Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones reales. Explica que una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números reales que asigna a cada elemento de un dominio exactamente un elemento de un rango. Luego define dominio e imagen y explica cómo graficar funciones y determinar sus dominios e imágenes. Finalmente, presenta ejemplos de funciones polinómicas, racionales y logarítmicas.

1. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
TEMA 03: FUNCIONES REALESTEMA 03: FUNCIONES REALES
OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Encontrar dominios e imágenes de las
funciones
 Graficar las funciones más importantes
 Hallar el número real (valor numérico) o la
expresión algebraica (cambio de variable) que
resulta de reemplazar una o más variables por
valores numérico o algebraico.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
PAR ORDENADO: Es un ente geométrico que
consta de dos elementos “a” y “b” a los cuales se
les denomina primer y segundo componente
respectivamente. Se le denota por (a; b) y se
utiliza para indicar la posición de un punto P = (a;
b) respecto al origen “o” del plano cartesiano.
b
o a
P(a; b) Recuerda que:
(a; b)≠ (b; a)
Propiedades
1. De la igualdad:
nbma)n;m()b;a( =∧=⇒=
2. De la oposición:
xbya)y;x(conopuestoes)b;a( =∧=⇒
PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos no vacíos “A y “B” se
define el producto cartesiano de A por B, así:
{ }BbAa/)b;a(BxA ∈∧∈=
Propiedades
1. El producto cartesiano no es conmutativo
AxBBxA ≠
2. Con respecto al número de elementos de un
producto.
)B(nx)A(n)xBA(n =
RELACION BINARIA
Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B” se
denomina relación de “A” en “B” a todo
subconjunto del producto cartesiano de “A” por
“B” es decir:
BxAlaciónRe ⊂
Y según la definición:
{ }bRaBbAa/)b;a(R ∧∈∧∈=
Notación: Son equivalentes las notaciones:
a R b (a; b) R
Se lee: "a está en
relación con b
mediante R"
Se lee: "el par ordenado
(a; b) pertenece a la
relación R"
⇔
Propiedades
1. De las relaciones notables (NO
OLVIDAR)
es la relación vacía de A x B y de todo
producto cartesiano A x B es la relación
total de A x B
∅
2. Con respecto al número máximo de
relaciones binarias de A en B:
n° máximo de relaciones A → B = 2m.n
Donde: m = número de elementos de A
n = número de elementos de A
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
FUNCIONES
Empleamos funciones para analizar
numéricamente las relaciones de causa y efecto,
es decir la correspondencia entre un valor de
entrada y otro de salida. Observa el esquema
siguiente:
x
y = f(x)
Dominio de f
Rango de f
(Imagen)
Máquina f
Luego:
Una función es una regla o correspondencia entre
dos conjuntos de números reales, que asigna a
cada elemento del primer conjunto, llamado el
dominio de la función, exactamente un
elemento del segundo conjunto. Al conjunto de
valores asignados se le llama el rango de la
función.
1. DEFINICIÓN
Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”y
una relación, se define: “f es una función de
A en B sí y solamente si para cada x ∈ A
existe a lo más un elemento y ∈ B, tal que dos
pares ordenados distintos no pueden tener la
misma primera componente.
)z,x(f)y;x(:quetalfunciónunaesfSi ∧∈
F
x y = f(x)
A B
2. NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Una función puede denotarse de diferentes
formas, pero la más adecuada es la siguiente:
)x(Fy/BA:F =→
Donde la ecuación: y = F(x) se denomina
Regla de Correspondencia entre x e y;
además:
A : Conjunto de partida
B : Conjunto de llegada
x : Pre–imagen de y o variable
independiente
y : Imagen de x o variable dependiente
3. EVALUACION DE UNA FUNCION
Dada la función )x(Fy/BA:F =→
Evaluar la función F significa obtener el valor
de “y” mediante su regla de correspondencia,
luego de asignarle un cierto valor de “x”.
Por ejemplo, para x = a, el valor de la
función, llamado también Imagen, que le
corresponde será F(a), con lo cual se
concluye que el par (a; F(a)) ∈ F.
4. RECONOCIMIENTO GRÁFICO DE UNA
FUNCIÓN
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IV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTRE

2. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
En el plano cartesiano, una cierta gráfica es la
representación de una función si y sólo si
cualquier recta vertical (paralela al eje y)
intercepta a dicha gráfica a lo más en un
punto.
Observa los siguientes gráficos:
x
Es de una Función
y
No es de una Función
x
y
y
x
Es de una Función
5. APLICACIÓN
La función F se denomina Aplicación de A
en B si y solamente si todo elemento x ∈ A
sin excepción, tiene asignado un elemento y
∈ B y solamente uno, en tal caso se denota
así:
BAóBA:F
F
→→
El dominio de toda aplicación BA:F →
siempre coincide con el conjunto de partida
A, es decir:
Dom (F) = A y también: Ran (F) ⊂ B
6. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
Dominio : Valores de “x”
Rango : Valores de “y”
A continuación se mencionan algunos casos
que se presentan y que nos servirán para
determinar el dominio y rango de una función
A. Dados los pares ordenados de una
función:
Dominio de F o Dom (F): También
denominado pre – imagen, es el conjunto de
los primeros elementos de la
correspondencia que pertenecen al conjunto
de partida A. Así en la función:
{ })y;x(),y;x(),y;x(F 332211=
{ }321 x;x;xDf =
Rango de F 0 Ran (F): También
denominado imagen, recorrido o
contradominio, es el conjunto de los
segundos elementos de la correspondencia
que pertenecen al conjunto de llagada B.
{ })y;x(),y;x(),y;x(F 332211=
{ }321 y;y;yRf =
Se debe tener en cuenta que:
A)F(RanA)F(Dom ⊂∧⊂
B. Dada la gráfica de una función
Es necesario primero tener nociones básicas
sobre proyecciones de figuras geométricas
sobre un plano.
Proyección de un punto sobre una recta
L
Q
P
Q es la proyección de P sobre L
B P
A x
A es la proyección de P sobre el eje x
B es la proyección de P sobre el eje y
Proyección de una curva sobre una recta
C
A
L
B
AB es la proyección de la curva C
sobre la recta L.
A
C
L
B
AC es la proyección del segmento AB
sobre la recta L
En el plano cartesiano, nos interesa la proyección
de la gráfica de una función sobre uno de los ejes
coordenados. Observa las siguientes gráficas:
y
xa b
Dominio
d
y
x
c
R
a
n
g
o
Por lo tanto:
El Dominio de una función está determinado por
la proyección de su gráfica sobre el eje “x”; en el
ejemplo será el intervalo [ ]b;a
El Rango de una función está determinada por la
proyección de su gráfica sobre el eje “y”; en el
ejemplo será el intervalo [ ]d;c .
C. dada la regla de correspondencia de una
función
• Dominio: Para hallar el dominio en estos
casos, se despeja la variable “y” o f(x) y
luego se analiza en el segundo miembro los
valores que puede adaptar “x” tal que la
función existe en los reales.
• Rango: Para hallar el rango se despeja la
variable “x” y se hace el análisis a la
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3. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
variable “y” de tal forma que exista la
función en los reales.
FUNCIONES USUALES:
Tipo de
Función
Regla de
Correspondencia
Existe en
R sólo si:
Polinómica
1n
1n
n
n xaxa)x(f −
−+=
01 axa... ++ Rx ∈
Raíz de
índice
Par
n2
x)x(f = 0x ≥
Raíz de
índice
impar
1n2
x)x(f +
= Rx ∈
Racional
2
1
x
x
)x(f =
0x2 ≠
ó
{ }0x/xR 2 =−
Logaritmo
2x xLog)x(f
1
=
y;0x2 >
1x0x 11 ≠∧>
IMPORTANTE:
Una función “f” queda bien determinada (también
se dice: bien definida), si se conocen:
a) Su regla de correspondencia f(x) (o sea la
ecuación de la función
b) Su dominio: Df.
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01.¿Qué conjunto de pares ordenados:
R1 = {(3; 2), (4; 6), (5; -1)}
R2 = {(1; 2), (1; 3), (1; -2)}
R3 = {(1; 4), (3; 4), (7; 3)}
R4 = {(3; 6), (3; 7), (4; 7)}
Son funciones:
a) R1 ∧ R3 b) R1 ∧ R2 c) R2 ∧ R4
d) R3 ∧ R4 e) N.A.
02.¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn
– Euler representen a funciones:
A B
I.- f
A B
II.- f
A B
III.- f
A B
IV.- f
A B
V.- f
Son ciertas:
a) Todas b) I, IV y V c) I y IV
d) I, III y IV e) sólo I
03.Dada la función:
f = {(1; 2), (2; a+b), (3; 9), (2; 7), (3; a+2b)}
Hallar: ab
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
04.Sabiendo que:
f= {(5; 7a + 2b), (2; 5),(2; a+2),(5; 5b – 2a)}
Describe una función.
Calcular: f(2) + f(f(2))
a) 6 b) 7 c) 34
d) 44 e) 54
05.Indique cuáles de los siguientes gráficos
representan a funciones:
(x)
(y)I.-
(x)
(y)II.-
(x)
(y)III.-
(x)
(y)IV.-
(x)
(y)V.-
(x)
(y)VI.-
Son ciertas:
a) Todas b) II, IV y V c)II, IV,VI
d) I, III, V e) Todas menos I
06.Marcar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
* Toda función es una relación ( )
* Toda relación es una función ( )
* Toda recta es una función ( )
* Toda parábola es una función ( )
a) FVFF b) VFFF c) VFVV
d) VFVF e) VFFV
07.Dados los conjuntos:
M = {1, 2, 3} y N = {0, 1, 2} y las funciones:
f1 = {(1; 0), (2; 0)}
f2 = {(1; 0), (2; 2), (3; 0)}
f3 = {(1; 0), (2; 1), (3; 1)}
f4 = {(2; 2), (3; 0)}
Son aplicaciones de M en N:
a) Todas b) f2 y f3 c) f1 y f4
d) f1 y f2 e) f3 y f4
08.Señalar cuál de los siguientes diagramas de
Veen – Euler establece una Aplicación:
A B
1) f
m
a
b
c
A B
2) f
ma
b
c
n
p
A B
3) f
pa
b
c
q
r
d
A B
4) f
pa
b
c
q
r
d s
a) 2 b) 1 y 3 c) 2 y 4
d) 2 y 3 e) 3 y 4
09.De la figura mostrada, halle el valor de:
(x)
(y)
f(x)6
3
2
1
1 2 3 4 5
)3(f)2(f
)1(f)5(f
E
+
+
=
a) 1 b) 1/2 c) 2
d) 1/3 e) 3
10.Del diagrama que se muestra. Calcular el
valor de:
))3(f(g)3(f
))2(f(g)2(f
E
+
+
=
1) f
21
2
3
g
5
3
5
2
3
a) 5/8 b) 7/3 c) 8/5
d) 3/5 e) 8/7
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4. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
11.Sea la función:
f : R → R, definida por: f(x) = ax + b, donde
a y b son constantes.
Si f 





3
1
= 4 y f(2) = -1
Hallar a2
+ b2
a) 32 b) 34 c) 36
d) 41 e) 25
12.La siguiente tabla, muestra los valores
hallados para la función: f(x) = ax2
+ b
x 1 0
f(x) 8 5
Entonces al producto de las constantes a y b
es:
a) 12 b) 16 c) 20
d) 15 e) 24
13.Siendo:
f = {(1; 0) , (2; 3) , (3; 8) , (4; 15) , (5; 24)}
Una función definida en Z+
. Halle su regla de
correspondencia o ley de formación:
a) f(x) = 2x – 1 ; x ∈ [1; 5]
b) f(x) = x2
– 2 ; x ∈ [1; 5]
c) f(x) = 3x – 3 ; x ∈ <0; 6>
d) f8x) = - (1 – x2
) ; x ∈ [0; 6>
e) f(x) = x2
– 1 ; x ∈ [1; 5]
14.Las funciones F, G y H tienen las reglas de
correspondientes siguientes:
f(x) = - x2
; G(x) = -x ; h(x) = 1/x
las gráficas de F ∧ G se cortan en los puntos
“P” ∧ “Q” y las gráficas de F ∧ H, en el punto
“R”. Luego los puntos; P, Q y R son
respectivamente:
a) (0; 0) , (1; -1) y (-1; -1)
b) (1; 1) , (0; 0) y (-2; 1)
c) (-1; -1) , (1; 1) y (-1; 1)
d) (-1; 1) , (1; -1) y (0; 0) e) N.A.
15.Dado el conjunto:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se grafica una función
de A en A, así: F: A → A
1
2 3
64
5
Indicar la suma de elementos de su rango.
a) 21 b) 17 c) 16
d) 15 e) 12
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
01.Si:
F= {(8; 2), (2; a), (a2
-1; b), (2; 2a - 3), (3; 5)}
Indicar la suma de las del mínimo y máximo
valor de la función.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 4
02.¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen
a una función de M × M, si M= {2, 3, 4, 5, 6}
1
R = {(x , y) ∈ M2
/ x = 3}
2
R = {(x , y) ∈ M2
/ y = 3}
3
R = {(x , y) ∈ M2
/ x+y = 7}
4
R = {(x , y) ∈ M2
/ x2
+y2
= 25}
5
R = {(x , y) ∈ M2
/ x > y}
a) Todas b) 1
R , 2
R y 3
R
c) 2
R , 3
R , 4
R d) 2
R , 4
R
y 5
R
e) 3
R , 4
R y 5
R
03.Cierta función F viene representada por la
siguiente gráfica. ¿Qué valores de la variable
independiente x hacen que la función se
anule?
x-2
y
F
-1 2 31
4
a) {-2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3} b) {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2}
c) {-2 ; 2} d) {4}
e) {-2 ; 2 ; 3}
04.Con respecto al problema anterior. ¿Para qué
valores de x la función es negativa?
a) <-1 ; 0> b) <-2 ; 3>
c) <-2 ; -1> ∪ <2 ; 3> d) <1 ; 3>
e) <-2 ; -1> ∪ <1 ; 3>
05.¿Cual de las siguientes gráficas no presenta
una función?
ya)
3
yb)
yc) yd)
e) Ninguna
06.Sabiendo que f es una función tal que:
f (x+2) = f(x) + f (2), ∀ x ∈ IR.
Decir cuales de las siguientes proposiciones
son verdaderas:
I. f(0) = 0
II. f(8) = 4 f (2)
III. f(-2) = - f (2)
a) Sólo I b) sólo II c) Sólo III
d) todas e) I y II
07.Sea f: IR → R, f(x)= mx2
+ nx + p
y se cumple:
f(1) = -1 ; f(-1) =11 y
f(-1) + f 





2
1
= 10. Calcule f(2)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Sea f una función real, tal que f(x–1)=x2
–
3x+2, ∀ x ∈ IR. Hallar el conjunto solución
de la inecuación.
f (x – 2) + f (x + 2) > 0
a) <-∞ , 0> b) <-∞ , 4> c) <-∞ , -4>
d) <4 , +∞> e) <-4 , +∞>
09.Dadas las funciones:
1x
x
)x(F
2
−
= ∧
2/1
x10)x(G +=
Hallar Dom (F) ∩ Dom (G)
a) <-∞ ; +∞> – {± 1}
b) <-10; +∞> ∪ {± 1}
c) IR
d) [-1- ; +∞> – {1}
e) [-10 ; +∞> – {2}
10.Hallar el rango de la función:
7x4x)x(F 2
+−= ; x ∈ [2 ; 3]
a) y ∈ [3 ; 4] b) y ∈ <-3 ; 4]
c) y ∈ <-1 ; +∞> d) y ∈ <-∞ ; 2]
e) N.A.
11.Dada la función:
S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

5. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
3|4x|
4|3x|
1
)x(F −−+
−−
=
Indicar su dominio:
a) IR – [1 ; 7] b) IR – <1 ; 7>
c) IR – [-1 ; 7] d) <-1 ; 7>
e) [-1 ; 7]
12.¿Cuál es el rango de la función?
1xx
1xx
)x(F 2
2
++
+−
=
a) 





3;
3
1
b) 





− 3;
3
1
c)
[ ]6;1
d) 





4;
3
1
e) [ ]1;1−
13.Hallar el rango de la siguiente función:
x11)x(F −−=
a) <0; 1> b) <0; 1] c) [0; 1]
d) [0; 1> e) <½; 1]
14.Hallar el dominio de la siguiente función:
412
2
23
5x3
3x4x
2xx2x
)x(F −+
+−
−+−
=
a) x ∈ 





2;
3
5
∪ <3 ; +∞>
b) x ∈
3
5
;∞− ∪ <2 ; 3>
c) x ∈ <3 ; 4>
d) x ∈ IR
e) x ∈ <-1 ; 3>
15.Si : f:[-1 ; 3] → R, definida por :
2x
3x2
)x(f
+
−
=
a) 



−
5
3
;5 b) 



5
3
;5
c) <- ∞ ; -5] d) 

∞+;
5
3
e) N.A.
16.Hallar el rango de la función:
4x4x1x2x)x(F 22
+−+++=
a) [3 ; +∞> b) [0 ; +∞> c)[1 ; +∞>
d) [2 ; +∞> e) [4 ; +∞>
17.Hallar el rango de la función:
2
2
)2x(
x
)x(f
−
=
a) <-2 ; 2> b) <0 ; +∞> c)[0 ; +∞>
d) 

∞+;
5
3
e) N.A.
18.Hallar el rango de la función:
xx2)x(F −−=
Si: Dom F = [1; 9]
a) [-1; 15] b) [– 15 ; -1]
c) [-9; 1] d) [– 15 ; 15 ]
e) [-9; -1]
19.Hallar el rango de la función:
|x|x
|x|x
)x(F
−
+
=
a) <- ∞ ; 0] b) {0} c) {2}
d) {1} e) {4}
20.Dada la función “g” de modo que:
1t
1t
t
1
g
+
−
=





Calcula:
( )c
)t()t( gRamgDom ∩=λ
a) <0 ; 1] b) <-1 ; 0] c) -1
d) 0 e) 1
CLAVES
01 c 02 c 03 a
04 c 05 c 06 d
07 e 08 b 09 a
10 a 11 c 12 a
13 c 14 a 15 a
16 a 17 c 18 b
19 b 20 c
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Sea f la función cuya gráfica presentamos.
(x)
(y)
ca
b
d
(e; h)
f
Podemos afirmar que:
I.- Dom (f) = [0; e > - {a}
II.- Ran (f) = <h; d] – {b}
III.- ∃x1 ; x2 elementos del
dominio de dicha función tales que se cumpla:
f(x1) = f(x2)
Son verdaderas:
a) I y III b) I y II c) II y III
d) todas e) N.a
02. Encontrar el dominio de la función F, definida por:
F(x) =
xx
1
3
−
a) R – {0} b) R – {0; 1} c) R–{-1; 0; 1}
d) R e) R – {-1; 0; 1; 2}
03. Dada la función: f(x) =
2x
4
2
+
Proporcionar: Dom f(x) ∩ Ran f(x)
a) <0; 2] b) <0; 2> c) <0; 1/2>
d) <0; ½] e) <-2; 2]
04. Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que:
f(x) = -x2
+ 4x + 1 ∧ g(x) = 3x2
+ 6x + 1
Indicar la intersección de sus rangos
a) [2; -5] b) [2; 4] c) [3; 5]
d) [1; 4] e) [0; 5]
05. Halle el dominio de la siguiente función:
f(x) =
34
2
6x2
1
x41x +
−
+−+−
a) Df = [1; 3 > U <3; 4]
b) Df = [1; 4]
c) Df = <1; 3> U <3; 4>
d) Df = <10; 4>
e) Df = [-1; 3] U <4; 5]
06. Sea F(x) = 1x2
− , una función cuyo dominio
es: Dom (F) = [-4 ; -2] ∪ [-1 ; 1] ; determinar su
rango.
a) [-1 ; 0] ∪ [3 ; 15] d) [-1 ; 3] ∪ [5 ; 15]
b) [0 ; 1] ∪ [3 ; 15] e) N.A.
c) IR
07. Considere la función F con máximo dominio
posible:
x2x2)x(F −++=
Luego el rango de F es:
a) [1; 2] b) <-2; 2> c)<-2; 2 2 >
d) [2; 22 ] e) <2; 2 2 >
08. Si el rango de:
1x
x
)x(F
2
2
+
= , es: [a; b>
Luego el valor de “a+b” es:
S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

6. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
a) 0 b) 1 c) 2
d)
2
1
e)
4
3
09. Hallar el dominio de la función:
2
|x|42|x|)x(F −+−=
a) x ∈ [-4 ; -2] ∪ [2 ; 4]
b) x ∈ [-3 ; -2] ∪ [1 ; 2]
c) x ∈ [-3 ; -1] ∪ [1 ; 2]
d) x ∈ [-2 ; 0] ∪ [1 ; 2]
e) N.a.
10. Hallar el rango de la función cuya regla de
correspondencia es:
2x
3x
)x(F
2
2
+
+
=
a) <0 ; 2] b) <1 ; 3> c) <0 ; 2>
d) <1 ; 3] e)


2
3
;1
S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

7. 01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
a) 0 b) 1 c) 2
d)
2
1
e)
4
3
09. Hallar el dominio de la función:
2
|x|42|x|)x(F −+−=
a) x ∈ [-4 ; -2] ∪ [2 ; 4]
b) x ∈ [-3 ; -2] ∪ [1 ; 2]
c) x ∈ [-3 ; -1] ∪ [1 ; 2]
d) x ∈ [-2 ; 0] ∪ [1 ; 2]
e) N.a.
10. Hallar el rango de la función cuya regla de
correspondencia es:
2x
3x
)x(F
2
2
+
+
=
a) <0 ; 2] b) <1 ; 3> c) <0 ; 2>
d) <1 ; 3] e)


2
3
;1
S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."