Este documento presenta definiciones y propiedades de funciones. Introduce conceptos como dominio, rango, función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Explica funciones notables como lineal, cuadrática, cúbica y valor absoluto. Finalmente, propone ejercicios sobre estas nociones.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
CICLO 2014 – III
“Corpo nato della prospettiva di
Leonardo Vinci discepolo della
sperientia”
ALGEBRA
“Funciones”
I)
DEFINICION: Sean A y B dos subconjuntos de R = <-, +>
y “F una relación binaria de A en B”, es decir: F  A x B
Notación F es una función  para cada x  A existe un
único y  B, tal que y = f(x)
Donde las siguientes notaciones son equivalentes:

y = f(x)
(x,y)  f
Se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x por f”
F(-2) = 3  (-2, 3)  F.
II)
Semana Nº 14
FUNCION DE APLICACIÓN
DEFINICION. Una función “f” se llama APLICACIÓN de A en B
Si y solo si Dom F = A
IV) CLASES DE FUNCIONES
FUNCION INYECTIVA (UNIVALENTE)
Dado F: A  B una función de A en B, se dice que “f” es una
FUNCION INYECTIVA O UNIVALENTE si cada elemento f(a)
del rango f(A) es la imagen de solamente un elemento a es el
Dominio de F.
[Dom F = A]. Es decir, si para cada par de elementos x1 , x2 
Dom F, DISTINTOS, x1  x2, sus imágenes también son
DISTINTAS.
Definición Simbólica: “f” es una función de A en B  si [(x1 ,
y)  f  (x1 , z)  f]  y = z
III) Definición Geométrica: “f” es una función  cualquier recta
vertical perpendicular al eje “x” corta al gráfico de “f” en un
solo punto.
Es decir: graf (f)  L = {1 punto}
A
f
B
1
a
2
b
c
Ejemplos:
P
01.
si
02.
4
F(x1)  F(x2)
OBSERVACION
Una función “f” no es inyectiva, si existen dos elementos distintos
x1, x2, x1  x2, en el dominio de f, que tengan la misma imagen.
F(x1) = F(x2)
P
P
3
No
P
A
a
o
f
B
1
2
03.
Si
b
Propiedad Importante: Toda función es una relación, pero toda
relación no necesariamente es una función.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
Sea la función f : A


Conjunto
de Partida
c
4
DEFINICION FORMAL
Una función “F” es INYECTIVA, sí para cada x1 , x2  Dom f.
B

F(x1) = f(x2)  x1 = x2
Conjunto
de llegada
Dominio de F: Es el conjunto de las 1ras componentes de los
pares: ( x , f (x) )

Rango de F: Es el conjunto de las segundas componentes de los
pares ( x1 f (x) )

Nota
Una forma muy sencilla de reconocer que un conjunto de pares
ordenados es una función, es observando que todas sus primeras
componentes deben ser diferentes.
Centro Preuniversitario de la UNS
3
1
“F” es INYECTIVA si para cada par de elementos x1 , x2  Dom f:
x1  x2  f(x1)  f(x2)
2.
FUNCION SURYECTIVA O SOBREYECTIVA
Una función F : A  B una función de A en B, se dice que f es una
función sobreyectiva si el rango de “f” coincide con el conjunto de
llegada B; es decir, si es que:
Rang (f) = B, donde Ran (F) = F(A)
Nota
De la definición de FUNCION SOBREYECTIVA, se sigue que toda función
de la forma f : A  Ran(f), siempre será subyectiva, pues el rango (F)
coincide
S-15 y 16
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2. Lic. Iván Saavedra Ponte
Álgebra.
INTERPRETACION GEOMETRICA
“F” es sobreyectiva  toda recta “l” paralela al eje “x” corta al
gráfico de f.
Es decir: graf(f)  l  
FUNCION BIYECTIVA:
La función f: A  B es BIYECTIVA , “F” es a la vez:
a) Inyectiva y b) Sobreyectiva
ACLARACION: A la función INYECTIVA, también se le llama,
función BIONIVOCA.
II. FUNCIONES NOTABLES O ELEMENTALES
01. Función Lineal
* Regla de correspondencia f(x)  ax ; a  0
* Dom (f) = IR
* Ran (f) = IR
* Gráfico: Recta inclinada que pasa por el origen.
Si: a  0 , La parábola se abre hacia arriba.
Si: a  0 , La parábola se abre hacia abajo.
06. Función Cúbica





04. Función Raíz Cuadrada
Regla de correspondencia: f(x)  x
 x ; x  0

Dom (f) = IR
Ran (f) = 0 ;  

Gráfico: Se muestra a continuación (tiene forma de V) con el
vértice en el origen.

08. Función Signo
x
 Regla de correspondencia: f(x)  sgn( )
- 1 ; x  0
Y se define como: y  sgn( )   0 ; x  0
x 
1;x  0




Dom (f) = IR
Ran (f) = 1 ; 0 ; 1
Gráfico: Se muestra a continuación:

Gráfico: Curva semejante a una semiparábola.
Propiedad: | x |  x  sgn(x) ; x  IR
09. Función Escalón Unitario
 Regla de correspondencia: f(x)  Ua (x)
Y se define como: y  Ua (x)  



05. Función Cuadrática
Dom (f) = IR
Ran (f) = 0 ; 1
Gráfico: Se muestra a continuación:
 
Propiedad: U(x)  Ua (x a ) ; Ua(x)  U(x a )
 Regla de Correspondencia: f(x)  ax 2  bx  c ; a  0
 Dom (f) = IR
10. Función Máximo Entero


 y  F   b  ;   ; a  0

 2a 




 



 - b 
y    ; F 
 2a  ; a  0







x
Regla de correspondencia: f(x) 
Se define el MÁXIMO ENTERO de x como el mayor de todos
lo números enteros menores o iguales que x y se denota por
x es decir: x  n  n  x  n  1  n  Z
con lo cual: Dom (
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
1 ; x  a


0 ; x  a

Rang (f) =  0;  
 Ran (f) =
En general podemos extender las definiciones previas y
definir la FUNCIÓN POTENCIA ELEMENTAL:


Dom (f) = 0;  
*
Regla de correspondencia: f(x)  x 3
Dom (f) = IR
Ran (f) = IR
Gráfico: Se muestra a continuación:

Y se define como: y  x  x ; x  0

Regla de correspondencia: f(x)  x
*
 2a  

07. Función Valor Absoluto
03. Función Constante
 Regla de correspondencia f(x)  c ; c  IR
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = {c}
 Gráfico: Recta paralela al eje x desplazada en “c”
unidades.
*
 2a

√
Caso Especial: (cuando a = 1)
Función Identidad
 Regla de correspondencia f(x) = x
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = IR
 Gráfico: Recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 45°
con el semieje positivo de las x.
02. Función Afin Lineal
 Regla de correspondencia: f(x)  ax  b ; a  0
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = IR
 Gráfico: Recta inclinada que no pasa por el origen, y cuya
ordenada en el origen es b.
*


 Gráfico: Parábola con vértice en V  b ; f  b  




2
S-15 y 16
) = IR ; Ran (
) =Z
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3. Lic. Iván Saavedra Ponte
Álgebra.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sean
los
A  4;6;9 B  a;2b;3c Si
que:
a; b; c enteros.
A) 8
B) 13
2. Si el punto
C) 10
D) 11
E) 14
f x    x. Indique la
alternativa correcta.
A) Q está en el 2º cuadrante
B) Q está en el 4º cuadrante.
C) m es un número negativo
D) m + 2 < 0
E) m – 2 > 0
3. Sea
f x   mx  b
B) 0
función
D) 2
lineal.






D) 10
f  5;6, 6;3, 2;2,  1;4
f  f  . ( f


de
la

función:
1
16  x 2
C)  4; 5
B)  3; 4
es
x 2  x  20
E) 13
.
siendo
y Ranf  0;
1
D) 4,3  5;  0;1 E) 4,3  5;  
2 
B) 0; 2
A)  ;2
3 

11. Si
Halle
f
A) 4,3  5; B) 3; C) 4;3  0;1
el
g x  
x2  1
2
x  x 1
C) 0;
2
E)  ;  
3
D) 2;  
es la inversa de f ).
rango
de
la
x  2013
x  2012  1
función
g , tal que

es a; b  b;
Calcule el valor de b 2  a 2
A) 0
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x 5  5 x 4  7 x 3  3x 2
10. Halle el rango de la función f si f x  
inyectiva, calcule el valor de f 2 .
6. Sea
dominio
9. Determinar el dominio de la función
f x  
función:

C) 5
el
C) (1/4;1/8)

m  n;3, 5;3m  2n ,
f 
2m  n;3, 5;8, 2; m 2  n 2

B) 4
E)  ;  2
E) 1/2
la
A) 3
D)  ; 0

B) (1/4;1/4)
E) (1/4;-1/8)
5. Si
C) 2;0
D) 3;5  4 E)  ;  3  5;  
f x   2 x 2  x
A) (1;1/2)
D) (-1/4;-1/8)

B) 0;  
A) 4,3
4. Halle las coordenadas del vértice de la grafica de la
función
h , si
x 2 1
; x 1
x 1
g x   x 2  3x  15  3 2 x  1 
una
C) 1
rango de la función
A) ,0
8. Halle
f 1  2 f 0, calcule f  1.
A) -1
7. Determinar el
h x  
Q  m  8;4m  2 pertenece a la
grafica de la función
2;4, 6;8
C)
AxB=BxA
" a  b  c" Considere
calcule el mayor valor de
2;2, 6;3 B) 6;5, 2;4
D) 2;4, 6;9 E) 5;9, 2;4
A)
conjuntos:
3
S-15 y 16
B) 3
C) 1
D) -1
E) 4025
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4. Lic. Iván Saavedra Ponte
Álgebra.



12. De la función f  1  2t; t  t / t  0 , halle su
2
regla de correspondencia y su dominio.
B) f x  x 2  x  1; x  1
3
4
A)
x2  1
;x 1
4
D) f x  
x2  1
;x 1
4
E) f x  
y
" a"
el
valor
máximo
de
la
función
a
g x   3x 2  6 x  1 es "b" . Calcule: " "
b
A) f x   x2  1; x  1
C) f x  
15. El valor mínimo de la función f x   x 2  x  1 es
16. Halle
3
2
C)
dominio
de
B)
el

D) 2 E)
3
8
3
3
función
f
.
f
.
la

f x   x 2 sgn x  1  1
1
4 4 x
2
x 1
;x 1
2
A) ;1  1; 4 B)
13. Halle el rango de la función h con regla funcional
hx    x  x

D) 4;  
,1
C) 1,4
E) 1;
2
 1 1
B)  ; 
 4 4
 1
A)  ;  
 4
1
D)  ;  
4
14. La
inversa
17. Halle
1
C)  ;  
4
f x   4
1
E)  ; 
4

de
la

siguiente
el
dominio
x 1 x
x 1
f x   5  x x  5  1  x está dada por.
x2
x 3

la
función
 7x
B) 4;5
A) 4,5
función

de
C)
E) 
D)  4; 5
18. Del gráfico:
20  x 2
;x0
A)
36
y
g
f
180  x 2
;x0
B)
36
C)
x 2  20
;x 0
36
D)
x  180
;x0
36
E)
36  x 2
;x0
180
-2
1
x
Calcule (m + n), si:
F(x) = mx2 ; g(x) = nx + 2
A) 0
B) 1
C) 2
D) - 1
2
E) 4
19. Calcule la suma de valores de “x” tal que la relación:
F  1;2, 2;3, 3;4, 4;5, 5;6, x;5
No sea una función:
a) 15
b) 13
c) 7
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 3 1;7
4
S-15 y 16
d) 20
e) 11
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5. Lic. Iván Saavedra Ponte
Álgebra.
20. La gráfica de la parábola dada por f(x) = x2 – mx + m
+ 15 es como se muestra en la figura.
y
25. Hallar el rango de la función:
F(x) = x2 - 4x + 7; si x  <0; 5>
a) [1;5[
b) [3;12[
d) [1;+[
f(x
)
e) [7;12[
c) [7;9]
2x 2  x 1 ;
x 2  3x
26. Dada las funciones: f ( x) 
x
y
g ( x)  x  3  x , hallar la suma de los valores
enteros positivos de: Dom (f)  Rang(g)
Rpta.: ...............
Calcular E = m2 – m + 1.
A) 63
B) 73
C) 91
27. Calcular (a+b) para que: f[a,b]  [-1,5] definida por
D) 111
f(x)  3 x - 1 sea biyectiva.
E) 133
Rpta.: ...............
21. Obtener el número de elementos enteros del dominio
de: F x  
A) 5
B) 7
x5  5 x
x2  4
C) 9
D) 11
de cada función:
1. f es inyectiva
2. Rang(f) = [4, 28]
E) 6
3. x, x  Dom(f) tal que f(x)=0
22. El dominio de la función:
F(x) =
A) [0;4]
B) R
Rpta.: ...........
1 es :
6 x
x 1 +
29. Un carpintero puede producir carpetas a un costo
unitario de S/. 50. Si las vende a “k” soles c/u; podrá
vender aproximadamente (120-k) carpetas al mes. La
utilidad mensual del carpintero depende del precio de
ventas de las carpetas. Calcule el precio de venta si la
utilidad es máxima.
Rpta.: ...............
C) [1;5] D) [2;5] E) [1;6[
23. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) = x2 - 4x + 9; x  R
a) [5; +[
b) [2;+[
d) [7;+[
28. f(x) = 3x2 - 12x + 13, x  [3,5]. Hallar el valor de verdad
e) [2;5]
c) [-2;+[
24. Obtener el rango de la función:
A) R
D)
R-
B) R+
F ( x) 
30. Hallar el área de la intersección de las relaciones
definidas por:
3x  1
2x 1
R1  {( x, y)  R 2 / x  | y |  1}
R2  {( x, y)  R 2 / y  2}
3 
2
C) R-  
Rpta.: ...............
1 1 
E) R -  ; 
3 2 
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5
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6. Lic. Iván Saavedra Ponte
Álgebra.
EXAMENES UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
01. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
Determinar el dominio de la siguiente función
f ( x) 
x 1  4  x
2x  6
a) 1,3  3,4
d) 1,4
b) 1,4
05. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II
Si : g ( x  4)  5x 2  1 , hallar g (6) .
a) 17
b) 19
c) 21
d) 23
e) 25
06. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
Dados los conjuntos L = {2, 3, 5} y M = {3, 6, 7, 10}.
Escriba V ó F, si los siguientes conjuntos:
c) 1,3  3,4
e)  1,3  4,5
R1  {( x, y)  L  M / x  y}
02. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
En la figura adjunta se muestra la gráfica de una
función exponencial, si M  2a3 donde “a” es la
base de esta función, entonces el valor de M es igual
a:
R2  {( x, y)  L  M / y  2 x}
R3  {( x, y)  L  M / x  5}
Son relaciones de L en M. Considere el orden
correlativo de las relaciones dadas para dar su
respuesta.
a) VVV
a) 16
b) 54
c) 1/4
d) 2/27
e) 1/9
b) VFV c) FVV d) VVF e) FFV
07. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
Dada la función f ( x)  x  1 , 3 < x <4. su rango
x2
está dado por:
03. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I
El conjunto solución de la inecuación
3
b) 3 ; 4
d) 1 ; 5
log 1 ( x  1)  2 es:
a) 1 ; 2
e)
5 5
5 5
5 6
a) 1; 10
9
d) 1;3
b)  1; 9
10
e)
c)
4 5
;
5 6
2 3
;
5 5
c) 0;1
08. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2013 – I
El gráfico que corresponde a f(x), si se tiene que:
9 10
;
10 9
2 f ( x)  33 x 
5
3 x 2
 8(31 x )  2 , es:
04. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II
Halla el valor de S en el sistema decimal:
S  12(3)  23( 4)  34(5)  45( 6)  ...
 


20 sumandos
a) 3519
b) 3520 c) 3521 d) 3580 e) 3600
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11. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II
El dominio de la función h( x) 
a) [3,+∞>
d) [1/2,+∞>
b) [2, +∞>
e) <2,+∞>
2 x  8 , es:
c) [1/3, +∞>
12. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – I
Sea la función f cuya regla de correspondencia está
09. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2013 – I
dada por f ( x)  x 2 .
Sea F ( x)  ax  1 , a  0 ; hallar a y b tal que F
= F*

2x  b
Dom(F*) = IR – {2}.
b) -2
c) 0
d) 4
1. f no tiene inversa en  2;2
2. f tiene inversa en 0;2
Dar como respuesta a – b.
a) -4
De las siguientes afirmaciones:
3 f no tiene inversa en  2;0
Son ciertas:
e) 8
10. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II
La gráfica que representa a la función inversa de la
figura
a) Solo 1 b) Solo 2
d) 2 y 3
e) 1 y 2
c) Solo 3
13. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – I
Siendo
a
>
0

a

1,
resolver:
1
log a (ax)  log x (ax)  log a 2   y señale una
a
de sus soluciones.
a) 1 b) a
c) a2
d) a-1
e) a-2
14. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III
Si F(x) = x2 – x – 2 es una función con dominio
Df 
5 9 , entonces, la regla de correspondencia
,
2 2
de su inversa f*(x), si existe, está dada por:
a) f * ( x)  1 
2
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7
S-15 y 16
x
9
4
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b) f * ( x)  1 
2
Álgebra.
x
c) f * ( x)   1 
x
2
d) f * ( x)   1 
x
2
b)  ,2    9 , 
4
9
4
c)  ,2    9 , 
4
9
4
d)  , 9    2, 
4
e)  ,2    2, 
9
4
e) f * ( x) no existe
19. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I
15. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III
La suma de los cuadrados de las soluciones de:
e x  3 , es:
Si
log 3 x 16  4
, evaluar
log x 2 x
2
a)
ln 3
d) 0
a) 3
4
b) 2 ln 3
e)
c) 2 ln 3
2 ln 3
16. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II
Si f(n) es la suma de “n” miembros de una progresión
aritmética, entonces el valor de
S = f(n+3) – 3f(n+2) + f(n+1) – f(n), es:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
b) 4
3
c) 1
2
d) 1
4
e) N.A
20. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I
Si f(x) es una función cuadrática tal que: f(2)=6 f(0)=4,
f(-1)=7, entonces, la suma de los coeficientes de f es:
a) 4
b) 11
5
3
c) 6
d) 7
e) 8
e) 7
17. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II
Si
19
 19 , el valor de x, es:
32  log 2 x
a) 8
b) 1/8
c) 2 31 d) -1
e) 1
18. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I
Si D f  ,3    3,1  es el dominio de la
función f ( x)  2 x  7 , entonces, el dominio de la
x3
inversa de f es:
a)  2, 
Centro Preuniversitario de la UNS
8
S-15 y 16
Ingreso Directo