1) Se explican los conceptos de estimación puntual e intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras. 2) Existen dos tipos principales de estimación de intervalos de confianza: para la media poblacional y para la proporción poblacional. 3) La construcción de un intervalo de confianza depende de si se conoce o no la desviación estándar poblacional, utilizando distribuciones Z o T, respectivamente.

1. INTERVALOS DE CONFIANZA
Cuando se toman muestras el propósito es conocer más acerca de una población,
ya que al examinar una población completa se pierde mucho tiempo y resulta costoso.
La información que podemos obtener de las muestras pueden ser estimadores
puntuales, es decir, datos como la media muestral y la desviación estándar muestral.
Los estimadores puntuales son un solo valor (punto) calculado a partir de información
de la muestra para estimar el valor de una población ó parámetro poblacional.
Un enfoque que arroja más información es la estimación por intervalo cuyo objetivo
es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida
de la muestra, del valor del parámetro poblacional.
Intervalo de confianza es el conjunto de valores formado a partir de una muestra
de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional se
encuentre dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica.
Esa probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza.
La estimación por intervalo se calcula al sumar o restar al estimador puntual una
cantidad llamada margen de error. La formula general de una estimación por
intervalo es:
Estimación puntual ± Margen de error
Existen dos tipos de estimación de intervalo:
 La estimación de intervalos de confianza para la media poblacional (μ). Y su
formula general es: ± Margen de error
 La estimación de intervalos de confianza para la proporción poblacional (P). Y
su formula general es: p ± Margen de error.
ESTIMACIÓN DE INTERVALO PARA LA MEDIA POBLACIONAL.
Los factores que determinan la magnitud de un intervalo de confianza para una media
poblacional son:
 El número de observaciones en la muestra (n).
 La variabilidad en la población calculada por la desv. estándar de la muestra (s)
 Y el nivel de confianza.
En la estimación de intervalo para la media poblacional (μ) se deben considerar dos
casos:
1. Cuando se conoce la desviación estándar de la población (σ).
2. Cuando se desconoce la desviación estándar de la población (σ). En este caso
se sustituye la desviación estándar de la muestra (s) por la desviación estándar
de la población (σ).

2. INTERVALOS DE CONFIANZA
1. LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES CONOCIDA (σ).
FORMULA.
Donde:
± 푧
휎
√푛
= Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo.
z = Valor de z, que depende del nivel de confianza.
흈
√풏
= Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las
carro medias muestrales.
PROCEDIMIENTO:
1. Describir el parámetro poblacional de interés.
Por ejemplo la media poblacional (μ).
2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.
a) Comprobar supuestos.
Si se conoce o no la desviación estándar poblacional (σ). Si se trata de una
distribución normal.
b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar para la
desviación estándar conocida.
Cuando se conoce la desviación estándar de la población se utiliza la
distribución z y la formula a utilizar será ± 풛 흈
√풏
.
c) Establecer el nivel de confianza.
El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...
3. Recolectar y presentar hechos muestrales.
Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el
tamaño de muestra (n), la media muestral , etc.
4. Determinar el intervalo de confianza.
a) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.
b) Encontrar el error estándar de la muestra y multiplicarlo por el valor de z, de
esta forma se obtiene el valor del margen de error ó error máximo de estimación
Fórmula de error estándar 훔 = σ
√n
margen de error = z × σ
√n
c) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media
muestral ( ) con el margen de error. + 푧 휎
√푛
El límite de confianza inferior se encuentra restando del valor de la media
muestral ( ) el valor del margen de error. − 푧 휎
√푛
5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.
El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media
poblacional μ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).

3. INTERVALOS DE CONFIANZA
EJEMPLO:
Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una
desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de
confianza de 99% para la media poblacional.
1. Describir el parámetro poblacional de interés.
El parámetro de interés es la media poblacional (μ).
2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.
a) Comprobar supuestos.
Se conoce la desviación estándar poblacional (σ). Y se trata de una
distribución normal.
b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar para la
desviación estándar conocida.
Como se conoce la desviación estándar de la población se manjará la
distribución z y la formula a utilizar será ± 풛 흈
√풏
.
c) Establecer el nivel de confianza.
El nivel de confianza es de 99%.
3. Recolectar y presentar hechos muestrales.
n = 49, 55, σ = 10,
4. Determinar el intervalo de confianza.
a) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.
Se sabe que el 99% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de
la distribución y entre dos valores de z. Por consiguiente el 1% restante se
divide en partes iguales en las dos colas de la campana.
99% = .9900 1 − .9900 = .0100 . 0100 ÷ 2 = .0050
Este valor lo buscamos en la tabla de distribución normal estándar y nos dará
como resultado z = -2.58, pero como la distribución es normal y por lo tanto
simétrica el otro valor de z es: z = +2.58, entonces z = ±ퟐ. ퟓퟖ
b) Encontrar el error estándar de la muestra y multiplicarlo por el valor de z, de
esta forma se obtiene el valor del margen de error ó error máximo de estimación
σ = σ
√n
= 10
√49
= 1.4285
Margen de error = z × σ
√n
= 2.58 × 1.4285 = ퟑ. ퟔퟖퟓퟕ
c) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
+ 푧 휎
√푛
55 + 3.6857 = ퟓퟖ. ퟔퟖퟓퟕ
− 푧 휎
√푛
55 − 3.6857 = ퟓퟏ. ퟑퟏퟒퟐ
5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.
El intervalo de confianza del 99% para la media poblacional μ es de ퟓퟏ. ퟑퟏퟒퟐ
a ퟓퟖ. ퟔퟖퟓퟕ

4. INTERVALOS DE CONFIANZA
2. LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES DESCONOCIDA (σ).
En la mayoría de los casos de muestreo no se conoce la desviación estándar de la
población (σ), y por lo tanto no se puede utilizar la distribución z para calcular el
intervalo de confianza para la media poblacional (μ). Sin embargo se puede utilizar la
desviación estándar de la muestra y sustituir la distribución z con la distribución t.
La distribución t se calcula con la siguiente fórmula: 풕 = − 휇
푠
√푛
Donde:
= Media muestral.
μ = Media poblacional.
s = Desviación estándar de la muestra, es un estimador puntual de la desviación
estándar poblacional.
n = numero de observaciones de la muestra.
Características de la distribución t.
 Es una distribución continua.
 Tiene forma de campana y es simétrica.
 Existe una familia de distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una
media de 0, y sus desviaciones estándar difieren de acuerdo con el tamaño de
la muestra.
 Es plana o más amplia que la distribución normal estándar.
Para crear un intervalo de confianza para la media poblacional con la distribución t se
utiliza la siguiente fórmula:
FORMULA.
Donde:
± 푡
푠
√푛
= Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo.
t = Valor de t, que depende del nivel de confianza.
풔
√풏
= Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las
carro medias muestrales.
La distribución t cuenta con una tabla para localizar el valor de t en intervalos de
confianza, dependiendo el nivel de confianza que se requiera. Existe una columna que
se identifica como “GL” ó grados de libertad. El número de grados de libertad es igual
al número de observaciones en la muestra menos el número de muestras.

5. INTERVALOS DE CONFIANZA
PROCEDIMIENTO:
1. Describir el parámetro poblacional de interés.
Por ejemplo la media poblacional (μ).
2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.
a) Comprobar supuestos.
Si se conoce o no la desviación estándar poblacional (σ). Si se trata de una
distribución normal.
b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar (para la
desviación estándar conocida o desconocida).
Cuando no se conoce la desviación de la población estándar de la población se
utiliza la distribución t y la formula a utilizar será ± 풕 풔
√풏
.
c) Establecer el nivel de confianza.
El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...
3. Recolectar y presentar hechos muestrales.
Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el
tamaño de muestra (n), la media muestral , etc.
4. Determinar el intervalo de confianza.
a) Determinar el valor de t, dependiendo el nivel de confianza.
Hay que buscar en la tabla la columna “Intervalos de confianza” y localizar el
nivel de confianza que se requiere. Y en la columna “GL” buscar los grados de
libertad, haciendo lo siguiente: al número de observaciones en la muestra hay
que restarle el número de muestras. n – 1. Por último ver el valor de t que
resulte de acuerdo al nivel de confianza y los grados de libertad que
calculamos.
b) Obtener el margen de error
Margen de error = t × s
√n
c) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media
muestral ( ) con el valor del margen de error. + 푡 푠
√푛
El límite de confianza inferior se encuentra restando valor del margen de error
del valor de la media muestral ( ). − 푡 푠
√푛
5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.
El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media
poblacional μ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).

6. EJEMPLO:
INTERVALOS DE CONFIANZA
La Asociación Estadounidense de Productores de Azúcar desea calcular el consumo
medio de azúcar por amo. Una muestra de 16 personas revela que el consumo medio
anual es de 60 libras, con una desviación estándar de 20 libras. Construya un intervalo
de confianza de 90% para la media de la población.
1. Describir el parámetro poblacional de interés.
Es la media poblacional (μ).
2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.
a) Comprobar supuestos.
No conoce la desviación estándar poblacional (σ). Se supone que se trata de
una distribución normal.
b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar (para la
desviación estándar conocida o desconocida).
Como no se conoce la desviación de la población estándar de la población se
manejará la distribución t y la formula a utilizar será ± 풕 풔
√풏
.
c) Establecer el nivel de confianza.
El nivel de confianza es de 90%
3. Recolectar y presentar hechos muestrales.
n = 16 = 60 s = 20
4. Determinar el intervalo de confianza.
a) Determinar el valor de t, dependiendo el nivel de confianza.
Nivel de confianza = 90%
GL = n – 1 = 16 – 1 = 15
Valor de t = 1.753
b) Obtener el margen de error
t × s
√n
= 1.753 × 20
√16
= 1.753 × 20
√16
= 1.753 × 5 = ퟖ. ퟕퟔퟓ
c) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
+ 푡 푠
√푛
60 + 8.765 = ퟔퟖ. ퟕퟔퟓ
− 푡 푠
√푛
60 − 8.765 = ퟓퟏ. ퟐퟑퟓ
5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.
El intervalo de confianza del 90% para la media poblacional μ es de 51.235 a
68.765

7. INTERVALOS DE CONFIANZA
ESTIMACIÓN DE INTERVALO PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL.
Una proporción es una fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra
de la población que posee un rasgo de interés particular.
Una proporción muestral se determina de la siguiente manera: 풑 = 푥
푛
Donde:
x = Es el numero de éxitos.
n = Es el número de elementos de la muestra.
La proporción de la muestra (p) es un estimador puntual de la proporción de la
población (P).
Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es necesario cumplir con
los siguientes supuestos:
1. Que la condiciones binomiales queden satisfechas:
 Los datos de la muestra son resultado de conteos.
 Solo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a uno de los
resultados como éxito y al otro como fracaso).
 La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente.
 Las pruebas son independientes. Esto significa que el resultado de la
prueba no influye en el resultado de otra.
2. Los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5. Esta condición
permite recurrir al teorema del límite central y emplear la distribución normal
estándar, es decir, z, para completar un intervalo de confianza.
Para crear un intervalo de confianza para una proporción de población se aplica la
siguiente fórmula:
FORMULA.
p ± 푧√
푝 (1 − 푝)
푛
Donde:
p = Es la estimación puntual (proporción
muestral) y punto central del intervalo de mar confianza.
z = Valor de z, que depende del nivel de confianza.
n = Es el número de elementos de la muestra.
El desarrollo de un estimador puntual para la proporción poblacional y un intervalo
de confianza para una proporción poblacional es similar a hacerlo para una media.

8. INTERVALOS DE CONFIANZA
PROCEDIMIENTO:
1. Describir el parámetro poblacional de interés.
La proporción poblacional (P).
2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.
a) Comprobar supuestos.
Ver que se cumplan las condiciones binomiales.
 Los datos de la muestra son resultado de conteos.
 Solo hay dos posibles resultados.
 La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente.
 Las pruebas son independientes.
Que los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5.
b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar.
Se utiliza la distribución z y la formula a utilizar será: p ± 푧√푝 (1−푝)
푛
c) Establecer el nivel de confianza.
El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...
3. Recolectar y presentar hechos muestrales.
Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el
tamaño de muestra (n), la proporción muestral (p), etc.
4. Determinar el intervalo de confianza.
a) Calcular la proporción de la muestra con la formula: 푝 = 푥
푛
b) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.
c) Obtener el margen de error
Margen de error = 푧 × √푝 (1− 푝)
푛
d) Determinar el intervalo de confianza con la formula: p ± 푧√푝 (1−푝)
푛
e) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la proporción
muestral (p) con el margen de error. p + 푧√푝 (1− 푝)
푛
El límite de confianza inferior se encuentra restando del valor de la
proporción muestral (p) el valor del margen de error. p − 푧√푝 (1−푝)
푛
5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.
El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la
proporción poblacional P es de (límite de confianza inferior) a (límite de
confianza superior).

9. INTERVALOS DE CONFIANZA
EJEMPLO:
El propietario de West End Kwick Fill Gas Station desea determinar la proporción de
clientes que utilizan tarjeta de debito para pagar la gasolina en el área de las bombas.
Entrevistó a 100 clientes y descubre que 80 pagaron en el área de bombas. Construye
un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional.
1. Describir el parámetro poblacional de interés.
La proporción poblacional (P).
2. Especificar los criterios del intervalo de confianza.
a) Comprobar supuestos.
Se cumplen las condiciones binomiales.
 Los datos de la muestra son resultado de conteos.
 Solo hay dos posibles resultados.
 La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiente.
 Las pruebas son independientes.
Que los valores de nP y n(1-P) deben ser mayores o iguales que 5.
b) Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar.
Se utiliza la distribución z y la formula a utilizar será: p ± 푧√푝 (1−푝)
푛
c) Establecer el nivel de confianza.
El nivel de confianza es de 95%
3. Recolectar y presentar hechos muestrales.
p =80/100 n = 100
4. Determinar el intervalo de confianza.
a) Calcular la proporción de la muestra : 푝 = 푥
푛
= 80
100
= 0.80 = ퟖퟎ%
b) Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.
Se sabe que el 95% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de
la distribución y entre dos valores de z. Por consiguiente el 5% restante se
divide en partes iguales en las dos colas de la campana.
95% = .9500 1 − .9500 = .0500 . 0500 ÷ 2 = .0250 z = ±ퟏ. ퟗퟔ
c) Obtener el margen de error
푧 × √푝 (1−푝)
푛
= 1.96 × √.80 (1−.80)
100
= 1.96 × √. 0016 = 1.96 × .04 =. ퟎퟕퟖퟒ
d) Encontrar los límites de confianza inferior y superior.
p + 푧√푝 (1−푝)
푛
. 80 + .0784 = . ퟖퟕퟖퟒ
p − 푧√푝 (1−푝)
푛
. 80 − .0784 = . ퟕퟐퟏퟔ
5. Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.
El intervalo de confianza del 95%para la proporción poblacional P es de
ퟕퟐ. ퟏퟔ% a ퟖퟕ. ퟖퟒ%.

10. BIBLIOGRAFIA
Anderson, D. R., D. J. Sweeney y T. A. Williams. (2008). Estadística para la
administración y la economía. (10a ed). México: CENGAGE Learning. 267- 283,
307 -313.
Johnson, R. y P. Kuby. (2004). Estadistica elemental: lo esencial. (3ra ed). México:
Math. 305 – 314.
Lind, D. A., W. G. Marchal, y S. A. Wathen. (2008). Estadística aplicada a los
negocios y a la economía. (13a ed). México: McGraw-Hill. 294 -312.