Este documento presenta un libro sobre lógica matemática escrito por Georgios Koletzos y otros coautores. El libro cubre temas como sistemas formales, los teoremas de Gödel y la teoría de demostraciones. Fue publicado en 2015 por la Asociación de Bibliotecas Académicas Griegas bajo una licencia Creative Commons.

1. Τίτλος Συγγράμματος
μεγάλο μέγεθος
Κύριος Συγγραφέας
Συν-συγγραφέας 1, Συν-συγγραφέας 2,
Συν-συγγραφέας 3
Μαθηματική Λογική
Τυπικά συστήματα, τα Θεωρήματα
του Gödel, Θεωρία Αποδείξεων
Γεώργιος Κολέτσος

3. ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΛΕΤΣΟΣ
Μαθηματική Λογική
Τυπικά συστήματα, τα Θεωρήματα
του Gödel, Θεωρία Αποδείξεων

4. Μαθηματική Λογική
Συγγραφή
Γεώργιος Κολέτσος
Κριτικός αναγνώστης
Κωνσταντίνος Δημητρακόπουλος
Συντελεστές έκδοσης
Γλωσσική Επιμέλεια: Δήμητρα Τουλάτου
Τεχνική Επεξεργασία: Αικατερίνη Ξύστρα
ISBN: 978-960-603-311-7
Copyright © ΣΕΑΒ, 2015
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Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου
www.kallipos.gr

6. ¸ ½
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7. º º º º º º º º º º º º
º¾ ´ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿ ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
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º¾ ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º ÙÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

9. ¸ ¾
Ó Ð ½¼½
º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½
º¾ ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º¿ ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º Ó Ð
ÙÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½
º ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÒØÞ Ò ½½
º½ ÒØÞ Ò º º º º º º º ½½
º¾ º º º º º º º º º º ½¾
º¿ ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
Ì Ð ÙÜ ½¾
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º½º½ ý ÒØÞ Ò
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11. ¸ ¿
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º ø º Ë
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º
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º Ö ¹
¸ à Òظ ¹
¸ ¸ ¹
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º
Ö
¸ ¸ ¹
¹
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¸ ÊÙ×× Ðн¸
½
Ö È(Ü) ¹
º ý ¸ ÊÙ×× Ðи Ü ∈ Ü ¸
Ü ¸ = {Ü | Ü ∈ Ü}
¸ ∈ ↔ ∈ ´ µº

13. ¸
Ö º
ó
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¹
µ ´
µº

14. ¸ ¸
¸
√
2¸ º
º ý (
√
2)
√
2 ¸ = =
√
2
º ý (
√
2)
√
2 ¸ = (
√
2)
√
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√
2
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2)
√
2)
√
2 = (
√
2)2 = 2¸ º
º
À Ð ÖØ ¹
¸
À Ð Öغ
¸ ¸
´ µ
¸ ¸ Ü
È(Ü) ¸ È(Ü) ¹
º

15. ¸ Ò
Ò Ò! + 1º ý
´ À Ð Öص È(Ò) ≡ ∃Ô(Ô Ò Ô
Ò! + 1)¸ ¸ º ý ¹
À Ð ÖØ
º ¸ À Ð ÖØ ¸ ¹
¸
º ¹
º ¸ ¸
À Ð Öظ
º ¸
¸
º

16. ¸ À Ð ÖØ
´ º º µ ¹
¹
¸ ¸ ¸
º º º

18. ¸
¹
¸
º º 0 = 1ó ´ ³ µ
¹
º
¸ ¸ ¹
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µ º
¸ ³ ¸
À Ð ÖØ º
¸
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µ
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À Ð ÖØ
º ¹
º
À Ð ÖØ ¸ Ó Ð ´ µ
¹
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µ ¸
¸
À Ð Öغ
À Ð ÖØ
¸ ¹
¸
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ý ¸ ¸ » ¸ ¹
º ý

20. ¸
¾ ¸
º
´ ¸ ¸ ºµ
¸
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º
¸ ¹
¸ ´ ¸ µ¸ ´ µ¸ ´ µ¸ ¹
´ ººº ºººµ ´ µº ý
½º ½¼ ´ ½¼ µ¸
¾º ¾ ´ ¾ ¾ µ¸
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º
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´ µ¸ ´ µº
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¸
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¸
º
º ý
¸ ¸
´ µ º ô ¸
¸ ¹
¹
¸ ¸ º

22. ¸
ó
ó
¸ ¹
º
¹
º
ý ¬ ¸ ∧ ¸ →
ººº ººº´ µ¸
(( ∧ ¬( ∧ )) ∧ ( → )) → (¬ )
´ µ º

24. ¸
¾º½
LΠ
º ¸
¸ ý
½º ¬¸ ∧¸ ∨¸ →º ý ¹
¸ ¸ º
¾º ´ µº
¿º ô ¹
ý1 ý2 ýÒ º
º
¸ º
ø
¸
º
º
¸ ¸ ¹
º
º º )) → 3(¸ ( 1 → (¬ 2))¸ () 10¬ º
³
º

25. ¸
¸ º ý
½º ý Ú ¸ Ú
¸ Ú¸ º º
≡ ( 3 → Ú ≡ 2)¸ Ú ≡ ( 3 → 2)º
¸ º º ÚÛ
¸ Ú Ûº ý = ÚÛ Ú ÚÛ¸ Ú
º ¸ º
º = ÚÛ Ú º
¸ ≡ ¸
¸
º ≡ º

26. ¸ ¾·¿ ¿·¾ {2 + 3}¸
2 + 3 ≡ 3 + 2¸
¾·¿ ¿·¾º
ý ¸
¸
º

28. ¸

29. º ý
¾º½ ¹
¸ ¸
½º º
¾º ý ¸ ( ∧ )
( ∨ ) ( → ) (¬ ) º
¿º Å ´½µ ´¾µ
º
¾º½ ¹
º ¹
º
¸ ¸ ¹
¹
º
º
º º ((¬ 1) → ( 1 ∧ 3)) ¹
´ µº ý1 ý3 ´½µº
´ µº (¬ 1) ( 1 ∧ 3) ´¾µ ´ µº
´ µº ((¬ 1) → ( 1 ∧ 3)) ´¾µ ´ µº
((¬ 1) → ( 1 ∧ 3))
¨
¨¨
r
rr
(¬ 1) ( 1 ∧ 3)
1
1
d
d
3
º º º ¬´ 1 º
º

31. ¸ ½¼
¾º¾ Π ¹
½º Πº
¾º ý ∈ Π ( ∧ ) ( ∨ ) ( → ) (¬ ) ∈ Π Π
℄º
Σ
½ ¾ ¾º¾ º
Π¸ ¸
º
¾º¾ ¹
º
¾º¿ ∈ Π ⇔ 1 2 Ò ≡
Ò (1 ≤ ≤ Ò) ¸
¸ º º ≡ ( ∧ ) ≤ º
1 2 Ò
¾º½ º
ý ⇒ ô Ê ¹
¸
1 2 Ò Ò = º Ê
º Π ⊆ Ê Π º
⇐ ≡ Ò 1 2 Òº
Ò¸ Ò = 1¸ Ò
Πº Ò ¸ Π
¸ Ò
Ò ∈ Π Ò
Π
º
¹
º ý
P(Ü) ¸ º º
P(Ü) Ü ¹
º ¸
P(Ü) ¸
´ µ P(ý ) ý ¸
º
´ µ P( ) P( )
P((¬ )) P(( ∨ )) P(( ∧ )) P(( → ))º ´ µº
ý ´ µ ´ µ P(Ü)¸
P

33. ¸ ½½
¸ Π¸ ¸ Π ⊆ P¸
Pº
¹
º
´ ( )µº
¸ ¼ ¹
¸ Ò¸
Òº
ø
¸ ¸
¸ ¹
º
¾º ý
º
ý º
´ µ ¹
º
´ µ ô ¹
º (¬ )
º ¸ ( ∧ )
∧ ( ∧ ) ¹
º

34. ( ∧ )¸
( → ) º
¾º¾
¸ ¹
¸ ¹
¸ (¬ )¸ ( ∨ )¸
( ∧ )¸ ( → )º
¹
¹
º ý º º
ý1 ∧ 2 → ý3¸
(ý1 ∧ ( 2 → ý3)) ((ý1 ∧ 2) → ý3)º
³ º
º
¾º

35. ¹
½º º
¾º ≡ (¬ )º

37. ¸ ½¾
¿º 1 2 ¹
♦
≡ ( 1♦ 2) ♦ ∈ {∧ ∨ →}º
ý
º
ý ý º
¾º
º
º
º ô
º ( ∧ )¸ (¬ )¸ º º º
( ∧ )º ( ∧ )
( ( ′ ( ( ∧ ( ∧ ′ ( ∧ ¸ ′ ′
¸ ¸ ¸ ³
º
º
( ∨ ) ( → ) (¬ )º
ý ¾º º
¾º
¾º½º º ô
( 1 ∧ 2)º
(¬ )¸ 1 ¬¸
º ô ( 1 ∧ 2) ≡ ( ′
1♦ ′
2)
′
1
′
2 ♦º ý 1 ∧ 2) ≡
′
1♦ ′
2)º ý 1 ′
1¸
1 ∧ 2) ′
1♦ ′
2) 1
′
1 ¸ 1 ′
1
′
1 1º ¸
¾º
¾º º ¸ 1 ≡ ′
1
∧ 2) ≡ ♦ ′
2) ∧ ≡ ♦ 2 ≡ ♦ ′
2)º ø
( ∨ ) º
ô
¸
¸
º º º
È ¸

39. ¸ ½¿
´ ¹ µ
ý ℄º
ý ¸ ¹
¹ ¸
¬ ∧ ∨ → ( ) 1 2 Ò º
º ô Ä
º
þ ½º ý Ä = 1¸ ý
¸ º
þ ¾º ý Ä 1¸ º
ý º ý ¬¸
(¬ ) ¸ º ³ ¹
¸ þ ½
¸ º ¹
þ ½ º
þ ¿º ý
¬¸
( ¸
º ý
¸ º ý ¸
( ♦ )¸ ♦ ∈
{¬ ∧ ∨ →}¸ º
¸ ¸ º
þ ½
º
¹
¸ ¸
ý º
¸ ¸ ¹
ý ¸ ¹
º
¾º¾º½
³ º ¹
¸ ¬ ¸ ¸ ¸ ¹
∨ ¸ ∧ ¸ → º
º

41. ¸ ½
¾º¾º¾ ý
¸ ¹
º º º
∧ ( ∧ )¸ (¬ ) →
((¬ ) → )º ¬
³ ¸ ∨ ∧¸
³ ¸ →º º º
¬ ∨ → ∨ ¸ ((¬ ∨ ) → ( ∨ ))º

43. ¸ ½
¾º¿ ý
½º ý
º
¾º ô º (¬ ) ¸
¬ º ý ( ♦ )
¸
♦ º
ý ¬ º
♦ º
¿º ý (¬ )¸
= (¬ )º ♦ ¸
= ♦ º
º ¬ ∧ ∨ →
1 2 Ò º ´ ¹
µ
º
º ý ¹
º
´ ³ ³ ≡
º ý
³1 ³2 ³Ò¸ 1 2 Ò
³1³2 ³Ò 1 2 Ò ¸
³ ≡ ≤ Òºµ

45. ¸ ½
¾º ¸
º
¸
º
³ ¸ º
º

46. ´ µ
¸
´ µº
´ µ ¸
´ µ¸
¬ ∧ ∨ →
¸ ¸ º
¹
¬ ∧ ∨ →º ¹
º ¬ ∧ ∨ →
º
º ¹
¬ ∧ ∨ →
˜¬ ˜∧ ˜∨ ˜→ º
º ´ ¹
µ
´Ì¸ ÌÖÙ µ ´ ¸ Ð× µº
¹
º
ý
³ ¬³
Ì
Ì
º
³ ³∧
Ì Ì Ì
Ì
Ì
³ ∧ ³ º

48. ¸ ½
³ ∨ ³ º
º º
¸
º
º º º ³
¸
º ý ³
¸
º
º ¹
3
3º
³ ³∨
Ì Ì Ì
Ì Ì
Ì Ì
³ → ³ ¸ º
³ ³→
Ì Ì Ì
Ì
Ì Ì
Ì
´¾ µ
º ³ →
º º

49. ³ º
(³ ∧ ) → ̺ ý ´
³ = Ì ³ = ³ Ì µ
• ý ³ = Ì = ̸ (³ ∧ ) = Ì = ̺
º
• ý ³ = = ̸ (³ ∧ ) = º
º

51. ¸ ½
• ý ³ = = ¸ (³ ∧ ) = º
º
Ü Ü2 º º
Ü º ý ¿ º
Ü Ü2
º ý ½ º
¸ ¸
º ô ¹
¹ ˜¬ : {Ì } → {Ì }
˜∧ ˜∨ ˜→ : {Ì }2 → {Ì }º
¾º ý
º º º 1
( 1 ∧ 2)º

52. 1 2¸ ( 1 ∧ 2)
1 º {Ì }
¸
Ì º Ì ´ÌÖÙ µº
´ Ð× µº ´ Ì ¸
½ ¼¸ ºµ
A
Π º
¾º ý
Î : A → {Ì }
´ A µº
ý Î ¸ ¹
Î Ì º ý 1 2 Ò
¸ Ì Î
º
´ ¹
µ ¸
º ¸
º
ý Î
º ý ¯Î ¸ ¯Î

54. ¸ ½
¯Î : Π → {Ì } ¹
´ µ
¼º

55. ∈ A ¯Î ( ) = Î ( ) ´ ¯Î Î µº
ý ³ ∈ Π ¯Î (³) ¯Î ( )¸
½º ¯Î ((¬³)) =
Ì ¯Î (³) =
¯Î (³) = Ì
¾º ¯Î ((³ ∧ )) =
Ì ¯Î (³) = Ì ¯Î ( ) = Ì
¿º ¯Î ((³ ∨ )) =
¯Î (³) = ¯Î ( ) =
Ì
º ¯Î ((³ → )) =
¯Î (³) = Ì ¯Î ( ) =
Ì
´
µº ¯Î (¬ ) = ˜¬(¯Î ( ))
¯Î ( ♦ ) = ˜♦(¯Î ( ) ¯Î ( )) ♦ ∈ {∧ ∨ →}º
¾º

56. Î
¯Î º
ý
ô ¯Î1
¯Î2
Î º Ò
( ) = Ò ¯Î1
¯Î2¸
¯Î1( ) = ¯Î2( )º ý
¯Î1
¯Î2 ¸
¯Î1
¯Î2 Î º º º ≡ ( 1 ∧ 2)
¯Î1( ) = ˜∧(¯Î1( 1) ¯Î1( 2)) = ˜∧(¯Î2( 1) ¯Î2( 2)) = ¯Î2( )
ý º º ´ µ ¯Î1( 1) = ¯Î2( 1) ¯Î1( 2) = ¯Î2( 2)¸
( 1) ( 2) ( ) = Òº ℄
ú

57. Ò ∈ N ¯ÎÒ ¹
≤ Ò ( ) ≤ Ò
{Ì }º ¹
¸
º
• ¯Î0 = Î

59. ¸ ¾¼
• ¯ÎÒ+1 ¯ÎÒ
∗ ¸ ( ) = Ò + 1
∗ = ¯ÎÒ+1( ) = ˜¬(¯ÎÒ( )) ≡ ¬ ¸
∗ = ¯ÎÒ+1( ) = ˜♦(¯ÎÒ( 1) ¯ÎÒ( 2)) ≡ 1♦ 2¸ ♦ ∈ {∧ ∨ →}℄º
¸ Ò¸
Î = ¯Î0 ⊆ · · · ⊆ ¯ÎÒ ⊆ ¯ÎÒ+1 ⊆ · · ·
¯Î =
∞
Ò=0
¯ÎÒ
Î º
¾º ý ³
1 2 Ò ´ µ Î1 Î2
³ Î1( ) =
Î2( ) = 1 2 Ò¸ ¯Î1(³) = ¯Î2(³)º
º º ³ ≡ ( 1 → ( 2 → 5))¸ ¯Î (³)
Î ( 1) Î ( 2) Î ( 5) ¸ º º Î ( 50)º
¾º½¼ Î ¹
³ ¯Î (³) = ̺
ý Σ ´
µ º
¾º½½ Σ ´ Σ |= µ
Σ
º
¹
´ µ ´ Σµ
¹
º Σ |= º ý
Σ ∅º
Σº ´

60. µº
∅ |= ¸ º ³ ¹
|= º
Σº ´ ³ µ
Σ |= º ý
Σ |= º

62. ¸ ¾½
Σ ¹
º ý Σ
º Σ |= º º º
Σ = {³ ¬³} |= º ý Σ Σ = { } ¸
{ } |= |= º ý |= |= ¸
|= |= º
º º ¬(³ ∧ ) |= |= ¬³ ∨ ¬ º
¸
¸ º
¾º
1 Ò
º

63. Ò 2Ò
´ µ º
º
2Ò º
= ( ∧ → ) ∧ ( → ) → ( → )
º
º
̺
∧̸ Ì∧ ¸ Ì → º º º ø
º ý
¸
º
º
º
̺
ý º

65. ¸ ¾¾
¬Ì
¬ Ì
∧ Ì
Ì ∧
∧
∧
∨ Ì Ì
Ì ∨ Ì
∨
∨
→ Ì Ì
Ì →
→ ¬
→ Ì
¨
¨¨
r
rr
Ì 1
Ì
d
d
2
d
d
ÌÌ
= Ì = Ì
1 ≡ ( → ) ∧ → º ¸ = 1
Ì = Ì 2 ≡ → º ¸ =
2 Ì = Ì Ìº
º
º
½º ¸ ∧ ∨ ↔º
º º ∧ ( ∧ ) |= |= ( ∧ ) ∧ ∨ |= |= ∨ º
¾º
(³ ∧ ( ∨ )) |= |= ((³ ∧ ) ∨ (³ ∧ ))
(³ ∨ ( ∧ )) |= |= ((³ ∨ ) ∧ (³ ∨ ))
¿º ý

67. ¸ ¾¿
(¬(¬³)) |= |= ³
¬(³ → ) |= |= (³ ∧ ¬ )
¬(³ ↔ ) |= |= ((³ ∧ ¬ ) ∨ (¬³ ∧ ))
¬(³ ∧ ) |= |= (¬³ ∨ ¬ )
¬(³ ∨ ) |= |= (¬³ ∧ ¬ )
ÅÓÖ Ò
|= (³ ∨ ¬³) ý
|= ¬(³ ∧ (¬³))
(³ → ) |= |= ((¬ ) → (¬³)) ý
¾º½¾ ý |= |= ′ |= |= ′¸
½º ¬ |= |= ¬ ′º
¾º ∧ |= |= ′ ∧ ′º
¿º ∨ |= |= ′ ∨ ′º
º → |= |= ′ → ′º
¾º½¿ ý |= |= ′ ¹
³ ´ µ
|= |= ′º
ý º
¾º½ ´ µ ô ³ ¹
∧ ∨
¬º ô ³∗ ³
∧ ∨ ¬ º
³|= |= ¬³∗º
ý º ý ≡ ¸ ¸
∗ ≡ ¬ ≡ |= |= ¬ ∗ ≡ ¬¬ º
ý º º ≡ 1 ∧ 2¸ ∗ ≡ ∗
1 ∨ ∗
2
1 ≡ ¬ ∗
1 2 ≡ ¬ ∗
2º ¾º½¾
≡ 1 ∧ 2 |= |= ¬ ∗
1 ∧ ¬ ∗
2 |= |= ¬( ∗
1 ∨ ∗
2) ≡ ¬ ∗
º
¾º ý
½º
(³ ∧ (( → ) ∧ ( → ))) ((³ ∧ ( ∧ )) ∨ ((¬³) ∧ ((¬ ) ∧ (¬ ))))
¾º (((³ → ) → ³) → ³)
¿º ´ µ Σ ∪ {³} |= ⇐⇒ Σ |= (³ → )
´ µ |= |= ⇐⇒ |= ( → ) ∧ ( → )

69. ¸ ¾
¾º
´ µ ¹
º ý
º
º ý º ô
º
³ ¸ (#³ ) ¹
º ³ º
¯Î ((#³ ))¸ Î ¸
¯Î (³) ¯Î ( ) ¯Î ( )º ¯Î ((#³ ))
¸ ¯Î (³)¸ ¯Î ( )¸ ¯Î ( )¸ º º ¯Î (³) = ¯Î ( ) = Ì
¯Î ( ) = ¸ ¯Î ((#³ )) = ̺
¸
¹
º
(#³ ) ((³∧ )∨(³∧ )∨( ∧ ))º
¾º½ B : {Ì }Ò → {Ì } ¹
ÓÓÐ Ò ´ ¸ µ Ò ¾º
{Ì }Ò = {Ì } × × {Ì }
Ò
º Ì
ÓÓÐ 0 º ³
T Fº
ÓÓÐ º ø ¹
´ ¹
Ò¹ µ ´ º º µº
ÓÓÐ º
º º ( 1 ∧ 2)∨ 1º ÓÓÐ º
1 2 ( 1 ∧ 2) ∨ 1
Ì Ì Ì
Ì Ì
Ì
¾º½ ô
1 º ÓÓÐ Ò
B º B (Ü1 ÜÒ) = ¯Î ( )¸ Ü ∈ {Ì } Î
Î ( ) = Ü ( = 1 2 )º B
ÓÓÐ º
¾
Ò¹ Ò¹ º

71. ¸ ¾
B ¹
1 ¹
¸ º º ≡ ( 2 → 5) 1 = 2 2 = 5¸
B (Ì ) = ¸ 1 = 5 2 = 2 B (Ì ) = ̺
B ¹
¸ 1
ý 1 1 2 · · · º
¾º½ ô G ÓÓÐ Ò (Ò ≥ 1)º
G = B ¸ G º
ý ½ G { }¸
º
≡ ( 1 ∧ ¬ 1) ∧ ∧ ( Ò ∧ ¬ Ò)
¾ ½ ¸
G ̸ 0 ≤ 2Òº
º
Ü11 Ü12 Ü1Ò (1)
Ü21 Ü22 Ü2Ò (2)
ººº
ººº
Ü 1 Ü 2 Ü Ò ( )



ô 1 Ò º
¬ =
Ü = Ì
(¬ ) Ü =
­ = ¬ 1 ∧ ∧ ¬ Ò = ­1 ∨ ∨ ­ º
G = B º ­ ø
¬ 1 ¬ Ò º ¬
Ì
º ô
¬ ¸ ­ ¸ º ø
º
ô G
G´Ì¸Ì¸Ìµ Ì
G´Ì¸Ì¸ µ
G´Ì¸ ¸Ìµ
G´Ì¸ ¸ µ Ì
G´ ¸Ì¸Ìµ
G´ ¸Ì¸ µ Ì
G´ ¸ ¸Ìµ Ì
G´ ¸ ¸ µ

73. ¸ ¾
Ì
Ì (¬ 1) ∧ (¬ 2) ∧ 3
Ì (¬ 1) ∧ 2 ∧ (¬ 3)
Ì 1 ∧ (¬ 2) ∧ (¬ 3)
Ì Ì Ì 1 ∧ 2 ∧ 3



­
= ((¬ 1) ∧ (¬ 2) ∧ 3) ∨ ((¬ 1) ∧ 2 ∧ (¬ 3)) ∨ ( 1 ∧ (¬ 2) ∧
(¬ 3)) ∨ ( 1 ∧ 2 ∧ 3)
´
³ ¸ µ
º

74. ¸ ¹
´ µ¸ ¹
ÓÓÐ ¸ B º
ý ³ B
B = B º ³
º ´

75. µ
¾º½ ­1 ∨ ∨
­ ­ = ¬ 1
∧ ∧ ¬ Ò ¬
º
ý ¾º½ ¸
º
¾º½

76. ¹
º
ý ô º ¹
B º B = B º ý
º
¾º¾¼ ­1∧ ∧­
­ = ¬ 1
∨ ∨ ¬ Ò ¬
º
¾º¾½

77. ¹
º
ý ¾º½
º
¹
º
º

79. ¸ ¾
¸ º ¹
º
º
¾º¾¾
´ µ ¹
º
¹
´ µ
º
¸
¸
º
º ¹
¹
º
½º → |= |= ¬ ∨ º
¾º ↔ |= |= (¬ ∨ ) ∧ ( ∨ ¬ )º
¿º ¬( ↔ ) |= |= (¬ ∧ ) ∨ ( ∧ ¬ )º
º ¬¬ |= |= º
º ¬( 1 ∨ · · · ∨ Ò |= |= ¬ 1 ∧ · · · ∧ ¬ Òº
º ¬( 1 ∧ · · · ∧ Ò) |= |= ¬ 1 ∨ · · · ∨ ¬ Òº
º ∧ ( 1 ∨ · · · ∨ Ò) |= |= ( ∧ 1) ∨ · · · ∨ ( ∧ Ò)º
( 1 ∨ · · · ∨ Ò) ∧ |= |= ( 1 ∧ ) ∨ · · · ∨ ( Ò ∧ )º
º ∨ ( 1 ∧ · · · ∧ Ò) |= |= ( ∨ 1) ∧ · · · ∧ ( ∨ Ò)º
( 1 ∧ · · · ∧ Ò) ∨ |= |= ( 1 ∨ ) ∧ · · · ∧ ( Ò ∨ )º
º
• ∨ |= |= º
• ∧ |= |= º
• ∨ ( ∧ ) |= |= º
• ∧ ( ∨ ) |= |= º
• ∨ ( ∧ ¬ ∧ ) |= |= º
• ∧ ( ∨ ¬ ∨ ) |= |= º

81. ¸ ¾
¾º
¾º¾¿ ô S ¸ º º S = {∧ ∨ ¬}º ÌÓ
S ÓÓÐ
¹
Sº
ÓÓÐ
∧ ∨ ¬ ´
µº {¬ ∧ ∨} ¸ ¸
{¬ ∧ ∨ →} º
¾º¾ {¬ ∧} {¬ ∨} º
ý ý {¬ ∧ ∨} ¸
{¬ ∧} ∨
º ô
(³ ∨ ) |= |= ¬(¬³ ∧ ¬ )
³ ∨
º

82. {¬ ∨}
(³ ∧ ) |= |= ¬(¬³ ∨ ¬ )º
{∧ →} ´ ¹
µº

83. Ò¸ 22Ò
ÓÓÐ
Ò º
0 Ò = 0º
ô ¸ T Fº
¹
º Î
Î (T ) = Ì Î (F) = º
º º → F (¬ )º
1 4º ¸ ¸ º
2 222
= 16º ∧ ∨ →

85. ¸ ¾
T Ì
F
¬
¬
↔ ( → ) ∧ ( → )
← →
+ ( ∨ ) ∧ ¬( ∧ ) ´ÜÓÖµ
↓ ¬( ∨ ) ´ÒÓÖµ
| ¬( ∧ ) ´Ò Ò µ
(¬ ) ∧ Ì ´ µ
∧ (¬ ) Ì
¾º¾ {|} {↓} º
ý | ↓
| ↓
Ì Ì
Ì Ì
Ì Ì
Ì Ì
ô
¬ |= |= ( | )
∨ |= |= ((¬ )|(¬ ))
¬ |= |= ( ↓ )
| |= |= ¬((¬ ) ↓ (¬ ))
{|} |
¬ ∨¸ º
¬ ↓ | ¬ ↓
↓ ¸
{¬ |}º

87. ¸ ¿¼
¾º ý
½º ý | ↓
º
¾º ↔
º
¿º ½ º ý ³ ½¼
º ´ ¹
¸ ¬ ¸ ¬ µ ¼ ´ µº ý ½¼ | ↓
´ µ º ý
¾ º
³
´ ý {∧ ∨ → ← ↔} {∧ ∨ +}
º ½ {→ F}¸ {← F}
{→ }¸ {→ }¸ {→ +}¸ {← }¸
{← }¸ {← +} º { T }¸ { T } ¹
{ ↔}¸ { ↔} º ´ ³ →
|= |= T (³ ) {→ } º T |= |= ( ↔ )ºµ
{+ ↔}º ý
ÌÓ {¬ + ↔} ºµ
º þ ¹
´ µ ´ µº
º
º ¹
¸
º
´ ³
º
³
ºµ
º ý ³ ↔ ( ↔ ) (³ ∧ ( ∧ )) ∨ (¬³ ∧
(¬ ∧ ¬ )) º
º ý
´ µ Σ |= ³ Σ |= ¸ Σ |= ³ ∨ º
´ µ Σ |= ³ ∨ ¸ Σ |= ³ Σ |= º

89. ¸ ¿½
º ý ý
³ → ( |= ³ → )¸
´½µ ³ ( |= ¬³)¸
´¾µ ( |= )¸
´¿µ ­
• ­ ³
¸
• ³ → ­ ­ → ( |= ³ → ­ |= ­ → )º
º ý
­ ³ º ô ³ ≡ ((Õ →
Ô)∨Ö)∧((Ö → Ô)∨¬Õ) ≡ (¬Ô∧¬Õ)∨(Ô∧¬Õ)∨(Ô∧Õ)∨׺
­º
º ô 1
³ ≡ ³( 1 )
1 º
ý
(³( 1 ) ∧ ³( 1 )) → ( ↔ )
¸ ­ ≡ ­( 1 )¸
1 ¸
³( 1 ) → ( ↔ ­)
º
´ ºµ

91. ¸ ¿¾
¾º½¼
º ¹
ó º
¸
ß ¹
߸ º
¾º¾ ô Σ º Σ ¹
Î
∈ Σ Î ( ) = ̺ Σ
´ º ºµ Σ º
¾º¾ ´ µ ô ¹
º
ý ³
Σ ¹
º º
¾º¾ ô Σ ¹
∈ Σ (¬ ) ∈ Σº
Î Σ =
{ | Î ( ) = Ì} º
ý ¹
º

92. º
¾º¾ Σ
½º ∈ Σ ⇔ (¬ ) ∈ Σ
¾º ( ∧ ) ∈ Σ ⇔ ∈ Σ ∈ Σ
¿º ( ∨ ) ∈ Σ ⇔ ∈ Σ ∈ Σ
º ( → ) ∈ Σ ⇔ ∈ Σ ∈ Σ
ý

93. ½º ý ∈ Σ
(¬ ) ∈ Σ Σ
{ ¬ } º ý ¸ ¬ ∈ Σ¸ Σ
∈ Σº

94. ¾º ô ( ∧ ) ∈ Σº
º º ¬ ∈ Σ {( ∧ ) ¬ }

96. ¸ ¿¿
º ∈ Σ Σ º
º ý ¸ ∈ Σ ∈ Σ
¬( ∧ ) ∈ Σ Σ º
Σ ( ∧ ) ∈ Σº
º
¾º¿¼ Σ ¹
º
ý Î
ý ¸
Î ( ) =
Ì ∈ Σ
¬ ∈ Σ
Σ ¹
Î ( )¸
º Î º
∈ Σ ⇔ Î ( ) = Ì

97. º

98. = 1 ∧ 2º ô
1 ∧ 2 ∈ Σ ⇔ ´ º µ 1 ∈ Σ 2 ∈ Σ
⇔ ( º ) Î ( 1) = Ì Î ( 2) = Ì
⇔ Î ( 1 ∧ 2) = Ì
º
¸ ¸ Σ ¸
Σ
′
⊇ Σ Σ
′
º º
¾º¿½ ´Ä Ò Ò Ùѵ Σ
Σ
′
⊇ Σº
ý ¹
¸ ¿º ô
¿
ý Σ ¸
Σ º ý
½ß½ º

100. ¸ ¿
1 2 Ò º
Σ0 ⊆ Σ1 ⊆ Σ2 ⊆ · · · ⊆ ΣÒ ⊆ · · ·
Σ0 = Σ
ΣÒ+1 =
ΣÒ ∪ { Ò} ΣÒ ∪ { Ò} º º
ΣÒ ∪ {¬ Ò}
ΣÒ º
´ µ Òº

101. Ò = 0
º Ò¸ ΣÒ ¹
º

102. ΣÒ+1
¸ ΣÒ ∪ { }
¸ ΣÒ ∪ {¬ } ¹
º ô { 1 ¬ }
ΣÒ ¬ º ΣÒ
{
′
1
′
Ð } º ΣÒ ¹
¸ Î ¸
{ 1
′
1
′
Ð}º ý Î ¸
Î (¬ ) = ̸ Î { 1 ¬ }º
Σ
′
=
∞
Ò=0
ΣÒ
Σ
′
Ò
Σ
′
Ò
¬ Òº Σ
′
{ 1 }
Ò ∈ N { 1 } ⊆
ΣÒ¸ { 1 } ⊆ ∪∞
Ò=ÓΣÒ¸ ¸ ΣÒ
¸ { 1 } º
¾º¿¾ ý Σ |= ¸ Σ0 ⊆ Σ¸ Σ0 |=
º
ý Σ |= Σ ¬
º
ô Σ |= º Σ ¬ ¸
º ¹
Σ0 ¬ ´Σ0 ⊆ Σ
Σ0 µº Σ0 |= º
¾º½ ¾º¿¾ ý ¹
Σ¸
Σ
º ¸ ó
º

104. ¸ ¿
¾º¿¿ ý ¾º¿¾¸
º
ý ô Σ º ý Σ
º ô Σ ¹
º Σ |= ∧¬ ¸
º ý ¾º¿¾ Σ0 ⊆ Σ
Σ0 |= ∧ ¬ º ý Σ Î
Σ0º ý ∧ ¬ ¸
º

106. ¸ ¿
¾º½½ ý
½º ô Σ1 Σ2 ´ µ
Σ1 ∪ Σ2 º ý
Σ1 |= Σ2 |= ¬ º
¾º ô Σ Î
∈ Σ Î ( ) = ̺ ý
{ 1 Ò} ⊆ Σ 1 ∨ 2 ∨ · · · ∨ Ò
º
¿º ≺
³ ≺ |= ³ → |= → ³º
µ ³ ¸ ³ ≺ ¸
³ ≺ ≺ º
µ þ ³1 ³2 ³1 ≺ ³2 ≺ ³3
º
´ µ
º º º 1 2
( 1 ∧ 2) º ¸ Ò ∈ N
³¸ ³ Ò ¸
2Ò + 1 ³º
º ý | ↓
º
þ ¾
¿¸ ½¸ ¾¸ º
´ µ

108. ¸ ¿
¿ ý
ý À Ð ÖØ º
¹
¸ ¸
´ µ
´ µ ¹
º

109. ¬
→º {¬ →}
¬ →º

110. ¸ ¸
¹
¹
¸ ¸ º
¿º½
º

111. ¹
´ µ
½ → ( → )
¾ ( → ( → )) → (( → ) → ( → ))
¿ (¬ → ¬ ) → ((¬ → ) → )
ÅÓ Ù× ÈÓÒ Ò× ÅȺ
→ ´ µ
º
→
ÅÈ
¿º½ ´ µ
º ý ¸ ¹
½ß ¿
º Ì¸Σ¸ º
¿º½ ¹
º
¹
º

113. ¸ ¿
¸ ¸
º ý
¸
¸
¸ ¹
→ ´ µ
→
¸
¹
º ý
¸ º
º
¿º¾ ý Ì ¹
1 2 Ò ¹

114. 1 ≤ ≤ Ò ¸
½º 1¸ 2 3¸
¾º ̸ ̸
¿º 1 2 Ò
≡ → ´
ÅÈ ¸
µº
¿º¾
º ¸ ¸
¸
¸
´ µ
´ ¹
µº ¹
º
º
ý ¸ ¸ ¹
¸ ÔÖ ¹
ÓÖ º ¹
º º º

115. ¸ ¹
¹
´ ¿º µº

117. ¸ ¿
¿º¿ Ì
1 2 Ò Ì Ò ≡ º
ý ̸ Ì ⊢ º ý Ì = ∅¸ ¹
¸ ⊢ º
¹
º
¹
º ⊢ Ì ⊢
̺
³ À Ð Öغ
º
¿º
⊢ → º
ý 1 Ò¸
¸ Ò → º
¸
º
¹
º
¸
º
½º ( → (( → ) → )) → (( → ( → )) → ( → )
¾º → (( → ) → )
¿º ( → ( → )) → ( → )
º → ( → )
º →
½º ý ý¾
¾º ý ý½
¿º ý ½¸ ¾ ÅÈ
º ý ý½
º ý ¿¸ ÅÈ
¿º¿ ý
º º ¹
³ ¸

119. ¸ ¼
º º º ø ¸ º ¹
¹
º
º º º ³
º ¹
¸ º ý
´ µ ¹
º º ¸ ¸
¸
º
´ µ
º
¿º ´ ¸ À Ö Ö Ò µ ý Ì ∪{ } ⊢
´ Ì ⊢ µ¸ Ì ⊢ → º
ý Ò ¹
1 Ò ´ ≡ Òµº

120. ½º ¸
¾º ∈ ̸
¿º ≡ ¸
Ì ⊢ º
Ì ⊢ → ( → ) ´ → ( → ) µ
Ì ⊢ → ÅÓ Ù× ÈÓÒ Ò׺
Ì ⊢ → ⊢ → ¸
º
ô ÅȺ ¹
→ º ¹
Ò
¸ Ì ⊢ → Ì ⊢ → ( → )º
¾ Ì ⊢ ( → ( → )) → (( → ) → ( → ))º
ÅȺ
¿º¾
¿º ´ µ ý Ì ⊢ ¸ Ì |= º
Ì = ∅¸ ⊢ |= ¸
º

122. ¸ ½
ý ´
µ
ÅÓ Ù× ÈÓÒ Ò× º
º
¸ ¸
¿º ´ µ ý |= ¸
¸ ⊢ º
¿º
À Ð ÖØ ´
⊢ µº
´ µ ¬¬ →
´ µ → ¬¬
´
µ ¬ → ( → )
´ µ (¬ → ¬ ) → ( → )
´ µ ( → ) → (¬ → ¬ )
´ µ → (¬ → ¬( → ))
´ µ ( → ) → ((¬ → ) → )
ý
¿º µ → → ⊢ →
µ → ( → ) ⊢ →
ý ¿º ¸ µº
½º → ´ µ
¾º →
¿º
º ½¸¿¸ ÅÈ
º ¾¸ ÅÈ
→ → ⊢ º ¸ ¸ → →
⊢ → º
ý µº ¸ º

124. ¸ ¾
ý ¿º º
´ µ
½º (¬ → ¬¬ ) → ((¬ → ¬ ) → ) ý ý¿
¾º ¬ → ¬
¿º (¬ → ¬¬ ) → ½¸¾¸ º ¿º ¸
º ¬¬ → (¬ → ¬¬ ) ý ý½
º ¬¬ → ¿¸ º ¿º ¸
´ µ
½º (¬¬¬ → ¬ ) → ((¬¬¬ → ) → ¬¬ ) ý º ý¿
¾º ¬¬¬ → ¬ ´ µ
¿º (¬¬¬ → ) → ¬¬ ½¸¾¸ÅÈ
º → (¬¬¬ → ) ý º ý½
º → ¬¬ ¿¸ ¸ º ¿º ¸
´
µ
½º ¬
¾º
¿º → (¬ → ) ý ý½
º ¬ → (¬ → ¬ ) ý ý½
º ¬ → ¾¸¿¸ÅÈ
º ¬ → ¬ ½¸ ¸ÅÈ
º (¬ → ¬ ) → ((¬ → ) → ) ý ý¿
º (¬ → ) → ¸ ¸ÅÈ
º ¸ ¸ÅÈ
¸ ½¹ ¸ ¬ ⊢ º ¸ ¸
¬ ⊢ → ¸ ¸ ¸ ⊢ ¬ → ( → )º
´ µ
½º ¬ → ¬
¾º
¿º (¬ → ¬ ) → ((¬ → ) → ) ý ý¿
º → (¬ → ) ý ý½
º (¬ → ) → ½¸¿¸ÅÈ
º → ¸ ¸ º ¿º ¸
º ¾¸ ¸ÅÈ
ý ½¹ ¸ ¬ → ¬ ⊢ ¸ ¹
º
´ µ
½º →
¾º ¬¬ → ý ´ µ
¿º ¬¬ → ½¸¾¸ º ¿º ¸
º → ¬¬ ý ´ µ
º ¬¬ → ¬¬ ¿¸ ¸ º ¿º ¸
º (¬¬ → ¬¬ ) → (¬ → ¬ ) ý ´ µ
º (¬ → ¬ ) ¸ ¸ÅÈ

126. ¸ ¿
¸ ½¹ ¸ → ⊢ ¬ → ¬ ¸ ¸
º
´ µ
¸ → ⊢ ÅȺ ¸ ⊢ → (( → ) → )
º ý ´ µ ⊢ (( → ) → ) →
(¬ → ¬( → ))º ¿º ¸
º
´ µ
½º →
¾º ¬ →
¿º ( → ) → (¬ → ¬ ) ý ´ µ
º ¬ → ¬ ½¸¿¸ÅÈ
º (¬ → ) → (¬ → ¬¬ ) ý ´ µ
º ¬ → ¬¬ ¾¸ ¸ÅÈ
º (¬ → ¬¬ ) → ((¬ → ¬ ) → ) ý ý¿
º (¬ → ¬ ) → ¸ ¸ÅÈ
º ¸ ¸ÅÈ
¸ → ¬ → ⊢ º
º
¿º½¼ ô
1 º ô Î
´ µº
′
Î ( ) = Ì ′ ¬ Î ( ) = º
′
Î ( ) = Ì
′
¬ Î ( ) = º
′
1
′ ⊢
′
º
º ô ≡ ¬(¬ 1 → 2)º
º ô
1 2 ¬(¬ 1 → 2)
Ì Ì
Ì
Ì
Ì
ý
1 ¬ 2 ⊢ ¬¬(¬ 1 → 2) ¬ 1 ¬ 2 ⊢
¬(¬ 1 → 2)º
ý º ý 1
1 ⊢ 1 ¬ 1 ⊢ ¬ 1º
½º ¬ º º

128. ¸
½ º ô Ì Î º
º ¸
′ ′
¬ º ý ¸
′
1
′ ⊢ º ¿º ´ µ ÅÈ ¸ ′
1
′ ⊢ ¬¬ º ý
¬¬
′
º
½ º ô º
′
¬
′
º ý ′
1
′ ⊢ ¬ º ý ¬
′
º
¾º → ¸
′
1
′ ⊢
′ ′
1
′ ⊢
′
º
¾ º º ̺
′
¬
′
º ¸ ′
1
′ ⊢ ¬ º ý ¿º ´
µ¸
′
1
′ ⊢ → º ý →
′
º
¾ º ̺ ̺
′ ′
º ′
1
′ ⊢ º ý½
′
1
′ ⊢ → º ý →
′
º
¾
º Ì ¸ º
¸
′
¸
′
¬
′
¬ º ′
1
′ ⊢
′
1
′ ⊢ ¬ º ¿º ´ µ¸ ′
1
′ ⊢ ¬( → )º ý
¬( → )
′
º
ý ¸
¬ →º
ý º
¿º½¼º ô 1 ¹
º

129. ´ 1 µ¸ ¿º½¼ ′
1
′ ⊢ º
´
′
̺µ ¸
̸ ′
1
′
−1 ⊢ ¸ ¸ ′
1
′
−1 ¬ ⊢ º
¸ ¸ ′
1
′
−1 ⊢ → ′
1
′
−1 ⊢
¬ → º ¿º ¸ ´ µ ′
1
′
−1 ⊢ ′
1
′
º −1
Ì ¿º ¸
´ µ ′
−1 ′ º
⊢ º
¿º½½ ý Ì ´Ì µ Ì |=
Ì ⊢ º
ý º ý ¹
Ì0 |= ¸ ¹
Ì Ì0 = { 1 Ò}º 1 Ò |= º
ý |= 1 → (· · · → ( Ò → ) · · ·)º ý
⊢ 1 → (· · · → ( Ò → ) · · ·)º
∈ ̸ Ò Åȸ
Ì ⊢ º

131. ¸
¿º¿ ý
½º ô ¸
Q¸
ø
½º → ( → )
¾º (¬ → ) → ((¬ → ¬ ) → )
ÅÓ Ù× ÈÓÒ Ò×
Q
̺
ý ³ Ì ¸
Ì ⊢ Ì ⊢ ¬ ¸
Ì ⊢ º ´ ⊢ Q µ
¾º ô º ¹
¹
¸
¸ ¸
º ô Ì ¹
º ý Ì ¸
Ì ⊢ Ì ⊢ ¬ º
¿º ¸ ¹
º ý
ý½¸ ý¾ ý¿ º ý½
º
¬
¼ ½
½ ½
¾ ¼
→
¼ ¼ ¼
½ ¼ ¾
¾ ¼ ¼
¼ ½ ¾
½ ½ ¾
¾ ½ ¼
¼ ¾ ¾
½ ¾ ¼
¾ ¾ ¼
ý ¸
¸ ¾º ¸
¼¸ ½ ¾ ´ µ¸ ¼¸

133. ¸
½ ¾º ý
¼ º ý
ý¾ ý¿ ÅÓ Ù× ÈÓÒ Ò×
º ý 1 → ( 2 → 1) º
ý¾ ý¿º
þ ¿
½¸ ¾¸ ¿¸ ½¸ ¸ º
´ µ

135. ¸
´ µ
¸ º
½º

136. º
º
¸

137. º
¾º ø º
º
¸ º
¿º ø º
¸ º
¸ ¹
º
¸ ¸ º
ý
º ý È(Ü) ¸
Ü È¸ ∀ÜÈ(Ü) Ü È
º ∃ÜÈ(Ü) ´ µ Ü
Ⱥ ∀ÜÈ(Ü) ∀Ü
∃ÜÈ(Ü) ∃Ü º
ý ­ Φ(Ü Ý) (Ü) Θ(Ü) (Ü) (Ü) ¸ ¸

138. ¸ ¸ ¸ ¸ Ü Ý¸ Ü ¸ Ü
¸ Ü ¸ ܸ ½¸ ¾¸ ¿
∀Ü(Φ(Ü ­) → Φ(Ü )
¬Φ( )
¬Φ( ­)
´½µ
∀Ü( (Ü) → Θ(Ü))
( )
Θ( )
´¾µ
∀Ü( (Ü) → (Ü))
∀Ü(∃Ý(Ü = (Ý) ∧ (Ý)) → ∃Ý(Ü = (Ý) ∧ (Ý)))
´¿µ

140. ¸
­ Φ Θ º þ ¹
´ ¹
µ ¸ º º Φ Θ
º º º ¹
¸ º
¹
º º º
¸ ¹
¸ º ´
µº
¸ ¸ ¹
º ø
¸ ¸ ¹
¸
º º º ¸ º º º ¸
´ º º ∀Ü(Ü ≥ 0)µ
º

141. ¹
º ý
¸ ³
º
º½

142. ´Áµ ý
´ µ ô
Ü1 Ü2 Ü3 ÜÒ º
´ µ ¬ ∧ ∨ → ↔º
´ µ ¸ ( )º
´ Úµ ∀ ∃º
´ÁÁµ ý
´ µ ô
1¸
2¸
3¸ ¸
Ò¸
º
º
º ¾º
º
¸
1
2
Ò
1
¸
¸ º

144. ¸
´ µ

145. Ò 0¸
¸ Ò¹ º ¹
ÉÒ
1 ÉÒ
2 ÉÒ
ÉÒ
1 ÉÒ
2 ÉÒ¸ ¸ ´
µ º
´ µ º º É1(Ü) ¹
Ü º
Ò¹ Ò¹ ¸ º º É2(Ü Ý)
Ü Ý º
´ µ

146. Ò 0¸ ¹
¸ Ò º ý ¹
Ò
º Ò = × × · · · ×
Ò ³Ó ´²
º
Ò
1
Ò
2
Ò ¸ Ò
1
Ò
¸ º
º
­ º
Φ º
Θ º
¹
¸
Ü ¸ (Ü) ܺ
L
L1 L2 L ºº º
º
º½
¬ ∨ ∧ → ↔ ¹
∀ ∃º
º
{¬ →}¸
¸ ∧ ∨ ↔
ý ¸
º
´ º½¾µ =º

148. ¸ ¼
¬ →º

149. ∀¸ ¸ ¸ ∃Ü
¬∀ܬº ¸ ¹
¸ º
º¾

150. º ý
º L L = {=
+ · 0 1}º L ´ ¹
µº =¸
º + ·
¹
¸ 0 1
º
= º

151. L ¸ ¹
º ý ¸
¸
¸ º º
≈º ¹
º
º¿ L = {= ◦ } ¹
¸ = ¸ ◦
× → ¸
´ µ
º
ô ¸ ¹
º
º ô L ´
µº ô L
º
º ¹
º
º
´ µ º
´ µ ý
Ò Ò Ø1 ØÒ
Ò(Ø1 ØÒ) º

153. ¸ ½
º º L 0¸ 1¸ +(0 1)¸ +(+(0 1) 1)¸ +(0 Ü2) º
º ¹
º º º +(0 1) +(0 Ü2) º
º ý Ê(Ø1 ØÒ)¸
Ê Ò¹ Ø1 ØÒ º
Ø1 ØÒ Êº
º ´ Lµº
´ µ º
´ µ ý 1¸ 2 ¸ ( 1∧ 2)¸ ( 1∨ 2)¸ ( 1 → 2)¸
( 1 ↔ 2)¸ (¬ 1) º
´ µ ý Ü ¸ ∃Ü
∀Ü º
¹
½¸ ¾¸ ¿º
ø¸
º ½¼ º
´ µ ¸ º
¸ º º L ∀Ü(Ü = Ü)
∀Ü = (Ü Ü)º ´ º
º µ ÔÖ ¬Ü ¸
º +(Ü1 Ü2) ÔÖ ¬Ü º
Ò¬Ü ¸ ³
Ü1 + Ü2º Ò¬Ü
º
L ∀Ü∀Ý∀Þ(Ü = Ý∧Ý = Þ → Ü = Þ)¸
∀Ü∃Ý(Ü ≤ Ý ∧ ¬(Ü = Ý)) º º º
ý L º
∀Ü1(Ü1 Ü2)
∃Ü1∀Ü2(Ü1 Ü2)

155. ¸ ¾
º ¹
¹
º
¸ º
Ü2º Ü2
∀Ü1(Ü1 Ü2)º õ Ü2
º
³ º º º
(∀Ü(Ü
↑
1
Ý)) ∧ (Ü
↑
2
= Ý)
Ü 1 2º
∀Ü ∃Ü ¹
∀Ü ∃ܺ ø Ü
∀Ü ∃ܸ
ó
º
º º 1 Ü
2 Ü º
º½ ¹
½º ∀Ü3(∀Ü1Ê2
1(Ü1 Ü2) → Ê2
1(Ü3
1))
¾º ∀Ü2Ê2
1(Ü3 Ü2) → ∀Ü3Ê2
1(Ü3 Ü2)
¿º ∀Ü2∃Ü1Ê3
1(Ü1 Ü2
2
1 (Ü1 Ü2)) ∨ (¬∀Ü1Ê2
1(Ü2
1
1 (Ü1)))
Ü ¹
Ü º
´ Å( )µ
º º
½º ý ¸ Å( )
º
¾º ý = ¬ ¸ Å( ) = Å( )º
¿º ý 1 → 2 1 ∧ 2 1 ∨ 2 1 ↔ 2 ( ) =
Å( 1) ∪ ( 2)º
Ü ∀ ∃¸ ∀Ü
∃ܸ º