optica

ÓPTICA GENERAL 1
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GENERALIDADES SOBRE ÓPTICA
Óptica es la rama de la Física que estudia a la luz. ¿Y qué es la luz?: en
principio, lo que impresiona el sentido de la vista. Es un tipo de energía
emitida por algunos cuerpos en general calientes o incandescentes1
, que
posee la propiedad de propagarse en línea recta y ser captada por el ojo.
Que la luz se propaga en línea recta se pone de manifiesto en la proyec-
ción de sombras por objetos interpuestos entre una fuente y una pantalla.
Hace pensar en un fluido luminoso que sale de los objetos iluminados o
brillantes siguiendo trayectorias rectas o "rayos". De allí la palabra "radia-
ción" con la que se bautiza a cualquier emisión de algo que sale de un
centro en trayectorias rectas2
. Pronto se vio que circunscribir la luz a las
radiaciones captadas por nuestro ojo era subordinar un fenómeno a la po-
sibilidad de detectarlo "a simple vista": el calor que sentimos en la mano
puesta cerca de una estufa y la señal de una emisora de radio que incide
sobre nuestro receptor son también radiación y aunque no impresionen la
vista pueden ser estudiados como fenómenos ópticos. Inclusive hoy se
estudia en óptica todo lo que se refiere a la propagación de partículas emi-
tidas desde una fuente o lugar de origen, por ejemplo los electrones que
salen de un cátodo del tubo de televisión o las partículas alfa que emite un
trozo de uranio: sus trayectorias pueden no ser rectas si se encuentran con
campos eléctricos o magnéticos3
.
La luz como fluido
Es natural concebirla así, ya que tiende a ocupar o "derramarse" sobre
todo el espacio que rodea a la fuente. Newton fue el primero en dar un
modelo fluido para la luz: una lluvia de pequeñísimos corpúsculos lumino-
sos que eran emitidos por la fuente (lámpara, sol o cuerpo brillante) a tre-
mendas velocidades. Eran absorbidos por cuerpos opacos, penetraban en
cuerpos transparentes y rebotaban (se reflejaban) en superficies muy lisas
1
Emiten luz también algunas fuentes frías, como las simpáticas luciérnagas, o los tubos fluo-
rescentes. Estas luminarias tienen mejor rendimiento que las llamas o las sustancias incan-
descentes al no malgastar energía en producir rayos infrarrojos que no aprovechan a la vi-
sión.
2
El concepto de que "la luz se propaga en línea recta" puede parecer tautológico ya que se
define como recta a una serie densa de puntos alineados: ¿Alineados cómo? : Pues proyec-
tándolos a través de visuales, o sea utilizando a la luz como instrumento de proyección geo-
métrica. Así, si la luz torciera su camino no tendríamos manera de saberlo con medios ópti-
cos. Lo recto aparecería curvo y sería "rectificado" presurosamente por un mecánico munido
del instrumento más preciso: un instrumento óptico.
3
La espectrografía de masa usada en la separación de isótopos se basa en el estudio de
estas trayectorias.

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con las mismas leyes que él había enunciado para las partículas. Una gran
parte de los fenómenos ópticos más comunes como la reflexión, la refrac-
ción y la marcha de rayos en anteojos y microscopios pueden explicarse
con esta imagen bajo lo que se da en llamar óptica geométrica.
La luz como onda
Sin embargo hay fenómenos más finos, como el pasaje de luz a través de
orificios muy pequeños o ranuras muy estrechas que desafían una propa-
gación corpuscular en línea recta y exigen un modelo ondulatorio: la luz se
comporta allí en vez de un corpúsculo como una onda , que también se
propaga refleja y refracta como aquél, pero que se difracta e interfiere en-
tre sí dando a veces como resultado su anulación: este fenómeno se llama
interferencia y es típico de las ondas.
El éter
En 1860 se creía que una onda es una deformación que se propaga en un
medio elástico. No se habían estudiado en profundidad sino los fenómenos
mecánicos. Se razonaba que para que haya onda hace falta un medio:
sustancia elástica (sólida o fluida) por la que pueda propagarse la pertur-
bación. El medio por el que se propaga el sonido es el aire. Las olas se
propagan en la superficie del agua. Por la vía de ferrocarril se propaga el
ruido del tren que se acerca. ¿Cuál era el medio de propagación de la luz?
Debía existir alguno y además tener raras propiedades: llenar todo el es-
pacio, inclusive el vacío interestelar a través del cual nos llega la luz de los
astros. Ser tan sutil como para no producir ninguna sensación de viento
sobre los objetos en movimiento. La enorme velocidad de la luz exige un
medio de tremenda elasticidad, muy superior a la del acero. Durante algún
tiempo hubo muchos físicos que creyeron en ese medio, al que llamaron
éter debido a su característica etérea o intangible.
La luz como onda electromagnética
En ese estado estaban las cosas a fines del siglo XIX: los corpúsculos de
Newton habían caído en el olvido, y aunque la óptica geométrica se se-
guía usando como procedimiento práctico para obtener trayectorias de "ra-
yos" luminosos, se sabía que el rayo que se trazaba como una recta por un
punto era en realidad la dirección de propagación de una onda en ese me-
dio que llenaba todo el espacio llamado éter. El concepto de medio mate-
rial dejó paso al de campo electromagnético deducido por Maxwell a partir
de sus célebres ecuaciones de la electricidad (ver más adelante). Después
de Maxwell, se admitía que la luz era oscilación de campos eléctrico y
magnético concatenados.

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La luz como onda y partícula
En 1900 Max Planck predijo, basado en estudios anteriores sobre radia-
ción del calor realizados por el austríaco Wien, que la emisión de ondas
electromagnéticas (en realidad ondas de calor, del mismo tipo que las de
la luz) exigían además de la naturaleza ondulatoria una emisión disconti-
nua en paquetes indivisibles o "trenes" de ondas a los que llamó "quanta" ,
plural de quantum, (que significa cantidad en latín). Renacían así los cor-
púsculos de Newton vestidos ahora con vibrantes ropas: aspecto de onda
y alma de partícula. Einstein los rebautizó "fotones". Se comportaban
como partículas de un gas especial al que le eran aplicables leyes muy
parecidas a las de los gases moleculares.
Planck determinó que la energía que porta cada tren de ondas o fotón es
proporcional a la frecuencia de la radiación. La constante de proporcionali-
dad, el “cuanto de acción de Planck” se simboliza universalmente con la
letra h y vale h=6,63 x 10
-34
Js
La materia y la onda
Estaba cerca el momento (1920) en que De Broglie aventurara con un
prodigioso salto imaginativo lo que luego se comprobó: Cualquier partícula
en movimiento, no sólo el novísimo fotón, sino también el ya conocido
electrón y aún la letal bala de fusil, todos poseen en mayor o menor grado
esa característica dual de onda-partícula. Así una partícula en movimiento
a gran velocidad pierde sus contornos nítidos, como la pelota de golf de los
dibujos de historietas. La materia de contornos definidos cuando está
quieta, adquiere formas borrosas en movimiento y hasta se difracta cuando
pasa por una rendija, como si fuera una onda. Los físicos sostienen hoy
día que todas las partículas tienen una estructura dual materia-onda. Sin
embargo, esta explicación sin duda tan útil como artificiosa, aparece cuan-
do pretendemos reducir la compleja realidad de la materia y la energía a
imágenes familiares de olas, bolas de billar o proyectiles.
Las imágenes de la física moderna
Se admite por hoy que la materia está formada dos tipos de partículas: los
leptones y los quarks. Los leptones son indivisibles (por ejemplo electro-
nes y neutrinos), y su agrupamiento da por resultado quarks, partículas
menos simples (protones, neutrones, mesones, etc.) Todas esas partículas
forman los átomos, que a pesar de su etimología, son divisibles. Se admite
también que hay otras partículas más o menos elementales, cuyo inter-

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cambio genera las acciones a distancia (fuerzas como las eléctricas o gra-
vitatorias, que se establecen entre cuerpos sin contacto entre sí).
Así un intercambio de fotones es el responsable de la fuerzas electro-
magnéticas entre cuerpos cargados. Un intercambio de “gravitones” pro-
duce la atracción gravitatoria entre masas. Los mesones son los respon-
sables de la potente fuerza entre protones que mantiene la coherencia del
núcleo atómico.
En el micromundo de las partículas elementales no convienen los modelos
macroscópicos, que las imaginan con formas geométricas netas de límites
precisos. Ni siquiera son perfectos los modelos diferenciales, que les atri-
buyen propiedades distribuidas: un electrón no es una esferita cargada, si
bien hasta cierto límite se comporta como tal. Tampoco es un glóbulo de
electricidad que se distribuye en el espacio, aunque quizás ésta sea una
imagen más válida que la primera. Un fotón no es una pequeña luciérnaga
que avanza con la velocidad de la luz, no obstante puedan algunos fenó-
menos de la óptica explicarse con esa imagen. Tampoco es una mera on-
dulación electromagnética: muchas veces este modelo no basta.
Los modelos más avanzados para representar las partículas elementales
son los que les asignan propiedades cuánticas para parámetros tales co-
mo su masa, energía, momento angular y magnético, momento intrínseco
o “spin”, etc. Quiere decir que los valores de masa, energía, momento, etc.
no pueden variar en forma continua, sino en cantidades escalonadas múl-
tiplos de un valor básico o cuánto.
El lector estará preguntándose: Pero entonces, ¿Qué es un electrón, qué
es un fotón? ¿Tendrá sentido seguir describiendo la realidad con esos mo-
delos limitados?. Le contestamos que “no hay modelos universales” y que
“algún modelo hay que adoptar, para seguir avanzando en el conoci-
miento”. Pero también le advertimos que hay que tener presente que esas
partículas y ondas “no son” la realidad, sino que la representan con mejor
o peor éxito.
La realidad es para el físico el fenómeno que se puede recrear con obser-
vaciones y experiencias. Lo real es que una manzana cae con determi-
nada ley cuando se suelta del árbol. Y que la combustión del gas natural
genera calor, produciendo además agua y otros gases. O que al cabo de
9500 años un trozo de radio se ha desintegrado a la mitad. Explicar esos
fenómenos con precisión ha llevado a crear átomos, campos, gravitones,
funciones que miden energía y probabilidad, partículas elementales y otras

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cosas que constantemente se van agregando a medida que se ahonda en
el tema. También van desapareciendo conceptos y entes, como los cor-
púsculos luminosos o el éter. Esos elementos son en definitiva construc-
ciones mentales que cobran vida y mueren, y hasta a veces resucitan, co-
mo personajes de una obra teatral maravillosa y compleja.
El principio de incertidumbre o indeterminación
En 1920, el eminente físico alemán Werner Heisenberg postuló el célebre
“principio de incertidumbre o indeterminación”, aplicable a partículas pe-
queñas en movimiento. Dicho principio reza así:
Existe un límite en la precisión con que se pueden medir simultáneamente
posición y velocidad de una partícula en movimiento, que no tiene que ver
con la de los instrumentos de medida. Si queremos aumentar la certeza del
lugar en que se encuentra (determinar mejor su posición, con un medidor
más preciso), estaremos automáticamente perdiendo precisión en la medida
de la velocidad. Viceversa, en cuanto mejoremos la determinación de la velo-
cidad, estaremos perdiendo precisión en la medida de su ubicación.
Prevenimos al lector que no trate de aplicar el principio de indeterminación
ni de encontrar su explicación en el mundo de los objetos corrientes: Vale
sólo para partículas muy pequeñas, como electrones y otras “elementales”,
que por su exiguo tamaño son afectadas por los procedimientos de ubica-
ción y medida de la velocidad.
Un objeto revela su posición a un observador cuando interfiere con el
agente que lo detecta: por ejemplo genera una imagen cuando es ilumi-
nado.
Si no queremos usar luz, debemos palparlo, o hacer que mueva un sensor
mecánico: de cualquier manera el objeto será influido por el procedimiento
de medida de su posición. ¿En qué será influido?, En que será retrasado o
acelerado por la presión del chorro de luz, o desviado por el palpador. Es
decir que la velocidad del objeto es la que saldrá afectada después de su
ubicación.
Asimismo, para medir la velocidad de un objeto se requieren aparatos que
interactúen con él. El resultado es igualmente una alteración de la posición
después de la medida.

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Ahora bien, volviendo a la acción de la luz sobre un objeto, esa llamada
“presión de radiación” 4
es tanto mayor cuanto menor sea la longitud de
onda de la radiación usada para ver, o sea cuanto menor sea su frecuen-
cia. Al mismo tiempo, cabe explicar que cuanto mayor sea la frecuencia de
la luz empleada para detectar el objeto, mejor definición tiene la imagen
obtenida, así como se pintan mejor los detalles de un cuadro con un pince-
lito fino.
El compromiso es que a pincel más fino, más fuerza perturbadora sobre el
objeto (velocidad afectada). Si queremos disminuir ese efecto, usamos
pincel más grueso, que empuja menos: el resultado es una imagen del
objeto más basta, se empobrece la definición de su imagen y la posición
se conoce con menor certeza.
Para comprender el principio de incertidumbre hay que tener presente lo
siguiente:
• La materia en movimiento no tiene contornos netos ya que está distri-
buida en el espacio en forma de onda.
• La detección de un objeto mediante la luz tiene una precisión que de-
pende de la longitud de onda empleada
• Mirar (determinar posición) y medir velocidad son operaciones que
afectan respectivamente la velocidad y la posición del objeto.
De tal forma, no es lo mismo mirar primero y medir después, que medir
primero y mirar después: el orden de los procedimientos altera el resultado
del par de valores empleados para caracterizar el movimiento de un objeto
pequeño, o sea las coordenadas posición y velocidad.
Para representar estas propiedades de las operaciones “medir” o “mirar”,
se ha aprovechado el paralelismo que existe entre la acción de algunas
transformaciones matemáticas que actúan sobre las funciones matemáti-
cas que representan al sistema físico, de la misma forma que lo hace la
observación sobre el sistema real. Estas operaciones o algoritmos que se
aplican sobre las funciones que representan al sistema, se llaman opera-
dores. La similitud entre matemática y realidad es tan perfecta que permite
trabajar con el modelo matemático e inferir resultados en la realidad en
base a lo las que aparece en el papel. Por ejemplo, cualidades nada con-
vencionales, como el spin de las partículas subatómicas, aparecen como
números enteros en las fórmulas matemáticas, mucho más potentes y
4
Ver el desarrollo de este tópico más adelante, ubicándolo con el índice alfabético en el ca-
pítulo de radiación térmica.

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abstractas que las imágenes que invitan a pensar en un electrón como un
trompo cargado.
¿Y por qué el efecto de indeterminación sólo se observa en objetos pe-
queños? Porque son sensibles a la presión de radiación de los detectores
de velocidad y posición. Además a las perturbaciones ocasionadas por los
sensores de velocidad: Un avión recibe la presión de radiación5
de un
radar (algunas milésimas de Newton por m
2
) sin que se note. Su posición
está indeterminada en una cifra del orden de la longitud de onda de la ra-
diación empleada (algunos centímetros). En cambio un electrón, partícula
de un tamaño de 10
-15
m , debe iluminarse con una radiación del mismo
orden de magnitud de longitud de onda (rayo gamma) para que pueda ser
“visto”. Como resultado recibe un impacto equivalente al choque contra
otro cuerpo de un tamaño parecido al propio electrón que viene a enorme
velocidad. Es como si quisiéramos detectar un avión tirándole con un pro-
yectil mediano: el método serviría sólo para saber donde buscar sus res-
tos.
La expresión matemática del principio de indeterminación de Heisenberg
es sencilla: Sea DDx la imprecisión en la coordenada x de una partícula que
tiene una velocidad v=∆∆x/∆∆t , y ∆∆v la imprecisión en la determinación de
dicha velocidad. Se cumple que el producto de DDx y ∆∆v es una constante
universal. Si aumenta una disminuye la otra, y viceversa. En la constante
interviene la famosa h o “cuanto de acción”, que Max Planck introdujo en
1900 al estudiar la radiación térmica. (Ver el capítulo correspondiente)
Una explicación aproximada del principio
de indeterminación
En la figura se ve el esquema de la formación de
una mancha de difracción (ver capítulo corres-
pondiente) como imagen de un objeto lejano en el
foco de una lente convergente de distancia focal f
y diámetro D
De acuerdo a los principios de interferencia, a la
distancia DDx/2 del centro de la mancha hay anu-
lación entre el frente de onda AB y el AC, desfa-
sados en una longitud de onda ll.
Por el principio de reversibilidad entre imagen
y objeto, un punto dentro de cualquier lugar
5
El cálculo de la presión de radiación de una onda electromagnética se encuentra cuando se
trata la radiación térmica.
∆x
f
λ
D
λ/D=∆x/2/f
A
B
C
α/2

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dentro de la mancha de difracción de diámetro DDx en el plano focal de la
lente, produce una misma imagen en un punto alejado. Vale decir que la
indeterminación en la posición de una partícula puntual observada con la
lente vale DDx, que de acuerdo a la fórmula aproximada de la figura será
DDx=2.f.ll/D
Ahora bien: Para que la partícula se vea, es necesario que un fotón impacte sobre ella y entre
desviado en la lente, para poder llevar la información de ese impacto al ojo del observador o a
la placa fotográfica.
Los principios de la mecánica de Newton imponen que el impulso total del sistema se man-
tenga antes y después del choque, o lo que es lo mismo que la variación del impulso (masa
por velocidad) antes y después del choque de la partícula proyectil (el fotón) sumada a la
variación del impulso de la partícula blanco (la que se observa) sea nula.
Supongamos que el fotón viene desde abajo perpendicularmente al plano focal y se desvía
por efectos del choque un ángulo aa/2 entrando en el borde de la lente: la variación del im-
pulso del fotón vale m.DDvx . Pero la masa del fotón de longitud de onda l es h/ll/c
(c=velocidad de la luz) y la variación de velocidad en el sentido horizontal es
DDvx=c.sen (aa/2)
Para ángulos a pequeños, en los que seno y arco son equivalentes, resulta:
DDvx ≅≅ c.aa/2 = c.D/2/f
Entonces la variación del impulso del fotón por efectos del choque vale h/ll.(D/2/f)
Pero D/2/f = ll/DDx , y entonces la variación del impulso vale h/DDx
Esa variación pero de signo contrario es la que experimenta también la partícula de masa m
en el eje horizontal, variando en velocidad la cantidad DDvx por lo tanto: m.DDvx=h/DDx y de
aquí surge que DDvx.DDx=h/m , que es la expresión matemática del principio de indetermi-
nación.
Lo anterior muestra la vinculación del principio de indeterminación con la
interacción entre observador y objeto. Hoy se habla de la indeterminación
como concepto opuesto a los de determinismo y precisión absoluta en el
mundo físico, dogmas de los físicos del siglo XIX. Así, a partir de la década
del 30 se ha fortalecido la creencia de que la indeterminación tiene causas
más profundas que el acoplamiento observador-sistema. Delicados ex-
perimentos con fotones y otras micropartículas desarrollados en las últimas
décadas mostrarían que la indeterminación es inherente y que la observa-
ción sólo la pone de manifiesto.6
6
“Escuela de Copenhage","Experimento de Einstein-Podolsky-Rosen" y "Desigualdades de
Bell" son tópicos que los interesados en estos temas pueden consultar en libros científicos y
enciclopedias de buen nivel

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PARA DISCUTIR : El principio de indeterminación tiene la forma vista siempre
que se aplique a pequeñas partículas detectadas por medio de luz. Si se em-
plearan otros métodos, como la detección con sensores basados en princi-
pios no electromagnéticos, posiblemente se establecería un principio aná-
logo aunque con una constante diferente a h, ya que la radiación electromag-
nética no tendría que ver en la cuestión, y sí en cambio algunos parámetros
relacionados con los agentes de detección y la interacción entre ellos y la
partícula.

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El ojo y la visión
El ojo es uno de los instrumentos ópticos más perfectos: una sofisticada
cámara de TV alojada en un pequeño globo de dos centímetros de diáme-
tro, que posee una movilidad increíble. Es capaz de enfocar objetos a una
distancia desde veinte centímetros hasta el infinito, con luminosidades que
varían de uno a un millón, mediante un mecanismo automático de acomo-
dación y diafragmado. Posee un sistema óptico aplanético y acromático
de gran calidad, que supera a muchas cámaras refinadas. Se mantiene
siempre limpio, lubricado y listo para funcionar. Su sistema de lentes, más
translúcidos que el mejor cristal óptico, no se rayan ni se empañan. Los
periféricos del resto del sistema no son menos perfectos: la información en
color de alta resolución se transmite al cerebro, un microprocesador de
gran perfección, a través del nervio óptico, una multivia microscópica supe-
rior en muchos aspectos a la fibra óptica.
Como casi todos los sentidos, la visión presenta un
alto grado de integración en las funciones de todos
sus componentes: la captación de imágenes, la in-
tensidad de la señal, la transmisión de la información
y su decodificación por el cerebro están regidas por
funciones de control y retroalimentación distribuidas.
Por ejemplo, si recibe mucha luz, la señal activa el
diafragmado automático y las señales son debida-
mente atenuadas a nivel de transmisor (retina y ner-
vio) y receptor (cerebro). Si hay muy poca luz, el dia-
fragma se abre al máximo y la amplificación crece.
La visión conjunta con los dos ojos (binocular), pro-
duce la sensación de relieve o distancia, al dar in-
formación de un objeto desde dos puntos de vista
simultáneamente. Esa información combinada es
interpretada por el cerebro que hace un balance en-
tre los dos canales de acuerdo a la atención que le
prestemos a cada parte de la imagen7
.
7
Mírese un objeto lejano con ambos ojos e interpóngase la mano tapando una de las imáge-
nes, por ejemplo la del ojo derecho. El objeto se seguirá viendo con el izquierdo, pero si fija-
mos la atención en la mano, que al principio aparece transparente con el objeto detrás, esta
se solidificará, terminando de ocultar al objeto.
VISIÓN
BINOCULAR

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Constitución del ojo
El ojo consta de un globo de aproximadamente 20 mm de diámetro, for-
mado por varias capas: la exterior, dura y opaca, se llama esclerótica (del
griego schlerós : duro). Interiormente el ojo está recubierto de una mem-
brana negra (que evita las reflexiones internas de la luz) llamada coroides,
sobre la que se adosa la retina, capa nerviosa sensible a la luz. La retina
está formada por la prolongación de las fibras nerviosas del nervio óptico,
que sale de la parte posterior en una zona insensible a la luz llamada por
ello “punto ciego”. La retina tiene dos tipos de formaciones celulares sensi-
bles a la luz: los conos y los bastones. Los conos abundan en la parte
central de la retina, cerca de la intersección del eje óptico. Son los ele-
mentos sensibles a las formas precisas y a la percepción de los colores.
Los bastones forman parte del resto de la retina y son más sensibles al
estímulo luminoso que los conos, pero no tienen respuesta al color. El glo-
bo ocular tiene insertado en su parte anterior al cristalino, una lente con-
vergente orgánica deformable, que es el objetivo del sistema. Delante del
cristalino se encuentra un diafragma circular variable llamado “iris” debido
a su vistoso color. El iris forma la pupila, agujero por donde entra la luz al
ojo. Sobre el iris hay un casquete transparente de menor diámetro que el
globo ocular, llamado “córnea”, por el aspecto córneo que presenta en los
cadáveres. El espacio entre córnea y cara anterior del cristalino está lleno
de una sustancia líquida muy transparente llamada “humor acuoso”,
compuesta principalmente por
agua. El interior del globo ocu-
lar está lleno de una sustancia
gelatinosa transparente llamada
“humor vítreo”. Estos tres me-
dios refringentes, a saber: hu-
mor acuoso, cristalino y humor
vítreo, tienen diferentes índices
de refracción. El conjunto actúa
como corrector de la aberración cromática, al compensar la diferente con-
vergencia de los rayos según su color8
. Cuando se traten instrumentos óp-
ticos, se hablará más sobre el ojo y las visión.
8Véase en el capítulo correspondiente a instrumentos ópticos cómo se corrige la diferente
refracción de rayos de distinto color mediante lentes compuestos de vidrios tipo “flint” y
“crown”.
nervio óptico
retina
cristalino
córnea iris
coroides
esclerótica
músculos
ciliares
humor vítreo
humor acuoso
pupila
eje óptico

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La refracción de la luz y la teoría del camino más
rápido
La luz tiene la particularidad seguir el camino más rápido entre los puntos
que une. Como un ciclista inteligente que sabe que va más rápido por are-
na húmeda que por arena seca: Si tiene que ir desde donde pesca en la
playa hasta su carpa lejos de la orilla, irá la mayor parte del camino por la
parte húmeda y se desviará para enfrentar el arduo trecho de arena floja a
último momento. Si la luz va por dos medios en los que tiene diferente ve-
locidad uniendo dos puntos no enfrentados a la superficie de separación,
elige un recorrido AB más largo en el medio más rápido de manera de
aprovechar su mayor velocidad v1 para acercarse a destino lo más rápido
posible. En el medio más lento de velocidad v2 recorre una trayectoria BC
menor. En la figura, para ir de A a C tarda el menor tiempo posible, lo que
se verifica para v1/v2 = sen i/sen r , que es la ley experimental que rige la
refracción de la luz.
Demostración: El tiempo
total que tarda en ir desde
A hasta C vale la suma de
los tiempos en que reco-
rre las distancias AB y
BC, esto es:
T = AB/v1 + BC/v2
La variación de dicho
tiempo debe ser nula
cuando se está en el mí-
nimo:
o sea que debe cumplirse
dT = d(AB)/v1+ d(BC)/v2 = 0
de donde sale que:
d(AB)/d(BC) = -(v1/v2) [1]
Además es AB2=AD2+BD2 y tomando un camino diferente en el que
d(BD)=BB' y d(AD)=0 , es: 2.AB.d(AB)=2.BD.d(BD)+2.AD.d(AD) y como d(AD)=0
queda d(AB)=BD/AD.BB'
pero BD/AD = sen i por lo que d(AB)=BB'.sen i
[2]
De la misma forma es BC2=BE2+CE2 y también tomando diferencias como antes:
2.BC.d(BC)=2.BE.d(BE)+2.CE.d(CE) y como d(BE)=-BB' y d(CE)=0 resulta
d(BC)=BE/BC.(-BB')=BB'.(-sen r)
[3]
Reemplazando [2] y [3] en [1] nos queda
ARENA SECA
ARENA HÚMEDA
v2
v1
i
r

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d(AB)/d(BC)=-(v1/v2)=-(sen i/sen r) , que es la ley de la refracción de la luz
comprobada experimentalmente.
La velocidad de la luz
La luz se mueve enorme velocidad: 300000 Km/s en números redondos.
Para distancias terrestres comunes una señal luminosa establece una co-
municación casi instantánea. Un hombre en la luna que hable por radio
con la tierra debe esperar entre pregunta y respuesta por lo menos dos
segundos, tiempo en que tarda la onda electromagnética en ir y volver.
Para las enormes distancias que se manejan en astronomía la luz, que es
lo más rápido que se conoce, no lo parece tanto: tarda ocho minutos en
llegarnos del sol y cuatro años desde la estrella αα Centauri. A un artefacto
de exploración en los confines del sis-
tema solar, como el Explorer, habrá
que mandarle la orden de tomar fotos
de Plutón más de cuatro horas antes
del momento de máxima aproximación
al astro.
Estos datos no eran conocidos en
1670, cuando Römer observó que el
ocultamiento de uno de los satélites del
planeta Júpiter aparecía en el telesco-
pio 986 segundos más tarde de lo que
indicaban las tablas del Observatorio de París en un intervalo de un poco
más de seis meses9
, mientras Júpiter recorría la distancia desde J1 a J2 , y
la Tierra se movía desde T1 a T2. La diferencia iba desapareciendo a me-
dida que la tierra se iba aproximando nuevamente al punto más cercano
Júpiter. Römer sabía como buen astrónomo y matemático que el movi-
miento de los astros es uniforme y no dudó que el período de rotación del
satélite se mantenía en realidad constante10
. Atribuyó el atraso y posterior
adelanto del período de rotación aparente del satélite al tiempo que tarda
la luz en recorrer la diferencia de camino entre las dos observaciones, o
sea el diámetro de la órbita terrestre alrededor del sol. Este valor era apro-
ximadamente conocido en la época por mediciones de paralaje: 299 millo-
nes de kilómetros
11
. Así se calculó por primera vez la velocidad de la luz en
el vacío interestelar: 299000000/986=303245.44 Km/s . Solamente usó un
9
200 días exactamente
10
42,5 horas
11
Como se sabe, la órbita terrestre no es circular sino elíptica. El valor tomado es un valor
medio.
T1
T2
J1
J2
SOL

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anteojo, un reloj de péndulo y su cabeza. Medite el alumno si con todos los
medios modernos de que dispone ahora podría él desarrollar un método
más simple para medir la velocidad de la luz: puede usar láseres, satélites,
aviones, telescopios en órbita, todo menos consultar una base de datos en
Internet.
Recién 179 años más
tarde, Fizeau deter-
minó la velocidad de la
luz con un método di-
recto: midiendo el
tiempo que un destello
tarda en recorrer una
distancia perfecta-
mente establecida de
ida y vuelta. Un rayo
de luz potente pasa
por entre los dientes
de una rueda giratoria
y se refleja en un es-
pejo lejano. Un observador ve el rayo reflejado que vuelve por el mismo
hueco que usó de ida, hasta que la velocidad de la rueda es tal que el ra-
yo encuentra a la vuelta un diente en vez de un hueco. En ese momento el
observador deja de ver la imagen del foco. Si la velocidad de la rueda es n
vueltas por segundo, el número de dientes (iguales en tamaño y número al
de los huecos) es N. y la distancia al espejo es d , la velocidad de la luz
será el cociente del espacio 2.d y el tiempo t que tarda en pasar la rueda
de un diente al hueco siguiente, siendo t=1/(2.N.n) . Entonces v=4.N.n.d .
En la experiencia original, Fizeau usó una rueda de 720 dientes y el espejo
lejano estaba a 8333 m de la rueda. El observador dejaba de percibir el
reflejo cuando la velocidad de la rueda era de 12,5 vueltas por segundo (750
v/min). Así que v=4x720x12,5x8333= 300000000 m/s
Luz y electromagnetismo
Las propiedades de la electricidad se pueden resumir en cuatro leyes, que
fueron planteadas matemáticamente por James Clerck Maxwell (1831-
1873) en base a consideraciones teórico-prácticas. Aunque no sepamos la
matemática suficiente para verlas en su forma original, las enunciaremos
conceptualmente:
1) Alrededor de una carga eléctrica se establece un campo eléctrico. Sus
líneas de fuerza nacen en las cargas elementales positivas y mueren
0075
METODO DE FIZEAU
contador de vueltas
cronógrafo
fuente de luz
espejo lejano
diafragma
bloque espejadoobservador
túnel oblicuo
p/ver el reflejo

ÓPTICA GENERAL 15
15
en las cargas elementales negativas. El flujo12
del campo eléctrico es
proporcional a la carga generadora (ley de Gauss).
2) Alrededor de una corriente eléctrica se establece un campo magnético,
con líneas cerradas que envuelven al conductor. La circulación13
del
campo magnético a lo largo de una línea cerrada es proporcional a la
corriente que le da origen.
3) Una variación de campo magnético en el tiempo genera un campo
eléctrico.
4) Una variación de campo eléctrico en el tiempo (corriente de desplaza-
miento) origina un campo magnético, al igual que una corriente de car-
gas.
Ondas electromagnéticas
Todo proceso de realimentación entre dos fenómenos espaciales y tem-
porales conduce a un fenómeno ondulatorio. Las leyes 3) y 4) implican una
realimentación entre variaciones de campo eléctrico y magnético, lo que
permite prever la existencia de ondas. Maxwell calculó su velocidad a par-
tir de las mismas ecuaciones que sirven para describir matemáticamente la
vibración en una cuerda de guitarra: se las llama en física "ecuaciones de
ondas": Su velocidad de propagación es una relación entre las constantes
dieléctricas y la permeabilidad magnética del vacío y vale
v=1/√√ ε.µε.µ = 1/√√ 8.85x10-12x 4.ππ.10-7 = 299863392 m/s
¡El mismo valor numérico que la velocidad de la luz en el vacío! . No se
trata de una casualidad. Pronto se comprendió que la luz no es más que
una clase de ondas electromagnéticas que impresionaban a nuestra vista,
una banda estrecha en el amplio espectro de ondas que van desde las
ondas largas de radio a las muy cortas radiaciones gamma.
12
Flujo de un vector a través de una superficie es el producto de la intensidad del vector por
el valor de la superficie y por el coseno del ángulo entre la dirección del vector y la normal a la
superficie considerada. El flujo es el equivalente al caudal de un fluído que atraviesa una
superficie cualquiera.
13
Circulación es una generalización del concepto de trabajo: Se define como trabajo de
una fuerza a lo largo de un camino al producto entre la proyección de la fuerza en la di-
rección de su desplazamiento, y la longitud del camino recorrido. Una fuerza f que se mueve
a lo largo de una recta de longitud d con la que forma un ángulo aa, realiza un trabajo
f.d.cos(aa). El mismo concepto generalizado para un vector cualquiera (por ejemplo el campo
magnético H) se llama circulación. La circulación a lo largo de un camino cerrado puede ser o
no nula, dependiendo ello del tipo de campo vectorial: en el caso de una fuerza gravitatoria
(peso) lo es; en el caso del campo magnético no.

ÓPTICA GENERAL 16
16
Experiencia de Hertz
Este físico produjo poco
después en el laboratorio
ondas electromagnéti-
cas estacionarias de
algunos metros de longi-
tud haciendo oscilar un
circuito con capacidad y
autoinducción unido a
una antena dipolar frente
a una placa metálica re-
flectora. Las ondas no eran visibles puesto que su longitud de onda era
demasiado larga, pero sus crestas y sus nodos eran detectables con un
pequeño aro interrumpido que chispeaba en el corte cuando estaba colo-
cado en una cresta de campo magnético H. Se había abierto el camino de
la transmisión de información por ondas "hertzianas", como se las llamó en
honor a su primer productor.
La velocidad de la luz, constante absoluta
Planteemos el modelo de luz como onda mecánica que se propaga en un
medio material llamado éter y tratemos de medir su enorme velocidad ha-
ciendo el cociente entre espacio recorrido y tiempo, usando metros y relo-
jes de gran precisión. Resulta lógico pensar que el éter puede estar en
movimiento con respecto a un observador. Éste debería medir una veloci-
dad de la luz diferente a la que obtendría otro observador quieto con res-
pecto al éter. Todo debería ocurrir como cuando se mide la velocidad del
sonido en un día de viento y en otro calmo. Se obtienen diferentes resulta-
dos: el sonido suma su velocidad a la del aire cuando va a favor del viento.
Cuando va en contra, se restan las velocidades del sonido y la del aire.
Sin embargo con la luz no ocurre igual. Michelson realizó a fines del siglo
pasado una delicada experiencia de la que se deduce que no existe arras-
tre de la luz por el éter en movimiento relativo con respecto al observa-
dor.14
Es decir que la luz muestra la misma velocidad para cualquier obser-
vador quieto o en movimiento rectilíneo uniforme: Se da la paradoja de que
dos observadores en movimiento uno con respecto al otro miden la misma
velocidad para un mismo rayo de luz. Según este experimento, la imagen
de onda mecánica que se propaga en un medio parece ser inaplicable pa-
ra el caso de la luz.
14
Convendrá que el lector se entere de los fundamentos de la Experiencia de Michelson en
cualquier libro de Física o Enciclopedia, o más adelante en este mismo texto.
l/2
onda reflejada
onda de ida
placa reflectora
detector de campo eléctrico
H
E

ÓPTICA GENERAL 17
17
La cuestión se presenta un poco más clara si prescindimos del éter y ad-
mitimos que la luz es una onda o perturbación de campos eléctricos y
magnéticos, cuyas cualidades estudia la electricidad, y que tienen energía
asociada por unidad de volumen pero no tienen masa o densidad aprecia-
bles.
El modelo electromagnético en la física
Revisemos por ejemplo los conceptos de espacio y tiempo: El espacio
proviene del concepto geométrico de distancia pitagórica. Se medía antaño
por comparación con un patrón de longitud que se colocaba a la par del
objeto de la medición. Pero para ser más precisos ahora se lo mide por
comparación con una longitud de onda de una radiación atómica dada. El
tiempo se mide con un reloj, aparato que acumula una cuenta de sucesos
supuestamente isócronos, como el vaivén de un péndulo antes, pero mo-
dernamente por la vibración de un cristal o la oscilación electromagnética
de un átomo, fenómenos aparentemente mucho más precisos. ¡Longitud y
tiempo se miden ahora con patrones electromagnéticos para ganar en pre-
cisión! ¿No será que esos patrones nos están enmascarando las verdade-
ras propiedades del espacio y del tiempo, subordinándolos al electromag-
netismo?
Con criterio parecido pensemos en lo que pasaría si definiéramos el metro
como la trescientos cuarenta ava parte de la longitud que el sonido recorre
en 1 segundo: pues nada más ni nada menos que la presión atmosférica y
la velocidad del viento influirían en la métrica de nuestro espacio. Con el
modelo electromagnético fue necesario, de la misma manera, que Lorentz
explicara el resultado del experimento de Michelson asignando una con-
tracción al espacio como resultado de la velocidad absoluta del sistema, o
sea que la longitud depende del viento de éter.
De paso apareció la necesidad de definir el tiempo, que quedó como va-
riable dependiente de la posición y la velocidad.

ÓPTICA GENERAL 18
18
Reflexionemos un poco sobre las siguientes cuestiones:
a) La observación de cualquier fenómeno se realiza mayormente con la vista: ver
algo es para nosotros sinónimo de evidencia y realidad. Prácticamente no conce-
bimos efectuar una determinación o experiencia sin la percepción de imágenes
ópticas
15
.
b) La luz es un agente que permite operar delicadamente y con precisión. Práctica-
mente la detección luminosa de cualquier acontecimiento influye muy poco en el
sistema observado
c) Cualquier otro intento de registro de datos o acontecimientos con otros medios es
grosero comparado con los medios ópticos. En el caso de estudiar cinemática,
imagínese por ejemplo la tarea de detectar la presencia de un móvil en un deter-
minado punto del espacio mediante el tacto o el ruido que produce. Piénsese no-
más en cómo afectaría la experiencia el roce del sensor mecánico (un palpador o
directamente nuestra mano) contra el móvil.
En resumen: la luz es cómoda, limpia y delicada. Es rápida, casi instantánea, inter-
fiere muy poco con el sistema a observar y llega lejos.
Estas son las causas principales por las que la luz y en general las ondas electro-
magnéticas, preferidas para detectar cualquier fenómeno, rijan la métrica y den la
pauta espacio temporal de nuestro mundo.
Pero filosóficamente hablando, esa superioridad no justifica que el único modelo
físico sea el electromagnético. Conceptos tales como posición, distancia o tiem-
po son absolutos y no pueden depender del modelo adoptado. Si por comodidad
conviniera así fuera, se debería dar un significado restringido provisorio a esos
conceptos mientras nos movamos dentro del modelo electromagnético.
Veamos por ejemplo algunas consecuencias de la generalización inapropiada de
un modelo fuera de su ámbito de validez:
Modelo de Galileo y Modelo de Einstein.
Los físicos desde la época de Galileo y Newton hasta principios de siglo
XX aplicaron al espacio la geometría de Euclides, que todos estudiamos
en el colegio secundario. La distancia entre dos puntos viene dada por la
longitud del segmento que los une. Ese segmento o vector se calcula en
base a las coordenadas de los puntos respectivos por aplicación del Teo-
rema de Pitágoras en el espacio. Vale lo mismo medido desde cualquier
sistema de referencia: La distancia entre la esquina de Corrientes y Callao
y la de Corrientes y Rodríguez Peña es de 120m para un peatón parado o
para un pasajero del colectivo que pasa raudamente a su lado en el mismo
instante: los relojes de ambos marcan exactamente las doce del mediodía
en ese momento.
15
Decir imágenes incluye a señales electromagnéticas (radio, televisión, radar, etc.)

ÓPTICA GENERAL 19
19
Ahora bien: en 1905 Einstein, generalizando el modelo electromagnéti-
co de Lorentz que toma a la luz como patrón para definir longitud y tiem-
po, llega a la conclusión que la distancia no es invariante para dos obser-
vadores en movimiento relativo entre sí. Para el peatón, la cuadra mide
120m, en cambio para el pasajero a bordo del colectivo 132 medirá algo
menos (en realidad la diferencia será insignificante ya que el 132 se mueve
a velocidades pequeñas en comparación con la de la luz, aunque peligro-
sas para autos y peatones que se atraviesen en la vía rápida). Con el
tiempo pasa una cosa aún más curiosa: el pasajero ve que el reloj del
peatón atrasa con respecto al suyo (marca las doce menos una fracción
muy pequeña). Y el peatón observa que el pasajero también tiene el reloj
atrasado!..
Según la célebre Teoría de la Relatividad de Einstein la distancia entre
dos puntos y el tiempo que marcan dos relojes en cada uno de ellos están
relacionados entre sí a través de un nuevo concepto de distancia pitagóri-
ca en cuatro dimensiones (la cuarta es el tiempo) que se llama “intervalo
cronotrópico”. El intervalo cronotrópico entre dos puntos, en el modelo de
Einstein, es el que permanece constante para observadores en movi-
miento relativo entre sí: no la distancia ni el tiempo separadamente, los
cuales tienen diferentes valores para cada uno de los observadores.
Por muchos años los físicos discutieron quién tenía razón. La experiencia
era muy difícil de realizar porque las diferencias cuantitativas eran insignifi-
cantes. Aún hoy hay algunos que siguen discutiendo la cuestión y hace
poco se hicieron experiencias con relojes atómicos a bordo de satélites
para ver si atrasaban con respecto a los de tierra. Parece que en efecto los
relojes a bordo de los ingenios atrasaron algunas millonésimas de segun-
do..., aunque algunos interpretan que la mínima diferencia está dentro del
error del método de medida.
Actualmente algunos físicos parecen no reparar en que carece de sentido
comparar una distancia y un tiempo definidos electromagnéticamente con
respecto a conceptos primarios no experimentales como son la distancia
geométrica y tiempo absoluto.
Lo que ocurre con el tiempo del modelo electromagnético es que no es el
mismo tiempo que transcurre inmutable desde que Dios puso en marcha el
mundo: El tiempo electromagnético que figura en las ecuaciones de Lo-

ÓPTICA GENERAL 20
20
rentz16
es el que marcan los relojes que poseen los observadores. Si éstos
se mueven cada uno de ellos observa que el reloj del otro comienza a
atrasar (si son relojes que se rigen por fenómenos electromagnéticos, co-
mo los relojes atómicos), y esto es interpretado como que el tiempo pasa
diferente para cada observador. No sólo el movimiento atrasa los relojes:
también la gravedad afecta al tiempo electromagnético. Este fenómeno
está relacionado con la influencia de la gravedad sobre la trayectoria de la
luz, como veremos luego.
La curvatura del espacio
Para saber si la arista de una regla es recta hay que mirarla tratando de alinear las visuales
de sus puntos: si hay algún resalto éste saldrá a la vista, o si existe curvatura no será posible
hacer coincidir las proyecciones de sus puntos en una visual. Si bien es más propio definir a
la recta con criterio geométrico, es el método óptico el más común para materializarla. Toda
observación que acuse puntos alineados se asocia con una recta, porque la experiencia co-
rriente es que la luz se propaga de esa forma.
Supongamos que la luz se curvara bajo algún
efecto, por ejemplo por la gravedad. Los ra-
yos salidos de un borde recto serían parábo-
las, como las trayectorias de proyectiles pro-
venientes de cada punto luminoso del objeto.
El observador vería las imágenes de esos
puntos en la prolongación de los rayos que
llegan al ojo sobre una curva: la regla, en rea-
lidad perfectamente recta aparecería curvada
a la vista. Y no sólo eso!... También se daría el
caso que puntos muy alejados del objeto no
podrían verse: por ejemplo en la figura el ob-
servador no puede ver más allá del número 4
en la escala. Ningún rayo proveniente del 5 es
capaz de llegar al ojo en su movimiento para-
bólico(línea punteada)
Se ha demostrado que en efecto la luz se curva bajo los efectos de la gravedad, aunque
muy levemente, como lo sospechaba
Newton y lo calculó Einstein. Durante los
eclipses totales de sol pueden verse
algunas estrellas que en realidad están
detrás del astro. Los rayos de luz prove-
nientes de las mismas pasan rasantes a
la superficie del sol donde reina una
gravedad intensa y se curvan, parecien-
do al observador que provienen de un
punto exterior al disco solar, ocultado
momentáneamente por la luna durante
el eclipse.
La Teoría de la Relatividad General de
16
En realidad el concepto de tiempo en el modelo electromagnético se debe al físico holan-
dés Lorentz, ya mencionado. Einstein tomó de las ecuaciones de Lorentz la base de su céle-
bre teoría de la Relatividad.
0 1 2 3
1
2
3
4
3
2
1
4 5 6
0
0
g
SOL
luna
Tierra
S
S'
Durante el eclipse de sol una estrella que está detrás de éste
en la posición S se puede ver debido a la trayectoria curva
del rayo, que creea una imagen virtual en S'

ÓPTICA GENERAL 21
21
Einstein aborda el tema de la curvatura de la luz por efecto de la gravedad introduciendo el
concepto de curvatura del espacio de cuatro dimensiones del que hablamos. Considera que
la luz marcha siempre por el camino más corto, que no es entonces la recta de Euclides sino
lo que él llama una línea geodésica en cuatro dimensiones
17
. De existir gravedad, se agrega
al sistema una modificación a las propiedades del espacio a través de una curvatura (tam-
bién en cuatro dimensiones). Un espacio curvo en tres dimensiones puede imaginarse como
el que mantiene a la luz describiendo rectas aún en presencia de campos gravitatorios, algo
que surgiría si enderezáramos las parábolas de la figura anterior.
17
Esa geodésica es una generalización de una recta en un espacio de cuatro dimensiones,
tres espaciales (x,y,z) y una temporal imaginaria i.t

ÓPTICA GENERAL 22
22
PERTURBACIONES Y ONDAS
Perturbación
Entendemos por perturbación en un medio cualquier cambio local en sus
características. Por ejemplo, una elevación o depresión en la superficie del
agua, una mancha de tinta sobre el papel, una deformación en una cuerda
tensa, o una franja que indique la zona afectada por casos de meningitis
en un mapa, son perturbaciones del estado normal (no perturbado) de ca-
da uno de estos elementos: superficie de agua quieta, papel limpio, cuerda
inmóvil o mapa sin marcar.
Propagación de las perturbaciones
Las perturbaciones pueden en general moverse en el espacio que ocupa el
medio que afectan: se propagan. Se reconocen dos tipos de propagación
de perturbaciones: el proceso de difusión y el proceso ondulatorio. Estos
procesos pueden coexistir simultáneamente, dando origen a un fenómeno
de propagación combinado.
Difusión
En el proceso de difusión la perturba-
ción se mueve extendiéndose por el
medio desde su origen: por ejemplo
se difunde una mancha de grasa en
un tejido aumentando su extensión
hasta un cierto límite. También se
difunde una epidemia de cólera en la
población abarcando cada vez mayor
área.
En la difusión puede haber o no
transporte del medio de un punto a
otro: La propagación de una epide-
mia puede ser por contagio entre las
personas, que forman una cadena
inmóvil con un enfermo cada extre-
mo; pero también puede propagarse
la enfermedad porque uno de los in-
fectados se mueve y contagia a su
paso a otros que están quietos. La
difusión pura es un fenómeno en el
cual la perturbación en un punto si-
gue con una cierta demora y una
320
250
200
150
100 80 50
320
270
250
180
100
90
370
300
250
200
150
100 80 50
300
250
200
150
100 90
350
Temperaturas a los 5'
Temperaturas a los10'
Temperaturas a los15'
Temperaturas a los 20'

ÓPTICA GENERAL 23
23
cierta amortiguación las variaciones que se producen en el origen.
Por ejemplo, el calor se propaga en una barra de metal en un típico proceso de difusión sin
transporte del medio (que es el metal con que está construida). Supongamos que en el ex-
tremo izquierdo de la barra se enciende un mechero: el calor de la llama se comunica al me-
tal de esa punta y se propaga hacia la derecha. Los puntos de la barra van aumentando de
temperatura con el tiempo pero cada uno de ellos tiene una temperatura mayor que el de la
derecha y menor que el de la izquierda. La temperatura es en realidad una medida macros-
cópica de la agitación molecular dentro del sólido; ese movimiento o agitación molecular es el
que se difunde de izquierda a derecha. Supongamos que se aumenta de golpe la temperatu-
ra de la llama (abriendo toda la llave de gas del mechero). Las variaciones de temperatura de
la llama llegan al extremo izquierdo después de un cierto tiempo muy amortiguadas, es decir
que el salto brusco en la llama se traduce en una variación suave de temperatura en la punta:
esta amortiguación o "suavizado" en la transmisión de una perturbación es típico de la propa-
gación por difusión.
Propagación ondulatoria
En el proceso de propagación ondulatoria pura en un medio perfecta-
mente elástico en cambio, la perturbación en un punto no altera su forma,
aunque a veces si su amplitud. Pero no hay ningún efecto de suavizado.
Tampoco hay transporte neto del medio: lo que se traslada es la deforma-
ción o variación de las propiedades de un punto a otro. Por ejemplo una
ola en la superficie del agua tiene una aspecto invariable: si nace con una
cresta abrupta seguirá así. No se irá suavizando con el tiempo18
, aunque
irá menguando de altura a medida que se aleje del origen. Un flotador no
se desplaza en el sentido de propagación cuando es alcanzado por la ola:
solamente sube o baja.19
ONDAS
Perturbaciones y ondas no son sinónimos, aunque a veces así se tomen.
Una onda es una sucesión de perturbaciones espaciadas igualmente
entre sí. La distancia λλ entre dos perturbaciones contiguas es la longitud
de onda. La cantidad de perturbaciones que ve pasar un observador
quieto en un segundo es la frecuencia f de la onda. El tiempo que tarda
en pasar una onda entera se lama período T. La velocidad v a la que se
propaga el conjunto de las perturbaciones es la velocidad del fenómeno
ondulatorio (luz, sonido, etc.).
18
En rigor debido a fuerzas de rozamiento en el fluído las ondas reales sufren a lo largo de su
recorrido en mayor o menor grado un suavizado en sus formas. También se produce trans-
porte del medio cuando la presión de radiación sea muy importante (caso del ultrasonido)
19
En realidad debido a la viscosidad del agua, un flotador alcanzado por una ola describe una
trayectoria circular, desplazándose algo hacia adelante y luego hacia atrás hasta completar la
circunferencia.

ÓPTICA GENERAL 24
24
La frecuencia resulta ser lógicamente el cociente entre la velocidad de
propagación y la longitud de onda, lo que se expresa así:
f = v/λλ y también λλ = v.T
f se mide en ciclos/segundo o Hertz, que se simboliza Hz
Efecto Doppler-Fizeau
La frecuencia se mantiene
en todos los puntos del me-
dio para un observador
quieto. Si la fuente se mueve
con respecto al medio, la
frecuencia será mayor por
delante de ella y menor por
detrás. Si el observador está
en movimiento encontrará
más ondas por unidad de
tiempo al avanzar hacia la
fuente y menos cuando se aleja de ella. Estos fenómenos de variación de
frecuencia por el movimiento de observador y/o fuente fueron estudiados y
cuantificados por Doppler y Fizeau el siglo pasado, y se conocen como
"efecto Doppler-Fizeau".
Debido al efecto Doppler-Fizeau, una ambulancia que se desplaza a velo-
cidad V presenta al observador quieto una frecuencia f’=v/λλ’ diferente a la
propia f=v/λ.λ.
Si V es la velocidad de la ambulancia y v es la del sonido en el aire quieto, resulta
que
ll’/ll = (v-V)/v , tomando V positivo para el caso de acercamiento y negati-
vo en el caso de alejamiento de la fuente.
Así resulta que la frecuencia percibida será
f’= v/ll’= v/ll.v/(v-V)= f. v/(v-V)
Si además también el observador se mueve a velocidad V’, percibe una
frecuencia diferente a la que percibiría cuando está quieto. Se puede razo-
nar que un observador en movimiento está bajo los efectos de un viento
que arrastra a las ondas hacia atrás, disminuyendo su velocidad. De tal
manera para el observador en movimiento a la velocidad V’ la velocidad
del sonido es v’=v-V’ , tomando como positiva la velocidad V’ en el sentido
de propagación.
De tal manera, la fórmula que expresa la frecuencia percibida cuando se
mueven observador y fuente, resulta
V’
AMBULANCIA
V

ÓPTICA GENERAL 25
25
f’= f (v-V’)/(v-V)
Por ejemplo si la ambulancia, que toca su sirena a f=1000 Hz se desplaza a
90 Km/h (V=25 m/s), y el observador va adelante en su bicicleta en la misma
dirección a V’=7m/s , percibe un sonido de
1000.(340-7)/(340-25)= 1,05714 f = 1057 Hz
Es fácil ver que cuando el ob-
servador se mueve a la veloci-
dad de las ondas (V’=v) la fre-
cuencia se hace cero. El trueno
no alcanza al avión negro de la
figura, que vuela a la velocidad
del sonido. En cambio cuando
la fuente se mueve a la veloci-
dad de las ondas (V=v), resulta
que la frecuencia f’ percibida
por el observador se hace infi-
nita, y toda la energía del soni-
do se acumula en una sola on-
da de choque. El paracaidista, prácticamente inmóvil, ve al avión negro
que se acerca, pero no oye el sonido de su turbina hasta que recibe la on-
da de choque... y el avión. El caza supersónico rojo (el de abajo) vuela a
una velocidad superior a la de las ondas (V>v) y produce una superficie de
choque cónica, de ángulo a (ángulo de Mach) tal que sen a = V/v.
La onda puede llegar a romper los vidrios de la torre de control.
Efecto Doppler-Fizeau para la luz
La fórmula anterior vale para el caso de ondas mecánicas pero no exac-
tamente para la luz (ni para ondas electromagnéticas cualesquiera). El
experimento de Michelson-Morley (véase más adelante) reveló que un ob-
servador en movimiento no detecta variación de la velocidad de la luz a
favor o en contra de la velocidad de translación, es decir que no percibe un
efecto equivalente al
viento del ejemplo
anterior. Todo pasa
como si el observa-
dor estuviera quieto y
la fuente se moviera
en relación a él con
velocidad relativa
VR=V-V’ Por ejemplo, por efecto del movimiento relativo entre ciclista y am-
V=v
V>v
aa
v.t
V.t
0,3 0,2 0,1 00,8 0,7 0,6 0,5 0,4
0,08 mmm
0,16 mmm
1 0,9
Espectro de comparación
Corrimiento al rojo del espectro de un cúmulo de galaxias en la
constelación austral de La Hidra, que se aleja a 60000 km/h
60000 km/h, en un cúmulo de La Hidra

ÓPTICA GENERAL 26
26
bulancia, el faro de ésta que emite luz cuya velocidad es c=3.108
m/s, a una
frecuencia de n=c/l, la que es percibida por el ciclista a una frecuencia im-
perceptiblemente mayor nn’=nn.c/(c-VR)20
. Así, la relación de frecuencias es
nn’/nn = 1/(1-VR/c) = 1,00000006
Corrimiento al rojo.
Una vez estudiado el efecto Doppler-Fizeau, se comprende que la luz de
una fuente en movimiento genere por descomposición (p.ej. al atravesar
un prisma) un espectro desplazado con respecto al de otra fuente igual fija.
Si se aleja, la frecuencia será menor, y el espectro se correrá hacia el rojo.
Por supuesto que para velocidades terrestres el efecto será imperceptible.
Pero en el cosmos, la cosa es diferente: allí la Naturaleza maneja las co-
sas “a lo grande”. El astrónomo norteamericano Slipher descubrió en 1912
que la mayoría de las galaxias tenían su espectro corrido hacia el rojo, lo
que interpretado a través del efecto Doppler es signo de que se alejan de
nosotros a grandes velocidades. En 1929, otro astrónomo norteamericano,
Edwin Hubble, determinó que dichos corrimientos hacia el rojo crecían con
las respectivas distancias a la tierra, lo que atribuyó a velocidades de ale-
jamiento proporcionales a la distancia, como si todo el universo estuviera
en continua expansión.
Por ejemplo, con el potente telescopio de Monte Palomar (USA) se ha ubi-
cado en la constelación austral de La Hidra un cúmulo de galaxias cuyo
corrimiento es de 0,08 micrómetros desde el extremo violeta hacia el azul,
es decir que para l=0,4 mm (violeta), la radiación se corre a ll’=0,4-
0,08=0,32 mmm
Calculemos su velocidad de alejamiento en base a la fórmula vista nn’=nn.c/(c-VR),
de donde
VR= c(1-n/n’) = c.(1-l’/l)= 60000 km/s , es decir el 20% de la velocidad de la luz.
Perturbaciones elásticas
Si producimos una deformación en una zona de un medio elástico, ésta
tiende a propagarse desde ese lugar, linealmente hacia los dos costados
en un medio unidimensional (como una cuerda de guitarra), radialmente en
un medio de dos dimensiones (como las olas en la superficie de un líqui-
do), o espacialmente en forma de esfera de radio creciente (propagación
del sonido y de la luz en espacios abiertos). Generalmente a partir del
punto donde nace el fenómeno (fuente) se pueden individualizar perturba-
ciones que se propagan en sentidos contrarios u opuestos, que podemos
llamar sentidos directo (hacia la derecha del origen) y retrógrado (hacia la
20
En realidad la fórmula exacta, que contempla la contracción del espacio y el tiempo de
Lorentz es la anterior por el factor [1-(VR/c)
2
]
1/2

ÓPTICA GENERAL 27
27
izquierda del origen) en el caso de un fenómeno en una sola dimensión
como en la cuerda de guitarra, .
La deformación del medio puede ser o bien en la dirección de la velocidad
(vibración longitudinal de un resorte, vibraciones en gases, sonido), o per-
pendicular a ella (vibración de cuerdas, superficies de líquidos, membranas
y placas). Se habla así de perturbaciones longitudinales o transversales
respectivamente. Como se verá luego, la luz es una vibración transversal.
En general la perturbación se extiende con amplitud decreciente en el
caso de fenómenos planos o espaciales, hasta el borde o los límites del
medio . Allí en general se refleja en dirección contraria con una perturba-
ción para el mismo lado o para el lado contrario a la incidente, dependien-
do alguna de las dos posibilidades de la rigidez del límite, como se explica-
rá luego al tratar específicamente la reflexión.
La velocidad con que se desplaza esa deformación depende en general
de características mecánicas del medio, su estado y su extensión (elastici-
dad, peso específico, cohesión, viscosidad, tensión, dimensión, etc.).
La amplitud o altura de la ola va disminuyendo con la distancia al punto de
formación. Esta disminución se debe a que la energía total de la perturba-
ción se conserva igual durante todo el desarrollo del fenómeno: al ser la
onda cada vez más larga ya que aumenta continuamente su radio, su
energía de altura o potencial se reparte en un perímetro creciente. Por lo
tanto la energía (o altura) por unidad de longitud es cada vez menor. Si la
perturbación es en tres dimensiones la onda es esférica y como la superfi-
cie de una esfera es proporcional al cuadrado de radio, la energía específi-
ca (por unidad de superficie) disminuye con el cuadrado de la distancia al
origen. En la práctica la disminución es aún mayor que la prevista en flui-
dos ideales, en los que no hay pérdida de energía. En medios reales hay
fuerzas de fricción interna que producen calor. El calor es una forma de
energía no recuperable que se difunde en toda la masa de fluido. Así se
observa que en realidad la amplitud decrece en mayor medida que el radio
o la superficie, como sería en un medio sin fricciones internas.

ÓPTICA GENERAL 28
28
Mecanismo de propagación de las perturbaciones elásti-
cas
Por ejemplo: una piedra que cae en la superficie del agua tranquila de una
pileta forma la consabida perturbación circular de radio creciente con velo-
cidad constante. La piedra
desplaza al agua formando un
hoyo. El líquido desplazado
empuja a las porciones conti-
guas, que se elevan por enci-
ma de la superficie en una
cresta, transformando así el
trabajo de la piedra sobre el
agua en energía potencial .
Podemos explicar el desplazamiento de esa cresta circular con una cierta
velocidad, considerando que la monta-
ña de líquido desciende por gravedad y
desplaza a su vez el agua sobre la que
cae, deprimiéndola como lo hizo la pie-
dra y transfiriendo su energía al líquido
contiguo de la misma forma. Es decir
que cada partícula de líquido elevado
en una cresta genera después una
perturbación al caer. Las ondas u olas
en la superficie de líquidos son fenó-
menos ondulatorios gravitacionales y
por lo tanto su velocidad está relacio-
nada con las fuerzas de gravedad que actúan sobre los medios (densidad
y gravedad)
Principio de Huygens
Este modelo de ondas en el agua sugirió a Cristian Huygens su célebre
principio (Traité de la Lumière , 1690) que dice que "todo punto de un me-
dio alcanzado por una perturbación es centro de una nueva perturbación
secundaria". Esta nueva perturbación, circular en el caso de ondas en la
superficie o esférica cuando estamos en un medio de tres dimensiones,
fue llamada por Huygens "perturbación secundaria" debido a que no tiene
efectos visibles por si sola ya que su amplitud es muy pequeña.
En cambio cuando actúa junto a otras provenientes de puntos contiguos,
suma su efecto al de las demás en una zona que se llama envolvente de
las perturbaciones circulares secundarias. Esta superposición de efectos
Posiciones sucesivas de una piedra cayendo en el agua
P1
P2
P3
V
Propagación de un frente de onda
plano como envolvente de ondas
secundarias generadas en puntos
contiguos P1, P2, P3, ...
?

ÓPTICA GENERAL 29
29
en una envolvente común a todas las ondas secundarias es el frente de
onda o cresta visible de la perturbación que se propaga.
El principio de Huygens no es una explicación cabal del fenómeno, pero
funciona aceptando que "todo pasa como si" así fuera la cosa. En parti-
cular no es evidente porqué la perturbación secundaria procede en un
solo sentido, el de avance, y no se notan los efectos de la perturbación
retrógrada que deberían necesariamente existir en el proceso de genera-
ción descripto21
.
Todo pasa como si las perturbaciones secundarias reconocieran el sentido
de avance del frente de onda principal y se generaran solamente en dicho
sentido.
Recién en el siglo XIX , Kirchhoff desarrolló matemáticamente una teoría
en la que las ondas secundarias tienen amplitud máxima en el sentido de
la velocidad de la perturbación principal y amplitud nula en el contrario
(factor de oblicuidad). Con ello hizo más consistente el principio de Hu-
ygens, aunque no más intuíble. Herramientas matemáticas como la que
preparó Kirchhoff no aportan una explicación cabal de lo que ocurre en
realidad. Sin embargo muestran que la compleja realidad de las cosas se
puede generalmente modelizar con entes abstractos.
Las ondas secundarias son sin embargo más que
un mero artificio. Se ponen de manifiesto intercalan-
do en el camino de las ondas principales un tabique
con una brecha. Si la brecha es de un tamaño con-
siderablemente mayor que el la longitud de onda, se
observa que las ondas se propagan detrás del tabi-
que con una pauta geométrica: el centro de perturbación y la brecha de-
terminan rectas que limitan a ambos lados el camino de las ondas que pa-
san. En los límites de esos frentes de onda se nota el efecto de la onda
secundaria producida por el punto del extremo (detalle aumentado en el
dibujo).
21
Estas ondas retrógradas aparecen, sin embargo, cuando se impide la formación de la onda
progresiva, por ejemplo interponiendo un obstáculo. (Véase “REFLEXIÓN DE LAS ONDAS”)

ÓPTICA GENERAL 30
30
Difracción producida por una ranura
En cambio si la brecha es francamente menor
que la longitud de onda, detrás del tabique se
propagan ondas circulares de pequeña ampli-
tud con centro en el medio de la ranura. Este
fenómeno se conoce como difracción produci-
da por una ranura estrecha y se explica per-
fectamente con el principio de Huygens. La
estrechez de la ranura hace que sólo se pro-
pague detrás del tabique el efecto de una pe-
queña porción del frente de onda. Éste puede
identificarse prácticamente con un punto del medio en la medida de que se
haga la ranura suficientemente angosta. Se debe notar que la longitud de
onda de las ondas secundarias se mantiene, y por lo tanto también lo hace
su velocidad. Para no complicar el dibujo, en la figura no se han marcado
las ondas reflejadas por el tabique rígido, que de hecho existen y de las
que se hablará a continuación,
Reflexión de las ondas
Si una onda encuentra en su camino un cambio de medio de propagación,
en parte se transmite (pasa al segundo medio) y en parte se refleja sobre
esa superficie de sepa-
ración. Si el segundo
medio es absoluta-
mente rígido, la refle-
xión es total y con sen-
tido contrario. El prin-
cipio de Huygens ilus-
tra sobre estos fenó-
menos: En cada punto
del medio próximo a
esa superficie de separación se genera la famosa onda secundaria al ser
alcanzado por la perturbación. Como esa onda secundaria no puede for-
marse libremente hacia adelante, ya que el medio no lo permite parcial o
totalmente, dejan de tener amplitud nula las ondas secundarias regresivas
de las que se habló al tratar el principio de Huygens, cuya existencia echá-
bamos de menos... El conjunto de ondas regresivas tiene una envolvente;
es el frente que retrocede, o sea la onda reflejada. Si la pared de reflexión
es plana, las ondas reflejadas parecen provenir de un punto simétrico a la
fuente, con respecto a la pared reflectora. Este punto es la imagen de la
fuente. Cuando una onda se refleja en un medio más rígido que el de ori-
λ λ
fuente imagen de la fuente
ondas directas
ondas reflejadas MEDIO
RÍGIDO
MEDIO
ELÁSTICO

ÓPTICA GENERAL 31
31
gen, en la reflexión cambia de signo su fase. Si el medio es menos rígi-
do, la onda reflejada no experimenta cambio de fase22
.
Movimiento oscilatorio de un punto
Cuando un punto del medio es alcanzado por una onda, oscila a la fre-
cuencia de aquélla hacia ambos lados de la posición de equilibrio. Por su-
puesto que la forma de la onda puede ser cualquiera, desde la sinusoidal
más simple hasta la rectangular, pasando por un perfil caprichoso como el
del Aconcagua.
Aprovechándonos de los trabajos de Jean Baptiste Fourier, quién de-
mostró en 1822 que una onda de forma cualquiera podía considerarse co-
mo una superposición de efectos simples sinusoidales
23
, estudiaremos la
cuestión matemáticamente suponiendo movimientos sinusoidales.
Ecuación del movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio de un punto del medio en el que se producen
ondas sinusoidales, se puede hacer corresponder al extremo de la proyec-
ción vertical y de un radiovector giratorio r que da una vuelta por cada os-
cilación completa a la
velocidad angular ωω.
Su módulo r (la longitud
del vector) es igual a la
mitad de la amplitud má-
xima de la oscilación. El
ángulo αα que mide la in-
clinación del vector se llama argumento: cero y 180º cuando está acostado
hacia la derecha o izquierda, 90º y 270º cuando está hacia arriba y hacia
abajo respectivamente. El argumento es función del tiempo. Esto se ex-
presa poniendo αα=ωω.t siendo ωω la velocidad angular de giro del radiovec-
tor. La posición del punto con respecto a la de reposo es
y = r.sen aa == r.sen vvt
El radiovector da una vuelta entera (α=2πα=2π) en un período de tiempo T (el
período es la inversa de la frecuencia f=1/T).
Así que es vvT=2pp y vv=2=2pp/Τ/Τ
22
La onda reflejada interfiere con la principal, creándose un sistema de ondas estaciona-
rias, con puntos fijos donde no hay vibración (nodos) y puntos donde la vibración es máxima
(vientres). Que el punto de reflexión sea un nodo o un vientre depende de la rigidez del medio
reflector.
23
Fourier demostró en que una onda de forma cualquiera puede considerarse formada por
una suma de ondas sinusoidales de amplitudes y períodos decrecientes (serie de ondas ar-
mónicas).
α=ωt
r
y=r.sen αα
y
t
T 2T 3T
0
αΤ/(2π)

ÓPTICA GENERAL 32
32
Entonces podemos poner y = r.sen 22pp/Τ./Τ.t , o sea que la ecuación de la
posición de un punto que oscila es una sinusoide en el tiempo
Ángulo de fase
La diferencia entre los argumentos correspondientes a dos puntos fijos del
medio en oscilación, se mantiene constante. A esta diferencia de ángulos
se la llama ángulo de fase, de desfasaje o de diferencia de fase. Podemos
elegir como cero la fase del origen del movimiento, o sea la fase de la
fuente en caso de haber una sola. Así, los puntos del medio donde se pro-
ducen las ondas tienen una diferencia de fase con respecto al origen pro-
porcional a su distancia de éste a la fuente. Si esa distancia es igual a una
longitud de onda, la diferencia de fase es 2ππ o 360º.
En general entre una distancia ∆∆x y una diferencia de fase ∆φ∆φ vale la rela-
ción:
∆∆x/∆∆ff=ll/(2pp)
Ecuación de la onda
Es la que da la elongación (aparta-
miento del punto de equilibrio) del
medio que vibra (por ejemplo la altu-
ra del agua sobre el nivel medio) Di-
cha elongación es una función de la
posición del punto (la distancia al
origen) y del tiempo.
Por ejemplo, en un medio unidimen-
sional como una cuerda tensa, en la
que se propagan ondas sinusoidales
de amplitud 2A a una velocidad v=λ/T y una frecuencia f=1/T , siendo tam-
bién ω=2π/Τ , la ecuación de una onda sinusoidal es:
y(t,x)= A sen 2π/Τ (t + x/v)
Comprobación de la fórmula:
En el origen y el comienzo es x=0 t=0. Entonces y=0 (La figura empieza en el origen,
lo cual está de acuerdo con el dibujo)
Cuando t=19T/4 y x=4λ (último caso de la figura) resulta
y=A.sen 2π/T(19T/4+4T)= A.sen 2π.(35/4)= A.sen (17,5 π)= A (también de acuerdo
con el dibujo)
t=4T
t=17T/4
t=9T/2
t=19T/4
x
INSTANTÁNEAS SUCESIVAS DE UNA ONDA
x
x
x
2A
x=4
λ
y=A

ÓPTICA GENERAL 33
33
La ecuación de una onda es una sinusoide en el espacio que se desplaza a la
velocidad v . Esa velocidad se llama “velocidad de fase de las ondas”, para
diferenciarla de otra velocidad que describiremos luego para el caso de on-
das NO monocromáticas, es decir de grupos de ondas que son superposición
de varias ondas sinusoidales simples. Este grupo de ondas tiene una veloci-
dad aparente de conjunto, llamada “velocidad de grupo” .
Refracción de las ondas
Ya vimos que cuando una onda incide
sesgada en la superficie de separación
entre dos medios en los que tiene dife-
rente velocidad de propagación, sufre un
quiebre en la dirección de su trayectoria
o rayo representativo. Este fenómeno se
llama refracción. Vimos también que la
luz avanza por el camino más rápido y
en consecuencia la dirección del rayo
forma con la normal a la superficie de
separación de los medios (o interfase) un ángulo mayor en el medio en
que la velocidad es mayor. La relación entre los senos de los ángulos es la
misma que la de las velocidades en los medios respectivos.
El principio de Huygens explica adecuadamente cómo se produce la re-
fracción: Cada punto de la interfase tocado por el frente de onda F que se
desplaza a velocidad v1 comienza a ser centro de una nueva perturbación
que se propaga en el otro medio a velocidad v2. Al cabo de un período T la
perturbación originada en P1 forma un semicírculo C1 de radio λλ2=v2.T y el
frente de onda alcanza al punto P2. La semirecta que nace en P2 y es tan-
gente a C1 es el nuevo frente de onda correspondiente al rayo refractado.
Al cabo de otro período T el frente de onda del rayo incidente F alcanza al
punto P3 y mientras tanto C1 se amplió hasta C2.
Considerando los triángulos rectángulos P1 R P2 y P1 Q P2 resulta que:
RP2/P1P2 = sen î y también es QP1/P1P2 = sen r , de lo cual se deduce:
sen î/sen r = RP2/QP1 = λλ1/λλ2 = v1/v2
= índice de refracción , que es la ley que
rige el fenómeno de la refracción.
Esta ley, atribuida al físico Snell, se enuncia diciendo que los senos de los
ángulos de incidencia y refracción están en razón directa con las longitu-
des de onda o las velocidades en los medios respectivos. Para dos medios
en condiciones físicas normales, esta razón es constante y característica
î
r^
F
P1 P2
P3C1
C2
λ2λ2
λ1λ1
Q
R
= v1.T
= v2.T
rayo refractado
rayo incidente
r^
î
rayo reflejado

ÓPTICA GENERAL 34
34
de la dupla de medios. Se la llama índice de refracción del sistema medio1
/ medio2 . Tomaremos la convención de designar medio 1 al de donde vie-
ne la perturbación y medio 2 el medio hacia donde va la perturbación. Co-
mo se ve en el dibujo el rayo se acerca a la normal en el medio de menor
velocidad (el 2).
En el dibujo también figura el rayo reflejado, cuyos frentes de onda son la
envolvente de las ondas secundarias en el medio superior. La suma de las
intensidades de los rayos reflejado y refractado es la intensidad del rayo
incidente: esto es así en medios perfectamente pulidos (que reflejan sin
dispersar) y transparentes (que transmiten sin absorber), es decir en caso
de que no se produzcan pérdidas de energía en el proceso de refle-
xión/refracción.
INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN
Se llama interferencia a la acción resultante de dos o más ondas sobre un
punto del medio. En particular es importante la interferencia de dos ondas
de igual frecuencia y amplitud. Según la diferencia de fase que presenten
en el punto, compondrán sus efectos de diferente manera. Si difieren en
180º (ππ) , el resultado de su acción simultánea es la anulación del movi-
miento oscilatorio en el punto considerado. Si no hay desfasaje o la dife-
rencia de fase entre ambas perturbaciones es de un número entero de
vueltas, 360º, 720º, o en general 2.n.ππ (para n=1,2,3...) el resultado es un re-
fuerzo de la acción conjunta. En general la resultante de la acción combi-
nada de dos ondas sinusoidales de igual frecuencia en un punto se puede
expresar como la suma vectorial de los radio-vectores representativos del
movimiento oscilatorio armónico correspondientes (cada uno con su am-
plitud y su fase).
Interferencia produ-
cida por dos rendijas
separadas de corta
distancia (doble ren-
dija)
En este caso, se produce
interferencia entre las per-
turbaciones secundarias
originadas en las rendijas,
que si son equidistantes de
la fuente principal F, cons-
tituyen un par de fuentes INTERFERENCIA EN UNA DOBLE RENDIJA
líneas de máxima perturbación
zona central (máxima perturbación)
líneas de quietudP
Q
3 l/2
P
Q
l
F

ÓPTICA GENERAL 35
35
sincrónicas (que oscilan al unísono, con igual frecuencia y fase). Se verifi-
ca quietud permanente en puntos tales como P, que reciben la influencia
de las rendijas con diferencia de fase de 180º+ n vueltas, porque distan a
las respectivas rendijas caminos diferentes en un número impar de semi-
longitudes de onda (2n+1)λλ. Asimismo, hay perturbación máxima en puntos
como Q, para los que la diferencia de caminos vale un número entero n de
longitudes de onda, correspondientes a diferencias de fase de 360º.n
Experiencias con una cuba de ondas
Construcción de una cuba de on-
das
Una cuba de ondas es un dispositivo muy
sencillo que permite ver con comodidad las
ondas que se producen y propagan en la su-
perficie de un líquido. Se compone de un re-
cipiente rectangular de plástico o metálico, de
aproximadamente 30 cm de largo x 20 cm de
ancho y 10 cm de profundidad y un vibrador
para producir impulsos periódicos en el líqui-
do. Conviene que el borde interior de la cuba
se recubra con una banda de espuma de
goma e, para evitar la formación de ondas
reflejadas. El vibrador puede ser un alambre
acerado doblado en forma de horquilla D, con
una punta en el líquido y la otra insertada en una base pesada B. El aparato se hace vibrar
como un diapasón. Un contrapeso desplazable C sobre una rama del diapasón altera la fre-
cuencia de oscilación.
Experiencias
La cuba se llena de agua hasta un nivel un poco superior a la punta vibrante, y el conjunto se
coloca bajo una fuente de luz potente de rayos paralelos (lo ideal es la luz solar) de manera
que la superficie del líquido refleje los rayos sobre una pantalla P convenientemente coloca-
da, sobre la que se observarán perfectamente las perturbaciones creadas en aquella.
Del ancho de la cuba y de manera que encajen perfectamente en ella se preparan 3 tabiques
t de madera o metal: el primero con una abertura de 5 mm de ancho en su parte media; el
segundo con una abertura de 50 mm y el tercero con dos aberturas de aproximadamente 5
mm de ancho separadas por 1 cm . Con estos elementos se harán las siguientes experien-
cias:
• Experiencia 1 - Observación de ondas circulares: Se pulsa el diapasón y se obser-
van las perturbaciones circulares igualmente espaciadas. Corriendo el contrapeso se va-
ría la frecuencia: hacia la izquierda aumenta (la distancia entre circunferencias contiguas
disminuye) y hacia la derecha la frecuencia disminuye (las distancia entre circunferen-
cias es mayor). Se dibujará lo observado sobre la pantalla.
• Experiencia 2 - Observación de difracción de ondas producidas por una ranura
ancha. Se coloca el tabique con la ranura de 50 mm se pulsa el diapasón y se observa
CUBA DE ONDAS
C
P
D
B
t
e

ÓPTICA GENERAL 36
36
el dibujo de las ondas a uno y otro lado del tabique: Se dibujará lo observado sobre la
pantalla con la mayor fidelidad posible.
• Experiencia 3 - Observación de difracción de ondas producidas por una ranura
estrecha . Se coloca el tabique con la ranura de 5 mm , se pulsa el diapasón y se ob-
serva en la pantalla el dibujo de las ondas a uno y otro lado del tabique: Se dibujará la
figura proyectada sobre la pantalla con la mayor fidelidad posible.
• Experiencia 4 - Observación de la figura de interferencia producida por dos ranu-
ras estrechas separadas por corta distancia. Se coloca el tabique con la doble ranu-
ra, se pulsa el diapasón, se observará y dibujará con la mayor precisión posible lo refle-
jado en la pantalla.
Experiencia de Young
A principios del siglo XIX el físico inglés Thomas Young (1773-1829) rea-
lizó una célebre experiencia: Hizo dos agujeritos muy juntos con la punta
de una aguja de coser sobre una tarjeta de cartón negro, y observó que la
luz de una fuente lejana convenientemente filtrada para obtener un solo
color, que incidía sobre este dispositivo no producía, como era de esperar,
dos manchitas o puntos de luz sobre una
pantalla colocada del otro lado. Sobre la
pantalla de veían una serie de manchas
claras sobre un fondo oscuro. Lo que ocu-
rre aquí es un típico fenómeno de interfe-
rencia y puede entenderse admitiendo que
la luz está compuesta por ondas. El fenó-
meno puede recrearse en el agua, me-
diante la cuba de ondas, como ya se vio.
El equivalente óptico de la doble ranura de
la cuba de ondas, es una doble rendija por
la que pasa luz. Un dispositivo de doble
rendija se prepara convenientemente ha-
ciendo sobre un vidrio pintado de negro dos
rayas muy próximas en la pintura con dos
hojitas de afeitar separadas por un papel.
La interferencia que se produce por dos rendijas paralelas y largas (sepa-
radas por unas décimas de milímetro) tiene una simetría a lo largo de un
eje, con el aspecto mostrado en la figura. Si el ángulo α es pequeño, o sea
si la distancia D a la pantalla es grande comparada con la longitud de onda
y la separación x entre rendijas, se verifica para la zona oscura más próxi-
ma situada a cualquiera de los lados de la franja brillante central (ver figura
adjunta):
d/D = tg αα ≈≈ λλ/(2x) = sen αα , ya que el seno, el arco y la tangente de ángulos
pequeños son casi iguales.
D
d
λ/2
x
α
zona oscura
λ
Franja brillante central
α
d

ÓPTICA GENERAL 37
37
Se deduce de la cuasi igualdad anterior que
λλ=2xd/D
La longitud de onda λλ de la radiación de la fuente empleada para iluminar
el dispositivo de doble rendija (cuya distancia x se conoce) se determina
fácilmente midiendo la distancia d entre la franja brillante central y la pri-
mera zona oscura sobre la pantalla situada a la distancia D24
Por ejemplo, iluminando con luz amarilla de sodio (λ=0,59 micrones) un
dispositivo de doble rendija a x=0,5 mm , se obtienen sobre la pantalla que
está a 1 m , franjas separadas de zonas oscuras a una distancia 2d =
λλ.D/x = 0,59.10
-6
.1/5.10
-4
= 1,18.10
-3
m, o sea aproximadamente 2 mm
Efecto de obstáculos a la propagación de ondas
El efecto de interponer un objeto que
corte el paso a las ondas depende de
su tamaño frente a la longitud de onda
y a la distancia al objeto. La aplicación
del principio de Huygens explica que
muy cerca del escollo se note la falta
de la onda secundaria que el obstáculo no permitió que pasara en el punto
donde se encuentra. También es lógico pensar que en puntos más aleja-
dos la falta de ese pequeño aporte no se note frente a la gran cantidad de
pequeños efectos que suministran el resto de los puntos contiguos al del
obstáculo. Por ejemplo, un poste clavado en el agua cerca de la orilla ex-
tiende su efecto poco más allá del lugar y no produce efectos apreciables
en las olas que llegan a la costa. En cambio un muelle flotante de exten-
sión y calado mucho mayores, protege de las olas al barco amarrado y a la
costa próxima.
DIFRACCIÓN
Difracción creada por orificios y ranuras
Cuando una onda pasa a través de orificios o ranuras de dimensiones va-
rias veces superiores a las de la longitud de onda (por ejemplo algunas
centésimas de milímetro en el caso de la luz) se produce un efecto llamado
difracción. Por ejemplo en una pantalla detrás de un agujero pequeño
iluminado aparece una mancha brillante central bordeada de una franja
oscura y un anillo iluminado. Es la misma imagen que se ve en un telesco-
pio de una estrella lejana, producida por la concentración de los rayos pa-
24
Como las franjas están muy aproximadamente igualmente espaciadas entre sí, en realidad
se mide la distancia que ocupan varias franjas, por ejemplo diez o veinte, y se divide por el
doble de ese número para obtener la distancia entre una zona clara y otra oscura.
muelle flotante
poste
costa

ÓPTICA GENERAL 38
38
ralelos en el foco del objetivo. Se explica esta figura considerando que el
agujero limita un frente de onda que está formado por muchos elementos
que emiten cada uno de ellos una onda secundaria: la interferencia de es-
tos efectos secundarios produce el anillo alrededor de la mancha brillante
central. (En realidad se trata de una serie de anillos de brillo decreciente
con el diámetro, de los cuales normalmente se nota claramente el prime-
ro). Gracias a este fenómeno de difracción podemos "ver" una estrella, que
es un punto luminoso sin extensión: No parece posible apreciar objetos
sin extensión (de dimensión nula) ni con la vista ni con otro instrumento de
detección. Sin embargo la vista lo puede: la imagen de un punto luminoso
se transforma en la retina de nuestro ojo en una mancha de difracción ex-
tensa y por lo tanto visible.
La explicación del fenómeno de difracción causado por rendijas u orificios de
un tamaño mediano, se comprende admitiendo que la parte de la onda que deja libre el agu-
jero en cuestión emite varias ondas secundarias que inter-
fieren entre sí. Podríamos pues considerar una rendija de
tamaño mediano como una doble rendija sin el tabique de
separación entre ambas. En efecto, los aportes de cada
rendija sobre un punto de la pantalla se pueden repre-
sentar por vectores elementales con una cierta diferencia
de fase, dependiendo ésta de la diferencia de camino con
respecto a cada rendija. Ahora bien, suponiendo que se
quitara el tabique central que separa ambas rendijas, esta-
ríamos permitiendo el aporte de zonas intermedias, que
llegarían con diferencias de fase también intermedias con
respecto a las extremas. El resultado es que, por ejemplo,
cuando para dos rendijas se produce anulación sobre un
punto de la pantalla, si quitamos el tabique, se agregan
entre los vectores extremos en oposición de fase una serie
de aportes intermedios que transforman la ida y vuelta (de
resultante nula) en una poligonal abierta (de resultante no
nula). Esa poligonal pasa a ser arco en cuánto hagamos
un análisis infinitesimal tomando un número cada vez mayor de zonas intermedias cuyos
aportes serán cada vez menores. El arco, siempre de la misma longitud, se cierra en circun-
ferencia completa cuando los aportes extremos están en fase, o sea que la diferencia de ca-
minos es un número entero de longitudes de onda. Es decir que la condición de máximo para
dos rendijas se transforma en anulación si eliminamos la zona de tabique intermedia. Aleján-
donos del punto de esa primera anulación, se obtienen nuevamente amplitudes crecientes,
hasta que el aporte de todas las zonas puede representarse con un arco de la misma longi-
tud, pero enroscado una vuelta y media. Una nueva anulación se produce cuando la diferen-
cia de camino entre extremos de rendida es del doble de la longitud de onda. En ese caso el
arco se enrosca dos veces sobre si mismo. El resultado sobre la pantalla es una zona bri-
llante central que se va desvaneciendo, y reaparece luego con menor intensidad para volver
a extinguirse. Los sucesivos anillos (en el caso de un agujero circular) o franjas (para una
rendija larga) cada vez de menor brillo, son difíciles de ver pero existen y se detectan de
acuerdo al modelo expuesto, por ejemplo haciendo una fotografía de gran exposición.
todos en fase
1/2 vuelta
1 vuelta
(resultante nula)
1 ½ vuelta
INTENSIDAD SOBRE LA
PANTALLA

ÓPTICA GENERAL 39
39
Relación entre intensidad y amplitud. La amplitud de las ondas está relacionada
con la energía que portan. Para hacer oscilar una partícula de un medio elástico hay que
desplazarla de su posición de equilibrio venciendo una fuerza que en general depende de la
distancia al punto de equilibrio (elongación). El trabajo necesario para iniciar tal movimiento
es la medida de la energía vibratoria de la partícula y viene medido por el producto de fuerza
aplicada y distancia. Como aquélla depende de ésta, el producto la contendrá dos veces, es
decir que la energía dependerá de la distancia elevada a una potencia superior a la unidad.
Si la masa está unida a un resorte al que hay que aplicar una fuerza proporcional a su elon-
gación, entonces la energía dependerá de esa elongación al cuadrado (que es el caso más
común). Por ese motivo, la energía de una onda está relacionada en general con el cuadrado
de su amplitud: aumentando la amplitud al doble, la energía crecerá cuatro veces. La luz no
escapa a esta regla: la intensidad percibida es una medida de la potencia de la radiación que
nos llega y depende del cuadrado de la elongación o amplitud de su correspondiente vibra-
ción. Cuando analizamos, por ejemplo, que la relación entre amplitudes de las franjas de
interferencia central y la de la zona que corresponde al máximo siguiente (1½ vueltas) es de
1/(3π/2) = 0,212 no debemos suponer que las intensidades respectivas están en la misma
relación, sino que vale el cuadrado de este valor. Así, si la mancha central tiene una intensi-
dad evaluada en 1, la primera franja tendrá una intensidad (0,212)
2
=0,0449 o sea menos de
un 5% del brillo de la central. Por eso es casi imperceptible a los ojos.
Color y longitud de onda
Hasta ahora estudiamos los fenómenos ópticos con un modelo ondulatorio
en el que el rayo poseía longitud de onda única, o mejor dicho, se repre-
sentaba a la luz como una radiación simple. Pero ocurre que la luz blanca,
como la que producen las fuentes más comunes (sol, llamas, lámparas de
incandescencia) puede considerarse formada por una infinita cantidad de
radiaciones de todas las longitudes de onda dentro del intervalo que va
desde el rojo oscuro (0,8 µµm) hasta el violeta oscuro (0,4 µµm), sin solución
de continuidad y con una intensidad aproximadamente constante. Cada
rayo de determinada longitud de onda produce una determinada sensación
de color en nuestra vista. Se puede aproximar a una luz prácticamente
monocromática la que emite el vapor de sodio, o la que emerge después
de hacer pasar luz blanca a través de una serie de filtros que van retenien-
do las radiaciones que salen afuera de un estrecho intervalo de longitud de
onda. Como los rayos, independientemente de su longitud de onda, tienen
en el vacío todos la misma velocidad, no hay inconvenientes en represen-
tarse un rayo de luz blanca o policromática de la manera anterior: una
superposición de rayos de distintos colores. ¿Qué pasará en un medio re-
fringente, como el agua o el vidrio?. Sabemos que allí la velocidad crece
con la longitud de onda y los rayos rojos de un haz de luz blanca se mue-
ven más rápido que los violeta, así que éstos se refractarán más que
aquéllos cuando el rayo blanco incida sesgado en una superficie refrin-
gente. También es de esperar que el rayo blanco no solo se desdoble en el
espacio sino también en el tiempo, es decir que su parte roja “vaya ade-
lante” y se distancie de su parte azul dentro del vidrio. En cierto modo la
luz blanca dentro del vidrio se disgrega igual que un pelotón de ciclistas

ÓPTICA GENERAL 40
40
DESCOMPOSICIÓN DE LA LUZ SOLAR
VIOLETA
ROJO
EN UNA GOTA DE LLUVIA
ROJO
VIOLETA
DESCOMPOSICIÓN DE LUZ
SOLAR EN UNA GOTA
en el embalaje final, perdiendo así su parte más avanzada el carácter de
blancura o policromatismo25
.
Temas complementarios
Espectros
Cuando una onda formada por
varias radiaciones simples (mo-
nocromáticas) sufre refracción o
difracción, se descompone en las
radiaciones que la forman dando
origen a lo que se llama un es-
pectro. El espectro de una radia-
ción compuesta es una figura
donde aparecen las radiaciones
simples que la componen con su
intensidad, distribuidas según su
frecuencia. Todos conocemos el
arco iris: es un espectro de la luz
solar descompuesta al refractarse
en las gotas de lluvia.
Los espectros pueden ser de emisión o de absorción, según provengan de radiación emitida
o absorbida por la materia .
También se clasifican según su estructura en:
a) Continuos, como el arco iris, cuando provienen de la descomposición de una radiación
compuesta por ondas cuyas frecuencias forman un intervalo sin solución de continuidad.
Como se verá en el capítulo de radiación térmica, los cuerpos calientes son fuentes de
radiación de espectro continuo (radiación de temperatura).
b) De bandas, cuando están formados por pedazos de espectros continuos separados por
zonas oscuras. Pueden producirse al pasar luz por medios que absorben radiación de
determinadas frecuencias, que al no integrar la luz emergente dejan oscuro el intervalo
correspondiente del espectro.
25
El tratamiento matemático revela que un grupo de ondas de diferente velocidad en un me-
dio que no sea el vacío, se caracteriza por esas velocidades v de fase , diferentes para
cada onda del grupo, y además por la velocidad u del grupo, tomado como “pelotón”. La
relación entre ambas es :u = v -λλ.dn/dλλ , es decir que en la generalidad de los casos la velo-
cidad de grupo es menor que la de fase más rápida, (medios en los que el índice de refrac-
ción crece con la longitud de onda, dn/dλ > 0 , como la luz en el vidrio). Sin embargo, hay
casos en que el índice de refracción disminuye con la longitud de onda (rayos X en el vidrio,
dn/dλ < 0), presentándose entonces el curioso fenómeno de que la velocidad de grupo es
superior a la de fase, es decir que el grupo de ondas se adelanta a sus propios componentes.
Así se puede dar el caso de que un grupo de ondas de rayos X en el vidrio tenga mayor velo-
cidad que la de la luz en el vacío, planteándose así una aparente contradicción con el postu-
lado relativista que considera que energía o información no pueden viajar más rápido que la
luz.

ÓPTICA GENERAL 41
41
c) De rayas, cuando las radiaciones constitutivas son monocromáticas en número discreto,
como la luz emitida por un tubo de neón (radiación atómica).
Rayas de Fraunhofer
Si se observa con atención el espectro solar y los de otros cuerpos celestes con luz
propia, se observan una serie de rayas negras distribuídas sobre la banda colorea-
da. El físico alemán Fraunhofer, en 1814 detectó y catalogó más de 500 de ellas en
el espectro solar. La ubicación de las rayas negras en los espectros estelares coin-
ciden con las rayas brillantes de los espectros de emisión atómica de los elementos
presentes en sus atmósferas, los que por estar más fríos que la fuente, absorben
en la misma frecuencia que emiten cuando están excitados. En el espectro solar es
fácil ver las rayas negras del sodio (en el amarillo), la del helio (en el verde), las del
hidrógeno (en el azul), etc. Fraunhofer llamó a las más notables con letras de la A a
la G
Redes de difracción
Las redes de difracción son dispositivos que sirven para producir espectros de
difracción más intensos que los de una simple ranura. Se basan en la acción con-
junta de una gran cantidad de ranuras estrechas que suman o potencian sus
efectos de difracción en la forma que se explicará.
Redes: Se forma una red de difracción de transmisión (o transparencia) rayando
un vidrio o película transparente a la radiación con una gran cantidad de trazos
paralelos muy juntos (algunas decenas por mm) de ancho uniforme b a igual dis-
tancia a por los que no pasa la luz, separados por zonas lisas de ancho (a-b) por
las que la radiación se transmite a través de la película. El rayo incidente en el sur-
co se refleja en gran parte y el resto se refracta en otra dirección que la de los ra-
yos que pasan por las zonas lisas. Así el surco constituye un obstáculo equivalente
a una barra que, sin llegar a ser opaca, es mucho menos transmisora de luz. A la
distancia a se la llama constante de la red. Su inversa es la cantidad de rayas por
unidad de longitud.
a
b

ÓPTICA GENERAL 42
42
Funcionamiento: El efecto de una red se com-
prende a partir de la difracción producida por ca-
da una de las rendijas cuyo efecto individual ya
vimos y supondremos conocido por el lector. Los
aportes de varias rendijas en una dirección de
salida caracterizada por el ángulo α , se suman
vectorialmente como indica la figura que repre-
senta una de tres rendijas. Consideremos inci-
dencia normal al plano de la red. Así resulta:
φφ1/x1=2.π/λπ/λ de donde φφ1=2.π/λπ/λ.x1 y también
φφ2=2.π/λπ/λ.x2
x1=(a-b).sen(αα) ; x2= b.sen(αα)
φφ1=2.π/λπ/λ.(a-b).sen(αα) y también
φφ2=2.π/λπ/λ.b.sen(αα)
El vector amplitud aportado por cada rendija tiene
una intensidad igual a la cuerda del arco correspondiente a φφ1 o sea 2.r.sen(φφ1/2) y su argu-
mento es φφ1/2 . Cada aporte tiene un valor vectorial Ai de manera que:
A1 = módulo 2.r.sen(φφ1/2), argumento [φφ1/2]
A2 = módulo 2.r.sen(φφ1/2), argumento [(φφ1/2)+φφ1+φφ2]
A3 = módulo 2.r.sen(φφ1/2), argumento [(φφ1/2)+2(φφ1+φφ2)]
La suma vectorial A1+A2+A3 es la amplitud Aαα para la dirección α considerada.
Red de N rendijas: Para una red de N rendijas podemos generalizar el resultado diciendo
que el módulo se mantiene y los argumentos suce-
sivos forman una serie cuyo último término es
[(φφ11/2/2)+(+(N-1)(φ)(φ11+φ+φ22)) ]
Si nos fijamos en la figura vemos que la resultante
es equivalente a la de tres fuentes sincrónicas sim-
ples (tipo Young) separadas por una distancia a ,
cada una de ellas con un módulo Ai correspondiente
a la de una ranura de ancho finito (a-b). Se com-
prende que el fenómeno es equivalente a una multi-
plicación de ambos efectos (el de las N fuentes y el
de una ranura), de manera que basta que uno solo
de ellos sea nulo para que la amplitud del otro re-
sulte multiplicada por cero cuando dan el efecto
resultante.
x1
x2
b
(a-b)
PRINCIPIO DE LA RED DE DIFRACCIÓN
φ1
φ2
φ1
φ2
φ1 A
α
A1
A2A3

ÓPTICA GENERAL 43
43
En particular el fenómeno de N fuentes sincrónicas se traduce en una poligonal de lado A
que puede ser abierta o cerrada. Si tomamos la de N=4 veremos que la primera configura-
ción abierta máxima posible es una línea recta de longitud 4A con desfasaje nulo entre cada
lado. Podemos formar con esos cuatro lados un cuadrado (polígono cerrado con lados a
120º), que es la primera configuración cerrada (resultante nula) que obtendremos al ir au-
mentando paulatinamente el desfasaje. La segunda configuración con resultante nula se ob-
tiene con un desfasaje entre lados de 180º. Entre ambas se pasa (aumentando gradualmente
el ángulo) por un máximo relativo de resultante próxima al valor A con un desfasaje de 135º
entre componentes. Luego se llega otra vez a resultante nula con un desfasaje de 180º. La
próxima configuración nula es para desfasaje = 270º, pero se pasa antes por un máximo re-
lativo de amplitud del orden de a para desfasaje cercano a 225º. Con 360º de desfasaje se
obtiene un máximo absoluto de amplitud 4A y argumento 0º. En general puede demostrarse
que para N lados se obtienen una serie de N-2 máximos relativos de amplitudes bastante
menores y N-1 anulaciones o ceros entre dos máximos absolutos de amplitud NA . El cua-
drado de esta variación de amplitud es la intensidad del sistema de fuentes sincrónicas, que
queda modulada por la intensidad propia de la rendija de ancho (a-b) que como se sabe es
una función del tipo sen2(∆φ∆φ/2)/(∆φ∆φ/2)2 . En la figura se ha dibujado la intensidad debida a
cuatro fuentes sincrónicas y el efecto de modulación ejercido sobre ellas por la intensidad de
una rendija.
Máximos y mínimos del espectro creado por una red: El sistema de fuentes sincrónicas
equidistantes tiene máximos absolutos o principales cuando (x1+x2)= a.sen(αα) = k.λλ , para
k=1,2,3... y (N-1) ceros (mal llamados mínimos en algunos libros) entre dos máximos abso-
lutos, lo que puede ponerse como:
(x1+x2) = a.sen(αα) = (k.N+1).λλ/N
El valor del entero k es el orden del espectro. Por supuesto que
sen (a)<= 1 por lo tanto k<=a/λλ.
Por ejemplo en una red de 100 líneas por mm ¿cual es el orden de espectro mayor posible
para luz blanca?
a=0,01 mm-1 .
Tomando el rojo (λλ=0,4µµm) como radiación más desviada será
∆φ=0
∆φ=90
∆φ=135
∆φ=180
∆φ=225
∆φ=270
∆φ=360
A
∆φ
π π-4 -2 0 2 4π π
A
∆φ
π π-4 -2 0 2 4π π
6
6 π
π
π
π-6
-6

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