Este documento presenta varios problemas matemáticos y sus soluciones. Incluye demostraciones de desigualdades, cálculos de expresiones algebraicas, resolución de sistemas de ecuaciones y análisis de complejidad algorítmica.

1. þ
¸ ÁÁ
ü º üº
º üº
þ
¸
þ
¾¼½ º
½»¿ þ

2. ú û
¸
a, b c n/3º
¾»¿ þ

3. ú û
º
a b ¸
a + b = mº
a2 + b2 ¸ b − a ≤ 2º
¿»¿ þ

4. ú û
º
ú û a b
b − a 2º
a + 1 = b − 1
(a + 1)2 + (b − 1)2 = a2 + 2a + 1 + b2 − 2b + 1 =
a2 + b2 + 2(a − b) + 2 a2 + b2 − 4 + 2 a2 + b2 ⇒
a b a + 1 b − 1¸
¸ ⇒ a b
¸ a + 1 = b − 1
¸ b − a ≤ 2º
»¿ þ

5. ú û
º
a¸ b c¸
º
a b
c¸ b c a¸
¾
n/3
b − a ≤ 2
c − b ≤ 2
⇒ c − a ≤ 4 ⇒ a, b, c ∈ [n/3 − 2, n/3 + 2]
»¿ þ

6. ú û
¸
¸ ¾ n/3¸
º
»¿ þ

7. ú û
þ ø
¸ ¸
º
½ (n − 3) | 3¸ a, a + 1, a + 2 ¸
a = (n − 3)/3.
¾ (n − 5) | 3¸ a, a + 2, a + 3 ¸
a = (n − 5)/3º
¿ a, a + 1, a + 3 ¸ a = (n − 4)/3º
ø º
»¿ þ

8. þ
»¿ þ

9. ú

10. û
½ Ü º
¾
ÓÙÒظ
ÓÙÒØ ℄
º
¿ ÐÐ Ö Ô¸
½ ÐÐ
¾ Ö Ô ¸ ´
Ö Ô µº
»¿ þ

11. ú

12. û
ÓÙÒØ
ø º
º
ÓÙÒØ ℄ ≥ 3¸ ½º
½¼»¿ þ

13. ú

14. û
ÓÙÒØ
ø º
º
ÓÙÒØ ℄ ≥ 2¸ ø
ø
(a, a ∗ k]
½ ÐÐ
º
¾ ¿¸ x
¿ ø a, a, x ¸ a, x, a ¸ x, a, a º
½¼»¿ þ

15. ú

16. û
ÓÙÒØ
ø º
º
þ ½ ø º
½ Ö Ô
(a, a ∗ k]º
¾ ¿¸ ¿ a, x, x ¸
x, x, a ¸ x, a, x º
þ ¾ ø º
½ ÐÐ º
¾ Cn
2 ¸ ¿
º
½¼»¿ þ

17. ú

18. û
ø
ú û¸
O(N)¸
O(N log N)¸ º
½½»¿ þ

19. ú

20. û
º
þ º
½¾»¿ þ

21. þ
½¿»¿ þ

22. ú û
½
L R
¸
º
¾
¸
º
ý ¸
º
½ 1018 ¾ ¸
º
½ »¿ þ

23. ú û
½ c(L, R) L Rº
¾ ¸ c(L, R) = c(1, R) − c(1, L − 1) ⇒
c¸ ½º
¿ c
º
½ »¿ þ

24. ú û
¿ ¸ R = 10k
10k ¸
¸
k ¸ ´
¼¸ ½µº
½ »¿ þ

25. ú û
¿ ¸ R = 10k
d[i][j] i ¸
jº
d[i][j] =
d[1][j] = 1 j
d[i][j] = sum(d[i − 1][k], k = 0 . . . j) i 1
þ 109 + 7º
½ ¿¸ º
¾ º
¿ þ
¸ ¼¸ ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸
º
½ »¿ þ

26. ú û
´
µº
½ R ¸
Rº
¾ ø R i¸
R[i] R[i + 1]º
¿ R[i] ½¸ ø
º
R[i] ½¸
¸ º
½ »¿ þ

27. ú û
R = 24415
½ þ ¸ 1 4 R‘ = 24399º
¾ 3 4 R“ = 23999º
¿ ≤ Rº
½ »¿ þ

28. ú û
R ½¼¸
º
¸
R¸ º
T ½¿ º
T ½¿ ÜÜÜÜÜ
R ½¿
4 6¸ Ü
≥ 4¸ º
T ½¿ º
T ½¿ ÜÜÜÜÜ
R ½¿
5 = 5¸ Rº
¾¼»¿ þ

29. ú û
½ Rº
kº
¾ k
½ d[i][j]
i ¸ jº
¾ k
R¸
º
¿ ¸
d[k + 1][j] = 1 j¸ k
R (k + 1)¹ º
¾½»¿ þ

30. ú û
k = 3º
T ½¿ ÜÜÜÜÜ
R ½¿
Ü ¸
d[3][6] = 1, d[3][7] = 1º
¸ Ü ¸
k = 4º
¾¾»¿ þ

31. þ
¾¿»¿ þ

32. ú

33. û
x y º
x, y, (y − x), −x, −y, (x − y), x, y, . . .
º
|x − b1| + |y − b2| + |(y − x) − b3| + | − x − b4| + | − y − b5| +
|(x − y) − b6| + . . .
ø
|x − b1| + |y − b2| + |(y − x) − b3| + |x − (−b4)|+
|y − (−b5)| + |(y − x) − (−b6)| + . . .
¾ »¿ þ

34. ú

35. û
|x − b1| + |y − b2| + |(y − x) − b3| + |x − (−b4)| + |y − (−b5)| +
|(y − x) − (−b6)| + . . .
½
½ þ |x − a|
¾ þ |y − b]
¿ þ |(y − x) − c|
¾ ܸ Ý ÝÜ
¸
º
¾ »¿ þ

36. ú

37. û
¸ x¸ y¸
º
¸ ¸
½ xº
¾ ¸
|y − b|º
¿ b
|y − b1| + |y − b2| + |y − b3| + . . .¸ b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ . . .º
¾ »¿ þ

38. ú