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Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
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Departamento de Matemática
http://www.ing.unp.edu.ar/matematica
El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento de
Matemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco.
El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de las
temáticas que se evalúan en el examen de ingreso a la Facultad, y aportar una
nutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de las
habilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicas
de la Ingeniería, Informática y Matemática.
Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte.
Departamento de Matemática
Facultad de Ingeniería
INDICE TEMÁTICO
1. Números.....................................................................................................................1
1.1. Números naturales.............................................................................................2
1.2. Números enteros.................................................................................................3
1.3. Números racionales............................................................................................8
1.4. Números reales..................................................................................................12
1.4.1. Orden en R..............................................................................................14
1.4.2. Potenciación y radicación en R.............................................................16
1.5. Números complejos...........................................................................................21
1.5.1. Operaciones en C....................................................................................23
2. Ecuaciones lineales o de primer grado....................................................................26
3. Recta real..................................................................................................................36
3.1. Intervalos reales.................................................................................................36
3.2. Valor absoluto o módulo de un número real...................................................41
3.3. Inecuaciones lineales..........................................................................................44
4. Función lineal y ecuación de la recta.......................................................................49
4.1. Función................................................................................................................49
4.2. Función lineal y ecuación de la recta................................................................56
4.2.1. Función lineal...........................................................................................56
4.2.2. Pendiente de una recta............................................................................57
4.2.3. Función de proporcionalidad.................................................................61
4.2.4. Ecuación de la recta................................................................................62
4.3. Sistemas de ecuaciones.......................................................................................68
4.4. Rectas perpendiculares......................................................................................73
4.5. Función valor absoluto.......................................................................................74
5. Ecuaciones y funciones cuadráticas.........................................................................75
5.1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado....................................................76
5.2. Funciones cuadráticas........................................................................................82
6. Ecuaciones polinómicas y racionales.......................................................................98
6.1. Polinomios...........................................................................................................98
6.1.1. Operaciones con polinomios....................................................................99
6.1.1.1. Suma de polinomios..........................................................................99
6.1.1.2. Resta de polinomios..........................................................................99
6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100
6.1.1.4. División de polinomios....................................................................100
6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...............................102
6.1.3. Divisibilidad de polinomios...................................................................103
6.1.4. Regla de Ruffini......................................................................................104
6.1.5. Factorización de polinomios..................................................................105
6.2. Expresiones racionales......................................................................................108
6.2.1. Operaciones con expresiones racionales...............................................110
6.2.1.1. Suma y resta.....................................................................................110
6.2.1.2. Producto...........................................................................................112
6.2.1.3. División ............................................................................................112
6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales...................113
7. Exponenciales y logaritmos.....................................................................................119
7.1. Función exponencial.........................................................................................120
7.1.1. Ecuaciones exponenciales......................................................................123
7.2. Función logarítmica. Logaritmos....................................................................125
7.2.1. Propiedades de los logaritmos...............................................................127
7.2.2. Cambio de base.......................................................................................128
7.3. Ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas.....................................130
8. Funciones trigonométricas de ángulos...................................................................134
8.1. Ángulos...............................................................................................................134
8.1.1. Sistemas de medición de ángulos ..........................................................136
8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo.........................................................139
8.3. Triángulos rectángulos......................................................................................142
8.4. Signos de las funciones trigonométricas...........................................................144
8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...............................................145
8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...........................................147
8.7. Identidades trigonométricas...............................................................................155
8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α - β.........................................155
8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble.............................................155
8.7.3. Teoremas del seno y del coseno................................................................155
9. Números complejos en forma polar...........................................................................157
Soluciones...........................................................................................................................164
SIMBOLOS
N = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturales
N0 = N ∪ {0} el conjunto { 0, 1, 2, 3, …}
N-
el conjunto { -1, -2, -3, -4, …}
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
…}
el conjunto de los números enteros
Q el conjunto de los números racionales
R el conjunto de los números reales
C el conjunto de los números complejos
x ∈ A x pertenece al conjunto A
x ∉ A x no pertenece al conjunto A
A ⊂ B el conjunto A está incluido en el conjunto B
A ⊄ B el conjunto A no está incluido en el conjunto B
A ∪ B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen
al conjunto A o al conjunto B
A ∩ B conjunto A intersección B, formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A y al conjunto B
∅ conjunto vacío
= igual
≠ distinto
≅ es aproximadamente igual a
< es menor que
> es mayor que
≤ es menor o igual que
≥ es mayor o igual que
(a, b) el intervalo abierto de extremos a y b
[a, b] el intervalo cerrado de extremos a y b
(a, b] el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de
extremos a y b
[a, b) el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de
extremos a y b
∞ infinito
Dom f dominio de la función f
Im f imagen de la función f
a valor absoluto de a, que vale a si a ≥ 0, y vale – a en otro caso.
an
n-ésima potencia de a
n a raíz n-ésima de a
a  b a divide a b
sen α seno del ángulo α
cos α coseno del ángulo α
tg α tangente del ángulo α
arc sen α arco seno del ángulo α
arc cos α arco coseno del ángulo α
arc tg α arco tangente del ángulo α
rad radianes
i número complejo que simboliza a la unidad imaginaria
e número cuyo valor aproximado es 2,7182818
π número cuyo valor aproximado es 3,1415926
z módulo del número complejo z
∀ cuantificador que se lee “para todo”
∃ cuantificador que se lee “existe”
∧ conectivo lógico que se lee “y”
∨ conectivo lógico que se lee “o”
⇔ conectivo lógico que se lee “si y sólo si”
⇒ conectivo lógico que se lee “implica”
loga b logaritmo en base a de b
logb logaritmo en base 10 de b, o logaritmo decimal de b
ln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b
Números
Página 1
1. NÚMEROS
A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando
cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es
en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe
brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un
momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y
sirva de apoyo para futuras unidades.
A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las
cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han
marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias.
La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia.
La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del mar
en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2
, con una
costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del
Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es
de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia
- Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y
un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico,
emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad
también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de
la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo
de 30 pies (10 mts.).
Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas
expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al
leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A
continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 2
1.1. Números Naturales
Los números naturales también
sirven para ordenar. Así, decimos
que la Tierra es el tercer planeta a
partir del Sol, que ésta es la primer
unidad del Módulo del Ingreso,
etc.
A los números que utilizamos para contar la cantidad de
elementos de un conjunto no vacío se los denomina
números naturales. Designamos con N al conjunto de
dichos números.
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.
Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos,
si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N.
Observemos que...
1 - 1 = 0 ∉ N
1 - 2 = -1 ∉ N
3 – 1 = 2 ∈ N
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números
naturales es un número natural. Así,
si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N.
Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue:
Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo
conjunto que denotamos con
N0 = N ∪ {0}.
Observemos que...
w a ∈ N si y sólo si - a ∈ N-
w N ∩ N-
= ∅, es decir, no existe
un número que pertenezca al
conjunto N y al conjunto N-
simultáneamente. Recordemos
que el símbolo ∅ denota al
“conjunto vacío”.
Por otro lado, si reemplazamos cada elemento del conjunto de
los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1
escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo,
obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con
N
-
= {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N }
Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta:
El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0 1 2 3
1 2 3
Números
Página 3
1.2. Números Enteros
Definimos al conjunto de los números enteros como
Z = N
-
∪∪ {0} ∪∪ N.
De inmediato resulta que todo número natural es un número
entero.
Retoma la lectura del artículo al
principio de esta unidad.
¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un
punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas
dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el
puerto local?
Recuerda que...
1 pie = 30 cm.
Puede serle útil representar en la recta
numérica los números indicados y
analizar allí la situación.
Para pensar….
ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos
los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?
ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos
2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?.
ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?.
¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen
entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen
entre dos números enteros dados?.
Observemos que...
-2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z
4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z
4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z
4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z
w b ∈ Z implica - b ∈ Z
w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z
w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z,
pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior
resulta
a + (- b) ∈ Z .
w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z
7 : 2 = 3,5 ∉ Z
Observemos que...
no siempre la división de dos números enteros
es un número entero
N Z
Curso de Apoyo en Matemática
Página 4
DivisibilidadDivisibilidad
Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b
(o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que
a es divisor de b ).
Ejemplos:
6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0
y así 2 divide a 6
12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2
y así 5 no divide a 12
a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3
b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que
multiplicado por 5 dé 12.
2 , 11 , 463
son números primos
Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro
divisores:
1, -1, a y - a.
7 2 a b
1 3 r q
Al realizar una división entre dos números enteros puede que el
resto sea distinto de cero.
Algoritmo de laAlgoritmo de la
divisióndivisión
Sean a , b ∈∈ Z , a ≠≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que
b = a . q + r con 0 ≤≤ r < a
| 2 | = 2
|-2 | = 2
Recordemos que…
|a| denota al “valor absoluto” del número a.
En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad.
Ejemplos:
El resto de la división entre
dos números enteros
nunca puede ser negativo.
a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39,
pues 84 = 45 . 1 + 39
b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39,
pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39
c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6,
pues - 84 = 45 . (- 2) + 6
d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6,
pues - 84 = (- 45) . 2 + 6
Números
Página 5
Máximo comúnMáximo común
divisordivisor
Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en
sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es
el producto de los factores primos comunes, con el menor
exponente.
Se denota mcd (a , b).
Ejemplo:
Recordemos que...
para realizar la descomposición de un
número en factores primos
comenzamos dividiendo, de ser
posible, por los números primos
2, 3, 5, 7, 11, …
hasta obtener el número 1.
La segunda columna obtenida
presenta la descomposición del
número en factores primos.
Si a = 72 y b = 84 resulta
72 2 84 2
36 2 42 2
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
1
72 = 23
. 32
84 = 22
. 3 .
mcd (72 , 84) = 22
. 3 = 12,
o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.
Mínimo comúnMínimo común
múltiplomúltiplo
Si se descomponen dos números enteros positivos a y b
en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre
a y b es el producto de los factores primos comunes
y no comunes con el mayor exponente.
Se denota mcm (a , b)
Ejemplo:
72 2 84 2
36 2 42 2
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
1
72 = 23
32
84 = 22
3 7
Tomando los números del ejemplo anterior resulta
mcm (72 , 84) = 23
. 32
. 7 = 504
o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.
Actividades de Aprendizaje
1) Efectuar las siguientes operaciones:
Ejercicios complementarios
a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5
b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1)
c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3)
d) 22
- 42
: 8 + 25
e) 42
: 2 - 1 - 82
: 2 – 1
f) 32
: 2 - 1 - 32
: 2
g) 3-1
. 3 - 30
+ 1 - 25
Curso de Apoyo en Matemática
Página 6
2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 .
a) ¿Es (-15)2
menor que 32
? b) ¿Es (-15)3
menor que 33
?
3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 .
a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ?
b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?
4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F).
Dar un contraejemplo en caso de ser falso.
a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2
∈ Z entonces z ∈ Z.
c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2
= 1 entonces z ∈ Z.
5)
a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados?
b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos?
6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?.
7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo.
a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes:
§ x . y . x . y
§ (-1) x . y
§ x . x . y
§ ( - x )( - y )( - x )
b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes:
§ ( - 1 ) ( - x ) y =
§ x y : ( - 4 ) =
§ - 2 x y =
§ x y : 4 =
§ 3 x y =
8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥
según corresponda:
a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q
c) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 0
9)
a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y
resto 7, hallar a y b.
b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que
llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el
resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número
a ?
Números
Página 7
10)
a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.
b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.
11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto.
Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos.
Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno.
a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo?
b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo?
12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4
años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente,
gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.
13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente.
a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres
simultáneamente, en un número entero de días?.
b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.
14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0
c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1
e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a
w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, es
decir, “Para cada par de números enteros
a y b, su suma a + b es un número
entero. ”
w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo
número natural z, es un número entero”.
w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0,
es decir, “Para todo número entero a,
existe el número entero (-a), llamado
opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ”
w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0.
∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q +
r con 0 ≤ r < a. (Recordar el
Algoritmo de la división)
Recordemos que...
El símbolo ∀ se lee “para todo”, así,
∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a
continuación se verifica
“para todos los números enteros”
El símbolo ∃ se lee “existe”, así,
∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que
la propiedad que aparece a
continuación se verifica
“al menos para algún número entero”
Curso de Apoyo en Matemática
Página 8
1.3. Números Racionales
a : b se lee “a dividido b”
Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que
si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z .
Ejemplo:
1 : 2 =
2
1
∉ Z .
Pueden usar los racionales,
por ejemplo, para indicar
la quinta parte de x como
5
x
Llamamos número racional a todo número que se puede
expresar como fracción
m
n
donde n y m son enteros y
m ≠≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números
racionales.
Observemos que...
w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z
escribimos m =
1
m
∈ Q . Es decir Z ⊂ Q .
w La recíproca es falsa, por ejemplo,
2
1
∈ Q pero
2
1
∉ Z.
La suma, la diferencia y el producto
de dos números racionales es un
número racional.
Si u , v ∈ Q entonces:
w u + v ∈ Q
w u - v ∈ Q
w u . v ∈ Q
El inverso de cualquier número
racional no nulo es un número
racional.
w Si u ≠ 0 entonces
u
1
∈ Q
Para pensar….
Recordemos que...
no existe un número entero
que sea menor o igual que todos los
demás, ni tampoco uno que sea
mayor o igual que cualquier otro
entero.
Además, no podemos encontrar un
número entero entre dos enteros
consecutivos, pero sí podemos
hallar una cantidad finita de enteros
entre dos números enteros no
consecutivos.
ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual que
todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás?
ü Hallar un número racional entre
3
2
y
7
3
. Hallar un
número racional entre
3
7
y
3
8
. ¿Puede hallarse más de un
número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.
Z Q
Números
Página 9
Los números racionales se expresan en diferentes formas.
Ejemplo:
El número racional tres cuartos puede expresarse como:
4
3
=
4-
3-
=
8
6
=
12
9
=
100
75
= 0,75 = 0,750 = ....
forma fraccionaria forma decimal
Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.
Ejemplos:
2
1
= 0,5 es decimal exacto
3
1
= 0,333..... = 30,
)
período 3
11
86
= 7,81818181... =
∩
817, período 81
6
29
= 4,83333... = 34,8
)
período 3
Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:
Parte
entera
Parte
decimal
5 4 , 8 3
)
Parte periódica
Parte no periódica
A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 10
FORMA
DECIMAL
EJEMPLO OBSERVACIÓN
Exactas 0,75 =
100
75
En el numerador aparece la parte decimal,
y en el denominador tenemo s
el 1 seguido de tantos ceros como
cifras decimales tengo.
Puras 0,2525... =
∩
250, =
99
25 En el numerador aparece la parte periódica,
mientras que en el denominador tenemos
tantos números 9 como cifras tiene el período.
Periódicas
Mixtas
0,75454…=
∩
540,7 =
=
990
7-754
=
990
747
En el numerador aparece la diferencia entre
la parte decimal y la parte decimal
no periódica, mientras que en el
denominador tenemos tantos números 9
como cifras tiene el período seguido de
tantos ceros como cifras tiene
la parte no periódica.
Más ejemplos:
FORMA
DECIMAL
EJEMPLO
Exactas
0,015 =
1000
15
2,23 =
100
223
Puras
0,333... = 30,
)
=
9
3
1,282828... =
∩
281, = 1 +
99
28
=
99
127
Periódicas
Mixtas
0,8333... = 30,8
)
=
90
8-83
=
90
75
12,75454... =
∩
5412,7 = 12 +
990
7-754
= 12 +
990
747
=
990
12627
5,12444... = 45,12
)
= 5 +
900
12-124
= 5 +
900
112
=
900
4612
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
15) Calcular:
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
a) 





+





+
5
3
-
2
1
.
3
10
2
1
4
3
--
9
5
d) 





⋅





⋅
5
1
-
4
3
11
4
-
2
1
-
3
5
8
3
Números
Página 11
b)
7
3
:
4
3
-
3
1
3
4
5
4
-
3
2
:
5
3
+⋅
c) 





+





++
6
1
-
3
2
3
4
-:
4
1
6
5
-
2
7-
3
2
e)
6
1
-
3
2
3
4
-:
4
1
6
5
-
2
7-
3
2
+





++
16) Escribir en forma decimal y fraccionaria:
a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos
17)
a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?.
18) Dadas las fracciones
11
12
y
12
13
?. ¿Cuál es mayor?
19) Expresar en forma fraccionaria y resolver:
a)
( )
( ) 240-30-51
6
-
51
8121
2
2
,,,,
,, +
b)
250-
2
3
5
1
-70-70
2
1
090
22
,
,,, 











++
c) 10-33.502.500-30:10-30:900 2
,,,,,,,,
))))
+ d)
( )
( )12,0-23,0
3,0-91,0.5,1-3,04
))
))))
+
20) En un colegio,
3
1
de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más
elegida?
21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el
más rápido?
22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán
después?
23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200
litros de agua después de helarse?.
24) Una aleación está compuesta por
29
24
de cobre,
29
4
de estaño y
29
1
de cinc. ¿Cuántos
kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.
25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es
el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta.
26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María
toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma
5
2
. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del
cordel?.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 12
27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los
9
20
de la edad de su padre y Carlos los
2
5
.
¿Cuál es el mayor?.
28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a
concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la
mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?
1.4 Números Reales
A los números reales que no se los puede expresar en forma
de fracción, se los denomina números irracionales. Es
decir, un número irracional expresado en forma decimal no
es exacto ni periódico.El número π aparece al calcular la
longitud de una circunferencia y el
área de un círculo.
El número e se presenta en procesos
de crecimiento de una población
animal o vegetal, y en problemas de
desintegración radiactiva.
Seguramente habrás visto en el
tendido de cables eléctricos que los
cables entre un poste y otro
determinan una curva en cuya
ecuación también está presente el
número e.
Otro número irracional muy famoso,
llamado el número de oro, se obtiene
si realizas, por ejemplo, el cociente
entre las longitudes del lado menor y
el lado mayor de las hojas tamaño A4
que comúnmente se utilizan en
fotocopiadora, o realizando el mismo
cálculo con los lados de una tarjeta de
crédito.
¿No te parece curioso?
Ejemplos:
a) 0,1234567891011...
La parte decimal de este número irracional es la sucesión de
los números naturales.
b) π ≅ 3,141592654
El símbolo ≅ indica que se esto representa una
aproximación del número irracional π . Notemos que
también existen otras aproximaciones para este número; por
ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.
c) e ≅ 2,71
Representa una aproximación del número irracional e. Al
efectuar cálculos en los que intervienen los números
irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de
cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅
2,718 o bien e ≅ 2,71828.
La unión del conjunto Q de números racionales y
el conjunto de los números irracionales es el
conjunto R de los números reales.
2
51+
Números
irracionales
RQ
N Z
Números
Página 13
Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales.
El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real
le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real.
A esta recta la llamamos recta real.
No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es
posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.
Observemos que...
no existe un número real que sea
mayor o igual a todos los demás, ni
uno que sea menor o igual que todos
los demás.
Además, entre dos números reales
dados cualesquiera existen infinitos
números racionales, e infinitos
números irracionales.
Ejemplos:
La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; -
4
5
y 2
es la que sigue:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.
a)
3
5
b) 0,494949... c) 3,75
d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537...
g) 0,101001000100001... h) 7
30) Escribir:
a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2
b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2
c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2
31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:
a) 3,2222........ b) 0,101001000100001.........
c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........
32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla:
-1
0.2-3
-2 0 1 2
1
24
5
−
Curso de Apoyo en Matemática
Página 14
Número 7 -2,08 1,1212212221... -2,2424...
Natural
Entero
Racional
Irracional
Real
33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.
a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero.
c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional.
34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada:
a) -5 b)
3
1
c) -
7
3
d) 5 d) p e) 2,5
Observemos que...
al efectuar las representaciones de estos números, los mismos
están ordenados en la recta numérica.
Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos.
1.4.1. Orden en R
a ≤ b se lee:
a es menor o igual que b
Si en R definimos la relación de orden que indicamos “≤≤”
observamos que:
Siempre podemos comparar dos
números reales cualesquiera.
Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de
las siguientes situaciones:
a < b ; b < a ; a = b
Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.
10
25 4−
6
7
2
8
−
Números
Página 15
Además se satisfacen las siguientes propiedades:
- 3 < 4 ⇔ - 3 + 1 < 4 + 1
- 3 < 4 y 2 > 0 ⇒ - 3 . 2 < 4 . 2
- 3 < 4 y- 2 < 0 ⇒ - 3 . (- 2) > 4 . (-2)
w ∀ a , b ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c
w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c > 0 ⇒ a . c < b . c
w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c < 0 ⇒ a . c > b . c
El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si”
El símbolo ⇒ se lee “implica”
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
35) Completar con > ó < según corresponda:
a) - 2 < 0 y
4
1
> 0 ⇒ - 2 .
4
1
..... 0 .
4
1
b)
2
5
>
3
7
y - 1 < 0 ⇒
2
5
. (- 1) .....
3
7
. (- 1)
c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01
d) - 7 < - 6 y -
2
1
< 0 ⇒ - 7 . 





2
1
- ..... (- 6) . 





2
1
-
36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda:
a b a ........b ....... a(-3) ........b(-3)
8 2 8 > 2
2
8
>
2
2
8 (-3) < 2 (-3)
-6 -10
-4 8
0 4
37) Si a y b son reales positivos y además a < b y b > 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones
es falsa?. Justificar dando un contraejemplo.
a) a b > 0 b) b2
> a c)
1
0
a b−
>
d)
1
0
b a+
> e) b + a > 1
38) Escribir un número comprendido entre los siguientes:
a)
3
1
y
5
2
b) 1,4142 y 1,4143
2
a
2
b
Curso de Apoyo en Matemática
Página 16
c) 2 y 3 d) π y
113
355
1.4.2 Potenciación y Radicación en R
PotenciaciónPotenciación
Recordemos que...
an
=
donde a es un número real al que denominaremos base y
n es un número natural que llamaremos exponente.
Ejemplo:
4
3
2






− = 





−
3
2
. 





−
3
2
. 





−
3
2
. 





−
3
2
=
81
16
Extensión de laExtensión de la
definicióndefinición
de pde p oo tenciacióntenciación
a exponentes ea exponentes e nn terosteros
Por convención se tiene, para a ≠≠ 0 que
a0
= 1 y a - n
= n
a
1
Ejemplo:
5-3
=
125
1
5
1
3
=
Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:
22
. 23
= 25
x4
. x -2
= x2 • Producto de potencias con
la misma base.
am
. an
= am+n
23
: 23
= 20
= 1 x4
: x -2
= x6 • Cociente de potencias con
la misma base.
am
: an
= am-n
(3 -5
)3
= 3 -15
(x-2
) -1
= x2 • Potencia de una potencia. (am
)n
= am.m
(2 . 5) -2
= 2 -2
5-2
(x . y2
)3
= x3
y6 • Potencia de un producto. (a . b)n
= an
. bn
(2 : 5)-2
= 2-2
: 5-2
(x : y2
)3
= x3
: y6 • Potencia de un cociente. (a : b)n
= an
: bn
43421
veces
......
n
aaaa
Números
Página 17
RadicacRadicaciónión
Definimos
n
a = b si bn
= a
donde: n es un número natural.
n
a se lee raíz n-ésima de a .
Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando.
3
27- = -3 pues (-3)3
= - 27
4 81 = 3 pues 34
= 81
Observemos que ...
para que la definición tenga sentido,
w si n es impar, a puede ser cualquier número real,
No tiene sentido considerar 4- en
el conjunto R, dado que no existe un
número real tal que elevado al
cuadrado nos dé por resultado - 4.
w si n es par, a debe ser un número real positivo.
5
1
5
66 =
3
7
3 7
33 =
2
1
55 =
La raíz n-ésima de un número suele también denotarse
como potencia
n
a = na
1
.
Además
n p
a = n
p
a si a ≥≥ 0 .
Observemos que...
Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido,
ya que pueden presentarse casos como el siguiente:
(-3)4/2
= ( )4
3- pero (-3)4/2
= ((- 3)1/2
)4
= ( )4
3- no tiene sentido en el conjunto R.
También se satisfacen las siguientes propiedades:
2 < 3 ⇒ 2-1
> 3-1
⇒
3
2
3
1
>
w a > 0 , b > 0 y a < b ⇒ a -1
> b -1
-
2
3
< -
3
2
⇒
1
3
2
1
2
3
−
−>
−












⇒
2
3
3
2
−>−
w a < 0 , b < 0 y a < b ⇒ a -1
> b -1
Curso de Apoyo en Matemática
Página 18
El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto,
potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste.
OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R
Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c ×× ×× ×× ××
2. Conmutativa a + b = b + a ×× ×× ×× ××
3. Elemento neutro 0 ×× ×× ××
4. Elemento opuesto de a - a ×× ×× ××
Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) ×× ×× ×× ××
6. Conmutativa a . b = b . a ×× ×× ×× ××
7. Elemento neutro 1 ×× ×× ×× ××
8. Elemento inverso de a (a ≠ 0)
a
1
×× ××
Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c ×× ×× ×× ××
Potencias
1. Producto de potencias con la
misma base
am
. an
= am+n ×× ×× ×× ××
2. Cociente de potencias con la
misma base
am
: an
= am-n ×× ×× ×× ××
3. Potencia de una potencia (am
)n
= am.m
×× ×× ×× ××
4. Potencia de un producto (a . b)n
= an
. bn
×× ×× ×× ××
5. Potencia de un cociente (a : b)n
= an
: bn
×× ×× ×× ××
Raíces 1. Producto de radicales con el
mismo índice
n
a . n
b = .n
ba
×× ×× ×× ××
2. Cociente de radicales con el
mismo índice
n
a : n
b = :n
ba
×× ×× ×× ××
3. Raíz de una raíz m n
a = .mn
a ×× ×× ×× ××
4. Potencia de un radical
( )mn
a =
n m
a
×× ×× ×× ××
Observaciones:
• En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún
número natural posee elemento opuesto.
• Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo.
• Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan
sentido.
En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que
R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤≤ .
Números
Página 19
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
39) Calcular las siguientes potencias:
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
a)
3
5
2
- 





b)
0
5
1





 g)
3
2
3
−






h)
1
10
1
−






c) 2-2
d) (- 3)-2
i) - 125
j) (- 1)25
e) (- 3)2
f) 105
k) - 12325
l) (0,1)-2
40) Calcular las siguientes expresiones:
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
a) x2
. x5
b) (- x)2
. x5
e) (- x)2
. (- x)5
f) (- x)3
: (- x)5
c) x5
: x
-5 d) x-3
: x-6
g) x3
: x
-4 h) (- x)3
: x5
41) Se sabe que 24
= 42
. ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am
= ma
?. Justificar.
42) Escribir como radicales los siguientes números:
21/2
, 72/3
, 50,5
, 120,2
, 7-1/2
, 9-1/3
, 510/5
, 8-2/3
43) Expresar como potencia fraccionaria
a)
x
1
b) 3
: xx c)
5 23
xxx ⋅⋅ d)
5
1
x
44) Simplificar, si es posible:
a)
4 2
3 b)
8 4
5 c) 9
27 d) 5
1024
45) Extraer factores del radicando:
a) 8 b) 18 c) 32 d) 50
46) Calcular usando propiedades:
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
a) 322 ⋅ b) 3:15 g) 152 ⋅ h) 33
2:32
c) 33
93⋅ d) 33
2:8 i) 33
5:2 j) 4
2:8
e) 3
32:2 f) 4:3 k) 50
82 ,
⋅ l) 63
3:9
47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:
a) 32-1882 ++ b) 80-180455 ++
c) 48665-24 + d)
33
16-54
e)
25
2
3
2
505-
9
2
5-
9
2
3 +
Curso de Apoyo en Matemática
Página 20
48) Simplificar las siguientes expresiones:
a) 222 ⋅⋅ b)
3
1
-
53
25.
5
1
:5.5 





c) ( ) 2
1
34
18:126 ⋅
d)
3
2
1
0010:10
100-
,
e)
( )
( ) 3
1
2
1
10
3
2
2
3
2-3
32
32
⋅








⋅
49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar:
a)
2-3
3
b)
2-3
1
c)
522
2
+
d)
yx
yx
-
+
50) Resolver
a) 2/1
3/14/1
4
2716 ⋅
b) 1
3/13/2
11
1
12764
−






−−
c)
( )
8 3 9
1
2
3
2 3 3 2
1
0
2
/ /
− ⋅





 −












−
−
a
donde a ≠ 0
51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado
con dos decimales.
52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con
tres decimales.
53) El área de un cuadrado mide 50 cm2
. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su
diagonal?.
54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales
exactos.
55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105,
420.
56) Indicar el error cometido:
4 - 10 = 9 - 15
4 -10 +
4
25
= 9 - 15 +
4
25
Números
Página 21
22
– 2 . 2 .
2
5
+
2
2
5






= 32
– 2 . 3 .
2
5
+
2
2
5






2
2
5
-2 





=
2
2
5
-3 





2 -
2
5
= 3 -
2
5
2 = 3
57) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar
la respuesta proponiendo un contraejemplo.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
a) a.0 = 0
b) (-a)(-b) = -(ab)
c)
a
b c
a
b
a
c+
= + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
d)
b c
a
b
a
c
a
+
= + , siendo a ≠ 0
e) a (b - c) = ab - ac
f) a + (-b + c) = a - b + c
g) a - (b + c) = a - b + c
h) ∀ a ∈ R, a . a-1
= 1 , donde a ≠ 0
i) ∀ a ∈ R, (a-1
)-1
= a , donde a ≠ 0
j) el cociente entre un número a y su opuesto
es igual a (-1), donde a ≠ 0
k) a (-b) = ab
l) - (-a) = a
1.5 Números Complejos
No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real.
Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existe
a ∈ R tal que a2
= -4.
El nombre de i a 1− surgió en
1777, y se debe al matemático Euler.
Hasta entonces se trabajaba con
expresiones tales como 4− ,
manipulándolas del mismo modo
que a los números reales.
La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i2
= -1,
también se suele escribir 1− en lugar de i.
A los números de la forma a + b i donde a y b son reales
se les llama números complejos. Al conjunto formado por
dichos números se lo denota C.
Re(2 – 3i) = 2
Im(2 – 3i) = -3
En un número complejo a + b i, con a, b ∈∈ R, a se llama
parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama
parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i).
Curso de Apoyo en Matemática
Página 22
No es cierto que
la parte imaginaria
de 2 + 4i sea 4i,
sino que
Im(2 + 4i) = 4.
Observemos que...
para el número complejo a + b i,
w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es
decir, es imaginario puro.
w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por
tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el
conjunto C de los números complejos.
w la parte imaginaria está conformada solamente por b.
Ejemplos:
Los siguientes son complejos
conjugados:
a) 3 + 2 i y 3 - 2 i
b) - 5 + 3 i y - 5 - 3 I
A dos números complejos se les llama conjugados si tienen
la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias.
Observemos que...
en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora,
las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del
radicando.
Ejemplos:
a) 4- = (-1).4 = 4 1- = 2 i
b) ( ) ( ) 933
4
2
4
=−=−
c) ( ) ( ) ( ) 919333 4444
=⋅=⋅=⋅=− ii
Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más
adelante:
x2
+ 1 = 0
x2
+ 4 = 0
x2
- 6 x + 13 = 0
x2
+ 5 x + 11 = 0
Números
Página 23
Representación de 5 + 3 i El número complejo
a + b i
se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas
(a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las
ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número
complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del
plano le corresponde un número complejo.
Representación de 5 + 3 i y
su conjugado 5 – 3 i
Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento
orientado que llamamos vector y representamos por
→
OP. Así
pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un
vector.
1.5.1 Operaciones en C
Suma y RestaSuma y Resta
La suma y resta de números complejos se realiza sumando
o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre
sí respectivamente.
Ejemplos:
Ahora resolveremos algunas operaciones:
Re(2+3i) = 2
Re(8 – 5i) = 8
Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10
Im(2 + 3i) = 3
Im(8 – 5i) = -5
Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2
a) (2 + 3 i) + (8 - 5i)
(2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i
= 10 - 2 i
b) (2 + 3 i) - (8 - 5i)
(2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i
y
3
2
1
0 1 2 3 4 5
5 + 3 i
x
y
x0 a
b
P(a, b)
y
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
1 2 3 4 5
5 + 3 i
5 - 3 i
Curso de Apoyo en Matemática
Página 24
ProductoProducto
El producto de dos números complejos se realiza aplicando
la propiedad distributiva del producto respecto de la suma
y recordando que i2
= -1.
DivisiónDivisión
La división de dos números complejos se realiza
multiplicando dividendo y divisor por el complejo
conjugado del divisor.
Ejemplo:
Resolveremos:
i
i
3
3020
+
+
Multiplico dividendo y divisor
por el complejo conjugado del
denominador.
El complejo conjugado de
3 + i es 3 – i.
i
i
3
3020
+
+
=
)-(3.)(3
)-(3.)30(20
ii
ii
+
+
=
2
2
-9
30-20-9060
i
iii+
=
10
7090 i+
= 9 + 7 i
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica:
a) ( ) ( ) ( )275
2
3
21 −−−+





++− iii
b) ( )ii 45
2
1
3
2
+−⋅





+
c)
i
i
−
+
2
43
d) 4912516 +−−+−
e) ( ) ( ) ( )iii 31231 +⋅−++−
f)
i
i
−
−
2
41
g)
( )( )
i
ii
ii −
+−
−
+
+
3
21
1
31
59) Calcular
Recordemos que...
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Cuadrado de un binomio
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3a b2
+ b3
Cubo de un binomio
(a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3a b2
- b3
a) ( ) ( ) ( ){ }223
2-35-42-3-12 iiRe ++
b)
( )( )





 +
i
ii
Im
2-3
2--1
Números
Página 25
60) Sabemos que i2
= -1. Por lo tanto i3
= i2
.i = -i, y también se tiene que i4
= (i2
)2
= (-1)2
= 1.
Teniendo esto en cuenta, calcular
i5
, i6
, i7
, i8
, i26
, i32
, i45
.
61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i.
62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i.
Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1, z2 y z1 + z2.
63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de zz + y zz. .
64) Calcular
a) Re






+−+
−
+ 2)2(
25
43
i
i
i
b) Re {(–2i)4
– (–1 – 6i)3
}
c) Im








+−
−
2)24(
8
i
i
d) Im ( )















 −
3
3872
7
i
i
Curso de Apoyo en Matemática
Página 26
2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver
ecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremos
problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de
ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidades
analizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado.
Comenzamos con la siguiente situación:
En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9 ...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?
Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por
medio de ecuaciones lineales con una incógnita.
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado
Página 27
Analicemos las siguientes igualdades:
3 + 4 + 2 = 7 + 2
3 + 2 = 5
Estas son igualdades numéricas,
( x + y ) 2
= x2
+ 2xy + y2
a2
– 1 = 0
mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales
En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en
cuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a
estudiar las ecuaciones lineales.
Identidad Ecuación
Igualdad algebraica
Se verifica para cualquier
valor dado a sus letras.
Se verifica para algunos
valores dados a sus letras.
Ejemplo
a.( m – n2
) = am – an2
Ejemplo
2y – 3 = x + 5
Las letras que aparecen en
la ecuación se llaman
incógnitas.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 28
En el caso de las igualdades
algebraicas, éstas se verifican siempre
pues por ejemplo
a.( m – n2
) = am – an2
es la propiedad distributiva. Cualquier
valorde a, m y n es solución.
Por ejemplo para a = 2, m = 3, n = -1
tenemos
2(3 – (-1)2
) = 2.3 - 2.(-1)2
4 = 4.
En el ejemplo 2y – 3 = x + 5, los
valores y = 3, x = -2 son soluciones,
pues
2.3 -3 = -2 + 5
mientras que y = 3, x = 4 no es
solución pues
2.3 – 3 = 3 ≠ 4 + 5 = 9.
Las soluciones de una ecuación son los valores que al
sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad.
Ecuación linealEcuación lineal Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las
igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1.
Ejemplos.
Las primeras cuatro ecuaciones son
ejemplos de ecuaciones lineales o de
primer grado.
Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una
incógnita y la ecuación x + y = 4
tiene dos incógnitas.
1. 2x + 3 = 5
2. 3x – x = 2x
3. x + 5 = 5
4. x + y = 24
Para pensar….
Estas no son ecuaciones lineales.
¿Por qué?
1. t2
– 3t + 1 = 0
2. x . y = 24
3. cos x = 1
4. 16 = 2x
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado
Página 29
Ejemplos:
Resolvamos las siguientes ecuaciones
a) 2 x + 3 = 5
Aplicando propiedades Se puede resolver ¨despejando¨.
2x +3 + (-3) = 5 2x = 5 - 3
2x = 2 2x = 2
2
2
1
2
2
1
=x
2
35−
=x
x = 1 x = 1
Verificación:
2x + 3 = 5
2 . 1 + 3 = 5
2 + 3 = 5
5 = 5
Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el
valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos
sustituir el valor hallado en la ecuación.
La ecuación 2x + 3 = 5 tiene solución única x = 1.
b) x + y = 24 Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica
para infinitas parejas de números. Por ejemplo:
1 + 23 = 24 x = 1, y = 23
-5 + 29 = 24 x = -5 , y = 29
24 + 0 = 24 x = 24 , y = 0
x =
2
1
, y =
2
47
c) 3x – x = 2x
Para pensar....
En este ejemplo observamos que
hemos obtenido
0.x = 0
¿Cuántas soluciones tiene esta
igualdad?
3x – x = 2x
2x = 2x
2x – 2x = 0
0.x = 0
24
2
48
2
47
2
1
==+
Curso de Apoyo en Matemática
Página 30
d) x + 5 = x
Para pensar.....
En este ejemplo obtenemos
5 = 0.x
¿Cuál es el número de soluciones de
esta igualdad?
x + 5 = x
5 = x – x
5 = 0.x
5 = 0
e)
3
93
5
1 −
=
+ xx
La solución es
x = 4
que pertenece al conjunto de los
números reales;
por lo tanto esta ecuación tiene
solución en R.
Atención
No olvides nunca verificar.
3
93
5
1 −
=
+ xx
3(x + 1) = 5(3x - 9)
3x + 3= 15x – 45
3 + 45 = 15x – 3x
48 = 12x
x = 4
f)
4
x
+
6
x
+
18
x
= 578
Recuerda que...
para sumar o restar fracciones de
distinto denominador, primero debes
hallar un múltiplo común entre los
denominadores.
Así, 36 es el mínimo común
múltiplo entre 4, 6 y 18.
4
x
+
6
x
+
18
x
= 578
578
36
269
=
++ xxx
17x = 20.808
x = 1.224
Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en
cuenta los siguientes pasos:
Pasos a tener en cuentaPasos a tener en cuenta
• lectura comprensiva del enunciado;
• traducción al lenguaje simbólico;
• expresión de la ecuación correspondiente;
• resolución de la ecuación;
• verificación del resultado obtenido.
Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso.
Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad.
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado
Página 31
En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco.
_ Piensa un número...
_ Súmale 15 al número pensado...
_ Multiplica por 3 el resultado...
_ Al resultado réstale 9 ...
_ Divide por 3...
_ Resta 8...
_ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:
_ 32
Instantáneamente el mago afirma con solvencia:
_ El número que pensaste fue el 28.
¿Cómo lo hizo?
Piensa un número → x
Súmale 15 →→ x + 15
Multiplica por 3 el
resultado
→→ 3(x + 15)
Al resultado réstale 9 →→ 3(x + 15) - 9
Divide por 3 →→ (3(x +15) - 9):3
Resta 8 →→ (3(x + 15) - 9):3 - 9
• traducción al lenguaje
simbólico
El espectador dice →→ 32
• expresión de la ecuación
correspondiente (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32
• resolución de la ecuación (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32
x + 4 = 32
x= 28
• verificación del resultado
obtenido
(3.28 + 45 – 9):3 – 8 =32
Curso de Apoyo en Matemática
Página 32
Ejemplo:
De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto
y quedan aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.
capacidad del
depósito
→→ x
un cuarto del
contenido
→→
x
4
1
mitad del resto →→






− xx
4
1
2
1
• traducción al lenguaje simbólico
quedan aún →→ 1500 litros
• expresión de la ecuación
correspondiente
1500
4
3
2
1
4
1
+





+= xxx
• resolución de la ecuación x =
4
1
x +
8
3
x + 1500
x -
4
1
x -
8
3
x = 1500
8
3-2-8 xxx
= 1500
8
3
x = 1500
x = 1500 :
8
3
x = 4000
• verificación del resultado obtenido
x =
4
1
x +
8
3
x + 1500
4000 =
4
1
4000 +
8
3
4000 + 1500
4000 = 4000
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado
Página 33
Veamos el siguiente cuadro que muestra algunos ejemplos clásicos de cómo pasar del lenguaje
coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren
ecuaciones lineales.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
La suma de un número y su consecutivo x + ( x + 1)
Un número par 2a
El siguiente de un número par 2x + 1
La suma de tres números consecutivos x+ ( x + 1 ) + ( x + 2)
La mitad de un número
2
x
La tercera parte de la diferencia entre dos
números 3
ba −
El perímetro de un rectángulo 2l + 2 b
En resumen, podemos concluir que una ecuación lineal o de primer grado puede tener :
La ecuación 2x + 8 = 9 tiene
solución única x =
2
1
• solución única
La ecuación x + 5 = 5, no tiene
solución, pues es imposible que
sumando 5 a un número obtengamos
ese mismo número.
• ninguna solución
La ecuación 3x – x = 2x tiene
infinitas soluciones, pues es válida la
identidad para cualquier valor de x.
• infinitas soluciones
Actividades de Aprendizaje
1) Expresar simbólicamente la ecuación correspondiente:
a) Un número más su quinta parte es 12.
b) Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte emergente mide 8 metros.
c) El perímetro de un cuadrado es de 12 m.
d) En una biblioteca hay 23 libros distribuidos en dos estantes, en el de abajo hay 7 libros menos
que en el de arriba.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 34
2) Resolver las siguientes ecuaciones lineales en R:
a) x + 9 x = 90 b) - 2 x + 1 = 3
c) 2 (3 x - 2) - (x - 3) = 8 d) x -1 -
2
2−x
+
3
3-x
= 0
e) 21 - 7 x = 41 x – 123 f)
6
1
(a + 8) =
4
2-3 a
+ 2 a -
12
73
g)
20
11-3 m
-
14
1-5 m
=
10
7-m
-
21
6-5 m
h)
15
2t
-
20
5-3t
=
5
t
- 3
i) 5 (20 - x) = 4 . (2 x - 1) k)
3
1−z
-
2
3+z
= 5 z
3) Un número más su quinta parte es 12. Calcular dicho número.
4) La suma de dos números consecutivos es 21. ¿Cuáles son dichos números?.
5) Un número es igual al doble de su consecutivo. ¿Cuál es dicho número?.
6) La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 63. Calcular dichos números.
7) El perímetro de un rectángulo es 216m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos del
largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?.
8) El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor
que la base. ¿Cuál es la longitud de cada lado?.
9) Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene ahora?.
10) Un padre tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el
triple de la edad del hijo?.
11) De una cierta clase de vino que contiene 12% de alcohol, se han obtenido por destilación 67,68
litros de alcohol. ¿Cuál fue la cantidad de vino empleado?.
12) El jueves, Leticia invirtió el 40% de sus ahorros en ropa. El viernes, gastó las dos terceras partes
del dinero que le quedaba en un libro para su hermano, y aún tiene $120.
b) ¿Cuánto dinero tenía ahorrado Leticia?.
c) ¿Es cierto que gastó lo mismo en ropa que en el libro para su hermano?.
13) Un hombre repartió su herencia del siguiente modo: a su hijo mayor le dejó la mitad, al segundo
la tercera parte del resto, al tercero la sexta parte del resto y al cuarto $1.000.000. ¿Cuál era el valor
de la herencia?.
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado
Página 35
14) Un comerciante hace un testamento de la siguiente forma: dos tercios a su único hijo; un quinto,
a una familia muy amiga, y los 49000 restantes, a una institución de beneficencia. ¿A cuánto
asciende el total de la herencia?.
15) En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que
de hombres y mujeres juntos. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión
si el total es de 156 personas.
16) Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de
los diarios que tenía y, durante la segunda hora, vendió la sexta parte de los que le quedaban. Contó
los ejemplares y notó que aún había 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio?.
17) Ana, Vivi y Carla comparten un departamento y las tres aportaron su último sueldo a un fondo
común, que fue de $3600. Ana gana las dos terceras partes del sueldo de Vivi, y Carla gana la mitad
del sueldo de Ana. ¿Cuál fue el último sueldo de cada una?. ¿Es cierto que Vivi cobró tanto como
Ana y Carla juntas?.
18) Una compañía de aviación divide a los pasajeros en tres categorías. En uno de sus aviones, la
cantidad de asientos de primera clase es la octava parte del total; la categoría ejecutiva tiene una vez
y media la cantidad de asientos que primera clase, y hay 165 asientos de clase turista. ¿ Cuántos
asientos tiene ese avión ?
Curso de Apoyo en Matemática
Página 36
3. RECTA REAL
Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos.
Muchos de los fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para
resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En
esta unidad precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en
principio, daremos la noción de intervalo, y finalizaremos entrenándonos en la resolución de
inecuaciones.
3.1 Intervalos reales
La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea
sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico en nuestra provincia.
El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 a 35 toneladas. Un macho adulto mide unos
12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde la playa El Doradillo
considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero.
La temporada de Ballenas se extiende de Junio a Diciembre.
La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que
pueden contabilizarse entre 350 a 400 individuos. Esto convierte a las aguas vecinas de la
Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur.
Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse
matemáticamente, como veremos a continuación.
Recta Real
Página 37
Frecuentemente trabajaremos con subconjuntos de números
reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden.
Así, por ejemplo, hablaremos de
En símbolos,
43421321
5quemenoresy
2quemayoresrealesnúmeros
}52/{ <<∈ xx R
“los números reales mayores que 2 y menores que 5”
o de
En símbolos,
321
321
3/2queiguales
omenores
realesnúmeros
}
2
3
/{ ≤∈ xx R
“los números reales menores o iguales que
2
3
”
Otras veces deberemos simbolizar expresiones tales como:
En símbolos,
350 < x < 400
“la cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre
Octubre y Noviembre se halla entre 350 y 400”
Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos.
Intervalo abiertoIntervalo abierto
(a , b)
Si a , b ∈∈ R y a < b, se define (a , b) = {x ∈∈ R / a < x < b}.
Gráficamente:
Intervalo cerradoIntervalo cerrado
[a , b]
Si a , b ∈∈ R y a ≤≤ b, se define [a , b] = {x ∈∈ R /a ≤≤ x ≤≤ b}.
Si a coincide con b ,
el intervalo cerrado es un único punto.
Gráficamente:
a b
ó
a b
a b
ó
a b
Curso de Apoyo en Matemática
Página 38
IntervalosIntervalos
semiabiertossemiabiertos
o semicerradoso semicerrados
Si a , b ∈∈ R y a < b se define:
(a , b] = {x ∈∈ R / a < x ≤≤ b }
[a , b) = {x ∈∈ R / a ≤≤ x < b }
Gráficamente:
(a , b] se representa como
[a , b) se representa como
En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo,
respectivamente.
Ejemplo:
Atención
Los símbolos - ∞ y + ∞
deben ser considerados con especial
cuidado, recordando que se usan
solamente por conveniencia de
notación y nunca como números
reales.
Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la
recta y a la semirrecta como intervalos, con sólo introducir los
símbolos - ∞ y + ∞.
Así, tenemos
en símbolos gráficamente
[ c , + ∞ ) = {x ∈ R / x ≥ c } →
( c , + ∞ ) = {x ∈ R / x > c } →
(- ∞ , d ] = {x ∈ R / x ≤ d } →
(- ∞ , d ) = {x ∈ R / x < d } →
(- ∞ , + ∞) = R →
a b
a b
Extremo inferior Extremo superior
a b
c
c
d
d
0
Recta Real
Página 39
Ejemplos:
[ - 2 , 2 ] = {x ∈ R / - 2 ≤ x ≤
2 }
→→
( - ∞ , - 1) = {x ∈ R / x < -1 } →→
( - 2 , e) →→






3
4
,
3
1
- →→
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1) Dados los siguientes subconjuntos de R:
a) A = { x / x ∈ N ∧ - 2 < x < 3 } b) B = { x / x ∈ Z ∧ - 2 < x < 3 }
c) C = { x / x ∈ Q ∧ - 2 < x < 3 } d) D = { x / x ∈ R ∧ - 2 < x < 3 }
Recuerda observar a qué conjunto
numérico pertenecen los elementos.
Por ejemplo, en el conjunto B
los elementos son números
“enteros” x tales que - 2 < x < 3.
i) Analizar los elementos que pertenecen a cada conjunto. ¿Es
posible determinar la cantidad de elementos?.
ii) Representar en la recta real, de ser posible, cada conjunto.
2)
En caso de que existan infinitos
números, el modo de indicarlos es
mediante la notación de intervalos.
a) ¿Cuáles son los números naturales comprendidos entre
-2 y 3 ?.
b) ¿Cuáles son los números enteros comprendidos entre
-2 y 3 ?.
c) ¿Cuáles son los números racionales comprendidos entre -2
y 3 ?.
d) ¿Cuáles son los números reales comprendidos entre
-2 y 3 ?.
3) Expresar mediante intervalos cada uno de los siguientes subconjuntos de R: el conjunto de los
números reales x que satisfacen:
a) x es mayor que 2 y menor que 6.
b) x es mayor o igual que -1.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 40
c) x es menor que
3
2
.
d) x supera al menor número entero positivo.
e) x es menor que el mayor número par negativo.
f) x está comprendido entre los dos múltiplos positivos de 4 de un solo dígito.
4) Representar sobre la recta real los siguientes intervalos:
a) [2 , 5] b) {x/x ∈ R ∧ -3 < x <
3
4
}
c) 





∞
2
1
;- d) {x/x ∈ R ∧ -1 ≤ x < 2,75 }
5) Determinar:
Recuerda que...
El símbolo ∪
representa la unión de conjuntos.
El símbolo ∩
representa la intersección de
conjuntos.
a) [-
4
1
, 2) ∪ [1 , + ∞) b) (-3 , -1) ∪ [
2
5
, 3)
c) (-3 , -1) ∩ [
2
5
, 3) d) [0 , 5 ) ∩ [
2
3
,
2
7
]
6) Hallar los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones y representar los subconjuntos
de R correspondientes.
a) 0 < x ≤ 2 ∧ x ∈ [1 , 3) b) x > -1 ∧ x ∈ (2 , 5)
c) x ∈ [-4 , +∞) ∧ x < -2 d) x ∈ (-2 , 2) ∧ x ∈ [1 , +∞)
e) x ∈ (- ∞ , 3) ∧ x ∈ (-3 , +∞) f) -3 ≤ x < 1 ∧ x ∉ [0 , 2)
7) Dados los intervalos A = [-2 , 1) ; B = [-1 , + ∞) ; C = [-3 , 2,5) determinar:
a) (A ∩ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C
8) Sean A = [-2 , 6] ; B = (1 , 5] ; C = (-1, 3) calcula:
a) (A ∪ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C
9) Expresar en forma de intervalos la información dada en la introducción acerca de las Ballenas
Francas.
Recta Real
Página 41
3.2. Valor absoluto o módulo de un número real
MóduloMódulo
oo
Valor AbsolutoValor Absoluto
Dado un número a ∈∈ R, llamaremos módulo ó valor
absoluto de a , al mismo número a si este es positivo o
cero, y -a si a es negativo, es decir:
a =



<−
≥
0
0
asia
asia
Ejemplo:
3 = 3
-3 = - (-3) = 3
0 = 0
El módulo de un número real es siempre mayor ó igual a cero.
Si representamos los números reales mediante puntos en una
recta, el valor absoluto de a se interpreta como la distancia que
hay entre a y el origen 0.
Si a = 3
puede ser a = 3
ó bien a = -3 .
Si b ∈ R y b > 0,
la desigualdad x ≤ b
también se expresa como
x ≤ b ∧ x ≥ - b.
El símbolo ∧ se lee “y”.
Si b ∈∈ R y b > 0 entonces la desigualdad x ≤≤ b
es equivalente a la doble desigualdad
- b ≤≤ x ≤≤ b.
Como x mide la distancia de x al 0, que x sea menor ó
igual que b significa que la distancia de x a cero no debe ser
mayor que b.
-3 –2 –1 0 1 2 3
|-3| = 3 |3| = 3
|2| = 2
0 b-b
Curso de Apoyo en Matemática
Página 42
Ejemplo:
Recordemos que...
x ∈ R y x ≤ 2
es equivalente a
x ≤ 2 ∧ x ≥ - 2 .
Si representamos cada una de estas
desigualdades, la intersección de
ambos conjuntos es precisamente el
intervalo [- 2 , 2 ].
x ≤ 2 es equivalente a - 2 ≤ x ≤ 2 .
Por lo tanto, x ≤ 2 significa que x ∈ [- 2 , 2 ] .
Si representamos en la recta numérica obtenemos:
En general, - b ≤ x ≤ b es equivalente a
x ≥ - b ∧ x ≤ b
y representa la intersección
[- b , + ∞) ∩ (- ∞ , b] = [- b , b ]
Análogamente, x < b es equivalente a
- b < x < b
(o también x < b ∧ x > - b ).
La distancia de x al cero
debe ser mayor que 2 .
Una forma de encontrar los números reales x que verifican
x > 2 ,
es descartar de la recta real aquellos que verifican x ≤ 2 .
Así, se obtiene x > 2 o x < - 2 . Gráficamente,
Por la definición de intervalos,
x ∈ R y x > b
significa que
x ∈ (- ∞ , -b) ó x ∈ (b , + ∞) ,
es decir,
x > b
equivale a
x ∈ (- ∞ , -b) ∪ (b , + ∞) .
En general, si b ∈ R y b > 0 ,
x > b es equivalente a decir que x > b o x < -b .
Es decir, la distancia del x al cero debe ser mayor que b.
Gráficamente,
0-2 2
- 2 2
20
- 2 2
[ 2,2− ]
0 b-b
[-b, b]
0 b-b
(-b, b)
0-2 2
- 2 2
0
b-b
Recta Real
Página 43
x ∈ R y x ≥ b
significa que
x ∈ (- ∞ , -b] ∪ [b , + ∞)
Análogamente,
x ≥ b es equivalente a decir x ≥ b ó x ≤ - b.
Gráficamente,
Ejemplo:
x - a < b
significa que x está a menos de b
unidades respecto de a; mientras que
x - a > b
significa que x está a más de b
unidades de a.
En el caso general
x - a
mide la distancia entre x y a .
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
10) Resolver y representar gráficamente. Expresar la solución, de ser posible, en forma de
intervalos.
Ejemplo:
x + 9 = 5
Solución:
x + 9 = 5 → x + 9 = 5 óx + 9 = -5
→ x = 5 – 9 ó x = -5 – 9
→ x = - 4 ó x = - 14
La solución en este caso es entonces
S = {-4, -14}.
Gráficamente:
a) x =
2
3
b) x - 5 = 2
c) x ≥ 3 d) x ≤ 5
11) Expresar las afirmaciones siguientes, si es posible, como intervalos:
a. x está a menos de 5 unidades de 3
b. y está a lo sumo 4 unidades de 7
c. t está a una distancia de 3 unidades de 5
d. x está al menos a 4 unidades de - 5
e. x es menor que 4 y mayor que - 4
0 b-b
-14 - 4 0
Curso de Apoyo en Matemática
Página 44
3.3. Inecuaciones lineales
Las ecuaciones se caracterizan por presentar el signo de igualdad, mientras que en las desigualdades
aparecen precisamente algunos de los signos < , ≤ , > ó ≥ . De todas formas, tanto las ecuaciones
como las inecuaciones pueden ser de primer grado. Una inecuación es de primer grado cuando las
incógnitas que aparecen en su expresión tienen exponente igual a 1.
Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se
cumpla la desigualdad.
Ejemplos:
Resolveremos algunas inecuaciones.
a) 3 x – 2 < 1
Aplicando propiedades Despejando:
3 x – 2 < 1 3x – 2 < 1
3 x – 2 + 2 < 1 + 2 3 x < 1 + 2
3 x < 3 3 x < 3
3
1
3 x <
3
1
3 x < 3 : 3
x < 1 x < 1
Solución: S = ( - ∞ , 1).
Representación gráfica:
Ecuaciones Inecuaciones
Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ≤ ; > , ≥ )
De primer grado
3x – 2 = 1
4
2
1
=
+x
x + y = 24
-2 x + 1 = x - 3
3x – 2 < 1
4
2
1
>
+x
x + y ≥ 24
-2 x + 1 ≤ x - 3
0-2 2-1 1...
Recta Real
Página 45
b) 4
2
1
>
+x
Aplicando propiedades Despejando:
2
1+x
> 4
2
1+x
> 4
2
1+x
. 2 > 4 . 2 x + 1 > 4 . 2
x + 1 > 8 x + 1 > 8
x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 8 - 1
x > 7 x > 7
Solución: S = ( 7 , + ∞ )
Representación gráfica:
c) x + y ≥ 24
En este caso tenemos una inecuación lineal con dos incógnitas, que se verifica para infinitas parejas
de números.
Verificación:
Ejemplo:
0 + 24 ≥ 24 x = 0 ; y = 24
2 + 23 ≥ 24 x = 2 ; y = 23
-3 + 30 ≥ 24 x = -3 ; y = 30
2
1
+
3
71
≥ 24 x =
2
1
; y =
3
71
1 + 100 ≥ 24 x = 1 ; y = 100
d) -2 x + 1 ≤ x – 3
Aplicando propiedades: Despejando:
-2 x + 1 ≤ x - 3 - 2 x + 1 ≤ x - 3
-2 x + 1 + (-x ) ≤ x - 3 + (- x ) - 2 x - x ≤ - 3 - 1
[-2 x + (-x ) ] + 1 ≤ [ x + (- x ) ] - 3
-3 x + [ 1 + (-1 ) ] ≤ - 3 + (-1 )
-3 x ≤ - 4
- 3 x ≤ - 4
-
3
1
. (-3) x ≥ -
3
1
.(-4) x ≥ - 4 : (- 3)
75 96 8... 1110 ...
Curso de Apoyo en Matemática
Página 46
x ≥
3
4
x ≥
3
4
Solución: S = [
3
4
, + ∞ )
Representación gráfica:
Las inecuaciones permiten resolver problemas.
Ejemplo:
Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga
que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede
pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?
En primer lugar, traducimos el
enunciado al lenguaje simbólico
Sea x el peso de cada cajón y planteamos la siguiente
inecuación:
Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
875 - 4 . x ≥ 415
Debemos resolver entonces la inecuación
Pasos de resolución: 875 – 4x ≥ 415
Restamos 875 a ambos miembros
de la desigualdad
→ - 4 . x ≥ 415 - 875
Hacemos el cálculo en el segundo
miembro
→ - 4 . x ≥ - 460
Para despejar x , multiplicamos
a ambos miembros por - ¼.
Recordemos que cuando
multiplicamos por un número
negativo, debemos cambiar el sentido
de la desigualdad
→ x ≤ ( )460
4
1
−⋅





−
Hacemos el cálculo → x ≤ 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata
de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales
pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:
0-1 1
3
4
32
0 115
Recta Real
Página 47
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
12) Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:
a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x ≤ 4 - x
c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8 ≤ 3 x + 1
e) 2 . 





2
1
-x > 3 x f)
3
1
4
2 −
≤
+ aa
g) 3 x - 12 ≤
4
6-5 x
h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5
i)
6
-5
23
xxx
>+ j)
6
1
-
3
5
4-
4
xx
≥−
k) 2-
2
14
4
8
-
3
25 +
>
−− xxx
l) 02-
7
1
2
<+
+
+ x
xx
m) ( ) 0
4
7
2
1
-.43-
3
1
-2 >





++





xx n) x - 2 > 0
13) Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta:
Ayuda
Recuerda lo que ocurre
cuando multiplicamos ambos
miembros de una desigualdad
por un número.
¿Es lo mismo hacerlo
por un número positivo que
por un número negativo?
x
3
< 2
x
3
x < 2 x
3 < 2 x
2
1
3 <
2
1
2 x
2
3
< x
14) ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?.
15) ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:
x + 2 < 3 x + 1 ?.
16) Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 48
17) El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede
asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?.
18) Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre
excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.
19) Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150
Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?.
20) Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra
fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el
viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.
21) Sean A = {x/x ∈ R ∧ x + 1 < 4 } y B = (- ∞ ,
2
3
] ∪ [3 , + ∞) . Determinar A ∩ B
22) Determinar:
{x / x ∈ R ∧ 2 x - 4 > 0 } ∩ {x / x ∈ R ∧ 3 - x ≥ 0 }
23) Hallar y representar en la recta los números reales que verifican:
a) x - 4 > 2 b) x + 2 ≤ 3 c) 4 - x > 0
d) 0 < x + 3 < 1 e) 0 < x - 3 <
4
1
f) 12 - 4 x > 3
g) 4 x - 3 ≤ 5 h) - 3 x + 6 < 2 i) 1 + 2 x ≥
2
1
j) 3 - x  - 5 ≥ 0 k) - 2 x + 1 + 8 < 0
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 49
4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA
El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para
expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo.
En esta unidad comenzaremos por preparar el camino para las siguientes al analizar aspectos
básicos de las funciones tales como: identificar cuándo una relación entre dos conjuntos es una
función, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener información de esa
representación y reconocer ciertos conjuntos asociados a las funciones tales como el dominio y la
imagen.
Haremos hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante
una ecuación, con una gráfica, o con palabras.
Más adelante nos introduciremos en las funciones lineales, cuyas representaciones gráficas
son las más simples: las rectas. Como caso particular observaremos las características propias de la
función de proporcionalidad.
Finalmente, veremos cómo resolver problemas usando sistemas de dos ecuaciones lineales,
tratando de no perder de vista el significado geométrico del problema.
4.1. Función
La construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual.
No es posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráfico.
Como primer acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información
simple de leer.
En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la
señalización a lo largo de la vía férrea.
En el eje vertical se han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estaciones
ferroviarias.
En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas.
Cada línea quebrada indica la posición del tren, cuyo número está marcado sobre la
misma, en función del tiempo. Observemos que algunos trenes no llegan a la última estación y
algunos no paran en ciertas estaciones.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 50
Veamos algunas preguntas que podemos hacer para interpretar el gráfico:
1) ¿A qué hora sale el tren nº 2?
2) ¿A qué hora llega a la estación E el tren nº 4?
3) ¿Cuánto tiempo transcurre entre la salida del tren nº 3 y el nº 4?
4) ¿Cuánto tarda el tren nº 1 en ir de la estación O a la estación B?
5) ¿Cuánto tiempo el tren nº 1 está detenido en la estación B?
6) ¿Cuánto tiempo transcurre en la estación D desde la partida del tren nº 1 hasta que pasa el tren
nº 6?
7) ¿Hasta donde llega el tren nº 3?
8) ¿A qué hora y en qué lugar se cruzan los trenes nº 1 y nº 2?
9) Si un pasajero llega a la estación O a las 12:30 hs. y quiere llegar a la estación E, ¿qué
opciones tiene?
10) Si un pasajero llega a la estación O a las 10 hs. y toma el tren nº 3, ¿cómo hace para llegar a
la estación E?. ¿A qué hora llega?. ¿Qué le hubiera convenido hacer para llegar antes?
11) ¿Es siempre la misma la velocidad del tren nº 2?. ¿Y la del tren nº 1?. ¿En qué lugar es
mayor?
Desde un punto de vista informal, una función es una regla que permite asignar a cada uno
de los elementos “x” de un conjunto “A” un único elemento “y” de otro conjunto “B ”. A diario
tenemos ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del
bebé, nos cobran el pasaje en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida es función de la
velocidad alcanzada, etc.
FunciFunciónón
Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe una
relación entre las variables, x e y, donde x ∈∈ A e y ∈∈ B,
en la que a cada valor de la variable independiente x le
corresponde un único valor de la variable dependiente y,
diremos que dicha relación es una función.
f : A → B
Diremos que y es la imagen de x por la función f .
En símbolos:
y = f (x)
Una forma de representar una función es mediante una gráfica en un sistema de coordenadas
cartesianas.
Eje de AbscisasEje de Abscisas En el eje horizontal se representa a la variable
independiente y recibe el nombre de eje de abscisas o eje x.
A
Bf
x • •
y = f(x)
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 51
Eje de OrdenadasEje de Ordenadas En el eje vertical se ubica la variable dependiente y recibe
el nombre de eje de ordenadas o eje y.
Gráficamente
Al representar una función y = f (x) en un sistema de
coordenadas cartesiano, sobre el eje de abscisas se ubica la
variable independiente x, mientras que sobre el eje de
ordenadas se ubica la variable dependiente y.
DominioDominio
Al conjunto formado por todos los valores que toma la
variable independiente x lo denominamos dominio de la
función y lo denotamos Dom f.
En el gráfico anterior podemos leer
Dom f = [ a , b ]
ImagenImagen
Al conjunto formado por todos los valores que toma la
variable dependiente y tales que y = f (x) para algún
x ∈∈ A, lo denominamos imagen de la función y lo denotamos
Im f.
En el gráfico anterior podemos leer
Im f = [ c , d ]
Para una función f : A → B , se tiene que A = Dom f e Im f ⊆ B
No todo lo que parece es una función. Es importante aprender a reconocer cuándo una relación entre
dos conjuntos es o no una función.
Analicemos los siguientes gráficos, que muestran relaciones desde un conjunto A hacia un conjunto
B, donde A = [ 1 , 5 ] y B = [ 0 , 5 ]
Gráfico 1
El Gráfico 1 no representa una función pues hay elementos del
dominio que tienen más de una imagen.
Ejemplo:
f (3) = 2 y f (3) = 4.
a b
c
d
y eje de ordenadas
eje de abscisas
x42
3
2
1 3 5
1
4
5
y
Curso de Apoyo en Matemática
Página 52
Gráfico 2
El Gráfico 2 corresponde a una función puesto que todos los
elementos de A tienen una única imagen en B.
En este caso podemos observar que
Dom f = [ 1 , 5 ] e Im f = [ 0 , 4 ]
Gráfico 3
El Gráfico 3 no representa una función pues hay elementos del
conjunto A que no tienen imagen.
Por ejemplo, el punto (3,1) se ha marcado con un pequeño
círculo vacío para indicar que f (3) 1. Por otro lado, los
elementos que pertenecen al intervalo (4,5] no poseen imagen.
Mayor dominio deMayor dominio de
defindefiniiciónción
Cuando la función viene dada por una fórmula del tipo
y = f (x), el mayor dominio de definición es el conjunto de los
valores de x para los cuales se puede calcular f (x).
Para pensar...
Observemos que...
claramente es posible calcular 2 x
para cualquier número real x.
Luego, Dom f = R
a) Si f (x) = 2x,
¿para qué valores de x es posible calcular 2x ?.
Observemos que...
como la división por 0 no está
definida debe ser x - 1 ≠ 0 ,
o sea x ≠ 1.
Luego, Domf = R - {1}
b) Si
1
2
)(
−
=
x
xf ,
¿es siempre posible calcular este cociente?.
y
42
3
2
1 3 5
1
4
5
x
42
3
2
1 3 5
1
4
5
y
x
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 53
Ayuda
Recuerda cuándo es posible calcular
la raíz cuadrada de un número real.
c) Si 2)( += xxf , Dom f = [ -2 , +∞ ).
¿Por qué?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1)
a) Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones. Justificar.
b) Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a función.
i) ii) iii)
iv) v) vi)
2) Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominio e
imagen de cada una de ellas:
i) ii) iii)
Curso de Apoyo en Matemática
Página 54
iv) v) vi)
3) Para las funciones representadas, estimar, a partir de su gráfico, los valores que se indican.
a) f (1) ; f (2) ; f (2,5) ; f (4) ; f(5).
b) Los valores de x tales que f (x) = 0.
c) g(- 1,5) ; g(- 0,5) ; g(0) ; g(0,5) ; g(4).
d) Los valores de x tales que g(x) = 2.
e) Los valores de x tales que g(x) = -2.
4) En los siguientes casos, ¿ y es una función de x ?, ¿ x es una función de y ?. Según sea la
respuesta, indicar dominio e imagen:
a) x representa un número natural e y, el resto de dividir ese número natural por 4.
b) x representa una persona e y, su número de teléfono.
5) Calcular el máximo dominio de las funciones dadas por:
a) f (x) = 3 x – 1 b) f (x) = 1-2 x c) f (x) =
2
2
+x
x
d) f (x) = x x e) f (x) = 52
+x f) f (x) = 1/ x
6) En cada caso, calcular, si es posible, f (0) , f (-0,8) , f (0,8) , f (-1) , f (1) , f (-4,25) ,
f (4,25) y decir cuál es el dominio de la función f :
a) f (x) = - 3 x + 2 b) f (x) = - 4 c) f (x) = x2
+ 2 x - 5
d) f (x) = - x3
+ x2
- 2 x + 4 e) f (x) =
x
5
f) f (x) =
4
3
−x
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 55
7) Para una experiencia de Biología, se midió el largo y el ancho de las hojas de una rama y se
obtuvieron los datos que aparecen en la tabla. Tener en cuenta que el largo y el ancho de las hojas
de una rama cualquiera siempre guardan el mismo tipo de relación.
Largo (cm) Ancho (cm)
6,5 5
6,2 4,8
5,6 4,1
5,1 3,9
4,5 3,5
a) Representar los datos de la tabla en un gráfico cartesiano.
b) Dibujar una curva que los aproxime.
8) Los siguientes gráficos corresponden al producto bruto interno de cierto país; uno de ellos
figura en un diario oficialista y, el otro, en uno opositor.
a) ¿Los dos gráficos presentan la misma información?
b) ¿Representan la misma función?
c) ¿A qué diario corresponde cada gráfico? Justificar la elección.
i) ii)
9) Dos excursionistas proyectan realizar una caminata desde San Carlos de Bariloche
(Río Negro) hasta un refugio en la montaña, que se encuentra a 18 km de la ciudad.
Para orientarse, cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia - tiempo confeccionado por
un grupo que realizó esa caminata el mes anterior. Responder las siguientes preguntas a partir de la
información dada por dichas representaciones:
a) ¿Cuántos km recorrieron aproximadamente hasta llegar al primer descanso?. ¿A qué hora
llegaron?. ¿Cuánto tiempo se detuvieron?.
b) ¿Cuántos km recorrieron desde ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo
tardaron en subirla?.
c) ¿Cuántos km hicieron de bajada?. ¿Les llevó menos tiempo?.
d) Comparar el trayecto desde la cima hasta la hondonada, marcado en el perfil, con la parte del
gráfico que lo representa.
e) Al llegar a la hondonada, ¿cuántos km. les faltaba para llegar al refugio?. ¿A qué hora llegaron?.
¿Cuánto tiempo descansaron?.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 56
4.2. Función lineal y ecuación de la recta
Observemos que...
ü La longitud que un resorte se alarga es proporcional a la fuerza que se hace para
alargarlo, es decir, a doble fuerza, doble estiramiento.
ü El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es proporcional a la cantidad de
dinero que el banco ha prestado, y también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha
prestado.
ü Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del enfermo.
En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que se comportan de esta
misma manera. Esto explica el interés por el estudio matemático de la función de proporcionalidad,
caso particular de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta.
4.2.1. Función lineal
Función LinealFunción Lineal
Toda función de la forma
y = f (x) = m x + b con m ∈∈ R, b ∈∈ R,
recibe la denominación de función lineal.
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 57
Son ejemplos de funciones lineales:
y = 2x
y = 0,5x + 2
y = x – 4
y = 2
En esta fórmula x representa la variable independiente e y la variable dependiente.
PendientePendiente Denominaremos pendiente a la constante m.
Ordenada al origenOrdenada al origen Denominaremos ordenada al origen a la constante b.
El dominio de la función lineal f es todo el conjunto R de los
números reales.
Ayuda
Observa una recta paralela al eje y
recordando la definición de función.
Para pensar….
El gráfico de una función lineal es siempre una recta que no
puede ser paralela al eje y. ¿Por qué?
4.2.2. Pendiente de una recta
Vamos a estudiar más detenidamente a la función lineal. Representemos en el plano de coordenadas
cartesianas algunas funciones.
Ejemplos:
a) y = x - 4
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada también
aumenta 1 unidad.
y
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
x
Curso de Apoyo en Matemática
Página 58
Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada aumenta 2
unidades.
1
1
=
2
2
=
3
3
= 1 = m
Observemos que...
los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación
de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.
b) y = - 3 x +2
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada disminuye 3
unidades.
Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada disminuye
6 unidades.
m=−=
−
=
−
=
−
3
3
9
2
6
1
3
L
Nuevamente observamos que los cocientes entre la variación
de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e
iguales al valor de la pendiente.
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
x
y
1 2 3 4
- 1
- 2
- 3
- 4
x
y
2
1
y
2
1
- 1
- 2
- 3
- 4
1 2 3 4 x
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 59
c) y = 2
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada no aumenta
ni disminuye.
Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3, o más
unidades.
3
0
2
0
1
0
== = 0 = m
En este ejemplo resulta que los cocientes entre la variación de
la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e
iguales a 0, el valor de la pendiente m.
Atención
Habrás observado que
la inclinación de cada recta está
directamente relacionada con el
signo de su pendiente.
En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales
según el valor de la pendiente:
Resumiendo
ü La pendiente está determinada por el cociente entre la
variación de y y la variación de x.
La función tangente, utilizada en la
expresión: m = tg α, se estudiará
junto con las demás funciones
trigonométricas, con más detalle en
una próxima unidad.
ü La pendiente m mide la inclinación de la recta
respecto del eje x. Podemos hallar entonces, a partir de la
pendiente, el ángulo α que forma dicha recta con el eje x
teniendo en cuenta que:
m = tg α.
1 2 3-3 -2 -1 0
-1
x
y
1
2
3
y = m x + b
m < 0
Función decreciente
m = 0
Función constante
m > 0
Función creciente
y
x x
y y
x
Curso de Apoyo en Matemática
Página 60
Recordemos que...
el ángulo de inclinación α , se mide en sentido contrario a las agujas del reloj,
a partir de la dirección positiva del eje x.
Retomando los ejemplos anteriores:
y = x – 4
a) y = x - 4
En este ejemplo
m =
1
1
= tg α
Entonces
α = 45º
y = -3 x + 2
b) y = -3 x + 2
m =
1
3-
= tg α
entonces
α = 108º 26’ 5,82’’
c) y = 2
m =
2
0
= tg α
entonces
α = 0º
y
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
x
α
α
α
2 3 4
- 1
- 2
- 3
- 4
x
y
2
1
α
α
1 2 3-3 -2 -1 0
-1
x
y
1
2
3
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 61
4.2.3. Función de proporcionalidad
Recordemos que...
en la ecuación y = mx + b
a la constante b se la denomina
ordenada al origen.
La ordenada al origen es el punto de intersección entre la recta
y el eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x = 0, o sea
la imagen de cero.
Función deFunción de
proporcionalproporcionaliidaddad
directadirecta
Si la ordenada al origen es 0, resulta
y = mx.
Este caso particular se llama función de proporcionalidad
directa y su gráfica es una recta que pasa por el origen.
Observemos en la función y = 2 x la relación entre los
valores de la variable x y los valores que se obtiene de la
variable y.
Es decir, si se calcula...
el doble de 1, su imagen resulta el
doble de 2.
el triple de 1, su imagen resulta el
triple de 2.
la mitad de 1, su imagen resulta la
mitad de 2.
.....
m...
x
y
====== 2
2
1
1
2
4
1
2 En este caso los cocientes entre la variación de la ordenada y la
variación de la abscisa nos dan nuevamente el valor de la
pendiente.
La pendiente de la función de proporcionalidad se
denomina constante de proporcionalidad.
x
1
2
3
y
2
4
6
×× 2
×× 3
: 2
×× 2
×× 3
: 2
Curso de Apoyo en Matemática
Página 62
4.2.4. Ecuación de la recta
Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta.
Ecuación de laEcuación de la
rectarecta
Para m , n ∈∈ R constantes, podemos interpretar una
función lineal
y = mx + n
como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que
denominaremos ecuación de la recta.
Forma explícitaForma explícita
de la ecuaciónde la ecuación
de la rde la reectacta
A la expresión
y = mx + n ,
donde m, n ∈∈ R son constantes, la denominamos forma
explícita de la ecuación de la recta.
Ejemplo:
3
8
3
2
+= xy
Forma implícitaForma implícita
de la ecuaciónde la ecuación
de lade la rreectacta
Diremos que para a , b , c ∈∈ R constantes,
a x + b y + c = 0
es la forma implícita de la ecuación de la recta.
Ejemplo:
La misma recta del ejemplo anterior se puede escribir como
2 x - 3 y + 8 = 0.
x = 2
es la ecuación de la recta vertical
cuyo gráfico es:
Observemos que...
si b = 0 y a ≠ 0,
la ecuación implícita de la recta se reduce a
a x + c = 0,
que representa a la recta paralela al eje y ,
x = -
a
c
la cual, como vimos anteriormente no representa
una función y = f (x) .
x1 3
y
2
x = 2
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 63
Si tenemos como datos dos puntos (x0, y0), (x1, y1)
pertenecientes a una recta, podemos construir la ecuación de la
misma.
Observemos que...
su pendiente es m =
0
0
xx
yy
−
−
=
01
01
xx
yy
−
−
.
Ecuación de laEcuación de la
recta que pasarecta que pasa
porpor dos puntosdos puntos
Así,
0
0
01
01
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
es la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos
(x0, y0), (x1, y1)
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
10) Dadas las siguientes expresiones, señalar con una cruz las ecuaciones asociadas a una función
lineal de una variable:
a) ¨ 10 x + 8 y - 30 = 0 b) ¨ 2 x + 3 y - z = x + y
c) ¨ 4 (h + 3) - 5 t + 8 (t - h) = 4 d) ¨ x2
+ y2
= 4
e) ¨ 2 t2
- 5 t = 0 f) ¨
yx
1
-
1
= 1
11) Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales:
a) y = - 4 x + 1 b) y = - 5 c) x + y = 0
d) 1
4
3
3
2
=+
yx
e) 3 x - 2 y + 1 = 0 f) 1
32
=
−
+
yx
g) x = - 3
x0
y0
x x1
y
y1
Curso de Apoyo en Matemática
Página 64
12) Dar la expresión en forma explícita de las rectas graficadas a continuación, luego indicar en qué
casos se trata de un función de proporcionalidad directa:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
13) Hallar el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas:
a) 3 x - y + 2 = 0 b) 1
2
-
2
=
yx
c) 2 y - 3 = 0
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 65
14) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje x en el punto de abscisa 3 y forma con él un
ángulo de 60º.
15) Hallar el valor de k en las siguientes ecuaciones a fin de que cada recta pase por el punto
indicado:
a) 4x + 3y - k = 0 A ( 1 , -2 ) b) - k x +
2
y
- 1 = 0 B ( 3 , 0 )
16) ¿Cuánto debe valer un número real k para que el punto (-1 , 2) se encuentre en la recta k x +
7 y - 7 = 0 ?. Graficar.
17) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) (-2 , -1) y (-4 , -3) b) (3 , 5) y (7 , -2)
c) (6 , -1) y (-2 , 4) d) (1 , -5) y (10 , 11)
18) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente 5 y -1.
Graficar.
19) Averiguar si los puntos (0 , 2) , (1 , -1) y (-1 , 5) están alineados.
20)
a) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1 , -2).
b) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente
2
1
− y pasa por el punto P (-4 , 7).
c) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente
4
1
y pasa por el punto P (
3
1
,
5
3
).
21) Una recta que pasa por P(3 , -2) , forma un ángulo de 60º con el semieje positivo del eje x .
Encontrar su ecuación y graficar.
22)
a) Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que
y = 3 x + 2
b) ¿Cuáles son paralelas a ella?.
i. y = 3x -
3
1
ii. 





+=
4
1
8 xy
iii. y = 3 ( x + 2 ) iv. y = 7x + 2
v. y = 4 x + 2 vi. y = 3x + 4
Curso de Apoyo en Matemática
Página 66
23) Un kilogramo de papas cuesta $0,65. Escribir y representar la función que define el valor de las
papas en función de los kilogramos comprados.
24) Cada una de las siguientes tablas corresponde a una función. Para cada una de ellas:
a) Completar la tabla de tal forma que la función represente una función de proporcionalidad
directa.
b) Escribir una fórmula que relacione los elementos de la primera fila con los de la segunda.
c) Representar los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas.
Tiempo de marcha (en horas) 1 2 3
Espacio recorrido (en km.) 80 400 800 50
Capital invertido (en pesos) 1000 500 250
Interés percibido (en pesos) 100 12.5 75
Masa del aluminio (en gramos) 2,7 13,5
Volumen del aluminio (en cm3
) 1 2 3
25) El estudio de cierta tabla permite establecer que:
f (3) = 7 f (8) = 16,2 f (11) = 26
¿Representa dicha tabla una función de proporcionalidad directa?. Justificar.
26) La siguiente tabla representa la relación existente entre el valor de los lados y el perímetro de
tres cuadrados:
Lado (l) Perímetro (p)
1 4
2 8
3 12
Responder:
a) ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa?.
b) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad?.
c) Expresar la función mediante una fórmula y representar gráficamente.
27) Para distintos trozos de un mismo material, el peso es directamente proporcional al volumen.
a) Completar los cuadros y las fórmulas para cada uno de los materiales indicados.
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página 67
Madera de pino: Corcho sintético: Granito:
Volumen
(en dm3
)
1 5 10 20
Volumen
(en dm3
)
1 5 10 20
Volumen
(en dm3
)
5 10
Peso
(en kg.)
9
Peso
(en kg.)
Peso
(en kg.)
60 30 3
P = ........ . V P = 0,2.V P = ....... . V
b) Representar en un mismo gráfico las tres situaciones.
c) Observar en la gráfica:
i. ¿Qué pesa más?; ¿3,5 decímetros cúbicos de madera o 3,5 decímetros cúbicos de granito?.
ii. Si se tienen 7 kg. de corcho sintético y 7 kg. de madera, ¿cuál es el material que más volumen
tiene?.
d) Si se dispone de un recipiente cuya capacidad es de 6 decímetros cúbicos, ¿4 kg. de qué material
(corcho - madera - granito) molido, puede guardar en dicho recipiente?.
En cada caso la constante de proporcionalidad representa la densidad del material (peso por unidad
de volumen); gráficamente, la misma, es la pendiente de la recta.
28) Una empresa de transportes establece sus tarifas de este modo: $ 0,10 por km recorrido y $ 5
por paquete o maleta. ¿Cuánto costará trasladarse con una maleta a 100 km?. ¿Y a 200 km?.
a) Completar la siguiente tabla considerando que se lleva una maleta:
Distancia
(en km.)
100 150 200 250 300
Precio
(en pesos)
b) Expresar por fórmula la función que relaciona número de km y precio del traslado.
c) Analizar la misma situación pero trasladándose con dos maletas.
d) Representar en un mismo gráfico las dos situaciones (viajar con una maleta - viajar con dos
maletas). Interpretar.
e) Proponer cómo viajar de tal forma que la función que relacione número de km. y precio del
traslado sea de proporcionalidad.
Incluir en la gráfica anterior su representación e indicar su fórmula.
Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas :
Precio por
km
Precio por
maleta
Ecuación sin
maletas
Ecuación con una
maleta
Empresa A
0,15 2,5 y = 0,15 x y = 0,15 x + 2,5
Empresa B
0,06 7
Representar gráficamente; decidir qué empresa contratar para gastar lo menos posible.
Curso de Apoyo en Matemática
Página 68
4.3. Sistemas de ecuaciones lineales
En esta sección analizaremos los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, y sus
soluciones, en forma algebraica y geométrica.
La ecuación
tiene entre otras las siguientes
soluciones:
x = 0 , y =
3
8
x = 1 , y =
3
10
x = -1 , y = 2
............
Entonces los puntos de coordenadas
( );...2,1;
3
10
,1;
3
8
,0 −











pertenecen a la recta dada.
Hemos visto en la unidad anterior, que una ecuación lineal con
dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pues esa ecuación se
verifica para infinitas parejas de números.
Es decir, la resolución algebraica de
un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas equivale
geométricamente a estudiar las
posiciones relativas de las dos rectas
en el plano.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es
representado geométricamente por dos rectas.
Resolverlo equivale a hallar los puntos del plano comunes a las
dos rectas.
Ejemplos:
Gráficamente, vemos que las dos
rectas se cortan en un único
punto P de coordenadas ( 1 , 2 )
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
a)



=−−
=−+
0238
053
yx
yx
Resolvemos aplicando el método de sustitución:
De la ecuación
3x + y – 5 = 0
se tiene que
y = - 3 x + 5
sustituyendo y en la ecuación
8 x - 3 y - 2 = 0
se obtiene
8 x - 3 ( -3 x + 5 ) - 2 = 0
despejando x, resulta
x = 1
Reemplazando el valor de x obtenido, en cualquiera de las
ecuaciones del sistema, resulta
y = 2.
En este caso diremos que
las rectas son secantes. El sistema tiene una única solución x = 1 , y = 2
3
8
3
2
+= xy
3x + y – 5 = 0
8x – 3y – 2 = 0
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  • 1. FFFAAACCCUUULLLTTTAAADDD DDDEEE IIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRÍÍÍAAA Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco CCCuuurrrsssooo dddeee AAApppoooyyyooo eeennn MMMaaattteeemmmááátttiiicccaaa Departamento de Matemática http://www.ing.unp.edu.ar/matematica
  • 2.
  • 3. El siguiente material, elaborado por docentes del Departamento de Matemática, está dirigido a los alumnos aspirantes a ingresar a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. El mismo tiene como objetivo orientar al alumno en el estudio de las temáticas que se evalúan en el examen de ingreso a la Facultad, y aportar una nutrida cantidad de ejemplos y ejercicios que permitan el desarrollo de las habilidades y destrezas necesarias para abordar el estudio de las áreas básicas de la Ingeniería, Informática y Matemática. Bienvenidos a la Facultad de Ingeniería y mucha suerte. Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería
  • 4. INDICE TEMÁTICO 1. Números.....................................................................................................................1 1.1. Números naturales.............................................................................................2 1.2. Números enteros.................................................................................................3 1.3. Números racionales............................................................................................8 1.4. Números reales..................................................................................................12 1.4.1. Orden en R..............................................................................................14 1.4.2. Potenciación y radicación en R.............................................................16 1.5. Números complejos...........................................................................................21 1.5.1. Operaciones en C....................................................................................23 2. Ecuaciones lineales o de primer grado....................................................................26 3. Recta real..................................................................................................................36 3.1. Intervalos reales.................................................................................................36 3.2. Valor absoluto o módulo de un número real...................................................41 3.3. Inecuaciones lineales..........................................................................................44 4. Función lineal y ecuación de la recta.......................................................................49 4.1. Función................................................................................................................49 4.2. Función lineal y ecuación de la recta................................................................56 4.2.1. Función lineal...........................................................................................56 4.2.2. Pendiente de una recta............................................................................57 4.2.3. Función de proporcionalidad.................................................................61 4.2.4. Ecuación de la recta................................................................................62 4.3. Sistemas de ecuaciones.......................................................................................68 4.4. Rectas perpendiculares......................................................................................73 4.5. Función valor absoluto.......................................................................................74 5. Ecuaciones y funciones cuadráticas.........................................................................75 5.1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado....................................................76 5.2. Funciones cuadráticas........................................................................................82 6. Ecuaciones polinómicas y racionales.......................................................................98 6.1. Polinomios...........................................................................................................98 6.1.1. Operaciones con polinomios....................................................................99 6.1.1.1. Suma de polinomios..........................................................................99 6.1.1.2. Resta de polinomios..........................................................................99
  • 5. 6.1.1.3. Producto de polinomios..................................................................100 6.1.1.4. División de polinomios....................................................................100 6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas...............................102 6.1.3. Divisibilidad de polinomios...................................................................103 6.1.4. Regla de Ruffini......................................................................................104 6.1.5. Factorización de polinomios..................................................................105 6.2. Expresiones racionales......................................................................................108 6.2.1. Operaciones con expresiones racionales...............................................110 6.2.1.1. Suma y resta.....................................................................................110 6.2.1.2. Producto...........................................................................................112 6.2.1.3. División ............................................................................................112 6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales...................113 7. Exponenciales y logaritmos.....................................................................................119 7.1. Función exponencial.........................................................................................120 7.1.1. Ecuaciones exponenciales......................................................................123 7.2. Función logarítmica. Logaritmos....................................................................125 7.2.1. Propiedades de los logaritmos...............................................................127 7.2.2. Cambio de base.......................................................................................128 7.3. Ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas.....................................130 8. Funciones trigonométricas de ángulos...................................................................134 8.1. Ángulos...............................................................................................................134 8.1.1. Sistemas de medición de ángulos ..........................................................136 8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo.........................................................139 8.3. Triángulos rectángulos......................................................................................142 8.4. Signos de las funciones trigonométricas...........................................................144 8.5. Relaciones entre las funciones trigonométricas...............................................145 8.6. Funciones trigonométricas inversas de un ángulo...........................................147 8.7. Identidades trigonométricas...............................................................................155 8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α - β.........................................155 8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble.............................................155 8.7.3. Teoremas del seno y del coseno................................................................155 9. Números complejos en forma polar...........................................................................157 Soluciones...........................................................................................................................164
  • 6. SIMBOLOS N = {1, 2, 3, …} el conjunto de los números naturales N0 = N ∪ {0} el conjunto { 0, 1, 2, 3, …} N- el conjunto { -1, -2, -3, -4, …} Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} el conjunto de los números enteros Q el conjunto de los números racionales R el conjunto de los números reales C el conjunto de los números complejos x ∈ A x pertenece al conjunto A x ∉ A x no pertenece al conjunto A A ⊂ B el conjunto A está incluido en el conjunto B A ⊄ B el conjunto A no está incluido en el conjunto B A ∪ B conjunto A unión B, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B A ∩ B conjunto A intersección B, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B ∅ conjunto vacío = igual ≠ distinto ≅ es aproximadamente igual a < es menor que > es mayor que ≤ es menor o igual que ≥ es mayor o igual que (a, b) el intervalo abierto de extremos a y b [a, b] el intervalo cerrado de extremos a y b (a, b] el intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha, de extremos a y b [a, b) el intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda, de extremos a y b ∞ infinito
  • 7. Dom f dominio de la función f Im f imagen de la función f a valor absoluto de a, que vale a si a ≥ 0, y vale – a en otro caso. an n-ésima potencia de a n a raíz n-ésima de a a  b a divide a b sen α seno del ángulo α cos α coseno del ángulo α tg α tangente del ángulo α arc sen α arco seno del ángulo α arc cos α arco coseno del ángulo α arc tg α arco tangente del ángulo α rad radianes i número complejo que simboliza a la unidad imaginaria e número cuyo valor aproximado es 2,7182818 π número cuyo valor aproximado es 3,1415926 z módulo del número complejo z ∀ cuantificador que se lee “para todo” ∃ cuantificador que se lee “existe” ∧ conectivo lógico que se lee “y” ∨ conectivo lógico que se lee “o” ⇔ conectivo lógico que se lee “si y sólo si” ⇒ conectivo lógico que se lee “implica” loga b logaritmo en base a de b logb logaritmo en base 10 de b, o logaritmo decimal de b ln b logaritmo en base e de b, o logaritmo natural de b
  • 8. Números Página 1 1. NÚMEROS A lo largo de esta primera Unidad recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando cómo operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Esta Unidad es en cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debe brindársele mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y sirva de apoyo para futuras unidades. A lo largo del módulo Ud. encontrará una abundante y variada presentación de actividades, las cuales permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias. La Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco posee sedes en las ciudades de Comodoro Rivadavia, Trelew, Puerto Madryn, Esquel y Ushuaia. La ciudad de Comodoro Rivadavia se encuentra a una altura de 61 metros sobre el nivel del mar en el centro del Golfo San Jorge. El ejido urbano posee una superficie de 5482/10 Km2 , con una costa de aproximadamente 36 km. La ciudad de Comodoro Rivadavia es cabecera del Departamento Escalante, en la Provincia del Chubut, Patagonia Turística Central. Su población es de 143.628 personas (datos provisorios del Censo 2001, para el aglomerado Comodoro Rivadavia - Rada Tilly). De ellas, un 60,6% son nativos, un 21 % provienen de otros lugares de la Argentina y un 12,3 % provienen de otros países. Uno de sus grandes atractivos turísticos es el parque eólico, emplazado en el cerro Arenales con una altura de 400 metros sobre el nivel del mar. La ciudad también cuenta con un puerto principal ubicado en la zona Central de la Ciudad, en el extremo de la Punta Borja, diseñado para atender buques de hasta 180 mts. de eslora, con un calado máximo de 30 pies (10 mts.). Habrás notado que todos los datos vertidos aquí hacen referencia a cantidades numéricas expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A continuación analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.
  • 9. Curso de Apoyo en Matemática Página 2 1.1. Números Naturales Los números naturales también sirven para ordenar. Así, decimos que la Tierra es el tercer planeta a partir del Sol, que ésta es la primer unidad del Módulo del Ingreso, etc. A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números. N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }. Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural. En símbolos, si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N. Observemos que... 1 - 1 = 0 ∉ N 1 - 2 = -1 ∉ N 3 – 1 = 2 ∈ N Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números naturales es un número natural. Así, si a , b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N. Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta numérica como sigue: Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número cero, obtenemos un nuevo conjunto que denotamos con N0 = N ∪ {0}. Observemos que... w a ∈ N si y sólo si - a ∈ N- w N ∩ N- = ∅, es decir, no existe un número que pertenezca al conjunto N y al conjunto N- simultáneamente. Recordemos que el símbolo ∅ denota al “conjunto vacío”. Por otro lado, si reemplazamos cada elemento del conjunto de los números naturales por su opuesto, es decir, en lugar de 1 escribimos -1, en lugar de 2 escribimos -2, y así siguiendo, obtenemos un nuevo conjunto que denotaremos con N - = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...} = {- a / a ∈ N } Si agregamos estos nuevos elementos al gráfico anterior resulta: El conjunto que hemos obtenido de esta manera nos conduce a la próxima sección. -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3
  • 10. Números Página 3 1.2. Números Enteros Definimos al conjunto de los números enteros como Z = N - ∪∪ {0} ∪∪ N. De inmediato resulta que todo número natural es un número entero. Retoma la lectura del artículo al principio de esta unidad. ¿Cuál es la distancia entre la cima del cerro Arenales y un punto ubicado en la parte inferior de un barco cuyas dimensiones son las máximas permitidas para ingresar el puerto local? Recuerda que... 1 pie = 30 cm. Puede serle útil representar en la recta numérica los números indicados y analizar allí la situación. Para pensar…. ü ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás? ü ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y n + 1 ?. ü ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?. ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?. Observemos que... -2 ∈ Z implica - (-2) = 2 ∈ Z 4, -5 ∈ Z implica 4 + (-5) = -1 ∈ Z 4, -5 ∈ Z implica 4 - (-5) = 9 ∈ Z 4, -5 ∈ Z implica 4 . (-5) = -20 ∈ Z w b ∈ Z implica - b ∈ Z w a, b ∈ Z implica a + b ∈ Z w a, b ∈ Z implica a - b ∈ Z, pues: a - b = a + (- b); como - b ∈ Z ; por lo anterior resulta a + (- b) ∈ Z . w a, b ∈ Z implica a . b ∈ Z 7 : 2 = 3,5 ∉ Z Observemos que... no siempre la división de dos números enteros es un número entero N Z
  • 11. Curso de Apoyo en Matemática Página 4 DivisibilidadDivisibilidad Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a , o que b es divisible por a , o que a es divisor de b ). Ejemplos: 6 = 2 . 3 + 0, de modo que r = 0 y así 2 divide a 6 12 = 5 . 2 + 2, de modo que r = 2 y así 5 no divide a 12 a) 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3 b) 5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que multiplicado por 5 dé 12. 2 , 11 , 463 son números primos Un número entero a es primo si tiene exactamente cuatro divisores: 1, -1, a y - a. 7 2 a b 1 3 r q Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero. Algoritmo de laAlgoritmo de la divisióndivisión Sean a , b ∈∈ Z , a ≠≠ 0. Existen enteros únicos q, r tales que b = a . q + r con 0 ≤≤ r < a | 2 | = 2 |-2 | = 2 Recordemos que… |a| denota al “valor absoluto” del número a. En la Unidad 3 trataremos este tema con mayor profundidad. Ejemplos: El resto de la división entre dos números enteros nunca puede ser negativo. a) Para b = 84, a = 45 resultan q = 1, r = 39, pues 84 = 45 . 1 + 39 b) Para b = 84, a = - 45 resultan q = - 1, r = 39, pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39 c) Para b = - 84, a = 45 resultan q = - 2, r = 6, pues - 84 = 45 . (- 2) + 6 d) Para b = - 84, a = - 45 resultan q = 2, r = 6, pues - 84 = (- 45) . 2 + 6
  • 12. Números Página 5 Máximo comúnMáximo común divisordivisor Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es el producto de los factores primos comunes, con el menor exponente. Se denota mcd (a , b). Ejemplo: Recordemos que... para realizar la descomposición de un número en factores primos comenzamos dividiendo, de ser posible, por los números primos 2, 3, 5, 7, 11, … hasta obtener el número 1. La segunda columna obtenida presenta la descomposición del número en factores primos. Si a = 72 y b = 84 resulta 72 2 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 72 = 23 . 32 84 = 22 . 3 . mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12, o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84. Mínimo comúnMínimo común múltiplomúltiplo Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. Se denota mcm (a , b) Ejemplo: 72 2 84 2 36 2 42 2 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 72 = 23 32 84 = 22 3 7 Tomando los números del ejemplo anterior resulta mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504 o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84. Actividades de Aprendizaje 1) Efectuar las siguientes operaciones: Ejercicios complementarios a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5 b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1) c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3) d) 22 - 42 : 8 + 25 e) 42 : 2 - 1 - 82 : 2 – 1 f) 32 : 2 - 1 - 32 : 2 g) 3-1 . 3 - 30 + 1 - 25
  • 13. Curso de Apoyo en Matemática Página 6 2) El número - 15 es menor que 3, es decir, -15 < 3 . a) ¿Es (-15)2 menor que 32 ? b) ¿Es (-15)3 menor que 33 ? 3) El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 . a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ? b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ? 4) Dadas las siguientes afirmaciones, señalar cuáles son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F). Dar un contraejemplo en caso de ser falso. a) Si z ∈ Z entonces - z ∈ Z. b) Si z2 ∈ Z entonces z ∈ Z. c) Si 2 z ∈ Z entonces z ∈ Z. d) Si z2 = 1 entonces z ∈ Z. 5) a) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados? b) El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos? 6) Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?. 7) Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x . y = - 16 y que x es positivo. a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes: § x . y . x . y § (-1) x . y § x . x . y § ( - x )( - y )( - x ) b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: § ( - 1 ) ( - x ) y = § x y : ( - 4 ) = § - 2 x y = § x y : 4 = § 3 x y = 8) p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar con ≤ o ≥ según corresponda: a) 3 p ..... 3 q b) - 4 p ..... - 4 q c) - p ..... – q d) p . a ..... q . a , siendo a ≥ 0 9) a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, hallar a y b. b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número a ?
  • 14. Números Página 7 10) a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14. b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492. 11) Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno. a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo? b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo? 12) En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?. 13) Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente. a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres simultáneamente, en un número entero de días?. b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?. 14) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2 b) ∃ b ∈ Z, b + 0 = 0 c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0 d) ∃ t ∈ Z, t - 2 ≥ 1 e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a w ∀ a, b ∈ Z, a + b ∈ Z, es decir, “Para cada par de números enteros a y b, su suma a + b es un número entero. ” w ∀ z ∈ N, z ∈ Z, es decir, “Todo número natural z, es un número entero”. w ∀ a ∈ Z, ∃ (- a)∈Z, a + (-a) = 0, es decir, “Para todo número entero a, existe el número entero (-a), llamado opuesto de a tal que a + (-a) = 0 ” w Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0. ∃ q, r ∈ Z únicos, tales que b = a . q + r con 0 ≤ r < a. (Recordar el Algoritmo de la división) Recordemos que... El símbolo ∀ se lee “para todo”, así, ∀ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a continuación se verifica “para todos los números enteros” El símbolo ∃ se lee “existe”, así, ∃ a ∈ Z se utiliza para simbolizar que la propiedad que aparece a continuación se verifica “al menos para algún número entero”
  • 15. Curso de Apoyo en Matemática Página 8 1.3. Números Racionales a : b se lee “a dividido b” Como mencionamos anteriormente, no es cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Ejemplo: 1 : 2 = 2 1 ∉ Z . Pueden usar los racionales, por ejemplo, para indicar la quinta parte de x como 5 x Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción m n donde n y m son enteros y m ≠≠ 0. Con Q denotamos la totalidad de los números racionales. Observemos que... w Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z escribimos m = 1 m ∈ Q . Es decir Z ⊂ Q . w La recíproca es falsa, por ejemplo, 2 1 ∈ Q pero 2 1 ∉ Z. La suma, la diferencia y el producto de dos números racionales es un número racional. Si u , v ∈ Q entonces: w u + v ∈ Q w u - v ∈ Q w u . v ∈ Q El inverso de cualquier número racional no nulo es un número racional. w Si u ≠ 0 entonces u 1 ∈ Q Para pensar…. Recordemos que... no existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás, ni tampoco uno que sea mayor o igual que cualquier otro entero. Además, no podemos encontrar un número entero entre dos enteros consecutivos, pero sí podemos hallar una cantidad finita de enteros entre dos números enteros no consecutivos. ü ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que todos los demás? ü Hallar un número racional entre 3 2 y 7 3 . Hallar un número racional entre 3 7 y 3 8 . ¿Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?. Z Q
  • 16. Números Página 9 Los números racionales se expresan en diferentes formas. Ejemplo: El número racional tres cuartos puede expresarse como: 4 3 = 4- 3- = 8 6 = 12 9 = 100 75 = 0,75 = 0,750 = .... forma fraccionaria forma decimal Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico. Ejemplos: 2 1 = 0,5 es decimal exacto 3 1 = 0,333..... = 30, ) período 3 11 86 = 7,81818181... = ∩ 817, período 81 6 29 = 4,83333... = 34,8 ) período 3 Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial: Parte entera Parte decimal 5 4 , 8 3 ) Parte periódica Parte no periódica A continuación indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria.
  • 17. Curso de Apoyo en Matemática Página 10 FORMA DECIMAL EJEMPLO OBSERVACIÓN Exactas 0,75 = 100 75 En el numerador aparece la parte decimal, y en el denominador tenemo s el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tengo. Puras 0,2525... = ∩ 250, = 99 25 En el numerador aparece la parte periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período. Periódicas Mixtas 0,75454…= ∩ 540,7 = = 990 7-754 = 990 747 En el numerador aparece la diferencia entre la parte decimal y la parte decimal no periódica, mientras que en el denominador tenemos tantos números 9 como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Más ejemplos: FORMA DECIMAL EJEMPLO Exactas 0,015 = 1000 15 2,23 = 100 223 Puras 0,333... = 30, ) = 9 3 1,282828... = ∩ 281, = 1 + 99 28 = 99 127 Periódicas Mixtas 0,8333... = 30,8 ) = 90 8-83 = 90 75 12,75454... = ∩ 5412,7 = 12 + 990 7-754 = 12 + 990 747 = 990 12627 5,12444... = 45,12 ) = 5 + 900 12-124 = 5 + 900 112 = 900 4612 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 15) Calcular: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a)       +      + 5 3 - 2 1 . 3 10 2 1 4 3 -- 9 5 d)       ⋅      ⋅ 5 1 - 4 3 11 4 - 2 1 - 3 5 8 3
  • 18. Números Página 11 b) 7 3 : 4 3 - 3 1 3 4 5 4 - 3 2 : 5 3 +⋅ c)       +      ++ 6 1 - 3 2 3 4 -: 4 1 6 5 - 2 7- 3 2 e) 6 1 - 3 2 3 4 -: 4 1 6 5 - 2 7- 3 2 +      ++ 16) Escribir en forma decimal y fraccionaria: a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos 17) a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?. b) ¿De qué número es 850 el 52%?. 18) Dadas las fracciones 11 12 y 12 13 ?. ¿Cuál es mayor? 19) Expresar en forma fraccionaria y resolver: a) ( ) ( ) 240-30-51 6 - 51 8121 2 2 ,,,, ,, + b) 250- 2 3 5 1 -70-70 2 1 090 22 , ,,,             ++ c) 10-33.502.500-30:10-30:900 2 ,,,,,,,, )))) + d) ( ) ( )12,0-23,0 3,0-91,0.5,1-3,04 )) )))) + 20) En un colegio, 3 1 de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la lengua más elegida? 21) Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos. ¿Cuál es el más rápido? 22) Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto pesarán después? 23) El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 litros de agua después de helarse?. 24) Una aleación está compuesta por 29 24 de cobre, 29 4 de estaño y 29 1 de cinc. ¿Cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?. 25) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3. ¿Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta. 26) Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma 5 2 . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del cordel?.
  • 19. Curso de Apoyo en Matemática Página 12 27) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los 9 20 de la edad de su padre y Carlos los 2 5 . ¿Cuál es el mayor?. 28) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió? 1.4 Números Reales A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, un número irracional expresado en forma decimal no es exacto ni periódico.El número π aparece al calcular la longitud de una circunferencia y el área de un círculo. El número e se presenta en procesos de crecimiento de una población animal o vegetal, y en problemas de desintegración radiactiva. Seguramente habrás visto en el tendido de cables eléctricos que los cables entre un poste y otro determinan una curva en cuya ecuación también está presente el número e. Otro número irracional muy famoso, llamado el número de oro, se obtiene si realizas, por ejemplo, el cociente entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A4 que comúnmente se utilizan en fotocopiadora, o realizando el mismo cálculo con los lados de una tarjeta de crédito. ¿No te parece curioso? Ejemplos: a) 0,1234567891011... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales. b) π ≅ 3,141592654 El símbolo ≅ indica que se esto representa una aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc. c) e ≅ 2,71 Representa una aproximación del número irracional e. Al efectuar cálculos en los que intervienen los números irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅ 2,718 o bien e ≅ 2,71828. La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales. 2 51+ Números irracionales RQ N Z
  • 20. Números Página 13 Todos los números que hemos estudiado en las secciones anteriores son números reales. El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real. No siempre somos capaces de representar exactamente a un número real, sin embargo siempre es posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal. Observemos que... no existe un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los demás. Además, entre dos números reales dados cualesquiera existen infinitos números racionales, e infinitos números irracionales. Ejemplos: La representación de los números 2 ; - 3 ; 0,2 ; - 4 5 y 2 es la que sigue: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 29) Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional. a) 3 5 b) 0,494949... c) 3,75 d) 0,141144111444... e) 3,2222... f) 0,437537537... g) 0,101001000100001... h) 7 30) Escribir: a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2 b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2 c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2 31) Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: a) 3,2222........ b) 0,101001000100001......... c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112.......... 32) Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla: -1 0.2-3 -2 0 1 2 1 24 5 −
  • 21. Curso de Apoyo en Matemática Página 14 Número 7 -2,08 1,1212212221... -2,2424... Natural Entero Racional Irracional Real 33) Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional. 34) Representar en la recta real los siguientes números en forma aproximada: a) -5 b) 3 1 c) - 7 3 d) 5 d) p e) 2,5 Observemos que... al efectuar las representaciones de estos números, los mismos están ordenados en la recta numérica. Esto nos lleva a establecer lo que llamaremos una relación de orden entre ellos. 1.4.1. Orden en R a ≤ b se lee: a es menor o igual que b Si en R definimos la relación de orden que indicamos “≤≤” observamos que: Siempre podemos comparar dos números reales cualesquiera. Dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de las siguientes situaciones: a < b ; b < a ; a = b Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica. 10 25 4− 6 7 2 8 −
  • 22. Números Página 15 Además se satisfacen las siguientes propiedades: - 3 < 4 ⇔ - 3 + 1 < 4 + 1 - 3 < 4 y 2 > 0 ⇒ - 3 . 2 < 4 . 2 - 3 < 4 y- 2 < 0 ⇒ - 3 . (- 2) > 4 . (-2) w ∀ a , b ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c > 0 ⇒ a . c < b . c w ∀ a , b, c ∈ R, a < b y c < 0 ⇒ a . c > b . c El símbolo ⇔ se lee “sí y sólo si” El símbolo ⇒ se lee “implica” ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 35) Completar con > ó < según corresponda: a) - 2 < 0 y 4 1 > 0 ⇒ - 2 . 4 1 ..... 0 . 4 1 b) 2 5 > 3 7 y - 1 < 0 ⇒ 2 5 . (- 1) ..... 3 7 . (- 1) c) 1,4 < 2 ⇔ 1,4 + 0,01 ...... 2 + 0,01 d) - 7 < - 6 y - 2 1 < 0 ⇒ - 7 .       2 1 - ..... (- 6) .       2 1 - 36) Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda: a b a ........b ....... a(-3) ........b(-3) 8 2 8 > 2 2 8 > 2 2 8 (-3) < 2 (-3) -6 -10 -4 8 0 4 37) Si a y b son reales positivos y además a < b y b > 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa?. Justificar dando un contraejemplo. a) a b > 0 b) b2 > a c) 1 0 a b− > d) 1 0 b a+ > e) b + a > 1 38) Escribir un número comprendido entre los siguientes: a) 3 1 y 5 2 b) 1,4142 y 1,4143 2 a 2 b
  • 23. Curso de Apoyo en Matemática Página 16 c) 2 y 3 d) π y 113 355 1.4.2 Potenciación y Radicación en R PotenciaciónPotenciación Recordemos que... an = donde a es un número real al que denominaremos base y n es un número natural que llamaremos exponente. Ejemplo: 4 3 2       − =       − 3 2 .       − 3 2 .       − 3 2 .       − 3 2 = 81 16 Extensión de laExtensión de la definicióndefinición de pde p oo tenciacióntenciación a exponentes ea exponentes e nn terosteros Por convención se tiene, para a ≠≠ 0 que a0 = 1 y a - n = n a 1 Ejemplo: 5-3 = 125 1 5 1 3 = Algunas propiedades importantes que debemos recordar son: 22 . 23 = 25 x4 . x -2 = x2 • Producto de potencias con la misma base. am . an = am+n 23 : 23 = 20 = 1 x4 : x -2 = x6 • Cociente de potencias con la misma base. am : an = am-n (3 -5 )3 = 3 -15 (x-2 ) -1 = x2 • Potencia de una potencia. (am )n = am.m (2 . 5) -2 = 2 -2 5-2 (x . y2 )3 = x3 y6 • Potencia de un producto. (a . b)n = an . bn (2 : 5)-2 = 2-2 : 5-2 (x : y2 )3 = x3 : y6 • Potencia de un cociente. (a : b)n = an : bn 43421 veces ...... n aaaa
  • 24. Números Página 17 RadicacRadicaciónión Definimos n a = b si bn = a donde: n es un número natural. n a se lee raíz n-ésima de a . Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. 3 27- = -3 pues (-3)3 = - 27 4 81 = 3 pues 34 = 81 Observemos que ... para que la definición tenga sentido, w si n es impar, a puede ser cualquier número real, No tiene sentido considerar 4- en el conjunto R, dado que no existe un número real tal que elevado al cuadrado nos dé por resultado - 4. w si n es par, a debe ser un número real positivo. 5 1 5 66 = 3 7 3 7 33 = 2 1 55 = La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia n a = na 1 . Además n p a = n p a si a ≥≥ 0 . Observemos que... Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente: (-3)4/2 = ( )4 3- pero (-3)4/2 = ((- 3)1/2 )4 = ( )4 3- no tiene sentido en el conjunto R. También se satisfacen las siguientes propiedades: 2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1 ⇒ 3 2 3 1 > w a > 0 , b > 0 y a < b ⇒ a -1 > b -1 - 2 3 < - 3 2 ⇒ 1 3 2 1 2 3 − −> −             ⇒ 2 3 3 2 −>− w a < 0 , b < 0 y a < b ⇒ a -1 > b -1
  • 25. Curso de Apoyo en Matemática Página 18 El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto, potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste. OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R Suma 1. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c ×× ×× ×× ×× 2. Conmutativa a + b = b + a ×× ×× ×× ×× 3. Elemento neutro 0 ×× ×× ×× 4. Elemento opuesto de a - a ×× ×× ×× Producto 5. Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) ×× ×× ×× ×× 6. Conmutativa a . b = b . a ×× ×× ×× ×× 7. Elemento neutro 1 ×× ×× ×× ×× 8. Elemento inverso de a (a ≠ 0) a 1 ×× ×× Suma-Producto 9. Distributiva a . (b + c) = a . b + a . c ×× ×× ×× ×× Potencias 1. Producto de potencias con la misma base am . an = am+n ×× ×× ×× ×× 2. Cociente de potencias con la misma base am : an = am-n ×× ×× ×× ×× 3. Potencia de una potencia (am )n = am.m ×× ×× ×× ×× 4. Potencia de un producto (a . b)n = an . bn ×× ×× ×× ×× 5. Potencia de un cociente (a : b)n = an : bn ×× ×× ×× ×× Raíces 1. Producto de radicales con el mismo índice n a . n b = .n ba ×× ×× ×× ×× 2. Cociente de radicales con el mismo índice n a : n b = :n ba ×× ×× ×× ×× 3. Raíz de una raíz m n a = .mn a ×× ×× ×× ×× 4. Potencia de un radical ( )mn a = n m a ×× ×× ×× ×× Observaciones: • En el conjunto de los números naturales no existe elemento neutro para la suma. Además ningún número natural posee elemento opuesto. • Excepto el 1, ningún número entero no nulo posee inverso multiplicativo. • Las propiedades son válidas en cada conjunto, siempre que las expresiones involucradas tengan sentido. En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R es un cuerpo, y está ordenado por la relación de orden ≤≤ .
  • 26. Números Página 19 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 39) Calcular las siguientes potencias: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) 3 5 2 -       b) 0 5 1       g) 3 2 3 −       h) 1 10 1 −       c) 2-2 d) (- 3)-2 i) - 125 j) (- 1)25 e) (- 3)2 f) 105 k) - 12325 l) (0,1)-2 40) Calcular las siguientes expresiones: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) x2 . x5 b) (- x)2 . x5 e) (- x)2 . (- x)5 f) (- x)3 : (- x)5 c) x5 : x -5 d) x-3 : x-6 g) x3 : x -4 h) (- x)3 : x5 41) Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma ?. Justificar. 42) Escribir como radicales los siguientes números: 21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3 43) Expresar como potencia fraccionaria a) x 1 b) 3 : xx c) 5 23 xxx ⋅⋅ d) 5 1 x 44) Simplificar, si es posible: a) 4 2 3 b) 8 4 5 c) 9 27 d) 5 1024 45) Extraer factores del radicando: a) 8 b) 18 c) 32 d) 50 46) Calcular usando propiedades: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) 322 ⋅ b) 3:15 g) 152 ⋅ h) 33 2:32 c) 33 93⋅ d) 33 2:8 i) 33 5:2 j) 4 2:8 e) 3 32:2 f) 4:3 k) 50 82 , ⋅ l) 63 3:9 47) Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones: a) 32-1882 ++ b) 80-180455 ++ c) 48665-24 + d) 33 16-54 e) 25 2 3 2 505- 9 2 5- 9 2 3 +
  • 27. Curso de Apoyo en Matemática Página 20 48) Simplificar las siguientes expresiones: a) 222 ⋅⋅ b) 3 1 - 53 25. 5 1 :5.5       c) ( ) 2 1 34 18:126 ⋅ d) 3 2 1 0010:10 100- , e) ( ) ( ) 3 1 2 1 10 3 2 2 3 2-3 32 32 ⋅         ⋅ 49) Eliminar las raíces del denominador y simplificar: a) 2-3 3 b) 2-3 1 c) 522 2 + d) yx yx - + 50) Resolver a) 2/1 3/14/1 4 2716 ⋅ b) 1 3/13/2 11 1 12764 −       −− c) ( ) 8 3 9 1 2 3 2 3 3 2 1 0 2 / / − ⋅       −             − − a donde a ≠ 0 51) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar el resultado con dos decimales. 52) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con tres decimales. 53) El área de un cuadrado mide 50 cm2 . ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?. 54) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales exactos. 55) Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17, 50, 105, 420. 56) Indicar el error cometido: 4 - 10 = 9 - 15 4 -10 + 4 25 = 9 - 15 + 4 25
  • 28. Números Página 21 22 – 2 . 2 . 2 5 + 2 2 5       = 32 – 2 . 3 . 2 5 + 2 2 5       2 2 5 -2       = 2 2 5 -3       2 - 2 5 = 3 - 2 5 2 = 3 57) Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) a.0 = 0 b) (-a)(-b) = -(ab) c) a b c a b a c+ = + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 d) b c a b a c a + = + , siendo a ≠ 0 e) a (b - c) = ab - ac f) a + (-b + c) = a - b + c g) a - (b + c) = a - b + c h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1 , donde a ≠ 0 i) ∀ a ∈ R, (a-1 )-1 = a , donde a ≠ 0 j) el cociente entre un número a y su opuesto es igual a (-1), donde a ≠ 0 k) a (-b) = ab l) - (-a) = a 1.5 Números Complejos No es cierto en general, que la raíz cuadrada de un número real sea siempre un número real. Por ejemplo, hemos visto que no hay ningún número real cuyo cuadrado es -4. Es decir, no existe a ∈ R tal que a2 = -4. El nombre de i a 1− surgió en 1777, y se debe al matemático Euler. Hasta entonces se trabajaba con expresiones tales como 4− , manipulándolas del mismo modo que a los números reales. La unidad imaginaria i cumple la propiedad: i2 = -1, también se suele escribir 1− en lugar de i. A los números de la forma a + b i donde a y b son reales se les llama números complejos. Al conjunto formado por dichos números se lo denota C. Re(2 – 3i) = 2 Im(2 – 3i) = -3 En un número complejo a + b i, con a, b ∈∈ R, a se llama parte real y se la denota con a = Re(a + b i), y b se llama parte imaginaria y se la denota con b = Im(a + b i).
  • 29. Curso de Apoyo en Matemática Página 22 No es cierto que la parte imaginaria de 2 + 4i sea 4i, sino que Im(2 + 4i) = 4. Observemos que... para el número complejo a + b i, w si a = 0, el número complejo solo tiene parte imaginaria, es decir, es imaginario puro. w si b = 0, el número complejo sólo tiene parte real. Por tanto, el conjunto R de los números reales esta incluido en el conjunto C de los números complejos. w la parte imaginaria está conformada solamente por b. Ejemplos: Los siguientes son complejos conjugados: a) 3 + 2 i y 3 - 2 i b) - 5 + 3 i y - 5 - 3 I A dos números complejos se les llama conjugados si tienen la misma parte real y opuestas sus partes imaginarias. Observemos que... en el conjunto de los números complejos tienen sentido ahora, las propiedades de las raíces, sin tener en cuenta el signo del radicando. Ejemplos: a) 4- = (-1).4 = 4 1- = 2 i b) ( ) ( ) 933 4 2 4 =−=− c) ( ) ( ) ( ) 919333 4444 =⋅=⋅=⋅=− ii Los números complejos permitirán resolver ecuaciones como las siguientes, que serán tratadas más adelante: x2 + 1 = 0 x2 + 4 = 0 x2 - 6 x + 13 = 0 x2 + 5 x + 11 = 0
  • 30. Números Página 23 Representación de 5 + 3 i El número complejo a + b i se representa en el plano mediante el punto P de coordenadas (a , b) . El eje de las abscisas se llama eje real, y el de las ordenadas, eje imaginario. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un número complejo. Representación de 5 + 3 i y su conjugado 5 – 3 i Si unimos el origen con el punto P obtenemos un segmento orientado que llamamos vector y representamos por → OP. Así pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. 1.5.1 Operaciones en C Suma y RestaSuma y Resta La suma y resta de números complejos se realiza sumando o restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí respectivamente. Ejemplos: Ahora resolveremos algunas operaciones: Re(2+3i) = 2 Re(8 – 5i) = 8 Re((2 + 3 i) + (8 - 5i)) = 10 Im(2 + 3i) = 3 Im(8 – 5i) = -5 Im((2 + 3 i) + (8 – 5i)) = -2 a) (2 + 3 i) + (8 - 5i) (2 + 3 i) + (8 - 5i) = (2 + 8) + (3 + (- 5)) i = 10 - 2 i b) (2 + 3 i) - (8 - 5i) (2 + 3 i) - (8 - 5i) = (2 - 8) + (3 - (- 5)) i = - 6 + 8 i y 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 + 3 i x y x0 a b P(a, b) y x 3 2 1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 5 + 3 i 5 - 3 i
  • 31. Curso de Apoyo en Matemática Página 24 ProductoProducto El producto de dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y recordando que i2 = -1. DivisiónDivisión La división de dos números complejos se realiza multiplicando dividendo y divisor por el complejo conjugado del divisor. Ejemplo: Resolveremos: i i 3 3020 + + Multiplico dividendo y divisor por el complejo conjugado del denominador. El complejo conjugado de 3 + i es 3 – i. i i 3 3020 + + = )-(3.)(3 )-(3.)30(20 ii ii + + = 2 2 -9 30-20-9060 i iii+ = 10 7090 i+ = 9 + 7 i ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 58) Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica: a) ( ) ( ) ( )275 2 3 21 −−−+      ++− iii b) ( )ii 45 2 1 3 2 +−⋅      + c) i i − + 2 43 d) 4912516 +−−+− e) ( ) ( ) ( )iii 31231 +⋅−++− f) i i − − 2 41 g) ( )( ) i ii ii − +− − + + 3 21 1 31 59) Calcular Recordemos que... (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de un binomio (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 Cubo de un binomio (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3a b2 - b3 a) ( ) ( ) ( ){ }223 2-35-42-3-12 iiRe ++ b) ( )( )       + i ii Im 2-3 2--1
  • 32. Números Página 25 60) Sabemos que i2 = -1. Por lo tanto i3 = i2 .i = -i, y también se tiene que i4 = (i2 )2 = (-1)2 = 1. Teniendo esto en cuenta, calcular i5 , i6 , i7 , i8 , i26 , i32 , i45 . 61) Comprobar que 3 + 2i, y -3 - 2i son las raíces cuadradas de 5 + 12i. 62) Representar en un mismo gráfico los números complejos z1 = 2 + 3i y z2 = 5 – 2i. Calcular z1 + z2 y graficar . Observar la relación geométrica entre z1, z2 y z1 + z2. 63) Dado el número complejo z = a + bi. Hallar las expresiones de zz + y zz. . 64) Calcular a) Re       +−+ − + 2)2( 25 43 i i i b) Re {(–2i)4 – (–1 – 6i)3 } c) Im         +− − 2)24( 8 i i d) Im ( )                 − 3 3872 7 i i
  • 33. Curso de Apoyo en Matemática Página 26 2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resolver ecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidades analizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado. Comenzamos con la siguiente situación: En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco _ Piensa un número... _ Súmale 15 al número pensado... _ Multiplica por 3 el resultado... _ Al resultado réstale 9 ... _ Divide por 3... _ Resta 8... _ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: _ 32 Instantáneamente el mago afirma con solvencia: _ El número que pensaste fue el 28. ¿Cómo lo hizo? Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por medio de ecuaciones lineales con una incógnita.
  • 34. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Página 27 Analicemos las siguientes igualdades: 3 + 4 + 2 = 7 + 2 3 + 2 = 5 Estas son igualdades numéricas, ( x + y ) 2 = x2 + 2xy + y2 a2 – 1 = 0 mientras que éstas son igualdades algebraicas o literales En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en cuenta si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a estudiar las ecuaciones lineales. Identidad Ecuación Igualdad algebraica Se verifica para cualquier valor dado a sus letras. Se verifica para algunos valores dados a sus letras. Ejemplo a.( m – n2 ) = am – an2 Ejemplo 2y – 3 = x + 5 Las letras que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas.
  • 35. Curso de Apoyo en Matemática Página 28 En el caso de las igualdades algebraicas, éstas se verifican siempre pues por ejemplo a.( m – n2 ) = am – an2 es la propiedad distributiva. Cualquier valorde a, m y n es solución. Por ejemplo para a = 2, m = 3, n = -1 tenemos 2(3 – (-1)2 ) = 2.3 - 2.(-1)2 4 = 4. En el ejemplo 2y – 3 = x + 5, los valores y = 3, x = -2 son soluciones, pues 2.3 -3 = -2 + 5 mientras que y = 3, x = 4 no es solución pues 2.3 – 3 = 3 ≠ 4 + 5 = 9. Las soluciones de una ecuación son los valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad. Ecuación linealEcuación lineal Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1. Ejemplos. Las primeras cuatro ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales o de primer grado. Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una incógnita y la ecuación x + y = 4 tiene dos incógnitas. 1. 2x + 3 = 5 2. 3x – x = 2x 3. x + 5 = 5 4. x + y = 24 Para pensar…. Estas no son ecuaciones lineales. ¿Por qué? 1. t2 – 3t + 1 = 0 2. x . y = 24 3. cos x = 1 4. 16 = 2x
  • 36. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Página 29 Ejemplos: Resolvamos las siguientes ecuaciones a) 2 x + 3 = 5 Aplicando propiedades Se puede resolver ¨despejando¨. 2x +3 + (-3) = 5 2x = 5 - 3 2x = 2 2x = 2 2 2 1 2 2 1 =x 2 35− =x x = 1 x = 1 Verificación: 2x + 3 = 5 2 . 1 + 3 = 5 2 + 3 = 5 5 = 5 Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el valor obtenido es la solución de la ecuación. Para ello, debemos sustituir el valor hallado en la ecuación. La ecuación 2x + 3 = 5 tiene solución única x = 1. b) x + y = 24 Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica para infinitas parejas de números. Por ejemplo: 1 + 23 = 24 x = 1, y = 23 -5 + 29 = 24 x = -5 , y = 29 24 + 0 = 24 x = 24 , y = 0 x = 2 1 , y = 2 47 c) 3x – x = 2x Para pensar.... En este ejemplo observamos que hemos obtenido 0.x = 0 ¿Cuántas soluciones tiene esta igualdad? 3x – x = 2x 2x = 2x 2x – 2x = 0 0.x = 0 24 2 48 2 47 2 1 ==+
  • 37. Curso de Apoyo en Matemática Página 30 d) x + 5 = x Para pensar..... En este ejemplo obtenemos 5 = 0.x ¿Cuál es el número de soluciones de esta igualdad? x + 5 = x 5 = x – x 5 = 0.x 5 = 0 e) 3 93 5 1 − = + xx La solución es x = 4 que pertenece al conjunto de los números reales; por lo tanto esta ecuación tiene solución en R. Atención No olvides nunca verificar. 3 93 5 1 − = + xx 3(x + 1) = 5(3x - 9) 3x + 3= 15x – 45 3 + 45 = 15x – 3x 48 = 12x x = 4 f) 4 x + 6 x + 18 x = 578 Recuerda que... para sumar o restar fracciones de distinto denominador, primero debes hallar un múltiplo común entre los denominadores. Así, 36 es el mínimo común múltiplo entre 4, 6 y 18. 4 x + 6 x + 18 x = 578 578 36 269 = ++ xxx 17x = 20.808 x = 1.224 Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Para ello podemos tener en cuenta los siguientes pasos: Pasos a tener en cuentaPasos a tener en cuenta • lectura comprensiva del enunciado; • traducción al lenguaje simbólico; • expresión de la ecuación correspondiente; • resolución de la ecuación; • verificación del resultado obtenido. Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso. Volvemos al problema del mago del inicio de esta unidad.
  • 38. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Página 31 En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco. _ Piensa un número... _ Súmale 15 al número pensado... _ Multiplica por 3 el resultado... _ Al resultado réstale 9 ... _ Divide por 3... _ Resta 8... _ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: _ 32 Instantáneamente el mago afirma con solvencia: _ El número que pensaste fue el 28. ¿Cómo lo hizo? Piensa un número → x Súmale 15 →→ x + 15 Multiplica por 3 el resultado →→ 3(x + 15) Al resultado réstale 9 →→ 3(x + 15) - 9 Divide por 3 →→ (3(x +15) - 9):3 Resta 8 →→ (3(x + 15) - 9):3 - 9 • traducción al lenguaje simbólico El espectador dice →→ 32 • expresión de la ecuación correspondiente (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32 • resolución de la ecuación (3x + 45 - 9):3 - 8 = 32 x + 4 = 32 x= 28 • verificación del resultado obtenido (3.28 + 45 – 9):3 – 8 =32
  • 39. Curso de Apoyo en Matemática Página 32 Ejemplo: De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y quedan aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito. capacidad del depósito →→ x un cuarto del contenido →→ x 4 1 mitad del resto →→       − xx 4 1 2 1 • traducción al lenguaje simbólico quedan aún →→ 1500 litros • expresión de la ecuación correspondiente 1500 4 3 2 1 4 1 +      += xxx • resolución de la ecuación x = 4 1 x + 8 3 x + 1500 x - 4 1 x - 8 3 x = 1500 8 3-2-8 xxx = 1500 8 3 x = 1500 x = 1500 : 8 3 x = 4000 • verificación del resultado obtenido x = 4 1 x + 8 3 x + 1500 4000 = 4 1 4000 + 8 3 4000 + 1500 4000 = 4000
  • 40. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Página 33 Veamos el siguiente cuadro que muestra algunos ejemplos clásicos de cómo pasar del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren ecuaciones lineales. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico La suma de un número y su consecutivo x + ( x + 1) Un número par 2a El siguiente de un número par 2x + 1 La suma de tres números consecutivos x+ ( x + 1 ) + ( x + 2) La mitad de un número 2 x La tercera parte de la diferencia entre dos números 3 ba − El perímetro de un rectángulo 2l + 2 b En resumen, podemos concluir que una ecuación lineal o de primer grado puede tener : La ecuación 2x + 8 = 9 tiene solución única x = 2 1 • solución única La ecuación x + 5 = 5, no tiene solución, pues es imposible que sumando 5 a un número obtengamos ese mismo número. • ninguna solución La ecuación 3x – x = 2x tiene infinitas soluciones, pues es válida la identidad para cualquier valor de x. • infinitas soluciones Actividades de Aprendizaje 1) Expresar simbólicamente la ecuación correspondiente: a) Un número más su quinta parte es 12. b) Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte emergente mide 8 metros. c) El perímetro de un cuadrado es de 12 m. d) En una biblioteca hay 23 libros distribuidos en dos estantes, en el de abajo hay 7 libros menos que en el de arriba.
  • 41. Curso de Apoyo en Matemática Página 34 2) Resolver las siguientes ecuaciones lineales en R: a) x + 9 x = 90 b) - 2 x + 1 = 3 c) 2 (3 x - 2) - (x - 3) = 8 d) x -1 - 2 2−x + 3 3-x = 0 e) 21 - 7 x = 41 x – 123 f) 6 1 (a + 8) = 4 2-3 a + 2 a - 12 73 g) 20 11-3 m - 14 1-5 m = 10 7-m - 21 6-5 m h) 15 2t - 20 5-3t = 5 t - 3 i) 5 (20 - x) = 4 . (2 x - 1) k) 3 1−z - 2 3+z = 5 z 3) Un número más su quinta parte es 12. Calcular dicho número. 4) La suma de dos números consecutivos es 21. ¿Cuáles son dichos números?. 5) Un número es igual al doble de su consecutivo. ¿Cuál es dicho número?. 6) La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 63. Calcular dichos números. 7) El perímetro de un rectángulo es 216m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos del largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?. 8) El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor que la base. ¿Cuál es la longitud de cada lado?. 9) Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene ahora?. 10) Un padre tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la edad del hijo?. 11) De una cierta clase de vino que contiene 12% de alcohol, se han obtenido por destilación 67,68 litros de alcohol. ¿Cuál fue la cantidad de vino empleado?. 12) El jueves, Leticia invirtió el 40% de sus ahorros en ropa. El viernes, gastó las dos terceras partes del dinero que le quedaba en un libro para su hermano, y aún tiene $120. b) ¿Cuánto dinero tenía ahorrado Leticia?. c) ¿Es cierto que gastó lo mismo en ropa que en el libro para su hermano?. 13) Un hombre repartió su herencia del siguiente modo: a su hijo mayor le dejó la mitad, al segundo la tercera parte del resto, al tercero la sexta parte del resto y al cuarto $1.000.000. ¿Cuál era el valor de la herencia?.
  • 42. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado Página 35 14) Un comerciante hace un testamento de la siguiente forma: dos tercios a su único hijo; un quinto, a una familia muy amiga, y los 49000 restantes, a una institución de beneficencia. ¿A cuánto asciende el total de la herencia?. 15) En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión si el total es de 156 personas. 16) Durante su primera hora de trabajo, el dueño de un puesto de revistas vendió la cuarta parte de los diarios que tenía y, durante la segunda hora, vendió la sexta parte de los que le quedaban. Contó los ejemplares y notó que aún había 25. ¿Cuántos diarios tenía al principio?. 17) Ana, Vivi y Carla comparten un departamento y las tres aportaron su último sueldo a un fondo común, que fue de $3600. Ana gana las dos terceras partes del sueldo de Vivi, y Carla gana la mitad del sueldo de Ana. ¿Cuál fue el último sueldo de cada una?. ¿Es cierto que Vivi cobró tanto como Ana y Carla juntas?. 18) Una compañía de aviación divide a los pasajeros en tres categorías. En uno de sus aviones, la cantidad de asientos de primera clase es la octava parte del total; la categoría ejecutiva tiene una vez y media la cantidad de asientos que primera clase, y hay 165 asientos de clase turista. ¿ Cuántos asientos tiene ese avión ?
  • 43. Curso de Apoyo en Matemática Página 36 3. RECTA REAL Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos. Muchos de los fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En esta unidad precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en principio, daremos la noción de intervalo, y finalizaremos entrenándonos en la resolución de inecuaciones. 3.1 Intervalos reales La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se aparea y pasea sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico en nuestra provincia. El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 a 35 toneladas. Un macho adulto mide unos 12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde la playa El Doradillo considerada área natural de reproducción, se puede disfrutar plenamente de un avistaje costero. La temporada de Ballenas se extiende de Junio a Diciembre. La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre, época en que pueden contabilizarse entre 350 a 400 individuos. Esto convierte a las aguas vecinas de la Península Valdés en el área de cría más importante del Hemisferio Sur. Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse matemáticamente, como veremos a continuación.
  • 44. Recta Real Página 37 Frecuentemente trabajaremos con subconjuntos de números reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden. Así, por ejemplo, hablaremos de En símbolos, 43421321 5quemenoresy 2quemayoresrealesnúmeros }52/{ <<∈ xx R “los números reales mayores que 2 y menores que 5” o de En símbolos, 321 321 3/2queiguales omenores realesnúmeros } 2 3 /{ ≤∈ xx R “los números reales menores o iguales que 2 3 ” Otras veces deberemos simbolizar expresiones tales como: En símbolos, 350 < x < 400 “la cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entre Octubre y Noviembre se halla entre 350 y 400” Estos subconjuntos de R se definen mediante intervalos. Intervalo abiertoIntervalo abierto (a , b) Si a , b ∈∈ R y a < b, se define (a , b) = {x ∈∈ R / a < x < b}. Gráficamente: Intervalo cerradoIntervalo cerrado [a , b] Si a , b ∈∈ R y a ≤≤ b, se define [a , b] = {x ∈∈ R /a ≤≤ x ≤≤ b}. Si a coincide con b , el intervalo cerrado es un único punto. Gráficamente: a b ó a b a b ó a b
  • 45. Curso de Apoyo en Matemática Página 38 IntervalosIntervalos semiabiertossemiabiertos o semicerradoso semicerrados Si a , b ∈∈ R y a < b se define: (a , b] = {x ∈∈ R / a < x ≤≤ b } [a , b) = {x ∈∈ R / a ≤≤ x < b } Gráficamente: (a , b] se representa como [a , b) se representa como En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior y extremo superior del intervalo, respectivamente. Ejemplo: Atención Los símbolos - ∞ y + ∞ deben ser considerados con especial cuidado, recordando que se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales. Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la recta y a la semirrecta como intervalos, con sólo introducir los símbolos - ∞ y + ∞. Así, tenemos en símbolos gráficamente [ c , + ∞ ) = {x ∈ R / x ≥ c } → ( c , + ∞ ) = {x ∈ R / x > c } → (- ∞ , d ] = {x ∈ R / x ≤ d } → (- ∞ , d ) = {x ∈ R / x < d } → (- ∞ , + ∞) = R → a b a b Extremo inferior Extremo superior a b c c d d 0
  • 46. Recta Real Página 39 Ejemplos: [ - 2 , 2 ] = {x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 2 } →→ ( - ∞ , - 1) = {x ∈ R / x < -1 } →→ ( - 2 , e) →→       3 4 , 3 1 - →→ ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1) Dados los siguientes subconjuntos de R: a) A = { x / x ∈ N ∧ - 2 < x < 3 } b) B = { x / x ∈ Z ∧ - 2 < x < 3 } c) C = { x / x ∈ Q ∧ - 2 < x < 3 } d) D = { x / x ∈ R ∧ - 2 < x < 3 } Recuerda observar a qué conjunto numérico pertenecen los elementos. Por ejemplo, en el conjunto B los elementos son números “enteros” x tales que - 2 < x < 3. i) Analizar los elementos que pertenecen a cada conjunto. ¿Es posible determinar la cantidad de elementos?. ii) Representar en la recta real, de ser posible, cada conjunto. 2) En caso de que existan infinitos números, el modo de indicarlos es mediante la notación de intervalos. a) ¿Cuáles son los números naturales comprendidos entre -2 y 3 ?. b) ¿Cuáles son los números enteros comprendidos entre -2 y 3 ?. c) ¿Cuáles son los números racionales comprendidos entre -2 y 3 ?. d) ¿Cuáles son los números reales comprendidos entre -2 y 3 ?. 3) Expresar mediante intervalos cada uno de los siguientes subconjuntos de R: el conjunto de los números reales x que satisfacen: a) x es mayor que 2 y menor que 6. b) x es mayor o igual que -1.
  • 47. Curso de Apoyo en Matemática Página 40 c) x es menor que 3 2 . d) x supera al menor número entero positivo. e) x es menor que el mayor número par negativo. f) x está comprendido entre los dos múltiplos positivos de 4 de un solo dígito. 4) Representar sobre la recta real los siguientes intervalos: a) [2 , 5] b) {x/x ∈ R ∧ -3 < x < 3 4 } c)       ∞ 2 1 ;- d) {x/x ∈ R ∧ -1 ≤ x < 2,75 } 5) Determinar: Recuerda que... El símbolo ∪ representa la unión de conjuntos. El símbolo ∩ representa la intersección de conjuntos. a) [- 4 1 , 2) ∪ [1 , + ∞) b) (-3 , -1) ∪ [ 2 5 , 3) c) (-3 , -1) ∩ [ 2 5 , 3) d) [0 , 5 ) ∩ [ 2 3 , 2 7 ] 6) Hallar los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones y representar los subconjuntos de R correspondientes. a) 0 < x ≤ 2 ∧ x ∈ [1 , 3) b) x > -1 ∧ x ∈ (2 , 5) c) x ∈ [-4 , +∞) ∧ x < -2 d) x ∈ (-2 , 2) ∧ x ∈ [1 , +∞) e) x ∈ (- ∞ , 3) ∧ x ∈ (-3 , +∞) f) -3 ≤ x < 1 ∧ x ∉ [0 , 2) 7) Dados los intervalos A = [-2 , 1) ; B = [-1 , + ∞) ; C = [-3 , 2,5) determinar: a) (A ∩ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C 8) Sean A = [-2 , 6] ; B = (1 , 5] ; C = (-1, 3) calcula: a) (A ∪ B) ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C 9) Expresar en forma de intervalos la información dada en la introducción acerca de las Ballenas Francas.
  • 48. Recta Real Página 41 3.2. Valor absoluto o módulo de un número real MóduloMódulo oo Valor AbsolutoValor Absoluto Dado un número a ∈∈ R, llamaremos módulo ó valor absoluto de a , al mismo número a si este es positivo o cero, y -a si a es negativo, es decir: a =    <− ≥ 0 0 asia asia Ejemplo: 3 = 3 -3 = - (-3) = 3 0 = 0 El módulo de un número real es siempre mayor ó igual a cero. Si representamos los números reales mediante puntos en una recta, el valor absoluto de a se interpreta como la distancia que hay entre a y el origen 0. Si a = 3 puede ser a = 3 ó bien a = -3 . Si b ∈ R y b > 0, la desigualdad x ≤ b también se expresa como x ≤ b ∧ x ≥ - b. El símbolo ∧ se lee “y”. Si b ∈∈ R y b > 0 entonces la desigualdad x ≤≤ b es equivalente a la doble desigualdad - b ≤≤ x ≤≤ b. Como x mide la distancia de x al 0, que x sea menor ó igual que b significa que la distancia de x a cero no debe ser mayor que b. -3 –2 –1 0 1 2 3 |-3| = 3 |3| = 3 |2| = 2 0 b-b
  • 49. Curso de Apoyo en Matemática Página 42 Ejemplo: Recordemos que... x ∈ R y x ≤ 2 es equivalente a x ≤ 2 ∧ x ≥ - 2 . Si representamos cada una de estas desigualdades, la intersección de ambos conjuntos es precisamente el intervalo [- 2 , 2 ]. x ≤ 2 es equivalente a - 2 ≤ x ≤ 2 . Por lo tanto, x ≤ 2 significa que x ∈ [- 2 , 2 ] . Si representamos en la recta numérica obtenemos: En general, - b ≤ x ≤ b es equivalente a x ≥ - b ∧ x ≤ b y representa la intersección [- b , + ∞) ∩ (- ∞ , b] = [- b , b ] Análogamente, x < b es equivalente a - b < x < b (o también x < b ∧ x > - b ). La distancia de x al cero debe ser mayor que 2 . Una forma de encontrar los números reales x que verifican x > 2 , es descartar de la recta real aquellos que verifican x ≤ 2 . Así, se obtiene x > 2 o x < - 2 . Gráficamente, Por la definición de intervalos, x ∈ R y x > b significa que x ∈ (- ∞ , -b) ó x ∈ (b , + ∞) , es decir, x > b equivale a x ∈ (- ∞ , -b) ∪ (b , + ∞) . En general, si b ∈ R y b > 0 , x > b es equivalente a decir que x > b o x < -b . Es decir, la distancia del x al cero debe ser mayor que b. Gráficamente, 0-2 2 - 2 2 20 - 2 2 [ 2,2− ] 0 b-b [-b, b] 0 b-b (-b, b) 0-2 2 - 2 2 0 b-b
  • 50. Recta Real Página 43 x ∈ R y x ≥ b significa que x ∈ (- ∞ , -b] ∪ [b , + ∞) Análogamente, x ≥ b es equivalente a decir x ≥ b ó x ≤ - b. Gráficamente, Ejemplo: x - a < b significa que x está a menos de b unidades respecto de a; mientras que x - a > b significa que x está a más de b unidades de a. En el caso general x - a mide la distancia entre x y a . ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 10) Resolver y representar gráficamente. Expresar la solución, de ser posible, en forma de intervalos. Ejemplo: x + 9 = 5 Solución: x + 9 = 5 → x + 9 = 5 óx + 9 = -5 → x = 5 – 9 ó x = -5 – 9 → x = - 4 ó x = - 14 La solución en este caso es entonces S = {-4, -14}. Gráficamente: a) x = 2 3 b) x - 5 = 2 c) x ≥ 3 d) x ≤ 5 11) Expresar las afirmaciones siguientes, si es posible, como intervalos: a. x está a menos de 5 unidades de 3 b. y está a lo sumo 4 unidades de 7 c. t está a una distancia de 3 unidades de 5 d. x está al menos a 4 unidades de - 5 e. x es menor que 4 y mayor que - 4 0 b-b -14 - 4 0
  • 51. Curso de Apoyo en Matemática Página 44 3.3. Inecuaciones lineales Las ecuaciones se caracterizan por presentar el signo de igualdad, mientras que en las desigualdades aparecen precisamente algunos de los signos < , ≤ , > ó ≥ . De todas formas, tanto las ecuaciones como las inecuaciones pueden ser de primer grado. Una inecuación es de primer grado cuando las incógnitas que aparecen en su expresión tienen exponente igual a 1. Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad. Ejemplos: Resolveremos algunas inecuaciones. a) 3 x – 2 < 1 Aplicando propiedades Despejando: 3 x – 2 < 1 3x – 2 < 1 3 x – 2 + 2 < 1 + 2 3 x < 1 + 2 3 x < 3 3 x < 3 3 1 3 x < 3 1 3 x < 3 : 3 x < 1 x < 1 Solución: S = ( - ∞ , 1). Representación gráfica: Ecuaciones Inecuaciones Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ≤ ; > , ≥ ) De primer grado 3x – 2 = 1 4 2 1 = +x x + y = 24 -2 x + 1 = x - 3 3x – 2 < 1 4 2 1 > +x x + y ≥ 24 -2 x + 1 ≤ x - 3 0-2 2-1 1...
  • 52. Recta Real Página 45 b) 4 2 1 > +x Aplicando propiedades Despejando: 2 1+x > 4 2 1+x > 4 2 1+x . 2 > 4 . 2 x + 1 > 4 . 2 x + 1 > 8 x + 1 > 8 x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 8 - 1 x > 7 x > 7 Solución: S = ( 7 , + ∞ ) Representación gráfica: c) x + y ≥ 24 En este caso tenemos una inecuación lineal con dos incógnitas, que se verifica para infinitas parejas de números. Verificación: Ejemplo: 0 + 24 ≥ 24 x = 0 ; y = 24 2 + 23 ≥ 24 x = 2 ; y = 23 -3 + 30 ≥ 24 x = -3 ; y = 30 2 1 + 3 71 ≥ 24 x = 2 1 ; y = 3 71 1 + 100 ≥ 24 x = 1 ; y = 100 d) -2 x + 1 ≤ x – 3 Aplicando propiedades: Despejando: -2 x + 1 ≤ x - 3 - 2 x + 1 ≤ x - 3 -2 x + 1 + (-x ) ≤ x - 3 + (- x ) - 2 x - x ≤ - 3 - 1 [-2 x + (-x ) ] + 1 ≤ [ x + (- x ) ] - 3 -3 x + [ 1 + (-1 ) ] ≤ - 3 + (-1 ) -3 x ≤ - 4 - 3 x ≤ - 4 - 3 1 . (-3) x ≥ - 3 1 .(-4) x ≥ - 4 : (- 3) 75 96 8... 1110 ...
  • 53. Curso de Apoyo en Matemática Página 46 x ≥ 3 4 x ≥ 3 4 Solución: S = [ 3 4 , + ∞ ) Representación gráfica: Las inecuaciones permiten resolver problemas. Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico Sea x el peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg 875 - 4 . x ≥ 415 Debemos resolver entonces la inecuación Pasos de resolución: 875 – 4x ≥ 415 Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad → - 4 . x ≥ 415 - 875 Hacemos el cálculo en el segundo miembro → - 4 . x ≥ - 460 Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por - ¼. Recordemos que cuando multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad → x ≤ ( )460 4 1 −⋅      − Hacemos el cálculo → x ≤ 115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real: 0-1 1 3 4 32 0 115
  • 54. Recta Real Página 47 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 12) Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x ≤ 4 - x c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8 ≤ 3 x + 1 e) 2 .       2 1 -x > 3 x f) 3 1 4 2 − ≤ + aa g) 3 x - 12 ≤ 4 6-5 x h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5 i) 6 -5 23 xxx >+ j) 6 1 - 3 5 4- 4 xx ≥− k) 2- 2 14 4 8 - 3 25 + > −− xxx l) 02- 7 1 2 <+ + + x xx m) ( ) 0 4 7 2 1 -.43- 3 1 -2 >      ++      xx n) x - 2 > 0 13) Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta: Ayuda Recuerda lo que ocurre cuando multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número. ¿Es lo mismo hacerlo por un número positivo que por un número negativo? x 3 < 2 x 3 x < 2 x 3 < 2 x 2 1 3 < 2 1 2 x 2 3 < x 14) ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?. 15) ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1 ?. 16) Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?.
  • 55. Curso de Apoyo en Matemática Página 48 17) El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?. 18) Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo. 19) Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?. 20) Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?. 21) Sean A = {x/x ∈ R ∧ x + 1 < 4 } y B = (- ∞ , 2 3 ] ∪ [3 , + ∞) . Determinar A ∩ B 22) Determinar: {x / x ∈ R ∧ 2 x - 4 > 0 } ∩ {x / x ∈ R ∧ 3 - x ≥ 0 } 23) Hallar y representar en la recta los números reales que verifican: a) x - 4 > 2 b) x + 2 ≤ 3 c) 4 - x > 0 d) 0 < x + 3 < 1 e) 0 < x - 3 < 4 1 f) 12 - 4 x > 3 g) 4 x - 3 ≤ 5 h) - 3 x + 6 < 2 i) 1 + 2 x ≥ 2 1 j) 3 - x  - 5 ≥ 0 k) - 2 x + 1 + 8 < 0
  • 56. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 49 4. FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo. En esta unidad comenzaremos por preparar el camino para las siguientes al analizar aspectos básicos de las funciones tales como: identificar cuándo una relación entre dos conjuntos es una función, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener información de esa representación y reconocer ciertos conjuntos asociados a las funciones tales como el dominio y la imagen. Haremos hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante una ecuación, con una gráfica, o con palabras. Más adelante nos introduciremos en las funciones lineales, cuyas representaciones gráficas son las más simples: las rectas. Como caso particular observaremos las características propias de la función de proporcionalidad. Finalmente, veremos cómo resolver problemas usando sistemas de dos ecuaciones lineales, tratando de no perder de vista el significado geométrico del problema. 4.1. Función La construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual. No es posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráfico. Como primer acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información simple de leer. En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la señalización a lo largo de la vía férrea. En el eje vertical se han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estaciones ferroviarias. En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas. Cada línea quebrada indica la posición del tren, cuyo número está marcado sobre la misma, en función del tiempo. Observemos que algunos trenes no llegan a la última estación y algunos no paran en ciertas estaciones.
  • 57. Curso de Apoyo en Matemática Página 50 Veamos algunas preguntas que podemos hacer para interpretar el gráfico: 1) ¿A qué hora sale el tren nº 2? 2) ¿A qué hora llega a la estación E el tren nº 4? 3) ¿Cuánto tiempo transcurre entre la salida del tren nº 3 y el nº 4? 4) ¿Cuánto tarda el tren nº 1 en ir de la estación O a la estación B? 5) ¿Cuánto tiempo el tren nº 1 está detenido en la estación B? 6) ¿Cuánto tiempo transcurre en la estación D desde la partida del tren nº 1 hasta que pasa el tren nº 6? 7) ¿Hasta donde llega el tren nº 3? 8) ¿A qué hora y en qué lugar se cruzan los trenes nº 1 y nº 2? 9) Si un pasajero llega a la estación O a las 12:30 hs. y quiere llegar a la estación E, ¿qué opciones tiene? 10) Si un pasajero llega a la estación O a las 10 hs. y toma el tren nº 3, ¿cómo hace para llegar a la estación E?. ¿A qué hora llega?. ¿Qué le hubiera convenido hacer para llegar antes? 11) ¿Es siempre la misma la velocidad del tren nº 2?. ¿Y la del tren nº 1?. ¿En qué lugar es mayor? Desde un punto de vista informal, una función es una regla que permite asignar a cada uno de los elementos “x” de un conjunto “A” un único elemento “y” de otro conjunto “B ”. A diario tenemos ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del bebé, nos cobran el pasaje en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida es función de la velocidad alcanzada, etc. FunciFunciónón Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe una relación entre las variables, x e y, donde x ∈∈ A e y ∈∈ B, en la que a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y, diremos que dicha relación es una función. f : A → B Diremos que y es la imagen de x por la función f . En símbolos: y = f (x) Una forma de representar una función es mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas. Eje de AbscisasEje de Abscisas En el eje horizontal se representa a la variable independiente y recibe el nombre de eje de abscisas o eje x. A Bf x • • y = f(x)
  • 58. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 51 Eje de OrdenadasEje de Ordenadas En el eje vertical se ubica la variable dependiente y recibe el nombre de eje de ordenadas o eje y. Gráficamente Al representar una función y = f (x) en un sistema de coordenadas cartesiano, sobre el eje de abscisas se ubica la variable independiente x, mientras que sobre el eje de ordenadas se ubica la variable dependiente y. DominioDominio Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x lo denominamos dominio de la función y lo denotamos Dom f. En el gráfico anterior podemos leer Dom f = [ a , b ] ImagenImagen Al conjunto formado por todos los valores que toma la variable dependiente y tales que y = f (x) para algún x ∈∈ A, lo denominamos imagen de la función y lo denotamos Im f. En el gráfico anterior podemos leer Im f = [ c , d ] Para una función f : A → B , se tiene que A = Dom f e Im f ⊆ B No todo lo que parece es una función. Es importante aprender a reconocer cuándo una relación entre dos conjuntos es o no una función. Analicemos los siguientes gráficos, que muestran relaciones desde un conjunto A hacia un conjunto B, donde A = [ 1 , 5 ] y B = [ 0 , 5 ] Gráfico 1 El Gráfico 1 no representa una función pues hay elementos del dominio que tienen más de una imagen. Ejemplo: f (3) = 2 y f (3) = 4. a b c d y eje de ordenadas eje de abscisas x42 3 2 1 3 5 1 4 5 y
  • 59. Curso de Apoyo en Matemática Página 52 Gráfico 2 El Gráfico 2 corresponde a una función puesto que todos los elementos de A tienen una única imagen en B. En este caso podemos observar que Dom f = [ 1 , 5 ] e Im f = [ 0 , 4 ] Gráfico 3 El Gráfico 3 no representa una función pues hay elementos del conjunto A que no tienen imagen. Por ejemplo, el punto (3,1) se ha marcado con un pequeño círculo vacío para indicar que f (3) 1. Por otro lado, los elementos que pertenecen al intervalo (4,5] no poseen imagen. Mayor dominio deMayor dominio de defindefiniiciónción Cuando la función viene dada por una fórmula del tipo y = f (x), el mayor dominio de definición es el conjunto de los valores de x para los cuales se puede calcular f (x). Para pensar... Observemos que... claramente es posible calcular 2 x para cualquier número real x. Luego, Dom f = R a) Si f (x) = 2x, ¿para qué valores de x es posible calcular 2x ?. Observemos que... como la división por 0 no está definida debe ser x - 1 ≠ 0 , o sea x ≠ 1. Luego, Domf = R - {1} b) Si 1 2 )( − = x xf , ¿es siempre posible calcular este cociente?. y 42 3 2 1 3 5 1 4 5 x 42 3 2 1 3 5 1 4 5 y x
  • 60. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 53 Ayuda Recuerda cuándo es posible calcular la raíz cuadrada de un número real. c) Si 2)( += xxf , Dom f = [ -2 , +∞ ). ¿Por qué? ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1) a) Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones. Justificar. b) Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a función. i) ii) iii) iv) v) vi) 2) Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominio e imagen de cada una de ellas: i) ii) iii)
  • 61. Curso de Apoyo en Matemática Página 54 iv) v) vi) 3) Para las funciones representadas, estimar, a partir de su gráfico, los valores que se indican. a) f (1) ; f (2) ; f (2,5) ; f (4) ; f(5). b) Los valores de x tales que f (x) = 0. c) g(- 1,5) ; g(- 0,5) ; g(0) ; g(0,5) ; g(4). d) Los valores de x tales que g(x) = 2. e) Los valores de x tales que g(x) = -2. 4) En los siguientes casos, ¿ y es una función de x ?, ¿ x es una función de y ?. Según sea la respuesta, indicar dominio e imagen: a) x representa un número natural e y, el resto de dividir ese número natural por 4. b) x representa una persona e y, su número de teléfono. 5) Calcular el máximo dominio de las funciones dadas por: a) f (x) = 3 x – 1 b) f (x) = 1-2 x c) f (x) = 2 2 +x x d) f (x) = x x e) f (x) = 52 +x f) f (x) = 1/ x 6) En cada caso, calcular, si es posible, f (0) , f (-0,8) , f (0,8) , f (-1) , f (1) , f (-4,25) , f (4,25) y decir cuál es el dominio de la función f : a) f (x) = - 3 x + 2 b) f (x) = - 4 c) f (x) = x2 + 2 x - 5 d) f (x) = - x3 + x2 - 2 x + 4 e) f (x) = x 5 f) f (x) = 4 3 −x
  • 62. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 55 7) Para una experiencia de Biología, se midió el largo y el ancho de las hojas de una rama y se obtuvieron los datos que aparecen en la tabla. Tener en cuenta que el largo y el ancho de las hojas de una rama cualquiera siempre guardan el mismo tipo de relación. Largo (cm) Ancho (cm) 6,5 5 6,2 4,8 5,6 4,1 5,1 3,9 4,5 3,5 a) Representar los datos de la tabla en un gráfico cartesiano. b) Dibujar una curva que los aproxime. 8) Los siguientes gráficos corresponden al producto bruto interno de cierto país; uno de ellos figura en un diario oficialista y, el otro, en uno opositor. a) ¿Los dos gráficos presentan la misma información? b) ¿Representan la misma función? c) ¿A qué diario corresponde cada gráfico? Justificar la elección. i) ii) 9) Dos excursionistas proyectan realizar una caminata desde San Carlos de Bariloche (Río Negro) hasta un refugio en la montaña, que se encuentra a 18 km de la ciudad. Para orientarse, cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia - tiempo confeccionado por un grupo que realizó esa caminata el mes anterior. Responder las siguientes preguntas a partir de la información dada por dichas representaciones: a) ¿Cuántos km recorrieron aproximadamente hasta llegar al primer descanso?. ¿A qué hora llegaron?. ¿Cuánto tiempo se detuvieron?. b) ¿Cuántos km recorrieron desde ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo tardaron en subirla?. c) ¿Cuántos km hicieron de bajada?. ¿Les llevó menos tiempo?. d) Comparar el trayecto desde la cima hasta la hondonada, marcado en el perfil, con la parte del gráfico que lo representa. e) Al llegar a la hondonada, ¿cuántos km. les faltaba para llegar al refugio?. ¿A qué hora llegaron?. ¿Cuánto tiempo descansaron?.
  • 63. Curso de Apoyo en Matemática Página 56 4.2. Función lineal y ecuación de la recta Observemos que... ü La longitud que un resorte se alarga es proporcional a la fuerza que se hace para alargarlo, es decir, a doble fuerza, doble estiramiento. ü El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es proporcional a la cantidad de dinero que el banco ha prestado, y también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha prestado. ü Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del enfermo. En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que se comportan de esta misma manera. Esto explica el interés por el estudio matemático de la función de proporcionalidad, caso particular de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta. 4.2.1. Función lineal Función LinealFunción Lineal Toda función de la forma y = f (x) = m x + b con m ∈∈ R, b ∈∈ R, recibe la denominación de función lineal.
  • 64. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 57 Son ejemplos de funciones lineales: y = 2x y = 0,5x + 2 y = x – 4 y = 2 En esta fórmula x representa la variable independiente e y la variable dependiente. PendientePendiente Denominaremos pendiente a la constante m. Ordenada al origenOrdenada al origen Denominaremos ordenada al origen a la constante b. El dominio de la función lineal f es todo el conjunto R de los números reales. Ayuda Observa una recta paralela al eje y recordando la definición de función. Para pensar…. El gráfico de una función lineal es siempre una recta que no puede ser paralela al eje y. ¿Por qué? 4.2.2. Pendiente de una recta Vamos a estudiar más detenidamente a la función lineal. Representemos en el plano de coordenadas cartesianas algunas funciones. Ejemplos: a) y = x - 4 Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada también aumenta 1 unidad. y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x
  • 65. Curso de Apoyo en Matemática Página 58 Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada aumenta 2 unidades. 1 1 = 2 2 = 3 3 = 1 = m Observemos que... los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente. b) y = - 3 x +2 Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada disminuye 3 unidades. Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada disminuye 6 unidades. m=−= − = − = − 3 3 9 2 6 1 3 L Nuevamente observamos que los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente. 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 - 1 - 2 - 3 - 4 x y 2 1 y 2 1 - 1 - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 x
  • 66. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 59 c) y = 2 Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada no aumenta ni disminuye. Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3, o más unidades. 3 0 2 0 1 0 == = 0 = m En este ejemplo resulta que los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales a 0, el valor de la pendiente m. Atención Habrás observado que la inclinación de cada recta está directamente relacionada con el signo de su pendiente. En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales según el valor de la pendiente: Resumiendo ü La pendiente está determinada por el cociente entre la variación de y y la variación de x. La función tangente, utilizada en la expresión: m = tg α, se estudiará junto con las demás funciones trigonométricas, con más detalle en una próxima unidad. ü La pendiente m mide la inclinación de la recta respecto del eje x. Podemos hallar entonces, a partir de la pendiente, el ángulo α que forma dicha recta con el eje x teniendo en cuenta que: m = tg α. 1 2 3-3 -2 -1 0 -1 x y 1 2 3 y = m x + b m < 0 Función decreciente m = 0 Función constante m > 0 Función creciente y x x y y x
  • 67. Curso de Apoyo en Matemática Página 60 Recordemos que... el ángulo de inclinación α , se mide en sentido contrario a las agujas del reloj, a partir de la dirección positiva del eje x. Retomando los ejemplos anteriores: y = x – 4 a) y = x - 4 En este ejemplo m = 1 1 = tg α Entonces α = 45º y = -3 x + 2 b) y = -3 x + 2 m = 1 3- = tg α entonces α = 108º 26’ 5,82’’ c) y = 2 m = 2 0 = tg α entonces α = 0º y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x α α α 2 3 4 - 1 - 2 - 3 - 4 x y 2 1 α α 1 2 3-3 -2 -1 0 -1 x y 1 2 3
  • 68. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 61 4.2.3. Función de proporcionalidad Recordemos que... en la ecuación y = mx + b a la constante b se la denomina ordenada al origen. La ordenada al origen es el punto de intersección entre la recta y el eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x = 0, o sea la imagen de cero. Función deFunción de proporcionalproporcionaliidaddad directadirecta Si la ordenada al origen es 0, resulta y = mx. Este caso particular se llama función de proporcionalidad directa y su gráfica es una recta que pasa por el origen. Observemos en la función y = 2 x la relación entre los valores de la variable x y los valores que se obtiene de la variable y. Es decir, si se calcula... el doble de 1, su imagen resulta el doble de 2. el triple de 1, su imagen resulta el triple de 2. la mitad de 1, su imagen resulta la mitad de 2. ..... m... x y ====== 2 2 1 1 2 4 1 2 En este caso los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa nos dan nuevamente el valor de la pendiente. La pendiente de la función de proporcionalidad se denomina constante de proporcionalidad. x 1 2 3 y 2 4 6 ×× 2 ×× 3 : 2 ×× 2 ×× 3 : 2
  • 69. Curso de Apoyo en Matemática Página 62 4.2.4. Ecuación de la recta Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta. Ecuación de laEcuación de la rectarecta Para m , n ∈∈ R constantes, podemos interpretar una función lineal y = mx + n como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que denominaremos ecuación de la recta. Forma explícitaForma explícita de la ecuaciónde la ecuación de la rde la reectacta A la expresión y = mx + n , donde m, n ∈∈ R son constantes, la denominamos forma explícita de la ecuación de la recta. Ejemplo: 3 8 3 2 += xy Forma implícitaForma implícita de la ecuaciónde la ecuación de lade la rreectacta Diremos que para a , b , c ∈∈ R constantes, a x + b y + c = 0 es la forma implícita de la ecuación de la recta. Ejemplo: La misma recta del ejemplo anterior se puede escribir como 2 x - 3 y + 8 = 0. x = 2 es la ecuación de la recta vertical cuyo gráfico es: Observemos que... si b = 0 y a ≠ 0, la ecuación implícita de la recta se reduce a a x + c = 0, que representa a la recta paralela al eje y , x = - a c la cual, como vimos anteriormente no representa una función y = f (x) . x1 3 y 2 x = 2
  • 70. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 63 Si tenemos como datos dos puntos (x0, y0), (x1, y1) pertenecientes a una recta, podemos construir la ecuación de la misma. Observemos que... su pendiente es m = 0 0 xx yy − − = 01 01 xx yy − − . Ecuación de laEcuación de la recta que pasarecta que pasa porpor dos puntosdos puntos Así, 0 0 01 01 xx yy xx yy − − = − − es la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos (x0, y0), (x1, y1) ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 10) Dadas las siguientes expresiones, señalar con una cruz las ecuaciones asociadas a una función lineal de una variable: a) ¨ 10 x + 8 y - 30 = 0 b) ¨ 2 x + 3 y - z = x + y c) ¨ 4 (h + 3) - 5 t + 8 (t - h) = 4 d) ¨ x2 + y2 = 4 e) ¨ 2 t2 - 5 t = 0 f) ¨ yx 1 - 1 = 1 11) Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales: a) y = - 4 x + 1 b) y = - 5 c) x + y = 0 d) 1 4 3 3 2 =+ yx e) 3 x - 2 y + 1 = 0 f) 1 32 = − + yx g) x = - 3 x0 y0 x x1 y y1
  • 71. Curso de Apoyo en Matemática Página 64 12) Dar la expresión en forma explícita de las rectas graficadas a continuación, luego indicar en qué casos se trata de un función de proporcionalidad directa: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 13) Hallar el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas: a) 3 x - y + 2 = 0 b) 1 2 - 2 = yx c) 2 y - 3 = 0
  • 72. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 65 14) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje x en el punto de abscisa 3 y forma con él un ángulo de 60º. 15) Hallar el valor de k en las siguientes ecuaciones a fin de que cada recta pase por el punto indicado: a) 4x + 3y - k = 0 A ( 1 , -2 ) b) - k x + 2 y - 1 = 0 B ( 3 , 0 ) 16) ¿Cuánto debe valer un número real k para que el punto (-1 , 2) se encuentre en la recta k x + 7 y - 7 = 0 ?. Graficar. 17) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (-2 , -1) y (-4 , -3) b) (3 , 5) y (7 , -2) c) (6 , -1) y (-2 , 4) d) (1 , -5) y (10 , 11) 18) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente 5 y -1. Graficar. 19) Averiguar si los puntos (0 , 2) , (1 , -1) y (-1 , 5) están alineados. 20) a) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1 , -2). b) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 1 − y pasa por el punto P (-4 , 7). c) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 4 1 y pasa por el punto P ( 3 1 , 5 3 ). 21) Una recta que pasa por P(3 , -2) , forma un ángulo de 60º con el semieje positivo del eje x . Encontrar su ecuación y graficar. 22) a) Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que y = 3 x + 2 b) ¿Cuáles son paralelas a ella?. i. y = 3x - 3 1 ii.       += 4 1 8 xy iii. y = 3 ( x + 2 ) iv. y = 7x + 2 v. y = 4 x + 2 vi. y = 3x + 4
  • 73. Curso de Apoyo en Matemática Página 66 23) Un kilogramo de papas cuesta $0,65. Escribir y representar la función que define el valor de las papas en función de los kilogramos comprados. 24) Cada una de las siguientes tablas corresponde a una función. Para cada una de ellas: a) Completar la tabla de tal forma que la función represente una función de proporcionalidad directa. b) Escribir una fórmula que relacione los elementos de la primera fila con los de la segunda. c) Representar los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas. Tiempo de marcha (en horas) 1 2 3 Espacio recorrido (en km.) 80 400 800 50 Capital invertido (en pesos) 1000 500 250 Interés percibido (en pesos) 100 12.5 75 Masa del aluminio (en gramos) 2,7 13,5 Volumen del aluminio (en cm3 ) 1 2 3 25) El estudio de cierta tabla permite establecer que: f (3) = 7 f (8) = 16,2 f (11) = 26 ¿Representa dicha tabla una función de proporcionalidad directa?. Justificar. 26) La siguiente tabla representa la relación existente entre el valor de los lados y el perímetro de tres cuadrados: Lado (l) Perímetro (p) 1 4 2 8 3 12 Responder: a) ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa?. b) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad?. c) Expresar la función mediante una fórmula y representar gráficamente. 27) Para distintos trozos de un mismo material, el peso es directamente proporcional al volumen. a) Completar los cuadros y las fórmulas para cada uno de los materiales indicados.
  • 74. Función Lineal y Ecuación de la Recta Página 67 Madera de pino: Corcho sintético: Granito: Volumen (en dm3 ) 1 5 10 20 Volumen (en dm3 ) 1 5 10 20 Volumen (en dm3 ) 5 10 Peso (en kg.) 9 Peso (en kg.) Peso (en kg.) 60 30 3 P = ........ . V P = 0,2.V P = ....... . V b) Representar en un mismo gráfico las tres situaciones. c) Observar en la gráfica: i. ¿Qué pesa más?; ¿3,5 decímetros cúbicos de madera o 3,5 decímetros cúbicos de granito?. ii. Si se tienen 7 kg. de corcho sintético y 7 kg. de madera, ¿cuál es el material que más volumen tiene?. d) Si se dispone de un recipiente cuya capacidad es de 6 decímetros cúbicos, ¿4 kg. de qué material (corcho - madera - granito) molido, puede guardar en dicho recipiente?. En cada caso la constante de proporcionalidad representa la densidad del material (peso por unidad de volumen); gráficamente, la misma, es la pendiente de la recta. 28) Una empresa de transportes establece sus tarifas de este modo: $ 0,10 por km recorrido y $ 5 por paquete o maleta. ¿Cuánto costará trasladarse con una maleta a 100 km?. ¿Y a 200 km?. a) Completar la siguiente tabla considerando que se lleva una maleta: Distancia (en km.) 100 150 200 250 300 Precio (en pesos) b) Expresar por fórmula la función que relaciona número de km y precio del traslado. c) Analizar la misma situación pero trasladándose con dos maletas. d) Representar en un mismo gráfico las dos situaciones (viajar con una maleta - viajar con dos maletas). Interpretar. e) Proponer cómo viajar de tal forma que la función que relacione número de km. y precio del traslado sea de proporcionalidad. Incluir en la gráfica anterior su representación e indicar su fórmula. Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas : Precio por km Precio por maleta Ecuación sin maletas Ecuación con una maleta Empresa A 0,15 2,5 y = 0,15 x y = 0,15 x + 2,5 Empresa B 0,06 7 Representar gráficamente; decidir qué empresa contratar para gastar lo menos posible.
  • 75. Curso de Apoyo en Matemática Página 68 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales En esta sección analizaremos los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, y sus soluciones, en forma algebraica y geométrica. La ecuación tiene entre otras las siguientes soluciones: x = 0 , y = 3 8 x = 1 , y = 3 10 x = -1 , y = 2 ............ Entonces los puntos de coordenadas ( );...2,1; 3 10 ,1; 3 8 ,0 −            pertenecen a la recta dada. Hemos visto en la unidad anterior, que una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pues esa ecuación se verifica para infinitas parejas de números. Es decir, la resolución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas equivale geométricamente a estudiar las posiciones relativas de las dos rectas en el plano. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es representado geométricamente por dos rectas. Resolverlo equivale a hallar los puntos del plano comunes a las dos rectas. Ejemplos: Gráficamente, vemos que las dos rectas se cortan en un único punto P de coordenadas ( 1 , 2 ) -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 a)    =−− =−+ 0238 053 yx yx Resolvemos aplicando el método de sustitución: De la ecuación 3x + y – 5 = 0 se tiene que y = - 3 x + 5 sustituyendo y en la ecuación 8 x - 3 y - 2 = 0 se obtiene 8 x - 3 ( -3 x + 5 ) - 2 = 0 despejando x, resulta x = 1 Reemplazando el valor de x obtenido, en cualquiera de las ecuaciones del sistema, resulta y = 2. En este caso diremos que las rectas son secantes. El sistema tiene una única solución x = 1 , y = 2 3 8 3 2 += xy 3x + y – 5 = 0 8x – 3y – 2 = 0