estadistica tema estimaciones en los resultados

Estimaciones puntuales y de intervalo para
una media poblacional
 Una estimación puntual es un solo valor que se mide
a partir de una muestra y se usa como una estimación del
parámetro poblacional correspondiente.
 La estimación por intervalo establece un intervalo
dentro del cual es muy probable que se encuentre el
parámetro poblacional.
 El coeficiente de confianza se usa para indicar la
probabilidad de que una estimación por intervalo
contenga el parámetro poblacional. El nivel de
confianza es el coeficiente de confianza expresado
como un porcentaje.

Estimación por intervalo para la media
 Un analista no puede ver la distribución muestral de la
que se saca la media muestral.
 El proceso de construir un intervalo alrededor de la
estimación puntual de se lleva a cabo entendiendo que
hay una alta probabilidad, pero no certidumbre, de que
el intervalo que resulta contenga la media poblacional.
_
x
_
x
_
x

Los resultados del teorema del límite central permiten afirmar lo
siguiente con respecto a los intervalos de confianza utilizando el
estadístico z:
1. 95% de las medias muestrales seleccionadas de una población se
encontrará dentro de 1.96 errores estándares de la media
poblacional, µ.
2. 99% de las medias muestrales se encontrará a 2.58 errores
estándares de la media poblacional.

El intervalo para la media poblacional se calcula
mediante la fórmula:
n
z
x


(1)
Donde

x media de la muestra
z = valor de la tabla normal estándar que refleja
el nivel de confianza

 desviación estándar de la población
n = tamaño de la muestra

Tabla 1. Valores z para la estimación por intervalo
Nivel de
Confianza Valor z
0.90 1.645
0.95 1.96
0.98 2.33
0.99 2.575

para una población finita de tamaño N
Si la población es finita de tamaño N, la estimación por
intervalo se calcula mediante:
(2)

 Para usar la ecuación 1 se debe conocer la desviación
estándar de la población, . En la práctica esto casi
nunca es posible. En su lugar se usa una estimación de 
para construir el intervalo estimado. La desviación
estándar de la muestra, s, proporciona una estimación de
.

 La ecuación 3 se usa para calcular la estimación por intervalo
para medias cuando se cumplen las dos condiciones
siguientes:
- la desviación estándar de la población () se estima usando la
desviación estándar de la muestra (s) y
- el tamaño de la muestra es 30 o mayor:
(3)
 Nota: si el tamaño de la muestra constituye más del 5% de
una población finita, el error estándar de la media debe
modificarse mediante el factor de población finita.
n
s
z
x 

Interpretación del intervalo de
confianza
¿Qué significa decir que estamos
“95% ciertos” que el valor real
de la media poblacional µ está
dentro de un intervalo
determinado? Si fuéramos a
construir 20 de estos intervalos,
c/u usando diferente
información muestral, podría
esperarse que 95% de ellos, o
sea 19 de cada 20, funcionaran
como se planea y contienen µ
dentro de sus límites superior e
inferior.

Ejemplo 1
Un científico interesado en vigilar contaminantes químicos en
alimentos, seleccionó una muestra aleatoria de n = 50 adultos
hombres. Se encontró que el promedio de ingesta diaria de
productos lácteos fue de gramos por día, con una
desviación estándar de s = 35 gramos por día. Use esta
información muestral para construir un intervalo de confianza de
95% para la ingesta diaria media de productos lácteos para
hombres.
Solución.
El intervalo de confianza de
95% para µ es de 746.30 a
765.70 gramos por día.

Ejemplo 2
Construya un intervalo de confianza de 99% para la ingesta
diaria media de productos lácteos para los hombres adultos
del ejemplo anterior.

Solución
Se debe hallar el valor apropiado de la z normal estándar que
pone el área (1-α) = 0.99 en el centro de la curva. En tablas
se encuentra que el valor de z es 2.58.
Así el intervalo de confianza de 99% es 743.23 a 768.77
gramos al día.

 Ejemplo 3. Se selecciona una muestra aleatoria de 30
postulantes para determinar la nota promedio que
obtuvieron los postulantes al examen de admisión 2000-I
de la UNSAAC. Un análisis de los resultados de la
muestra revelan que = 8.39 puntos y s = 2.57 puntos.
 Ejemplo 4. Suponga que el tamaño de la muestra del
ejemplo 1 es 300 y no 30. ¿Cómo afectará esto a la
estimación por intervalo?
_
x

 Ejemplo 5. Un científico seleccionó una muestra de n=
50 adultos hombres. Se encontró que el promedio de
ingesta diaria de productos lácteos fue de 756 gramos
por día, con una desviación estándar de s=35 gramos por
día. Calcule la estimación por intervalo para un nivel de
confianza del 95% para la ingesta diaria de productos
lácteos para hombres.
_
x

Estimaciones puntuales y de intervalo para
las proporciones de una población
 La distribución normal proporciona una buena
aproximación para la distribución binomial cuando np >
5 y n(1-p) >5. Como la mayoría de las situaciones de
proporciones cumple estos criterios, por lo general se
usa la distribución normal para crear estimaciones por
intervalo para proporciones de una población.
 Se usa la ecuación 4 para calcular la estimación por
intervalo para una proporción de población:

Estimación por intervalo para una
proporción de una población
(4)
donde
= proporción muestral
p = proporción de la población
 Para aplicar la ec.3 se debe conocer un parámetro poblacional, p. La
solución a este problema es la misma que para las medias: se usa la
proporción de la muestra, , como una estimación de la proporción
poblacional desconocida, p.
 Nota: si la muestra constituye más del 5% de una población finita, el
error estándar de la proporción debe modificarse con el factor de
población finita.
n
p
p
z
p
)
1
(
_


_
p

Ejemplo
Una muestra aleatoria de 985 posibles electores, fueron encuestados
telefónicamente. De ellos, 592 indicaron que tenían la intención de
votar por el “Partido de losTrabajadores”. Construya un intervalo
de confianza de 90% para p, la proporción de electores probables
de la población que tienen la intención de votar por el candidato de
los trabajadores.

Solución
La estimación puntual para p es
Y el error estándar es
El valor z para un intervalo de confianza de 90% es z = 1.645. El intervalo
de confianza del 90% para p es entonces
o sea 0.575 < p < 0.627. Se estima que el porcentaje de probables
electores que tienen la intención de votar por el candidato de los
trabajadores es entre 57.5% y 62.7%. ¿Ganará el candidato la elección?
Suponiendo que se necesita más del 50% de los votos para ganar, se
puede decir con 90% de confianza que el candidato ganará.

Ejercicio. Un experimento de química
En un experimento de electrólisis, un grupo de estudiantes
midió la cantidad de cobre precipitado de una solución
saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos.
Los n=30 estudiantes calcularon una media muestral y
desviación estándar igual a 0.145 y 0.0051 moles,
respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de
90% para la cantidad media de cobre precipitado de la
solución en un periodo de 30 minutos.

Ejercicio. Reproductores MP3·
¿Tiene usted un iPod Nano o unWalkman Bean Sony? Un
estudio indicó que 54% de los jóvenes norteamericanos entre
12 y 17 años de edad, 30% de entre 18 y 34 años y 13% de
entre 35 y 54 años tienen reproductores MP3. Suponga que
estas tres estimaciones están basadas en muestras aleatorias
de tamaños 400, 350 y 362, respectivamente.
a. Construya una estimación de intervalo de confianza de
95% para la proporción de personas entre 12 y 17 años que
tienen un reproductor MP3.
b. Construya una estimación de intervalo de confianza de
95% para la proporción de personas entre 18 y 34 años que
tienen un reproductor MP3.

Tamaño de la muestra y error de la
estimación
 ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra?
Tres factores afectan a la determinación del tamaño de la
muestra para estimar la media de una población: 1) el
nivel de confianza, 2) el error tolerable máximo y 3) la
variación de la población.
 El error tolerable máximo es la cantidad máxima en
la que el estadístico de la muestra (la estimación) difiere
del parámetro poblacional, para un nivel de confianza
específico.

El intervalo de estimación está dado por
La cantidad es el margen de error deseable.
Una vez que se selecciona el coeficiente de confianza 1-α, se
determina z.
𝑥 ± 𝑧
𝜎
𝑛
𝐸 = 𝑧
𝜎
𝑛

Tamaño de la muestra para medias
 El tamaño de la muestra para medias se puede estimar
usando los cuatro pasos siguientes:
1. Determinar el nivel de confianza, por lo general 0.90, 0.95 o
0.99.
2. Determinar cuál es el error tolerable, E. La magnitud del error
dependerá de lo crítica que sea la exactitud de la estimación. El
valor de E requiere una decisión subjetiva del analista.
3. Determinar la desviación estándar de la población o, si no se
conoce, estimarla. Otra posibilidad es llevar a cabo un estudio
piloto con una pequeña muestra y usar la desviación estándar
muestral, s, para estimar la desviación estándar poblacional, .

4. Calcular n mediante la ecuación:
(5)
Donde
z = valor de la tabla normal estándar que
refleja el nivel de confianza
 = desviación estándar poblacional
E = error tolerable máximo
2
2
2
E
z
n



Tamaño de la muestra para
medias. Población finita
 Cuando el muestro es hecho sin reemplazo a partir de una
población finita de tamaño N, el tamaño de la muestra se
determina por:
(6)

Ejemplo
Determine el tamaño de la muestra de la población de
postulantes a la UNSAAC que permita calcular la nota
promedio obtenida por todos los postulantes. Se desea,
con una probabilidad del 95%, que la media obtenida de
la muestra aleatoria esté a 0.50 puntos de la media
verdadera. Se sabe que la desviación estándar poblacional
es igual a 2.48.

Ejercicios
1. Se calcula que una población tiene una desviación estándar
de 10. Desea estimar la media de la población a menos de 2
unidades del error máximo admisible, con un nivel de
confianza de 95%. ¿De qué tamaño debe ser la muestra?
2. Un procesador de zanahorias corta las hojas, lava las
zanahorias y las inserta en un paquete. En una caja se
guardan veinte paquetes para enviarse. Para controlar el
peso de las cajas, se revisaron unas cuantas. El peso medio
fue de 20.4 libras, y la desviación estándar, de 0.5 libras.
¿Cuántas cajas debe tener la muestra para conseguir una
confianza de 95% de que la media de la muestra no difiere
de la media de la población por más de 0.2 libras?

Tamaño de muestra para proporciones
Los pasos 1 y 2 son en esencia los mismos. Los pasos 3 y 4
son:
3. Determinar la proporción de la población o, si es
desconocida, estimarla. Si se dispone de información
sobre la proporción de la población (p), tal vez de un
estudio anterior, utilice este valor. Otro método es
tomar una pequeña muestra preliminar y usar la
proporción de la muestra, , como una estimación de
p.

Tamaño de muestra para proporciones
4. Utilice la ecuación:
(7)
Donde
z = valor en la tabla normal estándar que refleja el
nivel de confianza
p = proporción de la población
E = error tolerable máximo. Se calcula mediante la
ecuación:
(8)
2
2
)
1
(
E
p
p
z
n


n
p
p
z
E
)
1
( 


Tamaño de muestra para
proporciones. Población finita
 Cuando el muestreo es hecho sin reemplazo a partir de una
población finita de tamaño N:
(9)

Muestras pequeñas. Distribución t
de Student
Cuando la muestra es pequeña, n < 30, el teorema del límite
central no garantiza que el estadístico
tenga una distribución normal.
En 1908W. S. Gosset dedujo una complicada fórmula para la
función de densidad de
(10)
para muestras aleatorias de tamaño n desde una población
normal y publicó sus resultado bajo el nombre de “Student”.
Desde entonces, la estadística se conoce como t de Student.

Características de la distribución t
de Student
 Tiene forma de campana y es simétrica alrededor de t=0, igual
que z
 No existe una distribución t, sino una familia de distribuciones
t.Todas las distribuciones t tienen una media de 0, y sus
desviaciones estándares difieren de acuerdo con el tamaño de la
muestre, n. Existe una distribución t para un tamaño de
muestra de 20, otro para un tamaño de muestra de 22, etc.
 La distribución t se extiende más y es más plana por el centro
que la distribución normal estándar. Conforme se incrementa
el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la
distribución normal estándar. Cuando n sea infinitamente
grande, las distribuciones t y z son idénticas.

Estándar normal z y la distribución t con 5 grados de libertad.
El divisor (n-1) en la fórmula para la varianza muestral s2 se
denomina número de grados de libertad (df) asociados con
s2. Determina la forma de la distribución t.

Valor t para determinar el intervalo de confianza de 95% para una
muestra de tamaño n=10 (dos colas)

Distribuciones a usar para determinar los
intervalos de confianza

Intervalo de confianza de la media
poblacional con σ desconocida
(11)

Ejemplo
El gerente de Inlet Square Mall, desea estimar la cantidad media
que gastan los clientes que visitan el centro comercial. Una
muestra de 20 clientes revela las siguientes cantidades.
48.16 42.22 46.82 51.45 23.78 41.86 54.86
37.92 52.64 48.59 50.82 46.94 61.83 61.69
49.17 61.46 51.35 52.68 58.84 43.88
¿Cuál es la mejor estimación de la media poblacional?
Determine un intervalo de confianza de 95%. Interprete el
resultado. ¿Concluiría de forma razonable que la media
población es de $50? ¿ y de $60?

Solución
La media de la muestra es 49.35 y la desviación estándar s=9.01
Hay n – 1 = 20 – 1 = 19 grados de libertad. Para un 95% de
confiabilidad t = 2.093 (según tablas).

Los puntos extremos del intervalo de confianza son $45.13 y
$53.57. La media poblacional se encuentra en dicho intervalo.
El valor de $50 se encuentra dentro del intervalo de confianza; es
razonable que la media poblacional sea de $50.
El valor de $60 no se encuentra en el intervalo de confianza,
entonces, no es probable que la media poblacional sea de $60.
EN MINITAB:
T de una muestra: C1
Media del
Error
Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 95%
C1 20 49.35 9.01 2.02 (45.13, 53.57)

Autoevaluación 9-2
La señora Kleman está interesada en el ausentismo de sus trabajadoras. La
siguiente información se refiere al número de días de ausencias de una
muestra de 10 trabajadoras durante el último periodo de pago de dos
semanas.
4 1 2 2 1 2 2 1 0 3
a) Determine la media y la desviación estándar de la muestra.
b) ¿Cuál es la media de la población? ¿Cuál es la mejor estimación de dicho
valor?
c) Construya un intervalo de confianza de 95% de la media poblacional.
d ) Explique la razón por la que se utiliza la distribución t como parte del
intervalo de confianza.
e) ¿Es razonable concluir que la trabajadora común no falta ningún día
durante un periodo de pago?

Ejercicios
Del capítulo 9:
32, 45

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