1) El documento trata sobre las funciones y las relaciones entre conjuntos. 2) Una función expresa la idea de que una cantidad o magnitud depende de otra u otras. 3) Una función asigna a cada elemento de un conjunto de partida A a lo sumo un elemento de un conjunto de llegada B.

1. En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o
correspondencias de magnitudes .
Ejemplos :
• En un almacén , a cada producto le corresponde un precio.
• Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente
en º F.
• A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una
presión hidrostática.
• Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica.
• El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo.
• EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo.
• El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al
tiempo.
• El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo.
• El área de un circulo con el radio.
Funciones

2. INTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de
dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.
Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que
depende de otra u otras , o que está determinada por esta (s).
Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r”
Se lee:
“ L es función de r. ” o “ L depende de r.”
Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y
su altura (h).
Se lee:
“ V es función de r y h” o “V depende de r y h”
)
(
2 r
f
r
L 
 
h)
(r,
f
h
r2

 
V

3. Definición. Una función de A en B es una relación f С (A × B)
que hace corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo
más con un elemento y del conjunto B , denotado por :
También se dice que f es una función definida en A y con valores
en B , si a cada elemento x ε A le corresponde un único
elemento y ε B
Piense en una función como en una máquina, una máquina de
calcular . Ésta toma un número (la entrada) y le produce un
resultado ( la salida) . A cada número en la entrada le
corresponde un único número como salida, pero puede suceder
que varios valores diferentes de entrada den el mismo
valor de salida.
y= f (x) ε B
Función : f
• ●
A B
Entrada Salida

4. Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto
B de LLEGADA.
Notación: f : A B
x y=f (x)
Se lee “ f es una función de A en B. ” o
“ f es una función definida en A y con valores en B.”
La notación y=f (x) se lee:
“ y es el valor de la función f evaluada en x. ” o
“ y es la imagen de x mediante f. ”
Además : y=f (x) es equivalente a ( x , f ( x ) ) ε G r (f).
G r (f) : Gráfico de la función

5. Domino y Rango de una función
Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras
componentes o antecedentes de los pares ordenados de
f y se le denota por:
Rango. Denominado también recorrido de la función f,
al conjunto de las segundas componentes (imágenes o
consecuentes) de todos los elementos A
vía f ; y se le denota por:
  
    A
f(x)
y
/
B
ε
y
/
A
ε
x
D
f
Dom
o
A
f
ε
y)
,
x
(
/
B
ε
y
/
A
ε
x
D
f
Dom
f
f









 
  B
B
y
Rf 


 f(x)
y
/
A
x
/ 


6. ●
●
●
●
●
●
●
●
●
f
Es una función
●
●
●
●
●
●
●
No es una función
●
●
●
●
●
●
●
●
Es una función
f
A B A
A B
B
A

7. REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA
Es una expresión que permite calcular para cualquier
su correspondiente imagen en el conjunto de llegada
Por ejemplo : ( regla o ley de correspondencia )
al valor de x se le denomina variable independiente, y al valor
se le llama variable dependiente.
Más aún , una función está completamente determinada cuando
se especifica su Dominio y Regla o Ley de correspondencia.
Algunos ejemplos más de reglas o leyes de correspondencia.
f
D
x 
)
(x
f
y 
1
)
( 2


 x
x
f
y
)
(x
f
y 
2x
sin
y
1
-
2x
y
x
y
4)
log(x
y
2x
y
1
-
x
y
e
3
y
1
-
x
2
y
3
2
2
1
-
x




















1
8
3x

8. Ejemplo 1. Sea .
Si , entonces y
Ejemplo 2. a) Halle el valor de K para que la relación :
sea una función .
b) Escribe el rango o recorrido.
   
d
,
c
,
b
,
a
B
4
,
3
,
2
,
1
A 
 y
 
)
b
,
3
(
,
)
b
,
2
(
,
)
a
1,
(
f   
4
,
3
,
2
,
1
f 
Dom
 
b
,
a
Rf 
 
)
,
(
,
) 1
-
k
2
4
1
k
2
7,
(
,
)
k
5
,
2
(
,
)
k
,
4
(
R 2



9. Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados
diferentes con la misma primera componente ,para que R sea
una función los pares ordenados deben ser
iguales , de tal manera que :
a)
Remplazando , tenemos:
b)
Ejemplo3. Dado el conjunto de pares ordenados :
a) Halle los valores de a y b para que f sea una función.
b) Determine el dominio y el recorrido de f.
)
1
-
2k
,
4
(
)
k
,
4
( 
1
k
1
-
2k
k 


 
3)
,
7
(
,
5)
,
2
(
,
1)
,
4
(
f 
 
5
,
3
,
1
Rf 
 
2)
-
,
(-1
,
2b)
-
a
,
(5
,
)
a
-
2b
,
b
-
(a
,
)
b
a
,
(-1
,
7)
,
5
(
f 2
2



10. Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema
anterior: , entonces se forman
las siguientes ecuaciones :
Al resolver las ecuaciones se obtiene :
a)
Luego la función:
b)
)
2b
-
a
,
5
(
)
7
,
5
(
y
)
2
-
,
1
-
(
b)
a
,
(-1 


7
2b
-
a
2
-
b
a



-3
b
;
1
a 

 
)
7
-
,
4
(
,
2)
-
,
1
-
(
,
)
7
,
(5
f 
   
,-7
2
-
,
7
R
;
4
,
1
-
,
5
Dom f
f 


11. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
• Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son
conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de
valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL.
• Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares
ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una
representación gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY),
.
La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) ,
mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y
(eje de ordenadas).
2
R
 
f(x)
y
D
x
R/
x
R
)
y
,
x
(
f f 
 ,


R
R
:
f 

12. Aplicación de A B
a) Una aplicación es un caso particular de una función.
b) Una función f se llama aplicación de A en B si y sólo si Dom f =A.
c) Un subconjunto f C ( A x B) es una aplicación de A en B si y sólo si
Se lee para todo x perteneciente al conjunto A , existe un único
elemento y perteneciente al conjunto B ,tal que y=f (x)
Notación. f es una aplicación de A en B se denota por:
donde Dom f =A.

f
y)
,
(x
ó
(x)
f
y
/
B
y
,
A
x 

 


(x)
f
x
o
(x)
f
x
B
f
A
o
B
A
:
f





13. B
Ejemplo. El conjunto si es una función
de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único
elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una
aplicación de A en B, pues :
El Rango de la función es:
 
)
,
4
(
,
)
,
3
(
,
)
,
2
(
,
)
,
1
( a
b
b
a
f 
 
4
,
3
,
2
,
1
A
f 

Dom
A
1
2
3
4
a
b
c
d
e
f
 
b
a
R f ,


14. Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el
recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son
funciones
¿Por qué
algunas de las
ecuaciones son
Funciones?

15. Reconocimiento de una función geométricamente.

16. FUNCIÓN LINEAL
Ecuación de la Recta.
)
Horizontal
Recta
(
)
(constante
k
y
)
Vertical
Recta
(
)
(constante
k
x
a)
Segmentari
o
Canónica
Ecuación
(
b
y
a
x
)
Pendiente
Punto
(
0
x
-
(x
m
0
y
-
y
)
(implícita
o
Recta)
la
de
general
Ecuación
(
0
c
by
ax
)
(explícita
o
)
ón
intersecci
-
Pendiente
(
b
mx
y
















1
)
)
(

17. PENDIENTE DE UNA RECTA
2
1
2
1
1
2
1
2
x
x
y
y
x
x
y
y
tg
m






 
x
y
●
●
B
.
A
1
x 2
x
2
y
1
y


1
2 x
x 
1
2 y
y 

d
(b)
(a)
-
m
pendiente
0
c
by
ax
:
recta
En






18. Distancia entre dos puntos de una Recta (d).
Distancia de un Punto a una Recta.
2
2
)
(
) 1
2
1
2
y
y
x
(x
d 



2
2
1
1
b
a
c
y
b
x
a
d




)
1
1 y
,
(x
P
●
L
d
Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0

19. Ángulo entre dos Rectas ( ) .


1

2

1
L
2
L
1
2 

 

1
1 tg
m 

2

tg
m2 
2
1
1
2
2
1
1
2
m
m
1
m
m
tg
tg
1
tg
tg
tg











x

)
(
m
m
1
m
m
tg
1
2
1
2
1
-





20. Si las rectas son paralelas:
1
 2

x

1
L 2
L
2
1
1
2
2
1
o
1
m
m
m
m
1
m
m
0
tg
tg








0
2



Si las rectas son perpendiculares:
x

1
L 2
L
2
 1

o
90


o
90
1 

 

 2
1
0 








1
m
2
m
1
m
2
m
1
:
entonces
;
existe
no
1
m
2
m
1
1
m
2
m
90
tg
o

21. Proporcionalidad entre segmentos en una Recta.

A
B
P


)
,
( 1
1 y
x
)
,
( 2
2 y
x
)
,
( y
x
P ε al segmento AB y además AP=r PB.
C D
0
r
;
r
PB
AP


Además utilizando la semejanza
de triángulos rectángulos entre
ACP y PEB :
E
r
x
x
x
-
x
PB
AP
x
x
PB
x
-
x
AP
2
1
2
1








22. Despejando x :
1
r
x
x
r
x 1
2



De la misma manera con y :
1
r
y
y
r
y 1
2



Si r = 1 , encontramos que las coordenadas de P ,
corresponden a :
2
x
x
x 1
2 

2
y
y
y 1
2 

Por lo tanto: P es punto medio.
;

23. PROBLEMAS
1.Determine el valor de la pendiente de la recta que
contiene a los puntos dados.
i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 ) ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).
Resolución.
2
2
-
4
)
2
(
-
)
0
(
4)
-
(
-
)
-8
m
,-8)
0
2
y
2
(x
;
)
,-4
2
1
y
1
(x
ii)
2.5
2
5
2
-
4
3
-
8
m
)
8
,
4
2
y
2
(x
;
)
3
,
2
1
y
1
(x
1
x
2
x
1
y
2
y
m
Pendiente
i)














(
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
:

24. 2. Halle la ecuación para cada recta . Escribe después
su respuesta en la forma A x+B y+C=0.
i) Pasa por (2,3) con pendiente 4.
ii) Con ordenada al origen 5 y pendiente 0.
iii) Pasa por (2,-3) y (2,5).
Resolución.
(Canónica)
5
-
y
4
5
x
implícita)
(Forma
0
5
-
y
-
4x
explícita)
(Forma
5
-
4x
y
2)
-
(x
4
3
-
y
x
-
x
(
m
y
-
y
entonces
,
4
m
3
2,
y
(x
:
Pendiente
-
Punto
i)
0
0
0
0
1
)
)
(
)
,







 y

25. ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la forma de
la recta , entonces : , que es la
ecuación de una recta horizontal.
Se pide expresarla en la forma: .
También se puede usar la forma punto pendiente:
Considerando:
)
0
0 x
-
(x
m
y
-
y 
b
x
m
y 
 5
0x
y 

0
5
1y
0x 


5
y
implícita)
forma
(
0
5
1y
0x
explícita)
forma
(
5
x
0
y
0)
-
(x
0
5)
-
y
(
:
entonces
,
0
m
y
5)
,
0
y
x
( 0
0








 (
)
,

26. x

y

iii)
 







 )
5
,
2
(

 )
3
-
,
2
(
5
3
-
0 2


1
90º
1
-
2
-
1
2
3
4
2
x
:
es
,
L
recta
la
de
ecuación
La
existe
no
tg90º
Pendiente




L

27. .
Y = f (x) = a x2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.
Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde
( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice
de la parábola.
:
Corta al eje x en dos puntos
(dos raíces reales y diferentes)
La ecuación del eje de simetría
(recta vertical) , corresponde a :
x
y
 

Eje de Simetría
x=h
FUNCIÓN CUADRÁTICA
V : (h ,k)

V =Vértice
x1 x2
Las raíces son x1 y x2.
parábola
El valor mínimo de la función:
También :
Ymin= k
a > 0 = b2- 4 a c > 0
V
h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).

28. ii) = b2- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un
punto (dos raíces reales e iguales).


x
y
X =h
iii) =b2-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.

x
y
Existen dos raíces
complejas y conjugadas
No existen soluciones
reales
nte
discrimina



29. FUNCIÓN CONSTANTE
Sea la recta de ecuación : .Si se
considera , su gráfica es :
0
B
y
0
C
By
Ax 



K
B
C
-
y
:
entonces
,
0
A 


x
y
y=k
Dominio : Reales
Rango : { k }
L
0
(B)
(0)
-
m
Pendiente 


Recta Horizontal

30. k
90º
Si en la ecuación se considera :
su gráfica es:
0
A
y
0
C
By
Ax 



k
A
C
-
x
:
entonces
,
0
B 


x
y
x=k : Recta Vertical.
No es una función.
L
existe
No
90º
Tg
existe
No
(0)
(A)
-
m
Pendiente



 Dominio : { k }
Rango : Reales

31. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
+x















0
x
si
,
(x)
-
0
x
si
,
0
0
x
si
,
(x)
x
2
(x)
x
:
También 
 
,
0
:
Rango
Reales
:
Dominio


x
y 
Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
(0 ,0)

32. FUNCIÓN EXPONENCIAL
+x
+y
y = ax
 
,
0
:
Rango
Reales
:
Dominio
1
a
y
0
a




y = ax
1
a
0 
 1
a 
+x
+y


(0 ,1) (0 ,1)
Las Gráficas no
cortan al eje x
Decreciente Creciente

33. FUNCIÓN LOGARITMO
+x +x
+y +y

(1,0)
b > 1
(1,0)

0< b <1
1
b
y
o
b
;
0
x
x
log
y b













y
-
:
Rango
x
0
:
Dominio
Creciente
Decreciente

34. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
+x
+y

0
x
;
x
y 

(0,0)
 
 
,
0
:
Rango
,
0
:
Dominio




Creciente

35. FUNCIÓN RECÍPROCA
+x
+y
 
 
0
-
R
:
Rango
0
-
R
:
Dominio
x
1
y 
El nombre de la gráfica es
hipérbola equilátera.
No corta al eje x e y.
Simetría con respecto al origen : Función impar
(0,0)

Decreciente.
Decreciente.

36. 8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
FUNCIÓN : Y=(2/X) .
D0MINIO : R - {0}.
RANGO: R - {0}.
NO CORTA AL EJE X e Y.
SIMETRÍA RESPECTO
AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR.
SIEMPRE DECRECIENTE.
+X
+Y
HIPÉRBOLA
EQUILÁTERA
I
III
I y III : CUADRANTES
X=0 : Asíntota Vertical.
Y=0 : Asíntota Horizontal.

37. FUNCIÓN IDENTIDAD
Dominio: Reales.
Rango : Reales.
Simetría con respecto al
origen (Función Impar).
Bisectriz de los cuadrantes
l y lll .
Función Creciente.
y=x
Siempre pasa por el
punto ( 0,0)
l
lll
l y lll :Cuadrantes
Ejemplo
Dominio:[-8,8]
Rango :[-8,8]

38. FUNCIÓN CÚBICA
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
y=x3
Ejemplo
Dominio:[-3,3]
Rango : [-27,27]
I
III
I y III:
Cuadrantes

39. FUNCIONES RACIONALES
Es una función de la forma : donde P y Q
son funciones polinomiales y Q no es el polinomio
cero. El dominio de una función racional está
constituido por todos los números reales excepto
aquellos donde el denominador Q es cero.
Ejemplos :
Q(X)
P(X)
R(x) 
1
x
x
h)
6
5x
x
3x
g)
3)
(x
1)
(x
1)
(x
f)
4)
-
(x
x
3)
-
(x
2)
(x
1)
-
(x
e)
9)
(x
1)
(x
4
-
d)
1
x
x
3x
c)
4
x
x
b)
5
x
4
2x
a)
4
2
2
2
2
3
2
2
3
2
4
2
2















40. Ejemplo. Graficar .
Operaciones: Función racional propia
1
x
x
)
(x
f
y 2



Igualando el denominador a
cero:
x2 -1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen
(si se cambia x por – x : f (- x )
= - f ( x ) ).
Decreciente
Decreciente
Ejemplo
Decreciente
y=0
x=-1
x=1
Decreciente

41. Ejemplo. Graficar .
Al dividir obtenemos :
1
-
x
2x
y 
 
 
e.
Decrecient
Función
.
2
-
R
:
Rango
.
1
-
R
:
Dominio
vertical.
asíntota
:
1
x
y
horizontal
asíntota
:
2
y
donde
,
1
-
x
2
2
1
-
x
2x
f(x)
y






Decreciente
Decreciente
x=1
y=2

42. Ejemplo. Graficar: .
Operaciones: Es una función racional impropia.
1
x
x
f(x)
y
2



 
 
































0
,
1
-
1
-
,
2
-
de
e
Decrecient
,
0
2
-
,
-
de
Creciente
).
,0
(0
origen
el
por
Pasa
y.
eje
al
respecto
con
ni
origen
al
respecto
con
simetría
hay
No
.
,
0
4
-
,
-
:
Rango
1
-
-
Reales
ó
.
,
1
1
-
,
-
:
Dominio
1.
-
x
:
vertical
Asíntota
.
1
-
x
y
:
oblicua
Asíntota
1)
(x
1
1)
-
(x
1
x
2
x
f(x)
y




x=-1
Decreciente

43. Aplicaciones
1. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de un
proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba.
t (s) v (m/s)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 10
5 20
6 30
Gráfico : rapidez vs tiempo
t
10
-
30
v 
6
t
0 

(m/s)
V
)
s
(
t

44. 2. Se presenta la siguiente tabla para el movimiento de
un proyectil que se lanza verticalmente hacia arriba.
t (s) v (m/s)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 -10
5 -20
6 -30
Gráfico : Velocidad vs Tiempo
V
t
6
t
0 

t
10
-
30
V 

45. 3. Mitosis ( división celular en el cuerpo humano ).
t ( min ) P
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
Gráfico : Población vs Tiempo.
P
t
0
t
;
2
P t



46. 4. La vida media del berilio 11 es de 14 segundos. Digamos que Ud
comenzó con 16 g . Espere 14 segundos y le quedarán 8 g ; el resto
se habrá desintegrado en Boro 11. Espere otros 14 segundos y le
quedarán 4 g y así sucesivamente ( ver tabla )
t M
0 16
14 8
28 4
42 2
56 1
70 0.5
84 0.25
)
g
(
M
t ( s )
Gráfico : Masa vs Tiempo.
e
M 3.45
t
0.0495
- 

0
t
;
0
M 


47. 5. Determine una expresión que nos permita convertir de ºC a ºK y
viceversa ( relación entre º C Y º K ).
º C º K
0 273
100 373
Gráfico: ºk vs º C
ºC
ºk
273
C
º
k
º 



48. Cálculo de la pendiente :
x
-
x
y
-
y
m
1
2
1
2

C
º
1
K
º
1
C
º
0
-
C
º
100
K
º
273
-
K
º
373
m 

Si la temperatura cambia un grado en la escala Celsius , entonces
en la escala Kelvin cambiará también un grado.
Se conoce al menos un punto y la pendiente : ,
entonces:
)
x
-
x
(
m
y
-
y 0
0 
)
0
y
,
0
x
(
)
273
,
0
( 
)
0
-
C
º
(
1
273
-
K
º 
273
C
º
k
º 



49. Tabla de Demanda y Curva de Demanda.
6. La tabla muestra las cantidades demandadas de un bien para
cada precio diferente.
P
C
6
C
0.5
-
P 

Cantidad Precio
10 1
8 2
6 3
4 4
2 5
 La curva de demanda representa gráficamente la relación entre cantidad
demandada de un bien y su precio.
Gráfico : Precio vs Cantidad

50. LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Establece que la temperatura de un objeto caliente
disminuye en forma exponencial con el tiempo hacia la
temperatura del medio ambiente , mediante la siguiente
expresión :
e
)
T
-
u
(
T
u k t
0


)
...
8
2.71828182
e
(
neperianos
logaritmos
de
Base
:
e
.
u
a
temperatur
tenga
caliente
objeto
el
que
para
Tiempo
:
t
negativo.
real
Número
:
K
)
0
t
(
caliente
objeto
del
inicial
a
Temperatur
:
u
.
t
instante
el
en
caliente
objeto
del
a
Temperatur
:
u
0



51. 7. Un objeto caliente a 100°C se deja enfriar en un cuarto
cuya temperatura del aire es de 30°C. Si la temperatura
del objeto es de 80°C después de 5 minutos , ¿ en qué
momento llegará a 50° C .
Resolución . e
)
T
-
u
(
T
u k t
0


??
t
;
C
50
u
;
min
5
t
;
C
80
u
;
C
30
T
;
C
100
u0










Datos :
e
7
5
e
)
30
-
100
(
30
80
:
k
de
Cálculo
5
k
5
k




52. 7
5
ln
5
1
k
e
ln
5k
7
5
ln
e
ln
7
5
ln
:
miembros
ambos
en
e
base
en
logaritmos
Tomando
5k



0.0673
-
k 
e
7
2
e
)
30
-
100
(
30
50
.
C
50
T
para
t
de
Cálculo
t
0.0673
-
t
0.0673
-






53. e
ln
)
t
0.0673
-
7
2
ln
e
ln
7
2
ln
:
miembros
ambos
en
e
base
de
logaritmos
Tomando
t
0.0673
-
(


minutos
18.6
t 
Llegará a la temperatura de 50ºC después de 18.6 minutos
aproximadamente.
 Se puede utilizar un programa o la GDC para
comprobar lo desarrollado anteriormente.

54. Química : El pH de una solución química está dado aproximadamente
por la fórmula:
 
H
log
-
pH 

donde es la concentración de iones de hidrógeno en moles
por litro . Los valores de pH varían de 0 (ácido) a 14 alcalino.
 
H
8. a) Determine el pH del agua en un recipiente de1litro , con
0.0000001 moles de iones de hidrógeno.
b) Determine la concentración de iones de hidrógeno en una
solución semiácida con un pH 4.2.
Resolución.  
H
log
-
pH
a) 

10
log
7
PH
)
10
(
log
-
pH -7


7
pH 


55.  
   
H
10
H
log
-
4.2
H
log
-
pH
b)
4.2
- 






  litro
por
moles
0.0000631
H 
 
Magnitud de un terremoto en la Escala de Richter
Es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que
proporcionen una referencia sencilla para medir la magnitud M de un
terremoto. La escala que se utiliza es logarítmica. Todos los terremotos
se comparan con un terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica
mide 0.001mm a una distancia de 100 Km del epicentro. Un terremoto
cuya lectura sismográfica mide x mm tiene una magnitud M (x) dada
por :
)
x
x
(
log
)
x
(
M
0

x0 =10-3 mm , lectura de terremoto de nivel cero a 100 km de
distancia

56. 9. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica
es 0.01mm a una distancia de 100 km del epicentro?.
Resolución. X = 0.1 mm , x0 = 0.001 mm , M ( x= 0.1 ) = ??
)
10
(
log
)
0.1
(
M
)
10
10
(
log
)
0.001
0.1
(
log
)
0.1
(
M
)
x
x
(
log
)
x
(
M
2
3
-
1
-
0




2
)
0.1
(
M 

El terremoto mide 2.0 en la escala Richter y es 100 veces más
intenso que el de nivel cero.

57. 10. El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8.9
en la escala Richter .¿ Cómo se compara ese terremoto con el
de Papúa , Nueva Guinea 1988 , midió 6.7 en la misma escala.
Rp. El terremoto de San Francisco fue 182 veces más
intenso que el terremoto de Papúa , Nueva
Guinea.

58. 6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
y
x
Recta y=2x+5 : abscisa al origen -2.5 , ordenada al origen 5
y pendiente: m = 2
B
A
B=(0 , 5)
A=(-2.5 , 0)

59. x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
7
Y=2X+5
Gráfico de la recta : y = 2x +5