Este documento presenta un resumen teórico sobre combinatoria y 139 ejercicios resueltos de probabilidad divididos en 7 capítulos. El primer capítulo se enfoca en combinatoria, el segundo introduce conceptos básicos de probabilidad, y los capítulos siguientes cubren temas como variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, convergencia y regresión. El objetivo es ayudar a estudiantes a practicar problemas de probabilidad de diferentes niveles de dificultad.
Resumen, metodologia de la investigacion, capitulo 3Jose Mora
La epistemología estudia la ciencia con bases lógicas y metodológicas para explicar el conocimiento científico. Existen tres teorías epistemológicas: metacientíficas, paracientíficas y científicas. También hay epistemologías regionales para cada ciencia. La epistemología debe distinguir entre ciencia y metafísica, y entre ciencia genuina y seudociencia. Debe abordar la lógica, semántica, ontología, axiología y estética de la ciencia, así
El documento proporciona una introducción al concepto de estadística, dividiéndola en estadística descriptiva e inductiva. Explica que la estadística descriptiva se utiliza para recopilar, organizar y presentar datos, mientras que la estadística inductiva permite deducir conclusiones sobre una población a partir del análisis de una muestra. También describe los conceptos básicos de población, muestra, variables cualitativas y cuantitativas, y distribución de frecuencias.
Este documento presenta una introducción a una guía de apuntes sobre probabilidad y estadística. Explica que la guía fue desarrollada a lo largo de 6 años con aportes de estudiantes y lecturas de varios autores. El autor dedica la guía a Dios, su familia y sus estudiantes. Incluye un índice general de los temas a tratar, como estadística descriptiva, conceptos básicos de probabilidad, distribuciones de probabilidad, y estadística inferencial. El objetivo es que la guía no solo cub
El documento describe las etapas del método estadístico aplicadas a un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y la mortalidad por cáncer pulmonar en médicos. Se recolectaron datos sobre hábitos de fumar de miles de médicos a través de un cuestionario (1). Los datos fueron procesados numéricamente (2) y resumidos para identificar patrones (4). Los resultados se analizaron estadísticamente (5) para comprobar la hipótesis de que fumar aumenta el riesgo de cáncer pulmonar
Este documento describe las etapas del método estadístico, incluyendo la planificación del estudio, la recolección de información, la elaboración de datos numéricos y el análisis e interpretación. En la planificación del estudio, se define el problema, los objetivos y la hipótesis, y se busca información existente. La recolección de información debe hacerse según el plan, minimizando errores. Finalmente, los datos se clasifican y analizan estadísticamente.
El documento presenta cuatro problemas relacionados con el muestreo. El primer problema describe una encuesta a empresas para determinar la demanda de una nueva prensa mecánica, discutiendo la población, marco de muestreo y posibles técnicas de muestreo como estratificado o por conglomerados. El segundo problema trata sobre determinar el gasto promedio mensual de hogares en restaurantes, calculando el tamaño de muestra necesario. El tercer problema estima el porcentaje de hogares con conocimiento de una nueva marca, calculando también el tamaño de
Este documento presenta definiciones y conceptos relacionados con el muestreo aleatorio simple. Explica que el muestreo aleatorio simple es aquel en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para la muestra. También describe métodos para seleccionar una muestra aleatoria simple, como el uso de tablas de números aleatorios. Finalmente, ofrece fórmulas para calcular el tamaño necesario de una muestra aleatoria simple.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre conceptos básicos de combinatoria. El segundo capítulo introduce los fundamentos de probabilidad y probabilidad condicional. Los capítulos siguientes tratan sobre variables aleatorias discretas y continuas, bidimensionales, convergencia, regresión y correlación. El objetivo es ayudar a estudiantes a practicar y comprender los conceptos de probabilidad de manera gradual a través de la resolución de ejercicios de diferentes niveles de dific
Resumen, metodologia de la investigacion, capitulo 3Jose Mora
La epistemología estudia la ciencia con bases lógicas y metodológicas para explicar el conocimiento científico. Existen tres teorías epistemológicas: metacientíficas, paracientíficas y científicas. También hay epistemologías regionales para cada ciencia. La epistemología debe distinguir entre ciencia y metafísica, y entre ciencia genuina y seudociencia. Debe abordar la lógica, semántica, ontología, axiología y estética de la ciencia, así
El documento proporciona una introducción al concepto de estadística, dividiéndola en estadística descriptiva e inductiva. Explica que la estadística descriptiva se utiliza para recopilar, organizar y presentar datos, mientras que la estadística inductiva permite deducir conclusiones sobre una población a partir del análisis de una muestra. También describe los conceptos básicos de población, muestra, variables cualitativas y cuantitativas, y distribución de frecuencias.
Este documento presenta una introducción a una guía de apuntes sobre probabilidad y estadística. Explica que la guía fue desarrollada a lo largo de 6 años con aportes de estudiantes y lecturas de varios autores. El autor dedica la guía a Dios, su familia y sus estudiantes. Incluye un índice general de los temas a tratar, como estadística descriptiva, conceptos básicos de probabilidad, distribuciones de probabilidad, y estadística inferencial. El objetivo es que la guía no solo cub
El documento describe las etapas del método estadístico aplicadas a un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y la mortalidad por cáncer pulmonar en médicos. Se recolectaron datos sobre hábitos de fumar de miles de médicos a través de un cuestionario (1). Los datos fueron procesados numéricamente (2) y resumidos para identificar patrones (4). Los resultados se analizaron estadísticamente (5) para comprobar la hipótesis de que fumar aumenta el riesgo de cáncer pulmonar
Este documento describe las etapas del método estadístico, incluyendo la planificación del estudio, la recolección de información, la elaboración de datos numéricos y el análisis e interpretación. En la planificación del estudio, se define el problema, los objetivos y la hipótesis, y se busca información existente. La recolección de información debe hacerse según el plan, minimizando errores. Finalmente, los datos se clasifican y analizan estadísticamente.
El documento presenta cuatro problemas relacionados con el muestreo. El primer problema describe una encuesta a empresas para determinar la demanda de una nueva prensa mecánica, discutiendo la población, marco de muestreo y posibles técnicas de muestreo como estratificado o por conglomerados. El segundo problema trata sobre determinar el gasto promedio mensual de hogares en restaurantes, calculando el tamaño de muestra necesario. El tercer problema estima el porcentaje de hogares con conocimiento de una nueva marca, calculando también el tamaño de
Este documento presenta definiciones y conceptos relacionados con el muestreo aleatorio simple. Explica que el muestreo aleatorio simple es aquel en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para la muestra. También describe métodos para seleccionar una muestra aleatoria simple, como el uso de tablas de números aleatorios. Finalmente, ofrece fórmulas para calcular el tamaño necesario de una muestra aleatoria simple.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre conceptos básicos de combinatoria. El segundo capítulo introduce los fundamentos de probabilidad y probabilidad condicional. Los capítulos siguientes tratan sobre variables aleatorias discretas y continuas, bidimensionales, convergencia, regresión y correlación. El objetivo es ayudar a estudiantes a practicar y comprender los conceptos de probabilidad de manera gradual a través de la resolución de ejercicios de diferentes niveles de dific
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo introduce conceptos básicos de combinatoria como permutaciones, variaciones y combinaciones. Los capítulos siguientes cubren fundamentos de probabilidad, distribuciones de probabilidad, variables aleatorias y otros temas. Cada ejercicio está explicado de manera detallada para ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar los conceptos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo introduce conceptos básicos de combinatoria como permutaciones, variaciones y combinaciones. Los capítulos siguientes cubren fundamentos de probabilidad, distribuciones de probabilidad, variables aleatorias y otros temas. Cada ejercicio está explicado de manera detallada para ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar los conceptos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Guía teórica. variables aleatorias y sus distribuciones. ii corte.merlyrojas
Este documento presenta una guía teórica sobre variables aleatorias y sus distribuciones para el curso de Estadística impartido por la Ingeniera Merly Rojas. Incluye la planificación de evaluaciones para el segundo corte así como conceptos clave sobre variables aleatorias discretas y continuas, y distribuciones como la binomial, Poisson, normal y otras.
Este documento presenta el plan de evaluación para la unidad curricular de Estadística en el período I-2010 en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda". El plan incluye 3 cortes evaluativos que cubren temas como estadística descriptiva, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, teoría de muestreo, y regresión y correlación lineal. Los estudiantes serán evaluados a través de pruebas escritas, talleres grupales, y evaluaciones cortas que en total suman 100 puntos para la calificación final.
1) La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio bajo condiciones estables. 2) Un espacio muestral representa todos los posibles resultados de un experimento, y un suceso es un subconjunto de resultados posibles. 3) La probabilidad de un suceso simple es un número entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de todos los sucesos simples debe ser 1.
El documento presenta el horario de clases de la profesora Ing. Merly Rojas para la asignatura de Estadística en la Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda. Según el horario, la profesora dicta clases a la Sección 13 los lunes y jueves de 7:00 a 7:45 horas y de 8:30 a 9:15 horas en el laboratorio ADI. Los martes se dedica a la preparación de clases. Los miércoles atiende asesorías de 2:00 a 3:40 horas y de 4:30 a 6:10 horas en el Comple
Este documento presenta el plan de evaluación de aprendizaje para la unidad curricular de Estadística en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda" durante el período I-2010. El plan incluye 5 cortes que cubren temas como estadística descriptiva, teoría de probabilidad, variables aleatorias, muestreo y estimadores, e involucra diferentes tipos de evaluaciones como pruebas escritas, actividades grupales y tareas individuales.
Este documento presenta el plan de evaluación de aprendizaje para la unidad curricular de Estadística en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda" durante el período I-2010. El plan incluye 4 cortes que cubren temas como estadística descriptiva, teoría de probabilidad, variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, y teoría de muestreo. Los estudiantes serán evaluados a través de actividades escritas, grupales, pruebas parciales y final para determinar su dominio de los objetivos de cada tema.
Este documento presenta el contenido programático de un curso de Estadística que se impartirá de forma semipresencial. El curso consta de 5 cortes distribuidos en 3 temas principales: Estadística Descriptiva, Teoría de Probabilidad y Variables Aleatorias, y Teoría de Muestreo, Regresión y Correlación Lineal. Cada tema se desarrollará durante varias semanas utilizando diferentes libros de texto como material de apoyo.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo introduce conceptos básicos de combinatoria como permutaciones, variaciones y combinaciones. Los capítulos siguientes cubren fundamentos de probabilidad, distribuciones de probabilidad, variables aleatorias y otros temas. Cada ejercicio está explicado de manera detallada para ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar los conceptos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo introduce conceptos básicos de combinatoria como permutaciones, variaciones y combinaciones. Los capítulos siguientes cubren fundamentos de probabilidad, distribuciones de probabilidad, variables aleatorias y otros temas. Cada ejercicio está explicado de manera detallada para ayudar a los estudiantes a comprender y aplicar los conceptos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
Guía teórica. variables aleatorias y sus distribuciones. ii corte.merlyrojas
Este documento presenta una guía teórica sobre variables aleatorias y sus distribuciones para el curso de Estadística impartido por la Ingeniera Merly Rojas. Incluye la planificación de evaluaciones para el segundo corte así como conceptos clave sobre variables aleatorias discretas y continuas, y distribuciones como la binomial, Poisson, normal y otras.
Este documento presenta el plan de evaluación para la unidad curricular de Estadística en el período I-2010 en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda". El plan incluye 3 cortes evaluativos que cubren temas como estadística descriptiva, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, teoría de muestreo, y regresión y correlación lineal. Los estudiantes serán evaluados a través de pruebas escritas, talleres grupales, y evaluaciones cortas que en total suman 100 puntos para la calificación final.
1) La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio bajo condiciones estables. 2) Un espacio muestral representa todos los posibles resultados de un experimento, y un suceso es un subconjunto de resultados posibles. 3) La probabilidad de un suceso simple es un número entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de todos los sucesos simples debe ser 1.
El documento presenta el horario de clases de la profesora Ing. Merly Rojas para la asignatura de Estadística en la Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda. Según el horario, la profesora dicta clases a la Sección 13 los lunes y jueves de 7:00 a 7:45 horas y de 8:30 a 9:15 horas en el laboratorio ADI. Los martes se dedica a la preparación de clases. Los miércoles atiende asesorías de 2:00 a 3:40 horas y de 4:30 a 6:10 horas en el Comple
Este documento presenta el plan de evaluación de aprendizaje para la unidad curricular de Estadística en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda" durante el período I-2010. El plan incluye 5 cortes que cubren temas como estadística descriptiva, teoría de probabilidad, variables aleatorias, muestreo y estimadores, e involucra diferentes tipos de evaluaciones como pruebas escritas, actividades grupales y tareas individuales.
Este documento presenta el plan de evaluación de aprendizaje para la unidad curricular de Estadística en la Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda" durante el período I-2010. El plan incluye 4 cortes que cubren temas como estadística descriptiva, teoría de probabilidad, variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, y teoría de muestreo. Los estudiantes serán evaluados a través de actividades escritas, grupales, pruebas parciales y final para determinar su dominio de los objetivos de cada tema.
Este documento presenta el contenido programático de un curso de Estadística que se impartirá de forma semipresencial. El curso consta de 5 cortes distribuidos en 3 temas principales: Estadística Descriptiva, Teoría de Probabilidad y Variables Aleatorias, y Teoría de Muestreo, Regresión y Correlación Lineal. Cada tema se desarrollará durante varias semanas utilizando diferentes libros de texto como material de apoyo.
3. ´
Indice general
Pr´logo
o 9
1. Combinatoria 11
2. Fundamentos de probabilidades 23
3. Distribuciones de probabilidad 85
4. Principales variables aleatorias 109
5. Variables aleatorias bidimensionales 145
6. Convergencia 169
7. Regresi´n y correlaci´n
o o 177
Bibliograf´
ıa 183
7
4.
5. “libroult”
i i
2001/8/30
page 9
i i
Pr´logo
o
Un d´ sale en el peri´dico que un inversor ha logrado preveer el ´xito
ıa o e
o fracaso de ciertas operaciones complejas de bolsa durante las ultimas 10
´
jornadas. ¿Se dejar´ asesorar por ´l para que le rentabilizase sus ahorros? Sin
ıa e
duda, mucha gente responder´ afirmativamente.
ıa
Consideremos 1000 monos durante diez d´ Cada d´ le asociamos, a cada
ıas. ıa
uno, la respuesta “´xito en la inversi´n” si se levanta con el pie derecho, y
e o
“fracaso en la inversi´n” si se levanta con el pie izquierdo. Entonces, cada d´
o ıa
aproximadamente la mitad acertar´, y para el d´ siguiente consideramos s´lo
a ıa o
esos. Es decir, el primer d´ 500 monos acertar´n la operaci´n justa, de los que
ıa a o
250 tambi´n acertar´n la segunda, y de ellos 125 la tercera, etc. Transcurridos
e a
los diez d´ es muy probable que tengamos un mono que haya acertado todas
ıas
las operaciones. ¡Este ser´ el mono al que esas personas le dar´ su dinero!
ıa ıan
Este libro contiene 139 ejercicios resueltos de Probabilidades. No se trata
de una colecci´n exclusiva de problemas dif´
o ıciles de resolver, desafiantes y s´lo
o
aptos para alumnos brillantes. Por el contrario, se trata de una lista de ejercicios
de dificultad variada que pretende ayudar a cualquier alumno que se inicie en
el C´lculo de Probabilidades. En ella hay ejercicios cl´sicos, algunos tomados de
a a
libros mencionados en la bibliograf´ con distinto grado de dificultad, tratando
ıa,
de configurar una gama de problemas apropiados para un primer curso de
Probabilidades.
Cada cap´ ıtulo inicia con un resumen te´rico que pretende establecer la
o
notaci´n b´sica que luego se usa en la resoluci´n de sus ejercicios. Dado que
o a o
no ha sido objetivo el extendernos en la parte te´rica, algunos conceptos se
o
presentan de forma simplificada (como los referentes a la Ley Fuerte de los
9
i i
i i
6. “libroult”
i i
2001/8/30
page 10
i i
10 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
Grandes N´meros o al de regresi´n). Por ello, recomendamos que este material
u o
sirva s´lo para controlar que sus ejercicios han sido correctamente resueltos por
o
el lector, quien previamente ha debido trabajarlos por su cuenta, pero nunca
como libro de texto en s´ mismo, y a´n menos como libro de teor´
ı u ıa.
El primer cap´ ıtulo se dedica a la Combinatoria y el segundo la utiliza para
el c´lculo elemental de probabilidades, incluyendo la probabilidad condiciona-
a
da. El tercer cap´ ıtulo introduce los conceptos de variable aleatoria, funci´no
de distribuci´n y esperanza matem´tica, entre otros. Los ejercicios del cuarto
o a
cap´ıtulo tratan sobre variables aleatorias tradicionales, tanto discretas como
continuas. Las variables aleatorias bidimensionales se afrontan en el cap´ ıtu-
lo quinto. El cap´ ıtulo sexto presenta ejercicios de convergencia, y el s´ptimo
e
ejercicios sencillos de regresi´n y correlaci´n.
o o
Esta colecci´n se ha desarrollado impartiendo durante varios cursos la asig-
o
natura Probabilidades I, en la Facultad de Matem´ticas de la Universidad de
a
La Laguna. Por ello, la resoluci´n de varios problemas subraya conceptos abs-
o
tractos como el de espacio muestral, etc. Creemos que este rigor matem´tico a
(nunca excesivo) es aconsejable tambi´n para alumnos de facultades de Inge-
e
nier´ Econ´micas, Biolog´ etc., y en este sentido deseamos que el estilo de
ıas, o ıa,
resoluci´n en este libro le puedan tambi´n ser de ayuda.
o e
Aunque los errores que aparecen son responsabilidad exclusiva de los auto-
res, han sido varias las personas que han realizado aportaciones a este libro. De
forma especial queremos destacar las valiosas sugerencias que hemos recibido
de Jos´ Juan C´ceres Hern´ndez (Departamento de Econom´ de las Institucio-
e a a ıa
nes, Estad´ ıstica Econ´mica y Econometr´ ULL) y de Carlos Gonz´lez Alc´n
o ıa, a o
(Departamento de Estad´ ıstica, Investigaci´n Operativa y Computaci´n, ULL).
o o
Tambi´n agradecemos al Gobierno de Canarias que, a trav´s del proyecto de
e e
investigaci´n PI2000/116, ha financiado parcialmente el trabajo realizado.
o
´ ´ ´
Juan Jose Salazar Gonzalez y Marta Lopez Yurda.
Tenerife, a 14 de agosto de 2001.
i i
i i
7. “libroult”
i i
2001/8/30
page 11
i i
CAP´
ITULO 1
Combinatoria
La Combinatoria es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto,
teniendo especial cuidado en no olvidar ning´n elemento ni en contarlo m´s de
u a
una vez. A continuaci´n resaltamos seis casos t´
o ıpicos:
Permutaciones de n elementos: Dados n elementos distintos, el n´mero de
u
secuencias ordenadas de ´stos es
e
Pn = n · (n − 1) · · · · · 2 · 1.
Este n´mero tambi´n se denota como n!.
u e
Permutaciones con repetici´n de n elementos, con ni repeticiones del i-
o
´simo elemento, i = 1, . . . , k: Dados n elementos, de los cuales hay s´lo k
e o
diferentes (n1 iguales, n2 iguales,. . .,nk iguales, con n1 +n2 +. . .+nk = n),
el n´mero de secuencias ordenadas de estos elementos es
u
n!
P Rn1 ,...,nk =
n
.
n1 ! · . . . · nk !
Variaciones de n elementos tomados de m en m (con m ≤ n): Dados n
elementos distintos, el n´mero de selecciones ordenadas de m de ellos es
u
n!
Vn,m = .
(n − m)!
11
i i
i i
8. “libroult”
i i
2001/8/30
page 12
i i
12 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
Variaciones con repetici´n de n elementos tomados de m en m: Dados n
o
elementos distintos, el n´mero de selecciones ordenadas de m de ellos,
u
pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca m´s de una vez en la
a
selecci´n, es
o
V Rn,m = nm .
Combinaciones de n elementos tomados de m en m (con m ≤ n): Dados n
elementos distintos, el n´mero de maneras de seleccionar m de ellos (sin
u
tener presente el orden) viene dado por
n!
Cn,m = .
m! · (n − m)!
n
Este n´mero tambi´n se denota como
u e m .
Combinaciones con repetici´n de n elementos tomados de m en m: Dados
o
n elementos distintos, el n´mero de selecciones de m de ellos, sin tener
u
presente el orden y pudiendo haber elementos repetidos en una selecci´n,
o
es
n+m−1
CRn,m = .
m
Ejercicios Resueltos
P1.1] ¿De cu´ntas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4
a
sitios disponibles?
Soluci´n
o
N´tese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los
o
cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar m´s dea
un sitio a la vez. Por lo tanto, hay V10,4 = 10!/6! = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040
maneras.
P1.2] En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de
cu´ntos modos puede hacerse si:
a
1. los premios son diferentes;
2. los premios son iguales.
Soluci´n
o
Hay dos supuestos posibles:
si una misma persona no puede recibir m´s de un premio:
a
i i
i i
9. “libroult”
i i
2001/8/30
page 13
i i
CAP´
ITULO 1. COMBINATORIA 13
1. hay V10,3 = 10 · 9 · 8 = 720 maneras de distribuir los premios si
´stos son diferentes;
e
2. en el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse
de C10,3 = 10 · 9 · 8/6 = 120 maneras.
si una misma persona puede recibir m´s de un premio:
a
1. se pueden distribuir los premios, si ´stos son diferentes, de V R10,3
e
=103 = 1000 maneras;
2. hay CR10,3 = 220 maneras de distribuir los premios si ´stos son
e
iguales.
P1.3] Las diagonales de un pol´
ıgono se obtienen uniendo pares de v´rtices no
e
adyacentes.
1. Obtener el n´mero de diagonales del cuadrado, el hex´gono y el
u a
oct´gono. Calcularlo para el caso general de un pol´
o ıgono de n lados.
2. ¿Existe alg´n pol´
u ıgono en el que el n´mero de lados sea igual al de
u
diagonales?
Soluci´n
o
1. Comenzamos calculando el n´mero de diagonales del cuadrado. Hay
u
C4,2 = 6 uniones posibles de dos v´rtices diferentes cualesquiera,
e
adyacentes o no. Si de estas 6 parejas eliminamos las que corres-
ponden a v´rtices adyacentes (tantas como el n´mero de lados del
e u
cuadrado), quedar´n 6 − 4 = 2 diagonales.
a
Procediendo del mismo modo con el hex´gono, se obtienen
a
6!
C6,2 − 6 = − 6 = 15 − 6 = 9 diagonales.
2! · 4!
An´logamente, en el caso del oct´gono, se obtienen
a o
8! 8·7
C8,2 − 8 = −8= − 8 = 28 − 8 = 20 diagonales.
2! · 6! 2
Finalmente, para el caso general de un pol´
ıgono de n lados, el n´mero
u
de diagonales es:
n! n · (n − 1) n2 − 3n
Cn,2 − n = −n= −n= .
2! · (n − 2)! 2 2
2. Veamos si existe alg´n pol´
u ıgono donde el n´mero de lados sea igual
u
al n´mero de diagonales. Igualando el n´mero de lados y el n´mero
u u u
de diagonales se obtiene:
n2 − 3n
n= ,
2
i i
i i
10. “libroult”
i i
2001/8/30
page 14
i i
14 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
es decir,
n(n − 5) = 0.
Como n ≥ 1 , el resultado n = 0 no es v´lido. La soluci´n es n = 5
a o
(el pent´gono).
a
P1.4] Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las
mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cu´ntas maneras puede hacerse?
a
Soluci´n
o
Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que
deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los
5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P4 · P5 = 4! · 5! = 2880
maneras.
P1.5] ¿Cu´ntos n´meros de 4 d´
a u ıgitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9
1. permitiendo repeticiones;
2. sin repeticiones;
3. si el ultimo d´
´ ıgito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?
Soluci´n
o
Asumamos que para que un n´mero sea de 4 d´
u ıgitos su primer d´
ıgito debe
ser distinto de cero.
1. Puesto que debe formarse un n´mero de 4 d´
u ıgitos, el primero de
´stos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para
e
el primer d´
ıgito y diez para cada uno de los tres d´ıgitos restantes,
obteni´ndose un total de 9 · 103 = 9000 n´meros posibles.
e u
2. Al igual que en el apartado anterior, el primer d´ ıgito no puede ser
cero. Como adem´s no se permiten repeticiones, hay nueve posibili-
a
dades para el segundo d´ ıgito: el cero y las ocho no escogidas para el
primer d´ıgito. Por tanto, se pueden formar 92 · 8 · 7 = 4536 n´meros.
u
3. Fijamos el ultimo d´
´ ıgito y, como no puede haber repeticiones, se
obtiene un total de 9 · 8 · 7 · 1 = 504 n´meros.
u
P1.6] En un grupo de 10 amigos, ¿cu´ntas distribuciones de sus fechas de cum-
a
plea˜os pueden darse al a˜o?
n n
Soluci´n
o
Considerando que el a˜o tiene 365 d´ y que puede darse el caso de
n ıas
que varias personas cumplan en la misma fecha, el n´mero de maneras
u
distintas es V R365,10 = 36510 .
i i
i i
11. “libroult”
i i
2001/8/30
page 15
i i
CAP´
ITULO 1. COMBINATORIA 15
P1.7] ¿Cu´ntas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podr´ tener el alfabeto
a ıa
Morse?
Soluci´n
o
Si se consideran como cinco s´ ımbolos diferentes entonces, dado que im-
porta el orden en que se coloquen y que han de distribuirse en cinco
posiciones, se tendr´ un total de P5 = 5! posibles ordenaciones. Pero,
a
dado que de los cinco elementos tan s´lo hay dos diferentes (rayas y
o
puntos) que se repiten 3 y 2 veces, respectivamente, dividiremos por las
posibles permutaciones de cada uno de ellos, obteniendo as´ un total de
ı
C5,3 = 5!/ (3! · 2!) = 5 · 4/2 = 10 letras. N´tese que ´ste es el n´mero de
o e u
posiciones (entre las cinco posibles) en que pueden ponerse las letras, y
adem´s coincide con el n´mero de posiciones para los puntos (C5,2 ).
a u
P1.8] Cuando se arrojan simult´neamente 4 monedas,
a
1. ¿cu´les son los resultados posibles que se pueden obtener?
a
2. ¿cu´ntos casos hay en que salgan 2 caras y 2 cruces?
a
Soluci´n
o
Suponiendo que las monedas son iguales:
1. Dado que un mismo resultado individual (cara o cruz) puede
obtenerse en varias monedas a la vez, y que las monedas no
pueden distinguirse entre s´ existen CR2,4 = 5 resultados posi-
ı,
bles. Estos casos son: “4 caras y 0 cruces”, “3 caras y 1 cruz”,
“2 caras y 2 cruces”, “1 cara y 3 cruces”, y “0 caras y 4 cruces”.
2. Como las monedas se arrojan simult´neamente, s´lo habr´ un
a o a
caso posible con 2 caras y 2 cruces.
Suponiendo que las monedas son distintas:
1. En este caso, puesto que se distinguen las monedas entre s´ y ı
en una tirada pueden haber varias con el mismo resultado in-
dividual, hay un total de V R2,4 = 24 = 16 resultados posibles.
Estos casos son: “cara, cara, cara, cara”, “cara, cara, cara, cruz”,
“cara, cara, cruz, cara”, “cara, cara, cruz, cruz”, etc.
2. Se calcula el n´mero de combinaciones posibles de dos monedas
u
distintas, que supondremos ser´n las de resultado “cara” (siendo
a
as´ las dos restantes de resultado “cruz”), es decir, hay C4,2 = 6
ı
resultados de dos caras y dos cruces.
P1.9] Cuatro libros de matem´ticas, seis de f´
a ısica y dos de qu´
ımica han de ser
colocados en una estanter´ ¿Cu´ntas colocaciones distintas admiten si:
ıa a
1. los libros de cada materia han de estar juntos;
i i
i i
12. “libroult”
i i
2001/8/30
page 16
i i
16 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
2. s´lo los de matem´ticas tienen que estar juntos?
o a
Soluci´n
o
Supongamos que los libros de cada materia tambi´n son diferentes
e
(de distintos autores).
1. Consideramos cada conjunto de libros de una misma materia
como una unidad. Entonces, hay 3! = 6 ordenaciones posibles
de las materias. Adem´s hay que considerar tambi´n las 4! = 24
a e
permutaciones de los libros de matem´ticas, as´ como las 6! =
a ı
720 y las 2! = 2 de los de f´
ısica y qu´
ımica, respectivamente. Se
concluye as´ que hay 3!·4!·6!·2! = 207360 colocaciones distintas.
ı
2. Consideremos los cuatro libros de matem´ticas como una uni-
a
dad. Se tendr´ entonces una unidad correspondiente a ma-
ıa
tem´ticas, 6 unidades diferentes de f´
a ısica y dos unidades di-
ferentes de qu´
ımica. Por lo tanto, existen 9! = 362880 maneras
de ordenar estas 9 unidades, y por cada una de ellas hay 4! or-
denaciones posibles de los 4 libros de matem´ticas, por lo que
a
en total hay 9! · 4! = 8709120 formas de colocar los libros.
Supongamos que los libros de cada materia son id´nticos.
e
1. Consideremos cada conjunto de libros de una misma materia
como una unidad. N´tese que entonces se tendr´ un total de 3
o ıa
unidades, que pueden ordenarse de 3! = 6 formas distintas.
2. En este caso tendremos una unica unidad de matem´ticas, adem´s
´ a a
de 6 de f´
ısica y 2 de qu´ımica, que consideraremos diferentes para
este c´lculo inicial. Se tiene entonces un total de 9! = 362880 or-
a
denaciones posibles y, puesto que los libros de cada materia son
indistinguibles, n´tese que deben tenerse en cuenta las 6! · 2! =
o
1440 formas de colocar los libros de f´ ısica y matem´ticas. Por
a
lo tanto, hay un total de 9!/ (6! · 2!) = 252 ordenaciones.
P1.10] Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De
cu´ntas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
a
Soluci´n
o
El orden en que elija las preguntas, que adem´s no podr´n repetirse, es
a a
irrelevante. As´ puede elegir las preguntas de C10,7 = 10·9·8/ (3 · 2) = 120
ı,
maneras.
Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas
entre las 6 restantes para completar las 7 necesarias, resultando un total
de C6,3 = 6 · 5 · 4/ (3 · 2) = 20 maneras.
P1.11] Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cu´ntas palabras se pueden formar que
a
tengan 4 consonantes distintas y 3 vocales distintas?
i i
i i
13. “libroult”
i i
2001/8/30
page 17
i i
CAP´
ITULO 1. COMBINATORIA 17
Soluci´n
o
Podemos formar un total de C7,4 = 35 grupos de 4 consonantes distintas
y C5,3 = 10 grupos de 3 vocales distintas. Por otra parte, para cada
una de las 35 · 10 = 350 maneras de escoger 7 letras verificando las
condiciones impuestas, hay P7 = 7! = 5040 ordenaciones posibles de
´stas. Se concluye as´ que el total de palabras que pueden formarse es
e ı
35 · 10 · 7! = 350 · 5040 = 1764000.
P1.12] Una l´
ınea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cu´ntos billetes diferentes
a
habr´ que imprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de origen
a
y destino?
Soluci´n
o
Dado que las estaciones de origen y destino no pueden coincidir, y adem´s,a
dadas dos estaciones, es importante saber si corresponden al principio o al
final del trayecto, hay un total de V25,2 = 25 · 24 = 600 billetes diferentes.
P1.13] A partir de 5 matem´ticos y 7 f´
a ısicos hay que constituir una comisi´n
o
de 2 matem´ticos y 3 f´
a ısicos. ¿De cu´ntas formas podr´ hacerse si:
a a
1. todos son elegibles;
2. un f´
ısico particular ha de estar en esa comisi´n;
o
3. dos matem´ticos concretos no pueden estar juntos?
a
Soluci´n
o
1. Puesto que todos son elegibles, existen C5,2 = 10 grupos de 2 ma-
tem´ticos, y C7,3 = 35 grupos de 3 f´
a ısicos. Luego hay un total de
10 · 35 = 350 comisiones posibles.
2. Se fija uno de los f´
ısicos, luego existen C5,2 = 10 grupos de 2 ma-
tem´ticos, y C6,2 = 15 grupos de 3 f´
a ısicos. As´ se pueden formar
ı,
10 · 15 = 150 comisiones.
3. Se excluye la unica posibilidad de que el subgrupo de dos matem´ti-
´ a
cos lo constituyan los dos que no pueden estar juntos, por lo que
hay C5,2 − 1 = 9 grupos de 2 matem´ticos cumpliendo la condici´n.
a o
Adem´s hay C7,3 = 7 · 6 · 5/ (3 · 2) = 35 grupos de 3 f´
a ısicos, por lo
que el total de comisiones que pueden formarse es 9 · 35 = 315.
P1.14] Tres atletas toman parte en una competici´n. ¿De cu´ntas maneras
o a
podr´n llegar a la meta? (Pueden llegar juntos)
a
Soluci´n
o
Hay varias posibilidades:
Si llegan los tres juntos, entonces s´lo hay 1 posibilidad.
o
i i
i i
14. “libroult”
i i
2001/8/30
page 18
i i
18 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
Si llegan dos juntos, existen C3,2 = 3 grupos de dos que llegan juntos,
y P2 = 2 ordenaciones distintas del grupo de dos y el otro atleta,
por lo que existen 3 · 2 = 6 posibilidades.
Si llegan los tres por separado, existen 3! = 6 posibilidades.
Por lo tanto, pueden llegar a la meta de 13 maneras distintas.
P1.15] Se tienen n urnas diferentes. ¿De cu´ntas maneras diferentes se pueden
a
colocar en ellas m (n < m) bolas id´nticas:
e
1. sin restricci´n alguna en cuanto al n´mero de bolas en cada urna;
o u
2. si no puede haber ninguna urna vac´
ıa;
3. si quedan exactamente r (0 < r ≤ n) urnas vac´
ıas?
Soluci´n
o
Asumiendo que las urnas son distinguibles, plantear este problema es
equivalente a calcular de cu´ntas maneras pueden distribuirse m estrellas
a
(‘ ’) y n − 1 barras (‘| ’) entre dos barras fijas (puesto que los elementos
de los extremos deben ser necesariamente barras).
Por ejemplo, si n = 5 y m = 6, una posible distribuci´n puede represen-
o
tarse como:
| | | |
y significa que se coloca una bola en la primera urna, ninguna bola en la
segunda, tres bolas en la tercera, ninguna en la cuarta y dos en la quinta.
1. Si todos los elementos fuesen distinguibles habr´ (m + n − 1)! per-
ıa
mutaciones posibles de estos elementos. Sin embargo, dado que las
barras son indistinguibles entre s´ as´ como las estrellas, el resultado
ı, ı
es
m+n−1 (m + n − 1)!
CRn,m = = .
n−1 m! · (n − 1)!
2. En particular, si ninguna urna puede quedar vac´ fijamos n bolas,
ıa,
una en cada urna, por lo que el problema se reduce a distribuir m−n
bolas en n urnas. Aplicando lo anterior, se obtiene un total de
m−1 (m − 1)!
CRm−n,n = =
n−1 (m − n)! · (n − 1)!
distribuciones posibles.
3. Hay Cn,r maneras distintas de escoger las r urnas que quedar´n a
vac´ Por cada una de estas combinaciones, se fija una bola en cada
ıas.
una de las urnas que tendr´n alg´n elemento, resultando as´ un total
a u ı
i i
i i
15. “libroult”
i i
2001/8/30
page 19
i i
CAP´
ITULO 1. COMBINATORIA 19
de CRn−r,m−r formas de distribuir las m − r bolas que quedan en
las n − r urnas restantes. Por lo tanto, hay:
n n + m − 2r − 1
Cn,r · CRn−r,m−r = ·
r n−r−1
maneras de distribuir las bolas.
N´tese que, en el caso de que las urnas no fueran distinguibles, el problema
o
se complicar´ y habr´ que recurrir a otros procedimientos.
ıa ıa
P1.16] En un hospital se utilizan cinco s´ımbolos para clasificar las historias
cl´
ınicas de sus pacientes, de manera que los dos primeros son letras y los
tres ultimos son d´
´ ıgitos. Suponiendo que hay 25 letras, ¿cu´ntas historias
a
cl´
ınicas podr´n hacerse si:
a
1. no hay restricciones sobre letras y n´meros;
u
2. las dos letras no pueden ser iguales?
Soluci´n
o
1. Dado que es necesario tener en cuenta el orden de las dos letras esco-
gidas y que adem´s ´stas pueden repetirse, resulta que hay V R25,2 =
a e
252 = 625 posibilidades para las letras. Se procede an´logamente con
a
ıgitos y se obtiene un total de V R10,3 = 103 = 1000
el caso de los d´
posibilidades para los d´ıgitos. El total de historias cl´
ınicas que pue-
den hacerse es, por lo tanto, 625 · 1000 = 625000.
2. Se procede de forma similar al caso anterior, con la unica diferencia
´
de que ahora las letras no pueden repetirse. As´ hay V25,2 = 25·24 =
ı,
600 posibilidades para las letras, y V R10,3 = 1000 posibilidades para
los d´
ıgitos, resultando que hay 600 · 1000 = 600000 historias cl´
ınicas.
P1.17] ¿De cu´ntas formas se pueden sentar siete personas en torno a una mesa
a
redonda si:
1. no hay restricciones;
2. dos personas particulares no pueden sentarse juntas?
Soluci´n
o
1. El n´mero de permutaciones de las siete personas en la mesa es 7!.
u
Sin embargo, se observa que, dada una de estas posibles distribu-
ciones, si cada individuo se traslada al asiento situado a su derecha,
por ejemplo, la posici´n relativa de todos los individuos ser´ la mis-
o a
ma. Por tanto, como no se hacen distinciones entre los asientos en la
i i
i i
16. “libroult”
i i
2001/8/30
page 20
i i
20 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
mesa, debemos de dividir por el n´mero de casos en que la posici´n
u o
relativa es la misma, es decir, por 7. As´ el n´mero total de formas
ı, u
de sentarse es 7!/7 = 6! = 720.
2. Consideremos a esas dos personas como una sola. Procediendo igual
que en el apartado (a), se obtiene que hay 6!/6 = 5! = 120 distri-
buciones. Adem´s, hay P2 = 2! = 2 posibles distribuciones de esas
a
dos personas en particular. Por tanto, hay 120 · 2 = 240 formas de
sentarse, estando juntas las dos personas particulares. Por otra par-
te, hay 6! = 720 formas de sentarse, sin restricciones. Finalmente, se
concluye que hay 720 − 240 = 480 formas de sentarse.
P1.18] En la s´
ıntesis de prote´ınas hay una secuencia de tres nucle´tidos sobre
o
el ADN que decide cu´l es el amino´cido a incorporar. Existen cuatro
a a
tipos distintos de nucle´tidos seg´n la base, que puede ser A (adenina),
o u
G (guanina), C (citosina) y T (timina). ¿Cu´ntas secuencias distintas se
a
podr´n formar si se pueden repetir nucle´tidos?
a o
Soluci´n
o
Ya que importa el orden de los nucle´tidos en la secuencia, y adem´s ´stos
o a e
pueden repetirse, entonces existen V R4,3 = 43 = 64 secuencias distintas.
P1.19] ¿Cu´ntos ramilletes distintos se pueden formar con 5 flores de variedades
a
distintas?
Soluci´n
o
Pueden formarse ramilletes de 1, 2, 3, 4 ´ 5 flores. Por tanto, dado que
o
las flores de un ramillete no est´n ordenadas y adem´s no se repiten,
a a
tenemos:
5
C5,i = 25 − 1 = 31
i=1
ramilletes distintos.
P1.20] Suponiendo que hay 27 letras distintas, ¿cu´ntos conjuntos diferentes
a
de iniciales pueden formarse si cada persona tiene un apellido y
1. exactamente dos nombres;
2. no m´s de dos nombres;
a
3. no m´s de tres nombres?
a
Soluci´n
o
1. Si tiene dos nombres, hay V R27,3 = 273 = 19683 conjuntos de ini-
ciales.
2. Si tiene dos nombres como m´ximo, hay dos posibilidades:
a
i i
i i
17. “libroult”
i i
2001/8/30
page 21
i i
CAP´
ITULO 1. COMBINATORIA 21
del tipo “nombre apellido” hay V R27,2 = 272 posibilidades;
del tipo “nombre1 nombre2 apellido” hay V R27,3 = 273 posibi-
lidades.
Luego hay 272 · (1 + 27) = 20412 conjuntos de iniciales.
3. Si tiene tres nombres como m´ximo, a las dos posibilidades del apar-
a
tado (b) hay que a˜adir el tipo “nombre1 nombre2 nombre3 apelli-
n
do”, del que hay V R27,4 = 274 posibilidades, obteni´ndose finalmen-
e
te un total de 272 · 1 + 27 + 272 = 551853 conjuntos de iniciales.
P1.21] Si se arrojan d dados y m monedas, ¿cu´ntos resultados diferentes se
a
pueden distinguir?
Soluci´n
o
Suponiendo que los dados son distintos y las monedas son distintas:
Para el caso de los d dados (un dado tiene 6 resultados posibles),
puesto que se distinguen los dados entre s´ y en una tirada pue-
ı,
de obtenerse el mismo resultado en varios dados, hay un total de
V R6,d = 6d resultados distintos para los dados.
Procediendo de forma an´loga para las m monedas, se obtienen
a
V R2,m = 2m resultados distintos para las monedas.
Se concluye as´ que hay un total de 6d · 2m resultados diferentes.
ı
Suponiendo que los dados son iguales y las monedas son iguales:
El n´mero de resultados que se pueden obtener al arrojar los d dados,
u
teniendo en cuenta que ´stos son indistinguibles y puede repetirse el
e
mismo resultado en varios de ellos, es CR6,d = C6+d−1,d = Cd+5,d .
Adem´s, para las m monedas, hay un total de CR2,m = C2+m−1,m =
a
Cm+1,m = m + 1 resultados.
Por lo tanto, hay Cd+5,d · (m + 1) resultados diferentes.
i i
i i
19. “libroult”
i i
2001/8/30
page 23
i i
CAP´
ITULO 2
Fundamentos de probabilidades
Se llama espacio muestral Ω a un conjunto matem´tico donde cada elemento
a
representa un resultado (concreto) de un experimento. Dado que es una imagen
matem´tica (abstracta) de un problema (real) no es necesariamente unico para
a ´
un experimento dado, pudiendo por tanto existir diferentes espacios muestrales
para un mismo problema.
A cada elemento del espacio muestral se le llama suceso elemental ya que
se consideran como los resultados m´s simples que interesan de un experimen-
a
to. T´ıpicamente se desea estudiar caracter´ ısticas de algunos subconjuntos de
sucesos elementales, que reciben el nombre de sucesos. Se dice que un suceso
A ocurre cuando el resultado del experimento ω est´ asociado a uno de sus
a
sucesos elementales, es decir, ω ∈ A.
Para garantizar rigor en el uso de operaciones algebraicas como la uni´n y
o
la intersecci´n de conjuntos, la familia de sucesos se extiende con algunos otros
o
subconjuntos (complementos, etc.) de manera que la familia extendida A tenga
la siguiente propiedad de ´lgebra:
a
A ∈ A entonces Ac := Ω A ∈ A;
A1 , A2 ∈ A entonces A1 ∪ A2 ∈ A;
∅ ∈ A.
Sobre una pareja (Ω, A) se define una probabilidad como una funci´n
o
P : A −→ [0, 1]
23
i i
i i
20. “libroult”
i i
2001/8/30
page 24
i i
24 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
con las siguientes propiedades:
P (Ω) = 1;
si A1 , A2 ∈ A: A1 ∩ A2 = ∅ entonces P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ).
A la terna (Ω, A, P ) se le llama espacio probabil´
ıstico.
Dado (Ω, A, P ) con Ω ⊂ A, el espacio muestral Ω se llama equiprobable
cuando la probabilidad de todos sus sucesos elementales es la misma.
Una importante caracter´ ıstica de los espacios muestrales equiprobables es
que la probabilidad de cualquier suceso suyo se calcula determinando la pro-
porci´n de sus elementos sobre el total. Intuitivamente:
o
casos favorables a A
P (A) = .
casos posibles de Ω
Cuando Ω sea un conjunto finito esta ultima idea consiste en un c´lculo de
´ a
cardinales ya que:
|A|
P (A) = .
|Ω|
Dados dos sucesos A y B de un mismo espacio probabil´ ıstico (Ω, A, P ) con
P (B) > 0, se llama probabilidad condicionada de A dado B a la probabilidad
de que ocurra un suceso elemental en A supuesto que ha ocurrido alg´n suceso
u
elemental de B. Se representa por P (A | B), y sucede que:
P (A ∩ B)
P (A | B) := .
P (B)
Se dice que A y B son independientes si, y s´lo si, P (A ∩ B) = P (A)P (B).
o
Ejercicios Resueltos
P2.1] Describir el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimen-
tos aleatorios:
1. 250 personas son seleccionadas en La Laguna y se les pregunta si
van a votar al candidato A o al B.
2. Un dado es lanzado cinco veces consecutivas.
3. Cinco dados son lanzados simult´neamente.
a
4. Una moneda es lanzada hasta que salen dos caras o dos cruces con-
secutivas.
5. Cuatro objetos se envasan en paquetes de dos.
i i
i i
21. “libroult”
i i
2001/8/30
page 25
i i
CAP´
ITULO 2. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADES 25
6. Cuatro bolas son extra´
ıdas aleatoriamente y sin reeplazamiento de
una urna que contiene ocho bolas blancas y seis azules.
Soluci´n
o
1. Si wi representa la opci´n del i-´simo encuestado (i = 1, . . . , 250)
o e
entonces un posible espacio muestral es
Ω = {w = (w1 , w2 , . . . , w250 ) : wi ∈ {A, B} , i = 1, . . . , 250} =
= {(A, A, . . . , A) , (A, B, A, . . . , A) , . . . , (B, B, B, . . . , B)} .
Si no interesa conocer lo que vota cada persona, otro espacio mues-
tral v´lido ser´
a ıa:
Ω = {0, 1, 2, . . . , 250} ,
donde cada suceso elemental representa el n´mero de encuestados
u
que optan por el candidato A.
2. Representando por wi el resultado del i-´simo lanzamiento del dado
e
(i = 1, 2, 3, 4, 5), podemos definir el espacio muestral como
Ω = {w = (w1 , w2 , w3 , w4 , w5 ) : wi ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} .
3. Los dados se lanzan de forma simult´nea, por lo que de cada lan-
a
zamiento tendremos en cuenta tan s´lo el n´mero de veces que ha
o u
salido cada cara. As´ un posible espacio muestral es:
ı,
6
Ω= w = (w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6 ) : wi ∈ {0, 1, . . . , 5}, wi = 5
i=1
donde cada wi representa el n´mero de veces que sale el n´mero i
u u
en un lanzamiento (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) .
4. Representando por w1 el n´mero de lanzamientos hasta conseguir
u
dos caras o dos cruces consecutivas, y por w2 el resultado de los dos
ultimos lanzamientos, podemos definir como espacio muestral:
´
Ω = {w = (w1 , w2 ) : w1 ∈ {2, 3, . . .} , w2 ∈ {C, X}} .
5. Hay 4 objetos, que representaremos por A, B, C y D, y se envasan
en dos paquetes de dos objetos cada uno. Por lo tanto, desde que
se conozca la composici´n de un paquete ya se conoce la del otro.
o
Adem´s, elegido un objeto (por ejemplo, A) basta saber qui´n va
a e
con ´l en el paquete. Teniendo esto en cuenta, podemos definir como
e
espacio muestral para este experimento:
Ω = {B, C, D} .
i i
i i
22. “libroult”
i i
2001/8/30
page 26
i i
26 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
6. Si representamos por wi el color de la bola de la i-´sima extracci´n
e o
(i = 1, 2, 3, 4), siendo B =“blanco” y A =“azul” los dos posibles
colores a obtener, un posible espacio muestral es
Ω = {w = (w1 , w2 , w3 , w4 ) : wi ∈ {B, A} , i = 1, 2, 3, 4} .
P2.2] Una moneda es lanzada cinco veces. Definir espacios muestrales diferentes
de acuerdo a los siguientes objetivos:
1. S´lo el n´mero de caras es de inter´s.
o u e
2. El resultado de cada lanzamiento individual es de inter´s.
e
3. Mostrar que cualquier espacio muestral satisfactorio para (2) puede
ser tambi´n usado en (1), pero que la afirmaci´n rec´
e o ıproca no es
cierta.
Soluci´n
o
1. Representamos cada suceso elemental como w =“n´mero de caras
u
obtenidas en los cinco lanzamientos”. As´ un posible espacio mues-
ı,
tral es:
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5} .
2. Un posible espacio muestral es:
Ω = {w = (w1 , w2 , w3 , w4 , w5 ) : wi ∈ {C, X}} ,
donde cada wi representa el resultado del i-´simo lanzamiento de la
e
moneda, que puede ser C =“cara” y X =“cruz” (i = 1, 2, 3, 4, 5) .
3. Si tomamos un suceso del espacio muestral del apartado (b) podemos
calcular el n´mero de caras que han salido (espacio muestral del
u
apartado (a)). Sin embargo, a partir del n´mero de caras que se han
u
obtenido en cinco lanzamientos no podemos saber el resultado de
cada lanzamiento individual.
P2.3] Dado (Ω, A, P ) un espacio probabil´
ıstico, demostrar:
1. P (∅) = 0;
2. si A, B ∈ A: A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B);
3. si A ∈ A: P (Ac ) = 1 − P (A);
4. si A, B ∈ A: P (A B) = P (A) − P (A ∩ B);
5. si A, B ∈ A: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
i i
i i
23. “libroult”
i i
2001/8/30
page 27
i i
CAP´
ITULO 2. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADES 27
Soluci´n:
o
1. Basta tener presente las dos condiciones que cumple P por definici´n,
o
considerando A1 := Ω y A2 := ∅.
2. Basta tener presente las dos condiciones que cumple P por definici´n,
o
considerando A1 := A ∩ B = A y A2 := B A.
3. Basta tener presente las dos condiciones que cumple P por definici´n,
o
considerando A1 := A y A2 := Ac .
4. Basta tener presente las dos condiciones que cumple P por definici´n,
o
considerando A1 := A B y A2 := A ∩ B.
5. Usando los apartados anteriores: P (A ∪ B) = P (A) + P (B A) =
P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
P2.4] Un jugador italiano expres´ su sorpresa a Galileo, por observar que al
o
jugar con 3 dados la suma 10 aparece con m´s frecuencia que la 9. Seg´n el
a u
jugador los casos favorables al 9 ser´
ıan: 126, 135, 144, 225, 234 y 333; y al
10: 136, 145, 226, 235, 244 y 334. Pero Galileo vio que estas combinaciones
no se pueden considerar igualmente probables. Explicar por qu´ y calcular
e
las correspondientes probabilidades.
Soluci´n
o
Consideremos como espacio muestral:
Ω = {w = (w1 , w2 , w3 ) : wi ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} , i = 1, 2, 3} ,
donde cada wi representa el resultado del lanzamiento del i− ´simo dado
e
(i = 1, 2, 3). N´tese que este espacio es equiprobable y |Ω| = 63 .
o
La probabilidad de obtener resultados que sumen nueve es:
3! · [P ({(1, 2, 6)}) + P ({(1, 3, 5)}) + P ({(2, 3, 4)})]
3
+ · [P ({(1, 4, 4)}) + P ({(2, 2, 5)})] + P ({(3, 3, 3)})
2
1 3 25
= 3 · 6·3+ ·2+1 = .
6 2 216
Por otra parte, la probabilidad en el caso de que la suma sea igual a diez
es:
3! · [P ({(1, 3, 6)}) + P ({(1, 4, 5)}) + P ({(2, 3, 5)})]
3
+ · [P ({(2, 2, 6)}) + P ({(2, 4, 4)}) + P ({(3, 3, 4)})]
2
1 3 1
= 3 · 6·3+ ·3 = ,
6 2 8
que es mayor que 25/216.
i i
i i
24. “libroult”
i i
2001/8/30
page 28
i i
28 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
P2.5] Consid´rese un espacio muestral Ω formado por las 24 permutaciones de
e
los n´meros 1, 2, 3 y 4, todas equiprobables. Definimos Ai = {w ∈ Ω/en
u
w aparece el n´mero i en el lugar i-´simo}. Calcular:
u e
1. P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 )
2. P ((A1 ∪ A2 ) ∩ (A3 ∪ A4 ))
3. P (A1 ∪ A3 )
4. P (A1 ∪ (A3 ∩ A4 ))
Soluci´n
o
1. Dado que
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = P (Ai ) − P (Ai ∩ Aj )
1≤i≤4 1≤i<j≤4
+ P (Ai ∩ Aj ∩ Ak )
1≤i<j<k≤4
−P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ),
procedemos a calcular cada uno de los t´rminos:
e
|Ai | (4 − 1)! 6 1
P (Ai ) = = = = ,
|Ω| 24 24 4
para todo i = 1, . . . , 4
|Ai ∩ Aj | (4 − 2)! 2 1
P (Ai ∩ Aj ) = = = = ,
|Ω| 24 24 12
para todo i, j = 1, . . . , 4
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | 1
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = = ,
|Ω| 24
para todo i, j, k = 1, . . . , 4
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 | 1
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = = .
|Ω| 24
Luego, fijados por ejemplo Ai = A1 , Aj = A2 , Ak = A3 , se tiene que
la probabilidad pedida es:
4 4
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = · P (Ai0 ) − · P (Ai0 ∩ Aj0 )
1 2
4
+ · P (Ai0 ∩ Aj0 ∩ Ak0 )
3
i i
i i
25. “libroult”
i i
2001/8/30
page 29
i i
CAP´
ITULO 2. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADES 29
4
−· P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 )
4
1 1 1 1 5
= 4· −6· +4· −1· = .
4 12 24 24 8
2. Utilizando lo ya conocido para la probabilidad de la uni´n de dos
o
sucesos, se obtiene el resultado:
P ((A1 ∪ A2 ) ∩ (A3 ∪ A4 )) = P (A1 ∪ A2 ) + P (A3 ∪ A4 )
−P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 )
= {P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 )}
+ {P (A3 ) + P (A4 ) − P (A3 ∩ A4 )}
−P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) =
1 15 24 − 4 − 15 5
= 1−2· − = = .
12 24 24 24
3. Utilizando la propiedad de la probabilidad de la uni´n de dos sucesos
o
se obtiene:
1 1 5
P (A1 ∪ A3 ) = P (A1 ) + P (A3 ) − P (A1 ∩ A3 ) = 2 · − = .
4 12 12
4. An´logamente, se obtiene que:
a
P (A1 ∪ (A3 ∩ A4 )) = P (A1 ) + P (A3 ∩ A4 ) − P (A1 ∩ A3 ∩ A4 ) =
1 1 1 7
= + − = .
4 12 24 24
P2.6] Sean A1 , A2 y A3 sucesos tales que A1 ∪ A2 ∪ A3 = Ω y A1 ∩ A2 =
A1 ∩ A3 = A2 ∩ A3 . Sabiendo que P (A1 ) = 1/4 y P (A2 ) = 1/2 hallar
P (A3 ).
Soluci´n
o
Sabemos que P (Ω) = 1, y adem´s podemos expresar esta probabilidad
a
en funci´n de los tres sucesos que se definen en el enunciado. As´ desarro-
o ı,
llando esta expresi´n y sustituyendo los datos que nos da el problema, se
o
tiene que:
P (Ω) = 1 = P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 )
−P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A3 ) − P (A2 ∩ A3 )
+P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
1 1
= + + P (A3 ) − 2 · P (A1 ∩ A2 ),
4 2
usando, para la ultima igualdad, que:
´
P (A1 ∩ (A2 ∩ A3 )) = P (A1 ∩ (A1 ∩ A2 )) = P (A1 ∩ A2 ).
i i
i i
26. “libroult”
i i
2001/8/30
page 30
i i
30 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
Finalmente, despejando, obtenemos:
1
P (A3 ) = 2 · P (A1 ∩ A2 ) + .
4
P2.7] Tres caballos A, B y C participan en una carrera. El suceso “A vence a
B” se designa por AB, el suceso “A vence a B, el cual vence a C” como
ABC, y as´ sucesivamente. Se sabe que P (AB) = 2/3, P (AC) = 2/3
ı
y P (BC) = 1/2. Adem´s P (ABC) = P (ACB), P (BAC) = P (BCA)
a
y P (CAB) = P (CBA). Calcular P (A venza), P (B venza), P (C venza).
¿Son AB, AC y CB independientes?
Soluci´n
o
En este problema se asume que no existen los empates. Por ello, los
sucesos elementales son las permutaciones de las letras A, B y C, y un
simple espacio muestral es:
Ω = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} ; |Ω| = 3! = 6
Dicho espacio tiene |Ω| = 3! = 6 elementos, pero no es necesariamente
equiprobable. Adem´s:
a
AB = {ABC, ACB, CAB}
AC = {ABC, ACB, BAC}
BC = {ABC, BAC, BCA} .
Denotemos las probabilidades de los sucesos elementales:
P ({ABC}) = P ({ACB}) = p1 , P ({BAC}) = P ({BCA}) = p2 ,
P ({CAB}) = P ({CBA}) = p3 .
y resolvamos:
P (AB) = 2/3 ⇒ 2 · p1 + p3 = 2/3
P (AC) = 2/3 ⇒ 2 · p1 + p2 = 2/3
P (BC) = 1/2 ⇒ p1 + 2 · p2 = 1/2
Se obtiene as´ que p1 = 5/18, p2 = 1/9 y p3 = 1/9. Por tanto, las proba-
ı
bilidades que pide el problema son:
P (A venza) = P ({ABC}) + P ({ACB}) = 2 · p1 = 5/9
P (B venza) = P ({BAC}) + P ({BCA}) = 2 · p2 = 2/9
P (C venza) = P ({CAB}) + P ({CBA}) = 2 · p3 = 2/9.
i i
i i
27. “libroult”
i i
2001/8/30
page 31
i i
CAP´
ITULO 2. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADES 31
Por ultimo, para ver si AB, AC y CB son independientes, calculemos:
´
5
P (AB ∩ AC) = P ({ABC, ACB}) = P ({ABC}) + P ({ACB}) =
9
2 2 4
P (AB) · P (AC) = · = .
3 3 9
Dado que P (AB ∩ AC) = P (AB) · P (AC), se concluye que no son inde-
pendientes.
P2.8] Siendo A, B y C tres sucesos pertenecientes a un determinado espacio
muestral, se consideran los dos sucesos M = A∩B c ∩C c y N = A∩(B∪C).
Calcular las probabilidades de M y N sabiendo que P (A) = 0,7, P (B) =
0,6, P (C) = 0,5, P (A ∩ B) = 0,45, P (A ∩ C) = 0,35, P (B ∩ C) = 0,25 y
P (A ∩ B ∩ C) = 0,15.
Soluci´n
o
Se puede usar la diferencia de sucesos, y as´
ı:
c
P (M ) = P (A ∩ B c ∩ C c ) = P (A ∩ (B ∪ C) )
= P (A| (B ∪ C)) = P (A) − P (A ∩ (B ∪ C))
= P (A) − P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))
= P (A) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) + P ((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))
= 0,7 − 0,45 − 0,35 + 0,15 = 0,05.
Otro modo de calcular P (M ) consiste en usar la expresi´n equiva-
o
lente a la uni´n de los sucesos A, B y C:
o
A ∪ B ∪ C = (A ∩ (B ∪ C)c ) ∪ B ∪ C = (A ∩ B c ∩ C c ) ∪ B ∪ C.
Se tiene entonces que:
P (A ∪ B ∪ C) = P ((A ∩ B c ∩ C c ) ∪ B ∪ C)
= P (A ∩ B c ∩ C c ) + P (B) + P (C)
−P (A ∩ B c ∩ C c ∩ B) − P (A ∩ B c ∩ C c ∩ C)
−P (B ∩ C) + P ((A ∩ B c ∩ C c ) ∩ B ∩ C),
siendo
A ∩ Bc ∩ C c ∩ B = A ∩ Bc ∩ C c ∩ C = ∅
y
(A∩B c ∩C c )∩(B ∪ C) = (A ∩ B c ∩ C c ∩ B)∪(A ∩ B c ∩ C c ∩ C) = ∅.
i i
i i
28. “libroult”
i i
2001/8/30
page 32
i i
32 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
Por tanto:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A ∩ B c ∩ C c ) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C). (1)
Hemos logrado expresar la probabilidad pedida en funci´n de las
o
probabilidades conocidas P (B), P (C), P (B ∩ C) y P (A ∪ B ∪ C),
siendo el valor de esta ultima:
´
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B)
−P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) =
= 0,7 + 0,6 + 0,5 − 0,45 − 0,35 − 0,25 + 0,15 = 0,9
Finalmente, despejamos en 2.1 el resultado:
P (M ) = P (A ∩ B c ∩ C c ) = 0,05
Para calcular P (N ), expresamos N como uni´n de sucesos disjuntos,
o
utilizando la diferencia de sucesos:
P (N ) = P (A ∩ (B ∪ C)) = P ((A ∩ B) ∪ ((A ∩ C) | (A ∩ B ∩ C)))
= P (A ∩ B) + P ((A ∩ C) | (A ∩ B ∩ C))
= P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P ((A ∩ C) ∩ (A ∩ B ∩ C))
= P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)
= 0,45 + 0,35 − 0,15 = 0,65,
verific´ndose la tercera igualdad debido a que los sucesos A ∩ B y
a
(A ∩ C) | (A ∩ B ∩ C) son disjuntos.
Otra forma de obtener la probabilidad pedida ser´ directamente:
ıa,
P (N ) = P (A ∩ (B ∪ C)) = P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))
= P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C) .
P2.9] Siendo A1 , A2 y B tres sucesos tales que A1 ∩ A2 = ∅, demostrar que
P (A1 ∪ A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B).
Soluci´n
o
Aplicamos la definici´n de probabilidad condicionada y se obtiene:
o
P ((A1 ∪ A2 ) ∩ B) P ((A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B))
P (A1 ∪ A2 |B) = = =
P (B) P (B)
P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) − P (A1 ∩ A2 ∩ B)
= =
P (B)
P (A1 ∩ B) P (A2 ∩ B)
= +
P (B) P (B)
= P (A1 |B) + P (A2 |B).
i i
i i
29. “libroult”
i i
2001/8/30
page 33
i i
CAP´
ITULO 2. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADES 33
La tercera igualdad se verifica debido a que P (A1 ∩ A2 ∩ B) = P (∅ ∩ B) =
P (∅) = 0.
P2.10] Demostrar que si A1 , A2 y A3 son independientes, entonces tambi´n lo
e
son Ac , Ac y Ac . Y que si A1 , A2 y A3 son independientes, entonces son
1 2 3
independientes por pares, pero que lo rec´ ıproco no es cierto.
Soluci´n
o
“Si A1 , A2 y A3 son independientes, entonces Ac , Ac y Ac son
1 2 3
independientes”.
Supongamos A1 , A2 y A3 independientes. Esto quiere decir que:
P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 ) · P (A2 )
P (A1 ∩ A3 ) = P (A1 ) · P (A3 )
P (A2 ∩ A3 ) = P (A2 ) · P (A3 )
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 ) · P (A2 ) · P (A3 )
Veamos que esto se verifica tambi´n para Ac , Ac y Ac , pues:
e 1 2 3
c
P (Ac ∩ Ac )
1 2 = P ((A1 ∪ A2 ) ) = 1 − P (A1 ∪ A2 ) =
= 1 − P (A1 ) − P (A2 ) + P (A1 ∩ A2 ) =
= 1 − P (A1 ) − P (A2 ) + P (A1 ) · P (A2 ) =
= (1 − P (A1 )) · (1 − P (A2 )) = P (Ac ) · P (Ac ) .
1 2
An´logamente:
a
P (Ac ∩ Ac ) = P (Ac ) · P (Ac )
1 3 1 3
P (Ac ∩ Ac ) = P (Ac ) · P (Ac ) .
2 3 2 3
Por ultimo, tenemos que:
´
c
P (Ac ∩ Ac ∩ Ac ) =
1 2 3 P ((A1 ∪ A2 ∪ A3 ) ) = 1 − P (A1 ∪ A2 ∪ A3 )
= 1− P (Ai ) + P (Ai ∩ Aj )
1≤i≤3 1≤i<j≤3
−P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
= 1− P (Ai ) + P (Ai ) · P (Aj )
1≤i≤3 1≤i<j≤3
−P (A1 ) · P (A2 ) · P (A3 )
= P (Ac ) · P (Ac ) · P (Ac ) .
1 2 3
“Si A1 , A2 y A3 son independientes, entonces son independientes por
pares”.
El resultado es consecuencia de la definici´n.
o
i i
i i
30. “libroult”
i i
2001/8/30
page 34
i i
34 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
“Si A1 , A2 y A3 son independientes por pares, esto no implica que
necesariamente sean independientes”.
Supongamos que se realiza un experimento aleatorio que consiste en
lanzar dos dados distinguibles (1 y 2). Un espacio muestral es
Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} ,
donde i representa el resultado del dado 1 y j el resultado del dado
2 (i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) . Este espacio es equiprobable, y su cardinal
es |Ω| = 62 = 36. Por tanto,
2
1 1
P ((i, j)) = = , para todo i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6 36
Definamos los sucesos:
A = “El resultado del dado 1 es un no par”,
B = “El resultado del dado 2 es un no par”,
C = “Los dos dados dan el mismo resultado”.
Entonces:
18 1 1 6 1
P (A) = = P (B) = P (C) = = .
36 2 2 36 6
Son independientes por pares ya que
9 1
P (A ∩ B) = = = P (A) · P (B) ,
36 4
3 1
P (A ∩ C) = = = P (A) · P (C) ,
36 12
3 1
P (B ∩ C) = = = P (B) · P (C) ,
36 12
pero, sin embargo, no se cumple la ultima condici´n para la inde-
´ o
pendencia, ya que las probabilidades:
6·3 1
P (A ∩ B ∩ C) = = ,
36 12
1
P (A) · P (B) · P (C) =
24
son diferentes:
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C)
i i
i i