Portafolio algebra

ÍNDICE

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES___________________________________7
Introducción _____________________________________________________________ 7
Conjunto de los números reales _____________________________________________ 7
Conjunto de los números naturales __________________________________________ 7
Conjunto de los números enteros ____________________________________________ 8
Conjunto de los números racionales __________________________________________ 8
Conjunto de los números reales _____________________________________________ 8
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES_________________________________9
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL _______________________________ 10
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________ 12
Propiedad conmutativa. ___________________________________________________ 12
Propiedad Anti conmutativa _______________________________________________ 13
Ejemplos _____________________________________________________________ 14
Propiedad distributiva. ___________________________________________________ 14
Divisores del cero ________________________________________________________ 15
Elementos distinguidos ___________________________________________________ 15
Elemento neutro _________________________________________________________ 16
Elemento involutivo ______________________________________________________ 17
Elemento absorbente _____________________________________________________ 17
Operación inversa _______________________________________________________ 17
POTENCIACION Y RADICACION __________________________________________ 18
POTENCIACION _________________________________________________________ 18
Propiedades de la potenciación _____________________________________________ 19
Potencia de potencia _____________________________________________________ 19
Multiplicación de potencias de igual base ____________________________________ 19
División de potencias de igual base _________________________________________ 19
Propiedad distributiva ____________________________________________________ 19
Propiedad conmutativa ___________________________________________________ 19
Potencia de exponente 0 __________________________________________________ 20
Potencia de exponente 1 __________________________________________________ 20
2

Potencia de base 10______________________________________________________ 20
RADICACIÓN ____________________________________________________________ 20
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN. _______________________________________________________________ 23
SUMA: _________________________________________________________________ 24
RESTA: ________________________________________________________________ 25
MULTIPLICACIÓN: ____________________________________________________ 27
DIVISION: _____________________________________________________________ 33
División entre fracciones _________________________________________________ 31
División de polinomios entre monomios. _____________________________________ 34
División entre polinomios. ________________________________________________ 35
PRODUCTOS NOTABLES _________________________________________________ 36
Otros casos de productos notables (o especiales): ______________________________ 38
Cubo de una suma _______________________________________________________ 40
Cubo de una diferencia ___________________________________________________ 41
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS ______________________________ 41
Aplicaciones del mcm _____________________________________________________ 46
1. Reducir fracciones a común denominador. _________________________________ 47
2. Resolver problemas de la vida práctica. ____________________________________ 49
Aplicaciones del mcd _____________________________________________________ 50
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________ 50
2. Resolver problemas de la vida práctica. ____________________________________ 51
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN _____ 52
Descripción: ____________________________________________________________ 52
Ecuaciones de primer grado _________________________________________________ 52
Ecuaciones literales de primer grado __________________________________________ 52
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) ___________________ 52
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________ 53
Solución de ecuaciones cuadráticas _______________________________________ 53
Solución por completación de cuadrados _____________________________________ 53
Solución por la fórmula general ____________________________________________ 57
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES _____________ 58

3

Inverso aditivo __________________________________________________________ 58
Propiedad del doble negativo ______________________________________________ 58
Operaciones con los números Reales ________________________________________ 59
1. Sumar números reales ________________________________________________ 59
Restar números reales __________________________________________________ 59
Multiplicar números reales ______________________________________________ 60
Propiedades de los números reales. _________________________________________ 60
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES ______________________________ 61
Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________ 61
a) ecuaciones lineales propiamente tales _____________________________________ 62
b) ecuaciones fraccionarias ________________________________________________ 65
c) ecuaciones literales ____________________________________________________ 66
Sistemas de ecuaciones lineales _____________________________________________ 67
Sistema compatible indeterminado ______________________________________ 68
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas __________________________ 68
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES __ 69
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________________ 69
Método de reducción _____________________________________________________ 70
Ejemplo _______________________________________________________________ 71
Ejemplo _______________________________________________________________ 72
Método de sustitución ____________________________________________________ 73
Ejemplo _______________________________________________________________ 74
Método de Gauss ________________________________________________________ 75
Ejemplo _______________________________________________________________ 75
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ____________________________________________ 76
10 Ejemplos de Términos Semejantes: _______________________________________ 76
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA ____________________ 76
MONOMIO. ____________________________________________________________ 76
BINOMIO ______________________________________________________________ 76
TRINOMIO. ____________________________________________________________ 77
POLINOMIO. ___________________________________________________________ 77
GRADO DE UN MONOMIOS _______________________________________________ 78
GRADO DE UN POLINOMIO ______________________________________________ 78

4

ORDENAR UN POLINOMIO _______________________________________________ 80
NOMENCLATURA ALGEBRAICA _________________________________________ 81
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL ________________________________________ 81
Métodos para la factorización de polinomios _________________________________ 81
Binomios ______________________________________________________________ 81
Trinomios _____________________________________________________________ 82
Polinomios ____________________________________________________________ 82
Factorizar un monomio ___________________________________________________ 83
Factorizar un polinomio __________________________________________________ 83
Factor común. ___________________________________________________________ 84
Factor común de un polinomio______________________________________________ 85
Factor común por agrupación de términos ___________________________________ 85
Trinomio cuadrado perfecto _______________________________________________ 86
Raíz cuadrada de un monomio _____________________________________________ 86
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________ 86
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto ________________________ 87
Trinomios de la forma x2 + px + q __________________________________________ 88
Regla práctica para factorizar el trinomio ___________________________________ 88
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) ______________________________ 88
CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M __________________________________ 89
Mínimo Común Múltiplo (mcm) entre polinomios _______________________________ 89
Ejercicios _______________________________________________________________ 89
OPERACIONES CON FRACCIONES ________________________________________ 97
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ____________________________________ 97
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________ 97
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________ 98
ECUACIONES CUADRATICAS ____________________________________________ 98
Factorización: ___________________________________________________________ 99
Raíz cuadrada: _________________________________________________________ 99
Completando el cuadrado: _______________________________________________ 100
Fórmula cuadrática: ____________________________________________________ 102
Clasificación ___________________________________________________________ 103
5

Completa ______________________________________________________________ 104
Completa General _____________________________________________________ 106
Completa Particular ___________________________________________________ 106
Incompleta_____________________________________________________________ 107
Incompleta Binomial __________________________________________________ 107
Incompleta Pura ______________________________________________________ 108
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas __________________________ 108
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS _____________________________ 109
Propiedades de la suma de números enteros _________________________________ 112
Multiplicación de números enteros_________________________________________ 113
Regla de los signos _____________________________________________________ 113
Propiedades de la multiplicación de números enteros __________________________ 113
Propiedades de la división de números enteros _______________________________ 114
Potencia de números enteros________________________________________________ 114
Propiedades: _________________________________________________________ 114
Potencias de exponente entero negativo _________________________________ 115
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO __ 111
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado _____________ 113
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________ 118
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _____________________ 119
PROGRAMACIÓN LINEAL_______________________________________________121

6

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado
sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√ , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos
comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o
enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de
definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales
(asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de
las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los números reales.
Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los números naturales y se efectúan
las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas
ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la
solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre
ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se
presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

7

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas
numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución
en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera
{

}

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números reales
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también
axiomas de campo). (Peano, 1889)

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a
partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto
de la anterior.
8

Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a- b) si
a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los
naturales constituyen el conjunto de los números enteros (Z). Con los números enteros (Z) se
puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir

si a no es múltiplo de b.

Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de
los números racionales.
Todo

número

racional

se

puede

expresar

como

un

número

decimal

exacto

o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras
decimales que se repiten

Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (

si b ¹ 0). Si bien

el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las
diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él (
,

, p , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.

Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas cifras
decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números
reales (R).

9

Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades
algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen
que los números reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por
cero) obteniéndose otro número real.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los
números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales
llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre
el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real
le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un
único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario
sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para
medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y
se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un
punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:


Se asocia al origen el número 0,



Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades
del origen en la dirección positiva,



Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del
origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le
corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta
recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales.
También se la conoce como eje coordenado o eje real.

10

El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.

Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes:
dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea
igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al númeroa está a la
izquierda del punto que representa al número b.

Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del
que representa a b.

Si a = b, los puntos se superponen.

La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si
el número real a es menor que el número real b (a < b). (matemati@fca.unl.edu.ar)

11

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:

Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más
abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades,
usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos
Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:

se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa
en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de
operar b con a.
La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y
complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo
cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos
La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1 y -1.
El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.
12

Propiedad Anti conmutativa

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual
al opuesto de operar b con a.
Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:

Se tiene con el producto vectorial :

Y

En general, para cualquier par de vectores a, b:

Para los enteros, se ve que la sustracción

Es anti conmutativa, pues si:

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:

Se dice que * es asociativa si, solo si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a
operar a con el resultado de operar b con c.
También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:
13

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de
operar a con el resultado de operar b con c.
Ejemplos
La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.
La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa
La adición en el conjunto Z[i] es asociativa
el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ≠
ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.
Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (α)

Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación

es distributiva por la derecha de

si se cumple:

Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w) =uxv +
uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ.
Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación

es distributiva por la izquierda de

si se cumple:

Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P= MP+ NP,
la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.
La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de funciones:
(f +g)º=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.
Una operación

es distributiva sobre otra

si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

14

Los conjuntos numéricos gozan de la distributiva por ambos lados.
Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas
a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi grupo
multiplicativo no se exige la conmutatividad.
Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la suma usual
en R.
Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la
izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se
puede simplificar por ambos lados se haba de simplificación o cancelación.
En el caso de la suma de números (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando a, resulta
b=c
En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para el caso,
los grupos simétricos.

Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y
b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de restos,
resulta 2*3=0.
Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x) =0 en
otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.
Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que en este
caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".
Elementos distinguidos

15

Elemento neutro
Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que indicaremos:
(A,*),

Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si:

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho
que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:
En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento
neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.
En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro
multiplicativo. a.1 = 1.a = a.
En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro es 0.
En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es la matriz
que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.
En la composición de funciones de variable real, el elemento neutro es la función I(x) = x para
todo x.
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:

Diremos que a' es simétrico de a si:

Donde es el elemento neutro.
El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la
multiplicación. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se
llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso
multiplicativo.

16

Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los
enteros.

Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el conjunto de
partes de U.

Operación inversa

Sea A un conjunto con una operación binaria *:

Por lo que cabe la ecuación:

Pero si se da el caso de que:

Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite
elementos simétricos, se define: (S.R)

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
POTENCIACIÓN
ROF. José Luis Gallardo
17

La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es
muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la
cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos
125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una
potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por
sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al
ocho por sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.

Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)...

18

Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la
multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual
a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es
con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en
que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.

19

Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el
exponente.
101 = 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un exponente

106 = 1000000
104 = 10000

RADICACIÓN
sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación
inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.
Observa que 82=64

entonces

64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.

De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que
elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:

20

Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos),
pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores.

Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en grupos de
dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo más
próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se
acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número que resulta
de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos buscando se
acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese número será el siguiente
número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se aproxima
más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que
queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el número
del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
21

9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se aproxima
más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que se
aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor
utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2,
entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

22

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo
grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado.
Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo
en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado,
para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se
rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en
columna el término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

(grado 2)
(grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4


4x3 - 5x2 + 2x + 1


+

23

____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los
términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un
solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar
que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno,
ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3 + 5
B = -2x + x2

4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
24

4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que
tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar
estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en
columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es
mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8


5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:
25

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se
resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el
"opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la
suma.
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
3

B = 2x + 4x - + 1 + 5x
0x3 - 3x2 + 5x - 4

(grado 2)
2

(grado 3)

4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________

0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1
(el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5

26

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros
términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los
polinomios, para que término a término con el otro polinomio.

MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la
Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios,
muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios.
Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo
que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión
con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era
en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo
tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay,
queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de
polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los
términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la
multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones,
pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por
ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.

27

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la
letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de
potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego
aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos
maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1


X
3x - 6
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6


+
28

12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si
ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y
es más fácil en columna según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los
resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de
números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino
que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una
columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de
igual grado queden en la misma columna.

explicación ejemplo 2

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X
-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

29

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil
ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en
orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar
todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero
luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el
EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x

(polinomio A incompleto pero ordenado)

X
-2x2 + 3
(polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

30

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de
multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden en
columna los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios,
etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en
dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3:
completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden
y no haya qué pensar en dónde ponerlos.

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 +
70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos,
completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón"
aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los
exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base.
Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este
ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan
como están.

31

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el
segundo)

A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

-2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

X

______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es
porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por
grado.

EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

32

9x2 + x + 5x4

(polinomio A incompleto y desordenado)

X
3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4 - 2x3
+ 15x4
- 27x2 + 3x
_________________________________________
- 10x6
+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio
que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es 10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores
(grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario
para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado
es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que
faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los
resultados debajo en la columna correspondiente.

DIVISIÓN:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las
reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el
divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

33

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero
(nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,
esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por
el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo
anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

34

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir
son los siguientes.

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los
términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el
primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial
o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que
se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

35

PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los
valores que se multiplican se llaman factores.
Se

llama productos

notables a

ciertas expresiones

algebraicas que

se

encuentran

frecuentemente y que es preciso saber factora las a simple vista; es decir, sin necesidad de
hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy
utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se
muestra la forma de factora las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

36

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,
menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Demostración:

37

forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios
conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:

forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como a2 – b2

Otros casos de productos notables (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:
38

Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (x + a) (x + b)


x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:

forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factora
la como (x + a) (x – b).


39

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:

forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos como (x –
a) (x – b).

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a)
(nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx
y nx).

Demostración:

forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos
resolver como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos resolverla como (a + b)3.

40

Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos resolverla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión
algebraica que lo representa:

Producto notable

Expresión algebraica

Nombre

(a + b)2

=

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

=

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

a2 - b2

=

(a + b) (a - b)

Diferencia de cuadrados

a3 - b3

=

(a - b) (a2 + b2 + ab)

Diferencia de cubos

a3 + b3

=

(a + b) (a2 + b2 - ab)

Suma de cubos

a4 - b4

=

(a + b) (a - b) (a2 + b2)

Diferencia cuarta

(a + b + c)2

=

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Trinomio al cuadrado

Máximo Común Divisor De Polinomios
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como sub
problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo
prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros
cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo
de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de
entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional,

41

este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado
algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos (relativamente)
más sencillos, el algoritmo "resultante PRS''

(aquí lo llamaremos PRS resultante) y el

algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este último algoritmo es muy eficiente en
problemas de pocas variables y
Se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el 90% de
los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del MCD de dos
polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en

son "EZ-GCD'' (Extended Zassenhaus

GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para
polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz que EZGCD y
GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con muchos coeficientes
nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.

En la segunda parte, en el próximo número, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD. Estos
algoritmos requieren técnicas más sofisticadas basadas en inversión de homomorfismos vía el
teorema chino del resto, iteración lineal p-ádica de Newton y construcción de Hensel. Como
CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos para iniciar con parte de la teoría necesaria
para los dos primeros algoritmos.
En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo de
Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Sub resultante y el algoritmo
heurístico, además del algoritmo extendido de Euclides. Las implementaciones requieren, por
simplicidad, construir un par de clases para manejo de polinomios con coeficientes racionales
grandes ("BigRational'') y para manejo de polinomios con coeficientes enteros grandes
42

("BigInteger'').(Escuela de Matemática - Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto
Tecnológico de Costa Rica)

EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el mcd de 4a^2+4ab

y 2a^4-2a^2b^2

1°) Se resuelven las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)

(Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
Factorización)

(Se aplicó Caso I y IV de

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
Por lo tanto, el mcd de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución.
NOTA: Al resolver es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o
Factorización, según el Caso que le corresponda.
___________________________________________________________
Ejemplo b) Hallar el mcd de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se resuelve las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)

Se aplicó el Caso IV de Factorización
Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)

Se aplicó el Caso III de Factorización.

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
Por lo tanto, el mcd de x^2 -4,

x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

___________________________________________________________
Ejercicio 112.
43

1) Hallar el mcd de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factora las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2ª (2a -2b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b)

y 4a(a -b)

Por lo tanto el mcd de 2a^2 +2ab

y

es = 2a
4a^2 -4ab es = 2a

<– Solución.

_________________________________________________________
2) Hallar el mcd de 6x^3y -6x^2y, 9x^3y^2 +18x^2y^2
–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y (2x -2)
–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6)

(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2)
Por lo tanto el mcd de
Solución.

y

3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y

6x^3y -6x^2y y

9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–

_________________________________________________________
3) Hallar el mcd de 12a^2b^3

y

4a^3b^2 -8a^2b^3

–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
Factor común de 4a^2b^2(3b)

y

Por lo tanto el mcd de 12a^2b^3

4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

y

4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2

__________________________________________________________
4) Hallar el mcd de ab +b

y a^2 +a

44

<– Solución.

–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1)
Factor común de


b(a +1)

y a(a +1) es

Por lo tanto el mcd de ab +b

= (a +1)

y a^2 +a es = a +1

<– Solución.

___________________________________________________________
5) Hallar el mcd de x^2 -x

y x^3 -x^2

–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1)
Factor común de x(x -1)

y x^2(x -1) es = x(x -1)

Por lo tanto el mcd de x(x -1)

y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.

___________________________________________________________
6) Hallar el mcd de 30ax^2 -15x^3 ,

10axy^2 -20x^2y^2

–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de

(3)(5)(x)(x)(2a -x)

y

Por lo tanto el mcd de 30ax^2 -15x^3 ,

(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
10axy^2 -20x^2y^2 es =

5x

<– Solución.

___________________________________________________________
7) Hallar el mcd de 18a^2x^3y^4

,

6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4

–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)
–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3)
Factor común para 6a^2xy^4(3x^2)

y

Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.

6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4

45

Por lo tanto el mcd de 18a^2x^3y^4
Solución.

,

6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 <–

___________________________________________________________
8) Hallar el mcd de 5a^2 -15a

,

a^3 -3a^2

–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)
–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3)

Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de 5a(a -3)

y

Por lo tanto el mcd de 5a^2 -15a

a^2(a -3) es = a(a-3)
,

a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.

Aplicaciones del mcm

1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22 x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El mcm
(12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador.
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de
luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12
segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si
es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea
el más cercano. Es decir, estamos buscando el mcm (8, 12).
Factora
8 y 12:
8 = 23
12 = 22 x 3
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y
calculamos el mínimo común múltiplo.
mcm (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24
segundos.

46

Aplicaciones del mcd

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el MCD (360, 336).
Para ello factora el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
MCD (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360: 24 = 15
336 336: 24

14

Y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La
cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las
baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible?
¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más
grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.
Factora 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
MCD (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener
que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180: 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
47

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN

Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva

x

3 2x −1

9.

Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x 3 2x 1
9
2
2x

x

2x2

5x

6x 3
3

9

2
2x

5x

12

2x

3 x

4

2x
0

3
2x

3
x
3/2

48

9
0
0
0

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una
incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan
ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro
de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y
los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como
se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de
la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y
como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes).
Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación

49

del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la
ecuación, factora por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y
trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Cuando se factora al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. ¿Qué
edad tiene el menor?

50

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de
las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es
65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2

2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5;

2x - 2 = 5

2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2;

2x = 7

3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
51

1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x

2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x;

9x -4 = 12

3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4;

9x = 16

4º paso: Dividimos por 9
SOLUCIÓN: x = 16 / 9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente
se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la
incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación

x−1=0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la
solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de
segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque
pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que
corresponda en cada caso particular.
52

Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0,
donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0

a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0

a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas
mostradas),

puede

usarse

cualquiera

de

los

siguientes

métodos:

Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el
otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factora, tenemos que
convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya
que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual
a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

53

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factora esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x+4=0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que Factorizar e igualar sus factores a cero y
luego resolver en términos de x:

Ahora, si
x=0
o si
x− 4 = 0
x=4

54

Solución de cuadrados
Se llama método de la

de cuadrados porque se puede completar un cuadrado

geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones
algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
En la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un
binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
Por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado
de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese
número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el
cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado
del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así
tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
La cual, factor izando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
55

Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda
x+4=8
Entonces
x=8−4
x=4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se
logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una
expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor
real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
Resuelve, y queda
(x +3) (x + 3) = 25

56

(x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x +
3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada

y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
( 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x=5−3
x=2
Y
x=−5−3
x=−8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la
siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier
ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene
que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

57

Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números
Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en
direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser
positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a

58

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor
absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo,
es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9
del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números
negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo
negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del
número con el valor absoluto más grande.

59

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el
signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más
pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que
el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la
regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un
número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par
de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación

60

Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus
valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus
valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la
fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
Propiedades de los números reales.
Propiedades de los números reales.

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para la solución de problemas:

1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.

61

3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplos
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos
estudiantes practican deporte?
Solución:

Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es
decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo

Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si
en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen?
Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91

62

Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplos
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble
que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
juanita=5x (cinco veces más que Laurita)

x+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y
a juanita 100 millones..

Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan
dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el
ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total?

Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%.

63

Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)
Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al
6%.
Ecuaciones lineales de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente
sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se
escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema
cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no
se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

64

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (mcm)
Ejemplo:
mcm de 2, 4 y 3 = 12

65

c) Ecuaciones Literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el
paso de reducir términos semejantes se factora por "x" para despejarla.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto
es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

66

Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la
segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos
formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

67

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
a) 2 x + y = 6 2
x-y=2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema
será compatible determinado. Vemos la representación más abajo
.x + y = 3 2
x+2y=6
68

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por
tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación más abajo
b) x + y = 3
x+y=-1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene
solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente:

69

Graficas

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de
incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
70

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la
ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho
(izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar
ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:

71

.

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la
ecuación

No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una
ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras
ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones

Es equivalente a este otro

72

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al
miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es

.

Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

.

Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener
la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí

y

son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo
Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

73

Sustituyendo

por

en

Se tiene que

Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es
Sustituyendo

.

por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida

obtenemos una ecuación de una sola incógnita

Cuya solución es

.

Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello
tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas
la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un
sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones,
como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque
al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en
todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

74

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones), obtenemos la siguiente
matriz triangular superior:

Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener

:

En la primera y segunda ecuación, sustituimos
ecuación (

), para obtener:

75

por la solución de la tercera

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita,
obtener
una ecuación en

. Sustituimos, en la primera ecuación,

, que resolvemos para

por 1 (

). Esto nos da

:

Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o
más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos
no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el
coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores
literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el
término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene
radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:

76

1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.

5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

77

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El

monomio

es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto
a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de:

9.6 ¿Cuál es el grado de:

?

?

ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su
grado:

9.8 Ordena el polinomio:

78

Respuesta:

ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA
Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.
Ejemplo:
9.9 Ordena respecto a ‘x’, el polinomio:

Respuesta:

9.10 Ordena con respecto a ‘z’:

Respuesta:

9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los números y letras los que prefieras)

Respuesta: (con respecto a ‘c’) :
9.12 ¿De qué grado son las expresiones:

79

Respuestas:
1) Primer grado
2) Quinto grado
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su término de mayor grado.
GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el mayor
exponente de dicha letra en el polinomio.
CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus término tiene
denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el
denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical;
homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto; heterogéneo cuando
sus términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene todos
los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en
el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenada, van aumentando o
disminuyendo.
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una
letra escogida como letra ordenada queden en orden descendente o ascendente.

NOMENCLATURA ALGEBRAICA
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no
denominador y a si tienen o no radical:

80

S o l u c i o n:

2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:
solución:

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:

4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y heterogéneos
Solución:

81

5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres
negativos, fraccionarios e irracionales
Solución:

6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto
grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
Solución:

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x;
otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco
factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
Solución:

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
- Factores

82

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de
estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se
obtiene: a y b, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 +
ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede Factorizar utilizando números reales, si se consideran los números
complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios




Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios




Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios


Factor común

Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:

Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores
distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son
divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo
son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras

83

expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1
porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.

Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un
paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente
entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se
escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en
los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como
coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de
dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factora se obtiene:
84

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se
extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en
un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) Factora
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el
mismo resultado.

Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la
raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz
cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).

85

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