Este documento describe el sistema de los números reales. Comienza con los números naturales y describe las sucesivas ampliaciones a los números enteros, racionales e irracionales, lo que da lugar al conjunto completo de los números reales. Explica la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real, y cómo las propiedades algebraicas y de orden de los números reales los hacen aptos para representar cantidades físicas.

1. 1

2. ÍNDICE
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES___________________________________7
Introducción _____________________________________________________________ 7
Conjunto de los números reales _____________________________________________ 7
Conjunto de los números naturales __________________________________________ 7
Conjunto de los números enteros ____________________________________________ 8
Conjunto de los números racionales __________________________________________ 8
Conjunto de los números reales _____________________________________________ 8
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES_________________________________9
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL _______________________________ 10
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________ 12
Propiedad conmutativa. ___________________________________________________ 12
Propiedad Anti conmutativa _______________________________________________ 13
Ejemplos _____________________________________________________________ 14
Propiedad distributiva. ___________________________________________________ 14
Divisores del cero ________________________________________________________ 15
Elementos distinguidos ___________________________________________________ 15
Elemento neutro _________________________________________________________ 16
Elemento involutivo ______________________________________________________ 17
Elemento absorbente _____________________________________________________ 17
Operación inversa _______________________________________________________ 17
POTENCIACION Y RADICACION __________________________________________ 18
POTENCIACION _________________________________________________________ 18
Propiedades de la potenciación _____________________________________________ 19
Potencia de potencia _____________________________________________________ 19
Multiplicación de potencias de igual base ____________________________________ 19
División de potencias de igual base _________________________________________ 19
Propiedad distributiva ____________________________________________________ 19
Propiedad conmutativa ___________________________________________________ 19
Potencia de exponente 0 __________________________________________________ 20
Potencia de exponente 1 __________________________________________________ 20
2

3. Potencia de base 10______________________________________________________ 20
RADICACIÓN ____________________________________________________________ 20
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN. _______________________________________________________________ 23
SUMA: _________________________________________________________________ 24
RESTA: ________________________________________________________________ 25
MULTIPLICACIÓN: ____________________________________________________ 27
DIVISION: _____________________________________________________________ 33
División entre fracciones _________________________________________________ 31
División de polinomios entre monomios. _____________________________________ 34
División entre polinomios. ________________________________________________ 35
PRODUCTOS NOTABLES _________________________________________________ 36
Otros casos de productos notables (o especiales): ______________________________ 38
Cubo de una suma _______________________________________________________ 40
Cubo de una diferencia ___________________________________________________ 41
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS ______________________________ 41
Aplicaciones del mcm _____________________________________________________ 46
1. Reducir fracciones a común denominador. _________________________________ 47
2. Resolver problemas de la vida práctica. ____________________________________ 49
Aplicaciones del mcd _____________________________________________________ 50
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________ 50
2. Resolver problemas de la vida práctica. ____________________________________ 51
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN _____ 52
Descripción: ____________________________________________________________ 52
Ecuaciones de primer grado _________________________________________________ 52
Ecuaciones literales de primer grado __________________________________________ 52
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) ___________________ 52
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________ 53
Solución de ecuaciones cuadráticas _______________________________________ 53
Solución por completación de cuadrados _____________________________________ 53
Solución por la fórmula general ____________________________________________ 57
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES _____________ 58
3

4. Inverso aditivo __________________________________________________________ 58
Propiedad del doble negativo ______________________________________________ 58
Operaciones con los números Reales ________________________________________ 59
1. Sumar números reales ________________________________________________ 59
Restar números reales __________________________________________________ 59
Multiplicar números reales ______________________________________________ 60
Propiedades de los números reales. _________________________________________ 60
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES ______________________________ 61
Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________ 61
a) ecuaciones lineales propiamente tales _____________________________________ 62
b) ecuaciones fraccionarias ________________________________________________ 65
c) ecuaciones literales ____________________________________________________ 66
Sistemas de ecuaciones lineales _____________________________________________ 67
Sistema compatible indeterminado ______________________________________ 68
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas __________________________ 68
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES __ 69
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________________ 69
Método de reducción _____________________________________________________ 70
Ejemplo _______________________________________________________________ 71
Ejemplo _______________________________________________________________ 72
Método de sustitución ____________________________________________________ 73
Ejemplo _______________________________________________________________ 74
Método de Gauss ________________________________________________________ 75
Ejemplo _______________________________________________________________ 75
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ____________________________________________ 76
10 Ejemplos de Términos Semejantes: _______________________________________ 76
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA ____________________ 76
MONOMIO. ____________________________________________________________ 76
BINOMIO ______________________________________________________________ 76
TRINOMIO. ____________________________________________________________ 77
POLINOMIO. ___________________________________________________________ 77
GRADO DE UN MONOMIOS _______________________________________________ 78
GRADO DE UN POLINOMIO ______________________________________________ 78
4

5. ORDENAR UN POLINOMIO _______________________________________________ 80
NOMENCLATURA ALGEBRAICA _________________________________________ 81
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL ________________________________________ 81
Métodos para la factorización de polinomios _________________________________ 81
Binomios ______________________________________________________________ 81
Trinomios _____________________________________________________________ 82
Polinomios ____________________________________________________________ 82
Factorizar un monomio ___________________________________________________ 83
Factorizar un polinomio __________________________________________________ 83
Factor común. ___________________________________________________________ 84
Factor común de un polinomio______________________________________________ 85
Factor común por agrupación de términos ___________________________________ 85
Trinomio cuadrado perfecto _______________________________________________ 86
Raíz cuadrada de un monomio _____________________________________________ 86
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________ 86
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto ________________________ 87
Trinomios de la forma x2 + px + q __________________________________________ 88
Regla práctica para factorizar el trinomio ___________________________________ 88
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) ______________________________ 88
CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M __________________________________ 89
Mínimo Común Múltiplo (mcm) entre polinomios _______________________________ 89
Ejercicios _______________________________________________________________ 89
OPERACIONES CON FRACCIONES ________________________________________ 97
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ____________________________________ 97
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________ 97
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________ 98
ECUACIONES CUADRATICAS ____________________________________________ 98
Factorización: ___________________________________________________________ 99
Raíz cuadrada: _________________________________________________________ 99
Completando el cuadrado: _______________________________________________ 100
Fórmula cuadrática: ____________________________________________________ 102
Clasificación ___________________________________________________________ 103
5

6. Completa ______________________________________________________________ 104
Completa General _____________________________________________________ 106
Completa Particular ___________________________________________________ 106
Incompleta_____________________________________________________________ 107
Incompleta Binomial __________________________________________________ 107
Incompleta Pura ______________________________________________________ 108
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas __________________________ 108
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS _____________________________ 109
Propiedades de la suma de números enteros _________________________________ 112
Multiplicación de números enteros_________________________________________ 113
Regla de los signos _____________________________________________________ 113
Propiedades de la multiplicación de números enteros __________________________ 113
Propiedades de la división de números enteros _______________________________ 114
Potencia de números enteros________________________________________________ 114
Propiedades: _________________________________________________________ 114
Potencias de exponente entero negativo _________________________________ 115
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO __ 111
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado _____________ 113
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________ 118
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _____________________ 119
PROGRAMACIÓN LINEAL_______________________________________________121
6

7. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado
sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√ , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos
comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o
enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de
definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales
(asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de
las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los números reales.
Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los números naturales y se efectúan
las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas
ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la
solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre
ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se
presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
7

8. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas
numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución
en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera
{
}
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números reales
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también
axiomas de campo). (Peano, 1889)
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a
partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto
de la anterior.
8

9. Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a- b) si
a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los
naturales constituyen el conjunto de los números enteros (Z). Con los números enteros (Z) se
puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir
si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de
los números racionales.
Todo
número
racional
se
puede
expresar
como
un
número
decimal
exacto
o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras
decimales que se repiten
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (
si b ¹ 0). Si bien
el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las
diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él (
,
, p , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas cifras
decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números
reales (R).
9

10. Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades
algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen
que los números reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por
cero) obteniéndose otro número real.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los
números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales
llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre
el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real
le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un
único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario
sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para
medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y
se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un
punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:

Se asocia al origen el número 0,

Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades
del origen en la dirección positiva,

Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del
origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le
corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta
recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales.
También se la conoce como eje coordenado o eje real.
10

11. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes:
dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea
igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al númeroa está a la
izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del
que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si
el número real a es menor que el número real b (a < b). (matemati@fca.unl.edu.ar)
11

12. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más
abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades,
usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos
Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:
se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa
en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de
operar b con a.
La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y
complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo
cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos
La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1 y -1.
El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.
12

13. Propiedad Anti conmutativa
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual
al opuesto de operar b con a.
Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:
Se tiene con el producto vectorial :
Y
En general, para cualquier par de vectores a, b:
Para los enteros, se ve que la sustracción
Es anti conmutativa, pues si:
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:
Se dice que * es asociativa si, solo si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a
operar a con el resultado de operar b con c.
También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:
13

14. Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de
operar a con el resultado de operar b con c.
Ejemplos
La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.
La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa
La adición en el conjunto Z[i] es asociativa
el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ≠
ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.
Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (α)
Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación
es distributiva por la derecha de
si se cumple:
Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w) =uxv +
uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ.
Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación
es distributiva por la izquierda de
si se cumple:
Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P= MP+ NP,
la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.
La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de funciones:
(f +g)º=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.
Una operación
es distributiva sobre otra
si es distributiva por la derecha y por la izquierda.
14

15. Los conjuntos numéricos gozan de la distributiva por ambos lados.
Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas
a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi grupo
multiplicativo no se exige la conmutatividad.
Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la suma usual
en R.
Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la
izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se
puede simplificar por ambos lados se haba de simplificación o cancelación.
En el caso de la suma de números (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando a, resulta
b=c
En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para el caso,
los grupos simétricos.
Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y
b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de restos,
resulta 2*3=0.
Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x) =0 en
otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.
Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que en este
caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".
Elementos distinguidos
15

16. Elemento neutro
Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que indicaremos:
(A,*),
Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si:
Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho
que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:
En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento
neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.
En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro
multiplicativo. a.1 = 1.a = a.
En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro es 0.
En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es la matriz
que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.
En la composición de funciones de variable real, el elemento neutro es la función I(x) = x para
todo x.
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:
Diremos que a' es simétrico de a si:
Donde es el elemento neutro.
El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la
multiplicación. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se
llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso
multiplicativo.
16

17. Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los
enteros.
Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el conjunto de
partes de U.
Operación inversa
Sea A un conjunto con una operación binaria *:
Por lo que cabe la ecuación:
Pero si se da el caso de que:
Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite
elementos simétricos, se define: (S.R)
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
POTENCIACIÓN
ROF. José Luis Gallardo
17

18. La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es
muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la
cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:
Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos
125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una
potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por
sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al
ocho por sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.
Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)...
18

19. Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la
multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual
a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es
con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a &#8722; b)m = am &#8722; bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m&#8800;0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en
que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
19

20. Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el
exponente.
101 = 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un exponente
106 = 1000000
104 = 10000
RADICACIÓN
sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación
inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.
Observa que 82=64
entonces
64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.
De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que
elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
20

21. Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos),
pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores.
Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en grupos de
dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo más
próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se
acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número que resulta
de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos buscando se
acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese número será el siguiente
número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se aproxima
más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que
queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el número
del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
21

22. 9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se aproxima
más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que se
aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
15- A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor
utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2,
entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
22

23. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo
grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado.
Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo
en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado,
para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
(el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se
rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en
columna el término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
(grado 2)
(grado 3)
0x3 - 3x2 + 5x - 4
(el polinomio A ordenado y completo)
4x3 - 5x2 + 2x + 1
(el polinomio B ordenado y completo)
+
23

24. ____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3
A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los
términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x
5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6
A + B = 5x3 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un
solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar
que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno,
ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2
4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
24

25. 4x3 + x2 - 2x + 5
A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que
tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar
estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en
columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es
mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
(el polinomio A ordenado y completo)
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:
25

26. 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se
resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el
"opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la
suma.
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
3
B = 2x + 4x - + 1 + 5x
0x3 - 3x2 + 5x - 4
(grado 2)
2
(grado 3)
(el polinomio A ordenado y completo)
4x3 - 5x2 + 2x + 1
(el polinomio B ordenado y completo)
____________________
0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1
(el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5
A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5
26

27. Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros
términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los
polinomios, para que término a término con el otro polinomio.
MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la
Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios,
muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios.
Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo
que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión
con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era
en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo
tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay,
queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de
polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los
términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la
multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones,
pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por
ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.
27

28. EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la
letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de
potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego
aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos
maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1
(el polinomio A ordenado y completo)
X
3x - 6
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6
(el polinomio B ordenado y completo)
+
28

29. 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si
ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y
es más fácil en columna según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los
resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de
números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino
que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una
columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de
igual grado queden en la misma columna.
explicación ejemplo 2
EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X
-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
29

30. A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil
ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en
orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar
todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero
luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el
EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 - 9x2 + x
(polinomio A incompleto pero ordenado)
X
-2x2 + 3
(polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
30

31. En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de
multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden en
columna los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios,
etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en
dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3:
completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden
y no haya qué pensar en dónde ponerlos.
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 +
70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4
Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos,
completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón"
aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los
exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base.
Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este
ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan
como están.
31

32. EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el
segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
-2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)
X
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es
porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por
grado.
EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
32

33. 9x2 + x + 5x4
(polinomio A incompleto y desordenado)
X
3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4 - 2x3
+ 15x4
- 27x2 + 3x
_________________________________________
- 10x6
+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio
que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es 10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores
(grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario
para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado
es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que
faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los
resultados debajo en la columna correspondiente.
DIVISIÓN:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las
reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el
divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
33

34. Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero
(nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,
esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por
el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo
anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
34

35. División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir
son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los
términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el
primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial
o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que
se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:
35

36. PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los
valores que se multiplican se llaman factores.
Se
llama productos
notables a
ciertas expresiones
algebraicas que
se
encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factora las a simple vista; es decir, sin necesidad de
hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy
utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se
muestra la forma de factora las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
36

37. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,
menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Demostración:
37

38. Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios
conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como a2 – b2
Otros casos de productos notables (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
38

39. Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
39

40. x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos como (x –
a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a)
(nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx
y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos
resolver como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos resolverla como (a + b)3.
40

41. Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos resolverla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión
algebraica que lo representa:
Producto notable
Expresión algebraica
Nombre
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2 - b2
=
(a + b) (a - b)
Diferencia de cuadrados
a3 - b3
=
(a - b) (a2 + b2 + ab)
Diferencia de cubos
a3 + b3
=
(a + b) (a2 + b2 - ab)
Suma de cubos
a4 - b4
=
(a + b) (a - b) (a2 + b2)
Diferencia cuarta
(a + b + c)2
=
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Trinomio al cuadrado
Máximo Común Divisor De Polinomios
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como sub
problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo
prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros
cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo
de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de
entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional,
41

42. este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado
algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos (relativamente)
más sencillos, el algoritmo "resultante PRS''
(aquí lo llamaremos PRS resultante) y el
algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este último algoritmo es muy eficiente en
problemas de pocas variables y
Se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el 90% de
los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del MCD de dos
polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en
son "EZ-GCD'' (Extended Zassenhaus
GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para
polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz que EZGCD y
GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con muchos coeficientes
nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.
En la segunda parte, en el próximo número, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD. Estos
algoritmos requieren técnicas más sofisticadas basadas en inversión de homomorfismos vía el
teorema chino del resto, iteración lineal p-ádica de Newton y construcción de Hensel. Como
CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos para iniciar con parte de la teoría necesaria
para los dos primeros algoritmos.
En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo de
Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Sub resultante y el algoritmo
heurístico, además del algoritmo extendido de Euclides. Las implementaciones requieren, por
simplicidad, construir un par de clases para manejo de polinomios con coeficientes racionales
grandes ("BigRational'') y para manejo de polinomios con coeficientes enteros grandes
42

43. ("BigInteger'').(Escuela de Matemática - Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto
Tecnológico de Costa Rica)
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el mcd de 4a^2+4ab
y 2a^4-2a^2b^2
1°) Se resuelven las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)
(Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
Factorización)
(Se aplicó Caso I y IV de
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
Por lo tanto, el mcd de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución.
NOTA: Al resolver es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o
Factorización, según el Caso que le corresponda.
___________________________________________________________
Ejemplo b) Hallar el mcd de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se resuelve las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)
Se aplicó el Caso IV de Factorización
Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)
Se aplicó el Caso III de Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
Por lo tanto, el mcd de x^2 -4,
x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
___________________________________________________________
Ejercicio 112.
43

44. 1) Hallar el mcd de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factora las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)
Se aplicó el Caso I de Factorización.
–> 4a^2 -4ab = 2ª (2a -2b)
Se aplicó el Caso I de Factorización.
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b)
y 4a(a -b)
Por lo tanto el mcd de 2a^2 +2ab
y
es = 2a
4a^2 -4ab es = 2a
<– Solución.
_________________________________________________________
2) Hallar el mcd de 6x^3y -6x^2y, 9x^3y^2 +18x^2y^2
Factora las expresiones dadas:
–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y (2x -2)
–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6)
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2)
Por lo tanto el mcd de
Solución.
y
3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y
6x^3y -6x^2y y
9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–
_________________________________________________________
3) Hallar el mcd de 12a^2b^3
y
4a^3b^2 -8a^2b^3
Factora las expresiones dadas:
–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
Factor común de 4a^2b^2(3b)
y
Por lo tanto el mcd de 12a^2b^3
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2
y
4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2
__________________________________________________________
4) Hallar el mcd de ab +b
y a^2 +a
44
<– Solución.

45. Factora las expresiones dadas:
–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1)
Factor común de
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
b(a +1)
y a(a +1) es
Por lo tanto el mcd de ab +b
= (a +1)
y a^2 +a es = a +1
<– Solución.
___________________________________________________________
5) Hallar el mcd de x^2 -x
y x^3 -x^2
Factora las expresiones dadas:
–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1)
Factor común de x(x -1)
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
y x^2(x -1) es = x(x -1)
Por lo tanto el mcd de x(x -1)
y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.
___________________________________________________________
6) Hallar el mcd de 30ax^2 -15x^3 ,
10axy^2 -20x^2y^2
Factora las expresiones dadas:
–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de
(3)(5)(x)(x)(2a -x)
y
Por lo tanto el mcd de 30ax^2 -15x^3 ,
(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
10axy^2 -20x^2y^2 es =
5x
<– Solución.
___________________________________________________________
7) Hallar el mcd de 18a^2x^3y^4
,
6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4
Factora las expresiones dadas:
–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)
–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3)
Factor común para 6a^2xy^4(3x^2)
y
Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.
6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4
45

46. Por lo tanto el mcd de 18a^2x^3y^4
Solución.
,
6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 <–
___________________________________________________________
8) Hallar el mcd de 5a^2 -15a
,
a^3 -3a^2
Factora las expresiones dadas:
–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)
–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3)
Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.
Factor común de 5a(a -3)
y
Por lo tanto el mcd de 5a^2 -15a
a^2(a -3) es = a(a-3)
,
a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.
Aplicaciones del mcm
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22 x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El mcm
(12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador.
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de
luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12
segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si
es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea
el más cercano. Es decir, estamos buscando el mcm (8, 12).
Factora
8 y 12:
8 = 23
12 = 22 x 3
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y
calculamos el mínimo común múltiplo.
mcm (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24
segundos.
46

47. Aplicaciones del mcd
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el MCD (360, 336).
Para ello factora el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
MCD (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360: 24 = 15
336 336: 24
14
Y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La
cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las
baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible?
¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más
grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.
Factora 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
MCD (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener
que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180: 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
47

48. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva
x
3 2x −1
9.
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x 3 2x 1
9
2
2x
x
2x2
5x
6x 3
3
9
2
2x
5x
12
2x
3 x
4
2x
0
3
2x
3
x
3/2
48
9
0
0
0

49. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una
incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan
ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro
de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y
los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como
se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de
la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y
como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes).
Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación
49

50. del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la
ecuación, factora por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y
trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Cuando se factora al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. ¿Qué
edad tiene el menor?
50

51. Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de
las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es
65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5;
2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2;
2x = 7
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
51

52. 1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x;
9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4;
9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
SOLUCIÓN: x = 16 / 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente
se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la
incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación
x−1=0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la
solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de
segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque
pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que
corresponda en cada caso particular.
52

53. Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0,
donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0
a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0
a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0
a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas
mostradas),
puede
usarse
cualquiera
de
los
siguientes
métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el
otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factora, tenemos que
convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya
que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual
a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
53

54. Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factora esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x+4=0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que Factorizar e igualar sus factores a cero y
luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x=0
o si
x− 4 = 0
x=4
54

55. Solución de cuadrados
Se llama método de la
de cuadrados porque se puede completar un cuadrado
geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones
algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
En la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un
binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
Por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado
de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese
número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el
cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado
del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así
tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
La cual, factor izando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
55

56. Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x+4=8
Entonces
x=8−4
x=4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se
logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una
expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor
real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
Resuelve, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
56

57. (x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x +
3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
( 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x=5−3
x=2
Y
x=−5−3
x=−8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la
siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier
ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene
que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
57

58. Vemos claramente que a = 2,
b=3 y
c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números
Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en
direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser
positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
58

59. Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor
absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo,
es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9
del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números
negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo
negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del
número con el valor absoluto más grande.
59

60. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el
signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más
pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que
el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la
regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un
número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par
de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
60

61. Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus
valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus
valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la
fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
Propiedades de los números reales.
Propiedades de los números reales.
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
61

62. 3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplos
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos
estudiantes practican deporte?
Solución:
Como
, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es
decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si
en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen?
Solución:
Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
62

63. Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces
Ejemplos
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble
que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
x+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y
a juanita 100 millones..
Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan
dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el
ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total?
Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%.
63

64. Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)
Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al
6%.
Ecuaciones lineales de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente
sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se
escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema
cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no
se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
64

65. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (mcm)
Ejemplo:
mcm de 2, 4 y 3 = 12
65

66. c) Ecuaciones Literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el
paso de reducir términos semejantes se factora por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto
es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente
66

67. Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la
segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos
formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
67

68. CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
a) 2 x + y = 6 2
x-y=2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema
será compatible determinado. Vemos la representación más abajo
.x + y = 3 2
x+2y=6
68

69. b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por
tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación más abajo
b) x + y = 3
x+y=-1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene
solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente:
69

70. Graficas
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de
incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
70

71. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la
ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho
(izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar
ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
71
.

72. Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la
ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una
ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras
ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
72

73. El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al
miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es
.
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
.
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener
la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí
y
son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
73

74. Sustituyendo
por
en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es
Sustituyendo
.
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es
.
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello
tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas
la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un
sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones,
como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque
al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en
todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
74

75. Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones), obtenemos la siguiente
matriz triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos
ecuación (
), para obtener:
75
por la solución de la tercera

76. La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita,
obtener
una ecuación en
. Sustituimos, en la primera ecuación,
, que resolvemos para
por 1 (
). Esto nos da
:
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o
más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos
no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el
coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores
literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el
término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene
radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
76

77. 1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
77

78. POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio
es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto
a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
9.5 ¿Cuál es el grado de:
9.6 ¿Cuál es el grado de:
?
?
ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su
grado:
9.8 Ordena el polinomio:
78

79. Respuesta:
ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA
Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.
Ejemplo:
9.9 Ordena respecto a ‘x’, el polinomio:
Respuesta:
9.10 Ordena con respecto a ‘z’:
Respuesta:
9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los números y letras los que prefieras)
Respuesta: (con respecto a ‘c’) :
9.12 ¿De qué grado son las expresiones:
79

80. Respuestas:
1) Primer grado
2) Quinto grado
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su término de mayor grado.
GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el mayor
exponente de dicha letra en el polinomio.
CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus término tiene
denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el
denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical;
homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto; heterogéneo cuando
sus términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene todos
los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en
el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenada, van aumentando o
disminuyendo.
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una
letra escogida como letra ordenada queden en orden descendente o ascendente.
NOMENCLATURA ALGEBRAICA
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no
denominador y a si tienen o no radical:
80

81. S o l u c i o n:
2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:
solución:
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y heterogéneos
Solución:
81

82. 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres
negativos, fraccionarios e irracionales
Solución:
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto
grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
Solución:
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x;
otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco
factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
Solución:
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
- Factores
82

83. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de
estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se
obtiene: a y b, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 +
ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede Factorizar utilizando números reales, si se consideran los números
complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios



Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios



Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios

Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores
distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son
divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo
son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras
83

84. expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1
porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un
paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente
entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se
escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en
los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como
coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de
dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factora se obtiene:
84

85. x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se
extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en
un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) Factora
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el
mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la
raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz
cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
85

86. Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente
numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el
producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer
término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo
término equivale al doble del producto de éstas raíces cuadradas.
Ejemplo:
a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de 4b2 = 2b
Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces
por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del
trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
86

87. Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
Raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab
Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio
de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x
+ a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo
producto sea q
Regla práctica para factora el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es decir, la
raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en
el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do
término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos números
cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el
valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de
los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números
cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el
87

88. valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer
término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)
Observemos que el producto:
(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db
= acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd).
Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible Factorizar
¿Cómo determinar estos números?
a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q:
m = ac y q = bd
b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos:
c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso
contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q
Ejemplos:
a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4
88

89. Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4)
Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones.
Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6
También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo:
2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2)
Mínimo Común Múltiplo (mcm) entre polinomios
Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre
números enteros:
Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.
Primero había que "factora" o descomponer a los números. Así:
Luego, en el mcm había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los
números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el
mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro.
Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos
mcm = 23.32.5
89

90. Porque:

Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que
ponerlos todos.

El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres
veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos
veces). En el mcd entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos,
por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de
veces que aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha).

El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos
veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el mcm al 3 hay que
ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.

El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo
que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay
que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque
obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay).
Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(MCM)
Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo
mismo. Con la diferencia de que los que se "factora" ya no son números, sino polinomios. Y
los factores son también polinomios. Ya no se factora dividiendo, con las 2 columnas, sino
que para factora los polinomios se usan los Casos de Factores. Los siguientes son ejemplos
donde se busca el mcm Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya
se factora.
90

91. Ejercicios
Hallar el MCM de:
* Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 4)3(x – 7)2(x + 6)8(x + 7)3
F(x) = (x + 6)2(x – 7)3(x + 7)4(x – 6)2
S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2
a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8
b) (x + 7)4(x + 6)8
c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2(x + 2)3
d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2
e) (x + 7)4(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2(x + 2)3
Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4(x – 6)2(x + 9)3(x – 1)4
S(x) = (x + 5)2(x – 6)4(x + 7)2(x – 1)3
a) (x +5)(x – 6)(x – 1)
b) (x + 5)2(x – 6)2(x – 1)3
c) (x + 5)4(x – 6)4(x – 1)4(x + 9)3(x + 7)2
d) (x + 1)(x – 2)(x + 9)
e) (x – 1)3(x – 6)4
1
6
12
91

92. 18
24
30
92

93. 36
42
48
(Baldor, 2013)
OPERACIONES CON FRACCIONES
93

94. SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las
sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual
denominador, y cuando tienen distintos denominadores.
En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es
una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será
la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos
caminos.
Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual
será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma
algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos
determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de
cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma
algebraica del numerador y ya está.
El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y
después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos
denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual se
consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma
algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto.
94

95. Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas
fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene
el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.
Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se complica
un poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (mcm) de los polinomios
95

96. que están en el denominador, y después debemos optar por el camino de dividir este mcm por
cada denominador para después multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta
suma de distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes,
si quieres liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios.
Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m para lo cual hay que Factorizar todos los
denominadores. El m.c.m estará formado por todos los factores que hemos hallado, pero si
alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se repite aparece con distinto
exponente, debe ir con el mayor de los exponentes.
Veamos un par de ejemplos:
* Ejemplo 1:
* Ejemplo 2:
Una vez que tenemos el mcm de los denominadores, se procede de la siguiente manera:
Se determina que factores faltan en cada denominador para obtener el m.cm. ; y una vez que
se tienen estos factores, se multiplican por el denominador y numerador de cada fracción.
Al hacer esto, se ha transformado, la suma de fracciones de distinto denominador, en una de
igual denominador, la que se resuelve del modo que se ha explicado previamente.
96

97. Para terminar. Veamos un ejemplo numérico:
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios
que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican entre sí los
polinomios que están en los denominadores.
97

98. En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factora todos los polinomios.
2) Simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
Veamos un ejemplo:
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre
los numeradores y los denominadores.
Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda. (Traducción: se
invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la división en una
multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
98

99. Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay
que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) se factora todos los polinomios.
2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
99

100. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Definición Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son
ecuaciones poli nómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones poli nómicas de
grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a,
b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el
término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.
El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación
cuadrática que se va a resolver.
En este curso estudiaremos los siguientes métodos:
factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el
lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero
cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este
método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
100

101. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x 2 = k es equivalente
a:
Ejemplos
1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto
cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx +?: El último término de un trinomio cuadrado
perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto
es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el
cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos
1) x2 + 6x + 7 = 0
101

102. 2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula
cuadrática:
La expresión:
Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a
continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de
acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo
dos soluciones reales
cero
una solución real
negativo
dos soluciones imaginarias
Ejemplos
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
102

103. 3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.
1) x2 - x - 20 = 0
(por factorización)
2) x2 - 8 = 0
(por raíz cuadrada)
3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)
4) 9x2 + 6x = 1
(fórmula cuadrática)
Clasificación
Completa
Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.
Completa General
Es General porque es más de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean mayor a
1...
ax²+bx+c=0
ej: 3x²+5x+7
Completa Particular
Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1)
ejemplo: x² + 3x + 1 = 0
Incompleta
Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del término de primer grado, término
libre o ambos.
Incompleta Binomial
103

104. Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0
ej: 4X2 -5x=0
Incompleta Pura
¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c =
0?
bx=0
ej: 5x2-1=0
FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS
Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma:
.
Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de
que cumplen con la
expresión, si es que existen.
Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera
forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle"
(ya
sea
porque
nos
sonría
la
buena
fortuna,
o
por
aproximación).
Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza
Bruta"). Después, conforme nos vamos enfrentando a más problemas que involucran
ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que
aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente
a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa"
por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de
Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada
104

105. como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple
observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).
Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se
encuentre
la
solución
de
la
ecuación
(al
menos
una
solución
"Real").
El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula
General".
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si es menor que
los resultados de X serán dos valores con parte real y parte
imaginaria. Es decir, el resultado será un número complejo.
Si
Y si
es mayor que
obtendremos dos valores distintos de X reales.
es igual que
obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término
se le llama discriminante.
Tomando en cuenta el orden de los términos: "a", "b" y "c"=x²-6x+9
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a+b
3 + (−5)
105

106. 2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0=0
3. Conmutativa:
a+b=b+a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
−3=−3
4. Elemento neutro:
a+0=a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
− (−5) = 5
Propiedades de la resta de números enteros
1. Interna:
a−b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a-b≠b-a
106

107. 5−2≠2−5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación
de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a·b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
107

108. a·b=b·a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2): 6
2. No es Conmutativo:
a: b ≠ b : a
6: (−2) ≠ (−2): 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor
absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación
de las siguientes reglas:
108

109. 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades:
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Raíz cuadrada de un número entero
Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.
109

110. El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado
número.Fuente especificada no válida.
ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
Las ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden
expresar de la forma: ax2n+bxn+c=0, con a 0; mediante el cambio de variable z=xn se pueden
expresar como una ecuación de segundo grado así: az2+bz+c=0
Una vez resuelta esta ecuación, las soluciones de la ecuación original se determinan
resolviendo x=
.Entre estas ecuaciones se hallan las bicuadradas, ecuaciones de cuarto
grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.
Ejemplos: x4 - 5x2 +4 = 0 ; x4 - 4 = x2 - 1
Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo
grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el
segundo miembro igualado a 0.
Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la
gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.
Ejemplo, resuelve x4 - 5x2 + 4 = 0
1. realizamos un cambio de variable, x2 = z, y reescribimos la ecuación: z2 - 5z + 4
=0
2. resolvemos esta ecuación, z1 = 1 y z2 = 4
3. las soluciones de la ecuación inicial son:
110

111. B) Ejemplo, resuelve
1. aislamos la raíz,
2. elevamos al cuadrado,
3. desarrollamos y resolvemos,
36x2+4x-11=0,
cuyas
soluciones
son
4. hacemos la comprobación en la ecuación inicial y sólo la primera de las raíces
es solución de la ecuación original, la segunda no.
RESOLUCIÓN POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO
En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la expresión
original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad
estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión básica que
necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un trinomio cuadrado perfecto.
La parte negativa queda agregada al final de todo.
Se factora la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el trinomio
cuadrado perfecto factora, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadráticas que
se agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factora, como tal, y deja la expresión original
totalmente factora, mediante la completa de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar todo a
una diferencia de cuadrados.
111

112. Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos, para
nosotros es conocido como completar del trinomio cuadrado perfecto, entonces para hacerlo
recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que sabíamos que era un
trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las raíces y encontrábamos el doble producto.
En este caso la factorización es muy simple, pongamos las raíces en un paréntesis y
pongamos entre ellas el signo del doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la
factorización del trinomio cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no
encontramos ese doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo
para luego volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para
averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén solos. El
problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo restar porque al
restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factora. Aunque hagamos de
completar y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una diferencia y para factora se deben
obtener productos. Entonces se debe hacer una diferencia de cuadrados porque lo bueno del
trinomio cuadrado perfecto es que cuando yo lo factora siempre se me genera un cuadrado y
si la expresión que sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea
que no podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completado tengo que darme cuenta
que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble producto ya
puedo empezar a factora, poniendo entre paréntesis las raíces, el signo de la mitad que en este
caso sí importa. Con esto dejamos por explicado cómo se resuelven trinomios y binomios
utilizando y completado del trinomio cuadrado perfecto.
2 Comentarios en: factorización poro completa del trinomio cuadrado perfecto
Paola Arteaga dice:
En el minuto 11:30, al momento de desarrollar el trinomio, la solución debería ser
(a↑2+2b↑2)↑2, puesto que colocaste como raíz de 4b↑4 = b↑2; así que el resultado sería
(a↑2+2b↑2+2ab)(a↑2+2b↑2-2ab).
Nos quedó faltando el 2 que acompaña a b^2. Vamos a tener una anotación en el video para
corregirlo. Muchas gracias por el comentario.
112

113. Recuerda que igual tenemos una mejor versión de este tema que puedes ver en:
EJERCICIOS
2
X + 6X + 9 es un T.C.P.
Si es un TCP factor izado:
1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto:
2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X
3°) factor ando: X + 6X + 9 = (X + 3)
Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se siguen los
siguientes pasos:
1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al
2) se adiciona a ambos lados de la igualdad
3) se factor iza
4) se hallan las raíces (X1, X2).
Solución de ecuaciones cuadráticas para completar del cuadrado
Demostremos el método de completar del cuadrado con un ejemplo.
Ejemplo 3
Resolver la siguiente ecuación cuadrática
.
Solución
El método de completar de cuadrados es como se muestra a continuación.
1. Reescribir como
113

114. 2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos añadir la
constante. Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la ecuación.
4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta
y
Si el coeficiente del término
no es uno, debemos dividir toda la expresión por este número
antes de completar el cuadrado.
Ejemplo 4
Resolver la siguiente ecuación cuadrática
.
Solución:
1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término
.
2. Reescribir como
3. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos añadir la
constante
. Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
114

115. 5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta
y
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar
Una ecuación en forma estándar se escribe como
. Para resolver una
ecuación en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho de la ecuación.
Ejemplo 5
Resolver la siguiente ecuación cuadrática
.
Solución
El método de completar de cuadrados se aplica como sigue:
1. Mover la constante al otro lado de la ecuación.
2. Reescribir como
3. Sumar la constante
a ambos lados de la ecuación
115

116. 4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
Respuesta
y
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas
en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir
trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser
incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos
satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y
pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la
determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día,
desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado
funciones cuadráticas para su diseño.
Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican
juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área.
Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación
cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a
veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del
116

117. precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata
con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un
puente suspendido.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x+6=0x=-6
x-2=0x=2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( -
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -
6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0
12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
117

118. 2x2-5x-3=0
Paso 2: Factorizar
2x2-5x-3=0(2x+1)(x-3)=0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
2x+1=02x=-1x=-12
x-3=0x=3
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-1/2
Verificar x=3
2x2-3=5x2(-12)2-3=5(-
2x2-3=5x2(3)2-
1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = -
3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 -
5 2 - 5 2 =- 5 2
3 = 15 15= 15
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por
mediante
También observamos en dicho capítulo que
de forma más general que
,
representa la distancia del origen al punto , y
representa la distancia entre
y
.
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con
respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la
sustracción.
Propiedades del valor absoluto. Si
y
son números reales arbitrarios entonces
118

119. 1.
2.
3.
,
4.
(Desigualdad triangular)
5.
y
La interpretación geométrica de
dos propiedades
Sea
nos proporciona una justificación de las siguientes
. Entonces
6.
es equivalente a
7.
es equivalente a
o
Gráficamente tenemos
Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la
siguiente
8.
es equivalente a
En las propiedades (6) a (8) el símbolo
puede remplazarse por
Ejemplo. Resolvamos la desigualdad
.
.
Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
119

120. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo
Ejemplo. Resolvamos la desigualdad
.
.
La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a
Resolviendo
o sea
Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es
Ejemplo Resolvamos la desigualdad
.
Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades
equivalentes:
Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de
+- -
Signo de
- - +
120

121. Signo de
- +-
Vemos que la solución de la desigualdad es
.
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se
resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de
inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal en los que interviene
un gran número de variables.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función
objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de
restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador,
sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo
para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'.
Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se
considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos
matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre
la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975
por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular recibieron
un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más importantes fue la
aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947,
consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo
teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región
factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función objetivo no toma
su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte del vértice A y a lo
largo de la cual la función objetivo aumenta. se llega a otro vértice.
El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en cada
etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que no parta
121

122. ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente.
Aunque a lo largo de esta unidad únicamente se resuelven problemas de programación
lineal bidimensional, este tipo de análisis se utiliza en casos donde intervienen cientos e
incluso miles de variables.
OBJETIVOS

Resolver gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos
incógnitas

Conocer la programación lineal y sus aplicaciones a la vida cotidiana.

Plantear y resolver situaciones con programación lineal.

Conocer dos ejemplos típicos: problema del transporte y de la dieta.
2. DESARROLLO
Construcción de los Modelos de Programación Lineal
De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo
de Programación Lineal.
Requerimiento 1. Función objetivo. (F.O).
Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar.
Requerimiento 2. Restricciones y decisiones.
Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el
objetivo.
Requerimiento 3. La F.O y las restricciones son lineales.
Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.
Modelo estándar de Programación Lineal
Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn).
Función objetivo.
Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1
A21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1
Restricciones
Am1X1+ am1X2 +…..+ amn Xn) £ bm
Debiendo ser
X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0
122

123. Dónde:
Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.
n : número de variables.
m : número de restricciones.
aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.
PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
1.
2.
3.
4.
Definir las variables de decisión.
Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.
Definir las restricciones.
Restringir todas las variables para que sean no negativas.
La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o
minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que
llamaremos restricciones.
Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia
militar, etc.
Función objetivo
En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una
función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por
inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤ c2
123

124. ...
...
...
anx + bny ≤ cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones,
determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona
de soluciones factibles.
124

125. Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o
mínima según el caso).
125

126. 126

127. 127

128. 128

129. 129

130. 130

131. DOCUMENTO DE DEBERES
EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
131

132. 132

133. 133

134. 134

135. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
135

136. 136

137. 137

138. 138

139. 139

140. 140

141. 141

142. 142

143. 143

144. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
144

145. 145

146. 146

147. 147

148. 148

149. 149

150. 150

151. 151

152. 152

153. SISTEMA DE ECUACIONES
153

154. 154

155. 155

156. TRABAJOS EN CLASE
156

157. 157

158. 158

159. 159

160. 160

161. 161

162. 162

163. 163

164. 164

165. 165

166. 166

167. 167

168. 168

169. 169

170. 170

171. 171

172. 172

173. 173

174. 174

175. 175

176. 176

177. 177

178. TABLA DINÁMICA
DEBER DE PROGRAMACIÓN LINEAL
178

179. 179

180. 180

181. 181

182. LINKOGRAFÍA
Bibliografía Baldor, Á. d. (30 de 07 de 2013). Álgebra de Baldor . Obtenido de Álgebra de
Baldor : http://www.calculo21.org/id863.htm
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Peano, G. (1889). Apéndice I. Recuperado el 30 de 07 de 2013, de Apéndice I:
http://ciencias.udea.edu.co/~jadeva/documentos/ca1_PDF/ca1_cap06apendices.pdf
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S.R. (s.f.). WIKIPEDIA. Obtenido de
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http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_1.html
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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Programacion_lineal
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es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_segundo_grado
quiz.uprm.edu/tutorial_es/Lin_Ineq/ineq_right.xhtml
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www.monografias.com › Matemáticas
matematica1.com/category/inecuaciones-con-valor-absoluto/
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