 1 y una hip¶erbola si e > 1. Valores de e negativos no
son necesarios de considerar, pues ellos corresponder¶³a simplemente a rotar
la ¶orbita en 180 grados, lo cual es preferible hacer con un valor adecuado de
®, ver ¯g.(1.4).
En el caso repulsivo, K < 0, la soluci¶on deber¶³a escribirse
r =
l2
O
¹ jKj
1
e cos(µ ¡ ®) ¡ 1
;
es decir, en este caso, las trayectorias son hip¶erbolas.
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página

1.2.2 Relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad.
Como veremos, la energ¶³a del sistema, determina la excentricidad. En efecto
considere
1
2
¹ _r2
+
l2
O
2¹r2
¡
K
r
= E;
y
r =
l2
O
¹K
1
1 ¡ e cos(µ ¡ ®)
:
Evaluemos la energ¶³a constante en el punto m¶as pr¶oximo al centro de fuerza,
el cual existe en todos los casos y corresponde a µ ¡ ® = ¼ siendo adem¶as
ah¶³ _r = 0. As¶³ resulta
l2
O
2¹r2
1
¡
K
r1
= E;
y
r1 =
l2
O
¹K
1
1 + e
:
Si se reemplaza r1 en la primera resulta
E =
l2
O
2¹
µ
¹K(1 + e)
l2
O
¶2
¡ K
¹K(1 + e)
l2
O
=
1
2
K2
¹
e2
¡ 1
l2
O
;
de donde sigue el resultado
e2
= 1 +
2El2
O
¹K2
:
Ejercicio 1.2.1 A pesar que la energ¶³a E es negativa para ¶orbitas cerradas,
demuestre que el lado derecho en el problema anterior es no negativo.
Indicaci¶on:
E =
1
2
¹ _r2
+
l2
O
2¹r2
¡
K
r
¸
l2
O
2¹r2
¡
K
r
¸ ¡
¹K2
2l2
O
;
debido a que l2
O=2¹r2
¡ K=r tiene un m¶³nimo.
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página

Ejercicio 1.2.2 Para el caso de ¶orbita el¶³ptica, demuestre que los semiejes
mayor y menor de la elipse est¶an dados respectivamente por
a =
l2
O
¹K
1
1 ¡ e2
; b =
l2
O
¹K
1
p
1 ¡ e2
:
Ejercicio 1.2.3 Demuestre la ley de Kepler de los periodos, es decir de-
muestre que el periodo en el caso de movimiento el¶³ptico T est¶a dado por
T = 2¼
r
¹
K
a
3
2 :
Ejercicio 1.2.4 Una part¶³cula est¶a en ¶orbita circular de radio a en torno
a la tierra, supuesta esf¶erica, en reposo, de masa total M, de radio R; y sin
considerar roce con el aire. Demuestre que si la velocidad de la part¶³cula
es repentinamente cambiada por un factor f, la excentricidad de la ¶orbita
resultante es
e =
¯
¯f2
¡ 1
¯
¯ :
Ejercicio 1.2.5 Respecto a la situaci¶on del problema anterior, determine
el factor f para que la part¶³cula pase tangente a la super¯cie terrestre.
1.2.3 Expresi¶on integral para la trayectoria.
Una forma alternativa para obtener la ecuaci¶on de la ¶orbita o trayectoria,
consiste en considerar
_r =
r
2
¹
s
E ¡ V (r) ¡
l2
O
2¹r2
;
y
_µ =
lO
¹r2
;
de donde, eliminando el tiempo, se puede obtener
µ = µ0 +
lO
p
2¹
r(µ)Z
r0
1
r2
p
E ¡ V (r) ¡ l2
O=(2¹r2)
dr: (1.9)
expresi¶on integral para la trayectoria r(µ):
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página

1.3 Sistemas de masa variable. 15
1.3 Sistemas de masa variable.
Con algunas consideraciones pueden tratarse sistemas que ganan o pierden
masa en forma aut¶onomo. Para ello considere un an¶alisis diferencial de lo
que ocurre cuando un sistema de masa inicial m(t) con una velocidad ~v(t) es
actuado por una fuerza externa ~F(t) e incorpora una cantidad in¯nitesimal
de masa dm(t) la cual tiene, justo antes de incorporarse, una velocidad ~u(t):
Transcurrido un tiempo dt, las masa del sistema es m(t) + dm(t). La cues-
ti¶on es >cu¶anto ha variado la velocidad del sistema en este proceso? Para
este efecto considere que el sistema total es de masa constante, por lo tanto
podemos usar el hecho que el cambio de la cantidad de movimiento total es
producido por la fuerza ~F(t) solamente, es decir
~F(t)dt = (m(t) + dm)(~v(t) + d~v(t)) ¡ (dm~u(t) + m(t)~v(t));
de aqu¶³, despreciando in¯nit¶esimos de segundo orden, se establece el resultado
~F(t) = m(t)
d~v(t)
dt
¡ (~u(t) ¡ ~v(t))
dm(t)
dt
: (1.10)
Aun cuando el an¶alisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismo
resultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este ¶ultimo
caso ~u(t) representar¶a la velocidad de los elementos de masa justo despu¶es
de abandonar el sistema.
Ejemplo 1.3.1 Una cadena °exible de longitud total L y de masa total M
se suspende de modo que su extremo inferior est¶a justo al nivel del suelo y
se suelta. Determine la reacci¶on que ejerce el suelo sobre el mont¶on que se
acumula mientras la cadena cae. (Se supone que los eslabones son in¯nite-
simales y que no rebotan en el suelo).
Soluci¶on. Sea el sistema de masa variable el mont¶on acumulado, de
modo que aqu¶³, en la direcci¶on vertical
v(t) = 0; u(t) = ¡gt; F(t) = R(t) ¡ mg; m =
M
L
1
2
gt2
:
Por lo tanto, la ecuaci¶on (1.10) nos da
R(t) ¡ mg = ¡u
dm
dt
;
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página

y ¯nalmente
R(t) =
3
2
M
L
g2
t2
:
N
Ejemplo 1.3.2 Una cadena °exible de longitud total L y de masa total M
viene deslizando sobre una super¯cie horizontal lisa con rapidez vo, en la
direcci¶on positiva del eje OX. Al llegar al origen se encuentra con un bloque
de masa M inicialmente en reposo. Determine la posici¶on del bloque en
funci¶on del tiempo mientras la cadena se acumula contra el. (Se supone que
los eslabones son in¯nitesimales y que no rebotan en el bloque).
Soluci¶on. Sea x la coordenada del bloque. La masa total del sistema,
bloque m¶as trozo acumulado ser¶a
m(t) = M +
M
L
(v0t ¡ x);
adem¶as u(t) = v0, v(t) = _x, F(t) = 0; de modo que la ecuaci¶on (1.10)
conduce a la siguiente ecuaci¶on diferencial
0 =
µ
M +
M
L
(v0t ¡ x)
¶
Äx ¡
M
L
(v0 ¡ _x)2
;
o bien, en t¶erminos de una variable auxiliar z = L + v0t ¡ x
0 = zÄz + _z2
;
con condiciones iniciales z(0) = L, _z(0) = v0: Integrando dos veces se obtiene
_z =
Lv0
z
;
1
2
z2
=
1
2
L2
+ Lv0t;
y ¯nalmente
x = L + v0t ¡
p
L2 + 2Lv0t; si t < L=v0:
M¶as tarde, el sistema contin¶ua movi¶endose con la rapidez constante alcanzada
al agotarse la cadena. (Ello ocurre cuando (v0t¡x)M=L = M, o bien z = 2L)
N
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1.3 Sistemas de masa variable. 17
Ejemplo 1.3.3 Una cadena °exible de masa distribuida uniformemente ¸
[Kg=m] est¶a amontonada en el suelo y se aplica a uno de sus extremos, una
fuerza constante hacia arriba F. Determine la altura de la cadena levantada
en funci¶on del tiempo.
Soluci¶on. Sea y la altura. Aqu¶³ u = 0; v = _y, m = ¸y, de modo que la
ecuaci¶on de movimiento ser¶a
F ¡ ¸yg = ¸yÄy + ¸ _y2
=
1
2
¸
µ
y
d _y2
dy
+ 2 _y2
¶
la cual puede ser integrada mediante un factor integrante y. As¶³ resulta
2Fy ¡ 2¸y2
g = ¸
d
dy
(y2
_y2
);
entonces F ¡ 2
3
¸yg = ¸ _y2
de donde se obtiene
_y =
r
F
¸
¡
2
3
yg; t =
Z y
0
dy
q
F
¸
¡ 2
3
yg
;
y ¯nalmente
y = t
r
F
¸
¡
1
6
gt2
:
Aunque parezca paradojal, la rapidez inicial del extremo de la cadena despu¶es
de aplicada la fuerza no es cero, es
p
F=¸ cuesti¶on que se explica pues se
ha aplicado una fuerza ¯nita, a un elemento in¯nit¶esimo de masa. Adem¶as
puede observarse que la cadena se detiene cuando F = 2
3
¸yg, y para ese
instante el largo levantado tiene un peso ¸yg = 3
2
F, mayor que la fuerza
aplicada. Naturalmente despu¶es bajar¶a hasta que ¯nalmente sea ¸yg = F.
N
Ejemplo 1.3.4 Un dep¶osito cil¶³ndrico con base circular de ¶area A tiene
l¶³quido (agua por ejemplo) inicialmente hasta una altura h0. Al nivel del
suelo liso, se hace un peque~no agujero circular de ¶area a por el cual sale
agua horizontalmente. Determine la aceleraci¶on del dep¶osito producto de la
p¶erdida de masa.
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Soluci¶on. Sea h(t) la altura del agua en el dep¶osito, ½ su densidad. Si
suponemos que la aceleraci¶on no afecta demasiado la super¯cie del agua,
podemos primero estimar la forma en que decrece la masa del l¶³quido en el
recipiente si a ¿ A, para el dep¶osito estacionario. La rapidez de salida por el
ori¯cio (relativa al recipiente) ser¶a de magnitud
p
2gh, de modo que el caudal
m¶asico de salida ser¶a ½
p
2gh a. Entonces la masa del l¶³quido disminuye de la
forma
dm
dt
= ¡½
p
2gh a;
dm
dt
= ¡
p
2½ga
p
m;
de donde integrando se obtiene
2
p
m ¡ 2
p
m0 = ¡
p
2½ga t:
Ahora planteamos la ecuaci¶on de movimiento suponiendo que la velocidad
relativa del agua que sale es
u ¡ v = ¡
p
2gh
as¶³ resulta
0 = m(t)
dv(t)
dt
¡
³
¡
p
2gh
´ dm(t)
dt
;
0 = m(t)
dv(t)
dt
¡
µ
¡
r
2g
m
½a
¶
dm(t)
dt
;
que al ser integrada conduce a
v(t) = ¡
r
2g
½a
(2
p
m ¡ 2
p
m0) = 2gt;
y ¯nalmente
a(t) = 2g
mientras quede l¶³quido en el recipiente. (Este resultado aun no lo creo) Otros
problemas y ejemplos pueden ser encontrados en el libro de Pars ([11]).
N
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página

Cap¶³tulo 2
Sistema de referencia no
inercial.
2.1 Ecuaciones de movimiento.
Las ecuaciones de Newton para un sistema de part¶³culas deben ser formuladas
respecto a un sistema inercial de referencia. De ser necesario utilizar un
sistema no inercial, ya sea porque est¶e acelerado o tenga rotaciones respecto
al inercial, podemos establecer las relaciones entre el movimiento absoluto,
respecto al sistema inercial, y el movimiento relativo respecto al sistema no
inercial en uso, como se explica a continuaci¶on. Respecto a la ¯gura (2.1) si
~r indica el vector posici¶on absoluto y ~r 0
indica el vector posici¶on relativo de
una de las part¶³culas del sistema, tenemos que
~r = ~rA + ~r 0
:
Para relacionar velocidades y aceleraciones, debemos considerar que la ve-
locidad relativa y aceleraci¶on relativas son las derivadas del vector posici¶on
relativo con vectores unitarios considerados constantes, entonces si
~r 0
= x0
^{0
+ y0
^|0
+ z0^k0
;
la velocidad y aceleraci¶on relativas son
~v rel
= _x0
^{0
+ _y0
^|0
+ _z0^k0
;
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página

20 Sistema de referencia no inercial.
X
Y
Z
O
r
X'
Y'
Z'
A
r '
rA
Figura 2.1: Sistema de referencia no inercial
~a rel
= Äx0
^{0
+ Äy0
^|0
+ Äz0^k0
:
La existencia del denominado vector velocidad angular ~! del sistema m¶ovil,
ser¶a justi¯cada en el cap¶³tulo sobre rotaciones, por ahora bastar¶a aceptar
que las derivadas de los vectores unitarios m¶oviles est¶an dadas por ~!£ el
respectivo vector unitario, de modo que se puede obtener
~v = ~vA + ~! £ ~r 0
+ ~v rel
;
y
~a = ~aA + ~® £ ~r 0
+ 2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r 0
) +~a rel
:
Esta expresi¶on es conocida como teorema de Coriolis. Aqu¶³ ~® representa
la aceleraci¶on angular o sea la derivada respecto al tiempo de la velocidad
angular. En esta expresi¶on los t¶erminos 2~!£~v rel
y ~aA +~®£~r 0
+~!£(~!£~r 0
)
son conocidos como la aceleraci¶on de Coriolis y la aceleraci¶on de arrastre de
la part¶³cula respectivamente. Considerando lo anterior, la Segunda Ley de
Newton en el sistema no inercial de referencia tiene la expresi¶on
m~a rel
= ~F ¡ m( ~aA + ~® £ ~r 0
+ 2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r 0
)); (2.1)
que puede interpretarse diciendo que la part¶³cula obedece la segunda Ley
en un sistema no inercial, pero a la fuerza real ~F hay que agregarle fuerzas
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página

2.2 Movimiento relativo a la tierra. 21
¯cticias dadas por
~Farrastre
= ¡m( ~aA + ~® £ ~r 0
+ ~! £ (~! £ ~r 0
));
y
~Fcoriolis
= ¡2m~! £ ~v rel
:
2.2 Movimiento relativo a la tierra.
Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no inercial de referencia lo cons-
tituye la Tierra. Su no inercialidad se debe principalmente a la rotaci¶on
terrestre respecto a su eje, que es muy aproximadamente constante y equiva-
lente a una vuelta completa en 24 horas. Su valor en consecuencia es bastante
peque~no
! =
2¼
24 £ 3600
= 7: 272 2 £ 10¡5
s¡1
.
Ello justi¯ca la denominada aproximaci¶on !2
¼ 0, donde se desprecian los
t¶erminos en !2
. Si se considera como modelo a la tierra como perfectamente
esf¶erica de masa M y radio R, podemos elegir como sistema no inercial ¯jo
en la tierra un sistema con origen en la super¯cie terrestre en una latitud que
denominaremos ¸: El eje z se elije vertical{no necesariamente radial{el eje x
perpendicular a z dirigido hacia el Sur, el eje y perpendicular a los anteriores,
o sea hacia el Este, como se indica en la ¯gura (2.2). La desviaci¶on entre
la vertical del lugar y la direcci¶on radial " est¶a exagerada en la ¯gura. Su
estimaci¶on se hace en la secci¶on siguiente.
2.2.1 Vertical y aceleraci¶on de gravedad del lugar.
Un primer efecto de la no inercialidad del sistema de referencia terrestre
es que la vertical del lugar se desv¶³a de la direcci¶on radial terrestre y que
la aceleraci¶on de gravedad depende de la latitud. En efecto, la de¯nici¶on de
peso y de vertical se hacen de acuerdo a una plomada de masa m en situaci¶on
estacionaria en la Tierra. As¶³ la vertical es la direcci¶on de la plomada y el
peso es de magnitud de¯nida como la tensi¶on en el hilo de la plomada. Para
esa situaci¶on estacionaria, la aceleraci¶on y velocidad relativas son cero, por
lo tanto una aplicaci¶on de la ecuaci¶on 2.1 a esta situaci¶on implica
0 = ~T ¡
GMm
R2
^r ¡ m~aA;
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página

X
Y
O
R
A
####
$$$$
%%%%
Z
Zo
Figura 2.2: Sistema de referencia ¯jo a la Tierra
donde se ha considerado que adem¶as de la fuerza gravitacional act¶ua la ten-
si¶on del hilo, la velocidad angular es constante y ~r 0
= 0. De acuerdo a lo
explicado la direcci¶on de ~T es el eje z y su magnitud se de¯ne como mg, el
peso del cuerpo y g la aceleraci¶on local de gravedad. Entonces tenemos que
mg^z =
GMm
R2
^r + m~aA: (2.2)
Adem¶as, la aceleraci¶on del origen A est¶a dada por
~aA = !^k0 £ (!^k0 £ R^r) = R!2
(sin ¸ ^k0 ¡ ^r): (2.3)
De modo que si se toma la magnitud de la ecuaci¶on (2.2) se obtiene
g =
sµ
GM
R2
¶2
¡
2GM
R2
R!2 cos2 ¸ + R2!4 cos2 ¸; (2.4)
=
sµ
GM
R2
¶2
¡ (
2GM
R
¡ R2!2)!2 cos2 ¸ (2.5)
que se reduce en el Polo a
gp =
GM
R2
;
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página

y en el Ecuador a
ge =
µ
GM
R2
¶
¡ R!2
:
La raz¶on entre la aceleraci¶on centr¶³peta en el ecuador R!2
y la aceleraci¶on
de gravedad en el polo usualmente designada por ¯ est¶a dada por
¯ =
R!2
GM=R2
= 3: 425 7 £ 10¡3
;
de modo que
ge = gp(1 ¡ ¯):
Para el caso de nuestro planeta (Serway, [17]), los valores num¶ericos para
radio promedio terrestre R = 6:37£106 m, masa de la tierra M = 5:98£1024
kg, constante de gravitaci¶on G = 6:67259 £ 10¡11
N m2
kg¡2
, ! = 2¼
24£3600
s¡1
permiten estimar gp, ge num¶ericamente y aproximar la expresi¶on (2.4) como
sigue
gp = 9: 833 7 m s¡2
ge = 9:8 m s¡2
g =
sµ
GM
R2
¶2
¡
2GM
R2
R!2 cos2 ¸ + R2!4 cos2 ¸ ((a))
=
GM
R2
s
1 ¡
2R!2 cos2 ¸
GM
R2
+
R2!4 cos2 ¸
G2M2
R4
= gp
q
1 ¡ 2¯ cos2 ¸ + ¯2
cos2 ¸
¼ gp(1 ¡ ¯ cos2
¸) = ge(1 + ¯ sin2
¸)
= 9:8(1 + 0:003 425 7 £ sin2
¸)
Sin embargo, la tierra no es esf¶erica y de acuerdo a la Uni¶on Internacional
de Geodesia y Geof¶³sica de 1967, (pag. [13]) el valor de g al nivel del mar
var¶³a con la latitud de acuerdo a
g = 9:780309(1 + 0:00530238 sin2
¸¡ 0:000005850 sin2
(2¸) + ((b))
0:00000032 sin2
¸ sin2
2¸):
Indice
página

9.78
9.79
9.8
9.81
9.82
9.83
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
(a)
(b)
Figura 2.3: Gravedad local, tierra esf¶erica (a) y real (b)
Ambas expresiones est¶an gra¯cadas en funci¶on de ¸ (de 0 ¡! ¼=2 = 1: 570 8)
por las curvas superior (a) e inferior (b) respectivamente en la ¯gura (2.3).
Para prop¶ositos pr¶acticos las antiguas f¶ormulas todav¶³a se usan, la llamada
f¶ormula de Cassinis se cita como referencia
g = 9:780490(1 + 0:0052884 sin2
¸ ¡ 0:0000059 sin2
(2¸)):
Desviaci¶on de la vertical.
Una estimaci¶on del ¶angulo " ; entre la vertical y la direcci¶on radial, puede
obtenerse de la misma ecuaci¶on referida anteriormente haciendo un producto
cruz de ella con ^r. El resultado que se obtiene es
sin " =
R!2
g
sin ¸ cos ¸; (2.6)
o sea desviaci¶on cero en el Ecuador y en el Polo y desviaci¶on m¶axima para la-
titud de 45 grados del orden de 0:1 grados. De acuerdo a los valores num¶ericos
se~nalados la ¶ultima expresi¶on puede ser aproximada a
" ¼ 0:003 sin ¸ cos ¸: (2.7)
2.2.2 Ecuaci¶on de movimiento aproximada.
Para movimientos en la vecindad del origen A, la ecuaci¶on (2.1) con la ayuda
de la ecuaci¶on (2.2) puede ser escrita como
m~a = ~F ¡ mg^k +
GMm
R2
^r ¡ m(~® £ ~r + 2~! £ ~v + ~! £ (~! £ ~r)):
Indice
página

Hemos suprimido las (0
) y se entiende que las posiciones, velocidades y ace-
leraciones son de ahora en adelante relativas a la Tierra. Adem¶as si con-
sideramos que ~® = 0 y denotamos por ~f la fuerza actuante, fuera de la
gravitacional, la aproximaci¶on considerada es
m~a = ~f ¡ mg^k ¡ 2m~! £ ~v: (2.8)
El movimiento de una part¶³cula bajo la in°uencia de la aceleraci¶on local de
gravedad solamente (~f = 0) dado por la ecuaci¶on (2.8) est¶a determinado en
esta aproximaci¶on (!2
¼ 0) por
~a = ¡g^k ¡ 2~! £ ~v;
de donde por integraci¶on
~v = ~v(0) ¡ gt^k ¡ 2~! £ (~r ¡ ~r(0));
que si es sustituida en la expresi¶on de la aceleraci¶on haciendo !2
= 0 e
integrada dos veces, conduce a
~a = ¡g^k ¡ 2~! £ (~v(0) ¡ gt^k)
= ¡g^k ¡ 2~! £ ~v(0) + 2gt~! £ ^k
de donde la velocidad est¶a dada por
~v = ~v(0) ¡ gt^k ¡ 2t~! £ ~v(0) + gt2
~! £ ^k;
y la posici¶on por
~r = ~r(0) + ~v(0)t ¡
1
2
gt2^k ¡ t2
~! £ ~v(0) +
1
3
gt3
~! £ ^k:
Esta expresi¶on constituye la soluci¶on para el movimiento de un proyectil en
las cercan¶³a de la Tierra para condiciones iniciales arbitrarias. Debe obser-
varse que para cualquier caso se tiene que
~! £ ^k = ! cos ¸^|
o sea ese t¶ermino contribuye siempre a desviar la part¶³cula hacia el Este. Ese
t¶ermino puede ser compensado para tiempos no muy grandes por el cuarto
t¶ermino si la part¶³cula parte hacia arriba.
Indice
página

2.2.3 P¶endulo de Foucault.
Respecto al sistema de referencia Terrestre una masa puntual m se une
mediante una cuerda liviana inextensible L a un punto ¯jo de coordena-
das (0; 0; L) de modo que la part¶³cula est¶a en equilibrio relativa a la tierra
(estacionaria) en el origen del sistema. Para una perturbaci¶on peque~na de la
posici¶on m¶as baja, la ecuaci¶on de movimiento (2.8), escrita en coordenadas
cartesianas tiene por componentes
max = Tx ¡ 2m(¡!(sin ¸) _y);
may = Ty ¡ 2m((! sin ¸) _x ¡ (¡! cos ¸)) _z;
maz = Tz ¡ mg ¡ 2m(¡! cos ¸) _y:
La tensi¶on en la cuerda puede ser escrita como
~T =
µ
¡
x
L
T; ¡
y
L
T;
L ¡ z
L
T
¶
;
de modo que
Äx = ¡
x
mL
T + 2! _y sin ¸;
Äy = ¡
y
mL
T ¡ 2!( _x sin ¸ + _z cos ¸);
Äz =
L ¡ z
mL
T ¡ g + 2! _y cos ¸:
De la tercera ecuaci¶on del ¶ultimo grupo, si z es peque~no, entonces T ¼
mg ¡ 2m! _y cos ¸. De modo que las ecuaciones aproximadas de movimiento
en el plano xy ser¶an
Äx +
g
L
x ¡ 2! _y sin ¸ = 0;
Äy +
g
L
y + 2! _x sin ¸ = 0:
Si denotamos por ~ = (¡! sin ¸)^k y por ~R = (x; y) al vector posici¶on en el
plano, las dos ¶ultimas ecuaciones pueden ser escritas en una sola como
d2
dt2
~R ¡ 2~ £
d
dt
~R +
g
L
~R = 0; (2.9)
donde se derivan solamente las coordenadas. En t¶erminos simples, esas deri-
vadas son la velocidad y aceleraci¶on del punto del plano relativas al sistema
Indice
página

(x; y; z). Podemos relacionar con las velocidades y aceleraciones relativas a
otro sistema que tiene el mismo origen y rota con velocidad angular ~, pero
despreciando t¶erminos en 2
, de acuerdo a
d
dt
~R =
@
@t
~R + ~ £ ~R;
d2
dt2
~R =
@2
@t2
~R + 2~ £
@
@t
~R;
por lo tanto la ecuaci¶on para la variaci¶on relativa de las coordenadas es
@2
@t2
~R + 2~ £
@
@t
~R ¡ 2~ £
@
@t
~R +
g
L
~R ¼ 0;
o bien
@2
@t2
~R +
g
L
~R ¼ 0: (2.10)
Esto es, oscilaciones de frecuencia angular ! =
p
g=L respecto a un sistema
que rota respecto a la vertical del lugar con la frecuencia angular (precesi¶on de
Foucault) (¡! sin ¸)^k. El movimiento de este p¶endulo ha sido iniciado desde
el origen con alguna velocidad inicial peque~na. Si el movimiento es iniciado
desde un punto alejado de la vertical, se mani¯esta otro efecto (precesi¶on del
p¶endulo esf¶erico) que se describe en la secci¶on siguiente y con m¶as detalles
en el ap¶endice.
2.2.4 P¶endulo esf¶erico.
Un efecto similar al de Foucault pero de menor magnitud ocurre cuando
el movimiento del p¶endulo se inicia desde una posici¶on alejada de la vertical
con alguna velocidad inicial de precesi¶on o nula, aun cuando este movimiento
sea respecto a un sistema inercial. Este efecto de ¶area" es deducido en el
ap¶endice y en la referencia Synge, p.56 [19], la velocidad angular aerolar
es (3=8)®2
! sin ¸". En el movimiento relativo a la tierra que rota, si el
movimiento de la part¶³cula se inicia desde un punto alejado de la vertical
quemando un hilito que la sostiene (en reposo relativo a la tierra), la rotaci¶on
terrestre causa que exista una velocidad absoluta de precesi¶on inicial distinta
de cero, por lo cual el efecto de precesi¶on proporcional al ¶area de la elipse se
manifestar¶a. Sin rotaci¶on terrestre el movimiento estar¶³a en un plano vertical.
Considerando la rotaci¶on terrestre veremos que si la amplitud angular inicial
Indice
página

es peque~na, la ¶orbita proyectada en un plano horizontal es una elipse que
precesa en torno de la vertical con una velocidad angular de precesi¶on mucho
menor que la de Foucault.
2.3 Teorema de Larmor.
Respecto a un sistema inercial, si parte de la fuerza que act¶ua sobre una
part¶³cula es perpendicular a la velocidad y a una direcci¶on ¯ja ^k0 de modo
que
~F = ~f + ®~v £ ^k0;
una simpli¯caci¶on de la ecuaci¶on de movimiento en el sistema de referencia
inercial se logra si se utiliza un sistema de referencia (no inercial) que rota
con velocidad angular constante en la direcci¶on ¯ja ^k0: La segunda ley de
Newton nos dar¶³a, para un origen A ¯jo
m~a rel
= ~f + ®~v £ ^k0 ¡ m(2~! £ ~v rel
+ ~! £ (~! £ ~r));
pero aqu¶³ conviene elegir ~! = !^k0; resultando
m~a rel
= ~f + ®(~v rel
+ !^k0 £ ~r) £ ^k0 ¡ 2m!^k0 £ ~v rel
¡ m!^k0 £ (!^k0 £ ~r));
o bien
m~a rel
= ~f + ®~v rel
£ ^k0 + ®!(^k0 £ ~r) £ ^k0 + 2m!~v rel
£ ^k0
¡m!^k0 £ (!^k0 £ ~r));
y si se escoge ! de modo que los t¶erminos dependientes de la velocidad
relativa se cancelen, o sea
! = ¡
®
2m
; (2.11)
se obtiene que la ecuaci¶on de movimiento en ese sistema rotante de referencia
es
m~a rel
= ~f +
®2
4
(^k0 £ (^k0 £ ~r));
ecuaci¶on que puede ser aproximada, si el t¶ermino en ®2
puede ser despreciado,
a la siguiente ecuaci¶on
m~a rel
= ~f:
Indice
página

2.4 Ejercicios. 29
O sea, el efecto de una fuerza perturbadora peque~na (® n 1) del tipo
considerada equivale a resolver el problema dado por la fuerza ~f en un sistema
que rota con la velocidad angular adecuada (2.11). Un ejemplo lo constituyen
electrones o cargas e que est¶an describiendo ¶orbitas debido a la presencia
de alguna fuerza central ~f. Si se aplica un campo magn¶etico de magnitud
constante B en una direcci¶on ¯ja ^k0 la fuerza adicional llamada fuerza de
Lorentz est¶a dada por
e~v £ ~B = eB~v £ ^k0:
Por lo tanto, la in°uencia de un campo magn¶etico peque~no es hacer precesar
las ¶orbitas en torno a un eje en la direcci¶on del campo magn¶etico con la
velocidad angular de Larmor
! = ¡
eB
2m
;
si el campo magn¶etico es peque~no.
2.4 Ejercicios.
Ejercicio 2.4.1 Una barra lisa OM de largo 2a, ubicada en el plano vertical
que contiene al Este, est¶a inclinado en un ¶angulo respecto de la horizontal.
Por ella se desliza una argolla peque~na P, partiendo desde el extremo M.
Calcular la reacci¶on de la barra sobre la argolla cuando ella pasa por el punto
medio de la barra si se toma en cuenta la rotaci¶on de la tierra.
Ejercicio 2.4.2 Una part¶³cula se lanza verticalmente hacia arriba con ve-
locidad Vo en un punto de latitud ¸. Encontrar el punto sobre el que vuelve
a caer si se toma en cuenta la rotaci¶on de la tierra en la aproximaci¶on usual
de primer orden en !.
Ejercicio 2.4.3 Una part¶³cula se mueve, por la acci¶on de la gravedad, sobre
un plano inclinado en el ¶angulo respecto de la horizontal y que rota con
peque~na velocidad angular respecto de un eje vertical ¯jo, que intercepte el
plano en el punto 0. Tomando ejes rectangulares OXY ¯jos en el plano de
modo que el eje OX est¶a orientado a lo largo de la l¶³nea de m¶axima gradiente,
demostrar que si inicialmente la part¶³cula parte del reposo desde 0, que su
desviaci¶on desde OX, despu¶es de t segundos, viene dada aproximadamente
Indice
página

por
1
6
!gt3
sen2®
siempre que se desprecien los t¶erminos en !2
:
Ejercicio 2.4.4 Una part¶³cula de masa unitaria se mueve en movimiento
arm¶onico simple x = a cos nt en una ranura suave orientada en E a 0 sobre la
super¯cie de la tierra en un punto de latitud ¸. Demostrar que, si desprecian
los t¶erminos que contienen el cuadrado de la velocidad angular de la tierra,
la reacci¶on de la ranura tiene una componente horizontal en ¶angulo recto
respecto al movimiento y de magnitud 2an! sin ¸ sin nt y una componente
vertical cuya magnitud °uct¶ua arm¶onicamente, con una amplitud 2an! cos ¸
.
Ejercicio 2.4.5 Una part¶³cula de masa m puede deslizar sin roce en el
interior de un tubo peque~no doblado en forma de un c¶³rculo de radio a. Ini-
cialmente se hace rotar en torno de un di¶ametro vertical el tubo con velocidad
!0 estando la part¶³cula en una posici¶on de¯nida por el ¶angulo µ0 respecto de
la vertical. Estudiar el movimiento subsiguiente de la part¶³cula.
Ejercicio 2.4.6 Una part¶³cula de masa m, puede deslizar, sin fricci¶on en
un tubo r¶³gidamente unido en un ¶angulo µ0 = 60o
con un eje vertical que gira
con velocidad constante !0 tal que !2
0 = 2g=r0. Si la part¶³cula se suelta con
las condiciones iniciales: r = r0; _r =
p
gr=2encontrar el menor valor que
alcanza el radio r en el movimiento de la part¶³cula.
Ejercicio 2.4.7 Un plano suave inclinado en un ¶angulo con respecto a la
horizontal est¶a r¶³gidamente conectado con un eje vertical en 0 (¯jo en el
espacio) alrededor del cual se mueve con una velocidad angular uniforme.
Una part¶³cula de masa unitaria se mueve bajo la acci¶on de la gravedad sobre
el plano. Pruebe que si x es el desplazamiento de la part¶³cula a lo largo de la
l¶³nea de m¶axima pendiente que pasa por 0, entonces:
d4
x
dt4
+ !2
(3 cos 2® ¡ 1)
d2
x
dt2
+ x!4
cos2
® = g!2
sen®:
Si se desprecian los t¶erminos en !2
, pruebe que:
y(t) = ¡
1
6
!gt3
sen2®
si la part¶³cula parte en reposo del origen.
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página

2.4 Ejercicios. 31
Ejercicio 2.4.8 Una part¶³cula de masa m cae desde el reposo desde una
altura h. Determinar x, y, z en funci¶on del tiempo, tomando en cuenta la
rotaci¶on de la tierra, en la aproximaci¶on usual de primer orden en !.
Ejercicio 2.4.9 Una part¶³cula de masa m cae desde una altura h por el
interior de un tubo liso vertical. Determinar z en funci¶on del tiempo y la
reacci¶on del tubo debido a la rotaci¶on terrestre.
Ejercicio 2.4.10 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada a un plano liso
horizontal OXY sometida a una fuerza ¡kr hacia un origen O en el plano,
siendo k una constante, Determinar las coordenadas sobre el plano (x; y) y
la reacci¶on del plano en funci¶on del tiempo tomando en cuenta la rotaci¶on
de la tierra.
Ejercicio 2.4.11 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada a un plano liso
horizontal. Determinar las coordenadas sobre el plano (x; y), y la reacci¶on
del plano en funci¶on del tiempo tomando en cuenta la rotaci¶on terrestre.
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página

Indice
página

Cap¶³tulo 3
Scattering.
3.1 ¶Angulo de scattering.
Estudiaremos m¶as en detalle el sistema de dos part¶³culas cuando la fuerza
de interacci¶on entre ellas es repulsiva. Como se sabe, podemos estudiar el
movimiento relativo entre ellas, es decir una de las part¶³culas (el blanco)
est¶a colocada en el origen de un sistema, y la otra (proyectil) interact¶ua con
ella. Considere entonces una part¶³cula de masa (reducida) ¹ que incide so-
bre un centro repulsivo de fuerza O, para lo cual, la ¯gura (3.1) de¯ne la
notaci¶on. Adem¶as en la ¯gura se muestra el llamado par¶ametro de impacto
s (ver.pag.siguiente). El ¶angulo £, formado por las as¶³ntotas a las direccio-
nes de incidencia desde muy lejos y la de scattering, mucho despu¶es de la
interacci¶on, se denomina ¶angulo de scattering.
rm in
min
s
i
f
&
!
r
eje polar
O
'
'
Figura 3.1: ¶Angulo de scattering
Indice
página

34 Scattering.
Adem¶as rmin denota la distancia m¶³nima de la part¶³cula al centro de fuerza, y
aqu¶³ resulta conveniente elegir como eje polar al eje indicado en la ¯gura, que
coincide con la direcci¶on de la posici¶on de la menor distancia de la part¶³cula
al centro de fuerza y desde el cual se mide el ¶angulo µ. Entonces podemos
escribir la ecuaci¶on integral de la ¶orbita, estudiada en el cap¶³tulo anterior
(1.9), en la forma siguiente
µ = ª +
r(µ)Z
1
lO
p
2¹r2
p
E ¡ V ¡ l2
O=(2¹r2)
dr ; (3.1)
donde hemos considerado que en las as¶³ntotas, cuando r = 1, entonces
µ = ª: Si se observa adem¶as que cuando r = rmin , entonces µ = 0; se obtiene
ª =
1Z
rmin
lO
p
2¹r2
p
E ¡ V ¡ l2
O=(2¹r2)
dr ;
por lo cual el ¶angulo de scattering estar¶a dado por
£ = ¼ ¡ 2
1Z
rmin
lO
p
2¹r2
p
E ¡ V ¡ l2
O=(2¹r2)
dr : (3.2)
3.1.1 Expresi¶on en t¶erminos del par¶ametro de impac-
to.
Muy lejos del centro de fuerza podemos evaluar el momentum angular y
energ¶³a (que son constantes) de la siguiente forma
lO = ¹sv0; E =
1
2
¹v2
0 ;
o sea l2
O = 2¹s2
E siendo s el llamado par¶ametro de impacto. Podemos
entonces obtener
£ = ¼ ¡ 2s
1Z
rmin
1
r2
p
1 ¡ V (r)=E ¡ s2=r2
dr : (3.3)
Para un potencial de alcance limitado, digamos esf¶ericamente sim¶etrico y
nulo para r ¸ r0 la integral de¯nida en la expresi¶on anterior debe tener el
Indice
página

3.1 ¶Angulo de scattering. 35
valor ¼=2s si s ¸ r0; pues en tal caso el ¶angulo de scattering debe ser nulo.
En efecto se tiene que
1Z
s
1
r2
p
1 ¡ s2=r2
dr =
¼
2s
:
Una expresi¶on para el ¶angulo de scattering que toma en cuenta autom¶aticamente
este hecho es entonces
£ = 2s
1Z
s
1
r2
p
1 ¡ s2=r2
dr ¡ 2s
1Z
rmin
1
r2
p
1 ¡ V (r)=E ¡ s2=r2
dr :
3.1.2 Scattering de Rutherford.
El potencial central repulsivo entre part¶³culas con cargas correspondientes
a n¶umeros at¶omicos Z; y Z0
es de la forma V = ZZ0
q2
=r: Para este caso,
resulta preferible utilizar la forma integrada de la trayectoria del problema
de Kepler, es decir
r =
l2
O
ZZ0q2
1
e cos(µ) ¡ 1
:
La distancia m¶³nima al centro de fuerza se obtiene en µ = 0: Adem¶as r = 1
corresponde a µ = ª: Luego
cos(ª) =
1
e
;
y si recordamos la relaci¶on entre excentricidad y energ¶³a, es posible obtener
cot
µ
£
2
¶
=
2Es
ZZ0q2
.
3.1.3 Secci¶on diferencial de Scattering.
Si se considera a distancia grande del blanco un haz incidente de muchas
part¶³culas, con intensidad uniforme I de part¶³culas por unidad de ¶area y
de tiempo, mucho despu¶es de la interacci¶on con el blanco, habr¶an algunas
part¶³culas que salen con direcci¶on de scattering en un ¶angulo s¶olido corres-
pondiente al rango entre µ y µ + dµ; como se indica en la ¯gura (3:2). La
secci¶on diferencial de scattering ¾(µ) se de¯ne de manera que
I¾(µ)d = n¶umero de part¶³culas en d por unidad de tiempo.
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página

36 Scattering.
!
d!
O
ds
s
d(
Figura 3.2: Secci¶on diferencial de scattering
Si la relaci¶on entre par¶ametro de impacto y ¶angulo de scattering es uno a uno,
podemos calcular la secci¶on diferencial de scattering determinando el n¶umero
de part¶³culas que cruzan el ¶area que hay entre s y s + ds: Caso contrario, si
m¶as de un par¶ametro de impacto da lugar a un mismo ¶angulo de scattering,
habr¶a que sumar las contribuciones de sectores anulares correspondientes a
los diversos valores del par¶ametro de impacto. As¶³ podemos obtener
¾(µ)d = 2¼s jdsj o bien ¾(µ)d =
X
i
2¼si jdsij :
Como d = 2¼ sin(µ)dµ , obtenemos en general
¾(µ) =
X
i
si
sin(µ)
¯
¯
¯
¯
ds
dµ
¯
¯
¯
¯
i
:
Scattering de Rutherford.
Demostraremos que la secci¶on diferencial para el scattering de Rutherford,
est¶a dada por:
¾(µ) =
1
4
µ
ZZ0
q2
2E
¶2
csc4
µ
µ
2
¶
:
Indice
página

3.2 Coordenadas de Laboratorio. 37
En efecto La relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad es
e2
= 1 +
2El2
O
¹K2
;
siendo aqu¶³
cos ª =
1
e
; K = ZZ0
q2
;
resultando
sec2
ª = 1 +
2El2
O
¹K2
;
o sea
tan2
ª =
2El2
O
¹K2
;
pero el ¶angulo de scattering est¶a dado por
£ = ¼ ¡ 2ª;
de donde
cot2 £
2
=
2El2
O
¹K2
;
siendo el momentum angular
l2
O = ¹2
v2
0s2
= 2¹Es2
;
entonces
cot2 £
2
=
4E2
s2
K2
;
de donde sigue el resultado.
3.2 Coordenadas de Laboratorio.
3.2.1 Coordenadas y ¶angulo de scattering en el Labo-
ratorio.
El an¶alisis anterior corresponde al movimiento relativo del proyectil respecto
al blanco. Respecto al Laboratorio ambos cuerpos se mover¶an, y el proceso
de scattering observado en el Laboratorio ser¶a esquem¶aticamente como se
indica en la ¯gura (3.3), donde:
Indice
página

38 Scattering.
! &
Figura 3.3: Scattering en el laboratorio
~v1 : velocidad del proyectil mucho despu¶es del scattering respecto al Labo-
ratorio. Su direcci¶on corresponde a la del ¶angulo de scattering respecto
al laboratorio £L.
~v 0
1 : velocidad proyectil mucho despu¶es del scattering respecto al centro de
masas. La direcci¶on ¯nal de esta velocidad es la misma de la velocidad
relativa entre las part¶³culas. Su direcci¶on corresponde al ¶angulo de
scattering £:
~VCM : velocidad constante del centro de masas.
~v0 : velocidad inicial del proyectil respecto al Laboratorio.
~v : velocidad relativa del proyectil respecto al blanco (~v1 ¡~v2):
La relaci¶on de transformaci¶on de velocidades
~v1 = ~v 0
1 + ~VCM (3.4)
representada en la ¯gura (3.4), permite escribir
v0
1 sin(£) = v1 sin(µL) ; (3.5)
VCM + v0
1 cos(£) = v1 cos(µL) ;
Indice
página

3.2 Coordenadas de Laboratorio. 39
y como la velocidad del centro de masas es
~VCM =
m1~v0
m1 + m2
=
m1~v0
M
;
y si se de¯ne
½ =
¹v0
m2v0
1
;
se puede escribir
tan(µL) =
sin(£)
½ + cos(£)
;
expresi¶on para el ¶angulo de scattering en el Laboratorio.
V '
1
!
& V
1
V
Figura 3.4: Adici¶on de velocidades
3.2.2 P¶erdida de energ¶³a del proyectil.
Para el scattering el¶astico, donde el blanco no absorbe ni pierde energ¶³a in-
terna, la velocidad relativa del proyectil tiene igual magnitud antes y despu¶es
del scattering. Sin embargo, para la situaci¶on en que inicialmente el blanco
est¶a en reposo respecto al Laboratorio, el proyectil en general pierde energ¶³a
cin¶etica respecto al Laboratorio, dependiendo del ¶angulo de scattering. Pa-
ra establecer una relaci¶on considere que en la relaci¶on (3.5) v0
1 = m2v0=M;
VCM = m1v0=M de modo que si sumamos los cuadrados de ambas compo-
nentes se obtiene
v2
1 =
³m1
M
v0
´2
+ 2
m1
M
v0
m2
M
v0 cos £ +
³m2
M
v0
´2
;
Indice
página

40 Scattering.
que puede escribirse como
v2
1 = v2
0
µ³m1
M
´2
+ 2
m1m2
M2
cos £ +
³m2
M
´2
¶
;
o bien
1
2
m1v2
1 =
1
2
m1v2
0
³
1 ¡ 2
m1m2
M2
(1 ¡ cos £)
´
;
o sea, la p¶erdida de energ¶³a del proyectil est¶a dada por
¢E =
1
2
m1v2
0 ¡
1
2
m1v2
1 = m1v2
0¹(1 ¡ cos £):
Esta relaci¶on muestra claramente que la m¶axima p¶erdida de energ¶³a ocurre en
el scattering frontal £ = ¼; y la m¶³nima cuando el ¶angulo de scattering tiende
a cero, que corresponde en general a par¶ametro de impacto muy grande.
3.2.3 Problemas.
Ejercicio 3.2.1 Demuestre que
½ =
m1v0
m2v
:
Ejercicio 3.2.2 Demuestre que en el scattering el¶astico
½ =
m1
m2
:
Ejercicio 3.2.3 En el scattering inel¶astico, donde el blanco absorbe energ¶³a,
si se de¯ne el factor Q por
1
2
¹v2
=
1
2
¹v2
0 + Q ;
y si se denota por E la energ¶³a cin¶etica inicial del proyectil, demuestre que
½ =
m1
m2
1
q
1 + Q
E
m1+m2
m2
:
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página

Cap¶³tulo 4
Rotaciones.
4.1 Rotaciones de un sistema.
Se estudiar¶an las rotaciones de un sistema. El sistema a rotar puede ser el
objeto f¶³sico, lo que se denomina punto de vista activo, o el sistema de coor-
denadas, punto de vista pasivo. Ambos puntos de vista di¯eren simplemente
en el sentido de la rotaci¶on.
4.1.1 Rotaciones de un sistema de coordenadas.
Entre los cambios de posici¶on o desplazamientos que puede experimentar
un sistema de coordenadas, o un cuerpo r¶³gido, son importantes los casos
particulares conocidos como traslaciones paralelas y rotaciones. En una tras-
laci¶on, todas las posiciones cambian en un mismo vector desplazamiento ~T
de modo que
~r 0
= ~r + ~T:
Por otro lado, una rotaci¶on, mantiene inalterada las posiciones de todos
los puntos pertenecientes al llamado eje de la rotaci¶on. Al respecto, cabe
destacar el siguiente teorema debido a Euler:
I Teorema 4.1
Todo cambio de posici¶on de un sistema que mantiene un punto ¯jo, puede
ser logrado en forma equivalente mediante una rotaci¶on.
Un enunciado equivalente es:
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página

42 Rotaciones.
I Teorema 4.2
Al cambiar de posici¶on un cuerpo r¶³gido (in¯nitamente extenso) manteniendo
¯jo uno de sus puntos, existe otro punto del cuerpo que recobra su posici¶on
original.
Una demostraci¶on simple de este teorema se encuentra en el libro de Mec¶anica
de Synge y Gri±th.[18]
X
Y
Z
X '
Y '
Z '
Figura 4.1: Rotaci¶on de un sistema
Consideremos un sistema cartesiano de ejes xi (o x, y, x) con vectores unita-
rios ortogonales êi y otro con el mismo origen (el punto que no ha cambiado
de posici¶on) de ejes x0
i (o x0
, y0
, z0
) con vectores unitarios ortogonales ê0
i:. El
¶³ndice i variar¶a entre 1 y 3, ver ¯gura (4.1). Debido al teorema de Euler,
existe una rotaci¶on equivalente al cambio de posici¶on del sistema original al
nuevo sistema.
Cosenos directores.
Los cosenos directores de las direcciones ê0
i, se de¯nen como sus proyecciones
sobre los vectores unitarios originales êi y se denotar¶an por ®i , ¯i, °i (i =
1; 2; 3), as¶³
ê0
1 = ®1ê1 + ®2ê2 + ®3ê3 ;
ê0
2 = ¯1ê1 + ¯2ê2 + ¯3ê3 ;
ê0
3 = °1ê1 + °2ê2 + °3ê3 ;
Indice
página

4.1 Rotaciones de un sistema. 43
o, en notaci¶on matricial
0
@
ê0
1
ê0
2
ê0
3
1
A =
0
@
®1 ®2 ®3
¯1 ¯2 ¯3
°1 °2 °3
1
A
0
@
ê1
ê2
ê3
1
A :
De los nueve cosenos directores hay solo 3 independientes porque la orto-
gonalidad entre los vectores unitarios conduce a seis relaciones entre ellos.
Expl¶³citamente, dichas relaciones son, escritas matricialmente
0
@
®1 ®2 ®3
¯1 ¯2 ¯3
°1 °2 °3
1
A
0
@
®1 ¯1 °1
®2 ¯2 °2
®3 ¯2 °3
1
A =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A ; (4.1)
que adem¶as pueden escribirse
®i®j + ¯i¯j + °i°j = ±i j ;
siendo ±i j el delta de Kronecker. Preferiremos usar la notaci¶on
a1i = ®i; a2i = ¯i; a3i = °i ;
o sea
aij = ê0
i ¢ êj ;
de manera que la relaci¶on (4.1) puede escribirse
AAT
= I; con A = faijg :
La matriz A llamada la matriz de rotaci¶on, por la propiedad anterior, es una
matriz ortogonal.
Rotaci¶on pasiva de un vector.
Aqu¶³ se consideran las rotaciones desde un punto de vista pasivo, es decir
se rota el sistema de coordenadas, y en consecuencia el vector permanece
inalterado pero se modi¯can sus componentes, es decir
~r =
X
i
xiêi =
X
i
x0
iê0
i ;
de donde, por la ortogonalidad de los vectores unitarios, se puede obtener
x0
i =
X
j
aijxj :
Indice
página

44 Rotaciones.
Z
X
Y
!
!
O
Figura 4.2: Rotaci¶on en torno de un eje
Rotaci¶on activa de un vector.
Aqu¶³ se consideran las rotaciones desde un punto de vista activo, es decir se
rota el vector permaneciendo inalterado el sistema de referencia. Esencial-
mente se tiene el mismo resultado, pero ahora
~r =
X
xi^ei ;
~r 0
=
X
x0
i^ei :
Note que se modi¯can las componentes pero se mantienen los mismos vectores
unitarios. La idea es que el vector rotado tiene sus componentes en el sistema
original, iguales a las del vector original en un sistema rotado en sentido
contrario. De modo que
x0
i =
X
j
ajixj ;
donde se ha considerado que R¡1
= RT
:
Ejercicio 4.1.1 Demuestre que una transformaci¶on lineal con una matriz
ortogonal, transformaci¶on ortogonal, conserva el producto escalar entre dos
vectores y sus magnitudes.
Rotaci¶on en torno de los ejes cartesianos.
Una rotaci¶on del sistema en torno de los ejes cartesianos, en sentidos contrario
a los punteros de un reloj, mirando hacia el eje, ver ¯gura (4.2) es realizada
Indice
página

por las siguientes matrices
Rx(µ) =
0
@
1 0 0
0 cos µ sin µ
0 ¡ sin µ cos µ
1
A ;
Ry(µ) =
0
@
cos µ 0 ¡ sin µ
0 1 0
sin µ 0 cos µ
1
A ;
Rz(µ) =
0
@
cos µ sin µ 0
¡ sin µ cos µ 0
0 0 1
1
A :
Rotaci¶on de un vector en un ¶angulo Á respecto a un eje especi¯cado
por ^n:
Considere una rotaci¶on activa de un vector ~r en torno de un eje ^n en un
¶angulo Á en el sentido de avance de ^n: (Esto equivale a una rotaci¶on pasiva
con un ¶angulo de ¡Á: ) De la ¯gura (4.3) es posible demostrar que el vector
rotado ~r 0
puede escribirse
~r 0
= ~r + (sin Á)^n £ ~r + (1 ¡ cos Á)^n £ (^n £ ~r) : (4.2)
n^
)
C
O
C
)
r
r'
n^ x r
n^ n^x x( r )
Figura 4.3: Rotaci¶on activa de un vector
Indice
página

46 Rotaciones.
La expresi¶on (4.2), puede escribirse en notaci¶on matricial. Para ello considere
la siguiente forma de realizar un producto cruz"
~a £~b =
0
@
aybz ¡ azby
azbz ¡ axbz
axby ¡ aybx
1
A =
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A
0
@
bx
by
bz
1
A ;
o sea, en forma matricial, el producto cruz es realizado mediante multiplica-
ci¶on por una matriz 3 £ 3 que llamaremos (~a£)
(~a£) =
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A ;
de modo que, en t¶erminos matriciales
~r 0
=
£
I + (sin Á)(^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
¤
~r; (4.3)
por lo cual, la matriz de la rotaci¶on (activa) es
R^n(Á) =
£
I + (sin Á)(^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
¤
:
Angulo y eje de la rotaci¶on.
Si la matriz de rotaci¶on es conocida, entonces el ¶angulo y el eje son calculables
de acuerdo a
Tr(R) = 1 + 2 cos Á ; (4.4)
R ¡ RT
= 2(sin Á)(^n£) : (4.5)
En efecto la expresi¶on de la matriz de rotaci¶on es
R = I + (sin Á) (^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
:
Debemos recordar que la matriz (n£) es antisim¶etrica y dada por
(^n£) =
0
@
0 ¡nz ny
nz 0 ¡nx
¡ny nx 0
1
A ;
Indice
página

con traza nula. La matriz (n£)2
resulta sim¶etrica con expresi¶on
(^n£)2
=
0
@
¡n2
y ¡ n2
z nxny nxnz
nynx ¡n2
x ¡ n2
z nynz
nznx nzny ¡n2
x ¡ n2
y
1
A ;
y su traza es ¡2. As¶³ resulta entonces
Tr(R) = 3 + (1 ¡ cos Á)(¡2);
que prueba el primer resultado. Ahora considere
RT
= I ¡ (sin Á)(^n£) + (1 ¡ cos Á)(^n£)2
;
de modo que resulta
R ¡ RT
= 2 sin Á (^n£):
Ejercicio 4.1.2 Demuestre que (~a£)3
= ¡ j~aj2
(~a£) :
Ejercicio 4.1.3 Demuestre que formalmente puede escribirse:
R^n(Á) = eÁ (^n£)
:
Rotaciones in¯nitesimales y sus generadores.
Considere la siguiente descomposici¶on:
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A = ax
0
@
0 0 0
0 0 ¡1
0 1 0
1
A+ay
0
@
0 0 1
0 0 0
¡1 0 0
1
A+az
0
@
0 ¡1 0
1 0 0
0 0 0
1
A :
Si se de¯nen
I1 = Ix =
0
@
0 0 0
0 0 ¡1
0 1 0
1
A ;
I2 = Iy =
0
@
0 0 1
0 0 0
¡1 0 0
1
A ;
I3 = Iz =
0
@
0 ¡1 0
1 0 0
0 0 0
1
A ;
Indice
página

48 Rotaciones.
puede probarse directamente que
[Ii; Ij] = IiIj ¡ IjIi = "ijkIk : (4.6)
Las matrices Ii se denominan generadores de rotaciones in¯nitesimales y ellas
obedecen la denominada ¶algebra de Lie, de¯nida por la relaci¶on b¶asica (4.6).
En efecto, si el ¶angulo de rotaci¶on es in¯nit¶esimo, la relaci¶on (4.3) puede
escribirse
~r 0
= ~r + Á(^n£)~r;
es decir
~r 0
= [I + Á(^n£)]~r:
Si un ¶angulo ¯nito Á es descompuesto en n partes, puede obtenerse la expre-
si¶on para una rotaci¶on ¯nita activa al tomar el l¶³mite
~r 0
= lim
n¡!1
µ
I +
Á
n
(^n£)
¶n
~r;
o sea
~r 0
= eÁ(^n£)
~r:
4.1.2 ¶Angulos de Euler.
Una de las diversas formas de parametrizar una rotaci¶on de un sistema, es
mediante los ¶angulos de Euler que de¯niremos de acuerdo a lo siguiente, ver
¯gura (14.3).
² Primero una rotaci¶on en ¶angulo © en torno del eje z original.
² Segundo una rotaci¶on en ¶angulo £ respecto al nuevo eje x (eje n) y
² ¯nalmente una rotaci¶on en ¶angulo ª respecto a la posici¶on del eje z de
la rotaci¶on anterior y que es por lo tanto el eje z (z') ¯nal.
El mismo efecto puede ser logrado haciendo una sucesi¶on de tres rotaciones
en esos mismos ¶angulos pero respecto a los ejes originales. La demostraci¶on
anal¶³tica se deja como problema, aqu¶³ se establece el resultado desde un punto
de vista intuitivo
R = Rz0 (ª)Rn(£)Rz(©) = Rz(©)Rx(£)Rz(ª) ; (4.7)
Indice
página

Z
*
!
X
X '
Y
Y '
Z '
)
Figura 4.4: Angulos de Euler
de modo que la matriz de la rotaci¶on (activa) resultante ser¶a
0
@
cos © ¡ sin © 0
sin © cos © 0
0 0 1
1
A
0
@
1 0 0
0 cos £ ¡ sin £
0 sin £ cos £
1
A
0
@
cos ª ¡ sin ª 0
sin ª cos ª 0
0 0 1
1
A :
Note cuidadosamente que se trata de rotaciones de un punto de vista activo
(rotar el sistema f¶³sico). Si ellas son rotaciones de un punto de vista pasi-
vo (rotar el sistema de coordenadas), todos los ¶angulos involucrados deben
cambiarse de signo.
4.1.3 Par¶ametros de Cayley Klein.
Matrices unimodulares.
Hemos visto que una rotaci¶on depende de tres par¶ametros, por ejemplo cuan-
do est¶a expresada en t¶erminos de los ¶angulos de Euler. Sin embargo es
de inter¶es otra parametrizaci¶on que es interesante por presentar conceptos
te¶oricos importantes. Para ello, consideraremos transformaciones lineales en
un espacio bidimensional de n¶umeros complejos de la forma
u0
= ®u + ¯v; v0
= °u + ±v ;
siendo u; v; u0
; v0
; ®; ¯; °; ± complejos. Adem¶as restringiremos el estudio a
matrices de transformaci¶on Q del grupo SU(2), es decir matrices 2 £ 2,
Indice
página

50 Rotaciones.
unitarias y de determinante +1; matrices que se denominan unimodulares.
Demostraremos luego que las transformaciones de similaridad generadas con
estas matrices, describen rotaciones. Las condiciones que de¯nen las matrices
unimodulares, restringen el n¶umero de par¶ametros reales de las cuales ellas
pueden depender, a s¶olo tres. En efecto, las condiciones son
Q =
µ
® ¯
° ±
¶
; QQy = I; det(Q) = +1 ; (4.8)
entonces
®®?
+ ¯¯?
= 1 ; (4.9)
°°?
+ ±±?
= 1 ; (4.10)
®°?
+ ¯±?
= 0 ; (4.11)
°®?
+ ±¯?
= 0 ; (4.12)
®± ¡ ¯° = 1 : (4.13)
Los par¶ametros ®; ¯; °; ± se denominan par¶ametros de Cayley Klein. Como
la matriz Q tiene en general 8 componentes reales, las 5 condiciones dejan
s¶olo 3 par¶ametros independientes. La eliminaci¶on expl¶³cita no es conveniente
llevarla a cabo completamente. Podemos se~nalar que las relaciones anteriores
conducen a
± = ®?
; ° = ¡¯?
; (4.14)
de modo que las matrices Q pueden expresarse mediante:
Q =
µ
® ¯
¡¯?
®?
¶
; con j®j2
+ j¯j2
= 1: (4.15)
4.1.4 Transformaciones de similaridad.
Consideremos el grupo de matrices P; 2 £ 2, herm¶³ticas con traza nula. La
forma m¶as general de esas matrices es:
P =
µ
z x ¡ iy
x + iy ¡z
¶
; (4.16)
con x; y; z reales. Las transformaciones de similaridad generadas por las
matrices Q, tienen las siguientes propiedades, que se dejan como problemas:
Indice
página

Ejercicio 4.1.4 Demuestre que la transformaci¶on de similaridad de una
matriz A, de¯nida por
A0
= QAQy
tiene las siguientes propiedades:
a) conserva el Lagrange de hermiticidad de A.
b) conserva el determinante de A.
c) conserva la traza de A.
Se desprende entonces que las transformadas de similaridad de las matrices
P; son de la misma forma, es decir
µ
z0
x0
¡ iy0
x0
+ iy0
¡z0
¶
= Q
µ
z x ¡ iy
x + iy ¡z
¶
Q y : (4.17)
Podemos entonces asociar a un punto de coordenadas x; y; z una matriz P.
Debido a que se conserva el determinante, tenemos que se cumple la relaci¶on
b¶asica que de¯ne una rotaci¶on
(x0
)2
+ (y0
)2
+ (z0
)2
= (x)2
+ (y)2
+ (z)2
:
Puede probarse que se trata de rotaciones propias y no hay inversiones de
los ejes. Para expresar expl¶³citamente la matriz de rotaci¶on tridimensional
asociada a una transformaci¶on de similaridad inducida por Q, analicemos lo
siguiente. Las matrices P; pueden escribirse utilizando matrices de Pauli, de
la siguiente manera
P = x
µ
0 1
1 0
¶
+ y
µ
0 ¡i
i 0
¶
+ z
µ
1 0
0 ¡1
¶
; (4.18)
o bien
P = ~r ¢ ~¾ :
siendo
~¾ = ^{¾x + ^|¾y + ^k¾z ;
donde las matrices de Pauli est¶an de¯nidas por
¾x =
µ
0 1
1 0
¶
; ¾y =
µ
0 ¡i
i 0
¶
; ¾z =
µ
1 0
0 ¡1
¶
: (4.19)
Indice
página

52 Rotaciones.
4.1.5 Relaciones entre matrices de Pauli.
Demostraremos las siguientes relaciones que involucran matrices de Pauli:
¾l¾m = i"lmn¾n + I±lm ;
(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ~a ¢~b I + i~¾ ¢ (~a £~b) :
En efecto Las matrices de Pauli est¶an de¯nidas por
¾1 =
µ
0 1
1 0
¶
; ¾2 =
µ
0 ¡i
i 0
¶
; ¾3 =
µ
1 0
0 ¡1
¶
:
de modo que simplemente multiplicamos
¾1¾2 =
µ
0 1
1 0
¶ µ
0 ¡i
i 0
¶
=
µ
i 0
0 ¡i
¶
= i¾3
¾2
1 =
µ
0 1
1 0
¶ µ
0 1
1 0
¶
=
µ
1 0
0 1
¶
= I
y as¶³ agotar todos los productos comparando con el resultado
¾l¾m = i"lmn¾n + I±lm :
Aqu¶³, el s¶³mbolo "lmn tiene valores
"lmn =
8
<
:
1 si lmn es permutaci¶on par de 123
¡1 si lmn es permutaci¶on impar de 123
0 si hay ¶³ndices repetidos
La otra relaci¶on. Usando convenci¶on de suma sobre ¶³ndices repetidos, sigue
que
(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ¾lal¾mbm
= (i"lmn¾n + I±lm)albm
= i"lmn¾nalbm + I±lmalbm
= i¾n"nlmalbm + Ialbl
pero (~a £~b)n = "nlmalbm por lo tanto
(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ~a ¢~b I + i~¾ ¢ (~a £~b):
Indice
página

4.1.6 Par¶ametros de Euler.
Por razones que se justi¯car¶an enseguida, las partes reales de ® y ¯; denomi-
nados par¶ametros de Euler conviene de¯nirlos mediante
® = ®0 + inz; ¯ = ny + inx : (4.20)
Entonces, las matrices Q pueden escribirse tambi¶en en t¶erminos de matrices
de Pauli (4.15)
Q = ®0I + i~n ¢ ~¾ ;
por lo cual la transformaci¶on de similaridad (4.17) puede escribirse
~r 0
¢ ~¾ = (®0I + i~n ¢ ~¾)(~r ¢ ~¾)(®0I ¡ i~n ¢ ~¾) ;
expresi¶on que, con las propiedades del problema anterior, puede reducirse a
la forma siguiente
~r 0
¢ ~¾ = (~r ¡ (2®0n)^n £ ~r + (2n2
)^n £ (^n £ ~r)) ¢ ~¾ ;
que cuando es comparada con la f¶ormula de la rotaci¶on ¯nita (4.3), conduce
a
n = ¡ sin
Á
2
; ®0 = cos
Á
2
: (4.21)
En resumen, la asociaci¶on de las matrices Q; con la rotaci¶on que ellas efect¶uan,
¶angulo Á y eje de la rotaci¶on ^n; puede escribirse
Q =
µ
cos
Á
2
¶
I ¡ i
µ
sin
Á
2
¶
^n ¢ ~¾ :
Ejercicio 4.1.5 Demuestre las relaciones (4.21).
Ejercicio 4.1.6 Demuestre que otra forma de la matriz Q es:
Q = e¡iÁ
2
^n¢~¾
:
Ejercicio 4.1.7 Demuestre que la matriz Q; asociada a una rotaci¶on activa
en t¶erminos de los ¶angulos de Euler es :
Q =
Ã
e¡i©
2 0
0 ei©
2
! µ
cos £
2
¡i sin £
2
¡i sin £
2
cos £
2
¶ Ã
e¡iª
2 0
0 eiª
2
!
; (4.22)
o bien
Q =
Ã
cos £
2
e¡i©+ª
2 ¡i sin £
2
e¡i©¡ª
2
¡i sin £
2
e¡i©¡ª
2 cos £
2
e¡i©+ª
2
!
:
Indice
página

54 Rotaciones.
Aunque hemos analizado esta representaci¶on de dos dimensiones del grupo de
rotaciones, en el contexto de realizar rotaciones de vectores de 3 dimensiones,
esta representaci¶on adquiere todo su sentido, al considerar el grupo SU(2)
y su relaci¶on con el spin 1=2 en Mec¶anica Cu¶antica. M¶as sobre la conexi¶on
entre el grupo O(3) y SU(2); puede encontrarse en la siguiente referencia [8],
pag. 281.
4.2 Velocidad angular.
4.2.1 Descomposici¶on del movimiento.
Un cambio de posici¶on arbitrario de un sistema o de un cuerpo r¶³gido, puede
ser en general logrado en forma equivalente mediante una traslaci¶on pura, que
lleva alguno de sus puntos A a su posici¶on ¯nal A0
, seguido de una rotaci¶on
pura en torno de un eje que pasa por el punto A0
, en un cierto ¶angulo.
Entonces el cambio de todo vector posici¶on de un punto P perteneciente al
cuerpo r¶³gido, podr¶a escribirse:
±
¡!
OP = ±
¡!
OAtraslaci¶on + ±
¡!
AProtaci¶on :
Si el cambio de posici¶on es ¯nito, nada podemos decir de las posiciones
intermedias que ocup¶o el cuerpo para pasar de su posici¶on inicial a la ¯nal.
Sin embargo, si el intervalo de tiempo transcurrido entre ambas posiciones es
in¯nit¶esimo, dt; entonces la descomposici¶on anterior, nos describe en forma
continua las posiciones que ocupa el cuerpo mediante
d
¡!
OP = d
¡!
OA + d
¡!
AP ;
o sea
d
¡!
OP = d
¡!
OA + dÁ ^n £
¡!
AP ;
que si se divide por dt, constituye una relaci¶on entre velocidades de dos
puntos A; P del cuerpo r¶³gido, es decir
~vP = ~vA +
dÁ
dt
^n £
¡¡!
AP :
Si de¯nimos
~! =
dÁ
dt
^n ; (4.23)
Indice
página

4.3 Problemas. 55
la denominada velocidad angular instant¶anea del cuerpo r¶³gido, se obtiene
~vP = ~vA + ~! £
¡!
AP : (4.24)
Lo anterior es algo enga~noso. La existencia del ¶angulo de rotaci¶on y de su
eje, est¶a garantizada por el teorema de Euler, sin embargo en la pr¶actica, su
determinaci¶on no es obvia. En este contexto, es ¶util el llamado teorema de
adici¶on de velocidades angulares.
4.2.2 Teorema de adici¶on de velocidades angulares.
Si se tienen dos sistemas de referencia, S0 y S1 con origen com¶un, y adem¶as
un cuerpo r¶³gido (CR) que mantiene un punto ¯jo en el origen com¶un, ver
¯gura (4.5), se deja como ejercicio probar el siguiente teorema que relaciona
velocidades angulares relativas (rel):
I Teorema 4.3
La velocidad angular puede descomponerse de la siguiente forma
~!CR rel S0
= ~!CR rel S1
+ ~!S1 rel S0
X
Y
Z
X '
Y '
Z '
CR
S
S1
o
Figura 4.5: Adici¶on de velocidades angulares
4.3 Problemas.
Ejercicio 4.3.1 Demuestre que las componentes de la velocidad angular de
un sistema r¶³gido, en t¶erminos de los ¶angulos de Euler, est¶an dadas por:
Indice
página

56 Rotaciones.
a) En el sistema de ejes m¶oviles:
!x0 = _µ cos Ã + _Á sin µ sin Ã ;
!y0 = ¡_µ sin Ã + _Á sin µ cos Ã ;
!z0 = _Ã + _Á cos µ :
b) En el sistema de ejes ¯jos:
!x = _Ã sin µ sin Á + _µ cos Á ;
!y = ¡ _Ã sin µ cos Á + _µ sin Á ;
!z = _Ã cos µ + _Á :
Ejercicio 4.3.2 Si se considera un vector de magnitud constante ~r(t) obte-
nido mediante una rotaci¶on R(t) del vector inicial ~r(0), demuestre que existe
una matriz antisim¶etrica (t) tal que
d~r(t)
dt
= (t)~r(t) ;
y que ello equivale a
d~r(t)
dt
= ~!(t) £ ~r(t) ;
donde ~!(t) es llamado el vector velocidad angular.
Ejercicio 4.3.3 Determine las componentes del vector ~!(t) del problema
anterior, en t¶erminos de las componentes de la matriz R(t):
Ejercicio 4.3.4 Si las velocidades de tres puntos de un r¶³gido son conoci-
das, demuestre que:
~! =
(~vB ¡ ~vA) £ (~vC ¡ ~vA)
(~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC
; si (~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC 6= 0 :
Ejercicio 4.3.5 Obtenga una expresi¶on para la velocidad angular ~!, en el
caso en que no se cumpla la condici¶on (~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC 6= 0 del problema
anterior. Indicaci¶on: Si (~vB ¡ ~vA) ¢
¡!
AC = 0; entonces ~! £
¡!
AB ¢
¡!
AC = 0, lo
que quiere decir que la velocidad angular est¶a en el plano ABC. Se puede
Indice
página

4.3 Problemas. 57
entonces expresar la velocidad angular como una combinaci¶on lineal de
¡!
AB
y
¡!
AC con coe¯cientes determinables, obteni¶endose
~! =
(~vC ¡ ~vA) ¢ (
¡!
AB £
¡!
AC)
¡!
AB + (~vA ¡ ~vB) ¢ (
¡!
AB £
¡!
AC)
¡!
AC
¯
¯
¯
¡!
AB £
¡!
AC
¯
¯
¯
2
Ejercicio 4.3.6 Demuestre la equivalencia establecida en la ecuaci¶on (4.7).
Indice
página

Cap¶³tulo 5
Sistema r¶³gido de part¶³culas.
5.1 Cantidades cinem¶aticas.
Las cantidades cinem¶aticas, que dependen de las velocidades de las part¶³culas
del cuerpo, adquieren una forma especial cuando se trata de un sistema r¶³gido
de part¶³culas. De acuerdo a lo estudiado en el cap¶³tulo sobre rotaciones, la
descripci¶on del movimiento de un cuerpo r¶³gido puede hacerse en t¶erminos
de tres coordenadas que den cuenta de los desplazamientos de un punto
del cuerpo y de tres ¶angulos o par¶ametros que den cuenta de las rotaciones
del cuerpo. Por esa raz¶on existen en general solo seis variables necesarias
en la descripci¶on del movimiento de un cuerpo r¶³gido y por lo tanto, es
su¯ciente considerar solamente las seis ecuaciones escalares (1.2) y (1.3), o
bien reemplazar alguna de ellas por el teorema de conservaci¶on de energ¶³a, si
ello corresponde. Aqu¶³ solamente indicaremos las consideraciones especiales
que permiten expresar tanto la energ¶³a cin¶etica y el momentum angular de
un cuerpo r¶³gido, en t¶erminos de su velocidad angular y la matriz de inercia.
Las ecuaciones din¶amicas aplicables son aquellas reci¶en citadas de un sistema
de part¶³culas. Considerando la relaci¶on b¶asica entre las velocidades de dos
puntos de un cuerpo r¶³gido, ver ¯g.(5.1)
~v = ~vA + ~! £ ~r;
Indice
página

60 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
podemos expresar el momento angular de un sistema r¶³gido de part¶³culas que
mantiene un punto O ¯jo como
~LO =
X
i
mi~ri £ (~! £ ~ri); (5.1)
o bien, para un cuerpo r¶³gido continuo que mantiene un punto O ¯jo
~LO =
Z
dm~r £ (~! £ ~r ): (5.2)
O
A
dm
r
O
dm
r
v=v +% x r
A
v= % x r
Figura 5.1: Velocidades de un r¶³gido
Si se considera la siguiente forma de realizar un producto cruz (ver rotacio-
nes)
~a £~b =
0
@
0 ¡az ay
az 0 ¡ax
¡ay ax 0
1
A
0
@
bx
by
bz
1
A = (~a£)~b;
cualquiera de las dos expresiones (5.1) o (5.2) puede escribirse, al usar nota-
ci¶on matricial, de la siguiente forma
~LO = HO~!:
donde HO es una matriz 3 £ 3, la denominada matriz de inercia del sistema
relativa al origen O y que, para el caso de un cuerpo r¶³gido continuo, por
de¯nici¶on es
HO = ¡
Z
dm (~r£)2
:
Indice
página

5.1 Cantidades cinem¶aticas. 61
y para un sistema r¶³gido de part¶³culas
HO = ¡
X
mi (~ri£)2
:
5.1.1 Energ¶³a cin¶etica y momentum angular.
Se deja como ejercicio, en este resumen, probar que:
Ejercicio 5.1.1 En el movimiento general de un sistema r¶³gido de part¶³culas,
pruebe que:
~LO = M~rG £ ~vG + HG~!;
~LG = HG~!;
K =
1
2
Mv2
G +
1
2
~! ¢ HG~!
Ejercicio 5.1.2 En el caso que un punto 0 se mantenga ¯jo, pruebe que:
~LO = M~rG £ ~vG + HG~! = HO~!;
~LG = HG~!;
K =
1
2
Mv2
G +
1
2
~! ¢ HG~! =
1
2
~! ¢ H0~!:
5.1.2 Algunas propiedades de la matriz de inercia.
La expresi¶on expl¶³cita de la matriz de inercia (sus componentes), depende
del origen elegido, as¶³ como de la orientaci¶on de los ejes. Sus componentes
las indicaremos de acuerdo a
H =
0
@
Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
1
A ;
siendo los elementos de la diagonal llamados momentos de inercia y los de
fuera de la diagonal, productos de inercia
Ixx =
Z
dm(y2
+ z2
); Iyy =
Z
dm(x2
+ z2
); etc.
Ixy = Iyx = ¡
Z
xydm; etc.
Indice
página

62 Sistema r¶³gido de part¶³culas.
Por ser la matriz de inercia una matriz real sim¶etrica, ella puede ser dia-
gonalizada. Las direcciones para las cuales ella es diagonal, se denominan
direcciones o ejes principales de inercia del cuerpo, en el punto seleccionado.
Cuando hay dos valores propios repetidos, todos los ejes del plano corres-
pondiente a esos dos vectores propios, son ejes principales de inercia. Si los
tres valores propios son iguales, todo eje es en ese punto es principal de iner-
cia. En cualquier caso, siempre es posible escoger tres direcciones principales
de inercia ortogonales entre si. Las propiedades de simetr¶³a de un cuerpo,
cuando existen, ayudan en la determinaci¶on de las direcciones principales de
inercia. Para lo que sigue, consideraremos cuerpos r¶³gidos homog¶eneos de
modo que las propiedades de simetr¶³a del cuerpo coinciden con sus simetr¶³as
geom¶etricas. Pueden entonces probarse los siguientes teoremas:
5.1.3 Teoremas
I Teorema 5.1
Todo eje de simetr¶³a, es principal de inercia en todos sus puntos.
I Teorema 5.2
Un eje perpendicular a un plano de simetr¶³a de re°exi¶on, es principal de
inercia donde se intersectan.
I Teorema 5.3
Un eje paralelo a un eje de simetr¶³a, es principal de inercia donde lo corta
perpendicularmente el plano que contiene al centro de masas.
5.1.4 El elipsoide de inercia.
Las consideraciones anteriores admiten una visualizaci¶on gr¶a¯ca. La forma
cuadr¶atica
~r T
¢ HO~r = 1;
o bien desarrollada expl¶³citamente en la forma
x2
Ixx + y2
Iyy + z2
Izz + 2Ixyxy + 2Ixzxz + 2Iyzyz = 1
representa en general, un elipsoide centrado en el origen seleccionado del
cuerpo pero rotado respecto a los ejes elegidos, ver ¯gura (5.2). Los semiejes
del elipsoide ser¶an en consecuencia los ejes principales de inercia del cuer-
po en ese origen, puesto que para esos ejes, la forma cuadr¶atica no tiene
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