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![Símbolos de agrupación
Considere la siguiente expresión:
{
1
3
− 1[√25 − 3(5 + 42)]}
Las llaves, corchetes y paréntesis que aparecen en ella, se utilizan como símbolos
de agrupación para indicar el orden en que deben realizarse las operaciones.
Reglas de los símbolos de agrupación:
Cuando el signo de agrupación esta precedido por el signo “+” dicho
símbolo puede ser eliminado sin modificar los términos que contiene.
Cuando el signo de agrupación esta precedido por es signo “-” dicho
símbolo puede ser eliminado cambiando el signo de cada uno de los
términos que contiene.
Si una expresión algebraica contiene una o más pares de símbolos de
agrupación, encerrado en otro par, para eliminarlos se comienza con los
símbolos anteriores.
Si una expresión algebraica contiene signos de agrupación que indican
multiplicación, suma y resta al mismo nivel, la operación que debe
efectuarse es la multiplicación.
Ejemplo 1. Simplifica la expresión [2 − 4(3 + 4)]
[2 − 4(7)]=
[2 − 28]=
[−26]=
−26
Ejemplo 2. Simplifica la expresión {5 + [2 − 4(7)]}
{5 + [2 − 4(7)]}=
{5 + [2 − 28]}=
{5 + [−26]}=
{5 − 26}=
21](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-47-320.jpg)
![Ejemplo 3. Simplifica la expresión {6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]}
{6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]} =
{6 − 1[4 + 2(4 − 2)]} =
{6 − 1[4 + 2(4)]} =
{6 − 1[4 + 8]} =
{6 − 1[12]} =
{6 − 12} =
−6
Ejemplo 4. Simplifica la expresión {
1
3
− 1[√25 − 3(5 + 42)]} =
{
1
3
− 1[√25 − 3(5 + 16)]} =
{
1
3
− 1[5 − 3(21)]} =
{
1
3
− 1[5 − 63]} =
{
1
3
− 1[−58]} =
{
1
3
+ 58} =
58
1
3
Ejercicio 5. Simplifica las siguientes expresiones, según la manera en que se
indica.
De manera grupal.
1. {−1 + 9 [8 −
5
3
(3 − 7)]} =](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-48-320.jpg)
![2. 3 {√100 − 3 [
15
3
− (√36 − 4)] − 5} =
3. {3 − 6 [5 − 1 (15 −
9
3
)]} + 3 =
4. −
1
4
{6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]} =
5. 5 − {
√16
2
− 2 [7 (
20
4
−
1
2
) + 3 (4 −
10
5
)]} =
6. {
3
5
+ 1[1(5 + 52) − √625]} + 1 =
7. {
1
6
− 1 [√49 −
1
2
(2 + 23)] −
1
6
} =
8. {3 − 4 [6 − 2 (5 −
3
4
)
2
] + 3} =
9. −5 {4 − [5 (
3
4
−
1
4
)
2
− 3 (2 −
9
3
)
3
] + 2} =
10.{
1
4
− 1 [√64 −
1
2
(3 + 7)] −
1
2
} =
De manera individual.
1. {
1
4
− 6 [−
1
2
(2 + 23) − √400]} + 1 =
2. {
3
9
− 3 [√16 −
1
2
(2 + 23)] −
1
6
} =
3. {5 − 5 [1 − 8 (1 −
1
2
)
2
] − 5} =
4. −1 {3 − [2 (
1
4
−
1
4
)
2
− 1 (3 −
9
3
)
3
] + 2} =
5. {
1
4
− 1 [√64 −
1
2
(3 + 7)] −
1
2
}
6. {−1 + 9 [8 −
5
3
(3 − 9)]} =
7. 2 {√81 − 2 [
20
5
− (√16 − 4)] − 2} =
8. {1 − 4 [−
6
3
(6 −
9
3
)]} + 9 =
9. −
1
4
{6 − 1 [4 + 2 (4 −
10
5
)]} =
10.2 − {
(√4 )2
2
− 2 [7 (
2
3
−
1
2
) − 2 (3 −
12
3
)]} =](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-49-320.jpg)
![{𝑎 + 𝑏[𝑎 − 𝑏(3𝑎)] − 4𝑎} + 10 − 𝑎𝑏 =
4) Cuando:
a = 3
b = 5
c = -4
4𝑎𝑏2
− 3𝑎𝑐2
+ 𝑎2
𝑏2
+ 10 =
5) Cuando:
a = 3
b = 5
c = -1
d = -10
−10 (
3𝑎
𝑏
) (
𝑑
𝑏
) (
𝑎𝑑
𝑐
) =
6) Cuando:
a = -6
b = -4
c = -3
−(𝑎2
𝑐 + 4 − 𝑎2
+ 3𝑏3) =
7) Cuando:
a = 2
b = -2
c = 3
𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑐 + 𝑐2
=
8) Cuando:
a = 4
b = -2
c = 1
𝑎
𝑐
+
𝑏2
𝑎
−
𝑐
𝑎
=](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-56-320.jpg)
![Ejemplo 1.
(𝑥𝑦)3
= 𝑥3
𝑦3
Ejemplo 2.
[(2)(4)]3
= 23
43
= (8)(64) = 512
Tercera ley: Base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente.
(𝑥 𝑚
) 𝑛
= 𝑥 𝑚𝑛
Ejemplo 1.
(𝑥2
)3
= 𝑥(2)(3)
= 𝑥6
Ejemplo 2.
(23
)4
= 2(3)(4)
= 212
Cuarta ley: Una fracción elevada a un exponente.
(
𝑥
𝑦
)
𝑚
=
𝑥 𝑚
𝑦 𝑚
Ejemplo 1.
(
𝑥
𝑦
)
3
=
𝑥3
𝑦3
Ejemplo 2.
(
3
2
)
3
=
33
23
=
(3)(3)(3)
(2)(2)(2)
=
27
8](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-61-320.jpg)
![Ejemplo 3.
(
658
658) = 658−58
= 60
= 1
Ejercicio 19: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los
exponentes para la multiplicación, de manera grupal o individual, según se
indique.
Observa el ejemplo resuelto.
(2)2
(2)3
= 22+3
= 25
= (2)(2)(2)(2)(2) = 32
De manera grupal
1) (92
)2
=
2) [(2)(2)(2)]4
=
3) (33
)(32
)(32
) =
4) (73
)3
=
5) (102
)3
=
De manera individual
1) (42
)3
=
2) [(3)(5)]2
=
3) (5)2
(5)3
=
4) (32
)3
=
5) [(2)(3)(4)]5
=](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-64-320.jpg)
 = (8)(2) = 16
√(2)3(2)𝑥5 𝑦23
Con lo anterior [(2)3(2)𝑥5
𝑦2]
1
3, y aplicando la propiedad de los exponentes,
tenemos: 2
3
32
1
3 𝑥
5
3 𝑦
2
3
Aplicando la propiedad anterior, 21
2
1
3 𝑥
5
3 𝑦
2
3 = 2(2
1
3 𝑥
5
3 𝑦
2
3), cambiando a radical;
2√2𝑥5 𝑦23
Para los radicando algebraicos, aplicamos la ley de los exponentes,
recordemos que, un exponente elevado a otra potencia se multiplica,
(𝑥 𝑚) 𝑛
= 𝑥 𝑚𝑛
, sabemos también que al multiplicar las bases los exponentes
se suman, 𝑥 𝑚
𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑚+𝑛
, aplicando estas propiedades, buscando
descomponer en factores las potencias buscando que uno de ellos sea
igual a el índice de raíz para extraerlo del radicando.
Descomponemos en factores, buscando dejar una de las potencias que
indica el índice de raíz, en este caso; al cubo para extraerlo del radicando.
𝑥5
= 𝑥 𝟑
𝑥2
= 𝑥3+2
= 𝑥5
2√2𝑥5 𝑦23
= 2√2𝑥3 𝑥2 𝑦23
= 2(2𝑥3
𝑥2
𝑦2)
1
3 = (2)2
1
3 𝑥
3
3 𝑥
2
3 𝑦
2
3 =
(2)2
1
3 𝑥1
𝑥
2
3 𝑦
2
3 = 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥1
= 𝑥,
(2)2
1
3 𝑥𝑥
2
3 𝑦
2
3, 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙:](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-147-320.jpg)
 = (100)(3) = 300,](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-149-320.jpg)
![Aunque existen otros factores debe buscarse siempre el mayor factor.
1
10
√(10)2(3)𝑥4 𝑦9
Con lo anterior [(10)2(3)𝑥4
𝑦9]
1
2, y aplicando la propiedad de los
exponentes, tenemos: (10)
2
2(3)
1
2 𝑥
4
2 𝑦
9
2
Aplicando la propiedad de los exponentes , (10)1
(3)
1
2 𝑥2
𝑦
9
2 cambiando a
radical; observemos que en (𝟏𝟎) 𝟏
𝒚 𝒙 𝟐
, las potencias son números enteros, por lo
cual ya no forman parte del radicando, sino factor con el radical.
(
1
10
) 10𝑥2√3𝑦9 = (
10
10
) 𝑥2√3𝑦9 = 1 𝑥2√3𝑦9 =
Para los radicando algebraicos, aplicamos la ley de los exponentes,
recordemos que, un exponente elevado a otra potencia se multiplica,
(𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
, sabemos también que al multiplicar las bases los exponentes
se suman, 𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
, aplicando estas propiedades, buscando
descomponer en factores las potencias buscando que uno de ellos sea
igual a el índice de raíz para extraerlo del radicando.
Descomponemos en factores, buscando dejar la potencia que indica el índice de
raíz, en este caso; al cuadrado para extraerlo del radicando.
𝑦9
= (𝑦4) 𝟐
𝑦 = 𝑦(4)(2)
𝑦 = 𝑦8
𝑦 = 𝑦9
1𝑥2
√3𝑦9 = 1𝑥2
√3(𝑦4)2 𝑦 = 1𝑥2 [3(𝑦4)2
𝑦]
1
2 = 1𝑥2
[3
1
2(𝑦8)
1
2 𝑦
1
2] =
1𝑥2
(3
1
2 𝑦
8
2 𝑦
1
2) = 1𝑥2
(3
1
2 𝑦4
𝑦
1
2),
𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦4
, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜
1𝑥2
(3
1
2 𝑦4
𝑦
1
2) , 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙:
1𝑥2
(3
1
2 𝑦4
𝑦
1
2) , = 1𝑥2
𝑦4
√3𝑦 = 𝑥2
𝑦4
√3𝑦](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-150-320.jpg)
![Ejercicio 3. Realice las operaciones de las siguientes fracciones algebraicas de
manera grupal o individual, según se indica.
De manera grupal.
1.
𝑥2−4
𝑥−3
÷
𝑥2−9
3𝑥−6
2. (
𝑥2+5
𝑥−6
) (
𝑥−2
𝑥2−4
)
3.
𝑥−4
𝑥2−4
÷
𝑥−4
𝑥2−4
4. (
𝑥2−6𝑥+9
5𝑥−15
÷
5
𝑥−3
) (
1
𝑥−3
)
5. (
√𝑥3+5
𝑥4+2𝑥3) (
√ 𝑥52
+2𝑥4
𝑥3+5
)
De manera individual.
1. (
6
𝑥3+2𝑥2) (
𝑥3+6𝑥2
4𝑥2+4𝑥
)
2. (
𝑥2+𝑥
𝑥+
1
2
) ÷ (𝑥 +
1
2
)
3. (
𝑥3+6𝑥2
√4𝑥2+4𝑥
) (
10√ 𝑥+2
𝑥2−7
)
4. (
5
𝑥2) ÷ (
4𝑥+25
𝑥2−25
)
5. [(
4𝑥+25
𝑥3+2𝑥2) (
10𝑥2+2
𝑥2−7
)] ÷ (
1
𝑥3+2𝑥2)](https://image.slidesharecdn.com/librodelgebra-170201073247/85/Libro-de-algebra-169-320.jpg)
Libro de álgebra
- 1. COLEGIO DE ESTUDIOSCIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA ÁLGEBRA PRIMER SEMESTRE
- 2. ÁLGEBRA Autores Castro Peñaloza Ulises DuránMuñoz María Alejandra Felix Robles Maria Cristina Fernández Corrales Marlen Aida Gachuz Cuevas Ilyan Nuñez Inda Elizabeth
- 3. PRESENTACIÓN El Colegio deEstudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es una Institución que asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes, creando espacios educativos para brindarles educación del nivel superior, con calidad y en condiciones apropiadas para su formación. CECyTE BC, oferta a los estudiantes opciones educativas, en donde pueden encontrar el camino de la superación y el apoyo necesario que les permita, no solo incursionar en el mercado laboral como profesionales técnicos, sino también, la posibilidad de planear la continuidad de su formación académica en los espacios universitarios. El documento que tienes en tus manos, es producto del esfuerzo realizado entre el personal docente de nuestro Colegio, para proporcionarte material de calidad para tu formación. Con la elaboración de la Guía de Álgebra, reiteramos nuestro compromiso de continuar esforzándonos por facilitar a nuestros alumnos material didáctico de calidad, que les permita hacer más ligera y efectiva la continuidad y permanencia en sus estudios, para llevar a feliz término esta importante etapa de su formación.
- 4. PROPÓSITO FORMATIVO 1.1. Propósitosformativos de la asignatura El propósito formativo de la materia de matemáticas es que el estudiante aplique conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos (social, natural, científico y tecnológico, entre otros). Así mismo el propósito formativo de la asignatura de álgebra es que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático y haga uso del lenguaje algebraico en la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados por modelos donde se apliquen conocimientos y conceptos algebraicos 1.2 Aprendizajes esperados El estudiante identificará, comprenderá y aplicará potencias, porcentajes y, razones y proporciones para el uso cotidiano, mediante el razonamiento matemático, la resolución de problemas y expresarse por medio de formulas. 1.3 Contenidos actitudinales Libertad Justicia Igualdad Equidad Respeto Tolerancia Honestidad Disciplina Responsabilidad Lealtad Solidaridad Colaboración
- 5. 1.4 COMPETENCIAS QUESE FAVORECEN Competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. 1.2 Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase. 1.3 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. 1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 1.5 Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones. 1.6 Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. 2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad. 2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social. 3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo. 3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. 4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
- 6. 4.4 Se comunicaen una segunda lengua en situaciones cotidianas. 4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. 6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. 7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. 7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 7.4 Trabaja en forma colaborativa. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
- 7. 8.4 Participa conresponsabilidad en la sociedad. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. 9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad. 9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos. 9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad. 9.5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado. 9.6 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente. 10.Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación. 10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio. 10.3 Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional. 11.Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 11.1 Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional. 11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente. 11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al AMBIENTE.
- 8. Competencias disciplinares: Matemáticas: Las competenciasdisciplinares básicas de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Competencias: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
- 9.
- 10. ÍNDICE UNIDAD 1.- CONCEPTOFUNDAMENTAL ARITMÉTICA Y FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA. Conceptos subsidiarios: 1.1 Leyes de los signos. 1.2 Fracciones propias, impropias y mixtas. 1.3 Conversión de fracciones impropias a mixtas. 1.4 Conversión de fracciones mixtas a impropias. 1.5 Operaciones con fracciones. 1.6 Razones 1.7 Simplificación de fracciones. 1.8 Porcentajes 1.9 Identificación de los elementos de una expresión algebraica 1.10 Representación algebraica en lenguaje común 1.11 Evaluación de expresiones algebraicas UNIDAD 2.- EXPRESIÓN ALGEBRÁICA. Conceptos subsidiarios: 2.1 Identificación de los elementos de una expresión algebraica. 2.2 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común. 2.3 Evaluación de expresiones algebraicas. UNIDAD 3.- OPERACIONES FUNDAMENTALES. Conceptos subsidiarios: 3.1 Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios 3.2 Adición y sustracción de polinomios 3.3 Multiplicación de polinomios 3.4 División de polinomios UNIDAD 4.- PRODUCTOS NOTABLES. Conceptos subsidiarios: 4.1Binomios conjugados 4.2Producto de dos binomios cualesquiera 4.3Binomios al cuadrado (𝑥 + 𝑦)2 4.4Binomios al cubo (𝑥 + 𝑦)3
- 11. UNIDAD 5.- FACTORIZACIÓN. Conceptossubsidiarios: 5.1Por factor común a todos los términos 5.2Por diferencia de cuadrados 5.3De trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 5.4De trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 5.5De una suma o diferencia de cubos. 5.6Por agrupación. UNIDAD 6.- EXPONENTES Y RADICALES. Conceptos subsidiarios: 6.1 Exponentes enteros positivos. 6.2 Exponentes enteros negativos. 6.3 Exponente cero. 6.4 Exponentes fraccionarios positivos. 6.5 Exponentes fraccionarios negativos. 6.6 Suma y resta de radicales. 6.7 Multiplicación de radicales. UNIDAD 7.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Conceptos subsidiarios: 7.1 Simplificación de fracciones algebraicas 7.2 Suma y resta de fracciones algebraicas 7.3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas
- 12.
- 13.
- 14. Unidad 1: Aritméticay fundamentos de álgebra. Habilidades y destrezas: El alumno identifica, comprende y aplica las leyes de los exponentes enteros y fraccionarios, así como también las potencias y porcentajes para el uso cotidiano. Conceptos subsidiarios: Leyes de los signos. Fracciones propias, impropias y mixtas. Conversión de fracciones impropias a mixtas. Conversión de fracciones mixtas a impropias. Operaciones con fracciones. Razones Simplificación de fracciones. Porcentajes Identificación de los elementos de una expresión algebraica Representación algebraica en lenguaje común Evaluación de expresiones algebraicas
- 15. Leyes de lossignos Las leyes de los signos se aplican según la operación que se realice. A continuación, se presentan los posibles casos. 1. Suma y resta. a) Números con mismo signo. El signo resultante es el signo en común. Ejemplo 1: 5 + 3 + 100 + 3 + 3 = 114 Ejemplo 2: −5 − 3 − 100 − 3 − 3 = −114 b) Números con signo opuesto. Cuando en una expresión hay términos con diferente signo, los términos se restan y el signo resultante es el signo del número mayor. Ejemplo 1: 1 − 3 = −4 Ejemplo 2: −2 − 3 + 7 = −5 + 7 = 2 2. Multiplicación
- 16. Al multiplicar dosnúmeros cualesquiera, el signo resultante deberá ser acorde a lo siguiente: (+𝑥)(+𝑦) = +𝑥𝑦 (+𝑥)(−𝑦) = −𝑥𝑦 (−𝑥)(+𝑦) = −𝑥𝑦 (−𝑥)(−𝑦) = +𝑥𝑦 Ejemplo 1: Multiplicación de dos números positivos. (4)(5) = 20 Ejemplo 2: Multiplicación de un número positivo y uno negativo. (4)(−5) = −20 Ejemplo 3: Multiplicación de un número negativo y uno positivo. (−4)(5) = −20 Ejemplo 4: Multiplicación de dos números negativos. (−4)(−5) = 20 3. División. Al dividir dos números cualesquiera, el signo resultante deberá ser acorde a lo siguiente: +𝑥 +𝑦 = + 𝑥 𝑦 +𝑥 −𝑦 = − 𝑥 𝑦 −𝑥 +𝑦 = − 𝑥 𝑦
- 17. −𝑥 −𝑦 = + 𝑥 𝑦 Ejercicio 1.Realice las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos, según se indique de forma grupal o individual. De manera grupal. 1) 4 + 3 + 2 + 100 + 3 + 4 + 3 = 2) 5 + 3 + 2 + 1 + 10 + 20 = 3) −1.27 − 1.23 − 0.75 = 4) 10 + 2 − 3 + 7 = 5) 3.6 + 4.1 + 3.7 + 10.3 = 6) −67 + 78 − 6 + 9 − 4 = 7) 6 + 10 − 4 + 9 − 23 = 8) 99 − 87 + 34 = 9) −5 + 17 + 12 − 3 = 10)5 − 7 + 9 − 9 + 8 = De manera individual. 1) 4 + 3 + 17 = 2) 17 − 35 + 40 − 4 = 3) −102 − 87 − 8 − 13 = 4) −9 + 33 − 14 + 8 = 5) 40 − 13 + 28 + 7 + 5 = 6) 10 − 10 5 = 7) 12 − 15 3 − 4 + 1 = 8) 20 + 50 2 − 110 = 9) 18 − 5 + 48 + 100 − 15 = 10)6 − 4 + 9 − 7 + 2 − 1 =
- 18. Ejercicio 2. Realicelas siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos y de acuerdo a la manera indicada. De manera grupal: 1) (7)(−6)(5) = 2) (−5)(−1)(−10)(6) = 3) (−9) (− 150 10 ) = 4) (4)(−6)(9)(−5)(7) = 5) −4(8) = 6) 8(9)(−8)(−5) = 7) (−8)(8)(8) = 8) (−13)(−5) = 9) (1)(8)(−12) = 10)(−5)(−9)(2) = De manera individual: 1) (−10)(8) = 2) (−5)(7)(−3)(2)(−1) = 3) (− 10 2 ) (180) = 4) (−6)(5)(−4)(1) = 5) (−9)(−8) = 6) 8(−9)(−5) = 7) −10(−9)(6) = 8) (4)(−8)(4) = 9) (−9)(−8)(3)(2) = 10)(8)(−340)=
- 19. Fracciones propias, impropiasy mixtas Una fracción representa una cantidad específica de porciones o de parte de un todo. Se representa por una línea horizontal ( 𝑥 𝑦 ) u oblicua (𝑥 𝑦⁄ ). Una fracción se conforma por: 𝑥 𝑦 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 Existen tres tipos de fracciones: 1. Propias. En el cual el numerador es menor al denominador. Ejemplo: 2 7 2. Impropias. En el cual el numerador es mayor al denominador. Ejemplo: 20 9 3. Mixtas. Se conforma por un entero y una fracción propia. Ejemplo: 6 4 9
- 20. Conversión de fraccionesimpropias a mixtas Para convertir una fracción impropia en una mixta, es necesario que el numerador sea mayor que el denominador. Si esto se cumple, se debe se divide el numerador entre el denominador, siendo el cociente el número entero y el residuo pasa a formar parte del cociente en el numerador. El denominador de la parte fraccionaria permanece igual. Ejemplo 1. Convertir 20 3 a fracción mixta: Al dividir 20 ÷ 3 da como resultado 6 (cociente) y el residuo es 2, por lo tanto la fracción mixta es : 6 2 3 Ejemplo 2. Convertir 38 7 a fracción mixta: Al dividir 38 ÷ 7 da como resultado 5 (cociente) y el residuo es 3, por lo tanto la fracción mixta es : 5 3 7 Conversión de fracciones mixtas a impropias El procedimiento para convertir fracciones mixtas a impropias consiste en multiplicar la parte entera por el denominador de la fracción y el resultado se suma al numerador de la fracción. El resultado de la suma es el numerador de la fracción impropia, mientras que el denominador de la fracción mixta se conserva. Ejemplo 1. Convertir 6 5 8 a fracción impropia. Se multiplica el número entero por el denominador:
- 21. (8)(6) = 48 Alresultado obtenido se le suma el numerador: 48 + 5 = 53 Este resultado se coloca como numerador de la fracción impropia, mientras que el denominador no cambia: 53 8 Ejemplo 2. Convertir 10 1 7 a fracción impropia: De la misma forma que el ejemplo anterior, se multiplica el denominador por el número entero (7)(10) = 70 y al resultado se le suma el numerador: 70 + 1 = 71 Este resultado se coloca como numerador de la fracción impropia, mientras que el denominador no cambia: 71 7 Ejercicio3. Convierta las fracciones impropias a mixtas y viceversa, según se indica de manera grupal o individual. De manera grupal. Fracción impropia Fracción mixta 1. 100 7 2. 6 3 5 3. 9 4
- 22. 4. 8 9 17 5. 19 3 6. 10 1 5 7. 190 20 8. 2 18 26 9.89 5 10. 15 4 9 De manera individual. Fracción impropia Fracción mixta 1. 60 5 2. 9 4 5 3. 18 5 4. 8 109 130 5. 40 3 6. 1 18 25 7. 100 23 8. 3 15 28 9. 93 5 10. 5 7 25
- 23. Operaciones con fracciones 1.Adición y Sustracción a) Denominadores iguales. Cuando los denominadores son iguales, los numeradores se suman o restan, dependiendo de la operación y el denominador queda igual. Ejemplo 1. 1 8 + 3 8 = 1 + 3 8 = 4 8 = 1 2 Ejemplo 2. 4 7 − 3 7 = 4 − 3 7 = 1 7 = 1 b) Denominadores diferentes. En este caso, se busca un denominador común. Si no existe algún, los denominadores se multiplican. Ejemplo 1: 7 5 + 2 15 = En este caso, como los denominadores son múltiplos, se toma el denominador más grande. Después, se divide el común denominador entre el denominador de cada cociente, y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente. (3)(7) + (1)(2) 15 Finalmente, se realizan las operaciones del numerador.
- 24. 21 + 2 15 = 23 15 Ejemplo2. 3 5 − 2 13 = En este caso, como los denominadores no son múltiplos, éstos se multiplican. El resultado es el denominador común. Después, se divide el denominador común entre el denominador de cada cociente, y el resultado se multiplica por su numerador correspondiente. (3)(13) − (5)(2) 65 = Finalmente, se realizan las operaciones del numerador. 39 − 10 65 = 49 65 2. Multiplicación. Esta operación es sumamente directa, sólo se debe multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Ejemplo 1: Multiplicar 4 5 por − 3 6 ( 4 5 ) (− 3 6 ) = − 12 30 = − 6 15 = − 2 5 Ejemplo 2. Obtener el producto de 7 8 y 3 4 ( 7 8 ) ( 3 4 ) = 21 32
- 25. 3. División. Se multiplicael numerador del primer termino por el denominador del segundo termino y se convierte en el nuevo numerador, luego se multiplica el denominador del primer termino por el numerador del segundo termino y se convierte en el nuevo denominador. 𝑎 𝑏 ÷ 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 𝑏𝑐 Ejemplo 1: 3 4 ÷ 5 3 = (3)(3) (4)(5) = 9 20 Ejemplo 2: −4 10 ÷ 6 7 = (−4)(7) (10)(6) = −28 60 = −14 30 = −7 15 Ejercicio 4. Realice las siguientes sumas o restas con fracciones, de forma grupal o individual, según se indica. De manera grupal. 1) 1 6 + 3 6 = 2) 1 3 + 1 3 = 3) 2 7 − 3 7 + 5 7 = 4) −1 2 9 + 2 1 9 + 3 5 9 = 5) 1 7 + 2 7 + 4 7 =
- 26. 6) 3 5 − 5 8 = 7) 1 4 + 2 5 = 8) 3 4 + 1 5 − 2 3 = 9) 3 2 4 − 5 1 5 − 5 3 = 10) 1 8 + 2 4 + 1 2 = Demanera individual. 1. 5 7 + 3 5 − 2 3 = 2. 2 1 5 + 3 2 6 = 3. 3 2 5 + 5 1 2 + 3 4 7 = 4. 3 4 7 − 2 1 6 = 5. 3 1 2 + 5 3 4 + 2 5 6 = 6. 1 10 + 3 10 = 7. 1 8 + 1 8 = 8. − 2 8 − 6 8 + 5 8 = 9. 2 9 + 6 9 + 25 9 = 10. 6 7 − 12 7 + 9 7 =
- 27. Ejercicio 5. Realicelas siguientes multiplicaciones con fracciones, en forma grupal o individual, según se indique. De manera grupal. 1. ( 1 8 ) ( 7 8 ) = 2. ( 3 4 ) ( 1 4 ) = 3. ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) = 4. ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) = 5. (1 1 2 ) (1 2 3 ) = 6. (3 1 2 ) (2 2 3 ) (5 3 4 ) = 7. (2 1 3 ) (2 3 4 ) (5 5 6 ) = 8. (3 1 5 ) ( 5 8 ) = 9. (4) ( 5 4 ) = 10. (5 2 3 ) (3 1 2 ) =
- 28. De manera individual. 1.( 1 8 ) ( 8 9 ) = 2. ( −2 5 ) ( 11 4 ) = 3. ( 15 2 ) (− 2 4 ) ( 5 7 ) = 4. ( 3 5 ) ( −3 4 ) ( 2 6 ) = 5. ( 1 5 ) (1 3 3 ) = 6. (3 9 2 ) ( 2 7 ) ( 3 4 ) = 7. (2 7 3 ) ( 3 4 ) ( 8 6 ) = 8. ( 11 8 ) ( −9 8 ) = 9. (5) (− 9 4 ) = 10. (− 2 3 ) ( 1 2 ) = Ejercicio 6. Realice las siguientes divisiones con fracciones, en forma grupal o individual, según se indica. De manera grupal: 1) 8 9 ÷ 7 5 = 2) −6 8 ÷ 2 5 = 3) 8 5 ÷ 1 2 = 4) 5 10 ÷ −5 9 = 5) 7 9 ÷ 4 3 = 6) − 6 7 ÷ −9 3 = 7) 9 8 ÷ 6 1 = 8) 6 5 ÷ 6 =
- 29. 9) −6 9 ÷ 𝟒 𝟓 = 10) 𝟒 𝟓 ÷ 𝟐 𝟗 = De manera individual: 1) 9 7 ÷1 4 5 = 2) −6 9 ÷ 4 9 = 3) 8 9 ÷ 1 3 = 4) 1 1 9 ÷ −3 9 = 5) 7 8 ÷ 8 7 = 6) − 5 8 ÷ −4 3 = 7) 2 9 ÷ 6 8 = 8) 7 5 ÷ 9 = 9) −5 9 ÷ 3 9 = 10) 4 7 ÷ 3 9 = Razones y proporciones La razón de dos números se obtiene mediante el cociente de ambos. La razón, es utilizada cuando se desea comparar dos cantidades, y se puede representar de las siguientes formas: 𝑎 𝑏 , 𝑎 ÷ 𝑏 , 𝑎 ∶ 𝑏 donde: 𝑎 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑏 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜
- 30. Ejemplo 1. Maríaasistió a 10 de 45 clases de música. ¿Cuál es la razón de clases asistidas con respecto al total de las clases? Solución: 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖ó 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 = 10 45 La razón de clases asistidas con respecto al total de clases es 10 45 Ejercicio7. Resuelva los siguientes problemas según la manera que se indica. De manera grupal: 1. Hugo, Paco y Luis desean saber quién es el que mejor salió en sus exámenes. Hugo contestó correctamente 15 reactivos de 20, Paco 4 reactivos de 8 y Luis 12 reactivos de 18. ¿Quién es el que salió mejor en su examen? 2. La razón de ahorro de dinero de Pedro con respecto a su hermano Pablo es de 3:7. Entre los dos, llevan ahorrado $2500.00. ¿Cuánto lleva ahorrado cada uno? De manera individual: 1. La razón de dinero que le dan a Miguel con respecto a su hermano es de 5:2. En total les dan $ 700.00. ¿Cuánto le dan a cada uno? 2. Un alumno asistió puntualmente a 15 de 25 clases en la materia de historia, mientras que en la materia de biología asistió a 10 de 15 clases. ¿Cuál fue la materia a la que mas asistió?
- 31. Simplificación de fracciones Consisteen expresar una fracción o cociente mediante el numerador y denominador más pequeños, siempre y cuando se mantenga la misma razón. Ejemplo 1: 6 8 = 6 ÷ 2 8 ÷ 2 = 3 4 Ejemplo 2: 10 20 = 10 ÷ 10 20 ÷ 10 = 1 2 Ejercicio 8. Simplifica las siguientes fracciones. Realiza el ejercicio, ya sea de forma grupal o individual, según se indica. De manera grupal. 1) 10 15 = 2) 7 21 = 3) 9 33 = 4) 2 4 = 5) 20 100 = 6) 9 99 = 7) 150 10 = 8) 2 8 = 9) 3 24 = 10) 14 21 =
- 32. De manera individual. 1) 6 18 = 2) 25 150 = 3) 9 36 = 4) 5 25 = 5) 18 90 = 6) 12 48 = 7) 4 20 = 8) 21 112 = 9) 6 30 = 10) 8 72 = Porcentajes Esla razón de un número con respecto a 100, y se representa mediante el símbolo %. El porcentaje es una operación que siempre va relacionada con alguna otra cantidad. Para poder realizar operaciones con porcentajes, éste se debe expresar mediante una facción o cociente, tal como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Si deseamos expresar el 15 %, lo hacemos mediante: 15 100 = 0.15 El uso de porcentajes en situaciones de nuestra vida diaria es muy variado. A continuación se presentan algunas situaciones en las que podemos aplicarlos.
- 33. Ejemplo 2. Lamensualidad que debe de pagar Luisa en su escuela de baile es de $950.00, pero si paga entre el 11 y el 15 de cada mes, le hacen un descuento del 15%. ¿Cuanto pagaría de mensualidad ya con el descuento? Solución: Primero, se determina cuánto es el 15% de los $950.00 de la siguiente forma: 950(0.15) = 142.5 El 15% es el resultado de dividir 15 entre 100. Posteriormente, se resta el 15% obtenido a la cantidad de $950.00. 950 − 142.5 = 807.50 Luisa pagaría de mensualidad en su escuela de baile $807.50 ya con el descuento. Ejemplo 3. Por el 17vo. aniversario de una tienda departamental se ofrece un descuento del 17 %. Fernanda fue de compras a la tienda y gastó $4580.75. Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto fue lo que ahorro Fernanda? b) ¿Cuánto fue lo que pagó Fernanda? Solución: El 17% de la cantidad gastada es:
- 34. 4580.75(0.17) = 778.72 Lacantidad que ahorró Fernanda es de $778.72. Con ello, se determina cuanto fue lo que pagó: 4580.75 − 778.72 = 3802.02 Incluyendo el descuento, Fernanda pagó $3802.02. Ejemplo 4. En un salón de 50 alumnos, en la materia de matemáticas, reprobó el 60%. De los alumnos reprobados, el 20% son mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres reprobados hay? Solución: El primer paso, consiste en determinar el total de alumnos reprobados: 50(0.60) = 30 De los 30 alumnos, se calcula, de manera individual la cantidad de mujeres y hombres reprobados. La cantidad de mujeres reprobadas se calcula mediante: 30(0.20) = 6 El resto de los alumnos reprobados, que es el 80%, corresponde a los hombres y se calcula mediante: 30(0.80) = 24 De los 50 alumnos en el grupo hay 30 reprobados, de los cuales 6 son mujeres y 24 hombres. Ejercicio 9. Resuelva los siguientes problemas según la modalidad que se indique.
- 35. De manera grupal: 1)María gana semanalmente $957.00, si le dan un aumento de salario del 7%, ¿Cuánto ganará María? 2) Para que un alumno tenga derecho a presentar un examen de geografía, debe de tener el 80% de asistencia de las horas, en un curso de 45 horas. ¿Cuántas horas como mínimo deberá asistir el alumno para poder presentar el examen? 3) Laura gana mensualmente $10,960.00. En su trabajo le hacen un descuento del 15% por un préstamo, 10% por un ahorro y el 5 % por un seguro. ¿Cuánto dinero le queda a Laura de su sueldo? 4) El sueldo de Enrique está destinado a un 30% en alimentos, 20% en gasolina, 30% en gastos de vivienda, 10 % en diversión familiar y el 10 % lo ahorra. En total Enrique gana $17,450.00 ¿Cuánto dinero gasta y cuánto ahorra? 5) Héctor fue a E.U.A. y gastó en total $25.71 dólares. ¿Cuánto pagó en total si el impuesto que se aplica es del 8%? 6) Adriana compró una computadora nueva en $5540.00, con un impuesto del 16% ya incluido. ¿Cuál es el precio de la computadora sin el impuesto? De manera individual: 1. El 58% de los alumnos que asisten a la preparatoria Xochimilco, son mujeres. ¿Qué cantidad de mujeres hay en la preparatoria? según los datos de la siguiente tabla: Semestre Primero Tercero Quinto Cantidad de alumnos 560 480 360
- 36. 2. Oscar acertóel 65% de las 40 preguntas en su examen de historia. ¿Cuántos reactivos acertó? 3. Un equipo de futbol ganó el 60% de los juegos en el torneo local. Si en total tuvieron 15 encuentros deportivos, ¿Cuántos juegos ganaron? 4. Juan compró una computadora a $5,950.00 más el iva del 16%, ¿Cuánto fue el total que pagó por la computadora?
- 37.
- 38. Unidad 2: ExpresiónAlgebraica. Habilidades y destrezas: Identifica y representa gráficamente mediante fórmulas los elementos de una expresión algebraica. Conceptos subsidiarios: Identificación de los elementos de una expresión algebraica. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común. Evaluación de expresiones algebraicas.
- 39. Identificación de loselementos de una expresión algebraica Una expresión algebraica es la combinación de constantes y variables combinadas entre si por medio de operaciones matemáticas. Ejemplo 1: Expresión algebraica Constante Variable 4𝑥 4 𝑥 Ejemplo 2: Expresión algebraica Constante Variable 10𝑦2 10 𝑦 Término algebraico Es una expresión matemática conformada por signo, coeficiente, variable y exponente. Ejemplo 1: − 2 3 𝑥2 Ejemplo 2: 5𝑥5 𝑦7 De manera general, se pueden expresar los elementos de un término algebraico, de la siguiente forma 𝑎𝑥 𝑛 Un término algebraico puede ser positivo o negativo. El signo, de ser negativo, se coloca antes del coeficiente. Cuando es positivo, es común que no se escriba. Ejemplo 1: −5𝑥
- 40. Ejemplo 2: 25𝑥 Las variablesde un término algebraico se expresan mediante las letras. Por lo general, se utilizan las últiimas letras del alfabeto para su representación. Ejemplo 1: 2 3 𝑥 Ejemplo 2: −5𝑥𝑦 El coeficiente de un término algebraico, el cual, se antepone a la variable, puede ser representado por números o letras minúsculas. Cuando se utilizan letras, generalmente son las primeras del alfabeto. Ejemplo 1: 3𝑥 Ejemplo 2: 𝑏𝑥𝑦 El exponente se coloca en el extremo superior derecho de la variable, el cual indica el grado de la expresión algebraica. Ejemplo 1: 10𝑥2 Ejemplo 2: 3 4 𝑦2
- 41. En caso deque una expresión algebraica con un término tenga dos o más variables, el grado se determina sumando los exponentes de las variables. Ejemplo 1: Expresión de grado 9. 3𝑥2 𝑦7 Ejemplo 2: Expresión de grado 6. 𝑥𝑦2 𝑧3 Si una expresión algebraica contiene más de un término, el grado lo determina el término con el grado mayor. Ejemplo 1: Expresión de grado 7 𝑥4 𝑦3 + 2𝑥3 𝑦3 Ejemplo 2: Expresión de grado 3 3𝑥𝑦 + 2𝑥2 𝑦 Clasificación de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la cantidad de términos que contienen. Estas pueden ser monomios, binomios, trinomios o polinomios. Monomio: Expresión algebraica que contiene un solo término. Ejemplo 1: 𝑥 Ejemplo 2: 4𝑥2 𝑦3
- 42. Binomio: Expresión algebraicaque contiene dos términos, donde cada término es separado por un signo de suma o resta. Ejemplo 1: 4𝑥2 + 𝑥5 Ejemplo 2: 4𝑥5 𝑦7 − 10𝑥2 𝑦 Trinomio: Expresión algebraica que contiene 3 términos. Ejemplo 1: 𝑥4 + 𝑦3 − 𝑥𝑦3 Ejemplo 2: 𝑥2 + 𝑥 − 5 Polinomio: Expresión algebraica que contiene 4 o más términos. Ejemplo 1: 𝑥4 + 6𝑥2 + 3𝑥 + 10 Ejemplo 2: 𝑦3 + 4𝑦4 𝑧2 − 𝑥2 + 8𝑧 Ejercicio 1. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas, como monomio, binomio, trinomio o polinomio, según cada caso y en la manera que se indique.
- 43. De manera grupal. Expresiónalgebraica Clasificación 1. 𝑥 2 2 + 𝑥4 2. 3𝑥3 − 2𝑥2 𝑦2 + 𝑦3 − 5 3. 𝑥3 + 𝑥4 − 3 4. 𝑦 5. 5𝑥5 + 3𝑥 4 − 6 De manera individual: Expresión algebraica Clasificación 1. 𝑥𝑦4 + 𝑥𝑦3 2. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 3. −10𝑥2 𝑦5 𝑧 4. 𝑥2 + 3𝑥3 − 5 5. 𝑥4 𝑦2 + 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑦2 − 1 Ejercicio 2. Identifique cada uno de los términos algebraicos de las expresiones en la tabla. Realice el ejercicio según la manera que se indica. De manera grupal. Término Signo Coeficiente Variable Exponente 1. −4𝑥3 2. 3𝑥4 𝑦2 𝑧2 3. 𝑧 4. 5𝑥 6 2 5. 15
- 44. De manera individual. TérminoSigno Coeficiente Variable Exponente 1. −9𝑥2 𝑦6 2. 5𝑥𝑦7 4 3. 𝑥3 𝑦5 𝑧2 4. 4 6 5. 𝑦 Ejercicio 3. Identifique el grado de las expresiones algebraicas. Realice la actividad según la manera que se indica. De manera grupal. Expresión algebraica Grado 1. 𝑥2 + 𝑥3 2. 4𝑥2 𝑦2 + 2𝑥3 𝑦4 3. 𝑥10 + 𝑥5 𝑦3 − 4𝑥2 𝑦2 4. 𝑥𝑦4 + 𝑥4 𝑦6 − 4 5. 5𝑥5 𝑦6 − 𝑥2 𝑦3 𝑧4 + 3𝑥4 𝑦7 𝑧4 De manera individual. Expresión algebraica Grado 1. 𝑥3 𝑦4 + 𝑥4 2. 2𝑥3 𝑦5 + 5𝑥4 𝑦6 − 4𝑥4 𝑦2 𝑧3 3. 9𝑥𝑦3 𝑧5 + 10𝑥4 𝑦5 𝑧 4. 3𝑥2 𝑦4 𝑧3 5. 5𝑥5 𝑦5 + 3𝑥4 𝑦3 − 3𝑥4 𝑦7
- 45. Representación algebraica deexpresiones en lenguaje común El lenguaje algebraico consiste en representar por medio de números y letras Ejemplos: Lenguaje algebraico Lenguaje común 2𝑥 El doble de un número 𝑥 Un número cualquiera 𝑥 4 La cuarta parte de un número 𝑥3 El cubo de un número 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 La suma de tres números diferentes 𝑎𝑏 5 La quinta parte del producto de dos números 4𝑥2 El cuádruplo del cuadrado de un número √𝑎𝑏 La raíz cuadrada del producto de dos números 𝑎 + 𝑏 2 La semisuma de dos numeros 3𝑥 − 5 El triple de un número menos cinco Ejercicio 4. Complete la tabla siguiente, ya sea escribiendo la expresión algebraica o describiendo la expresión utilizando lenguaje común. Realice la actividad según la manera que se indica. De manera grupal. Lenguaje algebraico Lenguaje común 1. La mitad de la diferencia de dos números 2. 𝑥3 10 3. El triple del producto de tres números diferentes 4. 𝑥 + 𝑥 5 5. El quíntuple de un número al cubo menos seis 6. √𝑎 − 𝑏 5
- 46. 7. El cubode la suma de dos números 8. (3𝑥)2 9. El producto de cuatro números diferentes 10. (𝑎 + 𝑏)2 De manera individual. Lenguaje algebraico Lenguaje común 1. El triple de un número más la quinta parte de otro 2. 𝑥3 − 4 3. Cinco veces un número cualquiera 4. √𝑎 − 𝑏 3 5. La diferencia del doble de un número y la tercera parte de otro 6. 3 5 (𝑥 − 2) 7. El cuadrado de numero menos la décima parte de un numero al cubo 8. 𝑥 − 7 9. Tres números diferentes cuya suma da 100 10. 𝑎𝑏𝑐𝑑
- 47. Símbolos de agrupación Considerela siguiente expresión: { 1 3 − 1[√25 − 3(5 + 42)]} Las llaves, corchetes y paréntesis que aparecen en ella, se utilizan como símbolos de agrupación para indicar el orden en que deben realizarse las operaciones. Reglas de los símbolos de agrupación: Cuando el signo de agrupación esta precedido por el signo “+” dicho símbolo puede ser eliminado sin modificar los términos que contiene. Cuando el signo de agrupación esta precedido por es signo “-” dicho símbolo puede ser eliminado cambiando el signo de cada uno de los términos que contiene. Si una expresión algebraica contiene una o más pares de símbolos de agrupación, encerrado en otro par, para eliminarlos se comienza con los símbolos anteriores. Si una expresión algebraica contiene signos de agrupación que indican multiplicación, suma y resta al mismo nivel, la operación que debe efectuarse es la multiplicación. Ejemplo 1. Simplifica la expresión [2 − 4(3 + 4)] [2 − 4(7)]= [2 − 28]= [−26]= −26 Ejemplo 2. Simplifica la expresión {5 + [2 − 4(7)]} {5 + [2 − 4(7)]}= {5 + [2 − 28]}= {5 + [−26]}= {5 − 26}= 21
- 48. Ejemplo 3. Simplificala expresión {6 − 1 [4 + 2 (4 − 10 5 )]} {6 − 1 [4 + 2 (4 − 10 5 )]} = {6 − 1[4 + 2(4 − 2)]} = {6 − 1[4 + 2(4)]} = {6 − 1[4 + 8]} = {6 − 1[12]} = {6 − 12} = −6 Ejemplo 4. Simplifica la expresión { 1 3 − 1[√25 − 3(5 + 42)]} = { 1 3 − 1[√25 − 3(5 + 16)]} = { 1 3 − 1[5 − 3(21)]} = { 1 3 − 1[5 − 63]} = { 1 3 − 1[−58]} = { 1 3 + 58} = 58 1 3 Ejercicio 5. Simplifica las siguientes expresiones, según la manera en que se indica. De manera grupal. 1. {−1 + 9 [8 − 5 3 (3 − 7)]} =
- 49. 2. 3 {√100− 3 [ 15 3 − (√36 − 4)] − 5} = 3. {3 − 6 [5 − 1 (15 − 9 3 )]} + 3 = 4. − 1 4 {6 − 1 [4 + 2 (4 − 10 5 )]} = 5. 5 − { √16 2 − 2 [7 ( 20 4 − 1 2 ) + 3 (4 − 10 5 )]} = 6. { 3 5 + 1[1(5 + 52) − √625]} + 1 = 7. { 1 6 − 1 [√49 − 1 2 (2 + 23)] − 1 6 } = 8. {3 − 4 [6 − 2 (5 − 3 4 ) 2 ] + 3} = 9. −5 {4 − [5 ( 3 4 − 1 4 ) 2 − 3 (2 − 9 3 ) 3 ] + 2} = 10.{ 1 4 − 1 [√64 − 1 2 (3 + 7)] − 1 2 } = De manera individual. 1. { 1 4 − 6 [− 1 2 (2 + 23) − √400]} + 1 = 2. { 3 9 − 3 [√16 − 1 2 (2 + 23)] − 1 6 } = 3. {5 − 5 [1 − 8 (1 − 1 2 ) 2 ] − 5} = 4. −1 {3 − [2 ( 1 4 − 1 4 ) 2 − 1 (3 − 9 3 ) 3 ] + 2} = 5. { 1 4 − 1 [√64 − 1 2 (3 + 7)] − 1 2 } 6. {−1 + 9 [8 − 5 3 (3 − 9)]} = 7. 2 {√81 − 2 [ 20 5 − (√16 − 4)] − 2} = 8. {1 − 4 [− 6 3 (6 − 9 3 )]} + 9 = 9. − 1 4 {6 − 1 [4 + 2 (4 − 10 5 )]} = 10.2 − { (√4 )2 2 − 2 [7 ( 2 3 − 1 2 ) − 2 (3 − 12 3 )]} =
- 50. Evaluación de expresionesalgebraicas Consiste en sustituir una variable en la expresión algebraica por un valor. Una vez sustituida esa variable, se realizan las operaciones con ese número. Ejemplo 1. Evaluar la expresión algebraica 𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 = Cuando: 𝑎 = 2 𝑏 = 1 𝑐 = 3 𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 = Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión: 𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 = 2 + 1 − 3(3) = Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando: 2 + 1 − 9 = 3 − 9 = −6 Resultado = -6 Ejemplo 2. Evaluar la expresión algebraica 4𝑎 − 3𝑏 − 4𝑐 − 𝑏2 =: Cuando : 𝑎 = −1 𝑏 = 1 𝑐 = −5 4𝑎 − 3𝑏 − 4𝑐 − 𝑏2 = Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión:
- 51. 4𝑎 − 3𝑏− 4𝑐 − 𝑏2 = 4(−1) − 3(1) − 4(−5) − (1)2 = Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando: −4 − 3 + 20 − 1 = −7 + 20 − 1 = −8 + 20 = 12 Resultado = 12 Ejemplo 3. Evaluar la expresión algebraica 𝑎+𝑏−3𝑐 𝑏−1 =: Cuando: 𝑎 = −1 𝑏 = −3 𝑐 = −2 𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 𝑏 − 1 = Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión: −1 − 3 − 3(−2) −3 − (−1) = Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando: −1 − 3 + 6 −3 + 1 = −4 + 6 −2 = 2 −2 = −1 Resultado = -1
- 52. Ejemplo 4. Evaluarla expresión algebraica 𝑎 + 𝑏{𝑏2 − 𝑐(𝑎 − 𝑏)} + 𝑎 =: Cuando: 𝑎 = 3 𝑏 = −3 𝑐 = 10 𝑎 + 𝑏{𝑏2 − 𝑐(𝑎 − 𝑏)} + 𝑎 = Se sustituyen los valores de a,b,c y d en la expresión: 𝑎 + 𝑏{𝑏2 − 𝑐(𝑎 − 𝑏)} + 𝑎 = 3 − 3{(−3)2 − 10(3 − (−3))} + 3 = Se resuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando: 3 − 3{9 − 10(3 + 3)} + 3 = 3 − 3{9 − 10(6)} + 3 = 3 − 3{9 − 60} + 3 = 3 − 3{−51} + 3 = 3 + 153 + 3 = 159 Resultado = 159 Ejemplo 5. Evaluar la expresión algebraica 𝑎2+𝑏2−𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 =: Cuando: 𝑎 = 10 𝑏 = 3 𝑐 = −1 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 = Se sustituyen los valores de a,b y c en la expresión: 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 =
- 53. 102 + 32 − (−1) 10 + 3 10 = Seresuelve sumando, restando, dividiendo o multiplicando: 100 + 9 + 1 10 + 3 10 = 110 10 + 3 10 = 113 10 Resultado = 113 10 Ejercicio 6. Resuelve las siguientes expresiones sustituyendo el valor de cada variable. De manera grupal: 1) Cuando: 𝑎 = −2 𝑏 = 4 𝑐 = 6 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐 = 2) Cuando: 𝑎 = 2 𝑏 = −3 𝑐 = −4 𝑏2 − 𝑐3 + 5 + 3𝑐 − 𝑎 = 3) Cuando : 𝑎 = 10 𝑏 = −9
- 54. 𝑐 = −8 𝑑= 5 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑑 + 3𝑎(5𝑏) − 𝑐 = 4) Cuando: 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = −4 (𝑎) ( 𝑏 𝑐 ) ( 4𝑎 𝑏 ) ( 5 4 ) = 5) Cuando: 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = −5 𝑑 = −3 𝑎 + 𝑏 { 4𝑎 𝑏 (3𝑎 − 𝑑)} 2 + 𝑎𝑐 + 10 = 6) Cuando: 𝑎 = 10 𝑏 = −10 4𝑎𝑏 + 3𝑎𝑏 𝑎 7) Cuando: 𝑎 = 8 𝑏 = 2 𝑐 = −2 2𝑎𝑏 − 4𝑎𝑐 + 𝑏2 2𝑎𝑏 = 8) Cuando : 𝑎 = −3 𝑏 = −5
- 55. 𝑐 = −1 𝑎{4𝑎(3𝑎− 10) − 3𝑐} + 𝑐 − 𝑎𝑏 = 9) Cuando : 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = 6 1 𝑏 + 2 𝑎𝑐 + 2𝑎 3𝑏 = 10)Cuando : 𝑎 = −5 𝑏 = 7 𝑐 = 10 𝑎 + 𝑏𝑐 − 3𝑐 + 4𝑎 5𝑎 + 5𝑐 + 2 = De manera individual: 1) Cuando : 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = −7 𝑎2 − 3𝑏 + 4𝑐 − 3𝑎𝑏 = 2) Cuando : 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = 5 4𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐 − 1 −(𝑎2 + 𝑏 − 𝑐2) = 3) Cuando: a = 3 b = 10
- 56. {𝑎 + 𝑏[𝑎− 𝑏(3𝑎)] − 4𝑎} + 10 − 𝑎𝑏 = 4) Cuando: a = 3 b = 5 c = -4 4𝑎𝑏2 − 3𝑎𝑐2 + 𝑎2 𝑏2 + 10 = 5) Cuando: a = 3 b = 5 c = -1 d = -10 −10 ( 3𝑎 𝑏 ) ( 𝑑 𝑏 ) ( 𝑎𝑑 𝑐 ) = 6) Cuando: a = -6 b = -4 c = -3 −(𝑎2 𝑐 + 4 − 𝑎2 + 3𝑏3) = 7) Cuando: a = 2 b = -2 c = 3 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑐 + 𝑐2 = 8) Cuando: a = 4 b = -2 c = 1 𝑎 𝑐 + 𝑏2 𝑎 − 𝑐 𝑎 =
- 57. 9) Cuando: a =3 b = -5 c = 2 ( 𝑎 𝑏 ) ( 3 𝑎 ) ( 𝑐2 𝑎 ) ( 𝑏 𝑐 ) = 10)Cuando: a = 2 b = -3 c = 7 {4𝑎 − 10𝑏 + (10𝑎 − 𝑐) + 𝑎 𝑐 − 10} =
- 58.
- 59. Unidad 3: Operacionesfundamentales. Habilidades y destrezas: Comprende las operaciones fundamentales y las aplica en la vida cotidiana. Conceptos subsidiarios: Leyes de los exponentes enteros y fraccionarios Adición y sustracción de polinomios Multiplicación de polinomios División de polinomios
- 60. Leyes de losexponentes enteros y fraccionarios Un exponente es un número utilizado para indicar el número de veces que otro número (base) será multiplicado por sí mismo, ejemplo: 𝑥 𝑛 𝑥 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 Ejemplo 1. 34 = (3)(3)(3)(3) = 81 Ejemplo 2. 𝑎4 = (𝑎)(𝑎)(𝑎)(𝑎) Leyes de los exponentes Primera ley: Producto de bases iguales con exponentes diferentes. 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚+𝑛 Ejemplo 1. 𝑥3 𝑥6 = 𝑥3+6 = 𝑥9 Ejemplo 2. (22 )(23) = 22+3 = 25 = 32 Segunda ley: Producto de bases diferentes elevadas a un mismo exponente. (𝑥𝑦) 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛
- 61. Ejemplo 1. (𝑥𝑦)3 = 𝑥3 𝑦3 Ejemplo2. [(2)(4)]3 = 23 43 = (8)(64) = 512 Tercera ley: Base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente. (𝑥 𝑚 ) 𝑛 = 𝑥 𝑚𝑛 Ejemplo 1. (𝑥2 )3 = 𝑥(2)(3) = 𝑥6 Ejemplo 2. (23 )4 = 2(3)(4) = 212 Cuarta ley: Una fracción elevada a un exponente. ( 𝑥 𝑦 ) 𝑚 = 𝑥 𝑚 𝑦 𝑚 Ejemplo 1. ( 𝑥 𝑦 ) 3 = 𝑥3 𝑦3 Ejemplo 2. ( 3 2 ) 3 = 33 23 = (3)(3)(3) (2)(2)(2) = 27 8
- 62. Ejemplo 3. ( 24 6 ) 4 Observamos queal dividir 24 entre 6, nos da un número entero, entonces será más sencillo desarrollar la potencia. ( 24 6 ) 4 = (4)4 = (4)(4)(4)(4) = 256 También podemos desarrollar la expresión de acuerdo con la cuarta ley. ( 24 6 ) 4 = 244 64 = 7962624 1296 = 256 Obteniendo así, el mismo resultado. Quinta ley: El cociente de potencias con la misma base, pero cada una elevada a diferentes exponentes. 𝑆𝑖 𝑚 > 𝑛 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚−𝑛 Ejemplo 1. 𝑥6 𝑥3 = 𝑥6−3 = 𝑥3 Ejemplo 2. 54 52 = 54−2 = 52 = 25 𝑆𝑖 𝑛 > 𝑚 1 𝑥 𝑛−𝑚
- 63. Ejemplo 1. 𝑥3 𝑥7 = 1 𝑥7−3 = 1 𝑥4 Ejemplo 2. 23 25 = 1 25−3 = 1 22 = 1 4 Sextaley: Base elevada a un exponente negativo. 𝑥−𝑛 = 1 𝑥 𝑛 1 𝑥−𝑛 = 𝑥 𝑛 Ejemplo 1. 𝑥−4 = 1 𝑥4 Ejemplo 2. 1 5−2 = 52 = 25 Séptima ley: Base elevada a un exponente cero siempre será igual a uno. 𝑥0 = 1 Ejemplo 1. ( 𝑥 𝑦 ) 0 = 1 Ejemplo 2. 450 = 1
- 64. Ejemplo 3. ( 658 658) =658−58 = 60 = 1 Ejercicio 19: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los exponentes para la multiplicación, de manera grupal o individual, según se indique. Observa el ejemplo resuelto. (2)2 (2)3 = 22+3 = 25 = (2)(2)(2)(2)(2) = 32 De manera grupal 1) (92 )2 = 2) [(2)(2)(2)]4 = 3) (33 )(32 )(32 ) = 4) (73 )3 = 5) (102 )3 = De manera individual 1) (42 )3 = 2) [(3)(5)]2 = 3) (5)2 (5)3 = 4) (32 )3 = 5) [(2)(3)(4)]5 =
- 65. Ejercicio 20: Resuelvelos siguientes ejercicios, aplicando las leyes de los exponentes para la división, y de forma grupal o individual, según se indique. Observa los ejemplos resultos que se muestran a continuación: Ejemplos 1. ( 15 20 ) 2 = ( 3 4 ) 2 = 32 42 = (3)(3) (4)(4) = 9 16 Ejemplos 2. 503 505 = 1 505−3 = 1 502 = 1 (50)(50) = 1 2500 De manera grupal 1) ( 600 50 ) 2 = 2) 75 74 = 3) 2000010 2000010 = 4) ( 4 10 ) 4 = 5) (7 777 777)0 = De manera individual 1. 57 54 = 2. ( 14 28 ) 3 3. ( 1564 36 ) 0 4. 46 410 = 5. ( 144 36 ) 2 =
- 66. Exponentes fraccionarios Para obtenerla raíz de una potencia, se necesita dividir el exponente del radicando entre el índice de la raíz. Si la división no es exacta, solo se deja indicada dando como resultado un exponente fraccionario. √𝑥 𝑚𝑛 = 𝑥 𝑚 𝑛 Ejemplos de enésima raíz de un número Radical Exponente √ 𝑥 𝑥 1 2 √ 𝑥 3 𝑥 1 3 √ 𝑥4 𝑥 1 4 √ 𝑥 5 𝑥 1 5 . . . . . . √ 𝑥 𝑛 𝑥 1 𝑛 Ejemplos de exponentes fraccionarios: Radical Exponente Entero √64 64 1 2 8 √81 81 1 2 9 Cuando el numerador es diferente a 1: Radical Exponente Resultado √9 9 1 2 3 √923 9 2 3 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 √648 16 4 8 16 1 2 = 4 √86 8 6 2 83 = 512 √7 4 7 1 4 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
- 67. Ejercicio 21: Expresaen forma fraccionaria (simplificada) los siguientes radicales. De manera individual 1) √9816 = 2) √64 = 3) √345 = 4) √493 = 5) √7186 = Ejercicio 22: Expresa en forma de radical los siguientes exponentes fraccionarios. Si es posible simplifica el exponente fraccionario. De manera individual 1) 6 1 2⁄ = 2) 24 6 4⁄ = 3) 5 12 6⁄ = 4) 12 16 12⁄ = 5) 3 10 4⁄ =
- 68. Adición y sustracciónde polinomios ADICIÓN I) Monomios: Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes numéricos, conservando en el resultado el mismo factor literal. Ejemplos: 1) 8𝑥 + (−7𝑦) + (5𝑧) + (−3𝑥) = Primero quitamos los paréntesis, realizando la multiplicación de signos 8𝑥 − 7𝑦 + 5𝑧 − 3𝑥 = Después realizamos la reducción de términos semejantes para obtener el resultado 5𝑥 − 7𝑦 + 5𝑧 2) 5𝑥 + (−8𝑦) + (7𝑎𝑥) + (−5𝑦) + (−9𝑧) = 5𝑥 − 8𝑦 − 7𝑥 − 5𝑦 − 9𝑧 = −2𝑥 − 13𝑦 − 9𝑧 II) Polinomios: Para sumar varios polinomios se colocan los polinomios uno debajo de otro, de tal forma que los términos semejantes queden en columnas, se realiza la reducción de los términos, separándolos unos de otros con sus propios signos. Ejemplos: 1) Sumar las siguientes expresiones: 𝑥 − 𝑦, 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧, −4𝑥 + 5𝑦 = 𝑥 − 𝑦 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 −4𝑥 + 5𝑦 −𝑥 + 7𝑦 − 𝑧
- 69. 2) Sumar: 3𝑥+ 5𝑦 − 2𝑧, 6𝑥 − 3𝑦 + 8𝑧, 6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 3𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 6𝑥 − 3𝑦 + 8𝑧 6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 15𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 3) Sumar: (−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦) + (5𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑧) quitamos paréntesis y ordenamos los términos: −3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑧 𝑥 − 𝑥𝑦 + 5𝑦 − 3𝑧 −2𝑥 + 3𝑥𝑦 + 3𝑦 − 3𝑧 4) Sumar: −3𝑥2 + 5𝑥 − 4, 4𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 1 −3𝑥2 + 5𝑥 − 4 4𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 1 4𝑥3 − 8𝑥2 + 7𝑥 − 3
- 70. 5) Sumar: 9+ 5𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥, 4𝑥2 − 3 − 2𝑥 = Ejercicio 23: Resuelve las siguientes operaciones indicadas; primero ordena la expresión. De manera grupal 1) 𝑥3 – 𝑥2 + x – 1 + 𝑥2 – x + 1 = 2) 4𝑥2 + 6x + 7𝑥2 – 11x = 3) 7𝑥2 z – 16xy + 2xy – 3z𝑦2 = 4) 1 4 𝑦2 + 4yz – 3z + 2 3 𝑦2 − 1 8 yz = 5) (15𝑥2 + 12xy + 20) – (9𝑥2 + 10xy + 5) = 6)(14𝑥2 y + 3𝑥2 – 5y + 14) + (7𝑥2 y + 5𝑥2 – 8y + 10) = 7) (4x + 5𝑦2 w + 7z) – (8x + 3z + 2𝑦2 w) = 8) (– 3𝑥3 + 5𝑥2 – x) + (7𝑥2 y + 5𝑥2 – 8y + 10) =
- 71. De manera individual 1)2𝑥 + (−3𝑦) − (4𝑦) − (−6𝑥) 2) 12𝑤2 𝑦2 + 10𝑥𝑧 + 3𝑤2 𝑦2 − 5𝑥𝑧 = 3) 4𝑥2 𝑦 − 5𝑦𝑧 + 2𝑦𝑧 − 𝑦𝑥2 = 4) – 3x𝑦2 + 𝑥2 y – 1 2 𝑥2 y + 2 3 𝑥2 y = 5) (2𝑥2 + 6x + 5) + (3𝑥2 − 2x – 1) = 6) (8𝑥2 + 4x + 12) + (2𝑥2 + 7x + 10) = 7)(−5𝑥2 – 10x – 7y + 2) + (3𝑥2 – 4 + 7x) = 8) (3𝑥2 + 2xy – 7) + (7𝑥2 – 4xy + 8) = SUSTRACCIÓN I) Monomios: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reduce los términos semejantes. Ejemplos: 1) Restar −3𝑥 de −18𝑥 = −18𝑥 − (−3𝑥) = −18𝑥 + 3𝑥 = −15𝑥 2) Restar −2𝑥2 𝑦 de −6𝑥2 𝑦 = −6𝑥2 𝑦 − (−2𝑥2 𝑦) = −6𝑥2 𝑦 + 2𝑥2 𝑦 = −4𝑥2 𝑦
- 72. II) Polinomios: Cuandose restan polinomios hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo cambiándoles los signos. Ejemplos: 1) Restar (−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦) de (5𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑧) (5𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑧) − (−3𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦) Ordenamos términos, y realizamos la reducción: 2) Restar (2𝑥 − 5𝑧 − 6) de (2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 + 6) Sustraendo Minuendo
- 73. 3) Restar (−3𝑥+ 4𝑦 − 5𝑧) de (−3𝑦 + 3𝑧 + 𝑥) 4) Restar (−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧) de (−2𝑦 + 4𝑧 − 5𝑥)
- 74. 5) Restar (−3𝑥3 +5𝑥2 − 𝑥) de (5𝑥3 − 6𝑥2 ) Ejercicio 24: Realiza lo que se te pide. De manera grupal 1) Resta (3x − 4y) de (5x + 2y) = 2) Resta (4𝑥2 – 10x + 4) de (– 4x + 5 – 3𝑥2 ) = 3) Resta (– 8x + 18xy – 4y) de (– 5y + x) = 4) Resta (4xy + 2y + 2𝑥2 ) de (– 4𝑥2 – 8xy) = 5) Resta (10𝑥2 – 2𝑦3 ) de (– 3𝑦3 + 18𝑥2 ) = 6) Resta (–5x + 7𝑥3 – 4 + 2𝑥2 ) de (– 9 + 3x – 2𝑥2 – 5𝑥3 ) = 7) Resta (3𝑥3 – 5𝑥2 + 4x − 8) de (– 7x + 9𝑥3 – 8 + 5𝑥2 ) = 8) Resta ( 2 3 x − 1 8 y) de ( 3 4 y + 1 2 x) = De manera individual 1) (8x) – (6x) = 2) 38xy – (– 8xy) =
- 75. 3) – 17x – (– 3 x) = 4) – 8x𝑦2 – (16 x𝑦2 ) = 5) Restar (4𝑥2 + 8𝑥3 – 7) de (– 8𝑥3 + 3x – 2𝑥2 ) = 6) Restar (– 3x – 5y + 4z) de (2x – 7y + 4z) = 7) Restar (6𝑥2 – 6𝑥3 + 5x) de (– 4 + 6𝑥2 – 3𝑥3 ) = 8) Restar (4x + 8y – 9z) de (– 5x + y – z) = PRODUCTO PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios: I) Se aplica la ley de los signos, II) Se multiplican los coeficientes, III) y debes tener en cuenta la ley de los exponentes, bases iguales que se multiplican los exponentes se suman 𝒙 𝒎 ∙ 𝒙 𝒏 = 𝒙 𝒎+𝒏 Ejemplos: 1) (−𝑥𝑦)(2𝑧) = −2𝑥𝑦𝑧 2) (3𝑥)(−𝑥𝑦) = −3𝑥2 𝑦 3) (−4𝑥𝑦)(−5𝑥2) = +20𝑥3 𝑦 4) (5𝑥2 𝑦)(−𝑥𝑦𝑧) = −5𝑥3 𝑦2 𝑧 5) (− 2 3 𝑥𝑦3 𝑤2 ) ( 4 5 𝑥2 𝑦𝑧3 ) = − 8 15 𝑤2 𝑥3 𝑦4 𝑧5
- 76. PRODUCTO DE MONOMIOPOR POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio y se suman los resultados. Recuerda ordenar los términos. Ejemplos: 1) (−2𝑥)(5𝑥2 − 3𝑥 + 4) Multiplicando el monomio por cada término del polinomio. (−2𝑥)(5𝑥2) = −10𝑥3 (−2𝑥)(−3𝑥) = 6𝑥2 (−2𝑥)(4) = −8𝑥 Por lo tanto la solución de la multiplicación es: (−2𝑥)(5𝑥2 − 3𝑥 + 4) = −10𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥 Ejemplos; 1) (−5𝑦)(−2𝑥 + 3𝑥𝑦 − 5𝑦) = 10𝑥𝑦 − 15𝑥𝑦2 + 25𝑦2 2) (−3𝑥𝑦)(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑥2 𝑦) = −12𝑥3 𝑦2 − 6𝑥2 𝑦 + 9𝑥𝑦2 3) (2𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦2 + 𝑦3)(𝑥𝑦2) = 2𝑥2 𝑦3 + 5𝑥2 𝑦4 + 𝑥𝑦5 4) ( 3 5 𝑥2 ) (−21𝑥2 − 20𝑥 + 8) = (− 63 5 𝑥4 − 12𝑥3 + 24 5 𝑥2 )
- 77. PRODUCTO DE POLINOMIOPOR POLINOMIO Para poder multiplicar un polinomio por otro. a) Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por los términos del segundo. b) Al ir multiplicando se acomodan los términos semejantes en columnas. c) Se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal En forma vertical
- 78. En forma horizontal 3)Efectúa la siguiente operación (𝑥2 − 4𝑥 + 6)(7𝑥2 − 5𝑥 − 2) Multiplicamos cada término del primer polinomio por los términos de segundo polinomio (𝑥2)(7𝑥2 − 5𝑥 − 2) = 7𝑥4 − 5𝑥3 − 2𝑥2 (−4𝑥)(7𝑥2 − 5𝑥 − 2) = −28𝑥3 + 20𝑥2 + 8𝑥 (6)(7𝑥2 − 5𝑥 − 2) = 42𝑥2 − 30𝑥 − 12 Los ordenamos en forma horizontal 7x4 − 5x3 − 2x2 − 28x3 + 20x2 + 8x + 42x2 − 30x − 12 Realizamos la reducción de términos semejantes 7x4 − 33x3 + 60x2 − 22x − 12
- 79. 4) Realiza lasiguiente multiplicación (𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 6)(2𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2) (x2)(2x2 + xy + 2) = 2x4 + x3 y + 2x2 (3xy)(2x2 + xy + 2) = 6x3 y + 3x2 y2 + 6xy (6)(2x2 + xy + 2) = 12x2 + 6xy + 12 2x4 + x3 y + 2x2 + 6x3 y + 3x2 y2 + 6xy + 12x2 + 6xy + 12 = 2x4 + 7x3 yx + 14x2 + 12xy + 12 5) Resuelve la siguiente multiplicación (− 2 3 𝑥2 + 1 5 𝑥 − 3) ( 3 4 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 ) (− 2 3 𝑥2 ) ( 3 4 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 ) = (− 6 12 𝑥4 + 2 3 𝑥3 − 6 6 𝑥2 ) 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 (− 2 3 𝑥4 + 2 3 𝑥3 − 𝑥2 ) ( 1 5 𝑥) ( 3 4 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 ) = ( 3 20 𝑥3 − 1 5 𝑥2 + 3 10 𝑥) (−3) ( 3 4 𝑥2 − 𝑥 + 3 2 ) = (− 9 4 𝑥2 + 3𝑥 − 9 2 ) Reducimos términos semejantes (− 1 2 𝑥4 + 2 3 𝑥3 − 𝑥2 ) + ( 3 20 𝑥3 − 1 5 𝑥2 + 3 10 𝑥) + (− 9 4 𝑥2 + 3𝑥 − 9 2 ) (− 1 2 𝑥4 + 49 60 𝑥3 − 69 20 𝑥2 + 33 10 𝑥 − 9 2 )
- 80. Ejercicio 25: Realizalas siguientes operaciones. Si es posible simplifica las fracciones en los números racionales. De manera grupal 1) (𝑥𝑦3 + 3x − y) (𝑥3 ) 2) (𝑥3 − 3𝑥2 + 1) (x) 3) (2x + 3y) (3x + 2y) 4) (5x − 2y) (6x − 3y) 5) (4𝑥2 y − 6x𝑦2 + 𝑦3 ) (3𝑥2 y − 2𝑦3 ) 6) (𝑥2 − 2xy + 𝑦2 ) (x − y) 7) (8𝑥3 – 9𝑦3 + 6x𝑦2 – 12𝑥2 y) (2x + 3y) 8) (6𝑦2 + 2𝑥2 – 5xy) (3𝑥2 – 4𝑦2 + 2xy) De manera individual 1) (− 6𝑥3 𝑦4 z)(4𝑥2 y𝑧3) = 2) (4𝑤5 𝑥2)(− 2𝑦7 𝑧) = 3) (−4𝑥2 𝑦3)(6x𝑦3) (− 1 6 x) = 4) (−4𝑥2 𝑦4 ) (− 6x𝑦2 + 10𝑥3 y) = 5) (− 6𝑥3 + 4x𝑦2 – 10) (− 4𝑥2 y) = 6) ( 2 3 𝑥2 ) (− 1 6 𝑥3 𝑦2 − 4 9 𝑥2 + 𝑥𝑦2 ) = 7 (2𝑥2 y + 3x𝑦2 + 𝑦3 ) (5𝑥2 y − 𝑦3 ) = 8) (3𝑥3 – 4𝑥2 – x) (− 5𝑥2 + 3x – 2) =
- 81. COCIENTE Para dividir dosmonomios I) Se aplica la ley de los signos, II) Dividir los coeficientes, III) Debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. ( 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 ) = 𝑥 𝑚−𝑛 IV) Recuerda que los exponentes siempre deberán expresarse como positivos. Ejemplos: 1) Divide 24𝑥4 𝑦2 𝑧3 entre 8𝑥𝑦 24𝑥4 𝑦2 𝑧3 8𝑥𝑦 = 24 8 𝑥4−1 𝑦2−1 𝑧3 = 3𝑥3 𝑦𝑧3 2) Dividir 4𝑥2 𝑦4 𝑧 entre (−6𝑥3 𝑦2 𝑧4 ) 4𝑥2 𝑦4 𝑧 −6𝑥3 𝑦2 𝑧4 = 4 −6 ∙ 𝑥2 𝑥3 ∙ 𝑦4 𝑦2 ∙ 𝑧 𝑧4 − 4𝑦4−2 6𝑥3−2 𝑧4−1 = 4𝑦2 6𝑥𝑦3 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 = − 2𝑦2 3𝑥𝑧3
- 82. Polinomio entre monomio Aligual que en la multiplicación, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio y se siguen las mismas reglas de signos y exponentes que se dieron en la división de monomios. Ejemplos: 1) Divide (5𝑥2 + 25𝑥4 − 15𝑥3 ) entre (−5𝑥) a) Ordenamos términos (25𝑥4 − 15𝑥3 + 5𝑥2 ) entre (−5𝑥) b) Se escribe cada término en forma de fracción 25𝑥4 −5𝑥 − 15𝑥3 −5𝑥 + 5𝑥2 −5𝑥 Se lleva a cabo la división de coeficientes y signos, y se simplifican los exponentes. −5𝑥4−1 + 3𝑥3−1 − 1𝑥2−1 = −5𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 2) Dividir (35𝑥3 𝑦𝑧 − 25𝑥2 𝑦3 𝑧 − 15𝑥3 𝑦3 𝑧3 ) entre (5𝑥3 𝑦3 𝑧3 ) 35𝑥3 𝑦𝑧 5𝑥3 𝑦3 𝑧3 − 25𝑥2 𝑦3 𝑧 5𝑥3 𝑦3 𝑧3 − 15𝑥3 𝑦3 𝑧3 5𝑥3 𝑦3 𝑧3 = 7𝑥3−3 𝑦3−1 𝑧3−1 − 5𝑦3−3 𝑥3−2 𝑧3−1 − 3𝑥3−3 𝑦3−3 𝑧3−3 = 7𝑥0 𝑦2 𝑧2 − 5𝑦0 𝑥𝑧2 − 3𝑥0 𝑦0 𝑧0 = 7 𝑦2 𝑧2 − 5 𝑥𝑧2 − 3
- 83. Polinomio entre polinomio Paradividir 2 polinomios es necesario realizar lo siguiente: a) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se resta el dividendo (cambiar los signos). c) Se repiten los pasos (a) y (b) hasta que ya no se pueda dividir. Ejemplos: 1) Divide (6𝑥2 − 𝑥 − 15) entre (2𝑥 + 3) 2𝑥 + 3√6𝑥2 − 𝑥 − 15 a) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor 6𝑥2 2𝑥 = 3𝑥 (Primer término del cociente) 3𝑥 2𝑥 + 3√6𝑥2 − 𝑥 − 15 b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se reduce el dividendo (cambiando sus signos). (2𝑥 + 3)(3𝑥) = 6𝑥2 + 9𝑥
- 84. c) Se repiteel paso (a) ahora con el nuevo dividendo que es −10𝑥 − 15 − 10𝑥 2𝑥 = −5 Segundo término del cociente Se multiplica el −5 por el divisor y se resta el resultado del dividendo. (2𝑥 + 3)(−5) = −10𝑥 − 15 Cambiando signos = 10𝑥 + 15
- 85. Ejercicio 26: Realizalas siguientes divisiones. Las fracciones deberán ser simplificadas. De manera grupal 1) (12𝑥3) ÷ (4x) = 2) (18𝑥6 𝑦2 𝑧5 ) ÷ (6𝑥3 𝑦𝑧2 ) = 3) (36𝑥3 𝑦7 𝑧4 ) ÷ (12𝑥2 𝑦2) = 4) (6𝑥3 𝑦4 𝑧2 ) ÷ (3𝑥2 𝑦2 𝑧2) = 5) (24𝑥5 𝑦4 + 18𝑥4 𝑦5 – 48𝑥10 𝑦3 ) ÷ (6𝑥2 𝑦3 ) ) = 6) (12𝑥3 𝑦5 + 18𝑥5 𝑦7 – 48𝑥12 𝑦5 ) ÷ (3𝑥2 𝑦2 ) = 7) (1500𝑥3 𝑦2 𝑧4 + 1000𝑥4 𝑦3 𝑧3 – 500) ÷ (− 500𝑥2 y𝑧3) = 8) (400𝑥3 𝑦2 + 200𝑥2 y – 600x) ÷ (50x) = 9) (2𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 – x + 1) ÷ (𝑥2 + 2) = 10) (6𝑥4 + 2𝑥3 + 4) ÷ (2𝑥2 + 2) = 11) (𝑥4 − 2𝑥3 − 11𝑥2 + 30x − 20) ÷ (𝑥2 + 3x – 2 ) = 12) (𝑥6 + 5𝑥4 + 3𝑥2 − 2x) ÷ (𝑥2 − x + 3) = De manera individual 1) (− 𝑥4 ) ÷ (𝑥2 ) = 2) (8𝑥3 𝑦4 𝑧2 ÷ 2𝑥2 𝑦2 𝑧2) = 3) (12𝑥2 ) ÷ (− 6y) = 4) (−18𝑥4 𝑦𝑧2 ) ÷ (− 6𝑥2 yz) ) = 5) (− 4𝑥3 𝑦4 + 10𝑥3 𝑦4 – 8xy) ÷ (− 2xy) = 6) (24𝑥5 𝑦3 𝑧2 – 6𝑥3 𝑦4 𝑧3 ) ÷ (− 3𝑥2 𝑦3 z) = 7) (− 4𝑥5 𝑦3 𝑧2 + 6𝑥3 𝑦2 z – 8) ÷ (− 4𝑥3 𝑦2 ) =
- 86. 8) (3𝑥2 𝑦3 – 6x𝑦4 +9) ÷ (9𝑥2 𝑦3 ) = 9) (18𝑥2 + 12x + 8) ÷ (2x + 4) = 10) (2𝑥2 – 14x + 6) ÷ (2x – 8 ) = 11) (4𝑦3 + 10𝑦2 + 4y – 2) ÷ (2y + 6) = 12) (16𝑥4 – 12𝑥3 + 6𝑥2 – 14x + 32) ÷ (4𝑥2 + 6x – 8 ) =
- 87.
- 88. Unidad 4: ProductosNotables Habilidades y destrezas Expresa con coherencia los productos notables, utilizando terminología y notación matemática. Conceptos subsidiarios: Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomios al cuadrado (𝑥 + 𝑦)2 Binomios al cubo (𝑥 + 𝑦)3
- 89. Productos Notables Es importanteque los jóvenes logren entender que tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que se pueden resolver con una regla práctica y sencilla, además, su aplicación hace más fácil la obtención del resultado. Estos productos son conocidos como productos notables. Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A continuación se describen los productos notables más importantes o que comúnmente son utilizados. Binomios conjugados Se les llama binomios conjugados al producto (multiplicación) de la suma de dos números por su diferencia; esto quiere decir que tienen los mismos términos pero difieren en un término tiene un signo positivo y el otro signo negativo, por ejemplo: Para resolver este producto podemos hacerlo de la manera tradicional que es multiplicar un término por el otro en forma de multiplicación como normalmente se resuelven las multiplicaciones, por ejemplo:
- 90. Así mismo, sise desea se puede hacer uso de la siguiente regla que nos dice: a) El cuadrado del primer término (𝑥)2 = ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) = 𝑥2 b) menos el cuadrado del segundo −(𝑦)2 = − (𝑦) (𝑦) = −𝑦2 Ejemplo 1: (x + 2)(x − 2) = (𝑥)(𝑥) − (2)(2) = 𝑥2 − 4 Ejemplo 2: (3x + 2y)(3x − 2y) = (3𝑥)(3𝑥) − (2𝑦)(2𝑦) = 9𝑥2 − 4𝑦2 Ejemplo 3: ( 2𝑥2 𝑦2 3𝑚5 𝑛 + 6𝑤4 5 ) ( 2𝑥2 𝑦2 3𝑚5 𝑛 − 6𝑤4 5 )= ( 2𝑥2 𝑦2 3𝑚5 𝑛 ) ( 2𝑥2 𝑦2 3𝑚5 𝑛 ) − ( 6𝑤4 5 ) ( 6𝑤4 5 ) 4𝑥4 𝑦4 9𝑚10 𝑛2 − 36𝑤8 25
- 91. Ejemplos adicionales: BINOMIO CONJUGADODESARROLLO RESULTADO (𝑥)(𝑥) − (3)(3) = ( (2𝑥)(2𝑥) − (6)(6) = 4𝑥2 − 36 (𝑥𝑦2 𝑧 − 3𝑥𝑦 )(𝑥𝑦2 𝑧 + 3𝑥𝑦) = (𝑥𝑦2 𝑧)(𝑥𝑦2 𝑧) − (3𝑥𝑦)(3𝑥𝑦) 𝑥2 𝑦4 𝑧2 − 9𝑥2 𝑦2 ( 𝑦 2 + 1 7 ) ( 𝑦 2 − 1 7 ) = ( 𝑦 2 ) ( 𝑦 2 ) − ( 1 7 ) ( 1 7 ) 𝑦2 4 − 1 49 ( 4𝑥2 𝑦2 2𝑚3 𝑛 + 5𝑝4 𝑞 10𝑤 ) ( 4𝑥2 𝑦2 2𝑚3 𝑛 − 5𝑝4 𝑞 10𝑤 )= ( 4𝑥2 𝑦5 2𝑚3 𝑛 ) ( 4𝑥2 𝑦5 2𝑚3 𝑛 ) − ( 5𝑝4 𝑞 10𝑤 )( 5𝑝4 𝑞 10𝑤 ) 16𝑥4 𝑦10 4𝑚8 𝑛2 − 25𝑝8 𝑞2 100𝑤2 Ejercicio 1: De acuerdo a la regla de binomios conjugados resuelva los siguientes ejercicios de manera grupal: BINOMIO CONJUGADO DESARROLLO RESULTADO 1. (20𝑥2 𝑦 − 16𝑧3)(20𝑥2 𝑦 + 16𝑧3) 2. (3𝑥 + 9𝑦) (3𝑥 − 9𝑦) = 3. (7𝑥6 + 6𝑦7)(7𝑥6 − 6𝑦7) 4. (15𝑥6 𝑦3 − 𝑤9 𝑧5)(15𝑏𝑥6 𝑦3 + 𝑤9 𝑧5) 5. (4𝑥2 𝑦2 − 5)(4𝑥2 𝑦2 + 5) 6. 7. (8𝑥4 + 13𝑦5)(8𝑥4 − 13𝑦5) 8. ( 9𝑥2 5𝑤 + 𝑦7 2𝑧 ) ( 9𝑥2 5𝑤 − 𝑦7 2𝑧 ) 9. ( 2𝑥3 𝑦2 6𝑤5 + 11𝑚7 𝑛2 8𝑣2 ) ( 2𝑥3 𝑦2 6𝑤5 − 11𝑚7 𝑛2 8𝑣2 ) 10. ( 19𝑥25 𝑤2 + 5𝑦4 𝑟9 𝑡6) ( 19𝑥25 𝑤2 − 5𝑦4 𝑟9 𝑡6)
- 92. De manera individual: BINOMIOCONJUGADO DESARROLLO RESULTADO 1. 2. 3. (2𝑥3 + 6𝑦2)(2𝑥3 − 6𝑦2) 4. (5𝑥𝑦2 𝑧4 − 8𝑢𝑤)(5𝑥𝑦2 𝑧4 + 8𝑢𝑤) 5. (10𝑥2 𝑦2 − 7)(10𝑥2 𝑦2 + 7) 6. (12𝑥 + 8)(12𝑥 − 8) 7. 8. ( 3𝑥2 2𝑦 + 𝑧 6 ) ( 3𝑥2 2𝑦 − 𝑧 6 ) 9. ( 𝑥6 𝑦2 𝑤 + 11𝑟5 𝑡4 𝑣10 ) ( 𝑥6 𝑦2 𝑤 − 11𝑟5 𝑡4 𝑣10 ) 10. ( 9𝑥7 𝑦9 𝑚2 𝑛 + 13𝑤5 𝑧4 𝑝4 𝑡2 ) ( 9𝑥7 𝑦9 𝑚2 𝑛 + 13𝑤5 𝑧4 𝑝4 𝑡2 ) Productos de dos binomios cualesquiera Cuando tenemos la multiplicación de dos binomios cualesquiera tenemos dos términos que son semejantes entre sí, por ejemplo: (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) 𝑦 (𝐜𝐱 + 𝒅𝒚), su producto (multiplicación) se obtiene por a través de un procedimiento descrito a continuación:
- 93. Se suman ambastérminos para obtener su resultado, por lo tanto queda de la siguiente manera: 𝒂𝒄𝒙 𝟐 + 𝒂𝒅𝒙𝒚 + 𝒃𝒄𝒙𝒚 + 𝒃𝒅𝒚 Nota: Las letras a, b, c y d son constantes (números) por lo tanto se multiplican y se suman los términos semejantes. Ejemplo 1: (10𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 + 11𝑦) = (10𝑥)(5𝑥) + (10𝑥)(11𝑦) + (2𝑦)(5𝑥) + (2𝑦)(11𝑦) = 50𝑥2 + 110𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 + 22𝑦2 = 50𝑥2 + 120𝑥𝑦 + 22𝑦2 = Ejemplo 2: (10𝑥2 − 2𝑦5 )(3𝑥3 − 5𝑦) = (10𝑥2 )(3𝑥3 ) + (10𝑥2 )(−5𝑦) + (−2𝑦5 )(3𝑥3 ) + (−2𝑦5 )(−5𝑦) = 30𝑥5 − 50𝑥2 𝑦 − 6𝑦5 𝑥3 + 10𝑦6
- 94. Ejemplo 3: ( 5x3 y4 + 7z8 2w6 ) ( x4 y3 + 8z 3w5 )= ( 5x3 y4 )( x4 y3) + ( 5x3 y4 ) ( 8z 3w5 ) + ( 7z8 2w6) ( x4 y3) + ( 7z8 2w6) ( 8z 3w5 ) = 5x7 y7 + 40x3 z 108y4w5 + 7x4 z8 2𝑤6y3 + 56z9 36w11 Ejemplos adicionales: BINOMIO CUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO (4𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 + 3𝑦) = (4𝑥)(5𝑥) + (4𝑥)(3𝑦) + (2𝑥)(5𝑦) + (2𝑦)(3𝑦) = 20𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 + 6𝑦2 = 20𝑥2 + 22𝑥𝑦 + 6𝑦2 (2𝑥 + 6𝑦)(4𝑥 − 8𝑦) = (2𝑥)(6𝑥) + (2𝑥)(−8𝑦) + (6𝑦)(4𝑥) + (6𝑦)(−8𝑦) = 12 𝑥2 − 16𝑥𝑦 + 24𝑥𝑦 − 48 𝑦2 = 12𝑥2 + 8𝑥𝑦 − 48𝑦2 (𝑥 − 3𝑦)(7𝑥 + 𝑦) = (𝑥)(7𝑥) + (𝑥)(𝑦) + (−3𝑦)(7𝑥) + (−3𝑦)(𝑦) = 7𝑥2 + 𝑥𝑦 − 21𝑥𝑦 − 3𝑦2 = 7𝑥2 − 20𝑥𝑦 + 22𝑦2 (20𝑥 − 𝑦)(3𝑥 − 6𝑦) = (20𝑥)(3𝑥) + (20𝑥)(−6𝑦) + (−𝑦)(3𝑥) + (−𝑦)(−6𝑦) = 60𝑥2 − 120𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2 60𝑥2 − 123𝑥𝑦 + 6𝑦2 (2𝑥2 − 5𝑦4 )(13𝑥 − 9𝑦) = (2𝑥2 )(13𝑥) + (2𝑥2 )(−9𝑦) + (−5𝑦4 )(13𝑥) + (−5𝑦4 )(−9𝑦) = 26𝑥2 − 18𝑥2 𝑦 − 65𝑥𝑦4 + 45𝑦5 26𝑥2 − 18𝑥2 𝑦 − 65𝑥𝑦4 + 45𝑦5 (12𝑥𝑦 − 4𝑧)(7𝑥𝑦 − 15𝑧) = (12𝑥𝑦)(7𝑥𝑦) + (12𝑥𝑦)(−15𝑧) + (−4𝑧)(7𝑥𝑦) + (−4𝑧)(−15𝑧)= 84𝑥2 𝑦2 − 180𝑥𝑦𝑧 − 28𝑥𝑦𝑧 + 60𝑧2 84𝑥2 𝑦2 − 208𝑥𝑦𝑧 + 60𝑧2 ( 3𝑥 2𝑦 − 8𝑧 5𝑤 ) ( 4𝑥 3𝑦 − 7𝑧 6𝑤 ) ( 3𝑥 2𝑦 ) ( 4𝑥 3𝑦 ) + ( 3𝑥 2𝑦 ) ( −7𝑧 6𝑤 ) + ( −8𝑧 5𝑤 ) ( 4𝑥 3𝑦 ) + ( −8𝑧 5𝑤 ) ( −7𝑧 6𝑤 ) 12𝑥2 6𝑦2 − 21𝑥𝑦 12𝑦𝑤 − 32𝑥𝑧 15𝑦𝑤 + 56𝑧2 30𝑤2
- 95. 12𝑥2 6𝑦2 − 21𝑥𝑦 12𝑦𝑤 − 32𝑥𝑧 15𝑦𝑤 + 56𝑧2 30𝑤2 ( 2𝑥6 9𝑦4 + 10𝑧8 3𝑤7 ) ( 11𝑥4 2𝑦3 + 5𝑧 12𝑤5) ( 2𝑥6 9𝑦4 )( 11𝑥4 2𝑦3 ) + ( 2𝑥6 9𝑦4 ) ( 5𝑧 12𝑤5 ) + ( 10𝑧8 3𝑤7 ) ( 11𝑥4 2𝑦3 ) + ( 10𝑧8 3𝑤7 ) ( 5𝑧 12𝑤5 ) 22𝑥10 18𝑦7 + 10𝑥6 𝑧 108𝑦4 𝑤5 + 110𝑥4 𝑧8 15𝑤7 𝑦3 + 50𝑧9 36𝑤14 22𝑥10 18𝑦7 + 10𝑥6 𝑧 108𝑦4 𝑤5 + 110𝑥4 𝑧8 15𝑤7 𝑦3 + 50𝑧9 36𝑤14 Ejercicio 2: de acuerdo a la regla de binomios cualesquiera resuelva los siguientes ejercicios de manera grupal: BINOMIO CUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO 1. (3𝑥 + 8𝑦)(6𝑥 + 7𝑦) = 2. (22𝑥 + 17𝑦)(4𝑥 − 9𝑦) = 3. (13𝑥 − 10𝑦)(25𝑥 − 12𝑦) = 4. (𝑥 + 𝑦)(18𝑥 + 32𝑦) = 5. (8𝑥2 − 4𝑦3 )(2𝑥2 − 19𝑦3 ) = 6. (12𝑥 − 𝑦6 )(16𝑥 + 5𝑦6 ) = 7. (23𝑥 − 30𝑦)(42𝑥 − 14𝑦) = 8. (2𝑥3 − 13𝑦4 )(3𝑥3 − 9𝑦2 ) = 9. ( 3𝑥 4𝑤 − 6𝑦 5𝑧 ) ( 4𝑥 13𝑤 − 5𝑦 2𝑧 ) 10. ( 2𝑤8 3𝑥5 + 6𝑣3 8𝑦2) ( 7𝑤3 2𝑥4 + 10𝑣2 3𝑦3 )
- 96. De manera individual: BINOMIOCUALESQUIERA DESARROLLO RESULTADO 1. (𝑥 − 6𝑦)(10𝑥 + 8𝑦) = 2. (2𝑥 + 7𝑦)(14𝑥 − 5𝑦) = 3. (3𝑥 + 9𝑦)(15𝑥 + 2𝑦) = 4. (13𝑥 + 10𝑦)(5𝑥 + 𝑦) = 5. (8𝑥2 − 𝑦3 )(6𝑥2 − 2𝑦3 ) = 6. (7𝑥 − 4𝑦4 )(11𝑥 + 9𝑦4 ) = 7. (8𝑥 − 3𝑦)(14𝑥 − 16𝑦) = 8. (30𝑥2 − 18𝑦5 )(𝑥3 − 6𝑦) = 9. ( 4𝑥 3𝑦 − 6𝑧 5𝑤 ) ( 7𝑥 10𝑦 − 11𝑧 4𝑤 ) 10. ( 12𝑥6 7𝑤4 + 11𝑦8 5𝑧2 ) ( 𝑥4 2𝑤3 + 8𝑦 3𝑧5 ) Binomios al cuadrado Cuando nos referimos al término binomio cuadrado no es otra cosa más que el producto de dos binomios iguales, es decir, el primer término y el segundo son exactamente iguales. Por ejemplo: (𝒙 + 𝒚) 𝟐 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)
- 97. Para resolver estaclase de ejercicios podemos multiplicar término a término, como se muestra a continuación: (𝒙 + 𝒚) 𝟐 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚) = (𝒙)(𝒙) + 𝟐(𝒙)(𝒚) + (𝒚)(𝒚) = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 Con signo negativo tenemos: (𝒙 − 𝒚) 𝟐 = (𝒙 − 𝒚)(𝒙 − 𝒚) = (𝒙)(𝒙) + 𝟐(𝒙)(−𝒚) + (𝒚)(𝒚) = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 Otra manera de ver este tipo de ejercicios es seguir una regla sencilla y sin complicaciones, la cual dice: El primer término al cuadrado Más el doble del primer término por el segundo Más el segundo término al cuadrado. (𝒙) 𝟐 + 𝟐(𝒙)(𝒚) + (𝒚) 𝟐 Nota: Cuando son ejercicios que tienen un signo negativo en la parte del medio cuando dice el doble del primero por el segundo ahí se colocará el signo en cuestión. Ejemplo 1: (𝑥 + 7)2 = ( 𝑥)2 + 2(𝑥)(7) + (7)2 = 𝑥2 + 14𝑥 + 49 Ejemplo 2: 64𝑥6 − 80𝑥3 𝑦2 + 25𝑦4
- 98. Ejemplo 3: ( 5𝑥4 9𝑦3 − 10𝑧5 12𝑤7 ) 2 ( 5𝑥4 9𝑦3) 2 + 2( 5𝑥4 9𝑦3) (− 10𝑧5 12𝑤7) + (− 10𝑧5 12𝑤7) 2 25𝑥8 81𝑦6 − 100𝑥4 𝑧5 108𝑦3 𝑤7 + 100𝑧10 144𝑤14 Ejemplos adicionales: BINOMIO CUADRADO DESARROLLO RESULTADO (𝑥 + 2)2 = ( 𝑥)2 + 2(𝑥)(2) + (2)2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 (𝑥 − 5)2 = ( 𝑥)2 + 2(𝑥 )(−5) + (−5 ) 2 = (4𝑥 + 3𝑦)2 = (4𝑥) 2 + 2(4𝑥)(3𝑦) + (3𝑦)2 = 16𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 9𝑦2 49𝑥6 − 168𝑥3 𝑦2 + 144𝑦4 (10𝑥2 𝑦5 + 2𝑧2 )2 = (10𝑥2 𝑦5 )2 + 2(10𝑥2 𝑦5 )( 2𝑧2 ) + (2𝑧2 )2 = 100𝑥4 𝑦10 + 40𝑥2 𝑦5 𝑧2 + 4𝑧4 (2𝑥3 𝑦4 )2 + 2(2𝑥3 𝑦4 )( − 2𝑤7 𝑧2 ) + ( − 2𝑤7 𝑧2 )2 =4𝑥6 𝑦8 − 8𝑥3 𝑦4 𝑤7 𝑧2 + 4𝑤14 𝑧4 ( 7𝑥2 5 + 12𝑦3 11 ) 2 = ( 7𝑥2 5 ) 2 + 2 ( 7𝑥2 5 ) ( 12𝑦3 11 ) + ( 12𝑦3 11 ) 2 49𝑥4 25 + 168𝑥2 𝑦3 55 + 144𝑦6 121
- 99. ( 15𝑥5 2𝑦3 − 13𝑧3 9𝑤4 ) 2 ( 15𝑥5 2𝑦3 ) 2 + 2 ( 15𝑥5 2𝑦3 )( −13𝑧3 9𝑤4 ) + ( −13𝑧3 9𝑤4 ) 2 225𝑥10 25𝑦6 − 390𝑥5 𝑧3 18𝑦3 𝑤4 + 169𝑧6 81𝑤8 Ejercicio 3: de acuerdo a la regla de binomios al cuadrado resuelva los siguientes ejercicios de manera grupal: BINOMIO AL CUADRADO DESARROLLO RESULTADO 1. (𝑥 + 4)2 = 2. (𝑥 − 7)2 = 3. (2𝑥 + 5𝑦)2 = 4. (9𝑥 + 2𝑦)2 = 5. 6. 7. (12𝑥2 𝑦5 + 9𝑧4 )2 = 8. = 9. ( 5𝑥7 4 + 8𝑦2 3 ) 2 = 10.( 20𝑥6 4𝑦 − 16𝑧4 11𝑤2) 2 = De manera individual: BINOMIO AL CUADRADO DESARROLLO RESULTADO 1. (7 + 𝑥)2 2. (𝑥 − 8)2
- 100. 3. (9𝑥 +15𝑦)2 4. (6𝑥 + 𝑦)2 5. 6. 7. (7𝑥7 𝑦 8 + 21𝑧10 )2 8. 9. ( 2𝑥 7 + 13𝑦 3 ) 2 10. ( 4𝑥6 𝑦 − 53𝑧9 16𝑤15 ) 2 Binomios al cubo Cuando elevamos un término al cubo se le conoce como binomios al cubo, es decir, es la repetición de un término tres veces, o bien, el producto de tres binomios exactamente iguales. (𝒙 + 𝒚) 𝟑 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚) La regla que se utiliza para su resolución es la siguiente: El cubo de un binomio es igual a: El cubo del primer término Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo Más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo Más el cubo del segundo término.
- 101. Ejemplo 1: (x +y)3 = (x)3 + 3(x)2(y) + 3(x)(y)2 + (y)3 x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 Ejemplo 2: Cuando tenemos números negativos se expresa: (x − y)3 = (x)3 + 3(x)2(−y) + 3(x)(−y)2 + (−y)3 x3 − 3x2 y + 3xy2 − y3 Ejemplo 3: ( 2𝑥2 𝑦3 + 𝑤3 5𝑧4 ) 3 ( 2𝑥2 𝑦3 ) 3 + 3 ( 2𝑥2 𝑦3 ) 2 ( 𝑤3 5𝑧4 ) + 3 ( 2𝑥2 𝑦3 ) ( 𝑤3 5𝑧4 ) 2 + ( 𝑤3 5𝑧4 ) 3 8𝑥6 𝑦9 + 12𝑥4 𝑤3 5𝑦6 𝑧4 + 6𝑥2 𝑤6 25𝑦3 𝑧8 + 𝑤9 125𝑧12
- 102. Ejemplos adicionales: BINOMIO AL CUBO DESARROLLORESULTADO (𝑥 − 𝑧)3 (𝑥)3 + 3(𝑥)2(−𝑧) + 3(𝑥)(−𝑧)2 + (−𝑧)3 𝑥3 − 3𝑥2 𝑧 + 3𝑥𝑧2 − 𝑧3 (𝑥 + 𝑧)3 (𝑥)3 + 3(𝑥)2(𝑧) + 3(𝑥)(𝑧)2 + (𝑧)3 𝑥3 + 3𝑥2 𝑧 + 3𝑥𝑧2 + 𝑧3 (2𝑥)3 + 3(2𝑥)2(−3𝑦) + 3(2𝑥)(−3𝑦)2 + (−3𝑦)3 8𝑥3 − 18𝑥2 𝑦 + 54𝑥𝑦2 − 27𝑦3 (2 + 4𝑥)3 (2)3 + 3(2)2(4𝑥) + 3(2)(4𝑥)2 + (4𝑥)3 8 + 48𝑥 + 96𝑥2 + 64𝑥3 (10𝑥2 + 8𝑦3 )3 (10𝑥2)3 + 3(10𝑥2)2(8𝑦3) + 3(10𝑥2)(8𝑦3)2 + (8𝑦3)3 1000𝑥6 + 2400𝑥4 𝑦3 + 1920 𝑥2 𝑦6 + 512𝑦9 ( 11𝑥 4𝑤 − 5𝑦 12𝑧 ) 3 ( 11𝑥 4𝑤 ) 3 + 3 ( 11𝑥 4𝑤 ) 2 ( −5𝑦 12𝑧 ) + 3 ( 11𝑥 4𝑤 ) ( −5𝑦 12𝑧 ) 2 + ( −5𝑦 12𝑧 ) 3 1331𝑥3 64𝑤3 − 1815𝑥2 𝑦 192𝑤2 𝑧 + 825𝑥𝑦2 576𝑤𝑧2 − 125𝑦3 1728𝑧3 ( 4𝑤2 3𝑦3 + 2𝑥3 5𝑧4) 3 ( 4𝑤2 3𝑦3 ) 3 + 3 ( 4𝑤2 3𝑦3 ) 2 ( 2𝑥3 5𝑧4 ) + 3 ( 4𝑤2 3𝑦3 ) ( 2𝑥3 5𝑧4 ) 2 + ( 2𝑥3 5𝑧4 ) 3 64𝑤6 27𝑦9 + 96𝑤4 𝑥3 45𝑦6 + 48𝑤2 𝑥6 75𝑦3 𝑧8 + 8𝑥9 125𝑧12
- 103. Ejercicio 4: deacuerdo a la regla de binomios al cubo resuelva los siguientes ejercicios de manera grupal: BINOMIO AL CUBO DESARROLLO RESULTADO 1. (2𝑥 + 3𝑦)3 2. (5𝑥 − 8𝑦)3 3. 4. (𝑥 + 5𝑦)3 5. (𝑥 + 6)3 6. (2𝑥 − 10𝑦)3 7. (14𝑥3 + 15𝑦5 )3 8. (2𝑥2 − 5𝑦3 )3 9. ( 9𝑥 7𝑧2 − 6𝑦 2𝑤3) 3 10. ( 3𝑤5 4𝑦4 + 2𝑥3 5𝑧2) 3 De manera individual: BINOMIO AL CUBO DESARROLLO RESULTADO 1. (𝑥 + 𝑦)3 2. (𝑥 − 𝑦)3 3. 4. (5 + 3𝑥)3 5. (𝑥 − 3)3 6. (7𝑥 + 4𝑦)3
- 104. 7. (11𝑥2 + 12𝑦3 )3 8.(3𝑥2 − 2𝑦4 )3 9. ( 6𝑥 7𝑦 − 2𝑧 8𝑤 ) 3 10. ( 2𝑤5 𝑦4 + 5𝑥2 𝑧3 ) 3
- 105.
- 106. Unidad 5: Factorización Elalumno representa mentalmente y planea problemas de factorización. Conceptos Subsidiarios Factorización: Por factor común a todos los términos Por diferencia de cuadrados De trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 De trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 De una suma o diferencia de cubos. Por agrupación.
- 107. Factorización El término factoren matemáticas, hace referencia a un elemento que es parte de un producto o multiplicación. Por lo tanto, el término de factorización hace referencia a la repreesentación de expresiones matemáticas en forma de productos o multiplicaciones. Para poder entender el proceso de factorización de expresiones algebraicas, veamos primero la factorización de números. Ejemplo 1. Factorizar el número 8. Solución 1: Una forma sencilla de abordar el problema es, primero encontrando 2 números que multiplicados sean igual a 8. 8 = 4 (2) Solución 2: El resultado anterior, representa una solución al problema de la factorización. Sin embargo, una factorización más desarrollada sería factorizando el número 4, resultando en: 8 = (2)(2)(2) Un ejercicio interesante suele ser la factorización de números utilizando sólo números primos. No obstante, cuando se trata de expresiones algebraicas, el nivel de factorización depende de su utilidad para la simplificación de las mismas. Ejemplo 2. Factorice el número 4 27 utilizando sólo números primos. 4 27 = (2)(2) (3)(3)(3)
- 108. En el casode expresiones algebraicas, la factorización conserva el mismo principio, representar la expresión mediante elementos que se multiplican. Entendiendo como multiplicación, la operación principal en la expresión algebraica. La factorización de expresiones algebraicas puede realizarse de diversas formas. En este capítulo se describen las más comunes. Factorización por factor común a todos los términos: El factor común a todos los términos en una expresión algebraica, hace referencia a un término que se repite en los elementos de la expresión. Para comprender en mayor medida cuando se puede realizar este tipo de factorización, considere los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Factorice la expresión algebraica 3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐. En este caso, el factor que se encuentra en todos los elementos de la expresión es el 3. Una vez determinado el factor común entre los términos de la expresión, aplicamos la propiedad asociativa para expresar los términos mediante un producto, obteniendo: 3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐 = 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Ejemplo 2. Factorice la expresión algebraica 4𝑥2 + 24𝑥 La expresión anterior puede reescribirse de la siguiente forma: 4𝑥2 + (4)(6)𝑥 Así, el 24 es factorizado, haciendo evidente la presencia del 4 en ambos términos de la expresión. Otro término que se encuentra en ambos elementos de la expresión es la variable x. Aplicando la propiedad asociativa para todos los factores comunes, se obtiene: 4𝑥(𝑥 + 6)
- 109. Ejemplo 3. Factorizarla expresión 4𝑎𝑐 + 4𝑎𝑏 − 4 5 𝑎 A simple vista, pareciera que el factor común únicamente es la 𝑎. Sin embargo, podemos transformar los coeficientes enteros de la expresión, de tal forma se hagan presentes más factores comunes. Si convertimos el 4 y el 3 a fracciones impropias, se obtiene: 20 5 𝑎𝑐 + 20 5 𝑎𝑏 − 4 5 𝑎 Ahora se hace evidente otro factor común en la expresión, el 4 5 . Aplicando de nuevo la propiedad asociativa, se obtiene como resultado: 4 5 (5𝑐 + 5𝑏 − 1) Ejemplo 4. Factorizar la expresión 5𝑥2 + 10𝑥3 − 15𝑥5 + 20𝑥4 En este caso podemos representar la expresión algebraica de la siguiente forma: 5𝑥2 + (5)(2)𝑥2 𝑥 – (5)(3)𝑥3 𝑥2 + (5)(4)𝑥2 𝑥2 Así podemos, notar los factores que se presentan en cada uno de los elementos de la expresión. De nuevo, aplicando la propiedad asociativa se obtiene: 5𝑥2(1 + 2𝑥 − 3𝑥3 + 4𝑥2)
- 110. Ejercicio 1. Completarla siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada. Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. Ejercicios Factor común Expresión factorizada 1 𝑥𝑦 + 𝑦2 2 4𝑎 + 8𝑏 + 12𝑐 3 24𝑎 − 8𝑏 + 16𝑐 + 12𝑑 4 5𝑥2 + 15𝑥4 − 20𝑥6 + 25𝑥4 5 11𝑥5 + 7𝑥3 − 13𝑥5 + 5𝑥4 6 12𝑥3 − 15𝑥2 + 18𝑥5 − 21𝑥7 7 18𝑎𝑏𝑥3 − 3𝑎2 𝑏3 𝑥 + 6𝑎𝑥2 𝑧 8 44𝑥4 − 55𝑥6 − 77𝑥3 + 33𝑥5 9 4𝑥3 𝑦2 + 2𝑥2 𝑦3 − 6𝑥2 𝑦2 10 4(2𝑥 − 1) + 𝑥(2𝑥 − 1) 11 3𝑥(2𝑥 − 1) + 4(2𝑥 − 1) De manera individual. Ejercicios Factor común Expresión factorizada 1 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 2 3𝑎 + 6𝑏 + 9𝑐 3 24𝑎𝑏 − 8𝑏 + 16𝑏𝑐 + 12𝑏𝑑 4 15𝑥4 − 20𝑥6 + 25𝑥5 5 11𝑥5 𝑦 + 7𝑥3 𝑦 − 13𝑥6 𝑦 6 12𝑥3 𝑦 − 15𝑥2 𝑦 + 18𝑥5 𝑦 − 9𝑥7 7 12𝑎𝑏𝑥3 − 3𝑎2 𝑏3 𝑥 + 3𝑎 𝑥2 𝑧 8 28𝑥4 − 42𝑥6 − 70𝑥3 + 56𝑥5 9 8𝑥3 𝑦2 + 4𝑥2 𝑦3 − 6𝑥2 𝑦2 10 5(4𝑥 − 1) + 𝑥(4𝑥 − 1) 11 2𝑥(2𝑥 − 1) − 4(2𝑥 − 1)
- 111. Factorización por diferenciasde cuadrados. Una diferencia de cuadrado se distingue por lo siguiente: 1) Es un binomio 2) Uno de los términos tiene signo negativo 3) Los dos términos deben tener raíz cuadrada. Ejemplo 1. 𝑥2 − 4 La expresión anterior cumple con los tres criterios establecidos para la definición de una diferencia de cuadrados. Es una expresión constituida por dos términos algebraicos, la cual conocemos como binomio. Término 1: 𝑥2 Término 2: 4 El segundo término es negativo y, ambos términos tienen raíz cuadrada. Cabe mencionar que en este último criterio, no se considera la raíz cuadrada de -4, sino únicamente de 4. √𝑥2 = 𝑥 y √4 = 2 Ejemplo 2. 𝑎4 − 25 4 En este caso, se cumplen la primeracondición, ya que: Término 1: 𝑎4 Término 2: 25 4
- 112. La segunda condiciónse cumple, debido a que es una diferencia entre los dos términos, y por último, ambos términos tienen raíz cuadrada. √𝑎4 = 𝑎2 y √ 25 4 = 5 2 El procedimiento de factorización de una diferencia de cuadrados se realiza de manera muy directa. Sabemos que una diferencia de cuadrados es equivalente a un binomio conjugado, el cual está definido de manera general de la siguiente forma: 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑚 = (√𝑎 𝑛 + √𝑏 𝑛)(√𝑎 𝑛 − √𝑏 𝑛) Ejemplo 3. Factorizar la diferencia de cuadrados definida como 𝑥2 − 4 𝑥2 − 4 = (√ 𝑥2 + √4) (√ 𝑥2 − √4) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) Ejemplo 4. Factorizar la diferencia de cuadrados definida como −1 + 𝑥4 . Cambiando el orden de los términos, obtenemos: −1 + 𝑥4 = 𝑥4 − 1 Obteniendo el binomio conjugado: (√ 𝑥4 + √1) (√ 𝑥4 − √1) = (𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1) En este caso, el primer término de cada binomio factor tendrá signo positivo y negativo o viceversa.
- 113. Ejercicio 2. Completarla siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada. Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. Diferencia de cuadrados Expresión factorizada 1 𝑥2 − 16 2 4𝑥2 − 𝑦2 3 25𝑦2 − 1 4 16𝑥2 − 25 36 5 49𝑥8 − 4 6 64𝑥2 − 𝑦6 𝑧4 7 −𝑥4 + 16 8 25𝑥8 − 9𝑦6 9 6𝑥4 − 6 10 𝑥2 − 5 De manera individual. Diferencias de cuadrado Factorización 1 4𝑥2 − 16 2 4𝑥2 − 16𝑦2 3 36𝑥2 − 1 4 49𝑥2 − 16 36 5 81𝑥8 – 4𝑦2 6 49𝑥2 − 𝑦6 𝑧8 7 −25𝑥4 + 16 8 𝑥8 − 9𝑦6 9 5𝑥4 − 5 10 𝑥2 − 7
- 114. Factorización de trinomiosde la forma 𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 La factorización de este tipo de trinomios se puede representar como: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) Encontrar los valores de m y n, puede realizarse mediante la búsqueda de 𝑛 y , 𝑚, de tal forma que ambos valores cumplan las siguientes condiciones: 𝑐 = (𝑛)(𝑚) y 𝑏 = 𝑛 + 𝑚 Ejemplo 1. Factorizar la expresión 𝑥2 + 7𝑥 + 10. Primero, deben encontrarse dos números que multiplicados sean igual al valor de 𝑐, que en este ejemplo es 10. Para ello, se tienen las siguientes opciones: Opción 1: 10 = (1)(10) Opción 2: 10 = (2)(5) De las combinaciones de 𝑚 y 𝑛 encontradas, se debe cumplir que 𝑏 = 𝑛 + 𝑚; es decir 7 = 𝑛 + 𝑚 De las opciones 1 y 2, sólo la opción 2 cumple con la segunda condición, por lo que la expresión factorizada se representa mediante: (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) Ejemplo 2. Factorizar la expresión 𝑥2 – 7𝑥 – 30. Siguiendo con el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, se buscan dos números n y m que cumplan con las condiciones: −30 = (𝑛)(𝑚) y −7 = 𝑛 + 𝑚 Para la primera condición, se tienen las opciones: 1 −30 = (−2)(15) 4 −30 = (2)(−15) 2 −30 = (−3)(10) 5 −30 = (3)(−10) 3 −30 = (−5)(6) 6 −30 = (5)(−6)
- 115. De las opcionespresentadas, sólo la 5 cumple con la condición −7 = 𝑛 + 𝑚. De esta forma, los valores de m y n son: 𝑛 = 3 𝑚 = −10 Por lo tanto, la expresión factorizada es (𝑥 + 3)(𝑥 − 10) Ejercicio 3. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada. Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. Trinomio Expresión factorizada 1 𝑥2 + 9𝑥 + 20 2 𝑥2 − 9𝑥 + 20 3 𝑥2 − 7𝑥 + 10 4 𝑥2 + 4𝑥 − 5 5 𝑥2 + 13𝑥 − 30 6 𝑥2 + 4𝑥 − 21 7 𝑥2 − 7𝑥 + 12 8 𝑥2 + 7𝑥 + 12 9 𝑥2 − 𝑥 − 12 10 𝑥2 + 14𝑥 + 45 De manera individual. Trinomio Expresión factorizada 1 𝑥2 + 9𝑥 + 8 2 𝑥2 + 2𝑥 − 8 3 𝑥2 − 13𝑥 + 40 4 𝑥2 + 11𝑥 − 26 5 𝑥2 + 5𝑥 − 24 6 𝑥2 + 7𝑥 + 6 7 𝑥2 − 19𝑥 − 20 8 𝑥2 − 4𝑥 − 12 9 𝑥2 − 𝑥 − 72 10 𝑥2 + 11𝑥 + 18
- 116. Factorización de laForma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 La factorización de trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, puede realizarse mediante dos métodos. El primero de ellos se conoce como el método de tanteo. El segundo método es más directo y se realiza mediante la fórmula general. Método de tanteo. En este método la expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, queda representada en factores, mediante: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑚𝑥 + 𝑝)(𝑛𝑥 + 𝑞) Para encontrar los valores de 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞, se factoriza tanto el primer como el tercer término del trinomio. Dichas factorizaciones pueden ser representadas mediante: 𝑎𝑥2 = (𝑚𝑥)(𝑛𝑥) 𝑐 = (𝑝)(𝑞) La combinación de valores de 𝑚, 𝑛, 𝑝 y 𝑞, debe cumplir con la siguiente condición: 𝑏𝑥 = (𝑚𝑥)(𝑞) + (𝑛𝑥)(𝑝) Ejemplo 1. Factorizar 3𝑥2 + 14𝑥 + 8 Para el primer término del trinomio, se buscan dos factores de 3𝑥2 𝑎𝑥2 = 3𝑥2 = (3𝑥)(𝑥) También se factoriza el tercer término del trinomio: 𝑐 = 8 = (2)(4) Con los valores propuestos se verifica que (𝑚𝑥)(𝑞) + (𝑛𝑥)(𝑝) sea igual a 𝑏𝑥 en el trinomio. 𝑏𝑥 = (3𝑥)(4) + (𝑥)(2) = 14𝑥 Así, el trinomio es expresado en forma de factores mediante: (3𝑥 + 2)(𝑥 + 4)
- 117. Ejemplo 2. Factorizar2𝑥2 + 3𝑥 + 1 Para el primer término del trinomio, se buscan dos factores de 2𝑥2 𝑎𝑥2 = 2𝑥2 = (2𝑥)(𝑥) También se factoriza el tercer término del trinomio: 𝑐 = 1 = (1)(1) Con los valores propuestos se verifica que (𝑚𝑥)(𝑞) + (𝑛𝑥)(𝑝) sea igual a 𝑏𝑥 en el trinomio. 𝑏𝑥 = (2𝑥)(1) + (𝑥)(1) = 3𝑥 Así, el trinomio es expresado en forma de factores mediante: (2𝑥 + 1)(𝑥 + 1) De modo que la expresión factorizada de 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 es (2𝑥 + 1)(𝑥 + 1) Método por fórmula general. En este caso, la representación factorizada de un trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es: 𝑎(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑛) Para encontrar los valores de 𝑚 y 𝑛, se resuelve las ecuaciones: 𝑚 = −𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑛 = −𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Ejemplo. Factorizar 3𝑥2 + 14𝑥 + 8 En una primera instancia, asignamos los valores de los coeficientes a las variables de la fórmula general: 𝑎 = 3, 𝑏 = 14, 𝑐 = 8
- 118. Sustituyendo 𝑎, 𝑏y 𝑐 se obtiene para 𝑚: 𝑚 = −14 + √142 − 4(3)(8) 2(3) = −14 + √196 − 96 6 = −14 + √100 6 = −14 + 10 6 −4 6 = −2 3 Sustituyendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se obtiene para 𝑛: 𝑛 = −14 − √142 − 4(3)(8) 2(3) = −14 − √196 − 96 6 = −14 − √100 6 = −14 − 10 6 = −24 6 = −4 De modo que la representación del trinomio, enforma de factores es: (3𝑥 + 2)(𝑥 + 4) Ejercicio 4. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada. Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. Trinomio Expresión factorizada 1 2𝑥2 + 7𝑥 + 5 2 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 3 4𝑥2 − 17𝑥 + 15 4 5𝑥2 + 7𝑥 − 6 5 8𝑥2 − 2𝑥 − 3 6 7𝑥2 − 19𝑥 − 6 7 12𝑥2 − 73𝑥 + 6 8 8𝑥2 + 2𝑥 − 3 9 10𝑥2 − 21𝑥 − 10 10 15𝑥2 + 11𝑥 − 14
- 119. De manera individual. TrinomioExpresión factorizada 1 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 2 6𝑥2 + 21𝑥 + 9 3 6𝑥2 − 15𝑥 + 6 4 5𝑥2 − 8𝑥 + 3 5 4𝑥2 − 2𝑥 − 2 6 4𝑥2 − 25𝑥 − 21 7 4𝑥2 − 10𝑥 + 6 8 2𝑥2 − 𝑥 − 1 9 3𝑥2 − 10𝑥 + 8 10 8𝑥2 + 8𝑥 + 2 Factorización de Trinomios cuadrados perfectos (TCP) Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio. Ejemplo 1. (𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 Una forma rápida de saber si la expresión que se desea factorizar es un trinomio al cuadrado perfecto, consiste en obtener la raíz cuadrada del primer y tercer término. El resultado de ambas raíces se multiplica y posteriormente se multiplica por dos multiplicarlos. El resultado debe ser igual al segundo términno del trinomio.
- 120. Ejemplo 2 Sedesea verificar que el trinomio 𝑥2 + 6𝑥 + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Se obtiene la raíz cuadrada del primer término: √ 𝑥2 = 𝑥 Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término: √9 = 3 El doble producto de ambas raíces es: 2(𝑥)(3) = 6𝑥 Como el producto coincide con el segundo término del trinomio, se dice que la expresión es un trinomio al cuadrado perfecto. El procedimiento de factorización de un trinomio al cuadrado perfecto consiste en obtener la raíz cuadrada del primer y tercer término y acomodar los productos de forma tal que: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥2 + √ 𝑐)(𝑥2 + √ 𝑐) Ejemplo 3. Factorizar el trinomio 𝑥2 + 4𝑥 + 4. Primero se verifica quela expresión sea un trinomio cuadrado perfecto: Se obtiene la raíz cuadrada del primer término: √ 𝑥2 = 𝑥 Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término: √4 = 2 El doble producto de ambas raíces es: 2(𝑥)(2) = 4𝑥 La factorización se obtiene mediante: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥2 + √4)(𝑥2 + √4)
- 121. Obteniendo como resultado: (𝑥2 +2)(𝑥2 + 2) Ejercicio 5. Completar la siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada. Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. Trinomio Verificación Expresión factorizada 1 𝑥2 + 6𝑥 + 9 2 𝑥2 − 4𝑥 + 4 3 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 4 𝑥4 + 6𝑥2 + 9 5 4𝑥2 − 16𝑥 + 4 6 9𝑥2 − 12𝑥 + 1 7 25 − 30𝑥2 + 9𝑥4 8 4𝑥2 − 20𝑥 + 25 9 𝑥2 + 18𝑥 16 + 81 256 10 4𝑥2 + 36𝑥 25 + 81 625 11 𝑥3 − 18𝑥2 + 81𝑥 De manera individual. Trinomio Verificación Expresión factorizada 1 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 2 4𝑥2 − 8𝑥 + 4 3 25𝑥2 − 70𝑥 + 49 4 4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 5 𝑥2 − 18𝑥 + 49 6 𝑥2 − 2𝑥 + 1 7 𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦2 8 9𝑥8 − 30𝑥4 + 25 9 𝑥6 − 6𝑥3 + 9 10 9𝑥2 − 24𝑥 9 + 16 81
- 122. Factorización por agrupación. Enocasiones se deben agrupar los términos de un polinomio para que cada grupo tenga un factor común y de esa manera se pueda factorizar. A este método se le conoce como factorización por agrupación. Esto se lleva a cabo porque no hay un factor común para todos los términos, pero si para ciertos grupos. Ejemplo 1. Factorizar la expresión 3𝑥 + 12 − 5𝑥2 − 20 + 𝑥3 + 𝑥2 A simple vista se oberva que no existe un factor común para todos los términos. Sin embargo, si se agrupan los términos de la siguiente forma: 3(𝑥 + 4) − 5𝑥 (𝑥 + 4) + (𝑥 + 4)𝑥2 Se hace evidente que el binomio se encuentra presente en todos los elementos de la expresión. Factorizando de nuevo, se obtiene: (𝑥 + 4)(3 − 5𝑥 + 𝑥2) Ejemplo 2. Factorizar la expresión 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 Factorizando por grupos se obtiene: 3(𝑥 + 𝑦) + 𝑎 (𝑥 + 𝑦) Factorizando de nuevo: (𝑥 + 𝑦) (3 + 𝑎)
- 123. Ejercicio 6. Completarla siguiente tabla de acuerdo a la información solicitada. Realice el ejercicio de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal Polinomio Expresión factorizada 1 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 2 10𝑥 + 10𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 3 −7𝑥 + 7𝑦 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 4 −4𝑥 − 4𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 5 6𝑎 − 6𝑏 + 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 6 8𝑎 − 8𝑏 − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 7 4𝑥𝑦 + 8𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎2 8 5𝑥𝑦 + 10𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎2 9 12𝑎 − 12𝑏 + 16 − 6𝑎𝑥 + 6𝑏𝑥 − 8𝑥 10 6𝑥 − 3 + 2𝑥2 − 𝑥 De manera individual Polinomio Expresión factorizada 1 6𝑎𝑥 − 9𝑥 + 4𝑎 − 6 2 6𝑎𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 + 9𝑐 + 6 3 20𝑥 + 20𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 4 6𝑥2 𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 6𝑥 + 3𝑦 5 −𝑥 − 𝑦 + 4𝑏(𝑥 + 𝑦) 6 12𝑎𝑏𝑥𝑦𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 − 4𝑎𝑏 + 1 7 −8𝑥 + 8𝑦 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 8 6𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 − 6 9 2𝑎2 𝑏2 + 2𝑎𝑏3 + 3𝑎 + 3𝑏 10 8𝑥2 − 16𝑥𝑦 + 4𝑥 + 4𝑥𝑦 − 8𝑦2 + 2𝑦
- 124.
- 125. Unidad 6: Exponentesy Radicales Habilidades y destrezas: Caracteriza y comprueba los exponentes radicales. Conceptos subsidiarios: 1. Exponentes enteros positivos. 2. Exponentes enteros negativos. 3. Exponente cero. 4. Exponentes fraccionarios positivos. 5. Exponentes fraccionarios negativos. 6. Suma y resta de radicales. 7. Multiplicación de radicales.
- 126. Los exponentes deun número son también llamados potencia o índices. Definición de exponente. El exponente (n) de un número nos indica cuantas veces debe multiplicarse por sí mismo la base (x). Los exponentes pueden ser: X n X9 Enteros positivos X-n x-6 Enteros negativos X0 X0 Cero X m/n X2/7 Fraccionarios positivos X-m/n x-3/8 Fraccionarios negativos
- 127. Exponentes enteros positivos Ejemplos: 1.Desarrollar 𝑦4 ∶ Tomamos la base que es "𝒚" multiplicándola por sí misma, el número de veces que el exponente nos indica, en este caso es 4. 𝑦 4 = (𝑦)(𝑦)(𝑦)(𝑦) = 𝑦 4 Finalmente 𝑦4 = 𝑦4 2. Desarrollar 𝑥3 : Tomamos la base que es "𝒙" y la multiplicamos por sí misma, el número de veces que el exponente nos indica, en este caso es 3. 𝑥3 = 𝑥1 𝑥1 𝑥1 = 𝑥3 Finalmente: 𝑥3 = 𝑥3 3. Desarrollar (−3𝑥)3 ∶ Recuerda, cuando las bases se multiplican los exponentes se suman.
- 128. La base es-3x, por lo cual debemos multiplicar por sí mismo cada uno de los términos, las 3 veces que nos indica la potencia. Finalmente: (−3𝑥) 3 = −27𝑥3 4. Desarrollar ( 2𝑥 3𝑦 ) 4 : En este caso, tenemos una fracción elevada a una potencia, cada uno de los términos tanto el numerador como el denominador deben elevarse a la potencia indicada. Finalmente: ( 2𝑥 3𝑦 ) 4 = 16𝑥4 81𝑦4 5. Desarrollar. (2𝑥3 )2 Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, estas se multiplican, las bases se desarrollan multiplicándose por si misma las veces que la potencia lo indique. Finalmente:
- 129. (2𝑥3 )2 = 4𝑥6 Ejercici: Desarrolla laspotencias de los siguientes ejercicios de manera grupal. Desarrolla la potencia de los siguientes ejercicios de manera individual. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. (3𝑥3 )2 2. (−5𝑥2 )3 3. ( 3𝑥 4 2 )3 4. ( 3𝑥 2𝑦 ) 5 5. (−2𝑥𝑦) 4 Ejercicio Desarrollo Resultado 1. (8𝑥4 )2 2. (−5𝑥𝑦4 )3 3. ( 3𝑥 2𝑦 2 )3 4. ( 𝑥 4 2 )4 5. (−𝑥𝑦) 3
- 130. 2 EXPONENTES ENTEROSNEGATIVOS. La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado al mismo exponente positivo. Ejemplo 1:: 1. Desarrollar (−4𝑥)−2 : Aplicamos la inversa y nos queda 1 (−4𝑥)2 , multiplicamos la base, es este caso es tanto en numerador como el denominador, tantas veces como la potencia lo indica. (−𝟒𝒙)−𝟐 = 1 (−4𝑥)2 =( 1 −4𝑥 ) ( 1 −4𝑥 ) = 1 16𝑥2 Finalmente: (−𝟒𝒙)−𝟐 = 1 (−4𝑥)2 = 1 16𝑥2 Ejemplo 2: 2. Desarrollar ( 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 ) −𝟑 : Aplicamos la inversa y nos queda ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 ) 𝟑 , multiplicamos la base, es este caso es tanto en numerador como el denominador, tantas veces como la potencia lo indica. ( 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 ) −𝟑 = ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 ) 𝟑 =( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 ) ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 ) ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 ) = 27𝑥6 8 Finalmente: 𝒙−𝒏 = 𝟏 𝒙 𝒏 Si 𝑥 ≠ 0 , 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: ( 𝑥 𝑦 ) −𝑛 = ( 𝑦 𝑥 ) 𝑛
- 131. ( 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 ) −𝟑 = ( 𝟑𝒙𝟐 𝟐 ) 𝟑 = 27𝑥6 8 Ejercicis: Desarrolla las potencias negativas de los siguientes ejercicios de manera grupal. Desarrolla las potencias negativas de los siguientes ejercicios de manera individual. Ejercicio Inversa Desarrollo Resultado 1. ( 3 2 𝑥2 ) −2 2. (4𝑥)−3 3. ( 2𝑥3 3𝑦2) −2 4. (−3𝑥)−4 5. ( 2𝑥2 𝑦3 𝑧2 6𝑥3 𝑦5 𝑧4 ) −2 Ejercicio Inversa Desarrollo Resultado 1. (− 1 2 𝑥2 ) −3 2. (2𝑦3)−3 3. ( 3𝑥 5𝑦 ) −2 4. ( 𝑥 𝑦 ) −1 5. − ( 𝑤 3𝑧 ) −3
- 132. 3 EXPONENTE CERO. Todabase elevada a la cero potencia es igual a 1. Ejemplo 1: Desarrolle (−2𝑥6)0 : Aplicando el teorema 𝑎0 = 1 , independientemente de la base si el exponente es cero la respuesta es 1. (−2𝑥6)0 =1 Finalmente: (−2𝑥6)0 =1 Ejemplo 2: Desarrolle −3(9𝑦7)0 : Aplicando el teorema 𝑎0 = 1; (9𝑦7)0 = 1 , por lo tanto: −3(9𝑦7)0 = −3(1) = −3 Finalmente: −3(9𝑦7)0 = −3 𝑥0 = 1 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 = 1; 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛−𝑛 = 𝑥0 = 1
- 133. Desarrolla la potenciacero de los siguientes ejercicios de manera grupal. Desarrolla la potencia cero los siguientes ejercicios de manera grupal. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. (− 2𝑥3 3 ) 0 2. 7(𝑥2 𝑦6 )0 3. (2𝑥9 )0 4. ( 𝑥 4 2 )0 5. −15(𝑥𝑦7 ) 0 Ejercicio Desarrollo Resultado 1. ( 3 2 𝑥2 ) 0 2. 3 (4𝑥)0 3. −2 ( 2𝑥3 3𝑦2) 0 4. (−3𝑤)0 5. 4 ( 4𝑥7 𝑦3 𝑧2 7𝑥3 𝑦5 𝑧4) 0
- 134. 4 EXPONENTES FRACCIONARIOS. Unexponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima: Escriba aquí la ecuación. Ejemplo 1: Cambiar a radical 𝑥 1 5 : Aplicamos 𝑥 1 𝑛 = √𝑥1𝑛 , donde 𝑛 = 5: √ 𝑥15 = √ 𝑥 5 Finalmente: 𝑥 1 5 = √ 𝑥 5 Ejemplo 2: Cambiar a radical 𝑥 2 3 : Aplicamos 𝑎 𝑚 𝑛 = √ 𝑎 𝑚𝑛 , donde 𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 3: √ 𝑥23 Finalmente: 𝑥 2 3 = √ 𝑥2 3 Ejemplo 1: Cambiar a radical (3𝑥) 4 5 : 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙. 𝑥 1 𝑛 = √𝑥1𝑛 = √ 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠. 𝑖) (𝑥 𝑚) 1 𝑛 = 𝑥 𝑚 𝑛 = √ 𝑥 𝑚𝑛 , 𝑖𝑖) ( 𝑥 𝑦 ) 𝑚 𝑛 = (𝑥) 𝑚 𝑛 (𝑦) 𝑚 𝑛 = √(𝑥) 𝑚𝑛 √(𝑦) 𝑚𝑛
- 135. Aplicamos 𝑎 𝑚 𝑛 =√ 𝑎 𝑚𝑛 , donde 𝑚 = 4 𝑦 𝑛 = 5: (3𝑥) 4 5 = √(3𝑥)45 = √(3𝑥)(3𝑥)(3𝑥)(3𝑥) 5 = √81𝑥45 Finalmente: (3𝑥) 4 5 = √81𝑥45 Ejemplo 2: Cambiar a radical ( 4𝑥 3𝑦 ) 2 7 : Aplicamos ( 𝑥 𝑦 ) 𝑚 𝑛 = 𝑥 𝑚 𝑛 𝑦 𝑚 𝑛 = √(𝑥) 𝑚𝑛 √(𝑦) 𝑚𝑛 , donde 𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 7: ( 4𝑥 3𝑦 ) 2 7 = (4𝑥) 2 7 (3𝑦) 2 7 = √(4𝑥)27 √(3𝑦)27 = √16𝑥27 √9𝑦27 Finalmente: ( 4𝑥 3𝑦 ) 2 7 = √16𝑥27 √9𝑦27 Ejemplo 3: Cambiar a radical (3𝑥 + 4𝑦) 2 5 : Aplicamos (𝑥 + 𝑦) 𝑚 𝑛 = √(𝑥 + 𝑦) 𝑚𝑛 donde 𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 5; (3𝑥 + 4𝑦) 2 5 = √(3𝑥 + 4𝑦)25 = √(3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 + 4𝑦) 5 = √9𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 𝑦25
- 136. Finalmente: (3𝑥 + 4𝑦) 2 5= √9𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 𝑦25 Ejercicio: Cambia a radicar y desarrolla siguientes ejercicios de manera grupal. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. 𝑥 1 7 2. 𝑦 3 8 3. ( 2𝑥 3𝑦 ) 1 3 4. (5𝑥 + 2𝑦) 1 2 5. 𝑥 4 5 6. (3 − 4𝑥) 3 5 7. 𝑧 1 2 8. 2(𝑤) 3 4 9. ( 𝑤 2𝑧 ) 1 3 10. (4𝑥 + 8𝑦) 1 2
- 137. Desarrolla los siguientesejercicios de manera individual. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. (2𝑥) 3 4 2. 𝑦 1 5 3. (4𝑥 − 2𝑦) 1 3 4. (2 − 𝑥) 2 3 5. ( 𝑥 𝑦 ) 4 3 6. (3𝑦𝑤) 1 2 7. 9(𝑥) 1 2 8. (3𝑤) 3 8 9. ( 2𝑟 6𝑠 ) 1 3 10. (𝑥 − 𝑦) 2 3
- 138. Exponentes fraccionarios negativos. Unexponente fraccionario negativo, nos indica el reciproco de un radical como significa hacer la raíz n-ésima: ` Ejemplo 1: Cambiar a radical 𝑥− 1 2 , donde 𝑚 𝑒𝑠 − 1 𝑦 𝑛 2 Aplicamos la inversa y nos queda 1 𝑥 1 2 , enseguida cambiamos a forma radical el exponente fraccionario 1 √𝑥12 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo. 𝑥− 1 2 = 1 𝑥 1 2 = 1 √𝑥12 = 1 √ 𝑥 Finalmente: 𝑥− 1 2 = 1 √ 𝑥 Ejemplo 2: Cambiar a radical (3𝑦)− 3 4 Aplicamos la inversa y nos queda 1 (3𝑦) 3 4 , enseguida cambiamos a forma radical el exponente fraccionario 1 √(3𝑦)34 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo. (3𝑦)− 3 4 = 1 (3𝑦) 3 4 = 1 √(3𝑦)34 Finalmente: 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙. 𝑥− 1 𝑛 = 1 𝑥 1 𝑛 = 1 √𝑥1𝑛 ; 𝑎𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥− 𝑚 𝑛 1 𝑥 𝑚 𝑛 = 𝑦 ( 𝑥 𝑦 ) − 𝑚 𝑛 = (𝑥) 𝑚 𝑛 (𝑦) 𝑚 𝑛 = √(𝑥) 𝑚𝑛 √(𝑦) 𝑚𝑛
- 139. (3𝑦)− 3 4 = 1 √(3𝑦)34 Ejemplo 3: Cambiara radical (2𝑥)− 3 5 Aplicamos la inversa y nos queda 1 (2𝑥) 3 5 , enseguida cambiamos a forma radical el exponente fraccionario 1 √(2𝑥)35 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo. (2𝑥)− 3 5 = 1 (2𝑥) 3 5 = 1 √(2𝑥)35 Finalmente: (2𝑥)− 3 5 = 1 √(2𝑥)35 Ejemplo 4: Cambiar a radical (𝑦)− 3 2 ∶ Aplicamos la inversa y nos queda 1 (𝑦) 3 2 , enseguida cambiamos a forma radical el exponente fraccionario 1 √(𝑦)32 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo. ( 𝑦)− 3 2 = 1 (𝑦) 3 2 = 1 √(𝑦)32 = 1 √𝑦3 Finalmente: (𝑦)− 3 2 = 1 √𝑦3
- 140. Ejemplo 5: Cambiar aradical (7𝑥)− 6 4 ∶ En este caso se simplifica el exponente -6/4 a -3/2, Aplicamos la inversa y nos queda 1 (7𝑥) 3 2 , enseguida cambiamos a forma radical el exponente fraccionario 1 √(7𝑥)32 y nuestro ejercicio esta en forma radical positivo. (7𝑥)− 6 4 = (7𝑥)− 3 2 = 1 (7𝑥) 3 2 = 1 √(7𝑥)32 = 1 √(7𝑥)3 Finalmente: (7𝑥)− 6 4 = (7𝑥)− 3 2 = 1 √(7𝑥)3 Ejercicios: Expresa en forma radical los siguientes ejercicios de manera grupal. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. (4𝑥)− 5 7 2. (3𝑦)− 1 4 3. (5𝑥)− 2 6 4. 𝑥− 1 6 5. (9𝑤)− 3 5 6. 𝑦− 5 7 7. (4𝑥)− 1 2 8. 𝑤− 4 3 9. 𝑥− 1 5 10. (6𝑦)− 2 4
- 141. Desarrolla los siguientesejercicios de manera individual. RADICALES Definición de radicales 6 SUMA Y RESTA DE RADICALES. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. 𝑥− 1 9 2. (3𝑦)− 7 3 3. (4𝑤)− 4 10 4. 𝑦− 1 8 5. (6𝑥)− 2 5 6. (4𝑥)− 4 6 7. 𝑦− 1 2 8. (7𝑥)− 2 3 9. 𝑥− 1 7 10. (8𝑤)− 3 9 Un radical es una expresión de la forma √ 𝑥 𝑛 , donde √ 𝑥 𝑛 = 𝑦, si y solo si 𝑦 𝑛 = 𝑎.
- 142. 6 a) Sumade radicales Ejemplo 1: Sumar los siguientes radicales, 5√ 𝑥 3 + 2√ 𝑥 3 + √ 𝑥 3 = observemos que el radicando es x en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 3,lo cual nos permite sumar los coeficientes 5,2 y 1, 5√ 𝑥 3 + 2√ 𝑥 3 + √ 𝑥 3 = (5 + 2 + 1)√ 𝑥 3 = 8√ 𝑥 3 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 5√ 𝑥 3 + 2√ 𝑥 3 + √ 𝑥 3 = 8√ 𝑥 3 Finalmente: 5√ 𝑥 3 + 2√ 𝑥 3 + √ 𝑥 3 = 8√ 𝑥 3 Ejemplo 2: Sumar los siguientes radicales, 3√𝑦37 + 2√𝑦37 + 8√𝑦37 = observemos que el radicando es 𝑦3 en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 7,lo cual nos permite sumar los coeficientes 3,2 y 8, 3√𝑦37 + 2√𝑦37 + 8√𝑦37 = (3 + 2 + 8)√𝑦37 = 13√𝑦37 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 3√𝑦37 + 2√𝑦37 + 8√𝑦37 = 13√𝑦37 Finalmente: 3√𝑦37 + 2√𝑦37 + 8√𝑦37 = 13√𝑦37 𝑎 √ 𝑥 𝑛 + 𝑏 √ 𝑥 𝑛 + 𝑐 √ 𝑥 𝑛 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) √ 𝑥 𝑛 Solamente pueden sumarse dos o más radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
- 143. Ejemplo 3: Sumar lossiguientes radicales, 2 3 √𝑥45 + 4√𝑥45 + 1 6 √𝑥45 = observemos que el radicando es 𝑥4 en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 5,lo cual nos permite sumar los coeficientes 2 3 , 4 𝑦 1 6 ,siendo necesario encontrar en mínimo común denominador el cual es 6, ( 2 3 + 4 + 1 6 ) = 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑜𝑠, ( 4 6 + 24 6 + 1 6 ) = 29 6 2 3 √ 𝑥45 + 4√ 𝑥45 + 1 6 √ 𝑥45 = ( 2 3 + 4 + 1 6 ) √ 𝑥45 = ( 4 6 + 24 6 + 1 6 ) √ 𝑥45 = 29 6 √ 𝑥45 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 2 3 √ 𝑥45 + 4√ 𝑥45 + 1 6 √ 𝑥45 = 29 6 √ 𝑥45 Finalmente: 2 3 √ 𝑥45 + 4√ 𝑥45 + 1 6 √ 𝑥45 = 29 6 √ 𝑥45 Ejercicios: Suma los siguientes radicales de manera grupal. Suma los siguientes radicales de manera individual. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. √𝑥34 + 9√𝑥34 + 2√𝑥34 = 2. √𝑦25 + √𝑦25 + √𝑦25 = 3. √ 𝑥 + √ 𝑥 + 3√ 𝑥 = 4. 1 2 √𝑦23 + √𝑦23 + 3 4 √𝑦23 = 5. 2 3 √𝑥75 + 4√𝑥75 + 1 6 √𝑥75 = Ejercicio Desarrollo Resultado 1. √𝑥53 + √𝑥53 + √𝑥53 = 2. 2√𝑥65 + 3√𝑥65 + √𝑥65 = 3. 4√𝑦27 + 3√𝑦27 + 3√𝑦27 = 4. 3 5 √𝑥35 + 2 10 √𝑥35 + 2 5 √𝑥35 =
- 144. Resta de radicales Ejemplo1: Restar los siguientes radicales, 3√ 𝑥 4 − 2√ 𝑥 4 − 4√ 𝑥 4 = observemos que el radicando es x en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 4,lo cual nos permite restar los coeficientes 3√ 𝑥 4 − 2√ 𝑥 4 − 4√ 𝑥 4 = (3 − 2 − 4)√ 𝑥 4 = −3√ 𝑥 4 −3√ 𝑥 4 − 2√ 𝑥 4 − 4√ 𝑥 4 = (3 − 2 − 4) = −3, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 3√ 𝑥 4 − 2√ 𝑥 4 − 4√ 𝑥 4 = − 3√ 𝑥 4 Finalmente: 3√ 𝑥 4 − 2√ 𝑥 4 − 4√ 𝑥 4 = − 3√ 𝑥 4 Ejemplo 2: Restar los siguientes radicales, 9√𝑦25 − 3√𝑦25 − 1√𝑦25 = observemos que el radicando es 𝑦2 en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 5,lo cual nos permite restar los coeficientes 9,-3 y -1, 9√𝑦25 − 3√𝑦25 − 1√𝑦25 = (9 − 3 − 1) = 5√𝑦25 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 = 9√𝑦25 − 3√𝑦25 − 1√𝑦25 = 5√𝑦25 Finalmente: 9√𝑦25 − 3√𝑦25 − 1√𝑦25 = 5√𝑦25 Ejemplo 3: 5. 3 4 √𝑥46 + 2 8 √𝑥46 + √𝑥46 = 𝑎 √ 𝑥 𝑛 − 𝑏 √ 𝑥 𝑛 − 𝑐 √ 𝑥 𝑛 = (𝑎 − 𝑏 − 𝑐) √ 𝑥 𝑛 Solamente pueden restarse dos o más radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
- 145. Restar los siguientesradicales, − 3 4 √𝑧37 + 1 3 √𝑧37 − 3 8 √𝑧37 = observemos que el radicando es 𝑧3 en cada radical y el índice de raíz es el mismo, en este caso 7 ,lo cual nos permite restar los coeficiente − 3 4 + 1 3 − 3 8 siendo necesario encontrar en mínimo común denominador el cual es 24, (− 3 4 + 1 3 − 3 8 ) 𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑖𝑛𝑡𝑖𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣𝑜𝑠, (− 18 24 + 8 24 − 9 24 ) √𝑧37 = − 19 24 √𝑧37 − 3 4 √ 𝑧37 + 1 3 √ 𝑧37 − 3 8 √ 𝑧37 = (− 18 24 + 8 24 − 9 24 ) √ 𝑧37 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 − 3 4 √ 𝑧37 + 1 3 √ 𝑧37 − 3 8 √ 𝑧37 = − 19 24 √ 𝑧37 Finalmente: − 3 4 √ 𝑧37 + 1 3 √ 𝑧37 − 3 8 √ 𝑧37 = − 19 24 √ 𝑧37 Ejercicios: Realiza las operaciones indicadas con los siguientes radicales de manera grupal. Realiza las operaciones indicadas con los siguientes radicales manera individual. Ejercicio Desarrollo Resultado 1. −9√𝑥35 + 2√𝑥35 = 2. 2√𝑦35 − √𝑦35 − √𝑦35 = 3. −3√ 𝑧 − 1√ 𝑧 − 5√ 𝑧 = 4. 1 2 √𝑦35 − √𝑦35 − 3 4 √𝑦35 = 5. 2 4 √𝑥75 − 3√𝑥75 − 1 12 √𝑥75 = Ejercicio Desarrollo Resultado 1. √𝑥53 − 4√𝑥53 − √𝑥53 = 2. 2√𝑧25 − 3√𝑧25 − √𝑧25 = 3. −4√𝑦29 + 3√𝑦29 − 3√𝑦29 = 4. 1 3 √𝑥35 − 1 2 √𝑥35 + 4 6 √𝑥35 = 5. 1 4 √ 𝑤 6 − 2 8 √ 𝑤 6 =
- 146. 7 Multiplicación ydivisión de radicales. Multiplicación de radicales con índices iguales. Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y se simplifica, de ser posible, el resultado. Ejemplo 1: Multiplica los siguientes radicales, (√8𝑥4 𝑦 3 )(√2𝑥𝑦 3 ) = , aplicando lo anterior √(8𝑥4 𝑦)(2𝑥𝑦) 3 = √16𝑥5 𝑦23 Se realiza la multiplicación de las bases numéricas (8)(2)=16 , y observemos la aplicación de las propiedades de los exponentes en las literales; cuando las bases se multiplican los exponentes se suman; (𝑥4 𝑦)(𝑥𝑦) = 𝑥5 𝑦2 , obteniendo finalmente como radicando; 16𝑥5 𝑦2 , Finalmente la multiplicación de los radicales queda: (√8𝑥4 𝑦 3 ) (√2𝑥𝑦 3 ) = √(8𝑥4 𝑦)(2𝑥𝑦) 3 = √(8)(2)𝑥4 𝑥𝑦𝑦 3 = √16𝑥5 𝑦23 (√8𝑥4 𝑦 3 ) (√2𝑥𝑦 3 ) = √16𝑥5 𝑦23 El siguiente paso es verificar si el radical resultante pueda ser simplificado, √16𝑥5 𝑦23 Para el radicando numérico, 16 ; buscar si hay una base que al elevarla al índice del radical ( 3 ) de como resultado el radicando numérico, que para este ejercicio es 16, o descomponer el radicando en factores en donde en √ 𝑥 𝑛 √ 𝑦𝑛 √ 𝑧 𝑛 = √ 𝑥𝑦𝑧𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
- 147. uno de ellosaplique lo anterior, buscando aplicar las siguientes propiedades: √𝑥 𝑚𝑚 = 𝑥 𝑚 𝑚 = 𝑥1 = 𝑥 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 𝑚, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑦 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎. 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑔𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 En este caso, tenemos que: (2)3(2) = [(2)(2)(2)](2) = (8)(2) = 16 √(2)3(2)𝑥5 𝑦23 Con lo anterior [(2)3(2)𝑥5 𝑦2] 1 3, y aplicando la propiedad de los exponentes, tenemos: 2 3 32 1 3 𝑥 5 3 𝑦 2 3 Aplicando la propiedad anterior, 21 2 1 3 𝑥 5 3 𝑦 2 3 = 2(2 1 3 𝑥 5 3 𝑦 2 3), cambiando a radical; 2√2𝑥5 𝑦23 Para los radicando algebraicos, aplicamos la ley de los exponentes, recordemos que, un exponente elevado a otra potencia se multiplica, (𝑥 𝑚) 𝑛 = 𝑥 𝑚𝑛 , sabemos también que al multiplicar las bases los exponentes se suman, 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑚+𝑛 , aplicando estas propiedades, buscando descomponer en factores las potencias buscando que uno de ellos sea igual a el índice de raíz para extraerlo del radicando. Descomponemos en factores, buscando dejar una de las potencias que indica el índice de raíz, en este caso; al cubo para extraerlo del radicando. 𝑥5 = 𝑥 𝟑 𝑥2 = 𝑥3+2 = 𝑥5 2√2𝑥5 𝑦23 = 2√2𝑥3 𝑥2 𝑦23 = 2(2𝑥3 𝑥2 𝑦2) 1 3 = (2)2 1 3 𝑥 3 3 𝑥 2 3 𝑦 2 3 = (2)2 1 3 𝑥1 𝑥 2 3 𝑦 2 3 = 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥1 = 𝑥, (2)2 1 3 𝑥𝑥 2 3 𝑦 2 3, 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙:
- 148. (2)2 1 3 𝑥𝑥 2 3 𝑦 2 3= 2𝑥 √2𝑥2 𝑦23 Simplificado el radical: √16𝑥5 𝑦23 = √(2)32𝑥3 𝑥2 𝑦23 = 2𝑥√2𝑥2 𝑦2 Una forma de comprobar que nuestro resultado es correcto es: Para la base numérica que salido del radicando, elevarla a la potencia que el índice de raíz indica y si existe una constante dentro como radicando multiplicarlos y debemos regresar al valor original, para este ejemplo: √16𝑥5 𝑦23 = 2𝑥 √2𝑥2 𝑦23 , 𝑒𝑙 2 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑑𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 , 23 = 8, 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧, (8)(2) = 16 Para las literales, elevar la literal a la potencia que indica el índice de raíz y si existe como radicando la misma literal multiplicarlas, sumando los exponentes, para este ejemplo: √16𝑥5 𝑦23 = 2𝑥 √2𝑥2 𝑦23 , "𝑥" 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑑𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 , 𝑥3 = 𝑥3 , 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠; 𝑥3 𝑥2 = 𝑥3+2 = 𝑥5
- 149. 1. Multiplica lossiguientes radicales, ( 1 5 √60𝑥3 𝑦3) ( 1 2 √5𝑥𝑦6) = En este ejercicio los radicales están multiplicándose con fracciones, multiplicamos bases por bases y radicales por radicales; ( 1 5 √60𝑥3 𝑦3) ( 1 2 √5𝑥𝑦6) = ( 1 5 ) ( 1 2 ) √(60𝑥3 𝑦3)(5𝑥𝑦6) = 1 10 √(60)(5)𝑥3 𝑥 𝑦3 𝑦6 = 1 10 √300𝑥4 𝑦9 Finalmente la multiplicación de los radicales queda: ( 1 5 √60𝑥3 𝑦3) ( 1 2 √5𝑥𝑦6) = 1 10 √(60)(5)𝑥3 𝑥 𝑦3 𝑦6 = 1 10 √300𝑥4 𝑦9 ( 1 5 √60𝑥3 𝑦3) ( 1 2 √5𝑥𝑦6) = 1 10 √300𝑥4 𝑦9 El siguiente paso es verificar si el radical resultante pueda ser simplificado, 1 10 √300𝑥4 𝑦9 Para el radicando numérico, 300 ; buscar si hay una base que al elevarla al índice del radical ( 2 ) de como resultado el radicando numérico, que para este ejercicio es 300, o descomponer el radicando en factores en donde en uno de ellos aplique lo anterior, buscando aplicar las siguientes propiedades: √𝑥 𝑚𝑚 = 𝑥 𝑚 𝑚 = 𝑥1 = 𝑥 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 𝑚, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑦 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎. 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑔𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 En este caso, tenemos que: (10)2(3) = [(10)(10)](3) = (100)(3) = 300,
- 150. Aunque existen otrosfactores debe buscarse siempre el mayor factor. 1 10 √(10)2(3)𝑥4 𝑦9 Con lo anterior [(10)2(3)𝑥4 𝑦9] 1 2, y aplicando la propiedad de los exponentes, tenemos: (10) 2 2(3) 1 2 𝑥 4 2 𝑦 9 2 Aplicando la propiedad de los exponentes , (10)1 (3) 1 2 𝑥2 𝑦 9 2 cambiando a radical; observemos que en (𝟏𝟎) 𝟏 𝒚 𝒙 𝟐 , las potencias son números enteros, por lo cual ya no forman parte del radicando, sino factor con el radical. ( 1 10 ) 10𝑥2√3𝑦9 = ( 10 10 ) 𝑥2√3𝑦9 = 1 𝑥2√3𝑦9 = Para los radicando algebraicos, aplicamos la ley de los exponentes, recordemos que, un exponente elevado a otra potencia se multiplica, (𝑎 𝑚) 𝑛 = 𝑎 𝑚𝑛 , sabemos también que al multiplicar las bases los exponentes se suman, 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛 , aplicando estas propiedades, buscando descomponer en factores las potencias buscando que uno de ellos sea igual a el índice de raíz para extraerlo del radicando. Descomponemos en factores, buscando dejar la potencia que indica el índice de raíz, en este caso; al cuadrado para extraerlo del radicando. 𝑦9 = (𝑦4) 𝟐 𝑦 = 𝑦(4)(2) 𝑦 = 𝑦8 𝑦 = 𝑦9 1𝑥2 √3𝑦9 = 1𝑥2 √3(𝑦4)2 𝑦 = 1𝑥2 [3(𝑦4)2 𝑦] 1 2 = 1𝑥2 [3 1 2(𝑦8) 1 2 𝑦 1 2] = 1𝑥2 (3 1 2 𝑦 8 2 𝑦 1 2) = 1𝑥2 (3 1 2 𝑦4 𝑦 1 2), 𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦4 , 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 1𝑥2 (3 1 2 𝑦4 𝑦 1 2) , 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙: 1𝑥2 (3 1 2 𝑦4 𝑦 1 2) , = 1𝑥2 𝑦4 √3𝑦 = 𝑥2 𝑦4 √3𝑦
- 151. Simplificado el radical: 1 10 √300𝑥4𝑦9 = 1 10 √(10)2(3)𝑥4 𝑦9 = ( 1 10 ) 10𝑥2 √3𝑦9 = 1𝑥2 √3(𝑦4)2 𝑦 = 𝑥2 𝑦4 √3𝑦 1 10 √300𝑥4 𝑦9 = 𝑥2 𝑦4 √3𝑦 Ejercicios: Multiplica los radicales y simplifica el ejercicio de manera grupal. Ejercicio Desarrollo Resultado simplificado. 1. (√6𝑥3 𝑦)(√3𝑥𝑦6) = 2. (√𝑥3)(√ 𝑥)(√𝑥7) = 3. (√3𝑥𝑦)(√24𝑥𝑦)(√2𝑥𝑦) =
- 152. Ejercicios: Multiplica los radicalesy simplifica el ejercicio de manera individual. 4. ( 1 2 √3𝑥4 𝑦 3 ) ( 2 3 √3𝑥𝑦23 ) (√9𝑥5 𝑦43 ) = 5. ( 1 2 √8𝑥2 𝑦 3 ) (√4𝑥𝑦43 ) Ejercicio Desarrollo Resultado simplificado. 1. (√𝑥3 𝑦3) (√𝑥3 𝑦3) = 2. ( 1 3 √3𝑥3 𝑦) ( 1 2 √2𝑥5 𝑦3) (√6𝑥𝑦4) = 3. (√8𝑥7 𝑦25 )(√8𝑥3 𝑦 5 ) =
- 153. 7 División deradicales Cuando los índices son iguales en la división de radicales, se dividen los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado. Ejemplo 1: Dividir los siguientes radicales √80𝑥 7 √5𝑥2 = Dado que el índice de raíz es el mismo (2), aplicamos la propiedad anterior. 4. (√2𝑥𝑦23 )(√4𝑥4 𝑦 3 )(√2𝑥𝑦 3 ) = 5. (√25𝑥2 𝑦33 ) ( 1 5 √5𝑥3 𝑦23 ) = √ 𝑥 𝑛 √ 𝑦𝑛 = √ 𝑥 𝑦 𝑛
- 154. √80𝑥 7 √5𝑥2 = √ 80𝑥7 5𝑥2 = La división se realiza de manera ordinaria tanto en los radicandos numéricos 80 5 = 16, como en los algebraicos, 𝑥 7 𝑥2 = 𝑥 7−2 = 𝑥 5 , con lo cual tenemos; √ 80𝑥 7 5𝑥2 = √16𝑥(7−2) = √16𝑥5 Finalmente la tenemos; √80𝑥 7 √5𝑥2 = √ 80𝑥 7 5𝑥2 = √16𝑥(7−2) = √16𝑥5 El siguiente paso es verificar si el radicando resultante puede ser reducido. √16𝑥5 = √(4)2(𝑥2)2 𝑥 = 4𝑥2 √ 𝑥 1. Dividir los siguientes radicales √40𝑥4 𝑦2 𝑧43 √−135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 = Dado que el índice de raíz es el mismo (3), aplicamos la propiedad anterior. √40𝑥4 𝑦2 𝑧43 √−135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 = √ 40𝑥4 𝑦2 𝑧4 −135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 La división se realiza de manera ordinaria tanto en los radicandos numéricos 40 −135 = − 8 27 , como en los algebraicos, 𝑥 4 𝑥3 = 𝑥 4−3 = 𝑥, 𝑦 2 𝑦5 = 1 𝑦5−2 = 1 𝑦3 , 𝑧 4 𝑧 = 𝑧 4−1 = 𝑧 3 con lo cual tenemos; √40𝑥4 𝑦2 𝑧43 √−135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 = √ 40𝑥4 𝑦2 𝑧4 −135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 = √− 8𝑥(4−3) 𝑧(4−1) 27𝑦(5−2) 3 = √− 8𝑥𝑧3 27𝑦3 3
- 155. Finalmente la tenemos; √40𝑥4𝑦2 𝑧43 √−135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 = √ 40𝑥4 𝑦2 𝑧4 −135𝑥3 𝑦5 𝑧 3 = √− 8𝑥𝑧3 27𝑦3 3 El siguiente paso es verificar si el radicando resultante puede ser reducido. √− 8𝑥𝑧3 27𝑦3 3 = √− (2)3 𝑥𝑧3 (3)3 𝑦3 3 = − 2𝑧 3𝑦 √ 𝑥 3 Ejercicios_ Realiza la división y reduce los siguientes radicales de manera grupal. Ejercicio Desarrollo Resultado simplificado. 1. √300𝑥6 𝑦3 𝑧8 √3𝑥5 𝑦𝑧2 = 2. √−81𝑤8 𝑥2 𝑦𝑧53 √375𝑤3 𝑥4 𝑦𝑧63 = 3. √24𝑥6 𝑦8 √2𝑥3 𝑦 =
- 156. Realiza la divisióny reduce los siguientes radicales de manera individual. 4. √72𝑥12 𝑦4 𝑧10 √4𝑥3 𝑦9 𝑧5 = 5. √32𝑤3 𝑥4 𝑦73 √4𝑤15 𝑥23 𝑦 = Ejercicio Desarrollo Resultado simplificado. 1. √192𝑥18 𝑦9 𝑧63 √3𝑥4 𝑦3 𝑧33 = 2. √8𝑥6 𝑦7 𝑧 √2𝑥5 𝑦3 𝑧 =
- 157. 3. √𝑥13 𝑦4 𝑧157 √𝑥6𝑦2 𝑧47 = 4. √250𝑥21 𝑥2 𝑧4 𝑤 3 √−2𝑥8 𝑦13 𝑧 3 = 5. √20𝑤15 𝑥8 𝑦3 𝑧7 √45𝑤6 𝑥12 𝑦2 𝑧5 =
- 158.
- 159. Unidad 7: Fraccionesalgebraicas. Habilidades y destrezas El alumno elabora estrategias de solución y expone trabajos. Conceptos subsidiarios: Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y resta de fracciones algebraicas. Multiplicación y división de fracciones algebraicas.
- 160. Fracciones algebraicas Definición deuna fracción algebraica. Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones matemáticas que contienen variables entre sus términos. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas se muestran a continuación: Ejemplo 1: 𝑥 − 3 𝑥 Ejemplo 2: 1 𝑥 + 2 Ejemplo 3: 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1 3𝑥2 + 2 Ejemplo 4: 𝑥 𝑥2 Cuando se presenta una fracción algebraica en un problema es deseable buscar su simplificación. De conseguirlo, se reduce la cantidad de cálculos, y en algunos otros casos, se consigue dar solución a un problema cuando previamente no era posible. Ejemplo 5. Fracción algebraica no determinada para 𝑥 = 1. 𝑦 = (𝑥 − 1)2 𝑥 − 1 En este caso, al evaluar 𝑦, cuando 𝑥 = 1, la función se indetermina: 𝑦 = (1 − 1)2 1 − 1 = 0 0 = ∞ Sin embargo, si simplificamos la fracción algebraica, obtenemos: 𝑦 = 𝑥 − 1 Al evaluar la expresión cuando 𝑥 = 1 se obtiene: 𝑦 = 1 − 1 = 0
- 161. Ahora, que hasido establecida la importancia de la simplificación de fracciones algebraicas, se describirá el procedimiento para simplificarlas Simplificación de fracciones algebraicas El procedimiento para simplificar fracciones algebraicas es muy similar al que se realiza cuando se desea simplificar fracciones aritméticas. Se debe factorizar tanto el numerador como el denominador. Recordemos como se realiza la simplificación de fracciones aritméticas: Ejemplo 1: Simplificar la fracción 20 15 20 15 = 5(4) 5(3) = 5 5 ∙ 4 3 = 4 3 Ahora, veamos algunos ejemplos de cómo simplificar una fracción algebraica. Ejemplo 2: Simplificar 𝑥3 𝑥4 Si representamos la fracción mediante factores, obtenermos: 𝑥3 𝑥4 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 Ejemplo 3: Simplificar 𝑥3−𝑥2 𝑥4−𝑥2 𝑥3 − 𝑥2 𝑥4 − 𝑥2 = 𝑥2 (𝑥 − 1) 𝑥2(𝑥2 − 1) = 𝑥2 𝑥2 ∙ (𝑥 − 1) (𝑥2 − 1) = 𝑥 − 1 𝑥2 − 1 Ejemplo 4: Simplificar 4𝑥(𝑥−2)2 8𝑥2(𝑥−2) 4𝑥(𝑥 − 2)2 8𝑥2(𝑥 − 2) = 4 8 ∙ 𝑥 𝑥2 ∙ (𝑥 − 2)2 (𝑥 − 2) = 1 2 ∙ 1 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) = 𝑥 − 2 2𝑥
- 162. Ejemplo 5. Simplificar 𝑥3+3𝑥 𝑥2+3 𝑥3 +3𝑥 𝑥2 + 3 = 𝑥(𝑥2 + 3) 𝑥2 + 3 = 𝑥 ∙ 𝑥2 + 3 𝑥2 + 3 = 𝑥 Ejemplo 6. Simplificar 𝑥2+𝑥−2 𝑥2+5𝑥+6 En este caso, podemos observar que tanto el numerador como el denominador son trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Factorizando ambas expresiones podemos simplificar la expresión. 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑥 + 2 𝑥 + 2 ∙ (𝑥 − 1) (𝑥 + 5) = 𝑥 − 1 𝑥 + 3 Ejemplo 7. Simplificar √ 𝑥 √𝑥3 También podemos simplificar expresiones con exponentes racionales, aplicando las leyes de dichos exponentes. √ 𝑥 √𝑥3 = 𝑥 1 2 𝑥 3 2 = 𝑥 1 2 𝑥 ∙ 𝑥 1 2 = 1 𝑥 ∙ 𝑥 1 2 𝑥 1 2 = 1 𝑥 Ejemplo 8: Simplificar 2𝑥3+6√ 𝑥 𝑥2√ 𝑥+6 2𝑥3 + 6√ 𝑥 𝑥2 √ 𝑥 + 6 = 2𝑥3 + 6𝑥 1 2 𝑥2 𝑥 1 2 + 6 = 2𝑥 1 2(𝑥 5 2 + 6) 𝑥 5 2 + 6 = 2𝑥 1 2 ∙ 𝑥 5 2 + 6 𝑥 5 2 + 6 = 2𝑥 1 2 Existen casos en que es deseable que una expresión algebraica entera sea representada como fracción. Esto se consigue dividiendo la expresión entre 1.
- 163. Ejemplo 9: Sea𝑝 una expresión algebraica definida como: 𝑝 = 𝑥 + 2 Podemos representar 𝑝 como una fracción algebraica dividiendo 𝑝/1, de tal forma que la fracción es: 𝑝 1 = 𝑥 + 2 1 Ahora veamos como nos puede ser de utilidad la división entre 1. Ejemplo 10: Simplificar 𝑥3+𝑥 𝑥 Factorizando el numerador se obtiene: 𝑥3 + 𝑥 𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 1) 𝑥 = 𝑥 𝑥 ∙ (𝑥2 + 1) 1 = 𝑥2 + 1 Ejemplo 11: Simplificar 𝑥(𝑥+2)2 𝑥+2 𝑥(𝑥 + 2)2 𝑥 + 2 = 𝑥 1 ∙ (𝑥 + 2) 1 ∙ 𝑥 + 2 𝑥 + 2 = 𝑥 1 ∙ (𝑥 + 2) 1 ∙ 1 = 𝑥(𝑥 + 2)
- 164. Ejercicio 1. Simplifiquelas siguientes expresiones algebraicas. Realice la actividad de forma grupal o individual, según se indica. De manera grupal. 1. 𝑥2−4 3𝑥−6 2. 𝑥2−9 𝑥−3 3. 𝑥−4 𝑥2−16 4. 𝑥2−6𝑥+9 5𝑥−15 5. 𝑥3+5 𝑥4+2𝑥3 De manera individual. 1. 6𝑥−18 8𝑥+16 2. 1 2 𝑥2+ 1 8 𝑥 1 3 𝑥+ 1 12 3. 𝑥3+6𝑥2+12𝑥+8 𝑥3+4𝑥2+4𝑥 4. 𝑥2+10𝑥+25 𝑥2−25 5. 𝑥3−4𝑥+25 𝑥3+2𝑥2
- 165. Suma y restade fracciones algebraicas La suma y resta de fracciones algebraicas es una operación muy común, que sigue los mismos principios de la suma y resta de fracciones numéricas. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: 1 𝑥 + 2 𝑥 = 1 + 2 𝑥 = 3 𝑥 Ejemplo 3: 𝑥2 𝑥3 + 𝑥 𝑥3 = 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 = 2𝑥2 𝑥3 = 2 𝑥 Ejemplo 4: 𝑥2 𝑥3 + 𝑥 𝑥2 Simplificando primero cada uno de los términos: 𝑥2 𝑥3 + 𝑥 𝑥2 = 1 𝑥 + 1 𝑥 Posteriormente, se aplica el procedimiento para la suma de fracciones. 𝑥2 𝑥3 + 𝑥 𝑥2 = 1 + 1 𝑥 = 2 𝑥 Ejemplo 5: 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 𝑥 + 1 + 𝑥 𝑥 + 1 = (2𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) + 𝑥 𝑥 + 1 = 2𝑥 − 1 − 𝑥 + 1 + 𝑥 𝑥 + 1 = 2𝑥 𝑥 + 1
- 166. Ejercicio 2. Realicelas operaciones siguientes de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. 1. 𝑥2−1 𝑥+1 + 𝑥 𝑥+1 − 𝑥2 𝑥+1 2. − 9 𝑥 + 𝑥2−9 𝑥−3 + 1 3 3. 𝑥−4 𝑥2−16 − 𝑥3+5 𝑥4+2𝑥3 + 𝑥 𝑥 4. 𝑥2−6𝑥+9 5𝑥−15 + 𝑥2−6𝑥+9 5𝑥−15 5. 𝑥3+5 𝑥4+2𝑥3 + 6𝑥−18 8𝑥+16 − 2𝑥 De manera individual. 1. 6𝑥−18 8𝑥+16 − 𝑥2+10𝑥+25 𝑥2−25 2. 1 2 𝑥2+ 1 8 𝑥 1 3 𝑥+ 1 12 + 𝑥2−1 𝑥+1 − 6√ 𝑥−18 8𝑥+16 3. 𝑥3+6𝑥2+12𝑥+8 𝑥3+4𝑥2+4𝑥 + 𝑥2+10𝑥+25 √𝑥2−25 − 𝑥3−4𝑥+25 𝑥3+2𝑥2 4. 𝑥2+10𝑥+25 𝑥2−25 − 1 2 𝑥2+ 1 8 𝑥 1 3 𝑥+ 1 12 5. 𝑥3−4𝑥+25 𝑥3+2𝑥2 + √ 𝑥 𝑥+1
- 167. Multiplicación y divisiónde fracciones algebraicas La multiplicación de fracciones algebraicas se realiza de la misma forma que una multiplicación con fracciónes numéricas. Sea 𝑝 𝑞 ∙ 𝑟 𝑠 la multiplicación de dos fraaciones algebraicas. El resultado de dicha operación se obtiene mediante: (𝑝)(𝑟) (𝑞)(𝑠) Ejemplo 1. Obtener la multiplicación de 2𝑥−1 𝑥+1 y 𝑥−1 𝑥+1 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 1) ( 𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 2𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥 + 1 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 𝑥2 + 2𝑥 + 1 Ejemplo 2. Obtener la multiplicación de 3𝑥− 2 5 √ 𝑥 + 6 𝑥 4𝑥3+5 y 2𝑥2 −3𝑥+1 𝑥2+4𝑥+4 ( 3𝑥 − 2 5 √ 𝑥 + 6 𝑥 4𝑥3 + 5 ) ( 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 𝑥2 + 4𝑥 + 4 ) Para realizar la multiplicación de los términos, expresamos los radicales en forma fraccionaria y realizamos la multiplicación término a término. ( 3𝑥 − 2 5 √ 𝑥 + 6 𝑥 4𝑥3 + 5 ) ( 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 𝑥2 + 4𝑥 + 4 ) = 6 𝑥3 − 9𝑥2 + 15𝑥 − 4 5 𝑥 5 2 − 6𝑥 3 2 + 2 5 𝑥 1 2 − 18 + 6 𝑥 4𝑥5 + 16𝑥4 + 16𝑥3 + 5𝑥2 + 20𝑥 + 20
- 168. También en ladivisión de fracciónes algebraicas se sigue el mismo principio que en la división de fracciones numéricas. Sean 𝑝, 𝑞, 𝑟, y 𝑠 expresiones algebraicas. La división de dos fracciones algebraicas se realiza de la siguiente forma: (𝑝) (𝑞) ÷ (𝑟) (𝑠) = (𝑝)(𝑠) (𝑞)(𝑟) Ejemplo 1. Realice la división de 𝑥4+8𝑥 𝑥2−6 entre 𝑥3+8 𝑥2+7 𝑥4 + 8𝑥 𝑥2 − 6 ÷ 𝑥3 + 8 𝑥2 + 7 = (𝑥4 + 8𝑥)(𝑥2 + 7) (𝑥2 − 6)(𝑥3 + 8) Factorizando en el numerador: 𝑥4 + 8𝑥 𝑥2 − 6 ÷ 𝑥3 + 8 𝑥2 + 7 = 𝑥(𝑥3 + 8)(𝑥2 + 7) (𝑥2 − 6)(𝑥3 + 8) Simplificando se obtiene: 𝑥(𝑥2 + 7) (𝑥2 − 6) Ejemplo 2. Realice la división de 𝑦2−9 6 entre 𝑦−3 𝑥2+7 𝑦2 − 9 6 ÷ 𝑦 − 3 𝑥2 + 7 Debido a que el numerador de la primera fracción algebraica es un binomio al cuadrado, este se puede factorizar y representar mediante un binomio conjugado: (𝑦 + 3)(𝑦 − 3) 6 ÷ 𝑦 − 3 𝑥2 + 7 Realizando el procedimiento para la división de fracciones, tenemos: (𝑦 + 3)(𝑦 − 3) 6 ÷ 𝑦 − 3 𝑥2 + 7 = (𝑦 + 3)(𝑦 − 3)(𝑥2 + 7) 6(𝑦 + 3) Simplificando, se obtiene: (𝑦 − 3)(𝑥2 + 7) 6
- 169. Ejercicio 3. Realicelas operaciones de las siguientes fracciones algebraicas de manera grupal o individual, según se indica. De manera grupal. 1. 𝑥2−4 𝑥−3 ÷ 𝑥2−9 3𝑥−6 2. ( 𝑥2+5 𝑥−6 ) ( 𝑥−2 𝑥2−4 ) 3. 𝑥−4 𝑥2−4 ÷ 𝑥−4 𝑥2−4 4. ( 𝑥2−6𝑥+9 5𝑥−15 ÷ 5 𝑥−3 ) ( 1 𝑥−3 ) 5. ( √𝑥3+5 𝑥4+2𝑥3) ( √ 𝑥52 +2𝑥4 𝑥3+5 ) De manera individual. 1. ( 6 𝑥3+2𝑥2) ( 𝑥3+6𝑥2 4𝑥2+4𝑥 ) 2. ( 𝑥2+𝑥 𝑥+ 1 2 ) ÷ (𝑥 + 1 2 ) 3. ( 𝑥3+6𝑥2 √4𝑥2+4𝑥 ) ( 10√ 𝑥+2 𝑥2−7 ) 4. ( 5 𝑥2) ÷ ( 4𝑥+25 𝑥2−25 ) 5. [( 4𝑥+25 𝑥3+2𝑥2) ( 10𝑥2+2 𝑥2−7 )] ÷ ( 1 𝑥3+2𝑥2)