Digital 30929

Obtención del diagrama momento - curvatura | 1
Obtención del diagrama momento - curvatura en muros de concreto reforzado
Heverth Fabián Romero Martínez
Omar Andrés Quiroga Becerra
Universidad Pontificia Bolivariana
Escuela de Ingenierías
Facultad de Ingeniería Civil
Bucaramanga
2015

Obtención del diagrama momento - curvatura en muros de concreto reforzado
Heverth Fabián Romero Martínez
Tesis de grado como requisito para optar al título de ingeniero civil
Director:
Robinson Mantilla García
ESP. Ingeniería Civil
Universidad Pontificia Bolivariana
Escuela de Ingenierías
Facultad de Ingeniería Civil
Bucaramanga
2015

Nota de Aceptación
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Firma del presidente del jurado
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Firma del jurado
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Firma del jurado
Bucaramanga, Noviembre 2015

Dedicatoria
Primero que todo a Dios, quien es nuestra guía y apoyo sin el nada de esto fuera posible por
esta razón todos nuestros triunfos y metas logradas primero, la dedicamos y agradecemos a él.
A Nuestros padres que desde el principio nos han apoyado, que con su amor, su confianza,
entendimiento y esfuerzo han logrado atribuir algo más a nuestras vidas y hoy por hoy gracias a
todo lo que nos han brindado hemos obtenido este gran triunfo.
A nuestros amigos, profesores y familiares quienes día a día con su compañía nos llenaron
de confianza, de grandes enseñanzas y aprendizaje para llevar a cabo esta etapa de nuestras vidas
de la mejor manera, quienes siempre con su voz de aliento hicieron que nunca nos rindiéramos y
pudiéramos afrontar todas la adversidades y problemas que se nos presentaban día a día de la
mejor manera.
Heverth Fabián Romero

Agradecimientos
Primero que todo queremos agradecer a Dios ya que gracias a él, todo es Posible, por darnos
el entendimiento, salud, y la sabiduría para afrontar de la mejor manera nuestra etapa estudiantil.
A nuestros padres por toda su colaboración, esfuerzo y dedicación quienes siempre nos
estuvieron acompañando y estuvieron pendientes de nuestro porvenir, quienes con sus consejos,
regaños y compañía nos hicieron madurar en esta etapa de nuestras vidas y poder afrontar este
proceso con mucha responsabilidad y esfuerzo.
A nuestro director de proyecto el ingeniero especialista Robinson Mantilla por su dedicación,
su sabiduría y el tiempo prestado, ya que logro transmitir sus conocimientos con paciencia y
sencillez inculcándonos responsabilidad y madurez para llevar a cabo el proyecto y poder así
afrontar nuestras vidas profesionales de la mejor manera.
A todo el cuerpo de docentes de la facultad de ingeniería Civil, que influyeron en nuestras
vidas profesionales y personales, que con dedicación nos forjaron en calidad con sentido humano,
disponiendo para nosotros de su tiempo y experiencia
Y por último pero no menos importante a todos nuestros amigos y familiares que con sus
consejos y su compartir a diario con nosotros hicieron de este proceso un proceso más llevadero y
mucho más fácil para afrontar ya que siempre estuvieron ahí, para nosotros.
Infinitas Gracias

Contenido
Pág.
Introducción .................................................................................................................................. 13
1. Generalidad del proyecto.......................................................................................................... 16
1.1 Formulación del problema .......................................................................................... 16
1.2 Objetivos ..................................................................................................................... 17
1.2.1 Objetivo general........................................................................................... 17
1.2.2 Objetivos específicos.................................................................................... 17
1.3 Justificación................................................................................................................. 17
1.4 Alcance........................................................................................................................ 18
1.5 Metodología ................................................................................................................ 19
2. Momento - curvatura................................................................................................................. 21
2.1 Definición momento - curvatura................................................................................. 21
2.1.1 Definición de los principales componen el diagrama M-φ.......................... 23
2.1.1.1 Inicio del agrietamiento ................................................................ 23
2.1.1.2 Fluencia del acero......................................................................... 23
2.1.1.3 Momento ultimo............................................................................. 23
2.1.1.4 Momento ultimo confinado............................................................ 24
2.2 Relación momento-curvatura m-φ .............................................................................. 24
2.3 Diagrama momento-curvatura .................................................................................... 25
2.3.1 Modelo bilineal ............................................................................................ 26
2.3.2 Comportamiento inelástico de las estructuras: ........................................... 26
2.4 Sistemas estructurales ................................................................................................. 27
2.4.1 Sistema de muros de carga........................................................................... 28
2.4.2 Sistema combinado: ..................................................................................... 30
2.4.3 Sistema de pórtico ........................................................................................ 31

2.4.4 Sistema dual ................................................................................................. 34
2.5 Modelos de comportamiento para el concreto armado ............................................... 36
2.5.1 Modelo esfuerzo deformación acero............................................................ 36
2.5.1.1 Modelo elastoplástico perfecto...................................................... 37
2.5.1.2 Modelo trilineal............................................................................. 38
2.5.1.3 Modelo elastoplástico perfecto...................................................... 40
2.6 Modelo esfuerzo deformación concreto...................................................................... 41
2.6.1 Concreto no confinado................................................................................. 41
2.6.2 Modelos para concreto no confinado........................................................... 43
2.6.2.1 Modelo Jensen............................................................................... 43
2.6.2.2 Modelo de Whitney........................................................................ 43
2.6.2.3 Modelo de Hognestad.................................................................... 44
2.6.2.4 Modelo CEB .................................................................................. 46
2.6.3 Concreto confinado...................................................................................... 47
2.6.3.1 Modelo de Kent y Park.................................................................. 48
2.6.3.2 Modelo de Mander ........................................................................ 50
3. Deformación máxima y ductilidad de miembros sometidos flexión ....................................... 55
3.1. Relaciones momentos-curvatura................................................................................ 56
3.1.1 Curvatura de un Miembro............................................................................ 56
3.1.2 Determinación teórica de la relación Momento-Curvatura ........................ 61
3.2. Ductilidad de secciones de viga de concreto no confinado........................................ 66
3.2.1 Cedencia, momento máximo y curvatura..................................................... 66
3.3. Ductilidad de secciones de columnas de concreto no confinado ............................... 76
4. Modelación Csicol .................................................................................................................... 80
5. Descripción y evaluación del muro pantalla............................................................................. 82
5.1 Descripción ................................................................................................................. 82
5.2 Análisis y evaluación teórica del muro pantalla ......................................................... 82
5.3 Gráfica momento curvatura considerando refuerzo a tracción-compresión y
confinamiento del concreto............................................................................................... 83
5.3.1 Fisuramiento. ............................................................................................... 85
5.3.2 Cedencia (fluencia):..................................................................................... 86

5.3.3 Momento ultimo............................................................................................ 89
5.3.4. Momento ultimo confinado.......................................................................... 91
5.4 Modelación en Csiscol................................................................................................ 96
5.5. Modelación en macros de Excel .............................................................................. 100
5.5.1. Que son las macros de Excel..................................................................... 100
5.5.2 Para qué sirven las macros de Excel ......................................................... 100
5.5.3 Tutorial para manejar el aplicativo para hallar momento-curvatura en
macros de Excel. ................................................................................................. 101
6. Análisis de resultados ............................................................................................................. 110
7. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................................... 113
Referencias bibliográficas........................................................................................................... 115

Lista de Figuras
Pág.
Figura 1. Estados limites en el diagrama momento-curvatura..................................................... 22
Figura 2. Diagrama momento-curvatura m-φ .............................................................................. 24
Figura 3. Diagrama momento - curvatura.................................................................................... 25
Figura 4. Sistema muros cargueros .............................................................................................. 30
Figura 5. Sistema de pórticos....................................................................................................... 33
Figura 6. Sistema dual.................................................................................................................. 35
Figura 7. Modelo trilineal............................................................................................................. 40
Figura 8. Modelo bilineal............................................................................................................. 41
Figura 9. Curvas esfuerzo deformación a compresión en cilindros ............................................. 42
Figura 10. Modelo Whitney ......................................................................................................... 44
Figura 11. Modelo de Hognestad ................................................................................................. 45
Figura 12. Modelo CEB ............................................................................................................... 46
Figura 13. Comparación curva esfuerzo-deformación entre concreto simple y concreto
confinado....................................................................................................................................... 49
Figura 14. Modelo esfuerzo-deformación propuesto por Mander ............................................... 50
Figura 15. Factor de confinamiento λ para secciones cuadradas o rectangulares........................ 54
Figura 16. Curvas esfuerzo – deformación de materiales que presentan fracturas dúctil y f
rágil. .............................................................................................................................................. 56
Figura 17. Deformación de un miembro a flexión....................................................................... 57
Figura 18. Relación momento-curvatura para secciones de vigas simplemente reforzadas. ....... 59
Figura 19. Curvas idealizadas momento-curvatura para sección simplemente reforzada que
falla a tensión ................................................................................................................................ 61
Figura 20. Determinación teórica momento-curvatura ................................................................ 62
Figura 21. Curva esfuerzo-deformación del acero y el concreto ................................................. 66

Figura 22. Relación teórica momento-curvatura.......................................................................... 66
Figura 23. Sección de viga doblemente reforzada con flexión .................................................... 68
Figura 24. Distribuciones de esfuerzo deformación para la misma fuerza de compresión
cuando el acero alcanza el esfuerzo de cedencia. ......................................................................... 70
Figura 25. Variación y para vigas con concreto no confinado y Fy= 276 N/mm^2 .................. 75
Figura 26. Variación y para vigas con concreto no confinado y Fy= 414 N/mm^2 ................ 76
Figura 27. Resistencia y ductilidad de una sección de columna .................................................. 78
Figura 28. Curva momento – curvatura para secciones de columnas en distintos niveles de
carga axial..................................................................................................................................... 79
Figura 29. Determinación de la resistencia a la compresión del concreto confinado en
secciones rectangulares................................................................................................................. 93
Figura 30. Gráfica momento curvatura metodología de confinamiento ...................................... 96
Figura 31. Distribución longitudinal en Csicol............................................................................ 97
Figura 32. Características de los materiales................................................................................. 98
Figura 33. Localización de barras de refuerzo ............................................................................. 98
Figura 34. Gráfica momento curvatura muro 20 cm * 120 cm.................................................... 99
Figura 35. Puntos a graficar en el diagrama momento-curvatura ............................................... 99
Figura 36. Presentación de aplicativo en macros de Excel ........................................................ 102
Figura 37. Datos de entrada para el aplicativo............................................................................ 104
Figura 38. Punto 1 grafica momento curvatura "Fisuración ...................................................... 105
Figura 39. Punto 2 grafica momento curvatura "Cedencia ........................................................ 106
Figura 40. Punto 3 grafica momento curvatura "Momento ultimo"........................................... 107
Figura 41. Punto 4 grafica momento curvatura "Momento ultimo confinado".......................... 108
Figura 42. Grafica momento curvatura realizada por la macros................................................ 109
Figura 43. Comparación de las gráficas realizadas a partir de los datos obtenidos
teóricamente y la obtenida mediante CSICOL .......................................................................... 112

Lista de Tablas
Pág.
Tabla 1. Características del elemento .......................................................................................... 83
Tabla 2. Etapa 1 figuración .......................................................................................................... 86
Tabla 3. Etapa 2 (cedencia).......................................................................................................... 88
Tabla 4. Etapa 3 (Momento Ultimo)............................................................................................. 90
Tabla 5. Etapa 4 Momento ultimo confinado................................................................................ 94
Tabla 6. Puntos de grafica momento-curvatura ........................................................................... 95
Tabla 7. Coordenadas momento curvatura considerando confinamiento.................................. 110
Tabla 8. Coordenadas momento curvatura mediante el software CSICOl ................................ 110

RESUMEN GENERAL DE TRABAJO DE GRADO
TITULO: OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA MOMENTO - CURVATURA EN MUROS
DE CONCRETO REFORZADO
AUTOR(ES): HEVERTH FABIÁN ROMERO MARTÍNEZ - OMAR ANDRÉS QUIROGA
BECERRA
FACULTAD: Facultad de Ingeniería Civil
DIRECTOR(A): ROBINSON MANTILLA GARCÍA
RESUMEN
La ductilidad es uno de los requisitos y parámetros más relevantes e importantes dentro del diseño
sismo resistente, ya que relaciona la capacidad estructural de un sistema (edificación, puente, muro
de contención, etc.), en el rango elástico y plástico en función de los desplazamientos del elemento.
El proyecto presentado muestra el comportamiento dúctil de un muro pantalla con dimensiones de
(20*120), la cual se diseñó basado en los parámetros del diseño sismo resistente de la NSR- 10 y
sometida a un análisis para calcular el momento-curvatura de la sección transversal del elemento
estructural (muro pantalla) teniendo como base el programa CSICOL y el modelo de diseño propuesta
por Park, Paulay, Priestley. Para así, una vez ya habiendo obtenido los resultados y comparados
posteriormente, poder realizar la MACROS en Excel que nos permita de una manera fácil y sencilla
poder calcular el momento-curvatura para cualquier tipo de Muro estructural. Al realizar la
comparación entre los datos obtenidos teóricamente y los modelados computacionalmente (CSICOL)
se observa que las deformaciones varían notablemente de igual forma el momento de fisuración, más
sin embargo los momentos últimos donde se puede decir que la estructura colapsa son realmente
cercanos. Por lo que se concluye que la ductilidad de cada estructura y el momento-curvatura varía
dependiendo del método utilizado debido a esto para futuras investigaciones se podrían hacer una
prueba de laboratorio donde se elaboren especímenes, en este caso muros pantalla para corroborar
de una mejor manera los datos obtenidos teóricamente y los modelos en los programas
computacionales.
PALABRAS CLAVES:
ductilidad, momento - curvatura, Csicol, Muro pantalla, Macros de Excel
V° B° DIRECTOR DE TRABAJO DE GRADO

GENERAL SUMMARY OF WORK OF GRADE
TITLE: OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA MOMENTO - CURVATURA EN MUROS
DE CONCRETO REFORZADO
AUTHOR(S): HEVERTH FABIAN ROMERO MARTINEZ - OMAR ANDRES QUIROGA
BECERRA
FACULTY: Facultad de Ingeniería Civil
DIRECTOR: ROBINSON MANTILLA GARCÍA
ABSTRACT
The ductility is one of the requirements and more relevant and important parameters inside the design
resistant earthquake, since it relates the structural capacity of a system (building, bridge, wall of
containment, etc.), in the elastic and plastic range depending on the displacements of the element.
The presented project shows the ductile behavior of a wall screen with the above mentioned
dimensions (20*120), which designed based on the parameters of the design resistant earthquake of
the NSR - 10 and submitted to an analysis to calculate the moment - curvature of the transverse section
of the structural element (wall screen) taking as a base the program CSICOL and the model of design
proposed by Park, Paulay, Priestley. For this way, once already having obtained the results and
compared later, to be able to realize the MACROS in Excel that allows us in an easy and simple way
to be able to calculate the moment - curvature for any type of structural Wall. On having realized the
comparison between the information obtained theoretically and the shaped ones the computational
(CSICOL) observes that the deformations change notably of equal form the moment of fracture, more
nevertheless the last moments where it is possible to say that the structure collapses are really nearby.
For what one concludes that the ductility of every structure and the moment - curvature changes
depending on the method used due to this for future investigations a laborator test might be done
where specimens are elaborated, in this case walls screen to corroborate of a better way the
information obtained theoretically and the models in the computational programs.
KEYWORDS:
Ductility, moment - curvature, Csicol, slurry wall, Macros of Excel.
V° B° DIRECTOR OF GRADUATE WORK

Introducción
La relación momento curvatura que se denominará M −φ depende de los modelos
Constitutivos que se consideren para el acero y para el hormigón. Si se considera un modelo elasto-
plasto para el acero y el bloque rectangular de Whitney (1942) para el hormigón, la ductilidad por
curvatura μφ que se obtiene es baja. En cambio si se considera un modelo trilineal para el acero,
que contemple incremento de resistencia en la zona de endurecimiento y si se considera un modelo
de hormigón confinado se tendrán valores altos de μφ. (Aguilar, Vallejo, Salazar, Toscano.,
Chilizua, & Rodriguez).
Teniendo en cuenta que la gráfica momento curvatura permite conocer la deformación de un
elemento (viga o columna) en su ángulo de giro por medio de una carga creciente. Este
procedimiento es necesario para entender el daño estructural en diferentes estados de la sección
que se van a presentar en las columnas. Los puntos de análisis son Inicio del agrietamiento,
Fluencia del acero, Entre la fluencia del acero y resistencia última y Resistencia última.
El comportamiento de elementos de concreto reforzado sometidos a flexión puede
comprenderse de manera más clara mediante el uso de las gráficas que relacionan el momento
flexiónate resistente en una sección con la curvatura correspondiente. Sin embargo aunque en la
mayoría de los textos relacionados con el concreto reforzado se resalta la importancia de estas
gráficas, no se presenta el procedimiento para su obtención.
Se presenta el procedimiento para determinar cuatro puntos relevantes de las gráficas
momento – curvatura Ya antes mencionados de secciones transversales rectangulares de concreto

reforzado. La magnitud y la posición de la fuerza resultante de compresión en el concreto, después
de la etapa elástica, se obtienen mediante el diagrama esfuerzo – deformación unitaria, Se
considera una curva parabólica en el intervalo 0 ≤ εc ≤ 0.002 y una línea recta en el intervalo 0.002
≤ εc ≤ 0.004 y que se presenta en la ilustración 1. La deformación máxima útil en el concreto se
considera εcu = 0.003 (Vargas Marín & González Alonso.).
Teniendo todo esto como conocimiento lo que queremos es implementar por medio de macros
de Excel una herramienta computacional la cual nos facilite la obtención del diagrama de
momento- curvatura para elementos estructurales, basándonos en las diferentes teorías y modelos
desarrollados ya existentes, para así tener una herramienta practica que nos facilite el análisis de
resultados al momento de saber los esfuerzos y la fluencia a los cuales son sometidos dichos
elementos estructurales.

1. Generalidad del proyecto
1.1 Formulación del problema
Todo parte de lograr buscar métodos y programas que nos faciliten las cosas, que sean fáciles
de usar, de fácil acceso y conocidos, por este motivo queremos emplear y utilizar Excel con
verificaciones en el programa CSICOL para obtener diagramas de momento - curvatura para
muros en concreto reforzado, así lograr tener una herramienta de trabajo de fácil uso que nos
permita mirar la capacidad a flexión de una sección de un muro estructural y lograr entender su
comportamiento ante el incremento de las solicitaciones desde su estado original hasta la falla.
Esto obviamente para cualquier tipo de muro sin importar sus dimensiones, el esfuerzo máximo
de compresión del concreto (f’c), Refuerzo longitudinal o Transversal. Todo esto debido a que en
el mercado existen diferentes tipos de programas que cumplen con los mismos propósitos pero
pueden llegar a ser programas de difícil manejo y su obtención puede ser complicada o las
licencias son demasiado costosas por esta razón queremos demostrar que se puede llegar a utilizar
estas dos herramientas y obtener resultados parecidos de una forma más didáctica, práctica,
rentable y todo con el fin de dejar un programa que pueda ser útil para los estudiantes de ingeniería
civil de la Universidad Pontificia Bolivariana.

1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo general
 Obtención de la gráfica momento - curvatura en muros de concreto reforzado
1.2.2 Objetivos específicos
 Obtener la gráfica momento curvatura aplicando las teoría de diseño por capacidad de
Park, Paulay & Priestley para muros de concreto reforzado.
 Obtener el diagrama momento-curvatura para muros estructurales de (20 cm * 120 cm)
con diferentes áreas de refuerzo, mediante la modelación en un MACROS de Excel.
 Comparar los Resultados que presenta el programa CSICOL con los resultados obtenidos
teóricamente y por medio del macros de Excel.
1.3 Justificación
La finalidad de este proyecto es obtener diagramas momento - curvatura en modelos me
muros de concreto reforzado con secciones transversales de la misma dimensión (20 cm * 120 cm)
pero a diferentes espaciamiento del refuerzo longitudinal, mediante un programa convencional

como es Excel. Se Decide realizar la comparación de los resultados con el programa CSICOL
puesto que es una herramienta de diseño de columnas que nos permite obtener el diagrama
Momento-Curvatura. Al momento de utilizar otros programas que sirven para el mismo propósito
puede llegar a ser más complicado debido a la dificultad de obtener una licencia gratuita, además
de la dificultad de obtener un tutorial para el manejo de estos, por este motivo lo que se busca es
utilizar dos programas de fácil divulgación que nos permita obtener el diagrama momentos-
curvatura para un muro de concreto reforzado de dimensiones 20 cm * 120 cm, dando como
parámetros de entrada el esfuerzo máximo de compresión del concreto a los 28 días (f´c), cantidad
y tipo de refuerzo longitudinal y refuerzos transversal. En este caso se utilizaran macros en Excel
para facilidad de programación y mediante el programa CSICOL comparar y llegar a conclusiones
teniendo datos lo más precisos posibles y confiables para la persona que lo esté utilizando, además
de que los estudiantes de ingeniería civil de la UPB puedan tener un programa practico y útil que
ayude a su proceso de aprendizaje en este tema para así lograr a cabalidad todos los objetivos y
metas trazadas en dicho proyecto.
1.4 Alcance
Para este proyecto se tiene como finalidad determinar el diagrama momento- curvatura para
un muros de concreto reforzado de dimensiones transversales de 20 cm * 120 cm, pero con
variaciones en el refuerzo longitudinal (espaciamiento y diámetro del refuerzo), para realizar el
diagrama de momento-curvatura teóricamente o por medio del software CSICOL y comparar con
los diagramas desarrollados en macros en Excel.

En cuanto a las actividades y procesos que se llevaran a cabo en este proyecto se contara con
una Recopilación de datos, una programación y adecuamiento de los programas a utilizar en cuanto
a fórmulas y métodos a Realizar, Análisis de los resultados y conclusiones u observaciones que
nos deja el análisis el cual serán recopilados en el informe final.
La finalidad y meta para establecer el éxito del proyecto es cumplir a cabalidad todos los
objetivos planteados, obtener unos resultados precisos y con poco porcentaje de error y de igual
manera con los diferentes métodos para así obtener unos resultados que para la persona que utilice
el programa sean confiables que nos ayuden a evaluar, deducir y mirar que tan viable son los
sistemas y que tan recomendado puede llegar a ser para ser empleados por los estudiantes de
ingeniería civil de la UPB que quieran usar esta herramienta, y puedan así tener un material de
trabajo que ayude y aporte a su aprendizaje en dicho tema (Momento de curvatura para muros de
concreto reforzado)
1.5 Metodología
La metodología para la elaboración del proyecto está representada en tres etapas,
fundamentación teórica y recopilación de la información, diseño del muro de (20 cm * 120 cm) y
aplicación de cálculos, análisis de resultados conclusiones, recomendaciones.
1. En esta parte del proyecto se investigara,
 Momento-curvatura
 Diagrama momento-curvatura

 Proceso bilineal
 Sistemas estructurales
 Modelos de comportamiento para el concreto armado
 Concreto confinado
 Modelación en CSICOL
2. En esta etapa del proyecto se determinara teóricamente el diagrama de momento-curvatura
para 3 muros con dimensiones iguales (20 cm * 120 cm) pero con diferentes áreas de acero.
3. En esta parte del proyecto se construirá un MACROS en EXCEL con el cual se pueda llegar
a determinar la gráfica momento-curvatura para los muros mencionados anterior mente.
4. Esta etapa del proyecto consiste en la comparación de los resultados obtenidos, verificando
los obtenidos teóricamente con los modelados en el programa SCICOL y los obtenidos por medio
del MACROS.
5. La etapa final consistió en la elaboración de conclusiones, recomendaciones y elaboración
y presentación del informe final.

2. Momento - curvatura
2.1 Definición momento - curvatura
El comportamiento de las secciones de concreto reforzado sometidos a acciones de diseño
puede comprenderse de manera más clara mediante el uso de gráficas que relacionen el momento
flexionante resistente en una sección con la curvatura, correspondiente. La curvatura es el ángulo
que forman con la vertical, la línea que describe el perfil de deformaciones unitarias en la sección.
El diagrama momento-curvatura es de gran importancia en el diseño de estructuras ante
cargas estáticas y dinámicas, ya que de forma rápida se visualiza que tan dúctil y resistente es un
miembro. Además, el área bajo la curva representa la energía interna, la parte bajo la región elástica
es la energía de deformación acumulada en el miembro, mientras que el área bajo la región de
postfluencia corresponde a la energía disipada en las deformaciones plásticas del mismo
(Universidad Nacional Autónoma de México).
La relación momento-curvatura de una sección de concreto reforzada se obtiene a partir de las
curvas esfuerzo-deformación del concreto y del acero, dicha relación depende de la geometría, del
refuerzo longitudinal y transversal de la sección.
Una consideración de suma importancia para calcular el diagrama momento-curvatura de una
sección de concreto reforzado, es que se deben usar relaciones esfuerzo-deformación

representativas de las condiciones de los materiales. Por ejemplo, si el concreto del núcleo se puede
considerar como confinado, usar una relación para éste y otra para el concreto del recubrimiento.
Si no sé puede considerar como confinado, bastará con usar una relación esfuerzo-
deformación para todo el concreto de la sección.
La gráfica momento curvatura permite conocer la deformación de un elemento (viga o
columna) en su ángulo de giro por medio de una carga creciente. Este procedimiento es necesario
para entender el daño estructural en diferentes estados de la sección que se van a presentar en las
columnas (Ottazzi Pasino, 2004).
Figura 1. Estados limites en el diagrama momento-curvatura
Fuente: ( Ospina, Urrego, & Botero)

2.1.1 Definición de los principales componen el diagrama M-φ
2.1.1.1 Inicio del agrietamiento
En el principio del fisuramiento se presenta cuando en la fibra extrema a tensión, el concreto
alcanza su resistencia a la tensión, por falla local empiezan a parecer las primeras grietas. En la
Figura 1. Se aprecia que la capacidad a flexión correspondiente al punto A es muy baja por este
motivo muchas veces se le ignora, incluso en varios estudios se le considera a este punto como el
comienzo del rango elástico.
2.1.1.2 Fluencia del acero
Este punto define el final del comportamiento elástico de la sección. En varios estudios se
considera la rama elástica a la recta que une el origen de coordenadas con el punto Y. Este punto
se determina cuando el acero a tensión alcanza su fluencia.
2.1.1.3 Momento ultimo
En el momento máximo o momento último podemos decir que este punto se establece
comúnmente cuando el concreto llega a su máxima deformación útil a compresión εu o cuando el
acero llega a la rotura, el que se alcance primero.

2.1.1.4 Momento ultimo confinado
Este es el último punto de la gráfica momento-curvatura, en esta fase o transición se debe
considerar el papel que juega el refuerzo transversal en la ductilidad de los elementos estructurales
al otorgar al concreto confinamiento permitiéndole llegar a deformaciones más dúctiles. En esta
fase el recubrimiento ya no trabaja por lo que debe eliminarse por lo tanto debe calcularse las
dimensiones efectivas de la sección transversal (Universidad Nacional Autónoma de México).
Figura 2. Diagrama momento-curvatura m-φ
Fuente: (Universidad Nacional Autónoma de México)
2.2 Relación momento-curvatura m-φ
El comportamiento de las secciones de concreto reforzado sometidos a acciones de diseño
puede comprenderse de manera más clara mediante el uso de gráficas que relacionen el momento

flexionante resistente en una sección con la curvatura, correspondiente. La curvatura es el ángulo
que forman con la vertical, la línea que describe el perfil de deformaciones unitarias en la sección.
De la relación momento-curvatura se obtiene la máxima capacidad a flexión del elemento Mu,
la curvatura última φu, así como también sus respectivos momento y curvatura de fluencia, de tal
forma que estas cantidades pueden compararse con las demandas que se tienen en el diseño. Por
lo que una de las principales aplicaciones de conocer estos valores es calcular la ductilidad de
curvatura µφ de la sección del elemento estructural a diseñar. Es decir que la relación momento-
curvatura de una sección de concreto reforzada se obtiene a partir de las curvas esfuerzo-
deformación del concreto y del acero, dicha relación depende de la geometría, del refuerzo
longitudinal y transversal de la sección (Universidad Nacional Autónoma de México).
Figura 3. Diagrama momento - curvatura
Fuente: (Hibbeler, 2006)
2.3 Diagrama momento-curvatura

El diagrama momento-curvatura es de gran importancia en el diseño de estructuras ante cargas
estáticas y dinámicas, ya que de forma rápida se visualiza que tan dúctil y resistente es un miembro.
Además, el área bajo la curva representa la energía interna, la parte bajo la región elástica es la
energía de deformación acumulada en el miembro, mientras que el área bajo la región de
postfluencia corresponde a la energía disipada en las deformaciones plásticas del mismo
(Universidad Nacional Autónoma de México).
En la gráfica mostrada se puede apreciar el momento de agrietamiento A, el cual corresponde
a la primera grieta del hormigón, el punto B el cual corresponde al punto de fluencia del acero,
esto se logra cuando la deformación del acero es igual a la deformación en el límite plástico, y el
punto U que corresponde al punto de rotura del hormigón. Cabe mencionar que aunque en la
gráfica se presenten tres tramos rectos, es usual idealizar la relación momento-curvatura, como un
proceso bilineal.
2.3.1 Modelo bilineal
Dicho modelo consta de dos tramos rectos, el primero es lineal y ocurre hasta el agrietamiento
del concreto, posteriormente sigue una relación lineal pero con un cambio de pendiente, hasta que
se produce la fluencia del acero o el agotamiento del concreto. En caso de que suceda primero la
fluencia del acero, la sección puede seguir deformándose hasta que el concreto alcanza su máxima
resistencia y finalmente su máxima deformación.
2.3.2 Comportamiento inelástico de las estructuras:

En zonas de alta demanda sísmica, en las estructuras de concreto armado el comportamiento
inelástico suele concentrarse en zonas cercanas a los nudos en una longitud determinada “L”, dicho
daño es más concentrado hacia los nudos que en el resto del elemento.
Para propósitos del modelo analítico, se considera una zona de daño equivalente a toda la
deformación inelástica, dicha zona es denominada rotula plástica y corresponde a una longitud de
plastificación, la cual es aproximadamente el 5% de la longitud total del elemento entre nudos
(Paulay & Priestley).
2.4 Sistemas estructurales
Un sistema estructural es el modelo físico que sirve de marco para los elementos estructurales,
y que refleja un modo de trabajo. Un objeto puede tener, a su vez, una mezcla de sistemas
estructurales.
CARACTERÍSTICAS
 Funciones estructurales específicas como: Resistencia a la compresión o tensión, para
cubrir claros horizontales o verticales, entre otras.
 Forma geométrica u orientación.
 Materiales de los elementos.
 Forma de unión de los elementos.
 Forma de apoyo de la estructura.

 Cargas o fuerzas que soporta la estructura.
 Condiciones de uso, función, forma y escala.
 Limitaciones de forma y escala
Se reconocen cuatro tipos generales de sistemas estructurales, los que están subdivididos
según los elementos verticales utilizados para resistir las fuerzas sísmicas y el grado de capacidad
de disipación de energía del material empleado: los sistemas estructurales propuestos por la norma
colombiana sismo resistente son los siguientes:
2.4.1 Sistema de muros de carga
Se conoce como sistema tipo cajón o tipo túnel a los arreglos entre placas verticales (muros),
las cuales funcionan como paredes de carga, y las placas horizontales (losas). Este sistema genera
gran resistencia y rigidez lateral, pero si la disposición de los muros se hace en una sola dirección
o se utiliza una configuración asimétrica en la distribución de los muros, se generan
comportamientos inadecuados que propician la posibilidad del colapso.
En los sistemas tipo cajón, las cargas gravitacionales se transmiten a la fundación mediante
fuerzas axiales en los muros, los momentos flexionantes son generalmente muy pequeños
comparados a los esfuerzos cortantes, por lo cual no se puede esperar un comportamiento dúctil,
al no producirse disipación de energía.

Asimismo, cuando se diseñen estos sistemas, es recomendable aprovechar la gran capacidad
de carga y la gran resistencia y rigidez lateral, pero recordar que al estar sometidos a considerables
esfuerzos cortantes, se debe diseñar el sistema a grandes cargas laterales en el rango elástico, para
no considerar reducciones importantes por comportamiento inelástico.
Ventajas
 Es un sistema que constructivamente es rápido de ejecutar.
 Por el tipo de encofrado, el sistema permite que se construyan varios edificios
simultáneamente, ya que mientras un edificio se va desencofrando, se puede ir encofrando
el otro y así cumplir con los tiempos de fraguado del concreto.
 Es un sistema que bien configurado es poco propenso al colapso, ya que ofrece gran
resistencia a los esfuerzos laterales.
 Como es un sistema muy rígido, donde casi no se producen desplazamientos laterales, los
elementos no estructurales no sufren daños considerables.
 Termina siendo una estructura mucho más liviana que el sistema a porticado, y gracias a
su rigidez lateral se pueden llegar a construir edificios de más de 30 pisos de altura.
 Comparado a un sistema a porticado tradicional, el sistema Tipo Túnel puede costar entre
un 25 a 30% menos. Además de su rápida ejecución, el hecho de ya tener muros permite
un ahorro en costos en la construcción de las paredes de bloques y el friso de las mismas.
Desventajas

 Por poseer losas de delgado espesor, la longitud de los ramales de instalaciones de aguas
servidas es limitada. En algunos casos se tiene que llegar a aumentar el espesor de la losa
donde van ubicados los baños para poder cumplir con las pendientes.
 Por la continuidad de los muros en toda su longitud, existirán grandes limitaciones en
cuanto a la distribución de los espacios internos de cada planta, por lo que su uso principal
es de viviendas multifamiliares u hoteles.
 Por ser un sistema que posee gran rigidez, estará expuesto a grandes esfuerzos sísmicos,
los cuales tienen que ser disipados por las fundaciones, esto significa que debe estar
sustentado por un suelo con gran capacidad portante.
 Puede llegar a ser un sistema muy vulnerable si la configuración estructural no posee líneas
de resistencias en las dos direcciones ortogonales. Por lo cual es muy importante que exista
una interacción entre Arquitecto-Ingeniero al momento de realizar el proyecto (Mendoza
R.).
Figura 4. Sistema muros cargueros
Fuente: (Stevenson Rodríguez)
2.4.2 Sistema combinado:

Es un sistema estructural donde:
1. Las cargas verticales son resistidas por un pórtico no resistente a momentos esencialmente
completo y las fuerzas horizontales son resistidas por muros estructurales o pórticos con
diagonales.
2. Las cargas verticales y horizontales son resistidas por un pórtico resistente a momentos
esencialmente completo combinado con muros estructurales o pórticos con diagonales y
que no cumplen los requisitos de un sistema dual.
Se utilizan es los grandes rascacielos, se combina la acción de los muros perimetrales y
céntricos o núcleo con los marcos y entramados. Los marcos y entramados toman las cargas
gravitacionales (Carga Viva y Muerta) y los muros las cargas laterales (Vientos y Sismos).
2.4.3 Sistema de pórtico
Los elementos porticados son estructuras de concreto armado con las mismas dosificaciones
columnas – vigas unidas en zonas de confinamiento donde forman ángulos de 90 grados en el
fondo parte superior y lados laterales, es el sistema de los edificios porticados. Los que soportan
las cargas muertas, las ondas sísmicas ya que están unidas como su nombre lo indica en forma de
pórtico.
Es uno de los sistemas constructivos más utilizados en el país basa su éxito en la solidez, la
nobleza y la durabilidad. Un sistema a porticado es aquel cuyos elementos principales consiste en

vigas y columnas conectados atreves de nudos formando pórticos resistentes en las dos direcciones
principales de análisis (X e Y).
El comportamiento y eficiencia de un pórtico rígido depende debido a que es una estructura
hiperestática, de la rigidez relativa de las vigas y las columnas. Para que el sistema funciones
efectivamente como pórtico rígido es fundamental el diseño y las conexiones para proporcionarle
la rigidez necesaria y la capacidad de trasmitir momentos
Ventajas
 Gran libertad en la distribución de los espacios internos del edificio.
 Son estructuras muy flexibles que atraen pequeñas solicitaciones sísmicas.
 Disipan grandes cantidades de energía gracias a la ductilidad que poseen los elementos y
la gran hiperelasticidad del sistema.
 Proceso de construcción relativamente simple y del que se tiene mucha experiencia.
 Generalmente económico para edificaciones inferiores a 20 pisos.
Desventajas
 Por su alta flexibilidad el sistema da lugar a periodos fundamentales largos, lo cual no es
recomendable en terrenos blandos.
 El uso de este sistema estructural está limitado a estructuras bajas o medianas. Ya que a
medida que el edificio tenga más pisos y gane más altura, mayores tendría que ser las

dimensiones de las columnas lo cual puede ser que el proyecto sea inviable
económicamente y arquitectónicamente debido a que tendría que sufrir alteraciones en su
diseño.
 Su gran flexibilidad permite grandes desplazamientos lo cual puede provocar daños en
los elementos no estructurales.
 Las luces tienen longitudes limitadas cuando se usa concreto reforzado tradicional
(generalmente inferiores a 10 metros). La longitud de las luces puede ser incrementada
con el uso de concreto pretensado.
 Este tipo de construcción húmeda es lenta, pesada y por consiguiente más cara (Mendoza
R.)
Figura 5. Sistema de pórticos
Fuente: (Mendoza R.)

2.4.4 Sistema dual
Es un sistema estructural que tiene un pórtico espacial resistente a momentos sin diagonales,
combinado con muros estructurales o pórticos con diagonales, para que el sistema estructural se
pueda clasificar como sistema dual se deben cumplir las siguientes condiciones:
 Pórtico espacial resistente a momentos, sin diagonales esencialmente completo debe ser
capaz de soportar las cargas verticales.
 Las fuerzas horizontales son resistidas por la combinación de muros estructurales o pórtico
resistente a momentos, el cual puede ser un pórtico de capacidad especial de disipación,
cuando se trata de concreto reforzado o acero estructural al igual que con capacidad
moderada y mínima de disipación, el pórtico resistente a momentos actuando
independientemente, debe diseñarse para que sea capaz de resistir como mínimo el 25 por
ciento (25%) del cortante sísmico en la base.
 Los dos sistemas deben diseñarse de tal manera que en conjunto sean capaces de resistir
la totalidad del cortante sísmico en la base.
Ventajas
 se puede obtener las ventajas del sistema a porticado, en cuando a su ductilidad y
distribución de espacios internos.

 Es muy común, sobretodo en la vieja práctica, que cuando se diseñan estructuras duales
se supone que los muros resisten todas las fuerzas laterales y el sistema a porticado todas
las gravitacionales.
Desventajas
 El problema que posee este sistema estructural es que hay que ser muy cuidadoso en
cuanto a la configuración de los elementos rígidos, ya que tienen una extrema diferencia
de rigidez comparado a los pórticos y esto puede causar concentraciones excesivas de
Esfuerzos en algunas zonas del edificio y una mala distribución de cargas hacia las
fundaciones (Mendoza R.).
Figura 6. Sistema dual
Fuente: (Mendoza R.)

2.5 Modelos de comportamiento para el concreto armado
Para la modelación de estructuras de concreto reforzado se debe tener en cuenta las
propiedades mecánicas y un conjunto de relaciones entre el acero y el concreto, en la sección de
una columna de concreto reforzado se puede encontrar tres materiales: el concreto in-confinado,
el concreto confinado y el acero.
El concreto armado es entendido como un compuesto de concreto simple y acero el cual
integrados en uno sólo incrementan sus propiedades físicas como lo son la resistencia y químicas
como lo son la no oxidación por ejemplo.
Para entender el comportamiento de estructuras creadas a partir de dicho material se han
creado modelos idealizados y simplificados para entender mejor su comportamiento.
2.5.1 Modelo esfuerzo deformación acero
El acero está presente en un elemento estructural con barras longitudinales y estribos
transversales, el acero se puede caracterizar experimentalmente con un ensayo de tracción, si se
realiza una gráfica de deformación unitaria versus el esfuerzo, la curva obtenida muestra en su
principio una zona lineal elástica, en ésta parte todas las deformaciones presentadas en él acero
son reversibles es decir que vuelve a su estado original sin que el material pierda sus propiedades
mecánicas. También en la zona lineal elástica se puede identificar el módulo de elasticidad (Es)
que es una propiedad indispensable ya que es un dato necesario para el análisis estructural, además

de obtener el módulo de elasticidad (Es) en esa zona se encuentra el punto de fluencia (fy) que al
igual que el módulo es un dato obligatorio para el diseño porque si es excedido este punto de
fluencia el material pasa a un rango plástico donde no podrá recuperar su estado inicial. En el rango
plástico mencionado anteriormente podemos obtener el esfuerzo máximo del acero (fmáx) que es
el esfuerzo máximo que podrá resistir el acero antes de llegar a su ruptura. El acero es un material
utilizado en el refuerzo estructural ya que posee una gran resistencia a la tensión, pero además de
esto cuando los esfuerzos de compresión actuantes son grandes, el refuerzo trabaja en conjunto
con el concreto para así resistirlas.
2.5.1.1 Modelo elastoplástico perfecto
Es una de las formas para representar matemáticamente la relación esfuerzo deformación; al
igual que muchos modelos este presenta una zona de comportamiento elástico, antes de la etapa
de fluencia en el acero, la simplificación en este modelo desprecia el endurecimiento que se crea
en el acero al exceder su etapa elástica considerando que el material no es capaz de recibir
esfuerzos mayores al de fluencia; pero si continuar deformándose. Esta representación matemática
de la relación esfuerzo deformación conlleva a unas desventajas tales como:
 Existe una posibilidad de que falle el concreto debido a la compresión sufriendo un
aplastamiento sin que el acero haya fluido
 Ignora la capacidad que tiene el acero de recibir esfuerzos mayores al de fluencia (Paulay
& Priestley).

2.5.1.2 Modelo trilineal
Este modelo es empleado generalmente cuando se quiere llevar el acero a estados muchos
mayores que el de fluencia, es de frecuente uso para el análisis de modelos no lineales. En la
literatura es posible encontrar gran cantidad de modelos que intentan describir la relación esfuerzo
deformación con un mejor grado de aproximación, uno de ellos es el modelo de Park y Paulay el
cual fue propuesto en 1975 en donde se define un intervalo de endurecimiento por deformación en
un rango.
.
Esh: deformación unitaria en la cual se inicia el endurecimiento.
ES: deformación unitaria del acero
Esu: deformación unitaria ultima
El valor de los esfuerzos en cualquier parte de la zona de endurecimiento por deformación se
pueden obtener mediante la formula
Los valores de las incognitos r, u y m se pueden encontrar con pruebas experimentales o por
medio de las siguientes formulas

r: Esu-Esh
u: Es-Esh
fy: esfuerzo de fluencia nominal en el acero.
Además de los dos modelos ya mencionados también se encuentra el modelo de Mander
(1984), que propone para determinar los esfuerzos en la zona de endurecimiento por deformación
la siguiente formula
Las variables que intervienen en la ecuación anterior son iguales que las establecidas en el
modelo de Park y Paulay (Paulay & Priestley), (1975) por excepción con la variable “p”. Éste
nuevo parámetro se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

Figura 7. Modelo trilineal
Fuente: (Park & Pauly, 1980)
2.5.1.3 Modelo elastoplástico perfecto
Con endurecimiento curvo (curva completa) A diferencia del modelo bilineal, este modelo es
más preciso pero a su vez más complejo. Del punto inicial a la fluencia está representada por una
línea recta y de ahí a su ruptura el comportamiento es representado en forma de parábola.
Es el modelo bilineal más sencillo (figura 8). Se ignora la resistencia superior de fluencia y
el aumento en el esfuerzo debido al endurecimiento por deformación. El empleo de este modelo
no es adecuado para la evaluación del desempeño sísmico ya que no estima adecuadamente los
esfuerzos del acero más allá de la fluencia (Park & Pauly, 1980).

Figura 8. Modelo bilineal
2.6 Modelo esfuerzo deformación concreto
Al igual que en el acero en el concreto se hace complicado trabajar con un diagrama real de
esfuerzo deformación, por lo que se hace necesario crear unos modelos simplificados e idealizados,
para considerar varios factores tales como las variaciones geométricas de las secciones
transversales de los elementos, la calidad de los materiales, duración de la carga y confinamiento.
Con respecto a la última característica (confinamiento) se hizo necesaria la realización de
modelos no confinados y confinados.
2.6.1 Concreto no confinado
El concreto in-confinado o también llamado concreto simple es un material que trabaja de
forma adecuada al esfuerzo de compresión pero tiene un débil desempeño bajo a la tracción, dicho
comportamiento restringe la aplicabilidad como material estructural cuando el elemento se ve

sometido a tensiones, una solución a esto es emplear un acero de refuerzo, generalmente utilizado
en forma de barras longitudinales y refuerzos transversales, disponiendo de este acero en las zonas
donde se prevé el elemento será sometido a esfuerzos a tensión, el acero es el responsable de
restringir el agrietamiento en el concreto por su débil capacidad a la tracción.
Para conocer la curva esfuerzo-deformación se utiliza un ensayo experimental bajo
compresión uniáxica a una velocidad de carga moderada, este procedimiento se le realiza a
especímenes de concreto (cilindros de 30 cm de altura y de 15 cm de diámetro) con un previo
fraguado de 28 días. Para obtener la curva esfuerzo-deformación se debe tabular las mediciones
de deformaciones unitarias y el esfuerzo vertical aplicado.
Figura 9. Curvas esfuerzo deformación a compresión en cilindros
Fuente: (Paulay & Priestley, 1992)
Dónde:
Fcmax: esfuerzo máximo
Fc ult: esfuerzo último

Ecmax: deformación unitaria máxima.
Ec ult: deformación unitaria última.
La curva anteriormente mencionada tiene características generales, un comportamiento
aproximadamente lineal hasta la mitad de la resistencia máxima a compresión, después tiende a
ser una especie de inversa hasta alcanzar su resistencia máxima.
Entre los modelos que más se destacan están el modelo de Whitney, Jensen, Hognestad y el
modelo CEB
2.6.2 Modelos para concreto no confinado
2.6.2.1 Modelo Jensen
El bloque de tensiones posee una forma de prisma triangular y se calcula la fuerza de
compresión sobre el centroide del triángulo.
2.6.2.2 Modelo de Whitney
Este modelo aplica un bloque de compresiones rectangular. El Dr. Whitney propuso la
utilización de un bloque de compresión rectangular cuya área sea equivalente a la que queda bajo
la curva real, y cuyo centro de gravedad coincida aproximadamente con el centro de gravedad de
la curva real.

Se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y sencillo para encontrar la resultante
de la fuerza a compresión: el valor de β1=0.85 para concretos con una resistencia a la compresión
menor a 35 MPa.
Figura 10. Modelo Whitney
Fuente: (Allauca Sánchez & Oue, 2006)
2.6.2.3 Modelo de Hognestad
Dicho modelo se compone de dos tramos. El primero hace referencia a un tramo parabólico
y un tramo lineal que se extiende hasta el punto de mayor deformación unitaria.
La ecuación de la parábola viene dada por la siguiente expresión:

Ecu. 2.1
El esfuerzo máximo del concreto en la estructura real está asociado a una
deformación unitaria E0 que se calcula por la expresión:
El tramo recto parte el punto más alto de la curva, se extiende hasta una
deformación unitaria de 0.0038 al cual corresponde un esfuerzo de
Figura 11. Modelo de Hognestad

2.6.2.4 Modelo CEB
La propuesta del Comité europeo del concreto (CEB 1978) mostrada en la ilustración
corresponde a un modelo inelástico perfectamente plástico. Se emplea para diseño de elementos
de concreto armado en flexión simple.
Este modelo comienza con una parábola seguida de una recta, la resistencia del concreto debe
ser 0.85 fc con una deformación unitaria de 0.002 que se prolonga hasta 0.0035 (Allauca Sanchez
& Oue, 2006).
Figura 12. Modelo CEB

2.6.3 Concreto confinado
El refuerzo no está netamente enfocado a los esfuerzos de tracción, también es empleado en
zonas de compresión para aumentar su resistencia, proporcionar confinamiento lateral al concreto
lo que aumentará su resistencia, cuando se habla de concreto confinado o concreto reforzado se
refiere a la combinación de concreto simple con acero de refuerzo. Ésta unión de elementos tienen
un comportamiento complejo que a lo largo del tiempo se ha estudiado empíricamente, por ello
para ser más elemental su comprensión se estudian las propiedades mecánicas de sus componentes
por aparte.
La resistencia a la compresión y la capacidad de deformación del concreto se incrementan
proporcionalmente a la cantidad de acero transversal presente en la sección. Los estudios llevados
a cabo por investigadores como Chan (1955), Soliman y Yu (1967), Kend y Park (1971), Sargin
(1971), Mander (1988), concuerdan que un concreto más dúctil y un elemento con mejor
desempeño se logra confinando de buena forma la estructura.
Cuando los esfuerzos de compresión se aproximan a los niveles de resistencia máxima es
cuando el confinamiento se inicia, en ese momento las deformaciones transversales en el concreto
han aumentado ya que se encuentra presente un agrietamiento interno progresivo, por ende el
concreto se aferra al refuerzo transversal lo que genera una fuerza de confinamiento sobre el
concreto aumentando así su resistencia a la compresión y disminuyendo las deformaciones
transversales

Las propiedades mecánicas del concreto confinado al igual que el acero pueden ser
identificadas a partir de la curva esfuerzo-deformación, que también tiene modelos analíticos
opcionales para describirlo tales como:
2.6.3.1 Modelo de Kent y Park
Este modelo propuesto en 1971 basado en experimentos, considera que el confinamiento no
ayuda a la resistencia, suponiendo que es la misma a la del concreto simple, este método es
aplicable solamente a las secciones cuadradas o rectangulares. La curva tiene tres partes
características, la primera una región donde no se ve el efecto del confinamiento teniendo la misma
forma que la del concreto simple, en la segunda parte es cuando el concreto llega a su resistencia
máxima y es concluida cuando el esfuerzo en el concreto se ha degradado un ochenta por ciento,
la pendiente de este tramo es relacionada al confinamiento de la sección, la última región es donde
se aprecia que el concreto no podrá resistir más esfuerzos pero si continua deformándose, en la
siguiente ilustración se puede apreciar la comparación de las curvas esfuerzo-deformación del
concreto confinado con el concreto simple de acuerdo al modelo de Kent y Park (Kent & Park,
1971).

Figura 13. Comparación curva esfuerzo-deformación entre concreto simple y concreto
confinado.
Fuente: (Kent & Park, 1971)
Ecu. 2.2
Ec: deformación unitaria del concreto
Eo: deformación unitaria asociada a la resistencia máxima a compresión del concreto.
bc: ancho de la sección
S: separación entre los estribos
Ps: relación entre el volumen de acero y el volumen del concreto

2.6.3.2 Modelo de Mander
Este modelo se define por una curva continua donde sí es considerado el efecto del
confinamiento en la resistencia y no únicamente en la deformación como el modelo antes
mencionado, además a esto, es aplicable a distintas secciones ya sean cuadradas, rectangulares o
circulares. En el modelo la deformación unitaria ultima o de falla se presenta cuando el refuerzo
transversal presenta una falla por ende ya no confina el núcleo del elemento por lo que las
deformaciones transversales tenderán a ser muy grandes. En la siguiente ilustración se puede
apreciar la comparación propuesta por Mander entre el concreto confinado y no confinado.
Figura 14. Modelo esfuerzo-deformación propuesto por Mander
Fuente: (Mander, Priestley, & Park, 1988)
Dónde:
Fcc: resistencia máxima del concreto confinado
F´c: resistencia máxima del concreto no confinado
Ecu: deformación unitaria ultima
Ec: deformación unitaria del concreto

Eco: deformación asociada a la resistencia máxima del concreto
Esp: deformación unitaria ultima asociada al recubrimiento del concreto
Ecc: deformación unitaria del concreto simple asociada al esfuerzo máximo
Ec: módulo de elasticidad del concreto no confinado
Esec: modulo secante del concreto confinado asociado al esfuerzo máximo confinante.
Ecu 2.3
En el caso de elementos con una sección transversal circular, confinada con refuerzo en hélices
o estribos circulares, las expresiones son las siguientes

Ecu. 2.4
Dónde:
Asp: Área de refuerzo transversal
ps: relación entre volumen de acero confinante y el volumen de concreto confinado
pcc: relación entre el área de acero y el área de concreto confinada
ds: diámetro de los estribos
Ke: factor de confinamiento efectivo, puede ser la expresión Kec o Kes dependiendo si es un
elemento confinado con estribos circulares o con espirales respectivamente
S´: separación entre estribos borde inferior
Fcc: resistencia máxima a compresión
Finalmente en el caso de elementos estructurales con una sección cuadrada o rectangular se
podrá encontrar su resistencia máxima a la compresión con las siguientes expresiones

Ecu. 2.5
Dónde:
fcc= resistencia máxima del concreto confinado
f´c= resistencia a compresión del concreto
fyh : esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo transversal
pcc: relación del área del acero longitudinal y el área de concreto confinada
Ae: área confinada efectiva , puede ser Asx o Asy.
Asx: área de refuerzo transversal paralela al eje x.
Asy: área de refuerzo transversal paralela al eje y.
Flx: Fuerza lateral de confinamiento efectivo en dirección x
Fly: Fuerza lateral de confinamiento efectivo en dirección Y
S´: separación entre estribos parte inferior.
S: separación entre estribos parte superior
λ: factor de esfuerzo confinado
Para encontrar el factor de esfuerzo confinado (λ) se es necesario utilizar la siguiente gráfica
(Paulay & Priestley)

Figura 15. Factor de confinamiento λ para secciones cuadradas o rectangulares.
Fuente: (Mander, Priestley, & Park, 1988).

3. Deformación máxima y ductilidad de miembros sometidos flexión
La consideración de las características de la curva carga-deformación de los miembros es
necesaria por las siguientes razones:
1. En el caso en el que una estructura se cargue hasta la falla, debe poder soportar varias
deflexiones bajo cargas cercanas a la máxima, lo que puede advertir la falla e impedir el
desplome total.
2. Las distribuciones de momento flexionante, fuerzas cortantes y carga axial dependen de
la utilidad de los miembros en las secciones críticas. Es decir que, conforme se aproxima
a la carga ultima, algunas secciones pueden alcanzar sus momentos resistentes últimos
antes que otras; pero si allí puede ocurrir la rotación plástica mientras se mantiene el
momento último, se puede trasmitir carga adicional conforme los momentos en otras
partes se eleven a su máximo valor último. La carga última se alcanza cuando, después
de la formación de superficies articuladas plásticas, se desarrolla un mecanismo de falla.
Utilizar una redistribución de momentos puede dar ventajas debido a una reducción en la
congestión del esfuerzo en los apoyos de los miembros continuos, ya que permite reducir
los picos de los momentos flexionantes en las envolventes de los momentos flexionantes.

Figura 16. Curvas esfuerzo – deformación de materiales que presentan fracturas dúctil y frágil.
Fuente: (Coltters)
3. En la región expuesta a sismos una consideración muy importante es la ductilidad ello se
debe a que la filosofía del diseño sísmico se apoya en la absorción y disipación de la
energía mediante la deformación inelástica. Es decir las estructuras que no se comporten
en forma dúctil se deben diseñar para fuerzas sísmicas muchos mayores si se quiere evitar
que se desplome la estructura (Park & Pauly, 1980).
3.1. Relaciones momentos-curvatura
3.1.1 Curvatura de un Miembro
La Figura 17. Muestra un elemento inicialmente recto de un miembro concreto reforzado
con momentos de extremos y fuerzas axiales iguales. El radio de curvatura R se mide hasta el eje
neutro. El radio de curvatura R, la profundidad del eje neutro kd, la deformación del concreto en

la fibra extremas a compresión Ec, y la deformación del acero a tensión Es, varia a lo largo del
miembro debido a que entre las grietas el concreto toma cierta tensión.
Considerando solamente un pequeño elemento de longitud dx del miembro y utilizando la
notación de la Figura 17. Las siguientes relaciones proporcionan la rotación entre los extremos
del elemento.
𝑑𝑥
𝑅
=
𝐸𝑐 ∗ 𝑑𝑥
𝑘𝑑
=
𝐸𝑠 ∗ 𝑑𝑥
𝑑(1 − 𝑘)
Ecu. 3.1
1
𝑅
=
𝐸𝑐
𝑘𝑑
=
𝐸𝑠
𝑑(1 − 𝑘)
Ecu. 3.2
Figura 17. Deformación de un miembro a flexión

Entonces 1/R es la curva en el elemento (la rotación por longitud unitaria del miembro) y está
dada por el símbolo φ Así se tiene
φ =
𝐸𝑐
𝑘𝑑
=
𝐸𝑠
𝑑(1 − 𝑘)
=
𝐸𝑐 + 𝐸𝑠
𝑑
Ecu. 3.3
Es evidente que la curvatura φ es el gradiente del perfil de deformaciones en el elemento,
como se ve en la Figura 17. La Curvatura varía a lo largo del miembro debido a la fluctuación de
la profundidad del eje neutro y las deformaciones en la sección crítica de una Viga de concreto
reforzado en una corta longitud calibrada conforme se aumenta el momento flexionante hasta la
falla, de la Figura 16. Con Es y Ec con las deformaciones en la sección agrietada.
Si se miden las deformaciones en la sección critica de una viga de concreto en una corta
longitud calibrada conforme se aumenta el momento flexionante hasta la falla, de la Ec de la
Figura 16. Se puede calcular la curvatura, lo que, lo que nos da la relación momento-curvatura
para la sección. En la Figura 18. Se muestran dos de esas curvas obtenidas de mediciones en vigas
que fallan a tensión y compresión.

Sección que falla a tención sección que falla compresión
Figura 18. Relación momento-curvatura para secciones de vigas simplemente reforzadas.
Ambas curvas son lineales en las etapas iniciales, y la ecuación clásica de la elástica
𝐸𝐼 = 𝑀𝑅 =
𝑀
φ
Ecu. 3.4
Proporciona la relación entre el momento My la curvatura φ en que EI es la rigidez a flexión
de la sección. Al aumentar el momento, el agrietamiento de concreto reduce la rigidez a flexión de
la sección en donde la reducción de rigidez es mayor para la sección reforzada ligeramente que
para la sección reforzada más fuertemente. El comportamiento de la sección después del
agrietamiento depende de la cuantía del acero. Las secciones reforzadas ligeramente Figura 18
producen una curva lineal de M- φ hasta que ceda el acero. Cuando cede, ocurre un aumento en la

curvatura del momento flexionante casi constante, y el momento se eleva hasta un máximo y luego
decrece. Por otra parte en la sección fuerte mente reforzada Figura 18 la curva M- φ deja de ser
lineal cuando el concreto entra a la parte inelástica de la relación esfuerzo-deformación Figura 17
y la falla puede ser muy frágil, a menos que se confine el concreto con estribos cerrados con
separación pequeña entre ellos. Para asegurar el comportamiento dúctil siempre se utiliza cuantía
de aceros inferiores a la cuantía balanceada.
𝑃𝑏 =
0.85 ∗ 𝐹´𝑐 ∗ 𝐵1
𝑓𝑦
∗
0.003 ∗ 𝐸𝑠
0.003 ∗ 𝐸𝑠 + 𝑓𝑦
Ecu. 3.5
Cuando P<Pb, ocurre una falla a tensión
Cuando P>Pb, ocurre una falla a compresión
𝑃 =
𝐴 𝑠
𝑓𝑦
Ecu. 3.6
La relación momento curvatura la primera etapa es al agrietamiento, la segunda a la cedencia
acero y la tercera al límite de la deformación útil en el concreto lo que se le denomina relación
lineal Figura 19. La Figura 19 es una curva virgen que representa el comportamiento a la primera
carga. Una vez desarrollada las grietas la relación M-φ es casi lineal desde la carga 0 hasta el
inicio de la cedencia.

3.1.2 Determinación teórica de la relación Momento-Curvatura
Se supone que las flexiones planas antes de la sección permanecen planas después de la flexión
y se conoce la curva Esfuerzo-deformación tanto para el concreto como para el acero. Las curvas
asociadas con un rango de momentos flexionantes y cargas axiales pueden determinarse utilizando
estas suposiciones y a partir de los requerimientos de compatibilidad de deformación y equilibrio
de las fuerzas.
Figura 19. Curvas idealizadas momento-curvatura para sección simplemente reforzada que falla
a tensión
La Figura 20 muestra curvas esfuerzo-deformación para el acero y el concreto, en que
𝑓𝑦= 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜. El esfuerzo 𝑓′′ 𝑐 puede ser inferior a la resistencia

del cilindro. La Figura 1.5 muestra una sección de concreto con carga axial y flexión. Para
determinada deformación del concreto en la fibra extrema de compresión 𝐸𝑐𝑚y una profundidad
kd del eje neutro, se pueden determinar las deformaciones del acero 𝐸𝑠1, 𝐸𝑠2, 𝐸𝑠3 …. Por triángulos
semejantes del diagrama de deformaciones. Por ejemplo, para la varilla i a la profundidad d1.
𝐸𝑠𝑖 = 𝐸𝑐𝑚 ∗
𝑘𝑑 − 𝑑1
𝑘𝑑
Ecu. 3.7
Figura 20. Determinación teórica momento-curvatura

Ahora se pueden encontrar los esfuerzos 𝑓𝑠1, 𝑓𝑠2, 𝑓𝑠3 … .,correspondientes a la deformación
𝐸𝑠1, 𝐸𝑠2, 𝐸𝑠3 …. A partir de la curva esfuerzo-deformación para el acero. Se pueden encontrar las
fuerzas del acero 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3 …. , a partir de los esfuerzos del acero y las áreas del mismo, por
ejemplo, para la varilla i, la ecuación de la fuerza es
𝑆𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 ∗ 𝐴 𝑠𝑖
Ecu. 3.8
Se puede encontrar la distribución del esfuerzo del concreto en la parte comprimida de la
sección de la Figura 20. A partir del diagrama de esfuerzo-deformación para el concreto. Para
cualquier deformación dada del concreto 𝐸𝑐𝑚 en la fibra extrema a compresión, se puede definir
la fuerza de compresión del concreto 𝐶𝑐 y su posición en términos de los parámetros ∝ 𝑦 𝛾, en que
𝐶𝑐 = ∝∗ 𝑓′′
𝑐
∗ 𝑏 ∗ 𝑘𝑑
Ecu. 3.9
Actúa a la distancia 𝑦𝑘𝑑 de la fibra extrema a compresión. Se puede determinar el factor α del
esfuerzo medio y el factor 𝛾 del centroide para cualquier deformación 𝐸𝑐𝑚 en la fibra extrema a
compresión para secciones rectangulares a partir de la relación esfuerzo-deformación como sigue:
Área bajo la curva esfuerzo-deformación (Véase la Figura 20)

∫ 𝑓𝑐 𝑑𝐸𝑐
𝐸𝑐𝑚
0
= 𝛼𝑓′′ 𝑐 𝐸𝑐𝑚
𝛼 =
∫ 𝑓𝑐 𝑑𝐸𝑐
𝐸𝑐𝑚
0
𝑓′′ 𝑐 𝐸𝑐𝑚
Ecu. 3.10
El primer momento alrededor del origen del área bajo la curva esfuerzo-deformación
= ∫ 𝑓𝑐 𝐸𝑐 𝑑𝐸𝑐 = (1 − 𝛾)𝐸𝑐𝑚 ∫ 𝑓𝑦 𝑑𝐸𝑐
𝐸𝑐𝑚
0
𝐸𝑐𝑚
0
Ecu. 3.12
𝛾 = 1 −
∫ 𝑓𝑐 𝐸𝑐 𝑑𝐸𝑐
𝐸𝑐𝑚
0
𝐸𝑐𝑚 ∫ 𝑓𝑦 𝑑𝐸𝑐
𝐸𝑐𝑚
0
Ecu. 3.13
Se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos como:
𝑃 = 𝛼𝑓′′ 𝑐 𝑏𝑘𝑑 + ∑ 𝑓𝑠𝑖 𝐴 𝑠𝑖
𝑛
𝑖=1
Ecu. 3.14
𝑀 =∝ 𝑓′′
𝑐
𝑏𝑘𝑑 (
ℎ
2
− 𝑦𝑘𝑑) + ∑ 𝑓𝑠𝑖 𝐴 𝑠𝑖 (
ℎ
2
− 𝑑𝑖)
𝑛
𝑖=1
Ecu. 3.15

La curva está dada por similitud con la ecuación 1.1 como
𝜑 =
𝐸𝑐𝑚
𝑘𝑑
Ecu. 3.16
Se puede determinar la relación teórica momento-curvatura para un nivel dado de carga axial,
incrementando la deformación del concreto en la fibra 𝐸𝑐𝑚 extrema a compresión. Para cada valor
de 𝐸𝑐𝑚 se encuentra la profundidad kd del eje neutro que satisface el equilibrio de las fuerzas
ajustando kd hasta la fuerza interna calculada utilizando la ecu. 1.10 que satisfagan el ecu. 1.14
En el caso a flexión P = 0. Entonces se utiliza las fuerzas internas y la profundidad del eje
neutro encontrado de esa manera para determinar el momento M y curvatura φ, desarrollando el
cálculo para una diversidad de valores 𝐸𝑐𝑚se puede graficar la curva de Momento-curvatura. En
la Figura 21 y 22. Se muestra las curvas supuestas Esfuerzo-deformación para el acero y el
concreto, así como las propiedades de la sección. La mayoría de las curvas momento-curvatura
solo se inicia para la región justo antes de la cedencia del acero a tensión. Se exhibe una
discontinuidad en la primera cedencia del acero a tensión y se han determinado cuando la
deformación 𝐸𝑐𝑚 del concreto de la fibra extrema de compresión alcanza 0.004 las curvas
muestran que para una deformación máxima del concreto, la ductilidad disminuye conforme se
aumenta la cuantía de acero a tensión y la presencia del acero a compresión aumenta la ductilidad
(Park & Pauly, 1980)

Figura 21. Curva esfuerzo-deformación del acero y el concreto
Figura 22. Relación teórica momento-curvatura
3.2. Ductilidad de secciones de viga de concreto no confinado
3.2.1 Cedencia, momento máximo y curvatura

Se expresa la ductilidad de un miembro como la relación de la deformación ultima a la
deformación a la primera cedencia. Más adelante se consideran los valores relativos del momento
y curvatura cuando cede primero el acero a tensión y el concreto alcanza la deformación ultima.
Se considera que el concreto comprimido de los miembros no está confinado, generalmente se le
considera no confinado, a menos que se tomen medidas positivas para confinarlo mediante acero
transversal espaciado adecuadamente.
La Figura 23 se muestra una sección rectangular doblemente reforzada en la primera del
acero de tensión y a la deformación última del concreto. Para las cuantías de acero con primera
cedencia del acero 𝜑 𝑦de tensión. Para las cuantías de acero consideradas, cuando el acero de
tensión alcanza por primera vez la resistencia de cedencia, el esfuerzo en la fibra extrema de
concreto puede ser

A la primera cedencia Bajo momento ultimo
Figura 23. Sección de viga doblemente reforzada con flexión
Apreciablemente menos que la resistencia 𝑓′ 𝑐 de cilindro. La curva esfuerzo-deformación
para el concreto es aproximadamente lineal hasta 0.7𝑓′ 𝑐 ; en consecuencia, si el esfuerzo del
concreto no excede este valor cuando el acero alcanza la resistencia de cedencia, se puede calcular
la profundidad del eje neutro utilizando la fórmula de la teoría elástica (línea Recta) una vez
determinado el factor K de la profundidad del eje neutro, se pueden encontrar la magnitud de las
fuerzas y el centroide de las fuerzas de compresión en el acero y el concreto.
𝑘 = [(𝜌 + 𝜌′
)2
𝑛2
+ 2 (𝜌 +
𝜌′𝑑′
𝑑
) 𝑛]
1
2
− (𝜌 + 𝜌′)𝑛
Ecu. 3.17

𝑀 𝑦 = 𝐴 𝑠 𝑓𝑦 𝑗𝑑
Ecu. 3.18
𝜑 𝑦 =
𝑓𝑦
𝐸𝑠
⁄
𝑑(1 − 𝑘)
Ecu. 3.19
En que 𝐴 𝑠 = área del acero de tensión 𝐴′ 𝑠 = área del acero de compresión, b = ancho de la
sección, d = profundidad efectiva del acero de compresión, d’ = distancia desde a fibra extrema a
compresión al centroide del acero de compresión 𝐸𝑐 = módulo de elasticidad del concreto, 𝐸𝑠 =
módulo de elasticidad del acero, 𝑓′ 𝑦 = resistencia de cedencia del acero, jd = distancia desde
centroide de las fuerzas de comprensión en el acero y el concreto al centroide de la tensión
𝑛 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐
⁄ , 𝜌 =
𝐴 𝑠
𝑏𝑑
⁄ , 𝑦 𝜌 = 𝐴′ 𝑠/𝑏𝑑.
Si el esfuerzo en la fibra extrema a comprensión del concreto es mayor que 0,7𝑓′ 𝑐 se debe
calcular la profundidad del eje neutro a la primera cedencia del acero de tensión utilizando la curva
real esfuerzo – deformación para el concreto sin embargo, se puede obtener una estimación a partir
de la fórmula de la línea recta, incluso si el esfuerzo calculado es tan alto como 𝑓′ 𝑐 la Figura 24
indica que el valor para k calculado de la forma de la línea recta será más pequeño que el valor
real para k si la distribución de esfuerzos del concreto es curva, lo que lleva a subestimar 𝜑 𝑦 y a
sobrestimar 𝑀 𝑦.

Figura 24. Distribuciones de esfuerzo deformación para la misma fuerza de compresión cuando
el acero alcanza el esfuerzo de cedencia.
Se puede calcular la curvatura y el momento último de la sección doblemente reforzada para
el caso en que le acero de compresión este cediendo, como resultado tenemos las siguientes
ecuaciones
𝑎 =
𝐴 𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴′ 𝑠 𝑓𝑦
0.85𝑓´ 𝑐 𝑏
Ecu. 3.20
𝑀 𝑢 = 0.85𝑓´ 𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 −
𝑎
2
) + 𝐴′ 𝑠 𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑′
)
Ecu. 3.21
𝜑 𝑢 =
𝐸𝑐
𝑐
=
𝐸𝑐 𝐵1
𝑎
Ecu. 3.22

La expresión
𝐸′ 𝑠 = 𝐸𝑐 (
𝑐 − 𝑑′
𝑐
) = 𝐸𝑐 (1 −
𝐵1𝑑′
𝑎
)
Ecu. 3.23
Proporciona la deformación del acero de compresión, indicada por el diagrama de
deformación de la Figura 23.
Sustituyendo la ecuación 1.20 en 1.22 se comprueba que el acero de compresión está cediendo
cuando
𝐸𝑐 [1 − 𝐵1 𝑑′ (
0,85𝑓′ 𝑐 𝑏
𝐴 𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴′ 𝑠 𝑓𝑦
)] ≥
𝑓𝑦
𝐸𝑠
Ecu. 3.24
Para ser aplicable, se debe demostrar que la ecu. 1.24 satisface el ecu. 1.20 a 1.22 si se realiza
y no se satisface quiere decir que el acero de compresión no está cediendo y se debe sustituir el
valor real del esfuerzo del acero de compresión en vez de la resistencia de cedencia. Se tiene:
1
2
(
𝑎
𝑑
)
2
+
𝑎
𝑑
(
𝜌′𝐸 𝑐 𝐸𝑠 − 𝜌𝑓𝑦
1.7𝑓′ 𝑐
) −
𝜌′𝐸 𝑐 𝐸𝑠 𝐵1 𝑑′
1.7𝑓′
𝑐
𝑑
= 0
Ecu. 3.25
De la que se obtiene a. además se tiene que:

𝑀 𝑢 = 0,85𝑓′ 𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 −
𝑎
2
) + 𝐴′ 𝑠 𝐸𝑠 𝐸𝑐
𝑎 − 𝐵1 𝑑′
𝑎
(𝑑 − 𝑑′
)
Ecu. 3.26
Y 𝜑𝑢 está dada por la ecuación 1.22
La relación
𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
⁄ da una medida de la ductilidad de curvatura de la sección de la ecua. 1.22
en la 1.19, se puede escribir esta relación como:
𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
=
𝐸𝑐
𝑓𝑦 𝐸𝑠⁄
𝑑(1 − 𝑘)
𝑎 𝐵1⁄
Ecu. 3.27
Se puede utilizar el ecu. 1.27 para determinar el factor de ductilidad de curvatura en el caso
general de una sección doblemente reforzada. Si se satisface el ecu. 1.24, el acero de compresión
está cediendo, y al sustituir las ecuaciones. El factor de ductilidad de curvatura esta dado como:
𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
=
0,85𝐵1𝐸𝑠 𝐸𝑐 𝑓′ 𝑐
𝑓𝑦
2
(𝜌 − 𝜌′)
{1 + (𝜌 + 𝜌′}𝑛 − [(𝜌 + 𝜌′
)2
𝑛2
+ 2 (𝜌 +
𝜌′𝑑′
𝑑
) 𝑛]
1
2
Ecu. 3.28
Si no se satisface el ecu. 1.24 el acero de compresión no está cediendo, y al sustituir las
ecuaciones el factor de ductilidad de curvatura esta dado como

𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
=
𝐵1𝐸𝑠 𝐸𝑐
𝑓𝑦
{1 + (𝜌 + 𝜌′}𝑛 − [(𝜌 + 𝜌′
)2
𝑛2
+ 2 (𝜌 +
𝜌′𝑑′
𝑑
) 𝑛]
1
2
[(
𝜌′𝐸𝑠 𝐸𝑐 − 𝜌𝑓𝑦
1.7𝑓′ 𝑐
)
2
+
𝜌′𝐵1𝐸𝑠 𝐸𝑐 𝑑′
0,85𝑓′ 𝑐 𝑑
]
1
2
−
𝜌′𝐸𝑠 𝐸𝑐 − 𝜌𝑓𝑦
1.7𝑓′ 𝑐
Ecu. 3.29
En las Figuras 25 y 26 están graficadas la ecu. 1.28 y 1.29 para un rango de combinaciones
prácticas de 𝑓𝑦 y 𝑓′ 𝑐 para concreto de peso normal y para 𝐸𝑐 = 0,003 𝑦 0,004 para pequeños
valores de 𝜌 − 𝜌′ es posible que el eje neutro en el momento ultimo este por encima del acero
superior (“de compresión”) y en consecuencia, que tanto el acero superior como el inferior estén
a tensión. El ecu. 1.29 puede manejar este caso en tanto que el acero superior permanezca elástico,
pero la expresión no es aplicable cuando el acero superior cede en tensión. Adicionalmente, para
valores 𝜌 − 𝜌′ se hace grande el esfuerzo de compresión del concreto a la primera cedencia del
acero de tensión, y el comportamiento, supuesto elástico en esta etapa, puede producir un esfuerzo
de concreto máximo que supere la resistencia del cilindro. Estrictamente hablando, se debe utilizar
una curva no lineal esfuerzo-deformación para el concreto cuando 𝜌 − 𝜌′ es elevadas las curvas
de las Figuras 25 y 26 se han graficado las curvas cuando es esfuerzo de compresión máximo del
concreto a la primera cedencia del acero de tensión sea mayor que 𝑓′ 𝑐 o cuando el acero superior
cede en tensión en el momento último. En el primer caso, la curva se termina en su extremo
superior izquierdo en las Figuras 25 y 26 se aprecian claramente los efectos de las propiedades de
la sección en la relación
𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
. Por referencia a estas figuras y a la ec. 1.27 se muestra que
manteniendo constantes las otras variables se cumple lo siguiente:

1. Un aumento en la cuantía del acero de tensión disminuye la ductilidad, debido a que
aumentan tanto k como a, por lo que aumenta φ, y disminuye 𝜑 𝑢.
2. Un aumento en la cuantía del acero de compresión aumenta la ductilidad, debido a que
disminuye tanto k como a, por lo que disminuye 𝜑 𝑦 y aumenta 𝜑 𝑢.
3. Un aumento en la resistencia de cedencia del acero disminuye la ductilidad debido a que
aumentan tanto 𝑓𝑦 𝐸𝑠⁄ como a, por lo que aumenta 𝜑 𝑦 y disminuye 𝜑 𝑢
4. Un aumento es la resistencia del concreto aumenta la ductilidad debido a que disminuye
tanto k como a, por lo que disminuye 𝜑 𝑦 y aumenta 𝜑 𝑢
5. Un aumento en la deformación de la fibra extrema del concreto en el momento ultimo
aumenta la ductilidad debido a que aumenta 𝜑 𝑢 (Park & Pauly, 1980)

Figura 25. Variación y para vigas con concreto no confinado y Fy= 276 N/mm^2

Figura 26. Variación y para vigas con concreto no confinado y Fy= 414 N/mm^2
3.3. Ductilidad de secciones de columnas de concreto no confinado
La carga axial influye en la curvatura, en consecuencia, no hay una curva única momento-
curvatura para una sección dada de columnas, lo contrario al caso de una sección de viga

determinada. Sin embargo, es posible graficar las combinaciones de carga axial P y momento M
que hace que la sección alcance la capacidad última y la curvatura φ correspondiente a esas
combinaciones. La figura 27 a tomada de Blume, Newmark y Corning grafica P contra M (el
diagrama de interacción) y P contra φh para una sección de columna con refuerzo en dos caras
opuestas. En las figuras aparecen los detalles de la sección y la curva esfuerzo- deformación para
el concreto. La curva 1 del diagrama P- φh que corresponden a los puntos en que el acero de tensión
alcanza la resistencia de cedencia por encima del punto de falla balanceada en el diagrama P- φh
las curvas 1 y 2 se separan e indican la cantidad de deformación inelástica de flexión que ocurre
una vez iniciada la cedencia. La relación
𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
obtenida de estas dos curvas para la sección no
confinada esta graficada contra la relación de las cargas de la columna P/Po en la figura 27 b en
que Po es la resistencia por carga axial de la columna cuando no está presente ninguna flexión. En
el punto de falla balanceada, P/Po = 0,31 para esta sección, es evidente que la presencia de carga
axial reduce significativamente la ductilidad de la sección. Por ejemplo, si la carga de la columna
es de 15% de la capacidad por carga axial, el valor de
𝜑 𝑢
𝜑 𝑦
. Se reduce aproximadamente a 4, y es
menor a niveles superiores de carga.
Las curvas de momento - Curvatura obtenidas para la sección de columna con distintos niveles
de carga axial constantes (esto es, la carga de la columna se mantuvo constante a un nivel
especifico mientras se flexionaba la columna a la falla) son de especial interés. En la figura 28 se
muestran las curvas para la secciones de columna con dos cuantías distintas de acero. Las curvas
ilustradas que a niveles de cargas axiales superiores a la falla de carga balanceada, la ductilidad es
despreciable, y solo se debe a la deformación inelástica del concreto. A niveles de carga menores
a la carga balanceada, la ductilidad aumenta conforme se reduce el nivel de la carga. Debido al

comportamiento frágil de las columnas no confinadas, aun a niveles moderados de carga axial de
compresión, el ACI 318-71 recomienda que en zonas sísmicas se confinen los extremos de las
columnas (Park & Pauly, 1980).
Diagrama de integración
Ductilidad de curvatura
Figura 27. Resistencia y ductilidad de una sección de columna

Figura 28. Curva momento – curvatura para secciones de columnas en distintos niveles de carga
axial

4. Modelación Csicol
El Csicol es un software de modelación de columnas de concreto reforzado en el cuál
introduciendo las propiedades de los materiales, dimensiones de las secciones, distribución de
refuerzo longitudinal y además distintas combinaciones de carga a la columna provee resultados
como gráfica momento curvatura, capacidad de interacción de la columna al considerar un
comportamiento biaxial entre otros resultados.
El empleo de este software se hará principalmente para modelar la columna diseñada bajo los
parámetros de disipación especial de energía (DES), y obtener así la gráfica momento curvatura.
Cabe mencionar que este software no permite introducir refuerzo transversal para los cálculos.
Es capaz de manejar un número ilimitado de combinaciones de carga para ambas condiciones
de elementos como marcos ordinarios o como marcos especiales que trabajan para sismo. Las
acciones de diseño pueden especificarse directamente o pueden ser calculadas por el programa
usando el método de ampliación de momento. El diseño y el análisis toman en cuenta los efectos
de esbeltez. Condiciones de marcos ordinarios o especiales que resisten sismo puede también ser
realizadas por el programa como se especifica en el código de diseño seleccionado. Además,
CSICOL es capaz de determinar el factor de longitud efectiva basado en las condiciones de frontera
de la columna.

La salida de datos de CSICOL incluye la superficie de capacidad de interacción, curvas de
carga-momento, curvas momento-momento, curvas momento-curvatura para varios criterios de
falla, contornos combinados axial-flexión de esfuerzo elástico, esfuerzos de refuerzo, esfuerzos de
secciones agrietadas, localización del punto de carga, vector de capacidad, profundidad del eje
neutral y orientación, etc. Los reportes pueden ser creados como parte de la salida de datos para el
proceso de análisis y diseño. Los reportes pueden personalizarse agregando información y gráficos
de su elección.
CSICOL proporciona varias formas de perfiles paramétricos predefinidos, incluyendo una
variedad de sólidos, ahuecadas, perfiles con patín, adicionalmente a la base de datos de perfiles
estándar de acero, los cuales pueden usarse en columnas compuestas. Es fácil unir, editar y dibujar
las formas para que se acomoden a los requerimientos de geometría y crear así secciones
transversales complejas. El programa proporciona las herramientas para la alineación, fijado, y
colocación de estas formas. Las barras de refuerzo pueden colocarse donde sea (esquinas,
perimetralmente, a los lados, circular, irregular, etc.) en la sección transversal usando varias
herramientas de adicción y colocación. Se pueden usar arreglos de refuerzo estándar (ASTM,
Metric, e Imperial) o bien definidos por el usuario ( Jimenez ).

5. Descripción y evaluación del muro pantalla.
5.1 Descripción
El elemento construido para el análisis es un muro pantalla diseñado bajo los parámetros
propuestos por la NSR-10. El muro posee unas dimensiones de 20 cm * 120 cm con refuerzo
longitudinal de tres octavos (3/8) y cinco octavos (5/8) de pulgada.
El refuerzo transversal se compone de cinco ramas en sentido X y dos ramas en sentido Y, el
recubrimiento de la sección es de 5 cm. A continuación se detalla el esquema de la sección
transversal del elemento.
La separación de los refuerzos se hizo uniformemente cada 27.5 centímetros, debido a que
en los muros pantalla el refuerzo tiende a ser simétrico.
5.2 Análisis y evaluación teórica del muro pantalla
En este proyecto el muro pantalla de dimensiones 20 x 120 ajustada a los parámetros de la
NSR 10 en cuanto a refuerzo longitudinal y transversal, se tomara como ejemplo para determinar
y hallar el momento de curvatura tomando como base el método propuesto por R. Park y T. Paula
y en el libro “ESTRUCTURA DE CONCRETO REFORZADO”, calculando con este método los

3 primeros puntos (agrietamiento, cedencia y momento ultimo) y el cuarto punto (momento ultimo
confinado) será hallado bajo los parámetros del método propuesto por T. paulay y M.J.N. Priestley
en el libro de “SEISMIC DESIGN of REINFORCED CONCRETE AND MASONRY
BUILDINGS” para determinar la ductilidad del elemento.
5.3 Gráfica momento curvatura considerando refuerzo a tracción-compresión y
confinamiento del concreto.
Existen metodologías complejas para elaborar una gráfica momento curvatura sin necesidad
de algún software pero ya considerando el acero no sólo a tracción sino también a compresión.
Están presentes cuatro momentos esenciales que ocurren en un elemento estructural, al ser
sometido a una fuerza lateral progresiva. Figuración, cedencia, momento último y momento
confinado, los cuales deben determinarse para elaboración completar la del diagrama y así poder
determinar la ductilidad del elemento.
Tabla 1. Características del elemento
PROPIEDADES ELEMENTO VALORES
Recubrimiento 50 mm
Diámetro varilla 3/8” 15.87 mm
Diámetro varilla 5/8" 9.52 mm
d’ 122 mm
AS Tracción 679.394 mm2
AS’ Compresión 537.63 mm2
FC 20.7 MPa

PROPIEDADES ELEMENTO VALORES
FY 413.79 MPa
Fr 2.8 MPa
ES 200000 MPa
EC 21383 MPa
d 1078 MPa
b 200 mm
h 1200 mm
Ramas en X 2
Ramas en Y 5
Área varilla Ref. Conf mm2
71 mm2
Dónde:
d’: Es la distancia medida desde la base hasta el centro de la varilla longitudinal.
As’: Es el refuerzo longitudinal sometido a compresión.
Es: Es el módulo del concreto
Ec: Es el módulos del acero.
Fc: Es la resistencia a la compresión del hormigón
Fr: Es la resistencia a la tracción del hormigón.
Fy: Es el límite elástico del acero.
b: Base del elemento estructural
h: Altura del elemento estructural

5.3.1 Fisuramiento.
En esta primera etapa podemos encontrar el primer estado del elemento el cual se da por la
fisuración del concreto a tracción, por tanto se debe hallar el módulo de fisuración en el cual se
tiene en cuenta la inercia de toda la sección del concreto.
Por medio dela siguiente formula se halla la inercia de la sección transversal del elemento:
𝐼 =
1
12
(𝑏ℎ3
)
Ecu. 5.1
Luego hallamos el momento de fisuramiento de la siguiente forma:
𝑀𝑓 =
𝑓𝑟 𝐼
𝑦𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜
Ecu. 5.2
Luego hallamos la deformación del elemento de la siguiente manera:
𝜑 𝑓 =
𝑓𝑟
𝐸𝑐
𝑦𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜
Ecu. 5.3

Y con el resultado de 𝑀𝑓 (momento de fisuramiento) y el 𝜑 𝑓 (deformación del elemento) se
grafica el primer punto de la gráfica de momento curvatura (Fisuramiento).
Tabla 2. Etapa 1 figuración
PRIMERA ETAPA FISURACIÓN
I mm4 28800000000
c mm 600
Mf N-mm 135360000
Mf KN-m 135.36
φf rad/mm 2.2E-07
φf rad/m 0.00022
5.3.2 Cedencia (fluencia):
Ya es en esta etapa donde el acero a tracción comienza a fluir, para el desarrollo de esta fase
es necesario transformar la sección de acero en concreto, lográndose homogeneizar todo el
elemento.
𝑏𝐶2
+ 2𝐶[(𝑛 − 1)𝐴´ 𝑠 + 𝑛𝐴 𝑠] − 2[(𝑛 − 1)𝐴´ 𝑠 𝑑′
+ 𝑛𝐴 𝑠 𝑑] = 0
Ecu. 5.4
Donde para facilidad del método llamaremos
𝑍 = 2[(𝑛 − 1)𝐴´ 𝑠 + 𝑛𝐴 𝑠]
Ecu. 5.5

𝑋 = −2[(𝑛 − 1) ∗ 𝐴´ 𝑠 ∗ 𝑑′
+ 𝑛 ∗ 𝐴 𝑠 ∗ 𝑑]
Ecu. 5.6
Por tanto nos quedara la siguiente expresión
𝑏𝐶2
+ 𝑍𝐶 − 𝑋 = 0
Ecu. 5.7
Y podremos aplicar la formula cuadrática
𝐶 =
−𝑍 + √𝑍2 + 4𝑏𝑋
2𝑏
Ecu. 5.8
Ésta ecuación cuadrática permite determinar la distancia C medida desde el eje neutro a la
cual está el bloque de compresión.
La inercia en esta etapa (cedencia) esta descrita por la siguiente ecuación
𝐼 =
𝑏𝐶3
3
+ 𝐴′
𝑠(𝑛 − 1)(𝐶 − 𝑑′
)2
+ 𝐴 𝑠 𝑛(𝑑 − 𝐶)2
Ecu. 5.9

Debemos tener en cuenta que en esta etapa se debe garantizar que la plastificación se dé
primero en el acero que en el concreto.
𝜑 𝑦 =
𝑓𝑦
𝐸𝑠(𝑑 − 𝐶)
< 𝜑𝑐 =
0,0015
𝐶
Ecu. 5.10
El momento de cedencia por tanto se trabaja con:
𝑀 𝑦 = 𝜑 𝑦 𝐸𝑐 𝐼
Ecu. 5.11
Y con el resultado de 𝑀 𝑦 (Momento de Cedencia) y el 𝜑 𝑦 (Deformación del elemento) se
grafica el segundo punto de la gráfica de momento curvatura (Cedencia).
Tabla 3. Etapa 2 (cedencia)
SEGUNDA ETAPA CEDENCIA
n (Adimensional) 9.35
Z mm 21690.94
X mm 14794803.67
C mm 223.11
I mm4
5426195287
𝜑 𝑦rad/mm 2.42E-06
𝜑 𝑦 rad/m 0.00242
𝜑𝑐 rad/mm 6.72E-06
𝜑𝑐 rad/m 0.00672
𝑀 𝑦 N-mm 280921820
𝑀 𝑦 KN-m 280.92

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