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![FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA 16
Consideremos la figura, que representa una bolita cayendo por una rampa
formada por dos rieles paralelos doblados en curva.
Los vectores d1 y d2 corresponden a las sucesivas posiciones de la bolita en
dos instantes t1 y t2 . ∆∆d es la diferencia vectorial entre d2 y d1 y se llama
traslación del objeto. Así es ∆∆∆∆dd==dd22--dd11 (letras en iittáálliiccaa representan vectores).
El valor de la distancia entre los extremos de los vectores d2 y d1, de coorde-
nadas respectivas x2, y2, z2 y x1, y1, z1 , viene dado por la aplicación del
teorema de Pitágoras en el espacio, a saber:
∆d=[(x2-x1)
2
+(y2-y1)
2
+(z2-z1)
2
]
1/2
Si consideramos que la posición tiene carácter vectorial, la velocidad tam-
bién lo tendrá, ya que se trata matemáticamente del cociente entre un vec-
tor traslación ∆∆∆∆dd (diferencia entre posiciones sucesivas final d2 e inicial d1) y
un escalar ∆∆t =t2-t1 (el tiempo transcurrido entre ambas), siempre y cuando
este último intervalo de tiempo sea suficientemente pequeño, en el sentido
explicado antes.
Así es v = límite ∆∆d/∆∆t para ∆t→0
Acción, Cantidad de movimiento, Fuerza e Impulso
La expresión matemática de fuerza de inercia como la definió Newton, re-
quiere definir previamente el concepto de cantidad de movimiento de un
cuerpo de masa m que se mueve a una velocidad vv.. Así decimos que la
cantidad de movimiento vale p=m.v . Nótese que la cantidad de movimiento
se mide con un vector, ya que se trata del producto de un escalar (la masa)
por un vector (la velocidad). La variación de la cantidad de movimiento
∆∆p=∆∆(mv) durante un intervalo de tiempo ∆∆t se debe a la acción de una
fuerza F (vector) cuyo valor es el cociente F=∆∆p/∆∆t. Se llama acción de la
fuerza sobre la partícula o también impulso de la fuerza sobre la partícula al
producto F.∆∆t=∆∆p , cuyo valor (vectorial) coincide con la variación de la
cantidad de movimiento.
La variación de la cantidad de movimiento de una partícula puede produ-
cirse debido a un cambio de velocidad, pero también debido a un cambio de
masa, o a ambas cosas a la vez. Por ejemplo, si consideramos una bola que
se desliza por una mesa lisa, podemos admitir que la masa del objeto que
rueda se mantiene contante durante el movimiento, aunque si somos exqui-
sitos y tenemos en cuenta que la bola se desgasta al rodar, habrá que tener
en cuenta el minúsculo cambio de masa de la misma. En cierto casos, la
variación de la masa no es despreciable, como en el caso anterior. Aviones a
reacción y cohetes gastan enormes cantidades de combustible durante el
despegue. Si se considera al avión como un cuerpo que incluye al combusti-](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-16-320.jpg)
![FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA 28
Agreguemos ahora el efecto de una acele-
ración constante. ¿Cuánto vale el término
∆∆pa(t) cuando a(t)=a(0), es decir cuando la
aceleración mantiene siempre su valor ini-
cial?
Si la aceleración es constante, al cabo de un
tiempo t la velocidad habrá variado desde el
valor inicial v(0) al valor final v(t)=v(0)+a.t ,
de manera que v(t)-v(0) = a.t Con esa va-
riación progresiva de la velocidad, al cabo
de un tiempo t se recorre el mismo camino
que andando todo el tiempo al valor pro-
medio de los valores extremos ∆vp = ½
[v(t)-v(0)] = ½ a.t, con lo cual es:
∆∆pa(t) = ∆vp .t = ½ a.t
2
Entonces, como se muestra en la figura, la posición instantánea p(t) de un
móvil que parte de una posición inicial p(0) con velocidad inicial v(0) y acele-
ración constante a , está dada por la ecuación vectorial:
p(t) = p(0) + v(0).t + ½ a.t
2
,
que da para cada valor de t un punto de una parábola cuyo eje está en la
dirección de la aceleración a, pasa por p(0) y en ese punto tiene tangente
v(0) en el plano determinado por v(0) y a
16
Movimiento de un cuerpo rígido
Dijimos ya que una partícula ma-
terial es una entelequia a la que
se aproxima un cuerpo real de
masa apreciable cuando sus
dimensiones tienden a cero. Se
comprende que la densidad de
una partícula deba considerarse
infinita, lo que también se da a
entender diciendo que la partícula
tiene “una masa concentrada en un punto”. Las partículas materiales pue-
den ejecutar solamente desplazamientos o traslaciones, ya que las rotacio-
nes de un punto no son imaginables.
16
En el dibujo se muestra el caso frecuente de aceleración vertical, como la creada
por la fuerza de gravedad sobre la partícula libre.
p(0)
v(0).t
p(t)
½ a t2
a
Posición en un movimiento con
aceleración constante
ROTACIÓNTRASLACIÓN TRASLACIÓN Y
ROTACIÓN](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-28-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 44
Tipos de energía
De lo visto se entiende que trabajo y energía son conceptos asociados a
sistemas materiales. No se puede pensar en energía y trabajo ejecutado sin
un soporte material desde dónde salga y otro soporte de destino hacia donde
vaya. El soporte material aludido comprende materia y espacio que la rodea.
Las propiedades del espacio, por ejemplo la de transmitir fuerzas a distancia,
son producto de la materia próxima, como se verá al tratar la gravitación.
Un sistema material puede poseer capacidad de ejecutar trabajo de varias
formas, pero éste se manifestará siempre a través de una fuerza que se
mueve a lo largo de un camino. El trabajo ejecutado por un sistema siempre
se efectúa sobre otro u otros sistemas. El primero perderá energía y los
segundos la recibirán, y desde ese punto de vista el trabajo puede conside-
rarse como flujo de energía o energía en tránsito. El trabajo no es la única
forma de energía en tránsito. Existe otra: el calor, que puede considerarse
macroscópicamente como un fluído, o microscópicamente como una función
estadística asociada a la energía de movimiento de las moléculas o partícu-
las que componen la materia.
Energía cinética - Teorema de la fuerza viva
Vimos que una de las manifestaciones de una fuerza es la variación en el
movimiento de la materia en la que se aplica. La fuerza aplicada desde otro
sistema sobre una partícula material de masa m es igual a la variación de la
cantidad de movimiento:
f = d(mv)/dt , y si la masa m no varía con el tiempo será f = m.dv/dt = m.a
También es m.dv=f.dt (acción o impulso)
Si la acción se desarrolla a lo largo de un camino de longitud dx , el trabajo
ejecutado por la fuerza sobre la masa m será f.dx=m.dv/dt.dx .
Pero como v=dx/dt , la anterior queda en la forma f.dx=m.v.dv
Eso nos dice que el en un pequeño recorrido dx la fuerza f sobre un sistema
de masa m efectuará un trabajo f.dx que será igual al aumento de energía
del sistema m.v.dv , siendo dv el aumento de velocidad en un pequeño in-
tervalo de tiempo dt.
En un mayor intervalo de tiempo ∆t = t2-t1 la fuer-
za f recorrerá un camino ∆x = x2-x1 a una veloci-
dad promedio igual a vm = (v2+v1)/2 para ∆v = v2-
v1 , y el trabajo de la fuerza f (que supondremos
constante a lo largo del camino ∆x) será:
T = f.(x2-x1)= m.vm.∆v = ½ m (v2
2
-v1
2
) =
= [½ m.v2
2
– ½ m v1
2
]
∆x
v1
v2
m
m](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-48-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 52
debe ser igual a la suma de las energías cinéticas del conjunto rojo y azul inmediata-
mente
8
después del choque, es decir que ½ mb v
2
= ½ mb v1
2
+ ½ mb v2
2
, o sea que
debe ser
v
2
= v1
2
+ v2
2
.
Esto significa que el vector v es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de
catetos v1 y v2 . En este caso, esos catetos no están determinados, pues su
vértice común puede ser cualquiera de los puntos de una circunferencia de
diámetro igual a dicha hipotenusa y con centro en su punto medio (ver figura)
Si las bolas tuvieran masa diferente m1 y m2, (que no es el caso del billar),
la ley de conservación del impulso nos daría:
m1.v=m1.v1+ m2.v2 [1]
que puede escribirse
v=v1+ (m2/m1).v2 [2]
En el dibujo de la derecha se toma en cuenta este caso, con m1>m2
La ley de conservación de la energía aplicada al caso de masas desiguales
resulta:
½ m1.v
2
= ½ m1.v1
2
+ ½ m2.v2
2
[3]
que puede ponerse en la forma v
2
= v1
2
+ [(m2/m1)
½
v2]
2
[4]
según está representado por la figura de la derecha.
Choque oblicuo
Ahora bien, teniendo en cuenta el principio de conservación del centro de
gravedad, equivalente al de conservación de la cantidad de movimiento,
Newton redujo el problema del choque oblicuo al del choque recto, to-
mando como origen de coordenadas el centro de gravedad del sistema, en
general en movimiento uniforme, o en particular en reposo. El choque recto
se puede referir al eje que une los centros de las masas (que pasa por el
centro de gravedad de ambas), transformando el fenómeno plano en unidi-
mensional. Así, las ecuaciones vectoriales se transforman en ecuaciones
escalares, reemplazando las velocidades por sus respectivas proyecciones
sobre dicho eje.
El fenómeno del choque oblicuo para dos masas m1 y m2 que tienen las
proyecciones de sus velocidades iniciales v1 y v2 y toman velocidades
después del choque de v’1 y v’2 (también tomando sus proyecciones sobre el
eje que une las masas) está contenido en las siguientes ecuaciones escala-
res:
9
8
La igualdad se cumple inmediatamente después del choque, antes de que tenga
lugar la acción de las fuerzas de rozamiento de las bolas contra el paño del tapete, de
lo contrario deberá agregarse en el segundo miembro la energía correspondiente al
trabajo de dichas fuerzas.
9
Nótese que en las fórmulas siguientes no se usa la cursiva para representar las](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-56-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 53
m1.v1 + m2.v2 = m1.v’1 + m2.v’2 , que también puede escribirse
m1.(v1 - v’1 ) + m2.(v2-v’2 ) = 0 [5]
m1 = m2.(v’2-v2 ) /(v1 - v’1 )
y además, para choque elástico es
(m1.v1
2
+m2.v2
2
) = m1.v’1
2
+ m2.v’2
2
La anterior se puede poner en la forma:
m1.(v1
2
- v’1
2
) + m2.(v2
2
-v’2
2
) =
m1.(v1 - v’1 )(v1 + v’1 ) + m2.(v2-v’2 )(v2+v’2 ) = 0 [6]
De [5] y [6], resulta que debe ser
(v1 + v’1 ) = (v’2+v2 ) y por lo tanto
v1-v2=-(v’1-v’2) [7]
La [3] significa que las velocidades relativas entre las masas mantienen su
valor absoluto y cambian de signo en un choque elástico.
Choque plástico
Después de un choque perfectamente plástico, es nula la energía residual
interna E’i del sistema, o sea:
Ei’ = ½ m1(v’1-v0)
2
+ ½ m2(v’2-v0)
2
= 0
Como las masas y las velocidades al cuadrado son cantidades positivas, que la suma
de los dos términos anteriores sea nula implica:
(v’1-v0) = 0 y también (v’2-v0) = 0
Estas dos fórmulas requieren que sea v’1 = v’2 = v0 , lo que significa que
después de un choque plástico, las masas siguen “pegadas” o fusionadas en
una sola con igual velocidad v0 que la del centro de gravedad del sistema.
Mecánica de los cuerpos rígidos
Concepto de cuerpo rígido
Los cuerpos extensos, a diferencia de las masas concentradas en partí-
culas sin dimensión, ocupan un volumen en el espacio y por lo tanto po-
seen masa distribuída caracterizada por su densidad, o sea por el cociente
entre masa y volumen ocupado.
Los cuerpos sólidos extensos son en la práctica más o menos deforma-
bles por acciones externas. Se entiende por cuerpo rígido a un sólido inde-
velocidades, ya que éstas son proyecciones escalares de los vectores respectivos
sobre el eje que une los centros de las dos masas](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-57-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 55
orden ΣΣmi.Pi del cuerpo con respecto a ese origen, dividido por la masa
total M.
Lo anterior justifica que el baricentro pueda considerarse en una primera
aproximación como el lugar representativo de la posición de un cuerpo ex-
tenso, ya que si concentráramos toda la masa allí, obtendríamos un sistema
de momento de primer orden equivalente al del cuerpo en cuestión.
Fuerza viva de los cuerpos rígidos
Consideremos un cuerpo rígido animado de un movimiento general cualquie-
ra, que, como vimos oportunamente, puede descomponerse en una trasla-
ción y una rotación sucesivas. En base a ello, la velocidad, tomada como
cociente entre movimiento y tiempo, podrá también considerarse descom-
puesta en una velocidad v de traslación y otra de rotación ωω alrededor de un
eje.
Se demuestra fácilmente que la fuerza viva de traslación del cuerpo rígido
de masa M como suma de las energías cinéticas individuales de mi masas a
la misma velocidad v, es equivalente a la de la masa M concentrada en su
centro de gravedad a la velocidad v , o sea ΣΣ ½ mi v
2
= ½ M v
2
La fuerza viva de rotación es la suma de la fuerza viva de cada uno de los
elementos en los que podemos considerar dividido al cuerpo, de masas mi y
que están a distancias di al eje de rotación . Cada uno de ellos posee una
velocidad tangencial vti=ωω∧∧di y fuerza viva ei = ½ mi .vti
2
= ½ mi.(ωω∧∧di)
2
= ½
ωω
2
. mi.di
2
Momento de inercia
La fuerza viva total del cuerpo en rotación a la velocidad angular ωω resulta
pués:
ΣΣ ei = ΣΣ ½ ωω
2
. mi.di
2
= ½ ωω
2
[ΣΣ mi.di
2
]
La sumatoria entre corchetes representa el momento de un momento, es
decir un momento de segundo orden: Como está vinculado a la energía
almacenada en cuerpos en rotación alrededor de un eje, se lo llama “mo-
mento de inercia axial”
Momento de inercia con respecto al eje X Jx = ΣΣ mi.di
2
Para calcular el momento de inercia es necesario hacer una suma de gran
cantidad de términos a través de una operación llamada Integración, en
alguna medida contraria o inversa a la diferenciación. A continuación damos
un ejemplo, para los que conocen algo de cálculo. Los que todavía no ma-](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-59-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 64
al ser en este caso particular los factores perpendiculares entre si.
De lo anterior surge claramente que el momento de una cupla es igual en
todos los puntos del plano. En cambio el momento de una fuerza varía con
respecto al punto desde el cual se toma.
Cuando un conjunto de fuerzas coplanares presenta un momento MM invaria-
ble con respecto a cualquier punto, es porque no es reducible a una sola
fuerza resultante. En cambio es equivalente a un par de ellas opuestas,
iguales y paralelas, es decir una cupla, cuyo momento vale MM
Desde el punto de vista práctico, una fuerza muy pequeña (despreciable)
con respecto a un punto muy alejado representa aproximadamente una cu-
pla, ya que su resultante es aproximadamente nula mientras que su mo-
mento no lo es.
12
Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido
Con el método del polígono funicular, visto antes, se puede hallar la resul-
tante cualquiera sea la disposición de las fuerzas en el plano y por lo tanto
también para fuerzas paralelas.
En este caso particular, como la resultante es equivalente a todas las fuerzas
aplicadas una a continuación de la otra a lo largo de la recta de acción, si
trasladamos paralelamente cada una de las fuerzas sobre dicha recta (pun-
tos gruesos en la figura), deben anularse todos los momentos correspon-
dientes a cada traslación. Esta condición es necesaria para obtener un sis-
tema equivalente al primitivo,
sin momento MM. Refiriéndonos
a la figura, lo anterior se resu-
me en la siguiente ecuación
vectorial:
ΣΣ Fi ∧∧di= 0 [1]
Donde los vectores d son las
distancias correspondientes de
cada fuerza al punto de aplica-
ción de la resultante. Dado que
las fuerzas son paralelas, la
anterior se puede reemplazar por la ecuación escalar:
12
El producto de una cantidad infinitamente pequeña por otra infinitamente grande no
es nulo ni infinito: toma un valor que depende de cómo tienden a cero e infinito res-
pectivamente sus factores.
Composición de fuerzas paralelas
R
F1
F2
F3
F4 F5
R
d1
d2
d3
d4
d5](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-68-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 65
ΣΣFi.di= 0 [1 bis]
en la que los signos de las distancias escalares d entre recta de acción de la
fuerza y la resultante, son positivos o negativos según se midan hacia la
derecha o hacia la izquierda de la fuerza. También puede considerarse que
Fi.di es positivo o negativo según tienda a hacer girar el sistema en contra o
a favor del reloj. Así, en la figura F5.d5 es positivo, mientras que F1.d1 es
negativo
Por otra parte, el valor de la resultante R debe ser igual a la suma vectorial
de todas las fuerzas, es decir:
ΣΣ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2]
Por ser fuerzas paralelas, la anterior se reduce a la igualdad escalar:
ΣΣ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2 bis]
La [1 bis] y la [2 bis] significan que se puede reemplazar un conjunto de
fuerzas paralelas que actúen sobre un cuerpo rígido, con una resultante cuya
intensidad sea igual a la suma aritmética de las intensidades de todas las
fuerzas, colocada sobre una recta paralela con respecto a la cual será nulo
el momento de primer orden Σ Fl .dl
Fuerzas concentradas y distribuídas
Hasta ahora hemos considerado fuerzas aplicadas
en un punto de un cuerpo rígido, pensando en una
fuerza concentrada sobre una partícula material.
Por más que las acciones sobre cuerpos extensos
se pueden pensar como fuerzas concentradas
sobre ciertas partículas constitutivas del mismo,
también es útil considerar a veces otro modelo en
el que las acciones se representan por fuerzas
distribuídas en una zona extensa (línea o superfi-
cie) del cuerpo. Por ejemplo, en primera aproxima-
ción el peso del programador sobre el asiento pue-
de considerarse que se ejerce a través de una
fuerza concentrada en el medio de la tabla del
banco. Es más ajustado pensar en dos fuerzas paralelas en cada glúteo, o
mejor aún una presión distribuída sobre la superficie de contacto del cuerpo
sobre el asiento y los pies en el suelo. En el dibujo, las zonas más oscuras
corresponden a mayor presión.
La presión del viento sobre un cartel publicitario, la fuerza de la explosión en
un cilindro de un motor sobre el pistón y aún el peso de el cuerpo sobre un
patín de hielo se representan mejor con fuerzas distribuídas sobre las super-
ficies o líneas en las que actúan.
PRESIÓN DEL PROGRAMADOR SOBRE
EL ASIENTO Y SOBRE EL PISO](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-69-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 72
reo llamado “campo”.
Campo gravitatorio
Mientras el campo eléctrico parece salir de las cargas positivas y sumirse en
las negativas y el campo magnético se parece a un fluído arremolinado en
un vórtice, donde circula la corriente eléctrica que lo produce, el campo gra-
vitatorio funciona como un fluído que entra en las masas y cuya fuente es el
propio universo que las rodea.
Esta concepción o modelo está autorizado por la ley de la inversa del cua-
drado de la distancia, que es la misma que gobierna el flujo de agua que
entra
18
en un desagüe colocado en el interior de una pileta muy grande.
Supongamos en un punto dentro de una masa de
agua se instala la boca de un caño que absorbe
un flujo o “gasto” G Kg/s . Admitamos que la boca
está construida para que el agua entre por igual
en todas direcciones. Una esfera imaginaria de
radio r con centro en la boca de salida, será atra-
vesada en toda su superficie por el flujo constante
G, de manera que la cantidad de agua por unidad
de superficie y por unidad de tiempo a través de la
esfera de radio r y superficie S = 4π r
2
valdrá:
G/S = G/(4.π.r
2
) [Kg/s/m
2
]. A esta cantidad G/S la llamaremos flujo específico
o gasto específico. Como se ve en la fórmula, el flujo específico G/S es in-
versamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente (la boca de
salida del caño).
La relación entre flujo específico, densidad δ y
velocidad v del fluído en un punto es :
G/(4.π.r
2
) = δ [Κg/m
3
].v [m/s]
Los vectores v en la masa fluída se distribuyen
marcando direcciones de “líneas de corriente”,
que son las trayectorias que siguen las partícu-
las del fluído. Las líneas de corriente entran radialmente si los sumideros son
puntuales y siempre perpendicularmente a las superficies cuando los sumi-
deros son extensos. Si el caño de salida tiene una hendidura en vez de una
boca distribuidora esférica, entrarán las líneas de corriente a lo largo de esa
hendidura. Si es un plano permeable, entrarán líneas perpendicularmente a
ese plano, como se muestra en la figura.
18
También es válido para un fluído que sale. Lo único que cambia es la dirección de
la velocidad. El modelo para electrostática considera como fuente a las cargas positi-
vas y sumideros a las negativas.
SUMIDERO PLANO
G (m3
/s)
r
v](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-76-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 77
Péndulo matemático
Se llama así al formado por una masa puntual m suspendida por una varilla
o hilo de longitud ll sin peso. Para él es J = m.ll2
y entonces su período vale T
= 2ππ.√√(J/m/g/ll) o sea T = 2ππ√√ .ll/g
Se aproxima a un péndulo matemático una esfera muy densa suspendida de
un hilo largo.
Ejemplo
Averiguar el período de oscilación de un péndulo
formado por una varilla de madera de ancho a=2
cm por un espesor ev = 1cm y de longitud lm=1m,
en cuyo extremo va un disco de cobre de radio
R=10 cm y espesor e=1 cm. La densidad de la
madera es 1000 Kg/m
3
y la del cobre vale 8000
Kg/m
3.
El sistema se suspende desde un punto O
situado a lO=10 cm del extremo libre de la varilla.
Solución: Aplicamos lo deducido para el péndulo
físico, a saber: T= 2.ππ.√√(J / P/ ll) donde:
M = Masa total ; M = Vdisco.δcu + Vvarilla.δmadera = πR
2
e.δcu + a.ev.lv.δmadera=
2,51Kg + 0,2 Kg ; P=2,71 Kg. 9,8 m/s2 = 26,56 N
l = distancia entre el centro de gravedad G del sistema y el punto de suspensión O
En la figura se ha representado el polígono funicular para encontrar el punto de aplica-
ción G de la resultante P , en caso de desear una resolución gráfica.
Tomando momentos con respecto al punto de suspensión O podemos poner
P.l = Pd.ld + Pv.lv
De la figura resulta ld = lm-lo+r = 1-0,1+0,1=1m ;
lv = lm/2-lo = 0,5-0,1 = 0,4 m
De la expresión anterior sale que
l = (Pd.ld + Pv.lv)/P = [2,52 Kg.x1m + 0,2 Kgx 0,4m].9,8 / 2,72 Kg/9,8 = 0,956 m
J = Momento de inercia con respecto al punto de suspensión: es la suma de los mo-
mentos de inercia del disco y de la varilla. J = Jdisco + Jvarilla cada uno con respecto al
punto de suspensión.
Estudiemos ahora dos posibles
momentos de inercia baricéntri-
cos del disco:
La ecuación del círculo es
x
2
+y
2
=R
2
de donde x=(R
2
-y
2
)
½
Momento de inercia de un cuarto
de disco con respecto a un eje
radial (que pasa por el centro de
lo
l
l
Gv
Gd
G
Pv
Pd
P
Pv Pd
P
ld
lv
O
lm
l
R
x
y dy
eje x
ejey
α
e](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-81-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 78
gravedad), de acuerdo a la figura de la derecha
Jdxx/δCu/e/4 = y=0∫y=R
x.y
2
.dy
Reemplazando y=R sen α , x= R.cos α
resulta dy = R cos α dα , y entonces
Jdxx/δCu/e = a=0∫a=π/2
R
2
cos α .R
2
sen
2
α cos α da =
a=0∫a=π/2
R
2
(1-sen
2
α) .R
2
sen
2
α dα =
= R
4
a=0∫a=π/2
(sen
2
α –sen
4
α) dα = R
4
.[π/4 - 3π/16] = πR
2
.R
2
.(1/16)
Entonces Jdxx = (.δCu.e πR
2
).R
2
.4(1/16) = M R
2
/4 , que es el momento de inercia del
círculo con respecto a un eje baricéntrico radial.
Ya habíamos visto antes (cuando nos daba clases el Ing. Cattáneo) que el momento
de inercia de un disco con respecto a un eje baricéntrico perpendicular al anterior, o
sea el eje z, era Jzz = ½ M.R
2
(figura de la izquierda). Resulta así Jzz = 2 Jxx
Teorema de Steiner
Pero lo que necesitamos es el momento de inercia con respecto al eje de suspensión
del péndulo paralelo al eje zz. A partir del momento de inercia baricéntrico (que pasa
por el centro de masas o baricentro), se puede encontrar el momento de inercia que
pasa por cualquier otro eje paralelo al primero, en base a la siguiente deducción debi-
da a Jacobo Steiner, geómetra suizo que vivió en la primera mitad del siglo XIX:
El momento de inercia de un sistema con respecto a un eje que dista d del baricentro
puede ponerse como:
J = Σ mi.(di+d)
2
= Σ mi (di
2
+2di.d+d
2
) = Σ mi di
2
+ 2 d Σ mi.di + d
2
Σ mi
El primer término Σ mi di
2
es el momento de inercia baricéntrico, que llamaremos Jg
En el segundo término, es nulo Σ mi.di , ya que es el momento de primer orden con
respecto al baricentro. Además es Σ mi = M (masa total del cuerpo), así que
J = Jg + M d
2
, lo que significa que el momento de inercia de un cuerpo con respecto a
cualquier eje se puede obtener sumando al correspondiente momento de inercia bari-
céntrico un término igual a la masa por el cuadrado de la distancia entre ejes.
Aplicando el teorema de Steiner resulta que el
momento de inercia del disco con respecto a un
eje paralelo al zz que pase por O es
Jd=Jzz+Md.ld
2
= Md ( ½ R
2
+ ld
2
)
Reemplazando valores, se tiene Jd=2,52 Kg ( ½
0,1
2
+ 1
2
) = 2,533 Kg m
2
Momento de inercia de un prisma de base rec-
tangular de dimensiones axe y altura l (una
varilla) con respecto un eje baricéntrico. Según
la figura, el valor de la integral doble es Jo = (1/12)
δ.e.a.l.[a
2
.+l
2
.] =
1/12 Mv [a
2
.+l
2
.]
Se puede considerar a la varilla formada por dos
prismas de igual base y diferente altura: uno de
dx
dy
x
y
(x2
+y2
)
Jo=δe∫ ∫[(x2
+y2
)½
]2
dx.dy
a/2
l/2
-l/2
-a/2
x=-a/2
a/2
y=-l/2
l/2
e
O](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-82-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 79
altura lo por sobre el eje de suspensión, y otro de altura (lm-lo) por debajo de éste. El
momento de inercia total de la varilla con respecto al eje que pasa por el punto de
suspensión O será de acuerdo al teorema de Steiner la suma de los respectivos mo-
mentos baricéntricos Jo1 y Jo2 más las sendas correcciones debidas al que el eje de
inercia se corre desde los centros de masa hasta la base de los prismas, que valen
respectivamente M1 lo
2
y M2.(lm-lo)
2
:
Entonces Jv =.M1.[1/12.(a
2
.+lo
2
) + lo
2
] + M2.[1/12. (a
2
+(lm-lo)
2
) + (lm-lo)
2
] para
M1 = δm.a.e.lo = 1000 Kg/m
3
. 0,02m. 0,01m; 0,1 m = 0,02 Kg
M2 = δm.a.e.(lm-lo) = 1000 Kg/m
3
. 0,02m. 0,01m; 0,9 m = 0,18 Kg
Resulta entonces:
Jv = 0,02.[1/12 (0,02
2
+0,1
2
)+0,1
2
] + 0,18 [1/12 (0,02
2
+0,9
2
) + 0,9
2
] =
= 0,000217 + 0,157956 = 0,158173 Kg m2
El momento de inercia total del sistema disco-varilla con respecto al punto de suspen-
sión es entonces: J = Jd+Jv = 2,533+0,158 = 2,691 Kg.m
2
El período del péndulo para g=9,8 m/s2 resulta T= 2.ππ.√√(J / P/ ll) = 2,0454 s
La longitud equivalente de un péndulo matemático sería l = (T/2/π)
2
.g = 1,0397 m, es
decir que si consideramos una masa concentrada cualquiera colgada de un hilo inex-
tensible y sin peso de longitud 1,035 m tendría el mismo período que nuestro péndulo
real de longitud total lT = ld + lo + rd = 1,2 m
Fenómenos Giroscópicos
Un cuerpo rígido con simetría axial presenta
fenómenos inerciales muy interesantes cuan-
do gira sobre su eje. Todos experimentamos
alguna vez con un trompo al que hacíamos
girar rápidamente sobre su eje, y que nos
deleitaba al mantenerse parado sobre el la
punta de su eje mientras duraba la rotación.
Cuando la velocidad menguaba, el trompo
comenzaba a inclinarse y bailotear de manera muy característica. Al final
caía y rodaba sobre el piso (generalmente a un sitio inaccesible, por ejemplo
bajo el sofá).
Un trompo más elaborado es el giróscopo: una rueda pesada con un eje
sostenido por sus extremos en un bastidor. Un tirón al hilo arrollado sobre su
eje le da rápido giro. Parado sobre su eje, se comporta como un trompo. El
armazón permite que siga girando con el eje horizontal, sin que la rueda
toque el piso.
El conjunto se opone al cambio de dirección del eje, ejerciendo una reacción
en sentido perpendicular a la acción. Lo mismo que el péndulo, el giróscopo
mantiene el plano de rotación invariable con respecto a las estrellas fijas.
Esta propiedad lo hace un buen sucedáneo de la brújula, que no es afectado](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-83-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 84
En la figura se ve que a los pesos en equilibrio P que actúan debido a la
gravedad de la tierra se le suman las
acciones atractivas de la bola de
plomo sobre los platillos cargados
izquierdo y derecho, que son respec-
tivamente F1 y F2
Resulta entonces:
MPb = VPb.δPb = 4,189 m3 . 11300 Kg/m3 =
47333 Kg , por lo tanto:
F1 = kG.MPb.1/d2 =
= 6,72.10
-11
. 47333/1,05
2
= 2,88.10
-6
N
F2 = kG.MPb / 1,45
2.
=
= 6,72.10
-11
. 47333/1,45
2
= 1,51.10
-6
N
Se ha exagerado la pequeña inclinación
del platillo derecho, que forma un ángulo
γγ con la vertical, siendo tg ββ = 1/1,05 de
donde ββ=43,6º
Entonces:
tg γ = F2.cos β / (P+ F2.sen β) = 1,51.10
-6
.cos(43,6º)/(9,8+1,51.10
-6
.sen(43,6º)
tg γ = 1,093.10
-6
/(9,8) , de donde γγ = (6,39.10
-6
) grados
De acuerdo al teorema del coseno es:
(P+F2)
2
= P
2
+F2
2
+2.P.F2.cos (β) =
= 9,8
2
+ [1,51.10
-6
]
2
+2.9,8.1,51.10
-6
.
cos(43,6º)= 96,040021 N
de donde P+F2 = 9,800001094 N
Como P y F1 están en la misma
dirección es:
|P+F1|= P+F1 = 9,8+2,88.10
-6
=
9,80000288 N
En la figura se esquematiza la
posición de equilibrio, cuando las
fuerzas en los platillos y el peso
de la balanza M.g aplicado en el
centro de gravedad G dan una
resultante R que pasa por el eje
de giro de la balanza O
La balanza indicará aproximadamente la diferencia entre las dos fuerzas, ya
que ellas están prácticamente en el misma dirección vertical, o sea:
9,80000288 - 9,800000151 = 1,79.10
-6
N = 1,82.10
-7
Kg
Esta diferencia de casi dos décimas de miligramo es bastante superior al
umbral de la balanza y por lo tanto perfectamente apreciable.
F1
F2
1,05m 1 m
1,45 m
4,189 m
3
PP+F2
P
γγ
ββ
γ
δ
δ
lo
G
P+F1
P+F2
l
l
O
M.g
R R](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-88-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 85
La experiencia se realiza en forma práctica equilibrando los dos platillos con
masas iguales sin la presencia de la bola y observando la deflexión del fiel al
deslizar aquélla debajo de uno de los platillos. Se comprende así que dicha
deflexión sea causada por la diferencia entre
F1= 2,88.10
-6
N y la proyección vertical de F2, que vale
F2.cos (β) = 1,093.10-6 N , o sea ∆F = 1,79.10
-6
N
La componente horizontal de F2 crea un momento que produce la impercep-
tible inclinación del platillo derecho en un ángulo γ con respecto a la vertical
ya calculado antes.
Este experimento fué realizado como se
acaba de explicar, con una balanza co-
mún, por el físico inglés Poynting en
1913. De la medida de ∆F se deduce el
valor de la constante kG
Anteriormente otros dos ingleses, Caven-
dish a fines del siglo XVIII y Boys a fines
del XIX habían medido la atracción gra-
vitatoria de dos grandes masas fijas sobre un par de masas más pequeñas
colocando éstas sobre una varilla horizontal sostenida por un hilo de cuarzo,
que resiste levemente a la torsión producida por el par de atracciones. Las
pequeñas deflexiones del sistema se detectan con un rayo de luz reflejado
en un espejito solidario a la varilla. El haz de luz reflejada gira el doble del
ángulo barrido por la varilla con las dos masas y se proyecta sobre una
pantalla alejada, amplificando así la desviación del sistema móvil.
El problema del tiro
Tiro en el vacío
Ya se vió que la trayectoria de un proyectil en el vacío bajo un campo gravitatorio
paralelo es una parábola. El estudio del problema puede encararse adecuadamente
aplicando las leyes de la dinámica de Newton independientemente para la coordenada
horizontal (x) y la coordenada vertical (y), y superponer los efectos en virtud del princi-
pio de superposición. Así resulta que para una partícula de masa m y aceleraciones
vertical y horizontal respectivamente iguales a d
2
x/dt
2
y d
2
y/dt
2
se pueden plantear las
siguientes ecuaciones:
fx = m.d
2
x/dt
2
= 0 , ya que es nula la fuerza
horizontal aplicada sobre la partícula en movi-
miento.
De aquí se deduce que la velocidad horizontal
es constante, o sea, Þ vx = dx/dt = constante =
vox (velocidad horizontal inicial) = vo.cos (α).
Integrando sale que:
x-xo = vo.cos(αα).t [1]
EXPERIENCIA DE CAVENDISH
2α2α
αα
αα
y
x
αo
vo
vvy
vx](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-89-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 86
De la misma manera, igualando la masa por la aceleración vertical al peso de la partí-
cula (única fuerza actuante) resulta:
fy = m.d
2
y/dt
2
=-m.g, Þ dy/dt = - g.t+C
La constante de integración C resulta de considerar que v=v0 cuando t=0, e y=y0
C = dyo/dt = voy (velocidad vertical inicial)= vo.sen(αο)
y-yo = - ½ g.t
2
+ vo.sen(ααοο).t [2]
Como se ve, [1] y [2] son las ecuaciones paramétricas de una parábola de eje vertical
que pasa por el punto de disparo del proyectil, de coordenadas (x0, y0)
Tiro en el seno de un fluído
Cuando el proyectil se mueve en el seno de un fluído quieto, por ejemplo el
aire calmo, el medio produce una resistencia o fuerza contraria a la velocidad
de la partícula, como se explica luego en esta obra al tratar la mecánica de
fluídos. La dependencia entre resistencia y velocidad es una combinación de
dos efectos: el de rozamiento viscoso y el efecto inercial del desplazamiento
del fluído creado por el paso del móvil. El primero es preponderante a veloci-
dades bajas (régimen laminar) y el segundo es más importante a velocida-
des altas (régimen turbulento). Estudiaremos ambos por separado.
Resistencia viscosa proporcional a la velocidad (modelo de Stokes)
En este caso la fuerza de sentido contrario a la velocidad, viene dada por la fórmula de
Stokes, tratada in extenso en este libro más adelante.
fv = [4.π.ηπ.η.r].v = b.v , donde:
η=viscosidad
21
; r=radio del proyectil que se supone de forma esférica. Este modelo
tiene sólamente en cuenta la resistencia viscosa y no la inercial.
Para la componente horizontal vale el siguiente desarrollo:
fx = m.d
2
x/dt
2
+ b.vx = 0 ; d
2
x/dt
2
= dvx/dt=-(b/m).vx, Þ ln(vx) = -(b/m).t + ln(vox)
vx = v.cos(α) = vox.e
[-(b/m).t]
(que indica que la velocidad decrece exponencialmente con
el tiempo)
vox.e
[-(b/m).t]
= dx/dt Þ x = ò vo.cos(αο).e
[-(b/m).t]
dt + C =
= vo.cos(αο).(-m/b).e
[-(b/m).t]
+ C1 Þ C1 = xo + vo.cos(αο).m/b
x-xo = vo.cos(ααοο).(m/b).(1- e
-(b/m).t
)
Considerando la acción vertical de la gravedad resulta:
fy = m.d
2
y/dt
2
+ b.vy = - m.g ; d
2
y/dt
2
= dvy/dt = -(b/m).vy – g
Sea u = (b/m).vy+ g Þ du=-(b/m).dvy Þ dvy/dt = (-m/b).du/dt = u Þ du/u = (-b/m).dt
Integrando se obtiene ln(u)= (-b/m).t + ln(uo) Þ u=uo.e
(-b/m).t
(b/m).vy+ g = [(b/m).voy+ g]. e
(-b/m).t
; vy = (m/b).[(b/m).voy+ g]. e
(-b/m).t
- (m/b).g = dy/dt
Integrando nuevamente resulta:
y=(-m/b).(vo.sen(α).b/m+g).(m/b).e
(-b/m).t
– g.m/b.t + C2
C2 = yo + m/b.vo.sen(αo) + g.m
2
/b
2
y-yo = (vo.sen(ααo).m/b + g m
2
/b
2
)(1-e
-b/m.t
)-g.m/b.t
21
Como se explica al estudiar los fenómenos de movimiento interno en un fluído, la
viscosidad mide la resistencia al deslizamiento entre capas próximas del mismo, y es
proporcional a la velocidad relativa entre ellas.](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-90-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 87
Resistencia inercial proporcional al cuadrado de la velocidad
(modelo de Newton)
Como se explica en esta obra al tratar sobre la resistencia de objetos en movimiento
dentro de un fluído, se emplea la fórmula de Newton para la fuerza de resistencia
cuando predomine el efecto inercial, que depende del peso específico y no de la vis-
cosidad del fluído:
fv = [k.ρρ/2/g.S].v
2
= b’.v
2
(fórmula de Newton)
k = coeficiente de forma (por ejemplo, para una esfera es k = 0,4)
ρ = peso específico del fluído
S = superficie de carena, o sea la proyección del cuerpo sobre un plano perpendicular
a la velocidad.
Horizontalmente sólo actúa la fuerza de resistencia:
fx = m.d
2
x/dt
2
+ b’.vx
2
= 0 ; d
2
x/dt
2
= dvx/dt=-(b/m).vx
2
, Þ -1/vx = C3 –b’/m.t ; C3=-1/vox
vx = 1/(b’/m.t+1/vox) =dx/dt = dx/dt ; dx = dt/(b’/m.t+1/vox) = (m/b’) d(b’/m.t+1/vox)/(b’/m.t-
1/vox)
dx = (m/b’) d ln (b’/m.t+1/vox) Þ x = (m/b’) . ln (b’/m.t+1/vox) + C4
C4 = xo - (m/b’).ln (1/vox)
x-xo = (m/b’) .[ln (b’/m.t+1/vox) - ln (1/vox)]
Para la dirección vertical, interviene además la fuerza de gravedad m.g :
fy = m.d
2
y/dt
2
+ b’.vy
2
= -m,g ; d
2
y/dt
2
= dvy/dt=-(b/m).vy
2
-g
dt= -dvy/(g+vy
2
.b’/m)= -dvy/[g(1+vy
2
.b’/m/g)]= -(m/g/b’)
½
.d[vy.(b’/m/g)
½
]/(1+[vy
2
.(b’/m/g)
½
]
2
)
Integrando resulta
– (g.b’/m)
½
.t = arc tg [vy.(b’/m/g)
½
] -C5 Þ C5=arc tg [vo.sen(ααo).(b’/m/g)
½
]
Sacando la tangente en ambos miembros queda:
[vy.(b’/m/g)
½
] = tg {arc tg [vyo.(b’/m/g)
½
] – (g.b’/m)
½
.t)} = tg [C5-(g.b’/m)
½
.t)]
vy = dy/dt = (m.g/b’)
½
.tg [C5-(g.b’/m)
½
.t)]
y = (m.g/b’)
½
òtg [C5-(g.b’/m)
½
.t)].dt + C6 = (m.g/b’)
½
I + C6
I =òtg [C5-(g.b’/m)
½
.t)].dt = -(m/g/b’)
½
òtg [C5-(g.b’/m)
½
.t)].d [C5-(g.b’/m)
½
.t)] =
= -(m/g/b’)
½
{-ln cos [C5-(g.b’/m)
½
.t)]}
y = (m/b’).ln cos [C5-(g.b’/m)
½
.t)] + C6
C6 = yo - (m/b’).ln cos [C5]
Se puede observar en la figura las
trayectorias de tiro que surgen de
representar gráficamente las ecuacio-
nes según los modelos de Stokes y de
Newton para una bolita de hierro de 1
cm de diámetro en un medio aceitoso,
lanzada a una velocidad inicial de 3
m/s y con un ángulo de 45º. La tra-
yectoria real se acerca más a la de
Stokes, en este caso, por tratarse de
un medio de alta viscosidad.
Tiro en medios fluídos
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Stokes Newton vacío](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-91-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 89
Precisamente, para poner en órbita un artefacto se lo eleva casi vertical-
mente con un cohete a altura conveniente. Desde allí, con otro cohete, se le
imparte velocidad horizontal suficiente como para que siga libremente des-
cribiendo una trayectoria que no intercepte a la tierra, siguiendo una órbita
de magnitud y excentricidad adecuadas al servicio que prestará el ingenio
(comunicaciones, imágenes, espionaje, etc.) . En la jerga de cohetería espa-
cial, se llama a esta velocidad “de inserción” en la órbita.
En el caso de una órbita circular de radio R, el artefacto describe un movi-
miento circular uniforme de velocidad tangencial v tal que la fuerza centrífu-
ga Fc = m.v
2
/R equilibre a la atracción gravitatoria Fg = kG.MT.m / R
2
, es decir
v = (kG.MT/R)
½
, o bien, considerando que g=kG.MT/RT
2
, la anterior puede
ponerse bajo la forma v = [(kG.MT/RT
2
).RT
2
/R]
½
= RT .g
½
/ R
½
La velocidad angular será ω = v/R = RT .g
½
/ R
3/2
Por ejemplo: Se desea poner en órbita un satélite ecuatorial que se mantenga fijo en
el cielo. A qué velocidad horizontal y a qué altura debe lanzarse?.
La condición de que se mantenga fijo en el cielo determina su velocidad angular, que
debe ser igual a la de la tierra, es decir
ω = 2.π/24/3600 = 7,27.10
-5
rad/s
Además es R = (RT g
½
/ ω)
2/3
= (6378000 m . 3,13 m
½
.s
-1
/ 7,27.10
-5
s
-1
)
2/3
=
= 42238 Km , o sea que orbitará a una altura de 35860 Km
La velocidad de inserción horizontal que debe impartirle el segundo cohete vale
v = ω.R= 7,27.10-5. 42238 Km = 3,1 Km/s = 11054 Km/h
Transitando por la gravedad
Para mover una masa a través de un camino en un campo como el gravitato-
rio, donde las líneas sólo mueren sumiéndose en la materia, hay que eje-
cutar un trabajo que es el resultado de sumar trabajos elementales (producto
escalar de fuerza por elemento de camino o longitud ∆l): T= Σ F.∆∆ll , cuyo
valor no depende más que del punto de partida y el punto de llegada, sin
importar por dónde pasa el camino que recorre la fuerza. Esto es así, debido
a que el campo (o aceleración gravitatoria) es la pendiente de una función
del espacio llamada potencial, análoga al nivel de un terreno en el que la
materia es una depresión. Así como el terreno alrededor de un hoyo tiene
líneas de nivel y líneas de máxima pendiente, el espacio alrededor de una
masa tiene superficies de igual potencial y líneas de campo. Éstas son las
trayectorias que seguirían masas exploratorias abandonadas en diferentes
puntos del espacio.](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-93-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 91
cies cerradas que rodean a la materia para las cuales el potencial es igual en
todos sus puntos (superficies equipotenciales).
El trabajo necesario para alejar una masa m entre A y B es el mismo reco-
rriendo cualquier camino que una esos puntos, de la misma forma que para
llevar un peso por la ladera de una montaña: lo que cuenta es la diferencia
de nivel entre puntos inicial y final.
Por ejemplo, por el camino directo (en negro) la integral vale lo mismo que
por el rojo o por el verde. En estos últimos hay una parte en la que el trabajo
es nulo, de A a A’ y de B’ a B. En estos tramos el producto vectorial se
anula por ser F perpendicular a la trayectoria. Queda como trabajo el reali-
zado entre A y B’ o lo que es igual, el realizado entre A’ y A, trayectorias
ambas en las que la fuerza tiene la misma dirección de la trayectoria, y por lo
tanto el producto escalar de los vectores fuerza y distancia se transforma en
producto de los módulos de ambos vectores, es decir
EAB = A∫B’
F.dll = kG.M.m A∫B’
dr/r
2
= kG.M.m [1/rA - 1/rB] = m.(UA – UB) siendo U el
potencial del punto respectivo
El potencial varía inversamente a la distancia siempre que r sea grande
comparada con las dimensiones de la masa, es decir que el campo pueda
considerarse radial. Así es Ur = kG.M/r
Como rA < rB el trabajo es positivo, es decir que hay que entregar trabajo
para alejarse de la masa atractora.
Se ve también que el potencial es nulo a gran distancia de la masa, o sea
para r→ ∞ . El significado físico de esta consecuencia matemática es una
fuente de gravedad muy lejos de las masas, desde donde provienen las
líneas que se sumen en ellas. El símil topográfico de esta configuración de
líneas y potenciales sería una planicie al nivel del mar afectada por un hun-
dimiento localizado, o en el modelo hidráulico, una pileta enorme que nunca
se vacía a pesar del agua que sale por un sumidero colocado en un nivel
más bajo que la superficie.
Escapando de la gravedad
No todo lo que sube tiene que bajar forzosamente. Se puede impartir a un
proyectil la energía necesaria para que venza la atracción gravitatoria, y aún
la supere, yéndose definitivamente de nuestro lado para nunca más volver.
Analicemos esta proposición con reminiscencias de tango desde el punto de
vista físico:](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-95-320.jpg)
![FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 92
La energía necesaria para
escapar con un cuerpo de
masa m de la gravedad
generada por un cuerpo
de masa M es:
EA∞ = A∫∞
F.dll =
= kG.M.m A∫∞
dr/r
2
=
= kG.M.m [1/rA] = m.UA
Si quisiéramos escapar
con un artefacto de masa
m de la gravedad de la
tierra, de masa M y radio
rT, deberíamos suminis-
trarle un trabajo que es
igual a la variación de
fuerza viva:
Ec = ½ m ve
2
= kG.M.m [1/rT] de donde ve = (2.kG.M/rT)
½
,
y dado que g=kGM.m/rT
2
es entonces
ve=(2.g.rT)
½
=(2.9,8.6378000)
½
= =11181 m/s
A esta velocidad se la llama “velocidad de escape”, y es la que debe poseer
como mínimo un proyectil en la superficie de la tierra para escapar a la gra-
vedad
26
. Sale así de la trayectoria elíptica (cerrada) para pasar a una tra-
yectoria abierta, que puede ser parabólica cuando la velocidad del proyectil
es igual a la de escape e hiperbólica cuando es mayor que ésta. Se de-
muestra que en todos los casos las trayectorias cónicas citadas tienen sus
focos en el centro de la tierra.
El astrónomo alemán Karl Schwarzschild predijo en 1916 la existencia de cuerpos
celestes que provenían de la evolución de estrellas que se comprimían bajo el efecto
gravitatorio de su propia materia. Si el campo gravitatorio propio de estos cuerpos
celestes es tan intenso que la velocidad de escape iguala a la de la luz, ésta, que tiene
una masa asociada y por lo tanto es afectada por la gravedad como cualquier cuerpo,
no podrá escapar fuera de la influencia del astro, y éste será invisible para los de otros
mundos. Esto se cumple cuando ve = (2.kG.M/rT)
½
= c (velocidad de la luz = 3.10
8
m/s)
La relación masa/radio necesaria para que un cuerpo no pueda emitir luz por
efecto gravitatorio es M/RSch = c
2
/2/kG = 9.10
16
/2/(6.72.10
-11
) = 6,7.10
26
El radio correspondiente para un cuerpo esférico de masa M cuya velocidad de esca-
pe sea la de la luz se llama “radio de Schwarzschild”. Para el caso de al tierra vale:
RSch = 5,98 10
24
Kg / 6,7 10
26
= 8,9 mm (dimensiones de una bolita como la que se usa
para jugar al “hoyo”)
26
La velocidad de escape es la que tendría un cuerpo en caída libre desde una altura
igual al radio terrestre si su aceleración g se mantuviera constante, es decir si el cam-
po fuera paralelo (cosa que en realidad no se cumple).
TIRO DE ARTILLERÍA Y VELOCIDAD DE ESCAPE
v<vc : ELIPSE
v=vc : PARÁBOLA
v>vc : HIPÉRBOLA
asíntotas de la hipérbola](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-96-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 101
101
Dicha fuerza es proporcional a la presión PP ejercida y al área S de la super-
ficie de contacto, es decir que en definitiva no depende del área sino de la
fuerza normal N:
Entonces siendo PP=N/S resulta Fr = µµ.PP.S = µ.µ.N , donde µµ es un coeficiente
de proporcionalidad adimensional (un número sin unidad) que depende de
los materiales y grado de pulimento de las superficies en contacto.
Lo dicho es válido para cuerpos en reposo. Cuando comienza el desliza-
miento, el rozamiento cae bruscamente a una fracción del de reposo, siendo
luego casi independiente de la velocidad
3
.
Algunos valores del coeficiente de rozamiento por deslizamiento, en reposo y
movimiento.
Materiales en contacto Condición de las
superficies
µµr (reposo) µµm (movim.)
Hierro sobre bronce Pulidas y secas 0,2 0,15
Hierro sobre hierro Algo engrasadas 0,3 0,13
Cuero sobre madera Lisas y secas 0,4 0,3
Ladrillo sobre hormigón Secas 0,7 0,6
Acero sobre hielo húmedas 0,03 0,015
Caída por un plano inclinado
En el caso de la figura vemos un cuerpo de
masa m que no puede rodar
4
y que está
apoyado sobre un plano de inclinación va-
riable αα y sometido a la gravedad g
Siendo N la reacción del plano, P = m.g el
peso y Fr la fuerza de rozamiento, el cuerpo
estará sometido a una fuerza resultante F
en la dirección del plano tal que F = N + P +
Fr , expresión vectorial que proyectada sobre el plano da F= P.cos(α) - Fr
Como Fr = µµ.N y además N = P.sen(α) , ya que la reacción del plano debe
equilibrar a la componente de P según la normal, resulta entonces que:
F = P.cos(α) - µ.µ. P sen (α) = m.g [cos (α) – µ sen (α)]
3
Nótese que para arrastrar un mueble sobre el piso hace falta al principio una fuerza
mayor que la necesaria para mantenerlo luego en movimiento.
4
No podrá rodar el cuerpo cuyo peso caiga dentro de su base de apoyo.
Fr
N
P
α
FF
α
P
N
Fr](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-110-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 102
102
Pero la fuerza F no está equilibrada por ninguna otra, por lo que producirá
una aceleración en la dirección del plano inclinado igual a:
a = F /m = g [cos (α) – µ sen (α)]
Según sea el corchete de la anterior negativo, nulo o positivo, pueden darse
en teoría los tres correspondientes casos, que pasamos a interpretar:
1. [cos (α) – µ sen (α)] < 0 , de donde µ > tg (α) (a<0)
2. [cos (α) – µ sen (α)] = 0 , de donde µ = tg (α) (a=0)
3. [cos (α) – µ sen (α)] > 0 , de donde µ < tg (α) (a>0)
Primer caso: Si la pendiente es menor que el coeficiente, no hay desliza-
miento. En cambio NO puede concluirse que, impulsado por una acción
exterior el cuerpo se frene debido a la desaceleración (a<0), pués en movi-
miento el coeficiente µµ es menor que en reposo, y la inecuación 1 debe
plantearse con el coeficiente en movimiento, es decir µ=µµ=µm
Segundo caso: Al inclinar cada vez más el plano con el cuerpo en reposo,
llegará un momento en que éste comienza a deslizarse, y en tal caso será
µµ=tg(αα) , pero un instante después será µ=µµ=µm y se pasará al tercer caso.
Tercer caso: El cuerpo se desliza con movimiento acelerado. Disminuyendo
la inclinación αα podremos transformarlo en un movimiento uniforme, en cuyo
caso valdrá la ecuación 2, pero con µµ=µµm
Rozamiento entre muñón y cojinete sin
lubricación
Se llama cojinete al alojamiento cilíndrico
que sirve de apoyo a un eje o muñón. Este
es el caso en la mayoría de las máquinas
para apoyo de sus piezas rotantes (ruedas,
engranajes, bielas, cigüeñales, etc.)
La fuerza P que trasmite el eje al cojinete
(que en reposo es el peso del conjunto
rotante, pero que en movimiento contendrá componentes de inercia), se
equilibra con la composición de las fuerzas elementales N=Σni normales a la
superficie de contacto (en general un semicilindro). En cada elemento de la
superficie de contacto aparece una fuerza elemental de rozamiento por des-
lizamiento fi = µ.ni que es tangente a la superficie y cuyo momento elemental
con respecto al centro de rotación O es el escalar mi=µ.ni.r
P
N
ni
O
r](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-111-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 104
104
temperatura generalmente termina disipándose en el ambiente a través de
un proceso de transmisión de calor, que es netamente irreversible.
Problema:
¿Cuál será el peso mínimo P’’ necesario para que comience el deslizamiento del
bloque de ladrillos de peso P sobre la rampa de hormigón inclinada en un ángulo αα
con respecto a la horizontal?
Planteo: En la figura, el equilibrio de fuerzas
lleva a plantear las siguientes ecuaciones:
Fr= µr.N = µr.P.cos (α)
P’= P.sen (α) + Fr = P.[sen (α) + µr cos (α)]
P’’ = P’ + r , siendo r la resistencia en el eje
r’ de la polea más el rozamiento r’’ soga-
polea distribuído en la garganta, sobre el
arco β=(α+π/2)β=(α+π/2) de contacto entre ambas.
El rozamiento r’ en el eje de la polea de
radio ρρ se gobierna por la fórmula ya vista
Mr = c µr. ρ . R = ρ.r’ de donde r’ = c.µr.R
Consideraremos que el rozamiento r‘’ de la
soga sobre la garganta de la polea es de
rodadura por lo que, según lo ya visto es
MMrod = jj.R = ρρ.r’’ de donde r’’=ϕϕ.R/ρρ
La fuerza de la soga P’ y el peso P se
suponen aplicados en el centro de gravedad
G, no así la fuerza de rozamiento Fr , cuya
recta de acción se ubica en el plano de
deslizamiento, que es la base del bloque.
Aparece así un momento Fr.d que se equilibra con el corrimiento de la reacción -N del
plano en una distancia d’ tal que N.d’= Fr .d
Solución para :
α=30º (0,52), β=α+π/2=2,09
P=1 Kgf =98 N
µr=0,7(ladrillo/hormigón)
µr=0,2(hierro/bronce)
c=π/2
ϕ=0,005 m (cáñamo/hierro)
P’= P.sen (α) + Fr = P.[sen (α) + µr cos (α)] = 98.[0,5+0,7.0,866]=108,41 N
Como no conocemos aún R estimamos su valor para el próximo cálculo en 2P.cos(γ) =
2.108,41.0,866=187,67N
r’ = c.µr.R = π/2.0,2.187,67=60N
r’’ = r’’=ϕ.R/ρ = 0,005.187,67/0,1 = 9,38N
Respuesta : P’’ = P’ + r ’+ r’’ = 98+60+9,38 = 167,38N
P
Fr
P’’=P’+r
r
- P’
P’
P’
R
’
P’
-P’
r-R’
G
-N
N
Fr
P
d’
d
αα
β=α+π/2β=α+π/2
γ=(π/2−α)/2γ=(π/2−α)/2](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-113-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 107
107
Caso de cargas distribuídas
Vimos ya que una carga concentrada en un punto es una aproximación
para una carga distribuída en un área muy pequeña, y que en la realidad
todo esfuerzo está aplicado sobre un área finita del cuerpo solicitado. Cuan-
do el problema se puede representar en dos dimensiones, por ser constante
la tercera (caso de la profundidad de una barra o placa), se trabaja con la
distribución de la carga en la dimensión en la que varía, por ejemplo la lon-
gitud. El cociente entre fuerza y superficie o entre fuerza y longitud caracteri-
za a una carga distribuída, y se representa respectivamente con una diagra-
ma en tres o dos dimensiones cuyas ordenadas son ese cociente, con absci-
sas en el eje de la pieza solicitada.
En la figura, vemos a una viga de
longitud L con una carga lineal-
mente distribuída perpendicular-
mente sobre su eje, caracterizada
por un valor constante q [Kg/m],
comparada con la misma viga car-
gada con una fuerza equivalente
concentrada en el medio, igual a
P=q.L
Los diagramas superpuestos
muestran que la carga distribuída
produce esfuerzos de corte linea-
les, en vez de los escalonados que
crea la carga concentrada. Esto es así porque a medida que nos movemos
hacia la derecha vamos sumando esfuerzos infinitésimos graduales o
finitos abruptos, según sean las fuerzas respectivamente distribuídas o
concentradas.
De la misma manera, el momento flector varía linealmente para el caso de
carga concentrada, ya que el área debajo del esfuerzo de corte rectangular
crece proporcionalmente a la distancia al apoyo y a la magnitud del esfuerzo
de corte, que es constante hasta la sección de aplicación de una fuerza. Allí
el momento flector es máximo y vale MMmáx = RA.L/2 = P.L/4
Las rectas de crecimiento y decrecimiento son en realidad las direcciones en
las que el polígono funicular descompone a la fuerza concentrada en lo
apoyos. (ver figura).
En el caso de carga distribuída, el área crece con la abscisa y con la orde-
nada, la que a su vez es linealmente dependiente de esa abscisa: en conse-
cuencia la función momento flector varía con el cuadrado del área de la or-
denada de corte, dando una parábola de la mitad de la altura que el trián-
Comparación entre carga concentrada
y carga dsitribuída
carga dsitribuída q
carga concentrada
F=q.L-->
Esfuerzo de corte
Momento flector](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-116-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 109
109
Ley de Hooke
Se admite que hasta el límite de proporcionalidad, los materiales se defor-
man de acuerdo con las siguientes leyes lineales, planteadas por primera
vez por el físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton
(1635-1703)
La ley que gobierna la compresión o tracción de una barra homogénea de
sección constante s es:
σ=εσ=ε.E donde σσ =P/s es el esfuerzo de compresión o tracción por unidad de
superficie resistente y εε=∆∆l/ll/l es la correspondiente variación relativa de
longitud. La constante de propor-
cionalidad E se llama módulo de
elasticidad por compresión/tracción
y su valor depende del material.
El hierro y en general los metales
poseen igual resistencia a la tracción
que a la compresión. En cambio mu-
chos otros materiales resisten mejor un
tipo de esfuerzo que el otro. La madera,
por ejemplo, resiste mejor a la tracción
que a la compresión. El hormigón, en
cambio, posee mucha mejor resistencia a la compresión que a la tracción. Esta última
se desprecia en los cálculos de estructuras, colocando barras de hierro en las seccio-
nes traccionadas de los elementos (losas, vigas), que se hacen cargo de los esfuerzos
correspondientes. (Fundamento del hormigón armado).
TABLA DE PARÁMETROS DE RESISTENCIA DE MATERIALES
MATERIAL σσprop.
[N/m
2
]
σσmáx.
[N/m
2
]
E [N/m
2
] ττprop
[N/m
2
]
ττmáx
[N/m
2
]
G [N/m
2
]
Acero 0,1%C 1,4x10
8
3,7x10
8
2,2 x 10
11
1,1 x 10
8
3,4x10
8
8 x 10
9
Bronce de Sn 1,3x10
8
4 x10
8
2 x 10
11
1,2 x 10
8
3,6x10
8
8,2 x 10
9
Madera de pino
7
compresión
tracción 1,5x10
7
3 x 10
7
6 x 10
7
1 x 10
10
6 x 10
6
Hormigón
compresión
tracción
5 x 10
6
6 x 10
5
1,5 x 10
10
La ley que gobierna la deformación por esfuerzo de corte o deslizamiento
de una pieza en forma de paralelepípedo es ττ= γγ G donde ττ=F/S es el es-
fuerzo de corte por unidad de superficie resistente desarrollado sobre las
caras
8
, y γγ es el ángulo de deformación. La constante de proporcionalidad G
7
Datos con esfuerzos paralelo a las fibras del listón.
8
Nótese que el esfuerzo de corte τ se desarrolla tanto en las caras horizontales del
paralelepípedo, como en las verticales contiguas, como lo requiere el equilibrio del
s
l
∆l
-P
γγ
s
l
∆l
P
γγ](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-118-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 112
112
de la viga, entre el extremo izquierdo hasta la abscisa correspondiente a la
sección en cuestión. La constante de proporcionalidad vale 1/E/J . Cuando
se integra sucesivamente, hay que tener en cuenta las constantes de inte-
gración , que tienen el valor de la función en el origen.
Por ejemplo, sea una viga de L=10 m de longitud, de sección rectangular de ancho
b=15 cm y altura h=10 cm, de acero común (de peso específico ρρ=79000 N/m
3
y
módulo de elasticidad E= 2.10
11
N/m
2
), se sostiene apoyada en sus extremos.
Hallar la tensión máxima σσmáx del material y la deformación o flecha (así llamada por
analogía con la flecha de un arco de circunferencia) en el medio de la pieza (que es la
sección más comprometida).
La carga q en este caso es el peso propio de la viga por metro de longitud, o sea
q = b.h.ρ = 0, 15 . 0, 1 . 79000 = 1185 N/m
Vimos que M=q.L
2
/8 = 1185.100/8 = 14812,5 N.m
También sabemos que MM = σσmáx.JXX/(h/2) de donde la tensión máxima que soportará
el material será σσmáx. = MM / [JXX/(h/2)]
Jxx es el momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro, que para un
rectángulo de base b y altura h vale :
Jxx = 2.b o∫
h/2
y
2
.dy = b.h
3
/12 = 1,25.10
-5
m
4
Así es σmáx. = M / [JXX/(h/2)] = 14812,5/(1,25.10
-5
).0,05 = 59 250 000 N/m
2
El límite de proporcionalidad para el acero es de σσprop=140 000 000 N/m
2
, de manera
que el material está solicitado bastante por debajo de aquél.
De acuerdo a lo anterior, para obtener la deformación en el punto medio se debe
comenzar por integrar cuatro veces la función de carga, así que:
I1 (primera integral) = ∫(q.dx).= q.x+c1
I2 (segunda integral) = ∫(òI1.dx).= (q.x
2
/2+c1.x+c2)
I3 (tercera integral) = ∫(òI2.dx).= (q.x
3
/6+c1.x
2
/2+c2.x+c3)
I4 (cuarta integral) = ∫(òI3.dx).= (q.x
4
/24+c1.x
3
/6+c2.x
2
/2+c3.x+c4)
donde las constantes de integración tienen el siguiente significado:
c1 es la carga acumulada en el apoyo (x=0), es decir c1=-qL/2
c2 es el momento cuando x=0. Por el tipo de vínculo (apoyo simple) ese momento es
nulo.
c3 es el valor de la inclinación de la sección en el apoyo, que como es móvil admite
una rotación igual a la mitad del ángulo αα/2 entre las secciones extremas de la pieza.
Ya habíamos calculado que α(L) = 1/E/J oò
L
M.dx = 1/E/J 0ò
L
(q.L/2.x - q.x
2
/2) dx =
q/E/J.( L.x
2
/4-x
3
/6) de donde c3=α(L)/2= q.(L
3
/8-L
3
/12) = q.L
3
/24 . Así resulta c3=q.L
3
/24
c4 es el valor de la posición y en el apoyo, que no permite corrimiento alguno, Así que
c4=0](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-121-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 113
113
Entonces queda que la ecuación de la elástica es:
y(x) = q/E/J . [x
4
/24 - L/12.x
3
+ L
3
/24.x]
Para x=L/2 resulta y(L/2) = q/E/J [L
4
/384 – L
4
/96+ L
4
/48] = (5/384).q/E/J.L
4
=
5/384.1185 N/m / 2.10
11
N/m
2
/0.0000125 m
4
.(10m)
4
= 0,062 m
Corte
El esfuerzo de corte se equilibra por la
resistencia del material al desgarramiento
en el plano de la sección considerada y
también en el plano perpendicular, es decir
según el eje de la pieza solicitada. Para el
caso de la viga anterior, el momento de
corte cambia bruscamente de signo en la sección de aplicación de la fuerza
P en caso de fuerza concentrada, siendo en cambio la variación lineal en
caso de carga distribuída.
El esfuerzo de corte es digno de considerar en piezas cortas sometidas a
fuerzas generalmente concentradas.
Ejemplos:
En la viga y con el estado de carga anterior, ¿Cuál es el esfuerzo de corte en la sec-
ción más comprometida?
Respuesta: las secciones que soportan el mayor esfuerzo al corte están sobre los
apoyos, donde el filo de la cuchilla tiende a “cortar” el material de la viga. El esfuerzo
de corte en tales secciones vale T = q.L/2/F = 1185 N/m.10m/2/0,1m/0,15m = 395000
N/m2 , menor que el 1% del valor admisible (ver tabla).
En cambio, una viga muy cargada de pequeña longitud, gran momento de inercia y
pequeña sección puede no verificar al corte y si a la
flexión. Por ejemplo, tomemos una viga de una sección
del mismo valor pero diferente forma que la anterior, de
manera de tener momento de inercia mayor. Esto se
logra aprovechando el mismo material distribuído en
zonas más alejadas del eje de flexión xx. Se usan en la
práctica secciones en “doble T” como la de la figura, cuyo momento de inercia vale:
Jxx=2(hb
3
/72+ b.h/3.(bh/12)
2
+.b.h3/71)= 2bh.[(b
2
/72)+(1/432)+(h
2
/71)]
Para b=0,15 m y h=0,15 m resulta Jxx= 8,8x10
-5
m
4
(más de siete veces el momento de
inercia de la configuración anterior).
Tomemos una viga con esta sección de longitud L=0,15m con una carga concentrada
P=3000000 N aplicada en el medio.
Será M = P.L/4 = 112500 Nm
σmáx. = M / [JXX/(h/2)] = 112500/(8,8.10
-5
).(0,15/2+0,1/3)0,05 = 1,38.10
6
N/m
2
» σadm
=1,40.10
8
Nm
T = P/2/F = 3000000 N/m/2/0,015m
2
= 10
8
N/m
2
» τadm
Es decir que la pieza está prácticamente trabajando al límite de proporcionalidad tanto
en tracción como en corte.
Esfuerzo de corte T con carga distribuída q
x
q
T
b
h
b/2+h/6
h/3
b/2
x x](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-122-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 114
114
Torsión
En la figura se ve un elemento de longitud
dll de una barra cilíndrica de longitud total
L y radio R, empotrada en un extremo y
sometida en el otro a un momento MM La
torsión produce una deformación que
transforma una generatriz del cilindro en
una hélice. El ángulo γ entre ambas
caracteriza esa deformación, que vale γγ =
ds/dll == R.dαα/dll = R αα/L , siendo αα el ángulo que gira el extremos de la barra
opuesto al empotramiento. La deformación es resistida por los esfuerzos de
corte ττ que se desarrollan en la sección, y que van creciendo desde el centro
(r=0) hasta el borde (r=R) de tal manera que ττ=ΤΤ/R.r , para ΤΤ=G.γγ = G.R αα/L
Se cumple así que el momento resistido en cada sección de la pieza vale la
integral de los momentos elementales:
MM = ò2πr.r.τ.dr = 2πΤ/Ròr
3
dr = 2πT/R.R
4
/4 = πT/2 R
3
= [ππ.G.R
4
/2/L].αα
y resulta que el momento es función del ángulo αα que gira el extremo. La
constante de proporcionalidad que figura entre corchetes contiene el mo-
mento de inercia de la sección con respecto al eje de rotación, que ya vimos
que vale J0 = ππ/2.R
4
de donde MM = [J0.G/L].αα
Ejemplo:
Una varilla cilíndrica de hierro de R=3 cm de radio y L=6 m de longitud, empotrada en
un extremo y libre en el otro, se torsiona allí hasta la rotura. ¿Cuántas vueltas se habrá
retorcido su extremo libre?
Respuesta: Si la varilla se ha roto es porque ha llegado al límite de esfuerzo de corte
del material ττmax = 3,4x10
8
N/m
2
Como vimos es ΤΤ=G.γγ = G.R αα/L= 8.10
9
.0,03.α/6 = 3,4x10
8
N/m
2
de donde
α= 6.3,4.10
8
/0,03/8.10
9
= 8,5 radianes = 1,35 vueltas
Discusión del resultado: El número 1,35 sale de considerar un modelo lineal, pero la
rotura se alcanza fuera del intervalo de proporcionalidad, así que el número de vueltas
que realmente corresponden para alcanzar tal estado es necesariamente mayor.
MM
ddll
dαα
R
ds
ττ
γγ
r
ττ ΤΤ](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-123-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 117
117
do en equilibrio sometido a la gravedad es igual a la diferencia de altura
multiplicada por el peso específico. Vimos ya que el peso específico ρρ de
una sustancia es el cociente (escalar) entre el peso P y el volumen ocupado
V, vale decir que es la densidad δδ multiplicada por la gravedad g . Así enton-
ces ρ=δρ=δ.g
Demostración: considérese dentro de la masa de liquido en equilibrio una
porción cilíndrica vertical de base b y altura h. Si el contenido del tubo está
en equilibrio es porque su peso P, que vale P=b.h.ρρ se equilibra con una
fuerza neta hacia arriba F, que proviene de la diferencia de presión entre el
extremo inferior pi y el superior ps, e igual a F=b.(pi-ps). De la igualdad b.(pi-
ps) = b.h.ρρ surge que pi-ps = h.ρρ
Cuestión: Lo anterior es cierto si el peso específico es constante y en particular no
depende de la presión (o la altura), es decir cuando el fluído no cambia de volumen
con acciones exteriores. Se dice de un fluído tal que es incompresible. La incompre-
sibilidad absoluta no se da en los líquidos reales, los que en pequeña medida aumen-
tan su densidad con la presión. Sin embargo, en la mayoría de los casos, en los que
estén en juego presiones moderadas, los líquidos corrientes pueden suponerse in-
compresibles. La razón entre variación de volumen y de presión -dv/dp se llama coefi-
ciente de compresibilidad. Los gases, al contrario que los líquidos, son muy compre-
sibles. El coeficiente de compresibilidad de los gases es proporcional a la temperatura
e inversamente proporcional al cuadrado de la presión, como se verá más adelante.
Ejemplo: calcular la fuerza F con que
debe sujetarse la tapa rectangular de
lados a y b del tanque de agua de la
figura.
Solución: la presión sobre la tapa va
desde un valor ps=h1.ρρ en su parte supe-
rior hasta un valor pi=h2.ρρ en su parte
más baja. Sobre la tapa actúa una carga
trapecial, cuyo centro de gravedad está
más cerca de la parte inferior (centro de
presión). Allí debe aplicarse una fuerza
igual a F=pm.S , donde pm=(ps+pi)/2 es la presión media que soporta y
S=a.b es el área de la tapa.
Resulta así F = pm.S = ρρ.[(h1+h2)/2].a.b = ρρ.[h1+b/2.sen(αα)].a.b
Para a=1m , b=2 m , h1=3m , a=45º , ρagua=9800 N/m
3
es
F= 9800 N/m3 . (3+√3/4).2 m3 = 67287 N
b
h1
αα
F
h2](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-126-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 118
118
Vasos comunicantes
El nivel superior o nivel de la superficie libre de líquido en una serie de vasos
comunicados es el mismo si se llenan con un mismo líquido. Con líquidos de
diferente densidad y no miscibles, los niveles en cada vaso se pueden cal-
cular aplicando el teorema general de la hidrostática a cada porción o co-
lumna líquida.
Sea por ejemplo el sistema de tres vasos comunicantes de la figura, inicial-
mente lleno de mercurio (ρ2=13) hasta un nivel H, al que luego se agregan
otros líquidos: agua (ρ1=1) en el vaso de la derecha, aceite (ρ3=0,8) en el
vaso del medio y sulfuro de carbono (ρ4=2) en el vaso de la izquierda. A
consecuencia del agregado de estos
líquidos sobre el mercurio se llega a
valores de la superficie libre a niveles
h1, h3 y h5 respectivamente, y conse-
cuentemente cambian los niveles de las
correspondientes interfases inicialmente
en H hasta h2, h4 y h6 respectivamente.
Suponiendo que la superficie libre de todos los líquidos está a la misma presión (la
atmosférica), el equilibrio en los vasos comunicantes de la figura exige que p1=p3=p5, y
entonces, recorriendo el sistema entre superficies libres puede plantearse para las
presiones a las respectivas alturas que:
(p1-p2)+(p2-p4)+(p4-p3) = 0 [1]
También es p1-p2 = ρ1.(h1-h2) ; p2-p4 = ρ2.(h2-h4) ; p4-p3 = ρ3.(h4-h3) [2]
Entonces de [1] y [2] queda
ρ1.(h1-h2) + ρ2.(h2-h4) + ρ3.(h4-h3) =0 [3]
Yendo desde la superficie libre del tubo del medio hasta la superficie libre del vaso de
la izquierda es:
(p3-p4)+(p4-p6)+(p6-p5) = 0 [4]
ρ3.(h3-h4) + ρ2.(h4-h6) + ρ4.(h6-h5) = 0 [5]
Las [3] y [5] permiten determinar los niveles de equilibrio a partir de los siguientes
datos:
Las densidades de los líquidos relativas al agua son : ρ1=1 (agua), ρ2=13 (mercurio)
,ρ3 =0,8 (aceite) y ρ4 =2 (sulfuro de carbono)
Las cantidades agregadas de cada líquido son tales que de acuerdo a la forma y
dimensiones del vaso correspondiente, producen las siguientes diferencias de niveles:
(h1-h2) = 10 cm, (h3-h4)= 3 cm y (h5-h6)= 8 cm
Quedan pués como incógnitas las diferencias (h2-h4) y (h4-h6), que se deducen de las
ecuaciones siguientes:
1x10 + 13.(h2-h4) - 0,8.(3) = 0 de donde h2-h4=(2,4-10)/13 = -0,585
0,8.(3) + 13 (h4-h6) + 2 (-8) = 0 de donde h4-h6= (16-2,4)/13 = 1,046
Tomando como valor de referencia h2=0 es
h1=10, h3=3,585, h4=0,585 , h5=7,539, h6=-0,461
h1
h3
h4
h5
h6
h2
ho
ρρ1
ρρ2
ρρ3
ρρ4
H](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-127-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 126
126
dirección x se podrá aplicar a las otras dos. En el intervalo de tiempo ∆∆t=X/vx
chocarán contra la pared un número de moléculas nvx igual a la mitad de las
que se encuentran en el volumen considerado V=S.X que tienen velocidades
vx, ya que las de la mitad restante se alejarán de ella, sin producir acción
alguna. La fuerza que produce cada molécula que choca elásticamente con-
tra la pared cuya componente de velocidad según el eje x valga vxi está dada
por la variación de la cantidad de movimiento en un tiempo ∆∆t=X/vxi ,que vale
Fvxi = ∆∆(mi.vxi)/∆∆t = mi.(vxi-(-vxi))/∆∆t = 2.mi.vxi/∆∆t = 2.mi.vxi
2
/X.
Ahora bien, la fuerza total producida por la mitad de todas las moléculas que
están en el volumen V=SX será la fuerza de cada molécula 2.mi.vxi
2
por la
mitad del número nvxi de ellas que tienen esa velocidad, extendiendo esa
operación a todas las velocidades posibles. Se supone que el intervalo posi-
ble de velocidades queda cubierto con la serie vx1, vx2,...vxn , de manera que
se puede poner:
Fx = ½. ΣΣnvxiFxi = (m1.nvx1.vx1
2
+ m2. nvx2.vx2
2
+...+ mn. nvxn.vxn
2
)/X ,
Como m1 = m2 =...= mn = m (las masas de todas las moléculas son iguales),
la anterior resulta:
Fx = m ΣΣnvxivxi
2
/X
La presión es fuerza / superficie, o sea
p=Fx/S= m ΣΣnvxivxi
2
/(X.S) = m ΣΣnvxivxi
2
/V
De acuerdo a la ley de los gases es p.V = M.RG.T y entonces
M.RG.T= m ΣΣnvxivxi
2
pero como la masa de gas M=N.m resulta:
RG.T= 1/N (ΣΣnvxivxi
2
)
Energía cinética media de las moléculas
Las moléculas de velocidad vi tienen una energía cinética media de εεi =½ m
vi
2
, siendo vi
2
=vxi
2
+ vyi
2
+ vzi
2
. Considerando que la energía se debe re-
partir estadísticamente en partes iguales para las tres direcciones, resulta
que la energía cinética media del gas será la suma de energías extendida a
todas las velocidades posibles:
Ec = ½ m ΣΣ (nvxivxi
2
+ nvyivyi
2
+ nvzivzi
2
) = ½ N.m . [3/N ΣΣ nvxivxi
2
] = ½ M c
2
El significado matemático de 3/N (ΣΣnvxi.vxi
2
) = 1/N ΣΣ nv.v
2
es el de un prome-
dio ponderado del cuadrado de las velocidades de las moléculas, llamado
cuadrado de la velocidad media cuadrática, simbolizado por c
2
, por lo que
RG.T= 1/3 c2
o lo que es igual M.RG.T = R.T = 1/3 M.c2
= 2/3 Ec](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-135-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 131
131
Por supuesto que llevar este razonamiento aún a una pequeña burbuja de
gas, que contiene una millonésima de mol, con 6 x 1017
moléculas , eligiendo
una partición de mil intervalos de velocidades posibles, entre cero y 10000
m/s, para abarcar un rango lógico, daría un menudo trabajo....imposible aún
para un ejército de calculistas.
Deducción de la ley de distribución de velocidades
16
Otro es el método de Boltzmann, mucho más eficiente, que analiza la función que da
los casos favorables (ya que el denominador, que representa el número de casos
posibles es siempre el mismo). A esta cantidad llama Boltzmann “probabilidad ter-
modinámica
17
” variable de estado ligada a los procesos de transformación de siste-
mas estudiados por la termodinámica.
La probabilidad termodinámica de un estado, o sea los casos posibles para N molé-
culas que se distribuyen con n1 moléculas en el casillero Nº1, n2 en el Nº2,...y nm
moléculas en el casillero emésimo resulta, según lo ya visto, el cociente entre todas
las permutaciones posibles de la serie de N elementos dividido las permutaciones
dentro del mismo casillero, esto es:
P(n1,n2,...nm) = N!/(n1! n2! n3!...nm!)
Esta probabilidad es máxima cuando el denominador se hace mínimo, ya que el
numerador es constante para un número de elementos dado. La condición de denomi-
nador mínimo es pués la clave para encontrar el estado de máxima probabilidad, que
corresponderá al estado de equilibrio.
El mínimo o el máximo de una función continua está en los puntos donde se anula su
pendiente (cimas o valles). La pendiente está representada por su función derivada, la
que igualada a cero determina una ecuación diferencial que se satisface para valores
de pendiente horizontal. Pero el denominador en cuestión no es una función derivable
en forma sencilla. Hay que transformarla para que lo sea. Primeramente se le aplica
logaritmos. El logaritmo del denominador sigue las variaciones de su argumento, o sea
que es máximo cuando el denominador es máximo, y mínimo cuando el denominador
es mínimo. Además transforma el producto en suma. Queda entonces:
ln(D) = ln (n1!) + ln (n2!) + ln (n3!) +...+ ln (nm!) [1]
Luego se reemplaza el logaritmo natural del factorial por una aproximación atribuida al
matemático escocés James Stirling (1692-1770 pero que en realidad pertenece al
matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754):
ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n , fórmula aproximadamente válida para n>>1 [2]
16
Es equivalente hablar de energías o velocidades. Trabajando con volúmenes ga-
seosos de poco espesor ∆∆h podemos despreciar la energía potencial m.g.∆∆h , y con-
siderar que una molécula puntual de masa m que se desplaza a velocidad v posee
únicamente energía cinética E = Ec= ½ m v
2
.
17
La probabilidad termodinámica es una variable que no tiene como límite superior la
unidad, como ocurre con una probabilidad matemática.](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-140-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 132
132
n n! ln(n!) n.ln(n)-n Error(%)
3 6 1,79 0,30 83,49
5 120 4,79 3,05 36,35
10 3628800 15,10 13,03 13,76
50 3,0414E+64 148,48 145,60 1,94
100 9,333E+157 363,74 360,52 0,89
Como se ve, la fórmula de Stirling -De Moivre da un error menor que 1% para n>100 .
Es de sobra aceptable en el análisis que haremos a continuación, que trata de una
masa de gas con un número de individuos muchísimo mayor.
Diferenciando [1] y teniendo en cuenta [2] resulta
d ln(D) = d ΣΣ ni.ln(ni) - d ΣΣni ,
pero como ΣΣni = N = número total de moléculas = cte , es
d ln(D) = ΣΣ [ni.dni/ni + ln(ni).dni] = ΣΣ [1+ln(ni)] dni = 0 (condición de mínimo) [3]
Teniendo en cuenta que
ΣΣdni = d ΣΣni = dN = 0, [4]
la [3] queda:
d (ln D) = ΣΣ [ln(ni)] dni = 0 [5]
La energía total E del gas es la suma de la energía de las moléculas, que a su vez se
obtiene sumando las energías en cada categoría εi por el número de moléculas ni en
esa categoría, es decir
E = ΣΣ εεi.ni [6]
La condición de que la energía total se mantenga estable, o sea que la masa de gas
esté en equilibrio, se traduce en variación nula de la [6]
dE = ΣΣ εεi..dni = 0 [7]
Las ecuaciones [3],[4] y [7] establecen tres condiciones independientes del sistema:
• que el número de moléculas sea constante (sistema cerrado)
• que la probabilidad del estado sea máxima (condición necesaria para el estado
real)
• que la energía sea estable (equilibrio)
Para resumirlas en una sola condición se puede plantear una combinación lineal de
ambas, con constantes A y B a determinarse luego, a saber
A.{ΣΣ [ln(ni)] dni}+ B.{Σ εεi..dni} = 0 [8]
Desarrollando la anterior se obtiene la serie
ΣΣ(A.ln (ni) + B εεi) dni = 0 [9]
La única solución posible para que se anule la serie [9] es que todos sus términos
sean nulos, puesto que ln(ni) y εεi son siempre positivos.
Se puede poner para cualquier intervalo de energía i que:
(A.ln (ni) + B εεi) dni = - dN = 0 de donde A.ln(ni) = -B.εεi , y tomando antilogaritmos es](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-141-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 133
133
ni = exp (-B/A.εεi) = 1 / [exp(Bεε/A)]
18
[10]
La [10] expresa que la cantidad de moléculas en cada categoría o ”casillero” de ener-
gía εε decrece exponencialmente con esa energía; puede ponerse bajo la forma:
n(εε) = exp (1/A) exp (-B.εε) = K. exp (-B.εε) [11]
El significado de K se obtiene haciendo εε=0 con lo que la exponencial es la unidad y
entonces n(0)=K, es decir que la constante K representa la cantidad de moléculas que
tienen energía nula en el la categoría considerada.
Se muestra en la figura la representación de la función n(εε) para un intervalo o catego-
ría de energía εεi . La subtangente en un punto cualquiera
de la curva representa la constante de decrecimiento A/B.
Ahora bien, pasemos a trabajar en todo el intervalo posible
de energías, o sea desde cero a infinito, puesto que no
podemos descartar que siempre haya alguna molécula de
energía más alta que el límite impuesto. A lo sumo pode-
mos concebir de antemano que esas moléculas muy rápi-
das serán muy escasas, como lo muestra el escaso espe-
sor del metal condensado en el comienzo de la tira de la experiencia de Zartman.
La energía de una molécula puntual de masa m es la suma de su energía cinética de
traslación εεc = ½ m v
2
y de su energía potencial εεp=m.g.z, para v
2
= vx
2
+ vy
2
+ vz
2
de
donde dεε=m.v.dv+m.g.dz. En el análisis siguiente despreciaremos la variación en
altura y consecuentemente permanecerá constante la energía potencial εεp
Cambiando de la variable energía εε a la variable velocidad v a través de las fórmulas
ya vistas, la [11] puede ponerse bajo la forma:
n(vi) = K. exp (-B/2.vi
2
) [12]
Sumando todos los elementos se obtiene el número total de moléculas N:
N(v) = ΣΣιι n(vi) [13]
Si en vez de usar intervalos discretos de velocidad vi (i=1,2,3..n) trabajamos con
saltos diferenciales en módulo dV tendientes
a cero, el número de moléculas N(v) por
intervalo de velocidad pasa a ser un cociente
incremental que tiene el significado de den-
sidad de número de moléculas por unidad
de intervalo de velocidad dV (se usa V ma-
yúscula para designar un espacio de veloci-
dad, cuyo módulo esté entre v y v+dv).
Entonces, la [13] junto con la [14] nos da:
dN(v)/dV = n(vi) =K exp (-B/2.vi
2
) [14]
o sino también:
18
Por comodidad tipográfica se expresa en este párrafo la exponencial e
x
como
exp(x), para e=2,7182818...(base de los logaritmos naturales)
n(εε)
K
εε
A/B
Cantidad de moléculas por casillero
v
dN/dV
Densidad de moléculas por intervalo de velocidad
K](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-142-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 134
134
dN(εε) = K exp (–B/2.m.v
2
) dV [15]
En cada casillero o nivel de energía dV (V mayúscula) entrarán todas las moléculas
que tengan el mismo módulo de velocidad v . La densidad o probabilidad de encontrar
una cantidad n de moléculas de velocidad determinada dentro de un casillero o cate-
goría de velocidad expresada en la [14] es una campana de Gauss, como se muestra
en la figura adjunta.
Lo mismo que la exponencial vista anteriormente en el caso de las energías, indica
que la cantidad de moléculas que probablemente se encuentren en un casillero es
máxima para la categoría de velocidad nula y disminuye para categorías de velocida-
des crecientes.
Sin embargo, la velocidad es un vector, y la [15] sólo contempla la variación de la
velocidad en sentido positivo y negativo en forma unidimensional.
Para extender el análisis a todas las direcciones posibles en el espacio, las categorías
de igual módulo pueden representarse como el lugar geométrico de los vectores velo-
cidad de igual longitud v, esto es una esfera de radio v , en un espacio donde las
dimensiones son velocidades.
Para integrar la expresión [15] a toda esa esfera conviene usar en vez de coordenadas
cartesianas vx vy vz , otras más cómodas: las coordenadas esféricas en el espacio de
las velocidades, a saber:
• v (módulo de la velocidad),
• θθ (acimut)
• φφ (altura)
De acuerdo a la figura, el elemento de volu-
men de velocidad que en coordenadas
cartesianas vale dV = dvx.dvy.dvz , resulta
en coordenadas esféricas igual al producto
de los tres lados de una especie de caladura
de sandía que se puede aproximar a un
paralelepípedo de lados:
• [dv]
• [v.cos φφ.dθ]θ]
• [v.dφ]φ]
Por lo tanto el elemento de volumen en
coordenadas esféricas resulta:
dV = [dv].[v.cos φφ.dθ]θ].[v.dφ]φ] = v
2
.cosφφ,
dv.dθθ.dφφ
Entonces la [15] queda:
d
3
N(v,θ,φθ,φ) = n(v) = K exp (–B.m.v
2
/2) v
2
.cosφφ.dθθ.dφ.φ.dv [15]
Dejando sólamente como variable la velocidad, podemos integrar a la [15] para las
otras dos variables φφ , θθ , sobre la esfera de radio v y espesor dv y entonces:
dφφ
φφ
θθ
dθθ
dθ.θ.cos φφ
dv
v
vxvy
vz
Elemento de volumen de velocidad
dV = v
2
. cos φ.φ.dθθ.dφ.φ.dv
[ ]16.v.e.K4..ö.dö.dècos..vK.edN/dv 22
Bmv
2ðè
0è
ðö
ðö
22
Bmv 22
π== ∫ ∫
=
=
=
−=](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-143-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 135
135
Si integramos la [16] a todo el espacio de las velocidades, debe dar como resultado el
número total de moléculas en todo el espacio, o sea N.
Ahora bien, la integral
I = ∫∫ exp (–B.m.v
2
/2) v
2
.dv se logra integrando por partes, con la fórmula
∫∫p.dq = p.q - ∫∫q.dp para p = v; dq= exp(-B.m.v
2
/2) v.dv = exp(-B.m.v
2
/2) d(v
2
/2) ,
de donde q= -1/B/m.exp(-B.m.v
2
/2) y además dp = dv
Entonces resulta:
I = -1/B/m.exp(-B.m.v
2
/2).v + 1/B/m ∫∫ exp(-B.m.v
2
/2).dv
I o|
∞
= |-1/B/m.exp(-B.m.v
2
/2).v o|
∞
+ √√2/(B.m)
3/2
o∫∫
∞
exp(-B.m.v
2
/2).d(v.(B.m/2)
½
)
El primer término es una función que toma valor nulo en los límites: vale cero en el
origen y cero en el infinito.
La integral del segundo término es la función error de Gauss integrada entre cero e
infinito, que da el área total debajo de la campana, cuyo valor es √√ππ/2
Así resulta N = 4.K.ππ.I = 4.K.ππ.√√2/(B.m)
3/2
.√√ππ/2 = K/(B.m/ππ/√√2)
3/2
= K ( 2.ππ/B/m)
3/2
de donde K = N. (B.m/ππ/√√2)
3/2
Haciendo αα
2
= 2/B/m resulta N= K.π.
3/2
.α
3
y también dN/N/dv = f(v) = 4.ππ
-½
αα−−3
.v
2
.exp(–(v/α)α)
2
) [17]
La [17] es la función de densidad de
velocidades, que da la proporción de
moléculas que tiene velocidades entre v y
v+dv. Representada gráficamente es una
curva acampanada que nace en el origen.
Es asimétrica, con la cola hacia la dere-
cha, tal como se representa en la figura.
En el gráfico se señalan:
• la abscisa αα correspondiente a la
ordenada máxima, que es la veloci-
dad más frecuente.
• la abscisa v del centro de gravedad de la figura ; es la velocidad media
• la abscisa √√(c
2
) , raíz cuadrada de la velocidad media cuadrática
• El área encerrada bajo la curva entre dos abscisas v1 y v2, representada por la
integral de la función de densidad f(v) entre esos límites, indica la proporción de
moléculas cuyas velocidades caen dentro de dicho intervalo de velocidades.
Desde este punto de vista, la integral entre cero e infinito de f(v) debe valer la
unidad porque representa el total de las moléculas, es decir 0∫∫
∞∞
f(v).dv = 1 [18]
Que αα es la abscisa que corresponde a la ordenada máxima se comprueba fácil-
mente al verificarse que la derivada de la función f(v) en ese punto se anula (condición
de máximo o mínimo) es decir df(αα)/dv=0.
En efecto es df(v)/dv=4.ππ
-½
αα−−3
[2.v.exp(–(v/α)α)
2
+v
2
.exp(-v
2
/αα
2
).(-2.v/αα22
)]
f(v) = dN/N/dv
v
α v c2 v1 v2
∫f(v).dv
v1
v2](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-144-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 136
136
El corchete se anula cuando 2v-v
2
.2v/αα
2
=0 de donde 1-v
2
/αα
2
=0 , es decir v=αα
Ya vimos que c
2
se definía a partir de la energía total de las moléculas Ec de manera
tal que Ec= ½ Nm c
2
, así entonces c
2
= 2.Ec/M = m/M.ΣΣ ni.vi
2
; pasando de variables
discretas n1,n2 , v1,v2...a variables continuas n=N.f(v).dv, la anterior resulta
c
2
= o∫∫∞∞
f(v) v
2
dv = 4.ππ
-½
αα−−3
. o∫∫∞∞
exp(–(v/α)α)
2
) v
4
.dv [19]
La integral I =∫exp(–v
2
/α
2
). v
4
.dv se resuelva por partes poniendo
∫p.dq = p.q - ∫q.dp para p = v
3
; dq= exp(-v
2
/α
2
) v.dv = -½ α
2
.exp(-v
2
/α
2
) d(-v
2
/α
2
)
de donde q= -½ αα
2
.exp(-v
2
/αα
2
) y además dp = 3.v
2
.dv
Entonces resulta:
I = -½ α
2
.exp(-v
2
/αα
2
).v
3
+ 3/2 α
2
∫∫ exp(-v
2
/ αα
2
).v
2
.dv
I o|∞
= |-½ α
2
.exp(-v
2
/αα
2
).v
3
o|
∞
+ 3/2 α
2
o∫∫
∞
exp(-v
2
/ αα
2
).v2
.dv [20]
El primer término es nulo, ya que la función toma valores nulos en los límites del inter-
valo cero e infinito. En cambio el segundo término incluye una integral del tipo ∫∫f(v)dv
entre cero e infinito, que ya vimos debe valer la unidad, así que de acuerdo a [17] y
[18] es:
o∫∫
∞
exp(-v
2
/a
2
).v
2
.dv = 1/(4.ππ
-½
αα−−3
) y entonces la integral [20] vale:
I o|∞
= 3/2 αα
2
/ (4.ππ
-½
αα−−3
) de donde la [19] resulta
c
2
= 4.ππ
-½
αα−−3
. 3/2 αα
2
/ (4.ππ
-½
αα−−3
) = 3/2 αα
2
[21]
La [21] nos da la relación entre la velocidad más probable y la media cuadrática. Se ve
que c>a , tal cual se indica en el gráfico.
La velocidad media es el promedio ponderado de las velocidades, es decir que se
cumple la relación vm =1/N ΣΣ ni.vi , y pasando a variables continuas es:
vm= o∫∫
∞∞
f(v).v.dv = o∫∫
∞∞
f(v) v dv = 4.ππ
-½
αα
3
o∫∫
∞∞
exp(–(v/α)α)
2
).v
3
.dv [22]
I =∫exp(–v
2
/α
2
). v
3
.dv se resuelva por partes poniendo
∫p.dq = p.q - ∫q.dp para p = v
2
; dq= exp(-v
2
/α
2
) v.dv = -½ α
2
.exp(-v
2
/α
2
) d(-v
2
/α
2
)
de donde q= -½ αα
2
.exp(-v
2
/αα
2
) y además dp = 2.v.dv
Entonces resulta:
I = -½ α
2
.exp(-v
2
/αα
2
).v
2
+ αα
2
∫∫ exp(-v
2
/αα
2
).v.dv
I o|∞
= |-1/B/m.exp(-v
2
/αα
2
).v
2
o|
∞
+ αα
2
o∫∫
∞
exp(-v
2
/αα
2
).v.dv [23]
El primer término es nulo, ya que la función toma valores nulos en los límites del inter-
valo cero e infinito. El segundo término incluye la integral entre cero e infinito ∫∫dq=-
½.αα
2
, así que la integral [23] vale:
I o|∞
= 1/2 αα
4
de donde la [22] resulta
vm= 4.ππ
-½
αα−−3
. 1/2 αα
4
= 2 ππ
-½
αα [24]](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-145-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 137
137
Relación entre velocidades estadísticas y temperatura
Los parámetros estadísticos recién vistos están en relación directa con el
parámetro global conocido como temperatura absoluta del gas.
Del concepto de velocidad media cuadrática y su relación con la presión y la
ley de los gases se obtuvo en la página 32 la expresión c
2
= 3 RG.T
En virtud de la [21] se deduce α2
=2.RG.T , la que reemplazada en la [23] nos
da para la velocidad media vm = 2 ππ
-½
(2.RG.T)
½
= (8.RG.T/ππ)
½
Así entonces es
c
2
= 3.RG.T = 3. R/M.T
αα22
= 2.RG.T = 2. R/M.T
vm
2
= 4/ππ.2.RG.T = 8/ππ.RG.T
Para M=NA.m , con NA=6,02x10
23
(Número de Avogadro), m=masa de una
molécula, y k=R/NA , que es la constante de los gases para una molécula,
llamada “constante de Boltzmann” resultan :
c
2
= 3. R/NA/m.T = 3.k.T/m
αα22
= 2. R/NA/m.T = 2.k.T/m
vm
2
= 8/ππ. R/NA/m.T = 8ππ.kT/m
Recordando que la energía de una molécula es
εε= ½ m.v
2
con dεε = m.v.dv es (v/αα)
2
= m.v
2
/2/k/T = εε/(k.T)
La función de distribución queda así:
dN/N/dv = 4.ππ
-½
(2.k.T/m) −−3/2
.v
2
.exp(–m.v
2
/2/k/T) [25]
y poniéndola en función de la energía εε se transforma en:
dN/N/dεε = 2.ππ
-½
(k.T) −−3/2
. m
2
.εε
½
.exp(–εε/k/T) [26]
que es también una curva acampanada asimétrica, tal cual se ve en los
gráficos siguientes.
Variación de la distribución de velocidades con la temperatura
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0,0012
0,00E+00 5,00E+02 1,00E+03 1,50E+03 2,00E+03 2,50E+03 3,00E+03 3,50E+03
velocidades
dN/N/dv
273ºK 500ºK](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-146-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 138
138
Allí también se observa cómo se modifica la forma de la curva para un mismo gas
cuando aumenta la temperatura. Disminuye la ordenada del máximo, y se corre su
abscisa hacia mayores valores de velocidad. Se comprende que esto deba ser así ya
que el área entre curva y eje de velocidades debe mantenerse constante, por repre-
sentar la proporción total de moléculas, que es igual a la unidad.
Puede darse a las fórmulas [25] y [26] una interpretación conveniente consi-
derando que son el producto de dos funciones independientes. Por ejemplo,
pongamos la [25] como producto de dos corchetes:
dN/N/dv = [4.ππ .v
2
]. [(2.k.T/ππ/m) −−3/2
.exp(–m.v
2
/2/k/T)] [27]
Ya vimos que el segundo corchete es la cantidad n(v) de moléculas que
tienen velocidad v dentro de un casillero (en forma de caladura de sandía).
En términos estadísticos representa la probabilidad de encontrar n moléculas
de velocidad v o de su correspondiente energía e=½.m.v
2
. Se lo llama pro-
babilidad de ocupación de una celda, y depende del tipo de partículas y de
la temperatura absoluta de la masa de gas. Para extender esta probabilidad
al espacio de las velocidades en módulo, (o al espacio de las energías ciné-
ticas correspondientes) hubo que multiplicarlo por el factor [4ππv
2
], que es la
superficie de una esfera de radio v , y que extiende la probabilidad anterior a
todos los estados posibles de igual velocidad. De allí que a este corchete se
lo llame cantidad de celdas o densidad de celdas. Este factor de densidad,
que representaremos en adelante con g(v) o g(εε) , es igual para todo tipo de
partículas y no depende de la temperatura. Es un factor puramente geomé-
trico en el espacio de las velocidades o energías, según se trate.
Cambiando la variable velocidad v por energía εε= ½ mv
2
la [27] se puede
poner también en la forma:
dN/N/dεε = [4ππ/√√2.m
-3/2
.√√εε] . [1/exp(A+εε/k/T)] = g(εε).n(εε) [28]
para 4π.π.v2
.dv= 4ππ/√√2.m-3/2
.√√εε.dεε y A= ln [π.π.m/ (2.k.T) −−3/2
]
Variación de la distribución de energías con la temepratura
0
2E+19
4E+19
6E+19
8E+19
1E+20
1,2E+20
1,4E+20
0,00E+00 5,00E-21 1,00E-20 1,50E-20 2,00E-20 2,50E-20 3,00E-20
energías
dN/N/de
100ºK 200ºK](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-147-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 139
139
Resumiendo: La función f(e) = dN/N/dεε que representa estadísticamente la
probabilidad de encontrar n moléculas entre energías e y e+de se puede
considerar como el resultado de dos probabilidades concatenadas:
19
• probabilidad g(εε) de existencia de cel-
das con nivel de energía εε (densidad de
celdas). g(εε) es una parábola de eje
coincidente con las abscisas.
• probabilidad n(εε) de que la celda esté
ocupada (o que no esté vacía). n(εε) es
una exponencial decreciente con asín-
tota en abscisas.
En un gas es alta la probabilidad de ocupación para bajas energías pero
también escasa su densidad. A mayores velocidades, disminuye la probabili-
dad de ocupación y aumenta la densidad. El resultado del producto de las
funciones de ocupación y densidad es la ya vista curva acampanada que
parte del origen, crece hasta un máximo y se pierde en una cola asintótica.
Generalización del concepto de gas - Gases de fermiones
y de bosones
El estudio estadístico hecho para gases moleculares puede extenderse a
conglomerados de cualquier otro tipo de partículas que interaccionen esta-
dísticamente entre sí. Es el caso de los electrones libres dentro de un metal,
neutrones dentro de una pila atómica, o fotones (cuantos de radiación) den-
tro de un horno. En cada caso deberán tenerse en cuenta propiedades parti-
culares de cada partícula.
Gases de fermiones
A diferencia de las moléculas, que pueden
ocupar un mismo casillero de energía sin
límite de número, electrones, protones y
neutrones se resisten a hacinarse dentro de
un nivel de energía. Se dice que son partí-
culas excluyentes
20
.
Teniendo en cuenta la restricción de que no puede entrar más de una partí-
cula por casillero, se deduce para ellas de manera análoga al caso de las
19
La probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes en forma simultánea
es el producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos
20
La cuestión tiene que ver con el conocido “principio de Exclusión de Pauli” que
rige para los electrones dentro del átomo, donde no puede haber más de uno por
estado de energía.
. n(ε)
ε
moléculas
electrones
µ
DISTRIBUCIÓN A BAJAS TEMPERATURAS
[1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1]
1
1/exp(A−ε−ε/k/T)
n(ε)
ε
g(ε)
n(ε)xg(ε)](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-148-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 140
140
moléculas la función de densidad de energía:
dN/N/dεε = [4ππ/√√2.m-3/2
.√√εε] . [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1] = g(εε).n(εε) [29]
con µµ = −= −A.k.T. n(εε) = [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1]
Mientras que un gas de moléculas a temperaturas muy bajas posee casi
todas las moléculas apiñadas en bajos niveles de energía, la fórmula anterior
muestra que un gas de fermiones los tiene distribuídos a lo largo del eje de
las energías en forma casi constante hasta una energía determinada µµ, a
partir de la cual cae bruscamente a cero. Según esto, es de esperar que en
los metales a bajas temperaturas exista una gran proporción de electrones
de gran velocidad, a diferencia con la escasez de moléculas rápidas en un
gas frío. En electrónica se conoce a la energía µµ como “potencial de Fermi”,
propio de cada metal, en honor a Enrico Fermi (1901-1954), que junto con
Paul Dirac (1902-1984) estudiaron la distribución de energías en un gas de
partículas que como los neutrones y electrones, no pueden ocupar el mismo
nivel de energía aún dentro de un mismo intervalo o casillero.
21
A temperaturas elevadas (por ejemplo la ambiente, de 293 ºK), un gas elec-
trónico o neutrónico se parece mucho a un gas molecular, pudiéndose usar
sin gran error la fórmula de Maxwell-Boltzmann, en vez de la de Fermi-Dirac,
de la que daremos a continuación una breve deducción:
Distribución de Fermi-Dirac
Vimos que se aplica a partículas excluyentes e indistinguibles llamadas “fermiones”.
• Excluyentes significa que no pueden compartir el mismo estado de energía.
• Indistinguibles significa que no sólo son iguales entre sí, sino que no pueden
individualizarse como bolillas en un bolillero, con un número distintivo. Esta cuali-
dad surge de comparar el tratamiento estadístico entre moléculas y fermiones
que haremos en seguida.
La distribución de energías de fermiones f(ε) viene dada, igual que para gases ordina-
rios, por el producto de la densidad de estados g(ε) y la probabilidad de ocupación
n(ε). Mientras que g(ε) es igual para cualquier tipo de partícula, en la deducción de n(ε)
para fermiones debe tenerse presente que hay g(n)=g(εε).dεε estados disponibles en un
intervalo de energía dεε, en cada uno de los cuales se podrá acomodar una sola partí-
cula, al contrario del caso de moléculas, que pueden acomodarse en cualquier núme-
ro. Para calcular la probabilidad termodinámica de que en un casillero de energía εε11
con g1 estados posibles haya n1 de un total de N moléculas (distinguibles) podemos
configurar la complexión colocando la primera molécula elegida dentro de un total de
N , la segunda de entre del resto, o sea (N-1), la tercera entre las (N-3) restantes, y así
hasta llegar a (N-n+1). Esto configura una probabilidad compuesta igual al producto
N.(N-1).(N-2)...(N-n1+1)=N!/(N-n1)! . A esto debe multiplicárselo por el factor g1
n1
que
representa, como ya se vió, la cantidad de maneras en que pueden acomodarse n1
21
Los “fermiones” se caracterizan por tener espines fraccionarios ½ o 3/2. Son fer-
miones los electrones, neutrones, protones y núcleos de masa impar (tritio, helio3,
uranio 233, etc).](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-149-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 141
141
moléculas en g1 estados, sin límite de número (recuérdese el ejemplo de cinco bolillas
en dos casilleros que daba 2
5
=32). Por último hay que dividir por n1! que es el número
de permutaciones entre elementos dentro de una misma complexión, que no aportan
combinaciones diferentes aún siendo elementos distinguibles. Resulta así que las
posibles maneras de colocar n1 moléculas en g1 estados es
P(n1)=N!/(N-n1)!.g1
ni
/ n1! .
Las maneras de disponer n2 moléculas de las restantes (N-n1) es
P(n2)=(N-n1)!/(N-n1-n2)!.g2
n2
/ n2!
Id. para otro estado con n3 moléculas restantes es
P(n3)=(N-n1-n2)!/(N-n1-n2-n3)!.g3
n3
/ n3!
La probabilidad compuesta P(n1).P(n2) P(n3)...vale el producto ΠΠP(i) = N! ΠΠ gi
ni
/ ni!
Para hallar la configuración más probable se busca el máximo de una función que
combine linealmente la probabilidad con condiciones de variación nula de cantidad de
partículas y energía, a saber:
F= ln [ΠΠP(i)] + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], resolviendo dF/dn = 0 usando la ya vista
aproximación de Stirling para el logaritmo natural del factorial ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n resulta
F = ln N! + ΣΣ ni. ln(gi)- ln(ni!) + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E
dF/dn = ΣΣ { d/dn[n. ln(gi)] - d/dn[ni.ln(ni)-ni] + A + B εε} =
= ΣΣ { ln(gi) -1 - ln(ni)+1+ A +Bεε } = 0
La condición que anula la suma de esta serie de términos de igual signo es que sean
nulos cada uno de ellos. La anulación de un corchete genérico es, para todo i:
ln(g) - ln(n) +A + Be = 0 de donde (g/n) = exp -(A+Be)
Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(A+Bεε)], que es la fórmula ya vista de Maxwell-
Boltzmann
En el caso de los fermiones, todo pasa como si en cada casillero de energía εε hubiera
un número de g(e) subdivisiones que pueden llenarse a lo sumo con una partícula.
Hay g posibilidades de poner una cualquiera de las n partículas en el primer estado, g-
1 posibilidades de poner la segunda partícula en el segundo, g-2 en el tercero y así
sucesivamente hasta llegar a g-n+1 posibilidades para la última partícula de energía εε.
En total habrá g.(g-1).(g-2)...(g-n+1) = g! / (g-n)! posibilidades. Igual que para las
moléculas, de ellas habrá que eliminar las que surgen de permutar los n elementos, ya
que son equivalentes dentro de una misma complexión. Así la probabilidad termodi-
námica de una configuración con ni fermiones en el casillero i es P(i)=gi!/(gi-ni)!/ni! .
La probabilidad de una configuración con n1, n2, n3.. elementos en casilleros con g1,
g2, g3 estados será el producto de P(i), o sea ΠΠ P(i) . Para hallar la configuración más
probable se emplea el procedimiento ya visto, de encontrar el máximo de la función:
F= ln [ΠΠP(i)] + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], resolviendo dF/dn = 0 , con el reemplazo
aproximado ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n
Entonces es F = ΣΣ ln(gi!)- ln(gi-ni)! – ln(ni!) + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E
-dF/dn = ΣΣ { d/dn[(gi-ni).ln(gi-ni)-(gi-ni)] + d/dn[ni.ln(ni)-ni] - A - B εε} =
= ΣΣ { (gi-ni)(-1/(gi-ni))-ln(gi-ni) +1 +1 + ln(ni) – 1- A -Bεε } = 0
Planteando la anulación de un corchete genérico para todo i resulta:
- ln(g-n) +ln(n) -A - Be = 0 de donde (g/n-1) = exp (A+Be)
Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(A+Bεε)+1], que es la fórmula válida para fermiones.
Fotones
La presión que la radiación electromagnética (luz, radiación térmica, etc.)](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-150-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 142
142
ejerce sobre la materia indujo al físico prusiano y premio Nobel 1911
Wilhelm Wien (1864-1928) a imaginar la evolución de esa masa de radia-
ción siguiendo un ciclo de Carnot como el que realiza un gas molecular en el
cilindro de un motor térmico. Dedujo así que el área de la curva de distribu-
ción de la energía debía ser proporcional a la cuarta potencia de la tempe-
ratura absoluta, que su máximo debía ser proporcional a la quinta potencia,
y que ese máximo de la curva debía estar situado en energías proporciona-
les a dicha temperatura
22
. Esas características, probadas experimentalmen-
te, se ajustaban a una distribución de energías tipo Maxwell-Boltzmann,
como la de los gases de moléculas. Sin embargo, las curvas experimentales
mostraban ciertas discrepancias para bajas energías, que estudiadas con
inteligencia dieron origen nada menos que a la moderna física cuántica.
Fué en 1900 , año en que Max Planck informó sobre sus trabajos que le
valieron el premio Nobel 18 años más tarde. Se deduce de ellos que la luz y
la radiación en general se emiten en forma de “quanta”
23
o paquetes dis-
cretos de energía εε=h.νν, siendo h una constante llamada “quantum de ac-
ción” o “constante de Planck”, νν=c/λλ es la frecuencia de la radiación longi-
tud de onda λλ y velocidad c (velocidad de la luz) .. El descubrimiento de
Planck surge al ajustar la curva experimental de la densidad de energía
espectral (véase el capítulo de Radiación Térmica, en nuestra obra “Ópti-
ca”), que requiere una función del tipo f(εε)=g(εε)/[exp(ε/ε/k/T)-1]. Nótese que
f(εε), llamada distribución de Planck, es una función de Maxwell-Boltzmann
modificada con un “menos uno” en el denominador, lo que precisamente
permite el desarrollo en serie geométrica de la forma: 1/(1-r)=
=1+r+r
2
+r
3
+...con r=exp-(hνν/k/T) y εε=h.νν. Los exponentes hν/k/T, 2hν/k/T,
3hν/k/T... sugieren escalones discretos, relacionados con una energía básica
hν , que es la de un quantum.
Albert Einstein recibió el premio Nobel de física en 1921 al descubrir que
también la absorción de energía radiante se efectúa en forma discreta y no
continua. Que la radiación se emita y se reciba en paquetes hace pensar en
que también viaja con esa identidad discreta, constituyendo una partícula
luminosa. Bautizados con el nuevo nombre de fotones, las viejas partículas
luminosas que Newton había imaginado dos siglos antes cobraron así nueva
vigencia. De acuerdo a la fórmula puesta de manifiesto por Einstein, la radia-
ción tiene una masa electromagnética asociada m tal que su energía vale
E=m.c
2
. De allí surge que la cantidad de movimiento m.c asociada a un
fotón de energía E=h.νν resulta ser hνν/c .
22
Estas tres leyes se conocen respectivamente como ley de Stephan o de la cuarta
potencia, ley de Wien de la quinta potencia y ley del desplazamiento del máximo de
Wien. Se conocían experimentalmente antes de que la teoría termodinámica de la
radiación las explicara.
23
Plural de quantum, que significa cantidad en latín.](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-151-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 144
144
poseen estas características. Se llaman genéricamente bosones, en honor a
Satyendra Bose (1894-1974), matemático y físico hindú que junto con A.
Einstein elaboró la estadística apropiada a la fórmula de Planck, de acuerdo
a los razonamientos que se dan brevemente a continuación.
Distribución de Bose-Einstein para fotones
A la fórmula de Planck n(e) = g(e) / [exp(Be)-1] se arriba por dos caminos: el original
imaginado por Planck, considerando que los emisores de radiación (osciladores elec-
tromagnéticos en equilibrio) forman una población de elementos distinguibles que se
distribuyen según la ley de Maxwell-Boltzmann. Como la emisión no es continua,
aparece el término “-1” en la fórmula, que nos habla de un desarrollo en serie. El otro
camino es imaginar la radiación misma como formada por un gas de ciertas partículas,
cuyas propiedades deben satisfacer un razonamiento al estilo de los presentados para
moléculas y electrones, y que arroje la fórmula con el famoso denominador modifica-
do. Esas propiedades son:
• Pueden entrara sin límite de número en un nivel de energía
• Su número total no es constante, por lo tanto no debe plantearse ninguna condi-
ción que involucre a N
• Son indistinguibles como los fermiones, o sea que no pueden individualizarse al
estilo de una molécula, como bolillas en un bolillero
Vimos que en un casillero de energía εε se pueden colocar n elementos en g estados
dentro de ese casillero de muchas maneras equivalentes. Si los elementos no son
excluyentes pero sí distinguibles, como es el caso de las moléculas, se podrán poner
de g
n
maneras diferentes, dividido las permutaciones n! , y la probabilidad compuesta
para un estado de contendrá el factor N! . Ahora bien, si los elementos son indistingui-
bles, como es el caso de los fotones y electrones, no tiene caso considerar como
variantes las permutaciones entre el total N. En cambio un conjunto de n elementos
indistinguibles y no excluyentes dentro de un intervalo de energía εε con g estados
funciona como una colección de dos tipos de partículas: los n elementos y los g-1
tabiques, permutables entre sí, que dan un número de combinaciones igual a (n+g-1)!
Las complexiones posibles no incluyen las permutaciones de los elementos, así que el
número de casos distinguibles será P(n)=(n+g-1)!/n!/(g-1)!
Para hallar la configuración más probable se emplea el procedimiento ya visto, de
encontrar el máximo de la función F= ln [ΠΠP(i)] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], en la que no interviene
el término A.[ΣΣni-N] , ya que los fotones no mantienen su número total constante
Entonces es F = ΣΣ ln(ni+gi-1)!- ln(gi-1)! – ln(ni!) + B [ΣΣ(εεi..ni)-E
dF/dn = ΣΣ { d/dn[(gi+ni-1).ln(gi+ni-1)-(gi+ni-1)]–d/dn[ln(gi-1)!]-d/dn[ni.ln(ni)-ni] +B εεi}
= ΣΣ { ln (gi+ni-1) +1 –1 – ln(ni) +1 -1+ B.εε i } = 0
Planteando la anulación de un corchete genérico para todo i resulta:
ln(gi+ni-1) – ln(ni) – B.εεi = 0 de donde (gi+ni-1)/ni = exp (B.εεi)
Ya que número de partículas n partículas y densidad de estados g son ambos mucho
mayores que 1, resulta g+n-1 ≈ g+n y entonces g/n+1=exp(B.εε) de donde
Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(B.εε)-1], que es la fórmula válida para fotones. Nótese
que debido a que los fotones no mantienen su número constante, no aparece en esta
fórmula la constante A que vimos en las otras estadísticas.](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-153-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 149
149
Barómetros
Son aparatos para medir la presión atmosférica. El
de mercurio es un aparato como el de Torricelli,
fijo sobre un soporte y con una regla adosada.
Para compensar la variación del nivel de la cuba,
se lo enrasa con el cero de la regla móvil, bien
moviendo ésta o desplazando el fondo flexible de
la cuba. Aparatos más manuables y portátiles,
aunque menos precisos, son los que amplifican las
deformaciones de cajas flexibles dentro de las
cuales se ha practicado el vacío, y que por lo tanto se achatan más o menos
con las variaciones de presión atmosférica. Estos aparatos se calibran con
uno de mercurio.
Ejemplo: Cuando sale del campamento base, el andinista Manolo se fija en su ane-
roide de bolsillo, que marca 980 HPa. Al cabo de una hora, nuestro amigo hace un alto
y consulta nuevamente su aparato, que ahora acusa 910 HPa . Después de beber de
su cantimplora, se sienta en una roca, saca una calculadora y un anotador y efectúa
los siguientes cálculos (estima que la temperatura se mantuvo en 5ºC)
p1=p0 exp(-M.g.h1/R/T) de donde ln(p1/po) = -M/R/T.g.h1 y entonces
h1 = -ln(980/1013).R.T.M/g = 0,0331x.8,31x268 / 0,0292 / 9,8 = 258 m
p2=po exp(-M.g.h2/R/T)
h2 = -ln(910/1013).R.T.M/g = 0,107x 8,31x 268 / 0,0292 / 9,8 = 834 m
Restando 834-258 Manolo deduce que subió 576 m, lo que por otra parte podría haber
deducido haciendo p1-p2=exp[Mg/R/T(h2-h1)]
de donde ln(p1-p2) = M.g/R/T.(h2-h1) y entonces ∆∆h = ln(980-910).R.T/M/g = 576 m
Discutir el error de cálculo que hubiera producido un cambio de 10 HPa en la presión
atmosférica durante la ascensión.
Bombas y compresores
Para extraer el aire de recintos cerrados o
para comprimirlo en depósitos, se emplean
aparatos denominados genéricamente como
bombas, de vacío o de compresión respecti-
vamente. El más común es la bomba de ém-
bolo, que aspira durante la carrera del pistón
hacia el extremo abierto del cilindro y expele
durante la carrera en sentido contrario, hacia
el extremo cerrado del cilindro, donde existen
dos válvulas de entrada y salida respectiva-
mente
Cuando el pistón baja, la diferencia de presión
entre el exterior y el interior vence el resorte
de la válvula de entrada o admisión. La vál-
vula de salida o escape se mantiene cerrada por su propio peso, por la pre-
Barómetro
aneroide
admisión escape](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-158-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 153
153
Sifón
Es un dispositivo conocido desde muy antiguo para transvasar líquidos.
Experiencia: Se colocan dos baldes con
agua a diferentes alturas. De un tubo
(rígido o flexible) lleno de líquido , se
tapan ambos extremos para que no se
vacíe y se sumergen en cada balde. Al
destapar los extremos se establece una
corriente a través del tubo desde el reci-
piente cuya superficie está a mayor nivel
hacia el otro. El pasaje cesa cuando se
igualan los niveles en ambos depósitos.
Explicación: Consideremos una porción
de líquido en la parte más alta del tubo,
como si fuera un pistón limitado por dos superficies s iguales y próximas. La
de la izquierda recibirá una fuerza F1= [Patm-h1.δδ.g].s y la de la derecha una
fuerza en contra F2 = [Patm-h2.δδ.g].s De la desigualdad entre ambas (F1>F2),
surge que el pistón líquido se moverá de izquierda a derecha debido a la
diferencia de presión ∆∆P =(h2-h1).δδ.g
Cuestión: Discútase la posibilidad de transvasar mercurio con un sifón
cuando h1>76 cm
Equilibrio líquido-vapor
Puede considerarse a un líquido como una masa de moléculas en movi-
miento con una energía promedio inferior a la que las mantiene juntas (fuer-
za de cohesión de Van der Waals). Algunas de las moléculas superficiales
poseen dentro de esa distribución estadística de energía, la suficiente como
para vencer la cohesión, saltando afuera de la masa líquida. Constituyen así
un gas llamado vapor, que está en equilibrio con el líquido del cual provie-
nen. Aumentando la energía del sistema aumenta la proporción de molécu-
las en forma de vapor en un proceso de cambio de estado llamado evapora-
ción. El proceso de evaporación (se requiere que coexistan las fases de
vapor y líquido) se produce a una presión de vapor que es propia del líquido
a la temperatura del sistema.
Todos los líquidos emiten vapores en mayor o menor medida. dependiendo
ésta de esa energía característica que tiende a mantener juntas a las molé-
culas en forma líquida. Esta característica es la volatilidad propia de cada
sustancia, y se mide por la presión de vapor en función de la temperatura del
sistema.
h1
h2
s s
F1
F2
Patm
Patm](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-162-320.jpg)
![FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 154
154
Asimismo, es posible considerar al gas como un vapor, ya que como vimos,
todo gas puede licuarse o “condensarse” (en un proceso inverso al de la
evaporación) con la presión adecuada y a una temperatura suficientemente
baja como para se produzca la agregación de moléculas en forma de líquido.
Se dijo también que por encima de una temperatura crítica para cada sus-
tancia, la condensación no se produce y las fases de vapor o líquido son
indistinguibles.
Por ejemplo, el agua tiene una presión de vapor que iguala a la atmosférica normal
(101300 N/m
2
) a la temperatura de 100ºC. En tales condiciones, la energía suministra-
da al sistema se emplea en generar más vapor a costa del líquido, sin aumento de
temperatura. Este cambio de estado a temperatura constante (ebullición) continúa
hasta que la fase líquida se evapora totalmente. A partir de ese punto el vapor supera
la temperatura de 100ªC en la medida que reciba energía exterior. A la temperatura
crítica de 374 ºC el agua líquida coexiste en un estado indistinguible con su fase vapor
a la presión de 22,08x10
6
N/m
2
(doscientas dieciocho veces la presión atmosférica). La
densidad del sistema en esas condiciones es de 554 Kg/m
3
(poco más de la mitad de
la densidad del agua líquida en condiciones normales).
Lo anterior puede comprobarse con un recipiente con tapa hermé-
tica de volumen V[m3] construido para soportar presión elevada,
provisto de un manómetro, un tubo de nivel, un termómetro y una
válvula de seguridad. Se lo carga con agua pura y se deja un buen
rato en ebullición el agua con la válvula de seguridad abierta para
que el vapor desaloje al aire. Luego se repone la válvula. Conside-
remos, por ejemplo, que disponemos de un recipiente a presión de
1 litro (0,001 m
3
). Se lo deberá cargar con una masa algo superior
a 0,554 Kg de agua, para que sea ésta la que quede después del proceso de desai-
reación. Con el agua a la temperatura T el manómetro marcará la presión de vapor
p(T) del agua a esa tempe-
ratura. A medida que calen-
temos el sistema, irá su-
biendo la temperatura y la
presión según una curva
como la que indica la figu-
ra
33
. El nivel del líquido en el
interior irá disminuyendo,
hasta que al llegar a la
temperatura de 374 ºC,
habrá desaparecido todo el líquido del sistema. El manómetro marcará entonces 218
atmósferas. Si el vapor de agua fuera un gas perfecto y no un vapor en el punto críti-
co, tendría en estas condiciones una presión de:
p=n.R.T/v = 554/18.8,3.(273+374)/0,001 = 165280000 N/m2 = 1631 atm
33
Según se verá, se deduce teóricamente que T debe variar logarítmicamente con la
presión (Véase Ecuación de Clapeyron-Clausius)
Presión de vapor del agua en función de la temperatura
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250 300 350 400
temperatura (ºC)
presión(atm)](https://image.slidesharecdn.com/mecanica-130710142342-phpapp02/85/mecanica-163-320.jpg)
mecanica
- 1. TRATADO DE FÍSICAGENERAL REALIDAD - MATERIA Y FORMA Reconocemos en el mundo que nos rodea dos aspectos de la realidad: la materia y la forma. Por ejemplo, afirmamos que en el aula existe un piza- rrón de materia lisa y dura, de forma rectangular. Conviene que el método de reconocimiento de la existencia de esa reali- dad incluya varios procedimientos, para garantizar de que no se trata de una ilusión de nuestros sentidos, o una falsa indicación de los aparatos sensores utilizados. Por ejemplo, para determinar la presencia de un cuer- po en el espacio podemos reconocerlo con la vista o la fotografía, para lo cual debemos iluminarlo convenientemente. Además, convendría a veces complementar su existencia y ubicación por su efecto gravitatorio sobre otros cuerpos (descubrimiento de planetas invisibles a simple vista), o por su ac- ción por choque con otros cuerpos de existencia y ubicación comprobada (detección indirecta de partículas por colisiones con proyectiles). Eventual- mente estaremos en condiciones de tocarlo, palparlo o interceptarlo con otros cuerpos (reconocimiento por interacción con materia de prueba). El conjunto de los datos aportados por estas informaciones debe evaluarse para saber si se trata efectivamente de una realidad “real”, un espejismo o incluso una realidad simulada o virtual (por ejemplo un holograma o un pro- ducto de un programa de computadora) Sabemos hoy en día que toda la materia del universo está compuesta de un gran número de pequeñas partículas cuyos diferentes tipos o variedades son limitados (electrones, protones, neutrones, neutrinos, mesones, muones, bosones, por citar los más importantes). Estas partículas tienden a agrupar- se en algo más de un centenar de arreglos o entidades organizadas llama- das átomos. Los átomos de esos diferentes arreglos (elementos químicos) a su vez se combinan entre sí en estructuras mayores (moléculas) de acuerdo a ciertas reglas energéticas y termodinámicas, para formar los compuestos químicos que forman la materia de nuestro mundo. A la materia se le asocian dos magnitudes fundamentales: la masa y la carga eléctrica. Masa es una magnitud escalar 1 de la cual, según la concepción de Newton, 1 Recordemos que si se quiere representar una característica mensurable de algo, podemos utilizar varios tipos de magnitudes. A veces basta un sólo número (la masa, la carga, el precio). Otras veces hacen falta dos (longitud y latitud) o tres (alto, ancho y
- 2. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 2 depende la fuerza de gravitación y la fuerza de inercia (resistencia al cambio de velocidad) de un objeto material. De acuerdo a una concepción más moderna que es el resultado de introducir en la mecánica conceptos de electricidad, la masa de un objeto depende también de su energía (o capa- cidad para realizar trabajo) dentro de un sistema de referencia. Así hoy en día se habla de masa/energía como la suma de ambas magnitudes. Por lo que se sabe, la masa/energía no se crea ni se aniquila, aunque puede pasar de la forma masa a la forma energía y viceversa. Carga eléctrica es una magnitud escalar con signo (puede ser positiva o negativa) relacionada con las fuerzas a distancia que existen entre algunos cuerpos, que se dicen “cargados o electrizados”. No toda la materia posee, pues, carga eléctrica de alguno de los dos signos. Así existen partículas sin carga, que no deben confundirse con agrupaciones de materia neutra, las cuáles tienen cargas de diferentes signos en igual proporción. También existen partículas sin masa aunque, de acuerdo a la concepción electromag- nética, una carga pura posee una masa/energía asociada, llamada masa electromagnética. Es decir que no hay partículas con carga sin ma- sa/energía asociada. Tampoco hay energía pura sin masa: la luz, el calor y la radiación electromagnética en general tienen masa, la cual se agrupa en partículas discretas llamadas fotones. La carga eléctrica no se crea ni se aniquila. Forma es la disposición que adopta la materia en el espacio y en el tiempo. La forma de un objeto material puede abstraerse de su soporte o sustrato material. Una esfera es una forma, que puede estar hecha de oro, barro u otro material. La mejor manera de idealizar una forma independientemente de su sustrato (forma pura) es mediante la representación geométrica (di- bujo) o matemática (ecuación). El sustrato de una forma puede no ser estrictamente material, especial- mente cuando se considera la coordenada “tiempo”. Así se puede pensar en una tasa de interés creciente según una línea recta en el tiempo. El con- cepto “tasa de interés” no es material, sino que resume un concepto bastante inmaterial: la avidez de dinero del mercado. También el sustrato de una forma puede ser otra forma. Por ejemplo, la información de una lápida son letras y signos (formas de un alfabeto) formados por surcos u ondulaciones (otra forma) en la piedra (material). La extensión de un objeto se mide por las dimensiones que ocupa en el espacio y en el tiempo. Para caracterizar la extensión o tamaño se emplean profundidad). A veces se requiere una tabla de números para representar de una sola vez la situación de algo (tarifas de transporte en función de la distancia). Estos casos requieren respectivamente una magnitud escalar (un número), un vector de dos, tres o más dimensiones, o una matriz de n filas y m columnas (matriz de n x m elementos)
- 3. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 3 números de referencia con respecto a extensiones conocidas que se toman como unidades. Para medir extensión se usa el procedimiento de comparar lo que se quiere medir con otro objeto de dimensiones conocidas (patrón de comparación) Estado de la materia es lo que está determinado por la manera de agrega- ción de las partículas materiales que forman los objetos materiales. Se re- conocen dos estados fundamentales de la materia: el sólido y el fluido. Dentro del estado fluido, podemos distinguir el estado líquido y el estado gaseoso. Dentro de los gases podemos distinguir entre el estado gaseoso normal y el gaseoso conductor o plasma. El estado sólido corresponde a materia de estructura más o menos rígida, que puede clasificarse en materia cristalina o amor- fa. En estado cristalino los átomos o partículas están rígidamente unidos entre sí en estructura reticular ordenada, que presenta una considerable resistencia al esfuerzo de corte. Bajo un esfuerzo infe- rior a un cierto valor crítico que depende del material, el cuerpo no se rompe y sólo se deforma, recuperando su forma original cuando cesa el esfuerzo, si este fué moderado (límite de elasticidad). En estado amorfo la estructura es desordenada aunque también existe la fuerza de cohesión que resiste el corte. En estado fluido, si bien existen fuerzas de cohesión que tienden a unir a las partículas del cuerpo, no son tan fuertes como en el sólido. La deformación por esfuerzos de corte es notable y permanente, y la transmisión de tales esfuerzos se hace sólo mientras se deslice una parte del fluído sobre otra (efecto viscoso). Dentro de los fluidos podemos distinguir a los líquidos y a los gases. En el estado líquido hay mayor cohesión entre moléculas que en los gases, y por efectos de la gravedad tienden a tomar la forma del recipiente que los contiene. Es útil reconocer un estado intermedio entre el sólido y el líquido: el estado pastoso, por el que atraviesan la mayoría de los sólidos antes de fundirse por el calor. En el estado gaseoso, las partículas de la sustancia mantienen muy poca fuerza de atracción entre sí e interaccionan en su movimiento libre y caótico, produciendo así el efecto de presión sobre las paredes del reci- piente que las contiene. La materia pasa generalmente del estado sólido al líquido (fusión) y del líquido al gaseoso (evaporación) por aumento de la temperatura o disminución de presión a que son sometidos. En ambos ca- sos, esos cambios de estado se deben a que la energía cinética de las moléculas superan a la potencial de forma que las mantiene en el estado anterior. Por ejemplo, durante el proceso de evaporación las moléculas ven- cen la fuerza que las mantiene en el seno del líquido y escapan fuera de éste, formando un gas. A altas temperaturas o con otros estímulo energéti- cos, los gases se ionizan parcialmente (se desdoblan un par de partículas esfuerzo de corte o cizallamiento
- 4. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 4 neutras en dos cargadas, una positivamente y la otra negativamente). Los gases ionizados pueden ser asiento de corrientes eléctricas: es el plasma. El plasma se observó por primera vez en un tubo con gas a baja presión atravesado por una descarga eléctrica: había una luminiscencia que se agi- taba en forma parecida a una sustancia gelatinosa: este aspecto similar al plasma sanguíneo le dió su nombre. El plasma, poco frecuente en nuestro mundo, constituye en cambio el estado del 99% de la materia del universo: así, las estrellas son globos de plasma y los espacios interestelares están llenos de plasma de baja densidad. MACROMUNDO Y MICROMUNDO El aspecto de la realidad cambia cuando lo examinamos bajos diferentes aumentos. Si estudiamos la forma de interacción y la dinámica de cuerpos de dimensiones visibles a simple vista, lo haremos asignándole posición y forma bien determinadas que se puedan encuadrar en un modelo geométrico en el espacio y en el tiempo. Diremos por ejemplo que una bola de billar es muy aproximadamente de forma esférica de 6 centímetros de diámetro, prácticamente indeformable, y que en este instante está a 1 metro del suelo y se traslada a una velocidad de 20 cm/s rodando sobre la mesa, que es a la vez es prácticamente un plano. Si pretendemos describir una escena del micromundo atómico, aunque pudiéramos escudriñar la materia con grandes aumentos y luz apropiada, y pudiéramos percibir sus rapidísimos movimientos, tendríamos muchas dificultades en utilizar conceptos como posición, velocidad y tamaño de electrones, núcleos y otras partículas. En- contraríamos que formas y posiciones de partículas en movimiento son borrosas y mal definidas aunque usáramos los aparatos más sofisticados (principio de indeter- minación, de Heisenberg). No veríamos electrones girando en órbitas planetarias como buenos chicos, sino capas nebulosas con carga distribuída en forma de onda estacionaria alrededor de algo que podría asemejarse a un núcleo formado por partí- culas que vibran. Algunas partículas libres atravesarían la escena con enorme veloci- dad, colisionando con otras. Esas partículas pequeñas en movimiento, como electro- nes y protones, no podrán ubicarse en el espacio con precisión, apareciendo con contornos borrosos y ondulantes. De tanto en tanto veríamos que saldrían de los átomos destellos de luz de colores, que podrían parecer según cómo se los mire, o bien puntos luminosos dotados de gran velocidad, o también trenes de ondas lumino- sas. Esta emisión espontánea e impredecible iría acompañada de una deshinchazón súbita de algunas capas eléctricas. Veríamos también que algunos de esos destellos emitidos se perderían en el espacio y otros incidirían sobre átomos vecinos, los que se inflarán al absorberlos. Estas emisiones y absorciones de energía serían del todo impredecibles sobre átomos individuales y solamente podríamos establecer para la ocurrencia de estos fenómenos leyes estadísticas, aplicables como promedios a un gran número de átomos. Si sobre este conjunto de materia incidieran rayos calóricos, que algún imaginativo podría asemejar a partículas de luz invisible, desaparecerían absorbidos por los núcleos que comenzarían a vibrar como resultado de ese choque. Estadísticamente podríamos asignar un valor a la energía de vibración promedio del conjunto. Ese valor sería lo que un observador macroscópico llamaría temperatura de
- 5. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 5 la materia en cuestión. Observando esta materia aún con mayores aumentos, podríamos ver que las fuerzas de atracción y repulsión eléctricas están gobernadas por el intercambio de esas partículas luminosas que describimos antes (fotones). También veríamos que los núcleos atómicos son un conglomerado de partículas (protones y neutrones) que se mantienen unidas por una fuerza mucho mayor que la de repulsión eléctrica. Estas fuerzas entre partículas atómicas no pueden explicarse con la teoría de campos que emplean la electricidad y gravitación clásicas, aplicables sólamente a fenómenos continuos macroscópicos. Requieren en cambio teorías que se hagan cargo de fenó- menos de interacción que ocurren de a saltos discretos (saltos cuánticos). Si nos esforzáramos mucho creeríamos ver algunas partículas subatómicas de cuyo inter- cambio surgen esas fuerzas. Así como la fuerza electromagnética surge del inter- cambio de fotones, la fuerza entre protones se puede atribuir al intercambio de unas partículas especiales llamadas mesones. La fuerza gravitatoria entre partículas con masa, que macroscópicamente da un resultado estadístico cuya expresión es la ley de Newton, a nivel atómico puede prácticamente despreciarse por lo débil. Sin embargo, si queremos considerarla podemos atribuirla al intercambio de partículas gravitatorias (gravitones). Todas esas partículas de intercambio, que se mueven a grandes veloci- dades, no tendrían tamaño y posición determinadas, sino más bien una distribución ondulada distribuida en el espacio y en el tiempo, según nos enseña la mecánica cuántica y ondulatoria. En resumen, lo que vemos en nuestro mundo, como ser cuerpos bien deli- mitados de materia continua, bañados en un fluído luminoso también conti- nuo, y sujetos a fuerzas que pueden variar en grados tan pequeños como se pueda imaginar, es el resultado estadístico del comportamiento de agrupa- ciones de pequeñas partículas de materia y energía en movimiento que tienen sus leyes, algunas iguales a las observadas en los objetos “grandes”, como las que rigen en mecánica a los choques entre cuerpos, pero otras propias, como son las que gobiernan la ocurrencia de esas interacciones. El estudio de la realidad debe hacerse con un enfoque apropiado a la escala u óptica con la que se observa el sistema a estudiar. A escala grande (mayor que 10 -6 m) conviene un modelo continuo de formas definidas. A escala muy pequeña se deben reconocer las propiedades corpusculares de la materia y la energía, sus formas borrosas y su carácter ondulatorio.
- 6. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 6 MECÁNICA La mecánica es una rama de la física que estudia el equilibrio y movimien- to de los cuerpos y sistemas de cuerpos. Por comodidad se la estudia dividi- da en tres partes. La parte que estudia el equilibrio sin movimiento se llama estática. La parte que estudia exclusivamente el movimiento se llama cine- mática. El estudio de las causas del movimiento por acción de acciones exteriores e interacciones (fuerzas) se llama dinámica. La comprensión y resolución de problemas de mecánica exige generalmente la aplicación de conceptos de estas tres disciplinas, y no resulta conveniente su estudio por separado, que tiene una supuesta ventaja metodológica pero un innegable dificultad conceptual. Cuerpos Como ya vimos, son cuerpos las agrupaciones de materia en cualquiera de sus estados posibles. Para simplificar, se categorizan los cuerpos materiales en partículas y cuerpos extensos, que a su vez pueden ser sólidos o fluidos. Los sólidos a su vez pueden ser rígidos, elásticos o plásticos. Los fluidos pueden ser compresibles o incompresibles. El concepto de partí- cula material corresponde a una idealización de un pequeño cuerpo mate- rial cuyas exiguas dimensiones hacen que se desprecien extensión y forma frente a su masa o eventualmente frente a su carga. En el caso de sistemas de partículas, también son despreciables sus dimensiones con respecto a la distancia que las separa. Cuando interesan la forma y dimensiones de los objetos, se los trata como cuerpos extensos, en los cuales la masa y eventualmente la carga están distribuidas en su volumen. Al cociente entre masa y volumen se le llama densidad del cuerpo y al cociente entre carga y volumen se lo llama densidad volumétrica de carga. En una partícula mate- rial, ni la masa ni la carga están distribuidas, ya que la partícula no tiene extensión en el espacio y por lo tanto no ocupa volumen. Se dice que la masa y eventualmente la carga de una partícula material está concentrada en el punto donde reside la partícula. No se puede aplicar el concepto de densidad a una partícula, porque dividir por cero da infinito, y la densidad es esencialmente finita. Sin embargo, puede aproximarse en la práctica una partícula material a un cuerpo muy pequeño de densidad muy elevada. Fuerzas La materia interactúa entre sí produciendo cambios en el estado de reposo o movimiento que tenía inicialmente. Dos bolas de billar chocan entre sí, modi- ficando sendas trayectorias de la misma manera que lo hacen dos partículas
- 7. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 7 atómicas que interactúan. La luna gira en torno a la tierra debida a la atrac- ción que existe entre ambas, de la misma manera que puede entenderse lo hace un electrón alrededor de un núcleo atómico. El choque y la trayectoria circular son respectivamente resultado de las acciones entre la materia. Resulta apropiado atribuir estas acciones, la primera por contacto entre cuerpos y la segunda por atracción a distancia, a entes físicos llamado fuer- zas. Y así se habla de la fuerza del choque y la fuerza de atracción. Se tiene un concepto claro de lo que es una fuerza a través de la sensación del esfuerzo muscular cuando, por ejemplo, empujamos un objeto pesado. Sin embargo la definición precisa de fuerza se debe a Isaac Newton, quién la relacionó con “la acción que altera el estado de movimiento de un cuerpo” Una fuerza queda definida en general por cuatro características: la inten- sidad (por ejemplo, en el caso de un florero sobre la mesa, el peso de 1 Kg), el punto de aplicación (el centro de la mesa), la dirección (la vertical) y el sentido (hacia abajo). Una fuerza es una acción concentrada en un punto. Es una idealización de lo que ocurre en realidad, en la que la fuerza está distribuida en una superficie (la de la base del florero). Se hablará así de presión, que es la razón entre fuerza aplicada y superficie de aplicación. Lógicamente, sobre una partícula material se pueden considerar aplicadas únicamente fuerzas concentradas, y en cambio sobre un cuerpo extenso pueden considerarse aplicadas tanto fuerzas concentradas como distribui- das. Como se verá luego, a las fuerzas se las define matemáticamente como vectores, y su manejo cuantitativo se realiza con ayuda del cálculo vectorial, del que se darán algu- nos lineamientos más adelante. Principio de superposición de acciones (Galileo - 1600) Dice este célebre principio, utilizado metódicamente por primera vez por Galileo en el estudio del movi- miento, que se puede tratar un fenómeno debido a varias causas que actúan simultáneamente, des- componiéndolo en procesos más simples debidos a cada una de esas causas actuando por separado y sumando los resultados, como si las acciones se sucedieran una a continuación de la otra en cual- quier orden. Veamos el clásico ejemplo del tiro horizontal de un proyectil. El principio de superposición nos permite estudiar el fenómeno descomponiéndolo en la acción de la pólvora y la acción de la gravedad. La primera impulsa la bala a velocidad horizontal constante. La segunda hace caer la bala con 1 2 3 1 2 3 5 4 6 7 8 9
- 8. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 8 velocidad creciente hacia abajo. El resultado se puede estudiar superpo- niendo un trayecto horizontal durante un intervalo de tiempo, y luego una caída acelerada durante el mismo intervalo, o al revés: primero la caída y luego el avance. Al cabo del intervalo de tiempo considerado, el cálculo nos da una posición más abajo y más lejos, que coincide con la posición que alcanza la bala en realidad siguiendo la trayectoria parabólica que será ob- jeto de estudio más adelante. La aplicación del principio de superposición de efectos está justificada sólo cuando: Los procesos simultáneos son independientes (la gravedad no depende de la posición horizontal ni del impulso inicial) Las acciones producen resultados proporcionales a sus intensidades (la posición horizontal y la velocidad vertical son proporcionales al tiempo). En tal caso se dice que se trata de procesos linealmente independientes. El principio de superposición aplicado a procesos no lineales da resultados erróneos. Son no lineales o “alineales” los procesos que no guardan proporcionali- dad entre causa y efecto. Por ejemplo, el caudal de agua que sale en el extremo de un caño no aumenta proporcionalmente con la presión aplicada en el otro extremo, sino con la raíz cuadrada de esa presión. En rigor, la mayoría de los fenómenos físicos no son estrictamente lineales, aunque pueden considerarse aproximadamente lineales dentro de un intervalo más o menos estrecho de variación. Por ejemplo, el caudal de agua en un caño puede considerarse que aumenta proporcionalmente con un pequeño au- mento de la presión y adoptar el aumento de caudal como una solución in- termedia. Luego, con una constante de proporcionalidad menor, correspon- diente al nuevo régimen, se calcula el nuevo aumento de caudal con un nuevo incremento de presión. Así sucesivamente se obtienen valores de caudal y presión que se acercarán a los verdaderos en la medida de que se elijan los incrementos sucesivos suficientemente pequeños. La justifica- ción matemática de este método se estudia bajo el nombre de “integración numérica por diferencias finitas”, y no es otra cosa que una aplicación del principio de superposición sucesiva a un problema no lineal.
- 9. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 9 También hay fenómenos que siguen una ley lineal y pasan a otra ley, lineal o no, a partir de un cierto valor de la variable que los produce. Por ejemplo, superada una tensión de 37 Kg (límite de elasticidad), un alambre de acero de 1 mm 2 de sección se estira más que proporcionalmente con la tensión aplicada 2 . En tal caso, cuando se aplican conjuntamente dos tensiones cuya suma supere dicho límite, no podremos calcular su estiramiento sumando los efectos de cada una de ellas por separado. Si una primera tensión de 20 Kg lo estira 1 mm, una segunda, de 30 Kg, producirá un estiramiento proporcio- nal de 1,5 mm. Hasta allí se cumple la proporcionalidad y estaríamos tenta- dos a adelantar que la suma de ambas (50 Kg) lo estirará hasta 1mm+1,2mm=2,5 mm . Sin embargo, la experiencia nos muestra que el estiramiento real supera este valor (3 mm) . Lo que ocurre es que con 50 Kg se supera la tensión del límite de proporcionalidad de 37 Kg/mm 2 . El ace- ro que supera el límite de elasticidad, recuerda 3 este proceso adoptando una deformación permanente aún después de retirada la carga. La gráfica muestra así una ley que no es reversible, que va por un camino y vuelve por otro. Esta particularidad se llama histéresis (del griego hysterein : llegar tarde) Principio de acción y reacción (Newton - 1665) Las fuerzas existen de a pares. Si podemos ejercer una fuerza sobre un objeto, es porque éste reacciona sobre nosotros con una fuerza igual y contraria. Cuando estudiamos algún caso en que un cuerpo tiene aplicada una fuerza, debemos pensar en quién o en qué se la está aplicando: sobre éste se está ejerciendo una fuerza igual y contraria. Los nombres de acción 2 La ley de proporcionalidad entre esfuerzo y estiramiento se conoce como Ley de Hooke, y es válida hasta un cierto valor que se llama “límite de proporcionalidad” o también “límite elástico”, porque manteniéndose debajo de él, el material recobra sus dimensiones originales al cesar la tensión. 3 Se dice que el material tiene memoria de deformación. 20 Kg 30 Kg 50 Kg 1 mm 2 mm 3 mm 4 mm Limitación para aplicar el principio de superposición 10 20 30 40 50 4 mm 3 mm 2 mm 1 mm Alargamiento Peso (Kg) ida vuelta
- 10. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 10 y reacción que se emplean para nombrar este principio aluden a la aplica- ción de la fuerza sobre algo y durante un tiempo, como veremos luego. Principio de inercia (Galileo - 1610) La materia tiende a permanecer en el estado de reposo o de movimiento uniforme que posee inicialmente. Esta propiedad llamada inercia explica que para modificar el estado de reposo o movimiento uniforme de un cuerpo sea necesario aplicar una fuerza exterior. Teniendo en cuenta el principio de acción y reacción anteriormente enunciado, es evidente que cuando un cuerpo inicia su movimiento o modifica su trayectoria, hay algún otro sobre el que se ejerce la otra fuerza del par. Más adelante veremos que esta cuestión está ligada a otros dos principios accesorios: el de la permanencia del cen- tro de masa (o de gravedad) y a la constancia de la cantidad de movi- miento de un sistema de cuerpos que interactúan entre sí. Conceptos de Cinemática y Dinámica de Partículas Conviene estudiar el movimiento primeramente de partículas, para luego pasar al de cuerpos extensos. Las partículas materiales son, como ya diji- mos, una idealización de cuerpos de dimensiones muy pequeñas y masa finita, de manera que se pueden aproximar a puntos materiales de densi- dad muy elevada. Como el movimiento se refiere a entes materiales dota- dos de masa (o masa energía, para hablar con mayor generalidad) y que tales fenómenos se producen por efecto de una acción exterior, no conviene desvincular la causa del efecto y, contrariamente a lo que se viene haciendo tradicionalmente en la enseñanza de la física, en esta obra se evitará la división entre cinemática y dinámica. Algo sobre vectores Como se sabe, un vector es una magnitud que sirve para representar algo que tiene intensidad (también llamada módulo), dirección y sentido. No alcanza un número para caracterizar tal cosa. A lo sumo ese número podría representar una de sus características, como por ejemplo su intensidad, pero no daría ninguna información sobre las otras dos (dirección y sentido) Vector quiere decir “lo que transporta”. Y precisamente transporte, trasla- ción o desplazamiento son fenómenos que sugieren la necesidad de un vector para ser definidos en forma conceptual y completa. El resultado de una traslación se visualiza mediante una flecha que va desde el punto ori- gen al punto destino (por ejemplo el vector ∆∆d visto antes) y puede ser definida con dos o tres números, según se trate respectivamente de un des-
- 11. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 11 plazamiento en el plano o en el espacio 4 . Esos números pueden ser los valores de sus componentes escalares (pro- yecciones sobre los respectivos ejes de referencia), o bien el valor de su módulo (longitud) y argumento (ángulo que forma con un vector unitario de referencia o “versor”), o alguna otra combinación de valores con las que se pueda representar la flecha en el espacio (por ejemplo módulo, acimut y altura, o también módulo, declinación y ascensión recta) La representación de un vector con dos o tres escalares (componentes se- gún los ejes) tiene el inconveniente de que esos valores dependen del tipo y orientación del sistema de referencia, a pesar de que lo que representa el vector (por ejemplo la susodicha traslación) tiene un significado intrínseco independiente de ese marco de referencia. Por eso, si bien el uso de vecto- res a través de sus componentes es en general un procedimiento cómodo, le resta concisión y generalidad a las operaciones entre este tipo de magni- tudes. Resulta así más propio operar con los vectores como tales, como flechas o imaginando los desplazamientos que pueden llegar a representar. En esta obra se representan magnitudes escalares con letras normales o en negrita, pero sin inclinación. Las letras itálicas en negrita se reservan para repre- sentar magnitudes vectoriales. Se definen las siguientes operaciones con vectores: Suma de dos vectores como la resultante de aplicar el efecto de traslación de uno y otro sucesivamente a un punto. La resta o dife- rencia entre dos vectores se entiende como un caso particular de la suma vecto- rial, en la que el sustraendo tiene módulo negativo, es decir que cambia su sentido. La suma vectorial goza de la propiedad conmutativa, es decir v1+v2=v2+v1 4 Aunque no tienen un significado físico concreto como los de dos o tres dimensiones, listas de más de tres números relacionados entre sí pueden interpretarse como vecto- res de n dimensiones. Para referirlos a una realidad geométrica, se dice que son vectores en un espacio n-dimensional. v1∧∧v2 v1 v2 v1 v2 v1+v2 v1 v2 αα producto escalar v1·v2=v1.v2.cos αα suma vectorial producto vectorial v1∧∧v2=v1.v2.senαα v1.cos αα v1 - v2 v1+v2 resta o diferencia v2 v1-v2 v2 v1-v2 αα v2∧∧v1
- 12. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 12 Producto escalar de dos vectores, es, como lo indica su nombre, un núme- ro (no un vector) . Se simboliza con el punto (·). Este número se define como el producto de las intensidades de los vectores por el coseno del ángulo que forman sus rectas de acción. Nótese en la figura que v1.cos(αα) nos da el valor de la proyección de v1 en la dirección de v2. Si dos vectores tienen producto escalar nulo quiere decir que son perpendiculares entre sí. El producto escalar es conmutativo, o sea v1·v2=v2·v1 . Producto vectorial entre dos vectores, en cambio, se define como un vec- tor cuya intensidad es el producto de los módulos de los dos vectores facto- res multiplicado por el seno del ángulo que forman sus respectivas rectas de acción. La operación se indica con el signo ∧∧ . La dirección del vector resul- tante del producto vectorial es perpendicular al plano que determinan los vectores multiplicados. El sentido del vector producto depende del orden de los factores, es decir que el producto vectorial no es conmutativo. Así resulta V1∧∧V2= - (V2∧∧V1) (ver figura) 5 . Un producto vectorial nulo indica que los vectores intervinientes son paralelos. El módulo del vector producto re- presenta el área del paralelogramo determinado por los vectores factores. Producto de un escalar por un vector: Un número multiplicado por un vector da un nuevo vector de igual dirección, pero cuyo módulo es el pro- ducto del número por el módulo del vector original. Es decir que el factor numérico es un modificador de la intensidad del vector original. Lo amplifi- ca o lo atenúa según sea mayor o menor que uno. Si el factor es negativo, le cambia el sentido. Ejemplo El cálculo vectorial contiene al álgebra, la geometría y trigono- metría implícitas. Por eso es tan potente y conciso. Por ejemplo, el teorema del co- seno (del cual el de Pitágoras es un caso particular) sale natu- ralmente de la definición de diferencia entre vectores, aplicando a ambos miembros de la igualdad el producto escalar por ellos mismos. Téngase para ello en cuenta que al multiplicar un vector escalarmente por sí mismo, se obtiene el cuadrado de su módulo. 5 El cálculo vectorial exige dar signo a los ángulos. Adoptaremos como positivo el sentido antihorario: así en la figura el ángulo α es positivo pues está medido desde v1 a v2. Su seno resulta también positivo, así como el módulo del producto vectorial v1∧V2= v1.v2.sen(α) . Por convención esto se interpreta como que el vector pro- ducto sale del plano del reloj usado para la medida de los ángulos. a b c=a-b c·c = (a-b)·(a-b) = a 2 -2a·b+b 2 2a·b=2.a.b.cos(C) c·c=c 2 =a 2 -2.a.b.cos(C)+b 2 C B A
- 13. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 13 Posición, Trayectoria, Velocidad Los fenómenos físicos ocurren el espacio y en el tiempo. Para ubicar algo en el espacio debemos primeramente caracterizar a éste con puntos y ejes con respecto a los cuales se darán distancias y ángulos para encontrar el lugar donde se encuentra. Este sistema de ejes y puntos se llama sistema de referencia. El valor de las distancias y ángulos son las coordenadas del lugar correspondiente. Por ejemplo son coordenadas de un lugar en el sis- tema de referencia geográfico su longitud con respecto al meridiano de Greenwich, latitud al plano del ecuador y elevación sobre el nivel del mar. Un astro se ubicará por su declinación y ascensión recta en un determina- do tiempo, en el sistema de referencia astronómico, o bien en un sistema local por otra pareja de coordenadas: el acimut y la altura, también en un determinado momento (ya que el astro se mueve, cambiando su posición con el tiempo). Sobre el origen y orientación de referencia decimos que existen sistemas fijos y móviles. Decimos que son fijos, siguiendo a Newton, los sistemas de referencia en los que se mantienen las coordenadas de las estrellas fijas del firmamento 6 . Los sistemas de referencia que se despla- zan con respecto a los sistemas fijos se llaman sistemas móviles. Dentro de los sistemas móviles, se llaman inerciales a los que mantienen su orienta- ción con respecto a los fijos, desplazándose con velocidad constante sin rotar. Es útil representar un espacio de tres dimensiones por un origen desde don- de parten tres ejes perpendiculares entre sí (ortogonales). Esto da una bue- na idea de la perspectiva del espacio y de los objetos, aunque no necesa- riamente se utilicen las coordenadas de éstos referidas a los ejes. Es prefe- rible en general definir la posición de una partícula en el espacio por un vector que parte del origen del sistema de referencia y con extremo o punta en el punto dónde se halla la partícula. Si la partícula se mueve, la punta de ese vector describe una trayectoria (en general una curva en el espacio) a medida que transcurre el tiempo. Nótese que para que todo lo anterior tenga sentido, debemos admitir que en el espacio real son aplicables conceptos de geometría plana tales como puntos y rectas, y de geometría del espacio, tales como planos, curvas, superficies y distancia pitagórica. Asimismo se emplea el concepto intuitivo de tiempo, como una magnitud que transcurre regularmente e independien- temente de otros fenómenos, y cuyo valor rige en todo el espacio (simulta- neidad). 6 SI bien la forma de las constelaciones cambia con el tiempo, lo hace tan lentamente que se considera que su posición en el cielo es invariable. Hay métodos más avanza- dos para encontrar el sistema absoluto de coordenadas, por ejemplo en base a la radiación de temperatura del universo.
- 14. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 14 Se llama velocidad instantánea de la partícula en un momento dado, al co- ciente entre camino lineal recorrido y tiempo, suponiendo que la partícula es abandonada libremente a partir del instante considerado. Sabemos por expe- riencia, que la partícula libre de acciones exteriores persiste en el estado en que se encuentra: quieta o con movimiento uniforme en línea recta, en virtud de esa propiedad ligada a su masa que llamamos inercia. De lo dicho surge que si se dejara libre a la partícula a partir del momento considerado, segui- ría una trayectoria rectilínea en la dirección que tiene en ese momento, cu- briendo distancias iguales en tiempos iguales, o sea a velocidad constante. Esa velocidad es la que tiene la partícula en el instante considerado aunque no se la dejara libre, en cuyo caso un momento después tendría en general otra velocidad tanto en valor como en dirección y sentido. La velocidad, por ser dimensionalmente una longitud dividida por un tiempo, se mide en unidades de longitud dividido unidades de tiempo, por ejemplo metros /segundo, o Km/hora Ejemplo: Un automóvil entra por un acceso a una autopis- ta. Sigue para ello una tra- yectoria curva en el espacio (va doblando y al mismo tiem- po ascendiendo hacia el nivel de la autopista). Su velocidad instantánea en un momento determinado está dada por tres parámetros: el valor que marca el velocí- metro en ese instante (por ejemplo 40 Km/h) la dirección (tangente al camino en ese punto) el sentido (hacia adelante). Si el auto se dejara libre en ese momento (para lo cual deberíamos anular la fuerza de gravedad, la adherencia de las ruedas al camino y en general todo otro rozamiento) recorrería al cabo de una hora 40 Km siguiendo la dirección tangente al camino en la dirección del movimiento (supuestamente que no encontrara obstáculos en esa trayectoria recta). Para poder aplicar al concepto de velocidad instantánea un tratamiento matemático riguroso, Newton inventó una serie de operaciones con las va- riables (posición y tiempo) cuyo conjunto se conoce como “cálculo infinite- simal”, y que consiste básicamente en estudiar el límite de cocientes cuando el denominador se hace tan pequeño como uno quiera. Por ejemplo, en el caso típico de la velocidad, definida como cociente entre distancia recorrida y tiempo empleado, el valor obtenido así tiene carácter de promedio cuando el intervalo de tiempo considerado es extenso y no coincide con el concepto de velocidad instantánea dado antes. Para que el cociente nos dé el valor de eje x ejez eje y origen de coordenadas xy z v
- 15. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 15 la velocidad instantánea (el espacio que recorrería el móvil al cabo de una unidad de tiempo si cesaran todas las acciones sobre él), es necesario con- siderar un intervalo durante el cual la velocidad del móvil no varíe. Imagine- mos el peor caso, en que la velocidad instantánea varíe constantemente a lo largo del camino recorrido y del tiempo transcurrido. Es este el caso típico de un colectivo en servicio, que acelera y desacelera constantemente, yendo también desde un lado al otro de la calzada en su afán de avanzar rápida- mente esquivando a otros vehículos. ¿Cómo medimos la velocidad instantá- nea aquí y ahora?. Los términos aquí y ahora tomados en su significado estricto requieren in- tervalos de tiempo y espacio nulos. El presente no tiene duración, y el espa- cio recorrido en un instante nulo será también cero. No podemos calcular matemáticamente un cociente entre cero y cero, y menos aún darle signifi- cado físico. Sin embargo es imaginable el caso de que por muy rápido que varíe la velocidad en el tiempo (esta variación se llama aceleración), siem- pre que no haya saltos demasiado bruscos (puede no ser el caso de un colectivo), podamos tomar un intervalo de tiempo suficientemente pequeño como para que al principio del intervalo y al final, la velocidad sea casi la misma. Suficientemente pequeño puede ser, según los casos, una hora, un día o un segundo. A este valor se llega prácticamente haciendo sucesivas determinaciones de la velocidad con intervalos de tiempo cada vez menores, hasta que una disminución ulterior del intervalo no produzca cambios signi- ficativos en el resultado del cociente. Se dice que en tal caso llegamos prácticamente al valor del límite del cociente. Entonces el valor del espa- cio recorrido y la duración del intervalo considerado será la velocidad en el intervalo de tiempo que por lo pequeño se confundirá con el instante de tiempo, es decir que coincidirá con el concepto de velocidad instantánea. No hay inconvenientes, al menos en teoría, de medir pequeños intervalos de tiempo y los respectivos desplaza- mientos recorridos. Si se conoce la ley matemática de variación del espacio con el tiempo puede calcu- larse la ley matemática del límite del cociente (velocidad) mediante un procedimiento o “algoritmo” llamado “paso al límite” que se enseña en los cursos de análisis matemático. Esta operación transforma a la fun- ción primitiva (espacio en función del tiempo) en su función derivada 7 (velocidad). 7 Newton empleaba el término “fluxión” para la función derivada, en alusión a un flujo, o sea el cociente entre cantidad de la variable y tiempo x1 y1 z1 ddd111 ddd222 ∆∆∆∆dd z2 y2 x2
- 16. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 16 Consideremos la figura, que representa una bolita cayendo por una rampa formada por dos rieles paralelos doblados en curva. Los vectores d1 y d2 corresponden a las sucesivas posiciones de la bolita en dos instantes t1 y t2 . ∆∆d es la diferencia vectorial entre d2 y d1 y se llama traslación del objeto. Así es ∆∆∆∆dd==dd22--dd11 (letras en iittáálliiccaa representan vectores). El valor de la distancia entre los extremos de los vectores d2 y d1, de coorde- nadas respectivas x2, y2, z2 y x1, y1, z1 , viene dado por la aplicación del teorema de Pitágoras en el espacio, a saber: ∆d=[(x2-x1) 2 +(y2-y1) 2 +(z2-z1) 2 ] 1/2 Si consideramos que la posición tiene carácter vectorial, la velocidad tam- bién lo tendrá, ya que se trata matemáticamente del cociente entre un vec- tor traslación ∆∆∆∆dd (diferencia entre posiciones sucesivas final d2 e inicial d1) y un escalar ∆∆t =t2-t1 (el tiempo transcurrido entre ambas), siempre y cuando este último intervalo de tiempo sea suficientemente pequeño, en el sentido explicado antes. Así es v = límite ∆∆d/∆∆t para ∆t→0 Acción, Cantidad de movimiento, Fuerza e Impulso La expresión matemática de fuerza de inercia como la definió Newton, re- quiere definir previamente el concepto de cantidad de movimiento de un cuerpo de masa m que se mueve a una velocidad vv.. Así decimos que la cantidad de movimiento vale p=m.v . Nótese que la cantidad de movimiento se mide con un vector, ya que se trata del producto de un escalar (la masa) por un vector (la velocidad). La variación de la cantidad de movimiento ∆∆p=∆∆(mv) durante un intervalo de tiempo ∆∆t se debe a la acción de una fuerza F (vector) cuyo valor es el cociente F=∆∆p/∆∆t. Se llama acción de la fuerza sobre la partícula o también impulso de la fuerza sobre la partícula al producto F.∆∆t=∆∆p , cuyo valor (vectorial) coincide con la variación de la cantidad de movimiento. La variación de la cantidad de movimiento de una partícula puede produ- cirse debido a un cambio de velocidad, pero también debido a un cambio de masa, o a ambas cosas a la vez. Por ejemplo, si consideramos una bola que se desliza por una mesa lisa, podemos admitir que la masa del objeto que rueda se mantiene contante durante el movimiento, aunque si somos exqui- sitos y tenemos en cuenta que la bola se desgasta al rodar, habrá que tener en cuenta el minúsculo cambio de masa de la misma. En cierto casos, la variación de la masa no es despreciable, como en el caso anterior. Aviones a reacción y cohetes gastan enormes cantidades de combustible durante el despegue. Si se considera al avión como un cuerpo que incluye al combusti-
- 17. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 17 ble, habrá que considerar que su masa disminuye durante el vuelo. 8 Sobre estos temas volveremos más adelante. Aceleración Vimos que el movimiento de una partícula material está definido por su tra- yectoria en el tiempo. Se nos ocurren así posibles dos tipos de movimiento: los de velocidad constante y los de velocidad variable con el tiempo. El primero de ellos, como ya vimos, está caracterizado por una trayectoria recta, por la que se desplaza el móvil reco- rriendo espacios iguales en tiempos iguales. Por ejemplo, un automóvil que va desde Choele Choel a Río Colorado (dos loca- lidades de Argentina unidas por una recta de 160 Km) guiado por un chófer que mantiene firme sus manos en el volante y su pié en el acelerador, de manera que el auto vaya derechito y la aguja del velocímetro se mantenga en 100 Km/h, es un ejemplo aproximado de un movimiento de velocidad constante. Bajo tales circunstancias el auto realiza una traslación uniforme, y llegará a destino en un tiempo t=160 Km / 100 Km/h = 1,6 h = 96 minutos Para caracterizar el movimiento de velocidad variable debemos estudiar cómo cambia la velocidad con el tiempo. Esta variación de la velocidad con el tiempo se mide a través de la aceleración, que es una función del tiempo que guarda con la velocidad la misma relación que ésta tiene con el espa- cio 9 . Es decir que la aceleración de un movimiento se define como la varia- ción de la velocidad que ocurre en un intervalo de tiempo, dividida el valor de este intervalo. Para calcular la aceleración instantánea en un momento dado, debe cumplirse también, al igual que con la velocidad, la condición de que el intervalo sea lo suficientemente pequeño cómo para que el cociente 8 Se puede también considerar al avión y al combustible como un sistema de cuerpos cuyas respectivas masas se mantienen constantes, pero teniendo en cuenta que parte del combustible va quedando en el camino, en los gases de combustión. La cuestión debe resolverse con la aplicación de los principios de la mecánica de sistemas de cuerpos, para los cuales rige el principio de la constancia de la cantidad total de mo- vimiento, como se verá luego. 9 Es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o el fluxión de la velocidad. ∆∆∆∆vv11 V1 V2 trayectoria en el espacio V1 V2 aa11 V3 V4 aa22 aa33 V4 V3 ∆∆∆∆vv22 ∆∆∆∆vv33 dd11 dd22 dd33
- 18. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 18 no varíe sustancialmente con una disminución ulterior de su denominador (valor límite del cociente cuando el denominador tiende a cero). Desde el punto de vista matemático, la aceleración se representa con un vector, que es resultado de dividir variación de velocidad ∆∆v (vector) e intervalo de tiempo ∆∆t (escalar) cuando éste tiende a cero, o como se decía antes, cuando el intervalo es infinitamente pequeño. De tal manera resulta a = límite ∆∆v/∆∆t para ∆t→0 Definida como la variación de un vector con el tiempo, la aceleración, lo mismo que la velocidad, tiene dirección, intensidad y sentido. Su variación puede referirse a algunos, todos o cualesquiera de esos atributos 10 Estudio general del movimiento de una partícula Vayamos al caso de la figura anterior, en la que la bolita recorre una trayec- toria en el espacio. Admitamos ahora que la bolita pesada tiene dimensiones despreciables y por lo tanto puede considerarse como una partícula mate- rial 11 . En tal caso, la trayectoria demarcada por la rampa de dos rieles se transformará en una línea curva alabeada 12 , al acercar aquéllos adecuándo- los a las pequeñísimas dimensiones de la bolita, y ella misma pasará a ocu- par un punto en el espacio (sin extensión). Vemos en la figura a los vectores v1 y v2 , que representan las sucesivas velocidades en los instantes t1 y t2 , que a su vez corresponden a las respectivas posiciones d1 y d2 . La variación de velocidad ∆∆v1 resulta de la resta v2-v1. Esa variación de velocidad mide la aceleración a1 del movimiento en la posición d1 en la medida de que el inter- valo de tiempo ∆∆t1=(t2-t1) entre las dos posiciones tienda a un valor suficien- temente pequeño como para que el cociente ∆∆v1/∆∆t1 no varíe sensiblemente ante una disminución ulterior de ∆∆t. De la misma manera, los vectores a2 y a3 representan las correspondientes aceleraciones en puntos sucesivos de su trayectoria caracterizados por sus respectivos vectores posición d2 y d3 . Nótese que la dirección de la aceleración está dada por la tangente a la curva que describen los vectores velocidad, de la misma manera que la 10 El sentido de un vector está incluido en el valor de sus componentes. Por ejemplo el vector plano de módulo +1 y ángulo +45º es opuesto al –1 , 45º y coincide con el 1 , - 135º y el 1 +225º. Las componentes ortogonales de este último vector son -√2 , -√2 11 No tiene sentido decir que la partícula sin extensión rueda sobre la trayectoria, como antes hacía la bolita. Una partícula sólo puede desplazarse. Por el mismo moti- vo, una partícula tampoco puede poseer energía de rotación, al contrario de un cuerpo extenso. 12 Alabeado viene de álabe (paleta curva). Se dice de la curva que no está contenida en un plano (curva en el espacio), por ejemplo, una hélice, generada por un punto que describe una circunferencia y al mismo tiempo avanza perpendicularmente al plano de la misma.
- 19. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 19 dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria, descripta por los sucesivos vectores posición. El valor intrínseco de la representación vectorial Si bien se han trazado en la figura anterior tres ejes ortogonales para conferir perspectiva a la representación espacial de la trayectoria y su movimiento, vemos que los vectores velocidad y aceleración que lo caracterizan, pueden definirse sin relacionarlos a las coordenadas absolutas del punto ni a la pro- yección de esos vectores sobre esos u otros sistemas de coordenadas. En efecto, esto es así a pesar de que hemos usado inicialmente la noción de vector posición d refiriéndolo a la terna ortogonal. Pero lo que define el mo- vimiento no es la posición d sino la variación vectorial ∆∆d de la misma . Cada uno de esos desplazamientos por separado, y el conjunto de todos ellos, definen la forma absoluta de la trayectoria, y no requieren relacionarse a terna alguna para tener significado. También poseen valor intrínseco los vectores velocidad y aceleración, que son cocientes entre dife- rencias vectoriales y el tiempo, este último de carácter absoluto en todo el espacio. En la montaña rusa En general conviene estudiar el movimiento con notación vectorial intrínseca cuando el observador está en movimiento. Por ejemplo, a bordo de una vagoneta de montaña rusa que describe un tirabuzón, poco le importa al divertido (o quizás desventurado) pasajero conocer sus datos de posición y movimiento con relación al suelo, por ejem- plo saber que en ese momento sufre una aceleración horizontal hacia el noroeste. Nuestro zarandeado amigo, que tiene serias dudas de lo que sig- nifica arriba o abajo, mucho menos sabrá dónde queda el norte. Más bien sabe que si no se sujeta bien saldrá despedido hacia su derecha, porque el centro de curvatura de la trayectoria está a su izquierda. En cambio, al director de juegos que está en tierra firme, le interesará saber que debe poner una red a cierta altura (coordenada z) por sobre el lugar (marcado con una cruz en el dibujo) donde cada tanto aterriza un pasajero que no se pone el cinturón de seguridad. Tangente 2 T Tangente 1 Plano osculador coordenadaabsolutaz coordenada absoluta y de la red coordenada absoluta x de la red posiciones sucesivas 1 y 2 muy próximas normal binormal N B redde seguridad
- 20. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 20 Triedro intrínseco o triedro de Frenet En la figura se ha dibujado una vía de dos rieles, que describe una curva alabeada en el espacio. Por ella van las vagonetas con los intrépidos pasaje- ros. Propongámonos encontrar algún sistema de referencia local, para que los ocupantes puedan en todo momento definir el movimiento desde su punto de vista. Tendrá sentido elegir como origen de coordenadas al lugar donde se halla el observador en movimiento, por ejemplo el punto del asiento donde el ocu- pante trata de mantenerse. La dirección del vehículo también es un eje conveniente para el pasajero. Esta dirección, hacia donde mira, es claramente “hacia adelante” y coincide con la dirección de la tangente al camino en el lugar donde está el móvil en el momento considerado. La tangente en una curva está determinada por dos puntos infinitamente próximos y coincide, como ya vimos, con la direc- ción instantánea del vector velocidad. Dos tangentes a la trayectoria correspondientes a dos puntos muy próxi- mos entre sí, que tiendan a confundirse en uno sólo, determinarán un plano llamado “plano osculador a la trayectoria” en el punto considerado. Su nombre, derivado de ósculo (beso), alude a que dicho plano roza suave- mente a la curva en el punto considerado 13 . También puede considerarse que el plano osculador está determinado por la tangente en un punto y otro punto próximo, o bien por tres puntos infinitamente próximos de la curva. Las tres definiciones son equivalentes. Perteneciente al plano osculador y perpendicular a la tangente por el origen relativo, definiremos el eje normal. El vector aceleración, del que ya habla- mos, siempre está en el plano osculador y a veces puede tener la dirección normal. Ya volveremos a hablar sobre la aceleración más adelante. Perpendicular a la tangente y la normal por el origen relativo, queda defini- do el eje binormal, que completa la terna. En resumen, el sistema de referencia relativo al observador que se mue- ve según una trayectoria puede estar convenientemente definido por tres ejes ortogonales, que parten del origen relativo (el propio observador), a saber : La dirección tangente a la trayectoria (hacia adelante). Este eje se llama tangente. 13 En geometría diferencial (la rama geométrica del cálculo infinitesimal) se dice que una curva o superficie es osculatriz con respecto a otra curva o superficie, cuando ambas tienen un contacto superficial en más de un punto sin llegar a cortarse , es decir que son “algo más que tangentes”. El plano osculatriz en un punto de una curva en el espacio está determinado por tres puntos sobre la curva, que al acercarse entre sí determinan como límite el plano en cuestión en el punto de encuentro.
- 21. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 21 La dirección perpendicular a la tangente sobre el plano osculador. Este eje se llama normal. La dirección perpendicular a la tangente y a la normal. Este eje se llama binormal. A la tangente, normal y binormal se asignan respectivamente tres vectores unitarios t, n y b (versores) que tienen sus respectivas direcciones, de ma- nera que t ∧∧n = b (recordar lo dicho sobre producto vectorial) Para estudiar el movimiento de una partícula a partir del ejemplo basta imaginar que vagoneta y ocupante se reducen tanto de tamaño con res- pecto a la longitud del camino, que pierde sentido darles una forma o volu- men determinados. También en esas condiciones los rieles de la vía tienden a confundirse en una sola línea. Vagoneta/ocupante y vía se transforman respectivamente en partícula y trayectoria. En este proceso de reducción de tamaño no pierden sentido las direcciones tangente, normal y binormal definidas como antes. El sistema de ejes de coordenadas ortogonales basado en el triedro formado por la tangente, la normal y la binormal en un punto de una curva en el espacio, se llama intrínseco porque permite referir propiedades absolutas de la curva en ese punto, tales como dirección y curvatura, concepto este último que explicaremos a continuación. Al triedro intrínseco también se lo llama triedro de Frenet, en honor al geómetra francés que en siglo XVIII se preocupó en estudiar estas cuestiones. Curvatura El concepto de curvatura de una curva plana o en el espacio también pertenece al dominio de la geometría diferencial, que estudia lo geométrico microscópicamente, para decirlo llanamente. Tomando un punto de una curva en el espacio, podemos definir la tangente en ese punto como la recta que pasa por dicho punto y otro “infinitamente próximo”. Vimos que el plano osculador está determi- nado por esa tangente y un tercer punto de la curva también muy próximo. Por esos tres puntos próximos de la curva (tan próximos que se confunden en uno sólo) pasa también una circunferencia (una sola), llamada circunferencia osculatriz, que pertenece al plano osculador. La inversa del radio de curvatura de la circunferencia osculatriz en un punto de una curva alabeada, define la curvatura de fle- xión de la curva en el punto considerado. (Cuánto mayor es la curvatura CURVATURA POR FLEXIÓN CURVATURA POR FLEXO-TORSIÓN ρρ bb circunferencia osculatriz n n t t t t
- 22. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 22 menor es el radio, y viceversa). Desde un punto de vista más intuitivo, podemos imaginar que una curva plana (no alabeada), puede generarse a partir de una recta que se flexio- na. A causa de dicho proceso, la recta se curva en un plano, no en el espa- cio. La curvatura en el plano de flexión de la curva (plano que coincide con un único plano osculador para todos sus puntos), queda definida como el cambio de dirección por unidad de longitud, que como vimos está medido por la inversa del radio ρρ de curvatura de la circunferencia osculatriz. Mate- máticamente, este concepto se expresa también como la variación del vector tangente t 14 entre dos puntos infinitamente próximos dividida la distancia entre esos dos puntos, o sea: 1/ρ = lim ∆t/∆d para ∆d→0 Para que esta curva plana pase a ser una curva alabeada o curvada en el espacio, es decir que no esté contenida en un plano, deberíamos retorcerla además de flexionarla, como se indica en la figura. Aparece así además de la curvatura de flexión 1/ρρ, la curvatura de torsión 1/ττ, que se define como el ángulo de torsión por unidad de longitud. La torsión está dada por el cam- bio de dirección del plano osculador o de la binormal, que como se recordará es perpendicular a dicho plano. Es decir que matemáticamente resulta: 1/τ = lim ∆b / ∆d para ∆d→0 Ejemplo de curvas en el espacio. Hélices y Cicloides Hélice Se llama hélice a la curva espacial generada por un punto que se mueve con velocidad de giro constante alrededor del centro de una circunferencia 14 No confundir la “t” que representa al vector tangente con la t que representa a la variable escalar tiempo. HÉLICE CICLOIDE V V t n b plano osculador g αα ΠΠ r P αα V v vr
- 23. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 23 (movimiento circular uniforme) mientras el centro de la circunferencia se desplaza con velocidad constante. Cuando la velocidad de desplazamiento es normal al plano de la circunferencia, la trayectoria describe una “hélice cilíndrica”, porque la curva está sobre una superficie cilíndrica. El cilindro correspondiente se llama “cilindro director” de la hélice. La arista del filete de un tornillo común es una hélice cilíndrica, creada por una punta o estilo que graba un surco en el material de una barra cilíndrica que gira sobre su eje mientras el estilo de desplaza paralelamente a éste, o bien cuando la barra se desplaza a medida que gira y el estilo queda fijo apoyado en su superficie. Se llama paso P de la hélice cilíndrica a la distancia que hay entre dos pun- tos cortados por una misma generatriz. Es lo que avanza el tornillo por vuel- ta. El paso P tiene que ver con la velocidad instantánea (vectorial) v del punto generador de la hélice, que se puede descomponer en una compo- nente rotacional vr y otra de avance V perpendiculares entre sí (ver figura). Se define como ángulo de avance αα al formado entre la dirección de la tan- gente y la perpendicular a la generatriz. La velocidad v tiene la dirección de la tangente mientras que la velocidad de traslación V tiene la dirección de la generatriz. Resulta claramente de la figura que V/v = sen (αα) y además V/vr = tg(αα). Llamando T al tiempo que tarda el móvil de velocidad tangencial v en reco- rrer una vuelta de hélice de longitud L será v = L/T . La componente rotacional hace dar al punto una vuelta de longitud 2πr en el tiempo T de donde vr = 2πr/T . De aquí resultan las siguientes expresiones: V=P /T , de donde V/v=P /L=sen(αα) y P=L.sen(αα) V/vr=P /2π r= tg(αα) de donde P=2πr tg(αα) Igualando estas dos ultimas expresiones resulta la que vincula el radio de curvatura r , el ángulo de avance a y la longitud de una vuelta de hélice L: L = 2π r / cos (α) La longitud de una vuelta de hélice es igual a la de la circunferencia genera- triz dividida el coseno del ángulo de avance. Si cortamos por una generatriz el cilindro director y lo aplanamos, la hélice se transforma en la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 2π r y P Cicloides Cuando la velocidad de desplazamiento V no es perpendicular al plano de la circunferencia, la hélice queda semi-aplastada (como un resorte al que se
- 24. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 24 aplica una compresión no paralela a su eje), o totalmente aplastada en dicho plano cuando la velocidad V pertenece a él (un resorte colapsado). En este último caso, la curva se llama cicloide. Nótese que la vista en perspectiva de una hélice, como se muestra en el dibujo, es precisamente una cicloide, ya que lo que se ve es la proyección de la curva aplastada sobre el plano del papel. Como caso particular, una hélice proyectada sobre un plano paralelo al eje del cilindro director da una sinusoide. En la figura se ha dibujado el triedro intrínseco en un punto de la hélice. Nótese primeramente que el plano osculador corta al eje del cilindro direc- tor siempre bajo un mismo ángulo (ángulo αα de avance de la hélice). Ade- más se ve que la dirección de la normal siempre corta perpendicularmente al eje del cilindro director. La tangente y la binormal determinan un plano ΠΠ que en el punto considerado tiene una perpendicular coincidente con la normal del triedro intrínseco , por lo tanto ΠΠ es un plano paralelo al eje del cilindro. Por ser paralelo al eje del cilindro y tener un punto en común con la superficie cilíndrica, el plano ΠΠ tiene también en común la generatriz g que pasa por dicho punto. Es decir que el plano Π determinado por la normal y la binormal, se apoya en una generatriz g del cilindro director. Curvaturas de la hélice Para conformar un trozo de hélice cilíndrica con un trozo de alambre recto, primero hay que flexionar a éste dándole la forma de una circunferencia en un plano (curvatura de flexión) y luego retorcerlo para sacarlo del plano (estirar el arco perpendicularmente al plano). De acuerdo a lo visto, la curvatura de flexión en un punto de la hélice es 1/ρρ = dt/dd , es decir la variación del vector tangente por unidad de longitud. El camino dd es el arco de hélice, cuya proyección según αα es el arco de circunferencia ds, de tal manera ds=dd.cos(αα). También es dt/dd=dt/ds.cos(α), pero como dt/d s=1/r , resulta que la curvatura de flexión para la hélice es 1/ρρ = dt/dd = 1/r.cos(αα) Cuando el ángulo de avance a es cero, la hélice es una circunferencia y de acuerdo a la fórmula anterior la curvatura coincide con la de la circunferencia de radio r, que es 1/r. Cuando el ángulo de avance tiende a π/2 , la hélice tiende a confundirse con una recta generatriz, de curvatura nula. Se dice que la hélice degenera en una generatriz cuando α=π/2 . Cuando α=π/4 (45º) es 1/ρ=1/r/√2 αα 2α2α P P/22 b b r L/22
- 25. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 25 La curvatura de torsión de una curva se definió como db/dd, es decir la variación de la binormal por unidad de longitud. En la hélice de la figura, representada por su proyección sinusoidal, se ve que la binormal b describe un ángulo de 2α por cada L/2 de longitud, y como L=P/sen(α) resulta que la curvatura de torsión es 1/τ = 4α.sen(α) /P Si αα=π/2 (90º) la hélice se trasforma (degenera) en una generatriz y la fór- mula de la curvatura da 1/ττ=2π .sen(2π)/P=0 (curvatura nula como corres- ponde a una recta). Si αα=0 la fórmula nos da también cero, lo cual está de acuerdo con el hecho de que para un ángulo de avance nulo la hélice dege- nera en una circunferencia, para la cual la curvatura de torsión vale también cero, porque es una curva plana. Entre estos dos valores, la curvatura de flexión tiene valores no nulos. Por ejemplo para αα=π/4 (45º) resulta 1/ττ = π/√2/P = 2,22/P . Se demuestra que éste es el máximo valor alcanzable. La hélice cilíndrica posee curvaturas de flexión y torsión constantes en todos sus puntos, lo cual se traduce en la ausencia de puntos notables: es una curva con propiedades intrínsecas iguales para todos sus puntos. Puede haber hélices derechas o izquierdas, según que el tornillo que representan avance o retroceda cuando se lo gira en sentido horario. Las hélices derechas e izquierda no pueden superponerse. Componentes tangencial y normal de la aceleración Ahora que entendemos mejor las propie- dades intrínsecas (desde el interior) de una curva, retomaremos el tema de la aceleración. Ésta se definió como la variación de la velocidad con respecto al tiempo, cuando el intervalo tiende a cero. También se dijo que la aceleración se representa por un vector que perte- nece al plano osculador en cada punto de la trayectoria. A ese plano tam- bién pertenecen la tangente y la normal, definidas por sus correspondientes versores t y n . Se vió también que la dirección del vector aceleración coinci- de con t sólo cuando la trayectoria es una recta. En el caso general de un móvil que siga una trayectoria curva (plana o alabeada) el vector aceleración tiene forzosamente una componente normal an a la dirección, y puede tener o no una componente tangencial at perpendicular a la primera. La expresión vectorial intrínseca de la aceleración resulta así a = at·t + an·n = at + an 15 15 Nótese que at y an son escalares (en letra normal) que multiplicados res- n a t an vat trayectoria
- 26. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 26 La componente tangencial de la aceleración representa la variación del módulo del vector velocidad con el tiempo (el módulo de la velocidad es, por ejemplo, lo que marca el velocímetro), y es la responsable de la fuerza de inercia que nos tira contra el respaldo del asiento en un vehículo que arranca, o nos echa sobre el parabrisas cuando frena. La componente normal representa la variación de la dirección con respecto al tiempo y existe siempre que el camino cambie de dirección, o sea en una curva. Es responsable de la fuerza de inercia centrífuga hacia el lado contrario al centro de curvatura del camino (el centro de la circunferencia osculatriz). Un móvil que recorre una circunferencia con velocidad de módulo cons- tante, no posee componente tangencial de aceleración y sólamente tiene componente normal. A este movimiento se lo llama circular uniforme. El movimiento cuya aceleración está dirigida siempre hacia el mismo punto se llama movimien- to central. El movimiento circular uniforme es un caso particular de movimiento central. El movimiento planetario, que se realiza a lo largo de un camino elíptico o hiperbólico también es central, ya que la aceleración apunta hacia uno de los focos de la elipse o hipérbola, donde está el sol. Es fácil entender que las partículas que se mueven con movimiento central están sujetas a fuerzas que se dirigen a un punto fijo. Una de las características del movimiento central es que el vector posición de la partícula con respecto al punto fijo barre áreas iguales en tiempo iguales. En efecto, en la figura, el área barrida por p en la unidad de tiempo (velocidad areolar) vale VA= ½ |p∧∧v| (recuérdese que el módulo del pro- ducto vectorial mide el doble del área sombreada). La variación de un pro- ducto se puede calcular en base al principio de superposición, conside- rando que primero varía uno de los factores y después el otro. Así será que la variación de la velocidad areolar es ∆∆VA=½∆∆|p∧∧v|=½|p∧∧∆∆v|+½|v∧∧∆∆p| . Como el movimiento es central, la aceleración a tendrá la dirección de p , de manera que p∧∧a = 0 . Como la aceleración es por definición a=∆∆v/∆∆t , de donde ∆∆v=a.∆∆t, resulta que el primer término vale cero ya que p y ∆∆v son paralelos. También son paralelos v y ∆∆p (son ambos tangentes a la trayec- toria). Así es ∆∆VA=0, es decir que VA es constante (su variación es nula ). pectivamente por los versores t y n dan las componentes vectoriales at y an (en negrita itálica) del vector aceleración. v p velocidad areolar = ½ p∧∧v ∆∆p ∆∆v
- 27. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 27 Un móvil que recorre una hélice cilíndrica con velocidad tangencial cons- tante no posee componente tangencial de la velocidad y por lo tanto sólo posee una aceleración que está dirigida según la normal, esto es en direc- ción perpendicular al eje del cilindro director. La proyección de su movi- miento en un plano perpendicular a dicho eje es un movimiento circular uniforme. La proyección de su movimiento en un plano paralelo al eje del cilindro director es sinusoidal, como la que describe el extremo de una vari- lla que vibra y se desplaza a velocidad constante. Ecuaciones del movimiento de una partícula Vimos que en el movimiento de una partícula se definen las siguientes rela- ciones entre posición p , velocidad v y aceleración a : v=dp/dt , a=dv/dt , donde hemos cam- biado la ∆ por la d , significando con ello que trabajamos con el límite del cociente cuando el denominador tiende a cero, o sea con el fluxión o derivada de ρρ y v. Nos abocaremos al problema de re- construir la posición p(t) de un móvil en función del tiempo, conociendo el lugar p(0) de donde parte (posición inicial), su velocidad v(t) y aceleración a(t) en todo momento. Para ello aplicaremos el principio de superposición, considerando que la posición p(t) en el instante t será la suma vectorial de • la posición inicial (en el instante t=0), que llamamos p(0) • el desplazamiento al tiempo t por efecto de la velocidad inicial v(0). Este vale ∆∆pv(t)=v(0).t • el desplazamiento adicional que le impone la aceleración, o sea la varia- ción de la velocidad, desde el instante inicial hasta el instante t . Llama- remos a este tercer término ∆∆pa(t) . La variación ∆∆pa(t) depende del curso de la aceleración con el tiempo, y si el movimiento no es acelerado (o sea es de traslación uniforme) su valor es por consiguiente nulo. En tal caso resulta p(t)=p(0)+v(0).t . Esta ecuación vectorial da para cada valor de t un punto de la recta que pasa por p(0) y tiene la dirección de v(0) (línea punteada) p(0) v(0).t p(t) Posición en un movimiento sin aceleración
- 28. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 28 Agreguemos ahora el efecto de una acele- ración constante. ¿Cuánto vale el término ∆∆pa(t) cuando a(t)=a(0), es decir cuando la aceleración mantiene siempre su valor ini- cial? Si la aceleración es constante, al cabo de un tiempo t la velocidad habrá variado desde el valor inicial v(0) al valor final v(t)=v(0)+a.t , de manera que v(t)-v(0) = a.t Con esa va- riación progresiva de la velocidad, al cabo de un tiempo t se recorre el mismo camino que andando todo el tiempo al valor pro- medio de los valores extremos ∆vp = ½ [v(t)-v(0)] = ½ a.t, con lo cual es: ∆∆pa(t) = ∆vp .t = ½ a.t 2 Entonces, como se muestra en la figura, la posición instantánea p(t) de un móvil que parte de una posición inicial p(0) con velocidad inicial v(0) y acele- ración constante a , está dada por la ecuación vectorial: p(t) = p(0) + v(0).t + ½ a.t 2 , que da para cada valor de t un punto de una parábola cuyo eje está en la dirección de la aceleración a, pasa por p(0) y en ese punto tiene tangente v(0) en el plano determinado por v(0) y a 16 Movimiento de un cuerpo rígido Dijimos ya que una partícula ma- terial es una entelequia a la que se aproxima un cuerpo real de masa apreciable cuando sus dimensiones tienden a cero. Se comprende que la densidad de una partícula deba considerarse infinita, lo que también se da a entender diciendo que la partícula tiene “una masa concentrada en un punto”. Las partículas materiales pue- den ejecutar solamente desplazamientos o traslaciones, ya que las rotacio- nes de un punto no son imaginables. 16 En el dibujo se muestra el caso frecuente de aceleración vertical, como la creada por la fuerza de gravedad sobre la partícula libre. p(0) v(0).t p(t) ½ a t2 a Posición en un movimiento con aceleración constante ROTACIÓNTRASLACIÓN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
- 29. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 29 Un cuerpo extenso representa en cambio una porción de materia que ocu- pa un determinado volumen en el espacio. Pueden ser cuerpos sólidos o fluídos, como vimos antes. Comenzaremos a estudiar el movimiento de sóli- dos de densidad finita y prácticamente indeformables 17 , a los que llamare- mos “cuerpos rígidos”. El movimiento general de un cuerpo rígido en el espacio incluye giros o rotaciones además de traslaciones, por lo que estu- diaremos aquéllas a continuación. Rotaciones En una rotación, los puntos de un cuerpo rígido describen arcos de circunferencia de longitud proporcional a sus respectivas distancias a una recta llamada eje de giro o rotación, que es el lugar geométrico de los centros de esas circunfe- rencias. Entre el ángulo αα, el radio ρρ y el arco s existe, como es sabido, la relación αα=s/ρρ El eje de rotación puede pasar por el cuerpo o fuera del mismo. Para defi- nir una rotación en el espacio hace falta pues especificar el ángulo girado y la dirección del eje de giro. Ello puede hacerse convenientemente con un vector αα de módulo igual al ángulo α girado y con la dirección del eje de giro. Así también se puede considerar que el vector radio de curvatura ρρ multi- plicado vectorialmente por el vector rotación αα genera un vector despla- zamiento s de módulo igual al arco s. Así es s =ρρ ∧∧αα El vector αα es perpendicular al plano del dibujo, y de acuerdo a la conven- ción adoptada, sale del mismo hacia el lector cuando la rotación es antihora- ria . La expresión anterior es válida en la medida de que el arco s pueda asimilar- se a una traslación, o sea que el arco pueda aproximarse a su correspon- diente cuerda. Para ello el ángulo girado debe ser pequeño, de lo que re- sulta que ∆s = ρρ ∧∧∆αα . Dividiendo ambos miembros por el intervalo de tiempo ∆t en que se realiza la rotación ∆s , resulta que ∆s/∆t = ρρ ∧∆αα/∆t 17 En un cuerpo indeformable, la distancia entre sus puntos permanece siempre inva- riable ante acciones externas o internas (fuerzas, presiones) y corresponde a una rigidez infinita: es una simplificación aplicable a cuerpos muy rígidos. ρρ ρρ sα =α = s /ρ/ρ Rotación con eje de giro fuera del cuerpo ejedegiro
- 30. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 30 En el primer miembro figura ∆s/∆t , que no es otra cosa que la velocidad tangencial v del punto del cuerpo rígido considerado. El cociente del segun- do miembro ∆αα/∆t , es un vector, ya que es el resultado de dividir un vector por un escalar. Representa la rotación producida en la unidad de tiempo, por lo que se denomina “velocidad de rotación o velocidad angular”. Se lo simboliza con la letra griega omega minúscula ωω =∆αα/∆t , De tal manera es v = ρρ ∧∧ ωω Movimiento general del cuerpo rígido En base al principio de superposición, se puede considerar que un cuerpo rígido puede pasar de una posición inicial en el espacio a otra final cualquiera a través de una traslación s y una rotación α,α, aplicadas sucesivamente en cualquier orden, y también simultá- neamente. En la figura, una pieza de una estación orbital que se está ensamblando en el espacio, debe llevarse desde la posición 1 a la posición 2. El director del montaje ordenó efectuar primeramente una traslación s a todo el sólido haciendo que el vértice P llegue a la posición final P’. Al cabo de este movimiento, los otros vértices, como el Q’ y el R’ se llevaron a coin- cidir con sus respectivas posiciones finales Q’’ y R’’ a través de una rotación αα apropiada (en este caso particular es de 90º), cuyo eje pasa por el punto P’ , tiene módulo α y dirección normal al plano determinado por los puntos P’ R’’ Q’’ Efectuado estas dos operaciones en orden inverso, o sea primero la rota- ción αα sobre P y luego la traslación s al punto P’, se hubiera obtenido idénti- co resultado final. Si se aplicaran las transformaciones αα y s en forma simultánea, haciendo rotar el aparato sobre el vértice P, manteniendo la dirección del eje de rotación mientras se traslada sobre la recta PP’, sus puntos se trasladarían siguiendo trayectorias curvas en el espacio 18 (línea azul punteada), llegando a sus mismos destinos finales. 18 Estas curvas pertenecen a la familia de las hélices, como ya se vió. P P’ Q Q’ R R’’ A A’ s s’ s’’ αα αα’’ 1 2 Q’’ αα’ αα
- 31. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 31 Así como el director de la misión eligió el punto P perteneciente a un vértice de la pieza como origen de la traslación, su ayudante, que siempre le lleva la contra, hubiera elegido el Q, al que se debe aplicar una trasla- ción diferente s’ para llevarlo al Q’’ y una rotación αα’ sobre ese punto para hacer coincidir a los restantes. Esta rotación αα’ tiene el mismo valor que la anterior αα y es paralela a ella, ya que en ambos casos hay que girar un mismo ángulo α (90º en la figura) y los vectores αα y αα’ son perpendiculares al mismo plano P’ R’’ Q’’ . Al ingeniero en comunicaciones le conviene que el punto de referencia sea el A , exterior a la pieza, donde cae el extremo de una antena que él debe montar. Al punto A se le debería aplicar una traslación s’’ hasta el punto A’ y la misma rotación αα que en los dos casos anteriores. A propósito o no, el ingeniero eligió un punto muy especial. Para él la traslación s’’ y la rotación αα están representadas por vectores de direcciones coincidentes. Siempre es posible descomponer un movimiento general de un cuerpo rígido en una traslación y rotación de la misma dirección (coaxial) eli- giendo el punto apropiado. En tal caso, de aplicarse ambas simultánea- mente, los demás puntos del sólido describen arcos de hélice, ya que rotan y avanzan en la misma dirección. En resumen: Para estudiar un movimiento general del cuerpo rígido hay que tener en cuenta que: • Existen infinitos puntos del espacio vinculados al cuerpo, pertene- cientes (interiores) o exteriores a él, cada uno de los cuáles requiere una determinada traslación para ubicarlo en el respectivo punto de destino. • Para acomodar el resto de los puntos debe aplicarse en el punto destino de la traslación, diferente para cada punto, una misma rotación en to- dos los casos. • El principio de superposición explica que el orden de estas transforma- ciones sea permutable, e incluso que se puedan realizar simultánea- mente a través de un movimiento gradual de rotación-traslación, en am- bos casos con el mismo resultado final. • Hay un punto especial, que puede pertenecer o no al cuerpo, para el cual traslación y rotación necesarias para ubicarlo en la posición final tienen la misma dirección o eje (coaxiales). Aplicadas simultánea- T’ A A’ s’ s’’ αα’’ 1 2 Q’’ T Movimiento helicoidal
- 32. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 32 mente producen entonces un movimiento helicoidal sobre este eje co- mún. Movimiento variado general de un cuerpo rígido Se lo puede estudiar como sucesión de pequeños movimientos discretos, formados a su vez por una pequeña traslación y una pequeña rotación. Con- siderando que éstas se operen simultáneamente y eligiendo el punto de traslación como para que la rotación sea coaxial, se puede representar cualquier movimiento general del cuerpo rígido como una sucesión de movi- mientos helicoidales elementales. Movimiento relativo El movimiento de un cuerpo debe refe- rirse muchas veces a dos sistemas de referencia a la vez, uno local y otro general, que tienen un movimiento relativo entre sí. Por ejemplo la posición y en general el movimiento de un pasajero dentro de un barco puede interesarle al capitán referido a un sistema de coordenadas relativo al barco (local), y también a un observador en tierra que se maneja con un sistema fijo a la costa (general). El caso ya estudiado en que a una partícula en movimiento se le asigna un sistema local intrínseco, con centro en ella misma y formado por la tangente, la normal y la binormal, es un caso particular del problema completamente general, en el que el sistema local no tiene que ver con la trayectoria de la partícula. Refirién- donos a la figura, veamos como está relacionada la posición de la partí- cula con respecto a dos sistemas de referencia que se mueven entre sí y en general NO son inerciales, es decir que el movimiento es acelera- do. El sistema principal, que supon- dremos fijo, tiene origen en O y el móvil tiene su origen en O’ . Este último desplaza su origen con velocidad vo y rotan sus ejes con velocidad angular instantánea ωω P O’ O vo ωω P’ O’’ arr rel O P P’O’ O’’ P’’ αα ωω Varr Vo’ V Vrel Vr
- 33. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 33 Teorema de adición de velocidades La figura representa una situación en el plano (para simplificar el estudio) en la que se ve que en un instante cualquiera la posición de la partícula PO es igual a la suma vectorial de las posiciones de la partícula en los dos sistemas de ejes de referencia cuyos orígenes son O y O’ respectivamente. Se tiene así que O’O+PO’ Un instante más tarde el punto estará en la posición P’ , el origen del sistema móvil en O’’, los ejes se habrán desplazado y rotado (pasando del azul al celeste) Así es ∆∆(PO)=P’P , ∆∆(O’O)=O’’O , Ya que OP=O’O+PO’ la velocidad absoluta de la partícula, que es v = d((PO)/dt , resulta evidentemente igual a la suma de las diferencias v = d(O’O)/dt + d(PO’)/dt Los términos de la suma representan respectivamente la velocidad vo’ de desplazamiento del centro del sistema local o móvil y la velocidad relativa de la partícula vr con respecto a ese punto. Así entonces es v = vo’+vr La ecuación anterior resume el “teo- rema de adición de velocidades” (Galileo), que es una consecuencia directa de la aplicabilidad del principio de superposición a los movimientos simultáneos en dos sistemas. Ejemplo: Un barco avanza a una veloci- dad constante de 3 m/s mientras un tornillo desprendido del palo mayor cae desde 15 m de altura. ¿Cuál será la velocidad ab- soluta del tornillo (con respecto a una boya fija en O) al cabo de 0,4 s? Sabemos que en su caída el tornillo des- cribe una parábola de eje horizontal (marcada en punteado rojo) que parte del origen del sistema móvil O’ en el instante inicial . Avanza horizontalmente a razón de vo’=3m/s y cae verticalmente con aceleración constante g=10 m/s 2 y velocidad propor- cional al tiempo tal que vr =g.t =10.t Al cabo de 0,4 s la velocidad del tornillo relativa al barco será vr=10.0,4 = 4 m/s , con dirección vertical , la que sumada vectorialmente con la horizontal vo’ da una velocidad absoluta v = 5 m/s . Esta velocidad absoluta está dirigida según un ángulo γ con la vertical. Se verifica que tg(γ)= ¾ , de donde γ=36,87º . El tornillo tarda en llegar al piso del velero un tiempo t tal que d= ½ a.t 2 de donde t=(2d/g) 1/2 =√3=1,73s . En ese tiempo el barco recorre una distancia L = 2x1,73 = 3,46m . El tripulante ve caer el tornillo en trayectoria recta hacia sus pies, mientras que el bañista quieto junto a la boya B O O’ 3m/s4m/s 5m/s γγ d=15m LB
- 34. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 34 observa la nave que avanza y el tornillo que cae según la parábola punteada. Velocidad de arrastre Aplicando el principio de superposición, podemos descomponer el despla- zamiento real PP’ del móvil que ocurre en un tiempo ∆∆t en dos partes: un movimiento de arrastre arr que es el arco PP’’ que describiría si estuviera adherido o fijo al sistema local durante el intervalo de tiempo, y el movimien- to relativo rel que es la trayectoria P’’P’ que debería seguir a continuación para llegar al destino P’. Se pueden definir así velocidades de arrastre varr = PP’’/∆∆t y relativa vrel = P’’P’/∆∆t dirigidas según las tangentes a dichas tra- yectorias . Si el sistema móvil se desplaza y no rota, coinciden vo’ con varr y vr con vrel. Cuando existe rotación o roto-traslación como en el caso de la figura, la velocidad instantánea del origen no coincide con la de arrastre y tampoco vr con vrel. Sin embargo siempre se cumple que v = vo’+vr = varr+vrel, como se ve en la figura. Se puede elegir un origen de coordenadas del sis- tema móvil O’ sobre el objeto móvil, en cuyo caso también es vo’=varr y vr=vrel Si el sistema móvil posee un movimiento de rotación ωω y el punto considera- do está a una distancia r del origen de la rotación, resulta que la velocidad de arrastre vale varr=ωω∧∧r y la del origen vo’=ωω∧∧ro’ , o sea que la diferencia entre velocidad de arrastre y velocidad del origen vale varr-vo’=ωω∧(r –ro’) , de donde vo’=varr+ωω(r-ro’) En la calesita María del Carmen decide ir desde un caballito en A hasta un autito en B de una calesita en marcha. Para ello gatea a velocidad relativa constante desde A hacia B por el camino más directo, es decir por una recta que podemos imagi- nar trazada en el piso de la calesita. Co- mo la calesita gira con velocidad angular constante ωω, la verdadera trayectoria que sigue Carmiña no es una recta, sino que resulta de la composición de las trayecto- rias de arrastre y relativa. La primera es un arco de circunferencia y la se- gunda es una recta radial. La posición inicial es A y la final es B’. En este caso no se puede aplicar el principio de superposición de movimientos por- que el efecto de la rotación depende de la distancia al centro O del movi- miento. Según el orden de las transformaciones se deberán aplicar distintos valores a las mismas. Si se considera primero la traslación recta relativa AB, debemos a continuación aplicar un arrastre según el arco BB’; en cambio si primero aplicamos el arrastre, este será según un arco menor AA’ y luego le A B A’ B’ O ωω
- 35. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 35 ρρ α=ω.α=ω.t vr v va dr dαα dvr dva dαα dρρ seguirá una traslación relativa A’B’ de la mima longitud que la AB. La tra- yectoria real de nuestra niña (arco negro AB’) se puede encontrar descom- poniendo el movimiento en elementos suficientemente chicos como para que los pequeños desplazamientos radiales y pequeños arrastres configuren una “escalerita” que llegue lo más cerca posible del punto final B’ Aceleración en el movimiento relativo Teniendo en cuenta que v = vo+vr, y considerando que la aceleración se define por la variación de la velocidad en el tiempo, se puede poner : a = dv/dt = dvo/dt + dvr/dt = ao + ar El primer término es la aceleración del origen del sistema de referencia móvil, al que llamaremos siguiendo una nomenclatura coherente con lo anterior “aceleración de arrastre”. El segundo término es la aceleración del punto con respecto al sistema móvil, que llamaremos “aceleración relativa” Si consideramos que el movimiento del sistema móvil es uniforme, será ao=0 y enton- ces resulta que a=ar, lo que debe interpretarse como que la aceleración de un mólvil no cambia referida a un sistema fijo o a otro que se mueve uniformemente con res- pecto a él (sistema inercial). Se dice que la aceleración de un movimiento es un inva- riante en sistemas inerciales. En cambio si el sistema no es inercial, o sea que se mueve con cierta aceleración, las fórmulas dicen que la aceleración total es la suma de la de arrastre más la relativa. Por ejemplo, mientras un ascensor sube o baja a velocidad constante (pongamos 1 m/s), los pasajeros experimentan la misma aceleración que cuando está quieto (la aceleración de la gravedad, que vale aproximadamente 10 m/s 2 ). En cambio, mientras el ascensor se pone en marcha hacia arriba y alcanza la velocidad final, proceso que tarda medio segundo, existe una aceleración relativa hacia abajo de 1 m/s / 0,5 s = 2 m/s 2 , que se suma a la aceleración de la gravedad. En consecuencia, durante el arranque los pasajeros experimentan una aceleración de 12 m/s 2 , o sea que se sienten 20% más gordos. Aceleración de Coriolis En el caso particular de que el sistema móvil no sólo se desplace sino que también rote a la velocidad angular ωω, aparece un efecto que fué descripto en 1835 por el Ing. G. Coriolis 19 . Para entender esta cuestión debemos subirnos a la calesita con María del Carmen, y mirar la figura adjunta. 19 Gustavo Gaspar Coriolis, ingeniero y matemático francés, quién detectó los térmi- nos complementarios de la aceleración en un sistema en rotación.
- 36. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 36 La posición de la niña en un momento t viene dada por un vector ρρ de longitud variable con el tiempo r(t) y argumento αα=ωω.t , es decir que gira con velocidad angular cons- tante ωω = dαα/dt La velocidad absoluta es la variación del vector ρρ con el tiempo, que puede conside- rarse que se realiza en dos etapas: un aumento radial dr y un aumento perpendicular debido al incremento angular dα que vale r.dα . Así entonces es v = dρρ / dt = dr/dt + r.dαα/dt = vr + r ∧ ωω La fórmula anterior da cuenta que la velocidad absoluta v tiene una componente radial vectorial cuyo módulo coincide con la velocidad relativa vr y una componente perpendicular a la anterior cuyo módulo coincide con la velocidad de arrastre va= ωω.r (de acuerdo a la definición de producto vectorial va = ωω ∧r es perpendicular a r) Para estudiar la aceleración a de María del Carmen mientras gatea sobre la platafor- ma giratoria, debemos considerar la variación de su velocidad vectorial v, que no sólo se realiza en módulo sino también en dirección (medida por el argumento o el ángulo α=ω.α=ω.t) . Nótese que v es un vector tangente a la trayectoria de Carmiña, un espiral para un observador fijo que mirara desde arriba a la calesita. Así resulta a = dv/dt = dvr/dt + d(r ∧ ωω)/dt La variación en módulo (o longitud) de la componente radial vr en el tiempo nos da la aceleración relativa, que en nuestro caso particular es nula ya que Carmiña se desliza siempre al mismo ritmo. En cambio existe siem- pre una variación en la dirección de vr producida por la rotación del sistema de valor dvr tal que es dvr/vr = dαα = ωω.dt , de donde dvr/dt = ωω ∧vr Esta componente de la aceleración se la llama aceleración complementaria relativa. La componente de la velocidad de arrastre varía en dirección y también en módulo, ya que este último aumenta con el radio. La variación de la dirección de la componente de arrastre es también dαα=dva/va=ωω.dt. de donde dva/dt= va ∧ ω .ω . Esta componente de la aceleración es la responsable de que María del Carmen sienta una fuerza centrífuga (que tiende a llevarla hacia afuera): es la aceleración centrípeta o de arrastre. La velocidad de arrastre vale va=ωω ∧∧r y su variación en módulo debido al aumento de radio dr es dva=ωω ∧∧dr . Dividiendo ambos miembros por el intervalo infinitesimal de tiempo dt nos queda dva/dt=ωω ∧dr/dt , pero como dr/dt=vr resulta por fin que dva/dt=ωω ∧ vr , que es otro término complementario llamado de aceleración comple- mentaria de arrastre . Va ac Vr ωω dVr dVa dαα dαα dVa dr dαα
- 37. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 37 En resumen: además de los términos de aceleración de arrastre y relativa, el movi- miento de rotación de un sistema obliga a considerar dos términos complementarios cada uno de ellos igual a ωω ∧∧vr Así pués a = ar + aa + 2 ωω ∧ vr La suma 2ωω ∧vr de los dos términos iguales es la aceleración complementaria o aceleración de Coriolis, que tiene dirección perpendicular a la velocidad relativa y por lo tanto coincide con la de la velocidad de arrastre. El efecto de la aceleración de Coriolis es una fuerza que experimenta María al moverse hacia su meta, que la em- puja hacia la cola del autito, y que ella deberá equilibrar afirmándose al piso para poder alcanzar la puerta. Solución de un problema numérico: Pongamos por ejemplo: ω = 10 vueltas/minuto = 2.π.10/60 = 1 rad/s vr = 0,5 m/s constante, dirigida radialmente hacia afuera r = 3m Velocidad de arrastre va = ω.r = 3 m/s Aceleración centrípeta aa = ω.va =1.3 = 3 m/s 2 (poco menos de la tercera parte de la gravedad, dirigida hacia el centro O) Aceleración relativa ar = 0 m/s 2 (la niña gatea a ritmo constante) Aceleración de Coriolis ac = 2.ω.vr = 1 m/s 2 (un décimo de la aceleración de la grave- dad, dirigida en el sentido de la velocidad de arrastre) Efectos de las fuerzas de Coriolis – Deri- va de proyectiles – Vientos y corrientes marinas. Consideremos un satélite circunpolar de baja altura que rodea a la tierra en órbita perfectamente circular. El movimiento se desarrolla en un plano invariable, que en un momento dado coincide con el del meridia- no del lugar. Sin embargo, debido a la rota- ción de la tierra, el plano del meridiano girará con ésta y para un observador te- rrestre parecerá que el satélite se desvía hacia el oeste con una aceleración que precisamente será opuesta a la de Coriolis ac, que es la que debería poseer el móvil para que siguiera sobre un meridiano en rotación. Lo mismo ocurrirá con un proyectil que se pretenda enviar hacia el sur por un meridiano: un observador en tierra verá una trayectoria curvada hacia el oeste. Cuando llegue sobre el ecuador, vr y ωω serán paralelas y su producto vectorial será nulo, lo que corresponderá a una aceleración de Coriolis igualmente nula: en ese momento el móvil tendrá para el observador una trayectoria sin curvatu- ra en la dirección de la velocidad de arrastre. La dinámica de vientos y corrientes marinas están dominadas por fuerzas de Coriolis, ωω va vr ar ac ecuador paralelo meridiano POLO NORTE aA
- 38. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA 38 que se generan debido a la influencia de la rotación de la tierra sobre los desplaza- mientos de masas fluídas. Por ejemplo, el ecuador cálido genera centros de baja presión hacia donde va el aire más frío desde los polos. Estas corrientes tienen com- ponentes de aceleración de Coriolis con un mecanismo idéntico al explicado para un móvil que se desplaza en un sistema en rotación. Se producen así dos grandes movi- mientos rotatorios, en sentido horario en el hemisferio norte y antihorario en el sur. Aplicación de números complejos al cálculo del movimiento plano La posición de un punto en el plano está definida por un par de valores que pueden asimilarse a las dos componentes de un vector. Un número com- plejo es formalmente lo mismo que un vector en el plano, ya que posee dos componentes que definen la posición de un punto en el plano complejo. Se expresa un complejo r en forma cartesiana r = x+iy (con i=Ö-1) y también en forma polar (módulo r y argumento φ) con la fórmula exponencial de De Moivre según la cual se define e iφ = cosφ+i.senφ, con lo cual queda r = r.e iφ = r.cosφ + i.r.senφ , resultando así que la parte real vale x=r.cosφ y la parte imaginaria y=r.senφ La derivación de funciones complejas tiene el mismo significado y se realiza con las mismas reglas que la derivación de funciones reales, así para r=r.e. iφ resulta que: dr/dt = dr/dt.e iφ +i.φ.r.e iφ = dr/dt e iφ + i.φ.r Ya que e iπ/2 = i.sen(π/2) = i, se puede considerar que i es un operador que rota 90º el término al que es aplicado, así i.φ.r. está representado por un vector de módulo (φ.r) rotado 90º en sentido horario con respecto a φ (argumento de r) De tal manera, representando la posición de un móvil en el espacio con el complejo r = r.e iωt , que es un vector giratorio de velocidad angular ω, resulta la expresión com- pleja de la velocidad: v = dr/dt = dr/dt e iωt + i. ω.r Derivando nuevamente a la anterior se obtiene la aceleración a = dv/dt: = d 2 r/dt 2 = d 2 r/dt 2 e iωt + i.ωt dr/dt e iωt + i.ω.dr/dt = a = d 2 r/dt 2 e iωt + i.ωt dr/dt e iωt + i.ω. dr/dt e iωt - ω2 .r En esta expresión compleja de la aceleración se reconoce: • en el primer término a la aceleración relativa ar = d 2 r/dt 2 e iωt , como un vector giratorio de la misma dirección que r • en el segundo y tercer término a las aceleraciones complementarias, que suman ac = 2 i.ω. dr/dt e iωt , representado la aceleración de Coriolis, un vector giratorio rotado 90º con respecto a r • en el cuarto término se reconoce a la aceleración centrípeta o de arrastre, que vale aa=-ω2 .r, con signo negativo ya que está dirigida en sentido contrario a r Como se ve el cálculo complejo permite resolver problemas en los que intervienen vectores en forma natural y elegante. φφ y=r.senφφ x=r.cosφφ r = r.e iφφ i.φφ.r π/2π/2
- 39. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA a FÍSICA GENERAL ÍNDICE TEMÁTICO DE LA PRIMERA PARTE MECÁNICA – CINEMÁTICA TRATADO DE FÍSICA GENERAL ...............................................................1 REALIDAD - MATERIA Y FORMA ...........................................................1 MACROMUNDO Y MICROMUNDO.........................................................4 MECÁNICA ................................................................................................6 Cuerpos...............................................................................................6 Fuerzas ...............................................................................................6 Principio de superposición de acciones (Galileo - 1600).....................7 Principio de acción y reacción (Newton - 1665)..................................9 Principio de inercia (Galileo - 1610).................................................10 Conceptos de Cinemática y Dinámica de Partículas ...............................10 Algo sobre vectores ...........................................................................10 Ejemplo ......................................................................................12 Posición, Trayectoria, Velocidad ............................................................13 Acción, Cantidad de movimiento, Fuerza e Impulso ............................16 Aceleración ...........................................................................................17 Estudio general del movimiento de una partícula.................................18 El valor intrínseco de la representación vectorial..............................19 En la montaña rusa.........................................................................19 Triedro intrínseco o triedro de Frenet...............................................20 Curvatura .......................................................................................21 Ejemplo de curvas en el espacio. Hélices y Cicloides.......................22 Hélice .........................................................................................22 Cicloides.....................................................................................23 Curvaturas de la hélice................................................................24 Componentes tangencial y normal de la aceleración........................25 Ecuaciones del movimiento de una partícula ...................................27 Movimiento de un cuerpo rígido .............................................................28 Rotaciones.........................................................................................29 Movimiento general del cuerpo rígido...........................................30 Movimiento variado general de un cuerpo rígido...........................32 Movimiento relativo................................................................................32 Teorema de adición de velocidades....................................................33 Velocidad de arrastre ..................................................................34 En la calesita..................................................................................34 Aceleración en el movimiento relativo .................................................35 Aceleración de Coriolis ...................................................................35 Solución de un problema numérico: .............................................37 Efectos de las fuerzas de Coriolis – Deriva de proyectiles – Vientos y corrientes marinas. ..........................................................37 Aplicación de números complejos al cálculo del movimiento plano ...................................................38
- 40. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA b ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA PRIMERA PARTE MECÁNICA - CINEMÁTICA acción, 16 aceleración, 17 aceleración centrípeta, 36 aceleración compleja, 38 aceleración complementaria, 36 aceleración de arrastre, 35, 36 aceleración de Coriolis, 37 aceleración relativa, 35 aceleraciones normal y tangencial, 25 adición de velocidades, 33 agregación, 3 ángulo de avance (hélice), 23 argumento (de un vector), 11 arreglos, 1 átomos, 1 atracción (fuerza de), 7 binormal, 20 bola de billar, 4 cálculo infinitesimal, 14 cálculo vectorial, 7 calesita, 34, 35 cambios de estado, 3 cantidad de movimiento, 10, 16 carga distribuída, 4 carga eléctrica, 1 centro de masa, 10 Choele Choel, 17 choque, 7 cicloides, 23 cilindro director, 23 cinemática, 6 cinemática y dinámica de Partículas, 10 circunferencia osculatriz, 21 colectivo en servicio, 15 componente radial (velocidad), 36 componentes escalares (de un vector), 11 concentrada (masa o carga), 6 coordenadas, 13 Coriolis (aceleración), 35 cuerda, 29 cuerpo rígido, 29 cuerpo rígido (movimiento general), 30, 32 cuerpos, 6 cuerpos extensos, 6, 10 curva plana, 22 curvatura, 21 curvatura de flexión, 21 curvatura de torsión, 22 curvaturas de la hélice, 24 densidad, 6 desplazamiento de cuerpos, 10 diferencias finitas, 8 dinámica, 6 dirección, 21 dirección (fuerza), 7 distribuidas (masa o carga), 6 efecto viscoso, 3 eje de giro o rotación, 29 ejes ortogonales, 13 elásticos (cuerpos), 6 electrones, 1 energía, 2 escalar por vector, 12 esfuerzo muscular, 7 estado, 3 estado amorfo, 3 estado cristalino, 3 estado de reposo, 10 estado pastoso, 3 estática, 6 estudio general del movimiento, 18 evaporación, 3 extensión, 2 filete, 23 fluido, 3 fluidos, 6 fluxión (derivada), 27 forma, 1, 2 fotografía, 1 fotones, 2 fuerza, 16 fuerza centrífuga, 26 fuerza de cohesión, 3 fuerza de gravitación, 2 fuerza de inercia, 2 fuerzas, 7 fuerzas de a pares, 9 fuerzas de Coriolis, 37 fusión, 3 gases, 3 geometría del espacio, 13 geometría diferencial, 21 geometría plana, 13
- 41. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA c gravitones, 5 hélice, 22 hélice cilíndrica, 23 histéresis, 9 impulso, 16 inercia, 10, 14 información, 2 intensidad, 7 interacción entre cuerpos, 10 intercambio de partículas, 5 invariante (aceleración), 35 límite de elasticidad, 9 límite de proporcionalidad, 9 linealidad y no linealidad, 8 líquidos, 3 macromundo y micromundo, 4 masa, 1 masa electromagnética, 2 masa/energía, 2 materia, 1 mecánica, 6 mesones, 1, 5 módulo (de un vector), 11 moléculas, 1 montaña rusa, 19 movimiento central, 26 movimiento circular uniforme, 26 movimiento de partículas, 10 movimiento de un cuerpo rígido, 28 movimiento de una partícula, 27 movimiento planetario, 26 movimiento relativo, 32 movimiento relativo (aceleración), 35 movimiento uniforme, 10 neutrinos, 1 neutrones, 1 normal a la trayectoria, 20 parábola, 28 partícula material, 6, 18 partículas, 1, 6 paso al límite, 15 paso de la hélice, 23 patrón de comparación, 3 plano osculador, 20, 21 plasma, 3, 4 plásticos (cuerpos), 6 posición, 4 posición, trayectoria, velocidad, 13 potencial de forma, 3 presión, 7 presión de un gas, 3 principio de acción y reacción, 9 principio de indeterminación, 4 principio de inercia, 10 principio de superposición, 7, 27 procesos no lineales, 8 producto escalar, 12 producto vectorial, 12 proporcionalidad, 8 protones, 1 proyectil (deriva), 37 punto de aplicación, 7 puntos materiales, 10 realidad, 1 representación vectorial (valor intrínseco), 19 rígidos (cuerpos), 6 Río Colorado, 17 rotación, 29 roto-traslación, 34 satélite circunpolar, 37 sentido (fuerza), 7 simultaneidad, 13 sinusoide, 24 sistema de referencia, 13 sistema inercial, 35 sistemas de referencia local y general, 32 sistemas inerciales, 13 sistemas no inerciales, 32 sólido, 3 sólidos (cuerpos), 6 suma vectorial, 11 tangente, 21 tangente (al camino), 20 teorema del coseno, 12 tiempo (concepto intuitivo), 13 tornillo, 23 traslación, 29 triedro de Frenet, 21 triedro intrínseco o de Frenet, 20 unidades, 3 valor del límite del cociente, 15 variación de la cantidad de movimiento, 16 vector aceleración, 20 vector desplazamiento, 29 vector rotación, 29 vector velocidad, 20 vectores, 10 velocidad, 4 velocidad angular, 30
- 42. FÍSICA - MECÁNICA- CINEMÁTICA d velocidad areolar, 26 velocidad compleja, 38 velocidad constante, 17 velocidad de arrastre, 34, 36 velocidad de rotación, 30 velocidad instantánea, 14, 15 velocidad relativa, 36 velocidad tangencial, 30 velocidad variable, 17 versor, 11 vientos y corrientes marinas, 37 vista, 1
- 43. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 39 DINÁMICA (movimiento bajo la acción de fuerzas) Fuerza Vimos que para explicar los cambios en el estado de reposo o movimiento uniforme de la materia se utiliza en física el concepto de fuerza, del que nos da una medida intuitiva el esfuerzo muscular que hacemos para mover algo, o la sensación de presión cuando sostenemos algo pesado. También se dijo que las fuerzas siempre actúan de a pares, es decir que ante una acción (fuerza x tiempo) existe siempre la correspondiente reacción equili- brante. Masa Recordemos que masa es una propiedad de la materia representada por una cantidad escalar m cuya unidad es el Kg. Esta unidad corresponde muy aproximadamente a la masa de un litro de agua en condiciones normales de temperatura y presión . Cuando un cuerpo de masa unitaria invariable en el tiempo (1 Kg) sufre una aceleración unitaria (1 m/s2) es porque actúa en el sentido de ésta una fuerza unitaria igual al producto entre ambas, o sea 1 Kg.m/s 2 = 1 N (se lee “un Newton”) Cantidad de movimiento Se llama cantidad de movimiento de un cuerpo material de masa m que se mueve a la velocidad v al vector resultante del producto m·v. Si la masa del cuerpo no varía en el tiempo, como ocurre en la mayoría de los casos, la variación de la cantidad de movimiento ∆(mv) en un lapso ∆∆t es igual a m·∆v y coincide siempre con la acción de una fuerza f durante el mismo lapso ∆∆t tal que m ∆v=f.∆t . Interacción de la materia Ley de conservación de la can- tidad de movimiento Cuando un conjunto de varios cuerpos interaccionan a través de acciones directas (choque) o fuerzas a distancia, la experien- cia demuestra que a lo largo del tiempo se conserva siempre la cantidad de movi- miento total, expresada como la suma m2 m1 m1.v1i v1i v2i m2.v2i m2.v2f m1.v1f P Q -x1 x2 m2 m1 O INTERACCIÓN POR CHOQUE
- 44. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 40 vectorial de la cantidad de movimiento individual de cada uno de los cuerpos del sistema. Este principio de conservación de la cantidad de movimiento es absolutamente general y no conoce excepciones. Interacción entre cuerpos La experiencia demuestra que cuando dos o más cuerpos chocan entre sí, la cantidad de movimiento total del sistema antes y después del choque se conserva, de acuerdo a lo dicho recién. De tal manera, si dos cuerpos de masa m1 y m2 que tienen velocidades iniciales v1i y v2i y al cabo de un lapso durante el cual interactúan 1 quedan con velocidades finales v1f y v2f, pode- mos plantear la igualdad vectorial siguiente: m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f de donde m1.(v1i-v1f) = m2.(v2i-v2f) En el dibujo se representan las posiciones sucesivas y el diagrama vectorial con la ecuación de cantidades de movimiento. Centro de gravedad de un sistema de masas Se ve en la figura que es nula la proyección de la resultante de los vectores cantidad de movimiento sobre una perpendicular PQ a su dirección, lo que responde a la ecuación m1.(-x1)/t = m2.x2/t , tomando las distancias x con su signo de acuerdo al sentido del vector trazado desde el origen O De la anterior se deduce que para cualquier instante t es m1.x1+m2.x2=0 , igualdad que es útil interpretar reconociendo que en un sistema de masas existe en todo momento un punto O que se llama centro de masas, centro de gravedad o baricentro del sistema de masas, para el cual es nulo la suma del producto de las masas por las respectivas distancias a dicho punto. Esa suma de productos se llama “momento de primer orden” de la distribu- ción de masas con respecto al punto de referencia. En el caso de que ese punto sea el centro de gravedad, el momento de primer orden es nulo. El movimiento del centro de masas de un sistema sobre el que no actúen acciones exteriores no se altera a lo largo del tiempo, cualquiera sea el tipo de interacción entre las masas del sistema. Se ve en la figura que O se des- plaza con velocidad uniforme V correspondiente a un cuerpo de masa M=m1+m2 con cantidad de movimiento MV = m1.v1 + m2.v2 tal que V= (m1.v1 + m2.v2) / (m1+m2) 1 La interacción puede ser choque o fuerzas a distancia, como la gravitación o la acción electrostática. Las teorías modernas tienden a reducir estas últimas a efectos estadísticos de infinidad de choques de partículas elementales, que se intercambiarían entre sí los cuerpos que se atraen o repelen a la distancia.
- 45. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 41 Acciones de las fuerzas Fuerzas exteriores e interiores a un sistema de masas Podemos dividir a las fuerzas que actúan sobre un sistema de cuerpos en fuerzas exteriores e interiores. Las fuerzas exteriores son las responsa- bles de la aceleración del centro de gravedad del sistema o conjunto de masas, y tienen su origen en interacciones con otros cuerpos no pertene- cientes al sistema. Las interiores se generan por interacciones entre los elementos del sistema y tienen resultante nula, debido al principio de ac- ción y reacción. Jugando al billar – Primera parte Entremos al salón “Bar-Billares” del barrio, donde encontramos una mesa de billar con 2 bolas iguales de masa mb =1 Kg colocadas a 0,5 m de distancia, quietas sobre el tapete. Consecuentemente su centro de gravedad, en el punto medio de la recta que une los centros de ambas bolas, a 0,25 m de cada una, también está inmóvil. Tomemos el taco (sistema exterior) y aplicamos un tacazo sobre la bola Nº1 de masa mb=1Kg , que adquie- re una velocidad de traslación vb = 0,25 m/s dirigida hacia la bola Nº2 Esa primera bola (roja) avanza con aceleración negativa a (en sentido contrario a la velocidad), ya que el paño ejerce sobre ella una fuerza de rozamiento constante en contra del movimiento fr = 0,05N. Al cabo de recorrer 0,25 m choca contra la segunda bola (azul). ¿A qué velocidad v hace impacto? Si fr=0,05 N es a = fr/mb = 0,05/1= 0,05 m/s 2 y entonces vbfinal=vbinicial-a.t , recorriendo una distancia d= ½ a.t 2 de donde t=(2d/a) ½ con lo cual v=vbi-(2d.a) ½ = 0,25-(2x0,25x0,05) ½ = 0,092 m/s Supongamos ahora que esa primera bola a velocidad de 0,092 m/s impacta sobre la segunda bola. Como consecuencia del choque la segunda bola tomará una velocidad v2 y la primera pasará a v1. vbi v1 v v2 Trayectoria del centro de gravedad del sistema a v2 v1 v o o vo vo=velocidad del centro de gravedad
- 46. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 42 La reacción en el choque siempre se lleva a cabo en la dirección entre cen- tros de esferas, donde está el centro O de gravedad del sistema. Si dicha dirección coincide con la de la velocidad inicial v de la bola, las reacciónes m1.v1 y m2.v2 están también sobre ese eje. Este fenómeno uni- dimensional se llama “choque recto” Si la dirección del eje que une centros de esferas no coincide con la veloci- dad, el fenómeno es un “choque oblicuo”, como el que se ha representado en los dibujos adjuntos. En él las velocidades v1 y v2 tienen diferentes direc- ciones La cantidad de movimiento del sistema antes del choque es mb.v , y es igual a la cantidad de movimiento del sistema después del choque mb.v1+mb.v2 . Cuando las dos bolas tienen la misma masa, resulta v =v1+v2 Hay infinitas maneras de equilibrar el vector velocidad v con v1 y v2. En el dibujo se ha elegido tentativamente un par de valores que satisfacen las leyes de la conservación del impulso, que no son necesariamente los que se dan experimentalmente. Para determinar las velocidades reales hace falta conocer lo que se explicará a continuación sobre trabajo y energía. Efectos de las fuerzas La acción de una fuerza sobre un cuerpo material se traduce en varios efec- tos, que pueden coexistir: a) Variación de la cantidad de movimiento b) Presión acompañada generalmente de contracción c) Tensión acompañada generalmente de dilatación Si el cuerpo no se mueve, o se mueve con aceleración menor que la que resulta del cociente fuerza/masa, es porque la acción está equilibrada total o parcialmente por una interacción con otro cuerpo o sistema. Si ese segundo cuerpo tiene una masa comparativamente mucho mayor que el estudiado, y la interacción se hace a través de un medio rígido (un tercer cuerpo o agente indeformable), no habrá movimiento del conjunto y se dice que el sistema está en equilibrio estático. Si el medio por el que se efectúa la interacción no es rígido, por ejemplo fluido, permitirá que la acción de la fuerza se mani- fieste en una variación de la cantidad de movimiento Por ejemplo, si aplicamos una fuerza F = 1 N a un carrito de masa m = 2 Kg apoyado sobre el suelo, éste se moverá con una aceleración a’ menor que la que corresponde a una masa libre a = F/m = 0,5 m/s 2 , por ejemplo a’ = 0,45 m/s2 . La diferencia de aceleraciones se debe a una fuerza que vale f = m. (a-a’) = 2x0,05 = 0,1 N
- 47. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 43 Estudiaremos luego que en los vehículos que ruedan , f tiene tres orígenes: • el rozamiento en ruedas y cojinetes, del que hablaremos más adelante. • la inercia a la aceleración angular de las ruedas • la resistencia del aire. Trabajo de una fuerza Cuando una fuerza se aplica a lo largo de una trayectoria se ejecuta un trabajo 2 El trabajo de una fuerza que se desplaza por una trayectoria se mide por el producto escalar entre el vector representativo de la fuer- za y el vector representativo de la distancia recorrida. Si el camino es recto de longitud AB y la fuerza f es constante en intensidad y direc- ción, el trabajo entre los puntos A y B está representado por el pro- ducto escalar T = f·AB = f.AB.cos(αα), siendo αα el ángulo formado por la dirección de f y la de AB Si la trayectoria tiene forma cualquiera, para una fuerza constante o variable a lo largo de ella, el trabajo total entre sus extremos se calcula dividiendo el camino en pequeños trozos i numerados de 1 hasta n , de longitud elemen- tal dsi suficientemente pequeños como para que se puedan considerar rec- tos y con una fuerza respectiva fi aplicada a lo largo de cada uno de ellos , de manera que el trabajo total sea la suma de n trabajos elementales. En ese caso es T = ΣΣ (fi·dsi) para i=1,2...n Energía de un sistema El trabajo se mide en unidades de energía, función que representa la capa- cidad de ejecutar trabajo de un sistema. La unidad de energía está repre- sentada por el trabajo de una fuerza unitaria a lo largo de un camino recto de su misma dirección y de longitud también unitaria. En el sistema MKS la unidad es el Joule, en honor al físico inglés J.P.Joule (1818-1889). Así una fuerza unitaria de 1N a lo largo de una distancia de 1m ejecuta un trabajo de 1Nm=1J (se lee un Newton por un metro es igual a un Joule) 2 El concepto de trabajo recién enunciado, difiere del que se le da en lenguaje co- rriente, en el que está ligado a esfuerzo y dificultad antes que a un desplazamiento de una fuerza. Sostener un peso “da trabajo”. Sin embargo desde el punto de vista físico, no hay trabajo si no subimos o bajamos ese peso. f1 f2 f3 fi fn dsi A B Trabajo de una fuerza variable f a lo largo de una trayectoria AB T = ΣΣ fi · dsi
- 48. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 44 Tipos de energía De lo visto se entiende que trabajo y energía son conceptos asociados a sistemas materiales. No se puede pensar en energía y trabajo ejecutado sin un soporte material desde dónde salga y otro soporte de destino hacia donde vaya. El soporte material aludido comprende materia y espacio que la rodea. Las propiedades del espacio, por ejemplo la de transmitir fuerzas a distancia, son producto de la materia próxima, como se verá al tratar la gravitación. Un sistema material puede poseer capacidad de ejecutar trabajo de varias formas, pero éste se manifestará siempre a través de una fuerza que se mueve a lo largo de un camino. El trabajo ejecutado por un sistema siempre se efectúa sobre otro u otros sistemas. El primero perderá energía y los segundos la recibirán, y desde ese punto de vista el trabajo puede conside- rarse como flujo de energía o energía en tránsito. El trabajo no es la única forma de energía en tránsito. Existe otra: el calor, que puede considerarse macroscópicamente como un fluído, o microscópicamente como una función estadística asociada a la energía de movimiento de las moléculas o partícu- las que componen la materia. Energía cinética - Teorema de la fuerza viva Vimos que una de las manifestaciones de una fuerza es la variación en el movimiento de la materia en la que se aplica. La fuerza aplicada desde otro sistema sobre una partícula material de masa m es igual a la variación de la cantidad de movimiento: f = d(mv)/dt , y si la masa m no varía con el tiempo será f = m.dv/dt = m.a También es m.dv=f.dt (acción o impulso) Si la acción se desarrolla a lo largo de un camino de longitud dx , el trabajo ejecutado por la fuerza sobre la masa m será f.dx=m.dv/dt.dx . Pero como v=dx/dt , la anterior queda en la forma f.dx=m.v.dv Eso nos dice que el en un pequeño recorrido dx la fuerza f sobre un sistema de masa m efectuará un trabajo f.dx que será igual al aumento de energía del sistema m.v.dv , siendo dv el aumento de velocidad en un pequeño in- tervalo de tiempo dt. En un mayor intervalo de tiempo ∆t = t2-t1 la fuer- za f recorrerá un camino ∆x = x2-x1 a una veloci- dad promedio igual a vm = (v2+v1)/2 para ∆v = v2- v1 , y el trabajo de la fuerza f (que supondremos constante a lo largo del camino ∆x) será: T = f.(x2-x1)= m.vm.∆v = ½ m (v2 2 -v1 2 ) = = [½ m.v2 2 – ½ m v1 2 ] ∆x v1 v2 m m
- 49. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 45 Es decir que el trabajo de la fuerza exterior aplicada a la partícula de masa m es una diferencia de términos iguales a la mitad del producto de la masa por la velocidad al cuadrado Ec = ½ m v 2 . Esa cantidad Ec debe conside- rarse como la energía asociada a la velocidad v. Se llama a Ec energía cinética o fuerza viva de una partícula de masa m en movimiento 3 . Lo anterior nos dice el trabajo de una fuerza exterior sobre una partícula material es igual a la variación de su fuerza viva . Este enunciado se conoce como “Teorema de la fuerza viva” Cuando se habla de fuerzas exteriores, se entiende que son exteriores al sistema de referencia, y que provienen de otro u otros sistemas, que puede ser el resto del universo o una porción limitada de éste. Energía potencial Definida como la capacidad de un sistema de desarrollar trabajo, la energía puede estar almacenada en la forma o configuración del sistema. Un resorte comprimido y un sistema de dos masas alejadas son dos ejemplos de siste- mas que poseen energía de forma que puede ser transformada en fuerza viva u otro tipo de energía, y que pueden ejercer trabajo sobre otro sistema. El resorte puede dar fuerza viva al percutor de un arma. Una pesa elevada a una altura conveniente mueve en su descenso a un molinete sumergido, elevando la temperatura de una masa de agua (experiencia de Joule en 1843 para encontrar el equivalente mecánico del calor). Sistemas de fuerzas conservativas Podemos imaginar que la energía de configuración de los sistemas descrip- tos proviene del almacenamiento del trabajo de una fuerza exterior que llevó el sistema desde una cierta configuración inicial a la configuración final. La fuerza o fuerzas exteriores pudieron haber hecho el trabajo de compresión del resorte o la subida del peso por varios caminos y en diversos tiempos. Sin embargo, la energía almacenada sólo depende del trabajo de una fuerza a la que es posible asignar un valor a cada posición posible del sistema, por ejemplo a la altura del peso, o a la longitud del resorte. En tales casos el sistema tiene asociado un conjunto de fuerzas dependiente de la posición o configuración, y la energía de configuración sólo es función de la posición inicial y final. Se designa a tal conjunto de fuerzas y su distribución en el espacio como “campo de fuerzas conservativo”, justificándose el adjetivo “conservativo” por 3 Nótese que el cuadrado del vector v es un escalar v 2
- 50. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 46 las razones que explicaremos luego. Un campo de fuerzas conservativo admite un modelo de relieve topográfico que se desarrollará con todo detalle al estudiar la gravedad y el campo gra- vitatorio, y que ahora sólo esbozaremos. En este modelo las líneas de fuerza (envolventes de las direcciones de las fuerzas en el espacio) equivalen en un mapa de relieve a las líneas de máxima pendiente que nacen en las cum- bres bajando perpendicularmente a las líneas de nivel o altura sobre el nivel del mar. El equivalente energético de esa altura es el potencial, cuyo gra- diente o máxima pendiente en cada lugar es precisamente el valor del cam- po en ese punto, que representa a la fuerza de deformación en el caso del resorte o la de la gravedad en el caso del peso que se eleva. La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo mínimo necesario para deformar o configurar el sistema yendo desde la primera posición a la segunda en una evolución en equilibrio. El valor de ese potencial (escalar) está en relación directa con la densidad de líneas de campo. Líneas divergentes corresponden a un campo que se va debilitando, y un campo de líneas convergentes indica que la fuerza crece hasta tener un valor infinito en el punto de convergencia. En ambos casos el potencial correspondiente recuerda a un monte con el pico en el punto de convergencia. Un campo de fuerzas de líneas paralelas corresponde a una fuerza constante en todo el espacio. El campo paralelo admite un potencial en forma de rampa rectilínea (caso de la fuerza de gravedad en un modelo que desprecia la curvatura de la tierra). Las líneas de fuerza brotan en las fuentes de campo y se sumen en los su- mideros de campo. En el campo eléctrico las fuentes y sumideros son las cargas positivas y negativas respectivamente. El campo gravitatorio tiene sus sumideros de campo en las masa materiales , metidas en un mar infinito que no requiere fuentes. Fuera de las fuentes o sumideros, o sea en el es- pacio vacío, se conserva el número de líneas de campo 4 . De allí que a estos campos se los designe como conservativos y a las fuerzas correspondientes “fuerzas conservativas”. Sistemas de fuerzas NO conservativas Vimos que las fuerzas conservativas son desde el punto de vista matemático el gradiente vectorial de una función que asigna a cada punto del sistema un potencial escalar. Hay sistemas que no tienen una respuesta tal que las fuerzas puedan derivarse de un potencial con valor fijo para cada punto del espacio. 4 En una superficie cerrada que no contenga fuentes ni sumideros en su interior entran y salen el mismo número de líneas de campo. Matemáticamente hablando, es nulo el flujo de campo en una superficie cerrada (Véase luego “Ley de Gauss”)
- 51. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 47 Si en vez de un resorte elástico que recupera su forma al soltarlo, comprimimos una bola se goma cruda (masa semiplástica), la deformación no estará acompañada de un esfuerzo proporcional a la misma y según el sentido y la velocidad de la deformación impuesta, variará la fuerza en cada punto de la trayectoria de deformación. Por lo tanto tampoco se recuperará todo el trabajo de deformación. Se dice que estos mate- riales poseen memoria de forma, ya que conservan más o menos en su forma actual la deformación impuesta en el pasado. Otros ejemplos típicos de fuerzas no conservativas son las resistencias al deslizamiento y la rodadura entre sólidos, la resistencia viscosa que presen- tan los fluídos al movimiento de sólidos en su seno y las fricciones internas a nivel molecular en el interior de los sólidos. El rozamiento o fricción es un fenómeno que se explica a nivel microscópi- co por la interferencia de las rugosidades superficiales de cuerpos en con- tacto con movimiento relativo. En gran medida la fuerza tangencial resistente que produce este efecto depende de la presión entre superficies y el estado de éstas. Este fenómeno será estudiado con más detalle al tratar el tema de la estabilidad de sistemas. La resistencia viscosa es proporcional a la velocidad relativa entre sólido y líquido está ligada a la propiedad de los fluídos de trasmitir fuerza tangencial con el movimiento de sus partículas, y que será estudiada al tratar la estruc- tura y propiedades mecánicas de los fluídos. Sistemas que evolucionan con desarrollo de fuerzas resistentes no conser- vativas transforman el trabajo de dichas fuerzas en energía térmica, que se manifiesta por el aumento de la temperatura de la materia de los sistemas involucrados. En los títulos siguientes ampliaremos este tema. Principio de conservación de la energía - Calor y Termo- dinámica La transferencia de energía entre sistemas se realiza mediante evoluciones (cambios sucesivos) que afectan a los sistemas dador y receptor. Por ejemplo, al comprimir un resorte con nuestra fuerza muscular, ejercemos una acción sobre el objeto, entregando energía. Ella se transfiere en parte a través del trabajo de la fuerza aplicada al resorte, que se deforma. El fenómeno descripto se realiza en el tiempo y en el espacio, afectando no sólo la forma sino también el estado de los sistemas: nuestros músculos que se mueven a costa de quemar reservas de glucosa, grasas, etc, Estas oxidaciones producen ener- gía muscular que se transfiere y energía térmica que termina disipándose en el am- biente. Mientras tanto el resorte cambia de forma cuando la fuerza ejercida por nuestro brazo lo comprime, reteniendo así energía de configuración. Dependiendo de la mayor o menor velocidad en esta compresión y de la estructura del material, una mayor o
- 52. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 48 menor parte de el trabajo entregado se transformará también en calor dentro del re- sorte, elevando su temperatura. Esa energía térmica generada por fricción molecular en el acero, no contribuye a la deformación y no estará dentro de la energía que el resorte está en condiciones de devolver al distenderse a posiciones anteriores, cuando la fuerza de compresión disminuya. Es un hecho ampliamente comprobado que la energía total al principio du- rante y al final de la evolución entre dos o más sistemas que intercambian energía se mantiene sin pérdida, aunque puede cambiar de tipo dentro de cada sistema durante la transformación. Consideremos por ejemplo un sistema formado por una gran cantidad de partículas que interactúan entre sí. Si bien en teoría podríamos considerar a cada partícula como un cuerpo independiente, y estudiar su evolución a partir de sus posiciones y velocidades a partir de un cierto instante, en la práctica es ventajoso estudiar al conjunto asignándole propiedades globales y reemplazar las propiedades particulares de cada elemento por promedios estadísticos. Así entonces: La energía potencial V del sistema está dada por el trabajo para llevar el sistema de masa total M a la altura h de su centro de gravedad sobre el plano de referencia (el nivel del mar, por ejemplo, al que se asigna altura cero) V=M.g.h La energía cinética Ec será igual al trabajo de las fuerzas exteriores sobre el conjunto del sistema, que lo acelera desde el reposo hasta la velocidad v (es la velocidad del centro de gravedad) Ec = ½M.v 2 La energía interna U de un sistema formado por i partículas de masa mi a velocidades relativas al centro de gravedad vi es la suma de la energía ciné- tica de todos ellos U = ½ΣΣmi.vi 2 , y es diferente de Ec = ½M.v 2 que es la energía cinética o fuerza viva del conjunto de masa M = ΣΣ mi cuyo centro de gravedad se mueve con velocidad v Se puede plantear entonces así la siguiente ecuación: Energía potencial + Energía cinética + Energía interna = constante V + Ec + U = cte Este principio, de conservación de la energía, junto con el de conservación de la masa se han fusionado en el principio único de conservación de la masa-energía, en virtud de la incorporación de conceptos de electromagnetismo a la mecánica clási- ca ocurridos a fines del siglo pasado. De este tema ya se ha hablado en este libro y se lo trata extensamente en el libro de óptica. La diferencia entre aplicar el principio inte- grado de conservación de masa-energía o aplicar los principios de conservación de la masa y de la energía separadamente por el otro, tiene sólamente importancia cuando están en juego grandes velocidades, que no es el caso de los ejemplos de esta sec- ción de la obra.
- 53. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 49 Cuando se aplica a un sistema que intercambia energía con otro u otros, se puede plantear que la energía perdida por el primero es ganada por el o los otros a través de una transferencia de energía en forma de trabajo L y en forma de flujo calórico o sencillamente calor ∆Q: ∆∆V + ∆∆Ec + ∆∆U = L + ∆∆Q Queda así definido el calor por exclusión, como una forma de energía en tránsito que NO es trabajo. Esta conclusión del principio de conservación de la energía es el punto de arranque o “primer principio” de la Termodinámica, ciencia que incorpora en las ecuaciones y balances energéticos esta nueva forma de energía en trán- sito, el calor. Calor y trabajo tienen unidades de energía. Se puede transformar trabajo en calor, entregando el primero a un sistema no conservativo. El estudio del aprovechamiento del flujo de calor para obtener trabajo llevó al ingeniero militar francés Sadi Carnot en 1820 a plantear por primera vez y cuantificar esta ley inexorable de la Naturaleza: la transformación de calor en trabajo requiere dos siste- mas de diferente temperatura o “nivel térmico”: una fuente caliente y una fuente fría. Esa diferencia de nivel junto con el valor absoluto de la temperatura 5 más baja limita el rendimiento de dicha transformación. La incorporación de los principios de termodinámica en todos los capítulos de la física es una necesidad de la que esta obra se hace cargo, para comprender mejor una gran cantidad de temas, especialmente los que se refieren a transferencia de energía e información. Se estará en condiciones de entender mejor el significado del segundo principio des- pués de estudiar sistemas gaseosos y sus leyes. Jugando al billar – Segunda parte Estamos nuevamente en nuestro “Bar–Billares” del barrio, resueltos a estu- diar a fondo las leyes físicas del juego. Recordemos que con la igualdad vectorial que se deduce del principio de conservación del impulso mb.v = mb.v1+mb.v2 , no es posible determinar el par de valores que realmente se da en la realidad, entre las infinitas combinaciones de velocidades v1 y v2 cuya suma vale v , . En ese cometido, apliquemos el principio de conservación de la energía 5 La temperatura absoluta es una medida de la energía interna de un cuerpo. Su significado preciso se dará al estudiar sistemas gaseosos.
- 54. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 50 además del de la conservación del impulso al sistema material que sufre el choque. Choque elástico y plástico Según reconoció Newton en el siglo XVII al estudiar el choque de cuerpos, éstos se deforman durante el impacto. Depende de la elasticidad de los cuerpos involucrados que la energía potencial de deformación sea devuelta totalmente, parcialmente o no se devuelva en absoluto al sistema . Estas tres posibilidades distinguen tres tipos de choque: el elástico, el semi-elástico y el plástico. Coeficiente de restitución La energía que puede obtenerse desde adentro de un sistema de dos masas m1 y m2 a velocidades diferentes v1 y v2 es en general menor que la suma de las energías cinéticas de cada una de las masas, que es la que presenta el sistema para un obser- vador en reposo exterior al mismo. Esto es así ya que acciones desde el interior del sistema no pueden afectar el movimiento del centro de gravedad, que como vimos siempre se mantiene a velocidad constante v0= (m1.v1 + m2.v2) / (m1+m2) (antes, durante y después de la interacción) mientras no actúen fuerzas exteriores. De tal manera, colocándonos en el centro de gravedad del sistema formado por las masas m1 y m2 , cuyas velocidades relativas con respecto a ese punto son (v1-v0) y (v2-v0) respectivamente, podremos extraer una energía interna Ei tal que Ei = ½ m1(v1-v0) 2 + ½ m2(v2-v0) 2 = ½ m1.v1 2 + ½ m2.v2 2 - ½ (m1+m2) v0 2 Se ve que la energía aprovechable desde el interior del propio sistema es la suma de las energías cinéticas individuales de cada una de las masas, menos un término (el tercero) que corresponde a la energía retenida por el sistema de masa total M=m1+m2 , que se mueve a la velocidad v0 que posee el centro de gravedad en todo momento. La energía interna Ei puede transformarse en deformación elástica, semi-elástica o plástica. La relación entre Ei después y antes del choque es un número llamado “coe- ficiente de restitución, que toma valores entre cero y uno: cr= Ei’/Ei para 0<=cr<=1 El coeficiente de restitución cr es nulo cuando Ei’ también lo es, o sea cuando el sistema retiene toda la energía de deformación en su interior 6 . 6 Generalmente en este caso los cuerpos se deforman permanentemente, aumentan- do su temperatura: se transforma así energía mecánica en calor, que es un tipo de energía interna que no puede volverse totalmente a la mecánica, de acuerdo a lo que enseña en Segundo principio de la Termodinámica.
- 55. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 51 En este caso el choque es plástico o inelástico. Es el caso de una bola de masilla que queda aplastada al estrellarse contra el suelo. Un coeficiente de restitución unitario corresponde al caso en que la ener- gía Ei’ restituída después del choque sea igual a la inicial Ei. Es el caso del choque elástico. Moléculas gaseosas y otras micropartículas que por su tamaño y naturaleza no pueden retener energía calórica, de rotación o de vibración, interaccionan con choque elástico. Entre estos casos límites, se encuentran los choques en los que la energía restituída es parcial, llamados “semi-elásticos” o “semi-plásticos” , según se ubiquen hacia uno u otro extremo del intervalo. Ejemplo Abandonemos por un tiempo el billar y dediquémonos a otro noble juego: las bolitas. Tomemos una bolita de vidrio de masa m=10 g y soltémosla desde una altura h1=1 m , Veremos que después del rebote en el piso de baldosas no recupera más que una altura h2=80 cm . Explicación: Una energía correspondiente a m.g.(h1-h2) = 0,20 m x 0,010 Kg x 9,8 m/s 2 = 0,02 J queda atrapada en el sistema bolita/piso en forma de calor 7 . Podemos hacer el siguiente análisis dinámico y energético del fenómeno: La energía del sistema bolita/suelo antes del choque corresponde al trabajo que hicimos para elevar la bolita desde el suelo a un metro de altura, esto es su peso multiplicado por la altura de elevación. Esa energía vale Ei = 0,01 Kg x 1 m x 9,8 m/s 2 = 0,1 J (es energía potencial, o sea de configuración). La bolita llega al suelo con una fuerza viva igual a la energía potencial, o sea Ei = ½ m v 2 = , de donde v = (2.Ei/m) ½ = (2.x0,1/0,01) ½ = 4,47 m/s El tiempo t que tarda en llegar al suelo cumple la relación h1= ½ g . t 2 , de donde t = (2.h1/g) ½ = (2/9,8) ½ = 0,45 s Energía retenida después del choque Er= 0,02J Energía del sistema después del choque Ei’ = Ei-Er = 0,08 J Velocidad inmediatamente después del choque v’ tal que E’i = ½ m v’ 2 , de tal manera v’ = (2. E’i / m) ½ = (2 x 0,08 / 0,01) ½ = 4 m/s Coeficiente de restitución cr= (Ei-Er)/Ei = Ei’/Ei = 0,8 (80%) Choque elástico De la bolita pasamos otra vez al billar. Para simplifi- car el estudio desprecie- mos la pérdida de energía en el choque, consideran- do uno elástico, de acuer- do a lo cual la energía cinética de la bola roja en el momento del choque 7 Una delicada medición acusará un pequeño aumento de temperatura en la bolita y en la zona del piso dónde cayó. v1 v2 v v m2/m1.v2 v1 m1=m2 m1>m2 (m2/m1)½ .v2
- 56. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 52 debe ser igual a la suma de las energías cinéticas del conjunto rojo y azul inmediata- mente 8 después del choque, es decir que ½ mb v 2 = ½ mb v1 2 + ½ mb v2 2 , o sea que debe ser v 2 = v1 2 + v2 2 . Esto significa que el vector v es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos v1 y v2 . En este caso, esos catetos no están determinados, pues su vértice común puede ser cualquiera de los puntos de una circunferencia de diámetro igual a dicha hipotenusa y con centro en su punto medio (ver figura) Si las bolas tuvieran masa diferente m1 y m2, (que no es el caso del billar), la ley de conservación del impulso nos daría: m1.v=m1.v1+ m2.v2 [1] que puede escribirse v=v1+ (m2/m1).v2 [2] En el dibujo de la derecha se toma en cuenta este caso, con m1>m2 La ley de conservación de la energía aplicada al caso de masas desiguales resulta: ½ m1.v 2 = ½ m1.v1 2 + ½ m2.v2 2 [3] que puede ponerse en la forma v 2 = v1 2 + [(m2/m1) ½ v2] 2 [4] según está representado por la figura de la derecha. Choque oblicuo Ahora bien, teniendo en cuenta el principio de conservación del centro de gravedad, equivalente al de conservación de la cantidad de movimiento, Newton redujo el problema del choque oblicuo al del choque recto, to- mando como origen de coordenadas el centro de gravedad del sistema, en general en movimiento uniforme, o en particular en reposo. El choque recto se puede referir al eje que une los centros de las masas (que pasa por el centro de gravedad de ambas), transformando el fenómeno plano en unidi- mensional. Así, las ecuaciones vectoriales se transforman en ecuaciones escalares, reemplazando las velocidades por sus respectivas proyecciones sobre dicho eje. El fenómeno del choque oblicuo para dos masas m1 y m2 que tienen las proyecciones de sus velocidades iniciales v1 y v2 y toman velocidades después del choque de v’1 y v’2 (también tomando sus proyecciones sobre el eje que une las masas) está contenido en las siguientes ecuaciones escala- res: 9 8 La igualdad se cumple inmediatamente después del choque, antes de que tenga lugar la acción de las fuerzas de rozamiento de las bolas contra el paño del tapete, de lo contrario deberá agregarse en el segundo miembro la energía correspondiente al trabajo de dichas fuerzas. 9 Nótese que en las fórmulas siguientes no se usa la cursiva para representar las
- 57. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 53 m1.v1 + m2.v2 = m1.v’1 + m2.v’2 , que también puede escribirse m1.(v1 - v’1 ) + m2.(v2-v’2 ) = 0 [5] m1 = m2.(v’2-v2 ) /(v1 - v’1 ) y además, para choque elástico es (m1.v1 2 +m2.v2 2 ) = m1.v’1 2 + m2.v’2 2 La anterior se puede poner en la forma: m1.(v1 2 - v’1 2 ) + m2.(v2 2 -v’2 2 ) = m1.(v1 - v’1 )(v1 + v’1 ) + m2.(v2-v’2 )(v2+v’2 ) = 0 [6] De [5] y [6], resulta que debe ser (v1 + v’1 ) = (v’2+v2 ) y por lo tanto v1-v2=-(v’1-v’2) [7] La [3] significa que las velocidades relativas entre las masas mantienen su valor absoluto y cambian de signo en un choque elástico. Choque plástico Después de un choque perfectamente plástico, es nula la energía residual interna E’i del sistema, o sea: Ei’ = ½ m1(v’1-v0) 2 + ½ m2(v’2-v0) 2 = 0 Como las masas y las velocidades al cuadrado son cantidades positivas, que la suma de los dos términos anteriores sea nula implica: (v’1-v0) = 0 y también (v’2-v0) = 0 Estas dos fórmulas requieren que sea v’1 = v’2 = v0 , lo que significa que después de un choque plástico, las masas siguen “pegadas” o fusionadas en una sola con igual velocidad v0 que la del centro de gravedad del sistema. Mecánica de los cuerpos rígidos Concepto de cuerpo rígido Los cuerpos extensos, a diferencia de las masas concentradas en partí- culas sin dimensión, ocupan un volumen en el espacio y por lo tanto po- seen masa distribuída caracterizada por su densidad, o sea por el cociente entre masa y volumen ocupado. Los cuerpos sólidos extensos son en la práctica más o menos deforma- bles por acciones externas. Se entiende por cuerpo rígido a un sólido inde- velocidades, ya que éstas son proyecciones escalares de los vectores respectivos sobre el eje que une los centros de las dos masas
- 58. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 54 formable, caracterizado por su forma y por la distribución de su densidad, que puede no ser constante (cuerpo de masa no homogénea) . El cuerpo rígido es una concepción ideal a la que pueden asimilarse con mucha aproximación cuerpos sólidos reales muy poco deformables. El cuerpo rígido puede considerarse formado por una aglomeración de gran cantidad de partículas materiales cuyas distancias relativas perma- necen invariables ante cualquier acción exterior o interior. Esta concepción “granular” responde en cierta manera a la estructura molecular de la materia. También puede imaginarse un cuerpo rígido como formado por gran canti- dad de volúmenes elementales de materia continua de densidad homo- génea o no. Llamando mi a las masas elementales y vi a los pequeños volúmenes ele- mentales de densidad δi de los que puede considerarse formado un cuerpo, resulta que la masa total M del cuerpo es la suma de todas las masas ele- mentales mi , de tal manera que : M = ΣΣι=ι= 01...n mi, o también M = ΣΣ vi.δδi. Centro de masa de los cuerpos rígidos. En ciertas condiciones, un cuerpo rígido puede reemplazarse por una masa de igual valor que la su masa total, concentrada en un punto llamado centro de masa o de gravedad del cuerpo 10 . Como ya dijimos, el centro de gravedad es un punto de posición O tal que la suma de las distancias (vectores) Pi-O de todos los i=1,2,3...n elementos del cuerpo de masa mi y posición Pi cumplen la igualdad vectorial: Σ mi.(Pi-O) = m1.(P1-O) + m2.(P2-O) + m3.(P3-O) +...+ mi.(Pi-O) +...+ mn.(Pn-O) = 0 De tal manera es, desarrollando lo anterior sale, m1.P1 + m2.P2 + m3.P3 +...+ mi.Pi +...+ mn.Pn= O. (m1+m2+...+mn) = O . M , de donde O = ΣΣ mi.Pi / M El vector posición O del centro de masas o baricentro de un cuerpo rígido con respecto a un origen de referencia es igual al momento total de primer 10 Por ejemplo cuando se lo considera formando parte de un sistema con otros cuer- pos separados entre sí por distancias mucho mayores que las dimensiones respecti- vas. Así los planetas del sistema solar podrían en ciertos análisis considerarse como masas concentradas en sus respectivos centros de gravedad. O Pi Pi-O Centro de gravedad M = ΣΣ mi mi Origen de referencia
- 59. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 55 orden ΣΣmi.Pi del cuerpo con respecto a ese origen, dividido por la masa total M. Lo anterior justifica que el baricentro pueda considerarse en una primera aproximación como el lugar representativo de la posición de un cuerpo ex- tenso, ya que si concentráramos toda la masa allí, obtendríamos un sistema de momento de primer orden equivalente al del cuerpo en cuestión. Fuerza viva de los cuerpos rígidos Consideremos un cuerpo rígido animado de un movimiento general cualquie- ra, que, como vimos oportunamente, puede descomponerse en una trasla- ción y una rotación sucesivas. En base a ello, la velocidad, tomada como cociente entre movimiento y tiempo, podrá también considerarse descom- puesta en una velocidad v de traslación y otra de rotación ωω alrededor de un eje. Se demuestra fácilmente que la fuerza viva de traslación del cuerpo rígido de masa M como suma de las energías cinéticas individuales de mi masas a la misma velocidad v, es equivalente a la de la masa M concentrada en su centro de gravedad a la velocidad v , o sea ΣΣ ½ mi v 2 = ½ M v 2 La fuerza viva de rotación es la suma de la fuerza viva de cada uno de los elementos en los que podemos considerar dividido al cuerpo, de masas mi y que están a distancias di al eje de rotación . Cada uno de ellos posee una velocidad tangencial vti=ωω∧∧di y fuerza viva ei = ½ mi .vti 2 = ½ mi.(ωω∧∧di) 2 = ½ ωω 2 . mi.di 2 Momento de inercia La fuerza viva total del cuerpo en rotación a la velocidad angular ωω resulta pués: ΣΣ ei = ΣΣ ½ ωω 2 . mi.di 2 = ½ ωω 2 [ΣΣ mi.di 2 ] La sumatoria entre corchetes representa el momento de un momento, es decir un momento de segundo orden: Como está vinculado a la energía almacenada en cuerpos en rotación alrededor de un eje, se lo llama “mo- mento de inercia axial” Momento de inercia con respecto al eje X Jx = ΣΣ mi.di 2 Para calcular el momento de inercia es necesario hacer una suma de gran cantidad de términos a través de una operación llamada Integración, en alguna medida contraria o inversa a la diferenciación. A continuación damos un ejemplo, para los que conocen algo de cálculo. Los que todavía no ma-
- 60. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 56 nejan las operaciones de diferenciación e integración, deben creer en el resultado, o mejor ponerse a estudiar cálculo diferencial para juzgar por sí mismos. Cálculo del momento de inercia de un cilindro de radio R y altura L con respecto a su eje Lo consideraremos formado por capas cilíndricas de igual pequeño espesor dri , cada una de ellas de masa mi =δδ vi = δδ.2ππ L ri dr Cada una de estas capas elementales está a una distancia ri del eje del cilindro, siendo entonces J = Σ mi.ri 2 = 2πδL ∫r=0 r=R ri 3 dr = 2.π.δ.L.R 4 /4 = ½ π.δ.L.R 4 , pero π.δ.L.R 2 = M , de donde J = ½ M.R 2 Las unidades en que se mide el momento de inercia son Kg/m 3 .m.m 4 = Kg.m 2 Crónicas del CNBA Corre una tarde de junio del año 1952. El célebre profesor Adolfo Cattáneo prende su infaltable cigarrillo negro y lanzando bocanadas de humo, propone a sus alumnos de tercer año nacional el siguiente.... Problema Supongamos que el alumno Rey se larga con un carrito de 4 ruedas por la barranca de la calle Urquiza, en Vicente López, que tiene h=15 m de altura. El carrito pesa 20 Kg sin las ruedas, que son unos discos macizos de acero de R=10 cm de diámetro y L=5 cm de espesor montados sobre cojinetes a bolilla. El vehículo fué construido en los talleres del padre de vuestro condiscípulo Manhard (Carlos Manhard se revuelve incómodo en su asiento, pensando en que puede ser llamado al frente para resolver el problema) La pregunta es: ¿A qué velocidad cruzan la bocacalle 15 m más abajo? Despreciar pérdidas de energía por rozamiento en cojinetes, pérdidas por resistencia a la rodadura y resistencia del aire. Datos adicionales: Masa del alumno Carlos Rey = 52 Kg Densidad del acero δδ=7900 Kg/m 3 Momento de inercia del cilindro de radio R y altura L respecto a su eje J = ½ π.δπ.δ.L.R 4 Solución - A ver Usted, mi estimado alumno Fernández, que fué el que animó a Rey a empren- der este arriesgado viaje, pase y resuelva el problema – dijo A.C. ri dri R L
- 61. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 57 Roberto Fernández Prini, desarrolla el problema diciendo: La energía potencial del sistema carrito/ocupante de masa M se transforma al bajar una altura h en energía cinética de traslación a velocidad v más energía de rotación de las 4 ruedas de momento de inercia total JT = 4J que girarán a una velocidad angular ωω = v/R (suponiendo que se adhieren perfectamente al pavimento, es decir que no patinan) Así podemos poner M.g.h = ½ M v 2 + ½ JT v 2 /R 2 de donde v 2 ( ½ M + ½ JT / R 2 ) = M.g.h , o también v = √√2.g.h / ( 1 + JT / M / R 2 ) Masa de cada rueda: volumen por densidad : ππ.R 2 .L.δδ = 3,14 x (0,1) 2 x 0,05 x 7900 = 12 Kg Masa total del vehículo más ocupante M = 4x12 + 20 + 52 = 120 Kg Momento de inercia de una rueda de acero (δδ=7900 Kg/m 3 ), de radio R=0,1 m y espe- sor L=0,05 m, con respecto a su eje de rotación. J = ππ x 7900/2 x 0,05 x (0,1) 4 = 0,062 Kg.m 2 Momento de inercia de las cuatro ruedas (¿Se pueden sumar los momentos de iner- cia? – La respuesta es SI, pero dejamos a los alumnos el porque) JT = 4.J = 0,248 Kg.m 2 Reemplazando en la fórmula anterior resulta v = (2.g.h) ½ / (1+JT/M/R 2 ) ½ = = √√300 / √√(1+0,25/120/0,01) = 17,32 /1,1 = 15,76 m/s = 56,7 Km/h Aquí el profesor A.C. hace notar: - Si Rey se asusta y bloquea las ruedas con el freno, podría ocurrir que el carrito patinara en vez de rodar. Como el tiempo está helado, puede que las ruedas se desli- cen sobre la escarcha de la calle sin rodar y sin rozamiento apreciable, como en el caso de un patín de hielo. Así no hay energía almacenada en el giro de las ruedas... En vez de terminar a la velocidad recién calculada por Fernández,... terminará más ligero, a la velocidad de caída libre v = √√(2.g.h) = 62,3 Km/h -¿Qué haría para ganarle a Rey, alumno Buntinx?- Preguntó A.C. Carlos Buntinx, contesta de inmediato: - Fabricaría un carrito diseñado para minimizar JT/M/R 2 = 2 π.δπ.δ.L.R 2 / M , es decir con ruedas más livianas (de aluminio, con δ = 2500δ = 2500), de pequeño radio y menor espesor. -Ajá – dijo A.C. - ¿Y no le conviene aumentar M? - ¡Seguro!- dijo Buntinx - Lo pongo al Sr. Silvetti de piloto. (El querido “Gordo” Silvetti, profesor de geografía, pesaba por entonces bastante más de 100 Kg) Cuerpos rígidos sometidos a fuerzas Vimos que un cuerpo extenso (de masa distribuida en un volumen) puede considerarse como de estructura granular o discreta, formado por un gran número de partículas. Este modelo coincide con la hipótesis molecular. El grado de cohesión entre partículas determinará su estado (gaseoso, líquido o sólido, de menor a mayor) También puede considerarse un cuerpo extenso como de estructura conti-
- 62. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 58 nua, con masa distribuída y densidad constante o variable punto a punto. Un cuerpo extenso en el que la distancia entre puntos, elementos o partícu- las que lo forman permanece invariable frente a cualquier acción es un cuer- po rígido, aproximación aplicable a cuerpos reales poco compresibles y de gran cohesión interna. A diferencia de lo que ocurre con las partículas materiales, sobre las que sólamente tiene sentido imaginar fuerzas aplicadas en su punto de ubica- ción, sobre un cuerpo extenso pueden imaginarse fuerzas ya sea concentra- das en cualquier punto de su masa, ya sea distribuídas en una línea o su- perficie perteneciente al volumen del cuerpo. Interesa siempre definir el lugar de aplicación de las fuerzas que pueden actuar sobre cuerpos extensos en general y sobre cuerpos rígidos en parti- cular, porque los efectos dependen del lugar en cuestión. Resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido Para poder resolver los problemas en los que existen diversas fuerzas apli- cadas a un cuerpo extenso, se debe tener presente que dichas fuerzas son magnitudes vectoriales definidas por su intensidad, dirección y sentido, y además por el punto de aplicación. Como el cuerpo rígido es indeformable por esfuerzos internos, cualquier fuerza aplicada puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe, ya que la eventual compresión o tracción derivada del des- plazamiento no se traduce en ninguna deformación 11 . En cambio, aún en cuerpos rígidos, no se puede trasladar paralelamente la recta de acción de una fuerza sin alterar el sistema, el cual rotaría por efectos de esa traslación lateral a menos que se compensara el efecto mediante un par de fuerzas, o cupla, como luego se verá. Problema general en el espacio El estudio de cuerpos sometidos a fuerzas en el espacio de tres dimensiones puede reducirse en general problemas en dos dimensiones, proyectando el sistema de cuerpo y fuerzas sobre planos representa- tivos. Por ejemplo, de una estructura es- pacial como una torre, pueden hacerse tres estudios a través de sendas proyecciones, 11 Si el cuerpo es “duro” (un automóvil) da lo mismo tirar que empujar, en cambio si es “blando” (un colchón) la tracción lo estira y la compresión lo aplasta. Fuerzas en el espacio
- 63. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 59 dos en planos verticales (ancho y profundidad) y una tercera en planta. Los resultados se integran luego a tres dimensiones. Problema en el plano Por ahora consideremos un cuerpo sometido a un conjunto de fuerzas co- planares (que están todas en el mismo plano), que pueden tener cualquier dirección y sentido, tal cual se representa en la figura. La intensidad y la dirección de la resultante R de las cuatro fuerzas F1, F2, F3 y F4 se obtiene sumando sus vectores representativos colocándolos uno a continuación del otro. Sin embargo, la recta de acción sobre la que debe estar esa resultante para que su acción sea equivalente a la de las cuatro fuerzas en conjunto, no queda determinada con este procedimiento de suma vectorial. Método del paralelogramo Isaac Newton dió la pauta de cómo ubicar la resultante de dos fuerzas con- currentes en un punto a través de la regla del paralelogramo, que dice: “La resultante es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son las fuerzas respectivas”. Esta regla es consecuencia de imaginar las acciones de cada fuerza repartidas en pequeños efectos que se adicionan alternativa- mente uno después de otro, según el principio de superposición. En la figura se ven las resultantes parciales de F1 y F2 en R12 , y la de F3 y F4 en R34 . Nótese que para aplicar la regla del paralelogramo es necesario llevar a concurrencia en un punto cada fuerza del par mediante sendas traslaciones de sus puntos de aplicación sobre las respectivas rectas de acción. Sumadas a su vez las resultantes parciales R12 y R34 aplicando la regla del paralelogramo, se obtiene la resultante total R aplicada en el punto P. El hecho de que P esté fuera del cuerpo no tiene importancia por tratarse de un cuerpo rígido, en el que es equivalente aplicar la fuerza en cualquier punto de su recta de acción PQ (por ejemplo en S) Método del polígono funicular En la figura se ve además otro procedimiento para obtener la resultante de un sistema de fuerzas coplanares que pueden ser concurrentes o no, es F1 F2 F3 F1 F2 F3 F4 Polígono Funicular f1 f2 f3 f4 f0 F4 R R R12 R34 Q P S O
- 64. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 60 decir que algunas o todas pueden ser paralelas entre sí. No es éste el caso del método del paralelogramo, sólo aplicable al caso de fuerzas no paralelas en el plano, esto es concurrentes en un punto. El método, llamado del “polígono funicular” por lo que explicaremos luego, consiste en trabajar sobre el polígono de fuerzas, eligiendo un punto O (lla- mado polo) desde el que se trazan rectas hasta los extremos de los vectores representativos de las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido. Quedan así forma- dos una serie de triángulos cuyos lados con vértice en O representan dos componentes cuya suma es el vector representado por el tercer lado. Por ejemplo F1 queda descompuesta en las componentes f0 y f1. La fuerza F2 queda descompuesta en –f1 (ojo al signo) y f2. De tal manera F2=f2-f1. Y así sucesivamente hasta llegar a la última fuerza, en este caso F4, descom- puesta en –f3 y f4. Resulta claro que f0 + f4 es la resultante R del sistema Conociendo su dirección y la de las cinco fuerzas auxiliares f0, f1, f2, f3 y f4 por medio de la construcción anterior, se hace corresponder al polígono de fuerzas una línea quebrada (poligonal) cuyos lados son respectivamente paralelos a las fuerzas auxiliares. Esta poligonal se traza sobre las rectas de acción de las fuerzas en el plano. La prolongación del primero y último lado de la misma se cortan en un punto Q de la recta de acción de la resultante. Justificación del método del polí- gono funicular Dinamómetro Un resorte alojado en un tubo, con un estilo solidario que pueda marcar su alargamiento sobre un escala lineal es un instrumento apto para medir fuerzas. Es un dinamómetro de resorte. Se lo gradúa en Newton o en Kg, colgándole pesos conocidos. Experiencia: Con varios de estos instrumentos y un hilo resistente se puede armar un conjunto como el de la figura. Allí se ve que el hilo adopta la forma del polígono funicu- lar. Precisamente, funicular deriva del latín funiculum: cuerda o cable. Es que un cable o cuerda se tensa por la fuerza a la que está some- tido, indicando por lo tanto su dirección. Si los dinamómetros están bien calibrados, marcarán fuerzas proporcionales a los vectores dibujados en el 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 Newton ESQUEMA DE UN DINAMÓMETRO DE RESORTE F F O A B F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4 f0 f4 f4 f0 R R f3 f2 f1 f2 f1 f3
- 65. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 61 polígono de fuerzas. Moviendo los puntos A y B de amarre del hilo al cuerpo, cambiarán las direcciones de f0 y f4 y el polígono funicular se corresponderá con un dibujo con el polo O en otro lugar. Momento de una fuerza con respecto a un punto Se llama momento de una fuerza F con respecto a un punto O del espacio, al producto vectorial MM = F∧∧d entre el vector representativo de la fuerza y el de la distancia entre el punto de aplicación de la misma y el punto de refe- rencia d = OF-O , punto que no tiene necesariamente que pertenecer al cuerpo sobre el que la fuerza está aplicada. El momento de una fuerza es una entidad creada y usada para representar el efecto de la fuerza sobre un punto del cuerpo. En el párrafo siguiente se verá su importancia al conside- rar la traslación de la recta de acción de una fuerza. El momento de una fuerza depende, de acuerdo a su definición, de la fuerza y la distancia al punto de referencia. Averiguar el momento de una fuerza con respecto a un punto (tomar momentos, como se dice en la jerga de los especialistas) supo- ne considerar el efecto de esa fuerza sobre el cuerpo en la que está aplicada como si éste tuviera libertad de movimiento alrededor de aquél. Casos en que el momento de una fuerza con respecto a un punto es nulo Es importante tener en cuenta cuándo es nulo el momento, porque indica alguna de las con- diciones siguientes: • El momento de una fuerza con respecto a cualquiera de los puntos de su recta de acción es nulo. Esta propiedad es evi- dente, ya que en ese caso el factor dis- tancia d es nulo. • También es nulo el momento cuando la resultante es nula (o sea el otro factor del producto vectorial). No tiene sentido estudiar el caso de que ambos se- an nulos, ya que si no hay resultante, no puede plantearse la distancia de su recta de acción • De acuerdo a lo que sabemos de producto vectorial, podría ser nulo cuando los vectores son paralelos. Se ve en la figura que los vectores d y F están “enganchados” uno a continuación del otro. Así que la única manera de que sean paralelos es que coincidan sus rectas de acción, lo que reduce este caso al primero. Momento y Trabajo El momento es una magnitud vectorial, cuya unidad es fuerza por distancia. Por definición de producto vectorial su módulo resulta |MM| = | F ∧ d | = F.d sen (F ^ d) = F.d’ , para d’ = d.sen (F ^ d) , que es la dis- tancia de la recta de acción de la fuerza al punto O, con respecto al cual se MM d F ||M|M|=F.d. sen (F^d) (F^d) .. O MOMENTO DE UNA FUERZA F CON RESPECTO AL PUNTO O . d’ = d. sen(F^d)
- 66. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 62 considera el momento El momento de una fuerza no debe confundirse con trabajo T de una fuerza, que como ya viéramos es un escalar definido por T = F.d = F.d cos (F ^ d) Trabajo tiene unidades de energía, y es sólo parecido desde el punto de vista dimensional al momento. La distancia en aquél es el camino recorrido por la fuerza, mientras que en el caso del momento es la distancia fija al punto de referencia. Momento de un sistema de fuerzas Por ser el momento una cantidad vectorial, el momento total de un sistema de fuerzas es la suma de los momentos de cada una de las fuerzas con respecto al punto considerado. Si tenemos en cuenta que la resultante R de un sistema debe ser equivalente a todas las fuerzas, su momento MMR con respecto a cualquier punto debe ser igual a la suma de momentos de cada una, o sea al momento total. Es decir: Momento de una fuerza Fi MMi = Fi ∧∧di Momento de todas las fuerzas MMT= ΣΣ MMi = ΣΣ Fi ∧∧di Momento de la resultante MMR = MMT = ΣΣ Fi ∧∧di = R.∧dR La distancia vectorial dR representa la posición o punto de aplicación de la resultante R, y como ésta es la suma de las fuerzas R = ΣΣ Fi , de la tercera ecuación sale: ΣΣ Fi ∧∧di = (ΣΣ Fi ) ∧ dR La igualdad anterior puede escribirse tomando módulos de los vectores en ambos miembros. Se debe recordar que los momentos de fuerzas coplana- res son paralelos, ya que todos son perpendiculares al plano, por lo que el módulo de su resultante es la suma de los módulos de cada uno de los mo- mentos. Además téngase presente que la distancia de la recta de acción de la fuerza al punto considerado vale d’=d.sen(F ^ d) (ver figura de la página anterior) Así resulta que |ΣΣ Fi ∧∧di | = |(ΣΣ Fi ) ∧ dR | y también ΣΣ Fi .d’i = d’R . ΣΣ Fi de donde d’R = ΣΣ Fi .d’i / | ΣΣ Fi | Es decir que la distancia de la recta de acción de la resultante al punto con-
- 67. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 63 siderado es igual al momento de primer orden de todas las fuerzas dividido la resultante de todas ellas. Por supuesto que si el punto desde el cual se toman momentos pertenece a la recta de acción de la resultante es d’R = ΣΣ Fi .d’i =0 Traslación de la recta de acción de una fuerza - Cupla Vimos que el punto de aplicación de una fuerza sobre un cuerpo rígido pue- de trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe. En cambio el desplazamiento paralelo d de una fuerza F fuera de su recta de acción cuando está aplicada sobre un cuerpo cualquiera, aunque sea rígido, no puede hacerse sin que cambie el efecto que inicialmente tenía sobre éste. Para entender el efecto de esa traslación, pueden considerarse aplicadas en el punto donde se quiere trasladar, dos fuerzas iguales y contrarias cada una del mismo valor a la considerada, que lógicamente tienen resultante nula. Este cambio, que no afecta al sistema siempre que se trate de un cuerpo rígido, nos permite ver que la traslación de una fuerza requiere la aplicación adicional de un par de fuerzas de igual mag- nitud y sentido contrario cuyas rectas de acción están precisa- mente a una distancia igual al desplazamiento d considerado. Momento de una cupla Un par de fuerzas o cupla puede caracterizarse por una magnitud igual al producto vectorial de la fuerza por la distancia, es decir MM = F∧∧d . Esta magnitud coincide con la suma de los momentos de primer orden de las dos fuerzas del par, tomadas con respecto a cualquier punto O del espacio, perteneciente o no al cuerpo. En la figura adjunta no se ha representa- do el vector momento MM, que de acuer- do a la convención usada en esta obra para el producto vectorial, debería ser uno perpendicular al plano del dibujo. En cambio se ha indicado mediante una flecha curva el efecto de rotación que el par de fuerzas produciría en el cuerpo si se dejara librado a su acción. La fórmula escalar anotada en la figura |MM| =F.d es válida además de la expresión vectorial, d F -F d1 d2 MM=F.d1-F.d2=F(d1-d2)=F.d O d2 d1 MM=F∧∧d A B A B F -F F F d Un cuerpo rígido con una fuerza F aplicada en el punto A es equivalente al mismo cuerpo con esa fuerza F trasladada al punto B más un par de fuerzas o cupla de traslación F –F cuyo momento vale MM = F∧∧d
- 68. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 64 al ser en este caso particular los factores perpendiculares entre si. De lo anterior surge claramente que el momento de una cupla es igual en todos los puntos del plano. En cambio el momento de una fuerza varía con respecto al punto desde el cual se toma. Cuando un conjunto de fuerzas coplanares presenta un momento MM invaria- ble con respecto a cualquier punto, es porque no es reducible a una sola fuerza resultante. En cambio es equivalente a un par de ellas opuestas, iguales y paralelas, es decir una cupla, cuyo momento vale MM Desde el punto de vista práctico, una fuerza muy pequeña (despreciable) con respecto a un punto muy alejado representa aproximadamente una cu- pla, ya que su resultante es aproximadamente nula mientras que su mo- mento no lo es. 12 Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido Con el método del polígono funicular, visto antes, se puede hallar la resul- tante cualquiera sea la disposición de las fuerzas en el plano y por lo tanto también para fuerzas paralelas. En este caso particular, como la resultante es equivalente a todas las fuerzas aplicadas una a continuación de la otra a lo largo de la recta de acción, si trasladamos paralelamente cada una de las fuerzas sobre dicha recta (pun- tos gruesos en la figura), deben anularse todos los momentos correspon- dientes a cada traslación. Esta condición es necesaria para obtener un sis- tema equivalente al primitivo, sin momento MM. Refiriéndonos a la figura, lo anterior se resu- me en la siguiente ecuación vectorial: ΣΣ Fi ∧∧di= 0 [1] Donde los vectores d son las distancias correspondientes de cada fuerza al punto de aplica- ción de la resultante. Dado que las fuerzas son paralelas, la anterior se puede reemplazar por la ecuación escalar: 12 El producto de una cantidad infinitamente pequeña por otra infinitamente grande no es nulo ni infinito: toma un valor que depende de cómo tienden a cero e infinito res- pectivamente sus factores. Composición de fuerzas paralelas R F1 F2 F3 F4 F5 R d1 d2 d3 d4 d5
- 69. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 65 ΣΣFi.di= 0 [1 bis] en la que los signos de las distancias escalares d entre recta de acción de la fuerza y la resultante, son positivos o negativos según se midan hacia la derecha o hacia la izquierda de la fuerza. También puede considerarse que Fi.di es positivo o negativo según tienda a hacer girar el sistema en contra o a favor del reloj. Así, en la figura F5.d5 es positivo, mientras que F1.d1 es negativo Por otra parte, el valor de la resultante R debe ser igual a la suma vectorial de todas las fuerzas, es decir: ΣΣ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2] Por ser fuerzas paralelas, la anterior se reduce a la igualdad escalar: ΣΣ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2 bis] La [1 bis] y la [2 bis] significan que se puede reemplazar un conjunto de fuerzas paralelas que actúen sobre un cuerpo rígido, con una resultante cuya intensidad sea igual a la suma aritmética de las intensidades de todas las fuerzas, colocada sobre una recta paralela con respecto a la cual será nulo el momento de primer orden Σ Fl .dl Fuerzas concentradas y distribuídas Hasta ahora hemos considerado fuerzas aplicadas en un punto de un cuerpo rígido, pensando en una fuerza concentrada sobre una partícula material. Por más que las acciones sobre cuerpos extensos se pueden pensar como fuerzas concentradas sobre ciertas partículas constitutivas del mismo, también es útil considerar a veces otro modelo en el que las acciones se representan por fuerzas distribuídas en una zona extensa (línea o superfi- cie) del cuerpo. Por ejemplo, en primera aproxima- ción el peso del programador sobre el asiento pue- de considerarse que se ejerce a través de una fuerza concentrada en el medio de la tabla del banco. Es más ajustado pensar en dos fuerzas paralelas en cada glúteo, o mejor aún una presión distribuída sobre la superficie de contacto del cuerpo sobre el asiento y los pies en el suelo. En el dibujo, las zonas más oscuras corresponden a mayor presión. La presión del viento sobre un cartel publicitario, la fuerza de la explosión en un cilindro de un motor sobre el pistón y aún el peso de el cuerpo sobre un patín de hielo se representan mejor con fuerzas distribuídas sobre las super- ficies o líneas en las que actúan. PRESIÓN DEL PROGRAMADOR SOBRE EL ASIENTO Y SOBRE EL PISO
- 70. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 66 Esta mejor aproximación, no indispensable en cuerpos rígidos, es de rigor cuando se consideran los efectos de las acciones sobre cuerpos deforma- bles, ya que en éstos la presión produce una deformación local proporcional a la misma, como veremos al tratar la mecánica de los cuerpos sólidos elás- ticos. El concepto de fuerza, masa o en general cualquier magnitud distribuída en un cuerpo, se entiende pensando primeramente en la magnitud concentrada en un punto representativo de todo el cuerpo, y luego considerando al cuer- po formado por un conglomerado de pequeñas partículas a las que se aplica el mismo criterio. Llevando al límite ese proceso mental, se puede llegar a pensar que la magnitud concentrada es tan chica que lo que interesa es el cociente entre el valor pequeñísimo de esa magnitud y el valor también mi- núsculo de la región del cuerpo a la que pertenece. Por ejemplo, la densidad en un punto de un cuerpo es el límite del cociente entre la masa y el volumen cuando consideramos a éste infinitamente pequeño en una región que con- tiene al punto considerado. Una presión resulta igualmente de considerar el cociente entre fuerza y su- perficie, cuando ésta tiende a cero. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el filo de un patín sobre el hielo es igual al peso del patinador divido la longitud de la arista del patín. Densidad, presión y peso por unidad de longitud son magnitudes distribuídas aplicables cuando se considera a la materia formada por una sustancia con- tinua, sin granos o discontinuidades. Cuando se adopta el modelo de cuerpo continuo, la fuerza concentrada es una aproximación para representar una gran presión ejercida en una superficie muy pequeña, como la que ejercen las finas patas del banco donde está sentado el programador. La adopción de modelos distribuídos o concentra- dos está en general aconsejada por la escala o grado de detalle que pretendemos dar a la descrip- ción y estudio de los fenómenos. Por ejemplo. una cadena colgada de los extremos puede estudiarse como tal, con eslabones independientes sobre los que actúa un peso concentrado, o como una cuerda o cable de masa distri- buída en una línea: la elección depende de la cantidad de eslabones 13 . 13 Una cuerda o hilo puede considerarse a su vez como una cadena de infinidad de pequeños eslabones de fibras entrelazadas.
- 71. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 67 Gravedad Hemos visto que la variación de la cantidad de movimiento de los cuerpos se asigna a la acción de fuerzas, aplicadas por contacto con otro cuerpo, como en el caso del choque, o por empuje o tracción desde otro sistema a través de un vínculo (la mano que empuja un objeto, el cable que tira del ascensor, etc.). Sin embargo, la fuerza más común que es el peso que experimentan los cuerpos, esa fuerza que los impulsa a caer contra la tierra, se ejerce sin la intervención de un vínculo o medio material intermedio entre objeto y tie- rra. Es una acción a distancia, aparentemente ejercida desde la tierra sobre toda la materia. Se la llama fuerza de gravedad. La gravedad o atracción gravitatoria se puede estudiar en escala terrestre como la fuerza que aparece sobre todos los objetos, dirigida verticalmente hacia abajo y que es proporcional a la masa a través de una constante que tiene lógicamente dimensiones de aceleración. Es la “aceleración de la gra- vedad”, representada por la letra g. La experiencia demuestra que g varía con la altura y con la posición en el planeta: no vale lo mismo en Buenos Aires que en Sucre. No vale lo mismo en los polos que en el ecuador, ni en la cima del Aconcagua que a nivel del mar. Pronto veremos por qué. Sin embargo, esas variaciones son prácticamente muy pequeñas a escala terrestre, y en todas las aplicaciones será una aproximación suficiente tomar a g = 9,8 m/s 2 e incluso a veces redondear g = 10 m/s 2 Peso Así, sobre un cuerpo de masa m está aplicada una fuerza, llamada peso, igual a P = m.g Si esa fuerza no se equilibra con una reacción contraria de algún objeto o vínculo unido a tierra (columna, soporte, viga, etc.) el cuerpo cae con una aceleración igual a P/m = g , llamada por eso “aceleración de la gravedad” Por efectos del peso, los cuerpos caen con movimiento acelerado exclusi- vamente de traslación, verticalmente hacia abajo. El peso puede ser consi- derado como resultante de fuerzas paralelas elementales proporcionales a su densidad aplicadas en cada porción o partícula constitutiva del cuerpo, o lo que es equivalente en el caso de cuerpos rígidos, una única fuerza pro- porcional a la masa total del cuerpo aplicada en un punto de la resultante de esas fuerzas paralelas, llamado “centro de masas, centro de gravedad o baricentro”
- 72. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 68 Centro de gravedad Llamado también centro de masas o baricentro, el centro de gravedad es el punto donde puede considerarse aplicado el peso de un cuerpo rígido para obtener una acción equivalente a la de la gravedad, o la masa para obtener una acción equivalente a la fuerza de inercia. 14 Se determina fácilmente el centro de gravedad de un cuerpo rígido suspen- diéndolo de dos puntos diferentes: Las verticales trazadas desde los puntos de suspensión se cortan en el centro de gravedad. En efecto, cuando se suspende un cuerpo con libertad de rotación alrededor de un punto, la fuerza necesaria para sostenerlo forma con el peso una cupla hasta que las dos rectas de acción coinciden en la vertical. Repi- tiendo el procedimiento desde otro punto, la nueva vertical corta a la primera en el centro de masas o bari- centro. En el dibujo se ve un cuerpo de dos dimensio- nes (una chapa) cuyo centro de masas está afuera del propio cuerpo. La determinación del centro de gravedad se puede resolver geométrica- mente si el cuerpo en cuestión tiene densidad constante en todo su volumen. En tal caso, cada volumen elemental en que puede ser descompuesto tendrá un peso proporcional a su extensión. Por ejemplo, el centro de gravedad de un arco de alambre homogéneo, se pue- de encontrar dividiéndolo en pequeños arcos iguales. Considerando que dos de ellos tienen un centro de gravedad situa- do en el punto medio de la recta que los une, se reemplaza el cuerpo por otro formado por la mitad de los elementos originales colocados en los centros de gravedad de cada par. Así sucesivamente, se tiende a un único punto, que es el centro buscado. Ley de la gravedad Se dice que Sir Isaac Newton se inspiró en la caída de una manzana para plantear su famosa ley de gravitación. Es bien probable que así sea. Newton fué capaz de intuir que la caída de una manzana con el fondo de la luna llena que se pone en el horizonte matutino, representan dos efectos de una 14 Un cuerpo deformable tiene un centro de masas que cambia de posición en cuanto se lo somete a esfuerzos. O DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD O BARICENTRO CENTROS DE MASAS DE ALAMBRES HOMOGÉNEOS
- 73. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 69 misma causa. Manzana y luna caen atraídas por la tierra con velocidades paralelas. La primera choca con el suelo y la segunda no lo hace pués su trayectoria no corta a la superficie terrestre. Si pudiéramos lanzar la manza- na con fuerza prodigiosa “afuera” de la tierra, caería como la luna, más allá del horizonte. La trayectoria cerrada u órbita de la luna alrededor de la tierra indica que existe un movimiento central (ver página 22), con aceleración dirigida hacia la tierra. La mag- nitud de esa aceleración se deduce de la trayectoria aproximadamente circular que describe nuestro satélite, de velocidad angular ωω = 2ππ/T con T = 27,3 días = 2,36x10 6 s 15 , de donde ωω = 2,66x10 -6 rad/s El hecho de que la órbita sea estable, o sea que la luna no escape o se precipite sobre nosotros, indica que existe una fuer- za de atracción igual a la masa de la luna multiplicada por la aceleración centrífuga del movimiento. Por lo ya estudia- do sabemos que la aceleración centrífuga vale ac = ωω 2 .R , con R = 384x10 6 m (radio de la órbita de la luna), de donde ac = 2,72 x 10 –3 m/s 2 Este valor es la aceleración de la gravedad a la distancia que se encuentra la luna, o sea a 384000 Km. Es evidente que la aceleración disminuye con la distancia a la tierra, ya que aquí vale 9,8 y allá vale g/ac = 3596 veces me- nos. Para averiguar la relación entre gravedad y distancia, Newton comparó este número con la relación entre distancias respectivas. La aceleración g = 9,8 m/s 2 se experimenta sobre la tierra, a una distancia igual al radio de nuestro planeta (6400 Km), tomada desde el origen del movimiento central, o sea desde el centro de gravedad de la tierra. En la luna, a 384000 Km de distancia (60 veces más) la gravedad es 3600 veces menor. La relación entre 60 y 3600 es clara: el segundo es el cuadrado del primero. Por lo tanto, la fuerza de gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia. En general, a la distancia d del centro de la tierra (de radio R), la gravedad vale g.R 2 /d 2 15 Como se sabe, la luna completa su ciclo en aproximadamente cuatro semanas, tiempo en el que da una vuelta completa a la tierra. Isaac Newton en la quinta de Lincolnshire, observando la caída de la manzana
- 74. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 70 La fuerza sobre un cuerpo de masa m situado allí, valdrá F = m.g.R2 /d2 Por el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce el cuerpo de masa m sobre la tierra valdrá igualmente F , igual al producto de la masa de la tierra M por la aceleración creada por el cuerpo de masa m, gravedad superficial g’ y radio r , de manera que F = M.g’.r 2 /d 2 Comparando ambas fórmulas resulta que M g’ r 2 = m.g.R 2 , de donde g.R 2 /M = g’.r 2 /m Esta relación entre gravedad superficial multiplicada por radio del cuerpo al cuadrado 16 y dividido su masa es una constante independiente del cuerpo, llamada constante de gravitación universal kG. Reemplazando los valores para la tierra, de masa M = 5,98 10 24 Kg y radio R = 6400000 m resulta kG = 9,81 m/s 2 . 6400000 2 m 2 / 5,98.10 24 Kg = 6,72.10 -11 m 3 /Kg/s 2 Multiplicando y dividiendo por m la fórmula F = M.g’.r 2 /d queda F = M m. (g’.r 2 /m) / d 2 = kG M.m/d 2 En base a la fórmula anterior Newton enunció la ley de gravitación afirmando que “todo pasa como si los cuerpos se atrajeran con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa” Gravedad en la superficie de un cuerpo Para cuerpos esféricos de radio r y densidad constante δδ resulta que su masa vale m = 4/3 ππ r 3 δδ , de donde kG = g’ r 2 /m = g’/(4/3 ππ r δδ) = g’ 3/4/ππ/(r.δδ) = 0,2387 g’/(r δδ) Se deduce de la anterior que la gravedad superficial g’ es proporcional a la densidad y al radio del cuerpo. Si la tierra fuera una esfera de radio R = 6378 Km y densidad constante 17 igual a su masa dividida el volumen, resultaría: δ = M/(4/3 π R 3 ) = 5.98.10 24 kg / 1,09.10 21 m 3 = 5502 Kg/m 3 16 Se supone un cuerpo esférico. Para una forma cualquiera habrá que usar el radio de la esfera de igual material e igual peso. 17 La tierra no es una esfera perfecta: es ligeramente achatada en los polos. Tampoco tiene densidad constante ni es homogénea: su núcleo es más denso que la corteza y superficialmente mares y continentes tienen diferente densidad.
- 75. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 71 y para iguales dimensiones y peso, debería tener una gravedad superficial de g = 4.π/3.kG.R.d = 9,808 m/s 2 Alcance de la ley de gravitación Vimos que en base a consideraciones astronómicas, Newton dedujo hace trescientos años la ley F = M m. (g’.r 2 /m) / d 2 = kG M.m/d 2 , que expresa la fuerza de atracción que existe entre dos cuerpos de masa M y m separados por la distancia d ¿A qué distancia se refiere la fórmula?. En su deducción se tuvieron en cuenta masas muy alejadas (tierra y luna) comparadas con sus dimensiones. Esa relación pequeña entre tamaño y distancia (R/d=6400/384=1/60) hace poco relevante la forma de tomarla (entre centros de gravedad o entre zonas más próximas de los cuerpos). La idea es que la ley es aplicable a masas concentradas en pequeñas dimensiones comparadas con las distancias que las separan. Se demuestra que si las masas no son esféricas y homogé- neas, y tienen una extensión importante respecto a la distancia que las sepa- ra, el efecto gravitatorio existe, pero la fórmula no es aplicable en forma estricta. En teoría se puede plantear el problema dividiendo a los cuerpos en peque- ñas porciones y considerando la suma de las interacciones gravitatorias entre estas pequeñas masas elementales separadas por distancias compa- rativamente grandes. Este método fué desarrollado por Isaac Newton por medio de un procedimiento que dió origen al moderno cálculo infinitesimal. Fuerzas a distancia – Campo y potencial gravitatorio Las acciones gravitatorias se estudian con ventajas a partir de la teoría del campo y potencial, ya esbozada en la parte de esta obra que trata de la energía potencial, y que ahora ampliaremos. La gravedad, las fuerzas entre cuerpos electrizados y las atracciones y re- pulsiones magnéticas son las manifestaciones más comunes de fuerzas a distancia, es decir esas acciones que se manifiestan sin la intervención de un medio material que sirva para “empujar” o “tirar” de los cuerpos. Sin la intención de explicar el porqué de estos efectos a distancia, sino más bien con la idea de describir el “cómo” de la ocurrencia de estos fenómenos, es que se imagina a las masas en el caso de la gravitación, a los cuerpos cargados o recorridos por corrientes eléctricas en el caso de las fuerzas electrostáticas y magnéticas, como fuentes o sumideros de un fluído incorpó-
- 76. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 72 reo llamado “campo”. Campo gravitatorio Mientras el campo eléctrico parece salir de las cargas positivas y sumirse en las negativas y el campo magnético se parece a un fluído arremolinado en un vórtice, donde circula la corriente eléctrica que lo produce, el campo gra- vitatorio funciona como un fluído que entra en las masas y cuya fuente es el propio universo que las rodea. Esta concepción o modelo está autorizado por la ley de la inversa del cua- drado de la distancia, que es la misma que gobierna el flujo de agua que entra 18 en un desagüe colocado en el interior de una pileta muy grande. Supongamos en un punto dentro de una masa de agua se instala la boca de un caño que absorbe un flujo o “gasto” G Kg/s . Admitamos que la boca está construida para que el agua entre por igual en todas direcciones. Una esfera imaginaria de radio r con centro en la boca de salida, será atra- vesada en toda su superficie por el flujo constante G, de manera que la cantidad de agua por unidad de superficie y por unidad de tiempo a través de la esfera de radio r y superficie S = 4π r 2 valdrá: G/S = G/(4.π.r 2 ) [Kg/s/m 2 ]. A esta cantidad G/S la llamaremos flujo específico o gasto específico. Como se ve en la fórmula, el flujo específico G/S es in- versamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente (la boca de salida del caño). La relación entre flujo específico, densidad δ y velocidad v del fluído en un punto es : G/(4.π.r 2 ) = δ [Κg/m 3 ].v [m/s] Los vectores v en la masa fluída se distribuyen marcando direcciones de “líneas de corriente”, que son las trayectorias que siguen las partícu- las del fluído. Las líneas de corriente entran radialmente si los sumideros son puntuales y siempre perpendicularmente a las superficies cuando los sumi- deros son extensos. Si el caño de salida tiene una hendidura en vez de una boca distribuidora esférica, entrarán las líneas de corriente a lo largo de esa hendidura. Si es un plano permeable, entrarán líneas perpendicularmente a ese plano, como se muestra en la figura. 18 También es válido para un fluído que sale. Lo único que cambia es la dirección de la velocidad. El modelo para electrostática considera como fuente a las cargas positi- vas y sumideros a las negativas. SUMIDERO PLANO G (m3 /s) r v
- 77. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 73 La analogía fluída nos permite afirmar que en una masa M entra un fluído gravitatorio con una intensidad J = kG..M/r2 tal que produce sobre otra masa m una fuerza F=J.m cuya dirección es el de las líneas de corriente. Llamaremos a J “campo gravitatorio”. J tiene dimensiones de aceleración, y coincide con g cuando M =masa de la tierra y r = radio de la tierra. Teorema de Gauss Aplicado a la gravitación, el teorema dice que la cantidad de fluído gravitato- rio que pasa hacia adentro por una superficie cerrada (por ejemplo una esfe- ra) que contiene a las masas donde se sume, es proporcional a las mismas y vale J.4.ππ.r 2 = 4.ππ. kG..m , de donde J.r 2 =kG..m . Significa lo anterior que el flujo de gravedad que pasa por una superficie cerrada es proporcional a la masa total encerrada por esa superficie. Reconociendo estos principios de analogía podemos afirmar que no hay campo gravitatorio dentro de una cáscara material cerrada 19 , ya que adentro no hay fuentes que puedan proveer el fluído necesario para sumirse en la cáscara material. En cambio, afuera de la misma existe un mar de fluído ilimitado que puede proveerlo para que entre en la cáscara perpendicular- mente a la superficie, como si las líneas de corriente se dirigieran al centro de la esfera. Representándose una esfera homogénea como formada por una sucesión de capas finas superpuestas (como en una cebolla), apoyándose en la con- sideración anteriormente expuesta es válido reemplazar cada capa por una masa equivalente en el centro. Repitiendo el proceso para todas ellas, queda reemplazada una esfera homogénea por una suma de masas puntuales igual a la masa total concentrada en su centro. Queda así perfectamente justificada la suposición de Newton de que la fuer- za gravitatoria de la tierra sobre la manzana era equivalente a la acción de una masa M en el centro de la tierra, es decir a la distancia R (radio de la tierra) de la manzana. Gravedad en acción La gravedad tiene dos acciones principales que se observan per- manentemente: la caída de los cuerpos y el peso de los objetos. 19 Newton demostró mediante el cálculus, que cada porción de la cáscara provoca una acción gravitatoria en su interior que está compensada por otra zona opuesta, de manera que la resultante es nula.
- 78. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 74 Caída de los cuerpos – Masa inercial y gravitatoria Galileo y Newton observaron que los cuerpos pesados caen todos con la misma aceleración si evitamos la resistencia del aire. En un tubo sin aire monedas y plumas caen juntos, con aceleración constante igual a 9,8 m/s 2 . Esa constante vale, de acuerdo a la ley de gravitación universal g=kGMT/R 2 (MT = masa de la tierra; R = radio de la tierra). Multiplicada g por la masa de un objeto m nos da la fuerza de gravitación sobre la superficie terrestre, a la distancia R del centro de la tierra. Esa fuerza se llama peso del cuerpo, pro- porcional a su masa. El principio de inercia dice que toda acción que tienda a modificar el estado de reposo o de movimiento uniforme de un cuerpo, produce una reacción igual y contraria proporcional a su masa y a esa acción perturbadora. La masa gobierna, pués, tanto la atracción gravitatoria como la fuerza de inercia. Tiene sentido pensar que ambos efectos deban tener un origen co- mún, o visto desde otro ángulo, que la igualdad entre la masa de un objeto deducida de su inercia o de su peso sugiere una conexión entre la acelera- ción a y el campo gravitatorio g Ernst Mach, notable físico y filósofo alemán del siglo pasado, aventuró la idea de que la inercia era efecto de la masa de todo el universo, que se re- sistía a que un objeto se acelerara con respecto a todo ese resto de la mate- ria. Desde este punto de vista, un objeto solitario en todo el universo no presentaría inercia, como que no tendría sentido hablar de su posición, velo- cidad y aceleración, que requieren algún punto de referencia. Tampoco esta- ría sujeto a fuerzas de gravitación de otros cuerpos, por otra parte inexis- tentes. Saliendo de estas disquisiciones metafísicas, nos encontramos en realidad con el hecho de que la masa es una propiedad de la materia que gobierna la gravitación y la dinámica, y puede manifestarse ya sea como acción gravita- toria recíproca con otro cuerpo o como resistencia al cambio con respecto a un sistema de referencia inercial. Péndulo Cualquier objeto rígido de masa m y peso P=m.g , suspendido en un punto O por encima de su centro de masa G y sometido a la gravedad g es un péndulo físico. En su posición de equilibrio un péndulo se mantiene de manera que el punto de suspensión O y su centro de gravedad G pertenecen a la recta de acción de la fuerza a que está sometido. Si ésta es la gravedad, la fuerza es el peso P = m.g y ese eje será vertical. Apartado de su posición de equilibrio en un ángulo ααmáx y abandonado, un péndulo oscila, esto es, se mueve alrededor del punto de suspensión O
- 79. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 75 rotando hacia un lado y hacia el otro de su posición de equilibrio, realizando una ida y vuelta completa en un tiempo siempre igual T, llamado período de oscilación. La causa de esas oscilaciones es la transferencia de energía potencial máxima cuando está quieto en los puntos extremos, a cinética máxima cuando su eje es vertical. La amplitud de esa oscilación, medida por el ángulo ααmáx, va disminuyendo poco a poco debido a fuerzas de rozamiento en su punto de suspensión O y a la resisten- cia del aire sobre la superficie del cuerpo. A la distancia entre el punto de suspen- sión O y el centro de masa G se la llama longitud ll del péndulo físico Para girar un péndulo de la posición de equilibrio II un pequeño ángulo dαα es necesario aplicar un momento MM = P.ll.sen(αα) (ver figura). Para ángulos pequeños en los que el seno y el arco son equivalentes, resulta que sen(αα) ≈≈αα y entonces MM =P.ll.αα El trabajo exterior que debemos efectuar contra el sistema para que el pén- dulo ejecute una pequeña rotación dα es dL= MM.dαα = P.ll.αα.dαα , de manera que la energía necesaria para llevar al péndulo a su posición de máximo ángulo ααmáx resulta : E =o∫∫αα dL = ½ P.l.l.ααmáx 2 Si despreciamos el rozamiento, la energía E suministrada al péndulo se mantendrá de aquí en más, transformándose de potencial en cinética y vice- versa. Cuando el péndulo cae, va transformando parte de esa energía po- tencial en fuerza viva hasta llegar a su punto inferior, (α=0) en el que la energía total es toda cinética. Luego se remonta hacia el otro lado, ganando altura y perdiendo velocidad hasta llegar al ángulo –αmáx, situación en la que toda la energía es potencial. En una posición cualquiera medida por el ángulo αα ≤≤ ααmáx , el péndulo ten- drá una fuerza viva o energía cinética dada por la fórmula ya vista Ec = ½ J ωω 2 , donde J es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rota- ción y ωω = dαα/dt es la velocidad angular instantánea, o sea el ángulo barri- do en la unidad de tiempo por el eje del péndulo en el momento considerado. La energía potencial para esa posición genérica medida por el ángulo αα resulta: PÉNDULO FÍSICO O G P −α−α +α+α - P - P - P O O G G P P I II III EJEdelpéndulo ll ll.sen(αα)
- 80. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 76 U = ½ P ll αα22 El principio de conservación de la energía exige que la fuerza viva más la energía potencial sea en cualquier momento igual a la energía total del sistema, o sea E = U+Ec , de donde E = ½ P ll αα 2 + ½ J ωω 2 Tomando variaciones con respecto al tiempo en todos los miembros, nos queda: P.ll.αα.ωω + J ωω dωω/dt = 0 y dividiendo ambos miembros por J ωω y teniendo en cuenta que ωω=dαα/dt y que dωω/dt = d 2 αα/dt 2 resulta finalmente: P.ll/J αα + d 2 αα/dt 2 = 0 La ecuación anterior en la que la derivada segunda del ángulo con respecto al tiempo, o sea la aceleración angular del movimiento, es proporcional y de signo contrario a dicho ángulo, se satisface con una solución oscilatoria periódica. Este hecho, por otra parte, está de acuerdo con la experiencia que muestra que un péndulo oscila. Entonces, ensayando como solución αα = A sen (k.t) resulta dαα/dt = k. A. cos (k.t) d 2 αα/dt 2 = -k 2 .A..sen (k.t) y además P.ll/J.A sen (k.t) - k 2 .A..sen (k.t) = 0 Esto implica que sea P.l.l/J - k2 = 0 y por lo tanto k=√√( P.ll/J) Además, como el péndulo tiene velocidad cero para αα = ααmáx y para el tiem- po t = T/4 (es decir después de ejecutar un cuarto de período), resulta que A. cos (k.t) = 0 cuando k.t=ππ/2 , de donde k.T/4 = ππ/2 o sea que el período de oscilación de un péndulo físico vale T = 2ππ/k = 2.ππ.√√(J / P/ ll) Reemplazando el momento de inercia J = m.i 2 (i = radio de inercia) y P=m.g , la anterior queda: T = 2.ππ √√i 2 / ll / g La constante A se deduce de la condición ααmáx = A sen (k.T/4) = A..sen(ππ/2) de donde A=αα máx
- 81. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 77 Péndulo matemático Se llama así al formado por una masa puntual m suspendida por una varilla o hilo de longitud ll sin peso. Para él es J = m.ll2 y entonces su período vale T = 2ππ.√√(J/m/g/ll) o sea T = 2ππ√√ .ll/g Se aproxima a un péndulo matemático una esfera muy densa suspendida de un hilo largo. Ejemplo Averiguar el período de oscilación de un péndulo formado por una varilla de madera de ancho a=2 cm por un espesor ev = 1cm y de longitud lm=1m, en cuyo extremo va un disco de cobre de radio R=10 cm y espesor e=1 cm. La densidad de la madera es 1000 Kg/m 3 y la del cobre vale 8000 Kg/m 3. El sistema se suspende desde un punto O situado a lO=10 cm del extremo libre de la varilla. Solución: Aplicamos lo deducido para el péndulo físico, a saber: T= 2.ππ.√√(J / P/ ll) donde: M = Masa total ; M = Vdisco.δcu + Vvarilla.δmadera = πR 2 e.δcu + a.ev.lv.δmadera= 2,51Kg + 0,2 Kg ; P=2,71 Kg. 9,8 m/s2 = 26,56 N l = distancia entre el centro de gravedad G del sistema y el punto de suspensión O En la figura se ha representado el polígono funicular para encontrar el punto de aplica- ción G de la resultante P , en caso de desear una resolución gráfica. Tomando momentos con respecto al punto de suspensión O podemos poner P.l = Pd.ld + Pv.lv De la figura resulta ld = lm-lo+r = 1-0,1+0,1=1m ; lv = lm/2-lo = 0,5-0,1 = 0,4 m De la expresión anterior sale que l = (Pd.ld + Pv.lv)/P = [2,52 Kg.x1m + 0,2 Kgx 0,4m].9,8 / 2,72 Kg/9,8 = 0,956 m J = Momento de inercia con respecto al punto de suspensión: es la suma de los mo- mentos de inercia del disco y de la varilla. J = Jdisco + Jvarilla cada uno con respecto al punto de suspensión. Estudiemos ahora dos posibles momentos de inercia baricéntri- cos del disco: La ecuación del círculo es x 2 +y 2 =R 2 de donde x=(R 2 -y 2 ) ½ Momento de inercia de un cuarto de disco con respecto a un eje radial (que pasa por el centro de lo l l Gv Gd G Pv Pd P Pv Pd P ld lv O lm l R x y dy eje x ejey α e
- 82. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 78 gravedad), de acuerdo a la figura de la derecha Jdxx/δCu/e/4 = y=0∫y=R x.y 2 .dy Reemplazando y=R sen α , x= R.cos α resulta dy = R cos α dα , y entonces Jdxx/δCu/e = a=0∫a=π/2 R 2 cos α .R 2 sen 2 α cos α da = a=0∫a=π/2 R 2 (1-sen 2 α) .R 2 sen 2 α dα = = R 4 a=0∫a=π/2 (sen 2 α –sen 4 α) dα = R 4 .[π/4 - 3π/16] = πR 2 .R 2 .(1/16) Entonces Jdxx = (.δCu.e πR 2 ).R 2 .4(1/16) = M R 2 /4 , que es el momento de inercia del círculo con respecto a un eje baricéntrico radial. Ya habíamos visto antes (cuando nos daba clases el Ing. Cattáneo) que el momento de inercia de un disco con respecto a un eje baricéntrico perpendicular al anterior, o sea el eje z, era Jzz = ½ M.R 2 (figura de la izquierda). Resulta así Jzz = 2 Jxx Teorema de Steiner Pero lo que necesitamos es el momento de inercia con respecto al eje de suspensión del péndulo paralelo al eje zz. A partir del momento de inercia baricéntrico (que pasa por el centro de masas o baricentro), se puede encontrar el momento de inercia que pasa por cualquier otro eje paralelo al primero, en base a la siguiente deducción debi- da a Jacobo Steiner, geómetra suizo que vivió en la primera mitad del siglo XIX: El momento de inercia de un sistema con respecto a un eje que dista d del baricentro puede ponerse como: J = Σ mi.(di+d) 2 = Σ mi (di 2 +2di.d+d 2 ) = Σ mi di 2 + 2 d Σ mi.di + d 2 Σ mi El primer término Σ mi di 2 es el momento de inercia baricéntrico, que llamaremos Jg En el segundo término, es nulo Σ mi.di , ya que es el momento de primer orden con respecto al baricentro. Además es Σ mi = M (masa total del cuerpo), así que J = Jg + M d 2 , lo que significa que el momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje se puede obtener sumando al correspondiente momento de inercia bari- céntrico un término igual a la masa por el cuadrado de la distancia entre ejes. Aplicando el teorema de Steiner resulta que el momento de inercia del disco con respecto a un eje paralelo al zz que pase por O es Jd=Jzz+Md.ld 2 = Md ( ½ R 2 + ld 2 ) Reemplazando valores, se tiene Jd=2,52 Kg ( ½ 0,1 2 + 1 2 ) = 2,533 Kg m 2 Momento de inercia de un prisma de base rec- tangular de dimensiones axe y altura l (una varilla) con respecto un eje baricéntrico. Según la figura, el valor de la integral doble es Jo = (1/12) δ.e.a.l.[a 2 .+l 2 .] = 1/12 Mv [a 2 .+l 2 .] Se puede considerar a la varilla formada por dos prismas de igual base y diferente altura: uno de dx dy x y (x2 +y2 ) Jo=δe∫ ∫[(x2 +y2 )½ ]2 dx.dy a/2 l/2 -l/2 -a/2 x=-a/2 a/2 y=-l/2 l/2 e O
- 83. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 79 altura lo por sobre el eje de suspensión, y otro de altura (lm-lo) por debajo de éste. El momento de inercia total de la varilla con respecto al eje que pasa por el punto de suspensión O será de acuerdo al teorema de Steiner la suma de los respectivos mo- mentos baricéntricos Jo1 y Jo2 más las sendas correcciones debidas al que el eje de inercia se corre desde los centros de masa hasta la base de los prismas, que valen respectivamente M1 lo 2 y M2.(lm-lo) 2 : Entonces Jv =.M1.[1/12.(a 2 .+lo 2 ) + lo 2 ] + M2.[1/12. (a 2 +(lm-lo) 2 ) + (lm-lo) 2 ] para M1 = δm.a.e.lo = 1000 Kg/m 3 . 0,02m. 0,01m; 0,1 m = 0,02 Kg M2 = δm.a.e.(lm-lo) = 1000 Kg/m 3 . 0,02m. 0,01m; 0,9 m = 0,18 Kg Resulta entonces: Jv = 0,02.[1/12 (0,02 2 +0,1 2 )+0,1 2 ] + 0,18 [1/12 (0,02 2 +0,9 2 ) + 0,9 2 ] = = 0,000217 + 0,157956 = 0,158173 Kg m2 El momento de inercia total del sistema disco-varilla con respecto al punto de suspen- sión es entonces: J = Jd+Jv = 2,533+0,158 = 2,691 Kg.m 2 El período del péndulo para g=9,8 m/s2 resulta T= 2.ππ.√√(J / P/ ll) = 2,0454 s La longitud equivalente de un péndulo matemático sería l = (T/2/π) 2 .g = 1,0397 m, es decir que si consideramos una masa concentrada cualquiera colgada de un hilo inex- tensible y sin peso de longitud 1,035 m tendría el mismo período que nuestro péndulo real de longitud total lT = ld + lo + rd = 1,2 m Fenómenos Giroscópicos Un cuerpo rígido con simetría axial presenta fenómenos inerciales muy interesantes cuan- do gira sobre su eje. Todos experimentamos alguna vez con un trompo al que hacíamos girar rápidamente sobre su eje, y que nos deleitaba al mantenerse parado sobre el la punta de su eje mientras duraba la rotación. Cuando la velocidad menguaba, el trompo comenzaba a inclinarse y bailotear de manera muy característica. Al final caía y rodaba sobre el piso (generalmente a un sitio inaccesible, por ejemplo bajo el sofá). Un trompo más elaborado es el giróscopo: una rueda pesada con un eje sostenido por sus extremos en un bastidor. Un tirón al hilo arrollado sobre su eje le da rápido giro. Parado sobre su eje, se comporta como un trompo. El armazón permite que siga girando con el eje horizontal, sin que la rueda toque el piso. El conjunto se opone al cambio de dirección del eje, ejerciendo una reacción en sentido perpendicular a la acción. Lo mismo que el péndulo, el giróscopo mantiene el plano de rotación invariable con respecto a las estrellas fijas. Esta propiedad lo hace un buen sucedáneo de la brújula, que no es afectado
- 84. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 80 por campos magnéticos. Por qué tiende a mantener su eje vertical el trom- po en rotación o el giróscopo tiende a oponerse al cambio de dirección con una insospechada reac- ción, son cuestiones que matemáticamente se resuelven y explican sin dificultad, pero que con- trarían nuestra intuición mecánica. A continuación daremos una explicación más intuíble, atribuída a Poggendorff 20 . Para ello consideremos que el giróscopo en rotación de la figura tiende a ser volcado en el sentido de las flechas verdes (en sentido horario). Las porciones de la rueda que están en el plano del papel (R y S) experimentan traslaciones paralelas a su velocidad, no obrando sobre ellas fuerza de inercia alguna. En cambio las partes de la rueda que están adelante y atrás del plano de la rotación (P y Q) cambian por efecto de ésta la dirección de su velocidad tangencial (flecha blanca a flecha verde) y están sujetas a una aceleración que se ha repre- sentado por una flecha roja. Proporcionalmente a ella aparecerá una reac- ción sobre el conjunto que tiende a volcar el trompo hacia nosotros (flechas anaranjadas). Si el momento volcante está creado por el peso del aparato inclinado sobre su soporte, como se ve en la figura anterior, la reacción que aparece en un plano perpendi- cular se compone con aquél dando como resultante un movi- miento llamado de precesión, en la que el eje del trompo describe un cono. Si el aparato recibe un momento volcante con acelera- ción, la reacción también será acelerada y el sistema oscilará alrededor de la curva de prece- sión, dando como resultado una superficie festoneada cuyo contorno es una cicloide. Este movimiento se llama de “nutación”. La explicación matemática de la reacción giroscópica se basa en el principio de inercia aplicado a cuerpos rotantes, equivalente al principio de Newton: así como la fuerza F es igual a la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, el momento (fuerza Ù distancia) es la derivada de el momento de la cantidad de movi- miento D = m.vÙr y entonces resulta: F=d(m.v)/dt y MM =FÙr de donde MM=d(m.vÙr)/dt = dD/dt En un cuerpo rígido como el giróscopo, formado por masas elementales mi a distan- cias ri del eje de giro que gira a velocidad angular ωω=vi/ri es D=ΣΣmi.viÙri = ΣΣωω.mi.ri 2 20 J.G.Poggendorff, físico, químico, filósofo y médico alemán (1793-1877), quién estudió diversas cuestiones de magnetismo, mecánica y química. PRECESIÓN Y NUTACIÓN
- 85. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 81 =ωω.J, para J=ΣΣmi.ri 2 (momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro). Entonces MM = dD/dt = J.dωω/dt , lo que indica que la variación del vector velocidad angular dω debe tener la misma dirección que el momento aplicado M . Si el momento aplicado M es perpendicular a ω, ésta tenderá a colocarse paralela a la primera, explicándose así matemáticamente el origen del movimiento de precesión Asimismo el momento de la cantidad de movimiento D es un vector de la dirección de la velocidad an- gular ωω , la que por otra parte coincide con la direc- ción del eje de giro, así que el ángulo infinitesimal dD/D es el que gira en un tiempo dt el vector ωω, o sea que es la velocidad angular del movimiento de precesión del aparato. De tal manera dicha veloci- dad es dD/dt/D =dωω/ωω/dt = MM/J/ωω , lo que nos dice que la velocidad de precesión de un giróscopo es proporcional al momento aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia y la velocidad de rotación del aparato. ωω MM dωω ω+ω+dωω
- 86. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 82 Balanza Se construye una balanza de precisión suspendiendo una estructura rígida (tipo viga reticulada) exactamente en su punto medio, un poco por encima de su centro de masa. En sus extre- mos cuelgan sendos platillos iguales. En uno de ellos va el objeto a pesar y en el otro van las pesas calibradas. Los puntos de apoyo central de la viga y los de los extremos de los platillos son, en las balanzas de calidad, afila- das cuñas de acero duro que descansan casi sin rozamiento sobre cunas en “v” de cuarzo. El tipo de suspensión de los platillos mediante cuñas y cunas transmite a la viga solamente esfuerzos que pasan por esos apoyos, sin los momentos que podrían crear cargas descentradas sobre los platillos. Todo esto garantiza que cuando la balanza está en equilibrio las masas de los cuerpos en ambos platillos son iguales. El aparato tiene normalmente una aguja solidaria a la viga (fiel), para indicar desviaciones del equilibrio sobre una escala. Esta indicación calibrada convenientemente se suma o resta de la masa de las pesas para ajustar a un peso más exacto. En la balanza de brazos iguales de longitud L, centro de suspensión en O , centro de masas de la cruz en G y masa M, con una pequeña sobrecarga DP en el platillo derecho, la posición de equilibrio se logra a costa de una inclinación del fiel un ángulo α de tal manera que los momentos de las fuerzas con respecto a O se equilibren: (P+∆P).L.cos(α) = P.L.cos (α) + M.g.GO.sen (α) , de donde ∆P.L = M.g.GO.tg (α) La razón tg (αα) / ∆∆p mide la desviación por unidad de peso de la balanza (sensibili- dad) es directamente proporcional a la longitud de los brazos e inversamente propor- cional a la masa de la cruz y a la distancia entre el centro de gravedad de la misma y el punto de suspensión. Una balanza equilibrada es un péndulo físico de gran momento de inercia y aunque tiene poca distancia entre centro de gravedad y punto de suspensión (para presentar buena sensibilidad) presenta un período relativamente elevado. Como tiene escasísi- mo rozamiento, sus oscilaciones se amortiguan lentamente. Para no esperar un tiem- po demasiado largo a que el sistema se detenga y así conocer la posición de equilibrio BALANZA DE PRECISIÓN α G O P+∆P P L.cos α L.cos α
- 87. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 83 de la aguja sobre la escala, se obtiene ésta indirectamente promediando varias lectu- ras extremas sucesivas. Se distinguen en la balanza, como en cualquier instrumento de medida, las siguientes características: Exactitud, medida por la inversa del error absoluto de la medida, es decir la diferencia entre valor medido y valor verdadero. Depende de la bondad en la calibración de las pesas y de la igualdad y simetría entre brazos y platillos. Precisión, medida por la cantidad de cifras exactas con las que se puede expresar la medida. Depende de las dos siguientes cualidades. Umbral, que es la magnitud necesaria para que el instrumento acuse una medición no nula. Es proporcional al rozamiento en las articulaciones. Sensibilidad, que es la razón entre lectura (en divisiones) y magnitud corres- pondiente (masa). Ya vimos que es función de la geometría y peso de los elementos. La rigidez del sistema es condición para que la sensibilidad se mantenga con la carga. Con una balanza de laboratorio se pueden comparar masas con una precisión de 10 -7 Kg (una décima de miligramo), que equivale a detectar sobre uno de los platillos una gota de agua de tan sólo 0,6 mm de diámetro (como el punto de esta “i”) Existen balanzas de brazos desiguales, llamadas “romanas”. El brazo más largo tiene una escala y sobre él se desliza un peso, que debe estar sobre el cero de la escala con la balanza en equilibrio cuan- do no hay carga sobre el platillo. Para pesar la merluza, se la coloca en el plati- llo y se desliza la pesa hacia la derecha hasta que el brazo esté horizontal. En tal caso el sistema de fuerzas paralelas formado por los pesos del pescado más el platillo, el brazo izquierdo, el brazo derecho y la pesa deslizable tiene resul- tante que pasa por el gancho de suspensión. La brazo del pescador que sostiene la balanza realiza una fuerza vertical igual a la resultante, llamada “equilibrante” del sistema. Experiencia para determinar kG Debajo de una balanza de platillos equilibrada con una masa de 1 Kg en cada platillo, se coloca una gran esfera de plomo de 2 m de diámetro. La distancia entre platillos es de 1 m y la bola está a 5 cm debajo del platillo izquierdo. ¿Cuánto acusará de desequilibrio la balanza? BALANZA ROMANA EN EQUILIBRIO
- 88. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 84 En la figura se ve que a los pesos en equilibrio P que actúan debido a la gravedad de la tierra se le suman las acciones atractivas de la bola de plomo sobre los platillos cargados izquierdo y derecho, que son respec- tivamente F1 y F2 Resulta entonces: MPb = VPb.δPb = 4,189 m3 . 11300 Kg/m3 = 47333 Kg , por lo tanto: F1 = kG.MPb.1/d2 = = 6,72.10 -11 . 47333/1,05 2 = 2,88.10 -6 N F2 = kG.MPb / 1,45 2. = = 6,72.10 -11 . 47333/1,45 2 = 1,51.10 -6 N Se ha exagerado la pequeña inclinación del platillo derecho, que forma un ángulo γγ con la vertical, siendo tg ββ = 1/1,05 de donde ββ=43,6º Entonces: tg γ = F2.cos β / (P+ F2.sen β) = 1,51.10 -6 .cos(43,6º)/(9,8+1,51.10 -6 .sen(43,6º) tg γ = 1,093.10 -6 /(9,8) , de donde γγ = (6,39.10 -6 ) grados De acuerdo al teorema del coseno es: (P+F2) 2 = P 2 +F2 2 +2.P.F2.cos (β) = = 9,8 2 + [1,51.10 -6 ] 2 +2.9,8.1,51.10 -6 . cos(43,6º)= 96,040021 N de donde P+F2 = 9,800001094 N Como P y F1 están en la misma dirección es: |P+F1|= P+F1 = 9,8+2,88.10 -6 = 9,80000288 N En la figura se esquematiza la posición de equilibrio, cuando las fuerzas en los platillos y el peso de la balanza M.g aplicado en el centro de gravedad G dan una resultante R que pasa por el eje de giro de la balanza O La balanza indicará aproximadamente la diferencia entre las dos fuerzas, ya que ellas están prácticamente en el misma dirección vertical, o sea: 9,80000288 - 9,800000151 = 1,79.10 -6 N = 1,82.10 -7 Kg Esta diferencia de casi dos décimas de miligramo es bastante superior al umbral de la balanza y por lo tanto perfectamente apreciable. F1 F2 1,05m 1 m 1,45 m 4,189 m 3 PP+F2 P γγ ββ γ δ δ lo G P+F1 P+F2 l l O M.g R R
- 89. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 85 La experiencia se realiza en forma práctica equilibrando los dos platillos con masas iguales sin la presencia de la bola y observando la deflexión del fiel al deslizar aquélla debajo de uno de los platillos. Se comprende así que dicha deflexión sea causada por la diferencia entre F1= 2,88.10 -6 N y la proyección vertical de F2, que vale F2.cos (β) = 1,093.10-6 N , o sea ∆F = 1,79.10 -6 N La componente horizontal de F2 crea un momento que produce la impercep- tible inclinación del platillo derecho en un ángulo γ con respecto a la vertical ya calculado antes. Este experimento fué realizado como se acaba de explicar, con una balanza co- mún, por el físico inglés Poynting en 1913. De la medida de ∆F se deduce el valor de la constante kG Anteriormente otros dos ingleses, Caven- dish a fines del siglo XVIII y Boys a fines del XIX habían medido la atracción gra- vitatoria de dos grandes masas fijas sobre un par de masas más pequeñas colocando éstas sobre una varilla horizontal sostenida por un hilo de cuarzo, que resiste levemente a la torsión producida por el par de atracciones. Las pequeñas deflexiones del sistema se detectan con un rayo de luz reflejado en un espejito solidario a la varilla. El haz de luz reflejada gira el doble del ángulo barrido por la varilla con las dos masas y se proyecta sobre una pantalla alejada, amplificando así la desviación del sistema móvil. El problema del tiro Tiro en el vacío Ya se vió que la trayectoria de un proyectil en el vacío bajo un campo gravitatorio paralelo es una parábola. El estudio del problema puede encararse adecuadamente aplicando las leyes de la dinámica de Newton independientemente para la coordenada horizontal (x) y la coordenada vertical (y), y superponer los efectos en virtud del princi- pio de superposición. Así resulta que para una partícula de masa m y aceleraciones vertical y horizontal respectivamente iguales a d 2 x/dt 2 y d 2 y/dt 2 se pueden plantear las siguientes ecuaciones: fx = m.d 2 x/dt 2 = 0 , ya que es nula la fuerza horizontal aplicada sobre la partícula en movi- miento. De aquí se deduce que la velocidad horizontal es constante, o sea, Þ vx = dx/dt = constante = vox (velocidad horizontal inicial) = vo.cos (α). Integrando sale que: x-xo = vo.cos(αα).t [1] EXPERIENCIA DE CAVENDISH 2α2α αα αα y x αo vo vvy vx
- 90. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 86 De la misma manera, igualando la masa por la aceleración vertical al peso de la partí- cula (única fuerza actuante) resulta: fy = m.d 2 y/dt 2 =-m.g, Þ dy/dt = - g.t+C La constante de integración C resulta de considerar que v=v0 cuando t=0, e y=y0 C = dyo/dt = voy (velocidad vertical inicial)= vo.sen(αο) y-yo = - ½ g.t 2 + vo.sen(ααοο).t [2] Como se ve, [1] y [2] son las ecuaciones paramétricas de una parábola de eje vertical que pasa por el punto de disparo del proyectil, de coordenadas (x0, y0) Tiro en el seno de un fluído Cuando el proyectil se mueve en el seno de un fluído quieto, por ejemplo el aire calmo, el medio produce una resistencia o fuerza contraria a la velocidad de la partícula, como se explica luego en esta obra al tratar la mecánica de fluídos. La dependencia entre resistencia y velocidad es una combinación de dos efectos: el de rozamiento viscoso y el efecto inercial del desplazamiento del fluído creado por el paso del móvil. El primero es preponderante a veloci- dades bajas (régimen laminar) y el segundo es más importante a velocida- des altas (régimen turbulento). Estudiaremos ambos por separado. Resistencia viscosa proporcional a la velocidad (modelo de Stokes) En este caso la fuerza de sentido contrario a la velocidad, viene dada por la fórmula de Stokes, tratada in extenso en este libro más adelante. fv = [4.π.ηπ.η.r].v = b.v , donde: η=viscosidad 21 ; r=radio del proyectil que se supone de forma esférica. Este modelo tiene sólamente en cuenta la resistencia viscosa y no la inercial. Para la componente horizontal vale el siguiente desarrollo: fx = m.d 2 x/dt 2 + b.vx = 0 ; d 2 x/dt 2 = dvx/dt=-(b/m).vx, Þ ln(vx) = -(b/m).t + ln(vox) vx = v.cos(α) = vox.e [-(b/m).t] (que indica que la velocidad decrece exponencialmente con el tiempo) vox.e [-(b/m).t] = dx/dt Þ x = ò vo.cos(αο).e [-(b/m).t] dt + C = = vo.cos(αο).(-m/b).e [-(b/m).t] + C1 Þ C1 = xo + vo.cos(αο).m/b x-xo = vo.cos(ααοο).(m/b).(1- e -(b/m).t ) Considerando la acción vertical de la gravedad resulta: fy = m.d 2 y/dt 2 + b.vy = - m.g ; d 2 y/dt 2 = dvy/dt = -(b/m).vy – g Sea u = (b/m).vy+ g Þ du=-(b/m).dvy Þ dvy/dt = (-m/b).du/dt = u Þ du/u = (-b/m).dt Integrando se obtiene ln(u)= (-b/m).t + ln(uo) Þ u=uo.e (-b/m).t (b/m).vy+ g = [(b/m).voy+ g]. e (-b/m).t ; vy = (m/b).[(b/m).voy+ g]. e (-b/m).t - (m/b).g = dy/dt Integrando nuevamente resulta: y=(-m/b).(vo.sen(α).b/m+g).(m/b).e (-b/m).t – g.m/b.t + C2 C2 = yo + m/b.vo.sen(αo) + g.m 2 /b 2 y-yo = (vo.sen(ααo).m/b + g m 2 /b 2 )(1-e -b/m.t )-g.m/b.t 21 Como se explica al estudiar los fenómenos de movimiento interno en un fluído, la viscosidad mide la resistencia al deslizamiento entre capas próximas del mismo, y es proporcional a la velocidad relativa entre ellas.
- 91. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 87 Resistencia inercial proporcional al cuadrado de la velocidad (modelo de Newton) Como se explica en esta obra al tratar sobre la resistencia de objetos en movimiento dentro de un fluído, se emplea la fórmula de Newton para la fuerza de resistencia cuando predomine el efecto inercial, que depende del peso específico y no de la vis- cosidad del fluído: fv = [k.ρρ/2/g.S].v 2 = b’.v 2 (fórmula de Newton) k = coeficiente de forma (por ejemplo, para una esfera es k = 0,4) ρ = peso específico del fluído S = superficie de carena, o sea la proyección del cuerpo sobre un plano perpendicular a la velocidad. Horizontalmente sólo actúa la fuerza de resistencia: fx = m.d 2 x/dt 2 + b’.vx 2 = 0 ; d 2 x/dt 2 = dvx/dt=-(b/m).vx 2 , Þ -1/vx = C3 –b’/m.t ; C3=-1/vox vx = 1/(b’/m.t+1/vox) =dx/dt = dx/dt ; dx = dt/(b’/m.t+1/vox) = (m/b’) d(b’/m.t+1/vox)/(b’/m.t- 1/vox) dx = (m/b’) d ln (b’/m.t+1/vox) Þ x = (m/b’) . ln (b’/m.t+1/vox) + C4 C4 = xo - (m/b’).ln (1/vox) x-xo = (m/b’) .[ln (b’/m.t+1/vox) - ln (1/vox)] Para la dirección vertical, interviene además la fuerza de gravedad m.g : fy = m.d 2 y/dt 2 + b’.vy 2 = -m,g ; d 2 y/dt 2 = dvy/dt=-(b/m).vy 2 -g dt= -dvy/(g+vy 2 .b’/m)= -dvy/[g(1+vy 2 .b’/m/g)]= -(m/g/b’) ½ .d[vy.(b’/m/g) ½ ]/(1+[vy 2 .(b’/m/g) ½ ] 2 ) Integrando resulta – (g.b’/m) ½ .t = arc tg [vy.(b’/m/g) ½ ] -C5 Þ C5=arc tg [vo.sen(ααo).(b’/m/g) ½ ] Sacando la tangente en ambos miembros queda: [vy.(b’/m/g) ½ ] = tg {arc tg [vyo.(b’/m/g) ½ ] – (g.b’/m) ½ .t)} = tg [C5-(g.b’/m) ½ .t)] vy = dy/dt = (m.g/b’) ½ .tg [C5-(g.b’/m) ½ .t)] y = (m.g/b’) ½ òtg [C5-(g.b’/m) ½ .t)].dt + C6 = (m.g/b’) ½ I + C6 I =òtg [C5-(g.b’/m) ½ .t)].dt = -(m/g/b’) ½ òtg [C5-(g.b’/m) ½ .t)].d [C5-(g.b’/m) ½ .t)] = = -(m/g/b’) ½ {-ln cos [C5-(g.b’/m) ½ .t)]} y = (m/b’).ln cos [C5-(g.b’/m) ½ .t)] + C6 C6 = yo - (m/b’).ln cos [C5] Se puede observar en la figura las trayectorias de tiro que surgen de representar gráficamente las ecuacio- nes según los modelos de Stokes y de Newton para una bolita de hierro de 1 cm de diámetro en un medio aceitoso, lanzada a una velocidad inicial de 3 m/s y con un ángulo de 45º. La tra- yectoria real se acerca más a la de Stokes, en este caso, por tratarse de un medio de alta viscosidad. Tiro en medios fluídos -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Stokes Newton vacío
- 92. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 88 En torno a la gravedad Las ecuaciones del movimiento de un pro- yectil en el vacío con campo gravitatorio constante dan una parábola. Sin embargo esto es sólo una aproximación aceptable para el caso de proyectiles de corto alcan- ce, para los que la tierra es prácticamente plana. Como vimos cuando tratamos el modelo fluído, la gravedad creada por un plano material es de líneas de campo per- pendiculares a la superficie y paralelas entre sí 22 . En cambio, en el caso que se muestra en la figura que acompaña debe tenerse en cuenta que la curvatura de la tierra impone al campo gravitatorio líneas radiales que se sumen en el centro de la esfera. La densidad de líneas de campo gravitatorio en una zona es proporcional a su intensidad 23 . Cuando los proyec- tiles son de largo alcance, su trayectoria se aleja lo suficiente como para que las líneas de campo sean sensiblemente menos densas. El campo gravitatorio radial hace que la parábola, que es una curva abierta, se transforme en elipse, que es una curva cerrada. Uno de los focos de esa trayectoria elíptica es el centro de la tierra, como se vió al tratar movi- miento central. En el dibujo adjunto se ve que a un campo paralelo (líneas verdes) producido por un cuerpo de superficie plana ilimitada (verde), le corresponde una tra- yectoria parabólica (roja). En cambio, a un cuerpo esférico (gris), con líneas de campo convergentes en el centro (negras) le corresponde una trayectoria elíptica (verde), que parte de A con la misma inclinación. Si la tierra fuera más chica con igual masa y manteniendo su centro, y pasa- ra de la esfera gris a la interior rojo oscuro, se estaría ante una tierra más densa. En tal caso la trayectoria elíptica verde del proyectil se mantendría y no cortaría a la esfera reducida. Para que ello ocurriera y el proyectil se transformara en un satélite artificial, se lo debería lanzar con idéntica veloci- dad que antes desde el mismo punto A, que ahora quedaría fuera del pla- neta, a gran altura. 22 Un campo de líneas paralelas es constante en todos sus puntos 23 La densidad de líneas en el caso de campo radial es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, lo cual autoriza precisamente a adoptar el modelo del “fluído gravitatorio” con sumidero en las masas. TRAYECTORIAS DE PROYECTILES BALÍSTICOS A B
- 93. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 89 Precisamente, para poner en órbita un artefacto se lo eleva casi vertical- mente con un cohete a altura conveniente. Desde allí, con otro cohete, se le imparte velocidad horizontal suficiente como para que siga libremente des- cribiendo una trayectoria que no intercepte a la tierra, siguiendo una órbita de magnitud y excentricidad adecuadas al servicio que prestará el ingenio (comunicaciones, imágenes, espionaje, etc.) . En la jerga de cohetería espa- cial, se llama a esta velocidad “de inserción” en la órbita. En el caso de una órbita circular de radio R, el artefacto describe un movi- miento circular uniforme de velocidad tangencial v tal que la fuerza centrífu- ga Fc = m.v 2 /R equilibre a la atracción gravitatoria Fg = kG.MT.m / R 2 , es decir v = (kG.MT/R) ½ , o bien, considerando que g=kG.MT/RT 2 , la anterior puede ponerse bajo la forma v = [(kG.MT/RT 2 ).RT 2 /R] ½ = RT .g ½ / R ½ La velocidad angular será ω = v/R = RT .g ½ / R 3/2 Por ejemplo: Se desea poner en órbita un satélite ecuatorial que se mantenga fijo en el cielo. A qué velocidad horizontal y a qué altura debe lanzarse?. La condición de que se mantenga fijo en el cielo determina su velocidad angular, que debe ser igual a la de la tierra, es decir ω = 2.π/24/3600 = 7,27.10 -5 rad/s Además es R = (RT g ½ / ω) 2/3 = (6378000 m . 3,13 m ½ .s -1 / 7,27.10 -5 s -1 ) 2/3 = = 42238 Km , o sea que orbitará a una altura de 35860 Km La velocidad de inserción horizontal que debe impartirle el segundo cohete vale v = ω.R= 7,27.10-5. 42238 Km = 3,1 Km/s = 11054 Km/h Transitando por la gravedad Para mover una masa a través de un camino en un campo como el gravitato- rio, donde las líneas sólo mueren sumiéndose en la materia, hay que eje- cutar un trabajo que es el resultado de sumar trabajos elementales (producto escalar de fuerza por elemento de camino o longitud ∆l): T= Σ F.∆∆ll , cuyo valor no depende más que del punto de partida y el punto de llegada, sin importar por dónde pasa el camino que recorre la fuerza. Esto es así, debido a que el campo (o aceleración gravitatoria) es la pendiente de una función del espacio llamada potencial, análoga al nivel de un terreno en el que la materia es una depresión. Así como el terreno alrededor de un hoyo tiene líneas de nivel y líneas de máxima pendiente, el espacio alrededor de una masa tiene superficies de igual potencial y líneas de campo. Éstas son las trayectorias que seguirían masas exploratorias abandonadas en diferentes puntos del espacio.
- 94. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 90 Se puede construir fácilmente un símil topográfico de un sistema gravitatorio colocando una esfera pesada sobre un tejido elástico o membrana tirante. La depresión que provoca su peso sobre el tejido se propaga en el espacio como un campo gravitatorio. Si se lanza convenientemente una bolita alrededor de la masa, girará alrededor de ella en forma muy parecida a un satélite alre- dedor del cuerpo que ejerce una atracción gravitatoria 24 , o even- tualmente pasará de largo con una trayectoria hiperbólica si el impulso inicial es suficiente. Como dijimos, el trabajo necesario para llevar un masa m desde un punto A a otro B dentro de un campo gravitatorio creado por una masa M está medi- do por la energía EAB = A∫B F.dll (integral de un producto vectorial) 25 para F=kG.M.m/r 2 y siendo dll el desplazamiento elemental . Nótese que el campo se sume paralela- mente a la superficie de la materia (en este caso de forma irregular) que lo produce. Sin embargo a una distancia grande com- parada con las dimensiones del cuerpo, las líneas son sensiblemente radiales como si fueran a parar al centro de masas de aquél. Por supuesto que si el cuerpo atractor es esférico y homogéneo, el cam- po es siempre radial, a cualquier distancia de su centro de masas. En el dibujo, las líneas azules son las de campo (líneas de fuerza) y las anaranjadas son las líneas de igual potencial, que en realidad son las intersecciones con el plano del dibujo de las superfi- 24 La órbita de la bolita es una curva alabeada (no plana) a diferencia de la órbita gravitatoria y es comparable con ésta sólo su proyección vertical, que sería una elipse si no hubiera rozamiento. A causa de éste, es un espiral elíptica que termina al preci- pitarse en el hoyo, junto a la esfera mayor. 25 Esa integral de línea (a lo largo de un camino) de un vector se llama circulación entre los límites A y B. Cuando el vector es una fuerza, la circulación se llama trabajo. Cuando es un campo conservativo (sin fuentes ni sumideros a lo largo del camino), se llama diferencia de potencial. El gradiente del potencial es el campo en el punto consi- derado. La circulación en un camino cerrado es nula si el campo es conservativo. SÍMIL TOPOGRÁFICO DE LA GRAVEDAD líneas de máxima pendiente = líneas de campo líneas de nivel = líneas equipotenciales A B B’ A’ -1 -2 -3 -4 -5 -6 rB rA
- 95. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 91 cies cerradas que rodean a la materia para las cuales el potencial es igual en todos sus puntos (superficies equipotenciales). El trabajo necesario para alejar una masa m entre A y B es el mismo reco- rriendo cualquier camino que una esos puntos, de la misma forma que para llevar un peso por la ladera de una montaña: lo que cuenta es la diferencia de nivel entre puntos inicial y final. Por ejemplo, por el camino directo (en negro) la integral vale lo mismo que por el rojo o por el verde. En estos últimos hay una parte en la que el trabajo es nulo, de A a A’ y de B’ a B. En estos tramos el producto vectorial se anula por ser F perpendicular a la trayectoria. Queda como trabajo el reali- zado entre A y B’ o lo que es igual, el realizado entre A’ y A, trayectorias ambas en las que la fuerza tiene la misma dirección de la trayectoria, y por lo tanto el producto escalar de los vectores fuerza y distancia se transforma en producto de los módulos de ambos vectores, es decir EAB = A∫B’ F.dll = kG.M.m A∫B’ dr/r 2 = kG.M.m [1/rA - 1/rB] = m.(UA – UB) siendo U el potencial del punto respectivo El potencial varía inversamente a la distancia siempre que r sea grande comparada con las dimensiones de la masa, es decir que el campo pueda considerarse radial. Así es Ur = kG.M/r Como rA < rB el trabajo es positivo, es decir que hay que entregar trabajo para alejarse de la masa atractora. Se ve también que el potencial es nulo a gran distancia de la masa, o sea para r→ ∞ . El significado físico de esta consecuencia matemática es una fuente de gravedad muy lejos de las masas, desde donde provienen las líneas que se sumen en ellas. El símil topográfico de esta configuración de líneas y potenciales sería una planicie al nivel del mar afectada por un hun- dimiento localizado, o en el modelo hidráulico, una pileta enorme que nunca se vacía a pesar del agua que sale por un sumidero colocado en un nivel más bajo que la superficie. Escapando de la gravedad No todo lo que sube tiene que bajar forzosamente. Se puede impartir a un proyectil la energía necesaria para que venza la atracción gravitatoria, y aún la supere, yéndose definitivamente de nuestro lado para nunca más volver. Analicemos esta proposición con reminiscencias de tango desde el punto de vista físico:
- 96. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 92 La energía necesaria para escapar con un cuerpo de masa m de la gravedad generada por un cuerpo de masa M es: EA∞ = A∫∞ F.dll = = kG.M.m A∫∞ dr/r 2 = = kG.M.m [1/rA] = m.UA Si quisiéramos escapar con un artefacto de masa m de la gravedad de la tierra, de masa M y radio rT, deberíamos suminis- trarle un trabajo que es igual a la variación de fuerza viva: Ec = ½ m ve 2 = kG.M.m [1/rT] de donde ve = (2.kG.M/rT) ½ , y dado que g=kGM.m/rT 2 es entonces ve=(2.g.rT) ½ =(2.9,8.6378000) ½ = =11181 m/s A esta velocidad se la llama “velocidad de escape”, y es la que debe poseer como mínimo un proyectil en la superficie de la tierra para escapar a la gra- vedad 26 . Sale así de la trayectoria elíptica (cerrada) para pasar a una tra- yectoria abierta, que puede ser parabólica cuando la velocidad del proyectil es igual a la de escape e hiperbólica cuando es mayor que ésta. Se de- muestra que en todos los casos las trayectorias cónicas citadas tienen sus focos en el centro de la tierra. El astrónomo alemán Karl Schwarzschild predijo en 1916 la existencia de cuerpos celestes que provenían de la evolución de estrellas que se comprimían bajo el efecto gravitatorio de su propia materia. Si el campo gravitatorio propio de estos cuerpos celestes es tan intenso que la velocidad de escape iguala a la de la luz, ésta, que tiene una masa asociada y por lo tanto es afectada por la gravedad como cualquier cuerpo, no podrá escapar fuera de la influencia del astro, y éste será invisible para los de otros mundos. Esto se cumple cuando ve = (2.kG.M/rT) ½ = c (velocidad de la luz = 3.10 8 m/s) La relación masa/radio necesaria para que un cuerpo no pueda emitir luz por efecto gravitatorio es M/RSch = c 2 /2/kG = 9.10 16 /2/(6.72.10 -11 ) = 6,7.10 26 El radio correspondiente para un cuerpo esférico de masa M cuya velocidad de esca- pe sea la de la luz se llama “radio de Schwarzschild”. Para el caso de al tierra vale: RSch = 5,98 10 24 Kg / 6,7 10 26 = 8,9 mm (dimensiones de una bolita como la que se usa para jugar al “hoyo”) 26 La velocidad de escape es la que tendría un cuerpo en caída libre desde una altura igual al radio terrestre si su aceleración g se mantuviera constante, es decir si el cam- po fuera paralelo (cosa que en realidad no se cumple). TIRO DE ARTILLERÍA Y VELOCIDAD DE ESCAPE v<vc : ELIPSE v=vc : PARÁBOLA v>vc : HIPÉRBOLA asíntotas de la hipérbola
- 97. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 93 Energía asociada a la gravedad Un sistema de dos masas posee energía de forma (potencial) intrínseca, que proviene del trabajo realizado para colocarlas a cierta distancia. Si conside- ramos que “formamos” el sistema trayendo los cuerpos desde el infinito (o sea desde potencial cero) hasta la distancia r, habrá que ir aguantando la atracción gravitatoria durante el acercamiento, obteniendo así energía en vez de suministrarla. Es decir que la energía de configuración de dos masas a cierta distancia es negativa. Desde ese punto de vista, una masa concentrada en un volumen de dimen- sión R supone una energía negativa de formación, si consideramos que está formada por acreción (agregado) de partículas de masa elemental dm que descienden a un hoyo de potencial cada vez más profundo, proporcional a la masa acumulada y a la inversa del radio de acreción. Se puede entender este proceso gradual de formación comparándolo don el de la construcción de un pozo de profundidad R del que se extrae una cantidad total de tierra M con baldecitos que contienen una cantidad dm. Extraer el primero requiere un trabajo mínimo. A medida que el pozo se profundiza, cada balde se debe subir desde más abajo. Se demuestra que el trabajo total es la mitad del que supone subir toda la tierra desde el fondo M.g.R, es decir M.g.R/2. Del mis- mo modo, la energía para “armar” una masa M con elementos dm sobre una esfera de radio R es la mitad de la que se requiere para traer esa masa des- de potencial cero hasta el potencial kG.M/R , es decir -½.kG.M 2 /R (con signo negativo). 27 Para los que prefieren el cálculo infinitesimal a los razonamientos analógi- cos, el resultado anterior sale de integrar dos veces la fuerza elemental de segundo orden d 2 F = kG/r 2 .dm 2 por la distancia dr , entre los límites m=0 a m=M , y entre r=∞∞ a r=R , es decir EG = kG ∫∫ ∫∫ ∫∫1/r 2 dm.dm.dr La energía de configuración asociada a una masa m es por lo tanto negativa, y se puede considerar que está distribuida en el campo gravitatorio cuyo valor en función de la distancia vale g(r)=kG.M/r 2 . Una esfera hueca de masa m y radio r produce un campo sobre su superfi- cie que vale g(r)= kG.m/r 2 (igual que una masa m concentrada en el centro). Si su radio se contrae en dr dejará libre un volumen dV = 4.π.r 2 .dr , ocupado con el campo gravitatorio, a costa de un trabajo negativo dE = m.g(r).dr = -kG.m 2 /r 2 .dr La energía por unidad de volumen de campo gravitatorio vale dE/dV = -kG/4/ππ.m 2 /r 4 = - 1/(4ππkG)g(r) 2 27 Se demuestra que para acumular esa masa dentro de un volumen esférico en vez de una cáscara de espesor infinitesimal, el trabajo es algo mayor que ½ kG.M 2 /R
- 98. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD 94 Es decir que la densidad volumétrica de energía contenida en el espacio afectado por un campo gravitatorio es negativa y proporcional al cuadrado del valor de dicho campo. Vemos así que el campo gravitatorio, imaginado inicialmente como mera construcción físicomatemática para modelizar el mecanismo de la transmi- sión de fuerzas a distancia, adquiere ahora una nueva jerarquía, cercana a la de la materia que le da origen, con la propiedad de tener energía negativa asociada 28 . 28 El Ing. Rodríguez de Bello y otros han desarrollado una teoría que contempla los efectos gravitatorios al asignar un equivalente de masa negativa a la correspondiente energía negativa del campo gravitatorio.
- 99. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD a -o-o-o- FÍSICA GENERAL ÍNDICE TEMÁTICO DE LA SEGUNDA PARTE DINÁMICA Y GRAVEDAD DINÁMICA (movimiento bajo la acción de fuerzas)..............................39 Fuerza............................................................................................39 Masa..............................................................................................39 Cantidad de movimiento .................................................................39 Interacción de la materia........................................................................39 Ley de conservación de la cantidad de movimiento.............................39 Interacción entre cuerpos ...................................................................40 Centro de gravedad de un sistema de masas...............................40 Acciones de las fuerzas.........................................................................41 Fuerzas exteriores e interiores a un sistema de masas........................41 Jugando al billar – Primera parte.....................................................41 Efectos de las fuerzas ........................................................................42 Trabajo de una fuerza............................................................................43 Energía de un sistema...........................................................................43 Tipos de energía................................................................................44 Energía cinética - Teorema de la fuerza viva ...................................44 Energía potencial............................................................................45 Sistemas de fuerzas conservativas ..............................................45 Sistemas de fuerzas NO conservativas........................................46 Principio de conservación de la energía - Calor y Termodinámica........47 Jugando al billar – Segunda parte.......................................................49 Choque elástico y plástico ..............................................................50 Coeficiente de restitución ............................................................50 Choque elástico ..........................................................................51 Choque oblicuo...........................................................................52 Choque plástico ..........................................................................53 Mecánica de los cuerpos rígidos............................................................53 Concepto de cuerpo rígido .................................................................53 Centro de masa de los cuerpos rígidos. ..............................................54 Fuerza viva de los cuerpos rígidos......................................................55 Momento de inercia ........................................................................55 Cálculo del momento de inercia de un cilindro de radio R y altura L con respecto a su eje ..................................................................56 Crónicas del CNBA..................................................................56 Cuerpos rígidos sometidos a fuerzas ..................................................57 Resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido..58 Problema general en el espacio...................................................58 Problema en el plano ...............................................................59 Método del polígono funicular...................................................59
- 100. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD b Justificación del método del polígono funicular .........................60 Momento de una fuerza con respecto a un punto ............................61 Casos en que el momento de una fuerza con respecto a un punto es nulo ..............................................61 Momento y Trabajo..................................................................61 Momento de un sistema de fuerzas..........................................62 Momento de una cupla................................................................63 Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido...........64 Fuerzas concentradas y distribuídas...................................................65 Gravedad .................................................................................................67 Peso..................................................................................................67 Centro de gravedad ...........................................................................68 Ley de la gravedad ............................................................................68 Gravedad en la superficie de un cuerpo..........................................70 Alcance de la ley de gravitación .........................................................71 Fuerzas a distancia – Campo y potencial gravitatorio .............................71 Campo gravitatorio ............................................................................72 Teorema de Gauss.........................................................................73 Gravedad en acción...........................................................................73 Caída de los cuerpos – Masa inercial y gravitatoria .........................74 Péndulo .........................................................................................74 Péndulo matemático ...................................................................77 Fenómenos Giroscópicos...................................................................79 Balanza..........................................................................................82 Experiencia para determinar kG ...................................................83 El problema del tiro ........................................................................85 Tiro en el vacío ...........................................................................85 Tiro en el seno de un fluído .........................................................86 En torno a la gravedad.......................................................................88 Transitando por la gravedad...............................................................89 Escapando de la gravedad.................................................................91 Energía asociada a la gravedad .........................................................93
- 101. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD c ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA SEGUNDA PARTE acción a distancia, 67 aceleración centrífuga del movimiento, 69 aceleración de la gravedad, 67 Aconcagua, 67 acreción, 93 analogía fluída (gravitación), 73 arco de alambre, 68 atracción gravitatoria. Véase gravedad atracciones y repulsiones magnéticas, 71 balanza, 82 baricentro, 40, 55, 67 billar (jugando), 41, 49 bolitas (juego), 51 Boys (determinaciónde kG), 85 Buenos Aires, 67 caída de los cuerpos, 73 calor, 44, 47, 49 campo de fuerzas conservativo, 46 campo eléctrico, 72 campo gravitatorio, 72, 73 campo magnético, 72 cantidad de movimiento, 39 cantidad de movimiento (conservación), 39 carena (superficie de carena), 87 Carnot, 49 carrito, 42 Cavendish (determinación de kG), 85 centro de gravedad, 40, 67 centro de masa, 54 centro de masas, 40, 67 chapa, 68 choque elástico, 51 choque elástico y plástico, 50 choque oblicuo, 42, 52 choque plástico, 53 choque recto, 42 coeficiente de restitución, 50 cohete (satélite), 89 composición de fuerzas paralelas, 64 configuración del sistema (energía), 45 conservación de la energía, 47 crónicas del CNBA, 56 cuerpo rígido, 53 cupla, 63 densidad, 66 desagüe (flujo de agua), 72 determinación de kG, 83 diferencia de potencial, 46 dinámica, 39 dinamómetro, 60 ecuación del péndulo, 76 elipse, 88 energía (tipos), 44 energía cinética, 44, 45, 48 energía de configuración, 47 energía de un péndulo, 75 energía de un sistema, 43 energía interna, 48 energía muscular, 47 energía negativa (campo gravitatorio), 93 energía potencial, 45, 48 energía térmica, 47 esfuerzo muscular, 39 evoluciones, 47 exactitud (balanza), 83 experiencia de Joule, 45 fenómenos giroscópicos, 79 fuentes del campo, 46 fuentes y sumideros (gravedad), 71 fuerza, 39 fuerza de gravedad, 67 fuerza viva. Véase energía cinética fuerza viva (cuerpo rígido), 55 fuerza viva de rotación, 55 fuerza viva de traslación, 55 fuerzas (efectos), 42 fuerzas a distancia, 71
- 102. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD d fuerzas concentradas, 58 fuerzas concentradas y distribuídas, 65 fuerzas conservativas, 45 fuerzas coplanares, 59 fuerzas distribuídas, 58 fuerzas en el espacio, 58 fuerzas entre cuerpos electrizados, 71 fuerzas exteriores e interiores, 41 fuerzas no conservativas, 47 función potencial, 89 gasto, 72 Gauss (teorema), 73 giróscopo, 79 gravedad, 46, 67 gravedad (en torno a la), 88 gravedad (energía asociada a la), 93 gravedad (escapando de la), 91 gravedad (transitando por la), 89 gravedad en acción, 73 gravedad y distancia, 69 gravitación universal (constante de), 70 inercia, 43 interacción (materia), 39 Joule (unidad), 43 ley de gravitación, 68 ley de gravitación (alcance), 71 líneas de corriente, 72 líneas de fuerza (campo), 46 lugar de aplicación (fuerza), 58 luna, 68 manzana (Newton), 68 masa, 39 masa concentrada, 53 masa distribuída, 53 masa inercial y gravitatoria, 74 memoria de forma, 47 modelo topográfico (campo), 46 momento de inercia, 55 momento de inercia (péndulo), 76, 77, 79 momento de inercia de un cilindro, 56 momento de inercia de un disco, 78 momento de inercia de un prisma de base rectangular, 78 momento de inercia del círculo, 78 momento de la cantidad de movimiento, 80 momento de primer orden, 65 momento de segundo orden. Véase momento de inercia momento de un sistema de fuerzas, 62 momento de una cupla, 63 momento de una fuerza, 61 momento y trabajo, 61 movimiento central, 69, 88 Newton, 68, 80 Newton (resistencia inercial), 87 Newton (unidad de fuerza), 39 nutación, 80 órbita (satélite), 89 órbita de la luna, 69 parábola, 88 parábola de tiro, 85 paralelogramo de fuerzas, 59 partículas materiales, 58 péndulo, 74 péndulo físico, 74 péndulo físico y balanza, 82 péndulo matemático, 77 período del péndulo, 75 peso, 67 peso de los objetos, 73 plomo, 83 Poggendorff (giróscopo), 80 polígono funicular, 59, 64 potencial, 46 potencial nulo, 91 Poynting (determinación de kG), 85 precesión, 80 precisión (balanza), 83 presión, 39, 66 presión del viento, 65 primer principio de la
- 103. FÍSICA – DINÁMICAY GRAVEDAD e Termodinámica, 49 principio de conservación de la masa-energía, 48 principio de inercia, 74 propiedades del espacio, 44 proyectil (movimiento), 88 punto de aplicación, 58 reacción giroscópica, 80 recta de acción, 58 resistencia del aire, 43 resistencia viscosa, 47 resorte, 45 resorte (trabajo), 47 restitución (coeficiente), 50 resultante, 58 Rodríguez de Bello (gravitación), 94 romanas (balanza), 83 rozamiento, 43, 47 satélite artificial, 88 Schwarzschild (radio de), 92 sensibilidad (balanza), 83 símil topográfico de la gravedad, 90 Steiner (teorema de), 78 Stokes (resistencia viscosa), 86 Sucre, 67 sumideros del campo, 46 tango, 91 termodinámica, 47 tierra, 69 tierra (curvatura), 88 tiro en el seno de un fluído, 86 tiro en el vacío, 85 trabajo de una fuerza, 43 trayectorias de tiro, 87 trompo, 79 umbral (balanza), 83 vector momento, 63 velocidad angular (péndulo), 75 velocidad de escape, 92 velocidad de inserción (satélite), 89 velocidad de precesión, 81
- 104. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 95 95 PRINCIPIOS DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES Equilibrio del cuerpo rígido sometido a fuerzas Se ha visto hasta ahora que un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido es equivalente a una resultante cuyo módulo es el de la suma vectorial de las componentes. La recta de acción de esa resultante debe pasar por el punto para el cual se anula la suma de los momentos de primer orden de todas las componentes. Si ese punto no puede hallarse es porque además de las fuerzas, actúa sobre el cuerpo rígido un par de fuerzas paralelas de igual intensidad y sentido contrario, que no es reducible a una sola fuerza: se trata de una cupla, caracterizada por su momento. Para que haya equilibrio estático de fuerzas (sin movimiento) sobre un cuerpo rígido, deben ser nulos la resultante y el momento de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto del plano en el caso de fuerzas que residen en un plano (coplanares). Otra condición de equilibrio equivalente a la anterior es que sean nulos los momentos resultantes de todas las acciones con respecto a tres puntos no alineados pertenecientes al plano. Se comprende que esta última condición garantiza que la resultante sea nula. En efecto, si no lo fuera y dos de los puntos cayeran sobre su recta de acción, darían momento nulo, dando la sensación de equilibrio; sin embargo, el tercero no alineado acusaría un momento no nulo, poniendo de manifiesto así una resultante distinta de cero. Un sistema en el espacio sometido a fuerzas no coplanares, se puede re- solver proyectando las fuerzas sobre tres planos no paralelos (por ejemplo uno (X,Z) vertical, otro (X,Y) horizontal y un tercero (X,Z) perpendicular a los otros dos, correspondientes a una vista en elevación de frente, otra en planta y una tercera en profundidad) y buscando la resultante en cada proyec- ción, que serán componentes de la resultante en el espacio. El equilibrio en este caso exige resultante nula (las tres proyecciones nulas) y momento nulo. Con respecto al momento, recordemos que es un vector, resultado del producto de la fuerza por la distancia. Ese vector es libre, es decir no tiene punto de aplicación ni recta de acción. Sólo dirección. En un sistema de fuerzas en el plano es perpendicular al mismo. En el caso de fuerzas en el espacio el momento es un vector espacial, es decir que tiene tres componentes o proyecciones una en cada uno de los ejes coordenados.
- 105. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 96 96 En la figura se ven dos vectores en el espacio: el rojo A y el azul B. Son alabeados, es decir que no se cortan. Por lo tanto no pueden tener como resultante sólamente una fuerza, sino además un mo- mento, resultado de trasladar la recta de acción de una cualquiera de las fuerzas (en el dibujo la B) sobre la de la otra. El momento de traslación MM será perpendicular al plano de traslación (sombreado en celeste). Estabilidad de sistemas cargados Estática La estática es la parte de la mecánica que plantea y resuelve las condicio- nes de equilibrio en reposo de sistemas de cuerpos en base a las accio- nes que obran sobre ellos (fuerzas y momentos). Los cuerpos que integran los sistemas en estudio no están libres en general, sino vinculados entre sí y con la tierra a través de diversos órganos de unión llamados vínculos. Por ejemplo, para construir un edificio se trabaja con un modelo gráfico a escala del mismo y se fijan los diversos vínculos al terreno y eventualmente a otras estructuras. Luego se supone uno o varios estados de carga: peso propio, peso de personas y objetos fijos y en movimiento, empuje del viento, posible acción sísimica, etc., Se calculan luego las reacciones de vínculo y los esfuerzos en los elementos de la es- tructura necesarios para que todo el sistema esté en equilibrio. Con estos esfuerzos se dimensionan o verifican las vigas, columnas , losas, cimientos y en general elementos estructurales del edificio, de acuerdo a la resistencia característica de los materiales que se van a emplear. Vínculos Un vínculo es un órgano de unión entre cuerpos de un sistema, que impone una limitación característica a la posibilidad de movimiento relativo entre los cuerpos a los que se aplica. Por ejemplo: • Articulación o apoyo fijo, materializada por un perno fijo a un cuerpo dentro de un gorrón o cojinete solidario al otro o a la base del sistema. Cuerpos vinculados con articulaciones pueden girar uno con respecto al otro pero no pueden alterar la posición relativa del eje de giro. En el MM R Composicióndedosfuerzas alabeadasA+ B=R; MM A A B B x z y z y x
- 106. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 97 97 cuerpo humano, los codos, las rodillas y los tobillos son articulaciones. • Rótula: cuando la articulación permite giros fuera del plano, es decir en tres dimensiones, se llama rótula (el fémur está articulado a la cadera por una rótula). En vez de un eje cilíndrico rodeado de una pista también cilíndrica, una rótula está materializada por una terminación esférica alojada en una cavidad también esférica) • Apoyo móvil o deslizante, que puede ser un patín fijo a un cuerpo, que se desliza por una pista plana solidaria a otro cuerpo o a la base. Este tipo de vínculo no permite giro ni desplazamiento fuera de la dirección especificada. • Apoyo articulado: es una combinación de los dos anteriores, por ejem- plo el tobillo sobre un pié con un patín. • Empotramiento, que es cualquier vínculo que impida la rotación y el desplazamiento. Por ejemplo, una varilla hundida en la tierra está em- potrada en ella. Dos apoyos móviles con pistas no paralelas aplicadas en el mismo punto también son un empotramiento. Un empotramiento puede considerarse como una fusión en uno sólo de los dos cuerpos a los que está aplicado. Grados de libertad Al restringir los movimientos de los puntos del cuerpo donde están aplicados, los vínculos limitan los “grados de libertad” del sistema, que son los pará- metros independientes necesarios para definir unívocamente la posición del sólido en el espacio. Un cuerpo rígido en el plano (una placa indeformable) tiene tres grados de libertad: dos coordenadas para un punto cualquiera y la dirección de una recta trazada sobre su superficie (medida por el ángulo que forma con alguno de los dos ejes). En el espacio, un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad: tres coordenadas que definen la posición de uno de sus puntos, dos ángulos que definen la orientación de un eje de referencia en el espacio y un tercer ángulo para definir la posible rotación alrededor de ese eje 1 . Al aplicar un vínculo, por ejemplo una articulación en un punto del cuer- po, fijamos su posición y restamos dos grados de libertad al sistema en el plano o tres en el espacio. Los vínculos producen reacciones que equilibran la acciones aplicadas al sistema de fuerzas, de tal manera que la resultante entre acciones exteriores y reacciones de vínculo es nula cuando el sistema está en equilibrio. Las reacciones tienen características impuestas por el tipo de vínculo: por ejem- plo, un apoyo móvil sólo puede generar una reacción perpendicular al plano de apoyo, y un empotramiento en cambio puede producir fuerzas en cual- quier dirección y además absorber momentos. 1 Para fijar la posición de un sólido en el espacio hay que definir la posición de tres puntos, lo cual da nueve coordenadas. Sin embargo, por ser indeformable, las tres distancias entre puntos son fijas, lo que reduce el número de variables a seis. Piense el lector cómo demostrar que este razonamiento es equivalente al expuesto en el texto
- 107. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 98 98 Sistemas isostáticos e hiperestáticos Si la cantidad y calidad de vínculos impuestos al sistema restringe menos de los grados de libertad que éste posee, el sistema no tendrá asegurado su equilibrio, aunque pueda eventualmente presentar ese aspecto a través de un estado de equilibrio indiferente o inestable. Estado indiferente es el de una viga horizontal (tres grados de libertad) apoyada en sus extremos en sendos apoyos móviles sin rozamiento (dos grados de libertad), que puede estar en equilibrio sólamente si se carga con fuerzas verticales. En cambio, se moverá ante fuerzas que den una resultante inclinada, ya que ninguno de los dos apoyos podrá equili- brar la componente horizontal de dicha resultante. Una rueda libre (tres grados de libertad) sobre un plano horizontal, que le restringe la coordenada vertical de su centro y la posición del punto de con- tacto con el plano sobre el que puede rodar, queda con un grado de libertad y también presenta equilibrio indiferente. En cambio, esa rueda en la cima de una loma está en equilibrio inestable, ya que una mínima acción la colocará sobre un plano inclinado, que no pue- de absorber su peso vertical. Cuando la cantidad y calidad de los vínculos impuestos a un sistema restrin- ge exactamente su número de grados de libertad, sus reacciones equilibran las acciones imperantes en forma unívoca. Se dice que el sistema está está- ticamente determinado o es isostático. Una viga con un apoyo móvil y otro fijo puede equilibrar la resultante de las cargas impuestas de una sola forma: con una reacción perpendicular al apoyo móvil y otra en cualquier dirección que pasa por el apoyo fijo. Cuando un sistema está vinculado de ma- nera sobreabundante, es decir con más restricciones que grados de libertad, se llama hiperestático. El caso de la viga de la figura, vinculada con dos apoyos fijos, es un sistema hiperestático cuya solución requiere que las reacciones de vínculo pasen por los dos apoyos. Hay infinitas soluciones si consideramos que la fuerza puede moverse a lo largo de la recta de acción, como se hace para el cuerpo rígido. En cambio, la solución es única cuando fijamos un punto P de aplica- ción de la fuerza. Esto significa que la solución unívoca de sistemas hipe- restáticos requiere que se consideren cuerpos en los que interviene el punto estado de equilibrio conenergía mínima equilibrio indiferente equillibrio inestable P
- 108. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 99 99 de aplicación de la fuerza, así como las deformaciones producidas por las mismas. Muchos sistemas reales son hiperestáticos: edificios, puentes y otras es- tructuras sólidas y reticuladas. Por ejemplo, las vigas de los edificios, empo- tradas en ambos extremos a las columnas y a las vigas contiguas, tienen restringidos seis grados de libertad en el plano. La solución de tales sistemas se hace con métodos especiales de los que daremos luego algunas pautas. Principio de los trabajos virtuales Un sistema en equilibrio está en el estado de energía mínima. Por lo tanto cualquier desplazamiento hacia un lado o hacia el otro de esa posición de equilibrio significará un estado de energía mayor que la que tiene. Esa mayor energía es a costa del trabajo de las fuerzas exteriores aplicadas. Se comprende que en estado de energía mínima, un pequeñísimo cambio hacia un lado o hacia el otro significará, como en el caso de la bola en la concavi- dad, un desplazamiento perpendicular al peso y a su reacción, es decir de trabajo nulo. Precisamente, el principio de los trabajos virtuales (o infintesimales) afirma que es nulo el trabajo de las fuerzas exteriores al sistema en equilibrio frente a un desplazamiento infinitamente pequeño y lento compatible con los vín- culos. Cada tipo de vínculo admite un tipo de desplazamiento compatible con él: por ejemplo, un apoyo móvil permite sólo un desplazamiento sobre el plano de deslizamiento del patín. Un apoyo fijo permite una rotación. Un empotra- miento permite sólamente una flexión manteniendo la dirección de la tan- gente. Ejemplo: Equilibrio en el plano inclinado: El peso P de la vagoneta que puede rodar sin resistencia por el plano inclinado, está equilibrado por la composición de la reac- ción del plano |R|= |P cos αα| y la fuerza de tracción |F| = |P.sen αα| que hace el operario Celestino a través de la soga paralela al piso inclinado. Aplicando el principio de los trabajos virtuales podemos hacer el siguiente razona- miento para averiguar al incógnita, que es el módulo de la fuerza F: En un desplazamiento OO’ muy pequeño y hecho muy lentamente sobre el plano (compatible con el vínculo) será nula la suma del trabajo suministrado por Celestino y el trabajo resistido por la vagoneta, que se empeña en ir cuesta abajo. Expresando ambos trabajos por los respectivos productos escalares entre fuerza y distancia, nos P F = -P.sen (α)α) αα P.cos (α)α) O' π/2−απ/2−α EQUILIBRIO EN UN PLANO INCLINADO O
- 109. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 100 100 queda: F.OO’ + P.OO’ = 0 Resulta que F.OO’ = F.OO’ y también P.OO’ = P.OO’.cos (π/2-α) = P.OO’.sen (α) Entonces es F.OO’ + P.OO’.sen (α) = 0 de donde F = - P.sen (αα) La aplicación del principio de los trabajos virtuales es parti- cularmente útil en los casos en que se desea poner de manifiesto el esfuerzo resistente de un vínculo que mantie- ne el equilibrio. En el caso estudiado, se debe considerar que Celestino recibe un esfuerzo de tracción –F a través de la soga. Ese esfuerzo se compone con el peso G de nuestro amigo, dando una resultante R que se transmite al suelo. El exce- lente calzado antideslizante que usa nuestro amigo se adhiere al piso con una fuerza de rozamiento T, la que compuesta con la reacción del suelo N equilibra la fuerza R 2 Rozamiento Ya habíamos visto que el fenómeno del rozamiento o fricción era típico de sis- temas no conservativos. El motivo del rozamiento o fricción entre dos objetos puede entenderse con una visión microscópica del contacto entre dos cuerpos sólidos, en los que sus su- perficies rugosas tienden a engranarse o compenetrarse. Como resultado aparece: • Una fuerza que se opone al deslizamiento de una superficie sobre la otra (rozamiento de resbalamiento o deslizamiento), o bien : • Otra fuerza menor que se opone a que una superficie ruede sobre la otra (rozamiento de rodadura) Rozamiento de deslizamiento El fenómeno obedece a una ley lineal, que asigna al rozamiento una fuerza tangente Fr a la superficie de contacto que se opone al movimiento relativo lineal. 2 Como se verá al tratar el tema del rozamiento, la fuerza T es proporcional a la fuerza normal N a través de un coeficiente que depende del tipo y estado de los materiales en contacto; (por ejemplo para goma seca y cemento alisado, T/N ≈ 1) G -F R T N G -F N T R Fr P Fr V=cte Determinación experimental del coeficiente de rozamiento en movimiento µµm=Fr /P
- 110. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 101 101 Dicha fuerza es proporcional a la presión PP ejercida y al área S de la super- ficie de contacto, es decir que en definitiva no depende del área sino de la fuerza normal N: Entonces siendo PP=N/S resulta Fr = µµ.PP.S = µ.µ.N , donde µµ es un coeficiente de proporcionalidad adimensional (un número sin unidad) que depende de los materiales y grado de pulimento de las superficies en contacto. Lo dicho es válido para cuerpos en reposo. Cuando comienza el desliza- miento, el rozamiento cae bruscamente a una fracción del de reposo, siendo luego casi independiente de la velocidad 3 . Algunos valores del coeficiente de rozamiento por deslizamiento, en reposo y movimiento. Materiales en contacto Condición de las superficies µµr (reposo) µµm (movim.) Hierro sobre bronce Pulidas y secas 0,2 0,15 Hierro sobre hierro Algo engrasadas 0,3 0,13 Cuero sobre madera Lisas y secas 0,4 0,3 Ladrillo sobre hormigón Secas 0,7 0,6 Acero sobre hielo húmedas 0,03 0,015 Caída por un plano inclinado En el caso de la figura vemos un cuerpo de masa m que no puede rodar 4 y que está apoyado sobre un plano de inclinación va- riable αα y sometido a la gravedad g Siendo N la reacción del plano, P = m.g el peso y Fr la fuerza de rozamiento, el cuerpo estará sometido a una fuerza resultante F en la dirección del plano tal que F = N + P + Fr , expresión vectorial que proyectada sobre el plano da F= P.cos(α) - Fr Como Fr = µµ.N y además N = P.sen(α) , ya que la reacción del plano debe equilibrar a la componente de P según la normal, resulta entonces que: F = P.cos(α) - µ.µ. P sen (α) = m.g [cos (α) – µ sen (α)] 3 Nótese que para arrastrar un mueble sobre el piso hace falta al principio una fuerza mayor que la necesaria para mantenerlo luego en movimiento. 4 No podrá rodar el cuerpo cuyo peso caiga dentro de su base de apoyo. Fr N P α FF α P N Fr
- 111. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 102 102 Pero la fuerza F no está equilibrada por ninguna otra, por lo que producirá una aceleración en la dirección del plano inclinado igual a: a = F /m = g [cos (α) – µ sen (α)] Según sea el corchete de la anterior negativo, nulo o positivo, pueden darse en teoría los tres correspondientes casos, que pasamos a interpretar: 1. [cos (α) – µ sen (α)] < 0 , de donde µ > tg (α) (a<0) 2. [cos (α) – µ sen (α)] = 0 , de donde µ = tg (α) (a=0) 3. [cos (α) – µ sen (α)] > 0 , de donde µ < tg (α) (a>0) Primer caso: Si la pendiente es menor que el coeficiente, no hay desliza- miento. En cambio NO puede concluirse que, impulsado por una acción exterior el cuerpo se frene debido a la desaceleración (a<0), pués en movi- miento el coeficiente µµ es menor que en reposo, y la inecuación 1 debe plantearse con el coeficiente en movimiento, es decir µ=µµ=µm Segundo caso: Al inclinar cada vez más el plano con el cuerpo en reposo, llegará un momento en que éste comienza a deslizarse, y en tal caso será µµ=tg(αα) , pero un instante después será µ=µµ=µm y se pasará al tercer caso. Tercer caso: El cuerpo se desliza con movimiento acelerado. Disminuyendo la inclinación αα podremos transformarlo en un movimiento uniforme, en cuyo caso valdrá la ecuación 2, pero con µµ=µµm Rozamiento entre muñón y cojinete sin lubricación Se llama cojinete al alojamiento cilíndrico que sirve de apoyo a un eje o muñón. Este es el caso en la mayoría de las máquinas para apoyo de sus piezas rotantes (ruedas, engranajes, bielas, cigüeñales, etc.) La fuerza P que trasmite el eje al cojinete (que en reposo es el peso del conjunto rotante, pero que en movimiento contendrá componentes de inercia), se equilibra con la composición de las fuerzas elementales N=Σni normales a la superficie de contacto (en general un semicilindro). En cada elemento de la superficie de contacto aparece una fuerza elemental de rozamiento por des- lizamiento fi = µ.ni que es tangente a la superficie y cuyo momento elemental con respecto al centro de rotación O es el escalar mi=µ.ni.r P N ni O r
- 112. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 103 103 El momento resistente total MrMr es la suma de los escalares mi de manera que MrMr = µ. r . ΣΣni . Pero ΣΣni es una suma de módulos representado por la longitud del arco, mayor que la suma de vectores elementales N=Σni (ver figura). Así, el momento resistente creado por las fuerzas de rozamiento de deslizamiento en el cojinete es MrMr = c µµr. r . P donde 1<c<ππ/2 es un coefi- ciente que depende de la relación ΣΣn/P, que a su vez depende de la mag- nitud y forma 5 del huelgo entre muñón y cojinete. Cuando se lubrica el conjunto, introduciendo entre las superficies rozantes un líquido de viscosidad adecuada, los fenómenos de resistencia al resbala- miento ente sólidos se reemplazan por otros gobernados con leyes de hidro- dinámica que se describirán al estudiar los líquidos. Rozamiento de rodadura En el caso de que las superficies rueden sin resbalar, el fenómeno resistente al movimiento relativo se origina en el engrane y desengrane de las imperfec- ciones, como si fueran dientes mal tallados 6 de dos engranajes microscópicos. Para que la rueda comience a rodar por el plano es necesario aplicar un momento MMrod = jj.N , donde N es la fuerza normal y jj es el coeficiente experimental de rozamiento por rodadura, que tiene dimensiones de longitud. Por ejemplo, para hierro sobre hierro es jj = 5.10 -5 m . Si las superficies se pulimentan “a espejo” se llega a coeficientes tan bajos como jj = 5.10-6 m Trabajo de las fuerzas de rozamiento Las fuerzas de rozamiento no admiten un potencial, es decir que su valor no depende del punto de aplicación. Por lo tanto el trabajo de rozamiento no se transforma en energía potencial ni cinética y en cambio queda en forma de energía interna dentro del sistema. Recordemos que energía interna es la suma de las energías mecánicas de las partículas de la materia del siste- ma. En el caso del rozamiento, las fuerzas generadas trabajan contra las asperezas de las superficies donde se desarrollan. Las partículas reciben energía mecánica que transforman en vibraciones, rotaciones y otros mo- vimientos que tienen a la temperatura como representante estadístico de conjunto. Es decir que macroscópicamente el trabajo de rozamiento eleva la temperatura de los medios materiales donde se desarrolla. Ese aumento de 5 El espacio inicialmente entre los dos cilindros se va modificando por el desgaste. 6 Entre dientes de dos engranajes bien tallados no hay “engrane” propiamente dicho sino rodadura perfecta. MMrod N
- 113. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 104 104 temperatura generalmente termina disipándose en el ambiente a través de un proceso de transmisión de calor, que es netamente irreversible. Problema: ¿Cuál será el peso mínimo P’’ necesario para que comience el deslizamiento del bloque de ladrillos de peso P sobre la rampa de hormigón inclinada en un ángulo αα con respecto a la horizontal? Planteo: En la figura, el equilibrio de fuerzas lleva a plantear las siguientes ecuaciones: Fr= µr.N = µr.P.cos (α) P’= P.sen (α) + Fr = P.[sen (α) + µr cos (α)] P’’ = P’ + r , siendo r la resistencia en el eje r’ de la polea más el rozamiento r’’ soga- polea distribuído en la garganta, sobre el arco β=(α+π/2)β=(α+π/2) de contacto entre ambas. El rozamiento r’ en el eje de la polea de radio ρρ se gobierna por la fórmula ya vista Mr = c µr. ρ . R = ρ.r’ de donde r’ = c.µr.R Consideraremos que el rozamiento r‘’ de la soga sobre la garganta de la polea es de rodadura por lo que, según lo ya visto es MMrod = jj.R = ρρ.r’’ de donde r’’=ϕϕ.R/ρρ La fuerza de la soga P’ y el peso P se suponen aplicados en el centro de gravedad G, no así la fuerza de rozamiento Fr , cuya recta de acción se ubica en el plano de deslizamiento, que es la base del bloque. Aparece así un momento Fr.d que se equilibra con el corrimiento de la reacción -N del plano en una distancia d’ tal que N.d’= Fr .d Solución para : α=30º (0,52), β=α+π/2=2,09 P=1 Kgf =98 N µr=0,7(ladrillo/hormigón) µr=0,2(hierro/bronce) c=π/2 ϕ=0,005 m (cáñamo/hierro) P’= P.sen (α) + Fr = P.[sen (α) + µr cos (α)] = 98.[0,5+0,7.0,866]=108,41 N Como no conocemos aún R estimamos su valor para el próximo cálculo en 2P.cos(γ) = 2.108,41.0,866=187,67N r’ = c.µr.R = π/2.0,2.187,67=60N r’’ = r’’=ϕ.R/ρ = 0,005.187,67/0,1 = 9,38N Respuesta : P’’ = P’ + r ’+ r’’ = 98+60+9,38 = 167,38N P Fr P’’=P’+r r - P’ P’ P’ R ’ P’ -P’ r-R’ G -N N Fr P d’ d αα β=α+π/2β=α+π/2 γ=(π/2−α)/2γ=(π/2−α)/2
- 114. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 105 105 Equilibrio de cuerpos elásticos sometidos a esfuer- zos Sea una viga horizontal de peso propio despreciable apo- yada en sus extremos A y B con una carga P concentrada en un punto S de la misma. La carga P está equilibrado por las reacciones de los apoyos RA y RB de acuerdo a lo que ya sabemos. Para saber que pasa adentro del cuerpo rígido sometido a esfuerzos, en este caso la viga, imaginemos que la cortamos en una sección intermedia SS perpendicular a su eje. Para evitar que el equilibrio se rompa y todo se venga abajo, se po- dría mantener aquél trasladan- do todas las fuerzas a SS, lo que equivale a ejercer sobre la cara izquierda de la viga sec- cionada un momento de traslación RA.ll1-P.ll3 , y sobre la cara derecha otro momento igual RB.ll2 (Nótese que el equilibrio de momentos exige que RA.l1- P.l3=RB.l2). Además sobre la cara izquierda actúan las fuerzas trasladadas RA-P = -RB , que se equilibra con +RB, de la derecha. Ahora bien: si la viga entera está en equilibrio es porque estas acciones existen en su interior antes de seccionarla, y están ejercidas por fuerzas internas análogas a la que resiste el pegamento con el que eventualmente arregláramos el supuesto corte. Ese pegamento, que hemos representado con una masa elástica verde que une ambas partes, soporta un efecto de flexión que aprieta la parte de arriba y tira de la de abajo. Además soporta el esfuerzo de deslizamiento o corte hacia abajo de la parte izquierda y hacia arriba, de la parte derecha de la viga.(las dos partes de la viga actúan sobre la goma como las dos hojas de una tijera) Decimos así que la sección de la viga SS está solicitada por un momento de flexión o momento flector (que trata de flexionarla) igual al momento de A B P RA RB RA RB P S S l1 l2 l3 A B ESFUERZO DE CORTE Y MOMENTO DE FLEXIÓN EN LA SECCIÓN SS
- 115. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 106 106 todas las fuerzas situadas a la izquierda de la sección SS considerada (o a la derecha, con signo contrario). Además, actúa sobre ella el esfuerzo de cor- te, igual a la suma de todos las fuerzas trasladadas desde la izquierda o desde la derecha. El momento flector y el esfuerzo de corte son las acciones principales que determinan el estado interno de tensión y deformación en los cuerpos elásti- cos, es decir aquellos cuerpos que, contrariamente a los rígidos, se defor- man más o menos bajo las acciones exteriores, equilibrando así sus efectos. Es fácil ver que el momento flector está representado por la ordenada del polígono funicular y el esfuerzo de corte tiene una intensidad dada por la suma de las cargas situadas a la izquierda, llamada función de corte. El esfuerzo de flexión que resiste una sección de la viga es, como ya se dijo, igual al momento de todas las fuerzas que actúan a la izquierda de dicha sección, o al mo- mento de las de la derecha con signo opuesto, condición que exige el equilibrio pro- puesto para la pieza. Por convención, los ingenieros suelen tomar como positivo el momento que tiende a hacer girar la pieza en el sentido horario. Así, en caso de pie- zas apoyadas en sus extremos y cargadas verticalmente hacia abajo entre apoyos, el momento crece hacia la derecha desde cero en el apoyo izquierdo, donde reside una fuerza de reacción hacia arriba. Este crecimiento se mantiene hasta el punto de apli- cación de la fuerza, donde el momento flector presenta un valor máximo. De allí hacia la derecha comienza a disminuir su valor hasta llegar al apoyo derecho, lugar en que llega a cero. La razón de que en los apoyos la flexión deba ser nula se comprende teniendo en cuenta que este tipo de vínculo no resiste momento. Por otra parte, el momento en cualquier sección intermedia es la suma de momentos de todas las fuer- zas situadas a la izquierda. Momento es el resultado del producto escalar fuerza por distancia, igual al valor del área del rectángulo cuya altura es la fuerza y cuya base es la distancia. Esto hace que cada una de las fuerzas que vamos encontrando en nues- tro viaje por la viga desde la izquierda hacia la derecha (cuya resultante vertical es el esfuerzo de corte) nos va dejando un área que se suma o se resta según que el senti- do de la fuerza sea respectivamente hacia abajo o hacia arriba. De tal manera, el área entre la función de corte y el eje de la viga hasta la sección considerada representa el momento flector. Entre los gráficos de carga, de esfuerzo de corte y de momento flector existe una relación funcional: el gráfico de momento flector da el área que encierra la función de corte desde un extremo hasta la sección considerada, por con- vención positiva arriba del eje de la viga y negativa abajo de éste. A su vez, el momento de corte representa el área del diagrama de cargas, es decir que es proporcional al área que delimitan las cargas con el eje de la viga hasta la sección considerada. Desde el punto de vista matemático, esto significa que la función de momento flector es la integral de la función de corte y ésta a su vez es la integral del diagrama de cargas. O lo que es equivalente, que el diagrama de cargas marca la derivada del esfuerzo de corte y éste repre- senta la derivada o pendiente del momento flector.
- 116. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 107 107 Caso de cargas distribuídas Vimos ya que una carga concentrada en un punto es una aproximación para una carga distribuída en un área muy pequeña, y que en la realidad todo esfuerzo está aplicado sobre un área finita del cuerpo solicitado. Cuan- do el problema se puede representar en dos dimensiones, por ser constante la tercera (caso de la profundidad de una barra o placa), se trabaja con la distribución de la carga en la dimensión en la que varía, por ejemplo la lon- gitud. El cociente entre fuerza y superficie o entre fuerza y longitud caracteri- za a una carga distribuída, y se representa respectivamente con una diagra- ma en tres o dos dimensiones cuyas ordenadas son ese cociente, con absci- sas en el eje de la pieza solicitada. En la figura, vemos a una viga de longitud L con una carga lineal- mente distribuída perpendicular- mente sobre su eje, caracterizada por un valor constante q [Kg/m], comparada con la misma viga car- gada con una fuerza equivalente concentrada en el medio, igual a P=q.L Los diagramas superpuestos muestran que la carga distribuída produce esfuerzos de corte linea- les, en vez de los escalonados que crea la carga concentrada. Esto es así porque a medida que nos movemos hacia la derecha vamos sumando esfuerzos infinitésimos graduales o finitos abruptos, según sean las fuerzas respectivamente distribuídas o concentradas. De la misma manera, el momento flector varía linealmente para el caso de carga concentrada, ya que el área debajo del esfuerzo de corte rectangular crece proporcionalmente a la distancia al apoyo y a la magnitud del esfuerzo de corte, que es constante hasta la sección de aplicación de una fuerza. Allí el momento flector es máximo y vale MMmáx = RA.L/2 = P.L/4 Las rectas de crecimiento y decrecimiento son en realidad las direcciones en las que el polígono funicular descompone a la fuerza concentrada en lo apoyos. (ver figura). En el caso de carga distribuída, el área crece con la abscisa y con la orde- nada, la que a su vez es linealmente dependiente de esa abscisa: en conse- cuencia la función momento flector varía con el cuadrado del área de la or- denada de corte, dando una parábola de la mitad de la altura que el trián- Comparación entre carga concentrada y carga dsitribuída carga dsitribuída q carga concentrada F=q.L--> Esfuerzo de corte Momento flector
- 117. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 108 108 gulo del caso de fuerzas concentradas. Los lados de este triángulo son tan- gentes a la parábola en los apoyos. Resulta así que en caso de fuerzas distrubuídas en forma constante el mo- mento de las fuerzas que obran hasta la mitad de la viga es: MMmáx = RA.L/2-{oòò L/2 q.l.l.dll} = PL/4-qL 2 /8 = P.L/8 Deformación de la materia debida a esfuerzos La materia sólida opone esfuerzos a la compresión, tracción y corte, defor- mándose respectivamente en forma proporcional a dichas acciones dentro de ciertos límites. Es decir que en esos límites existe un campo potencial de esfuerzos que transforman el trabajo de deformación en energía potencial de forma, la que se recupera al cesar la acción. Si se supera el límite de proporcionalidad, parte del trabajo produce una deformación permanente a través de un aumento de la energía interna del sistema, con la consiguiente elevación de la temperatura de la materia. Por último, si los esfuerzos de compresión, tracción o corte llegan más allá de las deformaciones perma- nentes, a ciertos valores críticos característicos de cada material, se produ- ce la rotura del cuerpo por aplastamiento, estiramiento o desgarramiento respectivamente. Ensayos de materiales Si sometemos a una barra de hierro a la tracción en una máquina de ensayos como la representada, que va registrando el esfuerzo en función del alargamiento, obtene- mos una curva como la de la figura. En ella se ve una zona de proporcionalidad entre esfuerzos y alargamientos, hasta que se llega a un punto en la que el material se alarga en forma no lineal. Aumentando aún más el esfuerzo, el material se estira aún sin aumentar el esfuerzo, en un estado llamado fluencia (de fluir). Después de haber alcanzado la fluencia, el material se fortalece y co- mienza nuevamente a presentar resisten- cia. Esto se prolonga hasta el punto de máximo esfuerzo, en que la sección de la barra traccionada comienza a estrecharse en una zona, y no es capaz de sostener el esfuerzo (pendiente negativa de la curva). De este estado, la barra pasa rápidamente a la rotura, que se opera en la zona en que comenzara el estrecha- miento. zonadefluencia zonanoproporcional zonaproporcional probeta a ensayar extensómetro manómetro bomba Fuerza Alargamiento Puntode máximo esfuerzo Puntoderotura registrador pistón
- 118. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 109 109 Ley de Hooke Se admite que hasta el límite de proporcionalidad, los materiales se defor- man de acuerdo con las siguientes leyes lineales, planteadas por primera vez por el físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton (1635-1703) La ley que gobierna la compresión o tracción de una barra homogénea de sección constante s es: σ=εσ=ε.E donde σσ =P/s es el esfuerzo de compresión o tracción por unidad de superficie resistente y εε=∆∆l/ll/l es la correspondiente variación relativa de longitud. La constante de propor- cionalidad E se llama módulo de elasticidad por compresión/tracción y su valor depende del material. El hierro y en general los metales poseen igual resistencia a la tracción que a la compresión. En cambio mu- chos otros materiales resisten mejor un tipo de esfuerzo que el otro. La madera, por ejemplo, resiste mejor a la tracción que a la compresión. El hormigón, en cambio, posee mucha mejor resistencia a la compresión que a la tracción. Esta última se desprecia en los cálculos de estructuras, colocando barras de hierro en las seccio- nes traccionadas de los elementos (losas, vigas), que se hacen cargo de los esfuerzos correspondientes. (Fundamento del hormigón armado). TABLA DE PARÁMETROS DE RESISTENCIA DE MATERIALES MATERIAL σσprop. [N/m 2 ] σσmáx. [N/m 2 ] E [N/m 2 ] ττprop [N/m 2 ] ττmáx [N/m 2 ] G [N/m 2 ] Acero 0,1%C 1,4x10 8 3,7x10 8 2,2 x 10 11 1,1 x 10 8 3,4x10 8 8 x 10 9 Bronce de Sn 1,3x10 8 4 x10 8 2 x 10 11 1,2 x 10 8 3,6x10 8 8,2 x 10 9 Madera de pino 7 compresión tracción 1,5x10 7 3 x 10 7 6 x 10 7 1 x 10 10 6 x 10 6 Hormigón compresión tracción 5 x 10 6 6 x 10 5 1,5 x 10 10 La ley que gobierna la deformación por esfuerzo de corte o deslizamiento de una pieza en forma de paralelepípedo es ττ= γγ G donde ττ=F/S es el es- fuerzo de corte por unidad de superficie resistente desarrollado sobre las caras 8 , y γγ es el ángulo de deformación. La constante de proporcionalidad G 7 Datos con esfuerzos paralelo a las fibras del listón. 8 Nótese que el esfuerzo de corte τ se desarrolla tanto en las caras horizontales del paralelepípedo, como en las verticales contiguas, como lo requiere el equilibrio del s l ∆l -P γγ s l ∆l P γγ
- 119. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 110 110 que depende del material, se llama módulo de elasticidad de deslizamiento o módulo de torsión, ya que el esfuerzo de torsión sobre la pieza se equilibra también por los esfuerzos de corte o deslizamiento, como se verá luego. Flexión La viga resiste al momento de flexión oponiendo un momento equilibrante a la flexión de acuerdo con la resistencia que opone el material de la viga de la parte inferior de la sección a estirarse y el de la parte superior a compri- mirse 9 . Entre la parte inferior estirada y la superior comprimida hay una capa horizontal o una línea (según consideremos el problema en tres o dos dimensiones) sin tracción ni compresión, que mantiene la lon- gitud original de la pieza. En esa capa neutra no se desarrollan esfuerzos de compresión ni trac- ción a lo largo de la pieza cargada. Partiendo de ella crece linealmente el acortamiento de las capas hacia el borde superior y el alargamiento de las inferiores hacia abajo. En los gráficos se representan las tensiones y compresiones en una sección perpendicular al eje de la viga en función de la distancia a la capa neutra: Las resultantes de los esfuerzos distribuídos en la sección se sitúan en el baricentro de los correspondientes triángulos o figuras representativas 10 , a cuyas áreas son proporcionales. Si sobre la viga obran sólamente fuerzas perpendiculares a su eje, como es el caso de la figura, no hay esfuerzos normales a las secciones consideradas y por lo tanto las resultantes de las tensiones y compresiones son iguales en valor absoluto y de signo contrario. Esto se reconoce en que los correspondientes diagramas tienen áreas iguales a un lado y al otro de la capa neutra y generan un momento que equilibra el momento flector. En la sección de la mitad de la viga resulta que dicho momento vale MM = F.d = P.L/4 para una fuerza P concentrada en el punto medio. Ya vimos que en el caso de que esa fuerza se distribuya uni- formemente a lo largo de la viga con un valor q=P/L, el momento flector máximo, también en el medio de la pieza, toma un valor igual a la mitad del anterior. elemento de volumen considerado. De tal manera es τ = F/S = F’/S’ 9 Se supone, como en el dibujo, una viga horizontal cargada con una fuerza vertical dirigida hacia abajo. 10 El centro de gravedad de un triángulo está en la intersección de las medianas, que por una propiedad geométrica está a una distancia de dos tercios de la longitud de la mediana desde el vértice correspondiente. Compresión Tracción Capa de fibras neutras εε σσ con Ec=Et= constantes σσ con Ec>Et constantes σσ con Ec=Et variables F F P L P/2 P/2 d
- 120. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 111 111 Dentro de los límites de proporcionalidad, y para materiales con iguales módulos de elasticidad en compresión y tracción, las tensiones correspon- dientes a esas deformaciones tendrán también una variación lineal con la distancia al eje neutro. En cambio, cuando se rebasa el límite de propor- cionalidad, las tensiones crecen menos que las deformaciones, correspon- diendo a este caso gráficos de tensiones no lineales. Si los módulos a la tracción y a la compresión son diferentes, la igualdad de áreas en los dia- gramas exige que la línea neutra se desplace desde el centro de gravedad de la sección hacia la zona de mayor resistencia absoluta (comprimida o traccionada, según los casos). En el caso general de la figura en que la sección de altura total H tenga forma cualquiera, de ancho a variable con la altura, se verifica que el momento resis- tente que equilibra al momento flector resulta: M = E.εmáx.JXX/H , de donde εεmáx = MM/(EJ).H Deformación del eje de una viga sometida a flexión. Línea elástica. Fle- cha máxima Dos secciones paralelas de una viga sin carga, separadas por una longitud dl , pasan a formar con la carga un ángulo dαα proporcional a dl tal que dαα=εε.dll/H = MM/E/J.dll , De tal manera entre dos secciones de abscisas x1 y x2 el ángulo que forman será α = 1/E/J x1ò x2 M.dl, función que es proporcional al área encerra- da por la función momento flector entre x1 y x2 Si las deformaciones son pequeñas, se puede tomar el ángulo práctica- mente igual a su tangente, la que a su vez coincide con el valor de la deriva- da, vale decir que αα ≈≈ tgαα = dy/dx, de donde la ordenada y de la viga defor- mada tiene como expresión en función de la abscisa x la siguiente ecuación, llamada de la línea elástica: y(x) =1/E/J ∫∫(x1òò x2 MM.dx).dx Es decir que la posición de la viga deformada sale de integrar dos veces la función momento flector. Como ésta a su vez se obtiene de integrar dos veces el diagrama de carga, la línea elástica es proporcional a integrar cuatro veces sucesivas la función del diagrama de carga a lo largo del eje h dh a ε = εε = εmáx.h/H MM= òòσσ.a.h.dh=E.εεmáx./H.òòa.h 2 .dh=σσmáx.JXX /H H εεmáx=σσmáx/E X X αα El ángulo αα es proporcional al área sombreada de momentos x
- 121. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 112 112 de la viga, entre el extremo izquierdo hasta la abscisa correspondiente a la sección en cuestión. La constante de proporcionalidad vale 1/E/J . Cuando se integra sucesivamente, hay que tener en cuenta las constantes de inte- gración , que tienen el valor de la función en el origen. Por ejemplo, sea una viga de L=10 m de longitud, de sección rectangular de ancho b=15 cm y altura h=10 cm, de acero común (de peso específico ρρ=79000 N/m 3 y módulo de elasticidad E= 2.10 11 N/m 2 ), se sostiene apoyada en sus extremos. Hallar la tensión máxima σσmáx del material y la deformación o flecha (así llamada por analogía con la flecha de un arco de circunferencia) en el medio de la pieza (que es la sección más comprometida). La carga q en este caso es el peso propio de la viga por metro de longitud, o sea q = b.h.ρ = 0, 15 . 0, 1 . 79000 = 1185 N/m Vimos que M=q.L 2 /8 = 1185.100/8 = 14812,5 N.m También sabemos que MM = σσmáx.JXX/(h/2) de donde la tensión máxima que soportará el material será σσmáx. = MM / [JXX/(h/2)] Jxx es el momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro, que para un rectángulo de base b y altura h vale : Jxx = 2.b o∫ h/2 y 2 .dy = b.h 3 /12 = 1,25.10 -5 m 4 Así es σmáx. = M / [JXX/(h/2)] = 14812,5/(1,25.10 -5 ).0,05 = 59 250 000 N/m 2 El límite de proporcionalidad para el acero es de σσprop=140 000 000 N/m 2 , de manera que el material está solicitado bastante por debajo de aquél. De acuerdo a lo anterior, para obtener la deformación en el punto medio se debe comenzar por integrar cuatro veces la función de carga, así que: I1 (primera integral) = ∫(q.dx).= q.x+c1 I2 (segunda integral) = ∫(òI1.dx).= (q.x 2 /2+c1.x+c2) I3 (tercera integral) = ∫(òI2.dx).= (q.x 3 /6+c1.x 2 /2+c2.x+c3) I4 (cuarta integral) = ∫(òI3.dx).= (q.x 4 /24+c1.x 3 /6+c2.x 2 /2+c3.x+c4) donde las constantes de integración tienen el siguiente significado: c1 es la carga acumulada en el apoyo (x=0), es decir c1=-qL/2 c2 es el momento cuando x=0. Por el tipo de vínculo (apoyo simple) ese momento es nulo. c3 es el valor de la inclinación de la sección en el apoyo, que como es móvil admite una rotación igual a la mitad del ángulo αα/2 entre las secciones extremas de la pieza. Ya habíamos calculado que α(L) = 1/E/J oò L M.dx = 1/E/J 0ò L (q.L/2.x - q.x 2 /2) dx = q/E/J.( L.x 2 /4-x 3 /6) de donde c3=α(L)/2= q.(L 3 /8-L 3 /12) = q.L 3 /24 . Así resulta c3=q.L 3 /24 c4 es el valor de la posición y en el apoyo, que no permite corrimiento alguno, Así que c4=0
- 122. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 113 113 Entonces queda que la ecuación de la elástica es: y(x) = q/E/J . [x 4 /24 - L/12.x 3 + L 3 /24.x] Para x=L/2 resulta y(L/2) = q/E/J [L 4 /384 – L 4 /96+ L 4 /48] = (5/384).q/E/J.L 4 = 5/384.1185 N/m / 2.10 11 N/m 2 /0.0000125 m 4 .(10m) 4 = 0,062 m Corte El esfuerzo de corte se equilibra por la resistencia del material al desgarramiento en el plano de la sección considerada y también en el plano perpendicular, es decir según el eje de la pieza solicitada. Para el caso de la viga anterior, el momento de corte cambia bruscamente de signo en la sección de aplicación de la fuerza P en caso de fuerza concentrada, siendo en cambio la variación lineal en caso de carga distribuída. El esfuerzo de corte es digno de considerar en piezas cortas sometidas a fuerzas generalmente concentradas. Ejemplos: En la viga y con el estado de carga anterior, ¿Cuál es el esfuerzo de corte en la sec- ción más comprometida? Respuesta: las secciones que soportan el mayor esfuerzo al corte están sobre los apoyos, donde el filo de la cuchilla tiende a “cortar” el material de la viga. El esfuerzo de corte en tales secciones vale T = q.L/2/F = 1185 N/m.10m/2/0,1m/0,15m = 395000 N/m2 , menor que el 1% del valor admisible (ver tabla). En cambio, una viga muy cargada de pequeña longitud, gran momento de inercia y pequeña sección puede no verificar al corte y si a la flexión. Por ejemplo, tomemos una viga de una sección del mismo valor pero diferente forma que la anterior, de manera de tener momento de inercia mayor. Esto se logra aprovechando el mismo material distribuído en zonas más alejadas del eje de flexión xx. Se usan en la práctica secciones en “doble T” como la de la figura, cuyo momento de inercia vale: Jxx=2(hb 3 /72+ b.h/3.(bh/12) 2 +.b.h3/71)= 2bh.[(b 2 /72)+(1/432)+(h 2 /71)] Para b=0,15 m y h=0,15 m resulta Jxx= 8,8x10 -5 m 4 (más de siete veces el momento de inercia de la configuración anterior). Tomemos una viga con esta sección de longitud L=0,15m con una carga concentrada P=3000000 N aplicada en el medio. Será M = P.L/4 = 112500 Nm σmáx. = M / [JXX/(h/2)] = 112500/(8,8.10 -5 ).(0,15/2+0,1/3)0,05 = 1,38.10 6 N/m 2 » σadm =1,40.10 8 Nm T = P/2/F = 3000000 N/m/2/0,015m 2 = 10 8 N/m 2 » τadm Es decir que la pieza está prácticamente trabajando al límite de proporcionalidad tanto en tracción como en corte. Esfuerzo de corte T con carga distribuída q x q T b h b/2+h/6 h/3 b/2 x x
- 123. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 114 114 Torsión En la figura se ve un elemento de longitud dll de una barra cilíndrica de longitud total L y radio R, empotrada en un extremo y sometida en el otro a un momento MM La torsión produce una deformación que transforma una generatriz del cilindro en una hélice. El ángulo γ entre ambas caracteriza esa deformación, que vale γγ = ds/dll == R.dαα/dll = R αα/L , siendo αα el ángulo que gira el extremos de la barra opuesto al empotramiento. La deformación es resistida por los esfuerzos de corte ττ que se desarrollan en la sección, y que van creciendo desde el centro (r=0) hasta el borde (r=R) de tal manera que ττ=ΤΤ/R.r , para ΤΤ=G.γγ = G.R αα/L Se cumple así que el momento resistido en cada sección de la pieza vale la integral de los momentos elementales: MM = ò2πr.r.τ.dr = 2πΤ/Ròr 3 dr = 2πT/R.R 4 /4 = πT/2 R 3 = [ππ.G.R 4 /2/L].αα y resulta que el momento es función del ángulo αα que gira el extremo. La constante de proporcionalidad que figura entre corchetes contiene el mo- mento de inercia de la sección con respecto al eje de rotación, que ya vimos que vale J0 = ππ/2.R 4 de donde MM = [J0.G/L].αα Ejemplo: Una varilla cilíndrica de hierro de R=3 cm de radio y L=6 m de longitud, empotrada en un extremo y libre en el otro, se torsiona allí hasta la rotura. ¿Cuántas vueltas se habrá retorcido su extremo libre? Respuesta: Si la varilla se ha roto es porque ha llegado al límite de esfuerzo de corte del material ττmax = 3,4x10 8 N/m 2 Como vimos es ΤΤ=G.γγ = G.R αα/L= 8.10 9 .0,03.α/6 = 3,4x10 8 N/m 2 de donde α= 6.3,4.10 8 /0,03/8.10 9 = 8,5 radianes = 1,35 vueltas Discusión del resultado: El número 1,35 sale de considerar un modelo lineal, pero la rotura se alcanza fuera del intervalo de proporcionalidad, así que el número de vueltas que realmente corresponden para alcanzar tal estado es necesariamente mayor. MM ddll dαα R ds ττ γγ r ττ ΤΤ
- 124. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 115 115 MECÁNICA DE LOS FLUÍDOS Fluídos Generalidades A diferencia de los sólidos, los fluídos son sustancias que carecen de ener- gía potencial de forma, es decir que no se necesita efectuar trabajo para cambiar su forma mientras no haya cambio de volumen (compresión o ex- pansión), y siempre que el cambio de forma se realice de manera suficien- temente lenta 11 . Son fluídos los líquidos y los gases, sustancias que por su estructura no presentan resistencia a los esfuerzos de corte. La diferencia fundamental entre el estado líquido y el gaseoso reside en que entre las moléculas de un gas existen fuerzas de atracción, llamadas de cohesión, que tiende a mante- nerlas unidas (formación de gotas, fenómenos de adherencia). Los gases en cambio no presentan fuerzas de atracción o cohesión entre sus moléculas, tendiendo a expandirse hasta los límites del recipiente que los contiene. En vez del fenómeno de corte, los fluídos presentan el fenómeno viscoso, que se manifiesta por la propiedad de arrastrar en su movimiento a porcio- nes vecinas. Se reconoce y cuantifica este fenómeno con un parámetro llamado viscosidad, igual a la fuerza tangencial por unidad de superficie entre dos capas que se deslizan a velocidades diferentes separadas por cierta distancia. La viscosidad se manifiesta tanto en líquidos como en ga- ses, caracterizando sobre todo la movilidad y el escurrimiento del fluído. (Compárese melaza con agua). Para estudiar los fenómenos en los que intervienen fluídos, se emplean modelos de fluídos ideales, que al igual que en el caso de los sólidos, po- seen propiedades ideales que simplifican el estudio. Por ejemplo, se recor- dará que el cuerpo rígido es una idealización de un cuerpo real casi indefor- mable. También así se consideran según los casos, líquidos incompresibles, sin viscosidad, o gases ideales, todos ellos entelequias a las que se aproxi- man los fluídos reales en ciertas condiciones límite. La mecánica de los fluídos se divide en dos partes: la que estudia los fluídos 11 Aunque no retenga energía potencial, el cambio de forma de un fluído con una evolución que no sea extremadamente lenta significa la aparición de fuerzas de inercia y de rozamiento que aumentan la energía interna del mismo.
- 125. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 116 116 en reposo o hidrostática y la que trata con fluídos en movimiento, o hidro- dinámica 12 Hidrostática Presión en un punto de una masa fluída La hidrostática considera a los fluídos como continuos, sin atender a que en realidad están formados por partículas. Para que una porción de fluído esté en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre él deben dar resultante nula. Así, considerando una porción de fluído en el seno de una masa en equilibrio limitada por un pequeño poliedro, se deduce de tal condición que el cociente entre fuerza y área de cada cara deba ser igual. A este cociente P=F/S se lo llama presión, y de la condición de equilibrio se deduce que es independiente de la orientación de la cara, es decir que se puede representar en los fluídos por una magnitud escalar dependiente del punto considerado. Por ejemplo, en el prisma de la figura, que delimita una porción de fluído en equilibrio, se cumplirá que la suma de las proyecciones horizontales y verticales de las fuerzas actuantes debe ser nula. Considerando las proyecciones horizontales es: F1 - F3 . cos (α) =0 de donde P1.S1 = P3.S3.cos (α) Pero S3.cos (α) = S1, de donde P3=P1 Con idéntico razonamiento se deduce para la proyec- ciones horizontales que: F2-F3.sen(α)=0 y entonces P3.S3.sen(α)=P2.S2, y como S3.sen(α) = S2 resulta que P3=P2. Queda demostrado así que P1=P2=P3 Cuestión: En los sólidos la fuerza por unidad de superficie no puede representarse por un escalar, ya que depende de la orientación de la superficie. Por ejemplo, en una barra comprimida según su eje, la tensión es máxima según aquél y nula en la direc- ción perpendicular. Resulta así que en los sólidos, la tensión ni siquiera es represen- table por un vector de dirección normal a la superficie considerada, sino en general lo es por una función vectorial dependiente de la dirección llamada “tensor”. Así como los vectores tienen componentes escalares, los tensores son magnitudes cuyas componentes son vectores. Teorema general de la hidrostática Reza este principio que la diferencia de presión entre dos puntos de un líqui- 12 En rigor debería hablarse de hidrostática e hidrodinámica para líquidos y neomostá- tica y neumodinámica para gases. Sin embargo esta división no se usa, englobando en los primeros dos términos a líquidos y gases. F1 F2 F3 αα αα
- 126. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 117 117 do en equilibrio sometido a la gravedad es igual a la diferencia de altura multiplicada por el peso específico. Vimos ya que el peso específico ρρ de una sustancia es el cociente (escalar) entre el peso P y el volumen ocupado V, vale decir que es la densidad δδ multiplicada por la gravedad g . Así enton- ces ρ=δρ=δ.g Demostración: considérese dentro de la masa de liquido en equilibrio una porción cilíndrica vertical de base b y altura h. Si el contenido del tubo está en equilibrio es porque su peso P, que vale P=b.h.ρρ se equilibra con una fuerza neta hacia arriba F, que proviene de la diferencia de presión entre el extremo inferior pi y el superior ps, e igual a F=b.(pi-ps). De la igualdad b.(pi- ps) = b.h.ρρ surge que pi-ps = h.ρρ Cuestión: Lo anterior es cierto si el peso específico es constante y en particular no depende de la presión (o la altura), es decir cuando el fluído no cambia de volumen con acciones exteriores. Se dice de un fluído tal que es incompresible. La incompre- sibilidad absoluta no se da en los líquidos reales, los que en pequeña medida aumen- tan su densidad con la presión. Sin embargo, en la mayoría de los casos, en los que estén en juego presiones moderadas, los líquidos corrientes pueden suponerse in- compresibles. La razón entre variación de volumen y de presión -dv/dp se llama coefi- ciente de compresibilidad. Los gases, al contrario que los líquidos, son muy compre- sibles. El coeficiente de compresibilidad de los gases es proporcional a la temperatura e inversamente proporcional al cuadrado de la presión, como se verá más adelante. Ejemplo: calcular la fuerza F con que debe sujetarse la tapa rectangular de lados a y b del tanque de agua de la figura. Solución: la presión sobre la tapa va desde un valor ps=h1.ρρ en su parte supe- rior hasta un valor pi=h2.ρρ en su parte más baja. Sobre la tapa actúa una carga trapecial, cuyo centro de gravedad está más cerca de la parte inferior (centro de presión). Allí debe aplicarse una fuerza igual a F=pm.S , donde pm=(ps+pi)/2 es la presión media que soporta y S=a.b es el área de la tapa. Resulta así F = pm.S = ρρ.[(h1+h2)/2].a.b = ρρ.[h1+b/2.sen(αα)].a.b Para a=1m , b=2 m , h1=3m , a=45º , ρagua=9800 N/m 3 es F= 9800 N/m3 . (3+√3/4).2 m3 = 67287 N b h1 αα F h2
- 127. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 118 118 Vasos comunicantes El nivel superior o nivel de la superficie libre de líquido en una serie de vasos comunicados es el mismo si se llenan con un mismo líquido. Con líquidos de diferente densidad y no miscibles, los niveles en cada vaso se pueden cal- cular aplicando el teorema general de la hidrostática a cada porción o co- lumna líquida. Sea por ejemplo el sistema de tres vasos comunicantes de la figura, inicial- mente lleno de mercurio (ρ2=13) hasta un nivel H, al que luego se agregan otros líquidos: agua (ρ1=1) en el vaso de la derecha, aceite (ρ3=0,8) en el vaso del medio y sulfuro de carbono (ρ4=2) en el vaso de la izquierda. A consecuencia del agregado de estos líquidos sobre el mercurio se llega a valores de la superficie libre a niveles h1, h3 y h5 respectivamente, y conse- cuentemente cambian los niveles de las correspondientes interfases inicialmente en H hasta h2, h4 y h6 respectivamente. Suponiendo que la superficie libre de todos los líquidos está a la misma presión (la atmosférica), el equilibrio en los vasos comunicantes de la figura exige que p1=p3=p5, y entonces, recorriendo el sistema entre superficies libres puede plantearse para las presiones a las respectivas alturas que: (p1-p2)+(p2-p4)+(p4-p3) = 0 [1] También es p1-p2 = ρ1.(h1-h2) ; p2-p4 = ρ2.(h2-h4) ; p4-p3 = ρ3.(h4-h3) [2] Entonces de [1] y [2] queda ρ1.(h1-h2) + ρ2.(h2-h4) + ρ3.(h4-h3) =0 [3] Yendo desde la superficie libre del tubo del medio hasta la superficie libre del vaso de la izquierda es: (p3-p4)+(p4-p6)+(p6-p5) = 0 [4] ρ3.(h3-h4) + ρ2.(h4-h6) + ρ4.(h6-h5) = 0 [5] Las [3] y [5] permiten determinar los niveles de equilibrio a partir de los siguientes datos: Las densidades de los líquidos relativas al agua son : ρ1=1 (agua), ρ2=13 (mercurio) ,ρ3 =0,8 (aceite) y ρ4 =2 (sulfuro de carbono) Las cantidades agregadas de cada líquido son tales que de acuerdo a la forma y dimensiones del vaso correspondiente, producen las siguientes diferencias de niveles: (h1-h2) = 10 cm, (h3-h4)= 3 cm y (h5-h6)= 8 cm Quedan pués como incógnitas las diferencias (h2-h4) y (h4-h6), que se deducen de las ecuaciones siguientes: 1x10 + 13.(h2-h4) - 0,8.(3) = 0 de donde h2-h4=(2,4-10)/13 = -0,585 0,8.(3) + 13 (h4-h6) + 2 (-8) = 0 de donde h4-h6= (16-2,4)/13 = 1,046 Tomando como valor de referencia h2=0 es h1=10, h3=3,585, h4=0,585 , h5=7,539, h6=-0,461 h1 h3 h4 h5 h6 h2 ho ρρ1 ρρ2 ρρ3 ρρ4 H
- 128. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 119 119 Principio de Arquímedes Los cuerpos sumergidos en un líquido en equilibrio reciben un empuje verti- cal hacia arriba igual al peso del volumen desalojado. Este aserto, debido al matemático y físico Arquímedes de Siracusa (Sicilia) 290-280 AC , se pue- de entender considerando que la presión hidrostática sobre la superficie del cuerpo sumergido tiene una resultante no nula, ya que aumenta con la pro- fundidad de la región considerada. Por ejemplo, sobre un cuerpo cualquiera podemos trazar dia- gramas de presiones sobre sus paredes, que nos muestran cómo es el empuje total. Sin hacer ningún cálculo, sólo con una experiencia mental, podemos darnos cuenta que la resultante de todas las presio- nes sobre un cuerpo dentro de un fluído debe ser una fuerza vertical contra- ria al peso del medio desalojado, que actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida. En efecto, imaginando a ésta sustituída por una igual por- ción de líquido, se tendrá una masa fluída en equilibrio. Tal estado puede interpretarse como resultante nula entre peso del líquido y empuje sobre el volumen considerado. Resultan así que ambas son fuerzas de igual valor y sentido contrario. Cuerpos flotantes Para un cuerpo en el seno de un líquido se pueden dar tres posibilidades: • La densidad del cuerpo es mayor que la del líquido: en este caso el cuerpo se hunde, pues el empuje es menor que el peso. • La densidad del cuerpo es igual a la del líquido: en este caso el cuerpo se mantiene en el seno del líquido ya que el empuje equilibra al peso. • La densidad del cuerpo es menor que la del líquido: el cuerpo no está en equilibrio en el seno del líquido ya que sobre él actúa una resultante hacia arriba. El equilibrio se alcanza cuando sólo una parte del cuerpo está sumergida, igualando su empuje al peso. El cuerpo flota en la su- perficie. Lo dicho vale para cuerpos homogéneos o no. En este último caso, se debe tomar la densidad promedio del cuerpo. Estabilidad de cuerpos flotantes - Metacentro Un cuerpo que flota en un líquido está en equilibrio si el centro de gravedad y el centro de empuje determinan una vertical. Ese equilibrio será estable si un pequeño desplazamiento que aparte al E F4 F3 F2 F1 Origen del empuje hidrostático
- 129. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 120 120 cuerpo de esa posición conduce a un sistema cuerpo/líquido con mayor energía potencial. Eso significa que el sistema estaba antes del desplaza- miento en un estado de energía mínima, que caracteriza a la con- dición de equilibrio. En el caso del barco de la figura, cuando una acción exterior 13 hace rotar el casco en sentido horario, el baricentro G se desplaza un poco hacia la derecha hasta G’, pero menos que el centro de empuje E , que lo hace en mayor grado también a la dere- cha, hasta la posición E’ . Como consecuencia, el empuje y el peso (que tienen igual intensidad) producen una cupla en sentido antihorario que tiende a volver al casco a su posición anterior. Un pequeño desplazamiento de la posición de equilibrio lleva a que la recta de la fuerza de empuje corte al eje de simetría del casco en un punto M, llamado metacentro, que debe estar por encima del baricentro para que el equilibrio sea estable Visto desde otro punto de vista, el de la variación de energía potencial del sistema, el estudio de las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes lleva consideraciones equivalentes: La rotación hace que el baricentro G cambie de nivel de hG a h’G, variando la energía potencial del sólido. Pero al mismo tiempo, la posición del centro de empuje E también cambia de nivel, desde hE a h’E . Que el trabajo de las fuerzas exteriores sea positivo indica que la energía del sistema barco/agua ha aumentado, cosa que se cumple cuando d’=(hG-hE) > d=(h’G-h’E) (de- muéstrese). Como corolario se deduce que en el estado de equlibrio, los cuerpos flotan- tes presentan mínima distancia entre centro de empuje y baricentro. Algunas consecuencias del teorema general de la hidrostática • En una masa fluída homogénea en equilibrio, los planos horizontales son planos de igual presión. • La presión que un líquido en equilibrio ejerce sobre la pared del vaso que lo contiene no depende de la forma ni orientación de éste. • La superficie libre de un líquido en equilibrio es una superficie de nivel constante. • La presión sobre el fondo de un recipiente que contiene un líquido en equilibrio es independiente de la forma y cantidad de líquido contenido. Depende sólamente de la profundidad a la que está el fondo desde la superficie libre y de la presión en ésta (normalmente la presión atmosfé- 13 Por ejemplo un golpe de viento sobre el velamen (no dibujado). E G E’ G’ d d’ MhG hE h’G h’E
- 130. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 121 121 rica). • La resultante de todas las presiones que actúan sobre la superficie que delimita una cierta porción de fluído es igual al peso de dicha porción, está aplicada en su baricentro, es vertical y dirigida hacia arriba. • Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado (principio de Ar- químedes) • En virtud del principio de acción y reacción, el de Arquímedes permite proponer este otro: El cuerpo sumergido produce sobre la masa fluída un empuje vertical hacia abajo igual al peso del volumen de líquido de- salojado. Algunas máquinas hidráulicas: Prensa hidráulica – frenos hidráulicos Un líquido incompresible confinado en un sis- tema rígido que posea dos émbolos de dife- rente diámetro sirve para transformar peque- ños esfuerzos con gran recorrido en grandes fuerzas con pequeño recorrido o a la inversa. La prensa hidráulica se usa como tal para prensar fardos, empujar o subir pesos, ensayar materiales, etc. Una aplicación muy usada del principio de la prensa hidráulica se encuentra en el freno de los automotores. En el dispositivo hay un cilindro con un pistón o émbolo de pequeña sección s sobre el que se aplica una fuerza F. La presión F/s se transmite a través de un sistema de conductos de acero de pequeño diámetro, llenos de un líquido casi incompresible a base de glicoles de alto punto de ebullición, a los cilindros de mayor diámetro montados en una robusta pinza fija sita a horcajadas de los discos en las ruedas. Los pistones o émbolos de mayor diámetro, general- mente dos por rueda, son los encargados de aplicar la presión de frenado a los discos solidarios a éstas, a través de pastillas de acero recubiertas de material resistente a la fricción y a la temperatura 14 , que se produce en cada frenada. 14 Antiguamente se usaba en cintas y pastillas de freno una resina con amianto, hoy reemplazado por fibras menos contaminantes. Principio de la prensa hidráulica pinza fija pedal bomba depósito de líquido de frenos disco solidario a la rueda del vehículo cubetasémbolos Freno hidráulico de disco Ll pastillas
- 131. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 122 122 Las pastillas rozan ligeramente los discos, sin hacer fuerza mientras que no haya presión en el sistema hidráulico. La carrera del émbolo de la bomba es de unos pocos centímetros, ya que los pistones del freno están casi rozando los discos. Así, cuando se pisa el pedal recorren sólo distancias del orden del milímetro, necesitando muy poco desplazamiento del fluído. El conjunto permite una gran multiplicación de la fuerza F del pié del conductor sobre el pedal, aún en los sistemas sin servomecanismo 15 . Algunos cálculos: La primera multiplicación (mecánica) se logra en base a la palanca del pedal que posee L=30 cm de largo, y que acciona al émbolo de la bomba de freno a escasos l=3 cm del extremo. Con ello se logra que la fuerza sobre él sea de 30/3 = 10 veces la de la pisada. El pistón de la bomba de freno tiene un diámetro del orden de 1 cm, mien- tras que los pistones de las cubetas de frenos sobre las ruedas son de 4 cm, y son cuatro por rueda. Esto multiplica la fuerza en relación a las superficies entre los pisto- nes, o sea 4x16=64 veces. En definitiva, si el conductor aplica una fuerza de 5 Kg = 49 N en el pedal, sobre los patines de freno actuará una fuerza 640 veces mayor, esto es 31360 N. Si el coeficiente de rozamiento entre pastillas y disco es de 0,3, la fuerza de frenado por rueda será de 9408 N, que aplicada a unos 15 cm del eje de giro representa un momento de frenado MMf=1411 Nm. Si el auto marcha a v=60 Km/h, cada rueda (que supondremos de 15”=0,381 m de radio) girará a una velocidad angu- lar de ωω=v/r = 60000/3600/0,381 = 44 rad/s , y si se aplican los frenos con los datos apuntados antes, la potencia de frenado será de Pf=MMf.ωω=62092 W. (del mismo orden que la potencia nominal del motor del auto). Considerando que sólamente frenan las rueda delanteras, se tendrá una fuerza total de frenado Ff aplicada sobre el pavimento igual a la correspondiente al doble del momento de frenado dividido el radio de la rueda, esto es Ff =2 x 1411 / 0,381 = 7366 N (740 Kg). El vehículo, de masa m=1000 Kg, se detendrá en un tiempo ∆t tal que m.v = Ff. ∆∆t . Así resulta ∆∆t=1000.60000/3600/7366=2.26 s . El espacio recorrido en este tiempo será e= ½ a t 2 = ½ v.t = ½ x16,66x2.26 = 19 m Balanza hidrostática de Mohr Este dispositivo mide densidades de líquidos y sólidos a través del empuje que reciben los cuerpos sumergidos. Consiste en una balanza generalmente de brazos desi- guales que se lleva a equilibrio antes y después de su- mergir un cuerpo de masa m y volumen V en una cubeta de líquido. Sean las lecturas en ambos casos m y m’ respectivamente, y las densidades del sólido y del líquido δs y δl Se cumple que m = V.δs y además m’ = V.δs -V.δl = V.(δs-δl) , entonces es m- m’= V.δl y además m’/m = 1-δl/δs Ejemplo: Un cilindro de cobre acusa una masa de m=50 g y al sumergirlo en un líqui- do desconocido resulta una lectura m’= 45 g. Qué densidad tiene el líquido, sabiendo 15 Si, como en la mayoría de los vehículos modernos, existe un servo-freno, éste suma a la fuerza del pié la de un pistón accionado por la succión del motor, haciendo aún menos esforzada la frenada.
- 132. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 123 123 que el cobre posee δs=8 g/cm 3 . Respuesta: δl=(1-m’/m).δs=0,8 g/cm 3 Neumostática Gases – generalidades Los gases son fluídos compresibles, que disminuyen su volumen con la presión, y que tienden a expandirse hasta ocupar todo el volumen del reci- piente que los contiene. La experiencia demuestra que todos los gases conocidos se licúan someti- dos a presión por debajo de una cierta temperatura crítica. El gas considera- do como proveniente de un líquido se llama vapor. El vapor puede estar saturado, cuando está en equilibrio con la fase líquida, o sobrecalentado cuando está a temperatura y presión superiores a las de condensación. Ecuación de estado de gases ideales Lejos de estas condiciones de licuación, o sea bien por encima de la tempe- ratura crítica y a bajas presiones, los gases reales responden con gran apro- ximación a un modelo de “gas ideal”, que cumple las siguientes leyes: A temperatura constante, la presión es inversamente proporcional al volu- men ocupado, es decir p = k1/v, o si se prefiere p.v=k1 Esta expresión es atribuída por los ingleses al físico inglés Robert Boyle (1627-1691) y por los franceses al físico francés Edmundo Mariotte (1620, 1684). Se la conoce como ecuación de Boyle-Mariotte. Se la expresa usualmente diciendo que a temperatura constante, el producto de la presión por el volumen es constante. Asimismo se cumple que cuando el volumen v se mantiene constante, la presión p es directamente proporcional a la temperatura absoluta T, que sale de sumar una constante a la escala termométrica usual. Es decir que a vo- lumen constante es p= k2.T También se cumple que cuando la presión p se mantiene constante, el vo- lumen ocupado v es directamente proporcional a la temperatura absoluta T, con la misma constante de proporcionalidad k2 que en el caso del volumen. o sea que a presión constante vale v = k2.T Termómetros absolutos Las leyes anteriores nos autorizan a construir termómetros absolutos, co-
- 133. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 124 124 nectando un medidor de presión a una botella cerrada con un gas cualquiera en su interior (volumen constante), o bien un medidor de volumen conectado a un sistema que se puede expandir sometido a presión constante (por ejemplo contra la atmósfera, suponiendo que se mide durante un lapso en que la presión atmosférica sea sensiblemente constante). En ambos casos, la medición será proporcional a la temperatura absoluta. Se repite la historia de la puja entre ingleses y franceses con las leyes citadas, que relacionan volumen a presión constante o presión a volumen constante. Los británicos la adjudican al inglés Charles (1787) y los galos a su compatriota José Gay-Lussac. Cuando varían presión y temperatura simultá- neamente, se puede hallar el volumen aplicando el principio de superposición, ya que se trata de leyes lineales. Se considera primero un aumento de temperatura de T1 a T2 y el correspondiente aumento de presión de p1 al estado intermedio p’1 a volumen v1 constante. Después se supone el aumento de volumen a de v1 a v2 a temperatura T2 constante, que lleva a la presión al valor final p2 Resulta así: Aumento de presión a volumen v1 constante p1/p’1=T1/T2 Aumento de volumen a temperatura T2 constante p’1.v1=p2.v2 Multiplicando miembro a miembro es p1.v1=p2.v2.T1/T2 O sea: p1.v1/T1=p2.v2/T2=k Quiere decir que para una misma masa MG de gas en equilibrio el producto de la presión por el volumen ocupado, dividido la temperatura absoluta toma un valor constante k. Esa constante depende de la naturaleza del gas en cuestión y es proporcional a la masa M de gas considerada, o sea que po- demos poner p.v/T = MG.RG , que resume las leyes de Boyle-Mariotte y Charles-Gay Lussac. ¿Qué significa la constante R? Sus dimensiones son energía por unidad de temperatura y por unidad de masa: es una constante que depende de la energía específica del gas en cuestión. Si el peso molecular del gas es M, será MG=n.M , para n = número de moles del gas en cuestión, la anterior puede escribirse como p.v/T = n.M.RG , sien- do M.RG independiente del gas y sólamente dependiente del número de moléculas encerradas en el volumen v. Esta constante R=M.RG tiene un valor universal para cualquier gas , de 8,31 J/ºK/mol Termómetro de gas
- 134. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 125 125 Veremos a continuación cómo esta fórmula encaja dentro de un modelo de gas descripto como “teoría cinética de los gases”. La teoría cinética de los gases Ya en 1738, el médico, matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, miembro de una célebre familia de científicos encabezada por Jacobo Bernoulli, des- cribía en una famosa tesis a una masa de gas como un conjunto de peque- ñas partículas (átomos o moléculas) que interaccionan entre sí con choques perfectamente elásticos, que se ajustan a las leyes de la mecánica de Newton. La presión del gas contra las paredes del recipiente se explica, como se verá a continuación, por la acción promedio de innumerables cho- ques de estas moléculas contra esas superficies. La energía cinética prome- dio de las moléculas (energía interna) se mide a través de una variable estadística que coincide con la variable macroscópica llamada temperatura absoluta. Las leyes experimentales que relacionan presión a volumen constante y volumen a presión constante junto con la hipótesis aventurada por Amadeo Avogadro en 1811, de que todos los gases poseen la misma cantidad de moléculas en el mismo volumen a la misma presión, se combi- nan naturalmente con esta teoría, cuyo tratamiento estadístico fué desarro- llado por el escocés James Clerck Maxwell y el austríaco Ludwig E. Boltzmann a mediados del siglo XIX, dando como resultado lo que se cono- ce como la “teoría cinética de los gases” Presión sobre las paredes del recipiente Veremos, siguiendo los razonamientos de Daniel Bernoulli, cómo la presión que ejercen los gases sobre las paredes del recipiente se explica según el modelo cinético por la acción de innumerables choques por unidad de tiempo de un enjambre de moléculas que se mueven caóticamente. También vere- mos cómo se puede caracterizar ese caos con indicadores estadísticos tales como su velocidad media y otros parámetros, y gracias a los trabajos de Maxwell y Boltzmann, por la distribución estadística de sus velocidades. Sea un pedazo de pared vertical de superficie S que limita un volumen V=S.X lleno de un gas que tiene en promedio N moléculas todas ellas iguales de masa m , que tienen veloci- dades de componentes vxi vyi vzi , para i=1,2,3...n. En el análisis siguiente admitiremos que las componentes de la velocidad de las molécu- las según los tres ejes x,y,z son absoluta- mente equivalentes e independientes entre sí, por lo que el razonamiento siguiente en la S v x z vx vz vy y X
- 135. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 126 126 dirección x se podrá aplicar a las otras dos. En el intervalo de tiempo ∆∆t=X/vx chocarán contra la pared un número de moléculas nvx igual a la mitad de las que se encuentran en el volumen considerado V=S.X que tienen velocidades vx, ya que las de la mitad restante se alejarán de ella, sin producir acción alguna. La fuerza que produce cada molécula que choca elásticamente con- tra la pared cuya componente de velocidad según el eje x valga vxi está dada por la variación de la cantidad de movimiento en un tiempo ∆∆t=X/vxi ,que vale Fvxi = ∆∆(mi.vxi)/∆∆t = mi.(vxi-(-vxi))/∆∆t = 2.mi.vxi/∆∆t = 2.mi.vxi 2 /X. Ahora bien, la fuerza total producida por la mitad de todas las moléculas que están en el volumen V=SX será la fuerza de cada molécula 2.mi.vxi 2 por la mitad del número nvxi de ellas que tienen esa velocidad, extendiendo esa operación a todas las velocidades posibles. Se supone que el intervalo posi- ble de velocidades queda cubierto con la serie vx1, vx2,...vxn , de manera que se puede poner: Fx = ½. ΣΣnvxiFxi = (m1.nvx1.vx1 2 + m2. nvx2.vx2 2 +...+ mn. nvxn.vxn 2 )/X , Como m1 = m2 =...= mn = m (las masas de todas las moléculas son iguales), la anterior resulta: Fx = m ΣΣnvxivxi 2 /X La presión es fuerza / superficie, o sea p=Fx/S= m ΣΣnvxivxi 2 /(X.S) = m ΣΣnvxivxi 2 /V De acuerdo a la ley de los gases es p.V = M.RG.T y entonces M.RG.T= m ΣΣnvxivxi 2 pero como la masa de gas M=N.m resulta: RG.T= 1/N (ΣΣnvxivxi 2 ) Energía cinética media de las moléculas Las moléculas de velocidad vi tienen una energía cinética media de εεi =½ m vi 2 , siendo vi 2 =vxi 2 + vyi 2 + vzi 2 . Considerando que la energía se debe re- partir estadísticamente en partes iguales para las tres direcciones, resulta que la energía cinética media del gas será la suma de energías extendida a todas las velocidades posibles: Ec = ½ m ΣΣ (nvxivxi 2 + nvyivyi 2 + nvzivzi 2 ) = ½ N.m . [3/N ΣΣ nvxivxi 2 ] = ½ M c 2 El significado matemático de 3/N (ΣΣnvxi.vxi 2 ) = 1/N ΣΣ nv.v 2 es el de un prome- dio ponderado del cuadrado de las velocidades de las moléculas, llamado cuadrado de la velocidad media cuadrática, simbolizado por c 2 , por lo que RG.T= 1/3 c2 o lo que es igual M.RG.T = R.T = 1/3 M.c2 = 2/3 Ec
- 136. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 127 127 La velocidad media cuadrática es la que deberían tener las moléculas de un estado ideal del gas (no posible por lo improbable estadísticamente, aunque imaginable) en que los módulos de sus velocidades fueran todos iguales, para poseer la misma energía cinética interna que el estado real. Veremos que en el estado real (de máxima probabilidad) las moléculas po- seen una distribución de velocidades de acuerdo a ciertas pautas estadísti- cas que veremos en seguida. Asimismo, el significado estadístico de la temperatura absoluta de un gas es una medida de la energía cinética media de sus moléculas. ¿Por ejemplo, cuál será la velocidad cuadrática media de las moléculas de nitrógeno (M=0,028 Kg/mol) del aire a 15ºC = 288 K (º absolutos)? Resulta entonces que c = (3.R.T/M) ½ = (3 . 8,31 J/ºK/mol . 288ºK /0,028 Kg/mol) ½ = 506 m/s ¿Qué energía cinética tiene un mol de N2 en las condiciones anteriores? Respuesta: Ec=3/2.R.T = 3590 J/mol Distribución de las velocidades Sin hacer ningún cálculo, es imaginable que en una masa de algunos litros de gas, donde billones de moléculas chocan por doquier, habrá sin embargo un equilibrio estadístico dentro de ese caos, y que si bien no podemos ase- gurar el estado actual de una molécula particular ni su futuro, será posible establecer categorías probables entre ellas. Supongamos que pudiéramos tomar una foto instantánea del conjunto de moléculas donde aparezcan éstas y sus velocidades en módulo. Como en los censos de población, el resultado de los datos se podría resumir en indicadores tales como la veloci- dad media (momento de primer orden) cuadrática media, máxima, mínima, dispersión de velocidades (momento de segundo orden) y en general una tabla de cuántos individuos tienen velocidades v1, v2, v3,...vn, o sea la for- ma de la función de distribución de velocidades que cubra todas las veloci- dades posibles. Gracias a ingeniosas experiencias, se ha podido censar una población de moléculas viajeras a través de una muestra extraída de un estado gaseoso. Esta experiencia, que relataremos brevemente a continua- ción, vino a confirmar los resultados deducidos por Maxwell y Boltzmann muchos años antes. La experiencia de Zartman En 1931, el físico Zartman realizó una experiencia para hallar la distribución de velocidades en un gas, clasificando las moléculas del total por intervalos estrechos de velocidad vx1, vx2,..., vxn. La experiencia se basa en que si de un gas confinado en equilibrio se deja escapar un chorro muy fino hacia un espacio vacío durante un tiempo determinado, las moléculas que salen se- gún esa dirección no interaccionan entre si y se van distanciando del orificio de salida según sus velocidades. Si la muestra que escapó es suficiente- mente grande como para representar al gas interior confinado, la cantidad
- 137. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 128 128 de moléculas en función del tiempo que van llegando a un punto alejado de la fuente representará la proporción de moléculas en función de la velocidad que poseían en la fuente. Es de esperar que, como en el caso de una maratón, lleguen primero unos pocos atletas ex- cepcionales, luego cada vez más juntos los buenos corredores hasta llegar a un máximo el flujo de participantes medianos. La frecuencia de llegada irá luego disminuyendo con los más lentos y habrá que esperar bastante tiempo para ver la llegada de los más rezagados. Es probable en una prueba sin límite de tiempo en la que participen muchos corredores, haya algunos pocos con un retraso enorme. Si representamos gráficamente la frecuencia de llegada en función del tiem- po obtendremos una curva acampanada con el máximo más cerca del prin- cipio que del final, con una larga cola hacia atrás. Esto es precisamente lo que ocurre con las moléculas de nuestro chorro gaseoso, que se produce en un horno al vacío con un metal de bajo punto de fusión y buena difusibilidad (por ejemplo bismuto). El vapor confinado escapa por un orificio estrecho del horno, se transforma en un haz gracias a un diafragma colimador y es re- cortado durante un instante por un obturador tipo fotográfico, que limita el paso de una porción de moléculas hacia la meta. La columna de moléculas con muy poca interacción entre ellas, ya que tienen velocidades principal- mente orientadas en la dirección de avance, se estratifica por el camino según la rapidez de sus integrantes. En la llegada son recibidos por una superficie fría que se desplaza (una placa transparente arrollada en un cilin- dro que gira), quedando incrustados próximos los de igual categoría de rapi- dez. La placa presenta una franja con una densidad de metal depositado proporcional a la frecuencia de llegada de las moléculas. Examinado el de- pósito de metal condensado por transparencia o medido su espesor al mi- croscopio, arroja los resultados que se han exagerado en el dibujo: un depó- sito que empieza en un punto, aumenta su densidad y se esfuma en una larga cola. La distribución de Maxwell-Boltzmann Dijimos que el resultado experimental vino a confirmar la fórmula de distribu- ción teórica que independientemente Maxwell (1831-1879) y Boltzmann (1844-1906), dedujeran muchos años antes. Explicaremos el camino seguido para deducir la fórmula, debido a la impor- tancia del método y sus conclusiones, aplicables ambos a otros “gases” no horno obturador rápido diafragma colimador α metal vaporizado r espesor del depósito de metal condensado cilindro giratorio Experiencia para obtener la distribución de velocidades moleculares de un gas
- 138. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 129 129 moleculares, como los de electrones y fotones. Los que no tengan el nivel matemático requerido tienen las siguientes opciones: • Adquirir dichos conocimientos de cálculo (se recomienda) • Creer en los resultados y profundizar luego sus fundamentos (una op- ción intermedia) • Pasar por alto el capítulo (desaconsejada) En un gas en equilibrio el promedio vectorial de velocidades debe ser nulo si admitimos que su centro de gravedad está en reposo. Las moléculas cam- bian incesantemente su velocidad a través de innumerables interacciones entre sí y contra las paredes del recipiente. Cada molécula tiene un com- portamiento impredecible en forma particular, porque está ligado al de una gran cantidad de otras moléculas. Sin embargo se pueden encontrar indica- dores estadísticos que caractericen el movimiento global del conjunto. Ya vimos la velocidad media cuadrática como uno de ellos. Se trata ahora de buscar la distribución de las velocidades de las moléculas en módulo, es decir su intensidad prescindiendo de su sentido. La distribución da el número de moléculas que en todo momento están en un determinado nivel de ener- gía cinética, o de su equivalente velocidad. Modelo de Boltzmann – Estado y complexión Para tal análisis, siguiendo la idea de Bolzmann, se asimila un botellón de gas a una urna con bolillas que van cayendo a un clasificador en cuyos casi- lleros pueden disponerse el total de las bolillas de cualquier manera. Así como todas las moléculas de una masa de gas podrían concebirse con un estado instantáneo de velocidades iguales, el modelo urna-casilleros las representaría con todas las bolillas en un sólo casillero. Se postula que el estado real del gas en equilibrio, caracterizado por cuántas moléculas hay en cada categoría de velocidad o energía, será de configuración tal que tenga la máxima probabilidad entre todos los arreglos posibles. Estos arre- glos o “complexiones”, como los llama Boltzmann, se caracterizan al contra- rio de los estados, por identificar cuáles moléculas (además de cuántas) hay en cada categoría de energía o velocidad, admitiendo que las moléculas se pueden identificar, así como las bolillas tienen un número impreso. Un esta- do estable en equilibrio debe imaginarse como un tránsito incesante entre complexiones equivalentes, en el que las bolillas o las moléculas intercam- bian sus lugares o energías, pero donde lugares o energías conservan su distribución sobre diferentes individuos. Consideremos un modelo sencillo, con cinco bolillas y dos casilleros. El orden dentro de un mismo casillero no reviste interés en este modelo, ya que la energía o velocidad del casillero es la misma para todos los elementos que estén en él. Comencemos por analizar las diferentes maneras de ubicar las bolillas, numeradas de uno a cinco, dentro de los casilleros primero y segundo. Así, por ejemplo, habrá diez complexiones posibles para un estado de
- 139. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 130 130 cinco bolillas en dos casilleros, con dos bolillas en el primer casillero y tres bolillas en el segundo, a saber: 1,2–3,4,5 1,3–2,4,5 1,4–2,3,5 1,5–2,3,4 2,3-1,4,5 2,4-1,3,5 2,5-1,3,4 3,4-1,2,5 3,5-1,2,4 4,5-1,2,3 Con idéntico razonamiento podemos afirmar que hay otras diez complexiones para el estado tres-dos , cinco complexiones para el estado uno-cuatro y otras cinco complexiones para el estado cuatro-uno. ¿Debemos considerar posible los estados cero-cinco y cinco-cero?. Claro, eso suma otras dos complexiones posibles. En total hay 1+1+5+5+10+10 = 32 complexiones posibles. Se demuestra que n moléculas en m casilleros pueden disponerse de m n maneras posibles. En nuestro caso es 2 5 =32, como lo acabamos de ver. También se demuestra que el número de complexiones para un estado dado es menor que el número de maneras en que se puede ordenar la población. Una serie de N elementos se puede ordenar de diferentes maneras, cambiando el orden o sea per- mutando su ubicación en la serie. El número total de permutaciones posibles de N elementos está dado por una operación llamada factorial de N representado por N! o fact(N) , igual al producto N.(N-1).(N-2)....hasta llegar a la unidad. El número de permutaciones totales de los N elementos (N!) se divide por las permu- taciones dentro del casillero, puesto que como dijimos, no representan otra variante a tomar en cuenta en nuestro análisis por categorías. Así resulta: Número de complexiones de cinco elementos con tres en el primer casillero y dos en el segundo casillero = 5!/3!/2! = 5.4.3.2/3.2/2=10 ¿Cuál será el estado de máxima probabilidad para este “gas” de cinco moléculas? Se define probabilidad matemática como el cociente entre casos favorables y casos posibles. De tal manera, podremos hacer la siguiente tabla: Estado Probabilidad cero-cinco 1/32 uno-cuatro 5/32 dos-tres 10/32 tres-dos 10/32 cuatro-uno 5/32 cinco-cero 1/32 Hay pués dos estados posibles de máxima probabilidad: el dos-tres y el tres-dos. Quiere decir que según el modelo, un gas de cinco moléculas con dos niveles posibles de energía tiene mayor probabilidad de existir con una distribución dos-tres o tres-dos, que cualquier otra.
- 140. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 131 131 Por supuesto que llevar este razonamiento aún a una pequeña burbuja de gas, que contiene una millonésima de mol, con 6 x 1017 moléculas , eligiendo una partición de mil intervalos de velocidades posibles, entre cero y 10000 m/s, para abarcar un rango lógico, daría un menudo trabajo....imposible aún para un ejército de calculistas. Deducción de la ley de distribución de velocidades 16 Otro es el método de Boltzmann, mucho más eficiente, que analiza la función que da los casos favorables (ya que el denominador, que representa el número de casos posibles es siempre el mismo). A esta cantidad llama Boltzmann “probabilidad ter- modinámica 17 ” variable de estado ligada a los procesos de transformación de siste- mas estudiados por la termodinámica. La probabilidad termodinámica de un estado, o sea los casos posibles para N molé- culas que se distribuyen con n1 moléculas en el casillero Nº1, n2 en el Nº2,...y nm moléculas en el casillero emésimo resulta, según lo ya visto, el cociente entre todas las permutaciones posibles de la serie de N elementos dividido las permutaciones dentro del mismo casillero, esto es: P(n1,n2,...nm) = N!/(n1! n2! n3!...nm!) Esta probabilidad es máxima cuando el denominador se hace mínimo, ya que el numerador es constante para un número de elementos dado. La condición de denomi- nador mínimo es pués la clave para encontrar el estado de máxima probabilidad, que corresponderá al estado de equilibrio. El mínimo o el máximo de una función continua está en los puntos donde se anula su pendiente (cimas o valles). La pendiente está representada por su función derivada, la que igualada a cero determina una ecuación diferencial que se satisface para valores de pendiente horizontal. Pero el denominador en cuestión no es una función derivable en forma sencilla. Hay que transformarla para que lo sea. Primeramente se le aplica logaritmos. El logaritmo del denominador sigue las variaciones de su argumento, o sea que es máximo cuando el denominador es máximo, y mínimo cuando el denominador es mínimo. Además transforma el producto en suma. Queda entonces: ln(D) = ln (n1!) + ln (n2!) + ln (n3!) +...+ ln (nm!) [1] Luego se reemplaza el logaritmo natural del factorial por una aproximación atribuida al matemático escocés James Stirling (1692-1770 pero que en realidad pertenece al matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754): ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n , fórmula aproximadamente válida para n>>1 [2] 16 Es equivalente hablar de energías o velocidades. Trabajando con volúmenes ga- seosos de poco espesor ∆∆h podemos despreciar la energía potencial m.g.∆∆h , y con- siderar que una molécula puntual de masa m que se desplaza a velocidad v posee únicamente energía cinética E = Ec= ½ m v 2 . 17 La probabilidad termodinámica es una variable que no tiene como límite superior la unidad, como ocurre con una probabilidad matemática.
- 141. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 132 132 n n! ln(n!) n.ln(n)-n Error(%) 3 6 1,79 0,30 83,49 5 120 4,79 3,05 36,35 10 3628800 15,10 13,03 13,76 50 3,0414E+64 148,48 145,60 1,94 100 9,333E+157 363,74 360,52 0,89 Como se ve, la fórmula de Stirling -De Moivre da un error menor que 1% para n>100 . Es de sobra aceptable en el análisis que haremos a continuación, que trata de una masa de gas con un número de individuos muchísimo mayor. Diferenciando [1] y teniendo en cuenta [2] resulta d ln(D) = d ΣΣ ni.ln(ni) - d ΣΣni , pero como ΣΣni = N = número total de moléculas = cte , es d ln(D) = ΣΣ [ni.dni/ni + ln(ni).dni] = ΣΣ [1+ln(ni)] dni = 0 (condición de mínimo) [3] Teniendo en cuenta que ΣΣdni = d ΣΣni = dN = 0, [4] la [3] queda: d (ln D) = ΣΣ [ln(ni)] dni = 0 [5] La energía total E del gas es la suma de la energía de las moléculas, que a su vez se obtiene sumando las energías en cada categoría εi por el número de moléculas ni en esa categoría, es decir E = ΣΣ εεi.ni [6] La condición de que la energía total se mantenga estable, o sea que la masa de gas esté en equilibrio, se traduce en variación nula de la [6] dE = ΣΣ εεi..dni = 0 [7] Las ecuaciones [3],[4] y [7] establecen tres condiciones independientes del sistema: • que el número de moléculas sea constante (sistema cerrado) • que la probabilidad del estado sea máxima (condición necesaria para el estado real) • que la energía sea estable (equilibrio) Para resumirlas en una sola condición se puede plantear una combinación lineal de ambas, con constantes A y B a determinarse luego, a saber A.{ΣΣ [ln(ni)] dni}+ B.{Σ εεi..dni} = 0 [8] Desarrollando la anterior se obtiene la serie ΣΣ(A.ln (ni) + B εεi) dni = 0 [9] La única solución posible para que se anule la serie [9] es que todos sus términos sean nulos, puesto que ln(ni) y εεi son siempre positivos. Se puede poner para cualquier intervalo de energía i que: (A.ln (ni) + B εεi) dni = - dN = 0 de donde A.ln(ni) = -B.εεi , y tomando antilogaritmos es
- 142. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 133 133 ni = exp (-B/A.εεi) = 1 / [exp(Bεε/A)] 18 [10] La [10] expresa que la cantidad de moléculas en cada categoría o ”casillero” de ener- gía εε decrece exponencialmente con esa energía; puede ponerse bajo la forma: n(εε) = exp (1/A) exp (-B.εε) = K. exp (-B.εε) [11] El significado de K se obtiene haciendo εε=0 con lo que la exponencial es la unidad y entonces n(0)=K, es decir que la constante K representa la cantidad de moléculas que tienen energía nula en el la categoría considerada. Se muestra en la figura la representación de la función n(εε) para un intervalo o catego- ría de energía εεi . La subtangente en un punto cualquiera de la curva representa la constante de decrecimiento A/B. Ahora bien, pasemos a trabajar en todo el intervalo posible de energías, o sea desde cero a infinito, puesto que no podemos descartar que siempre haya alguna molécula de energía más alta que el límite impuesto. A lo sumo pode- mos concebir de antemano que esas moléculas muy rápi- das serán muy escasas, como lo muestra el escaso espe- sor del metal condensado en el comienzo de la tira de la experiencia de Zartman. La energía de una molécula puntual de masa m es la suma de su energía cinética de traslación εεc = ½ m v 2 y de su energía potencial εεp=m.g.z, para v 2 = vx 2 + vy 2 + vz 2 de donde dεε=m.v.dv+m.g.dz. En el análisis siguiente despreciaremos la variación en altura y consecuentemente permanecerá constante la energía potencial εεp Cambiando de la variable energía εε a la variable velocidad v a través de las fórmulas ya vistas, la [11] puede ponerse bajo la forma: n(vi) = K. exp (-B/2.vi 2 ) [12] Sumando todos los elementos se obtiene el número total de moléculas N: N(v) = ΣΣιι n(vi) [13] Si en vez de usar intervalos discretos de velocidad vi (i=1,2,3..n) trabajamos con saltos diferenciales en módulo dV tendientes a cero, el número de moléculas N(v) por intervalo de velocidad pasa a ser un cociente incremental que tiene el significado de den- sidad de número de moléculas por unidad de intervalo de velocidad dV (se usa V ma- yúscula para designar un espacio de veloci- dad, cuyo módulo esté entre v y v+dv). Entonces, la [13] junto con la [14] nos da: dN(v)/dV = n(vi) =K exp (-B/2.vi 2 ) [14] o sino también: 18 Por comodidad tipográfica se expresa en este párrafo la exponencial e x como exp(x), para e=2,7182818...(base de los logaritmos naturales) n(εε) K εε A/B Cantidad de moléculas por casillero v dN/dV Densidad de moléculas por intervalo de velocidad K
- 143. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 134 134 dN(εε) = K exp (–B/2.m.v 2 ) dV [15] En cada casillero o nivel de energía dV (V mayúscula) entrarán todas las moléculas que tengan el mismo módulo de velocidad v . La densidad o probabilidad de encontrar una cantidad n de moléculas de velocidad determinada dentro de un casillero o cate- goría de velocidad expresada en la [14] es una campana de Gauss, como se muestra en la figura adjunta. Lo mismo que la exponencial vista anteriormente en el caso de las energías, indica que la cantidad de moléculas que probablemente se encuentren en un casillero es máxima para la categoría de velocidad nula y disminuye para categorías de velocida- des crecientes. Sin embargo, la velocidad es un vector, y la [15] sólo contempla la variación de la velocidad en sentido positivo y negativo en forma unidimensional. Para extender el análisis a todas las direcciones posibles en el espacio, las categorías de igual módulo pueden representarse como el lugar geométrico de los vectores velo- cidad de igual longitud v, esto es una esfera de radio v , en un espacio donde las dimensiones son velocidades. Para integrar la expresión [15] a toda esa esfera conviene usar en vez de coordenadas cartesianas vx vy vz , otras más cómodas: las coordenadas esféricas en el espacio de las velocidades, a saber: • v (módulo de la velocidad), • θθ (acimut) • φφ (altura) De acuerdo a la figura, el elemento de volu- men de velocidad que en coordenadas cartesianas vale dV = dvx.dvy.dvz , resulta en coordenadas esféricas igual al producto de los tres lados de una especie de caladura de sandía que se puede aproximar a un paralelepípedo de lados: • [dv] • [v.cos φφ.dθ]θ] • [v.dφ]φ] Por lo tanto el elemento de volumen en coordenadas esféricas resulta: dV = [dv].[v.cos φφ.dθ]θ].[v.dφ]φ] = v 2 .cosφφ, dv.dθθ.dφφ Entonces la [15] queda: d 3 N(v,θ,φθ,φ) = n(v) = K exp (–B.m.v 2 /2) v 2 .cosφφ.dθθ.dφ.φ.dv [15] Dejando sólamente como variable la velocidad, podemos integrar a la [15] para las otras dos variables φφ , θθ , sobre la esfera de radio v y espesor dv y entonces: dφφ φφ θθ dθθ dθ.θ.cos φφ dv v vxvy vz Elemento de volumen de velocidad dV = v 2 . cos φ.φ.dθθ.dφ.φ.dv [ ]16.v.e.K4..ö.dö.dècos..vK.edN/dv 22 Bmv 2ðè 0è ðö ðö 22 Bmv 22 π== ∫ ∫ = = = −=
- 144. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 135 135 Si integramos la [16] a todo el espacio de las velocidades, debe dar como resultado el número total de moléculas en todo el espacio, o sea N. Ahora bien, la integral I = ∫∫ exp (–B.m.v 2 /2) v 2 .dv se logra integrando por partes, con la fórmula ∫∫p.dq = p.q - ∫∫q.dp para p = v; dq= exp(-B.m.v 2 /2) v.dv = exp(-B.m.v 2 /2) d(v 2 /2) , de donde q= -1/B/m.exp(-B.m.v 2 /2) y además dp = dv Entonces resulta: I = -1/B/m.exp(-B.m.v 2 /2).v + 1/B/m ∫∫ exp(-B.m.v 2 /2).dv I o| ∞ = |-1/B/m.exp(-B.m.v 2 /2).v o| ∞ + √√2/(B.m) 3/2 o∫∫ ∞ exp(-B.m.v 2 /2).d(v.(B.m/2) ½ ) El primer término es una función que toma valor nulo en los límites: vale cero en el origen y cero en el infinito. La integral del segundo término es la función error de Gauss integrada entre cero e infinito, que da el área total debajo de la campana, cuyo valor es √√ππ/2 Así resulta N = 4.K.ππ.I = 4.K.ππ.√√2/(B.m) 3/2 .√√ππ/2 = K/(B.m/ππ/√√2) 3/2 = K ( 2.ππ/B/m) 3/2 de donde K = N. (B.m/ππ/√√2) 3/2 Haciendo αα 2 = 2/B/m resulta N= K.π. 3/2 .α 3 y también dN/N/dv = f(v) = 4.ππ -½ αα−−3 .v 2 .exp(–(v/α)α) 2 ) [17] La [17] es la función de densidad de velocidades, que da la proporción de moléculas que tiene velocidades entre v y v+dv. Representada gráficamente es una curva acampanada que nace en el origen. Es asimétrica, con la cola hacia la dere- cha, tal como se representa en la figura. En el gráfico se señalan: • la abscisa αα correspondiente a la ordenada máxima, que es la veloci- dad más frecuente. • la abscisa v del centro de gravedad de la figura ; es la velocidad media • la abscisa √√(c 2 ) , raíz cuadrada de la velocidad media cuadrática • El área encerrada bajo la curva entre dos abscisas v1 y v2, representada por la integral de la función de densidad f(v) entre esos límites, indica la proporción de moléculas cuyas velocidades caen dentro de dicho intervalo de velocidades. Desde este punto de vista, la integral entre cero e infinito de f(v) debe valer la unidad porque representa el total de las moléculas, es decir 0∫∫ ∞∞ f(v).dv = 1 [18] Que αα es la abscisa que corresponde a la ordenada máxima se comprueba fácil- mente al verificarse que la derivada de la función f(v) en ese punto se anula (condición de máximo o mínimo) es decir df(αα)/dv=0. En efecto es df(v)/dv=4.ππ -½ αα−−3 [2.v.exp(–(v/α)α) 2 +v 2 .exp(-v 2 /αα 2 ).(-2.v/αα22 )] f(v) = dN/N/dv v α v c2 v1 v2 ∫f(v).dv v1 v2
- 145. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 136 136 El corchete se anula cuando 2v-v 2 .2v/αα 2 =0 de donde 1-v 2 /αα 2 =0 , es decir v=αα Ya vimos que c 2 se definía a partir de la energía total de las moléculas Ec de manera tal que Ec= ½ Nm c 2 , así entonces c 2 = 2.Ec/M = m/M.ΣΣ ni.vi 2 ; pasando de variables discretas n1,n2 , v1,v2...a variables continuas n=N.f(v).dv, la anterior resulta c 2 = o∫∫∞∞ f(v) v 2 dv = 4.ππ -½ αα−−3 . o∫∫∞∞ exp(–(v/α)α) 2 ) v 4 .dv [19] La integral I =∫exp(–v 2 /α 2 ). v 4 .dv se resuelva por partes poniendo ∫p.dq = p.q - ∫q.dp para p = v 3 ; dq= exp(-v 2 /α 2 ) v.dv = -½ α 2 .exp(-v 2 /α 2 ) d(-v 2 /α 2 ) de donde q= -½ αα 2 .exp(-v 2 /αα 2 ) y además dp = 3.v 2 .dv Entonces resulta: I = -½ α 2 .exp(-v 2 /αα 2 ).v 3 + 3/2 α 2 ∫∫ exp(-v 2 / αα 2 ).v 2 .dv I o|∞ = |-½ α 2 .exp(-v 2 /αα 2 ).v 3 o| ∞ + 3/2 α 2 o∫∫ ∞ exp(-v 2 / αα 2 ).v2 .dv [20] El primer término es nulo, ya que la función toma valores nulos en los límites del inter- valo cero e infinito. En cambio el segundo término incluye una integral del tipo ∫∫f(v)dv entre cero e infinito, que ya vimos debe valer la unidad, así que de acuerdo a [17] y [18] es: o∫∫ ∞ exp(-v 2 /a 2 ).v 2 .dv = 1/(4.ππ -½ αα−−3 ) y entonces la integral [20] vale: I o|∞ = 3/2 αα 2 / (4.ππ -½ αα−−3 ) de donde la [19] resulta c 2 = 4.ππ -½ αα−−3 . 3/2 αα 2 / (4.ππ -½ αα−−3 ) = 3/2 αα 2 [21] La [21] nos da la relación entre la velocidad más probable y la media cuadrática. Se ve que c>a , tal cual se indica en el gráfico. La velocidad media es el promedio ponderado de las velocidades, es decir que se cumple la relación vm =1/N ΣΣ ni.vi , y pasando a variables continuas es: vm= o∫∫ ∞∞ f(v).v.dv = o∫∫ ∞∞ f(v) v dv = 4.ππ -½ αα 3 o∫∫ ∞∞ exp(–(v/α)α) 2 ).v 3 .dv [22] I =∫exp(–v 2 /α 2 ). v 3 .dv se resuelva por partes poniendo ∫p.dq = p.q - ∫q.dp para p = v 2 ; dq= exp(-v 2 /α 2 ) v.dv = -½ α 2 .exp(-v 2 /α 2 ) d(-v 2 /α 2 ) de donde q= -½ αα 2 .exp(-v 2 /αα 2 ) y además dp = 2.v.dv Entonces resulta: I = -½ α 2 .exp(-v 2 /αα 2 ).v 2 + αα 2 ∫∫ exp(-v 2 /αα 2 ).v.dv I o|∞ = |-1/B/m.exp(-v 2 /αα 2 ).v 2 o| ∞ + αα 2 o∫∫ ∞ exp(-v 2 /αα 2 ).v.dv [23] El primer término es nulo, ya que la función toma valores nulos en los límites del inter- valo cero e infinito. El segundo término incluye la integral entre cero e infinito ∫∫dq=- ½.αα 2 , así que la integral [23] vale: I o|∞ = 1/2 αα 4 de donde la [22] resulta vm= 4.ππ -½ αα−−3 . 1/2 αα 4 = 2 ππ -½ αα [24]
- 146. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 137 137 Relación entre velocidades estadísticas y temperatura Los parámetros estadísticos recién vistos están en relación directa con el parámetro global conocido como temperatura absoluta del gas. Del concepto de velocidad media cuadrática y su relación con la presión y la ley de los gases se obtuvo en la página 32 la expresión c 2 = 3 RG.T En virtud de la [21] se deduce α2 =2.RG.T , la que reemplazada en la [23] nos da para la velocidad media vm = 2 ππ -½ (2.RG.T) ½ = (8.RG.T/ππ) ½ Así entonces es c 2 = 3.RG.T = 3. R/M.T αα22 = 2.RG.T = 2. R/M.T vm 2 = 4/ππ.2.RG.T = 8/ππ.RG.T Para M=NA.m , con NA=6,02x10 23 (Número de Avogadro), m=masa de una molécula, y k=R/NA , que es la constante de los gases para una molécula, llamada “constante de Boltzmann” resultan : c 2 = 3. R/NA/m.T = 3.k.T/m αα22 = 2. R/NA/m.T = 2.k.T/m vm 2 = 8/ππ. R/NA/m.T = 8ππ.kT/m Recordando que la energía de una molécula es εε= ½ m.v 2 con dεε = m.v.dv es (v/αα) 2 = m.v 2 /2/k/T = εε/(k.T) La función de distribución queda así: dN/N/dv = 4.ππ -½ (2.k.T/m) −−3/2 .v 2 .exp(–m.v 2 /2/k/T) [25] y poniéndola en función de la energía εε se transforma en: dN/N/dεε = 2.ππ -½ (k.T) −−3/2 . m 2 .εε ½ .exp(–εε/k/T) [26] que es también una curva acampanada asimétrica, tal cual se ve en los gráficos siguientes. Variación de la distribución de velocidades con la temperatura 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,00E+00 5,00E+02 1,00E+03 1,50E+03 2,00E+03 2,50E+03 3,00E+03 3,50E+03 velocidades dN/N/dv 273ºK 500ºK
- 147. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 138 138 Allí también se observa cómo se modifica la forma de la curva para un mismo gas cuando aumenta la temperatura. Disminuye la ordenada del máximo, y se corre su abscisa hacia mayores valores de velocidad. Se comprende que esto deba ser así ya que el área entre curva y eje de velocidades debe mantenerse constante, por repre- sentar la proporción total de moléculas, que es igual a la unidad. Puede darse a las fórmulas [25] y [26] una interpretación conveniente consi- derando que son el producto de dos funciones independientes. Por ejemplo, pongamos la [25] como producto de dos corchetes: dN/N/dv = [4.ππ .v 2 ]. [(2.k.T/ππ/m) −−3/2 .exp(–m.v 2 /2/k/T)] [27] Ya vimos que el segundo corchete es la cantidad n(v) de moléculas que tienen velocidad v dentro de un casillero (en forma de caladura de sandía). En términos estadísticos representa la probabilidad de encontrar n moléculas de velocidad v o de su correspondiente energía e=½.m.v 2 . Se lo llama pro- babilidad de ocupación de una celda, y depende del tipo de partículas y de la temperatura absoluta de la masa de gas. Para extender esta probabilidad al espacio de las velocidades en módulo, (o al espacio de las energías ciné- ticas correspondientes) hubo que multiplicarlo por el factor [4ππv 2 ], que es la superficie de una esfera de radio v , y que extiende la probabilidad anterior a todos los estados posibles de igual velocidad. De allí que a este corchete se lo llame cantidad de celdas o densidad de celdas. Este factor de densidad, que representaremos en adelante con g(v) o g(εε) , es igual para todo tipo de partículas y no depende de la temperatura. Es un factor puramente geomé- trico en el espacio de las velocidades o energías, según se trate. Cambiando la variable velocidad v por energía εε= ½ mv 2 la [27] se puede poner también en la forma: dN/N/dεε = [4ππ/√√2.m -3/2 .√√εε] . [1/exp(A+εε/k/T)] = g(εε).n(εε) [28] para 4π.π.v2 .dv= 4ππ/√√2.m-3/2 .√√εε.dεε y A= ln [π.π.m/ (2.k.T) −−3/2 ] Variación de la distribución de energías con la temepratura 0 2E+19 4E+19 6E+19 8E+19 1E+20 1,2E+20 1,4E+20 0,00E+00 5,00E-21 1,00E-20 1,50E-20 2,00E-20 2,50E-20 3,00E-20 energías dN/N/de 100ºK 200ºK
- 148. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 139 139 Resumiendo: La función f(e) = dN/N/dεε que representa estadísticamente la probabilidad de encontrar n moléculas entre energías e y e+de se puede considerar como el resultado de dos probabilidades concatenadas: 19 • probabilidad g(εε) de existencia de cel- das con nivel de energía εε (densidad de celdas). g(εε) es una parábola de eje coincidente con las abscisas. • probabilidad n(εε) de que la celda esté ocupada (o que no esté vacía). n(εε) es una exponencial decreciente con asín- tota en abscisas. En un gas es alta la probabilidad de ocupación para bajas energías pero también escasa su densidad. A mayores velocidades, disminuye la probabili- dad de ocupación y aumenta la densidad. El resultado del producto de las funciones de ocupación y densidad es la ya vista curva acampanada que parte del origen, crece hasta un máximo y se pierde en una cola asintótica. Generalización del concepto de gas - Gases de fermiones y de bosones El estudio estadístico hecho para gases moleculares puede extenderse a conglomerados de cualquier otro tipo de partículas que interaccionen esta- dísticamente entre sí. Es el caso de los electrones libres dentro de un metal, neutrones dentro de una pila atómica, o fotones (cuantos de radiación) den- tro de un horno. En cada caso deberán tenerse en cuenta propiedades parti- culares de cada partícula. Gases de fermiones A diferencia de las moléculas, que pueden ocupar un mismo casillero de energía sin límite de número, electrones, protones y neutrones se resisten a hacinarse dentro de un nivel de energía. Se dice que son partí- culas excluyentes 20 . Teniendo en cuenta la restricción de que no puede entrar más de una partí- cula por casillero, se deduce para ellas de manera análoga al caso de las 19 La probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes en forma simultánea es el producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos 20 La cuestión tiene que ver con el conocido “principio de Exclusión de Pauli” que rige para los electrones dentro del átomo, donde no puede haber más de uno por estado de energía. . n(ε) ε moléculas electrones µ DISTRIBUCIÓN A BAJAS TEMPERATURAS [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1] 1 1/exp(A−ε−ε/k/T) n(ε) ε g(ε) n(ε)xg(ε)
- 149. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 140 140 moléculas la función de densidad de energía: dN/N/dεε = [4ππ/√√2.m-3/2 .√√εε] . [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1] = g(εε).n(εε) [29] con µµ = −= −A.k.T. n(εε) = [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1] Mientras que un gas de moléculas a temperaturas muy bajas posee casi todas las moléculas apiñadas en bajos niveles de energía, la fórmula anterior muestra que un gas de fermiones los tiene distribuídos a lo largo del eje de las energías en forma casi constante hasta una energía determinada µµ, a partir de la cual cae bruscamente a cero. Según esto, es de esperar que en los metales a bajas temperaturas exista una gran proporción de electrones de gran velocidad, a diferencia con la escasez de moléculas rápidas en un gas frío. En electrónica se conoce a la energía µµ como “potencial de Fermi”, propio de cada metal, en honor a Enrico Fermi (1901-1954), que junto con Paul Dirac (1902-1984) estudiaron la distribución de energías en un gas de partículas que como los neutrones y electrones, no pueden ocupar el mismo nivel de energía aún dentro de un mismo intervalo o casillero. 21 A temperaturas elevadas (por ejemplo la ambiente, de 293 ºK), un gas elec- trónico o neutrónico se parece mucho a un gas molecular, pudiéndose usar sin gran error la fórmula de Maxwell-Boltzmann, en vez de la de Fermi-Dirac, de la que daremos a continuación una breve deducción: Distribución de Fermi-Dirac Vimos que se aplica a partículas excluyentes e indistinguibles llamadas “fermiones”. • Excluyentes significa que no pueden compartir el mismo estado de energía. • Indistinguibles significa que no sólo son iguales entre sí, sino que no pueden individualizarse como bolillas en un bolillero, con un número distintivo. Esta cuali- dad surge de comparar el tratamiento estadístico entre moléculas y fermiones que haremos en seguida. La distribución de energías de fermiones f(ε) viene dada, igual que para gases ordina- rios, por el producto de la densidad de estados g(ε) y la probabilidad de ocupación n(ε). Mientras que g(ε) es igual para cualquier tipo de partícula, en la deducción de n(ε) para fermiones debe tenerse presente que hay g(n)=g(εε).dεε estados disponibles en un intervalo de energía dεε, en cada uno de los cuales se podrá acomodar una sola partí- cula, al contrario del caso de moléculas, que pueden acomodarse en cualquier núme- ro. Para calcular la probabilidad termodinámica de que en un casillero de energía εε11 con g1 estados posibles haya n1 de un total de N moléculas (distinguibles) podemos configurar la complexión colocando la primera molécula elegida dentro de un total de N , la segunda de entre del resto, o sea (N-1), la tercera entre las (N-3) restantes, y así hasta llegar a (N-n+1). Esto configura una probabilidad compuesta igual al producto N.(N-1).(N-2)...(N-n1+1)=N!/(N-n1)! . A esto debe multiplicárselo por el factor g1 n1 que representa, como ya se vió, la cantidad de maneras en que pueden acomodarse n1 21 Los “fermiones” se caracterizan por tener espines fraccionarios ½ o 3/2. Son fer- miones los electrones, neutrones, protones y núcleos de masa impar (tritio, helio3, uranio 233, etc).
- 150. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 141 141 moléculas en g1 estados, sin límite de número (recuérdese el ejemplo de cinco bolillas en dos casilleros que daba 2 5 =32). Por último hay que dividir por n1! que es el número de permutaciones entre elementos dentro de una misma complexión, que no aportan combinaciones diferentes aún siendo elementos distinguibles. Resulta así que las posibles maneras de colocar n1 moléculas en g1 estados es P(n1)=N!/(N-n1)!.g1 ni / n1! . Las maneras de disponer n2 moléculas de las restantes (N-n1) es P(n2)=(N-n1)!/(N-n1-n2)!.g2 n2 / n2! Id. para otro estado con n3 moléculas restantes es P(n3)=(N-n1-n2)!/(N-n1-n2-n3)!.g3 n3 / n3! La probabilidad compuesta P(n1).P(n2) P(n3)...vale el producto ΠΠP(i) = N! ΠΠ gi ni / ni! Para hallar la configuración más probable se busca el máximo de una función que combine linealmente la probabilidad con condiciones de variación nula de cantidad de partículas y energía, a saber: F= ln [ΠΠP(i)] + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], resolviendo dF/dn = 0 usando la ya vista aproximación de Stirling para el logaritmo natural del factorial ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n resulta F = ln N! + ΣΣ ni. ln(gi)- ln(ni!) + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E dF/dn = ΣΣ { d/dn[n. ln(gi)] - d/dn[ni.ln(ni)-ni] + A + B εε} = = ΣΣ { ln(gi) -1 - ln(ni)+1+ A +Bεε } = 0 La condición que anula la suma de esta serie de términos de igual signo es que sean nulos cada uno de ellos. La anulación de un corchete genérico es, para todo i: ln(g) - ln(n) +A + Be = 0 de donde (g/n) = exp -(A+Be) Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(A+Bεε)], que es la fórmula ya vista de Maxwell- Boltzmann En el caso de los fermiones, todo pasa como si en cada casillero de energía εε hubiera un número de g(e) subdivisiones que pueden llenarse a lo sumo con una partícula. Hay g posibilidades de poner una cualquiera de las n partículas en el primer estado, g- 1 posibilidades de poner la segunda partícula en el segundo, g-2 en el tercero y así sucesivamente hasta llegar a g-n+1 posibilidades para la última partícula de energía εε. En total habrá g.(g-1).(g-2)...(g-n+1) = g! / (g-n)! posibilidades. Igual que para las moléculas, de ellas habrá que eliminar las que surgen de permutar los n elementos, ya que son equivalentes dentro de una misma complexión. Así la probabilidad termodi- námica de una configuración con ni fermiones en el casillero i es P(i)=gi!/(gi-ni)!/ni! . La probabilidad de una configuración con n1, n2, n3.. elementos en casilleros con g1, g2, g3 estados será el producto de P(i), o sea ΠΠ P(i) . Para hallar la configuración más probable se emplea el procedimiento ya visto, de encontrar el máximo de la función: F= ln [ΠΠP(i)] + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], resolviendo dF/dn = 0 , con el reemplazo aproximado ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n Entonces es F = ΣΣ ln(gi!)- ln(gi-ni)! – ln(ni!) + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E -dF/dn = ΣΣ { d/dn[(gi-ni).ln(gi-ni)-(gi-ni)] + d/dn[ni.ln(ni)-ni] - A - B εε} = = ΣΣ { (gi-ni)(-1/(gi-ni))-ln(gi-ni) +1 +1 + ln(ni) – 1- A -Bεε } = 0 Planteando la anulación de un corchete genérico para todo i resulta: - ln(g-n) +ln(n) -A - Be = 0 de donde (g/n-1) = exp (A+Be) Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(A+Bεε)+1], que es la fórmula válida para fermiones. Fotones La presión que la radiación electromagnética (luz, radiación térmica, etc.)
- 151. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 142 142 ejerce sobre la materia indujo al físico prusiano y premio Nobel 1911 Wilhelm Wien (1864-1928) a imaginar la evolución de esa masa de radia- ción siguiendo un ciclo de Carnot como el que realiza un gas molecular en el cilindro de un motor térmico. Dedujo así que el área de la curva de distribu- ción de la energía debía ser proporcional a la cuarta potencia de la tempe- ratura absoluta, que su máximo debía ser proporcional a la quinta potencia, y que ese máximo de la curva debía estar situado en energías proporciona- les a dicha temperatura 22 . Esas características, probadas experimentalmen- te, se ajustaban a una distribución de energías tipo Maxwell-Boltzmann, como la de los gases de moléculas. Sin embargo, las curvas experimentales mostraban ciertas discrepancias para bajas energías, que estudiadas con inteligencia dieron origen nada menos que a la moderna física cuántica. Fué en 1900 , año en que Max Planck informó sobre sus trabajos que le valieron el premio Nobel 18 años más tarde. Se deduce de ellos que la luz y la radiación en general se emiten en forma de “quanta” 23 o paquetes dis- cretos de energía εε=h.νν, siendo h una constante llamada “quantum de ac- ción” o “constante de Planck”, νν=c/λλ es la frecuencia de la radiación longi- tud de onda λλ y velocidad c (velocidad de la luz) .. El descubrimiento de Planck surge al ajustar la curva experimental de la densidad de energía espectral (véase el capítulo de Radiación Térmica, en nuestra obra “Ópti- ca”), que requiere una función del tipo f(εε)=g(εε)/[exp(ε/ε/k/T)-1]. Nótese que f(εε), llamada distribución de Planck, es una función de Maxwell-Boltzmann modificada con un “menos uno” en el denominador, lo que precisamente permite el desarrollo en serie geométrica de la forma: 1/(1-r)= =1+r+r 2 +r 3 +...con r=exp-(hνν/k/T) y εε=h.νν. Los exponentes hν/k/T, 2hν/k/T, 3hν/k/T... sugieren escalones discretos, relacionados con una energía básica hν , que es la de un quantum. Albert Einstein recibió el premio Nobel de física en 1921 al descubrir que también la absorción de energía radiante se efectúa en forma discreta y no continua. Que la radiación se emita y se reciba en paquetes hace pensar en que también viaja con esa identidad discreta, constituyendo una partícula luminosa. Bautizados con el nuevo nombre de fotones, las viejas partículas luminosas que Newton había imaginado dos siglos antes cobraron así nueva vigencia. De acuerdo a la fórmula puesta de manifiesto por Einstein, la radia- ción tiene una masa electromagnética asociada m tal que su energía vale E=m.c 2 . De allí surge que la cantidad de movimiento m.c asociada a un fotón de energía E=h.νν resulta ser hνν/c . 22 Estas tres leyes se conocen respectivamente como ley de Stephan o de la cuarta potencia, ley de Wien de la quinta potencia y ley del desplazamiento del máximo de Wien. Se conocían experimentalmente antes de que la teoría termodinámica de la radiación las explicara. 23 Plural de quantum, que significa cantidad en latín.
- 152. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 143 143 Los fotones poseen ciertas particularidades que los distinguen de otras partículas materiales como las vistas hasta ahora. Comparemos un botellón de gas molecular y un horno caliente: Si aumentamos la temperatura del botellón, sus paredes transmitirán energía cinética a las moléculas que chocan contra ellas, y poco a poco toda la masa de gas elevará su energía cinética media (léase temperatura). El número de molé- culas se mantendrá constante, y un espectro de sus energías dará una curva menos puntiaguda, con el máximo corrido hacia energías más altas pero con igual área (proporcional al número total de moléculas). Ahora vayamos a nuestro horno. Las paredes del mismo están tapizadas de un número constante de osciladores cuyas energías obedecen a una distribución de Maxwell-Boltzmann. En el equilibrio, reciben y emiten cuántos de radia- ción, manteniéndose en el interior un gas de ellos de número y composición aproxi- madamente constante. Aumentemos la corriente eléctrica que lo caldea. Las paredes pasarán del rojo al anaranjado, y el interior estará surcado por un gas de fotones que habrá aumentado en energía, como el gas de moléculas. Los fotones tienen velocidad constante y llevan una energía que se traduce en el color de su radiación asociada. Con el aumento de temperatura, el espectro de energías habrá cambiado de forma, con mayor proporción de partículas amarillas y menos rojas. Pero al mismo tiempo la curva encerrará una mayor área con el eje de frecuencias, lo que indica que no sólo la composición ha cambiado sino el número de fotones totales en la cavidad del horno ha aumentado. Se han generado en las paredes del horno nuevas partículas además de las que en el equilibrio llegan y son reemitidas. Los fotones no poseen una identidad propia, es decir no son distinguibles a la manera de bolillas numeradas. Su número no tiene porque permanecer invariable 24 , pero al igual que las moléculas, pueden ocupar el mismo nivel de energía cualquier cantidad de ellos. Se han descubierto modernamente muchas partículas subatómicas de spin entero (1,2...) como mesones, núcleos de masa par (helio 4) y gluones 25 .que 24 En las interacciones de fotones entre sí y con la materia se mantiene la energía pero no necesariamente el número de cuántos involucrados. 25 Así como los fotones transmiten la fuerza electromagnética, los gluones (del inglés “glue”, pegamento) transmiten las interacciones fuertes dentro de los constituyentes del núcleo atómico. Variacióndeladistribucióndeenergíasconlatemepratura 0 2E+19 4E+19 6E+19 8E+19 1E+20 1,2E+20 1,4E+20 0,00E+00 5,00E-21 1,00E-20 1,50E-20 2,00E-20 2,50E-20 3,00E-20 energías dN/N/de 100ºK 200ºK ν ε
- 153. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 144 144 poseen estas características. Se llaman genéricamente bosones, en honor a Satyendra Bose (1894-1974), matemático y físico hindú que junto con A. Einstein elaboró la estadística apropiada a la fórmula de Planck, de acuerdo a los razonamientos que se dan brevemente a continuación. Distribución de Bose-Einstein para fotones A la fórmula de Planck n(e) = g(e) / [exp(Be)-1] se arriba por dos caminos: el original imaginado por Planck, considerando que los emisores de radiación (osciladores elec- tromagnéticos en equilibrio) forman una población de elementos distinguibles que se distribuyen según la ley de Maxwell-Boltzmann. Como la emisión no es continua, aparece el término “-1” en la fórmula, que nos habla de un desarrollo en serie. El otro camino es imaginar la radiación misma como formada por un gas de ciertas partículas, cuyas propiedades deben satisfacer un razonamiento al estilo de los presentados para moléculas y electrones, y que arroje la fórmula con el famoso denominador modifica- do. Esas propiedades son: • Pueden entrara sin límite de número en un nivel de energía • Su número total no es constante, por lo tanto no debe plantearse ninguna condi- ción que involucre a N • Son indistinguibles como los fermiones, o sea que no pueden individualizarse al estilo de una molécula, como bolillas en un bolillero Vimos que en un casillero de energía εε se pueden colocar n elementos en g estados dentro de ese casillero de muchas maneras equivalentes. Si los elementos no son excluyentes pero sí distinguibles, como es el caso de las moléculas, se podrán poner de g n maneras diferentes, dividido las permutaciones n! , y la probabilidad compuesta para un estado de contendrá el factor N! . Ahora bien, si los elementos son indistingui- bles, como es el caso de los fotones y electrones, no tiene caso considerar como variantes las permutaciones entre el total N. En cambio un conjunto de n elementos indistinguibles y no excluyentes dentro de un intervalo de energía εε con g estados funciona como una colección de dos tipos de partículas: los n elementos y los g-1 tabiques, permutables entre sí, que dan un número de combinaciones igual a (n+g-1)! Las complexiones posibles no incluyen las permutaciones de los elementos, así que el número de casos distinguibles será P(n)=(n+g-1)!/n!/(g-1)! Para hallar la configuración más probable se emplea el procedimiento ya visto, de encontrar el máximo de la función F= ln [ΠΠP(i)] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], en la que no interviene el término A.[ΣΣni-N] , ya que los fotones no mantienen su número total constante Entonces es F = ΣΣ ln(ni+gi-1)!- ln(gi-1)! – ln(ni!) + B [ΣΣ(εεi..ni)-E dF/dn = ΣΣ { d/dn[(gi+ni-1).ln(gi+ni-1)-(gi+ni-1)]–d/dn[ln(gi-1)!]-d/dn[ni.ln(ni)-ni] +B εεi} = ΣΣ { ln (gi+ni-1) +1 –1 – ln(ni) +1 -1+ B.εε i } = 0 Planteando la anulación de un corchete genérico para todo i resulta: ln(gi+ni-1) – ln(ni) – B.εεi = 0 de donde (gi+ni-1)/ni = exp (B.εεi) Ya que número de partículas n partículas y densidad de estados g son ambos mucho mayores que 1, resulta g+n-1 ≈ g+n y entonces g/n+1=exp(B.εε) de donde Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(B.εε)-1], que es la fórmula válida para fotones. Nótese que debido a que los fotones no mantienen su número constante, no aparece en esta fórmula la constante A que vimos en las otras estadísticas.
- 154. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 145 145 Gases reales Los gases reales se apartan de la fórmula pv=RT. según se desprende de experiencias realizadas por los experimentadores franceses Henri V. Reg- nault, (1810-1878), E.H. Amagat (1841-....) y el irlandés T. Andrews (1813- 1885). A temperatura constante el cociente µµ=p.v/R/T no vale la unidad como en un gas perfecto. El cociente µµ se llama coeficiente de compresi- bilidad, y toma diferentes valores para cada gas según la presión y la tem- peratura, según se muestra en el gráfico adjunto. Además todos los gases pasan al estado líquido. Este cambio de estado se realiza a determinada presión, por debajo de una cierta temperatura llamada “crítica”, característica de cada gas. Fórmula de Van der Waals El físico holandés Van der Waals ganó el premio Nobel de física del año 1910 al proseguir sus trabajos de doctorado, “Sobre la continuidad del estado líquido y gaseoso”. Van de Waals se dió cuenta que un modelo que considerara el comportamiento real de los gases, en particu- lar el cambio de estado debía corregir la suposición del modelo simplifica- do, válida sólo para pequeñas presiones, en el que a las moléculas no se asigna volumen computable frente a las distancias que las separa, y que no contempla otra acción que la del choque elástico entre partículas. Así corrigió la ecuación de los gases ideales asignando a la presión un término aditivo a/V 2 que daba cuenta de la atrac- ción entre moléculas con la ley de la inversa del cuadrado de la distancia. También corrigió el volu- men libre que ocupa el gas, restando de aquél el término b llamado covo- lumen, que representa el de las moléculas supuestas como pequeñas esfe- ras incompresibles. En vez de la ley de los gases ideales p.v =n.R.T , Van der Waals propuso Van der Waals vs. gases perfectos 0,E+00 5,E+04 1,E+05 2,E+05 2,E+05 3,E+05 3,E+05 4,E+05 4,E+05 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 volumen presión p VdW p=RT/v real T=260ºK 0 100 200 300 400 500 600 atm µµ H2 a 0ºC H2 a 200ºC N2 a 0ºC O2 a 0ºC Eteno a 50ºC COEFICIENTES DE COMPRESIBILIDAD DE ALGUNOS GASES 0 -1 1 2
- 155. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 146 146 esta otra: (p + a / v2 ).(v - b) = n.R.T. Las constantes a y b, que como dijimos tienen que ver respectivamente con la atracción intermolecular y el volumen ocupado por las moléculas, dependen lógicamente del gas en cuestión. En la figura se representa para el CO2 a 300 ºK las curvas de presión en función del volumen del gas real, del gas ideal y del modelo de Van der Waals. Las tres son casi iguales para bajas presiones. A presiones altas el modelo ideal se aleja de la evolución real, que muestra una zona horizontal, correspondiente al cambio de estado de gas a líquido que se realiza a pre- sión constante. La fórmula p.v=n.R.T no da cuenta de ello, en cambio la de Van der Waals se acomoda sobre la recta, determinando dos zonas som- breadas a ambos lados de la misma cuyas áreas son iguales 26 . La experiencia de- muestra que el cam- bio de estado no se realiza por encima de una cierta tempe- ratura Tc llamada “crítica”, característi- ca de cada gas. La función de Van der Waals da cuenta de este fenómeno ya que para T>Tc no presenta la inflexión característica del cambio de estado. A temperaturas altas se acerca a la función para gases ideales. Hay otras ecuaciones que repre- sentan aún con más exactitud el comportamiento de los gases reales. Son en general derivadas de la de Van der Waals. como la de Beattie- Bridgman 27 , que usa cinco constan- tes particulares del gas en cuestión, a saber A,a,B,b,c , y que toma la forma: 26 En el diagrama presión-volumen el área representa energía. Las áreas iguales que determinan la función de Van der Waals y la recta real representan una evolución de trabajo nulo en la zona de cambio de estado, que condice con la realidad. 27 Bridgman, Percy Williams (1882-1961), físico norteamericano, premio Nobel de Van der Waals vs. gases perfectos a T crítica 0,E+00 5,E+04 1,E+05 2,E+05 2,E+05 3,E+05 3,E+05 4,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 volumen presión p VdW p=RT/v T=305ºK ) b a .(12 v A ) v b B(1v.2 v ) 3 vT c RT(1 p −−−+ − = Ecuación de Beattie-Bridgman 0,E+00 1,E+07 2,E+07 3,E+07 4,E+07 5,E+07 6,E+07 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 volumen presión p (B&B) p=RT/v T=500ºK
- 156. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 147 147 En la figura se representa la ecuación de Beattie-Bridgman para CO2 a 500ºK , compa- rada con la de los gases perfectos. Presión en gases creada por campos gravitatorios o iner- ciales Una masa de gas sometida a la acción de la gravedad 28 presenta una varia- ción de la presión con la altura que no es lineal como en el caso de los líqui- dos incompresibles, porque su densidad depende de la presión debido preci- samente a su compresibilidad. La densidad, cociente de la masa y el volumen V ocupado, responde para n moles de un gas ideal de peso molecular M a la fórmula δδ=n.M/V , y ya que p.V=n.R.T es δδ=p.M/R/T . A temperatura constante, la densidad es propor- cional a la presión. El principio general de la hidrostática p=h.δδ.g puede aplicarse a un pequeño aumento de nivel dh, que causará una pequeña variación de presión dp=-δδ.g.dh , con d=p.M/R/T , entonces será dp/p=-M.g/R/T.dh , o sea ln(p) = -M.g/R/T.h + K. Cuando la altura es la del nivel del mar h=0 es p=po y la constante de iontegración es K = ln(po) de donde p=po exp(-M.g.h/R/T) Asimismo, teniendo en cuenta que M=NA.m (m = masa de una molécula) y R/NA =k (constante de Boltzmann) podemos poner que p=po.exp(-m.g.h/k/T) Ya que al densidad es función de la presión (d=-dp/dh/g= M/R/T.p), su variación será también exponencial decre- ciente, lo que indica que una masa de gas sometida a un campo (de gravedad o aceleración) se extiende sin límites, aunque cada vez más tenue. Nótese que m.g.h es la energía potencial de una molécula a la altura h. De acuerdo al modelo cinético, en un gas siempre habrá algunas moléculas con energía cinética suficientemente alta como para llegar a cualquier altura h Ejemplo: ¿Cuál será la presión atmosférica a 10 Km de altura sobre el nivel del mar? Datos: Considerar la temperatura constante con la altura T=273 ºK ; M del aire =0,7.28+0,3.32=29,2 g/mol ; R=8,31 J/ºK/mol ; g=9,8 m/s 2 Tomar la presión al nivel del mar po= 101300 N/m 2 física 1946 por sus trabajos sobre altas presiones. 28 En este desarrollo no se considera la variación de la gravedad con la altura, y pro- ponemos al lector que evalúe el error cometido. po R.T/M/g h p VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA ALTURA p=po exp(-M.g.h/R/T) p
- 157. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 148 148 p=po exp(-M.g.h/R/T) = po.exp(-0,0292.9,8.10000m/8,31J/ºK/mol/273 ºK = 0,283 . po = 28666 N/m 2 Presión atmosférica La presión p que existe a la altura h está producida por el peso de la masa de gas de la atmósfera que está por encima. la que se extienda sin límite de altura, como ya se vió. Se llama presión atmosférica y a nivel del mar su valor promedio es de 101300 N/m 2 . La unidad de presión es 1 N/m 2 = 1 Pascal (en honor al sabio francés que estudió la presión en fluídos). Experiencia de Torricelli El físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1608- 1647), contemporáneo de Galileo, realizó por primera vez una experiencia para poner de manifiesto y medir la presión atmosfé- rica. Llenó un tubo de 1 metro con mercurio, lo tapó con el dedo y lo invirtió sobre una cubeta llena del mismo metal líquido. Cuando sacó el dedo, el mercurio bajó de nivel en el tubo hasta aproximadamente 760 mm por sobre el nivel libre de la cuba. Torricelli explicó el hecho admitiendo que la presión atmosférica que se ejercía sobre la superficie libre del mercurio de la cuba sostenía el peso del mercurio en el tubo. El espacio por sobre el nivel del mercurio en el tubo está vacío, es decir que no hay nada que ejerza presión allí, por lo que ésta será cero 29 . De acuerdo al teo- rema fundamental de la hidrostática a nivel de la cuba la presión será la que existe en el nivel superior del mercurio, o sea cero, más la altura de la co- lumna por el peso específico del mercurio, o sea 0,76 m x 13600 Kg/m 3 x 9,8 m/s 2 = 101293 N/m 2 Los meteorólogos miden la presión atmosférica en hectopascales (HPa), esto es cientos de N/m 2 . Su valor oscila al nivel del mar desde 1000 HPa (tempestad) hasta 1100 HPa (muy estable). Antes que se popularizara el seguimiento y predicción del tiempo con rastreos sateli- tales y cuando las transmisiones de registros desde estaciones remotas no eran segu- ras, el estudio de la variación de la presión atmosférica era un precioso instrumento para la predicción del tiempo. Una disminución brusca es presagio de tempestad. Un aumento paulatino indica una temporada de buen tiempo. Una disminución sostenida y lenta indica lluvia sin tempestad. Estos criterios generales pueden modificarse de acuerdo al lugar. 29 De paso advirtamos que cuando absorbemos líquido con una bombilla éste sube impulsado por la presión atmosférica. Aunque pudiéramos hacer un vacío perfecto al chupar, el líquido no subiría más de un cierto nivel que depende de la presión atmosfé- rica. Para el agua el máximo teórico es de 10,33 m ¿Por qué? 76cm
- 158. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 149 149 Barómetros Son aparatos para medir la presión atmosférica. El de mercurio es un aparato como el de Torricelli, fijo sobre un soporte y con una regla adosada. Para compensar la variación del nivel de la cuba, se lo enrasa con el cero de la regla móvil, bien moviendo ésta o desplazando el fondo flexible de la cuba. Aparatos más manuables y portátiles, aunque menos precisos, son los que amplifican las deformaciones de cajas flexibles dentro de las cuales se ha practicado el vacío, y que por lo tanto se achatan más o menos con las variaciones de presión atmosférica. Estos aparatos se calibran con uno de mercurio. Ejemplo: Cuando sale del campamento base, el andinista Manolo se fija en su ane- roide de bolsillo, que marca 980 HPa. Al cabo de una hora, nuestro amigo hace un alto y consulta nuevamente su aparato, que ahora acusa 910 HPa . Después de beber de su cantimplora, se sienta en una roca, saca una calculadora y un anotador y efectúa los siguientes cálculos (estima que la temperatura se mantuvo en 5ºC) p1=p0 exp(-M.g.h1/R/T) de donde ln(p1/po) = -M/R/T.g.h1 y entonces h1 = -ln(980/1013).R.T.M/g = 0,0331x.8,31x268 / 0,0292 / 9,8 = 258 m p2=po exp(-M.g.h2/R/T) h2 = -ln(910/1013).R.T.M/g = 0,107x 8,31x 268 / 0,0292 / 9,8 = 834 m Restando 834-258 Manolo deduce que subió 576 m, lo que por otra parte podría haber deducido haciendo p1-p2=exp[Mg/R/T(h2-h1)] de donde ln(p1-p2) = M.g/R/T.(h2-h1) y entonces ∆∆h = ln(980-910).R.T/M/g = 576 m Discutir el error de cálculo que hubiera producido un cambio de 10 HPa en la presión atmosférica durante la ascensión. Bombas y compresores Para extraer el aire de recintos cerrados o para comprimirlo en depósitos, se emplean aparatos denominados genéricamente como bombas, de vacío o de compresión respecti- vamente. El más común es la bomba de ém- bolo, que aspira durante la carrera del pistón hacia el extremo abierto del cilindro y expele durante la carrera en sentido contrario, hacia el extremo cerrado del cilindro, donde existen dos válvulas de entrada y salida respectiva- mente Cuando el pistón baja, la diferencia de presión entre el exterior y el interior vence el resorte de la válvula de entrada o admisión. La vál- vula de salida o escape se mantiene cerrada por su propio peso, por la pre- Barómetro aneroide admisión escape
- 159. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 150 150 sión de un muelle ligero o por la contrapresión del gas comprimido en el depósito a la salida, en el caso de compresores. Cuando el pistón sube, el resorte y la presión interior cierra la válvula de admisión. Cuando éste sube lo suficiente, la presión en el cilindro vence el peso y la contrapresión sobre la válvula de salida, que deja salir el gas hacia el exterior o hacia el depósito. Este aparato tiene un rendi- miento limitado por los siguien- tes factores: • El espacio que queda entre el cilindro y la cara superior del pistón cuando éste está en su posición más alta. Se llama espacio nocivo, y se trata de hacer lo menor po- sible por las razones que se expondrán en seguida. • La diferencia de presión para vencer el cierre de la válvula de admisión y la ne- cesaria para abrir la de es- cape. • Las fugas creadas por cierre imperfecto de válvulas y pérdida en los aros del cilindro. Tratemos de seguir el funcionamiento de una bomba- compresor en un diagrama presión-volumen. El ciclo real comienza en 1 (trazo en gris) desde donde se expande el gas contenido en el espacio nocivo hasta que la presión en el interior es inferior en ∆∆pe a la presión en el recinto o la atmósfera, según funcione como bomba de vacío o compresor respectivamente 30 . Esta diferencia es necesaria para que se abra la válvula de entrada y en el interior del cilindro penetre el gas hasta el extremo de la carrera en 3. La evolución 2-3 se realiza a presión constante ligeramente menor que la del recinto a evacuar, en el caso de una bomba de vacío, o la atmósfera cuando fun- ciona como compresor, porque hay pérdida de presión por rozamiento del gas en la válvula y conducto de entrada. Desde allí el gas se comprime en el cilindro hasta 4, donde se abre la válvula de salida que comunica con la atmósfera, en el caso de una bomba de vacío, o con el depósito de gas comprimido en un compresor. Esto se logra a una sobrepresión ∆∆pe necesaria par vencer el peso de la válvula. El pistón barre luego el tramo desed 4 hasta 1. También esta evolución 4-1 se realiza a una presión constante ligeramente superior a la de salida, por los rozamientos del gas en válvula y conductos de salida. SI no hubiera espacio nocivo, los conductos y las válvulas no presentaran rozamiento al paso del gas y las válvulas no necesitaran energía para abrir y cerrar, el ciclo sería el marcado en amarillo. En el caso de una bomba de vacío, 30 La evoluciones 1-2 y 3-4 se realizan en forma adiabática, esto es sin intercambio de calor con el exterior. Veremos al estudiar principios de termodinámica que tales evolu- ciones “adiabáticas” tienen una ecuación del tipo p.v n = constante., con n=cp/cv (co- ciente entre calores específicos a presión y volumen constantes) p v presión de entrada presión de salida ∆∆ps ∆∆pe espacionocivo carrera del émbolo 1 2 3 4
- 160. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 151 151 a medida que se suceden los ciclos, la presión en el recinto va disminuyendo hasta que la diferencia de presión entre éste y el cilindro no es capaz de abrir la válvula de entrada. En cambio, en el caso de un compresor, la presión de salida es la que va en aumento hasta que debido al espacio nocivo, la presión dentro del cilindro no sube lo suficiente como para vencer la contrapresión que el gas del depósito ejerce sobre la válvula de salida. Manómetros Son aparatos que sirven para medir la presión de fluídos (gases o líquidos). Manómetros de tubo en U El manómetro más simple y exacto consiste en un tubo en “U” lleno de un líquido de densidad conveniente, que no reaccione químicamente con el gas. Uno de los extremos se conecta al recinto donde se quiere medir la presión y el otro se deja al aire. El manómetro de “tubo en u” posee una regla desplazable para medir la diferencia de niveles entre la superficie del líquido en comunicación con el recinto y la superficie libre (a la presión at- mosférica). Esa diferencia de niveles o altura, multiplicada por el peso espe- cífico del líquido que llena el manómetro nos da la presión en el recinto con respecto a la atmosférica. A esta presión se la llama “relativa”. Si le suma- mos la presión atmosférica se obtiene la presión absoluta. Haciendo las ramas de longitud adecuada, estos aparatos miden presiones tanto mayores como menores que la atmosférica. La presión menor que la atmosférica se toma generalmente de signo negativo. Los manómetros dispuestos para medir depresiones o “vacíos” se llaman “vacuómetros”. El líquido de mayor densidad que se conoce es el mercurio 31 (δ=13600 Kg/m3). Con un tubo en u de 1 m de altura se pueden medir presiones relativas hasta 13600x1x9,8=133280 N/m2 . Manómetros cerrados de tubo en u Si el extremo del tubo es cerrado queda allí confinada una porción de gas que se comprime al subir la columna y se dilata al bajar ésta. Los manóme- tros de tubo cerrado que encierran una masa m de gas en un volumen v a la temperatura absoluta T miden una presión p=h.δδ.g+m.RG.T/v . Consideran- do que el volumen encerrado en un tubo de radio r y altura H-h es v=π.r 2 .(H- h) resulta que p = h.δδ.g + m.RG.T/ππ/r2 /(H-h). La escala no es lineal sino hiperbólica, con divisiones cada vez más juntas 32 . 31 El mercurio emite vapores tóxicos aún a temperatura ambiente. Se debe evitar su inhalación prolongada. 32 Téngase en cuenta que en los manómetros de tubo cerrado la lectura debe corre- h 0 tubo de sección achatada Manómetro de Bourdon Manómetro de tubo en “u”
- 161. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 152 152 Para aumentar la sensibilidad de un manómetro de tubo en u puede inclinarse el tubo de medición en un ángulo αα con respecto a la vertical. En tal caso la escala queda multiplicada por 1/cos(α) Manómetros tipo Bourdon Cuando el servicio no permite tubos frágiles de vidrio de grandes dimensio- nes y se requieren indicaciones visibles y lecturas rápidas, se emplean los manómetros tipo Bourdon, que constan de un tubo metálico curvado, de sección achatada (para aumentar su flexibilidad) , que tiende a enderezarse por efectos de la presión interior. La pequeña deformación es amplificada mecánicamente con un sistema de bielas articuladas o de engranajes que mueven una aguja sobre un cuadrante. Se gradúan por comparación con aparatos patrones. Manómetros de galga extensométrica Una cinta conductora delgada pegada en zig-zag sobre una membrana que se comba por la presión aumenta su resistencia eléctrica por el alargamiento que sufre al flexionarse la membrana soporte. Formando parte de un puente de Wheatstone este aparato transforma presión en señal eléctrica. El conjunto conectado a un amplificador adecuado es apropiado para detectar cam- bios de presión muy rápidos (más de 5000 Hz) debido a su escasa inercia mecánica y gran sensibilidad. Se lo conoce como “galga extensométrica” o en inglés strain gauge. Manómetros piezoeléctricos. Se basa en el mismo principio que el micrófono de cristal, es decir la apari- ción de una diferencia de potencial sobre las caras opuestas de un cristal (por ejemplo cuarzo) sometido a compresión. La salida, de exigua potencia, se amplifica convenientemente para obtener una señal conveniente. Los manómetros piezoeléctricos tienen una respuesta a frecuencia muy elevada, que puede llegar al orden del MHz, debido a la exigua inercia de sus órganos móviles y a la pequeñez de las deformaciones. girse por temperatura del gas encerrado en la cámara. h h’= h/cos(α) α h H galga extensométrica circuito puente fuenteyamplificador señal analógica amplificada cápsula conexión de presión coaxil
- 162. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 153 153 Sifón Es un dispositivo conocido desde muy antiguo para transvasar líquidos. Experiencia: Se colocan dos baldes con agua a diferentes alturas. De un tubo (rígido o flexible) lleno de líquido , se tapan ambos extremos para que no se vacíe y se sumergen en cada balde. Al destapar los extremos se establece una corriente a través del tubo desde el reci- piente cuya superficie está a mayor nivel hacia el otro. El pasaje cesa cuando se igualan los niveles en ambos depósitos. Explicación: Consideremos una porción de líquido en la parte más alta del tubo, como si fuera un pistón limitado por dos superficies s iguales y próximas. La de la izquierda recibirá una fuerza F1= [Patm-h1.δδ.g].s y la de la derecha una fuerza en contra F2 = [Patm-h2.δδ.g].s De la desigualdad entre ambas (F1>F2), surge que el pistón líquido se moverá de izquierda a derecha debido a la diferencia de presión ∆∆P =(h2-h1).δδ.g Cuestión: Discútase la posibilidad de transvasar mercurio con un sifón cuando h1>76 cm Equilibrio líquido-vapor Puede considerarse a un líquido como una masa de moléculas en movi- miento con una energía promedio inferior a la que las mantiene juntas (fuer- za de cohesión de Van der Waals). Algunas de las moléculas superficiales poseen dentro de esa distribución estadística de energía, la suficiente como para vencer la cohesión, saltando afuera de la masa líquida. Constituyen así un gas llamado vapor, que está en equilibrio con el líquido del cual provie- nen. Aumentando la energía del sistema aumenta la proporción de molécu- las en forma de vapor en un proceso de cambio de estado llamado evapora- ción. El proceso de evaporación (se requiere que coexistan las fases de vapor y líquido) se produce a una presión de vapor que es propia del líquido a la temperatura del sistema. Todos los líquidos emiten vapores en mayor o menor medida. dependiendo ésta de esa energía característica que tiende a mantener juntas a las molé- culas en forma líquida. Esta característica es la volatilidad propia de cada sustancia, y se mide por la presión de vapor en función de la temperatura del sistema. h1 h2 s s F1 F2 Patm Patm
- 163. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES 154 154 Asimismo, es posible considerar al gas como un vapor, ya que como vimos, todo gas puede licuarse o “condensarse” (en un proceso inverso al de la evaporación) con la presión adecuada y a una temperatura suficientemente baja como para se produzca la agregación de moléculas en forma de líquido. Se dijo también que por encima de una temperatura crítica para cada sus- tancia, la condensación no se produce y las fases de vapor o líquido son indistinguibles. Por ejemplo, el agua tiene una presión de vapor que iguala a la atmosférica normal (101300 N/m 2 ) a la temperatura de 100ºC. En tales condiciones, la energía suministra- da al sistema se emplea en generar más vapor a costa del líquido, sin aumento de temperatura. Este cambio de estado a temperatura constante (ebullición) continúa hasta que la fase líquida se evapora totalmente. A partir de ese punto el vapor supera la temperatura de 100ªC en la medida que reciba energía exterior. A la temperatura crítica de 374 ºC el agua líquida coexiste en un estado indistinguible con su fase vapor a la presión de 22,08x10 6 N/m 2 (doscientas dieciocho veces la presión atmosférica). La densidad del sistema en esas condiciones es de 554 Kg/m 3 (poco más de la mitad de la densidad del agua líquida en condiciones normales). Lo anterior puede comprobarse con un recipiente con tapa hermé- tica de volumen V[m3] construido para soportar presión elevada, provisto de un manómetro, un tubo de nivel, un termómetro y una válvula de seguridad. Se lo carga con agua pura y se deja un buen rato en ebullición el agua con la válvula de seguridad abierta para que el vapor desaloje al aire. Luego se repone la válvula. Conside- remos, por ejemplo, que disponemos de un recipiente a presión de 1 litro (0,001 m 3 ). Se lo deberá cargar con una masa algo superior a 0,554 Kg de agua, para que sea ésta la que quede después del proceso de desai- reación. Con el agua a la temperatura T el manómetro marcará la presión de vapor p(T) del agua a esa tempe- ratura. A medida que calen- temos el sistema, irá su- biendo la temperatura y la presión según una curva como la que indica la figu- ra 33 . El nivel del líquido en el interior irá disminuyendo, hasta que al llegar a la temperatura de 374 ºC, habrá desaparecido todo el líquido del sistema. El manómetro marcará entonces 218 atmósferas. Si el vapor de agua fuera un gas perfecto y no un vapor en el punto críti- co, tendría en estas condiciones una presión de: p=n.R.T/v = 554/18.8,3.(273+374)/0,001 = 165280000 N/m2 = 1631 atm 33 Según se verá, se deduce teóricamente que T debe variar logarítmicamente con la presión (Véase Ecuación de Clapeyron-Clausius) Presión de vapor del agua en función de la temperatura 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 300 350 400 temperatura (ºC) presión(atm)
- 164. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES a a FÍSICA GENERAL ÍNDICE TEMÁTICO DE LA TERCERA PARTE ESTÁTICA – RESISTENCIA DE MATERIALES - GASES PRINCIPIOS DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES ..............95 Equilibrio del cuerpo rígido sometido a fuerzas.......................................95 Estabilidad de sistemas cargados.......................................................96 Estática ..........................................................................................96 Vínculos......................................................................................96 Grados de libertad ...................................................................97 Principio de los trabajos virtuales..............................................99 Rozamiento .....................................................................................100 Rozamiento de deslizamiento .......................................................100 Caída por un plano inclinado .....................................................101 Rozamiento entre muñón y cojinete sin lubricación........................102 Rozamiento de rodadura...............................................................103 Trabajo de las fuerzas de rozamiento............................................103 Equilibrio de cuerpos elásticos sometidos a esfuerzos..........................105 Caso de cargas distribuídas ......................................................107 Deformación de la materia debida a esfuerzos ..............................108 Ensayos de materiales...........................................................108 Ley de Hooke...............................................................................109 Flexión .........................................................................................110 Deformación del eje de una viga sometida a flexión. Línea elástica. Flecha máxima...................................................111 Corte............................................................................................113 Torsión .....................................................................................114 MECÁNICA DE LOS FLUÍDOS...............................................................115 Fluídos................................................................................................115 Generalidades .................................................................................115 Hidrostática.........................................................................................116 Presión en un punto de una masa fluída...........................................116 Teorema general de la hidrostática...................................................116 Vasos comunicantes.....................................................................118 Principio de Arquímedes...............................................................119 Cuerpos flotantes .........................................................................119 Estabilidad de cuerpos flotantes - Metacentro ............................119 Algunas consecuencias del teorema general de la hidrostática120 Algunas máquinas hidráulicas:...............................................121 Balanza hidrostática de Mohr.....................................................122 Neumostática ......................................................................................123 Gases – generalidades.....................................................................123 Ecuación de estado de gases ideales ...............................................123 Termómetros absolutos ................................................................123 La teoría cinética de los gases..........................................................125
- 165. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES b b Presión sobre las paredes del recipiente ................................125 Energía cinética media de las moléculas................................126 Distribución de las velocidades ..............................................127 Modelo de Boltzmann – Estado y complexión.........................129 Deducción de la ley de distribución de velocidades.................131 Relación entre velocidades estadísticas y temperatura..................137 Generalización del concepto de gas - Gases de fermiones y de bosones ...................................................................................139 Gases de fermiones .....................................................................139 Distribución de Fermi-Dirac .......................................................140 Fotones........................................................................................141 Distribución de Bose-Einstein para fotones ................................144 Gases reales ...................................................................................145 Fórmula de Van der Waals ...........................................................145 Presión en gases creada por campos gravitatorios o inerciales .........147 Presión atmosférica .........................................................................148 Experiencia de Torricelli ...............................................................148 Barómetros...............................................................................149 Bombas y compresores ................................................................149 Manómetros.................................................................................151 Manómetros de tubo en U.........................................................151 Manómetros cerrados de tubo en u........................................151 Manómetros tipo Bourdon .........................................................152 Manómetros piezoeléctricos. .....................................................152 Sifón ............................................................................................153 Equilibrio líquido-vapor.....................................................................153
- 166. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES c c ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA TERCERA PARTE acero, 109 adherencia (fluídos), 115 agua (presión de vapor), 154 alabeados (vectores), 96 Amagat (gases), 145 Andrews (gases), 145 aplastamiento, 108 apoyo articulado, 97 apoyo móvil o deslizante, 97 Arquímedes de Siracusa, 119 articulación o apoyo fijo, 96 atracción intermolecular, 146 Avogadro, Amadeo, 125 balanza hidrostática de Mohr, 122 barómetro aneroide, 149 barómetros, 149 Beattie-Bridgman, 146 Bernoulli, Daniel, 125 bismuto, 128 Boltzmann, 125 Bolzmann, 129 bomba de émbolo, 149 bombas y compresores, 149 Bose, Satyendra, 144 bosones, 144 bosones (gases), 139 Boyle (Robert), 123 bronce, 109 caladura de sandía, 134 cambio de estado, 146 cambio de estado (gases), 145 campana de Gauss, 134 campo potencial, 108 caos (gases), 125 capa neutra (viga), 110 carga distribuída en una viga, 107 Celestino (operario), 99 centro de empuje, 120 Charles, 124 choques moleculares (gases), 125 ciclo de Carnot (gas de fotones), 142 ciclo de un compresor de émbolo, 150 coeficiente de compresibilidad (gases), 145 coeficiente de rozamiento (tabla), 101 cohesión (fluídos), 115 cojinete, 102 complexión (arreglo), 129 compresibilidad, 147 compresibilidad e incompresibilidad, 117 condensación, 154 constante de Boltzmann, 137, 147 constante de los gases R, 124 constante de Planck, 142 continuos (fluídos), 116 convención de signos (momento), 106 coordenadas cartesianas, 134 coordenadas esféricas, 134 corte (viga), 105 covolumen, 145 cuarta potencia (ley de la), 142 cuerpo rígido, 97 cuerpos flotantes, 119 cupla, 95 De Moivre, Abraham, 131 deformación permanente, 108 deformación por esfuerzo de corte, 109 deformación por esfuerzos, 108 densidad de celdas, 138 densidad de energía espectral, 142 densidad de número de moléculas, 133 densidad de velocidades, 135 desarrollo en serie geométrica, 142 desgarramiento, 108 diagramas de presiones, 119 Dirac, Paul, 140 disipación de calor (rozamiento), 104 distinguibles (partículas), 143 distribución de Bose-Einstein, 144 distribución de las velocidades, 127 distribución de Maxwell-Boltzmann (osciladores), 143 distribución de Planck, 142 distribución de velocidades (forma), 127 distribución estadística (velocidades), 125 doble T (sección), 113 ecuación de Boyle-Mariotte, 123 ecuación de estado (gases), 123 Einstein, Albert, 142 empotramiento, 97 empuje hidrostático, 119
- 167. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES d d energía cinética de las moléculas, 126 energía interna, 103, 108, 125 energía mínima, 99 energía potencial de forma, 115 engrane y desengrane (rodadura), 103 ensayo de materiales, 108 equilibrio de cuerpos elásticos, 105 equilibrio del cuerpo rígido, 95 equilibrio en reposo, 96 equilibrio estático, 95 equilibrio indiferente, 98 equilibrio inestable, 98 equilibrio líquido-vapor, 153 escala termométrica, 123 esfuerzo de corte, 106, 113 esfuerzo y alargamiento (relación), 108 esfuerzos de corte (fluídos), 115 espacio nocivo, 150 estabilidad de cuerpos flotantes - metacentro, 119 estado (gas), 129 estática, 95, 96 estiramiento, 108 estrechamiento por tracción, 108 evaporación, 153 evolución real (gases), 146 excluyentes (partículas), 140 experiencia de Torricelli, 148 experiencia de Zartman, 127, 133 Fermi, Enrico, 140 Fermi-Dirac, fórmula de, 140 fermiones, 140 fermiones (gases), 139 física cuántica, 142 flecha, 112 flecha (viga), 111 flexión, 110 flexión (viga), 105 fluencia (estado), 108 fluídos, 115 fluídos ideales, 115 fórmula de Maxwell-Boltzmann, 140 fórmula de Stirling -De Moivre, 132 fórmula de Van der Waals, 145 fortalecimiento, 108 fotones, 141, 143 frenos hidráulicos, 121 fricción, 100 fuerzas de rozamiento, 103 gases (generalidades), 123 gases de fermiones, 139 gases reales, 145 gases y vapores, 154 Gay-Lussac, José, 124 gluones, 143 grados de libertad, 97 gráfico de esfuerzo de corte, 106 gráfico de momento flector, 106 gráficos de carga, 106 helio, 143 hidrodinámica, 103, 116 hidrostática, 116 Hooke (Robert), 109 hormigón, 109 hormigón (resistencia del), 109 horno caliente (fotones), 143 indistinguibles (fases líquido/vapor), 154 indistinguibles (partículas), 140 interacciones entre moléculas (gas), 129 isostáticos e hiperestáticos (sistemas), 98 Bernoulli, 125 ley de distribución de velocidades, 131 ley de Hooke, 109 ley de Stephan. Véase cuarta potencia (ley de) ley del desplazamiento (Wien), 142 límite de proporcionalidad, 108, 111, 113 línea elástica, 111 lubricación, 103 madera, 109 madera (resistencia de la), 109 Manolo (andinista), 149 manómetros, 151 manómetros de galga extensométrica, 152 manómetros de tubo en U, 151 manómetros piezoeléctricos, 152 manómetros tipo Bourdon, 152 máquina de ensayos, 108 máquinas hidráulicas, 121 Mariotte (Edmundo), 123 máxima probabilidad, 130, 131 Maxwell, 125 Maxwell-Boltzmann, 141
- 168. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES e e Maxwell-Boltzmann (distribución de velocidades), 128 mecánica de los fluídos, 115 mercurio, 148 mesones, 143 metacentro, 120 modelo de Boltzmann, 129 módulo de elasticidad, 109 módulo de torsión, 110 momento, 95 momento de inercia (sección), 113 momento de traslación, 96, 105 momento flector, 105, 107 momento flector máximo (viga), 110 muñón, 102 muñón y cojinete (rozamiento), 102 neumostática, 123 Newton, 109, 142 Número de Avogadro, 137 par de fuerzas, 95 Pascal (unidad), 148 pegamento (viga), 105 Planck, Max, 142 plano inclinado, 101 plano inclinado (equilibrio), 99 polígono funicular, 106, 107 predicción del tiempo, 148 prensa hidráulica, 121 presión (fluídos), 116 presión absoluta, 151 presión atmosférica, 148 presión de los gases (origen), 125 presión de radiación, 141 presión de vapor, 153 presión del gas (teoría cinética), 125 presión relativa, 151 presión y gravedad, 147 principio de Arquímedes, 119, 121 principio de los trabajos virtuales, 99 probabilidad de ocupación, 138 probabilidad termodinámica, 131 promedio vectorial de velocidades, 129 proporción de moléculas, 135 proporcional (deformación), 108 puente de Wheatstone (galga), 152 quanta, 142 quinta potencia (ley de la), 142 reacciones de vínculo, 97 recuperación de forma, 108 Regnault (gases), 145 resbalamiento, 100 resistencia a la tracción, 109 resistencia de materiales, 95 resistencia de materiales (Tabla), 109 resultante, 95 rodadura (rozamiento), 100 rótula, 97 rotura por esfuerzos, 108 rozamiento, 100 rozamiento de deslizamiento, 100 rozamiento de rodadura, 103 rozamiento soga-polea, 104 saturado (vapor), 123 sifón, 153 sobrecalentado (vapor), 123 Stirling, James, 131 temperatura absoluta, 125 temperatura absoluta del gas, 137 temperatura crítica, 123, 145, 146 temperatura crítica (agua), 154 temperatura y rozamiento, 103 tensor (presión en sólidos), 116 teorema general de la hidrostática, 116, 120 teoría cinética de los gases, 125 termodinámica (probabilidad), 131 termómetros absolutos, 123 Torricelli, Evangelista, 148 torsión, 114 torsión (ejemplo), 114 trabajo de rozamiento, 103 trabajos virtuales (principio), 99 transmisión de calor (rozamiento), 104 urna con bolillas, 129 vacuómetros, 151 válvulas (compresores), 149 Van der Waals, 145 Van der Waals (cohesión), 153 vapor, 123 vasos comunicantes, 118 vector espacial (momento), 95 velocidad más frecuente, 135 velocidad media, 136 velocidad media cuadrática, 126, 135 velocidades (distribución de), 125 velocidades estadísticas y temperatura, 137 viga, 98
- 169. FÍSICA – ESTÁTICA– RESISTENCIA - GASES f f viga (ejemplo), 112, 113 viga horizontal, 105 vínculo, 96 vínculos, 96 viscosidad (fluídos), 115 visión microscópica (rozamiento), 100 volatilidad, 153 Wien, Wilhelm, 142 Zartman, 127 zona de proporcionalidad, 108