NUMEROS IRRACIONALES, son de la forma a/b donde b # 0

1. INSTITUTO TÉCNICO JORGE GAITÁN DURÁN
Aprobadopor Res.No.2221 de30deagosto de2018
CódigoDANE:254001004087 -Nit:890503430-2
“TRABAJO SAPIENCIA Y CONSTANCIA”
GUÍA N° 7 Números Irracionales
ÁREA Matemáticas INICIO 01/06/2020 FINALIZACIÓN 05/06/2020
DOCENTE CESAR AUGUSTO CANAL MORA
ESTUDIANTE GRADO Octavo
INDICADOR Aplicar el concepto de número irracional en la solución de problemas comunes
Exploremos nuestros conocimientos previos
1. Si se tiene las medidas del área o una de las medidas de los lados de
determinados cuadrados, completa la siguiente tabla:
Medidas de los lados Área
15 cm
6cm
81cm2
2. Responde en tu cuaderno:
a) Si me dan la longitud de lado del cuadrado ¿cómo hallo su área?
b) Si me dan el área de cualquier cuadrado ¿cómo hallo la longitud de cualquiera
de sus lados?
c) Si tengo la siguiente figura y paso una línea por la mitad en diagonal que se
forman dos figuras geométricas iguales. ¿Qué clase de triángulo según sus
ángulos, los dos triángulos que se forman dentro del cuadrado?.
Medidas de los lados Perímetro
15 cm
6cm
60 cm
EXPLORACIÓN
ESTRUCTURACIÓN:
HAGAMOS UN VIAJE EN EL TIEMPO…
La escuela pitagórica descubrió la existencia de números que no eran naturales (1,2,3…) ni
enteros, (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…) ni racionales (
1
3
,
2
5
,
3
6
…) los Pitagóricos los llamaron números
inconmensurables.
Aparentemente Hipaso, un discípulo de Pitágoras descubrió estos números intentando
escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar
demostró que no se puede escribir como fracción, así que 2 no es número racional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran tales números, porque creía que todos los
números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los “números irracionales”
de Hipaso no existían, ¡Tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!.

2. Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción común o
decimal, aunque pueden calcularse con los decimales que se deseen (no son decimales periódicos
exactos ni periódicos puro, ni periódicos mixtos).
Ejemplos de números irracionales: √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, etc
Uno de los teoremas milenarios más importantes que crearon los pitagóricos es sin duda el
TEOREMA DE PITAGORAS. Gracias a este se ha resuelto infinidad de problemas prácticos que
han contribuido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad. Para entrar en materia es
necesario recordar un par de ideas:
 Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene
un Angulo recto, es decir de 90°.
 En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe
el nombre de HIPOTENUSA. Y los dos lados se llaman
catetos.
Ahora enunciemos el teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Recuerda: este teorema solo
se cumple para triángulos rectángulos.
La expresión matemática que representa este teorema es:
c2
= a2
+ b2
hipotenusa2 =
cateto2 +
cateto2
π (pi) = 3.141592 Θ= áureo=2,61803398874988
e = número de Euler = 2,7182818284.5904523536028
Para comprobar este teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la
hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas del cuadrado construido
sobre los catetos.
a
b
¿Qué son números irracionales? (I = Re - Q)
Los números irracionales tienen como definición que son números que
poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden
ser expresados como fracciones.
Surgen al resolver raíces (de cualquier índice) de algunos números
racionales. No es correcto expresarlos con una cierta cantidad de decimales,
puesto que el número exacto tiene infinitos decimales. La exactitud que
requiere la matemática, hace que estos números se deban indicar con el
símbolo radical.
También son irracionales algunos números especiales surgidos del análisis
matemático como el número  que se aplica al cálculo de la longitud de
circunferencias. Superficies de círculos y superficies y volúmenes de
solidos de revolución.

3. VEAMOS UN EJEMPLO:
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
a: mide 3 m, el área del cuadrado construido sobre a = 9m2
b: Mide 4 m, el área del cuadrado construido sobre b = 16 m2
Por Teorema de Pitágoras se tiene que el área del cuadrado
construido sobre c es: el área del cuadrado construido sobre a (9 m2) +
el área del cuadrado construido sobre b (16 m2). c = 25 m2.or lo
tanto, para calcular el lado se calcula la raíz cuadrada de 25m2.
EJEMPLO 2
Si conocemos la hipotenusa y un cateto, se podría calcular el otro cateto?
Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de
la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre
la pared?
Para resolver el ejercicio es importante modificar la fórmula para despejar uno de los catetos…
por lo tanto las fórmulas posibles serían
Concepto de número irracional (cálculo de Hipaso)
Observa cómo calculamos la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
𝒅 𝟐
= 𝟏 𝟐
+ 𝟏 𝟐
= 𝟐 → 𝒅 𝟐
= 𝟐 → 𝒅 = 𝟐
Ahora utilizamos la calculadora para hallar
el valor de 𝟐 = 1,41421356….
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS IRRACIONALES
Sabemos que todo número racional puede representarse sobre la recta; pero ¿todos los puntos de
la recta corresponden a números racionales? Podemos comprobar que no es así. Los números
irracionales también tienen su lugar en la recta. Vamos a ver cómo los representamos.
¿Cómo ubicar en la recta numérica la 𝟐?
Observa en la imagen el procedimiento seguido para ubicar este valor en la
recta numérica: 0, 1, 2,3, 4… Trazamos una recta y marcamos en ella los
puntos 0, 1 y 2. De esta manera, tenemos el origen y los dos números
enteros entre los que se sitúa.
c2 = (3m)2 + (4 m)2
c2 = 9m2 + 16 m2
c2 = 25 m2
c = 𝟐𝟓m2
c= 5m
c2 = (10m)2 - (6 m)2
c2 = 100m2 - 36 m2
c2 = 64 m2
c = 𝟔𝟒m2
c= 8m

4. Levantamos sobre el punto 1 un segmento perpendicular de una unidad de
longitud.
Unimos el extremo superior de este segmento con el origen.
Así, formamos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
una unidad cada uno y cuya hipotenusa mide:
𝐡 𝟐
= 𝟏 𝟐
+ 𝟏 𝟐
= 𝟐 ⇒ h = 𝒄
¿Cómo ubicar en la recta numérica la 𝟑?
Observa en la imagen el procedimiento seguido para ubicar este valor
en la recta numérica: 0, 1, 2,3, 4…
Descomponemos 3 en suma de cuadrados.
𝐡 𝟐
= 𝟏 𝟐
+ { 𝟐}
𝟐
= 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 ⇒ 𝐡 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 = 𝟑
h = 𝟑
1. Dibuja una representación los triángulos con las medidas indicadas y halla la longitud
de las hipotenusas de los siguientes triángulos rectángulos.
Dibujo Longitud
lado a
Longitud
lado b
Área del
cuadrado
construido
sobre a
Área del
cuadrado
construido
sobre b
Área del
cuadrado
construido
sobre ce
Longitud
del lado
c
5cm 12 cm
8cm 15cm
36 cm2 48cm2
1cm 1cm
2. Siguiendo el ejemplo de la estructuración ubica en la recta numérica 𝟓 . necesitan
un compás para trasportar las medidas
3. Resuelve la siguiente situación problemas.
a) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto
mide el otro lado?
b) Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden y .
c2 = ( 𝟐 )2 + ( 𝟑 )2
c2 = (2 ) + (3 )
c2
= 2 + 3 = 5 c2
= 𝟓
PRÁCTICA

5. 4. Calcule la altura de un triángulo equilátero (lados iguales), cuyo lado tiene 4 cm.
5. Observa y completa la siguiente tabla: utiliza tu calculadora para hallar la representación
decimal y clasifica los siguientes números en Racionales o Irracionales, colocando un x en la
casilla que corresponda.
Número Representación decimal Q I Número Representación decimal Q I
480468
99000
3 Número
237/100 
5 122/99
Número Representación decimal Q I Número Representación decimal Q I
25 7 Número
237/100 
5 122/99
PROFUNDIZA TUS APRENDIZAJES
Actividades complementarias
1. Explica por qué la raíz cuadra de un número natural que sea cuadrado perfecto NO es
irracional.
2. Un cartabón es un instrumento lineal, con forma de triángulo escaleno. Si dos de sus lados
Que forman un ángulo recto miden 20 y 35 cm. ¿Cuánto mide el tercer lado?
3. ´Si el radio de una circunferencia mide 3 cm. ¡Cuál será la longitud de ésta?
- ¿Es un número racional o irracional? ¿Por qué?
4. Averigua cuáles de los números son irracionales: 𝟒 , 𝟖, 𝟏𝟖, 𝟏𝟎𝟎
A continuación, escriba otros cuatro números irracionales, que no estén mencionados en
esta actividad.
1. De la figura mostrada, calcular la
longitud de la hipotenusa.
Recordar: 𝐶 2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Teorema de Pitágoras.
a) 100 m. b) 36 m.
b) 64 m. d) 10 m.
EVALUACIÓN
Sugerencia:
hipotenusa = 4 cm ; base = b = 2cm;
(altura)2 = h2 – b2 = 42 cm2 – 22 cm2
(altura)2 = 42 cm2 – 22 cm2 = 16

6. 2. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
a) 3.3424242… b) 3.14159…. c) 5/3 d) 25.3618888
3. Una palmera de 17 metros de altura se
encuentra sujeta por dos cables de 21m y
25m respectivamente. En la figura se pide
calcular la distancia AB.
a)18,33 m. b) 12,33 m.
c) 24,33 m. d) 30,66 m.
4. Identifique el número irracional.
a) 𝟑𝟔 b) 𝟓 c) 𝟖𝟏 d) 𝟏𝟎𝟎
5. Carlos y Luis son atletas. Ellos recorren varias veces una pista como la que se muestra
en la Siguiente ilustración
F es el punto de partida de ambos atletas,
En la dirección que indican las flechas
Carlos corre con velocidad constante de un
metro por segundo (1 m/s) y Luis con
velocidad constante de 1,5 m/s
1. ¿De la figura en cuánto tiempo recorre la pista cada atleta? A1 = ___ s A2 = ____ s
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