Este documento describe las simetrías matemáticas de los cuadrados mágicos y su relación con el hipercubo. Explica que el grupo de simetrías de un cuadrado mágico de orden 4 tiene 384 elementos e isomorfo al grupo de simetrías del hipercubo. También menciona que Narayana Pandit descubrió que existen 384 cuadrados mágicos posibles de orden 4 y que estas transforman uno en otro.

1. El cuadrado mágico
de Khajuraho y las
simetrías del hipercubo
Andrés Navas
USACH
Chile
UNAM
Cuernavaca

19. Khajuraho
(centro de la India)

34. Cuadrado semi-panmágico

35. Cuadrado panmágico (pandiagonal o diabólico)

36. Automorfismos
El grupo panmágico es el grupo
de las permutaciones del
cuadriculado que transforma
todo tablero panmágico en un
tablero panmágico.
Definiciones similares para
otras configuraciones mágicas.

37. El grupo mágico de orden 3 es isomorfo
al grupo diedral 𝑫 𝟒.

38. Teorema
(Narayana Pandit,
B. Rosser & R. Walker,
W. Müller, A. N.)
El grupo panmágico de
orden 4 tiene orden 384 y
es isomorfo al grupo de
simetrías del hipercubo.

39. Narayana Pandit (Gaṇitakaumudī, 1356)
Existen 384 cuadrados panmágicos con 1,2,…,16.
Estos se obtienen mediante movimientos de
caballos de ajedrez sujetos a ciertas reglas.
¡A leer!
- Los cuadrados mágicos de Narayana (Gautami Bhowmik).
- Regalando cuadrado mágicos (A. N.).

40. Algoritmo alternativo
• Colocar el 16 en cualquier
posición y el 1 en la posición
“antipodal”.
• Colocar el 12, 14 y 15 en tres
de las cuatro posiciones
vecinas a la de 1.
• Completar de modo de
satisfacer las 52 propiedades
panmágicas (hay solo una
forma de hacerlo).
a b c d
(s-a)+n (s-b)-n (s-c)+n (s-d)-n
s-c s-d s-a s-b
c-n d+n a-n b+n

43. Generando nuevos cuadrados panmágicos
con transformaciones

44. Una transformación de orden 3

45. Una transformación de orden 6

46. Una transformación de orden 8

47. El hipercubo
y sus
simetrías
0000 0001 0011 0010
0100 0101 0111 0110
1100 1101 1111 1110
1000 1001 1011 1010

48. ¡Un
hipercubo
mágico de
Khajuraho!

51. La estructura
algebraica
Hay 16 traslaciones naturales sobre el
hipercubo (sumar 0 ó 1 en cada una de las
coordenadas), que forman un grupo isomorfo
a (Z/2Z)4.
Las traslaciones forman un subgrupo normal
del grupo de los automorfismos, y el cociente
respectivo es S4.
El grupo de los automorfismos es isomorfo al
producto semidirecto de S4 contra (Z/2Z)4.

52. Los
cuadrados
mágicos 5x5
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

53. Relaciones suplementarias

55. Fórmula a la
de la Hire – Euler
El grupo panmágico de orden 5 es isomorfo
al producto semidirecto de Z/2Z con el
cuadrado de S5.

56. ¿Y los cuadrados de orden
superior?
Pregunta: ¿se puede determinar la
estructura del grupo panmágico sin
necesidad de describir todos los
cuadrados panmágicos?
Hasta hoy se desconoce la
cantidad de cuadrados
mágicos 6x6 (con entradas
1,2,…,36).

57. MUCHAS GRACIAS
Libros de matemática en PDF Un viaje a las ideas

58. 𝒙2
𝒚2
𝒛2
𝒖2
𝒗2
𝒘2
𝒑2
𝒒2
𝒓2

59. ¿ ?

62. El triángulo
rectángulo de
Don Zagier
(1993)