Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad...Alejandro Feliz
Este documento presenta un resumen de la teoría de funciones de una variable real. Introduce a los principales matemáticos fundadores del cálculo infinitesimal, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Explica que descubrieron que el cálculo de tangentes y áreas eran aspectos de un mismo fenómeno y que se podían estudiar los cambios en fenómenos físicos con esta nueva técnica. El documento también incluye el índice de contenidos de un libro sobre funciones reales.
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta el índice general de un libro de álgebra. El índice contiene 16 capítulos que cubren temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, divisibilidad, congruencias, grupos, matrices, enteros algebraicos, teoría de Galois y más. Cada capítulo explora estos temas fundamentales de forma más detallada.
Este documento es un libro de texto sobre álgebra que contiene 13 capítulos. Cubre temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, congruencias, extensiones de cuerpos, grupos, matrices y determinantes, enteros algebraicos, factorización ideal y la ley de reciprocidad cuadrática. Cada capítulo explora estos temas fundamentales del álgebra de manera más profunda.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad...Alejandro Feliz
Este documento presenta un resumen de la teoría de funciones de una variable real. Introduce a los principales matemáticos fundadores del cálculo infinitesimal, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Explica que descubrieron que el cálculo de tangentes y áreas eran aspectos de un mismo fenómeno y que se podían estudiar los cambios en fenómenos físicos con esta nueva técnica. El documento también incluye el índice de contenidos de un libro sobre funciones reales.
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta el índice general de un libro de álgebra. El índice contiene 16 capítulos que cubren temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, divisibilidad, congruencias, grupos, matrices, enteros algebraicos, teoría de Galois y más. Cada capítulo explora estos temas fundamentales de forma más detallada.
Este documento es un libro de texto sobre álgebra que contiene 13 capítulos. Cubre temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, congruencias, extensiones de cuerpos, grupos, matrices y determinantes, enteros algebraicos, factorización ideal y la ley de reciprocidad cuadrática. Cada capítulo explora estos temas fundamentales del álgebra de manera más profunda.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. El libro contiene capítulos sobre los axiomas de los números reales, funciones elementales, números complejos, funciones continuas y límites funcionales. El autor es Francisco Javier Pérez González del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada. El libro se distribuye bajo una licencia Creative Commons que permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra siempre que se reconozcan los créditos del autor.
Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
El documento trata sobre los métodos estadísticos de la ingeniería. Explica que los métodos estadísticos extraen información de conjuntos de datos de forma eficiente. Luego describe los pasos para explorar datos, formular modelos probabilísticos y realizar inferencia estadística. Finalmente, presenta al autor, Mathieu Kessler, catedrático de estadística e investigación operativa.
Este documento presenta un índice general de un libro de matemáticas para la Prueba de Selección Universitaria. El índice incluye cinco secciones principales sobre números, proporcionalidad, álgebra, desarrollo algebraico y ecuaciones algebraicas. Cada sección contiene subtemas como conjuntos numéricos, porcentajes, expresiones algebraicas, factorización y sistemas de ecuaciones. El objetivo del libro es preparar a los estudiantes para la prueba de ingreso a la universidad con contenidos básicos de mate
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de la geometría. Explica que la geometría ilumina el intelecto y templa la mente, y que sus pruebas son claras y ordenadas, lo que reduce los errores en el razonamiento geométrico. Además, indica que quien estudia geometría con regularidad adquiere inteligencia. El documento procede a enumerar los diferentes capítulos que componen el libro sobre geometría.
Este documento presenta un índice general de un libro sobre cálculo en variedades. El libro introduce conceptos fundamentales como diferenciabilidad, álgebra exterior, formas diferenciales en Rn y variedades, integración de formas, geometría diferencial de curvas y superficies, entre otros temas. El índice detalla los capítulos y secciones que componen el libro.
Este documento presenta los apuntes para el curso de Álgebra Lineal impartido por Juan González-Meneses López en la Universidad de Sevilla durante el curso 2008/2009. Incluye definiciones de conceptos básicos como matrices, vectores, operaciones con matrices y vectores, y anuncia los temas que se abordarán como espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta un índice general de apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemática (PSU) para el año 2009. El índice incluye secciones sobre números, proporcionalidad y una introducción al álgebra, con subtemas como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, razones, proporciones y porcentajes. El documento fue editado por dos estudiantes de la Universidad de Chile para ayudar a otros estudiantes a prepararse para la PSU de Matemática de ese año.
Este documento presenta un resumen de un curso de física I. Incluye secciones sobre conceptos fundamentales de la física como magnitudes, vectores, movimiento en una y tres dimensiones, dinámica y trabajo y energía. El documento provee ejemplos y ejercicios para cada tema cubierto.
El documento describe la globalización y la apertura económica en Colombia. Explica que la globalización es un proceso de integración de los mercados, sociedades y culturas a nivel mundial a través de transformaciones sociales, económicas y políticas. Describe que la apertura económica en Colombia en los años 90 expuso la economía local a la competencia internacional, lo que resultó en el cierre de algunas industrias pero también en una mayor variedad de productos a mejores precios para los consumidores. Finalmente, señala que a
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por cuatro autores y publicado en 2008. El libro contiene 12 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, límites, derivadas, integrales indefinidas y definidas, ecuaciones diferenciales y series. El libro provee una introducción histórica al cálculo y explica sus conceptos fundamentales y aplicaciones.
El documento describe los diferentes tipos de esfuerzos mecánicos que pueden actuar sobre una estructura, incluyendo la compresión, tracción, esfuerzo normal, flexión, corte y momento flector. Explica que la compresión reduce el volumen de un cuerpo sometido a fuerzas opuestas, mientras que la tracción tiende a alargarlo, y que la mayoría de elementos estructurales experimentan una combinación de compresión y momento flector.
El documento describe los principales matemáticos del cálculo en el siglo XVIII después de Newton, destacando al escocés Colin Maclaurin. Explica que Maclaurin trabajó en la extensión de métodos diferenciales y curvas de orden superior, así como en atracción elipsoidal y geometría proyectiva. También menciona las series de Taylor y su aplicación por Euler, así como el desarrollo del cálculo en funciones de varias variables.
Las mezclas están formadas por dos o más sustancias puras y pueden ser homogéneas u heterogéneas. Existen varios métodos para separar los componentes de una mezcla como la decantación, filtración, destilación, cromatografía e imantación, los cuales aprovechan diferencias en las propiedades físicas como la densidad, solubilidad y punto de ebullición entre las sustancias de la mezcla.
Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
Organizamos mesas de trabajo para que los campuseros puedan trabajar con robots construidos con legos. Con la misma facilidad que se construyen objetos con las piezas del popular juego, nuestros campuseros aprenderán a construir un robot y programarlo para realizar acciones sencillas.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. El libro contiene capítulos sobre los axiomas de los números reales, funciones elementales, números complejos, funciones continuas y límites funcionales. El autor es Francisco Javier Pérez González del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada. El libro se distribuye bajo una licencia Creative Commons que permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra siempre que se reconozcan los créditos del autor.
Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
El documento trata sobre los métodos estadísticos de la ingeniería. Explica que los métodos estadísticos extraen información de conjuntos de datos de forma eficiente. Luego describe los pasos para explorar datos, formular modelos probabilísticos y realizar inferencia estadística. Finalmente, presenta al autor, Mathieu Kessler, catedrático de estadística e investigación operativa.
Este documento presenta un índice general de un libro de matemáticas para la Prueba de Selección Universitaria. El índice incluye cinco secciones principales sobre números, proporcionalidad, álgebra, desarrollo algebraico y ecuaciones algebraicas. Cada sección contiene subtemas como conjuntos numéricos, porcentajes, expresiones algebraicas, factorización y sistemas de ecuaciones. El objetivo del libro es preparar a los estudiantes para la prueba de ingreso a la universidad con contenidos básicos de mate
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de la geometría. Explica que la geometría ilumina el intelecto y templa la mente, y que sus pruebas son claras y ordenadas, lo que reduce los errores en el razonamiento geométrico. Además, indica que quien estudia geometría con regularidad adquiere inteligencia. El documento procede a enumerar los diferentes capítulos que componen el libro sobre geometría.
Este documento presenta un índice general de un libro sobre cálculo en variedades. El libro introduce conceptos fundamentales como diferenciabilidad, álgebra exterior, formas diferenciales en Rn y variedades, integración de formas, geometría diferencial de curvas y superficies, entre otros temas. El índice detalla los capítulos y secciones que componen el libro.
Este documento presenta los apuntes para el curso de Álgebra Lineal impartido por Juan González-Meneses López en la Universidad de Sevilla durante el curso 2008/2009. Incluye definiciones de conceptos básicos como matrices, vectores, operaciones con matrices y vectores, y anuncia los temas que se abordarán como espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta un índice general de apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemática (PSU) para el año 2009. El índice incluye secciones sobre números, proporcionalidad y una introducción al álgebra, con subtemas como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, razones, proporciones y porcentajes. El documento fue editado por dos estudiantes de la Universidad de Chile para ayudar a otros estudiantes a prepararse para la PSU de Matemática de ese año.
Este documento presenta un resumen de un curso de física I. Incluye secciones sobre conceptos fundamentales de la física como magnitudes, vectores, movimiento en una y tres dimensiones, dinámica y trabajo y energía. El documento provee ejemplos y ejercicios para cada tema cubierto.
El documento describe la globalización y la apertura económica en Colombia. Explica que la globalización es un proceso de integración de los mercados, sociedades y culturas a nivel mundial a través de transformaciones sociales, económicas y políticas. Describe que la apertura económica en Colombia en los años 90 expuso la economía local a la competencia internacional, lo que resultó en el cierre de algunas industrias pero también en una mayor variedad de productos a mejores precios para los consumidores. Finalmente, señala que a
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por cuatro autores y publicado en 2008. El libro contiene 12 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, límites, derivadas, integrales indefinidas y definidas, ecuaciones diferenciales y series. El libro provee una introducción histórica al cálculo y explica sus conceptos fundamentales y aplicaciones.
El documento describe los diferentes tipos de esfuerzos mecánicos que pueden actuar sobre una estructura, incluyendo la compresión, tracción, esfuerzo normal, flexión, corte y momento flector. Explica que la compresión reduce el volumen de un cuerpo sometido a fuerzas opuestas, mientras que la tracción tiende a alargarlo, y que la mayoría de elementos estructurales experimentan una combinación de compresión y momento flector.
El documento describe los principales matemáticos del cálculo en el siglo XVIII después de Newton, destacando al escocés Colin Maclaurin. Explica que Maclaurin trabajó en la extensión de métodos diferenciales y curvas de orden superior, así como en atracción elipsoidal y geometría proyectiva. También menciona las series de Taylor y su aplicación por Euler, así como el desarrollo del cálculo en funciones de varias variables.
Las mezclas están formadas por dos o más sustancias puras y pueden ser homogéneas u heterogéneas. Existen varios métodos para separar los componentes de una mezcla como la decantación, filtración, destilación, cromatografía e imantación, los cuales aprovechan diferencias en las propiedades físicas como la densidad, solubilidad y punto de ebullición entre las sustancias de la mezcla.
Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
Organizamos mesas de trabajo para que los campuseros puedan trabajar con robots construidos con legos. Con la misma facilidad que se construyen objetos con las piezas del popular juego, nuestros campuseros aprenderán a construir un robot y programarlo para realizar acciones sencillas.
El documento describe la ecuación de Cauchy-Euler, una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de la diferenciación. Explica que la solución general de esta ecuación siempre puede expresarse en términos de potencias de x, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Además, presenta ejemplos resueltos de cómo encontrar las soluciones cuando las raíces son distintas, repetidas o un par conjugado.
Este documento presenta una introducción a la lógica simbólica moderna. Explica que la lógica moderna surgió como una reacción contra la lógica aristotélica tradicional, impulsada por pensadores como Francis Bacon y René Descartes. La lógica simbólica utiliza un lenguaje formal de símbolos para representar estructuras lógicas de manera precisa y simplificada. Esto permite analizar el razonamiento de una manera más clara, objetiva y ordenada similar a las matemáticas. Final
Este documento define los costos fijos y variables, y explica cómo calcular el punto de equilibrio. Los costos fijos no varían con la producción mientras que los costos variables sí. El punto de equilibrio es cuando los ingresos igualan los costos totales. Se calcula dividiendo los costos fijos entre la diferencia entre el precio de venta unitario y el costo variable unitario.
Este documento describe la lengua como un sistema. Explica que una lengua, al igual que otros sistemas como el fútbol, tiene un conjunto finito de elementos (sonidos, morfemas) y reglas que determinan cómo se combinan estos elementos. También señala que a pesar de estas reglas, los hablantes pueden crear enunciados nuevos de manera creativa, al igual que en un partido de fútbol cada juego es único a pesar de las reglas del deporte.
Este documento es un manual introductorio sobre matemáticas básicas que incluye temas como conjuntos numéricos, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. El manual presenta definiciones, propiedades y ejercicios para cada tema, con el objetivo de reforzar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, geometría y trigonometría para cursos preuniversitarios. El documento está dividido en tres capítulos que cubren números reales, exponentes y radicales, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, ángulos, triángulos, paralelogramos, volúmenes y funciones trigonométricas. El objetivo es proveer material de apoyo para cursos posteriores en el área de ingeniería.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por cuatro autores y publicado en 2008. El libro contiene 12 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, límites, derivadas, integrales indefinidas y definidas, ecuaciones diferenciales y series. El libro provee una introducción histórica al cálculo y explica sus conceptos fundamentales y aplicaciones.
Este documento presenta un resumen de los primeros cuatro capítulos de un libro sobre geometría. Introduce conceptos básicos de geometría absoluta como axiomas de incidencia, ordenación, ángulos y triángulos. Luego cubre medición de segmentos, ángulos y arcos, propiedades de la geometría euclidiana como el teorema de las paralelas y semejanza de triángulos, y conceptos de geometría analítica como vectores y coordenadas cartesianas. Finalmente, anticipa que los capítu
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
Este documento presenta el índice general de un libro de álgebra. El índice contiene 16 capítulos que cubren temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, divisibilidad, congruencias, grupos, matrices, enteros algebraicos, teoría de Galois y más. Cada capítulo contiene secciones que exploran los conceptos y propiedades fundamentales de cada tema.
Este documento presenta un índice de contenidos sobre funciones reales, límites, continuidad, derivadas, integrales indefinidas e integrales definidas. El índice incluye 10 capítulos y sus respectivas secciones, que abarcan conceptos matemáticos fundamentales del cálculo.
Este documento presenta una introducción al método axiomático en matemáticas. Explica que los axiomas son afirmaciones que no se demuestran y sirven de base para deducir teoremas. Un teorema es una afirmación deducida de axiomas o de afirmaciones previamente demostradas. El documento también discute brevemente la historia del desarrollo del método axiomático y conceptos como corolarios y lemas.
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento provee una introducción a las álgebras de Lie. Explica conceptos clave como objetos, morfismos, grupos y álgebras de Lie. También cubre temas como álgebras nilpotentes, resolubles y semisimples. Finalmente, introduce la teoría de representaciones de álgebras de Lie y cubre aspectos como derivaciones, reducibilidad de representaciones y álgebras envolventes.
Este documento trata sobre los números reales y conceptos matemáticos relacionados como potencias, raíces, ecuaciones, polinomios, funciones y probabilidad. Incluye 10 capítulos que cubren estos temas de manera detallada con definiciones, propiedades, ejemplos y problemas resueltos.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Contiene secciones sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. También cubre temas de espacios vectoriales como subespacios, sistemas de generadores, bases y cambios de base. Otras secciones tratan aplicaciones lineales, representación matricial, determinantes y formas canónicas de endomorfismos. El documento provee una introducción completa a conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Contiene secciones sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. También cubre temas de espacios vectoriales como subespacios, sistemas de generadores, bases y cambios de base. Otras secciones tratan aplicaciones lineales, representación matricial, determinantes y formas canónicas de endomorfismos. El documento provee una introducción completa a conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida y la integración. Se divide en cinco capítulos principales que cubren temas como σ-álgebras de conjuntos, medidas, integración, espacios de medida producto y diferenciación. Cada capítulo contiene secciones detalladas sobre definiciones, teoremas y propiedades relacionadas con los diferentes conceptos de la teoría de la medida.
1. Fundamentos del C´lculo
a
Rub´n Flores Espinoza
e
Marco Antonio Valencia Arvizu
Guillermo D´vila Rasc´n
a o
Mart´ Gildardo Garc´ Alvarado
ın ıa
Proyecto FOMIX
CONACYT, Gobierno del Estado
Clave: SON-2004-C02-008
Publicado por Editorial GARABATOS
Febrero, 2008
ISBN: 970-9920-18-5
Tiraje: 1000 ejemplares
7. Presentaci´n
o
La invenci´n del C´lculo en el ultimo cuarto del siglo XVII representa un hito
o a ´
en la historia de las matem´ticas; puede decirse con toda certeza que ah´ inician
a ı
las matem´ticas modernas, pues este acontecimiento dio origen al desarrollo de
a
m´ltiples ramas de las matem´ticas, mantuvo pr´cticamente la exclusividad del
u a a
trabajo de los matem´ticos durante un siglo, y a´n los ocupa en sus m´ltiples ra-
a u u
mificaciones y aplicaciones. Antes del C´lculo, las matem´ticas s´lo serv´ para
a a o ıan
describir lo fijo y est´tico, con ´l se pudo describir el movimiento y lo din´mico;
a e a
estableciendo una comparaci´n, podr´ decirse que antes del C´lculo las matem´ticas
o ıa a a
s´lo proporcionaban fotograf´ de la realidad, y despu´s de ´l, pel´
o ıas e e ıculas. Adem´s a
de describir el movimiento, el C´lculo lleg´ para resolver y unificar los problemas de
a o
c´lculo de ´reas y vol´menes, el trazo de tangentes a curvas y la obtenci´n de valo-
a a u o
res m´ximos y m´
a ınimos, proporcionando una metodolog´ general para la soluci´n
ıa o
de todos estos problemas; tambi´n permiti´ definir el concepto de continuidad y
e o
manejar procesos infinitos. El resultado fue que el C´lculo y sus derivaciones pronto
a
encontraron m´ltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los
u
a
´mbitos cient´ ıficos, empezando por la f´ ısica y las ciencias naturales, hasta llegar a
las ciencias sociales. Por todas estas razones, el conocimiento y manejo del C´lculo a
marca una diferencia cualitativa muy importante en la formaci´n de una persona y en
o
su capacidad para utilizar las matem´ticas en otras ciencias y la ingenier´ Podemos
a ıa.
afirmar, sin lugar a dudas, que un buen curso de C´lculo cambia la percepci´n del
a o
estudiante universitario.
A escala mundial, la ense˜anza y el aprendizaje del C´lculo Diferencial e Inte-
n a
gral presenta una severa problem´tica debido a los altos ´
a ındices de reprobaci´n y o
deserci´n de estudiantes en los cursos b´sicos de esa materia a nivel de licenciatura.
o a
En t´rminos generales, tanto en los pa´
e ıses industrializados como en los pa´ ıses en
desarrollo se reportan ´ ındices de reprobaci´n y deserci´n superiores al 50%, lo que
o o
representa un costo muy elevado en recursos y en oportunidades desaprovechadas.
Siendo el C´lculo una disciplina fundamental en la formaci´n de ingenieros,
a o
t´cnicos y cient´
e ıficos, el problema educativo que presenta nos impulsa a la b´squeda u
de estrategias y metodolog´ tanto disciplinarias como de car´cter pedag´gico, que
ıas, a o
permitan asegurar est´ndares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes.
a
Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempe˜o escolar n
en los cursos de C´lculo se pueden considerar como producto de las dificultades y
a
caracter´ ısticas de los conceptos y m´todos propios de esta rama de las matem´ticas
e a
y de la insuficiencia de profesores y recursos pedag´gicos de apoyo a su ense˜anza
o n
y aprendizaje. Al masificarse la educaci´n universitaria, la homogenizaci´n de los
o o
8. 8 Presentaci´n
o
niveles de formaci´n en C´lculo Diferencial e Integral a nivel universitario se presenta
o a
como uno de los grandes retos nacionales ante el imperativo de estandarizar la
calidad del sistema educativo y facilitar la integraci´n exitosa de los egresados a los
o
mercados de profesionistas que soportan el desarrollo econ´mico y social.
o
Ante esta situaci´n, un grupo de profesores del Departamento de Matem´ticas
o a
de la Universidad de Sonora, encabezados por el Doctor Rub´n Flores Espinoza,
e
hemos propuesto un conjunto de estrategias para la homogenizaci´n y certificaci´n
o o
de los cursos de matem´ticas a nivel estatal, en el marco de un proyecto apoyado
a
por el Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora.
Como primera estrategia para la homogenizaci´n de los programas de C´lculo en
o a
las instituciones de educaci´n superior en Sonora, se aborda el problema del uso del
o
libro obligatorio en los cursos de esta materia. Este problema constituye, en gene-
ral, una de las m´s notables deficiencias en la organizaci´n y atenci´n de los cursos
a o o
b´sicos en el sistema universitario en M´xico. Al no establecerse textos b´sicos obli-
a e a
gatorios que incluyan y desarrollen los contenidos completos de los programas, se
deja al estudiante sin una gu´ para su trabajo personal, a la vez que se propicia la
ıa
discrecionalidad en el cumplimiento de los programas, se dificulta el establecimiento
y evaluaci´n de los est´ndares de calidad y se vuelve al estudiante m´s dependiente
o a a
del profesor. Para contribuir a resolver la problem´tica anterior, el texto que aqu´
a ı
se presenta desarrolla en forma completa los distintos conceptos, m´todos y aplica-
e
ciones del C´lculo que son necesarios y suficientes para una formaci´n de calidad en
a o
ciencias e ingenier´ Este texto permitir´ a todos los estudiantes y profesores de la
ıa. a
materia, contar con un referente completo sobre los contenidos y t´picos del c´lculo,
o a
as´ como con un amplio conjunto de ejemplos, ejercicios y problemas para el estudio
ı
y entrenamiento personal, los cuales se ampliar´n en un problemario aparte.
a
El segundo elemento estrat´gico para la homogenizaci´n de los cursos de C´lculo
e o a
a nivel superior contemplado en el proyecto antes citado, consiste en la constituci´n o
de un Sistema de Entrenamiento y Evaluaci´n en L´
o ınea que tiene por prop´sito o
el poner a disposici´n de estudiantes y profesores un sistema electr´nico basado
o o
en el software MAPLE TA 30 de apoyo a la elaboraci´n, aplicaci´n y evaluaci´n
o o o
autom´tica de ex´menes y pruebas, dise˜ados de un amplio banco de reactivos
a a n
y problemas sobre los distintos t´picos de la materia. Este sistema permite la
o
aplicaci´n de ex´menes simult´neos a grandes conjuntos de estudiantes de distintas
o a a
instituciones, lo cual permitir´ establecer y conocer los niveles de calidad de la
a
formaci´n en esta materia.
o
En este texto, intitulado Fundamentos del C´lculo, se incluyen todos los t´picos
a o
de un programa b´sico en C´lculo Diferencial e Integral de funciones reales de una
a a
variable real. El texto presenta una estructura acorde al desarrollo hist´rico del
o
C´lculo y orienta sus aplicaciones a la descripci´n y estudio de las leyes din´micas
a o a
que constituyen su verdadero poder y que lo han significado como la invenci´n o
matem´tica de mayor impacto en el desarrollo de la ciencia y la tecnolog´ en toda
a ıa
la historia.
Varias particularidades importantes distinguen este libro de la gran cantidad de
9. 9
textos sobre esta materia. En primer lugar, ha sido escrito en un lenguaje llano
y familiar, con un buen n´mero de observaciones y notas que buscan motivar y
u
explicar el sentido de los conceptos y resultados y llamar la atenci´n sobre puntos
o
y detalles importantes. Tambi´n se ha procurado mostrar las caracter´
e ısticas del
razonamiento y el discurso matem´tico presentando los conceptos con todo rigor
a
pero sin caer en sofisticaciones formales que a veces dificultan el aprendizaje, e
incluyendo demostraciones completas de todos los resultados. En este sentido, se
puede considerar el texto como una iniciaci´n al an´lisis matem´tico.
o a a
Por otro lado, el texto incluye un buen n´mero de las aplicaciones del C´lculo,
u a
principalmente las orientadas a la descripci´n y estudio de los fen´menos gobernados
o o
por leyes din´micas o de movimiento. Con ese prop´sito se incluye el estudio de
a o
problemas cuyo planteamiento remite a ecuaciones dadas en t´rminos de los concep-
e
tos y operaciones del C´lculo y cuya soluci´n requiere el uso y manejo de las reglas
a o
de derivaci´n y el conocimiento de los distintos tipos de funciones. En particular,
o
se incluye el tratamiento completo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
con coeficientes constantes, por ser ´stas las de mayor aplicabilidad en problemas
e
b´sicos de mec´nica y otras disciplinas.
a a
Por la precisi´n con que se presentan los conceptos, el cuidado puesto en las
o
demostraciones y el ´nfasis que se hace en los fundamentos del C´lculo, este texto
e a
cumple con todo lo necesario para la formaci´n de los estudiantes en el ´rea de
o a
ciencias. Al mismo tiempo, por los temas abordados, las t´cnicas desarrolladas y las
e
aplicaciones presentadas, resulta id´neo para las carreras de ingenier´ pues no so-
o ıa,
lamente incluye las t´cnicas para la localizaci´n de m´ximos y m´
e o a ınimos, el c´lculo de
a
longitudes, ´reas y vol´menes, la determinaci´n de presiones y la ubicaci´n de cen-
a u o o
tros de gravedad, sino que tambi´n proporciona elementos para comprender mejor
e
las relaciones est´ticas y din´micas entre variables y construir modelos matem´ticos
a a a
que describan cuantitativa y cualitativamente los patrones de comportamiento surgi-
dos de la observaci´n. o
El cap´
ıtulo primero incluye una historia breve del C´lculo a partir de su invenci´n
a o
en el siglo XVII y se describen las etapas sucesivas de su desarrollo, hasta llegar a
la ´poca actual. Este referente hist´rico del texto se complementa mediante notas
e o
de pie de p´gina con datos alusivos a personajes cuyas aportaciones aparecen en los
a
dem´s cap´
a ıtulos.
El cap´
ıtulo segundo est´ dedicado a una presentaci´n del sistema de los n´meros
a o u
reales y sus propiedades a partir de su representaci´n como expansiones decimales.
o
Este enfoque permite, desde un principio, poner al estudiante en contacto con nuevos
entes matem´ticos expresados como conjuntos infinitos de s´
a ımbolos sobre los cuales
se opera y argumenta en preparaci´n a la posterior formalizaci´n de los conceptos
o o
fundamentales de l´ ımite y convergencia de sucesiones. En este cap´ ıtulo se presenta
la propiedad de completez o continuidad, que hace de los n´meros reales el sistema
u
algebraico adecuado para la descripci´n de las magnitudes que toman valores con-
o
tinuos. Aunque esta presentaci´n es en parte intuitiva, la formalizaci´n del uso de
o o
esas representaciones que involucran un n´mero infinito de d´
u ıgitos puede lograrse
10. 10 Presentaci´n
o
con los resultados del ultimo cap´
´ ıtulo, referente a series.
El cap´ ıtulo tercero est´ dedicado al concepto de funci´n, el cual se introduce
a o
como una relaci´n entre variables o atributos, para despu´s abstraer su esencia
o e
como regla de correspondencia entre conjuntos de n´meros reales. Este enfoque
u
facilita el descubrimiento y construcci´n de funciones en contextos tanto de la vida
o
real como de origen matem´tico, en campos como la geometr´ o el ´lgebra.
a ıa a
En el cap´ ıtulo cuarto se introducen los Fundamentos del C´lculo a partir de los
a
conceptos de sucesi´n y convergencia; se incluyen demostraciones completas de los
o
principales resultados b´sicos del an´lisis matem´tico, procurando evitar compli-
a a a
caciones o sofisticaciones formales en la medida de lo posible. El cap´ ıtulo incluye
varios comentarios sobre aspectos finos en la definici´n y sentido del concepto de
o
continuidad de funciones y su relaci´n con las propiedades de los n´meros.
o u
El cap´ ıtulo quinto aborda el concepto de derivada de una funci´n en un punto
o
como la raz´n de cambio puntual o instant´nea; se comenta el significado geom´trico
o a e
y din´mico de la derivada y se presentan las reglas de derivaci´n para las diferentes
a o
operaciones entre funciones, as´ como su generalizaci´n a derivadas de orden supe-
ı o
rior.
El cap´ ıtulo sexto muestra, a trav´s del teorema del valor medio y sus consecuen-
e
cias, el poder de la derivada en la descripci´n cualitativa del comportamiento de las
o
funciones, y concluye con la aproximaci´n polinomial que proporciona el teorema
o
de Taylor.
En el cap´ ıtulo s´ptimo se caracteriza la funci´n exponencial a partir de las
e o
propiedades de su funci´n derivada. Este enfoque muestra c´mo aparecen nuevas
o o
familias de funciones a partir del estudio de leyes din´micas y facilita la introducci´n
a o
de la familia de funciones de tipo exponencial y logar´ ıtmico, a la vez que nos prepara
para el cap´ ıtulo octavo, donde se aborda el problema del c´lculo de antiderivadas o
a
integrales indefinidas.
Por otra parte, en el cap´ ıtulo noveno se estudia el concepto de integral de Rie-
mann y sus propiedades cuando se aplica a funciones continuas, concepto surgido al
aplicar el m´todo exhaustivo o de agotamiento al c´lculo del ´rea bajo la gr´fica de
e a a a
una funci´n. Tambi´n se muestra, con el teorema fundamental del C´lculo, c´mo el
o e a o
proceso de integraci´n permite “integrar o sumar” las variaciones infinitesimales de
o
una funci´n a lo largo de un intervalo para obtener la variaci´n neta de la funci´n
o o o
en ese intervalo. En el caso particular del movimiento de una part´ ıcula, hace posible
calcular el desplazamiento total de la part´ ıcula en un intervalo de tiempo, a partir
de las velocidades instant´neas mostradas durante ese intervalo.
a
En el cap´ ıtulo d´cimo se incluyen algunas de las aplicaciones m´s comunes de
e a
la integral al c´lculo de ´reas y vol´menes, lo mismo que al c´lculo de presiones de
a a u a
fluidos sobre superficies.
El und´cimo cap´
e ıtulo constituye a la vez una introducci´n a las ecuaciones dife-
o
renciales y un ejemplo m´s elaborado de la aplicaci´n del C´lculo; en ´l abordamos
a o a e
la soluci´n de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes,
o
11. 11
cuyas aplicaciones en las ciencias naturales son de primera importancia.
En el duod´cimo y ultimo cap´
e ´ ıtulo, se presentan el concepto de serie y los criterios
m´s relevantes para decidir sobre su convergencia, para concluir con la presentaci´n
a o
de la familia de las funciones anal´ıticas, o sea las funciones expresables como series
de potencias, y la demostraci´n de que constituyen una familia cerrada bajo la
o
operaci´n de derivaci´n, lo que resulta de gran trascendencia en varias ´reas de las
o o a
matem´ticas y sus aplicaciones.
a
Como se se˜al´ antes, este texto se elabor´ en el marco del proyecto Homo-
n o o
genizaci´n y certificaci´n de los programas de matem´ticas de las instituciones de
o o a
educaci´n superior en Sonora, con registro SON-2004-C02-008, apoyado con los re-
o
cursos del Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. Los autores
expresan aqu´ su agradecimiento al CESUES y a la Universidad de la Sierra por su
ı
apoyo institucional a la realizaci´n del proyecto, as´ como a distintas personas que
o ı
contribuyeron de maneras diversas a la realizaci´n de este trabajo, especialmente
o
al Delegado de CONACYT en Sonora, Ing. Francisco Javier Ceballos y a su co-
laboradora, Lic. Laura Petra Reyes Medina. Agradecemos tambi´n a los CC.PP.
e
Ricardo Efr´n Espinoza, Ang´lica Pereida Hoyos y Blanca Irene L´pez Fimbres, por
e e o
su apoyo en la gesti´n administrativa al interior de la Universidad de Sonora du-
o
rante el desarrollo de este proyecto. A Eduardo Tellechea Armenta, Jacobo N´nez u˜
Ur´ Jos´ Luis D´ G´mez y Jos´ Ram´n Jim´nez Rodr´
ıas, e ıaz o e o e ıguez, profesores del De-
partamento de Matem´ticas de la Universidad de Sonora, nuestro reconocimiento
a
por sus comentarios y observaciones, y a Manuel Francisco Ocejo Monta˜o, por su
n
participaci´n en la captura del texto.
o
Los autores
Hermosillo, Sonora, M´xico
e
Diciembre del 2007
13. Cap´
ıtulo
1 Una historia breve del c´lculo
a
1.1 El siglo XVII: Newton y Leibniz
El C´lculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento m´s efectivo
a a
para la investigaci´n cient´
o ıfica que jam´s hayan producido las matem´ticas. Conce-
a a
bido para el estudio del cambio, el movimiento y la medici´n de ´reas y vol´menes,
o a u
el c´lculo es la invenci´n que caracteriza la revoluci´n cient´
a o o ıfica del siglo XVII.
Su creaci´n se debe al trabajo independiente de dos matem´ticos, el ingl´s Isaac
o a e
Newton (1642-1727) y el alem´n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes
a
publicaron sus investigaciones entre los a˜os de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la
n
revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica
Philosophiae Naturalis.
Sir Isaac Newton Gotfried Whilhelm Leibniz
(1642–1727) (1646–1716)
El c´lculo se desarroll´ a partir de las t´cnicas infinitesimales utilizadas para
a o e
resolver dos tipos de problemas: el c´lculo de ´reas y vol´menes y el c´lculo de
a a u a
tangentes a curvas. Arqu´ ımedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos an-
tiguos, hab´ realizado los avances m´s significativos sobre esos problemas, aplicando
ıa a
el m´todo exhaustivo o de agotamiento para la determinaci´n de ´reas y vol´menes
e o a u
14. 14 Una historia breve del c´lculo
a
y obteniendo importantes resultados sobre el c´lculo de tangentes para ciertas cur-
a
vas particulares. En la primera mitad del siglo XVII, se renov´ el inter´s por esos
o e
problemas cl´sicos y varios matem´ticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647),
a a
John Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602-
1675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para
la obra de Leibniz y Newton.
A partir de la utilizaci´n del m´todo cartesiano1 para sintetizar los resultados y
o e
t´cnicas desarrollados previamente para el c´lculo de ´reas y tangentes de curvas,
e a a
Newton y Leibniz inventaron los m´todos y algoritmos que hacen del c´lculo una
e a
herramienta aplicable a clases generales de problemas. Sus contribuciones en la
creaci´n del c´lculo difieren en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas
o a
separadamente.
Newton, hijo de granjeros, naci´ en Lincolnshire, Inglaterra, en el d´ de Navidad
o ıa
de 1642 y lleg´ en 1669 a ocupar, en la Universidad de Cambridge, la C´tedra
o a
Lucasiana como profesor de matem´ticas. En sus primeras investigaciones introdujo
a
las series infinitas de potencias en una variable x para reformular resultados previos
de John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utiliz´ infinitesimales
o
para mostrar la relaci´n inversa entre el c´lculo de ´reas y el c´lculo de tangentes.
o a a a
Las operaciones de derivaci´n e integraci´n de funciones y su relaci´n rec´
o o o ıproca,
emergen como un proceso anal´ ıtico que puede ser aplicado al estudio general de las
curvas.
En la presentaci´n de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el
o
movimiento y la din´mica de los cuerpos. As´ las variables son vistas como algo
a ı,
que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o raz´n de cambio con
o
respecto al tiempo la llama su fluxi´n. El problema b´sico del c´lculo es, para
o a a
Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton
concluye su tratado sobre el m´todo de fluxiones que no es publicado sino hasta
e
1736, casi diez a˜os despu´s de su muerte, ocurrida en 1727.
n e
En su libro Principios Matem´ticos de la Filosof´ Natural, escrito en 1687, New-
a ıa
ton estudia la din´mica de las part´
a ıculas y establece las bases matem´ticas para el
a
c´lculo de razones de cambio mediante una teor´ geom´trica de los l´
a ıa e ımites. Uti-
lizando estos conceptos, desarrolla su teor´ de gravitaci´n y reformula las leyes de
ıa o
Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes. En su libro, Newton expresa mag-
nitudes y razones de cambio en t´rminos de cantidades geom´tricas, tanto de tipo
e e
finito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje
algebraico. Esta reticencia de Newton a usar los m´todos algebraicos, limit´ su
e o
influencia en el campo de las matem´ticas e hizo necesario reformular sus contribu-
a
ciones en t´rminos del c´lculo de Leibniz.
e a
G. W. Leibniz fue el hijo de un profesor de filosof´ y naci´ en la ciudad de
ıa o
Leipzig, Alemania, en 1646. Ingres´ a la universidad a la edad de quince a˜os y
o n
1
Por Ren´ Descartes (1596-1650), quien invent´ la geometr´ anal´
e o ıa ıtica, independientemente de
Pierre de Fermat, y la di´ a conocer en 1637 en su obra La G´om´trie.
o e e
15. 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange 15
obtuvo el doctorado en filosof´ a la edad de 21 a˜os. El inter´s de Leibniz por las
ıa n e
matem´ticas naci´ en 1672 durante una visita a Par´ donde el matem´tico holand´s
a o ıs, a e
Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teor´ de curvas. Des-
ıa
pu´s de varios a˜os de estudio bajo la direcci´n de Huygens, Leibniz investig´ las
e n o o
relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de n´meros y dedujo
u
varias f´rmulas famosas.
o
Leibniz se interes´ en las cuestiones de l´gica y de notaci´n para la investigaci´n
o o o o
formal, y su c´lculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las
a
matem´ticas, de un sistema de notaci´n y terminolog´ perfectamente adaptado a
a o ıa
su objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formaliz´, con su notaci´n,
o o
las propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivaci´n e integraci´n,
o o
haciendo de su aplicaci´n a los m´s variados problemas, un ejercicio de rutina que un
o a
estudiante puede aprender desde sus primeros a˜os. Su primera publicaci´n sobre el
n o
c´lculo diferencial apareci´ en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´
a o ıtulo Un nuevo
m´todo para m´ximos y m´
e a ınimos as´ como para el c´lculo de tangentes que incluyen
ı a
cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´lculo para a
todo esto. En este art´ ıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b´sicas
a
del c´lculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos a˜os despu´s,
a n e
publica su segundo art´ ıculo Sobre una geometr´ oculta, donde introduce y explica
ıa
el significado del s´ ımbolo de integraci´n y aplica el poder del c´lculo para estudiar
o a
curvas trascendentes y deriva una f´rmula anal´
o ıtica para la cicloide.
El vigoroso empuje de Leibniz al estudio y desarrollo del nuevo c´lculo, el esp´
a ıritu
did´ctico de sus escritos y su habilidad para relacionarse con otros investigadores
a
contribuyeron a fortalecer su gran influencia en las matem´ticas. Mantuvo una es-
a
trecha colaboraci´n con otros estudiosos de su ´poca, incluyendo los hermanos Juan
o e
(1667-1748) y Jacobo Bernoulli (1654-1705), quienes se convirtieron en los prin-
cipales usuarios, investigadores y promotores del nuevo m´todo, Pierre Varignon
e
y Guillaume Fran¸ois Antoine de L’Hospital (1661-1704), este ultimo, autor del
c ´
primer libro de texto de c´lculo diferencial publicado, en 1696. En 1700, Leibniz
a
convence a Federico I de Prusia para crear la Academia de Ciencias de Branden-
burgo (despu´s Real Academia de Berl´ de la cual ser´ su presidente vitalicio. En
e ın) a
contraste, el aislamiento y la lentitud mostrada por Newton para difundir sus ideas
y descubrimientos redujo su presencia en las matem´ticas europeas de ese tiempo y
a
aunque un buen n´mero de matem´ticos ingleses continu´ desarrollando el c´lculo,
u a o a
su programa result´ inferior al desarrollado por Leibniz.
o
1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange
El siglo XVIII es denominado “El siglo del An´lisis Matem´tico”. De 1700 a 1800 se
a a
di´ la consolidaci´n del c´lculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particu-
o o a
larmente a la Mec´nica. Con ese desarrollo, vino la especializaci´n y el nacimiento
a o
de nuevas ramas de las matem´ticas, tales como: la Teor´ de Ecuaciones Dife-
a ıa
16. 16 Una historia breve del c´lculo
a
renciales, ordinarias y parciales, el C´lculo de Variaciones, la Teor´ de Series y
a ıa
la Geometr´ Diferencial. Las aplicaciones del an´lisis incluyen ahora la Teor´ de
ıa a ıa
Vibraciones, la Din´mica de Part´
a ıculas, la Teor´ de Cuerpos R´
ıa ıgidos, la Mec´nica
a
de Cuerpos El´sticos y Deformables y la Mec´nica de Fluidos. A partir de entonces,
a a
se distinguen las matem´ticas puras de las matem´ticas aplicadas.
a a
El desarrollo del an´lisis matem´tico en el siglo XVIII est´ documentado en los
a a a
trabajos presentados en las Academias de Par´ Berl´ San Petersburgo y otras, as´
ıs, ın, ı
como en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figuras
dominantes de este periodo son el matem´tico suizo Leonhard Euler (1707-1783) y
a
el matem´tico italo-franc´s Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
a e
Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange
(1707–1783) (1736-1813)
Euler naci´ en Basilea, Suiza, y complet´ se educaci´n universitaria a la edad
o o o
de quince a˜os. Es considerado el matem´tico m´s prol´
n a a ıfico de todos los tiempos,
sus obras abarcan casi setenta y cinco vol´menes y contienen contribuciones funda-
u
mentales a casi todas las ramas de las matem´ticas y sus aplicaciones. La carrera
a
profesional de Euler se desarroll´ en la Real Academia de San Petersburgo, Rusia
o
(1727-1741 y 1766-1783) y en la Academia de Berl´ (1741-1766).
ın
La obra de Euler en dos vol´menes intitulada Introducci´n al an´lisis infinitesi-
u o a
mal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado An´lisis Matem´tico
a a
a ´
como rama de esta disciplina, an´loga al Algebra y la Geometr´ ıa. El An´lisis
a
Matem´tico es construido a partir del concepto fundamental de funci´n y de los
a o
procesos infinitos desarrollados para la representaci´n y estudio de las funciones.
o
En esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistem´tico de las fun-
a
ciones exponenciales y de las funciones trigonom´tricas como funciones num´ricas,
e e
as´ como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desa-
ı
rrollos en series infinitas. A esa primera obra de Euler, siguieron dos obras m´s, en
a
1755 y 1768, sobre el c´lculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen
a
la fuente original de los actuales libros y textos sobre el c´lculo y las ecuaciones
a
diferenciales.
El enfoque anal´ ıtico de Euler recibi´ un gran impulso de la otra gran figura del
o
siglo XVIII, el matem´tico Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en
a
17. 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 17
1783, lo reemplaz´ como el matem´tico l´
o a ıder de Europa. Aplicando m´todos pura-
e
mente anal´ ıticos, Lagrange extendi´ y perfeccion´ el C´lculo de Variaciones y a par-
o o a
tir de sus aplicaciones a la mec´nica, sent´ los fundamentos de la llamada Mec´nica
a o a
Anal´ ıtica. En 1788 se public´ su famoso tratado Mec´nica Anal´
o a ıtica en donde, apli-
cando las ideas del c´lculo de variaciones, presenta los fundamentos anal´
a ıticos de la
mec´nica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´n s´lo
a o o
recurre a argumentos anal´ ıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mec´nicos. Es
a
decir, Lagrange hace de la mec´nica una rama del an´lisis matem´tico.
a a a
Para fines del siglo XVIII hab´ preocupaci´n en Europa por los fundamentos
ıa o
del c´lculo y del an´lisis. Los argumentos basados en la teor´ de fluxiones de
a a ıa
Newton y en la idea de infinitamente peque˜o mostraban serias inconsistencias que
n
fueron puntualmente se˜aladas por el obispo anglicano irland´s George Berkeley
n e
(1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´n anterior, Lagrange public´ en 1797
o o
su obra Teor´ de funciones anal´
ıa ıticas en la cual pretende presentar un desarrollo
completo del c´lculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´
a ımite o de cantidad
infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son
representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de
los distintos ´rdenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproxi-
o
maci´n de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo
o
de Lagrange.
1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass
Al finalizar el siglo XVIII, los matem´ticos hab´ ya detectado distintas limitacio-
a ıan
nes e incongruencias en las bases sobre las que se hab´ desarrollado hasta entonces el
ıa
c´lculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la
a
cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teor´ Anal´
ıa ıtica del Calor,
de 1807, remit´ a la necesidad de considerar clases m´s amplias de funciones que
ıan a
las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En
ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de
integrabilidad de las funciones, as´ como las condiciones de convergencia para series
ı
de funciones.
El concepto de continuidad de una funci´n aparece expl´
o ıcitamente definido, por
primera vez, en el trabajo del matem´tico checo Bernhard Bolzano (1781-1848), pero
a
es el matem´tico franc´s Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su
a e
generalidad la teor´ de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fun-
ıa
damentales del c´lculo para ese tipo de funciones en los t´rminos en que actualmente
a e
se presentan. En sus tres grandes obras Curso de An´lisis (1821), Resumen de Lec-
a
ciones sobre el C´lculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el C´lculo Diferencial
a a
(1829), Cauchy hace una exposici´n rigurosa del c´lculo bas´ndose en el concepto
o a a
fundamental de l´ ımite de una funci´n. En particular, define la derivada de una
o
funci´n como el l´
o ımite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra
18. 18 Una historia breve del c´lculo
a
sus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a
la aproximaci´n de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios
o
para la existencia de m´ximos y m´
a ınimos de funciones; define la integral definida
de una funci´n continua en un intervalo mediante el l´
o ımite de sumas asociadas a
particiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema funda-
mental del c´lculo, estableciendo la relaci´n inversa que existe entre los procesos de
a o
derivaci´n e integraci´n de funciones.
o o
El siguiente avance en la evoluci´n hist´rica del c´lculo, se debe a Bernhard F.
o o a
Riemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el
desarrollo del c´lculo, extendiendo el proceso de integraci´n a este tipo de funciones,
a o
con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´rea y vol-
a
umen de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al an´lisis matem´tico
a a
Augustin Louis Cauchy Bernhard Riemann Karl Weierstrass
(1789–1857) (1826–1866) (1815-1897)
de bases s´lidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de
o
los n´meros reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las fun-
u
ciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada en
casi todos los puntos para toda funci´n continua, son se˜aladas cr´
o n ıticamente y des-
mentidas por contundentes contraejemplos dados por matem´ticos como el mismo
a
Bolzano y el alem´n Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran ex-
a
hibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno. Ese tipo de
situaciones, obliga a los matem´ticos al estudio y construcci´n del sistema de los
a o
n´meros reales a partir del sistema de los n´meros naturales. El a˜o de 1872 registra
u u n
la publicaci´n, casi simult´nea, de construcciones de los n´meros reales debidas a
o a u
Georg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821-
1881), basadas en los conceptos de l´ ımite y sucesiones, previamente desarrollados.
La construcci´n de los n´meros reales es el paso decisivo hacia la aritmetizaci´n
o u o
del an´lisis matem´tico, que permite al mismo Karl Weierstrass dar la definici´n de
a a o
l´
ımite en t´rminos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los n´meros
e u
reales, y con ello los conceptos y procesos propios del c´lculo quedan debidamente
a
justificados y adquieren la presentaci´n definitiva con que hoy son expuestos en los
o
19. 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson 19
libros de texto y dem´s trabajos matem´ticos.
a a
1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson
Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el
desarrollo del an´lisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´s Henri Lebesgue
a e
(1875-1941), y el An´lisis no-Est´ndar, debido b´sicamente a Abraham Robinson
a a a
(1918-1974).
El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,
pero aunque ´ste fue generalizado despu´s, por Riemann, a funciones con cierto tipo
e e
de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los
procesos de convergencia y de l´ ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su
aplicablidad a otras ramas de la matem´tica.a
Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´s Camille
e
Jordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´ dar, en 1920, una definici´n de conjunto
o o
medible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de
longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos,
Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para
las cuales adquiere sentido una nueva definici´n de integral, definida como el l´
o ımite
de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. En
este sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´n de la integral de Riemann,
o
que se obtiene como el l´ ımite de integrales de funciones que toman valores constantes
sobre intervalos.
Henri Lebesgue Abraham Robinson
(1875–1941) (1918–1974)
La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propieda-
des inmejorables para los prop´sitos del an´lisis matem´tico en tanto que l´
o a a ımites
de sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser tambi´n
e
funciones integrables. La nueva teor´ de la medida e integraci´n sienta las bases
ıa o
20. 20 Una historia breve del c´lculo
a
para el desarrollo de la Teor´ Matem´tica de la Probabilidad y la Estad´
ıa a ıstica, que
tanta importancia tienen en la ciencia actual.
El otro desarrollo importante del an´lisis del siglo XX fu´ presentado en 1960 por
a e
Abraham Robinson, seguido de su libro An´lisis no Est´ndar, en el que se retoma
a a
el problema de la aritmetizaci´n del an´lisis a partir del concepto de n´mero y de
o a u
magnitud infinitamente peque˜a. A partir de construcciones basadas en la teor´
n ıa
de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de n´mero hiperreal con lo que logra
u
dar un significado preciso a los “infinitamente peque˜os” que Euler usaba en sus
n
argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de l´ ımite y de convergencia del
an´lisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en
a
la clase de los n´meros hiperreales.
u
Aunque la nueva formulaci´n de Robinson da lugar a un c´lculo m´s simple, la
o a a
construcci´n de los n´meros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se
o u
expone el c´lculo no est´ndar no han logrado tener ´xito en los niveles matem´ticos
a a e a
medio y b´sico.
a
21. Cap´
ıtulo
2 Los n´meros reales
u
El sistema de los n´meros reales es la estructura algebraica adecuada al prop´sito
u o
del c´lculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones
a
expresables en t´rminos de este tipo de n´meros, los objetos de estudio de esa rama
e u
de las matem´ticas. Las propiedades especiales del sistema de los n´meros reales
a u
permiten definir los conceptos fundamentales para la descripci´n y estudio del cambio
o
y el movimiento.
La presentaci´n que aqu´ se hace del sistema de los n´meros reales, se basa en el
o ı u
concepto de expansi´n decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar
o
con n´meros y magnitudes. As´ cada n´mero real se identifica con una sucesi´n
u ı, u o
infinita de d´ ıgitos separados por un punto decimal y el conjunto de tales objetos
resulta ser una extensi´n del conjunto de los n´meros racionales, los cuales quedan
o u
identificados con las llamadas expansiones peri´dicas. Las operaciones de suma y
o
multiplicaci´n, y la relaci´n de orden entre los n´meros racionales se extienden de
o o u
manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto de
los n´meros reales.
u
La propiedad que distingue al sistema de los n´meros reales del sistema de los
u
n´meros racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad,
u
de car´cter geom´trico o topol´gico, es la que permite dar un sentido preciso a los
a e o
conceptos fundamentales de l´ ımite y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el
c´lculo diferencial e integral.
a
2.1 Expansiones decimales
Desde la escuela primaria, hemos aprendido a representar y a manejar las medidas
y las cantidades mediante n´meros expresados en el sistema decimal, es decir, me-
u
diante la utilizaci´n de sucesiones de los d´
o ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que forman lo
que llamamos la expansi´n decimal del n´mero de que se trate.
o u
Las expansiones decimales a cuyo uso nos acostumbramos en los primeros niveles
de educaci´n, s´lo constan de un n´mero finito de d´
o o u ıgitos separados por un punto
22. 22 Los n´meros reales
u
decimal. Por ejemplo, la expansi´n
o
A = 123.7584
representa al n´mero
u
A = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 7 · 10−1 + 5 · 10−2 + 8 · 10−3 + 4 · 10−4 .
Para ese tipo de expansiones, se desarrollan algoritmos para realizar las opera-
ciones b´sicas de la aritm´tica y posteriormente, ya en la escuela secundaria, se
a e
incluyen expansiones negativas, sobre las cuales se extienden las operaciones arit-
m´ticas vali´ndose de la regla de los signos
e e
(−A) · (−B) = +(A · B)
(−A) · (+B) = −(A · B),
para cada par de expansiones decimales A, B.
Otro tipo de expansiones que tambi´n nos son familiares, son las que aparecen
e
al construir la representaci´n decimal de los n´meros racionales m/n, donde m y n
o u
son enteros, con n = 0, y que resultan ser expansiones infinitas y peri´dicas, pues
o
tienen la propiedad de presentar un bloque de d´ ıgitos que se repite indefinidamente
a la derecha a partir de un cierto lugar de la expansi´n. Por ejemplo,
o
1
= 0.3333 · · · 33 · · ·
3
o
29
= 4.142857142857 · · · 142857 · · ·
7
Ejemplo 2.1 Para ilustrar c´mo se genera la expansi´n decimal peri´dica de un
o o o
n´mero racional, construyamos paso a paso, como ejemplo, la expansi´n decimal del
u o
n´mero racional
u
4
D=
7
aplicando el algoritmo de la divisi´n que aprendimos en la escuela primaria. Al
o
realizar esa operaci´n, vamos obteniendo en cada etapa un d´
o ıgito del cociente y un
residuo r mayor o igual a cero y menor que el divisor 7, de tal manera que al efectuar
a lo m´s 7 veces el procedimiento de divisi´n, forzosamente tendr´ que repetirse,
a o a
por primera vez, alguno de los residuos obtenidos en las etapas anteriores, con la
consiguiente repetici´n de los d´
o ıgitos correspondientes en la expansi´n decimal del
o
cociente que se est´ construyendo. As´ en el caso de 4/7, al aplicar el algoritmo
a ı,
de la divisi´n, tal como se muestra en la figura, se obtienen, en el primer paso, 0
o
unidades en el cociente y residuo 4; en el segundo paso se obtienen 5 d´cimos en
e
el cociente y residuo 5; en el tercer paso se obtienen 7 cent´simos en el cociente y
e
residuo 1, y as´ sucesivamente, hasta llegar al s´ptimo paso, en el que se obtienen
ı, e
8 millon´simos en el cociente y residuo 4, tal como lo tuvimos en el primer paso.
e
23. 2.1 Expansiones decimales 23
Luego, a partir del octavo paso, se repite la sucesi´n de residuos, dando lugar a una
o
repetici´n del bloque de d´
o ıgitos 571428, obteni´ndose as´ la expansi´n decimal que
e ı o
representa al n´mero 4/7:
u
4
= 0.571428571428 · · · 571428 · · ·
7
Bloque que se repite
0.571428571428 · · ·
7 4
Primer residuo 40
50
10
30
20
60
Se repite 40
..
. ⊳
En este punto, lo notable no s´lo es que la expansi´n decimal de todo n´mero racional
o o u
sea una expansi´n peri´dica, sino que m´s a´n, cada expansi´n decimal peri´dica es
o o a u o o
la expansi´n decimal de alg´n n´mero racional, estableci´ndose as´ una equivalencia
o u u e ı
entre ambos conjuntos de objetos. Enseguida mostramos, con un ejemplo, c´mo seo
encuentra el n´mero racional que corresponde a una expansi´n peri´dica dada.
u o o
Ejemplo 2.2 Si queremos encontrar el n´mero racional que corresponde a la ex-
u
pansi´n decimal peri´dica
o o
D = −2.83434 · · · 3434 · · · ,
procedemos a multiplicarla por 10 y luego por 1000 y obtenemos las siguientes
expresiones, que tienen los mismos d´
ıgitos a la derecha del punto decimal
10 · D = −28.3434 · · · 34 · · ·
1000 · D = −2834.3434 · · · 34 · · ·
Al restar la primera expansi´n de la segunda, obtenemos
o
990 · D = −2806,
por lo que
2806 ⊳
D=− .
990
Notaci´n. Escribiremos las expansiones decimales peri´dicas en forma simplificada
o o
omitiendo los d´
ıgitos despu´s de la primera aparici´n del bloque de d´
e o ıgitos que se
repite y marcando con una l´ınea superior dicho bloque. Por ejemplo, la expresi´n
o
3.2345
24. 24 Los n´meros reales
u
representa la expansi´n decimal peri´dica
o o
3.234545 · · · 45 · · · ⊳
A los n´meros que no se pueden expresar como un cociente de n´meros enteros
u u
se les llama n´meros irracionales y por lo que mostramos anteriormente, sus expan-
u
siones decimales no pueden ser peri´dicas. El conjunto de los n´meros irracionales
o u
se denota por I. Un ejemplo de n´mero irracional es la ra´ cuadrada de 2. Esta
u ız
afirmaci´n se justifica en el ejemplo siguiente.
o
√
Ejemplo 2.3 Para probar que 2 no puede expresarse como cociente de dos n´- u
meros naturales, argumentaremos por contradicci´n, es decir, supondremos que es
o
cierto lo contrario, que existen n´meros primos relativos a, b (es decir, sin divisores
u
comunes) tales que
√ a
2= .
b
Elevando al cuadrado, tenemos que
a2
2= ,
b2
o, equivalentemente,
2b2 = a2 . (2.1)
Pero (2.1) implica que el n´mero a2 es un n´mero par, por lo que a debe ser un
u u
n´mero par (ya que el cuadrado de un n´mero par es un n´mero par y el cuadrado
u u u
de un n´mero impar es impar). Por lo tanto, a se puede escribir en la forma
u
a = 2c, (2.2)
para alg´n n´mero entero c. Sustituyendo ahora (2.2) en (2.1), tenemos
u u
2b2 = 4c2 ,
y, consecuentemente,
b2 = 2c2 ,
es decir, b2 es un n´mero par y por lo tanto b tiene que ser a su vez un n´mero par y,
u u
por consiguiente, tanto a como b son n´meros pares, lo cual es falso pues supusimos
u
desde el principio que a y b no ten´ divisores en com´n. Luego, la suposici´n es
√ ıan u o
falsa y por lo tanto 2 no es un n´mero racional.
u ⊳
Es relativamente sencillo generar n´meros irracionales, como se muestra en el ejem-
u
plo siguiente.
25. 2.2 El Sistema de los N´meros Reales
u 25
Ejemplo 2.4 La expansiones decimales
i−veces (i+1)−veces
A = 23.010010001 · · · 1 00 · · · 0 1 00 · · · 0 1 · · ·
i−veces (i+1)−veces
B = −2.454554555 · · · 4 55 · · · 5 4 55 · · · 5 4 · · ·
corresponden a n´meros irracionales.
u ⊳
Tomando en cuenta la discusi´n anterior, tenemos la definici´n siguiente.
o o
Definici´n 2.1 Una expansi´n decimal A, es una expresi´n de la forma
o o o
A = ±ak ak−1 · · · a1 a0 .b1 b2 · · · br−1 br · · ·
donde ak , ak−1 , . . . , a0 y b1 , b2 , . . . , br−1 , br , · · · son algunos de los d´
ıgitos
{0, 1, 2, . . . , 8, 9}. Al punto despu´s del d´
e ıgito a0 se le llama punto decimal de
la expansi´n. Si la expansi´n decimal va precedida del signo + se dice que la ex-
o o
pansi´n decimal es positiva y si va precedida del signo - se le llama expansi´n
o o
decimal negativa.
Nota Importante:
Cada expansi´n decimal se extiende a la derecha del punto decimal, mientras que a
o
la izquierda del punto decimal s´lo consta de un n´mero finito de d´
o u ıgitos.
2.2 El Sistema de los N´ meros Reales
u
Se define el conjunto R de los n´meros reales como el conjunto de las expansiones
u
decimales, sobre el cual se establece el siguiente criterio de igualdad: Dos expansiones
decimales A y B son iguales (representan el mismo n´mero real) si se presenta alguna
u
de las dos situaciones siguientes:
1. A y B constan de los mismos d´
ıgitos y estos ocupan el mismo orden, o
2. A y B constan de los mismos d´ ıgitos hasta un cierto lugar r y enseguida la
expansi´n de uno de ellos contin´a en la forma
o u
±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br br+1 9
con br+1 = 9, mientras que la expansi´n del otro es de la forma
o
±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br (br+1 + 1)0
26. 26 Los n´meros reales
u
Ejemplo 2.5 Las expansiones 1.349 y 1.350 son, por definici´n, iguales y represen-
o
tan el mismo n´mero real.
u ⊳
Nota Importante:
En general, en la definici´n de las operaciones y propiedades de los n´meros reales
o u
siempre evitaremos escribir expansiones decimales con bloques repetidos de nueves.
2.2.1 Operaciones con los n´ meros reales
u
Las operaciones con los n´meros reales, son las usuales de suma y multiplicaci´n que
u o
empezamos a manejar desde la escuela primaria. De hecho, en la escuela secundaria
aprendemos los m´todos o algoritmos para sumar y multiplicar expansiones deci-
e
males finitas tanto positivas como negativas y sabemos c´mo construir la expansi´n
o o
decimal correspondiente a la suma o al producto, a partir de la suma y producto
de los d´
ıgitos y la posici´n que ´stos ocupan en las expansiones decimales que se
o e
pretende operar.
Antes de introducir las operaciones entre expansiones decimales infinitas, para
cada expansi´n A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · definimos su expansi´n truncada
o o
de orden r, con r 0, como la expansi´n decimal peri´dica
o o
Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0
que consta de los mismos d´
ıgitos que la expansi´n de A hasta el lugar r despu´s del
o e
punto decimal, y todos los d´ıgitos siguientes a la derecha son cero. La expansi´n
o
truncada de orden r se puede escribir tambi´n en t´rminos de sumas de potencias
e e
del n´mero 10 en la forma usual
u
Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0
b1 b2 br
= ± ak 10k + ak−1 10k−1 + · · · + a1 10 + a0 + + 2 + ··· + r .
10 10 10
Nota Importante:
Un n´mero real est´ totalmente determinado si se conocen sus expansiones truncadas
u a
de cualquier orden y viceversa. Observe que la expansi´n decimal truncada de orden
o
cero es el n´mero entero a la izquierda del punto decimal de la expansi´n decimal
u o
inicial.
Para sumar dos expansiones decimales A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · y
B = ±cj cj−1 · · · c0 .d1 · · · dr dr+1 · · · y formar la expansi´n decimal correspondiente a
o
la suma A + B, se procede como sigue: Para cada orden r = 0, 1, 2, · · · la expansi´n o
truncada de orden r de la suma A + B se define como la expansi´n truncada de o
orden r de la suma de las expansiones truncadas de orden r + 1 de A y B.
Por ejemplo, si queremos sumar las expansiones decimales A = 2.95 y B =
1.2020020002 · · · 200 · · · 02 · · · , la expansi´n suma A + B es aqu´lla que tiene por
o e
27. 2.2 El Sistema de los N´meros Reales
u 27
expansiones decimales truncadas de los distintos ´rdenes, las siguientes:
o
(A + B)0 = 4.0
(A + B)1 = 4.10
(A + B)2 = 4.160
(A + B)3 = 4.1650
(A + B)4 = 4.16590
.
.
.
que se forman sumando, de acuerdo a la definici´n, las expansiones truncadas corres-
o
pondientes de los n´meros iniciales.
u
An´logamente, para multiplicar las dos expansiones decimales A y B y formar
a
la expansi´n decimal correspondiente al producto A · B, se procede como sigue:
o
1. Se determina cu´ntos d´
a ıgitos a la izquierda del punto decimal tiene cada uno de
los factores. Digamos que A tiene m d´ ıgitos y B tiene n d´
ıgitos a la izquierda
del punto decimal.
2. Se multiplica la expansi´n truncada de orden n + 1 de A con la expansi´n
o o
truncada de orden m + 1 de B y la expansi´n truncada de orden cero del
o
producto de estas ser´ la expansi´n truncada de orden cero de la expansi´n
a o o
decimal de A · B,
3. Para determinar la expansi´n truncada de orden r > 0 de A · B, se multiplica
o
las expansi´n truncada de orden n + r + 1 de A por la expansi´n truncada de
o o
orden m + r + 1 de B y la expansi´n truncada de orden r de ese producto
o
de expansiones truncadas se toma como la expansi´n truncada de orden r del
o
producto A · B.
Ejemplo 2.6 Para multiplicar las expansiones decimales
A = 12.34,
B = −253.2020020002 · · · ,
las expansiones truncadas de A · B se determinan de acuerdo a la definici´n anterior,
o
en la forma siguiente:
(A · B)0 = −3125.0,
(A · B)1 = −3125.30,
(A · B)2 = −3125.380,
.
.
.
etc´tera.
e ⊳
28. 28 Los n´meros reales
u
A partir de las definiciones de suma y multiplicaci´n de los n´meros reales, dadas
o u
en t´rminos de sus expansiones, enlistamos sus propiedades principales.
e
Sean A, B, C n´meros reales y + : R × R → R, · : R × R → R las operaciones
u
de suma y multiplicaci´n. Entonces se cumple:
o
(S1) A + B = B + A (Conmutatividad de la suma)
(S2) A + (B + C) = (A + B) + C (Asociatividad de la suma)
(S3) 0 + A = A (Existencia de neutro bajo la suma)
(S4) A + (−A) = 0 (Existencia de inversos aditivos bajo la suma)
(M1) A · B = B · A (Conmutatividad de la multiplicaci´n)
o
(M2) A · (B · C) = (A · B) · C (Asociatividad de la multiplicaci´n)
o
(M3) 1 · A = A (Existencia de neutro bajo la multiplicaci´n)
o
(M4) Si A = 0 existe A−1 tal que A · A−1 = 1 (Existencia de inversos multiplicativos)
(M5) A · (B + C) = A · B + A · C (Distributividad de la multiplicaci´n
o
respecto a la suma)
Cuando un conjunto S posee dos operaciones (suma y multiplicaci´n) que tienen
o
las propiedades (S1)–(S4) y (M1)–(M5), arriba mencionadas, se dice que tiene es-
tructura algebraica de campo y as´ se habla del campo de los n´meros reales.
ı, u
2.2.2 El orden de los n´ meros reales
u
El conjunto de los n´meros reales se descompone en tres subconjuntos mutuamente
u
ajenos:
(i) los reales positivos, R+ , formados de las expansiones decimales positivas,
(ii) los reales negativos, R− , formado por las expansiones decimales negativas, y
(iii) el conjunto {0} formado por la expansi´n cero.
o
La descomposici´n anterior da lugar a la llamada ley de tricotom´ para el orden, que
o ıa
estipula que cada n´mero real A tiene una y s´lo una de las siguientes propiedades:
u o
o
´ A es positivo, ´ A es negativo, ´ A es el n´mero cero.
o o u
El conjunto R + de los reales positivos tiene la propiedad de que tanto la suma
como la multiplicaci´n de cualesquiera dos de sus elementos, es nuevamente un real
o
positivo.