SlideShare una empresa de Scribd logo

Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7

•
•
R
rostik Rostislav

Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad y estadística matemática, incluyendo definiciones de eventos, espacios muestrales, conjuntos producto, permutaciones y combinaciones. Explica fórmulas para calcular el número de elementos en conjuntos producto, permutaciones y combinaciones. También introduce la notación para particiones y distribuciones multinomiales.

Tecnología
1 de 560
Descargar para leer sin conexión
о с н о в н і п о н я т т я , приклади, з а д а ч і В.М. ТУРЧИН Дніпропетровськ. ІМА-прес. 2014 Підручник для студентів вищих навчальних закладів Затверджено Міністерством освіти і науки, молоді і спорту України Видання друге, перероблене і доповнене ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
½ º¾ ´¼ º µ ýý ¾¾º½ ¿ üºþº ¸ ¹ º¹ º ¸ º¸ º ü ¹ ´Á ü µ¸ º º ¸ ¹ º¹ º ¸ º¸ º¹ º ü ´ ¹ µº ¸ ¹ ( í ½»½½¹ ¾ ¼ ¼ º¼ º¾¼½½) þº º ¹ º ¸ ¸ º ÁÅ ¹ ¸ ¾¼½ º ¹ º ÁË Æ ¹ ¹¿¿½¹ ¿ ¹ õ ¹ ´ þ µº þ ¹ º ¹ ´ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ µº º ½ º¾ ´¼ º µ ýý ¾¾º½ ¿ þ
ÁË Æ ¹ ¹¿¿½¹ ¿ ¹ þº º ¸ ¾¼½ º º ¸ ¸ ¾¼½
Пам’яті Михайла Йосиповича Ядренка
◦¸ ¹ ∗¸ º þ ³ º º ´ µ ¸ ¸ ½ ℄º ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ´¿º½º¾µ õ ¾ ½ ¿¸ º½¾ ½¾ º ¹ ¸ ¹ º ¹ ü º ü é ¹ º ü ¸ ¹ ¹ º ¸ ¹ þº º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹
¸
¸ ¾¸ ¹ ¸ ¼½¼¸ ¸ ÚÒØÙÖ ÝÒ Ñ Ðº ÓÑ ü
½ ½º½ õ º A, B, C, . . . , º ¹ A n(A)º A¸ ¹ A B õ ¸ n(A) = n(B) ´ B ¸ Aµº º A B ¹ º a ∈ A b ∈ B ¹ (a, b)º ¹ (a, b), a ∈ A, b ∈ B ( ) A B A × Bº ½º½º½ º A × B B × A¸ A = {1, 2} B = {3, 4, 5}º ³ º A×B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}¸ B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}º
½º k A1, A2, . . . , Akº ¹ (a1, a2, . . . , ak)¸ a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , ak ∈ Ak¸ ´ µ A1, A2, . . . , Ak A1 × A2 × · · · × Ak. ½º½º¾ º A1 = R1, A2 = R1, A3 = = R1¸ A1 × A2 = R1 × R1 = R2 õ ¸ A1 × A2 × A3 = R1 × R1 × R1 = R3 ¹ º ´ ¹ µº n(A × B) ¹ A×B A B õ n(A)n(B) n(A) A n(B) B n(A × B) = n(A)n(B). ¸ a ∈ A õ n(B) ¹ (a, b)¸ b ∈ B¸ A×Bº Á A n(A) ¸ n(A×B) ¹ A×B õ n(B)+n(B)+ . . . + n(B) = n(B)n(A) ´ n(A) Aµº k ¹ n(A1 × A2 × · · · × Ak) A1 ×A2 ×· · ·×Ak A1, A2, . . . . . . , Ak õ n(A1)n(A2) . . . n(Ak) ¹ n(A1), n(A2), . . . , n(Ak) n(A1 × A2 × · · · × Ak) = n(A1)n(A2) . . . n(Ak). ½º½º¿º A = {1, 2, 3}¸ B = {4, 5, 6, 7}º n(A × B)º ³ º n(A × B) = n(A)n(B) = 3 · 4 = 12º º ¹ º k º n1 ¸
½º½º n2 k¹ ¸ ¹ nk ¸ k n1n2 . . . nk º ¸ A1 ¹ ¸ A2 ¸ . . . , Ak k¹ º ¹ (a1, a2, . . . , ak) A1×A2×· · ·×Ak õ k º k õ ¹ A1 × A2 × · · · × Akº ¸ n(A1 ×A2 ×· · ·×Ak) = n(A1)n(A2) . . . n(Ak) = n1n2 . . . nk. ½º½º º ¹ 0, 1, 2, 3, 4, 5¸ õ ³ º ¸ õ õ ´ µ ¸ ¸ ¸ º ¹ ³ ´ µ¸ ³ ´ ¹ ¸ ¸ ¸ µ¸ ¸ º 5·5·4·3 = 300 º ¸ ¼ ¿¼¼ ¸ º º ¸ õ n ¸ n¹ º º n¹ Ω ¸ ´ µ ½ n¸ ¸ ´ ¸ õ Ω 1, 2, . . . , n µº õ ¸ ¹ ¸ º a, b, c, . . . , f¸ ¸
½º ¸ ¹ ¹ ¸ º º º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º º n¹ n¹ º ½º½º º þ ¹ Ω = {a, b, c}º ³ º (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)º º Pn n¹ ( n¹ ) õ n!¸ Pn = n! ½º½º º ¹ 1, 2, . . . , 2n ¸ ³ º 1, 2, . . . . . . , 2n¸ 2n 2n ¸ ¸ ¹ ´ ¸ µº þ õ º n n ´ n¹ µ n! ¸ n ¹ n n! º ´ ¹ ¸ µ (n!)2 º º n k ¹ k¹ n¹ ¹ º n k õ ¸ ¸ ¹ º
½º½º ½º½º º Ω = {a, b, c}º þ 3 2º ³ º (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)º º Ak n k¹ n¹ ( ¹ n k) õ n(n − 1) . . . (n − (k − 1)), Ak n = n(n − 1) . . . (n − (k − 1)). ½º½º º 0 9 ¸ ³ º ¹ õ ¿¹ 0, 1, . . . , 9º ü A3 10 ¿¹ ¹ ¸ ½¼¹ ¸ õ 10 · 9 · 8¸ A3 10 = 10 · 9 · 8 = 720. ´ µº ( õ ) n k k¹ n¹ º n k õ ¸ ¹ ´ µº ¹ õ ¸ ¹ ¸ º ½º½º º Ω = {a, b, c}º þ 3 1 3 2º ³ º {a}, {b}, {c} ¿ ¹ ½¸ {a, b}, {a, c}, {b, c} ¿ ¾º ¸ {a, b} {b, a} {b, c} {c, b} {a, c} {c, a} º º Ck n k¹ ¹ n¹ ( n ¹ k) õ n!/(k!(n − k)!)¸ Ck n = n! k!(n − k)! .
½¼
½º ½º½º½¼ ´ µº ¹ ¸ ¹ õ m × n ¸ n − 1 m − 1 ¹ ( º 1.1.1)º ¹ ¸ ( (0, 0)) ( (m, n)) (0, )n ( , )m 0 0 (m,n) º ½º½º½ ³ º
¸ þ º ¹ (0, 0) (m, n) õ n ¹ m º þ õ ¹ n + m¸ m
n þ º õ n+m¸ m
n þº ¹ õ m n + m
´ ¸ ¸ ¹ þµ¸ õ õ Cm n+mº º n¹ ¹ Ω m ¹ ¸ k1, k2, . . . , km ´k1 + k2 + . . . . . . + km = nµ¸ (A, B, C, . . . , S)
½º½º ½½ Ω¸ k1, k2, . . . , km º m ¸ k1, k2, . . . , km ¹ ¸ ¸ kj¹ ¹ (j = 1, 2, . . . , m) õ º ½º½º½½ º Ω = {a, b, c, d} A¸ B¸ C¸ k1 = 1¸ k2 = 2¸ k3 = 1 º ³ º ({a}, {b, c}, {d}); ({a}, {c, d}, {b}); ({a}, {b, d}, {c}) ({b}, {a, c}, {d}); ({b}, {c, d}, {a}); ({b}, {a, d}, {c}) ({c}, {a, b}, {d}); ({c}, {a, d}, {b}); ({c}, {b, d}, {a}) ({d}, {a, b}, {c}); ({d}, {a, c}, {b}); ({d}, {b, c}, {a})º ¸ ¸ ¸ ({a}, {b, c}, {d}) ({d}, {b, c}, {a}) Ω = {a, b, c, d} õ º º ¹ Cn(k1, k2, . . . , km) n¹ ¹ Ω m ¸ k1, k2, . . . , km (k1 +k2 +. . . . . . + km = n)¸ õ n!/(k1!k2! . . . km!)¸ Cn(k1, k2, . . . , km) = n! k1!k2! . . . km! . º ( ) n¸ k1 ¹ ´ µ a1¸ k2 ´ µ a2¸ . . . , km ´ µ am ´k1 + k2 + . . . + km = nµ ¹ n¸ k1 ¹ ´ µ a1¸ k2 ´ µ a2¸ . . . , km ´ µ amº n¸ k1 a1¸ k2 a2¸ . . . , km am ¸ ¹ º º ¹ ( ) n¸ k1 ( ) a1¸ k2 ¹
½¾
½º ( ) a2¸ . . . , km ( ) am (k1 + k2 + . . . . . . + km = n)¸ õ Cn(k1, k2, . . . , km)º ½º½º½¾º õ n m ¸ k1 ¸ k2¸ . . . , m¹ km ³ º ³õ n¹ ¹ m k1¹ ¸ ¸ k2¹ ¸ . . . , km¹ ¹ ¸ m¹ (k1 + k2 + . . . + km = n)º ü ¹ n¹ ¸ ¸ õ Cn(k1, k2, . . . , km)º ´ µ º ( õ ) m n ¹ ´ µ n ¸ m º m n ¹ õ x1 ¸ ¹ x2 º º¸ xm ¹ m¹ ¸ ¸ õ ¹ (x1, x2, . . . , xm) ³õ ¸ ¹ ¸ x1 + x2 + . . . + xm = n¸ ¹ m n õ ¹ (x1, x2, . . . , xm) ³õ ¸ x1 + x2 + . . . + xm = n ´x1 ¸ x2 º º¸ xm m¹ µº m n ¹ ¸ º º ½º½º½¿ º ¹ 4 a, b, c, d 2º ³ º aa, bb, cc, dd, ab, ac, ad, bc, bd, dcº º fn m m n õ Cm−1 n+m−1¸ fn m = Cm−1 n+m−1.
½º¾º ½¿ n m¸ m n ¸ ¹ õ ¸ õ Cm−1 n−1 º ½º½º½ º ³õ ³ õ x1 + x2 + . . . + xm = n ³ º ³ x1 + x2 + . . . + xm = n ³õ õ (x1, x2, . . . , xm) ³õ ¸ x1 +x2 +. . .+xm = nº ¹ õ m n ´ µº ³ ¹ õ fn m m n ¹ º º ¹ õ n¸ m ´ µ x1 a1¸ x2 a2¸ º º¸ xm am (x1 + x2 + . . . . . . + xm = n)º ¸ õ n ¸ õ x1¸ x2¸ º º¸ m¹ xm¸ õ m n ¹ ´ µ ¸ õ º º õ m n ¸ ¹ õ x1¸ x2 º º¸ m¹ xm ´ õ n ¸ x1 ¹ a1¸ x2 a2 º º¸ xm amµº ¹ n ´ ¹ µ¸ õ º ¹ õ Cn(x1, x2, . . . , xm)º ½º¾ ü 1.3◦, 1.10, 1.14, 1.16◦, 1.18, 1.19◦, 1.22, 1.23, 1.25º 1.4◦, 1.5◦, 1.11◦, 1.15, 1.17◦, 1.20, 1.24, 1.27, 1.30, 1.32º ¸ ¸ õ ¸ ³ ¹ ( ¸
½
½º )º ¹ ¸ ´ ¹ µº ½º½◦º A B n ¸ B C m º A − B − C ½º¾◦º º þ ¸ º ½º¿◦º ½ º ¹ ¸ ½º ◦º ¹ ¼¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ½º ◦º ¹ ¼¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ½º ◦º ½º ◦º ½¼ º ¹ ¸ º ¹ ½º ◦º õ ³ ¸ ½º ◦º ü õ º ¸ ¾ ½º½¼º ½ º ¸ ¸ õ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¹ ½º½½◦º ½º½¾◦º ³ ½º½¿◦º ¹ ½º½ º p1, p2, . . . , pn º ¹
½º¾º ½ õ m = pα1 1 pα2 2 . . . pαn n , α1, α2, . . . , αn ½º½ º õ n ¸ ½º½ ◦º ¾ ½º½ ◦º ´ õ ¹ µº ½º½ º ¹ {1, 2, 3, . . . , n} ¸ 1, 2, 3 ½º½ º õ ¸ ½º¾¼º õ ¸ ½º¾½∗º m n +1 −1 ¸ 1º ¹ ½º¾¾º õ p q (p q)º ¹ ¸ ¾ ½º¾¿º n ¸ º ½µ º ¾µ ¿µ µ ¸ õ ¸ ½º¾ º õ n¹ ½º¾ º ¹ n¹ ¸ ½º¾ ∗º þ n¹ º þ ¸ º n¹ ¹
½
½º ½º¾ º ¸ n(A1 × A2 × · · · × Ak) = n(A1)n(A2) . . . n(Ak). ½º¾ º ¸ n¹ ¹ õ n! ½º¾ º ¸ Ak n n k õ n(n − 1) . . . (n − (k − 1))º ½º¿¼º ¸ Ck n k¹ ¹ n¹ õ n!/(k!(n − k)!)º ½º¿½º ¸ (a + b)n = n k=0 Ck nak bn−k . ½º¿¾º ¸ Cn(k1, k2, . . . , km) n¹ m ¹ k1, k2, . . . , km õ n!/(k1!k2! . . . km!)º ½º¿¿º ¸ õ Cn(k1, k2, . . . , km) ¹ n k1 a1¸ k2 a2¸ . . . , km amº ½º¿ º m+n+ s ¸ m ¸ n¸ s ½º¿ º 3n ¹ ¸ n ½º¿ º ¸ fn m m n õ Cm−1 n+m−1º ½º¿ º ¸ m n ´n mµ¸ ¹ õ ¸ õ Cm−1 n−1 º
¾ ¾º½ ¸ õ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ ¹ ´ µ ¹ º ½º õ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¾º õ ¸ º 1, 2, . . . . . . , 6 º ¿º õ º 0, 1, 2, . . . ¹ º ½
½
¾º º õ ¹ º º º ¹ õ õ ´ ¹ µº õ º ¸ ¹ º º ¹ õ ´ µ º Ω¸ ¹ ¸ ´ ³ µ¸ ¹ ω ´ µº ¹ ¹ º ½ ¹ Ω = {
¸
¸
¸ }¸ ¾¸ ¿¸ Ω = {1, 2, . . . , 6}¸ Ω = {0, 1, . . .}¸ Ω = [0, ∞)¸ Ω ¹ õ º ¹ õ ω Ωº Ω ¹ ¸ Ω ¸ 1, 2, . . . ü º ¹ ¸ A, B, C, . . . , ¸ ¹ Aº ½ ¸ õ A ¸ B õ ¹ ¸ . . . A Ω¸ A = {ω : ω ∈ Ω, A}.
¾º½º ½ ¹ ¸ õ õ õ º ¹ ω A¸ õ A¸ ¸ A ¸ ¹ º ½ õ {
¸
} Ω = = {
¸
¸
¸ }¸ ¾ õ {2, 4, 6} Ω = {1, 2, . . . , 6}¸ ¿ ¹ õ ¹ {0, 1, 2, 3} Ω = {0, 1, . . .}¸ ½¼¼ õ (100, ∞) Ω = = [0, ∞)º ¸ õ ¹ ´ õ õ Ωµ¸ ¸ õ ´ õ ¹ õ ∅µº A B ¹ ¸ A B Ωº ¸ õ A¸ õ ¹ B¸ ¸ A õ B õ A ⊂ B ´ ¸ ¸ A õ Bµº A B¸ A ⊂ B B ⊂ A ´ A B µ¸ ¹ º A = B ´ ¸ ¸ A B µº ¸ õ ¸ õ A B¸ õ ( ³õ )½ A B õ A ∪ B ´ A B õ ³õ A ∪ B A Bµº ½ º º º½º º
¾¼
¾º ¸ õ ¸ ¹ A¸ B¸ õ ( ) A B õ A ∩ B ´ A B õ A ∩ B A Bµº A B ¸ A ∩ B = ∅¸ ¹ ( )º ¸ õ ¸ A õ ¸ B õ ¸ õ A B ¹ õ AB ´ A B õ A B A B µº ¸ õ ¸ A õ ¸ ¹ õ A õ A ´ ¹ A õ A A Ωµº A ¸ õ A A¸ A B A∪B¸ º ¸ ¸ ¸ õ ´ º µº ½ B ¹ ¸ A º B A ¹ Ω = {
¸
¸
¸ } B = {
¸
}¸ A = {
¸
}º ¸ ¸ õ A ∩ B = {
} ¸ ¹ ¸ A∪B = {
¸
¸
} ¹ ³ ¸ AB = {
} ³ ¸ B = {
¸ } õ ¹ º ¹ º ¾º½º½º ¹ ( º º 2.1.1)º ¹ ¸ ¸ A¸ Bº A¸ B¸ A¸ A∪B¸ A∩B¸ B A ¸ õ ¸ º 2.1.1º
¾º¾º ¾½ A B A A A AB B B º ¾º½º½ þõ ¾º¾ ü 2.2◦, 2.5, 2.8◦, 2.11, 2.12, 2.15, 2.16, 2.17º 2.3◦, 2.4, 2.6◦, 2.7◦, 2.10◦, 2.13, 2.14, 2.18, 2.19º º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾º½◦º ¸ µ A ¹ µ B µ C ¹ º ¾º¾◦º º Ai õ ¸ i¹ õ ¸ i = 1, 2, 3º þ Ai µ A ¹ µ B µ C µ D º ¾º¿◦º A, B, C º ¹ ¸ ¸ ¹
¾¾
¾º A, B, C A, B, C µ A µ A B C µ µ µ µ º ¾º º ³õ ¸ n º þ ¹ ³õ i¹ ¸ Ai, i = 1, 2, . . . , nº þ Ai, i = 1, 2, . . . , n¸ A ³¹ õ ´ µ B ³õ ´ µ C ³õ º ¾º º m ¸ ³õ ¸ n º Aji ³õ j¹ ¹ õ i¹ ¸ j = 1, 2, . . . , m¸ i = 1, 2, . . . , nº þ Aji A ³õ ¹ ´ õ õ µ B ³õ õ º ¾º ◦º Ω º Ω A ³ ¸ B ³ º ¹ ¸ A Bº ¾º ◦º
º Ωº ¹ Ω A ¸ ³ ¸ õ B ³ C ¹ ³ D ³ º Ω¸ A¸ B¸ C¸ Dº ¾º ◦º ¸ ¹ º Ωº ¹ Ω A ³ B ³ º Ω¸ A¸ Bº ¾º ◦º õ ¸ [0; 1]º º
¾º¾º ¾¿ ¾º½¼◦º Á 1, 2, 3, 4, 5 ¸ ¸ ¸ º ¹ Ωº ¹ Ω A ¸ B º Ω¸ A¸ Bº ¾º½½º N¸ M ¹ ¸ n º ¹ Ωº Ω ¹ A n õ m (n ≤ N, m ≤ M, m ≤ n)º ¹ Ω¸ Aº ¾º½¾º ¸ õ ½¼ ¹ º õ ¹ ¸ º ¹ Ωº Ω A º ¹ Ω¸ Aº ¾º½¿º õ º þ ¹ õ ¸ º Ωº Ω A k¹ ¸ B ¹ k¹ ¸ C õ ¸ õ ¸ D õ ¸ õ º ¾º½ º þ ¸ ¸ ¸ º þ ¸ º Ω º Ω A ¸ B º ¾º½ º
n º Ωº Ω A n1 ¸ n2 ¹ ¸ . . . , n6 (n1 + n2 + . . . + n6 = n)º Ω¸ Aº ¾º½ º 2n ¸ ¹ n º Ωº Ω A õ ¸ B
¾
¾º õ ´ µº Ω¸ A¸ Bº ¾º½ º ¸ õ r (r ≤ 12) ¸ ¹ º Ωº ¹ Ω A ¸ B ¸ C ¹ ¸ D º Ω¸ A¸ B¸ C¸ Dº ¾º½ º 1, 2, . . . , n º ¹ ¸ ¹ º Ωº Ω A ½ ½ ¸ B ½ ½¸ n ¹ n º Ω¸ A¸ Bº ¾º½ º º ¹ Ωº ¹ Ω A ¸ B ¸ C ¸ D º ¹ Ω¸ A¸ B¸ C¸ Dº ¾º¾¼º º ¹ Ωº Ω A ¸ B ³ ¹ º ¾º¾½∗º n õ õ m º ¹ Ωº Ω A k1 ¸ k2¸ . . . , m¹ km º Ω¸ Aº ¾º¾¾∗º n õ õ m (n ≥ m) º Ωº Ω A º Ω¸ Aº
¿ ¿º½ Á ¸ º Á º ¸ ¹ õ ´ ¸ µº ¸ ¹ B õ ¸ C º ¹ B õ ¸ C º A õ νn(A) A n ¸ ¹ õ º ¹ n kn(A) ¹ ¸ Aº νn(A) = kn(A)/n. νn(A) õ º ½º A νn(A) ≥ 0. ´¿º½º½µ ¾
¾
¿º ¾º A B νn(A ∪ B) = νn(A) + νn(B). ´¿º½º¾µ ¿º Ω νn(Ω) = 1. ´¿º½º¿µ νn(A) A õ õ ¸ n νn(A) νn(A) õ º õ º Á P : A → P(A), ¸ ¸ ½º ¹ A P(A) ≥ 0. ´¿º½º µ ¾º ´ µ Ai, i = 1, 2, . . . (Ai ∩ Aj = ∅, i = j) P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai). ´¿º½º µ ¿º Ω P(Ω) = 1. ´¿º½º µ P(A) P A Aº Á º {Ω, P}¸ Ω ¸ P ´ Ω)¸ ¹ º
¿º½º Á ¸ ¾ {Ω, P} A ¹ ³õ ´ µ ωi A = ωi∈A {ωi}, P(A) = ωi∈A P(ωi), ´¿º½º µ 1 = P(Ω) = ωi∈Ω P(ωi). ´¿º½º µ õ¸ ¹ A õ ¹ P(ωi) ωi¸ A ´ ¹ Ω µº Á ¹ ¸ ¹ Ω¸ P(ω)¸ ω ∈ Ω¸ õ ´¿º½º µº {Ω, P} õ ¹ º º Á p = P(A) A ¹ ¹ A pº ¿º½º½ º ¸ ¸ ( )º ¹ º Ω A ¸ 3 ¸ B º ¹ º ( ¹ )º ¹ A Bº
¾
¿º ³ º ¹ Ω = {1, 2, . . . , 6}º Á p¸ j jp¸ ω∈Ω P(ω) = 1¸ p + 2p + . . . + 6p = 1º p = 1/21¸ P(j) = j/21, j = 1, 2, . . . , 6º ¸ ¹ {Ω, P} ¹ º A B A = = {3; 6} B = {2; 4; 6} Ωº Á A B ´ ¹ ¸ º ´¿º½º µµ ¹ P(A) = P({3; 6}) = P(3) + P(6) = 3 21 + 6 21 = 3 7 ; P(B) = P({2; 4; 6}) = P(2)+P(4)+P(6) = 2 21 + 4 21 + 6 21 = 4 7 . ¹ Ω = {1, 2, . . . 6}, P(i) = 1/6, i = 1, 2, . . . , 6. P(A) = P({3; 6}) = P(3) + P(6) = 1 6 + 1 6 = 1 3 ; P(B) = P({2; 4; 6}) = P(2)+P(4)+P(6) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2 . º ¸ ³ ¹ ´ µº ½º ý õ ¹ ´ µ¸ ¹ õ Ω õ ¹ P(i) = i/21, i = 1, 2, . . . , 6
¿º½º Á ¸ ¾ ´ µ P(i) = 1/6, i = 1, 2, . . . , 6 ´ µº ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ õ õ¸ ¸ ¸ P(i) = 1/6, i = 1, 2, . . . , 6. Á ¸ ´ µ ¸ ¹ õ ´ ¹ õ¸ ¸ ¹ µº ¸ ´ µ ¹ õ º ¾º {Ω, P} ´ ¹ µº º ¹ {Ω, P}¸ ωi ¸ P(ωi) = P(ωj), i, j = 1, 2, . . . , õ ¹ º {Ω, P} ¹ Ω ¸ P(ωi) ωi ∈ Ω õ 1/n(Ω)¸ P(ωi) = 1 n(Ω) , i = 1, 2, . . . , n(Ω), A P(A) = n(A) n(Ω) . ´¿º½º µ õ ¹ º
¿¼
¿º ¿º½º¾º ¹ º º A ¹ º ³ º ¹ ¹ ¸ ´ ½ µº ¸ (6, 1, 6, 3, 2, 4) ¹ õ ¸ õ ¸ ¹ ¸ ½¸ . . . , º A ¹ Ω¸ õ ¸ õ 1, 2, . . . , 6º ¸ ¹ ´ µ¸ ¸ ´ õµº Á ¸ ¹ õ ¹ º ´ ¹ µ Ω ω ∈ Ω P(ω) P(ω) = 1/n(Ω)º A º ¸ ´¿º½º µ¸ ¹ A õ n(A) ¹ ¸ A¸ n(Ω) Ωº Ω ¸ õ ¹ ¸ ¹ ´ ½ µº 66º ¹ ¸ A¸ ¸ ¹ õ ¸ ¹ ½ ´ õ 1, 2, . . . . . . , 6µ 6! ¸ P(A) = 6! 66 .
¿º¾º ¿½ ¿º¾ ü 3.1, 3.5, 3.6, 3.7, 3.14, 3.16, 3.21, 3.27, 3.28∗ º 3.2, 3.9, 3.10, 3.11, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22º ¸ ¸ ¹ õ A¸ ¹ ¹ ¸ Ω ω P(ω)¸ ω ∈ Ωº A Ω ¹ {Ω, P} ´ µº º ¸ ³ ¸ ´ ¹ µº ¿º½º ¸ õ r ¹ ¸ º A¸ õ ¸ º ¿º¾º ¸ õ r ¹ ¸ º ¹ A¸ õ ¸ õ ¹ º ¿º¿º 2n ¹ ´ µ ¹ n º ½º ¸ µ µ ¾º ¸ ¹ µ ´ µ µ µ ¸ ¿ ¸ ½ ¿º ◦º ³ ¸ ½ º º ¸ ³ ¿º º 1, 2, . . . , n º ¸ 1 2
¿¾
¿º ¿º º ¸ 20 25 ¹ º ¹ º ¸ ½µ õ ¾µ õ ¹ ¿µ ´ µ µ º ¿º º
º ¸ º ¿º º Á ¹ º ¹ º ¸ º ¿º º õ ¹ ü¸ ü¸ ü¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ¿º½¼º n ¸ A B¸ ¹ º ¸ A B r ¿º½½º ¾¼ ´ µ¸ ¹ ½¼ º ¸ µ õ µ ¹ ¿º½¾º ¸ ¸ 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ k (1 k n)º ¿º½¿º ³ º ¸ µ µ ¸ ¸ ¹ ¿º½ º º õ ¹ º ¸ ¹ ¿º½ ◦º ¸ ¹ ½¾ º ¿º½ º N M º ¹ n (n M, n N − M)º
¿º¾º ¿¿ ¸ m (m M) ¹ ¸ m ¿º½ º n ¸ m ¸ ¹ º ¸ õ r ¹ ¿º½ º N º õ n º k ¸ ¸ ¹ r (r k) º ¸ ¿º½ º ´ 1, 2, . . . , 49µ õ º õ ¸ º þ ¸ õ ¹ º º ¸ õ ¸ ¸ ¿ º ¹ ¿º¾¼º ½¾ º ¹ ¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¿º¾½º n º ¹ ¸ n1 ¸ n2 ¸ . . . , n6 (n1 + n2 + . . . + n6 = n) ¿º¾¾◦º ¹ º ¸ ¹ º ¿º¾¿◦º º ¹ ¹ º A ¸ B º ¹ P(A)¸ P(B)¸ P(A ∩ B)º ¿º¾ ◦º º ¹ ¹ º A ¸ B º ¹ P(A)¸ P(B)¸ P(A ∩ B)¸ P(B/A)º ¿º¾ º n º ¹ ¸ ³ ¹ º ¿º¾ ◦º º ¹ ¸ º
¿
¿º ¿º¾ º n º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¿º¾ ∗º ¸ ¹ ¸ ¾ ¹ º º º ¹ õ ¸ ý ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¿º¾ º ¸ {Ω, P} Ω ¹ ωi ∈ Ω P(ωi) = 1/n(Ω), i = 1, 2, . . . , n(Ω), n(Ω) º ¿º¿¼º ¸ {Ω, P} ¹ A ´ A Ωµ P(A) = n(A) n(Ω) , n(Ω) ¸ n(A) ¸ Aº ¿º¿½ ´ ¹ý µº n õ õ m ¹ º ¸ ¸ ¸ . . . , m¹ k1, k2, . . . , km ¿º¿¾º n º ¸ º ¿º¿¿◦º º A ¸ B ¹ ¸ C º ¿º¿ º Á n¸ 0, 1, 2 õ º A õ ¹ ¼ ¸ B m + 2 ¸
¿º¾º ¿ ¸ C m ¸ D m0 ¸ m1 ¸ m2 º ¿º¿ ◦º º ¹ A ¸ ¸ ¸ B ¸ ¸ ¾ ¸ C ¸ ¸ õ º ¿º¿ º ¸ µ õ µ õ µ õ µ õ µ õ º ¿º¿ º ¸ M1 1¸ M2 2¸ . . . , MN N¸ ¹ n º ³ ¹ m1 1¸ m2 2¸ . . . , ³ mN N º ¿º¿ º Á {1, 2, . . . , N} ξ1 ξ2º {ξ1 ξ2}º Á {1, 2, . . . , N} ¹ ξ1, ξ2, ξ3º ¹ ¸ ¹ ¸ {ξ1 ξ2 ξ3}º Á {1, 2, . . . , N} ¹ n ξ1, ξ2, . . . , ξn (n ≤ N)º ¹ ¸ ξ1, ξ2, . . . , ξn ³ ¹ º ¿º¿ º ¸ ¸ º ¹ º ¸ µ õ µ õ ¹ µ õ º ¿º ¼ ´ µº þ ´ µº õ º º þ õ º þ õ º õ ¸ õº ¹ õ ¸
¿
¿º ¸ ¸ º º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ³ ¹ ¸ ½µ õ ¾µ õ ¸ º ³ ¸ ¹ n ´ n = 1000µº þ õ ¸ õ¸ n − 2 n − 1¸ ¹ ¸ õº ¹ ¸ º
º½ º ý õ º {Ω, P} º P(A/B) A B (P(B) 0) P(A ∩ B) P(B) ¸ P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) . ´ º½º½µ ´ º½º½µ õ P(A ∩ B) = P(A/B)P(B) (P(B) 0). º P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) = n(A ∩ B) n(B) , P(A/B) A ¹ B õ n(A∩B) ¸ A∩B¸ n(B) ¸ Bº ¿
¿
º º p = P(A/B) A B A¸ ¸ Bº º½º½º ¹ º ¸ ¹ ¸ ¸ º ³ º º Ω ¹ ¸ 1, 2, . . . , 6º ¸ º º B ¹ ¸ A º ¹ P(A/B)º õ P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) , P(B) = 6 · 5 · 4 63 ; P(A ∩ B) = C1 3 · 5 · 4 63 ; P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) = C1 3 · 5 · 4 63 6 · 5 · 4 63 = 1 2 . Á P(A/B) ¸ ¸ {Ω, P} P(A/B) õ ¸ A∩B¸ ¸ ¹ B¸ P(A/B) = C1 3 · 5 · 4 6 · 5 · 4 = 1 2 . º½º¾ ´ µº þ ¸ ¸ ( 1/2)¸ º þ ¹ ¸ ¸ º ¸
º½º º ý õ ¿ ³ ½º õ ¹ º W¸ Bº ¹ õ Ω = {WW, WB, BW}. ¸ WB õ ¸ º A1 ¹ ¸ A2 º P(A2/A1)º A1¸ A2¸ A1 A2 Ω A1 = {WW, WB}, A2 = {WW, BW}, A1 ∩ A2 = {WW}. Ω ¸ A1 ¸ A1 ∩ A2 ¸ P(A2/A1) = P(A2 ∩ A1) P(A1) = 1/3 2/3 = 1 2 . ³ ¾º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ W∗º ¹ õ Ω∗ = {WW∗ , W∗ W, BW∗ , W∗ B}. A1¸ A2¸ A1 ∩ A2 Ω∗ A1 = {WW∗ , W∗ W, W∗ B}, A2 = {WW∗ , W∗ W, BW∗ }, A1 ∩ A2 = {WW∗ , W∗ W}. P(A2/A1) = P(A2 ∩ A1) P(A1) = 2/4 3/4 = 2 3 . ³ º ½º ³ ¾º
¼
º ½ ¾¸ º þ º½º¾º ³ ½ º õ ¸ ¹ º Á P(WW) = 1/2, P(WB) = 1/4, P(BW) = 1/4. ´ ¹ ½»¾µ ´ ½»¾µ¸ ¸ ¸ ¹ ½»¾ ½»¾ º õ P(A1 ∩ A2) = P(WW) = 1/2, P(A1) = P({WW, WB}) = = P(WW) + P(WB) = 1/2 + 1/4 = 3/4, P(A2/A1) = P(A2 ∩ A1) P(A1) = 1/2 3/4 = 2 3 . ³ ¾ õ ¹ ½» º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ´ ½»¾µ¸ ¸ ´ ½»¾µº º ¸ ¸ ¹ õ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º ¹ Ω = {WW, WB, BW} Ω∗ = {WW∗ , W∗ W, BW∗ , W∗ B}. Ω P(WW) = 1/2, P(WB) = 1/4, P(BW) = 1/4,
º½º º ý õ ½ Ω∗ P(WW∗ ) = 1/4, P(W∗ W) = 1/4, P(W∗ B) = 1/4, P(BW∗ ) = 1/4. ¹ º ¸ ¸ º º Bi ⊂ Ω, i = 1, 2, . . . , n¸ ¸ (Bi ∩ Bj = ∅, i = j) ³õ n i=1 Bi = Ω . º B1, B2, . . . , Bn P(Bi) 0, i = 1, 2, . . . , nº ¹ A õ P(A) = n i=1 P(A/Bi)P(Bi). õ ¹ º º½º¿ º ¸ õ º N õ n ( )º ¹ º ¸ ¸ ¸ ³ º Al i i¹ ¹ ¸ i = 1, 2¸ Au 1 ½¹ º P(Al 1) P(Al 2)º P(Al 1) = n N .
¾
º Á P(Al 2) ¸ ¸ Al 1 Au 1 P(Al 2) = P(Al 2/Al 1)P(Al 1) + P(Al 2/Au 1)P(Au 1 ) = = n − 1 N − 1 n N + n N − 1 N − n N = n N . ¸ º º õ ¸ ¹ ¸ º ¸ ¸ ´ µ¸ õ (n − 1)/(N − 1)¸ P(Al 2/Al 1) = (n − 1)/(N − 1), ´ µ¸ P(Al 2/Au 1 ) = n/(N − 1). ý õ º B1, B2, . . . , Bn ¹ P(Bi) 0, i = 1, 2, . . . , nº A (P(A) 0) P(Bi/A) = P(A/Bi)P(Bi) n k=1 P(A/Bk)P(Bk) , i = 1, 2, . . . , n. º½º ´ µº p (0 p 1) º ( )¸ õ õ p1¸ ¸ õ¹ õ p2º þ ¸ õ º ¸
º¾º ¿ ³ º þ Ac ¹ ´ µ¸ A ¹ ¸ Bc õ ¸ B õ º P(Ac/Bc)º ý õ ´ Ac A µ¸ P(Ac/Bc) = P(Bc/Ac)P(Ac) P(Bc/Ac)P(Ac) + P(Bc/A)P(A) . P(Ac) = p, P(A) = 1 − p, P(Bc/Ac) = p1, P(Bc/A) = p2. ¸ P(Ac/Bc) = p1p p1p + p2(1 − p) . º¾ Á ¸ ¸ ¹ ´ ¸ µ õ º ´ ¸ ¹ ¸ õ ºµ A B ¸ õ P(A/B) = P(A) ¸ ¸ P(A ∩ B) P(B) = P(A). P(A ∩ B) = P(A)P(B).
º º {Ω, P} º ¹ A B (A ⊂ Ω, B ⊂ Ω) ¸ P(A ∩ B) = P(A)P(B). A1, A2, . . . , An ¹ ¸ k = 2, 3, . . . , n i1, i2, . . . . . . , ik ¸ 1 ≤ i1 i2 . . . ik ≤ n õ P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ). A1, A2, . . . , An ¹ ¸ ¹ s k P(As ∩ Ak) = P(As)P(Ak). A B ¸ A B A B º º¾º½ ´ º º ý µº ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ õ º R ¹ ¸ B ¸ G ¸ ¹ ¸ õ ¸ õ º ¸ R¸ B¸ G ¹ ¸ õ º ³ º õ º ¹ ¸ õ º ¸ P(R) = 2/4 = 1/2, P(B) = 1/2, P(G) = 1/2. õ ¸ P(R ∩ B ∩ G) = 1/4, P(R ∩ B) = 1/4, P(R ∩ G) = 1/4, P(B ∩ G) = 1/4. P(R ∩ B) = P(R)P(B), P(R ∩ G) = P(R)P(G),
º¿º P(B ∩ G) = P(B)P(G). ¸ R, B, G º ü P(R ∩ B ∩ G) = 1/4 = 1/2 · 1/2 · 1/2 = P(R)P(B)P(G). õ õ¸ R, B, G õ º º¿ ü 4.11◦, 4.12, 4.13, 4.22, 4.23, 4.24º 4.3◦, 4.5, 4.7◦, 4.9, 4.10◦, 4.13, 4.16, 4.19, 4.24, 4.26º º½◦º A B º ¸ A B¸ A B º º¾◦º A1, A2, . . . , An P(Ak) = pk, k = 1, 2, . . . , nº ¸ µ A1, A2, . . . , An µ A1, A2, . . . , An µ A1, A2, . . . . . . , An º¿◦º ¸ ³õ ¸ ¹ pº ³õ õ ¹ º n º ¸ ³õ º ◦º ¸ õ n ¸ ¸ º ý º ½ pº ¹ º º º ¹ õ ¹ pº õ õ ¹ º ½ ¹ º
º ½µ õ ¾µ ¸ ¹ õ p1º º º ¹ õ n−1 ¹ pº ¹ º ½µ õ ¾µ ¸ ¸ õ ¸ õ p1º ¸ P º ◦º ¹ º ¸ õ ½¼¸ ¸ µ µ ´ µ º ◦º þ n º ¹ º ¹ º ¸ º ◦º þ N n1, n2, . . . , nN ¸ m1, m2, . . . , mN º ¹ ¸ º ¸ º½¼◦º n1 n2 ¸ ¹ m1 m2º ¸ º º ¸ º½½◦º º ¹ ¸ ³ ¸ ¹ º½¾º ³õ ¸ ¹ º ³õ õ ¸ õ p0¸ õ¸ p1 (p1 p0)º Á ¸ ¹ ¸ p ¸
º¿º º ¹ ¸ ³õ n º º½¿º õ n ¸ ¸ º ¹ õ p1¸ ¹ p2º Á ¸ õ p¸ (1−p)º ý º º º½ ◦º þ ¸ n ¸ º ¸ ¸ º½ ◦º þ n º º ¹ º ¹ º º½ ◦º k1 ´ µ m1 n1 ¸ k2 ´ µ m2 n2 º Á ¹ ¸ º ¹ ¸ º½ º A õ p1 = = 0,6¸ B p2 =¼¸ ¸ C p3 =¼¸ º º þ ¸ õ º C º½ º þ ½¾ ¸ ½¼ º º ¸ ¸ ¸ º½ º ¸ ¿ ¾ ¸ ¹ ¸ º º¾¼º º ¹ n õ º p1¸
º p2º ¹ º ¸ º¾½º þ ¸ ¿º ¼¸ ¸ ¸ ¸ ¸ õ ¹ õº ¸ õ ¸ õ¸ ¹ õ ¸ ¸ ¸ º ¹ º º ¹ õ n º (n − 1) ¸ ¸ õ (n − 2) ¸ ¸ õ ´ õ¹ µ¸ õ¸ õ ¸ º ¸ ¹ õ º¾¾º º Á õ õ 1/3 ¸ º ¹ ¸ º º¾¿º ¹ 1 − βº Á õ αº γº ¸ ¸ º º¾ º Á ¸ õ ¹ õ ¸ õ 0,96º õ ¸ õ 0,98¸ 0,05º ¸ ¸ ¸ õ
º¿º º¾ ◦º º ¹ ¸ ³ ¸ ¹ ¸ õ º¾ º õ º õ ½¼¸ ½¼º ¹ º õ ¸ õ¸ õº þ ¸ º ¸ º¾ º é N1 M1 ¸ N2 M2 ¸ N3 M3 ´Ni ≥ 2, Mi ≥ 2, i = 1, 2, 3µº ¹ º ¸ º ¸ µ ¹ µ µ º º¾ ´ µº ¹ º ´ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ºµ
¸ ¸ õ ¸ õ º ü ¸ ´ ¸ ¸ ¿µº õ º þ þ ½ º º é ¸ õ ¹ º ³ ¹ º ¹ ³ õ õ º ¹ ³ ´½ ½ µ¸ ¹ ¸ ¹ º ³ ½ º ¸ ½ º ¹ º
¼
º º¾ º º ¸ õ ¸ õ º
¹ ¸ ¸ ¿º º¿¼ ´ µº þ ¸ ¸ ´ 1/2µ¸ º þ ¹ n ¸ n ¸ º ¸ ¸ ¸ º¿½◦º ¸ ¾ ¸ º ¸ ¹ ¸ ¾ ¸ º ¸ º º¿¾º õ m ¸ õ ³õ p ( ¹ )º T õ n º ¹ A T ³õ õ ¸ B T ³õ º
º½ þ ¹ º Á ¸ ¸ õ ´ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ . . .µº ω Ω ¹ {Ω, P}¸ õ ξ = ξ(ω) Ωº º þ {Ω, P} ξ = ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) Rn¸ Ωº n 1¸ ξ = ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) ¹ Rn ( ¹ )¸ ¸ n = 2 ¸ n = 1 ½
¾
º ººº ( ) ¹ º º þ ¸ õ ¸ õ ¹ º þ ¸ ¹ ¸ º º ¹ õ ¹ ¸ õ ´ ¸ µº x ∈ Rn ¹ ξ = ξ(ω) Rn¸ {Ω, P}¸ P{ξ = x} 0; ξ X (X ⊂ Rn)º º ¹ ξ = ξ(ω) Rn Pξ : x → Pξ(x), x ∈ X, X ¹ ξ¸ x ∈ X Pξ(x) = P{ξ = x}, ξ õ º Pξ(xi, yj, . . . , zk) = P{ξ1 = xi, ξ2 = yj, . . . , ξn = zk} ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) Rn (n 1) ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº ξ = ξ(ω) R1 ¸ ¹ ¸ ¸
º½º ººº ¿ x1 x2 . . . xn . . . Pξ(x1) Pξ(x2) . . . Pξ(xn) . . . Pζ : (xi, yj) → Pζ(xi, yj), (xi, yj) ∈ X ⊂ R2 , ζ = (ξ, η) R2 º º½º½º º½º½º ζ = (ξ, η) ¹ η ξ y1 y2 · · · ym · · · x1 Pζ(x1, y1) Pζ (x1, y2) · · · Pζ (x1, ym) · · · x2 Pζ(x2, y1) Pζ (x2, y2) · · · Pζ (x2, ym) · · · º º º º º º º º º º º º º º º º º º xn Pζ(xn, y1) Pζ (xn, y2) · · · Pζ (xn, ym) · · · º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ º ξ ¸ ¹ º ξº ³ º þ ξ ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ Ω = ß
¸
¸
¸ ¸ ¹ õ 1/4 ´ µ ξ õ 0, 1, 2¸ P{ξ = 0} = P{ω : ξ(ω) = 0} = = P() = 1/4¸ P{ξ = 1} = P(
¸
) = P(
) + +P(
) = 1/4 + 1/4 = 1/2¸ P{ξ = 2} = P(
) = 1/4º ¸ ξ õ xi 0 1 2 Pξ(xi) ½» ½»¾ ½»
º ººº º Pζ ζ ¹ g(ζ) ζº º ζ ¹ Rn {Ω, P}¸ Pζ : x → Pζ(x) ¸ g = g(x) Rn Rlº B Rl P{g(ζ) ∈ B} = x:g(x)∈B Pζ(x). ´ º½º½µ ¸ ζ = (ξ, η), g = g(x, y) Pζ(xi, yj) ¹ ζ = (ξ, η)¸ P{g(ζ) ∈ B} = P{g(ξ, η) ∈ B} = (xi,yj):g(xi,yj)∈B Pζ(xi, yj). ´ º½º¾µ º½º¾ º ¹ ¸ ξ ¸ η º min{ξ, η}º ³ º ¹ ζ = (ξ, η)º þ ζ = ζ(ω) = (ξ(ω), η(ω)) ¹ {Ω, P}º ¹ Ω ¹
¸ ω = ´
µ õ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º ´ µ¸ õ ½»½ º Pζ(i, j) (i, j)¸ ζ = (ξ, η) ´ º º º½º¾µº ¸ Pζ(1, 1) = P{ζ = (1, 1)} = P{(ξ, η) = (1, 1)} =
º½º ººº = P{ω : (ξ(ω), η(ω)) = (1, 1)} = = P{
¸
¸
¸
} = = P(
) + P(
) + P(
) + P(
) = = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/4. º½º¾º ζ = (ξ, η) ¹ η ξ 0 1 2 ¼ ½»½ ½» ½»½ ½ ½» ½» ½» ¾ ½»½ ½» ½»½ Pζ(i, j), i, j = 0, 1, 2¸ ¹ ζ = (ξ, η) ¹ ´ º ´ º½º¾µµ¸ ¸ g(ζ) = g(ξ, η) = min{ξ, η}. B = {k}, k = 0, 1, 2¸ õ P{min{ξ, η} = k} = (i,j):min(i,j)=k Pζ(i, j). ¸ k = 0 P{min{ξ, η} = 0} = (i,j): min(i,j)=0 Pζ(i, j) = = Pζ(0, 0) + Pζ(0, 1) + Pζ(0, 2) + Pζ(1, 0) + Pζ(2, 0) = = 1/16 + 1/8 + 1/16 + 1/8 + 1/16 = 7/16. ü P{min{ξ, η} = 1} = 1/2, P{min{ξ, η} = 2} = 1/16. ¸ min{ξ, η} õ
º ººº xi 0 1 2 Pg(ζ)(xi) »½ »½ ½»½ º þ ¹ ξ η ¸ xi¸ yj ξ η Pξη(xi, yj) = Pξ(xi)Pη(yj). ´ º½º¿µ ´ Pξη¸ õ ´ º½º¿µ¸ õ Pξ Pηºµ Á ¹ ¸ ξ η ¸ ¹ õ ξ ηº þ ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº õ ¹ º º Á ¸ ¹ ¸ ¸ õ ¹ ¸ õ ¸ º º½º¿º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ P{ξl = k} = λk k! e−λ , λ 0, k = 0, 1, . . . (l = 1, 2, . . . , n). þ ξ1, ξ2, . . . , ξnº ³ º Pξ1 , Pξ2 , . . . , Pξn ¹ ξ1, ξ2 . . . , ξn Pξ(k1, k2, . . . , kn) = P{ξ1 = k1, ξ2 = k2, . . . , ξn = kn} õ ¹ Pξ(k1, k2, . . . , kn) = n i=1 Pξi (ki) = n i=1 λki ki! e−λ =
º¾º R1 = λ n i=1 ki k1!k2! . . . kn! e−nλ ; k1 = 0, 1, . . . ; k2 = 0, 1, . . . ; . . . ; kn = 0, 1, . . . º¾ R1 þ ý º ý ¸ º ¹ ´ µ ´ ¸ ¹ µ ¸ õ ¹ ¸ õ ¹ ý º Ω n ý ¹ ω = (1, 0, 1, . . . , 1) n¸ ¹ ½ ¼ ´½ õ ¸ ¼ µº Á ω õ P(ω) = pµ(ω) (1 − p)n−µ(ω) (0 p 1), µ(ω) ω¸ p ¹ ´ ¹ q = 1 − pµº {Ω, P} õ n ý º º þ ξ õ ¹ (n; p)¸ Pξ(k) = Ck npk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n. ´ º¾º½µ Ck npk(1 − p)n−k Bn;p(k) ´ k ≥ n + 1 ¸ Bn;p(k) = 0µº ξ n ý ¹ p õ (n; p)º º þ ξ õ ¹ ´ µ λ (λ 0)¸ Pξ(k) = λk k! e−λ , k = 0, 1, . . . ´ º¾º¾µ
º ººº õ Bn;p(k)¸ n k ´ µº ¸ ¸ ´ n ¸ p µ º º np → λ (λ 0)¸ n → ∞¸ k¸ k = 0, 1, 2, . . . lim n→∞ Bn;p(k) = λk k! e−λ . ´ º¾º¿µ Á õ¸ n p õ õ º þ õ ∞ k=0 Bn;p(k) − λk k! e−λ ≤ 2λ min{2, λ} n ´ º þº µº º npq → ∞¸ n → ∞¸ m¸ m − np √ npq ≤ C (C ¸ )¸ lim n→∞ Bn;p(m) 1 √ 2πnpq exp − 1 2 m − np √ npq 2 = 1. ´ º¾º µ Á ¹ º m n ý p º ¹ x1 x2 lim n→∞ P x1 m − np √ npq x2 = 1 √ 2π x2 x1 exp − t2 2 dt. ´ º¾º µ
º¾º R1
º þ ξ õ p (p 0)¸ Pξ(k) = (1 − p)k p, k = 0, 1, . . . ´ º¾º µ p ¹ õ p (p 0)º þ ³õ º þ ¹ ξ õ ³õ (r; p)¸ Pξ(k) = Cr−1 k+r−1pr (1 − p)k , k = 0, 1, . . . ´ º¾º µ r¹ ¹ p ¹ õ ³õ ¹ (r; p)º ¸ r = 1¸ ³õ ¹ õ º
º þ ¹ ξ õ (N, M, n)¸ n ≤ M, n ≤ N − M¸ Pξ(m) = PN,M,n(m) = Cm M Cn−m N−M Cn N , ´ º¾º µ m = 0, 1, . . . , nº N ¸ M ¹ ¸ (N − M) º n (n ≤ M, n ≤ N − M) õ (N, M, n)º N, M → ∞ ¸ M/N → p (0 p 1)¸ PN,M,n(m) → Cm n pm (1 − p)n−m , m = 0, 1, . . . , n.
¼
º ººº º¿ ü 5.3◦, 5.8(1 ), 5.8(2õ), 5.8(3 ), 5.13, 5.29, 5.30º 5.1◦, 5.4◦, 5.8(1 ), 5.8(2 ), 5.14, 5.18, 5.31, 5.40º º½◦º º ¹ ξ ¸ º ¹ η = sin π 3 ξº º¾◦º
¸ ¹ º η = sign cos π 3 ξ ¸ ξ ¸ º º¿◦º ¸ ¿ ¾ ¸ ¸ õ ½ ¾ º ¾ º ξ º ξº º ◦º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ p : P{ξl = k} = Pξl (k) = (1 − p)k p, k = 0, 1, 2, . . . ; l = 1, 2, . . . , n. ξ1, ξ2, . . . , ξnº º ◦º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ (m, p) : P{ξl = k} = Ck mpk (1 − p)m−k , k = 0, 1, . . . , m; l = 1, 2, . . . , n. ξ1, ξ2, . . . , ξnº º ∗º ξj = ξj(ω)¸ j = 1, 2, . . . , n¸ ¸ P{ξj 0} = p, P{ξj 0} = q, P{ξj = 0} = f, p+q+f = 1, j = 1, 2, . . . , n
º¿º ½ s ξj¸ j = 1, 2, . . . , n¸ ¸ µ ξj¸ j = = 1, 2, . . . , nº µ sº º º õ º ¹ {Ω, P} º ζ = (ξ, η) {Ω, P} ¹ R2¸ ξ ¸ η º ¹ ξ η ´ ζ = (ξ, η))º ¸ ξ η º º º ζ = (ξ, η)¸ ξ ¹ ¸ η º ½º µ max{ξ, η} µ min{ξ, η} µ ξ + ηº ¾º µ P{ξ ≤ 2, max{ξ, η} ≥ 4} µ P{max{ξ, η} ≥ 4} µ P{|η − ξ| ≥ 3} µ P{4 ≤ ξ + η ≤ 6} µ P{ξ ≤ 1, max{ξ, η} ≥ 3} µ P{max{ξ, η} ≤ 4} õµ P{min{ξ, η} ≤ 1, max{ξ, η} ≥ 5} µ P{max{ξ, η} ≥ 3} µ P{ξ ≥ 2, max{ξ, η} ≥ 3}º ¿º µ ξ ξ +η õ ξ ξ +η ¹ µ ξ max{ξ, η} õ ξ max{ξ, η} µ ξ min{ξ, η} õ ξ min{ξ, η} º º ¹ º
¾
º ººº ´ {Ω, P}µ º ζ = (ξ, η) {Ω, P} R2¸ ξ ¸ ¸ η º ¸ º ¸ ¸ º º½¼º ξ η P{ξ = xk} = ak, P{η = xk} = bk, k = 1, 2, . . . , n. P{ξ = η}º º½½º ξ η¸ º¿º¿¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ º º¿º¿º ξ η ¹ η ξ ½ ¾ ¿ ½ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ¾ ½»¿¾ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ¿ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ º½¾º ξ η P{ξ = i} = 1/(n + 1), P{η = i} = 1/(n + 1), i = 0, 1, . . . , n. ζ = ξ + ηº º½¿º ξ η ¸ λ µº ζ = ξ + ηº
º¿º ¿ º½ º ξ η ¸ λ µº ¸ ¹ ξ ξ+η = n õ (n, λ/(λ + µ))¸ P{ξ = k/ξ + η = n} = Ck n λ λ + µ k 1 − λ λ + µ n−k , k = 0, 1, . . . , nº º½ º ξ η p P{ξ = k} = p(1 − p)k , P{η = k} = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . . ξ max{ξ, η} max{ξ, η}º º½ º º ξ ¹ ¸ õ ¸ õ ¸ ¿¸ ¹ η ¸ õ º ζ = ξ + ηº º½ º ¾ º ¼ º ξ1 ¸ ¹ ¾ º¸ ξ2 ¼ º η = (ξ1, ξ2)º º½ ∗º ¸ ¹ ξ1 ξ2 õ ¸ η = min{ξ1, ξ2} õ º ¸ ¹ ξ1 ξ2 p1 p2º º½ ◦º ¹ º ¸ ½µ ³ ¹ ¸ ¾µ ³ ¸ º º¾¼◦º ¹ º ¸ ¹ º
º ººº º¾½◦º ¹ º ¸ º º¾¾º ¸ ¸ p ¹ º ½º ¸ ½¼ ¾º ¸ ¹ k¹ º ¿º ¸ ½¼ ¹ ¸ ¸ l º l º¾¿∗ ´ ý µº º ¸ ¸ º ¸ º ¹ ¸ ´ µ r ¸ ¸ N (N ≥ r) º º¾ º µ õ µ ½¾ µ ½ º º¾ ◦º ½¼ º ¹ ξ ¸ º º¾ ◦º ½¼ º ξ ¸ º º¾ ◦º ¸ ξ ¸ ³ ¹ º ξº º¾ º ¸ ¸ ´ µ ½µ ¿ ¾µ ¿ ¾ ¿µ ¿ µ ¿ µ n 2n n 2n
º¿º µ n 2n + 1 n 2n º¾ º η = ξ1 + ξ2 + . . . + ξr ¹ ¸ õ ¹ pº º¿¼º Á ¸ k ¸ õ λk k! e−λ , k = 0, 1, . . . , ´λ 0µº ¹ õ pº ¸ s õ º º¿½º ¸ λk k! e−λ õ k (k = 0, 1, . . .) õ º Á õ pº õ ¹ õ ¸ ¸ i º º¿¾º þ ¹ ¹ ¸ j ¸ ¹ ¸ pj = λj j! e−λ , j = 0, 1, . . . , λ º ¹ õ ¹ ¸ õ ¹ º µ¹ p ¹ º ¹ µ¹ º º¿¿º ü A ¼¼ ¹ õ ³õ õ Bº þ ¹ ¸ ³ õ º µ λ = 5 µ λ = 8 µ λ = 10¸ õ ¹
º ººº ³ A õ B¸ ¼¸¼½ ¼¸¼¾ ¼¸¼ º¿ º ¸ õ ½¼¼¼ ¸ õ º ý õ º º õ ¸ ½¼ ¹ ¸ µ µ º ¸ º º¿ º ξ xi x1 x2 . . . xn Pξ(xi) p1 p2 . . . pn x ∈ (−∞, ∞) P{ξ x}º ¹ F(x) = P{ξ x}, x ∈ (−∞, ∞)º õ F(x) F(x) º º¿ ∗º ¸ ξ õ ¹ ¸ n¸ n = 1, 2, . . . , õ P{ξ = n + m/ξ ≥ n} = P{ξ = m}, m = 0, 1, . . . ´ ¹ µº º¿ º õ º þ ¹ õ ¸ º pk ¸ k¹ º ¹ ¸ õ º¿ º õ ¹ º õ ¹ º ¸ ¸ õ º ½º p = 1/5¸ ¹
º¿º ¾º õ ¸ p = 1/3 õ º¿ º ¹ º ½ ◦ ¼ ¼ ¸ ¾¼ ¿ ´ý µº ¾ ◦ ½¾ ¼¼¼ ¸ ¼¸ ¼½ ¹ ¾ ¼¼¼ ¼¸ ¼¼ ´ º µº µ ¸ ¹ ½»¾ ¹ ½»¾ ¹ ¸ ý µ ¸ ¸ ¹ ¼¸ ¸ ¸ ¹ ε¸ ¹ õ ½»¾ ε õ õ º º ¼º ¹ ¸ º ξx2 + ηx + ζ = 0 ξ, η, ζ ¹ º ¸ ½µ õ ¾µ õ ¿µ õ º º ½º Pζ : (xk, yl) → Pζ (xk, yl) ζ = (ξ, η) R2 ξº º ¾º ξ η
º ººº P{ξ = k} = pk, k = 0, 1, . . . ; P{η = l} = ql, l = 0, 1, . . . ζ = ξ + ηº º ¿º ξ ¹ λº x P{ξ x}º ¹ F(x) = P{ξ x}. º º ½¼ º ¹ ¸ ¸ ¸ õ B10;1/2(4) = C4 10(1/2)10 . ü õ ¸ ¹ ¸ ½¼ º º ¹ {Ω, P} ξ = ξ(ω)¸ η = η(ω) ¸ Pξ Pη ξ η ¸ ξ = η ω ∈ Ωº º ◦º ¸ ¹ 1/3 ξ ¸ º ξº º º
¸ õ p¸ n º Á ¹ ¸ r ¸ õ Bn;p(r) = Cr npr (1 − p)n−r . ü ¸ r n
º½ ¸ ¸ þ õ Pξ : xi → Pξ(xi) = P{ξ = xi}. õ ¸ õ ¹ ¸ º Á ¹ ¹ õ ´ ¹ µº ü ¹ õ º õ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ õ ¹ º ´ ¹ õ ºµ º Mξ ¹ ξ = ξ(ω)¸ ¹
¼
º {Ω, P}¸ Mξ = ω∈Ω ξ(ω)P(ω), õ º þ º ½º õ Mc = c (c − ). ¾º õ M(ξ + η) = Mξ + Mη. ¿º ¹ Maξ = aMξ. º ¹ õ Mξη = MξMη. ¹ º ¹ ¹ ´ õµº º½º½º ξ = ξ(ω) ¹ R1¸ Pξ : xi → Pξ(xi) ¸ g R1 R1º xi g(xi)Pξ(xi) õ ¸ Mg(ξ) = xi g(xi)Pξ(xi), ´ º½º½µ ¸ xi xiPξ(xi) õ ¸ Mξ = xi xiPξ(xi). ´ º½º¾µ
º½º ¸ ¸ ½ õ ¹ Rnº x1,x2,...,xn g(x1, x2, . . . , xn)Pξ(x1, x2, . . . , xn) õ ¸ Mg(ξ1, ξ2, . . . , ξn) = = x1,x2,...,xn g(x1, x2, . . . , xn)Pξ(x1, x2, . . . , xn), ´ º½º¿µ Pξ : (x1, x2, . . . , xn) → Pξ(x1, x2, . . . , xn) ¹ ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn)º º ´ õµ ´ º½º¾µº º½º½ º ξ ¸ ¹ õ º ¸ ξ õ xi ½ ¾ ¿ Pξ(xi) ½»½¼ ½»½¼ ½»½¼ ½»½¼ ½»½¼ ½»¾ ξº ³ º ´ º½º¾µ Mξ = 1 · 1 10 + 2 · 1 10 + . . . + 5 · 1 10 + 6 · 1 2 = 4,5. ¸ ¸ ¹ ξ õ xi ½ ¾ ¿ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½» ½» ½»
¾
º Mξ = 1 · 1 6 + 2 · 1 6 + . . . + 5 · 1 6 + 6 · 1 6 = 3,5. º½º¾º þ ξ õ λº M 1 ξ + 1 . ³ º Pξ ξ ¹ Mg(ξ) ξ¸ õ ´ º ´ º½º½µµº g(t) = 1/(1 + t)¸ ξ õ λ Pξ(k) = λk k! e−λ , k = 0, 1, . . . M 1 1 + ξ = ∞ k=0 1 1 + k Pξ(k) = ∞ k=0 1 1 + k λk k! e−λ = = e−λ λ ∞ k=0 λk+1 (1 + k)! = e−λ λ (eλ − 1) = 1 − e−λ λ . º õ Dξ ξ M(ξ − Mξ)2 ´ M(ξ − Mξ)2 ∞ µ¸ Dξ = M(ξ − Mξ)2 . ý õ Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 . ´ º½º µ º
º½º ¸ ¸ ¿ ½º õ Dc = 0 (c − ). ¾º Daξ = a2 Dξ. ¿º õ D(ξ + η) = Dξ + Dη. º½º¿º ¹ (n; p) ξº ³ º ξ õ P{ξ = k} = Pξ(k) = Ck npk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n. ´ º½º¾µ Mξ = n k=0 kPξ(k) = n k=0 kCk npk (1 − p)n−k = = n k=0 k n! k!(n − k)! pk (1 − p)n−k = = np n k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! pk−1 (1 − p)n−k . k − 1 = s¸ np n−1 s=0 (n − 1)! s!((n − 1) − s)! ps (1 − p)(n−1)−s = = np(p + (1 − p))n−1 = np.
º ¸ Mξ = np. ü Mξ2 = n k=0 k2 Ck npk (1 − p)n−k = np(np − p + 1). Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 = np(np − p + 1) − (np)2 = np(1 − p). º½º º º ¹ ¸ º ³ º ξ ¸ ¸ η ¸ ζ = = ξ + η ¸ º ¹ ¸ ξ η õ xi ½ ¾ ¿ P(xi) ½» ½» ½» ½» ½» ½» Mζ = M(ξ + η) = Mξ + Mη = 7/2 + 7/2 = 7, Dξ = Mξ2 −(Mξ)2 = 12 · 1 6 +22 · 1 6 +. . .+62 · 1 6 −(7/2)2 = 35/12. ü ξ η ¸ Dζ = D(ξ + η) = Dξ + Dη = 35/12 + 35/12 = 35/6. ¸ õ ¹ º º õ ξ η cov(ξ, η) = M(ξ − Mξ)(η − Mη).
º¾º º õ ¹ ξ η r(ξ, η) = M(ξ − Mξ)(η − Mη) √ Dξ √ Dη . ξ η ¸ r(ξ, η) = 0¸ º º½º¾ ´ µº Dξ ∞¸ ε 0 P{|ξ − Mξ| ≥ ε} ≤ Dξ ε2 . ¸ ¸ õ¸ Dξ ¸ ´ εµ º º½º¿ ´ µº ξ1, ξ2, . . . ¹ Mξi = a Dξi ∞¸ i = 1, 2, . . . ε 0 P 1 n n i=1 ξi − a ≥ ε → 0, n → ∞º º¾ ü º½ ◦´½µ¸ º¾¸ º ◦¸ º ¸ º½ ¸ º½ ¸ º¾½¸ º¾ ∗¸ º¿½ ∗¸ º¿¾ º¿ ◦¸ º ◦¸ º½¿ ◦¸ º½ ¸ º½ ¸ º¾¼¸ º¾ ◦¸ º¿¼¸ º¿¿º º½◦º ξ ¸ η ¸ º 1) M 1 ξ + 1 cos π 6 η; 2) Meξ sin π 6 η.
º º¾º þ ¾ º º ξ Mξ Dξº º¿◦º ξ η ¹ xi ¼ ½ ¾ ¿ yj ¼ ½ ¾ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» ½» Pη(yj) ½»¾ ½» ½» M ξ η2 + 1 . º ◦º ¸ ξ ¸ º M(−1)ξ sin π 3 ξ. º º þ ξ õ ³õ º ¸ Mξ = ∞ m=1 P{ξ ≥ m}. º ◦º ξ η ¹ xi ½ ¾ ¿ yj −1 ¼ ½ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½» Pη(yj) ½»¿ ½»¿ ½»¿ Mη2 sin π 2 ξ .
º¾º º ◦º þ ξ õ xi −2 −1 ½ ¾ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½» ¹ η 1) η = sin π ξ ; 2) η = ξ2|ξ| ; 3) η = ξ sin π 3 ξ. º ◦º þ ξ õ xi −2 −1 ½ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» Mξ2 2−ξ . º ◦º þ ξ õ xi −1 1 ¾ Pξ(xi) ½» ½» ½»¾ 1) Mξ2 sin π 3 ξ; 2) M2|ξ| cos2 π 12 ξ. º½¼º þ ξ õ xi −2 −1 ¼ ½ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½»¿ ½µ η = |ξ| ¾µ ηº
º º½½◦º þ ξ õ xi −2 −1 ½ ¾ Pξ(xi) ½» ½» ½»¾ ½» Mξ sin2 π 12 ξ. º½¾◦º þ ξ õ xi −2 −1 ¾ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» 1) M2|ξ| cos2 π 12 ξ; 2) Mξ2|ξ| . º½¿◦º ξ η xi ¼ ½ ¾ ¿ yj −1 ¼ ½ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» ½» Pη(yj) ½» ½»¾ ½» M ξ + 1 η4 + 2 . º½ ◦º ξ η xi ¼ ½ ¾ yj −1 ¼ ½ Pξ(xi) ¾»¿ ½» ½» Pη(yj) ½»¿ ½»¿ ½»¿
º¾º M η4 − η ξ + 1 . º½ º ξ õ −n, −(n − 1), . . . , −1, 0, 1, . . . , n − 1, n 1/(2n + 1)º 1) Mξ; 2) M|ξ|º º½ º þ ξ õ λº Mξ, Mξ2, Dξ. º½ º ξ η ¸ õ λº ¹ 1) M ξ 1 + η ; 2) Mξη; 3) Dξη; 4) D(ξ + η). º½ º þ ξ õ ¹ pº Mξ, Mξ2, Dξ. º½ º º ½º ¹ ¾º ¸ º¾¼º þ ξ õ ¹ pº 1) Mxξ , |x| 1; 2) Meitξ . º¾½º þ ξ õ λº ½µ Mxξ, |x| 1; 2) Meitξ. º¾¾◦º ¹ ξ ½¼¼ ¹ ¸ õ 0,7º º¾¿◦º ¸ 1/3º ξ ¸ º ξº Mξ Dξº
¼
º º¾ ◦º ½¼ º ¹ ξ ¸ º Mξ Dξº º¾ ◦º ¹ ξ º¾ º º¾ ◦º ¹ ξ º¾ º º¾ ∗º õ ¹ p (0 p 1) ¹ º ξ ¸ õ r¹ º þ ξ õ ³õ (r, p) P{ξ = k} = Ck r+k−1pr (1 − p)k , k = 0, 1, . . . ¸ Mξ = r 1 − p p , Dξ = r 1 − p p2 . º¾ º½ ζ = (ξ, η) º 1) M max{ξ, η}; 2) M sin(π max{ξ, η}/6); 3) M min{ξ, η}. º¾ º ξ η º½¼ 1) M min{ξ, η}; 2) M cos(π max{ξ, η}/3); 3) M max{ξ, η − ξ}; 4) M sin(π min{η, η − ξ}/4). º¿¼º þ µ = (µ1, µ2, . . . , µr) õ ¹ P{(µ1, µ2, . . . , µk, . . . , µr) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)} = pk, (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) k¹ ¹ ¸ ¸ k = 1, 2, . . . , rº ½ ³ º¾ º¿½ ´ º½º¿µº
º¾º ½ M exp{i(t, µ)} = M exp{i(t1µ1 + t2µ2 + . . . + trµr)}. º¿½∗º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ R1 R1 = r j=1 Xj, Xs ∩ Xl = ∅, s = l, P{ξk ∈ Xj} = pj, j = 1, 2, . . . , r; ν = (ν1, ν2, . . . , νr) ¸ j¹ ¹ νj õ ξ1, ξ2, . . . , ξn, Xj¸ j = 1, 2, . . . , rº M exp{i(t, ν)} = M exp{i(t1ν1 + t2ν2 + . . . + trνr)}, tu ∈ R1, u = 1, 2, . . . , rº º¿¾º k º º ½º º k º ¾º k ¹ º ´ õ µ¸ k º ¸ ¹ k ¹ k + 1 º ¸ p º ½º ¸ k º ¾º ¹ ξ¸ º º¿¿º þ ¾ ¸ ¿ º º ¹ ξ ¸ η ¸ ζ º ¹ º
¾
º º¿ º ξ ³õ ¹ P{ξ = k} = pk, k = 0, 1, . . . P(t)¸ P(t) = Mtξ = ∞ k=0 tk pk, |t| ≤ 1, õ ξ ´ {pk}µº ξ¸ õ 1◦ 2◦ 3◦ º º¿ º ¸ ¹ ´ õ µº º¿ º ¸ õ ´ µº º¿ º ¸ ¹ ξ η θ1 θ2 õ θ1 + θ2º º¿ º ¸ ¹ ξ η (n; θ) (m; θ) õ ¹ (n + m; θ)º º¿ º Ω = {0, 1, 2, . . .}, P(ω) = apω , ω = 0, 1, . . . , p (0; 1)º a P(ω) = apω¸ ω ∈ Ω¸ õ ¹ Ω ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ ¹ ξ = ξ(ω) = 2−ωº Mξ¸ Mξ2º º ¼º Ω = {0, 1, 2, . . .}, P(ω) = a 1 ω! , ω ∈ Ω. a {Ω, P} õ
º¾º ¿ ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ ¹ ξ = ξ(ω) = 2ωº Mξ¸ Dξº º ½º Ω = {0, 1, . . .}, P(ω) = a λω ω! , ω ∈ Ω, λ º a {Ω, P} õ ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ ¹ ξ = ξ(ω) = 2ωº Mξ¸ Dξº º ¾º ´ º½º¾µº º ¿º ´ º½º¿µº º º Pζ(xi, yj) ζ = (ξ, η)º Mξº º º º ¸ ¸ ¸ ¸ ³ ¸ º ¸ ¸ º º º º
º ¹ ¸ ¸ º ü ¸ º ¹ ¸ º º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¸ ¸ Sn = ξ1 +ξ2 +. . .+ξnº ¸ DSn = n k=1 Dξk + 2 ij cov(ξi, ξj), ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ DSn = n k=1 Dξk.
º º º ζ1, ζ2 ξ = ζ1+ζ2, η = ζ1−ζ2º ¸ r(ξ, η) = 0º º º ξ η ¸ ³ º ¹ ¸ r(ξ, η) = 0º ¸ ξ η õ º º ¼º ξ õ −1, +1, −2, +2 1/4¸ η = ξ2º ξ ηº ¸ ½µ r(ξ, η) = 0 ¾µ ξ η õ º º ½º ξ º¿º º ¾º ξ ¸ ¹ ¸ η ¸ º ¹ Mξ, Dξ, Mη, Dη, M(ξ + η), D(ξ + η).
ü º½ ü ¸ σ¹ º ¹ ´ µ Ω ω ¹ º Ω ¹ A, B, C, . . . õ ´ ¹ õ µ º ω õ ¹ A¸ ω ∈ A ´ ω A µ ω õ A¸ ω /∈ A ´ ω ¹ A µº ¸ ¸ ¹ ∅º A õ ¹ B¸ A ⊂ B ´ A B µº A õ ¹ B (A ⊂ B) B õ A (B ⊂ A) ´ ¸ ¹ A B µ¸ A B A = Bº A = B¸ ¹ ¸ A ⊂ B B ⊂ A¸ ω
º ü A õ B¸ ω B õ Aº A B ¹ º ¸ õ ¸ A B¸ ¹ ³õ A B A ∪ Bº ¸ õ ¸ A¸ B¸ A B A ∩ Bº ¸ õ ¸ A¸ B¸ A B A Bº ¸ õ Ω¸ ¹ A¸ A Aº ¸ A B ´ µ¸ A ∩ B = ∅º º½º½º {An} ¹ (Ai ∩ Aj = ∅, i = j) Bn = ∞ i=n Ai, n = 1, 2, . . . ¸ ∞ n=1 Bn = ∅º ³ º ¸ ∞ n=1 Bn = ∅¸ ¹ ω ∈ ∞ n=1 Bnº ω ∈ B1 = ∞ i=1 Ai ¸ ¸ ω ¹ Ai¸ i = 1, 2, . . . , Ai ∩ Aj = ∅, i = j¸ ¸ An0 º ω /∈ ∞ i=n0+1 Ai = Bn0+1. ü õ ω ∈ ∞ n=1 Bnº
º½º ü ¸ σ¹ ü º A Ω ¸ 1◦ ¹ A ∈ A A A 2◦ ¹ A, B ∈ A õ ³õ A ∪ B Aº º K Ωº ¸ K ( ¸ ¹ K)¸ A(K)¸ 1◦ K¸ K ⊂ A(K) 2◦ ¹ A¸ K¸ A(K) ⊂ Aº σ¹ü º F Ω σ¹ ¸ 1◦ A ∈ F A F 2◦ ¹ ¹ Ai ∈ F¸ i = 1, 2, . . . , õ ³õ ∞ i=1 Ai Fº σ¹ F º º K Ωº σ¹ ¸ K (σ¹ ¹ ¸ K)¸ σ¹ σ(K)¸ 1◦ K¸ K ⊂ σ(K) 2◦ ¹ σ¹ F¸ K¸ σ(K) ⊂ Fº º½º¾º K1 K2 ¹ Ω¸ K1 ⊂ K2º ¸ σ(K1) ⊂ σ(K2). ³ º K2 ⊂ σ(K2)¸ ¹ K1 ⊂ K2¸ K1 ⊂ σ(K2)º Á σ(K1) ¹ σ¹ ¸ K1¸ σ(K2) σ¹ ¸ K1¸ σ(K1) ⊂ σ(K2)º ý R1º σ¹ü R1 σ¹ B1¸
º ü K [a, b)º σ¹ B1 R1º º½º¿º ¸ R1 õ 1) {a} a ∈ R1 2) 3) (a, b) 4) 5) º ³ º ¸ σ¹ ¹ ¸ ¹ ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 Ai. ½µ ¸ {a} = ∞ n=1 [a, a + 1/n)º ü [a, a + 1/n) B1¸ B1 ¸ {a} = ∞ n=1 [a, a + 1/n) ∈ B1 . ¾µ A ∞ i=1 {ai}¸ {ai} ∈ B1 i = 1, 2, . . . ´ º ½µ¸ A ∈ B1º ¿µ (a, b) = [a, b) ∩ {a}, [a, b) ∈ B1, {a} ∈ B1 B1 ¸ (a, b) ∈ B1º µ O R1 ³õ ¹ O = i (ai, bi)º þ (ai, bi) B1¸ O = i (ai, bi) ∈ B1º µ B1 º
º¾º ü õ ¸ ¹ º ¹ Rn¸ ¸ õ º ý R2º σ¹ü R2 σ¹ B2¸ K [a1, b1) × [a2, b2)º ý Rnº σ¹ü Rn σ¹ Bn¸ K [a1, b1) × [a2, b2) × . . . . . . × [an, bn)º ý º σ¹ü (X, ρ) σ¹ B(X)¸ (X, ρ) º º¾ ü Ω F σ¹ Ωº Á º Á ¸ σ¹ F Ω¸ ³õ ¹ º Á ¸ P ¸ σ¹ F Ω¸ ¸ 1◦ A ∈ F P(A) ≥ 0; 2◦ Ai ∈ F¸ i = 1, 2, . . . , ¸ Ai ∩ Aj = ∅, i = j¸ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai); 3◦ P(Ω) = 1º ¸ Ω = Rn¸ F = Bn¸ Rnº ü 1◦¸ 2◦ σ¹ 1◦¸ 2◦¸ 3◦
¼
º ü º üº º º ü 1◦¸ 2◦¸ 3◦ õ ¹ ³õ ¸ ¸ º ´¿º½º½µ¸ ´¿º½º¾µ¸ ´¿º½º¿µº º Á {Ω, F, P}¸ Ω ¸ F σ¹ Ω¸ P σ¹ Fº Á {Ω, F, P} õ ¹ º Ω ¹ ¹ ¸ F σ¹ ¹ Ω ¸ ¹ ¸ P F º þ º ¹ õ 1◦¸ 2◦¸ 3◦º ½º Á õ P(∅) = 0. ¾º Á ¹ A ∈ F õ ½ P(A) ≤ 1. ¿º A ⊂ B (A, B ∈ F)¸ B A õ P(B A) = P(B) − P(A). º P(A) = 1 − P(A)º º A, B ∈ F P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ´ º¾º½µ ´ µº º¾º½º õ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) =
º¾º ü ½ = 1≤i1≤n P(Ai1 ) − 1≤i1i2≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ) + . . . . . .+(−1)n−1 1≤i1i2...in≤n P(Ai1 ∩Ai2 ∩. . .∩Ain ). ´ º¾º¾µ ³ º õ º ´ º¾º¾µ õ ´ º ´ º¾º½µµº ¸ ´ º¾º¾µ õ n − 1 ¸ ¸ õ n º õ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = P(A1) + P(A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An)− −P((A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3) ∪ . . . ∪ (A1 ∩ An)) = P(A1)+ + 2≤i1≤n P(Ai1 ) − 2≤i1i2≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ) + . . . . . . + (−1)n−2 2≤i1i2...in≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Ain )− −P((A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3) ∪ . . . ∪ (A1 ∩ An)). ¸ õ ¸ 2≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik )+ + 2≤i1i2...ik−1≤n P((A1 ∩ Ai1 ) ∩ (A1 ∩ Ai2 ) ∩ . . . . . . ∩ (A1 ∩ Aik−1 )) = = 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ), k = 2, 3, . . . , n. º¾º¾ º 1, 2, . . . , n ¹ º ¸ õ º õ ¸ n → ∞
¾
º ü ³ º ¹ ¸ õ n n ¸ º ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ õ n! Ais ¸ õ ¸ is is¸ Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ¸ k = 1, 2, . . . , n¸ õ i1 i1¸ i2 i2¸ . . . , ik ik ´ n−k n−k µº A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An. õ ´ º ´ º¾º¾µµ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = = 1≤i1≤n P(Ai1 ) − 1≤i1i2≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ) + . . . . . . + (−1)n−1 1≤i1i2...in≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Ain ). º 1≤i1≤n P(Ai1 )º P(Ai1 )º Ai1 n¸ i1 i1º ¸ ¸ (n − 1)! ¹ P(Ai1 ) = (n − 1)! n! = 1 n . 1≤i1≤n P(Ai1 ) = 1≤i1≤n 1 n = 1. 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik )º
º¾º ü ¿ P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik )º Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . . . .∩Aik n¸ ¹ i1 i1¸ i2 i2¸ . . . , ik ik¸ ¹ n − k n − k ¸ ¸ ¹ º ¸ ¸ (n−k)! P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = (n − k)! n! . 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = = 1≤i1i2...ik≤n (n − k)! n! . õ k i1, i2, . . . , ik [1, n] ¸ 1 ≤ i1 i2 . . . ik ≤ nº ¸ õ Ck nº ¸ 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = Ck n (n − k)! n! = 1 k! . ¸ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = 1 − 1 2! + 1 3! + . . . + (−1)n−1 1 n! . ¸ n → ∞¸ õ 1 − 1/eº
º ü º¿ ü 7.1, 7.12, 7.13, 7.14, 7.15(1, 2), 7.16(1), 7.19º 7.2, 7.9, 7.10, 7.15(3, 4, 5), 7.16(2), 7.20º º½◦º ¸ µ A∪B = A∪(B(A∩B))¸ A∩(B(A∩B)) = ∅ µ A ∩ (∪iBi) = ∪i(A ∩ Bi)¸ ¸ Bi ∩ Bj = = ∅, i = j¸ (A ∩ Bi) ∩ (A ∩ Bj) = ∅, i = jº º¾◦º {An} ¹ An = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1/n2 }, n = 1, 2, . . . A = ∞ n=1 An, B = ∞ n=1 An. º¿◦º µ A B = A (A ∩ B) = (A ∪ B) B µ A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) µ (A C) ∩ (B C) = (A ∩ B) Cº º ◦º An = 1 2n, 1 n , n = 1, 2, . . . ¹ A = ∞ n=1 An, B = ∞ n=1 An. º º ½ ◦ {An} º ¸ ∞ n=1 An = ∞ n=1 Bn, B1 = A1¸ Bn = An n−1 i=1 Ai¸ Bn ¹ º
º¿º ¾ ◦ {Ai} ¸ Ai ⊂ Ai+1, i = 1, 2, . . . ¸ ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 (Ai Ai−1), A0 = ∅¸ (Ai Ai−1) ∩ (Aj Aj−1) = ∅, i = j. º º I º ¸ α∈I Aα = α∈I Aα; α∈I Aα = α∈I Aα. º ◦º A ¸ A, B ∈ Aº ¹ ¸ A B ∈ A ´ µº º ◦º A º µ Ak ∈ A, k = 1, 2, . . . , n¸ n k=1 Ak ∈ A µ Ak ∈ A, k = 1, 2, . . . , n¸ n k=1 Ak ∈ A µ Ω ∈ A ∅ ∈ Aº º º ¸ µ Ω õ µ K Ω õ ¸ K µ ¹ õ º º½¼º ¸ K õ ¹ ¸ Kº º½½◦º F σ¹ ¸ An ∈ F, n = = 1, 2, . . . ¸ ∞ n=1 An ∈ Fº º½¾º ¸ µ Ω õ σ¹ µ K Ω õ σ¹ ¸ K
º ü µ ¹ σ¹ õ σ¹ º º½¿º ¸ K õ ¹ σ¹ σ(K)¸ Kº º½ º K (a, b) º ¸ σ¹ σ(K)¸ K¸ õ σ¹ R1º º½ º ¸ σ¹ ¸ ¹ ¸ õ σ¹ R1 : ½µ K1 = {[a, b]; a, b ∈ R1} ¾µ K2 = {(−∞, x]; x ∈ R1} ¿µ K3 = {(−∞, x); x ∈ R1} µ K4 = {(x, +∞); x ∈ R1} µ K5 = {[x, +∞); x ∈ R1}º º½ º ¸ σ¹ ¹ õ ½µ ¾µ º º½ º A R1¸ ¹ õ ³õ [a, b)¸ (−∞, b)¸ [a, +∞)¸ a, b ∈ R1º ¸ A õ σ¹ R1º º½ º F σ¹ Ω¸ B ¹ ¸ Fº ¸ FB A ∩ B¸ A ∈ F¸ õ σ¹ º º Bº º½ º B1 σ¹ R1¸ B ¸ B1º B1 B B ∩ A¸ A ∈ B1º ¸ B1 B õ σ¹ º º Bº º¾¼º B1 σ¹ R1º B1 [a,b) B ∩ [a, b), B ∈ B1, [a, b) º ¸ B1 [a,b) õ σ¹ º º [a, b)º º¾½º K Ai ⊂ Ω¸
º¿º i = 1, 2, . . . , n, Ai Aj = ∅, i = j¸ n i=1 Ai = Ωº σ¹ ¸ Kº º¾¾º K Ai ⊂ Ω, i = = 1, 2, . . . , Ai Aj = ∅, i = j¸ ∞ i=1 Ai = Ωº ¸ Kº σ¹ ¸ Kº º¾¿∗º ¸ Rn õ µ {a}¸ a ∈ Rn µ µ µ º º¾ º ¸ Ia1,a2,...,an = = {(x1, x2, . . . , xn) : x1 a1, x2 a2, . . . , xn an}, ai ∈ R1, i = 1, 2, . . . , n¸ õ σ¹ Bnº º¾ º ¸ K Rn ¹ õ σ¹ Bnº º¾ º ¸ K Rn ¹ õ σ¹ Bnº º¾ º (X, ρ) ¹ º ¸ ½µ õ ¾µ õ ¿µ õ º º¾ º (X, ρ) ¹ ¸ F ¸ V ¹ B(x, r) = {y : ρ(x, y) r}¸ W ¹ B(x, r) = {y : ρ(x, y) ≤ r}º ¸ õ σ¹ (X, ρ)º º¾ º {An} Ω limAn ω¸ An limAn ¸ An¸ º
º ü ¸ limAn ⊂ limAn; limAn = ∞ n=1 ∞ m=n Am; limAn = ∞ n=1 ∞ m=n Am. º¿¼º {An} Ω¸ n õ An+1 ⊂ An. ¸ limAn = limAn = ∞ n=1 An. º¿½º {An} ¹ Ω¸ n õ An ⊂ An+1º ¸ limAn = limAn = ∞ n=1 An. º¿¾º Á A ⊂ Ω ¹ IA¸ õ IA(ω) = 1, ω ∈ A; 0, ω /∈ A. 1) IA∩B = IAIB 2) IA = 1 − IA 3) IA∪B = IA + IB¸ A ∩ B = ∅ 4) Ai Aj = ∅, i = j, A = ∞ k=1 Ak¸ IA = ∞ k=1 IAk 5) {Ak} A = ∞ k=1 Ak¸ lim k IAk = IAº
º½ º õ B Rn ´ ¸ ¹ [a, b]¸ [a1, b1] × [a2, b2]¸ [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3] º ºµº ¹ B ¹ ´ µ A B¸ ¸ A¸ L(A) Aº õ¸ ¹ ¸ õ B¸ {B, Bn B, P}¸ Bn B B, P Bn B¸ A Bn B ¹ õ P(A) = L(A) L(B) , L Rn. ´ L ¹ [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn] õ n i=1 (bi − ai)¸ ¸ L([a, b]) = b − a¸ L([a1, b1] × [a2, b2]) = (b1 − a1) × ×(b2 − a2)µº ¹
½¼¼
º
´ ¸ ¹ B õ 0 L(B) ∞µº º½º½º [0; 1] º ¸ 1/2º ³ º ´ ¸ ¸ µº x y º [0; 1] ¹ x y õ [0; 1]×[0; 1] (x, y) º ¹ [0; 1] õ [0; 1] × [0; 1]º [0; 1]¸ ¹ 1/2 ´ |y − x| 1/2µ¸ õ (x, y) [0; 1] × [0; 1]¸ ¹ |y − x| 1/2¸ º A A = {(x, y) ∈ [0; 1] × [0; 1] : |y − x| 1/2} = = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : x − 1/2 y x + 1/2} ´ º º º½º½¸ A µº x y 0 1 1 1/2 1/2 º º½º½ º½º½ ¹ ¸ õ
º½º º ½¼½ [0; 1] × [0; 1]¸ õ {B, B2 B, P}¸ B = = [0; 1] × [0; 1]¸ B2 B σ¹ [0; 1] × [0; 1]¸ P B2 Bº P(A) = L(A) L(B) = 3/4 1 = 3 4 . º½º¾ º 1 º ¸ ¸ ¸ º ³ º ½ ¹ [0; 1] º ¹ [0; 1] ¹ õ ´ ¸ ¹ x, yµº ´ min{x, y}µ¸ ´ ¹ |x − y|µ¸ ´ 1 − max{x, y}µº Á ¸ ¹ ¸ min{x, y} |x − y| + (1 − max{x, y}); |x − y| min{x, y} + (1 − max{x, y}); 1 − max{x, y} min{x, y} + |x − y|. ´ º½º½µ [0; 1] ¹ õ [0; 1] × [0; 1] ´ º º½º½µº [0; 1]¸ ´ º½º½µ¸ ¹ (x, y) [0; 1] × [0; 1]¸ ¹ º Aº ¹ A = A ∩ ({(x, y) : x ≤ y} ∪ {(x, y) : x y}) = = (A ∩ {(x, y) : x ≤ y}) ∪ (A ∩ {(x, y) : x y}) =
½¼¾
º
= {(x, y) : x 1/2, x + 1/2 y, y 1/2} ∪ ∪ {(x, y) : y 1/2, x − 1/2 y, x 1/2} . x y 0 1 1 1/2 1/2 º º½º¾ º½º¾ ¸ ¸ [0; 1] × [0; 1] ¹ A ´ º º º½º¾¸ A µº ü ¸ õ P(A) = L(A) L([0; 1] × [0; 1]) = 1/4 1 = 1 4 . º½º¿ ´ ý µº ¹ ¸ ¹ 2a º ½ 2l (2l 2a)º ¸ º ½ õ ½ ◦ ´ ¹ µ 2a¸ ¹ ¾ ◦ ϕ¸ ¹ ¸ õ [0, π] ¿ ◦ x ϕ õ º
º½º º ½¼¿ ³ º x ¹ ¸ ϕ ´ϕ ´ º º º½º¿µµº ' l sin ' x 2a º º½º¿
¸ ¹ ¸ õ (ϕ, x)¸ ϕ ∈ [0, π]¸ x ∈ [0, a]º (ϕ, x) õ ¹ ϕ, x (ϕ, x)¸ ¹ B = [0, π] × [0, a] ´ º º º½º µº B õ ¹ (ϕ, x)¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ õ ´ º º º½º¿µ ¹ B = [0, π] × [0, a] ´ º º º½º µº ¸ õ ¹ x ≤ l sin ϕ ´ º º º½º¿µ ¸ ¸ B = [0, π] × [0, a] õ A¸ x = l sin ϕ Oϕ ´ º º º½º µº ü ¸ p ¸ A ´ µ¸ õ
½¼
º
º p = 1 aπ π 0 l sin ϕdϕ = 2l aπ . ¸ ¹ πº 0 x a x = l sin ' π ' º º½º ý ¸ n ´n ¹ µ¸ m º õ ¸ n m/n õ p¸ õ ¹ 2l aπ ≈ m n º π ≈ 2l a n m .
º¾º ½¼ º¾ ü 8.1◦(1, 2, 3, 10), 8.2◦(1, 2, 3), 8.4(1, 7, 11, 14), 8.12◦, 8.18, 8.20, 8.29, 8.31º 8.3◦(3, 6, 8), 8.4(2, 10, 15), 8.11◦ , 8.16, 8.17◦, 8.19, 8.25, 8.28, 8.30º º½◦º ¼ ½℄× ¼ ½℄ º ¸ (x, y) ½µ xy ≤ 1/2 µ x2 + y2 1/4 ¾µ min{e−x, √ y} ≥ e−1/2 µ x + y ≤ 1/3 ¿µ min{y − x2, x − y2} ≥ 0 µ y + 1/2 ≤ 1/x µ max{y − e−x, y − 3/4} ≥ 0 µ y x2/2 µ y −x2 + 1/9 ½¼µ |y − x| ≥ 2/3º º¾◦º ¼ ½℄× ¼ ½℄ º (x, y)º ½µ x y ½»¾ ¾µ ½» ¿µ ´½¸½µ ½ µ ´¼¸½µ ½º º¿◦º ¼ ½℄ º x õ ¸ y º ½µ max{x, y} 1/2 µ max{x2, y} a, 0 a 1 ¾µ max{x, y} 1/3 µ max{x, y2} a, 0 a 1 ¿µ min{x, y} 1/4 ½¼µ yex ≤ 1 µ min{x, y} 1/2 ½½µ y + √ 1 − x2 − 1 ≥ 0 µ x + 1 − y2 ≤ 1 ½¾µ y + √ x − x2 ≤ 1º µ y + √ 2x − x2 ≤ 1 ½¿µ x2 − y2 − x + y ≥ 0º µ x + y − y2 ≥ 1 ½ µ (y − x)(y − 1/2) ≥ 0º
½¼
º
º º [−2; 2] º x õ ¸ y º ½µ x + |x| = y + |y| µ (y − 2x)(y + 2x) ≥ 0 ¾µ x − |x| = y − |y| µ (|x| + |y| − 1)(|x| + |y| − 2) ≤ 0 ¿µ [y] = [x] ½¼µ |x − 1| + |y − 1| ≤ 1 µ [y] = −[x] ½½µ (y − x)(y + x − 2) ≥ 0 µ [y] = [x − 1] ½¾µ ([y] − [x])({y} − {x}) ≥ 0 µ {y} ≤ {x} ½¿µ (x − sign x)2 + (y − sign y)2 ≤ 1 µ |x| + |y| ≤ 1 ½ µ |x − sign x| + |y − sign y| ≤ 1 ½ µ (|x − 1| + |y − 1| − 1)(|x − 1| + |y − 1| − 2) ≤ 0 ½ µ ((x − sign x)2 + (y − sign y)2 − 1)(|x − sign x| + + |y − sign y| − 1) ≤ 0 ´[a] a, {a} = a − [a] ¹ aµº º ◦º rº õ a b (a b, 2r a)º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º º º l º ¸ õ kl (0 k 1) º º º ¹ ¸ º ¸ ¸ ´ ½µ ½ ¸ ¾ º º ◦º ¹ dº õ a (a d)º ¸ º º R º ¸ ¹ n¹ ¸ º½¼º º
º¾º ½¼ ¸ µ Ox ¸ õ r (r 1) µ ¹ (1; 0) õ r º½½◦º R º ¸ õ ½µ õ r ¾µ r º½¾◦º R O N º ¸ ½µ õ r (r R) ¾µ ¹ õ r (r R) ¿µ r (r R) O µ ¹ r (r R) O µ ¹ r (r R)¸ R µ r (r R)¸ R µ a¸ R µ ¹ a¸ Rº º½¿º AB a ¹ ³ º ¹ ¸ ¸ b (b a) A¸ ¸ bº º½ º ´ ¹ µ ¸ ¸ ¸ õ º õ ¸ ¹
¸ ¹ ¸ ¹ ´ ¹ ¸ µº þ ¹ ¸ ¸ õ
½¼
º
¸ ´ µº ¹ ¸ ¸ º ´ ¹ ¹ ºµ
º ¼ ¾ ¹ º ¸ ¸ ¸ ¹
º ¸ ¸ ¼¸ ¸ ¸ ¹ ¾ º º½ º [0; 1] ¸ ξ, η, ζ º ½º ¸ ¹ ξ, η, ζ º ¾º ¸ ξ + η + ζ ≤ 3/2º ¿º ¸ max{ξ, η, ζ} ≤ t¸ 0 t 1º º½ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ º ½º ¸ t (t 1)¸ ¸ ¸ ¾º ¸ ¹ µ µ ¸ q (q 1) º½ ◦º R O ¹ N º ¸ ½µ õ r (r R) ¾ ¸ õ º ¸ õ ¸ ¹ ¸ ¸ º
º¾º ½¼ ¾µ ¹ õ r (r R) ¿µ r (r R) O µ r (r R) O µ ¹ r (r R)¸ R µ r (r R)¸ R µ ¹ a¸ R µ ¹ a, b, c¸ Rº º½ º ¸ ¹ ¸ õ ½¸ ¹ º½ º [−1; 1] ¹ º p q º ¹ ¸ x2 + px + q = 0 ½µ õ ¾µ õ º º¾¼º º ¸ º¾½◦º º ¹ º ¸ º º¾¾∗º x = (x1, x2) ¸ ¹ [0; 1] × [0; 1]º r Ar = {|x1 −x2| ≥ r} Br = {x1+x2 ≤ 3r} º¾¿º x = (x1, x2) ¸ ¹ [0; 1] × [0; 1]¸ A1 = {(x1, x2) : x1 ≤ 1/2}, A2 = {(x1, x2) : x2 ≤ 1/2}, A3 = {(x1, x2) : (x1 − 1/2)(x2 − 1/2) ≤ 0}. ¸ ¹ A1, A2, A3 ¸ õ º
½½¼
º
º¾ º ½µ ½ ¾µ ½º ½º ¸ õ º¾ º [0; 1] ¹ º ¸ ½µ ¸ ¸ ¾µ º¾ º þ º ¸ ¸ ¹ ¸ º¾ ∗º ¸ r h¸ ¹ º ¹ ¸ º º¾ º [0; 1]¸ ¸ º ¹ ½µ ¾µ ¿µ µ º º¾ º º ¸ ¹ º¿¼º º ¹ ¸ ½µ õ ¸ 30◦ ¾µ 30◦ ¿µ õ 90◦º º¿½¿º A, B, C, Dº ¹ ¸ AC BD ¹ º º¿¾∗º ¹ ¸ õ º ¿ þ º ýº
»» º ½ ½º í½º º ¿º
º¾º ½½½ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¹ õ R¸ ¹ º º¿¿∗º ¸ ¹ R ¸ r d 0 ≤ R − r − d ≤ δ. ¸ R, r, d ¹ ¼¸¼ ½¸¼℄¸ ¼¸¼ ½¸¼℄¸ ¸ ½¼¸¼℄ º ¸ ¸ δ = 0, 5 º º¿ º [0, nd]¸ kd, k = 0, 1, . . . , n¸ ¸ º ¸ õ ¸ ½ ◦ ¹ [0, d] ¾ ◦ [0, l] (0 l d)º º¿ ◦º þ º ¸ ¸ ½»¿¸ ¸ ½» º¿ ◦º ¸ ¹ 2aº r (r a)º ¸ º¿ ◦º L ¹ º ¸ ¸ l (l L/2) º º¿ ◦º þ A ½º µ A ¹ õ x µ A ¹ õ x
½½¾
º
µ A ¹ õ x µ A ¹ õ xº º¿ ◦º þ A ½ ¾º ¹ µ A ¹ õ x µ A x (x 1/ √ 5)º º ¼◦º þ A aº ¸ ¹ A ¹ ¸ A º º ½◦º þ X A = {(x, y) : |x| ≤ a, |y| ≤ a}º ¹ ¸ X b¸ ¸ ¹ Aº º ¾º [0; 1]¸ n ´ µ¸ n º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ s º
º½ þ ¹ ´ º º µ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ º º º º {Ω, F, P} º þ ξ = ξ(ω) Ω R1 ¸ x ∈ R1 {ω : ξ(ω) x} ∈ F. ξ = ξ(ω) ¸ ¹ B ´ µ {ω : ξ(ω) ∈ B} ∈ F. þ º ξ η ¸ õ ξ + η, ξ − η, ξη, ξ/η (η = 0). ½½¿
½½
º õ ¹ º ¸ ξ ¸ g ½ R1 R1¸ g(ξ) º ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ¸ ¹ õ sup n ξn, inf n ξn, limξn, limξn, ¸ lim ξn ´ õµ õ º º ¹ ξ õ ¹ Pξ : xi → Pξ(xi) = P{ξ = xi}. ξ õ õ ¸ ¹ ¸ ξ ¹ [a, b)º º Fξ(x) = P{ω : ξ(ω) x}, x ∈ R1 , õ ξº þ Fξ(x) ¹ ξº ½º 0 ≤ Fξ(x) ≤ 1º ¾º Fξ(x) x1 x2¸ Fξ(x1) ≤ Fξ(x2). ¿º Fξ(x) º º lim x→−∞ Fξ(x) = 0¸ lim x→+∞ Fξ(x) = 1º º a b (a b) P{ξ ∈ [a, b)} = Fξ(b) − Fξ(a). ½ g : R1 → R1 ¸ B g−1 (B) º õ ¸ º
º½º ½½ º x0 P{ξ = x0} = Fξ(x0 + 0) − Fξ(x0 − 0). Pξ(B) = P{ω : ξ(ω) ∈ B}, B ∈ B1 , ¸ ¹ ξº º ¹ F(x) ξ ¹ F(x) = x −∞ p(t)dt, x ∈ R1 , ´ º½º½µ ¸ ξ õ ¹ ´ µ¸ p(x) ¹ ξº p(x) ξ P{ξ ∈ [a, b)} P{ξ ∈ [a, b)} = b a p(x)dx. ´ º½º¾µ ý ´ º½º½µ õ¸ x d dx F(x) = p(x). p(x) ³õ ¹ +∞ −∞ p(x)dx = 1.
½½
º g(ζ) ¹ ζº ζ R1 p(x) ¹ ¸ g(x) R1 R1º P{g(ζ) ∈ B} = x:g(x)∈B p(x)dx, ´ º½º¿µ P{g(ζ) t} = x:g(x)t p(x)dx, ´ º½º µ P{ζ ∈ B} = B p(x)dx. ´ º½º µ º¾ º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ {Ω, F, P}º ξ = = ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) ¹ ¸ Rnº ξ1, ξ2, . . . , ξn ¸ {ω : ξ1(ω) x1, ξ2(ω) x2, . . . , ξn(ω) xn} ∈ F ´ x1, x2, . . . , xnµº º F(x1, x2, . . . , xn) = = P{ω : ξ1(ω) x1, ξ2(ω) x2, . . . , ξn(ω) xn}, Rn¸ õ õ ¹ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn)º
º¾º ººº ½½ º Pζ : B → Pζ(B) = P{ω : ζ(ω) ∈ B} = = P{ω : (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) ∈ B}, B ∈ Bn , Rn¸ ¹ ζ = (ξ1, ξ2, . . . . . . , ξn)º º F(x1, x2, . . . . . . , xn) ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ¹ F(x1, x2, . . . , xn) = = x1 −∞ x2 −∞ . . . xn −∞ p(t1, t2, . . . , tn)dtndtn−1 . . . dt1, ´ º¾º½µ ¸ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) õ ´ µ¸ p(x1, x2, . . . , xn) ¹ ¸ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº p(x1, x2, . . . , xn) ¹ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ³õ +∞ −∞ +∞ −∞ . . . +∞ −∞ p(t1, t2, . . . , tn)dtndtn−1 . . . dt1 = 1. g(ζ) ¹ ζº ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ¹ Rn¸ p(x1, x2, . . . , xn) ¸ g(x1, x2, . . . , xn) ¹ Rn Rl¸ B Rlº P{g(ζ) ∈ B} = x:g(x)∈B p(x)dx, x ∈ Rn , ´ º¾º¾µ
½½
º P{ζ ∈ B} = B p(x)dx, x ∈ Rn . ´ º¾º¿µ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ¸ ¹ g(ζ) õ ´ º½º½µ ´ º½º¾µº º þ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξn R1 ¹ ¸ x1, x2, . . . , xn ∈ R1 P{ξ1 x1, ξ2 x2, . . . , ξn xn} = = P{ξ1 x1}P{ξ2 x2} . . . P{ξn xn}. ξ1, ξ2, . . . , ξn p1(x1), p2(x2), . . . , pn(xn)¸ õ ¹ p(x1, x2, . . . , xn) ξ1, ξ2, . . . , ξn¸ õ p1(x1), p2(x2), . . . , pn(xn) p(x1, x2, . . . , xn) = p1(x1)p2(x2) . . . pn(xn). º¾º½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ ¹ p(x) p(x) = 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 . þ ξ1, ξ2, . . . . . . , ξnº ³ º ξ1, ξ2, . . . . . . , ξn ¸ õ p(x1, x2, . . . , xn)¸ ¹ õ p(x1), p(x2), . . . , p(xn) ξ1, ξ2, . . . , ξn : p(x1, x2, . . . , xn) = n i=1 p(xi) =
º¾º ººº ½½ = n i=1 1 √ 2πσ2 exp − (xi − a)2 2σ2 = = 1 √ 2πσ2 n exp − 1 2σ2 n i=1 (xi − a)2 . º¾º¾º ξ η pξ(s) pη(t)º ¹ ζ = ξ + ηº ³ º Fζ(z) ζ = ξ + ηº Fζ(z) = P{ζ z} = P{ξ + η z}. P{ξ + η z}º ξ η ¸ õ p(s, t) ξ η p(s, t) = pξ(s)pη(t). õ ´ º¾º¾µ¸ x (s, t) ∈ ∈ R2¸ g(x) g(s, t) = s + t¸ B (−∞, x)º õ Fζ(z) = P{ξ + η z} = = (s,t):s+tz p(s, t)dsdt = (s,t):s+tz pξ(s)pη(t)dsdt = = +∞ −∞   z−t −∞ pξ(s)ds   pη(t)dt = = +∞ −∞   z −∞ pξ(u − t)du   pη(t)dt = = z −∞   +∞ −∞ pξ(u − t)pη(t)dt   du.
½¾¼
º ¸ Fζ(z) = z −∞   +∞ −∞ pξ(u − t)pη(t)dt   du. ´ º ´ º½º½µµ p(u) = +∞ −∞ pξ(u − t)pη(t)dt ´ º¾º µ õ ζ = ξ + ηº p(u)¸ ´ º¾º µ¸ pξ(t) pη(t)º º¾º¿ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ õ ¹ F(x)º min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}º ³ º þ η = min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. ¹ Fη(x) = P{η x}. 1 − Fη(x) = 1 − P{η x} = P{η ≥ x} = = P{min{ξ1, ξ2, . . . , ξn} ≥ x} = = P{ξ1 ≥ x, ξ2 ≥ x, . . . , ξn ≥ x} = n i=1 P{ξi ≥ x} = = n i=1 (1 − F(x)) = (1 − F(x))n ´ ξ1, ξ2, . . . . . . , ξnµº ¸ Fη(x) = 1 − (1 − F(x))n .
º¿º ü R1 ½¾½ º¿ ü R1 º þ ξ õ (a; σ2) ( ¹ ¸ Na;σ2 )¸ p(x) = 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 . º þ ξ õ [a; b]¸ p(x) = 1 b − a , x ∈ [a; b]; 0, x ∈ [a; b].
¹ º þ ξ õ ¹ (ν; θ)¸ ¹ p(x) = θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx} , x 0; 0, x ≤ 0, θ 0, ν 0. º þ ξ õ θ (θ 0)¸ p(x) = θ exp{−θx}, x 0; 0, x ≤ 0. õ ¹ ¹ (1; θ)º º þ ξ õ ¹ (m; θ)¸
½¾¾
º p(x) = θm (m − 1)! xm−1 exp {−θx}, x 0; 0, x ≤ 0. õ ¹ (m; θ)¸ m = 1, 2, . . . χ2º þ ξ õ χ2 n ¸ p(x) =    1 2 n/2 Γ n 2 xn/2−1 exp −1 2x , x 0; 0, x ≤ 0. χ2 n õ ¹ (n/2; 1/2)º º þ ξ õ a¸ p(x) = 1 π a a2 + x2 . º þ ξ õ ¹ (µ; σ2)¸ p(x) =    1√ 2πσ2x exp − (ln x − µ)2 2σ2 , x 0; 0, x ≤ 0. º þ ξ õ ¹ (λ; θ)¸ ¹ p(x) = θλθ xθ+1 , x λ; 0, x ≤ λ, λ 0, θ 2º
º º ½¾¿ º ü 9.2◦, 9.4◦(5), 9.5, 9.6, 9.12∗, 9.14, 9.19, 9.23, 9.28º 9.1◦, 9.4◦(1−4, 6), 9.7, 9.10, 9.16, 9.24, 9.25, 9.29, 9.38, 9.42º º½◦º ξ ¹ p(x) = 0, x ∈ [−1; 1]; 1 − |x|, x ∈ [−1; 1]. P{ξ2 1/4}º º¾◦º þ ξ [−1; 3]º P{|ξ| ≥ 1/2}º º¿◦º þ ξ õ p(x) = 1 π 1 1 + x2 . 1) P{− √ 3 ≤ ξ ≤ 1}; 2)P{|ξ| ≥ √ 3}º º ◦º ¼ ½℄ º ξ õ ¸ η º ½µ ζ = max{ξ; η} µ ζ = ξ + η ¾µ ζ = min{ξ; η} µ ζ = max{ξ2; η} ¿µ ζ = ξη µ ζ = |η − ξ|º º ◦º [0, l] ¸ ξ º ξº º º þ ξ [−1; 3]º η = ξ2º º º þ ξ [−2; 2]º η = |ξ|º º º þ ξ [0; 1]º ¹ η = 1/ξ ´ ξ = 0¸ η = 0µº
½¾
º º º þ ξ [−2; 1]º η = 1/ξ2º º½¼º þ ξ [0; 2]º η = |ξ − 1|º º½½º þ ξ [a, b]º η¸ η = eξº º½¾∗º þ ξ ¹ λº ¹ η = 1/(1 − ξ)º º½¿º F(x) ¹ ξº ¹ η = −ξº º½ º F(x) ¹ ξº ¹ η = sign ξº º½ º þ ξ ½º η = 1 − e−ξº º½ º p(x) ξº ¹ 1) η = |ξ| 2) η = aξ, a = 0º º½ º F(x) ¹ ξº ¹ η = ξ2º º½ º þ ξ λº 1) η = |ξ − 1| 2) η = (ξ − 1)3º º½ º F(x) ξ º ¹ η = F(ξ)º º¾¼º p(x) ξº ¹ 1) η = −2ξ + 1; 2) η = ξ2º º¾½º F(x) ¹ ξº ¹ 1) η = eξ; 2) η = |ξ|º
º º ½¾ º¾¾º [0; 1] º ξ õ ¸ η º 0 ≤ x ≤ 1 1) P{|η − ξ| x}; 2) P{ξη x}. º¾¿º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ õ F(x)º max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ Fi(x)¸ i = 1, 2, . . . , nº ¹ 1) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ pi(x)¸ i = 1, 2, . . . , nº 1) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ p(x)º 1) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º þ õ õ ¹ p(x) = ae−λ|x|, λ 0º ½µ ¹ õ a ¾µ º º¾ º [0; 1] ¸ º º º¾ º [0; l] ¸ º º º¿¼º [0; T] º º º¿½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ p(x)
½¾
º 1) p(x) = 1 b − a , x ∈ [a; b]; 0, x ∈ [a; b]; 2) p(x) = θ exp{−θx}, x 0; 0, x ≤ 0; 3) p(x) = 1 2a exp −1 a|x − b| 4) p(x) =    1 a exp −1 a(x − b) , x b; 0, x ≤ b. þ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº º¿¾º ξ ¹ (0; 1)º η = 1/ξº º¿¿º ξ ¹ (0; 1)º η = 1/ξ2º º¿ º þ ξ õ ´ µ¸ ξ −ξ º ¸ N0;σ2 ¹ õ º ¹ µ µ º º¿ º þ ξ [0; 1]º ½µ η = 1 − ξ ¾µ η = ln ξº º¿ º þ η Na;σ2 º ¹ ¸ ξ = (η − a)/σ ¹ N0;1º º¿ º þ ξ N0;1º η = a + σξ (σ 0)º º¿ º þ η N0;1º η+ = max{0, η}º º¿ º þ η N0;σ2 º ¹ η+ = max{0, η}º
º º ½¾ º ¼º F(x) ¹ ξº Fη(x) η = (ξ − a)+ = max{0, ξ − a} ´a µº F(x) ¹ Fη(x)º º ½º þ ξ p(x)º ¹ η = (ξ − a)+ = max{0, ξ − a} ´a µº õ η ¹ º ¾º F(x) ¹ ξº ¹ η = min{ξ, L} ´L µº º ¿º þ ξ p(x)º ¹ η = min{ξ, L} ´L µº õ η ¹ º ◦º ¸ ½µ (a; σ2) ¾µ [a; b] [0; 1] ¿µ õ ¹ µ õ µ õ µ õ º º ◦º ¸ º ◦º º ◦º ξ Na;σ2 º ½µ P{a − σ ≤ ξ ≤ a + σ} ¾µ P{a − 2σ ≤ ξ ≤ a + 2σ} ¿µ P{a − 3σ ≤ ξ ≤ a + 3σ} µ P{a − 4σ ≤ ξ ≤ a + 4σ}º º ¹ ´ º º ¾¾º½º½µº º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ λº
½¾
º ¸ η = min{ξ1, ξ2, . . . , ξn} õ nλº º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ λº ζ = max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º º õ n º ξi i¹ º þ ξ1, ξ2, . . . , ξn õ ¹ λº ¸ º ¹ º º ¼º þ ξi = ξi(ω)¸ i = 1, 2, 3, ¹ {Ω, F, P} ´ Ω = [0; 1]¸ F = B[0;1]¸ P = Lµ 1) ξ1 = ξ1(ω) = ω, ω ∈ [0; 1/3); ω + 1/3, ω ∈ [1/3; 2/3); ω − 1/3, ω ∈ [2/3; 1]; 2) ξ2 = ξ2(ω) = ω + 2/3, ω ∈ [0; 1/3); ω, ω ∈ [1/3; 2/3); ω − 2/3, ω ∈ [2/3; 1]; 3) ξ3 = ξ3(ω) =    ω, ω ∈ [0; 1/4); 1/4, ω ∈ [1/4; 2/4); ω − 1/4, ω ∈ [2/4; 3/4); 1/2, ω ∈ [3/4; 1]. º º ½º þ ξi = ξi(ω), i = 1, 2, ηj = ηj(ω), j = 1, 2, ¹ {Ω, F, P}º ξ1 ξ2 ¸ η1 η2º ¹ ½µ ξ1η1 ξ2η2 ¾µ ξ1 + η1 ξ2 + η2
½¼ ½¼º½ ¸ ¸ ¹ ¹ º õ ¹ ´ º º º½ º µº ξ = ξ(ω) ¹ {Ω, F, P} R1º º Mξ ¹ ³õ ξ Mξ = Ω ξ(ω)P(dω) = = lim n→∞ 2nn j=1 j − 1 2n P ω : j − 1 2n ≤ ξ(ω) j 2n + +nP{ω : ξ(ω) ≥ n} . ½¾
½¿¼
½¼º ý ¹ ξ ¹ ³õ ξ+ = max{0, ξ} ξ− = max{0, −ξ}, ξ = ξ+ − ξ− . Mξ ξ¸ õ ¸ õ Mξ = Mξ+ − Mξ− , Mξ+ Mξ− +∞º þ ½º õ Mξ = Mc = c (c − ). ¾º õ M(ξ + η) = Mξ + Mη. ¿º ¹ Maξ = aMξ. º ¹ õ Mξη = Mξ · Mη. ¹ º ´ µ¸ õ¸ ¹ º ½¼º½º½º ξ = ξ(ω) ¹ R1¸ g R1 R1º
½¼º½º ¸ ¸ ½¿½ ξ p(x) ¸ +∞ −∞ g(x)p(x)dx Mg(ξ) = +∞ −∞ g(x)p(x)dx, ´½¼º½º½µ +∞ −∞ xp(x)dx Mξ = +∞ −∞ xp(x)dx. ´½¼º½º¾µ ξ ¸ Pξ : xi → Pξ(xi), xi ∈ X, xi g(xi)Pξ(xi) Mg(ξ) = xi g(xi)Pξ(xi), xi xiPξ(xi) Mξ = xi xiPξ(xi). º õ Dξ ξ M(ξ−Mξ)2 ´ M(ξ−Mξ)2 ∞µ¸ Dξ = M(ξ − Mξ)2 .
½¿¾
½¼º þ ½º õ Dc = 0 (c − ). ¾º Daξ = a2 Dξ. ¿º õ D(ξ + η) = Dξ + Dη. ½¼º½º½ º [0; 1] ¹ º þ º ¹ ¸ õ º ³ º ξ ¹ [0; 1] ¸ η = max{ξ, 1 − ξ} ¸ ζ = 2πη ¸ õ ηº ¹ η = max{ξ, 1 − ξ}º ¸ x 1/2 P{η x} = 0, x 1 P{η x} = 1. ü 1/2 x ≤ 1 õ P{η x} = P{max{ξ, 1−ξ} x} = P{ξ x, 1−ξ x} = = P{1 − x ξ x} = (x − (1 − x))/(1 − 0) = 2x − 1 ´P{1−x ξ x} ¸ [0; 1] µº ¹ ¸ õ η õ Fη(x) = 0, x ≤ 1/2; 2x − 1, 1/2 x ≤ 1; 1, x 1,
½¼º½º ¸ ¸ ½¿¿ η [1/2; 1]º õ ζ Fζ(x) = P{ζ x} = P{2πη x} = Fη x 2π = =    0, x/(2π) ≤ 1/2; 2 x 2π − 1, 1/2 x/(2π) ≤ 1; 1, x/(2π) 1. ü Fζ(x) = 0, x ≤ π; x π − 1, π x ≤ 2π; 1, x 2π. ¸ η [1/2; 1]¸ Mζ = M2πη = 2πMη = 3π/2. ¸ Mζ ζ = 2π max{ξ, 1 − ξ} ¹ ξ ´ º ´½¼º½º½µº ξ [0; 1]¸ Mζ = M2π max{ξ, 1 − ξ} = 2π +∞ −∞ max{x, 1 − x}pξ(x)dx = = 2π 1 0 max{x, 1 − x}dx = 3π/2. ½¼º½º¾º ξ ¹ λº η = [ξ]¸ ¹ Mη ([x] x)º
½¿
½¼º ³ º þ η = [ξ] õ 0, 1, 2, . . . ´õ µº Pη(k) = P{η = k} = P{[ξ] = k} = P{k ≤ ξ k + 1} = = k+1 k λe−λx dx = e−λk (1 − e−λ ) = p(1 − p)k , p = 1 − e−λº ¸ η = [ξ] õ p = 1 − e−λº η ¹ ´ º ´ º½º¾µ º½ µ Mη = ∞ k=0 kPη(k) = ∞ k=0 k(1 − p)k p = 1 − p p = e−λ 1 − e−λ . ½¼º½º¿º ¹ ¸ (a; σ2)º ³ º (a; σ2) ξ õ p(x) = 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 . M(ξ − a)º õ ´½¼º½º½µ ´ õ (x − a)/σ = tµ M(ξ − a) = +∞ −∞ (x − a)p(x)dx = = +∞ −∞ (x − a) 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 dx =
½¼º½º ¸ ¸ ½¿ = 1 √ 2π +∞ −∞ x − a σ exp − 1 2 x − a σ 2 dx = = σ √ 2π +∞ −∞ t exp − t2 2 dt = = σ √ 2π lim n [−n,n] t exp − t2 2 dt = 0 ´ õ ¹ µº ¸ M(ξ − a) = 0¸ ¸ Mξ = a. ¸ Dξ = M(ξ − Mξ)2 = M(ξ − a)2 = = +∞ −∞ (x − a)2 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 dx, (x − a)/σ = t õ σ2 √ 2π +∞ −∞ t2 exp − t2 2 dt = − σ2 √ 2π +∞ −∞ t d exp − t2 2 = = σ2 √ 2π +∞ −∞ exp − t2 2 dt = σ2 ´ ¹ õ √ 2πµº ¸ Dξ = σ2 .
½¿
½¼º ½¼º½º º ¹ ¸ ξ p(x) = θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx}, x 0; 0, x ≤ 0 (p(x) ¹ (ν; θ))º ³ º p(x) ¹ ξ ´½¼º½º¾µ õ Mξ = +∞ −∞ xp(x)dx = +∞ 0 x θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx}dx = = Γ(ν + 1) θΓ(ν) +∞ 0 θν+1 Γ(ν + 1) xν exp {−θx}dx = = Γ(ν + 1) θΓ(ν) · 1 = νΓ(ν) θΓ(ν) = ν θ . ¸ +∞ 0 θν+1 Γ(ν + 1) xν exp {−θx}dx õ ¹ ¹ (ν + 1, θ)º ü Mξ2 = ν(ν + 1) θ2 . Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 = ν θ2 .
½¼º¾º ½¿ ½¼º½º º ξ ¹ Mξ f(x)¸ x ∈ R1¸ ¹ x = aº Mξº ³ º f(x) ¹ x = a¸ f(a + t) = f(a − t) ´ ¸ f(a + t) f(a − t) µº õ¸ f(a + t) õ º ¸ Mξ = +∞ −∞ xf(x)dx. þ x = t + aº õ +∞ −∞ xf(x)dx = +∞ −∞ (t + a)f(t + a)dt = = a +∞ −∞ f(t + a)dt + +∞ −∞ tf(t + a)dt = a · 1 + 0 = a. Á +∞ −∞ tf(t + a)dt õ º ¸ ξ ¹ Mξ f(x)¸ x ∈ R1¸ ¹ x = a¸ Mξ = a.
½¿
½¼º ½¼º¾ ü 10.1◦(2), 10.2◦(1), 10.6◦(1), 10.7, 10.12, 10.13, 10.16, 10.19(1 ), 10.19(3 ), 10.21, 10.20(5)º 10.1◦(1), 10.2◦(2), 10.6◦(2, 3), 10.8, 10.10(1), 10.16(1), 10.14, 10.17(2), 10.19(1 ), 10.19(3 ), 10.20(1, 2), 10.22(2, 3), 10.26º ½¼º½◦º ξ ¸ ¹ 1) [−a; a] 2) [a; b]º Mξ Dξº ½¼º¾◦º þ ξ [0; 1]º η 1) η = ln(1/ξ) 2) η = sin2 πξ 3) η = eξº ½¼º¿◦º þ ξ [a; b]º ½µ Mξ2, a = 0, b = 3 ¾µ Mξe−ξ, a = 0, b = 1 ¿µ M(ξ − 1)2, a = 1, b = 4 µ Mξe|ξ|¸ a = −1, b = 1 µ Me2ξ¸ a = 0, b = 1/2º ½¼º º ξ ¹ p(x) = 1 π(1 + x2) . 1) M min{|ξ|, 1} 2) M min{|ξ|, √ 3}º ½¼º º ξ ¹ (0; σ2)º Meξº ½¼º ◦º ξ p(x) = 1 π(1 + x2) . ¹ η : ½µ η = (ξ2 + 1)I[0; √ 3](ξ) ¾µ η = ξ2I[1; √ 3](ξ) ¿µ η = I[1/3;3](ξ2) µ η = I[−1;1](ξ)
½¼º¾º ½¿ IA(x) A ¸ A õ ½¸ A ¼º ½¼º º ξ õ ¹ λº 1) Mξ; 2) Dξ; 3) P{ξ 1}; 4) Mξkº ½¼º º ´ µ ¸ õ ¹ λ = 0, 003º ¸ º º ½¼º º ¹ ζ = ξη ξ η [0; 1] [1; 3] ¹ º ½¼º½¼◦º ξ p(x) = 0, x ∈ [a, a + 2); x − a, x ∈ [a, a + 1); −x + a + 2, x ∈ [a + 1, a + 2). 1) Mξ; 2) Mξ2º ½¼º½½º ξ p(x) = 1 2 e−|x| . MI[0;4](ξ2)º ½¼º½¾º ξ õ p(x) = λ 2 e−λ|x| , λ 0 ´ λµº Mξ Dξº ½¼º½¿º A¸ ¹ R ¸ º ξ A õ Oxº õ Mξ ½¼º½ º P ¹ Rº η P º
½ ¼
½¼º F(x) ¹ p(x) ηº F(x) p(x)º Mη Dηº ½¼º½ º A ¹ º ξ A Oxº ½µ |ξ| ¾µ ¹ |ξ| ¿µ M|ξ| µ P{|ξ| 1/2}º ½¼º½ º ξ ¹ ¸ ½µ [a; b]¸ a 0¸ a b ¾µ õ ¹ (ν; θ) ¿µ λº η ¹ ξ ¹ º ½¼º½ º ξ ¸ ½µ [a; b]¸ a 0¸ a b ¾µ õ ¹ (ν; θ) ¿µ λº η ξ º ½¼º½ º ξ ¸ ½µ [a; b]¸ a 0, a b ¾µ λº η ³õ ξ¸ ηº ½¼º½ º [0; 1] º þ ¹ º ηº ½º ¸ õ µ µ º ¾º ¸ õ µ µ º ¿º ¸ õ µ µ º
½¼º¾º ½ ½ º ³õ ¸ õ µ µ º ½¼º¾¼º ξ η ¹ º ¹ ½ ◦ min{ξ, η} ¾ ◦ max{ξ, η} ¿ ◦ ξη ◦ η/(ξ + 1) ◦ η exp{ξ} ◦ exp{− min{ξ, η}}¸ µ ξ η ¹ [0; 1] µ ξ ¹ [0; 1]¸ η [0; 2] µ ξ [0; 1]¸ η õ ¹ λ µ ξ η ¹ λ ´ ½ ◦¸ ¾ ◦¸ ¿ ◦¸ ◦µº ½¼º¾½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ õ p(x) = 0, x ≤ α; exp{α − x}, x α. M min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}º ½¼º¾¾º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ [a; b]º ¹ 1) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 3) 1 n n i=1 ξiº ½¼º¾¿º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ õ p(x) = 0, x ∈ [θ − h; θ + h]; 1/2h, x ∈ [θ − h; θ + h]. ¹ 1) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 3) (max{ξ1, ξ2, . . . , ξn} − min{ξ1, ξ2, . . . , ξn})/2. ½¼º¾ º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ õ p(x) = 0, x ≤ θ; 1 α exp − 1 α(x − θ) , x θ.
½ ¾
½¼º ¹ 1) ξ = 1 n n i=1 ξi; 2) min{ξi}; 3) ˆθ1 = min{ξi} − ξ − min{ξi} n ; 4) ˆθ2 = ξ − ˆθ1. ½¼º¾ º þ ξ1, ξ2, . . . , ξn 1/θº ¹ ξ = 1 n n i=1 ξiº ½¼º¾ º [0; T] º ξ º ξ¸ Mξ¸ Dξ¸ Mξnº ½¼º¾ º P x2 + y2 = 1. η ¹ OP P Oxº ηº ½¼º¾ ∗º R º η Mηº ½¼º¾ º (0; 0) (0; R) ¸ ¹ (0; R)º ¹ x2 + y2 = R2 Oyº õ º ½¼º¿¼∗º Ax = {(u, v) : u + v x} R2¸ x ¸ º MIAx (ξ, η)¸ ½µ Q ζ = (ξ, η) ¾µ F G ξ η ¿µ f g ξ ηº
½¼º¾º ½ ¿ ½¼º¿½º þ η N0;1º ¹ η+ = max{0, η}º ½¼º¿¾º þ η N0;σ2 º ¹ η+ = max{0, η}º ½¼º¿¿º ¸ ¹ ξ p(x) = θ exp{−θx}, x 0; 0, x ≤ 0, θ 0 ´p(x) ¹ θµº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) = θm (m − 1)! xm−1 exp {−θx} , x 0; 0, x ≤ 0, θ 0 ´p(x) (m; θ)¸ m = 1, 2, . . .µº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) =    1 2 n/2 Γ n 2 xn/2−1 exp −1 2x , x 0; 0, x ≤ 0 ´p(x) χ2¹ n µº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) =    1√ 2πσ2x exp − (ln x − µ)2 2σ2 , x 0; 0, x ≤ 0,
½
½¼º σ 0 ´p(x) ¹ (µ; σ2)µº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) = θλθ xθ+1 , x λ 0; 0, x ≤ λ, θ 2 ´p(x) (λ; θ)µº ½¼º¿ º ξ η ¸ ξ [1; 2]¸ η õ θº ¹ 1) ζ1 = ξη; 2) ζ2 = ξ + η; 3) ζ3 = η/ξ. ½¼º¿ º A ¹ º ξ A Oxº ½µ ξ ¾µ ¹ ξ ¿µ Mξ µ P{ξ 1/2}º ½¼º ¼º ζ = (ξ, η) ¹ fζ(x, y)º Mξ¸ Mηº ½¼º ½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ´ Fµ R1¸ R1 = r i=1 Xi, Xi ∩ Xj = ∅, i = j, νi ξ1, ξ2, . . . , ξn¸ ¹ Xi¸ pi = F(Xi) ¸ ¸ ξk Xi¸ i = 1, 2, . . . , rº Mνi, Dνi, i = 1, 2, . . . , r.
½½ ½½º½ º Á R1 ¹ ³õ ¸ ¸ F σ¹ B1 R1º Á ¸ R1 ¹ σ¹ B1 ´ º º º¾ º µº º F R1º F(x)¸ x ∈ R1¸ F(x) = F((−∞, x)), õ Fº F õ õ õ F(x)º º F(x) F(x) = x −∞ f(y)dy, F ¸ ¹ f Fº Á F ¸ õ X ⊂ R1 ½
½
½½º xi¸ ¸ F({xi}) 0, xi∈X F({xi}) = 1, xi F ¹ ¸ F Xº õ ¸ X g(y)F(dy) g(y) F õ X g(y)f(y)dy, F ¹ f¸ xi∈X g(xi)F({xi}), F ¸ ¹ Xº º ϕ R1 ¹ R1 F R1º º ϕ ¹ F u(x)¸ ¹ x ∈ R1 u(x) = R1 ϕ(x − y)F(dy). ϕ F u = F ∗ ϕ.
½½º½º ½ º G F Q¸ ¹ Q(x) õ G(x) ¹ F Q(x) = R1 G(x − y)F(dy). G ¹ F F ∗ Gº ¸ F ¹ f ¸ Q(x) = R1 G(x − y)F(dy) = R1 G(x − y)f(y)dy. ´½½º½º½µ ¹ º Á ¸ F¸ G¸ Q ¸ F ∗ G = G ∗ F, (F ∗ G) ∗ Q = F ∗ (G ∗ Q). ¸ ¹ º ý ¸ õ º º V = F∗G G F õ v õ g G F v(x) = R1 g(x − t)F(dt). ´½½º½º¾µ ¸ F G ¸ ¹ ¹ G F g f õ ¹ ¸ v õ
½
½½º g f v(x) = R1 g(x − y)f(y)dy = R1 f(x − y)g(y)dy. ´½½º½º¿µ g f v = f ∗ g = g ∗ f. ½½º½º½º ¸ ¹ ¸ fµ;θ ∗ fν;θ = fν+µ;θ. ³ º ¹ ¹ (ν; θ) õ fν;θ(x) = θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx}, x 0; 0, x ≤ 0, θ 0, ν 0º x ≤ 0¸ fµ;θ ∗ fν;θ = fν+µ;θ º x 0 õ fµ;θ ∗ fν;θ(x) = +∞ 0 fν;θ(x − y)fµ;θ(y)dy = = x 0 fν;θ(x − y)fµ;θ(y)dy = = x 0 θν Γ(ν) (x − y)ν−1 e−θ(x−y) θµ Γ(µ) yµ−1 e−θy dy = = θν+µ Γ(ν)Γ(µ) e−θx x 0 (x − y)ν−1 yµ−1 dy.
½½º¾º ½ þ õ y = xt θν+µ Γ(ν)Γ(µ) e−θx x 0 (x − y)ν−1 yµ−1 dy = = θν+µ Γ(ν + µ) xν+µ−1 e−θx Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt = = fν+µ;θ(x) Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt. ¸ fµ;θ ∗ fν;θ(x) = fν+µ;θ(x) Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt. fµ;θ ∗fν;θ fν+µ;θ ¸ Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt = 1. ¸ fµ;θ ∗ fν;θ = fν+µ;θ. ½½º¾ õ ³ ¹ ¹ º
½ ¼
½½º º ¹ õ º Á ¸ ξ η ¹ F G ¸ Q(x) ¸ Q(x) = R1 G(x − y)F(dy). ´½½º½º¾µ¸ ´½½º½º¿µ õ ¹ ¸ ¸ õ ¸ õ ¹ º ¹ õ ¹ º Á ¸ ξ η pξ(t) pη(t) ¸ u(x) ξ + η õ pξ(t) pη(t)¸ u(x) = R1 pξ(x − y)pη(y)dy = R1 pη(x − y)pξ(y)dy. ´½½º¾º½µ v(x) ζ = ξ − η õ v(x) = R1 pξ(x + y)pη(y)dy. ´½½º¾º¾µ ½½º¾º½º ξ η ¹ ¸ [0; 1]º
½½º¾º ½ ½ 1◦ ζ = ξ + η 2◦ ζ = ξ + η 3◦ P{|ξ + η − 1/2| 1}º ³ º 1◦ ¹ ξ η fξ(y) = 1, y ∈ [0; 1]; 0, y ∈ [0; 1], fη(y) = 1, y ∈ [0; 1]; 0, y ∈ [0; 1], ζ = ξ + η õ ´ º ´½½º¾º½µµ fζ(x) = R1 fξ(x − y)fη(y)dy = 1 0 fξ(x − y)dy = x x−1 fξ(t)dt ´ x − y = tµº x ∈ R1¸ õ¹ x 0¸ x x−1 fξ(t)dt = x x−1 0dt = 0 0 ≤ x 1¸ x x−1 fξ(t)dt = 0 x−1 0dt + x 0 1dt = x 0 ≤ x − 1 1¸ x x−1 fξ(t)dt = 1 x−1 1dt + x 1 0dt = = 2 − x x − 1 ≥ 1¸ x x−1 fξ(t)dt = x x−1 0dt = 0º ¸ ζ = ξ + η õ fζ(x) =    0, x 0; x, 0 ≤ x 1; 2 − x, 1 ≤ x 2; 0, x ≥ 2.
½ ¾
½½º 2◦ Fζ(x) ζ fζ(t) õ Fζ(x) = x −∞ fζ(t)dt = =    x −∞ 0dt = 0, x 0; 0 −∞ 0dt + x 0 tdt = x2/2, x ∈ [0, 1); 1 0 tdt + x 1 (2 − t)dt = −(x − 2)2/2 + 1, x ∈ [1, 2); 0 −∞ 0dt + 1 0 tdt + 2 1 (2 − t)dt = 1, x ≥ 2. 3◦ fζ(t) ζ ¸ ζ B¸ õ P{ζ ∈ B} = B fζ(t)dt ´ º ´ º½º µµº ¸ P {|ξ + η − 1/2| 1} = P {|ζ − 1/2| 1} = = P {−1/2 ζ 3/2} = = 3/2 −1/2 fζ(t)dt = 0 −1/2 0dt + 1 0 tdt + 3/2 1 (2 − t)dt = 7 8 . ½½º¾º¾ º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¸ N0;1º ¹ η = n i=1 ξ2 i .
½½º¾º ½ ¿ ³ º ¸ ξ ¹ N0;1¸ η = ξ2 õ ¹ ¹ (1/2; 1/2)º Fη(x) = P{η x} = P{ξ2 x}. x ≤ 0 Fη(x) = P{ξ2 x} õ ¸ x 0 Fη(x) = P{|ξ| √ x} = 1 √ 2π √ x − √ x exp{−t2 /2}dt = = 1 √ 2π x 0 s−1/2 e−s/2 ds = (1/2)1/2 Γ(1/2) x 0 s1/2−1 e−s/2 ds ´ t2 = s Γ(1/2) = √ πµº ¸ Fη(x) = (1/2)1/2 Γ(1/2) x 0 s1/2−1 e−s/2 ds, õ ¹ (1/2; 1/2)º ¸ ¹ ¹ ´ º ½½º½º½µ¸ n ¹ (1/2; 1/2) õ ¹ ¹ (n/2; 1/2)º
¹ (n/2; 1/2) ¹ χ2¹ n º
½
½½º ½½º¿ ü 11.2(1), 11.4(1, 3), 11.13(1), 11.17º 11.2(2, 3), 11.3, 11.4(2, 6), 11.13(2), 11.18º ½½º½º ξ η ξ [0; 1]¸ η õ Pη(k) = P{η = k} = 1/2, k = 0, 1º ζ = ξ + ηº ½½º¾º þ ξ η ¹ ½µ [a; b]¸ a b ¾µ [0; a]¸ a 0 ¿µ [−a; a]¸ a 0 µ [−1/2; 1/2]º ζ = ξ + ηº ½½º¿º ξ η ¸ [0; 1] [0; 2]º p(x) ζ = ξ + ηº ½½º º ξ η ξ [−1; 1]¸ η ¹ [0; 1]º ½µ P{ξ2 + η 1/2} ¾µ P{ξ + η 1} ¿µ P{|ξ + η| 1/2} µ P{|η − ξ| 1/2} µ P{η2 − ξ 0} µ P{|ξ| + η 1}º ½½º º þ ξ η ¹ 1) [a; b], a b 2) [0; a]¸ a 0 3) [−a; a]¸ a 0 4) [0; 1]º pζ(x) ζ = ξ − ηº ½½º º [0; 1] º ξ õ ¸ η º ¹ ξ ηº ½½º º ξ ¸ [0; 1]¸ η ¸ ¹ º ζ = ξ + ηº ½½º º [0; 1] ¸
½½º¿º ½ ξ õ ¸ η º 0 x 1 P{|η − ξ| x}º ½½º º [0; 1] º ¹ º ½½º½¼º ξ1 ξ2 pi(x) = λie−λix, x 0; 0, x ≤ 0; λi 0, i = 1, 2; λ1 = λ2º ½µ ξ1+ξ2 ¾µ ξ2 − ξ1º ½½º½½º ξ η ¸ ¹ λº ½µ ξ + η ¾µ ξ − η ¿µ |ξ − η|º ½½º½¾º ξ1 ξ2 ¸ ½ ¾º ξ1 + ξ2º ½½º½¿º ξ η p(x) = exp{−|x|}/2º ½µ ξ + η ¾µ ξ − ηº ½½º½ º ξ η ξ [−a; a]¸ η õ ¹ λº ζ = ξ + ηº ½½º½ º ξ1 ξ2 ¹ ξ1 [−1; 1]¸ ξ2 õ λ = 1º ¹ η = ξ1 + ξ2º ½½º½ º þ η ¹ [−h; h]¸ ξ õ õ õ ¹ F(x)¸ ξ η º ´ õµ ζ = ξ + ηº ½½º½ º ξ η º þ ξ õ P ξ = (−1)k = G {(−1)k } = 1/2, k = 0, 1,
½
½½º η Qº ζ = ξ + ηº ½½º½ º ξ η ξ [0; 1]¸ η õ P{η = k} = (1/4)k (3/4)1−k , k = 0, 1. ζ = ξ + ηº ½½º½ º n ¹ ¸ õ λº ¹ ´ º º¿µº ½½º¾¼º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ [0; 1] º η = ξ1ξ2 . . . ξn. Mηº ½½º¾½º ξ η ¹ (ν, θ) (µ, θ)º ¹ ξ + ηº ½½º¾¾º ξ η χ2¹ n m ¹ º ¸ ξ+η õ χ2¹ n + m º ½½º¾¿º þ ξ η ¸ ξ õ ¹ ¹ (ν, θ)¸ η ¹ θº ¹ ζ = ξ + ηº ½½º¾ º ξ ¸ ¹ [0; 1]¸ η ¸ º ζ = ξ + ηº ½½º¾ º F Q R1¸ u(s) R1º ¸ R2 u(x + y)(F × Q)(d(x, y)) = R1 u(s)(F ∗ Q)(ds).
½¾ ½¾º½ º R1 ´ º º ½½º½ º ½½µº F F(x) = F((−∞, x)) õ F([a; b)) = F(b) − F(a) ´ a bµº F({x0}) F ¹ {x0} F(x) õ F({x0}) = F(x0 + 0) − F(x0 − 0). º F R1 ´ µ¸ F(R1) = 1¸ ¸ F(R1) 1º F ¸ F(+∞) = 1 F(−∞) = 0 F ¹ ¸ õ F(+∞) 1 F(−∞) 0º º ½
½
½¾º º x0 ¹ F¸ F({x0}) 0º F ¹ ¸ º º Á I [a; b) ´ µ F¸ a b õ Fº º {Fn} õ F¸ n → ∞¸ Fn(I) → F(I) I ¹ F¸ Fn → F lim n Fn = F. F ¸ ¸ {Fn} õ F ¹ ¸ F ¸ ¹ º õ ¹ 1◦ {Fn(x)} ¹ õ F(x) ¹ ¸ {Fn} õ F ( )º 2◦ þ Fσ ¹ a õ σ2¸ õ 0¸ ¹ ¸ aº ½¾º½º½ º {Fn} ¹ Fn(x) = 0, x 0; nx, 0 ≤ x ≤ 1/n; 1, x 1/n. {Fn} º
½¾º½º º ½ ³ º ¸ n → ∞¸ ¹ {Fn(x)} õ F(x) = 1, x 0; 0, x ≤ 0 ¸ x = 0¸ ¹ ¸ x = 0 ´ x = 0 õ ¹ F(x)µº ¸ ¸ ¹ x¸ ¸ n õ Fn(x) = 0¸ lim n Fn(x) = 0 = F(x)º ¸ x¸ ¸ N (n ≥ N) õ 1/n xº n ≥ N Fn(x) ¹ õ 1¸ ¸ lim n Fn(x) = 1 = F(x)º ¸ n → ∞¸ Fn(x) → F(x) x ∈ R1 ¸ ¸ ¼º ¸ ½ ◦ ¹ ¸ õ Fn → F, n → ∞º ¸ {Fn} õ ¹ ¸ 0º ½¾º½º¾º {Qn} ¹ qn(x) = n √ 2π exp − (x − (−1)n)2n2 2 , n = 1, 2, . . . {Qn} º ³ º ¾ ◦ n {Qn} õ ¸ ¹ 1¸ ¸ −1º {Qn} õ º
½ ¼
½¾º ½¾º½º¿º Fh fh(x) = 1 √ 2πh exp − (x − a)2 2h2 . Fh 1◦ h → ∞ 2◦ h → 0º ³ º ½ ◦ ¸ F(x) = c¸ x ∈ R1¸ c [0; 1]¸ õ õ ¸ ¹ õ º ¸ F([a; b)) F [a; b) õ F(b) − F(a) = 0¸ F(A) = 0 A A ³õ ¹ [a; b) ´a b ³ ¹ µ¸ ¸ ¸ σ(A) = B1º ¸ {Fn(x)} õ F(x) = c ´c [0; 1]µ¸ Fh h → ∞ õ F¸ õ º ¸ Fh(x) = x −∞ fh(t)dt = 1 √ 2πh x −∞ exp − (t − a)2 2h2 dt = = 1 √ 2π (x−a)/h −∞ exp − u2 2 du ´ (t − a)/h = uµº x lim h→∞ Fh(x) = 1 √ 2π 0 −∞ exp − u2 2 du = 1 2 . Fh h → ∞ õ ¸ ¹ õ º
½¾º½º º ½ ½ ¾ ◦ h → 0 ³ Fh õ ¹ ¸ a ´ µº º {Fn} ¹ õ F n → ∞ ¹ U¸ u ∈ U R1 u(x)Fn(dx) → R1 u(x)F(dx) n → ∞. C(−∞; +∞) ¹ R1 C0[−∞; +∞] ¸ lim x→+∞ u(x) = 0, lim x→−∞ u(x) = 0. ½¾º½º½º ( ) {Fn} F õ {Fn} F C0[−∞; +∞] º Á {Fn} F õ {Fn} F ¹ C(−∞; +∞)º ½¾º½º º {Fn} ¹ fn(x) = n √ 2π exp − x2n2 2 , n = 1, 2, . . . lim n→∞ R1 eitx Fn(dx). ³ º {Fn} ¹ õ F¸ 0 ´ ¾ ◦ ¹ µº ½¾º½º½ {Fn} ¹ õ F C(−∞; +∞)º Á
½ ¾
½¾º eitx ∈ C(−∞; +∞)¸ lim n→∞ R1 eitx Fn(dx) = R1 eitx F(dx) = eit0 F({0}) = 1. ½¾º½º º F m õ σ2º ¸ a 0 F{x : |x − m| ≥ a} ≤ σ2 a2 . ³ º σ2 = R1 (x − m)2 F(dx) ≥ x:|x−m|≥a (x − m)2 F(dx) ≥ ≥ x:|x−m|≥a a2 F(dx) = a2 x:|x−m|≥a F(dx) = a2 F{x : |x − m| ≥ a}. ½¾º½º º {Fn} ¹ an¸ a¸ σ2 n¸ 0º ¸ {Fn} õ ¹ ¸ aº ³ º ¸ {Fn(x)} õ Fa(x) ¸ a¸ Fa(x) = 0, x ≤ a; 1, x a, x = aº t 0, x = a−2tº an → a¸ n → ∞¸ n Fn(x) = Fn(a−2t) = Fn((−∞, a−2t)) ≤ Fn((−∞, an−t)) = = Fn{y : y an − t} ≤ Fn{y : |y − an| ≥ t} ≤ σ2 n t2 , Fn(a − 2t) → 0¸ n → ∞ ´ ¹ ½¾º½º µº ü õ ¸ Fn(a + 2t) → 1¸ n → ∞º
½¾º¾º ½ ¿ ½¾º¾ ü 12.1, 12.3, 12.5, 12.7(2, 5), 12.9, 12.11, 12.12, 12.15∗ º 12.2, 12.4, 12.6, 12.7(1, 3, 4), 12.10, 12.16∗ º ½¾º½º {Na;σ2 n } ¹ a σ2 nº ¹ ¸ σ2 n õ ¸ {Na;σ2 n } õ ¸ ¹ aº ½¾º¾º Fa ¸ ¹ aº {Fn} ½ ◦ n → +∞ ¾ ◦ n → −∞º ½¾º¿º F(x) º ¹ {Fn}¸ Fn(x) =    0, x ≤ −1/n; F(x) − F(−1/n) F(1/n) − F(−1/n) , − 1/n x ≤ 1/n; 1, x 1/n. ½¾º º {Fn} ¹ Fn(x) = 0, x ≤ −1/n; n(x + 1/n)/2, − 1/n x ≤ 1/n; 1, x 1/n. ³ ¸ õ {Fn}º ½¾º º {Fn} ¹ fn(x) = n/2, x ∈ [−1/n; 1/n]; 0, x ∈ [−1/n; 1/n]. ³ ¸ õ {Fn}º
½
½¾º ½¾º º {Fn} ¹ fn(x) =    0, x ≤ −1/n; n2(x + 1/n), − 1/n x ≤ 0; −n2(x − 1/n), 0 x ≤ 1/n; 0, x 1/n. ³ ¸ õ {Fn}¸ n → ∞º ½¾º º F(x) º ¹ ¸ ¹ ½µ Fn(x) = F(x + 1/n), n = 1, 2, . . . ; ¾µ Gn(x) = F(x + n), n = 1, 2, . . . ; ¿µ Sn(x) = F(x − n), n = 1, 2, . . . ; µ Pn(x) = F(x/n), n = 1, 2, . . . ; µ Qn(x) = F(x + (−1)nn), n = 1, 2, . . . ½¾º º ³ ¸ õ ¹ {Pn} pn(x) = n √ 2π exp − (x − 1)2n2 2 , n = 1, 2, . . . ½¾º º ³ ¸ õ ¹ 1) Fn : −n n 1/2 1/2 , n = 1, 2, . . . ; 2) Gn : −1/n 1/n 1/2 1/2 , n = 1, 2, . . . ½¾º½¼º {Fn} ¹ fn(x) = n/2, x ∈ [(−1)n − 1/n; (−1)n + 1/n]; 0, x ∈ [(−1)n − 1/n; (−1)n + 1/n]. ³ ¸ õ {Fn}¸ n → ∞º
½¾º¾º ½ ½¾º½½∗º Nx;σ2 (y) = 1 √ 2πσ y −∞ exp − (t − x)2 2σ2 dt; x, y ∈ R1 , σ 0. lim σ→0 Nx;σ2 (y). ½¾º½¾º {Fn} ¹ fn(x) = n √ 2π exp − (x − 1)2n2 2 , n = 1, 2, . . . lim n→∞ R1 sin x Fn(dx). ½¾º½¿º {Fn} ¹ ½¾º½¾º lim n→∞ R1 cos xFn(dx). ½¾º½ ∗º F ¸ Nx;σ2 (y) = 1 √ 2πσ y −∞ exp − (t − x)2 2σ2 dt; x, y ∈ R1 , σ 0. lim σ→0 +∞ −∞ Nx;σ2 (y)F(dx), y Fº
½
½¾º ½¾º½ ∗º Fλ(y) = k:0≤ky λk k! e−λ , y 0; Fλ(y) = 0, y ≤ 0, λ 0. lim λ→0 Fλ(y). ½¾º½ ∗º Fλ(y) = k:0≤ky λk k! e−λ , y 0; Fλ(y) = 0, y ≤ 0, λ 0. lim λ→0 +∞ −∞ e−y2/2 Fλ(dy). ½¾º½ º {Fn} ¹ fn(x) = n/2, x ∈ [(−1)n/n − 1/n; (−1)n/n + 1/n]; 0, x ∈ [(−1)n/n − 1/n; (−1)n/n + 1/n] º ³ ¸ õ {Fn} n → ∞º ½¾º½ º {Fn} ¹ F n → ∞ Fn({k}) → F({k}) kº ¸ Fn → Fº
½¿ ½¿º½ ¸ ¸ º ξ ¸ F º õ ¹ ξ ( F) ϕ(t)¸ t ∈ R1 ϕ(t) = Meitξ = R1 eitx F(dx). F ´ ξµ õ f¸ ϕ(t) = Meitξ = R1 eitx f(x)dx; F ¸ F : xk → F({xk}) 0, k = 1, 2, . . . ; xk F({xk}) = 1, ½
½
½¿º ϕ(t) = Meitξ = xk exp{itxk}F({xk}). º ¹ º ¹ õ ¹ º ¹ ¹ õ º ´ ¹ µº n¹ ¹ F ¸ õ n¹ ¹ ϕ(t) = +∞ −∞ eitx F(dx) F¸ ϕ(n) (t) = in +∞ −∞ eitx xn F(dx). º ϕ(n) (0) = in +∞ −∞ xn F(dx) = in Mξn ϕ(t) õ ϕ(t) = 1 + t 1! ϕ(1) (0) + t2 2! ϕ(2) (0) + . . . + tn n! ϕ(n) (0) + o(tn ), t → 0º
½¿º½º ¸ ¸ ½ ½¿º½º½º ¹ ξ¸ õ λ P{ξ = k} = λk k! e−λ , k = 0, 1, 2, . . . ³ º ϕ(t) = Meitξ = ∞ k=0 eitk λk k! e−λ = e−λ ∞ k=0 (eitλ)k k! = = exp{−λ} exp{λeit } = exp{λ(eit − 1)}. ½¿º½º¾º (a; σ2) º ³ º ϕ(t) ξ¸ ¹ (0; 1)º ϕ(t) = Meitξ = +∞ −∞ eitx 1 √ 2π e−x2/2 dx = = 1 √ 2π +∞ −∞ e−x2/2 cos txdx + i √ 2π +∞ −∞ e−x2/2 sin txdx. õ +∞ −∞ e−x2/2 sin tx dx = lim n→+∞ +n −n e−x2/2 sin tx dx = 0. õ ϕ(t)¸ ¹ ´ ¹ µ ϕ ′ (t) = 1 √ 2π +∞ −∞ x(− sin tx)e−x2/2 dx =
½ ¼
½¿º = 1 √ 2π +∞ −∞ sin txde−x2/2 = = − 1 √ 2π +∞ −∞ t cos tx · e−x2/2 dx = −tϕ(t). ϕ ′ (t)/ϕ(t) = −t. ³ ¸ õ ϕ(t) = e−t2/2 ´ ¸ ϕ(0) = 1µº ¸ ξ N0;1¸ η = σξ + a ¹ (a; σ2) ´ õ ¹ µ¸ õ ψ(t) ¹ η¸ Na;σ2 ¸ õ ψ(t) = Meitη = Meit(σξ+a) = eita Mei(σt)ξ = eita ϕ(σt) = = exp{ita} exp{−σ2 t2 /2} = exp{ita − σ2 t2 /2}. ½¿º¾ õ õ º º ¹ õ º º ¹ {Fn} ¸ ¹ ¸ ¹ {ϕn(t)} ϕ(t) t ∈ R1º ϕ(t) {ϕn(t)} õ
½¿º¾º õ ½ ½ õ F {ϕn(t)} õ ϕ(t) ¹ º ½¿º¾º½º F Q ¹ (a1; σ2 1) (a2; σ2 2)º F ∗ Q Q Fº ³ º ´ ¹ õ ¹ µ¸ ¹ ϕ1(t) = exp ita1 − t2 σ2 1/2 ϕ2(t) = exp ita2 − t2 σ2 2/2 F Q (a1; σ2 1) (a2; σ2 2) ´ º ½¿º½º¾µ ¹ F ∗ Q ϕ(t) = ϕ1(t)ϕ2(t) = exp it(a1 + a2) − t2 (σ2 1 + σ2 2)/2 . ¸ ¸ ϕ(t) F ∗ Q¸ ¸ ϕ(t) = exp it(a1 + a2) − t2 (σ2 1 + σ2 2)/2 õ õ (a1 + a2; σ2 1 + σ2 2)¸ F ∗Q ¹ (a1 + a2; σ2 1 + σ2 2) ¹ º ü õ º ¸ ¹ (a1; σ2 1) (a2; σ2 2) õ ¹ (a1 +a2; σ2 1 +σ2 2) ( )º ½¿º¾º¾ º F Q ¹ λ1 λ2º F ∗ Q Q Fº ³ º ¹ λ1 λ2 õ ϕ1(t) = exp{λ1(eit − 1)} ϕ2(t) = exp{λ2(eit − 1)}
½ ¾
½¿º ´ º ½¿º½º½µ¸ ϕ(t) F ∗ Q¸ ¸ õ ϕ1(t)ϕ2(t)¸ ϕ(t) = ϕ1(t)ϕ2(t) = exp{(λ1 + λ2)(eit − 1)}. ü exp{(λ1 + λ2)(eit − 1)} λ1 + λ2º õ F ∗Q õ λ1 + λ2º ¸ λ1 λ2 õ λ1 + λ2 ( )º ½¿º¾º¿ ´ µº ¹ ξn,pn ¹ (n; pn)º ¸ npn → λ n → ∞¸ ξn,pn õ ¹ λº ³ º ϕn(t) ξn,pn ¸ n → ∞¸ {ϕn(t)} õ ¹ λº ϕn(t) (n; pn) ξn,pn õ 1 + pn eit − 1 n ¸ ϕn(t) = 1 + pn eit − 1 n ´ º ³ ½¿º µº ¸ npn → λ¸ n → ∞¸ pn → 0 ln ϕn(t) = n ln 1 + pn eit − 1 t õ ln ϕn(t) ∼ npn eit − 1 , n → ∞. n → ∞ õ ln ϕn(t) → λ eit − 1 ,
½¿º¿º ½ ¿ ϕn(t) → exp{λ(eit − 1)}. ü exp{λ(eit − 1)} ¹ λ¸ ¹ ξn,pn õ λº ½¿º¿ ü 13.1, 13.2, 13.5, 13.6, 13.7, 13.9, 13.10, 13.16, 13.17, 13.27º 13.2, 13.4, 13.8, 13.14, 13.18, 13.19, 13.20, 13.21, 13.23, 13.25º ½¿º½º ξ õ 1 −1¸ 1/2º ¹ ξº ½¿º¾º ξ õ −1¸ 0¸ 1¸ 1/3º ¹ ξº ½¿º¿º ¸ ϕ(z) = cos2 z õ õ º ½¿º º ¸ ϕ1(z) = ∞ k=0 ak cos kz, ϕ2(z) = ∞ k=0 akeiλkz ak ≥ 0, ∞ k=0 ak = 1 õ º º ½¿º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ 1 −1 ¹ 1/2º Sn = ξ1 + ξ2 + . . . + ξn. ½¿º º ¸ ϕ(z) = cosn z õ õ ´ nµº
½
½¿º ½¿º º ¹ ξ¸ (n; p) P{ξ = k} = Ck npk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n. ½¿º º ¹ ξ¸ p P{ξ = k} = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . . ½¿º º ξ ¸ õ λº ¹ (ξ − λ)/ √ λº ½¿º½¼º ¸ [−a; a]º ½¿º½½º ¹ ¸ [a; b]º ½¿º½¾º ¹ p(x) = e−|x|/2º ½¿º½¿º ¹ aº ½¿º½ º ¹ aº ¹ f(x) = a 2 e−a|x| , a 0. ½¿º½ º ¹ a (a 0)º ¹ p(x) = 0, |x| ≥ a; (a − |x|)/a2, |x| a. ½¿º½ ∗º ¹ aº p(x) = 1 π a a2 + x2 , x ∈ R1 .
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7
Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7

Recomendados

Analysis day2
Analysis day2Analysis day2
Analysis day2
Олег Стрекаловский
 
Мath101 lecture 2
Мath101 lecture 2Мath101 lecture 2
Мath101 lecture 2
Munhbayr Sukhbaatar
 
Problemas cuestiones resueltos_pau
Problemas cuestiones resueltos_pauProblemas cuestiones resueltos_pau
Problemas cuestiones resueltos_pauConCiencia2
 
Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.
Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.
Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.
Néstor Balcázar A.
 
Математичні методи у психології. Навчальний посібник
Математичні методи у психології. Навчальний посібникМатематичні методи у психології. Навчальний посібник
Математичні методи у психології. Навчальний посібник
ipz
 
Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Logiki 2015-final-koy
Logiki 2015-final-koyLogiki 2015-final-koy
Logiki 2015-final-koy
Christos Loizos
 

Recomendados

Analysis day2
Analysis day2Analysis day2
Analysis day2
Олег Стрекаловский
 
Мath101 lecture 2
Мath101 lecture 2Мath101 lecture 2
Мath101 lecture 2
Munhbayr Sukhbaatar
 
Problemas cuestiones resueltos_pau
Problemas cuestiones resueltos_pauProblemas cuestiones resueltos_pau
Problemas cuestiones resueltos_pauConCiencia2
 
Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.
Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.
Mecánica de Fluidos 01. Introducción a la Mecánica de Fluidos.
Néstor Balcázar A.
 
Математичні методи у психології. Навчальний посібник
Математичні методи у психології. Навчальний посібникМатематичні методи у психології. Навчальний посібник
Математичні методи у психології. Навчальний посібник
ipz
 
Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de Leyes de exponentes II ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007
Sesión de Aprendizaje de leyes de exponentes II ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Logiki 2015-final-koy
Logiki 2015-final-koyLogiki 2015-final-koy
Logiki 2015-final-koy
Christos Loizos
 
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
metodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdfmetodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdf
DiegoMercedario
 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
JulioRodrguezBerroca1
 
Guia de-inecuaciones-de-ingieneria
Guia de-inecuaciones-de-ingieneriaGuia de-inecuaciones-de-ingieneria
Guia de-inecuaciones-de-ingieneria
MATAYUS1988
 
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatexs9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
JeanHuarcaya2
 
Ejercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinezEjercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinez
GabrielaCml
 
Balance de masa
Balance de masaBalance de masa
Balance de masa
www.youtube.com/cinthiareyes
 
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxS14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
jeanhuarcaya4
 
Cuestionario 3 preicfes derivadas
Cuestionario 3 preicfes derivadasCuestionario 3 preicfes derivadas
Cuestionario 3 preicfes derivadasCarmelo Perez
 
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptxALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
LUISEDUARDOLUJANAREV
 
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Ecuaciones diferenciales aplicaciones
Ecuaciones diferenciales aplicacionesEcuaciones diferenciales aplicaciones
Ecuaciones diferenciales aplicaciones
Freddy Quizhpi
 
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Diego López
 
Exponentesyradicales1
Exponentesyradicales1Exponentesyradicales1
Exponentesyradicales1Mocha Danny
 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
JeanHuarcaya2
 
Componentes rectangulares
Componentes rectangularesComponentes rectangulares
Componentes rectangulares
Ricardo Caiza
 
Skema jawapan percubaan 2011
Skema jawapan percubaan 2011Skema jawapan percubaan 2011
Skema jawapan percubaan 2011Raja Segaran
 
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdft3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
AngelCasodelaVega
 
Ejerciciossucesiones
EjerciciossucesionesEjerciciossucesiones
Ejerciciossucesiones
jhonny larico
 
290.основы физической кинетики учебное пособие
290.основы физической кинетики учебное пособие290.основы физической кинетики учебное пособие
290.основы физической кинетики учебное пособиеivanov15666688
 
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
DanielErazoMedina
 
Conceptos Básicos de Programación Proyecto
Conceptos Básicos de Programación ProyectoConceptos Básicos de Programación Proyecto
Conceptos Básicos de Programación Proyecto
cofferub
 

Más contenido relacionado

Similar a Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7

Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
metodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdfmetodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdf
DiegoMercedario
 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
JulioRodrguezBerroca1
 
Guia de-inecuaciones-de-ingieneria
Guia de-inecuaciones-de-ingieneriaGuia de-inecuaciones-de-ingieneria
Guia de-inecuaciones-de-ingieneria
MATAYUS1988
 
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatexs9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
JeanHuarcaya2
 
Ejercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinezEjercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinez
GabrielaCml
 
Balance de masa
Balance de masaBalance de masa
Balance de masa
www.youtube.com/cinthiareyes
 
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxS14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
jeanhuarcaya4
 
Cuestionario 3 preicfes derivadas
Cuestionario 3 preicfes derivadasCuestionario 3 preicfes derivadas
Cuestionario 3 preicfes derivadasCarmelo Perez
 
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptxALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
LUISEDUARDOLUJANAREV
 
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Ecuaciones diferenciales aplicaciones
Ecuaciones diferenciales aplicacionesEcuaciones diferenciales aplicaciones
Ecuaciones diferenciales aplicaciones
Freddy Quizhpi
 
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Diego López
 
Exponentesyradicales1
Exponentesyradicales1Exponentesyradicales1
Exponentesyradicales1Mocha Danny
 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
JeanHuarcaya2
 
Componentes rectangulares
Componentes rectangularesComponentes rectangulares
Componentes rectangulares
Ricardo Caiza
 
Skema jawapan percubaan 2011
Skema jawapan percubaan 2011Skema jawapan percubaan 2011
Skema jawapan percubaan 2011Raja Segaran
 
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdft3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
AngelCasodelaVega
 
Ejerciciossucesiones
EjerciciossucesionesEjerciciossucesiones
Ejerciciossucesiones
jhonny larico
 
290.основы физической кинетики учебное пособие
290.основы физической кинетики учебное пособие290.основы физической кинетики учебное пособие
290.основы физической кинетики учебное пособиеivanov15666688
 

Similar a Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7 (20)

Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
Teoria y problemas resueltos de teoria de exponentes ccesa007
 
metodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdfmetodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdf
 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
 
Guia de-inecuaciones-de-ingieneria
Guia de-inecuaciones-de-ingieneriaGuia de-inecuaciones-de-ingieneria
Guia de-inecuaciones-de-ingieneria
 
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatexs9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
s9(int.def.virtual2023-II_UNAC).pptmatex
 
Ejercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinezEjercicios gabriela martinez
Ejercicios gabriela martinez
 
Balance de masa
Balance de masaBalance de masa
Balance de masa
 
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxS14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
 
Cuestionario 3 preicfes derivadas
Cuestionario 3 preicfes derivadasCuestionario 3 preicfes derivadas
Cuestionario 3 preicfes derivadas
 
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptxALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
ALGebra_5TO_UNI_CAPitulo1 teroai exponente .pptx
 
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
Teoría y problemas resueltos de Algebra cepre unmsm ccesa007
 
Ecuaciones diferenciales aplicaciones
Ecuaciones diferenciales aplicacionesEcuaciones diferenciales aplicaciones
Ecuaciones diferenciales aplicaciones
 
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
Folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial 101017161544-phpapp02
 
Exponentesyradicales1
Exponentesyradicales1Exponentesyradicales1
Exponentesyradicales1
 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
 
Componentes rectangulares
Componentes rectangularesComponentes rectangulares
Componentes rectangulares
 
Skema jawapan percubaan 2011
Skema jawapan percubaan 2011Skema jawapan percubaan 2011
Skema jawapan percubaan 2011
 
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdft3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
t3ejerciciosresueltosAMPLI_unlocked.pdf
 
Ejerciciossucesiones
EjerciciossucesionesEjerciciossucesiones
Ejerciciossucesiones
 
290.основы физической кинетики учебное пособие
290.основы физической кинетики учебное пособие290.основы физической кинетики учебное пособие
290.основы физической кинетики учебное пособие
 

Último

ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
DanielErazoMedina
 
Conceptos Básicos de Programación Proyecto
Conceptos Básicos de Programación ProyectoConceptos Básicos de Programación Proyecto
Conceptos Básicos de Programación Proyecto
cofferub
 
Estructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdf
Estructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdfEstructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdf
Estructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdf
cristianrb0324
 
trabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6f
trabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6ftrabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6f
trabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6f
zoecaicedosalazar
 
TRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
TRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdfTRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
TRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
thomasdcroz38
 
Estructuras básicas_ conceptos de programación (1).docx
Estructuras básicas_ conceptos de programación (1).docxEstructuras básicas_ conceptos de programación (1).docx
Estructuras básicas_ conceptos de programación (1).docx
SamuelRamirez83524
 
biogas industrial para guiarse en proyectos
biogas industrial para guiarse en proyectosbiogas industrial para guiarse en proyectos
biogas industrial para guiarse en proyectos
Luis Enrique Zafra Haro
 
Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024
Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024
Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024
CesarPazosQuispe
 
EduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clases
EduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clasesEduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clases
EduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clases
PABLOCESARGARZONBENI
 
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
vazquezgarciajesusma
 
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.
AlejandraCasallas7
 
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdfDESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
sarasofiamontezuma
 
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdf
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdfDesarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdf
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdf
AlejandraCasallas7
 
Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...
Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...
Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...
espinozaernesto427
 
Posnarrativas en la era de la IA generativa
Posnarrativas en la era de la IA generativaPosnarrativas en la era de la IA generativa
Posnarrativas en la era de la IA generativa
Fernando Villares
 
MANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSAT
MANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSATMANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSAT
MANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSAT
Ing. Julio Iván Mera Casas
 
Conceptos Básicos de Programación. Tecnología
Conceptos Básicos de Programación. TecnologíaConceptos Básicos de Programación. Tecnología
Conceptos Básicos de Programación. Tecnología
coloradxmaria
 
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto
cdraco
 
Diagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdf
Diagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdfDiagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdf
Diagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdf
ManuelCampos464987
 
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
vazquezgarciajesusma
 

Último (20)

ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
ACTIVIDAD DE TECNOLOGÍA AÑO LECTIVO 2024
 
Conceptos Básicos de Programación Proyecto
Conceptos Básicos de Programación ProyectoConceptos Básicos de Programación Proyecto
Conceptos Básicos de Programación Proyecto
 
Estructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdf
Estructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdfEstructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdf
Estructuras Básicas_Tecnología_Grado10-7.pdf
 
trabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6f
trabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6ftrabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6f
trabajo de tecnologia, segundo periodo 9-6f
 
TRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
TRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdfTRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
TRABAJO DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
 
Estructuras básicas_ conceptos de programación (1).docx
Estructuras básicas_ conceptos de programación (1).docxEstructuras básicas_ conceptos de programación (1).docx
Estructuras básicas_ conceptos de programación (1).docx
 
biogas industrial para guiarse en proyectos
biogas industrial para guiarse en proyectosbiogas industrial para guiarse en proyectos
biogas industrial para guiarse en proyectos
 
Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024
Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024
Semana 10_MATRIZ IPER_UPN_ADM_03.06.2024
 
EduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clases
EduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clasesEduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clases
EduFlex, una educación accesible para quienes no entienden en clases
 
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
 
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.
 
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdfDESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
DESARROLLO DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO.pdf
 
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdf
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdfDesarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdf
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento.docx (3).pdf
 
Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...
Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...
Las lámparas de alta intensidad de descarga o lámparas de descarga de alta in...
 
Posnarrativas en la era de la IA generativa
Posnarrativas en la era de la IA generativaPosnarrativas en la era de la IA generativa
Posnarrativas en la era de la IA generativa
 
MANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSAT
MANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSATMANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSAT
MANUAL DEL DECODIFICADOR DVB S2. PARA VSAT
 
Conceptos Básicos de Programación. Tecnología
Conceptos Básicos de Programación. TecnologíaConceptos Básicos de Programación. Tecnología
Conceptos Básicos de Programación. Tecnología
 
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto
3Redu: Responsabilidad, Resiliencia y Respeto
 
Diagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdf
Diagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdfDiagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdf
Diagrama de flujo basada en la reparacion de automoviles.pdf
 
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
(PROYECTO) Límites entre el Arte, los Medios de Comunicación y la Informática
 

Turchin valeri teorya_imovrnostei__matematichna_statistika._osnovn_ponyattya_prikladi_zadach._litmir.net_bid246669_original_fedf7

  • 1.
  • 2.
  • 3. о с н о в н і п о н я т т я , приклади, з а д а ч і В.М. ТУРЧИН Дніпропетровськ. ІМА-прес. 2014 Підручник для студентів вищих навчальних закладів Затверджено Міністерством освіти і науки, молоді і спорту України Видання друге, перероблене і доповнене ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
  • 4. ½ º¾ ´¼ º µ ýý ¾¾º½ ¿ üºþº ¸ ¹ º¹ º ¸ º¸ º ü ¹ ´Á ü µ¸ º º ¸ ¹ º¹ º ¸ º¸ º¹ º ü ´ ¹ µº ¸ ¹ ( í ½»½½¹ ¾ ¼ ¼ º¼ º¾¼½½) þº º ¹ º ¸ ¸ º ÁÅ ¹ ¸ ¾¼½ º ¹ º ÁË Æ ¹ ¹¿¿½¹ ¿ ¹ õ ¹ ´ þ µº þ ¹ º ¹ ´ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ µº º ½ º¾ ´¼ º µ ýý ¾¾º½ ¿ þ
  • 5. ÁË Æ ¹ ¹¿¿½¹ ¿ ¹ þº º ¸ ¾¼½ º º ¸ ¸ ¾¼½
  • 7. ◦¸ ¹ ∗¸ º þ ³ º º ´ µ ¸ ¸ ½ ℄º ¹ ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ´¿º½º¾µ õ ¾ ½ ¿¸ º½¾ ½¾ º ¹ ¸ ¹ º ¹ ü º ü é ¹ º ü ¸ ¹ ¹ º ¸ ¹ þº º ¸ ¸ ¹ ¹ ¸ ¹
  • 8. ¸
  • 9. ¸ ¾¸ ¹ ¸ ¼½¼¸ ¸ ÚÒØÙÖ ÝÒ Ñ Ðº ÓÑ ü
  • 10.
  • 11. ½ ½º½ õ º A, B, C, . . . , º ¹ A n(A)º A¸ ¹ A B õ ¸ n(A) = n(B) ´ B ¸ Aµº º A B ¹ º a ∈ A b ∈ B ¹ (a, b)º ¹ (a, b), a ∈ A, b ∈ B ( ) A B A × Bº ½º½º½ º A × B B × A¸ A = {1, 2} B = {3, 4, 5}º ³ º A×B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}¸ B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}º
  • 12.
  • 13. ½º k A1, A2, . . . , Akº ¹ (a1, a2, . . . , ak)¸ a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , ak ∈ Ak¸ ´ µ A1, A2, . . . , Ak A1 × A2 × · · · × Ak. ½º½º¾ º A1 = R1, A2 = R1, A3 = = R1¸ A1 × A2 = R1 × R1 = R2 õ ¸ A1 × A2 × A3 = R1 × R1 × R1 = R3 ¹ º ´ ¹ µº n(A × B) ¹ A×B A B õ n(A)n(B) n(A) A n(B) B n(A × B) = n(A)n(B). ¸ a ∈ A õ n(B) ¹ (a, b)¸ b ∈ B¸ A×Bº Á A n(A) ¸ n(A×B) ¹ A×B õ n(B)+n(B)+ . . . + n(B) = n(B)n(A) ´ n(A) Aµº k ¹ n(A1 × A2 × · · · × Ak) A1 ×A2 ×· · ·×Ak A1, A2, . . . . . . , Ak õ n(A1)n(A2) . . . n(Ak) ¹ n(A1), n(A2), . . . , n(Ak) n(A1 × A2 × · · · × Ak) = n(A1)n(A2) . . . n(Ak). ½º½º¿º A = {1, 2, 3}¸ B = {4, 5, 6, 7}º n(A × B)º ³ º n(A × B) = n(A)n(B) = 3 · 4 = 12º º ¹ º k º n1 ¸
  • 14. ½º½º n2 k¹ ¸ ¹ nk ¸ k n1n2 . . . nk º ¸ A1 ¹ ¸ A2 ¸ . . . , Ak k¹ º ¹ (a1, a2, . . . , ak) A1×A2×· · ·×Ak õ k º k õ ¹ A1 × A2 × · · · × Akº ¸ n(A1 ×A2 ×· · ·×Ak) = n(A1)n(A2) . . . n(Ak) = n1n2 . . . nk. ½º½º º ¹ 0, 1, 2, 3, 4, 5¸ õ ³ º ¸ õ õ ´ µ ¸ ¸ ¸ º ¹ ³ ´ µ¸ ³ ´ ¹ ¸ ¸ ¸ µ¸ ¸ º 5·5·4·3 = 300 º ¸ ¼ ¿¼¼ ¸ º º ¸ õ n ¸ n¹ º º n¹ Ω ¸ ´ µ ½ n¸ ¸ ´ ¸ õ Ω 1, 2, . . . , n µº õ ¸ ¹ ¸ º a, b, c, . . . , f¸ ¸
  • 15.
  • 16. ½º ¸ ¹ ¹ ¸ º º º ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ º º n¹ n¹ º ½º½º º þ ¹ Ω = {a, b, c}º ³ º (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)º º Pn n¹ ( n¹ ) õ n!¸ Pn = n! ½º½º º ¹ 1, 2, . . . , 2n ¸ ³ º 1, 2, . . . . . . , 2n¸ 2n 2n ¸ ¸ ¹ ´ ¸ µº þ õ º n n ´ n¹ µ n! ¸ n ¹ n n! º ´ ¹ ¸ µ (n!)2 º º n k ¹ k¹ n¹ ¹ º n k õ ¸ ¸ ¹ º
  • 17. ½º½º ½º½º º Ω = {a, b, c}º þ 3 2º ³ º (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)º º Ak n k¹ n¹ ( ¹ n k) õ n(n − 1) . . . (n − (k − 1)), Ak n = n(n − 1) . . . (n − (k − 1)). ½º½º º 0 9 ¸ ³ º ¹ õ ¿¹ 0, 1, . . . , 9º ü A3 10 ¿¹ ¹ ¸ ½¼¹ ¸ õ 10 · 9 · 8¸ A3 10 = 10 · 9 · 8 = 720. ´ µº ( õ ) n k k¹ n¹ º n k õ ¸ ¹ ´ µº ¹ õ ¸ ¹ ¸ º ½º½º º Ω = {a, b, c}º þ 3 1 3 2º ³ º {a}, {b}, {c} ¿ ¹ ½¸ {a, b}, {a, c}, {b, c} ¿ ¾º ¸ {a, b} {b, a} {b, c} {c, b} {a, c} {c, a} º º Ck n k¹ ¹ n¹ ( n ¹ k) õ n!/(k!(n − k)!)¸ Ck n = n! k!(n − k)! .
  • 18. ½¼
  • 19. ½º ½º½º½¼ ´ µº ¹ ¸ ¹ õ m × n ¸ n − 1 m − 1 ¹ ( º 1.1.1)º ¹ ¸ ( (0, 0)) ( (m, n)) (0, )n ( , )m 0 0 (m,n) º ½º½º½ ³ º
  • 20. ¸ þ º ¹ (0, 0) (m, n) õ n ¹ m º þ õ ¹ n + m¸ m
  • 21. n þ º õ n+m¸ m
  • 22. n þº ¹ õ m n + m
  • 23. ´ ¸ ¸ ¹ þµ¸ õ õ Cm n+mº º n¹ ¹ Ω m ¹ ¸ k1, k2, . . . , km ´k1 + k2 + . . . . . . + km = nµ¸ (A, B, C, . . . , S)
  • 24. ½º½º ½½ Ω¸ k1, k2, . . . , km º m ¸ k1, k2, . . . , km ¹ ¸ ¸ kj¹ ¹ (j = 1, 2, . . . , m) õ º ½º½º½½ º Ω = {a, b, c, d} A¸ B¸ C¸ k1 = 1¸ k2 = 2¸ k3 = 1 º ³ º ({a}, {b, c}, {d}); ({a}, {c, d}, {b}); ({a}, {b, d}, {c}) ({b}, {a, c}, {d}); ({b}, {c, d}, {a}); ({b}, {a, d}, {c}) ({c}, {a, b}, {d}); ({c}, {a, d}, {b}); ({c}, {b, d}, {a}) ({d}, {a, b}, {c}); ({d}, {a, c}, {b}); ({d}, {b, c}, {a})º ¸ ¸ ¸ ({a}, {b, c}, {d}) ({d}, {b, c}, {a}) Ω = {a, b, c, d} õ º º ¹ Cn(k1, k2, . . . , km) n¹ ¹ Ω m ¸ k1, k2, . . . , km (k1 +k2 +. . . . . . + km = n)¸ õ n!/(k1!k2! . . . km!)¸ Cn(k1, k2, . . . , km) = n! k1!k2! . . . km! . º ( ) n¸ k1 ¹ ´ µ a1¸ k2 ´ µ a2¸ . . . , km ´ µ am ´k1 + k2 + . . . + km = nµ ¹ n¸ k1 ¹ ´ µ a1¸ k2 ´ µ a2¸ . . . , km ´ µ amº n¸ k1 a1¸ k2 a2¸ . . . , km am ¸ ¹ º º ¹ ( ) n¸ k1 ( ) a1¸ k2 ¹
  • 25. ½¾
  • 26. ½º ( ) a2¸ . . . , km ( ) am (k1 + k2 + . . . . . . + km = n)¸ õ Cn(k1, k2, . . . , km)º ½º½º½¾º õ n m ¸ k1 ¸ k2¸ . . . , m¹ km ³ º ³õ n¹ ¹ m k1¹ ¸ ¸ k2¹ ¸ . . . , km¹ ¹ ¸ m¹ (k1 + k2 + . . . + km = n)º ü ¹ n¹ ¸ ¸ õ Cn(k1, k2, . . . , km)º ´ µ º ( õ ) m n ¹ ´ µ n ¸ m º m n ¹ õ x1 ¸ ¹ x2 º º¸ xm ¹ m¹ ¸ ¸ õ ¹ (x1, x2, . . . , xm) ³õ ¸ ¹ ¸ x1 + x2 + . . . + xm = n¸ ¹ m n õ ¹ (x1, x2, . . . , xm) ³õ ¸ x1 + x2 + . . . + xm = n ´x1 ¸ x2 º º¸ xm m¹ µº m n ¹ ¸ º º ½º½º½¿ º ¹ 4 a, b, c, d 2º ³ º aa, bb, cc, dd, ab, ac, ad, bc, bd, dcº º fn m m n õ Cm−1 n+m−1¸ fn m = Cm−1 n+m−1.
  • 27. ½º¾º ½¿ n m¸ m n ¸ ¹ õ ¸ õ Cm−1 n−1 º ½º½º½ º ³õ ³ õ x1 + x2 + . . . + xm = n ³ º ³ x1 + x2 + . . . + xm = n ³õ õ (x1, x2, . . . , xm) ³õ ¸ x1 +x2 +. . .+xm = nº ¹ õ m n ´ µº ³ ¹ õ fn m m n ¹ º º ¹ õ n¸ m ´ µ x1 a1¸ x2 a2¸ º º¸ xm am (x1 + x2 + . . . . . . + xm = n)º ¸ õ n ¸ õ x1¸ x2¸ º º¸ m¹ xm¸ õ m n ¹ ´ µ ¸ õ º º õ m n ¸ ¹ õ x1¸ x2 º º¸ m¹ xm ´ õ n ¸ x1 ¹ a1¸ x2 a2 º º¸ xm amµº ¹ n ´ ¹ µ¸ õ º ¹ õ Cn(x1, x2, . . . , xm)º ½º¾ ü 1.3◦, 1.10, 1.14, 1.16◦, 1.18, 1.19◦, 1.22, 1.23, 1.25º 1.4◦, 1.5◦, 1.11◦, 1.15, 1.17◦, 1.20, 1.24, 1.27, 1.30, 1.32º ¸ ¸ õ ¸ ³ ¹ ( ¸
  • 28. ½
  • 29. ½º )º ¹ ¸ ´ ¹ µº ½º½◦º A B n ¸ B C m º A − B − C ½º¾◦º º þ ¸ º ½º¿◦º ½ º ¹ ¸ ½º ◦º ¹ ¼¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ½º ◦º ¹ ¼¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ½º ◦º ½º ◦º ½¼ º ¹ ¸ º ¹ ½º ◦º õ ³ ¸ ½º ◦º ü õ º ¸ ¾ ½º½¼º ½ º ¸ ¸ õ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¹ ½º½½◦º ½º½¾◦º ³ ½º½¿◦º ¹ ½º½ º p1, p2, . . . , pn º ¹
  • 30. ½º¾º ½ õ m = pα1 1 pα2 2 . . . pαn n , α1, α2, . . . , αn ½º½ º õ n ¸ ½º½ ◦º ¾ ½º½ ◦º ´ õ ¹ µº ½º½ º ¹ {1, 2, 3, . . . , n} ¸ 1, 2, 3 ½º½ º õ ¸ ½º¾¼º õ ¸ ½º¾½∗º m n +1 −1 ¸ 1º ¹ ½º¾¾º õ p q (p q)º ¹ ¸ ¾ ½º¾¿º n ¸ º ½µ º ¾µ ¿µ µ ¸ õ ¸ ½º¾ º õ n¹ ½º¾ º ¹ n¹ ¸ ½º¾ ∗º þ n¹ º þ ¸ º n¹ ¹
  • 31. ½
  • 32. ½º ½º¾ º ¸ n(A1 × A2 × · · · × Ak) = n(A1)n(A2) . . . n(Ak). ½º¾ º ¸ n¹ ¹ õ n! ½º¾ º ¸ Ak n n k õ n(n − 1) . . . (n − (k − 1))º ½º¿¼º ¸ Ck n k¹ ¹ n¹ õ n!/(k!(n − k)!)º ½º¿½º ¸ (a + b)n = n k=0 Ck nak bn−k . ½º¿¾º ¸ Cn(k1, k2, . . . , km) n¹ m ¹ k1, k2, . . . , km õ n!/(k1!k2! . . . km!)º ½º¿¿º ¸ õ Cn(k1, k2, . . . , km) ¹ n k1 a1¸ k2 a2¸ . . . , km amº ½º¿ º m+n+ s ¸ m ¸ n¸ s ½º¿ º 3n ¹ ¸ n ½º¿ º ¸ fn m m n õ Cm−1 n+m−1º ½º¿ º ¸ m n ´n mµ¸ ¹ õ ¸ õ Cm−1 n−1 º
  • 33.
  • 34. ¾ ¾º½ ¸ õ ¹ ¸ º ¹ ¸ ¹ ´ ¹ µ¸ ¹ ´ µ ¹ º ½º õ ¸ º ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¾º õ ¸ º 1, 2, . . . . . . , 6 º ¿º õ º 0, 1, 2, . . . ¹ º ½
  • 35. ½
  • 36. ¾º º õ ¹ º º º ¹ õ õ ´ ¹ µº õ º ¸ ¹ º º ¹ õ ´ µ º Ω¸ ¹ ¸ ´ ³ µ¸ ¹ ω ´ µº ¹ ¹ º ½ ¹ Ω = {
  • 37.
  • 38. ¸
  • 39. ¸
  • 40. ¸ }¸ ¾¸ ¿¸ Ω = {1, 2, . . . , 6}¸ Ω = {0, 1, . . .}¸ Ω = [0, ∞)¸ Ω ¹ õ º ¹ õ ω Ωº Ω ¹ ¸ Ω ¸ 1, 2, . . . ü º ¹ ¸ A, B, C, . . . , ¸ ¹ Aº ½ ¸ õ A ¸ B õ ¹ ¸ . . . A Ω¸ A = {ω : ω ∈ Ω, A}.
  • 41. ¾º½º ½ ¹ ¸ õ õ õ º ¹ ω A¸ õ A¸ ¸ A ¸ ¹ º ½ õ {
  • 42. ¸
  • 44.
  • 45. ¸
  • 46. ¸
  • 47. ¸ }¸ ¾ õ {2, 4, 6} Ω = {1, 2, . . . , 6}¸ ¿ ¹ õ ¹ {0, 1, 2, 3} Ω = {0, 1, . . .}¸ ½¼¼ õ (100, ∞) Ω = = [0, ∞)º ¸ õ ¹ ´ õ õ Ωµ¸ ¸ õ ´ õ ¹ õ ∅µº A B ¹ ¸ A B Ωº ¸ õ A¸ õ ¹ B¸ ¸ A õ B õ A ⊂ B ´ ¸ ¸ A õ Bµº A B¸ A ⊂ B B ⊂ A ´ A B µ¸ ¹ º A = B ´ ¸ ¸ A B µº ¸ õ ¸ õ A B¸ õ ( ³õ )½ A B õ A ∪ B ´ A B õ ³õ A ∪ B A Bµº ½ º º º½º º
  • 48. ¾¼
  • 49. ¾º ¸ õ ¸ ¹ A¸ B¸ õ ( ) A B õ A ∩ B ´ A B õ A ∩ B A Bµº A B ¸ A ∩ B = ∅¸ ¹ ( )º ¸ õ ¸ A õ ¸ B õ ¸ õ A B ¹ õ AB ´ A B õ A B A B µº ¸ õ ¸ A õ ¸ ¹ õ A õ A ´ ¹ A õ A A Ωµº A ¸ õ A A¸ A B A∪B¸ º ¸ ¸ ¸ õ ´ º µº ½ B ¹ ¸ A º B A ¹ Ω = {
  • 50.
  • 51. ¸
  • 52. ¸
  • 53. ¸ } B = {
  • 54. ¸
  • 55. }¸ A = {
  • 56.
  • 57. ¸
  • 58. }º ¸ ¸ õ A ∩ B = {
  • 60.
  • 61. ¸
  • 62. ¸
  • 63. } ¹ ³ ¸ AB = {
  • 64.
  • 65. } ³ ¸ B = {
  • 66.
  • 67. ¸ } õ ¹ º ¹ º ¾º½º½º ¹ ( º º 2.1.1)º ¹ ¸ ¸ A¸ Bº A¸ B¸ A¸ A∪B¸ A∩B¸ B A ¸ õ ¸ º 2.1.1º
  • 68. ¾º¾º ¾½ A B A A A AB B B º ¾º½º½ þõ ¾º¾ ü 2.2◦, 2.5, 2.8◦, 2.11, 2.12, 2.15, 2.16, 2.17º 2.3◦, 2.4, 2.6◦, 2.7◦, 2.10◦, 2.13, 2.14, 2.18, 2.19º º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¾º½◦º ¸ µ A ¹ µ B µ C ¹ º ¾º¾◦º º Ai õ ¸ i¹ õ ¸ i = 1, 2, 3º þ Ai µ A ¹ µ B µ C µ D º ¾º¿◦º A, B, C º ¹ ¸ ¸ ¹
  • 69. ¾¾
  • 70. ¾º A, B, C A, B, C µ A µ A B C µ µ µ µ º ¾º º ³õ ¸ n º þ ¹ ³õ i¹ ¸ Ai, i = 1, 2, . . . , nº þ Ai, i = 1, 2, . . . , n¸ A ³¹ õ ´ µ B ³õ ´ µ C ³õ º ¾º º m ¸ ³õ ¸ n º Aji ³õ j¹ ¹ õ i¹ ¸ j = 1, 2, . . . , m¸ i = 1, 2, . . . , nº þ Aji A ³õ ¹ ´ õ õ µ B ³õ õ º ¾º ◦º Ω º Ω A ³ ¸ B ³ º ¹ ¸ A Bº ¾º ◦º
  • 71. º Ωº ¹ Ω A ¸ ³ ¸ õ B ³ C ¹ ³ D ³ º Ω¸ A¸ B¸ C¸ Dº ¾º ◦º ¸ ¹ º Ωº ¹ Ω A ³ B ³ º Ω¸ A¸ Bº ¾º ◦º õ ¸ [0; 1]º º
  • 72. ¾º¾º ¾¿ ¾º½¼◦º Á 1, 2, 3, 4, 5 ¸ ¸ ¸ º ¹ Ωº ¹ Ω A ¸ B º Ω¸ A¸ Bº ¾º½½º N¸ M ¹ ¸ n º ¹ Ωº Ω ¹ A n õ m (n ≤ N, m ≤ M, m ≤ n)º ¹ Ω¸ Aº ¾º½¾º ¸ õ ½¼ ¹ º õ ¹ ¸ º ¹ Ωº Ω A º ¹ Ω¸ Aº ¾º½¿º õ º þ ¹ õ ¸ º Ωº Ω A k¹ ¸ B ¹ k¹ ¸ C õ ¸ õ ¸ D õ ¸ õ º ¾º½ º þ ¸ ¸ ¸ º þ ¸ º Ω º Ω A ¸ B º ¾º½ º
  • 73. n º Ωº Ω A n1 ¸ n2 ¹ ¸ . . . , n6 (n1 + n2 + . . . + n6 = n)º Ω¸ Aº ¾º½ º 2n ¸ ¹ n º Ωº Ω A õ ¸ B
  • 74. ¾
  • 75. ¾º õ ´ µº Ω¸ A¸ Bº ¾º½ º ¸ õ r (r ≤ 12) ¸ ¹ º Ωº ¹ Ω A ¸ B ¸ C ¹ ¸ D º Ω¸ A¸ B¸ C¸ Dº ¾º½ º 1, 2, . . . , n º ¹ ¸ ¹ º Ωº Ω A ½ ½ ¸ B ½ ½¸ n ¹ n º Ω¸ A¸ Bº ¾º½ º º ¹ Ωº ¹ Ω A ¸ B ¸ C ¸ D º ¹ Ω¸ A¸ B¸ C¸ Dº ¾º¾¼º º ¹ Ωº Ω A ¸ B ³ ¹ º ¾º¾½∗º n õ õ m º ¹ Ωº Ω A k1 ¸ k2¸ . . . , m¹ km º Ω¸ Aº ¾º¾¾∗º n õ õ m (n ≥ m) º Ωº Ω A º Ω¸ Aº
  • 76.
  • 77. ¿ ¿º½ Á ¸ º Á º ¸ ¹ õ ´ ¸ µº ¸ ¹ B õ ¸ C º ¹ B õ ¸ C º A õ νn(A) A n ¸ ¹ õ º ¹ n kn(A) ¹ ¸ Aº νn(A) = kn(A)/n. νn(A) õ º ½º A νn(A) ≥ 0. ´¿º½º½µ ¾
  • 78. ¾
  • 79. ¿º ¾º A B νn(A ∪ B) = νn(A) + νn(B). ´¿º½º¾µ ¿º Ω νn(Ω) = 1. ´¿º½º¿µ νn(A) A õ õ ¸ n νn(A) νn(A) õ º õ º Á P : A → P(A), ¸ ¸ ½º ¹ A P(A) ≥ 0. ´¿º½º µ ¾º ´ µ Ai, i = 1, 2, . . . (Ai ∩ Aj = ∅, i = j) P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai). ´¿º½º µ ¿º Ω P(Ω) = 1. ´¿º½º µ P(A) P A Aº Á º {Ω, P}¸ Ω ¸ P ´ Ω)¸ ¹ º
  • 80. ¿º½º Á ¸ ¾ {Ω, P} A ¹ ³õ ´ µ ωi A = ωi∈A {ωi}, P(A) = ωi∈A P(ωi), ´¿º½º µ 1 = P(Ω) = ωi∈Ω P(ωi). ´¿º½º µ õ¸ ¹ A õ ¹ P(ωi) ωi¸ A ´ ¹ Ω µº Á ¹ ¸ ¹ Ω¸ P(ω)¸ ω ∈ Ω¸ õ ´¿º½º µº {Ω, P} õ ¹ º º Á p = P(A) A ¹ ¹ A pº ¿º½º½ º ¸ ¸ ( )º ¹ º Ω A ¸ 3 ¸ B º ¹ º ( ¹ )º ¹ A Bº
  • 81. ¾
  • 82. ¿º ³ º ¹ Ω = {1, 2, . . . , 6}º Á p¸ j jp¸ ω∈Ω P(ω) = 1¸ p + 2p + . . . + 6p = 1º p = 1/21¸ P(j) = j/21, j = 1, 2, . . . , 6º ¸ ¹ {Ω, P} ¹ º A B A = = {3; 6} B = {2; 4; 6} Ωº Á A B ´ ¹ ¸ º ´¿º½º µµ ¹ P(A) = P({3; 6}) = P(3) + P(6) = 3 21 + 6 21 = 3 7 ; P(B) = P({2; 4; 6}) = P(2)+P(4)+P(6) = 2 21 + 4 21 + 6 21 = 4 7 . ¹ Ω = {1, 2, . . . 6}, P(i) = 1/6, i = 1, 2, . . . , 6. P(A) = P({3; 6}) = P(3) + P(6) = 1 6 + 1 6 = 1 3 ; P(B) = P({2; 4; 6}) = P(2)+P(4)+P(6) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2 . º ¸ ³ ¹ ´ µº ½º ý õ ¹ ´ µ¸ ¹ õ Ω õ ¹ P(i) = i/21, i = 1, 2, . . . , 6
  • 83. ¿º½º Á ¸ ¾ ´ µ P(i) = 1/6, i = 1, 2, . . . , 6 ´ µº ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ ¸ õ õ¸ ¸ ¸ P(i) = 1/6, i = 1, 2, . . . , 6. Á ¸ ´ µ ¸ ¹ õ ´ ¹ õ¸ ¸ ¹ µº ¸ ´ µ ¹ õ º ¾º {Ω, P} ´ ¹ µº º ¹ {Ω, P}¸ ωi ¸ P(ωi) = P(ωj), i, j = 1, 2, . . . , õ ¹ º {Ω, P} ¹ Ω ¸ P(ωi) ωi ∈ Ω õ 1/n(Ω)¸ P(ωi) = 1 n(Ω) , i = 1, 2, . . . , n(Ω), A P(A) = n(A) n(Ω) . ´¿º½º µ õ ¹ º
  • 84. ¿¼
  • 85. ¿º ¿º½º¾º ¹ º º A ¹ º ³ º ¹ ¹ ¸ ´ ½ µº ¸ (6, 1, 6, 3, 2, 4) ¹ õ ¸ õ ¸ ¹ ¸ ½¸ . . . , º A ¹ Ω¸ õ ¸ õ 1, 2, . . . , 6º ¸ ¹ ´ µ¸ ¸ ´ õµº Á ¸ ¹ õ ¹ º ´ ¹ µ Ω ω ∈ Ω P(ω) P(ω) = 1/n(Ω)º A º ¸ ´¿º½º µ¸ ¹ A õ n(A) ¹ ¸ A¸ n(Ω) Ωº Ω ¸ õ ¹ ¸ ¹ ´ ½ µº 66º ¹ ¸ A¸ ¸ ¹ õ ¸ ¹ ½ ´ õ 1, 2, . . . . . . , 6µ 6! ¸ P(A) = 6! 66 .
  • 86. ¿º¾º ¿½ ¿º¾ ü 3.1, 3.5, 3.6, 3.7, 3.14, 3.16, 3.21, 3.27, 3.28∗ º 3.2, 3.9, 3.10, 3.11, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22º ¸ ¸ ¹ õ A¸ ¹ ¹ ¸ Ω ω P(ω)¸ ω ∈ Ωº A Ω ¹ {Ω, P} ´ µº º ¸ ³ ¸ ´ ¹ µº ¿º½º ¸ õ r ¹ ¸ º A¸ õ ¸ º ¿º¾º ¸ õ r ¹ ¸ º ¹ A¸ õ ¸ õ ¹ º ¿º¿º 2n ¹ ´ µ ¹ n º ½º ¸ µ µ ¾º ¸ ¹ µ ´ µ µ µ ¸ ¿ ¸ ½ ¿º ◦º ³ ¸ ½ º º ¸ ³ ¿º º 1, 2, . . . , n º ¸ 1 2
  • 87. ¿¾
  • 88. ¿º ¿º º ¸ 20 25 ¹ º ¹ º ¸ ½µ õ ¾µ õ ¹ ¿µ ´ µ µ º ¿º º
  • 89. º ¸ º ¿º º Á ¹ º ¹ º ¸ º ¿º º õ ¹ ü¸ ü¸ ü¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ¸ ¿º½¼º n ¸ A B¸ ¹ º ¸ A B r ¿º½½º ¾¼ ´ µ¸ ¹ ½¼ º ¸ µ õ µ ¹ ¿º½¾º ¸ ¸ 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ k (1 k n)º ¿º½¿º ³ º ¸ µ µ ¸ ¸ ¹ ¿º½ º º õ ¹ º ¸ ¹ ¿º½ ◦º ¸ ¹ ½¾ º ¿º½ º N M º ¹ n (n M, n N − M)º
  • 90. ¿º¾º ¿¿ ¸ m (m M) ¹ ¸ m ¿º½ º n ¸ m ¸ ¹ º ¸ õ r ¹ ¿º½ º N º õ n º k ¸ ¸ ¹ r (r k) º ¸ ¿º½ º ´ 1, 2, . . . , 49µ õ º õ ¸ º þ ¸ õ ¹ º º ¸ õ ¸ ¸ ¿ º ¹ ¿º¾¼º ½¾ º ¹ ¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¿º¾½º n º ¹ ¸ n1 ¸ n2 ¸ . . . , n6 (n1 + n2 + . . . + n6 = n) ¿º¾¾◦º ¹ º ¸ ¹ º ¿º¾¿◦º º ¹ ¹ º A ¸ B º ¹ P(A)¸ P(B)¸ P(A ∩ B)º ¿º¾ ◦º º ¹ ¹ º A ¸ B º ¹ P(A)¸ P(B)¸ P(A ∩ B)¸ P(B/A)º ¿º¾ º n º ¹ ¸ ³ ¹ º ¿º¾ ◦º º ¹ ¸ º
  • 91. ¿
  • 92. ¿º ¿º¾ º n º ¹ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¿º¾ ∗º ¸ ¹ ¸ ¾ ¹ º º º ¹ õ ¸ ý ¸ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¿º¾ º ¸ {Ω, P} Ω ¹ ωi ∈ Ω P(ωi) = 1/n(Ω), i = 1, 2, . . . , n(Ω), n(Ω) º ¿º¿¼º ¸ {Ω, P} ¹ A ´ A Ωµ P(A) = n(A) n(Ω) , n(Ω) ¸ n(A) ¸ Aº ¿º¿½ ´ ¹ý µº n õ õ m ¹ º ¸ ¸ ¸ . . . , m¹ k1, k2, . . . , km ¿º¿¾º n º ¸ º ¿º¿¿◦º º A ¸ B ¹ ¸ C º ¿º¿ º Á n¸ 0, 1, 2 õ º A õ ¹ ¼ ¸ B m + 2 ¸
  • 93. ¿º¾º ¿ ¸ C m ¸ D m0 ¸ m1 ¸ m2 º ¿º¿ ◦º º ¹ A ¸ ¸ ¸ B ¸ ¸ ¾ ¸ C ¸ ¸ õ º ¿º¿ º ¸ µ õ µ õ µ õ µ õ µ õ º ¿º¿ º ¸ M1 1¸ M2 2¸ . . . , MN N¸ ¹ n º ³ ¹ m1 1¸ m2 2¸ . . . , ³ mN N º ¿º¿ º Á {1, 2, . . . , N} ξ1 ξ2º {ξ1 ξ2}º Á {1, 2, . . . , N} ¹ ξ1, ξ2, ξ3º ¹ ¸ ¹ ¸ {ξ1 ξ2 ξ3}º Á {1, 2, . . . , N} ¹ n ξ1, ξ2, . . . , ξn (n ≤ N)º ¹ ¸ ξ1, ξ2, . . . , ξn ³ ¹ º ¿º¿ º ¸ ¸ º ¹ º ¸ µ õ µ õ ¹ µ õ º ¿º ¼ ´ µº þ ´ µº õ º º þ õ º þ õ º õ ¸ õº ¹ õ ¸
  • 94. ¿
  • 95. ¿º ¸ ¸ º º ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ º ³ ¹ ¸ ½µ õ ¾µ õ ¸ º ³ ¸ ¹ n ´ n = 1000µº þ õ ¸ õ¸ n − 2 n − 1¸ ¹ ¸ õº ¹ ¸ º
  • 96.
  • 97. º½ º ý õ º {Ω, P} º P(A/B) A B (P(B) 0) P(A ∩ B) P(B) ¸ P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) . ´ º½º½µ ´ º½º½µ õ P(A ∩ B) = P(A/B)P(B) (P(B) 0). º P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) = n(A ∩ B) n(B) , P(A/B) A ¹ B õ n(A∩B) ¸ A∩B¸ n(B) ¸ Bº ¿
  • 98. ¿
  • 99. º º p = P(A/B) A B A¸ ¸ Bº º½º½º ¹ º ¸ ¹ ¸ ¸ º ³ º º Ω ¹ ¸ 1, 2, . . . , 6º ¸ º º B ¹ ¸ A º ¹ P(A/B)º õ P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) , P(B) = 6 · 5 · 4 63 ; P(A ∩ B) = C1 3 · 5 · 4 63 ; P(A/B) = P(A ∩ B) P(B) = C1 3 · 5 · 4 63 6 · 5 · 4 63 = 1 2 . Á P(A/B) ¸ ¸ {Ω, P} P(A/B) õ ¸ A∩B¸ ¸ ¹ B¸ P(A/B) = C1 3 · 5 · 4 6 · 5 · 4 = 1 2 . º½º¾ ´ µº þ ¸ ¸ ( 1/2)¸ º þ ¹ ¸ ¸ º ¸
  • 100. º½º º ý õ ¿ ³ ½º õ ¹ º W¸ Bº ¹ õ Ω = {WW, WB, BW}. ¸ WB õ ¸ º A1 ¹ ¸ A2 º P(A2/A1)º A1¸ A2¸ A1 A2 Ω A1 = {WW, WB}, A2 = {WW, BW}, A1 ∩ A2 = {WW}. Ω ¸ A1 ¸ A1 ∩ A2 ¸ P(A2/A1) = P(A2 ∩ A1) P(A1) = 1/3 2/3 = 1 2 . ³ ¾º ¸ ¹ ¸ ¸ ¸ W∗º ¹ õ Ω∗ = {WW∗ , W∗ W, BW∗ , W∗ B}. A1¸ A2¸ A1 ∩ A2 Ω∗ A1 = {WW∗ , W∗ W, W∗ B}, A2 = {WW∗ , W∗ W, BW∗ }, A1 ∩ A2 = {WW∗ , W∗ W}. P(A2/A1) = P(A2 ∩ A1) P(A1) = 2/4 3/4 = 2 3 . ³ º ½º ³ ¾º
  • 101. ¼
  • 102. º ½ ¾¸ º þ º½º¾º ³ ½ º õ ¸ ¹ º Á P(WW) = 1/2, P(WB) = 1/4, P(BW) = 1/4. ´ ¹ ½»¾µ ´ ½»¾µ¸ ¸ ¸ ¹ ½»¾ ½»¾ º õ P(A1 ∩ A2) = P(WW) = 1/2, P(A1) = P({WW, WB}) = = P(WW) + P(WB) = 1/2 + 1/4 = 3/4, P(A2/A1) = P(A2 ∩ A1) P(A1) = 1/2 3/4 = 2 3 . ³ ¾ õ ¹ ½» º ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ´ ½»¾µ¸ ¸ ´ ½»¾µº º ¸ ¸ ¹ õ ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º ¹ Ω = {WW, WB, BW} Ω∗ = {WW∗ , W∗ W, BW∗ , W∗ B}. Ω P(WW) = 1/2, P(WB) = 1/4, P(BW) = 1/4,
  • 103. º½º º ý õ ½ Ω∗ P(WW∗ ) = 1/4, P(W∗ W) = 1/4, P(W∗ B) = 1/4, P(BW∗ ) = 1/4. ¹ º ¸ ¸ º º Bi ⊂ Ω, i = 1, 2, . . . , n¸ ¸ (Bi ∩ Bj = ∅, i = j) ³õ n i=1 Bi = Ω . º B1, B2, . . . , Bn P(Bi) 0, i = 1, 2, . . . , nº ¹ A õ P(A) = n i=1 P(A/Bi)P(Bi). õ ¹ º º½º¿ º ¸ õ º N õ n ( )º ¹ º ¸ ¸ ¸ ³ º Al i i¹ ¹ ¸ i = 1, 2¸ Au 1 ½¹ º P(Al 1) P(Al 2)º P(Al 1) = n N .
  • 104. ¾
  • 105. º Á P(Al 2) ¸ ¸ Al 1 Au 1 P(Al 2) = P(Al 2/Al 1)P(Al 1) + P(Al 2/Au 1)P(Au 1 ) = = n − 1 N − 1 n N + n N − 1 N − n N = n N . ¸ º º õ ¸ ¹ ¸ º ¸ ¸ ´ µ¸ õ (n − 1)/(N − 1)¸ P(Al 2/Al 1) = (n − 1)/(N − 1), ´ µ¸ P(Al 2/Au 1 ) = n/(N − 1). ý õ º B1, B2, . . . , Bn ¹ P(Bi) 0, i = 1, 2, . . . , nº A (P(A) 0) P(Bi/A) = P(A/Bi)P(Bi) n k=1 P(A/Bk)P(Bk) , i = 1, 2, . . . , n. º½º ´ µº p (0 p 1) º ( )¸ õ õ p1¸ ¸ õ¹ õ p2º þ ¸ õ º ¸
  • 106. º¾º ¿ ³ º þ Ac ¹ ´ µ¸ A ¹ ¸ Bc õ ¸ B õ º P(Ac/Bc)º ý õ ´ Ac A µ¸ P(Ac/Bc) = P(Bc/Ac)P(Ac) P(Bc/Ac)P(Ac) + P(Bc/A)P(A) . P(Ac) = p, P(A) = 1 − p, P(Bc/Ac) = p1, P(Bc/A) = p2. ¸ P(Ac/Bc) = p1p p1p + p2(1 − p) . º¾ Á ¸ ¸ ¹ ´ ¸ µ õ º ´ ¸ ¹ ¸ õ ºµ A B ¸ õ P(A/B) = P(A) ¸ ¸ P(A ∩ B) P(B) = P(A). P(A ∩ B) = P(A)P(B).
  • 107.
  • 108. º º {Ω, P} º ¹ A B (A ⊂ Ω, B ⊂ Ω) ¸ P(A ∩ B) = P(A)P(B). A1, A2, . . . , An ¹ ¸ k = 2, 3, . . . , n i1, i2, . . . . . . , ik ¸ 1 ≤ i1 i2 . . . ik ≤ n õ P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ). A1, A2, . . . , An ¹ ¸ ¹ s k P(As ∩ Ak) = P(As)P(Ak). A B ¸ A B A B º º¾º½ ´ º º ý µº ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ õ º R ¹ ¸ B ¸ G ¸ ¹ ¸ õ ¸ õ º ¸ R¸ B¸ G ¹ ¸ õ º ³ º õ º ¹ ¸ õ º ¸ P(R) = 2/4 = 1/2, P(B) = 1/2, P(G) = 1/2. õ ¸ P(R ∩ B ∩ G) = 1/4, P(R ∩ B) = 1/4, P(R ∩ G) = 1/4, P(B ∩ G) = 1/4. P(R ∩ B) = P(R)P(B), P(R ∩ G) = P(R)P(G),
  • 109. º¿º P(B ∩ G) = P(B)P(G). ¸ R, B, G º ü P(R ∩ B ∩ G) = 1/4 = 1/2 · 1/2 · 1/2 = P(R)P(B)P(G). õ õ¸ R, B, G õ º º¿ ü 4.11◦, 4.12, 4.13, 4.22, 4.23, 4.24º 4.3◦, 4.5, 4.7◦, 4.9, 4.10◦, 4.13, 4.16, 4.19, 4.24, 4.26º º½◦º A B º ¸ A B¸ A B º º¾◦º A1, A2, . . . , An P(Ak) = pk, k = 1, 2, . . . , nº ¸ µ A1, A2, . . . , An µ A1, A2, . . . , An µ A1, A2, . . . . . . , An º¿◦º ¸ ³õ ¸ ¹ pº ³õ õ ¹ º n º ¸ ³õ º ◦º ¸ õ n ¸ ¸ º ý º ½ pº ¹ º º º ¹ õ ¹ pº õ õ ¹ º ½ ¹ º
  • 110.
  • 111. º ½µ õ ¾µ ¸ ¹ õ p1º º º ¹ õ n−1 ¹ pº ¹ º ½µ õ ¾µ ¸ ¸ õ ¸ õ p1º ¸ P º ◦º ¹ º ¸ õ ½¼¸ ¸ µ µ ´ µ º ◦º þ n º ¹ º ¹ º ¸ º ◦º þ N n1, n2, . . . , nN ¸ m1, m2, . . . , mN º ¹ ¸ º ¸ º½¼◦º n1 n2 ¸ ¹ m1 m2º ¸ º º ¸ º½½◦º º ¹ ¸ ³ ¸ ¹ º½¾º ³õ ¸ ¹ º ³õ õ ¸ õ p0¸ õ¸ p1 (p1 p0)º Á ¸ ¹ ¸ p ¸
  • 112. º¿º º ¹ ¸ ³õ n º º½¿º õ n ¸ ¸ º ¹ õ p1¸ ¹ p2º Á ¸ õ p¸ (1−p)º ý º º º½ ◦º þ ¸ n ¸ º ¸ ¸ º½ ◦º þ n º º ¹ º ¹ º º½ ◦º k1 ´ µ m1 n1 ¸ k2 ´ µ m2 n2 º Á ¹ ¸ º ¹ ¸ º½ º A õ p1 = = 0,6¸ B p2 =¼¸ ¸ C p3 =¼¸ º º þ ¸ õ º C º½ º þ ½¾ ¸ ½¼ º º ¸ ¸ ¸ º½ º ¸ ¿ ¾ ¸ ¹ ¸ º º¾¼º º ¹ n õ º p1¸
  • 113.
  • 114. º p2º ¹ º ¸ º¾½º þ ¸ ¿º ¼¸ ¸ ¸ ¸ ¸ õ ¹ õº ¸ õ ¸ õ¸ ¹ õ ¸ ¸ ¸ º ¹ º º ¹ õ n º (n − 1) ¸ ¸ õ (n − 2) ¸ ¸ õ ´ õ¹ µ¸ õ¸ õ ¸ º ¸ ¹ õ º¾¾º º Á õ õ 1/3 ¸ º ¹ ¸ º º¾¿º ¹ 1 − βº Á õ αº γº ¸ ¸ º º¾ º Á ¸ õ ¹ õ ¸ õ 0,96º õ ¸ õ 0,98¸ 0,05º ¸ ¸ ¸ õ
  • 115. º¿º º¾ ◦º º ¹ ¸ ³ ¸ ¹ ¸ õ º¾ º õ º õ ½¼¸ ½¼º ¹ º õ ¸ õ¸ õº þ ¸ º ¸ º¾ º é N1 M1 ¸ N2 M2 ¸ N3 M3 ´Ni ≥ 2, Mi ≥ 2, i = 1, 2, 3µº ¹ º ¸ º ¸ µ ¹ µ µ º º¾ ´ µº ¹ º ´ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ºµ
  • 116. ¸ ¸ õ ¸ õ º ü ¸ ´ ¸ ¸ ¿µº õ º þ þ ½ º º é ¸ õ ¹ º ³ ¹ º ¹ ³ õ õ º ¹ ³ ´½ ½ µ¸ ¹ ¸ ¹ º ³ ½ º ¸ ½ º ¹ º
  • 117. ¼
  • 118. º º¾ º º ¸ õ ¸ õ º
  • 119. ¹ ¸ ¸ ¿º º¿¼ ´ µº þ ¸ ¸ ´ 1/2µ¸ º þ ¹ n ¸ n ¸ º ¸ ¸ ¸ º¿½◦º ¸ ¾ ¸ º ¸ ¹ ¸ ¾ ¸ º ¸ º º¿¾º õ m ¸ õ ³õ p ( ¹ )º T õ n º ¹ A T ³õ õ ¸ B T ³õ º
  • 120.
  • 121. º½ þ ¹ º Á ¸ ¸ õ ´ ¹ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ . . .µº ω Ω ¹ {Ω, P}¸ õ ξ = ξ(ω) Ωº º þ {Ω, P} ξ = ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) Rn¸ Ωº n 1¸ ξ = ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) ¹ Rn ( ¹ )¸ ¸ n = 2 ¸ n = 1 ½
  • 122. ¾
  • 123. º ººº ( ) ¹ º º þ ¸ õ ¸ õ ¹ º þ ¸ ¹ ¸ º º ¹ õ ¹ ¸ õ ´ ¸ µº x ∈ Rn ¹ ξ = ξ(ω) Rn¸ {Ω, P}¸ P{ξ = x} 0; ξ X (X ⊂ Rn)º º ¹ ξ = ξ(ω) Rn Pξ : x → Pξ(x), x ∈ X, X ¹ ξ¸ x ∈ X Pξ(x) = P{ξ = x}, ξ õ º Pξ(xi, yj, . . . , zk) = P{ξ1 = xi, ξ2 = yj, . . . , ξn = zk} ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) Rn (n 1) ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº ξ = ξ(ω) R1 ¸ ¹ ¸ ¸
  • 124. º½º ººº ¿ x1 x2 . . . xn . . . Pξ(x1) Pξ(x2) . . . Pξ(xn) . . . Pζ : (xi, yj) → Pζ(xi, yj), (xi, yj) ∈ X ⊂ R2 , ζ = (ξ, η) R2 º º½º½º º½º½º ζ = (ξ, η) ¹ η ξ y1 y2 · · · ym · · · x1 Pζ(x1, y1) Pζ (x1, y2) · · · Pζ (x1, ym) · · · x2 Pζ(x2, y1) Pζ (x2, y2) · · · Pζ (x2, ym) · · · º º º º º º º º º º º º º º º º º º xn Pζ(xn, y1) Pζ (xn, y2) · · · Pζ (xn, ym) · · · º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ º ξ ¸ ¹ º ξº ³ º þ ξ ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ Ω = ß
  • 125.
  • 126. ¸
  • 127. ¸
  • 128. ¸ ¸ ¹ õ 1/4 ´ µ ξ õ 0, 1, 2¸ P{ξ = 0} = P{ω : ξ(ω) = 0} = = P() = 1/4¸ P{ξ = 1} = P(
  • 129. ¸
  • 130. ) = P(
  • 132. ) = 1/4 + 1/4 = 1/2¸ P{ξ = 2} = P(
  • 133.
  • 134. ) = 1/4º ¸ ξ õ xi 0 1 2 Pξ(xi) ½» ½»¾ ½»
  • 135.
  • 136. º ººº º Pζ ζ ¹ g(ζ) ζº º ζ ¹ Rn {Ω, P}¸ Pζ : x → Pζ(x) ¸ g = g(x) Rn Rlº B Rl P{g(ζ) ∈ B} = x:g(x)∈B Pζ(x). ´ º½º½µ ¸ ζ = (ξ, η), g = g(x, y) Pζ(xi, yj) ¹ ζ = (ξ, η)¸ P{g(ζ) ∈ B} = P{g(ξ, η) ∈ B} = (xi,yj):g(xi,yj)∈B Pζ(xi, yj). ´ º½º¾µ º½º¾ º ¹ ¸ ξ ¸ η º min{ξ, η}º ³ º ¹ ζ = (ξ, η)º þ ζ = ζ(ω) = (ξ(ω), η(ω)) ¹ {Ω, P}º ¹ Ω ¹
  • 138.
  • 139. µ õ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º ´ µ¸ õ ½»½ º Pζ(i, j) (i, j)¸ ζ = (ξ, η) ´ º º º½º¾µº ¸ Pζ(1, 1) = P{ζ = (1, 1)} = P{(ξ, η) = (1, 1)} =
  • 140. º½º ººº = P{ω : (ξ(ω), η(ω)) = (1, 1)} = = P{
  • 141. ¸
  • 142. ¸
  • 143.
  • 144. ¸
  • 146. ) + P(
  • 147. ) + P(
  • 148.
  • 149. ) + P(
  • 150. ) = = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/4. º½º¾º ζ = (ξ, η) ¹ η ξ 0 1 2 ¼ ½»½ ½» ½»½ ½ ½» ½» ½» ¾ ½»½ ½» ½»½ Pζ(i, j), i, j = 0, 1, 2¸ ¹ ζ = (ξ, η) ¹ ´ º ´ º½º¾µµ¸ ¸ g(ζ) = g(ξ, η) = min{ξ, η}. B = {k}, k = 0, 1, 2¸ õ P{min{ξ, η} = k} = (i,j):min(i,j)=k Pζ(i, j). ¸ k = 0 P{min{ξ, η} = 0} = (i,j): min(i,j)=0 Pζ(i, j) = = Pζ(0, 0) + Pζ(0, 1) + Pζ(0, 2) + Pζ(1, 0) + Pζ(2, 0) = = 1/16 + 1/8 + 1/16 + 1/8 + 1/16 = 7/16. ü P{min{ξ, η} = 1} = 1/2, P{min{ξ, η} = 2} = 1/16. ¸ min{ξ, η} õ
  • 151.
  • 152. º ººº xi 0 1 2 Pg(ζ)(xi) »½ »½ ½»½ º þ ¹ ξ η ¸ xi¸ yj ξ η Pξη(xi, yj) = Pξ(xi)Pη(yj). ´ º½º¿µ ´ Pξη¸ õ ´ º½º¿µ¸ õ Pξ Pηºµ Á ¹ ¸ ξ η ¸ ¹ õ ξ ηº þ ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº õ ¹ º º Á ¸ ¹ ¸ ¸ õ ¹ ¸ õ ¸ º º½º¿º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ P{ξl = k} = λk k! e−λ , λ 0, k = 0, 1, . . . (l = 1, 2, . . . , n). þ ξ1, ξ2, . . . , ξnº ³ º Pξ1 , Pξ2 , . . . , Pξn ¹ ξ1, ξ2 . . . , ξn Pξ(k1, k2, . . . , kn) = P{ξ1 = k1, ξ2 = k2, . . . , ξn = kn} õ ¹ Pξ(k1, k2, . . . , kn) = n i=1 Pξi (ki) = n i=1 λki ki! e−λ =
  • 153. º¾º R1 = λ n i=1 ki k1!k2! . . . kn! e−nλ ; k1 = 0, 1, . . . ; k2 = 0, 1, . . . ; . . . ; kn = 0, 1, . . . º¾ R1 þ ý º ý ¸ º ¹ ´ µ ´ ¸ ¹ µ ¸ õ ¹ ¸ õ ¹ ý º Ω n ý ¹ ω = (1, 0, 1, . . . , 1) n¸ ¹ ½ ¼ ´½ õ ¸ ¼ µº Á ω õ P(ω) = pµ(ω) (1 − p)n−µ(ω) (0 p 1), µ(ω) ω¸ p ¹ ´ ¹ q = 1 − pµº {Ω, P} õ n ý º º þ ξ õ ¹ (n; p)¸ Pξ(k) = Ck npk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n. ´ º¾º½µ Ck npk(1 − p)n−k Bn;p(k) ´ k ≥ n + 1 ¸ Bn;p(k) = 0µº ξ n ý ¹ p õ (n; p)º º þ ξ õ ¹ ´ µ λ (λ 0)¸ Pξ(k) = λk k! e−λ , k = 0, 1, . . . ´ º¾º¾µ
  • 154.
  • 155. º ººº õ Bn;p(k)¸ n k ´ µº ¸ ¸ ´ n ¸ p µ º º np → λ (λ 0)¸ n → ∞¸ k¸ k = 0, 1, 2, . . . lim n→∞ Bn;p(k) = λk k! e−λ . ´ º¾º¿µ Á õ¸ n p õ õ º þ õ ∞ k=0 Bn;p(k) − λk k! e−λ ≤ 2λ min{2, λ} n ´ º þº µº º npq → ∞¸ n → ∞¸ m¸ m − np √ npq ≤ C (C ¸ )¸ lim n→∞ Bn;p(m) 1 √ 2πnpq exp − 1 2 m − np √ npq 2 = 1. ´ º¾º µ Á ¹ º m n ý p º ¹ x1 x2 lim n→∞ P x1 m − np √ npq x2 = 1 √ 2π x2 x1 exp − t2 2 dt. ´ º¾º µ
  • 157. º þ ξ õ p (p 0)¸ Pξ(k) = (1 − p)k p, k = 0, 1, . . . ´ º¾º µ p ¹ õ p (p 0)º þ ³õ º þ ¹ ξ õ ³õ (r; p)¸ Pξ(k) = Cr−1 k+r−1pr (1 − p)k , k = 0, 1, . . . ´ º¾º µ r¹ ¹ p ¹ õ ³õ ¹ (r; p)º ¸ r = 1¸ ³õ ¹ õ º
  • 158. º þ ¹ ξ õ (N, M, n)¸ n ≤ M, n ≤ N − M¸ Pξ(m) = PN,M,n(m) = Cm M Cn−m N−M Cn N , ´ º¾º µ m = 0, 1, . . . , nº N ¸ M ¹ ¸ (N − M) º n (n ≤ M, n ≤ N − M) õ (N, M, n)º N, M → ∞ ¸ M/N → p (0 p 1)¸ PN,M,n(m) → Cm n pm (1 − p)n−m , m = 0, 1, . . . , n.
  • 159. ¼
  • 160. º ººº º¿ ü 5.3◦, 5.8(1 ), 5.8(2õ), 5.8(3 ), 5.13, 5.29, 5.30º 5.1◦, 5.4◦, 5.8(1 ), 5.8(2 ), 5.14, 5.18, 5.31, 5.40º º½◦º º ¹ ξ ¸ º ¹ η = sin π 3 ξº º¾◦º
  • 161. ¸ ¹ º η = sign cos π 3 ξ ¸ ξ ¸ º º¿◦º ¸ ¿ ¾ ¸ ¸ õ ½ ¾ º ¾ º ξ º ξº º ◦º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ p : P{ξl = k} = Pξl (k) = (1 − p)k p, k = 0, 1, 2, . . . ; l = 1, 2, . . . , n. ξ1, ξ2, . . . , ξnº º ◦º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ (m, p) : P{ξl = k} = Ck mpk (1 − p)m−k , k = 0, 1, . . . , m; l = 1, 2, . . . , n. ξ1, ξ2, . . . , ξnº º ∗º ξj = ξj(ω)¸ j = 1, 2, . . . , n¸ ¸ P{ξj 0} = p, P{ξj 0} = q, P{ξj = 0} = f, p+q+f = 1, j = 1, 2, . . . , n
  • 162. º¿º ½ s ξj¸ j = 1, 2, . . . , n¸ ¸ µ ξj¸ j = = 1, 2, . . . , nº µ sº º º õ º ¹ {Ω, P} º ζ = (ξ, η) {Ω, P} ¹ R2¸ ξ ¸ η º ¹ ξ η ´ ζ = (ξ, η))º ¸ ξ η º º º ζ = (ξ, η)¸ ξ ¹ ¸ η º ½º µ max{ξ, η} µ min{ξ, η} µ ξ + ηº ¾º µ P{ξ ≤ 2, max{ξ, η} ≥ 4} µ P{max{ξ, η} ≥ 4} µ P{|η − ξ| ≥ 3} µ P{4 ≤ ξ + η ≤ 6} µ P{ξ ≤ 1, max{ξ, η} ≥ 3} µ P{max{ξ, η} ≤ 4} õµ P{min{ξ, η} ≤ 1, max{ξ, η} ≥ 5} µ P{max{ξ, η} ≥ 3} µ P{ξ ≥ 2, max{ξ, η} ≥ 3}º ¿º µ ξ ξ +η õ ξ ξ +η ¹ µ ξ max{ξ, η} õ ξ max{ξ, η} µ ξ min{ξ, η} õ ξ min{ξ, η} º º ¹ º
  • 163. ¾
  • 164. º ººº ´ {Ω, P}µ º ζ = (ξ, η) {Ω, P} R2¸ ξ ¸ ¸ η º ¸ º ¸ ¸ º º½¼º ξ η P{ξ = xk} = ak, P{η = xk} = bk, k = 1, 2, . . . , n. P{ξ = η}º º½½º ξ η¸ º¿º¿¸ ¹ ¸ º ¸ ¹ º º¿º¿º ξ η ¹ η ξ ½ ¾ ¿ ½ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ¾ ½»¿¾ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ¿ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»¿¾ ½»½ ½»¿¾ ¼ ½»¿¾ ½»¿¾ º½¾º ξ η P{ξ = i} = 1/(n + 1), P{η = i} = 1/(n + 1), i = 0, 1, . . . , n. ζ = ξ + ηº º½¿º ξ η ¸ λ µº ζ = ξ + ηº
  • 165. º¿º ¿ º½ º ξ η ¸ λ µº ¸ ¹ ξ ξ+η = n õ (n, λ/(λ + µ))¸ P{ξ = k/ξ + η = n} = Ck n λ λ + µ k 1 − λ λ + µ n−k , k = 0, 1, . . . , nº º½ º ξ η p P{ξ = k} = p(1 − p)k , P{η = k} = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . . ξ max{ξ, η} max{ξ, η}º º½ º º ξ ¹ ¸ õ ¸ õ ¸ ¿¸ ¹ η ¸ õ º ζ = ξ + ηº º½ º ¾ º ¼ º ξ1 ¸ ¹ ¾ º¸ ξ2 ¼ º η = (ξ1, ξ2)º º½ ∗º ¸ ¹ ξ1 ξ2 õ ¸ η = min{ξ1, ξ2} õ º ¸ ¹ ξ1 ξ2 p1 p2º º½ ◦º ¹ º ¸ ½µ ³ ¹ ¸ ¾µ ³ ¸ º º¾¼◦º ¹ º ¸ ¹ º
  • 166.
  • 167. º ººº º¾½◦º ¹ º ¸ º º¾¾º ¸ ¸ p ¹ º ½º ¸ ½¼ ¾º ¸ ¹ k¹ º ¿º ¸ ½¼ ¹ ¸ ¸ l º l º¾¿∗ ´ ý µº º ¸ ¸ º ¸ º ¹ ¸ ´ µ r ¸ ¸ N (N ≥ r) º º¾ º µ õ µ ½¾ µ ½ º º¾ ◦º ½¼ º ¹ ξ ¸ º º¾ ◦º ½¼ º ξ ¸ º º¾ ◦º ¸ ξ ¸ ³ ¹ º ξº º¾ º ¸ ¸ ´ µ ½µ ¿ ¾µ ¿ ¾ ¿µ ¿ µ ¿ µ n 2n n 2n
  • 168. º¿º µ n 2n + 1 n 2n º¾ º η = ξ1 + ξ2 + . . . + ξr ¹ ¸ õ ¹ pº º¿¼º Á ¸ k ¸ õ λk k! e−λ , k = 0, 1, . . . , ´λ 0µº ¹ õ pº ¸ s õ º º¿½º ¸ λk k! e−λ õ k (k = 0, 1, . . .) õ º Á õ pº õ ¹ õ ¸ ¸ i º º¿¾º þ ¹ ¹ ¸ j ¸ ¹ ¸ pj = λj j! e−λ , j = 0, 1, . . . , λ º ¹ õ ¹ ¸ õ ¹ º µ¹ p ¹ º ¹ µ¹ º º¿¿º ü A ¼¼ ¹ õ ³õ õ Bº þ ¹ ¸ ³ õ º µ λ = 5 µ λ = 8 µ λ = 10¸ õ ¹
  • 169.
  • 170. º ººº ³ A õ B¸ ¼¸¼½ ¼¸¼¾ ¼¸¼ º¿ º ¸ õ ½¼¼¼ ¸ õ º ý õ º º õ ¸ ½¼ ¹ ¸ µ µ º ¸ º º¿ º ξ xi x1 x2 . . . xn Pξ(xi) p1 p2 . . . pn x ∈ (−∞, ∞) P{ξ x}º ¹ F(x) = P{ξ x}, x ∈ (−∞, ∞)º õ F(x) F(x) º º¿ ∗º ¸ ξ õ ¹ ¸ n¸ n = 1, 2, . . . , õ P{ξ = n + m/ξ ≥ n} = P{ξ = m}, m = 0, 1, . . . ´ ¹ µº º¿ º õ º þ ¹ õ ¸ º pk ¸ k¹ º ¹ ¸ õ º¿ º õ ¹ º õ ¹ º ¸ ¸ õ º ½º p = 1/5¸ ¹
  • 171. º¿º ¾º õ ¸ p = 1/3 õ º¿ º ¹ º ½ ◦ ¼ ¼ ¸ ¾¼ ¿ ´ý µº ¾ ◦ ½¾ ¼¼¼ ¸ ¼¸ ¼½ ¹ ¾ ¼¼¼ ¼¸ ¼¼ ´ º µº µ ¸ ¹ ½»¾ ¹ ½»¾ ¹ ¸ ý µ ¸ ¸ ¹ ¼¸ ¸ ¸ ¹ ε¸ ¹ õ ½»¾ ε õ õ º º ¼º ¹ ¸ º ξx2 + ηx + ζ = 0 ξ, η, ζ ¹ º ¸ ½µ õ ¾µ õ ¿µ õ º º ½º Pζ : (xk, yl) → Pζ (xk, yl) ζ = (ξ, η) R2 ξº º ¾º ξ η
  • 172.
  • 173. º ººº P{ξ = k} = pk, k = 0, 1, . . . ; P{η = l} = ql, l = 0, 1, . . . ζ = ξ + ηº º ¿º ξ ¹ λº x P{ξ x}º ¹ F(x) = P{ξ x}. º º ½¼ º ¹ ¸ ¸ ¸ õ B10;1/2(4) = C4 10(1/2)10 . ü õ ¸ ¹ ¸ ½¼ º º ¹ {Ω, P} ξ = ξ(ω)¸ η = η(ω) ¸ Pξ Pη ξ η ¸ ξ = η ω ∈ Ωº º ◦º ¸ ¹ 1/3 ξ ¸ º ξº º º
  • 174. ¸ õ p¸ n º Á ¹ ¸ r ¸ õ Bn;p(r) = Cr npr (1 − p)n−r . ü ¸ r n
  • 175.
  • 176. º½ ¸ ¸ þ õ Pξ : xi → Pξ(xi) = P{ξ = xi}. õ ¸ õ ¹ ¸ º Á ¹ ¹ õ ´ ¹ µº ü ¹ õ º õ ¹ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ º ¸ ¸ õ ¹ º ´ ¹ õ ºµ º Mξ ¹ ξ = ξ(ω)¸ ¹
  • 177. ¼
  • 178. º {Ω, P}¸ Mξ = ω∈Ω ξ(ω)P(ω), õ º þ º ½º õ Mc = c (c − ). ¾º õ M(ξ + η) = Mξ + Mη. ¿º ¹ Maξ = aMξ. º ¹ õ Mξη = MξMη. ¹ º ¹ ¹ ´ õµº º½º½º ξ = ξ(ω) ¹ R1¸ Pξ : xi → Pξ(xi) ¸ g R1 R1º xi g(xi)Pξ(xi) õ ¸ Mg(ξ) = xi g(xi)Pξ(xi), ´ º½º½µ ¸ xi xiPξ(xi) õ ¸ Mξ = xi xiPξ(xi). ´ º½º¾µ
  • 179. º½º ¸ ¸ ½ õ ¹ Rnº x1,x2,...,xn g(x1, x2, . . . , xn)Pξ(x1, x2, . . . , xn) õ ¸ Mg(ξ1, ξ2, . . . , ξn) = = x1,x2,...,xn g(x1, x2, . . . , xn)Pξ(x1, x2, . . . , xn), ´ º½º¿µ Pξ : (x1, x2, . . . , xn) → Pξ(x1, x2, . . . , xn) ¹ ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn)º º ´ õµ ´ º½º¾µº º½º½ º ξ ¸ ¹ õ º ¸ ξ õ xi ½ ¾ ¿ Pξ(xi) ½»½¼ ½»½¼ ½»½¼ ½»½¼ ½»½¼ ½»¾ ξº ³ º ´ º½º¾µ Mξ = 1 · 1 10 + 2 · 1 10 + . . . + 5 · 1 10 + 6 · 1 2 = 4,5. ¸ ¸ ¹ ξ õ xi ½ ¾ ¿ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½» ½» ½»
  • 180. ¾
  • 181. º Mξ = 1 · 1 6 + 2 · 1 6 + . . . + 5 · 1 6 + 6 · 1 6 = 3,5. º½º¾º þ ξ õ λº M 1 ξ + 1 . ³ º Pξ ξ ¹ Mg(ξ) ξ¸ õ ´ º ´ º½º½µµº g(t) = 1/(1 + t)¸ ξ õ λ Pξ(k) = λk k! e−λ , k = 0, 1, . . . M 1 1 + ξ = ∞ k=0 1 1 + k Pξ(k) = ∞ k=0 1 1 + k λk k! e−λ = = e−λ λ ∞ k=0 λk+1 (1 + k)! = e−λ λ (eλ − 1) = 1 − e−λ λ . º õ Dξ ξ M(ξ − Mξ)2 ´ M(ξ − Mξ)2 ∞ µ¸ Dξ = M(ξ − Mξ)2 . ý õ Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 . ´ º½º µ º
  • 182. º½º ¸ ¸ ¿ ½º õ Dc = 0 (c − ). ¾º Daξ = a2 Dξ. ¿º õ D(ξ + η) = Dξ + Dη. º½º¿º ¹ (n; p) ξº ³ º ξ õ P{ξ = k} = Pξ(k) = Ck npk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n. ´ º½º¾µ Mξ = n k=0 kPξ(k) = n k=0 kCk npk (1 − p)n−k = = n k=0 k n! k!(n − k)! pk (1 − p)n−k = = np n k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! pk−1 (1 − p)n−k . k − 1 = s¸ np n−1 s=0 (n − 1)! s!((n − 1) − s)! ps (1 − p)(n−1)−s = = np(p + (1 − p))n−1 = np.
  • 183.
  • 184. º ¸ Mξ = np. ü Mξ2 = n k=0 k2 Ck npk (1 − p)n−k = np(np − p + 1). Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 = np(np − p + 1) − (np)2 = np(1 − p). º½º º º ¹ ¸ º ³ º ξ ¸ ¸ η ¸ ζ = = ξ + η ¸ º ¹ ¸ ξ η õ xi ½ ¾ ¿ P(xi) ½» ½» ½» ½» ½» ½» Mζ = M(ξ + η) = Mξ + Mη = 7/2 + 7/2 = 7, Dξ = Mξ2 −(Mξ)2 = 12 · 1 6 +22 · 1 6 +. . .+62 · 1 6 −(7/2)2 = 35/12. ü ξ η ¸ Dζ = D(ξ + η) = Dξ + Dη = 35/12 + 35/12 = 35/6. ¸ õ ¹ º º õ ξ η cov(ξ, η) = M(ξ − Mξ)(η − Mη).
  • 185. º¾º º õ ¹ ξ η r(ξ, η) = M(ξ − Mξ)(η − Mη) √ Dξ √ Dη . ξ η ¸ r(ξ, η) = 0¸ º º½º¾ ´ µº Dξ ∞¸ ε 0 P{|ξ − Mξ| ≥ ε} ≤ Dξ ε2 . ¸ ¸ õ¸ Dξ ¸ ´ εµ º º½º¿ ´ µº ξ1, ξ2, . . . ¹ Mξi = a Dξi ∞¸ i = 1, 2, . . . ε 0 P 1 n n i=1 ξi − a ≥ ε → 0, n → ∞º º¾ ü º½ ◦´½µ¸ º¾¸ º ◦¸ º ¸ º½ ¸ º½ ¸ º¾½¸ º¾ ∗¸ º¿½ ∗¸ º¿¾ º¿ ◦¸ º ◦¸ º½¿ ◦¸ º½ ¸ º½ ¸ º¾¼¸ º¾ ◦¸ º¿¼¸ º¿¿º º½◦º ξ ¸ η ¸ º 1) M 1 ξ + 1 cos π 6 η; 2) Meξ sin π 6 η.
  • 186.
  • 187. º º¾º þ ¾ º º ξ Mξ Dξº º¿◦º ξ η ¹ xi ¼ ½ ¾ ¿ yj ¼ ½ ¾ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» ½» Pη(yj) ½»¾ ½» ½» M ξ η2 + 1 . º ◦º ¸ ξ ¸ º M(−1)ξ sin π 3 ξ. º º þ ξ õ ³õ º ¸ Mξ = ∞ m=1 P{ξ ≥ m}. º ◦º ξ η ¹ xi ½ ¾ ¿ yj −1 ¼ ½ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½» Pη(yj) ½»¿ ½»¿ ½»¿ Mη2 sin π 2 ξ .
  • 188. º¾º º ◦º þ ξ õ xi −2 −1 ½ ¾ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½» ¹ η 1) η = sin π ξ ; 2) η = ξ2|ξ| ; 3) η = ξ sin π 3 ξ. º ◦º þ ξ õ xi −2 −1 ½ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» Mξ2 2−ξ . º ◦º þ ξ õ xi −1 1 ¾ Pξ(xi) ½» ½» ½»¾ 1) Mξ2 sin π 3 ξ; 2) M2|ξ| cos2 π 12 ξ. º½¼º þ ξ õ xi −2 −1 ¼ ½ Pξ(xi) ½» ½» ½» ½»¿ ½µ η = |ξ| ¾µ ηº
  • 189.
  • 190. º º½½◦º þ ξ õ xi −2 −1 ½ ¾ Pξ(xi) ½» ½» ½»¾ ½» Mξ sin2 π 12 ξ. º½¾◦º þ ξ õ xi −2 −1 ¾ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» 1) M2|ξ| cos2 π 12 ξ; 2) Mξ2|ξ| . º½¿◦º ξ η xi ¼ ½ ¾ ¿ yj −1 ¼ ½ Pξ(xi) ½»¾ ½» ½» ½» Pη(yj) ½» ½»¾ ½» M ξ + 1 η4 + 2 . º½ ◦º ξ η xi ¼ ½ ¾ yj −1 ¼ ½ Pξ(xi) ¾»¿ ½» ½» Pη(yj) ½»¿ ½»¿ ½»¿
  • 191. º¾º M η4 − η ξ + 1 . º½ º ξ õ −n, −(n − 1), . . . , −1, 0, 1, . . . , n − 1, n 1/(2n + 1)º 1) Mξ; 2) M|ξ|º º½ º þ ξ õ λº Mξ, Mξ2, Dξ. º½ º ξ η ¸ õ λº ¹ 1) M ξ 1 + η ; 2) Mξη; 3) Dξη; 4) D(ξ + η). º½ º þ ξ õ ¹ pº Mξ, Mξ2, Dξ. º½ º º ½º ¹ ¾º ¸ º¾¼º þ ξ õ ¹ pº 1) Mxξ , |x| 1; 2) Meitξ . º¾½º þ ξ õ λº ½µ Mxξ, |x| 1; 2) Meitξ. º¾¾◦º ¹ ξ ½¼¼ ¹ ¸ õ 0,7º º¾¿◦º ¸ 1/3º ξ ¸ º ξº Mξ Dξº
  • 192. ¼
  • 193. º º¾ ◦º ½¼ º ¹ ξ ¸ º Mξ Dξº º¾ ◦º ¹ ξ º¾ º º¾ ◦º ¹ ξ º¾ º º¾ ∗º õ ¹ p (0 p 1) ¹ º ξ ¸ õ r¹ º þ ξ õ ³õ (r, p) P{ξ = k} = Ck r+k−1pr (1 − p)k , k = 0, 1, . . . ¸ Mξ = r 1 − p p , Dξ = r 1 − p p2 . º¾ º½ ζ = (ξ, η) º 1) M max{ξ, η}; 2) M sin(π max{ξ, η}/6); 3) M min{ξ, η}. º¾ º ξ η º½¼ 1) M min{ξ, η}; 2) M cos(π max{ξ, η}/3); 3) M max{ξ, η − ξ}; 4) M sin(π min{η, η − ξ}/4). º¿¼º þ µ = (µ1, µ2, . . . , µr) õ ¹ P{(µ1, µ2, . . . , µk, . . . , µr) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)} = pk, (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) k¹ ¹ ¸ ¸ k = 1, 2, . . . , rº ½ ³ º¾ º¿½ ´ º½º¿µº
  • 194. º¾º ½ M exp{i(t, µ)} = M exp{i(t1µ1 + t2µ2 + . . . + trµr)}. º¿½∗º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ R1 R1 = r j=1 Xj, Xs ∩ Xl = ∅, s = l, P{ξk ∈ Xj} = pj, j = 1, 2, . . . , r; ν = (ν1, ν2, . . . , νr) ¸ j¹ ¹ νj õ ξ1, ξ2, . . . , ξn, Xj¸ j = 1, 2, . . . , rº M exp{i(t, ν)} = M exp{i(t1ν1 + t2ν2 + . . . + trνr)}, tu ∈ R1, u = 1, 2, . . . , rº º¿¾º k º º ½º º k º ¾º k ¹ º ´ õ µ¸ k º ¸ ¹ k ¹ k + 1 º ¸ p º ½º ¸ k º ¾º ¹ ξ¸ º º¿¿º þ ¾ ¸ ¿ º º ¹ ξ ¸ η ¸ ζ º ¹ º
  • 195. ¾
  • 196. º º¿ º ξ ³õ ¹ P{ξ = k} = pk, k = 0, 1, . . . P(t)¸ P(t) = Mtξ = ∞ k=0 tk pk, |t| ≤ 1, õ ξ ´ {pk}µº ξ¸ õ 1◦ 2◦ 3◦ º º¿ º ¸ ¹ ´ õ µº º¿ º ¸ õ ´ µº º¿ º ¸ ¹ ξ η θ1 θ2 õ θ1 + θ2º º¿ º ¸ ¹ ξ η (n; θ) (m; θ) õ ¹ (n + m; θ)º º¿ º Ω = {0, 1, 2, . . .}, P(ω) = apω , ω = 0, 1, . . . , p (0; 1)º a P(ω) = apω¸ ω ∈ Ω¸ õ ¹ Ω ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ ¹ ξ = ξ(ω) = 2−ωº Mξ¸ Mξ2º º ¼º Ω = {0, 1, 2, . . .}, P(ω) = a 1 ω! , ω ∈ Ω. a {Ω, P} õ
  • 197. º¾º ¿ ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ ¹ ξ = ξ(ω) = 2ωº Mξ¸ Dξº º ½º Ω = {0, 1, . . .}, P(ω) = a λω ω! , ω ∈ Ω, λ º a {Ω, P} õ ξ = ξ(ω) {Ω, P}¸ ¹ ξ = ξ(ω) = 2ωº Mξ¸ Dξº º ¾º ´ º½º¾µº º ¿º ´ º½º¿µº º º Pζ(xi, yj) ζ = (ξ, η)º Mξº º º º ¸ ¸ ¸ ¸ ³ ¸ º ¸ ¸ º º º º
  • 198. º ¹ ¸ ¸ º ü ¸ º ¹ ¸ º º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¸ ¸ Sn = ξ1 +ξ2 +. . .+ξnº ¸ DSn = n k=1 Dξk + 2 ij cov(ξi, ξj), ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ DSn = n k=1 Dξk.
  • 199.
  • 200. º º º ζ1, ζ2 ξ = ζ1+ζ2, η = ζ1−ζ2º ¸ r(ξ, η) = 0º º º ξ η ¸ ³ º ¹ ¸ r(ξ, η) = 0º ¸ ξ η õ º º ¼º ξ õ −1, +1, −2, +2 1/4¸ η = ξ2º ξ ηº ¸ ½µ r(ξ, η) = 0 ¾µ ξ η õ º º ½º ξ º¿º º ¾º ξ ¸ ¹ ¸ η ¸ º ¹ Mξ, Dξ, Mη, Dη, M(ξ + η), D(ξ + η).
  • 201.
  • 202. ü º½ ü ¸ σ¹ º ¹ ´ µ Ω ω ¹ º Ω ¹ A, B, C, . . . õ ´ ¹ õ µ º ω õ ¹ A¸ ω ∈ A ´ ω A µ ω õ A¸ ω /∈ A ´ ω ¹ A µº ¸ ¸ ¹ ∅º A õ ¹ B¸ A ⊂ B ´ A B µº A õ ¹ B (A ⊂ B) B õ A (B ⊂ A) ´ ¸ ¹ A B µ¸ A B A = Bº A = B¸ ¹ ¸ A ⊂ B B ⊂ A¸ ω
  • 203.
  • 204. º ü A õ B¸ ω B õ Aº A B ¹ º ¸ õ ¸ A B¸ ¹ ³õ A B A ∪ Bº ¸ õ ¸ A¸ B¸ A B A ∩ Bº ¸ õ ¸ A¸ B¸ A B A Bº ¸ õ Ω¸ ¹ A¸ A Aº ¸ A B ´ µ¸ A ∩ B = ∅º º½º½º {An} ¹ (Ai ∩ Aj = ∅, i = j) Bn = ∞ i=n Ai, n = 1, 2, . . . ¸ ∞ n=1 Bn = ∅º ³ º ¸ ∞ n=1 Bn = ∅¸ ¹ ω ∈ ∞ n=1 Bnº ω ∈ B1 = ∞ i=1 Ai ¸ ¸ ω ¹ Ai¸ i = 1, 2, . . . , Ai ∩ Aj = ∅, i = j¸ ¸ An0 º ω /∈ ∞ i=n0+1 Ai = Bn0+1. ü õ ω ∈ ∞ n=1 Bnº
  • 205. º½º ü ¸ σ¹ ü º A Ω ¸ 1◦ ¹ A ∈ A A A 2◦ ¹ A, B ∈ A õ ³õ A ∪ B Aº º K Ωº ¸ K ( ¸ ¹ K)¸ A(K)¸ 1◦ K¸ K ⊂ A(K) 2◦ ¹ A¸ K¸ A(K) ⊂ Aº σ¹ü º F Ω σ¹ ¸ 1◦ A ∈ F A F 2◦ ¹ ¹ Ai ∈ F¸ i = 1, 2, . . . , õ ³õ ∞ i=1 Ai Fº σ¹ F º º K Ωº σ¹ ¸ K (σ¹ ¹ ¸ K)¸ σ¹ σ(K)¸ 1◦ K¸ K ⊂ σ(K) 2◦ ¹ σ¹ F¸ K¸ σ(K) ⊂ Fº º½º¾º K1 K2 ¹ Ω¸ K1 ⊂ K2º ¸ σ(K1) ⊂ σ(K2). ³ º K2 ⊂ σ(K2)¸ ¹ K1 ⊂ K2¸ K1 ⊂ σ(K2)º Á σ(K1) ¹ σ¹ ¸ K1¸ σ(K2) σ¹ ¸ K1¸ σ(K1) ⊂ σ(K2)º ý R1º σ¹ü R1 σ¹ B1¸
  • 206.
  • 207. º ü K [a, b)º σ¹ B1 R1º º½º¿º ¸ R1 õ 1) {a} a ∈ R1 2) 3) (a, b) 4) 5) º ³ º ¸ σ¹ ¹ ¸ ¹ ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 Ai. ½µ ¸ {a} = ∞ n=1 [a, a + 1/n)º ü [a, a + 1/n) B1¸ B1 ¸ {a} = ∞ n=1 [a, a + 1/n) ∈ B1 . ¾µ A ∞ i=1 {ai}¸ {ai} ∈ B1 i = 1, 2, . . . ´ º ½µ¸ A ∈ B1º ¿µ (a, b) = [a, b) ∩ {a}, [a, b) ∈ B1, {a} ∈ B1 B1 ¸ (a, b) ∈ B1º µ O R1 ³õ ¹ O = i (ai, bi)º þ (ai, bi) B1¸ O = i (ai, bi) ∈ B1º µ B1 º
  • 208. º¾º ü õ ¸ ¹ º ¹ Rn¸ ¸ õ º ý R2º σ¹ü R2 σ¹ B2¸ K [a1, b1) × [a2, b2)º ý Rnº σ¹ü Rn σ¹ Bn¸ K [a1, b1) × [a2, b2) × . . . . . . × [an, bn)º ý º σ¹ü (X, ρ) σ¹ B(X)¸ (X, ρ) º º¾ ü Ω F σ¹ Ωº Á º Á ¸ σ¹ F Ω¸ ³õ ¹ º Á ¸ P ¸ σ¹ F Ω¸ ¸ 1◦ A ∈ F P(A) ≥ 0; 2◦ Ai ∈ F¸ i = 1, 2, . . . , ¸ Ai ∩ Aj = ∅, i = j¸ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai); 3◦ P(Ω) = 1º ¸ Ω = Rn¸ F = Bn¸ Rnº ü 1◦¸ 2◦ σ¹ 1◦¸ 2◦¸ 3◦
  • 209. ¼
  • 210. º ü º üº º º ü 1◦¸ 2◦¸ 3◦ õ ¹ ³õ ¸ ¸ º ´¿º½º½µ¸ ´¿º½º¾µ¸ ´¿º½º¿µº º Á {Ω, F, P}¸ Ω ¸ F σ¹ Ω¸ P σ¹ Fº Á {Ω, F, P} õ ¹ º Ω ¹ ¹ ¸ F σ¹ ¹ Ω ¸ ¹ ¸ P F º þ º ¹ õ 1◦¸ 2◦¸ 3◦º ½º Á õ P(∅) = 0. ¾º Á ¹ A ∈ F õ ½ P(A) ≤ 1. ¿º A ⊂ B (A, B ∈ F)¸ B A õ P(B A) = P(B) − P(A). º P(A) = 1 − P(A)º º A, B ∈ F P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ´ º¾º½µ ´ µº º¾º½º õ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) =
  • 211. º¾º ü ½ = 1≤i1≤n P(Ai1 ) − 1≤i1i2≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ) + . . . . . .+(−1)n−1 1≤i1i2...in≤n P(Ai1 ∩Ai2 ∩. . .∩Ain ). ´ º¾º¾µ ³ º õ º ´ º¾º¾µ õ ´ º ´ º¾º½µµº ¸ ´ º¾º¾µ õ n − 1 ¸ ¸ õ n º õ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = P(A1) + P(A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An)− −P((A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3) ∪ . . . ∪ (A1 ∩ An)) = P(A1)+ + 2≤i1≤n P(Ai1 ) − 2≤i1i2≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ) + . . . . . . + (−1)n−2 2≤i1i2...in≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Ain )− −P((A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3) ∪ . . . ∪ (A1 ∩ An)). ¸ õ ¸ 2≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik )+ + 2≤i1i2...ik−1≤n P((A1 ∩ Ai1 ) ∩ (A1 ∩ Ai2 ) ∩ . . . . . . ∩ (A1 ∩ Aik−1 )) = = 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ), k = 2, 3, . . . , n. º¾º¾ º 1, 2, . . . , n ¹ º ¸ õ º õ ¸ n → ∞
  • 212. ¾
  • 213. º ü ³ º ¹ ¸ õ n n ¸ º ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¹ õ n! Ais ¸ õ ¸ is is¸ Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ¸ k = 1, 2, . . . , n¸ õ i1 i1¸ i2 i2¸ . . . , ik ik ´ n−k n−k µº A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An. õ ´ º ´ º¾º¾µµ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = = 1≤i1≤n P(Ai1 ) − 1≤i1i2≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ) + . . . . . . + (−1)n−1 1≤i1i2...in≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Ain ). º 1≤i1≤n P(Ai1 )º P(Ai1 )º Ai1 n¸ i1 i1º ¸ ¸ (n − 1)! ¹ P(Ai1 ) = (n − 1)! n! = 1 n . 1≤i1≤n P(Ai1 ) = 1≤i1≤n 1 n = 1. 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik )º
  • 214. º¾º ü ¿ P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik )º Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . . . .∩Aik n¸ ¹ i1 i1¸ i2 i2¸ . . . , ik ik¸ ¹ n − k n − k ¸ ¸ ¹ º ¸ ¸ (n−k)! P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = (n − k)! n! . 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = = 1≤i1i2...ik≤n (n − k)! n! . õ k i1, i2, . . . , ik [1, n] ¸ 1 ≤ i1 i2 . . . ik ≤ nº ¸ õ Ck nº ¸ 1≤i1i2...ik≤n P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = Ck n (n − k)! n! = 1 k! . ¸ P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = 1 − 1 2! + 1 3! + . . . + (−1)n−1 1 n! . ¸ n → ∞¸ õ 1 − 1/eº
  • 215.
  • 216. º ü º¿ ü 7.1, 7.12, 7.13, 7.14, 7.15(1, 2), 7.16(1), 7.19º 7.2, 7.9, 7.10, 7.15(3, 4, 5), 7.16(2), 7.20º º½◦º ¸ µ A∪B = A∪(B(A∩B))¸ A∩(B(A∩B)) = ∅ µ A ∩ (∪iBi) = ∪i(A ∩ Bi)¸ ¸ Bi ∩ Bj = = ∅, i = j¸ (A ∩ Bi) ∩ (A ∩ Bj) = ∅, i = jº º¾◦º {An} ¹ An = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1/n2 }, n = 1, 2, . . . A = ∞ n=1 An, B = ∞ n=1 An. º¿◦º µ A B = A (A ∩ B) = (A ∪ B) B µ A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) µ (A C) ∩ (B C) = (A ∩ B) Cº º ◦º An = 1 2n, 1 n , n = 1, 2, . . . ¹ A = ∞ n=1 An, B = ∞ n=1 An. º º ½ ◦ {An} º ¸ ∞ n=1 An = ∞ n=1 Bn, B1 = A1¸ Bn = An n−1 i=1 Ai¸ Bn ¹ º
  • 217. º¿º ¾ ◦ {Ai} ¸ Ai ⊂ Ai+1, i = 1, 2, . . . ¸ ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 (Ai Ai−1), A0 = ∅¸ (Ai Ai−1) ∩ (Aj Aj−1) = ∅, i = j. º º I º ¸ α∈I Aα = α∈I Aα; α∈I Aα = α∈I Aα. º ◦º A ¸ A, B ∈ Aº ¹ ¸ A B ∈ A ´ µº º ◦º A º µ Ak ∈ A, k = 1, 2, . . . , n¸ n k=1 Ak ∈ A µ Ak ∈ A, k = 1, 2, . . . , n¸ n k=1 Ak ∈ A µ Ω ∈ A ∅ ∈ Aº º º ¸ µ Ω õ µ K Ω õ ¸ K µ ¹ õ º º½¼º ¸ K õ ¹ ¸ Kº º½½◦º F σ¹ ¸ An ∈ F, n = = 1, 2, . . . ¸ ∞ n=1 An ∈ Fº º½¾º ¸ µ Ω õ σ¹ µ K Ω õ σ¹ ¸ K
  • 218.
  • 219. º ü µ ¹ σ¹ õ σ¹ º º½¿º ¸ K õ ¹ σ¹ σ(K)¸ Kº º½ º K (a, b) º ¸ σ¹ σ(K)¸ K¸ õ σ¹ R1º º½ º ¸ σ¹ ¸ ¹ ¸ õ σ¹ R1 : ½µ K1 = {[a, b]; a, b ∈ R1} ¾µ K2 = {(−∞, x]; x ∈ R1} ¿µ K3 = {(−∞, x); x ∈ R1} µ K4 = {(x, +∞); x ∈ R1} µ K5 = {[x, +∞); x ∈ R1}º º½ º ¸ σ¹ ¹ õ ½µ ¾µ º º½ º A R1¸ ¹ õ ³õ [a, b)¸ (−∞, b)¸ [a, +∞)¸ a, b ∈ R1º ¸ A õ σ¹ R1º º½ º F σ¹ Ω¸ B ¹ ¸ Fº ¸ FB A ∩ B¸ A ∈ F¸ õ σ¹ º º Bº º½ º B1 σ¹ R1¸ B ¸ B1º B1 B B ∩ A¸ A ∈ B1º ¸ B1 B õ σ¹ º º Bº º¾¼º B1 σ¹ R1º B1 [a,b) B ∩ [a, b), B ∈ B1, [a, b) º ¸ B1 [a,b) õ σ¹ º º [a, b)º º¾½º K Ai ⊂ Ω¸
  • 220. º¿º i = 1, 2, . . . , n, Ai Aj = ∅, i = j¸ n i=1 Ai = Ωº σ¹ ¸ Kº º¾¾º K Ai ⊂ Ω, i = = 1, 2, . . . , Ai Aj = ∅, i = j¸ ∞ i=1 Ai = Ωº ¸ Kº σ¹ ¸ Kº º¾¿∗º ¸ Rn õ µ {a}¸ a ∈ Rn µ µ µ º º¾ º ¸ Ia1,a2,...,an = = {(x1, x2, . . . , xn) : x1 a1, x2 a2, . . . , xn an}, ai ∈ R1, i = 1, 2, . . . , n¸ õ σ¹ Bnº º¾ º ¸ K Rn ¹ õ σ¹ Bnº º¾ º ¸ K Rn ¹ õ σ¹ Bnº º¾ º (X, ρ) ¹ º ¸ ½µ õ ¾µ õ ¿µ õ º º¾ º (X, ρ) ¹ ¸ F ¸ V ¹ B(x, r) = {y : ρ(x, y) r}¸ W ¹ B(x, r) = {y : ρ(x, y) ≤ r}º ¸ õ σ¹ (X, ρ)º º¾ º {An} Ω limAn ω¸ An limAn ¸ An¸ º
  • 221.
  • 222. º ü ¸ limAn ⊂ limAn; limAn = ∞ n=1 ∞ m=n Am; limAn = ∞ n=1 ∞ m=n Am. º¿¼º {An} Ω¸ n õ An+1 ⊂ An. ¸ limAn = limAn = ∞ n=1 An. º¿½º {An} ¹ Ω¸ n õ An ⊂ An+1º ¸ limAn = limAn = ∞ n=1 An. º¿¾º Á A ⊂ Ω ¹ IA¸ õ IA(ω) = 1, ω ∈ A; 0, ω /∈ A. 1) IA∩B = IAIB 2) IA = 1 − IA 3) IA∪B = IA + IB¸ A ∩ B = ∅ 4) Ai Aj = ∅, i = j, A = ∞ k=1 Ak¸ IA = ∞ k=1 IAk 5) {Ak} A = ∞ k=1 Ak¸ lim k IAk = IAº
  • 223.
  • 224.
  • 225. º½ º õ B Rn ´ ¸ ¹ [a, b]¸ [a1, b1] × [a2, b2]¸ [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3] º ºµº ¹ B ¹ ´ µ A B¸ ¸ A¸ L(A) Aº õ¸ ¹ ¸ õ B¸ {B, Bn B, P}¸ Bn B B, P Bn B¸ A Bn B ¹ õ P(A) = L(A) L(B) , L Rn. ´ L ¹ [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn] õ n i=1 (bi − ai)¸ ¸ L([a, b]) = b − a¸ L([a1, b1] × [a2, b2]) = (b1 − a1) × ×(b2 − a2)µº ¹
  • 226. ½¼¼
  • 227. º
  • 228. ´ ¸ ¹ B õ 0 L(B) ∞µº º½º½º [0; 1] º ¸ 1/2º ³ º ´ ¸ ¸ µº x y º [0; 1] ¹ x y õ [0; 1]×[0; 1] (x, y) º ¹ [0; 1] õ [0; 1] × [0; 1]º [0; 1]¸ ¹ 1/2 ´ |y − x| 1/2µ¸ õ (x, y) [0; 1] × [0; 1]¸ ¹ |y − x| 1/2¸ º A A = {(x, y) ∈ [0; 1] × [0; 1] : |y − x| 1/2} = = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : x − 1/2 y x + 1/2} ´ º º º½º½¸ A µº x y 0 1 1 1/2 1/2 º º½º½ º½º½ ¹ ¸ õ
  • 229. º½º º ½¼½ [0; 1] × [0; 1]¸ õ {B, B2 B, P}¸ B = = [0; 1] × [0; 1]¸ B2 B σ¹ [0; 1] × [0; 1]¸ P B2 Bº P(A) = L(A) L(B) = 3/4 1 = 3 4 . º½º¾ º 1 º ¸ ¸ ¸ º ³ º ½ ¹ [0; 1] º ¹ [0; 1] ¹ õ ´ ¸ ¹ x, yµº ´ min{x, y}µ¸ ´ ¹ |x − y|µ¸ ´ 1 − max{x, y}µº Á ¸ ¹ ¸ min{x, y} |x − y| + (1 − max{x, y}); |x − y| min{x, y} + (1 − max{x, y}); 1 − max{x, y} min{x, y} + |x − y|. ´ º½º½µ [0; 1] ¹ õ [0; 1] × [0; 1] ´ º º½º½µº [0; 1]¸ ´ º½º½µ¸ ¹ (x, y) [0; 1] × [0; 1]¸ ¹ º Aº ¹ A = A ∩ ({(x, y) : x ≤ y} ∪ {(x, y) : x y}) = = (A ∩ {(x, y) : x ≤ y}) ∪ (A ∩ {(x, y) : x y}) =
  • 230. ½¼¾
  • 231. º
  • 232. = {(x, y) : x 1/2, x + 1/2 y, y 1/2} ∪ ∪ {(x, y) : y 1/2, x − 1/2 y, x 1/2} . x y 0 1 1 1/2 1/2 º º½º¾ º½º¾ ¸ ¸ [0; 1] × [0; 1] ¹ A ´ º º º½º¾¸ A µº ü ¸ õ P(A) = L(A) L([0; 1] × [0; 1]) = 1/4 1 = 1 4 . º½º¿ ´ ý µº ¹ ¸ ¹ 2a º ½ 2l (2l 2a)º ¸ º ½ õ ½ ◦ ´ ¹ µ 2a¸ ¹ ¾ ◦ ϕ¸ ¹ ¸ õ [0, π] ¿ ◦ x ϕ õ º
  • 233. º½º º ½¼¿ ³ º x ¹ ¸ ϕ ´ϕ ´ º º º½º¿µµº ' l sin ' x 2a º º½º¿
  • 234. ¸ ¹ ¸ õ (ϕ, x)¸ ϕ ∈ [0, π]¸ x ∈ [0, a]º (ϕ, x) õ ¹ ϕ, x (ϕ, x)¸ ¹ B = [0, π] × [0, a] ´ º º º½º µº B õ ¹ (ϕ, x)¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ õ ´ º º º½º¿µ ¹ B = [0, π] × [0, a] ´ º º º½º µº ¸ õ ¹ x ≤ l sin ϕ ´ º º º½º¿µ ¸ ¸ B = [0, π] × [0, a] õ A¸ x = l sin ϕ Oϕ ´ º º º½º µº ü ¸ p ¸ A ´ µ¸ õ
  • 235. ½¼
  • 236. º
  • 237. º p = 1 aπ π 0 l sin ϕdϕ = 2l aπ . ¸ ¹ πº 0 x a x = l sin ' π ' º º½º ý ¸ n ´n ¹ µ¸ m º õ ¸ n m/n õ p¸ õ ¹ 2l aπ ≈ m n º π ≈ 2l a n m .
  • 238. º¾º ½¼ º¾ ü 8.1◦(1, 2, 3, 10), 8.2◦(1, 2, 3), 8.4(1, 7, 11, 14), 8.12◦, 8.18, 8.20, 8.29, 8.31º 8.3◦(3, 6, 8), 8.4(2, 10, 15), 8.11◦ , 8.16, 8.17◦, 8.19, 8.25, 8.28, 8.30º º½◦º ¼ ½℄× ¼ ½℄ º ¸ (x, y) ½µ xy ≤ 1/2 µ x2 + y2 1/4 ¾µ min{e−x, √ y} ≥ e−1/2 µ x + y ≤ 1/3 ¿µ min{y − x2, x − y2} ≥ 0 µ y + 1/2 ≤ 1/x µ max{y − e−x, y − 3/4} ≥ 0 µ y x2/2 µ y −x2 + 1/9 ½¼µ |y − x| ≥ 2/3º º¾◦º ¼ ½℄× ¼ ½℄ º (x, y)º ½µ x y ½»¾ ¾µ ½» ¿µ ´½¸½µ ½ µ ´¼¸½µ ½º º¿◦º ¼ ½℄ º x õ ¸ y º ½µ max{x, y} 1/2 µ max{x2, y} a, 0 a 1 ¾µ max{x, y} 1/3 µ max{x, y2} a, 0 a 1 ¿µ min{x, y} 1/4 ½¼µ yex ≤ 1 µ min{x, y} 1/2 ½½µ y + √ 1 − x2 − 1 ≥ 0 µ x + 1 − y2 ≤ 1 ½¾µ y + √ x − x2 ≤ 1º µ y + √ 2x − x2 ≤ 1 ½¿µ x2 − y2 − x + y ≥ 0º µ x + y − y2 ≥ 1 ½ µ (y − x)(y − 1/2) ≥ 0º
  • 239. ½¼
  • 240. º
  • 241. º º [−2; 2] º x õ ¸ y º ½µ x + |x| = y + |y| µ (y − 2x)(y + 2x) ≥ 0 ¾µ x − |x| = y − |y| µ (|x| + |y| − 1)(|x| + |y| − 2) ≤ 0 ¿µ [y] = [x] ½¼µ |x − 1| + |y − 1| ≤ 1 µ [y] = −[x] ½½µ (y − x)(y + x − 2) ≥ 0 µ [y] = [x − 1] ½¾µ ([y] − [x])({y} − {x}) ≥ 0 µ {y} ≤ {x} ½¿µ (x − sign x)2 + (y − sign y)2 ≤ 1 µ |x| + |y| ≤ 1 ½ µ |x − sign x| + |y − sign y| ≤ 1 ½ µ (|x − 1| + |y − 1| − 1)(|x − 1| + |y − 1| − 2) ≤ 0 ½ µ ((x − sign x)2 + (y − sign y)2 − 1)(|x − sign x| + + |y − sign y| − 1) ≤ 0 ´[a] a, {a} = a − [a] ¹ aµº º ◦º rº õ a b (a b, 2r a)º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ º º º l º ¸ õ kl (0 k 1) º º º ¹ ¸ º ¸ ¸ ´ ½µ ½ ¸ ¾ º º ◦º ¹ dº õ a (a d)º ¸ º º R º ¸ ¹ n¹ ¸ º½¼º º
  • 242. º¾º ½¼ ¸ µ Ox ¸ õ r (r 1) µ ¹ (1; 0) õ r º½½◦º R º ¸ õ ½µ õ r ¾µ r º½¾◦º R O N º ¸ ½µ õ r (r R) ¾µ ¹ õ r (r R) ¿µ r (r R) O µ ¹ r (r R) O µ ¹ r (r R)¸ R µ r (r R)¸ R µ a¸ R µ ¹ a¸ Rº º½¿º AB a ¹ ³ º ¹ ¸ ¸ b (b a) A¸ ¸ bº º½ º ´ ¹ µ ¸ ¸ ¸ õ º õ ¸ ¹
  • 243. ¸ ¹ ¸ ¹ ´ ¹ ¸ µº þ ¹ ¸ ¸ õ
  • 244. ½¼
  • 245. º
  • 246. ¸ ´ µº ¹ ¸ ¸ º ´ ¹ ¹ ºµ
  • 247. º ¼ ¾ ¹ º ¸ ¸ ¸ ¹
  • 248. º ¸ ¸ ¼¸ ¸ ¸ ¹ ¾ º º½ º [0; 1] ¸ ξ, η, ζ º ½º ¸ ¹ ξ, η, ζ º ¾º ¸ ξ + η + ζ ≤ 3/2º ¿º ¸ max{ξ, η, ζ} ≤ t¸ 0 t 1º º½ º ¸ ¹ ¸ ¸ ¹ ¹ º ½º ¸ t (t 1)¸ ¸ ¸ ¾º ¸ ¹ µ µ ¸ q (q 1) º½ ◦º R O ¹ N º ¸ ½µ õ r (r R) ¾ ¸ õ º ¸ õ ¸ ¹ ¸ ¸ º
  • 249. º¾º ½¼ ¾µ ¹ õ r (r R) ¿µ r (r R) O µ r (r R) O µ ¹ r (r R)¸ R µ r (r R)¸ R µ ¹ a¸ R µ ¹ a, b, c¸ Rº º½ º ¸ ¹ ¸ õ ½¸ ¹ º½ º [−1; 1] ¹ º p q º ¹ ¸ x2 + px + q = 0 ½µ õ ¾µ õ º º¾¼º º ¸ º¾½◦º º ¹ º ¸ º º¾¾∗º x = (x1, x2) ¸ ¹ [0; 1] × [0; 1]º r Ar = {|x1 −x2| ≥ r} Br = {x1+x2 ≤ 3r} º¾¿º x = (x1, x2) ¸ ¹ [0; 1] × [0; 1]¸ A1 = {(x1, x2) : x1 ≤ 1/2}, A2 = {(x1, x2) : x2 ≤ 1/2}, A3 = {(x1, x2) : (x1 − 1/2)(x2 − 1/2) ≤ 0}. ¸ ¹ A1, A2, A3 ¸ õ º
  • 250. ½½¼
  • 251. º
  • 252. º¾ º ½µ ½ ¾µ ½º ½º ¸ õ º¾ º [0; 1] ¹ º ¸ ½µ ¸ ¸ ¾µ º¾ º þ º ¸ ¸ ¹ ¸ º¾ ∗º ¸ r h¸ ¹ º ¹ ¸ º º¾ º [0; 1]¸ ¸ º ¹ ½µ ¾µ ¿µ µ º º¾ º º ¸ ¹ º¿¼º º ¹ ¸ ½µ õ ¸ 30◦ ¾µ 30◦ ¿µ õ 90◦º º¿½¿º A, B, C, Dº ¹ ¸ AC BD ¹ º º¿¾∗º ¹ ¸ õ º ¿ þ º ýº
  • 253. »» º ½ ½º í½º º ¿º
  • 254. º¾º ½½½ ¸ ¹ ¸ ¹ º ¸ ¸ ¹ õ R¸ ¹ º º¿¿∗º ¸ ¹ R ¸ r d 0 ≤ R − r − d ≤ δ. ¸ R, r, d ¹ ¼¸¼ ½¸¼℄¸ ¼¸¼ ½¸¼℄¸ ¸ ½¼¸¼℄ º ¸ ¸ δ = 0, 5 º º¿ º [0, nd]¸ kd, k = 0, 1, . . . , n¸ ¸ º ¸ õ ¸ ½ ◦ ¹ [0, d] ¾ ◦ [0, l] (0 l d)º º¿ ◦º þ º ¸ ¸ ½»¿¸ ¸ ½» º¿ ◦º ¸ ¹ 2aº r (r a)º ¸ º¿ ◦º L ¹ º ¸ ¸ l (l L/2) º º¿ ◦º þ A ½º µ A ¹ õ x µ A ¹ õ x
  • 255. ½½¾
  • 256. º
  • 257. µ A ¹ õ x µ A ¹ õ xº º¿ ◦º þ A ½ ¾º ¹ µ A ¹ õ x µ A x (x 1/ √ 5)º º ¼◦º þ A aº ¸ ¹ A ¹ ¸ A º º ½◦º þ X A = {(x, y) : |x| ≤ a, |y| ≤ a}º ¹ ¸ X b¸ ¸ ¹ Aº º ¾º [0; 1]¸ n ´ µ¸ n º ½µ ¾µ ¿µ µ µ µ s º
  • 258.
  • 259. º½ þ ¹ ´ º º µ ¸ ¹ º ¸ ¹ ¸ º º º º {Ω, F, P} º þ ξ = ξ(ω) Ω R1 ¸ x ∈ R1 {ω : ξ(ω) x} ∈ F. ξ = ξ(ω) ¸ ¹ B ´ µ {ω : ξ(ω) ∈ B} ∈ F. þ º ξ η ¸ õ ξ + η, ξ − η, ξη, ξ/η (η = 0). ½½¿
  • 260. ½½
  • 261. º õ ¹ º ¸ ξ ¸ g ½ R1 R1¸ g(ξ) º ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ¸ ¹ õ sup n ξn, inf n ξn, limξn, limξn, ¸ lim ξn ´ õµ õ º º ¹ ξ õ ¹ Pξ : xi → Pξ(xi) = P{ξ = xi}. ξ õ õ ¸ ¹ ¸ ξ ¹ [a, b)º º Fξ(x) = P{ω : ξ(ω) x}, x ∈ R1 , õ ξº þ Fξ(x) ¹ ξº ½º 0 ≤ Fξ(x) ≤ 1º ¾º Fξ(x) x1 x2¸ Fξ(x1) ≤ Fξ(x2). ¿º Fξ(x) º º lim x→−∞ Fξ(x) = 0¸ lim x→+∞ Fξ(x) = 1º º a b (a b) P{ξ ∈ [a, b)} = Fξ(b) − Fξ(a). ½ g : R1 → R1 ¸ B g−1 (B) º õ ¸ º
  • 262. º½º ½½ º x0 P{ξ = x0} = Fξ(x0 + 0) − Fξ(x0 − 0). Pξ(B) = P{ω : ξ(ω) ∈ B}, B ∈ B1 , ¸ ¹ ξº º ¹ F(x) ξ ¹ F(x) = x −∞ p(t)dt, x ∈ R1 , ´ º½º½µ ¸ ξ õ ¹ ´ µ¸ p(x) ¹ ξº p(x) ξ P{ξ ∈ [a, b)} P{ξ ∈ [a, b)} = b a p(x)dx. ´ º½º¾µ ý ´ º½º½µ õ¸ x d dx F(x) = p(x). p(x) ³õ ¹ +∞ −∞ p(x)dx = 1.
  • 263. ½½
  • 264. º g(ζ) ¹ ζº ζ R1 p(x) ¹ ¸ g(x) R1 R1º P{g(ζ) ∈ B} = x:g(x)∈B p(x)dx, ´ º½º¿µ P{g(ζ) t} = x:g(x)t p(x)dx, ´ º½º µ P{ζ ∈ B} = B p(x)dx. ´ º½º µ º¾ º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ {Ω, F, P}º ξ = = ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) ¹ ¸ Rnº ξ1, ξ2, . . . , ξn ¸ {ω : ξ1(ω) x1, ξ2(ω) x2, . . . , ξn(ω) xn} ∈ F ´ x1, x2, . . . , xnµº º F(x1, x2, . . . , xn) = = P{ω : ξ1(ω) x1, ξ2(ω) x2, . . . , ξn(ω) xn}, Rn¸ õ õ ¹ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn)º
  • 265. º¾º ººº ½½ º Pζ : B → Pζ(B) = P{ω : ζ(ω) ∈ B} = = P{ω : (ξ1(ω), ξ2(ω), . . . , ξn(ω)) ∈ B}, B ∈ Bn , Rn¸ ¹ ζ = (ξ1, ξ2, . . . . . . , ξn)º º F(x1, x2, . . . . . . , xn) ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ¹ F(x1, x2, . . . , xn) = = x1 −∞ x2 −∞ . . . xn −∞ p(t1, t2, . . . , tn)dtndtn−1 . . . dt1, ´ º¾º½µ ¸ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) õ ´ µ¸ p(x1, x2, . . . , xn) ¹ ¸ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº p(x1, x2, . . . , xn) ¹ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ³õ +∞ −∞ +∞ −∞ . . . +∞ −∞ p(t1, t2, . . . , tn)dtndtn−1 . . . dt1 = 1. g(ζ) ¹ ζº ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ¹ Rn¸ p(x1, x2, . . . , xn) ¸ g(x1, x2, . . . , xn) ¹ Rn Rl¸ B Rlº P{g(ζ) ∈ B} = x:g(x)∈B p(x)dx, x ∈ Rn , ´ º¾º¾µ
  • 266. ½½
  • 267. º P{ζ ∈ B} = B p(x)dx, x ∈ Rn . ´ º¾º¿µ ζ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ¸ ¹ g(ζ) õ ´ º½º½µ ´ º½º¾µº º þ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξn R1 ¹ ¸ x1, x2, . . . , xn ∈ R1 P{ξ1 x1, ξ2 x2, . . . , ξn xn} = = P{ξ1 x1}P{ξ2 x2} . . . P{ξn xn}. ξ1, ξ2, . . . , ξn p1(x1), p2(x2), . . . , pn(xn)¸ õ ¹ p(x1, x2, . . . , xn) ξ1, ξ2, . . . , ξn¸ õ p1(x1), p2(x2), . . . , pn(xn) p(x1, x2, . . . , xn) = p1(x1)p2(x2) . . . pn(xn). º¾º½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ ¹ p(x) p(x) = 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 . þ ξ1, ξ2, . . . . . . , ξnº ³ º ξ1, ξ2, . . . . . . , ξn ¸ õ p(x1, x2, . . . , xn)¸ ¹ õ p(x1), p(x2), . . . , p(xn) ξ1, ξ2, . . . , ξn : p(x1, x2, . . . , xn) = n i=1 p(xi) =
  • 268. º¾º ººº ½½ = n i=1 1 √ 2πσ2 exp − (xi − a)2 2σ2 = = 1 √ 2πσ2 n exp − 1 2σ2 n i=1 (xi − a)2 . º¾º¾º ξ η pξ(s) pη(t)º ¹ ζ = ξ + ηº ³ º Fζ(z) ζ = ξ + ηº Fζ(z) = P{ζ z} = P{ξ + η z}. P{ξ + η z}º ξ η ¸ õ p(s, t) ξ η p(s, t) = pξ(s)pη(t). õ ´ º¾º¾µ¸ x (s, t) ∈ ∈ R2¸ g(x) g(s, t) = s + t¸ B (−∞, x)º õ Fζ(z) = P{ξ + η z} = = (s,t):s+tz p(s, t)dsdt = (s,t):s+tz pξ(s)pη(t)dsdt = = +∞ −∞   z−t −∞ pξ(s)ds   pη(t)dt = = +∞ −∞   z −∞ pξ(u − t)du   pη(t)dt = = z −∞   +∞ −∞ pξ(u − t)pη(t)dt   du.
  • 269. ½¾¼
  • 270. º ¸ Fζ(z) = z −∞   +∞ −∞ pξ(u − t)pη(t)dt   du. ´ º ´ º½º½µµ p(u) = +∞ −∞ pξ(u − t)pη(t)dt ´ º¾º µ õ ζ = ξ + ηº p(u)¸ ´ º¾º µ¸ pξ(t) pη(t)º º¾º¿ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ õ ¹ F(x)º min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}º ³ º þ η = min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. ¹ Fη(x) = P{η x}. 1 − Fη(x) = 1 − P{η x} = P{η ≥ x} = = P{min{ξ1, ξ2, . . . , ξn} ≥ x} = = P{ξ1 ≥ x, ξ2 ≥ x, . . . , ξn ≥ x} = n i=1 P{ξi ≥ x} = = n i=1 (1 − F(x)) = (1 − F(x))n ´ ξ1, ξ2, . . . . . . , ξnµº ¸ Fη(x) = 1 − (1 − F(x))n .
  • 271. º¿º ü R1 ½¾½ º¿ ü R1 º þ ξ õ (a; σ2) ( ¹ ¸ Na;σ2 )¸ p(x) = 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 . º þ ξ õ [a; b]¸ p(x) = 1 b − a , x ∈ [a; b]; 0, x ∈ [a; b].
  • 272. ¹ º þ ξ õ ¹ (ν; θ)¸ ¹ p(x) = θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx} , x 0; 0, x ≤ 0, θ 0, ν 0. º þ ξ õ θ (θ 0)¸ p(x) = θ exp{−θx}, x 0; 0, x ≤ 0. õ ¹ ¹ (1; θ)º º þ ξ õ ¹ (m; θ)¸
  • 273. ½¾¾
  • 274. º p(x) = θm (m − 1)! xm−1 exp {−θx}, x 0; 0, x ≤ 0. õ ¹ (m; θ)¸ m = 1, 2, . . . χ2º þ ξ õ χ2 n ¸ p(x) =    1 2 n/2 Γ n 2 xn/2−1 exp −1 2x , x 0; 0, x ≤ 0. χ2 n õ ¹ (n/2; 1/2)º º þ ξ õ a¸ p(x) = 1 π a a2 + x2 . º þ ξ õ ¹ (µ; σ2)¸ p(x) =    1√ 2πσ2x exp − (ln x − µ)2 2σ2 , x 0; 0, x ≤ 0. º þ ξ õ ¹ (λ; θ)¸ ¹ p(x) = θλθ xθ+1 , x λ; 0, x ≤ λ, λ 0, θ 2º
  • 275. º º ½¾¿ º ü 9.2◦, 9.4◦(5), 9.5, 9.6, 9.12∗, 9.14, 9.19, 9.23, 9.28º 9.1◦, 9.4◦(1−4, 6), 9.7, 9.10, 9.16, 9.24, 9.25, 9.29, 9.38, 9.42º º½◦º ξ ¹ p(x) = 0, x ∈ [−1; 1]; 1 − |x|, x ∈ [−1; 1]. P{ξ2 1/4}º º¾◦º þ ξ [−1; 3]º P{|ξ| ≥ 1/2}º º¿◦º þ ξ õ p(x) = 1 π 1 1 + x2 . 1) P{− √ 3 ≤ ξ ≤ 1}; 2)P{|ξ| ≥ √ 3}º º ◦º ¼ ½℄ º ξ õ ¸ η º ½µ ζ = max{ξ; η} µ ζ = ξ + η ¾µ ζ = min{ξ; η} µ ζ = max{ξ2; η} ¿µ ζ = ξη µ ζ = |η − ξ|º º ◦º [0, l] ¸ ξ º ξº º º þ ξ [−1; 3]º η = ξ2º º º þ ξ [−2; 2]º η = |ξ|º º º þ ξ [0; 1]º ¹ η = 1/ξ ´ ξ = 0¸ η = 0µº
  • 276. ½¾
  • 277. º º º þ ξ [−2; 1]º η = 1/ξ2º º½¼º þ ξ [0; 2]º η = |ξ − 1|º º½½º þ ξ [a, b]º η¸ η = eξº º½¾∗º þ ξ ¹ λº ¹ η = 1/(1 − ξ)º º½¿º F(x) ¹ ξº ¹ η = −ξº º½ º F(x) ¹ ξº ¹ η = sign ξº º½ º þ ξ ½º η = 1 − e−ξº º½ º p(x) ξº ¹ 1) η = |ξ| 2) η = aξ, a = 0º º½ º F(x) ¹ ξº ¹ η = ξ2º º½ º þ ξ λº 1) η = |ξ − 1| 2) η = (ξ − 1)3º º½ º F(x) ξ º ¹ η = F(ξ)º º¾¼º p(x) ξº ¹ 1) η = −2ξ + 1; 2) η = ξ2º º¾½º F(x) ¹ ξº ¹ 1) η = eξ; 2) η = |ξ|º
  • 278. º º ½¾ º¾¾º [0; 1] º ξ õ ¸ η º 0 ≤ x ≤ 1 1) P{|η − ξ| x}; 2) P{ξη x}. º¾¿º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ õ F(x)º max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ Fi(x)¸ i = 1, 2, . . . , nº ¹ 1) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ pi(x)¸ i = 1, 2, . . . , nº 1) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º ξi, i = 1, 2, . . . , n¸ ¹ ¸ p(x)º 1) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º¾ º þ õ õ ¹ p(x) = ae−λ|x|, λ 0º ½µ ¹ õ a ¾µ º º¾ º [0; 1] ¸ º º º¾ º [0; l] ¸ º º º¿¼º [0; T] º º º¿½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ p(x)
  • 279. ½¾
  • 280. º 1) p(x) = 1 b − a , x ∈ [a; b]; 0, x ∈ [a; b]; 2) p(x) = θ exp{−θx}, x 0; 0, x ≤ 0; 3) p(x) = 1 2a exp −1 a|x − b| 4) p(x) =    1 a exp −1 a(x − b) , x b; 0, x ≤ b. þ ¹ ξ1, ξ2, . . . , ξnº º¿¾º ξ ¹ (0; 1)º η = 1/ξº º¿¿º ξ ¹ (0; 1)º η = 1/ξ2º º¿ º þ ξ õ ´ µ¸ ξ −ξ º ¸ N0;σ2 ¹ õ º ¹ µ µ º º¿ º þ ξ [0; 1]º ½µ η = 1 − ξ ¾µ η = ln ξº º¿ º þ η Na;σ2 º ¹ ¸ ξ = (η − a)/σ ¹ N0;1º º¿ º þ ξ N0;1º η = a + σξ (σ 0)º º¿ º þ η N0;1º η+ = max{0, η}º º¿ º þ η N0;σ2 º ¹ η+ = max{0, η}º
  • 281. º º ½¾ º ¼º F(x) ¹ ξº Fη(x) η = (ξ − a)+ = max{0, ξ − a} ´a µº F(x) ¹ Fη(x)º º ½º þ ξ p(x)º ¹ η = (ξ − a)+ = max{0, ξ − a} ´a µº õ η ¹ º ¾º F(x) ¹ ξº ¹ η = min{ξ, L} ´L µº º ¿º þ ξ p(x)º ¹ η = min{ξ, L} ´L µº õ η ¹ º ◦º ¸ ½µ (a; σ2) ¾µ [a; b] [0; 1] ¿µ õ ¹ µ õ µ õ µ õ º º ◦º ¸ º ◦º º ◦º ξ Na;σ2 º ½µ P{a − σ ≤ ξ ≤ a + σ} ¾µ P{a − 2σ ≤ ξ ≤ a + 2σ} ¿µ P{a − 3σ ≤ ξ ≤ a + 3σ} µ P{a − 4σ ≤ ξ ≤ a + 4σ}º º ¹ ´ º º ¾¾º½º½µº º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ λº
  • 282. ½¾
  • 283. º ¸ η = min{ξ1, ξ2, . . . , ξn} õ nλº º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ ¹ λº ζ = max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}. º º õ n º ξi i¹ º þ ξ1, ξ2, . . . , ξn õ ¹ λº ¸ º ¹ º º ¼º þ ξi = ξi(ω)¸ i = 1, 2, 3, ¹ {Ω, F, P} ´ Ω = [0; 1]¸ F = B[0;1]¸ P = Lµ 1) ξ1 = ξ1(ω) = ω, ω ∈ [0; 1/3); ω + 1/3, ω ∈ [1/3; 2/3); ω − 1/3, ω ∈ [2/3; 1]; 2) ξ2 = ξ2(ω) = ω + 2/3, ω ∈ [0; 1/3); ω, ω ∈ [1/3; 2/3); ω − 2/3, ω ∈ [2/3; 1]; 3) ξ3 = ξ3(ω) =    ω, ω ∈ [0; 1/4); 1/4, ω ∈ [1/4; 2/4); ω − 1/4, ω ∈ [2/4; 3/4); 1/2, ω ∈ [3/4; 1]. º º ½º þ ξi = ξi(ω), i = 1, 2, ηj = ηj(ω), j = 1, 2, ¹ {Ω, F, P}º ξ1 ξ2 ¸ η1 η2º ¹ ½µ ξ1η1 ξ2η2 ¾µ ξ1 + η1 ξ2 + η2
  • 284.
  • 285. ½¼ ½¼º½ ¸ ¸ ¹ ¹ º õ ¹ ´ º º º½ º µº ξ = ξ(ω) ¹ {Ω, F, P} R1º º Mξ ¹ ³õ ξ Mξ = Ω ξ(ω)P(dω) = = lim n→∞ 2nn j=1 j − 1 2n P ω : j − 1 2n ≤ ξ(ω) j 2n + +nP{ω : ξ(ω) ≥ n} . ½¾
  • 286. ½¿¼
  • 287. ½¼º ý ¹ ξ ¹ ³õ ξ+ = max{0, ξ} ξ− = max{0, −ξ}, ξ = ξ+ − ξ− . Mξ ξ¸ õ ¸ õ Mξ = Mξ+ − Mξ− , Mξ+ Mξ− +∞º þ ½º õ Mξ = Mc = c (c − ). ¾º õ M(ξ + η) = Mξ + Mη. ¿º ¹ Maξ = aMξ. º ¹ õ Mξη = Mξ · Mη. ¹ º ´ µ¸ õ¸ ¹ º ½¼º½º½º ξ = ξ(ω) ¹ R1¸ g R1 R1º
  • 288. ½¼º½º ¸ ¸ ½¿½ ξ p(x) ¸ +∞ −∞ g(x)p(x)dx Mg(ξ) = +∞ −∞ g(x)p(x)dx, ´½¼º½º½µ +∞ −∞ xp(x)dx Mξ = +∞ −∞ xp(x)dx. ´½¼º½º¾µ ξ ¸ Pξ : xi → Pξ(xi), xi ∈ X, xi g(xi)Pξ(xi) Mg(ξ) = xi g(xi)Pξ(xi), xi xiPξ(xi) Mξ = xi xiPξ(xi). º õ Dξ ξ M(ξ−Mξ)2 ´ M(ξ−Mξ)2 ∞µ¸ Dξ = M(ξ − Mξ)2 .
  • 289. ½¿¾
  • 290. ½¼º þ ½º õ Dc = 0 (c − ). ¾º Daξ = a2 Dξ. ¿º õ D(ξ + η) = Dξ + Dη. ½¼º½º½ º [0; 1] ¹ º þ º ¹ ¸ õ º ³ º ξ ¹ [0; 1] ¸ η = max{ξ, 1 − ξ} ¸ ζ = 2πη ¸ õ ηº ¹ η = max{ξ, 1 − ξ}º ¸ x 1/2 P{η x} = 0, x 1 P{η x} = 1. ü 1/2 x ≤ 1 õ P{η x} = P{max{ξ, 1−ξ} x} = P{ξ x, 1−ξ x} = = P{1 − x ξ x} = (x − (1 − x))/(1 − 0) = 2x − 1 ´P{1−x ξ x} ¸ [0; 1] µº ¹ ¸ õ η õ Fη(x) = 0, x ≤ 1/2; 2x − 1, 1/2 x ≤ 1; 1, x 1,
  • 291. ½¼º½º ¸ ¸ ½¿¿ η [1/2; 1]º õ ζ Fζ(x) = P{ζ x} = P{2πη x} = Fη x 2π = =    0, x/(2π) ≤ 1/2; 2 x 2π − 1, 1/2 x/(2π) ≤ 1; 1, x/(2π) 1. ü Fζ(x) = 0, x ≤ π; x π − 1, π x ≤ 2π; 1, x 2π. ¸ η [1/2; 1]¸ Mζ = M2πη = 2πMη = 3π/2. ¸ Mζ ζ = 2π max{ξ, 1 − ξ} ¹ ξ ´ º ´½¼º½º½µº ξ [0; 1]¸ Mζ = M2π max{ξ, 1 − ξ} = 2π +∞ −∞ max{x, 1 − x}pξ(x)dx = = 2π 1 0 max{x, 1 − x}dx = 3π/2. ½¼º½º¾º ξ ¹ λº η = [ξ]¸ ¹ Mη ([x] x)º
  • 292. ½¿
  • 293. ½¼º ³ º þ η = [ξ] õ 0, 1, 2, . . . ´õ µº Pη(k) = P{η = k} = P{[ξ] = k} = P{k ≤ ξ k + 1} = = k+1 k λe−λx dx = e−λk (1 − e−λ ) = p(1 − p)k , p = 1 − e−λº ¸ η = [ξ] õ p = 1 − e−λº η ¹ ´ º ´ º½º¾µ º½ µ Mη = ∞ k=0 kPη(k) = ∞ k=0 k(1 − p)k p = 1 − p p = e−λ 1 − e−λ . ½¼º½º¿º ¹ ¸ (a; σ2)º ³ º (a; σ2) ξ õ p(x) = 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 . M(ξ − a)º õ ´½¼º½º½µ ´ õ (x − a)/σ = tµ M(ξ − a) = +∞ −∞ (x − a)p(x)dx = = +∞ −∞ (x − a) 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 dx =
  • 294. ½¼º½º ¸ ¸ ½¿ = 1 √ 2π +∞ −∞ x − a σ exp − 1 2 x − a σ 2 dx = = σ √ 2π +∞ −∞ t exp − t2 2 dt = = σ √ 2π lim n [−n,n] t exp − t2 2 dt = 0 ´ õ ¹ µº ¸ M(ξ − a) = 0¸ ¸ Mξ = a. ¸ Dξ = M(ξ − Mξ)2 = M(ξ − a)2 = = +∞ −∞ (x − a)2 1 √ 2πσ2 exp − (x − a)2 2σ2 dx, (x − a)/σ = t õ σ2 √ 2π +∞ −∞ t2 exp − t2 2 dt = − σ2 √ 2π +∞ −∞ t d exp − t2 2 = = σ2 √ 2π +∞ −∞ exp − t2 2 dt = σ2 ´ ¹ õ √ 2πµº ¸ Dξ = σ2 .
  • 295. ½¿
  • 296. ½¼º ½¼º½º º ¹ ¸ ξ p(x) = θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx}, x 0; 0, x ≤ 0 (p(x) ¹ (ν; θ))º ³ º p(x) ¹ ξ ´½¼º½º¾µ õ Mξ = +∞ −∞ xp(x)dx = +∞ 0 x θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx}dx = = Γ(ν + 1) θΓ(ν) +∞ 0 θν+1 Γ(ν + 1) xν exp {−θx}dx = = Γ(ν + 1) θΓ(ν) · 1 = νΓ(ν) θΓ(ν) = ν θ . ¸ +∞ 0 θν+1 Γ(ν + 1) xν exp {−θx}dx õ ¹ ¹ (ν + 1, θ)º ü Mξ2 = ν(ν + 1) θ2 . Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 = ν θ2 .
  • 297. ½¼º¾º ½¿ ½¼º½º º ξ ¹ Mξ f(x)¸ x ∈ R1¸ ¹ x = aº Mξº ³ º f(x) ¹ x = a¸ f(a + t) = f(a − t) ´ ¸ f(a + t) f(a − t) µº õ¸ f(a + t) õ º ¸ Mξ = +∞ −∞ xf(x)dx. þ x = t + aº õ +∞ −∞ xf(x)dx = +∞ −∞ (t + a)f(t + a)dt = = a +∞ −∞ f(t + a)dt + +∞ −∞ tf(t + a)dt = a · 1 + 0 = a. Á +∞ −∞ tf(t + a)dt õ º ¸ ξ ¹ Mξ f(x)¸ x ∈ R1¸ ¹ x = a¸ Mξ = a.
  • 298. ½¿
  • 299. ½¼º ½¼º¾ ü 10.1◦(2), 10.2◦(1), 10.6◦(1), 10.7, 10.12, 10.13, 10.16, 10.19(1 ), 10.19(3 ), 10.21, 10.20(5)º 10.1◦(1), 10.2◦(2), 10.6◦(2, 3), 10.8, 10.10(1), 10.16(1), 10.14, 10.17(2), 10.19(1 ), 10.19(3 ), 10.20(1, 2), 10.22(2, 3), 10.26º ½¼º½◦º ξ ¸ ¹ 1) [−a; a] 2) [a; b]º Mξ Dξº ½¼º¾◦º þ ξ [0; 1]º η 1) η = ln(1/ξ) 2) η = sin2 πξ 3) η = eξº ½¼º¿◦º þ ξ [a; b]º ½µ Mξ2, a = 0, b = 3 ¾µ Mξe−ξ, a = 0, b = 1 ¿µ M(ξ − 1)2, a = 1, b = 4 µ Mξe|ξ|¸ a = −1, b = 1 µ Me2ξ¸ a = 0, b = 1/2º ½¼º º ξ ¹ p(x) = 1 π(1 + x2) . 1) M min{|ξ|, 1} 2) M min{|ξ|, √ 3}º ½¼º º ξ ¹ (0; σ2)º Meξº ½¼º ◦º ξ p(x) = 1 π(1 + x2) . ¹ η : ½µ η = (ξ2 + 1)I[0; √ 3](ξ) ¾µ η = ξ2I[1; √ 3](ξ) ¿µ η = I[1/3;3](ξ2) µ η = I[−1;1](ξ)
  • 300. ½¼º¾º ½¿ IA(x) A ¸ A õ ½¸ A ¼º ½¼º º ξ õ ¹ λº 1) Mξ; 2) Dξ; 3) P{ξ 1}; 4) Mξkº ½¼º º ´ µ ¸ õ ¹ λ = 0, 003º ¸ º º ½¼º º ¹ ζ = ξη ξ η [0; 1] [1; 3] ¹ º ½¼º½¼◦º ξ p(x) = 0, x ∈ [a, a + 2); x − a, x ∈ [a, a + 1); −x + a + 2, x ∈ [a + 1, a + 2). 1) Mξ; 2) Mξ2º ½¼º½½º ξ p(x) = 1 2 e−|x| . MI[0;4](ξ2)º ½¼º½¾º ξ õ p(x) = λ 2 e−λ|x| , λ 0 ´ λµº Mξ Dξº ½¼º½¿º A¸ ¹ R ¸ º ξ A õ Oxº õ Mξ ½¼º½ º P ¹ Rº η P º
  • 301. ½ ¼
  • 302. ½¼º F(x) ¹ p(x) ηº F(x) p(x)º Mη Dηº ½¼º½ º A ¹ º ξ A Oxº ½µ |ξ| ¾µ ¹ |ξ| ¿µ M|ξ| µ P{|ξ| 1/2}º ½¼º½ º ξ ¹ ¸ ½µ [a; b]¸ a 0¸ a b ¾µ õ ¹ (ν; θ) ¿µ λº η ¹ ξ ¹ º ½¼º½ º ξ ¸ ½µ [a; b]¸ a 0¸ a b ¾µ õ ¹ (ν; θ) ¿µ λº η ξ º ½¼º½ º ξ ¸ ½µ [a; b]¸ a 0, a b ¾µ λº η ³õ ξ¸ ηº ½¼º½ º [0; 1] º þ ¹ º ηº ½º ¸ õ µ µ º ¾º ¸ õ µ µ º ¿º ¸ õ µ µ º
  • 303. ½¼º¾º ½ ½ º ³õ ¸ õ µ µ º ½¼º¾¼º ξ η ¹ º ¹ ½ ◦ min{ξ, η} ¾ ◦ max{ξ, η} ¿ ◦ ξη ◦ η/(ξ + 1) ◦ η exp{ξ} ◦ exp{− min{ξ, η}}¸ µ ξ η ¹ [0; 1] µ ξ ¹ [0; 1]¸ η [0; 2] µ ξ [0; 1]¸ η õ ¹ λ µ ξ η ¹ λ ´ ½ ◦¸ ¾ ◦¸ ¿ ◦¸ ◦µº ½¼º¾½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ õ p(x) = 0, x ≤ α; exp{α − x}, x α. M min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}º ½¼º¾¾º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ [a; b]º ¹ 1) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 3) 1 n n i=1 ξiº ½¼º¾¿º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ õ p(x) = 0, x ∈ [θ − h; θ + h]; 1/2h, x ∈ [θ − h; θ + h]. ¹ 1) min{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 2) max{ξ1, ξ2, . . . , ξn}; 3) (max{ξ1, ξ2, . . . , ξn} − min{ξ1, ξ2, . . . , ξn})/2. ½¼º¾ º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ õ p(x) = 0, x ≤ θ; 1 α exp − 1 α(x − θ) , x θ.
  • 304. ½ ¾
  • 305. ½¼º ¹ 1) ξ = 1 n n i=1 ξi; 2) min{ξi}; 3) ˆθ1 = min{ξi} − ξ − min{ξi} n ; 4) ˆθ2 = ξ − ˆθ1. ½¼º¾ º þ ξ1, ξ2, . . . , ξn 1/θº ¹ ξ = 1 n n i=1 ξiº ½¼º¾ º [0; T] º ξ º ξ¸ Mξ¸ Dξ¸ Mξnº ½¼º¾ º P x2 + y2 = 1. η ¹ OP P Oxº ηº ½¼º¾ ∗º R º η Mηº ½¼º¾ º (0; 0) (0; R) ¸ ¹ (0; R)º ¹ x2 + y2 = R2 Oyº õ º ½¼º¿¼∗º Ax = {(u, v) : u + v x} R2¸ x ¸ º MIAx (ξ, η)¸ ½µ Q ζ = (ξ, η) ¾µ F G ξ η ¿µ f g ξ ηº
  • 306. ½¼º¾º ½ ¿ ½¼º¿½º þ η N0;1º ¹ η+ = max{0, η}º ½¼º¿¾º þ η N0;σ2 º ¹ η+ = max{0, η}º ½¼º¿¿º ¸ ¹ ξ p(x) = θ exp{−θx}, x 0; 0, x ≤ 0, θ 0 ´p(x) ¹ θµº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) = θm (m − 1)! xm−1 exp {−θx} , x 0; 0, x ≤ 0, θ 0 ´p(x) (m; θ)¸ m = 1, 2, . . .µº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) =    1 2 n/2 Γ n 2 xn/2−1 exp −1 2x , x 0; 0, x ≤ 0 ´p(x) χ2¹ n µº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) =    1√ 2πσ2x exp − (ln x − µ)2 2σ2 , x 0; 0, x ≤ 0,
  • 307. ½
  • 308. ½¼º σ 0 ´p(x) ¹ (µ; σ2)µº ½¼º¿ º ¸ ξ p(x) = θλθ xθ+1 , x λ 0; 0, x ≤ λ, θ 2 ´p(x) (λ; θ)µº ½¼º¿ º ξ η ¸ ξ [1; 2]¸ η õ θº ¹ 1) ζ1 = ξη; 2) ζ2 = ξ + η; 3) ζ3 = η/ξ. ½¼º¿ º A ¹ º ξ A Oxº ½µ ξ ¾µ ¹ ξ ¿µ Mξ µ P{ξ 1/2}º ½¼º ¼º ζ = (ξ, η) ¹ fζ(x, y)º Mξ¸ Mηº ½¼º ½º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ´ Fµ R1¸ R1 = r i=1 Xi, Xi ∩ Xj = ∅, i = j, νi ξ1, ξ2, . . . , ξn¸ ¹ Xi¸ pi = F(Xi) ¸ ¸ ξk Xi¸ i = 1, 2, . . . , rº Mνi, Dνi, i = 1, 2, . . . , r.
  • 309.
  • 310. ½½ ½½º½ º Á R1 ¹ ³õ ¸ ¸ F σ¹ B1 R1º Á ¸ R1 ¹ σ¹ B1 ´ º º º¾ º µº º F R1º F(x)¸ x ∈ R1¸ F(x) = F((−∞, x)), õ Fº F õ õ õ F(x)º º F(x) F(x) = x −∞ f(y)dy, F ¸ ¹ f Fº Á F ¸ õ X ⊂ R1 ½
  • 311. ½
  • 312. ½½º xi¸ ¸ F({xi}) 0, xi∈X F({xi}) = 1, xi F ¹ ¸ F Xº õ ¸ X g(y)F(dy) g(y) F õ X g(y)f(y)dy, F ¹ f¸ xi∈X g(xi)F({xi}), F ¸ ¹ Xº º ϕ R1 ¹ R1 F R1º º ϕ ¹ F u(x)¸ ¹ x ∈ R1 u(x) = R1 ϕ(x − y)F(dy). ϕ F u = F ∗ ϕ.
  • 313. ½½º½º ½ º G F Q¸ ¹ Q(x) õ G(x) ¹ F Q(x) = R1 G(x − y)F(dy). G ¹ F F ∗ Gº ¸ F ¹ f ¸ Q(x) = R1 G(x − y)F(dy) = R1 G(x − y)f(y)dy. ´½½º½º½µ ¹ º Á ¸ F¸ G¸ Q ¸ F ∗ G = G ∗ F, (F ∗ G) ∗ Q = F ∗ (G ∗ Q). ¸ ¹ º ý ¸ õ º º V = F∗G G F õ v õ g G F v(x) = R1 g(x − t)F(dt). ´½½º½º¾µ ¸ F G ¸ ¹ ¹ G F g f õ ¹ ¸ v õ
  • 314. ½
  • 315. ½½º g f v(x) = R1 g(x − y)f(y)dy = R1 f(x − y)g(y)dy. ´½½º½º¿µ g f v = f ∗ g = g ∗ f. ½½º½º½º ¸ ¹ ¸ fµ;θ ∗ fν;θ = fν+µ;θ. ³ º ¹ ¹ (ν; θ) õ fν;θ(x) = θν Γ(ν) xν−1 exp {−θx}, x 0; 0, x ≤ 0, θ 0, ν 0º x ≤ 0¸ fµ;θ ∗ fν;θ = fν+µ;θ º x 0 õ fµ;θ ∗ fν;θ(x) = +∞ 0 fν;θ(x − y)fµ;θ(y)dy = = x 0 fν;θ(x − y)fµ;θ(y)dy = = x 0 θν Γ(ν) (x − y)ν−1 e−θ(x−y) θµ Γ(µ) yµ−1 e−θy dy = = θν+µ Γ(ν)Γ(µ) e−θx x 0 (x − y)ν−1 yµ−1 dy.
  • 316. ½½º¾º ½ þ õ y = xt θν+µ Γ(ν)Γ(µ) e−θx x 0 (x − y)ν−1 yµ−1 dy = = θν+µ Γ(ν + µ) xν+µ−1 e−θx Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt = = fν+µ;θ(x) Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt. ¸ fµ;θ ∗ fν;θ(x) = fν+µ;θ(x) Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt. fµ;θ ∗fν;θ fν+µ;θ ¸ Γ(ν + µ) Γ(ν)Γ(µ) 1 0 tµ−1 (1 − t)ν−1 dt = 1. ¸ fµ;θ ∗ fν;θ = fν+µ;θ. ½½º¾ õ ³ ¹ ¹ º
  • 317. ½ ¼
  • 318. ½½º º ¹ õ º Á ¸ ξ η ¹ F G ¸ Q(x) ¸ Q(x) = R1 G(x − y)F(dy). ´½½º½º¾µ¸ ´½½º½º¿µ õ ¹ ¸ ¸ õ ¸ õ ¹ º ¹ õ ¹ º Á ¸ ξ η pξ(t) pη(t) ¸ u(x) ξ + η õ pξ(t) pη(t)¸ u(x) = R1 pξ(x − y)pη(y)dy = R1 pη(x − y)pξ(y)dy. ´½½º¾º½µ v(x) ζ = ξ − η õ v(x) = R1 pξ(x + y)pη(y)dy. ´½½º¾º¾µ ½½º¾º½º ξ η ¹ ¸ [0; 1]º
  • 319. ½½º¾º ½ ½ 1◦ ζ = ξ + η 2◦ ζ = ξ + η 3◦ P{|ξ + η − 1/2| 1}º ³ º 1◦ ¹ ξ η fξ(y) = 1, y ∈ [0; 1]; 0, y ∈ [0; 1], fη(y) = 1, y ∈ [0; 1]; 0, y ∈ [0; 1], ζ = ξ + η õ ´ º ´½½º¾º½µµ fζ(x) = R1 fξ(x − y)fη(y)dy = 1 0 fξ(x − y)dy = x x−1 fξ(t)dt ´ x − y = tµº x ∈ R1¸ õ¹ x 0¸ x x−1 fξ(t)dt = x x−1 0dt = 0 0 ≤ x 1¸ x x−1 fξ(t)dt = 0 x−1 0dt + x 0 1dt = x 0 ≤ x − 1 1¸ x x−1 fξ(t)dt = 1 x−1 1dt + x 1 0dt = = 2 − x x − 1 ≥ 1¸ x x−1 fξ(t)dt = x x−1 0dt = 0º ¸ ζ = ξ + η õ fζ(x) =    0, x 0; x, 0 ≤ x 1; 2 − x, 1 ≤ x 2; 0, x ≥ 2.
  • 320. ½ ¾
  • 321. ½½º 2◦ Fζ(x) ζ fζ(t) õ Fζ(x) = x −∞ fζ(t)dt = =    x −∞ 0dt = 0, x 0; 0 −∞ 0dt + x 0 tdt = x2/2, x ∈ [0, 1); 1 0 tdt + x 1 (2 − t)dt = −(x − 2)2/2 + 1, x ∈ [1, 2); 0 −∞ 0dt + 1 0 tdt + 2 1 (2 − t)dt = 1, x ≥ 2. 3◦ fζ(t) ζ ¸ ζ B¸ õ P{ζ ∈ B} = B fζ(t)dt ´ º ´ º½º µµº ¸ P {|ξ + η − 1/2| 1} = P {|ζ − 1/2| 1} = = P {−1/2 ζ 3/2} = = 3/2 −1/2 fζ(t)dt = 0 −1/2 0dt + 1 0 tdt + 3/2 1 (2 − t)dt = 7 8 . ½½º¾º¾ º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¸ N0;1º ¹ η = n i=1 ξ2 i .
  • 322. ½½º¾º ½ ¿ ³ º ¸ ξ ¹ N0;1¸ η = ξ2 õ ¹ ¹ (1/2; 1/2)º Fη(x) = P{η x} = P{ξ2 x}. x ≤ 0 Fη(x) = P{ξ2 x} õ ¸ x 0 Fη(x) = P{|ξ| √ x} = 1 √ 2π √ x − √ x exp{−t2 /2}dt = = 1 √ 2π x 0 s−1/2 e−s/2 ds = (1/2)1/2 Γ(1/2) x 0 s1/2−1 e−s/2 ds ´ t2 = s Γ(1/2) = √ πµº ¸ Fη(x) = (1/2)1/2 Γ(1/2) x 0 s1/2−1 e−s/2 ds, õ ¹ (1/2; 1/2)º ¸ ¹ ¹ ´ º ½½º½º½µ¸ n ¹ (1/2; 1/2) õ ¹ ¹ (n/2; 1/2)º
  • 323. ¹ (n/2; 1/2) ¹ χ2¹ n º
  • 324. ½
  • 325. ½½º ½½º¿ ü 11.2(1), 11.4(1, 3), 11.13(1), 11.17º 11.2(2, 3), 11.3, 11.4(2, 6), 11.13(2), 11.18º ½½º½º ξ η ξ [0; 1]¸ η õ Pη(k) = P{η = k} = 1/2, k = 0, 1º ζ = ξ + ηº ½½º¾º þ ξ η ¹ ½µ [a; b]¸ a b ¾µ [0; a]¸ a 0 ¿µ [−a; a]¸ a 0 µ [−1/2; 1/2]º ζ = ξ + ηº ½½º¿º ξ η ¸ [0; 1] [0; 2]º p(x) ζ = ξ + ηº ½½º º ξ η ξ [−1; 1]¸ η ¹ [0; 1]º ½µ P{ξ2 + η 1/2} ¾µ P{ξ + η 1} ¿µ P{|ξ + η| 1/2} µ P{|η − ξ| 1/2} µ P{η2 − ξ 0} µ P{|ξ| + η 1}º ½½º º þ ξ η ¹ 1) [a; b], a b 2) [0; a]¸ a 0 3) [−a; a]¸ a 0 4) [0; 1]º pζ(x) ζ = ξ − ηº ½½º º [0; 1] º ξ õ ¸ η º ¹ ξ ηº ½½º º ξ ¸ [0; 1]¸ η ¸ ¹ º ζ = ξ + ηº ½½º º [0; 1] ¸
  • 326. ½½º¿º ½ ξ õ ¸ η º 0 x 1 P{|η − ξ| x}º ½½º º [0; 1] º ¹ º ½½º½¼º ξ1 ξ2 pi(x) = λie−λix, x 0; 0, x ≤ 0; λi 0, i = 1, 2; λ1 = λ2º ½µ ξ1+ξ2 ¾µ ξ2 − ξ1º ½½º½½º ξ η ¸ ¹ λº ½µ ξ + η ¾µ ξ − η ¿µ |ξ − η|º ½½º½¾º ξ1 ξ2 ¸ ½ ¾º ξ1 + ξ2º ½½º½¿º ξ η p(x) = exp{−|x|}/2º ½µ ξ + η ¾µ ξ − ηº ½½º½ º ξ η ξ [−a; a]¸ η õ ¹ λº ζ = ξ + ηº ½½º½ º ξ1 ξ2 ¹ ξ1 [−1; 1]¸ ξ2 õ λ = 1º ¹ η = ξ1 + ξ2º ½½º½ º þ η ¹ [−h; h]¸ ξ õ õ õ ¹ F(x)¸ ξ η º ´ õµ ζ = ξ + ηº ½½º½ º ξ η º þ ξ õ P ξ = (−1)k = G {(−1)k } = 1/2, k = 0, 1,
  • 327. ½
  • 328. ½½º η Qº ζ = ξ + ηº ½½º½ º ξ η ξ [0; 1]¸ η õ P{η = k} = (1/4)k (3/4)1−k , k = 0, 1. ζ = ξ + ηº ½½º½ º n ¹ ¸ õ λº ¹ ´ º º¿µº ½½º¾¼º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ [0; 1] º η = ξ1ξ2 . . . ξn. Mηº ½½º¾½º ξ η ¹ (ν, θ) (µ, θ)º ¹ ξ + ηº ½½º¾¾º ξ η χ2¹ n m ¹ º ¸ ξ+η õ χ2¹ n + m º ½½º¾¿º þ ξ η ¸ ξ õ ¹ ¹ (ν, θ)¸ η ¹ θº ¹ ζ = ξ + ηº ½½º¾ º ξ ¸ ¹ [0; 1]¸ η ¸ º ζ = ξ + ηº ½½º¾ º F Q R1¸ u(s) R1º ¸ R2 u(x + y)(F × Q)(d(x, y)) = R1 u(s)(F ∗ Q)(ds).
  • 329.
  • 330. ½¾ ½¾º½ º R1 ´ º º ½½º½ º ½½µº F F(x) = F((−∞, x)) õ F([a; b)) = F(b) − F(a) ´ a bµº F({x0}) F ¹ {x0} F(x) õ F({x0}) = F(x0 + 0) − F(x0 − 0). º F R1 ´ µ¸ F(R1) = 1¸ ¸ F(R1) 1º F ¸ F(+∞) = 1 F(−∞) = 0 F ¹ ¸ õ F(+∞) 1 F(−∞) 0º º ½
  • 331. ½
  • 332. ½¾º º x0 ¹ F¸ F({x0}) 0º F ¹ ¸ º º Á I [a; b) ´ µ F¸ a b õ Fº º {Fn} õ F¸ n → ∞¸ Fn(I) → F(I) I ¹ F¸ Fn → F lim n Fn = F. F ¸ ¸ {Fn} õ F ¹ ¸ F ¸ ¹ º õ ¹ 1◦ {Fn(x)} ¹ õ F(x) ¹ ¸ {Fn} õ F ( )º 2◦ þ Fσ ¹ a õ σ2¸ õ 0¸ ¹ ¸ aº ½¾º½º½ º {Fn} ¹ Fn(x) = 0, x 0; nx, 0 ≤ x ≤ 1/n; 1, x 1/n. {Fn} º
  • 333. ½¾º½º º ½ ³ º ¸ n → ∞¸ ¹ {Fn(x)} õ F(x) = 1, x 0; 0, x ≤ 0 ¸ x = 0¸ ¹ ¸ x = 0 ´ x = 0 õ ¹ F(x)µº ¸ ¸ ¹ x¸ ¸ n õ Fn(x) = 0¸ lim n Fn(x) = 0 = F(x)º ¸ x¸ ¸ N (n ≥ N) õ 1/n xº n ≥ N Fn(x) ¹ õ 1¸ ¸ lim n Fn(x) = 1 = F(x)º ¸ n → ∞¸ Fn(x) → F(x) x ∈ R1 ¸ ¸ ¼º ¸ ½ ◦ ¹ ¸ õ Fn → F, n → ∞º ¸ {Fn} õ ¹ ¸ 0º ½¾º½º¾º {Qn} ¹ qn(x) = n √ 2π exp − (x − (−1)n)2n2 2 , n = 1, 2, . . . {Qn} º ³ º ¾ ◦ n {Qn} õ ¸ ¹ 1¸ ¸ −1º {Qn} õ º
  • 334. ½ ¼
  • 335. ½¾º ½¾º½º¿º Fh fh(x) = 1 √ 2πh exp − (x − a)2 2h2 . Fh 1◦ h → ∞ 2◦ h → 0º ³ º ½ ◦ ¸ F(x) = c¸ x ∈ R1¸ c [0; 1]¸ õ õ ¸ ¹ õ º ¸ F([a; b)) F [a; b) õ F(b) − F(a) = 0¸ F(A) = 0 A A ³õ ¹ [a; b) ´a b ³ ¹ µ¸ ¸ ¸ σ(A) = B1º ¸ {Fn(x)} õ F(x) = c ´c [0; 1]µ¸ Fh h → ∞ õ F¸ õ º ¸ Fh(x) = x −∞ fh(t)dt = 1 √ 2πh x −∞ exp − (t − a)2 2h2 dt = = 1 √ 2π (x−a)/h −∞ exp − u2 2 du ´ (t − a)/h = uµº x lim h→∞ Fh(x) = 1 √ 2π 0 −∞ exp − u2 2 du = 1 2 . Fh h → ∞ õ ¸ ¹ õ º
  • 336. ½¾º½º º ½ ½ ¾ ◦ h → 0 ³ Fh õ ¹ ¸ a ´ µº º {Fn} ¹ õ F n → ∞ ¹ U¸ u ∈ U R1 u(x)Fn(dx) → R1 u(x)F(dx) n → ∞. C(−∞; +∞) ¹ R1 C0[−∞; +∞] ¸ lim x→+∞ u(x) = 0, lim x→−∞ u(x) = 0. ½¾º½º½º ( ) {Fn} F õ {Fn} F C0[−∞; +∞] º Á {Fn} F õ {Fn} F ¹ C(−∞; +∞)º ½¾º½º º {Fn} ¹ fn(x) = n √ 2π exp − x2n2 2 , n = 1, 2, . . . lim n→∞ R1 eitx Fn(dx). ³ º {Fn} ¹ õ F¸ 0 ´ ¾ ◦ ¹ µº ½¾º½º½ {Fn} ¹ õ F C(−∞; +∞)º Á
  • 337. ½ ¾
  • 338. ½¾º eitx ∈ C(−∞; +∞)¸ lim n→∞ R1 eitx Fn(dx) = R1 eitx F(dx) = eit0 F({0}) = 1. ½¾º½º º F m õ σ2º ¸ a 0 F{x : |x − m| ≥ a} ≤ σ2 a2 . ³ º σ2 = R1 (x − m)2 F(dx) ≥ x:|x−m|≥a (x − m)2 F(dx) ≥ ≥ x:|x−m|≥a a2 F(dx) = a2 x:|x−m|≥a F(dx) = a2 F{x : |x − m| ≥ a}. ½¾º½º º {Fn} ¹ an¸ a¸ σ2 n¸ 0º ¸ {Fn} õ ¹ ¸ aº ³ º ¸ {Fn(x)} õ Fa(x) ¸ a¸ Fa(x) = 0, x ≤ a; 1, x a, x = aº t 0, x = a−2tº an → a¸ n → ∞¸ n Fn(x) = Fn(a−2t) = Fn((−∞, a−2t)) ≤ Fn((−∞, an−t)) = = Fn{y : y an − t} ≤ Fn{y : |y − an| ≥ t} ≤ σ2 n t2 , Fn(a − 2t) → 0¸ n → ∞ ´ ¹ ½¾º½º µº ü õ ¸ Fn(a + 2t) → 1¸ n → ∞º
  • 339. ½¾º¾º ½ ¿ ½¾º¾ ü 12.1, 12.3, 12.5, 12.7(2, 5), 12.9, 12.11, 12.12, 12.15∗ º 12.2, 12.4, 12.6, 12.7(1, 3, 4), 12.10, 12.16∗ º ½¾º½º {Na;σ2 n } ¹ a σ2 nº ¹ ¸ σ2 n õ ¸ {Na;σ2 n } õ ¸ ¹ aº ½¾º¾º Fa ¸ ¹ aº {Fn} ½ ◦ n → +∞ ¾ ◦ n → −∞º ½¾º¿º F(x) º ¹ {Fn}¸ Fn(x) =    0, x ≤ −1/n; F(x) − F(−1/n) F(1/n) − F(−1/n) , − 1/n x ≤ 1/n; 1, x 1/n. ½¾º º {Fn} ¹ Fn(x) = 0, x ≤ −1/n; n(x + 1/n)/2, − 1/n x ≤ 1/n; 1, x 1/n. ³ ¸ õ {Fn}º ½¾º º {Fn} ¹ fn(x) = n/2, x ∈ [−1/n; 1/n]; 0, x ∈ [−1/n; 1/n]. ³ ¸ õ {Fn}º
  • 340. ½
  • 341. ½¾º ½¾º º {Fn} ¹ fn(x) =    0, x ≤ −1/n; n2(x + 1/n), − 1/n x ≤ 0; −n2(x − 1/n), 0 x ≤ 1/n; 0, x 1/n. ³ ¸ õ {Fn}¸ n → ∞º ½¾º º F(x) º ¹ ¸ ¹ ½µ Fn(x) = F(x + 1/n), n = 1, 2, . . . ; ¾µ Gn(x) = F(x + n), n = 1, 2, . . . ; ¿µ Sn(x) = F(x − n), n = 1, 2, . . . ; µ Pn(x) = F(x/n), n = 1, 2, . . . ; µ Qn(x) = F(x + (−1)nn), n = 1, 2, . . . ½¾º º ³ ¸ õ ¹ {Pn} pn(x) = n √ 2π exp − (x − 1)2n2 2 , n = 1, 2, . . . ½¾º º ³ ¸ õ ¹ 1) Fn : −n n 1/2 1/2 , n = 1, 2, . . . ; 2) Gn : −1/n 1/n 1/2 1/2 , n = 1, 2, . . . ½¾º½¼º {Fn} ¹ fn(x) = n/2, x ∈ [(−1)n − 1/n; (−1)n + 1/n]; 0, x ∈ [(−1)n − 1/n; (−1)n + 1/n]. ³ ¸ õ {Fn}¸ n → ∞º
  • 342. ½¾º¾º ½ ½¾º½½∗º Nx;σ2 (y) = 1 √ 2πσ y −∞ exp − (t − x)2 2σ2 dt; x, y ∈ R1 , σ 0. lim σ→0 Nx;σ2 (y). ½¾º½¾º {Fn} ¹ fn(x) = n √ 2π exp − (x − 1)2n2 2 , n = 1, 2, . . . lim n→∞ R1 sin x Fn(dx). ½¾º½¿º {Fn} ¹ ½¾º½¾º lim n→∞ R1 cos xFn(dx). ½¾º½ ∗º F ¸ Nx;σ2 (y) = 1 √ 2πσ y −∞ exp − (t − x)2 2σ2 dt; x, y ∈ R1 , σ 0. lim σ→0 +∞ −∞ Nx;σ2 (y)F(dx), y Fº
  • 343. ½
  • 344. ½¾º ½¾º½ ∗º Fλ(y) = k:0≤ky λk k! e−λ , y 0; Fλ(y) = 0, y ≤ 0, λ 0. lim λ→0 Fλ(y). ½¾º½ ∗º Fλ(y) = k:0≤ky λk k! e−λ , y 0; Fλ(y) = 0, y ≤ 0, λ 0. lim λ→0 +∞ −∞ e−y2/2 Fλ(dy). ½¾º½ º {Fn} ¹ fn(x) = n/2, x ∈ [(−1)n/n − 1/n; (−1)n/n + 1/n]; 0, x ∈ [(−1)n/n − 1/n; (−1)n/n + 1/n] º ³ ¸ õ {Fn} n → ∞º ½¾º½ º {Fn} ¹ F n → ∞ Fn({k}) → F({k}) kº ¸ Fn → Fº
  • 345.
  • 346. ½¿ ½¿º½ ¸ ¸ º ξ ¸ F º õ ¹ ξ ( F) ϕ(t)¸ t ∈ R1 ϕ(t) = Meitξ = R1 eitx F(dx). F ´ ξµ õ f¸ ϕ(t) = Meitξ = R1 eitx f(x)dx; F ¸ F : xk → F({xk}) 0, k = 1, 2, . . . ; xk F({xk}) = 1, ½
  • 347. ½
  • 348. ½¿º ϕ(t) = Meitξ = xk exp{itxk}F({xk}). º ¹ º ¹ õ ¹ º ¹ ¹ õ º ´ ¹ µº n¹ ¹ F ¸ õ n¹ ¹ ϕ(t) = +∞ −∞ eitx F(dx) F¸ ϕ(n) (t) = in +∞ −∞ eitx xn F(dx). º ϕ(n) (0) = in +∞ −∞ xn F(dx) = in Mξn ϕ(t) õ ϕ(t) = 1 + t 1! ϕ(1) (0) + t2 2! ϕ(2) (0) + . . . + tn n! ϕ(n) (0) + o(tn ), t → 0º
  • 349. ½¿º½º ¸ ¸ ½ ½¿º½º½º ¹ ξ¸ õ λ P{ξ = k} = λk k! e−λ , k = 0, 1, 2, . . . ³ º ϕ(t) = Meitξ = ∞ k=0 eitk λk k! e−λ = e−λ ∞ k=0 (eitλ)k k! = = exp{−λ} exp{λeit } = exp{λ(eit − 1)}. ½¿º½º¾º (a; σ2) º ³ º ϕ(t) ξ¸ ¹ (0; 1)º ϕ(t) = Meitξ = +∞ −∞ eitx 1 √ 2π e−x2/2 dx = = 1 √ 2π +∞ −∞ e−x2/2 cos txdx + i √ 2π +∞ −∞ e−x2/2 sin txdx. õ +∞ −∞ e−x2/2 sin tx dx = lim n→+∞ +n −n e−x2/2 sin tx dx = 0. õ ϕ(t)¸ ¹ ´ ¹ µ ϕ ′ (t) = 1 √ 2π +∞ −∞ x(− sin tx)e−x2/2 dx =
  • 350. ½ ¼
  • 351. ½¿º = 1 √ 2π +∞ −∞ sin txde−x2/2 = = − 1 √ 2π +∞ −∞ t cos tx · e−x2/2 dx = −tϕ(t). ϕ ′ (t)/ϕ(t) = −t. ³ ¸ õ ϕ(t) = e−t2/2 ´ ¸ ϕ(0) = 1µº ¸ ξ N0;1¸ η = σξ + a ¹ (a; σ2) ´ õ ¹ µ¸ õ ψ(t) ¹ η¸ Na;σ2 ¸ õ ψ(t) = Meitη = Meit(σξ+a) = eita Mei(σt)ξ = eita ϕ(σt) = = exp{ita} exp{−σ2 t2 /2} = exp{ita − σ2 t2 /2}. ½¿º¾ õ õ º º ¹ õ º º ¹ {Fn} ¸ ¹ ¸ ¹ {ϕn(t)} ϕ(t) t ∈ R1º ϕ(t) {ϕn(t)} õ
  • 352. ½¿º¾º õ ½ ½ õ F {ϕn(t)} õ ϕ(t) ¹ º ½¿º¾º½º F Q ¹ (a1; σ2 1) (a2; σ2 2)º F ∗ Q Q Fº ³ º ´ ¹ õ ¹ µ¸ ¹ ϕ1(t) = exp ita1 − t2 σ2 1/2 ϕ2(t) = exp ita2 − t2 σ2 2/2 F Q (a1; σ2 1) (a2; σ2 2) ´ º ½¿º½º¾µ ¹ F ∗ Q ϕ(t) = ϕ1(t)ϕ2(t) = exp it(a1 + a2) − t2 (σ2 1 + σ2 2)/2 . ¸ ¸ ϕ(t) F ∗ Q¸ ¸ ϕ(t) = exp it(a1 + a2) − t2 (σ2 1 + σ2 2)/2 õ õ (a1 + a2; σ2 1 + σ2 2)¸ F ∗Q ¹ (a1 + a2; σ2 1 + σ2 2) ¹ º ü õ º ¸ ¹ (a1; σ2 1) (a2; σ2 2) õ ¹ (a1 +a2; σ2 1 +σ2 2) ( )º ½¿º¾º¾ º F Q ¹ λ1 λ2º F ∗ Q Q Fº ³ º ¹ λ1 λ2 õ ϕ1(t) = exp{λ1(eit − 1)} ϕ2(t) = exp{λ2(eit − 1)}
  • 353. ½ ¾
  • 354. ½¿º ´ º ½¿º½º½µ¸ ϕ(t) F ∗ Q¸ ¸ õ ϕ1(t)ϕ2(t)¸ ϕ(t) = ϕ1(t)ϕ2(t) = exp{(λ1 + λ2)(eit − 1)}. ü exp{(λ1 + λ2)(eit − 1)} λ1 + λ2º õ F ∗Q õ λ1 + λ2º ¸ λ1 λ2 õ λ1 + λ2 ( )º ½¿º¾º¿ ´ µº ¹ ξn,pn ¹ (n; pn)º ¸ npn → λ n → ∞¸ ξn,pn õ ¹ λº ³ º ϕn(t) ξn,pn ¸ n → ∞¸ {ϕn(t)} õ ¹ λº ϕn(t) (n; pn) ξn,pn õ 1 + pn eit − 1 n ¸ ϕn(t) = 1 + pn eit − 1 n ´ º ³ ½¿º µº ¸ npn → λ¸ n → ∞¸ pn → 0 ln ϕn(t) = n ln 1 + pn eit − 1 t õ ln ϕn(t) ∼ npn eit − 1 , n → ∞. n → ∞ õ ln ϕn(t) → λ eit − 1 ,
  • 355. ½¿º¿º ½ ¿ ϕn(t) → exp{λ(eit − 1)}. ü exp{λ(eit − 1)} ¹ λ¸ ¹ ξn,pn õ λº ½¿º¿ ü 13.1, 13.2, 13.5, 13.6, 13.7, 13.9, 13.10, 13.16, 13.17, 13.27º 13.2, 13.4, 13.8, 13.14, 13.18, 13.19, 13.20, 13.21, 13.23, 13.25º ½¿º½º ξ õ 1 −1¸ 1/2º ¹ ξº ½¿º¾º ξ õ −1¸ 0¸ 1¸ 1/3º ¹ ξº ½¿º¿º ¸ ϕ(z) = cos2 z õ õ º ½¿º º ¸ ϕ1(z) = ∞ k=0 ak cos kz, ϕ2(z) = ∞ k=0 akeiλkz ak ≥ 0, ∞ k=0 ak = 1 õ º º ½¿º º ξ1, ξ2, . . . , ξn ¹ ¸ õ 1 −1 ¹ 1/2º Sn = ξ1 + ξ2 + . . . + ξn. ½¿º º ¸ ϕ(z) = cosn z õ õ ´ nµº
  • 356. ½
  • 357. ½¿º ½¿º º ¹ ξ¸ (n; p) P{ξ = k} = Ck npk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n. ½¿º º ¹ ξ¸ p P{ξ = k} = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . . ½¿º º ξ ¸ õ λº ¹ (ξ − λ)/ √ λº ½¿º½¼º ¸ [−a; a]º ½¿º½½º ¹ ¸ [a; b]º ½¿º½¾º ¹ p(x) = e−|x|/2º ½¿º½¿º ¹ aº ½¿º½ º ¹ aº ¹ f(x) = a 2 e−a|x| , a 0. ½¿º½ º ¹ a (a 0)º ¹ p(x) = 0, |x| ≥ a; (a − |x|)/a2, |x| a. ½¿º½ ∗º ¹ aº p(x) = 1 π a a2 + x2 , x ∈ R1 .