El documento explica el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Luego, muestra cómo usar el teorema para calcular la longitud de la hipotenusa cuando se conocen las longitudes de los catetos. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.

1. El Teorema de Pitágoras
Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la
hipotenusa antes de probar su teoría.
El Teorema de Pitágoras
Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud
de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos
es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esta relación está representada por la fórmula:
Parece simple, pero intentemos con un triángulo rectángulo para ver si es cierto.
El teorema es válido para este triángulo — la suma de los cuadrados de los catetos es
la misma cantidad que el cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es válido para todos
los triángulos rectángulos (aunque, como puedes ver, no todas las medidas son
número enteros como 3, 4, y 5).
Nota que el Teorema de Pitágoras no puede ser usado con cualquier triángulo — sólo
aplica a los triángulos rectángulos.
Encontrando la Longitud de la Hipotenusa
Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de
un triángulo rectángulo si conocemos la longitud de sus catetos. Es decir, si
conocemos las longitudes de a y b, podemos encontrar c.
Hagámoslo.

2. En el triángulo de arriba, nos dan las medidas de los catetos a y b: 5 y 12,
respectivamente. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la
longitud de c, la hipotenusa.
Ejemplo
Problema Encontrar c cuando a = 5
y b =12
Teorema de Pitágoras
Sustituir a y b por los valores conocidos
Simplificar
Combinar términos semejantes
Calcular la raíz cuadrada en ambos
lados
Solución
Usando la fórmula, encontramos que la longitud e de c, la hipotenusa, debe ser 13.
(Aunque existen dos valores posibles de c que satisfacen la ecuación, 13 y -13, las
longitudes son siempre positivas, por lo que podemos ignorar el valor negativo.)
Hallar la hipotenusa.

3. El conjunto de los números reales
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a
partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto
de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a  b) si
a  b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los
naturales constituyen el conjunto de los números enteros (Z). Con los números enteros (Z) se
puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de
los números racionales.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal
exacto o como un número decimal periódico, es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b  0). Si bien el
conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes
operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él ( ,
,  , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas cifras
decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números
reales (R).
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades
algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen
que los números reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por
cero) obteniéndose otro número real.
Los números reales y la recta real
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los
números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales
llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre
el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real

4. le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un
único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario
sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para
medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y
se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un
punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
 se asocia al origen el número 0,
 se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del
origen en la dirección positiva,
 se asocia a cada número negativo  p el punto que está a p unidades de distancia del origen
en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le
corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta
recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números
reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes:
dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea
igual a b.
Puede observarse en la recta que a  b si y sólo si el punto que representa al número a está a
la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a  b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del
que representa a b.
Si a  b, los puntos se superponen.

5. La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si
el número real a es menor que el número real b (a  b).
Actividad.
1. En la siguiente representación explique cómo se utiliza el teorema de Pitágoras y
además qué relación tiene la hipotenusa y la distancia del punto cero al punto como
elementos de la circunferencia indicada.
2. Represente en la recta numérica los siguientes números:
a) 2/3
b) 7/4
c)
d)