Este documento presenta información sobre funciones matemáticas en números reales. Explica conceptos como dominio, rango, funciones especiales como constante, identidad, lineal, cuadrática, raíz, valor absoluto, máximo entero y signo. También incluye ejemplos y propiedades de estas funciones.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DEL PERÚ
FACULTAD DE ENFERMERÍA
Mg. EMILIANO TORRES CORTEZ
MATEMÁTICA I
TEMA: Funciones en los Números Reales
Definición, determinación de dominio y rango.
Funciones especiales: constante, identidad, lineal, cuadrática, raíz, valor absoluto,
máximo entero, signo, escalón unitario.
SEMANA N° 06
2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DEL PERÚ
FACULTAD DE ENFERMERÍA
Propósito de clase /Desempeño:
Link de video de clase:
https://www.youtube.com/watch?v=tWCDyEVaSyk
Aplica procedimientos para la valoración de una función, el
dominio y el rango de acción de una función y la forma de
operacionalizar funciones.
Identifica, clasifica y representa funciones especiales: constante,
identidad, lineal, cuadrática, raíz, valor absoluto, máximo entero,
signo, escalón unitario
3. Una función implica la operación matemática para determinar el valor de una variable
dependiente (y) según el valor de una variable independiente (x). Una función es un
caso particular de las relaciones binarias, donde los primeros componentes no se
repiten
y=ƒ(x); y es función de x.
FUNCIONES
Notación funcional
Si se decide llamar f a una función y, x es una de las entradas en el dominio de f,
entonces f(x) representará el número de salida en el rango de f que corresponde a la
entrada x.
ƒ(x)= 5𝑥 − 15 ƒ(x)=
4
3𝑥−18
5. Dominio de una función : Es el conjunto de todos los posibles valores de
la variable independiente.
Df ={x∈ 𝑨/[∃𝒚 ∈ 𝑩/𝒚 = 𝒇(𝒙)]} ⊂A
Una función está completamente determinada cuando se especifica su
Dominio y Regla o Ley de correspondencia.
Df ={x∈ 𝑨/[∃𝒚 ∈ 𝑩/(𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇]} ⊂A
- No está permitido dividir ningún número real por 0.
- Se permiten radicales de índice par sólo si el radicando es mayor o
igual a 0.
Otras veces será la naturaleza del problema lo que restringa su
dominio; por ejemplo, un tiempo o una longitud no pueden tomar
valores negativos
Restricciones del dominio
7. Rango o imagen de una función: Es el conjunto de valores
correspondientes a la variable dependiente (su valor depende del valor que le
de a "X“).
Rf = {y ∈ 𝑩/[∃x ∈ 𝑨 /𝒚 = 𝒇(𝒙)]} ⊂B
1) f(x) = x2 +1.
Ejemplos
R f =[1, +∞).
f(x)=5+x Df = ℝ Rf = ℝ
10. y =𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Pendiente Cruza al eje y
Función lineal: Una función lineal es aquella que está vinculada
matemáticamente con un polinomio de grado 1, y se define como:
𝑓: ℝ → ℝ
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, con a ≠ 0 , a,b∈ℝ
En una función lineal x es variable independiente e y = f(x) es la
variable dependiente.
FUNCIONES ESPECIALES
11. Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a (La constante de proporcionalidad ) es la pendiente de la
recta y=ax+b y caracteriza la función
• Si a>0, la función lineal es creciente
• Si a <0, la función lineal es decreciente.
• Si a = 0 la función lineal es constante.
Función creciente
y = ax + b , a > 0 ∧ b>0
Función identidad
y = ax + b , a =1 ∧ b=0
m=1
12. Función decreciente
y = - ax + b
a < 0 ∧ b>0
Función constante
y = b ∧ b>0
1)Hallar la pendiente y graficar si f(x) = 3x + 2
y = 3x + 2
y= mx + b
13. Altura=3
Intercepto con el eje y
Base =1
m=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
=
3
1
= 𝟑
P(1;5)
𝜶
Si -3x + y - 2 =0
m= −
−3
1
= 3
𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃y +c =0
m= −
𝑎
𝑏
15. 3) Determinar la función que pasa por el punto (2,-3) y tiene una
pendiente 5/2
y=mx+b
4)Determine el valor de la pendiente de la recta que contiene a los
puntos dados.
i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 )
ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).
16. f(x) = x 2
Función cuadrática, Es un tipo de función polinómica que se define mediante un
polinomio de segundo grado y se expresa como:
c
bx
ax
x
f
2
)
( con a ≠ 0; a, b, c ∈ IR
17. Si V(h,k) la función se expresa como:
f(x) = a(x - h)2 + k con a ≠ 0
a
b
h
2
Dónde: k = f(h)
1
1 2
)
x
(
)
x
(
f
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
V(h,k)→V(-1,-1)
Dom(F) = ℝ
Ran(F) = [−1, +∞[
18. 1) f(x) = -x2 - 4x + 12
2) f(x) = 2 x2 + x – 1
Graficar la función:
3) Determinar Dominio y Rango de f(x) = – x2 + 5x - 4
19. Funciones definidas por partes
Una función está definida por partes (también conocida como función a trozos), si en
distintos intervalos del dominio la función está definida por una fórmula diferente.
Son funciones muy útiles para estudiar la continuidad. Las funciones definidas por
secciones se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de
la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio
(intervalo), de la forma siguiente:
f(x)=
1 𝒔𝒊 𝒙 ≤1
x 𝒔𝒊 𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟑
-x+6 𝒔𝒊 𝟑 < 𝒙 ≤6
0 𝒔𝒊 𝟔 < 𝒙 f(x)=1
f(x)=0
21. Función valor absoluto, La función del valor absoluto, está dada por
la ecuación:
𝑓 𝑥 = 𝑥
- x si x < 0 x si x ≥0
𝐱 =
𝐱, 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎
−𝐱, 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎
En términos generales:
k
h
x
a
x
f
x
f(x)
h
k
22. Ejemplos:
5
3
x
x
f
x Y= x+2 Si: x≥3
3 5 (3,5)
4 6 (4,6)
5 7 (5,7)
x Y= -x+8 Si: x<3
2 6
(3,5)
(2,6)
1 7 (1,7)
0 8 (0,8)
3 5
x
f(x)
3
5
1)
23. 2
2
3
x
x
f
1
2
x
x
f
2)
3)
24. Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que
se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el
mayor de todos ellos es el máximo entero 𝒙 , por ejemplo:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 x 3 4 5 6
De donde 𝒙 = 𝟐
Ejemplo: Hallar 𝟑, 𝟕𝟏 =3
MÁXIMO ENTERO
25. Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:
n x n+1
0
0
0
𝒙 = 𝒏 ↔ n ≤ x < n+1, n ∈ ℤ
Si 𝒙 =5 ↔ 5 ≤ 𝑥 < 6
𝒙 = - 5 ↔ −5 ≤ 𝑥 < −4
Siempre se toma el número entero más próximo a la izquierda
Por definición: 𝒙 =n↔ n≤ x < n+1, 𝒏 ∈ ℤ
↔ 𝒙 ∈ [𝒏, 𝒏 + 𝟏[, n ∈ ℤ
31. Referencias
Relaciones y funciones:
http://sf205486a14854137.jimcontent.com/download/version/1407036274/module/10
029678160/name/Relaciones_y_funciones3.1672.doc.
Blas, G. (2000). Matemática básica. Gómez, Lima
Lázaro, M. (2012) Matemática básica. A Tomo I. Editorial Moshera SRL
Figueroa, R. (2013). Matemática básica 1. Lima: Ediciones R.F.G.
Venero, A. (2012). Matemática básica. Lima: Ediciones Gemar
Precálculo
file:///D:/libros/LIBROS/Libro.Pre_Calculo_-_James_Stewar.pdf
Relaciones y funcione en R
https://www.academia.edu/36686349/Relaciones_y_funciones_de_R_en_R_Mois%C3%A9
s_L%C3%A1zaro_FREELIBROS_ORG
Relaciones y funciones
https://filadd.com/doc/5-relaciones-y-funciones-pdf-ingreso-cs-quimicas
Notas del editor
Hay dos razones principales por los que los dominios pueden estar restringidos.
· No se puede dividir entre 0.
· No se puede sacar la raíz cuadrada (o par) de un número negativo, porque el resultado no sería un número real.
Las raíces cuadradas de números negativos pueden ocurrir cuando la función tiene una variable dentro de un radical con una raíz par. Veamos estos ejemplos y observa que “la raíz cuadrada de un número negativo” ¡no necesariamente significa que el valor dentro del radical es negativo! Por ejemplo, si x = −4, entonces −x = −(−4) = 4, un número positivo