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![30 Los n´meros reales
u
manera densa en R. Esto quiere decir, que dados dos n´meros reales distintos
u
A < B, siempre existen n´meros racionales y n´meros irracionales que son mayores
u u
que A y menores que B. Esto significa que tanto los racionales como los irracionales
se encuentran tan cerca como se quiera de cualquier n´mero real.
u
Ejemplo 2.7 Si A = 2.34526789 · · · y B = 2.34612387 · · · , se tiene que A < B y la
expansi´n C = 2.3460 es un n´mero racional mayor que A y menor que B, mientras
o u
que el n´mero D = 2.346001000100001 · · · que no muestra ning´n bloque de d´
u u ıgitos
que se repita, es un n´mero irracional mayor que A y menor que B.
u ⊳
Haciendo uso de los conceptos de orden entre los n´meros reales, se introduce la
u
definici´n de intervalo abierto con extremo izquierdo A y extremo derecho B como
o
el subconjunto de n´meros reales dado por
u
(A, B) = {x ∈ R tales que A < x < B}
y la definici´n de intervalo cerrado con extremo izquierdo A y extremo derecho B
o
como el subconjunto de n´meros reales dado por
u
[A, B] = {x ∈ R tales que A x B} .
An´logamente, se definen los intervalos
a
(A, ∞) = {x ∈ R tales que x > A} ,
(−∞, A) = {x ∈ R tales que x < A} ,
[A, ∞) = {x ∈ R tales que x A} ,
(−∞, A] = {x ∈ R tales que x A} .
2.2.3 Valor absoluto de un n´ mero real
u
Introduciremos ahora el concepto de m´trica o de distancia entre los n´meros reales.
e u
Para ello, presentamos el concepto de valor absoluto de un n´mero real mediante la
u
siguiente definici´n.
o
Definici´n 2.3 Si A es un n´mero real, el valor absoluto de A se define
o u
como el n´mero |A| tal que:
u
A si A 0,
|A| =
−A si A < 0.
Note que el valor absoluto de un n´mero es siempre un n´mero no-negativo.
u u
Ejemplo 2.8 |2.31|= 2.31, | − 12.54230 · · · | = 12.54230 · · · ⊳](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-30-320.jpg)
![32 Los n´meros reales
u
Ejemplo 2.9 Represente, como uni´n de intervalos, el conjunto A de los n´meros
o u
reales x tales que
|3x + 2| 8 y | − x + 3| > 1.
Soluci´n. Consideremos primero el conjunto de los n´meros reales x tales que
o u
|3x + 2| 8.
De acuerdo al punto 2 de la proposici´n 2.2, esto es equivalente a
o
3x + 2 8 y 3x + 2 −8,
lo cual implica que
3x 6 y 3x −10,
por lo que
10
x 2 y x − .
3
Resumiendo, hemos probado que si x es tal que |3x + 2| 8, entonces
10
x∈ − ,2 .
3
Por otro lado, si un n´mero real x satisface la desigualdad
u
| − x + 3| > 1,
entonces debe satisfacer las desigualdades
−x + 3 > 1 o − x + 3 < −1,
lo cual implica que
−x > −2 o − x < −4,
es decir,
x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, ∞).
Finalmente, los n´meros reales x que satisfacen ambas desigualdades ser´n aqu´llos
u a e
en la intersecci´n del intervalo [−10/3, 2] con el conjunto (−∞, 2)∪ (4, ∞). Es decir,
o
10 10
A= − , 2 ∩ ((−∞, 2) ∪ (4, ∞)) = − , 2 . ⊳
3 3
Ejemplo 2.10 Escriba como uni´n de intervalos el conjunto
o
A = {x ∈ R tales que 1 < | − 2x + 3| 2} .](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-32-320.jpg)
![2.3 Completez de los n´meros reales
u 35
m´ximo valor que toma ese primer d´
a ıgito en los elementos de A1 . (Note que
los elementos de A2 todos tienen la misma parte entera y el mismo primer
d´ıgito despu´s del punto decimal). Ahora nos fijamos en el segundo d´
e ıgito a la
derecha del punto decimal de los elementos de A2 y tomamos el d´ ıgito mayor,
´sto ultimo se consigue sin problema pues s´lo se tiene que escoger entre los
e ´ o
diez d´ıgitos posibles. Ese d´
ıgito mayor ser´ el segundo d´
a ıgito de S despu´s del
e
punto decimal.
Repitiendo el procedimiento anterior, se va construyendo de manera sucesiva la
expansi´n decimal correspondiente al supremum de A, lo que prueba que el conjunto
o
de los n´meros reales posee la propiedad de continuidad.
u
La propiedad de completez se puede establecer tambi´n sin hacer referencia
e
expl´
ıcita al supremum o al infimum, como lo hacemos a continuaci´n. o
Propiedad de completez de los n´ meros reales (segunda versi´n): Si
u o
In = [an , bn ], para n = 1, 2, ..., es una sucesi´n de intervalos cerrados de R tales que
o
In+1 ⊂ In para cada n = 1, 2...,
entonces la intersecci´n de todos ellos es un conjunto no vac´ es decir,
o ıo;
∞
In = φ.
n=1
En particular, si para cada n = 1, 2, . . . se tiene que
n
1
bn − an = ,
10
entonces existe un unico n´mero real P que pertenece a cada uno de los intervalos,
´ u
es decir, tal que P = ∩∞ In .
n=1
Nota Importante:
Si A es un conjunto de expansiones decimales peri´dicas acotado superiormente, su
o
supremum no necesariamente ser´ una expansi´n peri´dica, como se ilustra en el
a o o
ejemplo siguiente.
Ejemplo 2.11 El conjunto de expansiones decimales peri´dicas de la forma
o
0.10
0.10110
0.101101110
0.10110111011110
···](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-35-320.jpg)
![2.4 La Recta Real 37
punto de la recta. La identificaci´n de la parte de la recta a la izquierda del punto
o
cero con las expansiones decimales negativas se hace de manera an´loga. a
Tomando el comp´s con abertura igual a la distancia entre los puntos asociados
a
al cero y al uno, y marcando con esa abertura sucesivamente hacia la derecha, se
fijan los puntos correspondientes a los n´meros naturales y con ellos, los intervalos de
u
la forma [a, a + 1] con a un n´mero natural. Enseguida, realizando el procedimiento
u
con regla y comp´s dado anteriormente, se subdivide cada intervalo [a, a + 1], en
a
diez subintervalos de longitud 1/10 de la forma [a + b1 /10, a + (b1 + 1)/10] con
b1 = 0, 1, 2, . . . , 9. Luego, se toma a ese intervalo para obtener los subintervalos de
longitud 1/102 , de la misma forma: [a + b1 /10 + b2 /102 , a + b1 /10 + (b2 + 1)/102 ] con
b1 , b2 = 0, 1, 2, . . . , 9. Repitiendo este procedimiento k veces, se determinan todos
los intervalos con extremos racionales de la forma
[a.b1 b2 · · · bk , a.b1 b2 · · · (bk + 1)]
con a entero y b1 , b2 , · · · , bk = 0, 1, 2, . . . , 9. Note que al ir tomando k los valores
0, 1, 2, 3, . . ., se obtendr´n todos los intervalos que tienen por extremos los puntos
a
asociados a las expansiones truncadas positivas.
Habi´ndose construido los intervalos anteriores sobre la recta ideal, se procede
e
a asociar a cada expansi´n decimal a.b1 b2 · · · bk · · · el punto P de la recta ideal que
o
se encuentra en la intersecci´n de los intervalos cerrados anidados
o
[a.b1 , a.(b1 + 1)], [a.b1 b2 , a.b1 (b2 + 1)], [a.b1 b2 b3 , a.b1 b2 (b3 + 1)],
etc´tera, formados con los d´
e ıgitos correspondientes de la expansi´n decimal inicial.
o
Aqu´ suponemos que la recta ideal tiene la propiedad de que la intersecci´n de
ı o
intervalos anidados de longitud cada vez m´s peque˜a e igual a una potencia de
a n
1/10, tienen por intersecci´n un punto. Esta ultima, es una manera de suponer que
o ´
la recta ideal no tiene agujeros, es decir, que se forma de un continuo de puntos. A
dicha recta tambi´n se le llama la recta real, o recta num´rica.
e e
Rec´ıprocamente, a cada punto P de la recta ideal se le asocia la expansi´n o
construida en la forma siguiente: Primero se determina a qu´ intervalo de longitud
e
1 y de la forma [a, a+1], con a entero, pertenece el punto P . Esto determina la parte
entera de la expansi´n decimal correspondiente a P . Enseguida, se divide el intervalo
o
anterior en diez subintervalos de longitud 1/10 de la forma [a + b1 /10, a + (b1 + 1)10]
para b1 = 1, 2, . . . , 9 y se determina el valor del d´ ıgito b1 tal que P ∈ [a + b1 /10, a +
(b1 + 1)/10]. Este d´ ıgito b1 ser´ el primer d´
a ıgito a la izquierda de la expansi´n o
decimal asociada a P . A continuaci´n se repite el proceso anterior, subdividiendo
o
en cada paso al intervalo anterior en diez subintervalos y agregando a la derecha
de la expansi´n en formaci´n, el d´
o o ıgito correspondiente al extremo izquierdo del
subintervalo al cual pertenece P . Este proceso nos permite conocer cada uno de los
d´ıgitos de la expansi´n decimal asociada a P y, por lo tanto, el n´mero real asociado
o u
a P.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-37-320.jpg)
![3.1 El concepto de variable y el de funci´n
o 45
Algunas veces, la regla de correspondencia entre los valores de la variable in-
dependiente x y los de la variable dependiente se expresa con distintas f´rmulas,
o
dependiendo del valor de la variable independiente.
Ejemplo 3.4 La funci´n
o
f : [1, 4] → R,
2x + 1 si x ∈ [1, 2],
f (x) = x2 si x ∈ (2, 3),
2 si x ∈ [3, 4],
est´ definida con tres expresiones distintas seg´n d´nde toma su valor la variable x.
a u o
Note que, en el ejemplo 3.4, la imagen de f es el conjunto {2} ∪ [3, 9). ⊳
Una variable real puede depender de dos o m´s variables reales.
a
Ejemplo 3.5 Dado un rect´ngulo, consideremos las variables
a
p : “valor del ´rea del rect´ngulo”,
a a
u : “valor de lo largo del rect´ngulo”, y
a
v : “valor de lo ancho del rect´ngulo”.
a
Entonces podemos escribir a la variable p en funci´n de las variables u y v de
o
tal manera que se tiene una funci´n de dos variables que se expresa en la forma
o
p : [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞),
p(u, v) = u · v. ⊳
Cuando el valor de una variable depende de los valores de dos o m´s variables,
a
se dice que se tiene una funci´n de varias variables reales.
o
Nota Importante:
Si bien al tener una funci´n y = f (x) a cada valor de la variable independiente x
o
le corresponde un unico valor y = f (x) de la variable dependiente y, es posible que
´
a valores distintos de x, la regla de correspondencia les asocie el mismo valor de la
variable y. Por ejemplo, la funci´n real
o
f :R→R
y = f (x) = x2
le hace corresponder a cada par de valores a y −a de la variable x, el mismo valor
a2 de la variable y.
Las funciones que a valores distintos de la variable independiente x, hacen corres-
ponder valores distintos de la variable dependiente y, juegan en la teor´ un papel
ıa
importante, en tanto permiten definir la regla de correspondencia inversa entre la](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-45-320.jpg)
![48 Variables y funciones
3.1.1 Gr´fica de una funci´n
a o
Una funci´n real de variable real f : A → B, se representa gr´ficamente por
o a
un conjunto de puntos en el plano mediante el llamado m´todo de coordenadas
e
de Descartes.2 Este m´todo consiste en fijar primeramente un sistema de rectas
e
reales perpendiculares debidamente numeradas y orientadas, de modo que se corten
ambas en su punto correspondiente al n´mero cero. Al plano, junto con las dos
u
rectas as´ dispuestas, se le llama plano cartesiano. A una de las rectas, escogida
ı
y orientada arbitrariamente se le llama eje de las abscisas y a la otra se le llama
eje de las ordenadas y se toma como su orientaci´n positiva, la que le da el eje de
o
las abscisas al rotarse noventa grados en sentido contrario al de las manecillas del
reloj y caer sobre ese segundo eje. Cada punto P del plano cartesiano se identifica
con la pareja ordenada de n´meros (a, b) donde a, llamado la abscisa de P , es el
u
n´mero real correspondiente al punto sobre el eje de las abscisas donde corta la
u
perpendicular bajada de P a ese eje, y b llamado la ordenada de P, es el n´mero real
u
correspondiente al punto sobre el eje de las ordenadas donde corta la perpendicular
bajada de P a ese eje. A la pareja ordenada (a, b) que identifica al punto P, se le
llaman las coordenadas de P relativas al plano cartesiano inicial.
La gr´fica de f : A → B se construye de la manera siguiente: En la recta
a
del eje de las abscisas se marca el dominio A de la variable independiente x. Para
cada n´mero real a ∈ A, se determina el punto en el plano cartesiano de abscisa
u
a y ordenada y = f (a). Este proceso identifica al conjunto del plano denominado
gr´fica de la funci´n f, definido as´
a o ı:
Gr´fica de f = (a, f (a)) con a ∈ A .
a
En la figura 3.2 se ilustra este conjunto.
y
f (a) a, f (a)
a x
Figura 3.2 Gr´fica de f
a
Ejemplo 3.9 En la figura 3.3 se muestra la gr´fica de la funci´n real
a o
2x − 3, si x ∈ [2, 3)
f (x) =
−x + 6, si x ∈ [3, 4],
cuyo dominio es el intervalo [2, 4]. ⊳
2
Por Ren´ Descartes.
e](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-48-320.jpg)
![3.3 Funciones racionales y trigonom´tricas
e 53
π
180
x
θ
θ
π
180
x
Positivo Negativo
Figura 3.4 Signo de ´ngulos
a
el n´mero real correspondiente a la longitud con signo, del arco que subtiende el
u
´ngulo sobre la circunferencia de radio unitario, como se muestra en la figura 3.4.
a
Se considera sentido positivo para el arco si se recorre en sentido contrario al de las
manecillas del reloj.
A partir de la convenci´n anterior, el ´ngulo de longitud de arco 2π es el ´ngulo
o a a
de 360 grados. A la medida del ´ngulo que subtiende un arco de longitud 1 lo
a
360
llamaremos radi´n y su medida en grados es de
a ≈ 57.29 grados. En general, si
2π
el ´ngulo θ mide x grados, entonces su longitud de arco o medida en radianes ser´
a a
2π
de x radianes y, rec´
ıprocamente, si la longitud en radianes del ´ngulo θ es
a
360
360
de y radianes, su medida en grados ser´ de y
a grados.
2π
Al utilizar longitudes de arco para medir angulos, tiene sentido hablar de ´ngulos
´ a
de cualquier longitud de arco, tanto positiva como negativa.
Ejemplo 3.17 El ´ngulo de medida -100 radianes corresponde al que se obtiene al
a
100
recorrer veces la circunferencia unitaria en el sentido de las manecillas del reloj.
2π
⊳
π π π
Ejemplo 3.18 Los ´ngulos de 30, 45 y 60 grados miden respectivamente , y
a
6 4 3
radianes. ⊳
3.3.2 Las funciones trigonom´tricas
e
Consideremos en un plano cartesiano la circunferencia de centro el origen y radio
unitario. Para cada n´mero real x, consideremos el arco de circunferencia de longi-
u
⌢
tud x, con extremo el punto inicial A = (1, 0). Sea Px el extremo final del arco APx
de longitud x. Se definen las funciones seno y coseno de la forma siguiente:
sen : R → [−1, 1], sen x = ordenada de Px
y
cos : R → [−1, 1], cos x = abscisa de Px .](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-53-320.jpg)
![58 Variables y funciones
Ejercicios y problemas del cap´
ıtulo
1
1. Considere la regla de correspondencia f (x) = . ¿Cu´l debe ser el do-
a
−1 x2
minio de la variable independiente x para que la regla defina correctamente
una funci´n real de variable real? ¿Cu´l es la imagen de la funci´n?
o a o
2. Considere las variables reales siguientes.
y: “valor del ´rea del tri´ngulo equil´tero,”
a a a
x: “valor de la longitud del lado del tri´ngulo equil´tero,”
a a
z: “valor del per´ımetro del tri´ngulo equil´tero”,
a a
w: “valor de la altura del tri´ngulo equil´tero”.
a a
Escriba:
(a) la variable y en funci´n de la variable x,
o
(b) la variable y en funci´n de la variable z,
o
(c) la variable w en funci´n de la variable y,
o
(d) la variable x en funci´n de la variable z,
o
(e) la variable x en funci´n de la variable y.
o
3. Pruebe que las funciones siguientes son uno a uno (es decir, inyectivas) y
determine su funci´n inversa.
o
(a) f : R → [1, ∞), y = f (x) = x2 + x + 1
(b) l : [0, 2] → R, y = l(x) = x2 + x + 1
(c) h : R → R, y = h(x) = 2x + 3
(d) Pruebe que toda funci´n mon´tona (creciente o decreciente) es uno a uno.
o o
4. En la figura 3.10 aparece la gr´fica de la funci´n y = f (x).
a o
2
1
−2 −1 1 2 3
−1
−2
Figura 3.10 Gr´fica de la funci´n del ejercicio 4
a o
Conteste las preguntas siguientes:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-58-320.jpg)
![3.3 Funciones racionales y trigonom´tricas
e 59
(a) ¿Cu´l es el dominio de f ?
a
(b) ¿Cu´l es la imagen de f ?
a
(c) ¿En qu´ intervalo es f creciente?
e
(d) ¿En qu´ intervalo es decreciente?
e
(e) ¿Tiene f funci´n inversa en el conjunto (−1, 3)? Si ´se es el caso, ¿cu´l
o e a
es el dominio y cu´l el contradominio de la inversa?
a
5. Dibuje la gr´fica de cada una de las siguientes funciones con dominio y con-
a
tradominio el conjunto de los n´meros reales.
u
(a) f (x) =| 2x + 3 |
(b) f (x) = [x] =m´ximo entero menor o igual a x.
a
(c) f (x) = f (x) = x − [x]
(d) f (x) = x+ | x2 + 3x + 1 | .
6. Una funci´n f : R → R toma los valores f (0) = 1 y f (2) = 1 y su gr´fica est´
o a a
formada por segmentos de recta con pendiente -1 si x < 0, pendiente 0 en [0,2]
y pendiente 1 si x > 2. Dibuje la gr´fica de la funci´n g en cada uno de los
a o
casos siguientes:
(a) g(x) = f (x)
(b) g(x) = −f (−x)
(c) g(x) = f (2x)
(d) g(x) = f (x + 2)
(e) g(x) = f (3x − 2).
7. Exprese la regla de correspondencia o funci´n y = f (x) entre la variable x y
o
la variable y en los casos siguientes.
(a) x: “valor del per´ımetro de un tri´ngulo equil´tero”,
a a
y: “valor del ´rea de un tri´ngulo equil´tero”.
a a a
(b) x: “valor del ´ngulo formado por los lados iguales de un tri´ngulo
a a
is´sceles de per´
o ımetro 12”,
y: “valor del ´rea de un tri´ngulo is´sceles de per´
a a o ımetro 12”.
(c) x: “valor del ´rea de una esfera”,
a
y: “valor del radio de la esfera en cuesti´n.”
o
8. Una funci´n f (x) definida en todo R se dice que es una funci´n par si
o o
f (x) = f (−x)
para cada x ∈ R. An´logamente se dice que es una funci´n impar si
a o
f (x) = −f (−x).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-59-320.jpg)
![66 Fundamentos del C´lculo
a
anterior, el elemento si de la sucesi´n pertenecer´ al intervalo I, si su etiqueta i es
o a
tal que
11
< r,
(2i + 8)
o, lo que es lo mismo, siempre que su etiqueta i sea mayor que la etiqueta Nr dada
por
1 11
Nr = primer natural mayor que −8 .
2 r
Es decir, se tendr´ que
a
3
si − <r
2
siempre que
1 11
i > primer natural mayor que −8 ,
2 r
lo cual, seg´n la definici´n 4.2, significa que la sucesi´n converge al n´mero 3/2. ⊳
u o o u
Por ejemplo, si escogemos inicialmente r = 1/106 , los elementos de la sucesi´n
o
distar´n de 3/2 en menos de una millon´sima de unidad si su etiqueta es posterior
a e
a la etiqueta
1
N 1 = ((11)(106 ) − 8) = 5499996.
10 6 2
Ejemplo 4.5 La sucesi´n {−1, 1, −1, · · · } es un ejemplo de una sucesi´n no conver-
o o
gente. Esto es as´ pues si un n´mero L fuera su l´
ı, u ımite, tendr´
ıamos una contradicci´n
o
que explicamos a continuaci´n. En primer lugar tendr´
o ıamos que L no podr´ ser
ıa
distinto de 1 y −1, pues si ese no fuera el caso, al escoger un intervalo con centro en
L con radio r menor que la mitad de la distancia m´s peque˜a de L a 1 y −1, no
a n
podr´ıamos encontrar una etiqueta a partir de la cual los elementos de la sucesi´n o
pertenecieran a dicho intervalo. Por otro lado si supusi´ramos que L es el n´mero
e u
1, tomando r = 1/2 tampoco podr´ ıamos encontrar una etiqueta a partir de la cual
todos los elementos de la sucesi´n pertenecieran al intervalo de centro L = 1 y
o
radio 1/2, ya que los elementos de la forma (−1)i con i un n´mero impar est´n
u a
alejados en m´s de 1/2 de L = 1. An´logamente, podr´
a a ıamos repetir el argumento si
supusi´ramos que L es igual a −1. Luego, no existe valor real de L que satisfaga la
e
definici´n de l´
o ımite de la sucesi´n; por lo tanto, ´sta no es convergente.
o e ⊳
4.2.1 Propiedades de las sucesiones convergentes
Enseguida enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades m´s impor-
a
tantes de las sucesiones convergentes.
Una sucesi´n de n´meros reales {ai }∞ se dice acotada si todos sus elementos
o u i=1
se encuentran dentro de un intervalo cerrado de la forma [−M, M ] con M alg´nu
n´mero mayor que cero, es decir, si
u
−M ai M para toda i = 1, 2, . . .](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-66-320.jpg)
![4.2 Convergencia de sucesiones 67
Proposici´n 4.2 Toda sucesi´n {ai }∞ de n´meros reales convergente es acotada.
o o i=1 u
´
Demostracion. La proposici´n se prueba a partir del argumento siguiente: Pri-
o
mero denotemos por L el l´ ımite de esa sucesi´n y por I el intervalo con centro L y
o
radio r = 1. Por ser convergente la sucesi´n, tendremos que existe una etiqueta N
o
a partir de la cual todos los elementos de la sucesi´n ai con i > N pertenecen al
o
intervalo I, o lo que es lo mismo, satisfacen
|ai − L| < 1 para toda i > N. (4.1)
Ahora, aplicando la desigualdad del tri´ngulo en (4.1), se tiene
a
|ai | − |L| |ai − L| < 1
y entonces
|ai | < 1 + |L| para toda i > N.
Tomando ahora C = m´x {|a1 |, |a2 |, . . . , |aN |} y M = m´x {1 + |L|, C} tendremos
a a
que
|ai | < M para todo i = 1, 2, . . . ,
lo cual muestra que todos los t´rminos de la sucesi´n pertenecen al intervalo [−M, M ].
e o
Proposici´n 4.3 El producto de una sucesi´n {ai }∞ acotada por una sucesi´n
o o i=1 o
{bi }∞ convergente a cero es una sucesi´n convergente a cero.
i=1 o
Demostracion. Sea M > 0 una cota para {ai }∞ , es decir,
´ i=1
|ai | < M para toda i = 1, 2, . . .
La distancia al cero del i-´simo t´rmino de la sucesi´n producto {ai bi }∞ para
e e o i=1
i = 1, 2, . . . satisface
|ai bi | |ai ||bi | M |bi |, (4.2)
es decir, es siempre menor que M veces la distancia del t´rmino bi a cero. Luego,
e
si tomamos el intervalo con centro 0 y radio r > 0, sabemos por la convergencia a
cero de la sucesi´n {bi }∞ , que existe un ´
o i=1 ındice Nr tal que
r
|bi | < para toda i > Nr . (4.3)
M
Combinando (4.2) y (4.3) tendremos
|ai bi | < r para toda i > Nr ,
lo que muestra que los t´rminos de la sucesi´n producto distan de cero en menos que
e o
r a partir de la etiqueta Nr . Siendo r > 0 arbitrario, esto significa que la sucesi´n
o
producto {ai bi }∞ converge a cero.
i=1](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-67-320.jpg)
![4.3 Sucesiones mon´tonas
o 71
Proposici´n 4.7 Toda sucesi´n acotada posee una subsucesi´n convergente.1
o o o
Demostracion. Sea {ci }∞ una sucesi´n cuyos elementos pertenecen al inter-
´ i=1 o
valo [a, b]. Dividamos ahora el intervalo [a, b] en los intervalos de igual longitud,
a+b a+b
a, y , b . De aqu´ podemos concluir que en al menos uno de esos
ı
2 2
intervalos habr´ una infinidad de puntos de la sucesi´n {cn } . Supongamos que
a o
a+b
eso ocurre en el primer subintervalo a, . Denotemos este subintervalo por
2
a1 + b1
[a1 , b1 ], divid´moslo a su vez en los subintervalos de igual longitud a1 ,
a y
2
a1 + b1
, b1 , y escojamos alguno de ellos que contenga una infinidad de elementos
2
de la sucesi´n {ci } y denot´moslo por [a2 , b2 ]. Repitamos este proceso, dando lugar
o e
b−a
a una sucesi´n Ii = [ai , bi ] de intervalos cerrados anidados de longitud
o para
∞
2i
i = 1, 2, . . . Los extremos izquierdos {ai }i=1 de los intervalos Ik forman una sucesi´n
o
creciente y acotada de reales y los extremos derechos {bi }∞ forman una sucesi´n
i=1 o
decreciente y acotada. En virtud de la propiedad de continuidad de los n´meros u
reales, la sucesi´n de los extremos izquierdos deber´ converger a su supremum y la
o a
sucesi´n de extremos derechos converger´ a su infimum. Como la diferencia entre
o a
los extremos correspondientes {bi − ai }∞ tiende a cero por construcci´n, tendremos
i=1 o
que ambas sucesiones convergen a un mismo punto real c ∈ [a, b]. Ahora en cada
intervalo Ii escojamos un elemento cm(i) ∈ Ii de la sucesi´n {ci } , de tal manera
o
que m(1) < m(2) < · · · < m(k) < m(k + 1) < · · · ; se puede hacer ´sto pues en
e
cada intervalo Ii existe una infinidad de elementos de {ci }∞ . Luego, la subsucesi´n
i=1 o
cm(k) est´ bien definida y es convergente al punto c.
a
4.3 Sucesiones mon´tonas
o
Una sucesi´n de n´meros reales {si }∞ se dice creciente si para cada par de etiquetas
o u i=1
k, j = 1, 2 · · · con k > j se tiene que sk > sj . An´logamente, la sucesi´n se dice
a o
decreciente si k > j implica sk < sj . A las sucesiones crecientes o decrecientes se les
llama gen´ricamente sucesiones mon´tonas.
e o
∞
i−1
Ejemplo 4.6 La sucesi´n
o es una sucesi´n creciente, pues si k > j se
o
i i=1
tiene que
k−1 j−1 k−j
sk − sj = − = > 0,
k j kj
es decir,
sk > sj . ⊳
1
Esta proposici´n es conocida como teorema de Bolzano-Weierstrass.
o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-71-320.jpg)
![72 Fundamentos del C´lculo
a
La propiedad m´s importante de las sucesiones reales mon´tonas es que si
a o
son acotadas entonces son convergentes. Este resultado es, de hecho, equivalen-
te tambi´n a la propiedad de continuidad de los n´meros reales y, por lo tanto,
e u
juega un papel relevante en la fundamentaci´n del c´lculo.
o a
Teorema 4.8 Cada sucesi´n mon´tona y acotada de n´meros reales es convergen-
o o u
te.
Demostracion. Supongamos que {si }∞ es una sucesi´n real creciente y acotada.
´ i=1 o
En virtud de la propiedad de continuidad de los reales que discutimos en el cap´
ıtulo 2,
existe un n´mero real L que es el supremum del conjunto formado con los elementos
u
de la sucesi´n, es decir,
o
si L para i = 1, 2, . . .
y si si M para i = 1, 2, . . . para alg´n otro n´mero real M, entonces L
u u M.
Probaremos entonces que
lim si = L.
i→∞
Para ello, sea I = (L − r, L + r) el intervalo con centro L y radio r > 0. Note
que no existen elementos de la sucesi´n en [L, L + r) pues L es cota superior de
o
la sucesi´n, pero s´ deber´ existir un elemento sN de la sucesi´n en (L − r, L] ya
o ı a o
que si as´ no fuera, entonces L − r ser´ una cota superior de la sucesi´n menor
ı ıa o
que L, lo cual no es posible pues hemos supuesto que L es la m´ınima cota superior
o supremum de la sucesi´n. Luego, deber´ existir un elemento sN ∈ (L − r, L] y,
o a
al ser la sucesi´n creciente, todos sus elementos si con etiqueta i mayor que N,
o
se encontrar´n a la derecha de sN y consecuentemente pertenecer´n al intervalo I.
a a
Como I es un intervalo de radio arbitrario, hemos probado que L = limi→∞ si .
El resultado siguiente es de gran utilidad en la prueba de varias proposiciones
claves en la materia. Este resultado es tambi´n consecuencia de la propiedad de
e
continuidad de R; m´s a´n, es equivalente a esa propiedad.
a u
Proposici´n 4.9 Si A es un conjunto acotado de puntos de un intervalo cerrado
o
[a, b] y S es su m´
ınima cota superior, entonces existe una sucesi´n no-decreciente
o
de puntos de A que converge a S.
Demostracion. Si S ∈ A, tomando la sucesi´n constante {ai }∞ = {S}∞ ten-
´ o i=1 i=1
dremos una sucesi´n no-decreciente de puntos de A convergente a S. Si S ∈ A
o /
debe existir un elemento a1 de A con a1 < S. Como S = sup A, existe a2 ∈ A con
1
a1 < a2 < S y S − a2 < 2 ya que si as´ no fuera, entonces S − 1/2 ser´ el supremum
ı ıa
de A, lo cual no puede ser verdadero. An´logamente, y por la misma raz´n que antes,
a o
1
deber´ existir un elemento a3 de A tal que a2 < a3 < S y S − a3 < 3 . Lo anterior
a
nos permite construir una sucesi´n creciente a1 < a2 < · · · < an < · · · < S de e-
o
lementos de A tales que S −an < 1/n para cada natural n. Luego, limn→∞ an = S.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-72-320.jpg)
![4.3 Sucesiones mon´tonas
o 73
4.3.1 Criterio de convergencia de Cauchy
El criterio de convergencia de Cauchy2 proporciona una manera de constatar la
convergencia de una sucesi´n sin que necesariamente se conozca su l´
o ımite. Este es
un resultado de gran utilidad en el an´lisis matem´tico y aqu´ lo presentamos en los
a a ı
t´rminos siguientes.
e
Definici´n 4.3 Se dice que una sucesi´n {ai }∞ satisface la propiedad de
o o i=1
Cauchy si para cada r > 0 existe una etiqueta Nr tal que para cualquier par
de etiquetas m, n > Nr se tiene que |am − an | < r.
Teorema 4.10 Una sucesi´n de n´meros reales {ai }∞ es convergente si y s´lo si
o u i=1 o
satisface la propiedad de Cauchy.
Demostracion. Suficiencia: Supongamos que la sucesi´n {ai }∞ satisface la
´ o i=1
propiedad de Cauchy. En particular, si tomamos r = 1 existe una etiqueta N1
tal que si m, n N1 se cumple
|am − an | < 1,
es decir, en particular
|am − aN1 | < 1 si m > N1 ,
lo que implica que
|am | < 1 + |aN1 | si m > N1 ,
y entonces el n´mero
u
M = m´x {|a1 |, |a2 |, . . . , |aN1 −1 |, 1 + |aN1 |}
a
ser´ tal que
a
−M ai M para todo i = 1, 2, . . . ,
lo cual significa que la sucesi´n es acotada y todos sus elementos pertenecen al inter-
o
valo cerrado [−M, M ]. Luego, en virtud de la proposici´n 4.7, posee una subsucesi´n
o o
{ami }∞ convergente, digamos a un n´mero L. Probaremos ahora que la sucesi´n
i=1 u o
∞
{ai }i=1 converge a L. Para ello consideremos el intervalo arbitrario (L−r, L+r). En
∞
primer lugar, dado que la subsucesi´n {ami }i=1 converge a L, existir´ una etiqueta
o a
Nr tal que si mi > Nr , se tiene que
r
|ami − L| < .
2
2
Augustin Louis Cauchy, mencionado en el cap´ ıtulo primero, quien fue pionero en el estudio de
la convergencia y la divergencia de series infinitas; hizo aportaciones en ecuaciones diferenciales y
f´
ısica matem´tica, entre otras ´reas.
a a](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-73-320.jpg)
![4.4 L´
ımite de una funci´n en un punto
o 75
4.4 L´
ımite de una funci´n en un punto
o
Definici´n 4.4 Sea f (x) una funci´n real definida en un intervalo abierto
o o
(a, b) y x0 un punto del intervalo cerrado [a, b]. Diremos que el l´ımite 3 de
la funci´n f (x) cuando la variable x tiende a x0 tiene el valor L si
o
para cada sucesi´n {xi }∞ de elementos de (a, b), distintos de x0 , y que con-
o i=1
verge a x0 , se tiene que la sucesi´n {f (xi )}∞ converge a L. Simb´licamente,
o i=1 o
denotaremos lo anterior escribiendo
lim f (x) = L.
x→x0
En el caso de funciones f (x) definidas en intervalos de la forma (a, ∞) se dir´ que
a
ımite de f (x) cuando la variable x tiende a ∞, si para cada sucesi´n {xi }∞
L es el l´ o i=1
de elementos de (a, ∞) creciente y no acotada se tiene que la sucesi´n {f (xi )}∞
o i=1
converge a L. Tal caso se denota
lim f (x) = L.
x→∞
En lenguaje com´n, podemos decir que L es el l´
u ımite de una funci´n f (x) cuando
o
la variable independiente tiende al valor x0 , si al tomar valores de la variable in-
dependiente x cada vez m´s cercanos a x0 , los valores correspondientes y = f (x)
a
de la variable dependiente bajo la funci´n son “cada vez m´s cercanos a L”. A la
o a
expresi´n “cada vez m´s cercanos” le hemos dado significado con el concepto de
o a
sucesi´n convergente y con la condici´n de que la aproximaci´n al punto x0 se haga
o o o
mediante puntos distintos de ´l.
e
Nota Importante:
1. De acuerdo a la definici´n 4.4, el punto x0 donde se define el l´
o ımite de la
funci´n, no tiene que estar necesariamente en el dominio de la funci´n; lo
o o
importante es que x0 sea l´ ımite de puntos del dominio de la funci´n. Por
o
ejemplo, se puede hablar del l´ımite de la funci´n en los puntos extremos a y
o
b, aunque la funci´n s´lo est´ definida en (a, b).
o o e
2. Cuando se dice que la variable independiente x toma valores cada vez m´s a
cercanos al valor x0 , se est´n considerando las dos posibilidades: que x se
a
aproxime a x0 por la izquierda y que se aproxime por la derecha. Si {xn }∞
n=0
es una sucesi´n que se aproxima a x0 por la izquierda (es decir, xn − x0 < 0
o
3
Una definici´n equivalente fu´ dada alrededor de 1850 por Karl Weierstrass, llamada citerio
o e
ımite, y que enunciamos a continuaci´n: limx→x0 f (x) = L si para cada
ε-δ para la existencia del l´ o
ε > 0 existe δ(ε) tal que si 0 < |x − x0 | < δ entonces |f (x) − L| < ε.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-75-320.jpg)
![4.5 Continuidad de funciones 79
se deduce que
sen x
lim = 1.
x→0− x
Por tanto
sen x
lim = 1.
x→0 x
(d)
1 − cos x (1 − cos x)(1 + cos x)
lim = lim
x→0 x x→0 x(1 + cos x)
1 − cos2 x 1
= lim
x→0 x 1 + cosx
sen x sen x
= lim
x→0 x 1 + cos x
0 ⊳
= 1 · = 0.
2
De la definici´n de l´
o ımite de una funci´n y las propiedades de las sucesiones
o
convergentes respecto de las operaciones de suma y producto, se sigue el teorema
siguiente, que justifica el pen´ltimo paso de la demostraci´n anterior.
u o
Teorema 4.11 Sean f : (a, b) → R y g : (a, b) → R funciones reales y x0 ∈ [a, b].
1. Si
lim f (x) = L y lim g(x) = M,
x→x0 x→x0
entonces,
lim (f + g)(x) = L + M y lim (f · g)(x) = LM.
x→x0 x→x0
2. Si lim f (x) = L y L = 0,
x→x0
1 1
lim = .
x→x0 f (x) L
4.5 Continuidad de funciones
El concepto de l´
ımite que hemos presentado nos permite definir en t´rminos precisos
e
la noci´n de continuidad en un punto para una funci´n real de variable real. La
o o
continuidad de una funci´n es una propiedad de car´cter local, en tanto se refiere
o a
al valor en un punto y al comportamiento de la funci´n alrededor de ese punto.
o
En lenguaje llano, una funci´n real de variable real y = f (x) se dice continua en
o
un punto x0 de su dominio, si en puntos x cercanos a x0 los valores de la funci´n o
y = f (x) son cercanos a f (x0 ). En t´rminos del concepto de l´
e ımite, la definici´n de
o
continuidad se escribe as´
ı:](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-79-320.jpg)
![80 Fundamentos del C´lculo
a
Definici´n 4.5 Una funci´n real y = f (x) definida en un intervalo I se dice
o o
continua en un punto x0 ∈ I si para cada sucesi´n {xi }∞ de elementos de
o i=1
I convergente a x0 , la sucesi´n {f (xi )}∞ es una sucesi´n convergente a f (x0 ).
o i=1 o
Es decir,
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Si la funci´n f (x) es continua en cada uno de los puntos de su dominio I, se
o
dice que la funci´n es continua en el intervalo I.
o
Nota Importante:
La continuidad en un punto x0 del dominio de una funci´n puede no existir, ya sea
o
ımite de la funci´n en ese punto no exista (ver ejemplo 4.10), o s´ exista,
porque el l´ o ı
pero sea distinto del valor f (x0 ) de la funci´n en el punto (ver ejemplo 4.11).
o
Ejemplo 4.10 La funci´n f : [−1, 1] → R definida por
o
1 si x=0
f (x) = x
0 si x=0
es continua en x0 = 0 y no es continua en x0 = 0 pues el limx→0 f (x) no existe. (La
gr´fica de f (x) aparece en la figura 4.1(c).)
a ⊳
Ejemplo 4.11 La funci´n f : (−1, 1) → R definida mediante
o
|x| si x=0
f (x) =
−1 si x = 0,
es continua en todo su dominio salvo en x0 = 0 ya que limx→0 f (x) = 0 = f (0) = −1.
⊳
Ejemplo 4.12 La funci´n f : R → R definida mediante
o
1 si x es racional
f (x) =
0 si x es irracional
no es continua en punto alguno de R. ⊳
Enseguida probaremos que la propiedad de continuidad en un punto se preserva
bajo las operaciones de suma, producto y composici´n de funciones.
o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-80-320.jpg)
![82 Fundamentos del C´lculo
a
puntos de ese intervalo.
Teorema 4.13 Sea f (x) : [a, b] → R una funci´n continua en [a, b]. Entonces:
o
1. La funci´n f (x) es una funci´n acotada en [a, b], es decir existe M > 0
o o
tal que
|f (x)| M para todo x ∈ [a, b].
2. La funci´n f (x) alcanza en [a, b] su supremum y su infimum, es decir,
o
existen x1 y x2 ∈ [a, b] tales que f (x1 ) f (x) y f (x2 ) f (x) para toda
x ∈ [a, b].
3. (Propiedad del valor intermedio) Si f (a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe
xc ∈ (a, b) tal que f (xc ) = 0.
4. La funci´n f (x) es uniformemente continua en [a, b], es decir para
o
cada r > 0 existe δ > 0 tal que siempre que x, z ∈ [a, b] con |x − z| < δ,
se cumple que |f (x) − f (z)| < r.
´
Demostracion. Probaremos el punto 1 por contradicci´n. Supongamos que ex-
o
istiese una funci´n f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y ´sta no fuera aco-
o e
tada; esto significar´ que para cada n´mero natural n, existir´ un punto cn ∈ [a, b]
ıa u ıa
tal que |f (cn )| > n. Siendo {cn }∞ una sucesi´n acotada, en virtud de la Proposici´n
n=1 o o
∞ ∞
4.7, podemos extraer de {cn }n=1 una subsucesi´n cm(n) n=1 convergente a un punto
o
∞
c ∈ [a, b]. Por otro lado, por construcci´n, la sucesi´n f (cm(n) ) n=1 no es conver-
o o
gente ya que |f (cm(n) )| > m(n), lo cual da lugar a una contradicci´n. Luego, la
o
suposici´n que hicimos al principio es falsa y entonces toda funci´n continua en
o o
[a, b] es acotada.
Para demostrar la validez del punto 2, denotemos por
S = sup {f (x) para x ∈ [a, b]} .
Por la definici´n de supremum, existe una sucesi´n creciente {f (xi )}∞ convergente
o o i=1
∞
a S. Consideremos ahora la sucesi´n {xi }i=1 . Esta sucesi´n es un conjunto infinito
o o
de puntos de [a, b] y por el mismo argumento que usamos en la prueba del punto
∞
1, podremos extraer de ella una subsucesi´n xm(i) i=1 convergente a un punto
o
x = c. Siendo la funci´n continua en c, tendremos que limi→∞ f (xm(i) ) = f (c). Pero
o
∞
limi→∞ f (xm(i) ) = limi→∞ f (xi ) = S por ser xm(i) i=1 subsucesi´n de {xi }∞ .
o i=1
Luego, f (c) = S, es decir el supremum S se alcanza en el punto x = c.
Para probar el punto 3, realicemos el proceso siguiente: en un primer paso, deter-
minemos el punto medio m1 = (a + b)/2 de [a, b]. Si f (m1 ) = 0, habremos probado
el enunciado del teorema. Si f (m1 ) > 0, consideramos el intervalo [m1 , b] ⊂ [a, b], y
si f (m1 ) < 0, entonces consideraremos el intervalo [a, m1 ] ⊂ [a, b]. Supongamos que
f (m1 ) > 0, en tal caso, determinemos enseguida el punto medio m2 = (b + m1 )/2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-82-320.jpg)
![4.6 Continuidad en intervalos compactos 83
de [m1 , b] y evaluemos f (m2 ). Si f (m2 ) = 0 habremos probado el enunciado 3. Si
por el contrario, f (m2 ) > 0, consideramos el intervalo [m2 , b] ⊂ [m1 , b] ⊂ [a, b], y si
f (m2 ) < 0 entonces consideramos el intervalo [a, m2 ] ⊂ [a, m1 ] ⊂ [a, b] y volvemos a
tomar el punto medio m3 y repetimos el proceso. Finalmente, habremos construido
una sucesi´n In de intervalos cerrados anidados In ⊂ In−1 ⊂ In−2 ⊂ · · · ⊂ [a, b]
o
de longitud (b − a)/2n y tales que el valor de f (x) en el extremo izquierdo de cada
intervalo es positivo y el valor de f (x) en cada extremo derecho es negativo. Te-
niendo en cuenta que la sucesi´n {an } formada con los extremos izquierdos de In
o
y la sucesi´n {bn } formada con los extremos derechos de los intervalos In son suce-
o
siones mon´tonas con bn − an < (b − a)/2n , ambas sucesiones deber´n converger a
o a
un mismo punto c,
c = lim an = lim bn
n→∞ n→∞
y por la continuidad de f en c deberemos tener
f (c) = lim f (an ) = lim f (bn ).
n→∞ n→∞
Como f (an ) > 0 y f (bn ) < 0 para n = 1, 2, . . . , concluimos que simult´neamente
a
se tendr´ que f (c) 0 y f (c) 0 y por lo tanto f (c) = 0, con lo que se prueba el
a
punto 3.
La prueba de la continuidad uniforme la daremos tambi´n por contradicci´n.
e o
Supongamos as´ que lo afirmado en el punto 4 no es cierto. Esto quiere decir que
ı
∞ ∞
existir´ un n´mero ε0 > 0 y dos sucesiones {ai }i=1 y {bi }i=1 de elementos de [a, b]
a u
tales que
1
bi > ai , bi − ai < , y |f (bi ) − f (ai )| > ε0 para i = 1, 2, . . .
i
Repitiendo el argumento que utilizamos al probar el punto 1, podemos afirmar
la existencia de una sucesi´n formada con elementos de la forma am(i) con m(1) <
o
m(2) < · · · m(k) < · · · , la cual es convergente a alg´n n´mero c ∈ [a, b]. Fij´ndonos
u u a
ahora en la sucesi´n correspondiente bm(i) , podemos asegurar que tambi´n con-
o e
verger´ al mismo n´mero c ya que bm(i) − am(i) < 1/m(i). Siendo f (x) continua en c
a u
deberemos tener que limi→∞ f (am(i) ) = limi→∞ f (bm(i) ) = f (c), lo cual contradice el
hecho de que |f (bm(i) ) − f (am(i) )| > ε0 para toda i = 1, 2, . . . que hab´
ıamos supuesto
verdadero para las sucesiones {ai }∞ y {bi }∞ . Por lo tanto la suposici´n hecha es
i=1 i=1 o
falsa y lo afirmado por el Teorema en el punto 4, es verdadero.
El resultado siguiente es consecuencia de la propiedad del valor intermedio para
funciones continuas.
Corolario 4.14 Si f : [a, b] → R es continua e inyectiva, entonces f es mon´tona.
o
´
Demostracion. Supongamos que f no es mon´tona en [a, b]. Entonces existen
o
a x1 < x2 < x3 b tales que f (x1 ) < f (x2 ) y f (x2 ) > f (x3 ), o f (x1 ) > f (x2 )](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-83-320.jpg)
![84 Fundamentos del C´lculo
a
y f (x2 ) < f (x3 ). Supongamos que se da el primer caso. Como no es posible que
f (x3 ) = f (x1 ), se tendr´ que f (x3 ) > f (x1 ), o f (x3 ) < f (x1 ). En el primer caso
a
podemos asegurar la existencia de un n´mero c tal que f (x1 ) < f (x3 ) < c < f (x2 ).
u
Consideremos la funci´n continua h(x) = f (x) − c. N´tese que h(x1 ) < 0, h(x2 ) > 0
o o
y h(x3 ) < 0. Por la propiedad del valor intermedio, existir´n n´meros yc ∈ (x1 , x2 )
a u
y zc ∈ (x2 , x3 ) tales que h(yc ) = h(zc ). Pero esto implicar´ que f (yc ) = f (zc ),
ıa
contrario a la suposici´n de que f es inyectiva.
o
Corolario 4.15 Si una funci´n continua f :[a, b] → R tiene inversa, ´sta es con-
o e
tinua.
Nota Importante:
1. En el teorema 4.13, la condici´n de que el dominio de continuidad de la funci´n
o o
sea un intervalo cerrado es imprescindible. Basta considerar como contraejem-
plo la funci´n f : (0, 1) → R definida mediante
o
1
f (x) = ,
x
que obviamente ni es acotada ni es uniformemente continua en (0, 1).
2. La propiedad del valor intermedio da lugar al llamado “m´todo de bisecci´n”
e o
para determinar soluciones a ecuaciones de la forma f (x) = 0 con f : R → R
una funci´n continua. El m´todo proporciona soluciones con el grado de a-
o e
proximaci´n que se desee y consiste de los siguientes pasos:
o
1ro. Encuentre a, b ∈ R con a < b y tales que f (a) > 0 y f (b) < 0. En virtud
de la propiedad del valor intermedio, existir´ una soluci´n a f (x) = 0 en
a o
[a, b].
2do. Tome el punto medio (a + b)/2 del intervalo [a, b] y considere el valor
f ((a + b)/2). Si f ((a + b)/2) = 0 habremos encontrado una soluci´n a o
la ecuaci´n. Si f ((a + b)/2) > 0, se considera el intervalo [(a + b)/2, b] y
o
por el mismo argumento anterior, existir´ en [(a + b)/2, b] una soluci´n
a o
para la ecuaci´n. En caso contrario, si f ((a + b)/2) < 0, existir´ soluci´n
o a o
en el intervalo [a, (a + b)/2]. Supongamos que se tiene f ((a + b)/2) < 0.
3ro. Tome el punto medio (3a + b)/4 del intervalo [a, (a + b)/2] y eval´e la u
funci´n en ese punto, f ((3a + b)/4) y, seg´n sea su signo, tome el intervalo
o u
[a, (3a + b)/4] si f ((3a + b)/4) < 0 o el intervalo [(3a + b)/4, (a + b)/2] si
f ((3a + b)/4) > 0 y en el nuevo intervalo, que es de longitud (b − a)/8,
deber´ existir una soluci´n. Prosiguiendo con este proceso, en el n-´simo
a o e
paso se tendr´ situada una soluci´n en un intervalo de longitud (b−a)/2n ,
a o
lo que nos permite conocer una soluci´n de la ecuaci´n con un error menor
o o
n
que (b − a)/2 .](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-84-320.jpg)
![4.6 Continuidad en intervalos compactos 85
Ejemplo 4.13 Encuentre una soluci´n a la ecuaci´n x3 − 15x + 1 = 0 con aproxi-
o o
maci´n de 1/100.
o
Soluci´n:
o
1ro. Tomando a = 0 y b = 1 tenemos f (0) = 1 > 0 y f (1) = −13 < 0 y siendo
f (x) = x3 −15x+1 continua, existir´ una soluci´n a la ecuaci´n en el intervalo
a o o
I1 = [0, 1]. Este primer paso, nos determina el n´mero de etapas que ser´n
u a
necesarias para obtener una soluci´n a la ecuaci´n con un error pedido. En
o o
nuestro caso, deberemos de llevar al cabo al menos 8 bisecciones para tener
1
un error menor que 218 < 100 .
1 1
2do. El punto medio de I1 es el punto x = 2 y f ( 2 ) < 0; luego, habr´ una soluci´n
a o
en el intervalo I2 = [0, 1 ].
2
1
3ro. El punto medio de I2 es el punto x = 4 y f ( 1 ) < 0; as´ la soluci´n se halla en
4 ı, o
1
I3 = [0, 4 ]
1
4to. El punto medio de I3 es x = 8 y f ( 1 ) < 0; luego, la soluci´n se encuentra en
8 o
I4 = [0, 1 ].
8
1 1
5to. El punto medio de I4 es x = 16 y f ( 16 ) > 0, y entonces la soluci´n se localiza
o
1 1
en el intervalo I5 = [ 16 , 8 ].
3 3
6to. El punto medio de I5 es x = 32 y f ( 32 ) < 0, y la soluci´n se encuentra en
o
1 3
I6 = [ 16 , 32 ].
5 5
7mo. El punto medio de I6 es x = 64 y f ( 64 ) < 0; luego, la soluci´n se ubica en
o
1 5
I7 = [ 16 , 64 ]
9 9
8vo. El punto medio de I7 es x = 128 con f ( 128 ) < 0 y tendremos una soluci´n en
o
8 9
[ 128 , 128 ].
17
De lo anterior concluimos que el valor x = 256 es un n´mero que satisface la ecuaci´n
u o
con un error menor que 1/2 8 , es decir, menor que 1/100. ⊳](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-85-320.jpg)
![4.6 Continuidad en intervalos compactos 87
(c) Demuestre que cada funci´n lipschitziana es continua en todos los puntos
o
de su dominio.
11. Sea {ai }∞ una sucesi´n real con lim ai = L. Pruebe que la sucesi´n {|ai |}∞
i=1 o o i=1
i→∞
converge a |L|.
12. Pruebe que si la funci´n f (x) es continua en x = x0 , tambi´n ser´ continua en
o e a
ese punto la funci´n |f (x)|.
o
13. Calcule los l´
ımites siguientes, si existen, y si no es el caso, diga por qu´.
e
1
(a) lim x sen
x→0 x
1
(b) lim sen
x→0 x
x2−4
(c) lim
x→2 x − 2
14. Conteste “falso” o “verdadero”.
Si lim f (x) = L, entonces:
x→a
(a) f est´ definida en x = a,
a
(b) f (a) = L,
(c) f es continua en x = a.
Si f es continua en R, entonces
(a) f 2 (x) es continua en R,
(b) f (x + 2) es continua en R.
Si f : (a, b) → R es una funci´n continua en (a, b), entonces
o
(a) f es no acotada,
(b) f es acotada pero no alcanza en (a,b) su valor m´ximo.
a
15. Aplicando la propiedad del valor intermedio para funciones continuas, de-
muestre que la ecuaci´n x3 + x2 − x − 4 = 0 tiene una soluci´n en el intervalo
o o
[1, 2].
16. Pruebe que si una funci´n continua f :[a, b] → R tiene inversa, ´sta es continua.
o e
17. Sea f (x) una funci´n continua en [0, 1] y tal que 0 f (x) 1 para toda x ∈
o
[0, 1]. Demuestre que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. (Aplique la propiedad
del valor intermedio a la funci´n g(x) = f (x) − x.)
o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-87-320.jpg)
![90 Medida de la raz´n de cambio: la derivada
o
Al cociente (5.1) lo llamaremos cociente diferencial de la funci´n en el punto x0
o
correspondiente a la variaci´n de magnitud h de la variable independiente y lo de-
o
∆f
notaremos con (x0 )(h).
∆x
Ejemplo 5.1 Para la funci´n
o
y = f (x) = x2 ,
el cociente diferencial en el punto x0 = 2 correspondiente a la variaci´n de magnitud
o
1
h = 10 , es el n´mero
u
1 1 2
∆f 1 f 2+ 10 − f (2) (2 + 10 ) −4 41
(2) = 1 = 1 = .
∆x 10 10 10
10
An´logamente, el cociente diferencial de la funci´n en el punto x0 = 2 correspon-
a o
diente a una variaci´n de magnitud h = −2/5 es el n´mero
o u
2
∆f 2 f 2− 5 − f (2) (2 − 2 )2 − 4
5 36
(2) − = = = .
∆x 5 −2
5 −5 2 10
En general, para una variaci´n de magnitud h en el punto x0 = 2, el cociente
o
diferencial de la funci´n y = f (x) = x2 toma el valor
o
∆f (2 + h)2 − (2)2
(2)(h) = = 4 + h. ⊳
∆x h
Ejemplo 5.2 Supongamos que una part´ ıcula se mueve a lo largo de una l´
ınea recta
y que la variable d = d(t) mide su posici´n en el instante t con respecto a un punto
o
de referencia dado. El cociente diferencial en un tiempo t0 y para una variaci´n o
de magnitud h en el tiempo, es la distancia recorrida en el intervalo de tiempo
[t0 , t0 + h] dividida por el tiempo transcurrido (es decir, h):
∆d d(t0 + h) − d(t0 )
(t0 )(h) = , h = 0.
∆t h
A este valor se le conoce como velocidad media de la part´ıcula en el intervalo de
tiempo [t0 , t0 + h] (o el intervalo [t0 + h, t0 ] si h < 0):
∆d
Velocidad media en [t0 , t0 + h] = (t0 )(h). ⊳
∆t
Nota Importante:
La magnitud h de la variaci´n de la variable independiente siempre se toma distinta
o
de cero y el valor del cociente diferencial de una funci´n en un punto x0 depende del
o
valor de h. En el sentido anterior, el cociente diferencial de una funci´n en el punto
o
x0 es una funci´n de la magnitud h de la variaci´n de la variable independiente.
o o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-90-320.jpg)
![92 Medida de la raz´n de cambio: la derivada
o
Nota Importante:
Es posible que una funci´n no posea derivada en algunos de los puntos de su dominio.
o
Por ejemplo, la funci´n f : R → R
o
f (x) = |x|
no posee derivada en x = 0, ya que el cociente diferencial toma la forma
|h| = 1 si h < 0
∆|x| h
(0)(h) =
∆x |h|
= −1 si h > 0.
h
Luego, si tomamos una sucesi´n convergente a cero de variaciones positivas {hn }∞
o n=1
(hn > 0), la sucesi´n de los cocientes diferenciales converger´ a 1, mientras que si
o a
tomamos una sucesi´n convergente a cero de variaciones negativas {hn }∞ (hn < 0)
o n=1
la sucesi´n de los cocientes diferenciales converger´ a −1. Al no existir un l´
o a ımite
unico cuando las variaciones h tienden a cero, la funci´n no tiene derivada en x = 0.
´ o
En t´rminos de la gr´fica de la funci´n alrededor del punto x = 0, se observa
e a o
que esa curva no tiene una recta tangente en el punto (0,0) pues mientras las rectas
secantes correspondientes a incrementos positivos de la variable independiente tienen
todas pendiente 1, las rectas secantes correspondientes a incrementos negativos de
la variable x tienen todas pendiente −1 y no se define una recta tangente unica para
´
ambos lados del punto x = 0.
Si la funci´n y = f (x) tiene por dominio un intervalo cerrado y acotado [a, b],
o
se dice que es derivable en el punto extremo a si para cada sucesi´n {hn }∞ de
o n=1
variaciones positivas hn > 0, la sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales
o
converge. A ese valor se le llama derivada por la derecha en x = a. An´logamente
a
se define la derivada por la izquierda en el extremo b del intervalo [a, b]. En general,
diremos que la funci´n f es derivable en todos los puntos de un intervalo I, si lo
o
es en los puntos interiores y en los extremos posee derivada por la derecha o por la
izquierda, seg´n sea el caso.
u
Una propiedad natural que tiene toda funci´n que es derivable en un punto, es
o
que es continua en ese punto. Probaremos esto ultimo con la proposici´n siguiente.
´ o
Proposici´n 5.1 Si f : (a, b) → R, y = f (x) es una funci´n derivable en x0 ,
o o
entonces f es una funci´n continua en x0 .
o
´
Demostracion. Debemos demostrar que limx→x0 f (x) = f (x0 ) o, equivalente-
mente, que limx→x0 (f (x) − f (x0 )) = 0. Tomemos una sucesi´n {xi }∞ convergente
o i=1
a x0 con xi = x0 para i = 1, 2, . . . , y consideremos la sucesi´n de variaciones
o
{hi }∞ = {xi − x0 }∞ , la cual es una sucesi´n convergente a cero. Entonces, para
i=1 i=1 o
probar que la funci´n y = f (x) es continua en x0 , debemos mostrar que la sucesi´n
o o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-92-320.jpg)
![5.1 Definici´n de derivada
o 93
{f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ es convergente a cero. Al escribir
i=1
∞
f (x0 + hi ) − f (x0 )
{f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ =
i=1 {hi }∞
i=1
hi i=1
∞
f (x0 + hi ) − f (x0 ) df
vemos que la sucesi´n
o es convergente a (x0 ) ya que,
hi i=1 dx
por hip´tesis, la funci´n y = f (x) tiene derivada en x0 . Por lo tanto, en el lado
o o
derecho tenemos un producto de sucesiones convergentes, de las cuales una de ellas
es convergente a cero. Luego, por el teorema 4.6, el producto de las sucesiones ser´a
convergente a cero, con lo cual se demuestra que
{f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ → 0,
i=1
y por lo tanto, la funci´n y = f (x) es continua en x0 .
o
Nota Importante:
La proposici´n anterior afirma que la continuidad en el punto es necesaria para la
o
existencia de la derivada, sin embargo, la continuidad en el punto no es suficiente
para asegurar la existencia de la derivada, como lo muestra la funci´n f (x) = |x|
o
en el punto x = 0, la cual a pesar de ser continua en x = 0, no es derivable en ese
punto.
5.1.1 Interpretaci´n geom´trica de la derivada
o e
En t´rminos de la gr´fica de la funci´n y = f (x), para cada variaci´n de magnitud
e a o o
h de la variable independiente con respecto al valor inicial x0 , el cociente diferencial
∆f f (x0 + h) − f (x0 )
(x0 )(h) = es la pendiente de la recta secante a la gr´fica de la
a
∆x h
funci´n por los puntos (x0 , f (x0 )) y (x0 + h, f (x0 + h)) como se observa en la figura
o
5.1.
As´ la derivada en el punto x0 es el l´
ı, ımite de las pendientes de las rectas secantes
cuando el segundo punto (x0 + h, f (x0 + h)) sobre la gr´fica se toma cada vez
a
m´s cercano al punto inicial (x0 , f (x0 )). En los t´rminos geom´tricos anteriores, la
a e e
derivada de y = f (x) en el punto x0 coincide con la pendiente de la recta tangente
a la gr´fica de la funci´n en el punto (x0 , f (x0 )). Por lo contrario, el que la funci´n
a o o
y = f (x) no posea derivada en el punto x0 significa que la curva que define la gr´fica a
de la funci´n no tiene recta tangente en el punto (x0 , f (x0 )). Este ultimo es el caso
o ´
de la gr´fica de la funci´n f (x) = |x| en el punto (0, 0).
a o
En el caso en el que d = d(t) sea una funci´n de posici´n, la derivada en un
o o
instante t0 es el n´mero al cual tienden las velocidades medias en intervalos de la
u
forma [t0 , t0 + h], cuando la duraci´n h del intervalo tiende a cero, y se interpreta
o
como la velocidad instant´nea en t0 . Dicho de otra manera, la velocidad instant´nea
a a
en el instante t0 es el l´ımite de las velocidades promedio tomadas sobre intervalos
de tiempo alrededor de t0 con duraci´n cada vez m´s y m´s peque˜a.
o a a n](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-93-320.jpg)
![98 Medida de la raz´n de cambio: la derivada
o
3. Regla de derivaci´n de un cociente de funciones.
o
1
Si f es derivable en x0 y f (x0 ) = 0, entonces la funci´n
o est´ definida
a
f
en un intervalo alrededor de x0 , es derivable en x0 y
1 df
d (x0 )
f
(x0 ) = − dx 2 . (5.8)
dx f (x0 )
4. Regla de la cadena (o de derivaci´n de funciones compuestas).
o
La funci´n composici´n q ◦ f : (a, b) → R es derivable en el punto x0 y
o o
d(q ◦ f ) dq df
(x0 ) = (f (x0 )) · (x0 ). (5.9)
dx dy dx
5. Regla de derivaci´n de la funci´n inversa.
o o
Sea f : [a, b] → R una funci´n continua y derivable en el punto x0 ∈ (a, b)
o
df
con (x0 ) = 0. Si f posee funci´n inversa f −1 : [c, d] → [a, b], entonces
o
dx
la inversa f −1 es derivable en y0 = f (x0 ) y
df −1 1
(f (x0 )) = , (5.10)
dy df
(x0 )
dx
o
df −1 1
(y0 ) = . (5.11)
dy df −1
(f (y0 ))
dx
Demostracion. Sea hi = 0, i = 1, 2, . . . , y {hi }∞ → 0.
´ i=1
1. La sucesi´n de cocientes diferenciales en x0 de la funci´n suma f + g corres-
o o
pondientes a esas variaciones, toma la forma
∆(f + g) (f + g)(x0 + hi ) − (f + g)(x0 )
(x0 )(hi ) = =
∆x hi
f (x0 + hi ) − f (x0 ) + g(x0 + hi ) − g(x0 )
= =
hi
∆f ∆g
= (x0 )(hi ) + (x0 )(hi ).
∆x ∆x
Tomando en cuenta que para las funciones y = f (x) y z = g(x) la sucesi´n de o
cocientes diferenciales tiende a sus respectivas derivadas en el punto x0 cuando el](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-98-320.jpg)
![102 Medida de la raz´n de cambio: la derivada
o
5. Como f es continua y posee inversa, en virtud del corolario 4.14, f es una
funci´n mon´tona que supondremos creciente. Para probar que la funci´n inversa
o o o
x = f −1 (y) es derivable en y0 = f (x0 ), tomemos una sucesi´n de variaciones
o
{f (x0 ) + ki }∞ → 0 de la variable y con ki = 0. Sea ahora la sucesi´n {hi }∞
i=1 o i=1
definida para cada i = 1, 2, .. como aquel valor hi = 0 tal que
f (x0 + hi ) = f (x0 ) + ki .
La existencia de las hi = 0 que satisfagan la relaci´n anterior est´ garantizada, pues
o a
f es uno a uno, y cada n´mero f (x0 ) + ki pertenece a la imagen de f . Escribamos
u
ahora el cociente diferencial para x = f −1 (y) en f (x0 ) en la forma
∆f −1 f −1 (f (x0 ) + ki ) − f −1 (f (x0 ))
(f (x0 ))(ki ) = =
∆y ki
hi 1
= = ,
f (x0 + hi ) − f (x0 ) f (x0 + hi ) − f (x0 )
hi
donde hemos tomando en cuenta que f −1 (f (x)) = x para cada x ∈ [a, b] y hemos
sustituido las relaciones
x0 + hi = f −1 (f (x0 + hi )) = f −1 (f (x0 ) + ki ), para i = 1, 2, . . .
Ahora, considerando que la funci´n inversa es continua en f (x0 ), tenemos
o
∞
lim (x0 + hi ) = lim f −1 (f (x0 + hi )) i=1
= x0 ,
i→∞ i→∞
ya que limi→∞ f (x0 + hi ) = f (x0 ) y entonces {hi }∞ → 0. Luego, aplicando el
i=1
criterio de convergencia para cocientes de sucesiones (teorema 4.6), podemos escribir
df −1 1
(f (x0 )) = lim =
dy hi →0 f (x0 + hi ) − f (x0 )
hi
1 1
= = .
f (x0 + hi ) − f (x0 ) df
lim (x0 )
hi→0 hi dx
√
Ejemplo 5.5 La derivada de la funci´n x en x0 = 0 es el n´mero
o u
√
d x 1
(x0 ) = √
dx 2 x0
√
ya que, al ser y = f (x) = x la funci´n inversa de la funci´n x = f −1 (y) = y 2 , en
o o
(0, ∞) podemos aplicar la f´rmula de derivaci´n para la funci´n inversa y obtener
o o o
√
d x 1 1
(x0 ) = 2 √ = √ . ⊳
dx dy 2 x0
( x0 )
dy](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-102-320.jpg)
![5.4 C´lculo de razones de cambio
a 111
Ejercicios y problemas del cap´
ıtulo
1. (a) Sea la funci´n y(x) = x|x|. Calcule y grafique su funci´n derivada en el
o o
intervalo [−1, 1].
(b) Diga en qu´ puntos tiene derivada la funci´n f (x) = |x2 − 1|.
e o
(c) Calcule la derivada de la funci´n f (x) = sen(g(x) + 2) en el punto x = 3
o
π − 12 dg
si g(3) = y (3) = −4.
6 dx
2. Sean y = f (x) y z = g(x) funciones derivables en cada punto de R tales que
df dg
(2) = 3, (2) = −3, f (2) = 1 y g(2) = 2. Calcule:
dx dx
d(f + g)
(a) (2)
dx
d(f · g)
(b) (2)
dx
f
d
g
(c) (2)
dx
3. (a) Calcule la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n y =
o a o
f (x) = x2 en el punto (1, 1).
x2 y 2
(b) Sobre la elipse + = 1, encuentre los puntos donde la recta tangente
9 4
tiene una inclinaci´n de π/4 radianes.
o
x2 y2
4. ¿Con qu´ ´ngulo se corta la elipse 2 + 2 = 1 con la par´bola y = x2 ? (Es
ea a
a b
decir, ¿qu´ ´ngulo forman las rectas tangentes en el punto de intersecci´n de
ea o
las curvas?)
5. Calcule la derivada de la funci´n f (x) = cos(sen(cos x)) en el punto x =
o
1
arcsen .
2
6. Diga en cu´ntos cm3 por segundo crece el volumen de un cilindro si su ´rea
a a
es de 100 cm2 y crece 1 cm2 por segundo y su altura es de 15 cm y decrece 3
cm por segundo.
7. Calcule la variaci´n de la pendiente de la recta tangente a la par´bola y = x2
o a
con respecto a la variaci´n de la abscisa del punto de tangencia en el punto
o
(2, 4).
8. Sea h(x) = (f ◦ g)(x)) donde f y g son funciones derivables. Encuentre la
d2 h
f´rmula para
o (x0 ).
dx2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-111-320.jpg)
![114 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
habr´ marcado 100 Km/h (100 kil´metros por hora). Este hecho evidente constituye
a o
el contenido del teorema del valor medio.
Una manera equivalente de describir la situaci´n anterior es afirmar que la ve-
o
locidad promedio que desarrolla un auto al recorrer la distancia entre Hermosillo y
Guaymas se leer´ al menos una vez en el veloc´
a ımetro del auto. Es decir, si hace-
mos T horas en recorrer los 100 kil´metros que separan esas ciudades, entonces el
o
veloc´
ımetro del auto al menos una vez marcar´ el valor (100/T ) Km/h.
a
Como consecuencias directas del teorema del valor medio, tenemos las siguientes
conclusiones:
a) Si el veloc´ımetro siempre marca velocidades mayores que cero o positivas,
entonces la distancia a la que se encuentra el auto de la ciudad de Hermosillo
aumenta con el paso del tiempo. Si, por el contrario, el veloc´ ımetro siempre
marca velocidad negativa, el auto se alejar´ cada vez m´s en sentido contrario
a a
a la direcci´n a Guaymas.
o
b) Si el veloc´
ımetro, durante un recorrido, da siempre una lectura de la velocidad
entre a Km/h y b Km/h, con 0 a b, entonces, en cada intervalo de tiempo
de duraci´n T horas, el auto recorre una distancia mayor o igual que aT y
o
menor o igual que bT .
c) Si un auto que inicia su recorrido en Hermosillo regresa a su punto de partida
despu´s de T horas, entonces al menos una vez durante ese lapso el auto se
e
detuvo, es decir su veloc´
ımetro debi´ marcar 0 Km/h.
o
d) Si el veloc´
ımetro de un auto marca 0 Km/h durante un cierto intervalo de
tiempo, entonces el auto permanece en la misma posici´n durante ese intervalo
o
de tiempo.
Como el lector notar´, los ejemplos y observaciones anteriores son evidentes y hasta
a
parecen afirmaciones triviales sobre el movimiento de los autom´viles. Sin embargo,
o
cuando se generalizan a funciones entre variables reales que tengan derivadas en
todos los puntos de un intervalo cerrado [a, b], adquieren un contenido matem´tico
a
m´s profundo que permite enunciar verdades generales sobre las funciones derivables.
a
6.2 El teorema del valor medio
Para funciones reales de una variable real, el teorema del valor medio se enuncia en
los t´rminos siguientes.
e](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-114-320.jpg)
![6.2 El teorema del valor medio 115
Teorema 6.1 (del valor medio) Si f (x) : [a, b] → R es una funci´n continua
o
que tiene derivada en cada uno de los puntos de (a, b), entonces existe c ∈ (a, b)
tal que
df
f (b) − f (a) = (c)(b − a).
dt
´
Demostracion. Probaremos primero el teorema suponiendo que la funci´n f toma
o
el mismo valor en los extremos del intervalo [a, b], es decir
f (a) = f (b). (6.1)
Bajo la hip´tesis (6.1) el teorema se denomina teorema de Rolle.2 Demostraremos
o
df
que existe un punto c tal que a < c < b y (c) = 0. Consideremos los siguientes
dx
dos casos posibles para f :
a) f es constante en (a, b), en cuyo caso en cualquier punto c ∈ (a, b) se tendr´ ıa
df
(c) = 0, ya que la derivada de una funci´n constante es en todo punto igual a
o
dx
cero.
b) f no es constante en [a, b] y entonces, por la continuidad de la funci´n, tendr´
o a
que existir al menos un punto c ∈ (a, b) donde la funci´n f alcance su valor m´ximo
o a
o su valor m´ ınimo en el intervalo [a, b]. Esta ultima afirmaci´n es cierta, pues si f
´ o
alcanzara tanto su valor m´ximo como su valor m´
a ınimo en los extremos del intervalo
[a, b], siendo f (a) = f (b), se tendr´ que f es constante en [a, b] y ese no es ahora
ıa
el caso, luego o el valor m´ximo o el valor m´
a ınimo de f en [a, b] se alcanza en el
interior de [a, b]. Supongamos que es el valor m´ximo de f el que se alcanza en un
a
punto c del intervalo abierto (a, b), es decir,
c ∈ (a, b) y f (c) f (x) para toda x ∈ [a, b].
Evaluando la derivada de f en c tendremos
df f (c + h) − f (c)
(c) = lim .
dx h→0 h
df
Ahora veamos el signo de (c). Si la magnitud h de la variaci´n de la variable
o
dx
independiente en x = c se toma mayor que cero, el cociente diferencial tendr´ signo
a
negativo
f (c + h) − f (c)
0 si h > 0,
h
ya que f (c+h)−f (c) 0 para todo c+h ∈ [a, b], puesto que f (c) es el valor m´ximoa
de la funci´n en el intervalo. En vista de lo anterior, al tomar h valores positivos que
o
2
Por Michel Rolle (1652-1719), matem´tico franc´s, quien lo public´ en 1691.
a e o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-115-320.jpg)
![116 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
tienden a cero, los cocientes diferenciales correspondientes ser´n siempre menores o
a
iguales a cero y deber´n tener como l´
a ımite un n´mero menor o igual que cero, es
u
decir
f (c + h) − f (c) df
lim = (c) 0.
h→0+ h dx
An´logamente, si la magnitud de la variaci´n h es negativa, el valor del cociente
a o
ser´ siempre mayor que cero,
a
f (c + h) − f (c)
0, si h < 0,
h
y, por lo tanto, su l´
ımite ser´ tambi´n mayor o igual a cero:
a e
f (c + h) − f (c) df
lim = (c) 0.
h→0− h dx
De las dos estimaciones anteriores, concluimos que, si existe la derivada en x = c,
se debe tener
df
(c) = 0,
dx
con lo que hemos probado la validez del teorema del valor medio en el caso particular
de que f (a) = f (b).
En el caso general, si f (a) = f (b), consideremos la funci´n auxiliar g : [a, b] → R
o
definida por
f (b) − f (a)
g(x) = f (x) − f (a) − (x − a),
b−a
la cual es una funci´n derivable en (a, b) y tal que
o
g(b) = g(a) = 0.
dg
Luego, en virtud del caso anterior, existir´ c ∈ (a, b) tal que
a (c) = 0, y escribiendo
dx
esto ultimo en t´rminos de la funci´n original f, se tiene
´ e o
dg df f (b) − f (a)
0= (c) = (c) − ,
dx dx b−a
es decir,
df
f (b) − f (a) = (c)(b − a),
dx
donde c ∈ (a, b), y as´ hemos probado el teorema en general.
ı
Una generalizaci´n muy importante del teorema del valor medio es la siguiente.
o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-116-320.jpg)
![6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio 117
Teorema 6.2 (del valor medio generalizado 3 ) Sean f (x) y g(x) dos fun-
ciones continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b); supongamos,
dg
adem´s, que
a (x) = 0 para toda x ∈ (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b)
dx
tal que
df
f (b) − f (a) (c)
= dx .
g(b) − g(a) dg
(c)
dx
dg
Note que si (x) = 0 para toda x ∈ (a, b), entonces g(b) − g(a) = 0.
dx
´
Demostracion. Consideremos la funci´n
o
h(x) = (f (b) − f (a))(g(x) − g(a)) − (g(b) − g(a))(f (x) − f (a)),
la cual es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Por lo tanto, en virtud del teorema
del valor medio, existe c ∈ (a, b) tal que
dh
h(b) − h(a) = (c)(b − a)
dx
y escribiendo esta ultima expresi´n en t´rminos de las funciones f (x) y g(x), se tiene
´ o e
dg df
0 = (f (b) − f (a)) (c) − (g(b) − g(a)) (c) (b − a),
dx dx
o lo que es lo mismo,
df
f (b) − f (a) (c)
= dx ,
g(b) − g(a) dg
(c)
dx
como se quer´ demostrar.
ıa
6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio
Como consecuencia directa del teorema del valor medio, se tienen los siguientes
corolarios que recogen y generalizan las afirmaciones que hicimos en la secci´n 6.1
o
para el caso del movimiento de un autom´vil.
o
3
Este resultado se debe a Cauchy y, por eso, a veces se le llama teorema de Cauchy.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-117-320.jpg)
![6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio 119
f (x)
1
1 x
-3 -2 -1 0 2
-1
-2
1 2
Figura 6.1 Gr´fica de la funci´n f (x) =
a o x (3x2 + 4x − 12)
16
6.3.2 La funci´n segunda derivada
o
Tomando en cuenta que la funci´n segunda derivada es la funci´n derivada de la
o o
funci´n derivada de f, el conjunto de enunciados, teoremas y corolarios anteriores
o
son aplicables a la segunda derivada, dando lugar a una mayor informaci´n sobre la
o
funci´n inicial. En el caso de que f sea la funci´n de posici´n de un auto, la segunda
o o o
derivada se llama funci´n de aceleraci´n o de variaci´n de la velocidad con respecto
o o o
al tiempo.
Teorema 6.4 Sea f : (a, b) → R una funci´n que tiene segunda derivada en (a, b)
o
y c ∈ (a, b). Entonces, para cada punto x0 ∈ (a, b), la diferencia o error
R(x0 ) = f (x0 ) − P (x0 ) entre f (x0 ) y el valor en x0 del polinomio de primer grado
df
P (x) = f (c) + (c)(x − c) en x0 , es tal que
dx
d2 f
R(x0 ) = (xc )(x0 − xc )(x0 − c),
dx2
donde xc ∈ (c, x0 ).
´
Demostracion. Definamos la funci´n
o
df
g(x) = f (x) + (x)(x0 − x).
dx
N´tese que
o
dg d2 f
(x) = (x)(x0 − x).
dx dx2
Si x0 ∈ [c, b), al aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [c, x0 ] a la funci´n
o
g obtenemos
dg
g(x0 ) − g(c) = (xc )(x0 − c), (6.2)
dx](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-119-320.jpg)
![6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio 121
6.3.3 Curvatura de curvas en el plano
Consideremos en el plano cartesiano la curva de forma y = f (x) para x ∈ (a, b),
donde f es una funci´n con segunda derivada continua. En cada punto P =
o
(x0 , f (x0 )) de la curva, a la recta N0 cuya ecuaci´n es
o
1
y = f (x0 ) − (x − x0 ) (6.3)
df
(x0 )
dx
se le llama la recta normal a f por P. Esta recta es perpendicular a la recta tangente
df
por P a f (x). Si (x0 ) = 0, la ecuaci´n de N0 es x = x0 .
o
dx
Para puntos Q = (x0 + h, f (x0 + h)) con h = 0 cercanos a P, la recta normal Nh
a f por Q toma la forma
1
y = f (x0 + h) − (x − x0 − h). (6.4)
df
(x0 + h)
dx
Resolviendo las ecuaciones (6.3) y (6.4) para (x, y), se obtienen las coordenadas del
punto de intersecci´n Ch = (xh , yh ) de N0 y Nh en la forma
o
df df
(x0 + h) (x0 ) h
xh = x0 − dx dx f (x0 + h) − f (x0 ) + ,
df df df
(x0 + h) − (x0 ) (x0 + h)
dx dx dx
df
(x0 + h) h
yh = f (x0 ) + dx f (x0 + h) − f (x0 ) + .
df df df
(x0 + h) − (x0 ) (x0 + h)
dx dx dx
df
Aplicando el teorema del valor medio en [x0 , x0 + h], a las funciones f (x) y (x),
dx
escribimos
df
f (x0 + h) − f (x0 ) = (x1 )h,
dx
df df d2 f
(x0 + h) − (x0 ) = (x2 )h,
dx dx dx2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-121-320.jpg)
![124 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
1 dj f
donde a0 = f (x0 ), aj = (x0 ), para j = 1, 2, . . . , k − 1.
j! dxj
´
Demostracion. Consideremos la funci´n
o
df 1 d2 f
g(x) = f (x) + (x)(x0 − x) + (x)(x0 − x)2
dx 2! dx2
1 dk−1 f
+··· + (x)(x0 − x)k−1 .
(k − 1)! dxk−1
Derivando, obtenemos
dg
(x) = 0.
dx
Por lo tanto, g es constante y
g(x) = f (x0 ),
y podemos escribir
df 1 d2 f
f (x0 ) = f (x) + (x)(x0 − x) + (x)(x0 − x)2
dx 2! dx2
1 dk−1 f
+··· + (x)(x0 − x)k−1 .
(k − 1)! dxk−1
Como x y x0 son puntos arbitrarios de (a, b), los podemos intercambiar y obtener
df 1 d2 f
f (x) = f (x0 ) + (x0 )(x − x0 ) + (x0 )(x − x0 )2
dx 2! dx2
1 dk−1 f
+··· + (x0 )(x − x0 )k−1 .
(k − 1)! dxk−1
En el caso de funciones con derivadas de orden superior, el teorema del valor
medio permite dar una estimaci´n de la diferencia entre la funci´n y el polinomio
o o
construido como en la proposici´n 6.7. Este nuevo resultado se conoce como teorema
o
de Taylor,4 el cual presentamos a continuaci´n.
o
Consideremos una funci´n real f : [a, b] → R que tenga derivadas de orden k en
o
cada punto de (a, b). Tomemos un punto c ∈ (a, b) y definamos el polinomio Pck (x)
de grado k mediante
df 1 d2 f 1 dk f
Pck (x) = f (c) + (c)(x − c) + (c)(x − c)2 + · · · + (c)(x − c)k .
dx 2! dx2 k! dxk
Directamente podemos verificar que los valores de Pck (x) y f, as´ como los de sus
ı
derivadas hasta orden k, coinciden en el punto c. Es decir,
dPck df dk Pck dk f
Pck (c) = f (c), (c) = (c), · · · , (c) = (c).
dx dx dxk dxk
4
Brook Taylor (1685-1731), matem´tico ingl´s. Enunci´, en 1712, el teorema que lleva su nombre.
a e o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-124-320.jpg)
![6.4 El teorema de Taylor 125
Al polinomio Pck se le llama el polinomio de Taylor de grado k en el punto c de la
funci´n f.
o
Teorema 6.8 (de Taylor) Sea f : [a, b] → R con derivadas hasta de orden
k+1 en (a, b) y consideremos Pck (x) su polinomio de Taylor de grado k alrededor
del punto c ∈ (a, b). Entonces, para cada punto x0 ∈ (a, b) la diferencia
R(x0 ) = f (x0 ) − Pck (x0 )
entre el valor de f y el valor del polinomio de Taylor Pck (x0 ) en el punto x = x0 ,
es tal que
1 dk+1 f
R(x0 ) = (xc )(x0 − xc )k (x0 − c),
k! dxk+1
donde xc es un punto entre c y x0 . A la funci´n R(x) se le llama tambi´n la
o e
funci´n residuo de orden k.
o
´
Demostracion. Si x0 ∈ [c, b), aplicando el teorema del valor medio en el intervalo
[c, x0 ] a la funci´n
o
df 1 dk f
g(x) = f (x) + (x)(x0 − x) + · · · + (x)(x0 − x)k =
dx k! dxk
k
1 di f
= f (x) + (x)(x0 − x)i ,
i! dxi
i=1
se tiene
dg
g(x0 ) − g(c) = (xc )(x0 − c),
dx
donde xc ∈ (c, x0 ). Por otro lado,
g(x0 ) − g(c) = R(x0 ).
dg
Calculando directamente el t´rmino
e (xc ), se tiene
dx
k
dg df 1 di+1 f
(xc ) = (xc ) + (xc )(x0 − xc )i
dx dx i! dxi+1
i=1
k
1 di f
− (xc )(x0 − xc )i−1 . (6.5)
(i − 1)! dxi
i=1
Reacomodando los ´
ındices de la ultima suma en la forma
´
k k−1
1 di f 1 di+1 f
(xc )(x0 − xc )i−1 = (xc )(x0 − xc )i ,
(i − 1)! dxi i! dxi+1
i=1 i=0](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-125-320.jpg)
![126 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
y sustituyendo en (6.5), obtenemos que el error R(x0 ) es
dg 1 dk+1 f
R(x0 ) = (xc )(x0 − c) = (xc )(x0 − xc )k (x0 − c),
dx k! dxk+1
donde xc es un punto en el intervalo (c, x0 ).
Nota Importante:
1. El teorema 6.8 nos da expl´ ıcitamente el valor de la diferencia entre el valor de
la funci´n f en el punto x0 y el valor del polinomio de Taylor en ese mismo
o
punto. Esa diferencia est´ dada en t´rminos de la (k + 1)-´sima derivada en
a e e
un punto intermedio xc entre el punto x0 y el punto c donde se calculan los
coeficientes del polinomio de Taylor. Ese punto xc depende del punto x0 y su
existencia la asegura el teorema del valor medio.
2. Si la funci´n derivada de orden (k + 1) de la funci´n f (x) es acotada en (a, b),
o o
es decir, si existe M > 0 tal que
dk+1 f
(x) < M para toda x ∈ (a, b),
dxk+1
entonces se tiene la estimaci´n siguiente para la funci´n error:
o o
1
|R(x0 )| < M |x0 − c|k+1
k!
para cada x0 ∈ (a, b).
3. El valor de la funci´n residuo R(x0 ) depende de la distancia del punto x0 al
o
punto c, donde se determina el polinomio, y de la cota M de la (k + 1)-´sima
e
derivada en el intervalo [c, x0 ].
4. Tambi´n se acostumbra escribir el residuo en la forma
e
x0 − xc = x0 − c − θ(x0 − c) = (1 − θ)(x0 − c)
donde 0 < θ < 1, y
1 dk+1 f
R(x0 ) = (xc )(1 − θ)k (x0 − c)k+1 .
k! dxk+1
Esta f´rmula para el residuo se le atribuye a Cauchy.
o
La aproximaci´n de una funci´n por su polinomio de Taylor permite calcular
o o
el valor de la funci´n en puntos cercanos a un punto donde se pueda conocer
o
expl´
ıcitamente el valor de la funci´n y sus derivadas. Enseguida se muestra este
o
tipo de aplicaciones.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-126-320.jpg)
![6.4 El teorema de Taylor 127
Ejemplo 6.3 Aplicando la f´rmula para el residuo, calcule el error que se comete
√ o
al evaluar 10 usando el polinomio de Taylor de orden 1 en el punto x = 9.
√
Soluci´n: Sea f (x) = x y consideremos su polinomio de Taylor de orden 1
o
alrededor de x = 9,
1 1
P9 (x) = 3 + (x − 9).
6
Por el teorema de Taylor, se tiene que
√ 1
x = 3 + (x − 9) + R(x)
6
con
d2 f
R(x) = (xc )(x − xc )(x − 9), donde xc ∈ [9, x].
dx2
Luego,
√ 1
10 ≈ 3 + ,
6
con un error R(10) acotado por
√
d2 x 1 1 1
|R(10)| (xc ) ,
dx2 4 x3c
4(27)
ya que xc ∈ [9, 10]. En conclusi´n,
o
√
10 ≈ 3.16 ⊳
con un error menor que 0.01.
Ejemplo 6.4 Para x ∈ (−1, 1), encuentre el polinomio de Taylor que aproxima a
la funci´n sen x con un error menor que 10−3 . Calcule con dos cifras decimales el
o
valor de sen(1/2).
Soluci´n: Como los puntos de (−1, 1) son cercanos a x = 0, donde se conoce
o
exactamente el valor de las derivadas de la funci´n sen x, entonces los polinomios
o
de Taylor en cero son los apropiados para aproximar a esa funci´n en puntos de
o
(−1, 1). Notemos primero que todas las derivadas de la funci´n sen x son funciones
o
acotadas:
dn sen x
(x) 1, para toda x ∈ R y n natural.
dxn
Para k natural, el polinomio de Taylor de orden 2k + 1 en el punto x = 0, toma la
forma
2k+1 1 1 (−1)k 2k+1
P0 (x) = x − x3 + x5 − · · · + x
3! 5! (2k + 1)!
2k+1
y la diferencia R(x) entre sen x y P0 (x) es
2k+1
sen x − P0 (x) = R(x)](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-127-320.jpg)
![128 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
con
1
|R(x)| |x|2k+2 .
(2k + 1)!
1
Luego, para x ∈ (−1, 1), se tiene |R(x)| y, por lo tanto, |R(x)| 10−3
(2k + 1)!
si k = 3. As´ el polinomio de Taylor de grado menor que aproxima a sen x para
ı,
todo x ∈ (−1, 1) con un error menor que 10−3 es
7 1 3 1 1
P0 (x) = x − x + x5 − x7 .
3! 5! 7!
2k+1
Para el valor de sen(1/2), el error R(1/2) = sen(1/2) − P0 (1/2) es tal que
1
|R(1/2)| .
22k+2 (2k + 1)!
Entonces, para estimar sen(1/2) con 2 cifras decimales, basta tomar k = 2 :
1 1 23
sen(1/2) ≈ − = = 0.47 . . . ⊳
2 48 48
6.4.1 Puntos regulares, cr´
ıticos y de inflexi´n
o
Los puntos del dominio de una funci´n real f (x) que posee una o m´s derivadas
o a
continuas, se clasifican en:
puntos regulares, que son aqu´llos donde la derivada es distinta de cero, y
e
puntos cr´ıticos o puntos singulares, donde la derivada es igual a cero.
La propiedad caracter´ ıstica de un punto regular es que existe un intervalo con
centro en ese punto, donde la funci´n es mon´tona y, por lo tanto, posee ah´ funci´n
o o ı o
inversa. Esto se debe a que, al ser la derivada de la funci´n en ese punto distinta
o
de cero, por la continuidad de la funci´n derivada, debe ser distinta de cero en un
o
intervalo alrededor de ese punto y, por el teorema del valor medio, en ese intervalo
la funci´n ser´ mon´tona y por lo tanto tendr´ funci´n inversa en el intervalo en
o a o a o
cuesti´n.
o
Si la funci´n f : [a, b] → R es una funci´n continua, a un punto c ∈ (a, b) se le
o o
dice punto m´ximo local (o punto m´
a ınimo local), si existe un intervalo I con centro
en c tal que
f (c) f (x) para todo x ∈ I
(o f (c) f (x) para todo x ∈ I, respectivamente). Note que los puntos m´ximos a
y m´ınimos locales tienen esa propiedad solamente en un intervalo alrededor de ese
punto. Es posible que el m´ximo global de la funci´n f (x) se alcance en alguno de
a o
los puntos extremos del intervalo inicial [a, b] y que en ellos la derivada tenga un
valor distinto de cero, como se ve en la figura 6.3. Lo importante es que si un punto
interior c ∈ (a, b) es m´ximo o m´
a ınimo local de f (x), necesariamente la derivada de
f se debe anular en c y ese punto ser´ un punto cr´
a ıtico. Para demostrar lo anterior,](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-128-320.jpg)
![130 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
La observaci´n anterior nos lleva de manera natural a plantear el problema
o
de encontrar condiciones adicionales al anulamiento de la derivada en un punto
para poder asegurar que ese punto sea un m´ximo o m´
a ınimo local. Una de esas
condiciones, se tiene en t´rminos del signo de la segunda derivada, como sigue.
e
Proposici´n 6.9 Sea f : [a, b] → R una funci´n que tiene funci´n segunda derivada
o o o
df d2 f
continua y sea c ∈ (a, b) un punto cr´
ıtico (c) = 0 . Entonces, si (c) < 0,
dx dx2
d2 f
el punto c es un m´ximo local y si
a (c) > 0, el punto c es un m´
ınimo local.
dx2
´
Demostracion. Probaremos unicamente el primer caso; el segundo se demuestra
´
d2 f
de manera an´loga y se deja al lector. Como
a (x) es una funci´n continua con
o
dx2
d2 f
(c) < 0, existe un intervalo I = (c − ε, c + ε) con centro en c y radio ε > 0 tal
dx2
d2 f
que (x) < 0 para toda x ∈ I. M´s a´n, para cada x ∈ (c − ε, c + ε) se tiene, por
a u
dx2
el teorema de Taylor de orden 2, la estimaci´n o
df d2 f
f (x) − f (c) − (c)(x − c) = (xc )(x − c)(x − xc ),
dx dx2
df d2 f
donde xc es un punto entre x y c. Tomando en cuenta que (c) = 0 y que 2 (xc ) <
dx dx
0, resulta que
f (x) − f (c) < 0, para toda x ∈ I,
lo cual muestra que f (c) es el valor m´ximo de f en el intervalo (c − ε, c + ε) y c es
a
un m´ximo local de f.
a
Finalmente, en esta secci´n presentamos el concepto de punto de inflexi´n.
o o
Un punto x = c se llama punto de inflexi´n de una funci´n y = f (x) derivable
o o
en c, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que la funci´n R(x) =
o
df
f (x) − f (c) − (c)(x − c) es negativa si x < c y positiva si x > c, o rec´
ıprocamente:
dx
es negativa si x > c y positiva si x < c.
Para funciones que poseen segunda derivada continua, si x = c es un punto de
inflexi´n existe un intervalo abierto I que contiene a c donde la funci´n cambia de
o o
concavidad; es decir,
d2 f d2 f
(x) < 0 si x < c y (x) > 0 si x > c, o
dx2 dx2
d2 f d2 f
(x) > 0 si x < c y (x) < 0 si x > c.
dx2 dx2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-130-320.jpg)
![6.4 El teorema de Taylor 131
En este caso, el teorema del valor intermedio aplicado a la funci´n segunda
o
derivada implica que si x = c es un punto de inflexi´n de f , la segunda derivada de
o
d2 f
f se anula en ese punto, es decir (c) = 0.
dx2
Nota Importante:
En un punto de inflexi´n de una funci´n f no necesariamente se anula su derivada.
o o
df
Por ejemplo, para la funci´n f (x) = x3 − x, se tiene
o (0) = −1 y el punto x = 0
dx
d2 f
es punto de inflexi´n, ya que la funci´n segunda derivada,
o o (x) = 6x, es negativa
dx2
si x < 0 y positiva si x > 0.
Finalizamos esta secci´n con el siguiente teorema, que nos proporciona un criterio
o
general para caracterizar los puntos cr´
ıticos y los puntos de inflexi´n de una funci´n.
o o
Teorema 6.10 Sea f : [a, b] → R una funci´n que tiene derivadas continuas
o
de orden r en (a, b) y c ∈ (a, b). Supongamos que
d2 f d3 f dr−1 f
(c) = (c) = · · · = (c) = 0, (6.6)
dx2 dx3 dxr−1
dr f
pero (c) = 0. Entonces:
dxr
df dr f
a) Si (c) = 0 y r es par con (c) > 0, el punto c es un punto m´
ınimo
dx dxr
local;
df dr f
b) Si (c) = 0 y r es par con (c) < 0, el punto c es un m´ximo local;
a
dx dxr
c) Si r es impar, c es un punto de inflexi´n.
o
´
Demostracion. Aplicando el teorema de Taylor (teorema 6.8), se tiene para cada
x ∈ (a, b) la estimaci´n siguiente:
o
df 1 dr−1 f
f (x) − f (c) − (c)(x − c) − · · · − (c)(x − c)r−1
dx (r − 1)! dxr−1
(6.7)
1 dr f
= (xc )(x − xc )r−1 (x − c).
(r − 1)! dxr
Debido a (6.6), la expresi´n (6.7) toma la forma
o
df 1 dr f
f (x) − f (c) − (c)(x − c) = (xc )(x − xc )r−1 (x − c),
dx (r − 1)! dxr](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-131-320.jpg)
![6.4 El teorema de Taylor 133
df d2 f
Concluimos que x = 1 es m´ınimo local, pues (1) = 0 y 2 (1) > 0. Finalmente,
dx d x
para el punto x = 0, tenemos
d2 f d3 f d7 f d8 f
(0) = 0, (0) = 0, · · · , 7 (0) = 0, (0) < 0
dx2 dx3 dx dx8
y por lo tanto x = 0 es un m´ximo local. La gr´fica de f aparece en la figura 6.4.⊳
a a
f (x)
1
-1 0 1 x
-1
Figura 6.4 Gr´fica de la funci´n f (x) = 8x9 − 9x8
a o
Ejemplo 6.6 Supongamos que la gr´fica de la derivada de la funci´n y = f (x) en
a o
el intervalo (0, 10) es la que se muestra en la figura 6.5.
df
(x)
dx
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
0
-1
-2
-3
-4
df
Figura 6.5 Gr´fica de
a (x)
dx
Podemos observar las caracter´
ısticas siguientes de la funci´n f :
o
df
a) Es creciente en los intervalos [2, 6] y [8, 10) ya que en esos intervalos (x) es
dx
positiva.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-133-320.jpg)
![134 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
b) Es decreciente en los intervalos (0, 2] y [6, 8], puesto que en ellos
df
(x) es negativa.
dx
c) Es c´ncava hacia arriba en los intervalos (0, 4] y [7, 9], pues ah´
o ı
d2 f
(x) > 0.
dx2
d) Es c´ncava hacia abajo en los intervalos [4, 7] y [9, 10), ya que
o
d2 f
(x) < 0 en esos intervalos.
dx2
df df d2 f
e) Los puntos x = 2, 8 son m´
ınimos locales pues (2) = (8) = 0, (2) > 0
dx dx dx2
d2 f
y (8) > 0.
dx2
df d2 f
f) El punto x = 6 es un m´ximo local pues
a (6) = 0 y (6) < 0.
dx dx2
h) Los puntos x = 4, 7, 9 son puntos de inflexi´n ya que
o
d2 f d2 f d2 f d3 f d3 f d3 f
(4) = (7) = (9) = 0 y (4) = 0, 3 (7) = 0, 3 (9) = 0.
dx2 dx2 dx2 dx3 dx dx
i) La gr´fica de f tal que f (2) = 0 aparece en la figura 6.6.
a ⊳
f (x)
8
7
6
5
4
3
2
1
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 6.6 Gr´fica de f
a
Ejemplo 6.7 Determine las dimensiones del cilindro de ´rea m´
a ınima (incluyendo
sus tapaderas) de volumen 1000 cm3.
Soluci´n. Cada cilindro de volumen 1000 cm3 est´ totalmente determinado por el
o a
valor de su radio r o de su altura h ya que se tiene la relaci´n
o
πr2 h = 103](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-134-320.jpg)
![138 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
y define el m´ınimo absoluto de la funci´n en el intervalo [0, π ], ya que en los extremos
o 2
π 2r π rπ
θ = 0, se tiene t(0) = yt = , los valores de la funci´n t(θ) deben ser
o
2 vr 2 vc
π
superiores a t(θmin ) por haber s´lo un punto cr´
o ıtico en (0, 2 ).
vr
Note que si 1, entonces el valor m´ ınimo de t(θ) se alcanza en el extremo
vc
2r
izquierdo de [0, π ] con θmin = 0 y con valor t(θmin ) = .
2 ⊳
vr
6.4.2 Reglas de L’Hospital
A veces es necesario calcular el l´ ımite de cocientes de funciones en puntos en los
cuales el l´
ımite de cada una de las funciones es cero o tienden a ±∞ simult´neamente.
a
Por ejemplo, l´ ımites del tipo
1
+x
sen x x3 tan(x − a)
lim , lim , lim .
x→0 x x→0 1 x→a csc(x − a)
+2
x
En estos casos, el teorema del valor medio generalizado nos permite examinar el
comportamiento de las funciones a partir del comportamiento de sus derivadas,
proporcionando dos criterios muy utiles en tales casos, que se denominan reglas de
´
L’Hospital.5
Proposici´n 6.11 (Primera regla de L’Hospital) Sean f (x) y g(x) dos
o
dg
funciones derivables en (a, b) y (x) = 0 para toda x ∈ (a, b). Si se tiene
dx
que
df
(x)
lim f (x) = lim g(x) = 0 y lim dx = L,
x→a x→a x→a dg
(x)
dx
donde L ∈ R, o L = ±∞, entonces
f (x)
lim = L.
x→a g(x)
´
Demostracion. Obs´rvese que si extendemos el dominio de definici´n de f (x)
e o
y g(x) al punto x = a defini´ndolas ah´ como f (a) = g(a) = 0, se tiene una ex-
e ı
tensi´n como funciones continuas a [a, b). Aplicando el teorema 6.2 del valor medio
o
5
En honor de Guillaume de L’Hospital, mencionado en el cap´
ıtulo primero.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-138-320.jpg)
![6.4 El teorema de Taylor 139
generalizado en [a, x], podemos escribir
df
f (x) − f (a) f (x) (cx )
= = dx .
g(x) − g(a) g(x) dg
(cx )
dx
donde cx ∈ (a, x). Tomando l´ ımite cuando x → a, se tiene que cx → a y de la
hip´tesis, obtenemos
o
df
f (x) (cx )
lim = lim dx = L,
x→a g(x) x→a dg
(cx )
dx
con lo que se prueba la proposici´n.
o
Nota Importante:
Cuando escribimos limx→a h(x) y la funci´n h(x) est´ definida en (a, b), nos referi-
o a
mos a que la variable x tiende a a con valores en el intervalo (a, b). Esto se escribe
tambi´n en la forma limx→a+ h(x) para denotar que la variable se acerca de derecha
e
a izquierda hacia el punto a.
Proposici´n 6.12 (Segunda regla de L’Hospital) Sean f (x) y g(x) dos
o
dg
funciones derivables en (a, b) y (x) = 0 para toda x ∈ (a, b). Si se tiene
dx
que lim f (x) = ±∞, lim g(x) = ±∞ y
x→a x→a
df
(x)
lim dx =L con L ∈ R o L = ±∞,
x→a dg
(x)
dx
entonces
f (x)
lim = L.
x→a g(x)
´
Demostracion. Consideremos a < x < t. Luego, en [a, t] tendremos la estimaci´n
o
df
f (x) − f (t) (cx,t )
= dx
g(x) − g(t) dg
(cx,t )
dx
donde ct,x ∈ (x, t). Haciendo uso de esta expresi´n, podemos escribir
o
df df
f (x) (cx,t ) 1 (cx,t )
− L = dx f (t) − g(t) dx
−L+ ,
g(x) dg g(x) dg
(cx,t ) (cx,t )
dx dx](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-139-320.jpg)
![142 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
Ejercicios y problemas del cap´
ıtulo
1. Aplicando el teorema del valor medio, establezca la estimaci´n
o
| sen x − sen y| |x − y| para cualesquiera x, y ∈ R.
2. Pruebe, utilizando el teorema del valor medio, que toda funci´n con derivada
o
continua en un intervalo cerrado [a, b] es lipschitziana. (Sugerencia: recuerde
que toda funci´n continua en un intervalo cerrado y acotado es acotada.)
o
3. Si la gr´fica de la funci´n velocidad v = v(t) de un autom´vil, se ve cualita-
a o o
tivamente como en la figura 6.9, dibuje la gr´fica de la posici´n del auto con
a o
respecto al tiempo si la posici´n en el tiempo t = 1 era de 100 metros medidos
o
a partir del inicio de la carretera. Describa el movimiento del auto.
v(t)
200
100
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 6.9 Gr´fica de la funci´n velocidad del ejercicio 3
a o
4. Determine los intervalos de monoton´ y los puntos m´ximos y m´
ıa a ınimos locales
de la funci´n f (x) = 7x9 − 18x7 . Con la informaci´n anterior, dibuje la gr´fica
o o a
de f.
5. Sean P (x) y Q(x) dos polinomios de grado 2 tales que
dP dQ d2 P d2 Q
P (1) = Q(1), (1) = (1), 2
(1) = (1).
dx dx dx dx2
Pruebe que los dos polinomios son iguales.
6. Determine los puntos regulares, clasifique los puntos cr´
ıticos y encuentre los
puntos de inflexi´n de la funci´n
o o
1
f (x) = x5 + x3 + x + 2.
5
7. Demuestre que si f (x) : R → R es una funci´n cuya tercera derivada se anula
o
en todos los puntos, entonces f (x) es un polinomio de grado dos.
√
8. Haciendo uso del teorema de Taylor, calcule 3 1.5 con tres cifras decimales.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-142-320.jpg)
![6.4 El teorema de Taylor 143
9. Sea f (x) una funci´n continua en el intervalo [−3, 3] y tal que su primera y
o
segunda funciones derivadas tienen las caracter´
ısticas se˜aladas.
n
> 0, si x ∈ (−3, −1)
df
(x) : = 0, si x = −1
dx
< 0, si x ∈ (−1, 1) ∪ (1, 3)
< 0, si x ∈ (−3, 0) ∪ (1, 3)
d2 f
(x) : = 0, si x = 0
dx2
> 0, si x ∈ (0, 1)
(a) ¿En qu´ puntos de [−3, 3] tiene f (x) m´ximos o m´
e a ınimos locales?
(b) ¿Qu´ puntos de [−3, 3] son puntos de inflexi´n?
e o
(c) Si f (0) = 0, dibuje la gr´fica de f (x) se˜alando sus intervalos de mono-
a n
ton´ sus concavidades, etc.
ıa,
10. ¿En qu´ puntos de la curva y = −x3 +3x2 +1 tiene la pendiente de la tangente
e
por ese punto el valor m´ximo?
a
11. De las ventanas con per´
ımetro 10 m y cuya forma es la uni´n de un rect´ngulo
o a
y un semic´ırculo cuyo di´metro coincide con el lado superior del rect´ngulo,
a a
encuentre aqu´lla que deja pasar la mayor cantidad de luz.
e
12. Encuentre las dimensiones del cono circular recto de volumen m´
ınimo que
pueda contener a la esfera de radio 4.
13. Para cada uno de los casos siguientes, diga si existe una funci´n dos veces
o
derivable que satisfaga las propiedades enunciadas. (Justifique sus respuestas.)
df d2 f
(a) (x) > 0, (x) > 0 y f (x) < 0 para todo x ∈ R.
dx dx2
d2 f df
(b) (x) > 0 y (x) < 0 para todo x ∈ R.
dx2 dx
d2 f
(c) (x) > 0 y f (x) < 0 para todo x ∈ R.
dx2
14. Aplicando las reglas de L’Hospital, eval´e los l´
u ımites siguientes:
sen2 x
(a) lim
x→π x − π
sen2 x
(b) lim
x→0+ x − tan x
arcsen x
(c) lim
x→0 arctan x
3 sen x − sen 3x
(d) lim
x→0 3 tan x − tan 3x](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-143-320.jpg)
![144 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
15. Si f (x) es una funci´n con derivadas continuas de orden cuatro, diga cu´les
o a
de los siguientes enunciados son verdaderos y cu´les son falsos, dando en este
a
ultimo caso un ejemplo para probarlo.
´
df
(a) Si f es no decreciente en (a, b), entonces (x) 0 para toda x ∈ (a, b).
dx
df
(b) Si (x) = 0 para toda x ∈ (a, b), entonces f no tiene m´ximos ni
a
dx
m´
ınimos en (a, b).
(c) Si f tiene dos m´ximos locales en (a, b) entonces tiene un m´
a ınimo local
en (a, b).
df
(d) Si x0 ∈ (a, b) es un punto de inflexi´n de f , entonces
o (x0 ) = 0.
dx
df
(e) Si es creciente en (a, b), entonces f no tiene puntos de inflexi´n eno
dx
(a, b).
df
(f) Si x0 ∈ [a, b] y es m´ınimo absoluto de f en [a, b], entonces (x0 ) = 0.
dx
d2 f
(g) Si > 0 en (a, b) entonces f es una funci´n mon´tona en (a, b).
o o
dx2
d4 f
(h) Si = 0 en R, entonces f no es acotada en R.
dx4](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-144-320.jpg)
![146 La funci´n exponencial y sus aplicaciones
o
anterior, deduciremos las principales propiedades de esas funciones y a partir de
ellas daremos su forma expl´
ıcita, que nos permitir´ calcular su valor en cada punto
a
de R.
Proposici´n 7.1 El conjunto de todas las funciones definidas en R que satisfacen
o
la ecuaci´n diferencial (7.1) tiene las propiedades siguientes:
o
1. Existe una soluci´n de (7.1) distinta de la soluci´n trivial f (x) = 0 para x ∈ R.
o o
2. Si f1 (x) y f2 (x) satisfacen la ecuaci´n (7.1), entonces tambi´n la satisface toda
o e
funci´n de la forma h(x) = af1 (x) + f2 (x) con a ∈ R.
o
3. Si f (x) satisface (7.1) y f (x0 ) = 0 para alg´n punto x0 ∈ R, entonces f (x) = 0
u
para toda x ∈ R.
4. (Unicidad de soluciones de (7.1).) Si f1 (x) y f2 (x) satisfacen (7.1) y f1 (x0 ) =
f2 (x0 ) para alg´n punto x0 , entonces f1 (x) = f2 (x) para toda x ∈ R.
u
´
Demostracion. La validez del punto 1 es consecuencia del teorema de existencia
para ecuaciones diferenciales. Para probar el punto 2, n´tese que
o
dh d df1 df2
(x) = (af1 (x) + f2 (x)) = a (x) + (x)
dx dx dx dx
= af1 (x) + f2 (x) = h(x).
Lo anterior nos permite afirmar que si f (x) es la soluci´n a (7.1) con f (0) = 1,
o
entonces la funci´n h(x) = af (x) ser´ soluci´n de (7.1) con h(0) = a.
o a o
Para demostrar el punto 3, consideremos primero los puntos x ∈ R con |x−x0 | <
1. Aplicando el teorema del valor medio a la funci´n soluci´n f en el intervalo [x0 , x],
o o
se tiene
df
f (x) = f (x) − f (x0 ) = (x1 )(x − x0 ) = f (x1 )(x − x0 ), (7.2)
dx
con x0 < x1 < x.
Aplicando de nuevo el teorema del valor medio a la misma funci´n f (x) en elo
intervalo [x0 , x1 ], obtenemos
df
f (x1 ) = f (x1 ) − f (x0 ) = (x2 )(x1 − x0 ) = f (x2 )(x1 − x0 ), (7.3)
dx
con x0 < x2 < x1 .
Sustituyendo (7.3) en (7.2) se obtiene que
f (x) = f (x2 )(x1 − x0 )(x − x0 ).
Repitiendo este argumento k veces, encontramos puntos x1 , x2 , . . . , xk , tales que
x0 < xi < x para i = 1, . . . , k y
f (x) = f (xk )(xk−1 − x0 )(xk−2 − x0 ) · · · (x1 − x0 ).](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-146-320.jpg)
![7.1 La funci´n exponencial
o 147
Tomando valor absoluto, se tiene
|f (x)| M |x − x0 |k−1 ,
donde M es una cota para f (x) en el intervalo [x0 , x], la cual existe pues hemos
supuesto que f (x) tiene derivada en ese intervalo y por lo tanto es continua y est´
a
acotada en [x0 , x]. Como |x − x0 | < 1 se tendr´ que |x − x0 |
a k → 0 cuando k → ∞,
por lo que f (x) = 0 para cada x con |x − x0 | < 1, y por la continuidad de f (x) en
R, se tendr´ que f (x0 + 1) = 0. Repitiendo los argumentos anteriores y cambiando
a
el punto x0 por el punto x0 + 1, probamos igualmente que f (x) = 0 para cada x en
[x0 , x0 + 2]. Prosiguiendo de esta forma, concluimos que f (x) = 0 para toda x ∈ R.
Para la prueba del punto 4, observemos que la funci´n h(x) = (f1 − f2 )(x) es
o
tambi´n, en virtud del punto 2, soluci´n de (7.1) y se anula en el punto x0 , luego,
e o
como consecuencia del punto 3, se tiene f1 (x) = f2 (x) para toda x ∈ R.
Nota Importante:
1. Conjuntamente, los puntos 2, 3 y 4 de la proposici´n 7.1 aseguran que cada
o
soluci´n no trivial de (7.1) genera todas las soluciones al multiplicarse por un
o
n´mero real arbitrario.
u
df
2. Si f (x) es soluci´n de (7.1), su funci´n derivada
o o (x) tambi´n lo es.
e
dx
A partir de la proposici´n 7.1, damos la definici´n siguiente:
o o
Definici´n 7.1 A la unica soluci´n de (7.1) tal que f (0) = 1 se le llama
o ´ o
funci´n exponencial y su valor en el punto x ∈ R lo denotaremos por exp x.
o
El valor exp 1 se denota con e, notaci´n introducida por Leonhard Euler.
o
Proposici´n 7.2 (Propiedades de la funci´n exponencial)
o o
1. La funci´n exponencial es siempre mayor que cero, mon´tona creciente y
o o
c´ncava hacia arriba.
o
2. La funci´n exponencial tiene las propiedades siguientes:
o
a) exp(x + x0 ) = exp x0 exp x para cualesquiera x, x0 ∈ R.
b) Para cada x ∈ R se tiene
1 2 1 1
exp x = lim 1+x+ x + x3 + · · · + xk .
k→∞ 2! 3! k!
xk
c) lim = 0, para cada k natural.
x→∞ exp x](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-147-320.jpg)
![148 La funci´n exponencial y sus aplicaciones
o
´
Demostracion. El enunciado en 1 es verdadero ya que por la proposici´n 7.1, o
ninguna soluci´n de (7.1) distinta de cero en un punto puede anularse en punto
o
alguno y, por lo tanto, si f (0) = 1 se tiene f (x) > 0 para toda x. Por otro lado,
dado que la funci´n exponencial es igual a su derivada, ´sta tambi´n ser´ siempre
o e e a
positiva y por consiguiente f es una funci´n creciente. Finalmente, la segunda
o
derivada tambi´n ser´ positiva y entonces la gr´fica de f sera c´ncava hacia arriba,
e a a o
como se muestra en la figura 7.1.
exp x
4
3
e
2
1
x
-3 -2 -1 0 1
Figura 7.1 La funci´n exponencial f (x) = exp x
o
Para probar 2.a), tenemos que para cada x0 , la funci´n g(x) = exp(x + x0 ) es
o
tambi´n soluci´n de (7.1), ya que aplicando la regla de la cadena se tiene
e o
dg d
(x) = exp(x + x0 ) = exp(x + x0 ) = g(x)
dx dx
y, adem´s, g(0) = exp x0 . Como la funci´n exp x0 exp x, en virtud de lo demostrado
a o
en el punto 2 de la proposici´n 7.1, es tambi´n soluci´n de (7.1) y coincide con g(x)
o e o
en el punto x0 , por la unicidad de soluciones con un mismo valor en un punto dado,
tendremos
g(x) = exp(x + x0 ) = exp x0 exp x para toda x ∈ R.
La prueba de 2.b) se sigue del hecho de que cada soluci´n de (7.1) tiene derivadas
o
de todos los ´rdenes, y entonces, escribiendo su desarrollo de Taylor de orden n
o
alrededor de x = 0, se tiene
1 2 1
exp x = 1 + x + x + · · · + xn + Rn (x)
2! n!
1
con |Rn (x)| exp xc |x|n+1 ,
n!
donde xc ∈ [−x, x]. Por otro lado, al ser exp x una funci´n continua en [−x, x], existe
o
M > 0 tal que
exp y < M para toda y ∈ [−x, x].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-148-320.jpg)
![7.4 Aplicaciones de la funci´n exponencial
o 157
(b) cosh2 x − senh2 x = 1
d cosh x dsenhx
(c) = senhx, = cosh x
dx dx
(d) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senhx senh y
senh(x + y) = senhx cosh y + senhy cosh x
(e) Diga en qu´ intervalo la funci´n cosh x es uno a uno y demuestre que su
e o
funci´n inversa, denotada cosh−1 y, tiene la expresi´n siguiente:
o o
cosh−1 y = ln(y + y 2 − 1) para y 1.
5. Muestre que las funciones cosh kx y senhkx satisfacen ambas la ecuaci´n dife-
o
d2 y 2
rencial (x) − k y(x) = 0.
dx2
6. A partir de la funci´n exponencial, encuentre una funci´n de la forma h(x) =
o o
exp(f (x)) tal que
dh
(x) = xh(x).
dx
7. Una curva pasa por el punto (2, 3) y la pendiente de su recta tangente en cada
punto es igual al doble de la ordenada del punto. Encuentre la ecuaci´n de la
o
curva.
8. Sea x 0 y n un n´mero natural. Aplicando el teorema del valor medio,
u
muestre que
x n nx
ln 1 + = ,
n n + x∗
donde x∗ ∈ [0, x]. Haciendo uso de esta estimaci´n, demuestre que
o
n
x
lim ln 1 + =x
n→∞ n
y deduzca la f´rmula
o
x n
ex = lim (1 + ) .
n→∞ n
Esta ultima expresi´n es, a veces, usada como definici´n de la funci´n ex .
´ o o o
9. (a) Sustituyendo directamente en (7.6), muestre que la funci´n
o
Lp(0)
p(t) =
p(0) + (L − p(0))e−kt
satisface esa ecuaci´n. Note que cuando el tiempo crece, la poblaci´n
o o
tiende a la poblaci´n m´xima que el medio puede sustentar.
o a
(b) Haciendo uso de la soluci´n de la ecuaci´n log´
o o ıstica, diga en qu´ tiempo
e
se duplica la poblaci´n p(t) si la poblaci´n inicial p(0) es igual a L/3.
o o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-157-320.jpg)
![172 La integral indefinida
8.2.4 Integraci´n de funciones racionales
o
En esta subsecci´n presentamos el llamado m´todo de fracciones parciales para el
o e
c´lculo de la integral indefinida de funciones racionales. Una funci´n racional es una
a o
funci´n de la forma
o
p(x)
r(x) = ,
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios. La funci´n racional r(x), puede reescribirse,
o
despu´s de aplicar el algoritmo de la divisi´n para polinomios, en la forma
e o
s(x)
r(x) = w(x) +
t(x)
donde w(x), s(x) y t(x) son polinomios y el grado de s(x) es menor que el grado
de t(x). Lo anterior nos permite reducir el c´lculo de la integral indefinida de
a
funciones racionales a aqu´llas para las que el grado del polinomio del numerador
e
es estrictamente menor que el grado del polinomio del denominador.
Los teoremas siguientes sobre polinomios y funciones racionales son dos resul-
tados importantes de ´lgebra, que permiten resolver el problema del c´lculo de
a a
antiderivadas de funciones racionales.
Teorema 8.3 (Fundamental del ´lgebra) Cada polinomio t(x) con coeficientes
a
en los n´meros reales se factoriza en la forma
u
t(x) = c(x − a1 )m1 (x − a2 )m2 · · · (x − as )ms ·
·[(x − b1 )2 + k1 ]r1 [(x − b2 )2 + k2 ]r2 · · · [(x − bq )2 + kq ]rq ,
2 2 2
donde
m1 + m2 · · · + ms + 2r1 + · · · + 2rq = grado t(x).
Note que los factores de la forma [(x − b)2 + k 2 ]ri son polinomios de segundo grado
con ra´
ıces complejas.
Teorema 8.4 Sean s(x) y t(x) polinomios tales que el grado de s(x) es menor que
s(x)
el grado de t(x). Entonces la funci´n racional r(x) =
o puede expresarse como
t(x)
suma de funciones racionales de la forma
e cx + d
o , (8.10)
(x − a)s [(x − b)2 + k 2 ]r
donde a, b, c, d, k, e ∈ R y r, s ∈ N. A las funciones (8.10) se les denomina frac-
ciones parciales. M´s a´n, por cada factor del polinomio t(x) de la forma
a u
(x − a)m se tienen m sumandos de la forma
e1 e2 em
+ 2
+ ··· + ,
(x − a) (x − a) (x − a)m](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-172-320.jpg)
![8.2 M´todos de integraci´n
e o 173
y cada uno de los t´rminos de la forma [(x − b)2 + k 2 ]r da lugar a r sumandos de la
e
forma
c1 x + d 1 c2 x + d 2 cr x + d r
+ + ··· + .
[(x − b)2 + k 2 ] [(x − b)2 + k 2 ]2 [(x − b)2 + k 2 ]r
Basado en la descomposici´n anterior, el teorema siguiente caracteriza la integral
o
indefinida de toda funci´n racional.
o
Teorema 8.5 La integral indefinida de una funci´n racional es una suma de
o
funciones de la forma
s(x)
dx = U (x) + a ln V (x) + b arctan W (x) + c
t(x)
donde U (x), V (x) y W (x) son funciones racionales y a, b, c ∈ R.
´
Demostracion Tomando en cuenta que toda funci´n racional se puede expresar
o
a cx + d
como suma de fracciones parciales de la forma y donde s, r
(x − b)s [(x − e)2 + k 2 ]r
son n´meros naturales y a, b, c, d, e, k son constantes reales, la integral indefinida de
u
esas funciones se reduce al c´lculo de la integral indefinida de las fracciones parciales.
a
a
Para la evaluaci´n de
o dx se tiene, directamente por sustituci´n, o
(x − b)s
a ln |x − b| si s = 1,
a
dx =
(x − b)s a 1
si s > 1.
1 − s (x − b)s−1
El c´lculo de la integral indefinida para los t´rminos de la forma
a e
cx + d
[(x − e)2 + k 2 ]r
se reduce a calcular primitivas para funciones racionales de la forma
1 x−e
o .
[(x − e)2 + k 2 ]r [(x − e)2 + k 2 ]r
Para el c´lculo de la integral indefinida de las funciones de forma
a
1
,
[(x − e)2 + k 2 ]r
se procede definiendo las integrales
1
Ij = dx, j = 1, 2, . . . ,
[(x − e)2 + k 2 ]j](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-173-320.jpg)
![174 La integral indefinida
las cuales se calculan recursivamente mediante las f´rmulas
o
1 x−e
I1 = arctan
k2 k
1 x−e
Ij = 2 (2j − 3)Ij−1 + , j = 2, 3 . . .
2k (j − 1) [(x − e)2 + k 2 ]j−1
Finalmente, la integral indefinida de las fracciones parciales de la forma
x−e
[(x − e)2 + k 2 ]r
se calcula directamente sustituyendo y = (x−e)2 +k 2 , dy = 2(x−e)dx, para obtener
x−e 1 1
2 + k 2 ]r
dx = 2 + k 2 ]r−1
.
[(x − e) 2(1 − r) [(x − e)
1
Ejemplo 8.12 La integral indefinida de la funci´n racional r(x) =
o se calcula
x3 +1
con la descomposici´n en fracciones parciales
o
1 1 e cx + d
= = + ,
x3 + 1 (x + 1)(x2 − x + 1) x + 1 x2 − x + 1
donde
1 2 1
c=− , d= , e= .
3 3 3
Por lo tanto,
1 1 1 −1 x−2
dx = dx + dx =
x3 + 1 3 x+1 3 x2 − x + 1
1 1 1 2x − 1
= ln |x + 1| − ln(x2 − x + 1) + √ arctan √ + c. ⊳
3 6 3 3](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-174-320.jpg)
![Cap´
ıtulo
9 La integral definida
El otro concepto central del c´lculo de funciones reales es el concepto de inte-
a
gral de una funci´n sobre un intervalo. El proceso de integraci´n permite “integrar
o o
o sumar” las variaciones infinitesimales de una funci´n a lo largo de un intervalo
o
para obtener la variaci´n neta de la funci´n en ese intervalo. En el caso particu-
o o
lar del movimiento de una part´ ıcula, hace posible calcular el desplazamiento neto
de la part´ıcula en un intervalo de tiempo, a partir de las velocidades instant´neas
a
mostradas durante ese intervalo.
Desde un enfoque geom´trico, el valor de la integral de una funci´n en un inter-
e o
valo es igual al area de la regi´n delimitada por su gr´fica y el eje de las abscisas,
´ o a
considerando con signo negativo el area de la regi´n que queda por debajo del eje. La
´ o
relaci´n entre los dos enfoques anteriores la proporciona el llamado “teorema fun-
o
damental del c´lculo”, al establecer que las operaciones de derivaci´n e integraci´n
a o o
de funciones son procesos inversos.
Para introducir aqu´ la noci´n de integral de una funci´n, se aplica el m´todo de
ı o o e
agotamiento para el c´lculo del area bajo la gr´fica de la funci´n sobre un intervalo.
a ´ a o
Dicho m´todo aproxima el area de un conjunto irregular mediante sumas de areas de
e ´ ´
rect´ngulos, de tal manera que en el “l´
a ımite” se alcanza el area exacta del conjunto
´
en cuesti´n.
o
Primeramente introduciremos el concepto de integral para las funciones con-
tinuas no negativas definidas en un intervalo cerrado y acotado, y luego haremos
algunas generalizaciones a funciones continuas por segmentos y a intervalos no aco-
tados. En la presentaci´n y justificaci´n de los resultados y conceptos, utilizaremos
o o
fuertemente las propiedades b´sicas de las funciones continuas definidas en interva-
a
los cerrados que quedaron establecidas al final del cap´ ıtulo cuarto.
9.1 La definici´n de integral definida
o
Una partici´n P de un intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos de
o
[a, b] que contiene a los extremos del intervalo [a, b].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-179-320.jpg)
![180 La integral definida
Cada partici´n admite dos orientaciones: una orientaci´n positiva, dada por el
o o
orden que a la partici´n impone el orden de los n´meros reales y cuyo elemento
o u
inicial es el extremo izquierdo del intervalo [a, b], y que denotamos
a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
y otra orientaci´n negativa, que es contraria a la impuesta por el orden en los
o
n´meros reales y cuyo elemento inicial es el extremo derecho del intervalo [a, b], y
u
que denotamos
b = y0 > y1 > · · · > yn = a,
donde y0 = xn , y1 = xn−1 , . . . , yn = a.
Una partici´n que consiste de n + 1 puntos divide al intervalo [a, b] en n subin-
o
tervalos [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, de longitudes
∆xi = xi − xi−1 .
A la longitud m´xima de los subintervalos [xi−1 , xi ] se le llama norma de la
a
partici´n P, y se denota por |P|.
o
Al conjunto de las particiones de [a, b] lo denotaremos Ω([a, b]).
Una partici´n Q de [a, b] se dice un refinamiento de la partici´n P si P ⊂ Q.
o o
Sea f : [a, b] → R una funci´n real, continua y no negativa.
o
Definici´n 9.1 Sea P ∈ Ω([a, b]). Para cada i = 1, 2, . . . , n, sea x∗ un punto
o i
arbitrario en [xi−1 , xi ]. Al n´mero
u
n
S(f, P, {x∗ }) =
i
∗
f (xi )(xi − xi−1 )
i=1
se le llama la suma de Riemann correspondiente a la partici´n P y a
o
la elecci´n de puntos intermedios {x∗ }k .
o i i=1
Como casos particulares y muy importantes de sumas de Riemann se tienen
aqu´llas en las que los puntos intermedios x∗ se toman de tal manera que x∗ = xmax ,
e i i i
donde
f (xmax ) = max {f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]} ,
i
o x∗ = xmin , donde
i i
f (xmin ) = min {f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]} ,
i
es decir, xmax (xmin ) es aquel punto en [xi−1 , xi ] en el que la funci´n f alcanza su
i i o
m´ximo (m´
a ınimo). A las sumas de Riemann correspondientes a esas elecciones de](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-180-320.jpg)
![9.1 La definici´n de integral definida
o 181
los puntos en cada subintervalo, se les llama suma superior de Darboux1 -Riemann y
suma inferior de Darboux-Riemann correspondientes a la partici´n P y se denotan,
o
respectivamente, por
k
¯
S(f, P)= f (xmax )(xi − xi−1 )
i
i=1
y
k
S(f, P)= f (xmin )(xi − xi−1 ).
i
¯
i=1
Ejemplo 9.1 Supongamos que la gr´fica de la funci´n y = f (x), el intervalo [a, b]
a o
y la partici´n P = {x0 = a, x1 , x2 , x3 , x4 = b} son los que se muestran en la figura
o
9.1
f (x)
x
a = x0 x1 x2 x3 x4 = b
Figura 9.1 Una partici´n de [a, b]
o
Supongamos que tomamos los puntos intermedios x∗ ∈ [xi−1 , xi ], con i = 1, 2, 3, 4,
i
como se muestra en la figura 9.2(a). Entonces las sumas de Riemann S(f, P, {x∗ }), i
S(f, P) y S(f, P), corresponden a las regiones sombreadas en las figuras 9.2(a), (b)
y (c), respectivamente.
f (x) f (x) f (x)
x x x
x0 x1 x2 x3 x4 x0 x1 x2 x3 x4 x0 x1 x2 x3 x4
x∗
i xmax
3
(a) S(f, P, {x∗ })
i (b) S(f, P) (c) S(f, P)
Figura 9.2 Sumas de Darboux-Riemann
1
Jean Gaston Darboux (1842-1917) hizo importantes contribuciones a la geometr´ diferencial
ıa
y al an´lisis.
a](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-181-320.jpg)
![182 La integral definida
N´tese que, en este caso particular, se tiene xmin = x0 , xmin = x1 , xmin = x3 y
o 1 2 3
xmin
4 = x4 , mientras que xmax = x1 , xmax = x2 y xmax = x3 . Por otra parte, xmax
1 2 4 3
est´ se˜alado en la figura 9.2(c).
a n ⊳
Puesto que para cualquier elecci´n de x∗ ∈ [xi−1 , xi ] se cumple que
o i
f (xmin )
i f (x∗ )
i f (xmax ),
i
entonces, para cada P ∈ Ω([a, b]), se tiene
∗
S(f, P) S(f, P, {xi }) S(f, P).
Nota Importante:
1. Si f (x) es una funci´n no-negativa, es decir f (x)
o 0 para toda x ∈ [a, b],
entonces la suma superior de Darboux-Riemann correspondiente a la partici´n o
P, es la suma de las ´reas de los rect´ngulos cuyas bases son los segmentos
a a
[xi−1 , xi ] y cuya altura es la m´xima ordenada de los puntos de la gr´fica de
a a
f sobre el segmento [xi−1 , xi ] para i = 1, 2, . . . n. En ese caso, la regi´n bajo la
o
curva est´ contenida en la uni´n de rect´ngulos y su ´rea ser´ menor o igual
a o a a a
a la suma de las ´reas de ´stos. Una situaci´n an´loga se tiene con la suma
a e o a
inferior de Darboux-Riemann asociada a la partici´n P, donde el conjunto
o
bajo la gr´fica contiene a la uni´n de rect´ngulos cuyas ´reas dan la suma
a o a a
inferior. Tambi´n es de observarse que para cualquier elecci´n de los puntos
e o
x∗ ∈ [xi−1 , xi ], la suma de Riemann S(f, P,{x∗ }) es un n´mero entre las sumas
i i u
inferior y superior de Darboux-Riemann.
2. Si la funci´n f toma en [a, b] tanto valores positivos como negativos, la con-
o
tribuci´n a cada suma de los subintervalos sobre los que f toma valores nega-
o
tivos, ser´ tambi´n un n´mero negativo y entonces, en el c´lculo de la suma
a e u a
de Riemann, la suma del ´rea de los rect´ngulos que quedan por abajo del eje
a a
de las abscisas se resta del ´rea de los rect´ngulos que quedan por arriba de
a a
esos ejes. Vea la figura 9.3.
Para mostrar c´mo tiene lugar el proceso de aproximaci´n a medida que se toman
o o
particiones de [a, b] cada vez m´s finas, probaremos primero el lema siguiente.
a
Lema 9.1 Sean P, Q ∈ Ω([a, b]) y f : [a, b] → R una funci´n continua. Entonces
o
1. S(f, P) S(f, P)
2. S(f, P ∪ Q) S(f, P)
3. S(f, P ∪ Q) S(f, P)
4. sup f (x)(b − a) S(f, P) S(f, P) inf f (x)(b − a)
x∈[a,b] x∈[a,b]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-182-320.jpg)
![9.1 La definici´n de integral definida
o 183
f (x)
b = xk
x
a = x0
Figura 9.3 Sumas superiores e inferiores de Darboux-Riemann
5. S(f, P) S(f, Q)
6. inf S(f, T ) sup S(f, T )
T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
Demostracion. ´
Sean P ={a = x0 < x2 < · · · xk = b} y Q ={a = z0 < z1 < · · · < zr = b} . Como
f (xi ) f (xmin ) para cada i = 1, . . . , k, se tiene la validez del punto 1.
max
i
Para probar el punto 2, basta observar que al considerar la partici´n P ∪ Q, o
el subintervalo [xi−1 , xi ] de P contiene a varios elementos zk de Q en la forma
xi−1 zj < zj+1 < · · · zs xi y da lugar en S(f, P ∪ Q) a varios sumandos
que corresponden al ´rea de los rect´ngulos asociados a P ∪ Q cuyas bases est´n
a a a
contenidas en [xi−1 , xi ] y cuyas alturas supx∈[zs−1 ,zs ] f (x) son menores o iguales que
supx∈[xi−1 ,xi ] f (x). Puesto que, en general, supM f (x) supN f (x) si M ⊂ N,
entonces S(f, P ∪ Q) S(f, P), lo cual prueba el punto 2.
La prueba del punto 3 es de forma an´loga a la prueba del punto 2 si observamos
a
que
inf f (x) inf f (x) si M ⊂ N.
M N
La validez del punto 4 es evidente, y el punto 5 se sigue de notar que
S(f, P) S(f, P ∪ Q) S(f, P ∪ Q) S(f, Q).
La validez del punto 6 es consecuencia directa de la validez del punto 5.
Nota Importante:
Los puntos 1 y 5 en el lema anterior implican que cada suma superior de Darboux-
Riemann es cota superior para el conjunto de todas las sumas inferiores de Darboux-
Riemann posibles y an´logamente, cada suma inferior de Darboux-Riemann es cota
a](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-183-320.jpg)
![184 La integral definida
inferior de todas las sumas superiores de Darboux-Riemann posibles. Por otro lado,
los puntos 2 y 3 significan que al ir refinando cada vez m´s una partici´n mediante la
a o
incorporaci´n de nuevos puntos, se genera una sucesi´n creciente de sumas inferiores
o o
y una sucesi´n decreciente de sumas superiores. El punto clave aqu´ es que a medida
o ı
que se toman particiones con norma cada vez m´s peque˜a, las sumas de Riemann
a n
convergen todas a un mismo n´mero, lo cual motiva la definici´n siguiente.
u o
Definici´n 9.2 Para cada funci´n f : [a, b] → R continua, se define la inte-
o o
b
gral de f en el intervalo [a, b] como el n´mero real a f (x)dx dado por
u
b
f (x)dx = lim S(f, Pn , {xn∗ })
i
a n→∞
donde
Pn = a = xn < xn < · · · < xk(n) = b
0 2
n
para n = 1, 2, . . .
es una sucesi´n de particiones de [a, b] cuya norma |Pn | tiende a cero y {xn∗ }
o i
es una elecci´n arbitraria de puntos xn∗ ∈ [xn , xn ] para cada i = 1, . . . , k(n)
o i i−1 i
y n = 1, 2, . . .
Nota Importante:
1. El s´ımbolo es una deformaci´n del s´
o ımbolo . La expresi´n f (x)dx denota
o
el ´rea de un rect´ngulo de base un incremento infinitesimal dx de la variable
a a
b
x y altura f (x). Los extremos inferior a y superior b en el signo a denotan el
sentido en que se recorre el intervalo [a, b].
2. Para que la definici´n de integral definida sea v´lida, debemos probar que si f
o a
es una funci´n continua, entonces todas las sucesiones de sumas de Riemann
o
correspondientes a particiones cuya norma tiende a cero, tienen un mismo
l´
ımite. Para probar ese hecho, demostraremos en la proposici´n 9.2, que si la
o
funci´n f es continua, entonces el infimum de las sumas superiores de Darboux-
o
Riemann coincide con el supremum de las sumas inferiores y, por lo tanto,
cualquier sucesi´n de sumas de Riemann correspondientes a particiones con
o
norma que tiende a cero convergen a un mismo n´mero real. Ese n´mero es
u u
la integral definida de f en [a, b] y corresponde, si f es no-negativa, al valor
del ´rea del conjunto bajo la gr´fica de la funci´n sobre [a, b].
a a o
Proposici´n 9.2 Si f : [a, b] → R es una funci´n continua, entonces
o o
inf S(f, P) = sup S(f, P).
P∈Ω([a,b]) P∈Ω([a,b])
M´s a´n, si Pn = {a = xn < xn < . . . < xn = b} para n = 1, 2, . . . , es una sucesi´n
a u 0 2 k o
de particiones de [a, b] cuya norma |Pn | tiende a cero, entonces se tiene que
lim S(f, Pn , {xn∗ }) =
i inf S(f, P) = sup S(f, P),
n→∞ P∈Ω([a,b]) P∈Ω([a,b])](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-184-320.jpg)
![9.1 La definici´n de integral definida
o 185
o n n ∗
donde {xn∗ } es una elecci´n arbitraria de puntos xi ∈ [xi−1 , xi ] y S(f, Pn , {xi })
n∗
i
n∗ }.
es la suma de Riemann asociada a Pn y a la elecci´n {xi
o
´
Demostracion. Al ser f continua en [a, b], en virtud del teorema 4.13, es uni-
formemente continua, es decir, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x y y ∈ [a, b]
y |x − y| δ entonces
ε
|f (x) − f (y)| .
b−a
Por lo tanto, si P es una partici´n tal que los subintervalos en los cuales divide a
o
[a, b] son de longitud menor o igual a δ, se tiene que en cada subintervalo [xi−1 , xi ]
se cumple
ε
f (xmax ) − f (xmin )
i i .
b−a
Consecuentemente, las sumas superiores e inferiores respectivas satisfacen
S(f, P) − S(f, P) ε.
Esto muestra que para cada n´mero ε > 0, toda partici´n P de [a, b] tal que |P| < δ,
u o
es tal que las suma superior e inferior de Darboux-Riemann respectivas difieren entre
s´ en menos que ε. Teniendo en cuenta la estimaci´n anterior, podemos escribir
ı o
inf S(f, T ) S(f, P) S(f, P) + ε sup S(f, T ) + ε,
T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
y por lo tanto,
inf S(f, T ) sup S(f, T ) + ε.
T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
Como ε es un n´mero positivo arbitrario, concluimos que
u
inf S(f, T ) sup S(f, T ),
T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
y esto, junto con el punto 6 del lema 9.1, implica que
inf S(f, T ) = sup S(f, T ).
T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
Sea ahora una sucesi´n Pn de particiones con |Pn | → 0. Dado ε > 0 existe N tal
o
que |Pn | < δ si n > N y entonces podemos escribir
inf S(f, T ) S(f, Pn ) S(f, Pn ) + ε, para n > N
T ∈Ω([a,b])
y, por lo tanto,
inf S(f, T ) S(f, Pn ) sup S(f, T ) + ε, para n > N.
T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-185-320.jpg)
![186 La integral definida
Luego, hemos probado que
lim S(f, Pn ) = sup S(f, T ).
n→∞ T ∈Ω([a,b])
An´logamente, se tiene
a
lim S(f, Pn ) = inf S(f, T ).
n→∞ T ∈Ω([a,b])
Finalmente, puesto que para cualquier elecci´n de puntos {xn∗ } se tiene
o i
S(f, Pn ) S(f, Pn , {xn∗ })
i S(f, Pn ),
haciendo n → ∞ se obtiene,
lim S(f, Pn , {xn∗ }) =
i sup S(f, T ) = inf S(f, T ),
n→∞ T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
con lo cual hemos demostrado que todas las sucesiones de sumas de Riemann co-
rrespondientes a particiones con norma que tienden a cero, tienen un mismo l´
ımite,
que se denomina la integral definida de f en [a, b].
Nota Importante:
Al cambiar la orientaci´n de una partici´n P, la suma de Riemann cambia de signo al
o o
invertirse los extremos inicial y final de cada subintervalo. Para se˜alar la orientaci´n
n o
que se ha dado a las particiones que se han utilizado para calcular la integral,
escribiremos siempre en la parte inferior del signo f (x)dx el extremo inicial del
intervalo de integraci´n y en la parte superior el extremo final, definidos ´stos de
o e
acuerdo a la orientaci´n dada a las particiones. Tomando en cuenta lo anterior,
o
tenemos la relaci´no
a b
f (x)dx = − f (x)dx.
b a
Ejemplo 9.2 A partir de la definici´n, calculemos la integral de la funci´n f (x) =
o o
cx en el intervalo [a, b].
Tomemos la sucesi´n particular de particiones de [a, b] con norma que tiende
o
a cero dada mediante Pn = a < a + h < a + 2h < · · · < a + nh = b, donde
b−a
h= . En este caso, los intervalos en que se divide [a, b], tienen por extremo
n
derecho a xi = a + ih, con i = 1, . . . , n. Elijamos ahora los puntos intermedios
h
x∗ = a + ih − ∈ [xi−1 , xi ] y calculemos las sumas de Riemann correspondientes,
i
2
obteniendo
n n
h c(b − a)2 1
S(f, Pn , {x∗ })
i = c a + ih − h = ca(b − a) + i−
2 n2 2
i=1 i=1
c(b − a)2 n(n + 1) n 1
= ca(b − a) + − = c(b2 − a2 ),
n2 2 2 2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-186-320.jpg)
![9.1 La definici´n de integral definida
o 187
y tomando l´
ımite cuando n → ∞ tendremos
b
1
cxdx = c(b2 − a2 ). ⊳
a 2
9.1.1 Propiedades de la integral definida
En la siguiente proposici´n enlistamos las propiedades principales de la integral
o
definida.
Proposici´n 9.3 Sean f, g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b]. Entonces
o
1. Para cada λ ∈ R,
b b b
(λf + g)(x)dx = λ f (x)dx + g(x)dx (Linealidad)
a a a
2. Para cada c ∈ (a, b),
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (Aditividad del intervalo)
a a c
b
3. inf f (x)(b − a) f (x)dx sup f (x)(b − a)
x∈[a,b] a x∈[a,b]
b b
4. Si f (x) g(x) en [a, b], entonces a f (x)dx a g(x)dx.
b b
5. f (x)dx f (x) dx
a a
´
Demostracion. Para probar 1, basta observar que para cada sucesi´n de parti-
o
ciones Pn de [a, b] con norma que tiende a cero y cada elecci´n de puntos intermedios
o
{xn∗ } , se cumple que
i
S(λf + g, Pn , {xn∗ }) = λS(f, Pn , {xn∗ }) + S(g, Pn , {xn∗ }),
i i i
y tomando en cuenta la convergencia de las sucesiones de la derecha, se tendr´
a
b b b
(λf + g)(x)dx = λ f (x)dx + g(x)dx.
a a a
Para la prueba de 2, obs´rvese que si Pn y Rn son sucesiones de particiones con
e
norma que tiende a cero de [a, c] y [c, b], entonces su uni´n Pn ∪Rn define una sucesi´n
o o
de particiones de [a, b] tales que para cualquier elecci´n de puntos intermedios se
o
tiene
S(f, Pn ∪ Rn , {xn∗ }) = S(f, Pn , {xn∗ }) + S(f, Rn , {xn∗ }).
i i i](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-187-320.jpg)
![188 La integral definida
Al tomar l´
ımite cuando n → ∞, de las sucesiones anteriores se obtiene
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,
a a c
con lo que se prueba el punto 2.
La demostraci´n del punto 3 es consecuencia de la siguiente estimaci´n para
o o
cada partici´n P de [a, b] :
o
sup f (x)(b − a) S(f, Pn , {xn∗ })
i inf f (x)(b − a).
x∈[a,b] x∈[a,b]
La demostraci´n del punto 4 se tiene al observar que si k : [a, b] → R es una funci´n
o o
continua con k(x) 0 para x ∈ [a, b], entonces
inf k(x)(b − a) 0,
x∈[a,b]
b
y, de lo probado en el punto 3, se sigue que a k(x)dx 0. Tomando en cuenta lo
anterior, si f (x) g(x) en [a, b], se tiene (f − g)(x) 0 y entonces
b b
f (x)dx − g(x)dx 0.
a a
Finalmente, la prueba del punto 5 se sigue directamente del punto 3 y de considerar
que si f es continua, tambi´n lo es |f (x)| y
e
−|f (x)| f (x) |f (x)|;
luego,
b b b
− |f (x)|dx f (x)dx ≤ |f (x)|dx,
a a a
lo cual implica que
b b
f (x)dx |f (x)|dx.
a a
Corolario 9.4 (Teorema del valor medio para integrales) Sea
f : [a, b] → R continua. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que
b
f (x)dx = f (c)(b − a).
a
´
Demostracion. Del punto 3 de la proposici´n anterior, tenemos que
o
b
1
inf f (x) f (x)dx sup f (x).
x∈[a,b] (b − a) a x∈[a,b]](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-188-320.jpg)
![9.2 El teorema fundamental del c´lculo
a 189
Tomando ahora en cuenta que toda funci´n continua en un intervalo cerrado [a, b],
o
alcanza cada valor intermedio entre su valor m´ximo y su valor m´
a ınimo, y como
b
1
f (x)dx es un valor entre esos valores extremos de la funci´n, entonces
o
(b − a) a
existe c ∈ [a, b] tal que
b
1
f (c) = f (x)dx,
(b − a) a
con lo cual se prueba el corolario.
Corolario 9.5 (Segundo teorema del valor medio para integrales)
Sean f (x) y g(x) funciones continuas en [a, b] y f (x) 0. Entonces, existe
c ∈ (a, b) tal que
b b
f (x)g(x)dx = g(c) f (x)dx.
a a
´
Demostracion A partir de la estimaci´n
o
f (x) min g(x) f (x)g(x) f (x) max g(x),
x∈[a,b] x∈[a,b]
podemos escribir
b b b
min g(x) f (x)dx f (x)g(x)dx max g(x) f (x)dx.
x∈[a,b] a a x∈[a,b] a
Enseguida, aplicando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, ex-
istir´ c ∈ (a, b) tal que
a
b b
f (x)g(x)dx = g(c) f (x)dx.
a a
9.2 El teorema fundamental del c´lculo
a
Aparentemente, el c´lculo de una integral definida es un proceso dif´ de imple-
a ıcil
mentar, pues se requiere tomar en cuenta el comportamiento de la funci´n a lo largo
o
de todo el intervalo de integraci´n. Sin embargo, cuando se conoce una primitiva
o
o antiderivada de la funci´n, el c´lculo de la integral en el intervalo se reduce a
o a
una mera valuaci´n de esa primitiva en sus extremos, tal como lo mostramos en la
o
proposici´n siguiente.
o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-189-320.jpg)
![190 La integral definida
Proposici´n 9.6 Sea f : [a, b] → R continua y g : [a, b] → R una primitiva de
o
dg
f , es decir (x) = f (x). Entonces
dx
b b
dg
f (x)dx = (x)dx = g(b) − g(a).
a a dx
´
Demostracion. Consideremos una partici´n P = {a = x0 < x2 < · · · < xk = b} y
o
tomemos en cada subintervalo [xi−1 , xi ] un punto intermedio x∗ tal que
i
dg ∗
g(xi ) − g(xi−1 ) = (x )(xi − xi−1 ).
dx i
La existencia de tal punto lo asegura el teorema de valor medio aplicado a la funci´n
o
g(x) en el intervalo [xi−1 , xi ]. Luego, evaluando la suma de Riemann correspondiente,
se tiene
k
dg ∗
S(f, P, {x∗ } )=
i (x )(xi − xi−1 ) =
dx i
i=1
k
= (g(xi ) − g(xi−1 )) = g(b) − g(a),
i=1
lo cual muestra que S(f, P, {x∗ } ) es un n´mero que no depende de la partici´n
i u o
P. Luego, el l´ımite de la sumas de Riemann correspondientes a una sucesi´n deo
particiones Pn con norma que tiende a cero y donde los puntos intermedios x∗ se i
eligen como se hizo arriba, ser´ el n´mero g(b) − g(a) y por lo tanto se tendr´
a u a
b
f (x)dx = g(b) − g(a).
a
Nota Importante:
Hemos probado que si una funci´n continua tiene una primitiva, entonces la inte-
o
gral de la primera sobre cada intervalo cerrado es igual a la diferencia de valores de
la primitiva en sus extremos. Tomando en cuenta que dos primitivas en un inter-
valo difieren por una constante, el valor de la diferencia de valores g(b) − g(a) es
independiente de la primitiva que se utilice.
El resultado anterior es la primera parte del llamado teorema fundamental del
c´lculo.2 La parte restante afirma que cada funci´n continua tiene una primitiva.
a o
2
La idea original de este teorema se debe a Isaac Barrow, matem´tico mencionado en el cap´
a ıtulo
primero.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-190-320.jpg)
![9.2 El teorema fundamental del c´lculo
a 191
Proposici´n 9.7 Si f : [a, b] → R es una funci´n continua, la funci´n
o o o
g : [a, b] → R,
definida mediante la expresi´n
o
x
g(x) = f (s)ds,
a
es una primitiva de f.
´
Demostracion. Mostremos primero que g(x) es derivable.
x+h x
g(x + h) − g(x) 1
lim = lim f (s)ds − f (s)ds
h→0 h h→0 h a a
x x+h x
1
= lim f (s)ds + f (s)ds − f (s)ds
h→0 h a x a
x+h
1
= lim f (s)ds.
h→0 h x
Aplicando el teorema de valor medio para integrales, tenemos que
x+h
1
f (s)ds = f (xh ), con xh ∈ [x, x + h]
h x
Tomando l´
ımite cuando h → 0 y considerando que f es continua en x, obtenemos
g(x + h) − g(x)
lim = lim f (xh ) = f (x).
h→0 h h→0
dg
Esto prueba que la funci´n g(x) es derivable y
o (x) = f (x). Luego, g es una pri-
dx
mitiva de f en [a, b].
Nota Importante:
1. El teorema fundamental del c´lculo en cierta manera establece que las opera-
a
ciones de derivaci´n y de integraci´n son procesos rec´
o o ıprocos, en el sentido
siguiente:
x
df
(s)ds = f (x) − f (a),
a dx
x
d f (s)ds
a
(x) = f (x).
dx](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-191-320.jpg)
![194 La integral definida
⊳
An´logamente, se define la integral impropia de una funci´n continua f (x) en
a o
b ∞
(−∞, b] como el l´
ımite com´n, si existe, de las sucesiones de la forma
u f (x)dx
ai i=1
para toda sucesi´n {ai }∞ que tiende a −∞. La integral impropia de f en (−∞, b]
o i=1
b
se denota con f (x)dx; es decir,
−∞
b b
f (x)dx = lim f (s)ds.
−∞ x→−∞ x
Finalmente, diremos que una funci´n f (x), continua en (−∞, ∞), tiene integral
o
impropia en (−∞, ∞), si para alg´n n´mero real a, la funci´n f posee integrales
u u o
impropias en (−∞, a] y en [a, ∞). A la suma de tales integrales se le llama la integral
∞
impropia de f en (−∞, ∞) y se denota con f (x)dx; es decir,
−∞
∞ a ∞
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
−∞ −∞ a
Nota Importante:
1. La definici´n de integral impropia en toda la recta (−∞, ∞), no depende del
o
valor a.
2. A las integrales impropias de funciones en intervalos no acotados se les deno-
mina “integrales impropias de primera clase”. Cuando una integral impropia
existe, tambi´n se dice que la integral impropia converge y en caso contrario
e
se dice que la integral impropia diverge.
De manera similar al caso de intervalos no acotados, si f (x) es una funci´n o
continua definida en un intervalo de la forma [a, b), se dice que tiene integral impropia
en [a, b) si para toda sucesi´n de reales {bi }∞ con t´rminos a < bi < b y tal que
o i=1 e
bi ∞
limi→∞ bi = b, se tiene que la sucesi´n de integrales definidas
o f (x)dx
a i=1
converge a un valor L, independiente de la sucesi´n {bi }∞ que se tome. Al n´mero
o i=1 u
b
L se le llama integral impropia de f en [a, b) y se denota con f (x)dx; es decir,
a
b bi
f (x)dx = lim f (x)dx.
a bi →b a
Para el caso de funciones continuas sobre intervalos de la forma (a, b], la definici´n
o
de integral impropia es similar. Finalmente si f (x) es una funci´n continua en un
o
intervalo abierto de la forma (a, b), se dice que tiene integral impropia en (a, b) si](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-194-320.jpg)
![196 La integral definida
Ejemplo 9.7 La funci´n f : [0, 3] → R con
o
√
1 − x2
si x ∈ [0, 1]
f (x) = 2 si x ∈ (1, 2]
x−2 si x ∈ (2, 3]
es una funci´n seccionalmente continua cuyos puntos de discontinuidad son x = 1 y
o
x = 2. ⊳
Definici´n 9.4 Una funci´n seccionalmente continua f (x) se dice integrable
o o
en un dominio si posee integral impropia en cada uno de los intervalos abiertos
en que sus discontinuidades dividen a ese dominio. A la suma de tales integrales
se le llama la integral de la funci´n seccionalmente continua.
o
Ejemplo 9.8 La funci´n f : (0, 2] → R con
o
√ 1
si 0 < x 1
f (x) = x
x − 1 si 1 < x 2
es seccionalmente continua y su integral se calcula como sigue:
2 1 2
1
f (x)dx = √ dx + (x − 1)dx
0 0 x 1
1 2
1 x2
= lim √ dx + −x
c→0+ c x 2 1
1
√ 1
= lim 2 c +
c→0 +
0 2
5
= . ⊳
2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-196-320.jpg)
![198 La integral definida
(a) Utilizando dos veces la f´rmula de integraci´n por partes, escriba la in-
o o
tegral de la derecha en la forma
a
df a
d2 f
f (a) − f (c) = (s − a) (s) − (s − a) (s)ds
dx c c dx2
df 1 1 d2 f a
d3 f
= (a − c) (c) + (a − c)2 2 (c) + (s − a)2 (s)ds.
dx 2 dx 2 c dx3
Como esto vale para dos puntos a, c de (p, q) arbitrarios, podemos escribir
en lugar de a el valor x y en lugar de c el valor a para obtener
df 1 d2 f
f (x) = f (a) + (x − a) (a) + (x − a)2 2 (a)
dx 2 dx
1 x
d3 f
+ (s − x)2 (s)ds.
2 a dx3
Al t´rmino
e
1 x
d3 f
Ra (x) = (s − x)2 (s)ds,
2 a dx3
se le llama residuo de Taylor3 de orden tres en forma integral.
(b) Deduzca la forma integral del residuo de Taylor de orden n.
6. Sea a > 0, diga para qu´ valores de p ∈ R la funci´n de tipo exponencial
e o
f (x) = x−p tiene integral impropia en [a, ∞) y para qu´ valores de p tiene
e
integral impropia en (0, a).
7. Encuentre la integral de la funci´n f (x) : (0, 1) → R, dada por
o
1 1
f (x) = √ + √ .
x 1−x
8. Utilizando el criterio de comparaci´n (proposici´n 9.8):
o o
2
(a) Pruebe que la funci´n e−x tiene integral impropia en todo el intervalo
o
2
(−∞, ∞). Sugerencia: Note que 0 e−x e−x para toda x ∈ [1, ∞)
y que 0 e −x2 1 para toda x ∈ [0, 1].
1
(b) Pruebe que la funci´n f (x) = √
o tiene integral impropia en el inter-
x + x3
valo (0, ∞). Sugerencia: compare la funci´n en cuesti´n con las funciones
o o
1 1
√ y √ en los subintervalos apropiados.
x x3
9. Calcule las integrales impropias siguientes:
π
1 ∞ 2
−x
(a) x ln xdx (b) xe dx (c) tan xdx
0 0 0
3
Por Brook Taylor, citado en los cap´
ıtulos 1, 6 y 8.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-198-320.jpg)
![Cap´
ıtulo
10 Aplicaciones de la integral
definida
En este cap´ıtulo presentamos algunas de las aplicaciones elementales del c´lculo
a
integral a la geometr´ la f´
ıa, ısica y la ingenier´ En estos ejemplos se ilustra c´mo
ıa. o
los m´todos del c´lculo integral dan sentido preciso a las t´cnicas de agotamiento
e a e
para el c´lculo de sumas o resultantes de efectos infinitesimales.
a
10.1 C´lculo de ´reas, vol´ menes y longitudes
a a u
10.1.1 ´
Areas de regiones delimitadas por curvas suaves
Para f1 : [a, b] → R y f2 : [a, b] → R, dos funciones continuas tales que
f1 (x) ≤ f2 (x) para x ∈ [a, b],
consideremos el problema del c´lculo del ´rea de la regi´n A del plano delimitada
a a o
por las gr´ficas de f1 y f2 y definida mediante el conjunto
a
A = {(x, y) tales que a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)} ,
el cual se muestra en la figura 10.1.
y f2
f1
x
a b
´
Figura 10.1 Area delimitada por las funciones
f1 y f2 y las rectas x = a y x = b
Este problema es equivalente al c´lculo del ´rea de la regi´n delimitada por la
a a o
gr´fica de la funci´n no-negativa g dada por
a o
g(x) = f2 (x) − f1 (x), x ∈ [a, b],](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-201-320.jpg)
![202 Aplicaciones de la integral definida
y el eje de las abscisas. Con base en las propiedades de la integral definida, vemos
que el ´rea de la regi´n A se calcula con la f´rmula
a o o
b b
´
Area de A = g(x)dx = (f2 (x) − f1 (x))dx.
a a
Ejemplo 10.1 Calculemos el ´rea de la regi´n A del plano delimitada por la curva
a o
y = 3 − x2 y la recta y = −x + 1.
y
(-1,2) f2 (x) = 3 − x2
x
(2,-1)
f1 (x) = −x + 1
Figura 10.2 La regi´n A del ejemplo 10.1
o
La regi´n A, como se muestra en la figura 10.2, est´ delimitada por las funciones
o a
f1 (x) = −x + 1 y f2 (x) = 3 − x2 sobre el intervalo [−1, 2], y por lo tanto, su ´rea es
a
2
´ 9
Area de A = (−x2 + x + 2)dx = . ⊳
−1 2
Nota Importante:
Para calcular el ´rea de regiones m´s generales se puede utilizar el procedimiento
a a
anterior descomponiendo la regi´n original en partes delimitadas por gr´ficas de
o a
dos curvas y rectas paralelas al eje de las ordenadas, calcul´ndolas como en el caso
a
anterior, y sumando despu´s las ´reas de esas regiones.
e a
A veces conviene expresar las fronteras de la regi´n cuya ´rea se desea calcular,
o a
como gr´ficas de funciones de la variable y e integrar sobre intervalos en el eje de
a
las ordenadas.
Ejemplo 10.2 El ´rea de la regi´n B delimitada por el eje de las ordenadas y las
a o
curvas y = sen x y y = cos x,
π
B = (x, y) con x ∈ 0, , sen x y cos x
4
(ver figura 10.3), se puede expresar como la suma del √rea de la regi´n bajo la gr´fica
a
´ o a
2
de la funci´n h1 (y) = arcseny sobre el intervalo 0,
o del eje de las ordenadas y
2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-202-320.jpg)
![10.1 C´lculo de ´reas, vol´menes y longitudes
a a u 203
y
cos x
√
2
2
sen x
x
π
4
Figura 10.3 La regi´n B del ejemplo 10.2
o
el√ rea de la regi´n bajo la gr´fica de la funci´n h1 (y) = arccos y sobre el intervalo
a
´ o a o
2
, 1 del eje de las ordenadas.
2
Utilizando esta descomposici´n, se obtiene
o
√
2
2
1 √
´
Area de B = arcsen ydy + √ arccos ydy = 2 − 1.
2
0 2
Por otro lado, esa misma regi´n B se puede ver como delimitada por las gr´ficas de
o a
π
las funciones f1 (x) = cos x y f2 (x) = sen x sobre el intervalo 0, y para su ´rea
a
4
se tiene
π
4 π √
´
Area de B = 4
(cos x − sen x)dx = (sen x + cos x) |0 = 2 − 1. ⊳
0
10.1.2 Vol´ menes de s´lidos de revoluci´n
u o o
En este apartado mostramos c´mo se aplica la integral definida al c´lculo del volu-
o a
men de s´lidos de revoluci´n en dos casos importantes en las aplicaciones.
o o
Primer caso: Sea f : [a, b] → R una funci´n continua y consideremos el s´lido
o o
de revoluci´n S que se genera al girar alrededor del eje de las abscisas la regi´n
o o
delimitada por la gr´fica de f sobre el intervalo [a, b]. Ver la figura 10.4.
a
ıficamente, el s´lido de revoluci´n S es el conjunto
Espec´ o o
S = (x, y, z) tales que y 2 + z 2 ≤ (f (x))2 con a x b .
Para calcular el volumen del s´lido S observamos que cada uno de los subintervalos
o
definidos por una partici´n P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] genera, al
o
rotar alrededor del eje de las abscisas, un cilindro de altura ∆xi y radio |f (x∗ )|. Ver
i
figura 10.5.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-203-320.jpg)
![10.1 C´lculo de ´reas, vol´menes y longitudes
a a u 205
es generado al rotar la gr´fica de la funci´n
a o
f : [−a, a] → R
x2
f (x) = b 1 −
a2
y el c´lculo del volumen nos arroja la expresi´n
a o
a
x2 4
V = πb2 1− dx = πb2 a.1 ⊳
−a a2 3
Segundo caso: Para s´lidos de revoluci´n generados por la rotaci´n de la gr´fica
o o o a
de una funci´n continua f : [a, b] → R, a
o 0, alrededor del eje de las ordenadas,
como se muestra en la figura 10.6, el c´lculo de su volumen puede realizarse de
a
manera an´loga.
a
f (x)
x
a b
Figura 10.6 S´lido de revoluci´n
o o
De manera espec´ ıfica, cada subintervalo [xi−1 , xi ] de una partici´n P = {a =
o
x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] genera, al girar alrededor del eje de las ordenadas,
ındrico de espesor ∆xi y altura |f (x∗ )|, donde x∗ ∈ [xi−1 , xi ], como se
un anillo cil´ i i
muestra en la figura 10.7.
f (x) f (x)
f (x∗ )
i
x x
a b
xi−1 xi
x∗
i
Figura 10.7 C´lculo del volumen de un s´lido de revoluci´n
a o o
1
N´tese que si a = b, E es una esfera y V su volumen.
o](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-205-320.jpg)
![206 Aplicaciones de la integral definida
La suma de los vol´menes de estos anillos cil´
u ındricos es
k k
∗
V (f, P, {xi }) = π |f (x∗ )|(x2 − x2 ) = π
i i+1 i (xi+1 + xi )|f (x∗ )|∆xi .
i (10.3)
i=1 i=1
En el l´
ımite, cuando k → ∞, la suma (10.3) converge al n´mero
u
b
V = Volumen de S = 2π x|f (x)|dx, (10.4)
a
que es el volumen exacto del s´lido de revoluci´n S.
o o
Ejemplo 10.4 Consideremos el s´lido que se genera al rotar alrededor del eje de
o
las ordenadas la gr´fica de la curva f (x) = 2x2 − x3 con x ∈ [0, 2]. Aplicando la
a
f´rmula (10.4) obtenemos
o
2 2
16
V = 2π x|f (x)|dx = 2π (2x3 − x4 )dx = π. ⊳
0 0 5
10.1.3 Longitudes de curvas
El c´lculo de longitudes de curvas en el plano cartesiano es otra aplicaci´n impor-
a o
tante de la integral definida. Si consideramos la curva Γ dada por la ecuaci´n
o
y = f (x) para x ∈ [a, b],
donde f (x) es una funci´n con derivada continua, podemos calcular la longitud de
o
Γ aproxim´ndola por curvas poligonales, es decir, formadas por segmentos de recta,
a
cuya longitud es directamente calculable mediante la f´rmula de la distancia entre
o
dos puntos del plano cartesiano. Esto puede realizarse tomando una partici´n P o
= {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] y construyendo la curva poligonal s(x) que
pasa por los puntos (xi , f (xi )) para i = 1, · · · k, de la gr´fica de Γ, como se muestra
a
en la figura 10.8.
y
y = f (x)
y = s(x)
x
x0 x1 x2 ··· xk−1 xk
Figura 10.8 Aproximaci´n de la longitud de arco
o
La longitud del segmento si determinado por los puntos (xi−1 , f (xi−1 )) y](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-206-320.jpg)
![10.1 C´lculo de ´reas, vol´menes y longitudes
a a u 207
(xi , f (xi )), es igual a
longitud de si = ∆x2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 .
i (10.5)
Aplicando el teorema del valor medio a la funci´n f (x) en cada subintervalo [xi−1 , xi ],
o
podemos escribir
df ∗
f (xi ) − f (xi−1 ) = (x )∆xi , (10.6)
dx i
∗
donde xi ∈ [xi−1 , xi ]. Sustituyendo (10.6) en (10.5) y sumando se obtiene
k k 2
df ∗
longitud de s = si = 1+ (x ) ∆xi ,
dx i
i=1 i=1
2
df
que es la suma de Riemann de la funci´n
o (x) 1+
correspondiente a la
dx
partici´n P y a la elecci´n de puntos intermedios {x∗ } . Tomando el l´
o o i ımite de esas
sumas cuando |P| → 0, obtenemos
b 2
df
longitud de Γ = 1+ (x) dx. (10.7)
a dx
Ejemplo 10.5 La longitud de la curva Γ en el plano cuya ecuaci´n es y = x3 ,
o
x ∈ [a, b], es
b
longitud de Γ = 1 + 9x4 dx. ⊳
a
Nota Importante:
Frecuentemente, y a´n en aplicaciones del c´lculo a problemas sencillos, la inte-
u a
graci´n de funciones elementales es un problema dif´
o ıcil. M´s a´n, se ha demostrado
a u
que muchas funciones elementales no poseen antiderivadas que se puedan expresar
en t´rminos de una cantidad finita de funciones elementales. Por ejemplo, al calcular
e
la longitud de la elipse
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2 b
b
se obtiene, aplicando la f´rmula (10.7) a f (x) =
o a2 − x2 , que
a
a
b2 x2
longitud de la elipse = 4 1+ dx
0 a2 a2 − x2
π
2 b2
= 4a 1+ − 1 sen2 θdθ. (10.8)
0 a2](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-207-320.jpg)
![´
10.2 Area de superficies de revoluci´n
o 209
Con la f´rmula (10.10) podemos calcular el ´rea externa de un s´lido aproximan-
o a o
do su ´rea lateral por una suma de ´reas laterales de conos truncados cuyas paredes
a a
aproximan la superficie exterior del s´lido. M´s expl´
o a ıcitamente, consideremos la
superficie de revoluci´n generada al rotar alrededor del eje de las abscisas la gr´fica
o a
de la funci´n no-negativa f sobre el intervalo [a, b]. V´ase la figura 10.11.
o e
Para cada partici´n P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] consideremos la
o
curva poligonal s(x) que pasa por los puntos (xi , f (xi )) para i = 1, 2, . . . , k. Al rotar
la curva s(x), cada subintervalo [xi−1 , xi ], genera un cono circular truncado cuyas
bases tienen por radios R = f (xi ) y r = f (xi−1 ) y altura h = xi − xi−1 , como se ve
en la figura 10.11.
f (x) f (x)
f (xi−1 )
f (xi )
x x
a b
xi−1 xi
Figura 10.11 C´lculo del ´rea de una superficie de revoluci´n
a a o
El ´rea de los conos truncados generados por la partici´n P toma el valor:
a o
Suma k
de ´reas laterales = π
a (f (xi ) + f (xi−1 )) ∆x2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 . (10.11)
i
de conos i=1
Aplicando el teorema del valor medio a la funci´n f en cada subintervalo [xi−1 , xi ]
o
podemos escribir
df ∗
f (xi ) − f (xi−1 ) = (x )∆xi (10.12)
dx i
u ∗
para alg´n xi ∈ (xi−1 , xi ). Sustituyendo (10.12) en (10.11), tendremos,
suma k 2
df ∗
de ´reas laterales = π
a (f (xi ) + f (xi−1 )) 1+ (x ) ∆xi ,
dx i
de conos i=1
la cual es una suma de Riemann de la funci´n
o
2
df ∗
ℓ(x) = 2πf (x) 1+ (x )
dx i](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-209-320.jpg)
![210 Aplicaciones de la integral definida
correspondiente a la partici´n P y a la elecci´n de puntos intermedios x∗ , i =
o o i
1, 2, . . . , k. Al tomar particiones de [a, b] con norma tendiente a cero, la suma de
a
´reas laterales de los conos truncados converge a la integral de la funci´n ℓ(x); es
o
decir,
b 2
a
´rea de la df
= 2π f (x) 1+ (x) dx. (10.13)
superficie de revoluci´n
o a dx
Ejemplo 10.6 El ´rea de la esfera corresponde al ´rea de la superficie de revoluci´n
a a o
generada al rotar la gr´fica de la funci´n
a o
f (x) = r2 − x2 , x ∈ [−r, r]
alrededor del eje de las abscisas. Aplicando la f´rmula (10.13) se tiene:
o
r
a
´rea de la esfera x2
= 2π r2 − x2 1+ dx
de radio r −r r2 − x2
r
= 2π rdx = 4πr2 . ⊳
−r
10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos
o
En este apartado presentamos algunas aplicaciones de la integral a problemas del
c´lculo de centros de masa (o centroides) de varillas y regiones planas.
a
10.3.1 Centroides de varillas y regiones planas
Consideremos una varilla de longitud L de densidad variable, de tal manera que
la masa del material que forma la varilla por unidad de longitud es una funci´n o
ρ(x), donde x ∈ [0, L]. Si colocamos la varilla sobre un pivote colocado en el punto
xM , como se muestra en la figura 10.12, y consideramos la acci´n de la fuerza de
o
gravedad sobre cada uno de sus puntos, la varilla tender´ a rotar en la direcci´n de
a o
las manecillas del reloj por efecto de la fuerza de palanca generada por el peso de
los puntos a la derecha del pivote y en sentido contrario por la fuerza de palanca de
los puntos a la izquierda de xM .
x
0 xM
L
Figura 10.12 Centroide de una varilla
La fuerza de palanca o “torca” ejercida por cada masa puntual de la varilla es
igual al producto de la distancia de ese punto al pivote, multiplicado por el peso del](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-210-320.jpg)
![10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos
o 211
material concentrado en ese punto. La resultante de la suma de las torcas ejercidas
por los puntos a la derecha e izquierda del pivote, tiene un efecto final sobre la
varilla, haci´ndola girar en el sentido correspondiente al signo de la torca resultante.
e
Se define el centro de masa de la varilla (o centroide) como aquel punto-pivote xM
con respecto al cual la torca resultante ejercida por todos los puntos de la varilla es
cero.
Para el c´lculo de la torca resultante respecto a un punto-pivote xM , se recurre
a
al m´todo de agotamiento, considerando a la varilla como formada por un conjunto
e
finito de segmentos dispuestos a lo largo de la varilla y donde cada uno de ellos tiene
densidad constante e igual al valor de la funci´n ρ(x) en el punto x del segmento,
o
elegido arbitrariamente. Bajo esa aproximaci´n, la suma de las torcas ejercidas
o
por esos segmentos tender´, cuando la longitud de los segmentos es cada vez m´s
a a
peque˜a, a la torca de la varilla alrededor del punto-pivote xM . Para realizar lo
n
anterior, tomamos una partici´n P = {0 = x0 < x1 < · · · < xk = L} de [0, L] y con-
o
sideramos la suma
k
T (ρ, P, {x∗ }) =
i ρ(x∗ )(x∗ − xM )∆xi ,
i i (10.14)
i=1
donde x∗ es un punto arbitrario de [xi−1 , xi ] para cada i = 1, 2, . . . , k. La expresi´n
i o
(10.14) es la suma de Riemann para la funci´n ρ(x)(x − xM ) correspondiente a la
o
partici´n P y la elecci´n de puntos {x∗ } , y por lo tanto, para cada elecci´n del
o o i o
L
punto pivote xM , el valor de la integral 0 ρ(x)(x − xM )dx corresponde a la torca
ejercida por la varilla alrededor de ese punto. Luego, el centro de masa buscado
corresponder´ al punto xM tal que
a
L
ρ(x)(x − xM )dx = 0,
0
o expl´
ıcitamente,
L
0 ρ(x)xdx
xM = L
. (10.15)
0 ρ(x)dx
Ejemplo 10.7 La determinaci´n del centro de masa de una varilla de longitud L y
o
funci´n de densidad lineal ρ(x) = ax + b con a, b > 0 y x ∈ [0, L], se obtiene direc-
o
tamente de la f´rmula (10.15) y se sit´a a una distancia xM del extremo izquierdo
o u
dada por
L 1 1
(ax + b)xdx aL2 + 2 bL
xM = 0 L = 3 1 .
0(ax + b)dx 2 aL + b
Se deduce inmediatamente que el centro de masa de una varilla de densidad cons-
tante (es decir, haciendo a = 0) se localiza en el punto medio de la varilla. ⊳
Enseguida, veamos c´mo obtener el centro de masa, o centroide, de una superficie
o
S delimitada por curvas suaves y hecha de un material de densidad constante. Aqu´ı](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-211-320.jpg)
![212 Aplicaciones de la integral definida
tambi´n el centroide se caracteriza por ser aquel punto en el plano donde la resultante
e
de las torcas medidas con respecto a ese punto como pivote tienen resultante cero,
de tal manera de que si se sostiene la superficie con un pivote en ese punto, ´sta e
permanecer´ en equilibrio.
a
Supongamos que S est´ dada por la regi´n bajo la gr´fica de una funci´n f (x)
a o a o
sobre un intervalo [a, b], como se muestra en la figura 10.13(a).
f (x) f (x)
x = xM
f (x∗ )
i
S
x x
a b a b
xi−1 x∗
i xi
(a) (b)
Figura 10.13 C´lculo del centroide de una regi´n
a o
delimitada por una curva
Para determinar las coordenadas del centroide, primero buscaremos la recta de
la forma x = xM , con respecto a la cual la torca ejercida por los puntos de la
superficie, tanto a la derecha como a la izquierda de dicha recta, es cero. Esto
quiere decir que la superficie se mantendr´ en equilibrio y no rotar´ alrededor del
a a
eje definido por la recta perpendicular al eje de las abscisas con ecuaci´n x = xM .
o
Para calcular la torca total alrededor de la recta pivote, tomamos particiones P =
{a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] y consideramos la torca ejercida por cada uno
de los rect´ngulos de base [xi−1 , xi ] y altura |f (x∗ )|, con x∗ elegido arbitrariamente
a i i
en el subintervalo [xi−1 , xi ], obteniendo as´ las sumas de la forma
ı
k
∗
T (f, P, {xi }) = ρ|f (x∗ )|(x∗ − xM )∆xi ,
i i
i=1
que corresponden a las sumas de Riemann para la funci´n
o
h(x) = ρ|f (x)|(x − xM ).
Tomando el l´ ımite de tales sumas cuando las particiones tienen norma tendiente a
cero, obtenemos que la posici´n de la recta x = xM con respecto a la cual la torca
o
total es cero, debe satisfacer la relaci´n
o
b
ρ|f (x)|(x − xM )dx = 0;
a](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-212-320.jpg)
![10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos
o 213
es decir,
b b
a ρ|f (x)|xdx a |f (x)|xdx
xM = b
= b
.
a ρ|f (x)|dx a |f (x)|dx
Para el c´lculo de la ordenada yM del centroide consideremos, para la partici´n
a o
P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b}, las franjas verticales bajo la gr´fica de f sobre
a
cada subintervalo [xi−1 , xi ]. La longitud de cada franja es, aproximadamente, f (x∗ ),
i
con x∗ ∈ [xi−1 , xi ] y tienen su centroide en el punto (x∗ , f (x∗ )/2). Consideremos
i i i
ahora el conjunto S de puntos (x∗ , f (x∗ )/2) para i = 1, 2, . . . , k con una masa
i i
concentrada en cada uno de ellos igual a ρ|f (x∗ )|∆xi . Calculemos ahora la torca
i
que hace el conjunto S con respecto a una recta horizontal y = yM , la cual toma la
forma
k
1
ρ f (x∗ ) − yM |f (x∗ )|∆xi .
i i
2
i=1
Tomando particiones cada vez m´s finas, tenemos que la torca total del conjunto
a
bajo la gr´fica de f es
a
b
1
ρ f (x) − yM |f (x)|dx,
a 2
misma que se anular´ si
a
b b
a ρf (x)|f (x)|dx a f (x)|f (x)|dx
yM = b
= b
. (10.16)
2 a ρ|f (x)|dx 2 a |f (x)|dx
Finalmente, tomando en cuenta que la masa total M de la superficie es M =
b
ρ|f (x)|dx, concluimos que las coordenadas de su centroide son
a
b b
1 1
xM = ρx|f (x)|dx, yM = ρf (x)|f (x)|dx. (10.17)
M a 2M a
Ejemplo 10.8 Calcule las coordenadas del centro de masa de la regi´n delimitada
o
por las gr´ficas de dos funciones f : [a, b] → R y g : [a, b] → R.
a
Soluci´n. Un argumento an´logo al anterior para el c´lculo de la abcisa xM del
o a a
centro de masa nos remite a la f´rmula
o
b
a x|f (x) − g(x)|dx
xM = b
,
a |f (x) − g(x)|dx
mientras que para la ordenada yM se tiene
b
a x|f (x) + g(x)||f (x) − g(x)|dx
yM = b
. ⊳
2 a |f (x) − g(x)|dx](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-213-320.jpg)
![214 Aplicaciones de la integral definida
Ejemplo 10.9 (Teorema de Pappus2 ) En el caso de un s´lido de revoluci´n ge-
o o
nerado al girar la gr´fica de una funci´n no-negativa f : [a, b] → R alrededor del eje
a o
de las abscisas, sabemos que su volumen est´ dado por la f´rmula
a o
b
V =π f 2 (x)dx. (10.18)
a
Por otro lado, sustituyendo (10.18) en la f´rmula (10.16) para la ordenada yM del
o
centroide de la regi´n delimitada por la gr´fica de f y el eje de las abscisas se obtiene
o a
la relaci´n
o
b b
2πyM f (x)dx = π f 2 (x)dx,
a a
la cual verifica el llamado teorema de Pappus, que establece que el volumen de un
s´lido de revoluci´n generado al rotar una regi´n plana R alrededor de una recta a
o o o
la cual no intersecta, es igual al ´rea de la regi´n R que lo genera, multiplicado por
a o
la distancia que recorre el centroide de R al efectuar la rotaci´n.
o ⊳
10.3.2 Presi´n de l´
o ıquidos sobre superficies
Como consecuencia de su peso y de su naturaleza deformable, los l´ıquidos se “recar-
gan” sobre las superficies con las que est´n en contacto y ejercen una determinada
a
presi´n. En cada punto de una superficie y sobre cada secci´n de ella suficiente-
o o
mente peque˜a que contiene a ese punto, la presi´n (o fuerza ejercida por unidad
n o
de ´rea) que ejerce el l´
a ıquido es la misma en cualquier direcci´n y su magnitud es
o
igual al peso de la columna de l´
ıquido sobre esa unidad de ´rea. A una profundidad
a
de h unidades, la presi´n ejercida por el l´
o ıquido es
p(h) = ρgh,
donde g es la aceleraci´n producida por la fuerza de gravedad y ρ es la densidad del
o
ıquido. A la ley anterior se le conoce como principio de Pascal 3 .
l´
Veamos ahora c´mo se aplica la integral definida para el c´lculo de la presi´n
o a o
ejercida por un l´
ıquido sobre superficies de distinta geometr´ıa.
Ejemplo 10.10 Consideremos un cilindro de radio r que descansa en el fondo de
un estanque de h metros de profundidad con 2r < h. V´ase la figura 10.14(a). Nos
e
interesa calcular la presi´n que ejerce el agua sobre cada una de sus tapaderas.
o
Para calcular la presi´n, situaremos un par de ejes de coordenadas de tal manera
o
que la tapa en cuesti´n est´ dada por el conjunto
o e
{(x, y) con x2 + y 2 r2 },
como se indica en la figura 10.14(b). Tomemos una partici´n P = {−r = y0 < y1 <
o
· · · < yk = r} del intervalo [−r, r] sobre el eje de las ordenadas. Cada subintervalo
2
Pappus (290-350, aprox.), quien vivi´ en Alejandr´
o ıa.
3
Por Blas Pascal (1623-1662), matem´tico franc´s, su descubridor.
a e](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-214-320.jpg)
![10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos
o 215
y
r2 − yi 2
∗
Bi
∆yi
h ∗
yi
x
r
r
x2 + y 2 = r2
(a) (b)
Figura 10.14 Presi´n sobre la tapa de un tanque
o
de la partici´n [yi−1 , yi ] da lugar a una banda horizontal Bi cuya ´rea es, aproxi-
o a
madamente, 2 r2 − yi 2 ∆yi , donde yi ∈ [yi−1 , yi ]. Por el principio de Pascal, sobre
∗ ∗
la banda Bi el agua, cuya densidad es ρ = 1, ejerce una presi´n constante con valor
o
approximado
∗
2g r2 − yi 2 (h − r − yi )∆yi .
∗
Sumando las presiones ejercidas sobre cada una de las bandas Bi para i = 1, 2, . . . , k,
se tiene
k
∗
2g r2 − yi 2 (h − r − yi )∆yi .
∗ (10.19)
i=1
Cuando |P| → 0 las sumas de Riemann (10.19) tienden a
r
P = 2g r2 − y 2 (h − r − y)dy, (10.20)
−r
que es el valor exacto de la presi´n del agua sobre cada tapa del tanque.
o ⊳
Ejemplo 10.11 Consideremos el problema de calcular la presi´n que un l´
o ıquido
ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene. Supongamos que el recipiente
est´ lleno de agua (ρ = 1) y que tiene la forma de una superficie de revoluci´n
a o
generada al rotar la gr´fica de la funci´n no negativa f (y), con y ∈ [c, d], alrededor
a o
del eje de las ordenadas, como se muestra en la figura 10.15.
Aproximemos la pared del recipiente con elementos de superficie, como en el
caso del c´lculo del ´rea de una superficie de revoluci´n. Aplicando el principio de
a a o
Pascal se obtiene que la presi´n total es
o
d 2
df
P = 2πg (d − y)f (y) 1+ (y) dy. (10.21)
c dy
En caso de que el agua s´lo alcance una altura k < d, la integral en (10.21) se calcula
o
unicamente en el intervalo [c, k].
´
Como aplicaciones directas de (10.21), presentamos los casos siguientes.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-215-320.jpg)
![10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos
o 217
Ejercicios y problemas del cap´
ıtulo
1. Calcule el ´rea de la regi´n delimitada por la curva cerrada y 2 = x2 − x4 .
a o
x2 y 2
2. Calcule el ´rea de la regi´n delimitada por la elipse
a o + 2 = 1.
a2 b
3. Calcule el ´rea de la regi´n comprendida entre las par´bolas y = −x2 + 2 y
a o a
y = 2x2 − 3.
4. Calcule el volumen de un cono recto de altura h y radio r.
5. Demuestre que la longitud de la circunferencia de radio r es igual a 2πr.
6. Calcule el ´rea del elipsoide de revoluci´n de eje mayor a y eje menor b.
a o
1
7. Calcule el ´rea de la superficie de revoluci´n generada al rotar la curva y =
a o
x
sobre el intervalo (0, ∞).
8. Calcule el ´rea de la superficie de revoluci´n generada al girar el c´
a o ırculo
x2 + y 2 = r2 alrededor de la recta y = r.
9. La superficie de una cortina de una presa est´ inclinada y forma un ´ngulo de
a a
30◦ con la vertical, tiene la forma de un trapezoide is´sceles de 50 metros de
o
coronamiento y 25 metros de ancho en el fondo con una altura inclinada de 35
metros medidos sobre la pared. Calcule la presi´n del agua sobre la cortina
o
cuando la presa est´ llena.
a
10. Sea S la regi´n delimitada por las curvas y = xm y y = xn para x ∈ [0, 1],
o
donde m y n son enteros y 0 n < m.
(a) Dibuje la regi´n S.
o
(b) Calcule las coordenadas del centroide de S.
(c) Determine para qu´ valores de n y m el centroide de S no est´ contenido
e a
en S.
11. Un tanque de agua que descansa horizontalmente tiene extremos con la forma
2
de la regi´n que se extiende entre la par´bola y = x y la recta y = 12. Calcule
o a 2
la presi´n que ejerce el agua sobre cada extremo si su nivel est´ a 2 metros de
o a
altura.
12. Calcule el centroide de cada una de las superficies siguientes.
(a) Un cuadrante de un c´ırculo de radio r.
(b) Una pieza formada de un rect´ngulo de altura h coronado por medio de
a
un semic´
ırculo de radio r.
(c) Una pieza de forma de tri´ngulo rect´ngulo con catetos de longitudes a
a a
y b.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-217-320.jpg)
![224 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones
donde x1 ∈ (x0 , x). An´logamente, aplicando el teorema del valor medio a la funci´n
a o
dy
(x) en el intervalo [x0 , x1 ], podemos escribir
dx
dy dy d2 y
(x1 ) − (x0 ) = (x2 )(x1 − x0 ) (11.8)
dx dx dx2
donde x2 ∈ (x0 , x1 ). Combinando (11.7) y (11.8) se tiene
d2 y
y(x) = (x2 )(x1 − x0 )(x − x0 ), (11.9)
dx2
d2 y
y considerando que (x) = cy(x), se tiene que
dx2
y(x) = cy(x2 )(x1 − x0 )(x − x0 ). (11.10)
Repitiendo ahora el argumento para el punto x2 , obtendremos
y(x2 ) = cy(x4 )(x3 − x0 )(x2 − x0 ) (11.11)
con x3 , x4 ∈ [x0 , x2 ) y, sustituyendo (11.11) en (11.10) tenemos
y(x) = c2 y(x4 )(x3 − x0 )(x2 − x0 )(x1 − x0 )(x − x0 ).
Repitiendo el argumento anterior k veces y tomando valor absoluto, arribaremos a
la estimaci´n
o
|y(x)| ≤ M ck a2k
donde M es cota de y(x) en [x0 , x0 + a]. Tomando l´ ımite cuando k → ∞ se tiene
que y(x) = 0 para x ∈ [x0 , x0 + a). Se sigue, por continuidad, que y(x0 + a) = 0 y
dy
(x0 +a) = 0. Podemos repetir el argumento anterior en el intervalo [x0 +a, x0 +2a)
dx
y concluir que el intervalo donde se anula la funci´n y(x) se extiende indefinidamente
o
a la derecha de x0 . Por un argumento similar se extiende tambi´n indefinidamente
e
a la izquierda de x0 , con lo cual se prueba que y(x) = 0 para toda x ∈ R.
A partir del lema 11.1, se sigue que si dos soluciones de la ecuaci´n (11.6) y
o
sus derivadas toman el mismo valor en un punto, entonces coinciden en todos los
puntos de R, ya que su diferencia, al ser tambi´n soluci´n y anularse junto con su
e o
derivada en un punto, se anular´ en todo R, lo cual significa que ambas soluciones
a
coincidir´n y ser´n entonces la misma. A este resultado se le conoce como el teorema
a a
de unicidad de la soluci´n para el problema de condici´n inicial.
o o
Tomando en cuenta el lema 11.1 y sus consecuencias sobre la unicidad de la
soluci´n, observamos que si se establece de antemano en un punto inicial x0 el valor
o
de una soluci´n a la ecuaci´n (11.6) y el de su derivada y se encuentra alguna
o o
soluci´n que tome los mismos valores en x0 , entonces esa ser´ la unica soluci´n
o a ´ o
con esas propiedades. Como las familias de soluciones que hemos encontrado para](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-224-320.jpg)
![230 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones
1. Si b2 − 4a > 0,
x
1
y(x) = αer1 x + βer2 x + √ f (t)[er1 (x−t) − er2 (x−t) ]dt,
b2 − 4a x0
donde α, β ∈ R y
√ √
−b + b2 − 4a −b − b2 − 4a
r1 = , r2 = .
2 2
2. Si b2 − 4a = 0,
−b
x b
y(x) = e 2
x
α + βx − f (t)(t − x)e 2 (t−x) dt,
x0
donde α, β ∈ R.
3. Si b2 − 4a < 0,
x
−b 1 b
y(x) = e 2
x
α cos qx + β sen qx + f (t)e 2 (t−x) sen(q(x − t))dt,
q x0
1
donde q = |b2 − 4a|.
2
Ejemplo 11.7 Resuelva la ecuaci´n diferencial
o
d2 y dy
2
− − 2y = e−x .
dx dx
d2 y dy
La ecuaci´n homog´nea tiene la forma
o e − −2y = 0. Dado que (b2 −4a) = 9 > 0,
dx2 dx
las soluciones w(x) de la ecuaci´n homog´nea son w(x) = αe2x + βe−x . Calculemos
o e
ahora la soluci´n particular de la forma
o
yp (x) = z1 (x)e2x + z2 (x)e−x .
Las derivadas de las funciones z1 (x) y z2 (x) satisfacen el sistema
dz1 dz2
(x)e2x + (x)e−x = 0
dx dx
dz1 dz2
2 (x)e2x − (x)e−x = e−x ,
dx dx
de donde se obtiene
dz1 1 dz2 1
(x) = e−3x , (x) = − .
dx 3 dx 3](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-230-320.jpg)
![248 Series
Note que los t´rminos N +k f (i + 1), N +k f (i) son las sumas inferior y superior
e i=N i=N
de Darboux-Riemann, respectivamente, asociadas a la partici´n o
P = {N, N + 1, N + 2, . . . , N + k} del intervalo [N, N + k]. V´ase la figura 12.1.
e
f (x)
f (N ) Suma superior
de Darboux-Riemann
f (N + 1)
.
.
.
x
1 N N +1 N +2 ··· N +k
Figura 12.1 Sumas inferior y superior de Darboux-Riemann
Tomando l´
ımites cuando k → ∞, se tiene que
∞ ∞ ∞
ai+1 f (x)dx ai ,
i=N N i=N
∞ ∞
lo cual demuestra que la serie i=N ai y la integral impropia N f (x)dx, o ambas
convergen o ambas divergen.
Ejemplo 12.8 Una aplicaci´n importante del criterio de la integral es a la serie
o
∞
1
, (12.2)
ip
i=1
donde p es un n´mero real fijo. Comparando con la funci´n f (x) = x−p , se tiene
u o
que i−p = f (i), luego, tomando en cuenta que
∞ ∞
−p 1
x dx = x−p+1 ,
1 1−p 1
se concluye que la serie (12.2) converge si p > 1 y diverge si p 1. ⊳
12.4 Series absolutamente convergentes
Una serie ∞ ai se dice absolutamente convergente si la serie de n´meros no ne-
i=1 u
gativos ∞ |ai | es convergente. La importancia de este tipo de series radica en el
i=1
resultado siguiente.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-248-320.jpg)
![Bibliograf´
ıa
[1] Adams, R. A. Calculus, A complete course, Addison-Wesley Publishers Limited,
1991.
[2] Apostol, T. Calculus, segunda edici´n, Ed. Revert´, Barcelona, 1968.
o e
[3] Apostol, T. (Editor), Selected papers on Calculus, Mathematical Association of
America, 1968.
[4] Fraga, R. (Editor), Resources for Calculus Collection, Vol. 2: Calculus Pro-
blems for a new century, Mathematical Association of America, 1993.
[5] Kuratowski, K. Introducci´n al C´lculo, Editorial Limusa-Wiley, S.A. M´xico,
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1970.
[6] Leithold, L. El c´lculo, s´ptima edici´n, Oxford University Press, M´xico, 1998.
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[7] Spivak, M. C´lculo infinitesimal, vol. 1 y vol. 2, Editorial Revert´ S.A.,
a e
Barcelona, 1998.
[8] Stewart, J. C´lculo de una variable, Trascendentes tempranas, cuarta edici´n,
a o
Thomson editores, S.A. de C.V., 2001.
[9] Tellechea, E. C´lculo diferencial e integral II, Colecci´n Textos Acad´micos,
a o e
No. 23. Editorial UNISON, 2001.
[10] Zill, D. C´lculo con geometr´ anal´
a ıa ıtica, Grupo Editorial Iberoamericano,
M´xico, 1987.
e](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-261-320.jpg)
![264 ´
Indice
real de variable real 45 Integrales
residuo 126 el´
ıpticas 210
segunda derivada 107 indefinidas 161
suma 51 Interpretaci´n geom´trica de la deri-
o e
uniformemente continua 84 vada 95
uno a uno 48 Intervalo
Funciones abierto 32, 66
anal´ıticas 259 cerrado 32
crecientes 49 compacto 83
de tipo exponencial 153 de convergencia 255
decrecientes 49 Introducci´n al an´lisis infinitesimal 18
o a
hiperb´licas 158
o
lipschitzianas 83 Jordan, Camille 21
mon´tonas 49
o Lagrange, Joseph Louis 17, 18, 19,
polinomiales 54 93
seccionalmente continuas 197 Lebesgue, Henri 21
trigonom´tricas 55
e Lecciones sobre el C´lculo Diferencial
a
inversas 58 19
Leibniz, Gottfried Wilhelm 15, 16,
Gr´fica de una funci´n
a o 50 17, 93, 99, 101, 106, 107, 165,
239
Heine, Edward 20 Ley
Huygens, Christiaan 17 de enfriamiento de Newton 155
de tricotom´ıa 30
Imagen L’Hospital, Guillaume Fran¸ois 17,
c
de x bajo f 46 140, 141, 142, 143, 145, 151
de la funci´n 46
o L´
ımite
Infimum 36 de una funci´n 77
o
Integraci´n
o de una sucesi´n 66
o
de funciones racionales 174 por la derecha 78
por partes 165 por la izquierda 78
por sustituci´n 167
o Lipschitz, Rudolf O. S. 83
Integral Longitudes de curvas 208
de f en el intervalo [a, b] 186
de Lebesgue 21 M´xima cota inferior 36
a
definida 181 M´ximo local 131
a
de f en [a, b] 188 M´todo
e
impropia de coordenadas 50
de f en (−∞, ∞), 196 de fracciones parciales 174
de f en [a, ∞) 195 de integraci´n
o
de f en [a, b) 196 por partes 165
de una funci´n continua f (x) en
o por sustituci´n 167
o
(−∞, b] 196 de Lagrange 229
indefinida 162 de variaci´n de par´metros 229
o a](https://image.slidesharecdn.com/fundamentos-de-calculo-120815193830-phpapp01/85/Fundamentos-de-calculo-264-320.jpg)
Subido porJose Sotelo Chico
Fundamentos de-calculo
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Fundamentos de-calculo
- 1. Fundamentos del C´lculo a Rub´n Flores Espinoza e Marco Antonio Valencia Arvizu Guillermo D´vila Rasc´n a o Mart´ Gildardo Garc´ Alvarado ın ıa Proyecto FOMIX CONACYT, Gobierno del Estado Clave: SON-2004-C02-008 Publicado por Editorial GARABATOS Febrero, 2008 ISBN: 970-9920-18-5 Tiraje: 1000 ejemplares
- 2.
- 3. Contenido Presentaci´n o 7 1 Una historia breve del c´lculo a 13 1.1 El siglo XVII: Newton y Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Los n´ meros reales u 21 2.1 Expansiones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 El Sistema de los N´meros Reales . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Operaciones con los n´meros reales u . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 El orden de los n´meros reales . . u . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Valor absoluto de un n´mero real . u . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Completez de los n´meros reales . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 La Recta Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Variables y funciones 41 3.1 El concepto de variable y el de funci´n . . . . o . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 Gr´fica de una funci´n . . . . . . . . . a o . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Funciones racionales y trigonom´tricas . . . . e . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.1 Medici´n de ´ngulos: radianes . . . . o a . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2 Las funciones trigonom´tricas . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.3 Las funciones trigonom´tricas inversas e . . . . . . . . . . . . . 56 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Fundamentos del C´lculo a 61 4.1 Sucesiones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.1 Propiedades de las sucesiones convergentes . . . . . . . . . . 66 3
- 4. 4 Contenido 4.3 Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Criterio de convergencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 L´ımite de una funci´n en un punto . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5 Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.6 Continuidad en intervalos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o 89 5.1 Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 89 5.1.1 Interpretaci´n geom´trica de la derivada . . . . . . o e . . . . . . 93 5.1.2 Derivada de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . 94 5.1.3 Reglas b´sicas de la derivaci´n de funciones . . . a o . . . . . . 97 5.1.4 Derivadas de funciones racionales, trigonom´tricas e y trigonom´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 103 5.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 Diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 106 5.4 C´lculo de razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 107 Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 113 6.1 Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.3.1 Significado del signo de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3.2 La funci´n segunda derivada . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 119 6.3.3 Curvatura de curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.4 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4.1 Puntos regulares, cr´ıticos y de inflexi´n o . . . . . . . . . . . . 128 6.4.2 Reglas de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o 145 7.1 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.2 La funci´n logaritmo natural . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3 Funciones de tipo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.4 Aplicaciones de la funci´n exponencial . . o . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8 La integral indefinida 159
- 5. Contenido 5 8.1 Antiderivadas e integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 M´todos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . 162 8.2.1 Integraci´n por partes . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 163 8.2.2 Integraci´n por sustituci´n . . . . . . . . o o . . . . . . . . . . . 165 8.2.3 Integraci´n por sustituci´n trigonom´trica o o e . . . . . . . . . . . 168 8.2.4 Integraci´n de funciones racionales . . . . o . . . . . . . . . . . 172 Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9 La integral definida 179 9.1 La definici´n de integral definida . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 179 9.1.1 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.2 El teorema fundamental del c´lculo . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 189 9.3 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 9.4 Integraci´n de funciones continuas por secciones . o . . . . . . . . . . . 195 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10 Aplicaciones de la integral definida 201 10.1 C´lculo de ´reas, vol´menes y longitudes . . . . . . . . . a a u . . . . . . . 201 ´ 10.1.1 Areas de regiones delimitadas por curvas suaves . . . . . . . . 201 10.1.2 Vol´menes de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . u o o . . . . . . . 203 10.1.3 Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ´ 10.2 Area de superficies de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 208 10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 210 10.3.1 Centroides de varillas y regiones planas . . . . . . . . . . . . 210 10.3.2 Presi´n de l´ o ıquidos sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . 214 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones 219 11.1 El concepto de ecuaci´n diferencial . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 219 11.2 La ecuaci´n y o ′ (x) + a(x)y(x) = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.3 La ecuaci´n y ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) . . . . . o . . . . . . . . . 222 11.3.1 La ecuaci´n y ′′ (x) − cy(x) = 0 . . . . . . . . o . . . . . . . . . 222 11.3.2 M´todo de variaci´n de constantes . . . . . . e o . . . . . . . . . 227 11.4 Leyes de movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12 Series 239 12.1 Definici´n de serie y su suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 o 12.2 Propiedades de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
- 6. 6 Contenido 12.3 Series positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.4 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 12.5 Los criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 12.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Bibliograf´ ıa 261 ´ Indice 262
- 7. Presentaci´n o La invenci´n del C´lculo en el ultimo cuarto del siglo XVII representa un hito o a ´ en la historia de las matem´ticas; puede decirse con toda certeza que ah´ inician a ı las matem´ticas modernas, pues este acontecimiento dio origen al desarrollo de a m´ltiples ramas de las matem´ticas, mantuvo pr´cticamente la exclusividad del u a a trabajo de los matem´ticos durante un siglo, y a´n los ocupa en sus m´ltiples ra- a u u mificaciones y aplicaciones. Antes del C´lculo, las matem´ticas s´lo serv´ para a a o ıan describir lo fijo y est´tico, con ´l se pudo describir el movimiento y lo din´mico; a e a estableciendo una comparaci´n, podr´ decirse que antes del C´lculo las matem´ticas o ıa a a s´lo proporcionaban fotograf´ de la realidad, y despu´s de ´l, pel´ o ıas e e ıculas. Adem´s a de describir el movimiento, el C´lculo lleg´ para resolver y unificar los problemas de a o c´lculo de ´reas y vol´menes, el trazo de tangentes a curvas y la obtenci´n de valo- a a u o res m´ximos y m´ a ınimos, proporcionando una metodolog´ general para la soluci´n ıa o de todos estos problemas; tambi´n permiti´ definir el concepto de continuidad y e o manejar procesos infinitos. El resultado fue que el C´lculo y sus derivaciones pronto a encontraron m´ltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los u a ´mbitos cient´ ıficos, empezando por la f´ ısica y las ciencias naturales, hasta llegar a las ciencias sociales. Por todas estas razones, el conocimiento y manejo del C´lculo a marca una diferencia cualitativa muy importante en la formaci´n de una persona y en o su capacidad para utilizar las matem´ticas en otras ciencias y la ingenier´ Podemos a ıa. afirmar, sin lugar a dudas, que un buen curso de C´lculo cambia la percepci´n del a o estudiante universitario. A escala mundial, la ense˜anza y el aprendizaje del C´lculo Diferencial e Inte- n a gral presenta una severa problem´tica debido a los altos ´ a ındices de reprobaci´n y o deserci´n de estudiantes en los cursos b´sicos de esa materia a nivel de licenciatura. o a En t´rminos generales, tanto en los pa´ e ıses industrializados como en los pa´ ıses en desarrollo se reportan ´ ındices de reprobaci´n y deserci´n superiores al 50%, lo que o o representa un costo muy elevado en recursos y en oportunidades desaprovechadas. Siendo el C´lculo una disciplina fundamental en la formaci´n de ingenieros, a o t´cnicos y cient´ e ıficos, el problema educativo que presenta nos impulsa a la b´squeda u de estrategias y metodolog´ tanto disciplinarias como de car´cter pedag´gico, que ıas, a o permitan asegurar est´ndares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes. a Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempe˜o escolar n en los cursos de C´lculo se pueden considerar como producto de las dificultades y a caracter´ ısticas de los conceptos y m´todos propios de esta rama de las matem´ticas e a y de la insuficiencia de profesores y recursos pedag´gicos de apoyo a su ense˜anza o n y aprendizaje. Al masificarse la educaci´n universitaria, la homogenizaci´n de los o o
- 8. 8 Presentaci´n o niveles de formaci´n en C´lculo Diferencial e Integral a nivel universitario se presenta o a como uno de los grandes retos nacionales ante el imperativo de estandarizar la calidad del sistema educativo y facilitar la integraci´n exitosa de los egresados a los o mercados de profesionistas que soportan el desarrollo econ´mico y social. o Ante esta situaci´n, un grupo de profesores del Departamento de Matem´ticas o a de la Universidad de Sonora, encabezados por el Doctor Rub´n Flores Espinoza, e hemos propuesto un conjunto de estrategias para la homogenizaci´n y certificaci´n o o de los cursos de matem´ticas a nivel estatal, en el marco de un proyecto apoyado a por el Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. Como primera estrategia para la homogenizaci´n de los programas de C´lculo en o a las instituciones de educaci´n superior en Sonora, se aborda el problema del uso del o libro obligatorio en los cursos de esta materia. Este problema constituye, en gene- ral, una de las m´s notables deficiencias en la organizaci´n y atenci´n de los cursos a o o b´sicos en el sistema universitario en M´xico. Al no establecerse textos b´sicos obli- a e a gatorios que incluyan y desarrollen los contenidos completos de los programas, se deja al estudiante sin una gu´ para su trabajo personal, a la vez que se propicia la ıa discrecionalidad en el cumplimiento de los programas, se dificulta el establecimiento y evaluaci´n de los est´ndares de calidad y se vuelve al estudiante m´s dependiente o a a del profesor. Para contribuir a resolver la problem´tica anterior, el texto que aqu´ a ı se presenta desarrolla en forma completa los distintos conceptos, m´todos y aplica- e ciones del C´lculo que son necesarios y suficientes para una formaci´n de calidad en a o ciencias e ingenier´ Este texto permitir´ a todos los estudiantes y profesores de la ıa. a materia, contar con un referente completo sobre los contenidos y t´picos del c´lculo, o a as´ como con un amplio conjunto de ejemplos, ejercicios y problemas para el estudio ı y entrenamiento personal, los cuales se ampliar´n en un problemario aparte. a El segundo elemento estrat´gico para la homogenizaci´n de los cursos de C´lculo e o a a nivel superior contemplado en el proyecto antes citado, consiste en la constituci´n o de un Sistema de Entrenamiento y Evaluaci´n en L´ o ınea que tiene por prop´sito o el poner a disposici´n de estudiantes y profesores un sistema electr´nico basado o o en el software MAPLE TA 30 de apoyo a la elaboraci´n, aplicaci´n y evaluaci´n o o o autom´tica de ex´menes y pruebas, dise˜ados de un amplio banco de reactivos a a n y problemas sobre los distintos t´picos de la materia. Este sistema permite la o aplicaci´n de ex´menes simult´neos a grandes conjuntos de estudiantes de distintas o a a instituciones, lo cual permitir´ establecer y conocer los niveles de calidad de la a formaci´n en esta materia. o En este texto, intitulado Fundamentos del C´lculo, se incluyen todos los t´picos a o de un programa b´sico en C´lculo Diferencial e Integral de funciones reales de una a a variable real. El texto presenta una estructura acorde al desarrollo hist´rico del o C´lculo y orienta sus aplicaciones a la descripci´n y estudio de las leyes din´micas a o a que constituyen su verdadero poder y que lo han significado como la invenci´n o matem´tica de mayor impacto en el desarrollo de la ciencia y la tecnolog´ en toda a ıa la historia. Varias particularidades importantes distinguen este libro de la gran cantidad de
- 9. 9 textos sobre estamateria. En primer lugar, ha sido escrito en un lenguaje llano y familiar, con un buen n´mero de observaciones y notas que buscan motivar y u explicar el sentido de los conceptos y resultados y llamar la atenci´n sobre puntos o y detalles importantes. Tambi´n se ha procurado mostrar las caracter´ e ısticas del razonamiento y el discurso matem´tico presentando los conceptos con todo rigor a pero sin caer en sofisticaciones formales que a veces dificultan el aprendizaje, e incluyendo demostraciones completas de todos los resultados. En este sentido, se puede considerar el texto como una iniciaci´n al an´lisis matem´tico. o a a Por otro lado, el texto incluye un buen n´mero de las aplicaciones del C´lculo, u a principalmente las orientadas a la descripci´n y estudio de los fen´menos gobernados o o por leyes din´micas o de movimiento. Con ese prop´sito se incluye el estudio de a o problemas cuyo planteamiento remite a ecuaciones dadas en t´rminos de los concep- e tos y operaciones del C´lculo y cuya soluci´n requiere el uso y manejo de las reglas a o de derivaci´n y el conocimiento de los distintos tipos de funciones. En particular, o se incluye el tratamiento completo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, por ser ´stas las de mayor aplicabilidad en problemas e b´sicos de mec´nica y otras disciplinas. a a Por la precisi´n con que se presentan los conceptos, el cuidado puesto en las o demostraciones y el ´nfasis que se hace en los fundamentos del C´lculo, este texto e a cumple con todo lo necesario para la formaci´n de los estudiantes en el ´rea de o a ciencias. Al mismo tiempo, por los temas abordados, las t´cnicas desarrolladas y las e aplicaciones presentadas, resulta id´neo para las carreras de ingenier´ pues no so- o ıa, lamente incluye las t´cnicas para la localizaci´n de m´ximos y m´ e o a ınimos, el c´lculo de a longitudes, ´reas y vol´menes, la determinaci´n de presiones y la ubicaci´n de cen- a u o o tros de gravedad, sino que tambi´n proporciona elementos para comprender mejor e las relaciones est´ticas y din´micas entre variables y construir modelos matem´ticos a a a que describan cuantitativa y cualitativamente los patrones de comportamiento surgi- dos de la observaci´n. o El cap´ ıtulo primero incluye una historia breve del C´lculo a partir de su invenci´n a o en el siglo XVII y se describen las etapas sucesivas de su desarrollo, hasta llegar a la ´poca actual. Este referente hist´rico del texto se complementa mediante notas e o de pie de p´gina con datos alusivos a personajes cuyas aportaciones aparecen en los a dem´s cap´ a ıtulos. El cap´ ıtulo segundo est´ dedicado a una presentaci´n del sistema de los n´meros a o u reales y sus propiedades a partir de su representaci´n como expansiones decimales. o Este enfoque permite, desde un principio, poner al estudiante en contacto con nuevos entes matem´ticos expresados como conjuntos infinitos de s´ a ımbolos sobre los cuales se opera y argumenta en preparaci´n a la posterior formalizaci´n de los conceptos o o fundamentales de l´ ımite y convergencia de sucesiones. En este cap´ ıtulo se presenta la propiedad de completez o continuidad, que hace de los n´meros reales el sistema u algebraico adecuado para la descripci´n de las magnitudes que toman valores con- o tinuos. Aunque esta presentaci´n es en parte intuitiva, la formalizaci´n del uso de o o esas representaciones que involucran un n´mero infinito de d´ u ıgitos puede lograrse
- 10. 10 Presentaci´n o con los resultados del ultimo cap´ ´ ıtulo, referente a series. El cap´ ıtulo tercero est´ dedicado al concepto de funci´n, el cual se introduce a o como una relaci´n entre variables o atributos, para despu´s abstraer su esencia o e como regla de correspondencia entre conjuntos de n´meros reales. Este enfoque u facilita el descubrimiento y construcci´n de funciones en contextos tanto de la vida o real como de origen matem´tico, en campos como la geometr´ o el ´lgebra. a ıa a En el cap´ ıtulo cuarto se introducen los Fundamentos del C´lculo a partir de los a conceptos de sucesi´n y convergencia; se incluyen demostraciones completas de los o principales resultados b´sicos del an´lisis matem´tico, procurando evitar compli- a a a caciones o sofisticaciones formales en la medida de lo posible. El cap´ ıtulo incluye varios comentarios sobre aspectos finos en la definici´n y sentido del concepto de o continuidad de funciones y su relaci´n con las propiedades de los n´meros. o u El cap´ ıtulo quinto aborda el concepto de derivada de una funci´n en un punto o como la raz´n de cambio puntual o instant´nea; se comenta el significado geom´trico o a e y din´mico de la derivada y se presentan las reglas de derivaci´n para las diferentes a o operaciones entre funciones, as´ como su generalizaci´n a derivadas de orden supe- ı o rior. El cap´ ıtulo sexto muestra, a trav´s del teorema del valor medio y sus consecuen- e cias, el poder de la derivada en la descripci´n cualitativa del comportamiento de las o funciones, y concluye con la aproximaci´n polinomial que proporciona el teorema o de Taylor. En el cap´ ıtulo s´ptimo se caracteriza la funci´n exponencial a partir de las e o propiedades de su funci´n derivada. Este enfoque muestra c´mo aparecen nuevas o o familias de funciones a partir del estudio de leyes din´micas y facilita la introducci´n a o de la familia de funciones de tipo exponencial y logar´ ıtmico, a la vez que nos prepara para el cap´ ıtulo octavo, donde se aborda el problema del c´lculo de antiderivadas o a integrales indefinidas. Por otra parte, en el cap´ ıtulo noveno se estudia el concepto de integral de Rie- mann y sus propiedades cuando se aplica a funciones continuas, concepto surgido al aplicar el m´todo exhaustivo o de agotamiento al c´lculo del ´rea bajo la gr´fica de e a a a una funci´n. Tambi´n se muestra, con el teorema fundamental del C´lculo, c´mo el o e a o proceso de integraci´n permite “integrar o sumar” las variaciones infinitesimales de o una funci´n a lo largo de un intervalo para obtener la variaci´n neta de la funci´n o o o en ese intervalo. En el caso particular del movimiento de una part´ ıcula, hace posible calcular el desplazamiento total de la part´ ıcula en un intervalo de tiempo, a partir de las velocidades instant´neas mostradas durante ese intervalo. a En el cap´ ıtulo d´cimo se incluyen algunas de las aplicaciones m´s comunes de e a la integral al c´lculo de ´reas y vol´menes, lo mismo que al c´lculo de presiones de a a u a fluidos sobre superficies. El und´cimo cap´ e ıtulo constituye a la vez una introducci´n a las ecuaciones dife- o renciales y un ejemplo m´s elaborado de la aplicaci´n del C´lculo; en ´l abordamos a o a e la soluci´n de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, o
- 11. 11 cuyas aplicaciones enlas ciencias naturales son de primera importancia. En el duod´cimo y ultimo cap´ e ´ ıtulo, se presentan el concepto de serie y los criterios m´s relevantes para decidir sobre su convergencia, para concluir con la presentaci´n a o de la familia de las funciones anal´ıticas, o sea las funciones expresables como series de potencias, y la demostraci´n de que constituyen una familia cerrada bajo la o operaci´n de derivaci´n, lo que resulta de gran trascendencia en varias ´reas de las o o a matem´ticas y sus aplicaciones. a Como se se˜al´ antes, este texto se elabor´ en el marco del proyecto Homo- n o o genizaci´n y certificaci´n de los programas de matem´ticas de las instituciones de o o a educaci´n superior en Sonora, con registro SON-2004-C02-008, apoyado con los re- o cursos del Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. Los autores expresan aqu´ su agradecimiento al CESUES y a la Universidad de la Sierra por su ı apoyo institucional a la realizaci´n del proyecto, as´ como a distintas personas que o ı contribuyeron de maneras diversas a la realizaci´n de este trabajo, especialmente o al Delegado de CONACYT en Sonora, Ing. Francisco Javier Ceballos y a su co- laboradora, Lic. Laura Petra Reyes Medina. Agradecemos tambi´n a los CC.PP. e Ricardo Efr´n Espinoza, Ang´lica Pereida Hoyos y Blanca Irene L´pez Fimbres, por e e o su apoyo en la gesti´n administrativa al interior de la Universidad de Sonora du- o rante el desarrollo de este proyecto. A Eduardo Tellechea Armenta, Jacobo N´nez u˜ Ur´ Jos´ Luis D´ G´mez y Jos´ Ram´n Jim´nez Rodr´ ıas, e ıaz o e o e ıguez, profesores del De- partamento de Matem´ticas de la Universidad de Sonora, nuestro reconocimiento a por sus comentarios y observaciones, y a Manuel Francisco Ocejo Monta˜o, por su n participaci´n en la captura del texto. o Los autores Hermosillo, Sonora, M´xico e Diciembre del 2007
- 12. 12 Presentaci´n o
- 13. Cap´ ıtulo 1 Una historia breve del c´lculo a 1.1 El siglo XVII: Newton y Leibniz El C´lculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento m´s efectivo a a para la investigaci´n cient´ o ıfica que jam´s hayan producido las matem´ticas. Conce- a a bido para el estudio del cambio, el movimiento y la medici´n de ´reas y vol´menes, o a u el c´lculo es la invenci´n que caracteriza la revoluci´n cient´ a o o ıfica del siglo XVII. Su creaci´n se debe al trabajo independiente de dos matem´ticos, el ingl´s Isaac o a e Newton (1642-1727) y el alem´n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes a publicaron sus investigaciones entre los a˜os de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la n revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis. Sir Isaac Newton Gotfried Whilhelm Leibniz (1642–1727) (1646–1716) El c´lculo se desarroll´ a partir de las t´cnicas infinitesimales utilizadas para a o e resolver dos tipos de problemas: el c´lculo de ´reas y vol´menes y el c´lculo de a a u a tangentes a curvas. Arqu´ ımedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos an- tiguos, hab´ realizado los avances m´s significativos sobre esos problemas, aplicando ıa a el m´todo exhaustivo o de agotamiento para la determinaci´n de ´reas y vol´menes e o a u
- 14. 14 Una historia breve del c´lculo a y obteniendo importantes resultados sobre el c´lculo de tangentes para ciertas cur- a vas particulares. En la primera mitad del siglo XVII, se renov´ el inter´s por esos o e problemas cl´sicos y varios matem´ticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a a John Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602- 1675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para la obra de Leibniz y Newton. A partir de la utilizaci´n del m´todo cartesiano1 para sintetizar los resultados y o e t´cnicas desarrollados previamente para el c´lculo de ´reas y tangentes de curvas, e a a Newton y Leibniz inventaron los m´todos y algoritmos que hacen del c´lculo una e a herramienta aplicable a clases generales de problemas. Sus contribuciones en la creaci´n del c´lculo difieren en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas o a separadamente. Newton, hijo de granjeros, naci´ en Lincolnshire, Inglaterra, en el d´ de Navidad o ıa de 1642 y lleg´ en 1669 a ocupar, en la Universidad de Cambridge, la C´tedra o a Lucasiana como profesor de matem´ticas. En sus primeras investigaciones introdujo a las series infinitas de potencias en una variable x para reformular resultados previos de John Wallis y bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utiliz´ infinitesimales o para mostrar la relaci´n inversa entre el c´lculo de ´reas y el c´lculo de tangentes. o a a a Las operaciones de derivaci´n e integraci´n de funciones y su relaci´n rec´ o o o ıproca, emergen como un proceso anal´ ıtico que puede ser aplicado al estudio general de las curvas. En la presentaci´n de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el o movimiento y la din´mica de los cuerpos. As´ las variables son vistas como algo a ı, que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y a su derivada o raz´n de cambio con o respecto al tiempo la llama su fluxi´n. El problema b´sico del c´lculo es, para o a a Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton concluye su tratado sobre el m´todo de fluxiones que no es publicado sino hasta e 1736, casi diez a˜os despu´s de su muerte, ocurrida en 1727. n e En su libro Principios Matem´ticos de la Filosof´ Natural, escrito en 1687, New- a ıa ton estudia la din´mica de las part´ a ıculas y establece las bases matem´ticas para el a c´lculo de razones de cambio mediante una teor´ geom´trica de los l´ a ıa e ımites. Uti- lizando estos conceptos, desarrolla su teor´ de gravitaci´n y reformula las leyes de ıa o Kepler para el movimiento de los cuerpos celestes. En su libro, Newton expresa mag- nitudes y razones de cambio en t´rminos de cantidades geom´tricas, tanto de tipo e e finito como infinitesimal, tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje algebraico. Esta reticencia de Newton a usar los m´todos algebraicos, limit´ su e o influencia en el campo de las matem´ticas e hizo necesario reformular sus contribu- a ciones en t´rminos del c´lculo de Leibniz. e a G. W. Leibniz fue el hijo de un profesor de filosof´ y naci´ en la ciudad de ıa o Leipzig, Alemania, en 1646. Ingres´ a la universidad a la edad de quince a˜os y o n 1 Por Ren´ Descartes (1596-1650), quien invent´ la geometr´ anal´ e o ıa ıtica, independientemente de Pierre de Fermat, y la di´ a conocer en 1637 en su obra La G´om´trie. o e e
- 15. 1.2 El sigloXVIII: Euler y Lagrange 15 obtuvo el doctorado en filosof´ a la edad de 21 a˜os. El inter´s de Leibniz por las ıa n e matem´ticas naci´ en 1672 durante una visita a Par´ donde el matem´tico holand´s a o ıs, a e Christiaan Huygens (1629-1695) lo introdujo al estudio de la teor´ de curvas. Des- ıa pu´s de varios a˜os de estudio bajo la direcci´n de Huygens, Leibniz investig´ las e n o o relaciones entre la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de n´meros y dedujo u varias f´rmulas famosas. o Leibniz se interes´ en las cuestiones de l´gica y de notaci´n para la investigaci´n o o o o formal, y su c´lculo infinitesimal es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las a matem´ticas, de un sistema de notaci´n y terminolog´ perfectamente adaptado a a o ıa su objeto de estudio. En el sentido anterior, Leibniz formaliz´, con su notaci´n, o o las propiedades y reglas fundamentales de los procesos de derivaci´n e integraci´n, o o haciendo de su aplicaci´n a los m´s variados problemas, un ejercicio de rutina que un o a estudiante puede aprender desde sus primeros a˜os. Su primera publicaci´n sobre el n o c´lculo diferencial apareci´ en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el t´ a o ıtulo Un nuevo m´todo para m´ximos y m´ e a ınimos as´ como para el c´lculo de tangentes que incluyen ı a cantidades tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de c´lculo para a todo esto. En este art´ ıculo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas b´sicas a del c´lculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos a˜os despu´s, a n e publica su segundo art´ ıculo Sobre una geometr´ oculta, donde introduce y explica ıa el significado del s´ ımbolo de integraci´n y aplica el poder del c´lculo para estudiar o a curvas trascendentes y deriva una f´rmula anal´ o ıtica para la cicloide. El vigoroso empuje de Leibniz al estudio y desarrollo del nuevo c´lculo, el esp´ a ıritu did´ctico de sus escritos y su habilidad para relacionarse con otros investigadores a contribuyeron a fortalecer su gran influencia en las matem´ticas. Mantuvo una es- a trecha colaboraci´n con otros estudiosos de su ´poca, incluyendo los hermanos Juan o e (1667-1748) y Jacobo Bernoulli (1654-1705), quienes se convirtieron en los prin- cipales usuarios, investigadores y promotores del nuevo m´todo, Pierre Varignon e y Guillaume Fran¸ois Antoine de L’Hospital (1661-1704), este ultimo, autor del c ´ primer libro de texto de c´lculo diferencial publicado, en 1696. En 1700, Leibniz a convence a Federico I de Prusia para crear la Academia de Ciencias de Branden- burgo (despu´s Real Academia de Berl´ de la cual ser´ su presidente vitalicio. En e ın) a contraste, el aislamiento y la lentitud mostrada por Newton para difundir sus ideas y descubrimientos redujo su presencia en las matem´ticas europeas de ese tiempo y a aunque un buen n´mero de matem´ticos ingleses continu´ desarrollando el c´lculo, u a o a su programa result´ inferior al desarrollado por Leibniz. o 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange El siglo XVIII es denominado “El siglo del An´lisis Matem´tico”. De 1700 a 1800 se a a di´ la consolidaci´n del c´lculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particu- o o a larmente a la Mec´nica. Con ese desarrollo, vino la especializaci´n y el nacimiento a o de nuevas ramas de las matem´ticas, tales como: la Teor´ de Ecuaciones Dife- a ıa
- 16. 16 Una historia breve del c´lculo a renciales, ordinarias y parciales, el C´lculo de Variaciones, la Teor´ de Series y a ıa la Geometr´ Diferencial. Las aplicaciones del an´lisis incluyen ahora la Teor´ de ıa a ıa Vibraciones, la Din´mica de Part´ a ıculas, la Teor´ de Cuerpos R´ ıa ıgidos, la Mec´nica a de Cuerpos El´sticos y Deformables y la Mec´nica de Fluidos. A partir de entonces, a a se distinguen las matem´ticas puras de las matem´ticas aplicadas. a a El desarrollo del an´lisis matem´tico en el siglo XVIII est´ documentado en los a a a trabajos presentados en las Academias de Par´ Berl´ San Petersburgo y otras, as´ ıs, ın, ı como en los tratados expositorios publicados en forma independiente. Las figuras dominantes de este periodo son el matem´tico suizo Leonhard Euler (1707-1783) y a el matem´tico italo-franc´s Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). a e Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange (1707–1783) (1736-1813) Euler naci´ en Basilea, Suiza, y complet´ se educaci´n universitaria a la edad o o o de quince a˜os. Es considerado el matem´tico m´s prol´ n a a ıfico de todos los tiempos, sus obras abarcan casi setenta y cinco vol´menes y contienen contribuciones funda- u mentales a casi todas las ramas de las matem´ticas y sus aplicaciones. La carrera a profesional de Euler se desarroll´ en la Real Academia de San Petersburgo, Rusia o (1727-1741 y 1766-1783) y en la Academia de Berl´ (1741-1766). ın La obra de Euler en dos vol´menes intitulada Introducci´n al an´lisis infinitesi- u o a mal, publicada en 1748, da lugar al nacimiento del llamado An´lisis Matem´tico a a a ´ como rama de esta disciplina, an´loga al Algebra y la Geometr´ ıa. El An´lisis a Matem´tico es construido a partir del concepto fundamental de funci´n y de los a o procesos infinitos desarrollados para la representaci´n y estudio de las funciones. o En esa gran obra, por primera vez se presenta el estudio sistem´tico de las fun- a ciones exponenciales y de las funciones trigonom´tricas como funciones num´ricas, e e as´ como el estudio de las funciones transcendentes elementales mediante sus desa- ı rrollos en series infinitas. A esa primera obra de Euler, siguieron dos obras m´s, en a 1755 y 1768, sobre el c´lculo diferencial e integral, respectivamente, que constituyen a la fuente original de los actuales libros y textos sobre el c´lculo y las ecuaciones a diferenciales. El enfoque anal´ ıtico de Euler recibi´ un gran impulso de la otra gran figura del o siglo XVIII, el matem´tico Joseph Louis Lagrange, quien a la muerte de Euler, en a
- 17. 1.3 El sigloXIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 17 1783, lo reemplaz´ como el matem´tico l´ o a ıder de Europa. Aplicando m´todos pura- e mente anal´ ıticos, Lagrange extendi´ y perfeccion´ el C´lculo de Variaciones y a par- o o a tir de sus aplicaciones a la mec´nica, sent´ los fundamentos de la llamada Mec´nica a o a Anal´ ıtica. En 1788 se public´ su famoso tratado Mec´nica Anal´ o a ıtica en donde, apli- cando las ideas del c´lculo de variaciones, presenta los fundamentos anal´ a ıticos de la mec´nica. En el prefacio de su tratado, Lagrange declara que en su exposici´n s´lo a o o recurre a argumentos anal´ ıticos, sin dibujos, figuras o razonamientos mec´nicos. Es a decir, Lagrange hace de la mec´nica una rama del an´lisis matem´tico. a a a Para fines del siglo XVIII hab´ preocupaci´n en Europa por los fundamentos ıa o del c´lculo y del an´lisis. Los argumentos basados en la teor´ de fluxiones de a a ıa Newton y en la idea de infinitamente peque˜o mostraban serias inconsistencias que n fueron puntualmente se˜aladas por el obispo anglicano irland´s George Berkeley n e (1685-1753) en 1734. Afrontando la situaci´n anterior, Lagrange public´ en 1797 o o su obra Teor´ de funciones anal´ ıa ıticas en la cual pretende presentar un desarrollo completo del c´lculo de funciones sin recurrir a los conceptos de l´ a ımite o de cantidad infinitesimal. El enfoque de Lagrange se basa en considerar que las funciones son representables como series de potencias, cuyos coeficientes definen las derivadas de los distintos ´rdenes. En este tratado, Lagrange sienta las bases para la aproxi- o maci´n de funciones por polinomios y da la forma del residuo denominada Residuo o de Lagrange. 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass Al finalizar el siglo XVIII, los matem´ticos hab´ ya detectado distintas limitacio- a ıan nes e incongruencias en las bases sobre las que se hab´ desarrollado hasta entonces el ıa c´lculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la a cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teor´ Anal´ ıa ıtica del Calor, de 1807, remit´ a la necesidad de considerar clases m´s amplias de funciones que ıan a las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de integrabilidad de las funciones, as´ como las condiciones de convergencia para series ı de funciones. El concepto de continuidad de una funci´n aparece expl´ o ıcitamente definido, por primera vez, en el trabajo del matem´tico checo Bernhard Bolzano (1781-1848), pero a es el matem´tico franc´s Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su a e generalidad la teor´ de funciones continuas y formula los conceptos y procesos fun- ıa damentales del c´lculo para ese tipo de funciones en los t´rminos en que actualmente a e se presentan. En sus tres grandes obras Curso de An´lisis (1821), Resumen de Lec- a ciones sobre el C´lculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el C´lculo Diferencial a a (1829), Cauchy hace una exposici´n rigurosa del c´lculo bas´ndose en el concepto o a a fundamental de l´ ımite de una funci´n. En particular, define la derivada de una o funci´n como el l´ o ımite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra
- 18. 18 Una historia breve del c´lculo a sus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a la aproximaci´n de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios o para la existencia de m´ximos y m´ a ınimos de funciones; define la integral definida de una funci´n continua en un intervalo mediante el l´ o ımite de sumas asociadas a particiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema funda- mental del c´lculo, estableciendo la relaci´n inversa que existe entre los procesos de a o derivaci´n e integraci´n de funciones. o o El siguiente avance en la evoluci´n hist´rica del c´lculo, se debe a Bernhard F. o o a Riemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el desarrollo del c´lculo, extendiendo el proceso de integraci´n a este tipo de funciones, a o con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´rea y vol- a umen de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al an´lisis matem´tico a a Augustin Louis Cauchy Bernhard Riemann Karl Weierstrass (1789–1857) (1826–1866) (1815-1897) de bases s´lidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de o los n´meros reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las fun- u ciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada en casi todos los puntos para toda funci´n continua, son se˜aladas cr´ o n ıticamente y des- mentidas por contundentes contraejemplos dados por matem´ticos como el mismo a Bolzano y el alem´n Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran ex- a hibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno. Ese tipo de situaciones, obliga a los matem´ticos al estudio y construcci´n del sistema de los a o n´meros reales a partir del sistema de los n´meros naturales. El a˜o de 1872 registra u u n la publicaci´n, casi simult´nea, de construcciones de los n´meros reales debidas a o a u Georg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821- 1881), basadas en los conceptos de l´ ımite y sucesiones, previamente desarrollados. La construcci´n de los n´meros reales es el paso decisivo hacia la aritmetizaci´n o u o del an´lisis matem´tico, que permite al mismo Karl Weierstrass dar la definici´n de a a o l´ ımite en t´rminos de las meras estructuras algebraicas y de orden de los n´meros e u reales, y con ello los conceptos y procesos propios del c´lculo quedan debidamente a justificados y adquieren la presentaci´n definitiva con que hoy son expuestos en los o
- 19. 1.4 El sigloXX: Lebesgue y Robinson 19 libros de texto y dem´s trabajos matem´ticos. a a 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el desarrollo del an´lisis: la integral de Lebesgue, debida al franc´s Henri Lebesgue a e (1875-1941), y el An´lisis no-Est´ndar, debido b´sicamente a Abraham Robinson a a a (1918-1974). El concepto de integral desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas, pero aunque ´ste fue generalizado despu´s, por Riemann, a funciones con cierto tipo e e de discontinuidades, el espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los procesos de convergencia y de l´ ımite de sucesiones de funciones, lo que restringe su aplicablidad a otras ramas de la matem´tica.a Basado en trabajos del italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del franc´s Camille e Jordan (1838-1922), Henri Lebesgue logr´ dar, en 1920, una definici´n de conjunto o o medible y de medida que generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de longitud de un intervalo, respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos, Lebesgue introdujo una nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para las cuales adquiere sentido una nueva definici´n de integral, definida como el l´ o ımite de integrales de funciones que toman valores constantes en conjuntos medibles. En este sentido, la integral de Lebesgue es una generalizaci´n de la integral de Riemann, o que se obtiene como el l´ ımite de integrales de funciones que toman valores constantes sobre intervalos. Henri Lebesgue Abraham Robinson (1875–1941) (1918–1974) La clase de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue tiene propieda- des inmejorables para los prop´sitos del an´lisis matem´tico en tanto que l´ o a a ımites de sucesiones y series convergentes de funciones de este tipo resultan ser tambi´n e funciones integrables. La nueva teor´ de la medida e integraci´n sienta las bases ıa o
- 20. 20 Una historia breve del c´lculo a para el desarrollo de la Teor´ Matem´tica de la Probabilidad y la Estad´ ıa a ıstica, que tanta importancia tienen en la ciencia actual. El otro desarrollo importante del an´lisis del siglo XX fu´ presentado en 1960 por a e Abraham Robinson, seguido de su libro An´lisis no Est´ndar, en el que se retoma a a el problema de la aritmetizaci´n del an´lisis a partir del concepto de n´mero y de o a u magnitud infinitamente peque˜a. A partir de construcciones basadas en la teor´ n ıa de conjuntos, Robinson introdujo el concepto de n´mero hiperreal con lo que logra u dar un significado preciso a los “infinitamente peque˜os” que Euler usaba en sus n argumentos y demostraciones. Con ello, los procesos de l´ ımite y de convergencia del an´lisis son sustituidos por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en a la clase de los n´meros hiperreales. u Aunque la nueva formulaci´n de Robinson da lugar a un c´lculo m´s simple, la o a a construcci´n de los n´meros hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se o u expone el c´lculo no est´ndar no han logrado tener ´xito en los niveles matem´ticos a a e a medio y b´sico. a
- 21. Cap´ ıtulo 2 Los n´meros reales u El sistema de los n´meros reales es la estructura algebraica adecuada al prop´sito u o del c´lculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones a expresables en t´rminos de este tipo de n´meros, los objetos de estudio de esa rama e u de las matem´ticas. Las propiedades especiales del sistema de los n´meros reales a u permiten definir los conceptos fundamentales para la descripci´n y estudio del cambio o y el movimiento. La presentaci´n que aqu´ se hace del sistema de los n´meros reales, se basa en el o ı u concepto de expansi´n decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar o con n´meros y magnitudes. As´ cada n´mero real se identifica con una sucesi´n u ı, u o infinita de d´ ıgitos separados por un punto decimal y el conjunto de tales objetos resulta ser una extensi´n del conjunto de los n´meros racionales, los cuales quedan o u identificados con las llamadas expansiones peri´dicas. Las operaciones de suma y o multiplicaci´n, y la relaci´n de orden entre los n´meros racionales se extienden de o o u manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto de los n´meros reales. u La propiedad que distingue al sistema de los n´meros reales del sistema de los u n´meros racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, u de car´cter geom´trico o topol´gico, es la que permite dar un sentido preciso a los a e o conceptos fundamentales de l´ ımite y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el c´lculo diferencial e integral. a 2.1 Expansiones decimales Desde la escuela primaria, hemos aprendido a representar y a manejar las medidas y las cantidades mediante n´meros expresados en el sistema decimal, es decir, me- u diante la utilizaci´n de sucesiones de los d´ o ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que forman lo que llamamos la expansi´n decimal del n´mero de que se trate. o u Las expansiones decimales a cuyo uso nos acostumbramos en los primeros niveles de educaci´n, s´lo constan de un n´mero finito de d´ o o u ıgitos separados por un punto
- 22. 22 Los n´meros reales u decimal. Por ejemplo, la expansi´n o A = 123.7584 representa al n´mero u A = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 7 · 10−1 + 5 · 10−2 + 8 · 10−3 + 4 · 10−4 . Para ese tipo de expansiones, se desarrollan algoritmos para realizar las opera- ciones b´sicas de la aritm´tica y posteriormente, ya en la escuela secundaria, se a e incluyen expansiones negativas, sobre las cuales se extienden las operaciones arit- m´ticas vali´ndose de la regla de los signos e e (−A) · (−B) = +(A · B) (−A) · (+B) = −(A · B), para cada par de expansiones decimales A, B. Otro tipo de expansiones que tambi´n nos son familiares, son las que aparecen e al construir la representaci´n decimal de los n´meros racionales m/n, donde m y n o u son enteros, con n = 0, y que resultan ser expansiones infinitas y peri´dicas, pues o tienen la propiedad de presentar un bloque de d´ ıgitos que se repite indefinidamente a la derecha a partir de un cierto lugar de la expansi´n. Por ejemplo, o 1 = 0.3333 · · · 33 · · · 3 o 29 = 4.142857142857 · · · 142857 · · · 7 Ejemplo 2.1 Para ilustrar c´mo se genera la expansi´n decimal peri´dica de un o o o n´mero racional, construyamos paso a paso, como ejemplo, la expansi´n decimal del u o n´mero racional u 4 D= 7 aplicando el algoritmo de la divisi´n que aprendimos en la escuela primaria. Al o realizar esa operaci´n, vamos obteniendo en cada etapa un d´ o ıgito del cociente y un residuo r mayor o igual a cero y menor que el divisor 7, de tal manera que al efectuar a lo m´s 7 veces el procedimiento de divisi´n, forzosamente tendr´ que repetirse, a o a por primera vez, alguno de los residuos obtenidos en las etapas anteriores, con la consiguiente repetici´n de los d´ o ıgitos correspondientes en la expansi´n decimal del o cociente que se est´ construyendo. As´ en el caso de 4/7, al aplicar el algoritmo a ı, de la divisi´n, tal como se muestra en la figura, se obtienen, en el primer paso, 0 o unidades en el cociente y residuo 4; en el segundo paso se obtienen 5 d´cimos en e el cociente y residuo 5; en el tercer paso se obtienen 7 cent´simos en el cociente y e residuo 1, y as´ sucesivamente, hasta llegar al s´ptimo paso, en el que se obtienen ı, e 8 millon´simos en el cociente y residuo 4, tal como lo tuvimos en el primer paso. e
- 23. 2.1 Expansiones decimales 23 Luego, a partir del octavo paso, se repite la sucesi´n de residuos, dando lugar a una o repetici´n del bloque de d´ o ıgitos 571428, obteni´ndose as´ la expansi´n decimal que e ı o representa al n´mero 4/7: u 4 = 0.571428571428 · · · 571428 · · · 7 Bloque que se repite 0.571428571428 · · · 7 4 Primer residuo 40 50 10 30 20 60 Se repite 40 .. . ⊳ En este punto, lo notable no s´lo es que la expansi´n decimal de todo n´mero racional o o u sea una expansi´n peri´dica, sino que m´s a´n, cada expansi´n decimal peri´dica es o o a u o o la expansi´n decimal de alg´n n´mero racional, estableci´ndose as´ una equivalencia o u u e ı entre ambos conjuntos de objetos. Enseguida mostramos, con un ejemplo, c´mo seo encuentra el n´mero racional que corresponde a una expansi´n peri´dica dada. u o o Ejemplo 2.2 Si queremos encontrar el n´mero racional que corresponde a la ex- u pansi´n decimal peri´dica o o D = −2.83434 · · · 3434 · · · , procedemos a multiplicarla por 10 y luego por 1000 y obtenemos las siguientes expresiones, que tienen los mismos d´ ıgitos a la derecha del punto decimal 10 · D = −28.3434 · · · 34 · · · 1000 · D = −2834.3434 · · · 34 · · · Al restar la primera expansi´n de la segunda, obtenemos o 990 · D = −2806, por lo que 2806 ⊳ D=− . 990 Notaci´n. Escribiremos las expansiones decimales peri´dicas en forma simplificada o o omitiendo los d´ ıgitos despu´s de la primera aparici´n del bloque de d´ e o ıgitos que se repite y marcando con una l´ınea superior dicho bloque. Por ejemplo, la expresi´n o 3.2345
- 24. 24 Los n´meros reales u representa la expansi´n decimal peri´dica o o 3.234545 · · · 45 · · · ⊳ A los n´meros que no se pueden expresar como un cociente de n´meros enteros u u se les llama n´meros irracionales y por lo que mostramos anteriormente, sus expan- u siones decimales no pueden ser peri´dicas. El conjunto de los n´meros irracionales o u se denota por I. Un ejemplo de n´mero irracional es la ra´ cuadrada de 2. Esta u ız afirmaci´n se justifica en el ejemplo siguiente. o √ Ejemplo 2.3 Para probar que 2 no puede expresarse como cociente de dos n´- u meros naturales, argumentaremos por contradicci´n, es decir, supondremos que es o cierto lo contrario, que existen n´meros primos relativos a, b (es decir, sin divisores u comunes) tales que √ a 2= . b Elevando al cuadrado, tenemos que a2 2= , b2 o, equivalentemente, 2b2 = a2 . (2.1) Pero (2.1) implica que el n´mero a2 es un n´mero par, por lo que a debe ser un u u n´mero par (ya que el cuadrado de un n´mero par es un n´mero par y el cuadrado u u u de un n´mero impar es impar). Por lo tanto, a se puede escribir en la forma u a = 2c, (2.2) para alg´n n´mero entero c. Sustituyendo ahora (2.2) en (2.1), tenemos u u 2b2 = 4c2 , y, consecuentemente, b2 = 2c2 , es decir, b2 es un n´mero par y por lo tanto b tiene que ser a su vez un n´mero par y, u u por consiguiente, tanto a como b son n´meros pares, lo cual es falso pues supusimos u desde el principio que a y b no ten´ divisores en com´n. Luego, la suposici´n es √ ıan u o falsa y por lo tanto 2 no es un n´mero racional. u ⊳ Es relativamente sencillo generar n´meros irracionales, como se muestra en el ejem- u plo siguiente.
- 25. 2.2 El Sistemade los N´meros Reales u 25 Ejemplo 2.4 La expansiones decimales i−veces (i+1)−veces A = 23.010010001 · · · 1 00 · · · 0 1 00 · · · 0 1 · · · i−veces (i+1)−veces B = −2.454554555 · · · 4 55 · · · 5 4 55 · · · 5 4 · · · corresponden a n´meros irracionales. u ⊳ Tomando en cuenta la discusi´n anterior, tenemos la definici´n siguiente. o o Definici´n 2.1 Una expansi´n decimal A, es una expresi´n de la forma o o o A = ±ak ak−1 · · · a1 a0 .b1 b2 · · · br−1 br · · · donde ak , ak−1 , . . . , a0 y b1 , b2 , . . . , br−1 , br , · · · son algunos de los d´ ıgitos {0, 1, 2, . . . , 8, 9}. Al punto despu´s del d´ e ıgito a0 se le llama punto decimal de la expansi´n. Si la expansi´n decimal va precedida del signo + se dice que la ex- o o pansi´n decimal es positiva y si va precedida del signo - se le llama expansi´n o o decimal negativa. Nota Importante: Cada expansi´n decimal se extiende a la derecha del punto decimal, mientras que a o la izquierda del punto decimal s´lo consta de un n´mero finito de d´ o u ıgitos. 2.2 El Sistema de los N´ meros Reales u Se define el conjunto R de los n´meros reales como el conjunto de las expansiones u decimales, sobre el cual se establece el siguiente criterio de igualdad: Dos expansiones decimales A y B son iguales (representan el mismo n´mero real) si se presenta alguna u de las dos situaciones siguientes: 1. A y B constan de los mismos d´ ıgitos y estos ocupan el mismo orden, o 2. A y B constan de los mismos d´ ıgitos hasta un cierto lugar r y enseguida la expansi´n de uno de ellos contin´a en la forma o u ±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br br+1 9 con br+1 = 9, mientras que la expansi´n del otro es de la forma o ±ak ak−1 · · · a0 .b0 b1 · · · br (br+1 + 1)0
- 26. 26 Los n´meros reales u Ejemplo 2.5 Las expansiones 1.349 y 1.350 son, por definici´n, iguales y represen- o tan el mismo n´mero real. u ⊳ Nota Importante: En general, en la definici´n de las operaciones y propiedades de los n´meros reales o u siempre evitaremos escribir expansiones decimales con bloques repetidos de nueves. 2.2.1 Operaciones con los n´ meros reales u Las operaciones con los n´meros reales, son las usuales de suma y multiplicaci´n que u o empezamos a manejar desde la escuela primaria. De hecho, en la escuela secundaria aprendemos los m´todos o algoritmos para sumar y multiplicar expansiones deci- e males finitas tanto positivas como negativas y sabemos c´mo construir la expansi´n o o decimal correspondiente a la suma o al producto, a partir de la suma y producto de los d´ ıgitos y la posici´n que ´stos ocupan en las expansiones decimales que se o e pretende operar. Antes de introducir las operaciones entre expansiones decimales infinitas, para cada expansi´n A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · definimos su expansi´n truncada o o de orden r, con r 0, como la expansi´n decimal peri´dica o o Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0 que consta de los mismos d´ ıgitos que la expansi´n de A hasta el lugar r despu´s del o e punto decimal, y todos los d´ıgitos siguientes a la derecha son cero. La expansi´n o truncada de orden r se puede escribir tambi´n en t´rminos de sumas de potencias e e del n´mero 10 en la forma usual u Ar = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br 0 b1 b2 br = ± ak 10k + ak−1 10k−1 + · · · + a1 10 + a0 + + 2 + ··· + r . 10 10 10 Nota Importante: Un n´mero real est´ totalmente determinado si se conocen sus expansiones truncadas u a de cualquier orden y viceversa. Observe que la expansi´n decimal truncada de orden o cero es el n´mero entero a la izquierda del punto decimal de la expansi´n decimal u o inicial. Para sumar dos expansiones decimales A = ±ak ak−1 · · · a0 .b1 · · · br br+1 · · · y B = ±cj cj−1 · · · c0 .d1 · · · dr dr+1 · · · y formar la expansi´n decimal correspondiente a o la suma A + B, se procede como sigue: Para cada orden r = 0, 1, 2, · · · la expansi´n o truncada de orden r de la suma A + B se define como la expansi´n truncada de o orden r de la suma de las expansiones truncadas de orden r + 1 de A y B. Por ejemplo, si queremos sumar las expansiones decimales A = 2.95 y B = 1.2020020002 · · · 200 · · · 02 · · · , la expansi´n suma A + B es aqu´lla que tiene por o e
- 27. 2.2 El Sistemade los N´meros Reales u 27 expansiones decimales truncadas de los distintos ´rdenes, las siguientes: o (A + B)0 = 4.0 (A + B)1 = 4.10 (A + B)2 = 4.160 (A + B)3 = 4.1650 (A + B)4 = 4.16590 . . . que se forman sumando, de acuerdo a la definici´n, las expansiones truncadas corres- o pondientes de los n´meros iniciales. u An´logamente, para multiplicar las dos expansiones decimales A y B y formar a la expansi´n decimal correspondiente al producto A · B, se procede como sigue: o 1. Se determina cu´ntos d´ a ıgitos a la izquierda del punto decimal tiene cada uno de los factores. Digamos que A tiene m d´ ıgitos y B tiene n d´ ıgitos a la izquierda del punto decimal. 2. Se multiplica la expansi´n truncada de orden n + 1 de A con la expansi´n o o truncada de orden m + 1 de B y la expansi´n truncada de orden cero del o producto de estas ser´ la expansi´n truncada de orden cero de la expansi´n a o o decimal de A · B, 3. Para determinar la expansi´n truncada de orden r > 0 de A · B, se multiplica o las expansi´n truncada de orden n + r + 1 de A por la expansi´n truncada de o o orden m + r + 1 de B y la expansi´n truncada de orden r de ese producto o de expansiones truncadas se toma como la expansi´n truncada de orden r del o producto A · B. Ejemplo 2.6 Para multiplicar las expansiones decimales A = 12.34, B = −253.2020020002 · · · , las expansiones truncadas de A · B se determinan de acuerdo a la definici´n anterior, o en la forma siguiente: (A · B)0 = −3125.0, (A · B)1 = −3125.30, (A · B)2 = −3125.380, . . . etc´tera. e ⊳
- 28. 28 Los n´meros reales u A partir de las definiciones de suma y multiplicaci´n de los n´meros reales, dadas o u en t´rminos de sus expansiones, enlistamos sus propiedades principales. e Sean A, B, C n´meros reales y + : R × R → R, · : R × R → R las operaciones u de suma y multiplicaci´n. Entonces se cumple: o (S1) A + B = B + A (Conmutatividad de la suma) (S2) A + (B + C) = (A + B) + C (Asociatividad de la suma) (S3) 0 + A = A (Existencia de neutro bajo la suma) (S4) A + (−A) = 0 (Existencia de inversos aditivos bajo la suma) (M1) A · B = B · A (Conmutatividad de la multiplicaci´n) o (M2) A · (B · C) = (A · B) · C (Asociatividad de la multiplicaci´n) o (M3) 1 · A = A (Existencia de neutro bajo la multiplicaci´n) o (M4) Si A = 0 existe A−1 tal que A · A−1 = 1 (Existencia de inversos multiplicativos) (M5) A · (B + C) = A · B + A · C (Distributividad de la multiplicaci´n o respecto a la suma) Cuando un conjunto S posee dos operaciones (suma y multiplicaci´n) que tienen o las propiedades (S1)–(S4) y (M1)–(M5), arriba mencionadas, se dice que tiene es- tructura algebraica de campo y as´ se habla del campo de los n´meros reales. ı, u 2.2.2 El orden de los n´ meros reales u El conjunto de los n´meros reales se descompone en tres subconjuntos mutuamente u ajenos: (i) los reales positivos, R+ , formados de las expansiones decimales positivas, (ii) los reales negativos, R− , formado por las expansiones decimales negativas, y (iii) el conjunto {0} formado por la expansi´n cero. o La descomposici´n anterior da lugar a la llamada ley de tricotom´ para el orden, que o ıa estipula que cada n´mero real A tiene una y s´lo una de las siguientes propiedades: u o o ´ A es positivo, ´ A es negativo, ´ A es el n´mero cero. o o u El conjunto R + de los reales positivos tiene la propiedad de que tanto la suma como la multiplicaci´n de cualesquiera dos de sus elementos, es nuevamente un real o positivo.
- 29. 2.2 El Sistemade los N´meros Reales u 29 Definici´n 2.2 Se dice que un n´mero real A es mayor que el n´mero real o u u B (o equivalentemente, que B es menor que A) si A − B es un real positivo. Para denotar que A es mayor que B escribiremos A > B. N´tese que, seg´n la definici´n 2.2, todo n´mero real negativo es menor que cero. o u o u En t´rminos de sus expansiones decimales respectivas, una expansi´n positiva e o A es mayor que otra expansi´n positiva B si al recorrer sus d´ o ıgitos de izquierda a derecha existe un lugar k, tal que ambas constan de los mismos d´ ıgitos hasta ese lugar y el d´ ıgito k + 1 de A es mayor que el d´ıgito k + 1 de B. De las propiedades de los n´meros reales positivos, se deduce la validez de la u siguiente proposici´n: o Proposici´n 2.1 o a) Si A > B y C > D, entonces A + C > B + D. b) Si A > B y C > 0 entonces A · C > B · C. c) Si A > B y C < 0 entonces A · C < B · C. ´ Demostracion. Para probar a), tenemos que si A > B y C > D, por definici´n, o esto significa que A − B ∈ R + y C − D ∈ R+ . Luego, de las propiedades de los n´meros positivos, concluimos que (A − B) + (C − D) ∈ R+ . Por lo tanto u (A + C) − (B + D) ∈ R+ , lo cual significa que (A + C) > (B + D). Para probar b), basta notar que si A > B y C > 0 se tiene que A − B ∈ R+ y de las propiedades de los n´meros positivos se sigue que (A − B) · C > 0, es decir, u A · C − B · C > 0 o equivalentemente, A · C > B · C. Finalmente, para demostrar la validez de c), observamos que si A − B ∈ R+ y C ∈ R− se tiene que −C ∈ R+ y (A − B) · (−C) ∈ R+ , por lo que A · C < B · C. Otra propiedad importante que posee la relaci´n de orden entre los n´meros o u reales, es la propiedad de arquimedianidad 1 que se enuncia en los t´rminos siguientes: e Propiedad de Arquimedianidad. Si A y B son n´meros reales tales que u 0 < A < B, entonces existe un n´mero natural n tal que n · A > B. u En el conjunto R de los n´meros reales, tanto el subconjunto de los n´meros u u racionales Q como el subconjunto de los n´meros irracionales I, se distribuyen de u 1 As´ llamada en honor de Arqu´ ı ımedes de Siracusa.
- 30. 30 Los n´meros reales u manera densa en R. Esto quiere decir, que dados dos n´meros reales distintos u A < B, siempre existen n´meros racionales y n´meros irracionales que son mayores u u que A y menores que B. Esto significa que tanto los racionales como los irracionales se encuentran tan cerca como se quiera de cualquier n´mero real. u Ejemplo 2.7 Si A = 2.34526789 · · · y B = 2.34612387 · · · , se tiene que A < B y la expansi´n C = 2.3460 es un n´mero racional mayor que A y menor que B, mientras o u que el n´mero D = 2.346001000100001 · · · que no muestra ning´n bloque de d´ u u ıgitos que se repita, es un n´mero irracional mayor que A y menor que B. u ⊳ Haciendo uso de los conceptos de orden entre los n´meros reales, se introduce la u definici´n de intervalo abierto con extremo izquierdo A y extremo derecho B como o el subconjunto de n´meros reales dado por u (A, B) = {x ∈ R tales que A < x < B} y la definici´n de intervalo cerrado con extremo izquierdo A y extremo derecho B o como el subconjunto de n´meros reales dado por u [A, B] = {x ∈ R tales que A x B} . An´logamente, se definen los intervalos a (A, ∞) = {x ∈ R tales que x > A} , (−∞, A) = {x ∈ R tales que x < A} , [A, ∞) = {x ∈ R tales que x A} , (−∞, A] = {x ∈ R tales que x A} . 2.2.3 Valor absoluto de un n´ mero real u Introduciremos ahora el concepto de m´trica o de distancia entre los n´meros reales. e u Para ello, presentamos el concepto de valor absoluto de un n´mero real mediante la u siguiente definici´n. o Definici´n 2.3 Si A es un n´mero real, el valor absoluto de A se define o u como el n´mero |A| tal que: u A si A 0, |A| = −A si A < 0. Note que el valor absoluto de un n´mero es siempre un n´mero no-negativo. u u Ejemplo 2.8 |2.31|= 2.31, | − 12.54230 · · · | = 12.54230 · · · ⊳
- 31. 2.2 El Sistemade los N´meros Reales u 31 El valor absoluto de un n´mero real tiene las propiedades que se enuncian en la u proposici´n siguiente. o Proposici´n 2.2 Los enunciados siguientes son verdaderos: o 1. |A · B| = |A||B| para cualesquiera A, B ∈ R. 2. Si |B| < A, entonces −A < B y B < A; rec´ ıprocamente, si −A < B y B < A y A > 0, entonces |B| < A; 3. Si |B| > A, entonces A < B o B < −A; rec´ ´ ıprocamente, si A < B o B < −A, entonces |B| > A. 4. |A + B| |A| + |B|, para todos A, B ∈ R. (Desigualdad del tri´ngulo) a ´ L Demostracion. a demostraci´n de los puntos 1, 2 y 3 se sigue directamente de o la definici´n de valor absoluto. La demostraci´n del punto 4 (la desigualdad del o o tri´ngulo) es como sigue. Primero, tenemos que para cualesquiera A, B ∈ R a −|A| A |A|, −|B| B |B|. Enseguida, sumando t´rmino a t´rmino, tenemos e e −(|A| + |B|) A+B |A| + |B|, lo cual significa, en virtud de 2, que |A + B| |A| + |B|, como se afirma en 4. La distancia, d(A, B), entre dos n´meros reales A y B se define como el valor u absoluto de la diferencia de los dos n´meros, esto es u d(A, B) = |A − B|. De las propiedades del valor absoluto se deducen las siguientes propiedades para la distancia entre los n´meros reales: u Para cualesquiera n´meros reales A, B y C se cumple: u (a) d(A, B) 0 y d(A, B) = 0 si y s´lo si A = B o (Positividad definida) (b) d(A, B) = d(B, A) (Simetr´ ıa) (c) d(A, B) d(A, C) + d(C, B) (Desigualdad del tri´ngulo) a Enseguida presentamos dos ejemplos sobre la aplicaci´n de las propiedades del o valor absoluto de un n´mero. u
- 32. 32 Los n´meros reales u Ejemplo 2.9 Represente, como uni´n de intervalos, el conjunto A de los n´meros o u reales x tales que |3x + 2| 8 y | − x + 3| > 1. Soluci´n. Consideremos primero el conjunto de los n´meros reales x tales que o u |3x + 2| 8. De acuerdo al punto 2 de la proposici´n 2.2, esto es equivalente a o 3x + 2 8 y 3x + 2 −8, lo cual implica que 3x 6 y 3x −10, por lo que 10 x 2 y x − . 3 Resumiendo, hemos probado que si x es tal que |3x + 2| 8, entonces 10 x∈ − ,2 . 3 Por otro lado, si un n´mero real x satisface la desigualdad u | − x + 3| > 1, entonces debe satisfacer las desigualdades −x + 3 > 1 o − x + 3 < −1, lo cual implica que −x > −2 o − x < −4, es decir, x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, ∞). Finalmente, los n´meros reales x que satisfacen ambas desigualdades ser´n aqu´llos u a e en la intersecci´n del intervalo [−10/3, 2] con el conjunto (−∞, 2)∪ (4, ∞). Es decir, o 10 10 A= − , 2 ∩ ((−∞, 2) ∪ (4, ∞)) = − , 2 . ⊳ 3 3 Ejemplo 2.10 Escriba como uni´n de intervalos el conjunto o A = {x ∈ R tales que 1 < | − 2x + 3| 2} .
- 33. 2.3 Completez delos n´meros reales u 33 Soluci´n. Si x ∈ A, entonces o | − 2x + 3| 2 y | − 2x + 3| > 1. Si | − 2x + 3| 2, entonces −2x + 3 2 y − 2x + 3 −2. Sumando −3 a ambos lados en cada desigualdad y luego dividiendo por −2, se obtiene 1 5 x y x , 2 2 o, lo que es lo mismo, 1 5 x∈ , . 2 2 Por otro lado, si | − 2x + 3| > 1, se tiene que −2x + 3 > 1 o − 2x + 3 < −1, lo cual implica que x<1 o x > 2, y por lo tanto, x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, ∞). De lo anterior deducimos que 1 5 1 5 A= , (−∞, 1) ∪ (2, ∞) = ,1 2, . ⊳ 2 2 2 2 2.3 Completez de los n´ meros reales u La propiedad que hace del sistema de los n´meros reales un sistema num´rico apro- u e piado para representar variables que toman un continuo de valores, es la llamada propiedad de completez (o de continuidad). Intuitivamente, esto quiere decir que el conjunto R es un conjunto sin cortes, cuyos elementos est´n dispuestos seg´n un a u orden “continuo”. En esta secci´n explicamos estos conceptos. o Definici´n 2.4 Un conjunto A no vac´ de n´meros reales se dice acotado o ıo u superiormente por M ∈ R si x M para todo x ∈ A. Al n´mero M se le llama una cota superior para A. u An´logamente un conjunto A de reales se dice acotado inferiormente por a N ∈ R si N x para todo x ∈ A. Al n´mero N se le llama una cota inferior para el conjunto A. u
- 34. 34 Los n´meros reales u Propiedad de completez (o continuidad) de los n´ meros reales: Para u cada subconjunto A no vac´ de n´meros reales acotado superiormente, existe un ıo u n´mero real S tal que: u 1. S es cota superior de A. 2. S es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Al n´mero S se le denomina m´ u ınima cota superior o supremum de A y se denota S = sup A. An´logamente, para cada subconjunto A no vac´ de n´meros reales acotado a ıo u inferiormente, existe un n´mero real I tal que: u 1. I es cota inferior de A. 2. I es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Al n´mero real I se le denomina la m´xima cota inferior o infimum de A u a y se denota I = inf A. ´ Demostracion. Daremos la construcci´n, paso a paso, del supremum para cual- o quier subconjunto de reales positivos acotados superiormente. Esto es suficiente para probar la propiedad de completez, pues para conjuntos arbitrarios acotados superiormente, la construcci´n se puede hacer de la misma forma con modificaciones o m´ınimas. Sea A un conjunto no vac´ de expansiones decimales positivas acotadas supe- ıo riormente. Mostraremos la existencia del supremum de A mediante la siguiente construcci´n. o Primer paso: Siendo A acotado superiormente, la parte entera de los elementos de A es un conjunto de n´meros enteros acotados superiormente y de los cuales u podemos sin ambig¨edad, determinar el entero mayor. Ese n´mero ser´ la u u a parte entera del supremum S de A. Segundo paso: Enseguida determinamos el subconjunto A1 de A formado de los elementos de A cuya parte entera es igual al m´ximo valor que toma la a parte entera de los elementos de A. (Note que todos los elementos de A1 tienen la misma parte entera). Ahora nos fijamos en el primer d´ ıgito despu´s e del punto decimal de los elementos de A1 y tomamos el d´ ıgito mayor (esto ultimo se consigue sin problema pues s´lo se tiene que escoger entre los diez ´ o d´ıgitos posibles). Ese d´ ıgito mayor ser´ el primer d´ a ıgito del supremum S despu´s del punto decimal. e Tercer paso: Enseguida determinamos el subconjunto A2 de A1 formado de los elementos de A1 cuyo primer d´ ıgito despu´s del punto decimal es igual al e
- 35. 2.3 Completez delos n´meros reales u 35 m´ximo valor que toma ese primer d´ a ıgito en los elementos de A1 . (Note que los elementos de A2 todos tienen la misma parte entera y el mismo primer d´ıgito despu´s del punto decimal). Ahora nos fijamos en el segundo d´ e ıgito a la derecha del punto decimal de los elementos de A2 y tomamos el d´ ıgito mayor, ´sto ultimo se consigue sin problema pues s´lo se tiene que escoger entre los e ´ o diez d´ıgitos posibles. Ese d´ ıgito mayor ser´ el segundo d´ a ıgito de S despu´s del e punto decimal. Repitiendo el procedimiento anterior, se va construyendo de manera sucesiva la expansi´n decimal correspondiente al supremum de A, lo que prueba que el conjunto o de los n´meros reales posee la propiedad de continuidad. u La propiedad de completez se puede establecer tambi´n sin hacer referencia e expl´ ıcita al supremum o al infimum, como lo hacemos a continuaci´n. o Propiedad de completez de los n´ meros reales (segunda versi´n): Si u o In = [an , bn ], para n = 1, 2, ..., es una sucesi´n de intervalos cerrados de R tales que o In+1 ⊂ In para cada n = 1, 2..., entonces la intersecci´n de todos ellos es un conjunto no vac´ es decir, o ıo; ∞ In = φ. n=1 En particular, si para cada n = 1, 2, . . . se tiene que n 1 bn − an = , 10 entonces existe un unico n´mero real P que pertenece a cada uno de los intervalos, ´ u es decir, tal que P = ∩∞ In . n=1 Nota Importante: Si A es un conjunto de expansiones decimales peri´dicas acotado superiormente, su o supremum no necesariamente ser´ una expansi´n peri´dica, como se ilustra en el a o o ejemplo siguiente. Ejemplo 2.11 El conjunto de expansiones decimales peri´dicas de la forma o 0.10 0.10110 0.101101110 0.10110111011110 ···
- 36. 36 Los n´meros reales u constituye un conjunto acotado superiormente por el n´mero 1 y su supremum es u la expansi´n decimal no peri´dica o o i−veces (i+1)−veces 0.10110111011110 · · · 10 111 · · · 1 0 111 · · · 1 0 · · · Este ejemplo nos muestra que el conjunto de los n´meros reales, a diferencia del u campo de los racionales, es un conjunto continuo o “sin cortes”. ⊳ 2.4 La Recta Real El sistema de los n´meros reales que hemos presentado, tiene como modelo geom´- u e trico el conjunto de puntos de una recta ideal L, sobre la cual se han identificado un punto arbitrario A con el n´mero real cero y otro punto arbitrario B, a la derecha u del anterior, con el n´mero real 1. u Antes de establecer la correspondencia entre las expansiones decimales y los puntos de la recta L, recordaremos el procedimiento para dividir con regla y comp´s a un segmento de recta AB en diez subsegmentos iguales. El procedimiento es como sigue: Se traza en el plano una recta M distinta de L y que la corte en el punto A. Con el comp´s se toma una distancia arbitraria d y con esa misma abertura y punto a inicial A se trazan consecutivamente sobre M los diez puntos C1 , C2 , ..., C10 , como se muestra en la figura 2.1. M C10 C9 C8 C7 C6 C5 C4 C3 C2 C1 d A O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 B L Figura 2.1 Divisi´n de un segmento en 10 partes iguales o Enseguida se traza la recta que pasa por B y C10 y las rectas paralelas a esa recta que pasan por C1 , C2 , ...C9 y se determinan sus puntos de corte O1 , O2 , ...O9 con el segmento AB. Como los tri´ngulos AOi Ci con i = 1, 2, ...9 son tri´ngulos semejantes a a (debido a que tienen los mismos ´ngulos), entonces los puntos O1 , O2 , ...O9 dividen a a AB en diez segmentos de igual longitud. Procedamos ahora a identificar los puntos de la recta ideal L con el conjunto de las expansiones decimales. Mostraremos primero c´mo a cada uno de los puntos o de L, a la derecha del punto cero, se le asocia una expansi´n decimal positiva y, de o manera rec´ıproca, c´mo a cada expansi´n decimal positiva le corresponde un unico o o ´
- 37. 2.4 La RectaReal 37 punto de la recta. La identificaci´n de la parte de la recta a la izquierda del punto o cero con las expansiones decimales negativas se hace de manera an´loga. a Tomando el comp´s con abertura igual a la distancia entre los puntos asociados a al cero y al uno, y marcando con esa abertura sucesivamente hacia la derecha, se fijan los puntos correspondientes a los n´meros naturales y con ellos, los intervalos de u la forma [a, a + 1] con a un n´mero natural. Enseguida, realizando el procedimiento u con regla y comp´s dado anteriormente, se subdivide cada intervalo [a, a + 1], en a diez subintervalos de longitud 1/10 de la forma [a + b1 /10, a + (b1 + 1)/10] con b1 = 0, 1, 2, . . . , 9. Luego, se toma a ese intervalo para obtener los subintervalos de longitud 1/102 , de la misma forma: [a + b1 /10 + b2 /102 , a + b1 /10 + (b2 + 1)/102 ] con b1 , b2 = 0, 1, 2, . . . , 9. Repitiendo este procedimiento k veces, se determinan todos los intervalos con extremos racionales de la forma [a.b1 b2 · · · bk , a.b1 b2 · · · (bk + 1)] con a entero y b1 , b2 , · · · , bk = 0, 1, 2, . . . , 9. Note que al ir tomando k los valores 0, 1, 2, 3, . . ., se obtendr´n todos los intervalos que tienen por extremos los puntos a asociados a las expansiones truncadas positivas. Habi´ndose construido los intervalos anteriores sobre la recta ideal, se procede e a asociar a cada expansi´n decimal a.b1 b2 · · · bk · · · el punto P de la recta ideal que o se encuentra en la intersecci´n de los intervalos cerrados anidados o [a.b1 , a.(b1 + 1)], [a.b1 b2 , a.b1 (b2 + 1)], [a.b1 b2 b3 , a.b1 b2 (b3 + 1)], etc´tera, formados con los d´ e ıgitos correspondientes de la expansi´n decimal inicial. o Aqu´ suponemos que la recta ideal tiene la propiedad de que la intersecci´n de ı o intervalos anidados de longitud cada vez m´s peque˜a e igual a una potencia de a n 1/10, tienen por intersecci´n un punto. Esta ultima, es una manera de suponer que o ´ la recta ideal no tiene agujeros, es decir, que se forma de un continuo de puntos. A dicha recta tambi´n se le llama la recta real, o recta num´rica. e e Rec´ıprocamente, a cada punto P de la recta ideal se le asocia la expansi´n o construida en la forma siguiente: Primero se determina a qu´ intervalo de longitud e 1 y de la forma [a, a+1], con a entero, pertenece el punto P . Esto determina la parte entera de la expansi´n decimal correspondiente a P . Enseguida, se divide el intervalo o anterior en diez subintervalos de longitud 1/10 de la forma [a + b1 /10, a + (b1 + 1)10] para b1 = 1, 2, . . . , 9 y se determina el valor del d´ ıgito b1 tal que P ∈ [a + b1 /10, a + (b1 + 1)/10]. Este d´ ıgito b1 ser´ el primer d´ a ıgito a la izquierda de la expansi´n o decimal asociada a P . A continuaci´n se repite el proceso anterior, subdividiendo o en cada paso al intervalo anterior en diez subintervalos y agregando a la derecha de la expansi´n en formaci´n, el d´ o o ıgito correspondiente al extremo izquierdo del subintervalo al cual pertenece P . Este proceso nos permite conocer cada uno de los d´ıgitos de la expansi´n decimal asociada a P y, por lo tanto, el n´mero real asociado o u a P.
- 38. 38 Los n´meros reales u Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. a) Sean las expansiones A = 2.3458, B = −3.2568 y C = −1.35802. Calcule las expansiones de A + B, A · B, B · C y B − C. b) Escriba la expansi´n decimal correspondiente a los n´meros racionales o u siguientes y determine, en cada caso, el bloque de d´ ıgitos que se repite: 23 57 2491 i) , ii) − , iii) . 7 4 990 2. D´ los n´meros racionales cuya expansi´n decimal es cada una de las siguientes: e u o A = 2.34210,B = 37.28560, C = −13.345. √ √ 3. Demuestre que 5 y 3 no son n´meros racionales. u 4. Encuentre la expansi´n truncada de orden 5 de la suma A + B de los reales o A = 1.28288288828888 · · · B = 12.253 5. Encuentre un n´mero irracional entre los n´meros 0.00010 y 0.0010. u u 6. Demuestre que si A es un n´mero real distinto de cero, entonces A2 > 0. u 7. Sea A = 2.131130, encuentre un racional y un irracional cuya distancia a A sea menor que 1/104 . √ 8. Pruebe que el conjunto de n´meros de la forma a + b 2 con a, b ∈ Q forman √ u un campo que contiene a 2. 9. Demuestre que entre cada par de n´meros racionales distintos siempre hay un u n´mero irracional y que entre cada par de irracionales distintos existe siempre u un n´mero racional. u 10. Escriba como uni´n de intervalos ajenos los conjuntos o (a) A= {x ∈ R tales que |2x − 4| 6 y |x − 3| > 1 } (b) B= {x ∈ R tales que |x − 3| 2|x| } (c) C = {x ∈ R tales que |2x − 3| > 2 y |x − 5| < 1} (d) D = {x ∈ R tales que |x − 2| < 1 y |2x − 1| > 2} (e) E = {x ∈ R tales que 1 < |3x + 2| 5} (f) F = {x ∈ R tales que x > 0 y |x − 3| > 2|x|} . 11. Demuestre que |A| − |B| |A − B| para todo A, B ∈ R.
- 39. 2.4 La RectaReal 39 12. Demuestre las siguientes afirmaciones para conjuntos acotados superiormente: (a) Si A ⊂ B ⊂ R entonces sup A sup B, (b) sup(A + B) = sup A + sup B, (c) sup A = − inf(−(A)). 13. Conteste “falso” o “verdadero”. Si A es un n´mero real distinto de cero, existe otro n´mero real tal que u u A · B = 2. Existe un n´mero real A tal que A2 + A + 1 = 0. u A+B Si A y B son n´meros reales con A < B, entonces A < u < B. 2
- 40. 40 Los n´meros reales u
- 41. Cap´ ıtulo 3 Variables y funciones El cambio y el movimiento se manifiestan siempre en el marco de una relaci´n o entre dos o m´s objetos o variables que toman entre s´ distintas configuraciones a ı o valores relativos. En particular, el tipo de cambio o movimiento que describe y estudia el c´lculo diferencial es el que se presenta en relaciones entre variables que a toman un continuo de valores num´ricos reales. A tales variables se les denomina e variables reales y a las relaciones entre ellas, funciones reales. En este cap´ ıtulo se introducen los conceptos fundamentales de variable real y funci´n real de variable real y se definen las operaciones b´sicas entre ´stas. Se o a e introduce, adem´s, el concepto de gr´fica de una funci´n, el cual permite identi- a a o ficar funciones con curvas en el plano cartesiano, estableci´ndose el v´ e ınculo para la interpretaci´n geom´trica de los conceptos y procesos del c´lculo. o e a Finalmente, se presentan algunas de las familias de funciones elementales m´s a importantes en las aplicaciones. 3.1 El concepto de variable y el de funci´n o Una variable es una propiedad o un atributo que puede tomar uno o varios valores dados por los elementos de un conjunto. Por ejemplo, la variable “estado civil de una persona”, toma valores en el conjunto cuyos elementos son: soltero, casado, viudo, divorciado, etc. Cuando el conjunto de los valores posibles de una variable es un subconjunto o un intervalo de n´meros reales, se le denomina variable real. u Como ejemplos de variables reales tenemos, “la magnitud o medida del lado de los cuadrados ”, “la medida de la estatura de las personas”, “ la medida de la velocidad de un autom´vil”, etc. Al conjunto de los valores posibles que puede tomar una o variable x se le llama el dominio de la variable x, por ejemplo, “la medida de la diagonal del cuadrado” es una variable real cuyo dominio es el conjunto de los n´meros reales positivos, mientras que el dominio de la variable “ la temperatura u de un cuerpo”, es el conjunto de los n´meros reales, la cual toma valores negativos u para temperaturas bajo cero.
- 42. 42 Variables y funciones A las variables reales, las denotaremos con letras, como x, y, z, t, . . . Por ejemplo: 1. t : “valor de la medida del tiempo”, 2. x : “valor de la magnitud del lado del cuadrado”, 3. y : “valor del ´rea del cuadrado”, a 4. z : “n´mero real mayor que cero y menor que uno”. u Nota Importante: As´ como el conjunto de valores “soltero, casado, viudo, divorciado, etc.” define la ı variable “estado civil de la persona”, tambi´n en general podemos identificar a cada e variable real con el conjunto de sus valores. En los distintos campos del conocimiento y de la experiencia, encontramos pares o conjuntos de variables relacionadas entre s´ en el sentido de que el valor de una o ı, de varias de ellas depende del valor o los valores de las otras. Ejemplo 3.1 Consideremos las variables y : “valor del ´rea del cuadrado,” a x : “valor de la longitud del lado del cuadrado”. Estas dos variables num´ricas est´n relacionadas en el sentido de que a cada e a valor de una de ellas corresponde un valor para la otra. As´ si la variable x toma ı, el valor num´rico a, el valor correspondiente de la variable y es a2 . En este caso, e la regla f que establece la relaci´n o correspondencia entre las variables y y x se o simboliza escribiendo en forma compacta y = f (x) = x2 . En esta notaci´n, el s´ o ımbolo f (x) representa el valor de y cuando el valor de la otra variable es x. As´ si el valor de la variable x es 30, el valor correspondiente de la ı, variable y ser´ 900. Esto se escribe poniendo a y = f (30) = 900 y se interpreta “cuando el valor de la variable x es 30, el valor de la variable y es igual a 900”. ⊳ Cuando la relaci´n entre dos variables x y y es tal que a cada valor de la primera, o corresponde un unico valor de la segunda, se dice que esta ultima est´ en funci´n ´ ´ a o de la primera. A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se le llama variable dependiente. Es este tipo de relaciones entre variables reales las que son el objeto de estudio del c´lculo y a las que dedicaremos este cap´ a ıtulo.
- 43. 3.1 El conceptode variable y el de funci´n o 43 Definici´n 3.1 Una funci´n real de variable real 1 es una regla de corres- o o pondencia f entre dos variables reales x y y, tal que a cada valor de la primera corresponde, seg´n esa regla, un unico valor de la segunda. Al dominio de la u ´ variable independiente x se le llama el dominio de la funci´n y al dominio o de la variable dependiente y se le llama el contradominio de la funci´n. o Ejemplo 3.2 Sea x la variable con dominio los n´meros reales distintos de cero y y u la variable “n´mero real”. La regla que asocia a cada valor x el n´mero y = f (x) = u u 1/x, define una funci´n cuyo dominio es el conjunto de los n´meros reales distintos o u de cero y cuyo contradominio es el conjunto de los n´meros reales. u ⊳ Nota Importante: En la definici´n de funci´n, el punto clave es que la regla de correspondencia f que o o define la funci´n, sea tal que a cada valor de la variable independiente le corresponda o uno y s´lo un valor de la variable dependiente. Por ejemplo, si x es la variable con o √ dominio los n´meros reales, la regla y = f (x) = x, en general, no define de manera u un´ıvoca un valor para la variable y, ya que si el valor de x es un n´mero negativo u no es posible extraer ra´ cuadrada y por lo tanto no est´ definido el valor que le ız a corresponde a la variable dependiente, lo mismo sucede si el valor de la variable √ independiente x es un n´mero positivo, ya que existen dos valores posibles para x, u uno el negativo del otro, y la regla no especifica cu´l de los dos valores tomar. Como a se observa, en ambos casos el valor de la variable independiente x no determina de manera un´ ıvoca el valor de la variable y. Una manera de definir correctamente la funci´n “ra´ cuadrada de x” es considerando como variable independiente la o ız variable x = “n´mero real mayor o igual a cero” y como regla de correspondencia u la expresi´n o √ y = f (x) = + x que nos dice que para cada valor de la variable x se tome la ra´ cuadrada positiva ız de ese valor. Para denotar una funci´n, es necesario se˜alar claramente sus distintos elemen- o n tos, como son: (i) la variable independiente x y su dominio, (ii) la variable dependiente y y su dominio y (iii) la regla de correspondencia f que permite calcular o conocer el valor de la variable dependiente conociendo el valor de la variable independiente. 1 La definici´n moderna de funci´n se debe al matem´tico alem´n de ascendencia belga J. P. G. o o a a Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien la formul´ en 1837. o
- 44. 44 Variables y funciones Al escribir la regla de correspondencia, se denota por y = f (x) el valor de la variable dependiente y correspondiente al valor x de la variable independiente y se hace expl´ıcita la regla f para calcular y a partir del valor x. De aqu´ en adelante, ı adoptando la notaci´n establecida por el matem´tico J. L. Lagrange, denotaremos o a cada funci´n real escribiendo o f :A→B y = f (x), donde A es el dominio de la variable independiente o dominio de la funci´n, B el o contradominio de la funci´n o dominio de la variable dependiente y f denota la regla o de correspondencia entre los valores de las variables. Cuando la situaci´n anterior o se presente, tambi´n diremos que “la variable y est´ en funci´n de la variable x.” e a o Una funci´n f se puede tambi´n visualizar de manera intuitiva como un meca- o e nismo que recibe como entrada un valor de x, el cual es procesado por el mecanismo, dando lugar a un valor de salida f (x) que es el valor de la variable dependiente que corresponde a x, como se ilustra en la figura 3.1. x f f (x) Figura 3.1 Funci´n como proceso o Ejemplo 3.3 La funci´n f con variable dependiente y :“valor del ´rea del cuadra- o a do” y con variable independiente x :“longitud del lado del cuadrado”, se escribe simb´licamente o f : [0, ∞) → [0, ∞) y = f (x) = x2 . El s´ımbolo f : [0, ∞) → [0, ∞) significa que la funci´n asocia a cada valor del o dominio [0, ∞) de la variable x, un valor para y en el intervalo [0, ∞), y en el segundo rengl´n se hace expl´ o ıcita la regla de correspondencia entre los valores de las variables, se˜alando que el valor de y correspondiente al valor x de la variable n independiente, es igual a x2 . ⊳ Dada una funci´n f : A → B y x ∈ A, al n´mero f (x) se le llama imagen de x o u bajo f y al conjunto f (A) = {f (a) con a ∈ A} ⊂ B se le llama la imagen de la funci´n f y se denota Im f. o
- 45. 3.1 El conceptode variable y el de funci´n o 45 Algunas veces, la regla de correspondencia entre los valores de la variable in- dependiente x y los de la variable dependiente se expresa con distintas f´rmulas, o dependiendo del valor de la variable independiente. Ejemplo 3.4 La funci´n o f : [1, 4] → R, 2x + 1 si x ∈ [1, 2], f (x) = x2 si x ∈ (2, 3), 2 si x ∈ [3, 4], est´ definida con tres expresiones distintas seg´n d´nde toma su valor la variable x. a u o Note que, en el ejemplo 3.4, la imagen de f es el conjunto {2} ∪ [3, 9). ⊳ Una variable real puede depender de dos o m´s variables reales. a Ejemplo 3.5 Dado un rect´ngulo, consideremos las variables a p : “valor del ´rea del rect´ngulo”, a a u : “valor de lo largo del rect´ngulo”, y a v : “valor de lo ancho del rect´ngulo”. a Entonces podemos escribir a la variable p en funci´n de las variables u y v de o tal manera que se tiene una funci´n de dos variables que se expresa en la forma o p : [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞), p(u, v) = u · v. ⊳ Cuando el valor de una variable depende de los valores de dos o m´s variables, a se dice que se tiene una funci´n de varias variables reales. o Nota Importante: Si bien al tener una funci´n y = f (x) a cada valor de la variable independiente x o le corresponde un unico valor y = f (x) de la variable dependiente y, es posible que ´ a valores distintos de x, la regla de correspondencia les asocie el mismo valor de la variable y. Por ejemplo, la funci´n real o f :R→R y = f (x) = x2 le hace corresponder a cada par de valores a y −a de la variable x, el mismo valor a2 de la variable y. Las funciones que a valores distintos de la variable independiente x, hacen corres- ponder valores distintos de la variable dependiente y, juegan en la teor´ un papel ıa importante, en tanto permiten definir la regla de correspondencia inversa entre la
- 46. 46 Variables y funciones variable y y la variable x. Fijaremos este ultimo concepto mediante la siguiente ´ definici´n. o Definici´n 3.2 Una funci´n real de variable real f : A → B con y = f (x), se o o dice inyectiva (o uno a uno) si a valores distintos de la variable independiente les hace corresponder valores distintos para la variable dependiente. En lenguaje simb´lico, esta definici´n se escribe: f : A → B, es inyectiva o uno a uno si o o a, b ∈ A con a = b implica f (a) = f (b). Note que si y = f (x) es inyectiva, entonces para cada valor c de la variable y perteneciente a la imagen de la funci´n y = f (x), existe un unico valor a de la o ´ variable independiente x tal que f (a) = c. Al unico valor a de la variable x que ´ corresponde al valor c de la variable y se le denota a = f −1 (c). Esto determina una nueva funci´n f −1 cuya variable independiente es la variable y y su variable o dependiente, x. A esta nueva funci´n se le llama la funci´n inversa de la funci´n o o o y = f (x) y se denota f −1 : Im f ⊂ B → A x = f −1 (y) Ejemplo 3.6 La funci´n f : R → R definida mediante la regla o y = f (x) = 3x + 5 es una funci´n inyectiva, ya que si a = b, se tiene o f (a) − f (b) = 3a + 5 − 3b − 5 = 3(a − b) = 0. En este caso, la funci´n inversa x = f −1 (y) toma la forma o y−5 x = f −1 (y) = 3 y tiene por dominio R. ⊳ Ejemplo 3.7 La funci´n o f : (0, 1) → R, f (x) = x2 + 2 es una funci´n uno a uno y tiene por funci´n inversa o o f −1 : (2, 3) → (0, 1) √ f −1 (y) = + y − 2. ⊳
- 47. 3.1 El conceptode variable y el de funci´n o 47 Ejemplo 3.8 La funci´n o g:R→R g(x) = x3 + 1 es una funci´n uno a uno, como se verifica a continuaci´n. Si x1 y x2 son elementos o o distintos del dominio de la variable x, es decir x1 = x2 , entonces los valores de la funci´n y = g(x) en esos puntos ser´n respectivamente o a g(x1 ) = x3 + 1 y g(x2 ) = x3 + 1. 1 2 Si ahora calculamos su diferencia g(x1 ) − g(x2 ) = x3 − x3 = (x1 − x2 )(x1 + x1 x2 + x2 ) 1 2 2 2 observamos que por elecci´n (x1 − x2 ) = 0 y por otro lado o (x2 + x1 x2 + x2 ) = 0 si x1 = x2 . 1 2 Luego, tendremos que g(x1 ) − g(x2 ) = 0, lo que significa que g(x1 ) = g(x2 ), y por lo tanto la funci´n y = g(x) es uno a uno. o En este caso la funci´n inversa o x = g −1 (y) queda definida mediante la regla x = g −1 (y) = 3 y−1 y su dominio de definici´n es el conjunto o Dominio de g −1 = Imagen de g = R. ⊳ Entre las principales funciones inyectivas o uno a uno, se encuentran las funciones mon´tonas, mismas que se clasifican en: o (i) funciones crecientes, definidas como aquellas funciones reales f : A → R que preservan el orden de los valores de la variable independiente, es decir, para x1 , x2 ∈ A con x1 > x2 se tiene f (x1 ) > f (x2 ), y (ii) funciones decrecientes si sus im´genes invierten el orden de los valores de la a variable independiente, es decir, f (x1 ) < f (x2 ) si x1 > x2 .
- 48. 48 Variables y funciones 3.1.1 Gr´fica de una funci´n a o Una funci´n real de variable real f : A → B, se representa gr´ficamente por o a un conjunto de puntos en el plano mediante el llamado m´todo de coordenadas e de Descartes.2 Este m´todo consiste en fijar primeramente un sistema de rectas e reales perpendiculares debidamente numeradas y orientadas, de modo que se corten ambas en su punto correspondiente al n´mero cero. Al plano, junto con las dos u rectas as´ dispuestas, se le llama plano cartesiano. A una de las rectas, escogida ı y orientada arbitrariamente se le llama eje de las abscisas y a la otra se le llama eje de las ordenadas y se toma como su orientaci´n positiva, la que le da el eje de o las abscisas al rotarse noventa grados en sentido contrario al de las manecillas del reloj y caer sobre ese segundo eje. Cada punto P del plano cartesiano se identifica con la pareja ordenada de n´meros (a, b) donde a, llamado la abscisa de P , es el u n´mero real correspondiente al punto sobre el eje de las abscisas donde corta la u perpendicular bajada de P a ese eje, y b llamado la ordenada de P, es el n´mero real u correspondiente al punto sobre el eje de las ordenadas donde corta la perpendicular bajada de P a ese eje. A la pareja ordenada (a, b) que identifica al punto P, se le llaman las coordenadas de P relativas al plano cartesiano inicial. La gr´fica de f : A → B se construye de la manera siguiente: En la recta a del eje de las abscisas se marca el dominio A de la variable independiente x. Para cada n´mero real a ∈ A, se determina el punto en el plano cartesiano de abscisa u a y ordenada y = f (a). Este proceso identifica al conjunto del plano denominado gr´fica de la funci´n f, definido as´ a o ı: Gr´fica de f = (a, f (a)) con a ∈ A . a En la figura 3.2 se ilustra este conjunto. y f (a) a, f (a) a x Figura 3.2 Gr´fica de f a Ejemplo 3.9 En la figura 3.3 se muestra la gr´fica de la funci´n real a o 2x − 3, si x ∈ [2, 3) f (x) = −x + 6, si x ∈ [3, 4], cuyo dominio es el intervalo [2, 4]. ⊳ 2 Por Ren´ Descartes. e
- 49. 3.2 Operaciones confunciones 49 y 3 2 1 0 x 0 1 2 3 4 Figura 3.3 Gr´fica de f (x) para el ejemplo 3.9 a Nota Importante: La gr´fica de una funci´n s´lo puede tener un punto sobre cada recta perpendicular a o o al eje de las abscisas. (¿Por qu´?) e 3.2 Operaciones con funciones 1. Suma y multiplicaci´n de funciones o Sea A ⊂ R y consideremos dos funciones reales f : A → R y g : A → R. a) A la funci´n f + g : A → R definida por o (f + g)(x) = f (x) + g(x), para cada x ∈ A, se le llama funci´n suma de las funciones f y g. o b) A la funci´n f · g : A → R definida por o (f · g)(x) = f (x) · g(x) para cada x ∈ A se le denomina funci´n multiplicaci´n o funci´n producto de f y g. o o o Ejemplo 3.10 La funci´n suma f + g, de las funciones f : (0, 1) → R y g : (0, 1) → o R definidas por f (x) = x2 + x + 1 y g(x) = x3 + 2x, es la funci´n f + g : (0, 1) → R o definida por (f + g)(x) = x3 + x2 + 3x + 1. El valor de la funci´n suma f + g en x = 2 es o (f + g)(2) = f (2) + g(2) = 19. ⊳
- 50. 50 Variables y funciones Ejemplo 3.11 Para las funciones reales f : (0, 1) → R y g : (0, 1) → R definidas por f (x) = x2 + x + 1 y g(x) = x3 , la funci´n producto es la funci´n f · g : (0, 1) → R o o (f · g)(x) = x3 (x2 + x + 1). ⊳ An´logamente a la definici´n de suma y producto de dos funciones reales a o f : A → R y g : A → R, se definen la diferencia, f − g : A → R y el cociente, f : {x ∈ A con g(x) = 0} → R de dos funciones como dos nuevas funciones cuyas g reglas de correspondencia toman la forma: (f − g)(x) = f (x) − g(x) para cada x ∈ A, y f def f (x) (x) = . g g(x) Ejemplo 3.12 El cociente de las funciones f (x) = 2x + 1 y g(x) = x2 − 1 s´lo est´ definido para valores de la variable independiente distintos de 1 y −1. Es o a decir, la funci´n cociente o f 2x + 1 (x) = 2 g x −1 tiene por dominio el conjunto R − {1, −1} . ⊳ 2. La composici´n de funciones o Otra operaci´n propia entre funciones, es la llamada composici´n de funciones y o o que presentamos a continuaci´n. o Si y denota una variable que depende de una variable x bajo cierta funci´n o f : A → R y z es una variable que depende de la variable y bajo otra funci´n o g : B → R, con Imf ⊂ B, entonces para cada valor de la variable x en A, la aplicaci´n o de la regla de correspondencia y = f (x) seguida de la regla de correspondencia z = g(y), establece una regla de correspondencia o funci´n entre la variable x y la o variable z que se denota g ◦ f : A → R, z = g(f (x)). A la funci´n g ◦ f : A → R, se le llama funci´n composici´n de la funci´n y = o o o o f (x) con la funci´n z = g(y). N´tese que para que sea posible construir la funci´n o o o composici´n g◦f , los valores f (x) que toma la variable y deben pertenecer al dominio o de la segunda funci´n z = g(y). Podemos esquematizar la composici´n de funciones o o mediante el diagrama siguiente: f g x −→ y = f (x) −→ z = g(f (x)).
- 51. 3.2 Operaciones confunciones 51 Ejemplo 3.13 Sean las variables reales x, y, z y las funciones dadas por las reglas de correspondencia √ y = f (x) = x + 2 y z = g(y) = y 2 + y + 1. La funci´n composici´n z = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) toma la forma o o z = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) √ = g( x + 2) √ ⊳ = x + 2 + x + 3. Ejemplo 3.14 Sean las variables r : “valor del radio del c´ ırculo”, l : “valor de la longitud de la circunferencia”, z : “valor del ´rea del c´ a ırculo”, y consideremos las funciones l2 l = f (r) = 2πr y z = g(l) = 4π que expresan la longitud de la circunferencia como funci´n del radio y el ´rea del o a c´ ırculo como funci´n de la longitud de la circunferencia, respectivamente; entonces o la funci´n composici´n o o z = (g ◦ f )(r) = g(f (r)) = g(2πr) = πr2 expresa el ´rea del c´ a ırculo como funci´n del radio. o ⊳ Ejemplo 3.15 Considere las funciones reales de variable real f : (0, 1) → (5, 8) y g : (0, ∞) → R definidas por = f (x) = x2 +x+5 y z = g(y) = y+2, respectivamente. La funci´n composici´n g ◦ f como funci´n de la variable independiente x es la o o o funci´n g ◦ f : (0, 1) → R definida por o z = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + x + 5) = x2 + x + 7. As´ por ejemplo, (g ◦ f )(2) = 13. ı, ⊳ Ejemplo 3.16 Si f : R → R y g : R → R son las funciones reales f (x) = x2 y g(y) = y + 1, entonces g ◦ f : R → R est´ dada por la expresi´n a o (g ◦ f )(x) = x2 + 1, mientras que la funci´n f ◦ g : R → R se escribe como o (f ◦ g)(y) = (y + 1)2 . ⊳
- 52. 52 Variables y funciones La operaci´n de composici´n tiene las propiedades siguientes, suponiendo que las o o funciones cumplan con los requisitos para llevar a cabo esas operaciones: a) f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 . 3.3 Funciones racionales y trigonom´tricas e A las funciones reales de variable real definidas en toda la recta y de la forma f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an donde a1 , · · · , an son n´meros reales, se les llama funciones polinomiales. u En los casos particulares: f (x) = ax + b con a, b ∈ R, la funci´n se llama funci´n lineal y o o f (x) = ax2 + bx + c con a, b, c ∈ R, la funci´n se llama funci´n cuadr´tica. o o a La suma, el producto y la composici´n de funciones polinomiales es una funci´n o o polinomial. Al cociente de dos funciones polinomiales se le conoce como funci´n racional: o p(x) xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an r(x) = = m , q(x) x + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm y su dominio de definici´n es el conjunto de los n´meros reales excepto las ra´ o u ıces del denominador q(x), es decir, se excluyen los n´meros a ∈ R tales que q(a) = 0. u N´tese que si el grado del polinomio q(x) en el denominador es menor que el o grado del polinomio p(x) en el numerador, se puede reducir la expresi´n para r(x) o a la forma xk + a1 xk−1 + · · · + ak−1 x + ak r(x) = a(x) + s x + b1 xs−1 + · · · + bs−1 x + bs con s ≥ k y donde a(x) es una funci´n polinomial. o 3.3.1 Medici´n de ´ngulos: radianes o a En los cursos elementales de trigonometr´ la unidad de medida para los ´ngulos ıa, a es el grado, entendido como la medida del ´ngulo central que resulta de dividir el a c´ ırculo en 360 partes iguales. Para efectos del c´lculo, la medida de los ´ngulos se a a hace con n´meros reales. Para lo anterior, se asigna como medida de un ´ngulo, u a
- 53. 3.3 Funciones racionalesy trigonom´tricas e 53 π 180 x θ θ π 180 x Positivo Negativo Figura 3.4 Signo de ´ngulos a el n´mero real correspondiente a la longitud con signo, del arco que subtiende el u ´ngulo sobre la circunferencia de radio unitario, como se muestra en la figura 3.4. a Se considera sentido positivo para el arco si se recorre en sentido contrario al de las manecillas del reloj. A partir de la convenci´n anterior, el ´ngulo de longitud de arco 2π es el ´ngulo o a a de 360 grados. A la medida del ´ngulo que subtiende un arco de longitud 1 lo a 360 llamaremos radi´n y su medida en grados es de a ≈ 57.29 grados. En general, si 2π el ´ngulo θ mide x grados, entonces su longitud de arco o medida en radianes ser´ a a 2π de x radianes y, rec´ ıprocamente, si la longitud en radianes del ´ngulo θ es a 360 360 de y radianes, su medida en grados ser´ de y a grados. 2π Al utilizar longitudes de arco para medir angulos, tiene sentido hablar de ´ngulos ´ a de cualquier longitud de arco, tanto positiva como negativa. Ejemplo 3.17 El ´ngulo de medida -100 radianes corresponde al que se obtiene al a 100 recorrer veces la circunferencia unitaria en el sentido de las manecillas del reloj. 2π ⊳ π π π Ejemplo 3.18 Los ´ngulos de 30, 45 y 60 grados miden respectivamente , y a 6 4 3 radianes. ⊳ 3.3.2 Las funciones trigonom´tricas e Consideremos en un plano cartesiano la circunferencia de centro el origen y radio unitario. Para cada n´mero real x, consideremos el arco de circunferencia de longi- u ⌢ tud x, con extremo el punto inicial A = (1, 0). Sea Px el extremo final del arco APx de longitud x. Se definen las funciones seno y coseno de la forma siguiente: sen : R → [−1, 1], sen x = ordenada de Px y cos : R → [−1, 1], cos x = abscisa de Px .
- 54. 54 Variables y funciones sen x Px sen x 3π x π 2 2π x 1 0 x π 2 Figura 3.5 Gr´fica de sen x a cos x Px 3π x cos x π 2 2π x 1 0 x π 2 Figura 3.6 Gr´fica de cos x a Ver figuras 3.5 y 3.6, respectivamente. Nota Importante: Si AB es la hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo de v´rtices A, B y C, y si la a a e medida del ´ngulo BAC es x radianes, el valor de sen x es la raz´n entre el cateto a o BC, opuesto al ´ngulo x, y la hipotenusa AB, y el valor de cos x es la raz´n entre a o el cateto AC, adyacente al ´ngulo x, y la hipotenusa AB, como se muestra en la a figura 3.7. Las funciones sen x y cos x tienen las propiedades siguientes: 1. sen(−x) = − sen x, cos(−x) = cos x 2. sen(x + 2π) = sen x, cos(x + 2π) = cos x π 3. sen(0) = 0, sen = 1, sen π = 0 2 π 4. cos(0) = 1, cos = 0, cos(π) = −1 2 5. sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x, cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y π π 6. cos x − = sen x, sen x + = cos x 2 2
- 55. 3.3 Funciones racionalesy trigonom´tricas e 55 7. cos2 x + sen2 x = 1. B B′ BC sen x = B ′ C ′ = 1 x AB = r AC A C′ C cos x = AC ′ = AB Figura 3.7 El seno y el coseno de x A las funciones generadas mediante las operaciones entre las funciones sen x y cos x se les denomina funciones trigonom´tricas y tienen como propiedad fundamen- e tal su periodicidad (propiedad 2 de la lista anterior). A partir de las funciones seno y coseno se definen las siguientes cuatro funciones trigonom´tricas adicionales: e tan x 1. La funci´n tangente o π tan : R {nπ ± , n ∈ N} → R − 3π 2 −π −π 2 π 2 π 3π 2 x 2 sen x tan x = cos x cot x 2. La funci´n cotangente o cot : R {nπ, n ∈ N} → R − 3π 2 −π −π 2 π 2 π 3π 2 x cos x cot x = sen x
- 56. 56 Variables y funciones sec x 3. La funci´n secante o π 1 sec : R {nπ ± , n ∈ N} → R − 3π 2 −π −π 2 π 2 π 3π 2 x 2 1 −1 sec x = cos x csc x 4. La funci´n cosecante o 1 csc : R {nπ, n ∈ N} → R − 3π −π −π π π 3π 2 2 2 2 x 1 csc x = −1 sen x 3.3.3 Las funciones trigonom´tricas inversas e La funci´n f (x) = sen x es uno a uno en los intervalos abiertos o π π In = nπ − , nπ + con n = 0, ±1, ±2, . . . 2 2 y por lo tanto, en cada intervalo In existe su funci´n inversa, llamada funci´n arco o o seno, π π arcsen : (−1, 1) → nπ − , nπ + 2 2 arcsen x = y, donde sen y = x. An´logamente, la funci´n f (x) = cos x es uno a uno en cada uno de los intervalos a o Jn = (nπ, nπ + π) con n = 0, ±1, ±2, · · · y en cada intervalo Jn est´ definida la funci´n inversa de cos x que se llama funci´n a o o arco coseno, arccos : (−1, 1) → (nπ, nπ + π), arccos x = y, donde cos y = x. Las gr´ficas correspondientes a los intervalo I0 y J0 de estas funciones aparecen en a las figuras 3.8(a) y 3.8(b), respectivamente.
- 57. 3.3 Funciones racionalesy trigonom´tricas e 57 arcsen x arccos x π π 2 -1 x 1 -1 x −π 2 1 (a) (b) Figura 3.8 Las funciones arcsenx y arccosx La funci´n f (x) = tan x es tambi´n uno a uno en los intervalos abiertos In y o e por lo tanto, en cada intervalo In existe su funci´n inversa, llamada funci´n arco o o tangente, π π arctan : R → nπ − , nπ + 2 2 arctan x = y, donde tan y = x. La gr´fica de la funci´n arctan x correspondiente al intervalo I0 se muestra en la a o figura 3.9 arctan x π/2 x −π/2 Figura 3.9 La funci´n f (x) = arctan x o De manera similar se definen las funciones inversas de las funciones trigono- m´tricas cot x, sec x y csc x, en aquellos dominios en las que estas funciones sean e inyectivas.
- 58. 58 Variables y funciones Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1 1. Considere la regla de correspondencia f (x) = . ¿Cu´l debe ser el do- a −1 x2 minio de la variable independiente x para que la regla defina correctamente una funci´n real de variable real? ¿Cu´l es la imagen de la funci´n? o a o 2. Considere las variables reales siguientes. y: “valor del ´rea del tri´ngulo equil´tero,” a a a x: “valor de la longitud del lado del tri´ngulo equil´tero,” a a z: “valor del per´ımetro del tri´ngulo equil´tero”, a a w: “valor de la altura del tri´ngulo equil´tero”. a a Escriba: (a) la variable y en funci´n de la variable x, o (b) la variable y en funci´n de la variable z, o (c) la variable w en funci´n de la variable y, o (d) la variable x en funci´n de la variable z, o (e) la variable x en funci´n de la variable y. o 3. Pruebe que las funciones siguientes son uno a uno (es decir, inyectivas) y determine su funci´n inversa. o (a) f : R → [1, ∞), y = f (x) = x2 + x + 1 (b) l : [0, 2] → R, y = l(x) = x2 + x + 1 (c) h : R → R, y = h(x) = 2x + 3 (d) Pruebe que toda funci´n mon´tona (creciente o decreciente) es uno a uno. o o 4. En la figura 3.10 aparece la gr´fica de la funci´n y = f (x). a o 2 1 −2 −1 1 2 3 −1 −2 Figura 3.10 Gr´fica de la funci´n del ejercicio 4 a o Conteste las preguntas siguientes:
- 59. 3.3 Funciones racionalesy trigonom´tricas e 59 (a) ¿Cu´l es el dominio de f ? a (b) ¿Cu´l es la imagen de f ? a (c) ¿En qu´ intervalo es f creciente? e (d) ¿En qu´ intervalo es decreciente? e (e) ¿Tiene f funci´n inversa en el conjunto (−1, 3)? Si ´se es el caso, ¿cu´l o e a es el dominio y cu´l el contradominio de la inversa? a 5. Dibuje la gr´fica de cada una de las siguientes funciones con dominio y con- a tradominio el conjunto de los n´meros reales. u (a) f (x) =| 2x + 3 | (b) f (x) = [x] =m´ximo entero menor o igual a x. a (c) f (x) = f (x) = x − [x] (d) f (x) = x+ | x2 + 3x + 1 | . 6. Una funci´n f : R → R toma los valores f (0) = 1 y f (2) = 1 y su gr´fica est´ o a a formada por segmentos de recta con pendiente -1 si x < 0, pendiente 0 en [0,2] y pendiente 1 si x > 2. Dibuje la gr´fica de la funci´n g en cada uno de los a o casos siguientes: (a) g(x) = f (x) (b) g(x) = −f (−x) (c) g(x) = f (2x) (d) g(x) = f (x + 2) (e) g(x) = f (3x − 2). 7. Exprese la regla de correspondencia o funci´n y = f (x) entre la variable x y o la variable y en los casos siguientes. (a) x: “valor del per´ımetro de un tri´ngulo equil´tero”, a a y: “valor del ´rea de un tri´ngulo equil´tero”. a a a (b) x: “valor del ´ngulo formado por los lados iguales de un tri´ngulo a a is´sceles de per´ o ımetro 12”, y: “valor del ´rea de un tri´ngulo is´sceles de per´ a a o ımetro 12”. (c) x: “valor del ´rea de una esfera”, a y: “valor del radio de la esfera en cuesti´n.” o 8. Una funci´n f (x) definida en todo R se dice que es una funci´n par si o o f (x) = f (−x) para cada x ∈ R. An´logamente se dice que es una funci´n impar si a o f (x) = −f (−x).
- 60. 60 Variables y funciones (a) Diga para qu´ valores del n´mero natural n, la funci´n f (x) = xn es una e u o funci´n impar. o (b) Pruebe que para cada funci´n f (x), la funci´n o o 1 p(x) = (f (x) + f (−x)) 2 es una funci´n par. o (c) Pruebe que toda funci´n definida en R se puede escribir como suma de o una funci´n par y una funci´n impar. o o 9. Exprese en grados la medida de los ´ngulos que subtienden arcos en la circun- a ferencia unitaria de longitud: (a) 20 radianes, (b) −12 radianes, (c) π/6 radianes, (d) 7π radianes. 10. Sea h : R → R la funci´n racional o x2 + 2x + 3 h(x) = . x4 + 3 (a) Encuentre los valores de x tales que h(x) = 0. (b) Encuentre la imagen de h. 11. Sean las funciones reales de variable real f (x) = ax + b y g(x) = cx + d. (a) ¿Cu´ndo se tiene f ◦ g = g ◦ f ? a (b) ¿Cu´ndo f ◦ g = f ? a (c) ¿Cu´ndo f ◦ g = g? a 12. A partir de las propiedades de las funciones sen x y cos x, deduzca las f´rmulas o trigonom´tricas siguientes. e (a) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y (b) tan2 (x) = sec2 (x) − 1 tan x + tan y (c) tan(x + y) = 1 − tan x tan y (d) cos(arcsen(y)) = ± 1 − y 2 (e) sen(arccos(y)) = ± 1 − y 2 x (f) tan(arcsenx) = √ 2 √1 − x 1 + x2 (g) arccsc(tan x) = x 13. Determine los intervalos en los cuales las funciones tan x, sec x, csc x y cot x tienen funci´n inversa. o √ 14. Demuestre que |a sen x + b cos x| a2 + b2 para toda x ∈ R.
- 61. Cap´ ıtulo 4 Fundamentos del C´lculo a El l´ımite de una funci´n real de variable real y = f (x) en un punto x0 de su o dominio es el concepto fundamental del c´lculo. Es ´sta una noci´n asociada al a e o comportamiento de los valores de la funci´n en los puntos vecinos del punto x0 , que o permite definir la idea de continuidad y los conceptos fundamentales de derivada e integral de una funci´n. o La definici´n de l´ o ımite es reconocida como una de las m´ximas expresiones del a discurso matem´tico moderno y su manejo es imprescindible para una clara com- a prensi´n del c´lculo y sus aplicaciones. En este cap´ o a ıtulo se presenta y se estudia la noci´n de l´ o ımite a partir del concepto de convergencia de sucesiones, defini´ndose e luego las funciones continuas como aqu´llas que preservan precisamente la conver- e gencia de sucesiones. La diferencia entre los conceptos y m´todos del c´lculo y los e a que usualmente se manejan en el algebra y la geometr´ radica en que los primeros ´ ıa, se definen en t´rminos de propiedades o procesos con conjuntos infinitos. e Este cap´ ıtulo incluye las demostraciones de los resultados b´sicos del an´lisis a a matem´tico y se presentan as´ para ir introduciendo al estudiante en el manejo de a ı las t´cnicas de argumentaci´n y prueba propias de esta area de las matem´ticas. e o ´ a 4.1 Sucesiones reales Una sucesi´n real es un conjunto de n´meros reales ordenado mediante el con- o u junto de los n´meros naturales. u En otras palabras, una sucesi´n es un conjunto de n´meros reales etiquetados o u con n´meros naturales, de tal manera que la etiqueta especifica el lugar o el orden u que ocupa cada elemento en la sucesi´n. La etiqueta, al ser un n´mero natural, nos o u se˜ala cu´l es el primer elemento de la sucesi´n, cu´l el segundo, cu´l el tercero, etc. n a o a a Para definir una sucesi´n real, se necesita especificar los n´meros que la integran y o u el lugar que ocupan seg´n el orden de sus etiquetas. u
- 62. 62 Fundamentos del C´lculo a Ejemplo 4.1 La sucesi´n con primer elemento el n´mero 1, con segundo elemento o u el n´mero 1/2, con tercer elemento el n´mero 1/3, y as´ en general con i-´simo ele- u u ı, e mento el n´mero 1/i, para los valores i = 1, 2, . . . , se puede representar escribiendo u 1 1 1 1primero , , ,..., ,··· 2 segundo 3 tercero i i−´simo e Los puntos sucesivos al final significan que la sucesi´n se extiende de acuerdo al o orden creciente de las etiquetas. ⊳ Una manera usual de describir una sucesi´n real consiste en dar la regla, o o f´rmula, que nos permita conocer, para cada valor i = 1, 2, . . . , de la etiqueta, el o n´mero que lleva dicha etiqueta. Esto se hace denotando por si el n´mero que u u ocupa el i-´simo lugar, para cada uno de los lugares i = 1, 2, . . . y mostrando c´mo e o se calcula el valor de si en t´rminos del valor i de su etiqueta. Por ejemplo, la e sucesi´n o 1 si = para i = 1, 2, . . . i representa, en forma compacta, la sucesi´n del ejemplo 4.1. De esa manera quedan o determinados todos los elementos de la sucesi´n y podemos saber directamente cu´l o a es el n´mero que ocupa cada lugar. Por ejemplo, el elemento que ocupa el lugar 130 u es el n´mero 1/130. Note que siendo el n´mero de etiquetas infinito, cada sucesi´n u u o consta de un n´mero infinito de n´meros que pueden en principio repetirse o ser el u u mismo n´mero para varios lugares. u En general, para denotar una sucesi´n escribiremos entre llaves el n´mero que o u ocupa el i-´simo lugar y fuera de las llaves, como sub´ e ındice, escribiremos i = 1 y como supra´ ındice el s´ ımbolo ∞ para significar que la etiqueta toma valores sobre todos los n´meros naturales. u Ejemplo 4.2 1. La sucesi´n o si = (−1)i para i = 1, 2, . . . es una sucesi´n cuyos elementos s´lo toman dos valores. o o 2. El s´ ımbolo ∞ i i2 − 8 i=1 representa la sucesi´n real o −1 −1 1 i , , 3, , · · · , 2 ,··· . 7 2 2 i −8 √ ∞ √ 3. En la sucesi´n real (−1)i i2 + 1 o el n´mero u 101 ocupa el d´cimo lugar. e i=1 ⊳
- 63. 4.1 Sucesiones reales 63 Asociado al concepto de sucesi´n, se tiene de manera natural el concepto de o subsucesi´n de una sucesi´n, entendida como una nueva sucesi´n cuyos elementos o o o forman un subconjunto de la primera y su orden como elementos de la subsucesi´n o preserva el orden que esos mismos elementos ten´ en la sucesi´n inicial. Es decir, ıan o si en la subsucesi´n un elemento es posterior a otro, como elementos de la sucesi´n o o inicial tambi´n el primer elemento era posterior al segundo. Esto lo escribiremos de e manera precisa con la definici´n siguiente. o Definici´n 4.1 o 1. La sucesi´n de etiquetas {mi }∞ es creciente si siempre o i=1 que j > k se tiene mj > mk para j, k n´meros naturales. u 2. Una sucesi´n {si }∞ se dice subsucesi´n de una sucesi´n {ai }i=1 , si o i=1 o o ∞ ∞ existe una sucesi´n creciente de etiquetas {mi }i=1 tal que si = ami para o i = 1, 2, . . . √ ∞ √ √ √ Ejemplo 4.3 1. La sucesi´n o 2i + 3 i=1 cuyos elementos son 5, 7, 9, √ √ √ ∞ 11, · · · , 2i + 3, . . . es una subsucesi´n de la sucesi´n o o i i=1 cuyos ele- √ √ √ mentos son 1, 2, 3, . . . En este caso, la sucesi´n creciente de etiquetas que o dan lugar a la subsucesi´n es {2i + 3}∞ , de tal manera que el elemento de o i=1 la subsucesi´n con etiqueta i es el elemento de la sucesi´n que tiene etiqueta o o 2i + 3 para i = 1, 2, . . . 2. La sucesi´n {ci }∞ = {6i + 1}∞ es subsucesi´n de {ai }∞ = {2i + 1}∞ , o i=1 i=1 o i=1 i=1 donde la relaci´n entre las etiquetas es ci = a3i para cada i = 1, 2, . . . o ⊳ Dadas dos sucesiones de n´meros reales {ai }∞ y {bi }∞ , podemos sumar o u i=1 i=1 multiplicar t´rmino a t´rmino estas sucesiones para formar nuevas sucesiones reales. e e As´ a la sucesi´n {si }∞ cuyo i-´simo t´rmino se forma sumando el i-´simo t´rmino ı, o i=1 e e e e ∞ ∞ de la sucesi´n {ai }i=1 con el i-´simo t´rmino de la sucesi´n {bi }i=1 , o e e o si = ai + bi para i = 1, 2, . . . se le llama sucesi´n suma de las dos sucesiones iniciales y se denota o {si }∞ = {ai }i=1 + {bi }∞ = {ai + bi }i=1 . i=1 ∞ i=1 ∞ An´logamente, a la sucesi´n {pi }∞ cuyo i-´simo t´rmino se forma multiplicando el a o i=1 e e i-´simo t´rmino de la sucesi´n {ai }∞ con el i-´simo t´rmino de la sucesi´n {bi }∞ , e e o i=1 e e o i=1 pi = ai bi para i = 1, 2, · · · se le llama sucesi´n producto de las sucesiones iniciales y se denota o {pi }∞ = {ai }∞ · {bi }∞ = {ai bi }∞ . i=1 i=1 i=1 i=1
- 64. 64 Fundamentos del C´lculo a Las operaciones de suma y producto de sucesiones, heredan las propiedades de campo de las operaciones de los n´meros reales, como son la conmutatividad, aso- u ciatividad, distributividad, existencia de neutro aditivo y multiplicativo, existencia de inverso aditivo y cuando la sucesi´n est´ formada de n´meros distintos de cero, o a u la existencia de inverso multiplicativo. 4.2 Convergencia de sucesiones Se denota con (L − r, L + r) y se llama intervalo abierto con centro en el n´mero u real L y radio r > 0, al conjunto (L − r, L + r) = {x ∈ R tales que |x − L| < r} . Se dice que una sucesi´n {si }∞ de n´meros reales es convergente a un n´mero o i=1 u u real L si los elementos de la sucesi´n se aproximan al n´mero L “tanto como se o u quiera” a medida que crece la magnitud de las etiquetas de esos elementos. En t´rminos precisos, lo anterior se enuncia de la siguiente manera: e Definici´n 4.2 La sucesi´n de n´meros reales {si }∞ converge al n´mero o o u i=1 u L si para cada intervalo I con centro L existe una etiqueta NI tal que todos los elementos de la sucesi´n cuya etiqueta es posterior a NI pertenecen a dicho in- o tervalo. Cuando el enunciado anterior es verdadero, escribimos simb´licamente o {si }∞ → L i=1 o lim si = L. i→∞ u ımite de la sucesi´n {si }∞ . Al n´mero L se le llama l´ o i=1 Dado que un intervalo con centro L queda determinado por su radio r, la definici´n 4.2 se puede parafrasear como sigue: o “{si }∞ converge a L si para cada r > 0, existe un n´mero natural Nr tal que i=1 u si i > Nr entonces |si − L| < r.” Nota Importante: Para fijar mejor la definici´n anterior, considere las observaciones siguientes. o 1. La definici´n de sucesi´n convergente no dice c´mo encontrar el l´ o o o ımite de una sucesi´n, sino s´lo qu´ propiedad define al l´ o o e ımite de una sucesi´n. En ese o sentido, la definici´n s´lo dice qu´ debemos hacer para comprobar que un o o e cierto n´mero es efectivamente el l´ u ımite de la sucesi´n. o
- 65. 4.2 Convergencia desucesiones 65 2. La aproximaci´n y acumulaci´n de los elementos de la sucesi´n al l´ o o o ımite L se expresa mediante la pertenencia a intervalos abiertos centrados en L y cada intervalo queda definido cuando se da el valor de su radio. 3. Para comprobar que un n´mero L es el l´ u ımite de una sucesi´n, la definici´n o o nos exige que para cada intervalo I centrado en L encontremos una etiqueta NI a partir de la cual todos los elementos de la sucesi´n con etiqueta mayor o pertenezcan a ese intervalo. Esa etiqueta, cuya existencia hay que mostrar, no es la unica con esa propiedad ya que cualquier otra mayor que ella tambi´n ´ e tendr´ esa propiedad. a 4. El valor de la etiqueta a partir de la cual los elementos de la sucesi´n pertenecen o a un intervalo dado, depende del tama˜o o radio de ese intervalo y mientras n m´s peque˜o sea ese radio, en general m´s grande tendr´ que ser la etiqueta. a n a a 5. La convergencia de una sucesi´n a un n´mero L no se altera si se modifica el o u valor o el orden de cualquier n´mero finito de elementos de la sucesi´n. Esto u o es as´ porque la convergencia de una sucesi´n es una propiedad que s´lo tiene ı o o que ver con el comportamiento de sus elementos a la larga, es decir cuando su orden crece indefinidamente y no depende de lo que suceda con sus primeros elementos. La siguiente observaci´n, que enunciamos en forma de lema, nos ser´ de gran o a utilidad en lo que sigue. Lema 4.1 Si una sucesi´n {si }∞ converge a L, entonces {si − L}i=1 es una su- o i=1 ∞ cesi´n convergente a cero y, rec´ o ıprocamente, si la sucesi´n {si − L}∞ converge a o i=1 ∞ cero, entonces la sucesi´n {si }i=1 converge a L. o Nota Importante: 1. Toda sucesi´n constante es convergente: {si }i=1 = {a}∞ converge a a. o ∞ i=1 2. Toda subsucesi´n de una sucesi´n convergente a L es convergente a L. o o 3i + 1 ∞ Ejemplo 4.4 La sucesi´n o es una sucesi´n convergente a 3/2. Para o 2i + 8 i=1 probar lo anterior, aplicando la definici´n de convergencia, estimamos primero la o distancia del i-´simo t´rmino de la sucesi´n al n´mero 3/2 : e e o u 3 3i + 1 3 2(3i + 1) − 3(2i + 8) si − = − = 2 2i + 8 2 2(2i + 8) −22 11 = = . 2(2i + 8) (2i + 8) Esta distancia se hace cada vez m´s peque˜a a medida de que la etiqueta i crece. Si a n 3 3 consideramos ahora el intervalo I = − r, + r con r > 0, seg´n la estimaci´n u o 2 2
- 66. 66 Fundamentos del C´lculo a anterior, el elemento si de la sucesi´n pertenecer´ al intervalo I, si su etiqueta i es o a tal que 11 < r, (2i + 8) o, lo que es lo mismo, siempre que su etiqueta i sea mayor que la etiqueta Nr dada por 1 11 Nr = primer natural mayor que −8 . 2 r Es decir, se tendr´ que a 3 si − <r 2 siempre que 1 11 i > primer natural mayor que −8 , 2 r lo cual, seg´n la definici´n 4.2, significa que la sucesi´n converge al n´mero 3/2. ⊳ u o o u Por ejemplo, si escogemos inicialmente r = 1/106 , los elementos de la sucesi´n o distar´n de 3/2 en menos de una millon´sima de unidad si su etiqueta es posterior a e a la etiqueta 1 N 1 = ((11)(106 ) − 8) = 5499996. 10 6 2 Ejemplo 4.5 La sucesi´n {−1, 1, −1, · · · } es un ejemplo de una sucesi´n no conver- o o gente. Esto es as´ pues si un n´mero L fuera su l´ ı, u ımite, tendr´ ıamos una contradicci´n o que explicamos a continuaci´n. En primer lugar tendr´ o ıamos que L no podr´ ser ıa distinto de 1 y −1, pues si ese no fuera el caso, al escoger un intervalo con centro en L con radio r menor que la mitad de la distancia m´s peque˜a de L a 1 y −1, no a n podr´ıamos encontrar una etiqueta a partir de la cual los elementos de la sucesi´n o pertenecieran a dicho intervalo. Por otro lado si supusi´ramos que L es el n´mero e u 1, tomando r = 1/2 tampoco podr´ ıamos encontrar una etiqueta a partir de la cual todos los elementos de la sucesi´n pertenecieran al intervalo de centro L = 1 y o radio 1/2, ya que los elementos de la forma (−1)i con i un n´mero impar est´n u a alejados en m´s de 1/2 de L = 1. An´logamente, podr´ a a ıamos repetir el argumento si supusi´ramos que L es igual a −1. Luego, no existe valor real de L que satisfaga la e definici´n de l´ o ımite de la sucesi´n; por lo tanto, ´sta no es convergente. o e ⊳ 4.2.1 Propiedades de las sucesiones convergentes Enseguida enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades m´s impor- a tantes de las sucesiones convergentes. Una sucesi´n de n´meros reales {ai }∞ se dice acotada si todos sus elementos o u i=1 se encuentran dentro de un intervalo cerrado de la forma [−M, M ] con M alg´nu n´mero mayor que cero, es decir, si u −M ai M para toda i = 1, 2, . . .
- 67. 4.2 Convergencia desucesiones 67 Proposici´n 4.2 Toda sucesi´n {ai }∞ de n´meros reales convergente es acotada. o o i=1 u ´ Demostracion. La proposici´n se prueba a partir del argumento siguiente: Pri- o mero denotemos por L el l´ ımite de esa sucesi´n y por I el intervalo con centro L y o radio r = 1. Por ser convergente la sucesi´n, tendremos que existe una etiqueta N o a partir de la cual todos los elementos de la sucesi´n ai con i > N pertenecen al o intervalo I, o lo que es lo mismo, satisfacen |ai − L| < 1 para toda i > N. (4.1) Ahora, aplicando la desigualdad del tri´ngulo en (4.1), se tiene a |ai | − |L| |ai − L| < 1 y entonces |ai | < 1 + |L| para toda i > N. Tomando ahora C = m´x {|a1 |, |a2 |, . . . , |aN |} y M = m´x {1 + |L|, C} tendremos a a que |ai | < M para todo i = 1, 2, . . . , lo cual muestra que todos los t´rminos de la sucesi´n pertenecen al intervalo [−M, M ]. e o Proposici´n 4.3 El producto de una sucesi´n {ai }∞ acotada por una sucesi´n o o i=1 o {bi }∞ convergente a cero es una sucesi´n convergente a cero. i=1 o Demostracion. Sea M > 0 una cota para {ai }∞ , es decir, ´ i=1 |ai | < M para toda i = 1, 2, . . . La distancia al cero del i-´simo t´rmino de la sucesi´n producto {ai bi }∞ para e e o i=1 i = 1, 2, . . . satisface |ai bi | |ai ||bi | M |bi |, (4.2) es decir, es siempre menor que M veces la distancia del t´rmino bi a cero. Luego, e si tomamos el intervalo con centro 0 y radio r > 0, sabemos por la convergencia a cero de la sucesi´n {bi }∞ , que existe un ´ o i=1 ındice Nr tal que r |bi | < para toda i > Nr . (4.3) M Combinando (4.2) y (4.3) tendremos |ai bi | < r para toda i > Nr , lo que muestra que los t´rminos de la sucesi´n producto distan de cero en menos que e o r a partir de la etiqueta Nr . Siendo r > 0 arbitrario, esto significa que la sucesi´n o producto {ai bi }∞ converge a cero. i=1
- 68. 68 Fundamentos del C´lculo a Proposici´n 4.4 Si las sucesiones {ai }∞ y {bi }∞ convergen a cero, entonces la o i=1 i=1 sucesiones {ai + bi }i=1 y {ai − bi }∞ tambi´n convergen a cero. ∞ i=1 e Demostracion. Por definici´n, para probar que {ai + bi }∞ converge a cero, te- ´ o i=1 nemos que probar que si escogemos arbitrariamente un intervalo de centro 0 y radio r mayor que cero, entonces podemos encontrar una etiqueta N tal que |ai + bi | < r siempre que i > N. Para encontrar tal N, razonamos de la forma siguiente: Como las sucesiones {ai }∞ y {bi }∞ convergen a cero, para el intervalo (− 2 , 2 ) y para i=1 i=1 r r cada una de ellas, podremos encontrar etiquetas N1 y N2 tales que r |ai | < si i > N1 2 y r |bi | < si i > N2 . 2 Ahora, si tomamos N = m´x {N1 , N2 } , o sea N igual a la mayor de las dos etiquetas a N1 y N2 , simult´neamente se cumplir´ que a a r r |ai | < y |bi | < si i > N 2 2 y aplicando la desigualdad del tri´ngulo, tendremos que los t´rminos de la sucesi´n a e o ∞ {ai + bi }i=1 satisfar´n a |ai + bi | |ai | + |bi | < r, si i > N, lo cual comprueba que podemos encontrar una etiqueta a partir de la cual todos los t´rminos de la sucesi´n suma {ai + bi }∞ disten de cero en menos que r. De lo e o i=1 ∞ anterior se sigue que {ai + bi }i=1 → 0. Para probar la convergencia a cero de la sucesi´n {ai − bi }∞ , el razonamiento o i=1 es el mismo, pues tambi´n se tiene |ai − bi | < |ai | + |bi | < r, si i > N. e Como consecuencia directa de la proposici´n 4.4, tenemos la proposici´n siguien- o o te. Proposici´n 4.5 Una sucesi´n convergente {si }∞ tiene un s´lo l´ o o i=1 o ımite. ´ Demostracion. Para demostrar la validez de esta proposici´n, recurriremos al o m´todo de demostraci´n conocido como “de reducci´n al absurdo”: Supongamos e o o que el enunciado a demostrar es falso y que existe una sucesi´n {si }∞ que converge o i=1 al mismo tiempo a dos n´meros distintos L1 y L2 con L1 = L2 . Como consecuencia u de la suposici´n anterior, se tendr´ que las sucesiones {si − L1 }∞ y {si − L2 }∞ o ıa i=1 i=1 convergen a cero, y como consecuencia del lema anterior tendr´ıamos que su diferencia ∞ ∞ {si − L1 − si + L2 }i=1 = {L2 − L1 }i=1 → 0
- 69. 4.2 Convergencia desucesiones 69 converge a cero, lo cual no es posible pues la sucesi´n {L2 − L1 }∞ es constante y o i=1 converge a L2 − L1 = 0. Luego, no se puede suponer que la proposici´n sea falsa o porque se llegar´ a un absurdo, por lo tanto la proposici´n tiene que ser verdadera. ıa o Enseguida mostraremos que, bajo las operaciones de suma y producto de suce- siones, se preserva la propiedad de convergencia. Esto significa que al sumar y multiplicar sucesiones convergentes obtenemos de nuevo sucesiones convergentes. Teorema 4.6 Si {ai }∞ , {bi }∞ son sucesiones convergentes y lim ai = L y i=1 i=1 i→∞ lim bi = M entonces: i→∞ a) La sucesi´n suma {ai + bi }∞ = {ai }∞ + {bi }∞ es convergente y su o i=1 i=1 i=1 l´ ımites de {ai }∞ y {bi }∞ ımite es igual a la suma de los l´ i=1 i=1 lim (ai + bi )i = L + M. i→∞ b) La sucesi´n producto {ai bi }∞ = {ai }∞ · {bi }i=1 es convergente y su o i=1 i=1 ∞ ∞ ∞ l´ ımite es igual al producto de los l´ ımites de {ai }i=1 y {bi }i=1 lim ai bi = L · M. i→∞ c) Si {ai }∞ es tal que ai = 0 para i = 1, 2 . . . y converge a L = 0, la i=1 1 ∞ 1 sucesi´n o converge a . ai i=1 L ´ Demostracion Para probar el inciso a), observamos que si lim ai = L y lim bi = i→∞ i→∞ M, entonces las sucesiones {ai − L}∞ y {bi − M }∞ i=1 i=1 convergen ambas a cero. La proposici´n 4.4 implica entonces que su suma o {ai + bi − (L + M )}∞ i=1 converge tambi´n a cero. Pero esto quiere decir que {ai + bi }∞ converge a L + M, e i=1 con lo cual se prueba a). Para probar b) observemos que {ai bi − LM }∞ = {ai bi − ai M + ai M − LM }∞ i=1 i=1 (4.4) donde hemos sumado y restado el t´rmino ai M a ai bi − LM para cada i = 1, 2, . . . e Ahora, (4.4) se puede escribir como sigue: {ai bi − ai M + ai M − LM }∞ = {ai }∞ {bi − M }∞ + {M }∞ {ai − L}∞ i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
- 70. 70 Fundamentos del C´lculo a y en el lado derecho, el producto de las sucesiones {ai }∞ {bi − M }∞ converge a i=1 i=1 cero pues {ai }i=1 es acotada por ser convergente y {bi − M }∞ converge a cero. El ∞ i=1 otro t´rmino, {M }∞ {ai − L}i=1 , tambi´n converge a cero, por las mismas razones. e i=1 ∞ e Luego ∞ {ai bi − LM }i=1 converge a cero, o lo que es lo mismo, lim ai bi = LM. i→∞ La prueba de c) se tiene a partir de escribir ∞ ∞ ∞ 1 1 L − ai 1 − = = {L − ai }∞ i=1 ai L i=1 ai L i=1 ai L i=1 1 ∞ y notar que la sucesi´n o es acotada pues como limi→∞ ai = L = 0, ai L i=1 tomando el intervalo con centro L y radio r = |L|/3 existir´ una etiqueta N tal a que |L| |ai − L| < si i > N 3 y aplicando la desigualdad |ai − L| |L| − |ai | tendremos 2|L| |ai | si i > N 3 y, por lo tanto, 1 3 si i > N. |ai ||L| 2L2 Es decir, la sucesi´n {1/ai L}∞ es acotada y entonces la sucesi´n de la derecha en o i=1 o la expresi´n o 1 1 ∞ 1 ∞ − = {L − ai }∞ i=1 ai L i=1 ai L i=1 converge a cero y, por lo tanto, ∞ 1 1 converge a . ai i=1 L Nota Importante: En el inciso c) del teorema 4.6, la condici´n L = 0 es necesaria para que el l´ o ımite ∞ de la sucesi´n {1/ai }i=1 exista y sea 1/L. Si se remueve esa condici´n, el inciso c) o o deja de ser v´lido, como lo muestra la sucesi´n {1/i}∞ que converge a cero pero a o i=1 1 ∞ ∞ su rec´ ıproca = {i}i=1 no converge, pues crece sin l´ ımite. 1/i i=1 Finalizamos esta subsecci´n con el resultado siguiente, que es de gran utilidad y o que es consecuencia de la propiedad de continuidad de los n´meros reales. u
- 71. 4.3 Sucesiones mon´tonas o 71 Proposici´n 4.7 Toda sucesi´n acotada posee una subsucesi´n convergente.1 o o o Demostracion. Sea {ci }∞ una sucesi´n cuyos elementos pertenecen al inter- ´ i=1 o valo [a, b]. Dividamos ahora el intervalo [a, b] en los intervalos de igual longitud, a+b a+b a, y , b . De aqu´ podemos concluir que en al menos uno de esos ı 2 2 intervalos habr´ una infinidad de puntos de la sucesi´n {cn } . Supongamos que a o a+b eso ocurre en el primer subintervalo a, . Denotemos este subintervalo por 2 a1 + b1 [a1 , b1 ], divid´moslo a su vez en los subintervalos de igual longitud a1 , a y 2 a1 + b1 , b1 , y escojamos alguno de ellos que contenga una infinidad de elementos 2 de la sucesi´n {ci } y denot´moslo por [a2 , b2 ]. Repitamos este proceso, dando lugar o e b−a a una sucesi´n Ii = [ai , bi ] de intervalos cerrados anidados de longitud o para ∞ 2i i = 1, 2, . . . Los extremos izquierdos {ai }i=1 de los intervalos Ik forman una sucesi´n o creciente y acotada de reales y los extremos derechos {bi }∞ forman una sucesi´n i=1 o decreciente y acotada. En virtud de la propiedad de continuidad de los n´meros u reales, la sucesi´n de los extremos izquierdos deber´ converger a su supremum y la o a sucesi´n de extremos derechos converger´ a su infimum. Como la diferencia entre o a los extremos correspondientes {bi − ai }∞ tiende a cero por construcci´n, tendremos i=1 o que ambas sucesiones convergen a un mismo punto real c ∈ [a, b]. Ahora en cada intervalo Ii escojamos un elemento cm(i) ∈ Ii de la sucesi´n {ci } , de tal manera o que m(1) < m(2) < · · · < m(k) < m(k + 1) < · · · ; se puede hacer ´sto pues en e cada intervalo Ii existe una infinidad de elementos de {ci }∞ . Luego, la subsucesi´n i=1 o cm(k) est´ bien definida y es convergente al punto c. a 4.3 Sucesiones mon´tonas o Una sucesi´n de n´meros reales {si }∞ se dice creciente si para cada par de etiquetas o u i=1 k, j = 1, 2 · · · con k > j se tiene que sk > sj . An´logamente, la sucesi´n se dice a o decreciente si k > j implica sk < sj . A las sucesiones crecientes o decrecientes se les llama gen´ricamente sucesiones mon´tonas. e o ∞ i−1 Ejemplo 4.6 La sucesi´n o es una sucesi´n creciente, pues si k > j se o i i=1 tiene que k−1 j−1 k−j sk − sj = − = > 0, k j kj es decir, sk > sj . ⊳ 1 Esta proposici´n es conocida como teorema de Bolzano-Weierstrass. o
- 72. 72 Fundamentos del C´lculo a La propiedad m´s importante de las sucesiones reales mon´tonas es que si a o son acotadas entonces son convergentes. Este resultado es, de hecho, equivalen- te tambi´n a la propiedad de continuidad de los n´meros reales y, por lo tanto, e u juega un papel relevante en la fundamentaci´n del c´lculo. o a Teorema 4.8 Cada sucesi´n mon´tona y acotada de n´meros reales es convergen- o o u te. Demostracion. Supongamos que {si }∞ es una sucesi´n real creciente y acotada. ´ i=1 o En virtud de la propiedad de continuidad de los reales que discutimos en el cap´ ıtulo 2, existe un n´mero real L que es el supremum del conjunto formado con los elementos u de la sucesi´n, es decir, o si L para i = 1, 2, . . . y si si M para i = 1, 2, . . . para alg´n otro n´mero real M, entonces L u u M. Probaremos entonces que lim si = L. i→∞ Para ello, sea I = (L − r, L + r) el intervalo con centro L y radio r > 0. Note que no existen elementos de la sucesi´n en [L, L + r) pues L es cota superior de o la sucesi´n, pero s´ deber´ existir un elemento sN de la sucesi´n en (L − r, L] ya o ı a o que si as´ no fuera, entonces L − r ser´ una cota superior de la sucesi´n menor ı ıa o que L, lo cual no es posible pues hemos supuesto que L es la m´ınima cota superior o supremum de la sucesi´n. Luego, deber´ existir un elemento sN ∈ (L − r, L] y, o a al ser la sucesi´n creciente, todos sus elementos si con etiqueta i mayor que N, o se encontrar´n a la derecha de sN y consecuentemente pertenecer´n al intervalo I. a a Como I es un intervalo de radio arbitrario, hemos probado que L = limi→∞ si . El resultado siguiente es de gran utilidad en la prueba de varias proposiciones claves en la materia. Este resultado es tambi´n consecuencia de la propiedad de e continuidad de R; m´s a´n, es equivalente a esa propiedad. a u Proposici´n 4.9 Si A es un conjunto acotado de puntos de un intervalo cerrado o [a, b] y S es su m´ ınima cota superior, entonces existe una sucesi´n no-decreciente o de puntos de A que converge a S. Demostracion. Si S ∈ A, tomando la sucesi´n constante {ai }∞ = {S}∞ ten- ´ o i=1 i=1 dremos una sucesi´n no-decreciente de puntos de A convergente a S. Si S ∈ A o / debe existir un elemento a1 de A con a1 < S. Como S = sup A, existe a2 ∈ A con 1 a1 < a2 < S y S − a2 < 2 ya que si as´ no fuera, entonces S − 1/2 ser´ el supremum ı ıa de A, lo cual no puede ser verdadero. An´logamente, y por la misma raz´n que antes, a o 1 deber´ existir un elemento a3 de A tal que a2 < a3 < S y S − a3 < 3 . Lo anterior a nos permite construir una sucesi´n creciente a1 < a2 < · · · < an < · · · < S de e- o lementos de A tales que S −an < 1/n para cada natural n. Luego, limn→∞ an = S.
- 73. 4.3 Sucesiones mon´tonas o 73 4.3.1 Criterio de convergencia de Cauchy El criterio de convergencia de Cauchy2 proporciona una manera de constatar la convergencia de una sucesi´n sin que necesariamente se conozca su l´ o ımite. Este es un resultado de gran utilidad en el an´lisis matem´tico y aqu´ lo presentamos en los a a ı t´rminos siguientes. e Definici´n 4.3 Se dice que una sucesi´n {ai }∞ satisface la propiedad de o o i=1 Cauchy si para cada r > 0 existe una etiqueta Nr tal que para cualquier par de etiquetas m, n > Nr se tiene que |am − an | < r. Teorema 4.10 Una sucesi´n de n´meros reales {ai }∞ es convergente si y s´lo si o u i=1 o satisface la propiedad de Cauchy. Demostracion. Suficiencia: Supongamos que la sucesi´n {ai }∞ satisface la ´ o i=1 propiedad de Cauchy. En particular, si tomamos r = 1 existe una etiqueta N1 tal que si m, n N1 se cumple |am − an | < 1, es decir, en particular |am − aN1 | < 1 si m > N1 , lo que implica que |am | < 1 + |aN1 | si m > N1 , y entonces el n´mero u M = m´x {|a1 |, |a2 |, . . . , |aN1 −1 |, 1 + |aN1 |} a ser´ tal que a −M ai M para todo i = 1, 2, . . . , lo cual significa que la sucesi´n es acotada y todos sus elementos pertenecen al inter- o valo cerrado [−M, M ]. Luego, en virtud de la proposici´n 4.7, posee una subsucesi´n o o {ami }∞ convergente, digamos a un n´mero L. Probaremos ahora que la sucesi´n i=1 u o ∞ {ai }i=1 converge a L. Para ello consideremos el intervalo arbitrario (L−r, L+r). En ∞ primer lugar, dado que la subsucesi´n {ami }i=1 converge a L, existir´ una etiqueta o a Nr tal que si mi > Nr , se tiene que r |ami − L| < . 2 2 Augustin Louis Cauchy, mencionado en el cap´ ıtulo primero, quien fue pionero en el estudio de la convergencia y la divergencia de series infinitas; hizo aportaciones en ecuaciones diferenciales y f´ ısica matem´tica, entre otras ´reas. a a
- 74. 74 Fundamentos del C´lculo a Por otro lado, como la sucesi´n {ai }∞ es de Cauchy, existe una etiqueta W tal que o i=1 si j y k son etiquetas con j > W y k > W entonces r |aj − ak | < . 2 Tomando entonces la etiqueta Q como la mayor de las etiquetas mW y Nr , tenemos que la distancia de todos los elementos de la sucesi´n {ai }∞ con etiqueta s > Q al o i=1 n´mero L es tal que u |as − L| |as − amW + amW − L| r r |as − amW | + |amW − L| < + =r 2 2 ya que r |as − amW | < , 2 pues s y mW son mayores que Q, la cual es una etiqueta mayor que Nr y r |amW − L| < , 2 pues mW > W . Luego, los elementos de la sucesi´n de Cauchy {ai }∞ caen en o i=1 (L − r, L + r) a partir de la etiqueta Q, y habi´ndose tomado r > 0 arbitrario, se e tiene entonces que lim ai = L. i→∞ Necesidad: Esto quiere decir que si la sucesi´n {ai }∞ es convergente, necesa- o i=1 riamente es de Cauchy. Esto es m´s f´cil de probar ya que, si r > 0, por ser {ai }∞ a a i=1 convergente, digamos a un n´mero L, existe una etiqueta Nr tal que u r |ai − L| < si i > Nr . 2 Luego si j y k son dos etiquetas mayores que Nr se tendr´ a r r |aj − ak | |aj − L| + |ak − L| < + = r, 2 2 lo cual nos dice que la sucesi´n {ai }∞ tiene la propiedad de Cauchy. o i=1
- 75. 4.4 L´ ımite de una funci´n en un punto o 75 4.4 L´ ımite de una funci´n en un punto o Definici´n 4.4 Sea f (x) una funci´n real definida en un intervalo abierto o o (a, b) y x0 un punto del intervalo cerrado [a, b]. Diremos que el l´ımite 3 de la funci´n f (x) cuando la variable x tiende a x0 tiene el valor L si o para cada sucesi´n {xi }∞ de elementos de (a, b), distintos de x0 , y que con- o i=1 verge a x0 , se tiene que la sucesi´n {f (xi )}∞ converge a L. Simb´licamente, o i=1 o denotaremos lo anterior escribiendo lim f (x) = L. x→x0 En el caso de funciones f (x) definidas en intervalos de la forma (a, ∞) se dir´ que a ımite de f (x) cuando la variable x tiende a ∞, si para cada sucesi´n {xi }∞ L es el l´ o i=1 de elementos de (a, ∞) creciente y no acotada se tiene que la sucesi´n {f (xi )}∞ o i=1 converge a L. Tal caso se denota lim f (x) = L. x→∞ En lenguaje com´n, podemos decir que L es el l´ u ımite de una funci´n f (x) cuando o la variable independiente tiende al valor x0 , si al tomar valores de la variable in- dependiente x cada vez m´s cercanos a x0 , los valores correspondientes y = f (x) a de la variable dependiente bajo la funci´n son “cada vez m´s cercanos a L”. A la o a expresi´n “cada vez m´s cercanos” le hemos dado significado con el concepto de o a sucesi´n convergente y con la condici´n de que la aproximaci´n al punto x0 se haga o o o mediante puntos distintos de ´l. e Nota Importante: 1. De acuerdo a la definici´n 4.4, el punto x0 donde se define el l´ o ımite de la funci´n, no tiene que estar necesariamente en el dominio de la funci´n; lo o o importante es que x0 sea l´ ımite de puntos del dominio de la funci´n. Por o ejemplo, se puede hablar del l´ımite de la funci´n en los puntos extremos a y o b, aunque la funci´n s´lo est´ definida en (a, b). o o e 2. Cuando se dice que la variable independiente x toma valores cada vez m´s a cercanos al valor x0 , se est´n considerando las dos posibilidades: que x se a aproxime a x0 por la izquierda y que se aproxime por la derecha. Si {xn }∞ n=0 es una sucesi´n que se aproxima a x0 por la izquierda (es decir, xn − x0 < 0 o 3 Una definici´n equivalente fu´ dada alrededor de 1850 por Karl Weierstrass, llamada citerio o e ımite, y que enunciamos a continuaci´n: limx→x0 f (x) = L si para cada ε-δ para la existencia del l´ o ε > 0 existe δ(ε) tal que si 0 < |x − x0 | < δ entonces |f (x) − L| < ε.
- 76. 76 Fundamentos del C´lculo a para n = 1, 2, . . .) y la sucesi´n {f (xn )}∞ converge al n´mero L− , entonces o n=1 u escribimos lim f (x) = L− . x→x− 0 ∞ Si {zn }n=0 es una sucesi´n que se aproxima a x0 por la derecha (es decir, o zn − x0 > 0 para n = 1, 2, . . .) y la sucesi´n {f (zn )}∞ converge al n´mero o n=1 u L+ , entonces escribimos lim f (x) = L+ . x→x+ 0 Los n´meros L− y L+ se llaman l´ u ımite por la izquierda y l´ ımite por la derecha, respectivamente, de f (x) en x0 . 3. Para que el l´ ımite de una funci´n no exista en un punto x0 , es suficiente que o L+ = L− , o que uno de estos l´ ımites laterales no exista, o que ninguno exista, como se ilustra en el ejemplo 4.7. Ejemplo 4.7 Consideremos las funciones fi : R → R, i = 1, 2, 3, definidas mediante 1 si x 0 f1 (x) = −1 si x < 0 1/x si x > 0 f2 (x) = −1 si x 0 1/x si x = 0 f3 (x) = 0 si x = 0 cuya gr´ficas aparecen en la figura 4.1. a f1 (x) f2 (x) f3 (x) 1 x x x −1 −1 (a) (b) (c) Figura 4.1 Funciones del ejemplo 4.7 Tomemos las sucesiones ∞ ∞ 1 −1 {xi }∞ = i=1 , {zi }∞ = i=1 . i i=1 i i=1 N´tese que xi → 0+ y zi → 0− si i → ∞. o
- 77. 4.4 L´ ımite de una funci´n en un punto o 77 Calculamos las sucesiones correspondientes definidas con los valores de cada una de las funciones y obtenemos lo siguiente: 1. En el primer caso, {f1 (xi )}∞ = {1}i=1 → 1 = L+ si i → ∞; i=1 ∞ {f1 (zi )}∞ = {−1}∞ → −1 = L− si i → ∞. i=1 i=1 Como L+ = L− , se concluye que lim f1 (x) no existe. x→0 1 ∞ 2. En el segundo caso, {f2 (xi )}∞ = i=1 no converge (es decir, L+ no xi i=1 existe), mientras que {f1 (zi )}∞ = {−1}∞ converge a -1 (= L− ) cuando i=1 i=1 i → ∞. Entonces lim f2 (x) no existe. x→0 ∞ 1 3. En el tercer caso, las sucesiones {f3 (xi )}∞ = i=1 y {f3 (zi )}∞ = i=1 xi i=1 ∞ 1 no convergen. Entonces lim f3 (x) no existe. ⊳ zi i=1 x→0 Ejemplo 4.8 La funci´n f (x) = x2 + 2x + 3 definida en R tiene por l´ o ımite en el punto x0 = 2 al valor 11 ya que si {xi }∞ converge a 2, la sucesi´n {f (xi )}∞ es la i=1 o i=1 sucesi´n o ∞ ∞ {f (xi )}∞ = x2 + 2xi + 3) i=1 i i=1 = x2 i i=1 + {2xi }∞ + {3}∞ , i=1 i=1 la cual converge al valor 11 en virtud del teorema 4.6. ⊳ Ejemplo 4.9 L´ ımites trigonom´tricos b´sicos: e a (a) lim sen x = 0 (b) lim cos x = 1 x→0 x→0 sen x 1 − cos x (c) lim =1 (d) lim = 1. x→0 x x→0 x Para probar estas igualdades, consid´rese la figura 4.2. e (a) Por definici´n, las coordenadas del punto A (sobre el c´ o ırculo unitario) son (cos x, sen x), donde x es la longitud del arco AD. Se observa que el segmento AB = sen x no es mayor que x, la longitud del arco AD, para valores peque˜os de x. Por n tanto −x sen x x, y lim sen x = 0 x→0+ (ver ejercicio 5). Para valores peque˜os y negativos de x tenemos: n x sen x −x,
- 78. 78 Fundamentos del C´lculo a C A x O B D Figura 4.2 L´ ımites trigonom´tricos del ejemplo 4.9 e y lim sen x = 0. x→0− Por tanto, lim sen x = 0. x→0 (b) N´tese que el punto B se aproxima al punto D cuando x se aproxima a 0 o (por la izquierda o por la derecha). Luego, lim cos x = 1. x→0 (c) La siguiente desigualdad es obvia para valores peque˜os de x : n a ´rea del tri´ngulo OAB a a ´rea del sector OAD a ´rea del tri´ngulo OCD, a o 1 x 1 sen x cos x sen x . (4.5) 2 2 2 cos x Supongamos que x es positivo. Multiplicando cada parte de la desigualdad (4.5) por 2/ sen x obtenemos x 1 cos x . sen x cos x Entonces, en el l´ ımite tenemos x lim = 1, x→0+ sen x y, al tomar los rec´ ıprocos, sen x lim = 1. x→0+ x Como sen(−x) sen x = , −x x
- 79. 4.5 Continuidad defunciones 79 se deduce que sen x lim = 1. x→0− x Por tanto sen x lim = 1. x→0 x (d) 1 − cos x (1 − cos x)(1 + cos x) lim = lim x→0 x x→0 x(1 + cos x) 1 − cos2 x 1 = lim x→0 x 1 + cosx sen x sen x = lim x→0 x 1 + cos x 0 ⊳ = 1 · = 0. 2 De la definici´n de l´ o ımite de una funci´n y las propiedades de las sucesiones o convergentes respecto de las operaciones de suma y producto, se sigue el teorema siguiente, que justifica el pen´ltimo paso de la demostraci´n anterior. u o Teorema 4.11 Sean f : (a, b) → R y g : (a, b) → R funciones reales y x0 ∈ [a, b]. 1. Si lim f (x) = L y lim g(x) = M, x→x0 x→x0 entonces, lim (f + g)(x) = L + M y lim (f · g)(x) = LM. x→x0 x→x0 2. Si lim f (x) = L y L = 0, x→x0 1 1 lim = . x→x0 f (x) L 4.5 Continuidad de funciones El concepto de l´ ımite que hemos presentado nos permite definir en t´rminos precisos e la noci´n de continuidad en un punto para una funci´n real de variable real. La o o continuidad de una funci´n es una propiedad de car´cter local, en tanto se refiere o a al valor en un punto y al comportamiento de la funci´n alrededor de ese punto. o En lenguaje llano, una funci´n real de variable real y = f (x) se dice continua en o un punto x0 de su dominio, si en puntos x cercanos a x0 los valores de la funci´n o y = f (x) son cercanos a f (x0 ). En t´rminos del concepto de l´ e ımite, la definici´n de o continuidad se escribe as´ ı:
- 80. 80 Fundamentos del C´lculo a Definici´n 4.5 Una funci´n real y = f (x) definida en un intervalo I se dice o o continua en un punto x0 ∈ I si para cada sucesi´n {xi }∞ de elementos de o i=1 I convergente a x0 , la sucesi´n {f (xi )}∞ es una sucesi´n convergente a f (x0 ). o i=1 o Es decir, lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Si la funci´n f (x) es continua en cada uno de los puntos de su dominio I, se o dice que la funci´n es continua en el intervalo I. o Nota Importante: La continuidad en un punto x0 del dominio de una funci´n puede no existir, ya sea o ımite de la funci´n en ese punto no exista (ver ejemplo 4.10), o s´ exista, porque el l´ o ı pero sea distinto del valor f (x0 ) de la funci´n en el punto (ver ejemplo 4.11). o Ejemplo 4.10 La funci´n f : [−1, 1] → R definida por o 1 si x=0 f (x) = x 0 si x=0 es continua en x0 = 0 y no es continua en x0 = 0 pues el limx→0 f (x) no existe. (La gr´fica de f (x) aparece en la figura 4.1(c).) a ⊳ Ejemplo 4.11 La funci´n f : (−1, 1) → R definida mediante o |x| si x=0 f (x) = −1 si x = 0, es continua en todo su dominio salvo en x0 = 0 ya que limx→0 f (x) = 0 = f (0) = −1. ⊳ Ejemplo 4.12 La funci´n f : R → R definida mediante o 1 si x es racional f (x) = 0 si x es irracional no es continua en punto alguno de R. ⊳ Enseguida probaremos que la propiedad de continuidad en un punto se preserva bajo las operaciones de suma, producto y composici´n de funciones. o
- 81. 4.6 Continuidad enintervalos compactos 81 Teorema 4.12 Para un intervalo I, sean f : I → R y g : I → R funciones reales y x0 ∈ I. 1. Si f y g son continuas en x0 , entonces las funciones suma y producto f + g y f · g son continuas en x0 . 2. Si h : J → R, f (I) ⊂ J, f es continua en x0 y h es continua en f (x0 ), entonces la funci´n composici´n o o h ◦ f : (a, b) → R es continua en x0 . ´ Demostracion. La prueba de a) se sigue directamente de las propiedades de los l´ ımites de funciones respecto de la suma y producto de funciones. Para probar b), tomemos una sucesi´n {xi }∞ de elementos de I convergente a x0 . Como f o i=1 es continua en x0 , se tiene que {f (xi )}∞ converge a f (x0 ) y en vista de que h i=1 es una funci´n continua en f (x0 ), tendremos que {h(f (xi ))}∞ = {(h ◦ f )(xi )}∞ o i=1 i=1 converger´ a h(f (x0 )) = (h ◦ f )(x0 ). Esto prueba que siempre que una sucesi´n a o converja a x0 , la sucesi´n formada por sus im´genes bajo la funci´n composici´n o a o o h ◦ f converger´ a (h ◦ f )(x0 ), es decir h ◦ f es continua en x0 . a Una familia muy importante de funciones continuas son las llamadas funciones lipschitzianas,4 que presentamos a continuaci´n. o Definici´n 4.6 Una funci´n real f : A ⊂ R → R se dice lipschitziana si o o existe L > 0 tal que |f (x) − f (y)| L|x − y|, para cualesquiera x, y ∈ A. 4.6 Continuidad en intervalos compactos Concluimos este cap´ ıtulo, enlistando y probando las propiedades principales de las funciones continuas definidas en un intervalo compacto, es decir, en un intervalo cerrado y acotado. La prueba de estas propiedades se basa generalmente en el principio de continuidad de la recta real y en la propiedad que tiene todo intervalo cerrado y acotado de contener el l´ ımite de cada sucesi´n convergente formada de o 4 Llamadas as´ en honor de Rudolf O. S. Lipschitz (1832-1903), matem´tico alem´n, quien des- ı a a cubri´ que esta propiedad garantiza la unicidad de la soluci´n de la ecuaci´n diferencial y ′ = f (x, y). o o o
- 82. 82 Fundamentos del C´lculo a puntos de ese intervalo. Teorema 4.13 Sea f (x) : [a, b] → R una funci´n continua en [a, b]. Entonces: o 1. La funci´n f (x) es una funci´n acotada en [a, b], es decir existe M > 0 o o tal que |f (x)| M para todo x ∈ [a, b]. 2. La funci´n f (x) alcanza en [a, b] su supremum y su infimum, es decir, o existen x1 y x2 ∈ [a, b] tales que f (x1 ) f (x) y f (x2 ) f (x) para toda x ∈ [a, b]. 3. (Propiedad del valor intermedio) Si f (a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe xc ∈ (a, b) tal que f (xc ) = 0. 4. La funci´n f (x) es uniformemente continua en [a, b], es decir para o cada r > 0 existe δ > 0 tal que siempre que x, z ∈ [a, b] con |x − z| < δ, se cumple que |f (x) − f (z)| < r. ´ Demostracion. Probaremos el punto 1 por contradicci´n. Supongamos que ex- o istiese una funci´n f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y ´sta no fuera aco- o e tada; esto significar´ que para cada n´mero natural n, existir´ un punto cn ∈ [a, b] ıa u ıa tal que |f (cn )| > n. Siendo {cn }∞ una sucesi´n acotada, en virtud de la Proposici´n n=1 o o ∞ ∞ 4.7, podemos extraer de {cn }n=1 una subsucesi´n cm(n) n=1 convergente a un punto o ∞ c ∈ [a, b]. Por otro lado, por construcci´n, la sucesi´n f (cm(n) ) n=1 no es conver- o o gente ya que |f (cm(n) )| > m(n), lo cual da lugar a una contradicci´n. Luego, la o suposici´n que hicimos al principio es falsa y entonces toda funci´n continua en o o [a, b] es acotada. Para demostrar la validez del punto 2, denotemos por S = sup {f (x) para x ∈ [a, b]} . Por la definici´n de supremum, existe una sucesi´n creciente {f (xi )}∞ convergente o o i=1 ∞ a S. Consideremos ahora la sucesi´n {xi }i=1 . Esta sucesi´n es un conjunto infinito o o de puntos de [a, b] y por el mismo argumento que usamos en la prueba del punto ∞ 1, podremos extraer de ella una subsucesi´n xm(i) i=1 convergente a un punto o x = c. Siendo la funci´n continua en c, tendremos que limi→∞ f (xm(i) ) = f (c). Pero o ∞ limi→∞ f (xm(i) ) = limi→∞ f (xi ) = S por ser xm(i) i=1 subsucesi´n de {xi }∞ . o i=1 Luego, f (c) = S, es decir el supremum S se alcanza en el punto x = c. Para probar el punto 3, realicemos el proceso siguiente: en un primer paso, deter- minemos el punto medio m1 = (a + b)/2 de [a, b]. Si f (m1 ) = 0, habremos probado el enunciado del teorema. Si f (m1 ) > 0, consideramos el intervalo [m1 , b] ⊂ [a, b], y si f (m1 ) < 0, entonces consideraremos el intervalo [a, m1 ] ⊂ [a, b]. Supongamos que f (m1 ) > 0, en tal caso, determinemos enseguida el punto medio m2 = (b + m1 )/2
- 83. 4.6 Continuidad enintervalos compactos 83 de [m1 , b] y evaluemos f (m2 ). Si f (m2 ) = 0 habremos probado el enunciado 3. Si por el contrario, f (m2 ) > 0, consideramos el intervalo [m2 , b] ⊂ [m1 , b] ⊂ [a, b], y si f (m2 ) < 0 entonces consideramos el intervalo [a, m2 ] ⊂ [a, m1 ] ⊂ [a, b] y volvemos a tomar el punto medio m3 y repetimos el proceso. Finalmente, habremos construido una sucesi´n In de intervalos cerrados anidados In ⊂ In−1 ⊂ In−2 ⊂ · · · ⊂ [a, b] o de longitud (b − a)/2n y tales que el valor de f (x) en el extremo izquierdo de cada intervalo es positivo y el valor de f (x) en cada extremo derecho es negativo. Te- niendo en cuenta que la sucesi´n {an } formada con los extremos izquierdos de In o y la sucesi´n {bn } formada con los extremos derechos de los intervalos In son suce- o siones mon´tonas con bn − an < (b − a)/2n , ambas sucesiones deber´n converger a o a un mismo punto c, c = lim an = lim bn n→∞ n→∞ y por la continuidad de f en c deberemos tener f (c) = lim f (an ) = lim f (bn ). n→∞ n→∞ Como f (an ) > 0 y f (bn ) < 0 para n = 1, 2, . . . , concluimos que simult´neamente a se tendr´ que f (c) 0 y f (c) 0 y por lo tanto f (c) = 0, con lo que se prueba el a punto 3. La prueba de la continuidad uniforme la daremos tambi´n por contradicci´n. e o Supongamos as´ que lo afirmado en el punto 4 no es cierto. Esto quiere decir que ı ∞ ∞ existir´ un n´mero ε0 > 0 y dos sucesiones {ai }i=1 y {bi }i=1 de elementos de [a, b] a u tales que 1 bi > ai , bi − ai < , y |f (bi ) − f (ai )| > ε0 para i = 1, 2, . . . i Repitiendo el argumento que utilizamos al probar el punto 1, podemos afirmar la existencia de una sucesi´n formada con elementos de la forma am(i) con m(1) < o m(2) < · · · m(k) < · · · , la cual es convergente a alg´n n´mero c ∈ [a, b]. Fij´ndonos u u a ahora en la sucesi´n correspondiente bm(i) , podemos asegurar que tambi´n con- o e verger´ al mismo n´mero c ya que bm(i) − am(i) < 1/m(i). Siendo f (x) continua en c a u deberemos tener que limi→∞ f (am(i) ) = limi→∞ f (bm(i) ) = f (c), lo cual contradice el hecho de que |f (bm(i) ) − f (am(i) )| > ε0 para toda i = 1, 2, . . . que hab´ ıamos supuesto verdadero para las sucesiones {ai }∞ y {bi }∞ . Por lo tanto la suposici´n hecha es i=1 i=1 o falsa y lo afirmado por el Teorema en el punto 4, es verdadero. El resultado siguiente es consecuencia de la propiedad del valor intermedio para funciones continuas. Corolario 4.14 Si f : [a, b] → R es continua e inyectiva, entonces f es mon´tona. o ´ Demostracion. Supongamos que f no es mon´tona en [a, b]. Entonces existen o a x1 < x2 < x3 b tales que f (x1 ) < f (x2 ) y f (x2 ) > f (x3 ), o f (x1 ) > f (x2 )
- 84. 84 Fundamentos del C´lculo a y f (x2 ) < f (x3 ). Supongamos que se da el primer caso. Como no es posible que f (x3 ) = f (x1 ), se tendr´ que f (x3 ) > f (x1 ), o f (x3 ) < f (x1 ). En el primer caso a podemos asegurar la existencia de un n´mero c tal que f (x1 ) < f (x3 ) < c < f (x2 ). u Consideremos la funci´n continua h(x) = f (x) − c. N´tese que h(x1 ) < 0, h(x2 ) > 0 o o y h(x3 ) < 0. Por la propiedad del valor intermedio, existir´n n´meros yc ∈ (x1 , x2 ) a u y zc ∈ (x2 , x3 ) tales que h(yc ) = h(zc ). Pero esto implicar´ que f (yc ) = f (zc ), ıa contrario a la suposici´n de que f es inyectiva. o Corolario 4.15 Si una funci´n continua f :[a, b] → R tiene inversa, ´sta es con- o e tinua. Nota Importante: 1. En el teorema 4.13, la condici´n de que el dominio de continuidad de la funci´n o o sea un intervalo cerrado es imprescindible. Basta considerar como contraejem- plo la funci´n f : (0, 1) → R definida mediante o 1 f (x) = , x que obviamente ni es acotada ni es uniformemente continua en (0, 1). 2. La propiedad del valor intermedio da lugar al llamado “m´todo de bisecci´n” e o para determinar soluciones a ecuaciones de la forma f (x) = 0 con f : R → R una funci´n continua. El m´todo proporciona soluciones con el grado de a- o e proximaci´n que se desee y consiste de los siguientes pasos: o 1ro. Encuentre a, b ∈ R con a < b y tales que f (a) > 0 y f (b) < 0. En virtud de la propiedad del valor intermedio, existir´ una soluci´n a f (x) = 0 en a o [a, b]. 2do. Tome el punto medio (a + b)/2 del intervalo [a, b] y considere el valor f ((a + b)/2). Si f ((a + b)/2) = 0 habremos encontrado una soluci´n a o la ecuaci´n. Si f ((a + b)/2) > 0, se considera el intervalo [(a + b)/2, b] y o por el mismo argumento anterior, existir´ en [(a + b)/2, b] una soluci´n a o para la ecuaci´n. En caso contrario, si f ((a + b)/2) < 0, existir´ soluci´n o a o en el intervalo [a, (a + b)/2]. Supongamos que se tiene f ((a + b)/2) < 0. 3ro. Tome el punto medio (3a + b)/4 del intervalo [a, (a + b)/2] y eval´e la u funci´n en ese punto, f ((3a + b)/4) y, seg´n sea su signo, tome el intervalo o u [a, (3a + b)/4] si f ((3a + b)/4) < 0 o el intervalo [(3a + b)/4, (a + b)/2] si f ((3a + b)/4) > 0 y en el nuevo intervalo, que es de longitud (b − a)/8, deber´ existir una soluci´n. Prosiguiendo con este proceso, en el n-´simo a o e paso se tendr´ situada una soluci´n en un intervalo de longitud (b−a)/2n , a o lo que nos permite conocer una soluci´n de la ecuaci´n con un error menor o o n que (b − a)/2 .
- 85. 4.6 Continuidad enintervalos compactos 85 Ejemplo 4.13 Encuentre una soluci´n a la ecuaci´n x3 − 15x + 1 = 0 con aproxi- o o maci´n de 1/100. o Soluci´n: o 1ro. Tomando a = 0 y b = 1 tenemos f (0) = 1 > 0 y f (1) = −13 < 0 y siendo f (x) = x3 −15x+1 continua, existir´ una soluci´n a la ecuaci´n en el intervalo a o o I1 = [0, 1]. Este primer paso, nos determina el n´mero de etapas que ser´n u a necesarias para obtener una soluci´n a la ecuaci´n con un error pedido. En o o nuestro caso, deberemos de llevar al cabo al menos 8 bisecciones para tener 1 un error menor que 218 < 100 . 1 1 2do. El punto medio de I1 es el punto x = 2 y f ( 2 ) < 0; luego, habr´ una soluci´n a o en el intervalo I2 = [0, 1 ]. 2 1 3ro. El punto medio de I2 es el punto x = 4 y f ( 1 ) < 0; as´ la soluci´n se halla en 4 ı, o 1 I3 = [0, 4 ] 1 4to. El punto medio de I3 es x = 8 y f ( 1 ) < 0; luego, la soluci´n se encuentra en 8 o I4 = [0, 1 ]. 8 1 1 5to. El punto medio de I4 es x = 16 y f ( 16 ) > 0, y entonces la soluci´n se localiza o 1 1 en el intervalo I5 = [ 16 , 8 ]. 3 3 6to. El punto medio de I5 es x = 32 y f ( 32 ) < 0, y la soluci´n se encuentra en o 1 3 I6 = [ 16 , 32 ]. 5 5 7mo. El punto medio de I6 es x = 64 y f ( 64 ) < 0; luego, la soluci´n se ubica en o 1 5 I7 = [ 16 , 64 ] 9 9 8vo. El punto medio de I7 es x = 128 con f ( 128 ) < 0 y tendremos una soluci´n en o 8 9 [ 128 , 128 ]. 17 De lo anterior concluimos que el valor x = 256 es un n´mero que satisface la ecuaci´n u o con un error menor que 1/2 8 , es decir, menor que 1/100. ⊳
- 86. 86 Fundamentos del C´lculo a Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Para cada una de las sucesiones siguientes, escriba sus elementos en una lista, ordenados hacia la derecha. ∞ i+1 (a) i2 + 2 i=1 ∞ (b) (−1)i i=1 (c) {sen(πi)}∞ i=1 ∞ (d) {ai }i=1 donde ai = 0 si i es impar y ai = ( 2 )2 si i es par. i ∞ 2. Explique por qu´ la sucesi´n sen(i2 + 2) i=1 es subsucesi´n de {sen i}∞ y e o o i=1 diga qu´ lugar ocupa en la sucesi´n el octavo elemento de la subsucesi´n. e o o 3. Escriba los primeros tres elementos de la subsucesi´n de la sucesi´n o o ∞ sen(i2 + i) i=1 generada por la elecci´n creciente de etiquetas dada por la o 3 ∞ . ¿Cu´l es el octavo t´rmino de la subsucesi´n y qu´ lugar sucesi´n i i=1 o a e o e ocupaba en la sucesi´n? ¿Cu´l es el j-´simo elemento de la subsucesi´n? o a e o 4. Escriba la definici´n de sucesi´n no-convergente. o o 5. (a) Si {an }∞ es una sucesi´n convergente de t´rminos no negativos (es decir, n=1 o e an 0), demuestre que su l´ ımite es no negativo. (b) Demuestre que si {an }∞ , {bn }∞ y {cn }∞ son sucesiones conver- n=1 n=1 n=1 gentes, y si an bn cn para toda n = 1, 2, . . . , entonces lim an n→∞ lim bn lim cn . Deduzca que si lim an = lim cn = L entonces n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim bn = L. n→∞ 2i + 3 ∞ 6. Considere la sucesi´n {ai }∞ = o i=1 . Encuentre una etiqueta a partir i + 5 i=1 de la cual los elementos de esa sucesi´n disten de L = 2 en menos que 1/103 . o Pruebe que lim ai = 2. i→∞ 7. Demuestre que toda subsucesi´n de una sucesi´n convergente es convergente o o y tienen el mismo l´ ımite. 8. D´ un ejemplo de una sucesi´n no convergente que tenga subsucesiones con- e o vergentes y otro que no tenga subsucesiones convergentes. ∞ 9. Muestre que la sucesi´n i3 o i=1 es creciente. 10. (a) Demuestre que la suma y composici´n de funciones lipschitzianas es lips- o chitziana. (b) Demuestre que si f y g son funciones acotadas y lipschitzianas en A ⊂ R, entonces su producto es una funci´n lipschitziana. o
- 87. 4.6 Continuidad enintervalos compactos 87 (c) Demuestre que cada funci´n lipschitziana es continua en todos los puntos o de su dominio. 11. Sea {ai }∞ una sucesi´n real con lim ai = L. Pruebe que la sucesi´n {|ai |}∞ i=1 o o i=1 i→∞ converge a |L|. 12. Pruebe que si la funci´n f (x) es continua en x = x0 , tambi´n ser´ continua en o e a ese punto la funci´n |f (x)|. o 13. Calcule los l´ ımites siguientes, si existen, y si no es el caso, diga por qu´. e 1 (a) lim x sen x→0 x 1 (b) lim sen x→0 x x2−4 (c) lim x→2 x − 2 14. Conteste “falso” o “verdadero”. Si lim f (x) = L, entonces: x→a (a) f est´ definida en x = a, a (b) f (a) = L, (c) f es continua en x = a. Si f es continua en R, entonces (a) f 2 (x) es continua en R, (b) f (x + 2) es continua en R. Si f : (a, b) → R es una funci´n continua en (a, b), entonces o (a) f es no acotada, (b) f es acotada pero no alcanza en (a,b) su valor m´ximo. a 15. Aplicando la propiedad del valor intermedio para funciones continuas, de- muestre que la ecuaci´n x3 + x2 − x − 4 = 0 tiene una soluci´n en el intervalo o o [1, 2]. 16. Pruebe que si una funci´n continua f :[a, b] → R tiene inversa, ´sta es continua. o e 17. Sea f (x) una funci´n continua en [0, 1] y tal que 0 f (x) 1 para toda x ∈ o [0, 1]. Demuestre que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. (Aplique la propiedad del valor intermedio a la funci´n g(x) = f (x) − x.) o
- 88. 88 Fundamentos del C´lculo a
- 89. Cap´ ıtulo 5 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o La derivada de una funci´n real de variable real y = f (x) es el concepto que o da sentido matem´tico a la raz´n de cambio puntual o movimiento instant´neo. a o a Tomando en cuenta que, en una funci´n, a cada variaci´n de la variable indepen- o o diente con respecto a un valor x0 , corresponde una variaci´n de la variable depen- o diente con respecto al valor f (x0 ), la derivada define la raz´n de cambio puntual o (o instant´neo) en x0 como el l´ a ımite de los cocientes de las variaciones de esas variables cuando la variaci´n de la variable independiente tiende a cero. o En el caso de la funci´n de posici´n de un cuerpo f´ o o ısico con respecto al tiempo, la derivada corresponde a la noci´n de velocidad instant´nea, que as´ resulta definida o a ı como el l´ımite de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya duraci´n tiende a cero. Las caracter´ o ısticas de la derivada hacen de ´sta el concepto e adecuado para la formulaci´n de las leyes din´micas en las ciencias naturales. o a Por otro lado, para la curva en el plano cartesiano que define la gr´fica de una a funci´n, la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en o el punto correspondiente, obteni´ndose as´ una interpretaci´n geom´trica para la e ı o e derivada que sienta las bases para el estudio anal´ ıtico de curvas y superficies. En este cap´ıtulo, a partir de su definici´n, se deducen las propiedades princi- o pales de la derivada y las reglas para su c´lculo cuando intervienen las distintas a operaciones entre funciones. Se introduce tambi´n el concepto de derivada de orden e superior y se calcula la funci´n derivada de las principales funciones elementales. o 5.1 Definici´n de derivada o Consideremos una funci´n real de variable real y = f (x) definida en un intervalo o abierto (a, b). Sea x0 un elemento de (a, b). La manera natural de comparar la variaci´n que muestra el valor de la variable dependiente y = f (x) cuando el valor o de la variable independiente x experimenta en x0 una variaci´n h = 0, es considerar o el cociente f (x0 + h) − f (x0 ) . (5.1) h
- 90. 90 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o Al cociente (5.1) lo llamaremos cociente diferencial de la funci´n en el punto x0 o correspondiente a la variaci´n de magnitud h de la variable independiente y lo de- o ∆f notaremos con (x0 )(h). ∆x Ejemplo 5.1 Para la funci´n o y = f (x) = x2 , el cociente diferencial en el punto x0 = 2 correspondiente a la variaci´n de magnitud o 1 h = 10 , es el n´mero u 1 1 2 ∆f 1 f 2+ 10 − f (2) (2 + 10 ) −4 41 (2) = 1 = 1 = . ∆x 10 10 10 10 An´logamente, el cociente diferencial de la funci´n en el punto x0 = 2 correspon- a o diente a una variaci´n de magnitud h = −2/5 es el n´mero o u 2 ∆f 2 f 2− 5 − f (2) (2 − 2 )2 − 4 5 36 (2) − = = = . ∆x 5 −2 5 −5 2 10 En general, para una variaci´n de magnitud h en el punto x0 = 2, el cociente o diferencial de la funci´n y = f (x) = x2 toma el valor o ∆f (2 + h)2 − (2)2 (2)(h) = = 4 + h. ⊳ ∆x h Ejemplo 5.2 Supongamos que una part´ ıcula se mueve a lo largo de una l´ ınea recta y que la variable d = d(t) mide su posici´n en el instante t con respecto a un punto o de referencia dado. El cociente diferencial en un tiempo t0 y para una variaci´n o de magnitud h en el tiempo, es la distancia recorrida en el intervalo de tiempo [t0 , t0 + h] dividida por el tiempo transcurrido (es decir, h): ∆d d(t0 + h) − d(t0 ) (t0 )(h) = , h = 0. ∆t h A este valor se le conoce como velocidad media de la part´ıcula en el intervalo de tiempo [t0 , t0 + h] (o el intervalo [t0 + h, t0 ] si h < 0): ∆d Velocidad media en [t0 , t0 + h] = (t0 )(h). ⊳ ∆t Nota Importante: La magnitud h de la variaci´n de la variable independiente siempre se toma distinta o de cero y el valor del cociente diferencial de una funci´n en un punto x0 depende del o valor de h. En el sentido anterior, el cociente diferencial de una funci´n en el punto o x0 es una funci´n de la magnitud h de la variaci´n de la variable independiente. o o
- 91. 5.1 Definici´n dederivada o 91 A partir del concepto de cociente diferencial en un punto o valor x0 , enunciamos a continuaci´n la definici´n de derivada. o o Definici´n 5.1 Sea y = f (x) una funci´n real definida en el intervalo (a, b) y o o x0 un valor de la variable independiente en (a, b). Se define la derivada de la funci´n f (x) en el punto x0 como el l´ o ımite (cuando ´ste exista) del cociente e diferencial de la funci´n en x0 cuando la magnitud h de la variaci´n de la o o variable independiente tiende a cero. Cuando existe la derivada de la funci´no y = f (x) en un punto x0 ´sta se denota e 1 con df (x ); es decir, 0 dx df ∆f f (x0 + h) − f (x0 ) (x0 ) = lim (x0 )(h) = lim , dx h→0 ∆x h→0 h y se dice que la funci´n es derivable en x0 . o Ejemplo 5.3 Para la funci´n f (x) = x2 , la derivada en el punto x0 = 2 tiene el o valor 4, pues aplicando la definici´n se obtiene o d(x2 ) (2 + h)2 − (2)2 (2) = lim = lim (4 + h) = 4. ⊳ dx h→0 h h→0 Ejemplo 5.4 La funci´n f : R → R, definida por o 3x + 5 si x<1 f (x) = x2 + x si x 1, tiene derivada en x0 = 1, pues si {hn }∞ es una sucesi´n de variaciones cuyas n=1 o magnitud tiende a cero, la sucesi´n de cocientes diferenciales toma la forma o ∆f f (1 + hn ) − f (1) (1)(hn ) = ∆x hn (1 + hn )2 + (1 + hn ) − 2 = hn + 3 si hn > 0 hn = 3(1 + hn ) + 5 − 8 =3 si hn < 0. hn Al tomar el l´ ımite cuando hn → 0, obtenemos que la sucesi´n de cocientes diferen- o df ciales converge a 3. Luego, (1) = 3. ⊳ dx 1 Esta notaci´n se debe a Leibniz. Otra notaci´n es y(x0 ), utilizada por Newton y que se reserva o o ˙ actualmente para los casos en los que variable independiente es el tiempo. Una tercera notaci´n es o y ′ (x0 ) o f ′ (x0 ), debida a Lagrange, que es muy utilizada en ecuaciones diferenciales.
- 92. 92 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o Nota Importante: Es posible que una funci´n no posea derivada en algunos de los puntos de su dominio. o Por ejemplo, la funci´n f : R → R o f (x) = |x| no posee derivada en x = 0, ya que el cociente diferencial toma la forma |h| = 1 si h < 0 ∆|x| h (0)(h) = ∆x |h| = −1 si h > 0. h Luego, si tomamos una sucesi´n convergente a cero de variaciones positivas {hn }∞ o n=1 (hn > 0), la sucesi´n de los cocientes diferenciales converger´ a 1, mientras que si o a tomamos una sucesi´n convergente a cero de variaciones negativas {hn }∞ (hn < 0) o n=1 la sucesi´n de los cocientes diferenciales converger´ a −1. Al no existir un l´ o a ımite unico cuando las variaciones h tienden a cero, la funci´n no tiene derivada en x = 0. ´ o En t´rminos de la gr´fica de la funci´n alrededor del punto x = 0, se observa e a o que esa curva no tiene una recta tangente en el punto (0,0) pues mientras las rectas secantes correspondientes a incrementos positivos de la variable independiente tienen todas pendiente 1, las rectas secantes correspondientes a incrementos negativos de la variable x tienen todas pendiente −1 y no se define una recta tangente unica para ´ ambos lados del punto x = 0. Si la funci´n y = f (x) tiene por dominio un intervalo cerrado y acotado [a, b], o se dice que es derivable en el punto extremo a si para cada sucesi´n {hn }∞ de o n=1 variaciones positivas hn > 0, la sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales o converge. A ese valor se le llama derivada por la derecha en x = a. An´logamente a se define la derivada por la izquierda en el extremo b del intervalo [a, b]. En general, diremos que la funci´n f es derivable en todos los puntos de un intervalo I, si lo o es en los puntos interiores y en los extremos posee derivada por la derecha o por la izquierda, seg´n sea el caso. u Una propiedad natural que tiene toda funci´n que es derivable en un punto, es o que es continua en ese punto. Probaremos esto ultimo con la proposici´n siguiente. ´ o Proposici´n 5.1 Si f : (a, b) → R, y = f (x) es una funci´n derivable en x0 , o o entonces f es una funci´n continua en x0 . o ´ Demostracion. Debemos demostrar que limx→x0 f (x) = f (x0 ) o, equivalente- mente, que limx→x0 (f (x) − f (x0 )) = 0. Tomemos una sucesi´n {xi }∞ convergente o i=1 a x0 con xi = x0 para i = 1, 2, . . . , y consideremos la sucesi´n de variaciones o {hi }∞ = {xi − x0 }∞ , la cual es una sucesi´n convergente a cero. Entonces, para i=1 i=1 o probar que la funci´n y = f (x) es continua en x0 , debemos mostrar que la sucesi´n o o
- 93. 5.1 Definici´n dederivada o 93 {f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ es convergente a cero. Al escribir i=1 ∞ f (x0 + hi ) − f (x0 ) {f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ = i=1 {hi }∞ i=1 hi i=1 ∞ f (x0 + hi ) − f (x0 ) df vemos que la sucesi´n o es convergente a (x0 ) ya que, hi i=1 dx por hip´tesis, la funci´n y = f (x) tiene derivada en x0 . Por lo tanto, en el lado o o derecho tenemos un producto de sucesiones convergentes, de las cuales una de ellas es convergente a cero. Luego, por el teorema 4.6, el producto de las sucesiones ser´a convergente a cero, con lo cual se demuestra que {f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ → 0, i=1 y por lo tanto, la funci´n y = f (x) es continua en x0 . o Nota Importante: La proposici´n anterior afirma que la continuidad en el punto es necesaria para la o existencia de la derivada, sin embargo, la continuidad en el punto no es suficiente para asegurar la existencia de la derivada, como lo muestra la funci´n f (x) = |x| o en el punto x = 0, la cual a pesar de ser continua en x = 0, no es derivable en ese punto. 5.1.1 Interpretaci´n geom´trica de la derivada o e En t´rminos de la gr´fica de la funci´n y = f (x), para cada variaci´n de magnitud e a o o h de la variable independiente con respecto al valor inicial x0 , el cociente diferencial ∆f f (x0 + h) − f (x0 ) (x0 )(h) = es la pendiente de la recta secante a la gr´fica de la a ∆x h funci´n por los puntos (x0 , f (x0 )) y (x0 + h, f (x0 + h)) como se observa en la figura o 5.1. As´ la derivada en el punto x0 es el l´ ı, ımite de las pendientes de las rectas secantes cuando el segundo punto (x0 + h, f (x0 + h)) sobre la gr´fica se toma cada vez a m´s cercano al punto inicial (x0 , f (x0 )). En los t´rminos geom´tricos anteriores, la a e e derivada de y = f (x) en el punto x0 coincide con la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n en el punto (x0 , f (x0 )). Por lo contrario, el que la funci´n a o o y = f (x) no posea derivada en el punto x0 significa que la curva que define la gr´fica a de la funci´n no tiene recta tangente en el punto (x0 , f (x0 )). Este ultimo es el caso o ´ de la gr´fica de la funci´n f (x) = |x| en el punto (0, 0). a o En el caso en el que d = d(t) sea una funci´n de posici´n, la derivada en un o o instante t0 es el n´mero al cual tienden las velocidades medias en intervalos de la u forma [t0 , t0 + h], cuando la duraci´n h del intervalo tiende a cero, y se interpreta o como la velocidad instant´nea en t0 . Dicho de otra manera, la velocidad instant´nea a a en el instante t0 es el l´ımite de las velocidades promedio tomadas sobre intervalos de tiempo alrededor de t0 con duraci´n cada vez m´s y m´s peque˜a. o a a n
- 94. 94 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o f (x) T S2 S1 f (x0 + h2 ) f (x0 + h1 ) f (x0 ) x x0 x 0 + h2 x 0 + h1 Figura 5.1 Las rectas secantes S1 , S2 , . . . , tienden a T, la recta tangente a la gr´fica en el punto (x0 , f (x0 )), a cuando h → 0. 5.1.2 Derivada de algunas funciones elementales A continuaci´n calcularemos la derivada de algunas funciones elementales utilizando o directamente la definici´n 5.1, de derivada en un punto. Despu´s, luego de haber o e presentado las principales reglas de derivaci´n, aumentaremos la lista de funciones o y sus derivadas mediante la aplicaci´n de esas reglas. o En lo que sigue, x0 es un valor de la variable independiente en el que la funci´n o en cuesti´n es diferenciable y {hi }∞ es una sucesi´n de variaciones tal que hi = 0 o i=1 o para todo i = 1, 2, . . . , y {hi }∞ → 0. i=1 1. La derivada en x0 de la funci´n constante f (x) = c es igual a cero: o dc (x0 ) = 0. (5.2) dx Para probarlo, consideramos la sucesi´n correspondiente de cocientes diferen- o ciales ∆c c−c (x0 )(hi ) = = 0. ∆x hi Esta sucesi´n es constante; su valor es cero para i = 1, 2, . . . , y, por lo tanto, o converge a cero. Luego, dc (x0 ) = 0. dx 2. La derivada en x0 de la funci´n identidad f (x) = x es igual a uno: o dx (x0 ) = 1. dx
- 95. 5.1 Definici´n dederivada o 95 La sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales, o ∆x x0 + hi − x0 hi (x0 )(hi ) = = =1 ∆x hi hi es constante e igual a uno y, por lo tanto, converge a uno. Luego, dx (x0 ) = 1. dx 3. La derivada en x0 de la funci´n f (x) = x2 es igual a 2x0 : o dx2 (x0 ) = 2x0 . dx La sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales toma la forma o ∆x2 (x0 + hi )2 − x2 0 (x0 )(hi ) = = 2x0 + hi , ∆x hi y, tomando el l´ ımite, tenemos que ∆x2 lim (x0 )(hi ) = lim (2x0 + hi ) = 2x0 . hi →0 ∆x hi →0 As´ ı, dx2 (x0 ) = 2x0 . dx 4. La derivada en x0 de la funci´n f (x) = xk , donde k un n´mero natural, es o u k−1 igual a kx0 : dxk k−1 (x0 ) = kx0 . (5.3) dx Consideramos la sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales o ∆xk (x0 + hi )k − xk 0 (x0 )(hi ) = . ∆x hi Por el teorema del binomio tenemos j=k k! (x0 + hi )k = xk−j hj , j!(k − j)! 0 i j=0 y, entonces, el cociente diferencial es j=k ∆xk 1 k! (x0 )(hi ) = xk−j hj − xk 0 ∆x hi j!(k − j)! 0 i j=0 j=k 1 k! = xk−j hj = hi j!(k − j)! 0 i j=1 k−1 k(k − 1) k−2 = kx0 + x0 hi 2 k(k − 1)(k − 3) k−3 2 k−1 k + x0 hi + · · · + kx0 hi + hi . 3!
- 96. 96 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o Calculando el l´ ımite cuando hi → 0 obtendremos ∆xk k−1 k(k − 1) k−2 lim (x0 )(hi ) = lim kx0 + x0 hi hi →0 ∆x hi →0 2 k(k − 1)(k − 3) k−3 2 k−1 + x0 hi + · · · + kx0 hi + hk i 3! k−1 = kx0 , ya que el l´ımite de cada uno de los t´rminos que contiene alguna potencia de e hi es cero. 5. La derivada de la funci´n f (x) = sen x en el punto x0 es igual a cos x0 : o d sen x (x0 ) = cos x0 . (5.4) dx Consideramos la sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales o ∆ sen x sen(x0 + hi ) − sen x0 (x0 )(hi ) = = ∆x hi sen x0 cos hi + cos x0 sen hi − sen x0 = = hi sen hi cos hi − 1 = cos x0 + sen x0 . hi hi Tomando en cuenta que sen hi cos hi − 1 lim =1 y lim = 0, hi →0 hi hi →0 hi tenemos d sen x ∆ sen x (x0 ) = lim (x0 )(hi ) = cos x0 . dx hi →0 ∆x 1 6. La derivada de la funci´n f (x) = csc x = o en el punto x0 = kπ para sen x k = 0, ±1, ±2, · · · es igual a − cot x0 csc x0 : d csc(x) (x0 ) = − cot x0 csc x0 . dx Consideramos la sucesi´n correspondiente de cocientes diferenciales o 1 1 − ∆ csc x sen(x0 + hi ) sen x0 (x0 )(hi ) = = ∆x hi sen x0 − sen(x0 + hi ) = = hi sen(x0 + hi ) sen x0 sen x0 − sen(x0 + hi ) 1 1 = . hi sen(x0 + hi ) sen x0
- 97. 5.1 Definici´n dederivada o 97 Tomando en cuenta que sen(x0 + hi ) − sen x0 lim = cos x0 hi →0 hi y que sen x0 = 0, se tiene 1 1 lim = . hi →0 sen(x0 + hi ) sen x0 Ahora, tomando l´ ımite al cociente diferencial cuando hi → 0 y aplicando las propiedades de las sucesiones convergentes, se obtiene d csc x cos x0 (x0 ) = − = − csc x0 · cot x0 . dx sen2 x0 5.1.3 Reglas b´sicas de la derivaci´n de funciones a o Cinco son las reglas b´sicas de derivaci´n para funciones construidas utilizando a o las operaciones b´sicas entre funciones derivables. Aplicando esas reglas, podre- a mos calcular las derivadas de todas aquellas funciones que se forman sumando, multiplicando o componiendo funciones derivables. Teorema 5.2 Sean f : (a, b) → R y g : (a, b) → R funciones derivables en un punto x0 ∈ (a, b) y sea q : (c, d) → R una funci´n derivable en el punto o f (x0 ) ∈ (c, d), donde f (a, b) ⊂ (c, d). Entonces son v´lidas las reglas siguientes: a 1. Regla de derivaci´n de la suma de funciones. o La funci´n suma f + g : (a, b) → R es derivable en x0 y o d(f + g) df dg (x0 ) = (x0 ) + (x0 ). (5.5) dx dx dx 2. Regla de Leibniz o de derivaci´n de la multiplicaci´n de funciones. o o La funci´n f · g : (a, b) → R es derivable en x0 y o d(f · g) dg df (x0 ) = f (x0 ) (x0 ) + g(x0 ) (x0 ). (5.6) dx dx dx Consecuencia inmediata de (5.6) y (5.2) es la siguiente. Si c ∈ R, entonces d(c f ) df (x0 ) = c (x0 ). (5.7) dx dx
- 98. 98 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o 3. Regla de derivaci´n de un cociente de funciones. o 1 Si f es derivable en x0 y f (x0 ) = 0, entonces la funci´n o est´ definida a f en un intervalo alrededor de x0 , es derivable en x0 y 1 df d (x0 ) f (x0 ) = − dx 2 . (5.8) dx f (x0 ) 4. Regla de la cadena (o de derivaci´n de funciones compuestas). o La funci´n composici´n q ◦ f : (a, b) → R es derivable en el punto x0 y o o d(q ◦ f ) dq df (x0 ) = (f (x0 )) · (x0 ). (5.9) dx dy dx 5. Regla de derivaci´n de la funci´n inversa. o o Sea f : [a, b] → R una funci´n continua y derivable en el punto x0 ∈ (a, b) o df con (x0 ) = 0. Si f posee funci´n inversa f −1 : [c, d] → [a, b], entonces o dx la inversa f −1 es derivable en y0 = f (x0 ) y df −1 1 (f (x0 )) = , (5.10) dy df (x0 ) dx o df −1 1 (y0 ) = . (5.11) dy df −1 (f (y0 )) dx Demostracion. Sea hi = 0, i = 1, 2, . . . , y {hi }∞ → 0. ´ i=1 1. La sucesi´n de cocientes diferenciales en x0 de la funci´n suma f + g corres- o o pondientes a esas variaciones, toma la forma ∆(f + g) (f + g)(x0 + hi ) − (f + g)(x0 ) (x0 )(hi ) = = ∆x hi f (x0 + hi ) − f (x0 ) + g(x0 + hi ) − g(x0 ) = = hi ∆f ∆g = (x0 )(hi ) + (x0 )(hi ). ∆x ∆x Tomando en cuenta que para las funciones y = f (x) y z = g(x) la sucesi´n de o cocientes diferenciales tiende a sus respectivas derivadas en el punto x0 cuando el
- 99. 5.1 Definici´n dederivada o 99 incremento hi tiende a cero, es decir, que ∆f df ∆g dg lim (x0 )(hi ) = (x0 ) y lim (x0 )(hi ) = (x0 ), hi →0 ∆x dx hi →0 ∆x dx y observando que la sucesi´n de cocientes diferenciales para la funci´n suma f + g o o es la suma de las sucesiones de cocientes diferenciales para f y g, respectivamente, al aplicar el teorema 4.6 tenemos que ∆(f + g) df dg d(f + g) lim (x0 )(hi ) = (x0 ) + (x0 ) = (x0 ). hi →0 ∆x dx dx dx 2. Para probar la regla de Leibniz (f´rmula (5.6)), escribamos la sucesi´n de o o cocientes diferenciales correspondiente al producto de funciones (f · g)(x) ∆(f · g) (f · g)(x0 + hi ) − (f · g)(x0 ) (x0 )(hi ) = = ∆x hi f (x0 + hi ) · g(x0 + hi ) − f (x0 ) · g(x0 ) = . hi Al sumar y restar el t´rmino f (x0 + hi ) · g(x0 ) en el numerador, obtenemos e ∆(f · g) 1 (x0 )(hi ) = f (x0 + hi )g(x0 + hi ) − f (x0 + hi )g(x0 ) ∆x hi +f (x0 + hi )g(x0 ) − f (x0 )g(x0 ) g(x0 + hi ) − g(x0 ) f (x0 + hi ) − f (x0 ) = f (x0 + hi ) + g(x0 ) hi hi ∆g ∆f = f (x0 + hi ) (x0 )(hi ) + g(x0 ) (x0 )(hi ), ∆x ∆x de donde se obtiene que ∞ ∞ ∆(f · g) ∆g (x0 )(hi ) = {f (x0 + hi )}∞ i=1 (x0 )(hi ) + ∆x i=1 ∆x i=1 ∞ ∆f + {g(x0 )}∞ i=1 (x0 )(hi ) . ∆x i=1 Las sucesiones de la derecha son convergentes por las razones siguientes: {f (x0 + hi )}∞ converge a f (x0 ) pues y = f (x) es continua en x0 ; i=1 ∞ ∆g dg (x0 )(hi ) converge a (x0 ) pues z = g(x) es, por hip´tesis, derivable o ∆x i=1 dx en x0 ; {g(x0 )}∞ converge a g(x0 ) por ser una sucesi´n constante; i=1 o
- 100. 100 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o ∞ ∆f df (x0 )(hi ) converge a (x0 ) pues y = f (x) es, por hip´tesis, derivable o ∆x i=1 dx en x0 . Entonces, por el teorema 4.6, la sucesi´n de cocientes diferenciales de la funci´n o o ∞ ∆(f · g) producto, (x0 )(hi ) , converger´, y as´ tendremos a ı ∆x i=1 ∞ d(f · g) ∆(f · g)(x) (x0 ) = lim (x0 )(hi ) = dx hi →0 ∆x i=1 df dg = g(x0 ) (x0 ) + f (x0 ) (x0 ). dx dx 3. Para probar (5.8), escribamos la sucesi´n de cocientes diferenciales correspon- o 1 diente a la funci´n : o f 1 ∆ f 1 1 1 (x0 )(hi ) = − = ∆x hi f (x0 + hi ) f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) 1 1 =− = hi f (x0 + hi ) f (x0 ) ∆f 1 1 =− (x0 )(hi ) . ∆x f (x0 + hi ) f (x0 ) Tomando en cuenta que y = f (x) es derivable en x0 y que f (x0 ) = 0, tenemos ∆f df lim (x0 )(hi ) = (x0 ), hi →0 ∆x dx y, por la continuidad de f en x0 , 1 1 lim = . hi →0 f (x0 + hi ) f (x0 ) Tomando el l´ımite cuando i → ∞ en la sucesi´n de cocientes diferenciales, y apli- o cando el teorema 4.6, tenemos: 1 1 d ∆ f f 1 df (x0 ) = lim (x0 )(hi ) = − (x0 ). dx hi →0 ∆x f (x0 )2 dx 4. La sucesi´n de cocientes diferenciales correspondiente a la composici´n de o o funciones w = (q ◦ f )(x) es ∆(q ◦ f ) q(f (x0 + hi )) − q(f (x0 )) (x0 )(hi ) = . ∆x hi
- 101. 5.1 Definici´n dederivada o 101 Sea ahora {ki }∞ la sucesi´n i=1 o {ki }∞ = {f (x0 + hi ) − f (x0 )}∞ . i=1 i=1 Note que {ki }∞ → 0 ya que f es continua en x0 . Aqu´ distinguiremos dos casos: i=1 ı (i) Existe una etiqueta N tal que ki = 0 para i > N . En este caso, podremos dividir entre ki y hacer para i > N la siguiente estimaci´n: o ∆(q ◦ f ) q(f (x0 + hi )) − q(f (x0 )) (x0 )(hi ) = = ∆x hi q(f (x0 ) + ki )) − q(f (x0 )) ki = · = hi ki q(f (x0 ) + ki )) − q(f (x0 )) ki = · = ki hi q(f (x0 ) + ki )) − q(f (x0 )) f (x0 + hi ) − f (x0 ) = · = ki hi ∆q ∆f = (f (x0 ))(ki ) · (x0 )(hi ), ∆y ∆x donde y = f (x). ∆(q ◦ f ) Tomando el l´ımite de los cocientes diferenciales (x0 )(hi ) cuando hi → ∆x 0, se tendr´ a ∆(q ◦ f ) d(q ◦ f ) dq df lim (x0 )(hi ) = (x0 ) = (f (x0 )) · (x0 ) hi →0 ∆x dx dy dx puesto que, por hip´tesis, o ∆q dq (f (x0 ))(ki ) converge a (f (x0 )), y ∆y dy ∆f df (x0 )(hi ) converge a (x0 ). ∆x dx ∞ (ii) Si existiera una sucesi´n de etiquetas {mi }i=1 → ∞ tales que o kmi = f (x0 + hmi ) − f (x0 ) = 0, df se tendr´ entonces que ıa (x0 ) = 0 y la sucesi´n de cocientes de la composici´n o o dx ser´ una sucesi´n de ceros, ıa o ∆(q ◦ f ) q(f (x0 + hmi )) − q(f (x0 )) (x0 )(hmi ) = = 0, ∆x hmi por lo que ∆(q ◦ f ) dq df lim (x0 )(hmi ) = (f (x0 )) · (x0 ). hi →0 ∆x dy dx Es decir, en ambos casos se obtiene la misma f´rmula para el l´ o ımite de los cocientes diferenciales, prob´ndose as´ la validez de la regla de la cadena (5.9). a ı
- 102. 102 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o 5. Como f es continua y posee inversa, en virtud del corolario 4.14, f es una funci´n mon´tona que supondremos creciente. Para probar que la funci´n inversa o o o x = f −1 (y) es derivable en y0 = f (x0 ), tomemos una sucesi´n de variaciones o {f (x0 ) + ki }∞ → 0 de la variable y con ki = 0. Sea ahora la sucesi´n {hi }∞ i=1 o i=1 definida para cada i = 1, 2, .. como aquel valor hi = 0 tal que f (x0 + hi ) = f (x0 ) + ki . La existencia de las hi = 0 que satisfagan la relaci´n anterior est´ garantizada, pues o a f es uno a uno, y cada n´mero f (x0 ) + ki pertenece a la imagen de f . Escribamos u ahora el cociente diferencial para x = f −1 (y) en f (x0 ) en la forma ∆f −1 f −1 (f (x0 ) + ki ) − f −1 (f (x0 )) (f (x0 ))(ki ) = = ∆y ki hi 1 = = , f (x0 + hi ) − f (x0 ) f (x0 + hi ) − f (x0 ) hi donde hemos tomando en cuenta que f −1 (f (x)) = x para cada x ∈ [a, b] y hemos sustituido las relaciones x0 + hi = f −1 (f (x0 + hi )) = f −1 (f (x0 ) + ki ), para i = 1, 2, . . . Ahora, considerando que la funci´n inversa es continua en f (x0 ), tenemos o ∞ lim (x0 + hi ) = lim f −1 (f (x0 + hi )) i=1 = x0 , i→∞ i→∞ ya que limi→∞ f (x0 + hi ) = f (x0 ) y entonces {hi }∞ → 0. Luego, aplicando el i=1 criterio de convergencia para cocientes de sucesiones (teorema 4.6), podemos escribir df −1 1 (f (x0 )) = lim = dy hi →0 f (x0 + hi ) − f (x0 ) hi 1 1 = = . f (x0 + hi ) − f (x0 ) df lim (x0 ) hi→0 hi dx √ Ejemplo 5.5 La derivada de la funci´n x en x0 = 0 es el n´mero o u √ d x 1 (x0 ) = √ dx 2 x0 √ ya que, al ser y = f (x) = x la funci´n inversa de la funci´n x = f −1 (y) = y 2 , en o o (0, ∞) podemos aplicar la f´rmula de derivaci´n para la funci´n inversa y obtener o o o √ d x 1 1 (x0 ) = 2 √ = √ . ⊳ dx dy 2 x0 ( x0 ) dy
- 103. 5.1 Definici´n dederivada o 103 5.1.4 Derivadas de funciones racionales, trigonom´tricas e y trigonom´tricas inversas e Aplicando directamente las reglas de derivaci´n, a continuaci´n enlistamos las f´r- o o o mulas de derivaci´n de algunas funciones racionales, trigonom´tricas y sus inversas. o e 1 1. Para m entero y x0 real con x0 bien definido, se tiene m 1 d(x m ) 1 m −1 1 (x0 ) = x0 . dx m 1 Tomando en cuenta que la funci´n y = f (x) = x m es la funci´n inversa de o o x = f −1 (y) = y m , aplicamos la regla de derivaci´n para funciones inversas o (5.11) y la f´rmula para la derivada de la funci´n f −1 (y) = y m (5.3) para o o obtener 1 dx m 1 1 1 m −1 1 (x0 ) = m = 1 = x0 . dx dy 1 m (x m ) m(x0 )m−1 m dy 0 2. Para cada x0 ∈ R, la funci´n p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an con o ai ∈ R, para i = 0, 1, . . . , n es derivable y dp n−1 n−2 (x0 ) = na0 x0 + (n − 1)an−1 x0 + · · · + 2an−2 x0 + an−1 . dx 3. Si y = f (x) y z = g(x) son dos funciones derivables en x0 y g(x0 ) = 0, la f (x) funci´n cociente (f /g)(x) = o es derivable en x = x0 y g(x) df dg(x) d(f /g) g(x0 ) (x0 ) − f (x0 ) (x0 ) (x0 ) = dx dx . dx g(x0 )2 4. Para toda x0 ∈ R la funci´n cos x es derivable y o d cos x (x0 ) = − sen(x0 ). dx De las propiedades de las funciones trigonom´tricas (en concreto, las propie- e dades 5 y 6 de la subsecci´n 3.3.2) tenemos que o π cos x = sen x + . 2 π Definiendo las funciones y = f (x) = x + y q(y) = sen y, podemos escribir 2 cos x = (q ◦ f )(x). Por (5.4), dq π (f (x0 )) = cos(f (x0 )) = cos x0 + = − sen(x0 ), dy 2
- 104. 104 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o df y, por (5.3), (x0 ) = 1. Al calcular la derivada, usando la regla (5.9), obten- dx dremos d cos x dq df (x0 ) = (f (x0 )) (x0 ) = − sen(x0 ). dx dy dx π 3 5 5. Para x0 = ± , ± π, ± π, . . . , la funci´n tan x es derivable y o 2 2 2 d tan x (x0 ) = sec2 x0 . dx Aplicando la regla de Leibniz (5.6) y la regla de derivaci´n de un cociente o (5.8), obtenemos d tan x d sen x (x0 ) = (x0 ) dx dx cos x 1 d sen x d 1 = (x0 ) + sen x0 (x0 ) cos x0 dx dx cos x sen2 x0 = 1+ = sec2 x0 . cos2 x0 6. Para y0 = ±1, la funci´n arcsen x es derivable y o d arcsen y 1 (y0 ) = . dy 2 1 − y0 Aplicando (5.11), se tiene d arcseny 1 (y0 ) = dy d sen x (arcsen y0 ) dx 1 1 = = . cos(arcsen y0 ) 2 1 − y0 7. Para y0 ∈ R la funci´n arctan y es derivable y o d arctan y 2 (y0 ) = 1 − y0 . dy Aplicando (5.11) se tiene d arctan y 1 (y0 ) = = dy d tan x (arctan y0 ) dx 1 2 = 2 (arctan y ) = 1 − y0 . sec 0
- 105. 5.2 Derivadas deorden superior 105 8. Para y0 ∈ R con y0 = ±1, la funci´n arccos x es derivable y o d arccos y −1 (y0 ) = . dy 2 1 − y0 Aplicando la regla de derivaci´n para la funci´n inversa, se tiene o o d arccos y 1 (y0 ) = = dy d cos x (arccos y0 ) dx −1 −1 = = . sen(arccos y0 ) 2 1 − y0 5.2 Derivadas de orden superior Sea y = f (x) : (a, b) → R una funci´n que tiene derivada en cada uno de los puntos o de su dominio de definici´n. La funci´n que hace corresponder a cada valor de la o o df variable dependiente x el n´mero u (x) se llama funci´n derivada de y = f (x) y se o dx denota por df : (a, b) → R. dx Ejemplo 5.6 La funci´n derivada de la funci´n f (x) = x2 + x + 3 es la funci´n o o o df (x) = 2x + 1. ⊳ dx Nota Importante: Los conceptos “derivada de y = f (x) en el punto x0 ” y “funci´n derivada de la o funci´n f en (a, b)” son diferentes. En el primer caso, el concepto se refiere a un o df n´mero, mientras que en el ultimo se refiere a una funci´n. La funci´n derivada u ´ o o dx de y = f (x) es la funci´n que a cada valor de la variable independiente x le asocia o df el valor de la derivada (x) en ese valor. En este sentido, la funci´n derivada nos o dx proporciona la ley de cambio que gobierna la relaci´n entre las variables x y y. o An´logamente al concepto de derivada en un punto x0 , se define la segunda a derivada de y = f (x) en el punto x0 como la derivada en x0 de su funci´n derivada o df d2 f (x). A la segunda derivada en x0 se le denota2 con el s´ ımbolo (x0 ); es decir, dx dx2 df df df (x0 + h) − (x0 ) d d2 f dx 2 (x0 ) = lim dx dx = (x0 ). dx h→0 h dx 2 Esta es la notaci´n propuesta por Leibniz; otras notaciones para la segunda derivada en x0 son o y ′′ (x0 ) o f ′′ (x0 ), y y (x0 ), de Lagrange y Newton, respectivamente. ¨
- 106. 106 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o En el caso de la funci´n de posici´n y = d(t) de un m´vil con respecto al tiempo, al o o o valor de la segunda derivada en un tiempo t0 se le llama aceleraci´n en t0 . o Ejemplo 5.7 La segunda derivada de la funci´n f (x) = x3 + x2 + x en el punto o df x0 = 2, es la derivada de la funci´n o (x) = 3x2 + 2x + 1 en el punto x0 = 2, es dx d2 f d2 f decir (x) = 6x + 2. En particular, (2) = 14. ⊳ dx2 dx2 De manera recursiva, se define la k-´sima derivada de y(x) en el punto x0 como e dk f la derivada en x0 de la (k − 1)-´sima funci´n derivada, y se denota3 e o (x). dxk Por otra parte, la funci´n segunda derivada es la funci´n derivada de la funci´n o o o d df df derivada: , y la denotamos : (a, b) → R. De manera recursiva definimos dx dx dx dk f la funci´n k-´sima derivada y la denotamos o e : (a, b) → R. dxk 5.3 Diferencial de una funci´n o Si una funci´n y = f (x) tiene derivada en el punto x0 , a la funci´n lineal o o df (x0 ) : R → R df df (x0 )(x) = (x0 )x dx se le llama diferencial de y = f (x) en el punto x0 . A la diferencial tambi´n se le llama e aproximaci´n lineal de la funci´n f (x) alrededor del punto x0 , ya que si denotamos o o con e(x) al error entre la funci´n f (x) y la funci´n af´ o o ın ℓx0 (x) = f (x0 ) + df (x0 )(x − x0 ), es decir, def e(x) = f (x) − ℓx0 (x) = f (x) − f (x0 ) − df (x0 )(x − x0 ), entonces e(x) lim = 0. x→x0 |x − x0 | Es decir, cuando x − x0 tiende a cero, el error e(x) tiende a cero m´s r´pidamente a a que x − x0 . En t´rminos de la gr´fica de y = f (x), la funci´n y = ℓx0 (x) es tal que e a o su gr´fica es la recta tangente a la gr´fica de y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )) (ver a a figura 5.2). 3 Otra notaci´n para la k-´sima derivada es y (k) (x) o f (k) (x), con par´ntesis, para distinguirla o e e de la potencia y k (x) o f k (x).
- 107. 5.4 C´lculo derazones de cambio a 107 y f (x) ℓx0 |e(x)| df (x0 )(x − x0 ) x x0 x Figura 5.2 Interpretaci´n geom´trica de la diferencial o e de la funci´n y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )). o 5.4 C´lculo de razones de cambio a Enseguida presentamos algunos ejemplos t´ ıpicos donde la derivada de una funci´n se o expresa en t´rminos de las derivadas de otras a las cuales est´ ligada funcionalmente. e a Ejemplo 5.8 En un tiempo t0 , el ancho de un rect´ngulo crece a una velocidad de a 3 cm/seg y su diagonal crece a raz´n de 2 cm/seg. ¿Con qu´ velocidades crecen el o e per´ ımetro y el ´rea del rect´ngulo si en t0 su ancho es de 5 cm y su largo es de 10 a a cm? Soluci´n: o Si denotamos por a(t) y l(t) las funciones que a cada tiempo t le asocian el valor del ancho y de la diagonal de un rect´ngulo, respectivamente, el per´ a ımetro p(t) y el a ´rea A(t) como funciones del tiempo se escriben, respectivamente, en t´rminos de e a(t) y l(t) en la forma p(t) = 2(a(t) + l(t)2 − a(t)2 ) y A(t) = a(t) l(t)2 − a(t)2 , y la informaci´n dada en el enunciado del problema es o √ da(t) dl(t) a(t0 ) = 5, l(t0 ) = 100 + 25, (t0 ) = 3, y (t0 ) = 2. (5.12) dt dt Aplicando las reglas de derivaci´n en t = t0 , se tiene o dl(t) da(t) dp(t) da(t) 2l(t0 ) (t ) − 2a(t0 ) (t0 ) (t0 ) = 2 (t0 ) + dt 0 dt dt dt l(t0 )2 − a(t0 )2 y, sustituyendo (5.12) se obtiene que el per´ ımetro crece en t = t0 a raz´n de o dp(t) √ (t0 ) = 3 + 2 5. dt
- 108. 108 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o La derivada del ´rea es a dl(t) da(t) dA(t) l(t0 ) (t0 ) − a(t0 ) (t0 ) da(t) (t0 ) = a(t0 ) dt dt + l(t0 )2 − a(t0 )2 (t0 ). dt l(t0 )2 − a(t0 )2 dt Usando (5.12) se obtiene que el ´rea crece en t = t0 a raz´n de a o dA(t) √ 9 (t0 ) = 5 5+ . ⊳ dt 2 Ejemplo 5.9 Calcule la raz´n de cambio del ´rea A de un tri´ngulo rect´ngulo o a a a is´sceles con respecto a su per´ o ımetro p. Soluci´n. Obtendremos la respuesta de dos maneras. o a) Una primera forma de resolver el problema es determinar el ´rea de un tri´ngulo a a rect´ngulo is´sceles como funci´n del per´ a o o ımetro. Si l denota el cateto del tri´ngulo y p el per´ a ımetro, se tiene √ p(l) = 2l+ 2l, cuya funci´n inversa es o p l(p) = √ . 2+ 2 Por otra parte, el ´rea A como funci´n del cateto toma la forma a o l2 A(l) = , 2 y componiendo con la funci´n l(p), se tiene para el ´rea la expresi´n en o a o t´rminos de la variable p e A(p) = (A ◦ l)(p) = A(l(p)); aplicando la regla de la cadena, dA dA dl p 1 p (p) = (l(p)) (p) = √ √ = √ . dp dl dp 2+ 22+ 2 (2 + 2)2 b) Otra forma de resolver este problema es expresar el ´rea como funci´n del a o per´ ımetro y luego tomar la derivada. As´ ı, 2 1 p A(p) = √ 2 2+ 2 y, derivando, obtenemos dA p (p) = √ . ⊳ dp (2 + 2)2
- 109. 5.4 C´lculo derazones de cambio a 109 3 k cm seg r0 r(t) h0 h(t) ) x(t Figura 5.3 x(t) = nivel del agua medido sobre la pared del cono en el tiempo t. Ejemplo 5.10 Un cono recto de radio r0 y altura h0 se llena con un chorro de agua que arroja k cm3 /seg (ver figura 5.3). Diga con qu´ velocidad crece el nivel del agua e medido sobre la pared del cono cuando se ha llenado la mitad del volumen del cono. Soluci´n: Para cada t, denotemos por h(t) la altura del agua medida sobre el eje o del cono y r(t) el radio del c´ ırculo que forma el nivel superior del agua. La relaci´n o entre h(t) y r(t), debido a la geometr´ del cono, es ıa r(t) r0 = . h(t) h0 El volumen de un cono V (t) en el tiempo t es π V (t) = r(t)2 h(t) 3 y en el caso particular del cono del problema, toma la forma 2 πr0 3 V (t) = h (t). 3h2 0 Calculando la derivada de V (t), se tiene dV πr2 dh (t) = 20 h2 (t) (t). dt h0 dt Denotando por tm el tiempo transcurrido para llenar la mitad del cono, tenemos que la altura del nivel del agua h(tm ) en ese momento es 1 h(tm ) = √ h0 , 3 2
- 110. 110 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o y tomando en cuenta que dV πr2 dh k= (tm ) = √ 0 3 (tm ), dt 4 dt tenemos que la variaci´n de la altura del agua en tm es o √ 3 dh 4k (tm ) = 2 . dt πr0 Por otro lado, sobre la pared del cono el nivel del agua x(t) est´ relacionado con la a altura del agua sobre el eje del cono en la forma h(t) x(t) = r0 + h2 2 0 h0 dx y entonces la velocidad (tm ) con que crece el nivel del agua medido sobre la pared dt del cono, cuando se ha llenado la mitad del cono, es √ dx r0 + h2 dh 2 0 3 4k (tm ) = (tm ) = 2 r0 + h2 . 2 0 ⊳ dt h0 dt πr0 h0
- 111. 5.4 C´lculo derazones de cambio a 111 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. (a) Sea la funci´n y(x) = x|x|. Calcule y grafique su funci´n derivada en el o o intervalo [−1, 1]. (b) Diga en qu´ puntos tiene derivada la funci´n f (x) = |x2 − 1|. e o (c) Calcule la derivada de la funci´n f (x) = sen(g(x) + 2) en el punto x = 3 o π − 12 dg si g(3) = y (3) = −4. 6 dx 2. Sean y = f (x) y z = g(x) funciones derivables en cada punto de R tales que df dg (2) = 3, (2) = −3, f (2) = 1 y g(2) = 2. Calcule: dx dx d(f + g) (a) (2) dx d(f · g) (b) (2) dx f d g (c) (2) dx 3. (a) Calcule la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n y = o a o f (x) = x2 en el punto (1, 1). x2 y 2 (b) Sobre la elipse + = 1, encuentre los puntos donde la recta tangente 9 4 tiene una inclinaci´n de π/4 radianes. o x2 y2 4. ¿Con qu´ ´ngulo se corta la elipse 2 + 2 = 1 con la par´bola y = x2 ? (Es ea a a b decir, ¿qu´ ´ngulo forman las rectas tangentes en el punto de intersecci´n de ea o las curvas?) 5. Calcule la derivada de la funci´n f (x) = cos(sen(cos x)) en el punto x = o 1 arcsen . 2 6. Diga en cu´ntos cm3 por segundo crece el volumen de un cilindro si su ´rea a a es de 100 cm2 y crece 1 cm2 por segundo y su altura es de 15 cm y decrece 3 cm por segundo. 7. Calcule la variaci´n de la pendiente de la recta tangente a la par´bola y = x2 o a con respecto a la variaci´n de la abscisa del punto de tangencia en el punto o (2, 4). 8. Sea h(x) = (f ◦ g)(x)) donde f y g son funciones derivables. Encuentre la d2 h f´rmula para o (x0 ). dx2
- 112. 112 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o 9. Sea f (x) una funci´n derivable para cada x ∈ R. Demuestre los siguientes o enunciados: df (a) Si f (x) es una funci´n par, entonces o (x) es una funci´n impar. o dx df (b) Si f (x) es una funci´n impar, entonces o (x) es una funci´n par. o dx 10. Sea g(x) = x3 + x. Calcule la derivada de la funci´n inversa de g(x) en x = 2. o 11. Si el ´ngulo que forman los lados iguales de un tri´ngulo is´sceles de altura a a o constante e igual a 10 crece a raz´n de π/64 radianes por segundo, ¿c´mo var´ o o ıa el ´rea del tri´ngulo en el momento en que su ´rea es 1? a a a 12. Sean las curvas y = x2 + 4 y y = x3 . Encuentre los puntos sobre la segunda curva donde la recta tangente a esa curva es perpendicular a la recta tangente a la primera curva en el punto (−1, 5). 13. Considere un cono recto invertido de radio 4 m y altura 10 m en el que se vierte agua a raz´n de 2 cm3 /seg. Calcule la velocidad con que aumenta el o nivel del agua cuando se ha llenado la mitad del recipiente. 14. Considere un cilindro de radio r y altura h. Si en un tiempo t0 el ´rea lateral a del cilindro var´ a raz´n de 2 cm/seg, diga c´mo debe variar el radio con ıa o o respecto al tiempo para que el volumen del cilindro permanezca constante. 15. Considere la curva en el plano y = x2 + x + 2 para x > 0 y denote por P un punto de ella. Calcule la raz´n de cambio del ´ngulo que hace la tangente a o a la curva en el punto P con el eje de las abscisas con respecto al valor de la abscisa del punto de tangencia. 16. Considere la familia de par´bolas con coeficientes dependientes del tiempo a y(x; t) = a(t)x2 + c(t). Si el coeficiente a(t) crece a raz´n de 2 cm/seg y el coeficiente c(t) decrece o a raz´n de -1 cm/seg, ¿con qu´ velocidad se desplaza el punto en donde las o e par´bolas cortan al eje de las abscisas cuando a = 1, c = −2? a
- 113. Cap´ ıtulo 6 Teorema del valor medio y sus aplicaciones El teorema del valor medio es uno de los resultados m´s importantes del an´lisis a a matem´tico. Para las funciones derivables, este teorema compara en t´rminos de su a e derivada, la variaci´n total de la variable dependiente con respecto a la variaci´n de o o la variable independiente. Sus distintos corolarios y generalizaciones proporcionan criterios utiles para la descripci´n cualitativa del comportamiento de la funci´n, ´ o o tanto globalmente como en la vecindad de cada punto de su dominio. Iniciamos este cap´ıtulo explicando, en lenguaje com´n, el contenido y significado u del teorema del valor medio. Despu´s de su prueba rigurosa, se discuten varias de e sus aplicaciones a la descripci´n de la gr´fica de la funci´n y a la reconstrucci´n o a o o de ´sta a partir de la informaci´n sobre sus derivadas. Finalmente, se presenta e o su generalizaci´n a funciones con derivadas de orden superior, para dar paso al o teorema de Taylor y sus estimaciones para la aproximaci´n de funciones derivables o mediante polinomios. Con las herramientas anteriores, se dan criterios para la clasificaci´n de los puntos del dominio de una funci´n derivable y se abordan los o o problemas de c´lculo de valores m´ximos y m´ a a ınimos, que son de gran importancia en las aplicaciones. Este cap´ıtulo es clave para el buen manejo y aplicaci´n de los conceptos del o c´lculo, tanto a los problemas propios del an´lisis matem´tico como de aplicaci´n a a a o en las dem´s areas de la ciencia y la tecnolog´ a ´ ıa. 6.1 Motivaciones Consideremos el movimiento de un auto (incluyendo la posibilidad de marchar en reversa o con velocidad negativa) a lo largo de la carretera Hermosillo-Guaymas y supongamos que tiene 100 kil´metros de longitud1 . Si ese autom´vil inicia su viaje o o en Hermosillo y recorre la distancia al puerto de Guaymas en una hora, entonces podemos afirmar que al menos una vez durante el recorrido, el veloc´ımetro del auto 1 La distancia real es de 130 kil´metros, aproximadamente. o
- 114. 114 Teorema del valor medio y sus aplicaciones habr´ marcado 100 Km/h (100 kil´metros por hora). Este hecho evidente constituye a o el contenido del teorema del valor medio. Una manera equivalente de describir la situaci´n anterior es afirmar que la ve- o locidad promedio que desarrolla un auto al recorrer la distancia entre Hermosillo y Guaymas se leer´ al menos una vez en el veloc´ a ımetro del auto. Es decir, si hace- mos T horas en recorrer los 100 kil´metros que separan esas ciudades, entonces el o veloc´ ımetro del auto al menos una vez marcar´ el valor (100/T ) Km/h. a Como consecuencias directas del teorema del valor medio, tenemos las siguientes conclusiones: a) Si el veloc´ımetro siempre marca velocidades mayores que cero o positivas, entonces la distancia a la que se encuentra el auto de la ciudad de Hermosillo aumenta con el paso del tiempo. Si, por el contrario, el veloc´ ımetro siempre marca velocidad negativa, el auto se alejar´ cada vez m´s en sentido contrario a a a la direcci´n a Guaymas. o b) Si el veloc´ ımetro, durante un recorrido, da siempre una lectura de la velocidad entre a Km/h y b Km/h, con 0 a b, entonces, en cada intervalo de tiempo de duraci´n T horas, el auto recorre una distancia mayor o igual que aT y o menor o igual que bT . c) Si un auto que inicia su recorrido en Hermosillo regresa a su punto de partida despu´s de T horas, entonces al menos una vez durante ese lapso el auto se e detuvo, es decir su veloc´ ımetro debi´ marcar 0 Km/h. o d) Si el veloc´ ımetro de un auto marca 0 Km/h durante un cierto intervalo de tiempo, entonces el auto permanece en la misma posici´n durante ese intervalo o de tiempo. Como el lector notar´, los ejemplos y observaciones anteriores son evidentes y hasta a parecen afirmaciones triviales sobre el movimiento de los autom´viles. Sin embargo, o cuando se generalizan a funciones entre variables reales que tengan derivadas en todos los puntos de un intervalo cerrado [a, b], adquieren un contenido matem´tico a m´s profundo que permite enunciar verdades generales sobre las funciones derivables. a 6.2 El teorema del valor medio Para funciones reales de una variable real, el teorema del valor medio se enuncia en los t´rminos siguientes. e
- 115. 6.2 El teoremadel valor medio 115 Teorema 6.1 (del valor medio) Si f (x) : [a, b] → R es una funci´n continua o que tiene derivada en cada uno de los puntos de (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que df f (b) − f (a) = (c)(b − a). dt ´ Demostracion. Probaremos primero el teorema suponiendo que la funci´n f toma o el mismo valor en los extremos del intervalo [a, b], es decir f (a) = f (b). (6.1) Bajo la hip´tesis (6.1) el teorema se denomina teorema de Rolle.2 Demostraremos o df que existe un punto c tal que a < c < b y (c) = 0. Consideremos los siguientes dx dos casos posibles para f : a) f es constante en (a, b), en cuyo caso en cualquier punto c ∈ (a, b) se tendr´ ıa df (c) = 0, ya que la derivada de una funci´n constante es en todo punto igual a o dx cero. b) f no es constante en [a, b] y entonces, por la continuidad de la funci´n, tendr´ o a que existir al menos un punto c ∈ (a, b) donde la funci´n f alcance su valor m´ximo o a o su valor m´ ınimo en el intervalo [a, b]. Esta ultima afirmaci´n es cierta, pues si f ´ o alcanzara tanto su valor m´ximo como su valor m´ a ınimo en los extremos del intervalo [a, b], siendo f (a) = f (b), se tendr´ que f es constante en [a, b] y ese no es ahora ıa el caso, luego o el valor m´ximo o el valor m´ a ınimo de f en [a, b] se alcanza en el interior de [a, b]. Supongamos que es el valor m´ximo de f el que se alcanza en un a punto c del intervalo abierto (a, b), es decir, c ∈ (a, b) y f (c) f (x) para toda x ∈ [a, b]. Evaluando la derivada de f en c tendremos df f (c + h) − f (c) (c) = lim . dx h→0 h df Ahora veamos el signo de (c). Si la magnitud h de la variaci´n de la variable o dx independiente en x = c se toma mayor que cero, el cociente diferencial tendr´ signo a negativo f (c + h) − f (c) 0 si h > 0, h ya que f (c+h)−f (c) 0 para todo c+h ∈ [a, b], puesto que f (c) es el valor m´ximoa de la funci´n en el intervalo. En vista de lo anterior, al tomar h valores positivos que o 2 Por Michel Rolle (1652-1719), matem´tico franc´s, quien lo public´ en 1691. a e o
- 116. 116 Teorema del valor medio y sus aplicaciones tienden a cero, los cocientes diferenciales correspondientes ser´n siempre menores o a iguales a cero y deber´n tener como l´ a ımite un n´mero menor o igual que cero, es u decir f (c + h) − f (c) df lim = (c) 0. h→0+ h dx An´logamente, si la magnitud de la variaci´n h es negativa, el valor del cociente a o ser´ siempre mayor que cero, a f (c + h) − f (c) 0, si h < 0, h y, por lo tanto, su l´ ımite ser´ tambi´n mayor o igual a cero: a e f (c + h) − f (c) df lim = (c) 0. h→0− h dx De las dos estimaciones anteriores, concluimos que, si existe la derivada en x = c, se debe tener df (c) = 0, dx con lo que hemos probado la validez del teorema del valor medio en el caso particular de que f (a) = f (b). En el caso general, si f (a) = f (b), consideremos la funci´n auxiliar g : [a, b] → R o definida por f (b) − f (a) g(x) = f (x) − f (a) − (x − a), b−a la cual es una funci´n derivable en (a, b) y tal que o g(b) = g(a) = 0. dg Luego, en virtud del caso anterior, existir´ c ∈ (a, b) tal que a (c) = 0, y escribiendo dx esto ultimo en t´rminos de la funci´n original f, se tiene ´ e o dg df f (b) − f (a) 0= (c) = (c) − , dx dx b−a es decir, df f (b) − f (a) = (c)(b − a), dx donde c ∈ (a, b), y as´ hemos probado el teorema en general. ı Una generalizaci´n muy importante del teorema del valor medio es la siguiente. o
- 117. 6.3 Aplicaciones delteorema del valor medio 117 Teorema 6.2 (del valor medio generalizado 3 ) Sean f (x) y g(x) dos fun- ciones continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b); supongamos, dg adem´s, que a (x) = 0 para toda x ∈ (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) dx tal que df f (b) − f (a) (c) = dx . g(b) − g(a) dg (c) dx dg Note que si (x) = 0 para toda x ∈ (a, b), entonces g(b) − g(a) = 0. dx ´ Demostracion. Consideremos la funci´n o h(x) = (f (b) − f (a))(g(x) − g(a)) − (g(b) − g(a))(f (x) − f (a)), la cual es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Por lo tanto, en virtud del teorema del valor medio, existe c ∈ (a, b) tal que dh h(b) − h(a) = (c)(b − a) dx y escribiendo esta ultima expresi´n en t´rminos de las funciones f (x) y g(x), se tiene ´ o e dg df 0 = (f (b) − f (a)) (c) − (g(b) − g(a)) (c) (b − a), dx dx o lo que es lo mismo, df f (b) − f (a) (c) = dx , g(b) − g(a) dg (c) dx como se quer´ demostrar. ıa 6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio Como consecuencia directa del teorema del valor medio, se tienen los siguientes corolarios que recogen y generalizan las afirmaciones que hicimos en la secci´n 6.1 o para el caso del movimiento de un autom´vil. o 3 Este resultado se debe a Cauchy y, por eso, a veces se le llama teorema de Cauchy.
- 118. 118 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 6.3.1 Significado del signo de la derivada En primer lugar, presentamos el siguiente corolario que consigna la informaci´n que o el signo de la funci´n derivada proporciona sobre la funci´n y su comportamiento. o o La demostraci´n es directa a partir del teorema del valor medio y se deja al lector. o Corolario 6.3 Sea f : (a, b) → R una funci´n derivable. o df a) Si (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f (x1 ) > f (x2 ) siempre que dx x1 > x2 y x1 , x2 ∈ (a, b). Es decir, f es una funci´n creciente en (a, b). o df b) Si (x) < 0 para toda x ∈ (a, b), entonces f (x1 ) < f (x2 ) siempre que dx x1 > x2 y x1 , x2 ∈ (a, b). Es decir, f es una funci´n decreciente en (a, b). o df c) Si (x) = 0 para toda x ∈ (a, b), entonces f (x) = constante en (a, b). dx d) Si f (x) y g(x) son funciones derivables definidas en un mismo intervalo (a, b) y en cada punto x ∈ (a, b) se tiene que df dg (x) = (x), dx dx entonces f (x) = g(x) + c para toda x ∈ (a, b) y alg´n c ∈ R. Es decir, las funciones f y g difieren u por una constante. 1 2 2 Ejemplo 6.1 La funci´n f (x) = o 16 x (3x + 4x − 12), definida en todo R, tiene por funci´n derivada o df 3 3 3 3 (x) = x3 + x2 − x = x(x + 2)(x − 1). dx 4 4 2 4 Luego, el signo de la funci´n derivada es o a) positivo, si x ∈ (−2, 0) ∪ (1, ∞), b) cero si x = −2, 0, 1, c) negativo si x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, 1). Aplicando el corolario 6.3, tenemos que la funci´n f es creciente en (−2, 0) ∪ o (1, ∞) y decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 1). Adem´s, f tiene un m´ a ınimo local en x = −2 con valor f (−2) = −2, un m´ximo local en x = 0 con valor f (0) = 0 y a un m´ ınimo local en x = 1 con valor f (1) = −5/16. El m´ ınimo absoluto se alcanza en x = −2, mientras que no posee m´ximo absoluto pues crece sin l´ a ımite cuando x → ±∞. (Ver figura 6.1.) ⊳
- 119. 6.3 Aplicaciones delteorema del valor medio 119 f (x) 1 1 x -3 -2 -1 0 2 -1 -2 1 2 Figura 6.1 Gr´fica de la funci´n f (x) = a o x (3x2 + 4x − 12) 16 6.3.2 La funci´n segunda derivada o Tomando en cuenta que la funci´n segunda derivada es la funci´n derivada de la o o funci´n derivada de f, el conjunto de enunciados, teoremas y corolarios anteriores o son aplicables a la segunda derivada, dando lugar a una mayor informaci´n sobre la o funci´n inicial. En el caso de que f sea la funci´n de posici´n de un auto, la segunda o o o derivada se llama funci´n de aceleraci´n o de variaci´n de la velocidad con respecto o o o al tiempo. Teorema 6.4 Sea f : (a, b) → R una funci´n que tiene segunda derivada en (a, b) o y c ∈ (a, b). Entonces, para cada punto x0 ∈ (a, b), la diferencia o error R(x0 ) = f (x0 ) − P (x0 ) entre f (x0 ) y el valor en x0 del polinomio de primer grado df P (x) = f (c) + (c)(x − c) en x0 , es tal que dx d2 f R(x0 ) = (xc )(x0 − xc )(x0 − c), dx2 donde xc ∈ (c, x0 ). ´ Demostracion. Definamos la funci´n o df g(x) = f (x) + (x)(x0 − x). dx N´tese que o dg d2 f (x) = (x)(x0 − x). dx dx2 Si x0 ∈ [c, b), al aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [c, x0 ] a la funci´n o g obtenemos dg g(x0 ) − g(c) = (xc )(x0 − c), (6.2) dx
- 120. 120 Teorema del valor medio y sus aplicaciones donde xc ∈ (c, x0 ). Al escribir la expresi´n (6.2) en t´rminos de la funci´n f , se o e o tiene que df d2 f f (x0 ) − f (c) − (c)(x0 − c) = (xc )(x0 − xc )(x0 − c), dx dx2 lo que prueba el teorema. Corolario 6.5 Bajo las hip´tesis del teorema 6.4 y suponiendo adem´s que la fun- o a ci´n segunda derivada es acotada por un n´mero M, es decir, que o u d2 f (x) M para todo x ∈ (a, b), dx2 se tiene la siguiente estimaci´n para el error R(x0 ) en cada punto x0 ∈ (a, b) o df |R(x0 )| = f (x0 ) − f (c) − (c)(x0 − c) M |x0 − c|2 . dx Corolario 6.6 Sea f : (a, b) → R una funci´n con segunda derivada en (a, b). o Entonces los siguientes enunciados son v´lidos: a d2 f 1. Si (x) = 0 para cada x ∈ (a, b), entonces f (x) = mx + n, con m, n dx2 constantes. Es decir, f es una funci´n af´ o ın. d2 f d2 f 2. Si (x) > 0 (o (x) < 0) para toda x ∈ (a, b), la gr´fica de la funci´n a o dx2 dx2 f se encuentra de un mismo lado de la recta tangente df y = f (c) + (c)(x − c) dx en el punto (c, f (c)), ya que df d2 f f (x) − f (c) − (c)(x − c) = (xc )(x − xc )(x − c) > 0 (< 0). dx dx2 df Si, adem´s, a (x) > 0, entonces la funci´n es creciente de manera o dx d2 f df c´ncava hacia arriba en (a, b). En el caso de que o (x) < 0 y (x) > 0, dx2 dx la funci´n f es creciente de manera c´ncava hacia abajo en (a, b). o o
- 121. 6.3 Aplicaciones delteorema del valor medio 121 6.3.3 Curvatura de curvas en el plano Consideremos en el plano cartesiano la curva de forma y = f (x) para x ∈ (a, b), donde f es una funci´n con segunda derivada continua. En cada punto P = o (x0 , f (x0 )) de la curva, a la recta N0 cuya ecuaci´n es o 1 y = f (x0 ) − (x − x0 ) (6.3) df (x0 ) dx se le llama la recta normal a f por P. Esta recta es perpendicular a la recta tangente df por P a f (x). Si (x0 ) = 0, la ecuaci´n de N0 es x = x0 . o dx Para puntos Q = (x0 + h, f (x0 + h)) con h = 0 cercanos a P, la recta normal Nh a f por Q toma la forma 1 y = f (x0 + h) − (x − x0 − h). (6.4) df (x0 + h) dx Resolviendo las ecuaciones (6.3) y (6.4) para (x, y), se obtienen las coordenadas del punto de intersecci´n Ch = (xh , yh ) de N0 y Nh en la forma o df df (x0 + h) (x0 ) h xh = x0 − dx dx f (x0 + h) − f (x0 ) + , df df df (x0 + h) − (x0 ) (x0 + h) dx dx dx df (x0 + h) h yh = f (x0 ) + dx f (x0 + h) − f (x0 ) + . df df df (x0 + h) − (x0 ) (x0 + h) dx dx dx df Aplicando el teorema del valor medio en [x0 , x0 + h], a las funciones f (x) y (x), dx escribimos df f (x0 + h) − f (x0 ) = (x1 )h, dx df df d2 f (x0 + h) − (x0 ) = (x2 )h, dx dx dx2
- 122. 122 Teorema del valor medio y sus aplicaciones donde x1 , x2 ∈ (x0 , x0 + h). As´ las coordenadas del punto Ch , se reescriben ı, df df (x0 + h) (x0 ) df h xh = x0 − dx 2 dx (x1 )h + d f dx df (x2 )h (x0 + h) dx2 dx df df (x0 + h) (x0 ) df 1 = x0 − dx 2f dx (x1 ) + , d dx df (x2 ) (x0 + h) dx2 dx df (x0 + h) df h yh = f (x0 ) + dx2 (x1 )h + d f dx df (x2 )h (x0 + h) dx2 dx df (x0 + h) df 1 = f (x0 ) + dx 2 (x1 ) + . d f dx df (x2 ) (x0 + h) dx2 dx Haciendo ahora tender h a cero, se tiene x1 → x0 y x2 → x0 ; luego el punto C0 = lim Ch = ( lim xh , lim yh ) h→0 h→0 h→0 toma la forma 2 1 df df C0 = (x0 , f (x0 )) + 2 1+ (x0 ) − (x0 ), 1 . d f dx dx (x0 ) dx2 Al punto C0 se le llama el centro de curvatura de f en el punto P y a su distancia ρ al punto P, dada por 3 2 1 df 2 ρ= 2 1+ (x0 ) , d f dx (x0 ) dx2 se le llama el radio de curvatura de f en P. Finalmente, se define la curvatura κ(x0 ) en el punto (x0 , f (x0 )) de la curva como 1 κ(x0 ) = . ρ En particular, una circunferencia de radio r tiene curvatura constante 1/r. Por esa raz´n, al c´ o ırculo con centro en C0 y radio ρ se le llama c´ ırculo de curvatura (o c´ ırculo osculador) de la curva en P.
- 123. 6.4 El teoremade Taylor 123 Ejemplo 6.2 Usando los c´lculos anteriores para la funci´n y = f (x) = x3 − x2 + 1 a o en x0 = 1, encontramos lo siguiente: la recta normal N0 en el punto P (x0 , f (x0 )) = (1, 1) es y = −x + 2; la recta normal Nh en el punto Q(x0 + h, f (x0 + h)) es x 3 y=− 2 + 1 + h + 2 h2 + h3 + ; 1 + 4h + 3h h+1 1 3 el centro de curvatura es C0 = (h, k) = , ; 2 2 √ 2 el radio de curvatura es ρ = . (Ver figura 6.2.) ⊳ 2 y = f (x) Ch ρ 3 k= 2 1 Nh N0 x 1 1 h= 2 Figura 6.2 El c´ırculo de curvatura para la funci´n o f (x) = x3 − x2 + 1 en x0 = 1 6.4 El teorema de Taylor Los valores de una funci´n y de sus derivadas de orden superior en un punto x0 de su o dominio proporcionan informaci´n importante sobre su comportamiento alrededor o de ese punto. Por ejemplo, si todas las derivadas de orden k de la funci´n f se o anulan en un intervalo, entonces la funci´n es un polinomio de grado k, como lo o mostramos en la proposici´n siguiente. o Proposici´n 6.7 Si f : (a, b) → R es una funci´n que posee derivada de orden k o o en cada punto x ∈ (a, b) con dk f (x) = 0 para x ∈ (a, b), dxk y x0 es un punto arbitrario de (a, b), entonces f (x) es un polinomio de grado k − 1 de la forma f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + ak−1 (x − x0 )k−1 ,
- 124. 124 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 1 dj f donde a0 = f (x0 ), aj = (x0 ), para j = 1, 2, . . . , k − 1. j! dxj ´ Demostracion. Consideremos la funci´n o df 1 d2 f g(x) = f (x) + (x)(x0 − x) + (x)(x0 − x)2 dx 2! dx2 1 dk−1 f +··· + (x)(x0 − x)k−1 . (k − 1)! dxk−1 Derivando, obtenemos dg (x) = 0. dx Por lo tanto, g es constante y g(x) = f (x0 ), y podemos escribir df 1 d2 f f (x0 ) = f (x) + (x)(x0 − x) + (x)(x0 − x)2 dx 2! dx2 1 dk−1 f +··· + (x)(x0 − x)k−1 . (k − 1)! dxk−1 Como x y x0 son puntos arbitrarios de (a, b), los podemos intercambiar y obtener df 1 d2 f f (x) = f (x0 ) + (x0 )(x − x0 ) + (x0 )(x − x0 )2 dx 2! dx2 1 dk−1 f +··· + (x0 )(x − x0 )k−1 . (k − 1)! dxk−1 En el caso de funciones con derivadas de orden superior, el teorema del valor medio permite dar una estimaci´n de la diferencia entre la funci´n y el polinomio o o construido como en la proposici´n 6.7. Este nuevo resultado se conoce como teorema o de Taylor,4 el cual presentamos a continuaci´n. o Consideremos una funci´n real f : [a, b] → R que tenga derivadas de orden k en o cada punto de (a, b). Tomemos un punto c ∈ (a, b) y definamos el polinomio Pck (x) de grado k mediante df 1 d2 f 1 dk f Pck (x) = f (c) + (c)(x − c) + (c)(x − c)2 + · · · + (c)(x − c)k . dx 2! dx2 k! dxk Directamente podemos verificar que los valores de Pck (x) y f, as´ como los de sus ı derivadas hasta orden k, coinciden en el punto c. Es decir, dPck df dk Pck dk f Pck (c) = f (c), (c) = (c), · · · , (c) = (c). dx dx dxk dxk 4 Brook Taylor (1685-1731), matem´tico ingl´s. Enunci´, en 1712, el teorema que lleva su nombre. a e o
- 125. 6.4 El teoremade Taylor 125 Al polinomio Pck se le llama el polinomio de Taylor de grado k en el punto c de la funci´n f. o Teorema 6.8 (de Taylor) Sea f : [a, b] → R con derivadas hasta de orden k+1 en (a, b) y consideremos Pck (x) su polinomio de Taylor de grado k alrededor del punto c ∈ (a, b). Entonces, para cada punto x0 ∈ (a, b) la diferencia R(x0 ) = f (x0 ) − Pck (x0 ) entre el valor de f y el valor del polinomio de Taylor Pck (x0 ) en el punto x = x0 , es tal que 1 dk+1 f R(x0 ) = (xc )(x0 − xc )k (x0 − c), k! dxk+1 donde xc es un punto entre c y x0 . A la funci´n R(x) se le llama tambi´n la o e funci´n residuo de orden k. o ´ Demostracion. Si x0 ∈ [c, b), aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [c, x0 ] a la funci´n o df 1 dk f g(x) = f (x) + (x)(x0 − x) + · · · + (x)(x0 − x)k = dx k! dxk k 1 di f = f (x) + (x)(x0 − x)i , i! dxi i=1 se tiene dg g(x0 ) − g(c) = (xc )(x0 − c), dx donde xc ∈ (c, x0 ). Por otro lado, g(x0 ) − g(c) = R(x0 ). dg Calculando directamente el t´rmino e (xc ), se tiene dx k dg df 1 di+1 f (xc ) = (xc ) + (xc )(x0 − xc )i dx dx i! dxi+1 i=1 k 1 di f − (xc )(x0 − xc )i−1 . (6.5) (i − 1)! dxi i=1 Reacomodando los ´ ındices de la ultima suma en la forma ´ k k−1 1 di f 1 di+1 f (xc )(x0 − xc )i−1 = (xc )(x0 − xc )i , (i − 1)! dxi i! dxi+1 i=1 i=0
- 126. 126 Teorema del valor medio y sus aplicaciones y sustituyendo en (6.5), obtenemos que el error R(x0 ) es dg 1 dk+1 f R(x0 ) = (xc )(x0 − c) = (xc )(x0 − xc )k (x0 − c), dx k! dxk+1 donde xc es un punto en el intervalo (c, x0 ). Nota Importante: 1. El teorema 6.8 nos da expl´ ıcitamente el valor de la diferencia entre el valor de la funci´n f en el punto x0 y el valor del polinomio de Taylor en ese mismo o punto. Esa diferencia est´ dada en t´rminos de la (k + 1)-´sima derivada en a e e un punto intermedio xc entre el punto x0 y el punto c donde se calculan los coeficientes del polinomio de Taylor. Ese punto xc depende del punto x0 y su existencia la asegura el teorema del valor medio. 2. Si la funci´n derivada de orden (k + 1) de la funci´n f (x) es acotada en (a, b), o o es decir, si existe M > 0 tal que dk+1 f (x) < M para toda x ∈ (a, b), dxk+1 entonces se tiene la estimaci´n siguiente para la funci´n error: o o 1 |R(x0 )| < M |x0 − c|k+1 k! para cada x0 ∈ (a, b). 3. El valor de la funci´n residuo R(x0 ) depende de la distancia del punto x0 al o punto c, donde se determina el polinomio, y de la cota M de la (k + 1)-´sima e derivada en el intervalo [c, x0 ]. 4. Tambi´n se acostumbra escribir el residuo en la forma e x0 − xc = x0 − c − θ(x0 − c) = (1 − θ)(x0 − c) donde 0 < θ < 1, y 1 dk+1 f R(x0 ) = (xc )(1 − θ)k (x0 − c)k+1 . k! dxk+1 Esta f´rmula para el residuo se le atribuye a Cauchy. o La aproximaci´n de una funci´n por su polinomio de Taylor permite calcular o o el valor de la funci´n en puntos cercanos a un punto donde se pueda conocer o expl´ ıcitamente el valor de la funci´n y sus derivadas. Enseguida se muestra este o tipo de aplicaciones.
- 127. 6.4 El teoremade Taylor 127 Ejemplo 6.3 Aplicando la f´rmula para el residuo, calcule el error que se comete √ o al evaluar 10 usando el polinomio de Taylor de orden 1 en el punto x = 9. √ Soluci´n: Sea f (x) = x y consideremos su polinomio de Taylor de orden 1 o alrededor de x = 9, 1 1 P9 (x) = 3 + (x − 9). 6 Por el teorema de Taylor, se tiene que √ 1 x = 3 + (x − 9) + R(x) 6 con d2 f R(x) = (xc )(x − xc )(x − 9), donde xc ∈ [9, x]. dx2 Luego, √ 1 10 ≈ 3 + , 6 con un error R(10) acotado por √ d2 x 1 1 1 |R(10)| (xc ) , dx2 4 x3c 4(27) ya que xc ∈ [9, 10]. En conclusi´n, o √ 10 ≈ 3.16 ⊳ con un error menor que 0.01. Ejemplo 6.4 Para x ∈ (−1, 1), encuentre el polinomio de Taylor que aproxima a la funci´n sen x con un error menor que 10−3 . Calcule con dos cifras decimales el o valor de sen(1/2). Soluci´n: Como los puntos de (−1, 1) son cercanos a x = 0, donde se conoce o exactamente el valor de las derivadas de la funci´n sen x, entonces los polinomios o de Taylor en cero son los apropiados para aproximar a esa funci´n en puntos de o (−1, 1). Notemos primero que todas las derivadas de la funci´n sen x son funciones o acotadas: dn sen x (x) 1, para toda x ∈ R y n natural. dxn Para k natural, el polinomio de Taylor de orden 2k + 1 en el punto x = 0, toma la forma 2k+1 1 1 (−1)k 2k+1 P0 (x) = x − x3 + x5 − · · · + x 3! 5! (2k + 1)! 2k+1 y la diferencia R(x) entre sen x y P0 (x) es 2k+1 sen x − P0 (x) = R(x)
- 128. 128 Teorema del valor medio y sus aplicaciones con 1 |R(x)| |x|2k+2 . (2k + 1)! 1 Luego, para x ∈ (−1, 1), se tiene |R(x)| y, por lo tanto, |R(x)| 10−3 (2k + 1)! si k = 3. As´ el polinomio de Taylor de grado menor que aproxima a sen x para ı, todo x ∈ (−1, 1) con un error menor que 10−3 es 7 1 3 1 1 P0 (x) = x − x + x5 − x7 . 3! 5! 7! 2k+1 Para el valor de sen(1/2), el error R(1/2) = sen(1/2) − P0 (1/2) es tal que 1 |R(1/2)| . 22k+2 (2k + 1)! Entonces, para estimar sen(1/2) con 2 cifras decimales, basta tomar k = 2 : 1 1 23 sen(1/2) ≈ − = = 0.47 . . . ⊳ 2 48 48 6.4.1 Puntos regulares, cr´ ıticos y de inflexi´n o Los puntos del dominio de una funci´n real f (x) que posee una o m´s derivadas o a continuas, se clasifican en: puntos regulares, que son aqu´llos donde la derivada es distinta de cero, y e puntos cr´ıticos o puntos singulares, donde la derivada es igual a cero. La propiedad caracter´ ıstica de un punto regular es que existe un intervalo con centro en ese punto, donde la funci´n es mon´tona y, por lo tanto, posee ah´ funci´n o o ı o inversa. Esto se debe a que, al ser la derivada de la funci´n en ese punto distinta o de cero, por la continuidad de la funci´n derivada, debe ser distinta de cero en un o intervalo alrededor de ese punto y, por el teorema del valor medio, en ese intervalo la funci´n ser´ mon´tona y por lo tanto tendr´ funci´n inversa en el intervalo en o a o a o cuesti´n. o Si la funci´n f : [a, b] → R es una funci´n continua, a un punto c ∈ (a, b) se le o o dice punto m´ximo local (o punto m´ a ınimo local), si existe un intervalo I con centro en c tal que f (c) f (x) para todo x ∈ I (o f (c) f (x) para todo x ∈ I, respectivamente). Note que los puntos m´ximos a y m´ınimos locales tienen esa propiedad solamente en un intervalo alrededor de ese punto. Es posible que el m´ximo global de la funci´n f (x) se alcance en alguno de a o los puntos extremos del intervalo inicial [a, b] y que en ellos la derivada tenga un valor distinto de cero, como se ve en la figura 6.3. Lo importante es que si un punto interior c ∈ (a, b) es m´ximo o m´ a ınimo local de f (x), necesariamente la derivada de f se debe anular en c y ese punto ser´ un punto cr´ a ıtico. Para demostrar lo anterior,
- 129. 6.4 El teoremade Taylor 129 f (x) x a b df Figura 6.3 f (b) es m´ximo y a (b) > 0 dx supongamos que c ∈ (a, b) es un m´ximo local en el intervalo I = (c − ε, c + ε). Si a calculamos la derivada de f en x = c, tendremos df f (c + h) − f (c) (c) = lim . dx h→0 h Si la sucesi´n {hn }∞ es de n´meros positivos, la sucesi´n de los cocientes o n=1 u o ∞ f (c + hn ) − f (c) hn n=1 es una sucesi´n de n´meros negativos pues el numerador es negativo ya que f (c) o u f (c + hn ) − f (c) f (c + hn ) y el denominador hn es positivo. Luego, lim ser´ menor a n→∞ hn o igual a cero. An´logamente, si tomamos la sucesi´n {hn }∞ de n´meros negativos a o n=1 u f (c + hn ) − f (c) que convergen a cero, la sucesi´n de cocientes o ser´ una sucesi´n a o hn f (c + hn ) − f (c) de n´meros positivos y lim u deber´ ser entonces mayor o igual a a n→∞ hn df cero. Como ese l´ ımite es precisamente la derivada (c), tenemos entonces que la dx unica manera en que ambas sucesiones converjan a un mismo n´mero es que ese ´ u n´mero sea igual a cero. Con esta argumentaci´n concluimos que si x = c es un u o punto m´ximo o m´ a ınimo local de f, entonces se cumple que df (c) = 0. dx Nota Importante: La condici´n de que la derivada de una funci´n f se anule en los puntos m´ximos o o a y m´ınimos locales es una condici´n necesaria que cumplen ese tipo de puntos. Sin o embargo, por s´ sola no es una condici´n suficiente para asegurar que esos puntos ı o sean m´ximos o m´ a ınimos locales. Por ejemplo, la derivada de la funci´n f (x) = x3 o se anula en cero; sin embargo, ese punto no es m´ximo ni m´ a ınimo local pues la funci´n crece a su derecha y decrece a su izquierda. o
- 130. 130 Teorema del valor medio y sus aplicaciones La observaci´n anterior nos lleva de manera natural a plantear el problema o de encontrar condiciones adicionales al anulamiento de la derivada en un punto para poder asegurar que ese punto sea un m´ximo o m´ a ınimo local. Una de esas condiciones, se tiene en t´rminos del signo de la segunda derivada, como sigue. e Proposici´n 6.9 Sea f : [a, b] → R una funci´n que tiene funci´n segunda derivada o o o df d2 f continua y sea c ∈ (a, b) un punto cr´ ıtico (c) = 0 . Entonces, si (c) < 0, dx dx2 d2 f el punto c es un m´ximo local y si a (c) > 0, el punto c es un m´ ınimo local. dx2 ´ Demostracion. Probaremos unicamente el primer caso; el segundo se demuestra ´ d2 f de manera an´loga y se deja al lector. Como a (x) es una funci´n continua con o dx2 d2 f (c) < 0, existe un intervalo I = (c − ε, c + ε) con centro en c y radio ε > 0 tal dx2 d2 f que (x) < 0 para toda x ∈ I. M´s a´n, para cada x ∈ (c − ε, c + ε) se tiene, por a u dx2 el teorema de Taylor de orden 2, la estimaci´n o df d2 f f (x) − f (c) − (c)(x − c) = (xc )(x − c)(x − xc ), dx dx2 df d2 f donde xc es un punto entre x y c. Tomando en cuenta que (c) = 0 y que 2 (xc ) < dx dx 0, resulta que f (x) − f (c) < 0, para toda x ∈ I, lo cual muestra que f (c) es el valor m´ximo de f en el intervalo (c − ε, c + ε) y c es a un m´ximo local de f. a Finalmente, en esta secci´n presentamos el concepto de punto de inflexi´n. o o Un punto x = c se llama punto de inflexi´n de una funci´n y = f (x) derivable o o en c, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que la funci´n R(x) = o df f (x) − f (c) − (c)(x − c) es negativa si x < c y positiva si x > c, o rec´ ıprocamente: dx es negativa si x > c y positiva si x < c. Para funciones que poseen segunda derivada continua, si x = c es un punto de inflexi´n existe un intervalo abierto I que contiene a c donde la funci´n cambia de o o concavidad; es decir, d2 f d2 f (x) < 0 si x < c y (x) > 0 si x > c, o dx2 dx2 d2 f d2 f (x) > 0 si x < c y (x) < 0 si x > c. dx2 dx2
- 131. 6.4 El teoremade Taylor 131 En este caso, el teorema del valor intermedio aplicado a la funci´n segunda o derivada implica que si x = c es un punto de inflexi´n de f , la segunda derivada de o d2 f f se anula en ese punto, es decir (c) = 0. dx2 Nota Importante: En un punto de inflexi´n de una funci´n f no necesariamente se anula su derivada. o o df Por ejemplo, para la funci´n f (x) = x3 − x, se tiene o (0) = −1 y el punto x = 0 dx d2 f es punto de inflexi´n, ya que la funci´n segunda derivada, o o (x) = 6x, es negativa dx2 si x < 0 y positiva si x > 0. Finalizamos esta secci´n con el siguiente teorema, que nos proporciona un criterio o general para caracterizar los puntos cr´ ıticos y los puntos de inflexi´n de una funci´n. o o Teorema 6.10 Sea f : [a, b] → R una funci´n que tiene derivadas continuas o de orden r en (a, b) y c ∈ (a, b). Supongamos que d2 f d3 f dr−1 f (c) = (c) = · · · = (c) = 0, (6.6) dx2 dx3 dxr−1 dr f pero (c) = 0. Entonces: dxr df dr f a) Si (c) = 0 y r es par con (c) > 0, el punto c es un punto m´ ınimo dx dxr local; df dr f b) Si (c) = 0 y r es par con (c) < 0, el punto c es un m´ximo local; a dx dxr c) Si r es impar, c es un punto de inflexi´n. o ´ Demostracion. Aplicando el teorema de Taylor (teorema 6.8), se tiene para cada x ∈ (a, b) la estimaci´n siguiente: o df 1 dr−1 f f (x) − f (c) − (c)(x − c) − · · · − (c)(x − c)r−1 dx (r − 1)! dxr−1 (6.7) 1 dr f = (xc )(x − xc )r−1 (x − c). (r − 1)! dxr Debido a (6.6), la expresi´n (6.7) toma la forma o df 1 dr f f (x) − f (c) − (c)(x − c) = (xc )(x − xc )r−1 (x − c), dx (r − 1)! dxr
- 132. 132 Teorema del valor medio y sus aplicaciones df donde x − xc > 0 si x > c y x − xc < 0 si x < c. En el caso de que (c) = 0 y rf rf dx d d (c) > 0, de la continuidad de (x) en x = c podemos asegurar la existencia de dxr dxr dr f un intervalo de la forma (c − ε, c + ε) donde (x) > 0 para toda x ∈ (c − ε, c + ε) rf dxr d y, en particular, (xc ) > 0 pues |xc − c| < ε. Por lo tanto, siendo r un n´mero u dxr par, el lado derecho de (6.7) ser´ a 1 dr f f (x) − f (c) = (xc )(x − xc )r−1 (x − c) > 0 (r − 1)! dxr para cada x ∈ (c − ε, c + ε), lo cual significa que x = c es un punto m´ ınimo local pues f (x) > f (c) para toda x ∈ (c − ε, c + ε). dr f En el caso de que (xc ) < 0 un argumento an´logo al anterior prueba que x = c a dxr tiene que ser un punto m´ximo local. a dr f Finalmente, para probar c) supongamos que (x) > 0. Por la continuidad de rf dxr d dr f (x) en x = c, existe un intervalo de la forma (c − ε, c + ε) donde (x) > 0 dxr dxr para toda x ∈ (c − ε, c + ε) y al ser r un n´mero impar, el t´rmino de la derecha en u e (6.7) tiene la forma 1 dr f (xc )(x − xc )r−1 (x − c), (r − 1)! dxr que toma signos contrarios al evaluarlo en puntos x a la derecha y a la izquierda de c, lo que significa que c es un punto de inflexi´n. o Ejemplo 6.5 Los puntos del dominio de la funci´n f : R → R con f (x) = 8x9 −9x8 o se clasifican de la forma siguiente: De la funci´n primera derivada o df (x) = 72x7 (x − 1) dx concluimos que el conjunto A de puntos regulares de f es A = R− {0, 1} . La funci´n segunda derivada es o d2 f (x) = 504x6 (x − 1) + 72x7 = 72x6 (8x − 7). dx2
- 133. 6.4 El teoremade Taylor 133 df d2 f Concluimos que x = 1 es m´ınimo local, pues (1) = 0 y 2 (1) > 0. Finalmente, dx d x para el punto x = 0, tenemos d2 f d3 f d7 f d8 f (0) = 0, (0) = 0, · · · , 7 (0) = 0, (0) < 0 dx2 dx3 dx dx8 y por lo tanto x = 0 es un m´ximo local. La gr´fica de f aparece en la figura 6.4.⊳ a a f (x) 1 -1 0 1 x -1 Figura 6.4 Gr´fica de la funci´n f (x) = 8x9 − 9x8 a o Ejemplo 6.6 Supongamos que la gr´fica de la derivada de la funci´n y = f (x) en a o el intervalo (0, 10) es la que se muestra en la figura 6.5. df (x) dx 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 0 -1 -2 -3 -4 df Figura 6.5 Gr´fica de a (x) dx Podemos observar las caracter´ ısticas siguientes de la funci´n f : o df a) Es creciente en los intervalos [2, 6] y [8, 10) ya que en esos intervalos (x) es dx positiva.
- 134. 134 Teorema del valor medio y sus aplicaciones b) Es decreciente en los intervalos (0, 2] y [6, 8], puesto que en ellos df (x) es negativa. dx c) Es c´ncava hacia arriba en los intervalos (0, 4] y [7, 9], pues ah´ o ı d2 f (x) > 0. dx2 d) Es c´ncava hacia abajo en los intervalos [4, 7] y [9, 10), ya que o d2 f (x) < 0 en esos intervalos. dx2 df df d2 f e) Los puntos x = 2, 8 son m´ ınimos locales pues (2) = (8) = 0, (2) > 0 dx dx dx2 d2 f y (8) > 0. dx2 df d2 f f) El punto x = 6 es un m´ximo local pues a (6) = 0 y (6) < 0. dx dx2 h) Los puntos x = 4, 7, 9 son puntos de inflexi´n ya que o d2 f d2 f d2 f d3 f d3 f d3 f (4) = (7) = (9) = 0 y (4) = 0, 3 (7) = 0, 3 (9) = 0. dx2 dx2 dx2 dx3 dx dx i) La gr´fica de f tal que f (2) = 0 aparece en la figura 6.6. a ⊳ f (x) 8 7 6 5 4 3 2 1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 6.6 Gr´fica de f a Ejemplo 6.7 Determine las dimensiones del cilindro de ´rea m´ a ınima (incluyendo sus tapaderas) de volumen 1000 cm3. Soluci´n. Cada cilindro de volumen 1000 cm3 est´ totalmente determinado por el o a valor de su radio r o de su altura h ya que se tiene la relaci´n o πr2 h = 103
- 135. 6.4 El teoremade Taylor 135 Si tomamos el valor del radio r como la variable que define a los cilindros de volumen 103 cm3 , entonces su altura h(r) est´ dada por a 103 h(r) = , para r > 0. πr2 El ´rea A de sus lados y tapaderas es la funci´n A : (0, ∞) → R de la variable a o independiente r y est´ dada por a 2 · 103 A(r) = 2πrh(r) + 2πr2 = + 2πr2 . r Entonces, el problema planteado consiste en determinar el valor de r para el cual A(r) es m´ ınima. Lo anterior nos lleva a determinar los m´ ınimos locales de la funci´n o y despu´s a tomar aqu´l de ellos en el que A(r) tome el valor menor. Los m´ e e ınimos locales se encuentran entre los puntos r tales que dA 2 · 103 (r) = − 2 + 4πr = 0, dr r es decir, 3 1 r = 10 . 2π Tomando en cuenta que el valor de la segunda derivada en el unico punto cr´ ´ ıtico es d2 A 3 1 10 = 120π > 0, dr2 2π se tiene que dicho punto es m´ ınimo local y entonces el cilindro de ´rea m´ a ınima de volumen 1000 cm3 es aqu´l cuyas dimensiones son e 3 1 10 r = 10 , h= π , 2π 3 4 y el valor del ´rea m´ a ınima es √ 3 Amin = 300 2π. Observe que, tomando el radio muy peque˜o o muy grande, el ´rea del cilindro de n a volumen 1000 cm 3 se puede hacer tan grande como se quiera. ⊳ Ejemplo 6.8 Encuentre las dimensiones del rect´ngulo de ´rea m´xima que puede a a a inscribirse en la elipse x2 y 2 + 2 = 1, a2 b y tiene uno de sus lados sobre el eje mayor. Calcule el ´rea m´xima. a a
- 136. 136 Teorema del valor medio y sus aplicaciones y b a x ℓ Figura 6.7 El rect´ngulo del ejemplo 6.8 a Soluci´n. De la figura 6.7 observamos que cada rect´ngulo en cuesti´n est´ de- o a o a terminado por el valor del segmento ℓ se˜alado en la figura y su ´rea es la funci´n n a o A : (0, a) → R, de la variable ℓ, definida mediante la regla ℓ2 A(ℓ) = 2ℓb 1 − , 0 < ℓ < a. a2 Luego, el valor de ℓmax que da lugar al rect´ngulo inscrito de mayor ´rea deber´ a a a anular la derivada dA 2b a2 − 2ℓ2 max (ℓmax ) = = 0. dℓ a a2 − ℓ2 max Despejando ℓmax de la f´rmula anterior, se tiene o 1√ ℓmax = 2a. 2 Note que el valor de la segunda derivada en ℓmax es negativa y, por lo tanto, corres- ponde a un punto m´ximo local. Las dimensiones del rect´ngulo inscrito de ´rea a a a m´xima son a √ √ 2 base = 2a, altura = b, 2 y el ´rea m´xima, a a Amax = ab. Observe que cuando ℓ tiende a cero, el ´rea del rect´ngulo inscrito correspondiente a a ınimo del ´rea de los rect´ngulos inscritos en la tiende a cero, es decir, el valor m´ a a elipse es cero. ⊳ Ejemplo 6.9 Un deportista se encuentra en un punto A al borde de un lago circular de radio r Km y desea llegar al punto C, diametralmente opuesto a A. (Ver figura 6.8). Si puede correr a raz´n de vc Km por hora y remar en un bote a raz´n de vr Km o o por hora, ¿en qu´ ´ngulo θ con relaci´n al di´metro debe remar para luego correr ea o a sobre el borde del lago para alcanzar el punto opuesto en el menor tiempo posible?
- 137. 6.4 El teoremade Taylor 137 B r θ 2θ A r r C O Figura 6.8 Diagrama para el ejemplo 6.9 Soluci´n. Cada trayectoria posible est´ determinada por el ´ngulo θ y, correspon- o a a dientemente, tiene asociado un tiempo t(θ) de recorrido. La distancia recorrida en el agua es el lado AB del tri´ngulo is´sceles AOB, la cual es igual a 2r cos θ, mientras a o que la distancia recorrida en tierra es igual a la longitud del arco subtendido por el ´ngulo central 2θ, la cual es igual a 2rθ. Entonces, el tiempo de recorrido es la a π funci´n t : 0, o → R dada por 2 2r cos θ 2rθ t(θ) = + . vr vc Luego, el ´ngulo θmin correspondiente al tiempo m´ a ınimo de recorrido debe anular la derivada de t(θ), es decir dt −2r sen θmin 2r (θmin ) = + = 0. dθ vr vc vr π Note que si 0 < < 1, se tiene un unico punto cr´ ´ ıtico en 0, , dado por vc 2 vr θmin = arcsen vc y corresponde a un m´ ınimo local, ya que el valor de la segunda derivada en ese punto toma un valor negativo, d2 t −2r cos θmin (θ ) = 2 min < 0. dθ vr El valor del tiempo correspondiente a θmin es vr vr 2r cos arcsen 2r arcsen vc vc t(θmin ) = + vr vc 2 1 vr 1 vr = 2r 1− + arcsen , vr vc vc vc
- 138. 138 Teorema del valor medio y sus aplicaciones y define el m´ınimo absoluto de la funci´n en el intervalo [0, π ], ya que en los extremos o 2 π 2r π rπ θ = 0, se tiene t(0) = yt = , los valores de la funci´n t(θ) deben ser o 2 vr 2 vc π superiores a t(θmin ) por haber s´lo un punto cr´ o ıtico en (0, 2 ). vr Note que si 1, entonces el valor m´ ınimo de t(θ) se alcanza en el extremo vc 2r izquierdo de [0, π ] con θmin = 0 y con valor t(θmin ) = . 2 ⊳ vr 6.4.2 Reglas de L’Hospital A veces es necesario calcular el l´ ımite de cocientes de funciones en puntos en los cuales el l´ ımite de cada una de las funciones es cero o tienden a ±∞ simult´neamente. a Por ejemplo, l´ ımites del tipo 1 +x sen x x3 tan(x − a) lim , lim , lim . x→0 x x→0 1 x→a csc(x − a) +2 x En estos casos, el teorema del valor medio generalizado nos permite examinar el comportamiento de las funciones a partir del comportamiento de sus derivadas, proporcionando dos criterios muy utiles en tales casos, que se denominan reglas de ´ L’Hospital.5 Proposici´n 6.11 (Primera regla de L’Hospital) Sean f (x) y g(x) dos o dg funciones derivables en (a, b) y (x) = 0 para toda x ∈ (a, b). Si se tiene dx que df (x) lim f (x) = lim g(x) = 0 y lim dx = L, x→a x→a x→a dg (x) dx donde L ∈ R, o L = ±∞, entonces f (x) lim = L. x→a g(x) ´ Demostracion. Obs´rvese que si extendemos el dominio de definici´n de f (x) e o y g(x) al punto x = a defini´ndolas ah´ como f (a) = g(a) = 0, se tiene una ex- e ı tensi´n como funciones continuas a [a, b). Aplicando el teorema 6.2 del valor medio o 5 En honor de Guillaume de L’Hospital, mencionado en el cap´ ıtulo primero.
- 139. 6.4 El teoremade Taylor 139 generalizado en [a, x], podemos escribir df f (x) − f (a) f (x) (cx ) = = dx . g(x) − g(a) g(x) dg (cx ) dx donde cx ∈ (a, x). Tomando l´ ımite cuando x → a, se tiene que cx → a y de la hip´tesis, obtenemos o df f (x) (cx ) lim = lim dx = L, x→a g(x) x→a dg (cx ) dx con lo que se prueba la proposici´n. o Nota Importante: Cuando escribimos limx→a h(x) y la funci´n h(x) est´ definida en (a, b), nos referi- o a mos a que la variable x tiende a a con valores en el intervalo (a, b). Esto se escribe tambi´n en la forma limx→a+ h(x) para denotar que la variable se acerca de derecha e a izquierda hacia el punto a. Proposici´n 6.12 (Segunda regla de L’Hospital) Sean f (x) y g(x) dos o dg funciones derivables en (a, b) y (x) = 0 para toda x ∈ (a, b). Si se tiene dx que lim f (x) = ±∞, lim g(x) = ±∞ y x→a x→a df (x) lim dx =L con L ∈ R o L = ±∞, x→a dg (x) dx entonces f (x) lim = L. x→a g(x) ´ Demostracion. Consideremos a < x < t. Luego, en [a, t] tendremos la estimaci´n o df f (x) − f (t) (cx,t ) = dx g(x) − g(t) dg (cx,t ) dx donde ct,x ∈ (x, t). Haciendo uso de esta expresi´n, podemos escribir o df df f (x) (cx,t ) 1 (cx,t ) − L = dx f (t) − g(t) dx −L+ , g(x) dg g(x) dg (cx,t ) (cx,t ) dx dx
- 140. 140 Teorema del valor medio y sus aplicaciones y tomando el valor absoluto, se tiene df df f (x) (cx,t ) 1 (cx,t ) −L dx −L + f (t) − g(t) dx . g(x) dg g(x) dg (cx,t ) (cx,t ) dx dx Cuando t tiende al punto a, el punto intermedio cx,t tiende a a y se cumple df (cx,t ) lim dx − L = 0 por hip´tesis, o x→a dg (cx,t ) dx df (cx,t ) lim f (t) − g(t) dx = |f (t) − g(t)L|, x→a dg (cx,t ) dx 1 lim = 0, x→a g(x) lo cual muestra que f (x) lim − L = 0, x→a g(x) y la proposici´n queda probada. o Nota Importante: 1 La proposici´n 6.12 es v´lida a´n en el caso a = ±∞. Basta definir f1 (x) = f o a u x 1 y g1 (x) = g y aplicar la Regla de L’Hospital para esas nuevas funciones cuando x x → 0+ si a = +∞ o x → 0− si a = −∞. Ejemplo 6.10 Aplicando la regla de L’Hospital, los l´ ımites siguientes se calculan directamente: 1 a) lim x sen = 1. x→∞ x 1 1 sen Reescribiendo x sen = 1 x y tomando en cuenta que x x 1 1 lim = lim sen = 0, x→∞ x x→∞ x tenemos que 1 d sen x 1 1 − 2 cos lim dx = lim x x = lim cos 1 = 1. x→∞ dx1 x→∞ 1 x→∞ x − 2 dx x
- 141. 6.4 El teoremade Taylor 141 1 Luego, aplicando la regla de l’Hospital, se tiene que lim x sen = 1. x→∞ x b) lim x(2 arctan x − π) = −2. x→∞ Reescribiendo 2 arctan x − π x(2 arctan x − π) = 1 x y tomando en cuenta que 1 lim = lim (2 arctan x − π) = 0, x→∞ x x→∞ tenemos que d(2 arctan x − π) 2 2 −2x2 lim dx = lim 1 + x = lim = −2. x→∞ dx1 x→∞ 1 x→∞ 1 + x2 − 2 dx x Luego, aplicando la regla de l’Hospital, se tiene que lim x(2 arctan x − π) = −2. ⊳ x→∞
- 142. 142 Teorema del valor medio y sus aplicaciones Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Aplicando el teorema del valor medio, establezca la estimaci´n o | sen x − sen y| |x − y| para cualesquiera x, y ∈ R. 2. Pruebe, utilizando el teorema del valor medio, que toda funci´n con derivada o continua en un intervalo cerrado [a, b] es lipschitziana. (Sugerencia: recuerde que toda funci´n continua en un intervalo cerrado y acotado es acotada.) o 3. Si la gr´fica de la funci´n velocidad v = v(t) de un autom´vil, se ve cualita- a o o tivamente como en la figura 6.9, dibuje la gr´fica de la posici´n del auto con a o respecto al tiempo si la posici´n en el tiempo t = 1 era de 100 metros medidos o a partir del inicio de la carretera. Describa el movimiento del auto. v(t) 200 100 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 6.9 Gr´fica de la funci´n velocidad del ejercicio 3 a o 4. Determine los intervalos de monoton´ y los puntos m´ximos y m´ ıa a ınimos locales de la funci´n f (x) = 7x9 − 18x7 . Con la informaci´n anterior, dibuje la gr´fica o o a de f. 5. Sean P (x) y Q(x) dos polinomios de grado 2 tales que dP dQ d2 P d2 Q P (1) = Q(1), (1) = (1), 2 (1) = (1). dx dx dx dx2 Pruebe que los dos polinomios son iguales. 6. Determine los puntos regulares, clasifique los puntos cr´ ıticos y encuentre los puntos de inflexi´n de la funci´n o o 1 f (x) = x5 + x3 + x + 2. 5 7. Demuestre que si f (x) : R → R es una funci´n cuya tercera derivada se anula o en todos los puntos, entonces f (x) es un polinomio de grado dos. √ 8. Haciendo uso del teorema de Taylor, calcule 3 1.5 con tres cifras decimales.
- 143. 6.4 El teoremade Taylor 143 9. Sea f (x) una funci´n continua en el intervalo [−3, 3] y tal que su primera y o segunda funciones derivadas tienen las caracter´ ısticas se˜aladas. n > 0, si x ∈ (−3, −1) df (x) : = 0, si x = −1 dx < 0, si x ∈ (−1, 1) ∪ (1, 3) < 0, si x ∈ (−3, 0) ∪ (1, 3) d2 f (x) : = 0, si x = 0 dx2 > 0, si x ∈ (0, 1) (a) ¿En qu´ puntos de [−3, 3] tiene f (x) m´ximos o m´ e a ınimos locales? (b) ¿Qu´ puntos de [−3, 3] son puntos de inflexi´n? e o (c) Si f (0) = 0, dibuje la gr´fica de f (x) se˜alando sus intervalos de mono- a n ton´ sus concavidades, etc. ıa, 10. ¿En qu´ puntos de la curva y = −x3 +3x2 +1 tiene la pendiente de la tangente e por ese punto el valor m´ximo? a 11. De las ventanas con per´ ımetro 10 m y cuya forma es la uni´n de un rect´ngulo o a y un semic´ırculo cuyo di´metro coincide con el lado superior del rect´ngulo, a a encuentre aqu´lla que deja pasar la mayor cantidad de luz. e 12. Encuentre las dimensiones del cono circular recto de volumen m´ ınimo que pueda contener a la esfera de radio 4. 13. Para cada uno de los casos siguientes, diga si existe una funci´n dos veces o derivable que satisfaga las propiedades enunciadas. (Justifique sus respuestas.) df d2 f (a) (x) > 0, (x) > 0 y f (x) < 0 para todo x ∈ R. dx dx2 d2 f df (b) (x) > 0 y (x) < 0 para todo x ∈ R. dx2 dx d2 f (c) (x) > 0 y f (x) < 0 para todo x ∈ R. dx2 14. Aplicando las reglas de L’Hospital, eval´e los l´ u ımites siguientes: sen2 x (a) lim x→π x − π sen2 x (b) lim x→0+ x − tan x arcsen x (c) lim x→0 arctan x 3 sen x − sen 3x (d) lim x→0 3 tan x − tan 3x
- 144. 144 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 15. Si f (x) es una funci´n con derivadas continuas de orden cuatro, diga cu´les o a de los siguientes enunciados son verdaderos y cu´les son falsos, dando en este a ultimo caso un ejemplo para probarlo. ´ df (a) Si f es no decreciente en (a, b), entonces (x) 0 para toda x ∈ (a, b). dx df (b) Si (x) = 0 para toda x ∈ (a, b), entonces f no tiene m´ximos ni a dx m´ ınimos en (a, b). (c) Si f tiene dos m´ximos locales en (a, b) entonces tiene un m´ a ınimo local en (a, b). df (d) Si x0 ∈ (a, b) es un punto de inflexi´n de f , entonces o (x0 ) = 0. dx df (e) Si es creciente en (a, b), entonces f no tiene puntos de inflexi´n eno dx (a, b). df (f) Si x0 ∈ [a, b] y es m´ınimo absoluto de f en [a, b], entonces (x0 ) = 0. dx d2 f (g) Si > 0 en (a, b) entonces f es una funci´n mon´tona en (a, b). o o dx2 d4 f (h) Si = 0 en R, entonces f no es acotada en R. dx4
- 145. Cap´ ıtulo 7 La funci´n exponencial y sus o aplicaciones As´ como introducimos algunas familias de funciones elementales recurriendo ı a relaciones de car´cter algebraico, geom´trico o trigonom´trico, hay algunas fun- a e e ciones cuya presentaci´n es m´s natural a partir de la ley de cambio o de movimiento o a que satisfacen. Un ejemplo relevante es el caso de la llamada funci´n exponencial, o que se define como aquella funci´n f (x) cuya derivada en cada punto es igual al o valor de la funci´n en ese mismo punto, o df (x) = f (x), dx y adem´s su valor en x = 0 es f (0) = 1. a En las aplicaciones, distintos fen´menos y modelos din´micos involucran fun- o a ciones cuya raz´n de cambio en cada punto depende proporcionalmente del valor o de la funci´n en ese punto. Como ejemplos m´s destacados, se tienen los llamados o a fen´menos de difusi´n de calor o de epidemias y los de desintegraci´n y decaimiento. o o o En este cap´ıtulo, basados en lo que hemos estudiado sobre las funciones derivables, presentamos estos modelos y las propiedades de las funciones exponenciales y sus inversas. 7.1 La funci´n exponencial o Analicemos las propiedades principales de las funciones que satisfacen la ecuaci´n o df (x) = f (x). (7.1) dx La cuesti´n que es necesario establecer primero, es la existencia de soluciones de o la ecuaci´n diferencial (7.1) distintas de la soluci´n f (x) = 0, denominada soluci´n o o o trivial. Esto constituye el enunciado del llamado teorema de existencia de ecuaciones diferenciales cuya demostraci´n est´ m´s all´ del alcance de este texto. En vista o a a a de lo anterior, supondremos de antemano la existencia de soluciones de la ecuaci´n o diferencial (7.1), definidas en todo R y distintas de la trivial. Bajo la suposici´n o
- 146. 146 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o anterior, deduciremos las principales propiedades de esas funciones y a partir de ellas daremos su forma expl´ ıcita, que nos permitir´ calcular su valor en cada punto a de R. Proposici´n 7.1 El conjunto de todas las funciones definidas en R que satisfacen o la ecuaci´n diferencial (7.1) tiene las propiedades siguientes: o 1. Existe una soluci´n de (7.1) distinta de la soluci´n trivial f (x) = 0 para x ∈ R. o o 2. Si f1 (x) y f2 (x) satisfacen la ecuaci´n (7.1), entonces tambi´n la satisface toda o e funci´n de la forma h(x) = af1 (x) + f2 (x) con a ∈ R. o 3. Si f (x) satisface (7.1) y f (x0 ) = 0 para alg´n punto x0 ∈ R, entonces f (x) = 0 u para toda x ∈ R. 4. (Unicidad de soluciones de (7.1).) Si f1 (x) y f2 (x) satisfacen (7.1) y f1 (x0 ) = f2 (x0 ) para alg´n punto x0 , entonces f1 (x) = f2 (x) para toda x ∈ R. u ´ Demostracion. La validez del punto 1 es consecuencia del teorema de existencia para ecuaciones diferenciales. Para probar el punto 2, n´tese que o dh d df1 df2 (x) = (af1 (x) + f2 (x)) = a (x) + (x) dx dx dx dx = af1 (x) + f2 (x) = h(x). Lo anterior nos permite afirmar que si f (x) es la soluci´n a (7.1) con f (0) = 1, o entonces la funci´n h(x) = af (x) ser´ soluci´n de (7.1) con h(0) = a. o a o Para demostrar el punto 3, consideremos primero los puntos x ∈ R con |x−x0 | < 1. Aplicando el teorema del valor medio a la funci´n soluci´n f en el intervalo [x0 , x], o o se tiene df f (x) = f (x) − f (x0 ) = (x1 )(x − x0 ) = f (x1 )(x − x0 ), (7.2) dx con x0 < x1 < x. Aplicando de nuevo el teorema del valor medio a la misma funci´n f (x) en elo intervalo [x0 , x1 ], obtenemos df f (x1 ) = f (x1 ) − f (x0 ) = (x2 )(x1 − x0 ) = f (x2 )(x1 − x0 ), (7.3) dx con x0 < x2 < x1 . Sustituyendo (7.3) en (7.2) se obtiene que f (x) = f (x2 )(x1 − x0 )(x − x0 ). Repitiendo este argumento k veces, encontramos puntos x1 , x2 , . . . , xk , tales que x0 < xi < x para i = 1, . . . , k y f (x) = f (xk )(xk−1 − x0 )(xk−2 − x0 ) · · · (x1 − x0 ).
- 147. 7.1 La funci´nexponencial o 147 Tomando valor absoluto, se tiene |f (x)| M |x − x0 |k−1 , donde M es una cota para f (x) en el intervalo [x0 , x], la cual existe pues hemos supuesto que f (x) tiene derivada en ese intervalo y por lo tanto es continua y est´ a acotada en [x0 , x]. Como |x − x0 | < 1 se tendr´ que |x − x0 | a k → 0 cuando k → ∞, por lo que f (x) = 0 para cada x con |x − x0 | < 1, y por la continuidad de f (x) en R, se tendr´ que f (x0 + 1) = 0. Repitiendo los argumentos anteriores y cambiando a el punto x0 por el punto x0 + 1, probamos igualmente que f (x) = 0 para cada x en [x0 , x0 + 2]. Prosiguiendo de esta forma, concluimos que f (x) = 0 para toda x ∈ R. Para la prueba del punto 4, observemos que la funci´n h(x) = (f1 − f2 )(x) es o tambi´n, en virtud del punto 2, soluci´n de (7.1) y se anula en el punto x0 , luego, e o como consecuencia del punto 3, se tiene f1 (x) = f2 (x) para toda x ∈ R. Nota Importante: 1. Conjuntamente, los puntos 2, 3 y 4 de la proposici´n 7.1 aseguran que cada o soluci´n no trivial de (7.1) genera todas las soluciones al multiplicarse por un o n´mero real arbitrario. u df 2. Si f (x) es soluci´n de (7.1), su funci´n derivada o o (x) tambi´n lo es. e dx A partir de la proposici´n 7.1, damos la definici´n siguiente: o o Definici´n 7.1 A la unica soluci´n de (7.1) tal que f (0) = 1 se le llama o ´ o funci´n exponencial y su valor en el punto x ∈ R lo denotaremos por exp x. o El valor exp 1 se denota con e, notaci´n introducida por Leonhard Euler. o Proposici´n 7.2 (Propiedades de la funci´n exponencial) o o 1. La funci´n exponencial es siempre mayor que cero, mon´tona creciente y o o c´ncava hacia arriba. o 2. La funci´n exponencial tiene las propiedades siguientes: o a) exp(x + x0 ) = exp x0 exp x para cualesquiera x, x0 ∈ R. b) Para cada x ∈ R se tiene 1 2 1 1 exp x = lim 1+x+ x + x3 + · · · + xk . k→∞ 2! 3! k! xk c) lim = 0, para cada k natural. x→∞ exp x
- 148. 148 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o ´ Demostracion. El enunciado en 1 es verdadero ya que por la proposici´n 7.1, o ninguna soluci´n de (7.1) distinta de cero en un punto puede anularse en punto o alguno y, por lo tanto, si f (0) = 1 se tiene f (x) > 0 para toda x. Por otro lado, dado que la funci´n exponencial es igual a su derivada, ´sta tambi´n ser´ siempre o e e a positiva y por consiguiente f es una funci´n creciente. Finalmente, la segunda o derivada tambi´n ser´ positiva y entonces la gr´fica de f sera c´ncava hacia arriba, e a a o como se muestra en la figura 7.1. exp x 4 3 e 2 1 x -3 -2 -1 0 1 Figura 7.1 La funci´n exponencial f (x) = exp x o Para probar 2.a), tenemos que para cada x0 , la funci´n g(x) = exp(x + x0 ) es o tambi´n soluci´n de (7.1), ya que aplicando la regla de la cadena se tiene e o dg d (x) = exp(x + x0 ) = exp(x + x0 ) = g(x) dx dx y, adem´s, g(0) = exp x0 . Como la funci´n exp x0 exp x, en virtud de lo demostrado a o en el punto 2 de la proposici´n 7.1, es tambi´n soluci´n de (7.1) y coincide con g(x) o e o en el punto x0 , por la unicidad de soluciones con un mismo valor en un punto dado, tendremos g(x) = exp(x + x0 ) = exp x0 exp x para toda x ∈ R. La prueba de 2.b) se sigue del hecho de que cada soluci´n de (7.1) tiene derivadas o de todos los ´rdenes, y entonces, escribiendo su desarrollo de Taylor de orden n o alrededor de x = 0, se tiene 1 2 1 exp x = 1 + x + x + · · · + xn + Rn (x) 2! n! 1 con |Rn (x)| exp xc |x|n+1 , n! donde xc ∈ [−x, x]. Por otro lado, al ser exp x una funci´n continua en [−x, x], existe o M > 0 tal que exp y < M para toda y ∈ [−x, x].
- 149. 7.1 La funci´nexponencial o 149 Entonces, para cada etiqueta n, M n+1 |Rn (x)| |x| n! y 1 2 1 M n+1 exp x − 1 + x + x + · · · + xn |x| . 2! n! n! ∞ |x|n+1 Por otro lado, la sucesi´n {an }∞ = o n=1 converge a cero, ya que an+1 = n! n=1 |x| an para toda n, y entonces para toda etiqueta n tal que n + 1 > 2|x|, se tendr´ a n+1 1 an+1 an . 2 Por tanto, la sucesi´n {an }∞ converge a zero. Tomando en cuenta lo anterior, se o n=1 tiene n 1 k exp x = lim x , n→∞ k! k=0 y con ello se prueba 2.b). Para demostrar 2.c), usamos la segunda regla de L’Hospital como sigue. Para k = 1, se tiene lim x = lim exp x = ∞ x→∞ x→∞ y dx lim dx = lim 1 = 0, x→∞ d exp x x→∞ exp x dx x luego, por la segunda regla de L’Hospital, se tiene que lim = 0. x→∞ exp x An´logamente, para k = 2, tenemos a dx2 lim (x) = lim exp x = ∞ x→∞ dx x→∞ y 2x x lim = 2 lim = 0, x→∞ exp x x→∞ exp x por el caso anterior. Luego, aplicando nuevamente la regla de L’Hospital, se obtiene x2 lim = 0. Repitiendo este argumento k veces, podemos afirmar que para todo x→∞ exp x xk k ∈ N se tiene lim = 0. x→∞ exp x Nota Importante:
- 150. 150 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o 1. La interpretaci´n geom´trica de la propiedad 2.c) de la proposici´n 7.2 es que o e o la funci´n exponencial crece m´s r´pidamente que cualquier potencia de x o a a cuando x → ∞. 2. De 2.a) de la proposici´n 7.2 se sigue que o exp n = (exp 1)n para cada n ∈ N, n n m exp = exp(1) m = (exp 1)n para cualesquiera n, m ∈ N. m 3. De 2.b) se tiene que n 1 e = exp 1 = lim . n→∞ k! k=0 4. Tomando en cuenta que la funci´n exponencial comparte varias propieda- o des con la operaci´n exponenciaci´n, se acostumbra denotarla tambi´n con o o e ımbolo ex ; es decir, el s´ ex = exp x, x ∈ R. 7.2 La funci´n logaritmo natural o La funci´n exponencial tiene funci´n inversa definida en el conjunto de los reales o o positivos. A su funci´n inversa se le llama funci´n logaritmo natural y se denota o o ln : (0, ∞) → R ln x = exp−1 x. La funci´n ln x tiene las propiedades siguientes: o 1. ln(xy) = ln x + ln y d ln 1 2. (x) = dx x 3. Es creciente y c´ncava hacia abajo en toda la semirrecta (0, ∞) o 1 1 1 4. ln(1 + x) = x − x2 + x3 − · · · (−1)k−1 xk + Rk (x). 2 3 k k −k−1 k con Rk (x) = (−1) (1 + xc ) (x − xc ) x, donde xc ∈ (0, x). La gr´fica de la funci´n f (x) = ln x se muestra en la figura 7.2. a o Nota Importante: En la propiedad 4, el residuo Rk (x) tiende a cero cuando k → ∞ para x ∈ (−1, 0)
- 151. 7.3 Funciones detipo exponencial 151 f (x) 1 x −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 Figura 7.2 La funci´n logaritmo natural f (x) = ln x o y la sucesi´n de sumas converge al valor de ln(1 + x). Por otro lado, tomando en o 1 cuenta que ln x = − ln se concluye que la f´rmula representa el logaritmo natural o x para todo punto de su dominio. 7.3 Funciones de tipo exponencial En general, se definen las funciones de tipo exponencial como aqu´llas de la forma e f (x) = exp a(x) = ea(x) , donde a(x) es una funci´n derivable. o Entre las funciones de tipo exponencial se distinguen las siguientes: def 1. Para cada r ∈ R, xr : (0, ∞) → R, xr = er ln x . def 2. Para cada a > 0, ax : (0, ∞) → R, ax = ex ln a . def 3. xx : (0, ∞) → R, xx = ex ln x . 4. En general, si f : R → R y g : R → R son funciones derivables y f (x) > 0 def para toda x ∈ R, se define f g : R → R mediante f g (x) = eg(x) ln f (x) . 7.4 Aplicaciones de la funci´n exponencial o En este apartado presentamos tres ejemplos relevantes de leyes din´micas que dan a lugar a comportamientos de tipo exponencial.
- 152. 152 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o Ejemplo 7.1 (Din´mica de Poblaciones) Denotemos por p(t) la funci´n que a o representa el tama˜o de una poblaci´n en el tiempo t, y de forma simplificada, n o supongamos una tasa β de crecimiento constante, es decir, cada 100 unidades de poblaci´n dan lugar por reproducci´n a β nuevas unidades de poblaci´n por unidad o o o de tiempo. Supongamos adem´s una pol´ a ıtica de remoci´n que consista en retirar o (por muertes o emigraciones) de la poblaci´n en el tiempo t un total de g(t) unidades o de poblaci´n por unidad de tiempo. En este caso la ley de cambio de la poblaci´n o o toma la forma d β p(t) = αp(t) − g(t) con α = . dt 100 Si la raz´n de retiro es constante, g(t) = ρ, describa la evoluci´n de la poblaci´n a o o o partir de la poblaci´n inicial. Calcule el tiempo que llevar´ para que la poblaci´n o a o inicial se duplique. Soluci´n: o d Para buscar la soluci´n p(t) de la ecuaci´n p(t) = αp(t) − ρ, podemos multiplicar o o dt ambos lados de la ecuaci´n por el factor integrante e−αt , o d e−αt p(t) − e−αt p(t) = −e−αt ρ, dt lo cual nos permite reescribir la ecuaci´n en la forma o d −αt d ρ −αt (e p(t)) = e , dt dt α de donde se obtiene ρ p(t) = ceαt + , α con ρ c = p(0) − . α Entonces ρ αt ρ p(t) = p(0) − e + . (7.4) α α Existen tres escenarios con respecto al comportamiento de la poblaci´n. o ρ 1. Si p(0) − > 0 entonces la poblaci´n crecer´ exponencialmente y se duplicar´ o a a α 1 2p(0) − ρ/α en un tiempo t0 dado por t0 = ln . Por ejemplo, supongamos α p(0) − ρ/α que inicialmente hay 10 individuos (p0 = 10) y que la tasa de reproducci´n es o β = 20. Si la raz´n de retiro es ρ = 1, entonces la poblaci´n en el tiempo t es o o p(t) = 5e0.2t + 5 y el instante en el que la poblaci´n se duplica es t0 = 5 ln 3. o Ver figura 7.3(a).
- 153. 7.4 Aplicaciones dela funci´n exponencial o 153 2. Si p(0) − ρ/α = 0, la poblaci´n es constante, p(t) = ρ/α. Por ejemplo, si la o poblaci´n inicial y la tasa de reproducci´n se mantienen en p0 = 10 y β = 20 o o pero la raz´n de retiro aumenta a ρ = 2, entonces la poblaci´n se mantendr´ o o a constante, p(t) = p(0) = 10. Ver figura 7.3(b) ρ ρ 1 3. Si p(0)− < 0 la poblaci´n se extinguir´ en un tiempo finito t0 = ln ρ α o a . α α α − p(0) Por ejemplo, si la tasa de retiro sobrepasa el valor de 2, digamos ρ = 3, en- ρ tonces p(0) − = −5. En este caso, la poblaci´n en cada instante t est´ dada o a α por p(t) = −5(e0.2t − 3) y se extinguir´ cuando t0 = 5 ln 3. Ver figura 7.3(c) ⊳ a p(t) p(t) p(t) 40 p(t) = 5e0.2t + 5 10 p(t) = −5(e0.2t − 3) 30 p(t) = 10 20 10 10 t t t t0 = 5 ln 3 t0 = 5 ln 3 (a) (b) (c) Figura 7.3 Comportamientos posibles de la funci´n exponencial (7.4) o para distintos valores de ρ, con p(0) y α fijos Ejemplo 7.2 (Ley de enfriamiento de Newton) Es un hecho conocido que la temperatura de un cuerpo de material homog´neo situado en un medio a tempera- e tura constante, experimenta un proceso de enfriamiento o calentamiento que a la larga lo lleva a adquirir la misma temperatura del medio ambiente. La rapidez con la cual tiene lugar el enfriamiento o calentamiento en cada tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo en ese instante y la temperatura del medio ambiente. A este hecho f´ ısico se le conoce como ley del enfriamiento de Newton. Nuestro problema consiste en deducir, a partir de esa ley, la temperatura del cuerpo como funci´n del tiempo conocidas las temperaturas iniciales del cuerpo o y del medio, as´ como la constante de difusi´n t´rmica del material que forma el ı o e cuerpo en cuesti´n. Si la temperatura inicial del cuerpo es tres veces mayor que la o temperatura ambiente, ¿en qu´ tiempo ser´ el doble de la del medio ambiente? e a Soluci´n: o Si denotamos por T (t) la funci´n de temperatura del cuerpo en el tiempo t, por Tm o la temperatura del medio ambiente y si ρ > 0 es la constante de difusi´n t´rmica o e del material, la ley de enfriamiento estipula que dT (t) = ρ(Tm − T (t)). dt
- 154. 154 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o Introduzcamos la funci´n f (t) = T (t) − Tm ; entonces f satisface la ecuaci´n o o df (t) = −ρf (t), dt cuyas soluciones son de la forma f (t) = f (0) exp(−ρt). Entonces, en t´rminos de la funci´n T (t), tendremos e o T (t) = Tm + (T (0) − Tm ) exp(−ρt). (7.5) De la f´rmula (7.5) se deduce que si la temperatura inicial del cuerpo, T (0), es mayor o que la temperatura del medio ambiente, aqu´lla decrecer´ exponencialmente con el e a paso del tiempo y tender´ al valor Tm de la temperatura ambiente. Por ejemplo, si a T (0) = 3Tm , de (7.5) tendremos que T (t) = 2Tm si 2Tm = Tm + 2Tm exp(−ρt). Luego, el tiempo t0 en el cual la temperatura del cuerpo ser´ el doble de la tempe- a ratura del medio ambiente es 1 1 t0 = − ln . ⊳ ρ 2 Ejemplo 7.3 (La ecuaci´n log´ o ıstica) En la naturaleza, la din´mica de una po- a blaci´n est´ determinada b´sicamente por su tasa de crecimiento, que en general o a a depende tanto de la especie misma como de las limitantes del medio representadas por la disponibilidad de alimentos y la existencia de depredadores. Si suponemos que no existen depredadores y el medio s´lo puede sostener a un n´mero fijo L de o u unidades de poblaci´n, se considera entonces que la tasa α de crecimiento es una o funci´n del tiempo α(t) directamente proporcional a la diferencia entre la m´xima o a poblaci´n sustentable L y la poblaci´n existente en el tiempo t, es decir o o α(t) = k(L − p(t)), donde k es una constante. En este caso, la din´mica de crecimiento de la poblaci´n a o p(t) es gobernada por la ecuaci´n diferencial o dp p(t) (t) = β 1 − p(t), (7.6) dt L Lk donde β = . A la ecuaci´n anterior se le llama ecuaci´n log´ o o ıstica. 100 Se puede verificar (ver ejercicio 9) que la funci´n o Lp(0) p(t) = p(0) + (L − p(0))e−kt
- 155. 7.4 Aplicaciones dela funci´n exponencial o 155 es soluci´n de la ecuaci´n (7.6). Note que o o lim p(t) = L. t→∞ Por esta raz´n, en el modelo (7.6), el n´mero L se interpreta como la m´xima o u a poblaci´n sustentable por el medio. o ⊳
- 156. 156 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Encuentre, en t´rminos de la funci´n exponencial, la funci´n f (x) tal que e o o f (0) = 2 y df (x) = af (x), con a ∈ R. dx 2. Usando las propiedades de las funciones exponenciales, derive las siguientes f´rmulas y propiedades. o dxr (a) (x) = rxr−1 dx dax (b) (x) = (ln a)ax dx dxx (c) (x) = (1 + ln x)xx dx d dg g(x) (d) (f (x)g(x) )(x) = (x) ln f (x) + f (x)g(x) dx dx f (x) 3. Observe que las funciones xr , ax , xx y f (x)g(x) son todas no-negativas. ¿Cu´les a de ellas son uno a uno? 4. (Funciones hiperb´licas) La funci´n exponencial ex se descompone como suma o o def def 1 de las funciones cosh x = 2 (ex + e−x ) y senhx = 1 (ex − e−x ), llamadas coseno 2 hiperb´lico y seno hiperb´lico de x, respectivamente, cuyas gr´ficas aparecen o o a en la figura 7.4. f (x) f (x) 1 x 1 1 x 0 1 f (x) = cosh x f (x) = senhx Figura 7.4 Las funciones hiperb´licas o (cosh(1) ≈ 1.543, senh(1) ≈ 1.175) Pruebe las afirmaciones siguientes: (a) cosh x es una funci´n par y senhx es una funci´n impar. o o
- 157. 7.4 Aplicaciones dela funci´n exponencial o 157 (b) cosh2 x − senh2 x = 1 d cosh x dsenhx (c) = senhx, = cosh x dx dx (d) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senhx senh y senh(x + y) = senhx cosh y + senhy cosh x (e) Diga en qu´ intervalo la funci´n cosh x es uno a uno y demuestre que su e o funci´n inversa, denotada cosh−1 y, tiene la expresi´n siguiente: o o cosh−1 y = ln(y + y 2 − 1) para y 1. 5. Muestre que las funciones cosh kx y senhkx satisfacen ambas la ecuaci´n dife- o d2 y 2 rencial (x) − k y(x) = 0. dx2 6. A partir de la funci´n exponencial, encuentre una funci´n de la forma h(x) = o o exp(f (x)) tal que dh (x) = xh(x). dx 7. Una curva pasa por el punto (2, 3) y la pendiente de su recta tangente en cada punto es igual al doble de la ordenada del punto. Encuentre la ecuaci´n de la o curva. 8. Sea x 0 y n un n´mero natural. Aplicando el teorema del valor medio, u muestre que x n nx ln 1 + = , n n + x∗ donde x∗ ∈ [0, x]. Haciendo uso de esta estimaci´n, demuestre que o n x lim ln 1 + =x n→∞ n y deduzca la f´rmula o x n ex = lim (1 + ) . n→∞ n Esta ultima expresi´n es, a veces, usada como definici´n de la funci´n ex . ´ o o o 9. (a) Sustituyendo directamente en (7.6), muestre que la funci´n o Lp(0) p(t) = p(0) + (L − p(0))e−kt satisface esa ecuaci´n. Note que cuando el tiempo crece, la poblaci´n o o tiende a la poblaci´n m´xima que el medio puede sustentar. o a (b) Haciendo uso de la soluci´n de la ecuaci´n log´ o o ıstica, diga en qu´ tiempo e se duplica la poblaci´n p(t) si la poblaci´n inicial p(0) es igual a L/3. o o
- 158. 158 La funci´n exponencial y sus aplicaciones o (c) Encuentre el tiempo en que la poblaci´n alcanza su valor m´ximo. o a 10. (Fechamiento por carbono radioactivo.) Las plantas y los animales adquieren de la atm´sfera o del alimento que ingieren un is´topo radioactivo del carbono o o denominado carbono catorce. Este is´topo es tal que por desintegraci´n ra- o o dioactiva pierde la mitad de su masa en un tiempo de 5730 a˜os. Las plantas n y los animales vivos restituyen continuamente el carbono catorce emitido, de- jando de hacerlo en cuanto mueren, de tal manera que a partir de entonces el carbono empieza a perder su masa con rapidez directamente proporcional a la masa presente en cada instante. Calcule la constante de proporcionalidad y diga qu´ edad tiene un pergamino que ha perdido por radioactividad el 74% e de la masa que actualmente tiene el carbono catorce en el tipo de plantas de las cuales se hizo ese pergamino.
- 159. Cap´ ıtulo 8 La integral indefinida En la presencia de fen´menos de cambio o movimiento, es a veces m´s viable o a conocer o deducir la ley de cambio a la que obedece la variaci´n relativa de las o variables involucradas, que la funci´n misma entre esas variables. Es decir, a veces o se conoce la derivada de la funci´n o relaciones que satisfacen las derivadas, pero o no se conoce la funci´n misma. Por ejemplo, en el caso del movimiento de un o autom´vil, es a menudo m´s f´cil estimar la velocidad o la aceleraci´n durante un o a a o cierto intervalo de tiempo, que la funci´n de posici´n del veh´ o o ıculo en cada instante. Una idea de la velocidad se puede tener, por ejemplo, observando el veloc´ ımetro desde dentro del mismo veh´ ıculo. Algo similar se tiene en el caso del movimiento que muestran los cuerpos ante la presencia de una fuerza externa y que se manifiesta, seg´n las leyes del movimiento de Newton, en t´rminos de variaciones de la velocidad u e del cuerpo con respecto al tiempo en forma proporcional a la magnitud y direcci´n o de la fuerza actuante. En este caso, el problema consiste en deducir la posici´n del o cuerpo con respecto al tiempo a partir del comportamiento de su segunda derivada. Al problema de determinar la forma y los valores de una funci´n a partir del o conocimiento de su derivada o de una ecuaci´n que involucra a sus derivadas se o le llama problema de integraci´n y es el problema fundamental de la teor´ de las o ıa ecuaciones diferenciales. En este sentido, el problema de integraci´n es el problema o inverso al de derivaci´n o de c´lculo de derivadas. o a En este cap´ ıtulo se inicia el estudio de los problemas de integraci´n a partir del o concepto de integral indefinida y se muestra c´mo las distintas reglas de derivaci´n o o dan lugar a m´todos de integraci´n que permiten resolver problemas como los arriba e o citados. 8.1 Antiderivadas e integrales indefinidas Sea una funci´n g(x) definida y continua en un intervalo abierto (o cerrado) I. o Nos preguntamos sobre las funciones f (x) definidas en I que tienen como funci´n o derivada a la funci´n g(x). Lo anterior se plantea en t´rminos de la ecuaci´n dife- o e o
- 160. 160 La integral indefinida rencial df (x) = g(x), x ∈ I, (8.1) dx donde la inc´gnita o indeterminada es la funci´n f (x). En caso de existir, cada o o funci´n f (x) que satisface la ecuaci´n (8.1) se llama antiderivada o primitiva de o o g(x) en el intervalo I. Nota Importante: Si f1 (x) es una antiderivada de la funci´n g(x) en un intervalo I, tambi´n lo es la o e funci´n o f2 (x) = f1 (x) + a, donde a es cualquier n´mero real. El rec´ u ıproco del resultado anterior es tambi´ne cierto, ya que si f1 (x) y f2 (x) son antiderivadas de la funci´n g(x) en el intervalo I, o se tiene d(f2 − f1 ) df2 df1 (x) = (x) − (x) = g(x) − g(x) = 0, dx dx dx lo que implica, en virtud del teorema del valor medio, que f2 (x)−f1 (x) = a =constante para toda x ∈ I. Si g(x) es una funci´n definida en un intervalo abierto o cerrado I, a la familia o de antiderivadas o primitivas en I se le denomina la integral indefinida de g(x) en I, y se denota por el s´ ımbolo g(x)dx. En otros t´rminos, la integral indefinida e g(x)dx de una funci´n g(x) es la familia o de funciones df g(x)dx = f : I → R tales que (x) = g(x) . (8.2) dx De la definici´n de antiderivada se desprenden las afirmaciones siguientes. o 1. Si f1 y f2 est´n en la familia a g(x)dx, entonces f1 (x) − f2 (x) es una funci´n o constante. Esto implica que si f0 (x) es una antiderivada de g(x), entonces la familia (8.2) es g(x)dx = f0 (x) + c, c∈R . 2. La antiderivada de la funci´n f (x) = 0 es la familia o 0 dx = c, con c ∈ R . 3. Si g1 (x) y g2 (x) son antiderivadas de una misma funci´n, entonces g1 (x) = o g2 (x) + c, con c ∈ R.
- 161. 8.1 Antiderivadas eintegrales indefinidas 161 df 4. La integral indefinida de la funci´n derivada o (x) es la familia de las funciones dx f (x) + c, con c ∈ R, es decir df (x)dx (y) = {f (y) + c, c ∈ R} . (8.3) dx Debido a (8.3) se dice que el c´lculo de la integral indefinida de una funci´n es a o la operaci´n inversa (o rec´ o ıproca) de la operaci´n de derivaci´n. o o Notaci´n: Denotaremos con g(x)dx no a la familia (8.2) de antiderivadas de g o sino a una antiderivada (es decir, a alg´n elemento de (8.2)) y para no sobrecargar u la notaci´n, en lugar de escribir o g(x)dx (x) = h(x) escribiremos simplemente g(x)dx = h(x). Usando este convenio, escribiremos (8.3) en la forma df (x)dx = f (x) + c. dx Nota Importante: Para determinar un´ ıvocamente una de las funciones primitivas o antiderivadas a que da lugar la integral indefinida de una funci´n, basta fijar el valor de esa primitiva en o un punto. En este caso la constante queda determinada y, por lo tanto, la funci´n o primitiva que se buscaba. Ejemplo 8.1 Determinemos la antiderivada f (x) de la funci´n g(x) = 3x2 + x tal o que f (1) = 3. En este caso, la antiderivada f (x) es un elemento de la integral indefinida 1 f (x) ∈ (3x2 + x)dx = x3 + x2 + c , 2 y para fijar el valor de c que corresponde al elemento f (x) de esa familia tal que f (1) = 3, la constante c deber´ ser tal que a 3 f (1) = + c = 3, 2 es decir, 3 c= 2 y 1 3 f (x) = x3 + x2 + . ⊳ 2 2 A continuaci´n presentamos la integral indefinida de algunas funciones elemen- o tales g(x).
- 162. 162 La integral indefinida Funci´n g(x) o Integral indefinida g(x)dx a ax + c 1 1 a0 + a1 x + · · · + an xn a0 x + a1 x2 + · · · + an xn+1 + c 2 n+1 m n m+n (x + b) n b ∈ R, m, n enteros (x + b) n + c m+n 1 sen(bx) b∈R − cos(bx) + c b 1 cos(bx) b∈R sen(bx) + c b 1 Ejemplo 8.2 La funci´n g(x) : R {0} → R con g(x) = o tiene por integral x indefinida en (−∞, 0) (o en (0, ∞)) a las funciones 1 dx = ln |x| + c. ⊳ x Ejemplo 8.3 La integral indefinida de g(x) = |3x − 5|, es la familia de funciones |3x − 5|dx = f (x) + c, donde 5x − 3 x2 si x < 5 2 3 f (x) = x − 5x + 25 si x ≥ 5 . 3 2 2 3 3 La antiderivada o funci´n primitiva h(x) de g(x) = |3x − 5| en R tal que h(1) = 2, o es 5x − 3 x2 − 3 si x < 5 2 2 3 h(x) = 3 2 x − 5x + 41 5 ⊳ si x ≥ . 2 6 3 8.2 M´todos de integraci´n e o Dado que los procesos de derivaci´n y de c´lculo de la integral indefinida son opera- o a ciones inversas, cada regla o f´rmula de derivaci´n da lugar a una regla o m´todo o o e para el c´lculo de la integral indefinida de funciones continuas. A estos m´todos se a e les conoce como m´todos de integraci´n. e o
- 163. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 163 Antes de desarrollar los m´todos de integraci´n inducidos por las reglas de e o derivaci´n para productos y composici´n de funciones que merecen una atenci´n o o o detallada, enunciamos primeramente un par de propiedades que son consecuencia directa de las reglas de derivaci´n (5.7) y (5.5), respectivamente. o 1. Si c ∈ R y f es una funci´n que tiene antiderivada, entonces la funci´n cf o o tiene antiderivada y cf (x)dx = c f (x)dx. 2. Si f y g son dos funciones que tienen antiderivada entonces la funci´n f + g o tiene antiderivada y (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. 8.2.1 Integraci´n por partes o La f´rmula de Leibniz para la derivaci´n de un producto de funciones (f´rmula o o o (5.6) da lugar al llamado m´todo de integraci´n por partes, e o 1 que presentamos a continuaci´n. o Proposici´n 8.1 (Integraci´n por partes) Sean p(x) y q(x) funciones de- o o rivables. Entonces dq dp p(x) (x)dx = p(x)q(x) − (x) q(x)dx + c. dx dx ´ Demostracion. Derivando el producto (pq)(x) = p(x)q(x), tenemos d(pq) dq dp (x) = p(x) (x) + q(x) (x). dx dx dx Entonces, dq dp p(x)q(x) = p(x) (x) + q(x) (x) + c, dx dx de donde se sigue el resultado. Nota Importante: El m´todo de integraci´n por partes se aplica al c´lculo de la integral indefinida de e o a productos de dos funciones cuando la integral indefinida de una de ellas es conocida. En tal caso, el m´todo reduce el problema al c´lculo de la integral indefinida de otro e a producto de funciones que en muchos casos es m´s f´cil de resolver. a a 1 Este m´todo fue desarrollado por Brook Taylor. e
- 164. 164 La integral indefinida Ejemplo 8.4 Calculemos la integral indefinida de las funciones 1. g(x) = x sen x, 2. g(x) = cos2 x, 3. g(x) = eax cos bx con a = 0 y b = 0. dq 1. Haciendo p(x) = x y q(x) = − cos x, tenemos x sen x = p(x) (x) y aplicando dx la f´rmula de integraci´n por partes, se obtiene o o d (x sen x)dx = (p(x) q(x)dx dx = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sen x + c. dq 2. Haciendo p(x) = cos x y q(x) = sen x, se tiene cos2 x = p(x) (x) y aplicando dx la f´rmula de integraci´n por partes obtenemos o o d sen x cos2 xdx = cos x dx dx = cos x sen x + sen2 xdx = = cos x sen x + (1 − cos2 x)dx, de donde 1 cos2 xdx = (cos x sen x + x) + c. 2 1 3. Haciendo p(x) = eax y q(x) = sen bx, y aplicando la f´rmula de integraci´n o o b por partes, se tiene dq 1 a eax cos bxdx = p(x) (x) dx = eax sen bx − eax sen bxdx. (8.4) dx b b Calculando ahora eax sen bxdx, aplicando nuevamente el m´todo de inte- e graci´n por partes y haciendo o 1 u(x) = eax y v(x) = − cos bx, b tenemos dv 1 a eax sen bxdx = u(x) (x)dx = − eax cos bx + eax cos bxdx. (8.5) dx b b
- 165. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 165 Sustituyendo (8.5) en (8.4), 1 a 1 a eax cos bxdx = eax sen bx − − eax cos bx + eax cos bxdx , b b b b y agrupando t´rminos, se tiene e a2 1 a 1+ eax cos bxdx = eax sen bx + 2 (eax cos bx). b2 b b Finalmente, eax eax cos bx = b sen bx + a cos bx + c. ⊳ a2 + b2 8.2.2 Integraci´n por sustituci´n o o La regla de la cadena o de derivaci´n de una composici´n de funciones da lugar al o o m´todo de integraci´n por sustituci´n, que a continuaci´n presentamos. e o o o Proposici´n 8.2 (Integraci´n por sustituci´n) Si g(x) y h(y) son deri- o o o vables y f (y) es una antiderivada de h(y), entonces dg h(g(x)) (x) dx = h(y)dy ◦ g(x) = f (g(x)) + c. dx ´ Demostracion. Efectivamente, si derivamos la funci´n f (g(x)) + c usando la regla o de la cadena y consideramos que h(y)dy = f (y) + c para y ∈ I, obtendremos d df dg dg (f (g(x)) + c) = (g(x)) · (x) = h(g(x)) (x), dx dy dx dx lo que prueba la f´rmula de integraci´n por sustituci´n. o o o Nota Importante: El m´todo de integraci´n por sustituci´n tambi´n se puede escribir en la forma e o o e dg h(y)dy = h(g(x)) (x) dx ◦ (g −1 (y)) dx
- 166. 166 La integral indefinida donde se supone que g(x) es una funci´n mon´tona. En este caso, cuando se pre- o o senta el problema de calcular la integral indefinida de una funci´n de la forma o dg h(g(x)) (x), se hace la sustituci´n formal, o simb´lica, o o dx dg y = g(x), dy = (x)dx, dx para escribir directamente dg h(g(x)) dx = h(y)dy ◦ g(x), dx y reducir as´ el c´lculo a la integral ı a h(y)dy. Ejemplo 8.5 Para calcular la integral indefinida de la funci´n o h(x) = (x + 1) sen(x2 + 2x), observamos la presencia de la composici´n de la funci´n sen y con la funci´n g(x) = o o o (x2 + 2x). Luego, haciendo la sustituci´n o y = x2 + 2x, dy = (2x + 2)dx, podemos escribir 1 dg 1 h(x)dx = dx = sen(g(x)) sen ydy ◦ (g(x)) = 2 dx 2 1 1 = − cos(g(x)) + c = − cos(x2 + 2x) + c, 2 2 ya que la funci´n − cos y es una antiderivada de sen y. o ⊳ Ejemplo 8.6 La integral indefinida sen x cosm xdx se obtiene haciendo la susti- tuci´n o y = cos x, dy = − sen xdx, y escribiendo sen x cosm xdx = − y m dy ◦ (g(x)) y m+1 = − ◦ (cos x) m+1 1 =− cosm+1 x + c. ⊳ m+1
- 167. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 167 Ejemplo 8.7 La funci´n f (x) tal que o df (x) = arcsen(x) y f (0) = 2 dx se determina aplicando primero el m´todo de integraci´n por partes en la forma e o dx d arcsen x (arcsen x)dx = (arcsen x) dx = x arcsen x − x dx = dx dx x = x arcsen x − √ dx 1 − x2 y calculando la integral indefinida del ultimo t´rmino mediante la sustituci´n ´ e o y = 1 − x2 , dy = −2xdx, para obtener x 1 1 √ dx = − √ dy ◦ (1 − x2 ) = 1 − x2 2 y = − 1 − x2 + c. Luego, la integral indefinida de arcsen(x) es (arcsen x)dx = x arcsen x + 1 − x2 + c. Finalmente, tomando la constante c = 1 tendremos la soluci´n de la ecuaci´n dife- o o rencial f (x) = xarcsen x + 1 − x2 + 1. Nota Importante: Si f (x) es una primitiva de g(x) y z(x) es una primitiva de f (x) entonces d2 z (x) = g(x). dx2 Lo anterior muestra c´mo determinar, mediante el c´lculo reiterado de integrales o a indefinidas, las funciones que tienen como segunda derivada una funci´n previamente o dada. Ejemplo 8.8 El c´lculo de la funci´n z(x) tal que a o d2 z dz 2 (x) = x + sen x con z(0) = 1 y (0) = 1, dx dx se obtiene encontrando primeramente la integral indefinida de g(x) = x + sen x, 1 g(x)dx = x2 − cos x + c 2
- 168. 168 La integral indefinida donde c es una constante y, enseguida, la integral indefinida de la antiderivada anterior, para obtener 1 z(x) = g(x)dx dx = x3 − sen x + cx + b, 6 dz con b constante. Al requerir que z(0) = 1 y (0) = 1, se obtiene dx z(0) = b = 1 y dz (0) = − cos 0 + c = 1. dx Entonces la funci´n buscada es o 1 z(x) = x3 − sen x + 2x + 1. ⊳ 6 8.2.3 Integraci´n por sustituci´n trigonom´trica o o e √ √ √ Para la familia de funciones de la forma h( 1 − x2 ), h( 1 + x2 ) o h( x2 − 1) donde h(y) es una funci´n continua, el m´todo de sustituci´n nos permite remitir el c´lculo o e o a de su integral indefinida a la integral de una funci´n trigonom´trica. Presentamos o e a continuaci´n esos casos. o Primer caso: Sea h(y) una funci´n continua. Para calcular la integral in- √ o definida de la forma h( 1 − x2 )dx, se hace la sustituci´n o θ(x) = arcsen x, x ∈ (−1, 1) y se reescribe la integral indefinida en la forma h( 1 − x2 )dx = h(cos θ(x))dx. (8.6) Tomando en cuenta que dθ 1 1 =√ = , dx 1−x2 cos θ(x) escribimos la integral indefinida en el lado derecho de (8.6) en la forma dθ h(cos θ(x))dx = h(cos θ(x)) cos θ(x) dx. dx Aplicando la f´rmula de integraci´n por sustituci´n, obtenemos o o o h( 1 − x2 )dx = h(cos θ) cos θdθ ◦ ( arcsen x). (8.7)
- 169. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 169 Ejemplo 8.9 La integral indefinida √ 9 − x2 dx x2 se obtiene mediante sustituci´n trigonom´trica. Primero hacemos la sustituci´n o e o 1 1 y = x, dy = dx, 3 3 para obtener √ 1 2 √ 1− x 9 − x2 1 3 1 − x2 x 2 dx = 2 dx = 2 dx ◦ , x 3 1 x 3 3x y la integral a calcular toma la forma √ 1 − x2 y dx = h( 1 − x2 )dx con h(y) = . x2 1 − y2 Aplicando ahora la f´rmula (8.7) se tiene o √ 1 − x2 cos2 θ dx = dθ ◦ ( arcsen x) = − cot(arcsen x) − arcsin x + c x2 sen2 θ y, finalmente, √ √ 9 − x2 9 − x2 x 2 dx = − − arcsen + c. ⊳ x x 3 Segundo caso: Sea h(y) una funci´n continua. Para calcular una integral √ o indefinida de la forma h( 1 + x2 )dx, se hace la sustituci´n o θ(x) = arctan x, x ∈ (−∞, ∞) y se reescribe la integral indefinida en la forma h( 1 + x2 )dx = h 1 + tan2 θ(x) dx = h(sec θ(x))dx. Tomando en cuenta que dθ 1 = = cos2 θ(x), dx 1 + x2 escribimos la ultima integral indefinida en la forma ´ dθ h(sec θ(x))dx = h(sec θ(x)) sec2 θ(x) dx, dx
- 170. 170 La integral indefinida y aplicando la f´rmula de integraci´n por sustituci´n se tiene o o o h( 1 + x2 )dx = h(sec θ) sec2 θdθ ◦ (arctan x). (8.8) Ejemplo 8.10 Para calcular la integral indefinida 1 √ dx, x2 x2 + 4 hacemos la sustituci´n o x 1 , y= dy = dx 2 2 y reescribimos la integral en la forma 1 1 x 1 1 x √ dx = d = √ dx ◦ . x2 x2 + 4 2 2 2 4 x2 x2 + 1 2 x x 4 +1 2 2 Entonces, la antiderivada que debemos calcular es 1 1 √ dx = h( x2 + 1)dx, con h(y) = . x2 x2 + 1 y(y 2− 1) Aplicando la f´rmula (8.8) obtenemos o 1 sec2 θ √ dx = h( x2 + 1)dx = dθ ◦ (arctan x) x2 x2 + 1 tan2 θ sec θ cos θ 1 = dθ ◦ (arctan x) = − ◦ (arctan x) sen2 θ sen θ √ 1 + x2 =− + c, x por lo que, finalmente, √ 1 1 1 x 4 + x2 √ dx = √ dx ◦ =− + c. ⊳ x2 x2 + 4 4 x2 x2 + 1 2 4x Tercer caso: Sea h(y) una funci´n continua. Para calcular la integral indefinida √ o de la forma h( x 2 − 1)dx, se hace la sustituci´n o θ(x) = arcsec x, x ∈ (−1, 1) y se reescribe la integral indefinida en la forma h( x2 − 1)dx = h(tan θ(x))dx.
- 171. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 171 Tomando en cuenta que dθ d arcsec x 1 1 = = √ = , dx dx x x2 − 1 sec θ(x) tan θ(x) escribimos la ultima integral indefinida en la forma ´ dθ h(tan θ(x))dx = h(tan θ(x)) sec θ(x) tan θ(x) dx dx y, aplicando la f´rmula de integraci´n por sustituci´n, se tiene o o o h( x2 − 1)dx = h(tan θ) sec θ tan θdθ ◦ (arcsec x). (8.9) 1 Ejemplo 8.11 Para calcular la integral indefinida √ dx con a > 0, hace- x2− a2 mos la sustituci´n o 1 1 y= x, dy = dx, a a y encontramos que 1 1 1 x √ dx = dx = √ dx ◦ . x2− a2 2 x2 −1 a x a −1 a 1 Enseguida nos remitimos al c´lculo de la integral indefinida a √ dx, que es x2 − 1 de la forma 1 1 √ dx = h( x2 − 1)dx con h(y) = . x2 − 1 y Aplicando la f´rmula (8.9), se tiene o 1 √ dx = sec θdθ ◦ (arcsec x) = x2 − 1 = ln | sec θ + tan θ| ◦ (arcsec x) = = ln |x + x2 − 1| y, finalmente, 1 √ dx = ln |x + x2 − a2 | − ln a + c. ⊳ x2 − a2
- 172. 172 La integral indefinida 8.2.4 Integraci´n de funciones racionales o En esta subsecci´n presentamos el llamado m´todo de fracciones parciales para el o e c´lculo de la integral indefinida de funciones racionales. Una funci´n racional es una a o funci´n de la forma o p(x) r(x) = , q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios. La funci´n racional r(x), puede reescribirse, o despu´s de aplicar el algoritmo de la divisi´n para polinomios, en la forma e o s(x) r(x) = w(x) + t(x) donde w(x), s(x) y t(x) son polinomios y el grado de s(x) es menor que el grado de t(x). Lo anterior nos permite reducir el c´lculo de la integral indefinida de a funciones racionales a aqu´llas para las que el grado del polinomio del numerador e es estrictamente menor que el grado del polinomio del denominador. Los teoremas siguientes sobre polinomios y funciones racionales son dos resul- tados importantes de ´lgebra, que permiten resolver el problema del c´lculo de a a antiderivadas de funciones racionales. Teorema 8.3 (Fundamental del ´lgebra) Cada polinomio t(x) con coeficientes a en los n´meros reales se factoriza en la forma u t(x) = c(x − a1 )m1 (x − a2 )m2 · · · (x − as )ms · ·[(x − b1 )2 + k1 ]r1 [(x − b2 )2 + k2 ]r2 · · · [(x − bq )2 + kq ]rq , 2 2 2 donde m1 + m2 · · · + ms + 2r1 + · · · + 2rq = grado t(x). Note que los factores de la forma [(x − b)2 + k 2 ]ri son polinomios de segundo grado con ra´ ıces complejas. Teorema 8.4 Sean s(x) y t(x) polinomios tales que el grado de s(x) es menor que s(x) el grado de t(x). Entonces la funci´n racional r(x) = o puede expresarse como t(x) suma de funciones racionales de la forma e cx + d o , (8.10) (x − a)s [(x − b)2 + k 2 ]r donde a, b, c, d, k, e ∈ R y r, s ∈ N. A las funciones (8.10) se les denomina frac- ciones parciales. M´s a´n, por cada factor del polinomio t(x) de la forma a u (x − a)m se tienen m sumandos de la forma e1 e2 em + 2 + ··· + , (x − a) (x − a) (x − a)m
- 173. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 173 y cada uno de los t´rminos de la forma [(x − b)2 + k 2 ]r da lugar a r sumandos de la e forma c1 x + d 1 c2 x + d 2 cr x + d r + + ··· + . [(x − b)2 + k 2 ] [(x − b)2 + k 2 ]2 [(x − b)2 + k 2 ]r Basado en la descomposici´n anterior, el teorema siguiente caracteriza la integral o indefinida de toda funci´n racional. o Teorema 8.5 La integral indefinida de una funci´n racional es una suma de o funciones de la forma s(x) dx = U (x) + a ln V (x) + b arctan W (x) + c t(x) donde U (x), V (x) y W (x) son funciones racionales y a, b, c ∈ R. ´ Demostracion Tomando en cuenta que toda funci´n racional se puede expresar o a cx + d como suma de fracciones parciales de la forma y donde s, r (x − b)s [(x − e)2 + k 2 ]r son n´meros naturales y a, b, c, d, e, k son constantes reales, la integral indefinida de u esas funciones se reduce al c´lculo de la integral indefinida de las fracciones parciales. a a Para la evaluaci´n de o dx se tiene, directamente por sustituci´n, o (x − b)s a ln |x − b| si s = 1, a dx = (x − b)s a 1 si s > 1. 1 − s (x − b)s−1 El c´lculo de la integral indefinida para los t´rminos de la forma a e cx + d [(x − e)2 + k 2 ]r se reduce a calcular primitivas para funciones racionales de la forma 1 x−e o . [(x − e)2 + k 2 ]r [(x − e)2 + k 2 ]r Para el c´lculo de la integral indefinida de las funciones de forma a 1 , [(x − e)2 + k 2 ]r se procede definiendo las integrales 1 Ij = dx, j = 1, 2, . . . , [(x − e)2 + k 2 ]j
- 174. 174 La integral indefinida las cuales se calculan recursivamente mediante las f´rmulas o 1 x−e I1 = arctan k2 k 1 x−e Ij = 2 (2j − 3)Ij−1 + , j = 2, 3 . . . 2k (j − 1) [(x − e)2 + k 2 ]j−1 Finalmente, la integral indefinida de las fracciones parciales de la forma x−e [(x − e)2 + k 2 ]r se calcula directamente sustituyendo y = (x−e)2 +k 2 , dy = 2(x−e)dx, para obtener x−e 1 1 2 + k 2 ]r dx = 2 + k 2 ]r−1 . [(x − e) 2(1 − r) [(x − e) 1 Ejemplo 8.12 La integral indefinida de la funci´n racional r(x) = o se calcula x3 +1 con la descomposici´n en fracciones parciales o 1 1 e cx + d = = + , x3 + 1 (x + 1)(x2 − x + 1) x + 1 x2 − x + 1 donde 1 2 1 c=− , d= , e= . 3 3 3 Por lo tanto, 1 1 1 −1 x−2 dx = dx + dx = x3 + 1 3 x+1 3 x2 − x + 1 1 1 1 2x − 1 = ln |x + 1| − ln(x2 − x + 1) + √ arctan √ + c. ⊳ 3 6 3 3
- 175. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 175 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Encuentre una antiderivada de la funci´n f (x) = xex ensayando con funciones o de la forma y(x) = Axex + Bex . 2. Aplicando el m´todo de integraci´n por partes, calcule las integrales indefinidas e o siguientes. (a) arcsen xdx (b) ln xdx (c) x2 sen xdx (d) cos4 xdx 3. Calcule las integrales indefinidas siguientes. (a) |x|dx (b) (|x − 1| + |2x + 1|)dx k (c) ai xi dx i=1 4. Calcule las integrales indefinidas siguientes. x2 + 1 (a) dx x3 + 8 x (b) 2 − x + 1)2 dx (x 1 (c) 4 − a4 dx x 1 (d) 2x − 4ex + 4 dx e 5. Deduzca la f´rmula recursiva siguiente: o 1 n−1 cosn xdx = cosn−1 x sen x + cosn−2 xdx, n natural. n n dy d2 y 6. Encuentre y(x) tal que y(1) = 0 , (1) = 1 y (x) = |x|. dx dx 7. Dibuje la gr´fica de las funciones que forman la integral indefinida de la funci´n a o f (x) cuya gr´fica aparece en la figura 8.1. a 8. Haciendo sustituciones trigonom´tricas, calcule las integrales indefinidas si- e guientes.
- 176. 176 La integral indefinida f (x) −1 1 x Figura 8.1 Gr´fica de f (x) para el ejercicio 7 a x2 (a) 3 dx (x2 + a2 ) 2 (b) x3 9 − x2 dx (c) x 25 + x2 dx 9. Verifique la f´rmulas para la integral indefinida de las funciones racionales o siguientes: 1 (a) dx = arctan x + c x2 + 1 x 1 d (b) 2+1 dx = ln(x2 + 1)dx = ln x2 + 1 + c x 2 dx 1 x2 + 1 − x2 1 x (c) 2 + 1)2 dx = 2 + 1)2 dx = arctan x + 2 +c (x (x 2 x +1 x −1 d 1 −1 1 (d) dx = dx = +c (x2 + 1)2 2 dx (x2 + 1) 2 x2 + 1 1 1 x + arctan(b/a) (e) dx = √ ln tan +c a sen x + b cos x a2 + b2 2 x−q 10. Haciendo la sustituci´n y 2 = o , calcule la integral indefinida x−p (x − p)(x − q)dx. 11. Calcule las integrales indefinidas siguientes. sen(ln x) (a) dx x2 x3 (b) √ dx 1 − x2
- 177. 8.2 M´todos deintegraci´n e o 177 (c) tan4 (πx)dx 1 (d) 1 dx x −1 3 df 12. Dibuje la gr´fica de la funci´n f (x) si f (1) = 0 y a o (1) = 1 y la gr´fica de a dx d2 f (x) es la que aparece en la figura 8.2 dx2 d2 f (x) dx2 1 x −2 −1 1 2 3 4 5 -1 d2 f Figura 8.2 Gr´fica de a (x) para el ejercicio 12 dx2 13. Mediante el c´lculo de la integral indefinida de la funci´n g(x), encuentre la a o funci´n f (x) tal que o df (x) = g(x) dx y que adem´s satisfaga la condici´n se˜alada a la derecha, para los siguientes a o n casos: 1 (a) g(x) : (−3, ∞) → R, g(x) = y f (0) = 1 x+3 x2 + 5x + 6 (b) g(x) : (1, ∞) → R, g(x) = y f (2) = 0 x−1 π π (c) g(x) : − , → R, g(x) = tan x y f (0) = 0. 2 2
- 178. 178 La integral indefinida
- 179. Cap´ ıtulo 9 La integral definida El otro concepto central del c´lculo de funciones reales es el concepto de inte- a gral de una funci´n sobre un intervalo. El proceso de integraci´n permite “integrar o o o sumar” las variaciones infinitesimales de una funci´n a lo largo de un intervalo o para obtener la variaci´n neta de la funci´n en ese intervalo. En el caso particu- o o lar del movimiento de una part´ ıcula, hace posible calcular el desplazamiento neto de la part´ıcula en un intervalo de tiempo, a partir de las velocidades instant´neas a mostradas durante ese intervalo. Desde un enfoque geom´trico, el valor de la integral de una funci´n en un inter- e o valo es igual al area de la regi´n delimitada por su gr´fica y el eje de las abscisas, ´ o a considerando con signo negativo el area de la regi´n que queda por debajo del eje. La ´ o relaci´n entre los dos enfoques anteriores la proporciona el llamado “teorema fun- o damental del c´lculo”, al establecer que las operaciones de derivaci´n e integraci´n a o o de funciones son procesos inversos. Para introducir aqu´ la noci´n de integral de una funci´n, se aplica el m´todo de ı o o e agotamiento para el c´lculo del area bajo la gr´fica de la funci´n sobre un intervalo. a ´ a o Dicho m´todo aproxima el area de un conjunto irregular mediante sumas de areas de e ´ ´ rect´ngulos, de tal manera que en el “l´ a ımite” se alcanza el area exacta del conjunto ´ en cuesti´n. o Primeramente introduciremos el concepto de integral para las funciones con- tinuas no negativas definidas en un intervalo cerrado y acotado, y luego haremos algunas generalizaciones a funciones continuas por segmentos y a intervalos no aco- tados. En la presentaci´n y justificaci´n de los resultados y conceptos, utilizaremos o o fuertemente las propiedades b´sicas de las funciones continuas definidas en interva- a los cerrados que quedaron establecidas al final del cap´ ıtulo cuarto. 9.1 La definici´n de integral definida o Una partici´n P de un intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos de o [a, b] que contiene a los extremos del intervalo [a, b].
- 180. 180 La integral definida Cada partici´n admite dos orientaciones: una orientaci´n positiva, dada por el o o orden que a la partici´n impone el orden de los n´meros reales y cuyo elemento o u inicial es el extremo izquierdo del intervalo [a, b], y que denotamos a = x0 < x1 < · · · < xn = b, y otra orientaci´n negativa, que es contraria a la impuesta por el orden en los o n´meros reales y cuyo elemento inicial es el extremo derecho del intervalo [a, b], y u que denotamos b = y0 > y1 > · · · > yn = a, donde y0 = xn , y1 = xn−1 , . . . , yn = a. Una partici´n que consiste de n + 1 puntos divide al intervalo [a, b] en n subin- o tervalos [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, de longitudes ∆xi = xi − xi−1 . A la longitud m´xima de los subintervalos [xi−1 , xi ] se le llama norma de la a partici´n P, y se denota por |P|. o Al conjunto de las particiones de [a, b] lo denotaremos Ω([a, b]). Una partici´n Q de [a, b] se dice un refinamiento de la partici´n P si P ⊂ Q. o o Sea f : [a, b] → R una funci´n real, continua y no negativa. o Definici´n 9.1 Sea P ∈ Ω([a, b]). Para cada i = 1, 2, . . . , n, sea x∗ un punto o i arbitrario en [xi−1 , xi ]. Al n´mero u n S(f, P, {x∗ }) = i ∗ f (xi )(xi − xi−1 ) i=1 se le llama la suma de Riemann correspondiente a la partici´n P y a o la elecci´n de puntos intermedios {x∗ }k . o i i=1 Como casos particulares y muy importantes de sumas de Riemann se tienen aqu´llas en las que los puntos intermedios x∗ se toman de tal manera que x∗ = xmax , e i i i donde f (xmax ) = max {f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]} , i o x∗ = xmin , donde i i f (xmin ) = min {f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]} , i es decir, xmax (xmin ) es aquel punto en [xi−1 , xi ] en el que la funci´n f alcanza su i i o m´ximo (m´ a ınimo). A las sumas de Riemann correspondientes a esas elecciones de
- 181. 9.1 La definici´nde integral definida o 181 los puntos en cada subintervalo, se les llama suma superior de Darboux1 -Riemann y suma inferior de Darboux-Riemann correspondientes a la partici´n P y se denotan, o respectivamente, por k ¯ S(f, P)= f (xmax )(xi − xi−1 ) i i=1 y k S(f, P)= f (xmin )(xi − xi−1 ). i ¯ i=1 Ejemplo 9.1 Supongamos que la gr´fica de la funci´n y = f (x), el intervalo [a, b] a o y la partici´n P = {x0 = a, x1 , x2 , x3 , x4 = b} son los que se muestran en la figura o 9.1 f (x) x a = x0 x1 x2 x3 x4 = b Figura 9.1 Una partici´n de [a, b] o Supongamos que tomamos los puntos intermedios x∗ ∈ [xi−1 , xi ], con i = 1, 2, 3, 4, i como se muestra en la figura 9.2(a). Entonces las sumas de Riemann S(f, P, {x∗ }), i S(f, P) y S(f, P), corresponden a las regiones sombreadas en las figuras 9.2(a), (b) y (c), respectivamente. f (x) f (x) f (x) x x x x0 x1 x2 x3 x4 x0 x1 x2 x3 x4 x0 x1 x2 x3 x4 x∗ i xmax 3 (a) S(f, P, {x∗ }) i (b) S(f, P) (c) S(f, P) Figura 9.2 Sumas de Darboux-Riemann 1 Jean Gaston Darboux (1842-1917) hizo importantes contribuciones a la geometr´ diferencial ıa y al an´lisis. a
- 182. 182 La integral definida N´tese que, en este caso particular, se tiene xmin = x0 , xmin = x1 , xmin = x3 y o 1 2 3 xmin 4 = x4 , mientras que xmax = x1 , xmax = x2 y xmax = x3 . Por otra parte, xmax 1 2 4 3 est´ se˜alado en la figura 9.2(c). a n ⊳ Puesto que para cualquier elecci´n de x∗ ∈ [xi−1 , xi ] se cumple que o i f (xmin ) i f (x∗ ) i f (xmax ), i entonces, para cada P ∈ Ω([a, b]), se tiene ∗ S(f, P) S(f, P, {xi }) S(f, P). Nota Importante: 1. Si f (x) es una funci´n no-negativa, es decir f (x) o 0 para toda x ∈ [a, b], entonces la suma superior de Darboux-Riemann correspondiente a la partici´n o P, es la suma de las ´reas de los rect´ngulos cuyas bases son los segmentos a a [xi−1 , xi ] y cuya altura es la m´xima ordenada de los puntos de la gr´fica de a a f sobre el segmento [xi−1 , xi ] para i = 1, 2, . . . n. En ese caso, la regi´n bajo la o curva est´ contenida en la uni´n de rect´ngulos y su ´rea ser´ menor o igual a o a a a a la suma de las ´reas de ´stos. Una situaci´n an´loga se tiene con la suma a e o a inferior de Darboux-Riemann asociada a la partici´n P, donde el conjunto o bajo la gr´fica contiene a la uni´n de rect´ngulos cuyas ´reas dan la suma a o a a inferior. Tambi´n es de observarse que para cualquier elecci´n de los puntos e o x∗ ∈ [xi−1 , xi ], la suma de Riemann S(f, P,{x∗ }) es un n´mero entre las sumas i i u inferior y superior de Darboux-Riemann. 2. Si la funci´n f toma en [a, b] tanto valores positivos como negativos, la con- o tribuci´n a cada suma de los subintervalos sobre los que f toma valores nega- o tivos, ser´ tambi´n un n´mero negativo y entonces, en el c´lculo de la suma a e u a de Riemann, la suma del ´rea de los rect´ngulos que quedan por abajo del eje a a de las abscisas se resta del ´rea de los rect´ngulos que quedan por arriba de a a esos ejes. Vea la figura 9.3. Para mostrar c´mo tiene lugar el proceso de aproximaci´n a medida que se toman o o particiones de [a, b] cada vez m´s finas, probaremos primero el lema siguiente. a Lema 9.1 Sean P, Q ∈ Ω([a, b]) y f : [a, b] → R una funci´n continua. Entonces o 1. S(f, P) S(f, P) 2. S(f, P ∪ Q) S(f, P) 3. S(f, P ∪ Q) S(f, P) 4. sup f (x)(b − a) S(f, P) S(f, P) inf f (x)(b − a) x∈[a,b] x∈[a,b]
- 183. 9.1 La definici´nde integral definida o 183 f (x) b = xk x a = x0 Figura 9.3 Sumas superiores e inferiores de Darboux-Riemann 5. S(f, P) S(f, Q) 6. inf S(f, T ) sup S(f, T ) T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b]) Demostracion. ´ Sean P ={a = x0 < x2 < · · · xk = b} y Q ={a = z0 < z1 < · · · < zr = b} . Como f (xi ) f (xmin ) para cada i = 1, . . . , k, se tiene la validez del punto 1. max i Para probar el punto 2, basta observar que al considerar la partici´n P ∪ Q, o el subintervalo [xi−1 , xi ] de P contiene a varios elementos zk de Q en la forma xi−1 zj < zj+1 < · · · zs xi y da lugar en S(f, P ∪ Q) a varios sumandos que corresponden al ´rea de los rect´ngulos asociados a P ∪ Q cuyas bases est´n a a a contenidas en [xi−1 , xi ] y cuyas alturas supx∈[zs−1 ,zs ] f (x) son menores o iguales que supx∈[xi−1 ,xi ] f (x). Puesto que, en general, supM f (x) supN f (x) si M ⊂ N, entonces S(f, P ∪ Q) S(f, P), lo cual prueba el punto 2. La prueba del punto 3 es de forma an´loga a la prueba del punto 2 si observamos a que inf f (x) inf f (x) si M ⊂ N. M N La validez del punto 4 es evidente, y el punto 5 se sigue de notar que S(f, P) S(f, P ∪ Q) S(f, P ∪ Q) S(f, Q). La validez del punto 6 es consecuencia directa de la validez del punto 5. Nota Importante: Los puntos 1 y 5 en el lema anterior implican que cada suma superior de Darboux- Riemann es cota superior para el conjunto de todas las sumas inferiores de Darboux- Riemann posibles y an´logamente, cada suma inferior de Darboux-Riemann es cota a
- 184. 184 La integral definida inferior de todas las sumas superiores de Darboux-Riemann posibles. Por otro lado, los puntos 2 y 3 significan que al ir refinando cada vez m´s una partici´n mediante la a o incorporaci´n de nuevos puntos, se genera una sucesi´n creciente de sumas inferiores o o y una sucesi´n decreciente de sumas superiores. El punto clave aqu´ es que a medida o ı que se toman particiones con norma cada vez m´s peque˜a, las sumas de Riemann a n convergen todas a un mismo n´mero, lo cual motiva la definici´n siguiente. u o Definici´n 9.2 Para cada funci´n f : [a, b] → R continua, se define la inte- o o b gral de f en el intervalo [a, b] como el n´mero real a f (x)dx dado por u b f (x)dx = lim S(f, Pn , {xn∗ }) i a n→∞ donde Pn = a = xn < xn < · · · < xk(n) = b 0 2 n para n = 1, 2, . . . es una sucesi´n de particiones de [a, b] cuya norma |Pn | tiende a cero y {xn∗ } o i es una elecci´n arbitraria de puntos xn∗ ∈ [xn , xn ] para cada i = 1, . . . , k(n) o i i−1 i y n = 1, 2, . . . Nota Importante: 1. El s´ımbolo es una deformaci´n del s´ o ımbolo . La expresi´n f (x)dx denota o el ´rea de un rect´ngulo de base un incremento infinitesimal dx de la variable a a b x y altura f (x). Los extremos inferior a y superior b en el signo a denotan el sentido en que se recorre el intervalo [a, b]. 2. Para que la definici´n de integral definida sea v´lida, debemos probar que si f o a es una funci´n continua, entonces todas las sucesiones de sumas de Riemann o correspondientes a particiones cuya norma tiende a cero, tienen un mismo l´ ımite. Para probar ese hecho, demostraremos en la proposici´n 9.2, que si la o funci´n f es continua, entonces el infimum de las sumas superiores de Darboux- o Riemann coincide con el supremum de las sumas inferiores y, por lo tanto, cualquier sucesi´n de sumas de Riemann correspondientes a particiones con o norma que tiende a cero convergen a un mismo n´mero real. Ese n´mero es u u la integral definida de f en [a, b] y corresponde, si f es no-negativa, al valor del ´rea del conjunto bajo la gr´fica de la funci´n sobre [a, b]. a a o Proposici´n 9.2 Si f : [a, b] → R es una funci´n continua, entonces o o inf S(f, P) = sup S(f, P). P∈Ω([a,b]) P∈Ω([a,b]) M´s a´n, si Pn = {a = xn < xn < . . . < xn = b} para n = 1, 2, . . . , es una sucesi´n a u 0 2 k o de particiones de [a, b] cuya norma |Pn | tiende a cero, entonces se tiene que lim S(f, Pn , {xn∗ }) = i inf S(f, P) = sup S(f, P), n→∞ P∈Ω([a,b]) P∈Ω([a,b])
- 185. 9.1 La definici´nde integral definida o 185 o n n ∗ donde {xn∗ } es una elecci´n arbitraria de puntos xi ∈ [xi−1 , xi ] y S(f, Pn , {xi }) n∗ i n∗ }. es la suma de Riemann asociada a Pn y a la elecci´n {xi o ´ Demostracion. Al ser f continua en [a, b], en virtud del teorema 4.13, es uni- formemente continua, es decir, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x y y ∈ [a, b] y |x − y| δ entonces ε |f (x) − f (y)| . b−a Por lo tanto, si P es una partici´n tal que los subintervalos en los cuales divide a o [a, b] son de longitud menor o igual a δ, se tiene que en cada subintervalo [xi−1 , xi ] se cumple ε f (xmax ) − f (xmin ) i i . b−a Consecuentemente, las sumas superiores e inferiores respectivas satisfacen S(f, P) − S(f, P) ε. Esto muestra que para cada n´mero ε > 0, toda partici´n P de [a, b] tal que |P| < δ, u o es tal que las suma superior e inferior de Darboux-Riemann respectivas difieren entre s´ en menos que ε. Teniendo en cuenta la estimaci´n anterior, podemos escribir ı o inf S(f, T ) S(f, P) S(f, P) + ε sup S(f, T ) + ε, T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b]) y por lo tanto, inf S(f, T ) sup S(f, T ) + ε. T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b]) Como ε es un n´mero positivo arbitrario, concluimos que u inf S(f, T ) sup S(f, T ), T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b]) y esto, junto con el punto 6 del lema 9.1, implica que inf S(f, T ) = sup S(f, T ). T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b]) Sea ahora una sucesi´n Pn de particiones con |Pn | → 0. Dado ε > 0 existe N tal o que |Pn | < δ si n > N y entonces podemos escribir inf S(f, T ) S(f, Pn ) S(f, Pn ) + ε, para n > N T ∈Ω([a,b]) y, por lo tanto, inf S(f, T ) S(f, Pn ) sup S(f, T ) + ε, para n > N. T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b])
- 186. 186 La integral definida Luego, hemos probado que lim S(f, Pn ) = sup S(f, T ). n→∞ T ∈Ω([a,b]) An´logamente, se tiene a lim S(f, Pn ) = inf S(f, T ). n→∞ T ∈Ω([a,b]) Finalmente, puesto que para cualquier elecci´n de puntos {xn∗ } se tiene o i S(f, Pn ) S(f, Pn , {xn∗ }) i S(f, Pn ), haciendo n → ∞ se obtiene, lim S(f, Pn , {xn∗ }) = i sup S(f, T ) = inf S(f, T ), n→∞ T ∈Ω([a,b]) T ∈Ω([a,b]) con lo cual hemos demostrado que todas las sucesiones de sumas de Riemann co- rrespondientes a particiones con norma que tienden a cero, tienen un mismo l´ ımite, que se denomina la integral definida de f en [a, b]. Nota Importante: Al cambiar la orientaci´n de una partici´n P, la suma de Riemann cambia de signo al o o invertirse los extremos inicial y final de cada subintervalo. Para se˜alar la orientaci´n n o que se ha dado a las particiones que se han utilizado para calcular la integral, escribiremos siempre en la parte inferior del signo f (x)dx el extremo inicial del intervalo de integraci´n y en la parte superior el extremo final, definidos ´stos de o e acuerdo a la orientaci´n dada a las particiones. Tomando en cuenta lo anterior, o tenemos la relaci´no a b f (x)dx = − f (x)dx. b a Ejemplo 9.2 A partir de la definici´n, calculemos la integral de la funci´n f (x) = o o cx en el intervalo [a, b]. Tomemos la sucesi´n particular de particiones de [a, b] con norma que tiende o a cero dada mediante Pn = a < a + h < a + 2h < · · · < a + nh = b, donde b−a h= . En este caso, los intervalos en que se divide [a, b], tienen por extremo n derecho a xi = a + ih, con i = 1, . . . , n. Elijamos ahora los puntos intermedios h x∗ = a + ih − ∈ [xi−1 , xi ] y calculemos las sumas de Riemann correspondientes, i 2 obteniendo n n h c(b − a)2 1 S(f, Pn , {x∗ }) i = c a + ih − h = ca(b − a) + i− 2 n2 2 i=1 i=1 c(b − a)2 n(n + 1) n 1 = ca(b − a) + − = c(b2 − a2 ), n2 2 2 2
- 187. 9.1 La definici´nde integral definida o 187 y tomando l´ ımite cuando n → ∞ tendremos b 1 cxdx = c(b2 − a2 ). ⊳ a 2 9.1.1 Propiedades de la integral definida En la siguiente proposici´n enlistamos las propiedades principales de la integral o definida. Proposici´n 9.3 Sean f, g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b]. Entonces o 1. Para cada λ ∈ R, b b b (λf + g)(x)dx = λ f (x)dx + g(x)dx (Linealidad) a a a 2. Para cada c ∈ (a, b), b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (Aditividad del intervalo) a a c b 3. inf f (x)(b − a) f (x)dx sup f (x)(b − a) x∈[a,b] a x∈[a,b] b b 4. Si f (x) g(x) en [a, b], entonces a f (x)dx a g(x)dx. b b 5. f (x)dx f (x) dx a a ´ Demostracion. Para probar 1, basta observar que para cada sucesi´n de parti- o ciones Pn de [a, b] con norma que tiende a cero y cada elecci´n de puntos intermedios o {xn∗ } , se cumple que i S(λf + g, Pn , {xn∗ }) = λS(f, Pn , {xn∗ }) + S(g, Pn , {xn∗ }), i i i y tomando en cuenta la convergencia de las sucesiones de la derecha, se tendr´ a b b b (λf + g)(x)dx = λ f (x)dx + g(x)dx. a a a Para la prueba de 2, obs´rvese que si Pn y Rn son sucesiones de particiones con e norma que tiende a cero de [a, c] y [c, b], entonces su uni´n Pn ∪Rn define una sucesi´n o o de particiones de [a, b] tales que para cualquier elecci´n de puntos intermedios se o tiene S(f, Pn ∪ Rn , {xn∗ }) = S(f, Pn , {xn∗ }) + S(f, Rn , {xn∗ }). i i i
- 188. 188 La integral definida Al tomar l´ ımite cuando n → ∞, de las sucesiones anteriores se obtiene b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, a a c con lo que se prueba el punto 2. La demostraci´n del punto 3 es consecuencia de la siguiente estimaci´n para o o cada partici´n P de [a, b] : o sup f (x)(b − a) S(f, Pn , {xn∗ }) i inf f (x)(b − a). x∈[a,b] x∈[a,b] La demostraci´n del punto 4 se tiene al observar que si k : [a, b] → R es una funci´n o o continua con k(x) 0 para x ∈ [a, b], entonces inf k(x)(b − a) 0, x∈[a,b] b y, de lo probado en el punto 3, se sigue que a k(x)dx 0. Tomando en cuenta lo anterior, si f (x) g(x) en [a, b], se tiene (f − g)(x) 0 y entonces b b f (x)dx − g(x)dx 0. a a Finalmente, la prueba del punto 5 se sigue directamente del punto 3 y de considerar que si f es continua, tambi´n lo es |f (x)| y e −|f (x)| f (x) |f (x)|; luego, b b b − |f (x)|dx f (x)dx ≤ |f (x)|dx, a a a lo cual implica que b b f (x)dx |f (x)|dx. a a Corolario 9.4 (Teorema del valor medio para integrales) Sea f : [a, b] → R continua. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que b f (x)dx = f (c)(b − a). a ´ Demostracion. Del punto 3 de la proposici´n anterior, tenemos que o b 1 inf f (x) f (x)dx sup f (x). x∈[a,b] (b − a) a x∈[a,b]
- 189. 9.2 El teoremafundamental del c´lculo a 189 Tomando ahora en cuenta que toda funci´n continua en un intervalo cerrado [a, b], o alcanza cada valor intermedio entre su valor m´ximo y su valor m´ a ınimo, y como b 1 f (x)dx es un valor entre esos valores extremos de la funci´n, entonces o (b − a) a existe c ∈ [a, b] tal que b 1 f (c) = f (x)dx, (b − a) a con lo cual se prueba el corolario. Corolario 9.5 (Segundo teorema del valor medio para integrales) Sean f (x) y g(x) funciones continuas en [a, b] y f (x) 0. Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que b b f (x)g(x)dx = g(c) f (x)dx. a a ´ Demostracion A partir de la estimaci´n o f (x) min g(x) f (x)g(x) f (x) max g(x), x∈[a,b] x∈[a,b] podemos escribir b b b min g(x) f (x)dx f (x)g(x)dx max g(x) f (x)dx. x∈[a,b] a a x∈[a,b] a Enseguida, aplicando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, ex- istir´ c ∈ (a, b) tal que a b b f (x)g(x)dx = g(c) f (x)dx. a a 9.2 El teorema fundamental del c´lculo a Aparentemente, el c´lculo de una integral definida es un proceso dif´ de imple- a ıcil mentar, pues se requiere tomar en cuenta el comportamiento de la funci´n a lo largo o de todo el intervalo de integraci´n. Sin embargo, cuando se conoce una primitiva o o antiderivada de la funci´n, el c´lculo de la integral en el intervalo se reduce a o a una mera valuaci´n de esa primitiva en sus extremos, tal como lo mostramos en la o proposici´n siguiente. o
- 190. 190 La integral definida Proposici´n 9.6 Sea f : [a, b] → R continua y g : [a, b] → R una primitiva de o dg f , es decir (x) = f (x). Entonces dx b b dg f (x)dx = (x)dx = g(b) − g(a). a a dx ´ Demostracion. Consideremos una partici´n P = {a = x0 < x2 < · · · < xk = b} y o tomemos en cada subintervalo [xi−1 , xi ] un punto intermedio x∗ tal que i dg ∗ g(xi ) − g(xi−1 ) = (x )(xi − xi−1 ). dx i La existencia de tal punto lo asegura el teorema de valor medio aplicado a la funci´n o g(x) en el intervalo [xi−1 , xi ]. Luego, evaluando la suma de Riemann correspondiente, se tiene k dg ∗ S(f, P, {x∗ } )= i (x )(xi − xi−1 ) = dx i i=1 k = (g(xi ) − g(xi−1 )) = g(b) − g(a), i=1 lo cual muestra que S(f, P, {x∗ } ) es un n´mero que no depende de la partici´n i u o P. Luego, el l´ımite de la sumas de Riemann correspondientes a una sucesi´n deo particiones Pn con norma que tiende a cero y donde los puntos intermedios x∗ se i eligen como se hizo arriba, ser´ el n´mero g(b) − g(a) y por lo tanto se tendr´ a u a b f (x)dx = g(b) − g(a). a Nota Importante: Hemos probado que si una funci´n continua tiene una primitiva, entonces la inte- o gral de la primera sobre cada intervalo cerrado es igual a la diferencia de valores de la primitiva en sus extremos. Tomando en cuenta que dos primitivas en un inter- valo difieren por una constante, el valor de la diferencia de valores g(b) − g(a) es independiente de la primitiva que se utilice. El resultado anterior es la primera parte del llamado teorema fundamental del c´lculo.2 La parte restante afirma que cada funci´n continua tiene una primitiva. a o 2 La idea original de este teorema se debe a Isaac Barrow, matem´tico mencionado en el cap´ a ıtulo primero.
- 191. 9.2 El teoremafundamental del c´lculo a 191 Proposici´n 9.7 Si f : [a, b] → R es una funci´n continua, la funci´n o o o g : [a, b] → R, definida mediante la expresi´n o x g(x) = f (s)ds, a es una primitiva de f. ´ Demostracion. Mostremos primero que g(x) es derivable. x+h x g(x + h) − g(x) 1 lim = lim f (s)ds − f (s)ds h→0 h h→0 h a a x x+h x 1 = lim f (s)ds + f (s)ds − f (s)ds h→0 h a x a x+h 1 = lim f (s)ds. h→0 h x Aplicando el teorema de valor medio para integrales, tenemos que x+h 1 f (s)ds = f (xh ), con xh ∈ [x, x + h] h x Tomando l´ ımite cuando h → 0 y considerando que f es continua en x, obtenemos g(x + h) − g(x) lim = lim f (xh ) = f (x). h→0 h h→0 dg Esto prueba que la funci´n g(x) es derivable y o (x) = f (x). Luego, g es una pri- dx mitiva de f en [a, b]. Nota Importante: 1. El teorema fundamental del c´lculo en cierta manera establece que las opera- a ciones de derivaci´n y de integraci´n son procesos rec´ o o ıprocos, en el sentido siguiente: x df (s)ds = f (x) − f (a), a dx x d f (s)ds a (x) = f (x). dx
- 192. 192 La integral definida 2. El teorema fundamental del c´lculo proporciona un m´todo para el c´lculo de a e a integrales definidas de funciones continuas, remitiendo al problema del c´lculo a de primitivas o antiderivadas. Ejemplo 9.3 Utilizando el teorema fundamental del c´lculo, podemos evaluar la a π 2 1 integral definida (sen x + x)dx, observando que la funci´n g(x) = − cos x + x2 o 0 2 es una antiderivada de la funci´n sen x + x. Luego, o π 2 π 1 (sen x + x)dx = g − g(0) = π 2 + 1. ⊳ 0 2 8 Ejemplo 9.4 Si en un tanque vac´ de 5000 metros c´bicos de capacidad se vierte ıo u t m3 agua a una raz´n de 100 seg , ¿en cu´nto tiempo se llena el tanque? o a Soluci´n: Si denotamos por V (t) la funci´n que en el tiempo t es igual al volumen o o de agua en el tanque, se tiene como dato que dV t (t) = , dt 100 y por lo tanto, aplicando el teorema fundamental del c´lculo, tenemos a t s 1 2 V (t) = ds = t . 0 100 200 El tanque se llenar´ en el tiempo T tal que a 1 2 V (T ) = 5000 = T , 200 es decir, T = 1000 segundos. ⊳ 9.3 Integrales impropias En este apartado presentamos los conceptos de integral impropia y de integral para funciones seccionalmente continuas. En el primer caso, se trata de extender el concepto de integral a intervalos abiertos o no acotados, mientras que en el ultimo, ´ se trata de definir la integral para funciones que contienen un n´mero finito de u puntos de discontinuidad.
- 193. 9.3 Integrales impropias 193 Definici´n 9.3 Una funci´n continua f (x) definida en un intervalo de la o o forma [a, ∞) se dice integrable si para cada sucesi´n {bi }∞ que tiende a ∞ o i=1 bi ∞ se tiene que la sucesi´n de integrales definidas o f (x)dx converge a un a i=1 ımite com´n L ∈ R. Al n´mero L se le llama la integral impropia de f en l´ u u ∞ [a, ∞) y se denota con f (x)dx; es decir, a ∞ x f (x)dx = lim f (s)ds. a x→∞ a Nota Importante: Cuando decimos que la sucesi´n {bi }∞ tiende a ∞, entendemos que para cada o i=1 natural M existe una etiqueta N tal que bi M para todo i N. Ejemplo 9.5 La funci´n f (x) = sen x no tiene integral impropia en [0, ∞) ya que o si tomamos la sucesi´n {2πk}∞ se tiene que o k=1 2πk lim sen xdx = 0, k→∞ 0 π ∞ pero si tomamos la sucesi´n 2πk + o 2 k=1 se tiene 2πk+ π 2 lim sen xdx = 1. ⊳ k→∞ 0 ∞ Ejemplo 9.6 La integral impropia x−p dx, donde p es un n´mero entero, es u 1 convergente para p > 1 y divergente para p 1. La afirmaci´n para p > 1 se deduce o directamente del c´lculo a ∞ t 1 1 x−p dx = lim x−p dx = lim (t−p+1 − 1) = , 1 t→∞ 1 1 − p t→∞ 1−p mientras que si p = 1, se tiene ∞ t 1 xdx = lim xdx = lim (t2 − 1) → ∞, 1 t→∞ 1 2 t→∞ y si p < 1, ∞ t 1 x−p dx = lim x−p dx = lim (t−p+1 − 1) → ∞. 1 t→∞ 1 1 − p t→∞
- 194. 194 La integral definida ⊳ An´logamente, se define la integral impropia de una funci´n continua f (x) en a o b ∞ (−∞, b] como el l´ ımite com´n, si existe, de las sucesiones de la forma u f (x)dx ai i=1 para toda sucesi´n {ai }∞ que tiende a −∞. La integral impropia de f en (−∞, b] o i=1 b se denota con f (x)dx; es decir, −∞ b b f (x)dx = lim f (s)ds. −∞ x→−∞ x Finalmente, diremos que una funci´n f (x), continua en (−∞, ∞), tiene integral o impropia en (−∞, ∞), si para alg´n n´mero real a, la funci´n f posee integrales u u o impropias en (−∞, a] y en [a, ∞). A la suma de tales integrales se le llama la integral ∞ impropia de f en (−∞, ∞) y se denota con f (x)dx; es decir, −∞ ∞ a ∞ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ a Nota Importante: 1. La definici´n de integral impropia en toda la recta (−∞, ∞), no depende del o valor a. 2. A las integrales impropias de funciones en intervalos no acotados se les deno- mina “integrales impropias de primera clase”. Cuando una integral impropia existe, tambi´n se dice que la integral impropia converge y en caso contrario e se dice que la integral impropia diverge. De manera similar al caso de intervalos no acotados, si f (x) es una funci´n o continua definida en un intervalo de la forma [a, b), se dice que tiene integral impropia en [a, b) si para toda sucesi´n de reales {bi }∞ con t´rminos a < bi < b y tal que o i=1 e bi ∞ limi→∞ bi = b, se tiene que la sucesi´n de integrales definidas o f (x)dx a i=1 converge a un valor L, independiente de la sucesi´n {bi }∞ que se tome. Al n´mero o i=1 u b L se le llama integral impropia de f en [a, b) y se denota con f (x)dx; es decir, a b bi f (x)dx = lim f (x)dx. a bi →b a Para el caso de funciones continuas sobre intervalos de la forma (a, b], la definici´n o de integral impropia es similar. Finalmente si f (x) es una funci´n continua en un o intervalo abierto de la forma (a, b), se dice que tiene integral impropia en (a, b) si
- 195. 9.4 Integraci´n defunciones continuas por secciones o 195 c b para alg´n c ∈ (a, b) las integrales impropias a f (x)dx y c f (x)dx existen y en tal u caso se define la integral impropia de f en (a, b) como la suma b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Por su utilidad en probar la existencia de integrales impropias, damos aqu´ el si- ı guiente criterio de comparaci´n. o Proposici´n 9.8 (Criterio de comparaci´n) Sean f (x) y g(x) dos funciones o o no-negativas definidas en (−∞, ∞) y tales que 0 f (x) g(x) para toda x ∈ (−∞, ∞). Entonces, si g(x) tiene integral impropia en (−∞, ∞), tambi´n la tiene e la funci´n f (x) y se cumple o ∞ ∞ f (x)dx g(x)dx. −∞ −∞ ´ Demostracion. Basta mostrar que bajo las hip´tesis anteriores la funci´n f (x) o o ∞ tiene integral impropia en [0, ∞). Tomemos una sucesi´n {bi }i=1 que tienda a ∞. o Por la no-negatividad de las funciones y de la condici´n 0 f (x) g(x) se sigue o que bi bi f (x)dx g(x)dx. 0 0 bi ∞ bi ∞ Como las dos sucesiones f (x)dx y g(x)dx son positivas y la se- 0 i=1 0 i=1 bi ∞ gunda convergente a, digamos, un n´mero L, se tiene que la sucesi´n u o f (x)dx 0 i=1 ser´ convergente (ver ejercicio 5, cap´ a ıtulo 4), y ∞ ∞ f (x)dx g(x)dx. 0 0 0 0 An´logamente se muestra que a f (x)dx g(x)dx y, consiguientemente, la −∞ −∞ proposici´n queda probada. o 9.4 Integraci´n de funciones continuas por secciones o La integral definida que hemos presentado es v´lida solamente para funciones con- a tinuas en un intervalo cerrado y acotado. Concluimos este cap´ ıtulo presentando la generalizaci´n de ese concepto a la familia de funciones seccionalmente continuas, o que son aquellas funciones que tienen un n´mero finito de puntos de discontinuidad. u En este caso, el dominio de definici´n de esas funciones se puede escribir como o uni´n de un n´mero finito de intervalos abiertos ajenos, cuyos extremos los ocupan o u los puntos de discontinuidad.
- 196. 196 La integral definida Ejemplo 9.7 La funci´n f : [0, 3] → R con o √ 1 − x2 si x ∈ [0, 1] f (x) = 2 si x ∈ (1, 2] x−2 si x ∈ (2, 3] es una funci´n seccionalmente continua cuyos puntos de discontinuidad son x = 1 y o x = 2. ⊳ Definici´n 9.4 Una funci´n seccionalmente continua f (x) se dice integrable o o en un dominio si posee integral impropia en cada uno de los intervalos abiertos en que sus discontinuidades dividen a ese dominio. A la suma de tales integrales se le llama la integral de la funci´n seccionalmente continua. o Ejemplo 9.8 La funci´n f : (0, 2] → R con o √ 1 si 0 < x 1 f (x) = x x − 1 si 1 < x 2 es seccionalmente continua y su integral se calcula como sigue: 2 1 2 1 f (x)dx = √ dx + (x − 1)dx 0 0 x 1 1 2 1 x2 = lim √ dx + −x c→0+ c x 2 1 1 √ 1 = lim 2 c + c→0 + 0 2 5 = . ⊳ 2
- 197. 9.4 Integraci´n defunciones continuas por secciones o 197 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Haciendo uso de las propiedades de la integral definida, resuelva los problemas siguientes: 3 5 (a) Sea f funci´n continua tal que o f (x)dx = 3, f (x)dx = −2. Calcule 1 2 5 1 f (x)dx y f (x)dx. 3 2 √ 1 3 √ (b) Demuestre que 3 x2 + x + 1dx 11. 2 1 π √ (c) Demuestre que sen x dx π. 0 2. Calcule las integrales 2 (a) |t2 − t|dt 0 1 x (b) x sgn x dx, donde sgn x = . −1 |x| 3. Un autom´vil, durante un recorrido de 30 minutos, registra en su veloc´ o ımetro que la velocidad instant´nea v(t) en el tiempo t es igual a a v(t) = t2 + 1. ¿Cu´l es el desplazamiento neto del autom´vil durante ese intervalo de tiempo? a o 4. Sea f (x) una funci´n continua, g(x) y h(x) funciones derivables. Deduzca las o f´rmulas de derivaci´n siguientes: o o (a) g(x) d dg f (s)ds = f (g(x)) (x) dx a dx (b) g(x) d dg dh f (s)ds = f (g(x)) (x) − f (h(x)) (x) dx h(x) dx dx (c) b b d f (sx)ds (1) = − f (s)ds + bf (b). dx 0 0 5. Sea f (x) : (p, q) → R una funci´n con k derivadas en el intervalo (p, q). Sea a ∈ o (p, q). Por el teorema fundamental del c´lculo, para cada c ∈ (p, q) podemos a escribir a df f (a) − f (c) = (s)ds. c dx
- 198. 198 La integral definida (a) Utilizando dos veces la f´rmula de integraci´n por partes, escriba la in- o o tegral de la derecha en la forma a df a d2 f f (a) − f (c) = (s − a) (s) − (s − a) (s)ds dx c c dx2 df 1 1 d2 f a d3 f = (a − c) (c) + (a − c)2 2 (c) + (s − a)2 (s)ds. dx 2 dx 2 c dx3 Como esto vale para dos puntos a, c de (p, q) arbitrarios, podemos escribir en lugar de a el valor x y en lugar de c el valor a para obtener df 1 d2 f f (x) = f (a) + (x − a) (a) + (x − a)2 2 (a) dx 2 dx 1 x d3 f + (s − x)2 (s)ds. 2 a dx3 Al t´rmino e 1 x d3 f Ra (x) = (s − x)2 (s)ds, 2 a dx3 se le llama residuo de Taylor3 de orden tres en forma integral. (b) Deduzca la forma integral del residuo de Taylor de orden n. 6. Sea a > 0, diga para qu´ valores de p ∈ R la funci´n de tipo exponencial e o f (x) = x−p tiene integral impropia en [a, ∞) y para qu´ valores de p tiene e integral impropia en (0, a). 7. Encuentre la integral de la funci´n f (x) : (0, 1) → R, dada por o 1 1 f (x) = √ + √ . x 1−x 8. Utilizando el criterio de comparaci´n (proposici´n 9.8): o o 2 (a) Pruebe que la funci´n e−x tiene integral impropia en todo el intervalo o 2 (−∞, ∞). Sugerencia: Note que 0 e−x e−x para toda x ∈ [1, ∞) y que 0 e −x2 1 para toda x ∈ [0, 1]. 1 (b) Pruebe que la funci´n f (x) = √ o tiene integral impropia en el inter- x + x3 valo (0, ∞). Sugerencia: compare la funci´n en cuesti´n con las funciones o o 1 1 √ y √ en los subintervalos apropiados. x x3 9. Calcule las integrales impropias siguientes: π 1 ∞ 2 −x (a) x ln xdx (b) xe dx (c) tan xdx 0 0 0 3 Por Brook Taylor, citado en los cap´ ıtulos 1, 6 y 8.
- 199. 9.4 Integraci´n defunciones continuas por secciones o 199 4 2 10. Calcule el ´rea de la regi´n bajo la curva y = a o − , arriba del eje 2x + 1 x + 2 de las abscisas y a la derecha de x = 1.
- 200. 200 La integral definida
- 201. Cap´ ıtulo 10 Aplicaciones de la integral definida En este cap´ıtulo presentamos algunas de las aplicaciones elementales del c´lculo a integral a la geometr´ la f´ ıa, ısica y la ingenier´ En estos ejemplos se ilustra c´mo ıa. o los m´todos del c´lculo integral dan sentido preciso a las t´cnicas de agotamiento e a e para el c´lculo de sumas o resultantes de efectos infinitesimales. a 10.1 C´lculo de ´reas, vol´ menes y longitudes a a u 10.1.1 ´ Areas de regiones delimitadas por curvas suaves Para f1 : [a, b] → R y f2 : [a, b] → R, dos funciones continuas tales que f1 (x) ≤ f2 (x) para x ∈ [a, b], consideremos el problema del c´lculo del ´rea de la regi´n A del plano delimitada a a o por las gr´ficas de f1 y f2 y definida mediante el conjunto a A = {(x, y) tales que a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)} , el cual se muestra en la figura 10.1. y f2 f1 x a b ´ Figura 10.1 Area delimitada por las funciones f1 y f2 y las rectas x = a y x = b Este problema es equivalente al c´lculo del ´rea de la regi´n delimitada por la a a o gr´fica de la funci´n no-negativa g dada por a o g(x) = f2 (x) − f1 (x), x ∈ [a, b],
- 202. 202 Aplicaciones de la integral definida y el eje de las abscisas. Con base en las propiedades de la integral definida, vemos que el ´rea de la regi´n A se calcula con la f´rmula a o o b b ´ Area de A = g(x)dx = (f2 (x) − f1 (x))dx. a a Ejemplo 10.1 Calculemos el ´rea de la regi´n A del plano delimitada por la curva a o y = 3 − x2 y la recta y = −x + 1. y (-1,2) f2 (x) = 3 − x2 x (2,-1) f1 (x) = −x + 1 Figura 10.2 La regi´n A del ejemplo 10.1 o La regi´n A, como se muestra en la figura 10.2, est´ delimitada por las funciones o a f1 (x) = −x + 1 y f2 (x) = 3 − x2 sobre el intervalo [−1, 2], y por lo tanto, su ´rea es a 2 ´ 9 Area de A = (−x2 + x + 2)dx = . ⊳ −1 2 Nota Importante: Para calcular el ´rea de regiones m´s generales se puede utilizar el procedimiento a a anterior descomponiendo la regi´n original en partes delimitadas por gr´ficas de o a dos curvas y rectas paralelas al eje de las ordenadas, calcul´ndolas como en el caso a anterior, y sumando despu´s las ´reas de esas regiones. e a A veces conviene expresar las fronteras de la regi´n cuya ´rea se desea calcular, o a como gr´ficas de funciones de la variable y e integrar sobre intervalos en el eje de a las ordenadas. Ejemplo 10.2 El ´rea de la regi´n B delimitada por el eje de las ordenadas y las a o curvas y = sen x y y = cos x, π B = (x, y) con x ∈ 0, , sen x y cos x 4 (ver figura 10.3), se puede expresar como la suma del √rea de la regi´n bajo la gr´fica a ´ o a 2 de la funci´n h1 (y) = arcseny sobre el intervalo 0, o del eje de las ordenadas y 2
- 203. 10.1 C´lculo de´reas, vol´menes y longitudes a a u 203 y cos x √ 2 2 sen x x π 4 Figura 10.3 La regi´n B del ejemplo 10.2 o el√ rea de la regi´n bajo la gr´fica de la funci´n h1 (y) = arccos y sobre el intervalo a ´ o a o 2 , 1 del eje de las ordenadas. 2 Utilizando esta descomposici´n, se obtiene o √ 2 2 1 √ ´ Area de B = arcsen ydy + √ arccos ydy = 2 − 1. 2 0 2 Por otro lado, esa misma regi´n B se puede ver como delimitada por las gr´ficas de o a π las funciones f1 (x) = cos x y f2 (x) = sen x sobre el intervalo 0, y para su ´rea a 4 se tiene π 4 π √ ´ Area de B = 4 (cos x − sen x)dx = (sen x + cos x) |0 = 2 − 1. ⊳ 0 10.1.2 Vol´ menes de s´lidos de revoluci´n u o o En este apartado mostramos c´mo se aplica la integral definida al c´lculo del volu- o a men de s´lidos de revoluci´n en dos casos importantes en las aplicaciones. o o Primer caso: Sea f : [a, b] → R una funci´n continua y consideremos el s´lido o o de revoluci´n S que se genera al girar alrededor del eje de las abscisas la regi´n o o delimitada por la gr´fica de f sobre el intervalo [a, b]. Ver la figura 10.4. a ıficamente, el s´lido de revoluci´n S es el conjunto Espec´ o o S = (x, y, z) tales que y 2 + z 2 ≤ (f (x))2 con a x b . Para calcular el volumen del s´lido S observamos que cada uno de los subintervalos o definidos por una partici´n P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] genera, al o rotar alrededor del eje de las abscisas, un cilindro de altura ∆xi y radio |f (x∗ )|. Ver i figura 10.5.
- 204. 204 Aplicaciones de la integral definida f (x) x a b Figura 10.4 S´lido de revoluci´n o o El volumen de la uni´n de tales cilindros, o k V (f, P, {x∗ }) = π i f 2 (x∗ )∆xi , i (10.1) i=1 f (x) f (x) f (x∗ ) i x x a b xi−1 xi x∗ i Figura 10.5 C´lculo del volumen de un s´lido de revoluci´n a o o aproxima al volumen de S y corresponde a la suma de Riemann de la funci´n πf 2 (x) o asociada a la partici´n P. En el l´ o ımite, cuando k → ∞, las sumas (10.1) convergen b al n´mero u πf 2 (x)dx, que es el volumen del s´lido de revoluci´n S. Es decir, o o a b V = Volumen de S = π f 2 (x)dx. (10.2) a Ejemplo 10.3 El volumen del elipsoide de revoluci´n o x2 y 2 z 2 E= (x, y, z) tales que + 2 + 2 ≤1 a2 b b
- 205. 10.1 C´lculo de´reas, vol´menes y longitudes a a u 205 es generado al rotar la gr´fica de la funci´n a o f : [−a, a] → R x2 f (x) = b 1 − a2 y el c´lculo del volumen nos arroja la expresi´n a o a x2 4 V = πb2 1− dx = πb2 a.1 ⊳ −a a2 3 Segundo caso: Para s´lidos de revoluci´n generados por la rotaci´n de la gr´fica o o o a de una funci´n continua f : [a, b] → R, a o 0, alrededor del eje de las ordenadas, como se muestra en la figura 10.6, el c´lculo de su volumen puede realizarse de a manera an´loga. a f (x) x a b Figura 10.6 S´lido de revoluci´n o o De manera espec´ ıfica, cada subintervalo [xi−1 , xi ] de una partici´n P = {a = o x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] genera, al girar alrededor del eje de las ordenadas, ındrico de espesor ∆xi y altura |f (x∗ )|, donde x∗ ∈ [xi−1 , xi ], como se un anillo cil´ i i muestra en la figura 10.7. f (x) f (x) f (x∗ ) i x x a b xi−1 xi x∗ i Figura 10.7 C´lculo del volumen de un s´lido de revoluci´n a o o 1 N´tese que si a = b, E es una esfera y V su volumen. o
- 206. 206 Aplicaciones de la integral definida La suma de los vol´menes de estos anillos cil´ u ındricos es k k ∗ V (f, P, {xi }) = π |f (x∗ )|(x2 − x2 ) = π i i+1 i (xi+1 + xi )|f (x∗ )|∆xi . i (10.3) i=1 i=1 En el l´ ımite, cuando k → ∞, la suma (10.3) converge al n´mero u b V = Volumen de S = 2π x|f (x)|dx, (10.4) a que es el volumen exacto del s´lido de revoluci´n S. o o Ejemplo 10.4 Consideremos el s´lido que se genera al rotar alrededor del eje de o las ordenadas la gr´fica de la curva f (x) = 2x2 − x3 con x ∈ [0, 2]. Aplicando la a f´rmula (10.4) obtenemos o 2 2 16 V = 2π x|f (x)|dx = 2π (2x3 − x4 )dx = π. ⊳ 0 0 5 10.1.3 Longitudes de curvas El c´lculo de longitudes de curvas en el plano cartesiano es otra aplicaci´n impor- a o tante de la integral definida. Si consideramos la curva Γ dada por la ecuaci´n o y = f (x) para x ∈ [a, b], donde f (x) es una funci´n con derivada continua, podemos calcular la longitud de o Γ aproxim´ndola por curvas poligonales, es decir, formadas por segmentos de recta, a cuya longitud es directamente calculable mediante la f´rmula de la distancia entre o dos puntos del plano cartesiano. Esto puede realizarse tomando una partici´n P o = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] y construyendo la curva poligonal s(x) que pasa por los puntos (xi , f (xi )) para i = 1, · · · k, de la gr´fica de Γ, como se muestra a en la figura 10.8. y y = f (x) y = s(x) x x0 x1 x2 ··· xk−1 xk Figura 10.8 Aproximaci´n de la longitud de arco o La longitud del segmento si determinado por los puntos (xi−1 , f (xi−1 )) y
- 207. 10.1 C´lculo de´reas, vol´menes y longitudes a a u 207 (xi , f (xi )), es igual a longitud de si = ∆x2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 . i (10.5) Aplicando el teorema del valor medio a la funci´n f (x) en cada subintervalo [xi−1 , xi ], o podemos escribir df ∗ f (xi ) − f (xi−1 ) = (x )∆xi , (10.6) dx i ∗ donde xi ∈ [xi−1 , xi ]. Sustituyendo (10.6) en (10.5) y sumando se obtiene k k 2 df ∗ longitud de s = si = 1+ (x ) ∆xi , dx i i=1 i=1 2 df que es la suma de Riemann de la funci´n o (x) 1+ correspondiente a la dx partici´n P y a la elecci´n de puntos intermedios {x∗ } . Tomando el l´ o o i ımite de esas sumas cuando |P| → 0, obtenemos b 2 df longitud de Γ = 1+ (x) dx. (10.7) a dx Ejemplo 10.5 La longitud de la curva Γ en el plano cuya ecuaci´n es y = x3 , o x ∈ [a, b], es b longitud de Γ = 1 + 9x4 dx. ⊳ a Nota Importante: Frecuentemente, y a´n en aplicaciones del c´lculo a problemas sencillos, la inte- u a graci´n de funciones elementales es un problema dif´ o ıcil. M´s a´n, se ha demostrado a u que muchas funciones elementales no poseen antiderivadas que se puedan expresar en t´rminos de una cantidad finita de funciones elementales. Por ejemplo, al calcular e la longitud de la elipse x2 y 2 + 2 = 1, a2 b b se obtiene, aplicando la f´rmula (10.7) a f (x) = o a2 − x2 , que a a b2 x2 longitud de la elipse = 4 1+ dx 0 a2 a2 − x2 π 2 b2 = 4a 1+ − 1 sen2 θdθ. (10.8) 0 a2
- 208. 208 Aplicaciones de la integral definida b2 Sin embargo, la antiderivada de la funci´n g(θ) = o − 1 sen2 θ no es ex- 1+ a2 presable en t´rminos de una cantidad finita de funciones elementales. A las integrales e de la forma (10.8) se les llama integrales el´ ıpticas. Para calcularlas se deben usar otros m´todos (num´ricos, por ejemplo). e e 10.2 ´ Area de superficies de revoluci´n o Antes de abordar el problema del c´lculo del ´rea de una superficie de revoluci´n, a a o recordemos que el ´rea lateral de un cono circular recto de radio r y altura h se a puede calcular aproxim´ndola por una suma de ´reas de tri´ngulos de base r∆θ y √ a a a altura h2 + r2 , como en la figura 10.9, de tal manera que 2π ´ 1 Area del cono = r2 + h2 r dθ = πr h2 + r2 . (10.9) 0 2 y r∆θ ∆θ h r Figura 10.9 Un cono circular recto A partir de la f´rmula (10.9), deducimos que el ´rea lateral de un cono recto o a truncado de base mayor de radio R y base menor de radio r y altura h, como el que se muestra en la figura 10.10, es ´ Area del cono truncado recto= π(R + r) h2 + (R − r)2 . (10.10) R r h Figura 10.10 Un cono truncado recto
- 209. ´ 10.2 Area desuperficies de revoluci´n o 209 Con la f´rmula (10.10) podemos calcular el ´rea externa de un s´lido aproximan- o a o do su ´rea lateral por una suma de ´reas laterales de conos truncados cuyas paredes a a aproximan la superficie exterior del s´lido. M´s expl´ o a ıcitamente, consideremos la superficie de revoluci´n generada al rotar alrededor del eje de las abscisas la gr´fica o a de la funci´n no-negativa f sobre el intervalo [a, b]. V´ase la figura 10.11. o e Para cada partici´n P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] consideremos la o curva poligonal s(x) que pasa por los puntos (xi , f (xi )) para i = 1, 2, . . . , k. Al rotar la curva s(x), cada subintervalo [xi−1 , xi ], genera un cono circular truncado cuyas bases tienen por radios R = f (xi ) y r = f (xi−1 ) y altura h = xi − xi−1 , como se ve en la figura 10.11. f (x) f (x) f (xi−1 ) f (xi ) x x a b xi−1 xi Figura 10.11 C´lculo del ´rea de una superficie de revoluci´n a a o El ´rea de los conos truncados generados por la partici´n P toma el valor: a o Suma k de ´reas laterales = π a (f (xi ) + f (xi−1 )) ∆x2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 . (10.11) i de conos i=1 Aplicando el teorema del valor medio a la funci´n f en cada subintervalo [xi−1 , xi ] o podemos escribir df ∗ f (xi ) − f (xi−1 ) = (x )∆xi (10.12) dx i u ∗ para alg´n xi ∈ (xi−1 , xi ). Sustituyendo (10.12) en (10.11), tendremos, suma k 2 df ∗ de ´reas laterales = π a (f (xi ) + f (xi−1 )) 1+ (x ) ∆xi , dx i de conos i=1 la cual es una suma de Riemann de la funci´n o 2 df ∗ ℓ(x) = 2πf (x) 1+ (x ) dx i
- 210. 210 Aplicaciones de la integral definida correspondiente a la partici´n P y a la elecci´n de puntos intermedios x∗ , i = o o i 1, 2, . . . , k. Al tomar particiones de [a, b] con norma tendiente a cero, la suma de a ´reas laterales de los conos truncados converge a la integral de la funci´n ℓ(x); es o decir, b 2 a ´rea de la df = 2π f (x) 1+ (x) dx. (10.13) superficie de revoluci´n o a dx Ejemplo 10.6 El ´rea de la esfera corresponde al ´rea de la superficie de revoluci´n a a o generada al rotar la gr´fica de la funci´n a o f (x) = r2 − x2 , x ∈ [−r, r] alrededor del eje de las abscisas. Aplicando la f´rmula (10.13) se tiene: o r a ´rea de la esfera x2 = 2π r2 − x2 1+ dx de radio r −r r2 − x2 r = 2π rdx = 4πr2 . ⊳ −r 10.3 Centros de masa y presi´n de fluidos o En este apartado presentamos algunas aplicaciones de la integral a problemas del c´lculo de centros de masa (o centroides) de varillas y regiones planas. a 10.3.1 Centroides de varillas y regiones planas Consideremos una varilla de longitud L de densidad variable, de tal manera que la masa del material que forma la varilla por unidad de longitud es una funci´n o ρ(x), donde x ∈ [0, L]. Si colocamos la varilla sobre un pivote colocado en el punto xM , como se muestra en la figura 10.12, y consideramos la acci´n de la fuerza de o gravedad sobre cada uno de sus puntos, la varilla tender´ a rotar en la direcci´n de a o las manecillas del reloj por efecto de la fuerza de palanca generada por el peso de los puntos a la derecha del pivote y en sentido contrario por la fuerza de palanca de los puntos a la izquierda de xM . x 0 xM L Figura 10.12 Centroide de una varilla La fuerza de palanca o “torca” ejercida por cada masa puntual de la varilla es igual al producto de la distancia de ese punto al pivote, multiplicado por el peso del
- 211. 10.3 Centros demasa y presi´n de fluidos o 211 material concentrado en ese punto. La resultante de la suma de las torcas ejercidas por los puntos a la derecha e izquierda del pivote, tiene un efecto final sobre la varilla, haci´ndola girar en el sentido correspondiente al signo de la torca resultante. e Se define el centro de masa de la varilla (o centroide) como aquel punto-pivote xM con respecto al cual la torca resultante ejercida por todos los puntos de la varilla es cero. Para el c´lculo de la torca resultante respecto a un punto-pivote xM , se recurre a al m´todo de agotamiento, considerando a la varilla como formada por un conjunto e finito de segmentos dispuestos a lo largo de la varilla y donde cada uno de ellos tiene densidad constante e igual al valor de la funci´n ρ(x) en el punto x del segmento, o elegido arbitrariamente. Bajo esa aproximaci´n, la suma de las torcas ejercidas o por esos segmentos tender´, cuando la longitud de los segmentos es cada vez m´s a a peque˜a, a la torca de la varilla alrededor del punto-pivote xM . Para realizar lo n anterior, tomamos una partici´n P = {0 = x0 < x1 < · · · < xk = L} de [0, L] y con- o sideramos la suma k T (ρ, P, {x∗ }) = i ρ(x∗ )(x∗ − xM )∆xi , i i (10.14) i=1 donde x∗ es un punto arbitrario de [xi−1 , xi ] para cada i = 1, 2, . . . , k. La expresi´n i o (10.14) es la suma de Riemann para la funci´n ρ(x)(x − xM ) correspondiente a la o partici´n P y la elecci´n de puntos {x∗ } , y por lo tanto, para cada elecci´n del o o i o L punto pivote xM , el valor de la integral 0 ρ(x)(x − xM )dx corresponde a la torca ejercida por la varilla alrededor de ese punto. Luego, el centro de masa buscado corresponder´ al punto xM tal que a L ρ(x)(x − xM )dx = 0, 0 o expl´ ıcitamente, L 0 ρ(x)xdx xM = L . (10.15) 0 ρ(x)dx Ejemplo 10.7 La determinaci´n del centro de masa de una varilla de longitud L y o funci´n de densidad lineal ρ(x) = ax + b con a, b > 0 y x ∈ [0, L], se obtiene direc- o tamente de la f´rmula (10.15) y se sit´a a una distancia xM del extremo izquierdo o u dada por L 1 1 (ax + b)xdx aL2 + 2 bL xM = 0 L = 3 1 . 0(ax + b)dx 2 aL + b Se deduce inmediatamente que el centro de masa de una varilla de densidad cons- tante (es decir, haciendo a = 0) se localiza en el punto medio de la varilla. ⊳ Enseguida, veamos c´mo obtener el centro de masa, o centroide, de una superficie o S delimitada por curvas suaves y hecha de un material de densidad constante. Aqu´ı
- 212. 212 Aplicaciones de la integral definida tambi´n el centroide se caracteriza por ser aquel punto en el plano donde la resultante e de las torcas medidas con respecto a ese punto como pivote tienen resultante cero, de tal manera de que si se sostiene la superficie con un pivote en ese punto, ´sta e permanecer´ en equilibrio. a Supongamos que S est´ dada por la regi´n bajo la gr´fica de una funci´n f (x) a o a o sobre un intervalo [a, b], como se muestra en la figura 10.13(a). f (x) f (x) x = xM f (x∗ ) i S x x a b a b xi−1 x∗ i xi (a) (b) Figura 10.13 C´lculo del centroide de una regi´n a o delimitada por una curva Para determinar las coordenadas del centroide, primero buscaremos la recta de la forma x = xM , con respecto a la cual la torca ejercida por los puntos de la superficie, tanto a la derecha como a la izquierda de dicha recta, es cero. Esto quiere decir que la superficie se mantendr´ en equilibrio y no rotar´ alrededor del a a eje definido por la recta perpendicular al eje de las abscisas con ecuaci´n x = xM . o Para calcular la torca total alrededor de la recta pivote, tomamos particiones P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} de [a, b] y consideramos la torca ejercida por cada uno de los rect´ngulos de base [xi−1 , xi ] y altura |f (x∗ )|, con x∗ elegido arbitrariamente a i i en el subintervalo [xi−1 , xi ], obteniendo as´ las sumas de la forma ı k ∗ T (f, P, {xi }) = ρ|f (x∗ )|(x∗ − xM )∆xi , i i i=1 que corresponden a las sumas de Riemann para la funci´n o h(x) = ρ|f (x)|(x − xM ). Tomando el l´ ımite de tales sumas cuando las particiones tienen norma tendiente a cero, obtenemos que la posici´n de la recta x = xM con respecto a la cual la torca o total es cero, debe satisfacer la relaci´n o b ρ|f (x)|(x − xM )dx = 0; a
- 213. 10.3 Centros demasa y presi´n de fluidos o 213 es decir, b b a ρ|f (x)|xdx a |f (x)|xdx xM = b = b . a ρ|f (x)|dx a |f (x)|dx Para el c´lculo de la ordenada yM del centroide consideremos, para la partici´n a o P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = b}, las franjas verticales bajo la gr´fica de f sobre a cada subintervalo [xi−1 , xi ]. La longitud de cada franja es, aproximadamente, f (x∗ ), i con x∗ ∈ [xi−1 , xi ] y tienen su centroide en el punto (x∗ , f (x∗ )/2). Consideremos i i i ahora el conjunto S de puntos (x∗ , f (x∗ )/2) para i = 1, 2, . . . , k con una masa i i concentrada en cada uno de ellos igual a ρ|f (x∗ )|∆xi . Calculemos ahora la torca i que hace el conjunto S con respecto a una recta horizontal y = yM , la cual toma la forma k 1 ρ f (x∗ ) − yM |f (x∗ )|∆xi . i i 2 i=1 Tomando particiones cada vez m´s finas, tenemos que la torca total del conjunto a bajo la gr´fica de f es a b 1 ρ f (x) − yM |f (x)|dx, a 2 misma que se anular´ si a b b a ρf (x)|f (x)|dx a f (x)|f (x)|dx yM = b = b . (10.16) 2 a ρ|f (x)|dx 2 a |f (x)|dx Finalmente, tomando en cuenta que la masa total M de la superficie es M = b ρ|f (x)|dx, concluimos que las coordenadas de su centroide son a b b 1 1 xM = ρx|f (x)|dx, yM = ρf (x)|f (x)|dx. (10.17) M a 2M a Ejemplo 10.8 Calcule las coordenadas del centro de masa de la regi´n delimitada o por las gr´ficas de dos funciones f : [a, b] → R y g : [a, b] → R. a Soluci´n. Un argumento an´logo al anterior para el c´lculo de la abcisa xM del o a a centro de masa nos remite a la f´rmula o b a x|f (x) − g(x)|dx xM = b , a |f (x) − g(x)|dx mientras que para la ordenada yM se tiene b a x|f (x) + g(x)||f (x) − g(x)|dx yM = b . ⊳ 2 a |f (x) − g(x)|dx
- 214. 214 Aplicaciones de la integral definida Ejemplo 10.9 (Teorema de Pappus2 ) En el caso de un s´lido de revoluci´n ge- o o nerado al girar la gr´fica de una funci´n no-negativa f : [a, b] → R alrededor del eje a o de las abscisas, sabemos que su volumen est´ dado por la f´rmula a o b V =π f 2 (x)dx. (10.18) a Por otro lado, sustituyendo (10.18) en la f´rmula (10.16) para la ordenada yM del o centroide de la regi´n delimitada por la gr´fica de f y el eje de las abscisas se obtiene o a la relaci´n o b b 2πyM f (x)dx = π f 2 (x)dx, a a la cual verifica el llamado teorema de Pappus, que establece que el volumen de un s´lido de revoluci´n generado al rotar una regi´n plana R alrededor de una recta a o o o la cual no intersecta, es igual al ´rea de la regi´n R que lo genera, multiplicado por a o la distancia que recorre el centroide de R al efectuar la rotaci´n. o ⊳ 10.3.2 Presi´n de l´ o ıquidos sobre superficies Como consecuencia de su peso y de su naturaleza deformable, los l´ıquidos se “recar- gan” sobre las superficies con las que est´n en contacto y ejercen una determinada a presi´n. En cada punto de una superficie y sobre cada secci´n de ella suficiente- o o mente peque˜a que contiene a ese punto, la presi´n (o fuerza ejercida por unidad n o de ´rea) que ejerce el l´ a ıquido es la misma en cualquier direcci´n y su magnitud es o igual al peso de la columna de l´ ıquido sobre esa unidad de ´rea. A una profundidad a de h unidades, la presi´n ejercida por el l´ o ıquido es p(h) = ρgh, donde g es la aceleraci´n producida por la fuerza de gravedad y ρ es la densidad del o ıquido. A la ley anterior se le conoce como principio de Pascal 3 . l´ Veamos ahora c´mo se aplica la integral definida para el c´lculo de la presi´n o a o ejercida por un l´ ıquido sobre superficies de distinta geometr´ıa. Ejemplo 10.10 Consideremos un cilindro de radio r que descansa en el fondo de un estanque de h metros de profundidad con 2r < h. V´ase la figura 10.14(a). Nos e interesa calcular la presi´n que ejerce el agua sobre cada una de sus tapaderas. o Para calcular la presi´n, situaremos un par de ejes de coordenadas de tal manera o que la tapa en cuesti´n est´ dada por el conjunto o e {(x, y) con x2 + y 2 r2 }, como se indica en la figura 10.14(b). Tomemos una partici´n P = {−r = y0 < y1 < o · · · < yk = r} del intervalo [−r, r] sobre el eje de las ordenadas. Cada subintervalo 2 Pappus (290-350, aprox.), quien vivi´ en Alejandr´ o ıa. 3 Por Blas Pascal (1623-1662), matem´tico franc´s, su descubridor. a e
- 215. 10.3 Centros demasa y presi´n de fluidos o 215 y r2 − yi 2 ∗ Bi ∆yi h ∗ yi x r r x2 + y 2 = r2 (a) (b) Figura 10.14 Presi´n sobre la tapa de un tanque o de la partici´n [yi−1 , yi ] da lugar a una banda horizontal Bi cuya ´rea es, aproxi- o a madamente, 2 r2 − yi 2 ∆yi , donde yi ∈ [yi−1 , yi ]. Por el principio de Pascal, sobre ∗ ∗ la banda Bi el agua, cuya densidad es ρ = 1, ejerce una presi´n constante con valor o approximado ∗ 2g r2 − yi 2 (h − r − yi )∆yi . ∗ Sumando las presiones ejercidas sobre cada una de las bandas Bi para i = 1, 2, . . . , k, se tiene k ∗ 2g r2 − yi 2 (h − r − yi )∆yi . ∗ (10.19) i=1 Cuando |P| → 0 las sumas de Riemann (10.19) tienden a r P = 2g r2 − y 2 (h − r − y)dy, (10.20) −r que es el valor exacto de la presi´n del agua sobre cada tapa del tanque. o ⊳ Ejemplo 10.11 Consideremos el problema de calcular la presi´n que un l´ o ıquido ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene. Supongamos que el recipiente est´ lleno de agua (ρ = 1) y que tiene la forma de una superficie de revoluci´n a o generada al rotar la gr´fica de la funci´n no negativa f (y), con y ∈ [c, d], alrededor a o del eje de las ordenadas, como se muestra en la figura 10.15. Aproximemos la pared del recipiente con elementos de superficie, como en el caso del c´lculo del ´rea de una superficie de revoluci´n. Aplicando el principio de a a o Pascal se obtiene que la presi´n total es o d 2 df P = 2πg (d − y)f (y) 1+ (y) dy. (10.21) c dy En caso de que el agua s´lo alcance una altura k < d, la integral en (10.21) se calcula o unicamente en el intervalo [c, k]. ´ Como aplicaciones directas de (10.21), presentamos los casos siguientes.
- 216. 216 Aplicaciones de la integral definida y d x = f (y) c x Figura 10.15 Presi´n sobre las paredes de un recipiente o 1. Si f (y) = r entonces el recipiente es cil´ ındrico y la presi´n sobre las paredes o del cilindro es d P = 2πgr (d − y)dy = πgrh2 . c 2. Si el recipiente es un cono recto de radio r y altura h con v´rtice en el suelo, e r entonces la funci´n que lo genera, por rotaci´n, es f (y) = y y la presi´n total o o o h sobre las paredes es h r 1 P = 2πg (h − y) y r2 + h2 dy = πgrh r2 + h2 . 0 h2 3 3. Si el recipiente es esf´rico de radio r, entonces f (y) = e r2 − y 2 y la presi´n o sobre las paredes es r P = 2πg (r − y)rdy = 4πgr3 . ⊳ −r
- 217. 10.3 Centros demasa y presi´n de fluidos o 217 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Calcule el ´rea de la regi´n delimitada por la curva cerrada y 2 = x2 − x4 . a o x2 y 2 2. Calcule el ´rea de la regi´n delimitada por la elipse a o + 2 = 1. a2 b 3. Calcule el ´rea de la regi´n comprendida entre las par´bolas y = −x2 + 2 y a o a y = 2x2 − 3. 4. Calcule el volumen de un cono recto de altura h y radio r. 5. Demuestre que la longitud de la circunferencia de radio r es igual a 2πr. 6. Calcule el ´rea del elipsoide de revoluci´n de eje mayor a y eje menor b. a o 1 7. Calcule el ´rea de la superficie de revoluci´n generada al rotar la curva y = a o x sobre el intervalo (0, ∞). 8. Calcule el ´rea de la superficie de revoluci´n generada al girar el c´ a o ırculo x2 + y 2 = r2 alrededor de la recta y = r. 9. La superficie de una cortina de una presa est´ inclinada y forma un ´ngulo de a a 30◦ con la vertical, tiene la forma de un trapezoide is´sceles de 50 metros de o coronamiento y 25 metros de ancho en el fondo con una altura inclinada de 35 metros medidos sobre la pared. Calcule la presi´n del agua sobre la cortina o cuando la presa est´ llena. a 10. Sea S la regi´n delimitada por las curvas y = xm y y = xn para x ∈ [0, 1], o donde m y n son enteros y 0 n < m. (a) Dibuje la regi´n S. o (b) Calcule las coordenadas del centroide de S. (c) Determine para qu´ valores de n y m el centroide de S no est´ contenido e a en S. 11. Un tanque de agua que descansa horizontalmente tiene extremos con la forma 2 de la regi´n que se extiende entre la par´bola y = x y la recta y = 12. Calcule o a 2 la presi´n que ejerce el agua sobre cada extremo si su nivel est´ a 2 metros de o a altura. 12. Calcule el centroide de cada una de las superficies siguientes. (a) Un cuadrante de un c´ırculo de radio r. (b) Una pieza formada de un rect´ngulo de altura h coronado por medio de a un semic´ ırculo de radio r. (c) Una pieza de forma de tri´ngulo rect´ngulo con catetos de longitudes a a a y b.
- 218. 218 Aplicaciones de la integral definida
- 219. Cap´ ıtulo 11 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones El gran impacto que ha tenido el c´lculo diferencial e integral en las ciencias y a tecnolog´ modernas se debe al desarrollo de la teor´ de las ecuaciones diferenciales. ıa ıa El concepto de ecuaci´n diferencial es el apropiado para la formulaci´n de las leyes o o din´micas que gobiernan los fen´menos naturales y el control de los procesos de la a o industria y la tecnolog´ ıa. De manera an´loga al concepto de ecuaci´n algebraica, que se introduce en el a o ambito de los n´meros y las operaciones aritm´ticas, una ecuaci´n diferencial es una ´ u e o expresi´n en t´rminos de funciones y las operaciones propias de ellas, que incluyen o e la toma de derivadas de cualquier orden. En el caso de las ecuaciones diferenciales, las inc´gnitas son funciones y el problema de encontrarlas o “despejarlas” es el o objetivo de los m´todos de soluci´n o integraci´n de esas ecuaciones. e o o Entre las ecuaciones diferenciales m´s importantes en las aplicaciones, est´n las a a ecuaciones de movimiento de Newton, la ecuaci´n de Navier-Stokes para la din´mica o a de fluidos, las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell y muchas otras en las diferentes areas de la ciencia. ´ En este cap´ ıtulo, y como una introducci´n a la teor´ de las ecuaciones diferen- o ıa ciales, se estudia la familia de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de primero y segundo orden y se muestra c´mo se aplican los m´todos o e del c´lculo desarrollados previamente para calcular sus soluciones. Se presentan a varias aplicaciones al movimiento de los cuerpos en la vecindad de la superficie de la Tierra. 11.1 El concepto de ecuaci´n diferencial o Las ecuaciones algebraicas, como las ecuaciones de segundo grado o los sistemas de ecuaciones lineales, que conocemos desde la escuela secundaria, son expresiones que incluyen operaciones algebraicas entre n´meros e inc´gnitas igualadas al n´mero u o u cero. Por ejemplo, la ecuaci´n de segundo grado o x2 + ax + b = 0,
- 220. 220 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones o el sistema de dos ecuaciones lineales no homog´neo en dos inc´gnitas y con coefi- e o cientes reales ax + by − c = 0 dx + ey − f = 0. Resolver estas ecuaciones, significa encontrar valores para las variables o inc´gnitas o x, y de tal manera que al sustituirlos en las expresiones se obtenga una identidad. An´logamente al caso algebraico, una ecuaci´n diferencial es una expresi´n entre a o o funciones e inc´gnitas relacionadas mediante operaciones propias de funciones, que o incluye las de derivaci´n de los distintos ´rdenes. o o Por ejemplo, la expresi´n o d2 y dy +x − (x2 + 2) cos x = 0, x ∈ (a, b), (11.1) dx2 dx define una ecuaci´n diferencial en (a, b) donde la inc´gnita es la funci´n y(x), la o o o cual aparece en primera y segunda derivada sumadas y multiplicadas con funciones conocidas. Al orden m´ximo de derivaci´n al cual se somete la funci´n inc´gnita se a o o o le llama el orden de la ecuaci´n; as´ (11.1) es una ecuaci´n diferencial de segundo o ı, o orden. Resolver la ecuaci´n diferencial significa encontrar las funciones y(x) definidas o en (a, b) tales que al sustituirlas en la ecuaci´n se obtenga una identidad entre los o t´rminos a la derecha e izquierda del signo de igualdad. e Ejemplo 11.1 La funci´n o y(x) = x sen x es una soluci´n de la ecuaci´n diferencial o o d2 y dy 2 +x − (x2 + 2) cos x = 0 dx dx en (0, 1), ya que para cada x ∈ (0, 1) dy (x) = sen x + x cos x dx y d2 y (x) = 2 cos x − x sen x, dx2 y al sustituir en la ecuaci´n diferencial obtenemos o (2 cos x − x sen x) + x(sen x + x cos x) − (x2 + 2) cos x = 0.
- 221. 11.2 La ecuaci´ny ′ (x) + a(x)y(x) = f (x) o 221 11.2 La ecuaci´n y ′ (x) + a(x)y(x) = f (x) o Sean a(x) y f (x), funciones continuas en un intervalo (a, b). A la ecuaci´n diferencial o dy + a(x)y = f (x) (11.2) dx se le llama ecuaci´n diferencial lineal no-homog´nea de primer orden. o e Para encontrar todas las soluciones de la ecuaci´n (11.2), tomemos una an- o tiderivada g(x) de a(x) : dg (x) = a(x). dx Multiplicando ambos lados de la ecuaci´n por la funci´n eg(x) , se tiene o o dy eg(x) + a(x)y = eg(x) f (x). (11.3) dx Observando que el lado izquierdo de (11.3) es la derivada del producto entre eg(x) y y(x), escribimos (11.3) en la forma d g(x) (e y(x)) = eg(x) f (x). dx Luego, tomando x0 ∈ (a, b) e integrando, x eg(x) y(x) = eg(x0 ) y(x0 ) + eg(t) f (t)dt, x0 de donde se obtiene la soluci´n general de la ecuaci´n (11.2), en la forma o o x y(x) = eg(x0 )−g(x) y(x0 ) + eg(t)−g(x) f (t)dt. x0 Ejemplo 11.2 Considere la ecuaci´n diferencial en R o dy + (cos x)y = sen x cos x. dx Una antiderivada de a(x) = cos x es la funci´n g(x) = sen x. Luego, tomando x0 = 0, o las soluciones y(x) de la ecuaci´n son o x y(x) = e− sen x y(0) + esen t−sen x sen t cos tdt 0 e integrando por partes, se obtiene y(x) = y(0)e− sen x + sen x − 1. Note que el valor de la soluci´n en x = 0, determina totalmente la soluci´n. o o ⊳
- 222. 222 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones 11.3 La ecuaci´n y ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) o Veamos ahora c´mo los m´todos desarrollados hasta aqu´ se aplican a la resoluci´n o e ı o de la ecuaci´n lineal no-homog´nea de segundo orden con coeficientes constantes o e d2 y dy 2 +b + ay = f (x), (11.4) dx dx donde a, b son constantes reales y f (x) es una funci´n continua arbitraria. o El estudio de (11.4) lo iniciaremos con el caso homog´neo: e d2 y dy 2 +b + ay = 0. (11.5) dx dx Las soluciones de la ecuaci´n (11.5) tienen las propiedades siguientes. o 1. La funci´n y(x) = 0 es soluci´n de (11.5). o o 2. Si y(x) es soluci´n de (11.5), entonces la funci´n z(x) = y(x − x0 ) tambi´n lo o o e es. 3. Si y1 (x) y y2 (x) son dos soluciones de (11.5), entonces la combinaci´n lineal o y(x) = αy1 (x) + βy2 (x) con α, β ∈ R es tambi´n soluci´n de (11.5). e o dy 4. Si y(x) es soluci´n de la ecuaci´n (11.5), tambi´n lo es la funci´n o o e o (x). dx 11.3.1 La ecuaci´n y ′′ (x) − cy(x) = 0 o En este apartado, encontraremos las soluciones de la ecuaci´n diferencial homog´nea o e de segundo orden d2 y (x) − cy(x) = 0, (11.6) dx2 donde c es una constante real. Distinguiremos los tres casos siguientes: 1. c = 0. d2 y Las soluciones de la ecuaci´n o (x) = 0, se obtienen directamente, y son de dx2 la forma y(x) = αx + β para cualquier par α, β ∈ R.
- 223. 11.3 La ecuaci´ny ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) o 223 2. c > 0. d2 y Las soluciones de la ecuaci´n o (x) = cy(x) se pueden encontrar ensayando dx2 rx con funciones de la forma y(x) = e y observando que, al sustituirlas en la ecuaci´n, se tiene la relaci´n o o r2 erx = cerx , la cual se satisfar´ si el n´mero r tiene alguno de los valores siguientes a u √ √ r1 = c, r2 = − c. √ √ Por lo tanto, las funciones y1 (x) = e cx y y2 (x) = e− cx son dos soluciones particulares y entonces cualquier combinaci´n lineal de esas dos soluciones, o √ √ y(x) = αe cx + βe− cx con α y β constantes arbitrarias, tambi´n es soluci´n. e o 3. c < 0. Ahora la ecuaci´n se escribe en la forma o d2 y (x) = −|c|y(x) dx2 y observamos que las funciones y1 (x) = sen |c|x y y2 (x) = cos |c|x son dos soluciones particulares y las combinaciones lineales y(x) = α sen( |c|x) + β cos( |c|x), con α y β constantes arbitrarias, forman una familia de soluciones. Enseguida mostraremos que las familias de soluciones que hemos encontrado para los distintos casos de la ecuaci´n (11.6) nos dan todas sus soluciones posibles. o Para probar esta afirmaci´n, demostraremos primero que si una soluci´n y(x) de la o o ecuaci´n (11.6) es tal que en el punto x0 se anula su valor y el de su derivada, es o dy decir y(x0 ) = 0 y (x0 ) = 0, entonces y(x) = 0 para todo x ∈ R. dx d2 y Lema 11.1 Sea y(x) una funci´n definida en R tal que o (x) = cy(x) con c ∈ R dx2 dy y adem´s y(x0 ) = 0 y a (x0 ) = 0. Entonces y(x) = 0 para todo x ∈ R. dx ´ Demostracion. Sea x ∈ [x0 , x0 + a) con 0 < a < 1 y 0 < a|c| < 1. Por el teorema del valor medio, podemos escribir dy y(x) − y(x0 ) = (x1 )(x − x0 ) (11.7) dx
- 224. 224 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones donde x1 ∈ (x0 , x). An´logamente, aplicando el teorema del valor medio a la funci´n a o dy (x) en el intervalo [x0 , x1 ], podemos escribir dx dy dy d2 y (x1 ) − (x0 ) = (x2 )(x1 − x0 ) (11.8) dx dx dx2 donde x2 ∈ (x0 , x1 ). Combinando (11.7) y (11.8) se tiene d2 y y(x) = (x2 )(x1 − x0 )(x − x0 ), (11.9) dx2 d2 y y considerando que (x) = cy(x), se tiene que dx2 y(x) = cy(x2 )(x1 − x0 )(x − x0 ). (11.10) Repitiendo ahora el argumento para el punto x2 , obtendremos y(x2 ) = cy(x4 )(x3 − x0 )(x2 − x0 ) (11.11) con x3 , x4 ∈ [x0 , x2 ) y, sustituyendo (11.11) en (11.10) tenemos y(x) = c2 y(x4 )(x3 − x0 )(x2 − x0 )(x1 − x0 )(x − x0 ). Repitiendo el argumento anterior k veces y tomando valor absoluto, arribaremos a la estimaci´n o |y(x)| ≤ M ck a2k donde M es cota de y(x) en [x0 , x0 + a]. Tomando l´ ımite cuando k → ∞ se tiene que y(x) = 0 para x ∈ [x0 , x0 + a). Se sigue, por continuidad, que y(x0 + a) = 0 y dy (x0 +a) = 0. Podemos repetir el argumento anterior en el intervalo [x0 +a, x0 +2a) dx y concluir que el intervalo donde se anula la funci´n y(x) se extiende indefinidamente o a la derecha de x0 . Por un argumento similar se extiende tambi´n indefinidamente e a la izquierda de x0 , con lo cual se prueba que y(x) = 0 para toda x ∈ R. A partir del lema 11.1, se sigue que si dos soluciones de la ecuaci´n (11.6) y o sus derivadas toman el mismo valor en un punto, entonces coinciden en todos los puntos de R, ya que su diferencia, al ser tambi´n soluci´n y anularse junto con su e o derivada en un punto, se anular´ en todo R, lo cual significa que ambas soluciones a coincidir´n y ser´n entonces la misma. A este resultado se le conoce como el teorema a a de unicidad de la soluci´n para el problema de condici´n inicial. o o Tomando en cuenta el lema 11.1 y sus consecuencias sobre la unicidad de la soluci´n, observamos que si se establece de antemano en un punto inicial x0 el valor o de una soluci´n a la ecuaci´n (11.6) y el de su derivada y se encuentra alguna o o soluci´n que tome los mismos valores en x0 , entonces esa ser´ la unica soluci´n o a ´ o con esas propiedades. Como las familias de soluciones que hemos encontrado para
- 225. 11.3 La ecuaci´ny ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) o 225 los distintos casos de la ecuaci´n (11.6) dependen de dos coeficientes o par´metros, o a entonces, dados dos valores prescritos para la soluci´n y su derivada en un punto, o siempre podremos encontrar dentro de esas familias, una funci´n con esos valores. o Comprobemos esto con algunos ejemplos. d2 y dy Ejemplo 11.3 La soluci´n de la ecuaci´n o o (x) = y(x) tal que y(1) = 2 y (1) = dx2 dx −1, se encuentra buscando en la familia de soluciones y(x) = αe x + βe−x aqu´lla e que satisfaga tales condiciones. Para ello, α y β deben satisfacer αe + βe−1 = 2 αe − βe−1 = −1, 2 3 es decir, α = 1 e−1 y β = 2 e. Luego, la soluci´n buscada es o 1 3 y(x) = ex−1 + e1−x . ⊳ 2 2 d2 y Ejemplo 11.4 La soluci´n de la ecuaci´n o o (x) = −4y(x) tal que y(0) = 1 y dx2 dy (0) = −1, se encuentra buscando en la familia de soluciones y(x) = α cos 2x + dx β sen 2x, aqu´lla que satisfaga esas condiciones; es decir, α y β deben satisfacer e 1 α = 1, β=− . 2 Entonces, la soluci´n es la funci´n y(x) = cos 2x − 1 sen 2x. o o 2 ⊳ Ahora veamos que cualquier ecuaci´n homog´nea de segundo orden con coefi- o e cientes constantes es equivalente a alguna de las anteriores, en el sentido de que un cambio de variable la reduce a uno de estos casos. En concreto, si y(t) es soluci´no de la ecuaci´n diferencial (11.5) y sustituimos la funci´n o o b z(x) = y(x)e 2 x en la ecuaci´n (11.5), tendremos o d2 − b x d −bx b 2 e 2 z(x) + b e 2 z(x) + ae− 2 x z(x) = 0. dx dx De aqu´ se obtiene que la ecuaci´n diferencial para z(x) es ı o d2 z b2 = − a z, dx2 4 que es una ecuaci´n de la forma (11.6) con o b2 c= − a. 4
- 226. 226 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones d2 y dy dy Ejemplo 11.5 Para la ecuaci´n o +2 + 3y = 0 tal que y(2) = 0 y (2) = 1, dx dx dx b2 se tiene que c = − a = −2. Para encontrar la soluci´n resolvemos primero la o 4 ecuaci´n o d2 z (x) = −2z(x), dx2 cuyas soluciones son de la forma √ √ z(x) = α cos 2x + β sen 2x y dan lugar a la familia de soluciones de la ecuaci´n inicial, que es de la forma o √ √ y(x) = αe−x cos 2x + βe−x sen 2x. Para calcular los valores de α y β, usamos las condiciones iniciales: √ √ 0 = y(2) = αe−2 cos 2 2 + βe−2 sen 2 2 dy √ √ √ √ 1 = (2) = −e−2 (α − β 2) cos 2 2 − e−2 (β + α 2) sen 2 2), dx de donde e2 √ e2 √ α = − √ sen 2 2, β = √ cos 2 2. 2 2 As´ que la soluci´n es ı o e2−x √ y(x) = √ sen( 2(x − 2)). ⊳ 2 Resumimos la discusi´n anterior en el teorema siguiente. o Teorema 11.2 La soluciones y(x) de la ecuaci´n diferencial lineal de segundo orden o d2 y dy homog´nea con coeficientes constantes dx2 + b dx + ay = 0 est´n definidas para x ∈ R e a y son: √ √ b b2 −4a − b2 −4a −2x x e αe 2 + βe 2 x si b2 − 4a > 0, b y(x) = e− 2 x α + βx si b2 − 4a = 0, −bx 2 2 e 2 α cos a − b x + β sen 4 a− b x 4si b2 − 4a < 0, con α, β ∈ R. Nota Importante: 1. Si y1 (x) y y2 (x) son soluciones de la ecuaci´n homog´nea 11.5, a la funci´n o e o dy2 dy1 Wy1 ,y2 = y1 (x) (x) − y2 (x) (x) dx dx
- 227. 11.3 La ecuaci´ny ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) o 227 se le llama wronskiano1 de y1 y y2 , y tiene la propiedad de que dW (0) = −bW, dx es decir, W (x) = W (0)e−bx , de donde se deduce que si W (0) = 0 entonces W (x) = 0 para toda x ∈ R. 2. Si y3 (x) y y4 (x) es otro par de soluciones de 11.5, entonces Wy3 ,y4 = cWy1 ,y2 para alguna c ∈ R. 11.3.2 M´todo de variaci´n de constantes e o Para encontrar todas las soluciones de la ecuaci´n de segundo orden no-homog´nea o e d2 y dy 2 +b + ay = f (x), (11.12) dx dx hagamos primero la observaci´n siguiente: Si y1 (x) y y2 (x) son dos soluciones de o (11.12) entonces su diferencia y1 (x) − y2 (x) es soluci´n de la ecuaci´n homog´nea o o e (11.5). Tomando en cuenta esto, bastar´ conocer una soluci´n particular yp (x) de a o la ecuaci´n no-homog´nea para conocer todas sus soluciones, las cuales ser´n de la o e a forma y(x) = yp (x) + soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea. o o e Esta observaci´n reduce el problema de encontrar todas las soluciones de la ecuaci´n o o (11.12), al c´lculo de s´lo una soluci´n particular de dicha ecuaci´n. Para encon- a o o o trar una soluci´n particular de (11.12) consideraremos el m´todo de variaci´n de o e o constantes 2 que consiste en construir una soluci´n particular para la ecuaci´n no- o o homog´nea (11.12) a partir de las soluciones de la ecuaci´n homog´nea (11.5). Si e o e denotamos por y1 (x) y y2 (x) un par de soluciones de la ecuaci´n lineal homog´nea o e cuyas combinaciones lineales generan todas las soluciones de esa ecuaci´n y ahora o buscamos una soluci´n particular de la ecuaci´n no-homog´nea (11.12) de la forma o o e 2 yp (x) = z1 (x)y1 (x) + z2 (x)y2 (x) = zi (x)yi (x) (11.13) i=1 donde z1 (x) y z2 (x) son dos funciones a determinar, al sustituir (11.13) en (11.12), tendremos que d2 yp dyp f (x) = 2 (x) + b (x) + ayp , dx dx lo cual da lugar, para las funciones z1 (x) y z2 (x), a la expresi´n o 2 d2 d f (x) = (zi (x)yi (x)) + b zi (x)yi (x) + azi (x)yi (x) . (11.14) dx2 dx i=1 1 Por J. M. H¨en´ de Wronski (1778-1853), matem´tico polaco de ascendencia checa. o e a 2 A este m´todo tambi´n se le llama m´todo de variaci´n de par´metros o m´todo de Lagrange, e e e o a e por Joseph-Louis Lagrange.
- 228. 228 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones Al tomar en cuenta que d2 yi dyi 2 (x) + b (x) + ayi (x) = 0 dx dx para cada i = 1, 2, la ecuaci´n (11.14) se simplifica en la forma o 2 d2 zi dzi dzi dyi 2 (x)yi (x) + b (x)yi (x) + 2 (x) (x) = f (x). (11.15) dx dx dx dx i=1 Como z1 (x) y z2 (x) son dos funciones a determinar, podemos imponer la condici´n o de que dz1 dz2 (x)y1 (x) + (x)y2 (x) = 0, (11.16) dx dx en cuyo caso se tendr´ tambi´n que a e 2 d2 zi dzi dyi 2 (x)yi (x) + (x) (x) =0 dx dx dx i=1 y la expresi´n (11.15) se reduce a o dz1 dy1 dz2 dy2 (x) (x) + (x) (x) = f (x), dx dx dx dx que, junto con la ecuaci´n (11.16), constituye, para cada valor x ∈ R, un sistema o dz1 lineal no-homog´neo de dos ecuaciones algebraicas para las inc´gnitas e o (x) y dx dz2 (x) y cuyas soluciones son dx dz1 −f (x)y2 (x) (x) = dx dy2 dy1 y1 (x) (x) − y2 (x) (x) dx dx y dz2 f (x)y1 (x) (x) = . dx dy2 dy1 y1 (x) (x) − y2 (x) (x) dx dx dy2 dy1 El denominador y1 (x) (x) − y2 (x) (x) es el wronskiano Wy1 ,y2 y es distinto de dx dx dz1 dz2 cero para toda x ∈ R. Integrando las expresiones para (x) y (x), se tiene dx dx x x −f (t)y2 (t) −f (t)y2 (t) z1 (x) = dt = dt, x0 dy2 dy1 x0 Wy1 ,y2 y1 (t) (t) − y2 (t) (t) dx dx x x f (t)y1 (t) f (t)y1 (t) z2 (x) = dt = dt. x0 dy2 dy1 x0 Wy1 ,y2 y1 (t) (t) − y2 (t) (t) dx dx
- 229. 11.3 La ecuaci´ny ′′ (x) + by ′ (x) + ay(x) = f (x) o 229 Para resumir estos c´lculos, enunciamos el teorema siguiente. a Teorema 11.3 Si y1 (y), y2 (x) son soluciones de la ecuaci´n diferencial (11.12) o y Wy1 ,y2 (x0 ) = 0 entonces la funci´n o x x −f (t)y2 (t) f (t)y1 (t) yp = dt y1 (x) + dt y2 (x) x0 Wy1 ,y2 x0 Wy1 ,y2 es una soluci´n particular de la ecuaci´n no-homog´nea (11.12). o o e Ejemplo 11.6 Encontremos todas las soluciones de la ecuaci´n o d2 y dy +b + ay = f (x), (11.17) dx2 dx cuando b2 − 4a > 0. En este caso, las soluciones de la ecuaci´n homog´nea son de o e la forma αer1 x + βer2 x con √ −b + b2 − 4a r1 = , √2 −b − b2 − 4a r2 = , 2 y una soluci´n particular yp (x) de la ecuaci´n no-homog´nea es o o e yp (x) = z1 (x)er1 x + z2 (x)er2 x con x 1 z1 (x) = √ f (t)e−r1 t dt, b2 − 4a x0 x −1 z2 (x) = √ f (t)e−r2 t dt. b 2 − 4a x0 Con base en lo anterior enunciamos el teorema siguiente. Teorema 11.4 Las soluciones y(x) de la ecuaci´n diferencial de segundo or- o den con coeficientes constantes y no-homog´nea (11.17) toman, en los distintos e casos, la forma siguiente:
- 230. 230 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones 1. Si b2 − 4a > 0, x 1 y(x) = αer1 x + βer2 x + √ f (t)[er1 (x−t) − er2 (x−t) ]dt, b2 − 4a x0 donde α, β ∈ R y √ √ −b + b2 − 4a −b − b2 − 4a r1 = , r2 = . 2 2 2. Si b2 − 4a = 0, −b x b y(x) = e 2 x α + βx − f (t)(t − x)e 2 (t−x) dt, x0 donde α, β ∈ R. 3. Si b2 − 4a < 0, x −b 1 b y(x) = e 2 x α cos qx + β sen qx + f (t)e 2 (t−x) sen(q(x − t))dt, q x0 1 donde q = |b2 − 4a|. 2 Ejemplo 11.7 Resuelva la ecuaci´n diferencial o d2 y dy 2 − − 2y = e−x . dx dx d2 y dy La ecuaci´n homog´nea tiene la forma o e − −2y = 0. Dado que (b2 −4a) = 9 > 0, dx2 dx las soluciones w(x) de la ecuaci´n homog´nea son w(x) = αe2x + βe−x . Calculemos o e ahora la soluci´n particular de la forma o yp (x) = z1 (x)e2x + z2 (x)e−x . Las derivadas de las funciones z1 (x) y z2 (x) satisfacen el sistema dz1 dz2 (x)e2x + (x)e−x = 0 dx dx dz1 dz2 2 (x)e2x − (x)e−x = e−x , dx dx de donde se obtiene dz1 1 dz2 1 (x) = e−3x , (x) = − . dx 3 dx 3
- 231. 11.4 Leyes demovimiento de Newton 231 Entonces 1 1 z1 (x) = − e−3x z2 (x) = − x. 9 3 La soluci´n particular yp (x) es o 1 1 yp (x) = − e−x − xe−x . 9 3 Finalmente, las soluciones y(x) de la ecuaci´n son o 1 y(x) = αe2x + βe−x − xe−x . ⊳ 3 11.4 Leyes de movimiento de Newton Entre las m´s importantes aplicaciones del c´lculo diferencial est´ la descripci´n a a a o matem´tica del movimiento de los cuerpos materiales sometidos a la acci´n de a o fuerzas externas. El mismo concepto de fuerza pudo ser definido identificando su acci´n sobre los cuerpos f´ o ısicos en cada instante como proporcional a la variaci´n que o experimenta su velocidad con respecto al tiempo (aceleraci´n) como consecuencia o de la presencia de dichas fuerzas. En t´rminos generales, se supone que el movimiento de las part´ e ıculas tiene lugar en el marco de un sistema de referencia fijo, con respecto al cual se realizan las mediciones de las posiciones de los cuerpos o part´ ıculas, relativas al fluir del tiempo, que se considera independiente de todo observador. Isaac Newton formul´ las leyes que gobiernan el movimiento f´ o ısico de los cuerpos en los t´rminos siguientes: e Primera (ley de inercia): Los cuerpos mantienen su estado de reposo o de ve- locidad constante en ausencia de fuerzas externas. Segunda (ley de movimiento): Si y(t) representa la funci´n de posici´n de un o o cuerpo durante un intervalo de tiempo (a, b), entonces la fuerza F (t, y(t)) que ex- perimenta en el tiempo t hall´ndose en la posici´n y(t) es proporcional a la segunda a o d2 y derivada 2 (t) de la funci´n posici´n en el tiempo t, es decir, o o dt d2 y F (t, y(t)) = m (t). dt2 La constante de proporcionalidad m se conoce como la masa del cuerpo y depende de las propiedades de la materia que forma ese cuerpo. 1. Ca´ bajo la acci´n de la gravedad. Un cuerpo situado en una vecindad ıda o de la superficie de la Tierra, experimenta una fuerza de magnitud constante W igual a su peso y dirigida perpendicularmente hacia el suelo. A tal fuerza se le denomina fuerza de gravedad.
- 232. 232 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones Si y(t) denota la posici´n de un cuerpo en el tiempo t medida sobre la vertical, o la segunda ley de movimiento de Newton se expresa mediante la ecuaci´n o diferencial d2 y m 2 (t) = −W, dt W donde m es la masa del cuerpo y = g = 9.8 m/seg2 . Esto ultimo significa ´ m que la aceleraci´n de los cuerpos en ca´ libre es constante e igual a −g. A la o ıda constante g se le llama aceleraci´n debida a la fuerza de gravedad. o Resolviendo la ecuaci´n diferencial, se tiene que la funci´n de posici´n y(t) es o o o 1 dy y(t) = − gt2 + (0)t + y(0), 2 dt dy donde (0) y y(0) son la velocidad y la posici´n del cuerpo en el tiempo t = 0 o dt sobre la vertical. Ejemplo 11.8 Si un cuerpo se arroja desde una altura de 100 metros con una velocidad inicial hacia arriba de 20 m/seg, calcule el tiempo y la velocidad con que golpear´ el suelo. a Soluci´n: o De acuerdo a la segunda ley de movimiento de Newton, si denotamos por y(t) la posici´n del cuerpo en el tiempo t, tendremos o y(t) = −4.9t2 + 20t + 100 y entonces el cuerpo golpear´ el suelo en el tiempo t0 tal que y(t0 ) = 0, es a decir, cuando 2 −4.9t0 + 20t0 + 100 = 0, o 20 √ t0 = (1 + 5.9). 9.8 La velocidad que llevar´ el cuerpo al chocar ser´ de a a dy √ (t0 ) = − 5.9. dt El signo negativo significa que la velocidad es en direcci´n contraria al sentido o positivo en que se miden las alturas sobre la Tierra. 2. Ca´ bajo la acci´n de la gravedad con fricci´n del aire. Si se toma ıda o o en cuenta el efecto de la presencia del aire sobre la ca´ de un cuerpo, ex- ıda perimentalmente se ha observado que el aire opone una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad que lleva el cuerpo y en sentido contrario a esa
- 233. 11.4 Leyes demovimiento de Newton 233 velocidad. Esta nueva fuerza, llamada fuerza de fricci´n, modifica la ley de o ca´ libre, de tal manera que la ecuaci´n de movimiento toma ahora la forma ıda o d2 y k dy 2 (t) + = −g, (11.18) dt m dt donde k > 0 es una constante. Aplicando el teorema 11.4, observamos que las soluciones de la ecuaci´n dife- o rencial (11.18) son de la forma k gm y(t) = αe− m t − t + β, (11.19) k donde las constantes α, β est´n determinadas por la posici´n y la velocidad a o del cuerpo en el tiempo t = 0, dy gm m α = − (0) + , dt k k dy gm m β = y(0) + (0) + . dt k k Note que la acci´n de la fuerza de fricci´n hace que, a la larga, la velocidad o o gm de ca´ sea constante e igual − ıda . k 3. Movimiento bajo la fuerza de un resorte. Consideramos, sobre una mesa lisa, sin fricci´n, un resorte que tiene fijo uno de sus extremos. Sujetemos un o cuerpo de masa m al extremo libre del resorte como se muestra en la figura 11.1 Experimentalmente se ha determinado que la fuerza que ejerce el resorte ℓ m m p(0) p(t) Figura 11.1 sobre el cuerpo en un tiempo t, es proporcional y en sentido contrario a la deformaci´n (estiramiento o contracci´n) que muestra el resorte con respecto o o a su longitud normal. La constante de proporcionalidad, llamada constante de restituci´n, es un n´mero positivo k que s´lo depende de las caracter´ o u o ısticas materiales del resorte y no cambia con respecto al tiempo. El problema del movimiento bajo la acci´n del resorte consiste en determinar o para un cuerpo, que supondremos de masa m, su posici´n como funci´n del o o dp tiempo, conocidas la posici´n inicial p(0) y la velocidad inicial o (0) de ese dt cuerpo.
- 234. 234 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones En virtud de la segunda ley de movimiento de Newton, si la posici´n p(t) del o cuerpo es medida desde el punto de cero deformaci´n del resorte, tal como se o muestra en la figura 11.1, la funci´n p(t) debe satisfacer, en cada tiempo, la o relaci´n siguiente: o d2 p (t) = −ω 2 p(t), (11.20) dt2 donde k ω2 = . m Las soluciones de la ecuaci´n (11.20), de acuerdo al teorema 11.4, tienen la o forma p(t) = a sen ωt + b cos ωt, donde 1 dp (0), a= b = p(0). ω dt La f´rmula para la posici´n se puede escribir en la forma o o 2 1 dp p(t) = (0) + ω 2 p2 (0) sen(ωt + φ), ω dt con p(0) φ = arcsen . 2 dp (0) + ω 2 p2 (0) dt A la constante 2 def 1 dp A= (0) + ω 2 p2 (0) ω dt se le llama amplitud del movimiento y a φ, fase. Observe que bajo la fuerza 2π del resorte, el cuerpo describe un movimiento peri´dico con periodo T = o ω y amplitud A. En la figura 11.2 se muestra la gr´fica de la funci´n p(t). a o p(t) A t π−φ T ω Figura 11.2 La funci´n posici´n p(t) o o
- 235. 11.4 Leyes demovimiento de Newton 235 4. Movimiento con fricci´n bajo la fuerza de un resorte y ante la pre- o sencia de una fuerza externa. Consideremos ahora el movimiento de un cuerpo sometido a la fuerza de un resorte, en un medio que ofrece una fuerza de fricci´n Ff (t), proporcional a la velocidad del cuerpo o dp Ff (t) = −ρ (t), dt y ante la presencia de una fuerza externa f (t) dependiente del tiempo. Supon- dremos, adem´s, que ρ2 < 4ω 2 , ya que en otro caso el movimiento del cuerpo a no es oscilatorio. Con las condiciones anteriores, la ecuaci´n de movimiento toma la forma o d2 p dp (t) = −ω 2 p(t) − ρ (t) + f (t), dt2 dt donde p(t) representa la posici´n del cuerpo medida desde la posici´n de cero o o deformaci´n del resorte. Aplicando el teorema 11.4, tenemos o t −ρ t −ρ t 1 −ρ (s−t) p(t) = αe 2 cos qt + βe 2 sen qt + f (s)e 2 sen(q(t − s))ds, q 0 donde 1 ρ2 − 4ω 2 . q= 2 Como casos particulares importantes, se presentan los siguientes. 2π (a) ρ = 0 y f t+ = f (t), es decir, el movimiento es sin fricci´n y la o ω fuerza externa es una fuerza peri´dica con la misma frecuencia que la de o las soluciones del resorte libre. En esta situaci´n la funci´n de posici´n o o o es de la forma 1 t p(t) = α cos ωt + β sen ωt + f (s) sen(ω(t − s))ds, ω 0 y si consideramos que la fuerza externa es peri´dica, o f (s) = A cos ωs, entonces todas las soluciones se escriben A t 1 p(t) = α cos ωt + β sen ωt + sen ωt + cos ωt . ω 2 2ω dp En particular, la soluci´n con p(0) = 0 y o (0) = 1, es dt 1 At p(t) = + 1 sen ωt. (11.21) ω 2 Note que cuando el tiempo crece, el desplazamiento del cuerpo crece sin l´ ımite y el resorte terminar´ por romperse. En la figura 11.3 se muestra a este comportamiento.
- 236. 236 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones p(t) t Figura 11.3 Gr´fica de la funci´n (11.21) a o (b) f (t) = 0, es decir no existe fuerza externa y a la fuerza del resorte se suma la fuerza de fricci´n. En este caso, la ecuaci´n de movimiento es o o d2 p dp (t) = −ω 2 p(t) − ρ (t), dt2 dt cuyas soluciones son de la forma −ρ t p(t) = e 2 α cos qt + β sen qt , (11.22) donde 1 q= ρ2 − 4ω 2 . 2 Note que en este ultimo caso, el cuerpo oscila con una amplitud que ´ decrece exponencialmente y, as´ cuando el tiempo crece, el cuerpo tiende ı, a la posici´n p = 0. En la figura 11.4 se muestra la gr´fica de la funci´n o a o (11.22). p(t) t Figura 11.4 Gr´fica de la funci´n (11.22) a o
- 237. 11.4 Leyes demovimiento de Newton 237 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Pruebe que si y(x) es una soluci´n de la ecuaci´n o o dy (x) = xy(x) + 1, x ∈ (0, 1), dx entonces la funci´n z(x) = y 2 (x) es soluci´n de la ecuaci´n o o o dz √ (x) = 2(xz(x) + z), x ∈ (0, 1). dx 2. Dada una ecuaci´n diferencial de la forma o d2 y dy a(x) 2 (x) + b(x) (x) + y(x) = 0, dx dx encuentre funciones a(x) y b(x) tales que y1 (x) = x y y2 (x) = x2 sean solu- ciones de la ecuaci´n. o 3. (a) Resuelva la ecuaci´n o dy y(x) (x) = x. dx (b) Encuentre las soluciones y(x) de la ecuaci´n anterior tales que o i. y(2) = 1; ii. y(2) = −1; iii. y(−2) = −1. (c) Dibuje la gr´fica de las soluciones del punto b). a 4. Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones de primer orden siguientes. dy (a) + ex y = 3ex dx dy 2 (b) + 2xy = xe−x dx dy (c) − (tan x)y = esen x para x ∈ (0, π ) 2 dx dy (d) + 2y = f (x), para x ∈ R, donde f (x) = 1 − |x| para |x| ≤ 1 y f (x) = 0 dx si |x| > 1. 5. Considere la ecuaci´n de Bernoulli3 o dy (x) + a(x)y(x) = f (x)y k (x), k constante. dx 3 Se refiere a Jacobo Bernoulli, quien la propuso en 1695 y fue resuelta por su hermano Juan Bernoulli. La sustituci´n z = y 1−k , que la linealiza, se debe a Leibniz. o
- 238. 238 Ecuaciones diferenciales elementales y aplicaciones Si y(x) es soluci´n de la ecuaci´n anterior, pruebe que la funci´n o o o z(x) = y 1−k (x) es soluci´n de o dz (x) + (1 − k)a(x)z(x) = (1 − k)f (x). dx Con la informaci´n anterior, encuentre todas las soluciones de la ecuaci´n de o o Bernoulli dy (x) − 2xy(x) = xy 2 (x). dx 6. Si y(x) es soluci´n de la ecuaci´n o o d2 y = −y, dx2 diga de qu´ ecuaci´n diferencial es soluci´n la funci´n e o o o 2 1 1 dy z(x) = y 2 (x) + (x). 2 2 dx d2 y dy 7. Muestre que si y(x) es soluci´n de la ecuaci´n o o 2 +b + ay = 0, entonces b dx dx la funci´n z(x) = e 2 x y(x) es soluci´n de la ecuaci´n o o o d2 z b2 = − a z. dx2 4 8. Encuentre la soluci´n y(x) de la ecuaci´n o o d2 y dy 2 (x) + 2 (x) + 4y(x) = 1 dx dx dy tal que y(0) = 2 y (0) = −1. dx 9. Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones dadas a continuaci´n. o d2 y (a) (x) + 4y(x) = cos x dx2 d2 y dy (b) 6 2 (x) + 5 (x) − 6y(x) = x dx dx d2 y dy (c) (x) − (x) + 5y(x) = 3e−x + 2x2 dx2 dx 10. Encuentre la curva y = f (x) que pasa por el punto (1, 1) y la pendiente de su x normal en cada punto (x, f (x)) es igual a . f (x)
- 239. Cap´ ıtulo 12 Series La posibilidad de dar sentido a la suma de un n´mero infinito ordenado de u n´meros reales, es una de las consecuencias importantes del concepto fundamen- u tal de l´ ımite de una sucesi´n. Esta nueva operaci´n, propia del c´lculo, da lugar a o o a la noci´n de serie num´rica, que de hecho se ha manejado desde el primer cap´ o e ıtulo de este texto, con la representaci´n decimal de los n´meros reales. Ahora, con el o u apoyo de la teor´ de los l´ ıa ımites, se retoma ese concepto y se demuestran los resul- tados b´sicos sobre convergencia de series num´ricas, incluyendo los criterios m´s a e a importantes para comprobar la existencia de tal propiedad. Finalmente, se introduce la familia de las funciones anal´ ıticas, definidas como aqu´llas que son representables e como series de potencias. Esta clase de funciones resulta ser de gran importancia en varias areas del an´lisis matem´tico y sus aplicaciones. ´ a a 12.1 Definici´n de serie y su suma o Cada sucesi´n de n´meros reales {ai }∞ da lugar a la sucesi´n de sumas parciales o u i=1 o {sj }∞ definida por j=1 j sj = a1 + a2 + · · · + aj = ai , para j = 1, 2, . . . i=1 A esta sucesi´n de sumas se le llama la serie inducida por la sucesi´n {ai }∞ y se o o i=1 denota con el s´ ımbolo ∞ ai . i=1 A la sucesi´n inicial {ai }∞ se le dice sucesi´n de sumandos de la serie o i=1 o ∞ i=1 ai .
- 240. 240 Series ∞ 1 Ejemplo 12.1 1. La sucesi´n real o induce la serie arm´nica o i i=1 j ∞ ∞ 1 1 {bj }∞ j=1 = = . i i i=1 j=1 i=1 ∞ 2. La sucesi´n ri o i=1 , donde r es un n´mero real, induce la serie geom´trica u e j ∞ ∞ {sj }∞ j=1 = r i = ri . ⊳ i=1 j=1 i=1 Para la serie geom´trica con r = 1, el j-´simo t´rmino de la sucesi´n sj de sumas e e e o parciales est´ dado por a r(1 − rj ) sj = r + r2 + · · · + rj = , j = 1, 2, . . . , 1−r como se deduce directamente de la relaci´n o rsj − sj = rj+1 − r. Para r = 1, la serie geom´trica coincide con la sucesi´n de n´meros naturales {j}∞ . e o u j=1 Tomando en cuenta que una serie es una sucesi´n de n´meros reales, se dice o u ∞ que la serie i=1 ai es convergente a S (o que tiene suma S) si la sucesi´n o ∞ j correspondiente de sumas parciales i=1 ai tiene por l´ ımite al n´mero S. u j=1 En tal caso, se escribe ∞ j ai = lim ai = S. j→∞ i=1 i=1 Si una serie no es convergente, se le llama serie divergente. Nota Importante: Si la serie ∞ ai es convergente, denotamos a su suma S con el mismo s´ i=1 ımbolo ∞ que la serie, es decir S = i=1 ai . ∞ j ∞ ∞ i r(1 − rj ) Ejemplo 12.2 La serie geom´trica e ai = r = es 1−r j=1 i=1 i=1 j=1 convergente si |r| < 1 y tiene por l´ ımite o suma el n´mero u r S= . 1−r Si |r| 1, la serie geom´trica es divergente. e ⊳
- 241. 12.2 Propiedades delas series convergentes 241 Ejemplo 12.3 La serie ∞ (−1)i no es convergente, ya que la sucesi´n de sumas i=1 o parciales correspondiente toma los valores 0 si j es par sj = −1 si j es impar y, por lo tanto, no converge. ⊳ Nota Importante: Si se modifica un n´mero finito de sumandos de una serie convergente, la serie u resultante seguir´ siendo convergente. a 12.2 Propiedades de las series convergentes Las propiedades de las sucesiones convergentes que se presentaron en el cap´ ıtulo 3, se trasladan de manera autom´tica al caso de series. a Proposici´n 12.1 Las propiedades principales de las series convergentes son: o 1. La sucesi´n de sumandos de toda serie convergente es una sucesi´n convergente o o a cero. 2. La suma y la multiplicaci´n por un n´mero real de series convergentes es o u una serie convergente. M´s a´n, si ∞ ai = S y ∞ bi = M, entonces a u i=1 i=1 ∞ i=1 (λai + bi ) = λS + M . ∞ ´ Demostracion. Si i=1 ai = S, las sucesiones de sumas parciales{sj }∞ = j=1 j j+1 ai y {pj }∞ = j=1 ai convergen ambas a S y por lo tanto, su diferencia, i=1 i=1 que es la sucesi´n de t´rminos {aj+1 }∞ deber´ converger a cero, es decir, o e j=1 a lim aj+1 = lim pj − lim sj = 0. j→∞ j→∞ j→∞ Por lo tanto, la sucesi´n de los sumandos de toda serie convergente es necesariamente o convergente a cero. Para probar la validez del punto 2, observemos que las series ∞ (ai + bi ) y i=1 ∞ i=1 λai , son la suma y el producto por un escalar de sucesiones convergentes y, por lo tanto, ser´n convergentes a la suma y al producto por el escalar de los l´ a ımites correspondientes a esas sucesiones. Nota Importante: La convergencia a cero de los t´rminos de una serie no es condici´n suficiente para e o asegurar la convergencia de la serie misma. Basta considerar como contraejemplo
- 242. 242 Series ∞ 1 a la serie arm´nica o , la cual, a pesar de que la sucesi´n de sumandos tiende a o i i=1 cero, tiene una sucesi´n de sumas parciales que crece sin l´ o ımite, como se muestra a partir de las estimaciones siguientes: 1 1 2 1 + > = 3 4 4 2 1 1 1 1 1 1 + + + >4 > 5 6 7 8 8 2 . . . 1 1 1 1 1 n+1 + n + · · · + n+1 > 2n ( n+1 ) = 2 2 +2 2 2 2 j 1 es decir, la sucesi´n sj = o i=1 i , j = 1, 2, . . . es tal que 1 s2n+1 − s2n > 2 y por lo tanto n s2n > , 2 lo cual muestra que la sucesi´n de sumas parciales no es acotada y, consecuente- o mente, la serie arm´nica no es convergente. o Antes de discutir los diversos criterios de convergencia, introduciremos algunas de las familias de series de mayor importancia: ∞ a) Una serie de n´meros reales u i=1 ai se dice que es una serie positiva si ai > 0 para i = 1, 2, . . . b) A una serie de la forma ∞ (−1)i+1 ai , con ai > 0 para i = 1, 2, . . . , i=1 se le llama serie alternante. ∞ c) Una serie i=1 ai se dice serie telesc´pica si existe una sucesi´n real {bi }∞ o o i=1 tal que ai = bi+1 − bi para i = 1, 2, . . . En el caso de las series telesc´picas, cada una de sus sumas parciales sk para o k = 1, 2, . . . es de la forma k sk = ai = bk+1 − b1 i=1
- 243. 12.3 Series positivas 243 y, por lo tanto, la serie telesc´pica ser´ convergente si la sucesi´n correspon- o a o diente {bk }∞ que la genera es convergente. En ese caso, k=1 ∞ ai = lim bk+1 − b1 . k→∞ i=1 ∞ 1 Ejemplo 12.4 La serie es telesc´pica ya que o n(n + 1) n=1 1 1 1 =− + n(n + 1) n+1 n y, por lo tanto, su suma es ∞ 1 = 1. ⊳ n(n + 1) n=1 12.3 Series positivas Consideremos ahora una serie de t´rminos positivos ∞ ai . La caracter´ e i=1 ıstica m´s a notable de las series positivas es que su sucesi´n de sumas parciales es una sucesi´n o o creciente y positiva de reales y por lo tanto, de acuerdo al teorema 4.8, ser´ conver- a gente si y s´lo si es acotada, es decir, si y s´lo si existe M > 0 tal que o o j ai M, j = 1, 2, . . . i=1 Desafortunadamente, este criterio de convergencia es a menudo dif´ de aplicar y ıcil resulta m´s conveniente recurrir al llamado criterio de comparaci´n, que consiste a o en comparar una serie positiva con otra serie cuya convergencia o divergencia se conoce, pudi´ndose deducir de esto la convergencia o divergencia de la serie inicial. e ∞ ∞ Criterio de Comparaci´n. Si o i=1 ai y i=1 bi son series de t´rminos pos- e itivos tales que: ∞ a) i=1 ai =S y b) bi ai , para i N con n ∈ N, ∞ ∞ entonces, la serie i=1 bi es convergente y bi S. An´logamente, si la a i=1 serie ∞ ai es divergente y ai i=1 bi , para i N , entonces la serie ∞ i=1 bi es divergente.
- 244. 244 Series ´ Demostracion. Para mostrar la validez del criterio de comparaci´n, observemos o que bajo las hip´tesis se tiene, para cada j > N, que o j ∞ N −1 ai ai = S − ai i=N i=N i=1 y entonces obtenemos la estimaci´n o j N −1 j N −1 j N −1 N −1 bi = bi + bi bi + ai S− ai + bi , i=1 i=1 i=N i=1 i=N i=1 i=1 j lo cual muestra que la sucesi´n de sumas parciales o i=1 bi , j = 1, 2, . . . es aco- tada por el n´mero S − i=1 ai + i=1 bi y, por consiguiente, la serie ∞ bi es u N −1 N −1 i=1 convergente. Por otro lado, si la serie ∞ ai es divergente y ai bi para i N, entonces i=1 j N −1 j N −1 j ai = ai + ai ai + bi i=1 i=1 i=N i=1 i=N y por lo tanto, la sucesi´n j bi crecer´ sin l´ o i=N a ımite cuando j → ∞, ya que es j mayor que la sucesi´n de n´meros positivos i=1 ai , que diverge. o u De la aplicaci´n del criterio de comparaci´n con respecto a la serie geom´trica, o o e se deduce el llamado criterio del cociente que se debe al matem´tico franc´s Jean a e Le Rond D’Alembert y que se enuncia en los t´rminos siguientes: e Criterio del Cociente (de D’Alembert). Si la sucesi´n de n´meros posi- o u tivos {ai }∞ es tal que i=1 ai+1 lim = L, i→∞ ai ∞ entonces la serie i=1 ai es convergente si L < 1 y es divergente si L > 1. ´ Demostracion. Supongamos primero que L < 1. De la definici´n de l´ o ımite, dado 1−L r= < 1, existe un n´mero natural N tal que u 2 ai+1 1−L −L , para i N. (12.1) ai 2 Luego, 1+L ai+1 ai , para i N, 2
- 245. 12.3 Series positivas 245 y la aplicaci´n reiterada de esta ultima estimaci´n, nos lleva a o ´ o i−N +1 1+L ai+1 aN , para i N. 2 Esto significa que cada t´rmino ai+1 con i N de la serie inicial, es menor o igual e i+1 con r = 1+L 1 + L −N que el t´rmino bi+1 = cr e yc= aN . Al ser r < 1, 2 2 ∞ la serie geom´trica i=1 ri es convergente y mayor, t´rmino a t´rmino, que la serie e e e inicial ∞ ai a partir de i = N. Entonces, por el criterio de comparaci´n, se deduce i=1 o la convergencia de la serie ∞ ai . Si, por lo contrario, se tuviera L > 1, tomando i=1 L−1 r= y aplicando la estimaci´n (12.1), se tendr´ o a 2 ai+1 L−1 −L − para i N, ai 2 o equivalentemente, L+1 ai+1 ai para i N. 2 Aplicando repetidamente la estimaci´n anterior, se obtiene que o k L+1 aN +k aN para k = 1, 2, . . . 2 L+1 y, tomando en cuenta que > 1, se tendr´ a 2 ∞ ∞ k L+1 ai aN 2 i=N i=N ∞ y, por el criterio de comparaci´n, la serie o i=1 ai ser´ divergente. a Nota Importante: ai+1 Si para una serie positiva Σ∞ ai se tiene lim i=1 = 1, entonces no se puede i→∞ ai asegurar la convergencia ni la divergencia de tal serie. Para mostrar lo anterior, ∞ 1 basta hacer notar que tanto la serie convergente de t´rminos positivos e n(n + 1) n=1 ∞ 1 como la serie divergente de t´rminos positivos e , son tales que su sucesi´n de o n n=1 ∞ ai+1 cocientes es convergente a 1. ai i=1 ∞ 3 −n Ejemplo 12.5 La serie n=1 n e es convergente ya que al aplicar el criterio del cociente se tiene (n + 1)3 e−n−1 1 lim 3 e−n = < 1. ⊳ n→∞ n e
- 246. 246 Series Criterio de Cauchy. Si la sucesi´n de n´meros positivos {ai }∞ es tal que o u i=1 √ lim n an = L, n→∞ ∞ entonces la serie n=1 an es convergente si L < 1 y es divergente si L > 1. √ ´ Demostracion. Si limn→∞ n an = L < 1, existe r < 1 y N natural tal que √ n a < r < 1 n para n > N. Luego, an < rn si n>N y, por el criterio de comparaci´n, se sigue que ∞ ai es convergente. Por el con- o i=1 √ √ trario, si limn→∞ n an = L > 1, existir´n r > 1 y N natural tales que n an > r > 1 a para n > N ; luego, an > rn si n > N ∞ y, aplicando el criterio de comparaci´n, se tendr´ que o a i=1 ai diverge. o ımite. Sean {ai }∞ y {bi }∞ sucesiones de Criterio de comparaci´n al l´ i=1 i=1 n´meros positivos y u ai lim = L, i→∞ bi donde L es un n´mero no-negativo o ∞: u ∞ ∞ a) Si L < ∞ y i=1 bi converge, entonces i=1 ai tambi´n converge. e ∞ ∞ b) Si L > 0 y i=1 bi diverge, entonces i=1 ai tambi´n diverge. e ´ Demostracion. Si L < ∞, entonces existe una etiqueta N tal que ai L + 1 para i > N ; bi luego, ai (L + 1)bi para i > N, y aplicando el criterio de comparaci´n, se concluye que la serie ∞ ai es conver- o i=1 gente. Para probar el punto 2, observamos que si L > 0, existir´ una etiqueta N tal a que ai L > , para i > N ; bi 2 por lo tanto, 2 bi < ai , para i > N, L
- 247. 12.3 Series positivas 247 y entonces, si ∞ bi diverge, aplicando el criterio de comparaci´n concluimos que i=1 o ∞ ai ai i=1 ai deber´ tambi´n diverger. Note que si i→∞ a e lim = ∞, se tendr´ que ıa >1 bi bi para toda etiqueta mayor que un cierto natural K. Luego, bi < ai para i > K, y por el criterio de comparaci´n se concluye que, si ∞ bi diverge, entonces ∞ ai o i=1 i=1 diverge. ∞ √ 2 Ejemplo 12.6 La serie n=1 ( n2 + 1 − n) es divergente ya que para cada n ∈ N se tiene la comparaci´n o 1 1 1 n2 + 1 − n = √ > √ > . n2 +1+n 2 n 2+1 2n + 2 Dado que la serie ∞ 2n+2 es divergente, se tiene que la primera, por el criterio n=1 1 de comparaci´n, ser´ tambi´n divergente. o a e ⊳ ∞ 1 Ejemplo 12.7 La serie sen es divergente ya que al comparar con la serie i i=1 ∞ 1 inducida por la sucesi´n o calculando el l´ ımite, i i=1 1 sen lim i = 1, i→∞ 1 i ∞ ∞ 1 1 luego, al ser divergente, la serie sen ser´ divergente. a ⊳ i i i=1 i=1 Criterio de la Integral. Si la sucesi´n {ai }∞ es tal que a partir de una o i=1 etiqueta N se tiene ai = f (i) para i = N, N + 1, . . . , donde f : [N, ∞) → R es una funci´n continua, positiva y f (x) f (y) si x y, entonces o ∞ ∞ ai y f (x)dx, i=N N convergen ambas o divergen ambas. Demostracion. Comparando, para cada k natural, el t´rmino N +k ai con la ´ e i=N N +k integral N f (x)dx, se tiene en virtud del car´cter no-creciente de f, la siguiente a estimaci´n: o N +k N +k N +k f (i + 1) f (x)dx f (i). i=N N i=N
- 248. 248 Series Note que los t´rminos N +k f (i + 1), N +k f (i) son las sumas inferior y superior e i=N i=N de Darboux-Riemann, respectivamente, asociadas a la partici´n o P = {N, N + 1, N + 2, . . . , N + k} del intervalo [N, N + k]. V´ase la figura 12.1. e f (x) f (N ) Suma superior de Darboux-Riemann f (N + 1) . . . x 1 N N +1 N +2 ··· N +k Figura 12.1 Sumas inferior y superior de Darboux-Riemann Tomando l´ ımites cuando k → ∞, se tiene que ∞ ∞ ∞ ai+1 f (x)dx ai , i=N N i=N ∞ ∞ lo cual demuestra que la serie i=N ai y la integral impropia N f (x)dx, o ambas convergen o ambas divergen. Ejemplo 12.8 Una aplicaci´n importante del criterio de la integral es a la serie o ∞ 1 , (12.2) ip i=1 donde p es un n´mero real fijo. Comparando con la funci´n f (x) = x−p , se tiene u o que i−p = f (i), luego, tomando en cuenta que ∞ ∞ −p 1 x dx = x−p+1 , 1 1−p 1 se concluye que la serie (12.2) converge si p > 1 y diverge si p 1. ⊳ 12.4 Series absolutamente convergentes Una serie ∞ ai se dice absolutamente convergente si la serie de n´meros no ne- i=1 u gativos ∞ |ai | es convergente. La importancia de este tipo de series radica en el i=1 resultado siguiente.
- 249. 12.4 Series absolutamenteconvergentes 249 Proposici´n 12.2 Toda serie absolutamente convergente es convergente. o ∞ ´ Demostracion. Sea i=1 ai una serie absolutamente convergente y consideremos ∞ ∞ las sucesiones de sumas parciales {si }∞ = i=1 i j=1 aj y {pi }∞ = i=1 i j=1 |aj | . i=1 i=1 Por hip´tesis, la sucesi´n de t´rminos no negativos o o e {pi }∞ es convergente y, por lo i=1 tanto, est´ acotada por el n´mero M > 0, digamos. Aplicando la desigualdad del a u tri´ngulo se tiene, para cada i = 1, 2, . . . , que a i i aj |aj | M, j=1 j=1 lo que muestra que tambi´n la sucesi´n de sumas parciales {si }∞ es acotada por e o i=1 M. Ahora formemos la serie con t´rminos no-negativos e ∞ a+ i i=1 donde a+ = ai si ai i 0 y a+ = 0 si ai < 0 y, an´logamente, la serie de t´rminos i a e no-negativos ∞ a− , i i=1 donde a− = −ai si ai < 0 y a− = 0 si ai i i 0. Estas dos ultimas series son tales ´ que sus respectivas sucesiones de sumas parciales son acotadas y, por lo tanto, al ser no-negativas, las dos series son convergentes. Por otro lado, la serie inicial se puede escribir en la forma ∞ ∞ ∞ ai = a+ i − a− , i i=1 i=1 i=1 ∞ es decir, es la diferencia de dos series convergentes. Luego, la serie i=1 ai es tambi´n convergente. e ∞ (−1)n Ejemplo 12.9 La serie es una serie convergente ya que es absolutamente n2 n=1 convergente pues ∞ ∞ (−1)n 1 = n2 n2 n=1 n=1 y ´sta ultima es convergente. e ´ ⊳ Nota Importante:
- 250. 250 Series 1. Si una serie ∞ ai es absolutamente convergente, se tiene la siguiente esti- i=1 maci´n para su suma: o ∞ ∞ ∞ − |ai | ai |ai |. i=1 i=1 i=1 2. Es oportuno hacer notar, que si bien es cierto que toda sucesi´n absolutamente o convergente es convergente, no necesariamente una serie que no es absoluta- mente convergente es divergente, por ejemplo, la serie ∞ (−1)n n i=1 no es absolutamente convergente pero s´ es convergente, como lo probaremos ı despu´s de la secci´n siguiente. e o 12.5 Los criterios de Abel y Dirichlet Los criterios que hasta ahora hemos presentado se refieren a la convergencia o diver- gencia de series de t´rminos positivos. En este apartado incluiremos dos criterios que e se aplican a series que no convergen absolutamente y se basan en la llamada f´rmula o de Abel 1 para las sumas parciales. Incluimos su aplicaci´n a las series alternantes o Teorema 12.3 (F´rmula de Abel) Si {an }∞ y {bn }∞ son dos suce- o n=1 n=1 ∞ siones y {sn }n=1 es la sucesi´n de sumas parciales o sn = a1 + a2 + · · · + an entonces, para cada n ∈ N, se tiene la siguiente identidad: n n ak bk = (sk − sk−1 )bk k=1 k=1 n n = sk bk − sk bk+1 + sn bn+1 k=1 k=1 n = sk (bk − bk+1 ) + sn bn+1 , (12.3) k=1 donde hemos tomado s0 = 0. Por lo tanto, ∞ ak bk converge si k=1 ∞ ∞ k=1 sk (bk − bk+1 ) y {sn bn+1 }n=1 convergen. 1 Por Niels Henrik Abel (1802-1829), matem´tico noruego. a
- 251. 12.5 Los criteriosde Abel y Dirichlet 251 Nota Importante: La f´rmula de Abel es an´loga a la f´rmula de integraci´n por partes. o a o o Corolario 12.4 (Criterio de Dirichlet 2 ) Si la sucesi´n de las sumas par- o ciales de la serie ∞ ak est´ acotada y la sucesi´n {bn }∞ es decreciente y k=1 a o n=1 converge a cero, entonces la serie ∞ ak bk es convergente. k=1 ´ Demostracion. Sea sn = a1 + a2 + · · · + an y M una cota para esa sucesi´n; es o decir, | sn |≤ M para todo n ∈ N. Siendo {bn }∞ decreciente, se tiene n=1 | sk (bk − bk+1 ) |≤ M (bk − bk+1 ) ∞ y, entonces, la serie k=1 sk (bk − bk+1 ) es convergente, pues es absolutamente con- vergente, ya que ∞ ∞ | sk (bk − bk+1 ) |≤ M (bk − bk+1 ) = M b1 . k=1 k=1 Por otro lado, lim | sn bn+1 |≤ M lim | bn+1 |= 0 n→∞ n→∞ y, por lo tanto, tomando en cuenta la f´rmula de Abel (12.3), concluimos que la o serie ∞ ak bk converge. k=1 ∞ Corolario 12.5 (Criterio de Abel) Si la serie k=1 ak converge y la sucesi´n {bn }n=1 es decreciente y convergente, entonces la serie ∞ ak bk es o ∞ k=1 convergente. ´ Demostracion. Repitiendo la argumentaci´n dada en el corolario anterior y o tomando en cuenta la convergencia de {sn bn }∞ se concluye la validez de este n=1 corolario. 2 Por Lejeune Dirichlet.
- 252. 252 Series Corolario 12.6 (Criterio de convergencia para series alternantes) ∞ i+1 a , donde a > 0 para i = 1, 2, . . . , que Toda serie alternante i=1 (−1) i i satisface las condiciones a1 a2 ··· ai ··· y lim ai = 0 i→∞ n i+1 a es convergente. M´s a´n, la sucesi´n de sumas parciales sn = a u o i=1 (−1) i para n = 1, 2, · · · satisface la desigualdad ∞ s2n ≤ (−1)i+1 ai ≤ s2n+1 . i=1 Demostracion. La convergencia de la serie ∞ (−1)i+1 ai se sigue directamente ´ i=1 de la aplicaci´n del criterio de Dirichlet. La estimaci´n de la desigualdad es conse- o o cuencia del comportamiento de las sumas parciales pares e impares. Concretamente, la sucesi´n de sumas parciales pares s2n es creciente ya que o s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2 s2n An´logamente, la subsucesi´n de sumas parciales s2n+1 para las etiquetas impares a o es decreciente ya que s2n+3 = s2n+1 − a2n+2 + a2n+3 s2n+1 . Siendo ambas sucesiones convergentes a la suma ∞ (−1)i+1 ai , se sigue la validez i=1 de la desigualdad dada en el enunciado del corolario. ∞ ∞ (−1)n (−1)n 2n + 1 Ejemplo 12.10 Las series alternantes √ y son conver- n n 5n − 1 i=1 i=1 gentes. La primera satisface las condiciones del criterio de Dirichlet, mientras que la segunda, las del criterio de Abel. ⊳ 12.6 Series de potencias En esta secci´n consideraremos series num´ricas que dependen de una variable real o e x, en la forma siguiente: ∞ ai xi . (12.4) i=1 A este tipo de series se les llama series de potencias y como veremos, definen en cierto intervalo, una funci´n con derivadas de todos los ´rdenes. Esta familia de o o funciones es de gran importancia para el c´lculo y sus aplicaciones. a
- 253. 12.6 Series depotencias 253 El primer concepto asociado a las series de potencias es el concepto de intervalo de convergencia que se define como el m´ximo intervalo abierto I con centro en a cero tal que para cada valor x ∈ I, la serie num´rica ∞ ai xi es absolutamente e i=1 convergente. Para justificar el concepto anterior, supongamos que al tomar x = x0 , la serie ∞ i i=1 ai x0 es convergente. Si tomamos ahora otro valor y con |y| < |x0 |, tendremos que la serie ∞ ai y i resulta ser absolutamente convergente, ya que i=1 ∞ ∞ ∞ i y |ai y | |ai || |i |x0 |i K ri x0 i=1 i=1 i=1 y i ∞ donde r = | x0 | < 1 y K es cota de la sucesi´n de t´rminos de ai x0 i=1 , misma o e que existe en virtud de la convergencia de la serie de potencias en x = x0 , es decir, |ai xi | 0 K para i = 1, 2, . . . Tomando en cuenta lo anterior, concluimos que ∞ ∞ |ai y i | K ri con r < 1 i=1 i=1 y, por lo tanto, aplicando el criterio de comparaci´n entre series positivas, concluimos o que la serie es absolutamente convergente. Nota Importante: Al valuar una serie de potencias en x = 0, se tiene una serie convergente a cero. M´s a a´n, es posible que s´lo en ese punto la serie sea convergente; por ejemplo, tenemos u o el caso de la serie ∞ n!xn n=1 que s´lo es absolutamente convergente en x = 0, ya que para cualquier otro valor o de x se tiene (n + 1)!|x|n+1 lim = lim (n + 1)|x| > 1, n→∞ n!|x|n n→∞ y la serie s´lo converge para x = 0. El otro caso extremo se tiene cuando la serie es o absolutamente convergente para todo x ∈ R, como es el caso de la serie de potencias ∞ 1 n x , n! n=1 cuyo intervalo de convergencia es (−∞, ∞).
- 254. 254 Series ∞ 1 n Ejemplo 12.11 La serie de potencias x tiene por intervalo de convergencia n n=1 a (−1, 1) ya que si |x| < 1 se tiene que n lim |x| < 1 n→∞ (n + 1) y, por el criterio del cociente para series positivas, la serie es convergente. Note que si x = 1 la serie de potencias no es convergente. ⊳ Como se ha mostrado, una serie de potencias define una funci´n f (x) cuyo o dominio es el intervalo de convergencia, que denotaremos ∞ f (x) = an xn . (12.5) n=1 Enseguida mostraremos que f (x) es una funci´n derivable y calcularemos tanto su o derivada como sus primitivas. ∞ n Lema 12.7 Si la serie de potencias n=1 an x es absolutamente convergente en (−c, c), entonces la serie ∞ nan xn−1 n=1 es tambi´n absolutamente convergente en (−c, c). e ∞ ´ n−1 Demostracion. Para cada x0 ∈ (−c, c), probaremos que la serie nan x0 es k=1 absolutamente convergente en x = x0 . Sea r > 0 con |x0 | + r < c. Tomando en cuenta que |x0 | + r ∈ (−c, c), se tiene que la serie ∞ |an |(|x0 | + r)n n=1 es absolutamente convergente. Por otro lado, por el desarrollo de una potencia de un binomio, se tiene que n n n n−1 n (|x0 | + r) = |x0 | + n|x0 | r+ |x0 |n−k rk k k=2 y, por lo tanto, 1 n|x0 |n−1 (|x0 | + r)n r y ∞ ∞ 1 n|an ||x0 |n−1 |an |(|x0 | + r)n . r n=1 n=1
- 255. 12.6 Series depotencias 255 Tomando en cuenta que la serie de la derecha es convergente pues |x0 | + r ∈ (−c, c), por el criterio de comparaci´n, tenemos que la serie positiva de la izquierda deber´ o a ser tambi´n convergente, con lo que se prueba el lema. e Nota Importante: El lema anterior nos permite concluir que cada una de las series de potencias obtenidas tomando derivadas de orden superior, t´rmino a t´rmino, de una serie e e de potencias inicial, ser´n tambi´n absolutamente convergentes en el mismo inter- a e valo (−c, c). Es decir, las series ∞ ∞ n(n − 1)an xn−2 , n(n − 1)(n − 2)an xn−3 , · · · n=2 n=3 son absolutamente convergentes en (−c, c). Apoyados en el lema 12.7 probaremos la proposici´n siguiente. o Proposici´n 12.8 La funci´n f (x) = ∞ an xn es una funci´n derivable en o o n=1 o el interior (−c, c) de su intervalo de convergencia I y su funci´n derivada tiene o la forma ∞ df (x) = nan xn−1 , x ∈ I. dx n=1 ´ Demostracion. Para probar la proposici´n anterior, sean x0 ∈ (−c, c) , h y r tales o que r > 0, x0 + r ∈ (−c, c) y |h| < r. Demostraremos que ∞ f (x0 + h) − f (x0 ) n−1 lim − nan x0 = 0. (12.6) h→0 h n=1 Aplicando el teorema del valor medio, podemos escribir, para cada n = 1, 2, . . . , (x0 + h)n − xn 0 n−1 = nxn,h h donde xn,h ∈ (x0 , x0 + h). Sustituyendo esas estimaciones en (12.6), se tiene ∞ ∞ f (x0 + h) − f (x0 ) n−1 n−1 n−1 − nan x0 = nan (xn,h − x0 ). (12.7) h n=1 k=1 Aplicando nuevamente el teorema del valor medio, podemos escribir n−1 n−1 n−2 (xn,h − x0 ) = (n − 1)zn,h (xn,h − x0 ),
- 256. 256 Series donde zn,h ∈ (x0 , xn,h ). Sustituyendo esta nueva estimaci´n en (12.7), tenemos o ∞ ∞ f (x0 + h) − f (x0 ) n−1 n−2 − nan x0 = n(n − 1)an zn,h (xn,h − x0 ) h n=1 k=2 ∞ n−2 |h| n(n − 1)an zn,h . k=2 Tomando en cuenta que la serie ∞ ∞ n(n − 1)|an ||zn,h |n−2 n(n − 1)|an |(|x0 | + r)n−2 k=2 k=2 es absolutamente convergente para x = |x0 | + r ∈ (−c, c), como consecuencia de la aplicaci´n reiterada del lema 12.7, se tiene o ∞ f (x0 + h) − f (x0 ) n−1 lim − nan x0 = 0, h→0 h n=1 lo que prueba que ∞ df n−1 (x0 ) = nan x0 . dx n=1 Nota Importante: La proposici´n 12.8 nos permite afirmar que cada funci´n dada como serie de po- o o tencias tiene derivadas de todos los ´rdenes y esas funciones derivadas se obtienen o derivando t´rmino a t´rmino la serie inicial. e e ∞ Proposici´n 12.9 La funci´n f (x) = n=1 an xn tiene por antiderivada en el o o interior (−c, c) de su intervalo de convergencia I a la funci´n g(x) dada por la o serie de potencias ∞ 1 g(x) = an xn+1 , x ∈ (−c, c). n+1 n=1 Demostracion. Si ∞ |an ||x|n converge para x ∈ (−c, c), dado que para todo ´ n=1 n = 1, 2, . . . se tiene que 1 an xn |an xn |, n+1 podemos afirmar, en virtud del criterio de comparaci´n, que la serie o ∞ 1 an xn n+1 n=1
- 257. 12.6 Series depotencias 257 es tambi´n convergente para x ∈ (−c, c). De lo anterior, se deduce que la serie e ∞ ∞ 1 1 an xn+1 = |x| an xn n+1 n+1 n=1 n=1 tambi´n converge para cada x ∈ (−c, c). Como la serie inicial ∞ an xn se forma e n=1 ∞ 1 derivando t´rmino a t´rmino la serie e e an xn+1 , aplicando la proposici´n 12.8, o n+1 n=1 se tiene dg (x) = f (x), dx lo que demuestra que ∞ ∞ an xn dx = an xn dx. n=1 n=1 Nota Importante: 1. Las series de potencias tambi´n aparecen en la forma e ∞ an (x − x0 )n n=1 y lo que hemos dicho y mostrado se extiende de manera natural trasladando el origen x = 0 al punto x = x0 . 2. A las funciones representables como series de potencias se les llama funciones anal´ ıticas. Estas funciones tienen derivadas de todos los ´rdenes y cada k- o suma parcial de la serie de potencias corresponde a su polinomio de Taylor de orden k. Una observaci´n importante aqu´ es que no toda funci´n que o ı o tenga derivadas de todos los ´rdenes es representable como serie de potencias. o Enseguida daremos el ejemplo t´ ıpico al respecto. Ejemplo 12.12 La funci´n o 0 si x 0 f (x) = − 1 e x2 si x > 0 d − 12 tiene derivadas de todos los ´rdenes en x = 0, con valor cero, ya que o e x = dx 2 − 12 2 1 3 e x si x > 0 y dado que lim 3 e− x2 = 0, se tiene x x→0 x df 0 si x 0 (x) = 2 − 12 dx e x si x > 0. x3
- 258. 258 Series Aplicando repetidamente un argumento an´logo al anterior, se prueba que f tiene a derivadas de todos los ´rdenes y ´stas se anulan en cero. Lo anterior implica que o e el polinomio cero es el polinomio de Taylor de cualquier orden de esa funci´n yo si esa funci´n fuera representable en serie de potencias, ´sta deber´ ser la serie o e ıa id´nticamente cero, lo cual no es posible pues f (x) = 0 para toda x > 0. La e situaci´n anterior se presenta as´ debido a que los residuos de Taylor no convergen o ı a cero cuando el orden del polinomio crece. ⊳ ∞ 1 n Ejemplo 12.13 1. exp x = 1 + x para x ∈ (−∞, ∞) n! n=1 ∞ 1 ⊳ 2. sen x = x2n−1 para x ∈ (−∞, ∞) (2n − 1)! n=1
- 259. 12.6 Series depotencias 259 Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo 1. Diga cu´les de las series siguientes convergen: a ∞ ∞ ∞ √ 1 (−1)n (a) ( 2)i (b) (c) n n2 i=1 n=1 n=1 ∞ ∞ n! 1 (d) an (e) √ (−100)n n n=1 n=1 2. Conteste “falso” o “verdadero” a cada uno de los enunciados siguientes. ∞ (a) Si an > c > 0 para cada n, entonces la serie n=1 an diverge. ∞ ∞ 2 (b) Si an < 0 y n=1 an converge, entonces n=1 an converge. ∞ ∞ 1 (c) Si n=1 an converge, entonces diverge. an n=1 ∞ (d) Si limn→∞ an = 0, entonces n=1 a2 converge. n ∞ ∞ n (e) Si n=1 an converge, entonces n=1 (−1) an converge. ∞ ∞ n (f) Si n=1 an es absolutamente convergente, entonces n=1 (−1) an es tambi´n absolutamente convergente. e ∞ ∞ n (g) Si n=1 an converge y n=1 (−1) an converge absolutamente, entonces ∞ n=1 an converge absolutamente. 3. Diga para qu´ valores de x las series siguientes convergen. e ∞ ∞ n xn 1 1 (a) √ (b) 1+ n+1 n x n=1 n=1 ∞ ∞ senn x (2x + 3)n (c) (d) 1 n n 3 4n n=1 n=1 4. Determine el intervalo de convergencia y su suma en los puntos de ese intervalo, para cada una de las series de potencias siguientes. ∞ (a) 1 − 4x + 16x2 − 64x3 + · · · = (−1)n (4x)n n=0 ∞ 2 3 (b) 1 × 3 − 2 × 4x + 3 × 5x − 4 × 6x + · · · = (−1)n−1 n(n + 2)xn−1 n=1 ∞ (c) 2 + 4x2 + 6x4 + 8x6 + 10x8 + · · · = 2nx2(n−1) n=1
- 260. 260 Series 5. Diga en qu´ intervalo son v´lidas las siguiente representaciones para las fun- e a ciones dadas a la izquierda. 1 (a) = 1 + x2 + x3 + x4 + · · · 1−x ∞ (−1)n−1 n (b) ln(1 + x) = x n n=1 ∞ n 6. D´ un ejemplo de una serie alternante e n=1 (−1) an+1 , an > 0, que sea divergente con limn→∞ an = 0. (Sugerencia: Considere la serie 1 − 1 + 3 − 4 1 1 1 16 + 5 − · · · .) 7. Demuestre que si ∞ an es una serie positiva convergente con an < an−1 n=1 para cada n natural, entonces limn→∞ nan = 0. ∞ n 8. Considere la serie de potencias n=1 an x . Aplicando el criterio del cociente de an+1 D’Alembert, pruebe que si lim = r, entonces el radio de convergencia an n→∞ 1 de la serie de potencias es igual a . An´logamente, aplicando el criterio de a r n Cauchy, pruebe que si limn→∞ | an | = r, entonces el radio de convergencia 1 de la serie de potencias es igual a . Haciendo uso de los criterios anteriores, r calcule el radio de convergencia de las series ∞ ∞ ∞ x2n (4x + 1)n xn (a) √ (b) (c) n+2 nn 2n ln n n=1 n=1 n=1 ∞ 2 9. Diga por qu´ la serie e converge a un n´mero irracional. u n=1 10n2 1 10. A partir de la representaci´n de la funci´n f (x) = o o en el intervalo (−1, 1), 1−x ∞ 1 = xn , 1−x n=0 encuentre la representaci´n de las funciones siguientes como series de potencias o en x y se˜ale el dominio de validez de esa representaci´n. n o 1 1 (a) g(x) = (b) g(x) = 2−x (2 − x)2 1−x (c) g(x) = (d) g(x) = ln(2 − x) 1+x
- 261. Bibliograf´ ıa [1] Adams, R. A. Calculus, A complete course, Addison-Wesley Publishers Limited, 1991. [2] Apostol, T. Calculus, segunda edici´n, Ed. Revert´, Barcelona, 1968. o e [3] Apostol, T. (Editor), Selected papers on Calculus, Mathematical Association of America, 1968. [4] Fraga, R. (Editor), Resources for Calculus Collection, Vol. 2: Calculus Pro- blems for a new century, Mathematical Association of America, 1993. [5] Kuratowski, K. Introducci´n al C´lculo, Editorial Limusa-Wiley, S.A. M´xico, o a e 1970. [6] Leithold, L. El c´lculo, s´ptima edici´n, Oxford University Press, M´xico, 1998. a e o e [7] Spivak, M. C´lculo infinitesimal, vol. 1 y vol. 2, Editorial Revert´ S.A., a e Barcelona, 1998. [8] Stewart, J. C´lculo de una variable, Trascendentes tempranas, cuarta edici´n, a o Thomson editores, S.A. de C.V., 2001. [9] Tellechea, E. C´lculo diferencial e integral II, Colecci´n Textos Acad´micos, a o e No. 23. Editorial UNISON, 2001. [10] Zill, D. C´lculo con geometr´ anal´ a ıa ıtica, Grupo Editorial Iberoamericano, M´xico, 1987. e
- 262. ´ Indice Abel, Niels Henrik 252 Centro Abscisa 50 de curvatura 124 Aceleraci´n debida a la fuerza o de masa de gravedad 234 de regiones planas 212 Acta Eruditorum 15 de una varilla 213 Amplitud del movimiento 236 Centroide de una varilla 213 An´lisis no Est´ndar 21, 22 a a Centroides ´ Angulos 54 de regiones planas 212 ´ Area de varillas 212 de superficies de revoluci´n 210 o Centros de masa 212 de una regi´n 203 o de varillas 212 ´ Areas de regiones delimitadas y presi´n de fluidos 212 o por curvas suaves 203 C´ ırculo Antiderivada 162 de curvatura 124 Aproximaci´n lineal 108 o osculador 124 Arqu´ımedes de Siracusa 15, 31 Completez de los n´meros reales 23, u Arquimedianidad 31 35 Constante de restituci´n 235 o Barrow, Isaac 16, 192 Continuidad 81 Berkeley, George 19 en intervalos compactos 83 Bernoulli, Jacobo 17, 239 Contradominio 45 Bernoulli, Juan 17, 239 Coordenadas 50 Bolzano, Bernhard 19, 20, 73 Coseno hiperb´lico 158 o Cota Ca´ bajo la acci´n de la gravedad ıda o inferior 35 233 superior 35 con fricci´n del aire 234 o Creciente 73 Campo de los n´meros reales 30 u Criterio Cantor, Georg 20 de Abel 252 Cauchy, Augustin Louis 19, 21, 75, de Cauchy 248 76, 119, 128, 248, 262 de comparaci´n 197 o Cavalieri, Bonaventura 16 al l´ ımite 248
- 263. ´ Indice 263 para series 245 Expansi´n o de convergencia de Cauchy 75 decimal 27 de Dirichlet 252 truncada 28 de la Integral 249 Expansiones del cociente 246 decimales 23 Curso de An´lisis 19 a infinitas y peri´dicas o 24 Curvatura 124 F´rmula de Abel 252 o D’Alembert, Jean Le Rond 19, 246, Fase 236 262 Fermat, Pierre de 16 Darboux, Jean Gaston 183, 184, 185, Fluente 16 186, 187, 250 Fluxi´n 16 o Decreciente 73 Forma integral del residuo de Taylor Dedekind, Richard 20 200 Derivaci´n o Fourier, Joseph 19 de funciones compuestas 100 Fracciones parciales 174 de la funci´n inversa 100 o Fuerza Derivada 93 de fricci´n 235 o Definici´n de 91 o de gravedad 233 por la derecha 94 Funci´n o por la izquierda 94 k-´sima derivada 108 e Derivadas acotada 84 de funciones racionales 105 arco coseno 58 de funciones trigonom´tricas 105 e arco seno 58 de funciones trigonom´tricas inver- e arco tangente 59 sas 105 cociente 52 de orden superior 107 composici´n 52 o Descartes, Ren´ 16, 50 e continua Desigualdad del tri´ngulo 33 a en un intervalo 82 Diferencial de una funci´n 108 o en un punto 82 Din´mica de Poblaciones 154 a cuadr´tica 54 a Dirichlet, J. P. G. Lejeune 45, 252 de varias variables reales 47 Dominio 45 derivable en un punto 93 de la variable 43 derivada 107 diferencia 52 Ecuaci´n o exponencial 149 diferencial de segundo orden 222 impar 61 diferencial lineal no-homog´nea de e inversa 48 primer orden 223 inyectiva 48 log´ ıstica 156 lineal 54 Eje logaritmo natural 152 de las abscisas 50 multiplicaci´n 51 o de las ordenadas 50 par 61 Euler, Leonhard 17, 18, 22, 149 racional 54
- 264. 264 ´ Indice real de variable real 45 Integrales residuo 126 el´ ıpticas 210 segunda derivada 107 indefinidas 161 suma 51 Interpretaci´n geom´trica de la deri- o e uniformemente continua 84 vada 95 uno a uno 48 Intervalo Funciones abierto 32, 66 anal´ıticas 259 cerrado 32 crecientes 49 compacto 83 de tipo exponencial 153 de convergencia 255 decrecientes 49 Introducci´n al an´lisis infinitesimal 18 o a hiperb´licas 158 o lipschitzianas 83 Jordan, Camille 21 mon´tonas 49 o Lagrange, Joseph Louis 17, 18, 19, polinomiales 54 93 seccionalmente continuas 197 Lebesgue, Henri 21 trigonom´tricas 55 e Lecciones sobre el C´lculo Diferencial a inversas 58 19 Leibniz, Gottfried Wilhelm 15, 16, Gr´fica de una funci´n a o 50 17, 93, 99, 101, 106, 107, 165, 239 Heine, Edward 20 Ley Huygens, Christiaan 17 de enfriamiento de Newton 155 de tricotom´ıa 30 Imagen L’Hospital, Guillaume Fran¸ois 17, c de x bajo f 46 140, 141, 142, 143, 145, 151 de la funci´n 46 o L´ ımite Infimum 36 de una funci´n 77 o Integraci´n o de una sucesi´n 66 o de funciones racionales 174 por la derecha 78 por partes 165 por la izquierda 78 por sustituci´n 167 o Lipschitz, Rudolf O. S. 83 Integral Longitudes de curvas 208 de f en el intervalo [a, b] 186 de Lebesgue 21 M´xima cota inferior 36 a definida 181 M´ximo local 131 a de f en [a, b] 188 M´todo e impropia de coordenadas 50 de f en (−∞, ∞), 196 de fracciones parciales 174 de f en [a, ∞) 195 de integraci´n o de f en [a, b) 196 por partes 165 de una funci´n continua f (x) en o por sustituci´n 167 o (−∞, b] 196 de Lagrange 229 indefinida 162 de variaci´n de par´metros 229 o a
- 265. ´ Indice 265 M´todos de integraci´n 164 e o Puntos Mec´nica Anal´ a ıtica 19 cr´ ıticos 130 M´ ınima cota superior 36 regulares 130 M´ ınimo local 131 singulares 130 N´meros u Radi´n 55 a irracionales 26 Radianes 54 reales 27 Radio de curvatura 124 Distancia entre 33 Razones de cambio 109 Newton, Isaac 15, 16, 17, 19, 93, Recta 107, 155, 161, 221, 233, 234, normal 123 236 num´rica 39 e Norma de la partici´n 182 o Real 38 Notaci´n para la derivada o Refinamiento 182 de Lagrange 93, 107 Regla de Leibniz 93, 107 de correspondencia 45 de Newton 93, 107 de derivaci´n de un cociente 100 o de la cadena 100 Orden de la ecuaci´n o 222 de Leibniz 99 Ordenada 50 Reglas b´sicas de derivaci´n 99 a o Residuo de Taylor 200 Pappus 216 Resumen de Lecciones sobre Partici´n 181 o el C´lculo Infinitesimal 19 a Pascal, Blass 216 Riemann, Bernhard F. 19, 20, 21, Peano, Giuseppe 21 182, 183, 184, 185, 186, 187, Plano cartesiano 50 188, 192, 206, 209, 211, 213, Polinomio de Taylor 126 214, 217, 250 Primera regla de L’Hospital 140 Roberval, Gilles de 16 Primitiva 162 Robinson, Abraham 21, 22 Principia Mathematica Rolle, Michel 117 Philosophiae Naturalis 15 Principio de Pascal 216 Segunda Propiedad derivada 107 de Cauchy 75 regla de L’Hospital 141 del valor intermedio 84 Segundo teorema del valor medio para Propiedades integrales 191 de la funci´n exponencial 149 o Seno hiperb´lico 158 o de las series convergentes 243 Serie de las sucesiones convergentes 68 absolutamente convergente 250 Punto alternante 244 de inflexi´n 132 o arm´nica 242 o decimal 27 convergente 242 m´ximo local 130 a divergente 242 m´ınimo local 130 geom´trica 242 e
- 266. 266 ´ Indice inducida por la sucesi´n 241 o de funciones anal´ ıticas 19 positiva 244 telesc´pica 244 o Un nuevo m´todo para m´ximos y m´ e a ı- Series de potencias 254 nimos as´ como para el c´lcu- ı a Signo de la funci´n derivada 119 o lo de tangentes que incluyen Sobre una geometr´ oculta 17 ıa cantidades tanto fraccionales Soluci´n trivial 147 o como irracionales y un nota- Subsucesi´n 65 o ble tipo de c´lculo para todo a Sucesi´n o esto 17 convergente 66 Valor absoluto 32 creciente 65 Variable 43 producto 65 dependiente 44 real 63 independiente 44 suma 65 real 43 Sucesiones mon´tonas 73 o Varignon, Pierre 17 Suma Vol´menes de s´lidos de revoluci´n u o o 205 de Riemann correspondiente a la partici´n P 182 o Wallis, John 16 inferior de Darboux-Riemann 183 Weierstrass, Karl 19, 20, 73, 77 superior de Darboux-Riemann 183 Wronski, J. M. H¨en´ de 229 o e Sumas parciales 241 Supremum 36 Taylor, Brook 115, 124, 126, 127, 128, 129, 131, 133, 144, 150, 165, 200 Teorema de Bolzano-Weierstrass 73 de Cauchy 119 de existencia de ecuaciones dife- renciales 147 de Pappus 216 de Rolle 117 de Taylor 115, 124, 126, 128, 131, 133, 144 de unicidad de la soluci´n 226 o del valor medio 20, 116 generalizado 118 para integrales 190 Fundamental del ´lgebra 174 a del c´lculo, 20 a Teor´ ıa Anal´ıtica del Calor 19