Este documento explica el concepto de derivación implícita y cómo realizarla. Se define una función implícita como aquella donde las dos variables no están expresadas explícitamente, sino implícitas en una ecuación. Se presentan tres pasos para derivar implícitamente: 1) derivar ambos lados de la ecuación, 2) agrupar términos con la variable a derivar y pasar otros a un lado, 3) despejar la derivada. Se proveen tres ejemplos resueltos que ilustran este proceso. Adicionalmente, se explica
1. Derivación Implícita
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Instituto Universitario De Tecnología “Antonio José De Sucre”
Barquisimeto Edo-Lara
Estudiante:
Víctor Cañizalez
CI. 21299533
2. Derivación Implícita
En General lasfuncionesse hanpresentadode laforma ,expresandounavariable en
términosde laotra, perose da el caso donde las2 variablesestánimplícitas.
En loscursos de cálculola mayorparte de las funciones conque trabajamosestánexpresadasen
formaexplícita,comoenla ecuacióndónde lavariable yestáescritaexplícitamente comofunción
de x. Sinembargo,muchasfunciones,porel contrario,estánimplícitasenunaecuación.Lafunción
y = 1 / x, viene definidaimplícitamente porlaecuación:x y= 1.
Estrategia para la Derivación Implícitas
1. Derivarambos ladosde la ecuaciónrespectode x
2. Agrupar todoslostérminosenque aparezca en el ladoizquierdode laecuaciónypasar
todoslosdemása la derecha.
3. Sacar factor común en laizquierda.
4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda
Ejemplo # 1
si , encontrar .
Derivamosambosladosde laecuación.
Recordemosque yesuna funciónde x por lo que al derivarlaaplicaremoslareglade lacadena.
y resolvemospara .
3. Ejemplo #2
Encontrar y' de:
Aplicamoslogaritmonatural enambosladosde laecuación,paraquitarel exponente x.
Por leyesde loslogaritmos.
Derivamosimplícitamente.
Despejamosy'-
Sustituimosy.
4. Ejemplo #3
Derivamosimplícitamente:
Dejamosyprima de un sololado
AplicamosFactorcomúny prima
dividimos de amboslados
Funciones explícitas y funciones implícitas
En loscursos de cálculola mayorparte de las funcionesconque trabajamosestánexpresadas
enforma explícita, comoenla ecuación
Dónde la variable yestáescritaexplícitamente comofunciónde x.Sinembargo,muchas
funciones,porel contrario,están implícitasenunaecuación.Lafuncióny= 1 / x, viene
definidaimplícitamente porlaecuación:x y= 1.
Si queremoshallarladerivada paraesta últimaecuación,lohacemosdespejandoy,así,y = 1 /
x = x -1
, obteniendosuderivadafácilmente: .
5. El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemosque cuandose derivantérminosque solocontienenax,laderivaciónserálahabitual.
Sinembargo,cuandotengamosque derivaruntérminodonde aparezcalay,será necesarioaplicar
la reglade la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí lasvariablescoinciden:se derivanormalmente.
Ejemplo 2:
Aquí lasvariables nocoinciden:se usareglade la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar ,de la funciónimplícita:
Aplicandolanotación ,acada términoy extrayendolasconstantes;
.
En el primertérminolasvariablescoinciden,se derivannormalmente,enel segundotérminose
aplicala derivadade unproducto(primerparéntesiscuadrado),lomismoenel tercertérmino.
.
La reglade la cadenase aplicael término ,comopuede observarse acontinuación
claramente enel segundoparéntesis,
