Estadistica

1. Fernando Alberto González Cáceres

2. 1
La elaboración de esta pequeña guía de apuntes se ha caracterizado por la compañía que
me ha dado a lo largo de seis años que di comienzo a escribirla, son muchos los aportes de mis
alumnos a lo largo del tiempo, es un recopilación de temas que con el transcurrir de los días se
fueron mejorando en las aulas de clase, con la lectura de muchos autores y con la tesonera
resolución de ejercicios en cada uno de los términos y semestres que he compartido con todos
ustedes.
Es por ello que la dedico a los que han hecho posible su elaboración y a los que permitirán
su corrección.
A mi Dios Todo Poderoso
A mi Familia, Especialmente al Dr. Virgilio Cáceres (Q.e.p.d)
A mis Alumnos
Esta primera aproximación será el inicio de muchos intentos por seguir dando material
escrito para todas aquellas personas que a bien tengan su uso, por muchas revisiones, siempre se
pasan algunos, espero me lo hagan saber, pues ellos son los que en definitiva nos mueven cada
día a hacer mejor las cosas, me refiero a los errores.
Agradezco a Dios por permitirme estar con todos ustedes, a mis padres por esa formación
que me han dado, a mi esposa Liz por la paciencia, a mis dos hijos Luís y Sebastián Fernando,
motivo de permanente superación, a mi familia, a mis amigos, a mis compañeros de Trabajo, a la
Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada, a todos Mis Alumnos son ustedes el
motivo inspirador de esta publicación.
Mil Gracias a Todos.
Fernando

3. 2
PRESENTACION
La matemática ha sido considerada, durante mucho tiempo, como una ciencia exacta. Esto
se refleja en la enseñanza de la misma en todos los niveles educativos, en donde se pone fuerte
énfasis en la exactitud de los resultados.
De esta manera, los problemas en los que no es posible obtener resultados exactos van
quedando fuera. El pensamiento determinista ha sido y es el eje de acción de toda la matemática,
por lo cual ha quedado siempre asociado, en nuestro medio social, a la certidumbre y exactitud de
los resultados.
De esto se desprende la necesidad de dar cabida al pensamiento no determinista
(probabilista) ya que toda actividad humana está asociada a cierto grado de incertidumbre frente a
la cual hay que tomar decisiones.
Se hace necesario, entonces, mostrar que los modelos teóricos de la Matemática actuando
en la realidad dan aproximaciones de ella. De esta manera, debemos reconocer que en la práctica
cotidiana se hacen aproximaciones y que el error en los resultados finales puede ser acotado pero
no evitado. Por ejemplo, cuando se realiza una medición, el valor que se obtiene es una
aproximación de la medida: basta con realizar una experiencia y observar que si se mide varias
veces el mismo objeto, los resultados que se obtiene tienen variaciones.
La estadística y la probabilidad comienzan a desarrollarse en distintos momentos y
separadamente. En un comienzo la estadística se inicia vinculada a la recolección de datos del
estado: por ejemplo, interesaba conocer la población, la cantidad de habitantes, los recursos
disponibles, las cosechas, etcétera. Los gobernantes necesitaban saber con cuántos hombres
contaban para la guerra, cuánto impuesto podían exigir a sus contribuyentes. Así, ejemplos de
censos aparecen desde miles de años atrás; tal vez el ejemplo más conocido es el que aparece en
la Biblia, cuando el nacimiento de Cristo hace 2000 años, pero se encuentran datos de censos o
recuentos anteriores.
Los primeros estudios de probabilidad surgen vinculados con los juegos de azar; es
posible que esta sea una de las razones por la cual su desarrollo matemático se haya demorado.
Existen vestigios de juegos de azar en muchas comunidades ya que es una actividad que atrajo
siempre el interés del hombre tanto como actividad lúdica como para predecir el futuro.
La incorporación de la estadística y la probabilidad dentro de los pensum de estudios en el
nivel universitario es de vieja data, pero su trabajo en el aula, como un aspecto importante de la

4. 3
educación matemática del alumno, aun no se ha logrado suficientemente, a pesar de la
importancia de la misma para decodificar la información que se nos presenta del mundo actual.
Estamos en permanente contacto con datos estadísticos: basta con abrir un diario y observar la
información que allí se brinda; se realizan encuestas previas a las elecciones y encuestas a
consumidores, se proporcionan datos del tiempo, así como comentarios estadísticos en los
deportes, entre otros. Es por esto la importancia de la asignatura, ya que un profesional de la
Ingeniería debe estar en capacidad, no solo de conocer sino de poder leer correctamente esta
información e interpretarla adecuadamente.
La enseñanza de la estadística y la probabilidad debe estar estrechamente vinculada con el
accionar diario de nuestros alumnos: por ello, los ejemplos y las actividades deben estar de
acuerdo a sus intereses y al momento que se vive. Es necesario que quienes egresen como
ingenieros estén en condiciones de comprender y apreciar datos estadísticos que aparecen no solo
en los distintos medios de comunicación, sino de que manera se debe organizar, presentar y
analizar información útil para la toma de decisiones.
El texto que se presenta para la enseñanza de la probabilidad y la estadística, más que
cumplir con el objetivo de los contenidos programáticos de la asignatura que se dicta en el tercer
semestre del Ciclo Básico de Ingeniería de la Universidad Nacional Experimental de la Fuerza
Armada, se fija otros no mas importantes, pero de seguro fortalecerán el proceso de aprendizaje
de nuestros alumnos, en el se hace énfasis del papel que juega la estadística en nuestra sociedad.
Se resalta la utilidad de la estadística en otras ciencias, la importancia de ella para la toma
de decisiones, como interpretar correctamente datos estadísticos que aparecen diariamente en
nuestro entorno, así como los que aparecen en medios de comunicación, la relación que existe
entre la estadística y la probabilidad.
Cuando se hace referencia al estudio de la probabilidad se da a conocer el significado de
lo que es un Fenómeno, un experimento aleatorio, cuándo se está en presencia de una situación
cuyo resultado es incierto y la interpretación de ella muchas veces no es clara y lleva a una
interpretación errónea.
La existencia de vocablos de uso corriente, vinculados al tema, de los cuales no siempre
los alumnos conocen correctamente su significado e incluso, en algunos casos, pueden utilizar
unos por otros, por ejemplo: seguro, posible, imposible, probable. La fuerte vinculación de la
probabilidad a los juegos, se resalta en el mismo, es por ello que este texto además puede ser
utilizado como libro no solo de los Alumnos Cursantes de la Asignatura; sino también de
cualquier otra persona interesada en la materia, como material de consulta.

5. 4
ÍNDICE GENERAL
Estadística Descriptiva
Mapa Conceptual de la Probabilidad y Estadística
Clasificación de la estadística…………………………………………………………….
Definición de términos básicos…………………………………………………………..
Usos de la estadística……………………………………………………………………..
El símbolo de la sumatoria……………………………………………………………….
Ordenación u Organización de los datos………………………………………………….
Redondeo de datos…………………………………………………………………………
Distribución de Datos
Datos directos……………………………………………………………………………….
Datos agrupados en intervalos de clase……………………………………………………..
Representación grafica………………………………………………………………………
Escala de medida …………………………………………………………………………….
Problemas propuestos de agrupación de datos……………………………………………….
Medidas de Tendencia Central
La media o valor esperado……………………………………………………………………
La moda………………………………………………………………………………………
La mediana……………………………………………………………………………………
Aplicaciones de las medidas de tendencia central…………………………………………….
Relaciones entre las medidas de tendencia central. …………………………………………..
Medidas de tendencia central secundarias……………………………………………………
Medidas de Posición
Percentiles………………………………………………………………………………………
Deciles………………………………………………………………………………………….
Quartiles………………………………………………………………………………………..
Rangos percentiles………………………………………………………………………………
Desviación cuartil………………………………………………………………………………

6. 5
Medidas de la Dispersión de la Distribución
Rango………………………………………………………………………………………
Desviación estándar……………………………………………………………………….
Varianza……………………………………………………………………………………
Desviación media…………………………………………………………………………..
Coeficiente de variación de Pearson………………………………………………………
Medidas de Forma
Asimetría……………………………………………………………………………………
Curtosis……………………………………………………………………………………..
Problemas propuestos de medidas Estadísticas……………………………………………….
Introducción a las Probabilidades
Conceptos Básicos de Probabilidad
Probabilidad………………………………………………………………………………….
Fenómeno y tipos de fenómenos……………………………………………………………..
Espacio muestral……………………………………………………………………………..
Eventos……………………………………………………………………………………….
Relación de eventos…………………………………………………………………………..
Operación con eventos……………………………………………………………………….
Combinación de eventos……………………………………………………………………..
Probabilidades
Definición de Probabilidad como Frecuencia
Idea Intuitiva de probabilidad………………………………………………………………..
Regla de LAPLACE………………………………………………………………………….
Definición axiomática de probabilidad……………………………………………………….
Propiedades básicas de la probabilidad……………………………………………………….
Eventos y sus probabilidades………………………………………………………………….
Métodos de enumeración……………………………………………………………………...
Ejercicios propuestos de cálculo de probabilidades…………………………………………..

7. 6
Probabilidad Condicional
Introducción a la Probabilidad Condicional……………………………………………
Tablas de contingencia y diagramas de árbol………………………………………………
Partición de un espacio muestral ………………………………………………………….
Teorema de la probabilidad total………………………………………………………….
Teorema de Bayes………………………………………………………………………….
Ejercicios propuestos de probabilidad condicional y probabilidad total…………………..
Variable Aleatoria
Discreta
Función de probabilidad…………………………………………………………………
Función de distribución………………………………………………………………….
Parámetros de la variable………………………………………………………………..
Continua
Función de densidad……………………………………………………………………..
Función de distribución…………………………………………………………………..
Parámetros de la variable………………………………………………………………...
Ejercicios propuestos de variable aleatoria………………………………………………
Distribución de Probabilidad
Discreta
La Distribución Binomial…………………………………………………………………
La Distribución de Poisson………………………………………………………………..
La Distribución Geométrica……………………………………………………………….
La Distribución Hipergeométrica………………………………………………………….
Ejercicios propuestos de distribución de probabilidades discretas……………………….
Continua
La Distribución Normal……………………………………………………………………
La Distribución Gamma……………………………………………………………………
La Distribución Exponencial ………………………………………………………………
La Distribución Chi-cuadrada……………………………………………………………..
La Distribución T de Student………………………………………………………………

8. 7
La Distribución Beta …………………………………………………………………….
La Distribución Weibull…………………………………………………………………
La Distribución F de Snedecor…………………………………………………………..
Ejercicios propuestos de distribución de probabilidades continuas……………………..
Estadística Inferencial
Introducción a la Estadística Inferencial
Objetivo de la estadística…………………………………………………………………..
Estadística inferencial………………………………………………………………………
Parámetros y estadísticos…………………………………………………………………..
Función de parámetros y estadísticos……………………………………………………..
Uso de estadísticos para estimar parámetros………………………………………………
Símbolos estándar………………………………………………………………………….
Muestreo aleatorio simple………………………………………………………………….
Distribuciones muéstrales y el teorema central del limite. ………………………………..
Concepto de distribución de muestreo…………………………………………………….
Media………………………………………………………………………………………
Varianza……………………………………………………………………………………
Desviación típica o estándar……………………………………………………………….
Distribución Muestral de Medias
Muestreo con reemplazamiento……………………………………………………………
Muestreo sin reemplazamiento…………………………………………………………….
El teorema del límite central……………………………………………………………….
Propiedades de los estimadores y estimación puntual……………………………………..
Definición de estimador……………………………………………………………………
Definición de estimación…………………………………………………………………..
Criterios para seleccionar un buen estimador……………………………………………...
Cualidades de un buen estimador…………………………………………………………..
Búsqueda del mejor estimador…………………………………………………………….
Tipos de estimación………………………………………………………………………..
Definición de estimación puntual………………………………………………………….
Desventajas de las estimaciones puntuales………………………………………………....
Definición de estimación de intervalo…………………………………………………….

9. 8
Estimador sesgado e insesgado……………………………………………………………
Estimación por Intervalos
Intervalos de confianza para la media con σ conocida…………………………………...
Intervalos de confianza para la media con σ desconocida………………………………..
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con σ conocida…………….
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con σ desconocida…………
Intervalos de confianza para la proporción de la población………………………………
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones…………………………
Intervalos de confianza para la desviación Standard............................................................
Ejercicios Propuestos……………………………………………………………………….
Pruebas de Hipótesis Paramétricas
Introducción ………………………………………………………………………………..
Pasos básicos de la prueba de hipótesis con el método de valor crítico……………………..
Errores Tipo I y Tipo II en pruebas de hipótesis……………………………………………..
Para la media con varianza poblacional conocida……………………………………………
Para la media con varianza poblacional desconocida………………………………………..
Para la diferencia entre medidas con varianzas poblacionales conocidas…………………..
Para la diferencia entre medias con varianzas poblacionales desconocidas…………………
Para la proporción de la población…………………………………………..………………
Para la diferencia entre dos proporciones poblacionales…...........………………………….
Para Varianzas poblacionales…...........…………………………............................................
Ejercicios propuestos………………………………………………………………………….
Variable Aleatoria Bidimensional
Variables Estadísticas Bidimensionales
Distribuciones de frecuencias………………………………………………………………..
Representaciones gráficas……………………………………………………………………
Parámetros estadísticos de la v. a. bidimensional……………………………………………
Regresión lineal......................................................................................................................
Correlación lineal. ……………………………………………………………………………
Ejercicios resueltos……………………………………………………………………………
Ejercicios propuestos………………………………………………………………………….

10. 9
ESTADÍSTICA
Conceptos
Básicos
Estadística
Descriptiva
Población Muestra
PROBABILIDAD
Conceptos Básicos
Distribuciones de
Probabilidad
Distribuciones en
el Muestreo
Desigualdad de Tchebysheff,
Ley de los grandes Números,
Teorema Central del Límite.
INFERENCIAL
Estimación
Prueba de Hipótesis
para una y dos
poblaciones
Parámetro Estimador
Discretas Binomial,
Poisson, otras.
Continuas, Normal,
Exponencial, Chi-
cuadrado, T de
Student, otras.
Student
Puntual Por intervalos
Distribución de
Frecuencia
Tendencia
Central
Dispersión
Forma
Posición

11. 10
ESTADISTICA
Estudia eventos reales Obtiene datos numéricos
Recopilar
Clasificar CONCLUSIONES
ESTADISTICA Presentar → =============
(Método científico). Analizar LOGICAS
Interpretar
Descriptiva (describe características)
ESTADISTICA
(Clasificación) Inferencial (infiere dentro de límites probables)
Infinitas Probabilísticas
POBLACION MUESTRA
(El todo) Finitas (La parte) No Probabilísticas
PARAMETROS ESTADISTICOS
(Medidas de la población) (Medidas de la muestra)
 = Media Aritmética X = Media Aritmética
 = Desviación Standard S = Desviación Standard
DATO =========  Característica Medible
Cualitativas. Indican alguna propiedad
(Atributos) de los hechos observados
MEDIDAS
Cuantitativas. Las cualidades toman
(Variables) distintos valores
Continúas (sin interrupciones)
VARIABLES
(Valores que puede tomar) Discretas (con interrupciones)

12. 11
La Estadística es la disciplina de las matemáticas que se refiere a los métodos de
recolección, clasificación, presentación, de Información para el análisis e interpretación de un
conjunto de datos para la toma de decisiones. Se divide en:
 Estadística Descriptiva
 Estadística Infencial o Inferencia Estadística
Estadística Descriptiva – Aquellos métodos que incluyen la recolección, presentación y
caracterización de un conjunto de datos con el fin de describir apropiadamente las diversas
características de ese conjunto.
Estadística Inferencial – Aquellos métodos que hacen posible la estimación de una
característica de una población o la toma de una decisión con respecto a una Población,
basándose sólo en los resultados de una Muestra.
Definición de Términos Básicos
Dato:
Números o medidas que han sido recopiladas como resultado de observaciones
Ejemplo: Numero de personas que son fanáticos de determinado equipo de Béisbol.
Caso:
Individuos sobre los cuales se va a tomar observaciones o variables.
Medición:
Consiste en asignar números a los objetos de acuerdo a determinadas reglas.
Población:
Conjunto completo de individuos, objetos o medidas que poseen una característica común
observable.
Ejemplo: los estudiantes de la UNEFA Núcleo Puerto Cabello.
Muestra:
Es una parte o un subconjunto de una población.
Ejemplo: los estudiantes de Ingeniería Naval de un semestre cualquiera.
Parámetro:
Es una medida obtenida a partir de las observaciones de una población.
Ejemplo: la Media de la Población.

13. 12
Estadístico:
Es una medida obtenida a partir de las observaciones de una muestra.
Ejemplo: la Media de la Muestra.
Atributo:
Es una característica discontinua, es decir, solo puede manifestarse bajo una sola modalidad en
una variable cualitativa.
Ejemplo: El estado civil, el sexo, la nacionalidad y la profesión.
Variable:
Es una característica que puede manifestarse según dos o más modalidades.
Ejemplo: El peso, la estatura y la edad.
Variable cualitativa:
Cuando se describen cualidades o categorías de las mediciones realizadas.
Ejemplo: el color de los carros vendidos.
Variable cuantitativa:.
Cuando se suelen asignar cantidades a la representación de la variable.
Ejemplo: El numero de carros vendidos.
Tipos de variables Cuantitativas
Variables cuantitativas Discretas:
Son aquellas que representan mediciones dentro del conjunto de números enteros, es decir, son
valores puntuales y que entre ellos no pueden existir otros valores en la escala.
Ejemplo: el número de automóviles vendidos en un año.
Variables cuantitativas Continuas:
Son aquellas que expresan continuidad en dos valores puntuales.
Ejemplo: La longitud, la fuerza y la edad.
Tipos de Muestras
Muestras aleatorias simples:
Son aquellas que se obtienen de tal manera que cada individuo, objeto o medida de una población
tenga igual oportunidad de ser seleccionada.
Muestra estratificada:
Son aquella que se obtienen estratificando los elementos de la población en función de los

14. 13
objetivos mismos del muestreo, para luego de cada estrato tomar muestras al azar simple, cuya
magnitud será proporcional a la parte que el estrato representa en toda la población. La
integración de todas estas muestras genera la muestra estratificada.
Mediciones cuantitativas:
Son aquellas que expresan dimensión o capacidad.
Mediciones cualitativas:
Son aquellas que expresan características, atributos, actitudes, etc. y no están representadas
numéricamente.
Unidad de observación:
Es un solo miembro de la población que se estudia.
El diseño de experimentos es útil para la toma de “buenas decisiones”, la utilización de un
modelo. Ayuda a:
- Obtener conclusiones de la Investigación Empírica usando Modelos Matemáticos
- Evaluar y juzgar discrepancia entre la observación y la teoría
- Tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.
En un Estudio Estadístico hay que tener en cuenta:
- Objetivo: ¿Qué queremos hacer?
- Diseño: ¿Cuál es la forma apropiada?
- Recogida de datos: Conseguir información
- Análisis: ¿Qué dice la información?
- Descriptivo: Sobre la muestra
- Inferencial: Sobre la población
- Presentación de resultados: ¿Cómo se transmiten?
Utilidad de la Estadística, la estadística enseña a:
- Evitar sesgos
- Aprovechar mejor la información
- Ahorrar material y dinero
- Proporciona Métodos:
 De recogida de datos
 De codificación
 De control de errores
 De Análisis:

15. 14
o Descriptivo: Resumen de datos mediante tablas y gráficos.
o Probabilístico: Estimación, contrastes y modelos para la toma de decisiones
¿Quienes usan la Estadística?
• Organismos oficiales.
• Diarios y revistas.
• Políticos.
• Deportes.
• Marketing.
• Control de calidad.
• Administradores.
• Investigadores científicos.
• Médicos
• etc.
Estadística en Administración y Economía
• En una Industria, se hace inspección de los artículos comprados como materia prima. Se debe
entonces contar los artículos defectuosos en el lote comprado.
• En una Industria, se deben llevar registros de la producción, tanto en volumen como en calidad.
• En un estudio de mercado, se toma una muestra de clientes y se pide la opinión de las personas
acerca de las calidades de cierto producto.
• El comerciante detallista debe decidir cada día la cantidad de unidades de artículos perecederos
que debe encargar para el día siguiente. Para ello, debe observar las ventas de artículos, los costos
en que se incurre por quedar con un remanente almacenado, los costos por no satisfacer
completamente la demanda.
Estadística en el Gobierno
• Se recopilan datos sobre población, educación, comercio exterior, impuestos, etc.
• Se usa para la planificación adecuada de las políticas orientadas a la satisfacción de las
necesidades de los ciudadanos.
Los datos también los pueden utilizar:
– Inversionistas Nacionales (negocios)
– Inversionistas Extranjeros
– Instituciones Internacionales

16. 15
Estadística en las Ciencias Sociales
• Encuestas de opinión pública: temas de actualidad, “pulso político”, intenciones de voto.
• Generalmente, los resultados que presenta la prensa están basados en estadísticas simples
(cálculos de frecuencias, medias, gráficos de barras o circulares), como las que veremos en este
curso.
Estadística en la Educación
• Un Educador puede dar seguimiento al rendimiento de sus estudiantes mediante los registros de
notas a través del tiempo junto con información familiar, social, etc.
• Si se quiere estudiar los factores que pueden haber influido en las pruebas de sexto grado
realizadas por el Ministerio de Educación, se podría aplicar un cuestionario con preguntas de
selección única tratando de discernir cuales elementos pueden ser tomados en cuenta.
Estadística en las Ingenierías
• Los análisis de Control de Calidad necesitan de la obtención de información acerca de los
productos que son fabricados o de los servicios que se brindan.
• Muchas veces, en el caso de fabricación de productos, se toman muestras y éstas deben pasar
una serie de exámenes de resistencia, durabilidad, etc.

17. 16
El Símbolo de la Sumatoria (  )
Sea un conjunto de n valores para una variable x. Entonces, el símbolo 
n
i
i
x
1
, significa que los n
valores se tienen que sumar juntos. O sea,


n
i
ni
xxxxx
1
321
....
Ejemplo 1. Supóngase que se tienen las seis observaciones siguientes para la variable x:
x 1 = 2 , x 2 = 5 , x 3 = 0 , x 4 = - 1 , x 5 = 6 , x 6 = 4 , entonces;


6
1
654321
i
i
xxxxxxx = 2 + 5 + 0 + (-1) + 6 + 4 = 16
Nota: no es lo mismo la suma de los valores cuadrados de x, que la suma de los valores de x al
cuadrado. O sea,
  






n
i
n
i
ii xx
1
2
1
2
En el caso del ejemplo 1, la suma de los valores cuadrados de x sería,


6
1
2
6
2
2
2
1
2
......
i
i
xxxx
82163610254)4()6()1()0()5()2(x 222
6
1i
2222
i 
Por otro lado, el cuadrado de la suma de x sería,
82256totanloPor;256)16(x 2
26
1i
i 






En muchas ocasiones estamos interesados en la suma del producto de dos variables.
Sean x , y dos variables que poseen n observaciones respectivamente. Entonces,


n
i
nni
yxyxyxyx
1
22111
......

18. 17
Ejemplo 2. Sea y una variable con los valores siguientes: y1 = 1, y2 = 3, y3 = 2
y4 = -2 , y5 = 5 , y6 = 10. Entonces, utilizando los valores del ejemplo 1 para la variable x
obtendremos,


6
1
6622111
......
i
i
yxyxyxyx


6
1i
ii )10(4)5(6)2)(1()2(0)3(5)1(2yx = 2 + 15 + 0 + 2 + 30 + 40 = 89
Nota:   












n
i
n
i
i
n
i
iii yxyx
1 11
Del Ejemplo 1, x = 16 mientras que y = 19, por lo tanto: (x) (y) = (16)(19) = 304, Donde
89  304.
Reglas Básicas para las Operaciones con Sumatoria
Regla 1: la sumatoria de la suma de los valores de las variables x & y es igual a la suma de las
sumatorias de los valores de las variables individuales.
    

n
i
N
I
N
I
IIII
YXYX
1 1 1
)(
Ejemplo 3:
Sean x 1 =2, x 2 = 5 , x 3 = 1, x 4 = 2 ; y1 = 0, y 2 = 3, y 3 = 1, y 4 = 5


4
1i
)II 197282)52()11()35()02(yx(
  

4
1I
4
1I
iI 19910yx
Regla 2: La sumatoria de la diferencia de los valores de las variables x & y es igual a la
diferencia de las sumatorias de los valores de las variables individuales.
    

n
i
n
i
n
i
iii
yxyx
1 1 1
1
)(

19. 18
Utilizando los datos del ejemplo 3, tendremos:


4
1i
ii 1)52()11()35()02()yx(
  

4
1I
4
1I
iI 1910yx
Regla 3: La suma del producto de una constante k multiplicada por una variable x, es igual a la
constante multiplicada por la sumatoria de la variable.
  

n
1I
n
1I
iI )x(k)x(k
Ejemplo 4: Sea k = 2 y sean x 1 = 3, x 2 = 6, x 3 = 10
    3819210632)x(2)x(2)x(k
3
1I
3
1I
i
3
1i
iI   
Regla 4: la suma de una constante tomada la constante n veces, será igual al producto de n veces
el valor de la constante.


n
1i
knk
Ejemplo 5: sea k = 5 sumado 6 veces, entonces:


6
1i
30555555k ; 3056kn 

20. 19
Ordenación u Organización de los Datos
En estadística es de suma importancia que los datos recogidos de la fuente de información
estén ordenados, ya que la posición que cada uno de ellos ocupa en la serie de datos, nos
permiten analizar ciertas medidas cuantitativas de la muestra.
Los métodos que se conocen para la ordenación de los datos que mas se utilizan son
ordenación de forma creciente o decreciente.
Ejemplo.
Orden creciente:
1.37 - 1.38 – 1.40 – 1.42 – 1.49 – 150 - 1.51 – 1.54 – 1.58 – 1.62
Orden decreciente:
1.62 – 1.58 - 1.54 - 1.51 – 1.50 – 1.49 – 1.42 – 1.4 – 1.38 – 1.37.
Redondeo de los datos
Los Datos en ocasiones, cuando el estudio lo permite deben ser redondeados, es más
sencillo trabajar con números enteros.
Redondeo de cantidades.
a. Cuando el dígito que se desea redondear es < 5.
Ejemplo: 125,211 = 125
12,42 = 12
460,33 = 1460
b. Cuando el dígito que se desea redondear esta seguido
De otro > 5.
Ejemplo: 68,65 = 69
155,70 = 156
1460,85 = 1461
c. Cuando el dígito que se desea redondear esta seguido del
Dígito 5.
Ejemplo: 0,5 = 0 (defecto) ; 2,5 = 2 (defecto)
0,5 = 1 (exceso) ; 2,5 = 3 (exceso)
Estos criterios son validos para redondear decenas y centenas.

21. 20
Distribución de Datos
Distribución de frecuencias por datos directos
Este método se debe aplicar para un número de datos que no exceda los 30
X: Es la letra que identifica a la variable (puntuaciones, edades, tallas, salarios, etc.), y representa
a cada uno de los valores que esta toma.
fo : Son las frecuencias ordinarias absolutas y representa él numero de veces que un dato se
repite.
FA: Son las frecuencias acumuladas absolutas y representa él número de datos comprendidos
entre dos valores dados, uno de los cuales es el inferior real (Li) de toda la distribución.
fro : Son las frecuencias ordinarias relativas e indican el porcentaje que representan los datos de
una casilla determinada con relación al total de datos (n). La suma de las fro debe ser igual al
100%.
FrA: son las frecuencias acumuladas relativas y representan el porcentaje de casos ubicados entre
el extremo inferior (Li mínimo) de la distribución y un valor superior.
Distribución de Frecuencias por datos agrupados en intervalos de clase
Este método se emplea cuando él numero de datos por lo general exceden de 30 y los
valores de una serie se encuentran muy distanciados entre sí. Entonces es conveniente agruparlos
en intervalos de clase. Permitiendo esto simplificar el manejo de los datos.
Los datos se ordenan en clases o categorías, estas clases o categorías están formadas por
dos límites, uno inferior y uno superior, en cada una de las clases se ubican los valores o datos de
la serie comprendidos entre sus respectivos límites. Finalmente, se determinan todos los
elementos de una distribución, iniciándolos en una tabla de frecuencias, la cual debe comprender:
las clases, las frecuencias ordinarias, las frecuencias acumuladas, las frecuencias relativas
ordinarias, las frecuencias relativas acumuladas y los puntos medios o marcas de clase.
Para organizar los datos en una distribución, se puede utilizar indistintamente: los límites
aparentes, los límites reales, los límites completos o abiertos.
En este curso elaboraremos las tablas haciendo uso de los límites completos o abiertos.

22. 21
Intervalo de Clase, se define como el conjunto de datos que se encuentran ubicados entre
dos límites establecidos.
Elementos de un intervalo de clase:
Xi, Xs, son los límites aparentes del intervalo (inferior y superior), respectivamente.
Li, Ls, son los límites reales del intervalo (inferior y superior), respectivamente.
Ic, es la Amplitud del intervalo (cantidad de valores cubiertos por el intervalo).
Xm o X

, Marca de Clase o Punto Medio, es el Punto Medio del intervalo (valor que esta situado
a igual distancia de los extremos del intervalo). Para calcular el punto medio de un intervalo de
clase, se utiliza la formula siguiente:
22
,
LsLiXiXs
XmX





At o R, Amplitud Total o Recorrido, es la Amplitud de la distribución (cantidad de valores
cubiertos por la distribución), y se obtiene, si se conocen los Valores tanto inicial como final o
Superior de la distribución, mediante la ecuación:
At o R = Vs - Vi
Vi = Valor Inferior de la muestra , Vs = Valor Superior de la muestra
Valor real de un número
VR =VA + P VA = Valor Aparente; P = Porción
La media unidad por debajo es el Límite Inferior (Li).
La media unidad por encima es el Límite Superior (Ls).
La porción es igual a 0,5 para cantidades exactas.
La porción es igual a 0,05 para cantidades de un decimal.
La porción es igual a 0,005 para cantidades de dos decimales.

23. 22
Ejemplo
Si tenemos una serie de datos que corresponden a las notas finales de 50 alumnos de una
asignatura en cuestión:
58-37-51-21-48-29-51-39-60-59-48-70-59-32-43-31-57-40-51-40-18-31-92-15-69-46-60-65-10-
43-41-44-56-67-49-19-43-30-63-18-59-64-52-61-10-51-73-16-74-71.
Ordenando en forma creciente tenemos:
10-10-15-16-18-18-19-21-29-30-31-31-32-37-39-40-40-41-43-43-43-44-46-48-48-49-51-51-51-
51-51-52-56-57-58-59-59-60-60-61-63-64-65-67-69-70-71-73-74-92
Si tomamos un intervalo de clase (Ic) de 10 y hacemos uso de los límites Reales de clase,
calcularemos los Ls como el Li + Ic tenemos:
Ni Li Ls Xm fo FA fro FrA
1 10 20 15 7 7 14 14
2 20 30 25 2 9 4 18
3 30 40 35 6 15 12 30
4 40 50 45 11 26 22 52
5 50 60 55 11 37 22 74
6 60 70 65 8 45 16 90
7 70 80 75 4 49 8 98
8 80 90 85 0 49 0 98
9 90 100 95 1 50 2 100
50
Cuando trabajamos con esta clase de límites, debemos ser muy cuidadosos al incorporar
cada dato dentro de su clase respectiva, por ejemplo al incorporar los valores 40-60-70 de la
serie, surge una pregunta debemos hacerlo para el 40 en la 3 o en la 4, bueno como estamos
trabajando con límites abiertos los valores de los Ls no pertenecen al intervalo y por consiguiente
el respectivo valor será tomado en cuenta en el intervalo siguiente.
Lo mismo sucede con los restantes valores. De existir un valor con el numero 100, este
deberá ser tomado en cuenta en un intervalo superior, y al no existir otro intervalo lo debemos
crear, para que dicho numero sea contenido en el.

24. 23
Métodos a Ser Empleados Para Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias
Método Empírico
Ni = Cualquier valor comprendido entre 6 y 15
Ic
RoA
Ni t

Método Científico o Formula de Sturges
Logn
A
Ic t
322,31
 ;
Ic
A
Ni t
 Donde:
Ni = Numero de intervalos de clase
At = Amplitud total o Recorrido = X mayor – X menor
n = Numero de datos de la serie
Ic = Amplitud del intervalo o Intervalo de Clase
REPRESENTACION GRAFICA
Diagrama de Barras o Polígono de Frecuencias
Se construye en un plano cartesiano, colocando en el eje de las ordenadas (Y) las
frecuencias ordinarias absolutas (fo), y en las abscisas (X) los datos X, si la distribución es por
datos directos, si es por datos agrupados se toman los puntos medios (Xm).
Se recomienda usarlo para datos que provengan de una variable discreta.
Histograma de Frecuencias
Señala la frecuencia ordinaria absoluta correspondiente a cada intervalo de clase por
medio de rectángulos cuya altura es la frecuencia del intervalo (fo) en el eje de las ordenadas (Y),
y la base, esta representada por el intervalo completo (Li – Ls), en el eje de las abscisas (X). Se
debe usar para datos que provengan de una variable continua.

25. 24
Ojiva de Galton o Curva Acumulativa
Esta curva señala la frecuencia acumulada correspondiente a cada uno de los intervalos
de clase, en el eje de las ordenadas se coloca las FA o las FrA, en las abscisas los limites reales
superiores (Ls).
Diagrama Circular o en Pastel
Se emplea normalmente para representar distribuciones de razones. La circunferencia
representa la suma del conjunto de la distribución de razones (100%). Para construirla se
multiplica cada porción por 360° (grados de una circunferencia), obteniéndose él número de
grados correspondiente a cada componente. Los grados para cada porción se cuentan en el
sentido de las agujas del reloj en forma sucesiva.
[150,160)
[160-170)
[170-180)
[180,190)
[150,160)
[160-170)
[170-180)
[180,190)

26. 25
Escala de Medida.
Los datos estadísticos por lo general provienen de la medida de una o más variables,
dependiendo de la medición y de la esencia de la variable, se obtienen diversas clases de datos
que originan diferentes escalas de medidas. Resulta sumamente importante conocer el tipo de
escala que representan los datos, debido a que, de su esencia depende la técnica estadística que
más se adapta para su análisis.
Escala Nominal.(altos, bajos – normales anormales)
Representa el nivel más bajo de medida. Se utiliza cuando un objeto o evento se
diferencia de otro solamente por la nominación que se conoce. Los procedimientos estadísticos
que más se adaptan, son: Chi-cuadrado, Coeficiente phi, Coeficiente de contingencia, Prueba del
signo, Prueba binomial.
Escala Ordinal. (Estudiantes  rendimiento)
Estas escalas distinguen los diferentes valores de la variable, ubicando a los eventos en
orden desde lo mas alto a lo mas bajo. Los procedimientos estadísticos que más se adaptan son:
coeficiente de correlación de Spearman, coeficiente tau de Kendall, prueba de la mediana.
Escala de Intervalos. (a-b,b-c, Comparaciones)
En esta escala se puede indicar la cantidad en la que un evento se diferencia de otro. Esta
escala posee todas las características de una escala nominal y una ordinal y además esta basada
en intervalos iguales.
Escala de Razón. (Contiene todas las escalas)
Es la más potente o sofisticada de las cuatro escalas de medida. Su empleo permite señalar
en cuantas veces es más grande un objeto que otro y además indica la cantidad en que se
diferencian. Esta contiene las características de las otras escalas y dispone de un cero absoluto, lo
cual posibilita las operaciones aritméticas. Para la escala de intervalos y razón
Se recomienda los procedimientos estadísticos: Correlación de pearson, t de student, análisis de
regresión, análisis factorial, análisis discriminante.

27. 26
EJERCICIO RESUELTO
En un estudio realizado en varias empresas del sector aduanero se determinaron los
salarios promedio diarios que devengan los trabajadores en diferentes departamentos para tal fin
se estudiaron 30 empresas y se obtuvieron los siguientes datos:
5000 5050 5100 5125 5150 5200 5223 5270 5300 5315 5325 5390 5400
5415 5425 5450 5475 5480 5500 5515 5520 5525 5550 5575 5580 5595
5892 5910 6050 6065 6100 6125 6130 6150 6175 6200 6225 6250 6265
6270 6275 6300 6320 6345 6350 6375 6390 6400 6430 6435 6450 6465
6475 6500 6520 6525 6540 6550 6575 6600 6620 6635 6640 6645 6650
6690 6700 6750 6784 6820 6825 6850 6875 6900 6925 6950 6975 6980
6985 7000
Elabore la tabla de distribución de frecuencias en función al número de intervalos
establecidos por los criterios vistos anteriormente.
Vamos a elaborar la tabla de distribución en 10 intervalos de clase (método empírico),
para ello tenemos como Valor Mayor = 7000, y Valor Menor = 5000
La Amplitud total o recorrido (At) = 7000 – 5000 = 2000
La Amplitud del intervalo (Ic) = 2000/10 = 200, Procedemos a llenar la tabla.
Ni Li Ls Xm fo FA fro FrA
1 5000 5200 5100 5 5 6.25 6.25
2 5200 5400 5300 7 12 8.75 15
3 5400 5600 5500 14 26 17.5 32.5
4 5600 5800 5700 0 26 0 32.5
5 5800 6000 5900 2 28 2.5 35
6 6000 6200 6100 7 35 8.75 43.75
7 6200 6400 6300 12 47 15 58.75
8 6400 6600 6500 12 59 15 73.75
9 6600 6800 6700 10 69 12.5 86.25
10 6800 7000 6900 10 79 12.5 98.75
11 7000 7200 7100 1 80 1.25 100
80
Recuerde que los datos deben estar ordenados y de ser posible redondeados.
Es de hacer notar que se agrego un intervalo, ya que el ultimo valor coincidía con el límite
superior de la tabla de distribución, también es importante resaltar que los valores que coinciden
con los límites superiores son tomados en el intervalo siguiente, las graficas se harán tomando en
cuenta la recomendación dada en clase.

28. 27
Ejercicio Práctico
Dada la siguiente serie de datos, representativa de un proceso estadístico cualquiera.
5094-5326-5382-5456-5491-5112-5192-5219-5248-5277-5292-5527-5546-5585-5739-5692-
5719-5824-5865-5897-5924-4950-4987-5024-5094-5935-5962-5989-6012-6045-5135-5165-
6086-6114-5406-5426-6120-6250-5785-5819-5616-5645 5692-5049-5086
Datos Ordenados
4950-4987-5024-5049-5086-5094-5094- 5112- 5135 -5165- 5192-5219-5248-5277-5292-5326-
5382-5406-5426-5456-5491-5527-5546-5585-5616-5645-5692-5692-5719-5739-5785-5819-
5824-5865-5897-5924-5935-5962-5989-6012-6045-6086-6114-6120-6250
n = 45 datos
R o At = Vmayor-Vmenor = 6250 – 4950 = 1300
Método empírico: método que depende del estado de animo de la persona que esta realizando el
proceso estadístico, en este método nos dan como dato él numero de filas, para luego calcular el
intervalo de clase (Este se redondea siempre al inmediato entero superior).
Ni = Numero de filas = 9
Ic = R / # de filas = 1300 / 9 =
Elaboración de la tabla
Li Ls Xm fo FA fro FrA
Método Científico o de Sturges: Método matemático por excelencia, en el que mediante la
aplicación de una formula podemos calcular el Ic (Este se redondea en condiciones normales),
para luego calcular él numero de filas (Se lleva siempre al inmediato entero superior)
Formula de Sturges ---- Ic = R / (1 + 3,322xlogn)

29. 28
Li Ls Xm fo FA fro FrA
Representación grafica
Esta se realiza de dos maneras:
1.- Polígono de Frecuencias: También denominado diagrama de líneas, para realizar este
colocamos en el denominado eje de las X a las marcas de clase y en el eje de las Y a las
frecuencias ordinarias.
Frecuencias
Ordinarias
Marcas de clase

30. 29
2.- Histograma de Frecuencias: También denominada diagrama de barras, para realizar esta
colocamos en el denominado eje de las X a los límites de clases y en el denominado eje de las Y
a las frecuencias ordinarias.
Graficas comparativas de muestra
Simétrica
Asimetría
Positiva
Asimetría
Negativa
Frecuencias
Ordinarias
Límites de clase

31. 30
Problemas Propuestos
1.-Las edades de los estudiantes de un curso de informática son:
17-20—21-19-21-17-17-20-21-20-18-18-21-20-20-19-18-19-18-19-18-19-18-17-20-20-19-18-
17-18
Elaborar una tabla de frecuencias y represente los datos con un diagrama adecuado.
2.-A un grupo de 30 personas se les ha tomado el número de pulsaciones por minuto (ritmo
cardiaco) obteniéndose los siguientes resultados:
87-85-61-51-64-75-80-70-69-82-80-79-82-74-90-76-72-73-63-65-67-71-88-76-68-73-70-76-71-
86
3.-En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos:
2.8-3.2-3.8-2.5-2.7-3.0-2.6-1.8-3.3-2.9-2.9-3.5-3.0-3.1-2.2-2.4-3.4-2.0-2.6-3.12.9-2.8-2.7-3.1-
3.0-3.7-1.9-2.6-3.5-2.3-2.1-3.4-2.8-3.1-3.9-3.4-2.5-1.9-3.0-2.9-2.3-3.5-2.9-3.0-2.7-3.1-2.8-2.6-
2.9-3.3
Construya una tabla para datos agrupados con 6 intervalos y una amplitud de 0,.4 kg.
4.- Los datos siguientes corresponden a la medida en cms. De una muestra de productos tomados
en la compañía “X”. Realice una distribución de frecuencias sabiendo que Ni =10
1.50–1.51–1.12–2.14–2.50–3.42–3.00–9.16–5.50–10.50–13.20- 26.76–20.65-20.27–20.62–23.42
18.62–28.45–29.15–29.36
5.- Los siguientes datos corresponden a los pesos de los estudiantes de una Universidad, los pesos
están dados en libras. Construya una tabla de distribución de frecuencias, con I = 5.
110.12–114.78–118.16–119.23–120.05–124.35–126.77–128.36–130.50–134.32–137.16–143.18
135.50–140.50–145.17–149.77–150.50–153.62–154.61–156.38–158.15–159.45–160.50–159.66
115.25–128.30–135.50–148.65–160.25–155.70–118.60-123.10
6.-Dada la siguiente serie de datos, representativa de un proceso estadístico cualquiera. Elabore la
tabla de frecuencia haciendo uso del método científico, así como un polígono de frecuencias.
4950-4987-5024-5049-5086-5094-5094-5112-5135-5165-5192-5219-5248-5277-5292-5326-
5382-5406-5426-5456-5491-5527-5546-5585-5616-5645-5692-5692-5719-5739-5785-5819-
5824-5865-5897-5924-5935-5962-5989-6012-6045-6086-6114-6120-6250
7.- Los siguientes son salarios de los empleados de ciertas compañías del estado Carabobo,
elabore una tabla de frecuencias, y un histograma, tomando en cuenta los criterios vistos en clase.
8200-7500-7800-6900–7350-9260–9500–8700–8150-9620-10150–9400-9700–8625–7950–
8125–11000-10360–9650–9000-7800-8100-7350–9780-10750–11100–8525–9900-10780-
10150–11100–10365-8325-10200-10000.

32. 31
Medidas de Tendencia Central
El hecho de tener los datos de una muestra, clasificados y presentados en una tabla de
distribución de frecuencias, haciendo uso de los métodos anteriormente vistos como son el
método Empírico o el de Sturges, no me da garantía alguna que me permita asegurar, que un
valor cualquiera de esa muestra sea él más representativo. Para ello es recomendado calcular unos
indicadores que nos expresen las características particulares de la muestra, uno de esos
indicadores son las llamadas medidas de tendencia central, también conocidas como valores
medios o medidas representativas, estas nos permiten apreciar de que manera los datos de una
muestra se agrupan o tienden a estar ubicados en el centro de la distribución ordenada.
Las medidas de tendencia central están relacionadas con el VALOR de la tendencia
central de una serie de datos ORDENADOS, denominadas también como promedios, y se define
como un valor representativo y predominante dentro de un conjunto de datos. Un promedio es
generalmente un valor ubicado en el centro de la distribución y no en el extremo.
Las medidas de tendencia central se clasifican en dos tipos:
Promedios Matemáticos: son aquellos que necesitan de una formulación matemática
inmediata para poder calcularlos, dentro de estos tenemos:
La Media o Promedio Aritmético Simple ( X ).
La Media o Promedio Aritmético Ponderado ( p
X ).
La Media o Promedio Geométrico (G)
La Media o Promedio Armónico (H).
La Tasa de Crecimiento Geométrico o Formula de Interés Compuesto relación, (i).
Promedios no Matemáticos: son aquellos que necesitan de una formulación inicial para
después aplicar la formulación matemática, dentro de estos tenemos:
La Mediana (Xd o Md)
La Moda (Xo o Mo).
Con cada una de ellas se estudian característicos particulares de la muestra, las medidas de
tendencia central se calculan para datos directos (datos ordenados) y para datos agrupados
(colocados en tabla de distribución de frecuencias).

33. 32
Calculo de las Medidas de Tendencia Central Para Datos Directos
La Media o Promedio Aritmético ).(X
De las medidas de tendencia central la media aritmética es la que con mayor frecuencia se
usa, y sirve para calcular otros estadísticos. Su definición es clara no se necesita hacer demasiado
esfuerzo para entender su finalidad, no es afectada por las fluctuaciones de los datos de la
muestra, depende de los valores de los datos, se utilizan cálculos algebraicos con facilidad y
permite realizar comparaciones.
No debe ser utilizada cuando los datos extremos difieren notoriamente del resto, es decir
cuando los datos no son homogéneos, o cuando se presenten como una progresión aritmética.
La media aritmética se calcula sumando todos los datos de una serie o distribución y
dividiéndolos entre él numero de ellos.
n
foxXi
X
 ;
n
xXfxXfxXfxXf
X nn.......332211 

Mediana (Xd).
Se define como el dato, o punto que divide a una distribución o serie de datos en dos
partes exactamente iguales. Es decir que a ambos lados de la serie existe el mismo número de
elementos o datos.
- Se ordena
- Se calcula el lugar que ocupa,
2
1n
Lugar


Moda, Modo o Promedio Típico (Xo).
Se define como el valor más común, es decir el valor alrededor del cual se concentran la
mayor cantidad de datos (punto de concentración máxima).
La moda no es más que el valor que más se repite.
Calculo de las Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados en Intervalos de Clase
La Media Aritmética o Promedio Aritmético )(X
n
Xf
X
n
1i
mioi



34. 33
Una vez construida la tabla de distribución de frecuencias hasta las (FA). Frecuencias
absolutas acumuladas.
a. Calcule los puntos medios Xm.
b. Efectúe el producto de fo por Xm y súmelos.
c. Use la formula inicialmente mostrada.
La Mediana (Xd)
Ic
fo
F
n
LiXd
Ai
*2


a. Ubique el cociente
2
n , en la columna FA, si no coincide ninguno, use el inmediato
superior al buscado.
b. Después de ubicado
2
n , extraemos de la tabla los demás términos:
Li = Es él límite inferior del intervalo donde se ubica la mediana.
FAi = Es la frecuencia acumulada absoluta inferior a la ubicación de la mediana.
Fo = Es la frecuencia ordinaria absoluta del intervalo donde se halla la ubicación de la mediana.
La Moda (Xo)
Ic
dsdi
di
LiXo *


a. Se ubica la frecuencia ordinaria modal (fom), si existen dos se selecciona lo que concentre
mayor numero de datos a su alrededor.
b. Se calculan las diferencias entre la frecuencia ordinaria modal (fom) y las que están
alrededor (inferior foi y superior fos).
c. Se toma él límite inferior real del intervalo donde se tomo la frecuencia ordinaria modal, y
se usa la formula antes mostrada.
Fom = Es la mayor frecuencia ordinaria absoluta.
Li = Es él límite real inferior del intervalo que posea la frecuencia ordinaria absoluta mayor.
ds = fom –fos = Diferencia entre frecuencia ordinaria modal (fmo) y la frecuencia ordinaria absoluta
(fos ) que esta por encima de la frecuencia modal.
di = fom –foi = Diferencia entre frecuencia ordinaria modal (fmo) y la frecuencia ordinaria absoluta
(foi ) que esta por debajo de la frecuencia modal.
Ic = Es la amplitud del intervalo de clase.

35. 34
Aplicaciones de las Medidas de Tendencia Central.
Cuando hacemos uso de métodos estadísticos, surge la duda sobre la utilización de
cualquiera de ellas es decir, cual de las tres medidas de tendencia utilizar, cuando y porque.
Existen reglas generales para ello que a continuación conoceremos:
La Media )(X
a. Cuando los datos se distribuyen simétricamente.
b. Cuando la serie es de crecimiento aritmético.
c. Cuando se desee obtener otras medidas (estadísticos), como la desviación típica, la
varianza, desviación media.
La Mediana (Xd)
a. Cuando se necesite el valor central exacto de la serie.
b. Cuando existen datos extremos que afecten severamente a la media aritmética
La Moda o Modo (Xo)
a. Cuando se desee una medida de tendencia central rápida y aproximada.
b. Cuando sea interesante conocer el valor que más se repite en una serie
Relaciones Entre las Medidas de Tendencia Central.
En toda distribución o serie simétrica, la media aritmética, la mediana y la moda,
coinciden sin embargo, cuando el grado de asimetría es moderado, la mediana se encuentra
ubicada entre la media aritmética y la moda a una distancia igual a 1/3 de la que separa a estas
dos, partiendo de la media. Si la asimetría es acentuada esta relación no tiene validez.
Matemáticamente, la relación se puede expresar de la siguiente manera:
XXXtoporXXXXXXXX dodood 23:tan)(3)(
3
1

Lo que significa que: MODA = 3 veces la MEDIANA – 2 veces la MEDIA
Para una distribución unimodal se cumplen lo siguiente:
1. Cuando ,,, od XXX son iguales, la distribución de datos es simétrica, es decir la
concentración de valores es igual a ambos valores de la media aritmética.

36. 35
2. Cuando X > Xd >Xo, la distribución de los datos es asimétrica o sesgada hacia la derecha
(asimetría positiva), lo que nos indica que más del 50% de los datos están situados por
debajo de la media aritmética.
2. Cuando X < Xd <Xo, la distribución de los datos es asimétrica o sesgada hacia la
izquierda (asimetría negativa), Lo que nos indica que más del 50% de los datos son
superiores al valor de la media aritmética.
Medidas De Tendencia Central Secundarias
.
Media O Promedio Geométrico (G).
Se define como la raíz enésima (raíz del número de datos), del producto de la serie de valores.
Para Datos Directos o no Agrupados
n
nXXxXxXG ).().........()()( 321
Tomando lóg. a ambos miembros de la ecuación.
n
LogXLogXLogXLogX
LogG n

.........321
Anti-log G = G
Para Datos Agrupados en Intervalos de Clases
i
noooo
f
xLogXmfxLogXmfxLogXmfxLogXmf
LogG


.........321
Anti-log G = G

37. 36
Usos de la Media Geométrica
La media geométrica se usa en datos que tiendan a una progresión geométrica,
entendiéndose por ello, aquella donde las razones o cocientes entre un término y el anterior sean
constantes o aproximadamente constantes; Existen variables típicamente con esa tendencia
geométrica o exponencial, como son: la población, intereses, índices, etc.
El Promedio Armónico o Media Armónica (H)
Se describe como él reciproco de la media aritmética del reciproco o inverso de los datos
de una serie.
PARA DATOS DIRECTOS ; PARA DATOS AGRUPADOS







iX
N
H
1







i
i
i
X
f
f
H
Usos de la Media Armónica
Se usa generalmente en aquellos problemas cuando se traten de promediar razones o
cocientes, tales como: Km/Hr, Bs/Doc, Bs/Hr, etc.
Relación que Existe Entre los Promedios Secundarios.
La media aritmética es siempre mayor que la media geométrica y esta a su vez es mayor
que la media armónica, con excepción del caso en que los datos sean iguales, ya que tales
promedios coincidirán.
H < G < X (Datos diferentes)
H = G = X (Datos iguales)
De acuerdo a la siguiente formula, conociendo dos de los tres promedios, podemos
calcular el tercero.
G = H * X ; H = G / X ; X = G / H

38. 37
PASOS A SEGUIR PARA CALCULAR MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PRINCIPALES
PARA DATOS AGRUPADOS
Media o promedio aritmético.
a. Construya la Tabla de Distribución de Frecuencias Hasta la Columna de las Frecuencias Absolutas
Acumuladas.
b. Calcule los Puntos Medios Xm.
c. Construya la Columna fo * Xm (Columna fo Multiplicada Por La Columna Xm).
d. Use la Formula de la Media Aritmética.
n
foxXm
X

La mediana. ,
a. Ubique el cociente n / 2, en la columna de la frecuencia acumulada, si no coincide con ninguno, use el
inmediato superior al buscado.
b. Recuerde la formula de la mediana.
Ic
fo
FAi
n
LiXd *2


c. Después de ubicar n / 2, extraemos de la tabla los relación términos.
Li = Es el límite inferior del intervalo donde se ubica la mediana.
FAi = Es la frecuencia acumulada absoluta inferior a la ubicación de la mediana.
fo = Es la frecuencia ordinaria absoluta del intervalo donde se halla la ubicación de la mediana.
La moda.
a. Se ubica la frecuencia modal (fom), si existen dos se selecciona la que concentre mayor numero de
datos a su alrededor.
b. Se calculan las diferencias entre la frecuencia modal (fom) y las que están alrededor (inferior y
superior).
c. Se toma el límite inferior real del intervalo donde se ubico la frecuencia modal, y se usa la formula
siguiente:
Ic
dsdi
di
LiXo *


Li = Es el límite real inferior del intervalo que posee la frecuencia ordinaria absoluta mayor.
di = fom – foi ; Diferencia entre frecuencia modal (fom) y la frecuencia ordinaria absoluta que esta por
debajo de la frecuencia modal.
ds = fom – fos ; Diferencia entre frecuencia modal (fom) y la frecuencia ordinaria absoluta que esta por
encima de ella.

39. 38
Ejemplo
Dada la Siguiente Serie de Datos Calcule Todas las Medidas de Tendencia Central Para Datos
Directos y Agrupados
1265 1272 1360 1385 1420 1525 1530 1600 1650 1800 1820 1860 1910 1950 2000
2100 2150 2200 2265 3500 3720 3850 3920 4000 4500 5250 5320 6210 6280 6500
6660 6720 7960 8100 8100 8565 8860 9220 9520 9520 9863 10275 10350 11200 11485
11520 11792 12350 12380 12500 13670 13865 13900 13952
n = 54
Datos Directos
Media: 85.6186
54
334090


n
foxXi
X
Mediana: Se ubica el lugar que ocupa la mediana, Lugar = (54+1)/2 = 27.5, la mediana se
encuentra entre el valor que ocupa el lugar 27 y el 28. Por lo tanto la misma es:
(5320+6210)/2 = 5765 = Xd.
Moda: Es el o los valores que más se repiten: 8100 y 9520.
Datos Agrupados
Elaboración de la Tabla de Distribución de Frecuencias (Ni = 9)
Calculo del Recorrido: 13952-1265 = 12687
Calculo de la Amplitud del Intervalo: Use Ni = 9, 12687/9 = 1409.66 ≈ 1410
LI LS Xm fo FA fo.Xm
1265 2675 1970 19 19 37430
2675 4085 3380 5 24 16900
4085 5495 4790 3 27 14370
5495 6905 6200 5 32 31000
6905 8315 7610 3 35 22830
8315 9725 9020 5 40 45100
9725 11135 10430 3 43 31290
11135 12545 11840 7 50 82880
12545 13955 13250 4 54 53000
54 334800

40. 39
Media: X
n
foxXi
X 
 6200
54
334800
Mediana: XdIc
fo
FAi
n
LiXd 



 54951410
3
2427
4085*2
Moda:
14519;19019;5;0;19
81,20761410
1419
19
1265*






dsdifosfoifom
Ic
dsdi
di
LiXo

41. 40
Medidas de Posición
Se llaman así a todas aquellas que al igual a la Mediana localizan la posición de algún
dato con relación a otros, y estas son:
Percentiles
Deciles
Cuartiles
Rangos Percentiles
Percentiles (Xp). Cuando una serie o distribución de datos es dividida en 100 partes
iguales y obtenemos percentiles del 1 al 99, y es un punto por debajo del cual se encuentra un
determinado porcentaje de casos, por ejemplo 85, es el punto o puntos, por debajo del cual se
encuentra el 85% de los casos de la distribución.
Deciles (Dx). Cuando una serie o distribución es dividida en 10 partes iguales y
obtenemos deciles del 1 al 9.
Cuartiles (Qx). Cuando una serie o distribución es dividida en 4 partes iguales y
obtenemos cuartiles del 1 al 3.
Relación Entre Estas Medidas
Xd
Percentiles
X10 X20 X30 X40 X50 X60 X70 X80 X90
Deciles
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Cuartiles
Q1 Q2 Q3
Observando el gráfico nos damos cuenta la relación que existe entre los deciles y los
cuartiles con los percentiles.
D1 = P10, D2 = P20, Q1 = P25, Q2 = P50, Q2 = D5.
Es de notar la coincidencia que existe entre ellos.
Q2 = D5 = P50 = Xd; Es decir el segundo cuartil (Q2), el quinto decil (D5), el percentil 50 (P50) y la
mediana son iguales entre sí en cualquier distribución.

42. 41
Percentiles Para Datos Directos.
Xp = Xi + (Xs - Xi) * R
Xp = Percentil buscado.
Xi = Es el dato inferior al percentil buscado.
Xs = Es el dato superior al percentil buscado.
R = Diferencia entre el lugar del percentil buscado y el lugar del dato inferior.
Procedimiento
1. Se ordenan los datos de menor a mayor
2. Se calcula el lugar del percentil buscado (Xp).
3. Se determina el valor de R.
4. Se aplica la formula antes descrita.
5. Se interpreta.
Percentiles Para Datos Agrupados en Intervalos de Clase.
Ic*
fo
FAi
100
pxn
LiXp


Procedimiento
1. Se calcula el lugar de ubicación del percentil pedido.
2. Se procede igual que el cálculo de la mediana respecto a los valores de Li, FAi, fo.
3. Se interpreta.
Rango Percentil (Px).
Es un estadístico que nos indica el porcentaje de casos que esta ubicado por debajo de un
valor conocido.
Observación:
1. En los percentiles, deciles y cuartiles se da un porcentaje para luego determinar el
dato por debajo del cual se halla el porcentaje dado.
2. En el caso del rango percentil, se da el dato para conseguir el porcentaje de datos que
se halla por debajo del dato conocido.
Rango Percentil Para Datos Directos
Conociendo la formula para él cálculo de percentiles por datos directos y sustituyendo en
ella el valor de R, por la diferencia entre el lugar del percentil buscado y el lugar del dato inferior

43. 42
al percentil buscado, obtenemos:
xR)XiXs(XiXp  





 Ixi
100
pxn
)XiXs(Xi
Despejando P tenemos:
Donde: 








 Xi
is
ip
I
XX
XX
n
100
P
P = Es el rango percentil buscado.
Xp = Es el dato conocido.
Xi = Es el dato inferior inmediato a Xp.
Xs = Es el dato superior inmediato a Xp.
Ixi = Es el lugar que ocupa Xi.
n = Es el numero de casos o datos de la serie.
Rango Percentil Para Datos Agrupados.
Cuando queremos calcular el rango percentil de un dato en una distribución de datos
agrupados, se despeja de la formula de percentiles para datos agrupados el valor de P (rango
percentil) y obtenemos la siguiente ecuación:
Donde: 





 FAi
Ic
xfo)LiXp(
n
100
Px
Px = Es el rango percentil buscado.
n = Es el numero de datos de la distribución.
Xp = Representa el dato conocido.
Li = Es el límite inferior real del intervalo de clase que contiene al dato conocido (Xp).
fo = Frecuencia ordinaria absoluta del intervalo que contiene al dato conocido (Xp).
FAi = Frecuencia acumulada absoluta inferior al intervalo donde esta ubicado Xp.
Ic = Amplitud de los intervalos de clase.
Desviación Cuartil.
La desviación cuartil de un grupo de datos esta basada en dos valores de la distribución y
no tienen nada que ver con los valores extremos de la serie, sino que se refieren a la tercera y la
primera cuartilla del grupo. Para encontrar las cuartillas, dividimos él número de elementos del
grupo en cuatro partes de acuerdo a sus valores. La primera cuartilla (Q1), es el punto sobre la
escala de valores por debajo del cual, hay un cuarto de los elementos. La segunda cuartilla (Q2),
es el punto por debajo del cual hay la mitad de los datos, por lo que Q2 se corresponde con la

44. 43
mediana. La tercera cuartilla (Q3), es el punto por debajo del cual hay las tres cuartas partes de
los elementos, la diferencia entre la tercera y la primera cuartilla, es el llamado recorrido
intercuartilitico.
Cuando esa diferencia es dividida por 2, el cociente es la desviación cuartilitica o
semirecorrido intercuartilitico.
2
13 QQ
Dq


Uno de los elementos de mayor importancia en él calculo de las cuartillas es conocer
primero que lugar ocupa cada cuartilla, para ello debemos tener en cuenta la siguiente relación:
Q1 = n/4 ; Q2 = n/2 ; Q3 = 3n/4.
Cuartillas Para Datos Directos
Para calcular cuartiles para datos directos, nos basamos en la relación que existe entre las
medidas de posición, para ello calculamos el percentil setenta y cinco y el veinticinco para datos
directos, los restamos y los dividimos entre dos.
Cuartillas Para Datos Agrupados
Las cuartillas para datos agrupados, se pueden obtener de la misma forma como se obtiene
la mediana, primero se ubica el lugar que ocupa la cuartilla, y luego aplicando la formula
respectiva, se interpreta de la misma forma que la mediana.
Recordando que el lugar que ocupa cada uno de los cuartiles corresponde a:
Q1 = 25% ; Q2 = 50% ; Q3 = 75%
Ic
fo
F
n
LiQ
Ai
*4
1

 Ic
fo
F
n
LiQ
Ai
*2
2

 Ic
fo
F
n
LiQ
Ai
*4
3
2


Principales Características de la Desviación Cuartilitica.
La desviación cuartilitica, esta basada en dos valores Q1 y Q3, no es afectada por los
valores extremos, los cuales son menores que Q1 y mayores que Q3, existen un 50% de los
elementos entre Q1 y Q3, una desviación baja, indica una pequeña variación entre el 50% de los
elementos centrales, por otra parte una desviación alta significa que la variación entre los
elementos centrales es alta.

45. 44
METODOLOGIA PARA CALCULAR MEDIDAS DE POSICION
EN 100 PARTES PERCENTILES
X10 X20 X30 X40 X50 X60 X70 X80 X90
EN 10 PARTES DECILES
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
EN 4 PARTES CUARTILES
Q1 Q2 Q3
P = RANGOS PERCENTILES (% de Valores)
Xp = PERCENTIL
PERCENTILES PARA DATOS DIRECTOS
Xp = Xi + (Xs – Xi) * R
Xp = Percentil buscado ; Xi = Dato inferior al percentil buscado
Xs = Dato superior al percentil buscado ; R = Diferencia entre el lugar del percentil
Buscado y el lugar del dato inferior.
Procedimiento
a. Se ordenan los datos de menor a mayor. b. Se calcula el lugar del percentil buscado.
c. Se determina el valor de R. d. Se aplica la formula de percentiles. E. Se interpreta.
PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS
Ic
fo
FAi
pxn
LiXp *100


Procedimiento
a. Se elabora la tabla de distribución de frecuencias. b. Se calcula el lugar del percentil buscado.
c. Se procede de la misma forma como se hizo para el calculo de la mediana. D. Se interpreta.
RANGO PERCENTIL (Px). PARA DATOS DIRECTOS.









 i
is
ip
IX
XX
XX
n
P
100
P = Es el rango percentil buscado ; Xp = Es el dato conocido
Xi = Es el dato inferior inmediato a Xp ; Xs = Es el dato superior inmediato a Xp

46. 45
Ixi = Es el lugar que ocupa Xi ; n = Es el numero de casos o datos de la serie.
RANGO PERCENTIL PARA DATOS AGRUPADOS.








 FAi
Ic
xfoLiXp
n
Px
)(100
Li = Es el límite inferior real del intervalo que contiene el dato conocido Xp
FAi = Es la frecuencia acumulada absoluta inferior al intervalo donde esta Xp.
fo = Es la frecuencia ordinaria absoluta del intervalo que contiene el dato Xp.
DESVIACIÓN CUARTILITICA.
2
13 QQ
Dq


EJEMPLO
En el estudio realizado en las empresas del sector aduanero del ejercicio de elaboración de tablas
de distribución de frecuencias se obtuvieron los siguientes datos:
5000 5050 5100 5125 5150 5200 5223 5270 5300 5315 5325 5390 5400 5415 5425 5450
5475 5480 5500 5515 5520 5525 5550 5575 5580 5595 5892 5910 6050 6065 6100 6125
6130 6150 6175 6200 6225 6250 6265 6270 6275 6300 6320 6345 6350 6375 6390 6400
6430 6435 6450 6465 6475 6500 6520 6525 6540 6550 6575 6600 6620 6635 6640 6645
6650 6690 6700 6750 6784 6820 6825 6850 6875 6900 6925 6950 6975 6980 6985 7000
n = 80
Determine: para datos Directos y Agrupados lo siguiente:
a. Cual es el salario más alto que ganan el 40% de los trabajadores que ganan los salarios
más altos que la media.
b. Cual es el salario más alto que ganan el 30% de los trabajadores que ganan los salarios
más bajos.
c. Calcular el % y número de trabajadores se encuentra por debajo del Salario 5347.5.
d. Calcular el % y número de trabajadores se encuentra por encima del salario 6545.25.
e. Calcular el % y número de trabajadores se encuentra entre el salario 6315 y el salario
6825.
f. Calcular la Desviación Cuartilitica.

47. 46
Datos Directos
a. Para calcular ese salario debemos primero calcular la madia de la muestra, una vez calculado,
procedemos a calcular el rango percentil para ese valor, conocido este porcentaje, le sumamos el
40% que se encuentra por encima y haciendo uso de la formula para el calculo de percentiles, lo
realizamos para el porcentaje en cuestión.
Media =
n
foxXm
X
 = 490279/80 = 6128.48 = Media
Calculo del rango percentil para Xp = 6128.48; Haciendo uso de la Formula:









 i
is
ip
IX
XX
XX
n
P
100
; P = %87.4032
61256130
612548.6128
80
100









A este porcentaje le sumamos 40% y llegamos a 80.87%, Calculamos el percentil para el 80.87%
Calculamos el lugar que ocupa el percentil buscado 696.61
100
8087.80
100



 np
y usamos
Xp = Xi + (Xs – Xi) * R → 6620 + (6635-6620) x 0.696 = 6630.44
b. El 30% de los que ganan los salarios mas bajos, son aquellos que se encuentran 30% encima
del salario 5000 o lo que es lo mismo vamos a calcular el percentil 30, usamos la formula:
Xp = Xi + (Xs – Xi) * R; Lugar que ocupa el percentil = 24, entonces el salario será: 5575.
c. Cálculo del rango percentil para Xp = 5347.5; Haciendo uso de la Formula:









 i
is
ip
IX
XX
XX
n
P
100
; P = %183.1411
53255390
53255.5347
80
100









.
Calculo del número de trabajadores 35.11
100
80183.14
100



 np
≈ 11 trabajadores.
d. No se puede calcular porcentajes que están por encima de valores de forma directa, ya que se
contradice la definición de rango percentil, para ello nos situamos en un valor que se encuentre
un diferencial por encima del valor conocido y para ese valor, si calculamos el rango percentil.
Nos situaremos en el valor 6545.5, calculamos el rango percentil y el porcentaje obtenido se lo
restamos del 100% y de esta manera damos repuesta al interrogante.
Cálculo del rango percentil para Xp = 6545.5; Haciendo uso de la Formula:

48. 47









 i
is
ip
IX
XX
XX
n
P
100
; P = %93.7157
65406550
65405.6545
80
100









,
100 % - 71.93 % = 28.07 % → porcentaje por encima
Calculo del número de trabajadores 456.22
100
8007.28
100



 np
≈ 22 trabajadores.
e. Para realizar este calculo, primero lo haremos para el valor superior, luego para el valor
inferior y los porcentajes los restamos y obtenemos el porcentaje que esta entre esos dos valores
Cálculo del rango percentil para Xp = 6825; Haciendo uso de la Formula:









 i
is
ip
IX
XX
XX
n
P
100
; P = %96.8871
68206850
68206825
80
100









,
Cálculo del rango percentil para Xp = 6315; Haciendo uso de la formula anterior:
P = %69.5443
63006320
63006315
80
100









,
88.96 % - 54.69 % = 34.27 %
Calculo del número de trabajadores 42.27
100
8027.34
100



 np
≈ 27 trabajadores.
f. Procedemos a calcular el percentil 75, luego calculamos el percentil 25, estos valores los
restamos y los dividimos entre 2, o lo que es lo mismo el Cuartil 3 y el Cuartil 1, estos valores los
restamos y los dividimos entre 2.
Calculamos el lugar que ocupa el percentil Setenta y cinco 60
100
8075
100



 np
y usamos
Xp = Xi + (Xs – Xi) * R → al contar los valores nos damos cuenta que el lugar 60 lo ocupa el
valor = 6600.
Calculamos el lugar que ocupa el percentil Veinticinco 20
100
8025
100



 np
y usamos
Xp = Xi + (Xs – Xi) * R → al contar los valores nos damos cuenta que el lugar 20 lo ocupa el
valor = 5515.
La desviación cuartilitica es 5.542
2
55156600
2
13





QQ
Dq
Datos agrupados
Se elabora la tabla de distribución de frecuencias en función al numero de intervalos que se
indica, Ni = 10

49. 48
Calculo del rango = Vmayor – Vmenor = 5000 – 7000 = 2000
Ni Li Ls Xm fo FA fo x Xm
1 5000 5200 5100 5 5 25500
2 5200 5400 5300 7 12 37100
3 5400 5600 5500 14 26 77000
4 5600 5800 5700 0 26 0
5 5800 6000 5900 2 28 11800
6 6000 6200 6100 7 35 12200
7 6200 6400 6300 12 47 75600
8 6400 6600 6500 12 59 78000
9 6600 6800 6700 10 69 67000
10 6800 7000 6900 10 79 69000
11 7000 7200 7100 1 80 71000
490800
a. La media de la distribución es: 4908000/80 = 6135. Realizamos el mismo procedimiento
desarrollado para datos directos. Calculando el rango percentil con la formula siguiente:






 FAi
Ic
xfoLiXp
n
Px
)(100
Buscamos en la tabla, dentro de que límites se encuentra el valor y procedemos a tomar los
demás valores %84.3528
200
)60006135(
80
100









El porcentaje conseguido lo sumamos a 40% y calculamos el percentil para ese valor con la
formula siguiente:
Ic*
fo
FAi
100
pxn
LiXp


Hallamos el lugar que ocupa el percentil 3.60
100
8038.75


Este valor lo ubicamos en la tabla de distribución, tal como lo hacíamos con el cálculo de la
mediana para la extracción de los valores.
6626200*
10
593.60
6600 

Xp → Salario más alto

50. 49
b. Calculamos el percentil 30
Hallamos el lugar que ocupa el percentil 24
100
8030


6626200*
10
593.60
6600Xp 


c. Procedemos como lo hicimos para datos directos.
Calculando el rango percentil para el salario 5347.5 con la formula de rangos percentiles.
Buscamos en la tabla, dentro de que limites se encuentra el valor y seleccionamos los demás
valores %45.2112
200
7)52005.5347(
80
100









x
Calculo del número de trabajadores 16.17
100
8045.21
100



 np
≈ 17 trabajadores.
d. Al igual que en datos directos nos situamos en un valor superior al pedido, el cual será 6545.5
y procedemos teóricamente de la misma manera.
Calculando el rango percentil para el salario 6545.5 con la formula de rangos percentiles.
Buscamos en la tabla, dentro de que limites se encuentra el valor y seleccionamos los demás
valores
%66.8459
200
12)64005.6545(
80
100







x
→ 100% - 84.66% = 15.34 %
Calculo del número de trabajadores 27.12
100
8034.15
100



 np
≈ 12 trabajadores.
e. Calculando el rango percentil para el salario 6825 con la formula de rangos percentiles.
Buscamos en la tabla, donde dentro de que limites se encuentra el valor y seleccionamos los
demás términos
%25.8079
200
10)68006825(
80
100









x
Calculando el rango percentil para el salario 6315 con la formula de rangos percentiles.
Buscamos en la tabla, dentro de que limites se encuentra el valor y seleccionamos los demás
términos

51. 50
%375.6747
200
12)62006315(
80
100









x
80.25 % - 67.375% = 12.875%
Calculo del número de trabajadores 3.10
100
80875.12
100



 np
≈ 10 trabajadores
f. Calculando el percentil 75 y el percentil 25 damos repuesta a la interrogante
Ic*
fo
FAi
100
pxn
LiXp

 Lugar que ocupa el percentil 75 = 60
100
8075


6620200*
10
5960
6600Xp 

 ; Lugar que ocupa el percentil 25 = 20
100
8025


28.5514200*
14
1220
5400Xp 


La desviación cuartilitica es 86.552
2
28.55146620
2
13





QQ
Dq
Recuerde que el cuartil 3 es igual al Percentil 75 y por consiguiente el cuartil 1 es igual al
percentil 25.

52. 51
Medidas de Dispersión
Las medidas de dispersión o de variabilidad nos dan a conocer el grado de
homogeneidad o heterogeneidad de los datos de una distribución. En la generalidad indican
de qué manera se agrupan o concentran los datos alrededor de alguna de las medidas de tendencia
central.
Estas medidas explican algunas características de la serie de la cual proceden. La
variabilidad nos permite conocer la variación o dispersión promedio que presentan los datos con
relación a la media elegida.
Cuanto menor sea esta variabilidad, mucho mas concentrados estarán los datos alrededor
de la media o promedio seleccionado y más representativo será este. Cuan mayor sea la variación
o dispersión menor representatividad tendrá dentro de conjunto de datos. Si todos los datos de
una distribución son iguales no existirá dispersión o lo que es lo mismo decir que la variabilidad
seria igual a cero y de hecho no habrá variabilidad de los mismos con respecto a su media.
Existen diversas Medidas de Dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las
siguientes:
1.- Rango: Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor
más elevado y el valor más bajo. R = Xmayor – Xmenor
2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como
sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número
de veces que se ha repetido cada valor. El sumatoria obtenido se divide por el tamaño de la
muestra.
tosDatosDirec
n
XX
S
2
2 )( 
 adosDatosAgrup
n
XXf
S mo
2
2
)( 


La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más
concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor
sea la varianza, más dispersos están.
3.- Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
tosDatosDirec
n
XX
S i 

2
)(
adosDatosAgrup
n
XXmf
S o 

2
)(

53. 52
4.- Desviación Media: Se define como la sumatoria de las desviaciones de los datos respecto a la
media aritmética de una distribución.
tosDatosDirec
n
XX
MD
i 
 adosDatosAgrup
n
XXmf
MD
o 


5.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la
media. Cv =
X
S
Ejemplo:
Los datos siguientes corresponden a la estatura de un grupo de alumnos de la sección “E” del
segundo término de Ingeniería. De la Universidad Nacional Politécnica Experimental de la
Fuerza Armada Nacional.
1.66-1.67-1.67-1.67-1.67-1.72-1.72-1.72-1.72-1.73-1.73-1.74-1.75-1.75-1.76-1.76-1.76-1.87-
1.87-1.87-1.88-1.88-1.88-1.88-1.89-1.89-1.89-1.90-1.90-1.90.
Los datos están previamente Ordenados
Calcular para datos Directos y Agrupados las medidas de Dispersión.
Datos Directos
Variable(X) fo XXi  )( XXfo i  2
)( XXi  Fo
2
)( XXi 
1,66 1 -0.13 -0.13 0.0169 0.0169
1,67 4 -0.12 -0.48 0.0144 0.0576
1,72 4 -0.07 -0.28 0.0049 0.0196
1,73 2 -0.06 -0.12 0.0036 0.0072
1,74 1 -0.05 -0.05 0.0025 0.0025
1,75 2 -0.04 -0.08 0.0016 0.0032
1,76 3 -0.03 -0.09 0.0009 0.0027
1,87 3 0.08 0.24 0.0064 0.0192
1,88 4 0.09 0.36 0.0081 0.0324
1,89 3 0.1 0.3 0.01 0.03
1,90 3 0.11 0.33 0.0121 0.0363
0.2276
Previamente calculamos la media para datos directos ( X ) = 1.79

54. 53
Rango:
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor: 1.90 - 1.66 = 0.24 mts.
Varianza:
Para calcular la varianza es necesario conocer la Media de la muestra, siendo la misma = 1.79.
S2
= 007586.0
30
2276.0

Desviación Estándar o Típica: es la raíz cuadrada de la varianza. 08709.0007586.0 S
Desviación Media respecto a la Media: 02933.0
30
88.0
DM
Datos Agrupados
Vamos a elaborar la Tabla de distribución de frecuencia usando un numero de intervalos (Ni) de
10.
Calculo del recorrido de la distribución: V mayor – V menor = 1.9 – 1.66 = 0.24
Calculo de la Amplitud del Intervalo (Ic): 0.24/10 = 0.024, no redondeamos por ser un valor muy
pequeño.
Ni Li Ls Xm fo FA foxXm )( XXm  2
)( XXm  fo 2
)( XXm 
1 1.66 1.684 1.672 5 5 8.36 -0.12 0.014 0.072
2 1.684 1.708 1.696 0 5 0 -0.96 0.009216 0
3 1.708 1.732 1.72 6 11 10.32 -0.072 0.005184 0.031104
4 1.732 1.756 1.744 3 14 5.232 -0.048 0.002304 0.006912
5 1.756 1.780 1.768 3 17 5.304 -0.024 0.0000576 0.001728
6 1.780 1.804 1.792 0 17 0 0 0 0
7 1.804 1.828 1.816 0 17 0 0.024 0.000576 0
8 1.828 1.852 1.84 0 17 0 0.048 0.002304 0
9 1.852 1.876 1.864 3 20 5.592 0.072 0.005184 0.015552
10 1.876 1.900 1.888 7 27 13.216 0.096 0.009216 0.064512
11 1.900 1.924 1.9125 3 30 5.736 0.12 0.0144 0.0432
30 53.76 0.235008
La media de la distribución es: 1.792
Desviación Estándar o Típica: 08850.0
30
235008.0
S

55. 54
Desviación Media respecto a la Media:
Varianza: 0078336.0
30
235008.02
S
Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la
media de la muestra. .
Cv = 04938.0
792.1
08850.0

X
S
El interés del coeficiente de variación es que al ser un porcentaje permite comparar el
nivel de dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene
expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.
Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión de una serie de datos de la altura de los
alumnos de una clase y otra serie con el peso de dichos alumnos, no se puede utilizar las
desviaciones típicas (una viene expresada en cm. y la otra en Kg.). En cambio, sus coeficientes de
variación son ambos porcentajes, por lo que sí se pueden comparar.

56. 55
Medidas de Forma
Las Medidas de Forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie
de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva:
a) Asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la
misma (Centro de Simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son
similares.
b) Curtosis: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de
los valores medios de la muestra.
a) Asimetría
Hemos comentado que el concepto de asimetría se refiere a si la curva que forman los
valores de la serie presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media
aritmética)
Para medir el nivel de asimetría se utiliza el llamado Coeficiente de Asimetría de Fisher,
que viene definido por la relación entre momentos:
2
3
2
3
3 2
2
3
)()( m
m
m
m
As 
Recordando la formula de los momentos tenemos:
Datos directos Datos agrupados
n
XX
m
i
i
 

)(
n
XXf
m
i
mo
i
 

)(

57. 56
Los resultados pueden ser los siguientes:
As= 0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la
izquierda de la media)
As > 0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la
media que a su izquierda)
As < 0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de
la media que a su derecha)
Ejemplo: Vamos a calcular el Coeficiente de Asimetría de Fisher de la serie de datos referidos a
la estatura de un grupo de alumnos Recordemos que la media de esta muestra es 1,253
b) Curtosis
El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentración que presentan los valores alrededor
de la zona central de la distribución.
Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:
Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores
centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).
Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores
centrales de la variable.
Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores
centrales de la variable.
El Coeficiente de Curtosis viene definido por la siguiente fórmula: 2
2
4
4
4
)(m
m
S
m
Cu 

58. 57
Los resultados pueden ser los siguientes:
Cu = 0 (distribución mesocúrtica).
Cu > 0 (distribución leptocúrtica).
Cu < 0 (distribución platicúrtica).
Ejemplo: Vamos a calcular el Coeficiente de Asimetría de Fisher y el Coeficiente de Curtosis
de la serie de datos referidos a la estatura del grupo de alumnos del problema de dispersión:
(X)
fo mi XX  2
)( XXi  2
)( XXfo i  3
)( mi XX  fo
3
)( mi XX 
4
)( mi XX  fo
4
)( mi XX 
1,66 1 -0.12 0.0144 0.072 -0.001728 -0.00864 0.0002073 0.0010368
1,67 4 -0.096 0.009216 0 -0.0008847 0 0.00008493 0
1,72 4 -0.072 0.005184 0.031104 -0.0003732 -0.00223949 0.00002687 0.00016124
1,73 2 -0.048 0.002304 0.006912 -0.0001106 -0.00033178 0.0000053 0.000015925
1,74 1 -0.024 0.000576 0.001728 -0.00001382 -0.00004147 0.00000033 0.000000995
1,75 2 0 0 0 0 0 0 0
1,76 3 0.024 0.000576 0 0.00001382 0 0.00000033 0
1,87 3 0.048 0.002304 0 0.00011059 0 0.0000053 0
1,88 4 0.072 0.005184 0.015552 0.0003732 0.0011197 0.00002687 0.00008062
1,89 3 0.096 0.009216 0.064512 0.0008847 0.0061931 0.00008493 0.0005945
1,90 3 0.12 0.0144 0.0432 0.001728 0.005184 0.0002073 0.00062208
0.235008 0,00124416 0.0000837
Por lo tanto el Coeficiente de Fisher de Simetría de esta muestra es 0.00105143, lo que quiere
decir que presenta una distribución asimétrica positiva (se concentran más valores a la derecha de
la media que a su izquierda).
00105143.0
0394433.0
000041472.0
)0078336.0(
000041472.0
)()( 3 22
3
2
3
3 2
2
3

m
m
m
m
As
Por lo tanto, el Coeficiente de Curtosis de esta muestra es 0.04546544, lo que quiere decir que
se trata de una distribución leptocúrtica, es decir, con una elevada concentración alrededor de los
valores centrales de la distribución.
04546544.0
0000613652.0
00000279.0
)( 2
2
4
4
4

m
m
S
m
Cu

59. 58
Ejercicios Propuestos de Medidas Estadísticas
1. Las edades de los estudiantes de un curso de informática son:
17 - 17 - 18 - 19 - 18 – 20 - 20 - 17 - 18 - 18 - 19 – 19 - 21 - 20 - 21 - 19 - 18 - 18
19 - 21 - 20 - 18 - 17 – 17 - 21 - 20 - 20 - 19 - 20 - 18
a) Elabora una tabla de frecuencias y representa los datos con un diagrama adecuado.
b) Calcula la media y la desviación típica.
2. A un grupo de 30 personas se les ha tomado el número de pulsaciones por minuto (ritmo
cardíaco) obteniéndose los siguientes resultados:
87 - 85 - 61 - 51 - 64 - 75 - 80 - 70 - 69 – 82 - 80 - 79 - 82 - 74 - 90 - 76 - 72 - 73 – 63 65 - 67 -
71 - 88 - 76 - 68 - 73 - 70 - 76 - 71 - 86
a) Representa gráficamente esta distribución agrupando los datos en 6 intervalos.
b) Calcula la media y la desviación típica.
3. En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos:
2,8 - 3,2 - 3,8 - 2,5 - 2,7 - 3,7 - 1,9 - 2,6 - 3,5 - 2,3 - 3,0 - 2,6 - 1,8 - 3,3 - 2,9 - 2,1 - 3,4 2,8 - 3,1 -
3,9 - 2,9 - 3,5 - 3,0 - 3,1 - 2,2 - 3,4 - 2,5 - 1,9 - 3,0 - 2,9 - 2,4 - 3,4 - 2,0 - 2,6 3,1 - 2,3 - 3,5 - 2,9 -
3,0 - 2,7 - 2,9 - 2,8 - 2,7 - 3,1 - 3,0 - 3,1 - 2,8 - 2,6 - 2,9 - 3,3
a) Construya una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg.
b) Representa gráficamente esta distribución.
c) Calcula la media y la desviación típica.
4. La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es:
150, 169, 171, 172, 172, 175, 181, 182, 183, 177, 179, 176, 184, 158
Calcula razonadamente la mediana y los cuartiles.
5. Hallar la mediana, los cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes distribuciones,
correspondientes a las notas obtenidas en un test que han hecho dos grupos de estudiantes:
A: 25 – 22 – 27 – 30 – 23 – 22 – 31 – 18 - 24 – 25 – 32 – 35 – 20 – 28 – 30
B: 27 – 32 – 19 – 22 – 25 – 30 – 21 - 29 – 23 – 31 – 21 – 20 – 18 – 27
6. Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100 000 Bs. y una desviación
típica de 12500 Bs. En otra empresa B la media es 15000 Bs. y la desviación típica 2500 Bs.
Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene mayor variación relativa.

60. 59
7. Calcular la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de Pearson tras
encuestar a 25 familias sobre el número de hijos que tenían, se obtuvieron los siguientes datos:
Nº de hijos (Xi) 0 1 2 3 4
Nº de familias (ni) 5 6 8 4 2
8. Un fabricante de neumáticos ha recabado, de los diferentes concesionarios, información sobre
la cantidad de miles de kilómetros recorridos por un modelo concreto de esos neumáticos hasta
que se ha producido un pinchazo o un reventón del neumático. Los concesionarios la han
proporcionado los siguientes datos:
61.979 - 4.3068 - 41.539 - 62.215 - 51.269 - 82.919 - 34.182 - 37.654 - 51.179 - 74.582 58.708 -
48.035 - 67.124 - 41.830 - 61.030 - 58.267 - 74.239 - 60.727 - 56.155 - 86.070 90.565 - 53.751 -
76.580 - 68.629 - 48.240 - 57.884 - 55.257 - 84.656 - 48.662 - 10.504 60.951 - 38.420 - 79.426 -
67.662 - 53.324 - 49.011 - 29.480 - 41.128 - 30.252 - 33.412 - 47.012 - 71.360 - 78.635 - 41.715 -
72.635 - 41.463 - 48.996 - 48.172 - 55.643 - 55.912 46.681 - 66.519 - 59.168 - 66.313 - 35.884 -
28.625 - 84.588 - 40.709 - 50.238 - 61.390 85.720 - 45.313 - 46.724 - 61.752 - 63.692 - 70.003 -
65.996 - 55.989 - 49.677 - 46.502 67.467 - 64.398 - 44.411 - 41.886 - 34.754 - 59.888 - 59.449 -
67.632 - 89.116 - 69.483 - 48.698 - 65.854 - 75.850 - 36.949 - 75.548 - 69.010 - 61.477 - 65.585 -
52.452 - 50.432 37.748 - 51.831 - 73.808 - 61.065 - 35.807 - 57.277 - 80.502 - 35.342 - 44.719 -
37.402
Se pide:
a- Construir una taba de frecuencias para esos datos tomando como número de intervalos el que
proporciona la fórmula de Sturges. Interpretas la tabla.
b- Construir las tablas de frecuencias por el método Empírico.
c- Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.
d- Calcular las principales medidas de tendencia central e interpretarlas.
e- Obtener las medidas de dispersión más importantes e interpretarlas.
f- Analizar la asimetría y el apuntamiento de la distribución de frecuencias resultante.
g- Si el fabricante quiere proponer un kilometraje para realizar el cambio de neumáticos, ¿qué
valor propondría para que solo 3 de cada 10 coches hayan tenido un pinchazo o reventón antes de
ese kilometraje?

61. 60
Introducción a la Probabilidad
Estadística: Ciencia del estado. Descripción y recogida de grandes conjuntos de datos y su
presentación en tablas y gráficos.
Actualmente es el resultado de la unión de:
- Cálculo de Probabilidades (siglo XVII)
- Estadística
Que evolucionan conjuntamente desde el siglo XIX.
Probabilidad: da una medida de la incertidumbre que puede ser debida a la aleatoriedad o al
desconocimiento del estado del sistema.
 Estadística Teórica: Desarrolla modelos Matemáticos.
 Estadística Metodológica o Práctica.
 Estadística Descriptiva: Resumen y descripción de datos.
 Estadística Inferencial: Toma decisiones a partir de los datos tomados en el contexto
general del que provienen.
Fenómeno Natural: Es cualquier cosa que ocurre en la naturaleza.
Existen 2 tipos de fenómenos: Deterministico y Probabilistico
- Fenómeno Deterministico o no Aleatorio: Bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado
es el mismo. Leyes físicas y químicas clásicas.
- Fenómeno Aleatorio: Dadas unas condiciones iniciales el resultado no es el mismo.
Nº de partículas emitidas por una fuente radioactiva, Tiempo de vida de una lámpara, Resultado
del lanzamiento de una moneda.
Un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado.



Aleatorio
ticoDeterminis
oExperiment
En la Estadística se estudian los experimentos aleatorios, en los cuales, no se puede
anticipar el resultado.
Experimento Deterministico o no Aleatorio: Observación de un fenómeno No aleatorio.
Experimento Aleatorio (E): Observación de un fenómeno aleatorio. Son rasgos esenciales:

62. 61
Los posibles resultados son conocidos antes de su realización (Espacio Muestral), No se
puede predecir con exactitud el resultado del experimento, Se puede repetir indefinidamente en
las mismas condiciones. Ejemplo el lanzar una moneda al aire.
Características de un Experimento Aleatorio
- Que pueda repetirse n veces.
- Conduce a diferentes resultados, pero se pueden conocer estos.
- Posee regularidad Estadística(de tanto que se repite tiende a un mismo resultado)
Espacio Muestral de un Experimento Aleatorio (S): El conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
E = Lanzar una moneda 2 veces
S = {(c, s) (s, c) (s, s) (c, c)}
Tipos de Espacios Muéstrales, de acuerdo al número de elementos, el espacio muestral se
clasifica en:
Espacio Muestral finito: El número de resultados posibles es un número entero determinado
Espacio Muestral infinito: El número de resultados posibles es un número entero no
determinado, y el mismo puede ser contable (numerable), o no contable (no numerable).
 Infinito Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede ser
determinado pero puede ser numerado.
 Infinito no Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede ser
determinado ni numerado.
Ejemplos:
1. E: Lanzar un dado 2 veces
S: {(1,1)…….. (6,6)}; S es Finito.
2. E: Observar los Alumnos del Núcleo
S: {1, 2, 3, 4………n} ; S es Finito.
3. E: Observar los Vehículos que pasan frente a la Universidad
S: {1, 2, 3, 4,………….n……..} ; S es Infinito Contable.
4. E: Observar la duración de un bombillo.
S: {t / t≥0} t es la duración del bombillo ; S es Infinito no contable.

63. 62
Suceso o Evento: Es una colección de posibles resultados.
Los sucesos aleatorios son subconjuntos del espacio muestral y se pueden utilizar entre ellos las
operaciones habituales entre conjuntos. Se denota con una letra mayúscula a partir de la A; A S.
Ejemplos:
1.- El espacio muestral asociado al experimento: lanzar una moneda es:
S = {c, x}
A = {Que aparezca cara.}
A = {c}
2.- El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas es:
S = {cc, cx, xc, xx}
A = {Que aparezca cara}
A = {(c,c) (c,x) (x,c)}
C
X
C
X
C
X
CC
CX
XC
XX
3.-Espacio muestral asociado al experimento: Lanzar un dado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {Que aparezca Par}
A = {2, 4, 6}
4.- Espacio muestral asociado a al experimento. : Lanzar dos dados:
S = { (1,1,),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A = {Que aparezca Uno}
A = {1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1 (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)}

64. 63
Tipos de Eventos.



Compuesto
Simple
EVENTO
-Eventos simples:
Es un subconjunto que contiene un solo espacio muestral.
-Eventos compuestos:
Es una combinación de eventos simples.
Relación Entre Eventos.
Eventos Solapados
AB, son Eventos solapados, si tienen elementos comunes, estos elementos comunes a AB,
forman un subconjunto llamado intersección (A  B) de AB.
Eventos Mutuamente Excluyentes
AB, son Eventos excluyentes  A  B =  (la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del
otro, no pueden darse o no pueden ocurrir simultáneamente) P(A B) = P (A) + P (B).
Eventos Dependientes: Dos o mas eventos son dependientes cuando el conocimiento de la
verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del o de los otros. Si los eventos
AB, son dependientes A, si la Probabilidad de que “B” suceda, esta influenciada por A 
P (B) = P (B/A)  P (AB) = P (A) x P (B/A).
Eventos Independientes: un evento B es independiente de un evento A, si la Probabilidad de que
“B” suceda, no esta influenciada por A  P (B/A) = P (B)  P(AB) = P (A) x P (B)
Eventos Complementarios: AB, son Eventos complementarios, si el segundo es un
subconjunto que contiene todos los elementos que no están en el primero. Los eventos
complementarios son a su vez mutuamente excluyentes: AB = S y A B = .
Operaciones con Eventos.
1. Unión de sucesos: AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, el cual ocurre cuando A
ocurre, ocurre B o cuando ocurren ambos.
Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos suceso unión de
A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B.
Por tanto EAA 

65. 64
Ejemplo
Sea el Experimento "Lanzar un dado" S = {1, 2, 3, 4, 5,6}
A ="Salir un número par" = {2, 4,6,}; B ="Salir un número primo = {1, 2, 3,5}
A B= {1, 2, 3, 4, 5,6}
2. Intersección de sucesos. AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, cuando ocurre A y
B simultáneamente.
Llamaremos suceso intersección de A y B al suceso que se realiza si se realizan A y B
(En el ejemplo anterior. BA = {2})
Si BA = , entonces se dice que A y B son incompatibles.
Si BA   , entonces se dice que A y B son compatibles.
3.- A: Se lee complemento de A y es el evento que ocurre cuando no ocurre A.
n
4. - A1 A2 A3……….A =  Ai
i = 1
n
5. - A1A2A3……….A =  Ai
i = 1
6.-   un evento que no ocurre.
7.- S  Espacio Muestral.
8.- A  S = S.
9.- A  S = A.
10.- A   = 
11.- A   = A
Ejemplos
1. Escribimos cada una de las palabras JUEGO en una ficha y las ponemos en una bolsa.
Extraemos una letra al azar.