TEMA 5: LOGARITMOS, ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

TEMA 5: LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. TEORÍA
Ejercicios resueltos en video http://www.aprendermatematicas.org
–1–
IES LA ASUNCIÓN d’ELX http://www.ieslaasuncion.org
MATEMÁTICAS 4º ESO
1. ANTES DE EMPEZAR: EL NÚMERO e
Curiosidades históricas
Qué tienen en común?
Una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el capital acumulado al cabo de unos años en una
cuenta bancaria, el crecimiento de una población de bacterias, la reducción de partículas radiactivas. La quinta
letra del abecedario te dará la respuesta.
Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por eso
es tan popular, por su versatilidad.
Algunos números son tan famosos que tienen nombres artísticos de una sola letra. (π, Φ , i, e).
El número “e” no es tan famoso ni tiene tanta historia como “π”, pero tiene un papel estelar en el crecimiento
exponencial y está muy relacionado con el cálculo (igual que π, frecuenta lugares geométricos).
Esta constante siempre está presente cuando se trata de “crecimiento continuo”. Y este tipo de crecimiento es
muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos.
Aunque no lo percibas, el número “e” es importante en tu vida cotidiana.
Orígenes
En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho
dinero a la persona que descubriera un mecanismo que facilitara los cálculos trigonométricos ligados a la
navegación y a la astronomía.
Fue el escocés John Napier quién descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En
un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número “e”, que hoy podemos ver en todas las
calculadoras.
Gracias a los logaritmos (a los cuales Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden
sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo cual simplificó mucho la
realización manual de los cálculos matemáticos.
Un número irracional famoso.
Igual que π, “e” es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas
cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero a probar que “e” es irracional.

–2–
¿Quién lo bautizó como número “e”?
El ilustre Leonhard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación “e” en
relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de
nuestro número es mera casualidad.
No es extraño que se llegara a conocer a “e” como el número de Euler, al ser su padrino y captar su
extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número.
Algunas ecuaciones donde aparece el número “e”
- Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida, la
expresión analítica de la cual es:
2
)(
xx
ee
xf
−
+
=
Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los
segmentos de las teles de araña.
- Una de las numerosas aplicaciones del número en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones
(como bacterias). Cuando no hay factores que limitan el crecimiento, se aplica esta fórmula: t
ePP ·0= que te
permite saber cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial P0.
- Se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de
carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad va desapareciendo lentamente. La función que regula esta
desintegración se determina mediante esta fórmula: t000124,0
0 e·QQ −
= donde Q es la cantidad final de carbono
14, Q0 es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.
- En estadística, en la famosa curva de la campana de Gauss (a la cual siempre se ajusta el estudio de cualquier
población suficientemente grande), siempre está presente el número “e”. Su función de densidad viene dada por
la fórmula:
2
x
2
1
e
2
1
)x(f






σ
µ−
−
πσ
=
- En problemas de capitalización continua que es una fórmula que ayuda a calcular el valor futuro de cierta
cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por lo tanto, los intereses que se ganan en un periodo
se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y
así sucesivamente. Su fórmula es: it
F eCC ·0=
- Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si N0 es
el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos
radiactivos presentes N se ha reducido a: t
0 e·NN λ−
= dónde “t” es el tiempo transcurrido y λ es una
constante que depende del elemento radiactivo.

–3–
Curiosidades del número “e”
Si quieres recordarlo, puedes aprenderte una curiosa pauta. Observa que después del “2,7” el número “1828”
aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45°. Así
queda: 2,7 1828 1828 45 90 45……….
• Aparece en una identidad revolucionaria, la fórmula más extraordinaria de todas las matemáticas. La identidad
de Euler que incluye a los números más famosos de las matemáticas.
Ya sólo te falta conocer el número”i”.
Definición: El número e es un número irracional y se define como el
límite cuando n tiende a infinito de la siguiente sucesión:
n
n
n
a 





+=
1
1 . Se
escribe así e
n
n
n
=





+
+∞→
1
1lim
Con la ayuda de la calculadora se puede comprobar cómo los valores de la
sucesión se acercan cada vez más al valor e = 2,71828182846... a medida
que aumenta el valor de n.
También se puede obtener directamente el valor de e con la calculadora (siempre como
aproximación decimal, puesto que es un número irracional). Normalmente hay una tecla con
la etiqueta e, pero puedes usar también la tecla etiquetada ex. Para ello tendrás que calcular
el valor de e elevado a 1.
El número e tiene una gran importancia en Matemáticas, comparable incluso al número π aunque su
comprensión no es tan elemental y tan popular. Para comprender su importancia hay que acceder a contenidos
de cursos superiores.

–4–
2. LOGARITMOS. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES.
Consideremos una potencia de base positiva “a”. En ella aparecen tres elementos. La base a la que hemos
llamado “a”; el exponente que representamos por “y” y el resultado de la potencia que es “x”. Es decir
xa y
=
- Si conocemos la base y el exponente, la operación se llama potenciación.
Ejemplo 1: a) 3
2 b) 2
3−
c) 4
3
5
Solución: a) 23
= 8 b)
9
1
3
1
3 2
2
==−
c) 44 34
3
12555 ==
- Si conocemos el exponente y el resultado y tenemos que calcular la base, lo hacemos resolviendo una ecuación
potencial
Ejemplo 2: a) 83
=a b) 492
=−
a c) 53
1
=a
Solución: a) 83
=a ; 283
==a b) 492
=−
a ;
49
1
;49
1 2
2
== a
a
;
7
1
49
1
±=±=a y
tomando la positiva porque la base ha de serlo c) 1255a5a5a 333
1
==⇒=⇔=
Ahora supongamos que conocemos la base y el resultado de la potencia y nos falta el exponente
Ejemplo 3: a) 82y
= b)
81
1
3y
= c) y
16 = 2 d) 3y
= 10
Esta operación se llama logaritmación y ahora la explicamos con más detalle.
Definición: La expresión xalog se lee "logaritmo en base a de x" y es el exponente al que hay que elevar
"a" para que el resultado sea “x”. Es decir: xayx y
a =⇔=log El número "a" se llama base y debe ser
10 ≠> aya .
Propiedades elementales:
• No existe xalog si el número "x", llamado argumento, es negativo o cero, porque y
a es siempre positivo.
• Es siempre 1log =aa , porque aa =1
.
• Es siempre nan
a =log , porque nn
aa = .
• Es siempre 01log =a , porque 10
=a .
Ejemplo 1: 38log2 = porque 823
= .
Ejemplo 2: 4
16
1
log2 −= porque
16
1
2
1
2 4
4
==−
.
Ejemplo 3: 85log 8
5 = porque 88
55 = .
Ejemplo 4: 2100log = porque 100102
= . Nota: Cuando no se escribe la base quiere decir que la base es 10 y se
llaman logaritmos decimales.

–5–
Teniendo en cuenta que si 1,0 ≠> aa ; se verifica que nm
aa = si y solo si nm = , podemos hallar algunos
logaritmos más complicados atendiendo únicamente a la definición de logaritmo y sin utilizar calculadora. Por
ejemplo:
Ejemplo: Para hallar 8log4 ponemos ( ) ⇔=⇔=⇔=⇔=⇔= 322282848log 322
4 yy yyy
2/3=y .
Utilizando únicamente la definición de logaritmo, también podemos resolver sencillas ecuaciones logarítmicas.
Ejemplo 1: Resuelve 3/2log8 =x .
Solución: Según la definición de logaritmo es ⇔=⇔= 3 23/2
88 xx 4=x
Ejemplo 2: Resuelve 1)3/2(log −=x .
Solución: Según la definición de logaritmo es ⇔=⇔=−
3
21
3/21
x
x 2/3=x
ERV del 2 al 5
3. LOGARITMOS DECIMALES Y NEPERIANOS. USO DE LA CALCULADORA.
Comentario: Hasta aquí hemos aprendido a calcular logaritmos utilizando la definición. Sin embargo solamente
se puede hacer así en unos pocos casos (en concreto cuando el argumento es una potencia de la base del
logaritmo).
Por ejemplo, no se pueden calcular mediante la definición 25log4 ; 7log9 ; 9log10 .
Las calculadoras científicas disponen de teclas para hallar logaritmos:
• Hallan logaritmos decimales (en base 10) .
• Hallan logaritmos neperianos (en base e) : logaritmos neperianos son los que tienen como base
el número
e = 2,718281.... También se llaman logaritmos naturales. Los logaritmos neperianos se escriben de tres
modos: Lxxxe == lnlog .
• Hallan logaritmos en cualquier base : (ésta función solo la tienen algunas calculadoras).

–6–
Ejemplo 1: Comprueba con tu calculadora que 90309,08log ≈ . (Es 810 90309,0
≈ )
Ejemplo 2: Comprueba con tu calculadora que 07944,28ln ≈ . (Es 807944,2
≈e )
Ejemplo 3: Comprueba con tu calculadora que 73696,13,0log2 −≈ . (Es 3,02 73696,1
≈−
) (Si tu calculadora no dispone
de la tecla , tendremos que hacer un cambio de base como se explica en el próximo apartado).
ERV 6
4. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.
1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: yxyx aaa loglog)(log +=⋅
Dem: Supondemos que xaxa =⇔= α
αlog y que xaya =⇔= β
βlog
Si calculamos ahora: ⇔== +βαβα
aaayx ·· por la definición de logaritmo:
yxyx aaa loglog)·(log +=+= βα
2) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos: yx
y
x
aaa logloglog −=





Dem: Supondremos que xaxa =⇔= α
αlog y que xaya =⇔= β
βlog
Si calculamos ahora: ⇔== −βα
β
α
a
a
a
y
x
por la definición de logaritmo:
yx
y
x
aaa logloglog −=−= βα
3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia:
xlogy)x(log a
y
a ⋅=
Dem: Supondremos que: xaxa =⇔= α
αlog . Si calculamos ahora: αα ·
)( yyy
aax ==
Por la definición de logaritmo si xyyxax a
y
a
yy
·log·log·
==⇔= αα
4) Fórmula del cambio de base:
a
x
x
b
b
a
log
log
log = (para cambiar de base "a" a base "b").
Dem: Supondremos que “b” es la base conocida y “a” la desconocida y quremos calcular el valor de α=xalog
Pero si xaxa =⇔= α
αlog . Si en esta última igualdad tomamos logaritmos en base “b”, tenemos:

–7–
⇔= xa bb loglog α
⇔= xa bb loglog α
a
x
xxa
b
b
abb
log
log
loglog·log ==⇔= αα
Comentario: Las tres primeras propiedades nos permitirán resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
La cuarta propiedad nos permite hallar logaritmos en cualquier base cuando la calculadora que no dispone de la
tecla
Ejemplo 1: Utilizando las propiedades de los logaritmos, observa que:
a) 5152log52log32log)2,310(log2,3log10log 2
5
22222 =⋅=⋅===⋅=+
b) 110log)13/130log(13log130log ===−
c) ( ) 5
1
3log
5
1
3log3log 3
5/1
3
5
3 ===
Ejemplo 2: Halla 7log2 sin utilizar la tecla . Ayuda: debes cambiar a base 10 y utilizar
o bien cambiar a base e y utilizar .
Solución: 80735,2
301029995,0
84509804,0
2log
7log
7log2 ≈== o bien 80735,2
69314718,0
945910149,1
2ln
7ln
7log2 ≈==
ERV del 7 al 9
5. RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
Comentario: En las ecuaciones logarítmicas, la incógnita aparece en el argumento de algún logaritmo.
Además de las propiedades de las potencias y de los logaritmos, debemos recordar que si 10 ≠> aya es:
yxaa yx
=⇔= y también yxyx aa =⇔= loglog
Importante: Hay que comprobar que las posibles soluciones no anulen o hagan negativo algún argumento de
logaritmo.
Ejemplo 1: Resuelve la ecuación logarítmica 4)6(log2log 33 =−+ xx
Es [ ] 081x36x12x3)6x(x4)6x(xlog4)6x(log2xlog 23422
333 =−+−⇔=−⋅⇔=−⇒=−+ cuya
única solución es 9=x . Para 9=x , observamos que los argumentos de los logaritmos son positivos. La única
solución es 9=x .

–8–
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación logarítmica
2
log)1(loglog3 222
x
xx =+−
Es 0xxx2
2
x
1x
x
2
x
log
1x
x
log
2
x
log)1x(logxlog3 23
3
2
3
2222 =−−⇔=
+
⇔=





+
⇒=+− cuyas
soluciones son 0=x , 1=x , 2/1x −= . La única solución válida es 1=x porque no anula ni hace negativo
ningún argumento. La única solución es 1=x .
ERV 10
6. RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES.
Comentario: En las ecuaciones exponenciales, la incógnita aparece en algún exponente.
Además de las propiedades de las potencias y de los logaritmos, debemos recordar que si 10 ≠> aya es:
yxaa yx
=⇔= y también yxyx aa =⇔= loglog
Distiguiremos tres tipos de ecuaciones:
1er tipo: Los dos miembros se pueden poner como una única potencia de la misma base.
En este casos igualaremos los exponentes y resolveremos la ecuación resultante
Ejemplo 1: Resuelve: 82 1
=+x
Solución: 231`2282 311
=⇔=+⇔=⇔= ++
xxxx
Ejemplo 2: Resuelve:
9
1
3 52
=+x
Solución:
2
7
25233
3
1
3
9
1
3 252
2
5252
−=⇔−=+⇔=⇔=⇔= −+++
xxxxx
2ºn tipo: Los dos miembros se pueden poner como una única potencia pero no de la misma base. Para
resolverla, aplicaremos logaritmos en los dos miembros de la ecuación y la pasaremos a una ecuación
sencilla.
Ejemplo 1: Resuelve: 52 13
=−x
Solución : 107,1699,0301,0)13(5log2log)13(5log2log52 1313
≈⇔=⋅−⇔=⋅−⇔=⇔= −−
xxxxx

–9–
3r tipo: En cualquier otro caso, haremos un cambio de incógnita del tipo tax
= , y pasaremos a una ecuación
sencilla.
Ejemplo 1: Resuelve
10
29
2
5
2
252 1
3
−=−+⋅− −
+
− x
x
xx
Si hacemos el cambio tx
=2 , obtenemos
10
29
25
85
−=−+−
tt
t
t . Es una ecuación racional.
Multiplicamos por 10t los dos miembros: 050t29t21t29t5t1650t10 2222
=−+⇔−=−+− , cuyas
soluciones son 1=t i
21
50
−=t (no anulan denominadores).
Ahora deshacemos el cambio.
* Si 1=t , és ⇔=⋅⇔=⋅⇔=⇔= 0301,01log2log1log2log12 xxxx
0=x .
Otra forma: 02212 0
=⇔=⇔= xxx
* Si 21/50−=t , és )21/50log(2log21/502 −=⇔−= xx
⇒ No tiene solución porque no existe el
logaritmo de un número negativo. Lógico porque 02 >x
siempre y no podía ser 21/502 −=x
.
La única por tanto es x = 0
Ejemplo 2 : Resuelve 032
2
1
4 41
=+⋅− ++ xx
Solución: Ponemos: 032·16·
2
1
2·4032
2
1
2032
2
1
)2( 2422412
=+−⇔=+−⇔=+⋅− ++++ xxxxxx
Si hacemos el cambio tx
=2 obtenemos, 0384 2
=+− tt cuyas soluciones son: 2/1=t . 2/3=t .
* Si 2/1=t , és ⇔−=⋅⇔=⋅⇔=⇔= 301,0301,02/1log2log2/1log2log2/12 xxxx
1−=x .
Otra forma: 1222/12 1
−=⇔=⇔= −
xxx
* Si 2/3=t , és ⇔=⋅⇔=⋅⇔=⇔= 176,0301,02/3log2log2/3log2log2/32 xxxx
585,0≈x .
Otra forma: ⇔−=⋅⇔=⋅⇔=⇔= 2log3log2log2/3log2log2/3log2log2/32 xxxx
2log
2log3log −
=x . La ecuación tiene dos soluciones : 1−=x i
2log
2log3log −
=x
Ejemplo 3 : Resuelve: 1xx
39 +
=
Resolveremos la ecuación de tres formes distintas.
1ª forma: Aplicando logaritmos.
⇔⋅+=⋅⇔⋅+=⋅⇔= +
477,0)1x(954,0x3log)1x(9logx3log9log 1xx
1=x .

–10–
2ª forma: Si hacemos el cambio t3x
= , obtenemos t3t2
= cuyas soluciones son: 3=t i 0=t .
* Si 3=t , és ⇔=⇔=⋅⇔=⇔=
3log
3log
3log3log3log3log33 xxxx
1=x .
Otra forma: 13333 1
=⇔=⇔= xxx
* Si 0=t , és 0log3log03 =⇔= xx
⇒ no hay solución porque no existe el logaritmo de cero. Lógico
porque 03x
> siempre y no podía ser 03 =x
.La única solución de la ecuación es 1=x
3ª forma: 112333)3(39 12121
=⇔+=⇔=⇔=⇔= +++
xxxxxxxxx
ERV de 11 al 15
7. PROBLEMAS DONDE APARECEN ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
Comentario: El crecimiento exponencial y logarítmico es muy frecuente en la naturaleza (cultivos de
microorganismos, poblaciones animales o vegetales.. .). También sirve para describir fenómenos económicos y
otros. Ver mínutos finales de http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-
menos-matematicas-realidad/1296677/
ERV de 16 al 22

TEMA 5: LOGARITMOS. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EJERCICIOS
–11–
TEORÍA Y EJERCICIOS
Antes de empezar: el número e.
1. a) □ Explica cómo se define el número e.
b) □ Halla con la calculadora 1
e , 2
e , 3
e .
c) □ Si depositamos en el banco un capital inicial C0=1000 € a un tipo de interés compuesto anual de 5%
( 05,0=r ) durante 7=t años, con un periodo de capitalización mensual (el banco no tarda un año en abonar
los intereses, sino que lo hace en cada mes y por tanto 12=n ), el capital final al cabo de los t años es
tn
t
n
r
CC
⋅






+⋅= 10
.
Si exigimos que el banco nos abone los intereses cada "instante" (algo aparentemente imposible), el capital
final al cabo de t años es
tn
n
t
n
r
CC
⋅
+∞→






+⋅= 1lim 0
. Es tr
tr
r
n
n
t eC
r
n
CC ⋅
⋅⋅
+∞→
⋅=












+⋅= 00
1
1lim .
c1) ¿Cuál es el capital al cabo de 7 años con periodo de capitalización mensual?
c2) ¿Cuál es el capital al cabo de 7 años con periodo de capitalización instantáneo? Observa que tan solo
hemos ganado 1 € por exigir un periodo de capitalización instantáneo.
Logaritmos. Definición y propiedades elementales.
Teoría:
Define xalog , 1,0 ≠> aa (logaritmo en base a de x) y prueba las propiedades elementales.
2. □ Aplica la definición de logaritmo para encontrar:
a) log2 4 b) log2 32 c) log2
8
1
d) log2
2
1
e) log2
5
8 f) log3 81 g) log3
27
1
h) log3 3 i) log4 16 j)
9
1
log
3
1 k) 81log
3
1 l) 3log
3
1 m) log 1000 n) log
10
1
o) log 0,0001 p) log 1 q) log 0 r) log (−10) s) log 3
10 t) log 10
3. □ Calcula el valor de estos logaritmos utilizando la definición de logaritmo:
a) loga a b) loga a5
c) loga a d) loga
3 2
a
e) loga 5
a
1
f) loga 1 g) loga
a
1
h) loga (−a)
4. □ Calcula la base de los siguientes logaritmos:
a) loga 10000 = 2 b) loga 125 = 3 c) loga 4 = −1 d) loga 3 =
2
1

–12–
5. □ Aplicando la definición de logaritmo, calcula x en:
a)
4
2
log
4
2 = x b) * 5
2
2
8log = x c)
3
2
7log 3
=x
d) x=22log2 e) logx 5 = −2 f) log7 ( 7 x) = 2
Logaritmos decimales y neperianos. Uso de la calculadora.
6. a) □ Comprueba con tu calculadora que 77815,06log ≈ . (Es 610 77815,0
≈ )
b) □ Comprueba con tu calculadora que 70805,215ln ≈ . (Es 1570805,2
≈e )
c) □ Comprueba con tu calculadora que 514573,07,0log2 −≈ . (Es 7,02 514573,0
≈−
)
(Si tu calculadora no dispone de la tecla , tendremos que hacer un cambio
de base como se explica en el próximo apartado).
Propiedades de los logaritmos.
Teoría:
Demuestra las propiedades de los logaritmos:
a) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
yxyx aaa loglog)(log +=⋅
b) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos: yx
y
x
aaa logloglog −=





c) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base: xyx a
y
a log)(log ⋅=
d) Fórmula del cambio de base:
a
x
x
b
b
a
log
log
log = (para cambiar de base "a" a base "b").
7. □ Aplica las propiedades de los logaritmos y expresa en función del log 2 y/o del log 3 los siguientes
logaritmos. Después, hállalos con tu calculadora y comprueba los resultados:
a) log 12 b) log 0,0125 c) 3,3log

d) 35,0log

e) 5
16log f) 3
6,0log
g) log2 9 h) log5 16 i) log5 3
8. □ Calcula el valor de x en los siguientes casos:
a) x =log2 3 . log3 2 b) x = )3(lo g 2lo g
2
3
c) log2 3 = log2 5 . logx 3
9. □¿Verdadero o falso? ¿Por qué?
a) log 2 + log 3 = log 5 b) log 2 + log 3 = log 6 c) log 15 − log 5 = log 10
d) log 15 − log 5 = log 3 e) log 2x + log 1 = log (2x + 1) f) log x + log 10 = log 3 ⇔ 10x = 3
g) log x + log 7 = log y ⇔ x + 7 = y

–13–
Ecuaciones logarítmicas.
10. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) □ log x + log 4 = 0 b) log (x + 5) = log x + log 5
c) □ log x = log 2 + 2.log (x − 3) d) 2.log x − log 3 = 1
e) log (6x − 4) + log (x − 7) = 2 f) □ )4(log
2
1
2log)45(log +⋅=−+ xx
g) 0)1log(2log2 =+− xx h) □ log (5x + 2) − log (3x + 20) = − 1
i) □ logx 100 − logx 25 = 2 j) □ 12x2l o g4x7l o g =−++
k) □ 2l o14xl o g2x8l o g −=−−+ l) □ 2
)x1(l o g
)x7(l o g 2
=
+
+
m) □ 4)6x(log2xlog 33 =−+ n) □
2
x
log)1x(logxlog3 222 =+−
ñ) □ 02xln3xln 2
=+− o) □ 1xln)1x2ln( =−−
p) □ *
2
7
xlog
125log
xlog
5
5
5 =+ (ayuda: haz el cambio txlog5 = )
Ecuaciones exponenciales.
11. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) □ 82 =x
(de 2 formas) b) □ 10x
= 8 c) 2x
= 5 d) 3x
= 4 e) 9x
= 10
f) □ 2=x
e g) □ 1=x
e
a) □ ( ) 1xx
22 +
= b) □ ( ) 1
32 +
= xx
c) □ 4
1
12
2
255
−
−
=
x
x
d) 1103
=−x
e) □ x
3x
2
1
4 =+
f) □ xx 32
248 ⋅= g)
8
1
2
2
1
=−x
h) 75 22
=−x
i) □ 42 13
=−x
e j) □ 12
2
=x
e
a) □ 7222 1xx1x
=++ +−
b) □ 11734 1x2
=⋅ −
c) □ 433 x1x
=+ −
d) □ 543353.10 2x1xx
−=−⋅− +−
e) 92222 4x3x2x1x
=+++ −−−−
f) □ 081329 2xx
=+⋅− +
g) 0202743 =−⋅−⋅ xx
h) 05526255 xx
=+⋅−⋅
i) 1 224 2x1x
=− +−
j) □ 033283 x)1x(2
=+⋅−+
k) 72262527 3x1xx
−=⋅+⋅−⋅ −+
l) □ 022524 xxx3
=+⋅−⋅ −−
m) * 2x2x2x2
)3(262 ++
=− n) □ xx2
e31e2 =+
ñ) □
10
29
2
5
2
252 1x
3x
xx
−=−+⋅− −
+
−
o) □ 032
2
1
4 4x1x
=+⋅− ++
p) □ 012 23
=+− xx
ee q) □ 1
39 +
= xx
(de tres formas)

–14–
14. □ Resuelve los siguientes sistemas exponenciales:
a)



=
=
−
+
255
255
yx
3yx
b)




=⋅
=
333
3
3
3
yx2
10
y
x2
c)



=⋅
=
−
2733
1288.2
y21x
yx2
d)



−=⋅−⋅
−=⋅−⋅
113324
63223
yx
yx
e)



=⋅+
=−
+
−
712382
532
y1x
1yx
f)



=⋅
=+
12822
2422
yx
yx
15. □ Resuelve los siguientes sistemas logarítmicos:
a)



=−
=−
1ylogxlog
15y5x
b)



=+
+=
2ylogxlog
x23xy
22
c)



=⋅+
=−
1ylog2xlog
9yx
d)



=⋅+
=−⋅
1ylog3xlog
9ylogxlog2
e)



=+
=−⋅
1ylogxlog
7ylog.3xlog2
55
55
f)



=−
=+
1)1y2(log
1)3y(log
x
x
g)



=−
= −+
3)yxlog(
48 y5xyx2
h)




=
=−++
16
2
2
56log)yxlog()yxlog(
y
x
i)





=+
=
21lnylnxln
e
e
e
x2
y
Problemas donde aparecen ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
16. □ Una entidad bancaria ofrece un interés compuesto anual del 4% (r = 0,04) para
los depósitos iniciales ingresados cuando se abre una nueva cuenta.
a) Si el capital inicial es de 1000 €, ¿Cuánto dinero tendré al cabo de 5 años?
b) Si el capital inicial es de 1000 €, ¿Cuántos años han de transcurrir para tener
más de 1500 €?
c) ¿Cuántos años hay que dejar depositada una cantidad para que se duplique?
Ayuda: recuerda la fórmula: ( )t
if rCC +⋅= 1 , t en años (fácil de deducir).
17. □ Para calcular el nivel de ruido de un determinado lugar se puede utilizar la fórmula:
)12(log10 +⋅= IS
donde S es la sensación de sonoridad, medida en decibelios, e I es la
intensidad del sonido medida en vatios/m2
.
a) La intensidad de una conversación normal entre dos personas es
2.10–8
w/m2
. ¿A cuántos decibelios equivale?
b) En el interior de una discoteca se han medido 120 decibelios. ¿Cuál
es la intensidad del sonido que hay en ese lugar?
c) La legislación prohíbe que la sensación de sonoridad supere, durante la noche, los 55 decibelios. Si Juan
pone música a las 12 de la noche a una intensidad de 6.10–6
w/m2
, ¿está incumpliendo la ley?

–15–
18. El terremoto de San Francisco del año 1906 tuvo una magnitud de 8,2 en
la escala de Richter, y el terremoto del año 1989 una magnitud de 6,9 en
esa escala.
¿Cuántas veces fue más potente el de 1906 que el de 1989?
(Utiliza: M = log P siendo M = grado o magnitud y P = potencia)
19. □ España ha sufrido doce grandes terremotos a lo largo de su historia de los
cuales cuatro han sido en la Comunidad Valenciana, por ejemplo el de
Torrevieja en el año 1829.
El sur de nuestra comunidad tiene un riesgo alto de sufrirlos. El último
terremoto producido en Elche fue el 11/2/2001 con una magnitud de 2,6 en
la escalera de Richter. Si el último terremoto en Japón ha tenido una
magnitud de 8,9 en la misma escala, ¿cuántas veces más potente ha sido el
de Japón que el de Elche?
(Utiliza la fórmula M = log P, siendo M = grado o magnitud, P = potencia)
20. □ Las amebas, como sabes, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición) con
más o menos rapidez. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que el número de amebas se
duplica, aproximadamente, cada hora y que, al principio, hay tres amebas.
a) Expresa el número de amebas N en función del tiempo t en horas.
b) ¿Cuántas amebas hay a las 10 horas?
c) ¿Cuándo habrá un millón de amebas?
21. □ La probabilidad "p" de que al lanzar "n" dados, se obtenga al menos un
seis es
n
p 





−=
6
5
1 .
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 6 dados?
b) ¿Cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de obtener al
menos un seis sea al menos 0,99?
Nota: La probabilidad "p" de un suceso es un número entre 0 y 1. Si 0=p
es porque es imposible que ocurra ese suceso y si 1=p es porque ocurre con toda seguridad.
22. □ El tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa de una sustancia radiactiva se llama periodo de
semidesintegración.
Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 2 años. Tenemos
80 =C g de esa sustancia. La ecuación que da la cantidad de sustancia radiactiva C
en función del tiempo transcurrido t , en años, es t
aC ⋅= 8
a) ¿Cuál es el valor de a?
b) ¿Cuándo me quedará 1 g?
c) ¿Cuánta sustancia tendré al cabo de 25 años?

–16–
EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN:
1. Resuelve la ecuación logarítmica: ))5)(2((log)152(log 2
42
4 −−=−− xaxx
Sol: 5−= ax siendo a<2 ó a>10

Tema 5: Logaritmos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas SOLUCIONES
–17–
SOLUCIONES:
1. b) 2,718281828; 7,389056099; 1,395612425; c1) 1418 €; c2) 1419 €
2. a) 2 b) 5 c) −3 d) −1 e) 3/5 f) 4 g) −3 h) 1/2 y) 2 j) 2 k) −4 l) −1/2 m) 3 n) −1 o) −4 p) 0 q)
∄ r) ∄ s) 1/3 t) 1
3. a) 1 b) 5 c) 1/2 d) 2/3 e) −5 f) 0 g) −1 h) ∄
4. a) a = 100 b) a = 5 c) a = 1/4 d) a = 9
5.a) −7/4 b) −6/5 c) 4
749 d) 3/2 e) 5/5 f) 77
6.Ver vídeo
7. a) 2.log 2 + log 3 b) −3.log 2 −1 c) 1 − log 3 d) 4.log 2 − log 3 − 1 e) 2log
5
4
f)
3
13log2log −+
g)
2log
3log2
h)
2log1
2log4
−
i)
2log1
3log
−
8. a) 1 b) 1 c) 5
9. a) Falso, porque log 2 + log 3 = log 6 b) Verdadero c) Falso, porque log 15 − log 5 = log 3 d) Verdadero
e) Falso, porque log 2x + log 1 = log 2x f) Verdadero, porque log x + log 10 = log 3 ⇔ 10x = 3 g) Falso,
porque log x + log 7 = log y ⇔ 7x = y
10. a) x = 1/4 b) x = 5/4 c) x = 9/2 d) x = 30 e) x = 9 f) x = 0 g) Sin solución h) x = 0 i) x = 2 j) x = 3
k) x = 6 l) x = 3; m) x = 9; n) x = 1; ñ) 2
e ; o) Sin solución ; p) 25=x , 55=x
11. a) 3 b) x = 0,9030 c) x = 2,3221 d) x = 1,2616 e) x = 1,0479; f) 693147,02ln ≈=x ; g) 0=x
12. a) x = −2 b) 4608,1
3ln22ln
3ln2
−≈
−
c) x = 1/2 d) x = 3 e) x = −2 f) x = 2/3; g) x = 2; x = −2 ; h)
7914,1
5ln
175ln
≈±
i) 5644,03/)12(ln ≈+=x ; j) No hay solución
13. a) x = 1 b) 0364,2≈x c) x = 0; x = 1 d) x = 4 e) x = 10 f) x = 2 g) x = 2 h) x = 1; x = −1 i) x = 5 j)
x = 1; x = −2 k) x = 5 l) x = 1; x = 0 m) x = –2; n) 0=x , 2ln−=x ; ñ) 0=x ; o) 1−=x ,
2log
2log3log −
=x ;
p) 4812,0
2
51
ln,0 ≈






 +
== xx ; q) x = 1.
14. a) x = 4, y = 2 b) x = 3/2, y = −2 c) x = 2, y = 1 d) x = 2, y = 2 e) x = 5, y = 4 f) x = 3, y = 4;
x = 4, y = 3
15. a) x = 30, y = 3 b) x = 1/2, y = 8 c) x = 10, y = 1 d) x = 104
, y = 10−1
e) x = 25, y = 1/5
f) x = 7, y = 4; g) x = 13000/17, y = −4000/17 h) x = 9, y = 5; i) x=3, y=7
16. a) 1216,65 €; b) ≈ 10,3 años c)≈ 17,7 años
17. a) S ≈ 43 decibelios b) Y = 1 w/m2
c) S = 67,78 decibelios > 55 ⇒ Sí está incumpliendo la ley
18. ≈ unas 20 veces más potente
19. ≈ unas 1995262 veces más potente
20. a) t
N 23⋅= ; b) 3072 amebas ; c) 18h 55min 54s
21. a) 6651,0=p ; b) Se deben lanzar al menos 26 dados.

Tema 5: Logaritmos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas SOLUCIONES
–18–
22. a) 7071,02/1 ≈=a ; b) 6 años; c) g3
10381,1 −
⋅≈

TEMA 5: LOGARITMOS, ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

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