2. CONTENIDO
Las temáticas a desarrollar en este primer período:
• El conjunto de los números reales
• Intervalos
• Desigualdades
3. Números naturales ℕ
Se entiende por número natural todo aquel que puede escribirse como la
suma sucesiva de unos, es decir:
1 = 1
2 = 1 + 1
3 = 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 1 + 1
Y así sucesivamente. Podría decirse que el conjunto de los números
naturales es infinito o, de una manera más formal, que no tiene tope
máximo, ya que siempre se puede avanzar uno más.
11. Números decimales
Para convertir una fracción en un decimal, dividimos el numerador entre el
denominador.
Para convertir un decimal a fracción:
Finito:
• Numerador: El número decimal sin coma.
• Denominador: 1 con tantos ceros como cifras decimales haya.
12. Números decimales
Para convertir un decimal a fracción:
Infinito periódico:
• Numerador: El número decimal sin coma hasta donde empieza el periodo
menos la parte que no se repite.
• Denominador: tantos 9 como cifras se repitan con tantos ceros como cifras
decimales haya sin repeticiones.
13. Números irracionales
En matemáticas, un número irracional es un valor que no puede ser expresado
como una fracción m/n donde m, n son enteros y n es diferente de 0. Es
cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni
exacta ni periódica.
15. • Utilizar el teorema de Pitágoras: Tomar 2 números que al sumar sus
cuadrados den el valor a representar.
• Formar un triángulo con los dos catetos escritos, uno desde cero y
otro desde el final del primero hacia arriba.
• Ubicar el compás en el origen y abrir hasta el vértice superior
derecho.
• Giramos el compás hasta cortar la recta.
Representación en la recta
16. Ejemplo 𝟏𝟎
• Aproximar la raíz
10 = 3, …
• Luego el valor entero debe ser la base, es decir, 3 es la base. Representar la
potencia
32 = 9
• Completar 10, con 1. Representar la potencia
1 = 12
• Los valores son base 3 y altura 1.
17. • Dibujar la base sobre la recta y la altura a partir dell final de la base
• Completar el triángulo, desde el origen.
• Ubicar el compás en el origen y abrir hasta el vértice superior
derecho.
• Giramos el compás hasta cortar la recta y ubicar el irracional.
Representación en la recta
18. Representación en la recta
1. En 1, se construye un segmento perpendicular a
la recta, cuya longitud sea una unidad.
2. Se construye el triángulo BCA y con el compás
se traslada la distancia CB a la recta ´numérica,
el punto ubicado corresponde a 2.
3. Para ubicar 3, primero se construye en 2 un
segmento perpendicular a la recta, cuya longitud
sea 1.
19. Representación en la recta
Finalmente, se construye el triángulo FDC y con el compás se traslada la
distancia CF a la recta numérica, el punto ubicado corresponde a 3.
21. Números reales
El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números
racionales con el conjunto de los números irracionales.
Todos los números reales se pueden representar como números decimales, en
algunos casos como expresión decimal finita o infinita periódica y en otros, como
decimal infinito no periódico.
22. Reales en la recta
Para construir la recta real, se toma como punto de partida el número 0 y a partir
de él, se toman intervalos de igual longitud situando los números naturales a la
derecha y los enteros negativos a la izquierda. Los números restantes. racionales e
irracionales, son ubicados en dicha recta mediante aproximaciones decimales o
mediante construcciones geométricas.
23. Orden en los reales
Para comparar dos números reales se debe observar el signo de los números.
Si los dos números tienen diferente signo, es mayor el número positivo, si los
dos números tienen el mismo signo se comparan las cifras de los números en
las posiciones correspondientes.
Al comparar dos números reales se cumple una y solo una de las siguientes tres
posibilidades.
𝒂 < 𝒃, 𝒂 es menor que 𝒃 𝒂 > 𝒃, 𝒂 es mayor que 𝒃 𝒂 = 𝒃, 𝒂 es igual que 𝒃
A esta propiedad de los números reales se le conoce como Ley de la tricotomía
24. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta
el signo, o bien, su distancia al cero. Puesto que un número real puede ser
positivo, negativo o cero, se tiene:
26. Desigualdades
Una desigualdad es una expresión de la forma 𝑥 < 𝑎, 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑥 > 𝑎 y 𝑥 ≥ 𝑎,
donde 𝑥 es una variable y 𝑎 un número real.
Representar la desigualdad 𝑥 < 4 en la recta numérica.
27. Intervalos
Un intervalo es un subconjunto continuo de la recta real, el cual tiene infinitos
elementos y extremos a y b para los cuales se cumple que cada elemento
dentro del intervalo esta entre a y b según sea el caso.
Intervalo Notación Descripción Representación gráfica
Abierto (𝑎, 𝑏) No incluyen los extremos
𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Cerrado [𝑎, 𝑏] Incluye ambos extremos
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Abierto a la derecha [𝑎, 𝑏) No incluye el extremo derecho
𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
Abierto a la izquierda (𝑎, 𝑏] No incluye el extremo izquierdo
𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
28. Intervalos no acotados
Intervalo Notación Descripción Representación gráfica
Infinito cerrado a
derecha
(−∞, 𝑏] Números reales 𝑥 menores que
𝑏, incluido 𝑏.
𝑥 ≤ 𝑏
Infinito cerrado a
izquierda
[𝑎, ∞) Números reales 𝑥 mayores que
𝑎, incluida 𝑎.
𝑎 ≤ 𝑥
Infinito abierto a
derecha
(−∞, 𝑏) Números reales 𝑥 menores que
𝑏, excluido 𝑏.
𝑥 < 𝑏
Infinito abierto a
izquierda
(𝑎, ∞) Números reales 𝑥 mayores que
𝑎, excluida 𝑎.
𝑎 < 𝑥
30. Inecuaciones
Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones
algebraicas en las que aparece una o más incógnitas. Resolver una
inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita
para los que se cumple la relación de desigualdad.
Para plantear inecuaciones resulta convenientes considerar los
sinónimos de los signos de operación, de relación y sentidos.
31. Sentidos
De acuerdo a esto, existen consideraciones en cuanto a la posición y la colocación o
consideración de un signo para esta.
• el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo -.
• Los grados sobre cero del termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero
con el signo -.
• El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto se designa con el signo + y el
camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de un punto se representa con el signo -.
• El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido
antes de Cristo, negativo.
• La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo -; la longitud este se
considera positiva y la longitud oeste, negativa.
33. Relaciones
SINÓNIMOS:
• Consecutivo, siguiente, después: el número más 1, 𝑥 + 1
• Antecedente, anterior, antes: 𝑥 − 1
• Par: 2𝑥 e Impar: 2𝑥 + 1
• Doble: Multiplicar por 2, triple: multiplicar por 3, cuádruple: por 4, etc.
• Mitad: Dividir entre 2, tercera parte: entre 3, cuarta parte: entre 4, etc.
34. Escriba usando desigualdades, definiendo claramente la variable.
a) Dentro de cinco años, Rosario tendrá no menos de 18 años.
b) Tengo a lo más 500 pesos.
c) El doble de mi edad es inferior a 30 años
d) Si al doble de la edad de Martha se le resta 17 años, resulta menos de 35.
e) Si a la mitad de la edad de Mina se le suma 3 el resultado es mayor que 15.
f) Si “x” varía entre 6 y 50.
g) Si el triple de la edad de Ana se aumenta 5 años el resultado es mayor que 51.
h) La sexta parte del antecesor de un número es menor que 6.
Inecuaciones lineales
35. Solución de inecuaciones
Para dar solución a inecuaciones considere los siguientes pasos:
1. Reducir términos semejantes si los hay; luego organizar los términos,
incógnitas a un lado y términos independientes de otro (Considere
mover la incógnita con coeficiente menor).
Suma → Resta
Resta → Suma
2. Reducir términos semejantes.
3. Despejar la incógnita.
Multiplica → Divide
Divide → Multiplica
36. Propiedades de inecuaciones
Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, entonces
a) Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐, para todo 𝑐 número real.
b) Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐, para todo 𝑐 número real.
c) Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐, para todo 𝑐 número real positivo.
d) Si 𝑎 < 𝑏, entonces
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
, para todo 𝑐 número real positivo.
e) Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, para todo 𝑐 número real negativo.
f) Si 𝑎 < 𝑏, entonces
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
, para todo 𝑐 número real negativo.
38. Calcular:
a) Hallar los números naturales cuyo triple menos seis unidades es
mayor que su duplo más cinco unidades.
b) ¿Qué podemos decir de un número que al sumarle 8 se obtiene otro
número superior al triple del primero?
c) Un hombre tiene actualmente 26 años y acaba de ser padre. ¿A partir
de cuando la edad del padre será menor que el triple de la edad del hijo?
Inecuaciones lineales
