MPE SEMANA Nº 07 - CICLO ESPECIAL VERANO 2023 (1).pdf

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Especial Verano Virtual 2023
Semana Nº 7 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
SEMANA N.° 7
Habilidad Verbal
SECCIÓN A
EL TEXTO EXPOSITIVO Y EL TEXTO ARGUMENTATIVO
I. TEXTO EXPOSITIVO
El texto expositivo se caracteriza por informar al lector acerca de los distintos aspectos un
determinado tema. Tiene como propósito principal la ampliación y renovación permanente
de conocimientos. Los textos que, generalmente, son de índole expositiva suelen ser las
noticias periodísticas y lo artículos científicos de naturaleza informativa.
ACTIVIDADES
En los siguientes textos expositivos, señale cuál es el aspecto relevante que se desea
informar.
TEXTO A
Durante toda su historia, el español ha recurrido a préstamos del vocabulario latino; se trata
de los denominados cultismos, que han llegado a la lengua esencialmente a través de la
escritura, tras sufrir apenas unas mínimas modificaciones (generalmente limitadas a la
sílaba final, para ajustarlos a los modelos morfológicos del castellano). Y es que, a menudo,
la necesidad de nuevo vocabulario que continuamente ha sentido el español
(principalmente, pero no de modo exclusivo, el léxico que se relaciona con los aspectos no
materiales de la vida) podía satisfacerse mediante préstamos latinos, bien del latín
eclesiástico, del jurídico-administrativo, o del propio latín clásico. De hecho, debido al
prestigio de la lengua de Roma, durante todos estos siglos —y todavía hoy en día—, se
acostumbra que el léxico latino sea la primera fuente a la que acuden los hablantes y
escritores españoles para dotar de denominaciones a los nuevos conceptos.
Así pues, los latinismos se han introducido en español de forma ininterrumpida:
aunque muchos de ellos han sido abandonados, se calcula que abarcan entre el 20 y el 30
por ciento del vocabulario moderno (Alvar y Mariner, 1967:21-22), aunque si se hace el
cálculo a base de la frecuencia de las palabras en castellano, la proporción de cultismos es
bastante menor.
Penny, R (2006). Gramática histórica del español. Barcelona: Ariel (Texto editado).
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TEXTO B
Nos encontramos frente a una nueva extinción masiva de especies; mamíferos, reptiles e
insectos, perecen ante nosotros. En cuanto a las aves, al menos el 48% de especies
emplumadas están atravesando un deceso en sus poblaciones a causa del cambio
climático, la pérdida de su hábitat y la sobreexplotación.
Una nueva revisión estima que cerca de 5000 especies de aves se enfrentan a un
futuro riesgoso. De ellas, la gran mayoría está distribuida en regiones de mayor diversidad:
«La diversidad de aves alcanza su punto máximo a nivel mundial en los trópicos y es
allí donde también encontramos la mayor cantidad de especies amenazadas», señala
Alexander Lees, biólogo del Laboratorio de Ornitología de Cornell.
No se tienen muchos datos sobre estas regiones, en comparación con zonas más
templadas del planeta. Sin embargo, en países como Sudáfrica, la evidencia indica que al
menos la mitad de todas las aves que dependen del bosque están perdiendo su hábitat.
Con toda probabilidad, esa pérdida afecta directamente la abundancia de aves, pero
ninguna investigación ha demostrado con exactitud qué tanto lo hace.
Las revisiones bibliográficas sugieren que los Andes tropicales, el sureste de Brasil,
el este del Himalaya, el este de Madagascar y las islas del sudeste asiático, son los puntos
más críticos. «Las estimaciones basadas en las tendencias actuales predicen una tasa de
extinción efectiva general […] seis veces más alta que la tasa de extinción absoluta desde
1500», escriben los autores.
Olaso, A. (2022). «La población de casi la mitad de especies de aves se está reduciendo drásticamente» en
Robotitus. Recuperado de https://www.robotitus.com/la-poblacion-de-casi-la-mitad-de-especies-de-aves-se-
esta-reduciendo-drasticamente (Texto editado).
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II. TEXTO ARGUMENTATIVO
El texto argumentativo tiene como finalidad convencer al lector de las ideas que defiende.
Constituye un ejercicio de expresión de ideas propias o de refutación de ideas contrarias.
La intención del autor puede ser probar o demostrar una idea, rebatir la contraria o bien
persuadir o disuadir al receptor sobre determinados comportamientos, hechos o ideas.
Entre los principales ejemplos de textos argumentativos se encuentran las ponencias, las
tesis, las reseñas críticas, las monografías y los ensayos.
ESTRUCTURA DEL TEXTO ARGUMENTATIVO
Toda argumentación se compone de una controversia, la posición o punto de vista y los
argumentos.
— CONTROVERSIA: es la pregunta directa o indirecta de índole polémica que abre el
texto argumentativo.
— POSICIÓN: es el punto de vista que el autor expresa en torno a la controversia. La
posición puede ser del tipo probatio (a favor) o confutatio (en contra).

— ARGUMENTOS: son las razones plausibles que se esgrimen para sustentar la
posición o el punto de vista. Se debe propender a un sustento racional apoyado en
una buena información. Existe una deontología del argumentador.
CARACTERÍSTICAS DEL TEXTO ARGUMENTATIVO
a) Su función principal es presentar una idea con la finalidad de convencer.
b) Al mismo tiempo que expone un tema, el autor adopta una postura respecto a ese
tema.
c) Los argumentos son lógicamente elaborados, siguiendo un orden, constituyendo un
conjunto sistemático.
d) En la formulación de los argumentos se emplea un lenguaje claro y conciso.
DIFERENCIAS ENTRE TEXTOS EXPOSITIVOS Y TEXTOS ARGUMENTATIVOS
Existen algunas diferencias notables entre el texto expositivo y el texto argumentativo. A
continuación, se ofrece un cuadro que sintetiza cuáles son los principales aspectos que
distinguen a ambos textos:
DIFERENCIAS TEXTO EXPOSITIVO TEXTO ARGUMENTATIVO
Intención 1. Informar 1. Convencer
Tratamiento de
la información
2. Centrado en un solo tema sin
emisión de opiniones personales
2. Desarrollo de argumentos
para sustentar una posición
Intervención
del autor
3. Objetiva: busca ser neutral con los
datos que brinda.
3. Subjetiva: toma posición y
defiende una tesis.
Asimismo, cabe recordar que los escritos de carácter argumentativo son, también,
expositivos. Pero no necesariamente se da lo inverso. Es decir, un texto expositivo puede
que no tenga la intención de explicar un argumento, ya que su función principal es informar.
Un texto argumentativo, puede, sin embargo, informar y, al mismo tiempo, procurar la
adhesión del lector a la idea que se propone.
ACTIVIDADES
Lea detenidamente los siguientes textos argumentativos y, sobre la base de la teoría
expuesta anteriormente, señale cuáles son sus componentes.
TEXTO A
El consumo de alimentos transgénicos, aquellos que tienen en su composición algún
elemento que procede de otro organismo añadido a través de técnicas genéticas, no afecta
la salud de las personas.
En primer lugar, muchos expertos estiman que no hay motivos para preocuparse al
entender que estos productos no resultan dañinos para la salud. En la actualidad se
producen en torno a 40 millones de hectáreas de alimentos genéticamente modificados.
Además, en el caso de los vegetales, cualquier modificación se hace sobre otros normales
y sanos, por lo que no entraña ningún riesgo, explican.

En segundo lugar, este tipo de alimentos son sometidos a importantes análisis y
controles, además de pasar por procesos exhaustivos. En algunos casos incluso superiores
a los que se someten a los normales.
Por último, a comienzos de este siglo, había más de un billón de plantas transgénicas
en suelo, según datos del área de Agricultura de los Estados Unidos. Ninguna de ellas
presentó ningún tipo de alteración que comprometiese a la salud de las personas o al medio
ambiente.
Adaptado de (08 de marzo de 2017). «Qué beneficios tienen los alimentos transgénicos». Ok Diario.
Recuperado el 02 de enero de 2018 de https://okdiario.com/vida-sana/2017/03/08/beneficios-tienen-
alimentos-transgenicos-35911
Controversia:
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Tesis:
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Argumentos:
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TEXTO B
El uso de las tarjetas de crédito supone un grave riesgo para la economía de las personas.
Cuando uno utiliza tarjetas de crédito para realizar sus compras cotidianas, pero no paga
(o no puede pagar) el saldo total al corte de cada mes, en realidad uno está gastando más
dinero del que gana. Esto, aunado a las altas tasas de interés que normalmente cobran
estos plásticos, es lo que a la larga genera los problemas.
Por ejemplo, si uno ve en un centro comercial una chamarra de 2,000 pesos, el pago
«mínimo» al hacerlo con tarjeta de crédito sería de tan sólo 100 pesos al mes. Muchas
personas se dicen a sí mismos: «pues no me puedo comprar la chamarra porque no tengo
hoy los 2,000 pesos, pero sí puedo pagar 100 pesos cada mes a la tarjeta». Y lo compran.
Hasta ahí no pasa nada. El problema es que mañana el niño necesita pantalones, la señora
un vestido, y el señor un nuevo traje. Luego vemos una promoción a meses sin intereses y
la aprovechamos. Así, sucesivamente, el monto que gastamos a costa del crédito va
creciendo poco a poco. Es decir: hemos caído precisamente en la trampa de las tarjetas de
crédito.
De pronto, nos enfrentamos a que el pago mínimo que tenemos que cubrir cada mes,
por compras anteriores, se ha convertido ya en una carga muy pesada para nuestro
presupuesto. Esto en sí ya es un gran problema, pero no es el más importante. Por el
contrario, el gran tema es que viene acompañado del hecho de que ahora ya nos hemos
acostumbrado a gastar más de lo que ganamos.
Por lo que el golpe viene de los dos lados, y con toda su fuerza. Entonces, para poder
pagar nuestras deudas, no sólo tenemos que recortar ese exceso de gasto que forma ya
parte de nuestro patrón de consumo, y que puede ser muy significativo. En muchos casos,
implica también tener que hacer un recorte adicional para poder pagar más del mínimo y
de esta forma aspirar a que nuestra deuda realmente pueda disminuir. Ahí es donde, mucha
gente, realmente no puede lograrlo.

Es evidente, incluso, que en nuestro país mucha gente cae en esta trampa de las
tarjetas de crédito, porque el salario no alcanza desde un inicio. Entonces se tiene que
recurrir al crédito para poder solventar necesidades básicas. Para ellos, el golpe es mucho
más fuerte: y es muy difícil salir de él.
LANZAGORTA, Joan (23 de mayo de 2011). «La trampa de las tarjetas de crédito y cómo evitar caer en ella».
Planeatusfinanzas.com. Recuperado el 02 de enero de 2018 de https://planeatusfinanzas.com/la-trampa-de-
las-tarjetas-de-credito-y-como-evitar-caer-en-ella/.
Controversia:
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Tesis:
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Argumentos:
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COMPRENSIÓN DE LECTURA
Aunque en sentido estricto el indigenismo es un movimiento que surge y se consolida a
partir de la década de 1920, en una acepción más amplia puede rastreársele —en lo que
toca a sus orígenes— desde los tiempos inmediatamente posteriores a la Conquista. En
efecto, la Conquista es precisamente el hecho histórico que, al dividir nuestra historia,
quebrando su desarrollo autónomo, escinde también la composición del cuerpo social del
Perú. Relaciones, crónicas y alegatos son algo así como el germen del indigenismo. En
muchos de estos textos está presente el sistema que madurará mucho más adelante, sobre
todo en la gran novela indigenista.
Histórica y estructuralmente la heterogeneidad sociocultural que es la base del
indigenismo se encuentra prefigurada en las crónicas del Nuevo Mundo. Aquí se percibe
por vez primera ese complejo proceso a través del cual un universo se dispone a dar razón
de otro distinto y ajeno: el deslumbrado español que intenta descifrar el sentido de la nueva
realidad con que se enfrenta. Todas las crónicas, en efecto, llevan implícito un sutil juego
de distancia y aproximaciones: si por una parte producen una red comunicativa donde antes
solo había desconocimiento o ignorancia, por otra parte, pero al mismo tiempo, ponen de
relieve los vacíos que separan y desarticulan la relación de las fuerzas que movilizan. En la
escritura de las crónicas subyace como motivación primera la de revelar —ante un lector
que todo lo ignora— la naturaleza de una realidad insólita y desconocida. Escritas acerca
de las Indias, las crónicas se realizan sin embargo cuando logran llegar al lector
metropolitano. Hay, pues, por lo pronto, dos componentes occidentales: el cronista y su
lector.
En el otro extremo del proceso de producción de las crónicas está el referente, ese
Nuevo Mundo que se presenta como realidad incontrastable y se propone como enigma
ante el conquistador. Ante él, el cronista siente una doble solicitación: tiene que serle fiel
representándolo en términos de «verdad», pero, al mismo tiempo, tiene que someterlo a

una interpretación que lo haga inteligible para una óptica extraña, comenzando por la del
propio cronista. La simple mención de esa nueva realidad implica un doble movimiento:
Cieza de León dice (y los ejemplos pudieran multiplicarse) que los «guanacos son algunos
mayores que pequeños asnillos, largos de pescuezo, como camellos», con lo que queda
en claro que hasta la más escueta descripción tiene que procesarse dentro de un orden
comparativo que acude a la experiencia de una realidad que no puede ser la del referente
real.
Cornejo, A. (1980). Literatura y sociedad en el Perú. La novela indigenista. Lima: Lasontay, 33-35.
1. Medularmente, idea principal del texto sostiene que
A) los orígenes de la novela indigenista pueden rastrearse hasta la época colonial.
B) las crónicas pueden ser consideradas un antecedente de la novela indigenista.
C) la novela indigenista se halla configurada por una heterogeneidad sociocultural.
D) las crónicas se hayan guiadas por el fin de revelar la nueva realidad americana.
E) el indigenismo narra las condiciones deplorables en las que vivían los indígenas.
2. El antónimo contextual de ESCUETA es
A) hierática. B) obtusa. C) prolija.
D) verdadera. E) concisa.
3. Del ejemplo de Cieza de León, se deduce que los cronistas
A) fueron reacios a presentar la flora americana a los lectores metropolitanos.
B) buscaban mejorar las condiciones de vida de los habitantes en la Colonia.
C) crearon un nuevo código para clasificar a los animales recién descubiertos.
D) se dedicaban exclusivamente a informar acerca de la vida de los indígenas.
E) realizaron una labor que implicaba desplazarse entre dos culturas ajenas.
4. Con respecto a la crónica, tal como es descrita en el texto, es incompatible sostener
que
A) fueron escritas para entretener a los conquistadores.
B) supone un mecanismo de acercamientos y distancias.
C) concibe el referente como una entidad desconocida.
D) conlleva un complejo proceso de traducción cultural.
E) involucra una interpretación por parte del cronista.
5. Si todos los elementos del sistema de producción de la crónica fueran homogéneos,
A) los orígenes de la novela indigenista deberían vincularse al final de la Colonia.
B) este tipo de textos habría generado sorpresa infinita en sus lectores coloniales.
C) concebirla como precursora de la novela indigenista sería de un despropósito.
D) seguiría eligiendo la estrategia comparativa para representar el nuevo mundo.
E) se consideraría un logro de la hegemonía europea frente a la novela indigenista.

SECCIÓN B
TEXTO 1
Se mueven tan despacio que huir no es, obviamente, la estrategia que usan las tortugas
para escapar de sus depredadores. Cuando se ven amenazadas, retraen su cabeza y su
cuello dentro de su caparazón, y así quedan al resguardo de las hostilidades externas
dentro de su pequeña fortaleza. Sin embargo, no desarrollaron esta habilidad como un
mecanismo de defensa, señala un nuevo estudio publicado recientemente en la revista
Scientific Reports.
Adquirieron probablemente la capacidad de retraer el cuello para lanzar velozmente
la cabeza hacia adelante —como impulsada por un resorte— para cazar a sus presas. El
que también sea un mecanismo de defensa, es un beneficio adicional que surgió más tarde
en la evolución, explican los investigadores. El equipo internacional de científicos que llevó
a cabo el estudio llegó a esta conclusión después de analizar el fósil de una tortuga que
vivió hace cerca de 150 millones de años. El fósil estaba muy bien preservado, lo cual
permitió comparar sus vértebras con el de las tortugas actuales.
Figura 1: Fósil de la tortuga estudiada
Jérémy Anquetin, paleontólogo del Museo Jurásico de Suiza y coautor del estudio,
descubrió el fósil cuando este fue devuelto al museo desde una institución en Nueva York.
El espécimen de Platychlelys oberndorferi del Jurásico tardío, descubierto inicialmente en
Suiza en 1862, estaba tan bien preservado que los investigadores pudieron compararlo con
el esqueleto de las tortugas actuales.
Este reptil pertenecía a la categoría de las pleurodiras, que son aquellas que esconden
la cabeza echándola hacia un lado y ocultándola en un hueco de la pata dentro del
caparazón. Sin embargo, Anquetin y sus colegas observaron que su cuello se parecía al de
la otra rama de las tortugas, las cryptodiras, que doblan el cuello de forma vertical y meten
la cabeza completamente dentro del caparazón. Este rasgo sorprendió a los investigadores.
«Sus vertebras tenían la forma que deberían tener si perteneciera a otro grupo de tortugas»,
explicó Anquetin, en referencia a las cryptodiras.
Las vértebras del espécimen le permitían a la tortuga retraer el cuello parcialmente
hacia adentro (no hacia el costado, como lo hacen las pleurodiras).

Figura 2: El gráfico refleja cómo pudo haber funcionado este mecanismo.
Y esta retracción parcial es lo que les dio la clave a los investigadores, ya que esta
acción no ofrece beneficios en cuanto a la protección. Es decir, no pudo haber evolucionado
como mecanismo de defensa, sino que tuvo que haberlo hecho por otra razón.
Tras analizar las demás características del animal, notaron que se asemejaban a las
tortugas que viven en el fondo del mar, que cazan a sus presas tendiendo emboscadas. El
mecanismo, conjeturan, les permitió lanzar la cabeza hacia adelante con más velocidad
para atrapar a sus presas.
Según Anquetin, el mecanismo examinado en el fósil y en las cryptodiras actuales es
un ejemplo de evolución convergente, en donde ambas especies desarrollaron este rasgo
de forma independiente, en razón de las ventajas evolutivas que le ofrecía.
BBC Mundo. (23 de febrero de 2017). Por qué las tortugas adquirieron la habilidad de retraer el cuello (y no
fue para defenderse). BBC. https://www.bbc.com/mundo/noticias-39065269
1. El texto fundamentalmente es
A) una disertación sobre la evolución del cuello de las tortugas, a partir del estudio
de los restos óseos de hace 150 millones de años.
B) una noticia que comunica una nueva teoría que propone que el cuello de las
tortugas evolucionó de una manera diferente.
C) un artículo en que se expone un estudio que ofrece una explicación novedosa
sobre la evolución del cuello de las tortugas.
D) una exposición que da cuenta de cómo las tortugas evolucionaron a partir de la
forma de vida que llevaron en el fondo marino.
E) un informe que revela que la habilidad desarrollada por las tortugas para retraer
el cuello fue para protegerse de su entorno.

2. La hipótesis expuesta en la lectura sostiene que
A) el cuello de las cryptodiras apareció primero, posteriormente, emergió el cuello de
las pleurodiras.
B) primero debieron haber aparecido las tortugas cryptodiras y, luego, aparecieron
las pleurodiras.
C) el método de retracción del cuello de las cryptodiras fue aprendido de manera
independiente.
D) las tortugas evolucionaron convergentemente su cuello de forma vertical como las
cryptodiras.
E) el cuello de las tortugas evolucionó para cazar, mas no para guarecerse en el
caparazón.
3. De la figura 1, se puede inferir que
A) los especialistas se interesaron en los huesos del cuello, ya que, según el
desarrollo textual, tendría una disposición parecida a la de las cryptodiras.
B) las pleurodiras debieron haberse originado a partir de las cryptodiras, porque la
disposición ósea del cuello de aquellos difiere de la disposición de estos.
C) la paleontología necesita basarse en evidencia fósil para poder proponer teorías
científicas sólidas, las mismas que deben tener un carácter irrefutable.
D) los restos fósiles permiten formular hipótesis que luego devienen en teorías
científicas que tienen un carácter general, pero que podrían ser refutadas.
E) para entender la evolución de los cuellos de los reptiles, es necesario estudiar a
las principales especies de tortugas como las cryptoridas y las pleurodiras.
4. En el desarrollo textual, integral, la figura 2 está para
A) demostrar que las tortugas cryptodiras escondían la cabeza en el caparazón como
las pleurodiras.
B) reforzar la idea de que las tortugas retraían parcialmente la cabeza para
impulsarse al cazar.
C) secundar a la figura 1 sobre la relación entre las cryptodiras y las pleurodiras en
cuanto a la fisonomía.
D) coadyuvar la hipótesis de que las tortugas pleurodiras son descendientes de las
tortugas cryptodiras.
E) evidenciar la capacidad de las pleurodiras para retraer el cuello totalmente, a
diferencia de las cryptodiras.
5. El término CLAVE connota
A) certeza.
B) acicate.
C) falibilidad.
D) serendipia.
E) estorbo.

6. Si los huesos del cuello de la tortuga fosilizada indicaran que esta podía retraer toda
la cabeza dentro del caparazón, entonces
A) las tortugas actuales serían descendientes directos del espécimen Platychlelys
oberndorferi del Jurásico.
B) la comparación con las tortugas actuales sería un método inútil, pues todo estaría
bastante evidente.
C) la evolución de las tortugas tendría a las pleurodiras en primer lugar y a las
cryptodiras en último lugar.
D) la idea de que las tortugas esconden la cabeza para protegerse aún se
consideraría incuestionable.
E) se podría concluir que la retracción del cuello en las primeras tortugas fue más
compleja que la actual.
TEXTO 2A
La gestación subrogada se trata de una técnica de reproducción asistida que se lleva
desarrollando en varios países desde hace más de 30 años, sin que ello haya generado
una problemática específica. Por el contrario, es facilitadora ya que permite a las parejas
que desean tener hijos biológicos y que por múltiples razones no pueden hacerlo por sus
propios medios, hacer sus sueños realidad. Es tan igual como donar órganos u óvulos, que
terminan siendo proficuos para quienes reciben la donación. Recordemos que al igual que
sucedió con la inseminación artificial y la fecundación in vitro (los «bebés probetas»), esta
técnica está siendo reconocida cada vez en más países y en nuestro entorno más cercano,
Grecia y en Reino Unido por ejemplo, lleva desarrollándose desde 2004 sin mayores
problemas ni rechazo por parte de la población, y si queremos limitarnos a nuestra realidad,
no ignoremos que según las últimas encuestas, el 87% de la población en nuestro país está
a favor de la gestación subrogada, razón por la cual no vemos porque aún no se deciden
en legalizarla.
David González, presidente de la Asociación Española de Padres por la Gestación Subrogada.
TEXTO 2B
La maternidad subrogada consiste en que una pareja contrata a una mujer para que geste
durante nueves meses una criatura. Es decir, que se le implante y sobreviva un embrión
proveniente de un óvulo fecundado por un espermatozoide cuyos orígenes pueden ser
diversos. Ahora, si bien es cierto, hay personas puedan llegar a decidirse a ser padres por
este procedimiento, porque presentan dificultades para quedarse embarazados, también es
cierto que puedan decidirse por este medio porque a la mujer no le apetezca pasar nueve
meses embarazada o, incluso, porque puede tratarse de parejas homosexuales, lo que es
una abominación. Asimismo, esta práctica es un desprecio a la dignidad de la mujer al
producirse un mercadeo con ella, razón por la cual se llama a este sistema de reproducción
como el de vientres de alquiler. Esto es, el cuerpo de la mujer, al igual que el hijo que nace,
se convierten en un objeto que tiene un precio pecuniario, por eso mismo, su legalización
no debería ver la luz de ninguna manera.
Mariano Calabuig, presidente del Foro Español de la Familia.
PERAITA, L. (15 febrero 2017). «Argumentos a favor y en contra del “vientre de alquiler”». En: ABC
PADRES E HIJOS. Recuperado de <https://www.abc.es/familia/padres-hijos/abci-argumentos-favor-y-
contra-vientre-alquiler-201603210240_noticia.html>. (Texto editado)

1. La polémica entre ambos textos gira en torno a
A) las repercusiones sociales de la subrogación.
B) la legalización de los embarazos subrogados.
C) las implicancias morales de la subrogación.
D) la legitimidad de alquilar vientres femeninos.
E) las consecuencias del embarazo subrogado.
2. En el texto A, el término FACILITADORA connota
A) inclusión. B) contribución. C) dificultad.
D) transacción. E) intercambio.
3. Sobre los argumentos que ofrece el autor del texto B para rechazar la legalización del
embarazo subrogado, es posible inferir que
A) tanto la madre como la criatura son mercantilizadas.
B) las cifras de las últimas encuestas son fraudulentas.
C) señala que es un desprecio a la dignidad de la mujer.
D) se basan en las interrupciones de dichos embarazos.
E) representa una abominación por atentar contra Dios.
4. De acuerdo con el texto A sobre la legalización del embarazo subrogado, es
incompatible decir que las condiciones para legalizarlo son adversas y hostiles, ya que
A) las gestantes subrogadas padecen más riesgos que una gestante normal.
B) contratar un vientre de alquiler supone volver una mercancía a las mujeres.
C) aún no hay un reglamento que señale como se tendría que llevar a cabo.
D) las parejas que podrían contratar ese servicio podrían ser homosexuales.
E) la población se encuentra mayoritariamente a favor del embarazo subrogado.
5. Si se permitiese que las únicas parejas que puedan contratar un embarazo subrogado
fuesen heterosexuales y con dificultades para concebir por ellos mismos, es posible que
A) el total de la población estaría de acuerdo.
B) David González lo sometería a votación.
C) el precio de los contratos se incrementaría.
D) Mariano Calabuig seguiría oponiéndose.
E) las parejas homosexuales adoptarían niños.
TEXTO 3
Una respuesta a la pregunta «¿Qué es el lenguaje?» tiene gran importancia para todo aquel
preocupado por comprender nuestro yo moderno. Tattersall data el abrupto y repentino
acontecimiento probablemente en algún momento del estrecho intervalo entre 50 000 y 100
000 años atrás. Si la explicación de Tattersall es básicamente precisa, tal como indican las
muy escasas pruebas empíricas, lo que surgió en ese breve intervalo fue una capacidad
infinita de «asociar los más diversos sonidos e ideas», en palabras de Darwin. Esa
capacidad infinita reside en un cerebro finito. El concepto de sistemas finitos con capacidad

infinita fue bien entendido a mediados del siglo XX. Ello hizo posible establecer una
formulación clara de lo que creo que deberíamos reconocer como la propiedad más básica
del lenguaje, a la que me referiré simplemente como la «propiedad básica»: cada lengua
proporciona una serie ilimitada de expresiones estructuradas jerárquicamente.
En los primeros años, la «propiedad básica» era difícil de formular. Acudiendo a los
clásicos, para Ferdinand de Saussure, el lenguaje (en sentido relevante) es un almacén de
imágenes de palabras en las mentes de los miembros de una comunidad, el cual «existe
únicamente en virtud de una especie de contrato firmado por los miembros de una
comunidad». Para Leonard Bloomfield, el lenguaje es una serie de hábitos para responder
a esos sonidos con acciones. En otra parte, Bloomfield definió el lenguaje como «la totalidad
de las afirmaciones realizadas en una comunidad lingüística» —un poco en la línea de la
antigua concepción del lenguaje de William Dwight Whitney como «el conjunto de signos
expresados y audibles mediante los cuales se manifiestan principalmente los pensamientos
en una sociedad humana», por consiguiente, «signos audibles del pensamiento», si bien
en algunos aspectos se trata de una concepción un tanto diferente—. Edward Sapir definió
el lenguaje como «un método exclusivamente humano y no instintivo de comunicar ideas,
emociones y deseos por medio de un sistema de símbolos generado voluntariamente».
En el pasado, era comprensible que la pregunta «¿Qué es el lenguaje?» recibiese
únicamente respuestas tan indefinidas como las mencionadas, pasando por alto la
«propiedad básica». Sin embargo, resulta sorprendente ver que respuestas parecidas
siguen siendo habituales en la ciencia cognitiva contemporánea. No es extraño un estudio
actual sobre la evolución del lenguaje, en el cual los autores empiezan escribiendo que
«consideramos el lenguaje como toda la serie de capacidades para asociar sonidos a
significados, incluyendo la infraestructura que la sostiene», básicamente una reiteración de
la máxima de Aristóteles (según la cual el lenguaje es sonido con significado) y demasiado
vaga para justificar más investigaciones.
Chomsky, N. (2017). ¿Qué clase de criaturas somos? Barcelona: Ariel.
1. Determine el tema central del texto.
A) Las propuestas estructuralistas sobre la propiedad básica del lenguaje
B) El planteamiento de la propiedad básica del lenguaje en el siglo XX
C) Desarrollo e implicancias teóricas de la propiedad básica del lenguaje
D) La relación entre la visión aristotélica y la teoría moderna del lenguaje
E) La construcción lingüística de expresiones infinitas con sistemas finitos
2. Tal como se emplea en el texto, el pronombre personal YO connota
A) cognición individual. B) naturaleza humana.
C) propiedad congénita. D) carácter narcisista.
E) capacidad intelectual.
3. Es compatible con el desarrollo del texto afirmar que el cambio abrupto de Tattersall
se opone a
A) la selección natural. B) datación reciente.
C) la capacidad infinita. D) propiedades innatas.
E) la selección artificial.

4. Acerca de las añejas intuiciones sobre el lenguaje humano, es posible deducir que
A) los cambios abruptos permiten la explicación de fenómenos distintos al lenguaje.
B) fueron liquidadas por la hipótesis de Tattersall sustentada en la selección natural.
C) persisten en la actualidad a pesar del esclarecimiento sobre la propiedad básica.
D) se sostienen a partir de la determinación de la infinitud discreta de tal facultad.
E) aún se debate si este posee un origen biológico o si se adquiere por el entorno.
5. Si durante la segunda mitad del siglo XX las hipótesis sobre el lenguaje hubieran
implicado una reflexión acumulativa sobre este fenómeno,
A) el enfoque aristotélico sería reconocido como el modelo científico más idóneo para
entender su naturaleza.
B) las manifestaciones del lenguaje evidenciarían su naturaleza contingente, espacial
y temporal.
C) el desarrollo de las ciencias cognitivas y el análisis lingüístico habrían evidenciado
un avance notable.
D) la jerarquía lingüística explicaría sistemas de comunicación de naturaleza básica,
no el lenguaje humano.
E) la propiedad básica sería aún desconocida y, con ello, el entendimiento de nuestra
propia naturaleza.
SECCIÓN C
PASSAGE 1
The metaverse is a virtual reality, but it’s not quite the same thing as what you’ve seen in
science fiction blockbusters. Imagine a franchise like The Matrix, where the world is a digital
simulation that everyone is connected to and is so well-made that nearly no one knows that
it’s not real. The metaverse is not quite like that, but it has the potential to evolve into
something fantastically immersive.
The idea behind the metaverse has been around for much longer than Meta’s vision of it —
in fact, it’s far older than even Facebook itself. Zuckerberg referred to it as “an embodied
internet that you’re inside of instead of just looking at.”
At its most basic, the metaverse is a virtual reality that allows people from all over the world
to interact, both with each other and with the metaverse itself. On the internet, we’re always
interacting with something — be it a website, a game, or a chat program that connects us to
our friends. The metaverse takes this one step further and puts the user in the middle of
the action. This opens the door to stronger, more realistic experiences that simply browsing
the web or watching a video fail to evoke very often, if ever.
White, M. (November 23, 2021). What is the metaverse? A deep dive into the ‘future of the internet’. Digital
Trends. Retrieved from <https://www.digitaltrends.com/computing/what-is-the-metaverse-the-future-of-the-
internet-explained/>

TRADUCCIÓN
El metaverso es una realidad virtual, pero no es lo mismo que lo que se ha visto en
las superproducciones de ciencia ficción. Imagina una franquicia como Matrix, en la que el
mundo es una simulación digital a la que todo el mundo está conectado, y está tan bien
hecha que casi nadie sabe que no es real. El metaverso no es exactamente así, pero sin
duda tiene el potencial de convertirse en algo fantásticamente inmersivo.
La idea del metaverso existe desde hace mucho más tiempo que la visión de Meta,
de hecho, es mucho más antigua que el propio Facebook. Zuckerberg se refirió a él como
«un Internet encarnado en el que estás dentro en lugar de solo mirar».
En su forma más básica, el metaverso es una realidad virtual que permite a personas
de todo el mundo interactuar, tanto entre sí como con el propio metaverso. En Internet,
siempre estamos interactuando con algo, ya sea un sitio web, un juego o un programa de
chat que nos conecta con nuestros amigos. El metaverso lleva esto un paso más allá y
pone al usuario en el centro de la acción. Esto abre la puerta a experiencias más fuertes y
realistas que la simple navegación por la web o el visionado de un vídeo no consiguen
evocar muy a menudo, si es que lo hacen.
1. Mainly, the text answers the following question:
A) What is the impact of the metaverse? B) How to be part of the metaverse?
C) Who is driving the new metaverse? D) Can anyone be part of the metaverse?
E) What is the metaverse in simple terms?
2. The phrase ONE STEP FURTHER connotes
A) transformation. B) versatility. C) innovation.
D) novelty. E) originality.
3. It is inferred that, unlike the Internet, the metaverse
A) allows us to interact in a hyper-realistic version of the virtual world.
B) has the real interest of large capital investors and technology giants.
C) conceives interaction as the core of social and economic progress.
D) is the evolved version of games such as Minecraft, Fornite and others.
E) makes it possible for its users to connect all over the world in real time.
4. It is incompatible to state that the idea of the metaverse is _____________.
A) recent B) innovative C) revolutionary
D) complex E) successful
5. If the metaverse were a digital simulation so realistic that no one in the world could
distinguish it from the real world,
A) this new world could become a dangerous addiction for all its users.
B) it would be very similar to what is seen in science fiction blockbusters.
C) everyone's life would revolve around situations that do not really exist.
D) people would lose the right to make their own decisions in their lives.
E) solipsists would claim that we live in the Matrix and cannot trust reality.

PASSAGE 2
An experimental HIV vaccine based on mRNA shows promise in mice and non-human
primates, according to scientists at the National Institute of Health (NIH). Their results,
published in Nature Medicine, show that the novel vaccine was safe and prompted desired
antibody and cellular immune responses against an HIV-like virus. Rhesus macaques
receiving a priming vaccine followed by multiple booster inoculations had a 79% lower per-
exposure risk of infection by simian-human immunodeficiency virus (SHIV) compared to
unvaccinated animals.
In studies with mice, two injections of the VLP-forming mRNA vaccine induced neutralizing
antibodies in all animals, the investigators report. The proteins produced in the mice from
the mRNA instructions closely resembled those in the whole virus, an improvement over
previous experimental HIV vaccine.
“Despite nearly four decades of effort by the global research community, an effective vaccine
to prevent HIV remains an elusive goal,” said Anthony S. Fauci, M.D., chief of the Laboratory
and a paper co-author. “This experimental mRNA vaccine combines several features that
may overcome shortcomings of other experimental HIV vaccines and thus represents a
promising approach.”
w.A. (December 09, 2021). Experimental mRNA HIV vaccine safe, shows promise in animals. National
Institutes of Health. Retrieved from <https://www.nih.gov/news-events/news-releases/experimental-mrna-hiv-
vaccine-safe-shows-promise-animals>
TRADUCCIÓN
Una vacuna experimental contra el VIH basada en el ARNm resulta prometedora en
ratones y primates no humanos, según científicos del Instituto Nacional de Salud (NIH). Sus
resultados, publicados en Nature Medicine, muestran que la nueva vacuna es segura y
provoca las respuestas inmunitarias celulares y de anticuerpos deseadas contra un virus
similar al VIH. Los macacos rhesus que recibieron una vacuna de iniciación seguida de
múltiples inoculaciones de refuerzo tuvieron un riesgo de infección por el virus de la
inmunodeficiencia humana-simio (VIS) un 79% menor por exposición que los animales no
vacunados.
En estudios con ratones, dos inyecciones de la vacuna de ARNm formadora de VLP
indujeron anticuerpos neutralizantes en todos los animales, informan los investigadores.
Las proteínas producidas en los ratones a partir de las instrucciones del ARNm se parecían
mucho a las del virus completo, lo que supone una mejora con respecto a las anteriores
vacunas experimentales contra el VIH.
«A pesar de casi cuatro décadas de esfuerzos por parte de la comunidad investigadora
mundial, una vacuna eficaz para prevenir el VIH sigue siendo un objetivo difícil de
alcanzar», dijo el Dr. Anthony S. Fauci, jefe del Laboratorio y coautor del artículo. «Esta
vacuna experimental de ARNm combina varias características que pueden superar las
deficiencias de otras vacunas experimentales contra el VIH y, por tanto, representa un
enfoque prometedor».
1. Mainly, the text is about
A) a study published in Nature Medicine about the advances in the fight against HIV.
B) an experimental HIV vaccine that shows promise in mice and non-human primates.
C) the progressive advances in the search for an effective vaccine to prevent HIV.
D) a clinical trial that seeks to develop a vaccine to prevent and treat HIV infection.
E) the success of an experimental HIV vaccine based on messenger RNA technology.

2. The word IMPROVEMENT connotes
A) an advance. B) an update. C) a reform.
D) a refinement. E) a readjustment.
3. It is possible to infer that, if this vaccine were to be applied to humans,
A) it would be because the vaccine demonstrates total efficacy.
B) it will produce some mild and temporary adverse side effects.
C) it would be strongly opposed by the anti-vaccine movement.
D) it might require the application of one or more booster doses.
E) it would meet with the disapproval of radical antivaccine groups.
4. It is incompatible to state about the studies in mice that
A) from their reactions, we can extrapolate what will occur in humans.
B) neutralizing antibodies should be introduced in all these subjects.
C) the efficacy of the vaccine can be tested without threatening human life.
D) the proteins produced by them closely emulate those of the virus.
E) this is the first time that HIV vaccines have been tested on them.
5. If all the shortcomings of previous experimental HIV vaccines could be completely
overcome,
A) researchers could claim that an HIV vaccine for humans is ready.
B) new tests would be conducted in other types of non-human animals.
C) millions of people could be cured of the virus in no more than a year.
D) anti-vaccines would claim that this is a New World Order conspiracy.
E) the scientists responsible would receive the greatest prize in medicine.
Habilidad Lógico Matemática
EJERCICIOS DE CLASE
1. Las figuras mostradas representan tres balanzas que se encuentran en equilibrio
donde las pesas tienen su peso indicado en kilogramos y objetos idénticos tienen el
mismo peso entero en kilogramos.
¿Cuál es el peso de un objeto triangular?
A) 72 kg B) 96 kg C) 69 kg D) 48 kg E) 84 kg

2. Carlos dispone de una balanza de un solo platillo sin marcas, excepto en las de 0 kg,
7 kg y 19 kg. Si tiene solo un paquete abierto con 22 kg de azúcar, ¿cuántas pesadas,
como mínimo, debe de realizar para atender un pedido de 4 kg de azúcar?
A) 4 B) 3 C) 1 D) 2 E) 5
3. Un comerciante tiene un saco con 112 kg de trigo, una balanza de dos platillos, pero
no tiene ninguna pesa adicional. Si un cliente le pide que le venda 77 kg de trigo,
¿cuántas pesadas debe realizar, como mínimo, para atender el pedido?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 6 E) 4
4. Mirtha, una comerciante de abarrotes, dispone de un saco con 48 kg de azúcar, una
pesa de 4 kg, una pesa de 6 kg y una balanza de dos platillos. Si un cliente le pide
que le venda 11 kg de azúcar, ¿cuántas pesadas como mínimo debe realizar para
atender dicho pedido?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. Las figuras mostradas fueron dibujadas sobre
láminas transparentes. Si la figura 1 gira 1170º en
sentido horario y la figura 2 gira 1710° en sentido
antihorario, ambos respecto de su centro, y luego
se coloca una lámina sobre la otra, ¿cuál es la
figura resultante?
A) B) C) D) E)
6. Juanito tiene 40 dados normales e idénticos, los cuales dispone en una mesa
siguiendo el orden que se indica en la figura. ¿Cuál será el puntaje de la cara superior
del último dado que coloca en la mesa?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
Figura 1 Figura 2

7. Luis se propuso llevar un cilindro vacío por encima de nueve cilindros llenos, los cuales
están fijos y apilados como se muestra en la figura. El cilindro debe llevar desde la
posición inicial hasta la posición final, solo empujándolo y siempre en contacto con
algún o algunos de los cilindros fijos. Si los diez cilindros son congruentes y los radios
de sus bases miden 1 m, ¿cuál es la distancia mínima que recorre el centro de la base
del cilindro que empujó Luis?
A)
8𝜋
3
𝑚 B)
7𝜋
3
𝑚 C)
5𝜋
3
𝑚 D) 9𝜋 E)
4𝜋
3
𝑚
8. Dos láminas congruentes de metal, cuyos lados miden 2 cm, son colocadas
adyacentemente, como se muestra en la figura. Si la lámina 2 se mantiene fija y la lámina
1 se la hace girar en el sentido horario, con centro en el punto C, hasta que el lado BC
coincida con el lado CD, calcule el perímetro de la región generada por el lado AB.
A) (2 2 2 4) cm
 
 
B) ( 2 4) cm
 
C) ( 2 2 2) cm
 
 
D) (2 2 2) cm
 
 
E) ( 2 2) cm
 
 
9. Ana tiene un terreno, el cual está conformado por cuadrados congruentes cuyos lados
miden 10 m, como se muestra en la figura. Dicho terreno lo dejará como herencia a
sus seis nietos; para ello, todo el terreno debe dividirlo en seis regiones congruentes
conformado, cada región, por cuadrados de 10 m de lado. ¿Cuál es el menor perímetro
que puede tener una de las regiones obtenidas?
A) 120 m
B) 100 m
C) 90 m
D) 140 m
E) 110 m
1m
inicio
final

10. Carlos tiene dos tableros de madera los cuales están conformados por cuadrados
congruentes. ¿Cuál es la máxima cantidad de tableros congruentes al tablero 1, que
se puede colocar sobre el tablero 2, sin cortar, ni traslaparse, ni salirse más allá del
tablero 2?
A) 3
B) 5
C) 4
D) 7
E) 6
11. Carlos tiene una caja de 7 𝑐𝑚 × 7 𝑐𝑚 × 1 𝑐𝑚 y más de veinte barras de
4 𝑐𝑚 × 1 𝑐𝑚 × 1 𝑐𝑚. ¿Cuántas barras, como máximo, puede colocar dentro de la caja
sin salirse más allá de las dimensiones de la caja?
A) 12 B) 10 C) 14 D) 8 E) 16
12. Anita tiene una hoja rectangular de papel cuyos lados miden 15 cm y 25 cm
respectivamente. De dicha hoja, ella desea obtener una pieza, la más grande posible,
que sea semejante a la que se indica en la figura, la cual está formada por cuatro
cuadrados congruentes. Determine el área de dicha pieza de papel.
A) 250 cm2
B) 180 cm2
C) 220 cm2
D) 225 cm2
E) 300 cm2
13. Los televisores antiguos tienen sus lados en razón 4:3 y las nuevas tienen sus lados
en razón 16:9. Una película llena exactamente la pantalla de razón 16:9, pero al verla
en la otra pantalla, cuando se ajusta al espacio más largo, deja un cierto espacio a lo
ancho sin usar. ¿Cuál es la proporción de la pantalla que no se usa?
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
2
E)
2
3
16:9 4:3

14. La figura representa el plano de la habitación de Darío. Para cubrir el piso del
dormitorio ha empleado vinilo de alta resistencia cuyo costo es de 160 soles el metro
cuadrado; y para el piso del baño ha empleado cerámica, cuyo costo es de 200 soles
el metro cuadrado. Calcule el gasto total, en soles, que Darío ha realizado para cubrir
el piso de su habitación.
A) S/ 12400
B) S/ 10880
C) S/ 9790
D) S/ 10500
E) S/ 11400
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un comerciante tiene una pesa de 9 kg y una balanza de un solo platillo sin marcas,
excepto en las de 0 kg, 5 kg, 10 kg, y 15kg. Si un cliente le hace un pedido de 14 kg
de arroz, ¿cuántas pesadas, como mínimo, necesitará para atender el pedido?
A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5
2. Carlos, con ayuda de una balanza de dos platillos, pudo observar que tres cubos de un
rompecabezas y una pelota se equilibran con doce canicas. En una segunda pesada
observó que la pelota sola se equilibra con un cubo y ocho canicas. Si los objetos
idénticos tienen el mismo peso entero en kilogramos, ¿cuántas canicas habrá que poner
en un platillo para equilibrar la balanza, con la pelota colocada en el otro platillo?
A) 8 B) 10 C) 11 D) 7 E) 9
3. Un vendedor de abarrotes solo tiene dos pesas: una de 4 kg y otra de 5 kg, y una
balanza de dos platillos. Si tiene más de 42 kg de arroz y un cliente le pide que le
venda 21 kg de este, ¿cuántas pesadas, como mínimo, debe realizar el vendedor
utilizando siempre las dos pesas para atender el pedido?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4. La siguiente secuencia de figuras fueron dibujadas sobre láminas transparentes. Si
trasladamos la figura 314 sobre la figura 431, ¿qué figura se obtiene?
A) B) C) D) E)
fig.1 fig.2 fig.3 fig.4 fig.5
, , , , , ...

5. En la figura, ABC es una lámina que tiene la forma de un triángulo equilátero de lado
6 cm que descansa sobre el segmento MN, además MN NP PQ 12 cm
   . Si se
hace rodar esta lámina sobre el camino MNPQ, sin que se deslice en ningún momento,
hasta que llegar al punto Q, ¿cuál es la longitud recorre el vértice A?
A) 16 cm

B) 18 cm

C) 14 cm

D) 20 cm

E) 10 cm

6. Para el objeto que tiene la forma de un hexágono regular, un giro se considera como
aquel que lo realiza apoyado en la recta, alrededor de un vértice en el sentido que se
indica, hasta que el siguiente lado esté en contacto con la recta. Si a dicho objeto se
le aplica 1000 giros consecutivos, ¿en qué posición quedará finalmente?
A) B) C) D) E)
7. Carmen tiene suficientes fichas de plástico, todas congruentes, como se indica en la
figura. Con ellas desea formar una figura semejante a una de las fichas, conformada
por más de una ficha. Adosándolas convenientemente y sin traslaparse, ¿cuál es la
menor cantidad de fichas que utilizará?
A) 4
B) 16
C) 9
D) 2
E) 8
M N
P Q
A
B
C
2 cm
2 cm
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm

8. Don Roberto tiene un terreno, como el que se indica en la figura, dividido en cuadrados
congruentes de 5 m de lado. Todo su terreno lo desea repartir en parcelas iguales
entre sus cuatro hijos. Si las parcelas deben ser congruentes y cada parcela debe
estar formada por cuadrados de 5 m de lado, ¿cuál es el perímetro, en metros, de una
de las parcelas?
A) 50
B) 30
C) 60
D) 90
E) 40
9. Se dispone de varias fichas congruentes a los tres tipos mostrados en la figura, los
cuales están formados por cuadraditos de 1 cm de lado. Si se desea obtener una
figura semejante a una ficha del tipo 1, ¿cuántas fichas, como mínimo, son necesarias
para poder formarla, sin traslapar las fichas en ningún momento y además se debe
usar fichas de los tres tipos?
A) 7
B) 6
C) 4
D) 5
E) 8
10. Una máquina fotocopiadora solo tiene una opción de fotocopiado, en la figura se
muestra el resultado de fotocopiar una figura rectangular.
Si se dispone de una figura rectangular impresa en papel A4, la cual ocupa el 75% de
la superficie del papel; al momento de fotocopiar dicha figura sobre el mismo tipo de
papel, ¿qué parte de la superficie del papel no será ocupada por la copia de la figura?
A) 28,75 % B) 39,25 % C) 40,05 % D) 45,75 % E) 41,05%

Aritmética
PORCENTAJES
Porcentaje es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada cantidad. Es
decir, si dividimos una cantidad en 100 partes iguales y tomamos un número «m» de esas
partes, nos estamos refiriendo al m por ciento, denotado por m%; luego:
%
100
m
m 
Así, el m% de una cantidad C es igual a %
100
m
m C C

Ejemplo: el 5% de 80 es: 5%(80) =
5
100
× 80 = 4
Propiedad
Toda cantidad representa el 100% de sí misma, es decir: 100% .
C C

Ejemplo: x + 50%x = 150%x
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%?
Cantidad Final = 80%(90% cantidad Inicial) = 72% cantidad inicial.
Por tanto el descuento único equivalente es (100 – 72)% = 28%
Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 10% y 20%?
Cantidad Final = 120%(110% cantidad inicial) = 132% cantidad inicial.
Por tanto el aumento único equivalente es (132 – 100)% = 32%
VARIACIÓN PORCENTUAL
 
. . 100%
FINAL INICIAL
FINAL
V V
V P
V

 
Ejemplo: Si el precio de un artículo subió de 150 a 180 soles, ¿en qué porcentaje aumentó?
𝑉. 𝑃. =
(180 − 150)
150
× 100% = 20%
Por lo tanto, aumentó en 20%.

APLICACIONES COMERCIALES
 Cuando el precio de venta es mayor que el precio de costo:
cos
venta to
bruta neta
fijado venta
P P Ganancia
G G gastos
P P Descuento
 
 
 
Observación. Generalmente
i. las ganancias se representan como un tanto por ciento del precio de costo,
ii. el descuento se representa como un tanto por ciento del precio fijado.
 Cuando el precio de venta está por debajo del precio de costo:
cos
venta to
P P P
 
Donde P = pérdida.
Observación. Generalmente las pérdidas se representan como un tanto por ciento del
precio de costo.
 Cuando el precio de venta y el precio de costo son iguales, no hay ganancia ni
pérdida.
Ejemplo: Se compró un televisor a 2400 soles. ¿En cuánto se debe fijar el precio para
su venta, de tal manera que al hacerse un descuento del 10% todavía se esté ganando
el 20% del costo?
PV = 90%PF = PC + 20%Pc = 120%PC = 120%(2400) = 2880
90%PF = 2880 → PF = 3200
Se debe fijar el precio en 3200 soles.
REGLA DE INTERÉS SIMPLE Y REGLA DE DESCUENTO COMERCIAL
I. REGLA DE INTERÉS
La regla de interés es el conjunto de procedimientos ligados a operaciones
matemáticas que permiten determinar la utilidad producida por un bien al ser invertido
en una determinada actividad económica.
Elementos de la regla de interés:
 Capital ( C )
Es la cantidad de dinero que se va a prestar o alquilar para que luego de un
periodo de tiempo produzca una ganancia.

 Tiempo ( t )
Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer (prestar) el capital.
 Interés ( I )
Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce el capital, durante cierto
tiempo.
 Tasa de interés ( r% )
Es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias, en un cierto
tiempo.
 Monto ( M )
Es la suma del capital más los intereses que se obtienen en un determinado
momento.
CLASES DE INTERÉS:
a) Interés simple:
El interés simple se da cuando el capital prestado permanece constante en el
tiempo que dura el préstamo.
 Es decir: los intereses no se suman al capital.
b) Interés compuesto:
El interés compuesto se da cuando el capital prestado varía aumentando
periódicamente durante el tiempo que dura el préstamo.
 Es decir: los intereses se suman al capital cada unidad de tiempo durante todo
el tiempo de duración del préstamo.
Fórmulas de interés
I = C × r% × t M = C + I
a) Interés I que produce un capital C cuando la tasa r% es anual y el tiempo t
en años.
. .
Cr t
I =
100
b) Interés I que produce un capital C cuando la tasa r% es anual y el tiempo t
en meses.
C.r.t
I =
1200

c) Interés I que produce un capital C cuando la tasa r% es anual y el tiempo t
en días.
C.r.t
I =
36000
d) Monto M producido por un interés I y un capital C con tasa anual r% en un
tiempo t .
 
. .
M=C+C.r%t = C 1+r%t
.
100
 
  
 
r t
M= C 1+
Nota: el denominador es 100 cuando el tiempo está en años, es 1200 cuando está en
meses y 36 000 cuando está en días.
 Considerar: Año comercial = 360 días Mes comercial = 30 días
II. REGLA DE DESCUENTO
La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización.
Con esta operación, se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un
importe futuro.
 La ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe
principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición.
 En las leyes de descuento es justo, al contrario: se calculan los intereses que hay
que pagar por adelantar la disposición del capital.
Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: Descuento
comercial, descuento racional y descuento económico.
Elementos de la regla de descuento:
1. Letra de cambio:
Es una orden escrita de una persona (girador) a otra (girado) para que pague una
determinada cantidad de dinero en un tiempo futuro (determinado o determinable)
a un tercero (beneficiario).
2. Valor nominal  
n
V
Es la cantidad de dinero escrita en el documento efecto de comercio (letra de
cambio, pagaré, cheque, factura, boleta, etc.)
3. Valor actual  
a
V
Es el efectivo que se paga por la deuda en una fecha antes de su vencimiento.

4. Descuento comercial  
c
D
Es la rebaja que se hace al valor de un documento, por pagarla anticipadamente
a su vencimiento. Se calcula como un interés simple tomando como capital de
referencia en valor nominal.
5. Tiempo (t)
Es el tiempo que falta para el vencimiento del documento al momento de realizar
un pago anticipado.
6. Tasa de descuento (r %)
Es el tanto por ciento aplicado por cada cierto periodo establecido a un
determinado valor.
Fórmulas del Descuento Comercial
a) Descuento comercial c
D que se obtiene a partir de un valor nominal n
V
cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en años.
n
c
V .r.t
D =
100
b) Descuento comercial c
V
cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en meses.
n
c
V .r.t
D =
1200
c) Descuento comercial c
V
cuando la tasa r% es anual y el tiempo t en días.
n
c
V .r.t
D =
36000
d) Valor actual a
V (efectivo a pagar) cuando se tiene un descuento comercial c
D
a una letra de valor nominal n
V con tasa anual r% en un tiempo t .
 
a n c n n n
V = V - D = V - V .r%.t = V 1-r%.t
100
 
 
 
a n
r. t
V = V 1-
Nota:
El denominador es 100 cuando el tiempo está en años, es 1200 cuando está en meses
y 36000 cuando está en días.
c n
D = V × r%× t
a n c
V = V - D

EJERCICIOS DE CLASE
1. De los seleccionados nacionales para el Sudamericano de Atletismo Sao Paulo 2023,
el 40% son mujeres. De ellas, el 60% participará por primera vez; mientras que, de los
varones, el 30% lo hará por primera vez. ¿Qué porcentaje de nuestros deportistas
representan los que participarán por primera vez?
A) 36% B) 42% C) 48% D) 34% E) 46%
2. Solier gasta en la compra de una Tablet el 12% de su dinero y recibe el 10% de lo que
le queda. Si después de todo, pierde S/ 224, determine la cantidad de dinero que tenía
Solier al inicio.
A) 6580 B) 7000 C) 4800 D) 5600 E) 6650
3. Si al vender un producto que costó 1000 soles haciendo dos descuentos sucesivos
del 30% y 20% sobre el precio fijado, se gana el 12% del precio del costo, ¿cuál fue
el precio fijado?
A) 2000 B) 4000 C) 3200 D) 3750 E) 2400
4. Raiza fija el precio de un libro de Antropología aumentando su precio de costo en
S/ 120. Si al venderlo, se hace un descuento del 40% y se gana el 50% de su costo,
¿cuál es el precio de costo del libro?
A) 124 B) 130 C) 164 D) 110 E) 120
5. Mathius invirtió el 24%, 36%, 30% de su capital en 3 negocios, donando el resto a una
obra benéfica. Si obtuvo, en los dos primeros, ganancias del 25% y 50%
respectivamente, y en el tercero una pérdida del 20%, ¿qué porcentaje ganó o perdió
Mathius en total?
A) perdió 4% B) perdió 3% C) ganó 2%
D) ganó 8% E) ni gana ni pierde
6. Dos capitales suman S/ 4840. El mayor de ellos se deposita al 9% trimestral y el otro
al 10% cuatrimestral, ambos por un periodo de 2 años, obteniendo un interés total de
S/ 3240. Calcule la diferencia de dichos capitales.
A) 760 B) 670 C) 720 D) 840 E) 860
7. Antonio deposita un capital en una financiera, a cierta tasa de interés, y al cabo de
10 meses obtiene una ganancia equivalente al 30% del total de dinero recibido en ese
tiempo. Si Antonio le prestó a Julio todo ese dinero, a la misma tasa de interés,
obteniendo una ganancia equivalente al 60% del dinero prestado, ¿por cuántos meses
fue el préstamo?
A) 28 B) 14 C) 35 D) 21 E) 25

8. Marcia invirtió cierto capital en un negocio por cuatro años y el monto que obtuvo fue
de S/ 80 000. Si Marcia decide permanecer un año más en el negocio y obtiene al final
del año un monto de S/ 90 000, determine el valor de la tasa de interés trimestral en
dicho negocio.
A) 12,5% B) 12% C) 10% D) 6,25% E) 6,8%
9. Romina compra un Smart TV de 50 pulgadas, que al contado cuesta S/ 2150. Paga
una cuota inicial de S/ 966 y firma dos letras de cambio, una por S/ 800, a pagarla en
4 meses, con una tasa de descuento del 1% cuatrimestral y otra por S/ 400, a pagarla
en 6 meses. ¿Cuál es la tasa de descuento semestral de la segunda letra de cambio?
A) 2,5% B) 1% C) 4,5% D) 2% E) 5%
10. La suma de los valores nominales de dos letras es de S/ 8400 y se ha recibido por
ellas S/ 8280, descontadas al 6% anual: la primera por 2 meses y la segunda por
3 meses. Halle el mayor valor nominal.
A) 7200 B) 7000 C) 6900 D) 6800 E) 7400
1. Se fija el precio de un artículo aumentando en un 25% del precio de costo. Si al
venderse dicho artículo se hace un descuento del 16%, ¿qué porcentaje del precio de
costo gana?
A) 18% B) 3% C) 8% D) 5% E) 13%
2. Joshia vende sus dos automóviles en 7200 dólares cada uno; en uno de ellos, se
perdió el 25% del costo y en el otro, se ganó el 20% del costo. ¿Cuánto se perdió en
total?
A) 1 400 B) 1 280 C) 1200 D) 1 800 E) 1 000
3. Si el volumen de un cubo aumentó en 174,4%, ¿en qué porcentaje aumentó su arista?
A) 48% B) 50% C) 45% D) 32% E) 40%
4. En una asamblea general de propietarios de un condominio, se realizó una votación
sobre una moción obteniendo los votos en contra el 75% de los que están a favor. Al
reconsiderarse una segunda votación, de los que votaron inicialmente en contra ahora
votan a favor el 80% de los que votan en contra. Si el número de los que votan a favor
en la segunda votación es 80, ¿cuántos votaron a favor en la segunda votación si los
que votaron a favor en la primera votación mantuvieron su voto?
A) 340 B) 260 C) 270 D) 380 E) 320

5. Julián tiene cierto capital y lo invierte en dos negocios: en el primer negocio, invierte
una parte y tuvo una pérdida del 20%, y el resto de su capital en el segundo negocio
y ganó el 10%. Si en total se ganó el 4%, ¿qué tanto por ciento de su capital invirtió
en el primer negocio?
A) 25% B) 30% C) 15% D) 20% E) 10%
6. Enrique retira el dinero de su AFP y lo deposita en una entidad financiera a una tasa
de interés simple del 8% anual. Si al cabo de cinco años obtuvo un monto de 70 000
soles, ¿cuánto dinero retiró de la AFP?
A) 57 600 B) 46 850 C) 30 000 D) 48 000 E) 50 000
7. Se deposita cierta cantidad de dinero en una financiera donde pagan una tasa de
interés simple del 5% trimestral. ¿Dentro de cuántos meses el interés obtenido será
equivalente al 25% del monto?
A) 15 B) 20 C) 28 D) 24 E) 30
8. Andrea prestó su capital a cierta tasa de interés simple anual durante 4 años. ¿Durante
cuántos años tendría que prestar dicho capital con la misma tasa de interés para que
el beneficio sea el 150% del anterior?
A) 2 B) 6 C) 3 D) 4 E) 5
9. Arturo firma una letra de 15 000 soles a pagar dentro de un año, pero refinancia dicha
deuda pagando S/ 3000 al contado y firmando dos letras: la primera de S/ 4000, que
vence dentro de 4 meses y la otra, cuyo vencimiento es dentro de 10 meses. Si todas
las letras tienen una misma tasa mensual de descuento del 2,5%, ¿cuál es el valor
nominal de la letra que vence dentro de 10 meses?
A) 4525 B) 5860 C) 4800 D) 5350 E) 5200
10. Samuel firma una letra de S/ 7500 pagadera dentro de 20 meses, para lo cual
refinancia pagando S/ 2320 al contado y firmando dos letras: la primera de S/ 2000,
pagadera en 2 meses y la otra pagable a los 4 meses siguientes con una tasa de
descuento comercial de 6% anual para todas las letras. ¿Cuál es el valor nominal de
la segunda letra?
A) 2500 B) 2860 C) 1820 D) 2800 E) 2750

Geometría
EJERCICIOS DE CLASE
1. Un poliedro convexo tiene 4 caras triangulares y 4 caras hexagonales. Halle el número
de vértices.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
2. Cierta marca de relojes se vende en cajas acrílicas, las cuales tienen la forma de
tetraedros regulares, como la que se muestra en la figura. Si la altura de la caja mide
4√6 cm, halle la cantidad de acrílico en cm2 que se utilizó en la construcción de una
caja.
A) 2
120 3 cm
B) 2
144 3 cm
C) 2
160 3 cm
D) 2
200 3 cm
E) 2
150 3 cm
3. En la figura, ABCD – EFGH es un cubo de arista 12 cm, M y N son puntos medios de
las aristas BC y CG . Halle la distancia entre los puntos medios de los segmentos
AM y EN .
A) 5 10 cm
B) 3 5 cm
C) 2 10 cm
D) 3 7 cm
E) 3 10 cm

4. Para la distribución de vegetales deshidratados, cierta empresa ha mandado construir
cajas acartonadas sin tapa, cuya forma es un paralelepípedo rectangular como se
representa en la figura. Si dichas cajas hubieran sido construidas de forma cúbica, sin
tapa, y de la misma capacidad que las anteriores, entonces por cada caja
A) se emplearía 2
30 cm más de cartón.
B) se emplearía 2
30 cm menos de cartón.
C) se emplearía 2
D) se emplearía 2
25 cm menos de cartón.
E) se emplearía 2
5. En la figura, el área total del paralelepípedo rectangular es igual a 4 veces el área de
la región sombreada. Si a = c = 4 cm, halle el área total del paralelepípedo.
A) 76 cm2
B) 78 cm2
C) 80 cm2
D) 88 cm2
E) 84 cm2
6. Impermeabilizar las paredes y el fondo interior de una piscina que tiene la forma de
un paralelepípedo rectangular como se muestra en la figura, tiene un costo de S/ 18,5
el metro cuadrado. Halle el costo total que demanda impermeabilizar completamente
dicha piscina.
A) S/ 1875
B) S/ 1665
C) S/ 1980
D) S/ 1745
E) S/ 1790

A
B
O
D
M
C
V
H
7. En la figura se tiene una pieza de metal que forma parte de una máquina. ¿Cuál es el
volumen de dicha pieza, si las medidas están en centímetros?
A) 46 cm3
B) 40 cm3
C) 32 cm3
D) 36 cm3
E) 35 cm3
8. En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es numéricamente igual a su
perímetro. Si la diagonal del prisma mide 2 17m, halle el volumen del prisma.
A) 16 m3 B) 34 m3 C) 96 m3 D) 48 m3 E) 68 m3
9. En un rectoedro cuyas diagonales miden 10 m y una de ellas forma ángulos de 45°
con una diagonal de una cara y 30° con otra adyacente, tal como se muestra en la
figura. Halle el volumen del rectoedro.
A) 3
125 2 m
B) 3
100 3 m
C) 3
125 3 m
D) 3
105 2 m
E) 3
225 2 m
10. En la figura, m
3
VH  , m
1
HM  y O es centro del cuadrado ABCD. Halle el área lateral
de la pirámide regular.
A) 36 m2
B) 28 m2
C) 16 m2
D) 30 m2
E) 32 m2

11. Una coctelera que tiene la forma de una pirámide cuadrangular regular, contiene agua
hasta la mitad de su capacidad. El barman vierte todo el contenido de la coctelera en
un segundo recipiente que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular. Si ambos
recipientes tienen igual altura y sus bases son congruentes, determine hasta qué
fracción de su altura llega el nivel del agua en el segundo recipiente.
A)
5
1
h
B)
3
1
h
C)
6
1
h
D)
2
1
h
E)
4
1
h
12. Un recipiente de forma de cilindro circular recto de 24 cm de diámetro y 36 cm de
altura está lleno de agua. Se vierte todo el contenido en otro recipiente de forma de
cilindro circular recto de 36 cm de diámetro y 40 cm de altura. ¿Qué altura alcanza el
nivel del agua en este último recipiente?
A) 12 cm B) 14 cm C) 16 cm D) 18 cm E) 10 cm
13. En la figura se muestra un cilindro oblicuo de 30º de inclinación respecto a la base, la
generatriz mide m y el área de la sección recta es m2. Halle el volumen del
cilindro circular recto de generatriz. HB.
A) 3
18 3 m

B) 3
22 3 m

C) 3
20 3 m

D) 3
21 3 m

E) 3
23 3 m

14. En un cilindro circular recto, su altura y el diámetro de su base tienen igual medida. Si
su volumen es 3
cm
16 , ¿cuál es su área lateral?
A) 2
cm
36  B) 2
cm
16 C) 2
cm
6  D) 2
cm
4  E) 2
cm
8 
3
9  4

A
B
O1
O2
1. En la figura, ABCD – EFGH es un cubo, M es punto medio de FD y el volumen de la
pirámide M – ABCD es
6
1
cm3. Halle la longitud de la arista del cubo.
A) 2,5 cm
B) 0,5 cm
C) 1,5 cm
D) 2 cm
E) 1 cm
2. La figura muestra un cilindro circular recto, donde 2
1 O
y
O son centros de sus bases,
cuya área lateral es 2
24 m y su altura mide 3 m. Una hormiga situada en el punto A
se desplazará sobre la superficie cilíndrica hasta el punto B. ¿Cuál es la menor
longitud que deberá recorrer la hormiga?
A) m
3
8








B) 4 m
C) m
72
D) 8 m
E) 5 m
3. La cúpula de una torre tiene la forma de la superficie lateral de una pirámide hexagonal
regular como muestra la figura, donde la medida del ángulo diedro que forma una cara
lateral con la base es de 30°. Si un litro de pintura rinde 8 m2, halle la cantidad de litros
de pintura necesaria para pintar la superficie lateral de la pirámide hexagonal regular.
A) 6 litros
B) 5 litros
C) 7 litros
D) 8 litros
E) 8 litros
A D
C
B
E
M
F G
H

P
Q
B
A
D
C
N
M R
4. En la figura, P – ABCD es una pirámide regular, AB = 4 m y PC =2 3 m. Si MR es
igual a la longitud de la altura de la pirámide, halle el volumen del tronco
MNQR – ABCD.
A)
B)
C)
D)
E)
5. En la figura, el área lateral del cilindro oblicuo es 64 m2 y BDes la altura del cilindro.
Hallar el volumen de dicho cilindro.
A) 3
64 m

B) 3
62 m

C) 3
66 m

D) 3
60 m

E) 3
68 m

6. Se tiene un bebedero de ganado determinado por un prisma recto de 10 pies de largo
y cuya base es una región trapecial isósceles de altura 2 pies, base inferior 2 pies y
base superior 3 pies. Si el volumen de agua es de 45/2 pies3. ¿A qué altura de la base
se encuentra el nivel superior del agua?
A) 1 pie
B) 2 pies
C) 1/2 pie
D) 0.75 pie
E) 0.80 pie
3
m
3
28
3
m
3
25
3
m
3
31
3
m
3
32
3
m
3
26

Álgebra
DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Definición. Una matriz es un arreglo bidimensional de números ordenados en filas y
columnas.
Ejemplos:
3 1
5 4

 
 
 2x2
A = ,
4 1 1
B 2 2 6
1 7 36

 
 
 
 
 
 3x3
,
6 4
3 1
2 0
 
 

 
 
 3x2
C = ,
8
2
4
1
 
 

 
 
 
 4x1
D = .
Para el caso de matrices cuadradas, como lo son las matrices A y B de los ejemplos
anteriores, podemos calcular su determinante, el cual tiene como una de sus aplicaciones
dar información, tanto cualitativa como cuantitativa de un sistema lineal.
Determinantes de orden 2
Dada la matriz A = . El determinante de A denotado por A , con ,
se puede calcular de la siguiente forma:
Ejemplos:
1)
7 1
( 7)(2) (3)( 1) 14 3 11
3 2
 
         .
2)
2 2
x 1 x 3
(x 1)(x 2) (x 3)x x x 2 (x 3x) 4x 2
x x 2
 
            

.
3)
1 i 3i
(1 i)(1 i) ( 2)(3i) 2 6i
2 1 i

      
 
.
a b
c d
 
 
 
a,b,c,d (ó )
R C
a b
A = = ad bc.
c d


Aplicación de los determinantes a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas
Sea el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas «x» e «y»
(1)
Definición. Una solución del sistema (1) es un par ordenado 0 0
( x ,y ) que verifica las dos
ecuaciones del sistema (1).
Asociado al sistema (1), tenemos los determinantes:
1) : determinante del sistema formado por los coeficientes de las incógnitas.
2) determinante asociado a x.
3) determinante asociado a y.
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
Se presentan los siguientes casos:
I. Sistema compatible determinado: tiene una única solución.
El sistema (1) es compatible determinado si y solo si .
Además, se puede usar la regla de Cramer para hallar las componentes de la solución:
(x , y) = .
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) es compatible determinado
es considerar:
.
II. Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones
El sistema (1) es compatible indeterminado si y solo si .
ax by m
cx dy n
 


 

S
a b
c d
 

x
m b
Δ = :
n d

y
a m
Δ = :
c n
S
Δ ≠ 0
y
x
S S
 
 
 
 
Δ
Δ
,
Δ Δ
a b
, si cd 0
c d
 
S x y 0
     

Observación: una forma práctica de indicar que el sistema (1) es compatible indeterminado
es considerar:
.
III. Sistema incompatible o inconsistente: no tiene solución.
El sistema (1) es incompatible si y solo si S x y
0 [ 0 0]
        .
Observación: una forma práctica de indicar que el sistema (1) es incompatible es
considerar:
Interpretación geométrica del sistema (1)
El sistema (1) representa las ecuaciones de dos rectas en el plano, lo cual implica solo uno
de los casos siguientes:
Sistema homogéneo
Si en el sistema (1) hacemos m = n = 0, diremos que es un sistema lineal homogéneo.
Luego se presentan dos casos:
1) Compatible determinado: si , entonces (0, 0) es la única solución llamada
solución trivial.
2) Compatible indeterminado: si , entonces obtenemos un número infinito de
soluciones llamadas soluciones no triviales, además de la solución trivial.
a b m
, si cdn 0
c d n
  
a b m
, si cdn 0
c d n
  
 
1 2 0
Solución única
L L P
  1 2 1
Infinitas soluciones
L L L
  1 2
No tiene solución
L L
  
ax by 0
cx dy 0
 


 

S
Δ ≠0
S 
Δ 0

Determinantes de Orden 3
Regla de Sarrus
 =
 Determinante de Vandermonde: es de la forma
= (b – a) (c – b) (c – a).
Nos ubicamos en la 2da fila y hacemos los productos de las diferencias de acuerdo a la
forma indicada.
Ejemplo:
   
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 5 6 2 5 6 6 5 5 2 6 2 ( 11)(3)( 8) 264
4 25 36 2 5 ( 6)
=
           

 Propiedades de los Determinantes
1. Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor
común, este puede salir como factor fuera del determinante.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
1 2 3
2 3 1
3 1 2
c b a
c b a
c b a
N
1 2 3
2 3 1
3 1 2
a b c
a b c
a b c
M
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2
M N
(a b c a b c a b c ) (c b a c b a c b a )
      
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c

Ejemplo:
.
4 es factor común en la columna
2. Si dos filas o dos columnas son iguales o proporcionales, entonces el determinante es
igual a cero.
Ejemplo:
Prop. 1
3. Si se intercambian dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo.
Ejemplos:
.
.
4. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma algebraica
de varias cantidades, el determinante se descompone en tantos determinantes como
términos tiene la suma.
.
1 4 12 1 4 4( 3) 1 4 3
2 5 8 = 2 5 4(2) = 4 2 5 2
3 2 20 3 2 4(5) 3 2 5
  
     
5 3 4 5 3 4 5 3 4
1 7 2 = 1 7 2 = 4 1 7 2 = 0
4 28 8 4 1 4 7 4 2 1 7 2
4 2 5 5 2 4
5 8 3 3 8 5
2 1 0 0 1 2
 
4 2 5 5 8 3
5 8 3 4 2 5
2 1 0 2 1 0
 
a +m b c a b c m b c
d+n e f d e f n e f
q+p h k q h k p h k
= +
a)
b)

5. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por «m» y este
resultado se le suma a otra fila o columna, el determinante no se altera.
Ejemplo:
donde Ci es la columna i, para i = 1, 2, 3.
6. Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, su valor no se altera;
es decir,
7. Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante vale cero.
Aplicación de los determinantes a los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas
Sea el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas «x», «y» y «z»:
. . . (2)
Definición: Una solución del sistema (2) es una terna ordenada ( 0 0 0
x ,y ,z ) que verifica las
tres ecuaciones. Asociado al sistema (2), tenemos los determinantes:
4 2 5
5 8 3 55
2 1 0
 
1 2
C 2C
4 2 5 0 2 5
5 8 3 11 8 3 55
2 1 0 0 1 0


   
a b c a d h
d f g b f i
h i j c g j

a b c m 0 q
0 0 0 n 0 r 0
c d e p 0 s
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
  


  

   


1) : determinante del sistema.
Se presentan los siguientes casos:
I. Sistema compatible determinado: tiene solución única.
El Sistema (2) tiene solución única si y solo si  0. Además, se puede usar la regla
de Cramer para hallar las componentes de la solución:
Luego su conjunto solución (C.S) es
1 1 1
S 2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
 

1 1 1
x 2 2 2
3 3 3
d b c
2) d b c : determinante asociado a x.
d b c
 

1 1 1
y 2 2 2
3 3 3
a d c
3) a d c : determinante asociado a y.
a d c
 

1 1 1
z 2 2 2
3 3 3
a b d
4) a b d : determinante asociado a z.
a b d
 
S

y
x z
S S S
x , y , z

 
  
  
y
x z
S S S
C.S (x,y,z) / , , .
 

 
 
 
   
 
 
  
 
 
 

Ejemplo:
Resuelva el siguiente sistema
Solución:
El determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema es:
 0  El sistema tiene solución única.
Ahora, calculamos la solución del sistema utilizando la Regla de Cramer:
,
II. Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
Si el sistema (2) tiene infinitas soluciones, se cumple que
( S 0
  )  ( x 0
   y 0
   z 0
  )
Ejemplo:
Resuelva el siguiente sistema: .
Solución:
Se tiene .
2x 3y z 11
3x y 2z 9
5x 3y 3z 12
  


  

   

S
2 3 1
3 1 2 13
5 3 3

   

x
11 3 1
9 1 2 39
12 3 3

   

y
2 11 1
3 9 2 26
5 12 3

  
z
2 3 11
3 1 9 13
5 3 12
   

x
s
39
x 3,
13

   

y
s
26
y 2,
13

  

z
s
13
z 1
13

  

  
C.S (3 ,2 ,1)

x y 2z 2
3x 2y z 6
4x y z 8
  


  

   

S
1 1 2
3 2 1 0
4 1 1

   

x y 2z 2 (1)
3x 2y z 6 (2)
4x y z 8 (3)
  


  

   

Al sumar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene (3)
El sistema se reduce
Igualando (4) con (5) …(*)
Reemplazando (*) en (4)
Por lo tanto, el sistema dado tiene infinitas soluciones las cuales son de la forma:
.
10 3t 7t
C.S , , t / t
5 5
 

 
 
 
 
 
 
III. Sistema incompatible o inconsistente: no tiene solución.
Si ( S 0
  )  ( x 0
  ó y 0
  ó z 0
  ), el sistema (2) no tiene solución.
Ejemplo:
En el sistema , determine si tiene o no solución.
Solución:
Se tiene S
  = 0
2x 3y z 11 (1)
3x y 2z 9 (2)
5x 2y z 21 (3)
  


  

   

x y 2z 2 (1) y x 2z 2 (4)
6 3x z
3x 2y z 6 (2) y (5)
2
      


 

    


6 3x z 10 3z
x 2z 2 x
2 5
  
    
7z
y
5

 
10 3t 7t
x,y,z , , t para todo t
5 5

 
 
 
 
R
2x 3y z 11
3x y 2z 9
5x 2y z 21
  


  

   

2 3 1
3 1 2
5 2 1



De
De (3): 20 = 21 ¡absurdo!
Por tanto, el sistema es incompatible.
Observación:
Para resolver los casos de sistemas de infinitas soluciones y sistemas sin solución,
comience calculando S 0
  , luego simplifique las ecuaciones para obtener una
conclusión.
Sistema homogéneo
Si en el sistema (2) hacemos d1 = d2 = d3 = 0 entonces el sistema se denomina
homogéneo, es decir:
I. Sistema compatible determinado: Si S
  0 entonces existe una única solución,
llamada solución trivial, la cual es (x, y, z) = (0, 0, 0).
Ejemplo:
En el sistema
.
la solución única es (x, y, z) = (0, 0, 0).
II. Sistema compatible indeterminado: Si S 0
  , entonces el sistema tiene infinitas
soluciones no triviales, además de la solución trivial.
Ejemplo:
En el sistema
3 2 2
2 1 7 0
1 3 9
S

   

.
El sistema tiene infinitas soluciones no triviales además de la trivial.
   
1 2 : 5x 2y z 20
   
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a x b y c z 0
a x b y c z 0
a x b y c z 0
  


  

   

2x 3y 2z 0
x y z 0
3x y z 0
  


   

   

2 3 2
1 1 1 10 0
3 1 1
S
    
3x 2y 2z 0
2x y 7z 0
x 3y 9z 0
  


  

   



Sistema no lineal
Definición. Un sistema no lineal es una colección de dos o más ecuaciones donde
por lo menos una de ellas es no lineal.
Ejemplos:
1) 2)
Observación:
1) Para el caso de sistemas no lineales no disponemos de una herramienta
algebraica estándar que nos permita resolver dichos sistemas.
2) Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden resolver por métodos
algebraicos como: un cambio de variable adecuado, productos notables, etc.
3) Geométricamente una ecuación no lineal f(x,y) c
 representa una curva en el
plano, pensemos por ejemplo en la trayectoria de un insecto, la pregunta hecha
en un sistema no lineal es como se cortan dos curvas, lo cual no es fácil responder.
INECUACIONES EN UNA VARIABLE
Una inecuación en una variable «x» es, dada una expresión matemática H(x), la
desigualdad:
Al conjunto de los valores de «x» que hacen a la desigualdad verdadera se le denomina
Conjunto Solución (C. S.) de la inecuación.
1) Inecuaciones polinomiales de grado superior
Son aquellas inecuaciones que tienen la siguiente forma:
Considerando la inecuación:
 
n n 1
n n 1 1 0 n
p(x) a x a x ... a x a 0 ; a 0


       
2 2
12






x +y = 25
xy 2
2 2
x y z 6
x y z 14
  



  


H(x) 0 ( 0, 0, 0).
   
 
p(x) 0 ( 0, 0, 0); grad p(x) n 2.
     

Y, suponiendo que p(x) se puede factorizar en la forma
entonces, la inecuación  
 se resuelve aplicando el método de puntos críticos, el cual
consiste en:
1.º Hallar todos los puntos críticos o raíces de cada factor (x – ri). En este caso, se
tiene:
Puntos críticos =  
1 2 n
r ,r ,...,r .
2.º Ordenar los puntos críticos en la recta real. Suponiendo que los puntos son
ordenados en la forma , en la recta real se tiene:
3.º Colocar entre los puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente, comenzando
desde la derecha y siempre con el signo (+):
Luego, el conjunto solución para  
 será
n n 2 n 1
C. S. r , r , r ...
 
     (regiones positivas).
Ejemplo 1:
Resuelva la inecuación .
Solución:
3 2 2 2
x 8x x 8 0 x (x 8) (x 8) 0 (x 8)(x 1) 0.
(x 8)(x 1)(x 1) 0.
Puntos críticos: 1, 1 y 8. Graficando :
            
    

C. S. , 1 1,8
     .
1 2 n 2 n 1 n
r r ... r r r
 
    
3 2
x 8x x 8 0
   
 
n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
p(x) a (x r )(x r )...(x r ); donde r , r ,..., r r r ... r
        
…..
r1 r2 rn – 2 rn – 1 rn
r1 r2 rn – 2 rn – 1 rn
+
+ –
…..
 
 

Observación:
Si en una inecuación polinomial de grado superior se presenta un factor cuadrático de
coeficiente principal positivo y discriminante 0
  , entonces se elimina ese factor.
Ejemplo 2:
Resuelva la inecuación 2
(2x x 1)(x 13) 0
    .
Solución:
2
2x x 1 0; x
     , pues      
a 2 0 y 7 0.
La inecuación equivalente es x 13 0 x 13
    .
C. S. , 13
   .
Los siguientes teoremas son útiles para la resolución de inecuaciones de grado
superior.
Teorema 1:
 
 
2n
2n
Sean a, b , n ; entonces :
i) a
a .
.b 0 a 0 b 0
ii) b 0 a 0 b 0

 
    
    
2n 1
2n 1
iii) a
a .
.b 0 a.b 0
iv) b 0 ab 0


  
  
Ejemplo 3:
Resuelva la inecuación    
2 9 4
(2x x 3) (x 8) 0 .
Solución:
Factorizando, tenemos:
 
        
9 4 9 9 4
(2x 3)(x 1) (x 8) 0 (2x 3) (x 1) (x 8) 0 .
Usando i) del teorema 1, la inecuación es equivalente a:
     
9 9
x 8 0 (2x 3) (x 1) 0; de donde, usando iii) del teorema 1:
x 8 (2x 3)(x 1) 0
     ; y resolviendo por puntos críticos:
3
x 8 x ,1
2
 
   
 
 
.

 
3
C. S. ,1 8
2
 
   
 
 
.
2) Inecuaciones fraccionarias
Son aquellas inecuaciones que tienen la siguiente forma:
P(x)
Q(x)
 0 (> 0, < 0,  0); P(x)
y Q(x) son polinomios. La inecuación planteada es equivalente a la inecuación
polinomial P(x).Q(x)  0 para los valores de «x» que no anulan a Q(x) (es decir:

Q(x) 0) y, por lo tanto, se procede aplicando el método de puntos críticos, pero
incluyendo dicha condición.
De forma práctica, debe tenerse presente que los puntos críticos que provengan del
denominador siempre deben considerarse abiertos (el conjunto solución no incluye a
esos puntos).
Ejemplo 4:
Resuelva la inecuación
(x 19)(x 15)
0
(x 19)(x 8)
 

 
.
Solución:
El factor (x 19)
 puede cancelarse, pero primero planteamos la restricción:
x 19 0 x 19
    .
Luego, la inecuación equivalente es:

  

x 15
0 x 19
x 8
.
Puntos críticos: 15 y 8
 . Graficando:
 
C. S. 15, 8 19

   

.
3) Inecuaciones irracionales
Son aquellas inecuaciones que tienen la siguiente forma: P(x)  Q(x) (>, <,  );
donde P(x) o Q(x) es una expresión irracional. Para su resolución, primero debemos
garantizar que existan las expresiones irracionales en los reales (condición de
existencia). Luego de ello, resolvemos la inecuación analizando según el caso que
tengamos.

Observación:
Para la resolución de inecuaciones irracionales, es importante considerar la siguiente
propiedad:
Ejemplo 5:
Indique el número de soluciones enteras de la inecuación   
x 2 67 2x .
Solución:
i) Existencia :
67
67 2x 0 x ... (1).
2
   
ii) Dado que :
x 2 67 2x 0 x 2 0 x 2 ... (α).
        
2 2
Elevando al cuadrado ambos miembros en la inecuación :
(x 2) 67 2x x 2x 63 0 (x 9)(x 7) 0
x , 7 9, ... (β).
De (α) y (β): x 9, ... (2).
          
      
  
iii) Finalmente, de (1) y (2):
67
C. S. 9, .
2
Nos piden la cantidad de valores enteros del C. S.: (33 10) 1 24.

 

  
Los siguientes teoremas son útiles para la resolución de inecuaciones irracionales.
Teorema 2:
 
 



 
      
    
  
  
2n
2n
2n 1
2n 1
Sean a, b ; n :
i) a ( )
a
iii) a
a
.b 0 a 0 a 0 b 0
ii) .b 0 a 0 b 0
.b 0 a.b 0
iv) .b 0 a.b 0
 
   
2n
0
0; a ,n
a

Ejemplo 6:
Indique la suma de soluciones enteras de la inecuación 2 2023
5 x(x 5x 4) 0
    .
Solución:
Aplicando i) del teorema 2, tenemos que la inecuación equivale a:
 
 
 
 
   
2 2023
2
(x 1)(x 4)
5 x 0 5 x 0 (x 5x 4) 0
x 5 5 x x 5x 4 0
x 5 x 5 x 1, 4
x 5 x 1, 4 .
C. S. 1, 4 5 .
 
        
 
       
 
 
 
     
   
  
La suma de soluciones enteras es (5 1 2 3 4) 15
     .
Observación:
En caso de que aparezcan inecuaciones con valor absoluto, es conveniente recordar
las siguientes propiedades:
1. x < b ↔ [b > 0  – b < x < b]
2. x  b ↔ [b  0  – b  x  b]
3. x > b ↔ [x > b  x < – b]
4. x  b ↔ [x  b  x  – b]
5. x  y ↔ x2  y2 ↔ (x + y) (x – y)  0
Ejemplo 7:
Halle la suma de los elementos enteros del conjunto solución de
3x 4 x 8 0
    .
Solución:
2 2
3x 4 x 8 3x 4 x 8
      
2 2
(3x 4) (x 8) (4x 4)(2x 12) 0
      
(x 1)(x 6) 0
   
C. S. 6,1
La suma de los elementos enteros del C. S. es ( 5 4 3 2 1 0) 15.
  
        

EJERCICIOS DE CLASE
1. Halle la suma de las cuatro menores soluciones enteras de la inecuación
2 3
4x 3 5x 2x .
   
A) 4 B) 8 C) 6 D) 11 E)18
2. Determine el producto de las tres mayores soluciones enteras negativas de la
inecuación .
2 x 2
x x 3

 

A) 12
 B) 8
 C) 24
 D) 60
 E) 10

3. Si 
a,b c,1

 es el conjunto solución de la inecuación (2x 1)(3x 1) x 1
    ,
calcule el valor de
1 1
.
b c

A) 1
 B) 5
 C) 4
 D) 5 E) 1
4. Determine el número de elementos enteros del conjunto solución de la inecuación
2 4 2 4 3 2
4 3
x 3x 18 (x x 1)(x 7x 11x 7x 10)
0.
x 2x x 2
       

  
A) 5 B) 9 C) 6 D) 7 E) 8
5. Si (1;4) es la solución del sistema en «x» e «y»,
2x my 10
nx y m
 


 

, halle el valor de (m+n).
A) 5 B) 8 C) 9 D) 7 E) 10
6. Determine el conjunto de valores de k, de modo que el sistema en «x» e «y»,
x y z 2
x ky z 1
2x y kz 3
  


  

   

, tenga solución única.
A)  
1, 2
   B)  
2
  C)  
1
  D)  
1,3
 E)  
1,2

7. Sergio tiene 180 soles en monedas de 2 soles, 5 soles y billetes de 10 soles. La
cantidad de monedas de 2 soles excede en 4 unidades a la cantidad de monedas de
5 soles. Si Sergio le daría a su hermano un billete de 10 soles, la cantidad de billetes
que le quedaría sería el doble de la cantidad de monedas de 5 soles, ¿cuántas
monedas tiene Sergio?
A) 19 B) 29 C) 16 D) 13 E) 18

8. Eva compró tres variedades de papa: amarilla, huayro y blanca. Los precios de costo
de cada kilogramo de las tres variedades son: S/ 8, S/ 6 y S/ 2 respectivamente.
Compró en total 80 kg de papa y por dicha compra gastó S/ 320. Ella vendió todos los
kilogramos de papa que compró, obteniendo un ingreso de 490 soles. Si el precio de
venta de cada kilogramo, de papa amarilla, huayro y blanca son: S/ 10, S/ 9 y S/ 4
respectivamente, ¿cuánto ganó Eva por la venta de papa blanca?
A) S/ 60 B) S/ 80 C) S/ 120 D) S/ 40 E) S/ 100
1. Determine el conjunto solución de la inecuación 2
1 1 1
.
x 1 x 1 x 2
  
  
A) ,0 1,2
 B)
1 3
, ,2
3 2
 C)
1
,
3

D 1,2 E)
1
, 1,2
3

2. Determine el producto de las tres menores soluciones enteras de
3 4 3
(x 1) (x 5) (x 1)
   
A) 72 B) 36 C) 24 D) 42 E) 168
3. Si a,b

 es el conjunto solución de la inecuación x 3 x 1
   , calcule el valor de
a b.

A)
3
4
B)
2
3
C)
4
3
D)
5
3
E)
8
3
4. Determine el número de soluciones enteras de
2
3
4
x 2 (x 1)(x 4x 3)
0.
x 6(x 5) (x 7) x 4
   

   
A) 4 B) 3 C) 6 D) 7 E) 5
5. Si (2; 6) es solución del sistema en «x» e «y»
ax y a
bx ay b
 


 

, calcule el valor de
1 1 a 1
ab a a 1
16b b 9

 
 
.
A) 60 B) 30 C) 24 D) 40 E) 20

6. En una granja hay 120 animales entre conejos, gallinas y patos. La cantidad de
conejos es el triple de la cantidad de estas aves. La diferencia entre la cantidad de
patos y gallinas es la novena parte de la cantidad de conejos. ¿Cuántos conejos hay
en la granja?
A) 90 B) 45 C) 99 D) 81 E) 72
7. Camila compra 8 prendas entre blusas y polos. El precio de una blusa es 10 soles
más que el precio de un polo. Ella gastó en su compra 370 soles. Si hubiera comprado
una blusa menos y dos polos más, su gasto sería de 400 soles. ¿Cuánto gastó en la
compra de polos?
A) S/ 180 B) S/ 250 C) S/ 200 D) S/ 240 E) S/ 120
8. Determine el conjunto de valore de k, de modo que el sistema en «x» e «y»
x y k z 1
2x 4y z 5
kx (6k 1) y z 2
  


  

    

tenga solución única.
A)  
1,8
 B)
1
,1
8
 
 
 
 
C)
1
1,
8
 
 
 
 
D)  
1,2
  E)  
1,2

Trigonometría
LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Y SUS ELEMENTOS
Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 1. Sirve para
representar las líneas trigonométricas.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I Y II

Observación:
La ecuación canónica de la circunferencia de radio 1 es C: x2 + y2 = 1 es.
En la circunferencia trigonométrica se distingue los siguientes elementos:
1) O(0,0), origen de la circunferencia
2) A(1,0), origen de arcos
3) B(0,1), origen de complementos
4) A(– 1,0), origen de suplementos
5) B(0,– 1), no tiene denominación específica
6) P(x,y), extremo del arco AP de medida 
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
I. Línea seno
Es la ordenada del punto extremo del arco.
Análisis de la línea seno
– 1  sen  1

II. Línea coseno
Es la abscisa del punto extremo del arco.
Análisis de la línea coseno
– 1  cos  1
III. Línea tangente
Es la ordenada del punto de intersección entre la tangente trazada por el origen de
arcos A y la prolongación del radio que pasa por el punto extremo del arco AP.
X
Y

O
tan
C 
A
B
T(1,y )
1
1
=y

Análisis de la línea tangente
 
tan R
IV. Línea cotangente
Es la abscisa del punto de intersección entre la tangente trazada por el origen de
complementos B y la prolongación del radio que pasa por el punto extremo del arco
AP.
X
Y

O
cot
C

A
B
T(x ,1)
1
1
=x
Análisis de la línea cotangente
     
cot

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