Este documento trata sobre fracciones. Define fracciones como la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad. Explica que las fracciones se pueden representar de forma gráfica, analítica y a través de diferentes tipos como fracciones simples, propias, impropias, mixtas y decimales. También describe operaciones básicas con fracciones como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, menciona estructuras más generales como fracciones continuas y expansión de Engel.

1. USUARIO DE WINDOWS 1
CARATULA
TEMA:
FRACCIONES
DOCENTE:
CURSO:
INTEGRANTES:
 Jhenerik Denilson cotrina Contreras
 Josue Manuel Primo Telada
 Saray valeria rojas reyes
 prints alisha velasquez daza
“Año De La Unidad, La Paz Y El Desarrollo”

2. USUARIO DE WINDOWS 2
INDICE
CARATULA ..................................................................................................................................... 1
INDICE............................................................................................................................................ 2
INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 3
FRACCIONES .................................................................................................................................. 4
1. Definición: ......................................................................................................................... 4
2. Representación y modelización de fracciones.................................................................. 5
2.1. Representación gráfica y analítica ............................................................................ 5
3. Tipos de fracciones............................................................................................................ 6
3.1. Fracción simple, común o vulgar............................................................................... 6
3.2. Fracción propia e impropia ....................................................................................... 7
3.3. Fracción mixta ........................................................................................................... 7
3.4. La razón ..................................................................................................................... 7
3.5. Fracción inversa......................................................................................................... 8
3.6. Fracción compuesta .................................................................................................. 8
3.7. Fracción decimal y como porcentaje ........................................................................ 9
4. Aritmética con fracciones................................................................................................ 10
4.1. Fracción equivalente ............................................................................................... 10
4.2. Comparación de fracciones..................................................................................... 11
4.3. Homogeneas............................................................................................................ 12
4.4. Heterogeneas.......................................................................................................... 12
4.5. Comparación con la unidad..................................................................................... 13
4.6. Suma y resta de fracciones...................................................................................... 14
4.7. Multiplicación y división de fracciones ................................................................... 15
5. Fracciones con radicales.................................................................................................. 16
6. Fracciones algebraicas..................................................................................................... 17
7. Estructuras más generales .............................................................................................. 17
7.1. Fracción continua.................................................................................................... 17
7.2. Expansión de Engel.................................................................................................. 18
CONCLUSIÓN............................................................................................................................... 20
BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................. 21
ANEXOS ....................................................................................................................................... 22

3. USUARIO DE WINDOWS 3
INTRODUCCIÓN
En el Antiguo Egipto se calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores
son enteros positivos; son las primeras fracciones utilizadas para representar las
«partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número
entero. Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un
cuarto, etc., de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como
fracción egipcia. Se puede demostrar además, que cualquier número racional
positivo se puede escribir como fracción egipcia. El jeroglífico de una boca
abierta denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo
de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.
Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60.
El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de
fracciones. Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya
utilización persistió hasta la época medieval. Diofanto de Alejandría (siglo IV)
escribía y utilizaba fracciones. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal»
de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de
restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas fracciones
vulgares o comunes. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en
donde el denominador se escribe como una potencia de diez.

4. USUARIO DE WINDOWS 4
FRACCIONES
1. Definición:
(Roto, quebrado o separado) es la expresión de una cantidad dividida entre otra
cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por
razones históricas también se les llama fracción común, fracción mixta o fracción
decimal. Las fracciones comunes se componen de: numerador, denominador y
línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común
a/b el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la
unidad, y el numerador "a" indica cuántas de ellas se toman.
El conjunto matemático que contiene a las fracciones de la forma a/b, donde a y
b son números enteros y b≠0 es el conjunto de los números racionales, denotado
como ℚ.
Toda fracción es una división y toda división es una fracción. Debido a eso una
división se puede convertir en una fracción para ser simplificada.
Las fracciones pueden ser representadas como (a÷b) o (a/b) en una operación
matemática.
De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un
cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

5. USUARIO DE WINDOWS 5
2. Representación y modelización de fracciones
2.1. Representación gráfica y analítica
Suele utilizarse la figura geométrica (que representa la unidad)
seccionada en una cantidad de partes iguales para mostrar el
denominador, y se colorean (u omiten) las que se toman para distinguir
la cantidad que indica el numerador.
Notación y convenciones:
En una fracción común, el denominador se lee como número partitivo
(ejemplos: ¼ se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
Una fracción negativa es la que tiene valor negativo;
Una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco
(multiplicativo) de b, de tal modo que 𝑎 𝑏 = 𝑎. 1 𝑏;
⁄
⁄ si tanto a como b
son números negativos (− 𝑎 −𝑏)
⁄ , el producto es positivo, por lo que
se escribe: a/b;
Toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de
«fracción».
La expresión genérica 𝑎 𝑏
⁄ representa una división algebraica, por lo que el
divisor debe ser distinto de cero (b≠0); el cociente de la división admite un

6. USUARIO DE WINDOWS 6
desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal
tradicional) que puede ser finito o infinito periódico (ver Número periódico).
Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario,
o de razón, su expansión decimal será infinita no-periódica, como por ejemplo el
número π, el número e, el número áureo y algunas raíces.
3. Tipos de fracciones
3.1. Fracción simple, común o vulgar
Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción
vulgar) es un número racional de la forma a/b, donde a y b son números
enteros y b≠0. Puesto que una fracción común representa un número
racional, las fracciones comunes heredan todas las propiedades
matemáticas de los racionales. Ejemplo 34; 3/4; 3/4; (¾); fracción tres
cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal
0.75, en porcentaje: 75%.

7. USUARIO DE WINDOWS 7
3.2. Fracción propia e impropia
Las fracciones comunes pueden clasificarse en propias e impropias. Una
fracción propia es aquella en la que el numerador y el denominador son
positivos y el numerador es menor que el denominador, por ejemplo
1
3
;
3
8
;
3
4
. Por el contrario, una fracción impropia será la fracción en donde
el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo
13
6
;
18
8
;
5
2
En
general, una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto
es estrictamente menor que uno es decir, si la fracción es mayor que −1
y menor que 1.
3.3. Fracción mixta
Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción
impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica
de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina,
etc.
Toda fracción impropia
𝑝
𝑞
puede escribirse como número mixto: A, en donde 𝐴
𝑎
𝑏
denota A+
𝑎
𝑏
(donde, 𝐴 ∈ ℤ, 𝐴 ≥ 0, es la parte entera). Como ejemplos:
𝟑𝟎
𝟐𝟎
=
𝟑
𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐
«Una cucharadita y media de...»
«En una hora y cuarto...»
A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele
sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.
3.4. La razón

8. USUARIO DE WINDOWS 8
La razón es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde
se ve cuántas veces contiene una a la otra. En el caso de números
racionales toda razón se puede expresar en forma de fracción y
eventualmente como un decimal. Generalmente se expresa como "a es
a b" o a:b, y corresponde a la fracción a/b.
3.5. Fracción inversa
Una fracción inversa es una fracción obtenida a partir de otra dada, en la que
se han invertido el numerador y el denominador, es decir, la fracción inversa de
una fracción a/b es b/a. Como ejemplos,
2
3
y su fracción inversa
3
2
,
1
2
y su fracción
inversa
2
1
.
Un caso especial de fracción inversa es la fracción unitaria, que es una fracción
común en la cual el numerador es igual a 1 y el denominador es un entero
positivo:
1
2
;
1
3
;
1
4
…, ya que los números enteros pueden escribirse como una
fracción con denominador igual a uno. Así, las fracciones unitarias son los
recíprocos multiplicativos de los números naturales (es decir de los enteros
positivos). Las fracciones egipcias son otro ejemplo de aplicación de las
fracciones unitarias.
3.6. Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella cuyo numerador o denominador (o
ambos) contienen a su vez fracciones o números mixtos. Por ejemplo,
1
2
1
3
𝑦
12
3
4
26
0son fracciones compuestas. Para reducir una fracción
compuesta a una simple, se le asigna el orden preferente de la división
a la línea divisoria mayor de la fracción. Por ejemplo:

9. USUARIO DE WINDOWS 9
Si, en una fracción compuesta, no hay una vía clara de indicar qué líneas
de la fracción toman preferencia, entonces la expresión está formada
impropiamente y es ambigua. Así, 5/10/20/40 es una expresión
matemática pobremente escrita, con múltiples valores posibles.
3.7. Fracción decimal y como porcentaje
Una fracción decimal es una fracción del tipo
𝑎
10𝑛
, es decir, una fracción cuyo
denominador es una potencia de 10. Por convención, se toma a positiva. Las
fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador
decimal, es decir, como número decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100,
83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un
número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal
simplemente multiplicando por una potencia apropiada de
10𝑛
10𝑛
(Por ejemplo: 1=10/10
1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.
Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción decimal,
concretamente como fracción con denominador 100. Se utiliza para denotarlo el
signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al
que se refiere, sin dejar espacio de separación. Como ejemplo,

10. USUARIO DE WINDOWS 10
𝟑
𝟒
=
𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝟕𝟓%
La expresión de un número por mil (1.000%), es una manera de
expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un
porcentaje; se escribe con el signo %. Una parte por billón (notado ppb)
es una unidad de medida para expresar concentraciones
extremadamente pequeñas.
4. Aritmética con fracciones
4.1. Fracción equivalente
Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma
cantidad, y se escriben distinto. Por ejemplo, las fracciones
1
2
;
3
4
;
3
6
𝑦
𝑥
2𝑥
son equivalentes, ya que representan la cantidad «un
medio». Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a
partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) el numerador y el
denominador por el mismo número, es decir, por uno.

11. USUARIO DE WINDOWS 11
Una forma de saber si dos fracciones a/b y c/d son equivalentes es
comprobar si son iguales: las fracciones son equivalentes si a . d = c . b
(la igualdad se obtiene al operar en a/b y c/d).
De esta manera, las fracciones equivalentes son reducibles, puesto que
el numerador y el denominador no son primos entre sí y pueden ser
simplificadas en una fracción irreducible, en la que el numerador y el
denominador son primos entre sí. El conjunto de todas las fracciones
equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele
representarse por la única fracción equivalente irreducible del conjunto.
Un caso específico es cuando el numerador es un múltiplo del
denominador, entonces, al reducirla se obtiene cualquier número
perteneciente al conjunto de los enteros, por lo que se denomina fracción
aparente o entera.
Más generalmente, dada una fracción reducible (el numerador y el
denominador comparten factores comunes diferentes a la unidad), está
siempre se puede reducir (es decir, simplificar) hasta obtener una
fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible se
generaliza al cuerpo de cocientes de cualquier dominio de factorización
única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción
en la cual el numerador y el denominador son coprimos.
4.2. Comparación de fracciones
La comparación de dos fracciones se utiliza para comprobar cuál es
mayor. Existen varios casos, dependiendo de los numeradores y los
denominadores de estas. Se dice que las fracciones son homogéneas si

12. USUARIO DE WINDOWS 12
tienen el mismo denominador y que las fracciones son heterogéneas si
tienen diferentes denominadores.
4.3. Homogeneas
Si las fracciones son homogéneas — el denominador de las dos fracciones es el
mismo —, la fracción con el mayor numerador es mayor que la otra.
𝟓
𝟕
>
𝟐
𝟕
𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝟓 > 𝟐
Si el numerador de las dos fracciones positivas es el mismo, la fracción
con el menor denominador es mayor que la otra. Esto es bastante
natural: si se tienen dos tartas iguales, una para repartir entre más
personas que la otra, la que se reparta entre menos personas estará
partida en porciones más grandes.
𝟐
𝟑
>
𝟐
𝟓
𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝟑 < 𝟓
4.4. Heterogeneas
Una manera de comparar fracciones con distintos numeradores y denominadores
es encontrar un denominador común. Para comparar
𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑑
, se convierten en
fracciones equivalentes.
𝑎𝑑
𝑏𝑑
𝑦
𝑏𝑐
𝑏𝑑
Entonces bd es un común denominador y los
numeradores ad y bc pueden ser comparados.
𝟐
𝟑
?
𝟏
𝟐
𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆
𝟒
𝟔
>
𝟑
𝟔

13. USUARIO DE WINDOWS 13
No es necesario determinar el valor del denominador común para ser comparadas.
Este atajo es conocido como «multiplicación cruzada». Se compara únicamente ad
y bc, sin calcular el denominador.
𝟓
𝟏𝟖
?
𝟒
𝟏𝟕
Multiplicando ambas partes de cada fracción por el denominador de la
otra, se obtiene un denominador común:
𝟓 𝒙 𝟏𝟕
𝟏𝟖 𝒙 𝟏𝟕
?
𝟒 𝒙 𝟏𝟖
𝟏𝟕 𝒙 𝟏𝟖
Los denominadores ahora son iguales, pero no es necesario calcular su
valor – únicamente los numeradores necesitan ser comparados. Puesto
que 5×17 (= 85) es mayor que 4×18 (= 72),
𝟓
𝟏𝟖
>
𝟒
𝟏𝟕.
Generalmente, cuando se tiene que calcular el denominador común de
fracciones, se utiliza el mínimo común múltiplo (mcm) de los
denominadores de las fracciones originales, que el mínimo denominador
común de estas.
4.5. Comparación con la unidad
Las fracciones pueden ser mayor, menor o igual si se comparan con la
unidad. Para compararlas se procede a comparar el numerador y el
denominador de la fracción.
 Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es
menor que la unidad.

14. USUARIO DE WINDOWS 14
 Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor
que la unidad
 Si el numerador es igual al denominador, la fracción es equivalente
a la unidad.
4.6. Suma y resta de fracciones
Para sumar o restar fracciones, se distinguen dos casos. Si tienen el
mismo denominador, entonces se suman o se restan los numeradores
y se deja el denominador común.
2
7
+
3
7
=
5
7
Es posible que el resultado se pueda simplificar:
7
127
−
1
12
=
6
12
=
1
2
Si tienen distinto denominador, hay que obtener fracciones
equivalentes a las fracciones dadas, para que tengan denominador
común y luego sumar o restar. Por ejemplo:
2
7
+
1
3
=
2 𝑥 3
7 𝑥 3
+
1 𝑥 7
3 𝑥 7
=
6
21
+
7
21
=
13
21
Este método se puede expresar de forma algebraica como
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑑
±
𝑏𝑐
𝑏𝑑
=
𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐
𝑏𝑑
En realidad, no hace falta obtener fracciones equivalentes de modo
que el denominador resultante sea el producto de los
denominadores de las fracciones iniciales. Basta con tomar

15. USUARIO DE WINDOWS 15
el mínimo común múltiplo de los denominadores. Al final de la
operación, puede que haga falta realizar otra simplificación. Esto se
representaría así:
2
7
±
1
3
=
6 + 7
21
=
13
21
Se toma el mínimo común múltiplo de los denominadores (21) y se
procede a dividir este por los mismos denominadores y luego
multiplicarlo por sus numeradores correspondientes. Así quedando
definido el numerador del resultado (21:7=3, 3*2=6 y 21:3=7, 7*1=7.
Entonces 7+6=13). Esta solo es una forma simplificada de la anterior.
4.7. Multiplicación y división de fracciones
Para multiplicar dos fracciones, basta multiplicar los numeradores por
una parte y los denominadores por otra. Como ejemplo,
𝟑
𝟒
𝒙
𝟓
𝟐
=
𝟑 𝒙 𝟓
𝟒 𝒙 𝟐
=
𝟏𝟓
𝟏𝟖
Durante la operación, si el numerador de una fracción y el
denominador de otra y viceversa tienen algún factor común, se puede
cancelar, puesto que es multiplicar y dividir por dicho factor en la
fracción resultante. Este atajo se conoce como «cancelación» y
permite reducir los términos a multiplicar. La expression algebraica de
manera general sería
𝒂
𝒃
𝒙
𝒄
𝒅
=
𝒂 . 𝒄
𝒃 . 𝒅

16. USUARIO DE WINDOWS 16
En la división de fracciones, el numerador de la fracción resultante es
el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador
de la fracción divisor, mientras que el denominador es igual al
denominador de la fracción dividendo multiplicado por el numerador
de la fracción divisor. Otra manera de imaginarlo es que dividir entre
un número es lo mismo que multiplicar por el inverso de ese número,
por lo que la división de dos fracciones es igual a la multiplicación de
la primera fracción por el inverso de la segunda:
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
/
𝒄
𝒅
=
𝒂 . 𝒅
𝒃 . 𝒄
5. Fracciones con radicales
Una fracción puede contener radicales en su numerador, denominador o
ambos. Si el denominador contiene radicales, puede ser de gran ayuda
racionalizar estos, especialmente si se van a realizar operaciones, tales
como la adición o la comparación de una fracción con otra. Es también
conveniente si la división tiene que realizarse explícitamente. Cuando el
denominador es una raíz cuadrada, esta puede racionalizarse mediante
la multiplicación del numerador y el denominador por la raíz del
denominador. Como ejemplo,

17. USUARIO DE WINDOWS 17
Esto también puede extenderse en el caso de que el numerador sea la
raíz de algún monomio, binomios u otras estructuras algebraicas de ese
tipo.
6. Fracciones algebraicas
En álgebra, una fracción algebraica es aquella cuyo numerador y
denominador son expresiones algebraicas. Por ejemplo
𝑥2
𝑥2−9
es una
fracción cuyo numerador es el polinomio 𝑥2
y denominador es el polinomio
𝑥2
− 9; el valor de la fracción dependerá del valor de la variable x.
Cuando el numerador y el denominador de una fracción algebraica son
polinomios, se le llama fracción racional. Estas se pueden descomponer
en fracciones parciales, que consiste en expresar un cociente de
polinomios como suma de fracciones de polinomios de menor grado,
siempre y cuando el grado del polinomio del denominador sea
estrictamente mayor que el del numerador.
Por el contrario, las fracciones que no son racionales son las que
contienen una variable bajo un exponente fraccionario o una raíz como
por ejemplo:
√𝐱 + 𝟐
𝐱𝟐 − 𝟑
7. Estructuras más generales
7.1. Fracción continua
Se llama fracción continua de orden n a una expresión de la forma:

18. USUARIO DE WINDOWS 18
En donde (𝒂𝟎; 𝒂𝟏; 𝒂𝟐; … … … … . . 𝒂𝒏) es una sucesión de enteros
positivos.
7.2. Expansión de Engel
Una expansión de Engel es una sucesión de números enteros positivos
tales que
Si la sucesión es finita, corresponde a un número racional que es la
representación de x en forma de fracción egipcia. Esta representación
se puede expresar como «variante ascendente» de una fracción
continua como

19. USUARIO DE WINDOWS 19
Estas estructuras fueron estudiadas por Fibonacci en Liber
Abaci (1202).

20. USUARIO DE WINDOWS 20
CONCLUSIÓN
 Los fraccionarios se pueden representar gráficamente utilizando figuras
geométricas regulares, que se dividen en partes iguales, según lo que
indique el denominador, y se colorean o señalan, las partes que indique
el numerador.
 Para multiplicar, dividir, sumar y restar fraccionarios, existen algoritmos
que difieren un poco de los utilizados para estas operaciones, con los
números naturales.
 Los objetos virtuales de aprendizaje son apropiados para llevar el
conocimiento de los fraccionarios a los estudiantes incluso a quienes se
les dificulte las matemáticas, ya que el lenguaje es sencillo, las
herramientas son amigables, se pueden utilizar cuantas veces sea
necesario y los ejercicios son prácticos y divertidos

21. USUARIO DE WINDOWS 21
BIBLIOGRAFÍA
 https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n#Bibliograf%C3%ADa
 Stewart, Ian (2008). Historia de las matemáticas. Crítica. ISBN 978-84-
8432-369-3.
 Weisstein, Eric W. «Fraction». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en
inglés). Wolfram Research.
 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Fraction&oldid=24256», Encyclopaedia
of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.

22. USUARIO DE WINDOWS 22
ANEXOS