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Formulariodel egel ielectro

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Juan Carlos Caiza Chimarro
Juan Carlos Caiza Chimarro
Educación
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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dirección General Adjunta de los EGEL JUNIO • 2014 formulario
EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dirección General Adjunta de los EGEL JUNIO • 2014 formulario
[EGEL-IINDU] Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) y está vigente a partir de junio de 2014. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELECTRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a: Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Av. Camino al Desierto de los Leones #37, Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F. Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103 http://www.ceneval.edu.mx Email: eloin.alarcon@ceneval.edu.mx D. R.  2014 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval) Quinta edición
Directorio Dirección General Dr. en Quím. Rafael López Castañares Dirección General Adjunta de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Catalina Betancourt Correa Dirección del Área de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Mtra. Luz María Solís Segura Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Ing. Eloín Alarcón Maldonado
Consejo Técnico Representantes de instituciones educativas M. en C. Rodolfo Fernando Porras Sánchez Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Dr. Jorge de la Torre y Ramos Universidad Autónoma de Zacatecas M. en C. Arturo Javier Escoto Méndez Centro de Enseñanza Técnica y Superior Dr. José Antonio Ruz Hernández Universidad Autónoma del Carmen M. en I. Carlos Roberto González Escarpeta Instituto Tecnológico de Veracruz Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Dr. Edgar Omar López Caudana Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey M. en C. José Luis Álvarez Flores Universidad de Colima M. en C. Gabriel Domínguez Sánchez Universidad Autónoma de Aguascalientes M. en C. Juan Carlos Aldaz Rosas Universidad de Guadalajara M. en C. Marco Antonio Félix Lozano Universidad Autónoma de Baja California Ing. Perla Artemisa Escalante Crespo Universidad de la Salle Bajío M. en C. David García Chaparro Universidad Autónoma de Ciudad Juárez M. en C. Mauricio Alberto Ortega Ruiz Universidad del Valle de México Dr. José Luis Tecpanecatl Xihuitl Universidad Autónoma de San Luis Potosí M. en C. Víctor Enrique Gómez del Villar Universidad Politécnica de Aguascalientes Dr. Gerardo Romero Galván Universidad Autónoma de Tamaulipas Dr. Ricardo Oscar Magos Pérez Universidad Tecnológica de México Dr. Miguel Ángel Carrasco Aguilar Universidad Autónoma de Tlaxcala Representantes del Sector empleador Ing. Juan Carlos Altamirano Cano Comisión Federal de Electricidad
Contenido Administración de sistemas electrónicos......................................................... 10 Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos.................................... 10 Inversión inicial ...............................................................................................................10 Tasa mínima aceptable de rendimiento..........................................................................10 Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta ................................................................10 Valor presente neto (con TMAR) ....................................................................................11 Valor presente neto (con anualidad e interés)................................................................11 Tasa interna de retorno ..................................................................................................11 Periodo de recuperación de la inversión ........................................................................12 Punto de equilibrio en ventas .........................................................................................12 Costo beneficio...............................................................................................................12 Ingeniería económica .....................................................................................................13 Interés simple .................................................................................................................13 Interés compuesto .................................................................................................................... 13 Valor futuro pago único............................................................................................................. 13 Valor presente pago único........................................................................................................ 13 Cantidad compuesta serie uniforme......................................................................................... 13 Ingeniería económica .....................................................................................................14 Interés simple .................................................................................................................14 Interés compuesto .................................................................................................................... 14 Valor futuro pago único............................................................................................................. 14 Valor presente pago único........................................................................................................ 14 Cantidad compuesta serie uniforme......................................................................................... 14 Fondo de amortización ............................................................................................................. 15 Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 15 Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 15 Series de gradiente................................................................................................................... 15 Tasa efectiva de interés anual.................................................................................................. 15 Capitalización continua............................................................................................................. 15 Definición de e.......................................................................................................................... 16 Pagos continuos ....................................................................................................................... 16 Tasa mixta ................................................................................................................................ 16 Métodos de análisis de inversiones.......................................................................................... 17 Diseño e integración de sistemas electrónicos................................................ 18 Construcción e implementación de sistemas electrónicos............................. 18 Comunicaciones .............................................................................................................18 Radiofrecuencia........................................................................................................................ 18 Parámetros de dispersión......................................................................................................... 21 Líneas de transmisión.....................................................................................................22 Impedancia característica......................................................................................................... 22
Línea de transmisión de tipo microcinta................................................................................... 23 Constante de propagación ....................................................................................................... 24 Velocidad de propagación ........................................................................................................ 24 Tiempo de retardo .................................................................................................................... 24 Coeficiente de reflexión ............................................................................................................ 25 Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( ) ................................... 25 Impedancia de entrada ( inZ ).................................................................................................... 25 Tabla de parámetros distribuidos ............................................................................................. 26 Conectores .....................................................................................................................30 RJ45.......................................................................................................................................... 30 RJ11.......................................................................................................................................... 31 VGA .......................................................................................................................................... 32 USB........................................................................................................................................... 33 DB9........................................................................................................................................... 33 DB-25........................................................................................................................................ 34 IEEE.488................................................................................................................................... 35 RS-232 DB9.............................................................................................................................. 36 RS – 422/485 DB – 9................................................................................................................ 37 Formulario general.............................................................................................. 38 Matemáticas ...................................................................................................................38 Álgebra...................................................................................................................................... 38 Cálculo diferencial .................................................................................................................... 44 Cálculo integral......................................................................................................................... 49 Geometría................................................................................................................................. 58 Geometría analítica plana......................................................................................................... 59 Geometría analítica del espacio............................................................................................... 61 Trigonometría ........................................................................................................................... 65 Números complejos.................................................................................................................. 70 Análisis vectorial....................................................................................................................... 71 Función de fracciones racionales............................................................................................. 76 Series de Fourier ...................................................................................................................... 77 Transformada de Fourier.......................................................................................................... 81 Transformada de Laplace......................................................................................................... 84 Probabilidad y estadística......................................................................................................... 89 Física ..............................................................................................................................94 Mecánica .................................................................................................................................. 94 Electricidad y magnetismo...................................................................................................... 103 Química ........................................................................................................................108 Análisis de circuitos eléctricos......................................................................................110 Ley de Ohm ............................................................................................................................ 110 Voltaje y corriente en elementos reactivos............................................................................. 110 Divisor de corriente................................................................................................................. 110 Divisor de voltaje .................................................................................................................... 111 Leyes de Kirchhoff.................................................................................................................. 111 Potencia.................................................................................................................................. 112 Resonancia RLC serie............................................................................................................ 112 Resonancia RLC paralelo....................................................................................................... 113 Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias ................................. 113 Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales............................................. 114
Teoremas de redes................................................................................................................. 114 Parámetros de dos puertos .................................................................................................... 116 Respuesta transitoria.............................................................................................................. 118 Función de transferencia ........................................................................................................ 121 Sistemas acoplados................................................................................................................ 122 Sistemas trifásicos.................................................................................................................. 122 Potencia trifásica .................................................................................................................... 124 Electrónica Analógica ...................................................................................................125 Diodo de propósito general .................................................................................................... 125 Diodo zener ............................................................................................................................ 125 Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación)........................... 126 Transistor de unión bipolar (BJT) ........................................................................................... 128 Transistor de efecto de campo (FET)..................................................................................... 137 Transistor MOSFET................................................................................................................ 144 Amplificadores operacionales................................................................................................. 145 Filtros ...................................................................................................................................... 148 Convertidores ......................................................................................................................... 149 Amplificadores de corriente .................................................................................................... 151 Electrónica digital..........................................................................................................155 Algebra Boole ......................................................................................................................... 155 Mapa de Karnaugh ................................................................................................................. 157 Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3..................................... 159 Conversión de Decimal a Binario, Hexadecimal .................................................................... 159 Circuitos digitales básicos ...................................................................................................... 160 Flip – flops .............................................................................................................................. 161 Electrónica de potencia ................................................................................................164 Fórmulas básicas.................................................................................................................... 164 Dispositivos............................................................................................................................. 165 Teoría de control...........................................................................................................174 Terminología de la ingeniería de control ................................................................................ 174 Modelos de control ................................................................................................................. 174 Tipos de respuesta ................................................................................................................. 175 Regla de Mason...................................................................................................................... 177 Controladores ......................................................................................................................... 178 Comunicaciones ...........................................................................................................180 Osciladores............................................................................................................................. 180 Modulación y demodulación AM-FM ...................................................................................... 185 Decibel.................................................................................................................................... 185 Oscilador de relajación UJT ................................................................................................... 187 Oscilador de relajación PUT................................................................................................... 187 Instrumentación ............................................................................................................189 Valor promedio ....................................................................................................................... 189 El valor rms............................................................................................................................. 189 Errores en medición................................................................................................................ 189 Desviación estándar y varianza.............................................................................................. 190 Distribución gaussiana............................................................................................................ 190 Puentes de Wheatstone ......................................................................................................... 191 Puente de Kelvin..................................................................................................................... 191 Ruido térmico o ruido de Jhonson.......................................................................................... 192 Amplificador de instrumentación ............................................................................................ 192
Termopar ................................................................................................................................ 193 Termistor................................................................................................................................. 193 Sensores................................................................................................................................. 194 Transformada Z ...................................................................................................................... 199 Datos prácticos.............................................................................................................200
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 10 Administración de sistemas electrónicos Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos Inversión inicial donde: II: Inversión inicial CO: Costos de operación CP: Costos de producción CA: Costos de administración y ventas Tasa mínima aceptable de rendimiento TMAR = (µ * i)n donde: TMAR:Tasa mínima aceptable de rendimiento µ: Monto i: Tasa de interés n: Número de periodos a considerar Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta TMARmixta = [I1 + PR1 + %I1 + %PR1] + [I2 + PR2 + %I2 + %PR2] +…+ [In + PRn + %In + %PRn] donde: TMARmixta: Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta In: Inflación PRn: Premio al riesgo %In: Inflación ÷ 100 %PRn: Premio al riesgo ÷ 100 II CO CP CA= + +
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 11 Valor presente neto (con TMAR) = = − + +  n 0 t t 1 S t V P N S (1 i) donde: VPN = Valor presente neto SO = Inversión Inicial St = flujo de efectivo neto del periodo t n = número de periodos de la vida del proyecto i = tasa de recuperación mínima atractiva Valor presente neto (con anualidad e interés) ( ) ( ) n n 1 i 1 V P N P A V S i 1 i  + −  = − + +  +  donde: VPN: Valor presente neto P: Inversión inicial A: Anualidad i: Tasa de interés VS: Valor de salvamento al final del periodo n n: Número de periodos Tasa interna de retorno n n n n 1 F N E V S T I R (1 i) (1 i) = + + +  donde: TIR: Tasa interna de retorno FNE: Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación VS: Valor de salvamento al final del periodo n i: Tasa de interés n: Número de periodos
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 12 Periodo de recuperación de la inversión UN ROI I = donde: ROI: Periodo de recuperación de la inversión UN: Utilidad neta I: Inversión Punto de equilibrio en ventas CF PE CV 1 VT = − donde: PE: Punto de equilibrio CF: Costos fijos CV: Costos variables VT: Ventas totales Costo beneficio B B D C C − = donde: B: Beneficios asociados al proyecto C: Costo neto del proyecto D: Valor de las desventajas
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 13 Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo ˆA : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos Interés simple I = n i P Interés compuesto n F i 1 I = − Valor futuro pago único ( )1 n F P i= + Valor presente pago único ( ) 1 1 n P F i = + Cantidad compuesta serie uniforme ( ) + −  =    n 1 i 1 F A i
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 14 Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo ˆA : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos Interés simple I = n i P Interés compuesto n F i 1 I = − Valor futuro pago único F = P(F/P,i,n) ( )n F P 1 I= + Valor presente pago único P = F(P/F,i,n) P = F(1+I)–n Cantidad compuesta serie uniforme F = A(F/A,i,n) ( )n 1 i 1 A i F I  + −      =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 15 Fondo de amortización ( )n i A F 1 i 1    =  + −  Recuperación del capital de una serie uniforme ( ) ( ) n n i 1 i A P 1 i 1  +  =  + −  Valor presente de una serie uniforme ( ) n 1 1 I P A i − − +  =     Series de gradiente ( )n 1 A G i n 1 i 1      =  −    + −  Tasa efectiva de interés anual m e f r i 1 1 m   = + −    Capitalización continua m r m r i lim 1 1 e 1 m→∞   = + − = −   
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 16 Definición de e m m 1 i lim 1 e m→∞   = + =    mF e P = mP e F − = ( ) ( ) m r e 1F A e 1 − = − ( ) ( ) r m e 1A F e 1 − = − ( ) ( ) r m e 1A P 1 e − = − ( ) ( ) m r 1 eP A e 1 − − = − m m A 1 n G 1 e e 1−     = −    − −    Pagos continuos ( )m e 1F ˆ rA − = ( )m ˆA r F e 1 = − ( )m m e 1P ˆA re − = m m ˆA re P e 1 = − Tasa mixta θ = (i – λ)/(1 – λ)
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 17 Métodos de análisis de inversiones Valor presente n j 0 Vp Fluj o(P / F,i,j) = =  Valor futuro n j 0 Vp Fluj o(F / P,i,j) = =  Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ( ) n j 0 V p F l u j o(P / F,i, j) * A / P,i, j =   =        Serie uniforme equivalente SAUE = - CAUE Recuperación de capital CAUE = - SAUE = RC (P – Vs)(A/P,i,n) + iVs Retiro y reemplazo CAUE (j) = RC(j) + A(j) Tasa interna de retorno n j 1 V p Flu j o in ic ia l F lu j o(P / F,i,j) =   = − +        Periodo de recuperación A B S(f lu j o) P r in g re s o p o r p e rio d o = Razón costo-beneficio B D B C C = − Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 18 Diseño e integración de sistemas electrónicos Construcción e implementación de sistemas electrónicos Comunicaciones Radiofrecuencia Estabilidad ( )1 02 Re r t r t Y Y C g g Y Y = − Sí C < 1 el transistor es incondicionalmente estable Si C > 1 el transistor es potencialmente inestable Factor de estabilidad de Stern ( )( ) ( ) 1 02 Re s L r t r t g G g G K Y Y Y Y + + = + Ganancia máxima disponible en el transistor (MAG) 2 1 04 rY MAG g g = donde: Yr = La admitancia de transferencia inversa Yt = La admitancia de transferencia directa g1 = La conductancia de entrada g2 = La conductancia de salida Re = La parte real del número complejo Gs = La conductancia de la fuente GL = La conductancia de la carga Criterio de estabilidad incondicional en términos de los parámetros S 2 2 2 11 22 12 12 1 1 2 S S K S S − − + Δ = < donde: 11 22 12 12S S S SΔ = −
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 19 Teorema de Miller ( )( ) 1ent Miller bo vC C A= + Capacitancia de entrada Miller, donde C = Cbo ( ) 1 v sal Miller bo v A C C A  + =     Capacitancia de salida Miller, donde C = Cbo donde: Cbo es la capacitancia entre la entrada y la salida amplificador. Respuesta en frecuencia de un amplificador Modelo de señal pequeña del BJT Modelo de señal pequeña del FET Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Modelo equivalente de señal pequeña del amplificador
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 20 Los polos del circuito son: ( ) ( ) 1 1 2 1 p L o m L L o f R r C C g R C C r π π μ μ π π =     + + + +       ( ) ( )2 2 L m o L L o m p LL C g C g g g C g g f C CC C C C π μ π π ππ μ μπ + + + + = ≅ ++ + donde: 1 L L R g = 1 o o r gπ π = Respuesta en altas frecuencia de un amplificador fuente común (FET) Considere el caso anterior (Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)) y en las expresiones según la figura. Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Si : y es despreciable: La función de transferencia está dada por: iC Cπ>> Cμ
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 21 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 o m L i L o i i o o L r r g R s R r R r H s s s C R r C r R π π π + + =    + +   + +   Los polos del circuito están dadas por: ( )1 1 2 p i i f C R rππ = + ( )2 1 2 p o o L f C r Rπ = + Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador fuente común (FET) Si es despreciable: La función de transferencia está dada por: ( ) ( ) 1 1 1 o m L i gs L o i gs i i gs o o L r g R s RC R r H s C C s s R C C C r R + =   + + +    +   y los polos del circuito son: 1 1 1 2 p i gs i gs f C C R C C π = + ( )2 1 2 p o o L f C r Rπ = + Parámetros de dispersión Cμ
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 22 1 11 12 1 2 21 22 2 b S S a b S S a       =            2 1 11 1 0a b S a = = Coeficiente de reflexión del puerto 1 (Entrada) 2 2 21 1 0a b S a = = Coeficiente de transmisión del puerto 1 al 2 (Ganancia) 1 1 12 2 0a b S a = = Coeficiente de transmisión del puerto 2 al 1 (Ganancia en inversa) 1 2 22 2 0a b S a = = Coeficiente de reflexión del puerto 2 (Salida) Líneas de transmisión Impedancia característica 0 2 276log D Z d = donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior Impedancia característica para cable coaxial:
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 23 0 1 ln 138 log 2 r r D D Z d d μμ π ε ε     = ≈        donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior rμ y rε es la permeabilidad relativa y la permitividad relativa del material aislante, respectivamente. Línea de transmisión de tipo microcinta Si t W<< ( ) 0 60 8 ln 4 120 / 1.393 0.667ln / 1.444 e e b W W b Z W b W d ε π ε    +    =    + + +   donde: 1 1 1 2 2 1 12 / r r e d W ε ε ε + − = + + En otro caso: / 1Si W b < / 1Si W b >
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 24 0 87 5.98 ln 0.81.41 b Z W tε   =   ++   rε = constante dieléctrica W = ancho de la pista t = espesor de la pista h = distancia entre la pista al plano a tierra Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas ( )0 60 4 ln 0.67 0.8 / d Z W t bε π   =   +  Impedancia característica 0 R j L Z G j C ω ω + = + Constante de propagación ( )( )R j L G j Cγ ω ω= + + Velocidad de propagación 1 pv LC = Tiempo de retardo dt LC= Ondas estacionarias
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 25 Coeficiente de reflexión r i V V Γ = 0 0 L L Z Z Z Z − Γ = + Si max 1V = + Γ y min 1V = − Γ , entonces, max min max min V V V V − Γ = + donde: Γ = Coeficiente de reflexión Vr = Voltaje reflejado Vi = Voltaje incidente Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( ) 1max min 1 V SWR V + Γ = = − Γ y 1 1 SWR SWR − Γ = + Si LZ ∈ℜy 0LZ Z> , entonces: 0 LZ SWR Z = Si LZ ∈ℜy 0LZ Z< , entonces: 0 L Z SWR Z = Impedancia de entrada ( inZ )
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 26 ( ) ( ) 0 0 0 tan tan L in L Z jZ l Z Z Z jZ l β β + = + donde: β = es el número angular de onda l = es la longitud de la línea Para una línea de transmisión de / 2λ in LZ Z= Para una línea de transmisión de / 4λ 2 0 in L Z Z Z = Tabla de parámetros distribuidos
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 27 Antenas Ganancia directiva ( ) [ ]antena de refecia dB antena de prueba P G dB P = Resistencia de radiación [ ]2 radiada r entrada P R I = Ω [ ] 2 790r l R λ   = Ω    Ancho de banda de la antena
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 28 [ ]m L Hf f f Hz= ⋅ Longitud efectiva [ ] 292 el m f = Área efectiva r ef i W A P = Densidad de potencia radiada ( ) ( ), ReP E Hθ φ ∗ = × Impedancia característica del medio E H η= Potencia total radiada ( ),rW P dsθ φ= ⋅ Directividad max 2 4 r P D W rπ = Lóbulo
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 29 Ancho del haz principal 32.25n dBBW BW−≈ Intensidad del campo 30 t tD P E d ⋅ =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 30 Conectores RJ45
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 31 RJ11
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 32 VGA Pines Un conector DE15 hembra. Pin 1 RED Canal rojo Pin 2 GREEN Canal verde Pin 3 BLUE Canal azul Pin 4 N/C Sin contacto Pin 5 GND Tierra (HSync) Pin 6 RED_RTN Vuelta rojo Pin 7 GREEN_RTN Vuelta verde Pin 8 BLUE_RTN Vuelta azul Pin 9 +5 V +5 V (Corriente continua) Pin 10 GND tierra (Sincr. Vert, corriente continua) Pin 11 N/C Sin contacto Pin 12 SDA I²C datos Pin 13 HSync Sincronización horizontal Pin 14 VSync Sincronización vertical Pin 15 SCL I2 Velocidad reloj
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 33 USB Patillaje The standard USB A plug (left) and B plug (right) Pin 1 VCC (+5 V) Pin 2 Data- Pin 3 Data+ Pin 4 Ground DB9 Se debe tener en cuenta que existen adaptadores DB9-DB25 para convertir fácilmente un enchufe DB9 en uno DB25 y viceversa. Pines Número de clavija Nombre 1 CD: Detector de transmisión 2 RXD: Recibir datos 3 TXD: Transmitir datos 4 DTR: Terminal de datos lista 5 GND: Señal de tierra 6 DSR: Ajuste de datos listo 7 RTS: Permiso para transmitir 8 CTS: Listo para enviar 9 RI: Indicador de llamada Protección
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 34 DB-25 Asignaciones de patas el conector D-25 para impresoras: Este conector trabaja para el puerto paralelo. Pata Señal E/S Definición 1 STB# E/S Estrobo 2 PD0 E/S Bit 0 de datos de impresora 3 PD1 E/S Bit 1 de datos de impresora 4 PD2 E/S Bit 2 de datos de impresora 5 PD3 E/S Bit 3 de datos de impresora 6 PD4 E/S Bit 4 de datos de impresora 7 PD5 E/S Bit 5 de datos de impresora 8 PD6 E/S Bit 6 de datos de impresora 9 PD7 E/S Bit 7 de datos de impresora 10 ACK# E Reconocimiento 11 BUSY E Ocupado 12 PE E Fin del papel 13 SLCT E Seleccionar 14 AFD# S Avance automático 15 ERR# E Error 16 INIT# S Iniciar impresora 17 SLIN# S Seleccionar 18–25 GND N/D Tierra de señal
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 35 IEEE.488 Terminales Conector hembra IEEE-488 Pin 1 DIO1 Entrada de dato / bit de salida Pin 2 DIO2 Entrada de dato / bit de salida. Pin 3 DIO3 Entrada de dato / bit de salida Pin 4 DIO4 Entrada de dato / bit de salida Pin 5 EOI Final o identificación Pin 6 DAV Validación de datos Pin 7 NRFD No está listo para recibir dato Pin 8 NDAC No se acepta el dato Pin 9 IFC Interfaz limpia Pin 10 SRQ Servicio Pin 11 ATN Atención de datos Pin 12 SHIELD Pin 13 DIO5 Entrada de dato / bit de salida Pin 14 DIO6 Entrada de dato / bit de salida Pin 15 DIO7 Entrada de dato / bit de salida Pin 16 DIO8 Entrada de dato / bit de salida Pin 17 REN Remoto activado Pin 18 GND (emparejado con DAV) Pin 19 GND (emparejado con NRFD) Pin 20 GND (emparejado con NDAC) Pin 21 GND (emparejado con IFC) Pin 22 GND (emparejado con SRQ)
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 36 RS-232 DB9 PIN 1: PIN 2: PIN 3: PIN 4: PIN 5: PIN 6: PIN 7: PIN 8: PIN 9: Detector de acarreo Recibe dato Transmite dato Terminal de dato lista Tierra Dato listo Requisita para mandar Limpia para enviar Indicador Convertidor RS-232 a DB-25
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 37 RS – 422/485 DB – 9 PIN 1: PIN 2: PIN 3: PIN 4: PIN 5: PIN 6: PIN 7: PIN 8: PIN 9: Salida auxiliar + Dato de salida + Tierra Entrada de dato + Salida auxiliar + Salida auxiliar – Salida de dato – Entrada de dato – Entrada auxiliar –
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 38 Formulario general Matemáticas Álgebra        <<< ><< <>< +<+< zxzyy;xSi yzxz0zy;xSi yzxz0zy;xSi zyzxyxSi ℜ∈∀ zy,x, ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2r r r r∠θ ∠θ = ∠ θ + θ Nota: θ θ= cos i sen∠θ + ( )nn k 360 r r ; n θ + ∠θ = ∠  k entero ( ) ( )i ln r e ln r 2 k iθ = + θ + π ; k entero f(x) ; g(x) 0,∀ ≠ existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f(x) = g(x) q(x) + r(x), con gr(r) < gr(g) o r(x) = 0 1 1 1 0( ) ...n n n nf x a x a x a x a− −= + + + + ; 0na ≠ ; 0 0a ≠ las raíces racionales de f son de la forma q p donde p es factor de a0 y q de an.
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 39 Para matrices A y B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                       = = =+ = −−− singularnoA; (A)det 1 )(Adet Idet(A)=A)A(AdjAAdjA det(B)det(A)=(AB)det )(Adet=(A)det AB=AB Atra=aAtr Btr+AtrB)tr(A singularesnoByA;ABAB 1- T TTT 111 Si B = { }v1, ,v , v2 n es base de un espacio V; x V∈ y x v v vn n= + + +α α α1 1 2 2  ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es: ( ) ( )x B T = α α α1, , ,2 n Si ( )u w, ,v V C∈ espacio vectorial, entonces ( ) ( )f u v u v, |= es producto interno en V si: 1) ( ) ( )u v v| = |u 2) ( ) ( ) ( )u v w u u| v | w| + = + 3) ( ) ( )α αv | vu u| = 4) ( )u | u si u> ≠0 0 ( )v v= | v 1 2 norma de v ( ), v distancia de u a vd u v u= − ( ) vu v cos • = u θ coseno del ángulo entre u y v
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 40 Si { }n21 g,,g, gB = es base ortogonal de un espacio V; v V∈ y ( ) ( ) ( ) ( ) v v gB n T = =α α α α1 2, , , ; entonces | g g | i = 1, 2, , ni i i i Si { }e1, ,e , e2 m es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V∈ ; entonces, la proyección de ( )v eisobre W es: v |ei i=1 m  Para la transformación lineal T:V→W ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) T V T v | v V recorrido de V N T v V / T v O nucleo de T dim V = dim T V + dim N T  = ∈   = ∈ =    Para T:V→W; A= { }v1, ,v , v2 n base de V y B base de W la matriz asociada a T, ( )M TB A tiene por columnas a: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T v v T v B B n B 1 , , ,T 2  para T:V→V, v V∈ es vector característico de T si: ( )T v v= ≠ ≠λ λcon 0 y v 0
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 41 Fórmulas para potencia y raíces ( )⋅ ± ⋅ = ± ⋅n n n p a q a p q a m n m n a a a + ⋅ = m m n n a a a − = ( ) ( ) n mm n m n a a a ⋅ = = 1n n a a − = nn n a a b b     =       ( )n n n p a q a p q a⋅ ± ⋅ = ± ⋅ n n n a b a b⋅ = ⋅ 1 n n n n a a a b bb   = =     n x nm x m a a⋅ ⋅ = ( ) m m n m n n a a a ∗ = = a i a− = ⋅ ( ) ( ) 22 No es válida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2∗ − = + − = − Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares Transformación de expresiones algebraicas usuales ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± ( ) 2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2 a b a b a b− = + − ( )( )3 3 2 2 a b a b a ab b+ = + − + ( )( )3 3 2 2 a b a b a ab b− = − + + 2 2 1,2 4 0 2 − ± − + + = = b b ac ax bx c x a 2 2 1,20 2 4 p p x px q x q+ + = = − ± − ( ) 2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac b bc c− + = − + + − + ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 31 1 2 1 1 2 1 2 3 n n n n n nn n n n nn a b a a b a b a b b− − −− − − + = + + + + + ⋅ ⋅ ⋅  ( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n n a b a b a a b a b ab b− − − − − + = − − + + +
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 42 Logaritmos ( )log log logx y x y⋅ = + log log log x x y y = − log logn x n x= 1 log logn x x n = log log=a n n a log 1=a a log1 0= Binomio de Newton ( ) 1 2 2 3 3 0 1 2 3 n n n n nn n n n a b a a b a b a b− − −        + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +                 Donde n tiene que ser un número entero ( )( )1 2 1 1 2 3 n n n n n k k k − − − +  =  ⋅ ⋅    Teorema del binomio (de Newton) ( ) ( ) 2 n n n 1 xnx 1 x 1 ... 1! 2! − + = + + + Teorema binomial ( ) nn k n k k 0 n x a x a k − =   + =      Permutaciones Número de permutaciones de n elementos ! 1 2 3nP n n= = × × × ×
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 43 Combinaciones y ordenaciones Número de combinaciones sin repetición Número de combinaciones con repetición ( ) ! ! ! n k nn C kk n k   = =   −   ( ) ( ) 11 ! ! 1 ! + −+ −   = =   −   r n k n kn k C kk n r con repetición Número de ordenaciones sin repetición Número de ordenaciones con repetición ( ) ! ! ! n n k k k n n O C P k k n k   = ⋅ = ⋅ =  −  r n k kO n= donde: C: número de combinaciones posibles n: número de elementos dados k: número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: número de ordenaciones posibles Serie binómica o binomial ( ) ( ) ( ) 21 1 1 ... 2! − = ± = ± + +f x x x x α α α α α es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario ( )( )( ) ( )1 2 3 1 ! − − − − +  =     n n n α α α α α α Serie de Taylor (serie de McLaurin) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '' 2 1! 2! f a f a f x f a x a x a= + − + − + Forma de McLaurin, cuando 0a = ( ) ( ) ( ) ( )' '' 20 0 0 1! 2! f f f x f x x= + + + Expansión de Taylor 2 3 x x x x e 1 ..., x 1! 2! 3! = + + + + − ∞ < < ∞
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 44 Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto: m = tanα = Δy' Δx' Relación media de cambio (cociente incremental) La intensidad media de variación de la función y = f (x) es la relación de los incrementos Δy Δx correspondientes al segmento de curva PP1 Δy Δx = f (x + Δx) − f (x) Δx Derivada (cociente diferencial) Cuando Δx tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P: y' = lim Δx→0 Δy Δx = dy dx = f '(x) Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la curva y' = f '(x) se obtendrá y'' = f ''(x) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) , etc. Radio de curvatura ρ en un punto dado x. ρ = (1+ ′y 2 )3 ′′y
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 45 Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio ρ a = x − 1+ ′y 2 ′′y ′y b = y + 1+ ′y 2 ′′y Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y'' Si y''(a) > 0 habrá un mínimo en x = a Si y''(a) < 0 habrá un máximo en x = a Punto de inflexión Hágase y'' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en ''y Si y''(a) ≠ 0 habrá un punto de inflexión en x = a Forma de la curva y = f (x)
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 46 Crecimiento y decrecimiento y'(x) > 0 y(x) crece si aumenta x y'(x) < 0 y(x) decrece si aumenta x y'(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x Curvatura y''(x) > 0 y(x) será cóncava hacia arriba y''(x) < 0 y(x) será cóncava hacia abajo y''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendrá en x un punto de inflexión sin cambio de signo y(x) tendrá en x un máximo o un mínimo Otros casos Si para x = a ( 1) '( ) ''( ) '''( ) ( ) 0− = == = = n y a y y y aa a , pero yn ≠ 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 47 Tablas de derivadas d dx c( ) = 0 ( ) d dx cx c= ( ) d dx cx ncxn n = −1 ( ) d dx u v w du dx dv dx dw dx ± ± ± = ± ±  ( ) d dx cu c du dx = ( ) d dx uv u dv dx v du dx = + ( ) d dx uvw u v dw dx u w dv dx v w du dx = + + ( ) ( )d dx u v v du dx u dv dx v       = − 2 ( ) d dx u nu du dx n n = −1 du dx dx du = 1 dF dx dF du du dx = (Regla de la cadena) Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas [ ]ln ln -1 ln ln v v u v u v v d d d u e e v u dx dx dx du dv vu u u dx dx = = = + log log 0, 1a a ed du u a a dx u dx = > ≠ lnu ud du a a a dx dx = 1 ln loge d d du u u dx dx u dx = = u ud du e e dx dx = Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas d dx u u du dx sen cos= d dx u u du dx cot csc= − 2 d dx u u du dx cos sen= − d dx u u u du dx sec sec tan= d dx u u du dx tan sec= 2 d dx u u u du dx csc csc cot= − 1 1 2 1 cos 0 cos 1 d du u u dx dxu π− −−  = < <  − 1 1 2 22 1 sen sen 1 d du u u dx dxu π π− −  = − < <  − 1 1 2 22 1 tan tan 1 d du u u dx u dx π π− −  = − < < + 1 1 2 1 cot 0 cot 1 d du u u dx u dx π− −−  = < < +
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 48 1 2 2 1 2 1 2 1 1 sec , 1 1 0 sec sec d du du u dx dx dxu u u u si u si u π π π − − − ± = = − −  + < <   − < <  1 2 2 1 2 1 2 1 1 csc , 1 1 0 csc csc 0 d du du u dx dx dxu u u u si u si u π π − − − − = = − −  − < <   + − < <   Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas d dx u u du dx senh cosh= d dx u u du dx coth csc= − h2 d dx u u du dx cosh senh= d dx u u u du dx sec sec tanhh h= − d dx u u du dx tanh sec= h2 d dx u u u du dx csc csc cothh h= − -1 2 1 sen h 1 d du u dx dxu = + [ ]1 2 1 tanh , 1 1 1 d du u u dx u dx − = − < < − [ ] -1 2 1 csch , 1 si 0, si 0 d du u dx dxu u u u − = + − > + < -1 2 1 1 1 cosh , 1 si cosh 0, 1 si cosh 0, 1 d du u dx dxu u u u u − − ± = −  + > >   − < <  -1 2 1 1 1 sech , 1 si sech 0,0 1 si sech 0,0 1 d du u dx dxu u u u u u − − ± = −  − > < <   + < < <  [ ] 1 2 1 coth , 1 1 ó 1 d du u dx u dx u u − = − > < −
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 49 Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función ( )F x a partir de una función dada ( )y f x= de manera que la derivada ( )F x′ sea igual a la original ( )f x . Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) dF x F x f x dx ′ = = La integral indefinida ( ) ( )f x dx F x C= + C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida. Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas ( )y F x= con pendiente o derivada ( )y F x′ = . Todas las curvas ( )y f x= son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y. La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto 0 0,x y se tendrá: 0 0( )C y F x= − La integral definida La integral definida tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) b b aa f x dx F x F b F a= = −
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 50 En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C.
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 51 Reglas de integración Formas fundamentales u dv uv v du= −  u u e du e C= + u du n u C nn n = + + ≠ −+  1 1 11 a du a a Cu u = + ln ln du u C u = + Formas trigonométricas sen cosu du u C= − + csc cot cscu u du u C= − +  += Cuduu sencos  += Cuduu seclntan  += Cuduu tansec2 cot ln senu du u C= + 2 csc cotu du u C= − + Cuuduu ++= tanseclnsec  += Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= − + Formas cuadráticas a u du u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + + + + + ln du a u u a C2 2 1 − = +−  sen ( )u a u du u a u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 8 + = + + − + + + ln  += + − C a u aua du 1 22 tan 1 a u u du a u a a a u u C 2 2 2 2 2 2 + = + − + + + ln du u u a a u a C2 2 11 − = +−  sec du u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 + = − + + du a u a u a u a C2 2 1 2− = + − + ln
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 52 ( ) du a u u a a u C2 2 3 2 2 2 2 + = + + / du u a a u a u a C2 2 1 2− = − + + ln a u u du a u u u a u C 2 2 2 2 2 2 2+ = − + + + + + ln du u a u a a u a u C2 2 2 2 1 + = − + + + ln ( )u a u du u u a a u a u a C2 2 2 2 2 2 2 4 1 8 2 8 − = − − + +−  sen a u du u a u a u a C2 2 2 2 2 1 2 2 − = − + +−  sen u du a u u a u a u a u C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ = + − + + + ln du a u u a u C2 2 2 2 + = + + + ln u a du u u a a u u a C2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − − + − + ln u du a u u a u a u a C 2 2 2 2 2 2 1 2 2− = − − + +−  sen a u u du a u a a a u u C 2 2 2 2 2 2 − = − − + − + ln a u u du u a u u a C 2 2 2 2 2 11− = − − − +−  sen du u a u a a a u u C2 2 2 2 1 − = − + − + ln ( )u u a du u u a u a a u u a2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 8 2 8 − = − − − + − + ln C du u a u a u a u C2 2 2 2 2 21 − = − − + u a u du u a a a u C 2 2 2 2 1− = − − +−  cos ( ) ( )a u du u u a a u a u a C2 2 3 2 2 2 2 2 4 1 8 2 5 3 8 − = − − − + +−  sen u a u du u a u u u a C 2 2 2 2 2 2 2− = − − + + − + ln ( ) du a u u a a u C 2 2 3 2 2 2 2 − = − + du u a u u a C2 2 2 2 − = + − + ln  +−++−= − Cauu a au u au duu 22 2 22 22 2 ln 22 ( )2 1 ln udu a bu a a bu C a bu b = + − + + + ( ) ( ) ( ) du u a bu a bu a n u b n a n du u a bun n n + = − + − − − − +− − 1 2 3 2 11 1 du u u a u a a u C2 2 2 2 2 2 − = − + ( ) ( )[ ] u du a bu b a bu a a bu a a bu C 2 3 2 21 2 4 2 + = + − + + + + ln ( ) 3 2 2 22 2 2 du u C a u au a = − + −−  ( ) du u a bu a u a bu C + = + + 1 ln du u a bu a a bu a a bu a C a + = + − + + + > 1 0ln , si = − + − + <−2 01 a a bu a C atan , si ( ) du u a bu au b a a bu u C2 2 1 + = − + + + ln a bu u du a bu a du u a bu + = + + +  2
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 53 ( ) ( ) udu a bu a b a bu b a bu C + = + + + + 2 2 1 ln a bu u du a bu u b du u a bu + = − + + +  2 2 ( ) ( ) du u a bu a a bu a a bu u C + = + − + + 2 2 1 1 ln ( ) udu a bu b bu a a bu + = − + 2 3 22 ( ) +      +− + −+= + Cbuaa bua a bua bbua duu ln2 1 2 32 2 ( ) ( ) u du a bu u a bu b n na b n u du a bu n n n + = + + − + +   − 2 2 1 2 2 1 1 ( )( )u a budu b bu a a bu C+ = − + + 2 15 3 22 3 2 Otras formas trigonométricas 3 1 1 2 2 csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= − + − + 2 1 1 2 4sen sen 2u du u u C= − + 1 21 1 sen sen cos senn n n n n u du u u u du n − −− = − +  2 1 1 2 4cos sen 2u du u u C= + + cos cos sen cosn n n n udu u u n n u du= + −− −  1 1 21  +−= Cuuduu tantan2   −− − − = duuu n duu nnn 21 tantan 1 1 tan  +−−= Cuuduu cotcot2 cot cot cotn n n u du n u u du= − − −− −  1 1 1 2 ( )3 21 3sen 2 sen cosu du u u C= − + + sec sec secn n n udu n tanu u n n udu= − + − − − −  1 1 2 1 2 2 ( )3 21 3cos 2 cos senu du u u C= + + csc cot csc cscn n n u du n u u n n udu= − + − − − −  1 1 2 1 2 2  ++= Cuuduu coslntantan 2 2 13 ( ) ( ) ( ) ( ) sen sen sen sen 2 2 a b u a b u au bu du C a b a b − + = − + − + 3 21 2cot cot ln senu du u u C= − − + ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos sen sen au budu a b u a b a b u a b C= − − + + + + 2 2 3 1 1 2 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + + 1 cos sen senn n n u u du u u n u u du− = −  ( ) ( ) ( ) ( ) sen cos cos cos au bu du a b u a b a b u a b C= − − − − + + + 2 2 sen sen cosu u du u u u C= − + sen cosn m u u du = − + + − + − + −  sen cos sen cos n m n mu u n m n n m u udu 1 1 21 = − + + − + + − −  sen cos sen cos n m n mu u n m m n m u udu 1 1 21 cos cos senu u du u u u C= + + 1 sen cos cosn n n u u du u u n u u du− = +  u u du u u u u Ccos cos− − = − − − + 1 2 1 2 2 1 4 1 4  +− + = −− C u u u duuu 2 tan 2 1 tan 1 2 1
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 54 u udu n u u u du u nn n n sen sen ,− + − + = + − −       ≠ − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 sen sen 1udu u u u C− − = + − + u udu n u u u du u nn n n cos cos ,− + − + = + + −       ≠ − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 cos cos 1udu u u u C− − = − − +   −≠      + − + = + −+− 1, 1 tan 1 1 tan 2 1 111 n u duu uu n duuu n nn ( ) ++−= −− Cuuuduu 2 2 111 1lntantan Formas exponenciales y logarítmicas ( )ue du a au e Cau au = − + 1 12 ln lnu du u u u C= − + u e du a u e n a u e dun au n au n au = − −  1 1 ( ) ( )[ ]u u du u n n u Cn n ln ln= + + − + +  1 2 1 1 1 ( )e bu du e a b a bu b bu Cau au sen sen cos= + − + 2 2 1 u u du u C ln ln ln= + ( )e bu du e a b a bu b bu Cau au cos cos sen= + + + 2 2 Formas hiperbólicas senh coshu du u C= +  += Cuduu 2 1 tanlnsech cosh senhu du u C= +  += Cuduu tanhsech2  += Cuduu coshlntanh  +−= Cuduu cothcsch 2 coth ln senhu du u C= +  +−= Cuduuu sechtanhsech  += − Cutanduu senhsech 1  +−= Cuduuu cschcothcsch Otras formas cuadráticas 2 2 2 2 2 2 2 1 au u du u a au u a a u a C− = − − + −     +−  cos du a u u a u a C 2 2 1 − = −     +−  cos u au u du u au a au u a a u a C2 2 3 6 2 2 2 2 2 3 1 − = − − − + −     +−  cos udu au u a u u a a u a C 2 22 2 1 − = − − + −     +−  cos 2 2 2 2 2 1 au u u du a u u a a u a C − = − + −     +−  cos du u a u u a u u a u C 2 2 2 2 − = − − + ( )  +      − +− + −= − − C a uaa uau au uau duu 1 2 2 2 2 cos 2 3 2 2 3 2 2 2 22 2 2 1 au u u du a u u u a u a C − = − − − −     +−  cos
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 55 Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado ( )0 1 2 4 3i h A y y y= + + Para curvas de grado mayor que el tercero ( ) ( )0 2 4 2 1 3 1 2 ... 4 ... 3 n n n h A y y y y y y y y− −  = + + + + + + + + +   Integrales múltiples ( )( ) 2 1 ( ) , b f x x a y f x F x y dydx = =  ( )( ){ }2 1 ( ) , b f x x a y f x F x y dy dx = = =   Donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así: ( )( ) 2 1 ( ) , d g y y c x g y F x y dxdy = =  ( )( ){ }2 1 ( ) , d g y y c x g y F x y dx dy = = =   Dondex g y= 1( ), x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. ( ) ( ) t a s s t r t dt′= =   Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, . En parámetro arbitrario: En parámetro s: Vector tangente unitario ( ) ( ) ( ) r t t t r t ′ = ′    ( ) ( )t s r s=   Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×     n s r s r s ( ) ( ) ( ) = Vector binormal ( ) ( ) ( ) r r t b t r r t ′ ′′× = ′ ′′×     ( ) ( ) ( ) ( ) r s r s b s r s × =     Los vectores unitarios    t n b, , forman una triada positiva ( )          b t n n b t t n b= = =x x x, ,
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 56 Recta tangente en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica ( ) ( ) ( )   r r t r tλ λ= + ′0 0 x x x y y y z z x − ′ = − ′ = − ′ 0 0 0 0 0 0 Plano oscilador( )   t n, en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica ( )( ) ( ) ( )( )    r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0 x x y y z z x y z x y z − − − ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Curvatura y torsión 3 2 2 ´´ 1 ( ´) y y κ =  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) κ τt r t r t r t t r t r t r t r t r t = ′ ′′ ′ = ′ ⋅ ′′ ′′′ ′ ′′         x x x 3 2 ( ) ( )s r sκ =  d T k N ds =   d N B kT ds τ= −    d B N ds τ= −   Plano normal Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica: ( )( ) ( )   r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0 Plano rectificante ( )   t b, en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica: ( )( ) ( )   r r t n t− ⋅ =0 0 0 x x y y z z x y z y z y z z x z x x y x y - - -0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0′ ′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ = Componentes tangencial y normal de la aceleración
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 57 . T a a Ta ν ν → → → → → = = N x a a Na ν ν → → → → → = = Propiedades de la divergencia ( ) ( ) ) div( ) div( ) div( ) ) div( ) div( ) (grad ) ) div( ) rot - rot i F G F G ii F F F iii F G G F F G φ φ φ + = + = + •   + = • •               
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 58 Geometría Áreas Círculo = Trapecio A= B b+     2 h Triángulo A= ab bhsenα 2 2 = Volúmenes Prismas V= SB h donde SB = área de la base Pirámides V= S hB 3 donde SB = área de la base Volumen = 4 3 3 πr Área de la superficie = 4 2 π r Volumen = πr h2 Área de la superficie lateral = 2πrh
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 59 Volumen = 1 3 2 πr h Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2 Volumen ( )= + +1 3 2 2 π h a a b b Área de la superficie lateral ( ) ( ) ( ) = + + − = + π π a b h b a a b l 2 2 Geometría analítica plana Distancia entre dos puntos ( ) ( )x x y y2 1 2 2 1 2 − + − Pendiente de una recta 2 1 2 1 y y m x x − = − Ecuación de una recta 1 1m( ); 0y y x x Ax By C− = − + + = Ángulo entre rectas 1 2 1 2 m m tan 1 m m θ − = + Circunferencia 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ; 0x h y k r Ax Ay Dx Ey F− + − = + + + + = Parábola Eje vertical 2 2 ( ) 4 ( ); 0x h p y k Ax Dx Ey F− = − + + + = Eje horizontal 2 2 ( ) 4 ( ); 0 4 e 1 y k p x h By Dx Ey F LR p − = − + + + = = = Elipse Eje focal horizontal ( ) ( )x h a y k b − + − = 2 2 2 2 1 ; a> b Eje focal vertical ( ) ( )x h b y k a − + − = 2 2 2 2 1 ; a> b
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 60 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 0; 0 b c a b c LR e a a Ax Cy Dx Ey F AC = + = = < + + + + = > Hipérbola Eje focal horizontal ( ) ( )x h a y k b − − − = 2 2 2 2 1 Eje focal vertical ( ) ( )y k a x h b − − − = 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 0; 0 b c c a b LR e a a Ax Cy Dx Ey F AC = + = = > + + + + = <
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 61 Geometría analítica del espacio Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2: ( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , , Distancia entre dos puntos: ( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 Recta que pasa por dos puntos: Forma paramétrica: x x lt= +1 y y mt= +1 z z nt= +1 Forma simétrica: t x x l = − 1 t y y m = − 1 t z z n = − 1 Cosenos directores: cosα = − = x x d l d 2 1 cosβ = − = y y d m d 2 1 cosγ = − = z z d n d 2 1 donde α β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano: - Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a → = 1 2 3, , : ( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − = -Forma general: Ax By Cz D+ + + = 0 cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = o l m n2 2 2 1+ + =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 62 Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 0Ax By Cz D+ + + = d Ax By Cz D A B C = ± + + + + + 0 0 0 2 2 2 en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas: x r y r z z = = =      cos sen θ θ ( )       = = += − zz yxr x y1 22 tanθ Coordenadas esféricas:      = = = φρ θφρ θφρ cos cos z senseny senx ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 tan cos y x x y z z x y z ρ θ ϕ − −    = + +  =     =  + +  
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 63 Definiciones geométricas importantes Ángulo entre dos rectas en el plano 1 2 1 2 tan 1 m m m m α − = + Producto escalar para a y b que pertenecen a R3 a b a b a b a b• = + +1 1 2 2 3 3 Producto vectorial a i j k a a a b b b x b = 1 2 3 1 2 3 Producto mixto [ ]a b c a a a b b b c c c = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Ángulo entre dos vectores cosθ = a • b a b ; senθ = a x b a b Ecuación vectorial de la recta p p= o + tu Ecuaciones paramétricas de la recta ( ) x x at y y bt z z ct u a b c o o o = + = + = +      = , , Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica x x a y y b z z c o o o− = − = − u a= ( , b, c) Distancia de un punto Q a una recta d P Qo = x u u Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2 1 2u x u PP u x u d • = Ecuación vectorial de un plano p p ru svo= + +
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 64 Ecuaciones paramétricas de un plano x x ru sv y y ru sv z z ru sv o x x o y y o z z = + + = + + = + +      Ecuación cartesiana de un plano en forma general 0Ax By Cz D+ + + = N A= ( , B, C) Ecuación normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A ,B, C• = = Distancia de un punto Q a un plano d PoQ N N = • Ángulo entre una recta y un plano N sen u N u α • =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 65 Trigonometría Medida de ángulos planos Representación: La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por α y ˆα . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). 1° = 60'; 1' = 60" Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto, 1 1 1(número adimensional) 1 = = m rad m Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla. α 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° ˆα 0 / 6π / 4π / 3π 5 / 12π / 2π π 3 / 2π 2π 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 66 Equivalencias. Por definición: 180 360 2 rad, 1 rad = 57.2967 1 rad = 0.017453 rad 180 ˆ = 180 57.2967 longitud de arco ˆ = radio ° ° = = ° ° = = = arc π π π π α α α α α La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central ˆα (en radianes) de la circunferencia: b = r ˆα Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo: cateto opuesto sen hipotenusa cateto adyacente cos hipotenusa cateto opuesto tan cateto adyacente a c b c a b α α α = = = = = =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 67 Operaciones con funciones trigonométricas sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 1 2 1 2 2A A= − sec tan2 2 1A A− = cos cos2 1 2 1 2 2A A= + csc cot2 2 1A A− = sen sen cos2 2A A A= tan sen cos A A A = cos cos sen2 2 2 A A A= − cot cos sen A A A = ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ± sen cscA A=1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± =  cos secA A=1 ( )tan A B tanA tanB tanAtanB ± = ± 1 tan cotA A=1 sen cosA A 2 1 2 = ± − ( )sen sen− = −A A cos cosA A 2 1 2 = ± + ( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +1 2 ( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +1 2 ( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +1 2
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 68 Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos a A b B c Csen sen sen = = Ley de los cosenos c a b a b C2 2 2 2= + − cos Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Ley de las tangentes ( ) ( ) a b a b tan A B tan A B + − = + − 1 2 1 2 Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Teorema de Pitágoras 2 2 2 a b c+ = Valores de las funciones de ángulos importantes θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ 0° 0 1 0 ∞ 1 ∞ 30° 2 1 2 3 3 3 3 3 32 2 45° 2 2 2 2 1 1 2 2 60° 2 3 2 1 3 3 3 2 3 32 90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 69 Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo: sinα = cosα = tanα = cotα = cos(90 )α° − ° − αs n(90 )e cot(90 )α° − tan(90 )α° − 2 1 cos α− − α2 1 s ne 1 cotα 1 tanα ⋅2s n cos 2 2 e α α −2 2 cos s n 2 2 e α α s n cos e α α α α cos s ne 2 tan 1 tan α α+ 2 cot 1 cot α α+ − 2 s n 1 s n e e α α 2 cos 1 cos α α− 2 cos cos2α α− − 2 1 2s n 2 e α 2 1 1 cos α − −2 1 1 s ne α 2 1 1 cot α+ 2 1 1 tan α+ 2 2 tan 2 1 tan 2 α α + 2 2 1 tan 2 1 tan 2 α α − + 2 2 tan 2 1 tan 2 α α − 2 cot 1 2 2 cot 2 α α − =s n2e α cos2α = tan2α = cot2α = ⋅2s n cose α α −2 2 cos s neα α 2 2tan 1 tan α α− 2 cot 1 2cot α α − 2 2 cos 1α − 2 cot tanα α− 1 1 cot tan 2 2 α α− − 2 1 2sen α =s n 2 e α cos 2 α = tan 2 α = cot 2 α = 1 cos 2 α− 1 cos 2 α+ + s n 1 cos e α α − s n 1 cos e α α −1 cos s ne α α +1 cos s ne α α 1 cos 1 cos α α − + 1 cos 1 cos α α + −
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 70 Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1 arg( ) tan y z x −   θ = =     Luego: sin sin cos cos y y r r x x r r  θ =  = θ   θ =  = θ  Por lo tanto: ( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ Forma exponencial de un número complejo Sea (cos sin )z r i= θ + θ un número complejo donde r es su módulo y θ su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene: (cos sin ) i z r i r e θ = θ + θ = Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que r cosθ +isenθ( )[ ] p = rp cospθ +isenpθ( ) Sea n cualquier entero positivo y p n= 1 , entonces r cosθ +isenθ( )[ ] 1 n = r 1 n cosθ +2kπ n +isenθ +2kπ n[ ] donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo 1,,2,1,0 −= nk 
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 71 Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores. Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección. Coordenadas del punto inicial del vector Coordenadas del punto final del vector Vectores unitarios sobre los ejes Componentes escalares Componentes vectoriales Magnitud de un vector: (o bien, ) ( siempre ) Cosenos directores de un vector: son los ángulos entre el vector y los ejes , , Cálculo de las componentes. Si se conocen , A 1 1 1 : , ,a x y z  B 2 2 2 : , ,a x y z  , , : , ,OX OY OZ i j k   , , 0x y z a a a > < 2 1 2 1 2 1 x y z a x x a y y a z z = − = − = − x y z x y z a a a a a a i a j a k = + + = − +       a  a 2 2 2 | | x y z a a a a= + +  | |a  0≥ cos ,cos , cosα β γ , ,α β γ a  , , .OX OY OZ ( ), , 0 180 .α β γ = ° ° cos | | x a a α =  cos | | y a a β =  cos | | z a a γ =  | |, , ,a α β γ  | | cos ;x a a α=  | | cos ;y a a β=  | | cosz a a γ= 
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 72 Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes Adición y sustracción de vectores Suma vectorial de dos vectores libres y Diferencia vectorial de dos vectores libres y Valores importantes para 2 vectores 0°; 360° 90° 180° 270° 0 Suma vectorial de dos vectores libres y , , etc.: , , .OX OY OZ s  a  b  2 2 2 , , | | x y z x x x y y y z z z x y z s a b s i s j s k s a b s a b s a b s s s s = + = + + = + = + = + = + +      s  a  b  2 2 2 ( ) , , | | x x x y y y z z z x y z s a b s a b s a b s a b s s s s = + − = − = − = − = + +    | |s  ϕ | | | |a b≠  | | | |a b+  2 2 | | | |a b+  | | | |a b−  2 2 | | | |a b+  | | | |a b=  2 | |a  | | 2a  | | 2a  s  a  b  c−  2 2 2 , , | | x y z x x x x y y y y z z z z x y z s a b c s i s j s k s a b c s a b c s a b c s s s s = + − + = + + = + − + = + − + = + − + = + +          
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 73 Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto escalar con el vector da el vector Si entonces por lo que Si entonces por lo que Productos de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores libres y da el escalar Símbolo del producto escalar: punto “ˑ” Valores importantes 0°; 360° 90° 180° 270° 0 0 Ejemplo: Trabajo de una fuerza en el desplazamiento Fuerza Desplazamiento k a  c  ; ; ; | |x x y y z z c k a c k a c k a c k a c k a = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅    0,k > ,c a↑↑   0,k < ,c a↑↓   a  b  k 1 cos | | | | cos cos | | | | x x y y z z x x y y z z k a b b a a b a b k a b a b a b a b a b a b a b ϕ ϕ ϕ − = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅       ϕ | | | | cosa b ϕ⋅  | || |a b+  | || |a b−  W F s W = × = F s⋅   cosW F s ϕ=
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 74 El producto vectorial de dos vectores libres y da el vector Símbolo del producto vectorial: cruz “x” , , forman una triada derecha b Φ a c < (c = 0) > Φ 180°<Φ<360° 0°<Φ<180° a b c Valores importantes 0°; 360° 90° 180° 270° 0 0 A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0 donde θ es el ángulo formado por A y B A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3 donde: A i j k= + +A A A1 2 3    B i j k= + + ∧ ∧ ∧ B B B1 2 3 Son resultados fundamentales: Producto cruz: 1 2 3 1 2 3 i j k A B A A A B B B ∧ ∧ ∧ × = ( ) ( ) ( )kji ˆˆˆ 122131132332 BABABABABABA −+−+−= Magnitud del producto cruz sen θ× =A B A B El operador nabla se define así: a  b  c  ( ) | | sin | || | sin y c a b b a c ab a b c a c b ϕ ϕ = × = − × = = ⊥ ⊥          a  b  c  2 2 2 | | x y z z y y z x x z z x y y x x y z c a b a b c a b a b c a b a b c c c c = − = − = − = + +  ϕ | | | | sina b ϕ⋅  | || |a b+  | || |a b− 
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 75 x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ i j k En las fórmulas siguientes se asume que ( , , )U U x y z= y ( , , )A A x y z= tienen derivadas parciales. Gradiente de U grad( ) U U U U U U x y z x y z    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = + + = + +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    i j k i j k Divergencia de A ( ) 31 2 1 2 3div( ) AA A A A A A A x y z x y z   ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ = ∇ • = + + • + + = + +  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  i j k i j k Rotacional de A ( )1 2 3 1 2 3 3 32 1 2 1 rotA A A A A x y z x y z A A A A AA A A A y z z x x y  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ × = + + × + + = =  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂  − + − + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     i j k i j k i j k i j k Laplaciano de U 2 2 2 2 2 2 2 ( ) U U U U U x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ • ∇ = + + ∂ ∂ ∂
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 76 Función de fracciones racionales Descomposición 2 0 1 2 2 0 1 2 ...( ) ( ) , donde y on enteros y ( ) ... m m n n a a x a x a xP x y x n m s n m Q x b b x b x b x + + + + = = > + + + + Los coeficientes , pueden ser reales o complejos. Si son las raíces de , se obtiene la forma factorizada: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...( )k k kq q P x P x y x Q x x n x n x nα = = − − − En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad 1 2, , ..., qk k k de ( )Q x , que pueden ser reales o complejas; α es un factor constante. Descomposición de fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de ( )y x es conveniente descomponerla en fracciones parciales: 1 111 12 2 1 1 1 1 2 221 22 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) k k k k q q qkq kq q q q AA AP x y x Q x x n x n x n AA A x n x n x n A A A x n x n x n = = + + + − − − + + + + − − − + + + − − − Si los coeficientes de ( )Q x son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en 2 1'1,b n n= (compleja conjugada de 1n ) y debido a su aparición por parejas 1 2 3k k k= = , entonces las fracciones parciales de '2b , con las constantes 11 2 2,..., kA A pueden agruparse en las fracciones parciales: 1 111 11 12 12 2 2 2 2 ... ( ) ( ) k k k B x CB x C B x C x ax b x ax b x ax b ++ + + + + + + + + + + aγ bμ nδ ( )Q x
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 77 Series de Fourier Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad xπ π− ≤ ≤ en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma: ( ) ( ) ( )0 1 cos s n 2 ∞ = = + +   n n n a f x a nx b e nx Los coeficientes de cada término se forman como sigue: ( ) ( ) 1 coska f x kx dx π ππ − =  ( ) ( ) 1 s n − =  π ππkb f x e kx dx Funciones pares: ( ) ( )f x f x= − ( ) ( ) 0 2 coska f x kx dx π π =  Para 0,1,2, ,k =  0kb =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 78 Funciones impares: ( ) ( )f x f x= − − 0ka = ( ) ( ) 0 2 s n=  π πkb f x e kx dx Para Tablas de desarrollo en series de Fourier y a= para 0 x π< < y a= − para π π< < 2x   = + + +   4 n(3 ) n(5 ) s n ... 3 5 a se x se x y e x π y a= para xα π α< < − y a= − para 2xπ α π α+ < < − = +  + +  4 1 cos s n cos(3 )s n(3 ) 3 1 cos(5 )s n(5 ) ... 5 a y e x e x e x α α π α y a= para 2xα π α< < − ( )2y f xπ= + − − − = − + −  − +  2 s n( ) s n2( ) cos cos2 2 1 3 s n3( ) cos3 ... 3 a e e y x x e x π α π α π α π π α y xo π 2π 3π a α /y ax b= para 0 x b≤ ≤ y a= para b x bπ≤ ≤ − ( ) /y a x bπ= − para b xπ π− ≤ ≤ 0,1,2, ,k = 
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 79 = +  + +  2 2 2 4 1 1 s n s n s n(3 )s n(3 ) 1 3 1 s n(5 )s n(5 ) ... 5 a y e b e x e b e x b e b e x π 2 ax y π = para 0 2x π< < ( )2y f xπ= +  = − + + +    s n s n2 s n 3 ... 2 1 2 3 a a e x e x e x y π 2 /y ax π= para 0 / 2x π≤ ≤ ( )2 /y a xπ π= − para / 2 xπ π≤ ≤ ( )y f xπ= − +  = − + −   2 2 2 8 s n 3 s n 5 s n ... 3 5 e x e x y a e x π /y ax π= para 0 x π≤ ≤ ( )2 /y a xπ π= − para 2xπ π< < ( )2y f xπ= + 2 2 2 2 4 cos cos 3 cos 5 ... 2 1 3 5 a a x x x y π   = − + + +    = s ny a e x para 0 x π≤ ≤ = − s ny a e x para 2xπ π≤ ≤ ( )y f xπ= + 2 4 cos2 cos 4 cos 6 ... 1 3 3 5 5 7 a a x x x y π π   = − + + +  ⋅ ⋅ ⋅  0y = para 0 / 2x π≤ ≤ = −s n( /2)y a e x π para / 2 3 / 2xπ π≤ ≤ ( )2y f xπ= + 2 2 2 2 1 cos2 cos 4 cos6 cos . ... 2 4 2 1 4 17 6 1 a x x x y x π π   = − + − + −  − − −  2 y x= para xπ π≤ ≤ − ( ) ( )2y f x f xπ= − = + 2 2 2 2 cos cos2 cos 3 4 ... 3 1 2 3 x x x y π   = − − + −   
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 80 ax y π = para 0 x π< < ( )2y f xπ= +  = − + + +     + − + −    2 2 2 2 2 cos cos2 cos 3 ... 4 1 2 3 s n s n2 s n 3 ... 1 2 3 a a x x x y a e x e x e x π π
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 81 Transformada de Fourier Definiciones: ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) jwt 1 jwt F s t S w s t e dt; j 1 1 F S w s t S w e dw; j 1 2 ∞ − −∞ ∞ − −∞ = = = − = = = − π Reglas de operación Desplazamiento en tiempo ( ){ } ( ) jwt F s t S w e− − τ = Convolución ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 s t s t s s t d s * s t d F s t s t S w * S w F s t S w 1 w F s at S , a 0 a a F s t s t S w S w ∞ ∞ −∞ −∞ ⋅ = τ ⋅ − τ τ = τ − τ τ  ⋅ = =   = >    + = + Enseguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas importantes funciones del tiempo. Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo ∙ ( ) ( ) = 2 ( )/
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 82 Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo con cambio de signo ( ) = − 2 2 2 ( ) = 4 (2 ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) (Función rectángulo) Función triángulo ( ) ( ) = 2 2 Rectángulo modulado ∙ ( ) ( ) = = ( ) = ( + ) + + ( − ) −
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 83 Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Impulso de Gauss ( ) = √ ∙ Impulso coseno ( ) = ( ) = 4 1 − 2 Impulso cos2 ( ) = ( ) = 4 4 4 1 1 − 4 Impulso exponencial ( ) = +
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 84 Transformada de Laplace Definiciones: Reglas de operación Linealidad Teorema de traslación Teorema de convolución Cambio de variable Diferenciación Integración 0 -1 { ( )} ( ) ( ) ; 1 { ( )} ( ) ( ) ; 1 2 st st L f t F s f t e dt L F s f t F s e ds j jπ ∞ − +∞ −∞ = = = = = −   1 2 1 2 1 1 { ( ) ( )} ( ) ( ) { ( )} ( ) L f t f t F s F s L c f t cF s + = + ⋅ = { ( )} ( )as L f t a e F s− ⋅ − = 1 2 1 2 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t f t f t f f t d f f t dτ τ τ τ τ τ∗ = ⋅ − = ⋅ −  1 2 1 2 { ( ) ( )} ( ) ( )L f t f t F s F s∗ = ∗ 1{ ( )} ( )t a a L f F a s= ⋅ 2 1 ( ) ( ) 1 0 { '( )} ( ) (0) { ''( )} ( ) (0) '(0) { ( )} ( ) (0) n n n k n k k L f t sF s f L f t s F s sf f L f t s F s f s − − − = = − = − − = −  1{ ( ) } ( )s L f t dt F s⋅ =
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 85 Tabla de transformadas de Laplace: f(t) L f(t)}=F(s) 1. 1 1 s 2. =, 1, 2, 3,...n t n n sn ! +1 3. −1/2 t π s 4. ±at e 1 s a 5. senkt k s k2 2 + 6. coskt s s k2 2 + 7. senhkt k s k2 2 − 8. coshkt s s k2 2 − 9. ( )at e f t −( )F s a 10. μ − ≥( ), 0t a a e s as− 11. − − ≥( ) ( ), 0f t a U t a a − ( )as e F s 12. =( ), 1, 2, 3...n t f t n )()1( sF ds d n n n − 13. =( ), 1, 2, 3...n f t n − − − − −1 ( 1) ( ) (0) ... (0)n n n s F s s f f 14. ( ) ( ) τττ dtgf t −0 ( ) ( )F s G s 15. δ − ≥0 0 ( ), 0t t t 0st e− 16. =, 1, 2, 3...n at t e n n s a n ! ( )− +1
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 86 17. senat e kt k s a k( )− +2 2 18. cosat e kt s a s a k − − +( )2 2 19. sent kt 2 2 2 2 ks s k( )+ 20. cost kt s k s k 2 2 2 2 2 − +( ) 21. −sen coskt kt kt 2 3 2 2 2 k s k( )+ 22. +sen coskt kt kt ( )222 2 2 ks ks + 23. −senh senkt kt 2 3 4 4 k s k− 24. −cosh coskt kt 2 2 4 4 k s s k− 25. −1 coskt ( ) k s s k 2 2 2 + 26. − senkt kt ( ) k s k 3 2 2 s2 + 27. )bab(a bsenatasenbt 22 − − ( )( ) 1 2 2 2 2 s a s b+ + 28. 22 coscos ba atbt − − ( )( ) s s a s b2 2 2 2 + + 29. 1 30. 31. ( )tδ 1 ( 1)! n t n − − 1 n s exp( ) 1at − ( ) a s s a−
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 87 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 1 exp( / )T t T− 1 1 Ts+ 1 2 sin( )k kt 2 2 2 ( ) s s k+ 1 2 2 sin( ) cos( ) k t kt kt + + 2 2 2 2 ( ) s s k+ 2 cos( ) sin( )k kt t kt − − 3 2 2 2 ( ) s s k+ , bt at e e b a b a − ≠ − 1 ( )( )s a s b− − 1 sin( )at k e kt− ⋅ 2 2 1 ( )s a k+ + 1 tπ 1 s 2 t π 1 s s 3 2 1 2 tπ − ⋅ s 5 2 3 4 tπ ⋅ s s ( )1 at bt e e t − − − ln s b s a + + 1 sin( )a t t ⋅ 1 tan ( )a s− 2 4 2 a t a e t tπ − ; 0a s e a− >
Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 88 45. 46. Función de Bessel erfc 2 a t 1 ; 0a s e a s − ≥ ( )o J kt 2 2 1 s k+
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  • 2. EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dirección General Adjunta de los EGEL JUNIO • 2014 formulario
  • 3. [EGEL-IINDU] Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) y está vigente a partir de junio de 2014. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELECTRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a: Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Av. Camino al Desierto de los Leones #37, Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F. Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103 http://www.ceneval.edu.mx Email: eloin.alarcon@ceneval.edu.mx D. R.  2014 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval) Quinta edición
  • 4. Directorio Dirección General Dr. en Quím. Rafael López Castañares Dirección General Adjunta de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Catalina Betancourt Correa Dirección del Área de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Mtra. Luz María Solís Segura Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Ing. Eloín Alarcón Maldonado
  • 5. Consejo Técnico Representantes de instituciones educativas M. en C. Rodolfo Fernando Porras Sánchez Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Dr. Jorge de la Torre y Ramos Universidad Autónoma de Zacatecas M. en C. Arturo Javier Escoto Méndez Centro de Enseñanza Técnica y Superior Dr. José Antonio Ruz Hernández Universidad Autónoma del Carmen M. en I. Carlos Roberto González Escarpeta Instituto Tecnológico de Veracruz Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Dr. Edgar Omar López Caudana Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey M. en C. José Luis Álvarez Flores Universidad de Colima M. en C. Gabriel Domínguez Sánchez Universidad Autónoma de Aguascalientes M. en C. Juan Carlos Aldaz Rosas Universidad de Guadalajara M. en C. Marco Antonio Félix Lozano Universidad Autónoma de Baja California Ing. Perla Artemisa Escalante Crespo Universidad de la Salle Bajío M. en C. David García Chaparro Universidad Autónoma de Ciudad Juárez M. en C. Mauricio Alberto Ortega Ruiz Universidad del Valle de México Dr. José Luis Tecpanecatl Xihuitl Universidad Autónoma de San Luis Potosí M. en C. Víctor Enrique Gómez del Villar Universidad Politécnica de Aguascalientes Dr. Gerardo Romero Galván Universidad Autónoma de Tamaulipas Dr. Ricardo Oscar Magos Pérez Universidad Tecnológica de México Dr. Miguel Ángel Carrasco Aguilar Universidad Autónoma de Tlaxcala Representantes del Sector empleador Ing. Juan Carlos Altamirano Cano Comisión Federal de Electricidad
  • 6.
  • 7. Contenido Administración de sistemas electrónicos......................................................... 10 Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos.................................... 10 Inversión inicial ...............................................................................................................10 Tasa mínima aceptable de rendimiento..........................................................................10 Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta ................................................................10 Valor presente neto (con TMAR) ....................................................................................11 Valor presente neto (con anualidad e interés)................................................................11 Tasa interna de retorno ..................................................................................................11 Periodo de recuperación de la inversión ........................................................................12 Punto de equilibrio en ventas .........................................................................................12 Costo beneficio...............................................................................................................12 Ingeniería económica .....................................................................................................13 Interés simple .................................................................................................................13 Interés compuesto .................................................................................................................... 13 Valor futuro pago único............................................................................................................. 13 Valor presente pago único........................................................................................................ 13 Cantidad compuesta serie uniforme......................................................................................... 13 Ingeniería económica .....................................................................................................14 Interés simple .................................................................................................................14 Interés compuesto .................................................................................................................... 14 Valor futuro pago único............................................................................................................. 14 Valor presente pago único........................................................................................................ 14 Cantidad compuesta serie uniforme......................................................................................... 14 Fondo de amortización ............................................................................................................. 15 Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 15 Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 15 Series de gradiente................................................................................................................... 15 Tasa efectiva de interés anual.................................................................................................. 15 Capitalización continua............................................................................................................. 15 Definición de e.......................................................................................................................... 16 Pagos continuos ....................................................................................................................... 16 Tasa mixta ................................................................................................................................ 16 Métodos de análisis de inversiones.......................................................................................... 17 Diseño e integración de sistemas electrónicos................................................ 18 Construcción e implementación de sistemas electrónicos............................. 18 Comunicaciones .............................................................................................................18 Radiofrecuencia........................................................................................................................ 18 Parámetros de dispersión......................................................................................................... 21 Líneas de transmisión.....................................................................................................22 Impedancia característica......................................................................................................... 22
  • 8. Línea de transmisión de tipo microcinta................................................................................... 23 Constante de propagación ....................................................................................................... 24 Velocidad de propagación ........................................................................................................ 24 Tiempo de retardo .................................................................................................................... 24 Coeficiente de reflexión ............................................................................................................ 25 Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( ) ................................... 25 Impedancia de entrada ( inZ ).................................................................................................... 25 Tabla de parámetros distribuidos ............................................................................................. 26 Conectores .....................................................................................................................30 RJ45.......................................................................................................................................... 30 RJ11.......................................................................................................................................... 31 VGA .......................................................................................................................................... 32 USB........................................................................................................................................... 33 DB9........................................................................................................................................... 33 DB-25........................................................................................................................................ 34 IEEE.488................................................................................................................................... 35 RS-232 DB9.............................................................................................................................. 36 RS – 422/485 DB – 9................................................................................................................ 37 Formulario general.............................................................................................. 38 Matemáticas ...................................................................................................................38 Álgebra...................................................................................................................................... 38 Cálculo diferencial .................................................................................................................... 44 Cálculo integral......................................................................................................................... 49 Geometría................................................................................................................................. 58 Geometría analítica plana......................................................................................................... 59 Geometría analítica del espacio............................................................................................... 61 Trigonometría ........................................................................................................................... 65 Números complejos.................................................................................................................. 70 Análisis vectorial....................................................................................................................... 71 Función de fracciones racionales............................................................................................. 76 Series de Fourier ...................................................................................................................... 77 Transformada de Fourier.......................................................................................................... 81 Transformada de Laplace......................................................................................................... 84 Probabilidad y estadística......................................................................................................... 89 Física ..............................................................................................................................94 Mecánica .................................................................................................................................. 94 Electricidad y magnetismo...................................................................................................... 103 Química ........................................................................................................................108 Análisis de circuitos eléctricos......................................................................................110 Ley de Ohm ............................................................................................................................ 110 Voltaje y corriente en elementos reactivos............................................................................. 110 Divisor de corriente................................................................................................................. 110 Divisor de voltaje .................................................................................................................... 111 Leyes de Kirchhoff.................................................................................................................. 111 Potencia.................................................................................................................................. 112 Resonancia RLC serie............................................................................................................ 112 Resonancia RLC paralelo....................................................................................................... 113 Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias ................................. 113 Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales............................................. 114
  • 9. Teoremas de redes................................................................................................................. 114 Parámetros de dos puertos .................................................................................................... 116 Respuesta transitoria.............................................................................................................. 118 Función de transferencia ........................................................................................................ 121 Sistemas acoplados................................................................................................................ 122 Sistemas trifásicos.................................................................................................................. 122 Potencia trifásica .................................................................................................................... 124 Electrónica Analógica ...................................................................................................125 Diodo de propósito general .................................................................................................... 125 Diodo zener ............................................................................................................................ 125 Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación)........................... 126 Transistor de unión bipolar (BJT) ........................................................................................... 128 Transistor de efecto de campo (FET)..................................................................................... 137 Transistor MOSFET................................................................................................................ 144 Amplificadores operacionales................................................................................................. 145 Filtros ...................................................................................................................................... 148 Convertidores ......................................................................................................................... 149 Amplificadores de corriente .................................................................................................... 151 Electrónica digital..........................................................................................................155 Algebra Boole ......................................................................................................................... 155 Mapa de Karnaugh ................................................................................................................. 157 Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3..................................... 159 Conversión de Decimal a Binario, Hexadecimal .................................................................... 159 Circuitos digitales básicos ...................................................................................................... 160 Flip – flops .............................................................................................................................. 161 Electrónica de potencia ................................................................................................164 Fórmulas básicas.................................................................................................................... 164 Dispositivos............................................................................................................................. 165 Teoría de control...........................................................................................................174 Terminología de la ingeniería de control ................................................................................ 174 Modelos de control ................................................................................................................. 174 Tipos de respuesta ................................................................................................................. 175 Regla de Mason...................................................................................................................... 177 Controladores ......................................................................................................................... 178 Comunicaciones ...........................................................................................................180 Osciladores............................................................................................................................. 180 Modulación y demodulación AM-FM ...................................................................................... 185 Decibel.................................................................................................................................... 185 Oscilador de relajación UJT ................................................................................................... 187 Oscilador de relajación PUT................................................................................................... 187 Instrumentación ............................................................................................................189 Valor promedio ....................................................................................................................... 189 El valor rms............................................................................................................................. 189 Errores en medición................................................................................................................ 189 Desviación estándar y varianza.............................................................................................. 190 Distribución gaussiana............................................................................................................ 190 Puentes de Wheatstone ......................................................................................................... 191 Puente de Kelvin..................................................................................................................... 191 Ruido térmico o ruido de Jhonson.......................................................................................... 192 Amplificador de instrumentación ............................................................................................ 192
  • 10. Termopar ................................................................................................................................ 193 Termistor................................................................................................................................. 193 Sensores................................................................................................................................. 194 Transformada Z ...................................................................................................................... 199 Datos prácticos.............................................................................................................200
  • 11.
  • 12. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 10 Administración de sistemas electrónicos Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos Inversión inicial donde: II: Inversión inicial CO: Costos de operación CP: Costos de producción CA: Costos de administración y ventas Tasa mínima aceptable de rendimiento TMAR = (µ * i)n donde: TMAR:Tasa mínima aceptable de rendimiento µ: Monto i: Tasa de interés n: Número de periodos a considerar Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta TMARmixta = [I1 + PR1 + %I1 + %PR1] + [I2 + PR2 + %I2 + %PR2] +…+ [In + PRn + %In + %PRn] donde: TMARmixta: Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta In: Inflación PRn: Premio al riesgo %In: Inflación ÷ 100 %PRn: Premio al riesgo ÷ 100 II CO CP CA= + +
  • 13. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 11 Valor presente neto (con TMAR) = = − + +  n 0 t t 1 S t V P N S (1 i) donde: VPN = Valor presente neto SO = Inversión Inicial St = flujo de efectivo neto del periodo t n = número de periodos de la vida del proyecto i = tasa de recuperación mínima atractiva Valor presente neto (con anualidad e interés) ( ) ( ) n n 1 i 1 V P N P A V S i 1 i  + −  = − + +  +  donde: VPN: Valor presente neto P: Inversión inicial A: Anualidad i: Tasa de interés VS: Valor de salvamento al final del periodo n n: Número de periodos Tasa interna de retorno n n n n 1 F N E V S T I R (1 i) (1 i) = + + +  donde: TIR: Tasa interna de retorno FNE: Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación VS: Valor de salvamento al final del periodo n i: Tasa de interés n: Número de periodos
  • 14. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 12 Periodo de recuperación de la inversión UN ROI I = donde: ROI: Periodo de recuperación de la inversión UN: Utilidad neta I: Inversión Punto de equilibrio en ventas CF PE CV 1 VT = − donde: PE: Punto de equilibrio CF: Costos fijos CV: Costos variables VT: Ventas totales Costo beneficio B B D C C − = donde: B: Beneficios asociados al proyecto C: Costo neto del proyecto D: Valor de las desventajas
  • 15. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 13 Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo ˆA : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos Interés simple I = n i P Interés compuesto n F i 1 I = − Valor futuro pago único ( )1 n F P i= + Valor presente pago único ( ) 1 1 n P F i = + Cantidad compuesta serie uniforme ( ) + −  =    n 1 i 1 F A i
  • 16. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 14 Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo ˆA : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos Interés simple I = n i P Interés compuesto n F i 1 I = − Valor futuro pago único F = P(F/P,i,n) ( )n F P 1 I= + Valor presente pago único P = F(P/F,i,n) P = F(1+I)–n Cantidad compuesta serie uniforme F = A(F/A,i,n) ( )n 1 i 1 A i F I  + −      =
  • 17. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 15 Fondo de amortización ( )n i A F 1 i 1    =  + −  Recuperación del capital de una serie uniforme ( ) ( ) n n i 1 i A P 1 i 1  +  =  + −  Valor presente de una serie uniforme ( ) n 1 1 I P A i − − +  =     Series de gradiente ( )n 1 A G i n 1 i 1      =  −    + −  Tasa efectiva de interés anual m e f r i 1 1 m   = + −    Capitalización continua m r m r i lim 1 1 e 1 m→∞   = + − = −   
  • 18. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 16 Definición de e m m 1 i lim 1 e m→∞   = + =    mF e P = mP e F − = ( ) ( ) m r e 1F A e 1 − = − ( ) ( ) r m e 1A F e 1 − = − ( ) ( ) r m e 1A P 1 e − = − ( ) ( ) m r 1 eP A e 1 − − = − m m A 1 n G 1 e e 1−     = −    − −    Pagos continuos ( )m e 1F ˆ rA − = ( )m ˆA r F e 1 = − ( )m m e 1P ˆA re − = m m ˆA re P e 1 = − Tasa mixta θ = (i – λ)/(1 – λ)
  • 19. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 17 Métodos de análisis de inversiones Valor presente n j 0 Vp Fluj o(P / F,i,j) = =  Valor futuro n j 0 Vp Fluj o(F / P,i,j) = =  Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ( ) n j 0 V p F l u j o(P / F,i, j) * A / P,i, j =   =        Serie uniforme equivalente SAUE = - CAUE Recuperación de capital CAUE = - SAUE = RC (P – Vs)(A/P,i,n) + iVs Retiro y reemplazo CAUE (j) = RC(j) + A(j) Tasa interna de retorno n j 1 V p Flu j o in ic ia l F lu j o(P / F,i,j) =   = − +        Periodo de recuperación A B S(f lu j o) P r in g re s o p o r p e rio d o = Razón costo-beneficio B D B C C = − Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.
  • 20. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 18 Diseño e integración de sistemas electrónicos Construcción e implementación de sistemas electrónicos Comunicaciones Radiofrecuencia Estabilidad ( )1 02 Re r t r t Y Y C g g Y Y = − Sí C < 1 el transistor es incondicionalmente estable Si C > 1 el transistor es potencialmente inestable Factor de estabilidad de Stern ( )( ) ( ) 1 02 Re s L r t r t g G g G K Y Y Y Y + + = + Ganancia máxima disponible en el transistor (MAG) 2 1 04 rY MAG g g = donde: Yr = La admitancia de transferencia inversa Yt = La admitancia de transferencia directa g1 = La conductancia de entrada g2 = La conductancia de salida Re = La parte real del número complejo Gs = La conductancia de la fuente GL = La conductancia de la carga Criterio de estabilidad incondicional en términos de los parámetros S 2 2 2 11 22 12 12 1 1 2 S S K S S − − + Δ = < donde: 11 22 12 12S S S SΔ = −
  • 21. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 19 Teorema de Miller ( )( ) 1ent Miller bo vC C A= + Capacitancia de entrada Miller, donde C = Cbo ( ) 1 v sal Miller bo v A C C A  + =     Capacitancia de salida Miller, donde C = Cbo donde: Cbo es la capacitancia entre la entrada y la salida amplificador. Respuesta en frecuencia de un amplificador Modelo de señal pequeña del BJT Modelo de señal pequeña del FET Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Modelo equivalente de señal pequeña del amplificador
  • 22. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 20 Los polos del circuito son: ( ) ( ) 1 1 2 1 p L o m L L o f R r C C g R C C r π π μ μ π π =     + + + +       ( ) ( )2 2 L m o L L o m p LL C g C g g g C g g f C CC C C C π μ π π ππ μ μπ + + + + = ≅ ++ + donde: 1 L L R g = 1 o o r gπ π = Respuesta en altas frecuencia de un amplificador fuente común (FET) Considere el caso anterior (Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)) y en las expresiones según la figura. Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Si : y es despreciable: La función de transferencia está dada por: iC Cπ>> Cμ
  • 23. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 21 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 o m L i L o i i o o L r r g R s R r R r H s s s C R r C r R π π π + + =    + +   + +   Los polos del circuito están dadas por: ( )1 1 2 p i i f C R rππ = + ( )2 1 2 p o o L f C r Rπ = + Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador fuente común (FET) Si es despreciable: La función de transferencia está dada por: ( ) ( ) 1 1 1 o m L i gs L o i gs i i gs o o L r g R s RC R r H s C C s s R C C C r R + =   + + +    +   y los polos del circuito son: 1 1 1 2 p i gs i gs f C C R C C π = + ( )2 1 2 p o o L f C r Rπ = + Parámetros de dispersión Cμ
  • 24. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 22 1 11 12 1 2 21 22 2 b S S a b S S a       =            2 1 11 1 0a b S a = = Coeficiente de reflexión del puerto 1 (Entrada) 2 2 21 1 0a b S a = = Coeficiente de transmisión del puerto 1 al 2 (Ganancia) 1 1 12 2 0a b S a = = Coeficiente de transmisión del puerto 2 al 1 (Ganancia en inversa) 1 2 22 2 0a b S a = = Coeficiente de reflexión del puerto 2 (Salida) Líneas de transmisión Impedancia característica 0 2 276log D Z d = donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior Impedancia característica para cable coaxial:
  • 25. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 23 0 1 ln 138 log 2 r r D D Z d d μμ π ε ε     = ≈        donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior rμ y rε es la permeabilidad relativa y la permitividad relativa del material aislante, respectivamente. Línea de transmisión de tipo microcinta Si t W<< ( ) 0 60 8 ln 4 120 / 1.393 0.667ln / 1.444 e e b W W b Z W b W d ε π ε    +    =    + + +   donde: 1 1 1 2 2 1 12 / r r e d W ε ε ε + − = + + En otro caso: / 1Si W b < / 1Si W b >
  • 26. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 24 0 87 5.98 ln 0.81.41 b Z W tε   =   ++   rε = constante dieléctrica W = ancho de la pista t = espesor de la pista h = distancia entre la pista al plano a tierra Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas ( )0 60 4 ln 0.67 0.8 / d Z W t bε π   =   +  Impedancia característica 0 R j L Z G j C ω ω + = + Constante de propagación ( )( )R j L G j Cγ ω ω= + + Velocidad de propagación 1 pv LC = Tiempo de retardo dt LC= Ondas estacionarias
  • 27. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 25 Coeficiente de reflexión r i V V Γ = 0 0 L L Z Z Z Z − Γ = + Si max 1V = + Γ y min 1V = − Γ , entonces, max min max min V V V V − Γ = + donde: Γ = Coeficiente de reflexión Vr = Voltaje reflejado Vi = Voltaje incidente Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( ) 1max min 1 V SWR V + Γ = = − Γ y 1 1 SWR SWR − Γ = + Si LZ ∈ℜy 0LZ Z> , entonces: 0 LZ SWR Z = Si LZ ∈ℜy 0LZ Z< , entonces: 0 L Z SWR Z = Impedancia de entrada ( inZ )
  • 28. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 26 ( ) ( ) 0 0 0 tan tan L in L Z jZ l Z Z Z jZ l β β + = + donde: β = es el número angular de onda l = es la longitud de la línea Para una línea de transmisión de / 2λ in LZ Z= Para una línea de transmisión de / 4λ 2 0 in L Z Z Z = Tabla de parámetros distribuidos
  • 29. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 27 Antenas Ganancia directiva ( ) [ ]antena de refecia dB antena de prueba P G dB P = Resistencia de radiación [ ]2 radiada r entrada P R I = Ω [ ] 2 790r l R λ   = Ω    Ancho de banda de la antena
  • 30. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 28 [ ]m L Hf f f Hz= ⋅ Longitud efectiva [ ] 292 el m f = Área efectiva r ef i W A P = Densidad de potencia radiada ( ) ( ), ReP E Hθ φ ∗ = × Impedancia característica del medio E H η= Potencia total radiada ( ),rW P dsθ φ= ⋅ Directividad max 2 4 r P D W rπ = Lóbulo
  • 31. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 29 Ancho del haz principal 32.25n dBBW BW−≈ Intensidad del campo 30 t tD P E d ⋅ =
  • 32. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 30 Conectores RJ45
  • 33. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 31 RJ11
  • 34. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 32 VGA Pines Un conector DE15 hembra. Pin 1 RED Canal rojo Pin 2 GREEN Canal verde Pin 3 BLUE Canal azul Pin 4 N/C Sin contacto Pin 5 GND Tierra (HSync) Pin 6 RED_RTN Vuelta rojo Pin 7 GREEN_RTN Vuelta verde Pin 8 BLUE_RTN Vuelta azul Pin 9 +5 V +5 V (Corriente continua) Pin 10 GND tierra (Sincr. Vert, corriente continua) Pin 11 N/C Sin contacto Pin 12 SDA I²C datos Pin 13 HSync Sincronización horizontal Pin 14 VSync Sincronización vertical Pin 15 SCL I2 Velocidad reloj
  • 35. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 33 USB Patillaje The standard USB A plug (left) and B plug (right) Pin 1 VCC (+5 V) Pin 2 Data- Pin 3 Data+ Pin 4 Ground DB9 Se debe tener en cuenta que existen adaptadores DB9-DB25 para convertir fácilmente un enchufe DB9 en uno DB25 y viceversa. Pines Número de clavija Nombre 1 CD: Detector de transmisión 2 RXD: Recibir datos 3 TXD: Transmitir datos 4 DTR: Terminal de datos lista 5 GND: Señal de tierra 6 DSR: Ajuste de datos listo 7 RTS: Permiso para transmitir 8 CTS: Listo para enviar 9 RI: Indicador de llamada Protección
  • 36. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 34 DB-25 Asignaciones de patas el conector D-25 para impresoras: Este conector trabaja para el puerto paralelo. Pata Señal E/S Definición 1 STB# E/S Estrobo 2 PD0 E/S Bit 0 de datos de impresora 3 PD1 E/S Bit 1 de datos de impresora 4 PD2 E/S Bit 2 de datos de impresora 5 PD3 E/S Bit 3 de datos de impresora 6 PD4 E/S Bit 4 de datos de impresora 7 PD5 E/S Bit 5 de datos de impresora 8 PD6 E/S Bit 6 de datos de impresora 9 PD7 E/S Bit 7 de datos de impresora 10 ACK# E Reconocimiento 11 BUSY E Ocupado 12 PE E Fin del papel 13 SLCT E Seleccionar 14 AFD# S Avance automático 15 ERR# E Error 16 INIT# S Iniciar impresora 17 SLIN# S Seleccionar 18–25 GND N/D Tierra de señal
  • 37. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 35 IEEE.488 Terminales Conector hembra IEEE-488 Pin 1 DIO1 Entrada de dato / bit de salida Pin 2 DIO2 Entrada de dato / bit de salida. Pin 3 DIO3 Entrada de dato / bit de salida Pin 4 DIO4 Entrada de dato / bit de salida Pin 5 EOI Final o identificación Pin 6 DAV Validación de datos Pin 7 NRFD No está listo para recibir dato Pin 8 NDAC No se acepta el dato Pin 9 IFC Interfaz limpia Pin 10 SRQ Servicio Pin 11 ATN Atención de datos Pin 12 SHIELD Pin 13 DIO5 Entrada de dato / bit de salida Pin 14 DIO6 Entrada de dato / bit de salida Pin 15 DIO7 Entrada de dato / bit de salida Pin 16 DIO8 Entrada de dato / bit de salida Pin 17 REN Remoto activado Pin 18 GND (emparejado con DAV) Pin 19 GND (emparejado con NRFD) Pin 20 GND (emparejado con NDAC) Pin 21 GND (emparejado con IFC) Pin 22 GND (emparejado con SRQ)
  • 38. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 36 RS-232 DB9 PIN 1: PIN 2: PIN 3: PIN 4: PIN 5: PIN 6: PIN 7: PIN 8: PIN 9: Detector de acarreo Recibe dato Transmite dato Terminal de dato lista Tierra Dato listo Requisita para mandar Limpia para enviar Indicador Convertidor RS-232 a DB-25
  • 39. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 37 RS – 422/485 DB – 9 PIN 1: PIN 2: PIN 3: PIN 4: PIN 5: PIN 6: PIN 7: PIN 8: PIN 9: Salida auxiliar + Dato de salida + Tierra Entrada de dato + Salida auxiliar + Salida auxiliar – Salida de dato – Entrada de dato – Entrada auxiliar –
  • 40. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 38 Formulario general Matemáticas Álgebra        <<< ><< <>< +<+< zxzyy;xSi yzxz0zy;xSi yzxz0zy;xSi zyzxyxSi ℜ∈∀ zy,x, ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2r r r r∠θ ∠θ = ∠ θ + θ Nota: θ θ= cos i sen∠θ + ( )nn k 360 r r ; n θ + ∠θ = ∠  k entero ( ) ( )i ln r e ln r 2 k iθ = + θ + π ; k entero f(x) ; g(x) 0,∀ ≠ existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f(x) = g(x) q(x) + r(x), con gr(r) < gr(g) o r(x) = 0 1 1 1 0( ) ...n n n nf x a x a x a x a− −= + + + + ; 0na ≠ ; 0 0a ≠ las raíces racionales de f son de la forma q p donde p es factor de a0 y q de an.
  • 41. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 39 Para matrices A y B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                       = = =+ = −−− singularnoA; (A)det 1 )(Adet Idet(A)=A)A(AdjAAdjA det(B)det(A)=(AB)det )(Adet=(A)det AB=AB Atra=aAtr Btr+AtrB)tr(A singularesnoByA;ABAB 1- T TTT 111 Si B = { }v1, ,v , v2 n es base de un espacio V; x V∈ y x v v vn n= + + +α α α1 1 2 2  ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es: ( ) ( )x B T = α α α1, , ,2 n Si ( )u w, ,v V C∈ espacio vectorial, entonces ( ) ( )f u v u v, |= es producto interno en V si: 1) ( ) ( )u v v| = |u 2) ( ) ( ) ( )u v w u u| v | w| + = + 3) ( ) ( )α αv | vu u| = 4) ( )u | u si u> ≠0 0 ( )v v= | v 1 2 norma de v ( ), v distancia de u a vd u v u= − ( ) vu v cos • = u θ coseno del ángulo entre u y v
  • 42. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 40 Si { }n21 g,,g, gB = es base ortogonal de un espacio V; v V∈ y ( ) ( ) ( ) ( ) v v gB n T = =α α α α1 2, , , ; entonces | g g | i = 1, 2, , ni i i i Si { }e1, ,e , e2 m es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V∈ ; entonces, la proyección de ( )v eisobre W es: v |ei i=1 m  Para la transformación lineal T:V→W ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) T V T v | v V recorrido de V N T v V / T v O nucleo de T dim V = dim T V + dim N T  = ∈   = ∈ =    Para T:V→W; A= { }v1, ,v , v2 n base de V y B base de W la matriz asociada a T, ( )M TB A tiene por columnas a: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T v v T v B B n B 1 , , ,T 2  para T:V→V, v V∈ es vector característico de T si: ( )T v v= ≠ ≠λ λcon 0 y v 0
  • 43. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 41 Fórmulas para potencia y raíces ( )⋅ ± ⋅ = ± ⋅n n n p a q a p q a m n m n a a a + ⋅ = m m n n a a a − = ( ) ( ) n mm n m n a a a ⋅ = = 1n n a a − = nn n a a b b     =       ( )n n n p a q a p q a⋅ ± ⋅ = ± ⋅ n n n a b a b⋅ = ⋅ 1 n n n n a a a b bb   = =     n x nm x m a a⋅ ⋅ = ( ) m m n m n n a a a ∗ = = a i a− = ⋅ ( ) ( ) 22 No es válida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2∗ − = + − = − Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares Transformación de expresiones algebraicas usuales ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± ( ) 2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2 a b a b a b− = + − ( )( )3 3 2 2 a b a b a ab b+ = + − + ( )( )3 3 2 2 a b a b a ab b− = − + + 2 2 1,2 4 0 2 − ± − + + = = b b ac ax bx c x a 2 2 1,20 2 4 p p x px q x q+ + = = − ± − ( ) 2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac b bc c− + = − + + − + ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 31 1 2 1 1 2 1 2 3 n n n n n nn n n n nn a b a a b a b a b b− − −− − − + = + + + + + ⋅ ⋅ ⋅  ( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n n a b a b a a b a b ab b− − − − − + = − − + + +
  • 44. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 42 Logaritmos ( )log log logx y x y⋅ = + log log log x x y y = − log logn x n x= 1 log logn x x n = log log=a n n a log 1=a a log1 0= Binomio de Newton ( ) 1 2 2 3 3 0 1 2 3 n n n n nn n n n a b a a b a b a b− − −        + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +                 Donde n tiene que ser un número entero ( )( )1 2 1 1 2 3 n n n n n k k k − − − +  =  ⋅ ⋅    Teorema del binomio (de Newton) ( ) ( ) 2 n n n 1 xnx 1 x 1 ... 1! 2! − + = + + + Teorema binomial ( ) nn k n k k 0 n x a x a k − =   + =      Permutaciones Número de permutaciones de n elementos ! 1 2 3nP n n= = × × × ×
  • 45. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 43 Combinaciones y ordenaciones Número de combinaciones sin repetición Número de combinaciones con repetición ( ) ! ! ! n k nn C kk n k   = =   −   ( ) ( ) 11 ! ! 1 ! + −+ −   = =   −   r n k n kn k C kk n r con repetición Número de ordenaciones sin repetición Número de ordenaciones con repetición ( ) ! ! ! n n k k k n n O C P k k n k   = ⋅ = ⋅ =  −  r n k kO n= donde: C: número de combinaciones posibles n: número de elementos dados k: número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: número de ordenaciones posibles Serie binómica o binomial ( ) ( ) ( ) 21 1 1 ... 2! − = ± = ± + +f x x x x α α α α α es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario ( )( )( ) ( )1 2 3 1 ! − − − − +  =     n n n α α α α α α Serie de Taylor (serie de McLaurin) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '' 2 1! 2! f a f a f x f a x a x a= + − + − + Forma de McLaurin, cuando 0a = ( ) ( ) ( ) ( )' '' 20 0 0 1! 2! f f f x f x x= + + + Expansión de Taylor 2 3 x x x x e 1 ..., x 1! 2! 3! = + + + + − ∞ < < ∞
  • 46. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 44 Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto: m = tanα = Δy' Δx' Relación media de cambio (cociente incremental) La intensidad media de variación de la función y = f (x) es la relación de los incrementos Δy Δx correspondientes al segmento de curva PP1 Δy Δx = f (x + Δx) − f (x) Δx Derivada (cociente diferencial) Cuando Δx tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P: y' = lim Δx→0 Δy Δx = dy dx = f '(x) Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la curva y' = f '(x) se obtendrá y'' = f ''(x) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) , etc. Radio de curvatura ρ en un punto dado x. ρ = (1+ ′y 2 )3 ′′y
  • 47. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 45 Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio ρ a = x − 1+ ′y 2 ′′y ′y b = y + 1+ ′y 2 ′′y Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y'' Si y''(a) > 0 habrá un mínimo en x = a Si y''(a) < 0 habrá un máximo en x = a Punto de inflexión Hágase y'' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en ''y Si y''(a) ≠ 0 habrá un punto de inflexión en x = a Forma de la curva y = f (x)
  • 48. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 46 Crecimiento y decrecimiento y'(x) > 0 y(x) crece si aumenta x y'(x) < 0 y(x) decrece si aumenta x y'(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x Curvatura y''(x) > 0 y(x) será cóncava hacia arriba y''(x) < 0 y(x) será cóncava hacia abajo y''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendrá en x un punto de inflexión sin cambio de signo y(x) tendrá en x un máximo o un mínimo Otros casos Si para x = a ( 1) '( ) ''( ) '''( ) ( ) 0− = == = = n y a y y y aa a , pero yn ≠ 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:
  • 49. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 47 Tablas de derivadas d dx c( ) = 0 ( ) d dx cx c= ( ) d dx cx ncxn n = −1 ( ) d dx u v w du dx dv dx dw dx ± ± ± = ± ±  ( ) d dx cu c du dx = ( ) d dx uv u dv dx v du dx = + ( ) d dx uvw u v dw dx u w dv dx v w du dx = + + ( ) ( )d dx u v v du dx u dv dx v       = − 2 ( ) d dx u nu du dx n n = −1 du dx dx du = 1 dF dx dF du du dx = (Regla de la cadena) Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas [ ]ln ln -1 ln ln v v u v u v v d d d u e e v u dx dx dx du dv vu u u dx dx = = = + log log 0, 1a a ed du u a a dx u dx = > ≠ lnu ud du a a a dx dx = 1 ln loge d d du u u dx dx u dx = = u ud du e e dx dx = Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas d dx u u du dx sen cos= d dx u u du dx cot csc= − 2 d dx u u du dx cos sen= − d dx u u u du dx sec sec tan= d dx u u du dx tan sec= 2 d dx u u u du dx csc csc cot= − 1 1 2 1 cos 0 cos 1 d du u u dx dxu π− −−  = < <  − 1 1 2 22 1 sen sen 1 d du u u dx dxu π π− −  = − < <  − 1 1 2 22 1 tan tan 1 d du u u dx u dx π π− −  = − < < + 1 1 2 1 cot 0 cot 1 d du u u dx u dx π− −−  = < < +
  • 50. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 48 1 2 2 1 2 1 2 1 1 sec , 1 1 0 sec sec d du du u dx dx dxu u u u si u si u π π π − − − ± = = − −  + < <   − < <  1 2 2 1 2 1 2 1 1 csc , 1 1 0 csc csc 0 d du du u dx dx dxu u u u si u si u π π − − − − = = − −  − < <   + − < <   Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas d dx u u du dx senh cosh= d dx u u du dx coth csc= − h2 d dx u u du dx cosh senh= d dx u u u du dx sec sec tanhh h= − d dx u u du dx tanh sec= h2 d dx u u u du dx csc csc cothh h= − -1 2 1 sen h 1 d du u dx dxu = + [ ]1 2 1 tanh , 1 1 1 d du u u dx u dx − = − < < − [ ] -1 2 1 csch , 1 si 0, si 0 d du u dx dxu u u u − = + − > + < -1 2 1 1 1 cosh , 1 si cosh 0, 1 si cosh 0, 1 d du u dx dxu u u u u − − ± = −  + > >   − < <  -1 2 1 1 1 sech , 1 si sech 0,0 1 si sech 0,0 1 d du u dx dxu u u u u u − − ± = −  − > < <   + < < <  [ ] 1 2 1 coth , 1 1 ó 1 d du u dx u dx u u − = − > < −
  • 51. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 49 Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función ( )F x a partir de una función dada ( )y f x= de manera que la derivada ( )F x′ sea igual a la original ( )f x . Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) dF x F x f x dx ′ = = La integral indefinida ( ) ( )f x dx F x C= + C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida. Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas ( )y F x= con pendiente o derivada ( )y F x′ = . Todas las curvas ( )y f x= son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y. La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto 0 0,x y se tendrá: 0 0( )C y F x= − La integral definida La integral definida tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) b b aa f x dx F x F b F a= = −
  • 52. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 50 En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C.
  • 53. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 51 Reglas de integración Formas fundamentales u dv uv v du= −  u u e du e C= + u du n u C nn n = + + ≠ −+  1 1 11 a du a a Cu u = + ln ln du u C u = + Formas trigonométricas sen cosu du u C= − + csc cot cscu u du u C= − +  += Cuduu sencos  += Cuduu seclntan  += Cuduu tansec2 cot ln senu du u C= + 2 csc cotu du u C= − + Cuuduu ++= tanseclnsec  += Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= − + Formas cuadráticas a u du u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + + + + + ln du a u u a C2 2 1 − = +−  sen ( )u a u du u a u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 8 + = + + − + + + ln  += + − C a u aua du 1 22 tan 1 a u u du a u a a a u u C 2 2 2 2 2 2 + = + − + + + ln du u u a a u a C2 2 11 − = +−  sec du u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 + = − + + du a u a u a u a C2 2 1 2− = + − + ln
  • 54. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 52 ( ) du a u u a a u C2 2 3 2 2 2 2 + = + + / du u a a u a u a C2 2 1 2− = − + + ln a u u du a u u u a u C 2 2 2 2 2 2 2+ = − + + + + + ln du u a u a a u a u C2 2 2 2 1 + = − + + + ln ( )u a u du u u a a u a u a C2 2 2 2 2 2 2 4 1 8 2 8 − = − − + +−  sen a u du u a u a u a C2 2 2 2 2 1 2 2 − = − + +−  sen u du a u u a u a u a u C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ = + − + + + ln du a u u a u C2 2 2 2 + = + + + ln u a du u u a a u u a C2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − − + − + ln u du a u u a u a u a C 2 2 2 2 2 2 1 2 2− = − − + +−  sen a u u du a u a a a u u C 2 2 2 2 2 2 − = − − + − + ln a u u du u a u u a C 2 2 2 2 2 11− = − − − +−  sen du u a u a a a u u C2 2 2 2 1 − = − + − + ln ( )u u a du u u a u a a u u a2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 8 2 8 − = − − − + − + ln C du u a u a u a u C2 2 2 2 2 21 − = − − + u a u du u a a a u C 2 2 2 2 1− = − − +−  cos ( ) ( )a u du u u a a u a u a C2 2 3 2 2 2 2 2 4 1 8 2 5 3 8 − = − − − + +−  sen u a u du u a u u u a C 2 2 2 2 2 2 2− = − − + + − + ln ( ) du a u u a a u C 2 2 3 2 2 2 2 − = − + du u a u u a C2 2 2 2 − = + − + ln  +−++−= − Cauu a au u au duu 22 2 22 22 2 ln 22 ( )2 1 ln udu a bu a a bu C a bu b = + − + + + ( ) ( ) ( ) du u a bu a bu a n u b n a n du u a bun n n + = − + − − − − +− − 1 2 3 2 11 1 du u u a u a a u C2 2 2 2 2 2 − = − + ( ) ( )[ ] u du a bu b a bu a a bu a a bu C 2 3 2 21 2 4 2 + = + − + + + + ln ( ) 3 2 2 22 2 2 du u C a u au a = − + −−  ( ) du u a bu a u a bu C + = + + 1 ln du u a bu a a bu a a bu a C a + = + − + + + > 1 0ln , si = − + − + <−2 01 a a bu a C atan , si ( ) du u a bu au b a a bu u C2 2 1 + = − + + + ln a bu u du a bu a du u a bu + = + + +  2
  • 55. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 53 ( ) ( ) udu a bu a b a bu b a bu C + = + + + + 2 2 1 ln a bu u du a bu u b du u a bu + = − + + +  2 2 ( ) ( ) du u a bu a a bu a a bu u C + = + − + + 2 2 1 1 ln ( ) udu a bu b bu a a bu + = − + 2 3 22 ( ) +      +− + −+= + Cbuaa bua a bua bbua duu ln2 1 2 32 2 ( ) ( ) u du a bu u a bu b n na b n u du a bu n n n + = + + − + +   − 2 2 1 2 2 1 1 ( )( )u a budu b bu a a bu C+ = − + + 2 15 3 22 3 2 Otras formas trigonométricas 3 1 1 2 2 csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= − + − + 2 1 1 2 4sen sen 2u du u u C= − + 1 21 1 sen sen cos senn n n n n u du u u u du n − −− = − +  2 1 1 2 4cos sen 2u du u u C= + + cos cos sen cosn n n n udu u u n n u du= + −− −  1 1 21  +−= Cuuduu tantan2   −− − − = duuu n duu nnn 21 tantan 1 1 tan  +−−= Cuuduu cotcot2 cot cot cotn n n u du n u u du= − − −− −  1 1 1 2 ( )3 21 3sen 2 sen cosu du u u C= − + + sec sec secn n n udu n tanu u n n udu= − + − − − −  1 1 2 1 2 2 ( )3 21 3cos 2 cos senu du u u C= + + csc cot csc cscn n n u du n u u n n udu= − + − − − −  1 1 2 1 2 2  ++= Cuuduu coslntantan 2 2 13 ( ) ( ) ( ) ( ) sen sen sen sen 2 2 a b u a b u au bu du C a b a b − + = − + − + 3 21 2cot cot ln senu du u u C= − − + ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos sen sen au budu a b u a b a b u a b C= − − + + + + 2 2 3 1 1 2 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + + 1 cos sen senn n n u u du u u n u u du− = −  ( ) ( ) ( ) ( ) sen cos cos cos au bu du a b u a b a b u a b C= − − − − + + + 2 2 sen sen cosu u du u u u C= − + sen cosn m u u du = − + + − + − + −  sen cos sen cos n m n mu u n m n n m u udu 1 1 21 = − + + − + + − −  sen cos sen cos n m n mu u n m m n m u udu 1 1 21 cos cos senu u du u u u C= + + 1 sen cos cosn n n u u du u u n u u du− = +  u u du u u u u Ccos cos− − = − − − + 1 2 1 2 2 1 4 1 4  +− + = −− C u u u duuu 2 tan 2 1 tan 1 2 1
  • 56. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 54 u udu n u u u du u nn n n sen sen ,− + − + = + − −       ≠ − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 sen sen 1udu u u u C− − = + − + u udu n u u u du u nn n n cos cos ,− + − + = + + −       ≠ − 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 cos cos 1udu u u u C− − = − − +   −≠      + − + = + −+− 1, 1 tan 1 1 tan 2 1 111 n u duu uu n duuu n nn ( ) ++−= −− Cuuuduu 2 2 111 1lntantan Formas exponenciales y logarítmicas ( )ue du a au e Cau au = − + 1 12 ln lnu du u u u C= − + u e du a u e n a u e dun au n au n au = − −  1 1 ( ) ( )[ ]u u du u n n u Cn n ln ln= + + − + +  1 2 1 1 1 ( )e bu du e a b a bu b bu Cau au sen sen cos= + − + 2 2 1 u u du u C ln ln ln= + ( )e bu du e a b a bu b bu Cau au cos cos sen= + + + 2 2 Formas hiperbólicas senh coshu du u C= +  += Cuduu 2 1 tanlnsech cosh senhu du u C= +  += Cuduu tanhsech2  += Cuduu coshlntanh  +−= Cuduu cothcsch 2 coth ln senhu du u C= +  +−= Cuduuu sechtanhsech  += − Cutanduu senhsech 1  +−= Cuduuu cschcothcsch Otras formas cuadráticas 2 2 2 2 2 2 2 1 au u du u a au u a a u a C− = − − + −     +−  cos du a u u a u a C 2 2 1 − = −     +−  cos u au u du u au a au u a a u a C2 2 3 6 2 2 2 2 2 3 1 − = − − − + −     +−  cos udu au u a u u a a u a C 2 22 2 1 − = − − + −     +−  cos 2 2 2 2 2 1 au u u du a u u a a u a C − = − + −     +−  cos du u a u u a u u a u C 2 2 2 2 − = − − + ( )  +      − +− + −= − − C a uaa uau au uau duu 1 2 2 2 2 cos 2 3 2 2 3 2 2 2 22 2 2 1 au u u du a u u u a u a C − = − − − −     +−  cos
  • 57. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 55 Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado ( )0 1 2 4 3i h A y y y= + + Para curvas de grado mayor que el tercero ( ) ( )0 2 4 2 1 3 1 2 ... 4 ... 3 n n n h A y y y y y y y y− −  = + + + + + + + + +   Integrales múltiples ( )( ) 2 1 ( ) , b f x x a y f x F x y dydx = =  ( )( ){ }2 1 ( ) , b f x x a y f x F x y dy dx = = =   Donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así: ( )( ) 2 1 ( ) , d g y y c x g y F x y dxdy = =  ( )( ){ }2 1 ( ) , d g y y c x g y F x y dx dy = = =   Dondex g y= 1( ), x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. ( ) ( ) t a s s t r t dt′= =   Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, . En parámetro arbitrario: En parámetro s: Vector tangente unitario ( ) ( ) ( ) r t t t r t ′ = ′    ( ) ( )t s r s=   Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×     n s r s r s ( ) ( ) ( ) = Vector binormal ( ) ( ) ( ) r r t b t r r t ′ ′′× = ′ ′′×     ( ) ( ) ( ) ( ) r s r s b s r s × =     Los vectores unitarios    t n b, , forman una triada positiva ( )          b t n n b t t n b= = =x x x, ,
  • 58. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 56 Recta tangente en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica ( ) ( ) ( )   r r t r tλ λ= + ′0 0 x x x y y y z z x − ′ = − ′ = − ′ 0 0 0 0 0 0 Plano oscilador( )   t n, en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica ( )( ) ( ) ( )( )    r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0 x x y y z z x y z x y z − − − ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Curvatura y torsión 3 2 2 ´´ 1 ( ´) y y κ =  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) κ τt r t r t r t t r t r t r t r t r t = ′ ′′ ′ = ′ ⋅ ′′ ′′′ ′ ′′         x x x 3 2 ( ) ( )s r sκ =  d T k N ds =   d N B kT ds τ= −    d B N ds τ= −   Plano normal Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica: ( )( ) ( )   r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0 Plano rectificante ( )   t b, en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica: ( )( ) ( )   r r t n t− ⋅ =0 0 0 x x y y z z x y z y z y z z x z x x y x y - - -0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0′ ′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ = Componentes tangencial y normal de la aceleración
  • 59. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 57 . T a a Ta ν ν → → → → → = = N x a a Na ν ν → → → → → = = Propiedades de la divergencia ( ) ( ) ) div( ) div( ) div( ) ) div( ) div( ) (grad ) ) div( ) rot - rot i F G F G ii F F F iii F G G F F G φ φ φ + = + = + •   + = • •               
  • 60. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 58 Geometría Áreas Círculo = Trapecio A= B b+     2 h Triángulo A= ab bhsenα 2 2 = Volúmenes Prismas V= SB h donde SB = área de la base Pirámides V= S hB 3 donde SB = área de la base Volumen = 4 3 3 πr Área de la superficie = 4 2 π r Volumen = πr h2 Área de la superficie lateral = 2πrh
  • 61. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 59 Volumen = 1 3 2 πr h Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2 Volumen ( )= + +1 3 2 2 π h a a b b Área de la superficie lateral ( ) ( ) ( ) = + + − = + π π a b h b a a b l 2 2 Geometría analítica plana Distancia entre dos puntos ( ) ( )x x y y2 1 2 2 1 2 − + − Pendiente de una recta 2 1 2 1 y y m x x − = − Ecuación de una recta 1 1m( ); 0y y x x Ax By C− = − + + = Ángulo entre rectas 1 2 1 2 m m tan 1 m m θ − = + Circunferencia 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ; 0x h y k r Ax Ay Dx Ey F− + − = + + + + = Parábola Eje vertical 2 2 ( ) 4 ( ); 0x h p y k Ax Dx Ey F− = − + + + = Eje horizontal 2 2 ( ) 4 ( ); 0 4 e 1 y k p x h By Dx Ey F LR p − = − + + + = = = Elipse Eje focal horizontal ( ) ( )x h a y k b − + − = 2 2 2 2 1 ; a> b Eje focal vertical ( ) ( )x h b y k a − + − = 2 2 2 2 1 ; a> b
  • 62. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 60 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 0; 0 b c a b c LR e a a Ax Cy Dx Ey F AC = + = = < + + + + = > Hipérbola Eje focal horizontal ( ) ( )x h a y k b − − − = 2 2 2 2 1 Eje focal vertical ( ) ( )y k a x h b − − − = 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 0; 0 b c c a b LR e a a Ax Cy Dx Ey F AC = + = = > + + + + = <
  • 63. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 61 Geometría analítica del espacio Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2: ( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , , Distancia entre dos puntos: ( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 Recta que pasa por dos puntos: Forma paramétrica: x x lt= +1 y y mt= +1 z z nt= +1 Forma simétrica: t x x l = − 1 t y y m = − 1 t z z n = − 1 Cosenos directores: cosα = − = x x d l d 2 1 cosβ = − = y y d m d 2 1 cosγ = − = z z d n d 2 1 donde α β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano: - Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a → = 1 2 3, , : ( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − = -Forma general: Ax By Cz D+ + + = 0 cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = o l m n2 2 2 1+ + =
  • 64. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 62 Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 0Ax By Cz D+ + + = d Ax By Cz D A B C = ± + + + + + 0 0 0 2 2 2 en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas: x r y r z z = = =      cos sen θ θ ( )       = = += − zz yxr x y1 22 tanθ Coordenadas esféricas:      = = = φρ θφρ θφρ cos cos z senseny senx ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 tan cos y x x y z z x y z ρ θ ϕ − −    = + +  =     =  + +  
  • 65. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 63 Definiciones geométricas importantes Ángulo entre dos rectas en el plano 1 2 1 2 tan 1 m m m m α − = + Producto escalar para a y b que pertenecen a R3 a b a b a b a b• = + +1 1 2 2 3 3 Producto vectorial a i j k a a a b b b x b = 1 2 3 1 2 3 Producto mixto [ ]a b c a a a b b b c c c = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Ángulo entre dos vectores cosθ = a • b a b ; senθ = a x b a b Ecuación vectorial de la recta p p= o + tu Ecuaciones paramétricas de la recta ( ) x x at y y bt z z ct u a b c o o o = + = + = +      = , , Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica x x a y y b z z c o o o− = − = − u a= ( , b, c) Distancia de un punto Q a una recta d P Qo = x u u Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2 1 2u x u PP u x u d • = Ecuación vectorial de un plano p p ru svo= + +
  • 66. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 64 Ecuaciones paramétricas de un plano x x ru sv y y ru sv z z ru sv o x x o y y o z z = + + = + + = + +      Ecuación cartesiana de un plano en forma general 0Ax By Cz D+ + + = N A= ( , B, C) Ecuación normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A ,B, C• = = Distancia de un punto Q a un plano d PoQ N N = • Ángulo entre una recta y un plano N sen u N u α • =
  • 67. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 65 Trigonometría Medida de ángulos planos Representación: La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por α y ˆα . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). 1° = 60'; 1' = 60" Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto, 1 1 1(número adimensional) 1 = = m rad m Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla. α 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° ˆα 0 / 6π / 4π / 3π 5 / 12π / 2π π 3 / 2π 2π 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28
  • 68. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 66 Equivalencias. Por definición: 180 360 2 rad, 1 rad = 57.2967 1 rad = 0.017453 rad 180 ˆ = 180 57.2967 longitud de arco ˆ = radio ° ° = = ° ° = = = arc π π π π α α α α α La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central ˆα (en radianes) de la circunferencia: b = r ˆα Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo: cateto opuesto sen hipotenusa cateto adyacente cos hipotenusa cateto opuesto tan cateto adyacente a c b c a b α α α = = = = = =
  • 69. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 67 Operaciones con funciones trigonométricas sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 1 2 1 2 2A A= − sec tan2 2 1A A− = cos cos2 1 2 1 2 2A A= + csc cot2 2 1A A− = sen sen cos2 2A A A= tan sen cos A A A = cos cos sen2 2 2 A A A= − cot cos sen A A A = ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ± sen cscA A=1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± =  cos secA A=1 ( )tan A B tanA tanB tanAtanB ± = ± 1 tan cotA A=1 sen cosA A 2 1 2 = ± − ( )sen sen− = −A A cos cosA A 2 1 2 = ± + ( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +1 2 ( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +1 2 ( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +1 2
  • 70. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 68 Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos a A b B c Csen sen sen = = Ley de los cosenos c a b a b C2 2 2 2= + − cos Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Ley de las tangentes ( ) ( ) a b a b tan A B tan A B + − = + − 1 2 1 2 Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Teorema de Pitágoras 2 2 2 a b c+ = Valores de las funciones de ángulos importantes θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ 0° 0 1 0 ∞ 1 ∞ 30° 2 1 2 3 3 3 3 3 32 2 45° 2 2 2 2 1 1 2 2 60° 2 3 2 1 3 3 3 2 3 32 90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1
  • 71. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 69 Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo: sinα = cosα = tanα = cotα = cos(90 )α° − ° − αs n(90 )e cot(90 )α° − tan(90 )α° − 2 1 cos α− − α2 1 s ne 1 cotα 1 tanα ⋅2s n cos 2 2 e α α −2 2 cos s n 2 2 e α α s n cos e α α α α cos s ne 2 tan 1 tan α α+ 2 cot 1 cot α α+ − 2 s n 1 s n e e α α 2 cos 1 cos α α− 2 cos cos2α α− − 2 1 2s n 2 e α 2 1 1 cos α − −2 1 1 s ne α 2 1 1 cot α+ 2 1 1 tan α+ 2 2 tan 2 1 tan 2 α α + 2 2 1 tan 2 1 tan 2 α α − + 2 2 tan 2 1 tan 2 α α − 2 cot 1 2 2 cot 2 α α − =s n2e α cos2α = tan2α = cot2α = ⋅2s n cose α α −2 2 cos s neα α 2 2tan 1 tan α α− 2 cot 1 2cot α α − 2 2 cos 1α − 2 cot tanα α− 1 1 cot tan 2 2 α α− − 2 1 2sen α =s n 2 e α cos 2 α = tan 2 α = cot 2 α = 1 cos 2 α− 1 cos 2 α+ + s n 1 cos e α α − s n 1 cos e α α −1 cos s ne α α +1 cos s ne α α 1 cos 1 cos α α − + 1 cos 1 cos α α + −
  • 72. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 70 Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1 arg( ) tan y z x −   θ = =     Luego: sin sin cos cos y y r r x x r r  θ =  = θ   θ =  = θ  Por lo tanto: ( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ Forma exponencial de un número complejo Sea (cos sin )z r i= θ + θ un número complejo donde r es su módulo y θ su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene: (cos sin ) i z r i r e θ = θ + θ = Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que r cosθ +isenθ( )[ ] p = rp cospθ +isenpθ( ) Sea n cualquier entero positivo y p n= 1 , entonces r cosθ +isenθ( )[ ] 1 n = r 1 n cosθ +2kπ n +isenθ +2kπ n[ ] donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo 1,,2,1,0 −= nk 
  • 73. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 71 Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores. Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección. Coordenadas del punto inicial del vector Coordenadas del punto final del vector Vectores unitarios sobre los ejes Componentes escalares Componentes vectoriales Magnitud de un vector: (o bien, ) ( siempre ) Cosenos directores de un vector: son los ángulos entre el vector y los ejes , , Cálculo de las componentes. Si se conocen , A 1 1 1 : , ,a x y z  B 2 2 2 : , ,a x y z  , , : , ,OX OY OZ i j k   , , 0x y z a a a > < 2 1 2 1 2 1 x y z a x x a y y a z z = − = − = − x y z x y z a a a a a a i a j a k = + + = − +       a  a 2 2 2 | | x y z a a a a= + +  | |a  0≥ cos ,cos , cosα β γ , ,α β γ a  , , .OX OY OZ ( ), , 0 180 .α β γ = ° ° cos | | x a a α =  cos | | y a a β =  cos | | z a a γ =  | |, , ,a α β γ  | | cos ;x a a α=  | | cos ;y a a β=  | | cosz a a γ= 
  • 74. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 72 Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes Adición y sustracción de vectores Suma vectorial de dos vectores libres y Diferencia vectorial de dos vectores libres y Valores importantes para 2 vectores 0°; 360° 90° 180° 270° 0 Suma vectorial de dos vectores libres y , , etc.: , , .OX OY OZ s  a  b  2 2 2 , , | | x y z x x x y y y z z z x y z s a b s i s j s k s a b s a b s a b s s s s = + = + + = + = + = + = + +      s  a  b  2 2 2 ( ) , , | | x x x y y y z z z x y z s a b s a b s a b s a b s s s s = + − = − = − = − = + +    | |s  ϕ | | | |a b≠  | | | |a b+  2 2 | | | |a b+  | | | |a b−  2 2 | | | |a b+  | | | |a b=  2 | |a  | | 2a  | | 2a  s  a  b  c−  2 2 2 , , | | x y z x x x x y y y y z z z z x y z s a b c s i s j s k s a b c s a b c s a b c s s s s = + − + = + + = + − + = + − + = + − + = + +          
  • 75. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 73 Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto escalar con el vector da el vector Si entonces por lo que Si entonces por lo que Productos de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores libres y da el escalar Símbolo del producto escalar: punto “ˑ” Valores importantes 0°; 360° 90° 180° 270° 0 0 Ejemplo: Trabajo de una fuerza en el desplazamiento Fuerza Desplazamiento k a  c  ; ; ; | |x x y y z z c k a c k a c k a c k a c k a = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅    0,k > ,c a↑↑   0,k < ,c a↑↓   a  b  k 1 cos | | | | cos cos | | | | x x y y z z x x y y z z k a b b a a b a b k a b a b a b a b a b a b a b ϕ ϕ ϕ − = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅       ϕ | | | | cosa b ϕ⋅  | || |a b+  | || |a b−  W F s W = × = F s⋅   cosW F s ϕ=
  • 76. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 74 El producto vectorial de dos vectores libres y da el vector Símbolo del producto vectorial: cruz “x” , , forman una triada derecha b Φ a c < (c = 0) > Φ 180°<Φ<360° 0°<Φ<180° a b c Valores importantes 0°; 360° 90° 180° 270° 0 0 A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0 donde θ es el ángulo formado por A y B A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3 donde: A i j k= + +A A A1 2 3    B i j k= + + ∧ ∧ ∧ B B B1 2 3 Son resultados fundamentales: Producto cruz: 1 2 3 1 2 3 i j k A B A A A B B B ∧ ∧ ∧ × = ( ) ( ) ( )kji ˆˆˆ 122131132332 BABABABABABA −+−+−= Magnitud del producto cruz sen θ× =A B A B El operador nabla se define así: a  b  c  ( ) | | sin | || | sin y c a b b a c ab a b c a c b ϕ ϕ = × = − × = = ⊥ ⊥          a  b  c  2 2 2 | | x y z z y y z x x z z x y y x x y z c a b a b c a b a b c a b a b c c c c = − = − = − = + +  ϕ | | | | sina b ϕ⋅  | || |a b+  | || |a b− 
  • 77. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 75 x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ i j k En las fórmulas siguientes se asume que ( , , )U U x y z= y ( , , )A A x y z= tienen derivadas parciales. Gradiente de U grad( ) U U U U U U x y z x y z    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = + + = + +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    i j k i j k Divergencia de A ( ) 31 2 1 2 3div( ) AA A A A A A A x y z x y z   ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ = ∇ • = + + • + + = + +  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  i j k i j k Rotacional de A ( )1 2 3 1 2 3 3 32 1 2 1 rotA A A A A x y z x y z A A A A AA A A A y z z x x y  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ × = + + × + + = =  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂  − + − + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     i j k i j k i j k i j k Laplaciano de U 2 2 2 2 2 2 2 ( ) U U U U U x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ • ∇ = + + ∂ ∂ ∂
  • 78. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 76 Función de fracciones racionales Descomposición 2 0 1 2 2 0 1 2 ...( ) ( ) , donde y on enteros y ( ) ... m m n n a a x a x a xP x y x n m s n m Q x b b x b x b x + + + + = = > + + + + Los coeficientes , pueden ser reales o complejos. Si son las raíces de , se obtiene la forma factorizada: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...( )k k kq q P x P x y x Q x x n x n x nα = = − − − En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad 1 2, , ..., qk k k de ( )Q x , que pueden ser reales o complejas; α es un factor constante. Descomposición de fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de ( )y x es conveniente descomponerla en fracciones parciales: 1 111 12 2 1 1 1 1 2 221 22 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) k k k k q q qkq kq q q q AA AP x y x Q x x n x n x n AA A x n x n x n A A A x n x n x n = = + + + − − − + + + + − − − + + + − − − Si los coeficientes de ( )Q x son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en 2 1'1,b n n= (compleja conjugada de 1n ) y debido a su aparición por parejas 1 2 3k k k= = , entonces las fracciones parciales de '2b , con las constantes 11 2 2,..., kA A pueden agruparse en las fracciones parciales: 1 111 11 12 12 2 2 2 2 ... ( ) ( ) k k k B x CB x C B x C x ax b x ax b x ax b ++ + + + + + + + + + + aγ bμ nδ ( )Q x
  • 79. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 77 Series de Fourier Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad xπ π− ≤ ≤ en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma: ( ) ( ) ( )0 1 cos s n 2 ∞ = = + +   n n n a f x a nx b e nx Los coeficientes de cada término se forman como sigue: ( ) ( ) 1 coska f x kx dx π ππ − =  ( ) ( ) 1 s n − =  π ππkb f x e kx dx Funciones pares: ( ) ( )f x f x= − ( ) ( ) 0 2 coska f x kx dx π π =  Para 0,1,2, ,k =  0kb =
  • 80. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 78 Funciones impares: ( ) ( )f x f x= − − 0ka = ( ) ( ) 0 2 s n=  π πkb f x e kx dx Para Tablas de desarrollo en series de Fourier y a= para 0 x π< < y a= − para π π< < 2x   = + + +   4 n(3 ) n(5 ) s n ... 3 5 a se x se x y e x π y a= para xα π α< < − y a= − para 2xπ α π α+ < < − = +  + +  4 1 cos s n cos(3 )s n(3 ) 3 1 cos(5 )s n(5 ) ... 5 a y e x e x e x α α π α y a= para 2xα π α< < − ( )2y f xπ= + − − − = − + −  − +  2 s n( ) s n2( ) cos cos2 2 1 3 s n3( ) cos3 ... 3 a e e y x x e x π α π α π α π π α y xo π 2π 3π a α /y ax b= para 0 x b≤ ≤ y a= para b x bπ≤ ≤ − ( ) /y a x bπ= − para b xπ π− ≤ ≤ 0,1,2, ,k = 
  • 81. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 79 = +  + +  2 2 2 4 1 1 s n s n s n(3 )s n(3 ) 1 3 1 s n(5 )s n(5 ) ... 5 a y e b e x e b e x b e b e x π 2 ax y π = para 0 2x π< < ( )2y f xπ= +  = − + + +    s n s n2 s n 3 ... 2 1 2 3 a a e x e x e x y π 2 /y ax π= para 0 / 2x π≤ ≤ ( )2 /y a xπ π= − para / 2 xπ π≤ ≤ ( )y f xπ= − +  = − + −   2 2 2 8 s n 3 s n 5 s n ... 3 5 e x e x y a e x π /y ax π= para 0 x π≤ ≤ ( )2 /y a xπ π= − para 2xπ π< < ( )2y f xπ= + 2 2 2 2 4 cos cos 3 cos 5 ... 2 1 3 5 a a x x x y π   = − + + +    = s ny a e x para 0 x π≤ ≤ = − s ny a e x para 2xπ π≤ ≤ ( )y f xπ= + 2 4 cos2 cos 4 cos 6 ... 1 3 3 5 5 7 a a x x x y π π   = − + + +  ⋅ ⋅ ⋅  0y = para 0 / 2x π≤ ≤ = −s n( /2)y a e x π para / 2 3 / 2xπ π≤ ≤ ( )2y f xπ= + 2 2 2 2 1 cos2 cos 4 cos6 cos . ... 2 4 2 1 4 17 6 1 a x x x y x π π   = − + − + −  − − −  2 y x= para xπ π≤ ≤ − ( ) ( )2y f x f xπ= − = + 2 2 2 2 cos cos2 cos 3 4 ... 3 1 2 3 x x x y π   = − − + −   
  • 82. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 80 ax y π = para 0 x π< < ( )2y f xπ= +  = − + + +     + − + −    2 2 2 2 2 cos cos2 cos 3 ... 4 1 2 3 s n s n2 s n 3 ... 1 2 3 a a x x x y a e x e x e x π π
  • 83. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 81 Transformada de Fourier Definiciones: ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) jwt 1 jwt F s t S w s t e dt; j 1 1 F S w s t S w e dw; j 1 2 ∞ − −∞ ∞ − −∞ = = = − = = = − π Reglas de operación Desplazamiento en tiempo ( ){ } ( ) jwt F s t S w e− − τ = Convolución ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 s t s t s s t d s * s t d F s t s t S w * S w F s t S w 1 w F s at S , a 0 a a F s t s t S w S w ∞ ∞ −∞ −∞ ⋅ = τ ⋅ − τ τ = τ − τ τ  ⋅ = =   = >    + = + Enseguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas importantes funciones del tiempo. Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo ∙ ( ) ( ) = 2 ( )/
  • 84. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 82 Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo con cambio de signo ( ) = − 2 2 2 ( ) = 4 (2 ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) (Función rectángulo) Función triángulo ( ) ( ) = 2 2 Rectángulo modulado ∙ ( ) ( ) = = ( ) = ( + ) + + ( − ) −
  • 85. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 83 Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Impulso de Gauss ( ) = √ ∙ Impulso coseno ( ) = ( ) = 4 1 − 2 Impulso cos2 ( ) = ( ) = 4 4 4 1 1 − 4 Impulso exponencial ( ) = +
  • 86. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 84 Transformada de Laplace Definiciones: Reglas de operación Linealidad Teorema de traslación Teorema de convolución Cambio de variable Diferenciación Integración 0 -1 { ( )} ( ) ( ) ; 1 { ( )} ( ) ( ) ; 1 2 st st L f t F s f t e dt L F s f t F s e ds j jπ ∞ − +∞ −∞ = = = = = −   1 2 1 2 1 1 { ( ) ( )} ( ) ( ) { ( )} ( ) L f t f t F s F s L c f t cF s + = + ⋅ = { ( )} ( )as L f t a e F s− ⋅ − = 1 2 1 2 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t f t f t f f t d f f t dτ τ τ τ τ τ∗ = ⋅ − = ⋅ −  1 2 1 2 { ( ) ( )} ( ) ( )L f t f t F s F s∗ = ∗ 1{ ( )} ( )t a a L f F a s= ⋅ 2 1 ( ) ( ) 1 0 { '( )} ( ) (0) { ''( )} ( ) (0) '(0) { ( )} ( ) (0) n n n k n k k L f t sF s f L f t s F s sf f L f t s F s f s − − − = = − = − − = −  1{ ( ) } ( )s L f t dt F s⋅ =
  • 87. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 85 Tabla de transformadas de Laplace: f(t) L f(t)}=F(s) 1. 1 1 s 2. =, 1, 2, 3,...n t n n sn ! +1 3. −1/2 t π s 4. ±at e 1 s a 5. senkt k s k2 2 + 6. coskt s s k2 2 + 7. senhkt k s k2 2 − 8. coshkt s s k2 2 − 9. ( )at e f t −( )F s a 10. μ − ≥( ), 0t a a e s as− 11. − − ≥( ) ( ), 0f t a U t a a − ( )as e F s 12. =( ), 1, 2, 3...n t f t n )()1( sF ds d n n n − 13. =( ), 1, 2, 3...n f t n − − − − −1 ( 1) ( ) (0) ... (0)n n n s F s s f f 14. ( ) ( ) τττ dtgf t −0 ( ) ( )F s G s 15. δ − ≥0 0 ( ), 0t t t 0st e− 16. =, 1, 2, 3...n at t e n n s a n ! ( )− +1
  • 88. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 86 17. senat e kt k s a k( )− +2 2 18. cosat e kt s a s a k − − +( )2 2 19. sent kt 2 2 2 2 ks s k( )+ 20. cost kt s k s k 2 2 2 2 2 − +( ) 21. −sen coskt kt kt 2 3 2 2 2 k s k( )+ 22. +sen coskt kt kt ( )222 2 2 ks ks + 23. −senh senkt kt 2 3 4 4 k s k− 24. −cosh coskt kt 2 2 4 4 k s s k− 25. −1 coskt ( ) k s s k 2 2 2 + 26. − senkt kt ( ) k s k 3 2 2 s2 + 27. )bab(a bsenatasenbt 22 − − ( )( ) 1 2 2 2 2 s a s b+ + 28. 22 coscos ba atbt − − ( )( ) s s a s b2 2 2 2 + + 29. 1 30. 31. ( )tδ 1 ( 1)! n t n − − 1 n s exp( ) 1at − ( ) a s s a−
  • 89. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 87 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 1 exp( / )T t T− 1 1 Ts+ 1 2 sin( )k kt 2 2 2 ( ) s s k+ 1 2 2 sin( ) cos( ) k t kt kt + + 2 2 2 2 ( ) s s k+ 2 cos( ) sin( )k kt t kt − − 3 2 2 2 ( ) s s k+ , bt at e e b a b a − ≠ − 1 ( )( )s a s b− − 1 sin( )at k e kt− ⋅ 2 2 1 ( )s a k+ + 1 tπ 1 s 2 t π 1 s s 3 2 1 2 tπ − ⋅ s 5 2 3 4 tπ ⋅ s s ( )1 at bt e e t − − − ln s b s a + + 1 sin( )a t t ⋅ 1 tan ( )a s− 2 4 2 a t a e t tπ − ; 0a s e a− >
  • 90. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 88 45. 46. Función de Bessel erfc 2 a t 1 ; 0a s e a s − ≥ ( )o J kt 2 2 1 s k+
  • 91. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 89 Probabilidad y estadística Parámetro Estimador Intervalo de confianza puntual (1-α) 100% Media μ (varianza σ2 conocida) Varianza σ2 (de una distribución normal) Desviación estándar de distribución de medias x n σ σ = Valor promedio (media) n ii 1 x x n = =  Media de medias m jj 1 x x n = =  Intervalo o rango de valores = −m ax min R V V Media de rangos m jj 1 R R m = =  X n Xi i n =  = 1 1 X z n X z n − ≤ ≤ +α α σ μ σ 2 2 S n X Xn i i n − = = − −1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )n S n Sn n− ≤ ≤ −− − − 1 11 2 2 2 1 2 1 2 χ σ χα α -1 2 , n-1 2 , n
  • 92. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 90 Hipótesis nula Estadístico de prueba H0 : μ = μ0, σ2 conocida Z0 = H0 : μ = μ0, σ2 desconocida t0 σ = σ2 2 0 0 H : Regresión lineal β β β β β = = = = = = + = −         − =      −      0 1 0 1 1 1 1 1 2 12 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ n n i in i i i i i n in i i i y x y x y x y x n x x n Coeficiente de correlación de la muestra = = = − =   − −       1 1/2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i y x x r x x y y Permutaciones = − ! ( )! n r n P n r Combinaciones ( )   =    −  ! ! ! n n r r n r Permutaciones con objetos similares = 1 2 , ,..., 1 2 ! ! !... !k n n n n k n P n n n X n − μ σ 0 = − − X S n n μ0 1 ( )χ σ 0 2 1 2 1 0 2 = − −n Sn
  • 93. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 91 Probabilidad condicional ∩ = ( ) ( ) ( ) P A B P A B P B Teorema de Bayes = = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k N i i i P B P A B P B A P B P A B